M a t e m a t i c a s para computacion OSEA.
MENE
MURI
Alfaomega
Matematicas
para
computaclon
M a t e m a t i c a s para computacion
O S A L R ED ED O M EN E M UR I
Alfaomega
Conteni,do C on o n t n id id o d e
p aq aq in in a W e b d e p o o . apoy apoyo. o... ..... ...... ..... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..... ..
xvii xvii
Prefacio
IX
Sistemas numerlcos
Sistema
.3
Si
ma
bm
o, oc
1.3.1
1.3.2 1.3.3
.4
G e ne ne ra ra l z ac ac i6 i6 n
1.5.1
d e a s c on o n ve v e rs rs io io n es es . . .
..
..
..
..
..
12
Suma ...... ......... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...
14
1.5.2
1.5.3 1.5.4 .6
Division
Surna
c om om p le le me me n
24
e l s s
'1.7
Capi Capitu tulo lo II M e t o d o s
.2
2.
P r n c p le le s f un un da d a m en en ta ta le le s
conteo
d e c on o n te te o . .
..
..
..
..
..
42
2.2.1
2.2.2
Principia
me
adici6n ALFAOMEGA
CONTENIDO
.3
46
.4
52
57
2.5.1
Binomio elev elevad ad al potencia
57
2.5.2
a (
2.5.3
.6
62 64
Capi Capitu tulo lo II
Conjuntos
.2 .3 .4
.5
Operaciones
3.5.1
80
3.5.2 3.5.3 3.5.4
ci
82
ey
Complementa
3.5.5
85
3.5.6
Diferencia
3.5.7
D i f er er en en c i s im im e t nc nc a (A
El.1
.6
S im im p l c ac ac io io n d e e xp xp re re s o ne ne s u sa sa nd nd a
.7
Relaci6n entr matematica entr te ri de conj conjun unto tos, s, 16gic matematica a b
.9
Ap
3.10
3.11
ALFAOMEGA
teoria
e ye ye s d e
Cmm:NrDO
ii
L6gica matematlca .1 .2
P ro p os ic io n e
" .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .
117
4.2.1
.3
4.2.2
P ro p os ic i6 n
c on d ic io n a
4.2.3
P ro p os ic io n
b ic o nd ic io n a
Tablas de verdad...............................................................................................
4.3.1
Tautologia contradicci6n
125
co tingencia
4.3.2 4.3.3
13
.4 .5 A rg um en to s v a d o 4.6.1
validos.....................................................................
Tipos de
Demostraci6n
4.7.1
Demostraci6n
4.7.2
Demostraci6n
Predicados .9
4.10
ar el m e 47
s u v a o re s ,
Inducci6n
Aplicacion
,
la loqica
63
4.11
4.12
Algebra b o o l e a n a
.2 .3
Propiedade de la
expresiones
.4
Optirnizacion de expresiones 5.4.1
SimplificaGi6n de e xp re s o ne s del algebr
5.4.2
mp de
180 b oa le an a
mediante teoremas ma
ALFAOMWA
Vlll
CONTENlDO
.6
Resumen
20
Capltulo'V,1
Relaci.OheS
s d
.3
2.20
6.2.1
Product
c ar te s a n
6.2.2
Relaci6n binari
6.2.3
Matriz
6.2.4
Grafo
,.....................................................................
u n a r el ac i6 n
Tipos d e r el ac io n e s
6.3.1
6.3.2 6.3.3
Relacion simetrica
6.3.4
Relaci6n
6.l.5 6.3.6
.4
R e a c o ne s d e e qu iv a e nc ia , c la se s d e e qu iv a e nc i 6.4.1
Ce
O p e ra ci on e s e n tr e r el ac io n e .6
P ro p e da de s d e a s r e a c o ne s a l
6.7.1
.9
, .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. .
24 24
s u
6.7.2
L a s r el ac io n e e n l a b a se s d e d a to s .. .. .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. .
6.B.l
Composicion
6.B.2
Tipos
6.B.3
F un c o n
253
de func iones ................................................................. n ve r b l
Aplicacion
6.10 6.11 ALFI\OMEGA
Problem as ,........................................................................................................
272
IX
CONTENIDO
Grafo.s lntroduccion.......................................................................................................
286
T ip o d e g r o s .4
Representacion
Caminos
7.
circuitos...........................................................................................
.6
30
Grafo plano s..................................................................................................... Coloracion de grafos ........~...............................................................................
30
312
7.8.1
l n
7.8.2 7.8.3
Coloracion
7.8.4
Polinomio crornatico
21
Aplicaciones 7.9.1
7.9.2
De
7.10
Resumen
7.11
Problemas
m a carta m e
mi
335
350
Arboles
.2 8.
P ro p e d d e
de
T ip o d e a rb o e s 8.3.1
m im e [ 0 de nodos....................................................
Clasificacion
354
8.3.2 8.
Bos ques..............................................................................................................
357
8. 8.
363
8.6.1
10
8.6.2 ALFAOMEGA
CONTENlDO
8.
8.6.3
b te nc i6 n d e a rb o le s g en er ad o re s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.4
A r bo l g en er ad o r rnillimO.....................................................................
Re
365
d o d e un arboi........................................................................................
8.7.1
n a
8.8.1 8.
Ap
.:
n...
.387
8.10
8.11
Cap'jt~lo I:X n t_ r o d u p c io n
.2
.3
lenQ\I'aje,~:;~o,rlT1a!~s
lo
lengua jes formales.....................................................................
Gramaticas
d e la
9.2.1
Es uc
9.2.2
Clasificaci6n de
9.2.3
Representacion
s q
A u t6 m a a s f uu to s . .3 . 1
Terminologia basica.
9.3.2
Aut6matas finitos deterministicos (AFD ).........................................
9.3.3
A u t6 m a ta s f in it o no deterrninisticos
9.3.4
Conversi6n
un
(AFN)
un AFD.......................................................
