OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS OPERAÇÕES UNITÁRIAS I EQE-473 A Objetivos Apresentar os princípios fundamentais envolvidos nas operações unitárias relacionadas a sistemas particulados, particulados, de forma a permitir tanto o projeto quanto a análise do desempenho desempenho de equipamen equipamentos tos que lidam com estes sistemas. Ementa Fundamentos. Caracterização de partículas e de sistemas particulados. Dinâmica da interação sólido-fluido. Aplicações a sistemas diluídos. Separação sólido-fluido: Elutriação, câmaras de poeira, ciclones, centrifugas, e hidrociclones. Separações sólido-sólido: Peneiração, Classificação Jigagem, Flotaçâo. Aplicações a sistemas concentrados: escoamento monofásico em meios porosos, filtração, sedimentação, fluidização, transporte pneumático, pneumático, e hidráulico de partículas. Escoamento bifásico em meios porosos. Livro texto: Fluidodinâmica em Sistemas Particulados . Massarani, G. 2a edição e-papers, Rio de Janeiro, 2002. Bibliografia: Perry, R.H.; and Green, D.W. Perry´s Chemical Engineering Handbook . 5a edição. McGraw-Hill, New York. 1999 Allen, T. ; Particle Size Measurement . 3a edição. Chapman and Hall, 1981. Coulson, J.M. and Richardson, J.F. :Chemical Engineering, vol. 2 3a edicao. Pergamon Press, Oxford, 1978. Engineering . J. Wiley. 1969. Kunii, e Levenspiel; Fluidization Engineering Svarovsky, L.; Solid-Gas Separation. Elsevier Scientific P. Co. 1981. Wills, B. A. Mineral Processing Technology . 4a Edicao. Pergamon Press, Oxford, 1988. Conversão de unidades. http://www.gordonengland.co.uk/conversion/ http://www.gordonengland.co.uk/conversion/ Fontes adicionais de informação: 1. Science direct. (www.sciencedirect.com/ www.sciencedirect.com/)) Acesso direto a artigos das principais revistas técnicas e científicas do mundo. 2. Capes. (www.periodicos.capes.gov (www.periodicos.capes.gov.br/) .br/) 3. Brazilian Journal of Chemical Engineering. Engineering. 4. Revistas específicas sobre sistemas particulados: • Powder Technology • Particulate Systems • International Journal of Mineral Processing • Journal of Porous Media
OPERAÇÕES OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS SISTEMAS PARTICULADOS PARTICULADOS NOTAS NOTAS DE AULAS... ............1 ........ ....1 OPERAÇÕES OPERAÇÕES UNITÁRIAS UNITÁRIAS I EQE-473 A............................................... A.............................. ................................. ..............................1 ..............1 1
I. Partículas Partículas e Distribuições Distribuições de Tamanhos............................................... Tamanhos.................................................................. ................... .........3 ........ .3 I.1 Caracterização de Partículas Isoladas....................................................................3 I.2.Estatística de Partículas: distribuições........................... distribuições.................................................... ................................ ....... ...........4 ..... ......4 I.3 Determinação Experimental da Distribuição Distribuição de Tamanhos.............................. Tamanhos.............................. .......5 ....... 5 I.4 Balanços Materiais..................................................................................................7 II.PENEIRAÇÃO............................. II.PENEIRAÇÃO....................................................... ................................................. ...................................... ............... ......................8 ............... .......8 III. COMINUIÇÃO, MOAGEM......................................... MOAGEM................................................................ ......................... ..............................9 ................. .............9 III.1 Introdução..................................................................................................................9 III.2 Moagem Primária.......................................................................................................9 III.3 Moagem Secundária................................................................................................10 III.4 Moagem Autógena...................................................................................................10 III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos....... Tamanhos....................... ........................10 ........10 IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO............................................................11 IV.1 Movimento da Partícula................................... Partícula.............................................. ........... ............................................ .............................. .............. 11 IV.1.1 Regime de Stokes, Stokes, de Newton Newton e Intermediário....... Intermediário....... ............................................. ........................ .....................12 12 IV.2 VelocidadeTerminal.............................................. VelocidadeTerminal.................................................. .... ...............................................13 ............................... ................13 IV.3 Diâmetro de Sedimentação................................ Sedimentação.................................... .... .................................................14 .......................... .......................14 IV.4 Efeito de Parede....................................... Parede.................................................... ............. ..................................................15 ......................... .........................15 IV.5 Efeito da da Concentração Concentração de de Partículas Partículas ....................... Erro! Indicador não definido. IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos não-Newtonianos .......................................... ................................................................. .......................17 17 V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO.......................................................18 V.1 Câmara de Poeira.....................................................................................................18 V.2 Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19 IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22 VI INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO AO BENEFICIAME BENEFICIAMENTO NTO DE MINÉRIOS ...............................................23 ....................................... ........23 VI.1 Elutriaçao .............................................. .............................................................................................. ...................................................................24 ...................24 VI.2 Flotação ............................................... .............................................................................................. ....................................................................25 .....................25 VI.3 Jigagem....................................................................................................................28 VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28 VII.1 Balanços de massa.................................................................................................28 VII.2 Balanços de Momento .................................................................................. ...................................... ......................................................30 ..........30 VII.3 Escoamentos Escoamentos através de Meios Meios Porosos Porosos .............................................. ............................................................... .................31 31 VII.4 Permeabilidade Permeabilidade ....................................................................................... ........................................ ............................................................... ................33 33 VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos..........................................................35 VII.6 Aplicações...............................................................................................................35 VIII FLUIDIZAÇÃO FLUIDIZAÇÃO .............................................. ............................................................................................. ................................................................ .................36 36 VIII.1 Teoria da Fluidização.............................................................................................37 VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás .................................................................................. ...................................... .............................................38 .38 VIII.3 Teoria das Duas Fases............................. Fases........................ ..... .............................................. ........................ ....................................39 ..............39 VIII.4 Mistura e Segregação............................ Segregação................................. ..... ............................................... ........................ ..................................40 ...........40 IX SEPARAÇÃO DE FASES...............................................................................................41 IX.1 Referencias e Aspectos Gerais ............................................. ............................................................................... ..................................41 41 IX.2 Sedimentação em Batelada.....................................................................................42 IX.3 Sedimentação Sedimentação Contínua......................................... Contínua..................................................... ............ .....................................44 ...................... ...............44 IX.4FILTRAÇÃO..............................................................................................................46 Seleção de um um sistema sistema de filtração............................... filtração..................................................... ........................................ .................. .........46 ......... 46 Teoria simplificada simplificada da filtração com formação formação de torta.......................................... torta.............................. ............ ........47 ........ 47 Filtração a pressão constante.........................................................................................48 Lavagem da torta............................................................................................................49 Produção máxima, máxima, dimensioname dimensionamento nto de um filtro.............................................. filtro...................... ....................................49 ............49 IX.5Filtração em filtro rotativo......................................................................................... 51 IX.6 Avaliação da teoria simplificada...............................................................................51 IX.7 Filtração em leito granular ........................................... ....................................................................................... ............................................ 52
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I. Partículas Partículas e Distribuições Distribuições de Tamanhos............................................... Tamanhos.................................................................. ................... .........3 ........ .3 I.1 Caracterização de Partículas Isoladas....................................................................3 I.2.Estatística de Partículas: distribuições........................... distribuições.................................................... ................................ ....... ...........4 ..... ......4 I.3 Determinação Experimental da Distribuição Distribuição de Tamanhos.............................. Tamanhos.............................. .......5 ....... 5 I.4 Balanços Materiais..................................................................................................7 II.PENEIRAÇÃO............................. II.PENEIRAÇÃO....................................................... ................................................. ...................................... ............... ......................8 ............... .......8 III. COMINUIÇÃO, MOAGEM......................................... MOAGEM................................................................ ......................... ..............................9 ................. .............9 III.1 Introdução..................................................................................................................9 III.2 Moagem Primária.......................................................................................................9 III.3 Moagem Secundária................................................................................................10 III.4 Moagem Autógena...................................................................................................10 III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos....... Tamanhos....................... ........................10 ........10 IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO............................................................11 IV.1 Movimento da Partícula................................... Partícula.............................................. ........... ............................................ .............................. .............. 11 IV.1.1 Regime de Stokes, Stokes, de Newton Newton e Intermediário....... Intermediário....... ............................................. ........................ .....................12 12 IV.2 VelocidadeTerminal.............................................. VelocidadeTerminal.................................................. .... ...............................................13 ............................... ................13 IV.3 Diâmetro de Sedimentação................................ Sedimentação.................................... .... .................................................14 .......................... .......................14 IV.4 Efeito de Parede....................................... Parede.................................................... ............. ..................................................15 ......................... .........................15 IV.5 Efeito da da Concentração Concentração de de Partículas Partículas ....................... Erro! Indicador não definido. IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos não-Newtonianos .......................................... ................................................................. .......................17 17 V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO.......................................................18 V.1 Câmara de Poeira.....................................................................................................18 V.2 Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19 IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22 VI INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO AO BENEFICIAME BENEFICIAMENTO NTO DE MINÉRIOS ...............................................23 ....................................... ........23 VI.1 Elutriaçao .............................................. .............................................................................................. ...................................................................24 ...................24 VI.2 Flotação ............................................... .............................................................................................. ....................................................................25 .....................25 VI.3 Jigagem....................................................................................................................28 VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28 VII.1 Balanços de massa.................................................................................................28 VII.2 Balanços de Momento .................................................................................. ...................................... ......................................................30 ..........30 VII.3 Escoamentos Escoamentos através de Meios Meios Porosos Porosos .............................................. ............................................................... .................31 31 VII.4 Permeabilidade Permeabilidade ....................................................................................... ........................................ ............................................................... ................33 33 VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos..........................................................35 VII.6 Aplicações...............................................................................................................35 VIII FLUIDIZAÇÃO FLUIDIZAÇÃO .............................................. ............................................................................................. ................................................................ .................36 36 VIII.1 Teoria da Fluidização.............................................................................................37 VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás .................................................................................. ...................................... .............................................38 .38 VIII.3 Teoria das Duas Fases............................. Fases........................ ..... .............................................. ........................ ....................................39 ..............39 VIII.4 Mistura e Segregação............................ Segregação................................. ..... ............................................... ........................ ..................................40 ...........40 IX SEPARAÇÃO DE FASES...............................................................................................41 IX.1 Referencias e Aspectos Gerais ............................................. ............................................................................... ..................................41 41 IX.2 Sedimentação em Batelada.....................................................................................42 IX.3 Sedimentação Sedimentação Contínua......................................... Contínua..................................................... ............ .....................................44 ...................... ...............44 IX.4FILTRAÇÃO..............................................................................................................46 Seleção de um um sistema sistema de filtração............................... filtração..................................................... ........................................ .................. .........46 ......... 46 Teoria simplificada simplificada da filtração com formação formação de torta.......................................... torta.............................. ............ ........47 ........ 47 Filtração a pressão constante.........................................................................................48 Lavagem da torta............................................................................................................49 Produção máxima, máxima, dimensioname dimensionamento nto de um filtro.............................................. filtro...................... ....................................49 ............49 IX.5Filtração em filtro rotativo......................................................................................... 51 IX.6 Avaliação da teoria simplificada...............................................................................51 IX.7 Filtração em leito granular ........................................... ....................................................................................... ............................................ 52
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I. Partículas e Distribuições de Tamanhos Esta disciplina trata de diversos sistemas, operações e equipamentos nos quais há a participação de uma fase descontínua, composta por partículas sólidas, ou gotas de um líquido, quase sempre interagindo com uma fase gasosa ou líquida. A primeira destas duas será denominada “fase particulada”, e a segunda de “fase contínua” ou “fluida”. Suas aplicações vão desde o controle da emissão de particulados para a atmosfera ao projeto de processos e de equipame equipamentos ntos comuns a diferentes indústrias de processamento químico. É possível fazer a distinção entre os métodos de estudo dos sistemas particulados por sua faixa de aplicação a sistemas diluídos e sistemas concentrados. Nos sistemas diluídos a atenção é dirigida à fase particulada, e o estudo das possíveis interações sólido-fluido tem por base o que acontece a uma partícula isolada, uma vez que estas estão distantes, uma das outras, e os efeitos da concentração de partículas são pequenos e podem, quando necessário, ser considerados como correções a serem introduzidas nos resultados simplificados. No outro extremo têm-se os sistemas concentrados, para os quais as duas fases interagem fortemente, tornando-se mais eficiente a abordagem do sistema por seus parâmetros macroscópicos, e menosprezando-se o comportamento individual das partículas. Com esta abordagem estudam-se os escoamentos em meios porosos em particular ou a teoria mecânica de sistemas multifásicos. Na primeira parte deste curso trataremos dos sistemas diluídos visando à descrição dos processos de arraste e coleta de sólidos particulados. Antes porem é necessário a caracterização das partículas isoladamente e em conjunto.
I.1
Caracterização de Partículas Isoladas
Consideramos uma amostra de partículas, a cada uma delas podemos associar certas propriedades, algumas das quais estão listadas no seguinte quadro. propriedade símbolo descrição unidades densidade massa /p.u.volume Kg/m3 (g/cm3) ρp tamanho Dp, L uma dimensão linear m; mm; µm, nm área superficial Sp área da superfície m2; mm2; µm2, nm2 volume Vp m3; mm3; µm3, nm3 esfericidade sem dimensão φ massa Kg; g mp ρp = mp / Vp A esfericidade é um fator de forma definido como a relação entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula. 2 π ⎛ 6 ⎞3 φ = ⎜ Vp ⎟ . Sp ⎝ π ⎠ Uma vez que a esfera é o sólido de menor área superficial, conclui-se que 0 ≤ φ ≤ 1, e φ=1 se e apenas quando a partícula é esférica. Exercício 1. Calcule a esfericidade de um cubo e de um paralelepípedo paralelepípedo com arestas l, l, e 1,5l. Partículas irregulares são caracterizadas por diferentes tipos dimensões lineares, denominadas diâmetros ou tamanhos . Alguns destes são apresentados a seguir: 1 6 ⎞3 ⎛ • Diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula Dp = ⎜ Vp ⎟ ;
⎝π
⎠
• D# diâmetro de peneira, valor médio das aberturas de malhas de peneiras consecutivas pelas quais a partícula passa e é retida D# = 21 (D+ + D− ) ; 3
• Diâmetro de Ferret, DFe, valor médio da distancia entre tangentes paralelas à área projetada da partícula. Obtido por microscopia; • Diâmetro de sedimentação D sed, diâmetro da esfera de mesma densidade, que sedimenta com a mesma velocidade que a partícula; • Diâmetro de Stokes diâmetro de sedimentação no regime de Stokes;
I.2.
Estatística de Partículas: distribuições
Uma amostra de um sistema particulado conterá partículas de diferentes tamanhos. Assim poderemos observar, ou medir as distribuições associadas a cada uma das seguintes quantidades: 1. número de partículas, 2. massa total da amostra, 3. volume total da amostra, 4. área superficial superficial de todas todas as partículas, 5. tamanho, soma dos tamanhos individuais. As distribuições estatísticas têm por base a quantidade de partículas associadas a uma determinada propriedade de seu conjunto, ou de uma amostra. Alguns exemplos servirão para elucidar estas questões. Número de partículas com massa menor que m, Np ( m ) ;
Fração numérica de partículas com massa menor que m, np ( m ) ; Massa de partículas com massa menor que m, Mp ( m ) ;
Fração ponderal de partículas com massa menor que m, Xp ( m ) ;
Volume de partículas com massa menor que m, Vp ( m ) ; Fração volumétrica de partículas com massa menor que m, v p ( m ) ; Distribuições associadas à área superficial, ou ao tamanho podem também ser definidas. O argumento das distribuições apresentadas pode ser outro no lugar da massa. Assim podemos falar de Np ( V ) , ou Mp ( S ) , ou Mp ( D) para: • o número de partículas com volume menor que V; • a massa de partículas com área superficial menor que S; • a massa de partículas com tamanho menor que D. A distribuição mais freqüentemente utilizada na descrição de sistemas particulados é aquela que representa a fração ponderal de partícula com diâmetros menores que D, denominada distribuição granulométrica . As derivadas destas distribuições em relação aos respectivos argumentos representam: dX (D ) x (D ) ≡ , x (D ) dD = dX (D ) = fração de partículas com diâmetros entre dD D e D+dD. A inversa desta relação determina a distribuição original. original.
D
X (D ) = ∫ x (D ) dD.
