NotasCuanticaII_Cap1_8

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de F´ısica

NOTAS DE CLASE ´ ´ MECANICA CUANTICA II

Carlos Quimbay Profesor Asociado

Bogotá, D.C., Octubre 2008

2

Índice general ´ ´ EN SISTEMAS DE UNA I METODOS DE APROXIMACION PARTÍCULA 1 1. Teor´ıa de Perturbaciones Independiente del Tiempo (TPIT) 1.1. Formulaci´ on general de la teor´ıa de perturbaciones . . . . . . . . 1.2. TPIT para niveles de energ´ıa no degenerados . . . . . . . . . . . 1.2.1. Correcci´ on de orden r a los niveles de energ´ıa. . . . . . . 1.2.2. Correcciones de primer y segundo orden a los niveles de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Correcci´ on de primer orden a los estados cu´ anticos . . . . 1.2.4. Correcci´ on de orden r a los estados cu´ anticos . . . . . . . 1.2.5. El oscilador anarm´ onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. El rotor r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. Ortogonalidad y renormalizaci´ on de los estados cu´ anticos 1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. TPIT para niveles de energ´ıa degenerados 2.1. Degeneramiento de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa x . . . . . . . 2.3. Estados correctos de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Correcci´ on de primer orden a los dos estados . . . . . . . . . 2.5. Degeneramiento de orden g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Particula en un pozo bidimensional perturbado . . . . . . . . 2.7. El efecto Stark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Estructura fina del ´ atomo hidrogenoide. . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Base acoplada y no acoplada . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Interacci´ on de esp´ın electr´ onico con o´rbita nuclear . . 2.8.3. Correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética del electr´ on 2.8.4. Correcci´ on de estructura fina . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

. . . . . . . . . . . . . .

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3 4 8 8

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9 12 16 18 23 25 27

. . . . . . . . . . . . . .

29 30 32 36 38 40 41 45 53 54 56 59 62 64 67

ii

ÍNDICE GENERAL

3. Teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo 3.1. Formulaci´ on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. C´ alculo de la amplitud de probabilidad . . . . . . . . . . . . 3.3. Perturbaci´ on Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Tasa de conteo y regla de oro de Fermi . . . . . . . . . . . . 3.5. Perturbaci´ on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Perturbaci´ on arm´ onica (parte real) . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Perturbaci´ on arm´ onica exponencial . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Interacci´ on de la radiaci´ on electromagnética con la materia 3.8.1. Reglas de selecci´ on para ml . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Regla de selecci´ on para el n´ umero cu´ antico l . . . . 3.8.3. Reglas de selecci´ on para mj . . . . . . . . . . . . . . 3.8.4. Reglas de selecci´ on para j . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5. Transiciones prohibidas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.6. Emisi´ on espont´ anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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69 69 73 76 81 83 86 89 90 96 98 101 101 103 104 107

4. Principio Variacional 109 4.1. Formalismo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2. Derivaci´ on del principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3. Método variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.1. Prueba del principio m´ınimo variacional . . . . . . . . . . . 112 4.4. Oscilador arm´ onico unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 ´ 4.5. Atomo hidrogenoide con interacci´ on de Coulomb . . . . . . . . . . 117 ´ 4.6. Atomo hidrogenoide con interacci´ on de Yukawa (fot´ on masivo) . . 119 4.7. Método Variacional Lineal (Rayleigh-Ritz) . . . . . . . . . . . . . . 122 4.7.1. Generalizaci´ on a sistemas de N estados . . . . . . . . . . . 123 4.7.2. Derivaci´ on de la teor´ıa de perturbaciones no degenerada . . 124 4.8. Oscilador arm´ onico unidimensional con el método variacional lineal 125 4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

´ ´ II METODOS DE APROXIMACION EN SISTEMAS DE ´ VARIAS PARTICULAS 129 5. Mec´ anica cu´ antica de un sistema de part´ıculas 5.1. Mec´ anica Cu´ antica de una Part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Part´ıcula con un grado de libertad interno (esp´ın ~σ ) . . . 5.2. Sistema de 2 part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. El principio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. N fermiones en un pozo de potencial unidimensional. . . . 5.4. Espacio de Hilbert del Sistema de N part´ıculas idénticas no interactuantes (sin grado de libertad interno) . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

131 131 132 133 135 136

. 137

ÍNDICE GENERAL

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

iii

5.4.1. Estados simetrizados o antisimetrizados de N part´ıculas (Indistinguibilidad de part´ıculas idénticas) . . . . . . . . . . 140 Principio de Exclusi´ on de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.5.1. Sistema de N part´ıculas idénticas e indistinguibles no interactuantes (con grado de libertad interno) . . . . . . . . . 142 Sistemas con coordenadas de posici´ on y esp´ın independientes. . . . 147 5.6.1. Funci´ on de onda de espin para dos fermiones . . . . . . . . 148 5.6.2. Sistema de dos part´ıculas idénticas interactuantes de esp´ın nulo, sometidas a la acci´ on de un potencial arm´ onico lineal 155 El Isoesp´ın y los nucleones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.7.1. Independencia de la carga eléctrica de las fuerzas hadr´ onicas157 5.7.2. El isoesp´ın del nucle´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.7.3. Invarianza del Isoesp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.7.4. Isoesp´ın de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6. Atomos multielectr´ onicos ´ 6.1. Atomo de dos electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Tratamiento perturbativo. Correcci´ on de primer orden a la energ´ıa del nivel fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Tratamiento variacional (para el estado fundamental) . . 6.1.3. Estados excitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 6.2. Atomos multielectr´ onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Aproximaci´ on de campo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Otros métodos de aproximaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Aproximaci´ on de Hartree . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Método de aproximaci´ on de Hartree-Fock . . . . . . . . . 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

7. Mol´ eculas Diat´ omicas 7.1. Método de Born-Oppenheimer . . . . . . . 7.2. Moléculas diat´ omicas . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Espectro rotacional y vibracional . . 7.2.2. Reglas de selecci´ on . . . . . . . . . . 7.2.3. Espectro electr´ onico . . . . . . . . . 7.3. Orbitales Moleculares . . . . . . . . . . . . 7.4. Molécula de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Método de Heitler-London (Valence Bound) 7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

199 . 200 . 203 . 205 . 210 . 212 . 214 . 219 . 221 . 222

8. Introducci´ on a la teor´ıa de colisiones 8.1. Secci´ on eficaz y luminosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Aproximaci´ on de ondas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Sistema de dos part´ıculas con interacci´ on V(r) . . . . . .

225 . 229 . 231 . 231

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

167 . 167 167 173 176 185 190 192 192 196 197

ÍNDICE GENERAL

iv

8.2.2. Part´ıcula en potencial central . . . . . . . . . . 8.2.3. Part´ıcula libre: Ondas planas y expansi´ on en esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Dispersi´ on de onda plana por centro dispersor . 8.2.5. Método de corrimiento de fase . . . . . . . . . 8.3. C´ alculo de secci´ on eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Dispersi´ on el´ astica . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Dispersi´ on inel´ astica . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3. C´ alculo del corrimiento de fase . . . . . . . . . 8.4. Aproximaci´ on perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Tratamiento a primer orden . . . . . . . . . . . 8.4.3. Densidad de estados . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4. Secci´ on eficaz de dispersi´ on . . . . . . . . . . . 8.4.5. La aproximaci´ on de Born . . . . . . . . . . . . 8.4.6. Secci´ on eficaz de Rutherford . . . . . . . . . . . 8.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . arm´ onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 233 . . . . . . . . . . . . . . .

238 241 243 247 249 250 252 253 253 257 259 261 264 265 267

A. Part´ıcula en pozo cuadrado infinito 269 A.1. Pozo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 B. El oscilador arm´ onico cu´ antico libre 271 B.1. Oscilador unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 B.2. Operadores de creaci´ on y destrucci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 ´ C. Atomo hidrogenoide 279 C.1. Paridad de las funciones de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

′ ′ ′ C.2. Elementos de matriz n l m zb nlm y n´ umeros m y l . . . . . . . . 285

D. Perturbaciones de la estructura fina 287 D.1. Perturbaci´ on debida a la interacci´ on esp´ın-orbita . . . . . . . . . . 287 D.2. Perturbaci´ on debida a la correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética del electr´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

E. Ecuaciones de Maxwell y ecuaciones de movimiento

293

F. Soluci´ on de la integral

299

G. Herramientas matem´ aticas G.1. Sistema de dos part´ıculas . . . . . . . . . . . . G.2. Representaci´ on de pb2 . . . . . . . . . . . . . . . G.3. Expansi´ on de onda plana en serie de polinomios G.4. Definici´ on de flujo: Vector corriente . . . . . . . G.5. Ortogonalidad de los arm´ onicos esféricos . . . .

. . . . de . . . .

. . . . . . . . . . . . Legendre . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

303 . 303 . 307 . 310 . 313 . 314

Parte I

´ METODOS DE ´ EN APROXIMACION SISTEMAS DE UNA PARTÍCULA

1

Cap´ıtulo 1

Teor´ıa de Perturbaciones Independiente del Tiempo (TPIT) En la mec´ anica cu´ antica son escasos los sistemas f´ısicos para los cuales sus ecuaciones de Schr¨ odinger tienen soluciones anal´ıticas exactas. Dichas soluciones pueden obtenerse para sistemas considerados libres, o sea para aquellos sistemas que se encuentran aislados de la acci´ on de todo tipo de influencias externas o internas al sistema. Sin embargo, los anteriores sistemas no son realistas en el sentido de que los sistemas f´ısicos de interés inevitablemente se encuentran expuestos a los efectos de perturbaciones (cuyo origen pueden ser causado por la acci´ on de agentes externos y/o por internos al sistema). En el formalismo de la mec´ anica cu´ antica, las perturbaciones se introducen como términos de energ´ıa potencial que modifican el operador Hamiltoniano del sistema. En general, si se consideran términos perturbativos en el Hamiltoniano, surge el problema de que la correspondiente ecuaci´ on de Schr¨ odinger ya no se puede solucionar anal´ıtica y exactamente. Como salida al mencionado problema, se plantean diferentes métodos para solucionar de forma aproximada la ecuaci´ on de Schr¨ odinger, de tal forma que las soluciones obtenidas permiten una descripci´ on suficientemente completa de las propiedades mec´ anico-cu´ anticas del sistema perturbado. Existen diferentes métodos o formas de solucionar aproximadamente la ecuaci´ on de Schr¨ odinger para sistemas perturbados. En los tres primeros cap´ıtulos de estas notas de clase se presenta uno de los métodos de aproximaci´ on mas conocidos, el método de la teor´ıa de perturbaciones, el cual conduce a soluciones satisfactorias si la perturbaci´ on que act´ ua en el sistema es suficientemente peque˜ na. Para poder implementar el método de la teor´ıa de perturbaciones se requiere conocer completa y exactamente las soluciones anal´ıticas de la ecuaci´ on de Schr¨ odinger del sistema no perturbado (sistema libre). Las perturbaciones peque˜ nas que act´ uan en el sistema pueden depender o no del tiempo y este hecho llevar´ a a que el método de la teor´ıa de perturbaciones se divida en dos: Teor´ıa de 3

4

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE PERTURBACIONES INDEPENDIENTE DEL TIEMPO (TPIT)

Perturbaciones Independiente del Tiempo (TPIT) también conocida como teor´ıa de perturbaciones estacionaria), que se presenta en los cap´ıtulos uno y dos, y la teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo (´ o teor´ıa de perturbaciones no-estacionaria), que se presenta en el cap´ıtulo tres. La teor´ıa de perturbaciones estacionaria también es conocida como teor´ıa de perturbaciones de Rayleigh-Schr¨ odinger. Este método de aproximaci´ on se puede implementar para sistemas mec´ anico-cu´ anticos en los que act´ ua una perturbaci´ on peque˜ na independiente del tiempo, la cual se escribe como un término de energ´ıa potencial estacionario en el operador Hamiltoniano. El hecho de que algunos sistemas cu´ anticos presenten degeneraci´ on, es decir que existan diferentes estados cu´ anticos con un mismo nivel de energ´ıa, conduce a la necesidad de dividir el método de la teor´ıa de perturbaciones independiente del tiempo en dos casos: para niveles de energ´ıa no-degenerados (caso no degenerado) y para niveles de energ´ıa degenerados (caso degenerado). En este cap´ıtulo se estudia concretamente el método de la TPIT, para el caso de niveles de energ´ıa no degenerados.

1.1.

Formulaci´ on general de la teor´ıa de perturbaciones

Como punto de partida, se presenta la formulaci´ on general del método de aproximaci´ on de la teor´ıa de perturbaciones. Para esto, considérese inicialmente un sistema mec´ anico cu´ antico libre, o sea que no est´ a sujeto a ninguna perturb 0 ) dado por baci´ on, descrito por el operador Hamiltoniano (H b 0 = Tb0 + Vb 0 , H

(1.1)

donde Tb0 y Vb 0 son respectivamente los operadores de energ´ıa cinética y energ´ıa b 0 , escrita en el potencial del sistema libre. La ecuaci´ on de valores propios de H espacio de kets, es b 0 ψn(0) = En(0) ψn(0) , H

(1.2)

(0) (0) b 0 , respectisiendo ψn y En los estados propios y los valores propios de H vamente. La representaci´ on en coordenadas, o sea en el espacio de funciones de b 0 ψn(0) r = En(0) ψn(0) r , donde la funci´ onda, de la ecuaci´ on (1.2) es H on de onda,

(0) (0) (0) ψn r , se ha definido como ψn r = r ψn . En la implementaci´ on del método de la teor´ıa de perturbaciones, inicialmente se asume que la ecuaci´ on (1.2) puede resolverse anal´ıticamente y que b 0 se conocen completa tanto los estados propios como los valores propios de H y exactamente. Es decir, para poder desarrollar el método de aproximaci´ on en consideraci´ on se requiere tener inicialmente un conocimiento completo de los estados cu´ anticos y de los niveles de energ´ıa del sistema no perturbado. El conjunto

´ GENERAL DE LA TEORÍA DE PERTURBACIONES 1.1. FORMULACION

5

n o b 0 obtenido, ψn(0) , satisface las condiciones de ortogde estados propios de H

(0) (0) P (0) (0) ψ n onalidad ψm = δmn y completez ψn ψn = b 1. Por lo tanto, este n

conjunto, que forma una base completa ortonormal, es la base del espacio de Hilbert del sistema.

Sup´ ongase que sobre el sistema anterior, ahora, act´ ua una perturbaci´ on ′ 0 peque˜ na (H ), o sea la energ´ıa potencial V del sistema libre se modifica por efecto de una perturbaci´ on. Para el sistema perturbado, el operador energ´ıa potencial b b ′ , de tal manera que su operador Hamiltoniano (H) b es entonces V = Vb 0 + λH puede escribirse como b = Tb0 + Vb = H b 0 + λH b ′, H

(1.3)

donde λ es un par´ ametro real continuo adimensional, el cual ha sido introducido para poder implementar el método de la teor´ıa de perturbaciones. Al finalizar el desarrollo del método se toma λ → 1 para recuperar la intensidad de la perturbaci´ on. En otras palabras, la intensidad de la perturbaci´ on se puede controlar al b dado por variar el par´ ametro λ entre 0 ≤ λ ≤ 1. Para λ = 0, el operador H, 0 b (1.3), es en este caso H y por lo tanto se est´ a considerando el sistema libre (la perturbaci´ on esta apagada), mientras que para λ = 1, el sistema se encuentra perturbado (la perturbaci´ on esta encendida). La intuici´ on f´ısica permite suponer que si se enciende la perturbaci´ on en el sistema, entonces los estados cu´ anticos y los niveles de energ´ıa deber´ an ser diferentes a los que el sistema tiene cuando la perturbaci´ on se apaga. En general, se puede asumir que en un sistema perturbado los estados cu´ anticos y los niveles de energ´ıa cambian con respecto a los del sistema libre, debido a que la energ´ıa potencial del sistema libre ha sido modificada por efecto de la perturbaci´ on. b ′ esta presente, los cambios sufridos en el sistema pueden describirse Cuando H genéricamente como (0) ψn → ψn = ψn(0) + ∆ ψn , (1.4) En(0) → En = En(0) + ∆En ,

(1.5) anticos por efecto donde ∆ ψn representa el cambio que tienen los estados cu´ de la perturbaci´ on y ∆En representa el cambio que tienen los niveles de energ´ıa por el mismo hecho. Los estados cu´ anticos y los niveles de energ´ıa del sistema perturbado quedan representados por ψn y En , respectivamente La ecuaci´ on de Schr¨ odinger independiente del tiempo del sistema perturbado es b n i = En |ψn i, H|ψ

(1.6)

b esta dado por (1.3). La ecuaci´ donde H on (1.6) no se puede solucionar anal´ıticamente de manera exacta, por lo tanto para tener un conocimiento aproximado

6


de los estados cu´ anticos ψn y de los niveles de energ´ıa En , se implementa el método de la teor´ıa de perturbaciones. Para que este método se pueda desarrollar, adicionalmente, se requiere asumir que el operador Hamiltoniano del sistema perturbado admite la separaci´ on dada por (1.3). Este método permite que se conozcan las soluciones aproximadas de la ecuaci´ on (1.6), i.e del sistema perturbado, a partir del conocimiento que se tiene de las soluciones anal´ıticas exactas de la ecuaci´ on (1.2),i.e del sistema libre. Este método se basa en el planteamiento de que las soluciones |ψn i y En de la ecuaci´ on (1.6) son series de potencias en λ, de la siguiente manera: (0) ψn = ψn + λ ψn(1) + λ2 ψn(2) + · · · , (1.7) En = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + · · · ,

(1.8)

∆En = λEn(1) + λ2 En(2) + · · · .

(1.10)

(0) (1) (2) donde los kets ψn , ψn , ψn , . . ., en (1.7), respectivamente, se denominan correcci´ on de orden 0, 1, 2, . . . de los estados cu´ anticos del sistema perturba(2) (1) (0) do. De igual forma los valores En , En , En , . . ., en (1.8), respectivamente, se denominan correcci´ on de orden 0, 1, 2, . . . de los niveles de energ´ıa del sistema perturbado. Si se compara (1.7) con (1.4) y (1.8) con (1.5), se concluye que en el formalismo de la teor´ıa de perturbaciones, los cambios originados por la perturbaci´ on en los estados cu´ anticos y en los niveles de energ´ıa del sistema est´ an dados, respectivamente, por (1.9) ∆ ψn = λ ψn(1) + λ2 ψn(2) + · · · , Se observa en las expresiones (1.7) y (1.8), que si se apaga la perturbaci´ on, i.e. (0) (0) λ = 0, entonces ψn = ψn y En = En y de esta forma ∆ ψn = 0 y ∆En = 0. Para que el método de la teor´ıa de perturbaciones pueda aplicarse satisfactoriamente en una determinada situaci´ on f´ısica se requiere que la perturbaci´ on sea b′ < H b 0 ), es decir se debe cumplir que la perturbaci´ peque˜ na (H on produzca cambios peque˜ nos en los niveles de energ´ıa del sistema, o sea |∆En | < |En(0) |.

(1.11)

Proyectando o (1.7) sobre la base del espacio de Hilbert del sistema sin n (0) , a través del uso del operador proyector (Pb0 ) definido como perturbar ψn

Pb0 = ψn(0) ψn(0) ,

se obtiene

(0) (0) (0) ψn ψn = ψn ψn + λ ψn(0) ψn(1) + λ2 ψn(0) ψn(2) + · · · .

(1.12)

(1.13)

7

´ GENERAL DE LA TEORÍA DE PERTURBACIONES 1.1. FORMULACION

Un caso especial de la anterior expresi´ on, que implica adoptar una condici´ on de cuasi-normalizaci´ on (en el sentido en que no corresponde a una condici´ on de normalizaci´ on com´ un), es

(0) (1.14) ψn ψn = 1.

Para que se cumpla (1.14), las correcciones de orden r a los estados cu´ anticos (r) del sistema perturbado ψn , en (1.7), se deben construir como superposiciones de los estados cu´ anticos del sistema sin perturbar (o correcciones de orden cero) (0) ψm , pero con la restricci´ on m 6= n, o sea (r) X (r) (0) ψ n = con m 6= n. (1.15) cm ψ m ; m

(2) (1)

= · · · = 0, lo = ψn(0) ψn La anterior superposici´ on implica que ψn(0) ψn

cual conduce a que (1.13) satisfaga la condici´ on (1.14), es decir ψn(0) ψn =

(0) (0) = 1. La superposici´ on (1.15) impone el requerimiento de que para ψ n ψ n poder implementar el método de teor´ıa de perturbaciones se deben conocer previa y completamente todos los estados cu´ anticos y a la vez los niveles de energ´ıa del sistema sin perturbar. Reemplazando (1.3), (1.7) y (1.8) en (1.6), desarrollando los productos y agrupando en potencias de λ se obtiene (1) (0) (0) (1) ′ (0) 0 (1) (0) (0) 0 (0) b b b + λ H ψ n + H ψ n − En ψ n − En ψ n H ψ n − En ψ n b ′ ψn(1) − En(2) ψn(0) − En(1) ψn(1) − En(0) ψn(2) + · · · = 0 . b 0 ψn(2) + H +λ2 H

(1.16)

Para que la ecuaci´ on (1.16) se satisfaga, se requiere que cada una de las cantidades que aparecen entre los paréntesis sea cero. Lo anterior implica que para cada uno de los ordenes en teor´ıa de perturbaciones se tiene una ecuaci´ on espec´ıfica de partida. Por ejemplo, para el mas bajo orden, o sea λ0 , se tiene

b 0 − En(0) ψn(0) = 0 , H

(1.17)

que corresponde a la ecuaci´ on de valores propios del operador Hamiltoniano del sistema libre, dada por (1.2). A primer orden, la ecuaci´ on que se tiene es

′ b 0 − En(0) ψn(1) + H b − En(1) ψn(0) = 0 , H

(1.18)

mientras que a segundo orden es

′ b − En(1) ψn(1) − En(2) ψn(0) = 0 . b 0 − En(0) ψn(2) + H H

(1.19)

8


Por inducci´ on, la ecuaci´ on a orden r se escribe como b 0 − En(0) ψn(r) + H b ′ − En(1) ψn(r−1) H −

(2) (r−2) E n ψ n

− ··· −

(r) (0) E n ψ n

(1.20) = 0,

la cual ser´ a el punto de partida para la obtenci´ on de la correccion de orden r, tanto para los niveles de energ´ıa como para los estados cu´ anticos del sistema perturbado.

1.2.

TPIT para niveles de energ´ıa no degenerados

Los sistemas cu´ anticos que se considerar´ an en esta sección son tales que en ausencia de perturbaci´ on sus niveles de energ´ıa no presentan degeneraci´ on, es decir se cumple que para un nivel de energ´ıa arbitrario del sistema libre, por (0) antico ejemplo el k-ésimo Ek , existe en el sistema uno y solamente un estado cu´ (0) (0) ψ caracterizado por tener asociado el nivel de energ´ıa Ek . En otras palabras, k en el sistema sin perturbar se cumple que la relaci´ on entre los niveles de energ´ıa (0) (0) En y los estados cu´ anticos ψn es uno a uno y sobre.

1.2.1.

Correcci´ on de orden r a los niveles de energ´ıa. (r)

La correcci´ on de orden r a los niveles de n energ´ oıa, (En ), se obtiene a partir (0) de proyectar la ecuaci´ on (1.20) en la base ψn del sistema sin perturbar. Lo anterior se hace aplicando el operador proyector Pb0 definido por (1.12) a la ecuaci´ on (1.20), obteniéndose: ′ (r−1) (0) h (0) 0

b ψ b − E (0) ψ (r) + ψ (0) H ψ n − En(1) ψn(0) ψn(r−1) ψn H n n n n i

−En(2) ψn(0) ψn(r−2) − · · · − En(r) ψn(0) ψn(0) = 0,

(1.21)

ecuaci´ on que se cumple si la cantidad entre el paréntesis cuadrado es cero. Teb 0 es un operador herm´ıtico, entonces en (1.21) se satisface niendo en cuenta que H que

(0) 0 b − En(0) ψn(r) = ψn(0) En(0) − En(0) ψn(r) = 0, (1.22) ψn H

(r) on de la forma (1.15), y debido a que ψn se puede escribir como una superposici´ entonces en (1.21) también se cumple que

(0) (r−1) (0) (r−2) (1.23) = · · · = ψn(0) ψn(1) = 0. = ψ n ψ n ψ n ψ n

1.2. TPIT PARA NIVELES DE ENERGÍA NO DEGENERADOS

9

Por lo anterior, la correcci´ on de orden r a los niveles de energ´ıa esta dada por: ′ (r−1)

b ψ n En(r) = ψn(0) H , (1.24)

expresi´ on que permite conocer, de forma general, las correcciones de diferente orden a los niveles de energ´ıa, siempre y cuando se conozca previemente la cor (r−1) ) recci´ on de orden r − 1 a los estados cu´ anticos ( ψn

1.2.2.

Correcciones de primer y segundo orden a los niveles de energ´ıa

Como un caso particular de la expresi´ on (1.24), para r = 1, la correcci´ on de primer orden a los niveles de energ´ıa es ′ (0)

b ψ n , (1.25) En(1) = ψn(0) H

b ′ , el cual es evaluado siendo ésta correcci´ on el valor esperado del operador H respecto a los estados propios del sistema sin perturbar. El mismo resultado se puede obtener directamente al aplicar el proyector (1.12) a la ecuaci´ on de primer orden (1.18). Con r = 2 en la expresi´ on (1.24), se tiene que la correcci´ on de segundo orden a los niveles de energ´ıa es ′ (1)

b ψ n , (1.26) En(2) = ψn(0) H

pudiéndose observar que para poder evaluar esta correcci´ on es necesario conocer previamente la correcci´ on de primer orden a los estados cu´ anticos del sistema (1) (1) perturbado ψn . Antes de obtener una expresi´ on que permita evaluar a ψn , primero se considera un ejemplo que ilustra el calculo de la correcci´ on de primer orden a los niveles de energ´ıa en un problema espec´ıfico.

Ejemplo 1.1. Encontrar los niveles de energ´ıa, corregidos hasta primer orden, para una part´ıcula de masa m sometida a un potencial infinito unidimensional, como el mostrado en la Figura 1.1, asumiendo que sobre éste sistema act´ ua una perturbaci´ on de la forma: b ′ (x) = V0 (a) H

(b)

Soluci´ on

 πx  , para 0 < x < a −A sen a b ′ (x) = H   0, para x > a y x < 0

(1.27)

10 CAPÍTULO 1.

TEORÍA DE PERTURBACIONES INDEPENDIENTE DEL TIEMPO (TPIT)

∞

∞

V

V0

a

x

Figura 1.1: Pozo infinito de potencial, correspondiente a la parte (a) del ejemplo 1.1.

a) En este caso, por ser la perturbaci´ on que act´ ua sobre el sistema constante, se espera que se presente un corrimiento constante en el nivel de referencia de la energ´ıa. Haciendo uso de la expresi´ on (1.25) y tomando como perturbaci´ on ′ b H = V0 , la cual es constante en el intervalo (0, a), se tiene: ′ (0) (0) (0)

(1) b ψ n = ψ n V0 ψ n En = ψn(0) H (1.28)

(0) (0) = V0 ψ n ψ n = V0 ,

donde se ha tenido en cuenta que los estados propios del sistema sin perturbar satisfacen la condici´ on de normalizaci´ on.1 Los niveles de energ´ıa, para el sistema perturbado, corregidos hasta primer orden son En = En(0) + En(1) =

π 2 ~2 2 n + V0 , 2ma2

(1.29)

donde se observa que el efecto de la perturbaci´ on sobre el sistema ha sido la modificaci´ on del nivel de referencia de la energ´ıa en un valor constante V0 . Para este caso, los niveles de energ´ıa corregidos hasta primer orden corresponden a la solución exacta, puesto que con una perturbaci´ on constante actuando en el intervalo (0, a), todas las correcciones a la energ´ıa de m´ as alto orden desaparecen (ver numeral b del ejemplo 1.2). Si la perturbaci´ on constante se hubiera extendido u ńicamente a la mitad del pozo, es decir si ésta actuara u ńicamente en el intervalo (0, a/2), entonces la 1 b 0 , para el caso de una En el Apéndice A se soluciona la ecuaci´ on de valores propios de H part´ıcula libre en un pozo de potencial infinito unidimensional, obteniéndose sus estados y valores propios correspondientes.

11


correcci´ on de primer orden a los niveles de energ´ıa ser´ıa En(1)

Za/2 Za/2 nπ (0) 2 V0 2V 0 ψn x dx = sen2 x dx = , = V0 a a 2

(1.30)

0

0

y as´ı los niveles de energ´ıa corregidos hasta primer orden estar´ıan dados por En = En(0) +

V0 + ··· , 2

(1.31)

lo cual significa que en este caso si habr´ıan correcciones de m´ as alto orden a los niveles de energ´ıa. b) Para este caso, el potencial se ilustra en la Figura 1.2. As´ı como se hizo en el numeral anterior, se emplea la expresi´ on (1.25) y para este caso, en el b ′ = −A sen (πx/a). La correcci´ intervalo (0, a), se toma como perturbaci´ on H on de primer orden a la energ´ıa es

En(1) = − ψn(0) A sen (πx/a) ψn(0) , (1.32) relaci´ on que representada en el espacio de funciones de onda toma la forma En(1)

2A =− a

Za

sen2

0

Realizando el cambio de variable u =

nπx a

sen

πx a

dx.

(1.33)

π πx ; du = dx, se obtiene a a

∞

∞

V

a

0

x

Figura 1.2: Potencial para el numeral (b) del ejemplo 1.1.

En(1)

2A a =− a π

Zπ 0

sen2 (nu) sen udu

(1.34)

12 CAPÍTULO 1.


2A 4n2 . π 4n2 − 1 Por lo anterior, los niveles de energ´ıa corregidos hasta primer orden son =−

En = En(0) + En(1) + · · ·

(1.35)

(1.36)

~2 π 2 2 2A 4n2 n − + ··· (1.37) 2ma2 π 4n2 − 1 De acuerdo a (1.10), los niveles de energ´ıa del sistema perturbado pueden expre(0) sarse como En = En + ∆En . Para que la aproximaci´ on sea f´ısicamente acepta(0) ble, se debe cumplir que ∆En < En , es decir se requiere que la perturbaci´ on sea peque˜ na. Para el caso que se esta considerando, la energ´ıa del estado base (n=1) es: ~2 π 2 8A E1 = − + ··· , (1.38) 2ma2 3π π 2 ~2 8A < , o equivay para que la perturbaci´ on sea peque˜ na se requiere que 3π 2ma2 3 2 3π ~ lentemente A < . Si se pretende tener una buena aproximaci´ on tomando 16ma2 solamente la correcci´ on de primer orden a la energ´ıa, se debe cumplir entonces 3π 3 ~2 que A ≪ , lo cual implica que las correcciones de mas alto orden (las 16ma2 cuales estar´ an dadas como potencias de la constante A) serian muy peque˜ nas en (0) comparaci´ on a En y por esta raz´ on podrian despreciarse. La anterior condici´ on (0) equivale a decir que ∆En ≪ En , y en este caso se puede decir que la perturbaci´ on es muy peque˜ na. ❏ =

En el ejemplo anterior se ilustra lo que significa una perturbaci´ on peque˜ na, b′ < H b 0 . Si la perturbaci´ b ′ << H b 0 ), lo cual se nota como H on es muy peque˜ na (H para tener un buen resultado basta con corregir los niveles de energ´ıa hasta primer orden.

1.2.3.

Correcci´ on de primer orden a los estados cu´ anticos

Para obtener la correcci´ on de primer orden a los estados, se parte de la ecuaci´ on a primer orden obtenida en (1.18). Recordando que el conjunto de estados propios del sistema no perturbado constituyen un conjunto completo ortonormal, o sea forman la base del espacio de Hilbert asociado al sistema, entonces cualquier estado arbitrario se puede escribir como una combinaci´ on lineal de e (1) llos. Por lo anterior, on de los n el ket o ψn puede escribirse como una superposici´ (0) estados de la base ψn , as´ı ∞ (1) X (1) (0) ψn = Cm ψm , m=1

(1.39)


13

(1)

donde los coeficientes de la expansion Cm se determinan a través del procedimiento que se desarrolla a continuaci´ on. Reemplazando (1.39) en (1.18), se obtiene

b 0 − En(0) H

∞ X

m=1

′ (1) (0) b − En(1) ψn(0) = 0, Cm ψm + H

(1.40)

n o (0) b 0 , entonces y puesto que la base ψn corresponde a los estados propios de H haciendo uso de la ecuaci´ on (1.2), la anterior ecuaci´ on queda escrita como: ∞ X

m=1

′ (1) (0) (0) b − En(1) ψn(0) = 0. ψm + H Em − En(0) Cm

(1.41)

Se observa que para el caso m = n la sumatoria no contribuye y por lo tanto n ésta o (0) se lleva para m 6= n. Proyectando la anterior ecuaci´ on sobre la base ψn , mediante el uso del operador proyector (1.12), se obtiene

X (0) ′

(1) (0) b − En(1) ψn(0) = 0, ψl(0) Em − En(0) Cm ψm + ψl(0) H

(1.42)

m6=n

expresi´ on que se puede reescribir de la siguiente manera: X

m6=n

′ (0)

(0) (0) (0) (1) b ψn + En(1) ψ (0) ψn(0) . (1.43) ψl ψm = − ψl(0) H Em − En(0) Cm l

N´ otese que para l = n, se obtiene la correcci´ on de primer orden a los niveles de energ´ıa dada por (1.25 ), lo cual muestra la consistencia del procedimiento que se est´ a realizando. El caso de interés se tiene para l 6= n, y as´ı la expresi´ on anterior queda escrita como X

m6=n

′ (0)

(0) (1) b ψ n , Em − En(0) Cm δl m = − ψl(0) H

(1.44)

donde el u ńico termino que contribuye en la sumatoria del lado izquierdo de la ecuaci´ on es aquél para el que m = l. Por lo anterior ′ (0)

(1) (0) b ψ n , (1.45) El − En(0) Cl = − ψl(0) H (1)

relaci´ on de la que se despeja Cl , obteniéndose (1) Cl

=

(0) ′ (0) b ψ n ψ l H (0)

(0)

En − El

.

(1.46)

14 CAPÍTULO 1.


Puesto que en la anterior expresi´ on, el ´ındice l es mudo, entonces se puede cambiar l por m, y as´ı los coeficientes de la expansi´ on (1.39) quedan escritos como (1) Cm

=

(0) ′ (0) b ψ n ψ m H (0)

(0)

En − Em

.

