Profesor: Claude A Ewert
Examen Parcial Parcial No 1 – Solución del profesor profesor
Historia y primeros Postulados
NOTA Presentación:
(10%)
Trabajo:
(90%)
GLOBAL
11 de junio de 2013
NOMBRE ________________________________________ CÓDIGO___________
1. Considere Considere una radiació radiación n electromagn electromagnétic ética a cuya longitud longitud de onda es de 325 nm. Determine Determine la frecuenfrecuencia, el número de onda, y la energía. Establezca también también el momento lineal lineal de sus fotones. Se tiene una determinada radiación electromagnética, caracterizada por un valor particular de su longitud de onda, la distancia que cubre un ciclo de la onda. Las ondas también se pueden caracterizar por otras propiedades, propiedades, todas relacionadas entre sí. Por ejemplo, la frecuencia, frecuencia, el número de oscilaciones completas completas que hace la onda viajera en un segundo, el número de onda (el inverso de la longitud de onda, es decir el número de oscilaciones completas en una unidad de longitud) o la energía, que de acuerdo con la hipótesis hipótesis de Planck es proporcional a la frecuencia frecuencia de la onda. En la formulación moderna de la mecánica cuántica, la energía de la onda corresponde a la energía que cada uno de sus fotones componentes posee in dividualmente. Desde este punto de vista, vista, en el que se hace énfasis en la naturaleza naturaleza corpuscular, corpuscular, también es entonces posi posi ble describir la onda indicando el momento lineal de sus fotones. Esta cantidad se relaciona directamente con la longitud de onda mediante la expresión de la dualidad onda-partícula de De Broglie. Así, las cantidades indicadas se pueden determinar todas a partir de la longitud de onda de la onda en particular: a) Frecuen Fre cuencia cia : La relación entre la frecuencia y la longitud de onda es de proporcionalidad inversa, siendo la velocidad de propagación la constante de proporcionalidad:
ν =
c
λ
Utilizando el valor de la velocidad de la luz en el vacío (constante definida y por lo tanto exacta 1), puesto que se trata de una onda electromagnética, la frecuencia frecuencia de una onda de 325 nm de longitud de onda es: −1
ν =
299 792 458 m s 14 −1 9,224 383 323 323×10 s = 9,2 1m 325 nm × 9 10 nm ν ≈ 9,22 ×1014 s−1
b) Número de onda: Como se dijo, el número de onda es el inverso de la longitud de onda; el cálculo es entonces directo:
ν =
1
λ
=
1 −9
325 ×10
ν ≈
−1 6 3,076 923 077×10 m = 3,0
m −1 6 3,08×10 m
c) Energía: A través de la relación de Planck, y del valor aceptado de la constante de Planck, se obtiene la energía de los fotones de la onda electromagnética a partir de su frecuencia, la cual ya fue calculada en a):
E
−34 − 19 14 − 1 626 069 57×10 J s × 9,224 224 383 323×10 s = 6,112 112 140 564×10 J = h ν = 6,626 −19 E ≈ 6,11 ×10 J
d) Momento lineal del fotón: Se está hablando de una onda electromagnética electromagnética pero se indaga por una propiedad propiedad corpuscular. corpuscular. Ello es posible única y exclusivamente dentro dentro del marco de la hipótesis de la dualidad onda-partícula onda-partícula que propuso De Broglie. El momento lineal de la partícula que corresponde a una determinada onda es inversamente inversamente proporcional a la longitud de onda, siendo la constan te de Planck la constante de proporcionalidad:
1
The NIST Reference on Constants, Constants, Units Units and Uncertainty Uncertainty,, Physical Measurement Measurement Laboratory Laboratory.. NIST. NIST. CODAT CODATA 2 010. 010. Disponible en http://physic http://physics.nist.gov/cuu/C s.nist.gov/cuu/Constants/index.h onstants/index.html tml;; (Acceso: (Acceso: 21 julio 2 012).
