1. OBJETIVOS
Describir el comportamiento de un resorte de d e acero.
Medir la constante de elasticidad de un resorte usando los métodos estático y dinámico.
Medir el módulo de rigidez del acero.
2. FUNDAMENTO TEORICO La elasticidad es la propiedad por la cual los cuerpos deformados recuperan su forma y dimensiones iniciales cuando cesa la acción de la fuerza deformadora. La ley de Hooke establece que dentro de los límites elásticos la fuerza deformadora F y la magnitud de la deformación x son directamente proporcionales: F = k x (1)
Donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante elástica del resorte. La deformación llamada también elongación es el desplazamiento x respecto a la posición de equilibrio (posición sin deformar). De la ecuación (1), encontramos k = F/x (2) Mediante esta expresión podemos calcular la constante elástica del resorte en forma estática. La reacción a la fuerza deformadora es la fuerza interna denominada fuerza restauradora, cuyo valor es F' = -kx. Un cuerpo de masa m que se encuentra bajo la acción de esta fuerza restauradora realizará un movimiento armónico simple cuyo periodo es:
Usando esta relación podemos calcular la constante k por un método dinámico Cuando un resorte se estira por efecto de una fuerza de tracción, aumenta la separación entre sus espiras sucesivas, de modo que el esfuerzo que soporta es en realidad un esfuerzo cortante o de Cizalladora, como se ilustra en la figura 2 La teoría respectiva permite relacionar al módulo elástico de rigidez G del material con la constante Elástica del resorte k del siguiente modo
Donde N es el número de espiras del resorte, R el radio de las espiras, r el radio del alambre.
3. RESUMEN 4. MATERIALES Y EQUIPO
MATERIALES
INSTRUMENTOS
PRECISION
Soporte de hierro
Cronometro digital
±0.01s
Pesas
Vernier
±0.02 mm
Porta pesas
Regla métrica
±0.01 mm
lápiz y borrador
Resorte
±0.01 mm
5. PROCEDIMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES Obtener por medición directa las siguientes cantidades: a) Número de espiras del resorte: N = 181 b) Con el vernier, el diámetro de las espiras: D =14.7 mm c) Con el micrómetro, el diámetro del alambre: d = 1.97 mm
Radio R =7.35 mm radio r =0.985 mm
Método estático 1. Instalar el equipo como se muestra en la figura 3(a.) y medir:
Longitud inicial del resorte L0 = 0.182 m 2. Colocar la primera pesa al porta pesas y medir la deformación X = ΔA = L – L0 que experimenta el resorte. El valor de la fuerza deformadora está dada por F = mg donde la masa total (pesa más porta pesas) m será medida con la balanza. 3. Añadir sucesivamente masas al porta pesas; anotando en cada vez la masa total m y el valor de la elongación en la Tabla 1.
Tabla 1: Deformación por tracción del resorte
N
m (kg)
F (N)
L (m)
X (m)
K (N/m)
1
0.05
0.49
0.183
0.001
490.5
2
0.1
0.98
0.184
0.002
490.5
3
0.15
1.47
0.194
0.012
122.5
4
0.2
1.96
0.216
0.034
57.64
5
0.25
2.45
0.239
0.057
42.98
6
0.3
2.94
0.260
0.078
37.69
7
0.35
3.43
0.282
0.1
34.3
8
0.4
3.92
0.301
0.119
32.94
Método dinámico 1. Introducir al porta pesas una o más pesas y hacerla oscilar (Figura 4) desplazándola ligeramente hacia abajo. Ensaye la medición del tiempo de 10 oscilaciones completas, asegurándose de que no exista dificultades en el conteo de las oscilaciones a causa de su rapidez. Si este fuera el caso, añadir nuevas pesas al porta pesas y ensaye nuevamente hasta encontrar las condiciones propicias para la medida del tiempo. En seguida mida 5 veces el tiempo de 10 oscilaciones y obtenga el periodo medio. Anote sus resultados en la Tabla 2.
2. Aumentar la masa oscilante colocando en el porta pesas una nueva pesa apropiada y luego como en el paso anterior determine el periodo respectivo completando datos para la Tabla 2.
