MOVIMIENTO OSCILATORIO 1. Int Int r oducc oducción ión Una partícula efectúa un movimiento oscilatorio cuando se mueve alrededor de una posición equilibrio estable. estable. Por lo tanto, resulta esencial a la hora de determinar si un movimiento oscilatorio o no, el que exista dicha posición de equilibrio que, además, deberá ser estable, decir, el sistema deberá permanecer allí salvo que lo apartemos de dicha posición, pero hacerlo, regresará a ella.
de es es al
No debemos confundir un movimiento oscilatorio con un movimiento periódico. Este último se define como aquél que se repite a sí mismo. Las definiciones no son coincidentes ni se implican entre sí. Efectivamente, como ejemplo de movimiento periódico podemos citar el de la Tierra alrededor del Sol, el cual no es, sin embargo, oscilatorio ya que no existe posición de equilibrio en dicho movimiento. Como veremos, un movimiento oscilatorio amortiguado, como el de un péndulo real, es, ciertamente, oscilatorio, pero sin embargo no es periódico, ya que no se repite a sí mismo. El movimiento oscilatorio matemáticamente más sencillo es el movimiento armónico simple (MAS) el cual es, como se verá, periódico también. Comenzaremos por estudiar el MAS ya que cumple la doble condición de ser matemáticamente sencillo y de representar movimientos reales, tanto en sí mismos (como primera aproximación), como por ser, de acuerdo con el análisis de Fourier, el comportamiento básico de cualquier movimiento periódico.
2. Movi mient o Ar Ar móni móni co Si mple Consideremos un movimiento unidimensional de una partícula. Supongamos que en dicho movimiento existe una posición de equilibrio estable, que denominaremos origen. origen. Por la propia definición de equilibrio estable, si la partícula es separada del origen, aparecerá una fuerza que tenderá a llevarla de nuevo a dicha posición. Por cumplir con esta condición, la llamaremos fuerza recuperadora. recuperadora. Vamos a imponer la doble condición sobre la fuerza recuperadora de que sea función únicamente de la posición ocupada por la partícula y de que sea infinitamente derivable, es decir, F
∃
= F ( x) d n F dx n
, ∀n ∈ N
[1]
Por lo tanto, podemos hacer un desarrollo en serie de Taylor de F en el entorno del origen (x=0), x=0),
dF ⎞ 1 2 ⎛ d 2 F ⎞ ⎛ F ( x) = F0 + x ⎜ ⎟ + 2 x ⎜ dx 2 ⎟ + ..... d x ⎝ ⎠0 ⎝ ⎠0
[2]
=F(x=0)=0. Por otra parte, ¡y ésta es La definición del punto origen nos permite afirmar que F 0=F(x=0)=0. una importante condición restrictiva que no debe olvidarse en el desarrollo de este tema!,
1
impondremos la condición de que los desplazamientos sean pequeños. pequeños. Por lo tanto, despreciaremos los términos cuadráticos y de orden superior en x, quedando,
⎛ dF ⎞ ⎟ ⎝ dx ⎠ 0
F ( x) = x⎜
[3]
Ahora bien, por ser F una fuerza recuperadora, deberá estar dirigida siempre hacia el origen, lo
⎛ dF ⎞ < 0 . Llamando k ⎟ ⎝ dx ⎠0
dF
cual significa que ⎜
0 tendremos, finalmente, la expresión de la
dx
0
fuerza recuperadora para oscilaciones pequeñas, F
[4]
kx
que es otra expresión de la ley de Hooke. La constante k recibe k recibe el nombre de constante elástica (debe su nombre al tipo de experimentos que Hooke realizó para llegar a obtener su ley). A continuación analizaremos el tipo de movimiento que resulta de la acción de una fuerza del tipo [4] sobre una partícula de masa m. De acuerdo con la segunda ley de Newton, kx
d2x
donde &x&
2
dt
dx& dt
[5]
m&x&
es una forma conveniente describir la aceleración adquirida por la partícula.
Observe que x& es la velocidad de la partícula. La ecuación del movimiento [5] se puede expresar de forma más adecuada, &x&
donde ω 02
ω 02 x
[6]
0
k recibe el nombre de frecuencia propia o natural del oscilador. Esta es una m
ecuación diferencial (la incógnita x está sometida a la operación de derivar), ordinaria (sólo hay una variable independiente, el tiempo), de segundo orden (el orden máximo de derivación es el segundo), homogénea (no hay término independiente, es decir, todos los sumandos contienen la incógnita x o su derivada), con coeficientes constantes (1 (1 y ω o2 ) y lineal lineal (la incógn incógnita ita y sus †
derivadas están elevadas a la primera potencia). Resolviendo la ecuación diferencial [6] obtenemos la solución para el valor de x.
†
2
La ecuaci ecuación ón caract caracterí erísti stica ca de [6] es λ + ω 0
dicha ecuación será inte integr grac ació ión n sen( M + N )
2
como como =
2
=
0,
cuyas cuyas raíces raíces son λ ± = ± iω 0 . Por lo tanto, tanto, la soluci solución ón genera generall de Eligiendo convenientemente la forma de las constantes de
x (t )
=
C 1 cos ω 0 t + C 2 sen ω 0 t .
