VEKTÖRLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR YÖNLÜ NLÜ DOĞ DOĞRU PARÇ PARÇALARI
İKİ VEKTÖ VEKTÖRÜN PARALELLİĞİ PARALELLİĞİ
d taşıyıcı doğru
A = (a, b) A // B ise
B = (c, d)
B(c, d)
a b = (yani taşıyıcıları aynıdır) c d
(bitiş)
A(a, b)
BİR VEKTÖ VEKTÖRÜN BOYU (NORMU)
(başlangıç)
KONUM (YER) VEKTÖ VEKTÖRÜ y
|A| ya da ||A|| ile gösterilir.
B(c, d)
.
A = (a, b)
b
m
A =(m,n) = [m,n] = n
2
A = (a, b) ise |A| = a + b
|A|
2
.
A(a, b) Vektör için bu gösterimlerden
C = (c – a ,d – b)
a
O
A.A = |A|2 = a2 + b2
biri kullanılabilir.
(C = AB)
.
x
O
SKALER (İ (İÇ) ÇARPIM
Başlangıcı A(a, b) bitimi B(c, d) olan yönlü doğru
A = (a, b)
A.B = = a.c + b.d
olan OC yönlü doğru parçasına AB nin konum (yer)
A.B = |A|.|B|.cosα
|B|
B
Not: A.B bir reel sayıdır. AB bir vektördür. eks TR em yayınları
vektörü denir.
AOCB paralelkenar olup;
C = AB = B – A = (c – a ,d – b)
B(c, d)
A
A A.B < 0
A.B > 0 O
α
α
O
B
B
İKİ VEKTÖ VEKTÖRÜN TOPLAM VE FARKI
3. DURUM (α = 180°)
b
A
a
α =180°
–b
b veriliyor
2. DURUM (α > 90°)
1. DURUM (α < 90°)
O = (0,0) sıfır vektörü
a
α
O
B = (c, d)
parçasına paralel ve aynı boyda olup başlangıcı orijin
A(a, b)
A |A|
A.B < 0
O a–b
A.B = – |A|.|B|
A
a
B
a+b
A
b |b| = |–b| –b
B
fark
toplam
B
A
AB = –BA B
5. DURUM (α = 90°)
4. DURUM (α = 0°)
B
A
O
A
B
.
A
O B
BİR VEKTÖRÜN EĞİMİ
A.B = 0 A.B = |A|.|B|
Bir vektörün eğimi taşıyıcı doğrunun eğimi ile aynıdır.
A.B > 0 NOT;
b A = (a, b) vektörünün eğimi = m = tanα = a
|A + B| = |A – B| ise A ⊥ B dir. (A ve B sıfırdan farklı vektörler)
248
[email protected]
Vektörler hakkında genel hatırlatmalar.
DİK İZDÜŞÜM
İki vektör dik ise skaler çarpımı sıfırdır.
|OH|: A vektörünün B İki vektörün skaler çarpımı sıfır ise bu vektörler
A = (a, b)
vektörü üzerindeki dik
|A|
dik olmayabilir. (vektörlerden biri yada her ikisi 0 vektörü olabilir.)
izdüşüm uzunluğudur.
α
B = (c, d)
. H
0
BİRİM VEKTÖR İki vektörü skaler çarp
Boyu 1 birim olan vektördür
| OH | =
|A| = 1 birim ise A birim vektördür. a
K =(
a 2 + b2
,
b a2 + b
A.B
dikliğin olduğu vektörün boyuna böl.
) birim vektördür. 2
DİK İZDÜŞÜM VEKTÖRÜNÜ BULMA A = (a, b) |A|
A = (a, b) yönündeki birim vektör.
α a a 2 + b2
,
b a2 + b 2
OH : A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm eks TR em yayınları
2
a +b
2
b
,
2
a +b
H |B|
A = (a, b) doğrultusundaki birim vektörler a
B
.
O
) vektörüdür.
BİR VEKTÖR DOĞRULTUSUNDAKİ BİRİM VEKTÖRLER
B = ±(
a.c + bd c2 + d 2
BİR VEKTÖR YÖNÜNDEKİ BİRİM VEKTÖR
B=(
=
|B|
2
)
vektörleridir
vektörüdür. B
B yönündeki birim vektör
olup
|B| B
İzdüşüm vektörü OH =
| OH |
|B|
TEMEL(BAZ) BİRİM VEKTÖRLER BİR DOĞRUNUN DOĞRULTMAN VEKTÖRLERİ e1= (1, 0)
Vektörlerine temel (baz ) birim
Doğrultman vektörü doğruya paralel olan herhangi bir
e2= (0, 1)
vektörler denir.
