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˜ O que e´ uma Definic¸ ao
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Contato com o autor Endere¸co: co: Universidade Federal do Paran´a (ufpr) Departamento de Matem´atica atica - Caixa Postal 019081 Curitiba - PR - Brasil CEP 81531-990 E-mail :
[email protected]
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Adonai S. Sant’Anna
˜ O que e´ uma Definic¸ ao
´ Se´ rie Lo´ gica Matematica
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Copyright c 2005 Editora Manole Ltda., por meio de contrato com o autor.
Projeto gr´ afico e editora¸c˜ ao eletrˆ onica : Anton Kai Capa : Departamento de Arte da Editora Manole CIP-BRASIL. CATALOGAC ¸ ˜ AO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ. S233o Sant’Anna, Adonai S., 1964O que ´e uma Defini¸ca˜o / Adonai S. Sant’Anna. – Barueri, SP: Manole, 2005 (L´ogica matem´atica) Apˆendices Inclui bibliografia ISBN 85-204-2076-1 1. Defini¸c˜ao (L´ogica). 2. L´ogica. I. T´ıtulo. II. S´erie. 04.2563
CDD 511.3 CDU 510.6
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poder´a ser reproduzida, por qualquer processo, sem a permiss˜ao expressa dos editores. ´ proibida a reprodu¸c˜ao por xerox. E 1a edi¸c˜ao brasileira - 2005 Direitos adquiridos pela: Editora Manole Ltda. Av. Ceci, 672 – Tambor´e Barueri – SP – Brasil – 06460-120 Tel.: (11) 4196-6000 - Fax: (11) 4196-6021 www.manole.com.br
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Tento prolongar um pouco mais minha existˆencia para al´em de minhas limita¸c˜ oes e de minha mortalidade. Meu filho ´e uma maneira, consciente ou n˜ ao, de tentar atingir isso. Metade dele veio de mim. Outra metade, de sua m˜ ae. Mas o garoto insiste em desafiar o bom senso e desponta uma terceira metade inesperada, repleta de flutua¸coes, ˜ violando qualquer princ´ıpio de simetria, revelando ser uma fonte de surpresas. Dedico este livro ao mist´erio do futuro sem fronteiras. Dedico este livro a meu amado filho Adonai .
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´ Sumario
Sobre o Autor , XI Sobre a Capa , XIII Pref´ acio, XV Apresenta¸cao ˜ do Autor , XVII Como Ler Este Livro, XXIII Notas do Autor , XXV 1. Introdu¸ca˜o, 1 Concep¸co˜es filos´oficas antigas, 1 Cr´ıticas, 5 Concep¸co˜es mais recentes, 7 Exerc´ıcios regulares, 14 Exerc´ıcios de pesquisa, 14 Inicia¸ca˜o cient´ıfica, 15 2. Teoria de Le´sniewski, 17 Quem foi Le´sniewski, 17 Pr´e-requisitos, 17 Considera¸c˜oes gerais, 18 Equivalˆencias definindo rela¸co˜es, 20 Equivalˆencias definindo opera¸co˜es, 22
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VIII
˜ O que e´ uma Definic¸ao
Equivalˆencias definindo constantes, 23 Igualdades definindo constantes, 24 Igualdades definindo opera¸c˜oes, 25 Exerc´ıcios regulares, 25 Exerc´ıcios de pesquisa, 26 Inicia¸ca˜o cient´ıfica, 26 3. Teoria de Tarski, 27 Quem foi Tarski, 27 Estruturas e esp´ecies de estruturas, 28 Defini¸co˜es em estruturas, 29 Exerc´ıcios regulares, 31 Inicia¸ca˜o cient´ıfica, 31 4. Princ´ıpio de Padoa, 33 Quem foi Padoa, 33 Independˆencia, definibilidade, 34 Um erro comum, 35 Exerc´ıcios de pesquisa, 35 Inicia¸ca˜o cient´ıfica, 35 5. Aplica¸co˜es, 37 Objetivo, 37 Um exemplo elementar, 37 Topologia sem espa¸co topol´ogico, 39 Espa¸co vetorial sem vetores, 43 Mecˆanica sem tempo, 53 Uma historinha, 61 Outras teorias f´ısicas, 62 Um problema interessante, 62 Exerc´ıcios regulares, 63 Exerc´ıcios de pesquisa, 64 Inicia¸ca˜o cient´ıfica, 64 6. Ensino M´edio, 65 Cuidados b´ asicos, 65 Divis˜ao por zero, 67 Defini¸ca˜o de seno, 70 Defini¸ca˜o de logaritmo, 75 Exerc´ıcios regulares, 77
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IX
Sum´ario
Exerc´ıcios de pesquisa, 77 Inicia¸ca˜o cient´ıfica, 78 7. Considera¸co˜es Finais, 79 Defini¸co˜es impredicativas, 79 Matem´ atica como dogma, 81 Defini¸co˜es e rob´otica, 82 Inicia¸ca˜o cient´ıfica, 82 Apˆendice Apˆendice Apˆendice Apˆendice
A - Teorias Formais, 85 B - Teorias de Primeira Ordem, 91 C - Predicados Conjuntistas, 103 D - Verdade e Modelos, 107
Bibliografia Comentada , 115 ´ Indice Remissivo, 129
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Sobre o Autor
Adonai S. Sant’Anna ´e licenciado em matem´atica (1986), mestre em f´ısica (1989) pela Universidade Federal do Paran´a e doutor em filosofia (1994) pela Universidade de S˜ao Paulo. Em sua disserta¸ca˜o de mestrado, desenvolveu um trabalho sobre o efeito de mar´ es terrestres e oceˆanicas na ´orbita lunar, e sua tese de doutorado refere-se ao uso de teoria de categorias em f´ısica, incluindo uma aplica¸c˜ao do teorema do ´ındice de Atiyah-Singer no problema das c´ opias de gauge . Essa forma¸c˜ao o preparou para se dedicar prioritariamente aos fundamentos matem´ aticos de teorias da f´ısica. Nos Estados Unidos, realizou p´os-doutorado na Universidade de Stanford onde trabalhou em parceria com Patrick Suppes e Jos´e Ac´acio de Barros sobre uma descri¸ca˜o corpuscular para o efeito Casimir (eletrodinˆamica quˆ antica) e sobre as desigualdades de Bell (mecˆanica quˆ antica). Possui diversos trabalhos publicados no Brasil e no exterior, muitos a convite de editores, incluindo um volume especial da revista belga Logique et Analyse inteiramente dedicado `a pesquisa contemporˆanea em l´ogica no Brasil, no qual Sant’Anna divulgou alguns de seus trabalhos sobre o problema da n˜ ao-individualidade de part´ıculas elementares em mecˆanica quˆ antica. Tamb´em j´ a traduziu trˆes livros da Cole¸ca˜o Schaum e uma obra sobre an´alise multivariada aplicada em administra¸c˜ao de empresas, que deve ser publicada em breve. Atua como consultor e parecerista de editoras no Brasil e no exterior e ´e revisor de Mathematical Reviews (EUA) e Zentralblatt f¨ ur Mathematik ´ (Alemanha). E professor adjunto do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Paran´a . Gosta de ouvir m´ usica e ´e um entusiasmado apreciador das obras do inglˆes Mike Oldfield e do grego Vangelis.
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Sobre a Capa
O Paradoxo do Martelo: fazer um martelo exige que se martele; mas para martelar, precisamos de um martelo; logo, n˜ao existem martelos. Analogamente, para se definir o que ´e uma defini¸ca˜o, ´e necess´ario que se saiba como definir conceitos. Mas definimos conceitos a partir de defini¸c˜oes. Logo, n˜ ao existem defini¸c˜oes. Se o leitor acreditou nesse tipo de argumenta¸ca˜o, feche o livro e ignore o restante da leitura. Caso contr´ ario, pense em poss´ıveis solu¸c˜o es para o paradoxo e compare suas id´eias com o conte´ udo do livro.
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´ Prefacio
Duas opera¸c˜oes fundamentais da l´ogica s˜ao a defini¸ca˜o e a demonstra¸c˜ao. No entanto, apesar de a teoria da demonstra¸ca˜o ter se desenvolvido de modo significativo, pouco se fez sobre a teoria geral da defini¸c˜ao. Historicamente, h´a tantas esp´ecies de defini¸c˜ao que se pode sustentar que n˜ ao existe uma teoria englobando de forma harmˆonica todas as defini¸c˜oes at´ e hoje tratadas. De fato, em filosofia fala-se de defini¸c˜oes nominais e de defini¸co˜es reais, as primeiras referindo-se a palavras e as segundas, a coisas; tamb´ em se indaga se a defini¸c˜ao fornece a essˆencia de algo ou se limita a apontar caracter´ısticas acidentais, por´em relevantes. Na matem´atica, encontramos defini¸c˜oes por composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, por meio da recorrˆ encia, tanto finita como transfinita, por postulados (ou impl´ıcita), contextuais, indutivas, ampliadoras da linguagem etc. Nas ciˆencias naturais, como a f´ısica, h´a as defini¸c˜oes ostensivas, operacionais etc. Existem ainda opera¸co˜es de ´ındole l´ogica muito aparentadas `a defini¸c˜ao, como a an´alise conceitual e a descri¸ca˜o. Ademais, muitas vezes uma boa classifica¸c˜ao pode ser vista como certa classe de defini¸ca˜o. Em resumo, parece n˜ao haver e nem ser imprescind´ıvel uma teoria envolvendo tudo o que comumente se inclui no estudo das defini¸co˜ es. O que se pode fazer ´e teorizar sobre certas defini¸c˜ oes que aparecem em determinada categoria de disciplinas. Por exemplo, pode-se restringir `a metodologia das ciˆencias formais, isto ´e, da l´ogica e da matem´atica. Nessas ciˆ encias, quando sistematizadas axiom´atica e formalmente, distinguem-se duas classes de defini¸c˜oes: as abreviativas e as ampliativas. As primeiras constituem simplesmente processos que auxiliam na exposi¸c˜ao das teorias, n˜ao ampliando suas lingua-
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XVI
˜ O que e´ uma Definic¸ao
gens. S˜ ao de duas categorias: as simples, que substituem grupos complexos de s´ımbolos por um s´ımbolo novo, e as contextuais, que introduzem s´ımbolos novos, como abrevia¸co˜es, em certos contextos. Em princ´ıpio, essas defini¸c˜oes s˜ao elimin´ aveis, j´a que n˜ ao passam de t´ecnicas auxiliares na constru¸c˜a o de teorias. Como dizia Russell, s˜ao conven¸co˜es tipogr´aficas. As ampliativas, investigadas sobretudo por Le´sniewski, ampliam a linguagem na qual s˜ ao introduzidas; constituem novos s´ımbolos adicionados a` linguagem primitiva, ampliando-a. Por´em, ampliar a linguagem n˜ ao significa ampliar os resultados j´a obtidos sem a defini¸ca˜o; ou seja, como usualmente se afirma, as defini¸co˜es n˜ao podem aumentar os resultados conseguidos sem ajuda da linguagem. Tanto as defini¸c˜oes abreviativas como as ampliativas s˜ao dos mais variados tipos, como indutivas (ou por meio da recorrˆ encia), por composi¸c˜ao e por abstra¸c˜ao. As chamadas defini¸co˜es por postulados podem, em geral, ser re´ claro que o emprego duzidas a`s defini¸co˜es abreviativas ou `as ampliativas. E das defini¸c˜oes est´a sujeito a certas regras, como Pascal observou muito bem, evidenciando que ele entendeu perfeitamente o m´etodo axiom´atico, ao qual a teoria da defini¸ca˜o est´ a relacionada (o mesmo ocorre com a demonstra¸ca˜o). Em f´ısica, torna-se imprescind´ıvel o uso de defini¸co˜es ostensivas e de defini¸c˜oes operacionais. O estudo deste tema ´e t´ecnico e suscet´ıvel `a elabora¸c˜ao extensa e dif´ıcil. Pelo que se acabou de ver, o t´opico das defini¸c˜oes ´e vasto e relevante para os fundamentos tanto das ciˆencias formais (l´ogica e matem´atica) como das reais (ciˆ encias naturais e humanas). Por conseguinte, este livro do professor Adonai S. Sant’Anna, que versa sobre determinados aspectos da teoria da defini¸ca˜o, ´e oportuno e necess´ario, pois quase nada se sabe de maneira clara e organizada, mesmo entre estudiosos de v´arias ciˆencias e da filosofia, do tema das defini¸c˜oes. Uma defini¸ca˜o ´e axioma, deve ser evidente ou consiste apenas em mera conven¸ca˜ o? Se toda defini¸ca˜o ´e uma conven¸ca˜o, como pode ser empregada nas demonstra¸ co˜es que se referem a enunciados ou proposi¸c˜oes? O que ´e um esquema definicional? H´ a tais esquemas, como h´a esquemas de axiomas? Em biologia, toda defini¸ca˜o se faz por gˆenero pr´oximo e diferen¸ca espec´ıfica? Existem defini¸co˜es de particulares? Se n˜ao existem, de que maneira se introduz uma unidade de medida, como o metro, em f´ısica? Quest˜ oes como estas n˜ao s˜ao f´ aceis de se discutir. Al´em disso, a excelente obra do professor Sant’Anna ´e u ´ til para todas as pessoas que desejam ser racionais em suas inferˆencias e a¸c˜oes, pois a no¸ca˜o de defini¸ca˜o est´a intimamente relacionada `a atitude racional e, portanto, `a l´ogica. Newton C. A. da Costa Professor Em´erito da Universidade de S˜ ao Paulo
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˜ do Autor Apresentac¸ao
Recentemente vi um cartaz na rua que me chamou a aten¸ca˜ o. Era um an´ uncio de aulas de l´ ogica para adultos e crian¸cas. Tratava-se de uma pequena escola de inform´atica que estava oferecendo aulas apostiladas de l´ogica. Perguntei o que era abordado em tais aulas e uma atendente, demonstrando absoluta seguran¸ca sobre o que dizia, afirmou que eram aulas que tinham por meta melhorar o racioc´ınio l´ogico das pessoas. Pedi um exemplo. Ela ent˜ ao respondeu: considere a seq¨uˆencia 1, 2, 3; qual o pr´ oximo n´ umero? Olhei para ela e disse que eu n˜ao tinha a menor id´eia, pois poderia ser qualquer n´umero. Ela se assustou com minha resposta e com ar de preocupa¸ca˜o come¸cou a me tratar como se eu fosse algu´em com severas limita¸co˜es mentais. Pausadamente, a atendente me respondeu: 1... 2... 3... o pr´ oximo n´ umero ´e... 4. Evidentemente ela n˜ao entendeu minha coloca¸ca˜o, pois, sem mais informa¸c˜oes, eu n˜ ao poderia saber se aquela seq¨ueˆncia se tratava de algo obtido de um jogo de dados, o que n˜ao permitiria prever o pr´oximo n´ umero, ou uma seq¨ uˆencia peri´odica “1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3...” ditada por um professor durante uma aula de dan¸ca de sal˜ao, como valsa, por exemplo. H´a infinitas possibilidades referentes a essa seq¨ueˆncia. Baseado nesse evento e em outras in´ umeras situa¸c˜oes, percebi que muitas pessoas, mesmo as formalmente educadas, n˜a o sabem o que ´e l´o gica. E n˜ a o me refiro `a l´ogica formal, mas a`quela l´ogica bastante informal, muito recomend´avel e pr´atica, que pode ser lecionada at´ e mesmo para alunos do ensino fundamental. H´ a textos muito bons em portuguˆes que tratam de quest˜oes como sofismas, argumenta¸ca˜o, silogismos, dilemas etc., em um n´ıvel bastante elementar. No¸c˜oes b´asicas de l´ogica deveriam ocupar as dis-
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XVIII
˜ O que e´ uma Definic¸ao
ciplinas de filosofia nas escolas, sempre buscando o est´ımulo ao senso cr´ıtico. Debates organizados em sala de aula tamb´ em podem ajudar na forma¸c˜ao de futuros cidad˜aos que dificilmente aceitar˜ao argumentos inv´alidos de pessoas sem instru¸c˜ao ou mesmo de m´a f´e. Este ´e o segundo volume da s´erie paradid´atica sobre l´ogica matem´atica que a editora Manole publica desde 2003. O primeiro intitula-se O que ´e um Axioma . Diferentemente do primeiro livro, este tem como uma de suas metas estabelecer um v´ınculo entre a l´ogica matem´atica e a matem´atica do ensino m´edio. Tanto ´e assim que o Cap´ıtulo 6 se dedica exclusivamente a certos aspectos da matem´atica abordada no ensino m´edio. Tamb´em s˜ao tratadas quest˜oes de interesse para determinados cursos de n´ıvel superior. Uma pr´ atica muito comum em cursos de gradua¸c˜a o em matem´ atica, f´ısica, qu´ımica, inform´atica ou filosofia ´e o uso de defini¸ co˜ es. Na literatura, define-se desde os conceitos de vida e ser humano at´ e integrais e derivadas. Mas a quest˜ ao discutida neste livro ´e essencialmente o car´ ater de defini¸ co˜ es. Defini¸c˜oes tˆ em aplicabilidade universal, ou seja, podem ser utilizadas nas mais diversas ´areas do conhecimento sob um mesmo alicerce te´ orico ou conceitual? Qual ´e a defini¸ ca˜o de defini¸c˜ao? Existem diferentes tipos de defini¸ca˜o? Uma defini¸c˜ao pode ser considerada um axioma em alguma situa¸c˜ao? Qual ´e o papel l´ ogico de defini¸c˜o es? As “defini¸c˜oes” dadas no ensino m´edio para seno, co-seno, logaritmo etc. s˜ao, de fato, defini¸ co˜es? Como saber se um conceito est´a bem definido? O que significa estar bem definido? Qual a garantia de que n˜ao ´e poss´ıvel definir divis˜ao por zero na matem´atica elementar? Por que muitos matem´aticos e professores de matem´atica afirmam ´ posque divis˜ ao por zero n˜ao faz sentido? O que significa “fazer sentido”? E s´ıvel definir tudo na matem´ a tica? Se n˜ao, como diferenciar o que pode ser ´ verdadeiro o discurso muitas vezes empregado definido do que n˜ao pode? E em sala de aula de que defini¸co˜es n˜ao podem ser demonstradas? Existem defini¸c˜oes circulares comumente empregadas na matem´atica? Existe uma vis˜ao unificada e clara entre os matem´aticos sobre o que ´e uma defini¸c˜ao? H´a algum interesse tecnol´ogico no estudo de teoria da defini¸c˜ao? O que ´e uma teoria da defini¸ca˜o? Essas e outras quest˜oes s˜ao abordadas neste livro em uma linguagem acess´ıvel a qualquer aluno que est´a iniciando um curso superior de matem´atica, f´ısica, filosofia, inform´atica ou engenharia, pois nesses cursos se faz necess´ario o conhecimento de no¸co˜es usualmente consideradas b´asicas em ciˆencia, como os conceitos de defini¸c˜ao, axioma, teorema, teoria, entre outros. No contexto de uma teoria da defini¸c˜ao aqui abordada, h´a algumas discuss˜ oes bastante recentes. Mostra-se, por exemplo, que a fundamenta¸c˜ao conjuntista usual da matem´atica permite alguns resultados curiosos, como a definibilidade de conjunto de vetores em espa¸cos vetoriais, e mesmo a eliminabilidade de tempo e espa¸co-tempo de certas teorias da f´ısica cl´assica, como as teorias de campos (incluindo a relatividade geral de Einstein) e at´ e mesmo a termodinˆamica. Nesse sentido, o presente livro traz exemplos ilustrativos ´ claro que tais disdo que, de fato, significa uma defini¸c˜ao em matem´atica. E
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˜ do Autor Apresentac¸ ao
XIX
cuss˜ oes exigem do leitor uma forma¸c˜ao mais pr´ oxima do final de um curso de gradua¸ca˜o na ´area de ciˆencias exatas. Mas o fato ´e que a matem´atica e a f´ısica te´ orica s˜ao disciplinas repletas de conceitos defin´ıveis e, por isso, elimin´aveis. N˜ao tenho aqui a meta de um aprofundamento no estudo de l´ogica ou teoria da defini¸c˜ao, at´ e porque isso demanda um esfor¸co que vai muito al´em de um livro paradid´ atico com cerca de 150 p´aginas. O objetivo ´e uma educa¸c˜ao b´ asica em l´ogica que ajude o leitor a se situar melhor no estudo de fundamentos da matem´atica e mesmo das ciˆ encias que envolvem o uso da matem´ atica. Em outras palavras, este livro ´e uma ferramenta de apoio para compreender melhor a estrutura l´ogica de teorias matem´aticas e mesmo teorias de outras ´areas do conhecimento cient´ıfico, como f´ısica, por exemplo. A abordagem ´e simples, mas com o rigor que julgo adequado para um curso de gradua¸ca˜o. N˜ao ´e f´acil escrever sobre l´ogica, principalmente por causa de suas in´umeras sutilezas. No entanto, espero oferecer uma s´erie de livros que podem ser considerados uma primeira aproxima¸c˜ao (muito elementar) ao estudo da l´ogica matem´atica. Em geral, os volumes desta s´erie n˜ao exigem pr´e-requisitos espec´ıficos para o estudante de n´ıvel superior. Por´em, no Cap´ıtulo 5 ´e recomend´avel, e muitas vezes indispens´avel, uma certa familiaridade com c´alculo diferencial e integral, ´algebra linear, topologia geral e mecˆanica newtoniana. Geralmente, cada cap´ıtulo apresenta uma lista de exemplos detalhados no decorrer do pr´oprio texto. Esses exemplos podem servir como motiva¸c˜ao ou simples ilustra¸c˜ao dos conte´udos abordados. No final de cada cap´ıtulo ´e tamb´ em apresentada uma lista de exerc´ıcios propostos. Esses exerc´ıcios se dividem em duas categorias: exerc´ıcios regulares e exerc´ıcios de pesquisa. Os exerc´ıcios regulares podem ser resolvidos simplesmente utilizando os conte´udos discutidos no livro. J´a os exerc´ıcios de pesquisa exigem do estudante a procura de informa¸c˜oes complementares em outras referˆencias, apesar de tais exerc´ıcios estarem inseridos no contexto deste livro. No entanto, nenhuma sugest˜ ao bibliogr´ afica ´e dada para que os exerc´ıcios de pesquisa sejam resolvidos. A id´eia ´e criar um desafio que pode ser superado somente com muita consulta `a biblioteca, `a internet e at´ e mesmo aos mestres e colegas. O objetivo ´e motivar o esp´ırito acadˆemico de pesquisa nos alunos j´a na gradua¸ca˜o. Mais importante que fornecer respostas ´e oferecer quest˜oes que perturbem o esp´ırito cr´ıtico do estudante e o obriguem a buscar as respostas. A “cultura” da cren¸ca ´ importante ficar cega (e confort´avel) em livros e professores deve acabar. E claro ao jovem que um curso de n´ıvel superior tem por meta formar pensadores. E desejamos que este livro cumpra esse papel, ainda que apenas em parte. Ao final de alguns cap´ıtulos h´ a uma lista de sugest˜oes para poss´ıveis pro jetos de inicia¸c˜ao cient´ıfica, das quais algumas s˜ao suficientemente sofisticadas para serem publicadas. Em muitos pa´ıses tem sido cada vez mais freq¨ uente o surgimento de alunos de gradua¸c˜ao, sob a orienta¸c˜ao de seus professores, que apresentam resultados de pesquisa em congressos internacionais e at´ e mesmo em revistas especializadas. Com isso, busco uma sintonia com as atuais tendˆencias acadˆemicas no mundo. Acredito que essa postura ´e realista, pois
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
´e baseada na experiˆencia acumulada ao longo dos anos com uma gera¸c˜ao de estudantes que tem acesso cada vez maior a informa¸c˜oes, principalmente pela internet. A prop´ osito, uma das se¸c˜oes do Cap´ıtulo 5 foi escrita em parceria com dois alunos de gradua¸c˜ao sob minha orienta¸c˜ao no Programa Especial de Treinamento da Secretaria de Educa¸ca˜o Superior, do Minist´erio da Educa¸c˜ao e do Desporto ( PET-SESU-MEC). Esse programa de orienta¸c˜ao foi realizado no Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Paran´a . Mas vale ressaltar que sugest˜ oes para projetos de inicia¸c˜ao cient´ıfica dependem crucialmente da orienta¸ca˜o de um professor. Uma vasta bibliografia comentada acompanha cada volume desta s´ erie, com o objetivo de indicar uma literatura especializada que preencha lacunas intencionalmente (ou n˜ao) deixadas em nossa exposi¸c˜ao. A presente obra ´e o resultado parcial de cursos e semin´arios que ministrei e de projetos de pesquisa que desenvolvo no Brasil e no exterior. Por isso, agrade¸co o apoio do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Paran´a (UFPR) no contexto dos Semin´arios Analice Gebauer Volkov, dos Cursos de Matem´atica, Filosofia e de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada da UFPR, do Curso de Matem´atica da Universidade Tuiuti do Paran´a e do Departamento de Filosofia da Universidade da Carolina do Sul, Estados Unidos. Tamb´em agrade¸co o apoio financeiro da CAPES (Coordena¸ca˜ o de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior). Id´eias trocadas com v´arias pessoas nos u ´ ltimos anos auxiliaram direta ou indiretamente na composi¸c˜ao deste livro. Expresso minha gratid˜ao a todas, sem obviamente comprometˆe-las com pontos de vista aqui defendidos ou assuntos abordados. Apenas para lembrar alguns nomes, cito especialmente Newton Carneiro Affonso da Costa, cuja influˆencia em minha vis˜ ao acadˆemica sempre foi construtiva e certamente marcante, bem como Aur´ elio Sartorelli, D´ ecio Krause, Jos´e Carlos Cifuentes, Patrick Suppes, Liang-Zhong Hu, Gilberto Medeiros Kremer, Angela Cristina Cararo, Carlos Roberto Vianna, Ed Bolton, Francisco Antonio Doria, Jos´e Renato Ramos Barbosa, Jo˜ao Carlos Marques Magalh˜ aes, C´esar Serbena, Ot´avio Bueno, Eduardo Barra, Mark Stuckey, Bernard Guy, Analice Gebauer Volkov, Jos´e Martim Nicoladelli, Carlos Eduardo de Carvalho Vargas, Gabriel Guerrer, Juliana de Moraes Campos, Ana Paula Novak Ramos Quirino, Marcos Roberto F´elix, Daniel C. de Freitas, Jeferson de Souza, Cl´ovis Achy Soares Maia, Jefferson Stafusa Elias Portela, Luiz Fernando Nunes, Humberto Quoirin, Tomas Keller Breuckmann, Angelo Miguel Malaquias, Jo˜ao Eloir Strapasson, Alexandre Magno Silva Santos, Christiano Garcia, Andr´e Furtado e todos os meus alunos, colegas e internautas que tˆem contribu´ıdo com in´umeras discuss˜oes sobre l´ogica e fundamentos. Mas, evidentemente, quaisquer erros que ainda persistirem nesta primeira edi¸c˜ ao s˜ao de minha inteira responsabilidade. Agrade¸co tamb´em Walmor Cardoso Godoi, pelo inestim´avel aux´ılio na formata¸c˜ao do livro em LATEX. Agrade¸co ainda a Sociedade dos Leitores Tortos (SLT) e ao pessoal da lista de discuss˜oes da Curitiba C´etica, que apesar de
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˜ do Autor Apresentac¸ ao
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n˜ ao serem organiza¸c˜oes acadˆemicas, sempre tˆem incentivado este e outros pro jetos meus de pesquisa e de divulga¸c˜ao. Tamb´ em agrade¸co `a editora Manole pela confian¸ca depositada neste empreendimento. Sou especialmente grato a meu agente Luiz Carrera, a M´arcia Pinhatti, a Eliane Otani, a Fernando Lu´ıs da Silva e, principalmente, a Daniela Manole, por seu apoio, orienta¸ c˜ao e paciˆencia. Sou igualmente grato ao parecerista e aos revisores desta obra por suas cr´ıticas sempre construtivas. Finalmente, expresso minha gratid˜ao a Karla Beauchamp Weber, que de uma forma ou de outra tem acompanhado meus projetos mais recentes com conselhos s´abios e amigos. Sugest˜ oes e cr´ıticas s˜ao naturalmente bem-vindas e podem ser dirigidas aos endere¸cos que aparecem na p´agina de cr´editos.
Adonai S. Sant’Anna Columbia, South Carolina
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Como Ler Este Livro
Se o leitor j´a conhece teorias de primeira ordem e no¸c˜oes b´asicas sobre teoria de modelos (assunto do volume anterior O que ´e um Axioma ), dominando a nota¸c˜ao empregada atualmente, n˜ao ter´a dificuldade em acompanhar os temas principais dados nos cap´ıtulos. Se n˜ ao est´a familiarizado com tais pr´e-requisitos, n˜ao h´ a necessidade de adquirir o volume anterior, pois no final deste livro h´a quatro apˆendices que resumem alguns conte´ udos do volume O que ´e um Axioma . Estes apˆendices omitem muitas informa¸c˜oes relevantes, mas dispens´ aveis para a compreens˜ao do presente texto. Para compreens˜ao de parte significativa do Cap´ıtulo 5, o qual se refere `as aplica¸c˜oes das id´eias aqui presentes, ´e indispens´avel um conhecimento introdut´orio de c´alculo diferencial e integral de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel, ´algebra linear (espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ao finita) e formula¸ca˜o newtoniana para a mecˆanica cl´assica. Para interessados apenas na matem´atica do ensino m´ edio, a leitura do Cap´ıtulo 1 e 6 pode ser feita sem se conhecer o restante do livro. Mesmo assim, recomendo a leitura do ´ultimo cap´ıtulo. Vale lembrar que este ´e um texto paradid´atico, de referˆencia r´apida, para quem deseja conhecer um pouco sobre teoria da defini¸c˜ao. Mesmo assim, ´e necess´ ario esfor¸co consider´ avel para se compreender todos os t´opicos abordados. O leitor menos familiarizado com terminologia empregada em l´ogica talvez se surpreenda com o uso de neologismos como “definibilidade”, “defin´ıvel” e “decid´ıvel”, entre outros.
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Notas do Autor
• Sempre que estiver escrito algo da forma “ p se, e somente se, q ” significa que p implica q e q implica p.
• Com certa freq¨uˆencia, a express˜ao “com efeito” antecede breves demonstra¸ c˜ oes.
• Finalmente, quando se escreve sobre vari´aveis xi e xj , sempre considera-se que i = j, o que n˜ ao implica, evidentemente, que xi = x j .
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˜ Introduc¸ao
˜ filosoficas ´ Concepc¸oes antigas Como definir uma defini¸c˜ao? Isso ´e como perguntar o significado da palavra ´ uma quest˜ao que, na melhor das “significado”, ou o conceito de conceito. E hip´ oteses, desperta desconfian¸ca ou ceticismo no leitor. Parece haver uma circularidade inerente em qualquer tentativa de se definir uma defini¸ca˜o. Mas como se percebe no restante do livro, tal circularidade n˜ao precisa necessariamente ocorrer. Se bem que, seguramente, tamb´em deve ser perguntado qual ´e, afinal, o problema com circularidades em matem´ atica. Todas essas quest˜oes s˜ao discutidas adiante. Uma maneira de definir uma defini¸ca˜o ´e por meio da distin¸ca˜o entre linguagem e metalinguagem. A metalinguagem pode ser usada para conceituar defini¸co˜es que se inserem no contexto de alguma linguagem-objeto. Mas nem sempre isso ocorre, pois muitas vezes n˜a o h´ a distin¸ca˜o clara entre linguagem-objeto e metalinguagem (a linguagem usada para se falar a respeito da linguagem-objeto), mesmo na pr´atica matem´atica. Nesta introdu¸c˜ao apenas apresentamos algumas id´eias que s˜ao melhor detalhadas no decorrer do livro. Defini¸co˜es interessam a fil´osofos, cientistas, jornalistas, etim´ologos, lexic´ologos, engenheiros, entre outros. Do ponto de vista etimol´ogico, por exemplo, a palavra “defini¸c˜ao” significa “uma a¸ca˜o para estabelecer limites”. J´a para um jornalista, defini¸c˜oes podem desempenhar um papel ligado a sentimentos e ideologias; por exemplo, “comunismo”, que alguns definem como a “democratiza¸ca˜o do capital”. Apesar dessa afirma¸c˜ao n˜ ao definir precisamente o que ´e comunismo, pode provocar um sentimento de bem-estar ao associar o termo “comunismo” com a palavra “democratiza¸ca˜o”, a qual normalmente est´a ligada a uma ideologia agrad´avel e politicamente correta. Mas n˜ao estou interessado
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
aqui nesses tipos de abordagens. A meta neste livro ´e o estudo de defini¸c˜oes na matem´ atica . No entanto, como esse tipo de estudo teve origem na filosofia, apresenta-se a seguir uma breve exposi¸c˜ao sobre antigas concep¸c˜oes filos´oficas acerca de defini¸c˜oes. Na ciˆencia, o termo “defini¸ca˜o” tem diversas acep¸co˜es. Costuma-se definir, por exemplo, `a unidade fundamental de comprimento no sistema m´etrico como 1.650.763,73 vezes o comprimento de onda da radia¸c˜ao do is´ otopo criptˆonio 86 no v´ acuo. Isso significa que a defini¸ ca˜o de metro depende simplesmente de uma observa¸ca˜o experimental, ou seja, de uma medi¸c˜ao, um processo f´ısico. Em contrapartida, quando se define a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo como o maior lado desse triˆangulo, essa ´e uma defini¸ca˜o que nada tem a ver com qualquer fato experimental. Pode-se demonstrar matematicamente por racioc´ınio l´ogico que, no contexto da geometria euclidiana, cada triˆangulo retˆangulo admite um lado maior que os outros. A esse lado d´ a-se o nome hipotenusa. Essas duas defini¸co˜es – metro e hipotenusa – tˆem essencialmente naturezas distintas, pois os contextos s˜ao radicalmente diferentes. No caso da defini¸ca˜o de metro, um novo termo ´e criado na linguagem a partir de uma observa¸c˜ao experimental. J´ a no caso da defini¸ca˜o de hipotenusa, um novo termo ´e introduzido em uma dada linguagem a partir de uma f´ormula que pode ser expressa nessa mesma linguagem, sem compromisso algum com qualquer fato experimental. Mas o que pode confundir ´e o fato de que o mesmo termo “defini¸c˜ao” ´e utilizado nesses dois contextos. Al´em disso, h´a muitos outros contextos poss´ıveis, mesmo quando o discurso se limita somente ao dom´ınio da matem´atica. Tradicionalmente, no escopo daquilo que antigamente se entendia por l´ogica, as no¸co˜es acerca de defini¸co˜es eram bastante informais se comparadas a algumas id´eias mais recentes. Alguns autores diziam, por exemplo, que: Uma defini¸ c˜ ao deve ser a caracteriza¸c˜ ao de uma esp´ ecie. Em outras palavras, dada uma classe de objetos qualquer, uma defini¸c˜ao deve, de algum modo, destacar uma subclasse (ou esp´ ecie) por meio de caracter´ısticas especiais. Por exemplo, na classe dos triˆ angulos, h´ a uma esp´ecie que se refere `aqueles que admitem um ˆangulo interno reto. A caracter´ıstica especial “ter um ˆangulo interno reto”, na classe dos triˆangulos, define o que comumente se chama de triˆangulo retˆangulo. Desse modo, podem ser identificadas pelo menos duas partes em uma defini¸c˜ao. H´a aquilo que se deseja definir (por exemplo, “o conceito de triˆangulo retˆangulo”) e a express˜ao que ser´a efetivamente empregada para definir (por exemplo, “triˆangulo que tem ˆangulo interno reto”). O que se deseja definir chama-se de definiendum , e a express˜a o usada para definir o definiendum chama-se definiens . Normalmente, em uma dada defini¸ca˜o, definiendum e definiens ficam conectados pela express˜ao “se, e somente se,” ou por um s´ımbolo como “=def ” ou “ ”, entre outros exemplos poss´ıveis; o definiendum fica
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˜ Introduc¸ ao
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a` esquerda e o definiens a` direita. O leitor j´a deve ter percebido que qualquer defini¸ca˜o, pelo menos no presente sentido, deve fazer uso de uma linguagem. No entanto, as rela¸c˜oes existentes entre definiendum e definiens n˜ ao s˜ao t˜ao obviamente percept´ıveis na literatura filos´ofica antiga. Resumidamente, defini¸c˜oes (pelo menos as chamadas defini¸co˜es expl´ıcitas) podem ter a seguinte estrutura: Definiendum =def Definiens Essa vis˜ao pode ser enganosa, pois conduziria o leitor a pensar que toda defini¸c˜ao ´e expl´ıcita, no sentido de que sempre ´e poss´ıvel substituir o definiendum pelo definiens em qualquer f´ ormula ou senten¸ca da linguagem, independentemente do contexto. Mas isso n˜ao ´e verdade para certos tipos de defini¸c˜ao. Muitos autores de l´ogica e filosofia do passado apontavam para algumas regras que uma defini¸c˜ao deve ter. S˜ao algumas: 1. Uma defini¸ c˜ ao deve fornecer a essˆ encia daquilo que se define. Historicamente, essa vis˜ ao, em vers˜ ao um pouco diferente, remonta a Arist´ oteles. 2. Uma defini¸ c˜ ao n˜ ao deve ser circular. 3. Uma defini¸ c˜ ao n˜ ao deve ser expressa como uma nega¸ c˜ ao quando pode ser expressa como uma afirma¸ca ˜o. 4. Uma defini¸ c˜ ao n˜ ao deve ser expressa em linguagem obscura. 5. Uma defini¸ c˜ ao deve ser mais clara que o termo definido. 6. Quando o significado de um termo j´ a ´ e suficientemente claro, nenhuma defini¸ca ˜o se faz necess´aria. 7. Termos s˜ao arbitr´ arios, mas as id´ eias expressas por esses termos (via uma defini¸ c˜ao) n˜ a o s˜ ao. Muitas dessas id´eias surgiram de discuss˜oes feitas por Arist´ oteles, Immanuel Kant, Auguste Comte, entre outros. Ver, por exemplo, a obra de Lalande [35]. H´a muitas outras regras que se referem ao papel de fal´acias, ambig¨ uidades, equ´ıvocos, met´aforas e at´e mesmo emo¸c˜oes em defini¸co˜ es. H´ a tamb´em, em textos antigos, regras que permitem diferenciar tipos de defini¸c˜oes. Seguem alguns deles: 1. Defini¸ ca ˜o real: trata-se de definir o significado de uma express˜ ao em uma dada linguagem, de modo a retratar a essˆ encia de um dado ob jeto que aquela express˜ ao designa. Um exemplo ´ e a defini¸ ca ˜o de ser humano como um b´ıpede implume.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
2. Defini¸ c˜ ao nominal: tamb´em chamada de defini¸ c˜ ao verbal, tratase de definir um novo s´ ımbolo a partir de outros j´ a conhecidos em uma dada linguagem. Esse ´ e um caso muito comum em matem´ atica. Um exemplo ´ e a defini¸c˜ ao de derivada a partir de limites, como usualmente se faz no c´ alculo diferencial e integral. 3. Defini¸ c˜ ao por postulados: quando se define uma teoria p or meio de axiomas ou postulados [52]. Um exemplo bem conhecido ´e a defini¸ ca ˜o de plano euclidiano por meio dos axiomas da geometria euclidiana. 4. Defini¸ c˜ ao ostensiva: ´ e comumente empregada em ciˆ encias naturais. Trata-se do caso em que se define um conceito simplesmente “apontando” para um dado objeto, ou seja, via ob´ o caso da defini¸ serva¸ c˜ ao no mundo real. E c˜ ao de metro. Alguns autores como Arthur Pap [44] consideram que defini¸ co ˜es ostensivas s˜ ao um caso particular de outra categoria, as defini¸ c˜ oes denotativas. 5. Defini¸ c˜ ao contextual: ´ e aquela em que o conceito definido depende de um contexto. Por exemplo, o conceito de “irm˜ ao” se refere a um “homem que tem os mesmos pais de uma determinada pessoa”. No entanto, essa defini¸ c˜ ao dificilmente ser´ a usada como uma identidade ou um sinˆ o nimo para o termo “irm˜ ao”. A frase “Caim ´ e irm˜ a o de Abel” fica bastante estranha se for reescrita como “Caim ´ e homem que tem os mesmos pais de uma determinada pessoa de Abel”. Escrito de uma forma mais usual, pode-se dizer que “Caim e Abel tˆ em os mesmos pais”, o que tornaria a frase mais distante ainda de uma simples transla¸ c˜ ao do significado da palavra “irm˜ ao” para a frase “Caim ´ e irm˜ ao de Abel”. Obviamente, nesse exemplo, a palavra “irm˜ ao” est´ a sendo usada em apenas uma de suas poss´ıveis acep¸ c˜ oes. 6. Defini¸ c˜ ao expl´ıcita: diferentemente das defini¸co ˜es contextuais, ´ e aquela na qual ´ e poss´ıvel substituir diretamente o definiendum pelo definiens . No exemplo de ser humano definido como b´ıpede implume, p ode-se reescrever a frase “O homem corre” como “O b´ıpede implume corre”. Existem tamb´em outros tipos de defini¸co˜es, como as operacionais, n˜ao-operacionais, gen´eticas, emp´ıricas, quantitativas, geom´etricas, materiais, formais, sint´eticas, por abstra¸ca˜o, por recurs˜ao finita, por recurs˜ao transfinita, por composi¸ca˜o, por simples sinˆ onimo, entre outras. Uma breve classifica¸c˜ao parecida com esta se encontra em [22].
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˜ Introduc¸ ao
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Em [10] h´a uma lista dos cinco prop´ ositos de uma defini¸c˜ao. Segundo o autor, defini¸c˜oes servem para aumentar o vocabul´ario, eliminar a ambig¨ uidade, esclarecer o significado, explicar teoricamente e influenciar atitudes. Tudo isso ´e bastante informal e vago, apesar de alguns autores antigos serem pensadores de renomada reputa¸c˜ao como Girolamo Saccheri, Gottfried Wilhelm Leibniz, William of Ockham e Immanuel Kant (para uma discuss˜ ao das id´eias de Kant, ver [4]). Na verdade, a literatura espec´ıfica sobre defini¸c˜oes ´e relativamente extensa, mas comumente nebulosa. No entanto, essas no¸co˜es bastante imprecisas para defini¸c˜oes acabaram inspirando matem´aticos ´ compreens´ıvel que para uma caracteriza¸ca˜o bem mais precisa sobre o tema. E a no¸ca˜o de defini¸c˜ao ainda seja raramente abordada nos livros de l´ogica matem´ atica. Em parte porque diferentes autores est˜ao em desacordo quanto `a classifica¸c˜ao entre diferentes tipos de defini¸c˜ao, seja do ponto de vista formal ou do epistemol´ogico. Para ilustrar uma compara¸c˜ao entre autores, ver [44] e [10]. Tamb´ em pesa como motivo para se escrever pouco sobre defini¸c˜oes em livros de l´ogica matem´atica o fato de que h´a muitas quest˜oes fundamentais estrat´ egicas sobre o assunto ainda em aberto, conforme apontado ao longo do texto. Tamb´ em vale observar que h´a discordˆancias na literatura a respeito desses tipos de defini¸c˜oes. Por exemplo, h´a autores que consideram que defini¸c˜oes nominais jamais permitem a introdu¸ca˜o de novos s´ımbolos a uma dada linguagem formal; elas simplesmente fazem uso de um termo metaling¨u´ıstico que deve servir para abreviar uma dada seq¨ uˆencia de s´ımbolos de uma linguagem formal.
