P1.2 Dado el sistema eléctrico de la figura, en el que las condiciones de operación son: NUDO TENSIÓN (kV) PG (M (MW) QG (M (MVAr) PD (M (MW) QD (MVAr) 1 2 3
231 -- -- -
- -0 0
- -0 0
60 115 10
32 67 123
!e sa"e que en #alores p$u$ las impedancias % admitancias de las l&neas son:
Línea
Impean!"a Ser"e
Am"#an!"a para$e$%&2
1-2 2-3 3-1
0,01'50 ( ) 0,0*07 0,00*3 ( ) 0,0557 0,01302 ( ) 0,07'1*
0 ( ) 0,1052* 0 ( ) 0,06'7* 0 ( ) 0,02'0
+mpleando el método de eton-.ap/son con un error mimo de 0,0001 4 lo que equi#ale equi#ale a que el #alor mimo de cualquier cualquier componente componente del #ector de residuos sea 10 -6 con #alores en p$u % tomando como #alores #alores "ase para la potencia % la tensión 100 4 4 % 220 respecti#amente$ Determinar: 18 9a matri de admitancias$ 28 9as tensiones en los nudos 2 % 3$ 38 +l flu)o de potencia que circular por todas las l&neas$ '8 9a potencia acti#a % reacti#a que tiene que generar el generador conectado al nudo 1$ 58 +l rendimiento de la red$
'ESOLUIÓN 18 ;nicialmente se epresan los #alores del pro"lema en #alores p$u$ 4 continuación se determinar la matri de admitancias de nudos de la red$ 4 partir de aqu& empleando método de eton-.ap eton-.ap/son /son se calcularn las tensiones tensiones en los nudos incógnita, incógnita, a partir de estos #alores las potencias en todas las l&neas % por
NUDO
TENSIÓN
PG (M (MW)
QG (M (MVAr)
PD (M (MW)
QD (MVAr)
1 2 3
1,05 -- -- -
- -0 0
- -0 0
0,60 1,15 1,0
0,32 0,67 1,23
De aqu& se define con la clasificación de los nudos % los datos e incógnitas en #alores p$u$ en la ta"la siguiente:
N*%
T"p%
Da#%+
In!%,n"#a+
1 2 3
!lac BC BC
>1 ? 1,05 @1 ? 0A B2 ? - 1,15 C2 ? - 0,67 B3 ? - 1,0 C3 ? - 1,23
B 1 C1 > 2 @2 > 3 @3
4/ora podemos definir la matri de admitancias de nudo, recordando que en general: Y 11 = y 12, 0 + y 13, 0 + y 12 + y 13 Y 12 = Y 21 = − y12
4 t&tulo de e)emplo: Y 11 = 0 + j 0,1052* + 0 + j 0,02'0 +
1 1 + = 0,01'50 + j 0,0*07 0,01302 + j 0,07'1*
= ',0105 − j 23,6301
Y 12 = Y 21 = − y12 = −
1
0,01'50 + j 0,0*07
= − 1,7157 − j 10,7'16
on la misma teor&a se determinan todos los coeficientes de la matri de admitancias que es de la forma: ',0105 − j 23,6301 − 1,7157 + j 10,7'16 − 2,2*' + j 13,0762
− 1,7157 + j 10,7'16 − 2,2*' + j 13,0762
',5053 − j 2,02'3
− 2,7*6 + j 17,'52
− 2,7*6 + j 17,'52 5,0'' − j 30,31
28 =eniendo en cuenta los componentes de cada #ector % cada su"matri la epresión del algoritmo de eton-.ap/son se puede detallar como sigue:
∆ P 2 H 22 ∆ P 3 H 32 = ∆ Q2 M 22 ∆ Q3 M 32
H 23 N 22 N 23 H 33 N 32 M 23 L 22 M 33 L 32
N 33 L23 L33
∆ δ 2 ∆ δ 3 ∆ U E U 2 2 ∆ U 3 E U 3
