A enquanto variáveis de escolha dá origem a um ótimo restrito. Exemplo: limitar a escolha de uma firma, que produz o bem 1 na quantidade e o bem 2 na quantidade à restrição que . O que a restrição faz é estreitar o domínio da função objetivo
90
+
MÉTODO DO MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
A essência do método do multiplicador de Lagrange é converter um problema de extremo restrito em uma forma tal que a condição de primeira ordem do problema do extremo livre ainda possa ser aplicada.
O símbolo representa algum número ainda não determinado e é denominado multiplicador (indeterminado) de Lagrange.
Se de algum modo pudermos ter certeza de que a restrição seja satisfeita, então o último termo do lagrangeano se anulará independentemente do valor de .
O valor de ∗ fornece uma medida da sensibilidade de à uma mudanca na restrição.
ℒ
INTERPRETAÇÃO PARA O MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
O valor de solução do multiplicador de Lagrange constitui uma medida do efeito de uma variação na restrição por meio do parâmetro sobre o valor ótimo da função objetivo.
Na função objetivo a única variável exógena disponível é , uma vez que , e são endógenas.
Uma variação em causaria um deslocamento da curva de restrição no plano e, por conseguinte, alteraria a solução ótima.
Um aumento em (um orçamento maior ou uma quota de produção maior) indicaria como a solução ótima é afetada por um abrandamento da restrição.
CASOS COM N VARIÁVEIS E MÚLTIPLAS RESTRIÇÕES
,,…, Sujeita à: , ,…, e , ,…, Função Objetivo: Lagrangeano:
ℒ ,,…, + − ,,…, + − ,,…, Condições de primeira ordem: ℒ − − 0 ∀1,2,…, ℒ − , ,…, 0 ℒ − , ,…, 0
(,)
Para um extremo restrito de , sujeito a condição necessária de segunda ordem será:
(,) , a
0 < 0 se o ponto extremo é um mínimo ℒ ℒ ℒ ℒ > 0 se o ponto extremo é um máximo é o determinante da matriz hessiana-orlada. Onde
Para um problema de extremo livre, saber se uma função objetivo é côncava ou convexa elimina a necessidade de verificar a condição de segunda ordem.
Novamente é possível prescindir da condição de segunda ordem se a superfície ou a hipersuperfície tiver o tipo adequado de configuração.
Mas, dessa vez, a (em vez de concavidade) para um máximo, (em vez de convexidade) para um mínimo.
A quase-concavidade (quase-convexidade) é uma condição mais fraca que a concavidade (convexidade).
CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA A quase-concavidade e a quase-convexidade, assim como a concavidade e a convexidade, podem ser ou estritas ou não-estritas. e quaisquer dois pontos distintos no domínio de uma função e Sejam considere o segmento de reta no domínio que dá origem ao arco no gráfico da função, tal que o ponto e mais alto ou tenha a mesma altura do ponto . Então, diz-se que: é quase-côncava se todos os pontos sobre o arco , exceto e , forem mais altos que ou tiverem a mesma altura do ponto . Ainda, é estritamente quase-côncava se todos os pontos sobre o arco , exceto e , forem estritamente mais altos que o ponto . é quase-convexa se todos os pontos sobre o arco , exceto e , forem mais baixos que ou tiverem a mesma altura do ponto . Ainda, é estritamente quase-convexa se todos os pontos sobre o arco , exceto e , forem estritamente mais baixos que o ponto . Qualquer função estritamente quase-côncava (estritamente quase- convexa) é quase-côncava (quase-convexa), mas a recíproca não é verdadeira.
(a)
O formato do gráfico de uma função quase-côncava que não é também côncava é aproximadamente um sino ou uma parte de um sino. É admissível ter segmentos côncavos e convexos no sino. Essa natureza mais permissiva da caracterização faz da . (a) e (b) retratam funções crescentes, pois contem todas as porções ascendentes de um domo e de um sino, respectivamente.
(b)
(a) é estritamente côncava
(b) com certeza não é estritamente côncava (pois contem porções convexas perto da base do sino), mas é estritamente quase-côncava (todos os arcos sobre a superfície) satisfazem a condição de que todos os pontos sobre cada arco entre os dois pontos das extremidades são mais altos que o ponto da extremidade mais baixa.