Cr´ıticas H´a muitos problemas com as regras dadas na se¸c˜ao anterior. Em primeiro lugar, s˜ ao muitas. Na ciˆ encia e, em particular, na matem´atica, sempre procura-se o caminho mais simples para se abordar um determinado assunto. Essa ´e a chamada Navalha de Occam, em referˆ encia ao fil´osofo escol´astico inglˆes William of Occam (ou Ockham) que viveu no s´eculo XIV. De acordo com a Navalha de Occam teorias mais simples s˜ao mais econˆomicas e mais apropriadas. Para se discutir sobre o conceito de defini¸c˜ao, por exemplo, um n´ umero menor de regras seria mais aconselh´avel (apesar de n˜ao necessariamente imprescind´ıvel). Algumas cr´ıticas espec´ıficas `as regras s˜ao: 1. A primeira regra afirma que uma defini¸ c˜ ao deve fornecer a essˆ encia daquilo que se define. Isso ´ e evidentemente muito vago. Afinal, o que ´e a essˆ encia de algo? Em particular, o que ´ e a essˆ encia da vida? Saber responder a essa quest˜ ao sig-
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
nifica saber definir o que ´e vida, um problema central em biologia te´ orica, at´ e hoje em aberto. Fica o problema: o que ´e a essˆ encia de um dado objeto? Alguns autores gostam de dizer que uma defini¸ ca ˜o ruim ´ e melhor do que n˜ ao ter uma defini¸ ca ˜o. Nesse caso, quando um determinado bi´ ologo define o conceito de vida, ainda que n˜ ao satisfa¸ ca aos demais bi´ ologos e nem a si mesmo, tal defini¸ c˜ ao pode ser interessante para uma primeira abordagem sobre o t´ opico “vida”. Ainda assim, tal regra demanda uma postura essencialista, ou seja, ´ e necess´ ario que se acredite e que de algum modo se justifique que de fato existe algo como a “essˆ encia das coisas”. 2. A segunda regra diz que uma defini¸ ca ˜o n˜ ao deve ser circular. As regras em quest˜ ao servem para definir o conceito de defini´ como o c˜ ¸ ao. Portanto, j´ a existe uma circularidade impl´ıcita. E “paradoxo do martelo”: fazer um martelo exige que se martele; mas para martelar, precisamos de um martelo; logo, n˜ ao existem martelos. 3. A terceira regra afirma que uma defini¸ ca ˜o n˜ ao deve ser expressa como uma nega¸ ca ˜o, quando pode ser expressa na forma de uma afirma¸ ca ˜o. Surge um novo problema: j´ a est´ a sendo empregada uma nega¸ c˜ ao. Por que n˜ ao dizer que uma defini¸ c˜ ao deve ser expressa como uma afirma¸ c˜ ao, sempre que poss´ ıvel? A quest˜ ao ´ e que, do ponto de vista did´ atico, talvez seja interessante fazer uma ˆenfase sobre o uso da nega¸ c˜ao em defini¸c˜ oes. Ainda assim h´ a uma contradi¸ c˜ ao. 4. A quarta regra estabelece que uma defini¸c˜ ao n˜ ao deve ser expressa em linguagem obscura. Deve ser evidente ao leitor que essa j´ a´ e por si mesma uma afirma¸ c˜ ao bastante obscura. Qual o conceito de obscuridade? O que significa “n˜ao ser obscuro”? 5. A quinta regra ´ e uma esp´ ecie de ˆ enfase sobre a regra anterior. Mas tamb´ em n˜ ao ajuda, pelo mesmo motivo. 6. Na sexta regra diz-se que quando o significado de um termo j´ a ´ e suficientemente claro, nenhuma defini¸ ca ˜o desse termo se faz necess´ aria. O objetivo aqui ´ e deixar claro que h´ a termos em uma dada linguagem que n˜ ao precisam ser definidos. Em outras palavras, n˜ ao se define tudo. Mas a quest˜ ao acerca do que pode ser definido e o que n˜ ao pode tem um car´ ater menos subjetivo quando se lida com linguagens formais, conforme se estudar´ a adiante.
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˜ Introduc¸ ao
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7. A u ´ ltima regra enfatiza o delicado equil´ıbrio entre o car´ ater de arbitrariedade das defini¸ c˜ oes e seu forte v´ınculo com a linguagem. Mas novamente peca-se pela falta de rigor. Quanto aos diferentes tipos de defini¸c˜ao expostos na se¸ca˜o anterior, deve ficar evidente que tais distin¸c˜oes tamb´em n˜ao s˜ao claras. Por exemplo, n˜ao foi dada de forma objetiva a distin¸c˜ao entre defini¸co˜es reais e nominais.
˜ mais recentes Concepc¸oes As considera¸c˜oes feitas nesta se¸c˜ao s˜ao fortemente baseadas nos verbetes sobre defini¸c˜oes em [49] escritos pelo l´ogico Alonzo Church, bem como em [9]. No entanto, h´ a poucas (mas significativas) modifica¸c˜o es. N˜ ao temos a pretens˜ ao de sugerir que as id´eias aqui refletem os mais recentes avan¸cos em teoria da defini¸c˜ao. No entanto, a presente se¸c˜ao retrata parte importante da pr´atica comum na matem´atica atualmente, ainda que de maneira informal. Tanto em linguagens formais como linguagens naturais (mesmo que sejam enriquecidas com termos t´ecnicos), defini¸c˜oes tˆem a fun¸ca˜o de introduzir novas nota¸c˜oes de modo que elas sejam sup´erfluas, dispens´aveis ou elimin´aveis. Essa ´e uma no¸c˜ao intuitiva, dada de maneira informal, ainda que existam defini¸c˜oes estabelecidas em teorias formais. Eventualmente pode-se ter uma nova nota¸ca˜o para um u ´nico termo ou f´ormula; mas tamb´em pode-se ter um esquema de defini¸c˜ oes que permite definir toda uma fam´ılia de novos s´ımbolos. Normalmente defini¸c˜oes tˆem necessidade did´ atica de existirem para facilitar o uso de uma dada linguagem. Por exemplo, em vez de se dizer que uma crian¸ca tem uma altura correspondente a 1.997.424,11 vezes o comprimento de onda da radia¸c˜a o do is´ otopo criptˆonio 86 no v´acuo, simplesmente afirma-se que ela tem um metro e vinte e um cent´ımetros de altura ou, mais abreviadamente ainda, 1,21 m. Portanto, ´e razo´avel considerar que toda defini¸c˜ao em matem´atica estabele¸ca algum tipo de rela¸c˜ao de equivalˆencia entre um definiendum (o objeto ou termo a ser definido) e um definiens (f´ ormula que efetivamente define o definiendum ), de forma que duas condi¸c˜oes sejam atendidas: a condi¸ca˜ o de eliminabilidade, na qual toda defini¸ca˜o ´e elimin´avel, ou seja, a qualquer momento o definiendum pode ser de algum modo substitu´ıdo pelo definiens , e a condi¸c˜a o de n˜ao-criatividade em que toda defini¸ca˜o deve ser n˜ao-criativa; em outras palavras, novos resultados (novos teoremas) n˜ao podem ser obtidos por conseq¨ uˆencia da defini¸c˜ao de forma que esses mesmos resultados sejam imposs´ıveis de serem obtidos sem a defini¸ca˜o em quest˜ao. Em geral, testar o crit´erio de eliminabilidade ´e algo bem mais f´acil do que testar o crit´ erio de n˜ ao-criatividade. A intui¸ca˜o que aqui ´e dada deve bastar para uma r´ apida compreens˜ao
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
sobre o assunto. Nesse contexto as defini¸co˜es podem ser divididas em duas categorias: 1. Defini¸ c˜ oes informais: s˜ ao aquelas que introduzem novas notac˜ ¸ oes em uma linguagem natural, como o portuguˆ es, ou mesmo em uma linguagem natural enriquecida ou fortalecida com termos t´ ecnicos e/ou cient´ıficos. 2. Defini¸ c˜ oes formais: s˜ ao defini¸ co ˜es que introduzem novas nota¸ co ˜ es que est˜ ao diretamente associadas a uma dada linguagem formal da seguinte maneira: (i) por uma simples extens˜ ao de uma linguagem formal via a introdu¸c˜ ao de novos s´ımb olos; (ii) por meio de abrevia¸ co ˜es metaling¨ u´ısticas para seq¨ uˆencias de s´ımbolos de uma linguagem formal; ou (iii) por meio da introdu¸ ca ˜o de novos s´ımbolos a uma dada interpreta¸ c˜ ao de uma linguagem formal. As defini¸co˜es informais podem ser divididas em diversas categorias. H´ a, por exemplo, as de uso corrente em f´ısica ou demais ciˆencias emp´ıricas, como as operacionais, as ostensivas e as por gˆenero pr´oximo e diferen¸ca espec´ıfica. N˜a o s˜ao enumerados todos os poss´ıveis casos de defini¸ c˜oes informais, pois desconhece-se qualquer tratado geral sobre o assunto. As defini¸co˜es ostensivas foram discutidas anteriormente. J´a as operacionais originam-se na escola operacionalista, que surgiu com a obra de Bridgman [7]. Nas palavras de Hempel [23]: A id´ eia central do operacionismo [ou operacionalismo] ´e a de que o significado de cada termo cient´ıfico deve ser determinado pela indica¸c˜ ao de uma opera¸ca ˜o bem definida que forne¸ca um crit´erio para sua aplica¸ca ˜o.
Como exemplo, Hempel considera a defini¸ca˜o operacional de ´acido: [...] para achar se o termo ‘´ acido’ se aplica a um dado l´ıquido – isto ´e, se o l´ıquido ´e um ´acido – coloque-se nele uma tira de papel de tornassol azul; o l´ıquido ´e um ´acido se e somente se o papel virar vermelho. Este crit´erio indica uma bem definida opera¸cao ˜ de teste – a de inserir o papel azul de tornassol – para achar se o termo se aplica ou n˜ao a um dado l´ıquido, e menciona um resultado de teste bem determinado – a mudan¸ca para o vermelho da cor do papel – que deve ser considerado como indicando que o termo se aplica ao l´ıquido dado.
Demais exemplos de defini¸co˜es operacionais s˜ ao dadas em [23]. As defini¸c˜oes por gˆenero pr´oximo e diferen¸ca espec´ıfica s˜ao de amplo uso em biologia. Tamb´em conhecidas como defini¸c˜oes por gˆenero e diferen¸ca, elas permitem destacar um subconjunto de objetos a partir de caracter´ısticas especiais de indiv´ıduos de um conjunto maior. Por exemplo, no conjunto dos
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˜ Introduc¸ ao
mam´ıferos existe um subconjunto identificado, devido a certas peculiaridades, como a esp´ecie humana. Outros tipos de defini¸co˜es informais s˜ ao a contextual e por abstra¸c˜ao, tamb´em em acep¸c˜ao semelhante ao que foi visto anteriormente; ou seja, antigas concep¸c˜oes ainda s˜ao usadas. Mas um dos objetos de estudo, no presente momento, n˜ao s˜ao apenas as defini¸c˜oes informais. A principal meta aqui s˜ao as defini¸co˜es formais, apesar de muitas defini¸c˜oes de uso corrente em matem´atica serem informais. As defini¸c˜oes de teoria formal, de teoria axiom´atica, de teorema, prova, conseq¨ uˆencia, premissa etc., dadas no Apˆendice A, s˜ao exemplos claros de defini¸c˜oes informais, pois s˜ao formuladas em linguagem natural, devidamente enriquecida. As defini¸c˜oes formais podem ser classificadas em trˆ es categorias: 1. Defini¸ c˜ oes abreviativas: visam abreviar ou substituir uma seq¨ uˆ encia de s´ımbolos de uma dada linguagem formal por uma express˜ ao metaling¨ u´ıstica. Vale observar que metalinguagem ´ e uma linguagem que se usa para se falar a respeito de uma outra linguagem, dita a linguagem-objeto. Isso significa que defini¸ co ˜es abreviativas jamais introduzem novos s´ımbolos em uma linguagem-objeto. Alguns autores consideram que definic˜ ¸ oes nominais s˜ ao casos particulares de defini¸ co ˜es abreviativas. Para o leitor com pouca familiaridade com as no¸ co ˜es de linguagem e metalinguagem, ver Apˆ endice A. Comumente defini¸ c˜ oes abreviativas tˆ em a fun¸c˜ ao de atribuir um significado a alguma seq¨ uˆ encia de s´ımbolos de uma linguagem formal. 2. Defini¸ c˜ oes ampliativas: como o nome sugere, essas defini¸ c˜ oes ampliam uma linguagem formal, acrescentando novos s´ımbolos a ela. Existem diversas maneiras para se ampliar uma linguagem formal com novos s´ımbolos. Detalhes s˜ ao vistos adiante. 3. Defini¸ c˜ oes tarskianas: s˜ ao aquelas que definem conjuntos em uma dada estrutura, sendo que essa estrutura ´ e uma interpreta¸ ca ˜o de uma dada linguagem formal. Detalhes s˜ ao vistos no Cap´ıtulo 3. O interessante a notar ´ e que, ao contr´ ario do que ocorre em defini¸co ˜es ampliativas, n˜ ao se definem aqui s´ımbolos novos em uma dada linguagem formal, mas s´ımbolos novos em uma interpreta¸ c˜ ao de uma certa linguagem formal. As defini¸c˜oes ampliativas podem ainda ser divididas em mais duas categorias: 1. Defini¸ c˜ oes semˆ anticas: s˜ ao aquelas que introduzem novos s´ımbolos a uma dada linguagem formal por uso de um s´ımbolo metaling¨ u´ıstico usualmente denotado por =def ou , entre outras
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
poss´ıveis nota¸ c˜ oes. Um exemplo ´ e a defini¸ c˜ ao da equivalˆencia l´ ogica no c´ alculo predicativo de primeira ordem Q dada por (A
⇔ B) =def (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A),
sendo que A e B s˜ a o f´ ormulas de Q. 2. Defini¸ c˜ oes sint´ aticas: s˜ ao aquelas que introduzem novos s´ımbolos a uma teoria formal, portanto, a uma correspondente linguagem formal, por meio de acr´ escimo de axiomas ` a teoria. Estes axiomas novos devem satisfazer ` a condi¸ c˜ ao de eliminabilidade no sentido de que qualquer f´ ormula da nova teoria na qual o novo s´ımbolo definido ocorra ´ e equivalente (em sentido preciso) a alguma f´ ormula na qual o novo s´ımbolo n˜ ao ocorra.
˜ 1.1 Observac¸ao ´ um erro comum a opini˜ E a o de que defini¸ c˜ oes n˜ ao podem ser demonstradas. Isso depende do tipo de defini¸ c˜ ao que se considera. No caso das defini¸ c˜ oes sint´ aticas anteriormente introduzidas, por serem axiomas (do ponto de vista l´ ogico), s˜ ao certamente demonstr´ aveis, no sentido de que s˜ ao teoremas. Isso porque, em uma teoria formal, todo axioma ´e um teorema. Com efeito, considere qualquer demonstra¸ ca ˜o na qual h´ a apenas uma f´ ormula A. Essa f´ ormula necessariamente ser´ a um axioma, pois uma demonstra¸ca ˜o ´ e uma seq¨ uˆ encia de f´ ormulas tal que cada elemento dessa seq¨ uˆ encia ´ e um axioma ou conseq¨ uˆ encia direta de f´ ormulas anteriores. Como em tal demonstra¸ c˜ ao n˜ ao h´ a f´ ormulas anteriores, ent˜ ao A s´ o pode ser um axioma. Uma vez que um teorema ´e a u ´ltima f´ ormula de uma demonstra¸ c˜ao, ent˜ ao A ´ e tamb´ em teorema. Para detalhes a respeito dos conceitos de teorema e demonstra¸ c˜ ao, ver Apˆ endice A ou [52]. Para um desenvolvimento a respeito de defini¸ c˜ oes ampliativas sint´ aticas, ver Cap´ıtulo 2 e 4. N˜ao existe qualquer correspondˆencia biun´ıvoca entre as defini¸c˜oes ampliativas e as abreviativas. Podem existir duas defini¸c˜oes ampliativas “inconsistentes” que correspondem a uma mesma defini¸ca˜o abreviativa. Por exemplo, no c´alculo predicativo de primeira ordem Q, pode-se definir a disjun¸c˜a o de duas formas equivalentes como se segue: A
∨ B =def (¬A) ⇒ B,
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˜ Introduc¸ ao
ou A
∨ B =def (¬B) ⇒ A,
as quais s˜ao duas defini¸co˜es ampliativas “incompat´ıveis” j´a que o definiens em cada defini¸ca˜o ´e uma f´ormula diferente. No entanto, sob outro ponto de vista, as duas defini¸c˜oes ampliativas podem corresponder a uma mesma defini¸c˜ao abreviativa dada, por exemplo, pela seguinte afirma¸ca˜o: A B corresponde a dizer que pelo menos uma das f´ ormulas, A ou B, ´e verdadeira segundo Tarski (para a no¸c˜ao de verdade tarskiana ver Apˆendice D). Pesquisadores podem dividir as defini¸co˜es formais de uma maneira mais parecida com aquilo que ´e feito em outras obras como [49], por exemplo. Assim, poder´ıamos classificar as defini¸c˜oes formais como:
∨
1. Defini¸ c˜ oes por abstra¸ c˜ ao: dada uma classe de objetos que tˆ em em comum uma dada propriedade, pode-se abstrair tal propriedade dos objetos dessa classe e, a partir dessa abstra¸ ca ˜o, definir um novo ob jeto. Considere, para fins de ilustra¸ c˜ ao, um conjunto u cujos elementos sejam conjuntos. Pode-se definir uma rela¸ c˜ ao bin´ aria entre os elementos de u da seguinte maneira:
∼
∼ b =def a e b s˜ao equipotentes.
a
Vale lembrar que dois conjuntos a e b s˜ ao equipotentes se, e somente se, existe uma fun¸ c˜ ao bijetora com dom´ınio a e co´ f´ dom´ınio b. E acil provar que a rela¸c˜ ao ´ e reflexiva, sim´ etrica e transitiva, ou seja, para quaisquer a, b e c pertencentes a u, tem-se, respectivamente,
∼
∼ a,
a a
∼ b implica b ∼ a
e
∼ b e b ∼ c implica a ∼ c. Isso equivale a dizer que ∼ ´ e uma rela¸ c˜ ao de equivalˆencia. Sabese tamb´ em que uma rela¸ca ˜o de equivalˆ encia ∼ qualquer em um a
conjunto como u sempre permite definir uma parti¸ c˜ ao em u, ou seja, u pode ser considerado como a uni˜ ao de subconjuntos s1 , s2 , ... de u, de modo que esses subconjuntos satisfa¸ c am as seguinte propriedades:
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
(a) a uni˜ ao de todos os si ´ e igual a u;
∩ sj ´e o conjunto vazio ∅; (c) para todo j, se a e b pertencem a sj , ent˜ ao a ∼ b.
(b) se si = s j , ent˜ ao a interse¸c˜ ao si
Cada sj ´e dito uma classe de equivalˆ encia de u relativamente ` a rela¸ca ˜o . No caso particular em quest˜ ao, a rela¸ c˜ ao ´ e definida em termos de equipotˆ encia entre conjuntos. Do p onto de vista intuitivo, dois conjuntos equipotentes tˆ em em comum o “n´ u mero de elementos”. Por exemplo, um conjunto com dois elementos s´ o pode ser equipotente a um conjunto com dois elementos. A partir disso, pode-se definir, por abstraca ¸ ˜o, o conceito de cardinal. O cardinal de um conjunto a de u ´ e um termo denotado por card(a) que corresponde ` a classe de equivalˆ encia sj da qual a ´ e elemento. Ou seja, o cardinal 2 ´ e, por abstra¸ c˜ ao, a classe dos equipotentes a algum conjunto que tem, intuitivamente falando, dois elementos. Pode parecer circular, mas n˜ ao ´ e. Pode-se considerar, por exemplo, que o cardinal 2 ´ e a classe dos equipotentes ao conjunto , , desde que se tenha qualificado de forma clara quem ´e o conjunto u. Do ponto de vista intuitivo, o conjunto , tem dois elementos, a saber, o conjunto vazio e o conjunto unit´ ario (n˜ao-vazio) , que tem como u ´ nico elemento o conjunto vazio. E h´ a algo em comum entre todos os conjuntos equipotentes a , : todos tˆ em dois elementos. Desse modo, o cardinal 2 ´ e, p or abstra¸ ca ˜o, o conjunto dos equipotentes a , .
∼
∼
{∅ {∅}}
{∅ {∅}}
∅
{∅}
{∅ {∅}}
{∅ {∅}}
Defini¸ c˜ oes por abstra¸ ca ˜o s˜ ao extremamente interessantes para definir os chamados cardinais transfinitos, que correspondem a classes de equivalˆ encia entre conjuntos infinitos. Mas essa ´ e uma quest˜ ao que escapa dos prop´ ositos deste livro e ´ e melhor esclarecida em [54]. Tamb´ em ´ e poss´ıvel definir fun¸ c˜ o es por abstra¸ c˜ ao a partir de uma dada f´ ormula bem formada em uma teoria formal. Essa ´e uma quest˜ ao que deixo a cargo do leitor, na lista de exerc´ıcios de pesquisa. 2. Defini¸ c˜ oes por meio de recurs˜ a o: freq¨ uentemente ´ e necess´ aria a defini¸ ca ˜o de certas seq¨ uˆ encias da seguinte maneira: x0 = a, xn+1 = f (xn ), sendo que a ´ e uma constante real, n = 0, 1, 2, 3,..., cada xn ´ e a imagem de uma seq¨ uˆ encia de n´ umeros reais e f ´ e uma fun¸ca ˜o
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˜ Introduc¸ ao
com dom´ınio e co-dom´ınio no conjunto dos n´ umeros reais. Intuitivamente, h´ a uma “semente” x0 = a a partir da qual outros elementos da seq¨ uˆencia xn (x1 , x2 , ...) s˜ ao obtidos por meio do uso do procedimento recursivo xn+1 = f (xn ). Para detalhes sobre defini¸ co ˜es por meio de recurs˜ ao, ver [49] e [30]. 3. Defini¸ c˜ oes por meio de composi¸ c˜ ao: uma fun¸c˜ ao definida por composi¸ca ˜o ´e aquela que se define a partir da composi¸ c˜ao entre duas fun¸ co ˜es. Composi¸ ca ˜o entre fun¸ co ˜es se encontra em in´ umeros textos elementares de matem´ atica, bem como em livros de c´ alculo diferencial e integral, e de pr´ e-c´alculo. 4. Defini¸ c˜ oes operacionais: s˜ ao aquelas que definem um dado predicado a partir de alguma opera¸ c˜ ao realizada sobre o termo no qual esse predicado deve se aplicar. Por exemplo, um numero ´ inteiro positivo n ´ e, por defini¸ c˜ ao operacional, par se, e somente ´ se, a opera¸ ca ˜o ‘n dividido por 2’ resultar em um resto nulo. E uma analogia com as defini¸ c˜ oes operacionais informais vistas anteriormente. Uma discuss˜ao mais detalhada a respeito de assuntos correlatos ´e feita no decorrer do livro. Resumidamente, pode-se esquematizar os diferentes tipos de defini¸ca˜o da seguinte forma:
Abreviativa Formal Ampliativa Semˆantica Tarskiana Sint´atica Operacional Ostensiva Defini¸ca˜o Gˆenero e diferen¸ca Informal Contextual ıcita Expl´ Por abstra¸ca˜o Outros tipos
H´a ainda outros tipos de defini¸co˜es que podem estar inseridas entre aquelas brevemente discutidas, mas que n˜a o s˜ao descritas detalhadamente, como as defini¸co˜es por postulados, que servem para definir teorias, sejam formais ou n˜ ao. Por “teoria”, entende-se o conhecimento sistematicamente organizado e de car´ ater geral, usualmente estudado por grupos da chamada comunidade cient´ıfica. N˜ao se pretende neste livro qualquer compromisso com uma no¸c˜ao
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
mais precisa para a palavra teoria, optando-se pelo senso comum daquilo que a comunidade cient´ıfica entende na pr´atica por teoria. Uma defini¸c˜ao por postulados pode, em certos casos, ser considerada como um caso particular de defini¸c˜ao ampliativa em uma linguagem suficientemente rica para tal prop´osito; mas pode tamb´ em ser um caso de defini¸ca˜o informal. ´ E importante observar que a classifica¸c˜ao aqui apresentada n˜ao tem por meta encerrar a extensa discuss˜ao sobre defini¸c˜oes na literatura com uma lista definitiva dos diferentes tipos de defini¸c˜oes existentes atualmente. Essa classifica¸c˜ao ´e apenas uma primeira aproxima¸ca˜o para uma vis˜ao geral do tema. No pref´ acio, o professor Newton da Costa deixa claro que tanto as defini¸c˜oes formais abreviativas quanto as ampliativas podem ser dadas, em particular, por abstra¸c˜ao. Mas na classifica¸c˜ao proposta neste livro as defini¸c˜oes por abstra¸c˜ao s˜ao apresentadas como um caso particular das informais. Existem defini¸c˜oes dadas por abstra¸c˜ao tamb´em entre as formais. Com isso o leitor ´e incentivado a fazer uma nova classifica¸c˜ao, baseada na leitura deste livro, usando as referˆencias citadas ao longo do texto e/ou fontes de pesquisas individuais. O mais importante ´e que se tenha uma vis˜ao pessoal sobre o tema que pode ser atualizada com novas informa¸co˜es e reflex˜oes.
.
Exerc´ıcios regulares 1. Dˆe exemplos de defini¸ co ˜es operacionais em ciˆ encias emp´ıricas. 2. Dˆe exemplos de defini¸ co ˜es ostensivas em ciˆ encias emp´ıricas. 3. Dˆ e exemplos de defini¸c˜ oes por gˆ enero e diferen¸ ca em ciˆ encias emp´ ıricas.
.
Exerc´ıcios de pesquisa 1. Discuta com seus colegas e professores, ou orientadores, sobre o uso de defini¸ c˜ oes informais operacionais, ostensivas e por gˆ enero e diferen¸ ca, assim como poss´ıveis rela¸ co ˜es entre elas.
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˜ Introduc¸ ao
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2. Verifique na literatura outras regras que as defini¸c˜ oes devem satisfazer e fa¸ ca uma an´ alise cr´ıtica de tais regras. 3. Verifique na literatura outros tipos diferentes de defini¸ ca ˜o.
.
˜ cient´ıfica Iniciac¸ao 1. Fa¸ca uma compara¸ c˜ ao entre autores que discutem sobre o conceito de “defini¸ca ˜o” em matem´ atica. 2. Elabore um question´ ario de entrevista para alunos, professores e/ou pesquisadores sobre quest˜ oes relacionadas ao conceito de “defini¸ c˜ ao” em matem´atica e ciˆ encias que fazem uso da matem´ atica. Fa¸ ca uma an´ alise criteriosa das respostas.
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Teoria de Les´ niewski
Quem foi Les´ niewski A maioria das id´eias apresentadas neste Cap´ıtulo foram introduzidas originalmente por Stanislaw Le´sniewski (1886-1939). Nascido em Serpuchov, Polˆonia, e filho de engenheiro ferrovi´ario, Le´sniewski viajou muito durante sua juventude por causa do trabalho do pai. Cursou o ensino secund´ ario na cidade de Irkutsk, na Sib´eria. Doutorou-se em 1912 na Universidade Polonesa de Lw´ ow, onde estudou filosofia e matem´atica sob a orienta¸c˜ao de Waclaw Sierpinski. Seus primeiros artigos foram publicados quando ainda era doutorando, e depois foram traduzidos para o russo. Durante a I Guerra Mundial, ele se estabeleceu em Moscou, onde publicou um trabalho original´ıssimo sobre uma teoria formal chamada mereologia , que trata do estudo sistem´atico da parte e do todo. Em 1919, Le´sniewski retorna `a Polˆonia e assume a cadeira de filosofia da matem´atica em um centro de matem´atica rec´em-criado por Janiszewski e Mazurkiewicz. Posteriormente, este centro se tornou referˆ encia internacional, onde tamb´em foi criada a revista Fundamenta Mathematicae . Le´sniewski teve alunos importantes, como Alfred Tarski, considerado um dos quatro maiores l´ogicos da Hist´oria.
´ Pre-requisitos Segundo Le´sniewski, as defini¸c˜oes s˜ao ampliativas, ou seja, introduzem novos s´ımbolos em uma dada linguagem formal. Neste Cap´ıtulo o termo “teoria” se refere a uma teoria de primeira ordem; no entanto, h´a a possibilidade de os resultados expostos serem estendidos para
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
teorias de ordem superior. Ainda que sejam consideradas defini¸c˜oes somente no escopo das teorias de primeira ordem com igualdade, as id´eias expostas permitem abranger grande parte das teorias usualmente estudadas e empregadas em matem´atica. Deve ficar claro que a linguagem formal usada a partir deste cap´ıtulo ´e a mesma de uma teoria de primeira ordem. Para detalhes, ver Apˆendice B.
˜ gerais Considerac¸ oes Toda defini¸c˜ao segundo Le´sniewski, corresponde `a introdu¸c˜ao de um novo s´ımbolo na linguagem de uma dada teoria. Mas aqui s˜ao consideradas somente defini¸c˜oes de constantes individuais, letras predicativas e letras funcionais. Esta ´e uma exposi¸ca˜o semelhante `a encontrada em [60]. S´ımbolos s˜ao introduzidos em uma dada linguagem formal por meio de equivalˆencia ( ) ou de igualdade (=). Para detalhes dos s´ımbolos de equivalˆ encia e igualdade, ver Apˆendice B. Neste contexto e do ponto de vista l´ogico, uma defini¸c˜ao ´e um axioma, pois as regras de inferˆencia da teoria podem ser aplicadas `as defini¸c˜oes, de modo que teoremas podem ser obtidos a partir delas. Mas esses novos axiomas devem satisfazer a condi¸co˜es especiais. Por´em ´e importante notar que em uma teoria que n˜ao tem defini¸ ca˜o, diz-se que seus s´ımbolos s˜ao primitivos. Didaticamente, axiomas de uma teoria T sem defini¸co˜es podem ser chamados de axiomas originais de T . Alguns autores preferem n˜ao chamar as defini¸co˜es de axiomas, mas essa ´e uma conven¸ca˜o simplesmente did´atica. No caso de uma teoria que tem uma defini¸c˜ao, essa ´e uma f´ ormula (axioma) que expressa o significado de um novo s´ımbolo c1 em termos dos s´ımbolos primitivos da teoria. A segunda defini¸c˜ao ´e uma f´ormula que expressa o significado de um novo s´ımbolo c 2 em termos dos s´ımbolos primitivos e/ou em termos de c1 . Analogamente, podem ser definidos s´ımbolos c3 , c 4 etc. Para tanto, qualquer f´ormula F que introduza um novo s´ımbolo c em uma dada teoria T deve satisfazer, idealmente, apenas dois crit´erios.
⇔
Crit´ erio da eliminabilidade: se F1 ´e uma f´ormula na qual c ocorre, ent˜ ao existe f´ormula F 2 , de modo que c n˜ao ocorre em F 2 e (F (F1 F2 )) ´e um teorema obtido a partir dos axiomas originais de T e das defini¸c˜oes que antecedem a defini¸ca˜o de c.
⇒ ⇔
Crit´erio da n˜ ao-criatividade: n˜ ao existe em T qualquer f´ ormula C (dita f´ ormula criativa) na qual c n˜ ao ocorre e que (F C) ´e um teorema obtido a partir dos axiomas originais de T e das defini¸c˜oes que antecedem a defini¸c˜ao de c, mas C n˜ao ´e teorema obtido do mesmo modo.
⇒
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Teoria de Le´sniewski
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Eliminabilidade significa que ao se escrever uma f´ormula usando um dado conceito definido, a mesma pode ser reescrita de forma equivalente sem qualquer men¸c˜ao expl´ıcita a esse conceito. N˜ao-criatividade significa ser imposs´ıvel de se obter novos resultados a partir da defini¸ca˜o. Um exemplo de novo resultado em uma teoria consistente (livre de contradi¸co˜es) seria justamente uma contradi¸c˜ao. No entanto, em geral n˜ao h´ a como garantir que uma teoria T seja consistente (n˜ao conduz a contradi¸c˜oes). Por isso, o crit´erio de n˜ao-criatividade ´e, na verdade, ideal. Exemplos de f´ormulas n˜ ao-elimin´ aveis e tamb´em criativas s˜ao dados posteriormente. Esses crit´erios garantem o fato de que, mesmo ampliando a linguagem de T , defini¸c˜oes n˜ao permitem que “essencialmente modifiquemos” T . Afinal, Defini¸ c˜ oes s˜ ao axiomas elimin´aveis e n˜ ao-criativos. ´ claro que nesse slogan alguns abusos foram cometidos. Afinal, o leitor E pode questionar: se uma defini¸c˜ao ´e um axioma, ent˜ao ao se definir um ou mais conceitos em uma teoria T , cria-se com isso uma nova teoria T , com mais s´ımbolos e mais axiomas, o que ´e, a rigor, um fato. No entanto, ao satisfazerem os crit´ erios de eliminabilidade e n˜ao-criatividade, as defini¸c˜oes s˜ao axiomas que n˜ ao “modificam” essencialmente a teoria T . Se M ´e modelo de T , ent˜ao M ser´a tamb´em modelo de T e vice-versa. Esse ponto de vista semˆantico ´e importante, pois esta abordagem semˆantica permite a obten¸c˜ao de preciosos resultados, expostos na discuss˜ao sobre o princ´ıpio de Padoa. Diz-se que um conceito c est´a bem definido quando obedece os crit´ erios de eliminabilidade e n˜ao-criatividade. O termo “estar bem definido” a rigor ´e desnecess´ ario neste contexto, pois um dado conceito ´e ou n˜ao definido. Mas como ´e comum na literatura se falar em conceitos “bem definidos”, ent˜ao, fica esclarecido um usual significado do ponto de vista l´ogico. O problema ´e que alguns autores, com freq¨ uˆencia, fazem uso das chamadas defini¸c˜ oes condicionadas ou condicionais , as quais n˜ao s˜ao propriamente defini¸c˜oes. Detalhes sobre o assunto s˜ao apresentados no item Divis˜ao por zero no Cap´ıtulo 6. Mas aqui, qualquer estudo sobre as chamadas defini¸c˜oes condicionadas e´ irrelevante, pois elas n˜ao s˜ao realmente defini¸c˜oes. Na pr´atica, o termo “estar bem definido” pode assumir outras acep¸c˜oes. Pode se referir, por exemplo, a uma f´ormula que satisfaz apenas ao crit´ erio de eliminabilidade. Com respeito `a n˜ ao-criatividade, pode haver simplesmente um consenso entre matem´aticos j´a que aparentemente a f´ormula em quest˜ao n˜ ao permite a dedu¸ca˜o de novos resultados que antes n˜ao eram poss´ıveis de se deduzir. Mas, `as vezes, demonstra¸co˜es de n˜ao-criatividade s˜ao poss´ıveis. Nas se¸c˜oes seguintes s˜ao mostradas t´ecnicas para se definir constantes, opera¸c˜oes e rela¸co˜es, de modo a atender os crit´erios dados. Ent˜ao, qual ´e o aspecto de uma f´ormula que introduz um novo s´ımbolo em uma teoria de modo a atender os crit´erios de eliminabilidade e n˜ao-criatividade? Isso depende do tipo de conceito que se deseja definir e da maneira como ´e definido.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
ˆ ˜ Equivalencias definindo relac¸ oes Uma rela¸c˜ao n-´aria ´e dita uma rela¸ca˜o mon´ adica quando n = 1. Se n = 2, diz-se que a rela¸c˜ao ´e bin´aria. Se n = 3, a rela¸ca˜o ´e dita tern´aria e assim por diante. N˜ao confundir, no presente contexto, rela¸co˜es com rela¸c˜oes conjuntistas. As u ´ ltimas s˜ao conjuntos de n-uplas ordenadas, enquanto as primeiras s˜ao letras predicativas, digamos, de uma teoria de primeira ordem. Uma rela¸c˜ao n-´ aria R pode ser definida em uma teoria de primeira ordem por uma equivalˆencia da forma R(x1 ,
··· , xn) ⇔ F,
sendo que as seguintes condi¸co˜es devem ser satisfeitas: 1. x1 ,
· ··, xn s˜ao vari´aveis distintas.
2. F n˜ ao tem ocorrˆ encias livres de vari´ aveis distintas de x1 , xn .
···,
3. As u ´ nicas constantes individuais em F s˜ ao s´ımbolos primitivos e/ou s´ımbolos previamente definidos.
˜ 2.1 Observac¸ao
···
R(x1 , , xn ) ´ e uma f´ ormula atˆ o mica. As condi¸ c˜ oes anteriores garantem que tal f´ ormula ´e elimin´ avel e n˜ ao-criativa, conforme o que se ilustra nos exemplos a seguir.
Exemplo 2.1
· ··
Exigir que x1 , , xn sejam vari´ aveis distintas evita “pseudodefini¸ c˜ oes” de, por exemplo, rela¸c˜ oes n˜ ao-mon´ adicas, que acabam fazendo referˆencia a apenas uma vari´ avel individual. Em outras palavras, evita situa¸ co ˜es indesej´ aveis como x
≤ x ⇔ (x = x ∨ x < x), a qual acaba por n˜ ao definir a rela¸ ca ˜o ≤. Com efeito, a suposta defini¸ ca ˜o de ≤ dada pela f´ ormula acima n˜ ao permite que sejam
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Teoria de Le´sniewski
eliminadas f´ ormulas como x y, pois nada se sabe a respeito de x y quando x ´ e diferente de y. Portanto, o crit´ erio de eliminabilidade n˜ ao ´ e satisfeito.
≤
≤
Exemplo 2.2 A condi¸ c˜ ao de que F n˜ ao tem ocorrˆ encias livres de vari´ aveis diferentes de x1 , , xn evita criatividade. Considere a “pseudodefini¸ ca ˜o” que segue abaixo:
· ··
⇔ x = y.
R(x)
Na f´ ormula acima, a vari´ avel y tem uma ocorrˆ encia livre em x = y, mas n˜ ao tem ocorrˆ encia alguma em R(x). A partir dessa f´ ormula, conclui-se que se existe y tal que x = y, ent˜ ao R(x). Em contrapartida, a partir da mesma f´ ormula tamb´em se conclui que se R(x), ent˜ ao, para qualquer y (uma vez que y ocorre livre em x = y, basta aplicar a regra de inferˆ encia generaliza¸ cao ˜ das teorias de primeira ordem) tem-se x = y. Pela transitividade da condicional, tem-se que se existe y tal que x = y, ent˜ ao para todo y, tem-se x = y, o que evidentemente ´e uma afirma¸ca ˜o falsa. Em outras palavras, ´e poss´ıvel obter uma afirma¸ c˜ao (uma f´ ormula) que antes (da “pseudodefini¸ ca ˜o”) n˜ ao era (pelo menos a princ´ıpio) poss´ıvel de se obter. Resumidamente, a f´ ormula R(x) x = y viola o crit´erio de n˜ ao-criatividade.
⇔
Exemplo 2.3 A terceira condi¸ ca ˜o para definir rela¸ c˜ o es, de que as u ´ nicas constantes individuais em F s˜ ao s´ımbolos primitivos e/ou s´ımbolos previamente definidos, evita certas “circularidades”. Se, por exemplo, for definido que x ´ e congruente a y se, e somente se, x ´ e congruente a y, ocorre aquilo que intuitivamente se chama de circularidade. Uma f´ ormula desse tipo n˜ ao satisfaz o crit´ erio de eliminabilidade, pois n˜ ao h´ a como eliminar a rela¸ca ˜o de congruˆencia em tal equivalˆ encia.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
ˆ ˜ Equivalencias definindo operac¸ oes Opera¸c˜oes n-´arias se aplicam a n-uplas ordenadas, ou seja, a termos da forma (x1 ,...,xn ). A id´eia intuitiva de uma opera¸ca˜o n-´ aria ´e a obten¸ca˜o de um termo a partir de n termos previamente dados. Termos podem ser, por exemplo, vari´aveis individuais ou mesmo constantes individuais. Um exemplo bem conhecido de opera¸c˜ao bin´ aria na aritm´etica elementar ´e a adi¸ca˜o usual de n´ umeros naturais. Um exemplo de opera¸c˜ao mon´ adica ´e o oposto de um n´ umero inteiro. Para se definir opera¸co˜es s˜ao necess´arios crit´erios an´alogos `aqueles que foram empregados em rela¸ co˜ es. Mas ainda h´ a necessidade de uma quarta condi¸c˜ao. Uma opera¸ca˜o n-´ aria O pode ser definida por uma equivalˆencia da forma O(x1 ,...,xn ) = y
⇔ F,
sendo que as seguintes condi¸co˜es devem ser satisfeitas: 1. x1 ,
· ··, xn e y s˜ao vari´aveis distintas.
2. F n˜ ao tem ocorrˆ encias livres de vari´ aveis diferentes de x1 , ..., xn , y. 3. As u ´ nicas constantes individuais em F s˜ ao s´ımbolos primitivos e/ou s´ımbolos previamente definidos. 4. A f´ ormula ( !y)F ´e demonstr´ avel a partir dos axiomas e definic˜ ¸ oes precedentes da teoria.
∃
Exemplo 2.4 A novidade aqui ´ e a quarta condi¸ ca ˜o. Exigir que a f´ ormula ( !y)F seja demonstr´ avel a partir dos axiomas e defini¸ co ˜es precedentes da teoria evita (em princ´ıpio ou, pelo menos, idealmente) contradi¸ c˜ o es e, portanto, criatividade. Considere, como exemplo, uma pseudo-opera¸ ca ˜o entre n´ umeros naturais “definida” como
∃
x y = z se, e somente se,
x,y,z s˜ ao n´ umeros pares.
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23
Teoria de Le´ Lesniewski s´ niewski
Nesse caso, fica f´ acil acil provar que 24 = 6 e 2 4 = 8, 8, o que implica que 6 = 8. Acon Aconte tece ce que que 6 = 8 ´ e uma um a f´ ormula ormula que n˜ ao ao poderia ser demonstrada demonstrada na aritm´ aritm´ etica etica dos n´ umeros umeros naturais (se devidamente formulada como uma teoria formal), antes antes da pseudo-opera¸ pseudo-opera¸ c˜ ao ser ser “defini “definida da”. ”. Logo, Logo, a f´ ormula ormula que “define” ´ e criativ criativa. a. De um ponto de vista intuitivo intuitivo que se identifique com as antigas concep¸ c˜ coes o ˜es acerca de defini¸c˜ coes, o ˜es, essa quarta condi¸ c˜ c˜ ao ao serve para evitar ambig¨ uidades. uidades.
˜ 2.2 Obse Ob serrva vac c¸ao As trˆ es es primeiras primei ras condi¸ condi c˜ c¸oes o ˜es para defini¸ c˜ c˜ ao ao de opera op era¸ c˜ c¸oes o ˜es se justificam de forma an´ aloga aloga ` aquelas aquelas para rela¸ c˜ c˜ oes. o es. Co Com m efeit efeito, o, a quarta condi¸ c˜ cao a ˜o garante que se a f´ ormula ormula O(x1 ,...,xn ) = y
⇔ F
define uma opera¸ c˜ cao, a ˜o, ent˜ ao ao sempre sem pre ´ e poss´ po ss´ ıvel ıvel definir defi nir uma relarel a¸˜ c ao (n + 1)-´ 1)-´ aria aria R tal que
⇔ O( O (x ,...,xn ) = y.
R(x1 ,...,xn , y )
1
ˆ Equivalencias definindo constantes Constantes individuais est˜ ao ao comumente comumente presentes em teorias de primeira ordem. Um exemplo bem conhecido ´e o zero (0) nos n´umeros umeros naturais. Uma constante individual c pode ser definida definida por uma equivalˆ equivalˆ encia encia da forma c = w = w
F , ⇔ F,
sendo que as seguintes condi¸c˜ coes o˜es devem ser satisfeitas:
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24
˜ O que e´ uma Defin Definic ic¸ao
1. F n˜ ao ao tem ocorrˆ oc orrˆencias enci as livres liv res de vari´ aveis aveis difere dif erente ntess de w. 2. As unicas u ´ nicas constantes individuais em F s˜ ao ao s´ımbolos ımbo los primitivos primit ivos e/ou s´ımbolos ımbo los previamente previa mente definid d efinidos. os.
∃
3. A f´ ormula ormula ( !w)F ´e demonstr´ demons tr´ avel avel a partir parti r dos axiomas axioma s e definidefini c˜ ¸ c˜ oes precedentes da teoria. oes
˜ 2.3 Obse Ob serrva vac c¸ao A necess necessidad idade e da condi¸ condi¸ c˜ cao a ˜o 1 e 2 se justifica justifica de forma an´ aloga aloga ` a necessidade de condi¸ c˜ coes o ˜es similares para a defini¸ c˜ cao a ˜o de uma opera¸ c˜ cao. a ˜o.
Igualdades definindo constantes Defini¸c˜ coes o˜es de constantes individuais por meio de igualdades sofrem s´ erias erias limita¸c˜ c˜oes, oes, pois nem sempre sempre ´e poss´ poss´ıvel ıvel definir definir uma constante constante por meio de igualdade, sem uso de equivalˆ equivalˆencia. encia. Por exemplo, pode-se p ode-se definir na teoria de corpos corpo s (ver Apˆendice endice B), o n´ n umero u ´ mero zero (representado (representado pelo s´ımbolo “0”) por meio de d e uma equivalˆencia encia da seguinte seg uinte maneira: man eira: 0 = x se, x se, e somente se, para todo y todo y tem-se y tem-se y + + x = y = y.. No entanto, se a linguagem da teoria de corpos for de primeira ordem nos moldes do que se apresenta no Apˆ endice endice B, n˜ao ao h´ a como reescrever a f´ormula ormula ´ que define 0 sem o uso da equivalˆ equivalˆencia encia “se, e somente se”. E claro que se os n´ umeros umeros 1 e 1 fossem de alguma forma definidos por meio de equivalˆ equivalˆencias, encias, o n´ umero 0 poderia ser definido somente por meio de uma igualdade do seguinte umero tipo:
−
−
0 = 1 + ( 1). 1). Quando igualdades podem ser usadas para definir constantes individuais, convenc convenciona-s iona-see que o lado esquerdo esquerdo da igualdade igualdade ´e o definiendum definiendum e o lado direito, o definiens . definiens . Naturalme Naturalmente, nte, nos dois lados da igualdade igualdade h´ a termos e vale a propriedade de simetria da igualdade. Essa distin¸c˜ c˜ao ao entre definiendum entre definiendum e definens asseme definens assemelha-se lha-se a uma um a quest˜ qu est˜ao ao de nota¸c˜ cao. a˜o. Desse modo, mo do, quando qua ndo poss po ss´´ıvel, uma constante c onstante individu i ndividual al c c pode pode ser definida por uma igualdade da forma c = t, = t,
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Teoria de Le´ Lesniewski s´ niewski
sendo que as seguintes condi¸c˜ coes o˜es devem ser satisfeitas: 1. O termo t n˜ ao ao tem ocorrˆ oc orrˆencias enci as livres liv res de vari´ aveis aveis indivi ind ividua duais. is. 2. As unicas u ´ nicas constantes individuais em t s˜ ao ao s´ımbolos ımbo los primitivos primit ivos e/ou s´ımbolos ımbo los previamente previa mente definid d efinidos. os.