Bor tanto /a% que determinar todos los elementos de las matrices$ Baso 18: 9os #alores de partida son: U 10 = 1,05 + j 0 p$u$ U 2 0 = 1 + j 0 p$u$ U 3 0 = 1 + j 0 p$u$ Baso 28: alor de la matri para el #alor inicial: 9as epresiones de los #ectores de residuos de potencias acti#as % reacti#as son los siguientes:
∆ P 2 ∆ P 3 ∆ Q2 ∆ Q3
X = 0
∆ P 2 = P 2 − U 2 [ U 1 G 21 cos δ 21 + B 21 sen δ 21 + U 2 G 22 + U 3 G 23 cos δ 23 + B23 sen ∆ P 3 = P 3 − U 3 [ U 1 G31 cos δ 31 + B31 sen ∆ Q2 = Q2 − U 2 [ U 1 G21 sen
δ 21
δ 31
δ 23
+ U 3 G33 + U 2 G32 cos δ 32 + B32 sen δ 32
]
− B21 cos δ 21 − U 2 B22 + U 3 G23 sen
δ 23
]
− B23 cos δ 23 ]
∆ Q3 = Q3 − U 3 [ U 1 G31 sen δ 31 − B31 cos δ 31 − U 3 B33 + U 2 G32 sen δ 32 − B32 cos δ 32 ] 4 tener en cuenta que las potencias in%ectadas a los nudos se consideran positi#as, mientras que las consumidas se consideran negati#as$ Bor lo que sustitu%endo los #alores en p$u$ conocidos queda: 1,05 − 1,7157 cos 0 + 10,7'16 sen 0 + 1 $ ',5053 + ∆ P 2 = − 1,15 −1 = − 1,15 + 0,05 = − 1,06'2 1 2 , 7*6 cos 0 17 , '52 sen 0 + − +
1,05 − 2,2*' cos 0 + 13,0762 sen 0 + 1 $ 5,0'' + ∆ P 3 = − 1,0 − 1 = − 1,0 + 0,11'7' = − 1,652 sen 1 2 , 7*6 cos 0 17 , '52 0 + − − 1,05 − 1,7157 sen 0 − 10,7'16 cos 0 − 1 $ −2,02'3 + ∆ Q2 = − 0,67 − 1 = − 0,67 + 0,7071 = 0,0371 + 1 − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 1,05 − 2,2*' sen 0 − 13,0762 cos 0 − 1 $ − 30,31 + ∆ Q3 = − 1,23 − 1 = − 1,23 + 0,0101 = −0,'2*0 + 1 − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0
∆ P 2 ∆ P 3 ∆ Q2 ∆ Q3
X = 0
=
− 1,06'2 − 1,652 − 0,0372 − 0,'2*
Baso 38: Determinación del )aco"iano$ Bara determinar los términos del )aco"iano tenemos: 4=.;F G: ∂ P 2 H 22 = = − U 2 [ U 1 G21 sen δ 21 − B21 cos δ 21 + U 3 G23 sen
∂ δ 2
δ 23
− B23 cos δ 23 ]
H 23 =
∂ P 2 = U 2 U 3 [ G23 sen δ 23 − B23 cos δ 23 ] ∂ δ 3
H 32 =
∂ P 3 = U 2 U 3 [ G32 sen δ 32 − B32 cos δ 32 ] ∂ δ 2
H 33 =
∂ P 3 = − U 3 [ U 1 G31 sen δ 31 − B31 cos δ 31 + U 2 G32 sen δ 32 − B32 cos δ 32 ] ∂ δ 3
4=.;F : N 22 = U 2
∂ P 2 = U 2 [ U 1 G21 cos δ 21 + B21 sen δ 21 + 2 G22 U 2 + U 3 G23 cos δ 23 + B23 sen δ 23 ] ∂ U 2
N 23 = U 3
∂ P 2 = U 2 U 3 [ G23 cos δ 23 + B23 sen δ 23 ] ∂ U 3
N 32 = U 2
∂ P 3 = U 2 U 3 [ G32 cos δ 32 + B32 sen δ 32 ] ∂ U 2
N 33 = U 3
∂ P 3 = U 3 [ U 1 G31 cos δ 31 + B31 sen δ 31 + 2 G33 U 3 + U 2 G32 cos δ 32 + B32 sen δ 32 ] ∂ U 3
4=.;F : ∂ Q2 M 22 = = U 2 [ U 1 G21 cos
∂ δ 2
δ 21
+ B21 sen δ 21 + U 3 G23 cos δ 23 + B23 sen δ 23 ]
M 23 =
∂ Q2 = − U 2 U 3 [ G23 cos δ 23 + B23 sen δ 23 ] ∂ δ 3
M 32 =
∂ Q3 = − U 2 U 3 [ G32 cos δ 32 + B32 sen δ 32 ] ∂ δ 2
M 33 =
∂ Q3 = U 3 [ U 1 G31 cos δ 31 + B31 sen δ 31 + U 2 G32 cos δ 32 + B32 sen δ 32 ] ∂ U 3
4=.;F 9: L22 = U 2
∂ Q2 = U 2 [ U 1 G21 sen δ 21 − B21 cos δ 21 − 2 B22 U 2 + U 3 G23 sen δ 23 − B23 cos δ 23 ] ∂ U 2
L23 = U 3
∂ Q2 = U 2 U 3 [ G23 sen δ 23 − B23 cos δ 23 ] ∂ U 3
L32 = U 2
