Rjesenja zbirke zadataka iz Osnova Elektrotehnike za 3. ciklus
by: by: hmp
January 21, 2010
1.1 1.1
Zada Zadata tak k X.1X.1-1 1
Izracunajte potencijale cvorova 1 i 2 u prikazanom spoju el. elemenata. Koristite metodu napona cvorova. Koliki je napon U 12 12 te kolika struja prolazi kroz R3 ? R3
čvor 1
I1
čvor 2
R1
I2
R2
Zadano R1 = 2Ω R2 = 6Ω R3 = 3Ω I 1 = 4 A I 2 = 2 A Koristimo metodu potencijala cvorova kako je i navedeno u zadatku:
ϕ1( ϕ2 (
1 R1
1 R2
+
+
1 R3
1 R3
) − ϕ2 ·
) − ϕ1 ·
1
= I 1
(1.1)
= −I 2
(1.2)
R3
1 R3
Sada izmnozimo zagrade i rjesavamo 2 jdbe s 2 nepoznanice: 7 1 ϕ1 − ϕ2 = 4 12 12 3 1 ϕ2 − ϕ1 = −2 12 12
(1.3) (1.4)
Mnozimo prvu jdbu s 36, a drugu s 12 - da bi mogli pokratiti ϕ2
21ϕ1 − 3ϕ2 = 144 −ϕ1 + 3ϕ2 = −24
−ϕ
1
+ 21ϕ1 = 144 − 24 1
−→
(1.5) (1.6)
ϕ1 = 6V
(1.7)
Sada to ubacujemo u (5) i dobivamo da je ϕ2 = −6V . Sada trazimo napon U 12 12 i onda struju I 3. Vidimo da je potencijali ϕ1 veci, tako da ce struja teci od 1 prema 2.
U 12 12 = ϕ1
I 3 =
= 12 V
(1.8)
U 12 12V 12 = = 1A R3 12Ω
(1.9)
−ϕ
2
2
1.2
Zadatak X.1-2
Odredite struju u granama prikazane mreze a) izravnom primjenom Kirchhoffovih zakona b) Millmanovom metodom R1
R2
A
I1
U1
I2
R3
U2
I3
B
Zadano je: R1 = 3Ω R2 = 3Ω R3 = 6Ω U 1 = 24 V U 2 = 12 V Rjesavat cemo zadatak samo Millmanovom metodom, jer je lakse, brzi i to spada u gradivo treceg ciklusa. Na ispitu Vas nitko ne pita koju metodu ste upotrijebili. U 1 R1
U AB =
1
R1
+ RU = + R1 + R1 2
2
2
U AB = ϕA
3
+ 24 72 3 = = 14 .4V 1 1 1 5 + + 3 3 6 12 3
− ϕ −→ B
ϕA = 14 .4V
(1.1)
(1.2)
Sada moramo izracunati napone na otporima, to cemo racunati tako da cemo krenut iz tocke B, tj. od 0V do tocke A i pozbrajati napone. Naponi od A do B moraju bit jednaki naponu U ab . Krecemo od lijeve grane, srednja, pa desna. Postujemo smjer ucrtanih struja. Da struje nisu ucrtane, onda bi ih mi proglasili bilo kojeg smjera.
+U 1 − I 1 · R1 = 14 .4V
−→
I 1 =
24 − 14.4 = 3 .2A 3
(1.3)
I 3 R3 = 14 .4V
−→
I 3 =
14.4 = 2 .4A 6
(1.4)
+U 2 − I 2 · R2 = 14 .4V
−→
I 1 =
12 − 14.4 = −0.8A 3
(1.5)
·
3
1.3
Zadatak X.1-3
Na stezaljke izvora a i b prikljucen je (ulazni) napon U. Nadjite napon na stezaljkama trosila odnosno napon izmedju tocaka c i d. Koji je odnos tih napona U cd /U ab =? Zadatak rjesite na tri nacina: 1. kao mjesoviti spoj otpornika 2. pomocu Theveninove metode. 3. Nortonove metode a
c
R
R
Rt
R U
b
d
Zadano: U = 12 V ; Rt = 100Ω R = 57 .735Ω Prvo cemo upotrijebiti Theveninovu metodu, a zatim i Nortonovu. Zadatak necemo rjesavati pomocu mjesovitog spoja otpora, jer je to postupak za 1. ciklus i trebao bi biti trivijalan. Tako cemo prvo traziti Theveninov otpor RT , a zatim i Theveninov napon U T . Prvo ugasimo izvor, odspojimo Rt i trazimo Theveninov otpor, tj. otpor izmedju A i B. a
c
R
R A
R B
b
d
RT = ( R
· 57.735 + 57.735 = 86.6025Ω || R) + R = 57.2735 · 57.735
(1.1)
Napon U T je upravo napon izmedju tocaka x i y, odnosno napon na otporu izmedju njih. To je zato sto u desnoj grani ne tece struja, pa na desnome otporu nema pada napona. Vidimo da su otpori isti (R) pa se napon dijeli na pola, odnosno na oba je napon 6V, pa iz toga zakljucujemo da je U T = 6 V .
4
a
c
x
R
R A
R U B
y
b
d
U xy = U T =
U
2
= 6 V
(1.2)
Sada mozemo izracunati napon na Rt iz Theveninove nadomjesne sheme. T IT
t
UT
I T =
U T RT + Rt
=
6V = 32 .15mA 186.6025Ω
(1.3)
U t = I T Rt = 3 .215V
(1.4)
U cd U 3.215 = t= = 0 .2679 = 26.79% U ab U 12
(1.5)
·
Sada mozemo istu stvar racunati i preko Nortonovog teorema, pri tome znamo da je RN = RT = 86 .6025Ω. Da bismo izracunali I N trebamo kratko spojiti tocke A i B, te naci struju koja ide kroz tu granu. Kao sto vidimo to je polovina ukupne struje, jer su otpori jednaki (R). a
c
x
R
R
A
R U B
b
y
d
5
I N =
I
2
=
1 U · = 69.28mA 2 RN
(1.6)
Sada napravimo nadomjesnu Nortonovu shemu i racunamo struju kroz Rt , tj. struju I N 2 IN
IN1
IN2
RN
Rt
IN
I N 2 =
I N RN = 32 .04mA RN + Rt
·
(1.7)
U t = I N 2 Rt = 3 .215V
(1.8)
U cd U 3.215 = t= = 0 .2679 = 26.79% U ab U 12
(1.9)
·
6
1.4
Zadatak X.1-4
Odredite struje grana na ove nacine a) izravnom primjenom Kirchhoffovih zakona. (jdbe treba napisati u skladu s oznacenim smjerom obilazenja kontura) b) metodom napona cvorova c) superpozicijom. IR3
A
IR3
IR2
R2
U1
U3
2.
1.
R3
R1 U2
B
Zadano je: R1 = 16Ω R2 = 4Ω R3 = 24Ω U 1 = 72 V U 2 = 8 V U 3 = 48 V Rjesiti cemo zadatak samo metodom napona cvorova, odnosno Millmanovom metodom. Donji cvor mozemo uzemljiti pa pisemo Millmana:
U AB =
U 1 R1 1
R1
+ RU + RU = + R1 + R1 2
3
2
3
2
3
72 16 1 16
+ 84 + 48 408 24 = = 24 V 1 17 + 14 + 24
(1.1)
Sada moramo izracunati napone na otporima, to cemo racunati tako da cemo krenut iz tocke B, tj. od 0V do tocke A i pozbrajati napone. Naponi od A do B moraju bit jednaki naponu U ab . Krecemo od lijeve grane, srednja, pa desna. Postujemo smjer ucrtanih struja. Da struje nisu ucrtane, onda bi ih mi proglasili bilo kojeg smjera. 72 − 24 = 3A 16 24 − 8 +U 2 + I R2 · R3 = 24 V −→ I R2 = = 4A 4 − 24 = 1A −I R3 · R3 + U 3 = 24V −→ I R1 = 48 24
−I · R R1
1
+ U 1 = 24 V
−→
7
I R1 =
(1.2) (1.3) (1.4)
1.5
Zadatak X.1-5
U prikazanom mosnom spoju izracunajte struju kroz otpornik u dijagonali mosta. Kolika bi bila struja kroz dijagonalu mosta kada je taj otpor (R) jednak nuli? Koliki treba biti R1 da bi struja kroz otpornik R bila jednaka nuli? Primjenite Theveninovu ili Nortonovu metodu.
R1
R3 R
U
R2
R4
Zadano je: U = 72 V R = 5Ω R1 = 6Ω R2 = 3Ω R3 = 12Ω R4 = 4Ω Rjesiti cemo zadatak pomocu Theveninove metode, jer bas ne volim Nortona pretjerano, a u biti je ista stvar. Prva stvar koju trebamo naci je Theveninov otpor. To znaci da moramo odspojiti otpor R, te kratko spojiti izvor.