∃
N˜ao ao h´ a necessidade de se exigir que a f´ormula ormula ( !t)(t )(t = c = c)) seja demonstr´aa-vel, pois a partir das propriedades da igualdade tal condi¸c˜ cao a˜o j´ a ´e automat auto maticaicamente satisfeita.
˜ Igualda Igu aldades des definindo defin indo operac opera c¸ oes Com argument argumentos os an´ alogos a logos aos da ultima u ´ ltima se¸c˜ cao, a˜o, nem sempre ´e poss´ıvel ıvel definir opera¸c˜ coes o˜es a partir de igualdad ig ualdades. es. Mas quando qu ando ´e poss p oss´´ıvel, uma opera¸ o pera¸c˜ c˜aaoo n-´aria O aria O pode ser definida por uma igualdade da forma O(x1 ,...,xn ) = t, sendo que as seguintes condi¸c˜ coes o˜es devem ser satisfeitas: 1. x1 ,...,xn s˜ ao ao vari´ aveis aveis distintas. 2. O termo t n˜ ao ao tem ocorrˆ oco rrˆ encias encias livres de vari´ aveis aveis individuai indiv iduaiss distintas de x1 ,...,xn . 3. As unicas u ´ nicas constantes individuais em t s˜ ao ao s´ımbolos ımbo los primitivos primit ivos e/ou s´ımbolos ımbo los previamente previa mente definid d efinidos. os. Analogamen Analogamente te ao caso anterior, anterior, n˜ao a o h´ a nece necess ssid idad adee de se exig exigir ir que que a f´ ormula ormula ( !w)(t )(t = w) seja demonstr´avel, avel, pois a partir das propriedades da igualdade, tal condi¸c˜ c˜ao ao j´ a ´e automaticamente automati camente satisfeita. satisfei ta.
∃
.
Exerc´ Exerc´ıcios ıcios regulares 1. Verifique se a teoria de defini¸ c˜ c˜ ao ao de Le´sniew sn iewsk skii ´ e uma um a teori teo ria a formal. formal. Justifique Justifique sua resposta. 2. Forne¸ ca exemplos que justifiquem as condi¸ ca c˜ coes o ˜es para a defini¸ c˜ cao a ˜o de constantes por meio de igualdades.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
3. Forne¸ ca exemplos que justifiquem as condi¸ co ˜es para a defini¸ ca ˜o de opera¸ co ˜es por meio de igualdades.
.
Exerc´ıcios de pesquisa 1. Em alguns tratados de aritm´ etica existe um operador de descric˜ ¸ ao “o objeto x tal que...”, simbolizado por “( x)”. Prove que o uso do operador de descri¸ ca˜o sempre permite definir constantes individuais por meio de igualdades na aritm´ etica. Para facilitar a busca de informa¸ c˜ oes sobre o assunto, vale lembrar que o operador de descri¸c˜ ao foi introduzido pela primeira vez pelo matem´ atico italiano Giuseppe Peano. 2. Procure na literatura por axiomatiza¸ c˜ oes para a aritm´ etica elementar e verifique se as constantes 0 e 1 podem ser definidas por meio de igualdades, e se ´ e poss´ıvel definir alguma (ou algumas) das opera¸ c˜ oes usuais da aritm´ etica p or meio de igualdade.
.
˜ cient´ıfica Iniciac¸ao 1. Em [31] D´ ecio Krause introduz uma teoria de conjuntos sem igualdade, mas com uma rela¸ ca ˜o bin´ aria mais fraca chamada de indisting¨ e conhecida como teoria de uibilidade . Tal teoria ´ quase-conjuntos. Vers˜ oes mais atuais dessa teoria podem ser encontradas em [32] e [58]. A quest˜ ao interessante para um trabalho de inicia¸ c˜ ao cient´ıfica e que provavelmente deve render uma publica¸ ca ˜o em revista especializada ´ e o problema da defini¸ ca ˜o de constantes individuais em quase-conjuntos empregando a rela¸ ca ˜o de indisting¨ uibilidade (no lugar de igualdade). Se for poss´ıvel, mostrar de que modo; caso contr´ ario, deve-se justificar.
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Teoria de Tarski
Quem foi Tarski Nas palavras de Patrick Suppes [65], Alfred Tarski foi um dos dois ou trˆ es nomes mais importantes que contribu´ıram em l´ogica e nos fundamentos da matem´ atica no s´eculo XX. Alfred Teitelbaum (nome original de Tarski) nasceu em 14 de janeiro de 1902, em Vars´ovia, na Polˆonia. Demonstrou muito cedo seu talento em matem´ atica, apesar do interesse em estudar biologia. Foi Stanislaw Le´sniewski quem o convenceu a se dedicar `a matem´ atica. Por muitas raz˜oes pessoais e profissionais, Teitelbaum decidiu, aos 21 anos de idade, mudar seu nome para Alfred Tarski. Em parte, era uma tentativa de ocultar sua origem judaica, pois atitudes anti-semitas sempre interferiram em sua vida. Tarski foi disc´ıpulo de grandes nomes da matem´ atica polonesa e tornou-se em 1924 o mais jovem doutor da hist´oria da Universidade de Vars´ ovia. Desde os 19 anos de idade passou a publicar artigos sobre teoria de conjuntos. Ao longo de sua carreira, fez contribui¸c˜oes extraordin´arias em l´ogica, muitas das quais est˜ao reunidas em [65]. Seu primeiro grande trabalho foi um artigo publicado em parceria com Stefan Banach em 1924, no qual se apresenta o resultado contra-intuitivo (hoje conhecido como teorema de Banach-Tarski) de que uma esfera pode ser cortada em um n´umero finito de peda¸cos de tal modo que, ao reagrup´ a-los (sem deforma¸c˜oes, lacunas ou superposi¸c˜oes), formam uma esfera de tamanho diferente. Esse estranho resultado ´e conseq¨uˆencia justamente da teoria de conjuntos que Tarski estudava. Entre suas demais contribui¸c˜oes destacam-se estudos sobre a no¸ca˜o de verdade, o conceito de definibilidade e a teoria de modelos, entre outras obras, totalizando cerca de 2.500 p´aginas de artigos originais.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Em 1939, Tarski viajou aos Estados Unidos para participar de um evento cient´ıfico. No mesmo ano, Adolf Hitler invadiu a Polˆ onia. Tarski conseguiu ref´ ugio nos EUA, mas somente em 1946 reencontrou sua esposa e seus dois filhos; seus pais e seu irm˜ao morreram, v´ıtimas do regime nazista. Foi professor, pesquisador e visitante em diversas institui¸c˜ oes nos Estados Unidos, Europa e Am´erica do Sul. Morreu em 26 de outubro de 1983, na cidade de Berkeley, EUA.
´ Estruturas e esp ecies de estruturas Um dos conceitos mais importantes em matem´atica, principalmente do ponto de vista de uma vis˜ao axiom´atica dessa ´area do conhecimento, ´e a no¸c˜ao de estrutura. A no¸ca˜o rigorosa de estrutura n˜ao ´e aqui dada, pois demanda uma sofistica¸c˜ao desnecess´a ria ao p´ ublico-alvo que pretende-se atingir. No entanto, apresenta-se um esbo¸co das principais id´eias, para os prop´ositos deste livro. Uma estrutura ´e um par ordenado, ou seja, um conjunto
e = D, R , sendo que D ´e um conjunto e R ´e um conjunto de rela¸co˜es conjuntistas definidas sobre D. Estas rela¸c˜oes conjuntistas podem ser mon´adicas (un´arias), bin´arias, tern´ arias etc. Tamb´em podem ser fun¸c˜o es, que s˜ ao casos particulares de rela¸c˜oes conjuntistas e que por vezes s˜ao chamadas de opera¸co˜es. D e os elementos de R s˜ao comumente ditos “conceitos primitivos” da estrutura e. Por abuso de linguagem chamaremos as rela¸c˜oes conjuntistas de rela¸c˜oes quando n˜ ao houver risco de confus˜ao.
Exemplo 3.1
Seja o conjunto dos n´ umeros reais e + a adi¸ ca ˜o usual entre n´ umeros reais. Logo , + ´ e uma estrutura, a saber, dos n´ umeros reais “munida” da adi¸ c˜ ao usual entre reais. Tal estrutura tem diversas propriedades, como a comutatividade da opera¸ c˜ ao + (a + b = b + a), a qual p ode ser descrita como uma fun¸ ca˜o
× → .
+:
Em outras palavras, + ´ e uma fun¸ca ˜o que associa a cada par ordenado (a, b) de n´ umeros reais um terceiro n´ umero real chamado de soma de a com b e denotado abreviadamente por a + b.
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Teoria de Tarski
J´a uma esp´ecie de estruturas ´e uma cole¸c˜ao de estruturas e = D, R que satisfazem a certas condi¸c˜oes ditas os axiomas da esp´ecie. Como a estrutura ´e sempre conjuntista (definida no ˆambito de alguma teoria de conjuntos), os axiomas da esp´ecie s˜ao formulados na mesma linguagem da teoria de conjuntos.
Exemplo 3.2 Considere a esp´ ecie de estruturas G, axiomas:
∗ que satisfaz os seguintes
1. G ´ e um conjunto n˜ ao-vazio. 2.
: G G G, ou seja, ´ e uma fun¸c˜ ao que se aplica a pares ordenados de elementos de G e cujas imagens s˜ ao tamb´ em elementos de G. Abreviamos (a, b) como a b.
∗
× →
∗
∗
∗ 3. Se a e b s˜ ao elementos de G, ent˜ ao a ∗ b = b ∗ a.
Um estrutura que serve de modelo para essa esp´ ecie ´ e a estrutura do exemplo anterior c˜ao (ver , + , pois tal interpreta¸ apˆ endices) satisfaz todos os trˆ es axiomas acima. Com efeito, o conjunto dos n´ umeros reais ´ e n˜ ao vazio, + ´ e uma fun¸ ca ˜o com dom´ınio e cujas imagens pertencem a e, al´ em disso, tal opera¸ ca ˜o ´ e comutativa, como exigido pelo terceiro axioma.
×
Em cap´ıtulos posteriores s˜ao apresentados diversos exemplos de esp´ecies de estruturas. Resumidamente, quando uma estrutura satisfaz (no sentido intuitivo da express˜ao) os axiomas de uma esp´ecie de estruturas, diz-se que essa estrutura ´e um modelo da esp´ecie de estruturas.
˜ em estruturas Definic¸oes Sempre podemos considerar, em princ´ıpio, uma estrutura como uma interpreta¸c˜ao de uma dada linguagem. Para detalhes, ver [66], no qual esta se¸c˜ao ´e fortemente baseada, e Apˆendice B e D. Uma referˆencia mais atual do que o trabalho original de Tarski ´e o livro sobre teoria de conjuntos de Winfred Just e Martin Weese [29]. ´ claro que a defini¸c˜ao de interpreta¸ca˜o dada no Apˆendice D faz men¸c˜ao E tamb´em a opera¸co˜es, constantes e seq¨uˆencias. No entanto, vale ressaltar que opera¸co˜es, constantes e seq¨uˆencias, no ˆambito da teoria de conjuntos, sempre podem ser representadas por meio de rela¸c˜ oes conjuntistas. A demonstra¸c˜ao desse fato fica como exerc´ıcio para o leitor.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Digamos, ent˜ao, que a linguagem em quest˜ao ´e de primeira ordem (ver Apˆ endice B). Chamemos essa linguagem de Λ. Seja ainda e = D, R uma interpreta¸ca˜o para Λ. Um conjunto X de e ´e dito defin´ıvel segundo Tarski se, e somente se, existe uma f´ormula bem formada ϕ(y) em Λ com apenas uma ocorrˆencia livre de uma vari´avel y, tal que x X se, e somente se, x satisfaz tal f´ormula. Assim sendo, dizemos que a f´ ormula ϕ(y) define o conjunto X . O exemplo abaixo sofre de muitos abusos de nota¸c˜ao e de terminologia. Mas deve ser suficientemente esclarecedor.
∈
Exemplo 3.3
Considere a estrutura , + , que ´ e uma interpreta¸c˜ ao para a teoria de grupos de primeira ordem dada no Apˆ endice B. Essa interpreta¸ c˜ ao ´ e um modelo de grupo (Apˆ endice D). Com efeito, basta verificar que todos os axiomas s˜ ao satisfeitos nessa interpreta¸ c˜ ao. Podemos, ent˜ ao, definir o conjunto 0 , ou seja, o conjunto unit´ a rio que tem como elemento o n´ umero real 0 (zero). Basta exibir uma f´ ormula da linguagem da teoria de grupos de primeira ordem que atenda ` as exigˆ encias expostas acima. Com efeito, considera-se a f´ ormula ϕ(xj )
{ }
∀xi(xi + xj = xi), sendo que xj (abreviado por 0) denota o elemento neutro da teoria de grupos de primeira ordem e que ´e interpretado em ´ f´ , + como o n´ umero real 0. E acil perceber que o elemento 0 do conjunto dos n´ umeros reais satisfaz essa f´ ormula. Portanto, define-se o conjunto unit´ ario 0 que, por sua vez, ´ e um subconjunto de .
{ }
Tarski chama a aten¸c˜ao para o fato de que existem subconjuntos de que s˜ao defin´ıveis nessa acep¸c˜ao, mas que tamb´em existem aqueles que n˜ao s˜ao. Na verdade esse resultado depende da linguagem Λ empregada e interpretada na estrutura. Mas esse ´e um resultado avan¸cado, al´em dos prop´ ositos da presente obra. Existem tamb´em generaliza¸c˜oes para a no¸ca˜o aqui apresentada, as quais tamb´em se identificam com uma concep¸c˜ao tarskiana de defini¸ca˜o e de definibilidade. No Cap´ıtulo 5, as defini¸c˜oes de espa¸co topol´ogico na teoria de espa¸cos topol´ogicos, de conjunto de vetores na teoria de espa¸cos vetoriais e de tempo no sistema MSS s˜ao exemplos que podem ser formalmente expressos como defini¸co˜es segundo Tarski.
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Teoria de Tarski
.
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Exerc´ıcios regulares 1. Forne¸ ca exemplos de defini¸ co ˜es segundo Tarski. 2. Mostre que um mesmo conceito (um certo conjunto) de uma estrutura pode ser definido de mais de uma maneira segundo Tarski.
.
˜ cient´ıfica Iniciac¸ao 1. Dˆ e exemplos de subconjuntos do conjunto dos n´ umeros reais que n˜ ao podem ser definidos segundo Tarski. Fa¸ ca uma detalhada discuss˜ ao sobre conceitos defin´ıveis e n˜ ao-defin´ıveis. Recomendamos a leitura de [66].
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Princ´ıpio de Padoa
Quem foi Padoa Alessandro Padoa nasceu no dia 14 de outubro de 1868 em Veneza, It´alia. Fez o curso secund´ario na cidade natal e, em seguida, estudou engenharia na cidade de P´a dua. Em 1895, concluiu um curso na ´area de matem´atica na Universidade de Turim. Sua atua¸ca˜o profissional teve in´ıcio em escolas secund´ arias de Roma, Pinerolo e Cagliari. Ainda assim, eventualmente ele apresentava palestras em universidades e congressos. A carreira cient´ıfica de Padoa foi fortemente influenciada pela escola de Peano de l´ogica matem´atica. No Congresso Internacional de Filosofia realizado em 1900 em Paris, Padoa apresentou uma hist´orica palestra intitulada (em francˆes) “Ensaio sobre uma teoria alg´ebrica de n´umeros inteiros, precedida por uma introdu¸c˜ao l´ogica a qualquer teoria dedutiva”. Nessa palestra ele anunciava um importante m´etodo em teoria da defini¸ca˜o cujo verdadeiro impacto foi sentido somente d´ ecadas mais tarde (ver [67], [5] [38]). Padoa esbo¸cou uma t´ ecnica que permite verificar se um dado conceito primitivo de uma teoria (nos moldes do que se entendia por teoria na ´epoca) era defin´ıvel (poderia ser definido) a partir dos demais conceitos primitivos dessa teoria. Entusiasmado com o resultado, Padoa escreve em seu artigo original que, Podemos agora responder completamente (e, acreditamos, pela primeira vez) uma quest˜ao da maior importˆancia em l´ogica.
No mesmo ano, Padoa apresentou uma palestra no Congresso Internacional de Matem´aticos, em Paris. Nessa palestra, ele falou sobre geometria euclidiana e sobre seu resultado em teoria da defini¸ca˜o, causando impacto entre os participantes.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
A partir de 1909, Padoa passou a lecionar no Instituto T´ecnico de Gˆenova. Em 1934, recebeu o prˆemio de Matem´ atica da Accademia dei Lincei. Faleceu em Gˆenova, aos 69 anos de idade.
ˆ Independencia, definibilidade Resumindo intuitivamente o que foi visto at´e agora, em uma dada teoria axiom´atica S (pode ser, por exemplo, uma teoria de primeira ordem, um predicado de Suppes ou mesmo uma esp´ecie de estruturas), um conceito primitivo c ´e defin´ıvel a partir dos demais se, e somente se, existe uma f´ormula bem formada apropriada que fixa o significado de c em termos dos demais conceitos (primitivos ou previamente definidos) de S , de modo a atender os crit´erios de eliminabilidade e n˜ao-criatividade; ou seja, tratamos de defini¸c˜oes formais tanto ampliativas (em teorias de primeira ordem, apesar de as id´eias aqui poderem ser aplicadas `as teorias de ordem superior) quanto tarskianas, pois em ambas s˜ ao usadas f´ ormulas bem formadas que fixam um determinado conceito primitivo c, o qual pode ser uma rela¸c˜ao, uma opera¸ca˜o, uma constante individual ou mesmo um conjunto (no caso de defini¸ca˜o tarskiana). Quando c n˜ao ´e defin´ıvel em S , diz-se que ele ´e independente dos demais conceitos. Existe um m´ etodo, introduzido em 1900 por Alessandro Padoa [43], que pode ser empregado para provar tanto a independˆ encia de conceitos como constantes individuais, rela¸c˜oes, opera¸co˜es (Le´sniewski) ou conjuntos (Tarski) quanto a definibilidade (ou dependˆencia) deles. Aqui s˜ao tratadas somente defini¸co˜es segundo Le´ sniewski e Tarski. Desenvolvimentos mais recentes e formais sobre esse m´etodo podem ser encontrados em [5, 60, 67]. Particularmente em [67], o m´etodo ´e empregado em teorias formais de ordem superior. O princ´ıpio (ou m´etodo) de Padoa estabelece que: Seja S uma teoria axiom´atica cujos conceitos primitivos (excluindo constantes l´ ogicas) s˜ ao c1 , c2 , ... , cn . Tais conceitos, como j´a foi dito, podem ser constantes individuais, rela¸co ˜es, opera¸c˜ oes ou conjuntos. Um dado conceito ci ´e independente (n˜ao-defin´ıvel) dos conceitos c1 , c2 , ..., ci−1 , ci+1 , ..., cn se, e somente se, existem dois modelos de S nos quais c1 , ..., em a mesma interpreta¸ca ˜o; mas as interpreta¸co ˜es de ci−1 , ci+1 , ..., cn tˆ ao diferentes. ci nestes modelos s˜
Do ponto de vista intuitivo, isso significa uma certa liberdade de interpreta¸c˜ao do conceito c i em rela¸c˜ao aos demais. Portanto, ele n˜ao depende dos conceitos c1 , ..., ci−1 , ci+1 , ..., cn ; n˜ ao pode ser fixado a partir deles. Vale lembrar que um modelo de S ´e uma estrutura conjuntista na qual todos os axiomas de S s˜ao verdadeiros, de acordo com a interpreta¸c˜ao dos conceitos primitivos de S [52].
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Princ´ıpio de Padoa
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A partir das no¸co˜es de defini¸c˜ao de Tarski e de Le´sniewski, deve ficar bastante intuitiva a maneira como funciona o princ´ıpio em quest˜ ao. A demonstra¸ca˜o do princ´ıpio de Padoa ´e excessivamente t´ecnica e vai al´em dos prop´ ositos deste livro. Para o leitor interessado em um aprofundamento sobre o m´etodo de Padoa, recomenda-se [5]. Exemplos de aplica¸c˜ao do m´etodo de Padoa est˜ao no Cap´ıtulo 5.
Um erro comum Uma teoria formal ´e formulada a partir de conceitos primitivos, sendo que os axiomas estabelecem as inter-rela¸co˜es entre estes conceitos. No caso de uma teoria de primeira ordem (Apˆ endice B), os conceitos primitivos s˜ao letras predicativas (rela¸co˜es), letras funcionais (opera¸co˜es) e constantes individuais (constantes). ´ um erro comum considerar que conceitos primitivos jamais s˜ao defin´ıveis. E Se isso fosse verdade, toda a discuss˜ao anterior perderia sentido. A definibilidade ou n˜ao de conceitos primitivos de uma dada teoria formal depende de uma an´ alise caso a caso.
.
Exerc´ıcios de pesquisa 1. Padoa ganhou o prˆ emio de matem´ atica da famosa Accademia dei Lincei devido a qual contribui¸ c˜ao sua? 2. O que ´e a Accademia dei Lincei? 3. O Congresso Internacional de Filosofia e o Congresso Internacional de Matem´ aticos ainda s˜ ao realizados? Quais os seus prop´ ositos e quem os organiza? Procure informa¸ c˜ oes detalhadas e recentes sobre esses eventos.
.
˜ cient´ıfica Iniciac¸ao 1. Compare o trabalho original de Alessandro Padoa com a terminologia contemporˆ anea a respeito de teorias formais. Conseguir
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
uma c´ opia do trabalho original de Padoa n˜ ao ´e tarefa f´ acil, mas h´ a interesse hist´ orico. 2. Reproduza detalhadamente a demonstra¸ c˜ ao do princ´ıpio de Padoa para teorias de primeira ordem. No artigo original de Beth, a nota¸ c˜ ao ´ e diferente da empregada aqui e muitos detalhes s˜ ao omitidos, pressupondo que o leitor seja um especialista.
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˜ Aplicac¸oes
Objetivo Neste Cap´ıtulo s˜ao consideradas algumas aplica¸co˜es do princ´ıpio de Padoa em teorias formuladas como predicados conjuntistas ou esp´ ecies de estruturas, os quais est˜ao fundamentados em uma teoria axiom´atica de conjuntos. Essa teoria de conjuntos pode ser a de Zermelo-Fraenkel [33] [54], que ´e de primeira ordem.
Um exemplo elementar O primeiro exemplo deste Cap´ıtulo ´e did´atico e se aplica a uma teoria de pouca sofistica¸c˜ao. Considere uma teoria com apenas dois conceitos primitivos, a saber, X e f , tais que X ´e um conjunto e f uma fun¸c˜ao com dom´ınio X e co-dom´ınio , o conjunto dos n´ umeros reais. Essa teoria ´e aqui chamada de espa¸co minimalista . Considere a defini¸ca˜o por postulados dada a seguir.
˜ 5.1 Definic¸ao Um espa¸ e um par ordenado EM = X, f que saco minimalista ´ tisfaz os seguintes axiomas:
EM1 X ´e um conjunto.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
EM2 f : X
→ , ou seja, f ´e uma fun¸c˜ao real com dom´ınio X .
O princ´ıpio de Padoa pode agora ser usado para provar que f ´e um conceito independente de X e, portanto, n˜ao-defin´ıvel (segundo Tarski). Em contrapartida, tamb´ em pode-se demonstrar um teorema que afirme que X ´e defin´ıvel a partir de f . Esse exemplo, portanto, viabiliza uma intui¸c˜ao muito clara para exemplos mais complicados a serem estudados nas se¸c˜oes seguintes.
Teorema 5.1 Em um espa¸ co minimalista X, f , f ´ e um conceito independente de X .
Demonstra¸ c˜ ao: Basta exibir dois modelos M 1 e M 2 para E M nos quais X tem a mesma interpreta¸c˜ao, mas f admite diferentes interpreta¸co˜ es. Seja M 1 a interpreta¸ca˜o na qual X ´e o conjunto dos n´ umeros reais e f ´e a fun¸ca˜o identidade f (x) = x. J´ a M 2 ´e a interpreta¸c˜ao na qual X ´e novamente ´ o conjunto dos n´ umeros reais, mas f ´e a fun¸ca˜o constante f (x) = 3. E f´ acil verificar que tanto M 1 quanto M 2 s˜ao modelos de EM , pois s˜ao interpreta¸c˜oes que satisfazem os dois axiomas de EM .
Teorema 5.2
Em um espa¸ co minimalista X, f , X ´e um conceito defin´ıvel. Demonstra¸ c˜ ao: Suponha que X ´e independente. Nesse caso seria poss´ıvel exibir dois modelos M 1 e M 2 para EM nos quais f tem a mesma interpreta¸c˜ao, mas X admite diferentes interpreta¸c˜oes. No entanto, isso ´e imposs´ıvel. Com efeito, se a interpreta¸c˜ao de X for mudada, necessariamente mudase a interpreta¸ca˜ o de f , pois X ´e o dom´ınio de f . Duas fun¸c˜oes que tˆem diferentes dom´ınios s˜ao necessariamente distintas, pois o dom´ınio de uma dada fun¸c˜ao ´e um dos ingredientes dela. Logo, supor que X ´e independente conduz a um absurdo. Portanto, X s´o pode ser dependente, ou seja, defin´ıvel. Esse u ´ ltimo resultado mostra que X ´e elimin´ avel, pois todo conceito defin´ıvel deve satisfazer o crit´ erio de eliminabilidade. Portanto, duas quest˜oes ainda restam: (i) como definir X ? e (ii) como reescrever a defini¸c˜ ao de espa¸co minimalista sem fazer men¸ca˜o expl´ıcita a X ? As respostas a essas quest˜oes s˜ao as duas defini¸c˜oes a seguir.
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˜ Aplicac¸oes
˜ 5.2 Definic¸ao
Em um espa¸co minimalista X, f , ´ e poss´ıvel definir X por meio da seguinte igualdade: X = Dom f, sendo que Dom f denota o dom´ınio da fun¸ c˜ao real f . Ao reescrever o conceito de espa¸co minimalista sem mencionar X , temos a defini¸ca˜o a seguir:
˜ 5.3 Definic¸ao Um espa¸ e um conjunto f que satisfaz o seguinte co minimalista ´ axioma: NEM1 f ´ e uma fun¸c˜ ao cujo co-dom´ınio ´ e o conjunto dos n´ umeros reais. Mais abreviadamente pode-se simplesmente dizer que um espa¸co minimalista ´e uma fun¸c˜ao real. Ao iniciante isso pode parecer `a primeira vista um exerc´ıcio de futilidade. Mas adiante, em exemplos de teorias bem conhecidas na literatura, vˆe-se que a matem´atica ´e repleta de conceitos defin´ıveis e, portanto, elimin´aveis (satisfazendo o crit´erio de eliminabilidade).
´ Topologia sem espac¸o topol ogico O exemplo dado nesta Se¸c˜ao se refere a uma teoria conhecida e amplamente usada em matem´atica. Topologia ´e um ramo da matem´ atica que permite caracterizar de forma precisa as no¸c˜oes de “proximidade”, “vizinhan¸ca”, “continuidade”, “invariˆancia de formas” etc. Um exemplo de aplica¸c˜ao da topologia ocorre nos fundamentos do c´alculo diferencial e integral. Na formula¸ca˜o usual do c´alculo, derivadas e integrais s˜ao casos particulares de limites que, por sua vez, fazem uso expl´ıcito da no¸c˜ao de vizinhan¸ca de um ponto na reta, por exemplo. A topologia geral se ocupa do estudo de espa¸cos topol´ogicos e dos chamados invariantes topol´ogicos. A meta aqui n˜ao ´e um estudo de topologia geral, que
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
pode ser visto em [28]. Mas como a no¸c˜ao de espa¸co topol´ogico pode ser dada com pouqu´ıssimos axiomas, esse ´e um exemplo interessante para ilustrar as id´eias aqui apresentadas sobre eliminabilidade e definibilidade. Usualmente, define-se espa¸co topol´ogico da maneira a seguir.
˜ 5.4 Definic¸ao
Um espa¸ e um par ordenado X, T , tal que os seguintes co topol´ ogico ´ axiomas s˜ ao satisfeitos: T1 X ´e um conjunto. T2 T ´e um conjunto de subconjuntos de X . T3
∅ ∈ T e X ∈ T , sendo que ∅ denota o conjunto vazio.
T4 Qualquer uni˜ ao de elementos de T pertence a T .
∩ Oj tamb´em pertence
T5 Se Oi e Oj pertencem a T , ent˜ ao Oi a T .
˜ 5.1 Observac¸ao 1. T n˜ ao ´ e necessariamente o conjunto potˆencia de X , ou seja, n˜ ao ´e necessariamente o conjunto de todos os subconjuntos de X . 2. Os elementos de T s˜ao ditos os abertos de X e T ´ e um con junto chamado de topologia de X . 3. Com freq¨ uˆ encia, por abuso de linguagem, costuma-se chamar X de espa¸ co topol´ ogico.
Exemplo 5.1
Um subconjunto A da reta dos reais ´ e dito um aberto da reta se, e somente se, para qualquer x pertencente a A existe um n´ umero real ε, tal que o intervalo aberto (x ε, x+ε) est´ a contido em A. Abertos na reta s˜ ao f´ aceis de se definir desde que nela tamb´em se defina uma m´ etrica d tal que a distˆancia d(x, a) entre os n´ umeros reais x e a seja dada por d(x, a) = x a , ou seja, o
−
| − |
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˜ Aplicac¸oes
valor absoluto da diferen¸ ca entre x e a. O conjunto de todos os abertos da reta dos reais constitui uma topologia para a reta dos reais. Essa topologia ´ e conhecida como topologia usual da reta (induzida pela m´ etrica usual d). A verifica¸ c˜ ao dos axiomas de espa¸ co topol´ ogico, nessa interpreta¸ ca ˜o, fica como um exerc´ıcio para o leitor.
˜ 5.2 Observac¸ao Existem muitas outras defini¸ c˜ oes equivalentes para espa¸ co topol´ ogico. Algumas delas se encontram em [28]. A seguir, ´e apresentada uma conseq¨ uˆencia da no¸ca˜o de defini¸c˜ao.
Teorema 5.3
Em um espa¸ co topol´ ogico X, T , a topologia ´ e um conceito independente; portanto, n˜ ao-defin´ ıvel. Demonstra¸ c˜ ao: Basta exibir dois modelos M 1 e M 2 para espa¸co topol´ogico nos quais X tem a mesma interpreta¸c˜ao; mas a topologia T admite diferentes interpreta¸c˜oes. Seja M 1 a interpreta¸ca˜o na qual X ´e a reta dos n´umeros reais munida da m´etrica usual e T = , , ou seja, T ´e uma topologia conhecida como trivial . J´ a M 2 ´e a interpreta¸c˜ao na qual X ´e novamente a reta dos n´umeros reais munida da m´etrica usual, mas T ´e a topologia ´ f´acil verificar que tanto M 1 quanto usual de induzida pela m´etrica. E M 2 s˜ao modelos de espa¸co topol´ogico.
{∅ }
Teorema 5.4 Em um espa¸ co topol´ ogico X, T , X ´e um conceito defin´ıvel.
Demonstra¸ c˜ ao: Supondo que X ´e independente, seria poss´ıvel exibir dois modelos M 1 e M 2 para espa¸co topol´ogico nos quais a topologia T tem a mesma interpreta¸ca˜o, mas X admite diferentes interpreta¸c˜oes. No entanto, isso ´e imposs´ıvel. Com efeito, se a interpreta¸ca˜ o de X for mudada, isso necessariamente implica mudan¸ca de interpreta¸ca˜ o de T , pois um dos elementos de T ´e sempre X , de acordo com o axioma T3. Logo, supor
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
que X ´e independente conduz a um absurdo. Portanto, X s´o pode ser dependente, ou seja, defin´ıvel. A defini¸ca˜o a seguir pode ser dada de acordo com o ´ultimo teorema.
˜ 5.5 Definic¸ao Em um espa¸ co topol´ ogico X, T , o conceito primitivo X pode ser definido por meio de igualdade e da seguinte maneira:
X =
O, i
Oi T
∈
ou seja, a uni˜ ao de todos os elementos da topologia T . Logo, podemos reescrever a Defini¸c˜ao 5.4 como se segue.
˜ 5.6 Definic¸ao Um espa¸ e um conjunto T , tal que os seguintes axioco topol´ ogico ´ mas s˜ ao satisfeitos: NT1 T ´e um conjunto cujos elementos s˜ ao conjuntos. NT2 T . NT3 Qualquer uni˜ ao de elementos de T pertence a T . NT4 Se Oi e Oj pertencem a T , ent˜ ao Oi Oj T .
∅∈
∩ ∈
Uma conseq¨ uˆencia bastante evidente de NT3 ´e que:
O ∈ T , i
Oi T
∈
o que corresponde a uma das condi¸co˜es do axioma T3 e tamb´em garante a ´ f´acil provar que a Defini¸ca˜o 5.6 ´e equivalente `a Defini¸c˜ao definibilidade de X . E 5.4, j´ a que os axiomas de uma implicam os axiomas da outra. Essa verifica¸c˜ ao fica como exerc´ıcio ao leitor. Os exemplos dados at´e aqui (espa¸co minimalista e espa¸co topol´ogico) tˆem sido relativamente simples. Na se¸c˜ao seguinte apresenta-se uma formula¸ca˜o ´ axiom´ atica para espa¸cos vetoriais sem vetores como conceitos primitivos. E interessante notar que vetores s˜ao eliminados, mas as opera¸co˜es entre eles, como adi¸c˜ao entre vetores e multiplica¸c˜ao de escalar por vetor, n˜ao s˜ao. Essa formula¸c˜ao ´e obra de dois ex-alunos do autor, que puderam contar tamb´em com a colabora¸c˜ao do professor Jos´e Carlos Cifuentes, do Departamento de Matem´ atica da Universidade Federal do Paran´a.
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˜ Aplicac¸oes
Espac¸o vetorial sem vetores Esta se¸c˜ao foi escrita em colabora¸c˜ao com Angelo Miguel Malaquias e Jo˜ao Eloir Strapasson. Para a leitura, ´e recomend´avel uma certa familiaridade com ´algebra linear, disciplina que tem por objetivo o estudo de espa¸cos vetoriais e das transforma¸c˜oes lineares entre espa¸cos vetoriais. Segue primeiramente a defini¸c˜ao usual de espa¸co vetorial.
˜ 5.7 Definic¸ao
V = V,K, +, ∗ ´e um espa¸co vetorial se, e somente se, os axiomas a seguir s˜ ao satisfeitos (os coment´ arios entre parˆ enteses n˜ ao fazem parte do axioma):
V1 V ´ e um conjunto n˜ ao-vazio (cujos elementos s˜ ao usualmente denotados pelas letras u, v, w etc. e chamados de vetores). V2 K ´ e um corpo munido das opera¸co ˜es de adi¸ c˜ ao +K e multiplica¸ c˜ ao K . (Os elementos de K s˜ ao denotados pelas letras gregas min´ usculas α, β , γ etc. e chamados de escalares.)
·
× →
V3 + : V V V , ou seja, a adi¸ c˜ ao de vetores ´ e uma fun¸ ca ˜o que se aplica a pares ordenados de vetores e resulta em um vetor. (Se u e v s˜ ao vetores, ent˜ ao denota-se a imagem +(u, v) por u + v.)
·
× →
·
V4 : K V V , ou seja, ´ e uma multiplica¸c˜ ao entre escalar e vetor, que resulta em vetor. (Denota-se (α, u) por α u.)
·
·
V5 Se u e v s˜ao vetores, ent˜ao u +v = v +u. Em outras palavras, a adi¸ ca ˜o entre vetores ´ e comutativa. V6 Se u, v e w s˜ ao vetores, (u + v) + w = u + (v + w). Em outras palavras, a adi¸ c˜ ao entre vetores ´ e associativa. V7 Se α e β s˜ ao escalares e u ´ e um vetor, ent˜ ao (α α (β u).
· ·
·K β ) · u =
V8 Existe vetor v tal que para todo vetor u tem-se u + v = u. ´ comum dizer que v ´ (E e o vetor nulo. Se v ´ e vetor nulo, ele ´ e denotado por 0.) ´ V9 Para todo vetor u existe um vetor w tal que u + w = 0. (E comum chamar w de vetor op osto ou sim´ etrico de u.)
·
·
·
V10 Se u ´ e vetor e α e β s˜ ao escalares, (α +K β ) u = α u + β u.
·
·
·
V11 Se u e v s˜ ao vetores e α ´ e escalar, α (u + v) = α u + α v.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
V12 Se 1 denota o elemento neutro de K em rela¸ c˜ ao a um vetor, ent˜ ao 1 u = u.
·K e u ´e
·
A defini¸c˜ao de espa¸co vetorial pode ser entendida como uma defini¸ca˜o por postulados. J´a a definibilidade ou n˜ ao de conceitos primitivos de espa¸co vetorial, ou da teoria dos espa¸cos vetoriais, se refere a defini¸c˜oes segundo Tarski. Aplicando-se o princ´ıpio de Padoa, resulta o seguinte teorema.
Teorema 5.5 O conjunto V de vetores ´ e defin´ıvel a partir dos demais conceitos primitivos de espa¸ co vetorial. Demonstra¸ c˜ ao: Suponha que V seja independente. Logo, existem dois modelos de espa¸co vetorial tais que os demais conceitos tˆem uma mesma interpreta¸c˜ao; mas as interpreta¸co˜es de V nesses modelos s˜ao diferentes. No entanto, isso n˜ ao ´e poss´ıvel, pois sendo + uma fun¸ca˜o, se for modificada a interpreta¸c˜ao de V , isso implicar´a altera¸c˜ao do dom´ınio de + e conseq¨uentemente em altera¸c˜ao da fun¸c˜ao +. Portanto, necessariamente V ´e defin´ıvel. Uma vez que V ´e defin´ıvel, restam duas quest˜oes: como definir V e como reescrever a defini¸ca˜o de espa¸co vetorial sem qualquer men¸c˜ao expl´ıcita ao con junto de vetores? Para que isso seja feito, s˜ao necess´arias algumas defini¸c˜oes auxiliares.
˜ 5.8 Definic¸ao
× × × →
Seja f : A1 A2 ... An C uma fun¸ c˜ ao. Diz-se que o conjunto A i ´ e a i-´ ca ˜o esima proje¸ c˜ ao do dom´ ınio de f (Df ). Por simplifica¸ diz-se que Ai ´ e a i-´ esima proje¸ c˜ ao da fun¸ cao ˜ f . ´ f´acil perceber que essa defini¸c˜ao pode ser reformulada explicitamente E como a defini¸c˜ao de uma rela¸c˜ao bin´ aria entre o conjunto Ai e f . Pode ser feito coment´ario an´alogo a respeito de v´arias defini¸co˜es que se seguem.
˜ 5.9 Definic¸ao Seja f : A A C . Diz-se que f ´ e comutativa se, e somente se, para todo par ordenado (u, v) de A A tem-se f (u, v) = f (v, u).
× →
×
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˜ Aplicac¸oes
˜ 5.3 Observac¸ao H´ a uma maneira de reescrever essa defini¸ c˜ ao sem qualquer menc˜ ¸ ao expl´ıcita ao conjunto A. Basta dizer que se f ´ e uma fun¸ca ˜o com duas proje¸ co ˜es idˆenticas e (u, v) Df , ent˜ao f ´e comutativa se, e somente se, f (u, v) = f (v, u). Afinal, se f tem duas proje¸c˜ oes, ent˜ ao os elementos do dom´ınio de f s´ o podem ser pares ordenados, os quais s˜ ao denotados aqui por (u, v).
∈
˜ 5.10 Definic¸ao Sejam f : A B B e g:A A A duas fun¸ c˜ oes. Diz-se que f ´ e associativa em rela¸ cao ˜ a g se, e somente se, para quaisquer (a, b) A A e v B tem-se f (g(a, b), v) = f (a, f (b, v)).
× → ∈ × ∈
× →
˜ 5.4 Observac¸ao Reescrever a defini¸c˜ ao anterior sem qualquer men¸c˜ao expl´ıcita ao conjunto A e B ´ e um exerc´ ıcio ilustrativo. Basta seguir a maneira indicada na Observa¸ ca ˜o 5.3. Isso fica como tarefa ao leitor.
˜ 5.5 Observac¸ao Com respeito ` au ´ltima defini¸ c˜ ao, quando f = g simplesmente diz-se que f ´ e associativa.
˜ 5.11 Definic¸ao
× →
× → ∈ ×
× → ∈
Sejam f : A B B, g : A A A e h : B B B. Diz-se que f ´ e distributiva ` a direita em rela¸ c˜ ao a g e perante h se, e somente se, para todo (a, b) A A e para todo u B tem-se f (g(a, b), u) = h(f (a, u), f (b, u)).
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46
˜ O que e´ uma Defin Definic ic¸ao
˜ 5.6 Obse Ob serrva vac c¸ao Quando g = h, simplesmente afirma-se que f f ´e dist di stri ribu butiva tiva ` a didi reita em rela¸c˜ cao a ˜o a g .
˜ 5.12 Definic¸ ao
× →
× → ∈ ×
× →
Sejam f : B A B, g : A A A e h:B B B . DizDiz-se se que que f ´ e distributiv distributiva a ` a esq esquer uerda da em rela¸ ela¸ c˜ c˜ ao a g e perante erante h se, e somente se, para todo (a, b) A A e para todo u B tem-se f ( f (u, g(a, b)) = h( h(f ( f (u, a), f ( f (u, b)). )).
∈
˜ 5.7 Obse Ob serrva vac c¸ao Quando g = h simplesmente afirma-se que f f ´e dist di strib ribut utiva iva ` a eses querda em rela¸c˜ ao a g .
˜ 5.13 Definic¸ ao
× B →
Seja f : A
B . Diz Diz-se -se que que f admite neutr neutro na primei primeir ra B , proje¸ c˜ cao ˜ se, e somente se, existe a A tal que para todo u B, f ( f (a, u) = u. Quan Quando do A = B , e existe a A tal que para todo u A tem-se f ( f (a, u) = f ( f (u, a) = u, u , simplesmente afirma-se que a ´ e neut ne utro ro de f . f .
∈
∈
∈
∈
˜ 5.14 Definic¸ ao
× →
Seja f Seja f : A B A. A . Diz-se que f que f admite neutro na segunda proje¸c˜ ao se, e somente se, existe a existe a B tal B tal que para todo u todo u A, A , f ( f (u, a) = u. u .
∈
∈
˜ 5.15 Definic¸ ao
× →
Seja f : A A A. DizDiz-se se que que f admi ad mite te sim´ sim ´ etri et rico co ` a direit di reita a se, e somente se, para todo u A existe v A tal que f ( f (u, v) = a, onde a ´ e neut ne utro ro de f . f .
∈
∈
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47
˜ Aplilica Ap cac c¸oes
˜ 5.16 Definic¸ ao
× →
Seja f : A A A. A . Diz-se Diz-se que que f f admite sim´ si m´ etri et rico co ` a esquerda esquerda se, e somente se, para todo v A existe u A tal que f ( f (u, v) = a, onde a ´ e neut ne utro ro de f . f .
∈
∈
˜ 5.17 Definic¸ ao Seja f : A A A. A . DizDiz-se se que que f admite adm ite sim´ si m´ etri et rico co se, e somente se, para todo u A existe v A tal que f ( f (u, v) = f ( f (v, u) = a, onde a ´ e neut ne utro ro de f . outras palavra palavras, s, f admite adm ite sim´etrico etri co f . Em outras se admite adm ite sim´etrico etri co ` a esquerd esq uerda ae` a direit dir eita. a.
× →
∈
∈
Segue agora a defini¸c˜ cao a˜o (por postulados) de espa¸co co vetorial sem qualquer men¸c˜ cao a˜o expl´ expl´ıcita a conjunto de vetores como conceito primitivo.
˜ 5.18 Definic¸ ao somente te se, os seguin seguintes tes co vetorial vetorial se, e somen V = K, +, · ´e um espa¸co axiomas axioma s s˜ ao ao satisfeitos satis feitos::
NV1 K ´ ´e um corpo munido das opera¸ c˜ c˜ oes oes de adi¸ c˜ ao +K e multiplica¸ c˜ ao K . (Os elemen elementos tos de K s˜ ao ao denotados por α, β , γ γ etc. e chamados de escalares.); escalares.);
·
NV2 + ´ e uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao a ˜o cujo dom´ dom´ınio (D+ ) ´ e formado por duas proje¸ c˜ coes o ˜es iguais e cujo co-dom´ co-dom´ınio (Cd + ) coincide com a primeira (ou segunda) proje¸ c˜ cao a ˜o de +; NV3 ´ e uma fun¸ fun c˜ c¸˜ ao ao cujo cu jo dom do m´ınio ın io (D· ) ´ e formado por duas proje¸ c˜ coes, o ˜es, sendo que a primeira ´ e K e K e a segunda coincide com seu co-dom´ınio ınio (C d· );
·
NV4 O co-d co -dom´ om´ınio ın io de d e + coi ncide com o co-dom´ınio ınio de . (C d+ = + coincide Cd · );
·
NV5 + ´ e comut co mutat ativa; iva; NV6 + ´ e asso as socia ciativa tiva;;
NV7 + admite neutro; NV8 + admit a dmite e sim´etrico; etri co;
·
NV9 ´ e associativa asso ciativa em rela¸c˜ ao a
·K ;
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˜ O que e´ uma Defin Definic ic¸ao
NV10 ´ e distri dis tribut butiva iva ` a direit dir eita a em rela¸ rel a¸ c˜ cao a ˜o a +K e perante +;
· NV11 · ´ e distri dis tribut butiva iva ` a esquerd esq uerda a em rela¸ rel a¸ c˜ ao ` a +; NV12 · admite neutro em rela¸c˜ cao a ˜o ` a primeira primeir a proje¸ projec¸˜ ao. ˜ 5.19 Definic¸ ao
Dada a fun¸ c˜ cao a ˜o +, a qual ´e um dos conceitos conceitos primitivos primitivos de espa¸ co vetorial, define-se o conjunto V de vetores vetores como sendo a primeira proje¸ c˜ cao a ˜o de +.