∂ Q3 = U 2 U 3 [ G32 sen δ 32 − B32 cos δ 32 ] ∂ U 2
L33 = U 3
∂ Q3 = U 3 [ U 1 G31 sen δ 31 − B31 cos δ 31 − 2 B33 U 3 + U 2 G32 sen δ 32 − B32 cos δ 32 ] ∂ U 3
Bodemos o"tener los #alores del )aco"iano partiendo de los #alores iniciales, estos son: 4=.;F G: H 22 = − 1 [ 1,05 − 1,7157 sen 0 − 10,7'16 cos 0 + 1 − 2,7*6 sen 0 + 17,'52 cos 0 ] = 2,7315 H 23 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'53 H 32 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'53 H 33 = − 1 [ 1,05 − 2, 2*' sen 0 − 13,0762 cos 0 + 1 − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = 31,12
4=.;F :
N 22 = 1 [ 1,05 −1,7157 cos 0 + 10,7'16 sen 0 + 2 $ ',5053 $ 1 + 1 − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0 ] =
= ','1*5 N 23 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 − 17,'52 sen 0 ] = − 2,7*6 N 32 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 − 17, '52 sen 0] = − 2,7*6
N 33 = 1 [ 1,05 − 2,2*' cos 0 + 13,0762 sen 0 + 2 $ 5,0'' $1 + 1 − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0 ] =
= ',*6*66 4=.;F : M 22 = 1 [ 1,05 − 1,7157 cos 0 + 10,7'16 sen 0 + 1 − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0 ] = − ',5*11 M 23 = − 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 + 17, '52 sen 0 ] = 2,7*6 M 32 = − 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 + 17, '52 sen 0 ] = 2,7*6 M 33 = 1 [ 1,05 − 2, 2*' cos 0 + 13,0762 sen 0 + 1 − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0
] = − 5,1**1'
4=.;F 9: L22 =1 [ 1,05 −1,7157 sen 0 − 10,7'16 cos 0 − 2 $ −2,02'3 $ 1 + 1 − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] =
= − 27,3171 L23 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'52 L32 = 1$ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'52
L33 = 1 [1,05 − 2,2*' sen 0 − 13,0762 cos 0 − 2 $ −30,31 $ 1 + 1 − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] =
= 2*,507* Bodemos sustituir los #alores en la matri, de donde: 2,731' - 17,'52 ','1*5
- 2,7*6
- 17,'52 31,12 - 2,7*6 ',*6*6 - ',5*11 2,7*6 27,3171 - 17,'52 2,7*6 - 5,1**1 - 17,'52 2*,507
Baso '8: Bodemos calcular %a los nue#os #alores de #ariaciones de ngulos % de tensiones, para esto multiplicaremos la primera matri por la matri in#ersa de la segunda matri$
2,731' - 17,'52 ','1*5 - 2,7*6 - 17,'52 31,12 - 2,7*6 ',*6*6 - ',5*11 2,7*6 27,3171 - 17,'52 2,7*6 - 5,1**1 - 17,'52 2*,507 Bor tanto resulta la siguiente matri:
−1
∆ δ 2 − 1,06'2 − 1,652 ∆ δ 3 = 0,0372 ∆ U 2 E U 2 − 0 , '2*0 ∆ U 3 E U 3
− 0,101066 − 0,1066' − 0,031*17 − 0,0'255'
Bor tanto para la 1H iteración resulta: ∆ δ 2 = − 0,101066 radianes
∆ δ 3 = − 0,1066' radianes ∆ U 2 E U 2 = − 0,031*17 ⇒ U I2 = 0,*603 p$u$