R1
R3
R2
b
R4
Sada treba prepoznati spoj. Mozda nekima nije ocito vidljivo o kakvome se spoju radi, pa cemo na shemu postaviti neku struju koja ce ici od a do b, te gledati kako ce ona ulaziti u otpornike, a kako izlaziti. Na taj nacin cemo najlakse prepoznati spoj,
8
R1
R3
b
R2
R4
Sada kada smo to ucrtali, treba vidjeti da su ova dva otpora koja su naizgled spojeni serijski, zapravo spojeni paralelno. Kada shemu nacrtamo pojednostavljeno, to izgleda ovako: R1
R3
b
R2
R4
Sada mozemo izracunati Theveninov otpor:
RT = ( R1
|| R2) + (R3 || R4) = 5Ω
(1.1)
Nakon sto smo izracunali Theveninov otpor, moramo izracunati Theveninov napon, odnosno napon izmedju tocaka a i b. Da bismo to napravili, moramo vratiti izvor i izracunati struje kroz te grane, te zatim krenuti od b do a i pozbrajati napone. 1
2
R1
R3
R2
b
R4
9
72 = 8A R1 + R2 9 72 U I 2 = = = 4 .5A R3 + R4 16 U ab = U T = I 2 · R3 − I 1 · R1 = 4 .5 · 12 − 8 · 6 = 6V I 1 =
U
=
(1.2) (1.3) (1.4)
Sada radimo Theveninovu nadomjesnu shemu: T IT
UT
Racunamo ukupnu struju:
I T =
U T RT + R
=
6 = 0 .6A 5+5
(1.5)
To je struja koja se trazi u zadatku. Kada je R = 0 onda struja iznosi:
I T =
U T RT + R
=
6 = 1 .2A 5+0
(1.6)
Sada u zadatku trazi da je struja kroz dijagonalu mosta jednaka 0, a to je upravo ravnoteza mosta koja se racuna tako da umnosci otpora po dijagonali moraju biti jednaki:
R1 R4 = R3 R2
·
·
−→
R1 =
10
R3 R2 12 3 = = 9Ω R4 4
·
·
(1.7)
1.6
Zadatak X.1-6
U prikazanom spoju elemenata odredite struju koju mjeri ampermetar a) Theveninovom metodom tako da spoj podjelite po presjeku aa’ i bb’. b) Millmanovom metodom. Koliki je potencijal lijeve i desne stezaljke ampermetra ( Ra = 0)? a
3
A
b
9
2A 6
a'
3
b'
12V
Prvo cemo rjesavat Theveninovom metodom. Kada kaze da nesto nadomjestite (u ovom slucaju podijelite), onda radite Thevenina, samo bez odspajanja icega. Dakle, ovdje cemo imati dvije Theveninove nadomjesne sheme spojene u jednu. Sada prvo nadomjestamo lijevu, pa desnu stranu: a
3
9
a'
12V
Racunamo Theveninov otpor i Theveninov napon. Theveninov otpor se racuna tako da se naponski izvor kratko spoji, pa imamo samo 2 paralelna otpora:
RT 1 = 3
Ω || 9 = 27 12
(1.1)
Theveninov napon u ovome slucaju, tj. napon izmedju tocaka a i b je upravo jednak padu napona na ovih 9Ω, pa ga idemo izracunati:
I 1 =
12V = 1A 3Ω + 9Ω 11
(1.2)
U T 1 = 1 A 9Ω = 9V
·
(1.3)
Sada gledamo desnu stranu: b
2A 6
3
b'
Isto tako racunamo Theveninov otpor i napon. Opet imamo dva paralelno spojena otpora, jer trebamo odspojit strujni izvor:
RT 1 = 6
|| 3 = 2Ω
(1.4)
Sada racunamo napon, a to je najlakse tako da izracunamo ovu paralelu u jedan otpor, i pomnozimo s strujom koju daje strujni izvor da bismo dobili napon na tom otporu, a to je ujedno i napon izmedju b i b’, odnosno Theveninov napon.
R2uk = 6 U T 2
|| 3 = 2Ω = 2Ω · 2A = 4 V
(1.5) (1.6)
Sada radimo nadomjesnu Theveninovu shemu, s ovim vrijednostima koje smo dobili: a
A
b
27 2
12
a'
9V
b'
4V
Sada mozemo preko npr. preko superpozicije. Mogli bi i zbrajanjem izvora, ali onda bi morali paziti na to da micemo i vracamo ovo uzemljenje, tako da bi to moglo zbuniti neke, zasto se mora prvo maknuti, pa vratiti. 12
1. slucaj superpozicije: I1
a
A
b
27 2
12
a'
b'
9V
I 1 =
9V = 2 .1176A Ω + 2Ω
(1.7)
4V = 0 .9411A 27 Ω + 2Ω 12
(1.8)
27 12
2. slucaj superpozicije: a
A
b
I
27 2
12
a'
b'
4V
I 2 =
Sada je ukupna struja jednaka:
I = I 1
− I = 1 .1765A 2
(1.9)
I sada bilo kojim putem od uzemljenja do tocke a ili b (istog su potencijala, jer je otpor ampermetra jednak nuli) dobivamo potencijal stezaljke ampermetra, mozemo npr. desno:
ϕa = ϕb = +4 V + I 2Ω = 6.353V
·
(1.10)
Drugi nacin rjesavanja je koristenje Millmanove metode. Ovaj krug ima 2 cvora, jer ampermetar 13
mozete zamjeniti kratkim spojem ( Ra = 0Ω)
U aa = U bb = ′
′
U aa = ϕa ′
+2 = 6 .353V 1 1 1 + + + 3 6 3 12 3 1 9
− ϕ −→ a′
ϕa = ϕb = 6 .353V
(1.11) (1.12)
Sada treba izracunati struju, a to nam je najlakse tako da zapisemo jdbu nekog cvora, najlakse cvora a. Mi pretpostavimo neke smjerove struja, pa ako dobijemo minus u rjesenju znaci da smo krivo pretpostavili, ali to nam nije ni bitno. a
1 2
A
A
b
+
3
9
2A +
6
a'
3
b'
12V
Prvo zapisemo jdbu cvora a:
I 1 + I A = I 2 I 2 =
U aa
′
9Ω
(1.13)
= 0 .705A
(1.14)
Sada idemo pozbrajat napone u lijevoj grani kako bismo izracunali struju kroz nju. Krecemo od nule (tocke a’) i idemo prema potencijalu tocke a koji je jednak 6.353V, kao sto smo izracunali.
+12V − I 1 · 3Ω = 6.353
−→
I 1 = 1 .882A
(1.15)
Sada te rezultate vracamo u (12) i dobivamo
I A = I 2
− I = −1.176A 1
(1.16)
Mi gledamo apsolutnu vrijednost toga, jer nije ucrtan polaritet ampermetra, a ovo samo znaci da je struja suprotnog smjera nego sto smo mi pretpostavili. 14
1.7
Zadatak X.1-7
Koliki je napon izvora ako voltmetar pokazuje U V = 15 V oznacenog polariteta. 10
2
5
1
+
U
10
V
10
1A
Ovaj zadatak je radjen jos u prvom ciklusu, ali ovdje cemo ga rijesit metodom potencijala cvorova. Imamo ukupno 3 cvora, od kojih znamo potencijal cvora 1 i zemlje. Potencijal cvora 1 je upravo napon koji mjeri voltmetar, tj. 15V. Pa cemo zapisati metodu potencijala cvorova za taj cvor, gdje je jedina nepoznanica ϕ2 :
ϕ1 (
1 1 1 + ) − ϕ2 · = 1 A 10 5 5
−→
ϕ2 =
35 V 2
(1.1)
Sada mozemo zapisati i metodu potencijala cvorova za cvor 2:
ϕ2 (
1 1 1 1 U + + ) − ϕ1 · = 10 10 5 5 10
15
−→
U = 10 (7
· − 3) = 40V
(1.2)
1.8
Zadatak X.1-8
Odredite napon na otporniku 2R u prikazanom spoju. Koliki je napon ako se promjeni smjer strujnog izvora? I
2
4R
1
R
U
R
2R
U
Zadano je: R = 5Ω I = 2 A U = 20 V Ovdje cemo opet iskoristiti metodu potencijala cvorova. Potencijal cvora 2 znamo, jer je izmedju zemlje i njega spojen samo naponski izvor od 20V. Toliki je i potencijal tog cvora. Potencijal cvora 1 je jednak i naponu na trazenom otporu, zato sto je otpor spojen izmedju zemlje i tog potencijala. 1 1 1 U + ) − ϕ2 · = I + R 2R 4R R 4R 1 1 1 1 20 ϕ1 ( + + ) − 20 · = 2 A + −→ ϕ1 = U 2R = 20V 5 10 20 5 20 ϕ1 (
1
+
(1.1) (1.2)
Kada okrenemo strujni izvor, cijela jdba ostaje ista, samo umjesto dodavanja struje strujnog izvora na desnoj strani jdbe imamo oduzimanje 1 1 1 U + ) − ϕ2 · = −I + R 2R 4R R 4R 1 1 1 1 20 ϕ1 ( + + ) − 20 · = −2A + −→ ϕ1 = U 2R = 8 .57V 5 10 20 5 20 ϕ1 (
1
+
16
(1.3) (1.4)
1.9
Zadatak X.1-9
Odredite maksimalnu snagu na otporniku Rv . R1
U1
a
RV
I1 U3
R2
b
I2
U2
Zadano je: R1 = 5Ω R2 = 10Ω U 1 = U 3 = 20 V U 2 = 30 V I 1 = I 2 = 1 A Kada se trazi maksimalna snaga na otporu najcesce to znaci primjenu Thevenina (ili Nortona). Pa cemo mi ovdje prvo odspojiti sve izvore kako bismo nasli Theveninov otpor, tj. otpor izmedju tocaka a i b. R1
a
b
R2
Kao sto vidimo na slici otpor izmedju a i b jednak je serijskom spoju R1 i R2.
Rab = RT = R1 + R2 = 30Ω
(1.1)
Sada trebamo izracunati Theveninov napon, te vracamo izvore u shemu. Moramo primjetiti da struja ne tece kroz granu gdje se nalazi U 3 , jer struja tece samo kroz zatvorene krugove, a nemoguce je zatvoriti krug kroz tu granu, jer nemamo granu kojom bi se struja vracala nazad. Time zakljucujemo da struja I 1 prolazi kroz otpor R1 , kao sto i struja I 2 prolazi kroz otpor R2 . Sada krecemo od nultog potencijala (uzemljenje) i zbrajamo sve napone putem da bismo dobili potencijale tocaka a i b.