A seguir, seg uir, dentro do d o pensamento p ensamento reducionista reducion ista seguido aqui, ´e poss p oss´´ıvel mosmo strar que certos axiomas de corpo s˜ao ao igualmente desnecess´arios arios para se definir espa¸co co vetorial. Para tanto, exibe-se a seguir a no¸c˜ ao ao de p de pr´ r´e-cor e- corpo po..
˜ 5.20 Definic¸ ao
·
Diz-se Diz-se que ℘ = P K e um pr´ pr´ e-cor corpo (eventualmente K , +P , P , 0, 1 ´ se diz que P K e um pr´ e-corpo) e-corpo) se, e somente se, os seguintes K ´ axiomas axioma s s˜ ao ao satisfeitos satis feitos:: PK1 P K e um conjun con junto to n˜ ao-vazio ao- vazio (cujos (cuj os elemento ele mentoss s˜ ao ao denota den ota-K ´ dos por a, b, c etc.).
× P K K → P K K (abrevia-se +P (a, b) por a +P b). PK3 ·P : P K K × P K K → P K K (abrevia-se ·P (a, b) por a ·P b). PK2 +P : P K K
PK4 Se a Se a,, b e c s˜ao ao elemento ele mentoss de P de P K ( a +P b) b) +P c = c = a a +P (b ( b +P c) c ). K , (a PK5 Existe um elemento a em P K K , tal que para todo b de P K K tem-se a +P b = b e denota den otado do por po r = b +P a = b = b (esse elemento a ´ 0). PK6 Para Para todo a pertencent pertencente e a P K que K existe b em P K K tal que a +P b = b = b +P a = 0 (esse elemento b ´ e denota den otado do por po r a). PK7 Para quaisquer a e b em P K K , a
·P b = b = b ·P a.
−
PK8 Existe um elemento a de P K K , tal que para todo b em P K K tem-se b tem-se b P a = a = a a P b = b = b b (esse elemento a elemento a ´ e denota den otado do por po r 1). 1 ).
·
·
PK9 Para qualquer a pertencente a P a P K 0 existe b existe b em P K K K tal que a P b = b = b P a = 1 (esse elemento b ´ e denota den otado do por po r a−1 ).
·
·
−{ }
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49
˜ Aplicac¸oes
˜ 5.8 Observac¸ao Um pr´e-corpo P K ´e corpo se satisfizer os seguintes axiomas extras: PK10 Para quaisquer a e b de P K , a +P b = b +P a.
·P b) ·P c = a ·P (b ·P c). P K , tem-se a ·P (b + P c) =
PK11 Para quaisquer a, b e c de P K , (a PK12 Para quaisquer a, b e c de (a P b) +P (a P c).
·
·
A seguir tem-se o conceito de pr´ e-espa¸co vetorial. Um pr´e-espa¸co vetorial ´e como um espa¸co vetorial, mas definido sobre um pr´e-corpo no lugar de um corpo.
˜ 5.21 Definic¸ao Diz-se que = P K , +, ´ e um pr´e-espa¸ co vetorial se, e somente se, os seguintes axiomas s˜ ao satisfeitos:
V
·
PV1 P K ´ e um pr´ e-corpo munido das opera¸ c˜ oes de adi¸ c˜ ao +P e multiplica¸ ca ˜o P (os elementos de P K s˜ ao denotados por a, e-escalares). b, c etc. e chamados de pr´
·
PV2 + ´ e uma fun¸ ca ˜o cujo dom´ınio (D+ ) ´ e formado por duas proje¸ co ˜es iguais que coincidem com o co-dom´ınio (Cd + ).
·
PV3 ´ e uma fun¸ c˜ ao cujo dom´ınio (D· ) ´ e formado por duas proje¸ co ˜es, onde a primeira ´ e P K e a segunda coincide com o seu co-dom´ınio (Cd· ). PV4 O co-dom´ınio de + coincide com o co-dom´ınio de , ou seja, Cd + = C d· .
·
PV5 + e ´ comutativa. PV6 + ´ e associativa. PV7 + admite neutro. PV8 + admite sim´etrico. PV9 e ´ associativa em rela¸ca ˜o ao produto ( P ) do pr´ e-corp o P K .
·
·
·
PV10 ´ e distributiva `a direita em rela¸ ca ˜o ` a soma (+P ) do pr´ ecorpo perante +. PV11 ´ e distributiva `a esquerda em rela¸ c˜ ao a +.
· PV12 · admite neutro em rela¸c˜ ao a ` primeira proje¸ ca ˜o.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
˜ 5.22 Definic¸ao Dada a fun¸ ca ˜o +, define-se V como sendo a primeira proje¸ c˜ ao de +. Uma vez que pr´e-espa¸co vetorial ´e definido de maneira mais fraca (menos axiomas) que espa¸co vetorial, ´e interessante verificar a observa¸c˜ao a seguir.
˜ 5.9 Observac¸ao Os seguintes resultados s˜ ao v´ alidos para pr´ e-espa¸ co vetorial (quantificadores s˜ ao omitidos para fins de simplifica¸ c˜ ao): 1. O neutro mencionado em PV7 ´ eu ´nico. 2. O sim´ etrico mencionado no axioma PV8 ´ e unico. ´ O sim´etrico de um elemento u de V ´e denotado por u. Abrevia-se u + ( v) como u v.
−
−
−
3. u + w = v + w implica que u = v.
·
4. 0 u = 0, sendo que o primeiro 0 denota o neutro de PK5 e o segundo zero denota o neutro de PV7.
·
5. a 0 = 0, sendo que as duas ocorrˆ encias de zero denotam o neutro de PV7 e a ´ e um pr´ e-escalar.
·
6. 1 u = u. 7. Se a u = 0 e u = 0, ent˜ ao a = 0, sendo que as duas primeiras ocorrˆ encias de zero se referem ao neutro de PV7 e a terceira ocorrˆ encia de zero corresponde ao neutro de PK5.
·
− · −(a · u). 9. Se a · u = b · u e u = o, ent˜ ao a = b. 8. ( a) u =
O leitor consegue demonstrar os resultados da observa¸c˜ao a seguir?
˜ 5.10 Observac¸ao Tamb´ em valem os seguintes teoremas para pr´ e-corpo: 1. O neutro de PK5 ´ eu ´nico. 2. Se
−a ´e sim´etrico de a, ent˜ao ele ´e u´nico.
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˜ Aplicac¸oes
Exemplo 5.2 Aqui se faz a demonstra¸ ca ˜o de que o neutro mencionado em PV7 ´ eu ´ nico: Seja v tal neutro. Suponha, por absurdo, que existe um outro neutro w V tal que, para todo u V , tem-se u + w = u. Como v V , vale que v = v + w, pois basta tomar u = v na igualdade acima. Por outro lado, v ´ e neutro. Ent˜ ao, pelo axioma PV7, tem-se que v + w = w, isto ´ e, v = v + w = w. Portanto, w = v, o que contradiz a hip´ otese inicial de que v e w sejam neutros distintos. Logo, o neutro ´e unico. ´
∈
∈
∈
˜ 5.23 Definic¸ao Define-se a constante individual 0 como sendo o neutro mencionado em PV7. Os demais teoremas das duas ´ultimas observa¸c˜oes s˜ao deixados como exerc´ıcios ao leitor, tendo em vista que suas demonstra¸co˜es s˜ao an´ alogas a demonstra¸co˜es facilmente encontradas em bons livros de ´algebra linear. O resultado a seguir pode interessar o leitor.
Teorema 5.6 Todo pr´e-espa¸ co vetorial n˜ ao-unit´ ario ´ e um espa¸co vetorial. Demonstra¸ c˜ ao: Para a demonstra¸c˜ao desse teorema deve ser verificado se os axiomas de espa¸co vetorial s˜ao satisfeitos em um pr´e-espa¸co vetorial n˜ao-unit´ ario. O axioma NV2 ao NV12 s˜ao imediatamente satisfeitos, como o leitor pode facilmente verificar. Para que o axioma NV1 seja satisfeito, deve ser mostrado que P K ´e um corpo. Como P K ´e um pr´e-corpo, ´e suficiente provar as seguintes propriedades: (i) comutatividade de + P , (ii) associatividade de P e (iii) distributividade de P em rela¸ca˜ o a +P . Na seq¨ ueˆncia, mostra-se que essas propriedades est˜ao satisfeitas (fazendo uso de diversos resultados apontados na Observa¸c˜ao 5.9 e 5.10).
·
·
1. Dados a e b em P K , seja u V 0 . Considere a seguinte situa¸c˜ao: (a +P b) u = (a u) + (b u) = (b u) + (a u) = (b +P a) u. Como
·
·
∈ −{ } · ·
·
·
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52
˜ O que e´ uma Definic¸ao
u = 0, tem-se que a +P b = b +P a. Isso conclui a demonstra¸c˜ao de comutatividade de +P .
∈ − { } · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3. Dados a, b e c em P K , seja u ∈ V − {0}. Considere a seguinte situa¸ca˜ o: (a ·P (b +P c)) · u = a · ((b +P c) · u) = a · ((b · u) + (c · u)) = (a · (b · u)) + (a · (b · u)) = ((a ·P b) · u) + ((a ·P c) · u) = ((a ·P b) +K (a ·P c)) · u. Logo, a ·P (b +P c) = (a ·P b) +P (a ·P c), pois u = 0, o que conclui a demonstra¸ca˜o da distributividade. Ou seja, P K , +P , ·P ´e um corpo no contexto dos axiomas de pr´e-espa¸co vetorial e ainda com a restri¸c˜ao de que se est´a lidando com um pr´e-espa¸co vetorial n˜ao-unit´ ario. Logo, V ´e um espa¸co vetorial.
2. Dados a, b e c em P K , seja u V 0 . Considere a seguinte situa¸ca˜ o: ((a P b) P c) u = (a P b) (c u) = a (b (c u)) = a ((b P c) u) = (a P (b P c)) u. Como u = 0, conclui-se que (a P b) P c = a P (b P c). Isso encerra a prova da associatividade de P .
A seguir h´a um exemplo de pr´e-espa¸co vetorial unit´ario que n˜ao ´e espa¸co vetorial.
Exemplo 5.3
V
Seja um pr´ e-espa¸ co vetorial unit´ ario, ou seja, tem ap enas o pr´ evetor 0. Para exibir um que n˜ ao ´ e espa¸ co vetorial, basta defini-lo sobre um pr´ e-corpo que n˜ ao ´ e corpo.
V
3
Considere P K =
com as seguintes opera¸ c˜ oes: 3
3
3
× → ,
+P : tal que
(u1 , u2 , u3 ) +P (v1 , v2 , v3 ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ); e 3
3
3
·P : × → , tal que (u1 , u2 , u3 )
·P (v , v , v ) = 1
2
3
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53
˜ Aplicac¸oes
(u1 v1
− u v − u v , u v + v u , u v + v u ). Vale observar que as opera¸ co ˜es + e − que aparecem nas triplas 2 2
3 3
1 2
1
2
1 3
1
3
ordenadas acima s˜ ao as opera¸ c˜ oes usuais no corpo dos reais.
N˜ ao ´ e dif´ıcil mostrar que todas os axiomas de corpo est˜ ao satisfeitos exceto a associatividade do produto, a qual mostra-se a seguir n˜ ao ser v´ alida. Para mostrar que os demais axiomas 3 s˜ ao v´ alidos, considere 1 = (1, 0, 0) e dado 0 = u = (u1 , u2 , u3 ) , 1 − 1 fa¸ ca u = ( u +u +u )(u1 , u2 , u3 ). 2 1
2 2
2 3
− −
∈
Sejam u = (1, 1, 0), v = (1, 1, 0) e w = (1, 1, 1). Mostra-se a seguir que, pelo menos nesse caso particular, (u P v) P w = u P (v P w):
·
(u
· ·
·
·P v) ·P w = (0, 2, 0) ·P (1, 1, 1) = (−2, 2, 0).
Mas u
·P (v ·P w) = (1, 1, 0) ·P (0, 2, 1) = (−2, 2, 1).
·
Logo, P n˜ ao ´ e associativa. Portanto, o presente modelo para pr´ e-corpo constituiu um exemplo de pr´ e-corpo que n˜ ao ´ e corpo.
V
·
{ }
V
Considerando = P k , +, , onde Cd + = 0 , tem-se que ´ e um pr´e-espa¸ co vetorial, mas n˜ ao ´ e um espa¸co vetorial, pois o axioma NV1 de espa¸ co vetorial n˜ ao ´ e satisfeito.
ˆ Mecanica sem tempo Comumente, alunos de matem´atica tˆem avers˜ao `a f´ısica te´o rica. Isso, talvez, se deva ao fato de que usualmente as teorias f´ısicas s˜ao apresentadas em livros e nas aulas de maneira excessivamente informal e muitas vezes confusa. Por exemplo, o c´alculo diferencial e integral que normalmente se estuda em um curso de matem´atica ou em cursos de f´ısica ´e o c´alculo usual em que se definem integrais de Riemann, derivadas ordin´arias e derivadas parciais a partir da no¸ca˜o de limite. No entanto, ao cursarem disciplinas espec´ıficas de f´ısica, em geral os alunos observam seus professores e livros fazendo uso de estranhos ´ como infinit´esimos quando aplicam o c´ alculo diferencial e integral na f´ısica. E se derivadas fossem a raz˜ao entre infinit´esimos. Isso ´e bastante confuso, pois no c´alculo usual n˜ ao h´ a infinit´esimos. Eles existem, por exemplo, na an´ alise n˜aostandard , a qual oferece uma abordagem ao c´alculo radicalmente diferente da usual. O aluno com senso cr´ıtico deve perceber que h´a um “elo perdido” entre o c´alculo usual e aquele que se emprega em certas aplica¸c˜oes da f´ısica. Outro
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54
˜ O que e´ uma Definic¸ao
problema muito comum ´e que geralmente n˜ao ficam claros quais os conceitos primitivos adotados nas teorias f´ısicas, qual a linguagem, quais os princ´ıpios fundamentais etc. In´ umeros exemplos poderiam ser citados, mas o que chama a aten¸c˜a o s˜ao as abordagens rigorosas que podem ser dadas `a contraparte ´ matem´ atica das teorias da f´ısica, de um ponto de vista l´ogico-matem´atico. E comum estas abordagens fazerem uso expl´ıcito do m´etodo axiom´atico. A id´eia de se usar o m´etodo axiom´atico nos fundamentos da f´ısica e explorar esse uso de um ponto de vista l´ogico-matem´ atico teve grande impulso a partir de um problema proposto por David Hilbert em 1900 [25, 52]. Nesta se¸c˜ao ´e apresentada a formula¸ca˜o que McKinsey, Sugar e Suppes introduziram para a mecˆanica cl´assica de part´ıculas em 1953 [39], abreviada aqui por sistema MSS. O termo “cl´assico” se refere a algo de natureza n˜aoquˆ antica, ainda que essa distin¸c˜ao entre cl´assico e quˆantico nunca tenha sido suficientemente clara na literatura. Ver, por exemplo, a descri¸c˜ ao cl´assica que pode ser dada para um fenˆ omeno quˆ antico conhecido como efeito Casimir em [64]; ver tamb´em [51]. O sistema MSS sofre de s´erias limita¸c˜oes de ordem pr´atica. No MSS, por exemplo, as for¸cas assumem um u ´ nico papel: mudar o estado de movimento de part´ıculas. Sabe-se que, na pr´atica, for¸cas fazem mais que isso. Se algu´em bate um martelo em uma mesa, a for¸ca exercida por esse martelo n˜ao ir´a necessariamente alterar o estado de repouso da mesa. Diferente disso, o martelo pode simplesmente deformar a mesa. Isso significa que o MSS, do ponto de vista f´ısico, n˜ ao chega a ser uma teoria de ampla aplicabilidade, pois descarta certas discuss˜oes da mais alta importˆancia. Mas, didaticamente, o MSS ilustra muito bem o uso do m´etodo axiom´ atico em f´ısica. Ainda assim, ´e um fato bastante curioso que mesmo o MSS oferece uma axiom´ atica para a mecˆ anica cl´assica suficientemente rica para uma discuss˜ao filos´ofica a respeito de outros t´opicos como a mecˆanica de Hertz e a de Mach. Detalhes sobre essas quest˜ oes se encontram em [52]. Na defini¸ca˜o a seguir, 3 denota o espa¸co vetorial real usual de triplas ordenadas de reais, devidamente munido das opera¸co˜es usuais de adi¸c˜a o de triplas ordenadas de reais e de multiplica¸c˜ao de real por tripla ordenada de reais. O mesmo 3 ´e tamb´em munido de produto interno e externo usuais entre vetores e identificamos 3 com o espa¸co f´ısico. J´a denota o corpo dos reais. A defini¸ca˜o que se segue ´e um predicado de Suppes para a mecˆanica cl´assica de part´ıculas, descrito de maneira bastante informal, mas suficientemente rigoroso para os prop´ositos deste livro.
˜ 5.24 Definic¸ao
P = P,T,s,m,f,g ´e
um sistema MSS se os seguintes axiomas forem satisfeitos (os coment´ arios entre parˆ enteses n˜ ao fazem parte dos axiomas):
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55
˜ Aplicac¸oes
P1 P ´ e um conjunto finito n˜ ao-vazio (intuitivamente, correspondente ao conjunto de part´ıculas). P2 T ´e um intervalo de n´ umeros reais (intuitivamente, correspondente a um intervalo de tempo). P3 s ´ e uma fun¸ ca ˜o com dom´ınio P T e co-dom´ınio 3 (as imagens de s s˜ ao denotadas por s p (t), sendo p P e t a posi¸ca ˜o em 3 da T ; intuitivamente, s p (t) corresponde ` part´ıcula p no instante t).
×
∈
∈
P4 m ´ e uma fun¸ ca ˜o cujo dom´ınio ´ e P e co-dom´ınio ´ e (as imagens de m s˜ ao denotas por m( p), sendo p P ; intuitivamente, m( p) corresponde ` a massa da part´ıcula p).
∈
P5 f ´e uma fun¸ca ˜o cujo dom´ınio ´ e P P T e co-dom´ınio ´ e 3 (as imagens de f s˜ ao denotadas por f ( p, q, t), sendo p P , q P e t T . Grosso modo, f ( p, q, t) corresponde ` a for¸ ca interna que a part´ıcula q exerce sobre a part´ıcula p no instante t).
× ×
∈
∈
∈
P6 g ´ e uma fun¸c˜ao cujo dom´ınio ´ e P T e co-dom´ınio ´ e 3 (as imagens de g denotam-se por g( p, t), sendo p P e t T ; intuitivamente g( p, t) ´ e a for¸ca externa (ou perturbativa) que a part´ıcula p sente no instante t).
×
∈
∈
∈
∈
P7 Se p P e t T , s p (t) ´ e duas vezes diferenci´ avel, ou seja, a derivada segunda d2 s p (t) dt2 existe.
∈
P8 Se p P , m( p) ´ e um n´ umero real estritamente positivo, ou seja, a massa ´ e sempre estritamente positiva (m( p) > 0).
∈
∈
∈
−
P9 Se p P , q P e t T , f ( p, q, t) = f (q,p,t), ou seja, a cada a¸ c˜ ao corresponde uma rea¸ ca ˜o, no mesmo instante, na mesma dire¸ ca ˜o, em sentido oposto e com mesma intensidade. P10 Se p P , q P e t T ,
∈
∈
∈
−[sq (t), f (q,p,t)],
[s p (t), f ( p, q, t)] =
sendo que os colchetes [, ] denotam produto vetorial (externo) usual em 3 . Ou seja, a for¸ ca de rea¸ca ˜o a uma dada a¸ c˜ ao est´ a na mesma dire¸c˜ ao da reta definida pelas posi¸ c˜ oes das duas part´ıculas envolvidas.
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56
˜ O que e´ uma Definic¸ao
P11 Se p P , q P e t T ,
∈
∈
∈
m( p)
d2 s p (t) = f ( p, q, t) + g( p, t), dt2 q∈P
ou seja, a for¸ ca resultante sobre uma dada part´ıcula corresponde a ` sua massa vezes a sua acelera¸ c˜ ao. Um resultado interessante ´e o que se segue:
Teorema 5.7 Para qualquer part´ ıcula p de P , f ( p, p, t) = (0, 0, 0) para todo instante t. Demonstra¸ c˜ ao: De acordo com o axioma P9, f ( p, p, t) = dessa equa¸c˜ao ´e f ( p, p, t) = (0, 0, 0).
−f ( p, p, t) . A u´ nica solu¸c˜ao
˜ 5.25 Definic¸ao Sejam = P,T,s,m,f,g um sistema MSS, P um subconjunto n˜ ao-vazio de P e s , f , g , e m as restri¸ c˜ o es de s, f , g, e m, respectivamente a P T , P P T , P T e P . Diz-se que = P , T , s , m , f , g ´e um subsistema de se, e somente se, a seguinte condi¸ c˜ ao for satisfeita:
P
P
×
× ×
× P
∀ p ∈ P ∀q ∈ P ∀t ∈ T , d2 s p (t) m ( p) = 2 dt
f ( p, q, t) + g( p, t).
(5.1)
q P
∈
Com tal defini¸c˜ao, demonstra-se a conseq¨ uˆencia a seguir.
Teorema 5.8 Se
P ´e subsistema de um sistema MSS P , ent˜ao P ´e um sistema MSS.
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57
˜ Aplicac¸oes
A demonstra¸c˜ao fica a cargo do leitor. Basta provar que um subsistema satisfaz os axiomas de um sistema MSS.
˜ 5.26 Definic¸ao Dois sistemas MSS
P = P,T,s,m,f,g
e
P = P , T , s, m, f , g
s˜ ao equivalentes se, e somente se, P = P , T = T , s = s , e m = m .
˜ 5.27 Definic¸ao Um sistema MSS ´e dito isolado se, e somente se, para quaisquer p P e t T , g( p, t) = (0, 0, 0).
∈
∈
Teorema 5.9 O conceito de for¸ ca interna ´e independente dos demais conceitos primitivos no MSS. Demonstra¸ c˜ ao: A seguir, ´e feito um esbo¸co da demonstra¸c˜ao, a qual ´e relativamente simples, mas muito trabalhosa. Considere uma interpreta¸c˜ao I 1 na qual:
{
}
1. P = p1 , p2 , p3 , p4 , ou seja, o conjunto P ´e formado por quatro part´ıculas, as quais, por simplifica¸ c˜ ao, podem ser chamadas de part´ıcula 1, 2, 3 e 4.
2. T = , ou seja, o intervalo de tempo ´e toda a reta dos n´ umeros reais. 3. s1 (t) = (c1 , 0, 0), s2 (t) = (c2 , 0, 0), s3 (t) = (c3 , 0, 0), s4 (t) = (c4 , 0, 0), ou seja, as posi¸ c˜ oes das part´ıculas 1, 2, 3 e 4 s˜ ao, respectivamente, os vetores constantes (c1 , 0, 0), (c2 , 0, 0), (c3 , 0, 0) e (c4 , 0, 0). Por conseq¨ uˆ encia, a acelera¸ c˜ ao de cada part´ıcula ´ e (0,0,0) (zero). Considere que todos esses vetores-posi¸c˜ ao s˜ ao dois a dois distintos sobre o eixo das abscissas, ou seja, sobre o eixo x do sistema xyz representado por 3 .
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
4. m( pi ) = 1 para i = 1, 2, 3, 4, ou seja, a massa de cada part´ıcula ´ e unit´ aria. 5. f ( p2 , p1 , t) = f ( p3 , p1 , t) = f ( p4 , p1 , t) = f ( p1 , p2 , t) = f ( p3 , p2 , t) = f ( p4 , p2 , t) = f ( p1 , p3 , t) = f ( p2 , p3 , t) = f ( p4 , p3 , t) = f ( p1 , p4 , t) = f ( p2 , p4 , t) = f ( p3 , p4 , t) = (0, 0, 0), ou seja, todas as for¸ cas internas s˜ ao nulas. Por exemplo, ca interna da f ( p2 , p1 , t) = (0, 0, 0) significa dizer que a for¸ part´ıcula 1 sobre a part´ıcula 2 ´ e sempre nula para qualquer instante t T .
∈
∈ ∈
6. g( pi , t) = ( 0, 0, 0) para i = 1, 2, 3, 4 e para qualquer t T . Em outras palavras, a for¸ca externa ou perturbativa sobre qualquer part´ıcula de P ´e nula para qualquer instante t T . ´ f´acil verificar que essa interpreta¸ca˜o satisfaz a todos os axiomas do E MSS se for considerado, evidentemente, que s, m, f e g s˜ao fun¸co˜es com dom´ınios P T , P , P P T e P T , respectivamente, e co-dom´ınios 3 , , 3 e 3 , respectivamente. Por exemplo, como todas as acelera¸c˜oes s˜ao nulas e todas as for¸cas envolvidas (externas ou internas) tamb´em, a equa¸c˜ao do axioma P11 se verifica rapidamente como uma identidade v´alida. A verifica¸ca˜o dos demais axiomas fica a cargo do leitor.
×
× ×
×
Considere uma interpreta¸c˜ao I 2 na qual todos os conceitos primitivos do MSS tˆem as mesmas interpreta¸c˜oes daquelas que foram dadas em I 1 , exceto para for¸ca interna. De acordo com o princ´ıpio de Padoa, isso deve provar que for¸ca interna ´e um conceito independente dos demais no MSS e, por isso, n˜ao pode ser definido. Considere, portanto 1. P = p1 , p2 , p3 , p4 .
{ 2. T = .
}
3. s1 (t) = (c1 , 0, 0), s2 (t) = (c2 , 0, 0), s3 (t) = (c3 , 0, 0), s4 (t) = (c4 , 0, 0). 4. m( pi ) = 1 para i = 1, 2, 3, 4. 5. g( pi , t) = (0, 0, 0) para i = 1, 2, 3, 4 e para qualquer t T .
∈
6. Mas f ( p2 , p1 , t) = f ( p4 , p2 , t) = f ( p1 , p3 , t) = f ( p3 , p4 , t) = (1, 0, 0),
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59
˜ Aplicac¸oes
f ( p3 , p1 , t) = f ( p1 , p2 , t) = f ( p4 , p3 , t) =
−
f ( p2 , p4 , t) = ( 1, 0, 0), f ( p4 , p1 , t) = f ( p3 , p2 , t) = f ( p2 , p3 , t) = f ( p1 , p4 , t) = (0, 0, 0),
∈
para todo t T . Isso com a mesma ressalva de que s, m, f e g s˜ao fun¸co˜es com dom´ınios P T , P , P P T e P T , respectivamente, e co-dom´ınios 3 , , 3 e 3 , respectivamente. Novamente, a verifica¸c˜ao dos axiomas nessa interpreta¸c˜ao fica a cargo do leitor, lembrando que f ( pi , pi , t) ´e sempre (0, 0, 0) para qualquer p i P e para qualquer t T . Deve-se ter cuidado especial na verifica¸c˜ao do axioma P9, P10 e P11.
×
× ×
×
∈
∈
Em [52], discute-se a respeito de uma mecˆanica cl´assica que n˜ao apresenta a no¸c˜ao de for¸ca em seu conjunto de conceitos primitivos. Como for¸ca ´e um conceito n˜ao-defin´ıvel em MSS, deve ficar claro que a mecˆ anica discutida em [52] (inspirada em trabalhos publicados anteriormente) n˜ao ´e equivalente `a mecˆanica do sistema MSS. Mesmo assim, ela ainda permite a dedu¸c˜ao de resultados bem conhecidos na literatura, como as leis de Kepler. Para detalhes, ver [57].
Teorema 5.10 O conceito de massa ´e independente dos demais conceitos primitivos no MSS. Demonstra¸ c˜ ao: Fica como exerc´ıcio para o leitor. O pr´ oximo teorema permite mostrar que o tempo ´e elimin´avel no MSS.
Teorema 5.11 O tempo pode ser definido a partir dos demais conceitos primitivos do sistema MSS.
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60
˜ O que e´ uma Definic¸ao
Demonstra¸ c˜ ao: De acordo com o princ´ıpio de Padoa, o conceito primitivo T no sistema MSS deve ser independente dos demais (part´ıcula, massa, posi¸c˜ao, for¸ca interna e for¸ca externa) se, e somente se, existirem dois modelos do MSS, tais que T admite duas interpreta¸c˜oes, mas os outros conceitos tˆem a mesma interpreta¸ca˜ o. N˜ ao obstante, tais interpreta¸co˜es n˜ao s˜ao poss´ıveis, uma vez que p osi¸c˜ao s, for¸ca interna f e for¸ca externa g s˜ao fun¸co˜es cujos dom´ınios dependem de T . Qualquer mudan¸ca na interpreta¸c˜ao de T acarreta em mudan¸ca na interpreta¸c˜ao de mais trˆes no¸c˜oes (s, f , e g ). Portanto, o tempo pode ser definido no MSS. Qual o significado epistemol´ogico da definibilidade de T ? Costuma-se dizer que um dos principais objetivos da mecˆ anica cl´assica ou de qualquer teoria f´ısica ´e fazer previs˜oes. Mas a no¸c˜ao de previs˜ao considera o conceito de futuro e, portanto, o conceito de tempo. Se o tempo ´e dispens´avel, ent˜ao uma quest˜ao se faz: qual ´e, afinal, o principal objetivo da mecˆ anica cl´assica de part´ıculas, pelo menos do ponto de vista do sistema MSS? Parece que a principal meta da mecˆ anica, diante do atual contexto, ´e a descri¸ca˜o do estado f´ısico de part´ıculas. Nesse sentido, o estado de uma part´ıcula p ´e o conjunto de pontos
ds p (t) s p (t), dt
(5.2)
no espa¸co de fase de posi¸ca˜o versus velocidade, dadas condi¸c˜oes iniciais. Por condi¸c˜oes iniciais entende-se um ponto espec´ıfico no espa¸co de fase. Como o espa¸co de fase n˜ao faz qualquer referˆencia expl´ıcita ao parˆametro t, ent˜ao o conjunto acima ´e equivalente ao conjunto (s p , v p )
(5.3)
desde que sejam dadas as condi¸c˜oes iniciais ou de contorno. Evidentemente essa ´e uma an´alise que se aplica muito bem aos chamados sistemas autˆonomos, ou seja, aqueles que n˜ao dependem explicitamente de uma vari´ avel t de tempo. No entanto, diante dessa discuss˜ ao sobre a defini¸c˜ao de tempo em termos de outras vari´aveis, deve ficar claro que uma defini¸ca˜o mais precisa para sistemas autˆonomos se faz necess´aria `a luz da teoria da defini¸c˜ao. Mas essa ´e uma quest˜ao que escapa dos objetivos deste livro. O fato ´e que n˜ ao definimos ou eliminamos qualquer parˆametro de tempo, mas somente o conjunto de instantes. Os instantes ainda s˜ao necess´arios, pois sem parˆametro de tempo, como seria poss´ıvel falar sobre taxas de varia¸c˜ao, velocidades ou correntes? Mesmo quando se fala em eliminabilidade do conjunto de instantes, significa uma eliminabilidade no sentido de que n˜ao ´e preciso jamais explicitar esse conjunto T de instantes, apesar de ele ainda existir; ou seja, o tempo como um meio no qual os eventos est˜ao inseridos ´e uma no¸c˜ao dispens´avel.
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˜ Aplicac¸oes
61
Uma historinha Recentemente lecionei uma disciplina de t´opicos especiais de ´algebra para o curso de matem´atica da Universidade Federal do Paran´a a pedido do coordenador do curso. Esta disciplina tem ementa vari´avel que depende de aprova¸c˜ao do Departamento de Matem´atica antes do in´ıcio do semestre letivo. Preparei, ent˜ao, uma que contemplasse o uso do m´etodo axiom´ atico em f´ısica te´orica, usando como exemplo principal o sistema MSS. Fazia parte do processo de avalia¸c˜ao que os alunos escolhessem qualquer um dos conceitos primitivos do MSS e provassem sua independˆencia em rela¸c˜ao aos demais. A referˆencia principal era [60]. Era uma tarefa para ser feita fora da sala de aula e com prazo longo. Implicitamente, sem fazer os c´alculos com antecedˆencia, acabei presumindo que todos os conceitos do MSS eram independentes e, portanto, n˜ ao-defin´ıveis. Uma das condi¸co˜es era que dois ou mais alunos n˜ao poderiam escolher o mesmo conceito. Como o n´umero de alunos era inferior ao n´umero de conceitos primitivos no MSS, essa condi¸c˜ao seria facilmente atendida. Um aluno escolheu o conceito de for¸ca interna, o que n˜ao representou problema algum, e outro escolheu o de massa, que tamb´ em n˜ao foi um grande desafio. Mas um deles, Humberto R. R. Quoirin, escolheu o conceito de tempo. Evidentemente ele n˜ao conseguiu provar a independˆencia de tempo. Quando me procurou, discutimos o assunto, mas de maneira apenas superficial. Na segunda vez que nos encontramos, percebi que havia de fato algo errado. Tempo era, na verdade, um conceito que poderia ser definido a partir dos demais no MSS. Mas ainda era necess´ario atender a certos detalhes t´ecnicos, por´em imprescind´ıveis, os quais n˜ao estavam dispon´ıveis em [60]. Paralelamente, outro aluno igualmente brilhante, Tomas K. Breuckmann, percebeu que at´ e o con junto P de part´ıculas era defin´ıvel. Ent˜ ao, contatei o professor Newton da Costa, da Universidade de S˜ao Paulo. Mantivemos contatos por telefonemas e e-mails e, em 2001, publicamos resultados que generalizam enormemente essas id´eias em [16]. Esse evento ilustra um curioso exemplo de indissociabilidade entre pesquisa e ensino. A id´eia era transformar o esfor¸co desses alunos em um trabalho a ser apresentado no Evento de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica de 2001, que n˜ao ocorreu devido a uma greve nas universidades federais em todo o pa´ıs. Hoje em dia a participa¸c˜ao de alunos de gradua¸c˜ao em projetos de pesquisa tem crescido no Brasil e no exterior. H´a casos de alunos que, em parceria com seus professores/orientadores, tˆ em publicado trabalhos em revistas especializadas de circula¸ca˜o internacional. Em [52] h´a dois exemplos de alunos que, em parceria comigo, publicaram resultados de pesquisa original: um sobre a mecˆ anica de Hertz e outro sobre a mecˆanica de Mach. Uma discuss˜ao recente e interessante a respeito de pesquisa entre alunos de gradua¸c˜ ao se encontra em [69].
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Outras teorias f´ısicas Em [17] foi provado que tempo ´e elimin´ avel como conceito primitivo da termodinˆamica, pelo menos em uma formula¸ca˜o espec´ıfica [20]. Esse ´e um resultado curioso, pois, ao contr´ario da mecˆanica cl´assica, a termodinˆamica trata de fenˆomenos irrevers´ıveis em rela¸ca˜o ao fluxo de tempo. Considere, por exemplo, uma x´ıcara que se quebra ap´os uma queda no ch˜ ao. N˜ao h´ a fenˆ omeno f´ısico conhecido na natureza que fa¸ca com que os peda¸cos da x´ıcara estilha¸cada se re´ unam novamente para compor o objeto quebrado e fazˆ e-lo voltar a ser o que era antes. Para muitos f´ısicos, esse fato parece apontar para uma dire¸c˜ao objetiva do tempo. Uma teoria f´ısica que estuda esse tipo de fenˆ omeno ´e a termodinˆamica. Em [16] tamb´em foi demonstrado que espa¸co-tempo pode ser definido (por isso ´e um conceito elimin´avel e n˜ao-criativo) na teoria da relatividade geral de Einstein, no eletromagnetismo de Maxwell, nas teorias de gauge cl´assicas (as quais basicamente se referem a interpreta¸c˜oes da teoria das conex˜oes em geometria diferencial), na teoria do el´etron de Dirac e na mecˆanica hamiltoniana (uma formula¸c˜ao bastante comum para mecˆanica cl´assica). Discutir em detalhes esses resultados exige muitos pr´e-requisitos que fogem do escopo desta obra, como teoria da medida, integrais de Lebesgue, topologia geral, geometria diferencial etc. Por isso, basta mencionar os resultados principais, os quais tˆem a mesma intui¸ca˜o apresentada na discuss˜ao sobre o sistema MSS. Vale tamb´em consultar as respectivas referˆencias j´a citadas.
Um problema interessante Em um de seus mais recentes livros [27], o fil´osofo e historiador alem˜ao da f´ısica Max Jammer, professor/pesquisador do Departamento de F´ısica da Universidade de Bar-Ilan, em Israel, faz uma detalhada an´alise sobre o conceito de massa em diversas teorias f´ısicas, tanto cl´assicas quanto quˆanticas. Segundo ele (tradu¸c˜ao do autor): De fato, como o Lectures on Mechanics de Gustav Kirchhoff, ou o Principles of Mechanics de Heinrich Hertz, ou mais recentemente o sistema axiom´ atico para a mecˆanica cl´ assica de part´ıculas proposto por Adonai Schlup Sant’Anna [50] claramente mostram, mesmo axiomatiza¸co ˜es da mecˆ anica que evitam a no¸ca ˜o de for¸ca precisam do conceito de massa como primitivo.
´ importante observar que massa n˜ao precisa, pelo menos em princ´ıpio, ser E um conceito onipresente e indispens´avel em toda e qualquer axiomatiza¸c˜ao da mecˆ anica cl´assica. Isso porque o leitor pode ficar com essa impress˜ao ao ler o
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˜ Aplicac¸oes
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texto de Jammer fora de contexto, apesar de ele nunca afirmar categoricamente que massa ´e um conceito imprescind´ıvel. Ele pr´oprio discute em seu livro uma axiomatiza¸ c˜a o para a mecˆanica cl´assica (na formula¸c˜ao lagrangeana), devida ao f´ısico alem˜ao Heinz-J¨ urgen Schmidt (cujo primeiro nome Jammer equivocadamente confunde com Hans-J¨ urgen) [59], na qual massa ´e definida e, por isso, elimin´avel. Em formula¸co˜es bastante naturais e bem conhecidas da literatura [39], ´e f´acil provar que massa ´e um conceito n˜ao-defin´ıvel. Buscar por formula¸co˜es axiom´aticas alternativas para a mecˆanica cl´assica de part´ıculas nas quais massa seja um conceito defin´ıvel ou at´ e mesmo uma no¸c˜ao que simplesmente n˜ao figure no elenco de conceitos primitivos da teoria ´e at´ e um exerc´ıcio interessante, digno de um projeto de inicia¸ca˜o cient´ıfica. O assunto ´e extenso, complexo, profundo e fascinante, demandando no m´ınimo um livro inteiramente dedicado a ele. Ao leitor interessado vale a pena consultar a obra de Jammer, bem como referˆencias l´a mencionadas, incluindo evidentemente o excelente artigo de Schmidt.
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Exerc´ıcios regulares 1. Classifique cada defini¸ ca ˜o empregada neste livro. Explicite se as defini¸ co ˜es s˜ao formais ou informais; ampliativas, abreviativas ou tarskianas; semˆ anticas ou sint´ aticas etc. Justifique suas respostas e discuta-as com colegas e professores. 2. Prove que os abertos da reta constituem uma topologia para ela. 3. Reescreva a Defini¸ c˜ ao 5.24 sem qualquer men¸ ca ˜o expl´ıcita a tempo. 4. Prove, em detalhes, que for¸ca interna ´ e um conceito que n˜ ao pode ser definido no sistema MSS. 5. Verifique se for¸ ca externa ´ e um conceito defin´ıvel no sistema MSS. 6. Prove, em detalhes, que massa ´ e um conceito que n˜ ao pode ser definido no sistema MSS. 7. Prove que o conjunto P de part´ıculas no MSS ´ e defin´ıvel. 8. Defina um sistema de part´ıculas, baseado na axiomatiza¸ c˜ ao MSS, mas sem qualquer men¸ c˜ ao ao conjunto P de part´ıculas;
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˜ O que e´ uma Defin Definic ic¸ao
em outras outra s palavras, palavra s, desenvolva uma mecˆ anica anica de part´ part´ıculas sem part´ pa rt´ıcul ıc ulas as.. 9. Reescreva a defini¸c˜ c˜ ao ao de pr´ e-corpo, e-corp o, eliminando elimina ndo o conceito concei to P K K , ou seja, o conjunto de pr´ e-escalares. e-escalares.
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Exerc´ Exerc´ıcios ıcios de pesquisa 1. Procure, na literatura especializada, por formula¸ c˜ c˜ oes oe s axio ax iom´ m´ aaticas para grupos, mon´ oides, reticulados, corpos, corpos ordeoides, nados, nad os, an´eis, eis , m´ odulos odulos etc. Verifique erifique quais os conceitos conceitos nessas teorias que s˜ ao ao defin´ de fin´ıvei ıveiss e quai qu aiss n˜ao ao s˜ao. ao .
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˜ cient´ Iniciac¸ ao cient´ıfica ıfic a 1. Crie um sistema axiom´ atico atico para a mecˆ anica an ica cl´assi as sica ca de part´ pa rt´ııculas no qual o tempo n˜ ao ao possa ser definido. definido. 2. Crie um sistema axiom´ atico atico para a mecˆ anica an ica cl´assi as sica ca de part´ pa rt´ııculas no qual o conjunto de part´ part´ıculas n˜ ao ao possa ser definido. 3. Crie um sistema sistem a axiom´atico atico para a mecˆ anica anica cl´ assica assica de part´ıculas sem a no¸ c˜ cao a ˜o de massa. massa. Compar Compare e esse esse sistema sistema com o sistema MSS. Compare com a proposta de Schmidt [59]. 4. Verifique Verifique quais conceitos s˜ ao ao elimin´ aveis aveis e quais n˜ ao ao s˜ ao a o no sistema sistema de Gurtin e Williams Williams para a termodinˆ termodinˆ amica amica [20]. Reescrever escrever esse sistema sistema somente somente com conceitos primitivos primitivos independentes simplifica a teoria em rela¸c˜ c˜ao ` a formul mu lac˜ c¸˜ ao ao orig or igin inal al? ? Justifique sua resposta. 5. Em [36] h´ a uma formula¸ c˜ c˜ ao ao axiom´ axi om´ atica ati ca para par a a teoria teo ria da evolu¸ evol u¸ c˜ ao gen´ etica. etica. Verifique quais quai s conceitos primitivos nessa teoria s˜ ao ao defin´ de fin´ıveis ıve is..
