1.
Vrste grešaka koje se javljaju u različitim fazama rješavanja problema.
Konkretni fizikalni problem, objekti , procesi itd. opisuju se matematičkim sredstvima , pa se dolazi do matematičkog modela. Prilikom formiranja matematičkih modela neminovne su odreĎene aproksimacije, odnosno zanemarivanje činjenica koje nemaju suštinski utjecaj na objekat, pojavu ili proces. Ako se pri fromiranju matematičkog modela korist e i eksperimentalni podaci, u model se takoĎe unosi greška obzirom da eksperimentalni podaci imaju približan karakter. Sve ovo su greške koje nastaju pri formiranju matematičkog modela i nazivamo ih neotklonjivim jer su neizbježne u okviru zadanog modela nezavisno od metoda koje će se koristiti za rješenje problema. U praksi su vrlo rijetki modeli koji se mogu eksplicitno (analitički) riješiti. Zbog toga se koriste numeričke metode koje tačno rješenje problema najčešće daju poslije beskonačno mnogo koraka. Dakle, za rješavanje formiranih matematičkih modela se u praksi koriste numerički metodi koji po svojoj prirodi daju približno rješenje. Razlika izmeĎu tačnog rješenja matematičkog zadatka i približnog rješenja dobijenog numeričkim metodom nazivamo greškom metoda. Često se pri korištenju numeričkog numeričkog metoda zadni numerički zadatak (model) zamjenjuje nekim jednostavnijim. (Ako polazni numerički zadatak predstavlja s istem diferencijalnih jednačina onda se pri numeričkom rješavanju takav zadatak najčešće zamjenjuje konačnim, najčešće velikim, sistemom linearnih jednačina. Kaže se da se vrši diskretizacija polaznog matematičkog zadatka – diskretizacija vremenske promjenjive, diskretizacija prostorne promjenjive. Često se niti diskretni zadatak ne može riješiti direktno, već se i za njegovo rješavanje mora koristiti neki numerički metod – ako – ako je dobijeni sistem linearnih jednačina vrlo veliki mora se riješiti približno nekim numeričkim metodom. Upotreba računara u svim ovakvim situacijama praktično je nezibježna.) Pri unosu raznih vrijednosti često se vrši njihovo zaokruživanje, a i u procesu računanja dolazi do zaokruživanja meĎurezultata pa će se, z bog nagomilavanja grešaka zaokruživanja, rješenje dobijeno pomoću računara razlikovati od tačnog rješenja diskretnog zadatka. Čak i ako su ulazni podaci tačni, rezultati su u pravilu približni zbog grešaka zaokruživanja, te se kaže da računar, zbog ograničenog formata brojeva, obavlja pseudoaritmeti čke operacije, za koje ne vrijede klasična pravila aritmetike. Na taj način nastaju inherentne ili neodstranjive greške. 2.
Navesti primjer nastajanja velike greške usljed oduzimanja približnih brojeva
Ovdje je
||| √ √
. Slično sabiranju, relativna greška iznosi
Kao što se vidi, kritičan slučaj nastupa kada su x i y bliski brojevi. Tada su težinski koeficjenti veliki, te relativna greška može biti znatno veća od relativnih grešaka brojeva x i y. Očigledno je da će ova greška biti mala ako ulazni podaci imaju male relativne greške. Pri mjer 1. 1. Za oduzimanje bliskih brojev a srećemo se, na primjer, kada rješavamo kvadratnu jednačinu i to u slučaju kada je . Neka je . Korijeni su
|||
Kako je ovim pravilom
, kod izračunavanja
moramo oduzimati bliske brojeve. Zbog toga koristeći se V iete-
ili racionalisanjem brojilaca, nalazimo
gdje je izbjegnuto oduzimanje bliskih brojeva.