(1.47)

Reemplazando (1.47) en (1.39), se llega a que la correcci´ on de primer orden a los estados cu´ anticos es

(0) ′ (0) b ψ n H (1) X ψm (0) ψ n = ψ m , (1.48) (0) (0) m6=n En − Em correcci´ on que escrita en el espacio de funciones de onda es (1)

ψn

(1) ~r = ~r ψn

(0) ′ (0)

(0) ′ (0) b ψn (0) b ψ n H P ψm ψ m H (0) = ~r ψm = ψm ~r . (0) (0) (0) (0) m6=n En − Em m6=n En − Em P

(1.49)

La correcci´ on de primer orden a los estados cu´ anticos, dada por (1.48), se puede evaluar debido a que queda expresada en términos de los estados cu´ anticos y los niveles de energ´ıa del sistema sin perturbar, que como ya se dijo son previamente conocidos. Una vez que la correcci´ on de primer orden a los estados cu´ anticos es conocida, ahora si es posible obtener una expresi´ on que permite evaluar la correcci´ on de segundo orden a los niveles de energ´ıa. Reemplazando (1.48) en (1.26), se obtiene

(0) (0) ! Hb ′ ψn (0)

(0) ′ P ψm (2) b ψ m En = ψ n H (0) (0) m6=n

=

P

m6=n

En −Em

(0) b ′ (0) ψm H ψn (0) b ′ (0) ψn H ψm . (0) (0) En − Em

(1.50)

Por lo anterior, la correcci´ on de segundo orden a los niveles de energ´ıa se puede escribir como

En(2) =

(0) b ′ (0) 2 ψn X ψ m H (0)

m6=n

(0)

En − Em

,

(1.51)

donde λ = 1. Al reemplazar las correcciones de primer orden (1.25) y de segundo orden (1.51)


15

en (1.8), se encuentra que los niveles de energ´ıa del sistema perturbado corregidos hasta segundo orden est´ an dados por

(0) b ′ (0) 2 ψ H ψ X m n

b ′ ψn(0) + λ2 + ··· (1.52) En = En(0) + λ ψn(0) H (0) (0) En − Em m6=n A continuaci´ on se considera un ejemplo que ilustra el uso de las expresiones (1.48) y (1.51) en un problema f´ısico espec´ıfico.

Ejemplo 1.2. Calcular la correcci´ on de primer orden al estado base y la correcci´ on de segundo orden al nivel de energ´ıa base, en el caso del problema f´ısico considerado en el Ejemplo 1.1. Soluci´ on b ′ = V0 en (1.49), se tiene que a) Con la substituci´ on de la perturbaci´ on H la correcci´ on de primer orden al estado base (n=1) es

(0) (0)

(0) (0) V0 ψ ψ X ψm X V0 ψ m (1) 1 1 (0) (0) ψ1 x = ψ x = ψm x = 0, (1.53) m (0) (0) (0) (0) m6=1 E1 − Em m6=1 E1 − Em b 0 son resultado que se obtiene al tenerse en cuenta que los estados propios de H ortogonales. Este resultado nulo, también se obtiene para las dem´ as correcciones de orden superior. Por tal motivo, el estado base (junto con los dem´ as estados propios) no sufre ninguna modificaci´ on por efecto de la perturbaci´ on constante. (1) Debido a que ψn x = 0, entonces la correcci´ on de segundo orden a los valores ′ (1)

(2) b ψn = 0. Los antepropios de energ´ıa también es nula, es decir En = ψn(0) H riores resultados, junto con el resultado obtenido en el numeral (a) del ejemplo 1.1, implican que el u ńico efecto de la perturbaci´ on constante sobre el sistema es realizar un corrimiento constante en el nivel de referencia de la energ´ıa. b ′ = −A sen (πx/a) en (1.49), se tiene b) Al reemplazar la perturbaci´ on H

X ψj(0) A sen (πx/a) ψ1(0) (0) (1) ψ1 x = − (1.54) ψj x . (0) (0) E1 − Ej j6=1 Para conocer el valor de los la anterior sumatoria es necesario coeficientes de (0) evaluar la integral I = ψj(0) A sen (πx/a) ψ1 en el intervalo (0, a). Esta integral se eval´ ua de manera similar a como se hizo en el numeral (b) del ejercicio (1.1). A partir del cambio de variable u = πx/a se obtiene π π !# " 2A 1 cos(ju) 1 cos(2u + ju) cos(2u − ju) I=− − − − . (1.55) + π 2 j 2 2+j 2−j 0

0

16 CAPÍTULO 1.


Se puede comprobar que para j par, la integral se anula. Para j impar el resultado es I=

1 8A . 2 π j(j − 4)

(1.56)

π 2 ~2 2 (0) (0) Si se tiene en cuenta que E1 − Ej = − (j − 1), entonces la correcci´ on de 2ma2 primer orden a la funci´ on de onda del estado base se escribe como r 16ma2 A X 2 1 (1) ψ1 x = − sen(jπx/a). (1.57) 3 2 2 2 π ~ j(j − 1)(j − 4) a j=3,5,···

Llamando f (j) = 1/j(j 2 −1)(j 2 −4), se observa que f (3) = 1/120, f (5) = 1/2520, · · · , y por lo tanto la sumatoria anterior converge r´ apidamente. Por este motivo para obtener una buena aproximaci´ on basta con truncar la suma en el primer termino. De esta manera, la correcci´ on a primer orden a la funci´ on de onda del estado base es r 2ma2 A 2 (1) sen(3πx/a). (1.58) ψ1 x ⋍ − 15π 3 ~2 a La correcci´ on de segundo orden a la energ´ıa del estado base se obtiene a partir de la expresi´ on (1.51), de tal forma que

(0) 2 (0) ψ ψ A sen (πx/a) X 1 j (2) E1 = , (1.59) (0) (0) E − E j6=1 1 nj

(0)

y expresi´ on en la que al reemplazar los valores para ψj(0) A sen (πx/a) ψ1 (0)

(0)

E1 − Ej

previamente obtenidos, se convierte en (2)

E1 = −

128ma2 A2 π 4 ~2

X

j=3,5,···

1 . j 2 (j 2 − 1)(j 2 − 4)2

(1.60)

Llamando g(j) = 1/j 2 (j 2 − 1)(j 2 − 4), se observa que f (3) = 1/120, f (5) = 1/2520, · · · , As´ı como sucedi´ o en el calculo de la correcci´ on de primer orden a la funci´ on de onda del estado base, por causa de la r´ apida convergencia basta con considerar solamente el primer término de la sumatoria para obtener una buena aproximaci´ on, obteniéndose que la correcci´ on de segundo orden a la energ´ıa del estado base es (2)

E1 ≈ −

16 ma2 A2 . 225 π 4 ~2

(1.61) ❏


1.2.4.

17

Correcci´ on de orden r a los estados cu´ anticos

A partir de (1.24), se concluye que para poder calcular la correcci´ on de orden r + 1 a los niveles de energ´ıa de un sistema perturbado, es necesario conocer previamente la correcci´ on de orden r de los estados cu´ anticos. Esta u ´ltima correcci´ on puede hallarse partiendonde la ecuaci´ o n de orden r dada por (1.20). Si (r) (0) o se expande el ket ψn en la base ψn , es decir ∞ (r) X (r) (0) ψ n = Cm ψm ,

(1.62)

m=1

y se reemplaza (1.62) en (1.20) se obtiene (r) (0) ′ − E (1) ψ (r−1) b b 0 − En(0) P∞ Cm H ψ = − H m n n m=1 +

(2) (r−2) E n ψ n

+ ··· +

(r) (0) E n ψ n ,

expresi´ on que se puede escribir de forma equivalente como P∞ (0) (r) (0) (0) ′ − E (1) ψ (r−1) b ψ = − H C E − E n m n m m n m=1 +

(2) (r−2) E n ψ n

(r) (0) E n ψ n ,

(1.63)

(1.64)

+ ··· + n o (0) en donde se ha tenido en cuenta que la base ψn corresponde al conjunto de 0 b . Se puede observar en la u estados propios del operador H ´ltima expresi´ on que el término de la sumatoria que no contribuye es aquel para el que m = n. Por lo anterior, la expresi´ on anterior queda escrita como P (0) (r) (0) (0) b ′ − En(1) ψn(r−1) Em − En Cm ψm = − H m6=n (1.65) (r) (0) (2) (r−2) + · · · + E n ψ n . + E n ψ n o n (0) , se obtiene Proyectando la anterior expresi´ on sobre la base ψl P

m6=n

(0)

(0)

Em − En

′ (0)

(r)

b − En(1) ψn(r−1) Cm ψl(0) ψm = − ψl(0) H

(r) (0) (2) (r−2)

+ · · · + ψl(0) En ψn . + ψl(0) En ψn (1.66)

N´ otese que para el caso l = n se obtiene la expresi´ on (1.24). Por lo tanto el interés se centra ahora para l 6= n, caso en el que se obtiene ′

(r) (0) (0) b − En(1) ψn(r−1) El − En Cl = − ψl(0) H (1.67) (r) (0) (0) (2) (0) (r−2) + · · · + En ψl ψn . + En ψ l ψ n

18 CAPÍTULO 1.


A partir de la expresi´ on anterior se despejan los coeficientes de la expansi´ on (1.62), los cuales quedan escritos como

(0) ′

b − En(1) ψn(r−1) − En(2) ψ (0) ψn(r−2) − · · · − En(r−1) ψ (0) ψn(1) ψl H l l (r) . Cl = (0) (0) En − El (1.68) Cambiando l por m en (1.68) y reemplazando en (1.62), se obtiene que la correcci´ on de orden r a los estados cu´ anticos es

(0)

(0) (r−2)

(0) (1) (r−1) ψn (r) X ψm Hb ′ −En(1) ψn(r−1) −En(2) ψm −···−En ψm ψn (0) ψ n = ψ m . (0) (0) En −Em

m6=n

(1.69)

Como casos particulares de (1.69), para r = 1 se obtiene consistentemente el resultado dado por (1.48), mientras que para r = 2 se obtiene

(0) ′ b − En(1) ψn(1) (2) X ψm H (0) ψ m ψ n = . (1.70) (0) (0) En − Em m6=n

(1) Si en la expresi´ on anterior se reemplaza ψn por (1.48), se encuentra que la correcci´ on de segundo orden a los estados cu´ anticos se puede escribir como

(0) (2) X X ψm Hb ′ −En(1) ψk(0) ψk(0) Hb ′ ψn(0) (0) ψ n = ψ m , (1.71) (0)

m6=n k6=n

(0)

En −Em

(0)

(0)

En −Ek

correcci´ on que se puede evaluar en principio, al conocerse completamente los estados cu´ anticos y los niveles de energ´ıa del sistema no perturbado.

1.2.5.

El oscilador anarm´ onico

A continuaci´ on se estudia el oscilador anarm´ onico unidimensional, sistema descrito por el siguiente operador Hamiltoniano: 2 2 b = pbx + mω x b2 + γ1 x b3 + γ2 x b4 , H 2m 2

(1.72)

donde γ1 y γ2 son constantes fenomenol´ ogicas. Este sistema es el oscilador arm´ onico unidimensional, descrito por el operador hamiltoniano 2 2 b 0 = pbx + mω x H b2 , 2m 2

(1.73)

sometido a una perturbaci´ on anarm´ onica dada por b ′ = γ1 x H b3 + γ2 x b4 .

(1.74)


19

Este sistema es muy importante en la determinaci´ on del espectro vibracional de las moléculas diat´ omicas (ver Capitulo 7). Como aplicaci´ on del método de la teor´ıa de perturbaciones, a continuaci´ on se calcularan las correcciones de primer y segundo orden al nivel de energ´ıa fundamental y la correcci´ on de primer orden al estado fundamental del oscilador arm´ onico unidimensional sometido a la perturbaci´ on anarm´ onica mencionada. b 0 del oscilador La ecuaci´ on de valores propios (1.2) para el operador H arm´ onico unidimensional libre puede solucionarse anal´ıtica y exactamente2 , de tal forma que los niveles de energ´ıa est´ an dados por (1.75) En(0) = ~ω n + 21 , donde el n´ umero cu´ antico toma los valores n = 0, 1, 2, · · · , y las funciones de onda que representan los estados cu´ anticos son ξ2 mω 1/4 1 √ ψn(0) x = Hn (ξ)e− 2 ; π~ 2n n!

con ξ =

q

mω ~ x,

(1.76)

siendo Hn (ξ) los polinomios de Hermite. Primero se calcula la correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa fundamental. Lo anterior se realiza reemplazando (1.74) en (1.25), obteniéndose que (0)

b3 + γ2 x b4 ψ0 , E0(1) = ψ0(0) γ1 x

(1.77)

correcci´ on que en la representaci´ on en coordenadas adquiere la forma E

(1) 0

= γ1

Z∞

3

x

(0)

ψ0

2 x dx + γ2

Z∞

−∞

−∞

2 x4 ψ0(0) x dx.

(1.78)

La primera integral se anula debido a que el integrando es una funci´ on impar. Lo 3 es funci´ anterior se confirma recordando que x o n impar y que la funci´ on de onda ψ0(0) x que describe el estado fundamental del oscilador arm´ onico, dada por mω 1/4 − mω x2 ψ0(0) x = e 2~ , π~

(1.79)

es una funci´ on par. Por lo anterior la correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa fundamental se origina u ńicamente en el termino cu´ artico de la perturbaci´ on anarm´ onica y queda escrita como (1) E0

mω 1/2 3 = 2γ2 π~ 8

π 1/2 3 = γ2 5/2 mω 4 ~

~ mω

2

.

(1.80)

b 0 para el En el Apéndice B se muestra la soluci´ on de la ecuaci´ on de valores propios de H oscilador arm´ onico unidimensional libre. 2

20 CAPÍTULO 1.


En consecuencia, el nivel de energ´ıa fundamental corregido a primer orden es ~ω 3 + γ2 E0 = 2 4

~ mω

2

.

(1.81)

Como se hab´ıa mencionado previamente, el método de teor´ıa de perturbaciones se (0) puede implementar satisfactoriamente si ∆E < E0 . Para el caso que se est´ a considerando, lo anterior depende del valor de la constante fenomenol´ ogica γ2 , es decir se requiere que se satisfaga la desigualdad 3 γ2 4

~ mω

2

<

~ω . 2

(1.82)

Para que el valor del nivel de energ´ıa corregido a primer orden sea una buena aproximaci´ on, es necesario que se cumpla que γ2 ≪

2 m2 ω 3 . 3 ~

(1.83)

A continuaci´ on se procede a calcular la correcci´ on de segundo orden al nivel de energ´ıa fundamental. Para esto se reemplaza la perturbaci´ on (1.74) en (1.51), de tal forma que E0(2) =

X

m6=0

(0) 2

(0) b3 +γ2 x b4 ) ψ0 ψm (γ1 x (0)

(0)

E0 −Em

.

(1.84)

Resulta conveniente escribir la perturbaci´ on anarm´ onica γ1 x b3 + γ2 x b4 en térmi† nos de los operadores de creaci´ on (b a ) y destrucci´ on (b a). Para efectos de procedimiento, inicialmente solo se considera la contribuci´ on del término cubico de la perturbaci´ on al elemento matricial que aparece en (1.84). Esta contribuci´ on se puede escribir como (0)

(0) ψ m γ1 x b3 ψ0 = γ1

3/2 (0) ~ ψm 2mω

(0) b ab ab a† + b ab a† b a† + b a† b ab a† + b a† b a† b a† ψ0 ,

(1.85)

donde el operador x b3 se ha expresado en términos de los operadores creaci´ on 3 y destrucci´ on , tal como lo indica la expresi´ on (B.44) del Apéndice B, pero se han omitido los términos que tienen al operador b a a la derecha, debido a que (0) estos términos no contribuyen por estar actuando sobre el estado de vac´ıo ψ0 . Teniendo en cuenta las ecuaciones de valores propios de los operadores creaci´ on

3 En la Secci´ on B.2 del Apéndice B se describen algunas propiedades de los operadores creaci´ on b3 y xb4 en términos de y destrucci´ on. Adem´ as, se deducen las expresiones para los operadores x los operadores creaci´ on y destrucci´ on.

21


y destrucci´ on dadas en (B.47) y (B.48), se puede calcular la contribuci´ on de cada uno de los cuatro términos del elemento matricial (1.85), obteniéndose

(0)

(0) (0)

(0) (0) (0) b b ψm b ab ab a† ψ0 = ψm ab a ψ1 = ψm a ψ0 = 0,

† † (0) (0) † (0) √ (0) (0) (0) ab a ψ1 = 2 ψm b b ab ab a ψ0 = ψm b a ψ2 = 2δm1 , ψm

(1.86)

(0) † † (0)

(0) † (0)

(0) † (0) b b ψm b ab ab a ψ 0 = ψm ab a ψ1 = ψm a ψ 0 = δm1 ,

√

(0) † † † (0) (0) † † (0) √ (0) † (0) a ψ 2 = 6δm3 , ψm b ab ab a ψ0 = ψm b ab a ψ1 = 2 ψm b

de tal forma que al sumarse estas cuatro contribuciones, el elemento matricial (1.85) queda finalmente escrito como

(0) (0) ψm γ1 x b3 ψ0 =

3/2 ~ γ1 (3δm1 2mω

+

√

6δm3 ).

(1.87)

Reemplazando (1.87) en (1.84), se obtiene que (2) 0

E (γ1 ) =

X

m6=0

(0) 2

(0) b3 ψ0 ψm γ 1 x (0)

(0)

E0 −Em

=

3 2 ~ γ1 2mω

9 (0) (0) E0 −E1

+

6 (0) (0) E0 −E3

.

(1.88)

(0) (0) on = 3~ω = 7~ω Al reemplazar los valores E0(0) = ~ω 2 , E1 2 , E3 2 en la expresi´ anterior, se encuentra que la correcci´ on a segundo orden a la energ´ıa del estado fundamental E0(2) (γ1 ), originada en el termino c´ ubico de la perturbaci´ on, esta dada por i 3 2 h 9 2 6 ~ 2 1 ~ = − 11 γ1 −~ω + −3~ω E0(2) (γ1 ) = 2mω . (1.89) 8 γ1 mω mω 2

Teniendo en cuenta que para obtener el resultado anterior ha sido necesario eva (0)

(0) γ1 x b3 ψ0 , ahora se puede calcular la correcci´ on luar el elemento matricial ψm (1) de primer orden al estado fundamental ψ0 (γ1 ), proveniente del termino c´ ubico de la perturbaci´ on. Reemplazando el elemento matricial (1.87) en la expresi´ on (1.48), para n = 0, se obtiene 3/2 3δ +√6δ (0) ~ m3 ψm γ1 m1 (0) (0) 2mω E0 −Em m6=0 3/2 h (0) √6 (0) i γ1 ~ − ~ω 3 ψ1 + 3 ψ3 . 2mω

(1) P ψ (γ1 ) = 0 =

(1.90)

A continuaci´ on se procede a calcular la contribuci´ on del término cu´ artico de la perturbaci´ on al elemento matricial que aparece en (1.84). Siguiendo un procedimiento similar al que se acaba de desarrollar para el termino cubico, primero es necesario expresar el operador x b4 en términos de los operadores (b a† ) y (b a), tal como se indica en (B.45), y reemplazar lo obtenido en el elemento matricial

22 CAPÍTULO 1.


(1.84). Al realizar lo anterior, se observa que diez términos no contribuyen al elemento matricial por tener al operador b a a la derecha y actuando sobre el estado (0) fundamental ψ0 . Los términos que contribuyen al elemento matricial son (0)

(0) (0) (0) ψ = 2δm0 , b ab ab a† b a† ψ0 = 2 ψm ψm 0

(0) † † (0) (0) (0) ψm b ab ab ab a ψ0 = ψm ψ0 = δm0 , √

(0) † † † (0) √ (0) (0) ψm b ab ab ab a ψ0 = 18 ψm ψ2 = 3 2δm2 , √ √ (0) (0)

(0) † † † (0) ψ = 2 2δm2 , ψm b ab ab ab a ψ 0 = 2 2 ψ m 2

(0) † † † (0) √ (0) (0) √ ψm b ab ab ab a ψ0 = 2 ψm ψ2 = 2δm2 , √ (0) (0)

(0) † † † † (0) ψ = 2δm4 . ψm b ab ab ab a ψ 0 = 2 6 ψ m 4

(1.91)

(1.92) (1.93) (1.94) (1.95) (1.96)

Sumando las anteriores contribuciones, se encuentra que la contribuci´ on del termino cu´ artico de la perturbaci´ on al elemento matricial, que aparece en (1.84), es i √ √ (0)

(0) 2 h ~ ψ m γ2 x b4 ψ0 = 2mω γ2 3δm0 + 6 2δm2 + 2 6δm4 . (1.97)

Reemplazando el elemento matricial (1.97) en (1.48), para n = 0, se encuentra (1) que la correcci´ on de primer orden al estado fundamental ψ0 (γ2 ), proveniente del termino cu´ artico de la perturbaci´ on, es

(0) γ2 xb4 ψ0(1) (0) (1) P ψm ψ m ψ (γ2 ) = (0) (0) 0

m6=0

=

E0 −Em

2 ~ γ2 2mω

γ2 = − ~ω

√ (0) 6 2 ψ2 (0)

(0)

E0 −E2

√ (0) 2 6 ψ4

+

(0)

(0)

(1.98)

E0 −E4 h √ √ i 2 ~ ψ (0) + 6 ψ (0) . 3 2 4 2 2mω 2

De igual forma, reemplazando (1.97) en (1.84) se obtiene que la correcci´ on de segundo orden a la energ´ıa del estado fundamental, proveniente del término cu´ artico, es E0(2) (γ2 ) = = =

4 2 ~ γ2 2mω 4 2 ~ γ2 2mω 4 2 ~ γ2 2mω

2 = − 21 8 γ2

P (3δm0 +6√2δm2 +2√6δm4 )2 (0)

h

72 (0) (0) E0 −E2

72 −2~ω

(0)

E0 −Em

m6=0

+

~ 3 1 . mω mω 2

+

24 (0) (0) E0 −E4

24 −4~ω

i

(1.99)


23

A partir de los resultados (1.89) y (1.99) se obtiene que la correcci´ on de segundo orden al nivel de energ´ıa fundamental es 2 2 ~ 2 1 ~ 3 1 − 21 . (1.100) E0(2) = − 11 8 γ1 mω 8 γ2 mω mω 2 mω 2

Por lo anterior, sumando (1.81) y (1.100), se encuentra que el nivel de energ´ıa fundamental corregido hasta segundo orden es 2 21 2 ~ 2 1 ~ 3 1 ~ 2 3 E0 = ~ω − , (1.101) − 11 γ 2 2 2 + 4 γ2 mω 8 γ1 mω 8 mω mω mω 2

donde se observa que la correcci´ on de segundo orden es negativa, lo cual propicia que el valor (1.101) sea mas peque˜ no que el valor (1.81), y as´ı, en consecuencia, el resultado (1.101) se debe ajustar mejor al valor experimental.

1.2.6.

El rotor r´ıgido

El Hamiltoniano de un rotor r´ıgido, en un campo magnético perpendicular al eje x, puede escribirse como: b 2 + BL bz + CL by, b = AL H

(1.102)

donde L es un n´ umero entero que representa el m´ odulo del vector momento angular, mientras que Lz , Ly son las proyecciones del momento angular en las direcciones x y y, respectivamente, teniendo unidades de ~2 . Las letras A, B y C b tiene unidades de energ´ıa. son constantes con dimensiones tales que H

Como otra aplicaci´ on de la teor´ıa de perturbaciones, se calcular´ an a continuaci´ on los niveles de energ´ıa corregidos hasta segundo orden. Para esto se b y representa la perturbaci´ considerar´ a que el término C L on. Por lo anterior, el operador Hamiltoniano del sistema se puede escribir como: b =H b0 + H b ′, H

(1.103)

b 2 + BL bz y H b y . Los estados propios de H b 0 = AL b ′ = CL b 0 son conocidos: siendo H b 2 + BL b z ) l, ml b 0 ψ (0) = H b 0 l, ml = (AL H lml (1.104) (0) 2 = [A~ l(l + 1) + B~ml ] l, ml = Elml l, ml , de tal forma que estos estados en la representaci´ on de coordenadas corresponden a los arm´ onicos esféricos dados por: (0)

(0) (1.105) ψlml (θ, φ) = θ, φ ψlml = Ylm (θ, φ) = Θlm (θ)Φm (φ),

b0 los cuales se describen en el Apéndice C. As´ı mismo los niveles de energ´ıa de H se conocen y est´ an dados por:   l = 0, 1, 2, 3... (0) 2 (1.106) Elml = A~ l(l + 1) + B~ml ,  m = −l, −l + 1... − 1, 0, 1...l − 1, l. l

24 CAPÍTULO 1.


Haciendo uso de (1.25), la correcci´ on a primer orden de los niveles de energ´ıa est´ a dada por:

(0) ′ (0)

(1) b y l, ml b ψ H C L Elm = ψlm = l, m l lm l l l (1.107)

b = C l, ml Ly l, ml . b y puede escribirse como: El operador L

b y = i (L b− − L b + ), L 2

(1.108)

b+ y L b − est´ donde los operadores escalera L an definidos como: p b − lml = ~ (l + ml )(l − ml + 1) l, ml − 1 , L

p b + lml = ~ (l − ml )(l + ml + 1) l, ml + 1 . L

Debido a lo anterior se cumple que:

b− − L b + ) l, ml l, ml b Ly l, ml = 2i l, ml (L

(1.109)

(1.110)

= 0,

obteniéndose que (1) Elm = 0. l

(1.111)

Ahora, usando (1.51), se tiene que la correcci´ on a segundo orden de los niveles de energ´ıa est´ a dada por:

2 X l, ml b Ly l, m′l (2) 2 , (1.112) Elml = c (0) (0) E lml − Elm′ ′ m 6=m l

l

l

donde, para conocerla se requiere evaluar el elemento matricial:

i

b + l, m′ l, ml b L− − L l, ml b Ly l, m′l = l 2 =

−

i~ q (l + m′l )(l − m′l + 1) l, ml l, m′l 2

i~ q (l − m′l )(l + m′l + 1) l, ml l, m′l . 2

Por lo anterior, esta correcci´ on se escribe como: # " 2 c2 (l + m + 1)(l − m ) ~ (l − m + 1)(l + m ) l l l l (2) Elm = + (0) (0) (0) (0) l 4 El,m − E E − E l,ml +1 l,ml l,ml −1 l

(1.113)


=

~2 c2 (l + ml + 1)(l − ml ) (l − ml + 1)(l + ml ) + 4 −B~ B~

=

1 ~c2 ml . 2 B

25

(1.114)

Por lo tanto, los niveles de energ´ıa corregidos hasta segundo orden son: (0) (1) (2) Elml = Elm + Elm + Elm l l l

= A~2 l(l + 1) + B~ml +

1.2.7.

1 ~c2 ml . 2 B

(1.115)

Ortogonalidad y renormalizaci´ on de los estados cu´ anticos

Los estados cu´ anticos del sistema perturbado, ψn , que en el método de teor´ıa de perturbaciones est´ an descritos por (1.7), son estados ortogonales. A continuaci´ on se verifica la afirmaci´ on anterior, orden λ2 en la serie pertur hasta bativa. Para hacerlo se premultiplica el ket ψk , definido a través de (1.7), por el bra ψl , definido de igual forma a través de (1.7), obteniéndose (0) (1)

(0)

ψl ψk = ψl(0) ψk + λ( ψl(0) ψk + ψl(1) ψk ) (2)

(0)

(1)

+ λ2 ( ψl(0) ψk + ψl(2) ψk + ψl(1) ψk ) + · · ·

(1.116)

Para el caso l 6= k, el termino de orden cero desaparece. Teniendo en cuenta que (1) puede escribirse a través de la en el termino de primer orden de (1.116), ψk expresi´ on (1.48), entonces se puede demostrar que

(0) ′ (0) b ψ

(0) (1)

(1) (0) ψ l H k ψ l ψ k = = − ψ l ψ k , (0) (0) Ek − El

(1.117)

por lo tanto el término de primer orden en (1.116) se anula. As´ı mismo, se puede verificar, que el término de segundo orden en (1.116) también se anula, al ser valida la siguiente igualdad: ′ (0) (0) ′ (0)

b ψ b ψ X ψs(0) H

(0) (2) (2) (0)

(1) (1) ψ s H k l = − ψ l ψ k . ψ l ψ k + ψ l ψ k = − (0) (0) (0) (0) − E − E E E s s s6=l,k l k (1.118) Por las razones anteriores, puede concluirse que los estados cu´ anticos del sistema perturbado son ortogonales, satisfaciéndose

(0) (0) ψl ψk = ψl ψk = δlk . (1.119) Por otro lado, hasta ahora, no se tiene ninguna garant´ıa que los estados cu´ anticos del sistema perturbado, descritos aproximadamente por (1.7), estén normalizados

26 CAPÍTULO 1.


a uno. Lo anterior sugiere que se requiere renormalizar estos estados a uno para para asegurar que la norma de sus funciones de onda tengan una interpretaci´ on probabil´ıstica y por ende para garantizar que la matriz de perturbaci´ on sea unitaria. Con el fin de lograr que los estados (1.7) estén normalizados a uno, se introduce la siguiente condici´ on de renormalizaci´ on: ψn N = Z 1/2 ψn , (1.120) N donde ψn N representa los estados cu´ anticos del sistema perturbado normaliza on. Con dos a uno, ψn son los estados (1.7) y ZN es la constante de renormalizaci´ lo anterior, los estados normalizados ψn N satisfacen la condici´ on de unitariedad, es decir

(1.121) N ψn ψn N = 1. La anterior condici´ on implica que la constante de renormalizaci´ on ZN , que se define real, debe satisfacer

−1 (1.122) ZN = ψ n ψ n ,

garantiz´ andose entonces la normalizaci´ on a uno de los estados cu´ anticos del sistema perturbado. Para efectos pr´ acticos, con el fin de lograr que los estados cu´ anticos del sistema perturbado se encuentren normalizados a uno es necesario conocer la constante de renormalizaci´ on ZN . Antes de obtener una expresi´ on anal´ıtica que permita evaluar ZN cabe preguntarse si esta constante tiene alg´ un significado f´ ısico. Para responder esta pregunta se premultiplica (1.120) por el

bra ψn(0) , obteniéndose

(0) 1/2

ψn ψn N = ZN ψn(0) ψn ,

(1.123)

donde al tener en cuenta la condici´ on de cuasi-normalizaci´ on (1.14), la anterior expresi´ on queda escrita como

(0) 1/2 (1.124) ψn ψn N = ZN .

Lo anterior permite que ZN pueda interpretarse como la probabilidad de que un sistema no perturbado encontr´ andose en el estado cu´ antico n se encuentre en el mismo estado cuando el sistema es perturbado. A continuaci´ on se encontrar´ a una expresi´ on que permite evaluar a ZN , hasta segundo orden en teor´ıa de perturbaciones. Para on (1.122) y se tiene en cuenta que los ésto, se parte de la expresi´ estados ψn perturbativamente pueden escribirse a través de (1.7), de tal forma que (0) (1) (0)

−1 ZN = ψn ψn = ψn(0) ψn + λ ψn(0) ψn + λ ψn(1) ψn (1) (0) (2)

+ λ2 ψn(0) ψn + λ2 ψn(2) ψn + λ2 ψn(1) ψn + O(λ3 ), (1.125)

27

1.3. EJERCICIOS

en donde se observa que el primer termino a la derecha es igual a uno debido a que los estados de orden cero est´ an normalizados a uno, los cuatro siguientes términos son cero al tenerse en cuenta la condici´ on de cuasi-normalizaci´ on (1.15). En consecuencia, la expresi´ on (1.125) se reduce a

−1 (1.126) ZN = 1 + λ2 ψn(1) ψn(1) + O(λ3 ). (1) Ya que la correcci´ on ψn esta dada en términos de (1.48), entonces el producto (1)

interior ψn(1) ψn , en (1.126), puede escribirse como

(0) b ′ (0) 2

(1) (1) X ψm H ψn ψ n ψ n = < 1, (0) (0) 2 En − Em m6=n

y as´ı la expresi´ on (1.126) se convierte en

(0) b ′ (0) 2 ψn X ψ m H −1 3 ZN = 1 + λ2 + O(λ ), (0) 2 (0) En − Em m6=n

(1.127)

(1.128)

y por lo tanto la probabilidad de encontrar el sistema perturbado en el mismo estado en que se encuentra cuando el sistema no est´ a perturbado es

(0) b ′ (0) 2 ψn X ψ m H 3 (1.129) ZN = 1 − λ2 + O(λ ), (0) (0) 2 En − Em m6=n

b ′ 6= 0, de acuerdo con la interpretaci´ donde puede notarse que ZN < 1, para H on probabil´ıstica que se le ha dado a ZN . Si se derivan los niveles de energ´ıa corregidos hasta segundo orden, dados por (1.52), con respecto a los valores propios de energ´ıa del sistema sin perturbar (0) (En ), se encuentra que ZN =

∂En (0)

∂En

,

(1.130)

resultado que ha sido verificado hasta segundo orden.

1.3.

Ejercicios

1. Muestre que la correcci´ on de segundo orden a los niveles de energ´ıa de un b =H b0 +H b ′ , puede escribirse sistema perturbado, descrito por el operador H

(2) b 0 − En(0) ] ψn(1) , mientras que la correcci´ como En = − ψn(1) [H on de tercer

(1) ′ (3) (1) (1) b orden puede escribirse como En = ψn [H − E ] ψn . n

28 CAPÍTULO 1.


2. Muestre por verificaci´ on directa, hasta orden λ3 en la perturbativa, serie que los estados cu´ anticos de un sistema perturbado ( ψn ) son estados ortogonales.

3. Un oscilador arm´ onico libre unidimensional es sometido a una perturbaci´ on H ′ , tal que i) H ′ = Ax, ii) H ′ = 12 k ′ x2 . Para ambos casos, encuentre el nivel de energ´ıa fundamental corregido hasta segundo orden y la funci´ on de onda del estado fundamental corregida hasta primer orden. Compare los resultados obtenidos con los que se encuentran b del al resolver exactamente la ecuaci´ on de valores propios del operador H sistema perturbado.

4. Considere el ´ atomo de hidr´ ogeno y asuma que el prot´ on en vez de ser una fuente puntual del campo de Coulomb, es una esfera uniformemente cargada de radio R, as´ı que el potencial de Coulomb es modificado de la siguiente 3e2 1 2 2 manera V (r) = − 2R 3 (R − 3 r ) para r < R << a0 y permanece igual 2 V (r) = − er para r > R. Teniendo en cuenta que el radio nuclear es R . 10 fm y que el radio de Bohr es a0 ≃ 0,5˚ A = 5 x 104 fm, y tomando como 2 1 2 3e2 2 ′ b ′ = 0 para b perturbaci´ on H = − 2R3 (R − 3 r ) + er para r < R y H r > R, calcule la correcci´ on de primer orden para los dos primeros niveles de energ´ıa. 5. Considere un ´ atomo de dos electrones. La energ´ıa potencial para el sistema de los dos electrones y el n´ ucleo de carga +Ze es 2

V = − Ze r1 −

Ze2 r2

+

e2 r12 ,

escrita en unidades c.g.s., donde r1 y r2 representan la separaci´ on de los electrones 1 y 2 al n´ ucleo, respectivamente, y r12 es la separaci´ on entre los dos electrones. Considere el n´ ucleo en reposo. a) Escriba la ecuaci´ on de valores propios para el Hamiltoniano del sistema. ¿Se puede solucionar exactamente esta ecuaci´ on? 2 e ′ b = b) Asumiendo que H es una perturbaci´ on que act´ ua sobre el sistema r12

b0 = H b 01 + H b 02 , donde H b 0i es el operador Hamiltoniano libre descrito por H de un ´ atomo hidrogenoide, encuentre la correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa fundamental del a´tomo de dos electrones. 6. Determine bajo que condiciones los niveles de energ´ıa corregidos hasta segundo orden, para el caso del rotor r´ıgido, dados por (1.115) representan una buena aproximaci´ on. 7. Para el problema del rotor r´ıgido estudiado en la secci´ on 1.2.6, obtenga la correcci´ on de primer orden a los estados cu´ anticos.