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6
´ Ensino Medio
´ Cuidados basicos Neste Nest e Cap´ıtulo ıtu lo ´e aborda ab ordada da a no¸c˜ cao ˜ao de defini¸c˜ cao a˜o em uma acep¸c˜ c˜ao ao intuitiva, intuitiva, mesmo quando se fala em matem´atica. atica. Na matem´ matem´ atica lecionada no ensino atica m´ edio, edio, usa-se uma linguagem natural, enriquecida com termos t´ ecnicos ecnicos emprestados prestados de certas linguagens linguagens formais. Isso significa significa que as defini¸c˜ c˜oes oes abordadas nesse n´ıvel s˜ ao ao todas informais. No entanto, entanto, tudo o que ´e dito aqui pode ser devidamente formalizado e contextualizado em termos de defini¸c˜ c˜oes oes formais. De certo modo, em matem´atica atic a ´e mais f´acil acil escrever sobre t´opicos opicos avan¸cacados que assuntos mais b´ asicos. asicos. Isso porque ao se escrever escrever sobre um assunto assunto de car´ ater ater avan¸cado, cado, pode-se pressupor que o leitor j´a tem familiaridade com uma s´erie erie de pr´ p r´e-requi e-re quisito sitos. s. O probl p roblema ema ´e a aborda ab ordagem gem de assunto assu nto t´ecnico, ecni co, sem assumir o conhecimento dos pr´ e-requisitos. e-requisitos. Por isso, uma importante quest˜ aaoo ao se escrever um livro de matem´atica atic a de n´ıvel b´asico asico ´e: e: como ensinar matem´ atica atica de modo acess´ acess´ıvel para crian¸cas, cas, adolescentes ou leigos, sem cometer abusos abusos ou erros? erros? Muitos Muitos autores dizem que a matem´ matem´atica atica atual ´e formulada na linguagem de conjuntos, o que a rigor n˜ao ao ´e verdade. verdad e. Exemplos contr´arios arios a essa afirma¸c˜ c˜ao ao s˜ao ao o c´ alculo alculo proposicional cl´assico assico [52], as teorias de ordem superior [26], algumas formula¸c˜ coes o˜es para a teoria teoria de categorias categorias [21], entre entre outros. Pode-se dizer que a maior parte da matem´atica atica tradicional est´a fundamentada na linguagem da teoria de conjuntos, principalmente a matem´atica com in´ umeras umeras aplica¸c˜ coes o˜es em problemas do dia-a-dia. Independentemente Independentemente disso, ´e comum encontrar livros nos quais se diz que n´umeros umeros s˜ao ao “entes” abstratos, desenvol desenvolvidos vidos pelo homem como modelos que p ermitem ermitem contar contar e medir. medir. Se a matem´atica atica fosse de fato formulada na teoria de conjuntos, n´ umer um eros os n˜aaoo
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˜ O que e´ uma Defin Definic ic¸ao
seriam seriam “entes” “entes”,, mas conjuntos. conjuntos. Sabe-se que tanto n´umeros umeros naturais como inteiros, racionais, reais, complexos, entre outros, podem de fato ser descritos como conjuntos [54]. Mas, lecionar isso no ensino m´edio edio caracteriza um certo exagero formal do ponto de vista did´atico. atico. Por´em, em, cabe cab e ao professor pro fessor uma u ma “honestidade nestidad e intelectual” intel ectual” para dizer aos alunos que ´e poss p oss´´ıvel descrever de screver n umeros u ´ meros como conjuntos. Por´ Por´em, em, essa ´e uma quest˜ao ao avan¸cada cada que deve interessar somente `aqueles aqueles que desejam d esejam uma forma¸ f orma¸c˜ cao a˜o em matem´atica atica especialmente direcionada `a l´ogica ogica e aos fundamentos. Genericamente, Genericamente, defende-se aqui a id´eia eia de que n˜ao ao h´ a livros perfeitos, autores infal´ infal´ıveis ou professores que nunca cometem erros. Para o bom b om aprendizado, ´e fundamental fund amental a diversidade diversida de de id´eias. eias. O estudante estud ante sempre sempr e deve buscar bu scar diferentes autores, professores, opini˜oes oes e pontos de vista. Essa busca – orientada por mestres que estimulem o senso cr´ cr´ıtico – ´e talvez o melhor caminho para uma educa¸c˜ c˜ao ao de qualidade. qualidade. Educa¸ Educac˜ c¸ao a˜o n˜ ao ´e apenas um ato formal em ao busca de um certificado. Ainda que o aluno receba uma equilibrada orienta¸c˜ c˜aaoo do professor, professor, o mais importante importante ´e a liberdade liberdade de pensamento pensamento do aluno e um senso cr´ cr´ıtico que deve d eve ser sempre estimulado. estimulado . Freq¨ uentemente alguns autores mais cuidadosos escrevem textos de mateuentemente m´ atica elementar, evitando termos como “axioma”, “defini¸c˜ atica cao” a˜o” e “teorema”. Isso parece mais f´acil, acil, pois evita discuss˜oes oes dif´ıceis ıceis como a sua conceitua¸ conceitu a¸c˜ cao. a˜o. No entanto, essa atitude tamb´ em em distancia o aluno dos usuais jarg˜oes oes da atividade matem´atica atic a e cient´ıfica. ıfica . N˜ao ao se defende aqui a id´eia eia de que cursos avan¸cados cados de l´ogica ogica devam ser ministrados a alunos do ensino m´edio edio e sim o significado intuitivo de termos usuais da matem´atica atica que devem ser dominados principalmente pelos mestres. Esse significado deve sempre passar por uma an´alise alise cr´ cr´ıtica, estimulada com debate debatess dentro dentro e fora fora da sala de aula. aula. Como Como uma das metas da educa¸ educa¸c˜ c˜ao ´e capacitar cidad˜aos, aos, ´e um erro inadmiss inadmis s´ıvel pressup p ressupor or que q ue ela e la deve se limitar `a escola. Nas se¸c˜ coes o˜es seguintes s˜ao ao discutidos alguns exemplos de erros comuns cometidos na matem´atica atica do ensino m´edio. edio. Tamb´em em s˜ao ao apontadas algumas sugest˜oes oes e caminhos para melhorar textos de matem´atica; atica; resumidamente, as principais s˜ao: ao: 1. Autores Autore s de livros l ivros did´ aticos aticos de matem´ mate m´ atica devem sempre procuatica rar a opini˜ ao ao de colegas e profissionais profissionais da educa¸ c˜ ao a o e da matem´ atica atica altamente capacitados. Esses profissionais devem ser consultados antes da publica¸ c˜ cao a ˜o de qualquer livro did´ atico. atico. 2. Esses autores devem sempre deixar claro um perfil de “honestidade tidade intel intelect ectual” ual”,, de modo a incen incentiv tivar ar forteme fortemente nte o senso senso cr´ cr´ıtico ıti co e o esp´ırito ıri to questi que stiona onador dor.. 3. Os autores autores devem devem sempre sempre estar abertos a cr´ cr´ıticas e sugest˜ sugestoes. o ˜es. Pessoas qualificadas cometem erros como qualquer ser humano.
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Ensino M´edio
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4. Os professores devem sempre se atualizar com leituras, cursos, conversas; ou seja, sua profiss˜ ao deve ser uma preocupa¸ ca ˜o constante.
˜ por zero Divisao Esta se¸c˜ao ´e parcialmente baseada em [53]. ´ comum em livros e apostilas de matem´atica se afirmar que divis˜ao por E zero n˜ao faz sentido. Por exemplo, 6 dividido por 2 ´e igual a 3, pois 3 vezes 2 ´e 6. Mas 6 dividido por 0 (zero) n˜ao faz sentido porque n˜ao existe n´umero que multiplicado por 0 seja igual a 6; afinal, qualquer n´ umero multiplicado por 0 ´e igual a 0. No entanto, h´a v´ arios problemas s´erios ao se afirmar que divis˜ao por zero n˜ao faz sentido: como expressar matematicamente a id´eia de que algo faz ou deixa de fazer sentido? Se os matem´ aticos conseguem definir, por exemplo, raiz quadrada de n´umero negativo (o que demanda o estudo dos n´umeros complexos), qual ´e a real dificuldade em se definir divis˜ ao por zero? Por que a divis˜ ao por zero deve necessariamente vincular-se `a opera¸ca˜o de multiplica¸c˜ao (como no caso da divis˜ao de 6 por 2)? Afinal, o que ´e uma defini¸ca˜ o? Os alunos sabem, ainda que remotamente, o que ´e um defini¸ca˜o? Do ponto de vista l´ogico-matem´ atico, particularmente das no¸c˜oes usuais acerca de defini¸co˜es, n˜ao h´ a dificuldade em se definir divis˜ao por zero. Podese dizer, por exemplo, que qualquer n´umero real dividido por zero ´e zero, desde que esse caso particular de divis˜ao n˜ ao esteja vinculado `a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao. O fato ´e que divis˜ a o por zero n˜ao ´e definida nos livros e nas apostilas por simples conven¸c˜ao entre os matem´aticos. O professor pode explorar essa liberdade inerente `a atividade matem´atica para estimular seus alunos com a seguinte pergunta: como seria a matem´atica se fosse definido divis˜ao por zero? Mudaria algo no estudo, por exemplo, de trigonometria? E em matrizes? Isso ajudaria os alunos a compreenderem que a beleza da matem´atica baseia-se na sua liberdade, como afirma o grande matem´atico alem˜ao Georg Cantor. Esse tipo de atividade exercita o senso cr´ıtico dos alunos e os faz explorar um universo de discuss˜ oes e an´alises. Debates n˜ao devem ocorrer apenas em aulas de filosofia, mas nas de matem´ atica tamb´em. A matem´atica dos vestibulares, dos concursos p´ublicos e da maioria das escolas pode ser chamada de tradicional. A princ´ıpio, n˜ao h´ a algo do ponto de vista formal que privilegie o status da matem´atica tradicional em rela¸c˜ao a matem´aticas alternativas. H´a exemplos de matem´aticas n˜ao-tradicionais de incr´ıvel complexidade que v˜ao al´em dos prop´ ositos do ensino m´edio, como as l´ogicas heterodoxas ou a an´alise n˜ ao-standard . Mas a quest˜ao aqui apresentada pode servir de inspira¸c˜ao para ilustrar um dos aspectos mais importantes da matem´atica como atividade cient´ıfica: sua liberdade.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
A seguir s˜ao discutidas em detalhes algumas quest˜oes relativas ao problema de se definir divis˜ao por zero.
Exemplo 6.1 Considere a f´ ormula x = z y
⇔ x = yz,
sendo que x, y e z denotam n´ u meros reais. Tal f´ ormula n˜ ao pode ser usada como uma defini¸ ca ˜o para a opera¸ c˜ ao de divis˜ ao umeros reais, pois conduz ao problema de que se x x/y entre n´ for diferente de 0 e y = 0, n˜ ao existe z real que multiplicado por 0 resulte em um x diferente de zero. Formalmente percebe-se nessa quest˜ ao que a proposta dada viola a quarta condi¸cao ˜ para defini¸ ca ˜o de opera¸ co ˜es fornecida no Cap´ıtulo 2. Com efeito, a quarta condi¸ ca ˜o ´ e de que a f´ ormula ( !z)x = yz
∃
deve ser demonstr´ a vel na teoria dos corpos (ou dos n´ umeros reais). Isso evidentemente n˜ a o ocorre, pois se x = 1 e y = 0, n˜ ao existe z tal que 1 = 0 z. Basta lembrar que 0 ´ e absorvente em rela¸ c˜ ao ` a multiplica¸c˜ ao, ou seja, para qualquer z, 0 z = 0. De um ponto de vista menos formal, pode-se dizer que essa f´ ormula viola o crit´ erio de eliminabilidade, pois n˜ ao ´ e poss´ıvel substituir o caso 6/0 por algum n´ umero real x, uma vez que n˜ ao existe n´ umero real x que multiplicado por zero resulte em seis.
·
·
Exemplo 6.2 Outra tentativa para contornar o problema do exemplo anterior ´ e tentar definir divis˜ ao da seguinte maneira: x = z y
⇔ y = 0 e x = yz.
No entanto, tal equivalˆ encia l´ ogica apresenta o mesmo problema discutido no Exemplo 6.1. N˜ ao ´e poss´ıvel provar que, dados x e y, existe um u ´ nico z tal que y = 0 e x = y z. Com efeito, considere o caso em que y = 0.
·
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Ensino M´edio
Exemplo 6.3
Tamb´ em ´ e comum considerar que se y = 0 tem-se x/y = z se, e somente se, x = yz. Alguns autores se referem a essa senten¸ ca como uma defini¸ c˜ ao condicional de divis˜ ao. No entanto, n˜ ao se trata de uma defini¸c˜ ao no sentido usual, pois n˜ ao ´ e elimin´avel. Com efeito, n˜ ao se pode eliminar o s´ımbolo de divis˜ ao da f´ ormula 1/0 = 1/0. Os exemplos anteriores apenas ilustram tentativas fracassadas de se definir divis˜ ao. Mas estes fracassos n˜ao implicam necessariamente que divis˜ ao por zero ´e imposs´ıvel de ser definida. Considere, por exemplo, a f´ormula abaixo: x = z y
⇔ (y = 0 ⇒ x = yz) ∧ (y = 0 ⇒ z = 0).
(6.1)
Esta f´ormula (mencionada em [60]) pode ser usada como defini¸c˜ao para a opera¸ca˜o de divis˜ao entre n´ umeros racionais ou reais, pois satisfaz os crit´ erios para a defini¸c˜ao de uma opera¸ca˜o via equivalˆencia (no caso de se buscar por um tratamento formal). De acordo com essa defini¸c˜ao tem-se, em particular, 6 = 0, 0 o que pode parecer, `a primeira vista, um resultado estranho. Mas professores experientes sabem que muitos alunos, principalmente crian¸cas, tˆem a intui¸c˜ao de que divis˜ ao por zero ´e zero; dividir, por exemplo, cinco peda¸cos de bolo entre zero pessoas d´a zero, pois ningu´ em ganha peda¸c o algum do bolo. Do ponto de vista l´ogico, usar a F´ormula 6.1 ´e, a princ´ıpio, l´ıcito. Ent˜ao, por que n˜ ao adotar esse tipo de resultado? Por que muitos matem´aticos insistem que divis˜ ao por zero n˜ao se define? A principal raz˜ao ´e que eles se sentem mais confort´ aveis desse modo; ou seja, isso simplesmente refor¸ca que a matem´atica ´e uma atividade social. H´a um car´ater de arbitrariedade muito marcante na matem´atica. A aceita¸c˜a o ou n˜ao de certas id´eias est´a mais relacionada a decis˜ oes humanas do que a um formalismo inerente `a matem´atica. Tudo isso levanta algumas quest˜oes: se um aluno n˜ ao entende o discurso aplicado em sala de aula e no livro-texto sobre divis˜ao por zero, qual a raz˜ao disso? Seria reflexo de alguma limita¸c˜ao intelectual do aluno, ou simplesmente porque a n˜ao-definibilidade de divis˜ ao por zero geralmente n˜ao est´a bem fundamentada nos livros did´aticos e na aula de matem´atica? A matem´ atica n˜ao fica implicitamente entendida pelo aluno como sustentada no argumento da autoridade? Muitos educadores defendem a id´eia de que sejam estudados menos assuntos sobre ciˆencia nas escolas, mas de forma mais aprofundada.
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Obviamente, n˜ao se sugere o ensino de teoria da defini¸c˜ao nas escolas, mas uma adapta¸ca˜o dessas id´eias com o ob jetivo de um estudo cr´ıtico da matem´atica para que os alunos percebam esse ramo do conhecimento de forma menos ´ comum os professores usarem ad hoc , artificial, doutrin´aria e dogm´atica. E o argumento “isso ´e um artif´ıcio”, sem justificativa. Ser´a que esse tipo de postura passa uma id´eia adequada sobre matem´ atica? Geralmente a matem´atica ´e ensinada de forma a evitar qualquer an´ alise cr´ıtica e discuss˜ao em sala de aula, como se esse ramo do conhecimento fosse a palavra final de uma elite intelectual. Imagine uma crian¸ca que pela primeira vez em sua vida se depara com uma divis˜ao por zero e raciocina da seguinte maneira: cinco ma¸c˜as divididas entre zero pessoas d´a zero, pois ningu´em recebe ma¸ca˜ alguma. Em seguida, imagine um professor que diga ao aluno: divis˜ao por zero n˜ao faz sentido, portanto, seu racioc´ınio est´a errado. Tal situa¸ca˜o ´e freq¨ uente. A falta de di´ alogo pode distanciar muito o aluno do professor, o estudante do livro e a matem´atica do senso cr´ıtico. Ser´a que a intui¸c˜a o da crian¸ca que pensa que divis˜ao por zero resulta em zero n˜ao se identifica de algum modo com a divis˜ao euclidiana? Nessa divis˜ ao, seis dividido por zero resulta em zero com resto seis [41]. Cabe ao professor intelectualmente honesto, conversar com os alunos e argumentar que divis˜ao por zero n˜ao se define devido a uma conven¸c˜ao entre os matem´aticos, e que isso n˜ao est´a relacionado com algo que fa¸ca ou deixe de fazer sentido. O que n˜ao faz sentido ´e o matem´ atico ou o professor achar que matem´atica ´e a ciˆencia daquilo que faz sentido. A conven¸c˜ao de n˜ao se definir divis˜ao por zero obviamente n˜ao ´e plenamente justificada por essa breve discuss˜ ao. Cabe ao leitor buscar respostas mais aprofundadas. Outra quest˜ao relevante s˜ao as conseq¨ uˆencias matem´aticas de se definir divis˜ ao por zero. Isso certamente teria conseq¨uˆencias intrigantes no estudo de matrizes, equa¸c˜oes alg´ebricas, no c´alculo diferencial e integral, entre outros. Essa ´e mais uma raz˜ao que refor¸ca a conven¸ca˜o de n˜ ao se definir divis˜ao por zero, ou seja, o fato de que muita coisa teria que mudar paralelamemente em termos de conhecimento matem´atico.
˜ de seno Definic¸ao Muitos livros e apostilas de matem´atica do ensino m´edio definem seno a partir de uma raz˜ao entre comprimentos de lados de um triˆangulo retˆangulo. Mesmo defini¸co˜es que fazem uso do chamado c´ırculo trigonom´etrico apelam para essa no¸ca˜o, considerando somente triˆangulos retˆangulos com hipotenusas unit´arias. Conforme a figura a seguir, costuma-se definir seno do ˆangulo α (sen α) como a raz˜ao entre o cateto oposto (cat. op.) a α e a hipotenusa (hip.) do mesmo triˆ angulo retˆangulo.
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Ensino M´edio
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hip. cat. op. α
figura 6.1
Essa suposta defini¸c˜ao ´e empregada para calcular, sem dificuldades, o seno de certos ˆangulos not´aveis, como 30o , 45o e 60o . ´ realmente muito curioso como alunos e professores se contentam com E c´alculos simples como o seno de ˆangulos not´aveis ou de ˆangulos que podem ser obtidos via opera¸co˜es elementares entre not´aveis, como 15o , o qual ´e a diferen¸ca entre 45 o e 30o .
Exemplo 6.4
Em um triˆangulo equil´atero de lado l, uma altura qualquer dele o divide em dois triˆ angulos retˆ angulos com ˆ angulos internos de 30o e 60o , conforme a Figura 6.2.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
30 l 60 o
o
figura 6.2 Usando o teorema de Pit´ agoras, prova-se que √ o cateto maior de cada um dos triˆ angulos retˆ angulos mede l 23 , pois o cateto menor mede l/2 e a hipotenusa mede l. Assim ´ e f´ acil provar que sen 30o =
1 2
e o
sen 60 =
√ 3 2
.
J´ a o seno de 45o pode ser determinado a partir de qualquer triˆ angulo retˆ angulo is´ osceles, o que o leitor pode verificar facilmente. Mas calcular o seno de ˆangulos not´aveis n˜ao representa um desafio intelectual. O problema ocorre se um aluno com senso cr´ıtico perguntar ao professor o como calcular o seno de 2 , entre outros casos n˜ao-not´ aveis, mas que certamente podem surgir em aplica¸c˜oes pr´oximas das necessidades do dia-a-dia. Ainda que, para fins de simplifica¸c˜ao, seja considerado que a hipotenusa mede o 1 (uma unidade de comprimento), fica invi´avel determinar o seno de 2 sem
√
√
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Ensino M´edio
recorrer a uma calculadora – que fornece apenas valor aproximado por causa de suas limita¸c˜oes em representa¸ca˜o decimal – ou a uma tabela de senos (de origem misteriosa, do ponto de vista do aluno). Qual o procedimento que a calculadora cient´ıfica utiliza para calcular o valor do seno de um ˆangulo qualo quer? A calculadora desenha um triˆangulo retˆangulo com aˆngulo igual a 2 e mede o valor do cateto oposto ao ˆangulo em quest˜ao? A resposta ´e n˜ao. o Para se calcular o seno de 2 , ainda que a hipotenusa tenha medida unit´ aria, precisamos conhecer o valor da medida do cateto oposto. Mas para o conhecer a medida do cateto oposto ao ˆangulo de 2 , ´e preciso saber o valor o do seno de 2 ? Isso remete a uma viola¸ca˜o da condi¸c˜ao de eliminabilidade. N˜ao h´ a n´ umero ou express˜ ao que possa ser usada para substituir por seno de o 2 . O fato ´e que uma defini¸c˜ao de seno que dependa do valor do cateto oposto depende de um conhecimento pr´evio da medida de tal cateto. Por´ em, para conhecer a medida do cateto oposto ao ˆangulo, ´e necess´ario conhecer o seno dele, tendo em vista que a rela¸ca˜o entre ˆangulo e cateto ocorre por meio do seno. H´ a aqui uma circularidade. A suposta defini¸ ca˜o de seno em termos de ´ como se o seno, cateto oposto e hipotenusa n˜ao ´e de fato uma defini¸c˜ao. E supostamente definido como raz˜ao entre cateto oposto e hipotenusa, fosse um conceito n˜ao-elimin´ avel, pois o seno depende do cateto oposto, o qual depende do seno. Pode-se dizer, com seguran¸ca, que seno de α (Figura 6.1) coincide com a raz˜ ao entre cateto oposto e hipotenusa, no caso de α ser um aˆngulo agudo. Mas essa propriedade n˜ao pode ser empregada para efetivamente definir seno. Ent˜ao, como definir seno? H´a diversas formas poss´ıveis; a mais usual ´e a que se segue.
√
√
√
√
√
˜ 6.1 Definic¸ao
→ ´e a fun¸ca˜o seno se, e somente se, f ´e solu¸c˜ao da equa¸ca˜o
f :
diferencial ordin´ aria
d2 f + f = 0, dx2 sendo que f = f (x) satisfaz as seguintes condi¸ c˜ oes de contorno:
f (0) = 0
e
df (0) = 1. dx
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
´ claro que a defini¸c˜ao acima se refere somente a ˆangulos medidos em E radianos. Para obter uma defini¸c˜ao para ˆangulos em graus (ou grados), ´e necess´ aria uma convers˜ao. J´a a fun¸c˜ao co-seno ´e definida de maneira similar.
˜ 6.2 Definic¸ao f :
→ ´e a fun¸ca˜o co-seno
se, e somente se, f ´ e solu¸ca ˜ o da equa¸ c˜ ao diferencial ordin´ aria d2 f + f = 0, dx2 sendo que f = f (x) satisfaz as seguintes condi¸ c˜ oes de contorno: f (0) = 1
e
df (0) = 0. dx
As solu¸c˜oes para essas equa¸c˜oes diferenciais, com as condi¸co˜es de contorno dadas, podem ser representadas por meio de s´eries de potˆencias; as s´eries de Maclaurin, em referˆ encia ao matem´ atico escocˆes Colin Maclaurin. Um bom livro de c´alculo diferencial e integral oferece todos os pr´ e-requisitos para compreender detalhadamente as defini¸co˜es de seno e co-seno apresentadas anteriormente. Por exemplo, a s´erie de Maclaurin correspondente `a fun¸c˜ao seno ´e: senx = x
−
x3 x 5 + 3! 5!
−
x7 + 7!
x2n+1 + ( 1) + (2n + 1)!
··· −
n
··· ,
sendo que essa s´erie ´e convergente para qualquer n´umero real x, ou seja, existe um n´ umero real S que ´e a “soma das infinitas parcelas” da s´erie, independentemente do valor escolhido para x. Vale lembrar que n! denota o fatorial do inteiro positivo n, ou seja, n! = 1 2 3 ... (n 2) (n 1) n. Na pr´atica, calculadoras eletrˆonicas e computadores s˜ao programados para fazerem um truncamento na s´ erie, somando apenas as primeiras parcelas a fim de obter um valor aproximado para seno de x. O n´ umero de parcelas utilizadas nessa soma finita depende do grau de precis˜ao desejado. De qualquer modo, essa defini¸ca˜o ´e elimin´avel no sentido de que dado qualquer real x, sempre ´e poss´ıvel substituir sen x por um n´ umero real, que ´e a soma da s´erie citada para esse valor de x. A fun¸ca˜o tangente, a cotangente, a secante e a co-secante podem ser definidas a partir de seno e co-seno, da forma usual (tg α = sen α/cos α,
· · · · − · − ·
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Ensino M´edio
com cos α n˜ ao-nulo etc). No entanto, a defini¸c˜ao de seno e co-seno como solu¸co˜es de equa¸co˜es diferenciais acaba gerando um s´erio problema do ponto de vista did´atico. Afinal, equa¸c˜oes diferenciais n˜ao s˜ao tema do ensino m´edio, apesar de trigonometria ser. Ent˜ao, de que forma ensinar trigonometria no ensino m´edio, sem cometer erros conceituais e ainda tornar o assunto acess´ıvel ao aluno que domina somente os pr´e-requisitos normalmente dispon´ıveis nesse n´ıvel escolar? Algumas poss´ıveis propostas s˜ao:
1. Proceder ainda com a propriedade de que seno ´e uma raz˜ ao entre cateto oposto e hipotenusa e que co-seno ´ e uma raz˜ ao entre cateto adjacente e hipotenusa, mas sem afirmar ou insinuar que essas propriedades efetivamente definem seno e co-seno. 2. Instigar o senso cr´ıtico do aluno para que ele perceba que a propriedade de raz˜ ao entre lados de um triˆ angulo retˆ angulo n˜ ao permite determinar o seno ou o co-seno de ˆ angulos que n˜ ao s˜ao not´aveis. 3. Tornar claro ao aluno que existem defini¸c˜ oes precisas para seno e co-seno e que estas permitem o c´ alculo do seno e do co-seno de qualquer n´ umero real e com a precis˜ ao desejada. 4. Tornar claro que um estudo mais aprofundado sobre trigonometria exige uma matem´ atica mais avan¸ cada, que se aprende somente em cursos superiores nos quais essa mat´ eria est´ a significativamente presente. O professor deve saber que calculadoras cient´ıficas calculam seno e co-seno pelo truncamento das s´eries de potˆencia, que s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes diferenciais que definem seno e co-seno. Como uma s´erie de potˆencias ´e definida a partir das quatro opera¸c˜oes usuais da aritm´etica (adi¸ca˜o, multiplica¸c˜ao, subtra¸ca˜o e divis˜ao), a imagem de uma fun¸ca˜o trigonom´etrica qualquer ´e obtida a partir de um n´ umero finito de opera¸co˜es elementares.
˜ de logaritmo Definic¸ao Muitos livros de ensino m´edio “definem” logaritmo como: loga N = x se, e somente se, ax = N, sendo a, x e N n´ umeros reais e a um n´ umero positivo diferente de 1.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
O problema ´e que essa suposta defini¸ca˜o assume o pressuposto de que ax j´ a ´e conhecido. No ensino m´edio, ´e ensinado o conceito de ax quando x ´e racional. Em outras palavras, se x = pq , sendo p e q n´ umeros inteiros tais que q ´e n˜ ao-nulo, sabe-se que ax = a p/q = y se, e somente se, a p = y q . Vale lembrar que se p ´e inteiro estritamente positivo, a p ´e o produto a a a ... a, sendo que a tem p ocorrˆencias; se p ´e zero e a ´e diferente de zero, a p = 1; se p ´e negativo, a p = a 1 p ; coment´arios an´alogos valem para yq . No entanto, no ensino m´edio usualmente n˜ao ´e ensinado o que ´e ax , sendo x um n´ umero irracional, ou seja, um n´ umero real que n˜ao ´e racional. Isso significa que a “defini¸c˜ao” acima para logaritmo n˜ao ´e elimin´avel quando x for irracional, pois a pr´opria defini¸c˜ao de a x n˜ ao ´e elimin´ avel pelo mesmo motivo. x Uma defini¸c˜ao padr˜ ao para a , talvez a mais simples, ´e a seguinte:
· · ·
·
−
˜ 6.3 Definic¸ao Se a > 0 e x ´ e um n´ umero real qualquer, ax = exp(x ln a), sendo que a
ln a =
1
1 dt, t
e exp ´ e a fun¸ c˜ ao inversa da fun¸ c˜ ao ln definida pela integral acima; ln admite inversa porque ´ e bijetiva. Informa¸co˜es mais detalhadas sobre essa bela defini¸ca˜o s˜ao encontradas em bons livros de c´alculo diferencial e integral. Como integrais n˜ao s˜ao assunto comum no ensino m´edio, surge uma quest˜ao: de que forma ensinar logaritmos, sem fazer uso de integrais e c´alculo avan¸cado? Na realidade, a maioria dos alunos n˜ao parece perceber a necessidade de um rigor maior; cabe ao professor explicar aos alunos que a matem´atica do ensino m´edio n˜ao justifica de forma completa todas as propriedades de logaritmos apresentadas nos livros e nas apostilas, mas que essa matem´atica existe e est´a presente e acess´ıvel a estudantes de n´ıvel superior. O mais importante n˜ao ´e fornecer respostas, mas oferecer ao aluno perguntas que estimulem seu senso cr´ıtico. Caso contr´ario, a matem´atica ser´a sempre vista pelo aluno como um amontoado de procedimentos sem sentido, mas que
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Ensino M´edio
eventualmente podem ser u ´ teis no momento em que se deseja, por exemplo, conferir o troco em uma padaria ou em uma loja do shopping center.
.
Exerc´ıcios regulares 1. Prove que a f´ ormula 6.1 pode ser entendida como uma definic˜ ¸ ao de divis˜ ao entre n´ umeros reais (ou em um corpo), ou seja, ´ e elimin´ avel. H´ a outras f´ ormulas para definir divis˜ ao? 2. Considere que a F´ ormula 6.1 seja modificada da seguinte maneira: x = z se, e somente se, y
⇒ x = yz ) ∧ (y = 0 ⇒ z = 3).
(y = 0
Pode-se considerar a f´ ormula acima como uma defini¸ ca ˜o para divis˜ ao, em particular, divis˜ a o por zero? Quais s˜ ao as conseq¨ uˆ encias da resposta dessa quest˜ ao? 3. Verifique se a Defini¸c˜ ao 6.1 para fun¸ c˜ao seno ´ e elimin´ avel. Fa¸ ca o mesmo para a defini¸ ca ˜o de co-seno. 4. Dˆ e defini¸ co ˜es que satisfa¸ cam a condi¸ c˜ ao de eliminabilidade para as demais fun¸ c˜ oes circulares, ou seja, tangente, cotangente, secante e co-secante. 5. Verifique se a Defini¸c˜ ao 6.3 para logaritmo ´ e elimin´ avel. 6. Defina 00 (zero elevado a zero). Discuta sua defini¸ ca ˜o.
.
Exerc´ıcios de pesquisa 1. Discuta sobre a quest˜ ao da definibilidade de raiz quadrada de n´ umeros negativos.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
2. Fa¸ca uma discuss˜ ao detalhada sobre o conceito de ax , quando a e x s˜ao n´ umeros reais, sendo a um n´ umero maior que zero. 3. Verifique outras defini¸ c˜ oes para divis˜ a o por zero nos n´ umeros reais. 4. Verifique tamb´ em outras defini¸ c˜ oes para seno e co-seno. 5. Verifique que a Defini¸ c˜ ao 6.1 para seno ´ e compat´ıvel com a propriedade de que seno de um dado α ´ e uma raz˜ ao entre cateto oposto a α e hipotenusa de um triˆ angulo retˆ angulo com ˆ angulos agudos α e π/2 α, sendo que π ´ e a raz˜ ao entre o per´ımetro de uma circunferˆ encia qualquer e seu diˆ ametro.
−
.
˜ cient´ıfica Iniciac¸ao 1. Pesquise em livros did´ aticos de matem´ atica e apostilas e fa¸ ca uma an´ alise cr´ıtica das defini¸ c˜ oes apresentadas para certos conceitos-chave como n´ umero real, n´ umero racional, n´ umero irracional, ˆ angulo, divis˜ao por zero, fun¸ c˜ao etc. 2. Se divis˜ ao por zero fosse definida, quais seriam as conseq¨ uˆencias no c´ alculo diferencial e integral, e na an´ alise matem´ atica? 3. Nos livros de ensino m´ edio, ´ e comum definir-se o conceito de matriz como uma tabela de n´ u meros com linhas e colunas. O problema ´ e que esse conceito passa a depender de uma no¸ ca ˜o muito vaga e aparentemente n˜ ao-matem´ atica de “tabela”. Como definir a no¸ c˜ ao de matriz no ˆ ambito de uma teoria de conjuntos? Como tornar essa defini¸ c˜ao acess´ıvel a um jovem estudante do ensino m´ edio?
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˜ Finais Considerac¸oes
˜ impredicativas Definic¸oes Um exemplo curioso que ilustra o interesse dos matem´aticos por no¸c˜oes claras sobre o conceito de defini¸ca˜o ´e a discuss˜ao de Henri Poincar´e a respeito das defini¸c˜ oes impredicativas [45] [21] [33] no in´ıcio do s´eculo XX. A sua discuss˜ ao foi motivada por certos paradoxos que surgiram na teoria de conjuntos. Georg Cantor iniciou a teoria de conjuntos como disciplina matem´atica no final do s´eculo XIX. Deve-se a ele a famosa demonstra¸c˜ao de que o con junto dos n´ umeros reais n˜ao pode ter correspondˆencia biun´ıvoca com o dos n´ umeros naturais. Sua obra era extremamente original, o que criou uma certa resistˆencia por parte dos matem´aticos da ´epoca. Cantor tinha muita dificuldade para publicar seus resultados; e, ainda, alguns paradoxos surgiram na teoria de conjuntos que criou. Em 1899, em uma carta dirigida a Richard Dedekind, percebe que o conjunto de todos os conjuntos conduz a uma contradi¸ca˜o; por´em, o paradoxo de Bertrand Russell de 1905 ´e o mais conhecido: Se x ´ e o conjunto de todos os conjuntos a que n˜a o pertencem a si pr´ oprios, ent˜ ao x pertence a x? Se x pertence a x ent˜ ao ele satisfaz a propriedade de n˜ao pertencer a si pr´oprio. Se x goza da propriedade de n˜ao pertencer a x, ent˜ ao ele ´e elemento de x. Ou seja, x pertence a si pr´ oprio se, e somente se, n˜ ao pertence.
Colocado de outra forma, x pode ser definido como:
{
∈ }
x = a/a / a . Para uma breve revis˜ao a respeito das no¸c˜oes e nota¸c˜oes conjuntistas empregadas aqui, ver a primeira observa¸c˜ao do Apˆendice C. Mas, se o leitor ainda
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
recorda no¸c˜oes elementares de teoria de conjuntos do ensino fundamental e m´edio, ´e o suficiente para compreender esta se¸c˜ao. Para ilustrar o conjunto x definido, um exemplo de conjunto a que n˜ao pertence a si mesmo ´e o conjunto vazio . Com efeito, / , pois, por defini¸ c˜ao, n˜ ao existem elementos em . Outro exemplo ´e o conjunto dos n´umeros reais , pois pertencem a esse conjunto somente n´umeros reais. No entanto, o conjunto dos n´ umeros reais n˜ao ´e, ele pr´oprio, um n´ umero real. O leitor pode pensar em in´ umeros exemplos, o que evidencia que o conjunto x n˜ ao ´e vazio. Um conjunto que pertence a si mesmo ´e o conjunto de todos os conjuntos, ainda que esse seja um exemplo pouco intuitivo. A defini¸ca˜o de x permite concluir que
∅
∅
∅∈∅
∈ ⇔ x ∈/ x,
x x
o que, evidentemente permite derivar a contradi¸c˜ao x x
∈ ∧ x ∈/ x.
Detalhes sobre o paradoxo de Russell e sua solu¸c˜ao pelo m´etodo axiom´atico s˜ao encontrados em [54]. Vale ressaltar aqui a an´alise que Poincar´e fez para tal paradoxo. Para o matem´ atico, os diversos paradoxos que surgiram em teoria de conjuntos, incluindo o de Russell, tinham a mesma origem: o uso de um tipo de defini¸c˜ao ileg´ıtima, que ele denominou defini¸c˜ ao impredicativa . Poincar´e observou que os paradoxos sempre tinham aspectos de circularidade ou auto-referˆ encia. Uma defini¸ca˜o impredicativa de um conjunto x ocorre quando x ´e definido a partir de elementos a tais que, por sua vez, s˜ao definidos a partir de x. Nas palavras do pr´oprio Poincar´e [45]: [Defini¸co ˜es impredicativas s˜ ao] defini¸c˜ oes dadas por uma rela¸ca ˜o entre o objeto a ser definido e todos os objetos de um certo tipo, de modo que o pr´ oprio objeto a ser definido ´e desse tipo (ou pelo menos, alguns objetos que dependem, para sua defini¸c˜ao, do objeto a ser definido).
Isso ocorre no paradoxo de Russell; por n˜ao haver qualquer discrimina¸c˜ao sobre os elementos a que pertencem a x, ´e poss´ıvel ter o pr´oprio x pertencente a x. A mesma circularidade ocorre no conjunto de todos os conjuntos, mencionado anteriormente. Infelizmente, Poincar´e n˜ao desenvolveu em detalhes essas id´ eias. Mas evidˆencias apontam para a possibilidade de que ele julgava que defini¸c˜oes impredicativas devem ser evitadas em matem´atica. Essa ´e uma vis˜ao bastante atual, pois comumente considera-se que defini¸c˜oes em matem´atica devem ser elimin´aveis. E defini¸c˜oes impredicativas, por serem circulares, n˜ao s˜ao elimin´aveis. Portanto, apesar do termo “defini¸ca˜o impredicativa”, n˜ao se trata de fato de algum tipo de defini¸ca˜o. Em 1918 [71], Hermann Weyl chamou a aten¸c˜a o para o fato de que a an´ alise matem´atica tradicional estava de alguma forma sustentada justamente
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˜ Finais Considerac¸ oes
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em defini¸co˜es impredicativas. Um exemplo marcante ´e a no¸c˜ao de corte de Dedekind . Grosso modo, cortes de Dedekind permitem definir n´umeros reais (com suas opera¸co˜es usuais) a partir da no¸c˜a o de n´ umeros racionais (detalhes em [54] e [33] ou em um livro de an´alise matem´atica). No entanto, para convencer os matem´aticos de que esses cortes s˜a o de fato n´umeros reais, ´e necess´ ario que se prove um resultado conhecido como teorema da completude . A demonstra¸c˜ao de tal teorema parte da defini¸c˜ ao de certos subconjuntos de n´ umeros reais, com o objetivo de provar que esses mesmos n´umeros reais satisfazem a propriedade conhecida como completude . Apesar de detalhes t´ecnicos importantes serem intencionalmente omitidos, o leitor deve perceber que ´e uma pr´atica comum o uso de procedimentos impredicativos em matem´atica, mesmo nos dias de hoje. Recusar tais procedimentos significa uma mudan¸ca dr´astica nos fundamentos da an´alise matem´atica. O tema ´e extenso e complicado, cuja discuss˜ ao escapa dos prop´ositos deste livro. Mas as referˆ encias devem ajudar o leitor interessado. Inspirado nas id´eias de Poincar´e, Bertrand Russell formulou o princ´ıpio do c´ırculo vicioso. Para evitar os paradoxos, bastava evitar c´ırculos viciosos, considerando precisamente o dom´ınio de significado de senten¸cas ditas abertas . Tamb´ em foi bem-sucedido ao criar a teoria de tipos . Uma vers˜ao bastante simplificada da teoria de tipos, diferente da proposta original de Russell, encontra-se em [26].
´ Matematica como dogma Didaticamente, um ponto que preocupa ´e que muitos matem´aticos e professores de matem´atica defendem a pr´atica da manipula¸c˜ao alg´ebrica na resolu¸c˜ao de problemas como uma atividade mental autom´atica e que permita ao usu´ario da matem´atica atentar aos pontos cruciais, sem perder tempo e energia com detalhes. Um dos piores aspectos no sistema educacional brasileiro ´e a falta da pr´ atica do senso cr´ıtico. Isso lembra um evento ocorrido com Richard Feynman, ganhador do prˆemio Nobel em f´ısica, durante sua estada no Rio de Janeiro, no final da d´ecada de 1950. Lecionando eletromagnetismo de Maxwell para alunos brasileiros, Feynman exibiu dois polar´oides e perguntou como determinar a dire¸ca˜o absoluta de polariza¸c˜a o de um u ´ nico polar´o ide. N˜ ao houve respostas. Ele estranhou o silˆ encio, e olhando para a luz solar que refletia no mar, insistiu com uma dica: “Olhem a luz refletida da ba´ıa”. O silˆ encio continuou. Intrigado, Feynman perguntou se os alunos j´ a ouviram falar alguma vez a respeito do ˆangulo ˆ de Brewster. Imediatamente alguns responderam: “Sim, senhor! Angulo de Brewster ´e o ˆangulo no qual a luz refletida por um meio com um dado ´ındice de refra¸ca˜o ´e completamente polarizada”. Feynman prosseguiu: “Qual ´e a dire¸c˜ao da luz polarizada quando refletida?”. Alunos responderam automaticamente:
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
“A luz ´e polarizada em dire¸c˜ao perpendicular ao plano de reflex˜ao, senhor!”. Feynman, ent˜ ao, tentou finalizar: “Portanto...”. N˜ao houve manifesta¸c˜oes. Feynman pediu aos alunos para que olhassem para a ba´ıa pelo polar´oide e que o rotacionassem. Todos ficaram perplexos: “Oh, est´a polarizada!”. Esse epis´odio ´e descrito em detalhes em [18]. No mesmo livro, Feynman revela que ap´os muita investiga¸c˜ao, concluiu que aqueles estudantes memorizaram tudo o que lhes fora ensinado de maneira autom´atica, sem entenderem o significado. Por que o aluno deve memorizar de forma mecˆanica que n˜ao existe divis˜ao por zero (ver Cap´ıtulo 6)? Se a meta for uma educa¸c˜ao em massa sem respeito ao indiv´ıduo, talvez esse seja o melhor caminho. Mas se o objetivo ´e estimular pensadores do futuro, a atitude mental autom´atica ´e extremamente perigosa. H´a mentes que trabalham de forma diferenciada de outras. Por exemplo, algumas pessoas preferem a intui¸c˜ao e outras uma argumenta¸c˜ao voltada para a l´ ogica e os fundamentos. Uma excelente e estimulante discuss˜ ao a respeito de intui¸c˜a o e l´ogica na matem´atica est´a em [46]. Um sistema educacional de qualidade deve respeitar as diferen¸cas entre indiv´ıduos e seus m´etodos de aprendizado.
˜ e robotica ´ Definic¸oes Como u ´ ltima observa¸ca˜o, ´e importante notar que a no¸ca˜o de defini¸c˜ao tem inspirado profissionais de diversas ´areas nos seus estudos. Um exemplo interessante ´e o artigo de Colleen Crangle [11], no qual a teoria de defini¸c˜ao em l´ogica serve de inspira¸c˜ao para a discuss˜ao de quest˜oes sobre lexicologia e semˆ antica em linguagem natural. Uma teoria que ofere¸ca um procedimento efetivo para determinar o significado das palavras em linguagem natural ´e de extrema importˆancia, por exemplo, em rob´otica. Isso porque h´a um interesse cient´ıfico e tecnol´ogico em desenvolver m´aquinas capazes de compreender uma linguagem natural, como o portuguˆes, o inglˆes etc. No artigo citado h´a referˆencias que podem interessar.
.
˜ cient´ıfica Iniciac¸ao 1. O estudo de l´ ogica e fundamentos da matem´ atica pode ajudar a qualificar melhor o professor de matem´ atica de ensino m´ edio?
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˜ Finais Considerac¸ oes
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2. Qual ´ e o interesse de teoria da defini¸ c˜ ao para a lexicologia e a rob´ otica? 3. Fa¸ca um estudo a respeito do uso de defini¸ c˜ oes impredicativas em an´alise matem´ atica.
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ˆ Apendice A Teorias Formais
Este Apˆendice ´e um resumo do Cap´ıtulo 2 de [52].
˜ A.1 Definic¸ao Uma teoria formal
L consiste dos seguintes ingredientes:
1. Um conjunto n˜ ao-vazio de s´ımbolos, denominados os s´ımbolos primitivos ou, simplesmente, os s´ımbolos de .
L
2. Um conjunto de express˜ o es, as quais s˜ ao simplesmente quaisquer seq¨ uˆ encias de s´ımb olos de .
L
3. Um conjunto n˜ ao-vazio de express˜ oes significativas chamadas de f´ ormulas bem formadas de , abreviadas por f´ ormulas.
L
4. Um procedimento efetivo que decida quais express˜ oes s˜ ao f´ ormulas bem formadas. 5. Um conjunto de f´ ormulas bem formadas denominado o conjunto de axiomas de .
L
6. Um conjunto n˜ ao-vazio e finito de rela¸ c˜ oes R1 , R2 , ..., Rn entre f´ ormulas bem formadas.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
7. Um procedimento efetivo que permita decidir se uma dada m-upla ordenada de f´ ormulas bem formadas satisfaz ou n˜ ao cada rela¸ c˜ ao Ri . Tal procedimento efetivo exige que se houver seq¨ uˆ encia de f´ ormulas bem formadas A1 , A2 , ..., Am−1 tal que para uma dada rela¸ ca ˜o Ri existe Am de modo que Ri (A1 , A2 ,...,Am−1 , Am ), ou seja, a seq¨ uˆencia A1 , A2 , ..., Am−1 , Am satisfaz a rela¸ c˜ ao Ri , ent˜ ao a f´ ormula bem formada Am ´ eu ´nica. Alguns autores se referem `as f´ ormulas bem formadas simplesmente como f´ ormulas, conven¸c˜ao adotada tamb´ em nesta obra. Seguem-se alguns coment´ arios sobre os ingredientes de uma teoria formal (a express˜ao “ingrediente” tem aqui um significado intuitivo). Como esses ingredientes s˜ao descritos em linguagem natural (no caso, o portuguˆes) enriquecida com termos t´ecnicos, ´e f´acil perceber que a defini¸c˜ao de teoria formal dada n˜ao ´e, ela pr´opria, formal. Os matem´aticos reconhecem que ´e imposs´ıvel definir formalmente tudo. A palavra “conjunto”, p or exemplo, tem neste livro um significado intuitivo e informal de “cole¸ca˜o”. As palavras “seq¨ ueˆncia” e “finito”, geralmente usadas em contextos conjuntistas em matem´ atica, tamb´em tˆem aqui um significado intuitivo, que pode ser esclarecido com um bom dicion´ario de portuguˆ es. O mesmo ocorre com as express˜ oes “s´ımbolo”, “procedimento efetivo”, “rela¸ca˜o” e “satisfaz”. Por conter elementos ling¨ u´ısticos, o conjunto dos s´ımbolos ´e chamado por alguns autores de alfabeto. Os procedimentos efetivos citados na Defini¸c˜ao A.1 se referem a ferramentas ou crit´erios de decis˜ao. J´a a no¸ca˜o de n-upla ordenada se refere a um conjunto de n elementos que em parte est´a previamente ordenado. Por exemplo, se a e b s˜ao f´ ormulas bem formadas distintas, ent˜ao a 2-upla ordenada (a, b) (tamb´em dita par ordenado (a, b)) ´e diferente da 2-upla ordenada (b, a). J´a uma 3-upla (tripla) ordenada (a,b,c) de f´ormulas b em formadas distintas duas a duas ´e um conjunto de trˆes f´ormulas previamente ordenadas de modo que se identifica a f´ ormula a como a primeira, b a segunda, e c a terceira. Nesse sentido, a tripla ordenada (a,b,c) ´e diferente de (b,a,c), a n˜ao ser que a e b sejam a mesma f´ ormula. Uma generaliza¸ ca˜o dessa id´eia considera que uma n-upla ordenada de f´ ormulas ´e um conjunto da forma (a1 , a2 ,...,an ), cujos elementos a1 , a2 , ..., an est˜ao previamente ordenados de modo que se diferencia o primeiro do segundo, do terceiro e assim por diante. Uma defini¸ c˜ao precisa para n-upla ordenada est´a em [54]. As rela¸co˜es Ri s˜ao chamadas de regras de inferˆencia ou argumentos . Se, por exemplo, existe uma m-upla ordenada (A1 , A2 , A3 ,...,Am ) de f´ormulas bem formadas tal que para um dado j tem-se Rj (A1 , A2 , A3 ,...,Am ),
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ˆ Apendice A - Teorias Formais
diz-se que a f´ormula Am segue as f´ormulas bem formadas A1 , A2 ,...,Am−1 , pelo uso da regra de inferˆencia R j . Tamb´em pode-se dizer que A m ´e conseq¨ uˆencia direta de A 1 , A2 ,...,Am−1 , pela regra de inferˆencia R j . As regras de inferˆ encia s˜ao fundamentais no processo l´ ogico-dedutivo de ´ teorias formais. Elas permitem a dedu¸c˜ao (ou demonstra¸ca˜o) de teoremas . E importante chamar a aten¸c˜ao para a defini¸c˜ao da linguagem de uma teoria formal (tamb´em dita linguagem formal).