C 1
=
A sen φ
y C 2 =
sen M cos N + cos M sen N ,
A cos φ ,
y
haci hacien endo do
uso uso
de
la
iden identi tida dad d
trig trigon onom omét étri rica ca
tendremos, finalmente, la solución [7]. Alternativamente, podemos elegir
x(t ) = A sen (ω 0 t + φ )
[7]
Alternativamente, podríamos tomar como solución la expresión, x (t ) = A cos(ω 0 t − ψ )
[8]
Por lo tanto, sea una u otra, cualquiera de las dos es solución de la ecuación del movimiento del oscilador armónico simple. Obsérvese que en t=0, la ecuación [7] da, x0 x (t 0) A sen(φ ) , mientras que de la ecuación [8] se obtiene: x0 x (t 0) A cos( χ ) A cos(ψ ) . Es decir, que utilizar indistintamente las ecuaciones [7] u [8] refleja únicamente una elección distinta para la posición inicial del sistema oscilante, pero el movimiento es, evidentemente, el mismo. Se entiende así, si se consultan varios libros de texto, que unos autores elijan [7] como solución de la ecuación [6] y otros prefieran la solución [8]. Nosotros tomaremos la solución [7] del movimiento armónico simple. Esta solución expresa un movimiento sinusoidal, es decir, un movimiento oscilatorio de un tipo especial. En dicha solución, A es el valor máximo de la elongación x y se denomina amplitud, φ da idea de la posición ocupada por el móvil en el instante inicial (x(t=0)=Asenφ ), y recibe el nombre de constante de fase. A y φ son las constantes de integración de la ecuación [6], así que dependerán de las condiciones iniciales del movimiento ( x(t o ) x0 y x& t 0 x&0 . Así,
x0 x&
2 0
x
A sen(φ )
Aω 0 cos(ω 0t φ )
2
x&0
Aω0 cos(φ )
x 02 A2
+
φ
x& 02 A 2ω 02
2 &0
x
A sen (φ ) 2
2 0
2
A ω cos (φ )
=1⇒ A = x + 2 0
2
x02
2
A2 x&02
sen (φ ) cos (φ )
sen 2 (φ )
cos 2 (φ )
1
A2ω 02
x& 02
[9]
ω 02
x0
arc sen x02
Por otra parte, como ω 02
2
[9´]
x&02 ω 02
k , está claro que la frecuencia propia del oscilador depende de las m
propiedades intrínsecas del sistema oscilante: la masa m y la constante elástica k. El argumento de la función seno, es decir (ω 0 t + φ ) , recibe el nombre de fase. Se observa fácilmente que el valor de x se repite a sí mismo cada vez que la fase aumenta (o disminuye) un C 1
=
A cos ψ y C 2
=
A sen ψ que,
con ayuda de la identidad trigonométrica
cos( M − N )
=
cos M cos N + sen M sen N ,
nos
permite obtener la solución [8].
3
número entero de 2π radianes. Si además definimos el período de un MAS (acabamos de ver que efectivamente es periódico) como el tiempo transcurrido hasta que el movimiento se repite, es fácil establecer la siguiente igualdad, ω 0 (t + T ) + φ = ω 0 t + φ + 2π
[10]
que indica que cuando ha pasado un tiempo T desde que la fase del MAS era (ω 0 t + φ ) , ésta se ve incrementada en 2π radianes y, por lo tanto, el movimiento se repite. A partir de [10] deducimos el valor del periodo T , T
2π
[11]
ω 0
Especialmente útil es la magnitud frecuencia,ν , que se define como el número de oscilaciones realizadas por el móvil en la unidad de tiempo. Evidentemente, ν
1
ω 0
T
2π
x
[12] y su unidad de medida en el sistema internacional es el hertzio (Hz ).
t
Resulta interesante comparar los valores de velocidad y aceleración del móvil en cada posición. Para ello, hemos de derivar x(t) respecto del tiempo una vez x& y dos
v
veces &x& . Los resultados son, x& (t )
Aω 0 cos(ω 0 t φ )
&& x(t )
Aω 02 sen(ω 0T
φ)
t
[13]
t
Como vemos, la velocidad está desfasada respecto de la aceleración en π /2 radianes, estando ésta en oposición de fase (diferencia de fase de π radianes) respecto de la posición. Esto significa que allí donde x toma su valor máximo (positivo o negativo) su primera derivada x& toma el
a
valor nulo, y su segunda derivada
Figura 1
4
ω02 x
&x&
toma su valor máximo (negativo o positivo, respectivamente), como se puede apreciar en la figura 1.