vektördür. ax + by + c = 0 doğrusunun doğrultman vektörleri
y e1= i = (1, 0) e2=(0, 1) . O
e1=(1, 0)
A = (– b, a) veya B = (b, –a) ya da katları..(eğimler eşittir)
Şeklinde de yazılabilir
e2= j = (0, 1)
A =(– b, a)
c by+ ax+
=0
x
Temel birim vektörler dışındaki tüm vektörler temel birim vektörler cinsinden (temel birim vektörler baz alınarak)
B = (b, – a)
BİR DOĞRUYA DİK OLAN VEKTÖRLER
yazılabilir.
ax + by + c = 0 doğrusuna dik olan vektörler
Yani;
A = (a, b) veya B = (– a, –b)
A = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a.(1, 0) + b.(0, 1) = a.e1 + b.e2 e1 ya da
A =(a, b)
e2
.
ax +
by +
0 c=
.
A = (a, b) = a.i + b.j
B =(– a, – b)
249
[email protected]
Vektörler hakkında genel hatırlatmalar.
LİNEER BAĞIMLI VEKTÖRLER
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ A
A = (a, b) B = (c, d)
AB.AC = a b dir. yani A // B dir. = c d
lineer bağımlı ise,
| AB |2 + | AC |2 − | BC |2 2
(cos teoreminden) B
C
I. Lineer bağımlı vektörler bulundukları uzayı germez
BİR VEKTÖRÜN BİR DOĞRU ÜZERİNDEKİ DİK İZDÜŞÜM UZUNLUĞUNU BULMAK
II. Paralel vektörler bulundukları uzayı germez
Doğrunun bir doğrultman vektörü alınıp verilen vektörün bu III. Eğimleri aynı vektörler bulundukları uzayı germez
vektör üzerindeki izdüşüm uzunluğu hesaplanır.
Bir A vektörünün ax + by + c = 0 doğrusu üzerindeki dik
( I – II – III aynı anlamda 3 cümledir.)
izdüşümü: NOT; Bir vektör aynı doğrultuda olmayan herhangi iki vektörün lineer bileşimi olarak yazılabilir
Doğrunun bir
A
doğrultmanı
|A|
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ A O
V
.. αα B
α eks TR em yayınları
İKİ VEKTÖRÜN AÇIORTAY VEKTÖRÜNÜ BULMAK
O
B = (b, –a) ax + by + c = 0
. H |B|
İki vektörü skaler çarp
| OH | =
A.B |B|
dikliğin olduğu vektörün boyuna böl
V = A.|B| + B.|A| B
VEKTÖRLERDE STEWART
NOT; A
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ A y
x
z=
z B
m
n
D
.
.
H`
H
d
[AB] nin d doğrusu üzerindeki dik izdüşümü; [H`H]
n.x + m.y m+n
doğru parçasıdır. A
C
NOT; A
ÖZEL DURUM H`
.
A
z=
y
x z B
D
C
. H
. H
d
d
B
x+y 2
1.
250
[AB] nin d doğrusu
[AH] nin d doğrusu
üzerindeki dik izdüşümü;
üzerindeki dik izdüşümü;
[H`H] doğru parçasıdır.
H noktasıdır
[email protected]
UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU – DÜZLEM UZAYDA KOORDİNAT SİSTEMİ
UZAYDA VEKTÖRLER
z (kod)
Z
OP = P = (a, b, c) xoz (y = düzl 0) emi
O . ..
P noktası kenar uzunlukları P
(a, 0, c) O. .
y
b
.
y (ordinat)
a, b, c olan dikdörtgenler prizmasının köşesidir.
xoy düzlemi
x (apsis)
(0, b, c)
c
yoz düzlemi (x = 0)
a
(z = 0)
(a, b, 0)
([OP] cisim köşegenidir.)
X
KONUM VEKTÖRÜ Konum vektörü : bir vektörün başlangıç noktasının orijine
Uzayda bir O noktasında birbirine dik olan üç sayı ekseninin oluşturduğu sisteme uzayda koordinat sistemi denir.
taşınmış halidir. Z
) y , z1 A(x 1, 1
O noktasına başlangıç noktası(orijin), sayı eksenlerine de dik koordinat eksenleri denir.
B(x2, y2, z2)
OABP bir paralelkenar olup Bu koordinat sisteminin oluşturduğu uzaya da analitik uzay denir.
P = (a, b, c)
.. O .
OP; AB nin konum vektörü
y
X
UZAYDA İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK A(x1, y1, z1)
eks TR em yayınları
OP = AB = B – A = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1) = (a, b, c) | AB | = (x1 − x 2 )2 + (y1 − y 2 )2 + (z1 − z2 )2
B(x2, y2, z2)
KÜRENİN ANALİTİK İNCELENMESİ
BİR VEKTÖRÜN BOYU (NORMU) A = (x, y, z) vektörünün boyu | A | = x 2 + y 2 + z2
. P(x, y, z)
İKİ VEKTÖRÜN PARALELLİĞİ
r
.