Nombre___________________________________________________________ Examen Parcial de IQC - O1
λ =
h p
−34
h
⇒ p = λ =
6,626 069 57×10 J s = 2,038 790 637 −9 325×10 m − 27 −1 p = 2,04 ×10 kg m s
× 10−27 kg m s−1
a) ν = 9,22×1014 s-1 b) ν = 3,08×106 m-1 c) E = 6,11×10-19 J d) p = 2,04×10-27 kg·m·s-1
2. Cualquier perturbación que se propaga en un medio puede representarse mediante la ecuación:
Φ( x , t ) = Asen a) Identifique las cantidades A
λ
,
,
( π( λ − ν )) x
2
t
y ν en la anterior expresión.
b) La anterior expresión es solución de la “ecuación clásica no dispersiva de ondas”, que relaciona la segunda derivada con respecto al desplazamiento con la segunda derivada del tiempo mediante la velocidad de propagación, υ, que se convierte en el cociente entre la frecuencia angular, ω , y el vector de ondas, k : υ = ω / k . Obtenga la ecuación clásica de ondas. a) Identifique las cantidades A
λ
,
,
y ν en la anterior expresión.
La ecuación que representa la magnitud de la perturbación transversal en función de la posición y del tiempo en forma simultánea, la función de onda, contiene unos parámetros que determinan sus características particulares: A : Es la am plitud de la onda, en la medida en que determina la escala de la variación de la ordenada, es decir la magnitud del máximo desplazamiento transversal en la dirección positiva o en la dirección negativa. Corresponde al máximo desplazamiento de la oscilación. λ : La longitud de onda es la distancia, en el eje de propagación de la onda, en la que se cumple una osci lación completa. Al dibujar la onda, corresponde a la distancia entre dos máximos consecutivos o dos mínimos. ν : La frecuencia, que determina el número de oscilaciones que se producen en una unidad de tiempo. b) La anterior expresión es solución de la “ecuación clásica no dispersiva de ondas”, que relaciona la segunda derivada con respecto al desplazamiento con la segunda derivada del tiempo mediante la velocidad de propagación, υ, que se convierte en el cociente entre la frecuencia angular, ω , y el vector de ondas, k : υ = ω / k . Obtenga la ecuación clásica de ondas. Si la ecuación de ondas es la relación entre las segundas derivadas del desplazamiento transversal en función del tiempo y del espacio, entonces hay que determinar las correspondientes expresiones, derivando dos veces sucesivas la función de onda, con respecto al tiempo y con respecto al espacio. A continuación se presenta el desarrollo en cada caso.Al derivar la función de onda dos veces con respecto a x :
( π( λ − ν ))] = π ( π ( − ν )) ∂Φ = [ λ λ ∂ ∂ π ∂[ λ ( π( λ − ν ))] = −( π ) ( π ( − ν )) ∂Φ = ∂ A sen
x
t
2
A cos
x
2
A cos
2
∂x
x
2
x
2
t
x
t
2
2
A sen
λ
∂x
2
2
x
2
t
λ
De donde:
(
)
2 1 ∂ A sen 2 π ( − ν t ) = − Φ2 λ ∂ x 2 π λ
x
( )
2
2 1 ∂ = − Φ2 2 ∂ x k
Del mismo modo, al derivar la función de onda dos veces con respecto al tiempo, se obtiene:
∂Φ = ∂ t 2
∂Φ = ∂ t 2
Documento de 9 páginas.
∂
[
2
[ ( π( λ − ν ))] =
∂ A sen
x
2
t
∂ t
π ν A cos
2
π ν A cos
( π( λ − ν ))] = −( 2
∂ t
x
t
2
2
( π( λ − ν )) 2
π ν ) A sen
x
t
( π( λ − ν )) 2
x
t
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Nombre___________________________________________________________ Examen Parcial de IQC - O1 Por lo que:
(
)
2 2 1 1 ∂ Φ ∂ A sen 2 π ( − ν t ) = − 2 = − Φ2 2 2 λ ∂ t ( 2 π ν ) ∂ x ω
x
Como el miembro de la derecha en ambas derivadas es el mismo se puede establecer la igualdad: 2
2
1 1 −∂ Φ = −∂ Φ ¿ ∂ x k ∂ t ω ∂ Φ = ω ∂ Φ k ∂ x ∂ t ∂Φ = υ ∂Φ ∂ t ∂ x ∂ Φ = 1 ∂ Φ ∂ x υ ∂ t 2
2
2
2
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
La última ecuación se conoce con el nombre de ecuación clásica no dispersiva de ondas.
