Óptica electromagnética

libro abierto / serie apuntes

´ Alvaro Tejero Cantero

´ tica Opti Op ca elec electr trom omag agn´ n´ etic etica a 1.1.0 ¬¬¬¬ 1.1.0

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´ ´ Optica electromagn etica etica

† lomo para ediciones impresas

3 1 . 5 3 5

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´ Alvaro Tejero Cantero

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´ tica Optic Op a elec electr trom omagn´ agn´ etic etica a versi´ on on 1.1.0 10 de abril de 2004

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c  copyleft ´ Copyright (c) 2004 Alvaro Tejero Cantero. This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/ or send a letter to Creative Creative Commons, Commons, 559 Nathan Abbott Way Way, Stanford, Stanford, California 94305, USA. ´ Copyright (c) 2004 Alvaro Tejero Cantero. Este trabajo cae bajo las provisiones de la licencia Atribución-No on-No Comercial-Comparte Igual de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/ o escriba una carta a Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.

Serie apuntes ´ Area optica óptica CDU 535.13

Editores ´ Alvaro Tejero Cantero

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Notas de producción on

















































Índice general

Portada Copyleft

I VI

Índice general

VII

1. Ondas elect electromagn´ romagnéticas eticas en el vac vac´ ´ıo 1.1. Plan Planteami teamiento ento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ondas electro electromagn´ magnéticas eticas en el e l vac´ vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. 1.2 .1. Ond Ondas as arm´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . onicas 1.2.2. 1.2 .2. Fren rentes tes de onda onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. 1.2 .3. Ond Ondas as plan planas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. 1.2 .4. Ond Ondas as arm´ onicas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . onicas 1.3. Inf Informa ormaci´ ci´ on contenida en la expresión on on de una onda armónica onica plana . . . . 1.4. Po Polar lariza izaci´ ci´ on de una onda armónica on onica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. 1.4 .1. Po Polari larizac zaci´ i´ on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 1.4.2. 1.4 .2. Po Polari larizac zaci´ i´ on circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 1.4.3. 1.4 .3. Luz no mon monocro ocrom´ m´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . atica 1.5. Int Intensid ensidad ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Vector de Poyn Poynting ting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Promed Promedio io temporal del vector vector de Po Poynti ynting ng . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Sob Sobre re la la notac notaci´ i´ on: ondas armónicas on: onicas y ondas armónicas onicas planas . . . . . . .

1 1 2 2 4 4 5 7 7 8 9 9 10 10 11 12

2. Materi Materia a y su interacc interacci´ i´ on con la radiaci´ on on on 13 2.1. In Introdu troducci cci´ oń. Tipos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 on. 2.1.1. 2.1 .1. Car Cargas gas lib libres res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2. 2.1 .2. Car Cargas gas ligad ligadas: as: hip´ hip´ otesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 otesis 2.2. Ecu Ecuaci aci´ oń de movimiento de la carga on 15















































ÍNDICE GENERAL GENERAL 3.3.. Medi 3.3 Medios os ópticamente opticamente densos . . . . . . . . 3.3. 3. 3.1. 1. Hi Hip´ p´ otesis. El continuo óptico otesis. optico . . . 3.3.2. 3.3 .2. Prom Promedi edios os para para llegar llegar a las ecMm ecMm 3.3.3. 3.3 .3. Ecm EcmM M para para ondas ondas arm arm´ ońicas . . . onicas 3.3.4. 3.3 .4. Cla Clasifi sificac caci´ i´ on de los medios . . . . . on

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4. Medios homog´ eneos e is´ eneos otropos otropos 4.1. Plan Plantea teamie mient ntoo del del probl problema ema . . . . . . . . . . . . 4.2. Sol Soluci uci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 4.3. Medio Medioss transp transparen arentes tes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Medio Medioss absorben absorbentes tes . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.5. Indic Indicee de refracc refracci´ ión on y propiedades microscópicas opicas . 4.5.1. Plan Planteamie teamiento nto . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. 4. 5.2. 2. C´ alculo de gen . . . . . . . . . . . . . . . . alculo 4.5.3. Índice de refracción on . . . . . . . . . . . . .

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20 20 21 23 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 27 29 30 32 32 32 35

5. Refrac Refracci´ ci´ on y reflexi´ on on en medios homog´ on eneos e isótropos eneos otropos 5.1. Plan Planteami teamiento ento del problema problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Dir Direcc ecci´ i´ on y frecuencia de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 5.2.1. Condic Condiciones iones de front frontera era . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. 5.2 .2. Des Descri cripci´ pci´ on y nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 5.2.3. Escrit Escritura ura de las ondas inciden incidente, te, transmitida transmitida y reflejada reflejada . . . . . . 5.2. 5. 2.4. 4. Le Ley y de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Amp Amplit litude udess de las ondas ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. 5.3 .1. Ded Deducc ucci´ i´ on de las fórmulas on ormulas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. 5. 3.2. 2. F´ ormulas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ormulas 5.4. Relaciones energéticas: eticas: reflectancia y transmitancia . . . . . . . . . . . . . 5.5. Dir Direcc ecci´ i´ on, frecuencia, on, f recuencia, amplitudes y energ´ıa ıa cuando un medio es absorbente absorb ente

41 41 42 42 42 43 44 46 46 48 55 58

´ ica geométrica 6. Opt Optica etr ica 6.1. Plan Planteami teamiento ento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. De las ondas ondas a las traye trayecto ctorias rias . . . . . . . . . . . . 6.2.1. 6.2 .1. Objeti Objetivo vo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. 6. 2.2. 2. Noc Noci´ i´ on de tray on trayectori ectoriaa . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. 6.2 .3. Ecu Ecuaci aci´ oń de las trayectorias . . . . . . . . . . on 6.2.4. Inte Interpretac rpretaci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . on 6.2.5. Trayectorias en una discontinuidad de ´ındice

61 61 62 62 62 64 65 65

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . .















































ÍNDICE GENERAL 7.3. Medios Medios ani anis´ s´ otropos transparentes. Clasificación otropos on . 7.4. Pro Propaga pagaci´ ci´ on de ondas armónicas on onicas planas . . . . . 7.5. Med Medios ios uni uni´áxicos axicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. 7.5 .1. Supe Superfic rficie ie de vecto vectores res de onda. onda. Eje óptico optico 7.5. 7. 5.2. 2. On Onda dass o y e : fase y polarización on . . . . . 7.5.3. 7.5 .3. Ref Refrac racci´ ci´ on y reflexión: on on: doble refracción on . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

8. Aplicaciones Aplicaciones de los medios medios anis´ anis´ otropos otropos 8.1. Transpar ransparent entes es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. 8. 1.1. 1. L´ aminas retardadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aminas 8.1.2. Prisma Prismass polarizad polarizadores ores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Absorbentes; dicro´ dicro´ısmo; polaroides . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Mat Matric rices es de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Luz natu natural ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. 8.4 .1. Defi Definic nicion iones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. 8.4 .2. Efe Efecto ctoss de de una una l´ lámina amina y de un polarizador . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

72 73 74 74 76 78

. . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 81 83 84 87 87 87 88

9. Interferencia Interferencia 89 9.1. Plan Planteami teamiento ento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.1.1. 9.1 .1. Defi Definic nici´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 on 9.1.2. 9.1 .2. Des Descri cripci´ pci´ on escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 on 9.2. Coh Cohere erenci nciaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3. Div Divisi isi´ón on del frente de onda (Young ( Young)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.3. 9. 3.1. 1. Mo Mont ntaje aje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.3. 9. 3.2. 2. On Onda da arm arm´ ońi ca esca onica escalar lar esférica eri ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.3.3. 9.3 .3. Forma ormaci´ ci´ on de un patrón on on de interferencias . . . . . . . . . . . . . . 94 9.3.4. Estudi Estudioo de la figura figura interfer interferencial encial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.3.5. 9.3 .5. Luz no mon monocro ocrom´ m´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 atica 9.4. Div Divisi isi´ón on de amplitud (Michelson (Michelson)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.4.1. Princi Principio pio de funci funcionamie onamiento nto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.4.2. 9.4 .2. El in inter terfer´ fer´ ometro de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ometro 9.4.3. 9.4 .3. Sus Sustit tituci uci´ón on de todo el interferómetro ometro por dos imágenes agenes . . . . . . . 99 9.4.4. Michelson con luz blanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 102 9.5. Refl Reflexi exione oness m´ ultiples (Fabry ultiples Fabry––Perot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 102 9.5.1. 9.5 .1. Con Conclu clusio siones nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 106 9.5.2. Tratamie ratamiento nto cuantitativ cuantitativoo de la distribuci´ distribuci´ on de intensidad . . . . . 107 on 9.5.3. 9.5 .3. Apl Aplica icacio cio . 10 108















































ÍNDICE GENERAL GENERAL 10.4.2. Aproximaci´ on de Fraunhofer . . . . . . . . . . . on 10.5. C´ırculos. ırculo s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1. Abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2. Poder resolutivo de los instrumentos ópticos opticos . . . . 10.6. Rectángu a ngulo los. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1. Abertura rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2. Rendi Rendija ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Doble rendij rendijaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Red de difracción. on. Poder resolutivo resolutivo . . . . . . . . . . . . . 10.8.1. An´ alisis del factor de interferencia . . . . . . . . . alisis 10.8.2. Modulaci Modulaci´ oń de la interferencia por la difracción on on . . 10.9. Por hacer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 11 115 . . . . . . . 11 117 . . . . . . . 11 117 . . . . . . . 121 . . . . . . . 12 122 . . . . . . . 12 122 . . . . . . . 12 124 . . . . . . . 12 125 . . . . . . . 13 130 . . . . . . . 13 1 31 . . . . . . . 13 132 . . . . . . . 13 134

11.Ejercicios y problemas 135 11.1. Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 135 11.2. Otros ejercicios y problemas (por resolver) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 72 Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa ıa

179

Historia

181

Creative Creati ve Commo Commons ns Deed

183

Manifiesto de Alqua

185

El proyecto libros abiertos de Alqua

189

Otros documentos libres

193















































1 Ondas Ond as elect electro roma magn´ gn´ etica eticass en el vac vac´ıo La óptica optica electromagnética etica estudia el comportamiento de la luz, considerando ésta esta como un ente de carácter acter ondulatorio. Para tal fin ser´ a necesario introducir algunos conceptos asociados a las ondas electromagnéticas, eticas, objeto de este cap´ cap´ıtulo. Se realizará un breve repaso de las ecuaciones de Maxwell, describiremos la forma más general de una onda electromagnética, etica, entendida como una onda arm´ onica onica plana, as´ as´ı como su forma compleja, . Se revisarán an conceptos tales como frente de ondas, vector y longitud de onda, onda, veloci velocidad dad de fase fase y de grupo,. grupo,. . . Estudi Estudiarem aremos os tambi tambi´én en el car´ carácter acter transversal de las ondas electromagnéticas, eticas, y el fenómeno omeno asociado de la polarización. o n. Por ultimo u ´ ltimo describiremos describi remos en este cap´ cap´ıtulo la energ´ıa ıa que transporta transp orta una onda en términos ermino s del d el vector de Poynting.

1.1. 1.1.

Plan Plante team amie ient nto o

En esta sección on repasaremos repasaremos algunas algunas cuestiones cuestiones de electromagne electromagnetismo. tismo. La óptica optica electro e lectromagn´ magnética etica parte pa rte de identificar id entificar la l a luz como com o fenómeno ome no electr ele ctroma omagn´ gnético. eti co. En consecuencia la luz está gobernada por las ecuaciones de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell microscópicas opicas (en el vac´ vac´ıo) son:

·E ·B ∧E 1 ∧B µ0

ρ 0 = 0 ∂ B = ∂t =

(1.1) (1.2) (1.3)

−

= j + 0

∂ E ∂t

(1.4)

Estas ecuaciones diferenciales parciales vectoriales involucran materia (a trav´ es es de j y ρ) y campos ( E, B). Además as de estas ecuaciones necesitaremos una que nos dé la fuerza que ejercen los campos sobre las cargas



d



















































1 Ondas Ond as electro elec tromag magn´ néticas etic as en el vac´ vac´ıo de dependencia espaciotemporal). El siguiente esquema resume la interconexión de los fenómenos omenos electromagn´ electr omagnéticos eticos con la din´ di námica amica de las cargas y corrientes: ρ, j

−→ {F} −→ −→ −→

E, B

ρ , j E , B

...

Cargas y densidades de corriente no estacionarias generan campos (luz) variables en el tiempo (ondas que se propagarán an en el vac´ vac´ıo) que a su vez actuarán an sobre otras cargas y corrientes mediante una fuerza. La aceleración on inducida en estas últimas ultimas dar´ a lugar a nuevas ondas que se superpondrán an con las incidentes, etc. Todo el proceso (generación, on, propagaci´ on, on, detección) on) estará sujeto a las ecuaciones de Maxwell. El primer gran problema al que nos vamos a enfrentar será el de la propagación on en la materia. En primer lugar hablaremos de las ondas electromagnéticas eticas en el vac´ vac´ıo y después es pasarem p asaremos os al problem p roblemaa m´ m ás as complicado de su propagación on en la materia.

1.2.