Cap´ıtulo 2

TPIT para niveles de energ´ıa degenerados Un nivel de energ´ıa x-esimo (Ex(0) ) de un sistema mec´ anico-cu´ antico no perturbado se dice degenerado, de orden g, si al resolver anal´ıtica y exactamente b 0 del sistema libre, se obtiene que la ecuaci´ on de valores propios del operador H (0) (0) (0) g estados ( ψ1 , ψ2 , · · · , ψg ), linealmente independientes, tienen asociado el mismo nivel de energ´ıa Ex(0) . Uno de los sistemas f´ısicos de mayor interés, para el que sus niveles de energ´ıa presentan degeneraci´ on, es el a´tomo hidrogenoide, sistema en el cual los niveles de energ´ıa quedan definidos por los valores que toma el n´ umero cu´ antico principal (n), es decir n = 1, 2, 3, · · · . En este sistema, los niveles de energ´ıa presentan degeneraci´ on de orden g = n2 . Otros sistemas de interés que presentan degeneraci´ on en sus niveles de energ´ıa son el oscilador arm´ onico bi- y tri-dimensional, la part´ıcula en un pozo de potencial infinito biy tri-dimensional. El desarrollo del método de la TPIT, para el caso de niveles de energ´ıa degenerados, presenta modificaciones con respecto al caso de niveles no degenerados. La raz´ on de lo anterior se debe a que, al existir g estados linealmente independientes asociados al nivel de energ´ıa Ex(0) del sistema libre, se pueden construir g combinaciones lineales de estos g estados, las cuales pueden tomarse como la correcci´ on de orden cero de los estados cu´ anticos del sistema perturbado. El problema radica en que las g combinaciones lineales son inicialmente desconocidas. Por lo anterior, para calcular la correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa x-esimo (Ex(1) ) del sistema perturbado, se requiere resolver una ecuaci´ on secular (1) de orden g, obteniéndose g valores para Ex , en principio diferentes. Esto u ´ltimo implica que, como efecto de la acci´ on de la perturbaci´ on sobre el sistema, se puede tener un levantamiento parcial o total de la degeneraci´ on. Este levantamiento de la degeneraci´ on se observa experimentalmente, por ejemplo, en a´tomos sometidos a la influencia de un campo eléctrico uniforme (efecto Stark), o de un campo magnético uniforme (efecto Zeeman an´ omalo). Cabe mencionar que también se observa un levantamiento de la degeneraci´ on en el a´tomo hidrogenoide por efecto 29

30

CAPÍTULO 2. TPIT PARA NIVELES DE ENERGÍA DEGENERADOS

de perturbaciones que tienen un origen interno, como sucede por ejemplo con la estructura fina o la hiperfina.

2.1.

Degeneramiento de orden dos

Como punto de partida para el desarrollo de la TPIT, caso degenerado, b 0, sup´ ongase el ejemplo de un sistema libre cuyo operador Hamiltoniano es H (0) el cual posee un nivel de energ´ıa Ex , doblemente degenerado, asociado con los (0) (0) estados ψs y ψt . Por lo anterior, en este ejemplo, se satisfacen las siguientes ecuaciones: b 0 ψs(0) = Ex(0) ψs(0) , (2.1) H b 0 ψ (0) = Ex(0) ψ (0) . H t t

(2.2)

(0) (0) pertenecen a la base del espacio de Hilbert y ψ t Los estados propios ψs (H) asociado con el sistema, por lo cual estos dos estados son ortonormales, es (0)

(0) (0) (0) (0)

decir ψs(0) ψs = ψt(0) ψt = 1 y ψs(0) ψt = ψt ψs = 0. Estos estados forman un subespacio, de dimensi´ on dos, en el espacio de Hilbert. (0) Por lo expuesto anteriormente, se puede construir un estado arbitrario ψx (0) (0) en el espacio H, mediante una combinaci´ on lineal de los estados ψs y ψ t , as´ı: (0) ψx = α ψs(0) + β ψ (0) , con α; β ∈ C, (2.3) t

b 0 al estado ψx(0) y teniendo en cuenta las de modo que aplicando el operador H ecuaciones (2.1) y (2.2): b 0 ψx(0) = H b 0 α ψs(0) + β ψ (0) H t b 0 ψs(0) + β H b 0 ψ (0) = αEx(0) ψs(0) + βE (0) ψ (0) = αH x t t (0) (0) , = Ex(0) α ψs + β ψt

se obtiene la siguiente ecuaci´ on de valores propios: b 0 ψx(0) = Ex(0) ψx(0) , H

(2.4)

(2.5)

(0) de donde se observa que el estado arbitrario ψx tiene asociado el mismo valor (0) (0) propio de energ´ıa Ex(0) que los estados propios ψs y ψt . En el desarrollo del método de la teor´ıa de perturbaciones independiente del tiempo, caso no degenerado, se ha supuesto impl´ıcitamente que los valores propios del sistema sin perturbar son no degenerados. Esto resulta evidente al considerar

31

2.1. DEGENERAMIENTO DE ORDEN DOS

la ecuaci´ on (1.69), en donde por estar definida la suma, por ejemplo, sobre todos los m 6= n = s, podr´ıa llegar a suceder que los valores propios de energ´ıa Et(0) y Es(0) (asociados con dos estados diferentes m = t 6= s) fueran iguales, de igual forma a como sucede en el ejemplo de doble degenerancia que se est´ a considerando, y lo anterior estar´ıa trayendo como consecuencia que la expresi´ on (1.69) fuera b 0 es indeterminada. Claramente, esta situaci´ on no se presenta si el espectro de H no degenerado. Por lo tanto, en el método perturbativo de la secci´ on anterior, la existencia de degeneraci´ on en el sistema conduce a que las funciones de onda del sistema perturbado dejen de ser continuas. Adicionalmente, si se posibilita la existencia de degenerancia en el sistema sin perturbar, se tendr´ıa que la correcci´ on de segundo orden a la energ´ıa, dada por (1.71), también ser´ıa indeterminada. Para poder desarrollar el método de la teor´ıa de perturbaciones satisfactoriamente, cuando el sistema tiene niveles de energ´ıa degenerados, se debe formar primero una combinaci´ on lineal de los g estados propios degenerados del sistema libre asociados a un mismo nivel de energ´ıa Ex(0) y admitir que, si esta superposici´ on es la correcta, entonces el método perturbativo trabajar´ a consistentemente. A esta superposici´ on correcta se le llama el estado adecuado, o estado correcto de orden cero. Este es el procedimiento que se aplicar´ a al ejemplo de doble degeneraci´ on que se est´ a considerando. Luego se generalizar´ a a niveles con mayor grado de degeneraci´ on. b ′ = λH b ′ , a un sistema en el Si se introduce una perturbaci´ on, descrita por H que se cumple (2.1) y (2.2), la degeneraci´ on en general se levantar´ a. Puesto que λ puede incrementarse entre 0 y 1 (o sea la intensidad de la perturbaci´ on puede pasar de cero a su valor m´ aximo), el valor de energ´ıa Ex , asociado con los dos estados degenerados, se desdoblar´ a, y la diferencia aumentar´ a a medida que λ se incremente. Ex Ex(0) + A + B Ex(0) + A − B Ex(0)

0

1

λ

Figura 2.1: Desdoblamiento del valor propio Ex , por efecto de la perturbaci´ on.

(0) En el sistema libre, el estado ψx , dado por (2.5), tiene asociado el valor propio de energ´ıa Ex(0) . Cuando la perturbaci´ on act´ ua en el sistema, como se veri-

32


ficar´ a m´ as adelante a primer orden en la serie perturbativa, hay un desdoblamiento del nivel de energ´ıa x en dos niveles, uno de mayor valor Ex↑ = Ex(0) + A + B y otro de menor valor Ex↓ = Ex(0) + A − B. Estos niveles ıa tienen asociados de energ´ los estados propios del sistema perturbado ψx↑ y ψx↓ , respectivamente. En la figura 2.1, se muestra esquem´ aticamente la manera en que el nivel de energ´ıa Ex(0) se desdobla por efecto de la perturbaci´ on. Si se “apaga” la perturbaci´ on, (0) (0) el sistema regresar´ a al nivel de energ´ıa Ex . Al mismo tiempo, el estado ψx↑ corresponder´ a a una combinaci´ on de los dos estados propios del sistema sin per (0) (0) (0) a a otra combinaci´ on, turbar, ψs y ψt , y el estado ψx↓ le corresponder´ como se ilustra a continuaci´ on: b ′ ψ (0) = α↑ ψ (0) + β↑ ψ (0) , ψx↑ Se apaga H s t x↑ −−−−−−−−→ b ′ ψ (0) = α↓ ψ (0) + β↓ ψ (0) , ψx↓ Se apagaH s t x↓ −−−−−−−−→

donde las dos combinaciones son diferentes debido a que en general α↑ 6= α↓ y β↑ 6= β↓ . Estas dos combinaciones, que en principio no se conocen, son las correctas para poder desarrollar consistentemente el método de teor´ıa de perturbaciones en este caso. Pero el no conocer las combinaciones correctas, es precisamente el motivo por el cual no se puede seguir el mismo procedimiento del caso no degenerado.

2.2.

Correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa x

A continuaci´ on se calcula la correcci´ on a primer orden al nivel de energ´ıa b ′ . El nivel de energ´ıa x x para un sistema en el que act´ ua una perturbaci´ on H presenta degeneraci´ on de orden dos cuando el sistema no est´ a perturbado. Sin estar presente la perturbaci´ on, el nivel de energ´ıa Ex(0) tiene asociado dos estados degenerados, que se describen como superposiciones de la forma: (0) ψx = α ψs(0) + β ψ (0) , (2.6) t

siendo α y β par´ ametros ajustables, en general complejos, no conocidos. Estos estados, son los estados correctos de orden cero y una vez se conozca la correcci´ on a primer al nivel de energ´ıa x, ser´ a posible determinar los valores de los coeficientes de las dos superposiciones, es decir se conocer´ an completamente las correcciones de orden cero a los estados asociados al nivel de energ´ıa x del sistema perturbado. b y la El sistema mec´ anico-cu´ antico perturbado est´ a descrito por el operador H ecuaci´ on de Schr¨ odinger a resolver es: b ψ x = Ex ψ x , H (2.7) con

b =H b 0 + λH b ′, H

(2.8)

´ DE PRIMER ORDEN AL NIVEL DE ENERGÍA X 2.2. CORRECCION

33

b ′ representa una peque˜ donde H na perturbaci´ on independiente del tiempo. La ecuaci´ on de Schr¨ odinger (2.7) no se puede solucionar exactamente, y por lo tanto se resolver´ a de forma aproximada, a través del método de la teor´ıa de perturbaciones. Por lo anterior, los estados y los valores propios, soluci´ on de (2.7), se escriben como: (0) ψx = ψx + λ ψx(1) + λ2 ψx(2) + · · · , (2.9a) Ex = Ex(0) + λEx(1) + λ2 Ex(2) + · · · .

(2.9b)

Reemplazando (2.9a), (2.9b) y (2.8) en (2.7), agrupando en términos de potencias de λ, se obtiene la ecuaci´ on (1.16). Esta ecuaci´ on se puede reescribir como: b 0 + λH b ′ ψx(0) + λ H b 0 + λH b ′ ψx(1) H

b 0 − λH b ′ ψx(2) + · · · = Ex(0) ψx(0) + λ Ex(0) ψx(1) + Ex(1) ψx(0) (2.10) +λ2 H +λ2 Ex(2) ψx(0) + Ex(1) ψx(1) + Ex(0) ψx(2) + · · · .

El desarrollo del método de teor´ıa de perturbaciones, que se har´ a a continuaci´ on, se limitar´ a hasta primer orden. Por lo cual la ecuaci´ on anterior se reduce a: b 0 ψx(1) = E (0) ψx(0) + λ Ex(0) ψx(1) + Ex(1) ψx(0) , b ′ ψx(0) + λH b 0 ψx(0) + λH H

b 0 , se en donde al tenerse en cuenta la ecuaci´ on de valores propios del operador H obtiene la ecuaci´ on de primer orden dada por: b 0 ψx(1) = Ex(1) ψx(0) + Ex(0) ψx(1) . b ′ ψx(0) + H (2.11) H

En esta ecuaci´ on aparecen los estados de orden cero y orden uno. El interés se centra en obtener la correcci´ on a primer orden al nivel de energ´ıa x (Ex(1) ), nivel que cuando no hay perturbaci´ on es doblemente degenerado. A continuaci´ on se sigue un procedimiento similar al llevado a cabo en el capitulo anterior, con dos diferencias: la primera, que en éste caso se tienen pero (0) (0) on (2.11), dos bra, ψs y ψt , con los cuales se puede premultiplicar a la ecuaci´ (0) y la segunda, que ψx es, en éste caso, una combinaci´ on lineal dada por (2.6).

Por lo anterior, primero, se premultiplica (2.11) por el bra ψs(0) obteniéndose:

′ (0) (0) 0 (1) (0) (1) (0) (0) (0) (1) b ψ x = ψ s Ex ψ x + ψ s Ex ψ x , b ψ x + ψ s H ψs(0) H

b 0 , la expresi´ y si se usa la ecuaci´ on de valores propios de H on anterior queda escrita como:

(0) ′ (0) b ψx = Ex(1) ψs(0) ψx(0) . ψ s H

(2.12)

34


Reemplazando (2.6) en (2.12) se tiene:

(0) ′ (0)

b α ψs + β ψ (0) = Ex(1) ψs(0) α ψs(0) + β ψ (0) , ψ s H t t

expresi´ on que puede escribirse como:

′ (0) ′ (0) (0)

b ψs + β ψs(0) H b ψ α ψs(0) H = αEx(1) ψs(0) ψs(0) + βEx(1) ψs(0) ψt = αEx(1) , t

la cual a su vez se puede escribir de una forma m´ as compacta de la siguiente manera: ′ ′ αHss + βHst = αEx(1) .

Si ahora se premultiplica a la ecuaci´ on (2.11) por el bra ψb(0) , se tiene:

(0) ′ (0) b ψx = Ex(1) ψ (0) ψx(0) , ψ t H t

(2.13)

(2.14)

ecuaci´ on en la que si se reemplaza (2.6) se obtiene:

′ (0) ′ (0) (0)

b ψs + β ψ (0) H b ψ α ψt(0) H = αEx(1) ψt(0) ψs(0) + βEx(1) ψt(0) ψt = βEx(1) . t t

Esta u ´ltima expresi´ on se puede escribir de forma m´ as compacta como: ′ αHts + βHtt′ = βEx(1) .

(2.15)

En las ecuaciones (2.13) y (2.15) se ha usado, para los elementos matriciales de b ′ , la notaci´ H on: ′ (0)

b ψ , Hij′ = ψi(0) H j

(2.16)

donde las sub´ındices i y j, para este caso de doble degeneraci´ on, toman los valores t y s. La soluci´ on del sistema de ecuaciones (2.13) y (2.15) permite conocer la correcci´ on de primer orden Ex(1) , al suponerse que se conocen los elementos matriciales Hij′ . Esto u ´ltimo es cierto, debido a que los elementos Hij′ se pueden b ′ y por calcular al ser conocida la perturbaci´ on que act´ ua sobre el sistema H (0) (0) ser conocidos los estados propios del sistema sin perturbar ψi y ψj . Para solucionar el sistema de ecuaciones (2.13) y (2.15), resulta conveniente escribir las dos ecuaciones de forma matricial, as´ı:      ′ H′ α α Hss st    = Ex(1)   .  (2.17) ′ H′ β β Hts tt

´ DE PRIMER ORDEN AL NIVEL DE ENERGÍA X 2.2. CORRECCION

35

Usando la notaci´ on compacta matricial, la ecuaci´ on (2.17) se puede escribir como: H′ a = Ex(1) a,

(2.18)

donde H′ se denomina la matriz de perturbaci´ on, y para el ejemplo en consideraci´ on es una matriz 2x2 dada por:   ′ H′ Hss st , H′ =  ′ ′ Hts Htt

(2.19)

mientras que α es un vector columna, que en este caso es de dos componentes, dado por:   α a =  . β

(2.20)

La ecuaci´ on (2.18), de forma equivalente, puede escribirse como: H′ − Ex(1) I a = 0,

donde para que exista soluci´ on, se debe cumplir que: det H′ − Ex(1) I = 0

(2.21)

La ecuaci´ on (2.21) se denomina ecuaci´ on secular y su soluci´ on en este caso tiene dos ra´ıces, siendo ambas las correcciones de primer orden a la energ´ıa del nivel x. Para solucionar la ecuaci´ on secular (2.21), se reemplaza (2.19) y se eval´ ua el (1) determinante, obteniéndose una ecuaci´ on cuadr´ atica para Ex dada por: Ex(1)

2

′ ′ ′ ′ − Ex(1) Hss + Htt′ + Hss Htt′ − Hst Hts = 0,

cuyas dos soluciones tienen la forma:

Ex(1) =

′ + H′ ± Hss tt

q ′ + H ′ )2 − 4 (H ′ H ′ − H ′ H ′ ) (Hss ss tt tt st ts 2

,

y donde al efectuar operaciones dentro de la expresi´ on subradical se obtiene que las dos soluciones toman la forma: (1) Ex↑ = A + B,

E

(1) x↓

= A − B,

(2.22) (2.23)

36


q 1 ′ + H′ ) y B = 1 ′ − H ′ )2 + 2(H ′ )2 . En el desarrollo (Hss (Hss tt tt st 2 2 ′ b anterior, se ha tenido en cuenta que el operador H es herm´ıtico y por lo tanto se cumple que: ′ (0) (0) ′ (0) ∗ (0) ′ (0)

′ ′ b ψs = Hts b ψ b ψ . = ψ t H = ψ s H Hst = ψs(0) H t t siendo A =

En consecuencia, el nivel de energ´ıa x, corregido hasta primer orden, se ha desdoblado de la siguiente manera: Ex↑ = Ex(0) + A + B, Ex↓ = E

(0) x

+ A − B.

(2.24) (2.25)

Este desdoblamiento originado por la perturbaci´ on, es mostrado diagram´ aticamente en la Figura (2.1).

2.3.

Estados correctos de orden cero

Una vez se ha calculado la correcci´ on a primer orden a la energ´ıa, obteniéndose el desdoblamiento del nivel de energ´ıa x , es posible obtener los estados correctos (1) en la ecuaci´ on (2.17), se de orden cero. Para esto, se reemplaza la correcci´ on Ex↑ denotan los coeficientes en este caso como α↑ y β↑ , por lo cual:      ′ H′ α↑ α↑ Hss st (1)      = Ex↑  (2.26) ′ ′ β↑ β↑ Hts Htt de donde se obtienen las siguientes dos ecuaciones: (1) ′ ′ Hss − Ex↑ α↑ + Hst β↑ = 0, (1) ′ β↑ = 0, α↑ Hts + Htt′ − Ex↑

con las cuales es posible encontrar los valores de α↑ y β↑ , y de esta forma se (1) obtiene el estado correcto de orden cero asociado con la correcci´ on Ex↑ , es decir: (0) (0) (0) ψ + β↑ ψt , (2.27) x↑ = α↑ ψs

donde los coeficientes satisfacen la condici´ on:

|α↑ |2 + |β↑ |2 = 1,

(2.28)

(0) la cual es originada en la condici´ on de normalizaci´ on a uno del estado ψ↑ . (1) en la ecuaci´ on (2.17), y se denotan De manera an´ aloga, si se reemplaza Ex↓ los coeficientes en este caso como α↓ y β↓ , se obtiene que el estado correcto de orden cero asociado es: (0) (0) (0) ψ (2.29) + β↓ ψt , x↓ = α↓ ψs

2.3. ESTADOS CORRECTOS DE ORDEN CERO

37

donde los coeficientes satisfacen la condici´ on de normalizaci´ on: |α↓ |2 + |β↓ |2 = 1.

(2.30)

Los estados correctos (2.27) y (2.29) son los dos estados propios del sistema sin perturbar, asociados con el mismo valor propio de energ´ıa degenerado Ex(0) . Estos dos estados, inicialmente desconocidos, han sido obtenidos a través de la soluci´ on de la ecuaci´ on secular asociada con el problema de doble degeneraci´ on. b un operador herm´ıtico que conmuta con H b ′ . Si ψs(0) y ψ (0) Teorema 1. Sea X t b con valores propios diferentes, es decir se satisfacen las son estados propios de X b ψ (0) = ν ψ (0) , de tal b ψs(0) = µ ψs(0) y X ecuaciones de valores propios X t t (0) (0) ′ = 0, y as´ y ψt , por separado, son forma que µ 6= ν, entonces, Hst ı ψ s estados correctos para ser usados en el método de la teor´ıa de perturbaciones, caso degenerado. b H b′ = ˆ Demostraci´ on. La suposici´ on es X, 0, luego:

(0) b H b ′ ψ (0) = 0 ψs X, t ′ (0)

bX b ψ bH b ′ ψ (0) − ψs(0) H . = ψs(0) X t t

b = ψs(0) µ y ψ (0) X b es herm´ıtico, entonces ψs(0) X b = ψ (0) ν, entonces: Ya que X t t

′ (0) ′ (0)

b H b ′ ψ (0) = µ ψs(0) H b ψ b ψ ψs(0) X, − ν ψs(0) H t t t

(0) ′ (0) ′ = 0, b ψ = (µ − ν)Hst = (µ − ν) ψs H t

′ = 0. y debido a que µ 6= ν, por lo tanto Hst

Como ense˜ nanza de este teorema se puede decir lo siguiente: si se tiene un b que problema con estados degenerados, se puede buscar un operador herm´ıtico X ′ b . Se toman como estados del sistema no perturbado los estados conmute con H b ′ y X. b En consecuencia, se puede usar el método de la propios simult´ aneos de H teor´ıa de perturbaciones, caso no degenerado, a primer orden. Si no es posible b que tenga tales caracter´ısticas, entonces es necesario encontrar un operador X usar la ecuaci´ on (2.22). b se puede identificar con el operador H b0 En particular, el operador herm´ıtico X y as´ı, los estados propios del sistema sin perturbar, formando una base adecuada, b ′ . Lo anterior trae como consecuencia, también son estados propios del operador H que la matriz de perturbaci´ on H′ sea diagonal, y por lo tanto, se puede calcular la correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa x como si fuera un caso no degenerado. Es decir, si es posible encontrar una base adecuada en la que los estados b0 y H b ′ , entonces, propios del sistema sin perturbar, sean estados simult´ aneos de H

38


en el ejemplo de doble degeneraci´ on que se est´ a estudiando, la ecuaci´ on (2.17) se escribe de la siguiente manera:      ′ α α Hss 0    = Ex(1)   .  β β 0 Htt′

(2.31)

En la anterior ecuaci´ on se puede observar que ya no es posible obtener una ecuaci´ on secular, y adem´ as, se pueden encontrar directamente las dos correcciones de primer orden al nivel de energ´ıa x, las cuales est´ an dadas por: ′ (0)

(1) ′ b ψ s , Ex↑ = Hss = ψs(0) H ′ (0)

(1) b ψ Ex↓ = Htt′ = ψt(0) H . t

con lo cual, la correcci´ on a primer orden a la energ´ıa se eval´ ua usando la expresi´ on (1.25), o en otra palabras, esta correcci´ on se obtiene como si fuera un problema no degenerado.

2.4.

Correcci´ on de primer orden a los dos estados

Previamente se encontr´ o, que por efecto de la perturbaci´ on que act´ ua sobre el sistema, la doble degeneraci´ on del nivel de energ´ıa x se levanta, y como consecuencia, en el sistema perturbado existen dos niveles de energ´ıa diferentes, Ex↑ y Ex↓ . Las expresiones (2.24) y (2.25) permiten obtener los dos niveles de energ´ıa, corregidos hasta primer orden en la serie perturbativa. Cada uno de los b del sistema niveles Ex↑ y Ex↓ tiene asociado un estado propio del operador H perturbado, de la siguiente manera: b ψx↑ = Ex↑ ψx↑ , H b ψx↓ = Ex↓ ψx↓ . H

(2.32) (2.33)

El prop´ osito, a continuaci´ on, es encontrar las correcciones de primer orden a los estados propios del sistema perturbado ψx↑ y ψx↓ , correcciones que se (1) (1) denotar´ an respectivamente por ψx↑ y ψx↓ . Para obtener estas correcciones, se parte de la ecuaci´ on de primer orden dada por (2.11), pero escrita de la siguiente forma: b 0 − Ex(0) ψx(1) = − H b ′ − Ex(1) ψx(0) . H (2.34) (1) La anterior ecuaci´ on, para el caso ψx↑ , queda escrita como:

(1) (0) b 0 − Ex(0) ψ (1) = − H b ′ − Ex↑ H ψx↑ . x↑

(2.35)

´ DE PRIMER ORDEN A LOS DOS ESTADOS 2.4. CORRECCION

39

b 0 constituyen un conjunto Recordando que los estados propios del operador H completo ortonormal, entonces es posible escribir que: ∞ (1) X (1) (0) ψ C ψ , = m m x↑

(2.36)

m=1

Reemplazando (2.36) en (2.35) y teniendo en cuenta la ecuaci´ on de valores propios 0 b de H , se obtiene: ∞ X

m=1

(1) (0) (1) (0) (0) b ′ − Ex↑ ψ m = − H ψx↑ . − Ex(0) Cm Em

(2.37)

En el lado derecho de la ecuaci´ on anterior, se observa que cuando la sumatoria toma los valores m = s, t no hay contribuci´ on, debido a que Es(0) = Et(0) = Ex(0) . Por esta raz´ on, en esta sumatoria se pueden

(0) suprimir los valores s y t. Premultiplicando la ecuaci´ on (2.37) por el bra ψl y substituyendo (2.27) se obtiene: ∞ (0) ′ (1) (0)

(0) X (1) (0) b − Ex↑ ψm = − ψ (0) H . α↑ ψs(0) + β↑ ψt Em − Ex(0) Cm ψl l m6=s,t

(2.38)

La anterior ecuaci´ on, para l 6= s, t, se convierte en:

(0) ′ (0) ′ (0) (1)

b ψ b ψ El(0) − Ex(0) Cl ψl(0) ψl = −α↑ ψl(0) H − β↑ ψl(0) H , s t

(2.39)

de donde es posible despejar el coeficiente de la expansi´ on: (1) Cl

′ (0) ′ (0)

b ψs + β↑ ψ (0) H b ψ α↑ ψl(0) H t l . = (0) (0) El − Ex

(2.40)

En la anterior expresi´ on el sub´ındice l es mudo, por tal motivo se puede reemplazar l = m en (2.40), y substituir el resultado en (2.36), obteniéndose que la (↑) correcci´ on de primer orden al estado ψx es:

(0) ′ (0)

(0) ′ (0) ∞ b ψ b ψ s + β↑ ψ m H H X (1) (0) α↑ ψm t ψ ψm . = x↑ (0) (0) (Ex − Em )

(2.41)

(0) ′ (0)

(0) ′ (0) ∞ b ψ b ψ s + β↓ ψ m H H X (0) (1) α↓ ψm t ψm . ψ = x↓ (0) (0) (Ex − Em )

(2.42)

m6=s,t

Siguiendo un procedimiento similar al que se acaba de desarrollar para encontrar (↓) (1) ψx es: ψ , se obtiene que la correcci´ o n de primer orden al estado x↑ m6=s,t

40


2.5.

Degeneramiento de orden g

Sup´ ongase ahora el ejemplo de un sistema libre, descrito por el operador b 0 , el cual posee un valor propio Ex(0) con degeneraci´ Hamiltoniano H on g, es decir en el sistema sin perturbar hay g estados propios linealmente independientes, todos con el mismo valor propio de energ´ıa. Considerando que el sistema es perb ′ , entonces en este caso la ecuaci´ turbado mediante H on (2.17) est´ a dada por:      ′ H′ . . . H′ α α H11 1 12 1g     1       α2  H ′ H ′ . . . H ′  α2  2g       21 22    = Ex(1)   ,  (2.43)  .     . .. . . ..   ..    ...   .. . . .           ′ H′ . . . H′ αg α Hg1 g gg g2 donde los elementos matriciales est´ an definidos como: ′ (0)

b ψ ; Hij′ = ψj(0) H i

i, j = 1, 2, . . . , g.

(2.44)

La ecuaci´ on matricial (2.43), de forma equivalente, se puede escribir de la siguiente manera: g X

′ = αj Ex(1) ; αi Hji

j = 1, 2, . . . , g,

(2.45)

i=1

o de forma m´ as compacta como (2.18): H′ a = Ex(1) a.

(2.46)

A partir de (2.46) se obtiene la ecuaci´ on secular dada por (2.21): det H′ − Ex(1) I = 0,

(2.47)

ecuaci´ on, que en este caso, al ser solucionada conduce a g ra´ıces, cada una representando una correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa x. Estas g ra´ıces, en general distintas, se representan como: (1) Ex,1 ,

(1) Ex,2 ,

··· ,

(1) Ex,g .

(2.48)

El anterior hecho implica que para el sistema perturbado podr´ıa darse un levantamiento total de la degeneraci´ on, es decir existen g niveles de energ´ıa distintos, los cuales corregidos a primer orden se expresan como: (1) Ex,1 = Ex(0) + Ex,1 ,

(1) Ex,2 = Ex(0) + Ex,2 ,

··· ,

(1) Ex,g = Ex(0) + Ex,g .

(2.49)

2.6. PARTICULA EN UN POZO BIDIMENSIONAL PERTURBADO

41

Los anteriores niveles de energ´ıa tienen asociados los siguientes estados propios del sistema perturbado: ψx,1 , ψx,2 , · · · , ψx,g , (2.50)

de una forma tal que se satisfacen las siguientes g ecuaciones de valores propios: b ψx,1 = Ex,1 ψx,1 , H b ψx,2 = Ex,2 ψx,2 , · · · , H b ψx,g = Ex,g ψx,g . H (2.51)

Los g estados de (2.50), corregidos hasta primer orden en la serie perturbativa, pueden expresarse como: ψx,1 = ψ (0) + ψ (1) , ψx,2 i = ψ (0) + ψ (1) , (2.52) x,1 x,1 x,2 x,2 (0) (1) , · · · , ψx,g = ψx,g + ψx,g ,

donde los estados correctos de orden cero, est´ an dados por: (0) (0) 1 (0) ψ + α21 ψ2 + · · · + αg1 ψg(0) , x,1 = α1 ψ1 (0) (0) (0) ψ = α12 ψ + α22 ψ + · · · + αg2 ψg(0) , x,2

1

2

.. .

.. .

(0) ψx,g = αg ψ (0) + αg ψ (0) + · · · + αgg ψg(0) , 1

1

2

2

siendo los coeficientes αij obtenidos en cada caso, reemplazando cada una de las g ra´ıces de (2.47) en la ecuaci´ on matricial (2.43), y donde las correcciones de primer orden est´ an dadas por: ∞ j (0) b ′ (0) j (0) b ′ (0) X (1) ψm H ψg (0) ψ + · · · + α H ψ α g m 1 1 ψ ψm , (2.53) x,j = (0) (0) (Ex − Em ) m6=1,2,···g

siendo j = 1, 2, · · · , g.

2.6.

Particula en un pozo bidimensional perturbado

Como una aplicaci´ on del metodo de TPIT (caso degenerado), se considera una part´ıcula de masa m en presencia de un potencial bidimensional, de la forma: ( 0, 0 < x < a, 0 < y < a, (2.54) V (x, y) = ∞, en caso contrario, y sometida a la perturbaci´ on: H ′ (x, y) = λxy,

0 ≤ x ≤, 0 ≤ y ≤ a.

(2.55)

42


Los niveles de energ´ıa y las funciones de onda del sistema sin perturbar, est´ an dados por: En(0)x ny =

π 2 ~2 2 (n + n2y ), 2ma2 x

(2.56)

= ψn(0) x ny

n π n π 2 y x sin x sin y , a a a

(2.57)

De esta forma, las energ´ıas del nivel base (nx = ny = 1), del primer estado exitado (nx = 1 y ny = 2 o nx = 2 y ny = 1) y del segundo estado escitado (nx = ny = 2) son: 2π 2 ~2 = 2ǫ, 2ma2 (0) =E21 = 5ǫ,

(0) E11 =

(2.58)

(0) E12

(2.59)

(0) E22 =8ǫ,

con ǫ =

π 2 ~2 , 2ma2

(2.60)

respectivamente. Se puede ver entonces, que el primer nivel de energ´ıa excitado es degenerado. Las correcciones a primer orden, del estado base, y del segundo nivel excitado, se calculan de manera usual usando (1.25). La correci´ on del estado base es: Z aZ a πy πx πy πx

(0) ′ (0) 4 (1) b ψ H = sin λxy sin sin dxdy sin E11 = ψ11 11 a2 0 0 a a a a =

4λ a2

4λ = 2 a

Z

a

x sin2

0

a2 4

a2 4

πx a

=

dx

Z

a

y sin2

0

πy a

dy

λa2 . 4

(2.61)

La energia del nivel base, corregida primer orden esta dada por: (0) (1) E11 = E11 + E11 = 2ǫ +

λa2 , 4

(2.62)

de donde se tiene: λa2 4π 2 ~2 < 2ǫ → λ < . 4 ma4

(2.63)

Asi mismo, la correci´ on a primer orden del segundo nivel exitado esta dada por:

(0) ′ (0) (1) b ψ H E22 = ψ22 22 4 = 2 a

Z

0

aZ a 0

sin

2πx a

sin

2πy a

λxy sin

2πx a

sin

2πy a

dxdy

43

2.6. PARTICULA EN UN POZO BIDIMENSIONAL PERTURBADO

=

4λ a2

a2 4

a2 4

=

λa2 , 4

(2.64)

por lo tanto, la energia del segundo estado excitado corregida a primer orden, es: (0) (1) E22 = E22 + E22 = 8ǫ +

λa2 . 4

(2.65)

Para calcular la correcci´ on a primer orden a la energia del primer nivel excitado, asi como sus respectivos estados correctos de orden cero, se realiza el procedimiento descrito en la secci´ on anterior. Como primer paso, se calculan los elementos b ′ , dada por: de la matriz perturbaci´ on H 

′ (0) (0) ′ (0)  (0) ψ12 H ψ21 H ψ12 ψ12 ′  H =

(2.66) ′ (0) (0) ′ (0)  , (0) ψ21 H ψ12 ψ21 H ψ21

donde

(0) ′ (0) (0) ′ (0) λa2 = A, ψ12 H ψ12 = ψ21 H ψ21 = 4

(0) ′ (0) (0) ′ (0) ψ12 H ψ21 = ψ21 H ψ12

(2.67)

4λ = 2 a

Z

4λ = 2 a

Z

4λ = 2 a

8 a2 8 a2 256 λa2 = B, − 2 − 2 = 9π 9π 81 π 4

0

aZ a

sin

0

0

a

sin

πx a

πx a

sin

sin

2πy a

2πx a

xy sin

Z xdx

2πx a

a

0

sin

sin

πy

2πy a

y de esta forma (2.66), se puede escribir como:   A B . H′ =  B A

El sistema que se quiere solucionar es:      α1 α1 A B    = Ex(1)   ,  α2 B A α2

el cual tiene soluci´ on no trivial, si se satisface:   A − Ex(1) B b ′ − E (1) I) = 0 → det   = 0. det(H x (1) B A − Ex

a

sin

dxdy πy a

ydy

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

44


Por lo tanto, de (2.71) se obtiene: (A − Ex(1) )2 − B 2 = 0,

(2.72)

lo cual lleva a dos soluciones de Ex(1) : (1) Ex,1

E

(1) x,2

λa2 λa2 256 λa2 − = =A − B = 4 81 π 4 4 λa2 =A + B = 4

1+

r

32 9π 2

!