a) A: amplitud 2 ∂ Φ = 1 b) ∂ x 2 υ2
λ: longitud de onda ν : frecuencia 2
∂Φ ∂ t 2
3. Se efectuó un experimento fotoeléctrico dirigiendo un láser de 450 nm (luz azul)y un láser de 560 nm (luz amarilla), por separado, hacia una superficie metálica. También se midió la cantidad de electrones expulsados y su energía cinética. Suponga que a la superficie metálica llegan iguales cantidades de fotones de cada láser y que la frecuencia de las radiaciones usadas es mayor que la frecuencia umbral de la placa metálica a) ¿Cuál luz generó más electrones? b) ¿Cuál luz generó electrones con mayor energía cinética? El efecto fotoeléctrico se interpreta considerando que, además de su naturaleza ondulatoria, la luz tiene una naturaleza cor puscular. La interacción entre la radiación electromagnética y la materia podría considerarse como un caso de colisión en tre partículas, de manera que la energía del fotón es comunicada al electrón. Si la energía que recibe el electrón en dicha interacción es mayor que la mínima energía necesaria para superar la fuerza de atracción que el núcleo ejerce sobre el elec trón, entonces éste último se convierte en una partícula libre, cuya energía cinética corresponde al excedente de la energía suministrada por el fotón.
a) Número de electrones emitido: El experimento se lleva a cabo con dos radiaciones de longitudes de onda diferentes pero con la misma intensidad. La in tensidad de la radiación está relacionada con el número de fotones que son irradiados por unidad de tiempo, por lo que el número de fotones incidentes es el mismo. Como el efecto fotoeléctrico es el resultado de una colisión entre un fotón y un electrón, el número de electrones depende de la intensidad de la radiación incidente. Se puede entonces concluir que el número de electrones emitidos por unidad de tiempo debe ser el mismo para ambas radiaciones.
b) Energía cinética de los electrones emitidos: La relación entre longitud de onda y frecuencia en una onda electromagnética es inversa. Así que la radiación azul es más energética que la radiación amarilla. Ambas son capaces de generar el efecto fotoeléctrico, es decir que la energía suministrada por el fotón es mayor que la función trabajo en ambos casos. Eso significa que la radiación azul va a suministrar una mayor cantidad de energía excedente que la radiación amarilla, por lo que la energía cinética de los electrones expulsados por el láser azul debe ser mayor que la energía cinética de los electrones expulsados por el láser amarillo.
a) El mismo b) Mayor energía cinética con láser azul.
4. Un electrón de un átomo de hidrógeno excitado puede regresar al estado fundamental de dos maneras: por una transición directa, donde se emite un fotón de longitud de onda λ 1, y la segunda es por un estado excitado intermedio con emisión de un fotón de longitud de onda λ 2. Este estado excitado intermedio decae después al estado fundamental, emitiendo otro fotón de longitud de onda λ 3. Deduzca una relación funcional de Documento de 9 páginas.
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Nombre___________________________________________________________ Examen Parcial de IQC - O1 λ 1 con λ 2 , y λ 3. El electrón de un átomo de hidrógeno puede exhibir únicamente ciertas energías, com patibles con ciertas órbitas circulares según el modelo de Bohr. En la medida en que un electrón excitado, en un estado de alta energía, correspondiente a una órbita lejana del núcleo, pierde esa energía, salta a una órbita más cercana. En ese proceso emite radiación electromagnética cuya frecuencia corresponde a la diferencia de energía existente entre las dos órbitas, como lo expresa la relación de Planck. El enunciado hace referencia a dos posibles procesos mediante los cuales ocurre esa pérdida de energía: en una sola etapa, o en dos etapas, permaneciendo un tiempo en una órbita intermedia. Un diagrama de niveles de energía (las energías correspondientes a cada una de las órbitas) ilustra más claramente ese cambio, tal como se presenta en la figu ra 1. Del diagrama resulta evidente que la diferencia de energía que corresponde al primer modo de desactivación, el paso del nivel superior E c al nivel inferior E a, es igual a la suma entre las diferencias de energía de los saltos en el segundo proceso por etapas, pasando por el nivel intermedio E b:
Figura 1: Niveles de energía del electrón en el átomo de hidrógeno.