El estudio realizado hasta aquí del MAS se refiere a su aspecto dinámico. A continuación, centraremos nuestra atención en el análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en el MAS, pero antes veamos un ejemplo. Ejemplo 1. Una partícula realiza un MAS, siendo x=0 la posición de equilibrio. La frecuencia -1 de las oscilaciones es de 0,25 s . Si la elongación inicial era de 0,37 cm y la velocidad inicial era nula, calcular: a) el período, la frecuencia angular y la amplitud, b) la velocidad máxima y la aceleración máxima, y c) la elongación, la velocidad y la aceleración en el instante t=3 s. Resolución: 1 1 T = = = 4s ν 0,25 ω o
= 2πν =
A = x max v max a max
π rad 2
s
= 0,37cm
= Aω o = 0,185π cm s
= Aω o2 = 0,0925π 2 cm
s2 La dependencia de la posición del oscilador con el tiempo es, x = A sen (ω o t + φ ) Para determinar la constante de fase φ haremos uso de las condiciones iniciales,
⎧ ⎪ ⎪ xo φ = arcsen ⎨ ⎪ x 2 + x& o2 ⎪ o ω 2 o ⎩
⎫ ⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎬ = arcsen ⎨ ⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎭
⎫⎪ π arcsen 1 = = ⎬ 2 0,37 2 ⎪ ⎭
0,37
Por lo tanto, π π ⎞ = 0,37 sen⎛ ⎜ 3+ ⎟ = 0 2⎠ ⎝ 2 ⎛ π π ⎞ x& = 0,185π cos⎜ 3 + ⎟ = 0,185π cm s 2⎠ ⎝ 2 ⎛ π π ⎞ = 0 2 &x& = −0,0925π sen ⎜ 3 + ⎟ 2⎠ ⎝ 2
x
La energía mecánica del oscilador armónico simple (OAS) es, como sabemos, la suma de su energía cinética más su energía potencial. Efectivamente, es fácil comprobar que la fuerza elástica, dada por la ley de Hooke, es una fuerza conservativa que lleva asociada la siguiente función energía potencial, 1 1 [14] E p = kx 2 = kA 2 sen 2 (ω O t + φ ) 2 2
5
que recibe, evidentemente, el nombre de energía potencial elástica. Por otra parte, la energía cinética será, E c
1
1
1
2
2
2
= mv 2 = mA 2ω O2 cos 2 (ω O t + φ ) = kA 2 cos 2 (ω O t + φ )
[15]
por lo tanto, la energía mecánica del oscilador será, finalmente, 1
= kA 2
E m
[16]
2
Como era de esperar del hecho de que la única fuerza que provoca el movimiento del OAS sea conservativa, la energía mecánica es una magnitud constante. A partir de la ecuación del movimiento, ecuación [5], se podía haber adelantado este resultado. Efectivamente,
E m
1
1
dE m
2
2
dt
= E c + E p = mx& 2 + kx 2 ⇒
= mx&&x& + kxx& = 0
[17]
Ejemplo 2. Una partícula de 25 g de masa es atraída hacia un punto fijo O por una fuerza proporcional a la distancia que los separa. La partícula realiza un movimiento rectilíneo. Calcular el período del movimiento y las energías cinética y potencial cuando la partícula dista de O la mitad de la amplitud del movimiento, sabiendo que A=1 cm y que k=0,1 N/m. Resolución: La fuerza es F = −kx . Aplicando la segunda ley de Newton tendremos que, F = m&x& ⇒ − kx = m&x& ⇒ &x& = −
k m
x ⇒ ω o
=
k m
⇒ T =
2π ω o
= 2π
m k
= 2π
La energía potencial es, E p
1
1
2
2
= kx 2 =
0,1·0,005 2
= 1,25µ J − 1,25·10 −6 = 3,75µ J
La energía cinética es, E c
3. Péndulo simple
6
1
1
1
2
2
2
= mx& 2 = kA 2 − E p =
0,1·0,012
0,025 0,1
= π s
4. Péndul o f ísico
5. Superposición de MAS 1
6. Oscil aciones amort i guadas El movimiento ejecutado por el oscilador armónico simple recibe el nombre de oscilación libre y es tal que una vez iniciado no cesa nunca. Es evidente que tal movimiento es una simplificación del hecho físico real en el que la presencia de fuerzas de rozamiento terminarán por extinguir el movimiento, desapareciendo las oscilaciones.
1
En un primer estudio omitiremos este apartado
7
Vamos a considerar el caso frecuente en que la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad del cuerpo,
F r
= −bx&
[18]
donde b es una constante positiva que depende de la geometría del cuerpo oscilante y del medio en el que se mueve. La ecuación del movimiento en este caso será, kx bx&
[19]
mx&&
o, alternativamente, && x
donde γ
b 2m
2γ x& ω 02 x
0
[20]
se denomina factor de amortiguamiento .
La solución de esta ecuación diferencial depende de la relación entre γ y ω 0. Distinguimos los casos posibles, a) ω 02 γ 2 En este caso la solución será,
x = A exp(−γ t ) sen(ω 1t − θ )
[21]
donde A y θ son ahora las constantes de integración, y ω 1 = ω 02 − γ 2 se denomina frecuencia angular del oscilador amortiguado, aunque estrictamente no lo sea, ya que este movimiento no se repite a sí mismo, es decir, no es periódico. El movimiento representado mediante la ecuación [21] recibe el nombre de movimiento oscilatorio amortiguado y será el objeto de estudio principal en este apartado. Sin embargo, analicemos someramente otros casos antes de continuar con el estudio del oscilador amortiguado. b) ω 02 γ 2 La solución de la ecuación [20] será, x
(A
Bt ) exp( γ t )
donde A y B son ahora las constantes de integración. c) ω 02 γ 2 La solución que toma la ecuación [20] en este caso es la siguiente,
8
[22]
x = exp(− γ t )[A1 exp(− ω 2 t ) + A2 exp(ω 2 t )] donde A1 y A2 son las constantes de integración, y ω 2
γ
2
[23]
2 ω 0 .
En los casos b) y c) la solución no es oscilatoria. El móvil volverá a la posición de equilibrio sin rebasarla o, a lo sumo, rebasándola una vez, dependiendo de las condiciones iniciales, es decir, si la velocidad inicial es no nula y suficiente, el sistema podría rebasar la posición de equilibrio una vez, pero luego volvería a ella progresivamente sin oscilar. El caso b) recibe el nombre de movimiento aperiódico crítico, mientras que el caso c) se conoce como movimiento aperiódico sobreamortiguado .