17
R1
+
R2
a
+
1
U1
I1 U3
2
U2
I2
I0 = 0
+U 1 + I 1 · R1 = 20 V + 1A · 20Ω = 40V
+U 3 − U 2 − I 2 · R2 = 20 V − 30V − 1A · 10Ω = −20V U ab = U T = ϕa
−ϕ
b
= 40 − (−20) = 60V
(1.2) (1.3) (1.4)
Sada napravimo Theveninovu nadomjesnu shemu za ovaj krug sa naponskim izvorom U T i unutarnjim otporom RT . Zatim racunamo struju i preko nje snagu. Otpor Rv mora biti jednak otporu RT kako bi snaga bila maksimalna. Rv = 30Ω T IT
Rv UT
60V = 1A RT + Rv 30Ω + 30Ω 2 P R = I T · Rv = 12 · 30 = 30W
I T =
U T
=
18
(1.5) (1.6)
1.10
Zadatak X.1-10
Prikazani spoj elemenata nadomjestiti prema a) Theveninovom b) Nortonovom teoremu sa tocaka a i c kao i izmedju tocaka b i c. I
R
R
a
b
U
R I c
Zadano je: U = 1 V R = 1Ω I = 1 A U ovome slucaju moramo nadomjestati spoj prema oba teorema. To radimo prema standardnom postupku, osim sto ne odspajamo nista, jer se trazi nadomjesni spoj. Pa cemo prvo napraviti Thevenina za oba slucaja, pa nortona za oba slucaja: a) 1. Thevenin izmedju tocaka a i c
R
R
a
b
R
c
Vidimo da je Theveninov otpor (otpor izmedju a i c) jednak samo jednom otporu R, jer su dva desna kratko spojena.
RT 1 = R = 1Ω
(1.1)
Sada moramo vratiti izvore i racunati napon izmedju a i c, a to radimo tako da krenemo od a do c i zbrajamo sve napone putem. Struju kroz lijevi R mozemo jednostavno izracunati ako zapisemo 19
jdbu cvora a: I
A
a
b
I1
U
A
I
I R1 = 1 A + 1A = 2 A U ac = U T 1 =
−U + I · R = 1V R1
(1.2) (1.3)
a) 2. Thevenin izmedju tocaka b i c
R
R
a
b
R
c
Sada vidimo da je Theveninov otpor jednak paraleli desnih R-ova. Lijevi kraj lijevog otpora nije nigdje spojen, tako da njega ne racunamo, pa imamo
RT 2 = R
|| R = 0.5Ω
(1.4)
Napon je malo teze naci nego u prvom slucaju, pa cemo zato uzemljiti jedan cvor, npr. c i onda pomocu metode potencijala cvorova cemo traziti potencijal cvora b. Potencijal cvora 1 znamo, jer izmedju zemlje i njega je spojen samo naponski izvor i on iznosi -1V.
20
I
1
a
b
U
I
ϕb (
1
+
1
) − ϕ1 ·
R R U bc = ϕb ϕc =
−
1
R 1V
−
= −I
−→
−→
ϕb =
−1V
U T 2 = U bc = 1 V
| |
(1.5) (1.6)
Sada nortonove nadomjesne parametre mozemo proracunati iz Theveninovih, da ne radimo sad cijeli postupak ponovno, ali ako netko ima izricitu zelju, samo neka radi. b) 1. Norton izmedju a i c:
I N 1 =
U T 1 = 1A RT 1
(1.7)
I N 2 =
U T 2 = 2A RT 2
(1.8)
b) 1. Norton izmedju a i c:
Rjesenja se ovdje malo razlikuju od njihovih, ali ja nisam uspio ni superpozicijom dobit drugacije (trenutno je 2:34am), pa mislim da je tocno.
21
1.11
Zadatak X.1-11
Odredite potencijale cvorova 1, 2, 3 i 4, a zatim izracunajte napone na svim otpornicima vanjske konture i provjerite rezultat preko KZN. 5
2
2
c
4
20V
10V
1
3
3
4
5
4
Ovdje odmah znamo potencijale dva cvora, jer su izmedju nultog potencijala i njih spojeni samo naponski izvori, a to su ϕ1 = +20V i ϕ3 = +10V . Potencijale ostalih cvorova cemo izracunati pomocu metode potencijala cvorova. 1 1 1 1 1 20 · 9 + ) − ϕ1 · − ϕ3 · = 0 −→ ϕ2 = = 9 .473V 5 4 2 5 2 19 1 1 1 1 1 6.5 · 60 ϕ4 ( + + ) − ϕ1 · − ϕ3 · = 0 −→ ϕ2 = = 8 .297V 5 3 4 5 4 47 ϕ2 ( +
(1.1) (1.2)
Napone na otpornicima vanjske konture nema smisla racunati, to je samo razlika potencijala izmedju dvije tocke izmedju kojih se nalazi taj otpornik. To ostavljam vama.
22
1.12
Zadatak X.1-12
Izracunajte struju kroz oznaceni otpornik R = 1Ω. Kolika je ta struja ako strujni izvor promjeni smjer struje. 3
1A
5
1
R
5
1V
2
2V
Za pocetak smo uzemljili jedan cvor kako bismo mogli koristit metodu napona cvorova. Na ovaj nacin automatski znamo potencijale dva cvora, jer je izmedju nultog potencijala i njih spojen samo naponski izvor. To su cvorovi 1 i 2: ϕ1 = +1 V i ϕ2 = +2 V . Sada pisemo metodu potencijala cvorova za cvor tri, pa cemo napon na oznacenom otporu izracunati kao razliku potencijala izmedju 2 i 3.
ϕ3 (
1
1 1 1 + ) − ϕ1 · − ϕ2 · = 1 −→ ϕ3 = 2 V 1 R 1 R U 23 = U R = ϕ2 − ϕ3 = 0 V U R 0 I R = = = 0A R 1
(1.1) (1.2) (1.3)
Ako strujni izvor promjeni smjer onda sve ostaje isto, osim sto u jdbi potencijala cvorova mjenjamo predznak s desne strane jdbe:
ϕ3 (
1
1 1 1 + ) − ϕ1 · − ϕ2 · = −1 −→ ϕ3 = 1 V R 1 R 1 U 23 = U R = ϕ2 − ϕ3 = 1 V U R 1 I R = = = 1A R 1
23
(1.4) (1.5) (1.6)
1.13
Zadatak X.1-13
Izacunajte potencijal tocke a prije i poslije zatvaranja sklopke. a
3
2 1
U1
U2
U3
Zadano je: U 1 = U 2 = U 3 = 10 V Ovdje cemo samo 2 puta upotrijebiti metodu potencijala cvorova, tj. Millmanovu metodu, jer imamo 2 cvora. Jednom za slucaj otvorene sklopke, drugi put za slucaj zatvorene sklopke. a) Otvorena sklopka U 1
U a0 =
6
U a0 = ϕa
+ U 3 + U 2 = 10 V 1 1 1 + + 6 3 2 2
3
− ϕ −→ 0
ϕa = 10 V
(1.1) (1.2)
b) Zatvorena sklopka U 1
U a0 =
+ U 3 + U 2 60 = = 5 V + 13 + 12 + 11 12 2
3
6 1 6
U a0 = ϕa
− ϕ −→ 0
24
ϕa = 5 V
(1.3) (1.4)
1.14
Zadatak X.1-14
Izracunajte otpor R uz koji ce snaga na njemu biti najveca moguca. Kolika je ta snaga? 6.8V
10V
.2
10V
16
10V
R
4
Prvo cemo racunati Theveninov otpor, sve izvore ugasimo i maknemo trazeni otpor.
16
.2
a
b
4
Vidimo da su ova tri otpora spojena paralelno, pa je ukupni otpor jednak: 1 Rab
=
1 RT
=
1 1 1 + + 3.2 4 16
−→
RT = 1 .6Ω
(1.1)
Sada vratimo izvore i racunamo napon izmedju a i b. Najlaksi nacin za to napraviti je izracunati potencijal tocke 1 preko Millmana, te onda odrediti napon U ab tako da krenemo od 0, zbrajamo sve napone i moramo doc do potencijala ϕ1
25
6.8V
10V
.2
1
10V
16
10V
4
−U + −U + −U 3.2 4 16 1
ϕ1 =
1 3.2
2
3
1 + 14 + 16
= −10V
(1.2)
Sada krecemo od 0 i zbrajamo sve napone:
U ab
− 6.8V = ϕ −→ |U | = U ab
1
T
= 3 .2V
(1.3)
Sada napravimo Theveninovu nadomjesnu shemu i izracunamo snagu. Nas promjenjivi otpor R mora bit jednak RT da bi snaga bila maksimalna: T IT
UT
3 .2 = 1A RT + R 3 .2 2 P R = I T · R = 1.6W
I T =
U T
=
26
(1.4) (1.5)
2.15
Zadatak XI.1-1
U mrezi na slici izracunajte potencijale cvorova, a zatim struju kroz granu sa Z 1 Z2
U2
+
2
U6
3
Z5
Z1 +
+
U4 Z6
+
U1 Z3 1
4
Zadano je: U 1 = 4V U 2 = j 8V U 4 = 4 − j 4V U 6 = − j 4V Z 1 = 1 + j Ω Z 2 = − j 2Ω Z 3 = 1Ω Z 5 = j Ω Z 6 = j 2Ω Ovdje idemo preko metode napona cvorova, koja vrijedi jednako kao i u istosmjernim krugovima, samo je racun u kompleksnom podrucju. Ovdje odmah znamo potencijal cvora 3, jer je izmedju zemlje i njega spojen samo naponski izvor. Njegov potencijal je upravo jednak tom naponu, odnosno ϕ3 = 4 − j 4V Sada pisemo potencijale ostala 2 cvora.
ϕ1 (
ϕ2 (
1 Z 1
1 Z 1
+
+
1 Z 2
1 Z 5
+
+
1 Z 6
1 Z 3
) − ϕ2 ·
) − ϕ1 ·
1
1 Z 1
− ϕ · Z 1 3
5
− ϕ · Z 1 3
Z 1
2
=
=
−U
1
(2.1)
Z 1
U 1 U 2 + Z 1 Z 2
− U Z
6
(2.2)
6
Sada je to samo puno matematike i kompleksnog racuna i dobiva se: 1. jdba: 3ϕ1 − ϕ2 −
ϕ3 (1 + j ) = j
·
27
−4
(2.3)
2. jdba: ϕ2
− ϕ − ϕ · (12 j + j ) = 2 − 2 j 3
(2.4)
1
Sada kada se to rjesi dobije se: ϕ1 =
−1 − 3 j V
ϕ2 = 1
(2.5)
− jV
Sada nas jos trazi struju kroz granu gdje se nalazi Z 1 . To cemo naci tako da cemo naci napon U 21 , pa cemo onda pozbrajati sve napone od 1 do 2, i izjednaciti s tim naponom.