(I.2.1)
0
As duas funções X (D ) , e x (D) , possuem a mesma informação, pois o conhecimento de uma delas fornece o conhecimento conhecimento da outra através de uma simples operação matemática. Análise granulométrica diz respeito a uma técnica experimental que visa a determinação da distribuição de tamanho de partículas de uma dada amostra. Expressões matemáticas para distribuições são múltiplas, e quase todas são contínuas, i.e. o argumento da expressão é um número real variando numa faixa de valores conhecidos. Assim, por exemplo, a expressão aplica-se a diâmetros compreendidos entre Dmin ≤ D ≤ Dmax . Existem muitos 4
analisadores de distribuição de tamanhos de partículas, que são usados para o controle da produção de pós. Em diversos setores industriais como: cimentos e cerâmicos; corantes e pigmentos; alimentos; fármacos; e muitos outros o controle da distribuição granulométrica é crítica. As técnicas mais empregadas para medida de distribuições granulométricas são: • a análise de peneiras [200µm ≤ D ≤ 20mm] • observação microscópica microscópica • difração de laser [0, 04µm ≤ D ≤ 2000µm] Algumas expressões analíticas para as distribuições granulométricas são dadas abaixo. i). Distribuição de Weibull a três parâmetros:
⎧⎪ ⎛ D − D ⎞ α ⎫⎪ , α > 0, D′ > 0, X (D ) = 1 − exp ⎨ − ⎜ , D≥D 0, ⎬ ⎟ ′ D ⎠ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎝ ⎞ α ⎛D−D x (D ) = ⎜ ⎟ D′ ⎝ D′ ⎠
α− 1
⎡ ⎛D−D ⎞α ⎤ exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥. ⎢⎣ ⎝ D′ ⎠ ⎥⎦
(I.2.2)
(I.2.3)
é um diâmetro inferior de corte para o qual se supõe que inexistam partículas menores D D´, e α são parâmetros indicativos da dispersão das partículas, e devem ser determinados por ajuste aos dados da distribuição de tamanhos. ii). Distribuição de Weibull a 2 parâmetros = 0 , i.é: É a que resulta quando se faz D ⎡ ⎛ D ⎞α ⎤ X (D ) = 1− exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ , D ≥ 0, α > 0, D′ > 0, 0, (I.2.4) ′ D ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦
α⎛D⎞ x (D ) = ⎜ ⎟ D′ ⎝ D′ ⎠
α−1
⎡ ⎛ D ⎞α ⎤ exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ . ⎢⎣ ⎝ D′ ⎠ ⎥⎦
(I.2.5)
Estas duas distribuições são muito utilizadas para as distribuições de tamanho de partículas. iii) Distribuição lognormal A distribuição norma não deve ser utilizada por não faze r sentido seu ramo ramo negativo. Uma variável variável X é de de distribuição lognormal se Y =lnX é de distribuição normal, ⎧⎪ (lnD )2 ⎫⎪ 1 x (D ) = exp ⎨− , D ≥ 0, σ > 0. (I.2.6) 2 ⎬ σ 2πσD 2 ⎩⎪ ⎭⎪
⎛ lnD ⎞ , X (D ) = φ ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠
(I.2.7)
I.3Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos Análise de Peneira Uma das técnicas mais simples e diretas para a determinação da distribuição de tamanho de uma amostra de partículas é a análise de peneiras . Peneiras padronizadas, com malhas precisas, formando uma série com abertura de malhas cada vez mais finas. As peneiras selecionadas são empilhadas, como mostra a figura, e colocadas sobre um vibrador, a amostra sendo colocada na peneira superior, a mais aberta.
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As peneiras ficam encaixadas sobre uma panela destinada a recolher a parcela de partículas mais finas, que passam por todas as malhas das peneiras. Após certo tempo, previamente determinado retira-se e pesa-se o material retido em cada uma das peneiras do sistema. As peneiras de serie Tyler são produzidas de diferentes materiais, formando uma malha quadrada com aberturas que decrescem na proporção de 2, ou 4 2 . Exemplo 2. A seguinte seqüência de uma série Tyler é dada, com resultados de uma análise. Para esta análise determine as curvas de x(D) e a distribuição cumulativa, X(D), e ainda determine os parâmetros ótimos para a distribuição de Weibull.
Peneira # 4 6 8 12 16 20 30 40
Abertura Massa retida(g) (µm) 4750,0 8,8534 3350,0 21,592 2360,0 39,33 1680,0 60,048 1180,0 79,764 850,9 87,026 601,0 71,288 426,1 66,549
Peneira # 50 60 80 100 140 200 270 fundo
Abertura Massa retida(g) (µm) 299,9 51,231 248,8 26,97 178,9 21,708 148,9 17,445 105,0 15,178 74,1 15,894 53,0 17,61 0 12,08
Difração de Laser Analisadores da distribuição de tamanhos de partículas por difração de laser são empregados para o controle da produção de pós em todas as situações onde o estado da distribuição é determinante da qualidade do produto. Entre estas exclui se a produção de materiais cerâmicos, de fármacos e de alimentos. Os analisadores por difração de laser dão resultados rápidos, seguros e precisos sobre a distribuição de tamanhos permitindo o controle de qualidade. Produzem resultados bem precisos na análise de partículas numa larga faixa de tamanhos desde 0,1 mícron até 2mm.
6
Malvern é um dos produtores de sistemas automáticos para esta faixa de tamanhos. A Polymer Laboratories lançou recentemente um sistema que alcança a faixa de nonopartículas, compreendendo de 5nm ate 300nm.
I.4
Balanços Materiais
Consideremos uma corrente de particulados com distribuição de tamanhos conhecida que alimenta um sistema de separação por tamanhos. O sistema possui uma alimentação A, com vazão mássica MA, e produtos de topo T, e de fundo F, respectivamente com vazões mássicas MT, e MF.. Balanço Global: (para o regime permanente) MA = MT + MF . (I.2.8) Balanço de partículas com diâmetros na faixa D e D+dD MA x A (D ) dD = MT xT (D ) dD + MF xF (D ) dD, ou (I.2.9) MA x A = MT x T + MF xF. Quanto da alimentação é retirado pelo fundo é dado pela relação RF = MF / MA . Com ela podemos escrever o balanço acima sob a forma: x A = (1 − RF ) x T + RF xF . (I.2.10) Note que a situação em que fA = fF = f T representa uma solução trivial, para a qual o sistema nada faz; os dois produtos de fundo e de topo são idênticos à entrada. A eficiência de coleta das partículas é definida pela relação entre o que sai pelo fundo sobre a alimentação. (I.2.11) η (D ) = MF xF / MA x A . η 1− η (I.2.12) xF = x A , x T = x . RF 1 − RF A Note que esta eficiência depende do tamanho da partícula. Partículas diferentes serão coletadas com eficiências diferentes. Em geral a eficiência de coleta é maior para as maiores partículas. Conhecida uma expressão para a eficiência de coleta em função do diâmetro podemos calcular a eficiência média de coleta pela expressão: ∞
η = ∫ η (D )xA (D ) dD.
(I.2.13)
0
Outros arranjos de correntes de sistemas particulados são possíveis. Alguns exemplos são: 1 1) Mistura de duas (ou mais) correntes xP = (I.2.14) MAi x Ai. ∑ M ∑ Ai 2) Associação de separadores, pelo fundo ou pelo topo. Balanço no primeiro separador (I.2.15) M1A = M1T + M1F , M1A x1A = M1T x1T + M1F x1F. (I.2.16) Balanço no segundo separador (I.2.17) M2A = M2T + MF2 , M2A = M1F , M1F x1F = MT2 x 2T + MF2 x F2. (I.2.18) Razões de fundo R1F = M1F / M1A , RF2 = MF2 /M2A = MF2 / M1A . (I.2.19) Eficiências de coleta η1 (D ) = M1F x1F / M1A x1A , (I.2.20) 7
η2 (D ) = MF2 xF2 / M2A x 2A .
(I.2.21)
As soluções destas equações dão os seguintes resultados: η1 1 1 − η1 1 1 1 xF = 1 x A , x T = x ; RF 1 − R1F A η2 1 1 − η2 1 2 2 xF = 2 x F , x T = x; RF 1 − RF2 F 1 − η2 η1 1 η2 η1 1 2 2 xF = 2 1 x A , x T = x . RF RF 1 − RF2 R1F A
(I.2.22) (I.2.23) (I.2.24)
II.PENEIRAÇÃO Sistemas de peneiração podem ser empregados para produzir de 2 a 4 correntes de produtos. Uma boa capacidade é alcançada pela “vibração circular” no plano vertical. Usualmente são fabricadas de aço carbono ou aço inoxidável, e ativadas por um motor com excêntrico ajustável. Este ajuste permite características de vibração diferentes, para uma peneiração suave e grandes tempos de residência, ou alta capacidade mesmo para materiais de difícil tratamento. A capacidade das peneiras depende do seguinte: 1. largura da área onde o material está sendo alimentado; 2. relação entre abertura da malha e tamanho das partículas; 3. vibração imposta à peneira; 4. inclinação da peneira. Pode-se aumentar a capacidade da peneira aumentando a freqüência da vibração, ou o ângulo de sua inclinação. Usualmente as peneiras são calculadas para suportar 5g de aceleração.
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III. COMINUIÇÃO, MOAGEM III.1 Introdução Os termos “redução de tamanho”, “moagem”, ou “Cominuição” referem-se a todas as técnicas pelas quais materiais sólidos são cortados ou quebrados em pedaços menores, independentemente dos diferentes propósitos da redução. Blocos de minérios são esmagados a tamanhos apropriados, materiais sintéticos são moídos e transformados em pós, folhas de plásticos são cortadas em pequenos cubos. Na produção de polpa de papel a madeira é feita em lascas de tamanho adequado para permitir um cozimento eficiente. Na produção de cimento os materiais empregados como matéria prima são moídos até que a distribuição adequada de tamanhos de partículas seja obtida. A mistura é então queimada para transformar-se no clinquer e este é novamente moído. Na produção de tintas diversos pigmentos são empregados. Uma vez que a tinta recobre a superfície a ser pintada tão melhor quanto mais finamente moído estiver o pigmento, este deve ser eficientemente moído. A redução de tamanho das matérias-primas minerais consiste de três fases: mineração moagem primaria ou britagem moagem secundaria ou moagem
III.2 Moagem Primária A moagem primária aplica-se diretamente ao material minerado, ou a qualquer outro material grosseiro e consiste de uma ou varias etapas de aplicação de pressão ou de impacto sobre o material com tamanho de partícula adequado para ser alimentado a um equipamento de moagem primaria. O tamanho máximo difere substancialmente com o equipamento empregado, e o produto obtido possui comumente cerca de 10mm. Britadores Para a moagem primária são empregados três classes de britadores: Britadores de mandíbulas, Pesquisa Google: britadores de mandibulas Britadores giratórios, Pesquisa Google: britadores giratórios Britadores de rolos, Pesquisa Google: britadores de rolos Britadores de impacto Pesquisa Google: britadores de impacto Britadores de Mandíbulas Britadores de mandíbulas operam sob o princípio de compressão. O material é comprimido entre uma superfície fixa e outra móvel. As duas mandíbulas formam uma câmara na forma de V, larga na parte superior, e estreita na parte baixa. A moagem se dá nesta câmara. A mandíbula móvel está fixa em um ponto, e é acionado por um excêntrico. A carga a ser moída é introduzida no topo, a mandíbula móvel se afasta e a carga desce. No movimento de retorno a mandíbula comprime o material e resulta a moagem. No próximo movimento de abertura das mandíbulas o material moído desce para uma abertura mais 9
estreita e o ciclo se repete. A abertura máxima determina o tamanho máximo de partícula que pode ser admitido, enquanto que a mínima relaciona-se com o tamanho do produto. A razão de moagem de um britador de mandíbulas varia entre 3 e 7. Britadores Giratórios Os britadores giratórios possuem um elemento central, vertical, rotativo em forma de cone, operando numa câmara aberta. A cabeça de moagem na forma de um cone truncado está montada num eixo vertical excêntrico. O espaço entre o cone e a parede da câmara decresce gradualmente. O material a ser moído é alimentado no topo. Quando o britador é acionado o cone gira em torno de seu eixo. O material é comprimido entre o cone móvel e o cone fixo. A relação de moagem situa-se entre e 3 e 10. Britador de Rolos Um britador de rolos consiste de dois rolos com superfície de aço com eixos horizontais entre os quais a moagem se dá. O eixo de um dos rolos é fixo à estrutura do britador, por rolamentos e o outro rolo é sustentado por molas. O ajuste do britador, i.e. a distância entre os rolos é ajustável. Britadores de rolos são empregados para moagem fina. Britador de impacto Britadores de impacto são usados para materiais friáveis ou maleáveis. Uma de suas características é que a moagem é baseada no impacto e não na pressão, como nos britadores comuns. Impactos se sucedem continuamente, em séries rápidas. A relação de moagem é muito alta. Depende do material a ser moído, da velocidade de rotação dos martelos e do ajuste entre martelos e a carcaça. O britador é frequentemente aberto no fundo, mas pode possuir uma superfície de peneiramento. Assim o material não deixa o britador antes de estar suficientemente moído.
III.3 Moagem Secundária Na britagem secundária o material é transformado em pós finos levados até a ordem de alguns micra, ou até a nanômetros, atualmente necessários à nanotecnologia. Moinho de bolas Pesquisa Google: moinhos de bolas Moinho de bastões
III.4 Moagem Autógena Na moagem autógena o material a ser moído tem a função de moer. Tipicamente um moinho de cilindro rotativo, semelhante ao moinho de bolas é utilizado, mas o agente da moagem é o próprio material a ser moído. O material é alimentado ao moinho e sua movimentação causada pela rotação do moinho provoca a moagem. Um catalogo da Metso Minerals Industries encontra-se no: http://www.metsominerals.com/
III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos O custo da energia despendida na moagem é elevado, por conseqüência seu controle é importante. A mais antiga relação proposta para o cálculo da energia gasta na moagem é a lei de Rittinger, segundo a qual o trabalho é proporcional à criação de superfície. Para a moagem de m [kg/s] de matéria prima alimentada ao moinho, há um consumo de energia
⎛ 1 dPm 1 ⎞ − Pm / m = K r ⎜⎜ (III.5.1) Dp−2 ⎟⎟ . Dp Dp dD a lim. ⎠ p ⎝ prod. Nesta equação Kr é a constante de Rittinger, Dpalim. é diâmetro médio da alimentação Dpprod. é o diâmetro médio do produto.
10
A lei de Kick tem por base a suposição de que o trabalho para moer certa quantidade de sólido só depende da relação entre os tamanhos da alimentação e produto. ⎛ Dp ⎞ dPm Pm / m = Kk ln ⎜⎜ alim. ⎟⎟ , Dp−1 (III.5.2) Dp dD prod. p ⎝ ⎠ onde Kk é a constante de Kick. A lei de Bond que emprega um expoente entre os dois resultando em dependência com o inverso da raiz do diâmetro da partícula.
⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − 80 . P / m = K bond 80 ⎜ Dprod Da lim ⎟⎠ ⎝
(III.5.3)
Esta lei foi especialmente desenvolvida para a determinação da potencia necessária à moagem em moinhos de bolas. A equação descreve a potência específica necessária para reduzir o tamanho de uma alimentação em que 80% passa pela mallha D80 alim , a um produto no 80 qual 80% passa pela malha Dprod .
IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO IV.1 Movimento da Partícula Este capítulo se inicia com o estudo do movimento de uma partícula sólida de massa m p no seio de um fluido. O movimento é regido pela 2 a lei de Newton que é escrita sob a forma: mp ap = ∫ TndA + mpg. (IV.1.1) Sp
Nesta T é o tensor tensão que atua em cada ponto da superfície da partícula, n é a normal unitária e o produto Tn nos dá a força por unidade de área, i.é. que atua em cada ponto da superfície. A ação do campo externo é dada pelo produto da massa vezes o campo gravitacional g. A interação sólido-fluido pode ser decomposta em duas parcelas: a) uma ação estática representando o empuxo do fluido sobre a partícula. Esta parcela, é dada pela expressão de Arquimedes da forma −ρF Vpg , oposta ao campo gravitacional. b) Uma força resistiva, dinâmica, que se anula quando a velocidade relativa entre fluido e partícula é nula. Será esta designada por . Tem-se então, quando a aceleração da partícula se anula: 0 = + ( ρp ρF ) Vpg = + ∆ρVpg, ∆ρ = ( ρp ρ F ) . (IV.1.2) A parcela resistiva é função de diversas variáveis dentre as quais são citadas: a velocidade relativa, u = v∞ − vp , a densidade e viscosidade do fluido, o tamanho e a forma da partícula. Escreve-se: = (u, ρ, µ, Ap ) , (IV.1.3) onde Ap é a área projetada da partícula sobre um plano perpendicular ao vetor unitário na direção da velocidade relativa eu = u / u . Com base na análise dimensional é possível estabelecer a seguinte definição do coeficiente de arraste: = A p 21 ρFu2CDeu , u = u . (IV.1.4) O coeficiente de arraste assim definido é adimensional, mas depende de diversos fatores incluindo propriedades físicas dos fluidos, da velocidade relativa, tamanho e forma da partícula, sua orientação,..A figura abaixo mostra o coeficiente de arraste para uma esfera e para um cilindro em função do número de Reynolds 11
O gráfico mostra uma assintota, reta com inclinação logarítmica igual a -1, válida para Duρ pequenos valores do número de Reynolds (Re ≤ 0,2) , Re = , e uma segunda assintota
µ para ( 5 *102 ≤ Re ≤ 3 *105 ) . Na região entre este valor e Re ≈ 107 há uma redução do valor do coeficiente de arraste causado pela redução da região de separação da camada limite.
IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário Um caso especial, simples, mas importante é o da solução dada por Stokes, com a forma: (IV.1.5) = 3πµDpu = 3πµDpueu . Esta solução aplica-se quando as seguintes condições são válidas: a) partícula esférica, b) regime laminar, c) escoamento lento com aceleração desprezível, d) fluido newtoniano, e) partícula lisa, f) partícula isolada, g) região infinita (longe de quaisquer outros sólidos). Regime de Stokes Sob qualquer desvio destas condições aplicam-se correções e assim torna-se necessário levantar cada uma das restrições listadas. Para exemplificar estes efeitos vamos comparar as expressões (IV.1.4) e (IV.1.5), obtendo-se:
µ
( πDp2 / 8 ) ρFu2CD = 3πµDpu ⇒ CD = 24 D uρ ,
(IV.1.6)
p
Isto é CD = 24 / Re, Re = Dpuρ / µ. (IV.1.7) A expressão para o coeficiente de arraste inversamente proporcional ao número de Reynolds permanece sujeita às sete restrições enumeradas acima. Em especial aplica-se para valores do número de Reynolds menores que 0,2. Por outro lado a definição do coeficiente de arraste, CD dada pela eq.(IV.1.4), é geral e válida para todo número de Reynolds.