Figura 2
Resulta interesante destacar que, de los tres casos posibles, en el movimiento aperiódico crítico la vuelta a la posición de equilibrio del sistema se producirá de la manera más rápida (ver figura 2), algo que se aprovecha para diseñar dispositivos como galvanómetros, amortiguadores, etc. Volviendo al caso a), resulta interesante dibujar x frente a t dada por la ecuación [21] (ver figura 3). Como vemos, se produce un movimiento oscilatorio cuya amplitud disminuye con el paso del tiempo de manera exponencial. Se ha dibujado la curva γ =0 (movimiento armónico simple) para destacar el hecho de que la frecuencia ω1 ω 0 . Si derivamos la energía mecánica del oscilador respecto x del tiempo tendremos que, dE
t
dt
&&& kxx& mxx
[24]
Figura 3
A partir de la ecuación del movimiento del oscilador amortiguado, ecuación [19], después de multiplicar ambos miembros de la igualdad por x& , se obtiene, &&& kxx & mxx
bx& 2
[25]
luego, dE dt
bx& 2
2γ mx& 2
[26]
es decir, la energía del oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, debido al factor de amortiguamiento (γ≠ 0), de acuerdo con la ley temporal que expresa la función x& 2 . Obsérvese
9
que para el caso γ =0 (oscilador armónico simple) resultaría que
dE dt
0,
es decir, la energía es
constante, como ya habíamos obtenido anteriormente. Ahora bien, veamos explícitamente cómo varía la energía con el tiempo. Sabemos que la amplitud del oscilador amortiguado disminuye exponencialmente con el tiempo, además, si el oscilador es lineal la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud. Esto hace pensar que la energía disminuirá exponencialmente con el tiempo. Veamos que éste no es el caso. Para ello calcularemos la energía,
x = A exp(− γ t )sen (ω 1t − θ )
[27]
x& = − A exp(− γ t )[γ sen (ω 1t − θ ) − ω 1 cos(ω 1t − θ )] Multiplicaremos
segunda
ecuación
por
ω 0
ω 0
e
introduciremos el ángulo δ , definido de tal forma que,
ω o
γ
la
δ
sen δ =
γ ω 0
y cos δ =
ω 1
[28]
ω 0
ω 1 que está fundamentado en la construcción geométrica que sugiere la definición de ω 1 (ver figura 4). Por lo tanto,
Figura 4
x& = − Aω 0 exp(− γ t )[sen δ sen (ω 1t − θ ) − cos δ cos(ω 1t − θ )]
[29]
Haciendo uso de la relación trigonométrica cos(A+B)=cosAcosB-senAsenB , resultará la expresión,
⎛ ⎝
x& = Aω 0 exp(− γ t )cos (ω 1t − θ + δ ) = Aω 0 exp (− γ t )sen ⎜ ω 1t − θ + δ +
es decir, entre x y x& existe un desfase de
π 2
π ⎞
⎟
2⎠
[30]
+ δ .
Si sustituimos los valores de posición y velocidad en la expresión de la energía mecánica, resultará, E m
1
= kA 2 exp(− 2γ t )[sen 2 (ω 1t − θ ) + cos 2 (ω 1t − θ + δ )] 2
[31]
Obsérvese que es el valor no nulo del amortiguamiento del sistema, a través del ángulo δ el responsable de que la energía del oscilador amortiguado no disminuya exponencialmente con el 2 2 tiempo. No obstante, debido a que el promedio en un período de las funciones sen y cos es ½,
10
la energía promedio sí que disminuye exponencialmente con el tiempo, lo que puede justificar la (errónea) afirmación encontrada en varios libros de texto. Ejemplo 3. Se llama decremento logarítmico, Γ , al logaritmo neperiano del cociente entre la posición x(t) en un instante dado y la posición un “periodo” de tiempo más tarde. Esto es: Γ =ln[x(t)/x(t+T)]. Demuéstrese que γ en un oscilador amortiguado es constante e igual a bT/2m=γ T. Resolución: La solución del oscilador amortiguado es, x = A exp(− γ t )sen(ω 1t − θ ) De acuerdo con la definición dada,
⎡ ⎤ A exp(− γ t )sen(ω 1t − θ ) Γ = ln ⎢ ⎥ ⎣ A exp(− γ (t + T ))sen(ω 1 (t + T ) − θ )⎦ como sen(ω 1t − θ ) = sen(ω 1 (t + T ) − θ ) , resultará que, Γ = ln[exp(− γ t + γ t + γ T )] = γ T =
bT 2m
7. Oscil aciones f orzadas (y amor t i guadas). Resonancia En las oscilaciones reales, inevitablemente, existe amortiguamiento. Por este motivo, la amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo hasta que las oscilaciones desaparecen. Si queremos que las oscilaciones se mantengan, será preciso suministrar energía al sistema de forma adecuada para compensar la disipación de la energía debido a las fuerzas de rozamiento. Si la energía se introduce al mismo tiempo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo. Este suministro de energía se consigue mediante la aplicación de una fuerza externa. En este caso hablaremos de oscilador forzado . Una forma de suministrar energía a un sistema, formado por un objeto que cuelgue de un muelle vertical, consiste en mover el punto de soporte hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple de frecuencia ω . Al principio el movimiento es complicado pero, finalmente, alcanzará un estado estacionario en el que el sistema oscilará con la misma frecuencia ω de la fuerza externa impulsora y con amplitud constante y, por tanto, con energía constante también. En el estado estacionario, la energía introducida en el sistema por la fuerza impulsora durante un ciclo es igual a la disipada en un ciclo debido al amortiguamiento. La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia. Se define la frecuencia natural de un oscilador como la que tendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor (es decir, la frecuencia propia del oscilador armónico simple,ω 0
k m
). Esta frecuencia juega un papel
fundamental, ya que si la frecuencia de la fuerza impulsora toma un valor igual o relacionado con la frecuencia natural del oscilador, el sistema oscila con la máxima potencia o amplitud, respectivamente. Estos fenómenos reciben los respectivos nombres de resonancia en la transferencia de energía y resonancia en amplitud. Después los analizaremos detenidamente.