Slična situacija situacija nastaje kada kada bismo pomoću pomoću tablica za ch
i sh to se nikada ne radi, ovde se daje samo kao ilustracija). Kako je ch x imamo oduzimanje bliskih brojeva. Mnogo je bolje primjeniti formulu
Pri mjer 2. 2.
izračunavali
(naravno, sh , za velike vrijednosti
1
() | | () () () () () ( ()) ( )
gdje se kao u prethodnom primjeru izbjegava oduzimanje bliskih brojeva. Na primjer, za imamo , . Oduzimanjem ovih brojeva dobijamo , a to je približna vrijednost za . Kao što se vidi, ova vrijednost ima samo jednu značajnu cifru, dok smo
polazne brojeve uzeli sa 10 značajnih cifara. Dakle, zbog oduzimanja bliskih brojeva relativna greška se znatno povećala. Po formuli (*) nalazimo
Tačna vrijednost data sa 10 tačnih značajnih cifara iznosi , odakle izlazi da je greška . Za x=20 kod oduzimanja se gube sve značajne cif re , a po formuli (*) ostaje 10 značajnih cifara, tj. dobijamo Primjer 3.
Izračunajmo razliku tg
. sin
za
. Kako je tg
. Dakle gube se tri značajne cifre. MeĎutim po formuli
, dobijamo razliku
za
i sin
,
nalazimo
a
to
je
rezultat
sa
10
značajnih
cifara.
3. Pod kojim uslovima metod tangente konvergira (dokazati).
Za metod iteracije: Kod metoda tangent imamo:
; konvergira za
svi izvodi po x moraju biti manji od 1.
Uslov konvergencije po formuli za metod iteracije da bi metod tangente konvergirao je:
Ovaj uslov konvergencije se najčešće primjenjuje kad su u pitanju sistemi nelinearnih jedančina. U skalarnom slučaju ako prvi i drugi izvod mijenjaju znak, a funkcija je difer. neprekidna (???) u okolini tačke u kome se nalazi početno rješenje metod konvergira ka tačnom rješenju jednačine uz izbor početnog rješenja:
Sa aspekta drugog izvoda mogu nastupiti četiri kombinacije. a)
i
i neka je
To znači: ako je Prva
tačka:
Niz koji dobijamo:
2
Za njega želimo pokazati da je monotono opadajući (tj. da konvergira) i da je ograničen odozdo. Pošto je drugi izvod pozitivan
( ) ()()( ()) () ( )
i da je zbir preostalog dijela manji od nula
Ponavljamo postupak za
kao da je
prethodnog, a nikad neće postati manje od tj. rješenje jednako
svaki naredni član iza je manji od . Granična tačka odozdo je , ali to još uvijek ne znači da je .
Pretpostavimo da je grančina vrijednost ovog niza .
Kad se doĎe do granične vrijednosti ovo mora biti zadovoljeno:
Pošto za vrijedi gornja jednakost, to znači da je
jer i za
.
4. Kako se dolazi do donje granice modula korijena polinoma? Pojma nemam, ali evo nesto: -granice korijena polinoma- granice u kojem se nalaze rješenja
jβ
R r
α
{|| || ||} | | || | |
Svi korijeni se nalaze izmeĎu R i r. Teorema: Ako je za polinom
krugu
tada su svi korijeni polinoma
u
poluprečnika
Imamo koeficjente koji odreĎuju korijen. Neka je bilo koji korijen polinoma, tada je
3
|| ||||| ||| |||||| || | || || | | || || || | | | |||| | | || || | | || | || |||| || || | | ||| || ||| || |||| | | || || || ||| | || || Čim je stepen polinoma moramo numerički rješavati. Pošto je korijen polinoma Ako umjesto apsolutne vrijednosti zbira napišemo zbir apsolutnih vrijednosti
Ako sad sa desne strane.
zamijenimo sa maksimalnom vrijednošću A tad ćemo još uvećati vrijednost izraza
Interesuju nas korijeni u krugu poluprečnika . Svi korijeni - zanima nas sljedeći kor ijen sa modulom većim od 1
su sigurno u ovom krugu.
to znači da je član
.
Opet kad ga izostavimo povećamo desnu stranu (kad izostavimo negativni član)
||
4
5. Pokazati koji su od operatora E, I i
komutativni
Operator pomjeranja E
Ovaj operator, dakle, pomjera argument funkcije zakorak h, a diskretnu vrijednost sljedeću vrijednost .
preslikava u
( ) ( )
Jedinični operator I
Ovaj operator se uvodi formalno i igra važnu ulogu. Operator zadnje razlike
(“nabla”)
Ovim operatorom funkcija se preslikava na priraštaj računat unazad.
Označimo sa
i dva proizvoljna operatora. definiše se jednakošću Zbir ili razlika operatora i Na osnovu ove definicije zaključujemo da je sabiranje operatora komutativno. Iz sveske: komutativnost
Sad valjda treba pokazat jel npr
I šta sad??? 6.