Ondas electromagn´ electromag n´ eticas eticas en el vac´ vac´ıo

En el vac´ vac´ıo no hay ni cargas ni corrientes: ρ = 0 y j = 0. Las ondas electromagn´ electr omagnéticas eticas obtenidas serán an una solución on particular de las ecuaciones de Maxwell. Si combinamos la tercera ecuación on con la cuarta, podremos llegar a la siguiente expresión on 2

2E = c12 ∂ ∂tE2 una ecuaci´ ecuaci´ on de ondas vectorial donde el parámetro on ametro c (velocidad de la luz) vale

(1.6)















































1.2 Ondas Ond as elect e lectrom romagn´ agnéticas eti cas en el e l vac´ıo ıo (http://fig.alqua.org)

etico etico - parte visible (IR-UV). Figura 1.1: Espectro electromagn´

frecuencia frecuencia angular se relaciona relaciona con la frecuencia frecuencia y con el per´ per´ıodo de la onda según un ω = 2πν =

2π T

Las Ax , Ay , Az son las amplitudes de cada una de las componentes de la onda. El argumento del coseno es lo que se llama fase de la onda. Por la naturaleza de su dependencia temporal, temporal, esta onda se extiende en el tiempo desde a ; si restringimos su duración, on, ya no se puede considerar armónica onica ni tiene la expresión on expuesta. Las ondas armónicas onicas constituyen una base de funciones para las ondas: a partir de ellas se puede construir cualquier onda por superposición on de Fourier. La clasificación on de las ondas en función on de las frecuencias de las ondas armónicas onicas que contienen constituye el espectro electromagn´ elect romagnético eti co.. Dentro Dentro de él, el, la luz visible visible es una onda onda en el rango rango de frecuencias (figura 1.1 1.1))

−∞ ∞

4

× 1014H z

< ν < 7.5

× 1014H z

IR < ν < U V

Este tipo de ondas es el que estimula nuestro sistema visual. Aquellas cuyas frecuencias no pertenecen a este rango no provocan sensación visual pero se comportan muy















































1 Ondas Ond as electro elec tromag magn´ néticas etic as en el vac´ vac´ıo de escribir . . . y se habrá de entender que las amplitudes E (r, t) y E0 (r, t) son vectores complejos, de los cuales s´ olo la parte real tiene significado (puede ser medida en laboratorio). La expresión on de la onda queda, pues

{ }

E (r, t) = E0 (r) e−iωt

Pero Pero no siempre siempre se puede utiliza utilizar: r: si bien bien para para sumas, sumas, integral integrales, es, deriv derivadas. adas. . . la representaci´ on on com comple pleja ja es leg´ leg´ıtima ıtima (porque (porque la parte parte real real de la suma suma es la suma suma de las partes reales), para efectuar el producto de dos ondas armónicas ya no vale. Moraleja: cuando hagamos operaciones lineales y sólo olo entonces podremos utilizar la representación on compleja.

1.2. 1.2.2. 2.

Fren Frente tess de onda onda

Para el resto del curso admitiremos que gx (r) = gy (r) = gz (r)

≡ g (r)

Ahora todas las componentes componentes tienen la misma fase, con lo que la fase de la onda armónica onica queda faseoa (r, t) = ωt g (r)

−

Para un tiempo fijo t0 un frente de ondas es el conjunto de puntos del espacio donde la onda tiene la misma fase. ωt0

− g (r) g (r) − ωt0 − cte

= cte = 0

´ Esta es la ecuación on de un sistema de superficies (variando la constante) 3 . Si ahora per-















































1.2 Ondas Ond as elect e lectrom romagn´ agnéticas eti cas en el e l vac´ıo ıo

Figura 1.2: Frentes de onda para dos tiempos distintos.

para una onda plana. plana. Explicaci´ Explicaci´ on o n de la Figura 1.3: Plano de fase (frente de ondas) y vector k para dependencia sólo olo en k r.

·

dependencia espacial de la onda se pueda escribir mediante un producto escalar por un vector constante: la onda no depende de r sino de su proyección on sobre la dirección o n de propagaci´ on, ortogonal a los planos. Al vector constante k se le llama vector de ondas. on, E = E (k r, t)

·















































1 Ondas Ond as electro elec tromag magn´ néticas etic as en el vac´ vac´ıo Si se impone el cumplimiento de las ecuaciones de Maxwell se desemboca en las siguientes ecuaciones: = 0

· k · B0 k E0

= 0

a partir de las dos divergencias nulas (ecuaciones 1.1 y 1.2 en el vac´ vac´ıo). Y, si hacemos los dos rotacionales 1.3 y 1.4 obtenemos además as B0

=

E0

=

1 k E0 ω c2 k B0 ω

∧

−

∧

De estas condiciones se extraen cuatro ecuaciones k E = 0

· k·B

= 0 1 B = k E ω c2 E = k B ω

∧

−

∧

que permiten obtener importantes conclusiones sobre la estructura de la onda: los campos son ortogonales ortogo nales entre s´ s´ı, y cada uno de ellos al vector de ondas. Se forma pues un triedro 4 directo E, B, k. Si combinamos las dos últimas ultimas ecuaciones y se usa 5 a

se obtiene

∧ (b ∧ c) = b (a · c) − c (a · b)

















































1.3 Informaci´ Informaci´ on contenida en la expresión on on de una onda armónica onica plana omo son los frentes de onda de una onda armónica omo onica plana?. Ejercicio ¿C´ En primer lugar hay que identificar su fase: es k r ωt. ωt . Los frentes de onda vendrán an dados por k r ωt = cte

· −

· −

podemos escoger el vector de ondas particular k = k uz y entonces kz

− ωt = cte

Para ver que estos planos perpendiculares al eje z se desplazan con el tiempo podemos despejar la coordenada ω cte cte z = t+ = ct + k k k los planos de la misma fase se mueven con velocidad c: la velocidad de fase es c.

1.3. 1.3.

Info Inform rmac aci´ i´ on contenida en la expresi´ on on on de una onda arm´ onica onica plana















































1 Ondas Ond as electro elec tromag magn´ néticas etic as en el vac´ vac´ıo

(a)

on y (b) dos estados de polarización on iguales. Figura 1.4: En el plano E y , E x , (a) elipse de polarización

donde el signo de la fase es arbitrario 6 . Nos interesa más as la represent representaci´ aci´ on on real E x = E y =

|E 0 | cos(ωt cos(ωt + δ − kz) kz ) |E 0 | cos(ωt cos(ωt + δ − kz) kz ) x

x

y

y

Utilizando Utilizando relaciones relaciones trigonom´ etricas etricas se puede eliminar el tiempo, con lo que queda la ecuación on (correspondiente a una elipse en general): 2

2















































1.4 Polarizaci´ Polarizaci´ on on de una onda armónica onica plana

Figura 1.5: Una elipse puede degenerar en una recta.

o bien cuando E 0x = 0 o E 0y = 0. Entonces diremos que la polarización on es lineal y que la luz es linealmente polarizada. Podemos usar la notación on

| |

| |

E0

=

  | | | | E 0x E 0y

= e−iδy

E 0x e−iδx E 0y e−iδy

=

| |

E 0x e−i(δx −δy ) E 0y

| |





aprovechamos la condición on de diferencia de fase 0 o π para poner iδ

 ±| |  E 0















































1 Ondas Ond as electro elec tromag magn´ néticas etic as en el vac´ vac´ıo

(a)

( b)

Figura 1.6: Luz natural y luz parcialmente polarizada.

1.5. 1.5.

Inte Intens nsid idad ad

1.5.1. 1.5.1.

Vecto Vectorr de de Poy Poynti nting ng

Es otra otr a caracter cara cter´´ıstica de la onda ligada a su amplitud, E0 . La ecuación on de Lorentz para la fuerza da idea de que una onda transporta energ´ energ´ıa en su propagaci´ propagaci´ on. on. Es necesario cuantificar la energ´ energ´ıa que una onda transporta. Para ello se define el vector vector de Poynting Poynting :















































1.5 Intensid Intensidad ad

on a oscilacio o scilaciones nes muy rápidas. apidas. Figura 1.7: S (t), función

| |

1.5.2. 1.5.2.

Promed Promedio io tempor temporal al del vector vector de Poy Poynti nting ng

Si partimos de la expresión on para ondas armónicas onicas planas: 1 (ER ER ) k, µ0 ω y representamos S para la luz visible veremos una función on oscilante de frecuencia 14 10 H z , con un per´ per´ıodo tan breve breve que prácticament acticamentee ning´ un detector tiene resolución un on temporal para notar las oscilaciones. oscilaciones. Si ponemos un detector detector y enchufa enchufamos mos un osciloscoosciloscoS=

·



















































1 Ondas Ond as electro elec tromag magn´ néticas etic as en el vac´ vac´ıo nos quedan cuatro integrales. Para el primer paréntesis entesis no hay problema:

S = 4µ1 0 (E0 ∧ B∗0 + E∗0 ∧ B0 + . . .) pero en los puntos suspensivos tenemos las integrales 1 ∆t



t+∆t

t

 dt e±i2ωt =



1 e±i2ω(t+∆t) i2ω ∆t

− e±i2ωt



en el rango óptico optico y con los detectores que utilizamos, ∆t ∆ t nunca es suficientemente pe-















































2 Mate Materi ria a y su inte interac racci ci´ on o ń con la radiaci´ on on 2.1. 2.1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on. on. Tipos de carga















































2 Materia Materia y su interacci´ interacci´ on on con la radiación on

ecula ecula perturbada (centros de carga separados). El origen de coordenadas está en la Figura 2.1: Mol´ carga positiva y el vector r est´ a dirigido hacia la carga negativa.















































2.2 Ecuaci´ Ecuacion oń de movimiento de la carga

2.2. .2.

Ecua Ecuaci ci´ o on ń de movimiento de la carga

2.2.1. 2.2.1.

Formu Formulac laci´ i´ on on y discusi´ on on de sus aspectos

Estamos en condiciones de escribir la ecuación dinámica amica para la carga ligada m¨r = F

− mω02r

Como vemos la fuerza recuperadora es la del oscilador armónico onico de frecuencia natural ω0 . Hemos reducido el problema a este paradigma f´ısico tan general y a la vez tan simple.















































2 Materia Materia y su interacci´ interacci´ on on con la radiación on plana. E = E0 ei(k B =

1 k ω

·− r

ωt )

∧E

no hay más as que utilizar estos campos en la expresión de la ecuación on 1.5 1.5.. La ecuación on resultante es muy complicada, m¨r = q (E + r˙

∧ B) − mω02r − γm r˙

















































2.2 Ecuaci´ Ecuacion oń de movimiento de la carga

















































2 Materia Materia y su interacci´ interacci´ on on con la radiación on

































































































3 Ecuaci Ecuacione oness de Maxwell macrosc´ opicas opicas

















































3.3 Medios ópticamente opticamente densos















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































5 Refracci´ Refracci´ on on y reflexión on en medios homogéneos eneos e is´ i sótropos otropos coef

2.5 2 1.5 1 0.5 0 .1 .1 0.2 0.3 0. 4 0 .5 .5 0. 6 0 .7 .7

q

Figura 5.9: De arriba a abajo, t , t⊥ , r⊥ , r .

es decir, que una componente del vector de ondas tiene que ser mayor que su m´ odulo. odulo. Esto sólo olo lo podemos abordar incrementando el módulo, odulo, es decir, adoptando un vector de ondas complejo. kc k2

= k + ia ω2 = n2 2 c

− a2

Las ondas transmitidas y reflejadas no son superposición de ondas armónicas onicas con vector de ondas real, sino complejo. Y las condiciones de frontera nos darán an los valores de parte real y la imaginaria. Las ondas serán an arm´ onicas onicas “planas” “planas”, con el sentido sentido de “planas” “planas” que ya ha sido explicado y que aparece cuando el vector de ondas es complejo (ondas planas inhomo inh omog´ géneas). enea s). Matem´ Mat emáticamente aticamente para la onda transmitida y reflejada respectivamente: Et Er



= Tei(kc i(kc

= Re

·− ·− r

ω  t)

r

ω  t)

+ ... +...

Hay que reconstruir toda la solución on del problema, para lo que vamos a dar los principales pasos. Se llevan estas dos expresiones a las condiciones de frontera donde el kc por ejemplo se determina a partir de la igualdad de las exponenciales sobre la superficie de discontinuidad (como antes). En z = 0 se tiene kc r = k r

·

·

 y ky = kcy  (componentes con lo que kx = kcx (componentes tangenciales tangenciales continu continuas). as). El plano de incidencia es xz. xz . Por la elección on de ejes kcy = 0 (el vector de ondas está en el plano xz). xz ). ky + iay = 0 que vale por dos ecuaciones ky = 0 ay = 0















































5.3 Amplitudes Amplitudes de las ondas ondas

on total. Figura 5.10: Plano xz y vectores k, k y a en reflexión

de modo que se puede decir que k  , a est´ an en el plano de incidencia. En lo que toca a an kcx ω kx + iax = n sin θ c de donde ax = 0 kx = n

ω sin θ c

Ya no podemos obtener más as información on de las condiciones de frontera. Además as de esto sabemos que, por las ecMm, se ha de verificar ω2

ω2

kc2 = nc2 2 = n2 2 c c

de donde k2

− a2 k · a

= n2

ω2 c2

= 0

on, pero no nos sirve para la reflexión on, on total. Pero a sólo olo puede tener a = 0 es soluci´  componente z y k s´ olo puede tener componente x (se deriva de las condiciones) olo

de donde az =

ω c



n2 sin2 θ

a

= az uz

k

= kx = n

ω sin θux c

on para la onda transmitida queda − n2. La expresión 

Et = Te−az z ei(kx−ωt)

Conclusiones de los resultados obtenidos para el caso de reflexión on total: Hay onda transmitida ya que Et = 0 del otro lado de la disconti discontinuid nuidad ad de ´ınındice: es una onda plana inhomogénea enea que vive pegada pegada a la discontinuidad (onda (onda evanescente), evanescente), porque se atenúa ua exponencialmente con la distancia y no sobrevive m´ as as allá de unas pocas longitudes de onda. Si calculáramos aramos la media del vector de

















































5 Refracci´ Refracci´ on on y reflexión on en medios homogéneos eneos e is´ i sótropos otropos Poynting obtendr obtend r´ıamos que la fase y la energ´ıa ıa se propagan propa gan por la superficie de discontinuidad. S z = 0



(no hay ning´ un un flujo de energ´ energ´ıa ortogonal a la interfase). Tenemos la dependencia espaciotemporal espaciotemp oral de la onda ¿qué hay de la amplitud T?. Ahora tenemos una “ortogonalidad”: se verifica kc T = 0, pero no podemos podemos apro vechar esto para decir que T k , ya que T ser´ a en general un vector vector complejo. En general genera l habr ha br´´ıa que q ue aprovechar ap rovechar la condici´ condici on oń expuesta en la forma ( k + ia ) T = 0, pero no lo vamos a hacer. Escribiremos directamente la solución (f´ ormulas ormulas de Fresnel). nel).