1−

r

32 9π 2

.

!

,

(2.73)

(2.74)

b ′ , la degenSe puede ver entonces, (figura 2.2) que debido a la perturbaci´ on H (0) eraci´ on del primer estado excitado, con energia E12 , se levanta, dando lugar a dos niveles de energia: (0) (1) (0) Ex,1 = E12 + Ex,1 = E12 +A−B

(2.75)

(0) (1) (0) Ex,2 = E12 + Ex,2 = E12 + A + B.

(2.76)

Reemplazando (2.73), en (2.70), se tiene:      α1 A B α1 (1)  ,     = Ex,1 B A α2 α2

(2.77)

Aα1 + Bα2 = (A − B)α1 = Aα1 − Bα1 ,

(2.78)

Bα1 + Aα2 = (A − B)α2 = Aα2 − Bα2 ,

(2.79)

de donde se concluye que α2 = −α1 ,

(2.80)

por lo tanto, el estado correcto de orden cero asociado a la energia Ex,1 es: (0) (0) (0) ψ ψ ψ ψ (0) − ψ (0) , = α + α = α (2.81) 1 2 1 x1 12 21 12 21

(0) y normalizando ψx1 , finalmente se tiene: (0) 1 (0) (0) ψ √ ψ12 − ψ21 . = x1 2

(2.82)

Similarmente, reemplazando (2.74) en (2.70), se obtiene el estado correcto de orden cero asociado a la energia Ex,2 : (0) 1 (0) (0) ψ √ = ψ12 + ψ21 . (2.83) x2 2

45

2.7. EL EFECTO STARK.

λ=0

λ=1 E22 = 8ǫ + A

(0) E22 = 8ǫ (0) Ex,2 = E12 +A+B

(0) Ex,1 = E12 +A−B (0) (0) E12 = E21 = 5ǫ

E11 = 2ǫ + A

(0) E11 = 2ǫ

b ′ = λxy Figura 2.2: Diagrama de energ´ıa para el pozo bidimensional perturbado por H

2.7.

El efecto Stark.

A continuaci´ on se considera, como una aplicaci´ on del método de la teor´ıa de perturbaciones independiente del tiempo, caso degenerado, un a´tomo hidrogenoide en presencia de un campo eléctrico exterior, uniforme y paralelo al eje z, tal como se muestra en la Figura (2.3). Experimentalmente se observa que la degeneraci´ on de los niveles de energ´ıa de Bohr que se presenta en los a´tomos libres se levanta parcialmente como consecuencia de la perturbaci´ on del campo eléctrico exterior. Este fen´ omeno, conocido como efecto Stark, tiene su origen en la fuerza elec~ sobre el electr´ trost´ atica que produce el campo eléctrico (E) on. El efecto Stark puede describirse satisfactoriamente a través del método de la teor´ıa de perturbaciones, a primer orden, siempre y cuando la perturbaci´ on sea peque˜ na. Este ~ es suficientemente u ´ltimo hecho se logra, como se mencionar´ a mas adelante, si E peque˜ no. ~ = Eu El campo eléctrico se puede escribir como E bz , siendo la intensidad del campo (E) constante en todos los puntos del espacio. La fuerza electrost´ atica que ′ b ∂H ~ sobre el electr´ realiza el campo E on del a´tomo es Fz = − = −eE, siendo −e ∂z la carga eléctrica del electr´ on. La energ´ıa potencial eléctrica sobre el electr´ on, o b ′ = eEz. perturbaci´ on, est´ a dada por H

46


~ = Eu E bz ´ Atomos hidrogenoides

u bz

´ Figura 2.3: Atomos hidrogenoides en presencia de un campo eléctrico uniforme.

El sistema perturbado queda definido a través del operador Hamiltoniano: 2 2 b = pb − k Ze + eEz, H 2m r

(2.84)

siendo posible identificar en (2.84), al operador Hamiltoniano del a´tomo hidroge2 2 b 0 = pb − k Ze , con Z el n´ umero de protones en el n´ ucleo, y noide libre H 2m r b ′ = eEz. La carga al operador Hamiltoniano que representa la perturbaci´ on H positiva del n´ ucleo produce un campo eléctrico interno sobre el electr´ on del orden V 9 de 10 m . Para poder aplicar el método de la teor´ıa de perturbaciones, se requiere que el campo eléctrico exterior sea peque˜ no en comparación con el campo eléctrico interior. En el laboratorio, por lo general, se consiguen campos eléctricos de m´ aximo V b′ ≪ H b 0 , y as´ı es posible describir el efecto Stark , con lo cual se cumple que H 106 m satisfactoriamente calculando los niveles de energ´ıa corregidos hasta primer orden. Sin embargo, como se estudiar´ a m´ as adelante, al tener en cuenta las correcciones de estructura fina, se produce un levantamiento de la degeneraci´ on de los niveles −4 de energ´ıa del orden de 10 eV. Las perturbaciones que producen la correcci´ on de estructura fina, es decir la correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética del electr´ on y la interacci´ on del dipolo magnético asociado al esp´ın del electr´ on con el campo magnético producido por el movimiento relativo del n´ ucleo respecto al electr´ on, son perturbaciones intr´ınsecas en el a´tomo, es decir siempre est´ an presentes y por lo tanto el desdoblamiento de estructura fina es intr´ınseco en el a´tomo. Debido a lo anterior, para poder distinguir el desdoblamiento de los niveles de energ´ıa debido al efecto Stark del originado por estructura fina, y para que el desdoblamiento por efecto Stark sea menor al de estructura fina, se requiere que el campo eléctrico V exterior sea del orden o menor a 105 m .


47

b 0 , se Para ´ atomos hidrogenoides libres, la ecuaci´ on de valores propios de H puede resolver anal´ıticamente de forma exacta tal como se muestra en el Apéndice C. Los valores propios de energ´ıa (niveles de Bohr) est´ an dados por (C.3): E

(0) n

m = 2 2~

Ze2 4πε0

2

1 , n2

(2.85)

donde el n´ umero cu´ antico principal (n) toma los valores n = 1, 2, . . .. Las funciones onda de probabilidad, representando en el espacio de coordenadas a los diferentes estados cu´ anticos del sistema, quedan escritas como (C.4):

(0) ψnlm (r, θ, φ) = r nlm = Rnl (r)Ylm (θ, φ),

(2.86)

siendo Rnl (r) la parte radial de la funci´ on de onda (C.5) y Ylm (θ, φ) los arm´ onicos esféricos definidos por (C.8). En estas funciones, el n´ umero cu´ antico de momento angular (l) toma los valores l = 0, 1, 2, . . . y el n´ umero cu´ antico de proyecci´ on del momento angular (m) en la direcci´ on del eje z toma valores enteros en el intervalo −l ≤ m ≤ l. Como se puede ver en el Apéndice C, la paridad de las funciones de onda queda determinada por el n´ umero cu´ antico l. En particular, a través de la expresi´ on (C.31), se determina que las funciones de onda del a ´tomo de hidr´ ogeno son pares si l es par e impares si l es impar. Este resultado tiene interés pr´ actico puesto que permite simplificar la evaluaci´ on de los elementos de la matriz de perturbaci´ on. Adicionalmente, en el Apéndice C.2, se muestra que  ′ ′

′ ′ ′ 6= 0 si m = m; ly l diferente paridad, n l m zb nlm (2.87) = 0 si m′ 6= m; ly l′ igual paridad. Se sabe que el grado de degeneramiento de los niveles de energ´ıa del a´tomo sin perturbar es g = n2 . Por ejemplo, para el nivel de energ´ıa fundamental n = 1 se tiene que g = 1, puesto que para este caso l = 0 y m = 0. Debido a que este nivel no tiene degeneramiento, entonces la correcci´ on de primer orden a la energ´ıa se eval´ ua usando el método TPIT, caso no degenerado, es decir:

(0) ′ (0) ′ b ψ H b E1(1) = ψ100 100 = 100 H 100 Z Z 2 ∗ = ψ100 e E zψ100 dr = e E ψ100 zdr,

(2.88)

as´ı que la correcci´ on de primer orden al nivel de energ´ıa base es E1(1) = 0.

(2.89)

Este resultado se obtiene al tenerse en cuenta que el argumento de la integral es impar. Esto u ´ltimo es cierto ya que las funciones de onda tienen igual paridad

48


(l = l′ = 0) y ya que z es una funci´ on impar. De esta manera, la energ´ıa del estado fundamental corregida hasta primer orden es: E1 = E1(0) + E1(1) = −

m 2~2

Ze2 4πε0

2

= −13,6 eV Z 2 ,

(2.90)

con lo cual el efecto del campo eléctrico no es observable a primer orden en el nivel de energ´ıa fundamental. En ausencia de campo eléctrico, el primer nivel de energ´ıa excitado E2(0) tiene degeneraci´ on g = 4. Con n = 2, el n´ umero cu´ antico de momento angular toma los valores l = 0, 1. Para l = 0 el n´ umero cu´ antico de proyecci´ on del momento angular en la direcci´ on del eje z toma el valor m = 0, mientras que para l = 1 se tiene que m = 0, −1, 1. Por lo tanto, existen 4 estados cu´ anticos que tienen asociado el mismo valor de energ´ıa E2(0) . Estos estados se escriben como: Para l = 0 −→ m = 0 −→ 2, 0, 0 .   m = −1 −→ 2, 1, −1 ,    Para l = 1 −→ m = −→ 2, 1, 0 ,     m=1 −→ 2, 1, 1 . El valor de este nivel de energ´ıa es: E2(0) =

1 E1(0) = E1(0) = −3,4 eV Z 2 . 2 2 4

(2.91)

El objetivo a continuaci´ on es determinar cual es el efecto que tiene la perturbaci´ on sobre el primer nivel de energ´ıa excitado. Para determinar este efecto, se calcula la correcci´ on de primer orden a este nivel de energ´ıa (E2(1) ), mediante el uso de la ecuaci´ on (2.46), es decir: H′ a = E2(1) a,

(2.92)

cuya forma expl´ıcita, para este caso, es: 

′ H11

′ H12

′ H13

  ′ ′ H′  H21 H22 23    H′ H′ H′  31 32 33  ′ H′ H′ H41 42 43

    α1 α1         α2  ′  α2  H24       (1)     = E2   , ′  α3  α   3 H34         ′ α4 α4 H44

′ H14

donde los elementos matriciales de H′ est´ an dados por ′

b 2lm . Hij′ = 2l′ m′ H

(2.93)

(2.94)

49


La matriz de perturbaci´ on H′ es: 

 200 zb 200 200 zb 210 200 zb 211 200 zb 21 − 1  

   210 zb 200 210 zb 210 210 zb 211 210 zb 21 − 1    . eE  

 211 zb 200 211 zb 21 − 1  211 zb 211 211 zb 210    

21 − 1 zb 200 21 − 1 zb 210 21 − 1 zb 211 21 − 1 zb 21 − 1

Cada elemento matricial es una integral. Para simplificar la evaluaci´ on de algunas de ellas, se hace uso de los criterios expresados en (2.87). Al hacer esto, la matriz H′ se reduce a:  

0 200 zb 210 0 0      210 zb 200 0 0 0   ′ (2.95) H = eE  ,   0 0 0 0     0 0 0 0 es decir, para

conocerla en su totalidad solamente hace falta evaluar los elementos matriciales 200 zb 210 y 210 zb 200 . Pero ya que m′ = m = 0, entonces eimφ = ∗ 1. Este hecho implica que ψ210 y ψ200 son reales y en consecuencia ψ210 = ψ210 ∗ y ψ200 = ψ200 , con lo cual:

∗

210 zb 200 = 200 zb 210 = 200 zb 210 ,

(2.96)

es decir, solo se requiere evaluar un elemento matricial totalmente conocer

para a la matriz de perturbaci´ on. El elemento matricial 210 zb 200 corresponde a la integral:

210 zb 200 =

Z∞ Zπ Z2π 0

0

∗ ψ210 z ψ200 r2 dr sen θ dθ dφ.

(2.97)

0

Teniendo en cuenta que z = r cos θ y dado que las funciones de onda ψ210 y ψ200 est´ an dadas por: =

r

1 32π

ψ200 = R20 Y00 =

r

3/2 1 1 r 2− 32π a a

∗ ψ210

=

R21 Y10

3/2 1 r −r e 2a cos θ, a a r

e− 2a ,

(2.98)

50


4πε0 ~2 en donde a = es el radio de Bohr, entonces el elemento matricial (2.97) mZe2 se convierte en:

210 zb 200 =

Z∞ Zπ Z2π 0

0

1 32π

0

1 2π = 32π

3 r r 1 r cos θ cos θ 2 − a a a

r

e− a r2 dr sen θ dθ dφ

π Z∞ r 4 r 1 3 2− − cos θ 3 a a 0

r

e− a dr.

0

Con el cambio de variable u = Z∞ 4 r r 2− a a

e

r −a

r ; dr = a du, se tiene: a

dr = a

Z∞ 0

0

(2.99)

u4 (2 − u) e−u du

(2.100)

= a [2(−24) − (−120)] = a(120 − 48) = 72a. Por lo anterior, el elemento matricial se escribe como:

1 210 zb 200 = 72a = 3a, 24

y as´ı, la matriz de perturbaci´ on toma la forma:  0 3aeE 0    3aeE 0 0  H′ =   0 0 0   0 0 0

0

(2.101)



  0  . 0   0

(2.102)

Una vez conocida la matriz H′ , la ecuaci´ on secular (2.47) se escribe como: −E (1) 3aeE 0 0 2 (1) 3aeE −E 0 0 2 det H′ − E2(1) 1 = 0 0 −E2(1) 0 (1) 0 0 0 −E2 i 2 h (1) 2 (2.103) E2 − 9a2 e2 E 2 = 0, = E2(1)

51


la cual corresponde a un polinomio de grado 4 en E2(1) . Las 4 ra´ıces de esta 2 2 ecuaci´ on se obtienen a partir de E2(1) = 0 y E2(1) = (3aeE)2 . Las ra´ıces son (1) (1) (1) (1) en consecuencia E2,1 = 0, E2,2 = 0, E2,3 = 3aeE y E2,4 = −3aeE. Por lo anterior, el primer nivel de energ´ıa excitado corregido hasta primer orden queda escrito como: E2,0 = E2,1 = E2(0) , E2,3 = E2(0) + 3aeE, E2,4 = E

(0) 2

(2.104)

− 3aeE,

es decir, ahora se tienen tres valores de energ´ıa diferentes. Este hecho implica, que por efecto de la perturbaci´ on, el primer nivel de energ´ıa excitado se ha desdoblado en tres. A este desdoblamiento, que se observa experimentalmente en los niveles de energ´ıa de Bohr, se le conoce como efecto Stark . En la figura 2.4, se ilustra el efecto Stark para el primer nivel de energ´ıa excitado. E2,3 = E2(0) + 3aeE

E2,0 = E2,1 = E2(0)

E2(0)

λ=0

λ=1

E2,4 = E2(0) − 3aeE

Figura 2.4: Ilustración del efecto Stark para el primer nivel de energ´ıa excitado de un átomo hidrogenoide. El nivel de energ´ıa E2(0) se desdobla en tres niveles debido al campo eléctrico.

Cabe destacar que el levantamiento de la degeneraci´ on del primer nivel de energ´ıa excitado no fue total. Es decir, por efecto de la perturbaci´ on hubo un levantamiento parcial de la degeneraci´ on en el sentido de que ahora, en el sistema perturbado, se tienen cuatro estados cu´ anticos asociados con estos tres niveles de energ´ıa. De estos tres niveles de energ´ıa, el nivel E2,0 = E2,1 = E2(0) es el que es doblemente degenerado. Una vez que se han determinado las correcciones de primer orden a la energ´ıa, se procede a determinar los estados correctos de orden cero asociados. Tal como se indic´ o en la subsecci´ on anterior, un estado correcto de orden cero es una combinaci´ on lineal de los g = 4 estados degenerados. Por lo tanto, para este caso, cada uno de los cuatro estados correctos se construyen a través de una superposici´ on de la forma: (o) ψ = α1 200 + α2 210 + α3 211 + α4 21 − 1 . 2

(2.105)

52


Cada uno de los cuatro estados correctos queda completamente especificado, mediante la determinaci´ on de los coeficientes de la superposici´ on. Estos coeficientes se encuentran reemplazando en la ecuaci´ on matricial las ra´ıces de la ecuaci´ on (1) (1) secular. Para las dos primeras ra´ıces E2,1 = E2,2 = 0, se cumple que:      0 3aeE 0 0 α1  0        α  0  3aeE 0   2   0 0      (2.106)    =  ,  0 α3  0 0 0 0            0 α4 0 0 0 0

de donde se encuentra que 3aeEα1 = 0, 3aeEα2 = 0, 0α3 = 0, 0α4 = 0. Entonces α1 = 0; α2 = 0, mientras que α3 y α4 son arbitrarios y no se pueden determinar. Por lo anterior, los estados correctos de orden cero, asociados con estas dos ra´ıces, son desconocidos y tienen la forma: (0) 1 1 ψ (2.107) 2,1 = α3 211 + α4 21 − 1 , (0) ψ = α32 211 + α42 21 − 1 , 2,2

(2.108)

donde los coeficientes, debido a la normalizaci´ on de los estados cu´ anticos, satisfacen las relaciones: |α31 |2 + |α41 |2 = 1, |α32 |2

+

|α42 |2

(2.109)

= 1.

(1) Para la tercera ra´ız E2,3 = 3aeE, la ecuaci´ on matricial toma la forma:       α α1 0 3aeE 0 0  1          α  α2   3aeE 0   2 0 0           = 3aeE   ,  0  α α     3 3 0 0 0           α4 α4 0 0 0 0

(2.110)

obteniéndose las siguientes relaciones: 3aeEα1 = 3aeEα2 , 3aeEα3 = 0 y 3aeEα4 = 0. Por consiguiente, para este caso se tiene que α1 = α2 , α3 = 0 y α4 = 0. De esta manera, el estado correcto asociado con la tercera ra´ız es: (0) 3 3 ψ (2.111) 2,3 = α1 200 + α2 210 ,

donde, debido a la condici´ on de normalizaci´ on, los coeficientes de la superposici´ on satisfacen la relaci´ on |α13 |2 + |α23 |2 = 1 y puesto que α13 = α23 , entonces 2|α13 |2 = 1,

´ 2.8. ESTRUCTURA FINA DEL ATOMO HIDROGENOIDE.

53

1 de donde α13 = α23 = √ . Por lo tanto, el tercer estado correcto de orden cero 2 est´ a dado por: (0) 1 ψ 200 + 210 . (2.112) 2,3 = √ 2 (1) Por u ´ltimo, para la cuarta ra´ız E2,4 = −3aeE, el estado correcto de orden cero asociado se encuentra a partir de la ecuaci´ on matricial:      α1 0 −3aeE 0 0 α1          α   α2    2  −3aeE 0 0 0       (2.113)    = −3aeE    ,   0 α α     3 3 0 0 0           α4 α4 0 0 0 0

obteniéndose las siguientes relaciones: 3aeEα1 = −3aeEα2 , −3aeEα3 = 0 y −3aeEα4 = 0. A partir de estas relaciones se cumple que α1 = −α2 , α3 = 0 y α4 = 0. Por lo anterior, el estado correcto de orden cero asociado con la cuarta ra´ız tiene la forma: (0) 4 4 ψ (2.114) 2,4 = α1 200 + α2 210 ,

donde los coeficientes de la superposici´ on satisfacen la condici´ on de normalizaci´ on dada por |α14 |2 +|α24 |2 = 1. Teniendo en cuenta que α14 = −α24 , entonces 2|α14 |2 = 1, 1 1 de donde se tiene que α14 = √ y α24 = − √ . As´ı, el cuarto estado correcto de 2 2 orden cero es (0) 1 ψ 200 − 210 . (2.115) 2,4 = √ 2 Si la perturbaci´ on estuviera apagada en el sistema (es decir no hubiera campo eléctrico), el primer nivel de energ´ıa excitado E2(0) tendr´ıa asociado cuatro estados cu´ anticos degenerados, dados por los estados correctos de orden cero (2.107), (2.108), (2.112) y (2.115). Lo anterior significa, que cuando el sistema est´ a perturbado, estos cuatro estados degenerados son el punto de partida para implementar el método de la teor´ıa de perturbaciones y de esta forma determinar las correcciones a primer orden a la energ´ıa del primer nivel excitado.

2.8.

Estructura fina del ´ atomo hidrogenoide. Los niveles de energ´ıa de Bohr del a´tomo hidrogenoide est´ an dados por

(C.3): E

(0) n

me c2 = 2

e2 4πε0 ~c

2

Z2 . n2

54


e2 1 ∼ = αE = = 7,297352533(27)× 4πε0 ~c 137,03599976(50) entonces estos niveles quedan escritos como:

Si se llama a la constante 10−3

me c2 Z 2 . (2.116) 2 n2 A la constante αE , cuyo valor es adimensional, se le denomina constante de estructura fina. Su significado f´ısico es muy importante, puesto que ella representa la intensidad de la interacci´ on electromagnética y por tal motivo es una constante fundamental de la f´ısica. Experimentalmente, a través de espectroscop´ıa de alta resoluci´ on, se observa que los niveles de energ´ıa de Bohr para a´tomos libres presentan varios tipos de desdoblamientos. Lo anterior quiere decir, que en el espectro de energ´ıas cada una de las l´ıneas corresponde realmente a un conjunto de l´ıneas ligeramente separadas entre si por diferencias de energ´ıas menores a diezmilésimas de electron-voltio. Estos desdoblamientos de los niveles de energ´ıa de Bohr se pueden explicar si se tiene en cuenta que al interior del a´tomo existen ciertas perturbaciones que est´ an presentes de forma natural En la tabla 2.1 se indican algunos de los desdoblamientos observados en los a´tomos hidrogenoides, indicando en cada caso el origen f´ısico y el orden de magnitud de cada uno de ellos. Estos desdoblamientos pueden ser predichos por la mec´ anica cu´ antica, a través del uso del método de la TPIT, caso degenerado, a primer orden. En esta secci´ on se estudia el desdoblamiento de estructura fina, el cual se origina a través de dos tipos de perturbaciones: (i) la interacci´ on entre el momento dipolar magnético de esp´ın con el campo magnético producido por el prot´ on en su movimiento relativo respecto al electr´ on (interacci´ on esp´ın electr´ onico con orbita nuclear); (ii) la correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética del electr´ on, la cual se obtiene al considerar el primer término de la expansi´ on para la expresi´ on relativista de la energ´ıa cinética del electr´ on. Resulta conveniente mencionar que el electr´ on es un fermi´ on de esp´ın ~2 . En general, para una part´ıcula de esp´ın s, el n´ umero cu´ antico asociado con la proyecci´ on del esp´ın en la direcci´ on del eje z (ms ) toma los valores −s ≤ ms ≤ s. Para el caso del electr´ on ms = ± ~2 . Son varias las evidencias experimentales que sustentan la hip´ otesis sobre la existencia del esp´ın electr´ onico. Una de ellas es el experimento de Stern-Gerlach, el cual consiste en que un haz de a´tomos neutros es sometido a un campo magnético no uniforme. El haz de a´tomos después de pasar por el aparato Stern- Gerlach se divide en dos, como consecuencia de los dos estados de proyecci´ on del esp´ın. Otra evidencias experimentales son el desdoblamiento de estructura fina y el efecto Zeeman, este u ´ltimo mostrando una divisi´ on de las l´ıneas espectrales at´ omicas cuando el a´tomo se coloca en presencia de un campo magnético externo. En(0) = αE2

2.8.1.

Base acoplada y no acoplada

Como una aplicaci´ on del Teorema 1, previamente presentado, en situaciones f´ısicas que involucran al ´ atomo hidrogenoide sometido a una perturbaci´ on dada,


55

orden de magnitud

origen f´ısico

Energ´ıas de Bohr

2 Z 2 m c2 ∼ αE e

Interacci´ on de Coulomb entre la carga del electr´ on y la carga del n´ ucleo.

Estructura fina

-Interacci´ on del esp´ın electr´ onico con la o´rbita 4 Z 4 m c2 ∼ αE e nuclear. 2 Z 2 (α2 Z 2 m c2 ) = αE e E -Correcci´ on relativista a ≈ 10−5 Energ´ıas de Bohr la energ´ıa cinética del electr´ on.

Corrimiento Lamb

5 Z 5 m c2 ∼ αE e Cuantizaci´ on del campo 3 2 Z 2 m c2 ) = αE Z 3 (αE e de Coulomb. ≈ 10−7 Energ´ıas de Bohr

Espectro de energ´ıa

me 4 4 2 mp αE Z me c me 2 2 2 2 2 mp αE Z (αE Z me c ) ≈ 10−8 Energ´ıas de Bohr

∼

Estructura hiperfina

En este caso mp representa a la masa del prot´ on.

-Interacci´ on del esp´ın nuclear con la orbita electr´ onica. -Interacci´ on entre la carga del electr´ on y el momento de cuadripolo eléctrico del n´ ucleo.

Cuadro 2.1: Algunos desdoblamientos observados en los átomos hidrogenoides.

se presentan a continuaci´ on las dos bases de estados propios del operador Hamiltoniano asociado al ´ atomo hidrogenoide libre, con las cuales tradicionalmente se describen los estados cu´ anticos de este sistema. Cabe resaltar que el usar una base u otra en un problema espec´ıfico depende exclusivamente de la forma que tenga la perturbaci´ on, puesto que lo que busca es que la matriz de perturbaci´ on que se calcule sea diagonal, con lo cual el c´ alculo de la correcci´ on a primer orden a los niveles de energ´ıa se simplifica. Las funciones de onda del ´ atomo hidrogenoide que representan los estados cu´ anticos de este sistema est´ an escritas en la base de estados propios simult´ aneos b 0, L b2 , L b z , Sb2 y Sbz . Estos estados propios se denotan de la de los observables H b 0 conmuta con cada uno de los operadores forma n, l, s, ml , ms . Debido a que H b2 , L b z , Sb2 , Sbz , entonces los estados propios de H b 0 también son estados propios L simult´ aneos de éstos operadores. Puesto que los operadores de momento angub2 y L b z y los operadores de momento angular de esp´ın Sb2 y Sbz son lar orbital L operadores independientes, los n´ umeros cu´ anticos l y ml respecto a s y ms son independientes también. Por esta raz´ on al conjunto { n, l, s, ml , ms } se le de-

56


nomina la base no acoplada. Por otro lado, debido a que se pude definir los operadores de momento angular b 2 + Sb2 y Jbz = L b z + Sbz , es decir en términos de los operadores total como: Jb2 = L de momento angular orbital y de momento angular de esp´ın, y teniendo en cuenta b 0 conmuta con Jb2 y Jbz , entonces se pueden describir los estados que el operador H cu´ anticos del ´ atomo hidrogenoide en términos de los estados propios simult´ aneos 0 2 2 2 b b b b b de H , L , S , J y Lz . Estos estados propios los operadores se denotan como n, l, s, j, mj . Al conjunto de estados propios { n, l, s, j, mj } se le conoce como b 2 y Sb2 est´ la base acoplada debido a que los operadores L an acoplados por medio 2 b de J . b ′ , que se est´ Si en la perturbaci´ on H a considerando, aparece un término de la b · L, b como es el caso de la perturbaci´ forma S on esp´ın-´ orbita, resulta adecuado tener en cuenta que:

por lo cual

y por lo tanto:

b=L b + S, b J

(2.117)

b + S) b 2=L b · L, b b 2 + Sb2 + 2S Jb2 = (L

(2.118)

b·L b = 1 (Jb2 − L b 2 + Sb2 ), S 2

(2.119)

lo cual indica que una perturbaci´ on de este tipo deber´ıa trabajarse en la base acoplada que en esta base la matriz de perturbaciones ser´ıa diagonal, y 0 puesto b ,H b ′ = 0. Este hecho facilitar´ıa el c´ asi: H alculo de la correcci´ on a primer orden a los niveles de energ´ıa. El trabajar en una base u otra se ilustra a continuaci´ on con el c´ alculo de la estructura fina. La contribuci´ on a primer orden a la correcci´ on de estructura fina proveniente de la interacci´ on ep´ın-´ orbita se calcula usando la base acoplada, bL b conmuta con H b ′ = AS· b 0 , mientras que puesto que en esta base la perturbaci´ on H la correcci´ on a primer orden proveniente de la correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética del electr´ on, podr´ıa calcularse en cualquiera de las dos bases. Para las dos contribuciones que se calcular´ an a continuaci´ on, las matrices de perturbaci´ on resultan diagonales.

2.8.2.

Interacci´ on de esp´ın electr´ onico con ´ orbita nuclear

El electr´ on siente un campo magnético producido por el n´ ucleo debido a que para él, el n´ ucleo es una carga moviéndose, visto de manera cl´ asica. A partir de la energ´ıa potencial de orientaci´ on del dipolo magnético del electr´ on en el campo

57


magnético producido por el n´ ucleo1 se puede establecer una perturbaci´ on para el ´ atomo hidrogenoide debida a la interacci´ on esp´ın-´ orbita y as´ı, el Hamiltoniano total del ´ atomo se puede escribir como D.17, es decir: 1 Ze2 pb2 ′ b · L, b b =H b0 + H b eo − + G(r)S H = 2m 4πǫ0 r

(2.120)

donde G(r) est´ a dado por (D.16).

Si se escoge apropiadamente la base, la matriz de perturbaci´ on H′ se simpli0 b b fica. En presencia de la interacci´ on esp´ın-´ orbita, conmuta con S ni con 0 H ′ no b esto significa que en la base no acoplada, H b ,H b eo 6= ˆ 0, y esta base no diL, ′ b eo conmuta con L b2 , L b2 y agonalizar´ıa la matriz de perturbaci´ on. Sin embargo, H b + S. b Por lo tanto, los estados propios simult´ con Jb2 ≡ L aneos de los operadores 2 2 b b b b L , S , Lz y Sz no son adecuados, para el c´ alculo de H′ mientras que los estados b 2 , Sb2 , Jb2 y Jbz , si lo son. Luego usando la propios simult´ aneos de los operadores L ′ base acoplada, para el c´ alculo de H , solamente es necesario calcular los elementos ′ b 0, H b eo de la diagonal pues en esta base H = 0. (1) Denotando con Eeo a la correcci´ on de primer orden a los niveles de energ´ıa proveniente de la interacci´ on esp´ın-orbita y trabajando en la base acoplada, se tiene que:

′

(1) b eo nlsjmj Eeo = n′ l′ s′ j ′ m′j H

b nlsjmj r)Sb · L = n′ l′ s′ j ′ m′j G(ˆ

b 2 − Sb2 ) nlsjmj . r)(Jb2 − L = n′ l′ s′ j ′ m′j 21 G(ˆ

(2.121)

Puesto que G(ˆ r) act´ ua solamente sobre la parte radial de los estados, entonces la anterior expresi´ on se puede escribir como: (1) Eeo =

= = =

1

b 2 − Sb2 ) lsjmj n′ G(ˆ r) n l′ s′ j ′ m′j 21 (Jb2 − L

r) n 21 [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] ~2 l′ s′ j ′ m′j lsjmj n′ G(ˆ n′ G(ˆ r) n 21 [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] ~2 δl′ l δs′ s δj ′ j δm′j mj

Ze2 ~2 ′ 1 n 3 n [j(j + 1) − l(l + 1) − 43 ], 16πε0 m2e c2 rˆ

(2.122)

En el Apéndice D.1 se hace la deducci´ on completa de la perturbaci´ on producida por la interacci´ on esp´ın-´ orbita.

58


donde

Z 1 1 1 ∗ (r) 3 Rnl (r)r2 dr ≡ . (2.123) n′ 3 n = Rnl rˆ r r3 1 Las integrales de la forma se resuelven por el método de la matriz generrn atriz (Quantum Mechanics de Pauling-Wilson) o el método de funciones hipergeométricas (Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, Abramowitz and Stegun):

1 Z n′ n = 2 , rˆ n a

con

1 Z2 , n′ 2 n = 3 rˆ n (l + 21 ) a2

1 Z3 n′ 3 n = 3 , rˆ n (l + 1)(l + 12 ) a3 a=

4πε0 ~2 , me e2

(2.124)

de manera que (1) Eeo =

Ze2 ~2 Z3 [j(j + 1) − l(l + 1) − 43 ] 16πε0 m2e c2 n3 (l + 1)(l + 21 ) a3

Z 4 e2 ~2 n [j(j + 1) − l(l + 1) − 34 ] 1 = . 16πε0 m2e c2 a3 n4 l(l + 1)(l + 21 )

(2.125)

Teniendo en cuenta que: E

(0) n

me =− 2 2~

Ze2 4πε0

2

1 , n2

(2.126)

entonces: m2e n = 4π~4 4

Ze2 4πε0

4

1 (E )2 (0) n

,

(2.127)

luego a3 n4 =

~2 Z 4 e2 1 . me 16πε0 (En(0) )2

(2.128)

Por lo anterior (2.125) se puede escribir como: (1) Eeo =

(En(0) )2 n[j(j + 1) − l(l + 1) − 34 ] . me c2 l(l + 1)(l + 21 )

(2.129)

59


Puesto que En(0) = −αE2

me c2 Z 2 , 2 n2

(2.130)

entonces reemplazando (2.130) en (2.129) se obtiene: (1) Eeo = −αE2 Z 2

En(0) n[j(j + 1) − l(l + 1) − 43 ] . 2n2 l(l + 1)(l + 21 )

(2.131)

b = L b + S, b y por las reglas de adici´ Se tiene que J on del momento angular se satisface |l − s| ≤ j ≤ l + s. En el problema que se est´ a considerando s = 12 , luego 1 1 |l − 2 | ≤ j ≤ l + 2 . Por consiguiente, se tienen dos casos:  |l − 1 |, 2 j= l + 1 , 2 ☞ Para j = l + 12 , el numerador del factor que aparece en (2.131) es: j(j + 1) − l(l + 1) −

3 4

= (l + 12 )(l + 32 ) − l(l + 1) −

3 4

= l,

por lo cual (2.131) se convierte en: (1) Eeo = −αE2 Z 2

n En(0) . 1 2 2n (l + 2 )(l + 1)

(2.132)

☞ Para j = l − 12 , el numerador en este caso es: j(j + 1) − l(l + 1) −

3 4

= (l − 21 )(l + 12 ) − l(l + 1) −

3 4

= −(l + 1),

de tal forma que (2.131) se convierte en: (1) Eeo = αE2 Z 2

2.8.3.