Kad je moguće i kad je pogodno primjeniti I, a kad II Newtonov interpolacioni polinom i zašto?
Jedan od oblika polinoma n-tog reda koji prolazi kroz
tačaka je:
gdje je parametar s, tzv. interpolaciona promjenjiva, data izrazom:
čime je
, gdje je
korak, tj.
, a razlike
su date izrazima:
Ove razlike se mogu dobiti i pomoću tzv. tabele podijeljenih razlika. Jedna takva tabela za četiri vrijednosti funkcije data je na slici, pri čemu vrijednost svakog člana tabele predstavlja razliku dvije vrijednosti sa lijeve strane kao št o je to dato i gornjim izrazima. 5
Polinom predstavljen jednačinom (*) naziva se prvi Newtonov interpolacioni polinom, ili Newtonov interpolacioni polinom za diferenciranje unaprijed. Ovaj polinom ima osobinu da prolazi kroz svih
zadatih tačaka. Imajući u vidu teorem o jedinstvensti rješenja, on predstavlja željeni jedinstveni aproksimacioni polinom.
Najveća prednost ovog polinoma je što, osim jednostavnosti, povećani red polinoma, a time i njegovu tačnost, dobijamo dodavanjem dodatnog člana na prethodni polinom manjeg reda, tako da ni je potrebno dodatno računanje koeficijenata. Time se rad koji je učinjen prethodno, sa manjim brojem podataka,ne mora ponavljati. Prvi Newtonov interpolacioni polinom koristi se za početnu grupu podataka, ili grupu podataka koja se
nalazi u sredini čitave grupe. U slučaju kada je neophodno primijeniti ovu metodu na posljednju grupu podataka, neophodne razlike unaprijed ne postoje, pa se koristi tzv. drugi Newtonov interpolacioni polinom, ili Newtonov interpolacioni polinom za diferenciranje unazad koji je dat izrazom:
pri čemu je:
a ostale oznake su kao u prethodnom slučaju.
7. Izvesti Simpsonovu formulu i pokazati koli ka je njena greška
Iz knjige(Uvod u numeričku analizu, Dobrilo Đ. Tošić ): tačaka Neka je funkcija tabelirana u
za koje dobijamo . . Kod LagrangeOve tačke su ekvidistantne, tj. , pri čemu je ovog interpolacionog polinoma uveli smo pomoćnu funkciju (polinom) formulom:
Smjenom
gdje je
pomoćna funkci ja se svodi na
tzv. faktorijelni polinom, definisan pomoću
Na osnovu ovoga Lagrange-ova interpolaciona formula postaje
6
⁄ ⁄
Ako ovaj polinom uvrstimo u jednakost
dobijamo:
Kako je
, imamo:
Korak je odreĎen segmentom integracije i brojem interpolacionih članova, tj. osnovu toga nalazimo:
gdje je
. Na
Newton-Cotesov koeficjent. Primjenom ovih koeficjenata kvadraturna formula
se svodi na:
Kako je
greška
, gdje je
numeričke integracije iznosi:
Za dobijamo Simpsonovo pravilo za koje je imamo formulu:
. Za ove koeficjente
7
Iz skripte:
Kao što je poznato, odreĎivanje aproksimacionih funkcija zahtijeva jako mnogo kompjuterskih resursa kada je neophodno odrediti veliki broj koeficijenata po linoma. Kada se, pak, radi o funkciji ili nizu podataka sa jednakim razmacima h (ekvidistantne tačke) onda je moguće koristiti neke druge, mnogo efikasnije metode, kao što su Newton-Cotesove formule. Do ovih formula se može doći na različite
načine. Jedan od načina je korištenjem Newtonovog aproksimacionog polinoma za diferenciranje unaprijed:
gdje je
čime je
korak,
interpolaciona promjenjiva data izrazom:
i
, a ostali parametri su:
Greška je data izrazom:
Smjenom se sada dobija:
Simpsonovo pravilo se dobije kada se tri ekvidistantne tačke aproksimiraju polinomom drugog reda, tj. kada se u prethodnoj jednačini uvrsti n = 2. Dakle, za pojedinačni interval koji se sastoji od tri tačke imamo:
Nakon izvršavanja integracije, te zamjene za vrijednosti
i
, za pojedinačni interval se dobija:
pa je opšti izraz za Simpsonovo pravilo:
Greška za Simpsonovo pravilo za pojedinačni interval je:
Ovo, meĎutim, ne znači da je greška jednaka nuli, nego da je kubni član jednak nuli, pa se stvarna greška za pojedinačni interval dobija preko sljedećeg, četvrtog, člana reda:
8
a za opšti interval
Dakle, opšta greška Simpsonovog pravila je četvrtog reda, pa se ova metoda i najčešće koristi u praksi. 8.
