CONSTRUCCIÓN CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA La Tradi Tradici ción ón Eucl Euclid idian iana a quie quiere re que que toda toda const construc rucci ción ón geom geomét étri rica ca sea realizada con regla no graduada y compás. Esto está relacionado con la concepción griega de número real que era enteramente geométrica, de hecho esta concepción ya constituía una clasificación de los números reales; pues habían encontrado números como TE que no podían construirse usando solamente regla y compás. La construcción de números con regla (no graduada) y compás, significa determinar la longitud x de un segmento de recta, a partir de las longitudes longitudes a, b, c, ... dados de otros segmentos segmentos de recta, mediante mediante u n proceso finito del uso de la regla y el compás. Así, Así, un número denominará ará constructible (con (con regl regla a y número real se denomin compás) si representa la longitud de un segmento de recta, obtenido después de un número finito de construcciones geométricas con regla y compás. Estas construcciones evidentemente evidentemente se refieren a trazar rectas, trazar trazar circunfe circunferenc rencias, ias, interce interceptar ptar rectas, rectas, interce interceptar ptar una recta recta y una circu circunf nfere erenci ncia, a, inte interce rcept ptar ar dos circu circunf nfere erenc ncias ias;; que las llama llamarem remos os operaciones de construcción.
Diremos Diremos que un punto punto (P,Q) (P,Q) del Plano Cartes Cartesian iano o XY es constructibl constructible, e, si cada coordenada de dicho punto es un número constructible. EJEMPLO: Si OA = a y AB = b, entonces podemos construir OB
con OB = a + b.
Para construir los segmentos de la longitud ab y ab necesitamos recordar algunas construcciones que pasaremos a describir:
1) Por un punto P exterior a una recta L trazar una recta paralela a L. Con centro en P trazamos una circunferencia que corta en A a la recta L. Con el mismo radio y con centro en A trazamos otra circunferencia que corta a L en el punto B. Con el mismo radio y con c en tr o e n e l p un to B t ra za mo s o tr a c ir cu nf er en ci a q ue c or ta a l a primera en el punto Q. La recta PQ es paralela a L.
2) Por un punto P trazar una perpendicular a una recta L. Con centro en P trazamos una circunferencia que corte . a L en los puntos A y B; luego trazamos arcos de circunferencias del mismo radio c on ce ntro s en A y B; pa ra obten er el pu nto Q. La re cta PQ es perpendicular a L.
3) División de un segmento en partes iguales
P ar a d iv id ir u n s eg me nt o d e r ec ta OA en m partes iguales, trazamos una semi-recta OZ y sobre ella construimos con el compás los segmentos OP1, P1P2, P2P3, …, Pm-1Pm, todos de la misma longitud. Luego trazamos el segmento PmA y por cada P i , 1 ≤ i ≤ m - 1 trazamos paralelas al segmento PmA; los cuales determinarán A1 y A2 … Am-1 en OA que dividirán OA en m partes iguales.
4) Construcción de un segmento cuya longitud es la media geométrica de las longitudes de dos segmentos dados Sean OA = a, AB = b las longitudes de dos segmentos, deseamos construir un segmento cuya longitud sea igual a ab. Trazamos una circunferencia de diámetro OB y luego por el punto A trazamos una perpendicular a OB que corta en H a la circunferencia. Entonces AH = ab
Definición: Denotamos por F el conjunto de todos los números constructibles, F es cerrado con las operaciones de adición, resta, multiplicación y división. Un conjunto como F con esas propiedades, se denomina un campo; es claro que el conjunto R de los números reales y el subconjunto Q ⊂ R de los números racionales son campos. Si tomamos un segmento OA de longitud 1; vemos que todos los números racionales son también constructibles, así que Q ⊂ F Además como 2 es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de longitud 1, entonces tenemos que 2 ∈ F como sabemos que 2 ∉ Q , entonces concluimos que Q ⊑ F (contenido propiamente).
También podemos concluir que todos los puntos (r, s) del plano XY, cuyas coordenadas son números racionales, son puntos constructibles. En efecto, construyamos el punto (r, s), donde r=pq
,
s=ab
en p, q, a, b ∈ Z
Es suficiente con construir los puntos pq, 1 y 1,ab
CONSTRUCCIÓN AXIOMÁTICA
NÚMEROS NATURALES Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos. Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor . Los cinco axiomas de Peano son: 1. El 1 es un número natural. 2.
Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural. 4.
Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5.
Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática. En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como
el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2 , se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0. Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple 1.
Para cada
,
2.
La relación
es un orden total estricto en x
3.
Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada
elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor . Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n
+
. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes
expresiones:
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo: •
Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
•
1 es el sucesor de 0, entonces
•
2
•
y en general
es
el
sucesor
de
1,
pero
1
es
{0},
entonces
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión
es decir que un número a es menor o igual que b si y sólo si b contiene a todos los elementos de a. También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así
si y sólo si
.
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.
NÚMEROS RACIONALES Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), Q = {... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... } Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos •
para la multiplicación. ○
La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
○
El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
○
Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc. (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)
○
Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.
•
En Q se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
•
En Q se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en en
y
. Para ello basta con definirlo como sigue: Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que
si y sólo si
respecto del orden existente en el
conjunto de los enteros. Por tanto Q con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.
NÚMEROS IRRACIONALES Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es 0.1234567891011121314151617181920........ claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional. Veamos otros ejemplos.
2
Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional
En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de 2. Además se muestra una manera de construir el número 2 sobre la recta real con regla y compás y finalmente se da una serie de números racionales que converge hacia 2.
NÚMEROS REALES En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:
.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común mediante las siguientes tres propiedades: Un conjunto
es el conjunto de los números reales si satisface
las siguientes tres condiciones: es un campo.
1.
es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con
2.
las operaciones del campo:
3.
Si
entonces
Si
y
entonces
; .
El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma. En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo
para representarlo.
Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que
es
completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de estos son: •
(Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.
•
(Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
•
Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados tiene intersección no vacía. Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la
sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas. 1.
Si
, entonces
2.
Si
, entonces
3.
Si
(Cerradura en la suma) (Conmutatividad en la suma)
, entonces
(Asociatividad en la
suma) 4.
Existe
5.
Para cada
de manera que
para todo
existe un elemento
(Neutro aditivo)
tal que
(Inverso
aditivo) 6.
Si
, entonces
7.
Si
, entonces
8.
Si
,
(Cerradura en la multiplicación) (Conmutatividad en la multiplicación)
entonces
(Asociatividad
en
la
multiplicación) 9.
Existe
de manera que
para cualquier
multiplicativo) 10. Para
cada
(Inverso multiplicativo)
existe un elemento
tal que
(Neutro
11. Si
, entonces
(Distributividad de la
multiplicación en la suma) 12. Si
, entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía) ○
○ ○
13. Si
,
y
14. Si
y
, entonces
15. Si
,
entonces y
(Transitividad) (Monotonía en la suma)
, entonces
(Monotonía en la
multiplicación) 16. Si
es un conjunto no vacío acotado superiormente en tiene supremo en
, entonces
(Axioma del supremo)
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue ordenados como .
de otros cuerpos