En(0) n . 2n2 l(l + 12 )

(2.133)

Correcci´ on relativista a la energ´ıa cin´ etica del electr´ on

Si se escribe la energ´ıa cinética del electr´ on en su versi´ on relativista, se puede verificar que en la energ´ıa cinética del electr´ on, en el Hamiltoniano del a´tomo hidrogenoide, se debe introducir una correcci´ on relativista. 2 El segundo término de (D.32) se puede considerar como una perturbaci´ on respecto al valor de la enp2 erg´ıa cinética . En el caso del a´tomo hidrogenoide En(0) ∼ 10 eV ≪ me c2 = 2m0 2

En el Apéndice D.2 se hace deducci´ on del términos que da cuenta de la correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética del electr´ on.

60


0,511 M eV , es decir, los niveles de energ´ıa de Bohr se encuentran en el régimen no relativista. Esto significa que se tiene una buena descripci´ on en el régimen no relativista, pero sin embargo si se consideran correcciones relativistas, la descripci´ on debe mejorar. Tomando (D.32) como la energ´ıa cinética del electr´ on, entonces el operador Hamiltoniano del a´tomo hidrogenoide es: 4 2 b0 + H b r′ , b = pb − 1 pb + V (ˆ r) = H H 2me 8 m3e c2

con

2 b 0 = pb + V (ˆ H r), 2me

4 b r′ = − 1 pb = − 1 H 8 m3e c2 2me c2

Si se tiene en cuenta que:

(2.134)

(2.135) pb2 2me

2

.

pb2 b 0 − V (ˆ =H r), 2me

(2.136)

(2.137)

entonces el término perturbativo se puede reescribir asi: 1 2me c2 1 =− 2me c2

b r′ = − H

2 b 0 − Vb (ˆ H r)

b 0 )2 − H b 0 Vb − Vb H b 0 + Vb 2 . (H

Para este caso se puede usar la base acoplada o la no acoplada a la hora de calcular lo correcci´ on a primer orden a la energ´ıa. Por conveniencia se usar´ a la base acoplada. Denotando con Er(1) , la correcci´ on a primer orden debido a la correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética , ya que la matriz de perturbaci´ on es (1) diagonal entonces Er , est´ a dada por: ′

b r nlsjmj Er(1) = n′ l′ s′ j ′ m′j H

1 ′ ′ ′ ′ ′ b 0 2 0 2 0b b b b b n l s j m V − V H + V nlsjmj . (2.138) ( H ) − H j 2 2me c b 0 , y que Teniendo en cuenta que los estados nlsjmj son estados propios de H b 0 es un operador herm´ıtico H

′ ′ ′ ′ ′ 0 ′ ′ ′ ′ ′ (0) b 0 nlsjmj = En(0) nlsjmj b = n l s j mj En , H y n l s j mj H (2.139) =−

61


entonces (2.138) se puede escribir como: 1 ′ ′ ′ ′ ′ (0) 2 (0) b (0) 2 b b Er(1) = − n l s j m E − E V − V E + V nlsjmj j n n n 2 2me c =−

′′ ′ ′ ′ 1 (0) 2 (0) Vb nlsjmj E − E n l s j m n n j 2me c2

− n′ l′ s′ j ′ m′j Vb nlsjmj En(0) + n′ l′ s′ j ′ m′j Vb 2 nlsjmj .

(2.140)

A continuaci´ on se eval´ uan los elementos matriciales de la anterior expresi´ on:

Ze2 Z Ze2 ′ ′ ′ ′ ′ 1 nlsjmj = − n l s j mj . (2.141) n′ l′ s′ j ′ m′j Vb nlsjmj = 4πε0 rˆ 4πε0 n2 a

De forma similar se tiene que:

n′ l′ s′ j ′ m′j Vb 2 nlsjmj = =

Ze4 ′ ′ ′ ′ ′ 1 n l s j m nlsjm j j (4πε0 )2 rˆ2 Ze2 Z2 . (4πε0 )2 n3 (l + 12 )a2

(2.142)

Reemplazando (2.141) y (2.142) en (2.140), se obtiene: 2 2 Ze Ze2 Z2 1 (0) 2 (0) Ze (1) + 2E + E . Er = − n n 2me c2 4πε0 n2 a 4πε0 (l + 12 )n3 a2

(2.143)

Esta u ´ltima expresi´ on se puede reescribir de una forma m´ as conveniente si se tiene en cuenta, que a partir de las expresiones para el radio y los niveles de energ´ıa de Bohr, se pueden obtener las siguientes relaciones: 2 2 2 Z e 1 Z 2 e2 1 2 4 2 , a n = an = − (2.144) 2 . (0) 4πε0 2En 4πε0 4 En(0)

Si en el u ´ltimo término de la expresi´ on (2.143) se multiplica y divide por n, entonces se pueden reemplazar las cantidades an2 y a2 n4 por las relaciones que se presentan en (2.144), as´ı:  2 2 1 1  (0) 2 (0) Z e E + 2E Er(1) = − n n 2me c2 4πε0 − Z 2 e2 1(0) 4πε0 2En

+

2 Z 2 e2 1 2 2 2 4πε0 Z e 4πε0



n   1 l + 1 2 (0) 2

4 En

(2.145)

62


Después de algunos pasos algebraicos, se obtiene que la correcci´ on relativista a los niveles de energ´ıa de Bohr est´ a dada por: ! 4n 1 (0) 2 2 (1) −3 . (2.146) Er = 2 Z αE En 4n l + 12

2.8.4.

Correcci´ on de estructura fina

(1) La correcci´ on de estructura fina Eef se obtiene considerando simult´ aneamente las correcciones de esp´ın-´ orbita y relativista, es decir: (1) (1) Eef + Er(1) . = Eeo

Por lo anterior, para el caso de j = l + E

(1) ef

(1) = Eeo + Er(1)

2

se tiene que:

(0) n E (0) 2 2 En − α Z = −αE2 Z 2 n2 E 2n (l + 12 )(l + 1) 4n2

En(0) = −αE Z 4n2 2

1 2

(2.147)

4n 3− l+1

4n 3− l + 21

,

!

(2.148)

on de estructura fina pero ya que, para este caso j = l + 21 , entonces la correcci´ es: ! (0) 4n (1) 2 2 En . (2.149) Eef = −αE Z 3− 4n2 j + 12 De forma similar, para el caso j = l − 21 , se tiene que: (1) Eef

(0) E (0) n 2 2 En − α Z = −αE2 Z 2 n2 E 2n l(l + 12 ) 4n2

En(0) = −αE Z 4n2 2

2

4n 3− l + 12

!

4n 3− , l

expresi´ on que, al tenerse en cuenta que l = j + 12 , se escribe como ! (0) 4n (1) 2 En 2 3− . Eef = −αE Z 4n2 j + 12

(2.150)

(2.151)

Puesto que la correcci´ on se estructura fina (2.151), corresponde a la correcci´ on de primer orden a los niveles de energ´ıa de Bohr, entonces estos niveles de Bohr corregidos hasta primer orden, se pueden escribir como: (1) Enj = En(0) + Eef ,

(2.152)

63


donde se han rotulado los niveles de energ´ıa de Bohr, mediante los n´ umeros cu´ anticos n y j. Por lo anterior, los niveles de energ´ıa de Bohr corregidos hasta primer orden est´ an dados por: ! (0) 4n E Enj = En(0) − αE2 Z 2 n2 3 − 4n j + 21 Z 2 13, 6 eV =− n2

"

α2 Z 2 1+ E2 n

n j+

1 2

3 − 4

!#

.

(2.153)

Por ejemplo, para el ´ atomo de hidr´ ogeno, Z = 1, con n = 1, l = 0, j = tiene: " !# 3 1 E 1 = −13,6 eV 1 + αE2 1 − 4 1 12 2 + 2 = −13,6 eV

α2 1+ E 4

!

1 2,

se

= E1(0) + ∆E,

donde ∆E = −

13,6 eV 2 αE = −3,4 eV αE2 4

= −1,81 × 10−4 eV ≪ E1(0) = −13,6 eV. Para n = 2, l = 0, 1. Para l = 0, j = 12 . Con l = 1, j = los niveles de energ´ıa E2 1 y E2 3 2

1 2

, 23 . Entonces, se tienen

2

E2 1

13,6 eV =− 4

"

# αE2 2 3 ( − ) = −3,4 eV 1+ 4 1 4

5α2 1+ E 16

E2 3

13,6 eV =− 4

"

# αE2 2 3 1+ ( − ) = −3,4 eV 4 2 4

α2 1+ E 16

2

2

!

!

,

.

Como se observa en los tres anteriores niveles, la corrección de estructura fina es del orden de 10−4 eV , la cual es muy peque˜ na en comparaci´ on con los niveles de energ´ıa de Bohr. Por esta raz´ on para detectar esta correcciones se requiere de espectroscop´ıa de alta resoluci´ on. Para n = 3, j = 0, 1, 2. Con l = 0 se tiene un valor de j = 12 . Para l = 1, |1 − 12 | ≤ j ≤ 1 + 12 , osea j = 21 , 32 . Con l = 2, 23 ≤ j ≤ 52 , luego j = 52 , 32 . Resumiendo, para n = 1 hay un ∆E; con n = 2 hay un ∆E para l = 0 y l = 1 y otro para l = 1; con n = 3 hay un ∆E para l = 0 y l = 1, dos para l = 1 y l = 2 aficamente y otro para l = 2 con j = 25 . Estos desdoblamientos se representan gr´ en la figura 2.5.

64


n=3

j = 52 j = 23 j = 21

n=2

j = 23 j = 21

n=1

∆E

l=0 (S)

l=1 (P )

1 2

 1

j=

j=

2

3 2

l=2 (D)  5    2 j = 32    1

j=

1 2

2

Figura 2.5: Diagrama de energ´ıas para la estructura fina del átomo de hidr´ ogeno.

2.9.

Efecto Zeeman

Cuando un ´ atomo se coloca en presencia un campo magnético exterior uniforme ~ ext , los niveles de energ´ıa se desdoblan. Este fen´ B omeno se conoce como efec~ ext to Zeeman . Para un ´ atomo hidrogenoide, la perturbaci´ on realizada por B est´ a dada por: ~ ext , b z′ = −(~ µSe + µ ~ Le ) · B H

(2.154)

e ~ S, es el momento de dipolo magnético asociado con el mom e ~ mento angular de esp´ın del electr´ on y µ ~ Le = − L es el momento de dipolo 2m ~ Por esta magnético asociado con el momento angular orbital del electr´ on (L). razon la perturbaci´ on se puede escribir como:

donde µ ~ Se = −

b + 2S) b ·B ~ ext . b z′ = e (L H 2m

(2.155)

La naturaleza del desdoblamiento Zeeman depende radicalmente de la intensidad del campo magnético exterior, en relaci´ on a la intensidad delcampo magnético

2.9. EFECTO ZEEMAN

65

interior que se origina por el movimiento relativo del electr´ on respecto al n´ ucleo y que es el origen delainteracci´ on esp´ın-´ orbita, es decir: ~ int | = |B

Ze ~ 1 |Le |. 4πε0 me c2 r3

(2.156)

El valor del campo magnético interior, se puede estimar de la siguiente manera: Bint =

1 e2 e~ e~ 2~ = 3 2 4πǫ0 me c a0 4πǫ0 ~c 2me ce2 a30

=αE µB

2~ . ce2 a30

(2.157)

Teniendo en cuenta que αE = 7,297352533 × 10−3 , µB = 9,274 × 10−24 J/T, ~ = 1,054571596 × 10−34 J.s, c = 299792458m/s, e = 1,602176468 × 10−19 C y a0 = 0,511 × 10−10 m, se obtiene que la intensidad de Bint es: Bint = 13, 9 T.

(2.158)

Efecto Zeeman de campo d´ ebil (Efecto Zeeman an´ omalo) ~ ext | ≪ |B ~ int |, entonces la estructura fina domiPara el caso en el que |B ′ b na y Hz puede ser tratada como una peque˜ na perturbaci´ on.

Los n´ umeros cu´ anticos adecuados son n, l, s, j y mj (pero no ml y ms deb y Sb bido a la presencia del acoplamiento esp´ın-´ orbita). De esta manera, L est´ an acoplados. La correcci´ on a primer orden a los niveles de energ´ıa es: ′

b z nlsjmj Ez(1) = nlsjmj H =

e b + 2S b Bext L 2me

(2.159)

b=L b + S, b entonces J b+S b=L b + 2S. b Es importante Teniendo en cuenta que J b b b mencionar que J es constante y que L y S precesan r´ apidamente alrededor b es s´ del eje fijo. En particular el valor promedio en el tiempo de S olo su b proyecci´ on a lo largo de J b=J b − S, b as´ı que Pero L

b b b prom = S · L J. b S J2

b · S, b L2 = J 2 + S 2 − 2J

(2.160)

(2.161)

66


entonces b·L b = 1 (J 2 + S 2 − L2 ) S 2 ~2 = [j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)]. 2

(2.162)

Puesto que el esp´ın del electr´ on es s = 1/2 entonces: b b

b + 2S b = J b+S b = J b + S · LJ b L J2

(b S·b L) b J 1+ = J2 j(j + 1) − l(l + 1) + 3/4 b = 1+ J . 2j(j + 1)

(2.163)

~ ext = Bext uˆz entonces: Si se escoge B

e Bext gJ uˆz · b J 2m

e e = Bext gJ Jbz = Bext gJ mj 2m 2m

Ez(1) =

con gJ el factor de Landé dado por j(j + 1) − l(l + 1) + 3/4 gJ = 1 + . 2j(j + 1)

(2.164)

(2.165)

La energ´ıa total ser´ a entonces la suma de la parte de estructura fina y la (1) (0) (1) contribuci´ on Zeeman: En = (En + Eef ) + Ez . Tomando por ejemplo el caso en el que n = 1, l = 0, j = l + s = 1/2 y mj = ±1/2, de manera que gJ = 2 y as´ı Ez(1) = ±µB Bext por lo que: # " αE2 ± µB Bext . (2.166) E1 = −13,6 eV 1 + 4 Efecto Zeeman de campo fuerte (Efecto Zeeman fuerte) ~ ext | ≫ |B ~ int |, de manera que el efecto Zeeman domina, En este caso, |B ~ con Bext en la direcci´ on z. Los n´ umeros cu´ anticos adecuados son ahora n, l, s, ml y ms (pero no j y mj debido a que el momento angular total no se conserva en la presencia del torque). El Hamiltoniano es: b z′ = e Bext (L + 2S ) = µ Bext (ml + 2ms , ), H Z Z B 2m

(2.167)

67

2.10. EJERCICIOS

y las energ´ıas sin perturbaci´ on son: En,ml ,ms = −

13,6eV + µB Bext (ml + 2ms ). n2

(2.168)

La correcci´ on a primer orden a estos niveles, proveniente de la estructura fina es ′

(1) ′ br + H b eo (2.169) ) nlml ms . Eef = nlml ms (H

La correcci´ on relativista es la misma pero para el término esp´ın-´ orbita:

b·L b = Sx Lx + Sy Ly + Sz Lz = 0 + 0 + ~2 ml ms (2.170) S De manera que colocando todo junto: 13,6 eV 2 3 l(l + 1) − ml ms (1) Eef = αE − n3 4n l(l + 1/2)(l + 1)

(2.171)

(1)

dende se observa que Eef es indeterminado para l = 0.

2.10.

Ejercicios

1. Sea una part´ıcula de masa m sometida a un potencial c´ ubico infinito tridimensional dado por:  0 , si 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a V (x, y, z) = ∞ , en caso contrario a) Encuentre los estados propios y los valores propios de energ´ıa para este sistema. b) Si ahora se introduce una perturbaci´ on constante dada por  V0 , si 0 < x < a/2, 0 < y < a/2 b′ = H 0 , en caso contrario

Encuentre la energ´ıa del primer estado excitado, corregida a primer orden en teor´ıa de perturbaciones

c) Encuéntre los estados correctos de orden cero correspondientes. 2. Considere una part´ıcula de masa m en un pozo infinito bidimensional de lado a, dado por: ( 0, si 0 < x < a o, 0 < y < a (2.172) V (x, y) = ∞, en caso contrario

68


a) Cu´ ales son los tres primeros niveles de energ´ıa de éste sistema? Cu´ ales de estos nieles presentan degeneraci´ on? b) Si ahora se somete la part´ıcula a un potencial perturbativo de la forma: V (x, y) = λxy, 0 < x < a; 0 < y < a obtenga las correciones de primer orden para los tres primeros niveles de energ´ıa. c) Encuentre los estados correctos de orden cero. 3. Sea una part´ıcula de masa m en un potencial arm´ onico is´ otropo tridimensional, calcule la energ´ıa del primer estado excitado, corregida hasta primer orden en teor´ıa de perturbaciones, cuando act´ ua un potencial perturbativo de la forma: V (r) =Ar2 = A(x2 + y 2 + z 2 ) V (r) =Bxy Encuentre los estados correctsode orden cero correspondientes. 4. Con respecto al efecto Zeeman ~ ext ≈ B ~ int (efecto Zeeman de campo a) Estudie el efecto Zeeman para B intermedio) b) Para los casos de efecto Zeeman fuerte y an´ omalo estudie el caso n = 2 en cada situaci´ on, obteniendo expl´ıcitamente el desdoblamiento y realizando un diagrama de energ´ıas.

Cap´ıtulo 3

Teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo 3.1.

Formulaci´ on general

En este cap´ıtulo se desarrolla el método de la teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo, a primer orden en la serie perturbativa, que permite estudiar las transiciones posibles entre estados cu´ anticos de sistemas en los que act´ uan perturbaciones dependientes del tiempo. Cuando una perturbaci´ on dependiente del tiempo act´ ua en un sistema mec´ anicocu´ antico, durante un lapso de tiempo dado, el efecto de la perturbaci´ on sobre el sistema se manifiesta mediante transiciones entre los estados cu´ anticos del sistema. Por medio de la teor´ıa de perturbaciones a primer orden es posible estimar la amplitud de transici´ on del estado inicial en el que se encuentra el sistema, justo cuando empieza a actuar la perturbaci´ on, al estado final en el que queda el sistema, en el instante en el que deja de actuar la perturbaci´ on. Son varios los sistemas f´ısicos de interés que pueden estudiarse mediante la teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo. En particular la interacci´ on de la radiaci´ on electromagnética con la materia, es un ejemplo de mucho interés. En este ejemplo la radiaci´ on electromagnética es una perturbaci´ on que tiene una dependencia temporal arm´ onica. El efecto de la radiaci´ on electromagnética sobre la materia ser´ a excitar los ´ atomos, los cuales sufrir´ an transiciones entre sus niveles de energ´ıa electr´ onicos. Desde un punto de vista general, existen dos situaciones f´ısicas que pueden ser estudiadas a través del método de la teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo: 1. Si el sistema est´ a bajo la influencia, desde el exterior, de una fuerza dependiente del tiempo. Esto hace que el sistema cambie su energ´ıa y pase de un estado a otro. Por ejemplo, el electr´ on de la figura 3.1 se encuentra en el estado correspondiente a n = 1 cuando incide una onda electromagnética que lo puede hacer “saltar” al nivel 2. 69

70

CAPÍTULO 3. TEORÍA DE PERTURBACIONES DEPENDIENTE DEL TIEMPO

La probabilidad de encontrarlo aqu´ı var´ıa

n=2

con el tiempo

n=1

b

b

E2

b

E1

b

b +Ze

γ Figura 3.1: Interacción de un átomo con una onda electromagnética.

2. Si el sistema se encuentra en un estado degenerado, a´ un si se aplica una perturbaci´ on constante en el tiempo de forma tal que no cambie la energ´ıa del sistema, este puede pasar a otro estado asociado al mismo valor de energ´ıa. Por ejemplo en una colisi´ on,la direcci´ on de la part´ıcula incidente cambia por efecto del centro de fuerza, tal como semuestra en la figura 3.2. En esta figura una part´ıcula de masa m, con energ´ıa E0 y momento p~1 , pasa cerca de un centro de fuerza, desv´ıandose de su trayectoria de tal forma que ahora su momento es p~2 pero su energia es la misma. Entre el estado asociado a p~1 y el asociado a p~2 hay mas estados intermedios asociados a diferentes p~ pero con el mismo valor E0 . Entonces p~ est´ a cambiando con el tiempo y por lo tanto también la probabilidad de encontrar el sistema en determinado estado. En cualquiera de las dos situaciones genéricas previamente menionadas, la probabilidad de encontrar el sistema en un cierto estado cu´ antico var´ıa con el tiempo y se dice que el sistema se encuentra en un estado estacionario. Para los dos casos anteriores el operador Hamiltoniano depende expl´ıcitamente b del tiempo (H(t)) y se puede escribir como: b b0 + H b ′ (t), H(t) =H

(3.1)

b 0 representa el operador Hamiltoniano del sistema libre y H b ′ (t) repredonde H senta la perturbaci´ on dependiente del tiempo, que corresponde a un término de energ´ıa potencial dependiente del tiempo. b ′ (t) ≪ H b 0 , entonces se puede aplicar teor´ıa de perturbaciones. Si se cumple que H La din´ amica del sistema f´ısico descrito por (3.1) se puede describir mediante la soluci´ on de la ecuaci´ on de Schr¨ odinger dependiente del tiempo, dada por: i~

d b ψn (t) , ψn (t) = H(t) dt

(3.2)

´ GENERAL 3.1. FORMULACION

71

E0 , p~1 b

Centro de fuerza

mb E0 , p~2

Figura 3.2: Interacción de una part´ıcula con un centro de fuerza.

ecuaci´ on que en general no tiene soluci´ on exacta. Através del método de teor´ıa de perturbaciones se puede plantear una soluci´ on anal´ıtica aproximada de la ecuaci´ on (3.2). Para que esto sea posible se requiere conocer la soluci´ on exacta del problema sin perturbar, es decir se tiene un conocimiento completo de los b 0 , o sea, de las correcciones de orden cero. N´ valores y estados propios de H otese 0 b dependen del tiempo, esto significa que el problema que los estados propios de H que se supone resuelto es

d (0) b 0 ψn(0) (t) = E (0) ψn(0) (t) (t). ψn (t) = H dt (0) Los estados ψn (t) estar´ an dados por i~

(0) (0) − i E (0) t ψn (t) = ψn e ~ n ,

(3.3)

(3.4)

donde en el factor de fase aparece el valor propio de energ´ıa En(0) asociado al (0) b 0 , los cuales est´ an relaionados a través de: estado propio ψn (t) de H b 0 ψn(0) = En(0) ψn(0) . H

(3.5)

n o (0) Es decir, el conjunto de estados propios ψn es completo y ortonormal, de tal forma que este conjunto forma la base del espacio de Hilbert asociado al sistema. i

(0)

Multiplicando (3.5) por la fase compleja e− ~ En b 0 y t el tiempo, se tiene que: de H

t

, siendo En(0) los valores propios

i (0) i (0) b 0 ψn(0) e− ~ En t = En(0) ψn(0) e− ~ En t . H

(3.6)

72


Utilizando (3.4), (3.6) se puede escribir como: b 0 ψ (0) (t) = E (0) ψ (0) (t) . H n n n

(3.7)

El conjunto de estados estacionarios es completo y ortonormal, y por ende este conjunto también forma una base del espacio de Hilbert. Los elementos de esta (0) base son simplemente los estados ψn cambiados por un factor de fase. Los estados estacionarios deben satisfacer la relaci´ on de ortonormalidad, en efecto: i (0) (0)

(0) (0) (0) i Em t − ~ En t (0) e ψn ψm (t) ψn (t) = ψm (t) e ~ i

(0)

i

(0)

= e ~ (Em

= e ~ (Em

(0) (0) ψm ψn

−En )t

(o)

(o)

−En )t

δmn .

(3.8)

Como se mencion´ o, el prop´ osito es solucionar (3.2) de forma aproximada, y para esto se asume que su soluci´ on tiene una forma perturbativa dada por: ψn (t) = ψn(0) (t) + ψn′ (t) , (3.9)

(0) donde ψn (t) son los estados estacionarios y representan la correci´ on a orden cero y ψn′ (t) representa la correcci´ on perturbativa. Reemplazando (3.1) y (3.9) en (3.2): d (0) ′ b0 + H b ′ (t) ψn(0) (t) + ψn′ (t) , ψn (t) + ψn (t) = H (3.10) i~ dt

y teniendo en cuenta (3.3), entonces la ecuaci´ on de Schr¨ odinger dependiente del tiempo adquiere la forma:

d ′ b 0 ψn′ (t) = H b ′ (t) ψn (t) . ψn (t) − H (3.11) dt El estado arbitrario nψn′ (t) seo puede expresar como una superposici´ on de los (0) elementos de la base ψm (t) , es decir: i~

′ (0) X i (0) X (0) ψn (t) = , bm (t) ψm (t) = bm (t) e− ~ Em t ψm m

(3.12)

m

donde los coeficientes bm (t) son funciones del tiempo y en general son n´ umeros complejos. Reemplazando (3.12) en (3.11) se tiene i (0) i (0) P d P − ~ Em t (0) − ~ Em t (0) 0 b i~ ψm −H bm (t) e ψm bm (t) e dt m m (3.13) ′ b = H (t) ψn (t) .

´ 3.2. CALCULO DE LA AMPLITUD DE PROBABILIDAD

73

Derivando con respecto al tiempo y usando (3.3), la ecuaci´ on anterior se convierte en i~

X m

i (0) (0) b ′ (t) ψn (t) . b˙ m (t) e− ~ Em t ψm =H

(3.14)

Premultiplicando (3.14) por el bra ψl(0) se obtiene: i~

X m

i

(0)

b˙ m (t) e− ~ Em

(0) (0) ′ b (t) ψn (t) ψl(0) ψm = ψ l H

t

i

(0)

i~ b˙ l (t) = e ~ El

′ b (t) ψn (t) ψl(0) H

t

(3.15)

A partir de la ecuaci´ on (3.15) se podr´ıa conocer la variaci´ on en el tiempo de (0) ψ la amplitud de probabilidad de encontrar la part´ ıcula en el estado en el l on no es tiempo t, sin embargo debido a que ψn (t) , no se conoce, esta ecuaci´ muy u ´til desde el punto de vista pr´ actico. Esta ecuaci´ on ser´ a de interés en elcaso del estudio de la teor´ıa de colisiones.

3.2.

C´ alculo de la amplitud de probabilidad

Para encontrar una expresi´ on que sea de utilidad, se recurre a la teor´ıa de perturbaciones expl´ıcitamente, es decir se desarrolla el mismo método de aproximaci´ on en serie usado en la TPIT. Lo primero es tomar: b ′ (t) = λH b ′ (t), H

(3.16)

como la perturbaci´ on, donde λ es el par´ ametro perturbativo que puede tomar valores 0 ≤ λ ≤ 1. Esta perturbaci´ on act´ ua sobre el sistema durante un lapso de tiempo dado. Si se asume que el sistema se encuentra en un estado estacionario (0) ψa (t) , justo en el instante en el que comienza a actuar la perturbaci´ on, entonces el efecto de la perturbaci´ on sobre el sistema ser´ a producir una transici´ on a (0) otro estado estacionario, por ejemplo ψb (t) , de tal forma que cuando la pertur (0) baci´ on deja de actuar, el sistema se encuentra en el estado estacionario ψb (t) . El objetivo a continuaci´ on ser´ a obtener una expresi´ on m´ as u ´til, desde el punto de vista cuantitativo, que permita evaluar la amplitud de transici´ on de probabilidad ′ b de que, por efecto de la perturbaci´ on H (t), el sistema encontr´ andose en el estado (0) ψa (t) en el tiempo t0 , pase a un estado ψ (0) (t) en el tiempo t en que deja de b actuar la perturbaci´ on. Puesto que la soluci´ on perturbativa de (3.2), que se ha planteado, tiene la forma (3.9) , a continuaci´ on de escribir´ a exl´ıcitamente la correcci´ on perturbativa ′ ψa (t) = λ ψa(1) (t) + λ2 ψa(2) (t) + · · ·

(3.17)

74


Tomando n = a en (3.9) y (3.11), reemplazando (3.9),(3.16) y (3.17) en (3.11), se tiene que: i h i d h (1) b 0 λ ψa(1) (t) + λ2 ψa(2) (t) + · · · λ ψa (t) + λ2 ψa(2) (t) + · · · − H i~ dt h i b ′ (t) ψa(0) (t) + ψa′ (t) b ′ (t) ψa (t) = λ H = λH h i b ′ (t) ψa(0) (t) + λ ψ (1) (t) + λ2 ψ (2) (t) + · · · , = λH

(3.18)

de donde se encuentra que: d (1) b 0 (1) d (2) b 0 (2) 2 λ i~ ψa (t) − H ψa (t) + λ i~ ψa (t) − H ψa (t) + · · · dt dt b ′ (t) ψa(0) (t) + λ2 H b ′ (t) ψa(1) (t) + · · · = λH (3.19) Esta u ´ltima ecuaci´ on se satisface orden, obteniéndose expl´ıcitamente las siguientes ecuaciones: i~ i~

d (1) b 0 (1) b ′ ψa(0) (t) , ψa (t) − H ψa (t) = H dt d (2) b 0 (2) b ′ ψ (1) (t) , ψa (t) − H ψa (t) = H a dt .. .. . .

(3.20) (3.21)

(1) ψa (t) , se puede escribir como superposici´ El estado arbitrario on de elementos n o (0) de la base ψn (t) , con lo cual (1) X (1) (0) ψa (t) = Cn (t) ψn (t) ,

(3.22)

n

(2) de la misma forma, el estado arbitrario ψa (t) se puede escribir como: (2) X (2) (0) ψa (t) = Dn (t) ψn (t) .

(3.23)

n

Reemplazando (3.22) en (3.20) se obtiene: d i~ dt

X n

Cn(1) (t) ψn(0) (t)

!

b0 −H

X n

Cn(1) (t) ψn(0) (t)

!

b ′ (t) ψa(0) (t) . =H

(3.24)

´ 3.2. CALCULO DE LA AMPLITUD DE PROBABILIDAD

75

Después de realizar expl´ıcitamente la derivada en la ecuaci´ on (3.24) y de reemplazar la forma expl´ıcita de los estados estacionarios, se puede obtener que: X

i~

n

i (0) i (0) b ′ (t)e− ~ Ea t ψa(0) , C˙ n(1) (t)e− ~ En t ψn(0) = H

(3.25)

(1)

i (0)

donde C˙ n(1) (t) = dCndt (t) . Premultiplicando (3.25) por el bra ψb(0) (t) = ψb(0) e ~ Eb t de la base estacionaria, se tiene:

i~

X

i

(o)

C˙ n(1) (t) e ~ (Eb

n

−Ea ) t

(0)

de donde es posible obtener

′ (0) i (o) (0)

b (t) ψa , (3.26) ψb(0) ψn(0) = e ~ (Eb −Ea ) t ψb(0) H

′ (0) iω t

b (t) ψ i~C˙ b(1) (t) = ψb(0) H e ba , a

(3.27)

siendo ωba las frecuencias de Bohr, definidas como: ωba =

Eb(0) − Ea(0) . ~

(3.28)

La expresi´ on (3.27) es de interés pr´ actico ya que como se conocen los estados (0) (0) del sistema sin perturbar, se puede realizar expl´ıcitacu´ anticos ψa y ψb mente la integral sobre el tiempo y obtener la expresi´ on: i Cb (t) = Cb (t0 ) − ~ (1)

(1)

Zt

t0

(0) ′ (0) iω t b (t) ψa e ba dt, ψ b H

(3.29)

on del tiempo. que en principio permite conocer Cb(1) (t) como funci´ Siguiendo un procedimiento similar al que se acaba de desarrollar para obtener Cb(1) (t), reemplazando (3.23) en (3.21), se obtiene que: 1 X b′ D˙ b(2) (t) = H (t)Cn(1) (t)eiωba t . i~ n bn

(3.30)

Pero cu´ al es el significado f´ısico de Cb (t) y Db (t)? Para conocer dicho significado se realiza el siguiente procedimiento. (0) Si el sistema se encuentra en el estado estacionario ψa (t) , en el tiempo t0 , es decir justo cuando empieza a actuar la perturbaci´ on, se puede escribir este estado corregido hasta segundo orden como: ψa (t) = ψa(0) (t) + ψa(1) (t) + ψa(2) (t) X (1) (0) X (2) (0) = ψa(0) (t) + Cn (t) ψn (t) + Dn (t) ψn (t) n

n

76


= ψa(0) (t) + Ca(1) (t) ψa(0) (t) + Da(2) (t) ψa(0) (t)

+

X

n6=a

X (2) (0) Cn(1) (t) ψn(0) (t) + Dn (t) ψn (t) .

(3.31)

n6=a

Premultiplicando la anterior expresi´ on por ψb(0) (t) , se tiene que la amplitud de probabilidad de transici´ on del estado estacionario a al estado estacionario b es:

(0) ψb (t) ψa (t) = Cb(1) (t) + Db(2) (t) = Bb (t), (3.32)

por lo tanto la probabilidad de transici´ on de encontrar el sistema en el estado estacionario b es:

Pb (t) = | ψb(0) (t) ψa (t) |2 = |Bb (t)|2 , (3.33)

on a primer orden a la amplitud de probabilidad De esta forma Cb(1) (t) es la correcci´ (0) en el instante t = t0 , pase al de que el sistema econtr´ andose en el estado ψa (0) estado ψ , en el tiempo t, por efecto de la perturbaci´ on. De forma similar b

on a segundo orden a la amplitud de probabilidad. Db(2) (t) es la correcci´ Por lo anterior en (3.29) se concluye que Cb (t0 ) = 0, puesto que en el instante (0) t0 , el sistema se encuentra en el estado estacionario ψa (t) y por lo tanto, la expresi´ on (3.29) se convierte en: i Cb (t) = − ~ (1)

Zt

t0

b ′ (t)eiωba t dt, H ba

b ′ est´ donde los elementos matriciales H an dados por: ba ′ (0)

b ′ (t) = ψ (0) H b (t) ψa . H ba b

(3.34)

(3.35)

Desde el punto de vista pr´ actico, resulta muy complicado evaluar la amplitud de probabilidad hasta segundo orden, puesto que ser´ıa necesario obtener expl´ıcitamente Db(2) (t) a partir de (3.30). Pero esto no es posible en la pr´ actica, ya que se necesitar´ıa sumar sobre todos los infinitos estados del sistema y evaluar los infini ′ (0)

b ′ (t) = ψ (0) H b (t) ψn . Por lo anterior, la evaluaci´ tos elementos matriciales H on bn b de la amplitud de probabilidad de transici´ on se realizar´ a solamente hasta primer orden. b ′ (t) y se evaA continuaci´ on de considerar´ an diversas formas de perturbaci´ on H luar´ a en cada caso la amplitud de probabilidad de transici´ on a primer orden.