Regime de Newton Para altos valores do número de Reynolds verifica-se que o coeficiente de arraste atinge o valor assintótico, CD = 0,43. (IV.1.8) As duas assíntotas podem ser combinadas e expressas por uma equação geral, i.e. válida para todos os valores de Re, com a forma: 12
1
n ⎡⎛ 24 ⎞n n⎤ CD = ⎢⎜ ⎟ + ( 0,43 ) ⎥ . ⎢⎣⎝ Re ⎠ ⎥⎦
(IV.1.9)
O ajuste desta expressão aos dados experimentais fornece como o melhor valor para o expoente n = 0,63. Até aqui consideramos apenas as expressões do coeficiente de arraste para partículas esféricas, a primeira restrição presente na lista. Uma correção aplicável a partículas para as quais está determinada sua esfericidade consiste na alteração das duas constantes que determinam as duas assíntotas. Escreve-se: 1
⎡⎛ 24 ⎞n n ⎤ n CD = ⎢⎜ ⎟ + K 2 ⎥ , se 0,6 ≤ φ ≤ 0,9 ⇒ n = 0,9, K Re ⎢⎣⎝ 1 ⎠ ⎥⎦ e se 0,9 ≤ φ ≤ 1 ⇒ n = 3,15 − 2,59φ.
(IV.1.10)
Nesta equação há primeiramente um ajuste dos fatores de correção K1, e K 2 a partir de dados com partículas com esfericidade conhecidas, (IV.1.11) K1 = 0,843log10 ( φ / 0,065 ) , e K 2 = 5,31− 4,88φ, 0,85 ≤ φ ≤ 1. E a seguir o ajuste do expoente n na expressão (IV.1.10) resultando n = 0,85. Esta forma de abordagem do ajuste é devida ao prof. Massarani. Como veremos ela é de grande utilidade.
IV.2 Velocidade Terminal Há uma solução da equação do movimento (IV.1.2) para a qual a aceleração da partícula é nula. Tal situação costuma ocorrer, por exemplo, sempre que a partícula parte do repouso sob a ação de um campo externo g, como o campo gravitacional, e enquanto se acelera, sua velocidade aumenta até que a força de arraste se iguala ao efeito do campo externo na forma de peso – empuxo. Partimos da equação do movimento da partícula, escrita sob a forma da eq.(IV.1.2): mp ap = −A p 21 ρF v 2pCDe g + ∆ρVpge g. (IV.2.1) Os termos à direita na equação têm sinais opostos. Inicialmente a velocidade da partícula é baixa e a ação do campo externo prevalece e a aceleração é positiva. Com a aceleração o termo de araste aumenta até o instante no qual a aceleração se anula. A velocidade da partícula é chamada de “velocidade terminal”. = ∆ρVpg A p 21 ρFv 2t CD (IV.2.2) força de arraste=peso-empucho. Vp 2∆ρφDpg 2∆ρg Vp ≈ φ ⇒ = (IV.2.3) CD = , D , C p D ρF v 2t A p A p ρFv 2t 2∆ρφDpg CD = . (IV.2.4) ρF v 2t É importante ressaltar que o coeficiente de arraste depende da velocidade da partícula, e que portanto a fórmula acima não é conveniente para o cálculo da velocidade terminal. Ela se reduz às seguintes expressões para os regimes de Stokes e o de Newton: 2 K1 ∆ρgφDp vt = , para o regime de Stokes, (IV.2.5) 18 µ e vt =
4 ∆ρgφDp , para o regime de Newton. 3K2 ρF 13
(IV.2.6)
Note a diferença de comportamento da velocidade terminal em função das variáveis presentes nas duas expressões. Por exemplo v t versus viscosidade, ou da densidade do fluido; e em função do diâmetro da partícula. Suponha que se deseje calcular a velocidade terminal de uma determinada partícula imersa num fluido. Qual das duas expressões deve ser usada? São conhecidos os seguintes valores: Dp , φ, ∆ρ,ρF , e µ , em conseqüência o número de Reynolds não pode ser calculado, e, a priori não se conhece o regime em que a velocidade terminal se estabelece. Há também que se considerar o regime intermediário para o qual não há uma fórmula explicita para a velocidade terminal. A solução por tentativa e erro, ou qualquer outro método numérico pode ser empregado. Por exemplo partindo da suposição de que o número de Reynolds é inferior a 0,2 calcula-se a velocidade terminal empregando-se a eq.(IV.2.5). Este valor permite que D vρ Re = p t F seja calculado e se o resultado for menor que 0,2 fica validada a hipótese do
µ
regime de Stokes e, por conseguinte o resultado obtido esta correto. No caso contrário é necessário recalcular a velocidade partindo agora do número de Reynolds, no seguinte esquema: eq.II.1.10 eq.II.2.7 →CD ⎯⎯⎯⎯ →v t ⎯⎯→Re Re ⎯⎯⎯⎯
↑ ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ↓ Um método direto para o cálculo da velocidade terminal foi desenvolvido por Massarani tendo por base o fato do número de Kármán ser independente da velocidade, i.e.: 3 4 ρF ∆ρgφDp 2 2 (IV.2.7) Ka = CD Re = . µ2 3 Os dados necessários á solução do problema do cálculo da velocidade terminal permitem o cálculo do número de Kármán. Por outro lado a multiplicação da expressão (IV.1.10) por Re2, e subseqüente inversão para o número de Reynolds conduz à expressão K1 / 24 ( CdRe2 ) Re = , se 0,6 ≤ φ ≤ 0,9 ⇒ n = 0,8, n 1/ n 0,5 ⎧⎪ ⎡ K K ⎫ 2 0,5 ⎤ ⎪ 1 2 (IV.2.8) + 1 C Re ( D ) ⎥⎬ ⎨ ⎢ 24 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣
⎩
⎭
e se 0,8 ≤ φ ≤ 1 ⇒ n = 2,7 − 1,75φ. Esta expressão permite a determinação da velocidade terminal diretamente em função dos dados do problema. K1 / 24 ( CdRe2 ) µ (IV.2.9) vT = , n 1/ n ρf Dp ⎧ ⎡ K K 0,5 ⎫ ⎪ + 1 2 2 0,5 ⎤ ⎪ (CD Re ) ⎥ ⎬ ⎨1 ⎢ 24 ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣
IV.3 Diâmetro de Sedimentação O problema inverso ao do cálculo da velocidade terminal é o da determinação do tamanho de partícula que sedimenta com determinada velocidade. Isto é dados v t , φ, ∆ρ,ρF , e µ calcular o tamanho da partícula que sedimenta com a velocidade v t . Novamente tanto CD quanto Re dependem simultaneamente da velocidade e do diâmetro, o que exige uma solução numérica por tentativas ou outro método numérico. Entretanto nota-se que a relação CD /Re não depende do diâmetro.
14
2∆ρµφg (IV.3.1) . ρF2 v 3t A divisão da eq. (IV.1.10) pelo número de Reynolds e solução da expressão resultante para o número de Reynolds dá 1 n n ⎫n 2 ⎧ ⎤ ⎡ K2 ⎤ ⎪ 24 µ ⎪⎡ (IV.3.2) Dp = ⎥ +⎢ ⎥ ⎬ ⎨⎢ ρf v t ⎪ ⎢⎣ K1 (C D /Re ) ⎥⎦ ⎢⎣ ( CD /Re ) ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎭ A síntese dos problemas, em regimes permanentes, relacionados ao movimento de partículas isométricas é: dadas as propriedades físicas ρp , ρF , µ, e a esfericidade D vρ II.1.10 II.1.4 → CD ⎯⎯⎯ → 1. dadas Dp ,e v t → calcular . Re = p t F ⎯⎯⎯ µ eq.II.2.9 → vt 2. dadas , e Dp → calcular v t . CD Re2 ⎯⎯⎯⎯ eq.II.3.2 → Dp 3. dadas , e v t → calcular Dp . CD /Re ⎯⎯⎯⎯ O resumo destas correlações sobre a dinâmica de partículas isométricas é dado na seguinte tabela. CD / Re =
IV.4 Efeito de Parede A queda de partículas no interior de tubos, ou entre placas, ou ainda na proximidade de uma ou mais paredes planas já foi suficientemente estudada. Alguns exemplos são dados: Entre duas placas paralelas às distancias l 1 e l2. ⎡ 9D ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ = −3πµDp ⎢1 + p ⎜ + ⎟ ⎥ vp . (IV.4.1) 32 h h ⎝ 1 2 ⎠⎦ ⎣ No interior de tubos com diâmetro Dt. D ⎤ ⎡ = −3πµDp ⎢1 + 2,1 p ⎥ vp . (IV.4.2) D t ⎦ ⎣
= v t / ( v t )∞ entre a velocidade A velocidade terminal é corrigida calculando-se a relação terminal sob o efeito das paredes com a velocidade terminal no fluido infinito, supondo que D esta relação é uma função de p e do número de Reynolds. Dt = v t / ( v t )∞ = ( λ,Re ) , λ = Dp /Dt (IV.4.3) As seguintes expressões são encontradas na literatura: 1 − 2,105λ + 2,0865λ 3 − 1,7068λ 5 + 0,72603λ 6 Haberman e Sayre1958 = (IV.4.4) 1 − 0,75857λ 5 Isaac Newton Munroe (1889)
0,5
= (1 − λ2 )(1 − 0,5λ2 ) 1- λ1,5
(IV.4.5) (IV.4.6)
α
Di Felice (1996)
3,3 − α ⎛ 1− λ ⎞ , =⎜ = 0,1Re∞ ⎟ 1 0,33 0,85 − λ α − ⎝ ⎠
(IV.4.7)
Uma referência importante sobre este assunto é Chhabra, et al. Powder Technology 129 (2003) 53 – 58.
15
Variável Assíntota para Re<0,2 a ser estimada CD CD = 24 /K1 Re, Re = Dp v tρ / µ. Re ( v t ) K1 ( CD Re2 )
Desvio máximo s% 12 6
24
Re (Dp ) Assíntota para Re>3x103 K2
⎡ CD Re2 ⎤ ⎢ K ⎥ ⎣ ⎦ 2
⎡ ⎤ 24 ⎢ ⎥ ⎢⎣ K1 ( CD /Re ) ⎥⎦ Correlação
12
0,5
n
se 0,6 ≤ φ ≤ 0,9 ⇒ n = 0,9 se0,9 ≤ φ ≤ 1, n = 3,15 − 2,5φ
1
⎡⎛ 24 ⎞n n ⎤ n CD = ⎢⎜ ⎟ + K2 ⎥ ⎢⎣⎝ K1 Re ⎠ ⎥⎦ K1 / 24 ( CdRe2 ) Re = n 1/ n ⎧⎪ ⎡ K K 0,5 0,5 ⎤ ⎫⎪ 2 1 2 + 1 C Re ( D ) ⎥⎬ ⎨ ⎢ ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣ 24
0,5
K2 ( CD /Re )
se 0,6 ≤ φ ≤ 0,8, n = 1,3 se 0,8 ≤ φ ≤ 1, n = 2,7 − 1,75φ
1
n n n 2 ⎧⎡ ⎫ ⎤ ⎡ ⎤ K2 24 ⎪ ⎪ Re = ⎨ ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎬ ⎪⎩ ⎣⎢ K1 ( CD /Re ) ⎦⎥ ⎣⎢ ( CD /Re ) ⎦⎥ ⎪⎭ K10,843log (15,4φ ) , K 2 = 5,31 − 4,88φ.
se 0,6 ≤ φ ≤ 0,8, n = 1,5 se 0,8 ≤ φ ≤ 1, n = 3,62 − 2,65φ
Ref. Prof. Giulio Massarani: “Novas Correlações para a Dinâmica de Partículas Isométricas”. Relatório n0 4/84, LSP PEQ, COPPE/UFRJ (1984).
IV.5 Efeito da Concentração de Partículas A concentração volumétrica das partículas é a principal variável determinante do efeito de população. Esta é definida pelo volume total das partículas sólidas numa determinada região do espaço V . É definida pela expressão
Vs ( V ) = ∫ ε s ( x,t ) dV.
(IV.4.8)
V
De modo análogo define-se a concentração volumétrica de fluido, também denominada de porosidade: Vf ( V ) = ∫ ε ( x, t ) dV. (IV.4.9) V
Se o espaço é integralmente ocupado pelas duas espécies, partículas sólidas e fluido, então verifica se a relação: (IV.4.10) εs + ε = 1. 16
Foi Einstein, em seu estudo sobre o movimento Browniano quem determinou a seguinte relação entre a velocidade terminal reduzida pelo efeito de população e a velocidade terminal à diluição infinita. v t / v t∞ = 1/ (1 + 2,5εs ) . (IV.4.11) Este trabalho foi complementado por Richardson e Zaki com base na seguinte expressão: v t / v t∞ = f (Re∞ , ε ) = εn , (IV.4.12) n = 4,65 para Re∞ ≤ 0,2
n = 4,45Re∞−0,03 para 0,2 ≤ Re∞ ≤ 1, n = 4,45Re∞−0,1 para 1 ≤ Re∞ ≤ 500, n = 2,39 para Re∞ > 500.
(IV.4.13)
IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos O movimento de partículas no seio de um fluido não-Newtoniano é determinado pelas equações apresentadas nos itens anteriores, substituindo-se a viscosidade pela viscosidade µef , efetiva definida pela relação entre a tensão de cisalhamento dv τ = τ ( γ ) , onde γ = x = taxa de cisalhamento. é a taxa de cisalhamento. dy τ ( γ ) é a curva material do fluido com a qual define-se a viscosidade efetiva: 1− ε v t , µef = τ ( γ ef ) / γ ef , onde γ ef = 9 2 (IV.5.1) ε φDp conforme dados experimentais de Massarani. Em todas as equações onde está presente a viscosidade do fluido, esta deve ser substituída pela viscosidade efetiva µef dada pela eq.(IV.5.1). Por exemplo no caso de um fluido que se ajusta à lei da potência efetiva será dada por:
1− ε v t µef = κ 9 2 ε φDp
τ( γ ) = κ γ
n−1
γ , a viscosidade
n−1
.
(IV.5.2)
17
V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO Alguns sistemas empregados para a coleta de poeira visando a redução da emissão de particulados, tanto para a atmosfera quanto para corpos de água serão analisados agora. As principais finalidades são: • Controle de poluição; • Segurança industrial, prevenção de acidentes, redução de risco à saúde: • Produção de ar, ou de outros gases de processo; • Coleta de produtos como Leite em pó; Café solúvel; Óxido de Zinco; Negro de fumo. Tamanho comum das partículas Sólidos na atmosfera –poeiras de 1 µm a 200 µm fumaças de 0,001 µm a 1 µm Líquidos na atmosfera neblina 0,01 µm a 2 µm nuvens 2 µm a 50 µm chuva 100 µm a 5000 µm Partículas típicas CO2 0,0005 µm negro de fumo 0,01 µm a 0,5 µm pigmentos 0,1 µm a 5 µm vírus 0,005 µm a 0,05 µm bactérias 0,3 µm a 20 µm A análise tem por base a velocidade terminal estudada no capítulo anterior.
V.1
Câmara de Poeira
A Câmara de poeira é simplesmente uma caixa suficientemente ampla de modo a reduzir a velocidade do fluido a um valor que permita a sedimentação das partículas. O fluido contendo partículas é admitido através da face de altura H e largura B, e o comprimento da caixa é L. A velocidade média do fluido é conhecida em função da vazão, u = Q / (BH) . (V.1.1) Admite-se que as partículas sejam arrastadas pelo fluido, sem deslizamento i.e.: v x = u , e que caem por ação do campo gravitacional com velocidade v y = v t . Uma partícula admitida na posição h a partir da base da caixa será depositada no fundo da caixa se o seu tempo de queda for menor que seu tempo de residência. t queda = h / v t ≤ tresid. = L / u. (V.1.2) Vale dizer que serão integralmente coletadas todas as partículas com velocidade terminal maior que uH / L . v t ≥ uH/ L ⇒ η = 1. (V.1.3) Partículas menores serão recolhidas com eficiência menor, e partículas admitidas a uma ⎡ ⎛ h ⎞⎤ uh altura h < H , com v t = terão eficiência de coleta η ⎢Dp ⎜ u ⎟ ⎥ = h / H. Considerando que L ⎣ ⎝ L ⎠⎦ poeiras possuem pequeno diâmetro, é justificável supor que a queda se dê no regime de Stokes.