·

⊥

·

 kz kcz  kz + kcz 2kz  kz + kcz  n2 kz n2 kcz  n2 kz n2 + kcz

−

r⊥ = t⊥ =

−

r =

su estructura es similar en los casos r⊥ , t⊥ , r , pero poniendo el sub´ sub´ındice c a las componentes de la onda transmitida. Sin embargo t se escribe en función on de los campos camp os magnéticos eticos (a diferencia diferen cia de los otros 3) y su escritura escritu ra s´ı var´ var´ıa: t =

H ⊥t 2n2 kz = 2  H ⊥i n kz + n2 kcz

los detalles de este cálculo alculo se encuentran en [Cabrera]. Utilizaremos principalmente las relaciones para los coeficientes de reflexión.

 es complejo: Los coeficientes de reflexión on son complejos, ya que kcz complejo: kz = n y k

cz

ω =i c

Las cosas quedan r⊥ =

n cos θ

ω cos θ c

  − 

n2 sin2 θ

− n2

i n2 sin2 θ

n cos θ + i

− n2 n2 sin2 θ − n2

como el numerador y el denominador son complejos conjugados se cumple la importante relación on r⊥ = r = 1

| |

















































5.4 Relaciones energéticas: eticas: reflectancia r eflectancia y transmitancia lo que permite escribirlos como 3 r = eiδ

r⊥ = eiδ⊥ con δ y δ⊥ por determinar determinar r⊥ =

ei

δ⊥ 2

δ⊥ e−i

=

2

cos δ2⊥ + i sin δ2⊥ cos δ2⊥

− i sin

δ⊥

2

lo que nos permite obtener la tangente δ⊥ tan = 2

−

 −  

n 2 n

sin2 θ

cos θ

pero lo que verdaderamente nos será util u ´ til es tan



δ⊥

− δ 2



=

cos θ

 −   sin2 θ

n 2 n

sin2 θ

Lo importante: n´ umeros umeros complejos complejos de módulo odulo unidad y cambio del estado de polarización: on: la luz con polarización on rectil´ınea ınea se convertirá en general genera l en el´ el´ıpticamente ıptica mente polarizada, dependiendo de la diferencia de fases de la fórmula anterior (por eso la hemos deducido). Ya tenemos modos de obtener las polarizaciones que queramos: la incidencia en angulo ángulo de Brewster nos da polarización on rectil´ rectil´ınea, la reflexi´ on on y transmisión on normales nos dan cambios de acimut dentro de la polarización rectil´ınea ınea y la reflexión on total nos da polarización on el´ el´ıptica. ıptica . Sin embargo, encontraremos encontrar emos métodos eto dos m´ as as cómodos omodos para obtener el estado de polarización on que se desee en el desarrollo posterior de la asignatura.

5.4.

Relaciones energ´ energ´ eticas: eticas: reflectancia y transmitancia

Esperamos obtener la conservación on de la energ ene rg´´ıa. Vamos a estudiar estudia r casos caso s de no reflexi´ refl exión on   total: se cumple o bien n < n o bien n > n con θ < θC . Si estamos interesados en un balance de energ´ıas ıas4 debemos calcular promedios temporales del vector de Poynting (potencia por unidad de área) area) y compararlos. Trabajamos con oap E = E0 e(k r−ωt) y

·

3

atenci´ on on en la bibliograf bibliograf´ ´ıa al conveni convenio o de signos en la exponencial exponencial compleja: las fórmulas ormulas posteriores posteriores dependen de ese convenio. 4 Como consideraremos un estado estacionario, la conservación on de la energ´ e nerg´ıa ıa debe deb e entenderse entender se como igualdad iguald ad del flujo que entra en una zona con el que sale de ella, no como igualdad de la energ´ıa ıa “antes” y “despu´ es”, es”, sino como balance balance espacial: espacial: caracterizaci caracterizaci´ ´ on on de la distribución on de la energ´ energ´ıa en el espacio -rojo. - rojo.















































5 Refracci´ Refracci´ on on y reflexión on en medios homogéneos eneos e is´ i sótropos otropos

Figura 5.11: Paso de un medio caracterizado por n a uno caracterizado por n

para ellas hemos calculado ya una expresión on de S (en medios homogéneos eneos e isótropos otropos de ´ındi ın dice ce n): 1 0 n E0 2 uk S = 2 µ0







| |

Un detalle a tener en cuenta es que la variable relevante es sólo la componente normal a la interfase del vector de Poynting. Poynting. La energ´ energ´ıa que va a ser repartida repartida entre entre onda transmitida transmitida y reflejada reflejada es la que incide sobre la superficie, superficie, y ésa esa es la que corresponde a la componente normal a la superficie. Lo que nos interesa es la irradiancia sobre la interfase, la potencia que incide sobre ella. Si N es un vector unitario normal a la interfase: S N= S z

 ·



no queda más as que calcular. Para las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente:

|S  |

=

|S  |

=

|S  |

=

i z

r z

t z

Reflectancia

1 2 1 2 1 2

  

0 n cos θ A 2 µ0 0 n cos θ R 2 µ0 0  n cos θ T 2 µ0

| | | |

| |

2 | R| R = |A|2 = ||SS  || r z i z

Transmitancia

T

n cos θ T 2 = = n cos θ A 2

| | | |

|S  | |S  | t z i z

Tal como están an definidas estas magnitudes dependen no sólo olo de n, n , θ , θ , sino si no tambi´ ta mbién en del estado de polarización. on. Para encontrar encontrar magnitudes magnitudes que sean independien independientes tes de él el se definen reflectancias y transmitancias paralelas y perpendiculares de modo independiente. Por ejemplo, para la reflectancia, definimos el ángulo angulo αi mediante las siguientes

















































5.4 Relaciones energéticas: eticas: reflectancia r eflectancia y transmitancia dos ecuaciones (α (αi es un acimut, e indica la relación on entre la cantidad de luz paralela y perpendicular que lleva un estado de polarización): on):

 A

=

|A⊥|

|A| cos α |A| sin α

i

=

i

eso nos permite reescribir la reflectancia como



2 2 R | | R⊥ |2 R| R = |A|2 = | | + | | = sin A

2

cos2 αi

A⊥ 2 2 αi

 

R A

 

2 2

2

cos αi

| R⊥ | 2 2 + 2 sin α |A⊥|

i

pero como la componente paralela reflejada es proporcional a la componente paralela incidente y lo mismo para la perpendicular, p erpendicular, cada uno de los términos erminos sólo olo depende de la discontinuidad discontinuidad de ´ındices. De D e modo que se definen

reflectancia paralela

R = reflectancia perpendicular

 

R A

   2 2

= r

2

R⊥ |2 | R⊥ = |A |2 = |r⊥|2 ⊥

transmitancia paralela



θ T  = nn cos cos θ

transmitancia perpendicular

T ⊥



 t

2

n cos θ = t⊥ n cos θ

| |2

La generalizac generalizaci´ i´ on o n a reflexión o n total depende de que el vector de Poynting no tiene componente normal, luego no hay energ´ energ´ıa que abandone la superficie: sup erficie:

S 

t z

y

=0

⇒ T = 0

R = R⊥ = 1. Toda la luz que incide se refleja 5.















































5 Refracci´ Refracci´ on on y reflexión on en medios homogéneos eneos e is´ i sótropos otropos Ahora esperamos esp eramos obtener alguna ligadura entre reflectancias y transmitancias que dé cuenta de la conservación on de la energ´ energ´ıa: por cálculo alculo directo se puede demostrar que se verifican estas dos leyes de conservación

R + T  R⊥ + T ⊥ que se combinan para dar

= 1

R + T = 1, dicho de otro modo |S  | = |S  | + |S  | i z

5.5. 5.5.

= 1

t z

r z

Dire Direcc cci´ i´ on, on, frecuencia, amplitudes y energ´ energ´ıa cuando un medio es absorbente

Hasta aqu´ aqu´ı todo lo que hemos hecho en este cap´ cap´ıtulo parte de la consideración on de que los dos medios en que se propaga la onda son completamente transparentes, κ = 0. En esta sección on vamos a echar un vistazo a lo que ocurre cuando uno de los medios deja de ser transparente. Veremos que el problema se complica, y, aún as´ as´ı, es de capital capita l importancia, pues sabemos que el proceso de radiación–absorci´ on on en los átomos atomos implica pérdidas erdida s de energ´ıa. ıa. Intentaremos, Intentaremo s, como en las secciones seccione s precedentes precede ntes del cap´ cap´ıtulo, caracterizar las ondas producidas al atravesarse la interfase, para lo cual es necesario conocer su direcci´ dirección, on, frecuencia y amplitud. El primer medio queda caracterizado car acterizado por un ´ındice ındice n real y el segundo por uno complejo, nc . ¿Cómo omo se har´ har´ıa?. De modo parecido al caso anterior, pero p ero esta vez no podemos p odemos buscar soluciones al problema en el segundo medio como ondas planas con vector de ondas real. Por ejemplo  Et = Tei(k r−ωt ) c

·

Esto lo llevamos a las condiciones de frontera, de donde por independencia lineal de las exponenciales se tiene que sobre la superficie de discontinuidad ( z = 0) se ha de verificar la igualdad kc r = k r

·

·

es decir

 = k + ia = kx kcx x x  = k + ia kcy y y

= ky = 0















































5.5 Direcci´ Direcci´ on, on, frecuencia, f recuencia, amplitudes y energ´ıa ıa cuando un medio es absorbente absorb ente donde θ es el ángulo angulo de incidencia. ax = 0, y por tanto a = az uz . En cuanto a k , tenemos ω k = kz uz + n sin θ ux c Las ecMm aportan las relaciones k2 − a2

=

k a

=

·

ω 2 2 n c2 ω2   nκ c2



− κ2



que determinan los factores kz y az (ver [Cabrera]). Lo que es importante es que el vector de ondas de la onda refractada queda especificado por completo y de manera unica. u ńica. Para resolver r esolver completamente el problema necesitar´ necesitar´ıamos calcular las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida. Es un cálculo trabajoso del que sólo olo comentaremos alguna consecuencia: Las expresiones para los coeficientes de reflexión on siguen valiendo, si donde haya kz  y donde haya n ponemos nc . El resultado es ponemos kcz r = r⊥ =

 nc2 kz n2 kcz  nc2 kz + n2 kcz  kz kcz  kz + kcz

−

−

estos coeficientes de reflexión on son complejos (por culpa del vector de ondas y del ´ındice de refracción). on). Esto ocurre para cualquier ángulo angulo de incidencia. Lo interesante es que podemos cambiar estados de polarización a˜ nadiendo desfases por reflexiones nadiendo con medios absorbentes. De hecho hay una técnica ecnica de medida de ´ındices de refracción on que se basa en el estudio de los cambios de polarización on en las reflexiones de ondas sobre medios de ´ındice desconocido. Para las reflectancias (pero no para las transmitancias) tambi´ en en valen las relaciones que ya hemos encontrado para los medios transparentes:

R R⊥

= =

 r

2

|r⊥|2















































5 Refracci´ Refracci´ on on y reflexión on en medios homogéneos eneos e is´ i sótropos otropos (http://fig.alqua.org)

ındice n Figura 5.12: Incidencia normal de un medio de ´ındice

Al Hg

n 1.44 1.60

∈ R a otro de n = n + iκ. c

κ 523 4.80

589.3nm Cuadro 5.1: Un ejemplo con dos conductores (metales) para el doblete amarillo del Na: λ = 589.

lo que implica kx = ky = ax = ay = 0. El vector de ondas de la onda transmitida sólo olo puede tener componente z : kc = (kz + iaz ) uz . Para obtener las partes kz y az nos valemos de las ecMm, de las cuales se obtiene ω2

kc2 = nc2 2 c

de donde separando en parte real e imaginaria ω c ω  = κ c

kz = n az y r =

−r⊥

=

R = R⊥

=

n + iκ n n + iκ + n (n n)2 κ2 (n + n)2 + κ2

−

−

Si n = 1 la reflectancia aire–aluminio es 0. 0 .83 (83 % de energ´ energ´ıa reflejada) reflejada) y la aire– mercurio 0. 0.78. Hay que observar que incluso en incidencia normal los coeficientes de reflexión son complejos.















































