´ Geometr´ıa. ıa. Depart Departamento amento de Algebra. http://alojamientos.us.es/da
Geometr´ıa Geometr´ ıa
Notas de Teor´ Teor´ıa ıa Juan Gonz´ Gonzalez–Meneses a´ lez–Meneses y Jos´ Jose´ M. Tornero ´ Departamento de Algebra, Universidad de Sevilla Curso 2007/08
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El contenido de estas notas ha sido dise nado n˜ ado y redactado por el profesorado de la asignatu asig natura. ra. Se permite permite su reproducci´ reproducci´on, o n, unica u´ nica y exclusivamente para estudio personal. No se permite la copia indiscriminada, ni con fines lucrativos o diferentes del citado, de c 2006. la totalidad o de parte de las presentes notas.
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´ Indice 1
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Introd Intr oduc ucci ci´on o´ n a la geometr´ geometr ´ıa del plano 1.1 1. 1 In Intr trod oduc ucci´ ci´on on hist histo´ ri ricca: los axiomas de Euclides. . ´ 1.2 Triangulos. a´ ngulos. Area del tri´ tria´ ngulo. . . . . . . . . . . 1.3 Los teo teorem remas as de Pit Pit´a´ goras y Thales. . . . . . . . 1.4 El seno y el coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 El teorema del coseno. . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Ele Elemen mentos tos no notab tables les del tri tri´a´ ngulo (I). . . . . . . . 1.7 Ele Elemen mentos tos no notab tables les del tri tri´a´ ngulo (II). . . . . . .
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El es espa paci cio o eu eucl cl´´ıdeo 4.1 El espacio eucl´ıdeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 4. 2 Ver ersi si´on o´ n sint´ sintetica e´ tica del espacio eucl´ eucl ´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Dista Distancia nciass (I): Perp Perpendi endicula cularr com com´u´ n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Espaci Espa cio o af ´ın y proyectivo 2.1 2. 1 Es Espa paci cio o af ´ın. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espacio proyectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Variedades lineales (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Variedades lineales (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Variedades lineales (III). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Operaciones con variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 2. 7 Di Dime mens nsiion. o´ n. Teoremas de dimensi o´ n. . . . . . . . . . . . . . 2.8 Sistemas de referencia (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Sistemas de referencia (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 El espacio proyectivo dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2. 11 El pr prin inci cipi pio o de du dual alid idad ad:: Teo Teore rema mass de Pa Papp ppus us y De Desa sarg rgue ues. s. . Homogr Homo graf af ´ıas y afinidades 3.1 Aplicaciones proyectivas (I). . . . . . . . . 3.2 Aplic Aplicacio aciones nes proy proyecti ectiva vass (II): (II): Homo Homograf graf ´ıas. 3.3 Pun Puntos tos fijo fijoss de hom homogr ograf af ´ıas. . . . . . . . . 3.4 Hiper Hiperplan planos os fijos de homo homograf graf ´ıas. . . . . . 3.5 Proy Proyecc eccione iones, s, secc seccione iones, s, homo homolog log´´ıas. . . . 3.6 3. 6 Ho Homo molo log g´ıas planas. . . . . . . . . . . . . . 3.7 Afinidades (I). . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Afinidades (II): Dilataciones. . . . . . . . .
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4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12
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Distancias (II): Hiperplano mediador. . . Movimientos. . . . . . . . . . . . . . . . El teorema de Cartan–Dieudonn´e. . . . . Movimientos y algunos conjuntos afines. . Movimientos del plano. . . . . . . . . . . Movimientos del espacio (I). . . . . . . . Movimientos del espacio (II). . . . . . . . Semejanzas. . . . . . . . . . . . . . . . . Semejanzas en el plano y en el espacio. .
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. 64 . 67 . 69 . 70 . 73 . 76 . 78 . 82 . 84
La geometr´ıa del tri a´ ngulo 5.1 Elementos notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 La circunferencia de los nueve puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Tema 1 Introducci´on a la geometr´ıa del plano 1.1
Introducci´on hist´orica: los axiomas de Euclides.