DEFINIÇÃO ALGÉBRICA Uma função é quase-côncava se, e somente se, para qualquer par de pontos distintos e no domínio de , e para :
0 < < 1 ≥ ⇒ + 1 − ≥ Uma função é quase-convexa se, e somente se, para qualquer par de pontos distintos e no domínio de , e para 0 < < 1: ≥ ⇒ + 1 − ≤
Para adaptar essa definição a quase-concavidade e a quase-convexidade estritas, as duas desigualdades fracas da direita devem ser trocadas para desigualdades estritas ( e ).
> <
Teorema I (negativa de uma função) for quase-côncava (estritamente quase-côncava), então Se convexa (estritamente quase-convexa).
()
−() é quase-
Teorema II (concavidade versus quase-concavidade) Qualquer função côncava (convexa) é quase-côncava (quase-convexa), mas a recíproca não é verdadeira. De modo semelhante, qualquer função estritamente côncava (estritamente convexa) é estritamente quase-côncava (estritamente quase-convexa), mas a reciproca não é verdadeira. Teorema III (função linear) for uma função linear, então ela é quase-côncava, bem como quase Se convexa.
()
EXEMPLO: Verifique a quase-concavidade e quase-convexidade de
≥ 0 .
PARA FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS
Se for diferenciável, contudo, a quase-concavidade e a quase-convexidade podem ser definidas alternativamente em termos de suas derivadas primeiras.
() ≥ ⇒ ′()( − ) ≥ 0 Uma função diferenciável de uma só variável, (), é quase-convexa se, e somente se, para qualquer par de pontos distintos e no domínio: ≥ ⇒ ′()( − ) ≥ 0 Uma função diferenciável , ,…, é quase-côncava se, e somente se, para qualquer dois pontos distintos , ,…, e , ,…, no domínio: ≥ ⇒ ()( − ) ≥ 0 Uma função diferenciável de uma só variável, , é quase-côncava se, e somente se, para qualquer par de pontos distintos e no domínio:
=
,,…, é quase-convexa se, e somente se, para qualquer dois , ,…, e ,,…, no domínio: ≥ ⇒ ()( − ) ≥ 0
Uma função diferenciável pontos distintos
=
Para a quase-concavidade e a quase-convexidade estritas, a desigualdade fraca da direita deve ser mudada para a desigualdade estrita.
EXEMPLO: Verifique a quase-concavidade de
, ≥ 0 .
PARA FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS
, ,…,
Por fim, se uma função for continuamente diferenciável duas vezes, a quaseconcavidade e a quase-convexidade podem ser verificadas por meio das derivadas parciais primeiras e segundas da função, arranjadas no determinante aumentado:
0 ⋮
⋮
⋮
… … … ⋱ …
⋮
Os menores principais líderes de
0
Esse determinante aumentado é parecido com o hessiano aumentado para um problema de ótimo restrito ( ).
Diferentemente deste, entretanto, o acréscimo em é composto das derivadas primeiras da função em vez de uma função de restrição .
são:
0
...
PARA FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS Assim:
Para que
,,…,
seja quase-côncava para todo
,,…, ≥ 0 , é necessário que:
,,…,
seja estritamente quase-côncava para todo
≤ 0 , ≥ 0 , ≤≥ 0 í
Para que suficiente que:
< 0 , > 0
Para que
,
<> 0 í
,,…,
seja quase-convexa para todo
,,…,
seja estritamente quase-convexa para todo
Para que suficiente que:
,,…, ≥ 0 , é
,,…, ≥ 0 , é necessário que:
≤ 0 , ≤ 0 , ≤ 0 < 0 , < 0
,
< 0
,,…, ≥ 0 , é
Suponha que o consumidor pode escolher hipoteticamente entre somente dois bens e que ambos tem funções utilidade marginal continuas e positivas. Os preços dos dois bens são determinados pelo mercado, portanto, são exógenos. Se o poder de compra do consumidor for uma dada quantidade B (de "budget" orçamento), o problema apresentado será o de maximização de uma função utilidade: —
max ( , > 0) , (,) sujeito à: +
LEITURA OBRIGATÓRIA CHIANG, A. C. Matemática para economistas. Rio de Janeiro: ELSEVIER, 2006. Capítulo 12. •
Obrigada!