Greška Hermiteovog interpolacionog polinoma (komentarisati uticajne faktore)
( ) ( ) ( ) ( ) ⏟ ( ) { } { } ( )
(iz rukom pisane skripte): tabelirano u tačkama Neka je i redom vrijednosti funkcije polinom stepena : i Ako su
onda
i neka je diferencijabilna
puta. Neka su
i njenog izvoda u svim tačkama. Formiraćemo
možemo zapisati kao :
Neka su funkcije
i
date sa:
i ako ih uvrstimo u prethodnu jednačinu dobijamo:
Ova jednačina predstavlj a Hermiteov interpolacioni polinom, a
je pomoćna funkcija data sa:
Greška Hermitovog interpolacionog polinoma:
Da bismo odredili grešku aproksimacije formirajmo pomoćnu funkciju:
tačka u kojoj ocjenjujemo grešku
Za svaku čvornu tačku možemo zaključiti da je korijen, tj. svaka čvorna tačka je dvostruki korijen. korijena Prema Rolle-ovoj teoremi postoji
Ako desnu stranu jednačine diferenciramo
za koje važi jednakost puta i uvedemo
pri čemu je
dobijamo:
odakle dobijamo da je greška Hermitovog interpolacionog polinoma
Ako je
onda je greška
9
Greška Hermitovog interpolacionog polinoma: (iz skripte, Numerička analiza , predavanja i vježbe): Teorem: Greška kod interpolacije Hermiteovim polinomom funkcije čvorova u je oblika
{ }{ } ∏ { } gdje su
i iz teoreme: Teorem: Pretpostavimo da funkcija ima -u derivaciju na segmentu su , meĎusobno različiti čvorovi interpolacije, tj. interpolacijski polinom za funkciju u tim čvorovima. Za bilo koju tačku otvorenog intervala
za neki za
. Neka i neka je postoji tačka iz
takva da za grešku interpolacijskog polinoma vrijedi pri
čemu
Dokaz: (za grešku
je
Hermitovog interpolacionog polinoma)
Iz uvjeta interpolacije znamo da je
i
za
, pa
očekujemo da je za
neku
konstantu
C.
Definiramo
li
ima nultačke multipliciteta 2 u vidimo da , tj. za . Iazberemo li za neki različit od postojećih čvorova, možemo odrediti konstantu C tako da vrijedi . Kako sada ima (barem) nule, ima nulu u nekim , pa ukupno ima (barem) nula. No onda tačkama izmeĎu njih. Ona takoder ima nule u ima bar nula, nula itd., na osnovu Rolleovog teorema. Na kraju, ima barem jednu nulu u promatranom intervalu, označimo ju s . Deriviranjem izraza za dobijemo: odakle izračunamo C. Uvrstimo li taj rezultat u izraz za grešku, dobijemo proizvoljan, različit samo od čvorova . Na kraju primijetimo da je gornji rezultat tačan i za
Ali kako je
, možemo ga zamijeniti s proizvoljnim , jer su obje strane nula, pa dokaz
slijedi.
10
9. Objasniti srednjekvadratnu aproksimaciju
(iz knjige Numerička analiza, predavanja i vježbe) Kriteriji aproksimacije
Aproksimacijske funkcije biraju se tako da “najbolje” zadovolje uvjete koji se postavljaju na njih. Najčešći su zahtjevi da graf aproksimacijske funkcije prolazi odredenim tačkama tj. da interpolira funkciju u tim tačkama ili da je odstupanje aproksimacijske od polazne funkcije u nekom smislu minimalno, tj. tada se minimizira pogreška.