Maquinas de estado finite
.5
9.4.1
Equivalencia
9.4.2
Maquinas
Teena 9.5.1
en
la c om p u a b d a T eo r
a u o rn a a s ".
la lenquaies
.6
.7
9. Respuestas
ALFAOMEGA
d e p ro b le m a s s e e c ci on a do s
ni es
maquinas de e st ad o f in it o 44
Contenido apoyo El ma
la pagina
m a c ad o o n a s e r c o Si
iagram
ma
s610 e s t d is p o n ib l
p ar a d oc en te s
me
fl jo
Simulador:
He
mi
o pe ra c o ne s e n
sistemas
numericos,
Hoj de ca cu o: A p l ic a ci o n p a
o nv e
a n d ad e
nt
dl
e n e s s is te m a s n u m er ic os .
Software:
numericos. Respuesta
para h a ee r o p er ac io n e
solucion de problema
a ri tr ne ti ca s h a si ca s e n d if er en te s s i e m a
seleccionados,
Autoevaluaci6n. Lecturas adicionales (41 paqs.)
ma ejemplos d e o pe r c io ne s a r m e c a ma
me
ma
me
os
e re n
sistemas numencos.
c 6 d ig o s b i na r io s . Mexico prebispanico.
*Evaluaciones propuestas. "Presentaciones. *Respuesta
solucion de eiercicios
ALI"AOMWA
LA p A G I N A
CONTENlDD
2.
Me
Diagrama de flu] Simulador:
Ap
p er m it e c a c u a r el n um e r d e c om b in ac io n e
Respuesta
solucion de problema
seleccionados.
Autoeval uacion
* E v a lu a ci on e s p ra p ue st as . *Presen taciones. *Respuesta.
ap
s o u ci o
3.
d e e je rc ic io s
on
Di gr ma de
u jo .
Simulador: He
mi
Respuesta
solucion
p ro b le m a s s e e c oi on a do s
Au t.oeval uacion.
ectura adic onal (3 paqs.]: conjuntos *Evaluacione
filosoffa.
propuestas.
*Presen taciones. Respue ta
ap
solucion
ejercicio ..
og ca ma er at
Diagrama de flujo,
Respuesta
s o u e o n d e p ro b e m a
Autoeval uaeion Lecturas adicionale
ALFAOMF:GA
(2 paqs.)
s e e cc io na do s
lo permutaciones
N TE N
NA
maternatica
t eo r
xiii
El DE
d e c on ju n to s
la inducci6n matematica.
* E v a lu a c io n e s p r o p u e s ta s . *Presentaciones.
solucion d e e j er c ic i os .
*Respuesta
Ca
A lg eb r booteana:
ul 5.
D ia gr a m a d e
u jo .
Simulador:
He mi booleana.
el d ia g a m a 1 6g ic o de u n
e xp re si 6
solucion d e p r o b le m a s s e le c c io n a d o s
Respuesta
Autoevaluaci6n. L e c t u r a s a d ic io n a l e s (72 paqs.):
d e a lg eb r
Ap
b oo le an a
ci cu os
conmutaci6n.
Ma
Me
ma
Ka
C om p * E v a l u a c i o n e s propuestas, *Presentaciones. *Respuesta
Ca
ul 6.
D ia gr a m Respuesta
solucion d e e j e rc i ci o s
Re ac on de
u jo .
solucion d e p r o b le m a s s e le c c io n a d os .
Autoevaluaci6n. L e ct ur a s a d c io n a le s
1 0 4 paqs.):
Re
c o m o l is ta s enlazadas.
Fu
para localizar informacion.
Re
funciones. ALFAOMEGA
iv
N TE N
P A C H N A WE
APOYO
(2),
Ra Ap
ne ma ma
En
mo
1 6 g c a D e c s io n
a lg o m o s d e o rd en ac i6 n
*Evaiuaciones propuestas. *Presentacianes.
solucion de ejercicios.
*Respuesta
ag am
lu
Respuesta
solucion de problema
seleccionados.
Autoevaluacicn, Lecturas adicionale
(5
paqs.):
al p ro b e m a d e " lo cu r
Euler
n s n ta ne a
Hamilton.
Co n t o du c 6 n
grafos.
*Evaluacione propuestas. *Presentaciones. *Respuesta
soluci6n de ejercicios
Arboles
C ap i u l
ia ra
de flujo.
Simulador: mu
Respuesta
solucicn de problema
toevaluaci6n. Lecturas adicionales (6
ALPAO:VLEGA
paqs.):
seleccionados.
u sa nd o gratos.
NT NI
Ev
pAGLNA
ma ma
DE APOYO
me
F un da m n to s d e n t g en c * E v a l u a c i a n e s propuestas, *Presentacianes. *Respuesta
Ca
ul
solucion d e e je r c ic io s .
Introduc.cion
9.
D ia gr am a d e
o s e ng u a e s o rm a le s
'.',
u jo .
solucion d e p r o b e m a s s e e c c o n a do s .
Respuesta
Autoevaluaci6n. L ec tu r a a d c io n a e s
3 1 3 paqs.]:
Ma
lenguajes.
L en gu a
o rm a
L en gu a
o rm a
Si em
m to rm a
os
aut6rnatas. ma
e ng ua je s
b re s d e c on te x o .
d e T u r n g . L e ng u a e s e ng ua je s n de pe nd ie n e s d e c on te x o . Cr ma
e gu l e s E x p
Le gu
on
gu ar
ul
* E v a lu a c io n e s p r o p u e s ta s . *Presentaciones. *Respuesta
s o u c i6 n d e e je rc ic io s
ALFAOMEGA
Pretaclo io
la io
ta io
matematicas
to li
la proqrarnacion cornputacion
relacion entre si,
las materna-
cornpu-
tadoras fueron creada inicialment para realiza operacionesmatomatica ca mayo rapidez, ademas ia te computacion si la matematicas. tu lm
te la
in
io ti
ta
io
ivid
ie LQU8
ie
ti
Lque
ia lm
te
1c
1qu
algebr
booleana relacione
io pOI
la formal de la relaci6
al co
maternaticas-computadora.