U 21 = ϕ2
−ϕ
1
= 1 − j + 1 + 3 j = 2 + 2 jV
(2.6)
Struju uzimamo u proizvoljnom smjeru, jer nam nije nacrtana na slici, pa cemo uzeti odozgo prema dolje.
+U 1 + I 1 · Z 1 = U 21
−→
I 1 =
U 21 U 1 2 + 2 j 4 = = 2 jA Z 1 1 + j
28
−
−
(2.7)
2.16
Zadatak XI.1-2
U mrezi prikazanoj na slici, uz otvorenu sklopku voltmetar pokazuje U V = 10V . Odredite struju kroz ampermetar i pokazivanje voltmetra nakon zatvaranja sklopke. a
Z2
Z4
Z1
Z3
+
V
U
A
b
Zadano je: Z 1 = 2 + j 2Ω Z 2 = 2 − j 2Ω Z 3 = 2Ω Z 4 = 1 + j 2Ω Ovdje cemo koristiti Millmana, jer imamo samo dva cvora. Voltmetar ovdje mjeri upravo Millmanov napon, odnosno napon U ab . Prvo cemo morati izraziti nepoznanice iz slucaja kada je sklopka otvorena, pa cemo to iskoristiti kada zatvorimo sklopku. Raspisujemo Millmana za otvorenu sklopku: U Z 1
U ab =
1
Z 1
+ I + Z 1 + Z 1 2
(2.1)
3
U zadatku pise da kada je sklopka otvorena, voltmetar pokazuje 10V, odnosno U ab = 10V. Sada moramo izraziti ovaj brojnik. U 1 1 1 + I = ( + + ) U ab Z 1 Z 1 Z 2 Z 3
·
(2.2)
Sada pisemo jdbu za zatvorenu sklopku: ( Z 1 + Z 1 + Z 1 ) · U ab U ab = 1 = 7 .905V 1 1 1 + + + Z Z Z Z 1
2
3
1
2
3
I A =
4
U ab = 3 .53A Z 4
29
(2.3)
(2.4)
2.17
Zadatak XI.1-3
Izracunajte steruju kroz otpor R = 4Ω′ . Koristite postupke a) napone cvorova b) superpoziciju i c) Theveninov teorem. a
Z2
Z4
Z1
Z3
+
V
U
A
b
Rjesit cemo pomocu a) i c), jer b) nije gradivo ovog ciklusa. Prvo cemo metodom napona cvorova, gdje treba rijesiti 2 jdbe s 2 nepoznanice. 1 1 1 1 50 0◦ V ϕ1 ( + + ) − ϕ2 = R 5 j 2 R 5Ω 1 1 1 1 50 90◦ V ϕ2 ( + + ) − ϕ2 = R 2 − j 2 R 5Ω
(2.1) (2.2)
Sada se to malo uredi i dobije se:
· 10 j+20 j 9 − ϕ 14 = 10 · −2 + j 3 − ϕ 1 = j 25
ϕ1 ϕ2
2
1
j 4
4
(2.3) (2.4)
Sada to treba rijesiti, preporucam koristenje kalkulatora koji barata s kompleksim brojevima ili npr. korištenje wolframalphe (moze i Mathematica). Ja sam koristio Wolframalphu jer je trenutno 3:21am, pojma nemam gdje mi je kalkulator. Pa alpha kaze: 400 1250 1100 1450 V ϕ2 = V +i +i 53 53 53 53 −700 − j 200 V = 13.73V U 12 = ϕ1 − ϕ2 = 53 13.73 U 12 = = 3 .43A I R = R 4
ϕ1 =
30
(2.5) (2.6) (2.7)
Drugi nacin rjesavanja jest koristenje Theveninove metode. Prvo trazimo Theveninov otpor, a to radimo tako da ugasimo izvore i maknemo otpor na kojem trazimo napon. 1
2
Sada gledajuci iz tocaka 1 i 2, vidimo da su otpor i zavojnica s lijeve strane paralelno spojeni i to je serijski spojeno s paralelnim spojem otpora i kondenzatora s desne strane.
RT =
10 j −4 j = 49 + 21 j Ω = 1.83Ω + 5 + 2 j 2 − j 2 29
(2.8)
Sada treba naci Theveinov napon U 12 = U T . To radimo tako da vratimo izvore i gledamo razliku potencijala izmedju tocaka 1 i 2. U ovakvim krugovima rekli smo da kroz donju granu ne tece struja, jer struja tece samo u zatvorenim krugovima, a takav ne mozemo stvoriti kroz donju granu. Napisati cemo KZN za obje konture, prvo lijevu, pa desnu. 1
2
+
+
00 V
I1
0=0A
I2
+I 1 · j 2 + I 1 · 5 − 50 = 0
−→
+I 2 · − j 2 + I 2 · 2 − j 50 = 0
50 5 + j 2 j 50 I 2 = 2 − j 2
I 1 =
−→
(2.9) (2.10)
Kada smo izracunali struje, sada trebamo izracunati potencijale tocaka 1 i 2. To radimo tako da krenemo od 0 potencijala i zbrajamo sve napone do tocke 1, odnosno 2.
ϕ1 = I 1 j 2
·
31
(2.11)
U 12 = ϕ1
ϕ2 = I 2
· − j 2 − ϕ = −52529− j 225 = 19.696
(2.12)
2
(2.13)
Sada radimo nadomjesnu Theveninovu shemu za ovaj krug, te racunamo Theveninovu struju, koja je zapravo jednaka struji kroz R: T IT
UT
I T =
U T RT + R
=
19.696 = 3 .38A 1.83 + 4
(2.14)
To su ta 2 nacina rjesavanja. Rjesenja su razlicita zbog pogresaka zaokruzivanja hrpe modula kompleksnih brojeva.
32
2.18
Zadatak XI.1-4
Mrezu prema slici nadomjestite prema Nortonovom teoremu s tocaka ai b. Kolika struja bi tekla kroz otpornik R = 20Ω koji prikljucimo izmedju tih tocaka. X1
X2
+
+
a b
U
3
U2
4
c
Zadano je: X 1 = X 4 = 20 X 3 = 40 X 2 = 10 X C = 30Ω U 1 = 10 0◦ V U 2 = 10 90◦ V Prvo moramo naci Nortonov otpor za ovaj spoj. To cemo napraviti tako da ugasimo sve izvore i trazimo otpor izmedju a i b: X
2
a b
3
4
c
Sada treba prepoznati ovaj spoj, a to je u biti ovo: X1
X3
Xc
a
X2
X4
Sada vidimo da je to u biti Wheatstoneov most. Sva sreca pa je most u ravnotezi, jer inace se ne bi dobro proveli s racunanjem. To mozemo vidjeti tako da su umnosci dijagonalnih otpora jednaki j 20 · j 20 = j 40 · j 10, tako da mozemo zanemariti ovaj kondenzaor i racunati ukupni otpor kao da ga nema.
33
Z ab = Z N = ( X 1 + X 3)
|| (X + X ) = j 20Ω 2
4
(2.1)
Sada treba naci Theveninov napon, a to cemo preko superpozicije koja je izuzetno lagana ovdje. Treba samo primjetiti da kada odspojimo jedan izvor i kada ostavimo tocke a i b spojene, uvijek je ta strana gdje smo odspojili kratko spojena, kao i kondenzator. To se najlakse vidi na shemama. X
2
+
a b
3
U2
4
c
I 1 =
X
U 1 X 1 + X 3
=
10 − j A = j 60 6
(2.2)
j 10 1 = A j 30 3
(2.3)
2
2
+
2
a
U
b
3
4
c
I 2 =
U 2 X 2 + X 4
=
Sada vidimo da te struje teku u istom smjeru, pa se one zbrajaju:
I N = I 1 + I 2 =
2 − j = 0 .372 6
−26.57◦
Sada crtamo Nortonovu nadomjesnu shemu, gdje nam je R = 20Ω
34
(2.4)
IZN
IN
ZN
IR
R
Pa iz onog izvoda, tj. formule za racun struje kroz granu paralele mozemo izracunat I R
I R = I N
+ j A = 0 .2635A · Z Z + R = 3 12 N
N
35
(2.5)
2.19
Zadatak XI.1-5
Izracunajte iznose kapaciteta kondenzatora i induktiviteta zavojnice (zanemarivog omskog otpora) koje treba ukljuciti u spoj prema slici, pa da struja kroz impedanciju Z bude neovisna o njenom iznosu i jednaka 0.1A. Naponizvora je U=120V f=50Hz. Da li su dozvoljene vrijednosti impedancije nula odnosno beskonacno. L +
C
U
Z
Ovakvi zadaci se rjesavaju na ovaj nacin: Prvo racunamo Nortonovu struju, tako da iskopcamo Z i kratko spojimo, te nju izjednacimo s 0.1. Kada smo to napravili, onda moramo postici da Nortonov otpor bude beskonacan, a to ce se dogoditi u paralelnoj rezonanciji. Dakle, kada odspojimo Z, onda u ovako jednostavnom slucaju mora vrijediti da je X L = X C . Na taj nacin smo postigli da ce sva Nortonova struja teci upravo kroz Z. Odmah mozemo vidjeti da Z ne smije biti beskonacan, inace krug prelazi u serijsku rezonanciju, odnosno nadomjesni krug ima beskonacni otpor, pa nemoze teci struja kroz Z. Prvo sto radimo, je kratko spajamo Z i racunamo I N . Vidimo da je X C kratko spojen, tako da je ukupni otpor jednak samo X L . L +
U
C
IN
I N =
U X L
ω L = X L
·
−→ −→
120 = 1200Ω 0.1 1200 = 3 .821H L= 314
X L =
(2.1) (2.2)
Sada trazimo Nortonov otpor i on mora biti jednak beskonacno, a kao sto vidimo on se sastoji od paralelno spojene zavojnice i kondenzatora. Da bi bio beskonacan taj krug mora biti u paralelnoj rezonanciji, a to je ovdje uvijet X C = X L
36
L a
C b
1 ωC
= 1200
−→
C =
37
1 = 2 .65µF 1200 · 314
(2.3)
2.20
Zadatak XI.1-6
Izracunajte napon izmedju tocaka oznacenih s x i y. 5 30
2-j2
a
+
+
j5
0
5
b
1 2-j2
y
10
Ili sam ja slijep i nevidim laksi nacin ili ovaj zadatak nije normalan. Neuravnotezen Wheatstoneov most s kompleksnim impedancijama u 3. ciklusu?!? Pa ko je bio toliko kreativan. Morat cete mi oprostit sto ja ovo necu rjeavat, samo cu objasnit princip. Poanta zadatka je vrlo jednostavna, prvo nadjete Theveninov otpor. Njega racunate tako da odspojite ovaj otpor od 10Ω i zatim ovu gornju zvijezdu (2-j2), j5 i 1 pretvarate u trokut i na taj nacin uspijete izracunat Theveninov otpor. Zatim nekako treba izracunati Theveninov napon. Za to preporucam koristenje Millmana da biste dobili napon U ab i onda samo krenete od tocke b do tocke a zbrajajuci sve napone, pa pa iz toga izracunate struje, te pojedinacne napone na svim elementima. Zatim U x y racunate kao razliku potencijala tocaka x i y, te nakon toga radite Theveninovu nadomjesnu shemu, gdje napon izracunate tako da prvo izracunate struju i zatim izracunate napon na trazenom otporu kao umnozak te struje i otpora. Ovo sve ukljucuje jako puno kompleksnog racuna i nema teoretske sanse da nesto ovako dodje na ispit (ne vjerujem ni da su u zbirku stavili), eventualno moze doc da je most u ravnotezi, sto znatno olaksava rjesavanje, a takav primjer smo imali gore.