Interpolacija Interpolacija je zahtjev da se vrijednosti funkcija i podudaraju na nekom konačnom skupu argumenata (ili kraće tačaka). Te tačke obično nazivamo čvorovima interpolacije. Ovom zahtjevu se
može, ali i ne mora dodati zahtjev da se u čvorovima, osim funkcijskih vrijednosti, poklapaju i vrijednosti nekih derivacija.
Drugim riječima, u najjednostavnijem obliku interpolacije, kad tražimo samo podudaranje funkcijskih vrijednosti, od podataka o funkciji koristi se samo informacija o njenoj vrijednosti na skupu od , gdje je , za . tačaka, tj. podaci oblika (kojih mora biti tačno onoliko koliko i podataka!) odeĎuju se iz uvjeta Parametri
što je, općenito, nelinearni sistem jednačina. Ako je aproksimacijska funkcija linearna, onda za dobivamo sistem linearnih jednačina koji ima tačno jednačina i parametre nepoznatih. Matrica tog sistema je kvadratna, što bitno olakšava analizu egzistencije i jedinstvenosti rješenja za parametre interpolacije. Minimizaci ja pogreške
Minimizacija pogreške je drugi kriterij odredivanja parametara aproksimacije. Funkcija se minimizira neka odabrana norma pogreške u nekom odabranom vektorskom prostoru funkcija definiranih na nekoj domeni
bira se tako da
. Ove aproksimacije,
često zvane i najbolje aproksimacije po normi, dijele se na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome minimizira li se norma pogreš ke na diskretnom ili kontinuiranom skupu podataka . Standardno se kao -norma. Za -normu pripadna se aproksimacija zove norme pogreške koriste -norma i srednjekvadratna, a metoda za njeno nalaženje zove se metoda najmanjih kvadrata. Što će reći da je odgovor na pitanje objasnit metod najmanjih kvadrata :D
(iz knjige: numerička matematika)
Problemi najmanjih kvadrata Problem najbolje -aproksimacije funkcije koja je zadana na konačnom skupu tačaka obično se u
literaturi naziva problem najmanjih kvadrata. Najprije ćemo na nekoliko tipičnih primjera pokazati neke probleme iz primjena, koji se rješava ju metodom najmanjih kvadrata. rezultati mjerenja neke veličine . Treba odrediti Primjer: Pretpostavimo da su veličine tako da sve izmjerene vrijednosti budu ”što bliže” aproksimaciji aproksimaciju
.
11
Pri tome pojam ”što bliže” shvaćamo u smislu zahtjeva da suma kvadrata odstupanja svih mjerenja od aproksimacije bude minimalna, tj. da bude
Ovaj princip nazivamo princip najmanjih kvadrata ili češće metoda najmanjih kvadrata, a problem na osnovi principa najmanjih kvadrata, nazivamo problem najmanjih odreĎivanja aproksimacije kvadrata. Problem najmanjih kvadrata je specijalni problem ekstr ema bez ograničenja. Lako se vidi da je rješenje problema ( ) aritmetička sredina podataka
Dakle, aritmetička sredina mjerenja odstupanja te veličine od mjerenja
(iz skripte Numeričke metode)
je takva veličina koja ima svojstvo da je suma kvadrata
najmanja.
Metoda najmanjih kvadrata Metoda najmanjih kvadrata zasniva se na minimiziranju zbira kvadrata razlika minimiziranju funkcije , koja je zavisna od parametara aproksimacione funkcije:
, tj. na
može biti linearna ili nelinearna (pri tome se naziv linearan odnosi na linearnost po parametrima, a ne nezavisnim veličinama). Primjer linearne funkcije je polinom Pri tome, aproksimaciona funkcija
-tog reda, dok su logaritamska ili eksponencijalna funkcija primjeri nelinearnih aproksimacionih funkcija.
10. Kad
je korisno sistem linearnih jedančina rješavati metodama LU dekompozicije i zašto?
(iz skripte Numeričke metode) Metode faktorizacije
Metode faktorizacije zasnivaju se na činjenici da se matrice (kao i skalarne veličine), mogu faktorizirati (razložiti) u proizvod neke dvije matrice na beskonačno mnogo načina. Kada su takve dvije matrice donja trougaona, (od engleske riječi lower), i g ornja trougaona, (od engleske riječi upper), tj.
dobija se tzv.
faktorizacija, koja je jedinstvena.