18
∆ρgD2K
h
Hh
H
∆ρgDp2K1 uh uH h uH vt = = = = η. 18µ L L H L
(V.1.4)
Ou seja:
⎧ L ∆ρgDp2K1 ⎪ uH 18µ η = ⎪⎨ ⎪1 ⎪ ⎩
se η ≤ 1, se Dp >
(V.1.5)
18µuH /L . ∆ρgK1
Diâmetro de corte é definido como aquele para o qual a eficiência de coleta é de 50%. Isto é: para η = 0,5 Dp = Dpc = D50 , (diâmetro de corte ou D50). Fazendo η = 0,5 na eq.(V.1.5)e resolvendo para o diâmetro obtêm-se: 9µuH/ L 9µQ = Dpc = , onde u = Q / BH. (V.1.6) ∆ρgK1 BL∆ρgK1 Tamanho da menor partícula coletada com 100% de eficiência: 18µuH /L Dpm = = 2Dpc . (V.1.7) ∆ρgK1 Com o auxílio da expressão para a eficiência, eq.(V.1.5) podemos escrever 2 ⎛ ⎞ D 1 η = ⎜⎜ p ⎟⎟ , para Dp ≤ 2Dpc , e η = 1, para Dp > 2Dpc . (V.1.8) 2 ⎝ Dpc ⎠ Esta expressão para a eficiência de coleta de uma câmara de poeira é, usualmente substituída por uma expressão, de base empírica, contínua e diferenciável com a forma: 2
(Dp / Dpc ) η= 2. 1 + (Dp /Dpc )
(V.1.9)
Exercício Dados: Vazão de ar a 1atm e 30C, Q = 0,9 m 3/s, contendo um corante, ( ρp = 1500kg/m3 ) na faixa 5µm ≤ Dp ≤ 120µm com a seguinte distribuição cumulativa: X(15)=10%, X(30)=20%, X(50)=40%, X(80)=70%, X(100)=90%, X(120)=100%. A vazão mássica de corante é de10 kg/hr. Projetar uma câmara de poeira para recuperar 95% do corante.
V.2
Projetos de Ciclones Industriai
Configurações padronizadas de ciclones industriais para a remoção de particulados estão disponíveis como resultados de uma compilação de resultados experimentais. A tabela abaixo lista alguns dos projetos padronizados. Estão grupados e 3 classes: alta eficiência, media eficiência, e multi- propósito. Todas as dimensões listadas estão normalizadas pelo diâmetro do corpo do ciclone.
19
Alta eficiência
Mêdia
Multi-propósito
Alta eficiência Símbolo
Descrição
Dc, D Hc, b Bc,a
Diâmetro do corpo Altura da admissão Comprimento da saída Diâmetro da saída de gás Altura do corpo cilíndrico Altura Total Diâmetro da saída do pó
s Lc Hc Bc
Stairmand
Swift
Ka=a/D =b/D
1 0,5 0,2
1 0,44 0,21
Ks=S/D
0,5
0,5
KH=H/D
1,5
H Kb=B/D
4 0,375
Mêdia eficiência Shephard & Lapple 1 0,5 0,25
Multi-propósito Swift
Peterson & Whitby
1 0,5 0,25
1 0583 0,208
0,625
0,6
0,588
1,4
2
1,75
1,33
3,9 0,4
4 0,25
3,75 0,4
3,17 0,5
Eficiência de Coleta - Modelo de Lapple O primeiro modelo foi desenvolvido por Lapple, baseado na suposição de escoamento empistonado, sem mistura axial ou radial. Para o cálculo da eficiência calcula-se primeiramente o diâmetro de corte com base no seguinte argumento de transposição dos resultados da câmara de poeira: H Bc, B Hc, πNcDc , L g vF2 / (Dc / 2 ) , →
→
→
→
⎛ 9µQ ⎞ Dpc = ⎜ ⎟ ⎝ BL∆ρg ⎠
0,5
⎛ ⎞ 9µvFBcHc = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 π ∆ρ H N D v / D / 2 ( ) F c ⎝ c c c ⎠
0,5
9µBc . (V.2.1) 2π∆ρNc vF Nesta expressão Nc é o número efetivo de voltas que o fluido dá desde a admissão até o centro do ciclone. 2 (Dp/Dpc ) η= (V.2.2) 2 1 + (Dp / Dpc )
=
20
Nc é determinado experimentalmente e situa-se na faixa 5 ≤ Nc ≤ 10 , e para um ciclone Lapple bem operado, quando então a re - suspensão de partícula e pouco significativa, e Nc = 5 é um valor conservativo empregado com o propósito de dimensionamento. Perda de Carga Como o funcionamento do ciclone depende da velocidade do fluido, e alta eficiência depende da alta velocidade o aumento de eficiência é acompanhado por um aumento da queda de pressão, que se traduz em custo operacional. A queda de pressão pode ser calculada por: (V.2.3) ∆p = 21 βρF v F2 = 0,068ρFv F2 , O valor apresentado é o empregado para o ciclone Lapple. A potencia do ventilador é Pv = Q∆p , o custo de bombeamento é C = Pv $ , e $ o custo da energia elétrica. Fatores de Projeto. Note que a eficiência cresce com a velocidade do fluido na entrada. Por outro lado a perda de carga é proporcional ao quadrado desta velocidade. Estabelece-se um balanço entre: ganhos devidos ao aumento de eficiência, versus perdas com o consuma de energia. A velocidade recomendada situa-se na faixa 6 m / s ≤ vF ≤ 21m / s , sendo de 15 m / s a velocidade usualmente recomendada. Para este valor, e para um ciclone de 0,5m de diâmetro 2 tem-se um campo (15 ) / ( 0,5 / 2 ) ≈ 900 m / s2 90g′s . Para o projeto são dados: Q a vazão de gás m3/s, ρp , ρF , µ propriedades físicas,
x (Dp ) distribuição de tamanhos de partículas. Seqüência de cálculo
⎛ 8Q ⎞ ⎛ 8Q ⎞ ⎟ = ⎜ 15 ⎟ ⇒ o diâmetro do ciclone v ⎝ F⎠ ⎝ ⎠
a) arbitrar v F = 15 m / s , A = BcHc = Dc2 / 8 , ⇒ Dc = ⎜
e todas as demais dimensões do ciclone estão determinas. 9µBc b) Dpc = , pode ser calculado, e também, a eficiência de coleta associada ao 2π∆ρNc vF tamanho das diferentes partículas. c) com estes resultados é possível calcular a eficiência média de coleta, Dp,max
η=
∫ x (D ) η(D p
Dp,min
p
/Dpc ) dDp ≈
Dp,max
∑ x (D ) η(D p,i
Dp,min
p,i
/ Dpc ) ∆Dp,i.
(V.2.4)
Se a distribuição de tamanhos das partículas segue a distribuição de Weibull a dois parâmetros, então a eficiência média pode se calculada pela expressão: 1,11n 0,118 + n D′ /Dpc , η= (V.2.5) 1,81 − 0,332n + (D′ / Dpc ) que só depende de Dpc, e dos dois parâmetros da distribuição n, e D´. d) cálculo da perda de carga ∆p = 21 ρF vF2NH = 0,068ρF v F2 . e) os valores obtidos para a eficiência média e para a perda de carga permitem a avaliação econômica do custo total e alteração do valor para a velocidade v F empregada. Aumento da velocidade traz como conseqüência o aumento da eficiência, e da perda de carga. Observe a expressão que determina o diâmetro do ciclone, Dc = 8Q / vF . Grandes vazões determinam grandes ciclones ( Q ↑⇒ Dc ↑ ) , e por conseqüência o campo centrifugo 21
v F2 / (D c / 2 ) torna-se pequeno e ineficaz. Neste caso é recomendável a divisão da vazão total por dois ou mais ciclones em paralelo. Testando o caso de 2 ciclones D c fica dividido por 2, e a eficiência de coleta aumenta. Mantida a mesma velocidade a perda de carga não é alterada. Exercício Projetar uma bateria de ciclones Lapple e o compressor, para tratar 100 m3/min de gás com cinzas de carvão ρp = 2300kg/ m3 , ρF = 0,443kg/ m3, µ = 0,035cp , com eficiência superior a 90%. A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com: n (V.2.6) X ( Dp ) = 1 − exp − ( Dp / D′ ) , D′ = 37,3, n = 1,5.
{
}
IV.3 Hidrociclones se:
Hidrociclones são empregados para uma grande faixa de aplicações dentre as quais cita-
a) clarificação de líquidos com baixa concentração de sólidos; b) concentração de lamas; c) classificação de sólidos; d) separação de líquidos imiscíveis. Dentre suas vantagens inclui-se os fatos de serem simples, baratos, fáceis de instalar, baixo custo de manutenção, e baixo custo operacional. Adicione-se o fato de serem pequenos em relação a outros separadores. Em contrapartida são inflexíveis, e uma vez instalados apresentam forte dependência da eficiência nas variáveis de projeto, em especial na vazão de alimentação e na concentração de sólidos. Acresce os problemas de abrasão e a formação de incrustações. Três tipos de hidrociclones disponíveis no mercado têm suas proporções listadas na tabela abaixo Di/Dc Do/Dc l/Dc L/Dc K Np A B C θ β o Rietema 0,28 0,34 0,40 5,00 20 0,039 0,134 1,73 145 4,76 1200 o Bradley 0,133 0,20 0,33 6,85 9 0,016 0,323 1,73 55,3 2,63 7500 θ ângulo do cone. Di diâmetro do tubo de admissão. l altura da parte cilíndrica. Do diâmetro do tubo de saída. L altura total. Há um grande número de configurações para arranjos de hidrociclones em paralelo. Diâmetro de corte Segundo Massarani o diâmetro de é dado pela seguinte expressão: 1 ⎡ µDc ⎤ 2 Dp /Dpc = K ⎢ (V.3.1) ⎥ f ( RL ) g ( ε s ) , ∆ρ Q ⎣ ⎦ 1 onde f (RL ) = , (V.3.2) 1 + ARL 1 g ( εs ) = (V.3.3) 1 . 2 2 ⎡ 4,8 (1 − εs ) − 3,8 (1 − εs )⎤
⎣
⎦
A razão de líquido pode ser estimada pela seguinte relação: C RL = B [Du /Dc ] . (V.3.4) Eficiência de coleta A expressão empregada para o cálculo da eficiência de coleta de partículas é puramente empírica e tem a forma: exp (5Dp /Dpc ) − 1 η′ (Dp / Dpc ) = . (V.3.5) exp ( 5Dp /Dpc ) + 146 22
Esta é uma eficiência reduzida ao efeito do campo centrífugo, da qual é subtraída o efeito do transporte de sólidos carreados pela vaz ão de fundo. Uma vez que os hidrociclones operam obrigatoriamente com uma vazão de fundo, dada por QRL , e que esta vazão aporta sólidos, então o efeito centrífugo se dá apenas sobre a vazão Q (1 − RL ) . De acordo com esta hipótese escreve-se para a eficiência média: ∞
η = (1 − RL ) ∫ x (Dp ,D′,n)η′ ( Dp ,Dpc ) dDp + RL .
(V.3.6)
0
O integrando desta equação, para a distribuição de Weibull pode ser estimado pelo seguinte resultado: 1,11n 0,118 + n (V.3.7) D′ /Dpc ) , η′ = ( ′ 1,81 − 0,322n + D / Dpc
η = (1 − RL ) η′ + RL (V.3.8) A queda de pressão é calculada por uma expressão similar à empregada para ciclones, 1 (V.3.9) ∆p = β ρF v F2 , 2 na qual β está listado na tabela acima. Convêm ressaltar que a questão levantada a respeito da necessidade de se ter hidrociclones em paralelo, e de pequeno diâmetro para boa eficiência é muito mais crítica. No seguinte endereço http://www.natcogroup.com/Content.asp?t=ProductPage&ProductID=71, são mostrados equipamentos com mais de 50 hidrociclones que operam em paralelo, contidos no interior de um vaso de pressão. A especificação da velocidade do fluido nos hidrociclones é dada em fun ção do número de Reynolds. Tem-se: Q / N = π / 4Dc2 vc , onde Q é a vazão total e N o número de ciclones em paralelo. Re = Dc v c ρF / µ , e:
Rietema 5x103 ≤ Re ≤ 50x103 (V.3.10) 3 3 Bradley 3x10 ≤ Re ≤ 20x10 Exercício Projetar uma bateria de hidrociclones Rietema e Bradley e o sistema de bombeamento, para tratar 200 m3/hr de uma suspensão de um sal insoluvel em água ρp = 3500kg/m3 , ρF = 1000kg/ m3, µ = 1,5cp , com eficiência superior a 90%, e queda de pressão ∆p ≤ 3x105 Pa . A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com:
{
n
}
X ( Dp ) = 1 − exp − ( Dp /D′ ) , D′ = 37,3, n = 1,5.
(V.3.11)
VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMENTO DE MINÉRIOS Minérios são distribuídos na crosta terrestre em diversas constituições, composições, estados de agregação, etc. Raramente são comercializados no estado natural e n ecessitam de um beneficiamento. Algumas das operações do tratamento de minérios são listadas a seguir: Amostragem Caracterização Mineralógica de Minérios Cominuição Classificação e Peneiração Elutriaçao Separação em Meio Denso Separação Magnética e Eletrostática 23
Flotação Flotação em Coluna Floculação Separação Sólido-Líquido Briquetagem Processos para o Tratamento de Efluentes na Mineração Reciclagem Simulação de Usinas de Be neficiamento: Princípios Básicos Sistemas Especialistas no Processamento de Minérios Elaboração e Avaliação Econômica de Projetos de Mineração A cominuição já foi tratada no capítulo III, e agora trataremos a elutriação.
VI.1 Elutriaçao A elutriação que aqui trataremos é uma operação que pode ser empreg ada para separar partículas por faixas de tamanhos, ou para o beneficiamento de minérios em razão da diferença entre as densidades das partículas que compõe o minério. Usualmente todo minério compõe-se de um mineral com valor econômico em mistura com uma ganga imprestável que deve ser descartada. A elutriação emprega uma corrente ascendente de um fluido que, preferencialmente, arrasta as partículas mais leves enquanto que as mais pesadas se sedimentam. A velocidade terminal das diferentes partículas é a propriedade básica responsável pela separação e/ou beneficiamento. Uma corrente de partículas sólidas vai ter ao elutriador, onde há uma corrente ascendente de um fluido. Este pode ser água ou ar. Partículas cujas velocidades terminais são menores que a velocidade da corrente de fluido são por este arrastadas, enquanto que todas as partículas cujas velocidades terminais superam a velocidade do fluido se sedimentam. Há portanto uma corrente de alimentação dos sólidos e duas correntes de saída, o produto de fundo, composto principalmente das partículas mais pesadas e a corrente de topo composta principalmente das partículas mais leves. Com o emprego das equações que permitem o cálculo da velocidade terminal, e do diâmetro de sedimentação, eqs.(IV.2.9), e (IV.3.2) é possível calcular todos os parâmetros de desempenho de um elutriador. Assim, consideremos em primeiro lugar o problema de separar um conjunto de partículas em duas faixas de tamanhos. Tem-se: Um conjunto de partículas com densidade ρp, e diâmetros na faixa Dm ≤ Dp ≤ DM e deseja-se separar em um número de frações com diâmetros intermediários (Dm ,D1 ) , (D1,D2 ) ( DN,DM ) . Para tanto basta calcular as velocidades terminais correspondentes aos diâmetros D 1 ... DN, e utilizar elutriadores com correstes de fluido correspondentes a estas velocidades. Para uma separação em batelada, um único elutriador é suficiente fazendo-o operar com velocidades correspondentes às velocidades terminais das partículas D 1, ...DN. Exercício Resolva o problema no 1, pg. 34 do livro texto. Os problemas relacionados ao beneficiamento de minérios são mais interessantes. Considere um minério composto de uma mi stura de um mineral com valor econômico agregado a uma ganga sem valor. A liberação das duas espécies se processa por moagem suficientemente fina, conduzindo a um produto com diâmetros na faixa Dm ≤ Dp ≤ DM . O que se deseja é obter a separação completa entre as duas espécies. Suporemos conhecidas suas densidades ρP , e ρL , onde ρP > ρL . A curva da velocidade terminal do material pesado, que denominaremos de minério, situa-se, para todo valor de D p, acima da curva correspondente à ganga. Pode acontecer que não existam para, os dois materiais, partículas com idênticas velocidades terminais. Isto se dá quando a velocidade terminal da menor partícula do material pesado é maior que a velocidade terminal da maior partícula da ganga. I.e. não existem partículas equitombantes na mistura dos dois materiais. Tem-se: 24
v Pt (Dm ) > v Lt (DM ) . (VI.1.1) Neste caso a separação completa entre as duas espécies pode ser realizada em um único elutriador operando com uma corrente ascendente de fluido com velocidade 1 (VI.1.2) u = Q / A = ⎡⎣ vPt (Dm ) + vLt (DM )⎤⎦ . 2 Esta velocidade é maior que a de todas as partículas da ganga, e menor que a de todas as partículas do minério. Toda ganga é arrastada para o topo, e todo minério a funda e e sai na corrente de fundo. Casos mais complexos ocorrem quando existem partículas equitombantes. Neste caso inverte-se a desigualdade (VI.1.1), i.e.: (VI.1.3) v Pt (Dm ) < v Lt (DM ) . Não existe uma velocidade do fluido que determine a separação completa dos dois materiais. Ou produto de fundo ou o produto de fundo, um dos dois conterá uma mistura de minério e ganga. Esta situação é retratada na figura abaixo na qual se verifica que a separação completa pode ser obtida com a passagem por uma única peneira.
Velocidade Terminal 2,5 2 ) s 1,5 / m c ( t v 1
leve pesado
0,5 0 0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
Dp (m)
Exercício Determine a melhor dimensão de malha de peneira capaz de produzir duas correntes de partículas inteiramente separáveis por elutriação.
VI.2 Flotação A flotação é hoje o processo dominante de beneficiamento de minérios. É um processo para a concentração de um mineral de valor econômico contido num minério. O minério bruto é moído a um pó fino, misturado com água, agentes espumantes, e coletores. Quando ar é bombeado através da mistura, as partículas do mineral se aderem às bolhas de ar, e sobem par a a superfície formando uma camada de espuma. A ganga sedimenta no fundo do equipamento. A espuma é retirada, e o mineral é separado da água e os agentes químicos adicionados são removidos restando um concentrado do mineral limpo.