ca rera elacio ad ci ie to atematlc ic la
cuito
co la co asic io
utacio cesari ie
pren an co fa ilidad lo ar ente er el ri ci ia io i1m
electr6nico ll
ie
ta
le
MFAOM~GA
xx
PREFAcro
te id
li
ie
la
ca elemental, ya
i6 iconceptos
1a pi de la
atematicas
ic
iatu
lo
comienda al
to
te li ta in lo sistemas numerico tien ti is if
la i6
ia
pitulos. it comofi alidad 1arepresentacion operacion io hexadecimal, adernas
lu
tw
eo pactos
ue pe rnitan 1f se ex en lo co cept omic de ewto
te
lv
iste
it
necesari
tulo
ama
is inui el umer asic
para compre dertod
ti
0e
lg
iteracio es
co bi acio es
el material relacionad
er
im
ta
ia
cornpa acio tacianes
bi-
ca la computacio
an fin
me tale la reflexi6 vi culacion id errarnie ta la re la infere cia, eq ivalencias
directo
tr
ic
lt
iv
icas tautologias.
lg
t-
cierta.
anejar circ itos electr ic la computador esta integrad
ALFAOMEG.'\
asicos pa tien Ia co side aci6 qu ca ellos. Se si plificanfu ciones boolea as
PRES'AClO
xxi
gicos. BU
proqrnmacion. septimo
neche
Call
en 181
el
estes
el algoritm
de Dijktra, qu
permit
eliminar ar
costas como ocurre os an
rapida
ef en rnaticas
or
ci n, asi
10 ancho
af
ni os Turing.
1a
aqui as
es ad
en profundidad
adquiera
in e,
pr
nt ci
BNF
maquinas de
ne
olucio
de proble as
eleccionados
oe al acio es ALFAOMECA
xxii
PREFACIO
la
apoy
incluy alua io re
pr pu tas.
ta io
Respectivamente
los objetivos
siguientes: la
Lecturas adicionales,
que le perrnita teoria apre dizaje mediante los Diaqramas
de Iluio
las
to al ad sp stas pr la seccio de seleccionados dellibro solucion de Respuesta de problemas seleccionados, para alentarla canfia za de
aplicacion Software incluidos. los Sirnnladores, ROjas de calculo recursos (Evaluaciones propuestas, Presentaciones Respnesta desarrol de todos los problemas dellibro que exposicion
ev
CUISO.
material
de
esencial del Iihro ue lueg relacion completa de lo recurs do de la paqina Web cada capitulo se
computacion,
od
que
elque ya
puta io
AU'AOMEGA
su creacion hasta su implementacion cu lq ie requiere un ominic ternatic pl o,
el
co
PREFAC10
te id
el
ateria
st
el is
el ci
XXUl
la el cci6 lo an Ia istrib i6 i1180S-
ALFAOMEGA
'------------------------------•.
I)
1,1
(,
'I
()
I,)
i,
I,•.
'~I
Sistemas uimencos
.1
1j
-t
.1
1.1 1.2 1.3 .4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
'.'
'.'
lntrocuccinn S is te m a d e c im a l
S is te ma s b in ad o o c a l
hexadecimal
Generalizaci6n d e a s c o n ve rs lo n e s O pe ra c o ne s b as i a s
S um a d e d o c a
d ad e
Apllcacion
sistemas r u r n e r i c o s
Resumen
Problemas
e n c o p le r e r
DiGS
cieo lo mimero lh
Leopol Kronecker II
Ii
13
(I
I"
,)
,'·1
,.::::t;
-,
I'
.')
I)
~,
I,
.,..1 1 : 0 - -
Obj,etivos Re b in a i o o c a l
hexadecimal.
nunencos,
Re za u ye nd o
os
e ma s
mp ad
ar o, oc al va
ab
hexadecimal. ac
arnmetcas.
naturales,
S LS TE M A
N U ME R IC Q
ntroducclon la
va
L ae xp re s 6 n g en er a d e un numero el sistema numeraci6n poslcioalde as de ma
ci cu os gu as de an ma es ob os mp ma ma s ie t r ay a n im a p e siete g u a s d e ma la n a d a d e c om p ac ta r la informacion. P e simbolos p a r r ep re se n ta r cantidades 100; utilizando estes, pr nt nn(]
Un
ma mb don(je di e s u n de o s s rn bo lo s d e n id o e n e l s is te m de numeracion, es la b as e d e s is te m d e n um er ac i6 n ar de ar e nt er a d e l n um e r e s e l n ur ns r d ig f! a d e s u p a rt e r ac c io na ri a
b,sntre la D ep en d e nd a d e v a o r s is te m a p a si ci on a e s s e e nc ue nt ra n e l s is te m a d e ci ma l 01siste ma =: l D ) , binario (b =: 2) e l s is te m a o ct a (b ), e' sistema hexadecimal (b ).
ma
mo
todos o s
ma
ar pa
pr mb
ci
IIII
mo m a aditivo m b o o s p a o b e ne r la c an t a d o ta l
mp
ma me Y M representan mu me
mp
a n d ad e
o s e gi pc io s u ti l z a ellos so '" es 1asiguiente: de
mu
ma
1s mb ma S8
nt
e je rn p o ,
mu repre entacion, Ot
p o bl ad o re s u ti li za b a ep en c a d ad s
primeros
mh
ma ne mi En mb
ob
propias reglas,
mp la p o m a sistemas
o n n o u n c am en t e l J 1 U m e r a c i o n aditivQs.
n bo l
me ma mo mi
ma
ma me
ma mb Ot
ma
ma
u nc io na m n t
mi
ma
de od
em
me ma me po on ca ua Es ma
mb
u l u r m ay a h iz o COffi-
mb
10
13
mb
....
••
••
L f' A. D M R G A
me
15
19
1,2
SlSTD/IA
LH:C[MAL
rayas
utilizan por potencias
de 20 (segUn su cantidad representar.