6 Apro Aproximaci ximaci´ o on ń de onda localmente plana: opti ´ op tica ca geom ge om´ ´ etri et rica ca 6.1. 6.1.

Plan Plante team amie ient nto o

El objetivo de este breve cap´ cap´ıtulo consiste en tender puentes entre la óptica optica electroelectromagnética etica (OE) y la optica o´ptica geométrica etrica (OG). La OE debe contener la OG como forma aproximada aproximada de resolver resolver algunos problemas problemas relativos relativos a la propagaci´ propagaci´ on on de la luz. Durante este cap ca p´ıtulo nos limitare li mitaremos mos a medios isótropos otropos y transparentes para dar un tratamiento sencillo. Por lo tanto, n R. De otro lado, los medios serán an en general genera l inhomog´ inhomo géneos: eneos: n = n (r). Consideraremos solamente la propagación on de ondas armónicas, onicas, cuya expresión on general es E (r, t) = A (r) ei(g(r)−ωt)

∈

en consecuencia podremos hablar de fase y frente de onda. Si en cada punto del espacio consideramos un pequeño no volumen V , V , como muestra la figura, las condiciones de aplicabilidad de la OG se pueden resumir en lo siguiente: n (r) aproximadamente aproxima damente homogéneo eneo en V . V . aproxima damente homogéneo eneo en V . V . A (r) aproximadamente eneo en V . V . g (r) (el gradiente de la fase) aproximadamente homogéneo Al peque˜ no no volumen V le exigimos no obstante que respete V  λ3 , por lo que las condiciones se pueden expresar de otro modo diciendo que la longitud de onda debe ser peque˜ na frente a las distancias en las que n (r) , A (r) y g (r) var´ıan na ıan aprecia apr eciable blemente mente.. La OG funcionará tanto mejor cuanto menor sea la longitud de onda. Pero eso no impide que el modelo de la OG cubra una gran parte del espectro. Por ejemplo, la

















































´ ica geo 6 Optica Opt geom´ métrica etr ica longitud longitud de onda del visible, desde el pto de vista macroscópico opico es todav tod av´´ıa muy peque˜ p equeña. na. Las condiciones que acabamos de exigir se dan pues en un número elevado de situaciones prácticas. acticas. Si se cumplen las condiciones la OE conduce a la descripción geo geom´ métrica etr ica de modo natural.

6.2. 6.2.

De las las onda ondass a las traye trayecto ctoria riass

6.2. 6.2.1. 1.

Obje Objeti tivo vo

La descripción on geo geom´ métrica etr ica est´ est a´ caracterizada por dos nociones fundamentales a las que vamos a tratar de llegar de modo deductivo partiendo de la descripción electro elec tromag magn´ nética: eti ca: la idea de rayo. Nuestro primer objetivo será demostrar que podemos hablar de trayectorias para la luz. Relacionar ondas y rayos constituye un logro nada trivial. el ´ındice de refracci´ refra cción on determina completamente las trayectorias posibles. Nuestro segundo objetivo será comprobar que las trayectorias de la luz verifican el principio de Fermat. Fermat. Dicho de otro modo, convertiremos en teorema el principio de Fermat ma t. Lo que llamamos trayectorias son extremales de camino óptico. El teorema de Fermat dice que all´ all´ı donde el ´ındice es continuo los rayos verifican la ecuación on de las trayectorias y all´ all´ı donde hay discontinuidades verifican la ley de Snell, Snell, de modo que tenemos que probar estos dos hechos para dar por demostrado el teorema de Fermat. Fermat. En s´ıntesis, ıntesis, se s e trata tra ta de reducir una axiom´ a xiomática atica elegante, expresada en forma de principio variacional (principio de Fermat), Fermat), a un caso espec´ıfico ıfico de una teor´ıa ıa de axiomática atica más as complicada compli cada pero también en m´ as potente (las ecuaciones de Maxwell). as Maxwell).

6.2. 6.2.2. 2.

Noci´ Noci´ on on de trayectoria















































6.2 De las ondas a las trayectorias trayectorias

on depende del punto, pero en cada punto la onda es aproximable por una Figura 6.2: La aproximación oap.

Figura 6.3: Rayos y frente de onda.

donde definimos el vector k = g (r). La expresión on obtenida dice que dentro de V la ig (r) onda es armónica onica y plana. La amplitud A (r) e de esta oap es constante en V , V , porque  no depende de r . También en se puede decir que k es una función on vectorial vectoria l homogénea enea en V . V . Las condiciones que estamos imponiendo equivalen a decir que la onda es aproximable por una onda plana, pero tambi´ tambi´ en en que dentro dentro del volumen volumen el ´ındice de refracci´ refracción o n es  aproxima apr oximadam damente ente homog´ hom ogéneo: eneo : n (r + r ) n (r). El medio es localmente homogéneo eneo y global glo balmente mente inho i nhomog´ mogéneo. eneo . Sabemos de las oap en medios homogéneos eneos que tanto la fase como la energ´ıa ıa se propr o-



















































´ ica geo 6 Optica Opt geom´ métrica etr ica 2. Por Por constr construcc ucci´ i´ on las trayectorias tienen la propiedad de que en cada punto el vector on de ondas k (r) es tangente a ellas.

6.2. 6.2.3. 3.

Ecuac Ecuaci´ i´ on on de las trayectorias

Definimos una nueva cantidad,

relaci ón on L (r), a travéses de la relaci´ g (r) =

ω (r) c

L

con esta expresión on para la fase el vector de ondas queda k (r) =

g (r) = ωc L (r)

las ecMm aplicadas a una onda aproximadamente plana en un medio aproximadamente homog´ hom ogéneo eneo dictan dic tan que ω k (r) = n (r) c

|

|

de suerte que obtenemos la ecuaci´ on eikonal

|L (r)| = n (r) en muchos textos la aproximación on que hemos explicado se encuentra bajo el nombre de aproximaci´ on eikonal . Estamos listos para demostrar la ecuación on de las trayectorias, que es la ecuación on diferencial siguiente sobre el parámetro ametro de arco s d ds

  n

dr ds

=

n















































6.2 De las ondas a las trayectorias trayectorias

Figura 6.4: Rayo que encuentra una curva que marca una discontinuidad de ´ındice.

donde se puede aplicar la regla de la cadena para obtener d ds

L

= =

d ds

L

L ddrs 1 (L)2 n

= n

(6.1)

queda demostrada la ecuación on de las trayectorias según un las hemos definido más as arriba.

6.2.4. 6.2.4.

Interp Interpret retaci aci´ ´ on on

Vamos a integrar la ultima u ´ ltima ecuación on (6.1 6.1))



r2

L (r2) − L (r1) =

nds

r1

En el lado izquierdo tenemos una función on proporcional a la diferencia de fases de la onda. En el lado derecho tenemos lo que en el contexto de la OG se llama camino ´















































´ ica geo 6 Optica Opt geom´ métrica etr ica

on de una oap (haz de rayos paralelos) mediante una lente delgada infinita y una Figura 6.5: Creación fuente puntual monocromática. atica. El camino optico o´ptico es reversible (reparametrización). on).

formarán an dos oap, una reflejada y otra transmitida. La ley de Snell que all´ı encontra enco ntramos mos es la misma que se verificaba en la OG. Lo que en OG era vector tangente a la trayectoria es aqu´ aqu´ı vector de onda.

6.3. 6.3.

Conclu Conclusio siones nes:: onda ondass y rra ayos

Los dos hechos demostrados equivalen completamente al principio de Fermat, Fermat, que queda demostrado a partir de la OE, es decir, a partir de las ecuaciones de Maxwell. Maxwell.

Relaci´ on on entre ondas y rayos Siempre que se den las condiciones de aplicabilidad de la OG podemos pensar en la onda como una colección on de rayos, lo que puede ser de utilidad práctica. Para una oap en medio homogéneo eneo tenemos un haz de rayos paralelos. Esto es exacto, exacto, porque en un medio homogéneo eneo el ´ındice no var´ var´ıa, la amplitud de una oap es siempre constante, y el vector de ondas es constante. De modo que en este contexto “haz de rayos rayos paralelos” paralelos” y “oap” son completamen completamente te equivalen equivalentes. tes. Esta consideraci consideraci´ón on permite imaginar un procedimiento de generación on de ondas planas como el de la figura. Podemos

















































6.3 Conclusione Conclusiones: s: ondas y rayos

on transversal infinitesimal, es decir, un rayo. Figura 6.6: Pesquemos una sección

La difracción on ocurre porque debemos mutilar la onda: introducimos variaciones bruscas en los parámetros ametros que caracterizan la onda, ya que si se observara un rayo matemático la amplitud detrás as del agujero pasar´ıa ıa de un valor finito a cero, de modo que nos alejamos a lejamos del ámbito ambito de aplicaci´ aplicaci´ on o n de la OG ( A (r) homog´ hom ogéneo eneo en ∆V ). V ). En una interpretación on microscópica, opica, los átomos atomos en el orificio reemiten formando una onda que ocupa toda la región on posterior al orificio pero cuya amplitud sólo olo es significativa en el ángulo angulo θ que hemos señalado nalado (por alg´ un criterio que se especificará m´ un as as adelante).















































´ ica geo 6 Optica Opt geom´ métrica etr ica















































7 Medi Medios os anis anis´ otropos ´ otropos 7.1. 7.1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

´ Este es el tema más as dif´ dif´ıcil del curso. El libro de la bibliograf´ bibliograf´ıa que más as se aproxima al desarrollo que vamos a hacer aqu´ aqu´ı es el [Fowles Fowles]. ]. A continuación on vamos a ver por qué es interesante ( justificaci´ ( justificaci´ on ) y cómo omo abordar el problema (planteamiento (planteamiento). ).

7.1.1. 7.1.1.

Justifi Justificac caci´ i´ on: on: anisotrop anisotro p´ıa natural e inducida induci da

Para medios isótropos otropos supusimos la existencia de una fuerza recuperadora a nivel molecular proporcional a la separación on entre cargas F

2















































7 Medios Medios anis´ anis´ otropos otropos

Diferentes modos de inducir inducir la anisotrop anisotrop´´ıa en un material. material. a) efecto efecto electro´ electro´ optico optico b) Figura 7.2: Diferentes magneto´ optico optico c) fotoel´ foto elástico. astico.

Ahora se cumplen las siguientes relaciones, donde el gorro denota una matriz (que introduce la dependencia de la dirección). Fint

ˆr = M

ˆ e 0 E P = χ ˆ















































7.2 Matriz dieléctrica ectrica medios med ios homog´ hom ogéneos. eneo s. medios med ios dieléctric ect ricos, os, σ = 0. medios transparentes. Haremos una descripción on en oap y caracterizaremos su propagación on a partir de las ecMm. Para averiguar averiguar en qu´ e se traduce traduce la transparenci transparencia, a, tenemos tenemos que investiga investigarr el efecto de esta propiedad sobre la matriz diel´ ectrica. ectrica.

7.2.

Matriz diel´ ectrica ectrica

Si a un medio transparente transparente isótropo otropo le corresponde corresp onde una constante dieléctrica ectrica que es un escalar real para caracterizar un medio transparente anisótropo otropo se necesita una matriz herm her m´ıtic ıt ica. a. Veamo Veamoss por po r qué. e. Transparente significa significa que toda la energ´ energ´ıa que entra entra en un volumen volumen V sale sal e de él. el. Llamaremos Σ a la superficie cerrada que confina V . V . Para formular cuantitativamente que toda to da la energ´ energ´ıa que entra sale hacemos la integral de superficie



· 

















































7 Medios Medios anis´ anis´ otropos otropos es decir + = : la matriz diel´ ectrica ectrica es herm´ herm´ıtica (puede tener elementos complejos, pero debe cumplir cumplir esas relaciones). relaciones). Lo que sabemos es que por ser herm´ herm´ıtica, la matriz se puede diagonalizar a una matriz con elementos sólo olo reales (autovalores reales) cuyos autovectores son ortogonales.

7.3. 7.3.

Medi Medios os anis anis´ o otropos ´tropos transparentes. Clasificaci´ on on Si alg´ un elemento de la matriz kl es complejo se dice que el medio tiene actividad un 2. optica ´















































7.4 Propagaci´ on on de ondas armónicas onicas planas

7.4. 7.4.

Prop Propag agac aci´ i´ on on de ondas arm´ onicas onicas planas

·− H0 e ( · − E0 e ( · −

D = D0 ei(k H = E =

con D0 , H0 , E0

r

ωt )

i

k r

ωt )

i

k r

ωt )

∈ C constantes y ω, k ∈  constantes (medios transparentes). Nuestro















































7 Medios Medios anis´ anis´ otropos otropos ésto esto es un conjunto de 3 ecuaciones, que queremos resolver para pa ra k y para E. Como son lineales lineales en E0 , las podemos reescribir con ayuda de una matriz, M (k, ˆ): M (k, ˆ) E0 = 0 para escribir la matriz en la forma más as sencilla posible hay que utilizar como ejes coordenados los ejes principales x,y,z. Entonces M es:

0` ´− B@ nx ωc

2

ky2

ky kx kz kx

−k

2

z

ny ωc

kx ky 2 kx2 kz ky

` ´−

−k

2

z

nz ωc

kx kz ky kz 2 kx2

` ´−

−k

2

y

1 CA















































7.5 Medios Medios uni´ axicos axicos
















































7.5. 7.5.2. 2.