Δ E = Δ E + Δ E
Esta relación puede establecerse en términos de las frecuencias de la radiación emitida, a través de la ecuación de Planck:
h ν1
= h ν2 + h ν 3
O sea:
ν1 = ν 2 + ν 3 Puesto que la frecuencia y la longitud de onda de cierta radiación electromagnética son inversamente proporcionales, la re lación puede haora escribirse en términos de las longitudes de onda de las radiaciones involucradas:
1
λ1
=
1
λ2
+
1
λ3
Entonces, la relación entre las tres longitudes de onda viene a ser:
λ1 =
λ2 × λ 3 λ 2 + λ3 λ1 =
λ2 × λ 3 λ 2 + λ3
̂ es el operador diferencial, con respecto a x , y 5. Evaluar las siguientes expresiones sabiendo que D una constante. a)
( D̂ + 5̂ ) ( x 2 −
b)
̂ D̂ N
c)
̂ N ̂ D
N es
3x )
̂ y D̂ operadores conmutativos? d) ¿Son N e) ¿Son x̂
a)
̂ operadores conmutativos? y D
( D̂ + 5̂ ) ( x − 2
3
x)
El primer término de la anterior expresión corresponde a un operador, suma de dos operadores. El primero de los dos opê . La instrucción que contiene es multiplicar radores es el operador diferencial, mientras que el segundo es el operador 5 la función sobre la que opera por 5. El segundo término de la expresión es la función sobre la cual debe operar el operador que la precede. Lo primero que debe resolverse es la suma de los dos operadores. Por definición, la suma de dos operadores equivale a la suma de cada uno de los operadores operando sobre la función de manera independiente. Entonces la expresión se separa en dos términos separados de un operador operando sobre la función suministrada:
( D̂ + 5 ) ( x 2 −
3 x)
= D̂ ( x 2 − 3 x ) + 5̂ ( x 2 − 3 x )
cada una de las cuales debe desarrollarse por separado:
(
̂ x 2 - D -
̂ ( x 2 ) − D̂ ( 3 x ) = 2 x − 3 − 3 x = D 2 2 2 5̂ ( x − 3 x ) = 5̂ ( x ) − 5̂ (3 x ) = 5 x − 15 x
Al reunir lo dos términos de la expresión desarrollada, se obtiene el resultado final de la evaluación del operador sobre la Documento de 9 páginas.
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Nombre___________________________________________________________ Examen Parcial de IQC - O1 función especificada:
̂ D
+ 5̂ ) ( x 2 − 3 x = 2 x − 3 + 5 x 2 − 15 x = 5 x 2 −13 x − 3
̂ D̂ b) N ̂ , cuyas instrucciones corresponden a mulEsta expresión corresponde a un producto de dos operadores: el operador N tiplicar el operando por el valor constante N , y el operador diferencial. Por definición, la multiplicación de operadores se define como la aplicación sucesiva, en el orden de derecha a izquierda, de los operadores sobre la función; Entonces, el ̂ D̂ corresponde a tomar primero la derivada de la función sobre la que opera, y ese resultado debe poste producto N riormente multiplicarse por N . Si se toma una función cualquiera f(x), entonces la aplicación del producto señalado conduce a:
[
]
̂ D̂ [ f ( x )] = N ̂ D̂ ( f ( x )) = N ̂ ( f ' ( x )) = N f ' ( x ) N ̂ N ̂ c) D Se trata de un producto de dos operadores, lo que implica la aplicación sucesiva, de derecha a izquierda, sobre la función operando de cada uno de los operadores individuales. El operador de la derecha, el que primero actúa sobre la función, es ̂ , el cual significa multiplicar por N el operando. A ese resultado, hay que tomarle la derivada con respecel operador N to a la variable. Si se actúa sobre una función cualquiera, f(x), el resultado es:
̂ N ̂ [ f ( x )] D
̂ [ N ̂ ( f ( x ) ) ] = D̂ ( N f ( x )) = N f ' ( x ) = D
puesto que el operador diferencial no tiene efecto sobre las constantes.