Metoda faktorizacije kod koje su elementi po dijagonali donje trougaone matrice jednaki jedinici naziva se i Doolittleova metoda, a ona kod koje su elementi dijagonale gornje trougaone matrice jednaki jedinici metoda Crouta. Kod metode Doolittlea, matrica se dobija procesom Gaussove eliminacije (predstavlja prvi dio proširene matrice prije primjene procesa zamjene unazad), dok matrica predstavlja zapis
množitelja u procesu eliminacije (brojevi u zagradama sa strane jednačina, koji množe jednačinu sa glavnim elementom u procesu eliminacije). Može se pokazati da kada se odrede matrice i , rješavanje se sastoji iz dva koraka:
• prvo se vektor transformiše u vektor koristeći izraz (zamjena unaprijed):
12
• a zatim se vektor rješenja dobiva sa (zamjena unazad):
Osnovna prednost metoda faktorizacije je u tome što je broj operacija množenja i dijeljenja, kada su poznate matrice i , jednak , što je mnogo manje nego što to zahtijeva metoda Gaussove eliminacije. To naročito dolazi do izražaja kada se treba izračunati sistem jednačina za veliki broj različitih vrijednosti vektora . Na sličan način se može izvesti i algoritam za Croutovu metodu. (iz knjige Numerička matematika)
U nekim praktičnim situacijama (primjerice – analiza modela nacionalne privrede) treba više puta rješavati sistem , gdje je matrica sistema (“matrica tehnologije”) uvijek ista, a vektor slobodnih koeficijenata (“outputi”) se mijenja. TakoĎer se može dogoditi da treba riješiti sisteme i , gdje je matrice sistema Sistem
neka funkcija od .
. U takvim situacijama korisno je poznavati tada
-dekompoziciju
glasi
Ako
onda
(1)
označimo
postaje
sistem:
koji se lako rješava jer je matrica sistema donja trokutasta matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali (Algoritam FS). Rješenje sistema (3) uvrstimo u (2), koji se sada lako rješava jer je matrica sistema gornja trokutasta matrica čiji dijagonalni elementi nisu nule (Algoritam BS). Rješenje sistema (2) je i rješenje polaznog sistema. Poznavajući -dekompoziciju matrice , lako možemo izračunati determinantu matrice
11. Šta je potreban uslov konvergencije Gauss-Seidelovog metoda (pokazati).
⃗⃗⃗ [ ] ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Gauss-Seidelov metod smo primjenili na rješavanje sistema
pri čemu smo formairali iterativni postupak
Posmatrajmo sada opšti slučaj sistema od n linearnih jednačina, koji je dat u obliku Napišimo matricu B pomoću zbira dvije matrice
.
gdje je L strogo donja trougaona matrica i U gornja trougaona matrica. Jednostavno se dokazuje da se Gauss-Seidelov iterativni postupak može prikazati jednakošću
Uslovi konvergencije niza koji je formiran pomoću (1) mogu se izvesti iz uslova za Jacobiev iterativni proces. Iz jednakosti (1) izlazi
13
tj. Matirca
⃗ ⃗ ⃗ ( )
je ustvari iterativna matrica koja odgovara Jacobievom iterativnom procesu. Niz
dobijen pomoću (2) konvergira ako su moduli korijena karakteristične jednačine iterativne matrice manji karakteristična jednačina glasi od jedinice. Za iterativnu matricu I kako je
, imamo
Pri čemu smo primjenili osobinu da je determinant a proizvoda matrica jednaka proizvodu determinanata matrica. Iz jednačine (3) izlazi , tj.
Dakle, uslov konvergencije Gauss-Seidelovog metoda je u tome da korijeni je dnačine (4) leže u jediničnom k rugu. Kod jednačine (4) su elementi strogo donje torugaone matrice pomnoženi sa . Napomena 1 . Uslovi konvegrencije Jacobievog i Gauss- Seidelovog metoda su različiti, što znači da ako jedan postupak konvergira, drugi može da divergira.