38
2.21
Zadatak XI.1-7
Na trosilo Z 3 spojena su paralelno dva izvora. Izracunajte struju trosila. 1
Z1
Z2
Z3 +
U1
+
U2
Zadano je: Z 1 = 1 + j Z 2 = 1 − j Z 3 = 1 + 2 j Ω U 1 = 10 + j 0V U 2 = 5 − j 8.66V Ovo je vrlo jednostavan zadatak. Prvo Millmanom izracunamo napon i zatim taj napon podi jelimo s trazenim otporom da dobijemo struju kroz njega:
U 10 = I Z 3 =
+ 5−1 j−8 j.66 = 10 .58 − j 2.17 1 + 1−1 j + 1+2 j
10+0 j 1+ j 1 1+ j
U 10 10.58 j 2.17 = = 2 .982 Z 3 1 + 2 j
−
39
− j 3.799 = 4.829A
(2.1) (2.2)
2.22
Zadatak XI.1-8
U spoju prema slici uz U 1 =U 2 struja I=1A. Kolika je struja I ako napon U 1 smanjimo na polovicu pocetne vrijednosti?
R
R
I
+
U1
+
R
U2
Prvo cemo uvesti neke oznake I 2 ce nam biti struja nakon smanjenja napona, i jos cemo napisati da je U 1 = U 2 = U i Prvo pisemo Millmana prije nego smanjimo napon
U a =
U 1 R
+ U R = 1 1 1 + + R R R 2
U 1 +U 2 R 3
R
Sada tu jdbu podijelimo s R i s lijeve strane dobijamo
1=
2 U i · 3 R
−→
=
U a R
2U i 3
(2.1)
= 1:
U i 3 = 2 R
(2.2)
Sada pisemo nakon sto spustimo napon na pola vrijednosti U 1 R
+ U R U b = 1 = 1 1 + + R R R 2
U 1 +U 2 R 3
R
=
1.5U i U i = 3 2
Sada i ovu jdbu podijelimo s R i s lijeve strane dobijemo
I 2 =
1 U i · 2 R
40
U b R
(2.3)
= I 2
(2.4)
Sada uvrstimo
U i R
iz gornje jdbe gdje smo to izrazili
I 2 =
1 3 3 · = = 0.75A 2 2 4
41
(2.5)
2.23
Zadatak XI.1-9
U spoju prema slici je R = X L = X C . I=1A. Kolika je Nortonova struja sa stezaljki a i b.
R
R a
I
b
R
L
C
Ovo je malo komplicirano za objasnit. Dakle, stvar je u tome da kada a i b stezaljke kratko spojimo kako bismo izracunali Nortonovu struju shema prelazi u ovo: Nema pada napona, jer kroz ove elemente ne tece struja zbog paralelne rezonancije.
1A
0A 1A
R
R
I R
XL
XC
Beskonacan otpor, paralelna rezonancija, ukupna struja u grani 0A, ali to ne znaci da kroz ove elemente tece toliko. Napon na ovim elementima jednak je naponu na ovom lijevom R-u, jer gore nema pada napona.
Sada uz ova objasnjenja na slici mozemo vidjeti da je U L = U C = U R , a kako kroz U R tece struja od 1A, a napon je na svima isti mozemo izracunati da je struja kroz kondenzator I C = j 1A i struja kroz I L = − j 1A, tj. da struja na kondenzatoru prethodi naponu za 90 stupnjeva, a struja na zavojnici zaostaje. Sada mozemo napisati jdbu cvora a.
42
R
R a
I
b
I
R
L
C
0 + j = I N
−→
43
I N = jA = 1 A
(2.1)
2.24
Zadatak XI.1-10
Koliki su Theveninov napon i impedancija izmedju tocaka a i b na slici?
10
10 +
a
10
b
10
10
U prvom slucaju treba izracunati Theveninovu impedanciju, za to moramo ugasiti izvor i prepoznati spoj:
10
10
a
10
10
b
10
10
a
b
10
10
Ovdje sada vidimo da imamo dvije paralele u seriji. Prva paralela je zavojnica i otpor, to u seriji s paralelom kondenzatora i otpora:
Z ab = Z T =
10 · j 10 10 · − j 10 10 − j 10 − 10 − j 10 − j 20 = 10Ω j + = j 100 · = 100 · 10 + j 10 10 − j 10 102 + 102 200 44
(2.1)
Sada treba vratiti izvore i izracunati Theveninov napon, medjutim prvo mozemo provjeriti da je most u ravnotezi, pa je napon jednak 0V.
10 · 10 = − j 10 · j 10
(2.2)
Vidimo da most je u ravnotezi, pa je Theveninov napon U T = 0 V Sada kada otpornik i kondenzator zamjene mjesta, impedancija se nije promijenila, sto vidimo iz sheme, pa cemo samo izracunati napon. Iako se ovo u 2. ciklusu radi preko topografskih dijagrama, ovdje cemo to izracunati cisto racunski. Krenut cemo od tocke b do tocke a i zbrajati sve napone.
I 2 10
· − I · 10 = U
ab
(2.3)
I 1 =
U 1 = 10 + j 10 1 + j
(2.4)
I 2 =
U 1 = 10 j 10 1 j
(2.5)
1
−
−
· − 1 −1 j · 10 = 10 · ( 1 +1 j + 1 −1 j ) = 10 · 1 −1 j ++ 11 + j = 10V
U ab = frac11 + j 10
2
45
2
(2.6)
2.25
Zadatak XI.1-11
Odredite elemente nadomjesnog Theveninovog izvora za mrezu na slici ako je R = 1Ω , I = 1 A, I = 1V a +
R
UT
I ZT
I
R b
Opet moramo ugasiti izvore i izracunati impedanciju, vidimo da samo u grani gdje je naponski izvor ostaje spojen otpor, jer strujne izvore odspajamo pa je: a
R
UT
ZT R b
Rab = RT = R = 1Ω
(2.1)
Theveninov napon cemo racunati preko Millmanove formule. Treba samo primjetiti da je vodljivost grane sa strujnim izvorom jednaka 0, tako da takve grane ne uzimamo kada zbrajamo vodljivosti.
U ab =
U R
+ I − I 1
=
R
1A = 1 V 1Ω
(2.2)
U slucaju da desni strujni izvor promjeni svoj smjer, samo nam se mjenja predznak u jdbi:
U ab =
U R
+ I + I 1
R
46
=
3A = 3 V 1Ω
(2.3)
2.26
Zadatak XI.1-12
Koliki napon mjeri voltmetar (efektivna vrijednost) u spoju prema slici ako je spojen na tocku a odnosno na tocku b. -j1 A -j1 A
c
j4 A
j3 A +
-j2 j4 A a
b
2
+
-j1 A
j4 A
+
2 d
e
V
Na sliku smo ucrtali sve struje koje znamo, od koje su 2 zadane, a jedna se vrlo lako izracuna iz jdbe bilo koja od dva. Sada mozemo jednostavno krenut od tocke d to tocke b i zbrajati sve napone, to ce biti napon koji mjeri voltmetar u prvom slucaju:
U bd = U V = j 1 2
− · − j 4 · 2 = − j 10V = 10V
(2.1)
Za drugi slucaj cemo ici malo drugacijim putem, jer neznamo napon strujnog izvora, pa cemo krenut iz tocke d do tocke e, pa iz tocke e kroz c do tocke a
U ad = U V = j 1 2 + j 3
− ·
· − j 2 = − j 2 + 6 =
47
√
√
((−2)2 + 62 ) = 40 = 2 10V
(2.2)
2.27
Zadatak XI.1-13
Odredite parametre Theveninovog nadomjesnog izvora sa stezaljki a i b:
30 A
j5
j5
Sada prvo treba izracunati Theveninovu impedanciju, to radimo tako da ogasimo izvore i racunamo impedanciju izmedju tocaka a i b.
5
5
j5
j5
Z T = Z ab = (15 + j 5)
|| (5 + j 5) = 52++10 j j = 4 + 3 j Ω
(2.1)
Sada cemo izracunati struju kroz I 1 da bismo pomocu nje dobili napon na ovih 5+j5 koji su spojeni izmedju a i b.