̂ y D̂ operadores conmutativos? d) ¿Son N ̂ D̂ y D̂ N ̂ sobre una función no definida f(x), se concluye que el orden Al observar la aplicación de los productos N de aplicación de los dos operadores no tiene influencia alguna sobre el resultado, puesto que el operador diferencial no afecta a las constantes. Por ello, no importa multiplicar primero por la constante, y luego derivar, o derivar primero y luego ̂ , y los operadores N ̂ y D̂ son conmutativos. multiplicar por la constante. El conmutador vale 0 ̂ operadores conmutativos? e) ¿Son x̂ y D Para determinar si dos operadores son conmutativos, hay que evaluar el conmutador, que corresponde a la diferencia de los dos posibles productos de los operadores:
[( x̂ D̂ )
− ( D̂ x̂ ) ]
La evaluación del conmutador se facilita si se hace explícita la función sobre la que cada producto de operadores se halla operando; sea f(x) dicha función: -
[ x̂ D̂ ] f ( x ) = [ x̂ ] D̂ f ( x ) = [ x̂ ] f ' ( x ) = x f ' ( x ) [ D̂ x̂ ] f ( x ) =[ D̂ ] ( x̂ f ( x )) = [ D̂ ] x f ( x ) = f ( x ) +
x f ' ( x )
El resultado difiere en la función f(x), por lo que el conmutador no se anula:
[( x̂ D̂ )
− ( D̂ x̂ ) ] f ( x ) = x f ' ( x ) − f ( x ) − x f ' ( x ) = − f ( x ) ≠ 0 ̂ no son conmutativos. Por consiguiente los operadores x̂ y D a) 5 x 2 – 13 x – 3
b) Nf '( x )
c) Nf '( x )
6. ¿Cuál de las siguientes funciones es una función propia del operador que. a)
k
b)
kx
c)
sen kx
d)
e
kx
e)
e
ikx
d) Si
e) No
̂ siendo k una constante? Expli D
2
2
a) k
Documento de 9 páginas.
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Nombre___________________________________________________________ Examen Parcial de IQC - O1
̂ k : La operación que debe realizarse es tomar la derivada del operando, en este caso una constante. La derivada de D una constante es 0. El resultado es 0. Pero 0 puede escribirse de formas poco convencionales como por ejemplo 0 k . En ̂ k = 0 k puede considerarse como una ecuación de valor propio, puesto que la operación devuelve la funese caso D ción (una constante k en este caso) multiplicada por otra constante, 0 en este caso. La f unción k si es entonces una función propia del operador diferencial.
b) kx
̂ kx D
2
2
: En esta caso el operando es una función de la variable. Al tomar la derivada de la función, se obtiene como
resultado 2 kx . Aparece una constante, pero la función ahora es diferente puesto que ya no se halla al cuadrado. La 2 función kx tampoco es función propia del operador diferencial.
c) sen kx
̂ sen kx : El operando es ahora la función trigonométrica D
sen kx . La derivada de la función sinusoidal es la función coseno. De manera que la operación no deja la función original, y no es función propia del operador diferencial.
d) e
̂ e D
kx
2
kx
2
: La derivada de la función exponencial sigue siendo la función exponencial. Falta entonces multiplicar por la
derivada interna del exponente. El resultado de llevar a cabo la operación es entonces:
kx
2 kx e
2
Como la derivada in-
terna incorpora de nuevo la variable, se modifica la función original y por consiguiente ella no es función propia del opera dor diferencial.
e) e
̂ e D
ikx
ikx
: De nuevo, la derivación de una función exponencial arroja otra vez la misma función exponencial. Pero, hay que multiplicar la función por la derivada interna, que en este caso es una constante imaginaria. El resultado final es entonces una constante imaginaria que multiplica la función original. La ecuación así constituida es una ecuación de valor pro pio, y la función es función propia del operador diferencial:
̂ e D
ikx
= ik e ikx a) Si
7. Evaluar la siguiente expresión
[ x̂ , p̂ ] x
b) No c) No d) No e) Si
. Puede ayudarse usando la función
Ψ( x ) = Asen
nπ x b
.