Se
sumar lo resultados
parciales
arriba el exponente
continuacion,
15
@7
x20
20'
12 00
=0
Cantidad: 120800
Cantidad: 1207
ve
posicion
del
relacion numericos decimal, binario,
sentacion,
octal
numerico. conversion
operaeiones
aritmeticas 81
pera
representacion
Sistem
conv rsio
oporacion
decima '10 ca ac eres
difere es
S8
1va
100, 1,
10 ALr~\OMEGA
SISTEMAS
NUNlERICDS
e l v a lo r p o s ic io n a l 0. que: D es d e l p un t d e v is t n a e rn a c o e l s is te m d ec im a n o p os e n in gu n v e a j e sp ec ia l a b c ua le s e r o tr o p os ib l s is te m a d e numeraclon su razee ne ra l z ad o de n e s c o m p le t a m en t e alanas a s e ye s g en er a e s d e a s matemaflcas. De a cu e d o o o
on
836.,74
Us nd
pu de
pr
nt
on
0.01. A s
ne
10
10
x po n n t
o rm a d e
la antropologia, e l o r i
va or po
pr
on
nt
o mo :
m a r ep re se n ta ci o
e x po n en c ia l
g e d e l s is te m a d e c m a l s e e nc ue n r a
hecho
hem,.]
de. qu lo sere tenemas d ie z d e do s en lasrna-
nos.
L a p r n t o n x po n n c p e m en t m po r n t p o q u p a m ed i d e p u d e o nv e un nt da pr nt da ua qu m a n um e ma de ma om ud ma de nt E1 v a o r d e p os ic io n de mi e l x po ne n e n u n u c o n a sc en de n ma n cu en t po on Ben de qu da de ha pa pa on esta e n p os ic io n -1 e n p o s c io n -2), mo m im e 10, ma ma mb qu ba ma 10 m b o o s d i p on ib l a r m e ti c e s 10 m a pa p r es en t e c a n ti da d es .
1.3 1 _3 . ______________ L-J EI a n g u m a s ma dc o n d P in ga l p re se n p r m s d as c p c o n q u c on a c d e em de e ra c i6 n b i a r e n e f 8 i Ia. de e u a c o in c ld i o c a n s u d e s cu br im i en t d e l c on ce pt o d e l n ur ne r c er o
E I s is te m a b in ar i m o de rn o u e d o eu me ad en o ta l d a p o e l z , e n e l s i g X V I e n Sl artfculo "Explicat io n d e I 'A r i th m e ti q u B i n ai re " . Leibniz el al alqu elsi em d e n um e ra c ic n b in a ri o a c tu a l
Sistemas blnario, o c t a l
hexadecimal
S is t m a b i
E n e l s is t m ab in a 6 10 h d o c i a s de ma m a b in a mb p re s a n d ad e m ay o Mi nt as qu 10, ma na C o m o s e r ne nc io n a n e r o rm e n e , p a c on v un an da de un de ma on nu on mu C an v e
. C om o ut n ex po n n t ma de na
r ep re ss n a c o n e xp on en c a l s e u t z a e m n um e c o c u q u al em o rm a d e h a o. nume
b in a
10011.01
cimal.
Exp nd m nn e p ro pu e no 6n ponenciaI op on o r p on d n t realizando ob en s iq u e n c on ve rs io n d e b in ar i d ec im a l Solucion.
10011.01(2):::::1
2-1+0
21
0.25 ALFfl,OMEGA
ma pa xa .b as e e s
19.25(10)
x-
.3
d e mayor base, me mo mp n d c ad a como 10011.01{2).
ma
es
Toda c an ti da d m u lt ip li ca d a n e r o r s i e mb a g o p a
E MA S
de nt
NA
O, OC AL
H~XADEClllJU\L
1si ma ma i nd ic ar a e l ma mo 1qu
mo mo ahara esto sera suprimido.
ot I"r~------------------, I
G o tt fr ie d W i lh e l vo Le bni (1646-1716)
en e l e as o
L' u e u n J ll os of o matematico, litico aleman quenacio en L e 81 area m an c
caicUi \!lIfuitesimal, lndependientemenin-
cantidad o tr a f ra e cionaria de d o la p a e n e r s e d iv id e u ee s v am en t entre ma mo lo el e n e r d e r es u t a contraron. La parte fraeeionaria se multiplica pa Este p ro cc d m ie n
s e ilustra
n n m e ra c io n b i na r i en
actuales.
binario.
Parte entera: Resto 14
28/2:::
1412
Lo os taman en or en er c om o fl.lera enconrrados,
co
3/ 1/2:::
Parte trsccionana Entera
0.74 1.48 2 : : : : 0.96
0.96 0.92
S e p od r
s eg u
ac on
ma
m i m o o r e n en q u i ue ro n
encontrados.
1.92 1.84
a p ro x lm a n d o p a r d e te n ni na r m a s d ig i o s
parteIraecionana embargo p a us
pa
L o e n e ro s
lt
e l p ro ce d m ie n De st 28.37(10)
o rm a e 1 re su l a d
la in
uf
nt
Q).l8
b as a c as t
t od a s l a a rq ul te ot n r as . d e c om p ut ac io n
mp o.
Convertir el nfunero28.37(l0)
E j e . m p l o 1.2. Solucion.
gu en
po ue as ma br
jurista
c o n c u at r entera
s:
11100.0101{2) AlFAOMEGA
I.
SISTEMAS
1 .3 . '''J"T
N l J M E I ! .[ C O S
Si
ma oc al
-~""_~~IIorg~
digitos
e l r ni sr n
0; 1,2, 3,4, 5, 6, 7)qu
an
slsternade
valor
Esle
qu e s t c a ra c te ri sn c a h a c e q ue l ar
vi
Je
ma oc
miento,
En os
ma mp os
mh ilustra este plantea-
en la
usado
cornputaclon p a e ne r un b8$8 qu e s p o te nc i exaeta de 2, ademas de ve
cables al
ma gu nt
ea
conas
l a nt e s im p l e
P a r o tr o a d o e s s is te m e s u t z a d da de un sentar numeros binariosque emplean
como
ad
unico d ig it o o ct a
je
C o n v er ti r 6 3 1 .5 3 2 (" 8 ) b in a ri o
lo 1.3.
me luego de d ec im a b in a o .
mi
Soluci6n.
ma
ma me decimal, se p la n e a s u e p e se nt ac io n en notacionexpcnencial s e r ea li za n la operaciones. Eneste case particular se tiene que: 631.532(8)
'8
409.6758{lo.)