Onda Ondass o y e: fase fase y polari polariza zaci´ ci´ on on

Onda ordinaria Si el vector de ondas está sobre la esfera (sobre el c´ırculo) ırculo) y no coincide coincide con el eje z 2 (ky = 0) entonces cumple ky2 + kz2 = no ωc

 



0` ´ B@ no ω c

2

2

2

− ky − kz 0 0

0

2

no ω kz2 c kz ky

` ´

por la condición on de onda ordinaria 0

−

0 ky kz 2 ne ω ky2 c

` ´

−

10 CA @

E 0x E 0y E 0z

1 A =0

E = 0, con lo que nos queda como subsistema



































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































10 Difracc Difracci´ i´ on on

on al problema planteado Figura 10.2: Esquema de la solución

Figura 10.3: Aberturas complementarias.

Estudiar la difracción on no es entonces más as que investigar cómo omo es el resultado de esta 3 superposición on . La solución on que hemos escrito es una aproximación on porque 1. La desc descrip ripci ci´ón on es escalar. 2. El valo valorr de la onda bajo la inte integra grall es el de la onda onda inci incide dent nte, e, como como si no fuera fuera perturbado por la abertura. Condiciones de validez: a ) Tama˜ no: cuanto mayor sea la abertura, mejor funciona la aproximación. no: on. b ) Obse Observ rvac aci´ i´ on: no debemos observar muy cerca de la abertura. on:

10.3 10.3..

Prin Princi cipi pio o de Babi Babine nett

La difracción on tambi´ tambi´ en en se puede observar observar no haciendo haciendo pasar la luz por una abertura, sino interponiendo un obstáculo aculo en su propagación. on. El ppo de Babinet relaciona la onda difractada por una abertura con la onda difractada por un obstáculo aculo de la misma forma (aberturas complementarias). Si sabemos cómo omo es la onda difractada por la abertura sabemos sabemos c´ o mo es la onda difractada por el obstáculo. omo aculo. Aplica Aplicando ndo la f´ ormula ormula 10.1 al

3

Algunos textos afirman que llamamos interferencia a la suma de un conjunto discreto de ondas y difracción a la superposición on de un continuo de ellas.















































10.4 Aproximacio Aproximaciones nes de Fresnel y Fraunhofer obst´ aculo, aculo, y llamando a la onda por él el difractada u ˆ uˆ (P 0 )

= =

   − 1 iλ

u (P )cos P )cos θ

2

 −Σ

eikr ds r

eikr ds r 2  1 eikr u (P )cos P )cos θ ds iλ Σ r

1 iλ

u (P )cos P )cos θ

El campo resultant resultantee es la onda incidente incidente (primer t´ ermino) ermino) menos el campo difractado difractado por la abertura, u ˆ (P 0 ) . El principio de Babinet (que se puede escribir como teorema) es entonces uˆ (P 0) + u ˆ (P 0 ) = u (P 0 ) o.dif .abert + o. o.dif .ob j = o.incidente Esto nos permite limitarnos a estudiar aberturas y olvidar los obstáculos. aculos.

10.4. 10.4.

Apro Aproxim ximaci acione oness de Fresne Fresnell y Fraunh raunhofe oferr

La f´ ormula ormula de la difracción on se podr p odr´´ıa escribir escribir con una integral a todo el espacio si utilizamos udp (P ) P ) = t (P ) P ) u (P ) P ) (el campo incidente después de la pantalla) en lugar de u (P )). P )). Esto nos permite generalizar las aberturas, introduciendo un coeficiente de transmisi´ on, on, del siguiente modo 1 u ˆ (P 0 ) = iλ



t (P ) P ) u (P )cos( P )cos(θθ)

eikr ds r

el coeficiente t puede ser incluso un número umero complejo, que además as de cambiar la amplitud de la onda modifique su fase. Las aberturas que estábamos tratando tratando antes antes eran todas del tipo simplificado:“coeficiente de transmisión on 1 en cierta región on y 0 en su complementaria”. complementaria”. A la hora de calcular el uso de la última ultima fórmula ormula es un poco engorroso. En la mayor parte de los problemas se pueden hacer aproximaciones, como la de Fresnel y la de Fraunhofer. Fraunhofer.

10.4 10.4.1 .1..

Fres Fresne nell

Parametrizamos el plano de la abertura y el de observación por coordenadas cartesianas; respectivamente (ξ, ( ξ, η ) y (x, y ). Ambos son paralelos y están an separados por una distancia z . El primero contiene a Σ y el segundo a P 0 . El origen de coordenadas z lo establecemos en el centro de la abertura. La difracción on en el visible es un fenómeno omeno débil. ebil. La luz l uz emergente em ergente no será muy diferente de la incidente sobre la abertura. Si iluminamos ésta esta de forma normal, nor mal, la luz emergente ser´ a aproximadamente normal. Consideraremos aberturas peque˜ nas n as (ξ, (ξ, η peque˜ nas) n as) y
















































on de Fresnel. Figura 10.4: Aproximación

puntos de observación on pr´ oximos oximos al eje z . Esta aproximaci´ on paraxial se puede concretar en x ξ , y η z

| − | | − |

(que quiere decir también en que observamos observamos lejos de la abertura), y permite aproximar en serie la r que aparece en la fórmula: ormula: r=

 − (x

ξ )2 + (y (y

− η)2 + z2

Utilizaremos dos niveles de aproximación on Para cos θ =

z r

y el denominador de

eikr r

utilizaremos r

 z.

En la fase de eikr necesitamos algo más as fino, pues r va multiplic multiplicado ado por p or un n´ umero umero enorme, k y el resultado es muy sensible a las variaciones de fase (la amplitud puede ser una o su opuesta sólo olo por una diferencia de π ). Procediendo como en el interfer´ ometro ometro de Young: r = z





1+

z+

(x

(x

− ξ)2 + (y (y − η )2 z2

(y − η )2 − ξ)2 + (y 2z

´ Este es el núcleo ucleo de la “aproximación on paraxial” paraxial” en difracci´ difracci´ on. on. La fórmula ormula ahora toma el siguiente aspecto (aproximaci´ on de Fresnel) Fresnel) u ˆ (P 0 )



eikz iλz



k

2

t (ξ, η ) u (ξ, η ) ei 2z ((x−ξ )

+(y η)2 )

−

dξdη

donde las variables aparecen en una exponencial cuadrática, lo que es mucho más as mane jable que los m´ odulos odulos de la fórmula ormula no aproximada. Salvo en alg´ un un problema, tampoco utilizaremos esta fórmula, ormula, sino más as bien la de Fraunhofer. Fraunhofer.















































10.4 Aproximacio Aproximaciones nes de Fresnel y Fraunhofer

on de FF. Figura 10.5: Uso de una lente convergente para entrar en la aproximación

10.4.2 10.4.2..

Apro Aproxim ximaci aci´ ´ on on de Fraunhofer

Fundamento; Fundament o; Importancia Imp ortancia pr´ actica actica La idea de Fraunhofer es desarro d esarrollar llar el exponente expon ente as´ as´ı



k (x 2z

2

− ξ)

+ (y (y

2

− η)

  =

k x2 + ξ 2 2z

− 2ξx + y2 + η2 − 2ηy



Es fácil acil librarse de x2 y de y 2 , pues no hay que integrar sobre ellos. Más as dif´ d if´ıcil ıci l es librars libr arsee 2 2 de ξ y η , y la aproximación on de FF consiste precisamente en decir que su contribución a la integral es pequeña. na. Dicho de otro modo k 2 ξ + η2 2z z

  

1 π 2 ξ + η2 λ

 

B´ asicamente esta aproximación asicamente on consiste en observar desde un poco más as lejos. Obtenemos as´ı la fórmula ormula de Fraunhofer: ik

u ˆ (P 0 ) =

e

„

2 2 z + x 2+zy

iλz

«



k

t (ξ, η ) u (ξ, η ) e−i z (ξx+ηy ) dξdη

Ejemplo ¿Cuán a n lejos hay que irse si la abertura es de 1 mm, mm, con luz visible para que valga la aproximación? on? ξ2 + η2 10−6 m2 y λ 5 10−7 m implica que z 10 10m m. Hay que alejarse bastante; teniendo en cuenta que la energ´ energ´ıa emitida por un punto se reparte por la superficie de una esfera (que crece con el radio al cuadrado), puede que a esa distancia haya difracci´ on on pero no podamos verla .

∼

∼ ×



Hay una forma de satisfacer la condición on de FF sin alejarse de la abertura. Consiste en irse al infinito utilizando una lente delgada convergente. Al poner en el camino de la luz una lente de este tipo, la luz que ir´ ir´ıa a parar a un P 0 en el infinito va a concurrir, de hecho, sobre un punto cercano en el plano focal imagen de la lente. Ubicaremos la lente, por sencillez, paralela al plano que contiene la abertura.
















































coordenadas. as. Figura 10.6: Nuevo sistema de coordenad

Debemos modificar ligeramente la fórmula, ormula, pues las coordenadas de P 0 cambiar´ an an al moverse de un punto muy lejano al plano focal imagen. Ahora a las coordenadas sobre ese plano las llamaremos x , y  . Su relación on con las anteriores se calcula con un poco de trig tr igon onom omet etrr´ıa tan θx = =

x z x f 

de donde x = xz f  e y = yz f  . Omitiendo la constante de proporcionalidad fuera de la integral, la integral que manejaremos será: a:

  ∝ 

uˆ x , y 

−i f k (x ξ+y η) dξdη

t (ξ, η ) u (ξ, η ) e

ya sólo olo tenemos que aplicar la fórmula ormula (v´ alida alida en aproximación o n de FF y usando una lente delgada convergente).

Principio de Babinet en aproximaci´ on de FF con iluminaci´ on on on por ondas planas El principio de Babinet determina cómo omo se relacionan figuras de difracción on producidas por aberturas complemen complementarias. tarias. uˆ (P 0) + u ˆ (P 0 ) = u (P 0 ) o.dif .abert + o. o.dif .ob j = o.incidente Vamos a ver cómo omo se escribe esta expresión on cuando la onda que ilumina la abertura es plana y estamos trabajando en las condiciones de la aproximación de Fraunhofer. Fraunhofer. Una onda plana al atravesar una lente converge a un punto del plano focal imagen, que en la figura 10.7 se ha etiquetado como P k . Por lo tanto, en aproximación on de Fraunhofer u (P 0 ) = 0

















































10.5 C´ırculos. . . (http://fig.alqua.org)

a en el plano focal fo cal imagen de una lente convergente. Figura 10.7: P 0 est´

etrico etrico del problema. Plano del orificio z = 0, radio de la abertura Figura 10.8: Planteamiento geom´ R.

en cualquier P 0 = P k . El ppo de Babinet se escribe escribe entonces entonces P 0 = P k como



∀ 

u ˆ (P 0 ) + u ˆ (P 0 ) = 0 de donde u ˆ (P 0 ) =

−uˆ (P 0)

I  (P 0 ) = I ( I (P 0 ) Es decir, que para dos aberturas complementarias 1. en régimen egimen Fraunhofer 2. ilumin iluminadas adas por onda ondass plan planas as

las figuras de difracción on son iguales salvo en un punto.
















































Figura 10.9: Coordenadas polares ρ , θ  en el plano focal imagen. El origen está desplazado f  kky en el eje y y f  kkx en el eje x.

1. Cómo omo es la abertura (función on t (ξ, η)). En este caso t (P ) P ) = 1 P 0 P Σ.

P ) = ∀ ∈ Σ y t (P )

∀ ∈

2. Como ómo es la iluminación on (función on u (ξ, η )). En este caso es una onda plana u (ξ, η ) = u0 ei(kx ξ+ky η ) con u0 constante (evaluado en z = 0). Este caso tan sencillo ilustrará el fenómeno omeno de la difracción. on. Queremos saber cómo omo será la onda en el plano focal imagen. Recordemos que hemos tirado a la basura el factor temporal eiωt , suponiendo tácitamente acitamente que está en todas partes pero ahorrándonos andonos escribirlo. Para resolver el problema sólo olo queda abordar la integral integral encontrando encontrando un buen sistema de coordenadas: coordenadas: ξ = ρ cos θ η = ρ sin θ Tambi´ en en tomaremos polares (con ( con respecto a un punto que no es el origen) en el plano focal imagen (ver figura 10.9 10.9)) x = f 

kx + ρ cos θ k















































10.5 C´ırculos. . . (http://fig.alqua.org)

I (ρ )

Figura 10.10:

I (0) (0)

en funci´ on on de

kR  ρ f 

la forma del exponente explica la elección on de coordenadas para el plano focal imagen

  ∝   −   ∝   2π

R

u ˆ x , y 

ρdρ

0

−i f k ρρ(cos θ cos θ+sin θ sin θ )

0

θ ), as´ı que qu e

el paréntesis entesis es igual a cos (θ u ˆ

dθ u0 e

2π

R

x , y

ρdρ

0

dθ u0 e

−i f k ρρ(cos(θ−θ ))

0

esta integral no va a depender de θ porque da lo mismo qué l´ımites tenga la integral mientras abarque una circunferencia. u ˆ

  ∝  

2π

R

x , y

ρdρ

0

dθ u0 e

−i f k ρρ cos θ

0

La onda va a depender sólo olo de la variable ρ . Estas integrales necesitan para su resolución on de las funciones de Bessel. Bessel. u ˆ

  ∝     ∝     ∝           R

ρ

2π

0

kρρ f 

ρ d ρ J0

para llegar a la forma final tenemos aún un que incluir otra función on de Bessel: Bessel: u ˆ

ρ

f  RJ 1 kρ

kRρ  f 

Normalmente estaremos más as interesados en intensidades que en campos, I ρ

uˆ ρ

= I 0

2

2J 1

I ρ

kR f  ρ



kR

ρ

2
















































Figura 10.11: Aspecto en el plano focal imagen.