La Geometr´ıa, que significa literalmente “medida de la tierra”, es una ciencia que naci o´ precisamente como eso: una t e´ cnica para la medici o´ n de terrenos. Es famoso el caso de los Egipcios, que deb´ıan medir con exactitud las fincas inundadas por la crecida del Nilo. Pero fue en la antigua Grecia donde se desarroll o´ como disciplina, alcanzando su momento cumbre con la aparici o´ n de los Elementos de Euclides de Alejandr´ıa: Una obra de trece tomos, escrita hacia el a n˜ o 300 a. C., donde Euclides recoge los conocimientos matem´aticos “elementales” de su tiempo, y los desarrolla y perfecciona de tal manera, que es sin duda la obra m a´ s famosa e influyente de la historia de las Matem a´ ticas. De los trece tomos de los Elementos, nueve est a´ n dedicados a la Geometr´ıa, lo que pone de manifiesto la importancia de esta disciplina en el mundo antiguo. Una de las principales novedades de los Elementos es la axiomatizaci o´ n de la Geometr´ıa. Es decir, introduce primero unos conceptos b´asicos, como son los puntos, rectas, circunferencias, planos, y luego enuncia una serie de axiomas o postulados, que son propiedades de los objetos definidos antes, que son intuitivamente ciertos, y que se dejan sin demostrar. Estos axiomas son la base de toda la teor´ıa, ya que cualquier otro resultado que se enuncie debe demostrarse a partir de los axiomas. Escritos en lenguaje moderno, los cinco axiomas que propone Euclides en los Elementos son los siguientes:
Axioma I: Dos puntos determinan una sola recta. Axioma II: Toda recta puede prolongarse indefinidamente. Axioma III: Con cualquier centro y cualquier radio puede trazarse una circunferencia. Axioma IV: Todos los ´angulos rectos son iguales. Axioma V: Por un punto exterior a una recta existe una sola paralela a la recta dada. Observaci o´ n.– En realidad el Axioma V de Euclides era el siguiente: “Si una recta corta a otras dos rectas formando con ellas angulos interiores del mismo lado menores que dos ´ angulos ´ rectos, las dos l´ ıneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado por el cual los angulos son menores que dos angulos rectos”. Pero normalmente se sustituye ´ ´ por el Axioma V anterior, que es equivalente y mucho m´as conciso. En realidad, estos cinco axiomas de Euclides son insuficientes para desarrollar todos los resultados geom´etricos, incluso aquellos contenidos en los Elementos, y por ello se
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han ido modificando a lo largo del tiempo, tratando de obtener un n u´ mero pequen˜ o pero suficiente de axiomas independientes, en los que se base la Geometr ´ıa. Posiblemente una de las propuestas m a´ s importantes, aunque tambi e´ n haya sido mejorada posteriormente, ıa”, de 1899, Hilbert se debe a David Hilbert. En su obra “Fundamentos de la Geometr ´ propone 20 axiomas, agrupados de la siguiente manera: siete de pertenencia, cinco de orden, uno de paralelismo (Axioma V), seis de congruencia y uno de continuidad. No entraremos aqu´ı a enumerar los axiomas de Hilbert, ni sus sucesivas modificaciones. Supondremos conocidos los conceptos intuitivos de punto, recta, ´angulo o distancia, y las nociones de pertenencia como “un punto pertenece a una recta”, de orden como “un segmento es el trozo de recta formado por los puntos que est´ an entre dos puntos dados”, o de congruencia como “dos segmentos tienen el mismo tama˜ no” o “dos angulos ´ son iguales”. As´ı podemos definir, por ejemplo, una circunferencia como el conjunto de puntos que est´an a la misma distancia de uno dado, llamado centro. O un tri´angulo como un conjunto de tres puntos. Los resultados que se obtienen a partir de estas nociones b a´ sicas determinan lo que se ´ . Fue la u´ nica forma de Geometr´ıa que se conoci o´ y utilizo´ llama la Geometr´ıa sintetica durante muchos siglos, hasta que en el siglo XVII, principalmente por el trabajo de Ren e´ Descartes, apareci o´ la Geometr´ıa anal´ıtica, donde se estudian las propiedades de los obje´ tos geom´etricos utilizando el Algebra. En el siglo XVIII hubo mucha controversia sobre cu´al de los dos puntos de vista era el adecuado. Aunque actualmente la eficacia de la Geometr´ıa Anal´ıtica ha desbancado casi por completo a la Geometr ´ıa sint´etica, los resultados expuestos en este tema se ver a´ n utilizando exclusivamente la Geometr´ıa sint´etica, para que el alumno comprenda de qu e´ se trata, admire la belleza de las demostraciones, y reconozca una parte de las Matem a´ ticas que ha predominado durante m a´ s de veinte siglos.
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´ Tri´angulos. Area del tria´ ngulo.
La Geometr´ıa que se estudia en los Elementos de Euclides, que es aquella de la que ıdea. Esto Eucl´ todo el mundo tiene una idea intuitiva, se ha dado en llamar Geometr ´ıa da una idea de la importancia de Euclides en la historia de las matem a´ ticas. En este tema estudiaremos la Geometr´ıa Eucl´ıdea en el plano, donde los elementos b a´ sicos son los puntos y las rectas. De hecho, estudiaremos solamente una parte del primer libro de los Elementos, dedicado a los tri a´ ngulos. Aunque usemos un lenguaje moderno, las demostraciones ser´an sint´eticas, sin hacer ning u´ n uso de coordenadas o ecuaciones (que veremos m´as adelante). A partir de ahora denotaremos a los puntos del plano con letras may´usculas, A,B,C ,... La recta que pasa por dos puntos A y B la denotaremos AB , y el segmento que une A y B se denotar´a AB . A veces usaremos el nombre de un segmento para referirnos a su longitud, pero esto estar´a claro por el contexto. Por otra parte, los a´ ngulos los denotaremos normalmente con letras griegas, aunque el a´ ngulo que forma un segmento AB con un segmento AC lo denotaremos BAC (observemos que el punto central, A, es el v e´ rtice del a´ ngulo). Si los puntos A , B y C est´an alineados y A se encuentra entre B y C , diremos que el a´ ngulo BAC es llano y lo denotaremos π . Si los segmentos AB y AC son perpendiculares, diremos que el ´angulo BAC es recto y lo denotaremos π/2.
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