I 1 = I
· 205 ++ j j 510 = 5 30◦ · 0.316 18.39◦ = 1 .58 48.39◦ · √
U ab = U T = I 1 (5 + j 5) = 1.58 48.39◦ 5 2 45◦ = 11 .17 93.39◦
·
48
(2.2)
(2.3)
2.28
Zadatak XI.1-14
Zamijenite prikazane spjeve impedancija na slici a) i b) sa spojem impedancija u zvijezdu (Y spoj) a)
0 30
0 30
Jos jedan glup racunski zadatak. Ovdje treba prvo unutrasnju zvijezdu zamjeniti trokutom, zatim vidjeti da su impedancije spojene paralelno i onda opet vratiti u zvijezdu. Kada je zvijezda simetricna, onda prilikom prelaska u trokut mozemo samo pomnoziti iznose s 3, pa dobivamo da su nam sve impedancije u trokutu jednaki Z a = Z b = Z c = 12 −45◦ Ω
0 30
0 30
Sada treba izracunati paralelu ovih otpora:
Z p =
10 30◦ · 12 −45◦ = 6 .852 10 30◦ + 12 −45◦
−3.42◦
(2.1)
Jos nam ostaje dobiveni otpor podijeliti s 3, jer pretvaramo simetricni trokut jos jedanput u simetricnu zvijezdu, kako je i zadano u zadatku
Z y = 2 .284
49
−3.42◦
(2.2)
b) 10
5
2
j 5
j 5
Ovdje moramo ovaj nesimetrican trokut sastavljen od otpora j5, 5 i j5 pretvorit u zvijezdu, pa lijevi kraj ostaje spojen serijski sa ovih 10Ω, a desni kraj s 2Ω 10
2
Zgd
Zgl Zd
Oznake: Rg l - gore lijevo Rg d - gore desno Rd - dolje
Rgl =
j5 5 j 25 j5 = = = 2 + j 5 + j 5 + j 5 5 + j 10 1 + j 2
(2.3)
Rgd =
j5 5 j 25 j5 = = = 2 + j 5 + j 5 + j 5 5 + j 10 1 + j 2
(2.4)
Rd =
·
·
j 5 j 5 25 5 = = = 5 + j 5 + j 5 5 + j 10 1 + j 2
·
−
−
−1 + 2 j
(2.5)
Sada nam samo jos ostaje zbrojit ove otpore koji su serijski R1 = Rgl + 10 = 12 + j Ω R2 = Rgd + 2 = 4 + j Ω R3 = Rd = −1 + 2 j Ω
50
2.29
Zadatak XI.1-15
Odredite parametre nadomjesnog spoja sa stezaljki a i b po Theveninu, a zatim po Nortonu.
00V
1090 V +
j4
b
Pocet cu sanjat ovakve zadatke. Mislim da bi ovo vec trebalo rutinski ic. Kratko spojimo naponske izvore i racunamo Theveninovu, odnosno Nortonovu impedanciju.
Z T = Z N = (10 + j 20)
|| (10) + j 5 = 608 + j 208 + j 5 = 60 +8 j 60 = 10.6 45◦
(2.1)
Sada jos samo Theveninov napon, koji cemo dobiti tako da izracunamo struju u krugu i onda krenemo od tocke b do a, zbrajajuci sve napone po putu. Ovaj j5 desno gore mozemo zanemariti jer znamo da kroz njega ne tece struja
√
U uk = 10 0◦ + 10 90◦ = 10 2 45◦ V
(2.2)
Z uk = 20 + j 20 = 20 2 45◦ Ω
(2.3)
√
I uk =
U uk = 0 .5 0 ◦ A Z uk
U ab = U T =
−10 90◦ + 0.5 0◦ · 10 = 5 − 10 j = 11.18 −63.43◦V 11.18 −63.43◦ U I = = = 1 .054 45◦ A N
T
RT
10.6 45◦
51
(2.4) (2.5) (2.6)
2.30
Zadatak XI.1-16
Odredite odnos pokazivanja ampermetra uz otvorenu i zatvorenu sklopku. I ot /I zat =? A +
U
j j 3 j 3
Kada imate ovakav zadatak gdje su medjuinduktiviteti spojeni u istu tocku onda postoji nacin na koji se taj medjuinduktivitet izvuce ispred cvora gdje su oni spojeni. Jos se taj medjuinduktivitet treba dodati i na ove zavojnice. Postupak je takav da ako obje tockice gledaju prema cvoru ili od cvora, onda je vrijednost medjuinduktivitea koju izvzucete ispred cvora pozitivna, a trebate ju oduzet od impedancije zavojnica. U suprotnom je vrijednost koju izvucete negativna, a vrijednost dodajete na impedanciju zavojnica. Vidimo konkretno na ovom primjeru kako to izgleda: A +
U
j3-j1
j3-j1
j1
Sada gledamo odnose struja kada je sklopka otvorena i kada je zatvorena
I ot = I zat
U j 2+ j 2 U j 2 j 1+ j 2
||
52
=
8 3
j 2 = 4 j 3
(2.1)
2.31
Zadatak XI.1-17
Izracunajte snagu na otporniku R = 25Ω u spoju prema slici. I2 +
R
I1 ++
++
+
XM
U X1
+
X2 +
Zadano X 1 = X 2 = 25Ω X M = 20Ω U = 25 V Ovo je drugi tip zadataka s medjuinduktivitetom. Rješava se preko Kirchhoffovih jdbi. U ovom slucaju cemo kroz ove dvije konture ic u smjeru prema desno i zbrajati cemo sve napone u krugu. Stvar je u tome da ovdje zbog medjuinduktiviteta i struja kroz drugu granu inducira napon na zavojnici u prvoj grani. Gledamo tako da struja u drugoj grani stvara plus na suprotnoj strani od tockice, pa cemo i u prvoj grani plus napisati na suprotnoj strani od tockice, pa kada cemo prolaziti prema desno kroz prvu granu zbrajat cemo taj inducirani napon, jer idemo s minusa na plus. Njegova vrijednost biti ce struja druge grane pomnozena s vrijednosti struje kroz drugu granu. Sve vrijedi i za prvu granu. Crvenom bojom oznacavati cu sve sto se dogadja zbog struje I 2, a zelenom sve sto se dogadja zbog struje I 1 , a vezano je za medjuinduktivitet. 1. Kontura:
+U − I 1 · X 1 + I 2 · X M = 0
(2.1)
2. Kontura:
−I · R − I · X + I · X 2
2
2
1
M
+ I 1 · X 1 − I 2 · X M = 0
(2.2)
Sada cu probati opisati ovu drugu jdbu rijecima: Krenemo od gornjeg cvora i s plusa na minus napon pada za I 2 · R, zatim dolazimo do zavojnice gdje napon pada za I 2 · X 2 , ali na toj zavojnici se zbog medjuinduktiviteta inducirao jos jedan napon. Sada gledamo drugu granu gdje je struja I 1 stvorila plus kod tockice, taj plus prepisujemo i ovdje kod tockice (zeleni). Ako gledamo taj plus onda tu s minusa na plus napon raste za I 1 · X M . Tako isto i na drugoj zavojnici. Dolazimo i s minusa na plus napon raste za I 1 · X 1 , ali postoji jos napon medjuinduktiviteta. Ako pogledamo desnu granu, struja I 2 je plus stvorila na suprotnoj strani od tockice, pa ga tako prepisemo i kod ove zavojnice (crveni) i imamo da napon onda pada za I 2 · X M . Dosli smo u istu tocku i to izjednacimo s 0. Sada to rjesavate kao 2 jdbe s 2 nepoznanice 53
5 − j 5I 1 + j 4I 2 = 0
−I (5 − j 9) + j 9I = 0 2
1
(2.3) (2.4)
I 2 = 1 .69A
(2.5)
P R = I 22 R = 71 .4W
(2.6)
·
54
3.32
Zadatak XII.1-1
Trofazno simetricno trosilo spojeno u zvijezdu vetverovodno je prikljuceno na trofazni izvor linijskog napona 12V. Impedancija pojedine faze je Z = 100 0◦Ω. Izracunajte a) fazni napon b) faznu struju c) linijsku struju d) struju nul vodica e) ukupnu radnu snagu. Ok, ovdje za pocetak imamo simetricno trosilo u zvijezda spoju, sto bi znacilo da nam je struja nul vodica I 0 = 0A, bas zbog simetricnosti trosila. Neznamo kako je spojena izvorska strana, ali nam pise da je linijski napon 12V, onda iz poznate nam relacije izracunamo fazni napon i faznu struju. U spoju trosila u zvijezdu vrijedi isto tako da je linijska struja jednaka faznoj.