11
Consideremos un sistema amortiguado sometido a una fuerza externa F(t), la ecuación del movimiento del sistema será, kx bx&
[32]
mx&&
F (t )
o bien, &x&
F (t )
+ 2γ x& + ω 02 x =
[33]
m
El caso más sencillo e interesante de oscilador forzado corresponde a la situación en la que la fuerza externa es una fuerza sinusoidal, por lo tanto, del tipo, F (t )
[34]
F0 sen(ω t )
Si la fuerza F(t) es del tipo dado por la ecuación [34], la ecuación del movimiento será, && x
siendo D
F 0 m
2γ x ω 02 x
[35]
D sen ω t
y ω la frecuencia angular de la fuerza impulsora, que no debemos confundir con
ω 0, la frecuencia natural o propia de la oscilador. La solución de la ecuación [35] consta dos términos, x
xg
[36]
xp
donde xg es la solución de la ecuación homogénea, es decir la ecuación [35] sin el término independiente, o sea, la ecuación del oscilador amortiguado, y xp es una solución particular de [35] que puede obtenerse probando una solución del mismo tipo que el término independiente, es decir, xp
= G sen (ω t − µ )
[37]
si sustituimos esta última ecuación en la ecuación [35] resultarán, G
=
D
(ω
2 0
µ
− ω
arctg
)
2 2
[38]
+ 4ω γ 2
2ωγ ω 02
ω 2
2
[39]
Obsérvese que mientras que A y θ son las constantes de integración de la ecuación [35] y que, por lo tanto, dependen de las condiciones iniciales del problema, G y µ son constantes fijas que dependen de las características del sistema (ω 0 y γ ) y de la fuerza impulsora (ω y D).
12
Por lo tanto, la solución del oscilador forzado es, finalmente,
x = A exp(− γ t )sen(ω 1t + θ ) + G sen(ω t − µ )
[40]
Se observa que pasado un tiempo muy grande (t →∞ ) la solución xg llegará a ser despreciable frente xp, cuya amplitud es constante. Se entiende así que a xg se la denomine solución transitoria y a xp solución estacionaria. Nos centraremos en el estudio del oscilador cuando la solución dominante es la solución estacionaria. Obsérvese que el sistema oscilará a modo de oscilación armónica simple con una frecuencia igual a la de la fuerza impulsora. El ángulo µ es el desfase existente entre xp y F . Si representamos µ frente a ω , tal como se muestra en la figura 5, ocurre algo interesante y es que cualquiera que sea el valor de γ , todas las curvas se cortan en ω =ω 0, siendo µ =π /2, el valor en dicho punto. Es decir, cuando ω =ω 0, F y x estarán en cuadratura de fase. Utilizaremos este resultado a continuación.
γ 2 2
µ=π/2
) )
ω − ο
ω ( / γ ·
ω · 2 ( g t c r a =
µ
γ ω=ω
ω ο Ha quedado establecido que el efecto de Figura 5 la fuerza, F , es suministrar energía al oscilador amortiguado para compensar la disipación que en él se está produciendo por γ . Vamos a expresar explícitamente la ley que representa tal suministro de energía con la intención de definir las condiciones que lo hacen
óptimo. Sabemos que
dE dt
&&& kxx & mxx
. A partir de la ecuación del movimiento se obtiene que,
&&& kxx& mxx
Fx&
2γ mx& 2
[41]
La derivada de la energía respecto del tiempo será, dE dt
Fx&
2γ mx& 2
[42]
y de aquí, Fx&
dE dt
2γ mx& 2
[43]
es decir, la potencia suministrada por la fuerza impulsora se emplea en almacenar energía mecánica en el oscilador (
dE dt
) y en compensar la disipación que se produce en el mismo por
fricción ( 2γ mx& 2 ). Obsérvese que al cesar la acción de la fuerza, la energía almacenada E se disipará en el oscilador amortiguado, mientras que haya energía almacenada.
