Universidad Distrital Distrit al Francisco rancisc o Jos´e de Caldas Primer examen parcial Nelson Javier Deaza Triana. Variable Compleja. Primer semestre 2017 Tiemp o Limite: 120 Minutos
Nombre: C´ odigo odigo :
Este examen consta de 5 grupos de preguntas, responda cada una seg´un un corresponda. Para un total de 50 puntos. Solo para uso del profesor: Ques Questi tion on Poin oints Scor Scoree 1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Total:
50
1. (10 points) p oints) Seleccione uno de los siguientes ejercicios y resu´elvalo. elvalo.
√ √ − √ √ ÷ 2
(a) (b)
2+ 1+
1 + i 1 + 3i
6i 3i
2
(c)
√ (1 + 2i)
2
(d)
2
√ − − − √ ∗ i
1+
−
2i
1 + i 1 + 2i
(1 + i)3
2
(1 + i)3
2. (10 points) p oints) Seleccione dos de los siguientes ejercicios y resu´elvalos. elvalos. (a) Encuent Encuentre re todas las soluciones soluciones de la ecuaci` ecuaci`on on w2 = ( 1 + i)5 .
− √ (b) Resuelv Resuelvaa la ecuaci´ ecuaci´on on cuadr´ cua dr´atica ati ca z + 2z − 3i = 0 2
(c) Mostrar Most rar que s´ı w es una Raiz cubica de la unidad, se cumple 1 + w + w 2 = 0
(d) Encontrar Encontrar todas las soluciones soluciones de la ecuaci´ ecuaci´on on z 4 + 1 = 0 3. (10 points) p oints) Seleccione dos de los siguientes ejercicios y resu´elvalos. elvalos. (a) Describa Describa los puntos del plano complejo complejo que satisface satisfacen n I m(z 2 ) = 2 (b) Describa Describa los puntos puntos del plano complejo complejo que satisface satisfacen n Re(z 2 ) > 0 (c) Realice la gr´afica afica de z + + z = = 2 (d) Indicar Indicar el conjunto conjunto de los pun puntos tos de acumulaci´ acumulaci´on on de S , donde S = z
{ ∈ ∈ C | | 2 < Re(z − 1) < 4}
4. (10 points) p oints) Seleccione dos de los siguientes ejercicios y resu´elvalos. elvalos. (a) Muestre que para todo z 1 y z 2 , n´umeros umeros complejos se cumple: z 1
|| − z | | ≥ |(||z ||−||z ||)|.
1
2
1
2
Variable Compleja.
Examen 1 - Page 2 of 2
03/2017
|| | | ≤ |Re(z )| + |Im(z )| ≤ √ 2||z ||.
(b) Pruebe que z
(c) Muestre que s´ı z 0 es una ra´ız del polinomio P (z ) con coeficientes reales, entonces z 0 es tambi´en una ra´ız de P (z ). 5. (10 points) En este problema encontraremos la imagen de la recta x = 1 bajo la funci´on compleja 1 w = . z
(a) La recta x = 1 consta de todos los puntos z = 1 + iy donde < y < . Encuentre la parte 1 real y la parte imaginaria u y v de f (z ) = en un punto z = 1 + iy sobre esta recta.
−∞
∞
z
(b) Mostrar que
− u
1 2
2
1 + v 2 = para funci´on u y v de la parte ( a) 4
(c) Basado en la parte ( b) describa la imagen de la recta x = 1 bajo la funci´on compleja w =
1
.
z
(d) ¿Existe un punto sobre la recta x = 1 cuya imagen sea 0? ¿quiere modificar su descripci´on de la imagen hecha en c?
