TEORÍA DE NÚMEROS Unidad 3: Grafos y árboles
POR
GRUPO 551120_
TUTORA: Janeth Franco
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Licenciatura en Matemáticas Mayo 2018
Unidad 3: Grafos y árboles Algunas actividades donde se utiliza la teoría de grafos es:
Planificación de proyectos Una de las primeras aplicaciones por ordenador de los grafos estaba relacionada con la planificación de proyectos. Un grafo con aristas dirigidas es una forma natural de describir, representar y analizar proyectos complejos que consten de muchas actividades relacionadas entre sí.
Sistemas de tráfico Una herramienta de uso frecuente por parte de quienes hacen diseños urbanísticos y de transportes es la simulación por ordenador de sistemas de tráfico. Los sistemas que se modelan van desde las redes de tráfico nacionales, a las calles de una ciudad, pasando por ciertas zonas urbanas y llegando, incluso, al tráfico existente en cierto puente o cruce de carreteras. Los modelos se utilizan para poner de manifiesto puntos negros actuales o futuros, y para sugerir y probar cambios propuestos o nuevos sistemas. Por ejemplo, en una ciudad, el sistema de calles se puede modelar como un grafo en el cual los cruces se representan como vértices, y los segmentos de calle existentes entre cruces son las aristas. Las calles de doble sentido se representan como aristas no dirigidas, mientras que las calles de dirección única se representan mediante aristas dirigidas.
Redes de ordenadores
Una aplicación más reciente de los grafos es el modelado de redes de ordenadores. En la representación de una red mediante un grafo, los ordenadores o dispositivos periféricos están representados por vértices y, las líneas de comunicación por las aristas. Los grafos son una herramienta importante que nos permitirí a modelar estas redes con el objetivo de, por ejemplo, mejorar su fiabilidad, obtener redes más eficientes, etc.
Tomado de https://www.google.com.co/?gfe_rd=cr& ei=a0jfVZrE O4K T gXr yLyI Aw& gws_rd=ssl#
PREGUNTAS INICIALES (Iniciar la Participación en el foro Colaborativo): I.
El tema de la teoría de grafos comenzó en el año 1736 cuando el gran matemático Leonhard Euler publicó un documento presentando la s olución del siguiente rompecabezas:
La ciudad de Königsberg en Prusia (ahora Kaliningrado en Rusia) fue construida en un punto donde dos ramas del río Pregel vienen juntas. Consistía en una isla y algunas tierras a lo largo de las orillas del río. Estas se conectaron por siete puentes, como se muestra en la figura. La pregunta es: ¿es posible que una persona dé un recorrido por la ciudad, comenzando y terminando en la misma ubicación y cruzando cada uno de los siete puentes exactamente una vez?
En su artículo original, Euler no necesitaba el c amino para iniciar y terminar en el mismo punto. Sin embargo, se simplifica el análisis del problema mediante la adición de esta condición. Más adelante en esta sección, analizamos caminos que comienzan y terminan en diferentes puntos.
Tomado de E PP, S usanna. “matemáticas Discretas con aplicaciones”. Editorial Cengage Learning. Mexico 2012 pág. 642 II. Conteste las siguientes preguntas: 1) ¿Qué puede decir de dos vértices en un árbol con r aíz que tienen los mismos ancestros? 2) ¿Qué puede decir de un vértice en un árbol que no tiene ancestros? 3) ¿Qué pude decir de dos vértices en un árbol con ra íz que tienen un descendiente en común?
1. Completar los espacios vacíos con la palabra correcta: a) Un grafo consiste de dos conjuntos finitos: vértices y aristas donde cada arista está asociada con un conjunto compuesto de arcos b) Un bucle en un grafo es
toda arista de la forma
(v, v).
c) Dos aristas distintas en un grafo son paralelas si y sólo si, _____. d) Dos vértices se denominan adyacentes si y sólo si están unidos por una arista e) Una arista está incidiendo sobre dos vértices de un grafo. f) Dos aristas que inciden en el mismo punto extremo son lazos. g) Un vértice en el que no hay aristas que sean incidentes es un vértice aislado h) En un grafo dirigido, cada arista está asociada con arcos
i) Un grafo completo de n vértices es un grafo simple j) Un grafo completo de n vértices es un grafo re gular
2. Para cada uno de los grafos en los siguientes ejercicios: a) b) c) d) e) f) g) h)
a)
Determine todas las aristas que inciden en Encuentre todos los vértices adyacentes a
3.
c)
d)
.
3.
.
b)
3..
Determine todas las aristas que inciden en Encuentre todos los vértices adyacentes a Determine todos los bucles. Busque todas las aristas adyacentes a Encuentre todas las aristas paralelas. Encuentre todos los vértices aislados. Determine el grado de Encuentre el grado total del grafo.
Determine todos los bucles. Busque todas las aristas adyacentes a
.