Se trata de evaluar el conmutador de los operadores x̂ y p̂ x , operadores de la mecánica cuántica. La función corres ponde a una de las funciones de onda de la partícula en la caja unidimensional, lo que permite considerar el caso particular de estos operadores en un problema específico, pero realmente no es necesario disponer de una función en particular. En el desarrollo que se muestra a continuación se tendrá en cuenta la función pero se mostrará más adelante que no es realmente necesario, por que las instrucciones correspondientes a cada operador no dependen de la función que se use como operan do. El operador x̂
es el operador posición, y la instrucción que conlleva es la de multiplicar el operando por la variable x .
El operador p̂ x es el operador de momento lineal, que en mecánica cuántica tiene la siguiente definición:
p̂ x
= −i ℏ ∂ ∂ x
por lo que las instrucciones son obtener la derivada parcial con respecto a la variable x , y multiplicar el resultado por el factor −i ℏ - Producto x̂ p̂ x : Primero hay que evaluar la derivada parcial de la función con respecto a la variable x . De acuerdo con las reglas normales de derivación se obtiene:
∂ Asen ( n π x ) = A ( n π )cos ( n π x ) ∂ x b b b Esta nueva función debe ser multiplicada por el factor −i ℏ : Documento de 9 páginas.
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p̂ x A sen (
nπ x) b
= − i ℏ A(
Finalmente, a este resultado se le aplica el operador x ̂
[ x̂ p̂ x ] Asen (
̂ - Producto p̂ x x
nπ nπ ) cos( x) b b
, que consiste en multiplicar por la variable x :
nπ x) b
= −i ℏ A x (
nπ nπ )cos ( x) b b
:
En esta oportunidad, el primer paso consiste en multiplicar el operando por la variable x :
x̂ Asen (
nπ x) b
= A x sen (
nπ x) b
Al resultado de esta primera operación, ahora hay que tomar la derivada parcial con respecto a la variable x :
∂ A x sen ( n π x ) = A x ( n π ) cos( n π x ) + A sen ( n π x ) b b b b ∂ x Entonces, la aplicación del segundo operador produce el resultado:
)
) )
nπ = −i ℏ ∂ A x sen ( x ) b ∂ x nπ nπ nπ = −i ℏ A x ( ) cos( x ) + sen ( x )
p̂ x A x sen (
nπ x) b
(
Por lo que el producto p̂ x x̂
b
b
b
aplicado a la función dada genera:
n n n n [ p̂ x x̂ ] A sen ( π x ) = −i ℏ A x ( π ) cos ( π x ) − i ℏ A sen ( π x ) b
b
b
b
Establecidos lo dos términos del conmutador, se procede al cálculo de la diferencia:
[ x̂ , p̂ x ] A sen (
nπ x) b
nπ x) b
(
)
nπ nπ nπ nπ nπ x) ) cos ( x ) − −i ℏ A x ( )cos ( x ) − i ℏ A sen ( b b b b b nπ nπ nπ nπ nπ −i ℏ A x ( ) cos( x ) + i ℏ A x ( ) cos( x ) + i ℏ A sen ( x ) b b b b b nπ nπ [ x̂ , p̂ x ] A sen ( x ) = i ℏ A sen ( x ) b b
= −i ℏ A x ( =
= [ x̂ p̂ x − p̂ x x̂ ] A sen (
(
)
Este resultado ha podido obtenerse de manera directa, sin especificar la función sobre la cual opera el conmutador. En efecto, se trata de desarrollar aquí una pequeña variación del conmutador halla afectado por una constante.