13
Lo que ahora nos planteamos es determinar la(s) condición(es) que debe(n) cumplirse para que se suministre la máxima potencia al oscilador. Como Fx& varía a lo largo de un ciclo, debemos promediar dicha magnitud. La potencia instantánea es, P = F x&
= F 0 sen ω t Gω cos(ω t − µ ) = π ⎞ = F 0 sen ω t Gω sen⎛ ⎜ ω t − µ + ⎟ = 2⎠ ⎝ ⎡ ⎧ π ⎞ ⎛ π ⎞⎫⎤ = Gω F 0 ⎢sen ω t ⎨sen ω t cos⎛ ⎜ µ − ⎟ − cos ω t sen⎜ µ − ⎟⎬⎥ = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭⎦ ⎩ ⎣ ⎡ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ = Gω F 0 ⎢sen 2 ω t cos⎛ ⎜ µ − ⎟ − sen ω t cos ω t sen⎜ µ − ⎟⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣
[44]
Puesto que la cantidad media de energía que es absorbida en un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza impulsora, y teniendo en cuenta que: [ que
1 T
T
cos ω tsenω tdt 0
1 T
T
sen 2ω tdt 0
1 2
] y
, tendremos que,
0
P
1 π ⎞ = Gω F0 cos⎛ ⎜ µ − ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
⎛ ⎝
donde el valor cos⎜ µ −
[45] π ⎞
⎟ recibe el nombre de factor de 2⎠ potencia. Vemos que la potencia media es máxima π ⎛ π ⎞ cuando cos⎜ µ − ⎟ = 1 , es decir, cuando µ − = 0 , o sea, 2 ⎝ 2 ⎠ π cuando F y x& están en fase, lo que significa que µ = , 2 pero esto ocurre cuando ω =ω 0, según hemos visto. Es decir, acabamos de encontrar que cuando ω =ω 0 (la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador) se produce la máxima transferencia Figura 6 (absorción) de potencia de la fuerza impulsora (por el oscilador) al oscilador (desde la fuerza impulsora). A esa situación se le denomina resonancia en la transferencia de potencia. En la figura 6 se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora y para valores diferentes de amortiguamiento. Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es alto), el oscilador absorbe mucha más energía de la fuerza impulsora a la frecuencia de resonancia, lo cual no ocurre a cualquier otra frecuencia. La anchura del pico de la curva de resonancia ∆ω es correspondientemente estrecha y se dice que la resonancia es aguda. Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es bajo) la curva de resonancia es 14
menos aguda. Para un amortiguamiento relativamente pequeño, se demuestra que el cociente entre la anchura a la mitad del máximo de resonancia y la frecuencia del mismo es igual al valor inverso del factor de calidad Q. Por tanto, el factor Q es una medida de la agudeza de la resonancia, Q
ω 0
f 0
ω
[46]
f
Si calculamos por derivación, el valor de ω para el que la amplitud de las oscilaciones G es ω02
máxima, resulta: ω
2γ 2 Como la amplitud está relacionada con la energía potencial, se
dice que hay resonancia en energía potencial. De igual forma, la amplitud de la velocidad del oscilador (Gω ) es máxima para ω =ω 0, por lo que se dice que también existe resonancia en energía cinética. Esta diferencia en cuanto a las frecuencias de resonancia en energía cinética y energía potencial es consecuencia de que el sistema es no conservativo (γ≠ 0). Ejemplo 4. Una masa de 2 kg oscila en un muelle de constante elástica k=400 N/m. La constante de amortiguamiento es b=2 kg/s. La masa es impulsada por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular 10 rad/s. Se pide: a) la amplitud de las oscilaciones, b) la frecuencia de resonancia en transferencia de potencia, y c) la amplitud de las vibraciones para el caso de resonancia en amplitud. Resolución: Los cálculos pedidos se plantean una vez alcanzado el estado estacionario. Entonces, F o 10 m G= = = 0,0498 m
(ω
2 0
− ω 2 ) + 4ω 2 γ 2 2
2
2
⎛ 400 − 10 2 ⎞ + 4·10 2 ·⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2·2 ⎠
2
La frecuencia de resonancia para la transferencia de potencia es, ω = ω o
=
k
=
400
= 14,14 rad s
m 2 La amplitud correspondiente a la resonancia en amplitud es, F o ω = ω o2 − 2γ 2 ⇒ G = 2γ m ω o2 − γ 2
= 0,35m
8. Pr oblemas (algunos resuelt os) 1. Un oscilador armónico lleva una velocidad de 2 cm/s cuando su elongación es de 6 cm, y 1,5 cm/s cuando su elongación es de 8 cm. Calcular: amplitud, período, velocidad máxima y aceleración máxima. 2 Sol.: 0,1 m; 8π s; 0,025 m/s; 0,00625 m/s 2. Un cuerpo de masa m gira, unido a un muelle de masa despreciable y constante recuperadora k, con velocidad angular ω en un plano horizontal sin rozamiento, siendo l la longitud del
15
muelle sin estirar. A) ¿Cuál es el radio de la trayectoria circular descrita, B) ¿Cuánto vale la energía total del sistema? 2 2 2 2 2 2 Sol.: k l/(k-mω ); kmω l (k+mω )/2(k-mω ) . 3. Cuando la plomada de un péndulo cónico describe una trayectoria circular, el hilo de longitud l barre un cono de semiángulo θ (ver figura). Determinar el período del movimiento de la plomada. ¿Es oscilatorio este movimiento? θ 1/2 Sol.: 2π(lcosθ/g) . l
4. Un muelle vertical, de masa despreciable, cuelga de un soporte y lleva en su extremo inferior una masa de 5 g. Se le aplica a la masa una fuerza vertical de 0,5 N, con lo que el muelle se alarga 4 cm y se suelta. Calcular la frecuencia y la energía total del movimiento que se produce. Sol.: 7,96 Hz; 0,01 J.
Problema 3
5. El péndulo de un reloj de pared está formado por una varilla de 1 m de longitud y masa m, en cuyo extremo hay soldado un disco macizo homogéneo de masa 3m. Calcúlese el valor del 2 2 radio del disco para que el péndulo funcione con un período de 2s. Datos: tome g=π m/s ; 2 2 Ivarilla=ml /12; Idisco=mR /2. Sol.: 5,16 cm. 6. Se tiene una barra homogénea delgada de 26 cm de longitud que cuelga del punto O mediante dos hilos inextensibles y sin masa de 26 cm atados a sus extremos (ver figura). Si hacemos oscilar la barra con una pequeña amplitud alrededor de un eje perpendicular al papel que pase 2 por O, calcular el período de las oscilaciones. Dato: Ibarra=ml /12. Sol.: 1,004 s.