˜ A.2 Definic¸ao A linguagem Λ de uma teoria formal ´ e definida pelos mesmos ingredientes de , exceto pelo conjunto de axiomas e de regras de inferˆ encia.
L
L
L
Em outras palavras, os ingredientes da linguagem formal Λ de s˜a o os itens 1, 2, 3 e 4 da Defini¸ca˜o A.1. A distin¸c˜ao entre teoria formal e linguagem da teoria formal, e entre linguagem e metalinguagem, ´e importante em in´ umeras discuss˜oes sobre fundamentos da matem´atica. A linguagem de uma teoria formal pode ser objeto de estudos. Quando isso ocorre, tal linguagem ´e chamada de linguagem-objeto. Para tratar de uma linguagem-objeto ´e necess´ario usar outra linguagem, denominada metalinguagem, que geralmente ´e de car´ater informal. Falar de uma linguagemobjeto geralmente requer o uso de recursos ling¨u´ısticos n˜ao-dispon´ıveis nela. Por exemplo, no c´alculo proposicional cl´assico – um caso particular de teoria formal –, n˜ao h´ a s´ımbolos que falem sobre a no¸c˜ao de verdade, isto ´e, se uma dada f´ ormula do c´alculo proposicional ´e verdadeira ou falsa. Essa informa¸c˜ao pode ser dada no escopo de uma dada metalinguagem. Usualmente, as metalinguagens empregadas para se falar de linguagens formais s˜ao as naturais – por exemplo, o portuguˆes – enriquecidas com termos t´ecnicos usualmente empregados em l´ogica.
˜ A.3 Definic¸ao
L ´e uma teoria formal que tem o seguinte
Uma teoria axiom´ atica ingrediente extra:
1. Um procedimento efetivo para decidir quais f´ ormulas s˜ ao axiomas.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Toda teoria axiom´atica ´e formal, com procedimento efetivo para distinguir axiomas de outras f´ormulas. Os axiomas de uma teoria axiom´ atica constituem elementos de uma lista de f´ ormulas bem formadas da teoria formal. Vale observar que n˜a o h´ a qualquer exigˆencia de consistˆ encia entre axiomas. Isso significa que ´e poss´ıvel haver axiomas que se contradizem. Tamb´em n˜ao h´ a exigˆ encia de que o conjunto de axiomas seja finito. Isso significa que todas as f´ ormulas de uma teoria formal podem estar na lista de axiomas, ainda que isso n˜ ao seja u ´ til para fins mais pr´aticos. Com freq¨ ueˆncia, “teorias” consideradas cient´ıficas s˜ao formuladas como uma mistura de elementos de uma linguagem formal com elementos de uma linguagem natural. A rigor, pode-se chamar essas “teorias” de prototeorias . Na verdade, elas s˜ao um esbo¸co de id´eias ou um paradigma que permite orientar o pensamento matem´ atico para a formula¸c˜a o de in´ umeras teorias axiom´ aticas no sentido exposto anteriormente. Sob outro ponto de vista, uma prototeoria corresponde a uma classe de teorias formais que exemplificam um paradigma, geralmente expresso de maneira muito intuitiva e pouco formal. Pode-se tamb´em dizer que prototeorias s˜ao teorias n˜ ao-formais , ingˆenuas ou intuitivas , apesar de alguns fil´osofos da ciˆencia talvez discordarem desse tipo de vis˜ao. Isso pode causar irrita¸c˜ao entre aqueles que insistem em chamar de teoria, por exemplo, a “prototeoria” de gravita¸ca˜o universal de Newton. A princ´ıpio, n˜ ao h´a problema, desde que o leitor compreenda que essa “teoria” de gravita¸c˜ao universal pode ser formulada de infinitas maneiras n˜ao-equivalentes entre si do ponto de vista matem´atico; e que ainda assim refletem basicamente os mesmos fenˆ omenos f´ısicos. Vale observar tamb´ em que, por abuso de linguagem, muitas vezes a express˜ao “axiomatizar uma teoria” ´e empregada para expressar, na forma de teoria axiom´atica, algum exemplo paradigm´atico geralmente associado a uma prototeoria ou a um “conjunto de id´eias”.
˜ A.4 Definic¸ao Uma demonstra¸ e uma secao ˜ ou prova em uma teoria formal ´ q¨ uˆ encia finita B1 , B2 ,...,Bn de f´ ormulas bem formadas de tal que cada B i dessa seq¨ uˆ encia ´ e um axioma ou uma conseq¨ uˆencia direta de pelo menos algumas das f´ ormulas bem formadas que antecedem B i , pelo uso de alguma regra de inferˆ encia da teoria.
L
L
A partir disso, deve ficar claro que se B1 , B2 ,...,Bn ´e uma demonstra¸c˜ao, ent˜ao B1 necessariamente ´e um axioma de .
L
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89
ˆ Apendice A - Teorias Formais
˜ A.5 Definic¸ao
L
Um teorema de uma teoria formal ´ eau ´ ltima f´ ormula B de uma demonstra¸ c˜ ao. Tal demonstra¸c˜ ao ´ e dita demonstra¸ cao ˜ ou prova de B.
˜ A.6 Definic¸ao Uma teoria formal ´ e dita decid´ıvel se existe procedimento efetivo para decidir se uma dada f´ ormula bem formada de ´ e um teorema de . Se esse procedimento efetivo n˜ ao existir, ent˜ ao a teoria ´ e dita indecid´ıvel .
L
L
L
A matem´atica apresenta muitos exemplos de teorias decid´ıveis e indecid´ıveis. Se uma teoria ´e indecid´ıvel, isso justifica, em parte, porque geralmente ´e dif´ıcil fazer demonstra¸c˜oes. Outro motivo para justificar essa dificuldade est´a no fato de que a matem´atica faz uso de linguagens n˜ao-naturais, `as quais normalmente as pessoas n˜ao est˜ao acostumadas; mas o principal ´e que geralmente n˜ ao existe procedimento efetivo para se fazer demonstra¸c˜oes. Se B ´e teorema de , denota-se esse fato por:
L
L B . ˜ A.7 Definic¸ao Uma f´ ormula B ´ e dita uma conseq¨ uˆ encia em de um conjunto Γ de f´ ormulas se, e somente se, existe uma seq¨ uˆ encia de f´ ormulas
L
B1 , B2 ,...,Bn tal que Bn ´ e B e os demais elementos da seq¨ uˆencia s˜ao (i) axiomas de ou (ii) pertencentes a Γ ou (iii) conseq¨ uˆ encia direta das f´ ormulas bem formadas precedentes pelo uso de uma regra de inferˆ encia.
L
A seq¨ uˆencia de f´ormulas da defini¸c˜ao acima ´e chamada de prova , dedu¸c˜ ao ou demonstra¸c˜ ao de B a partir de Γ. Se B ´e conseq¨ uˆencia em de um conjunto de f´ ormulas Γ de , isso ´e denotado por:
L
L
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Γ L B . Os elementos de Γ s˜ao chamados premissas ou hip´ oteses da prova. O caso B corresponde a B, sendo que denota um conjunto vazio L L de f´ o rmulas. O caso B1 , B2 ,...,Bn−1 L B ´e usualmente denotado por B1 , B2 ,...,Bn−1 L B . ` vezes, quando n˜ao h´ As a risco de confus˜ao, ´e permitido escrever Γ B no lugar de Γ L B .
∅
{
}
∅
˜ A.1 Observac¸ao Al´em da no¸ c˜ ao aqui dada, o termo “demonstra¸ c˜ ao” admite mais uma acep¸ c˜ ao em matem´ atica, que pode referir-se a uma seq¨ uˆ encia finita de senten¸ cas expressas em linguagem natural (neste caso, o p ortuguˆ es) e complementadas com termos t´ ecnicos pr´ oprios da linguagem Λ de uma teoria formal , e que visam oferecer algum tipo de “argumento” para uma dada declara¸ca ˜o ou f´ ormula da teoria . Na pr´ atica, essa no¸ ca ˜o de “demonstrac˜ ¸ ao” ´ e a usualmente empregada.
L
L
˜ A.2 Observac¸ao Nesse mesmo contexto, um conjunto de axiomas pode ser entendido intuitivamente como um conjunto de princ´ıpios fundamentais a partir dos quais podem ser deduzidos outros princ´ıpios, isto ´ e, os derivados. Para uma vis˜ao intuitiva a respeito da no¸ca˜o de argumento em linguagem natural, ver [3].
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ˆ Apendice B Teorias de Primeira Ordem
Este Apˆendice ´e um resumo do Cap´ıtulo 4 de [52]. Segue-se um exemplo de teoria axiom´ atica usualmente conhecida como c´ alculo predicativo de primeira ordem , denotada aqui por Q. Os s´ımbolos de Q s˜ao: 1. ,, ( e ); ou seja, v´ırgula e parˆenteses. 2. Conectivos l´ ogicos pectivamente. 3.
¬ e ⇒; ou seja, nega¸c˜ao e condicional, res-
∀; conhecido como quantificador universal .
4. x1 , x2 , x3 , ...; s´ımbolos denominados vari´ aveis individuais . 5. a1 , a2 , a3 , ...; s´ımbolos denominados constantes individuais . 6. A11 , A21 , A31 , ..., A12 , A22 , A32 , ..., ...; s´ımbolos denominados letras c˜ oes. predicativas , as quais correspondem a rela¸ 7. f 11 , f 12 , f 13 , ..., f 21 , f 22 , f 23 , ..., ...; s´ımbolos denominados letras co ˜es. funcionais , as quais correspondem a opera¸
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Dada uma letra predicativa Ani , o ´ındice i, que assume valores inteiros estritamente positivos, tem a fun¸ca˜o de identificar a letra predicativa. J´a n denota o n´ umero de argumentos da letra predicativa. A igualdade pode ser entendida como um exemplo de letra predicativa bin´aria. Se for importante representar a igualdade como letra predicativa em Q, o s´ımbolo A21 seria um modo, pois a igualdade teria dois argumentos. Dizer, por exemplo, que a vari´avel individual x 1 ´e igual a` vari´avel individual x 2 , no presente contexto, ´e o mesmo que escrever: A21 (x1 , x2 ). Observe que foram usados v´ırgula e parˆenteses. O ponto no final ´e um recurso metaling¨ u´ıstico. Na pr´atica, costuma-se denotar a senten¸ca acima como: x1 = x 2 , o que ´e somente uma abrevia¸ca˜o. Evidentemente, o problema ´e definir de maneira clara quais as propriedades que a igualdade deve satisfazer para que corresponda ao senso comum do significado da igualdade. Mas antes de discutir sobre igualdade, ´e necess´ario dar continuidade aos ingredientes de Q. At´ e agora foram apresentados apenas os s´ımbolos da teoria. ´ preciso dizer ainda quais s˜ao as f´ormulas bem formadas dessa teoria. Para E estabelecer um procedimento efetivo que defina f´ormulas bem formadas, ´e necess´ ario primeiramente, para fins pedag´ogicos, um conceito novo que auxilie.
˜ B.1 Definic¸ao ao definidos recursivamente como se segue: Termos s˜ 1. Vari´ aveis individuais e constantes individuais s˜ ao termos . 2. Se f in ´ e uma letra funcional e t 1 , t 2 , ..., t n s˜ ao termos , ent˜ ao f in (t1 , t2 ,...,tn ) ´ e um termo . ´ importante ficar claro que letras funcionais atuam como “operadores”. E Elas tamb´em atuam sobre termos, dando origem a outros. A adi¸c˜ao entre n´ umeros inteiros na aritm´ etica usual pode ser expressa como uma letra funcional bin´ aria.
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ˆ Apendice B - Teorias de Primeira Ordem
˜ B.2 Definic¸ao Se t1 , t2 , ..., tn s˜ a o termos e Ani ´ e uma letra predicativa, ent˜ ao n Ai (t1 , t2 ,...,tn ) ´ e dita uma f´ ormula atˆ omica .
˜ B.3 Definic¸ao As f´ alculo de predicados de primeira ormulas bem formadas do c´ ordem Q s˜ ao definidas recursivamente como se segue: 1. Toda f´ ormula atˆ omica ´ e uma f´ ormula bem formada. 2. Se A e B s˜ ao f´ ormulas, ent˜ ao
¬(A) e (A ⇒ B) tamb´em s˜ao.
3. Se A ´ e uma f´ ormula e x ´ e uma vari´ avel individual, ent˜ ao (( x)A) ´ e uma f´ ormula.
∀
˜ B.1 Observac¸ao 1. Para evitar excessos de nota¸ ca ˜o, alguns pares de parˆ enteses podem ser omitidos quando n˜ ao houver risco de confus˜ ao. 2. A linguagem de Q tem os s´ımbolos de Q e os procedimentos efetivos para identifica¸ c˜ ao de termos e f´ ormulas de Q. 3. A f´ormula A”.
¬(A) ´e lida “n˜ao ´e que A” ou simplesmente “n˜ao
⇒ B) ´e lida “A implica B ” ou “se A ent˜ao B”. 5. A f´ ormula ((∀x)A) ´ e lida “para todo x tem-se A”. 6. A f´ ormula A ´ e dita o escopo do quantificador ∀x. 4. A f´ ormula (A
7. Dada uma f´ ormula A, uma vari´ avel individual xi ´ e dita de ocorrˆ encia ligada se ocorrer em ( xi )A ou se ocorrer em um dado escopo do quantificador universal. Caso contr´ ario, ela ´ e dita de ocorrˆencia livre . Isso naturalmente n˜ ao significa que uma mesma vari´ avel individual xi n˜ ao possa ter ocorrˆ encias livres e ligadas em uma mesma f´ ormula. Por 2 1 exemplo, em A 1 (x1 , x2 ) ( x1 )A1 (x1 ), a primeira ocorrˆ encia de x1 ´e livre, mas a segunda e a terceira s˜ ao ligadas.
∀
⇒ ∀
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
8. O quantificador existencial , muito comum em matem´ atica, po de ser definido a partir do universal. Em termos formais,
∃
∃
(( x)A) ´ e equivalente a
¬((∀x)¬(A)). ∃
Obviamente, (( x)A) (existe x tal que A) ´ e uma f´ ormula na qual igualmente valem os conceitos de ocorrˆ encia livre e ligada de uma dada vari´ avel individual. A f´ ormula (( x)A) deve ser lida como “existe x tal que A”. Quando n˜ ao h´ a risco de confus˜ ao, podem ser omitidos os parˆ enteses externos e escrever ( x)A ou ( x)A. Essa defini¸ c˜ ao do quantificador existencial pode ser entendida como uma defini¸ ca ˜o ampliativa semˆ antica. Mas nada impede que ela seja reescrita como uma defini¸c˜ ao ampliativa sint´ atica por meio de equivalˆ encia, ainda que o s´ımbolo seja uma constante l´ ogica.
∃
∃
∀
∃
9. Considere uma f´ ormula A, uma vari´ avel individual x i e um termo t. Diz-se que t ´ e livre para xi em A se, e somente se, nenhuma ocorrˆ encia livre de xi em A est´ a no escopo de qualquer quantificador ( xj ), sendo xj uma vari´ avel individual em t.
∀
˜ B.2 Observac¸ao Outro quantificador de uso corrente em teorias de primeira ordem ´ e ( !x). Costuma-se ler a f´ ormula ( !x)A como “existe um ´ unico e uma f´ ormula. A maneira usual de x tal que A”, sendo que A ´ se definir tal quantificador ´ e:
∃
∃
∃
( !x)A(x) se, e somente se,
∃
( x)A(x)
∧ (∀x)(∀y)(A(x) ∧ A(y) ⇒ x = y).
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ˆ Apendice B - Teorias de Primeira Ordem
˜ B.3 Observac¸ao Quando se definem novos quantificadores ( e !) a partir do quantificador universal, isso n˜ ao ´e feito conforme a defini¸c˜ ao segundo Le´ sniewski como apresentado por Suppes em [60] (ver tamb´ em Cap´ıtulo 2). Aqui o quantificador existencial ´ e um exemplo de defini¸ ca ˜o ampliativa semˆantica.
∃ ∃
Exemplo B.1 O termo f 12 (x1 , x3 ) ´ e livre para x1 em ( x2 )A21 (x1 , x2 )
∀
1 1
⇒ A (x ), 1
mas n˜ ao ´ e livre para x1 em ( x3 )( x2 )A21 (x1 , x2 )
∃
∀
1 1
⇒ A (x ), 1
devido ao quantificador ( x3 ).
∃
´ interessante motivar mais uma intui¸ca˜o acerca da rela¸c˜ao entre a linguaE gem do c´alculo de predicados de primeira ordem e a linguagem natural.
Exemplo B.2 Assumindo que seja poss´ıvel traduzir a senten¸ ca “Tycho Brahe odeia todos aqueles que n˜ao se odeiam” para a linguagem de Q, a seguinte f´ ormula cumpriria esse papel: ( x1 )( A21 (x1 , x1 )
∀
¬
2 1
⇒ A (a , x )). 1
1
Tycho Brahe ´ e uma constante individual representada por a1 . “Odiar” ´e um predicado bin´ ario, porque algu´ em odeia “outro” algu´ em. Esse predicado bin´ ario est´ a representado pela letra predicativa A21 . Lendo a f´ ormula acima com essa interpreta¸ca ˜o, percebe-se que est´ a escrito o seguinte: Para todo x1 , se x1 n˜ao odeia x1 (ou seja, n˜ ao odeia a si mesmo) ent˜ ao a constante individual Tycho Brahe (a1 ) odeia x1 .
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
˜ B.4 Observac¸ao Note que as quatro ocorrˆ encias de x1 na f´ o rmula a seguir s˜ ao ligadas: ( x1 )( A21 (x1 , x1 )
∀
¬
2 1
⇒ A (a , x )). 1
1
Note tamb´ em que essa f´ ormula pode ser usada para in´ umeras senten¸ cas na linguagem natural, como “O anjo da guarda cuida daqueles que n˜ ao se cuidam” ou “Se algu´em ´ e diferente de si mesmo, ent˜ ao esse algu´em ´e igual ao fantasma da rua Morgue”. Se A, B e C s˜ao f´ ormulas bem formadas de Q, ent˜ao os axiomas de Q s˜ao: Q1 A
⇒ (B ⇒ A). Q2 (A ⇒ (B ⇒ C )) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C )). Q3 (¬B ⇒ ¬A) ⇒ ((¬B ⇒ A) ⇒ B). Q4 (∀xi )A(xi ) ⇒ A(t) se A(xi ) ´e uma f´ormula de Q e t ´e um termo livre para xi em A(xi ).
∀
Q5 ( xi )(A
⇒ B) ⇒ (A ⇒ (∀xi)B) se x i n˜ao ocorre livre em A.
O significado intuitivo desses axiomas ´e que eles s˜ao sempre verdadeiros no sentido de verdade segundo Tarski. Para uma discuss˜ao mais detalhada sobre a intui¸ca˜o dos axiomas Q1, Q2 e Q3 ver [52]. Por enquanto, basta saber que os trˆ es primeiros axiomas exibem o comportamento dos conectivos l´ogicos e . J´ a Q4 tem a fun¸c˜ao, em suma, de lidar com situa¸c˜oes do tipo:
⇒
¬
Se todos s˜ao matem´aticos ent˜ao, em particular, um determinado t tamb´em o ´e. O axioma Q5 permite lidar com situa¸c˜oes como: Se para todos os homens o fato de existir lei garante a seguran¸ca deles, ent˜ao o fato de existir lei garante a todos os homens a seguran¸ca deles. Os axiomas Q4 e Q5 tamb´em ditam o “comportamento” do quantificador universal e estabelecem a maneira como ele se relaciona com os conectivos l´ogicos e . Esse ´e um exemplo bastante interessante, pois na pr´ atica os
¬ ⇒
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ˆ Apendice B - Teorias de Primeira Ordem
axiomas de uma teoria axiom´atica tˆem a finalidade de estabelecer as rela¸c˜oes entre os s´ımbolos da teoria. O axioma Q4 merece mais uma nota de esclarecimento. Se o termo t for coincidente com x i , ent˜ao ( xi )A A tamb´em ´e axioma de Q. Seguem-se, portanto, as duas u ´ nicas regras de inferˆencia.
∀
⇒
1. Modus Ponendo Ponens , ou simplesmente Modus Ponens (abreviada como MP): de A e A B tem-se B. Usando uma terminologia mais consistente com o Apˆ endice A, MP ´ e uma regra de inferˆencia tern´ aria que pode ser denotada por R 1 . Somente seq¨ uˆ encias de f´ ormulas da forma A, A B, B satisfazem R1 , o que ´ e escrito como R1 (A, A B, B). Isso significa que B ´ e uma conseq¨ uˆ encia direta de A e A B via R1 .
⇒
⇒ ⇒
⇒
2. Generaliza¸ c˜ ao (abreviada como Gen): de A tem-se ( xi )A. Podese denotar Gen por R2 . Generaliza¸ ca ˜o ´ e uma inferˆ encia que envolve explicitamente o quantificador universal. Os demais detalhes sobre como descrever formalmente a generaliza¸ c˜ ao ficam a cargo do leitor.
∀
˜ B.4 Definic¸ao Uma teoria de primeira ordem ´e uma teoria axiom´atica cuja linguagem ´ e a mesma de Q (tˆ em os mesmos s´ımbolos e os mesmos procedimentos efetivos para termos e f´ ormulas), e as regras de inferˆ encia tamb´ em. Seus axiomas s˜ ao divididos em dois conjuntos: os axiomas l´ ogiogicos e os pr´ oprios . Os axiomas l´ cos s˜ ao os axiomas de Q, e os pr´ oprios variam de teoria para teoria, conforme o interesse do matem´ atico que a formula. Se o conjunto de axiomas pr´ oprios for vazio, a teoria de primeira ordem em quest˜ a o coincide com o c´ alculo predicativo de priem conhecido como c´ meira ordem , tamb´ alculo de predicados de primeira ordem .
˜ B.5 Observac¸ao Os axiomas l´ ogicos de uma teoria de primeira ordem, bem como suas regras de inferˆencia, corresp ondem ` a l´ a ogica subjacente ` teoria. Essa l´ ogica subjacente freq¨ uentemente ´ e identificada com a chamada l´ ogica cl´ assica .
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
˜ B.6 Observac¸ao Uma linguagem de primeira ordem ´ e a linguagem de Q, com seus s´ımbolos, seus termos, suas f´ ormulas bem formadas e seus procedimentos efetivos para termos e f´ ormulas.
˜ B.7 Observac¸ao Nas defini¸ co ˜es de linguagem e de teoria de primeira ordem, e de l´ ogica cl´ assica, s˜ ao cometidos muitos excessos de linguagem, porque h´ a formula¸ c˜ oes alternativas (e, em certo sentido, equivalentes) para tais conceitos. Mas, para os prop´ ositos deste livro, essas no¸ co ˜es s˜ ao satisfat´ orias.
˜ B.8 Observac¸ao ´ importante notar que o quantificador universal em teorias de E primeira ordem se aplica somente sobre vari´ aveis individuais, no sentido da defini¸ca ˜o de f´ ormulas dada acima. Se for permitido o uso de quantificadores sobre letras predicativas n˜ ao se tem mais uma teoria de primeira ordem, pois quantificadores sobre predicados n˜ ao constituem f´ ormulas b em formadas em teorias de primeira ordem. Em terminologia menos formal, uma teoria de primeira ordem ´e aquela que aplica o quantificador universal (ou existencial) somente sobre vari´aveis individuais ou cujas letras predicativas se aplicam somente a vari´aveis individuais, a constantes individuais ou a termos.
Exemplo B.3 Considere a seq¨ uˆ encia de s´ ımbolos ( A11 )A11 (x1 )
∀
1 1
⇔ A (x ). 2
Tal seq¨ uˆ encia n˜ ao ´ e uma f´ ormula de Q, nem de uma teoria de primeira ordem qualquer, pois o quantificador universal est´ a
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ˆ Apendice B - Teorias de Primeira Ordem
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ligado a uma letra predicativa A11 . A seq¨ uˆ encia acima ´ e uma seq¨ uˆ encia de s´ımbolos de uma teoria de primeira ordem, mas que n˜ ao tem sentido. ´ como se diss´ E essemos “O dinossauros conseguir´ a conseguiu consegue preto as”. Ainda que tenham sido usadas palavras do portuguˆ es, essa seq¨ uˆ encia de palavras n˜ ao tem sentido. Esse ´ e um exemplo interessante que lembra algumas situa¸ c˜ oes do diaa-dia. O fato de uma pessoa usar terminologia cient´ıfica para algo n˜ ao significa que est´ a usando uma argumenta¸ c˜ao cient´ıfica que tenha sentido.
Para quantificar letras predicativas, isto ´e, ligar o quantificador universal a uma letra predicativa, algo que freq¨uentemente ´e necess´ario em matem´atica, pode-se recorrer ao que os matem´aticos chamam de linguagens de ordem superior , o que permite definir teorias de ordem superior , as quais, por sua vez, se fundamentam em linguagens de ordem superior . Como referˆencia, ver [26].
˜ B.5 Definic¸ao Uma teoria de primeira ordem com igualdade possui uma letra predicativa A 21 tal que, para fins de abrevia¸ c˜ ao, denota-se a f´ or2 mula atˆ omica A1 (xi , xj ) por xi = xj e admite-se as seguintes f´ ormulas como teoremas: ID1 ( xi )(xi = x i );
∀ ID2 (∀xi )(∀xj )(xi = x j ⇒ (A(xi , xi ) ⇒ A(xi , xj ))); sendo que A(xi , xi ) ´ e uma f´ ormula e A(xi , xj ) ´ e obtida de A(xi , xi ) por substitui¸ c˜ ao de, no m´ınimo, uma das ocorrˆencias livres de xi por xj , desde que xj seja livre para xi em A(xi , xi ).
˜ B.9 Observac¸ao
1. Em particular, se ID1 e ID2 forem axiomas pr´ oprios de uma teoria de primeira ordem, ent˜ ao ela ´ e uma teoria de primeira ordem com igualdade. Com efeito, todo axioma de uma teoria formal ´ e teorema (ver Apˆ endice A).
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
2. A f´ ormula ID1 ´ e chamada de reflexividade da igualdade e ´ bem coa f´ ormula ID2 de substitutividade da igualdade. E nhecida a demonstra¸ ca ˜o de que a igualdade tamb´em ´e transitiva e sim´ etrica, ou seja, ´ e uma rela¸ c˜ ao de equivalˆ encia. 3. Deve ficar evidente que teorias de primeira ordem podem ou n˜ ao ter uma letra predicativa correspondente ` a igualdade. As teorias da chamada matem´ atica cl´ assica fazem uso do conceito de igualdade. Mas existem teorias sem igualdade, como a teoria de quase-conjuntos [31], aplicadas na f´ısica [34] [58]. 4. No axioma ID2 h´ a referˆ encia a uma f´ ormula A(xi , xi ). Como essa f´ ormula depende das letras predicativas da teoria que, por sua vez, dependem dos axiomas pr´ oprios, significa que cada teoria tem sua pr´ opria igualdade. O que essas teorias tˆ em em comum s˜ ao ID1 e ID2. Segue-se uma teoria de primeira ordem muito conhecida na matem´atica e que pode ser aplicada em v´arias ´areas do conhecimento.
˜ B.6 Definic¸ao A teoria de grupos de primeira ordem ´ e uma teoria de primeira ordem com igualdade que admite uma letra funcional f 12 e uma constante individual a1 como s´ımbolos. Por abrevia¸ca ˜o, 2 denota-se f 1 (xi , xj ) por xi xj e o termo a1 por 0. Os axiomas pr´ oprios da teoria de grupos de primeira ordem, al´ em de ID1 e ID2, s˜ ao: G1 ( xi )( xj )( xk )(xi (xj xk ) = (xi xj ) xk ).
∀ ∀ ∀ G2 (∀xi )(0 xi = x i ). G3 (∀xi )(∃xj )(xj xi = 0).
O axioma G1 ´e conhecido como o axioma da associatividade da opera¸c˜ao bin´ aria de um grupo. Ele mostra que o uso de parˆenteses na opera¸ca˜o de um grupo ´e dispens´avel e permite escrever, sem ambig¨uidade, termos da forma x 1 x2 x3 , ainda que a letra funcional (opera¸c˜ao) seja bin´aria e n˜ao tern´ aria; o axioma G2 mostra que 0 (zero) ´e um elemento neutro `a esquerda em rela¸c˜ao `a opera¸ca˜o ; e o axioma G3 estabelece a existˆencia de um sim´etrico `a esquerda relativamente a para cada vari´avel individual, e, portanto, para cada constante individual.
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ˆ Apendice B - Teorias de Primeira Ordem
101
Para auxiliar o leitor, h´a no Apˆendice D uma breve discuss˜ao sobre poss´ıveis semˆ anticas para a teoria de grupos de primeira ordem e para teorias de primeira ordem em geral; ´e apresentada tamb´em uma maneira de se obter exemplos de grupos. Segue-se outro exemplo de teoria de primeira ordem, que ´e ´util na discuss˜ao sobre divis˜ao por zero feita no Cap´ıtulo 6.
˜ B.7 Definic¸ao A teoria de corpos de primeira ordem ´e uma teoria de primeira ordem com igualdade que admite como s´ımbolos duas letras funcionais f 12 e f 22 e duas constantes individuais a1 e a2 . Por abrevia¸ c˜ ao, os termos f 12 (xi , xj ) e f 22 (xi , xj ) s˜ ao denotados por, respectivamente, xi + xj e xi xj , e os termos a1 e a2 s˜ao abreviados, respectivamente, por 0 e 1. Os axiomas pr´ oprios da teoria de corpos, al´ em de ID1 e ID2, s˜ ao: K1 ( xi )( xj )( xk )(xi + (xj + xk ) = (xi + xj ) + xk ).
∀ ∀ ∀ K2 (∀xi )(xi + 0 = x i ). K3 (∀xi )(∃xj )(xi + xj = 0). K4 (∀xi )(∀xj )(xi + xj = x j + xi ). K5 (∀xi )(∀xj )(∀xk )(xi (xj xk ) = (xi xj )xk ). K6 (∀xi )(xi = x i ). K7 (∀xi )(xi = 0 ⇒ ( ∃xj )(xi xj = 1)). K8 (∀xi )(∀xj )(xi xj = x j xi ). K9 (∀xi )(∀xj )(∀xk )(xi (xj + xk ) = x i xj + xi xk ). Vale notar que a f´ormula x i = x j ´e uma abrevia¸c˜ao de ¬(xi = x j ).
A teoria de corpos de primeira ordem ´e u ´ til para expressar formalmente aquilo que se aprende na escola elementar a respeito dos n´umeros racionais e suas opera¸co˜es, bem como n´ umeros reais. O primeiro axioma espelha a associatividade da adi¸c˜ao. O axioma K2 garante a existˆ encia do zero. O terceiro axioma garante a existˆ encia do sim´etrico (o sim´etrico de um positivo, por exemplo, ´e um negativo). O quarto axioma afirma que a adi¸c˜ao ´e comutativa. Os demais axiomas se referem a` opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao, bem como sua rela¸c˜ao com a opera¸c˜ao de adi¸ca˜o. O leitor deve notar que o axioma K7 n˜ ao permite definir divis˜ao por zero, uma condi¸c˜ao que evidentemente poderia ser evitada em alguma extens˜ao da teoria de corpos de primeira ordem (ver discuss˜ ao sobre divis˜ao por zero).
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ˆ Apendice C Predicados Conjuntistas
Esta se¸c˜ao pressup˜oe que o leitor tenha familiaridade com no¸c˜oes elementares sobre conjuntos. Tudo o que ´e dito aqui vale, a princ´ıpio, para muitas teorias de conjuntos.
˜ C.1 Observac¸ao Antes de come¸car uma discuss˜ ao sobre predicados conjuntistas, vale recordar rapidamente algumas no¸ c˜ o es b´ asicas sobre con juntos. Um conjunto ´e uma cole¸ c˜ ao de indiv´ıduos, os quais podem ser objetos f´ısicos ou construtos. Se a ´ e elemento de um conjunto b, diz-se que a pertence a b e denota-se esse fato por a b. Alguns autores denotam conjuntos por letras mai´ usculas (A, B , ...) e seus elementos por letras min´ usculas (a, b, ...). Mas essa ´ e uma nota¸ca ˜o enganosa, pois conjuntos tamb´ em podem ser elementos de conjuntos.
∈
Um conjunto comumente ´ e denotado por chaves que envolvem seus elementos. Por exemplo, o conjunto a,b,c tem trˆes elementos: a, b e c. O produto cartesiano entre os conjuntos a e b (denotado por a b) ´ e a cole¸ca ˜o de pares ordenados (x, y) tais que x a (x pertence a a) e y b (y pertence a b).
{
∈
×
∈
}
Um par ordenado (x, y), por sua vez, ´e o conjunto x , x, y que tem como elementos o conjunto unit´ ario (que tem um s´ o
{{ } { }}
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104
˜ O que e´ uma Definic¸ao
elemento) x e o conjunto x, y . Se x = y, ent˜ ao o conjunto x, y se escreve como x ou y . Um par ordenado (x, y) ´ e ` diferente do par ordenado (y, x), exceto quando x = y. As vezes, pares ordenados (x, y) s˜ ao denotados tamb´ em por x, y . Uma ınio b ´ e qualquer rela¸ cao ˜ conjuntista com dom´ınio a e co-dom´ subconjunto do produto cartesiano a b. O subconjunto b de um dado conjunto a ´ e um conjunto tal que todos os elementos de b s˜ ao elementos de a, mas a rec´ıproca nem sempre ´ e verdadeira.
{ }
{ }
{ } {} {}
×
Dados os conjuntos a e b, uma fun¸ cao ˜ f com dom´ınio a e coe um subconjunto do produto cartesiano a b, tal dom´ ınio b, ´ que para todo x que pertence a a existe um u ´ nico y pertencente a b, de modo que (x, y) f . Assim sendo, diz-se que y ´ e a imaca ˜o f . Em outras palavras, fun¸ c˜ao ´ e um caso gem de x pela fun¸ especial de rela¸ c˜ ao. Mais detalhes em [1] e [54].
×
∈
Um predicado conjuntista (ou predicado de Suppes), usado para definir uma dada teoria, ´e definido em uma teoria de conjuntos, formal ou n˜ao. Usualmente, esse predicado se aplica a uma n-upla ordenada cujos elementos s˜ao conjuntos. Tais conjuntos devem satisfazer a uma s´erie de condi¸c˜oes, as quais s˜ao os axiomas da teoria propriamente dita. A no¸ca˜o acima ´e imprecisa, intuitiva e informal. N˜ao fica claro, na obra original de Suppes [63], quais predicados conjuntistas s˜ao apropriados para se definir teorias. Para uma abordagem mais rigorosa e formal do que a exposta aqui, ver [14].
Exemplo C.1 Considere o predicado
P definido como P (P )
se, e somente se
∅
P = ,
∅
sendo o conjunto vazio. O predicado est´ a definido em termos conjuntistas, pois um dado P satisfaz se, e somente se, P for o conjunto vazio. A condi¸ ca ˜o de que P = pode a princ´ıpio ser vista como um axioma, pois pode ser entendida como uma f´ ormula bem formada em uma dada teoria de conjuntos. Mas ser´ a dif´ıcil convencer
P
P
∅
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ˆ Apendice C - Predicados Conjuntistas
a comunidade matem´ a tica de que o predicado teoria.
P define uma
H´a outra maneira mais detalhada, mas n˜ao mais precisa, de esclarecer o que ´e um predicado conjuntista. Dada uma teoria de conjuntos , um predicado de Suppes para uma teoria matem´atica ´e um predicado que se aplica a um dado conjunto P de e ´e “definido” como:
C P
C
P (P ) se, e somente se,
∃x ∃x ...∃xn(P = x , x ,...,xn∧ 1
2
1
2
f´ormulas que descrevem as propriedades de x 1 , x 2 ,
···, x n ),
C
sendo que x 1 , x 2 , ..., x n s˜ao termos de ou, em particular, conjuntos. Se admite como termos somente conjuntos, ent˜ao x1 , x2 , ..., xn s˜ao conjuntos. Um exemplo muito simples de predicado de Suppes ´e a teoria de grupos.
C
˜ C.1 Definic¸ao
G(G) se, e somente se,
∃G ∃ ∗ ∃e (G = G, ∗, e ∧ G ´e um conjunto n˜ao-vazio ∧ ∗´e uma fun¸c˜ao de G × G em G ∧ e ∈ G∧ ∀ ∀ ∀ ∈ ∧ y ∈ G ∧ z ∈ G) ⇒ x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z) ∧ (∀x(e ∗ x = x)) ∧ (∀x∃y(x ∗ y = e))) sendo que x ∗ y ´ e a imagem de (x, y) pela fun¸ c˜ ao ∗. A f´ormula G (G) lˆe-se “G e´ um grupo”. O predicado G ´e o predicado ( x y z(x G
conjuntista “ser um grupo”. Isso significa que foi definido acima como predicado conjuntista o conceito de grupo. H´a uma forma mais abreviada e menos formal para escrever a defini¸c˜ao de grupo:
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
˜ C.2 Definic¸ao Um grupo G ´ e uma tripla ordenada G = G, , e que satisfaz os seguintes axiomas:
∗
GC1 G ´ e um conjunto n˜ ao-vazio.
∗
×
GC2 ´ e uma fun¸c˜ao com dom´ınio G G e co-dom´ınio G. Os pares ordenados pertencentes a ` fun¸ c˜ ao s˜ ao denotados por ((x, y), x y). O elemento x y de G ´ e a imagem do par ordenado (x, y) pertencente a G G.
∗
∗
GC3 e ´ e um elemento de G.
∗
×
GC4 Se x, y e z s˜ao elementos de G, ent˜ ao x (y z) = (x y) z.
∗
GC5 Se x pertence a G, ent˜ ao e x = x.
∗ ∗
∗ ∗
∈ G tal que y ∗ x = e.
GC6 Se x pertence a G, ent˜ ao existe y
O leitor pode perceber que h´a uma “economia de formaliza¸c˜ao” ao utilizar a t´ecnica de axiomatiza¸c˜ao por predicados de Suppes, pois n˜ao s˜ao mencionados explicitamente quaisquer axiomas l´ogicos, nem regras de inferˆencia. Isso ocorre porque na axiomatiza¸c˜ao por predicados conjuntistas assume-se alguma teoria de conjuntos como previamente conhecida. Isso significa que a “linguagem” da teoria axiomatizada por predicados de Suppes ´e a mesma da teoria de conjuntos. Se a teoria usada para fundamentar o predicado conjuntista for formal, tamb´em assume-se que os axiomas l´ ogicos da teoria axiomatizada por predicado de Suppes s˜ao os mesmos axiomas l´ogicos da teoria de conjuntos. Isso ajuda a ilustrar que predicados de Suppes oferecem vantagens em rela¸c˜ao `a id´eia de explicitar todos os ingredientes de uma teoria axiom´atica. No entanto, tais predicados conjuntistas tamb´ em admitem a possibilidade de usar uma linguagem n˜ ao formal como a da teoria intuitiva de conjuntos. Nesse caso, tudo ´e feito de maneira ingˆenua ou intuitiva. Na proposta original de Suppes, a id´eia ´e usar os elementos de uma teoria de conjuntos e conceitos da matem´atica cl´assica, como n´ umero real, espa¸co topol´ogico, variedade etc. Isso torna a concep¸c˜ao de predicado conjuntista mais dif´ıcil de ser entendida, pois Suppes n˜ ao explicita o que ´e matem´ atica cl´assica. Mas, para uma primeira finalidade mais pr´ atica de axiomatiza¸c˜ao, e sem se preocupar com detalhes de fundamentos, Suppes prop˜oe que uma cole¸c˜ao de exemplos deve ser suficiente para desenvolver uma intui¸c˜ao acerca de suas id´eias de axiomatiza¸c˜ao. Em [52] h´ a alguns exemplos de teorias f´ısicas axiomatizadas por predicados conjuntistas. No presente livro, discute-se o caso da mecˆanica newtoniana. Predicados conjuntistas tˆ em grande semelhan¸ca com a no¸ca˜o de esp´ecie de estruturas dada no Cap´ıtulo 3.
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ˆ Apendice D Verdade e Modelos
Apresenta-se aqui uma vis˜ao parcial da no¸ca˜o de verdade segundo Tarski, fortemente baseada em [40]. A id´eia aqui ´e considerar que as no¸c˜oes de verdade ou falsidade de uma f´ ormula bem formada em uma dada linguagem formal devem ser expressas em uma linguagem diferente (metalinguagem) daquela usada para expressar a f´ ormula bem formada.
˜ D.1 Definic¸ao Uma interpreta¸ c˜ ao I de uma linguagem de primeira ordem Λ ´ e uma qu´ıntupla ordenada D, A, f , c, Σ tal que:
1. D ´ e um conjunto chamado de dom´ınio de interpreta¸ c˜ ao; 2. A ´ e um conjunto de rela¸ c˜ oes n-´ arias Ani em D, associadas (ou correspondentes) ` as letras predicativas Ani de Λ; por abuso de linguagem, eventualmente podemos nos referir ` as rela¸ co ˜es n-´ arias Ani como interpreta¸ c˜ oes das corresponn dentes letras predicativas Ai ; 3. f ´ e um conjunto de opera¸ co ˜es n-´ a rias f in em D, associadas (ou correspondentes) ` as letras funcionais f in de Λ; por abuso de linguagem, eventualmente refere-se ` as opera¸ c˜ oes
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
n-´ arias f in como interpreta¸ c˜ oes das correspondentes letras n funcionais f i ; 4. c ´ e um conjunto de elementos fixos ou constantes em D, associados (ou correspondentes) ` as constantes individuais de Λ; por abuso de linguagem, eventualmente refere-se aos elementos fixos de D como interpreta¸co ˜es das correspondentes constantes individuais da linguagem; 5. Σ ´ e o conjunto de todas as seq¨ uˆ encias de elementos do conjunto D.
Os termos “rela¸c˜ao”, “opera¸c˜ao”, “elemento” e “seq¨uˆencia” assumem, na defini¸ca˜o anterior, a acep¸ca˜ o usual da teoria de conjuntos. O leitor pode recordar tais no¸co˜es consultando um livro sobre teoria intuitiva de conjuntos como, por exemplo, [1]. Apenas para recordar, uma seq¨uˆencia de elementos de D ´e uma fun¸c˜ao cujo dom´ınio ´e o conjunto dos n´ umeros naturais e cujo co-dom´ınio ´e D. Para tratar de verdade no presente contexto ´e preciso primeiramente considerar uma fun¸c˜ao que, para cada seq¨ uˆencia s = (s1 , s2 ,...) de Σ, associa termos de uma linguagem de primeira ordem Λ a elementos de um dom´ınio de interpreta¸ca˜o D, tal que:
I
1. Se t ´e um termo da linguagem Λ, ent˜ao interpreta¸c˜ao D;
I (t) pertence ao dom´ınio de
I
2. Se t ´e uma vari´avel individual x i , ent˜ao (t) ´e s i ; 3. Se t e´ uma constante individual de Λ, ent˜ ao dom´ınio de interpreta¸ca˜o D;
I (t) ´e uma constante do
4. Se t1 , ..., tn s˜ ao termos de Λ, f in ´e uma letra funcional de Λ e f in ´e sua correspondente opera¸ca˜o em D, ent˜ao
I (f in(t ,...,tn)) = f in( I (t ), ..., I (tn )). Ou seja, a fun¸c˜ao I ´e a “ponte” que conecta a linguagem de primeira ordem Λ com sua interpreta¸c˜ao I . Para cada i, I (t) ´e o elemento de D obtido pela 1
1
substitui¸c˜ao de cada ocorrˆencia de x i em t pelo nome s i , de modo que se pode fazer as opera¸c˜oes em D corresponderem `as letras funcionais da linguagem interpretada. A seguir, ´e definida uma fun¸c˜ ao-verdade que se aplica a f´ormulas bem formadas de Λ e depende da interpreta¸c˜ao I de Λ, bem como da fun¸ca˜o .