L a c on ve r o nd e
Par
en er
n um e
Resto
409/2= 204/2 10 102/2= 25 51/2
ob en do
bma
es
gu en e:
Entero
Part fraccicnaria 1.3'516 0.7032
0.6758
25/2
:=
0.8128
12 =3
1I2~O
La si se u t i z a
s ig u
nte ab
de b in a octal e s e la t v ar ne n d e e qu i v a e nc ia s" :
S e p ue d
ap
"l aro. pa c an t d a
ar
c ad a
za u me r
!\LFAOMEGA
es d'
e n octal. debido
v a d a e n 8 1s is te m o c a l a s e l
m ay o
lanto. todo
7.qu an
ac
ar
msrna a n d a
de
1.3
je
lo 1.4
ST
IO
OCTAL
m:XADECIMA.L
Co vertir 631.53 (s)·a.bi ario usando la tabl
de equiva
lencias anterior. En Is
Solucion.
ie
ta la
ta
la
io
id
110
al
te id
sin
al aplica el metodo general usado el los re lt do binario steriormente
par el redondeo tambien acordo it anteri rmente enco tr sola ente lo primeros cuatro igit en la arte fraccionaria. esar esta si existi ra al iferenci esta se presenta ia la ia ia
Ejemplo 1.5. sa ta la
Convertir 110101000001111DI011010.0001101(2)a octal usando el etod ge eral erificar ic re ulta
la ca ti
Solucion.
iz
fraccionaria.
la Si
te
se completan, continuacion:
ex-
111 532
ar
erificar este resultado
19 11010100000111101011010.0001101(2) 22 22 217 10 211 21 222-7 4194304 2097152 524288 131072 2048 1024 512 256 64 16 0.0625 0.0312 0.0078 6950746.1015(10)
A..LFAO:v.SGA
I.
NUMER1CQS
S I ! J rE : M A S
mr
ma
octal:
Resto
Parte entera 6 9 5 0 7 4 6 /8 :
8 6 88 4 3
868843/8 .108605/8 1 35 75 /
13575
Parte fraccionaria 0 .1 01 5 0.8120 0.4960 0.9680
:2 2 1 2 /8 :
Entero
0.8120 8:;::0.4960 0.9680 0.74.40
26
2618= 3/8::::
comparar o s r es ul ta do s o bt en id a bl qu va nc ob va ue o la m en t e x debido 8HDIes d e r ed o nd e o
Es mpor an e ne t cu dado u an d En mp sulto mul pl ca 5. 0.625
Sistema hexadecimal EI us d e s te m h ex ad ec im a e s e s r ec h am en t r e a c o na d o c o ·Ia inla formatica c om p a c y a q u a s c om pu ta do r a ss u el e u ti li z a r e l b y t octetocomo u n d a d b as ic a d e m em or ia ,
1 .3 .
e 1m e to d g en er a ar n te r o in c
n cu en t 108605/8=
me o ta lm en t
una division. resto 1 35 75 .0 25 , es
S is t m a h ex ad ec im a l
La b a
n um e ma ma el ma e l s e u t z a lo diez d i o s d e 5,6,7, mo me an ma me mo ma me decimal al 5, c o p ar t c u a r d a 12 a s g n e l g u e n valor: 10 B: 11 Ejemplo 1.6.
Convertir
m im e
Soluci6n.
E8A7.3D(16)::: 14
16
16
D, E, F) de valor posicional en hexala letras E::::14
o ct a
me 13
Ah
E 8 A 7 .3 D (1 6
ec ma
decimal:
16 10 16 59559.2383(10)
16
me P ar t e nt er a 59559/8 7444/8::::
Resto
Parte fraccionaria 0.2383
1.9064
0.2512 0.0096
2.0096 0.0768
930/8:::
116/8::: 14 14/8:::
ALfAOMEGA
16-
Entero
1,3
S IS TE J VL A
la siguiente tabla
binano
OCTAL
B I1 \ A R D .
11
HEXADECIMAL
hexadecimal":
,Hexade,ci!ilal
Q , ~ot r
2,
" ': :•.
'-"f:,;t ,
'
"
3'
me m ay o d e sistema ruanda e n e la c 6 n c o bits S8 deberan u sa r p a r
*Nuevamente
n um e c o e s 1 3qu cuanto
,-
0111
est cas ocupa
'1-000 ..
~ 10 0
15
slmbolos debara
sfmbolo m a y o r 0t representars po cuatro bits,
B"
1 ,1 0 ,E
je
pl
1.7.
cias.
Converti
Solucion. ia 1sis
ta us
E8A7,3D(16
tablas
de equivalen-
el que el iste
fe im l,
inter-
il
10 iste in ri poniendo de lo ar ct re de iste
1110
tres
lo extremes:
1000
ex de imal
1010
hinario la tabl
0111
0011
de equivale ci
octal-binario
it
utiliza
ro
001 7,
Como se puede observar el resultad plo 1.6
es semeja te al pequefia, ALFADMEGA
12
I.
Sr
E MA S
1.4
N UM ER lC O
eneral aci6
cimal, binario octa requiera
onvers ones
hexadeci al
la letras de
inexiste te to
de la
posibl crea
ue tr
pr pi
iste
lf beto
pero qu podria
se
erfectam io
te valido ya qu resp ta
20541.32(7) al6.
7G5A90.HB(
18)
tr
10,B ,y 17.
14 re
8lo
11,
12,
-1).
Xcu en notaci6n exponencial,
cualquiela
la
ra
ti 1.1.
Parte sntera ntre la base
Hepresentaclon exponencial
Fi
ALFAOMEGA
ra 1.
Decimal
versio
Parte fraccionaria po as
tr
iste
rn ri
Si te
1.5
je
lo
Converti
.8
Solucion. de equivalencias general nv nencial
CD057.EC(15) ba
por
er
20
operon iz nd la
de
13
QpERAcroNEs 13AslCl\S
esen ci
el metoda
po
20,
fi
gura 1.1:
CD057.EC(15)
12
15
13
15
15 651457.9866(10)
12
15-
20:
32572 1628 81
651457/20 32572120 1628/20 81/20 4/20
Part
Resto
er
0.9866 0.732 0.64
17 12
Entero
fraccionaria
0.8
20 20 20 20
19.732
19
12.8 16..