25
Um bom texto sobre o processo da flotação, incluindo alguns aspectos de sua físicoquímica está disponível em: http://www.engr.pitt.edu/chemical/undergrad/lab_manuals/flotation.pdf Exemplos de minérios beneficiados por flotação são listados a seguir: Sulfetos complexos: calcopirita (CuFeS2), galena (PbS), esfarelita (ZnS), pirita (FeS) Minerios de cobre Cobre e molibdênio Cobre/chumbo/zinco Ouro e pirita Cobre e níquel Prata Cobre e cobalto Platina Carvão mineral Agentes espumante podem ser citados incluindo, certos álcoois alifáticos com de 5 a 8 átomos de carbono, álcoois cíclicos, óleo de pinho, e de eucalipto polipropileno, e polietileno glicois de baixo peso molecular. Alguns dos agentes coletores, principalmente para os minerais sulfetados são diferentes misturas de: Ditiofosfatos, mercaptobenzotiazol, tiocarbamato. São três as tecnologias de flotação: 1. flotação mecânica; 2. flotação por ar dissolvido; 3. auxiliada. Alguns dados sobre estes processos estão colecionados na tabela. Processo de Fluxo de ar Ta manho Consumo de energia Tempo de retenção Flotação Nl. m -3 água de bolhas por m3 (Wh/m-3) (min ) Flotação A uxiliada (por adição de óleo) Flotação Mecanica (por espuma) Ar Dissolvido (clarificação)
100-400
2-5 mm
5-10
5-15
10.000
0.2-2 mm
60-120
4-16
15-50
40-70 µm
40-80
20-40 (excluindo a floculação)
Cinética da flotação A recuperação do mineral desejado em uma flotação em batelada é dada em função do tempo por uma expressão do tipo: R = Rmax ⎡⎣1 − exp ( −k ( t + b ) ) ⎤⎦ . (VI.2.1) onde Rmax é a máxima recuper ação possível, e k é uma constante de tempo de primeira ordem, e onde b um deslocamen to da origem de t. A constante k é linearmente dependente do fluxo de área superficial das bolhas, Sb, Sb = 6Jg / Db , e Jg é o fluxo de gás e Db o diâmetro médio das bolhas. A relação é usualmente expressa como k =℘Sb , onde ℘ é um “fator de flotabilidade”, que inclui diferentes efeitos com a hidrofobicidade, tamanho de bolha, etc. A referência: “Estimation of flotation kinetic parameters by considering interactions of the operating variables”, Çilek, E.C., Minerals Engineering 17 (2004) 81–85”, contem algumas expressões para os parâmetros presentes nestas equações. O dimensionamento de um sistema de flotação contínuo depende da determinação experimental dos valores destes parâmetros, e baseia-se no tempo de residência, da suspensão que se divide em tanques de flotação arranjados em serie e paralelo. Uma boa referencia sobre este assunto encontra-se em “Flotation scale up: use of separability curves q”.,J.B. Yianatos, L.G. Bergh, J. Aguilera. Minerals Engineering 16 (2003) 347–352. Para um arranjo de N flotadores, idênticos, de mistura perfeita, em série, com um tempo total de residência τ = NVF / QTOTAL .
26
⎧⎪⎡ ⎛ kτ ⎞ ⎤1−N ⎫⎪ 1 − ⎨⎢1 − ⎜ 1 + ⎟ ⎥ ⎬ ⎪⎣ ⎝ N ⎠ ⎦ ⎭⎪ ⎩ . R = Rmax kτ (N − 1) N Células de flotação
(VI.2.2)
Uma geometria de célula de flotação em batelada está representada na figura abaixo. Trata-se de um tanque com um agitador, por cuja haste o ar necessário é admitido. O agitador garante, simultaneamente a manutenção do sólido em suspensão e a dispersão do ar em pequenas bolhas. Na superfície da suspensão forma-se a camada de espuma, contendo o concentrado do mineral desejado, que retirado da célula. A ganga hidrofílica se acumula no fundo da célula, e é descartada ao final do processamento.
Células para a operação contínua são semelhantes às mostrada acima tendo, no entanto, um sistema para a admissão da suspensão e outro para a retirada do rejeito, continuamente. Flotação em Colunas O desenho esquemático de uma coluna de flotação contínua está representado no desenho que segue. As colunas de flotação são eficientes e estão sendo empregadas para efetuar beneficiamentos difíceis. A remoção de enxofre de finos de carvão é um exemplo.
27
VI.3 Jigagem A jigagem é uma das mais antigas técnicas de beneficiamento de minérios, por gravidade. Nela a mistura minério e ganga, suspensa em água é conduzida a um equipamento onde é imposta uma pulsação à mistura por intermédio de um movimento alternativo, com uma freqüência relativamente alta. Nestas circunstâncias a aceleração e deceleração tornam-se os termos dominantes da equação do movimento da partícula, e responsáveis pela separação. A jigagem é uma operação simples e barata, mas de eficiência relativamente baixa.
VII SISTEMAS PARTICULADOS
VII.1 Balanços de massa Este novo capítulo começa a tratar de sistemas de misturas sólido – fluidos intimamente dispersos em uma região do espaço. As duas fases são vistas como uma mistura, e para cada ponto da região ocupada pelas duas fases, e a cada instante, é possível estabelecer: ∂ Vs εs a concentração volumétrica de sólido, Vs (R ) = ∫ ε s ( x,t ) dV, ε s = (VII.1.1) ; V ∂ R dVf εf a concentração volumétrica de fluido, Vf ( R ) = ∫ ε f ( x,t ) dV, ε f = (VII.1.2) ; dV R Como não há um terceiro componente nesta mistura, então cada parte da região parte da região R, é ocupada ou pelo sólido ou pelo fluido, e portanto: (VII.1.3) εs + ε f = 1. εf é comumente denominado de “porosidade”, ε, e εs = 1− ε . ρs densidade parcial do sólido, massa de sólido por volume total,; (VII.1.4) ms (R ) = ∫ ρs dV, R
ρf densidade parcial do fluido, massa de fluido por volume total, 28
mf (R ) = ∫ ρf dV,
(VII.1.5)
R
ρS densidade material do sólido, massa de sólido por volume de sólido dV (VII.1.6) ms (R ) = ∫ ρSdVs = ∫ ρS s dV = ∫ ρ Sε sdV ⇔ ρ s = ρ Sε s, dV R R R ρF densidade material do fluido, massa de fluido por volume de fluido dV (VII.1.7) mf (R ) = ∫ ρF dVf = ∫ ρF f dV = ∫ ρFε f dV ⇔ ρ f = ρ Fε f , dV R R R vs campo de velocidade do sólido; vf campo de velocidade do fluido. Estas definições permitem o esta belecimento dos balanços de massas para cada uma das duas fases. Em palavras estas são descritas por: “a taxa de variação da massa de uma das fases contida no interior da região A, é igual ao balanço do que entra menos o que sai através da superfície de A, acrescida da taxa de produção desta fase”.
∂ ρ dV = − ∫ ρa va ⋅ ndA + ∫ radV. ∂ t R∫ a R ∂R ⎧variação ⎫⎧entrada menos ⎫ ⎨ ⎬⎨ ⎬{geração} da massa saida ⎩ ⎭⎩ ⎭
(VII.1.8)
A aplicação do teorema da divergência permite transformar a integral de superfície em integral de volume, e disto resulta:
⎡ ∂ρa ⎤ v + ρ − div r ( ) a a a ⎢ ⎥dV = 0. ∫ R ⎣ ∂t ⎦
(VII.1.9)
A integral é nula qualquer que seja R, independentemente de seu tamanho ou formato, por conseqüência seu integrando deve anular-se. Daí resultam as equações da continuidade para cada uma das fases da mistura,
∂ρ a + div ( ρa va ) = ra . ∂t
(VII.1.10)
Escreve-se para cada uma das duas fases, a fase de sólidos particulados e para o fluido,
∂ρs ∂ρ ε + div ( ρs v s ) = rs ⇔ S s + div (ρ Sε sv s ) = rs, ∂t ∂t ∂ρf ∂ρ ε + div ( ρ f v f ) = rf ⇔ F f + div (ρFε f vf ) = rf . ∂t ∂t
(VII.1.11)
(VII.1.12)
As duas formas de cada um dos balanços para as massas de sólidos e de fluidos são equivalentes. Formas simplificadas podem ser escritas, válidas para os casos em que as densidades materiais são constantes, i.e.: para um sólido incompressível
∂ε s + div ( εs v s ) = rs / ρS , ∂t
(VII.1.13)
para um fluido incompressível
∂ε f + div ( εf v f ) = rf / ρF. ∂t
(VII.1.14)
A densidade total, e a velocidade do centro de massa da mistura são definidos pelas somas, (VII.1.15) ρ = ρSεs + ρFε f , ρv = ρS εs v s + ρFε f v f , 29
e a soma das duas equações de balanços de massas nos dá:
∂ρ + div ( ρv ) = 0 ⇔ rs + rf = 0. ∂t
(VII.1.16)
A equação da continuidade para a mistura é válida se e apenas quando a soma das gerações é nula. Isto significa que as fases podem ganhar ou perder massa, mas o que uma perde a outra ganha, vale dizer que a mudança de fase se dá sem alteração da massa. Se a concentração volumétrica de sólidos é constante, vale dizer que o sólido particulado tem porosidade constante, tanto em relação ao tempo, quanto em relação ao espaço, então: div ( v s ) = rs / ρs , e div ( v f ) = rf / ρf . (VII.1.17) A velocidade vf , é denominada de velocidade intersticial, visto que descreve o movimento do f luido no interior dos poros do meio poroso. Seja A uma seção do escoamento. A vazão de fluido através desta seção é dada por: (VII.1.18) Qf = ∫ ε f v f ⋅ ndA = ∫ qf ⋅ ndA, onde qf = ε f v f , A
A
e qf é a velocidade superficial. Uma velocidade calculada como se o fluido ocupasse toda a seção do escoamento. No caso em que o perfil da velocidade é constante temos: (VII.1.19) Qf = εvf A = qf A. Interpretações análogas aplicam-se à fase sólida. Define-se a vazão volumétrica de sólidos (VII.1.20) Qs = − ∫ ε s v s ⋅ ndA = − ∫ qs ⋅ ndA. A
A
No caso em que o fluxo seja uniforme em todos os pontos de A, tem-se: (VII.1.21) Qs = ε s v s A = (1 − ε ) v s A = q sA. Expressões para o divergente 1. Coordenadas cartesianas ( x,y,z ) ∂q ∂ q ∂ q (VII.1.22) divq = x + y + z , ∂x ∂ y ∂z 2. Coordenadas cilíndricas ( r, θz ) base ( er , e θ , ez ) q = qr er + qθe θ + qze z x = r cos θ, y = rsenθ, z = z. 1 ∂rqr ∂ qθ ∂ qz (VII.1.23) divq = + + r ∂r ∂θ ∂z 3. Coordenadas esféricas ( r, θ, φ ) base ( er , eθ , eφ ) q = qr er + qθ eθ + qφ e φ x = rsenφ cos θ, y = rsenφsenθ z = r cos φ 1 ∂( senθqθ ) 1 ∂ qφ 1 ∂r 2qr (VII.1.24) + + divq = 2 . r ∂r ∂θ rsenθ rsenθ ∂φ Outras expressões para o divergente de um campo vetorial para
VII.2 Balanços de Momento O movimento das fases é determinado pelas equações de balanço de momento, que repr esentam expressões para a segunda lei de Newton. Massa, por unidade de volume, vezes a aceleração, de cada fase é igual à soma das forças que sobre cada fase atuam. As acelerações são compostas de dois termos correspondentes a uma parcela de aceleração local, e outra de aceleração convectiva.
30
∂ va + ( gradva ) va ∂t {local} + {convectiva}.
aa =
(VII.2.1)
Esta expressão é válida para as duas fases. As forças que atuam sobre estas são divididas em: 1. forças de tensão sobre a superfície de cada região
∫ T ndA; a
(VII.2.2)
∂R
2. forças de interação entre as fases ∫ la dV;
(VII.2.3)
3. forças de campo externo ∫ ρagdV .
(VII.2.4)
R
R
Em conformidade com a lei de Newton escreva-se, para cada fase ∫ ρaaadV = ∫ TandA + ∫ (la + ρag) dV. R
∂R
(VII.2.5)
R
Novamente a equação de balanço apresenta duas integrais de volume e uma integral de superfície. A aplicação do teorema da divergência transforma a integral de superfície em integral de volume, e obtêm-se: (VII.2.6) ∫ [ρaaa − divTa − la − ρag]dV = 0. R
A integral deve anular-se independentemente da região de integração, isto é, independentemente de seu tamanho ou formato, e deste fato conclui-se que o próprio integrando seja nulo em todos os pontos da região, e para todo instante, ρa aa = divTa + la + ρ ag. (VII.2.7) Estas são as equações do movimento das fases. Elas se assemelham às equações para movimento de um fluido puro em escoamento monofásico,
⎡ ∂v ⎤ ρa = ρ ⎢ + ( gradv ) v ⎥ = divT + ρg. ⎣ ∂t ⎦
(VII.2.8)
O termo da esquerda, correspondente à aceleração de cada fase é perfeitamente análogo, e à direita da equação há a divergência da tensão e o termo de força de campo externo. Acrescentou-se apenas um termo de interação entre as duas fases, que pode ser descrito como a força que cada fase faz sobre a outra. No caso do sistema sólido-fluido, ls é a força que o fluido faz sobre o sólido particulado, e lf a força que o sólido faz sobre o fluido. A terceira lei de Newton conduz à reciprocidade destas duas forças, que se expressa por: ls + lf = 0. (VII.2.9) Com o auxílio das expressões para as acelerações provenientes da eq.(VII.2.1) escreve-se:
⎡ ∂v ⎤ ρf ⎢ f + ( gradv f ) v f ⎥ = −gradpf + divTfE − ls + ρf g , Tf = −pf 1 + Tf E , ⎣ ∂t ⎦ ⎡ ∂v ⎤ ρs ⎢ s + ( gradv s ) v s ⎥ = −gradps + divTsE + ls + ρsg , Ts = −p s1 + TsE . ⎣ ∂t ⎦
(VII.2.10) (VII.2.11)
Estas são equações gerais capazes de descrever o movimento simultâneo das duas fases nas mais diversas situações. Um caso particular, mas de grande importância será estudado a seguir.
VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos Consideramos o escoamento de um fluido newtoniano através de um meio poroso rígido com porosidade constante, e estacionário. O escoamento é permanente, e a aceleração do fluido é nula, ou ao menos desprezível. A equação do movimento do fluido se simplifica para 31
0 = −gradpf − ls + ρF εg, 0 = −gradps + ls + ρS (1 − ε ) g.
(VII.3.1) (VII.3.2) lf representa a ação do fluido sobre os sólidos particulados. Esta pode ser dividida em duas parcelas, a primeira delas é uma ação de empuxo, estática, que segundo Arquimedes tem a forma oposta à gravidade e proporcional ao peso do volume de fluido deslocado, ls = −εsρFg − m = − (1 − ε) ρFg − m. (VII.3.3) a segunda, m, é a força dinâmica devida à velocidade relativa entre as duas fases. Estamos qualificando esta força de dinâmica por que se anula se e apenas quando a velocidade relativa entre as fases é nula, m = 0 ⇔ v f = 0 . A substituição desta expressão nas duas equações simplificadas dá: 0 = −gradpf − m + ρFg, (VII.3.4) 0 = −gradps + m + ( ρS − ρF )(1 − ε ) g. (VII.3.5) A equação (VII.3.4), para o movimento do fluido pode ser escrita em termos da pressão piezométrica, (VII.3.6) ℘f = pf − ρFgH, onde g = g , que acrescenta a carga de altura de fluido à pressão estática. Com esta definição a equação do movimento do fluido fica: −grad℘f = m. (VII.3.7) Deve ficar claro que a “causa” do movimento é o gradiente da pressão piezométrica, pois grad℘f = 0 ⇔ m = 0 ⇔ vf = 0. Manômetros contendo o fluido que satura o meio poroso, marcarão, no equilíbrio, valores idênticos para a pressão piezométrica, independentemente da altura da tomada de pressão. A força dinâmica m foi estudada primeiramente por Darcy, que propôs a linear da força a velocidade do fluido. Propôs ainda a dependência na viscosidade do fluido, chegando a seguinte relação:
m=
µε µ v f = qf . k k
(VII.3.8)
Nela k é a permeabilidade do meio poroso, uma grandeza com dimensões de L 2, portanto de natureza geométrica. Substituindo a lei de Darcy na forma simplificada da equação do movimento do fluido obtêm-se a equação de Darcy, k (VII.3.9) qf = − grad℘f .
µ
Esta equação foi durante um longo tempo interpretada como uma equação constitutiva, à semelhança com as leis: de Fourier ( q = −kgradθ ) que determina o fluxo térmico proporcional ao gradiente da temperatura; a lei de Fick ( j = − gradc ) que determina o fluxo de um componente químico em solução proporcional ao gradiente de sua concentração; e diversas outras “leis” lineares entre fluxos e forças termodinâmicas. Acresce que sua substituição na eq.(VII.1.14) escrita para o regime permanente e geração nula dá como resultado uma equação idêntica à da condução de calor. k (VII.3.10) divqf = − div ( grad℘f ) = 0 ⇒ ∆ 2℘f = 0.