N
m
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
t4 (s)
t5 (s)
T (s)
(kg)
√m
K
(kg^0.5)
1
0.15
5.15
5.08
5.28
5.00
5.16
0.513
0.3873
22.4668
2
0.20
7.01
7.00
6.51
6.42
6.39
0.667
0.4472
17.7689
3
0.25
6.70
6.92
6.76
6.58
6.90
0.677
0.5000
21.5213
4
0.30
7.34
7.20
7.92
7.72
7.35
0.751
0.5477
21.0216
5
0.35
8.26
8.12
8.33
8.55
8.50
0.835
0.5916
19.8084
6
0.40
8.94
8.58
8.73
8.76
8.74
0.875
0.6325
20.6256
7
0.45
9.22
9.34
9.03
9.25
9.16
0.920
0.6708
20.9893
8
0.50
9.88
9.85
9.95
9.72
9.80
0.984
0.7071
20.3864
6. PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS Análisis Gráfica del Método Estático 6.1.
En papel milimetrado, con los datos de la Tabla 1, graficar F vs X y según la tendencia de los puntos dibuje la curva que represente la relación entre fuerza y deformación.
F (N) vs. X (m) 4.5 4 y = 25.974x + 0.8966
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
6.2.
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
De la gráfica obtenida, los valores de la pendiente, el intercepto, la ecuación de la recta y la constante elástica del resorte son: A = 0.8966
Ecuación de la recta: y = 25.974x + 0.8966
B = 25.974
Constante elástica del resorte: 25.974 N/m
6.3.
¿Qué interpretación física le atribuye a la pendiente de la recta obtenida?
La pendiente de la gráfica T vs. m representa la constante de rigidez “k” .
6.4.
Con la ecuación (4) y el valor de la constante k obtenida por este método encuentre el valor del módulo de rigidez del material del alambre
Análisis Gráfico Método Dinámico 6.5. 6.6.
Completar la última columna de la Tabla 2 En papel milimetrado, con los datos de la Tabla 2 graficar: (a) T vs m (b) T vs √m
T (s) vs. m (kg) 1.200 1.000 y = 1.2474x + 0.3723 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
T (s) vs. √m (kg^0.5) 1.100 1.000 y = 1.3823x + 0.0029
0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.3000
6.7.
0.4000
0.5000
0.6000
B = 1.3823
Ecuación de la recta : y = 1.3823x + 0.0029
Determine la ecuación empírica T = f(m)
√ A: intercepto B: pendiente de la recta Reemplazando datos
√ 6.9.
0.8000
De! gráfico (b) calcule el valor del intercepto y de la pendiente
A = 0.0029
6.8.
0.7000
Calcule la constante elástica del resorte.
Sabemos que:
Entonces despejamos convenientemente K:
√ √
Y podemos reemplazar B, ya que
√
Entonces quedaría así:
√
Y K seria:
Reemplazando valores
6.10. Con la ecuación (4) y el valor de la constante k obtenida por este método encuentre el valor del módulo de rigidez del material del alambre Módulo de rigidez G
Análisis Estadístico del Método Estático 6.11. Usando una calculadora científica o cualquier procesador estadístico, calcular la pendiente y el intercepto con los datos que relacionan F y X en la Tabla 1.
− −
− −
Usamos mínimos cuadrados para hallar la ecuación de la recta para ello nos ayudamos de la siguiente tabla.
N
Y (N)
X (m)
X.Y
X^2
1
0.49
0.001
0.00049
0.000001
2
0.98
0.002
0.00196
0.000004
3
1.47
0.012
0.01764
0.000144
4
1.96
0.034
0.06664
0.001156
5
2.45
0.057
0.13965
0.003249
6
2.94
0.078
0.22932
0.006084
7
3.43
0.1
0.343
0.01
8
3.92
0.119
0.46648
0.014161
Suma
17.64
0.403
1.26518
0.034799
− −
− −
Ahora calculamos los errores estadísticos con el uso de las siguientes formulas
− − | | ||
(La desviación estándar) (Los errores absolutos B)
(Los errores absolutos A) (Los errores porcentuales de A) (Los errores porcentuales de B)
Ahora nos ayudamos con la siguiente tabla.
Y (m)
A + BX
δ.Y
(δ.Y)^2
0.49
0.92254
-0.43254
0.1870937
0.98
0.94852
0.03148
0.0009912
1.47
1.20826
0.26174
0.0685104
1.96
1.77968
0.18032
0.0325157
2.45
2.37708
0.07292
0.0053178
2.94
2.92253
0.01747
0.0003053
3.43
3.49395
-0.06395
0.0040896
3.92
3.98745
-0.06745
0.0045498
0.00000
0.3033736
Sumas Y calculamos
∑ − (∑) D=
0.115983
− = 0.2248605
= 1.86750193
= 0.1231684
|| % = .