12 16
CD057.EC(15) 418CH.JECG(2o).
al9,
G=
.5
6,
17,
19.
10,
11,
12,
13,
14,
15,
Operaciones baslcas
can
operacion, de
la mi ma
esten ope10
ALFAOMRCA
SISlEM.lI.S NlrIvI.EP'ICOS
. , multipllcaclon
continuaci6n cacion ma
S8
ma
me
~l
m e o s o n e je mp lo s d e o pe r a o ne b in a ri as , e s t e s , o p e ra c io n e e ri r s p a re s d e n ur ne ro s E n g e n e ra l u n da en
o pe ra c o n b in ar i deiicn o .e s u n regia ue de ~I cada
m en te s d e conjuntb d e l r ni sr n
m a li aa ra n o p er ac io n e basicas de s ur na , r es ta , m u l p l os m a d e m a binario, octal hexadecimal, mi mi un mi
ma
ad
utilidad en
ma
area
d e .l a c om p u ta ci on , 1.5.1
Suma
alg,lln elernento
conjunto.
ie pl
1.9.
ma
ma
ma 8{1O) 9(10) 9110)
E x p e ac io n P O t c ol um n a 19
0+9=9
digit d a tal cual.
ar
valido corubinacion d e
decimal. e 12 . C u an d o eu r
El
10
esto oca
la linea numsros de Ia lumna
+7
14
izquierda,
divide entre
El b ru l mente.
mo
v a d o e n d ec im a l
1+6+0=7
D iq i
5+2=7
Digito valido
8::::
1+0+7=8
Aq
que
nt
ba
Digito varido
los me mo 1.9, se consideran como 0 , p a esta razon
81 ejemplo
sumo
Esto mism sucemb
ALFAOMEGA
1.5
ss
DASICAS
normalmente
tern numeric
divi par 10
10 es
OPEHACION
to
fe
ig
lu
el resto
Ejempl
1.10
Suma 2(16) E(16)
0(16)
Expticacio
po columna: ir resta
11
tr la
E.
14
Digito W11ida.
9+0=9
12
13
e1cociente
F.
Digita
15
se obtien
25
15
yresta
Al
21
se obtiene el cociente
9.
iv resto 7.
23
14
tr
tr
la
se abti
coci
te
resto 5.
Digito valido
Generalizaci6n de Como
e1procedimiento para cambia, se realiz la operacion.
en
surna 1r
division
rn
lu
ig ie te
cociente ierd ALFAOMEGA
16
S IS TE M A S
je
lo
\ TU M E fU C O S
.1
2
A(lS)
1.5.2
je
lo
.12.
0
3
1(5)
2(18)
1(5)
2(18)
1(5)
·K
5(13)
'8
3
2(23)
9(13)
A(23)
1(13)
C(23)
Resta
es
en 1si 0(10) 4(10) 6(10)
Explicacion
POl
columna:
(0
sustraendo
tado. 8-
-I-
en
sustraando
1)
resul-
rni-
traendo 1)) sustraendo est€ es mayor
al al
(5
ALFAOTvIEGA
sustraendo
minuendo, se surna la
1.5
7-
1)
QPERACIONE
la
17
BASICA
debera surnar
al
.al sustraendo (2
Como sustraend minuendo.
10)-3
(8
1)
al
se
,Cpmo
traendo as
es
Su ar
8-(5+1)=2
al su traendo, ya
al minuendo
ci rnerico. correspond
1( 1mi
)a
(8 en oc al 16hexadeci al 02
enta e1sustraend
Ejempl
de la colu na izqu erda prox
a, independienternen-
1.13 4(8) 3(8)
5(8)
ALElAOMEGA
1.
Explicaci6n
SlSTEMAS
POI
NUMER[QOS
columna: Como sustraendo ba do
(0
minuendo,
hay
1) al
(1
rninuendo.
(2
Primer surnar 1s column la base
1)
al
-(4+1)=2
Si cambia,
0-0=0
anteriqr
la column
despues surnar la
que se
anterior
ya
tim.
(1
4-
1)
minuendo
al
la
column
anterior
base al
el
la condicio
minuendo
sustraendo
la base al Ia
sumara traendo as
ALFf'.t1MEGA
er ni ar
ar
1.5
je
OPERACTONIi:
lo 1.14
6(9)
E(17) (17)
4(9)
E(17)
5(9)
3(21)
5(H)
2(21)
2(14)
1(21)
3(14)
la misma
que
je
19
BASTe,'\
lo 1.
s,
se llevan umca diferencia
Multiplicaci6n 3(10) 7(10)
1(10)
columna:
digito
21
obtener en
16
Como se realiza cociente
divide cociente
siguiente
un digito resto
resta
columna. el sistema decimal,
6. ALFADMEGA
N'l'JMEmCOS
SlSTEMAS
cantidad debe dividi 16, en la
diqito va id
S8
8,
vigesima
en re 20
as sucosivamente obtenidos
en
es la
en el ejempl
que
primera la
digito eoeiente
hast
je
pl
15
decimal resto
;;0;
debe dividir entre
5, el
para ob ener el
de
te minar.
sistema binario:
1.16
1(2) 1(2)
.0
operaciones
casas donde
istema
ALF'AOMEGA
numero de digitos validos se
ejemplo
hay
1.16,
esto simpliflca
la misma
al
que ocurre 2, pera como
resto se coloca debajo
Como el
mas
que
sistema bi ario solame te e.ltrabajo. En cualquie
1(2)
al
por e1 multipar el multipli
es un digito
debe
1s
linea
el
diqitos
de
base
se
1.5
obtien
cociente
21
BN5ICA;:;
OPERAGIOl\'ES
resta
decimal: ad
Ejempl
1.17
.8
:;
2(14)
'-
C('I3)
9{14.)