3.3.

Perturbaci´ on Constante

b ′ , que es “encendida” en el tiempo Considerese una perturbaci´ on constante H b ′ (t) se puede escriir t0 = 0 y “apagada” en el tiempo t = τ . La perturbaci´ on H

77

´ CONSTANTE 3.3. PERTURBACION

omo: b ′ (t) = H

 b ′ (~r) = cte, H

0≤t≤τ

0 ,

(3.36)

en caso contrario.

b ′ (t). En la figura 3.3 se muestra el comportamiento en el tiempo de H b ′ (t) H b ′ (~r) H τ

0

t

Figura 3.3: Perturbaci´ on constante

b 0 , es perturbado por Sup´ ongase que un sistema f´ısico arbitrario descrito por H ′ b H (t) definido en (3.36). Ya que la perturbaci´ on constante act´ ua durante el intervalo (0, τ ), entonces (3.34) para este caso es: i Cb (τ ) = − ~

Zτ 0

b ′ iωba t dt H ba

e

i b′ =− H ~ ba

Zτ

eiωba t dt

0

τ b ′ (eiωba τ − 1) H i b ′ eiωba t , = − Hba = − ba ~ iωba ~ ωba

(3.37)

0

b ′ dado por: con H ba

′ (0)

b ′ = ψ (0) H b ψ a . H ba b

Usando la relaci´ on

eiωba τ − 1 = 2i sen la expresi´ on (3.37) se convierte en: Cb (τ ) = −

(3.38)

ω τ ωba τ ba e 2 , 2

ω τ ωba τ b′ H ba ba e 2 ; 2i sen ~ωba 2

con b 6= a.

(3.39)

(3.40)

78


Cabe recordar, para Cb (τ ) es la amplitud de probabilidad de transici´ on de que el (0) sistema encont´ andose en el estado estacionario ψa , en el instante inicial t = 0, (0) on constante pase al estado ψb , en el tiempo t = τ por efecto de la perturbaci´ ′ b H . De esta forma la correspondiente probabilidad de transici´ on es:: b ′ 2 Hba 4 sen2 ωba τ 2 ∗ 2 Pb (τ ) = |Cb (τ )| = Cb (τ )Cb (τ ) = 2 ~2 ωba b ′ 2 2 H ba (1 − cos(ωba τ )) . = 2 ~2 ωba

(3.41)

Para estudiar este resultado se define la funci´ on: F (τ, ωba ) =

1 − cos(ωba τ ) , 2 ωba

(3.42)

cuyo comportamiento se muestra en la figura 3.4. Esta funci´ on tiene un pico F (τ, ωba ) τ 2 /2

ωba − 6π τ

− 4π τ

− 2π τ

2π τ

4π τ

6π τ

Figura 3.4: Comportamiento de F (τ, ωba ) como funci´ on de ωba , con τ fijo

en ωba = 0. La altura del pico es proporcional a τ 2 , mientras que su ancho es proporcional a 2π/τ . Con la definici´ on de F (τ, ωba ), la expresi´ on (3.41) se puede escribir como:

Pb (τ ) =

b ′ 2 2 H ba ~2

F (τ, ωba ).

(3.43)

´ CONSTANTE 3.3. PERTURBACION

79

τ Integrando F (τ, ωba ) y haciendo el cambio de variable x = ωba 2 , se obtiene: Z ∞ Z ∞ Z ∞ τ 2 sen2 ωba sen2 (x) 2 dx = τ π, (3.44) F (τ, ωba )dωba = dω = τ ba 2 x2 ωba −∞ −∞ −∞

lo cual sugiere que si τ es grande, entonces F (τ, ωba ) ∼ τ πδωba .

(3.45)

Los estados m´ as probables, para un valor fijo de τ , son aquellos cuyas transiciones a los estados finales b se caracterizan por un valor de ωba que no difiere de cero m´ as que en la cantidad δωba ≈

π . τ

(3.46)

de esta forma, las transiciones de un estado a a un estado b, ocurrir´ an principalmente hacia aquellos estados finales cuyas energ´ıas Eb se encuentren en el ancho de banda: δEba ≈

2π~ , τ

(3.47)

alrededor de la energ´ıa Ea(0) . Este resultado tiene que ver con la relaci´ on de incertidumbre ∆E∆t ≥ ~,

(3.48)

ya que las perturbaciones dan una forma de medir la energ´ıa del sistema, por inducir transiciones a → b, y debido a que esta perturbaci´ on act´ ua en un tiempo τ , la incertidumbre relacionada a ésta energ´ıa deber´ıa ser aproximadamente: δEba ≈

~ . τ

(3.49)

Ahora se estudiar´ a la probabilidad de transici´ on como funci´ on de τ . Recordando la expresi´ on (3.41) se tienen dos casos: 1. Si la transici´ on es tal que la energ´ıa no perturbada es estrictamente conservada (ωba → 0), entonces se observa que: sen

ω τ ω τ ba ba ∼ = 2 2

−→ sen2

ω τ ω2 τ 2 ba ∼ = ba , 2 4

(3.50)

con lo cual (3.41) es 2 2 ωba τ ′ 2 4 b b ′ |2 4 | H | |H ba Pb (τ ) ∼ = ba2 τ 2 . = 2 2 ~ ~ ωba

(3.51)

El comportamiento de (3.51) como funci´ on de τ , se muestra en la figura 3.5.

80


Pb (τ ) b ′ |2 |H ba ~2

1

τ

Figura 3.5: Comportamiento de la probabilidad de transcici´ on Pb (τ ) cuando ωba → 0.

Pb (τ ) b ′ |2 4|H ba (∆E)2

P¯b

τ 2π/ωba

4π/ωba

Figura 3.6: Comportamiento de la probabilidad de transición Pb (τ ) cuando ωba 6= 0

2. Si por el contrario se tiene que ωba 6= 0, entonces Pb (τ ) est´ a dado por la expresi´ on (3.41). Con la definici´ on ωba = ∆E/~, esta expresi´ on se convierte en:

Pb (τ ) =

b ′ 2 4 H ba (∆E)2

sen2

ω τ ba , 2

(3.52)

cuyos ceros satisfacen la relacion: 2nπ 2nπ~ ωba τ = nπ → τ = = . 2 ωba ∆E

(3.53)

Se observa tambien (ver figura 3.6), que la probabilidad de transici´ on oscila

3.4. TASA DE CONTEO Y REGLA DE ORO DE FERMI

81

alrededor del valor promedio: b ′ 2 2 Hba

P¯b =

3.4.

(∆E)2

.

(3.54)

Tasa de conteo y regla de oro de Fermi

Recordando la expresi´ on (3.41), con τ fijo, los estados m´ as probables son aquellos cuya energ´ıa Eb se encuentra en el intervalo (Ea(0) − δη, Ea(0) + δη);

con η =

π~ , τ

(3.55)

esto indica que en vez de considerar la transici´ on a un estado particular b, es necesario tratar la transici´ on envolviendo un grupo de estados b, cuya energ´ıa se encuentra en este intervalo. Denotando ρb (Eb ), como la densidad de niveles con energ´ıa Eb , entonces: N=

Z

(0)

Ea +δη

ρb (Eb )dEb ,

(0)

(3.56)

Ea −δη

representa el n´ umero de estados cuya energ´ıa se encuentra en el intervalo (3.55). Por lo anterior la probabilidad de transici´ on a primer orden P¯b de un estado ¯ inicial a un grupo de estados final b es: P¯b (τ ) =N Pb (τ ) = 2 = ~

Z

Z

(0)

Ea +δη

(0)

Ea +δη (0)

Pb (τ )ρ¯b (Eb )dEb

(0)

Ea −δη

Ea −δη

b ′ 2 H ba F (τ, ωba )ρ¯b (Eb )dEb .

(3.57)

Para τ suficientemente grande la funci´ on F (τ, ωba ) satisface (3.45). Utilizando la relaci´ on ωba = (Ec − Ea )/~, se obtiene Z

(0)

Ea +δη (0)

F (τ, ωba )dEc =

Ea −δη

Z

∞

F (τ, ωba )dωba = ~πτ.

(3.58)

−∞

b ′ y ρ¯(Eb ) son cerAsumiendo que η es suficientemente peque˜ no, entonces H b ba canamente constantes dentro del intervalo de integraci´ on, con lo cual utilizando (3.58), (3.57) se convierte en: 2 b ′ 2 P¯b (τ ) = H ρ¯(Eb ) ~ ba b 2π = ~

Z

(0)

Ea +δη (0)

F (τ, ωba )dEb

Ea −δη

b ′ 2 Hba ρ¯b (Eb )τ.

(3.59)

82


Se observa entonces, que la probabilidad de transici´ on se incrementa linealmente con τ , para aquellas transiciones que conservan la energia. Se introduce ahora, un nuevo concepto denominado tasa de conteo Wb (probabilidad de transici´ on por unidad de tiempo), definida como: Wb =

2π b ′ 2 dP¯b = Hba ρ¯b (Eb ), dτ ~

(3.60)

Este resultado obtenido por Dirac se denomina la regla de oro de Fermi , cuyo significado f´ısico es el siguiente. Sea un sistema cualquiera, el cual se ve afectado por una perturbaci´ on que ocasiona un cambio del sistema del estado a al estado b. Este cambio se conoce como evento. Los eventos pueden ser detectados por un instrumento que puede ser una c´ amara de ionizaci´ on o un contador Geiger-M¨ uler.

Contador

Eventos

Figura 3.7: Detecci´ on de eventos

A causa de la ocurrencia del evento, se ioniza el gas del contador, y se produce una avalancha de electrones que constituyen una corriente y por lo tanto un pico en un instrumento de medida. Esto no sucede instant´ aneamente, transcurre un tiempo finito mientras que esto ocurre. Adem´ as hay otro tiempo para la amplificaci´ on y registro de la se˜ nal. ¿Qué pasa durante este tiempo? El aparato puede ignorar otros eventos que hayan sucedido mientras todo el proceso anterior se llevaba a cabo. Durante ese intervalo est´ an variando P (t) y dp(t) dt . El contador no esta dise˜ nado para “ver” un solo evento, sino un conjunto de eventos. El contador ideal observar´ıa un solo evento proveniente de un estado final b. Mientras el contador real observa un conjunto de eventos provenientes de estados finales b cuyo promedio es ¯b. En la pr´ actica se observan eventos provenientes de much´ısimas part´ıculas o sistemas. Se define la luminosidad como el n´ umero de part´ıculas en un segundo por 2 12 cm . Por ejemplo luminosidad 10 significa 1012 part´ıculas cm2

en un segundo

(3.61)

83

´ EXPONENCIAL 3.5. PERTURBACION

En una colisi´ on de un haz de electrones y uno de positrones ocurren 500 a 700 eventos por segundo en un ´ area muy peque˜ na. El espectro de energ´ıa aparentemente es un continuo y se dice que el aparato responde a un ancho de energ´ıa. El n´ umero de estados necesarios para que el (0) (0) contador responda en el ancho de energ´ıa dEb alrededor de la energ´ıa final Eb est´ a dado por (0)

(0)

dN = ρEb dEb , (0)

(3.62) (0)

siendo ρEb =la densidad final de estados con energ´ıa Eb . La tasa de conteo que observa el aparato dentro del ancho ¯b esta dada por 2π dP¯b = dt ~

2π = ~

Z∞ 2 b′ (0) (0) (0) dEb Hba (t) δ Eb − Ea(0) ρ¯b Eb

−∞

2 Z∞ b′ (0) (0) (0) dEb δ Eb − Ea(0) ρ¯b Eb Hba (t) −∞

2 dP¯b 2π b ′ = Hba (t) ρ¯b Ea(0) dt ~

(3.63)

Expresi´ on que coincide con (3.60), y a partir de ella se puede determinar cuales son las probabilidades permitidas. Eesta expresi´ on es diferente de cero cuando el elemento matricial es diferente de cero, entonces la probabilidad depende del n´ umero de sistemas que se encontraban en el estado a, que en general ser´ a el estado base. Esta regla impone restricciones a las transiciones; dependiendo de b ′ (t) y la paridad de las funciones propias, existir´ H an transiciones prohibidas.

3.5.

Perturbaci´ on Exponencial

Considere una perturbaci´ on exponencial respecto al tiempo, que comienza a actuar en t = −∞ hasta un tiempo t = τ , dada por: b ′ (t) = H b ′ (~r)eǫt ; H

con ǫ → 0.

(3.64)

En la figura 3.8 se presenta la gr´ afica de esta perturbaci´ on que como se observa tiene el mismo comportamiento que la corriente eléctrica de un circuito que se enciende, puesto que la corriente no toma un valor fijo instant´ aneamente sino que va aumentando exponencialmente. A continuaci´ on se calcula la amplitud de probabilidad de transici´ on usando la expresi´ on general (3.34), obteniéndose i Cb (τ ) = − ~

Zτ

t0

′ ǫt (0) iω t b′ b e ψa e ba dt = − i H ψ b H ~ ba (0)

Zτ

−∞

e(ǫ+iωba )t dt

84


H(t)

H ′ (~r) t τ Figura 3.8: Perturbaci´ on exponencial

i b′ =− H ~ ba Cb (t) = −

"

τ

e(ǫ+iωba )t ǫ + iωba

b ′ e(ǫ+iωba )τ H ba , ~ ωba − iǫ

−∞

#

i b ′ e(ǫ+iωba )τ =− H ~ ba ǫ + iωba (3.65)

′ (0)

b ′ = ψ (0) H b ψa . La probabilidad como funci´ donde H on de τ , de que el sistema ba b realice una transici´ on del estado a al estado b es: Pb (τ ) =

b ′ |2 e2ǫτ |H ba 2 + ǫ2 . ~2 ωba

(3.66)

En la figura 3.9 se muestra el comportamiento exponencial de la probabilidad b ′ (t) crece de transici´ on como funci´ on del tiempo t = τ . Sin embargo, ya que H b ′ (τ ) no exponenialmente con t = τ , entonces τ debe tener un limite para que H sea muy grande y por lo tanto sea v´ alido aplicar teor´ıa de perturbaciones a primer orden. La tasa de conteo en este caso es Pb (τ )

b ′ |2 |H ba (∆E)2

τ Figura 3.9: Comportamiento exponencial de la probabilidad de transición como funci´ on del tiempo

85

´ EXPONENCIAL 3.5. PERTURBACION

b ′ |2 2ǫ e2ǫτ |H dPb (τ ) = ba2 2 + ǫ2 dt ~ ωba

′ (0) 2 2ǫ τ

2 b ψa | ǫe 2| ψb(0) H ǫ 2 b ′ = (τ ) H = . 2 ba 2 2 2 2 ~ ~ (ωba + ǫ ) ωba + ǫ2

(3.67)

′ (0)

b ′ (τ ) = ψ (0) H b (τ ) ψa . Resulta mas u siendo H ´til escibir la tasa de conteo en ba b términos de la funci´ on delta de Dirac, definida a través de: f (x) =

Z∞

−∞

δ(x − x′ )f (x′ )dx′ .

(3.68)

La funcion Delta de Dirac δ(x − x′ ) definida en la ecuacion anterior, para el caso particular x′ = 0, se puede escibir como: δ(x) = Lim ǫ→0

ǫ 1 . 2 π x + ǫ2

(3.69)

Por lo tanto para el caso en que ǫ → 0, es v´ alido escribir: ǫ = πδ(x). + ǫ2

x2

(3.70)

En la tasa de conteo (3.67), se define la funci´ on fǫ (ω) como: fǫ (ω) =

2 ωba

ǫ ; + ǫ2

con ǫ → 0.

(3.71)

En la figura 3.10 se gr´ afica la funci´ on fǫ (ω). Se puede verificar que el area bajo esta curva es π. Teniendo en cuenta la definici´ on de las frecuencias de Bohr ωba , la ecuaci´ on (3.71) se puede reescribir como: ǫ

fǫ (ω) =

(0)

(0)

Eb − Ea ~ = ~

!2

+ ǫ2

=

~ǫ (0) Eb

−

(0) 2 Ea

~2 ǫ

(0) 2

(0)

Eb − Ea

. +

+ ~2 ǫ2

(3.72)

(~ǫ)2

Si se define ǫ′ = ~ǫ, entonces (3.72) se escribe omo: fǫ (ω) = ~

ǫ′

(0)

(0) 2

Eb − Ea

. + (ǫ′ )2

(3.73)

86


fǫ (ω)

ǫ

−ǫ

ω

Figura 3.10: Función de distribución fǫ (ω)

Teniendo en cuenta la validez de (3.70), para el caso ǫ → 0 entonces la anterior expresi´ on se convierte en: (0) fǫ (ω) = ~πδ Eb − Ea(0) .

(3.74)

Con lo anterior la tasa de conteo (3.67) se puede escibir como: dPb (t) 2 = 2 dt ~

2 b′ (0) Hba (t) π~δ Eb − Ea(0) ,

(3.75)

siendo esta expresi´ on, la correspondiente a la regla de oro de Fermi obtenida en el caso de la perturbaci´ on constante de la secci´ on anterior.

3.6.

Perturbaci´ on arm´ onica (parte real)

Considerese a continuaci´ on una perturbaci´ on arm´ onica, que act´ ua en el sistema desde t0 = 0 hasta t = τ , dada por: b′

b′

b′

H (~r, t) = H (~r) cos ωt = H (~r)

eiωt + e−iωt 2

,

(3.76)

Al igual que en los dos casos previamente tratados, se usa la expresi´ on general (3.34) para evaluar la amplitud de probabilidad de transici´ on: i Cb (τ ) = − ~

Zτ

t0

(0) ′ b (~r, t) ψa(0) eiωba t dt ψ b H

87

´ ARMONICA ´ 3.6. PERTURBACION (PARTE REAL)

i =− ~

Zτ

(0) ′ (0) ei(ωba +ω)t′ + ei(ωba −ω)t b (~r) ψ ψ b H dt a 2

0

i (0) b ′ (0) =− ψ H (~r) ψa 2~ b

"

ei(ωba +ω)τ − 1 i(ωba + ω)

+

ei(ωba −ω)τ − 1 i(ωba − ω)

#

.

(3.77)

Haciendo uso de las identidades i(ωba +ω)τ

e

i(ωba −ω)τ

e

− 1 = 2i sen

ωba +ω 2

− 1 = 2i sen

ωba −ω 2

τ τ

la expresi´ on (3.77) se puede escribir como:

Cb (τ ) = −



i (0) b ′ (0)  sen ψ H (~r) ψa 2~ b

e

e

ω +ω τ i ba2

,

(3.78)

ω −ω τ i ba2

,

(3.79)

i ωba +ω τ ωba +ω 2 τ 2 ωba +ω 2

e

+

sen

i ωba −ω τ  ωba −ω 2 τ 2 , ωba −ω 2

e

(3.80)

con lo cual es posible identificar dos casos de resonancia en la amplitud de transici´ on Cb (τ ): para ω = ωba y para ω = −ωba . A continuaci´ on se estudiar´ an esos dos casos resonantes conocidos como emisi´ on estimulada y absorci´ on resonante . Caso 1: Emisi´ on estimulada. Para ωba = −ω, entonces ωba < 0 ya que ω > 0. Es decir Eb(0) − Ea(0) = −~ω, por lo cual se cumple que Ea(0) > Eb(0) . Por efecto de la perturbaci´ on, el sistema realiza una transici´ on de un estado de mayor energ´ıa a un estado de menor energ´ıa. En este caso resonante se cumple la condici´ on Ea(0) − Eb(0) = ~ω.

(3.81)

Esta condici´ on corresponde al segundo postulado de Bohr, por lo tanto cuando se realiza la transici´ on se produce la emisi´ on de un fot´ on γ de energ´ıa Eγ = ∆E = Ea(0) − Eb(0) , (3.82) tal como se indica en la figura 3.11. En la amplitud de transici´ on (3.80), el primer término, para el caso τ → 0, tiende a uno, es decir: sen ωba2+ω τ i ωba +ω τ 2 → 1. (3.83) e ωba +ω 2

88


Ea(0) γ Eb(0) Figura 3.11: Emisi´ on de un fot´ on

Puesto que en este caso resonante se cumple la condici´ on ω = −ωba , entonces 2ω = ω − ωba o sea que ωba − ω = −2ω. Por lo tanto el segundo término de (3.80) tiende a cero, es decir: sen(−ωτ ) −iωτ sen(−ωτ ) → 0, e =− −ω ω eiωτ

(3.84)

para el caso en que la frecuencia de la perturbaci´ on ω, sea alta. Caso 2: Absorci´ on resonante. Para ωba = ω > 0, es decir Eb(0) − Ea(0) = ~ω, se cumple que Ea(0) < Eb(0)

(3.85)

Por efecto de la perturbaci´ on, el sistema realiza una transici´ on de un estado de menor energ´ıa a un estado de mayor energ´ıa. Para que esto sea posible se requiere que el sistema absorba energ´ıa, la cual es suministrada por la perturbaci´ on. Lo anterior implica que la transici´ on se realiza si el sistema absorbe un fot´ on γ cuya energ´ıa es: Eγ = ∆E = Eb(0) − Ea(0) = ~ω,

(3.86)

tal como se muestra en la figura 3.12. En este caso, en el segundo término de (3.80), se cumple que ωba − ω → 0, y por lo tanto este término tiende a uno, es decir sen ωba2−ω τ i ωba −ω τ 2 e → 1. (3.87) ωba −ω 2

Puesto que en éste caso resonante se cumple que 2ω = ωba + ω, entonces el primer término de (3.80) tiende a cero: sen ωba2−ω τ i ωba −ω τ sen ωτ = → 0, (3.88) e 2 ωba −ω ω eiωτ 2 en el caso de que la frecuencia de la perturbaci´ on ω sea alta.

89

´ ARMONICA ´ 3.7. PERTURBACION EXPONENCIAL

Eb(0) γ Ea(0) Figura 3.12: Absorción de un fot´ on

3.7.

Perturbaci´ on arm´ onica exponencial

Considerese una perturbaci´ on arm´ onica exponencial respecto al tiempo, descrita por el operador: b ′ (t) = H b ǫ (t) cos ωt = H b 0 eǫt cos ωt = Hb 0 eǫt+iωt + eǫt−iωt , (3.89) H 2 de tal forma que comienza a actuar en t = −∞, hasta t = τ . Para este caso la amplitud de probabilidad de transici´ on (3.34) es: τ Z i

(0) Hb 0 (0) h ǫt+i(ω +ω)t i ba e + eǫt+i(ωba −ω)t dt Cb (τ ) = − ψ b 2 ψ a ~ −∞

b 1

= − ψb(0) H20 ψa(0) ~

"

eǫτ +i(ωba +ω)τ ωba + ω − iǫ

+

eǫτ +i(ωba −ω)τ ωba − ω − iǫ

#

.

(3.90)

La amplitud de transici´ on anterior tiene la misma forma que la obtenida en el caso de la perturbaci´ on exponencial, dada por la expresi´ on (3.65), pero en este caso se tienen dos términos exponenciales. Siguiendo el mismo desarrollo realizado para obtener la tasa de conteo (3.75) , se encuentra que para este caso: dPb (τ ) π (0) Hb 0 (0) 2 (0) (0) = ψb 2 ψa δ Eb − Ea(0) + ~ω + δ Eb − Ea(0) − ~ω . dτ 2~ (3.91) Debido a la aparici´ on de dos funciones delta de Dirac con argumentos diferentes, se presentan dos casos resonantes: Caso 1: Para Ea(0) − Eb(0) = ~ω > 0 se cumple Ea(0) > Eb(0) . En este caso se tiene emisi´ on estimulada de un fot´ on de energ´ıa: Eγ = ∆E = Ea(0) − Eb(0) = ~ω.

(3.92)

Caso 2: Para Eb(0) − Ea(0) = ~ω > 0 se cumple Ea(0) < Eb(0) . En este caso se tiene absorci´ on resonante de un fot´ on de energ´ıa: Eγ = ∆E = Eb(0) − Ea(0) = ~ω.

(3.93)

90

3.8.


Interacci´ on de la radiaci´ on electromagn´ etica con la materia

La interacci´ on de la radiaci´ on electromagnética con la materia es un fen´ omeno de mucha importancia en el estudio de la estrutura y propiedades de la materia. En esta secci´ on el interés se centra en el estudio de la interacci´ on de la radiaci´ on electromagnética con ´ atomos hidrogenoides. Mediante el uso de la teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo, se considera la interacci´ on electromagnética, como una interacci´ on dependiente del tiempo y el interés se centra en determinar las transiciones electr´ onicas posibles, entre los estados del a´tomo como efecto de la perturbaci´ on. Inicialmente se considera la ecuaci´ on de movimiento de una part´ıcula de masa m y carga q en presencia de un campo electromagnético, dada por: e2 ~ 2 ~2 2 ie~ ~ ~ A·∇+ ∇ − A (~ r , t) ψ(r) = Eψ(r), (3.94) − 2m mc 2mc2 ecuaci´ on que es obtenida en detalle en el Apéndice E. Con el fin de simplificar el problema se considera la situaci´ on est´ atica, es decir el problema se restringe a una part´ıcula cargada en presencia de un campo magnético uniforme en la direcci´ on ~ del eje z, B = B eˆz . ~ dada por: Realizando una elecci´ on particular del potencial vectorial A, i h ~ = − 1 (yBz − zBy )b ~ = − 1 ~r × B ex + (zBx − xBz )b ey + (xBy − yBx )b ez , A 2 2 (3.95) ~ es coherentemente escrito, en general, como: se observa que el campo magnético B ~ =∇ ~ ×A ~ = 1 Bx + 1 Bx ebx + By eby + Bz ebz . B (3.96) 2 2

~ dada por (3.95), se estudia la importancia de Con la escogencia particular de A ~ en (3.94). los términos que dependen de A Reemplazando (3.95) en el segundo término de (3.94), se tiene: ie~ e ~ ~~ ~ · ∇]ψ(~ ~ × ∇]ψ(~ ~ ˜ r) = − ie~ [~r · B [~r × B r) = B · ~r × ∇ψ(~ r) 2mc 2mc 2mc i =

e e ~ ~ B · Lψ(~r) = BLz ψ(~r). 2mc 2mc

(3.97)

De igual forma, reemplazando (3.95) en el tercer término de (3.94), se tiene que i 2 h e2 2 2 ~ 2 ψ(~r) = e ~ 2 ) ψ(~r) (~ r × B) r B − (~ r · B 8mc2 8mc2 =

e2 B 2 2 (x + y 2 )ψ(~r). 8mc2

(3.98)

´ DE LA RADIACION ´ ELECTROMAGNETICA ´ 3.8. INTERACCION CON LA MATERIA

91

Ahora, sustituyendo (3.97) y (3.98) en (3.94) se obtiene: e e2 B 2 2 ~2 2 2 ∇ − BLz + (x + y ) ψ(~r) = Eψ(~r). − 2m 2mc 8mc2

(3.99)

b z ψ(~r) ∼ ~ψ(~r) y que (x2 + y 2 )ψ(~r) ∼ a2 ψ(~r), entonces Teniendo en cuenta que L 0 se puede estimar la magnitud relativa de las contribuciones de los dos términos considerados. Se observa que la contribucion sel segundo término respecto al primero, es del orden de: e2 B 2 a20 8mc2 e 2mc B~

1 e2 B ∼ = 4 ~c ae2 0

∼ =

B . 9 × 109 gauss

(3.100)

Desde el punto de vista experimental, los campos magnéticos disponibles en el laboratorio, tienen intensidades del orden de B 6 104 gauss, entonces, seg´ un (3.100) el tercer término de (3.94) es seis ordenes de magnitud m´ as peque˜ no que el segundo término y por lo tanto su contribuci´ on es despreciable. Con lo anterior, en buena aproximaci´ on, (3.94) se puede exprimir como: ~2 2 ie~ ~ ~ ψ(~r, t) = i~ ∂ψ (~r, t). − ∇ − A(~r, t) · ∇ 2m mc ∂t

(3.101)

Implicitamente, para escribir (3.101) se ha tenido en cuenta que la amplitud de la onda electromagnética es muy grande en comparaci´ on con a0 , por lo tanto a ~ se puede aproximar a un campo nivel de escala at´ omica, el campo magnético B ~2 uniforme. Esto justifica f´ısicamente, la eliminaci´ on del término que contiene a A en (3.94). La ecuaci´ on de Schr¨ odinger (3.101), implica que el operador Hamiltoniano para un electr´ on en presencia de un campo electromagnético, sometido a la acci´ on de un potencial de Coulomb es: (ver ecuaci´ on (E.31) en el Apéndice E) b = 1 H 2m

2e b 1 Ze2 2 b + b − p . A·p c 4πǫ0 r

(3.102)

Este operador Hamiltoniano se puede escribir como:

de tal forma que:

b =H b0 + H b ′ (t), H b2 1 Ze2 b0 = p − , H 2m 4πǫ0 r

(3.103)

(3.104)

92


b t) · p b ′ (t) = e A(r, b, H mc

(3.105)

es decir, con el operador (3.103) se describe un a´tomo hidrogenoide libre (operador b 0 ), sometido a la acci´ b ′ (t)). Este H on de un campo electromagnético (operador H b cuya campo electromagnético est´ a descrito por el operador potencial vectorial A forma corresponde a la de una onda plana dada por: b t) = A b 0 ei(k·r−ωt) + A b ∗ e−i(k·r−ωt) A(r, 0 b 0 (r)e−iωt + A b ∗ (r)eiωt . =A 0

(3.106)

Reemplazando (3.106) en (3.105), se tiene que la perturbaci´ on dependiente del tiempo, se puede escribir como: i h b 0 (r)e−iωt + A b ∗ (r)eiωt · p b ′ (t) = e A b. (3.107) H 0 mc

Asumiendo que el ´ atomo interact´ ua con la radiaci´ on electromagnética a partir del tiempo inicial t0 = 0 y hasta un tiempo t = τ , entonces la amplitud de transici´ on (0) de que el ´ atomo encontr´ andose en el estado ψa en el tiempo t = 0, pase a un (0) estado ψ en el tiempo t = τ , est´ a dada por: b

i Cb (τ ) = − ~

Zτ 0

(0) e b 0 (r)e−iωt + A b ∗ (r)eiωt · p b ψa(0) eiωba t dt ψb A 0 mc

i e (0) b b ψa(0) ψb A0 (r) · p =− ~ mc i e (0) b ∗ b ψa(0) − ψb A0 (r) · p ~ mc =− −

Zτ

ei(ωba −ω)t dt

0

Zτ

ei(ωba +ω)t dt

0

ei(ωba −ω)τ − 1 i e (0) b b ψa(0) ψb A0 (r) · p ~ mc i(ωba − ω)

ei(ωba +ω)τ − 1 i e (0) b ∗ b ψa(0) ψb A0 (r) · p , ~ mc i(ωba + ω)

(3.108)

donde ωba = (Eb(0) − Ea(0) )/~. Mediante el uso de las identidades (3.78) y (3.79) en (3.108), la amplitud de transici´ on se escribe como: (0) sen ωba2−ω τ i ωba −ω τ i e (0) b 2 b ψ a τ ψb A0 (r) · p e Cb (τ ) = − ωba −ω ~ mc τ 2


sen ωba2+ω τ i e (0) b ∗ b ψa(0) τ − ψb A0 (r) · p ωba +ω ~ mc τ 2

e

ω +ω i ba2 τ

.

93

(3.109)

Se observa que tal como sucedi´ o en el caso de la perturbaci´ on arm´ onica, en la amplitud de transici´ on (3.109), se identifican dos casos resonantes: (a) emisi´ on estimulada, para cuando ωba = −ω y (b) absorci´ on resonante, para cuando ωba = ω. Eb(0) − Ea(0) = −ω, entonces Ea(0) > Eb(0) . En este caso, el a´tomo ~ emite un fot´ on γ de energ´ıa ∆E = Ea(0) −Eb(0) = ~ω (figura 3.11). Se observa que en la funci´ on dependiente de τ , el primer término tiende a cero, mientras que el segundo tiende a 1. Por lo cual la amplitud de transici´ on (3.109) para este caso es:

Caso a. Cuando

Cb (τ ) = −

i e (0) b ∗ b ψa(0) τ, ψb A0 (r) · p ~ mc

(3.110)

con lo cual, la probabilidad de transici´ on es: Pb (τ ) = |Cb (τ )|2 =

(0) 2 2 e2 (0) b ∗ ψ a τ . b ψ A (r) · p 0 b ~2 m2 c2

(3.111)

Eb(0) − Ea(0) = ω, entonces Eb(0) > Ea(0) . En este caso, el a´tomo ~ absorbe un fot´ on γ de energ´ıa ∆E = Eb(0) − Ea(0) = ~ω (figura 3.12), con lo cual la amplitud de probabilidad de transici´ on es (3.109) es:

Caso b. Cuando

Cb (τ ) = −

i e (0) b b ψa(0) τ, ψb A0 (r) · p ~ mc

(3.112)

siendo la probabilidad de transici´ on Pb (τ ) =

e2 ~2 m2 c2

2 (0) b b ψa(0) τ 2 . ψb A0 (r) · p

(3.113)

Las probabilidades de transici´ on para los dos casos resonantes, dadas por las expresiones (3.111) y (3.113), se pueden reescribir através del uso de la denominada aproximaci´ on de dipolo eléctrico. Para esto se considerar´ a espec´ıficamente el caso de emisi´ on estimulada. Como se puede observar en (3.111), en el elemento matrib ∗ (r) = A b ∗ e−ik·r . Teniendo en cuenta que las funciones propias de cial aparece A 0 0 b 0 contienen la funci´ H on radial Rnl (r), cuya funci´ on de distribuci´ on tiene la forma mostrada en la figura 3.13, para el caso n = 1, l = 0, es decir para el estado base. Se observa que |R10 (r)|2 toma valores dominantes alrededor de r ∼ a0 (esto tambien ocurre para los dem´ as estados cu´ anticos), es decir, el electr´ on tiene mayor probabilidad de encontrarse a distancias del orden de r ∼ a0 del n´ ucleo. Con lo

94


|R10 (r)|2

a0

r

Figura 3.13: Distribución de probabilidad de Rnl (r).

anterior, para valores de r peque˜ nos, la parte radial de la onda electromagnética se puede expandir en serie de Taylor: 1 ∗ 2 ∗ ∗ −ik·r b b ∗, b b (3.114) = A0 1 − ik · r + (k · r) + · · · ≈ A A (r) = A0 e 0 2!

b ∗ (r) es aproximadamente lo cual significa que si r es muy peque˜ no, entonces A constante. Esta aproximaci´ on se denomina de dipolo eléctrico. La justificaci´ on f´ısica de esta aproximaci´ on est´ a en que a nivel at´ omico la amplitud de la onda electromagnética es aproximadamente constante. Esto se puede justificar si se tiene en cuenta que la frecuencia caracter´ıstica de las ondas electromagnéticas que producen transiciones electr´ onicas en el a´tomo, es del orden de ν ∼ 1015 Hz, lo cual implica longitudes de onda del orden de λ ∼ 10−7 m. Estas longitudes de onda, son tales que λ >> a0 , y por lo tanto se puede asumir que para r ∼ a0 , la b ∗ es constante. amplitud de la onda A 0 Para justificar por qué la aproximaci´ on mencionada se denomina de dipolo eléctrico, a continuaci´ on se procede a reescribir la amplitud de transici´ on (3.111) mediante las siguientes consideraciones. Inicialmente, considérese un operador zb asociado a la coordenada z. Entonces b 0 , zb] 6= 0, siendo H b 0 el operador Hamiltoniano del a´tomo se cumple que [H hidrogenoide libre (3.104). El elemento matricial asociado a este conmutador es:

(0) 0 (0) (0) 0 (0) (0) 0 (0) b ψ a b zb ψa − ψ zbH b , zb] ψa = ψ H ψ b [H b b = Eb(0) − Ea(0)

Teniendo en cuenta que el conmutador 2 0 b p 1 Ze2 b H , zb = − , 2m 4πε0 rb

ψb(0) zb ψa(0) .