V
I
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ˆ Apendice D - Verdade e Modelos
˜ D.2 Definic¸ao 1. Se t1 ,...,tn s˜ao termos de Λ, Ani ´ e uma letra predicativa de n Λ e Ai ´ e sua correspondente rela¸ c˜ ao n-´ aria em D ent˜ ao, para uma dada seq¨ uˆencia s = (s1 , s2 ,...) de Σ,
V (Ani (t ,...,tn)) = 1 1
se, e somente se, Ani ( (t1 ), ..., (tn )).
I
I
V (Ani (t ,...,tn)) = 0
Caso contr´ario,
1
2. Se A ´ e uma f´ ormula bem formada de Λ, ent˜ ao
V (¬A) = 1 se, e somente se,
V (A) = 0. 3. Se A e B s˜ ao f´ ormulas bem formadas de Λ, ent˜ ao
V (A ⇒ B) = 1 se, e somente se,
V (A) = 0
ou
V (B) = 1.
4. Se A ´ e uma f´ ormula bem formada de Λ e xi ´ e uma vari´ avel individual de Λ, ent˜ ao
V ((∀xi)A) = 1 se, e somente se, para todo elemento d do dom´ınio de interpreta¸ c˜ ao D tem-se
V (A) = 1, sendo que ´ e uma fun¸ca ˜o que coincide inteiramente com , exceto por se referir a uma seq¨ uˆencia s obtida a partir da seq¨ uˆ encia s por substitui¸ ca ˜o de si por d.
V
V
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110
˜ O que e´ uma Definic¸ao
˜ D.1 Observac¸ao A defini¸c˜ a o da fun¸ ca ˜o para f´ ormulas que envolvem o quantificador existencial ´ e facilmente obtida, e fica a cargo do leitor.
V
˜ D.2 Observac¸ao Se uma dada f´ ormula A de uma linguagem de primeira ordem Λ ´ e verdadeira em alguma interpreta¸ ca ˜o I (ou seja, (A) = 1 para todos os elementos de Σ), conforme a defini¸ ca ˜o de fun¸ ca ˜overdade, denota-se esse fato por
V
|=I A ou seja, A ´ e verdadeira em I . Caso contr´ ario, a f´ ormula A ´ e dita falsa na interpreta¸ c˜ ao. Tamb´ em diz-se que A ´ e satisfeita (condi¸ ca ˜o de satisfabilidade) em I para um dado elemento s de Σ, quando (A) = 1 para essa seq¨ uˆencia s de Σ.
V
˜ D.3 Definic¸ao Se existem interpreta¸c˜ ao I de uma linguagem de primeira ordem Λ e fun¸ c˜ ao tais que, para todos os elementos de Σ, todas as f´ ormulas bem formadas de um conjunto Γ de f´ ormulas tˆ em imagem 1 pela fun¸ c˜ ao , diz-se que a interpreta¸c˜ ao I da linguagem e um modelo do conjunto Γ de f´ ormulas. Λ ´
I
V
A defini¸ca˜o a seguir ´e um caso particular da Defini¸c˜ao D.3.
˜ D.4 Definic¸ao Um modelo de uma teoria de primeira ordem T ´e uma interpreta¸ ca ˜o para a linguagem Λ de T na qual todos os axiomas de T s˜ ao verdadeiros.
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ˆ Apendice D - Verdade e Modelos
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Metateorema D.1 Se I ´ e modelo de T , ent˜ ao todos os teoremas de T s˜ ao verdadeiros em I .
˜ D.5 Definic¸ao Uma teoria de primeira ordem T ´e dita semanticamente consistente se, e somente se, admite modelo.
Exemplo D.1 A teoria de grupos, formulada como teoria de primeira ordem, ´ e semanticamente consistente, pois admite modelo. Com efeito, um modelo para a teoria de grupos ´ e a interpreta¸ c˜ ao na qual o dom´ınio de interpreta¸c˜ ao ´ e o conjunto Z dos n´ umeros inteiros, a constante 0 est´ a em correspondˆ encia com o 0 (zero) dos inteiros e a letra funcional tem correspondˆ encia com a adi¸ c˜ ao usual dos inteiros. O leitor pode facilmente verificar que todos os axiomas da teoria de grupos, nessa interpreta¸ c˜ao, s˜ ao verdadeiros, desde que o s´ımbolo predicativo = da linguagem da teoria elementar de grupos esteja em correspondˆ encia com a igualdade usual entre inteiros. Estender essa no¸c˜ao de verdade em teorias de primeira ordem para predicados de Suppes ´e poss´ıvel no sentido de que a intui¸ca˜o ´e a mesma. Formalmente n˜ ao ´e t˜ao simples assim, mas a concep¸c˜ao intuitiva n˜ao muda. Se, por outro lado, um dado predicado conjuntista estiver fundamentado em uma teoria intuitiva (ingˆenua) de conjuntos, qualquer teoria de verdade ser´a tamb´em intuitiva, pois na teoria intuitiva de conjuntos n˜ao h´ a uma no¸c˜ao clara de f´ormula bem formada e nem de axiomas. A seguir, tem-se uma breve discuss˜ao sobre independˆencia de axiomas.
˜ D.6 Definic¸ao Diz-se que um axioma A de uma teoria T de primeira ordem ´ e independente dos demais axiomas da teoria T se, e somente se,
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
A n˜ ao ´ e teorema de T A, sendo que T A denota uma teoria de primeira ordem que tem todos os axiomas de T , exceto A.
−
−
Existe uma t´ecnica metamatem´atica para determinar a independˆencia de axiomas em teorias de primeira ordem. Trata-se de um procedimento que utiliza a no¸c˜ao de modelo. Com efeito, se for poss´ıvel encontrar uma interpreta¸c˜ao I para T , tal que os axiomas pr´oprios de T A se verifiquem verdadeiros em I , mas o axioma A de T se verifique falso em I , ent˜ao fica evidente que A n˜ao pode ser teorema de T A, pois as regras de inferˆencia MP e Gen preservam verdade. Ou seja, se A e A B s˜a o f´ ormulas verdadeiras, B tamb´em ´e. Al´em disso, se A ´e verdadeira, ( xi )A tamb´em ´e. A demonstra¸ca˜o desses dois fatos fica a cargo do leitor.
−
−
⇒ ∀
Exemplo D.2 Como j´ a foi visto anteriormente, a teoria de grupos, formulada como teoria de primeira ordem, ´ e semanticamente consistente pois admite modelo. Considere ent˜ ao como interpreta¸ c˜ao para grupo aquela na qual o dom´ınio de interpreta¸ c˜ ao ´ e o conjunto N dos n´ umeros inteiros positivos (incluindo o 0 (zero)), a constante 0 est´ a em correspondˆ encia com o 0 (zero) dos inteiros e a letra funcional est´ a em correspondˆ encia com a adi¸ c˜ ao usual dos inteiros positivos. O leitor poder´a facilmente verificar que todos os axiomas da teoria de grupos, nessa interpreta¸ c˜ao, s˜ ao verdadeiros, exceto o axioma G3, que estab elece a existˆ encia de elementos sim´ etricos relativamente a , pois entre os inteiros positivos n˜ ao h´ a sim´ etricos relativamente ` a adi¸ ca ˜o usual. Logo, o axioma G3 ´e independente dos axiomas G1 e G2. Do ponto de vista intuitivo, isso significa que n˜ ao ´e poss´ıvel simplesmente retirar o axioma G3 sem, com isso, “modificar” a teoria. Isso tamb´ em ilustra que um axioma pr´ oprio de uma teoria de primeira ordem pode ser falso em uma dada interpreta¸ca ˜o.
Exemplo D.3 A teoria de corpos tamb´ em ´ e semanticamente consistente. Com efeito, considere uma interpreta¸ ca ˜o cujo dom´ınio ´ e o conjunto dos n´ umeros racionais, a constante 0 corresponde ao racional 0, a constante 1, ao racional 1, a letra funcional f 12 , ` a adi¸ca ˜o usual 2 ´ entre racionais e f 2 , ` a multiplica¸c˜ ao usual entre racionais. E f´ acil verificar que todos os axiomas de corpo s˜ ao verdadeiros
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ˆ Apendice D - Verdade e Modelos
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nessa interpreta¸ ca ˜o. Diz-se que um corpo ´ e qualquer modelo da teoria de corpos de primeira ordem. Portanto, o conjunto dos racionais munido de suas opera¸ co ˜es usuais ´e um corpo. A verifica¸ c˜ ao de independˆ encia de axiomas fica a cargo do leitor. A demonstra¸ca˜o de independˆencia de conceitos primitivos nas teorias de Le´sniewski e de Tarski, fazendo uso do princ´ıpio de Padoa, ´e, de certo modo, parecida com a demonstra¸ca˜o de independˆencia de axiomas. Ver detalhes no Cap´ıtulo 4.
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Bibliografia Comentada
Apresento aqui referˆencias citadas no decorrer do livro, mas tamb´em leituras complementares que recomendo para estudos mais aprofundados. Cada referˆencia ´e seguida de breves coment´arios, para facilitar ao leitor a escolha entre o que ´e de interesse pessoal e o que n˜ao ´e. 1. Abe, J. M. & Papavero, N. Teoria intuitiva dos conjuntos . S˜ ao Paulo, McGraw-Hill/Makron, 1991. Tamb´em conhecida como teoria ingˆenua de conjuntos, trata-se de uma vis˜ao bastante intuitiva e pouco formal sobre conjuntos, suas rela¸c˜oes e opera¸co˜es. Curiosidade: o segundo autor ´e bi´ologo. 2. Arnold, V.; Atiyah, M.; Lax, P. & Mazur, B. (eds.), Mathematics: frontiers and perspectives . Providence, AMS, 2000. Esse livro, publicado pela Sociedade de Matem´ atica Americana com apoio da Uni˜ ao Internacional de Matem´atica ´e leitura obrigat´oria para ´ uma coletˆanea de artiqualquer pessoa interessada em matem´ atica. E gos escritos por trinta matem´aticos de renome (Atiyah, Chern, Connes, Manin, Penrose, Smale, Wiles, Witten, Arnold e outros), sendo metade deles ganhadores da prestigiada Medalha Fields, o “prˆemio Nobel” da matem´atica. Muitos dos artigos s˜ao escritos em linguagem n˜ao-t´ecnica, fazendo desse livro praticamente uma obra de divulga¸ca˜o. Inspirado no exemplo dos 23 problemas de Hilbert (ver [25]), um dos prop´ositos desse magn´ıfico volume, infelizmente n˜ ao traduzido para nosso idioma, ´e apontar para as tendˆencias da matem´atica do s´eculo XXI. Especial aten¸ca˜o para o artigo de Steve Smale (‘Mathematical problems for the next century’, p. 271–94) que cita trabalhos dos brasileiros Newton da
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Costa, Francisco Doria, Maur´ıcio Peixoto e Jacob Palis, evidenciando a excelente qualidade da matem´atica brasileira. 3. Bastos, C. L. & Keller, V. Aprendendo l´ ogica . Petr´ opolis, Vozes, 2000. Trata-se de um livro de grande aceita¸ca˜o pelo p´ ublico e que introduz o leitor a no¸co˜es elementares de l´ogica. No entanto, a l´ogica matem´atica n˜ao ´e tratada formalmente. Discute-se, em linguagem natural, sobre meios de convencimento, argumentos, sofismas, silogismos etc. Esse livro insere a l´ogica de forma mais pr´oxima ao cotidiano, tornando-se bastante interessante para estudantes do ensino fundamental e/ou m´edio. Mesmo profissionais do ensino superior podem apreciar a leitura. 4. Beck, L. W. “Kant’s theory of definition”. In : Philosophical Review , v. 65, 1956, pp. 179–91. An´ alise cr´ıtica das rela¸co˜es entre defini¸c˜oes e julgamentos cr´ıticos na obra de Kant. Recomend´avel apenas para fil´osofos. 5. Beth, E. W. “On Padoa’s method in the theory of definition”. In : Indag. Math. v. 15, 1953, pp. 330–39. Nesse c´elebre artigo o autor prova rigorosamente que o Princ´ıpio de Padoa se aplica em uma linguagem de primeira ordem. Para compreender o artigo detalhadamente, ´e necess´ario um conhecimento aprofundado de l´ogica. 6. Bourbaki, N. Elements of the history of mathematics . Berlim, SpringerVerlag, 1994. Nicolas Bourbaki ´e um pseudˆonimo de um seleto grupo de matem´aticos que escreveu uma extensa obra de matem´atica em alguns livros com o t´ıtulo coletivo de Os Elementos da Matem´ atica . Cada volume sobre diferentes t´opicos em matem´atica trazia algo a respeito da hist´oria da cria¸c˜ao e do desenvolvimento daquele t´opico. Esse livro re´ une esses conte´udos hist´ oricos. Bourbaki exerceu forte influˆencia no Brasil. Apesar de omitir fatos hist´oricos significativos sobre a matem´atica, a obra ´e fascinante para aqueles que querem compreender a gˆenese de algumas das grandes id´eias nesta ´area do conhecimento. O original ´e em francˆes. 7. Bridgman, P. W. The logic of modern physics . Nova York, MacMillan, 1927. Texto cl´assico no qual o autor, renomado f´ısico, introduz a escola operacionista. 8. Browder, F. E. Mathematical developments arising from the Hilbert problems . Providence, AMS, 1976.
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Bibliografia Comentada
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Importante coletˆanea de artigos que visa uma avalia¸ca˜o dos 23 problemas de Hilbert (ver [25]), bem como algumas propostas de novas quest˜oes. O leitor deve atentar principalmente para o artigo de A. S. Wightman ‘Hilbert’s sixth problem: mathematical treatment of the axioms of physics’, pp. 147–240. 9. Church, A. Introduction to mathematical logic . Princeton, Princeton University Press, 1996. Esse livro ´e parte integrante da Princeton Landmarks in Mathematics and Physics e, por isso, tem garantido seu lugar como obra de influˆencia duradoura, escrita por um dos mais importantes cientistas do s´eculo XX. Texto muito did´atico que trata de no¸co˜es b´asicas de l´ogica, como c´alculo proposicional e c´alculo predicativo de primeira e segunda ordem. 10. Copi, I. M. Introdu¸cao ˜ ` a l´ogica . S˜ ao Paulo, Mestre Jou, 1978. Tradu¸c˜ao de um livro originalmente publicado em 1953, esse texto ´e bas´ um raro exemplo de livro de l´ogica que trata tante conhecido e citado. E da no¸ca˜o de defini¸c˜ao em um de seus cap´ıtulos. Mas o leitor facilmente perceber´a a maneira muito informal com que o autor trata do assunto. Quest˜ oes pertinentes sobre filosofia da ciˆ encia tamb´ em s˜ao discutidas nesse texto. 11. Crangle, C. “What words mean: some considerations from the theory of definition in logic”. In : Journal of Literary Semantics., v. 21, 1992, pp. 17–26. Tomando como ponto de partida o conceito de defini¸ca˜o em l´ogica, uma esp´ecie de analogia ´e feita em linguagem natural para determinar at´e que ponto o significado das palavras pode ser sistematicamente especificado. 12. Da Costa, N. C. A. Introdu¸c˜ ao aos fundamentos da matem´ atica . S˜ ao Paulo, Hucitec, 1992. O autor, o mais importante l´ogico-matem´atico do Brasil e um dos mais importantes do mundo, faz uma breve apresenta¸ca˜o das trˆes principais escolas filos´oficas da matem´atica (formalismo, intuicionismo e logicismo) e encerra com uma interpreta¸ca˜o ling¨ u´ıstica para a matem´atica. Livro pequeno (menos de 100 p´aginas), mas de grande profundidade. 13. Da Costa, N. C. A. O conhecimento cient´ıfico . S˜ao Paulo, Discurso Editorial, 1999. Esse livro, j´ a na segunda edi¸ca˜o, apresenta id´eias originais acerca da no¸ca˜o de quase-verdade em ciˆencia, oferecendo uma vis˜ao ampla e cr´ıtica que se op˜oe principalmente `as id´ eias de Karl Popper. V´ arios colaboradores de Da Costa escrevem notas no final do livro. Uma p´erola da filosofia da ciˆencia escrita originalmente em portuguˆes.
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14. Da Costa, N. C. A. & Chuaqui, R. “On Suppes’ set theoretical predicates”. In : Erkenntnis. v. 29, 1988, pp. 95–112. Nesse artigo os autores fazem uma interessante compara¸c˜ao entre os predicados conjuntistas de Suppes e a proposta bourbakista de axiomatiza¸ca˜o de teorias como esp´ecies de estruturas. 15. Da Costa, N. C. A. & French, S. Science and partial truth: a unitary approach to models and scientific reasoning . Oxford, Oxford University Press, 2003. Importante livro que trata da no¸ca˜o de quase-verdade nas ciˆencias emp´ıricas. Leitura obrigat´oria para o fil´osofo da ciˆencia que se ocupa da no¸ca˜o de verdade. 16. Da Costa, N. C. A. & Sant’Anna, A. S. “The mathematical role of time and spacetime in classical physics”. In : Foundations of Physics Letters. v. 14, 2001, pp. 553–63. Utilizando a teoria de defini¸c˜ao ampliativa e, particularmente, o princ´ıpio de Padoa, prova-se que tempo ´e elimin´avel da mecˆanica cl´assica de part´ıculas e que espa¸co-tempo ´e igualmente dispens´avel de teorias cl´assicas de campos, como a relatividade geral de Einstein, o eletromagnetismo cl´assico de Maxwell, as teorias cl´assicas de gauge e a mecˆanica hamiltoniana. 17. Da Costa, N. C. A. & Sant’Anna, A. S. “Time in thermodynamics”. In : Foundations of Physics. v. 32, 2002, pp. 1785–96. Nesse artigo prova-se que tempo ´e elimin´avel da termodinˆamica, pelo menos em uma formula¸ca˜o devida a Gurtin e Williams [20]. Al´em disso, mostra-se como definir tempo e como reescrever a termodinˆamica sem men¸c˜ao expl´ıcita a tempo. Em compara¸c˜ao com [16], h´a diferen¸cas significativas, tendo em vista que termodinˆamica ´e uma teoria f´ısica que trata de fenˆomenos irrevers´ıveis em rela¸c˜ao ao fluxo de tempo. 18. Feynman, R. P. Est´ a a brincar, Sr. Feynman . Lisboa, Gradiva, 1985. Feynman foi um dos grandes gˆenios da f´ısica do s´eculo xx , ganhador do Nobel em 1965. Essa autobiografia retrata um f´ısico genial com senso de humor u ´nico, esp´ırito de profunda curiosidade e grande ceticismo. O livro original Surely you’re joking Mr. Feynman , ´e interessante principalmente por causa das in´ umeras passagens escritas em portuguˆes. 19. Gorsky, D. P. Definition . Moscou, Progress Publishers, 1981. O autor foi chefe da se¸c˜ao de l´ogica do Instituto de Filosofia da Academia de Ciˆencias da ex-Uni˜ ao Sovi´etica. Nessa obra ele se prop˜oe a classificar e estudar os diferentes tipos de defini¸c˜oes, do ponto de vista da l´ogica.
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Leitura por vezes obscura, por citar muitos autores sem um devido detalhamento de id´eias, mas fascinante devido principalmente `a apresenta¸c˜ao de diversos tipos de defini¸c˜ao. 20. Gurtin, M. E. & Williams, W. O. “An axiomatic foundation for continuum thermodynamics”. In : Archive for Rational Mechanics and Analysis., v. 26, 1967, pp. 83–117. Fascinante artigo que introduz de maneira clara uma axiomatiza¸c˜ao para a termodinˆ amica cl´ assica. No entanto, uma cr´ıtica usual a essa formula¸c˜ao ´e que ela apresenta muitos conceitos primitivos e muitos axiomas (h´a 17 axiomas espec´ıficos), o que torna a formula¸c˜ao pouco atraente para os f´ısicos. 21. Hatcher, W. S. Foundations of mathematics . Filad´elfia, W. B. Saunders, 1968. Excelente introdu¸ca˜o aos fundamentos da matem´atica, com discuss˜oes sobre teorias de primeira ordem, sistema de Frege, teoria de tipos, teorias de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, Von Neumann-Bernays-G¨odel e outros, e teoria de categorias. De fato, um cl´assico. 22. Hegenberg, L. Defini¸c˜ oes: termos te´ oricos e significado . S˜ ao Paulo, Cultrix/Edusp, 1974. Um rar´ıssimo exemplo de literatura espec´ıfica sobre defini¸c˜oes, em l´ıngua portuguesa. No entanto, apesar dos in´umeros exemplos em matem´atica e da cita¸c˜ao que o autor faz a referˆencias como [60], a abordagem ´e mais informal do que a que aqui se apresenta. A obra de Hegenberg desperta o interesse do leitor que busca uma classifica¸ca˜o de diferentes tipos de defini¸c˜oes, sob um ponto de vista mais filos´ofico do que matem´atico. 23. Hempel, C. G. Filosofia da ciˆencia natural . Rio de Janeiro, Zahar, 1981. Professor da Universidade de Princeton (EUA), o autor procurou escrever um texto de car´ater elementar sobre aspectos metodol´ogicos e filos´ oficos das ciˆencias naturais, que inclui biologia, f´ısica e qu´ımica. Referˆencia obrigat´oria para estudiosos de filosofia da ciˆencia. Tradu¸ca˜o do original em inglˆes. 24. Hertz, H. R. The principles of mechanics . Nova York, Dover, 1956. Esse livro p´ostumo mostra a versatilidade de Hertz, pois o consagrou como um grande fil´ osofo da ciˆ encia. Disc´ıpulo de Helmholtz, Hertz fazia parte de uma comunidade cient´ıfica concentrada na Alemanha e ´ na Austria, fortemente interessada nos fundamentos da mecˆanica que, na ´epoca, era somente cl´assica. Livro de enorme interesse hist´ orico. O original foi publicado em 1894, em alem˜ao.
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25. Hilbert, D. “Mathematical problems”. In : Bulletin of the American Mathematical Society. v. 37, 2000, pp. 407–36. Esse artigo ´e hist´orico, pois traz uma lista de 23 problemas que Hilbert julgava serem o legado da matem´ atica do s´eculo XIX para os matem´aticos do s´eculo XX. Algo semelhante foi novamente feito em 2000 (ver [2]). Em geral, a lista em quest˜ao serviu como referˆencia para alguns dos grandes avan¸cos da matem´atica contemporˆanea, ainda que certas descobertas important´ıssimas n˜ao foram previstas pelas profecias de Hilbert, como ´e o caso da teoria de categorias. O sexto problema dessa lista ´e interessante na leitura do presente livro, pois se refere `a axiomatiza¸ca˜o das ciˆencias f´ısicas. Esse ´e um problema que, a rigor, constitui mais um projeto de pesquisa para gera¸c˜oes anteriores e atuais do que propriamente uma quest˜ ao que possa ser definitivamente conclu´ıda algum dia. O original foi publicado cem anos antes em alem˜ao. 26. Hilbert, D. & Ackermann, W. Principles of mathematical logic . Providence, Chelsea, 1950. Ainda ´e distribu´ıdo pela American Mathematical Society. Nos quatro u ´nicos cap´ıtulos os autores discutem de maneira clara e com exemplos o c´alculo proposicional cl´assico, o de predicados de segunda ordem e o de ordem ˆomega, tamb´ em conhecido como teoria de tipos n˜ao-ramificada. 27. Jammer, M. Concepts of mass in contemporary physics and philosophy . Nova Jersey, Princeton University Press, 2000. Excelente discuss˜ao sobre quest˜oes relativas `a no¸ca˜o de massa em f´ısica cl´assica, abordando teorias relativ´ısticas e n˜ao-relativ´ısticas, bem como cl´assicas e quˆanticas. A famosa rela¸ca˜o E = mc 2 , de equivalˆencia entre energia e massa, ´e discutida detalhadamente, incluindo sua dedu¸c˜ao e interpreta¸c˜ao f´ısica. O autor ´e um dos mais respeitados fil´osofos e historiadores da f´ısica. Uma de suas primeiras obras, Concepts of space , tem pref´ acio escrito por Albert Einstein. ¨ nich, K. Topology . Nova York, Springer-Verlag, 1984. 28. Ja
Tradu¸c˜ao do original em alem˜ao, trata-se de uma magn´ıfica introdu¸c˜ao ´ um texto bastante adequado para uma disciplina `a topologia geral. E semestral (talvez optativa) do ´ultimo ano de um curso de bacharelado em matem´atica. 29. Just, W. & Weese, M. Discovering modern set theory. I . Providence, American Mathematical Society, 1995. Excelente livro sobre os fundamentos axiom´aticos da teoria de conjuntos. H´a uma detalhada discuss˜ao sobre o axioma da escolha e o paradoxo de Banach-Tarski.
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´ r, L. “On the possibility of definition by recursion”. In : Acta 30. Kalma Scientiarum Mathematicarum. v. 9, 1940, pp. 227–32.
Artigo no qual o autor discute a respeito de defini¸c˜oes por recurs˜ao. 31. Krause, D. “On a quasi-set theory”. In : Notre Dame Journal of Formal Logic. v. 33, 1992, pp. 402–11. Provavelmente o mais citado artigo do l´ogico brasileiro D´ecio Krause. O assunto ´e uma extens˜ao da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, mas sem o conceito de igualdade entre as no¸c˜oes primitivas. 32. Krause, D. “Axioms for collections of indistinguishable objects”. In : Logique et Analyse. v. 153–4, 1996, pp. 69–93. Uma interessante continua¸ca˜o, extens˜ao e discuss˜ao de trabalhos anteriores, como [31]. 33. Krause, D. Introdu¸c˜ ao aos fundamentos axiom´ aticos da ciˆencia . S˜ao Paulo, EPU, 2002. Apesar do t´ıtulo, esse livro n˜ao ´e propriamente uma introdu¸c˜ao, mas uma an´ alise cr´ıtica do uso do m´etodo axiom´atico em matem´atica, f´ısica e mesmo biologia. 34. Krause, D., Sant’Anna, A. S. & Volkov, A. G. “Quasi-set theory for bosons and fermions: quantum distributions”. In : Foundations of Physics Letters. v. 12, 1999, pp. 51–66. Em mecˆanica quˆantica, considera-se a existˆencia de duas ou mais part´ıculas elementares que dividem os mesmos atributos f´ısicos (propriedades intr´ınsecas e propriedades de estado). A teoria de quase-conjuntos [31] ´e uma alternativa para lidar com situa¸co˜es como as que ocorrem no mundo quˆ antico. Nesse artigo, pela primeira vez ´e feita uma aplica¸c˜ao de quaseconjuntos `a f´ısica. 35. Lalande, A. Vocabulaire technique et critique de la philosophie . Paris, Presses Universitaires de France, 1968. Volumoso dicion´ ario de filosofia (cerca de 1300 p´aginas) escrito pelo Presidente Honor´ario da Sociedade Francesa de Filosofia. ˜ es, J. C. M. & Krause, D. “Suppes predicate for genetics 36. Magalha and natural selection”. In : Journal of Theoretical Biology. v. 209, 2000, pp. 141–53.
Alguns autores como John Henry Woodger, entre outros, se atreveram nas u ´ltimas d´ecadas a propor o uso do m´etodo axiom´atico em biologia. Nesse excelente artigo, os autores, um geneticista e um l´ogico-matem´ atico, usam o m´etodo axiom´ atico para estudar a teoria sint´etica da evolu¸c˜ao. Uma lista de referˆ encias no final do artigo ´e de grande interesse para
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
estudiosos. Esse artigo ´e fruto de tese de doutoramento de Magalh˜aes sob orienta¸c˜ao de Krause. 37. Manin, Yu. I. A course in mathematical logic . Nova York, SpringerVerlag, 1977. Os livros da Springer est˜ao sempre dispon´ıveis nas grandes livrarias do exterior. Mas esse ´e um livro recomendado para quem j´a tem bastante familiaridade com l´ogica. Trata de quest˜oes avan¸cadas como demonstrabilidade, computabilidade e at´ e mesmo aplica¸co˜es de l´ogica em f´ısica de maneira nada interessante ao iniciante. Mesmo assim ´e uma referˆ encia fabulosa para estudiosos. 38. McKinsey, J. C. C. “On the independence of undefined ideas”. In : Bulletim of the American Mathematical Society. v. 41, 1935, pp. 291–7. Esse artigo tem sido uma das principais referˆencias ao m´etodo de Padoa. No entanto, para o leitor mais exigente, faltar´a um certo rigor. 39. McKinsey, J. C. C.; Sugar, A. C. & Suppes, P. “Axiomatic foundations of classical particle mechanics”. In : Journal of Rational Mechanics and Analysis. v. 2, 1953, pp. 253–72. Esse artigo ´e um cl´assico muito citado na literatura. Trata de uma formula¸ca˜o axiom´ atica para a mecˆanica cl´assica n˜ao relativ´ıstica de part´ıculas. Do ponto de vista da f´ısica te´orica, n˜ao representa grande avan¸co; mas, do ponto de vista filos´ofico, representa um exemplo hist´orico do uso do m´etodo axiom´atico em f´ısica. 40. Mendelson, E. Introduction to mathematical logic . Londres, Chapman & Hall, 1997. ´ talvez o melhor livro de introdu¸c˜ao `a l´ E ogica que existe, devido, principalmente, a sua clareza e precis˜ao. Parte do pressuposto que o leitor nada sabe de l´ogica e chega a t´opicos avan¸cados como computabilidade e teoremas de G¨odel. Infelizmente, n˜ao dedica cap´ıtulo algum a` teoria de defini¸c˜ao, limitando-se a uma brev´ıssima discuss˜ ao acerca do que o autor chama de defini¸coes ˜ poss´ıveis e defini¸co˜es por indu¸ca˜o transfinita em teoria de conjuntos. No que se refere a conjuntos, discute em detalhes apenas a teoria de Von Neumann-Bernays-G¨o del e n˜ao a de ZermeloFraenkel, a qual ´e a mais conhecida e utilizada em matem´ atica. 41. Monteiro, L. H. J. Elementos de ´ algebra. Rio de Janeiro, LTC, 1978. Excelente introdu¸ca˜o `a ´algebra. No presente contexto, ´e ´util ao leitor interessado nas no¸co˜es de grupo e de divis˜ao euclidiana. Trata tamb´em de an´eis e corpos. 42. Oliveira, A. J. F. L´ ogica e aritm´etica. Lisboa, Gradiva, 1996.
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Excelente introdu¸c˜ao `a l´ ogica matem´atica, principalmente para alunos de gradua¸c˜ao. Trata do c´ alculo proposicional, c´alculo de predicados de primeira ordem e aritm´ etica de Peano. O texto ´e ainda recheado com algumas discuss˜ oes informais sobre resultados de grande relevˆ ancia a respeito dos fundamentos da matem´atica, como os teoremas de G¨odel e de Tarski, entre outros. Do mesmo autor h´a tamb´em obras de interesse como L´ ogica Elementar (AEFCL, 1980), Teoria dos Conjuntos, Intuitiva e Axiom´ atica (Escolar, 1982), entre outras. 43. Padoa, A. “Essai d’une th´eorie alg´ebrique des nombres entiers, pr´ec´ed´e d’une introduction logique a` une th´eorie d´eductive quelconque”. In : Biblioth`eque du Congr`es International de Philosophie . v. 3, 1900, pp. 309–65. Esse ´e o artigo original de Alessandro Padoa sobre independˆencia de conceitos primitivos de um dado sistema axiom´atico. Padoa aplicou pela primeira vez seu m´etodo de definibilidade de conceitos primitivos em geometria. Mas h´a a possibilidade de que outros matem´aticos j´a conhecessem essa t´ ecnica antes de Padoa publicar seu trabalho. Existe uma tradu¸c˜ao parcial para o inglˆ es (“Logical introduction to any deductive theory”. In : From Frege to G¨ odel: a source book in mathematical logic 1879–1931, editado por Jean van Heijenoort. Cambridge, Harvard University Press, 1967, 1977, pp. 118–23.) 44. Pap, A. “Theory of definition”. In : Philosophy of Science. v. 31, 1964, pp. 49–54. Esse artigo ´e bastante bizarro. O autor lecionava cursos de l´ogica e distribuia algumas notas de aula sobre teoria da defini¸c˜ao aos seus alunos. Quando Pap faleceu, John Wilcox, professor assistente de filosofia da Emory University, preparou as notas de aula para publica¸c˜ao na prestigiada revista Philosophy of Science . Como o pr´ oprio autor n˜ao havia escrito o texto para fins de publica¸c˜ao, o artigo ´e bastante incompleto e por vezes confuso. Mas ´e uma clara demonstra¸c˜ao da necessidade, na literatura, por textos sobre teoria da defini¸c˜ao. Uma curiosidade: ´e um raro artigo (o ´unico que eu conhe¸co) que apresenta uma lista de exerc´ıcios para serem resolvidos pelo leitor. ´ , H. “La logique de l’infini”. In : Scientia. v. 12, 1912, pp. 45. Poincare 1–16.
Artigo no qual Poincar´e esbo¸ca suas primeiras id´eias a respeito de defini¸co˜es impredicativas e seu uso em matem´atica. ´, H. O valor da ciˆencia . Rio de Janeiro, Contraponto, 1995. 46. Poincare
Poincar´e foi um grande matem´atico, um fil´osofo da ciˆencia e um excelente escritor. Em linguagem f´ acil e n˜ao-t´ecnica, ele trata de quest˜oes como
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intui¸c˜a o e l´ogica na matem´atica, a natureza do espa¸c o e do tempo, as ciˆencias f´ısicas e o valor objetivo das ciˆencias. 47. Putnam, H. “Mathematics without foundations”. In : Journal of Philosophy. v. 64, 1967, pp. 5–22. Fascinante artigo em que o autor defende a id´ eia de que a matem´atica n˜ao enfrenta qualquer crise em seus fundamentos, at´ e porque n˜ao ´ h´ a fundamento algum e nem precisa ter. E uma esp´ ecie de resposta `as principais escolas de filosofia da matem´atica que surgiram principalmente na primeira metade do s´eculo XX . 48. Quine, W. O. O sentido da nova l´ ogica . Curitiba, EDUFPR, 1996. Reedi¸ca˜o de um livro lan¸cado no Brasil pela primeira vez em 1944, resultado de um curso ministrado pelo autor na Universidade de S˜ao Paulo em 1942. Uma bela introdu¸ca˜o `a l´ogica, escrita por um dos grandes expoentes do assunto no s´eculo XX. 49. Runes, D. D. (ed.). Dictionary of philosophy. Littlefield, Adams & Co., 1971. Fabuloso dicion´ ario de filosofia escrito por 72 autoridades. Diversos verbetes de l´ogica foram escritos por Alonzo Church, inclusive os relativos `a no¸c˜ao de defini¸c˜ao. Excelente referˆencia para quem deseja uma vis˜ao ampla e “indolor” sobre filosofia. 50. Sant’Anna, A. S. “An axiomatic framework for classical particle mechanics without force”. In : Philosophia Naturalis. v. 33, 1996, pp. 187–203. Apresenta-se uma formula¸ca˜o axiom´ atica para a mecˆanica sem a no¸ca˜o de for¸ca. Ver tamb´em [56]. 51. Sant’Anna , A. S. “F´ısica quˆantica e f´ısica cl´assica”. In : da Costa, ao Paulo, Discurso Editorial, N. C. A. O conhecimento cient´ıfico. S˜ 1999, pp. 270–2. Breve nota sobre alguns dos problemas nos fundamentos da f´ısica cl´assica e da quˆantica. 52. Sant’Anna, A. S. O que ´e um axioma . Barueri, Manole, 2003. Com pref´acio de Patrick Suppes, esse ´e o primeiro livro da s´erie paradid´ atica da qual a presente obra faz parte. S˜ ao abordadas as no¸c˜oes de teoria formal, teoria axiom´atica, axioma, postulado, argumento, teorema, demonstra¸ca˜o, hip´ otese, verdade, falsidade, modelo, metamatem´atica, entre outras.
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53. Sant’Anna, A. S. “Matem´atica e senso cr´ıtico”. In : Scientific American Brasil. n. 14, julho de 2003, p. 14. Nota sobre a quest˜ao do uso do senso cr´ıtico em aulas de matem´ atica do ensino m´edio, com ˆenfase no problema da divis˜ao por zero. 54. Sant’Anna, A. S. O que ´e um conjunto. (no prelo). Introduz com a teoria ingˆenua de conjuntos, enfatizando os paradoxos nela encontrados. Na apresenta¸ca˜o, hist´oria e teoria se confundem. A seguir, discute-se o sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF) e algumas de suas varia¸co˜es, como ZFU e ZFC, mostrando-se de que forma essa teoria evita os paradoxos da teoria ingˆenua. Aplica¸c˜oes s˜ao apresentadas e discutidas ao final. Por exemplo: como pode a geometria ser fundamentada na teoria dos conjuntos se a geometria intuitivamente se refere `a “ciˆencia das formas”, sendo que conjuntos n˜ao tˆem forma? Cr´ıticas `as teorias de conjuntos s˜ao feitas no final do livro. 55. Sant’Anna, A. S. O que ´e um teorema . (no prelo). Esse ´e um volume futuro da s´ erie a qual o presente livro pertence. Pretende-se abordar o uso de diversas regras de inferˆencia, bem como discutir o papel de teoremas, corol´arios, lemas e proposi¸c˜oes. Fala-se tamb´em sobre a t´ecnica de redu¸c˜ao ao absurdo e a cr´ıtica dos intuicionistas a respeito dessa t´ ecnica t˜ao amplamente usada, evidenciando aquilo que Yuri Manin chama de “n´ıveis de demonstrabilidade”. Discutese tamb´em a t´ecnica de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao e alguns exemplos hist´ oricos e did´aticos de demonstra¸c˜oes erradas em geometria e em c´alculo diferencial e integral. ´ poss´ıvel eliminar o conceito de 56. Sant’Anna, A. S. & Garcia, C. “E for¸ca da mecˆanica cl´assica?”. In : Revista Brasileira de Ensino de F´ısica. v. 20, 1998, pp. 346–53. Nesse artigo ´e apresentada uma axiomatiza¸c˜ao para a mecˆanica cl´assica de part´ıculas, inspirada nas id´eias de Hertz sobre elimina¸ca˜o de for¸ca. H´a muito em comum entre esse artigo e um publicado pelo primeiro autor na revista alem˜ a Philosophia Naturalis , em 1996 [50]. As principais diferen¸cas est˜ao na defini¸c˜ao de subsistema de um sistema de part´ıculas e em um teorema que afirma que todo subsistema ´e ele pr´oprio um sistema de part´ıculas. 57. Sant’Anna, A. S. & Garcia, C. “Gravitation in Hertz’s mechanics”. In : Foundations of Physics Letters. v. 16, 2003, 559–72. Artigo no qual se prova que mesmo em uma mecˆanica sem for¸ca, inspirada nas id´eias de Hertz [24], ainda ´e poss´ıvel deduzir as leis de Kepler (aquelas que regem os movimentos planet´arios).
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58. Sant’Anna, A. S. & Santos, A. M. S. “Quasi-set-theoretical foundations of statistical mechanics: a research program”. In : Foundations of Physics. v. 30, 2000, pp. 101–20. Na matem´atica tradicional, considera-se que h´a somente trˆes maneiras de distribuir duas notas de R$ 1,00 (um real) entre duas pessoas, se levarmos em conta apenas o valor das notas, ignorando que elas podem ser disting¨uidas pelos seus n´ umeros de s´erie. Uma das maneiras ´e dividir um real para cada pessoa. Outra maneira ´e fazer com que uma das pessoas fique com todo o dinheiro. Tamb´em pode-se fazer com que a outra pessoa fique com todo o dinheiro. Nesse artigo, mostra-se que ´e poss´ıvel criar um novo tipo de an´alise combinat´oria na qual h´ a quatro maneiras de distribuir as duas notas entre duas pessoas. Isso ´e conseguido gra¸cas ao uso do m´etodo axiom´atico e encontra aplica¸c˜oes em f´ısica quˆantica. Esse artigo ´e fruto de disserta¸ca˜o de mestrado de Santos, sob orienta¸ca˜o de Sant’Anna. 59. Schmidt, H.-J. “A definition of mass in Newton-Lagrange mechanics”. In : Philosophia Naturalis. v. 30, 1993, pp. 189–207. Fascinante trabalho no qual o autor, professor da Universidade de Osnabr¨ uck, na Alemanha, define massa inercial a partir de acelera¸c˜oes. Pode parecer, `a primeira vista, algo simples. Mas o artigo ´e bastante sofisticado. Conheci Schmidt em Floren¸ca, It´alia, quando, por coincidˆencia, eu apresentava uma comunica¸c˜ao sobre mecˆanica sem for¸ca no X Congresso Internacional de L´ogica, Metodologia e Filosofia da Ciˆencia, em agosto de 1995. 60. Suppes, P. Introduction to logic . Princeton, van Nostrand, 1957. ´ um livro excelente, muito did´atico. Discute em detalhes a teoria de E conjuntos de Zermelo-Fraenkel e tem um cap´ıtulo inteiro dedicado `a teoria de defini¸c˜ao de Le´sniewski. 61. Suppes, P. Axiomatic set theory . Nova York, Dover, 1972. Excelente referˆencia, ainda dispon´ıvel no mercado internacional em edi¸co˜es mais recentes, para quem quer entender as motiva¸c˜oes e os fundamentos da teoria axiom´atica de conjuntos. 62. Suppes, P. “Philosophy and the sciences”. In : Sieg, W. (ed.) Acting and Reflecting . Dordrecht, Kluwer, 1990, pp. 3–30. Nesse artigo, publicado em livro e, por isso, de dif´ıcil acesso, o autor faz extensa discuss˜ao sobre o papel da filosofia em ciˆ encias na atualidade. Talvez muitos fil´ osofos da ciˆencia n˜ao concordem com as id´eias apresentadas.
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Bibliografia Comentada
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63. Suppes, P. Representation and invariance of scientific structures . Stanford, CSLI, 2002. Excelente defesa da tese de que m´etodos formais devem ser empregados em filosofia da ciˆencia. Essa obra aborda quest˜oes como a defini¸ca˜o axiom´ atica de teorias, problemas de representa¸c˜ ao, o conceito de invariˆancia, a no¸ca˜o de probabilidades e seu uso nas ciˆencias, entre outras. Esse livro pode se tornar um cl´assico. 64. Suppes, P. ; Sant’Anna, A. S. & de Barros, J. A. “A particle theory of the Casimir effect’. In : Foundations of Physics Letters. v. 9, 1996, pp. 213-23. Nessa obra os autores fornecem uma descri¸c˜ao cl´assica (ou pelo menos semi-cl´ assica) para um fenˆomeno usualmente descrito pela eletrodinˆamica quˆ antica e que se refere `a intera¸c˜ao entre condutores e f´otons virtuais associados ao estado de v´acuo quˆ antico. 65. Tarski, A. Logic, semantics, metamathematics . Indian´ apolis, Hacket, 1983. Coletˆ anea de artigos consagrados do l´ogico Alfred Tarski, publicados no per´ıodo de 1923 a 1938 e traduzidos por J. H. Woodger. Os artigos foram corrigidos sob a supervis˜ao do pr´oprio Tarski. Curiosidades: Woodger era bi´ologo; quando jovem, Tarski queria ser bi´ologo. 66. Tarski, A. “On definable sets of real numbers”. In : Tarski, A., Logic, semantics, metamathematics . Indian´ apolis, Hacket, 1983, pp. 110–42. Artigo no qual Tarski trata de problemas ligados `a no¸c˜ao de definibilidade de conjuntos de n´ umeros reais, a partir do conceito de satisfabilidade. O artigo original ´e de 1931, mas a maioria das id´ eias j´a foi desenvolvida dois anos antes. 67. Tarski, A. “Some methodological investigations on the definability of concepts”. In : Tarski, A., Logic, semantics, metamathematics. Indianapolis, Hacket, 1983, pp. 296–319. Nesse artigo, o famoso l´ogico-matem´ atico polonˆes Alfred Tarski prova que o princ´ıpio de Padoa se aplica a` teoria de tipos, que ´e uma linguagem de ordem superior que estende a linguagem de primeira ordem. 68. Tarski, A. & Givant, S. A formalization of set theory without variables . Providence, AMS, 1988. Texto avan¸cado que mostra como fundamentar a teoria de conjuntos ´ uma forsem vari´aveis, sem quantificadores e sem conectivos l´ogicos. E mula¸c˜ao bem mais simples que a usual e que exemplifica maravilhosamente o aspecto multifacetado da matem´atica.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
69. Tobochnik, J. “The importance of undergraduate research”. In : American Journal of Physics. v. 69, 2001, pp. 933–4. Trata-se de um editorial que discute o importante papel da pesquisa na ´ uma modalidade de inicia¸c˜ao cient´ıfica na qual o aluno gradua¸ca˜o. E efetivamente faz pesquisa, em parceria com seu orientador, e a publica em revistas especializadas e/ou apresenta em encontros cient´ıficos na´ interessante tamb´em consultar as referˆencias cionais ou internacionais. E citadas. A revista American Journal of Physics ´e facilmente encontrada em bibliotecas de boas universidades. 70. Weyl, H. Philosophy of mathematics and natural science . Princeton, Princeton University Press, 1949. Essa obra trata detalhadamente, em suas p´aginas iniciais, a no¸ca˜ o de defini¸c˜ ao por abstra¸c˜ ao. Pode ser u ´ til ao leitor interessado no tema do presente livro. 71. Weyl, H. The continuum, a critical examination of the foundation of analysis . Nova York, Dover, 1994. Com pref´acio de J. A. Wheeler, esse pequeno e not´avel livro, originalmente publicado em alem˜ao, com pouco mais de 100 p´aginas, ´e um cl´assico sobre os fundamentos da an´alise matem´atica. 72. Wittgenstein, L. Tractatus logico-philosophicus . Londres, Routledge, 1974. ´ um cl´assico da filosofia, de dif´ıcil compreens˜ E ao, apesar de ser um livro pequeno. O pr´ oprio autor admite que seu texto talvez seja compreendido somente por aqueles que j´a pensaram com antecedˆencia sobre os t´opicos abordados. No entanto, cr´ıticas fascinantes s˜ao feitas `as obras de autores como Russell, Frege, Hertz, entre outros. Al´em disso, ´e uma fonte de inspira¸ca˜o filos´ofica, matem´atica e cient´ıfica. Tradu¸c˜ao do original em alem˜ ao, com introdu¸ca˜o escrita por Bertrand Russell.