.B
8(13)
4(14)
,0
3(17)
2(15)
.4
5(13)
.5
5(15)
.2
'7
4(17)
C(17)
A(l5)
1.
por 10 10
10
AU'AOMEGA
SISTEMAS
NWV[EH1C03
Ejemplo 1.16a .6
.1
9(10)
Dividendo
Divisor
ta este
2(10)
bien 10 dos
debe reconer al
necesario
man-
recorrer division, indepen-
antes
1{1G)
9.(10)
.2(10)
Resto
B'
ca to
im
-tt--- Cociente
iv
de recorrer procede
lado
menos
divisor bene tres digitos ninguna tres dfgrtos digitos 432(10), del dividendo cociente 5, despues se multiplica este 1d dicho resultado 7 6 9 (1 0 ): :: : 3 8 4 5 (1 0 ) cociente de 4325(10) 3845(10) 0480(10), lo cuatro digitos el del dividendo asi sucesivament
to AL"G"AOIVU:CA
del dividendo, e1 diviso no cabe ninguna
dich cantidad,
1.
COIDO
decimales, se
QPERAClOi'JE
8ASI
23
AS
cociente y' mas
mas ya
decimal
je
pl
1.19
entre A?E2(16Jr
Division enel sistem
DividirlAF578.2B(16) hacer
hexadecimal,
.1
.D(16)
2.(16)
O(16)
8·0 Ie:
1d
cionaria, va que al 1c
al
resul-
.D(16) 2(16)
Nota
ue 81 te t er a rt lraccionaria coioca.oespues 1r result do rn ltiplica el
F,
A(16)
coclente pore divisor.
ALFAO:MEGA
24
1.
je
SISTEMAS
lo 1.20
NUr.,tlERICOS
Division en atro sistemas
que
posieionales
la
10 unic
osta
.6(17)
4.(17)
16
.9(17)
B.
.B(12) 3.(12)
13
2(12)
0
.6
!\LFAOMEGA
7
0
3
te-
NT
25
NT
el binari
positiva
negativa.
plemento
tiene su tili
2;
Magnitud verdader
real,
tipo
UOll0101.01111'1-
-(1
\~~
27
t-
24
22
2-~
2-
-437.441101
2.
Magnitud
it de siqn
Complemento
ell.
el
es
el cornplemento
1(2)
de
es
Magnitud verdader
0(2)
0(2)
Maqnitud verdader
1(2)
expresad
en bi ario es suficiente cambia todo
los
an ra
ad los
1, Al.FAOM.EGA
26
SISTEMAS N U £ . i L E R r C O S
0(2)
1(2)
1(2)
Un multiplicacion es un sucesi6n de suma
ivisio es
sucesi6n
restas, ni rnultiplicaciones, ni di isio es si icamente su as Cuan la an so it su an tal cual pero cuando al(1
as
ef
la
ia le
oeupa 10 si uiente
lu
aliz
as
primer co la ig ie
la
5(10)
1(2)
6(10)
0(2)
1(10)
1(2)
Signa
ltad
225, B, entonces 10 iert lo alores
te
abinario
Magnitud
es
00 01 01 2)
-45(10)
+301(10)
8bi
capacidad
en qu la corn utador
variable ca
realiz
capaci ad
un operaci6
aritrnetica.
ay r, pa ejer
lo su
er
ue la variable 10
1.6
DO
CANTIDADES
EN COMPLEMENTO
27
f\
la requerida. 5(10)
1(2)
6(10)
0(2)
1(10)
1(2)
Se observa
to
ahora 10
que +301(10) 0000000100101101(2) evita e1.desbardamiento.
1r surnar son
unicos
Ejempl
1.21
es el resultado
contrario
Sumar A=-225
el
can B=+76.
cion.
1(2) Maqnitud verdader
5(10)
0 0 0 1
0(2)
1(2)
no
1c 5(10}
1(2)
6(10)
0(2)
9(10)
1(2)
______". Signa
Magnitud ALFAOMEGA
I.
SISTEMAS NrlMEl-1ICOS
obtenida
-149(10.).En: forma
81 resultado.
ta
0,
1(2)
Resultad
negativo
0(2)
Complemento
1('2)
9(10)
lo
Ia
81
debera omplem
je
er nt
--:-107(10.),88
S'U'mar 'A.~ + 2 2 5 eo
.22
B=
-76.
lacantidad neqativase tiene: Maqnitud verdader
::::
-1
:1
1(2)
Comp emento
.1
i-
0(2)
Complsmento
umando ol comj lement
a2
eneontrado
5(10)
1(2)
6(10.)
0(2)
(10)
10
1(2)
Aaarreo .... '"
En
'pued~
'r€'$ultad_(')'qQ.rrecto~ ya
tados m~gatiViJs;::~'t'ainbieR
ALFAOME.GA
solamarrte secomplementan el cual
pOI 10 tanto
eb
de pr ci
29
1.6
je
lo
Sumar
.23
-225 can
-76.
el tanto' s- tiene ue bten cuenta que la ea izar aosuma. Pero tambien duce un desbordamiento, complemento va abajar ca os 'bi' co rectos Co nple entandoa amba cantidades
pOI
0
5(10)'
0
0
0
0 0 0 0
1(2)
Magnitud verdadara om le ento
0(2)
'1
'1
Complemento
1m
0 ( 2 ) Magnitud verdadera
6(10) '=
1 1 1 1 1 1
~ 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
1(2)
_,_..
'1
Complemento
0(2)
le
Sumando: 1(2)
5(10)
0
6(10)
1(10)
1
0
11
Acarreo
Si se conviert
1
0(2) 1(2)
Magnitud
Signa
decimal el
posible
-301{1o)-
desprccia, 1 0 1 1 0 1 0 0 1
to
1 0
0 0 0 1 0 0
1(2)
Resultadoneqativo
O(2)
1(2)
le ALFAOl\lll:WA
SISTEMAS
NUMERICOS
Co cl
ma
c om p m e
De
mi ma ma ma mme mb entera o tr a f ra cc io n ar ia , s ie m p r d e b o d am i n t ol pu de da pa nt ya qu op one va bo de de ha qu da de ba o n 1 n um e d e b i u f n t P a o b n e o mp l m en t mb mp me de me n cu en t pa nt pa on Pa n eo n mp me ma me ma ha me o m m en t nt negativas o s e su l a do s n eg a v o d e a s u m a
Apllcaclon
A:'~;'
Computaci6n sistemas EI s is te m
binarlo e s e l e n -
n um er ic o
cab
process
aritrneticas, o rm ac io n
c on t o l
se
o p er ac io ne s p o de in
od
os pe srco
otras computado-
as
ar
maouina
aj
m ba r
ar
unos r ep re se n a r
as
a nd e
n fo rm a ci on .