µ
Note que a formulação desta equação só depende da equação de balanço de massa do fluido e da equação de Darcy. Nela se observa a analogia com a condução de calor nas condições de regime permanente, e geraçã o nula. Existem duas diferenças fundamentais entr e a lei de Darcy e a de Fourier. A primeira fica aparente na diferença entre as equações que regem o transiente.
32
∂ε k 2 − ∆ ℘f = 0; ∂t µ ∂θ − α∆2θ = 0. ∂t
(VII.3.11)
Na primeira destas o balanço de massa envolve duas variáveis ( ε,℘f ) , enquanto que no balanço de energia a temperatura é a variável presente nos dois operadores. A segunda diferença, talvez mais fundamental, reside no fato de que em qualquer escoamento, seja através de meios porosos ou não, há massa em movimento. Massa possui inércia e as equações de balanço de momento devem ser satisfeitas. Nos casos onde as acelerações não se anulam obtêm-se o seguinte resultado:
⎡ ∂v ⎤ µ ρFε ⎢ f + ( gradv f ) v f ⎥ = −grad℘f − εv f . k ⎣ ∂t ⎦
(VII.3.12)
Se as duas fases estão em movimento , então na lei de Darcy deve-se substituir a velocidade do fluido pela velocidade relativa entre as fases v f → v f − vs = u ,
m=
µε µε ( v f − vs ) = u. k k
(VII.3.13)
VII.4 Permeabilidade Permeabilidade é um parâmetro característico do meio poroso. É uma propriedade do arranjo e distribuição de tamanho dos poros por onde o fluido deve passar. Sua dimensão é de quadrado de comprimento, razão pela qual diz-se que seja de natureza geométrica. Permeabilidade deve ser determinada experimentalmente. O meio poroso é inserido num tubo, bem ajustado de modo a não permitir o escoamento entre a parede do tubo e o meio poroso. Um fluido newtoniano com viscosidade conhecida é bombeado a diferentes valores de vazão e a queda de pressão piezométrica é medida. A eq.(VII.3.9) permite o cálculo da permeabilidade. Não há substituto para o dado de laboratório, obtido cuidadosamente. Uma estimativa da permeabilidade pode ser obtida por intermédio de um modelo capilar. Modelo Capilar Admite-se a equivalência entre a queda de pressão no regime laminar no interi or de um tubo capilar de seção transversal arbitrária, e a correspondente queda de pressão no meio por oso em regime darciano. Escoamento no capilar. analogia com Escoamento no meio poroso ∂℘f µεv f εRh2 ∂℘f µ v − = − = ⇒k= k ∂ x Rh / β ∂x β β = constante característica do capilar β = 2 para seção circular v = velocidade média β = 3 para placas paralelas Rh= raio hidráulico O raio hidráulico é definido pela relação da área da seção transversal do tubo para o perímetro de contato fluido- sólido. volume vazio área da seção livre Rh = Rh = área de contacto perímetro de contacto A justificativa para a interpretação que é dada para o raio hidráulico do meio poroso é obtida por “multiplicação” pelo comprimento. Daí resulta:
Rh =
ε . (1 − ε ) ρ S S m
(VII.4.1)
Nesta última relação Sm é a superfície específica do meio poroso, dada por Sm = 6 / ( ρS φDp ) . É fácil passar deste ponto à “Equação de Kozeny-Kármán”, 33
2
φDp ) ε3 ( k= . 36β (1 − ε )2
(VII.4.2)
A comparação de suas previsões com dados experimentais dá como resultado o valor de β situando-se na faixa 4 ≤ β ≤ 5 , o que dá para o denominador da equação 144 ≤ 36β ≤ 180 . No caso de haver uma distribuição de tamanhos das partículas deve-se empregar um diâmetro médio, e há indicações de que o diâmetro médio de Sauter é o mais apropriado. 1 Dp = 1 . (VII.4.3) dX (Dp ) Dp 0 Forma quadrática de Forscheimer Agora faz-se a analogia com a força por unidade de volume sobre partículas isoladas com o que ocorre nos meios porosos. Partículas Meio Poroso µu µ Regime de Darcy m = qf . Regime de Stokes m 2, k Dp
∫
Desta comparação resulta que Dp
k.
q2f u2 Regime de Newton m ρF , m ρF . Dp k Desta analogia resulta a forma completa para a força resistiva para o escoamento de fluidos newtonianos em meios porosos isotrópicos, a “forma quadrática de Forscheimer”. ρq µ (VII.4.4) m = qf + c F f qf , onde qf = qf . k k A constante c, de proporcionalidade, vem de trabalhos experimentais; as formas mais comumente citadas são as propostas por Ergun, 0,14 (VII.4.5) c = 32 . ε e por Massarani, 3 0,37 0,01 0,98 2 ⎡ (VII.4.6) c = 1/ ε 0,13 ( k0 / k ) + 0,1( k 0 / k ) ⎤ , onde k0 = 10−6 , ⎣ ⎦ válida para 0,15 ≤ ε ≤ 0,75, e para 10−9 ≤ k ≤ 10−3 cm. Expressões equivalentes são encontradas na literatura dentre as quais estão µ ⎡ cρ kq f ⎤ m = ⎢1 + F ⎥q , k ⎣⎢ µ ⎦⎥ f (VII.4.7) µ m = [1 + Re] qf , k cρ kq f Nesta última empregou-se a seguinte definição para o número de Reynolds Re = F , µ que tem por dimensão linear característica k . Uma forma simplificada para a eq.(VII.4.7) resulta com a substituição de (VII.4.2), e de (VII.4.5) na equação (VII.4.7), obtida utilizando-s e β = 4,2 2 ⎡ ⎤ 1 − ε µ ( ) (1 − ε ) ρF ⎢ m = 150 qf ⎥ qf , (VII.4.8) 2 + 1,75 3 3 ⎢ ⎥ D ε φ ( p) ⎦ ε ( φDp ) ⎣ Esta sendo a equação de Ergun. 34
VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos A determinação da força resistiva para o escoamento de fluidos não-newtonianos tem por base o emprego na eq.(VII.4.4) de um valor de viscosidade baseada na curva material da tensão de cisalhamento observada no escoamento viscométrico deste fluido. Um modelo bastante amplo e de grande aplicação prática é o modelo de Carreau, que satisfaz à seguinte equação:
{
2
}
n−1 2
(VII.5.1) , µ = µ ∞ + ( µ 0 − µ ∞ ) 1 + ⎡⎣α ( T ) γ ⎤⎦ onde µ0 , e µ∞ são dois valores assintóticos, respectivamente para baixas, e altas taxas de ∂v ⎛T ⎞ distensão γ = x . α(T) uma função da temperatura com a forma α ( T ) = α0 exp ⎜ 0 ⎟ . Para ∂y ⎝T⎠ baixos valores da taxa de distensão a viscosidade tende a µ0, e para os altos valores tende a µ ∞ . A forma da curva dá a característica de aumento ou da diminuição da viscosidade em função da taxa de distensão. O expoente n é análogo ao expoente da lei da potência n −1 µ=κγ . Do ponto de vista da equação constitutiva para a força dinâmica nos escoamentos em meios porosos é proposta a validade da equação (VII.4.7), substituindo a viscosidade pela viscosidade efetiva expressa em função da taxa de distensão efetiva no escoamento do fluido no meio poroso. (VII.5.2) µ ef = µ ( γ ef ) . Dados experimentais permitiram a Massarani estabelecer a seguinte relação: 1,2 qf γ ef = , (VII.5.3) 1 2 k ( ε) onde é a tor tuosidade do meio poroso definida pela relação entre o comprimento do percurso do fluido e o comprimento do meio. Note que O valor frequentemente adotado para a tortuosidade é de = 2,5 . Com este valor para a tortuosidade, e uma porosidade de 0,45 pode-se estimar a taxa de distensão em: γ ef ≈ qf / k . (VII.5.4) Se a tortuosidade e porosidade são conhecidas então a equação (VII.5.3) deve ser empregada. A expressão final para a viscosidade efetiva tem a forma n−1 2
⎧ ⎡ ⎫ 1,2 qf ⎤ ⎪ ⎪ ⎢ µef = µ∞ + ( µ0 − µ ∞ ) ⎨1 + α ( T ) ,⎥ ⎬ . 1 2 ( ε ) k ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎢⎣ Ela deve ser empregada no lugar de µ na eq. (VII.4.4). 2
(VII.5.5)
VII.6 Aplicações Escoamentos em meios porosos rígidos Consideramos um meio poroso rígido, com porosidade ε independente da posição e do tempo. Alem disso consideramos a aceleração do fluido desprezível, e que a lei de Darcy é aplicável. k (VII.6.1) qf = − grad℘f . µ O balanço de massa expresso,por (VII.1.12) reduz-se a: 35
divqf = 0. (VII.6.2) A equação de Kozeny-Kármán demonstra que para este caso a permeabilidade é constante, e se o escoamento é isotérmico podemos escrever, eliminando qf entre as duas últimas equações div ( grad℘f ) = 0 ⇒ ∆ 2℘f = 0. (VII.6.3) Esta expressão determina que pressão piezométrica seja s olução equação diferencial mais estudada. O laplaciano da pressão piezométrica sendo nulo, esta variável é harmônica o que determina a existência, unicidade, e estabilidade das soluções de um grande número de problemas de importância prática. Toda a hidráulica subterrânea tem por base soluções desta equação. O livro clássico de Pelageya Yakovlevna Polubarinova-Kochina considerada uma das mais importantes matemáticas da União Soviética, dedica-se quase que exclusivamente a soluções desta equação. Problema 1. Considere uma barragem que retêm água, a montante, a uma altura H e a jusante à altura h. Sabendo sua permeabilidade (k), de as condições de contorno para o problema do escoamento da água através da barragem, e esboce a forma da superfície.
Problema 2. Um meio poroso, de comprimento L, es tá contido no interior de um tubo com diâmetro D. Conhecida a sua permeabilidade k determine a curva de vazão versus queda de pressão piezométrica. Dados: L= 0,5 m, D=5cm, k=3,210-5cm2. No escoamento através de um leito fixo com propriedades constantes tem-se:
VIII FLUIDIZAÇÃO A fluidização foi desenvolvida em 1922 durante a primeira guerra para a gaseificação do carvão visando a produção de gás de síntese para a síntese de combustíveis líquidos. O gaseificador Winkler foi o primeiro destes sistemas de gaseific ação de carvão. No início da 2ª.guerra, em 1940, engenheiros americanos foram instados a desenvolver processos de transformação de querosene e óleos leves em gasolinas de alta octanagem para a aviação. O processo Houdry de craquemento com catalisador de alumina operava intermitentemente pois a deposição de coque obrigava a regeneração do catalisador. A Esso Research e a Kellog Co. com a participação dos professores Lewis e Gilliland desenvolveram o Fluid Catalitic Cracking, FCC. Na refinaria de Baton Rouge, da ESSO foi instalado o processo, inicialmente com a capacidade de 13.000 barris/dia passando depois para 100.000 barris/dia. O craqueamento de frações de petróleo, e inúmeras outras reações catalisadas por sólidos, com freqüência operam em reatores de leito fluidizado. Alem do craqueamento, a condução de reações químicas industriais em reatores de leito fluidizado é bastante comum. Um importante exemplo é o da produção de óxido de eteno pela reação de oxidação com oxigênio. Nesta reação ocorrem reações paralelas e consecutivas levando a uma mistura de
36
produtos até CO2, e H2O, indesejáveis. O mais estrito controle da temperatura é de importância para a maximização da conversão ao óxido de eteno.
VIII.1 Teoria da Fluidização Vamos observar o que se passa quando um fluido atravessa, de baixo para cima um leito poroso de partículas sólidas assentes sobre um distribuidor poroso fixo. Sem escoamento o leito exerce sobre o distribuidor o peso do sólido menos o empuxo. (VIII.1.1) peso menos empuxo = AL (1 − ε) ∆ρg ⇔ −∆℘f = L (1 − ε ) ∆ρg . Para valores da velocidade do fluido ocorr e ao longo do leito a queda da pressão piezométrica −∆℘f µ ρFq2f −grad℘f = = qf + c (VIII.1.2) . L k k A queda de pressão ao longo do leito cresce com a velocidade superficial do fluido. Há, portanto uma força para cima aplicada às partículas do sólido, que reduz, progressivamente o esforço sobre o distribuidor. Aumentando-se a velocidade do fluido chega-se a um ponto de equilíbrio, para o qual todas as partículas do leito estão em equilíbrio. peso – empuxo = atrito do fluido sobre o leito. Este ponto é denominado de velocidade mínima de fluidização q mf . Uma curva típica de fluidização tem o seguinte aspecto:
No trecho AB ocorre o aumento progressivo da queda de pressão no leito fixo. Para baixos valores do número de Reynolds a queda de pressão varia linearmente, de acordo com a equação de Darcy, como demonstrada pela inclinação igual a 1 no gráfico logxlog. Esta inclinação passa a aumentar à medida que Re aumenta, e aproxima-se de 2, devido ao termo 37
quadrático da equação de Forscheimer. Em todo este trecho é válida a eq.(VIII.1.2). No trecho BC inicia-se a expansão do leito poroso, com o conseqüente aumento de sua porosidade. De C para D ocorre a fluidização do leito havendo o equilíbrio entre atrito e peso aparente do leito. A eliminação da queda de pressão entre (VIII.1.1), e (VIII.1.2) conduz a: ρFq2f µ = (1 − ε ) ∆ρg. (VIII.1.3) q +c k f k Esta equação de equilíbrio é satisfeita ao longo de todo o trecho DE, onde se observa a fluidização do leito. Os dois parâmetros do leito, k, e c, dependem da porosidade, e daí resulta que a eq.(VIII.1.3) expressa uma relação, não-linear, entre qf e ε. Para cada valor de qf , desde qmf até o valor da velocidade correspondente ao ponto E, resulta de sua resolução um valor correspondente para a porosidade. A equação de Ergun é particularmente útil: 2 (1 − ε ) µ (1 − ε ) ρF 2 (VIII.1.4) + 150 q 1,75 qf = (1 − ε ) ∆ρg, f 2 3 3 ε ( φDp ) ε ( φDp ) No caso de escoamento lento, em que a equação de Darcy é válida obtêm-se a expressão para a velocidade superficial do fluido 2 2 3 ∆ρg ( φDp ) ε 3 ∆ρg ( φDp ) ε mf (VIII.1.5) qf = , qmf = . 150 (1 − ε ) µ 150 (1 − εmf ) µ Existem diversas correlações empíricas para qmf , independentes da porosidade mínima de fluidização. No caso geral há que ser resolvida a equação do 2º.grau (VIII.1.4). Por outro lado, desde que a perda de partículas de sólido seja desprezível tem-se: Volume de sólidos/A = L 0 (1 − ε 0 ) = Lmf (1 − ε mf ) = L (1− ε ). (VIII.1.6) Conhecido o volume de sólidos a ár ea da seção transver sal do vaso, e a altura inicial do leito L0, podemos calcular a sua porosidade inicial, e para cada valor de qf , corresponde um valor de porosidade que sati sfaz a eq.(VIII.1.3). Decorre desta a altura do leito fluidizado e sua expansão L/L0.
VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás Geldart, D. em seu artigo de [Powder Technology 7, 285-292 (1973)] estabeleceu um critério de classificação do comportamento de particulados na fluidização a gás, baseado nos parâmetros: 1 dX −1 ρS , e ( Dpsauter ) = ∫ , o diâmetro médio de Sauter. (VIII.2.1) D p 0
Grupo A; correspondente a partículas pequenas com ρS ≤ 1,4g/ cm3 , e Dpsauter ≤ 40 µm, para as quais o leito se expande homogeneam ente até o início do borbulhamento. Há grande circulação do sólido acompanhado de rápida m istura. As bolhas sobem com velocidade maior que a velocidade superficial do fluido q f . Bolhas de diâmetros menores que 4cm sobem com velocidade vB de 30 a 40 cm/s. Grupo B; correspondente a partículas com diâmetros 40µm ≤ 500µm, e densidades entre 1,4 ≤ ρS ≤ 4g / cm3 . Para estas as bolhas aparecem desde o inicio da fluidização qf qmf . A expansão do leito é pequena. Grupo C; pós coesivos, (há coesão entre as partículas). A fluidização normal é extremamente difícil. O gás levanta o leito como se este fosse uma rolha, ou formam-se canais que atravessam o leito. Grupo D; partículas grandes ou muito densas. 38
A condução de uma boa fluidização, no sentido de se ter uma configuração estável para o leito requer alta velocidade para o fluido. O borbulha mento pode ser intenso, mas não há pulsação. A alta velocidade significa escoamento turbulento, promovendo uma intensa movimentação da fase particulada. As bolhas são relativamente pequenas. A estabilidade é aumentada com a dispersão da distribuição de tamanhos de partículas. A adição de finos a um catalisador transforma um leito borbulhante em um leito turbulento estável. Todos os leitos catalíticos de sucesso operam com pós do grupo A, com escoamento turbulento, estável com pequenas bolhas, cuja existência pode ser desprezada. ( Squires, A.M., Powder Technology, 151, 15-18,(2005). Recentemente foi apresentada uma nova classificação baseada no número de Arquimedes ⎡⎣ Ar = Dp3ρF ( ρS − ρF ) g/ µ2 ⎤⎦ , feita por Goossens, W.R.A. Powder Technology 98, 48-53 (1998). A expressão de Ergun, pode ser expressa por uma relação entre o número de Arquimedes e o de Reynolds basead o no valor εmf = 0,383 , comumente aceito para a porosidade mínima da fluidização de partículas esféricas. (1 − ε ) 1,75 2 2 Ar = 150 3 mf Remf + 3 Remf , ⇒ Ar = 1640Remf + 30Remf . (VIII.2.2)
εmf
εmf
Esta expressão nos dá uma relação entre o número de Arquimedes e o número de Reynolds nas condições mínimas de fluidização. Sua solução para Re mf dá: 16402 + 120Ar − 1640 1 + 4,46 x10 −5 Ar − 1 = (VIII.2.3) Remf = . 60 60 Se um valor mais preciso, baseado em observações experimentais da porosidade mínima de fluidização for conhecido, então a primeira forma desta equação deve ser usada. De todo modo esta é uma expressão geralmente empregada para a previsão da velocidade mínima de fluidização. As expressões que apresentamos acima aplicam-se à fluidização homogênea. Nela a porosidade e a velocidade superficial são independentes da posição e do tempo. A fluidização ocorre, mais comumente quando o fluido é um líquido. A hipótese de velocidade nula para a fase sólida, implic itamente imposta na eq.(VIII.1.4) é, de fato irrealista. O sistema de equações para as duas fases admite a solução qs = 0, e qf = qf i com qf , e ε independentes da posição e do tempo. Esta solução entretanto é instável, e a instabilidade determina a existência de outras soluções mais complexas onde a fase sólida se movimenta, a porosidade depende da posição e tempo, e ocorrem bolhas em cujo interior a porosidade é praticamente igual a 1.