Interpretaci´ on on 1. La dist distri ribu buci ci´ón on de intensidad que aparece en el plano focal imagen es lo que llamamos difracci´ on, on, puesto que lo que se ver´ ver´ıa, de ser válida la OG4 , ser´ıa ıa un punto all´ all´ı donde realmente vemos una mancha rodeada por anillos. Dicho de otro modo, mo do, 5 despu´ es es de la abertura la OE nos dice que no tenemos una onda plana , pues de ser as´ı obten o btendr´ dr´ıamos ıam os una ima imagen gen puntual punt ual.. 2. El tama tama˜ n no ˜ o de la mancha central se puede calcular obteniendo el radio del máximo aximo central central (que concentra concentra el 84 % de la luz). El radio del primer cero de la función on de la figura es 2π R  r = 1.220 220π π λ f  λ r = 1.22 f  2R a ) La depen depende denc ncia ia con con f  es irrelevante (cuanto más as lejos est´ e el plano, proporcionalmente más as grande se proyecta la mancha). b ) En cuan cuanto to a R, la mancha central es inversamente proporcional en tamaño no a la abertura de la fuente (tampoco el R puede ser demasiado pequeño n o si queremos conservar la validez del principio de Huygens– Huygens–Fresnel). Fresnel). En la 6 vida ordinaria no vemos los efectos de la difracción on porque la luz raramente encuentra aberturas lo suficientemente pequeñas. nas. c ) La manc mancha ha crece crece line linealm almen ente te en tama˜ tama˜ no con la longitud de onda. Si iluminano mos con luz blanca, cada componente monocromática atica da lugar a una figura de difracci´ on. on. La distribución on de intensidad ser´ ser´ıa coloreada, co loreada, porque las figuras de diversas λ no coinciden entre s´ s´ı. Algunos textos plantean la óptica opt ica geo geom´ métrica etr ica















































10.5 C´ırculos. . .

Figura 10.12: Llamaremos D la distancia mutua de los objetos puntuales, L a su distancia al instrumento, f  a la focal del sistema y d a la distancia entre las dos im´ agenes agenes formadas. (http://fig.alqua.org)

on on intermedia. Figura 10.13: Puntos resueltos y no resueltos. Situaci´

atica atica de λ = 500nm 500nm ¿cu´ al al es el tama˜ no no de la mancha Ejemplo Para una onda monocrom´ central de difracción on causada por una abertura circular de R = 1mm tras pasar por una lente de f  = 10 10cm cm?? La soluci´ soluci´ on on es R = 20 20µm µm.. Se trata de un efecto relativamente pequeño. no.

10.5.2 10.5.2..

Poder Poder resolu resolutiv tivo o de los instr instrume umento ntoss ´ opticos opticos

La difracción on limita la capacidad de los instrumentos ópticos de formar buenas imáa-genes. Vamos a tomar un par de puntos que consideraremos muy alejados de un sistema óptico formador de imagen que representaremos por una lente delgada convergente. optico ´ Este es un problema de difracción on de FF en la medida en que cualquier sistema óptico

















































10 Difracc Difracci´ i´ on on resueltas resuel tas si distan entre s´ı m´ m ás as que el tamaño no de la mancha central de difracción. on. d

≥ r

y no lo estarán an en otro caso. Dicho de otro modo d

≥ 1.22 2λR f 

o bien (por (po r trigonometr´ trigon ometr´ıa), ıa), d f  D L

≥ ≥

λ 2R λ 1.22 2R 1.22

´ Este es un criterio de resolución on angular . Sólo o lo depende de la longitud de onda y del tama˜ no de la abertura. Pero no depende de la focal: no aumentamos el poder resolutivo no con un instrumento que aumente más as (au ( aumen mento to vac va c´ıo). ıo ). Esto significa que para mejorar el poder resolutivo debemos utilizar un telescopio más grande, o un microscopio de menor longitud de onda (por ejemplo, de electrones). El poder resolutivo de un instrumento es pues su capacidad de distinguir objetos próximos. oximos. Para un instrumento compuesto hay que considerar esto de modo relativo, pues el primer diafragma destruirá las ondas planas y habrá que hacer cálculos alculos extra para los siguientes.

10.6.

Rect´ Rect´ angulos. angulos. . .

Vamos a considerar el problema de una abertura rectangular iluminada por ondas















































10.6 Rectángul a ngulos os.. . .

on por una abertura abertura rectangula rectangularr Figura 10.14: Difracción 1

0.8

0.6

0.4

0.2

-5

-10

5

10

afico sinc2 (φ). Figura 10.15: Gráfico

cuyo resultado es7 



u ˆ (x , y )

sinc ∝ 4 sinc



kx

−

x k  f

  ×  a 2

sinc

ky

−

y k  f

nos interesa la intensidad (proporcional al cuadrado del campo) 2



x

 a

 b 2
















































on. Figura 10.16: Abertura rectangular: aspecto de la pantalla de observación.

• En la dirección on x las coordenadas x1 del cero que limita al máximo aximo central por la derecha y x−1 del que lo limita por la izquierda son, respectivamente:

−  −  kx

kx

x1 k  f x k −1 f

a 2 a 2

= π =

−π

por lo que el tamaño no del máximo aximo central en la dirección on x resulta resulta ser ∆x = =



x1 x−1 2f  λ a

−



• En la dirección on y  los cálculos alculos son análogos, alogos, y su resultado es 2f  λ ∆y = b















































10.7 Doble rendija rendija

Figura 10.17: Una rendija: b

a

y’

x’

on de una rendija vertical. Nótese otese que la intensidad se distribuye Figura 10.18: Figura de difracción horizontalmente.

Como se puede ver en la figura 10.18 10.18,, la intensidad se distribuye a lo largo del eje x seg´ un un un patrón on de difracción, on, puesto que la abertura es pequeña. na. Sin embargo, en el eje y no hay difracción, on, por lo que vale la óptica opt ica geo geom´ métrica etr ica.. Es un problema unidimensional con
















































Figura 10.19: Doble rendija. Σ y Σ son las rendijas de altura a (separadas una distancia d). Se iluminan ilumin an por p or una oap que q ue forma un ángulo angulo θ con el eje. θ es el angulo ángulo que parametriza  el punto de observación on en el plano focal imagen (x ). z = 0 sobre el plano de las rendijas.

la función on transmitancia es t (ξ ) = 1 si ξ Σ Σ y cero en otro caso. En cuanto a la iluminación on (segundo dato necesario para usar las fórmulas ormulas de FF):

∈ ∪

u (ξ ) = u0 eik

·

r

= u0 eikx ξ = u0 eik sin θξ En realidad tenemos dos integrales a



d+ a




















































on de ϕ en el factor interferencial. Figura 10.20: Doble rendija. Interpretación

donde
















































2 0.1 1.5

0.08

0.06 1 0.04 0.5 0.02

-15

-10

-5

5

10

15

-15

-10

(a)

-5

5

10

15

(b)

2 πM para los máximos axim os de I d , que Figura 10.21: Doble rendija. Los dos factores por separado. ϕ = 2πM var´ıa ıa más as depri dep risa sa (ya que qu e d > a) que la I a , para la que el máximo aximo central está en x = f  sin θ (y vale 1, n´ otese otese la ampliación on de los detalles finos a ambos lados del m´ aximo aximo central que hemos efectuado). Se ha utilizado ϕ = 4φ

la diferencia de camino se convierte en diferencia de fase multiplicando por ϕ =

2π

(∆2

− ∆1)

2π λ

:
















































-15

-5

-10

0

5

10

15

I (x ) = I d I a . El m´ aximo aximo central es el M = 0 de I d . De nuevo se han Figura 10.22: Doble rendija. I ( ampliado los detalles finos a los lados del m´ aximo aximo principal. Se ha utilizado ϕ = 8φ.

×

Mirando las integrales a

  ∝  

u ˆ x

2

−a

−i f k x ξ dξ

eik sin θξ e

2

+

d+ a 2

−i f k x ξ dξ

eik sin θξ e
















































on de N rendijas de anchura a. Figura 10.23: Red de difracción

1. lo que las ondas ondas llevan llevan de desfase desfase al llegar llegar al plano plano de las aberturas, aberturas, que, que, como depende de sin θ, se hace cero cuando la incidencia es normal.















































10.8 Red de difracci´ difracci´ on. on. Poder resolutivo (el factor que cambia en el exponente es debido a que vamos pasando de d a 2d a 3d, etc.). En general u ˆ

 ∝

1 + e−iϕ + . . . + e−i(N −1)ϕ

∝

 

Σ1

N

(sinc (φ (φ))

 ×

e−i( j −1)ϕ

j =1

lo que cambia respecto a la doble rendija es que tenemos un primer factor que es interferencia de N ondas, y no de dos. Por otra parte, no es exactamente como el FP, puesto que en este ten´ıamos ıam os ondas interfiriendo. Y el otro factor es la difracción on de una sola onda, que modula la inteferencia del resto. Las φ y ϕ son las mismas variables que en la doble rendija. Sumando la serie geométrica etrica

∞

1 e−iN ϕ u ˆ= sinc (φ (φ) 1 e−iϕ

− −

haciendo el módulo odulo al cuadrado y sacando factor común un


















































10 8 6 4 2

-10

-5

5

10

on. La ecuación on ϕ = 2πM da la ubicación on de los máximos aximos principales. principale s. Figura 10.24: Red de difracción.















































10.8 Red de difracci´ difracci´ on. on. Poder resolutivo

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

-15

-10

-5

5

10

15
















































(a)

(b)















































11 Ejerci Ejercicio cioss y problem roblemas as 11.1 11.1..

Resu Resuel elto toss















































11 Ejercicios Ejercicios y problemas problemas lo que es equivalente a la definición on que hemos dado E j = A j (r)cos(ωt )cos(ωt

−g

j

(r))

Se verifica que la dependencia temporal es armónica, onica, lo cual no quiere decir que forzosamente la función on dada sea una onda, es decir, cumpla la ecuación de ondas. 2. Repres Represen entaci taci´ón on compleja



k

(



)

·

i[ k r (u +u ) ωt ]

















































11.1 Resueltos Resueltos

















































11 Ejercicios Ejercicios y problemas problemas


































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































11 Ejercicios Ejercicios y problemas problemas En cuanto al orden del máximo aximo de mayor intensidad, hay que recordar que el segundo factor sin φ 2  I x (1 + cos ϕ) φ

 

 ∝

modula la intensidad del primero. La variable φ es función o n de x , por lo que podemos calcular el x para el que la difracción on tiene su centro centro de intensida intensidad, d, y de ah´ ah´ı pasar al número umero M correspondiente. En Fraunhofer: kx b φ=  f 2 que ten´ıa máximo aximo en φ = 0 o bien, x = 0 o θ = 0. Llevándolo andolo a



2π x ϕ = d  λ f = 2πM

− l (n − 1)



tenemos M = l(nλ−1) = 100. Comentario: Comentario : en todos los problemas que hemos visto hemos visto que el máximo de difracci´ on on siempre está en la dirección on de incidencia del haz, pues ése ese es el resultado de la OG. Se puede aprovechar este resultado para decir que el máximo aximo de difracción on estará en la dirección on (la normal) de incidencia del haz plano, es decir en el centro del plano focal imagen.

−

11.2. 11.2.

−

Otros Otros ejerci ejercicio cioss y probl problem emas as (por (por resolv resolver) er)

1. Clasificar los cristales cuyos tensores diel´ dieléctricos ectricos son los siguientes

 

2 0 0 0 2 0 0 0 2

y hallar los ejes principales.