26 cm
Problema 6
7. De un muelle está colgado un platillo de una balanza con pesas. El período de las oscilaciones verticales es igual a 0,5 s. Después de añadir más pesas al platillo, el período de las oscilaciones verticales se hizo igual a 0,6 s. ¿Qué alargamiento provocaron en el muelle las pesas añadidas? Sol.: 2,786 cm. 8. Un bloque de 50 g de masa se sujeta al extremo libre de un resorte ideal de 40 N/m de constante elástica. El bloque, que puede deslizar sobre una superficie horizontal sin fricción, se pone en movimiento proporcionándole una energía potencial inicial de 2 J y una energía cinética inicial de 1,5 J. A) Determinar la amplitud de la oscilación. B) ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando pasa por la posición de equilibrio? C) ¿Cuál será el desplazamiento del bloque cuando las energías cinética y potencial coinciden? D) Si el desplazamiento inicial fue positivo y la velocidad inicial negativa, obtener la fase inicial del movimiento. E) Escribir la ecuación del movimiento. 1/2 Sol.: 41,83 cm; 11,83 m/s; 29,58 cm; 2,28 rad; 0,4183sen(20·2 t+2,28).
16
9. Una varilla metálica delgada y uniforme de masa m pivota sin rozamiento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal de constante elástica k se une al extremo inferior de la varilla por un lado y a un soporte fijo rígido por el otro (ver figura), de tal forma que cuando la varilla está en posición vertical el resorte tiene su longitud natural. Si la varilla se separa un pequeño ángulo θ de la vertical y se suelta, a) demostrar que se mueve con MAS y b) calcular su período. 1/2 Sol.: 2π(2ml/(3mg+6k l)) .
θ
k
Problema 9
10. Un oscilador tiene una masa de 0.05 kg y un periodo de 2 s. La amplitud disminuye en un 5 % en cada ciclo. Se pide: a) el valor de la constante de amortiguamiento y b) la fracción de energía del oscilador disipada en cada ciclo. -3 Sol.: 2.56×10 kg/s o
11. Un péndulo simple tiene un periodo de 2 s y una amplitud inicial de 2 . Después de 10 o oscilaciones completas su amplitud se ha reducido a 1.5 . Hállese el factor de amortiguamiento. Resolución: ⎛ 1,5 ⎞ ⇒ γ = 1,44·10 − 2 s −1 1,5º = 2º exp(− γ ·10·2 ) ⇒ −20γ = ln ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 12. Demostrar que el cociente entre las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas es constante en un oscilador amortiguado. 13. Una masa de 1 kg unida a un muelle está amortiguada críticamente mediante una fuerza viscosa externa. Describir el movimiento resultante si la misma fuerza viscosa amortigua una masa de 2 kg unida al mismo muelle. Sol.: oscilador sobreamortiguado 14. Una masa de 0.5 kg oscila en un muelle de constante elástica k=300 N/m. Durante los primeros 10 s pierde 0.5 J debido al rozamiento. Si la amplitud inicial era de 15 cm, se pide: a) el tiempo que ha de transcurrir desde el inicio del movimiento para que la energía se reduzca a 0.1 J, y b) la "frecuencia angular" de la oscilación. Sol.: 24,50 rad/s 15. Una partícula está sometida, al mismo tiempo, a dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia angular y dirección. Hallar el movimiento resultante cuando sus ecuaciones son: x1 = 10 cos 2t
y
⎛ ⎝
x 2 = 6 cos ⎜ 2t +
⎞ 12 ⎠ 5
π ⎟
Sol.: x=12.925 cos (2t + 0.148π) -5
16. La energía total de una partícula que realiza un MAS es 3·10 J y la fuerza máxima que actúa sobre ella es de 1,5·10-3N. Escriba la ecuación del movimiento de dicha partícula sabiendo que el
17
periodo del mismo es de 2s y la posición inicial ocupada por la partícula es de 2cm respecto de la posición de equilibrio. 1 Resolución: La energía total es E = kA 2 = 3·10 −5 J . Por otra parte, la fuerza máxima que 2 provoca este MAS es F max = kA = 1,5·10 −3 N . Con este par de ecuaciones podemos calcular la constante elástica y la amplitud del movimiento, 1,5·10 −3 1 1,5·10 −3 2 −5 k = ⇒ 3·10 = A ⇒ A = 0,04m ⇒ k = 0,0375 N m 2 A A La frecuencia angular es, 2π ω o = = π rad s T Finalmente, la constante de fase será determinada conociendo la posición inicial ocupada por el móvil, es decir, π x = A sen (ω o t + φ ) ⇒ 0,02 = 0,04 sen φ ⇒ φ = rad 6 Por lo tanto,
⎛ ⎝
x = 0,04 sen ⎜ π t +
π ⎞
⎟ (m, s )
6⎠
17. De un muelle de constante elástica k=200 N/m está colgado un cuerpo de 4 kg. Hallar la longitud del muelle en dicho estado de reposo. Si el muelle es separado de dicha posición una distancia vertical de 12cm, ¿cuál es la energía total del cuerpo en cualquier instante? Calcule el periodo de las oscilaciones. Resolución: En el estado de reposo el muelle está estirado debido a la acción de la fuerza peso y la fuerza elástica del muelle, mg mg = ky o ⇒ y o = = 0,196m Problema 17 k La amplitud del movimiento es A=0,12m. Como la única fuerza que actúa sobre el cuerpo llevándolo hacia la posición de equilibrio es conservativa, la energía mecánica total del mismo será constante, 19kg 1 E = kA 2 = 1,44 J 2 El periodo de las oscilaciones es,