%
Ahora la pendiente y el intercepto
A = 0.897 ± 0.1232 Ecuación de la recta: Y = 25.973807x +0.897
B = 25.973807 ± 1.8675
6.12. Calcule la constante elástica del resorte con su incertidumbre La constante de elasticidad del resorte es la pendiente B por lo que sería, con su determinada incertidumbre:
K = (25.9738 ± 1.87) N/m 6.13. Con la Ecuación (4) y el valor de la constante k obtenida por este método encuentre el valor del módulo de rigidez del material del alambre e incertidumbre. Tenemos a: R = 0.00735 ± 0.00002 r = 0.000985 ± 0.00002 K =25.9738 ± 1.87 Módulo de rigidez G
Análisis Estadístico del Método Dinámico 6.14. Usando una calculadora científica o el procesador estadístico Microcal, calcular la pendiente y el intercepto con los datos que relacionan T y Vm en la Tabla 2
−−
− −
Usamos mínimos cuadrados para hallar la ecuación de la recta para ello nos ayudamos de la siguiente tabla.
N
√m = X
T (s) = Y X^2
XY
1
0.3873
0.5130
0.1500
0.1987
2
0.4472
0.6670
0.2000
0.2983
3
0.5000
0.6770
0.2500
0.3385
4
0.5477
0.7510
0.3000
0.4113
5
0.5916
0.8350
0.3500
0.4940
6
0.6325
0.8750
0.4001
0.5534
7
0.6708
0.9200
0.4500
0.6171
8
0.7071
0.9840
0.5000
0.6958
Suma
4.4842
6.2220
2.6000
3.6071
− −
− −
Ahora Calculamos Los Errores Estadísticos Con El Uso De Las Formulas Ya Mencionadas
∑ − ∑ D = 0.6917446
− = 0.023967
|| Ahora la pendiente y el intercepto
A = 0.0027 ± 0.046
B = 1.3825 ± 0.082
Ecuación de la recta: Y = 1.3825x + 0.0027 6.15. Calcule la constante elástica del resorte con su incertidumbre Aplicamos la formula anterior:
Reemplazando valores
6.16. Con la ecuación (4) y el valor de la constante k obtenida por este método encuentre el valor del módulo de rigidez del material del alambre e incertidumbre Módulo de rigidez G
7. RESULTADOS 7.1. Completar la tabla Análisis Grafico
Estadístico
Método
Ecuación empírica
K (N/m)
G (GPa)
Estático
F = 25.974x + 0.8966
25.974
7.93
T=1.3823
20.661
6.309
F = 25.973807x +0.897
25.9738
7.932
T= 1.3825
20.655
6.307
Dinámico Estático Dinámico
√ √
+0.0029
+ 0.0027
7.2.
Calcular el error porcentual de G obtenido por ambos métodos estadísticos comparándolos con el valor del módulo de rigidez del acero dado por la Bibliografía (84 GPa).
Método estático a)
b)
||
− || −
Método dinámico c)
d)
||
− || −
7.3.
Escriba 3 características acerca de las propiedades elásticas del resorte usado
Era bastante elástico
el material del que estaba hecho era acero
al inicio no sufrió casi ninguna deformación al aumentar masa al porta pesas.
8. CONCLUSIONES 8.1. ¿Cuál de los dos métodos es más confiable para calcular k y G? ¿Por qué? El método estático es el más confiable por que se realiza una medida con la regla de manera adecuada, en la toma de datos y al momento de realizar la grafica, en cambio
el método dinámico genera error en el momento de contar con las oscilaciones por ser rápido.
8.2.
¿Qué cambios significativos se harían en el método estático si se considera en el análisis la masa del resorte?
Los cambios significativos que se harían en el método estático si se considera la masa, no genera ningún cambio ya que la gráfica es una recta cuya pendiente no variaría y esta permanece constante.
8.3.
¿Qué ocurre con el resorte si la fuerza deformadora se excede del límite elástico?
Si la fuerza deformadora excede el límite elástico del resorte, este deja de ser elástico porque al quitarle la fuerza deformadora no regresa a su posición inicial.