(3.115)

b 0 , zb] se puede calcular expl´ıcitamente [H 2 b p Ze2 1 zb = , zb − , zb 2m 4πε0 rb


95

"

# pb2x + pb2y + pb2z pbz pbz = , zb = , zb 2m 2m = =

1 1 (b pz [b pz , z] + [b pz , z] pbz ) = (−i~ b 1 pbz − i~ b 1 pbz ) 2m 2m i~ pbz , m

(3.116)

entonces se cumple la anterior igualdad para el caso de los elementos matriciales, es decir:

(0) 0 (0) b , zb ψa = − i~ ψ (0) pbz ψa(0) . (3.117) ψb H b m Comparando (3.117) con (3.115) se tiene: Eb(0) − Ea(0)

i~ (0) (0) ψ pbz ψa . ψb(0) zb ψa(0) = − m b

(3.118)

Realizando el mismo procedimiento para las dem´ as componentes espaciales, se encuentra que en general se cumple Eb(0) − Ea(0)

(0) i~ (0) (0) ψb(0) b j ψ a = − ψ pbj ψa , m b

siendo j = x, y, z. Se puede extender el anterior resultado al caso vectorial obteniéndose que: Eb(0) − Ea(0)

i~ (0) ψb pbx + pby + pbz ψa(0) , ψb(0) x beˆx + ybeˆy + zbeˆz ψa(0) = − m

o lo que es lo mismo:

Eb(0) − Ea(0)

(0) i~ (0) (0) b ψa . ψ p ψb(0) b r ψa = − m b

(3.119)

Teniendo en cuenta la aproximaci´ on de dipolo eléctrico, la probabilidad de transici´ on (3.111) se escribe como: Pb (τ ) =

e2 (0) b ∗ (0) 2 2 e2 b A · p ψ ψ τ = 0 a b ~2 m2 c2 ~2 m2 c2

b ∗ (0) (0) 2 2 b ψa τ . A 0 · ψ b p

Al reemplazar (3.119) en (3.120) se obtiene que: (0) (0) 2 2 e2 b ∗ im (0) (0) Eb − Ea ψb b r ψa τ Pb (τ ) = 2 2 2 A0 · ~ m c ~ =

(0) (0) 2 2 e2 (0) (0) 2 b ∗ E − E A · ψb eb r ψa τ , b a 0 ~ 4 c2

(3.120)

(3.121)

96


(0)

r ψa , donde se observa que el elemento matricial queda escrito en términos de ψb(0) eb siendo eb r un momento de dipolo eléctrico, con lo cual se justifica el nombre de la aproximaci´ on. A partir de (3.120) o (3.121) se observa que la probabilidad de que el a´tomo (0) (0) realice una transici´ on de un estado ψa en t = 0, a un estado ψb en t = τ , como efecto de la interaccion del a´tomo con la radiaci´ on electromagnética, de (0) (0)

b ψa , o equivalentemente de ψb(0) b pende del elemento matricial ψb(0) p r ψa . Si estos elementos matriciales son cero, la transici´ on es prohibida, si son diferentes de cero, la transici´ on es posible. A continuaci´ on, dentro de la aproximaci´ on de dipolo eléctrico se deducir´ an las reglas que permitir´ an conocer si una transici´ on puede ocurrir o no.

3.8.1.

Reglas de selecci´ on para ml

Para deducir las reglas de selecci´ on respecto al n´ umero cu´ antico ml , se parte de la expresi´ on (3.120). Para que Pb (τ ) 6= 0, es decir para que la transici´ on sea posible, se requiere que:

b ∗ ψ (0) pbz ψ (0) 6= 0. b ∗ ψ (0) pby ψ (0) + A b ∗ ψ (0) pbx ψ (0) + A (3.122) A 0x

b

a

0y

b

a

0z

b

a

Lo anterior significa que si cualquiera de los tres elementos matriciales es diferente de cero, la transici´ on es posible. Por lo anterior se estima inicialmente bajo que (0)

circunstancias el elemento matricial ψb(0) pbz ψa es diferente de cero. Para esto ˆ z , pbz ], es decir: se parte del elemento matricial del conmutador [L

(0) b z ψa(0) b z pbz ψa(0) − ψ (0) pbz L b z , pbz ψa(0) = ψ (0) L ψb L b b

= ψb(0) ~ mlb pbz ψa(0) − ψb(0) pbz ~ mla ψa(0)

= (~ mlb − ~ mla ) ψb(0) pbz ψa(0)

(3.123)

= ~(m′l − ml ) ψb(0) pbz ψa(0) = ~(m′l − ml ) n′ l′ m′l pbz nlml . b z , pbz = b Teniendo en cuenta que L 0, el elemento matricial debe ser cero, es decir:

′ ′ ′ b z , pbz n l ml = ~ (m − m′ ) n′ l′ m′ pbz n l ml = 0. (3.124) n l ml L l l Se observa que la anterior ecuaci´ on se satisface para el caso ml = m′l , es decir si se cumple ∆ml = 0.

(3.125)

En el caso ml 6= m′l , lo que determina que se cumpla la ecuaci´ on (3.124) es que

ψb(0) pbz ψa(0) = 0.

(3.126)


97

Es decir que en el caso ml 6= m′l la transici´ on es prohibida. Para conocer cuando

(0) (0) (0) (0) los elementos matriciales ψb pbx ψa y ψb pby ψa son diferentes de cero, se define el operador pb+ como pb+ = pbx + i pby .

(3.127)

b z con el operador pb+ es: El conmutador del operador L b z , pb+ = L b z , pbx + i L b z , pby L

= i ~ pby + i(−i ~ pbx ) = ~ pbx + i ~ pby

= ~(b px + i pby ) = ~ pb+ .

(3.128)

El elemento matricial del conmutador anterior, se puede escribir como:

(0) b z , pb+ n l ml b z , pb+ ψa(0) = n′ l′ m′ L ψ L l

b

b z pb+ n l ml − n′ l′ m′ pb+ L b z n l ml = n′ l′ m′l L l

= ~ (m′l − ml ) n′ l′ m′l pb+ n l ml .

Este mismo elemento matricial, seg´ un (3.128) es:

(0) b z , pb+ ψa(0) = ~ ψ (0) pb+ ψa(0) ψb L b

b z , pb+ n l ml = n′ l′ m′ pb+ n l ml . n′ l′ m′l L l

Luego, al comparar (3.129) y (3.130) se tiene la igualdad:

~ (m′l − ml ) n′ l′ m′l pb+ n l ml = ~ n′ l′ m′l pb+ n l ml ,

(3.129)

(3.130)

(3.131)

la cual es v´ alida si se cumple que:

m′l − ml = 1,

(3.132)

es decir el elemento matricial n′ l′ m′l pb+ n l ml es diferente de cero, si se cumple que entre los estados inicial y final se tiene una diferencia en el n´ umero cu´ antico de proyecci´ on del momento angular en la direcci´ on del eje z dada por: ∆ ml = 1. De forma an´ aloga si se define el operador pb− como: pb− = pbx − i pby ,

(3.133)

(3.134)

98


entonces, para éste caso es v´ alido que: b z , pby = i ~ pby − i(−i ~ pbx ) b z , pbx − i L b z , pb− = L L

= i ~ pby − ~ pbx = −~(b px − i pby ) = −~ pb− . b z , pb− conduce a: Por lo tanto el elemento matricial para L

(0)

b z , pb− ψa(0) = ψ (0) L b z pb− ψa(0) − ψ (0) pb− L b z ψa(0) ψb L b b

= ~ (m′l − ml ) ψb(0) pb− ψa(0)

= −~ ψb(0) pb− ψa(0) .

(3.135)

(3.136)

De acuerdo a las dos u ´ltimas l´ıneas de la igualdad, para que el elemento matricial

(0) (0) ψb pb− ψa sea diferente de cero se debe cumplir que: m′l − ml = −1,

(3.137)

la variaci´ on en el n´ umero cu´ antico ml entre los estados inicial y final debe ser: ∆ ml = −1.

(3.138)

Teniendo en cuenta (3.127) y (3.134) entonces se tiene pbx =1/2(b p+ + pb− )

(3.139)

ib px =1/2(b p+ − pb− ).

(3.140)

∆ml = 0, ± 1.

(3.141)

(0) (0)

Es decir los elementos matriciales ψb(0) pbx ψa y ψb(0) pby ψa son diferentes (0)

de cero para el caso en que alguno de los elementos matriciales ψb(0) pb+ ψa y

(0) (0) ψb pb− ψa sea diferente de cero, lo cual es posible si ∆ml = +1 y ∆ml = −1 respectivamente. En conclusi´ on la transici´ on es posible si se cumple la condici´ on dada por (3.122), la cual se satisface si se cumple alguna de las siguientes condiciones para el n´ umero cu´ antico ml :

3.8.2.

Regla de selecci´ on para el n´ umero cu´ antico l

Para deducir las reglas de selecci´ on respecto al n´ umero cu´ antico l, se parte de la expresi´ on para Pb (τ ) dada en (3.121), la cual se puede escribir como: 2 e2 Eb(0) − Ea(0) b ∗ (0) (0) b ∗ (0) (0) b ∗ (0) (0) 2 2 Pb (τ ) = b ψa + A0y ψb yb ψa + A0z ψb zb ψa τ . A0x ψb x ~ 4 c2 (3.142)


99

(0)

Por lo tanto la probabilidad Pb (τ ) depende de los elementos matriciales ψb(0) bi ψa con i = x, y, z. De manera similar al caso de las reglas de seleccion para ml , la probabilidad (3.142) ser´ a diferente de cero, si cualquiera de estos tres elementos matriciales es diferente de cero. Calculando primero el elemento bi = zb, se tiene:

(0) (0) ′ ′ ′ ψb zb ψa = n l ml zb n l ml Z∞

=

dr

0

Z2π

dφ

0

Zπ

dθ Φ∗m′ (φ) Θ∗l′ m′ (θ) Rn∗ ′ l′ (r) r cos θ l

l

0

· Rnl (r) Θlml (θ) Φml (φ) r2 sen2 θ.

(3.143)

Zπ

(3.144)

La integral sobre θ es: I=

m′

Pl′ l (cos θ) cos θ Plml (cos θ) sen θ dθ.

0

Teniendo en cuenta que los polinomios asociados de Legendre satisfacen la condici´ on: Zπ

m′

Pl′ l (cos θ) Plml (cos θ) sen θ dθ = δll′

0

2(l + ml )! , (2l + 1)(l − ml )!

(3.145)

y haciendo uso de la identidad: cos θ Plml =

l + |ml | ml l − |ml | + 1 ml P + Pl+1 , 2l + 1 l−1 2l + 1

(3.146)

la expresi´ on (3.144) se convierte en: I=

Zπ

m′ l + |ml | Pl′ l 2l + 1

ml Pl−1 sen θ dθ

m′l l

Pl′

− |ml | ml P sen θ dθ 2l + 1 l+1

0

0

l + |ml | = 2l + 1

+

Zπ

Zπ

|0

m′ Pl′ l

l − |ml | ml Pl−1 sen θ dθ + 2l + 1 {z

∝δl′ (l−1)

}

Zπ

|0

m′

ml Pl′ l Pl+1 sen θ dθ .

{z

∝δl′ (l+1)

(3.147)

}

(0)

De esta forma, I 6= 0 si l′ = l−1 o l′ = l+1. Por lo tanto, el elemento ψb(0) zb ψa es diferente de cero, si se cumple: ∆l = l′ − l = ± 1.

(3.148)

100


Calculando ahora el elemento matricial bi = x b, se tiene:

(0) (0) b ψ a = ψb x

Z∞

2

r dr

Zπ

sen θ dθ

dφ Φ∗m′ (φ) Θ∗l′ m′ (θ) Rn∗ ′ l′ (r) r sen θ cos φ l

l

0

0

0

Z2π

Rnl (r)Θlml (θ) Φml (φ), en donde la integral sobre θ es I1 =

Zπ

m′

Pl′ l (cos θ) sen θ Plml (cos θ) sen θ dθ,

(3.149)

0

y teniendo en cuenta la identidad sen θPlml −1

ml ml − Pl−1 Pl+1 , = 2l + 1

(3.150)

se tiene: I1 =

Zπ

m′ Pl′ l

ml ml Pl+1 − Pl−1 sen θ dθ 2l + 1

0

1 I1 = 2l + 1

Zπ

m′ Pl′ l

|0

ml Pl+1 sen θ dθ

{z

∝ δl′ ,l+1

1 − 2l + 1

}

Zπ

m′

ml Pl′ l Pl−1 sen θ dθ .

|0

{z

∝ δl′ ,l−1

(3.151)

}

Por lo tanto, I1 es diferente de cero si se cumple que l′ = l + 1 o l′ = l − 1, o lo que es lo mismo: ∆l = l′ − l = ± 1.

(3.152)

Calculando por u ´ltimo el elemento matricial bi = yb

(0) (0) ψb yb ψa =

Z∞ 0

2

r dr

Zπ 0

sen θ dθ

Z2π

dφ Φ∗m′ (φ) Θ∗l′ m′ (θ) Rn∗ ′ l′ (r) r sen θ sen φ l

l

0

Rnl (r)Θlml (θ) Φml (φ), la integral sobre θ es la misma que en el caso anterior, y por lo tanto el resultado es el mismo, es decir, I 6= 0 si se cumple (3.152). En conclusi´ on, la probabilidad (3.142) es diferente de cero, y por lo tanto las transiciones son posibles, si se satsiface la condici´ on (3.152).


3.8.3.

101

Reglas de selecci´ on para mj

Para deducir las reglas de selecci´ on para mj , se parte del elemento matricial, en la base acoplada:

′ ′ ′ ′ ′ (3.153) n l s j mj Jbz , pbz nlsjmj . Considerando el espin del electr´ on, se tiene que el conmutador Jbz , pbz es: b z + Sbz , pbz Jbz , pbz = L b z , pbz + Sbz , pbz = 0, = L | {z } | {z } 0

(3.154)

0

y reemplazando en (3.153) se tiene

′′ ′ ′ ′ n l s j mj Jbz pbz nlsjmj − n′ l′ s′ j ′ m′j pbz Jbz nlsjmj = 0.

Considerando la ecuaci´ on de valores propios de Jbz , se obtiene que:

~(m′j − mj ) n′ l′ s′ j ′ m′j pbz nlsjmj = 0.

(3.155)

(3.156)

Esta ecuaci´ on se satisface si m′j = mj . En el caso m′j = mj , se debe cumplir:

n′ l′ s′ j ′ m′j pbz nlsjmj = 0.

(3.157)

Siguiendo el mismo procedimiento que se emple´ o para las reglas de ml (expresi´ ones (3.126) a (3.141)) resulta: ∆mj = 0, ± 1.

3.8.4.

(3.158)

Reglas de selecci´ on para j

Para hallar las reglas de selecci´ on para j no se puede emplear el método seguido para las de l, ya que no se conocen expl´ıcitamente las funciones en la base acoplada nlsjmj . Para conocerlas, generalmente, se usan dos métodos: 1. Por medio de los coeficientes de Clebsch-Gordan.

2. Aprovechando algunos resultados experimentales. En nuestro caso se har´ a uso del segundo método, utilizando un hecho experimenb tal: La conservaci´ on de la cantidad de movimiento angular total J. En la emisi´ on estimulada (figura 3.11) se emite un fot´ on, en la absorci´ on resonante, por el contrario, se absorbe un fot´ on (figura 3.12). Para ambos casos se cumple: Jb′ = Jb + JbF .

(3.159)

102


Donde Jb = Cantidad de movimiento angular total inicial del a´tomo

JbF = Cantidad de movimiento angular asociada al fot´ on

Jb = Cantidad de movimiento angular total final del a´tomo

(3.160)

Utilizando la desigualdad triangular, j y j ′ est´ an relacionadas por |j − jF | ≤ j ′ ≤ j + jF .

(3.161)

Teniendo en cuenta que el momento angular del fot´ on, o sea su esp´ın es 1, entonces b b JF = SF , luego jF = 1 y por lo tanto reemplazando en (3.161), se obtiene: |j − 1| ≤ j ′ ≤ j + 1.

(3.162)

Las reglas de selecci´ on para j est´ an determinadas por: ∆j = j ′ − j,

(3.163)

por lo tanto de (3.162) y (3.163), se tienen 3 casos: j ′ > 1 , j ′ = j y j ′ < 1. Para el caso j ′ > 1, se tiene: j − 1 ≤ j ′ ≤ j + 1,

(3.164)

entonces j ′ = j + 1 y por lo tanto ∆j = 1.

(3.165)

j − 1 ≤ j ′ ≤ j + 1,

(3.166)

∆j = 0.

(3.167)

Para el caso j ′ = j:

y por tanto

Finalmente para el caso j ′ < 1, se cumple: j − 1 ≤ j ′ ≤ j + 1,

(3.168)

y de esta forma se tiene que j ′ = j − 1 o: ∆j = −1.

(3.169)


103

Por lo tanto las regla de selecci´ on para j es: ∆j = 0, ± 1.

(3.170)

Por otro lado, a partir de (3.161), se tiene que m′j = mj + mF ,

(3.171)

mF = 0, ± 1,

(3.172)

y como jF = 1, entonces:

y por lo tanto se tiene que la regla de selecci´ on para mj es: ∆mj = 0, ± 1.

3.8.5.

(3.173)

Transiciones prohibidas

Si no se considera la aproximaci´ on de dipolo eléctrico, la probabilidad de transici´ on es proporcional a

b∗ · p b ψa(0) . (3.174) Pb (τ ) ∝ ψb(0) e−i k ·r A 0

Si la onda se propaga a lo largo de x, se tiene que k · r = kx,

(3.175)

y como la onda electromagnética es transversal, es decir b ∗ ⊥ k, A 0

(3.176)

b∗ y A b ∗ y por lo tanto se tiene que de (3.174) solo sobreviven los términos con A 0y 0z (3.174) es:

(0) −i k ·r ∗ b ·p b ψa(0) = A ψb e 0 =

Z∞

−∞

dx

Z∞ Z∞

Z∞ Z∞

−∞ −∞

Z∞

dy

−∞

−∞

−∞ −∞

+

Z∞

b∗0y A b∗0z A

(0) ∗ −ikx b∗ b∗0z pbz ψa(0) A0y pby + A e dz ψb

−ikx

e

dx dz

Z∞

ψn∗ ′ l′ m′ l

∂ −i ~ ψnlml dy ∂y

Z∞

ψn∗ ′ l′ m′ l

∂ ψnlml dz. −i ~ ∂z

−∞

−ikx

e

dx dy

−∞

(3.177)

104


∂ En esta u ´ltima expresi´ on, si ψnlml fuese par entonces ψnlml es impar con ∂z relaci´ on a z. Si ψn′ l′ m′l fuese impar con relaci´ on a z, entonces se tiene: Z∞

−∞

∂ ψnlml dz = 0. −i ~ l ∂z

ψn∗ ′ l′ m′

(3.178)

∂ ψnlml es impar con relaci´ on a y y si ∂y fuese impar con relaci´ on a y, entonces:

Por otro lado, si ψnlml fuese par entonces ψn′ l′ m′l

Z∞

−∞

ψn∗ ′ l′ m′ l

∂ −i ~ ∂y

ψnlml dy = 0.

(3.179)

En conclusi´ on, si ψnlml y ψn′ l′ m′l tienen la misma paridad (ambas pares o ambas impares), entonces la transici´ on es absolutamente prohibida, puesto que la integral es cero.

3.8.6.

Emisi´ on espont´ anea

Es un fen´ omeno que se presenta cuando un a´tomo aislado con un electr´ on, emite espont´ aneamente un fot´ on. Para explicarlo hay que tener en cuenta que el campo electromagnético es un sistema cu´ antico formado por una superposici´ on de osciladores arm´ onicos. Su energ´ıa esta dada por: E=

∞ X

~ ω Ni +

i=1

3 2

.

(3.180)

El estado de m´ınima energ´ıa E0 del campo electromagnético es diferente de cero y se tiene para Ni = 0: E0 ≈

∞ X i=1

~ ωi = ∞.

(3.181)

Debido a fluctuaciones cu´ anticas se puede crear un par electr´ on positr´ on, lo cual proporciona energ´ıa al electr´ on que salta entonces a un estado excitado y al regresar emite un fot´ on. Esta emisi´ on ocurre sin que intervenga ninguna fuerza externa y por esto se llama espont´ anea. Como un ejemplo, considérese una cavidad con un agujero (un cuerpo negro), la cual se encuentra a una temperatura T . Dentro de la cavidad hay ondas electromagnéticas chocando contra las paredes. Estas absorben energ´ıa de las ondas y luego emiten. Continuamente est´ an ocurriendo los dos fen´ omenos de emisi´ on estimulada y absorci´ on resonante. Para estudiar el fen´ omeno se puede seguir el método de Einstein que se basa en algunas suposiciones:


105

1. La distribuci´ on espectral de la energ´ıa de la cavidad es la de un cuerpo negro. 2. El n´ umero de ´ atomos, Nk , de cada nivel obedece la distribuci´ on de Boltzmann a una temperatura T de equilibrio Ek

Nk = N0 e− kT .

(3.182)

3. Como T es constante, el n´ umero de a´tomos promedio permanece constante. 4. Sea Nlk el n´ umero de transiciones por unidad de tiempo del estado k al estado l, Nk la poblaci´ on del nivel k y Rlk es la tasa de probabilidad de transiciones del estado k al estado l por unidad de tiempo, Einstein supuso que el n´ umero de ´ atomos que emiten es igual al n´ umero de a´tomos que absorben: Nlk = Nkl ,

(3.183)

Rlk = Blk ρ¯(νlk ),

(3.184)

y que

donde Blk es el coeficiente de Einstein de absorci´ on resonante, y ρ¯(νlk ) es la densidad monocrom´ atica de energ´ıa, o sea energ´ıa por unidad de volumen y por unidad de intervalo de frecuencia. En el caso de absorci´ on resonante se tiene: Nlk = Nk Rlk = Nk Blk ρ¯(νlk ),

(3.185)

y para la emisi´ on estimulada: ′ Nlk = Nl Rkl = Nl Bkl ρ¯(νkl ).

(3.186)

Teniendo en cuenta (3.183): Nk Blk ρ¯(νlk ) = Nl Bkl ρ¯(νkl ).

(3.187)

En el caso de emisi´ on espont´ anea, se tiene: ′′ Nkl = Nl Skl ,

(3.188)

donde Skl es la tasa de probabilidad de transiciones o emisi´ on espont´ anea y la cual es igual a la de emisi´ on estimulada Skl = Akl .

(3.189)

106


Nkl es el n´ umero de transiciones de l a k por unidad de tiempo, tanto de emisi´ on estimulada como espont´ anea, y por lo tanto: ′′ ′ = Nl Bkl ρ¯(νkl ) + Nl Akl + Nkl Nkl = Nkl

= Nl (Bkl ρ¯(νkl ) + Akl )

(3.190)

Usando la hip´ otesis (3.183): Nk Blk ρ¯(νkl ) = Nl (Bkl ρ¯(νkl ) + Akl )

(3.191)

Bkl ρ¯(νkl ) + Akl Nk = , Nl Blk ρ¯(νlk )

=⇒

(3.192)

y de la hip´ otesis (2) se tiene Nk = Nl

Ek

e− kT El e− kT

=e

El −Ek kT

= ehνlk /kT .

(3.193)

Comparando (3.192) con(3.193), se tiene: Bkl ρ¯(νkl ) + Akl = eh νkl /kT , Blk ρ¯(νlk ) y por lo tanto: ρ¯(νkl ) =

Blk e

Akl hνlk /kT

− Bkl

.

(3.194)

Por otro lado de la hip´ otesis (1), se tiene que (figura 3.14): ρ¯(νkl ) =

8π hν 3 c3

1

e

h νlk /kT

−1

,

(3.195)

e igualando (3.194) con (3.195) se obtiene Akl Blk e

hνlk /kT

− Bkl

=

8πν 3 h c3

1

e

hνlk /kT

−1

.

(3.196)

Por lo tanto Bkl = Blk y 8π h ν 3 Akl = Blk c3 =⇒

Akl =

8π h ν 3 Blk c3

luego

(3.197)

Akl ≪ Blk .

(3.198)

Pero es diferente de cero y por lo tanto, existe una peque˜ na probabilidad de presentarse la emisi´ on espont´ anea.

107

3.9. EJERCICIOS

ρ¯

νlk Figura 3.14: Densidad monocrom´ atica de energ´ıa

3.9.

Ejercicios

1. Una part´ıcula de carga q y masa m se halla, para el tiempo t = −∞ en el nivel fundamental de un oscilador lineal arm´ onico. Sobre ella act´ ua un campo eléctrico variable que viene dado en funci´ on del tiempo por la expresi´ on: A E(t) = √ πτ

e−(t/τ )

2

(3.199)

Encuéntrese a primer orden de perturbaciones dependientes del tiempo la probabilidad de que dicha part´ıcula “salte´´ al primer nivel excitado del oscilador para t → ∞. Discutase el resultado en los l´ımites adiab´ atico (τ ≫ 1/ω) e instant´ aneo (τ ≪ 1/ω). 2. Un sistema de ´ atomos de hidr´ ogeno en el estado base se encuentra contenido entre las placas de un capacitor de placas paralelas. Un voltaje tipo pulso se aplica al capacitor en el tiempo t0 = 0 para producir entre las placas un t ~ = E0 e− τ eˆz (t ≥ 0). Después de campo eléctrico homogéneo de la forma E haber transcurrido un tiempo suficientemente largo (t → ∞): a) Cu´ al es la fracci´ on de a´tomos en el estado 2p a primer orden? b) Cu´ al es la fracci´ on en el estado 2s? 3. Un oscilador arm´ onico unidimensional tiene masa m y frecuencia angular ω. Un estado dependiente del tiempo ψ(t) del oscilador est´ a dado en t = 0 por: X ψ(0) = √1 n 2s

(3.200)

108


donde n es un estado propio del Hamiltoniano correspondiente al n´ umero cu´ antico n y la suma corre de n = N − s a n = N + s, con N ≫ s ≫ 1

a) Muestre que el valor de expectaci´ on del desplazamiento var´ıa sinuq 2~N soidalmente con la amplitud mω .

b) Relacione este resultado con la variaci´ on en el tiempo de un oscilador arm´ onico cl´ asico.

Cap´ıtulo 4

Principio Variacional b tal Si se tiene un sistema mec´ anico-cu´ antico, descrito por un hamiltoniano H 0 ′ ′ b b b b que la notaci´ on H = H + H no es posible, con H peque˜ no en comparaci´ on a b 0 , entonces el método de teor´ıa de perturbaciones no se puede implementar y H se hace necesario recurrir a métodos m´ as poderosos. Puede ser posible usar la intuici´ on f´ısica para conjeturar una razonable funci´ on de onda para el sistema y usar ésta para calcular las energ´ıas; pero, tal escogencia ser´ıa de poco valor a menos que se tenga una forma de estimar el error y sistem´ aticamente mejorar los resultados. El principio variacional provee un método sistem´ atico de aproximaci´ on y se convierte en la base para una clase de simples pero poderosos métodos. Es posible adicionalmente mostrar que el método de perturbaciones es un caso especial de la teor´ıa variacional.

4.1.

Formalismo general

Para conocer la din´ amica de un sistema se requiere solucionar la ecuaci´ on de Schr¨ odinger independiente del tiempo: b n i = En |ψn i. H|ψ

(4.1)

b n i = hψn |En |ψn i. hψn |H|ψ

(4.2)

Esto es, para un sistema que en general podr´ıa consistir de varias part´ıculas en tres dimensiones y una funci´ on de energ´ıa potencial arbitraria. Si la ecuaci´ on (4.1) se pudiera resolver exactamente, se conocer´ıa el conjunto de estados cu´ anticos {|ψn i} ortogonales y los niveles de energ´ıa del sistema, y en este caso se podr´ıa proyectar (4.1) sobre la base, de tal forma que

b con respecto a As´ı, la energ´ıa del estado n est´ a dada por el valor esperado de H las funciones de onda normalizadas: b ni hψn |H|ψ En = , (4.3) hψn |ψn i 109

110

CAPÍTULO 4. PRINCIPIO VARIACIONAL

en donde se ha tenido en cuenta que en general, los estados no est´ an normalizados a uno. Pero el problema radica precisamente en que (4.1) no se puede solucionar exactamente, por lo cual s´ olo se puede recurrir a solucionarla de forma aproximada. Sup´ ongase entonces que en vez de conocer exactamente la funci´ on propia ψn , se tiene una idea aproximada , basada en parte por la intuici´ on derivada de la experiencia y por sus propiedades y comportamientos. El método que se plantear´ a, denominado método del principio variacional , se propone solucionar la Eq.(4.1) a partir del planteamiento de una funci´ on de onda de prueba (funci´ on aproximada) que describa uno de los estados del sistema. En principio, cada estado cu´ antico del sistema estar´ıa descrito por una funci´ on de onda de prueba aproximada, que se construye teniendo en cuenta las coordenadas del sistema y las condiciones de frontera. El interés se centrar´ a inicialmente en un estado f´ısico dado, en particular el x-ésimo. Si se pudiera solucionar (4.1) exactamente, se satisfacer´ıa (4.3), es decir: Ex =

b xi hψx |H|ψ , hψx |ψx i

(4.4)

pero como esto no es posible, se plantear´ a una soluci´ on aproximada de (4.1) dada por b x i = E[ϕx ]|ϕx i, H|ϕ

(4.5)

de tal forma que |ϕx i es una funci´ on de onda aproximada que describe el estado |ψx i. El valor de energ´ıa del estado x-ésimo, E[ϕx ], depende de la escogencia de la funci´ on de onda ϕx (~r). En general, la funci´ on de onda de prueba no est´ a normalizada a uno inicialmente, por lo tanto se tiene que: E[ϕx ] =

b xi hϕx |H|ϕ , hϕx |ϕx i

(4.6)

de manera que E[ϕx ] es un funcional, es decir, depende del valor de la funci´ on ϕx . Ya que E[ϕx ] es un valor obtenido de forma aproximada, en general no coincide con el valor exacto Ex y de esta forma: E[ϕx ] − Ex =

4.2.

b xi hϕx |H|ϕ − Ex 6= 0. hϕx |ϕx i

(4.7)

Derivaci´ on del principio variacional

Sup´ ongase por el momento que se conoce el valor exacto de la funci´ on ψx . La funci´ on de onda de prueba se puede construir de la siguiente manera: ϕx (~r) = ψx (~r) + aF (~r),

(4.8)

´ 4.3. METODO VARIACIONAL

111

donde a es un par´ ametro constante, en general real, y F (~r) es una funci´ on que depende del mismo conjunto de coordenadas que ψx (~r) y satisface las mismas condiciones de frontera. Claramente un n´ umero no limitado de funciones de prueba ϕx se podr´ıan tener, pero introduciendo el término aF (~r), ser´ a posible obtener una variaci´ on arbitraria de ψx alrededor del ”valor verdadero”. Partiendo de (4.7), se tiene que: b x i hϕx |Ex |ϕx i hϕx |H|ϕ − hϕx |ϕx i hϕx |ϕx i b hϕx |(H − Ex )|ϕx i = , hϕx |ϕx i

E[ϕx ] − Ex =

(4.9)

y reemplazando (4.8) en (4.9), se obtiene: b − Ex )|ψx + aF i hψx + aF |(H hϕx |ϕx i 2 b − Ex )|F i a hF |(H . = hϕx |ϕx i

E[ϕx ] − Ex =

(4.10)

Es decir, E[ϕx ] difiere de Ex en una cantidad que es de segundo orden en a. Esto significa que si a es peque˜ no, entonces ϕx estar´ a pr´ oximo a ψx y entonces E[ϕx ] ser´ a pr´ oximo a Ex . Se observa de (4.10) que si ϕx = ψx , entonces E[ϕx ] = Ex a´ un cuando F es arbitrario. De esta manera la energ´ıa es estacionaria con respecto a peque˜ nas variaciones arbitrarias de la funci´ on de onda alrededor de su ”valor verdadero”.

4.3.

M´ etodo variacional

El principio variacional asegura que si se puede encontrar una funci´ on de onda de prueba ϕx , que sea razonablemente cercana a ψx , entonces la energ´ıa E[ϕx ] ser´ a una buena aproximaci´ on al valor verdadero de energ´ıa Ex . La funci´ on de onda ϕx se debe construir guiados por la intuici´ on y por el conocimiento que se tiene del sistema y su comportamiento. Como ya se mencion´ o, la funci´ on de onda de prueba depende de las coordenadas del sistema y debe satisfacer correctamente las condiciones de contorno del problema. La funci´ on ϕx se construye de una forma flexible y esto es posible si ella depende de varios par´ ametros que se puedan escoger libremente. As´ı la funci´ on de prueba ϕx = ϕx (α, β, γ, . . .) tiene cierta flexibilidad gracias a los par´ ametros variacionales α, β, y γ. Ya que E[ϕx ] se calcula a partir de la Eq.(4.6), satisface un principio m´ınimo variacional, de manera que E[ϕx ] es una cota superior sobre E0 , es decir E[ϕx ] ≥ E0 ,

(4.11)

112


donde E0 es la energ´ıa exacta del estado base. Como los par´ ametros variacionales en ϕx pueden cambiarse, es posible que E[ϕx ] tome valores diferentes, siendo la mejor escogencia de par´ ametros la que hace m´ as peque˜ no a E[ϕx ]. As´ı, el problema se reduce a minimizar E[ϕx ] con respecto a los par´ ametros variacionales, esto es: δE[ϕx ] =

δE δE δα + δβ + . . . = 0, δα δβ

(4.12)

encontr´ andose los valores de αc , βc , γc que son cr´ıticos y de esta formase tiene que: Emin [ϕx ] = E(αc , βc , γc , . . .) ≥ E0 .

4.3.1.