T = 2π
m k
= 0,89s
18. Los cuerpos del sistema representado en la figura son de 19 y 24 kg, respectivamente. Si el cuerpo de menor masa oscila verticalmente con una amplitud de 1,8 cm y una frecuencia de 5 Hz, determine las fuerzas máxima y mínima que debe soportar la superficie sobre la que descansa el segundo
18
42kg Problema 18
cuerpo. Si se desea que dicha superficie no ejerza fuerza alguna sobre el sistema en determinados instantes, ¿cuál debe ser la mínima amplitud de las oscilaciones? Sol.: 935,3N y 260,3N; 3,2cm 19. Un cuerpo descansa sobre otro. El segundo cuerpo realiza un MAS de amplitud A y periodo T. Si oscila verticalmente, ¿cuál es el máximo valor de A que permite al primer cuerpo permanecer siempre en contacto con el segundo? Si, por el contrario, la oscilación es horizontal y el coeficiente de rozamiento estático entre ambos cuerpos es µ, ¿cuál es el máximo valor de A para que no deslicen? 2 2 2 2 Sol.: gT /4π ; µgT /4π 2
20. Un reloj de péndulo bate segundos (T=2s) en el ecuador terrestre, donde g=9,78m/s . Si se 2 traslada al polo, donde g=9,83m/s . ¿adelanta o atrasa?, ¿cuánto en un día? NOTA: despreciaremos el efecto de la temperatura. Sol.: adelanta; 3,676 min en un día 21. La figura muestra un disco homogéneo de 2kg de masa y 10 cm de radio, que puede girar respecto de su eje de revolución, dispuesto horizontalmente. Dos resortes idénticos de constante elástica k=600N/m, están conectados al disco como se muestra en la figura. Determine el periodo con el que el disco oscilará cuando sea separado ligeramente de su posición inicial de equilibrio. Sol.: 0,181s 22. ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones experimentadas por el cuerpo de 2kg de la figura si se desplaza ligeramente de la posición de equilibrio mostrada y se suelta? La superficie es lisa y los resortes son idénticos con k=500N/m. Sol.: 0,281s 23. Un cilindro de masa m y radio r rueda sin deslizar dentro de otro cilindro inmóvil de radio R>r, permaneciendo sus ejes paralelos. Calcule la frecuencia natural para pequeñas oscilaciones del cilindro de radio r. Sol.: ω =
Problema 21
Problema 22
2 g 3(R − r )
24. Una barra descansa sobre dos cilindros idénticos que giran en sentidos contrarios, tal como muestra la figura. Si el coeficiente de rozamiento entre los cilindros y la barra es µ, cuál es el periodo de las oscilaciones experimentadas por ésta. Sol.: π
2d µ g
d Problema 24
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25. Un cuerpo de 0,2kg de masa se cuelga de un muelle cuya constante elástica es de 80N/m. El cuerpo es sometido a la acción de una fuerza resistente dada por F r = −bv , siendo v la velocidad en m/s y b=4Ns/m. ¿Cuánto tiempo tarda en volver a pasar por la posición de equilibrio? Si se somete el cuerpo a la acción de una fuerza impulsora F i = 2 sen 30t , ¿cuál será su amplitud en el estado estacionario? Sol.: 0,363s; 12,8cm 26. Un cuerpo de 40 kg, unido a un resorte de constante elástica k=60N/m, está sumergido en un fluido viscoso, que da lugar a una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad del cuerpo, siendo b=10Ns/m la constante de proporcionalidad. ¿Oscilará el sistema cuando es abandonado desde cierta posición separada del equilibrio? Si oscila, ¿cuál es la frecuencia de resonancia en amplitud? ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que la amplitud cae al 36,8% de su valor inicial? ¿Cuál es la amplitud de la oscilación en el instante t=32s? -1 Sol.: Si; 1,218s ; 8s; 0,0183Ao 27. Determinar el periodo de oscilación de la bola de la figura suponiendo que es nulo todo rozamiento. Tome 2 g=10m/s . Sol.: 6,31s
60º 5m
28. Un muelle de constante elástica k se une al eje de una rueda de masa m y radio R que puede rodar sin deslizar sobre una superficie horizontal, como muestra la figura. Suponiendo que la masa de la rueda está distribuida uniformemente por la llanta, ¿cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones realizadas por el sistema? Sol.:
30º
Problema 27
k 2m
Problema 28
29. Un cuerpo de 2 kg de masa está en reposo sobre una plataforma sin rozamientos. El bloque está unido a un muelle horizontal de constante 8N/m. Inicialmente todo el sistema está en reposo, pero en un determinado instante la plataforma empieza a moverse horizontalmente, con una 2 aceleración de 2m/s . Como resultado el bloque empieza a oscilar horizontalmente, respecto de la plataforma. Determine la amplitud de la oscilación. ¿Cuánto se ha alargado el muelle respecto de la posición inicial en el instante t=2π/3s. Sol.: 0,5m; 0,25m 30. Un bloque de 10 kg está suspendido de una cuerda enrollada alrededor de un disco homogéneo de 5 kg de masa y 0,15 m de radio, como se indica en la figura. Si 200N/m es la constante elástica del muelle y se supone que la cuerda no desliza sobre la periferia del disco, determine el periodo de la oscilación del sistema. Sol.: 1,57s
20
Problema 30