+ * || || To se najbolje vidi iz sljedećeg primjera: Za sistem linearnih jednačina
,
, gdje su
iterativna matica je
karakteristične jednačine
Korijeni
i
realni brojevi,
leže u jediničnom krugu ako je
, a to je uslov konvergencije Jacobijevog iterativnog metoda. Za Gauss-Seidelov metod
formiramo jednačinu
. Ova jednačina ima korijene čiji su moduli manji od 1 ako su ispunjeni
tj. uslovi
i
. Rezultati su prikazani na slici:
q
B
C
0
1
p
A
Ako se tačka nalazi u jediničnom krugu, Jacobijev postupak konvergira. Gauss -Seidelov postupak konvergira ako se tačka nalazi u trouglu ABC. Kao što se vidi, postoje zaista oblasti u kojima samo jedan metod konvergira. Napomena 2 .
IzmeĎu normi matrice Geršgorinovom teoremom.
i njenih spostvenih vrijednosti postoji veza koja je data
Teorema: Sve spostvene vrijednosti kompleksne matrice
leže u uniji krugova
14
| | | | ⃗ ∑ ⃗ ⃗
ili
. Sistem Napomena 3
linearnih jednačina naziva se normalnim ako je i ako je matrica A pozitivno definitna, tj. ako je pozitvno odreĎena kvadratna forma. Za konvergenciju Gauss-Seidelovog iterativnog postu pka važi sljedeća teorema: : Gauss-Seidelov postupak za sistem , konvergira ako , koji je riješene redom po Teorema nije normalan, on se može transformisati na normalni sistem je ovaj sistem normalan. Ako sistem ako se pomnoži sa , s obizrom da je simetrična i pozitivno definitna matrica. 12. Dati primjer izvođenja dvostruke integracije koristeći proizvoljne formule
Nešto najbliže odgovoru što sam našla: (iz skripte)
Metode numeričke integracije pokazane u prethodnim poglavljima na primjerima izračunavanja jednostrukih integrala, mogu se koristiti i za izračunavanje višestrukih integrala. Posmatrajmo, na primjer, dvostruki integral:
∫
Prethodna jednakost se može predstaviti u obliku:
gdje je
Dakle, dvostruki integral se izračunava u dva koraka: u izabranim vrijednostima za pomoću bilo koje od prethodno opisanih 1. Izračunavanje funkcije metoda 2. Izračunavanje integrala (iz sveske)
pomoću bilo koje formule za numeričku integraciju.
(dešifrirajte sliku) 15
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Po x-osi trapezno pravilo, po y-osi simpsonovo
Izdjelimo na mrežu
i
⁄
i svaku vrijednost uzimamo sa (neka riječ)
13. Koji je potreban uslov konvergencije Jacobijevog metoda (dokazati).
Sistem linearnih jednačina
⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Možemo prikazati pomoću ekvivalentnog sistema
Ako sistem (1) izrazimo u matričnom obliku
Pomoću njega možemo obrazovati iterativnu formula Matricu
nazivamo iterativnom matricom.
Potrebni i dovoljni uslovi konvergencije Posmatrajmo ponovo iterativni postupak
Pretpostavimo da su poznate vrijednosti iterativne matrice
jednačine
, tj. korijeni
karakteristične
16
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ || || ⃗ ⃗ | | ⃗ {|| } iterativne matrice
i odgovarajući sopstveni vektor i
koji su definisani pomoću
Izrazimo vektor početne greške
Ako od jednakosti (2) oduzmemo jednakost
, dobijamo
tj.
gdje je vektor greške u -tom iterativnom koraku. Ak o jedankost (4) pomnožimo sa , s obzirom na (3) i (5), dobijamo
Uzastopnim množenjem ove jednakosti sa , dolazimo do
. Ovim smo dokazali sljedeću teoremu: , tada kada nalaze u jediničnom krugu Teorem: Ako se spostvene vrijednosti iterativne matrice , tada iterativni proces (2) konvergira. kada Važi i obrnuto: Ako iterativni proces (2) konvergira za svako , tada vektor greške . Ako , iz jednakosti (6) izlazi da mora biti ispunjen uslov . Skup sopstvenih vrijednosti kvadratne matrice naziva se spektrom matrice. Spektralni radijus matice definisan je sa Ako je
Na osnovu toga gornju teoremu možemo i ovako formulisati:
Teorem: Iterativni proces (2) konvergira ako je i samo ako spektralni radijus iterativne matrice manji od
jedinice, tj
.
17
14. Pokazati čemu polinoma
su jednake funkcije
i
kod Hermiteovog interpolacionog
Evo nešto najbliže odgovoru što sam našla, samo treba dešifrovat
18