M(a,b,c)
r = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2
A = (x1, y1, z1) B = (x2, y2, z2)
A // B ise
TEMEL (BAZ) BİRİM VEKTÖRLER
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 küre denklemi, x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + a2 + b2 + c2 – r2 = 0 şeklinde
Z
yazılabilir.
i = e1 = (1, 0, 0)
–2a = A, – 2b = B , – 2c = C ve a2 + b2 + c2 – r2 = D alınırsa,
e3 = (0, 0, 1)
x2 + y2 + z2 + Ax + By + CZ + D = 0 genel küre denklemi
O . ..
A B C , b=− , c=− 2 2 2
j = e2 = (0, 1, 0)
e2 = (0, 1, 0) y
elde edilir. a=−
x1 y1 z1 = = x 2 y 2 z2
k = e3 = (0, 0, 1)
e1 = (1, 0, 0)
r=
1 A 2 + B2 + C2 − 4D 2 ∆
X
SKALER (İÇ) ÇARPIM
∆ > 0 ise denklem bir küre belirtir. ∆ < 0 ise denklem boş küme belirtir.
A = (x1, y1, z1)
A . B = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
B = (x2, y2, z2)
A . B = |A|.|B|.cosα
∆ = 0 ise denklem bir nokta belirtir. x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 = |A|.|B|.cosα
273
[email protected]
Uzayda vektörler ve doğru – düzlem
UZAYDA DOĞRU DENKLEMİ
BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI
A(x1, y1, z1) noktasından geçen ve d = (a, b, c) vektörüne
. A(x , y , z ) 0
paralel olan doğrunun denklemi;
0
0
h E
d = (a, b, c)
Z
. H
Ax + By + Cz + D = 0
. B = (x, y, z)
.
A = (x1, y1, z1)
. O ..
x − x1 y − y1 z − z1 = = a b c
| AH | = h =
y
| Ax 0 + By 0 + Cz0 + D | A 2 + B 2 + C2
İKİ DOĞ DOĞRU ARASINDAKİ ARASINDAKİ AÇI
AB // d
İki doğru arasındaki açı,bu doğruların doğrultman doğruları X
arasındaki açı ile aynıdır. d = (a, b, c) vektörüne doğrunun doğrultmanı yada
x − x1 y − y1 z − z1 = = a1 b1 c1
doğrultman vektörü denir.
d1 = (a1, b1, c1)
UZAYDA DÜZLEM DENKLEMİ
α
α d2 = (a2, b2, c2)
x − x 2 y − y2 z − z2 = = a2 b2 c2
A(x1, y1, z1) noktasından geçen ve N = (a, b, c) vektörüne dik olan düzlemin denklemi;
eks TR em yayınları
d1 = (a1, b1, c1) ve d2 = (a2, b2, c2)doğrultmanları arasındaki Z
N = (a, b, c)
. .B(x, y, z)
.A(x , y , z ) 1
1
1
O . ..
y
açıyı skaler çarpım ile bulabiliriz. Böylece iki doğru arasındaki açıyı da bulmuş oluruz. NOT; Doğ Doğrultmanları rultmanları dik olan doğ doğrular dik kesiş kesişen doğ doğrulardı rulardır.
İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ AÇI
X
AB ⊥ N olduğundan AB.N = 0 olmalıdır. Dolayısı ile;
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
..
a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0 denklemi elde edilir.
.
α
.
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
α 0− 18
N = (a, b, c) vektörüne düzlemin normal vektörü denir. N2
BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI
N1 Düzlemleri arasındaki açının ölçüsü α ise
A(x0, y0, z0) α
.
α K(x1, y1, z1)
d = (a, b, c)
. H
x − x1 y − y1 z − z1 = = a b c
Normal vektörleri arasındaki açının ölçüsü
N2 = (A2, B2, C2)
180 – α ya da α olur.
İKİ DÜZLEMİN PARALELLİĞİ
Yukarıdaki şekil dikkatlice incelenirse KA vektörü ile d(doğrultman) vektörü arasındaki açının kosinüsü KA ile d vektörlerinin skaler çarpımı ile kolayca bulunup buradan dik üçgen yardımı ile sinüs değerine geçiş yapılabilir. Böylece sinα =
N1 = (A1, B1, C1)
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Düzlemleri paralel ise, normal
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
vektörleri de paraleldir.
A B C N1 // N2 olduğundan 1 = 1 = 1 A 2 B 2 C2
| AH | eşitliğinden |AH| bulunabilir. | AK |
274
N2
N1
[email protected]