VIII.3 Teoria das Duas Fases A “teoria de duas fases” formulada por Davidson, J.F., e Harrison, D. Chem. Eng. Sci. 23, 660,(1968). (ver também Lockett, M. J., Davidson, J.F., e Harrison, D. On the two phase theory of fluidisation. Chem. Eng. Sci.22, 1059-1066 (1967). Esta teoria é uma aproximação bem sucedida baseada na suposição de que o leito flui dizado é composto de uma fase fluidizada que permanece sob as condições mínimas de fluidização, ( qmf , εmf ) , e que todo o excesso de vazão atravessa o leito fluidizado sob a forma de bolhas. A teoria pretende prever o valor de κ na equação para um leito fluidizado qf = κqmf + qbolha . (VIII.3.1) Em primeira aproximação κ é, por hipótese igual a 1. Supondo a repartição do meio em uma fase fluidizada com porosidade εmf , e a fase bolha ocupando o restante do volume do leito é possível demonstrar que: (VIII.3.2) κ = 1 − εbolha , onde εbolha = vol. de todas as bolhas/vol. do leito.
39
Bolhas aparecem no interior do leito fluidizado como conseqüência da instabilidade da fluidização homogênea. O sistema de equações de balanços de massas, de fluido (VII.1.14), e de sólido e(VII.1.13), e dos balanços de momento para cada uma das fases, dados pelas equações (VII.2.10), e (VII.2.11), simplificadas para materiais incompres-síveis:
∂ε + div ( qf ) = 0; ∂t ∂ε − + div ( qs ) = 0; ∂t
ρFεv f = −grad℘f − ρs v s =
(VIII.3.3) (VIII.3.4)
µε ( v − vs ) ; k f
(VIII.3.5)
µε ( v − v s ) + ∆ρ (1− ε ) g. k f
(VIII.3.6)
A condição de fluidização foi imposta tornando nula a pressão nos sólidos. Atualmente há capacidade computacional para a obtenção de soluções numéricas para a fluidização não-homogênea. Para exemplificar observemos o escoamento bidimensional, de um leito fluidizado homogêneo sobre uma placa porosa plana. As variáveis são: qs ( x,t ) = ε s v s = (1− ε ) v s , velocidade superficial do sólido; (VIII.3.7)
qf ( x,t ) = ε f v f = εvf , ∆℘f ( x,t ) ε ( x,t )
velocidade superficial do fluido;
(VIII.3.8)
a distribuição de pressão piezométrica;
(VIII.3.9)
a distribuição de porosidade. (VIII.3.10) O sistema acima admite a solução que caracteriza a fluidização homogên ea, dada pela solução permanente, idêntica à solução para a fluidização homogênea: v s = 0, ps = 0;
∆℘f = (1− ε ) ∆ρg; k qf = (1 − ε ) ∆ρg. µ
(VIII.3.11)
Esta solução é instável, e para um valor crítico de Re aparecerão flutuações em todas as variáveis da lista apresentada, originando o aparecimento de bolhas. v s = vs + v′s , v f = vf + v′f , (VIII.3.12) ∆℘f = ∆℘f + ∆℘′f , ε = ε + ε′. As variáveis acentuadas representam as flutuações sobre os valores médios, e são as responsáveis pelo aparecimento das bolhas. Em cada ponto no interior do leito a porosidade salta de um valor próximo da εmf para um valor próximo a 1 se uma bolha passa pelo ponto no momento da observação. A teoria de duas fases prevê que em cada ponto no interior do leito fluidizado a porosidade alterne entre os valores εmf e 1.
VIII.4 Mistura e Segregação É bem conhecido o fato de que a fluidização de materiais particulados diferentes pode resultar em um leito bem misturado ou, ao contrário em um leito segregado. Mistura e a segregação ocorrem simultaneamente, com resultados diversos. A intensidade relativa destes dois processos é fortemente dependente das características do borbulhamento. Modelos para a descrição do movimento individual de cada fase de sólidos particulados, e do fluido são baseados nas equações de balanço de massa e de momento. 40
IX
SEPARAÇÃO DE FASES
Em capítulos anteriores foram apresentados alguns sistemas de separação e classificação de partículas com metodologias aplicáveis a sistemas diluídos. Foram apr esentados: câmaras de poeira, ciclones e hidrociclones. Agora serão tratadas as operações de separação sólido-fluido, com base nas equações que descrevem sistemas concentrados, que vimos tratando desde o capítulo VII. As principais operações são: 1. Sedimentação em batelada; 2. Sedimentação contínua; 3. Filtração em filtro prensa; 4. Filtração em filtro rotativo: 5. Filtração em filtro de areia. São todas elas operações importantes seja para o sistema produtivo, seja para o tratamento de rejeitos, e para o controle de poluição.
IX.1 Referencias e Aspectos Gerais Referencias básicas: Svarovski, L. Solid Liquid Separations Concha, F. Manual de Filtracion y Separacion Concha, F. e Bürger, R. A Century of Research in Sedimentation and Thickening, Powder and Par ticle, KONA # 20(20022). A sedimentação, como normalmente é empregada aplica-se à clarificação de suspensões diluídas (de 1 a 5% v/v, no máximo até 10%v/v), e ao espessamento de suspensões sólidolíquido, ou líquido-líquido, de 15 a 30% v/v. Na clarificação, geralmente, o líquido constitui-se no produto desejado. Alguns exemplos são: O tratamento de água, municipal, ou água para caldeiras; A clarificação de salmouras na produção de sal ou de NaOH; A clarificação do caldo de cana. No espessamento, em geral os sólidos são o produto desejado. Exemplos de espessamento são: O desaguamento de lamas na industria do cimento; O espessamento de lamas antes da filtração , ou da secagem; O processamento de minérios. As dificuldades da para a previsão da velocidade de sedimentação dos sólidos, seja pela existência de flocos, seja por sua alta concentração obrigam a realização de testes, e o “teste de proveta” que constituem a base para todos os cálculos. Os principais fatores que influenciam a sedimentação de suspensões aquosas são: a) a natureza das partículas; a distribuição de tamanhos; a densidade; a forma; e propriedades físico-químicas; b) a concentração de sólidos; c) o tipo de pré-tratamento; condicionamento químico; floculação; tratamento térmico; d) tipo de vaso- efeitos de forma e influência das paredes; e) partículas esféricas (ou quase) sedimentam mais rapidamente que não esféricas. A floculação que transforma u grupo de partículas irregulares num floco aproximadamente esférico aumenta grandemente a velocidade de sedimentação. A floculação pode dar-se espontaneamente, ou ser provocada por aditivos. A alta concentração de sólidos favorece a floculação, e por oposição baixa con centração favorece a dispersão. Todas as partículas em suspensão possuem carga residual, usu almente negativa, que se acumula na superfície. O balanço destas cargas promovem, ou a atração, ou a repulsão. Alguns mecanismos que favorecem o aparecimento de cargas são: 41
1) defeitos na superfície da rede cristalina; pode favorecer o aparecimento de cargas positivas ou negativas; 2) interação iônica da partícula com a água; a liberação de H+ resulta no aparecimento de carga negativa; e a liberação de –OH resulta no aparecimento de carga positiva; pode haver liberação de outros íons. Em todos os casos a carga é altamente sensível ao pH da fase aquosa; 3) adsorção de íons da fase aquosa; 4) formação de pontes de hidrogênio entre a superfície de partículas e moléculas de polímeros. A adição de eletrólitos desestabilizam os colóides do tipo “sol”. Reduzem a carga das partículas e promovem a floculação. Alguns exemplos de floculantes são: cal; alumem; fosfatos; metafosfato de sódio (nome comercial: CALGON). São usados na dosagem de 0,1 a 0,4 kg/m3. Polímeros com cargas distribuídas em inúmeros pontos ao longo da cadeia polimérica são agentes floculantes de grande capacidade. Têm ef eito manifesto, mesmo em quantidades muito pequenas (0,1 a 0,15 g/m3). Os seguintes monômeros geram polieletrólitos de uso comercial: acrilamida; acrilato de sódio; ésteres de amônio quaternário; óxido de etileno; copolímeros de acrilamidas. Há necessidade de realização de um grande número de testes para a determinação de boas condições para a sedimentação. A concentração de sólidos; o pH da suspensão; a natureza química do agente floculante e de sua concentração, a temperatura; tempo de envelhecimento, etc. A forma da adição do polieletrólito pode ter importância primacial. As seguintes regras práticas são aconselháveis: 1) adicione o polieletrólito à corrente principal em solução muito diluída (<0,1%); 2) adicione no ponto mais próximo p ossível do ponto onde a floculação deve iniciarse; 3) adicione em local onde haja turbulência que favoreça uma rápida homogeneização; 4) adicione em estágios em diferentes pontos; 5) adicione a toda a corrente de processo; 6) para alta concentração de sólidos adicione reciclo; 7) para alta diluição adicione reciclo de sólidos. A sedimentação, como um processo de processamento de minérios é empregado desde o início do século XVI. Agrícola, na Saxônia, escreveu o famoso “De Re Metallica” que se constituiu na primeira contribuição ao desenvolvimento da indústria de mineração. Este livro foi publicado em latim em 1556, e logo depois foi traduzido para o Alemão e Italiano. Nele estão descritos os métodos de lavagem de ouro, prata, estanho e outros minérios metálicos. São descritos tanques de sedimentação e classificadores, jigs, e concentradores. Os desenvolvimentos modernos iniciam-se com a invenção de concentrador “Dorr-Ol iver”, em 1905. Este invento fez da eliminação contínua de água de polpas diluídas, uma operação economicamente viável.
IX.2 Sedimentação em Batelada Uma breve apresentação da teoria da sedimentação em batelada será apresentada agora. Uma das finalidades desta apresentação é a elucidação de alguns dos principais fatores controladores da sedimentação. Há que mencionar a contribuição de Coe e Clevenger que em 1916 descreveram procedimentos para o projeto de sedimentadores. Mas deve-se a Kinch, a apresentação em 1952 do trabalho “Theory of Sedimentation”. Tratou o assunto sob a forma da propagação de ondas de concentração na suspensão. A suspensão é tratada como um contínuo e o processo de sedimentação é rep resentado pelas equações de balanços de massas das fases. O caso da batelada realizada em um vaso em cujo fundo impermeável, (x = 0) a suspensão sedimenta, e para o caso de materiais incompressíveis, e sem geração resultam das equações (VII.1.11), e (VII.1.14) as seguintes expressões: 42
∂ε s + divqs = 0, ∂t
∂ε f + divqf = 0, ε s + ε f = 1. ∂t
(IX.2.1)
A soma das quais dá para o caso unidirecional ∂εs ∂qs ∂εf ∂qf ∂ + = 0, + = 0, ⇒ ( qs + qf ) = 0. (IX.2.2) ∂t ∂ x ∂t ∂x ∂x Em x = 0, a condição de impermeabilidade fornece a condição de contorno, com a qual se obtêm (IX.2.3) qs + qf = 0, ou εs v s + ε f v f = 0. Por esta expressão verifica-se que fluido e sólido têm direções opostas, se há sedimentação, esta desloca o fluido para cima e a velocidade relativa entre as fases determina a velocidade de cada fase. (IX.2.4) u = v s − v f , e εs v s + ε f v f = 0, ⇒ εs v s = εsε f u, ∂εs ∂ [εsε f u] ∂ε ∂ f (IX.2.5) + = 0,⇒ s + bk = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x Nesta equação o termo fbk = εsε su é denominado de “fluxo em batelada de Kynch”. Kynch foi o pioneiro no estudo teórico da sedimentação. Sua suposição básica reside na hipótese de que a velocidade relativa sólido-fluido é função apenas da concentração volumétrica de sólidos εs. Com esta suposição a eq.(IX.2.5) pode ser escrita na forma de uma equação de propagação de onda, ∂ f ( ε ) ∂εs ∂ε (IX.2.6) + c s = 0, onde c = bk s . ∂t ∂x ∂εs A solução desta equação diferencial parcial de p rimeira ordem é da forma εs ( x,t ) = εˆ s ( X,t ) , onde X = x − ct, pois:
∂εs ⎞ ∂ε ⎞ ∂εˆ ⎞ ∂εˆ ⎞ dt + s ⎟ dx = s ⎟ dt + s ⎟ dX ⎟ ∂ t x⎠ ∂ x t⎠ ∂ t X⎠ ∂ x X⎠ ∂ε s ⎞ ∂εˆ s ∂ X ⎞ ∂εˆ s ⎞ ∂εˆ s ∂ε s ⎞ dεˆ s ∂ X ⎞ ∂εˆ s = + = − = = c ; e . ∂ t ⎟x⎠ ∂ X ∂ t ⎟x⎠ ∂ t ⎟ X⎠ ∂X ∂ x ⎟t⎠ dX ∂ x ⎟t⎠ ∂ X
dε s =
(IX.2.7)
A substituição destas derivadas na eq.(IX.2.6) dá o resultado ∂εs ∂ε ∂εˆ ⎞ ∂εˆ ∂εˆ ∂εˆ ⎞ (IX.2.8) + c s = 0 ⇒ s ⎟ − c s + c s = 0 ⇒ s ⎟ ⇒ ε s = εˆ s ( X ) . ∂t ∂x ∂ t ⎠ X ∂X ∂X ∂ t ⎠X Este resultado demonstra a propagação do perfil inicial da concentração de sólidos ao longo das retas X = x − ct, vale dizer x = X + ct. Dada a condição inicial ⎧0 para x = L,
⎪ εs ( x,0 ) = ⎨ε0s para 0 < x < L, ⎪εmax para x = 0. ⎩ s
(IX.2.9)
O caso mais simples de sedimentação dá-se quando a sedimentação se dá com o aparecimento de um sobrenadante liv re de sólidos, e de um sedimento incompressível e de concentração constante. A curva do fluxo de Kynch tem a forma tal que a derivada do fluxo de Kinch muda de sinal, forçando a velocidade de propagação ser negativa para baixos valores da concentração volumétrica de sólidos, e positiva para o valor máximo desta concentração. Esta observação demonstra a existência de duas frentes de propagação das descontinuidades presentes na condição inicial (IX.2.9). A expressão de Richardson e Zaki n (1954) fbk = v t ε s (1− εs ) , n > 1, onde vt é a velocidade terminal de uma partícula isolada num fluido estacionário. Esta equação apresenta o defeito de prever velocidade de sedimentação 43
nula apenas quando a concentração volumétrica de sólidos é εs = 1, enquanto que experimentalmente verifica-se que isto ocorre para 0,6 ≤ εmax ≤ 0,7. Michaels e Bolger (1962) s propuseram a expressão a três parâmetros:
εs fbk = v tε s 1 − max εs
n
n > 1.
(IX.2.10)
Nesta expressão n = 4,65 é valor adequado para esferas rígidas. Para esferas de vidro de diâmetro constante Shannon et al (1963) determinaram a seguinte expressão por ajuste de dados experimentais fbk = 10−2 ε s ( −0,33843 + 1,37672εs − 1,62275ε2s − 0,11264ε3s + 0,902253ε4s ) m / s (IX.2.11) Esta curva fornece valores negativos para f bk que passam por um mínimo para εs = 0,2 e volta a f bk = 0 para εs = 0,65.