[ x̂ , D̂ ]
en la que el operador diferencial se
La evaluación de este conmutador es directa: -
-
[ x̂ a ̂D ] f ( x ) = [ x̂ ] aD̂ f ( x ) = [ x̂ ] a ( D̂ f ( x )) = [ x̂ ] a ̂ ] ( x f ( x ) ) [ a ̂D x̂ ] f ( x ) = [ a ̂D ]( x̂ f ( x )) = [ aD ̂ ] ( x f ( x )) ) = a ( f ( x ) + x f ' ( x )) = a ( [ D [ a ̂D x̂ ] f ( x ) = a f ( x ) + a x f ' ( x )
f ' ( x ) = a x f ' ( x )
El resultado difiere en la función f(x), afectada por la constante:
̂ ) [( x̂ aD
̂ x̂ ) ] f ( x ) = a x f ' ( x ) − ( a f ( x ) + a x f ' ( x )) = −a f ( x ) − ( aD
Para el caso considerado:
f ( x )
n = A sen π x b
y
a
= −i ℏ
por lo que se obtiene el mismo resultado:
nπ nπ [ x̂ , p̂ x ] A sen ( x ) = i ℏ A sen ( x ) b
Documento de 9 páginas.
b
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nπ nπ [ x̂ , p̂ x ] A sen ( x ) = i ℏ A sen ( x ) b
1
8. Normalice la siguiente función de onda: Ψ =
,
x
b
≤ x ≤6
5
La condición de normalización exige que la integral del módulo de la función sea igual a 1, puesto que la interpretación probabilística de la mecánica cuántica parte del presupuesto que el módulo de la función de onda es una densidad de proba bilidad. El concepto estadística de probabilidad, identificado con la fracción relativa de ocurrencia de un evento que tiene varias alternativas de producirse implica que la suma de todas las probabilidades sea igual a la unidad. Por ello la integral:
∫
Ψ ✷ Ψ d τ = 1
todo el espacio
La única forma de garantizar eso con una función arbitraria es multiplicándola por una constante de manera que ahora la nueva función cumpla con la condición deseada. El hecho de modificar la función al multiplicarla por una constante, no le quita la característica de ser una función propia del operador que la produjo, ya que los operadores en mecánica cuántica son operadores lineales, de manera que la nueva función, sigue siendo función propia del operador. Sea entonces N la constante de normalización, escogida de manera tal que:
∫
✷
✷
N Ψ N Ψ d τ = 1
todo el espacio
Para la función considerada, dentro del rango de la variable para el que la función tiene existencia: 6
() () ✷
1 N x 5
∫
✷
N
1 dx x
= 1
Hay que resolver esta ecuación para N , para hallar el valor de la constante de normalización. En primer lugar, la función es real, por lo que la conjugada de la función es la misma. En segundo lugar, la propiedad conmutativa de la multiplicación permite desplazar las constantes:
( )( )
6
∫ N ✷ N x1 5
1 dx x
= 1
Ahora, el operador integral es un operador lineal, por lo que las constantes no se ven afectadas por el mismo y se pueden extraer de su ámbito de aplicación: 6
∣ N ∣ ∫ 2
5
( )( ) 1
1
x
x
6
∣ N ∣ ∫ 2
5
1
x
6
∣ N ∣ ∫ 5
=
1
1
n
, una de las formas estándar de integración:
6
1
x
dx
=
∫ x − dx
El siguiente paso es resolver la integral, que es de la forma 2
2
dx
dx 2
= ∣ N ∣ ∫ x− dx = ∣ N ∣ (−1 x− 2
2
2
1
6
)∣
5
5
Entonces, la ecuación a resolver se convierte en: 6 5 6 ∣ N ∣2 (−1 x −1 )∣5 = 1 ⇒ ∣ N ∣2 − +
30
30
= 1
∣ N ∣2 = 30 ⇒ ∣ N ∣ = √ 30 La función de onda normalizada toma entonces la forma:
Ψ = √ 30
1 x
La función de onda normalizada es
Documento de 9 páginas.
Ψ = √ 30
1
x
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Datos que tal vez puedan ser útiles: Constante de Planck: (6,626 069 57 ± 0,000 000 29) × 10 -34 J·s Velocidad de la luz: 299 792 458 m·s-1 Constante de Stefan-Boltzmann: (5,670 373 ± 0,000 021) × 10-8 W m-2 K-4 Constante de Boltzmann: (1,380 648 8 ± 0,000 001 3) × 10 -23 J·K-1 Constante de Avogadro: (6,022 141 29 ± 0,000 000 27) × 10 23 mol-1
Documento de 9 páginas.
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