ROBOTICA ROBOTICA AVANZADA A VANZADA PASO 1 - PROPONER PROPONER LAS L AS SOLUCIONES COMPUTACIONALES COMPUTACIONALES A LOS PROBLEMAS DADOS
DIEGO JAVIER COHECHA LEON WILMAR IVAN GANZALEZ JIMMY FABIAN SANCHEZ TANIA VARGAS JOHN RICHARD VELASQUEZ PRIETO
GRUPO: 299012_9
TUTOR: MARIO RICARDO ARBULU
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD BOGOTA, BOGOTA , MARZO 18 DE 2018
INTRODUCCION
Este documento presenta el resultado del desarrollo grupal de los ejercicios propuestos para la Etapa 1. Se exploran conceptos propios de la cinemática de un robot industrial (traslaciones, rotaciones, matrices de transformación). Adicionalmente se realiza el estudio de la cinemática de un robot con múltiples grados de libertad empleando el método de Denavit-Hartemberg. La solución a los problemas propuestos se complementa mediante implementaciones en MATLAB
OBJETIVOS
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Retomar y analizar conocimientos matemáticos y computacionales para el diseño apropiado de un robot. Aplicar en el desarrollo de 3 ejercicios prácticos los principales procedimientos para determinar la posición y traslación de las articulaciones de un robot. Validar procedimientos para determinar la posición y traslación de las articulaciones de un robot, con la ayuda de herramientas computacionales como Matlab. Hacer uso de conceptos como matrices de rotación, transformaciones de translación, matrices de transformación homogénea, algoritmo Denavit Hartenberg, entre otros; para dar solución a problemas relacionados con robótica.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Ejercici o 1.
= = ∑(, , ) ∑ ( , , ) ∑.
Mediante el uso de MATLAB. Considere un punto
1.2,0.8,1.5
en el sistema de referencia
orientación relativa de 60 grados alrededor del eje Obtener la proyección del punto
, el cual mantiene una
del sistema fijo
en el sistema fijo
Solución: Ejercicio 1 El ángulo propuesto, expresado en radianes, corresponde a π/3. Reemplazando
esto en la matriz de rotación se tiene
3 sen 3 0 0,5 0,866 0 cos = [sen 3 cos 3 0] = 0,8066 0,05 01 0 0 1 Σ 1, 2 0, 5 ∗1, 2 0, 8 66 ∗0, 8 0, 5 0, 8 66 0 − = ∗− = 0,8066 0,05 010,1,85 = 0,866∗ 1,1,2 5+ 0,5 ∗0,8 0, 6 0, 6 928 = 1,03921,5+ 0,4 0, 0 928 = 1,41,3925
La ecuación para hallar las coordenadas del vector en el espacio
Usando MATLAB se tiene:
es:
.
Ejercici o 2.
Un sistema OUVW ha girado 90° alrededor del eje OX y, posteriormente, trasladado un vector p (8, -4, 12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas
(, , )
del vector r con coordenadas
(3,4,11)
.
Fuente: Barrientos, A., Peñín, Luis F., & Balaguer, C. (2007). Fundamentos de robótica (2a. ed.). Madrid, ES: McGraw-Hill España, 2007. ProQuest ebrary. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10566097.
Solución: Para este ejercicio debemos tener en cuenta el concepto de matriz de transformación, teniendo en cuenta la combinación de rotaciones y traslaciones. Es decir: * Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes * El producto NO es conmutativo: Rotar y después trasladar es diferente a trasladar y después rotar
Donde decimos que:
Rotación seguida de traslación:
Traslación seguida de rotación:
Teniendo en cuenta lo anterior y aplicándolo al ejercicio podemos decir que: El vector de posición P esta dado como:
8 = 412
con respecto al eje OXYZ
Y las coordenadas con respecto al vector
= (3,4, 11) Donde decimos que:
= 10 00 10 48 43 1 00 10 00 121 111 Y las coordenadas del vector son:
esta dada por:
4 = 711 En conclusión y dando solución a este ejercicio decimos que
= 10 00 10 48 43 = 74 1 00 10 00 121 111 11 Y realizándolo en Matlab tenemos que:
Donde observamos que las coordenadas del vector son
Ejercici o 3.