Grafo 1
Grafo 2
, ,3
Las aristas que inciden en
Las aristas que inciden en
3 6,7 ,3 :
Los vértices adyacentes a
Los bucles son
Las aristas que se relacionan en
, 4, 3
3 , 3,4,7 6,7 ,
Los vértices adyacentes a
Los bucles son
Las aristas que se relacionan en
e)
f)
Encuentre todas las aristas paralelas. Encuentre todos los vértices aislados.
g)
h)
3.
4,
Las arista paralelas son:
El vértice aislado es
4
Determine el grado de
En este grafo el grado de
Encuentre el grado total del grafo.
El grado de este grafo es 14 y está determinado por el número de aristas multiplicado en 2
3 = 2
4, 8,9
Las arista paralelas son:
El vértice aislado es
En este grafo el grado de
6 3 = 5
El grado de este grafo es 20 Y se da por el número de aristas multiplicado por 2
, ,3,4,
3. Dibujar el grafo que cumple con: a) El grafo G tiene el conjunto de vértices y el conjunto de aristas , con la función de punto extremo-arista definida como sigue:
, ,3,4 Grafo G:
, ,3,4
, ,3,4,
b) El gafo H tiene el conjunto de vértices y el conjunto de aristas , con la función de punto extremo-arista definida como sigue:
Grafo H:
4. Resuelva los siguientes ejercicios. a) Encuentre los grafos dirigidos que tienen las siguientes matrices de adyacencia.
b) Determine las matrices de adyacencia para los siguientes grafos (no dirigidos).
5. Responder de acuerdo al árbol. a) Encuentre los padres de c y h. RTA: Los padres de C es A y padres de H es C b) Encuentre los ancestros de c y j. RTA: Ancestro de C es A Y ancestro de J es F, B y A c) Encuentre los hijos de d y f. RTA: Hijos de D es I y
hijos de F es J
d) Encuentre los descendientes de l. RTA: I no tiene descendientes e) Encuentre los hermanos de D y G. RTA: Hermanos de D es E y F y
hermanos de G es H
f) Encuentre los vértices terminales. RTA: Vértices terminales: I, E, J, G, K, L . (no tienen hijos) g) Encuentre los vértices internos. RTA: Vértices internos: A, B, D, F, C, H.
6. Encuentre las matrices adyacentes para los siguientes grafos:
7. Encuentre las matrices adyacentes para los siguientes grafos: A) Matriz grafo dirigido:
0{1 10 10} 000
B) Matriz grafo dirigido
10 00 11 00 10 00 01 10
8. Determine si cada par de grafos es isomorfo: a)
() = ,,3,4, () = (,)(, )(,3)(3, 4)(4, ) ((∗∗)) == (,, ,)(3,4,,)( , )( , )( , ) 3 4 4 3 ∗ (,) ∈ () ( () , 3) (,)∈ () ( () , 4) (,3)∈ () ( (3) ,4) (3,4) ∈ () (3 (4) ,) (4,) ∈ () ( () 3,) −∗ ,3)∈ (∗) − − (3) 3 ,4) )∈ (∗) − − (4) , ,4)∈ (∗) − − (4) ,3 ,)∈ (∗) − − () 3, 4 3,)∈ (∗) − 3 − () 4,
Veamos si toda arista de G es una arista
después de aplicarle la función F.
∈ ( ∗ ) ∈ (∗) ∈ (∗) ∈ ( ∗ ) ∈ ( ∗ )
La arista
a
y
),
=(
también a
La arista
a
y
),
=(
también a
La arista
a
y
),
=(
también a
La arista
a
y
),
=(
también a
La arista
a
y
),
=(
también a
∈ ( ∗ ) ∈ (∗) ∈ ( ∗ ) ∈ ( ∗ ) ∈ (∗)
Hasta este punto hemos probado que si es una arista de G entonces es también un arista de . Ahora debemos demostrar el reciproco usando la inversa de la función , es decir
La arista (
a
y
La arista (
La arista (
a
y
(
),
=(
) también a
La arista (
a
y
(
),
=(
) también a
La arista (
a
y
(
),
=(
) también a
a
(
y
),
(
=(
),
=(
,
) también a
) también a
() () == (,,,)(3,,4,)( , )( , )( , )( , )( , )( , ) 3 4 3 34 3 4 ((∗∗)) == (,, ,)(3,4,,)( , )( , )( , )( , )( , ) 3 4 34 4
Los grafos no pueden ser caracterizados como isomorfos, porque, aunque tienen 5 vértices no tienen las mismas aristas.
9. La siguiente es una matriz de adyacencia para un grafo: Responda las siguientes preguntas mediante el examen de la matriz y sus potencias, no dibuje el grafo:
3? 3? 3 4 3 4 4 4 3 3
a) ¿Cuántos caminos de longitud 2 existen de RTA: Existe un camino de longitud 2 de
y
y
b) ¿Cuántos caminos de longitud 2 existen de RTA: Existe un camino de longitud 2 de
y
y
c) ¿Cuántos caminos de longitud 3 existen de RTA: No existe caminos de longitud 3 de
?
.
y
?
y
d) ¿Cuántos caminos de longitud 3 existen de RTA: Existe un camino de longitud 3 de
.
y
y
?