U f = I f = I l =
U √ = 6 .94V 3 l
U f 6.94 = = 69 .4mA Z 100
(3.1) (3.2)
Kako je trosilo simetricno, snage mozemo racunati kao
P u k = 3 U f I l cosϕ = 1 .44W
·
55
(3.3)
3.33
Zadatak XII.1-2
Nesimetricno trosilo u zvijezda spoju cetverovodno je prikljuceno na trofazni simetrican izvor. U pojedinim fazama otpori su 100, 200 i 300 Ω. Fazni napon je 220V. Izracunajte napon izmedju zvjezdista izvora (0) i zvjezdista trosila (0’) ako se prekine nul vodic. Ovdje se radi samo o koristenju Millmanove formule:
U 00 = ′
0◦ + 220 240◦ + 220 120◦ 200 300 1 1 1 + 200 + 300 100
220 100
(3.1)
Sad malo mrljavite s kompleksim brojevima i rjesite to ili ako imate digitron s kompleksnima onda je to gotovo u par sekundi. Dobiva se da je
U 00 = 70 ′
− j 17.32 −→ |U | = 72.12V 00′
56
(3.2)
3.34
Zadatak XII.1-3
U normalnom rezimu rada (kada nije prekinut nul vodic) svaka impedancija (otpor) iz prethodnog zadatka dobiva fazni napon od 220V. Izracunajte napone u fazama trosila nakon prekida nul vodica. Ocito je da po Kirchoffovim zakonima kada krenemo od zvjezdista trosila vrijedi da je:
U f
− U = U z
(3.1)
00′
Sada samo trebamo to raspisati za svaku od faza (R,S,T), ali najprije cemo fazne napone tih faza napisati u obliku pogodnom za zbrajanje (algebarskom): U R = 220 0◦ = 220· cos(0)+ j 220 · sin(0) = 220V , U S = 220 240◦ = −110 − 190 j , U S = 220 120◦ = −110 + 190 j Sada cemo samo to uvrstiti u gornju formulu U z = U f − U 00
′
U 1 = 220
− 70 + j 17.3 = 150 + j 17.3 −→ |U | = 151V U = −110 − j 190 − 70 + j 17.3 = −180 − j 172.7 −→ |U | = 249.5V U = −110 + j 190 − 70 + j 17.3 = −180 + j 207.3 −→ |U | = 274.5V 1
(3.2)
1
2
(3.3)
1
3
(3.4)
57
3.35
Zadatak XII.1-4
Tri impedancije spojene su u trokut imedju tocaka 1, 2 i 3, te prikljucene na trofazni izvor linijskog napona U l = 120V . Ako su impedancije Z 12 = Z 31 = 6 + j 8 i Z 23 = 10Ω odredite iznose struja kroz pojedine impedancije I 12,I 23 i I 31. Èini li ovaj spoj simetricno trofazno trosilo? Ovdje imamo spojene otpore u trokut, sto nam automatski kaze (naucili smo to, jel tako?) da su spojeni na linijski napon. Dakle, sve sto ovdje treba napraviti je podijeliti linijski napon s otporom pojedine grane trofaznog trosila. 120 |Z 12| 10 = 12A 120 120 I 23 = = |Z 23| 10 = 12A 120 120 I 31 = = |Z 31| 10 = 12A I 12 =
120
=
(3.1) (3.2) (3.3)
Trosilo nije simetricno, jer impedancije nisu iste, iako im apsolutne vrijednosti jesu. Sada samo trebamo to raspisati za svaku od faza (R,S,T), ali najprije cemo fazne napone tih faza napisati u obliku pogodnom za zbrajanje (algebarskom): U R = 220 0◦ = 220· cos(0)+ j 220 · sin(0) = 220V , U S = 220 240◦ = −110 − 190 j , U S = 220 120◦ = −110 + 190 j Sada cemo samo to uvrstiti u gornju formulu U z = U f − U 00
′
U 1 = 220
− 70 + j 17.3 = 150 + j 17.3 −→ |U | = 151V U = −110 − j 190 − 70 + j 17.3 = −180 − j 172.7 −→ |U | = 249.5V U = −110 + j 190 − 70 + j 17.3 = −180 + j 207.3 −→ |U | = 274.5V 1
(3.4)
1
2
(3.5)
1
3
(3.6)
58
3.36
Zadatak XII.1-5
Impedancije Z 12 = 20 60◦ Ω, Z 31 = 20 60◦ Ω, Z 23 = 10 0◦ Ω spojene u trokut prikljucene su na trofazni izvor. Uz zadan linijski napon U 12 = 190 0◦ V odredite linijske struj I 1, I 2 , I 3 (efektivne vrijednosti). Prvo cemo izracunati fazne napone, tako da cemo podijeliti napon s otporom, a zatim cemo izracunati i linijske struje zbrjanjem faznih struja. ’Izvod’ formula za linijske struje mozete naci u predavanjima. 190 0◦ = 9 .5 −60◦ = 4 .75 − j 8.227 ◦ 20 60 190 240◦ I 23 = U 23 /Z 23 = = 19 240◦ = −9.5 − j 16.45 10 0◦ 190 120◦ I 31 = U 31 /Z 31 = = 9 .5 60◦ = 4 .75 + j 8.227 ◦ 20 60 I 12 = U 12 /Z 12 =
(3.1) (3.2) (3.3)
Sada racunamo linijske struje:
I 1 = I 12
I 2 = I 23
− I = 4 .75 − j 8.227 − (4.75 + j 8.227) = − j 16.5 = 16.5A − I = −9.5 − j 16.45 − (4.75 − j 8.227) = − j 16.5 = −14.25 − j 8.227 = 16.45A I = I − I = 4 .75 + j 8.227 − (−9.5 − j 16.45) = 14.25 + 24.667 = 28.5A 31
12
3
31
23
(3.4) (3.5) (3.6)
Kao sto se primijetili, ovo i nije bas po rjesenjima, ali neznam ja kako su oni ovo dobili, jer ne vidim gresku u svome postpuku.
59
3.37
Zadatak XII.1-6
Tri impedanicje spojene u zvijezdu cetverovodno su prikljucene na trofaznu mrezu. Odredite impedanciju Z3 ako je Z 1 = j 150Ω i Z 2 = − j 150Ω, a ampermetar u nulvodicu pokazuje nulu. Zadatak rijesite pomocu vektorskog dijagrama. Ja cu to rijesiti bez dijagrama, jer je dijagram nacrtan u zbirci i objasnjeno je kako se dolazi do rjesenja na taj nacin. Ako ne volite crtat dijagrame, onda je ovo rjesenje za vas.
I A = I 1 + I 2 + I 3 = 0A
(3.1)
U 0◦ U 240◦ U 120◦ + + = 0A Z 1 Z 2 Z 3
(3.2)
Sada mozemo jdbu podijeliti s U. 1 0◦ Z 1
+
1 240◦ Z 2
+
1 120◦ Z 3
√ 3
= 0A
−0.5 − 2 = − −0.5 + 1 + j 150 Z 3 − j 150
(3.3)
√ 3 2
(3.4)
E sada ovo rijesite pomocu nekog lijepog kalkulatora koji radi s kompleksnim brojevima (ili pomocu wolframa-a) i dobijete da je
Z 3 = 86 .6Ω
60
(3.5)
3.38
Zadatak XII.1-7
Impedancije Z 1 = 20 30◦ ,Z 2 = 40 0◦ i Z 1 = 60 −90◦ cetverovodno su prikljucene na trofaznu mrezu faznog napona 230V. Odredite struju nul vodica: Ovdje samo trebamo naci struje u pojedinim granama, te ih nakon toga zbrojiti da bismo dobili struju nul vodica I 0 .
I 1 =
I 2 =
I 3 =
230 0◦ Z 1
230 240◦ Z 2
230 120◦ Z 3
I 0 = I 1 + I 2 + I 3 = 9.96
230 0◦ = = 11 .5 20 30◦
−30◦ = 9 .96 − j 5.75A
(3.1)
230 240◦ = = 5 .75 240◦ = −2.875 − j 4.98A 40 0◦
(3.2)
230 120◦ = = 3 .83 210◦ = −3.32 − j 1.92A 60 −90◦
(3.3)
− j 5.75 − 2.875 − j 4.98 − 3.32 − j 1.92 = 3.765 − j 12.65 | I | = 13.2A 0
61
(3.4)
(3.5)
3.39
Zadatak XII.1-8
Trofazno simetricno trosilo u zvijezda spoju prikljuceno je na trofazni simetrican izvor linijskog napona U l = 380V . Odredite pokazivanje vatmetra koji ima + i - pokazivanje ako mu je prema slici naponska stezaljka spojena: a) na tocku 1; b) na tocku 2. Izracunajte jalovu i prividnu snagu trosila. Dakle, prvo pocinjemo s time sto mjeri vatmetar. Mjeri umnozak napona na naponskim stezaljkama, struje na strujnim i kosinusa kuta izmedju to dvoje, pa idemo naci sta je to ovdje. a) Prvo cemo izracunati napon U RS U RT = ϕR
−ϕ
T
= U 0◦ − U 120◦ = 220 + 110 − j 190 = 380
(3.1)
−30◦
Sada struju kroz strujne stezaljke:
I f =
U 240◦ = 43 .87 210◦ ◦ Z 30
(3.2)
Sada vidimo da je razlika u kutevima 120◦ pa racunamo snagu P 1 = U RS I f cos(120◦ ) =
· ·
−8.33kW
(3.3)
b) Sada racunamo napon U ST U ST = ϕS
−ϕ
T
= U 240◦ − U 120◦ = −110 + 100 − j 190 − j 190 = 380
−90◦
(3.4)
Struja se nije mijenjala i opet vidimo da je razlika u kutevima 60 ◦ pa racunamo snagu. P 2 = U ST I f cos(60◦ ) = 8.33kW
· ·
Ukupna radna snaga je 3 puta veca, jer je trosilo simetricno 62
(3.5)
P uk = 3 P = 25 kW
·
tg (30◦ ) =
Q P
−→
63
Q = 14 .43kV Ar
(3.6)
(3.7)
3.40
Zadatak XII.1-9
Trofazno simetricno trosilo, radne snage P i faktora snage cosϕ (ind) prikljuceno je na trofaznbi izvor frekvencije f. Odredite kapacitet kondenzatora C u spoju prema slici, tako das e faktor snage izvora poveca na cosϕ′ (ind). Dakle, prvo pocinjemo s time sto mjeri vatmetar. Mjeri umnozak napona na naponskim stezaljkama, struje na strujnim i kosinusa kuta izmedju to dvoje, pa idemo naci sta je to ovdje. Zadano: U l = 380V , f = 50 Hz , P = 3 .5kW , cosϕ = 0 .6, cosϕ′ = 0 .8 U predavanjima imate objasnjeno kako se kompenzira jalova snaga u trofaznom krugu, ali u biti je vrlo slicno kompenzaciji snage u jednofaznim krugovima. Dakle, prvo cemo izracunati jalovu snagu spoja kada je cosϕ = 0.6, zatim kada je cosϕ = 0.8, zatim cemo izracunati razliku te dvije snage. Zatim znamo da se ta razlika mora razvijati na kondenzatoru, a kako je na njemu fazni napon, mozemo jednostavno naci njegovu impedanciju, a samim time i kapacitet.