∆ U 3 E U 3 = − 0,0'255' ⇒ U I3 = 0,*57''6 p$u$ 4 partir de estos #alores #ol#er&amos a iterar % as& sucesi#amente /asta conseguir que el error cometido sea inferior al error mimo fi)ado, esto ocurre en la cuarta iteración, siendo los resultados:
+presados estos #alores en notación polar son: U 1 = 1,05
0°
p$u$
U 2 = 0,*5*5
− 6 , 07 °
p$u$
U 3 = 0,*'1
− 6 , '' °
p$u$
+#identemente son los mismos resultados que el pro"lema B1$1 !+B puesto que es el mismo circuito$ 38 onocidos los #alores de tensiones % argumento de cada uno de los nudos %a podemos calcular los flu)os de potencia por las l&neas$ +n general la potencia aparente que circula por una l&nea est definida por la epresión: U i − U k S ik = U i I ik J = U i + U i Y ik J Z ik
alcularemos la potencia en las tres l&neas pero para am"os sentidos, es decir desde KiL o "ien KiL$ =enemos:
S 12 = 1,05
0°
1,05 0 ° − 0,*5*6 − 6, 07 ° + 1,05 j + 0 , 01'50 0 , 0*07
J
0°
0 + j 0,1052* = 1,317 + j 0,71' p$u$ J
S 21 = 0,*5*6
− 6 , 07 °
0,*5*6 − 6,07 ° − 1,05 0 ° + 0,*5*6 − 6,07 ° 0 + j 0,1052* = 0,01'50 + j 0,0*07 = − 1,236 − j 0,752 p$u$
on la misma teor&a, para el resto de l&neas se o"tiene: S 23 = 0,1333 + j 0,115* p$u$
S 32 = − 0,132*3 − j 0,230* p$u
S 13 = 1,71* + j 1,13'2 p$u$
S 31 = − 1,6671 − j 0,2***1 p$u
!e puede compro"ar que el sentido de circulación de flu)o de potencia acti#a es distinto en cada etremo de una l&nea puesto que una es aportada % otra consumida % que la suma alge"raica es siempre positi#a, esta suma corresponde a la potencia pérdida en la l&nea$ +n relación con el flu)o de potencia reacti#a, dado que cualquiera de las l&neas genera potencia reacti#a, los #alores o"tenidos dependen de la longitud de la l&nea % de las tensiones eistentes en am"os etremos$ '8 9a potencia que de"e producir el generador conectado al nudo 1 ser la suma de la potencia que de"e in%ectar a la red ms la potencia local en el nudo 1, es decir: S G1 = S 1 + S D1
!e puede calcular por tanto, como la suma de las potencias aportadas a las l&neas ms la potencia consumida en el nudo: S G1 = 1,317 + j 0,71' + 1,71* + j 1,13'2 + 0,60 + j 0,32 = 3,636 + 2,2356
p$u$
+n #alor a"soluto la potencia comple)a a general por el alternador conectado al nudo 1 es de: 363,6 ( ) 223,56 4$ =am"ién se podr&a determinar esta potencia por medio de la epresión: S 1 = U 1 I 1J = U 1 U 1 Y 11 + U 2 Y 12 + U 3 Y 13 J !umando posteriormente la potencia conectada al citado nudo, llegando al mismo #alor$ 58 +l rendimiento del sistema, por tanto de las l&neas ,se o"tiene teniendo en cuenta la relación entre la potencia acti#a generadas en las cargas o receptores interconectados por medio de dic/as l&neas, di#idida por la potencia acti#a in%ectada a las l&neas, es decir ! 1, de donde: 1,15 + 1,0 ∑ Ptencias cnsu#idas a tra!"s de líneas η M = 100 = 100 = *7,15 M 3,0365 Ptencia inyectada a las líneas