IX.3 Sedimentação Contínua
44
45
IX.4 FILTRAÇÃO Filtração é um processo de separação sólido-fluido envolvendo a passagem do fluido através de uma barreira porosa que retêm grande parte do material sólido que compõe a suspensão. Algumas referências sobre o tema são: 1. Svarovski Solid-Liquid Separations. 2. Tiller, F. M. How to select solid-liquid separation equipment. Chem. Eng. 81, 117(1974). 3. Fitch, B. When should you use separation techniques other then filtration. Filtration and Separtion. Mar. 1975 pg. 149. 4. Purchar, D.B. Solid liquid separation equipment: a preliminary experimental selection programme. The Chem. Engineer. Jan. 1987 pg.47. 5. Ernst, M. et al. Tackle solid-liquid separation problems Chem. Eng. Progress. June, 91 pg.22. 6. Cleaning a gas filter Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713
7. Water bath air filter
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 71
8. Air filter
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713
9. Rotary filters using filter aid
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713 10. Process for making ceramic membrane filters • ABSTRACT Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713
11. Sintered metal filter sheet
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713
12. Separation of mixture components
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625
13. Water bath air filter
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625
14. Discharging filter bed material
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625
15. Rotary filters using filter aid
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September-October 1994, Page 625
16. Sintered metal filter sheet
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625
17. Filtration apparatus
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625
18. A filtration engineer's guide to Achema 94
Filtration & Separation, Volume 31, Issue 4, June 1994, Page 340
19. Rubber membrane filter plate
Filtration & Separation, Volume 29, Issue 5, September 1992, Page 370
20. Chi Tien and Renbi Bai. An assessment of the conventional cake filtration theory Chemical Engineering Science, Volume 58, Issue 7, April 2003, Pages 1323-1336
21.Ka M. Ng Design and development of solids processes—a process systems engineering perspective. Powder Technology, Volume 126, Issue 3, 12 August 2002, Pages 205-210
Seleção de um sistema de filtração. A seleção de um sistema de um sistema de filtração pode passar pelas seguintes etapas:
46
I. Pré-tratamento a) químico: coagulação/floculação – testes de determinação da taxa de filtração em função da quantidade de floculante adicionado. b) físico: cristalização/precipitação/ envelhecimento. adição de auxiliar de filtração. II. Pós-tratamento Lavagem da torta teste da concentração versus volume de fluido de lavagem. Secagem pó injeção de ar. Teste umidade versus umidade da torta. Compactação. III. Tipos de filtração a) Clarificação de suspensões diluídas a1) em leitos granulares, a2) em velas ou cartuchos filtrantes. b) Filtração sob pressão ou vácuo c) Filtração centrífuga. IV. Tipos de filtro a) Filtração em bateladas. – vasos de pressão com elementos verticais ou horizontais. - filtro prensa. b) Filtração contínua. – filtro de tambor rotativo, - filtro de discos rotativos, - filtro de correia, ou panelas. c) Filtração centrífuga.
Teoria simplificada da filtração com formação de torta. A seguir será apresentada uma teoria da filtração de suspensões que durante o processo de filtração formam uma torta incompressível, com porosidade e permeabilidade constantes. A figura abaixo mostra a torta (cake) formada pela acumulação dos sólidos contidos na suspensão alimentada ao filtro. O meio filtrante retém a totalidade dos sólidos.
A figura IX.4.1 acima mostra uma idealização do processo de filtração com a formação de uma torta de espessura L ( t ) retida pelo meio filtrante. O fluido que acompanha a suspensão atravessa a torta anteriormente formada, e o meio filtrante. A porosidade da torta é, por 47
hipótese, constante tanto em relação ao tempo quanto em relação à posição. Em todas as posições ao longo da torta a velocidade da fase de sólidos, v s = 0 . Estas duas hipóteses são compatíveis com o balanço de massa dos sólidos, pois: ∂(1 − ε ) ∂ qs (IX.4.1) + = 0, ∂t ∂x e ε é constante se e apenas quando a velocidade de dos sólidos é nula. A queda de pressão é determinada pela equação do movimento do fluido, na qual a força resistiva é determinada pela lei de Darcy, que aplica-se à torta e ao meio filtrante. ∂P µ (IX.4.2) − + qf = 0, ao longo da torta, ∂x k ∂P µ (IX.4.3) − + qf = 0, no meio filtrante. ∂ x km Supondo constantes, no tempo e no espaço, as duas permeabilidades as equações podem ser integradas e decorem: µL P1 − Pm = ∆PT = qf , (IX.4.4) k µL (IX.4.5) Pm − P0 = ∆Pm = m qf . km A soma destas duas equações dá como resultado a queda de pressão total ∆P = µ (L / k + Lm / k m ) qf . (IX.4.6) O termo Lm / k m ≡ Rm é denominado resistência do meio filtrante, e tem dimensões de [Rm ] = L−1. A espessura da torta aumenta, linearmente, com o volume de filtrado, uma vez que ela contém a totalidade dos sólidos contidos na suspensão. Seja c a razão de sólidos contidos na suspensão i.e. c = massa de sólidos /massa de fluido na suspensão = Ms /MF . (1 − ε ) ρS AL ρFcV ⇒L= (IX.4.7) c= , ρF V (1 − ε ) ρS A Com esta expressão para a espessura da torta em função do volume de filtrado obtém-se ⎡ ρFcV ⎤ ⎡ αρ c ⎤ 1 dV ∆P = µ ⎢ + Rm ⎥ qf = µ ⎢ F V + Rm ⎥ (IX.4.8) . − ε ρ 1 A k A A dt ( ) ⎣ ⎦ S ⎣⎢ ⎦⎥ 1 Nesta expressão α = é a resistividade da torta. Ela fornece uma relação entre a ρS (1 − ε ) k queda de pressão na durante a filtração, e a taxa de filtração. Há a necessidade de uma relação adicional entre estas duas variáveis para permitir sua integração.
Filtração a pressão constante. Um sistema de filtração pode ser configurado para manter constante a pressão na admissão do filtro independentemente da vazão da suspensão. Para este caso a Eq. (IX.4.8) pode ser escrita na seguinte forma. ⎤ µ ⎡⎛ αρFc ⎞ dt = (IX.4.9) V + Rm ⎥ . ⎢ ⎜ ⎟ dV A∆P ⎣⎝ A ⎠ ⎦ As suposições feitas no início deste item permitem considerar α, e Rm como constantes, e a integração conduz ao resultado:
48
t=
⎤ µ ⎡⎛ αcρF ⎞ 2 + V R V m ⎥, A∆P ⎢⎣⎜⎝ 2A ⎟⎠ ⎦
(IX.4.10)
conhecido como “parábola de filtração”, que é retificada quando se escreve sob a forma µαρ c µRm (IX.4.11) t / V = aV + b, onde a = 2 F , e b = . 2A ∆P A∆P Esta equação quando locada em gráfico t/V versus V tem a forma de uma reta, com coeficiente angular igual a “a”, e o linear igual a “b”. Dados experimentais fogem da linha reta quando os quadros do filtro estiverem cheios, caso em que a torta formada não pode mais aumentar de espessura, e a filtração prosseguirá por preenchimento pos poros da torta, i.e. por redução da porosidade. A observação do primeiro desvio da reta permite o cálculo da porosidade da torta, pois a máxima espessura ρ cV (IX.4.12) Lmax = F max = e quadro / 2. (1 − ε ) AρS
Lavagem da torta. Frequentemente as especificações do processo produtivo incluem a necessidade da lavagem da torta. Se VL é o volume de água de lavagem a ser empregado, e QL é sua vazão, então o tempo de lavagem será tL = VL / QL . Admite-se a suposição que a vazão será proporcional à vazão ao final da filtração, o que é justificável se a viscosidade da água de lavagem, e a do filtrado forem idênticas, e se o percurso da água ao atravessar a torta é proporcional a espessura da torta. Escreve-se sob estas condições: ⎛ dV ⎞ (IX.4.13) QL = C ⎜ ⎟ , e VL = BVF . dt ⎝ ⎠ final C é igual a 1, se o percurso da água é o mesmo que o do fluido filtrado, e igual a ¼ se o filtro possui “placa de lavagem”, caso em que a água atravessa duas espessuras de torta, com o dobra da velocidade do fluido filtrado. O tempo de lavagem será então: BVF B tL = = ( 2aVF + b ) . (IX.4.14) C ⎛ dV ⎞ C⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ final Com esta expressão podemos calcular o tempo total de um ciclo de filtração B⎞ ⎛ ⎛ B⎞ t T = tF + tL + t0 = a ⎜ 1+ 2 ⎟ VF2 + b ⎜ 1+ ⎟ VF + t 0 , (IX.4.15) C⎠ ⎝ ⎝ C⎠ onde t0 é o tempo morto no qual o filtro é aberto, limpo e remontado.
Produção máxima, dimensionamento de um filtro Neste item consideramos que são conhecidas as seguintes variáveis: 1. as propriedades da torta; α,Rm , ε ; e 2. as propriedades da suspensão; c, µ,ρF , ρS . A produção do filtro é máxima quando o tempo total necessário para a filtração de determinado volume VF é mínimo, ou, equivalentemente, quando VF / t T é máximo. t VF B B = a ⎛⎜1 + 2 ⎞⎟ VF + b ⎛⎜ 1 + ⎞⎟ + 0 , é mínimo. (IX.4.16) tT C C V ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F d ( t T / VF ) t t0 B = a ⎛⎜1 + 2 ⎞⎟ − 02 = 0 ⇒ VF = (IX.4.17) . B⎞ dVF C ⎠ VF ⎛ ⎝ a ⎜1+ 2 ⎟ C⎠ ⎝ Daí deduz-se o tempo ótimo de filtração e o tempo ótimo do ciclo. 49
tF = aVF2 + bVF =
t0
+b
t0
B ⎛1+ 2 B ⎞ a ⎛⎜ 1 + 2 ⎞⎟ ⎜ ⎟ C⎠ C⎠ ⎝ ⎝ t0 ⎛ B⎞ t T = 2t 0 + b ⎜ 1 + ⎟ . B C ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ a 1+ 2 ⎜ C ⎟⎠ ⎝
, (IX.4.18)
Note que se a operação do filtro prescinde da lavagem então t t (IX.4.19) B = 0 ⇒ tF = t0 + b 0 , e t T = 2t0 + b 0 . a a e se a resistência do meio filtrante é desprezível então tF = t 0 , e tT = 2t0 . O melhor possível é dividir igualmente o tempo entre a filtração e o tempo morto empregado na limpeza do filtro. O sistema opera em produção apenas 50% do tempo, e os outros 50% são reservados à abertura, retirada da torta, limpeza do meio filtrante e remontagem do filtro. Quando Rm é significativo, e quando há lavagem estas a divisão dos tempos obedece relações diferentes dadas pelas equações (IX.4.18). Suponha agora que se deseje projetar um sistema de filtração a pressão constante para filtrar V ∗ m3 de uma suspensão em uma jornada diária de trabalho de t ∗ horas. O número de ciclos diários será Nciclos = t∗ / t T , e o volume de filtrado em cada ciclo deverá ser VF = V ∗ / Nciclos. Observando as equações (IX.4.18) verifica-se que elas não dependem da área de filtração já que o termo b / a presente no segundo termo das duas é: µ∆P Rm µRm / ∆P (IX.4.20) b/ a = . = αρF / 2 µαρF / ( 2∆P ) Este fato é responsável por ser possível a determinação dos tempos ótimos e do número ótimo de ciclos diários. A partir deste escreve-se a equação da parábola (IX.4.10) V∗ µ ⎡⎛ αcρF ⎞ 2 Rm ⎤ (IX.4.21) tF = V + V , onde VF = . ∆P ⎢⎣⎜⎝ 2A 2 ⎟⎠ F A F ⎥⎦ Nciclos Nesta apenas a área de filtração é desconhecida, e pode portanto ser calculada. Por fim, e uma vez conhecida a área é possível determinar a espessura do quadro fazendo uso da Eq. (IX.4.7), ρFcVF ≤ e/2. (IX.4.22) L= (1 − ε ) ρS A A área total de filtração, determinada pelo método apresentado deve ser decomposta no produto do número de quadros vezes a área de cada quadro e isto deve ser feito com o auxílio do catálogo do fabricante. E comum a apresentação de ampla faixas de área total de filtração, com a recomendação de dimensões nominais dos quadros. A tabela abaixo apresenta a recomendação do fabricante Shriver. Área de filtração
Dimensões dos
Área efetiva
(pe2) 5 a 35 30 a 100 75 a 250 150 a 450 250 a 700 500 a 1000 >1000
quadros (pol.) 12 18 24 30 36 43 ¼ 48 a 56
por quadro (pe2) 1,7 3,9 7,0 10,5 15,6 22,2 28,8 a 48
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IX.5 Filtração em filtro rotativo Um filtro rotativo opera continuamente, frequentemente a vácuo, e há formação de torta. O vácuo estabelecido no interior do tambor é mantido por um sistema de bomba de vácuo, de forma que é possível considerar uma operação de filtração a pressão constante. A velocidade de rotação do tambor sendo também constante é possível considerar a evolução da espessura da torta formada sobre um elemento de área na superfície do tambor empregandose as equações apresentadas no item anterior. 2 µαc ⎛ V ⎞ µRm ⎛ V ⎞ + (IX.5.1) t= . ∆P ⎜⎝ A ⎟⎠ 2∆P ⎜⎝ A ⎟⎠ onde V é o filtrado em um ciclo de revolução do tambor. Se ω é sua velocidade angular e φ o ângulo de submergência do tambor, i.e, a fração submersa da circunferência do círculo então o tempo de filtração e a vazão de filtrado são dados por: t = φ / ω, e Q = ωRHV. (IX.5.2) A substituição destas interpretações na Eq. (IX.5.1) dá 2 Q ⎞ ∆Pφ µαc ⎛ Q ⎞ = + µRm ⎛ (IX.5.3) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω ω 2 ⎝ ωRH ⎠ RH ⎝ ⎠ Esta é uma equação de segundo grau para a vazão cuja raiz positiva é Rm2 + ∆Pφαc / (µω) − Rm ⎛ Q ⎞ (IX.5.4) . ⎜ ωRH ⎟ = αc ⎝ ⎠ Os resultados destas duas últimas seções aplicam-se a sistemas de filtração onde as suposições da teoria simplificada sejam válidas. A validade das suposições básicas empregadas na sua formulação será agora examinada.
IX.6 Avaliação da teoria simplificada A análise que segue tem por base o trabalho de Tien e Bai 1. Como vimos, durante a filtração os sólidos da suspensão são retidos pelo meio filtrante, e a espessura da torta cresce linearmente com o volume de filtrado. A torta formada é considerada incompressível, o que traz como conseqüência que as partículas que a compõe são imóveis, e a velocidade relativa entre as fases seja igual à velocidade do fluido. Assim é que a equação de Darcy pode ser escrita em termos da velocidade superficial do fluido como está proposto na Eq. (IX.4.4). Todas as tortas de filtração têm alguma compressibilidade. Por isso, à medida que a filtração prossegue as varias camadas de torta ficam sujeitas a uma pressão crescente atuando na fase de sólidos, i.e. ps ( x,t ) aumenta com t, para todo valor de x. Como conseqüência a porosidade decresce expulsando o fluido dos poros da torta. Resulta deste processo que as velocidades superficiais das duas fases sejam variáveis. Consideramos a filtração conforme apresentada na figura IX.4.1, e os balanços de massa de cada fase escritos para o escoamento unidirecional, com fases incompres-síveis.
1
1) Chi Tien and Renbi Bai. An assessment of the conventional cake filtration theory.
Chemical Engineering Science, Volume 58, Issue 7, April 2003, Pages 1323-1336.
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∂(1 − εs ) ∂ (1− ε s ) v f ∂ε ∂ q + = − s = f , ∂t ∂x ∂t ∂x ∂ε s ∂ε s v s ∂ε ∂ q + = 0,⇒ = s . ∂t ∂x ∂t ∂ x
(IX.6.1)
onde x é a posição de distância ao meio filtrante, e qf , e qs as velocidades superficiais do fluido e sólido, respectivamente. A velocidade relativa entre as fases é: q qf u = vf − vs = − s, (IX.6.2) (1 − εs ) ε s e com ela escreve-se a equação de Darcy Eq. (VIII.3.5), q qf k ∂pf − s= (IX.6.3) u= , (1 − εs ) ε s (1 − ε s ) ∂ x onde a pf , a pressão no fluido e a pressão no sólido são relacionadas à pressão total dP P = pf + ps , e = 0, em conseqüência da Eq. As condições de contorno na superfície da dx torta ps (L ) = 0, e pf (L ) = P = pressão total na entrada do filtro. A solução destas equações requer a especificação de equações constitutivas para εs = ε s (ps ) , e de k = k ( ps ) , ou de α = α ( ps ) . Estas são dadas por equações empíricas da forma: β
⎛ p ⎞ εs = ε0s ⎜ 1− 0s ⎟ , ⎝ ps ⎠ −δ ⎛ ⎞ p k = k 0 ⎜ 1 − 0s ⎟ , ⎝ ps ⎠
(IX.6.4) (IX.6.5)
n
⎛ p ⎞ α = α0 ⎜ 1 − 0s ⎟ . (IX.6.6) p s ⎠ ⎝ onde ε0s ,k 0, α 0 ,β, δ, e n são constantes empíricas, e p0s é a queda de pressão total até a interface torta-meio filtrante. Uma vez conhecidas estas relações o sistema de equações pode ser resolvido e os resultados comparados com os da teoria simplificada. Gráficos comparativos são apresentados na referencia citada.
IX.7 Filtração em leito granular A filtração em leito granular ocupa uma posição de destaque na remoção de particulados nos processos de tratamento de água para suprimento de cidades, industrias, na reciclagem da água, e no tratamento de rejeitos industriais. O projeto destas unidades depende de dados obtidos em planta piloto e de modelos semi-empíricos. O caso unidirecional será tratado aqui. Considera-se um leito de partículas inicialmente co porosidade ε0 , através do qual percola uma suspensão cujas partículas são parcial e progressivamente retidas pelo meio poroso. Uma boa referencia recente sobre o assunto é deIliuta e Larachi2. A queda de pressão do fluido que atravessa o leito é dada pela Eq. (IX.4.4).
2
Iliuta, I. and F. Larachi. Colmatage des réacteurs gaz–liquide à lit fixe: Plugging in two-phase flow packed
beds. Comptes Rendus Mecanique, Volume 330, Issue 8, 2002, Pages 563-568.
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