ad
as
a de na s
Pa es aj
ra
ma
as comunes;
a s l s ur q i o tr a c os a
e qu lv a s nc ia s
en
ma ns
bo va os pm p a q u 1 a co mp u d o ma e le a c la v p e o na l q u me n d ic a p a m e d d e e c a s o pc io n e a z a r e r e s a d o d ep os i o , e tc .) . P a r e fe ct ua r u n r e i ro , artemas d e 1 a in fo rm a c o n b as ic a n ec es ar ia , s e d eb e p ro po r o n o mp u d o m an t F in a m en t de pu de qu c om p u d o h a e n e g d e a n d a o l c i a d p re gu n s e d es e r ea l z a o tr a o p er ac io n
ma ar
estan p u a c lo n p o a s
Cu va
o s s is te m a s numerlcos
cadi'go ASCII, e ls is te m
b in a
Todo
a n e r o r e s p ro po rc io na r n fo rm a c o n 1 a o m pu t d o a , p a q u nc on ma na nt nqu ne u n n s u c o n b an c d e m in ad a D e o rm a autcma us uy nd un pe on qu nd pa un c o S i e m ba rg o , n fo rm a c o n s e p ro p o c io n a d e m a ne r e n e nd ib l p ar a un pe no pa o mp u d o ya qu un n gu a q u m aq u n a $500.00 c an ac e e s " b n an o mp ma q u n i n to s p e o s o s d ig i o s tal m a operacion.
CI cada
letra, dfgito qus e s r e a t v a -
d uc i
s is te m
binarlo un
frass qu
q u e r o tr o ldloma,
ALPAOMIWA
H a y o t n co nv en ie n e , un ca op ac on qu al c om p u a do r e s ma ma b in a de do qu ne u en t q u mh b in a o , u nq u u n ve de ma po qu o mp u d o ha o nv e o n C om o S8 a be , p a e fe c u a
.7
me t id a d n e ga t v a
S lS T8 M A S N m J 1E .R IC O S
ma de pu
mp me
1acan-
um
D e e s m a ne ra , 1 0a p e nd id o e n e s c ap i u l m u e c ua l e s e l e ng ua j d e c om p u ta do ra , p o rq u a unicamente c a c om b in ac io n d e c er o UilOS e s p os ib l e p s en ta r n fo rm a c o n q u e s m a ne j entiende. Si mb go o l m en t or m a n um e o, ad mas d ec im a l o c a l h ex ad ec im a l ot os ma qu ni qu xi omo os qu n e b a 1 3 1 50 2 p o m en c o n g un o p e qu xi po d e m i m a m an e q u o s ma n u m er ic o c on o c d o s y a q u e c on se rv a a s c ar ac te r s t c a p ro p ia s d e o d o s is te m a n u m e ri c p o si c o n al . En mpo de o mp u o n o s m a n um en co s m a m p o n t s o e l h in ar io , o c a l h ex ad ec im a L E l b in ar i p o rq u e e s e l e ng u a n a u ra l de c om p u a do ra , o s s is te m a o c a l h ex ad ec im a l p o rq u e p er m i e n c om p ac ta r n fo rm a c 6 n d e e ng u a m a q u n a d e u n a f or m a m u y s en c a , y a q u e I a e qu iv a e nc i e n r e s u c ar ac te re s e s d ir ec ta , s i llevar bo op r ac io n a r m e t c a a lg u na . P o r e je m p lo , s e s ab e q u e s i h ac e o p er ac io n es : 9C4A(161
1 00 1 1 10 0
oroe
1010
(2)
S i e m ba rg o , a s t ab l a d e e qu iv a le n c a c om o e l c 6 d g o ASCII n o i en e e l p o e nc ia l d e u n s is te m nurnsrlco pa a nt o s u g e n s is te m a numerico eq va en es al em na o, c om o o s e ma s o c a l h e x a d e c i m a l q u p e rm it e compacter grandes c a de na s d e c e re s u no s c a n f in a de ma ocupar me n o e sp ac i e n 18 representacion de n fo rm ac i6 n A de rn a c on ve rs io n e n r e o s s is te m a o c ta l b in ar i nc 50a me n pa o mp u a da r pe as tarnbien p a e qu iv a e nc l e n o s c a a c\ e e s a s directa no es n e ce s a ri o I le v a r a c a b o pe ra c o n a ta ma t c a a l u n p a c o n ve r ti r c a nt id a d e s octal-blnarlo-hex a d e c im a l s i p e r- d e r a s p r op i ed a d e s de ncrnenco posicional, evalor u n c ar ac te r pe de de os oc a, o lv id a on e ma s me c o e s p os ib l e va r c a b o p er a me od ma c or nb in ar s l o s is te m a s n u me r lc o s
As ga mu nd de d on d 801am en t o s d iq i o s d ic h n fo rm a c o n s e p ue d e du c c ad e n a m a s p eq ue r a s q u e p e se n a n mi mo u an d de du ma me q u n o o cu r on n gu a de ma q u e p ar a r ea l z a c on v er s o n de de ma b in a ne va bo op on me mp mp p on d e n e n u d d e 1 a m is m a Ex ve ne de mp do ua mu o r m ed i d e u n 1 e g u mo Ba Pa Co qu di m en t da ns uc on n gu a qu ut uz os s is te m a n u m er ic o o c a l h ex ad e m a y a q u p a u n d o o n de interpretar l a c o m p u ta d o r p o o t a m b e n o n e l v am e n s e c il lo s d e v i su a li ze r e n e nd e p o r 8 1s e h u m an e PUBS q u e e s o s s is te m a n u m e r c o s u t l iz a l e r a numeros, n o qu d en a x to n d e c e o s u no s d e m an e q u m a n um e oc hexadecima on mp po ue on gu n t m ed io s m pu tadora compactas.
ALFAOMEGA