    ,

1 0 0 0 3 0 0 0 3

    ,

2 1 0 1 1 0 0 0 1

 

2. 3Una 3Una onda onda arm´ arm´ onica plana se propaga en un medio uniáxico onica axico estando el eje óptico optico en la dirección on z . La fase se propaga en la dirección x. Demostrar que E siempre est´ a en el plan planoo yz. yz . Si en x = 0 la onda vale E(x = 0, t) = E0 e−iωt calcular el campo en x = d. 3. Calc Calcul ular ar el ángulo angulo formado por el rayo extraordinario y el ordinario que salen de la combinación on de los dos prismas de la figura hechos del mismo material uniáxico, ◦ si θ = 15 , no = 1.66 y ne = 1.49. 4. Un dete detect ctor or situ situad adoo a una una altura altura h sobre el océano eano recibe ondas de frecuencia ν procedentes de una estrella lejana. Al detector llega la onda directa desde la estrella y la reflejada en la superficie del océano. eano. Encontrar el valor de la intensidad















































11.2 Otros ejercicios ejercicios y problemas problemas (por resolver) resolver) detectada en función on del ángulo angulo α que la estrella forma sobre el horizonte. Calcular al visibilidad. Por sencillez considérese erese que el coeficiente co eficiente de reflexión on r es indepenindepen8 ◦ dient dientee del del ángulo angulo de incidencia. Si ν = 10 Hz, r = 0.7 y α = 45 calcular el valor m´ınim ın imoo de h para que se tenga intensidad máxima. axima. 5. Esti Estima marr el el n´ umero umero de máximos aximos de interferencia que hay en el máximo central de la difracci´ difracci´ on on producida por dos rendijas idénticas enticas iluminadas normalmente por un haz plano monocrom´ atico. atico. 6. Calc Calcul ular ar la posic posici´ i´ on on de los máximos aximos principales en aproximación on de Fraunhofer para la red de la figura que está hecha de escalones de un medio transparente de ´ındice de refracci´ refra cción on n. 7. Consid´ erese erese la onda arm´ onica onica E = E0 ei(kc r−ωt)

con vector de ondas complejo kc = k + ia y con cierto vector amplitud compleja dado por E0 = αk + β a, donde α y β son escala escalares res com comple plejos jos.. Esta Esta onda onda se propaga en cierto medio de ´ındice ındice complejo nc = n + ik. on ik . Determinar la condición o condiciones que han de verificar α y β . Calc´ ulese ulese el vector de Poynting de esta onda. 8. Cierto medio diel´ dieléctrico ectrico e is´ isótropo otropo posee una única unica frecuencia frecuencia de resonancia resonancia ω0 : a ) ¿Es ¿Es posi posibl blee que que sien siendo do ω1 < ω 2 se tenga

 {n (ω)} >  {n (ω)}

b ) En las mismas mismas condicione condicioness del apartado apartado anterior: anterior: ¿para cu´ cu´ al al de las frecuencias se tendrá una velocidad de fase mayor? (para este apartado supóngase que el medio es transparente y la onda es plana). 9. Consid´ erese erese una onda arm´ onica y plana que incide sobre una superficie plana que onica seapra dos medios transparentes e isótropos otropos de distinto ´ındice. ındice. El primer medio tiene tie ne ´ındice ınd ice n y el segund segundoo medio medio tiene tiene ´ındice ındice 1. Se sabe que para para incide incidenci ncias as desde el primer medio superiores a la del ángulo ang ulo cr´ıtico ıti co (refl ( reflexi´ exión on total) se produce en el segundo medio una onda cuya amplitud decrece exponencialmente con la distancia a la superficie sup erficie de discontinuidad discontinuidad de ´ındice. Se quiere saber sab er en cuál al de las dos situaciones siguientes el decrecimiento exponencial es mayor: a ) ángulo angulo de incidencia próximo oximo al ángulo ang ulo cr´ıtico. ıti co. b ) ángulo angulo de incidencia próximo oximo a

π

2.

Supóngase ongase en ambos casos que la amplitud en el segundo medio sobre la superficie de discontinuidad es la misma.















































11 Ejercicios Ejercicios y problemas problemas 10. 10. Una Una ond ondaa arm arm´ ońica y plana de frecuencia ω se propaga con vector de ondas en la onica direcci´ on on del eje Z . Esta onda atraviesa consecutivamente tres polarizadores cuyos ejes de transmisión on están an en el plano X Y . Y . El primer polarizador tiene el eje de transmisi´ on on en la direcci´ on on X . El eje del segundo polarizador polarizador gira a velocidad constante Ω. El eje del tercer polarizador coincide con el eje Y . Y . Se pide demostrar que tras atravesar los tres polarizadores la onda no es monocromática. ati ca. Determ´ Det erm´ınense ınen se las frecuencias que contiene.

√

2 2 11. Cierta Cierta onda onda se desc describe ribe por por la expre expresi´ si´ on on V (z, t) = V0 e−i(az +bt +2 abzt) . ¿Es una onda plana?. ¿Es armónica? onica? ¿Cuál al es la velocidad de propagaci´ on on de las superficies superficies donde V toma el mismo valor?.

12. Cierto campo campo eléctrico ectrico viene dado por la expresi´ on on



k E = E0 cos r (u1 2

·

 

− u2)

cos ωt

k r (u1 + u2 ) 2

− ·



donde u1 y u2 son dos vectores unitarios constantes y k = ωc . Se pide: a ) ¿Es ¿Es una una onda onda arm´ arm´ onica?. onica?. b ) Calcul Calcular ar su su repre represen sentac taci´ i´ on on compleja. compleja. c ) Calcul Calcular ar su veloci velocidad dad de de fase. fase. d ) d ) Expr Expres esar ar E (r, t) como superposición on de ondas planas. 13. Hallese a´llese el valor instantáneo aneo del vector de Poynting S de la onda electromagn´ electro magnética etica en el vac´ vac´ıo cuyo campo camp o eléctrico ectric o viene dado por E=



i(kz ωt )

E 0 (ux + iuy ) e

−



14. El campo el´ eléctrico ectrico correspondiente a una onda plana monocrom´ atica atica propag´ andose andose en la dirección on Z tiene la forma sin(ωt E = A sin(ωt

kz ) i + B cos(ωt cos(ωt − kz) kz ) j − kz)

donde A, B son constantes, con B > A e i, j son vectores unitarios en las direcciones x y y respectivamente. Calcúlese ulese el promedio temporal del vector de Poynting de dicho campo. camp o. Demuéstrese estrese que E puede escribirse escribirse como la superposici´ superposición on de dos campos, uno de ellos linealmente polarizado y el otro circularmente polarizado. Escr´ Escr´ıbanse las expresiones para ambos campos. 15. Una Una onda onda arm´ armonica ońica plana tiene frecuencia ω y vector de ondas k en cierto sistema de referencia. referencia. Aplicando una transformaci transformaci´ on o´ n de Lorentz a la fase ( k r ωt) ωt) demostrar que la frecuencia observada en un sistema de referencia que se mueve con velocidad v respecto al anterior es ω ω k v si v c.

· −

 − ·

| |















































11.2 Otros ejercicios ejercicios y problemas problemas (por resolver) resolver) 16. 16. Un elec electr tr´ón on ligado se ilumina con una onda armónica onica plana de frecuencia ω siendo la amplitud del campo eléctrico ectrico de 10 kV/ kV/m. La frecuencia de resonancia del 15 electr´ on on es ω0 = 4 10 rad/ rad/s y la constante de amortiguamiento es γ = 108 Hz. Calcular la amplitud de oscilación on del electrón on y compararla con c en los casos 15 ω = 5 10 rad/ rad/s y ω = ω0 .

×

×

17. Comp Compro robar bar que que 0 y σ tienen las mismas dimensiones. 18. De un medio medio se sabe que gen es un escalar complejo que no depende del punto y que s´ı depend d ependee de d e la l a frecuencia. frecuen cia. D´ıgase si el medio es o no es homog´ h omogéneo, eneo, absorbente, absorb ente, conductor, dispersivo o isótropo. otropo. 19. En cierto cierto medio material material se propaga propaga una onda onda cuya cuya represent representaci´ aci´ on on compleja es E = E0 e−

3ω

c

z ωt ) z i( 32ω c

−

e

calcular los valores de n y κ de dicho medio. 20. Sea Sea la la ond ondaa arm arm´ onica ońica inhomog´ inhomo génea enea en un medio absorbente absor bente con campo camp o eléctrico ectric o E = E0 e−a

·

r

ei(k

·− r

ωt )

siendo k = b (1, (1, 0, 0), a = b (1, (1, 1, 0) y E0 = E 0 (1, (1, 1 + i, d), donde b,d,E 0 son constantes . D´ıgase si los vectores reales correspondientes a E, H y k en t = 0, perp endiculares ares entre s´ı. r = 0 son perpendicul

−

∈

21. En las prox proximi imidade dadess de una reson resonanc ancia ia ω2

− ω02 = (ω + ω0) (ω − ω0)  2ω0 (ω − ω0)

con lo que para un medio poco denso n y κ pueden aproximarse por n κ

 

1+

N q2 4m0 ω0 (ω

N q2

ω0

−ω

− ω0)2 + γ

8m0 ω0 (ω

− ω0)2 +





γ 2

2

γ 2

2

demostrar que los valores máximos aximos de n y de κ se obtienen para ω = ω0 γ 2 y −3 ω0 respectivamente. Evaluar tales valores máximos aximos para el caso N = 1022 m , ω0 = 1016 rad/ rad/s y γ = 1011 Hz.

−

22. Consid´ erese erese un medio poco p oco denso cuyo ´ındice ındice de refracción on en el visible viene determinado por una unica u ´ nica frecuencia de resonancia en el ultravioleta. Despreciando γ y usando ω ω0 demostrar demostrar que n puede aproximarse aproximarse por n A + λB2 siendo A y B constantes y λ = 2ωπc .





23. Se tienen tienen las mismas condici condiciones ones del problema problema anterior anterior salvo salvo que la frecuenc frecuencia ia de  resonancia ω0 está en el infrarrojo. infrarrojo. Demostrar Demostrar que su ´ındice ındice de refracci´ refracción o n en el 2     visible, n puede aproximarse aproximarse por n A B λ si ω ω0 .

 −


















































angulo. Figura 11.17: Diedro rectángulo.

24. Se dispone de tres medios diel´ dieléctricos ectricos cada uno de ellos con una sola resonancia resonancia ˚ ˚ ˚ situada en 1000 A, 4000 A y 8000 A respectivamente (todo lo demás as se supone dn idéntico entico en los tres medios). Se quiere tener la mayor dispersión dω posible para ˚ ¿Cuál λ = 5000 A. al de los tres medios es el más adecuado?. 25. Aproximar Aproximar el ´ındice ındice de refracci´ refracci´ on on de un diel´ die léctrico ectrico para frecuencias frecue ncias mucho mayores que cualquiera de las de resonancia. 26. Demostrar Demostrar que la conductividad conductividad en el l´ l´ımite ω ductividad ductividad del cobre en tal l´ımite es σ = −3 N = 8 1028 m calcular γ .

×

N q2 mγ

→ 0 vale σ  . Si la con−1 m−1 y sabien 5.5 × 107 Ω sabiendo do que

27. Demostrar Demostrar que si el ´ındice ındice de refracci´ refracción on del segundo medio (n (n ) es menor que el del primer medio (n (n), siendo ambos reales con n > n  se tiene que t > 1 y t⊥ > 1 para cualquier ángulo angulo de incidencia menor que el cr´ cr´ıtico. 28. Consideremo Consideremoss un diedro rect´ angulo angulo que separa se para dos diel´ d ieléctricos ectrico s de ´ındices reales n y n  n que verifican n = 3. Un haz plano linealmente polarizado con azimut 45 ◦ sufre dos reflexiones tal y como se muestra en la figura11.17 figura 11.17.. H´ allense allense los dos valores posibles del ángulo angulo de incidencia θ para que el haz S 3 esté linealmente lineal mente polarizad pol arizadoo perpendicular al plano del papel. Para cada una de las dos soluciones hállese la intensidad del haz S 3 y también en ind´ ind´ıquese cualitativamente cualit ativamente el tipo de polarizaci pola rizaci´ón on de los haces emergentes S 1 y S 2 .

√

29. 29. Una Una l´ amina amina planoparalela de un medio dieléctrico, ectrico, is´ otrop otr opoo y homog´ hom ogéneo eneo de ´ındice ındi ce de refracción on n0 y espesor d est´ a en contacto con un medio metálico alico de constantes n y κ. Una onda plana monocrom´ atica atica circularmente circularmente polarizada a derechas derechas incide incide perpendicul perp endicularmente armente desde el vac´ vac´ıo sobre la superficie super ficie del dieléctrico, ectric o, atraviesa éste, este, se refleja en el metal y emerge de nuevo nuevo al vac´ vac´ıo (en sentido contrario al incidente). Determ´ınese ınese el estado est ado de polariz p olarizaci´ ación on del haz: a ) despu´ es es de atravesar el dieléctrico ectrico a la ida (punto 1 de la figura). b ) despu´ después es de reflejarse reflejarse en el metal (punto 2 de la figura). c ) en el vac´ vac´ıo a la vuelta vuelta (punto 3 de la figura).

















































11.2 Otros ejercicios ejercicios y problemas problemas (por resolver) resolver)

Figura 11.18: Problema 35

30. 30. Una Una onda onda arm arm´ onica ońica plana incide incide desde el vac´ ac´ıo sobre la superficie superficie plana de un ◦ medio uniáxic a xico o con con angulo ángulo de incidencia 30 . El eje óptico optico está en el pla plano no de de incide incidenci nciaa y es normal normal a la superficie superficie.. Calcular Calcular el ángulo angulo que forman los vectores de onda de las ondas extraordinaria y ordinaria si no = 1.658 y ne = 1.486. 31. Se tiene tiene un prisma prisma ABC de material uniáxico. axico. La luz incide incide normalmente normalmente a la cara AB. AB . Describir los rayos refractados por el prisma y su estado de polarización a la salida del prisma para las siguientes disposiciones del eje óptico: a ) Parale Paralelo lo a las las aristas aristas.. b ) No Norm rmal al a la la car caraa AB. AB . c ) Paral Paralel eloo a la cara cara AB y normal a las aristas. 32. Un haz de luz linealmente polarizado pasa a trav´ trav´ es es de una l´ amina amina de retardo φ y de ◦ un polarizador. El eje óptico optico de la lámina amina est est a 45 con el campo de la luz incidente y el eje de transmisión on del polarizador p olarizador es ortogonal ortog onal al mismo. Demuéstrese estrese que la 2 intensidad emergente es proporcional a sin (φ/2). φ/2). 33. Un disposi dispositiv tivoo óptico optico está constituido constituido por un polarizador ideal ideal y una lámina amina cuarto de onda pegados, formando sus ejes entre s´ s´ı un ángulo angulo α. Sobre la cara del polarizador incide perpendicularmente un haz de luz linealmente polarizado vibrando en la dirección o n del eje óptico optico de la lámina. amina. Se pide: (a) Calcular los semiejes y la orientaci´ on de la elipse de polarización on on del haz a la salida del dispositivo. (b) el valor de α necesario para que la intensidad a la salida sea la misma que la incidente. 34. Consid Considere eremos mos un un haz plano plano monocr monocrom´ om´ atico linealmente polarizado a 45 ◦ respecto atico
















































otropo uni´ axico axico con tres zonas. Figura 11.19: Medio anisótropo

a ) d1 = d2 = d3 b ) d1 = d2 = d3 .