Determinar los sistemas de referencia de coordenadas para cada articulación, las constantes de D-H y las matrices de transformación del siguiente robot manipulador.
Fuente: Arnaez, E. (2015). Enfoque práctico de la teoría de robots: con aplicaciones de Matlab. Lima, PERÚ: Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC). ProQuest ebrary. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11127145 La determinación de las coordenadas para cada una de las articulaciones se hace teniendo en cuenta que el sistema cumpla la regla de la mano derecha, es decir, están orientadas de acuerdo con el ángulo de rotación. Es por esto que los sistemas de referencia para S2, S3,S4 van en el sentido de rotación de q 3, el cual es diferente al sentido de q1, q2.
Figura 1. Robot para el ejercicio 3. Fuente: Elaboración propia
Fuente: Arnaez, E. (2015). Enfoque práctico de la teoría de robots: con aplicaciones de Matlab. Lima, PERÚ: Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC). ProQuest ebrary. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11127145
Los parámetros de Denavit-Hartemberg deben usarse para obtener las matrices de transformación, para el eslabón, la tabla que relaciona los parámetros D-H se presenta a continuación Articulación/Eslabón 1
0
2
0
3 4
0,4
π/2
Q1
0
π/2
Q2
0
0,3
0
Q3
0
0,15
0
0
La forma general de la matriz Ai es:
cos cos s i n si n s i n c os cos sin = sin 00 cossi n0 cos sincos 0 1 cos = 0 sin = 1 cos 0 si n 0 0 = sin00 10 0 cos 00 0,14 cos 0 si n 0 = sin00 00 0 cos10 01 0 cos si n 0 0 = sin00 cos00 100 0,013 1 0 0 0 = 000 100 1000,1015
Teniendo en cuenta lo anterior, y considerando que
y
reemplazan los valores para cada una de las articulaciones, y se tiene:
, se
La matriz de transformación T se obtiene de la siguiente manera
=
Teniendo en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo, se resuelve de la siguiente manera:
cos 0 si n 0 cos 0 si n 0 0 si n 0 cos 0 = sin00 10 0 cos 00 0,14 00 00 10 01 cos cos cos si n + s i n 0 0 n cos 0,04 = sinsin0cos 000 sin sicos 0 1 cos si n 0 0 1 0 0 0 = sin00 00cos 100 0,013000 100 1000,1015 cos si n 0 0 si n = 00 cos00 010 0,0145
=cos cos 0 cos sin + sin 0 cos sin 0 0 n cos 0,04sin0 cos0 01 0,045 = sinsin0cos 000 sin sicos 1 0 0 0 1 0 cos cos cos 0, 4 5(cos si n + si n ) cos cos si n cos si n + s i n n cos 0,45(si0,n45cos sin +0,cos4 ) = sinsincos0cos cos sisinncos0 sinsin sin sicos 0 1 Verificando estas matrices con MATLAB se tiene:
Para hacer esta verificación, se definen los símbolos:
12 == sisinn 3 = sin 1 = cos 2 = cos 3 = cos
CONCLUSIONES •
El orden de las operaciones matriciales es importante, ya que hacerlas de una manera diferente puede dar resultados equivocados, teniendo en cuenta que las operaciones entre matrices no son conmutativas.
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El método de Denavit-Hartemberg permite estudiar la cinemática de robots industriales con múltiples grados de libertad.
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Con la ayuda de las matrices de transformación homogénea podemos representar la localización en posición y orientación de un robot, teniendo en cuenta que las articulaciones de un robot se orientan en cualquiera de los 3 ejes: x, y o z.
BIBLIOGRAFIA
Barrientos, A., Peñin, L. F., Balaguer, C., & Aracil, R. (2007). Fundamentos de robótica . Segunda Edición. Pags1 a 63. McGraw-Hill, Interamericana de España. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1056609 7 Saha, S. K. (2000). Introducción a la Robótica. McGraw-Hill Interamericana. Pags 52 a
75.
Recuperado
de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1051517 9 Arnaez, E. (2015). Enfoque práctico de la teoría de robots: con aplicaciones de Matlab. Lima, PERÚ: Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC). ProQuest ebrary. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11127145