cosϕ = 0 .6
−→
ϕ = 53 .13◦
(3.1)
cosϕ′ = 0 .8
−→
ϕ′ = 36 .86◦
(3.2)
Sada racunamo jalovu snagu u prvom i drugom slucaj, ali prvo cemo podijelit snagu s 3, da bismo dobili snagu samo na jednom ’otporu’ unutar troisla:
tgϕ =
Q1 3
tgϕ′ =
Q2 P 3
Q = Q1
U f 2 Quk = X c
Q1 = 1555V Ar
(3.3)
−→
Q2 = 875V ar
(3.4)
−Q
= 680V ar
(3.5)
−→
P
−→
2
U f 2 X c = = 70 .78Ω Quk
64
(3.6)
X c =
1 ωC
−→
65
C = 44 .9µF
(3.7)
3.41
Zadatak XII.1-10
Kondenzator kapaciteta C prikljucuje se prvo izmedju stezaljki R i S, a zatim izmedju stezaljki R i 0 trofaznog simetricnog generatora (f=50Hz). Ako je u drugom slucaju iznos struje kroz kondenzator manja za ∆I nego u prvom izracunajte linijski napon mreže. Zadano: C = 150µF , ∆I = 7 .59A Znaci stvar je u tome da je izmedju R√ i S spojen na linijski napon, a izmedju R i 0 na fazni napon. Mi znamo relaciju da je: U l = U f · 3 Pa cemo napisati 2 jednadzbe
I 1 =
U l X C
(3.1)
I 2 =
U f X C
(3.2)
I 1 = I 2 + ∆I
(3.3)
Sada u formulu (3) uvrstimo (1) i (2) i dobijemo da je: U U l = f + ∆I X C X C
(3.4)
Ako sada fazni napon zapisemo preko linijskog U l
√ U l = 3 + ∆I X C X C
(3.5)
To je sad jdba s jednom nepoznanicom, samo trebamo izracunati X C
X C =
1 ωC
= 21 .23Ω
66
(3.6)
Sada to uvrstimo gore i rijesimo, dobijemo
U l = 381V
67
(3.7)
3.42
Zadatak XII.1-11
Na trofazni simetrican generator (R,S,T) linijskog napona U l spojeno je trosilo sastavljeno od tri otpornika u zvijezda spoju bez nul vodica. Otpornici u fazama R i S su jednakog iznosa R, dok otpornik u fazi T ima otpor R/4. Ako je ukupna snaga trosila P izracunajte otpor R. Zadano: U l = 380V ; P = 2000W Prvo trebamo izracunati napon U 00 : ′
0◦ + 220 240◦ + 4·220 120◦ R R R = −55 + j 95.26V 1 1 1 + + R R R
220
U 00 = ′
(3.1)
Sada treba izracunati napone na otporima:
U 1 = U f
− U = 275 + 95.25 j = 291V U = U − U = −55 − 285.26 = 290.5V U = U − U = −55 − 94.74 j = 109.5V 00′
(3.2)
2
f
00′
(3.3)
3
f
00′
(3.4)
Sada samo racunamo ukupnu snagu, pa iz nje izracunamo R: U 12 U 22 U 32 P uk = + + R R R 4
68
−→
R = 108.6Ω
(3.5)
3.43
Zadatak XII.1-12
Na trofazni izvor (A,B,C) prikljuceno je trosilo u zvijezda spoju s nul-vodicem. U fazama B i C nalaze se jednaki radni otpornici (R) dok je u fazi A cisti kapacitivni otpor. Poznat je iznos linijskih struja I A , I B , I C . Uz prekinu nul-vodic poznata je radna snaga trosila P. Odredite otpor R. Zadano je: I A = 1 A, I B = I C = 2 A, P = 690W
I a =
U f =1 xc
I b = I c =
(3.1)
U f =2 R
(3.2)
što daje
xc = 2 R
(3.3)
·
kad se prekine nul-vod imamo:
U 0 0 = ′
U f xc
−
+
U f
|−120o
− xc U 0 0 = ′
−
+
+ + R1 + R1
R
1
U f 2R
U f
U f
|−120o
U
+ f R 1 1 1 − 2R + R + R
U f
|−240o R
(3.4)
|−240o R
− 2 + U f | − 120 + U f | − 240 U 0 0 = 1 − 2 + 1 + 1 o
(3.5)
o
(3.6)
′
− 2 + 1 | − 120 + 1 | − 240 1 − 2 + 1 + 1 o
1
U 0 0 = U f ′
·
U 0 0 = U f ′
· (−0, 412 + 0, 353) 69
o
(3.7)
(3.8)
naponi na otpornicima su:
U Rb = U f
o
| − 120 − U
0′ 0
= U f
U Rb = U f
U Rc = U f
o
| − 240 − U
0′ 0
·
· (| − 120
+ 0, 412 − 0, 353)
1, 222 | − 94, 13o
= U f
U Rc = U f
o
·
· (| − 240
o
+ 0, 412 − 0, 353)
0, 52 |99, 73o
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
i na kraju, ukupna je snaga: 2 2 U Rb U Rc P = + R R
P =
(U f
·
1, 222)2
+
R
U f 2 690 = R
·
(U f
(3.13)
·
0, 52)2 R
1, 754
(3.14)
(3.15)
690 = U f · 2 · 1, 754
(3.16)
U f = 196, 7 V
(3.17)
U f 2 1, 754 R= = 98 , 35 Ω P
(3.18)
·
70
3.44
Zadatak XII.1-13
Tri impedancije spojene u zvijedzu, prikljucene su na trofaznu cetverovodnu mrezu. Impedancija u fazi R je cisto kapacitivna, dok su impedancije u fazama S i T cisto omske. Ako ampermetri u linijskim vodicima pokazuju I R = I S = I T = 5A, odredite njihova pokazivanja kada dodje do prekida nulvodica. Prvo sto mozemo zakljuciti jest da je R = X C , jer su sve struje jednake. Sljedece mozemo izraziti te struje, s time da znamo kuteve, jer tamo gdje je otpor struja mora biti u fazi s naponom, a gdje je kondenzator, mora prethoditi za 90◦ . U f 0◦ I R = = 5 90◦ A jX C
(3.1)
U f 240◦ = 5 240◦ A I S = R
(3.2)
U f 0◦ I R = = 5 120◦ A R
(3.3)
0◦ + U S 240◦ + U T 120◦ R R − U 00 = 1 1 1 R + R + − jR
(3.4)
−
Sad racunamo napon U 00 : ′
U R jR
′
Sada zamijenimo U R , U S i U T , prema jdbama 1,2 i 3 i rijesimo tu jdbu. Malo je dugacka pa cu ja samo napisati rjesenje:
U 00 = ( 1 + 3 j ) R ′
−
·
(3.5)
Racunamo struje prema formuli:
I f =
U f
− U
00′
R
71
(3.6)
I 1 =
I 2 =
− jR · j 5 − (−1 + 3 j ) = 3 + 6 jA = 6 .7A − jR
R 5 240◦
I 3 =
·
− (−1 + 3 j ) = −1.5 − j 7.33A = 7.5A
R
R 5 120◦
·
− (−1 + 3 j ) = −1.5 + 1.33 j = 2A
R
72
(3.7)
(3.8)
(3.9)
3.45 3.45
Zada Zadata tak k XII.1 XII.1-1 -14 4
Tri grijaca snage P, 2P i 3P (cosϕ = 1) u zvijezda spoju prikljucena su cetverovodno na trofazni simetrican izvor linijskog napona U l = 380V . Odredit Odreditee struju kroz kroz nul vodic ako ako je snage snage P = 380W . Trebamo izracunati struje kroz svaku fazu, ako znamo da na svakom otporu vlada fazni napon i da je struja kroz tu granu u fazi s tim naponom
· · −→ I = √ 3 0◦A √ · I · cosϕ −→ I = 2 · 3 240◦A √ · I · cosϕ −→ I = 3 · 3 120◦A
P 1 = U R I R cosϕ P 2 = U S S P 3 = U T T
R
(3.1)
S S
S S
(3.2)
T T
T T
(3.3)
I 0 = I R + I S S + I T T =
−2.6 + 1.5 jA = 3 A
73
(3.4)
3.46 3.46
Zada Zadata tak k XII.1 XII.1-1 -15 5
Trofazno trosilo u spoju zvijezde s nul vodicem sastavljeno je od otpornika (u fazi R), kondenzatora (u fazi S) i zavojnice (u fazi T), prikljuceno je na trofazni izvor. Snaga trosila je P = 20 W . Odredite radnu snagu trosila ako se prekine nul vodic uz R = X C C = X L U f 2 P 1 = = 20 W R
(3.1)
Sada racunamo U 00 00 : ′
U 00 00 =
0◦ + U f 240◦ + U f 120◦ √ 3) jR − jR = (1 U V · − f f 1 1 1 + + R − jR jR
U f R
′
(3.2)
I sada cemo izracunati snagu preko napona na otporniku, koji je jednak razlici faznog napona i U 00 00 . ′
P 2 =
2 (U f f − U 00 00 ) ′
R
=
√
(U f f − U f f · (1 − 3))2 R
74
=
3U f 2 R
= 3 · 20W = 60 W
(3.3)
3.47
Zadatak XII.1-16
Odredite Theveninov napon u trofaznoj mrezi s tocaka T i 0’ odnosno S i 0’. Fazni napon izvora je 220V, a pocetni fazni kut napona U R je nula. U kojem je slucaju Theveninov napon veci? Da li se i Theveninova impedancija mijenja u ova dva slucaja. Odmah zakljucujemo da se Theveninova impedancija ne mijenja (ako netko to ne kuzi, ponovno proucit prva 2 tjedna :D) i jednaka je:
Z T = j 100
−
|| 100 = 50 − j 50
(3.1)
Theveninov napon cemo naci tako da prvo nadjemo razliku potencijala izmedju R i S (u drugom slucaju R i T), te zatim izracunamo potencijal tocke (0’): a)
U RS = ϕR
−ϕ
S
= 220 − (−110 − j 190) = 330 + j 190
I 1 =
ϕ0 = 220 ′
U T = ϕT
−ϕ
0′
U R S = 0 .7 + 2.6 j 100 j 100
−
− (0.7 + 2.6 j ) · (− j 100) = −40 + 70 j
= −110 + j 190 + 40 − 70 j = −70 + j 120 = 138.92V
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
b)
U RT = ϕR
−ϕ
S
I 2 =
= 220 − (−110 + j 190) = 330 − j 190 U R T = 2 .6 + 0.7 j 100 j 100
−
75
(3.6)
(3.7)
ϕ0 = 220 ′
U T = ϕS
−ϕ
0′
− (2.6 + 0.7 j ) · (− j 100) = 150 + 260 j
= −110 − j 190 − 150 − 260 j = −260 − 450 j = 519V
76
(3.8)
(3.9)