35. Un haz de luz es mezcla mezcla de luz no polarizada polarizada y luz el´ el´ıptica ıpticamen mente te polarizada polarizada.. Se coloca una lámina amina cuarto de onda cuyos ejes coinciden con los ejes principales de la elipse de polarización on de la luz. ¿Cual es la polarización de la luz a la salida de la lámina? amina? 36. Dos ond ondas as plan planas as y monocr monocrom om´ a´ticas de la misma longitud de onda inciden foraticas mando angulos ańgulos α y α con la normal a una superficie que contiene una abertura cuadrada de lado a. Calcular la distribución on de amplitudes en el plano focal imagen de una lente.

−

37. Un sist sistem emaa óptico optico formador de imagen puede utilizarse con luz de longitud de onda λ1 o bien con luz de longitud de onda λ2, siendo λ1 > λ2 . Razónese onese cualitativamente cualitativamente con cuál al de las dos longitudes de onda el poder resolutivo del instrumento es mayor. 38. Una red de difrac difracci´ ci´ on on que contiene 500 rendijas por p or mil´ımetro ımetro se ilumina de forma normal con una onda plana y monocromática atica de λ = 500 nm. Calcular los ángulos angulos que forman con la normal a la red los máximos aximos de orden 1 y 2. 39. Una Una red red de de difr difrac acci ci´ón on tiene un anchura de 10 cm . Calcular el número umero de rendijas necesarias y la separación on entre ellas para que en el máximo de orden 1 se resuelva el doblete amarillo del sodio. 40. Se dispon disponee de dos dos redes redes de difrac difracci´ ci´ on on con 453 45 3 y 325 rendijas por p or mil´ mil´ımetro respectivamente. La primera tiene una longitud de 11. 11 .2 mm y la segunda 17 mm. ¿Cuál al tiene mayor po der resolutiv resolutivo? o?















































Bibliograf´ıa [Born]

Born, Born, M. y Wolf, Wolf, E.: Principles of optics. optics. Ed. Pergamon Press, Oxford 1980 .

[Jackson]

Jackson, J.D.: J.D.: Electrodin´ amica cl´ asica . Alhambra, 1980. 4 3

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Fowles, G.R.: G.R.: Introduction to modern optics. Ed Dover, 1989. 7.1

[Guenther] Guenther, R.: R.: Modern optics. optics. Ed. John Wiley & Sons, 1990. [Hetch]

´ Hetch, E. y Zajac. A.: A. : Optica . Fondo educativo interamericano, 1977.

[Stone]

Stone, J.M.: J.M.: Radiation and Optics. Optics. Mc Graw-Hill. Ed. New York 1963.

2.2.1















































BIBLIOGRAF ÍA















































Historia 0.1.0 - 6 de junio de 2000 ´ Primera versión on del documento, con la estructura del curso de Optica II impartido partid o por p or Alfredo Al fredo Luis A´ına ına en la facultad fa cultad de F´ F´ısica de d e la UCM entre entr e febrero febr ero y junio de 2000. Revisi´ on on de todo to do el documento y la confecci´ on on de casi todas las figuras a mano –Almudena Arcones Segovia.

1.0.0 - 13 de mayo de 2002 Revisi´ on completa del documento con corrección on on de erratas y reescritura de pasajes poco claros –ATC. Introducci´ on on de entradas de ´ındice alfabético, etico, redacci´ redacc ión on de una introducción on y revisión on general genera l (cap´ıtulo ıtulo de ondas electromagn´ electro magnéticas eticas en el vac´ vac´ıo) –Marta –Mart a Balbás as Gambra. Pasadas las figuras a tama˜ nos absolutos, lo que optimiza portabilidad entre nos plantillas (formas de presentación) on) –ATC.

1.1.0 - 10 de abril de 2004 Cambio de licencia a la Creative Commons Attribution Share Alike Non Commercial. Actualizaci´ on de plantilla a book-latex-es-b y metadatos al esquema 1.1 –ATC on Incorporación on de la versión on más as actual del manifiesto (2.0), as´ as´ı como de una descripción on del proyecto LibrosAbiertos –ATC Peque˜ nas nas correcciones correcciones ortogr´ aficas y de estilo en texto y fórmulas–ATC aficas Las siguientes siguientes tareas merecen merecen atenci´ atención, on, a juicio de los editores y autores: Completar Completar las figuras. figuras. Completar el trabajo de Marta Balb´ Gamb

el ´ındi

alfab´ alf abétic etic

extendi´ exte ndi´

















































Historia















































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Manifiesto de Alqua Origen y metas del proyecto En 1999 fundamos el proyecto Alqua con el objetivo de promover la creación de un fondo de documentos libres de carácter acter cient´ cient´ıfico que permita p ermita a cualquiera aprender a prender con libertad. Al constatar la duplicación on de esfuerzos en la preparación on de materiales didácticos acticos para la f´ısica y con el deseo de compartir compartir nuestros nuestros conocimientos, conocimientos, nos inspiramos inspiramos en los princi principio pioss de liberta libertad d que rigen rigen el mo movim vimien iento to del softwa software re libre libre para establ establece ecerr aquéllos ellos de Alqua. A lqua. Primero Primer o pensamos pensa mos que lo que escribiésemos esemos deber´ıa ıa poder po der disfrutarse disfru tarse sin merma de libertad por las personas interesadas, y más tarde decidimos organizar nuestros esfuerzos para par a ayudar a otras o tras personas p ersonas que compart´ compart´ıan nuestra visión on a difundir difundir sus saberes mediante un esfuerzo cooperativo. Para hacer efectivos dichos principios decidimos que los documentos publicados deben ser libres en un sentido amplio: pueden reproducirse y distribuirse (gratuitamente o no, es irrelevante) pero también en pueden modificarse y usarse como base para otros traba jos. A fin de evitar que estas libertades del lector-autor se restrinjan posteriormente, los documentos contienen una licencia que explica los derechos que posee y estipula que nadie que distribuya el documento, modificado o no, puede hacerlo de modo no libre.

Las ventajas de los documentos libres















































Manifiesto de Alqua creaci´ on on como un aspecto más as del disfrute de la obra. En suma, los documentos libres fomentan un acceso a la cultura más a s justo y completo. Para algunos dominios del conocimient conocimientoo cient cient´ıfico el proceso de desarrollo desarrollo libre facilita la recombinación, on, lo que permite la producción on de obras muy sofisticadas y completas mientras que en otros ámbitos ambitos facilita la difusión on de perspectivas plurales y la experimentación on creativa.

Una nueva din´ amica amica de creaci´ on on y aprendizaje Algunas personas que hemos conocido están an interesadas por este modelo de colaboración, on, pero se preguntan preguntan qu´ e clase de control control tienen tienen sobre sus documentos documentos libres. libres. La respuesta es sencilla: la licencia está dise˜ nada de modo que a cada cual se le atribuya nada aquello de lo que es responsable y nada más. as. Para ello, se incluye en el documento una sección on en la que se explica quién en hizo qué y cuándo ando lo hizo. Uno de los efectos más as interesantes de introducir los documentos libres en el aula es que difuminan la frontera entre quien aprende y quien enseña. Los documentos libres son un puente para p ara establece es tablecerr contacto contact o con una u na comunidad comunid ad de inter´ inte rés es mucho más as vasta que la del centro educativo, permitiendo el aprendizaje continuo y fomentando una experiencia plural plural y transfo transformad rmadora: ora: el criter criterio io para partic participa iparr en un documen documento to es, solame solament nte, e, hacerlo bien. Un autor puede pensar que distribuir su documento bajo un copyright que restringe la libertad de copia es m´ as rentable que otorgar mayores libertades. Esto no es necesariamente riame nte as a s´ı, por varias razones. razone s. En primer lugar, libre no quiere decir gratuito. Una editorial puede publicar un documento libre obteniendo beneficio de ello. De hecho, es una buena idea hacerlo dado lo agradable que resulta manejar un libro bien encuadernado. Tambi´ en en los autores pueden aceptar aceptar una compensaci´ compensaci´ on de los lectores por su trabajo en un determinado documento. on


















































Conclusi´ on on Alqua tiene una tarea muy ilusionante y tan ambiciosa que sólo es factible en comunidad. Por ello, pedimos a las personas que forman parte de instituciones o empresas que colaboren colab oren con Alqua para que éstas estas apoyen a poyen económicamente omicamente el proyecto o patrocinen ediciones impresas y donaciones a las bibliotecas públicas. ublicas. Ciertamen Ciertamente, te, los medios materiales son necesarios, pero inútiles utiles si, a nivel particular, no contamos con tu participaci´ on como individuo, aprendiendo y enseñando, on nando, para que los documentos libres en marcha y otros nuevos alcancen los altos niveles de calidad a los que aspiramos. Te invitamos a construir un patrimonio cient´ cient´ıfico que nos pertenezca p ertenezca a todos. Versi´ on on 2.0, marzo de 2003 ´ http://alqua.org/manifiesto Copyright (C) Alvaro Tejero Cantero y Pablo Ruiz M´ uzuzquiz, 2003. This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NoDerivs License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/bynd/1.0/ or send send a letter letter to Creati Creative ve Common Commons, s, 559 Nathan Nathan Abbott Abbott Way, ay, Stanfo Stanford, rd, California 94305, USA.






























































































El proyecto libros abiertos de Alqua El texto que sigue es una explicación de qu´ e es y cómo omo se utiliza un libro abierto y contiene algunas recomendaciones sobre cómo omo crear un libro abierto a partir de un documento de Alqua. Si estás as leyendo estas páginas aginas como anexo a otro documento, éste este es casi con seguridad un documento libre de Alqua; libre en el sentido descrito en el manifiesto manifi esto de Alqua y las directrices para documentos libres de Alqua . Si has obtenido dicho dicho documento en un centro público, ublico, como una biblioteca, entonces es además un libro abierto de Alqua.

Qu´ e son los libros abiertos Los libros libros abiert abiertos os son edicio ediciones nes impres impresas as de los documen documentos tos libres libres de Alqua Alqua que















































El proyecto libros abiertos de Alqua La constitución, on, hasta en los centros que cuentan con una financiación más as débil eb il,, de de un fondo de documentos libres que cubra áreas areas del conocimiento que su presupuesto no permite afrontar.

¿C´ omo puedo contribuir a los libros abiertos? omo Sólo olo tienes que utilizarlos como si fuesen tuyos, pero recordando que compartes tu experiencia de aprendizaje con otras personas. Por ejemplo, contrariame contrariamente nte a lo que har´ har´ıas con cualquier cualquier otro libro de la biblioteca biblioteca puedes escribir en los márgenes argenes de los libros abiertos tus propios comentarios: correcciones, aclaraciones, bibliograf´ bibliograf´ıa relacionada... Intenta Intenta hacerlo ordenadamente, de modo que no interrumpa la lectura. Si quieres compartir alg´ un un razonamiento más as largo, puedes utilizar tus propias hojas e incorporarlas al final del documento, poniendo una nota donde corresponda. En este caso, no olvides firmar tu contribución on con un nombre o seudónimo onimo y, opcionalmente, una direcci´ direcci´ on on de correo electrónico onico u otra forma de contacto. Cualquiera que pueda participar a través es de la red puede incorporar incorp orar tus contribuciones a la versión on que se distribuy distribuyee en l´ınea, con la ayuda ayuda de la comunidad comunidad de Alqua.















































El proyecto libros abiertos de Alqua 2. Conseg Conseguir uir una encuade encuadernac rnaci´ i´ on modular – sugerimos un archivador de anillas con on una ventana o de portada transparente. Ello permite llevar consigo sólo olo la parte del libro que se está usando y a˜ nadir hojas con nuevas contribuciones. nadir 3. Encuadernar Encuadernar el libro y situar el t´ t´ıtulo, el autor y la clasificaci´ clasificación on decimal universal en su lomo y tapas. 4. Si puedes, puedes, adjuntar adjuntar al archi archiv vador una una copia del CD-ROM de documentos libres de Alqua . 5. Donarlo Donarlo a la bibliot biblioteca eca y comuni comunicar car a Alqua Alqua la edici´ edición, on, escribiendo a [email protected] . Se trata de un proceso sencillo al alcance tanto de particulares como de bibliotecas y otras instituciones, con un coste marginal que no se verá significativamente significativamente incrementado por la conservación on y actualización on puesto que se puede mantener la encuadernación y sustituir sustituir solamente solamente las páginas aginas impresas.

En conclusi´ on on































































































´ ica elect Optica Opt electro roma magn´ gn´ etica eti ca ´ Alvaro Tejero Cantero

descripci´ on on Un primer curso de óptica optica electromagn´ electroma gnética etica que cubre los fenómenos omenos de polarización, on, interferencia y difracci´ on, on, as´ as´ı como la propagaci´ propagac ión on en medios ma-

Óptica electromagnética

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