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´Indice Remissivo
a
aberto da reta 40 alfabeto 86 ˆangulo de Brewster 81 argumento 86 Arist´oteles 3 axiomas 85, 88, 90 independentes 111 l´ogicos 97 originais 18 pr´oprios 97
b
Brewster, ˆangulo de 81
c
c´alculo predicativo de primeira ordem 91 Cantor, G. 79 conectivo l´ogico 91 condicional 91 nega¸c˜ao 91 conjuntos 103 classe de equivalˆencia 12 elemento 103
equipotentes 11 fun¸c˜ao 104 pertinˆencia 103 produto cartesiano 103 quase-conjuntos 26 rela¸c˜ao conjuntista 104 subconjunto 104 conseq¨ uˆencia 89 conseq¨ uˆencia direta 87 constante individual 24, 91 contradi¸c˜ao 19 corpo 101, 112 co-seno 74
d
Da Costa, N. C. A. 14 Dedekind, R. 81 defini¸ca˜o 7, 13 abreviativa 9 ampliativa 9, 17-26 classifica¸c˜ao de defini¸co˜es 13 condicional 19, 69 contextual 4 crit´erios para uma 18 de constantes por equivalˆencia 23 de constantes por igualdade 24
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de co-seno 74 de divis˜ ao por zero 67-70 de Le´sniewski 17-26 de logaritmo 75-77 de opera¸co˜es por equivalˆencia 22 de opera¸co˜es por igualdade 25 de rela¸co˜es por equivalˆencia 20 de seno 70-74 expl´ıcita 4 formal 8 impredicativa 79-81 informal 8 nominal 4 operacional 8, 13 ostensiva 4 por abstra¸ca˜o 11-12 por composi¸c˜ao 13 por gˆenero e diferen¸ca 8 por postulados 4 por recurs˜ ao 12-13 real 3 semˆ antica 9-10 sint´atica 10 tarskiana 9, 30 definiendum 2, 3, 7 definiens 2, 3, 7 demonstra¸ca˜o 88 descri¸ca˜o, operador de 26 divis˜ ao euclidiana 70 divis˜ ao por zero 67-70
e
eliminabilidade 7, 18 escopo 93 espa¸co minimalista 37-39 topol´ogico 40-42 vetorial 43-53 esp´ecie de estruturas 29 estrutura 29
f
Feynman, R. P. 81
˜ O que e´ uma Definic¸ao
f´ ormula (bem formada) 85, 93 atˆomica 93 falsa 110 verdadeira 110 fun¸c˜ao-verdade 108
g
generaliza¸ca˜o 97
h
hip´ otese 90
i
igualdade 99 reflexividade da 100 substitutividade da 100 interpreta¸ca˜o 107-108
j Jammer, M. 62-63
k
Krause, D. 26
l
Le´sniewski, S. 17 letra funcional 91 letra predicativa 91 linguagem 1, 87 de ordem superior 99 de primeira ordem 98 formal 87 natural 8 logaritmo 75-77 l´ogica 97 cl´assica 97
m
Malaquias, A. M. 43 massa 55, 62, 63
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´Indice Remissivo
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mecˆ anica 54 de Hertz 61 de Mach 61 metalinguagem 1, 87 modelo 29, 110 modus ponendo ponens 97 MSS, sistema 54-60 isolado 57 subsistema 56
rela¸c˜oes 20, 91 Russell, B. 79
n
t
n˜ ao-criatividade 7, 18 navalha de Occam 5 n-upla ordenada 86
o
Occam, navalha de 5 operador de descri¸c˜ao 26
p Padoa, A. 33-34 Padoa, princ´ıpio de 34 paradoxo de Russell 79 paradoxo do martelo 6 Poincar´e, H. 79 pr´e-corpo 48-53 predicado conjuntista 104 pr´e-espa¸co vetorial 49-53 premissa 90 princ´ıpio de Padoa 34 prototeoria 88 prova 88
q
quantificador existencial 94 quantificador universal 91 escopo do 93 quase-conjuntos 26
r
regra de inferˆencia 86 generaliza¸ca˜o 97 modus ponens 97
s
satisfabilidade 110 Schmidt, H.-J. 63 seno 70-74 Strapasson, J. E. 43 Suppes, predicados de 104
Tarski, A. 17, 27 tempo 55-60 teorema 89 de Banach-Tarski 27 teoria 88 axiom´ atica 87-88 decid´ıvel 89 de grupos de primeira ordem 100, 111 de corpos de primeira ordem 101 de ordem superior 99 de primeira ordem 97 de primeira ordem com igualdade 99 de quase-conjuntos 26 formal 85 indecid´ıvel 89 termo 92 livre para x em A 94 topologia 40 trivial 41 usual da reta 41
v
vari´ avel individual 91 de ocorrˆencia ligada 93 de ocorrˆencia livre 93 verdade 108-110 fun¸c˜ao-verdade 108-109
w
Weyl, H. 80
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
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Material Sup´erfluo
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Bibliografia Comentada [Nota:] Apresento aqui referˆencias citadas no decorrer do livro, mas tamb´em leituras complementares que recomendo para estudos mais aprofundados. Cada referˆencia ´e seguida de breves coment´arios, para facilitar ao leitor a escolha entre o que ´e de interesse pessoal e o que n˜ao ´e. [1] Abe, J. M. & Papavero, N. Teoria intuitiva dos conjuntos . S˜ ao Paulo, McGraw-Hill/Makron, 1991. Tamb´ em conhecida como teoria ingˆ enua de conjuntos, trata-se de uma vis˜ao bastante intuitiva e pouco formal sobre conjuntos, suas rela¸c˜ oes e opera¸c˜oes. Curiosidade: o segundo autor ´e bi´ologo. [2] Arnold, V.; Atiyah, M., Lax, P. & Mazur, B. (eds.), Mathematics: frontiers and perspectives . Providence, AMS, 2000. Esse livro, publicado pela Sociedade de Matem´ atica Americana com apoio da Uni˜ ao Internacional de Matem´atica ´e leitura obrigat´oria para qualquer ´ uma coletˆanea de artigos escritos pessoa interessada em matem´atica. E por trinta matem´aticos de renome (Atiyah, Chern, Connes, Manin, Penrose, Smale, Wiles, Witten, Arnold e outros), sendo metade deles ganhadores da Medalha Fields, o “prˆ emio Nobel” da matem´ atica. Muitos dos artigos s˜ao escritos em linguagem n˜ao-t´ecnica, fazendo desse livro praticamente uma obra de divulga¸c˜ao. Inspirado no exemplo dos 23 problemas de Hilbert (ver [25]), um dos prop´ositos desse magn´ıfico volume, infelizmente n˜ao traduzido para nosso idioma, ´e apontar para as tendˆencias da matem´ atica do s´eculo XXI. Especial aten¸ca˜o para o artigo de Steve Smale (‘Mathematical problems for the next century’, p. 271–94) que cita trabalhos dos brasileiros Newton da Costa, Francisco Doria, Maur´ıcio Peixoto e Jacob Palis, evidenciando a excelente qualidade da matem´atica brasileira. [3] Bastos, C. L. & Keller, V. Aprendendo l´ ogica . Petr´opolis, Vozes, 2000. Trata-se de um livro de grande aceita¸c˜a o pelo p´ ublico e que introduz o leitor a no¸c˜oes elementares de l´ogica. No entanto, a l´ogica matem´atica n˜ao ´e tratada formalmente. Discute-se, em linguagem natural, sobre
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
meios de convencimento, argumentos, sofismas, silogismos etc. Esse livro insere a l´ogica de forma mais pr´oxima ao cotidiano, tornando-se bastante interessante para estudantes do ensino fundamental e/ou m´edio. Mesmo profissionais do ensino superior podem apreciar a leitura. [4] Beck, L. W. “Kant’s theory of definition”. In : Philosophical Review , v. 65, 1956, pp. 179–91. An´ alise cr´ıtica das rela¸c˜oes entre defini¸c˜oes e julgamentos cr´ıticos na obra de Kant. Recomend´avel apenas para fil´osofos. [5] Beth, E. W. “On Padoa’s method in the theory of definition”. In : Indag. Math. v. 15, 1953, pp. 330–39. Nesse c´elebre artigo o autor prova rigorosamente que o Princ´ıpio de Padoa se aplica em uma linguagem de primeira ordem. Para compreender o artigo detalhadamente, ´e necess´ario um conhecimento aprofundado de l´ogica. [6] Bourbaki, N. Elements of the history of mathematics . Berlim, SpringerVerlag, 1994. Nicolas Bourbaki ´e um pseudˆonimo de um seleto grupo de matem´aticos que escreveu uma extensa obra de matem´atica em alguns livros com o t´ıtulo coletivo de Os Elementos da Matem´ atica . Cada volume sobre diferentes t´opicos em matem´atica trazia algo a respeito da hist´oria da cria¸c˜ao e do desenvolvimento daquele t´opico. Esse livro re´une esses conte´udos hist´ oricos. Bourbaki exerceu forte influˆencia no Brasil. Apesar de omitir fatos hist´oricos significativos sobre a matem´atica, a obra ´e fascinante para aqueles que querem compreender a gˆenese de algumas das grandes id´eias nesta ´area do conhecimento. O original ´e em francˆes. [7] Bridgman, P. W. The logic of modern physics . Nova York, MacMillan, 1927. Texto cl´assico no qual o autor, renomado f´ısico, introduz a escola operacionista. [8] Browder, F. E. Mathematical developments arising from the Hilbert problems . Providence, AMS, 1976. Importante coletˆanea de artigos que visa uma avalia¸ca˜o dos 23 problemas de Hilbert (ver [25]), bem como algumas propostas de novas quest˜oes. O leitor deve atentar principalmente para o artigo de A. S. Wightman ‘Hilbert’s sixth problem: mathematical treatment of the axioms of physics’, pp. 147–240. [9] Church, A. Introduction to mathematical logic . Princeton, Princeton University Press, 1996.
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Material Sup´erfluo
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Esse livro ´e parte integrante da Princeton Landmarks in Mathematics and Physics e, por isso, tem garantido seu lugar como obra de influˆencia duradoura, escrita por um dos mais importantes cientistas do s´eculo XX . Texto muito did´atico que trata de no¸co˜es b´asicas de l´ogica, como c´alculo proposicional e c´alculo predicativo de primeira e segunda ordem. [10] Copi, I. M. Introdu¸c˜ ao ` a l´ ogica . S˜ ao Paulo, Mestre Jou, 1978. Tradu¸ca˜o de um livro originalmente publicado em 1953, esse texto ´e bastante conhecido e citado. ´ E um raro exemplo de livro de l´ogica que trata da no¸c˜ao de defini¸ca˜o em um de seus cap´ıtulos. Mas o leitor facilmente perceber´ a a maneira muito informal com que o autor trata do assunto. Quest˜oes pertinentes sobre filosofia da ciˆencia tamb´em s˜ao discutidas nesse texto. [11] Crangle, C. “What words mean: some considerations from the theory of definition in logic”. In : Journal of Literary Semantics., v. 21, 1992, pp. 17–26. Tomando como ponto de partida o conceito de defini¸ca˜o em l´ogica, uma esp´ecie de analogia ´e feita em linguagem natural para determinar at´e que ponto o significado das palavras pode ser sistematicamente especificado. [12] Da Costa, N. C. A. Introdu¸c˜ ao aos fundamentos da matem´ atica . S˜ao Paulo, Hucitec, 1992. O autor, o mais importante l´ogico-matem´ atico do Brasil e um dos mais importantes do mundo, faz uma breve apresenta¸ca˜o das trˆes principais escolas filos´oficas da matem´atica (formalismo, intuicionismo e logicismo) e encerra com uma interpreta¸c˜ao ling¨ u´ıstica para a matem´atica. Livro pequeno (menos de 100 p´aginas), mas de grande profundidade. [13] da Costa, N. C. A. O conhecimento cient´ıfico. S˜ ao Paulo, Discurso Editorial, 1999. Esse livro, j´a na segunda edi¸c˜ao, apresenta id´eias originais acerca da no¸c˜ao de quase-verdade em ciˆencia, oferecendo uma vis˜ao ampla e cr´ıtica que se op˜oe principalmente `as id´eias de Karl Popper. V´arios colaboradores de Da Costa escrevem notas no final do livro. Uma p´erola da filosofia da ciˆencia escrita originalmente em portuguˆes. [14] Da Costa, N. C. A. & Chuaqui, R. “On Suppes’ set theoretical predicates”. In : Erkenntnis. v. 29, 1988, pp. 95–112. Nesse artigo os autores fazem uma interessante compara¸c˜ ao entre os predicados conjuntistas de Suppes e a proposta bourbakista de axiomatiza¸c˜ao de teorias como esp´ecies de estruturas. [15] Da Costa, N. C. A. & French, S. Science and partial truth: a unitary approach to models and scientific reasoning . Oxford, Oxford University Press, 2003.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Importante livro que trata da no¸c˜ao de quase-verdade nas ciˆencias emp´ıricas. Leitura obrigat´oria para o fil´osofo da ciˆencia que se ocupa da no¸c˜ao de verdade. [16] Da Costa, N. C. A. & Sant’Anna, A. S. “The mathematical role of time and spacetime in classical physics”. In : Foundations of Physics Letters. v. 14, 2001, pp. 553–63. Utilizando a teoria de defini¸ca˜o ampliativa e, particularmente, do princ´ıpio de Padoa, prova-se que tempo ´e elimin´avel da mecˆanica cl´assica de part´ıculas e que espa¸co-tempo ´e igualmente dispens´avel de teorias cl´assicas de campos, como a relatividade geral de Einstein, o eletromagnetismo cl´ assico de Maxwell, as teorias cl´assicas de gauge e a mecˆanica hamiltoniana. [17] da Costa, N. C. A. & Sant’Anna, A. S. “Time in thermodynamics”. In : Foundations of Physics. v. 32, 2002, pp. 1785–96. Nesse artigo prova-se que tempo ´e elimin´avel da termodinˆ amica, pelo menos em uma formula¸ca˜o devida a Gurtin e Williams [20]. Al´ em disso mostra-se como definir tempo e como reescrever a termodinˆamica sem men¸ca˜o expl´ıcita a tempo. Em compara¸c˜ao com [16], h´a diferen¸cas significativas, tendo em vista que termodinˆamica ´e uma teoria f´ısica que trata de fenˆomenos irrevers´ıveis em rela¸ca˜o ao fluxo de tempo. [18] Feynman, R. P. Est´ a a brincar, Sr. Feynman . Lisboa, Gradiva, 1985. Feynman foi um dos grandes gˆenios da f´ısica do s´eculo xx, ganhador do Nobel em 1965. Essa autobiografia retrata um f´ısico genial com senso de humor u ´nico, esp´ırito de profunda curiosidade e grande ceticismo. O livro original Surely you’re joking Mr. Feynman ´e interessante principalmente por causa das in´ umeras passagens escritas em portuguˆes. [19] Gorsky, D. P. Definition . Moscou, Progress Publishers, 1981. O autor foi chefe da se¸ca˜o de l´ogica do Instituto de Filosofia da Academia de Ciˆencias da ex-Uni˜ao Sovi´etica. Nessa obra ele se prop˜oe a classificar e estudar os diferentes tipos de defini¸c˜oes, do ponto de vista da l´ogica. Leitura por vezes obscura, por citar muitos autores sem um devido detalhamento de id´eias, mas fascinante devido principalmente ao esclarecimento de diversos tipos de defini¸c˜ao. [20] Gurtin, M. E. & Williams, W. O. “An axiomatic foundation for continuum thermodynamics”. In : Archive for Rational Mechanics and Analysis., v. 26, 1967, pp. 83–117. Fascinante artigo que introduz de maneira clara uma axiomatiza¸c˜ao para a termodinˆamica cl´assica. No entanto, uma cr´ıtica usual a essa formula¸c˜ao ´e que ela apresenta muitos conceitos primitivos e muitos axiomas (h´a 17
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Material Sup´erfluo
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axiomas espec´ıficos), o que torna a formula¸c˜ao pouco atraente para os f´ısicos. [21] Hatcher, W. S. Foundations of mathematics . Filad´ elfia, W. B. Saunders, 1968. Excelente introdu¸ca˜o aos fundamentos da matem´atica, com discuss˜ oes sobre teorias de primeira ordem, sistema de Frege, teoria de tipos, teorias de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, Von Neumann-Bernays-G¨odel e outros, e teoria de categorias. De fato um cl´assico. [22] Hegenberg, L. Defini¸c˜ oes: termos te´ oricos e significado. S˜ ao Paulo, Cultrix/Edusp, 1974. Um rar´ıssimo exemplo de literatura espec´ıfica sobre defini¸c˜oes, em l´ıngua portuguesa. No entanto, apesar dos in´ umeros exemplos em matem´atica e da cita¸c˜ao que o autor faz a referˆ encias como [60], a abordagem ´e mais informal do que a que aqui se apresenta. A obra de Hegenberg desperta o interesse do leitor que busca uma classifica¸c˜ao de diferentes tipos de defini¸co˜es, sob um ponto de vista mais filos´ofico do que matem´atico. [23] Hempel, C. G. Filosofia da ciˆencia natural . Rio de Janeiro, Zahar, 1981. Professor da Universidade de Princeton (EUA), o autor procurou escrever um texto de car´ater elementar sobre aspectos metodol´ogicos e filos´oficos das ciˆencias naturais, que inclui biologia, f´ısica e qu´ımica. Referˆencia obrigat´ oria para estudiosos de filosofia da ciˆencia. Tradu¸c˜ao do original em inglˆes. [24] Hertz, H. R. The principles of mechanics . Nova York, Dover, 1956. Esse livro p´ostumo mostra a versatilidade de Hertz, pois o consagrou como um grande fil´osofo da ciˆencia. Disc´ıpulo de Helmholtz, Hertz fazia parte ´ de uma comunidade cient´ıfica concentrada na Alemanha e na Austria, fortemente interessada nos fundamentos da mecˆanica que, na ´epoca, era somente cl´assica. Livro de enorme interesse hist´orico. O original foi publicado em 1894, em alem˜ao. [25] Hilbert, D. “Mathematical problems”. In : Bulletin of the American Mathematical Society. v. 37, 2000, pp. 407–36. Esse artigo ´e hist´orico, pois traz uma lista de 23 problemas que Hilbert julgava serem o legado da matem´ atica do s´eculo XIX para os matem´aticos do s´eculo XX . Algo semelhante foi novamente feito em 2000 (ver [2]). Em geral, a lista em quest˜ao serviu como referˆencia para alguns dos grandes avan¸cos da matem´atica contemporˆanea, ainda que certas descobertas important´ıssimas n˜ao foram previstas pelas profecias de Hilbert, como ´e o caso da teoria de categorias. O sexto problema dessa lista ´e interessante na leitura do presente livro, pois se refere `a axiomatiza¸c˜ao das ciˆencias f´ısicas.
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
Esse ´e um problema que, a rigor, constitui mais um projeto de pesquisa para gera¸co˜es anteriores e atuais do que propriamente uma quest˜ ao que possa ser definitivamente conclu´ıda algum dia. O original foi publicado cem anos antes em alem˜ao. [26] Hilbert, D. & Ackermann, W. Principles of mathematical logic . Providence, Chelsea, 1950. Ainda ´e distribu´ıdo pela American Mathematical Society. Nos quatro u ´ nicos cap´ıtulos os autores discutem de maneira clara e com exemplos o c´ alculo proposicional cl´assico, o de predicados de segunda ordem e o de ordem ˆomega, tamb´ em conhecido como teoria de tipos n˜ao-ramificada. [27] Jammer, M. Concepts of mass in contemporary physics and philosophy . Nova Jersey, Princeton University Press, 2000. Excelente discuss˜ao sobre quest˜oes relativas `a no¸c˜ao de massa em f´ısica cl´assica, abordando teorias relativ´ısticas e n˜ao-relativ´ısticas, bem como cl´assicas e quˆanticas. A famosa rela¸ca˜o E = mc2 , de equivalˆencia entre energia e massa, ´e discutida detalhadamente, incluindo sua dedu¸ca˜o, discuss˜ ao e interpreta¸c˜ao f´ısica. O autor ´e um dos mais respeitados fil´osofos e historiadores da f´ısica. Uma de suas primeiras obras, Concepts of space , tem pref´acio escrito por Albert Einstein. ¨ nich, K. Topology . Nova York, Springer-Verlag, 1984. [28] Ja
Tradu¸ca˜o do original em alem˜ao, trata-se de uma magn´ıfica introdu¸c˜ao ´ um texto bastante adequado para uma disciplina `a topologia geral. E semestral (talvez optativa) do ´ultimo ano de um curso de bacharelado em matem´ atica. [29] Just, W. & Weese, M. Discovering modern set theory. I . Providence, American Mathematical Society, 1995. Excelente livro sobre os fundamentos axiom´aticos da teoria de conjuntos. H´a uma detalhada discuss˜ao sobre o axioma da escolha e o paradoxo de Banach-Tarski. ´ r, L. “On the possibility of definition by recursion”. In : Acta [30] Kalma Scientiarum Mathematicarum. v. 9, 1940, pp. 227–32.
Artigo no qual o autor discute a respeito de defini¸c˜ oes por recurs˜ao. [31] Krause, D. “On a quasi-set theory”. In : Notre Dame Journal of Formal Logic. v. 33, 1992, pp. 402–11. Provavelmente o mais citado artigo do l´ogico brasileiro D´ecio Krause. Trata de uma extens˜ao da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, mas sem o conceito de igualdade entre as no¸c˜oes primitivas.
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Material Sup´erfluo
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[32] Krause, D. “Axioms for collections of indistinguishable ob jects”. In : Logique et Analyse. v. 153–4, 1996, pp. 69–93. Uma interessante continua¸c˜ao, extens˜ao e discuss˜ao de trabalhos anteriores, como [31]. [33] Krause, D. Introdu¸cao ˜ aos fundamentos axiom´ aticos da ciˆencia . S˜ ao Paulo, EPU, 2002. Apesar do t´ıtulo, esse livro n˜ao ´e propriamente uma introdu¸ca˜o, mas uma an´ alise cr´ıtica do uso do m´etodo axiom´atico em matem´atica, f´ısica e mesmo biologia. [34] Krause, D., Sant’Anna, A. S. & Volkov, A. G. “Quasi-set theory for bosons and fermions: quantum distributions”. In : Foundations of Physics Letters. v. 12, 1999, pp. 51–66. Em mecˆanica quˆantica, considera-se a existˆencia de duas ou mais part´ıculas elementares que dividem os mesmos atributos f´ısicos (propriedades intr´ınsecas e propriedades de estado). A teoria de quase-conjuntos [31] ´e uma alternativa para lidar com situa¸c˜oes como as que ocorrem no mundo quˆ antico. Nesse artigo pela primeira vez ´e feita uma aplica¸c˜ao de quaseconjuntos `a f´ısica. [35] Lalande, A. Vocabulaire technique et critique de la philosophie . Paris, Presses Universitaires de France, 1968. Volumoso dicion´ ario de filosofia (cerca de 1300 p´aginas) escrito pelo Presidente Honor´ario da Sociedade Francesa de Filosofia. ˜ es, J. C. M. & Krause, D. “Suppes predicate for genetics [36] Magalha and natural selection”. In : Journal of Theoretical Biology. v. 209, 2000, pp. 141–53.
Alguns autores como John Henry Woodger, entre outros, se atreveram nas u ´ltimas d´ecadas a propor o uso do m´etodo axiom´atico em biologia. Nesse excelente artigo, os autores, um geneticista e um l´ogico-matem´ atico, usam o m´etodo axiom´atico para estudar a teoria sint´ etica da evolu¸c˜ao. Uma lista de referˆencias no final do artigo ´e de grande interesse para estudiosos. Esse artigo ´e fruto de tese de doutoramento de Magalh˜aes sob orienta¸c˜ao de Krause. [37] Manin, Yu. I. A course in mathematical logic . Nova York, SpringerVerlag, 1977. Os livros da Springer est˜ao sempre dispon´ıveis nas grandes livrarias do exterior. Mas esse ´e um livro recomendado para quem j´a tem bastante familiaridade com l´ ogica. Trata de quest˜oes avan¸cadas como demonstrabilidade, computabilidade e at´ e mesmo aplica¸c˜oes de l´ogica em f´ısica de
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˜ O que e´ uma Definic¸ao
maneira nada interessante ao iniciante. Mesmo assim ´e uma referˆ encia fabulosa para estudiosos. [38] McKinsey, J. C. C. “On the independence of undefined ideas”. In : Bulletim of the American Mathematical Society. v. 41, 1935, pp. 291–7. Esse artigo tem sido uma das principais referˆencias ao m´etodo de Padoa. No entanto, para o leitor mais exigente, faltar´a um certo rigor. [39] McKinsey, J. C. C.; Sugar, A. C. & Suppes, P. “Axiomatic foundations of classical particle mechanics”. In : Journal of Rational Mechanics and Analysis. v. 2, 1953, pp. 253–72. Esse artigo ´e um cl´assico muito citado na literatura. Trata de uma formula¸ca˜o axiom´ atica para a mecˆanica cl´assica n˜ao relativ´ıstica de part´ıculas. Do ponto de vista da f´ısica te´ orica n˜ao representa grande avan¸co; mas do ponto de vista filos´ofico representa um exemplo hist´orico do uso do m´etodo axiom´atico em f´ısica. [40] Mendelson, E. Introduction to mathematical logic . Londres, Chapman & Hall, 1997. ´ talvez o melhor livro de introdu¸c˜ao `a l´ E ogica que existe, devido, principalmente, a sua clareza e precis˜ao. Parte do pressuposto que o leitor nada sabe de l´ogica e chega a t´opicos avan¸cados como computabilidade e teoremas de G¨odel. Infelizmente, n˜ao dedica cap´ıtulo algum a` teoria de defini¸ca˜o, limitando-se a uma brev´ıssima discuss˜ao acerca do que o autor chama de defini¸c˜ oes poss´ıveis e defini¸co˜es por indu¸ca˜o transfinita em teoria de conjuntos. No que se refere a conjuntos, discute em detalhes apenas a teoria de Von Neumann-Bernays-G¨odel e n˜ao a de Zermelo-Fraenkel, a qual ´e a mais conhecida e utilizada em matem´atica. [41] Monteiro, L. H. J. Elementos de ´ algebra. Rio de Janeiro, LTC, 1978. Excelente introdu¸ca˜o `a ´algebra. No presente contexto, ´e ´util ao leitor interessado nas no¸c˜oes de grupo e de divis˜ao euclidiana. Trata tamb´em de an´eis e corpos. [42] Oliveira, A. J. F. L´ ogica e aritm´etica. Lisboa, Gradiva, 1996. Excelente introdu¸ca˜o `a l´ ogica matem´atica, principalmente para alunos de gradua¸c˜ao. Trata do c´alculo proposicional, c´alculo de predicados de primeira ordem e aritm´etica de Peano. O texto ´e ainda recheado com algumas discuss˜ oes informais sobre resultados de grande relevˆancia a respeito dos fundamentos da matem´atica, como os teoremas de G¨ odel e de Tarski, entre outros. Do mesmo autor h´a outras obras de interesse como L´ ogica Elementar (AEFCL, 1980), Teoria dos Conjuntos, Intuitiva e Axiom´ atica (Escolar, 1982), entre outros.
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[43] Padoa, A. “Essa “Es saii d’une d’u ne th´eorie eo rie alg´ alg ´ebriq eb rique ue des nombr no mbres es entie ent iers, rs, pr´ec´ ec´ed´ ed´e d’une introduction logique `a une th´eorie eori e d´eductive educ tive quelconq quel conque”. ue”. In : Biblioth`eque eque du Congr`es es International Internat ional de Philosophie Philos ophie . v. 3, 1900, pp. 309–65. Esse ´e o artigo original de Alessandro Al essandro Padoa sobre so bre indepe i ndependˆ ndˆencia encia de conco nceitos primitivos de um dado sistema axiom´atico. atico. Padoa aplicou pela primeira vez seu m´ etodo etodo de definibilidade de conceitos primitivos em geometria. Mas h´a a possibilidade de que outros matem´aticos aticos j´a conhecessem essa t´ecnica ecnica antes de Padoa publicar seu trabalho. Existe uma tradu¸c˜ c˜aaoo parcial para o inglˆ es es (“Logical introduction to any deductive theory”. In theory”. In : From Frege Frege to G¨ odel: a sourc source book book in mathematic mathematical al logic logic 1879–193 1879–1931 1, editado por Jean van Heijenoort. Cambridge, Harvard University Press, 1967, 1977, pp. 118–23.) [44] Pap, Pap, A. “Theory of definition”. In : Philosophy of Science. v. 31, 1964, pp. 49–54 49–54.. Esse artigo ´e bastante bizarro. O autor lecionava cursos de l´ogica ogica e distribuia algumas notas de aula sobre teoria da defini¸c˜ cao a˜o aos seus alunos. Quando Quando Pap Pap falece faleceu, u, John John Wilco Wilcox, x, profes professor sor assist assisten ente te de filosofi filosofiaa da Emory University, preparou as notas de aula para publica¸c˜ cao a˜o na prestigiada revista Philosophy of Science . Como o pr´ oprio oprio autor n˜ao ao havia escrito o texto para fins de publica¸c˜ c˜ao, ao, o artigo ´e bastante incompleto e por vezes confuso. Mas ´e uma clara demonstra¸c˜ cao ˜ao da necessidade, na literatura, por textos sobre teoria da defini¸c˜ cao. a˜o. Uma curiosidade: ´e um raro artigo (o ´unico unico que eu conhe¸co) co) que qu e apresenta ap resenta uma u ma lista li sta de d e exerc exe rc´´ıcios para serem resolvidos resolvidos pelo leitor. leitor. ´ [45] Poincare, l’infini”. In : Scientia. v. Scientia. v. 12, 1912, pp. 1–16. e, H. “La logique de l’infini”. In
Artigo no qual Poincar´e esbo¸ e sbo¸ca ca suas primeiras id´eias eias a respeito de defini¸c˜ c˜oes oes impredicativas e seu uso em matem´atica. atica. ´ [46] Poincare, v alorr da ciˆencia enci a .. Rio de Janeiro, Contraponto, 1995. e, H. O valo
Poincar´e foi um grande matem´atico, atico, um fil´ osofo osofo da ciˆencia encia e um excelente escritor. Em linguagem f´acil a cil e n˜ao-t´ ao-t´ ecnica, ecnica, ele trata de quest˜oes oes como intui¸c˜ cao a˜ o e l´ogica ogica na matem´atica, atica, a natureza do espa¸co c o e do tempo, as ciˆencias enci as f´ısicas ısic as e o valor objeti ob jetivo vo das ciˆencias. enci as. [47] Putnam, H. “Mathematics without foundations”. In : Journal of Philosophy. v. sophy. v. 64, 1967, pp. 5–22. Fascinant ascinantee artigo artigo em que o autor defende a id´ eia eia de que a matem´ matem´atiatica n˜ao ao enfrenta qualquer crise em seus fundamentos, at´ e porque n˜ao ao h´a ´ fundamento algum e nem precisa ter. E uma um a esp´ es p´ecie ecie de resposta respo sta `as as principais escolas de filosofia da matem´atica atica que surgiram principalmente na primeira primeir a metade do s´eculo eculo XX.
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˜ O que e´ uma Defin Definic ic¸ao
[48] Quine, W. O. O sentido da nova l´ ogica . Curitiba, EDUFPR, 1996. Reedi¸c˜ c˜ao a o de um livro que foi lan¸cado cado no Brasil pela primeira vez em 1944, resultado de um curso ministrado pelo autor na Universidade de S˜ ao Paulo em 1942. Uma bela introdu¸c˜ ao c˜ao ao a` l´ogica, ogica, escrita por um dos grandes expoentes expo entes do assunto no s´eculo eculo XX . [49] Runes, D. D. (ed.). (ed.). Dictionary of philosophy. Littlefield, philosophy. Littlefield, Adams & Co., 1971. Fabuloso dicion´ario ario de filosofia escrito por 72 autoridades. Diversos verbetes de l´ogica ogica foram escritos por Alonzo Church, inclusive os relativos a` no¸c˜ c˜ao ao de defini¸ defi ni¸c˜ c˜ao. ao. Excelente referˆencia encia para quem deseja uma vis˜aaoo ampla e “indolor” sobre filosofia. [50] Sant’Ann Sant’Anna, a, A. S. “An axiomatic framework for classical particle mechanics without force”. In : Philosophia Naturalis. v. 33, 1996, pp. 187– 203. Apresenta-se uma formula¸c˜ cao a˜o axiom´ atica atica para a mecˆanica anica sem a no¸c˜ caao ˜o de for¸ fo r¸ca. ca. Ver tamb´ tam b´em em [56] [5 6].. [51] Sant’A ıs ica quˆ qu ˆantica antica e f´ısica cl´assica”. assica”. In : da Costa, Sant’Anna nna , A. S. “F´ısica Costa, con hecimen imento to cient´ cie nt´ıfico. ıfico. S˜ao ao Paulo, Discurso Editorial, 1999, N. C. A. O conhec pp. 270–2 270–2.. Breve nota sobre alguns dos problemas nos fundamentos da f´ısica ısica cl´assica assica e da quˆ antica. antica. [52] Sant’Anna, A. S. O que ´e um axioma . axioma . Barueri, Manole, 2003. Com pref´acio acio de Patrick Patrick Suppes, esse ´e o primeiro livro da s´ erie erie paradid´ atica da qual a presente obra faz parte. S˜ao atica ao abordadas as no¸c˜ coes o˜es de teoria formal, teoria axiom´atica, atica, axioma, postulado, argumento, teorema, demonstra¸c˜ c˜ao, ao, hip´ otese, verdade, falsidade, modelo, metamatem´atica, otese, atica, entre outras. [53] Sant’Anna, A. S. “Matem´atica atic a e senso sens o cr´ıtico”. ıtic o”. In : Scientific American Brasil. n. Brasil. n. 14, julho de 2003, p. 14. Nota sobre a quest˜ao ao do uso do senso cr´ıtico ıtico em aulas de matem´ atica atica do ensino m´edio, edio, com ˆenfase enfase no problema problem a da divis˜ao ao por zero. [54] Sant’Anna, A. S. O que ´e um conjunto . (no prelo). Introduz Introduz com a teoria teoria ingˆ ingˆenua enua de conjunto conjuntos, s, enfatizand enfatizandoo os paradoxo paradoxoss nela encontrado encontrados. s. Na apresenta¸ apresenta¸c˜ cao, a˜o, hist´ hist´ oria e teoria se confundem. A oria seguir, discute-se o sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF) e algumas de suas varia¸c˜ c˜oes, oes, como ZFU e ZFC, mostrando-se de que forma essa teoria evita os paradoxos da teoria ingˆenua. enua. Aplica¸c˜ coes o˜es s˜ao ao apresentadas e discutidas ao final. Por exemplo: como pode a geometria geometria ser fundamenta fundamentada da na
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teoria dos conjuntos se a geometria intuitivamente se refere `a “ciˆ “ci ˆencia en cia das formas”, sendo que conjuntos n˜ao ao tˆem em forma? for ma? Cr´ıticas ıtic as `as as teorias de conjuntos s˜ao ao feitas no final do livro. [55] Sant’Anna, A. S. O que ´e um teorema . teorema . (no prelo). Esse ´e um volume volume futuro futuro da s´ erie erie a qual o presente presente livro pertence. pertence. Pretende-se abordar o uso de diversas regras de inferˆ encia, encia, bem b em como discutir o papel de teoremas, corol´arios, arios, lemas e proposi¸c˜ c˜oes. oes . Fala-s Fala -see tamb´ ta mb´em em sobre a t´ ecnica ecnica de redu¸c˜ cao a˜o ao absurdo absurdo e a cr´ cr´ıtica dos intuicionis intuicionistas tas a respeito respe ito dessa t´ ecnica ecnica t˜ao ao amplament amplamentee usada, usada, evidencian evidenciando do aquilo que Yuri Manin Mani n chama de “n´ “n´ıveis de demonstrabilida demonstr abilidade”. de”. Discute-se Discute- se tamb´em em a t´ ecnica ecnica de demonstra¸ demonstra ¸c˜ c˜ao ao por indu¸c˜ c˜ao ao e alguns exemplos hist´oricos oricos e did´ aticos aticos de demonstra¸c˜ coes o˜es erradas em geometria e em c´alculo alculo diferencial e integral. ´ poss´ [56] Sant’Ann poss´ıvel eliminar o conceito de Sant’Anna, a, A. S. & Garcia, Garcia, C. “E for¸ca ca da mecˆanica anica cl´assica?”. In assica?”. In : Revista Brasileira de Ensino de F´ısica. ısica. v. 20, 1998, pp. 346–53. Nesse artigo ´e apresentada uma axiomatiza¸c˜ cao a˜o para a mecˆanica anica cl´assica assica de part´ part´ıculas, inspirada inspira da nas id´eias eias de Hertz sobre elimina¸ elimin a¸c˜ cao a˜o de for¸ca. ca. H´a muito em comum entre esse artigo e um publicado pelo mesmo autor na revista alem˜a Philosophia Naturalis , Naturalis , em 1996 [50]. As principais diferen¸cas cas est˜ ao ao na defini¸c˜ cao a˜o de subsistema subsistema de um sistema sistema de part´ part´ıculas ıculas e em um teorema teorema que afirma que todo subsistema subsistema ´e ele pr´ oprio oprio um sistema de part´ pa rt´ıcul ıc ulas as.. [57] Sant’Anna, A. S. & Garcia, C. “Gravitation in Hertz’s mechanics”. In : Foundations of Physics Letters. v. 16, 2003, 559–72. Artigo no qual se prova que mesmo em uma mecˆanica sem for¸ca, ca, inspirada nas id´eias eias de Hertz [24], ainda ´e poss´ıvel ıvel deduzir as leis de Kepler (aquelas que regem os movimentos planet´arios). arios). [58] Sant’Anna, A. S. & Santos, A. M. S. “Quasi-set-theoretical foundations of statistic statistical al mechanic mechanics: s: a research research program”. program”. In : Foundations of Physics. v. Physics. v. 30, 2000, pp. 101–20. Na matem´atica atica tradicional, tradicion al, considera-se consider a-se que h´a somente s omente trˆes es maneiras maneira s de de distribuir duas notas de R$ 1,00 (um real) entre duas pessoas, se levarmos em conta apenas o valor das notas, ignorando que elas podem ser disting¨ uidas uidas pelos seus n´ umeros umeros de s´erie. erie. Uma das maneiras ´e dividir dividi r um real para cada pessoa. Outra maneira ´e fazer com que uma das pessoas fique com todo o dinheiro. Tamb´ em em pode-se po de-se fazer com que a outra pessoa fique com todo t odo o dinheiro. di nheiro. Nesse artigo mostra-se mostra- se que qu e ´e poss p oss´´ıvel criar cri ar um novo tipo de an´alise alise combinat´oria oria na qual h´a quatro maneiras de distribuir as duas notas entre duas pessoas. Isso ´e conseguido gra¸cas cas ao uso do m´etodo eto do
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axiom´ atico e encontra aplica¸c˜oes em f´ısica quˆantica. Esse artigo ´e fruto de disserta¸ca˜o de mestrado de Santos, sob orienta¸c˜ao de Sant’Anna. [59] Schmidt, H.-J. “A definition of mass in Newton-Lagrange mechanics”. In : Philosophia Naturalis. v. 30, 1993, pp. 189–207. Fascinante trabalho no qual o autor, professor da Universidade de Osnabr¨ uck, na Alemanha, define massa inercial a partir de acelera¸c˜ oes. Pode parecer, `a primeira vista, algo simples. Mas o artigo ´e bastante sofisticado. Conheci Schmidt em Floren¸ca, It´alia, quando, por coincidˆencia, eu apresentava uma comunica¸c˜ao sobre mecˆanica sem for¸ca no X Congresso Internacional de L´ogica, Metodologia e Filosofia da Ciˆ encia, em agosto de 1995. [60] Suppes, P. Introduction to logic . Princeton, van Nostrand, 1957. ´ um livro excelente, muito did´ E atico. Discute em detalhes a teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel e tem um cap´ıtulo inteiro dedicado `a teoria de defini¸c˜ao de Le´sniewski. [61] Suppes, P. Axiomatic set theory . Nova York, Dover, 1972. Excelente referˆencia, ainda dispon´ıvel no mercado internacional em edi¸c˜oes mais recentes, para quem quer entender as motiva¸c˜oes e os fundamentos da teoria axiom´atica de conjuntos. [62] Suppes, P. “Philosophy and the sciences”. In : Sieg, W. (ed.) Acting and Reflecting . Dordrecht, Kluwer, 1990, pp. 3–30. Nesse artigo, publicado em livro e, por isso, de dif´ıcil acesso, o autor faz extensa discuss˜ ao sobre o papel da filosofia em ciˆ encias na atualidade. Talvez muitos fil´osofos da ciˆencia n˜ao concordem com as id´eias apresentadas. [63] Suppes, P. Representation and invariance of scientific structures . Stanford, CSLI, 2002. Excelente defesa da tese de que m´etodos formais devem ser empregados em filosofia da ciˆencia. Essa obra aborda quest˜ oes como a defini¸ca˜o axiom´ atica de teorias, problemas de representa¸ca˜o, o conceito de invariˆancia, a no¸c˜ao de probabilidades e seu uso nas ciˆencias, entre outras. Esse livro pode se tornar um cl´assico. [64] Suppes, P. ; Sant’Anna, A. S. & de Barros, J. A. “A particle theory of the Casimir effect’. In : Foundations of Physics Letters. v. 9, 1996, pp. 213-23. Nessa obra os autores fornecem uma descri¸c˜ao cl´assica (ou pelo menos semi-cl´ assica) para um fenˆomeno usualmente descrito pela eletrodinˆamica quˆ antica e que se refere `a intera¸c˜ao entre condutores e f´otons virtuais associados ao estado de v´acuo quˆ antico.
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[65] Tarski, A. Logic, semantics, metamathematics . Indian´ apolis, Hacket, 1983. Coletˆanea de artigos consagrados do l´ogico Alfred Tarski, publicados no per´ıodo de 1923 a 1938 e traduzidos por J. H. Woodger. Os artigos foram corrigidos sob a supervis˜ao do pr´oprio Tarski. Curiosidades: Woodger era bi´ ologo; quando jovem, Tarski queria ser bi´ologo. [66] Tarski, A. “On definable sets of real numbers”. In : Tarski, A., Logic, semantics, metamathematics . Indian´ apolis, Hacket, 1983, pp. 110–42. Artigo no qual Tarski trata de problemas ligados `a no¸c˜ao de definibilidade de conjuntos de n´umeros reais, a partir do conceito de satisfabilidade. O artigo original ´e de 1931, mas a maioria das id´eias j´a foi desenvolvida dois anos antes. [67] Tarski, A. “Some methodological investigations on the definability of concepts”. In : Tarski, A., Logic, semantics, metamathematics. Indianapolis, Hacket, 1983, pp. 296–319. Nesse artigo, o famoso l´ogico-matem´ atico polonˆes Alfred Tarski prova que o princ´ıpio de Padoa se aplica a` teoria de tipos, que ´e uma linguagem de ordem superior que estende a linguagem de primeira ordem. [68] Tarski, A. & Givant, S. A formalization of set theory without variables . Providence, AMS, 1988. Texto avan¸cado que mostra como fundamentar a teoria de conjuntos sem ´ uma formula¸c˜ao vari´ aveis, sem quantificadores e sem conectivos l´ogicos. E bem mais simples que a usual e que exemplifica maravilhosamente o aspecto multifacetado da matem´atica. [69] Tobochnik, J. “The importance of undergraduate research”. In : American Journal of Physics. v. 69, 2001, pp. 933–4. Trata-se de um editorial que discute o importante papel da pesquisa na ´ uma modalidade de inicia¸c˜ao cient´ıfica na qual o aluno efegradua¸c˜ao. E tivamente faz pesquisa, em parceria com seu orientador, e a publica em revistas especializadas e/ou apresenta em encontros cient´ıficos nacionais ´ interessante tamb´em consultar as referˆencias citadas. ou internacionais. E A revista American Journal of Physics ´e facilmente encontrada em bibliotecas de boas universidades. [70] Weyl, H. Philosophy of mathematics and natural science . Princeton, Princeton University Press, 1949. Essa obra trata detalhadamente, em suas p´aginas iniciais, a no¸ c˜a o de defini¸c˜ ao por abstra¸c˜ ao. Pode ser ´util ao leitor interessado no tema do presente livro.