(4.13)

Prueba del principio m´ınimo variacional

Si se tiene un sistema mec´ anico cu´ antico para el cual la soluci´ on de la ecuaci´ on b de valores propios de H no es conocida, es posible conocer la energ´ıa del estado fundamental E0 usando el principio variacional. Para calcular E0 se elige una funci´ on integrable cuadrada, ϕ, normalizada a la unidad, es decir:

ϕ ϕ = 1, (4.14)

la cual se conoce como funci´ on de prueba. b que se aproxima a Se puede mostrar que existe un m´ınimo valor esperado de H E0 , esto es

b ϕ ≡ h H i . E0 6 ϕ H (4.15) b en el estado ϕ (presumiblemente incorEs decir, el valor de expectaci´ on de H recto) es un sobre-estimado de la energ´ıa del estado base. De hecho, si sucediera que ϕ fuera uno de los estados excitados, entonces obviamente h H i exceder´ıa E0 ; pero el teorema establece lo mismo para cualquier funci´ on arbitraria φ. b no Para demostrar (4.15), se parte del hecho que las funciones propias de H son pero sin embargo ellas forman un conjunto completo ortonormal conocidas, ψn y definen el espacio de Hilbert del sistema. Por lo tanto la funci´ on de prueba se puede expandir en esta base: X ϕ = Cn ψn , (4.16) n

con ψn , tal que

b ψ n = En ψ n . H

(4.17)

A partir de (4.16) se tiene que: X E XX

DX ∗ Cn ψn = Cm Cn δmn Cm ψm ϕ ϕ = m

n

m

n

113

´ 4.3. METODO VARIACIONAL

=

X

Cn∗ Cn =

n

X

|Cn |2 ,

(4.18)

y teniendo en cuenta (4.14), se obtiene:

X b ϕ ϕ H |Cn |2 = 1.

(4.19)

b se tiene: Por otro lado, calculando el valor esperado de H, X X E E DX

DX b b ϕ = b n , (4.20) Cm ψm H ϕ H Cn Hψ Cm ψm Cn ψn = m

m

n

n

y usando (4.17):

X E XX

DX

∗ b ϕ = Cm ψm ϕ H Cn En ψn = Cm Cn En ψm ψn m

=

n

XX m

m

∗ Cm Cn En δmn =

n

X n

n

En |Cn |2 .

(4.21)

La energ´ıa del estado base es la menor, entonces utilizando (4.19), se tiene: X

X b ϕ = |Cn|2 = E0 , En |Cn |2 > E0 ϕ H

luego

(4.22)

n

n

E0 6 h H i .

(4.23)

La funci´ on de prueba se elige de tal manera que dependa de un par´ ametro de prueb ser´ ba ajustable b; o sea ϕ = ϕ(b) y por lo tanto el valor esperado de H a funci´ on b en particular de b, h H i = h H i (b). Esto permite ajustar el valor esperado de H, se puede minimizar, esto es: δhH i =

∂ hH i δb = 0. ∂b

(4.24)

El valor m´ınimo de h H i se obtendr´ a cuando δ h H i = 0, all´ı h H imin es cercano a E0 , es decir: h H imin = h H i (bmin ) ∼ = E0 .

(4.25)

En general estamos interesados en conocer la energ´ıa Ej de un estado excitado j-ésimo, del sistema. Entonces se parte de una funci´ on de prueba ψ ′ de tal forma que

′ b ψ . Ej 6 h H i = ψ ′ H

114


El principio m´ınimo E[ϕ] ≥ E0 puede generalizarse a estados excitados. Si una funci´ on de prueba es escogida para ser exactamente ortogonal a las funciones propias exactas ψk para k = 1, 2, . . . , n − 1, entonces

ϕ ψ1 = ϕ ψ2 = . . . = ϕ ψn−1 = 0,

(4.26)

y por lo tanto E[ϕ] es una cota superior sobre la energ´ıa del estado excitado n-ésimo: E[ϕ] ≥ En .

4.4.

(4.27)

Oscilador arm´ onico unidimensional

Como una aplicaci´ on del método variacional, en esta secci´ on se encontrar´ a la energ´ıa fundamental del oscilador arm´ onico unidimensional partiendo de la funci´ on de prueba: 2 ψ(x) = A e−bx , (4.28) donde b es una constante o par´ ametro ajustable, y A una constante de normalizaci´ on. El hamiltoniano del sistema est´ a dado por: 2 b = pb + 1 mω 2 x b2 , H 2m 2

(4.29)

y A se obtiene normalizando la funci´ on de onda (4.28): 1 = ψ ψ =

Z∞

2

2

A∗ e−bx Ae−bx dx

−∞

= |A|

2

Z∞

e

−2bx2

−∞

dx = |A|

2

r

π , 2b

(4.30)

de modo que 2

|A| =

r

2b →A= π

2b π

1 /4

.

(4.31)

A partir de (4.30) se puede obtener una expresi´ on u ´til: Z∞

−∞

e−2bx

2

dx =

1 . |A|2

(4.32)

115

´ 4.4. OSCILADOR ARMONICO UNIDIMENSIONAL

Ahora se calcular´ a h H i = h T i + h V i. Partiendo primero con h T i se tiene:

pb2 ψ hT i = ψ 2m ~2 =− |A|2 2m

Z∞

e−bx

2

−∞

=−

~2 2m



Z∞

|A|2 −2b

d2 dx2

e−bx

e−2bx

2

2

dx

dx + 4b2

−∞

Z∞

−∞

y usando (4.32) se obtiene que: hT i = −

~2 2m



|A|2 −

Z∞

2b + 4b2 |A|2

−∞



2

x2 e−2bx dx , 

2

x2 e−2bx dx .

(4.33)

(4.34)

Esta u ´ltima integral se eval´ ua por partes escogiendo: u = x, du = dx,

2

dv = xe−2bx dx, v=−

1 −2bx2 e , 4b

y por lo tanto: Z∞

2 −2bx2

x

e

dx =

−∞

Z∞

−2bx2

xxe

−∞

=

1 , 4b| A |2

Z∞ x −2bx2 ∞ 1 2 dx = − e + e−2bx dx 4b 4b −∞ −∞

(4.35)

de modo que (4.34) es: ~2 b 4b2 ~2 2 −2b = + |A| . hT i = − 2m | A |2 4b| A |2 2m Ahora para el valor esperado de Vb se tiene:

1 h V i = ψ 21 mω 2 x b2 ψ = mω 2 | A |2 2

=

1 mω 2 1 = mω 2 | A |2 . 2 4b| A |2 8b

Z∞

e−bx

2

(4.36)

2

x2 e−bx dx

(4.37)

−∞

(4.38)

116


Por lo tanto el valor esperado de la energ´ıa es: hH i = hT i + hV i =

~2 b mω 2 + . 2m 8b

(4.39)

Derivando con respecto al par´ ametro variacional b, se obtiene: dhH i ~2 mω 2 = − . db 2m 8b2

(4.40)

Para que h H i sea m´ınimo se bebe cumplir (4.24) y entonces se tiene que: ~2 m2 ω 2 = 2m 8b2

b2 =

de donde

m2 ω 2 . 4~2

(4.41)

y por lo tanto bcrit = ±

mω . 2~

(4.42)

Para saber cual de los dos valores se escoge, se toma la segunda derivada de (4.39): d2 h H i mω 2 = , db2 4b3

(4.43)

y por lo tanto para que esta sea mayor que cero se debe tomar bmin =

mω . 2~

(4.44)

Entonces, el m´ınimo valor esperado de la energ´ıa es: h H imin = h H i (bmin ) = =

~2 mω mω 2 2~ + 2m 2~ 8 mω

~ω . 2

(4.45)

Por otro lado, se ha visto que para el oscilador arm´ onico se tiene: ~ω 1 luego E0 = . En = ~ω n + 2 2

(4.46)

Entonces, en este caso se cumple: h H imin = E0 . Y la funci´ on de prueba con A =

2b 1/4 π

yb=

mω 2~

(4.47) es:

1 /4 mω 1 /4 − mω x2 2 e 2~ . ψ(x) = π 2~

´ ´ DE COULOMB 4.5. ATOMO HIDROGENOIDE CON INTERACCION

4.5.

117

´ Atomo hidrogenoide con interacci´ on de Coulomb

Para encontrar la energ´ıa del estado fundamental del a´tomo de hidr´ ogeno, utilizando el método variacional, se elige como funci´ on de prueba: b

ψ(r) = A e− a r .

(4.48)

con a el radio de Bohr y b un par´ ametro ajustable. El hamiltoniano del sistema est´ a dado por: 2 2 b = pb − 1 e . H 2m 4πε0 r

(4.49)

Para normalizar la funci´ on de onda de prueba, se hace: Z b b

−ar −ar 2 e , d~r e 1 = ψ ψ = |A|

(4.50)

utilizando d~r = r2 sen θ dr dθ dφ y teniendo en cuenta que la parte angular de la funci´ on de onda del ´ atomo de hidr´ ogeno ya est´ a normalizada el problema se reduce a una integral de la forma: Z∞

xn e−c x dx =

n! cn+1

,

(4.51)

0

entonces (4.50) es: |A|

2

Z∞ 0

2b

dr r2 e− a r = | A |2

y por lo tanto | A |2 = El valor esperado para Tb ser´ a:

~2 hT i = − | A |2 2m

Z∞ 0

2

, 2b 3 a

4b3 . a3

b

(4.52)

(4.53)

b

e− a r ∇2r e− a r r2 dr,

(4.54)

con ∇2r

1 d = 2 r dr

2 d r . dr

(4.55)

118


Entonces, se obtiene: hT i = −

~2 2m



| A |2 −

2b a

Z∞ 0

 2 Z∞ 2b 2b b r2 e− a r dr . re− a r dr + a 0

Para el valor esperado de Vb se tiene: e2 hV i = − | A |2 4πε0

Z∞

e

b b −a r 1 −a r 2 r dr

r

(4.56)

e

0

e2 =− | A |2 4πε0

Z∞

re−

2br a dr

(4.57)

0

Utilizando en (4.56) y en (4.57), la integral: Z∞

re−

2br a dr

se tiene h H i = h T i + h V i:

~2 4b3 =− 2m a3 =

1

= 2b 2 a

0

~2 | A |2 hH i = − 2m

=

2b 1 a 2 − + a 4 b

1 a2 , 4 b2

(4.58)

2 ! 2 e2 1 a 3 b 2 1 a − |A| a 4 b 4πε0 4 b

2a a e2 4b3 a2 − + − 4b 4b 4πε0 a3 4b2

e2 b ~2 b2 − . 2ma2 4πε0 a

(4.59)

Minimizando este valor esperado: ~2 b e2 dhH i = − =0 db ma2 4πε0 a

(4.60)

se obtiene: ~2 b e2 = , ma2 4πε0 a

entonces

bcr´ıtico =

mae2 . 4πε0 ~2

(4.61)

2

Teniendo en cuenta que a = 4πε0 m~e2 , entonces bcritico = 1. Como la segunda derivada de h H i cumple: ~2 d2 h H i = >0 db2 ma2

(4.62)

h H i (bcri ) = h H imin ,

(4.63)

entonces

´ ´ DE YUKAWA (FOTON ´ MASIVO) 4.6. ATOMO HIDROGENOIDE CON INTERACCION

119

y de esta manera se tiene: h H imin =

mae2 e2 ~2 m2 a2 e4 − 2ma2 (4πε0 ~)2 4πε0 a 4πε0 ~2

=−

1 4πε0

2

me4 = h H i0 . 2~2

(4.64)

Por otro lado, de la soluci´ on del a´tomo de hidr´ ogeno se tiene: En = −

1 4πε0

2

me4 1 , 2~2 n2

(4.65)

y por lo tanto en este caso: E0 = h H i0 .

(4.66)

Esta igualdad, como en el ejemplo anterior, se tiene debido a la escogencia particular que se hizo de la funci´ on de onda de prueba.

4.6.

´ Atomo hidrogenoide con interacci´ on de Yukawa (fot´ on masivo)

Consideremos la ecuaci´ on de Klein-Gordon en tres dimensiones. As´ı: ∇2 φ(~r, t) =

1 ∂φ(~r, t) + µ2 φ(~r, t), c2 ∂t

(4.67)

donde µ = mc/~. La soluci´ on de (4.67) se asume como la correspondiente a ondas planas, es decir: ~

φ(~r, t) = ei(k·~r−ω t) ,

(4.68)

Reemplazando (4.68) en (4.67) se llega a que: 2 ~k 2 + µ2 − ω = 0. 2 c

(4.69)

En el l´ımite est´ atico de la ecuaci´ on de Klein-Gordon, con µ = 0, es: ∇2 φ(~r, t) = 0,

(4.70)

que es la ecuaci´ on de Laplace, cuya soluci´ on es el potencial de Coulomb: φc (~r) =

k . r

(4.71)

120


Si el fot´ on tuviera una masa peque˜ na, se satisfacer´ıa la ecuaci´ on de Klein Gordon en el l´ımite est´ atico ∇2 φ(~r, t) = µ2 φ(~r, t),

(4.72)

ecuaci´ on de Poisson que tiene como soluci´ on el potencial k −µ r e = φY (~r), r

φ(~r) =

(4.73)

donde µ = mγ c/~. Al potencial dado en (4.73) se le da el nombre de potencial de Yukawa. De esta manera, si el fot´ on tuviera una masa diferente de cero, el potencial de Coulomb se reemplaza por el potencial de Yukawa. Con una funci´ on de prueba apropiada, es posible estimar la energ´ıa de ligadura de un ´ atomo de “hidr´ ogeno” con este potencial. El hamiltoniano del sistema es: 2 2 b = pb − e H 2m 4πε0

e−µ r r

,

(4.74)

donde m es la masa del electr´ on. La funci´ on de onda del estado base se describe por la expresi´ on (4.48). Tal como se obtuvo con el potencial de Coulomb, la constante de normalizaci´ on est´ a dada por la relaci´ on (4.53) y el valor esperado de la energ´ıa cinética estar´ a dado por:   2 Z∞ Z∞ 2 2b 2b ~ b 2b hT i = − | A |2 − r2 e− a r dr re− a r dr + 2m a a 0

0

=

~2 b2 . 2ma2

(4.75)

Para el valor esperado del potencial se tiene que: e2 h VY i = − | A |2 4πε0

Z∞

e2 | A |2 =− 4πε0

Z∞

=−

b

1 r

b

e− a r e−µ r e− a r r2 dr

0

2b − a +µ r dr

re

0

=−

e2 | A |2 2b 1 2 4πε0 a +µ

e2 a2 | A |2 2 1µa 2 . 4πε0 4b 1+ 2b

Si se asume que µ a ≪ 1, entonces (4.76) se puede escribir como µa 3 µ2 a2 e2 2 a2 | A | 4b2 1 − + ... . + h VY i = − 4πε0 b 4 b2

(4.76)

(4.77)

´ ´ DE YUKAWA (FOTON ´ MASIVO) 4.6. ATOMO HIDROGENOIDE CON INTERACCION

121

Conservando los términos hasta de segundo orden en µ, finalmente se llega a: b e2 3 µ2 a ~2 b2 − − µ + h H i = h T i + h VY i = . (4.78) 2ma2 4πε0 a 4 b Minimizando este valor esperado, se tiene:

~2 b e2 dhH i = − db ma2 4πε0

1 3 µ2 a = 0, − a 4 b2

(4.79)

y as´ı bcr´ıtico =

e2 3 µ2 2 m a 2 1− 2 a . 4πε0 ~ 4 bcr´ıtico

(4.80)

Recordando que a = 4πε0 ~2 /(me2 ), entonces bcr´ıtico = 1 −

3 µ2 a2 , 4 b2cr´ıtico

(4.81)

y como µ a ≪ 1 entonces podemos considerar que al lado derecho de la ecuaci´ on (4.81) bcr´ıtico ≃ 1, y de esta forma: 3 bcr´ıtico = 1 − µ2 a2 . 4

(4.82)

Teniendo ahora en cuenta la segunda derivada de h H i: 2 3µ a d2 h H i ~2 e2 > 0, = − db2 ma2 4πε0 4 b3

(4.83)

entonces h H imin = h H i (bcri ) =

~2

2ma2

−

(4.84) e2

4πε0 a

−

3~2 4m

µ2 +

e2 4πε0

µ.

(4.85)

Finalmente la funci´ on de prueba se puede escribir como !3/2 3 (1− 4 µ2 a2 ) 1 − 34 µ2 a r − a ψ(r) = 2 e a =2

1 3 2 3/2 − µ a a 4

r

3

2 2

e− a + 4 µ a

r

.

(4.86)

Si mγ = 0 entonces µ = 0 y por lo tanto se tiene que: ψ(r) =

2 a3/2

e−r/a .

(4.87)

122

4.7.


M´ etodo Variacional Lineal (Rayleigh-Ritz)

Consiste en un método sistem´ atico u ´til, el cual se construye restringiendo las funciones de onda de prueba, a depender linealmente de los par´ ametros variacionales, es decir, la funci´ on de onda de prueba se construye como: ψ=

2 X

Ci φi = C1 φ1 + C2 φ2 .

(4.88)

i=1

Donde los Ci son los par´ ametros variacionales, y las φi son funciones reales normalizadas, no necesariamente ortogonales, que satisfacen las condiciones de frontera y dependen de las coordenadas del sistema. Calculando el funcional correspondiente, tenemos:

b ψ ψ H A E[ψ] = = , (4.89) B ψ ψ

b φj y Sij = φi φj , est´ donde A y B, definiendo Hij = φi H an dados por: A = C12 H11 + 2C1 C2 H12 + C22 H22 ,

(4.90)

B = C12 + 2C1 C2 S12 + C22 .

(4.91)

N´ otese que H12 = H21 y S12 = S21 . Para minimizar el funcional (4.89), se deriva con respecto a los par´ ametros variacionales: ∂E[ψ] =

∂E[ψ] ∂E[ψ] ∂C1 + ∂C2 = 0. ∂C1 ∂C2

(4.92)

De esta forma se tiene: ∂E[ψ] 2C1 H11 + 2C2 H12 2A(C1 + C2 S12 ) = − =0 ∂C1 B B2

(4.93)

∂E[ψ] 2C2 H22 + 2C1 H12 2A(C2 + C1 S12 ) = − = 0. ∂C2 B B2

(4.94)

Ecuaciones que se pueden reescribir en forma matricial como:    H11 − E H12 − S12 E C1     = 0. H12 − S12 E H22 − E C2

(4.95)

Cuyo determinante tiene que ser igual a cero para obtener una soluci´ on no trivial. De esta forma, se tiene la ecuaci´ on cuadr´ atica: E 2 − (H12 − S12 E)2 − (H11 + H22 )E + H11 H22 = 0.

(4.96)

´ 4.7. METODO VARIACIONAL LINEAL (RAYLEIGH-RITZ)

123

Al solucionar esta ecuaci´ on se obtienen E1 y E2 , y reemplazando estos valores en (4.95) se obtienen los coeficientes correspondientes:

4.7.1.

E1 → C1(1) y C2(1)

(4.97)

E2 → C1(2) y C2(2)

(4.98)

Generalizaci´ on a sistemas de N estados

Si se generaliza la funci´ on de prueba como: ψ=

N X

Ci φi ,

(4.99)

i=1

entonces, aplicando el principio variacional, se tiene:

b φ E[ψ] φ φ = φ H E

N N X X

j=i i=i

N N X X

b φi . Cj∗ Ci φj H Cj Ci φj φi = ∗

b φj y Sij = φi φj se tiene: Utilizando la notaci´ on: Hij = φi H N N X X

j=i i=i

(4.100)

j=i i=i

Cj∗ Ci (Hji − E[ψ]Sji ) = 0.

(4.101)

Minimizando E respecto a los par´ ametros Cj (j = 1, 2, 3, , , N.): ∂E =0 ∂Ci

i = 1, 2, 3, , , N,

(4.102)

se obtiene un conjunto de N ecuaciones homogéneas lineales en las que los par´ ametros Cj no son conocidos: N X

j=i

Cj (Hij − ESij ) = 0,

i = 1, 2, 3, , , N.

(4.103)

Estas ecuaciones son las ecuaciones seculares. Para la soluci´ on no trivial se bebe satisfacer: det(H − ES) = 0,

(4.104)

Donde los elementos de H y S son los Hij y Sij respectivamente. Al escribir expl´ıcitamente el determinante anterior, se obtiene una ecuaci´ on algebraica de

124


orden N , en la que E es la incognita. La soluci´ on de esta ecuaci´ on conduce a N ra´ıces, que se denotan como: Ei′ (i = 1, 2, 3, , , N.), y las cuales satisfacen: ′ E1′ ≤ E2′ ≤ E3′ ... ≤ EN ,

(4.105)

Por el principio variacional, se sabe que la ra´ız m´ as peque˜ na es una cota superior, ′ para la energ´ıa del estado base, esto es: E1 > E1 . De hecho todas la ra´ıces son cotas de las energ´ıas exactas del sistema, es decir, se cumple: ′ E1′ > E1 ; E2′ > E2 ; ...EN > EN ,

(4.106)

Una expresi´ on para optimizar la funci´ on de onda variacional lineal φn correspondiente a la n-ésima ra´ız, se obtiene sustituyendo En′ en las ecuaciones seculares (4.103), y solucionando para los coeficientes Cj(n) en términos de uno solo, el cual se determina al imponer la condici´ on de que φn esté normalizada.

4.7.2.

Derivaci´ on de la teor´ıa de perturbaciones no degenerada

Como caso particular del método variacional lineal, es posible derivar la teor´ıa de perturbaciones no degenerada. b =H b0 +H b ′ , con H b ′ peque˜ Para los sistemas en los que H no (es decir se cumple la condici´ on para poder aplicar teor´ıa de perturbaciones), sup´ ongase que la funci´ on variacional lineal Φ se construye como superposici´ on de las funciones propias del b 0 , es decir la funci´ hamiltoniano no perturbado H on variacional, est´ a dada por: Φ=

N X

(0)

Ci ψi ,

(4.107)

i=1

(0)

Ya que Sij = ψi(0) ψj = δij , los elementos de la matriz hamiltoniana son: (0) (0) 0

b ψ b +H b ′ ψ (0) = Ei(0) δij + Hij′ , H Hij = ψi(0) H = ψ j i j

(4.108)

′ (0)

b ′ → λH b ′ , reemplazando las anteriores b ψ . Si se hace H Con Hij′ = ψi(0) H j expresiones en (4.103), se tiene: N X j=1

(n)

Cj (Ei(0) δij + λHij − En′ δij ) = 0.

(4.109)

Esta u ´ltima expresi´ on se puede escribir en forma matricial y por lo tanto solucionando el determinante y despreciando los términos de m´ as alto orden en λ, el resultado es una expresi´ on algebraica que conduce a las ra´ıces En′ : ′ (0)

′ b ψ n . En′ ≈ En(0) + Hnn ≈ En(0) + ψn(0) H

(4.110)

´ ´ 4.8. OSCILADOR ARMONICO UNIDIMENSIONAL CON EL METODO VARIACIONAL LINEAL 125

Si se hubieran tenido en cuenta los términos de m´ as alto orden de obtendr´ıa: ′ (0) 2

N b ψ n | | ψj(0) H

(0) ′ (0) X ′ (0) b ψ n + + ..., (4.111) En ≈ En + ψ n H (0) (0) E − E j n j6=n Si N → ∞, la funci´ on de onda variacional contiene todas las funciones de onda no perturbadas y entonces se obtiene el mismo resultado que la teor´ıa de perturbaciones. La funci´ on de onda perturbada corregida a primer orden se obtiene al solucionar las ecuaciones seculares y descartando los términos de m´ as alto orden en λ. Los coeficientes Cj son expandidos como: (0)

(1)

(2)

Cj = aj + λaj + λ2 aj + ...,

(4.112) (0)

Sustituyendo en las ecuaciones seculares y resolviendo para los aj encuentra:

(0) ′ (0) N b ψ n X ψ j H (0) ′ (0) ψj , (n = 1, 2, 3, , , N.). ψn ≈ ψn + (0) (0) En − Ej j6=n

4.8.

(1)

y aj , se

(4.113)

Oscilador arm´ onico unidimensional con el m´ etodo variacional lineal

Se utiliza el método variacional lineal para obtener, la energ´ıa del estado base del oscilador arm´ onico unidimensional sometido al potencial V (x) = Ax. El hamiltoniano del sistema, est´ a dado por: b =H b0 + H b ′, H

2 2 b ′ = Ab b 0 = − ~ ∂ + 1 kb x2 ; H x, H 2m ∂x2 2

(4.114)

La funci´ on de onda de prueba esta dada por (4.88), donde φ1 y φ2 son las funciones de onda correspondientes al estado estado excitado del oscilador base y al primer 0 b arm´ onico unidimensional. (H φn = En φn ,En = (n + 1/2)~ω) Para resolver la ecuaci´ on (4.96), primero se calculan los elementos:

1

1 b φ0 = ~ω + A φ0 x H11 = φ0 H b φ0 = ~ω 2 2

H12

r

3 ~ b φ1 = ~ω φ0 φ1 + A φ0 x b φ1 = A = φ0 H 2 2mω

3

3 b φ1 = ~ω + A φ1 x H22 = φ1 H b φ1 = ~ω. 2 2

(4.115)

126


y como Sij = φi φj = δij entonces S11 = 1 , S12 = 0. De esta forma reemplazando en (4.96), tenemos una ecuaci´ on cuadr´ atica, cuyas soluciones son: 1 E = ~ω ± ~ω 2

r

1+

2A2 . m~ω 3

(4.116)

El valor m´ınimo de ésta energ´ıa se obtiene escogiendo el signo negativo , y por lo tanto es la energ´ıa del estado base del sistema E0′ . La energ´ıa del primer estado excitado E1′ , se obtiene entonces escogiendo el signo positivo. Si A ≪ m~ω 3 entonces se puede utilizar la expansi´ on: (1+x)1/2 = 1+(1/2)x−..., en la expresi´ on (4.116), con lo cual se obtiene: 1 A2 + ... E0′ ≈ ~ω − 2 2mω 2

(4.117)

A2 3 + .... E1′ ≈ ~ω + 2 2mω 2

(4.118)

Por otro lado hab´ıa visto que la energ´ıa exacta del estado base del sistema es: 1 A2 E0 = ~ω − , 2 2mω 2

(4.119)

y de esta forma se puede ver que E0′ > E0 . Reemplazando (4.117), en la primera ecuaci´ on de (4.95), se obtiene: C1 = √

A 2m~ω 3

C0 .

(4.120)

Con este resultado, la funci´ on de onda, dada por (4.88), es: A (4.121) φ1 , ψ = C0 φ0 + √ 2~mω 3

y exigiendo que la funci´ on de onda esté normalizada: ψ ψ = 1 → |C0 |2 = 1, y como (eiθ )(e−iθ ) = 1 , entonces, se puede escribir: A ψ ≈ eiθ φ0 + √ (4.122) φ1 . 2~mω 3

4.9.

Ejercicios

1. Use el principio variacional para estimar la energ´ıa del estado base del oscilador arm´ onico tridimensional, usando la funci´ on de prueba: ψ = N e−ατ .

4.9. EJERCICIOS

127

2. A través del método variacional obtenga un valor aproximado de energ´ıa del nivel fundamental del ´ atomo de hidr´ ogeno, usando como funci´ on de prueba la del estado fundamental del oscilador arm´ onico tridimensional dada por: 3/4 2a 2 e(−a r) , ψ( ~r ) = π donde a es el par´ ametro de ajuste. 3. Aplicando el método variacional lineal considere el oscilador arm´ onico unidimensional sometido a un potencial V (x) = β x4 . Asumiendo como funci´ on (0) (0) (0) (0) de onda de prueba ϕ = c0 φ0 (x) + c2 φ2 (x), donde φ0 (x) y φ2 (x) son los estados propios del oscilador arm´ onico libre para n = 0 y n = 2 respectivamente, encuentre la energ´ıa y compare el resultado con el obtenido perturbativamente. Encuentre c2 como funci´ on de c0 y obtenga ϕ. 4. Tomando como funci´ on de onda de prueba ( (a2 − x2 )2 , |x| < a . ϕ0 (x) = 0, |x| ≥ a

(4.123)

donde a se comporta como par´ ametro variacional, obtenga el l´ımite superior para la energ´ıa del estado base de un oscilador arm´ onico unidimensional descrito por 1 ~2 d + mω 2 x2 . (4.124) 2m dx2 2 Muestre que la funci´ on ϕ1 (x) = x ϕ0 (x) es una elegible funci´ on de prueba para el primer estado excitado y obtenga un estimado variacional para la energ´ıa de este nivel. H=−

5. OJO: Sea un sistema estacionario cuyo hamiltoniano es H0 y cuya funci´ on de onda se aproxima por ψ = c1 φ1 + c2 φ2 , donde φ1 y φ2 son funciones reales normalizadas, pero en general no necesariamente ortogonales, y c1 , c2 son par´ ametros a determinar. a) Aplicando el método variacional determine los par´ ametros c1 y c2 , calculando asimismo la energ´ıa del sistema con dicho método. b) Aplique el método del numeral anterior al hamiltoniano: 1 p2x 1 + A x, H = k x2 + 2 2 2m tomando como funci´ on de onda de prueba ψ = c0 ψ0 + c1 ψ1 , donde ψ0 y ψ1 son las funciones de onda del estado fundamental y primer estado excitado del oscilador arm´ onico lineal, respectivamente. Compare el resultado obtenido para la energ´ıa con el resultado exacto.

128


Parte II

´ METODOS DE ´ EN APROXIMACION SISTEMAS DE VARIAS PARTÍCULAS

129

Cap´ıtulo 5

Mec´ anica cu´ antica de un sistema de part´ıculas 5.1.

Mec´ anica Cu´ antica de una Part´ıcula

Una part´ıcula de masa m, en un potencial V (~r ), est´ a descrita por el hamiltoniano: b = H(~ b r, p~) H

b2 b = p H + V (b r). 2m

(5.1)

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger independiente del tiempo, para esta part´ıcula, es: b ψ n = En ψ n . H

(5.2)

donde el conjunto ψn forma una base completa ortonormal de estados propios, base del espacio de Hilbert H del sistema. En representaci´ on de coordenadas, on (5.2), se convierte en: ψn (~r ) = ~r ψn , la ecuaci´ ~2 2 − ∇ + V (~r ) ψn (~r ) = En ψn (~r ). (5.3) 2m r b satisfacen las siguientes ecuaciones Los observables f´ısicos posici´ on b r y momento p de valores propios: b r ~r = ~r ~r b p~ = p~ p~ . p

(5.4a)

(5.4b) ~r donde ~r y p~ no son la base de H (ya que su norma no es finita), representa el estado de una part´ıcula localizada en ~r y p~ representa el estado 131

132

´ ´ CAPÍTULO 5. MECANICA CUANTICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

de una part´ıcula con momento p~. Estos estados satisfacen las siguientes relaciones de completez: Z Z d~r ~r ~r = d3 r ~r ~r = 1 (5.5a) Z

d~ p p~ p~ =

Z

d3 p p~ p~ = 1.

(5.5b)

(donde 1 denota el operador identidad de H), y de ortogonalidad:

′ ~r ~r = δ (3) (~r − ~r ′ )

5.1.1.

p~ p~ ′ = δ (3) (~ p − p~ ′ )

~r p~ =

1 2π~

3/2

ei

(5.6a) (5.6b) p ~·~ r ~

.

(5.6c)

Part´ıcula con un grado de libertad interno (esp´ın ~σ )

El hamiltoniano de la part´ıcula es el mismo que en (5.1). La ecuaci´ on de b valores propios para H es: b ψn,σz = En ψn,σz , (5.7) H

lo cual indica que el grado de libertad interno introduce una degeneraci´ on g = 2σ + 1 en los estados propios, ya que σz = σ − 1, . . . , 0, . . . , σ + 1.

(5.8)

Ejemplos: 1. Fermi´ on σ = 12 En este caso (5.8) es: σz = − 12 , 21 ,

(5.9)

lo cual significa que hay degeneramiento de orden 2, ya que para el valor En de energ´ıa se tienen:

2. Bos´ on σ = 1

b ψn,1/2 = En ψn,1/2 H b ψn,−1/2 = En ψn,−1/2 , H σz = 1, 0, −1.

(5.10)

(5.11)

5.2. SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS

En este caso hay tres ecuaciones de valores propios asociadas a En : b ψn,1 = En ψn,1 H b ψn,0 = En ψn,0 H b ψn,−1 = En ψn,−1 . H

133

(5.12)

La funci´ on de onda para la part´ıcula con un grado de libertad interno (estado en representaci´ on de coordenadas) es:

ψn,σz = ~r σz ψn,σz = ψn (~r )χσz (σz ), (5.13)

on de ~r, es decir (5.4a), se puede definir un estado donde en analog´ıa a la definici´ ~r σz como: b r ~r σz = ~r ~r σz (5.14) (5.15) σ bz ~rσz = σx ~rσz ,

el cual es un estado de part´ıcula localizada en el punto ~r con una proyecci´ on de esp´ın σz . La condici´ on de completez es ahora: X Z

(5.16) d3 r ~rσz ~rσz = 1, σz =±1/2

y la de ortogonalidad:

5.2.

~rσz ~r ′ σz′ = δσz σz′ δ (3) (~r − ~r ′ ).

(5.17)

Sistema de 2 part´ıculas

La funci´ on de onda del sistema de 2 part´ıculas es una funci´ on de las coordenadas de la part´ıcula 1 (~r1 ) y de las coordenadas de la part´ıcula 2 (~r2 ), la cual se escribe como: ψ(~r1 , ~r2 ). El hamiltoniano del sistema se puede escribir como: b 22 b 21 p b = p + V (~r1 , ~r2 ). H 2m1 2m2

La ecuaci´ on de valores propios es entonces: ~2 2 ~2 2 ∇ − ∇ + V (~r1 , ~r2 ) ψ(~r1 , ~r2 ) = Eψ(~r1 , ~r2 ). − 2m1 1 2m2 2

(5.18)

(5.19)

Estad´ısticamente la norma al cuadrado de ψ(~r1 , ~r2 ), es decir: |ψ(~r1 , ~r2 )|2 d~r1 d~r2 se interpreta como la probabilidad de encontrar la part´ıcula 1 en el volumen d~r1 y la part´ıcula 2 en el volumen d~r2 . La funci´ on debe estar normalizada: ZZ |ψ(~r1 , ~r2 )|2 d~r1 d~r2 = 1. (5.20)

134


Ahora, sup´ ongase que la part´ıcula 1 est´ a en el estado ψa (~r1 ) y la part´ıcula 2 est´ a en el estado ψb (~r2 ). En este caso, la funci´ on de onda est´ a dada por: ψ(~r1 , ~r2 ) = ψa (~r1 )ψb (~r2 ).

(5.21)

Pero en mec´ anica cu´ antica no se distingue la part´ıcula 1 de la part´ıcula 2, pues son idénticas. Desde el punto de vista de los observables f´ısicos del sistema, estos no cambian si se intercambian las part´ıculas. ψa (~r1 )

ψa (~r2 )

~r1

~r2 ψb (~r2 )

ψb (~r1 )

~r2

~r1

a)

b)

Figura 5.1: a) Sistema de dos part´ıculas. b) Sistema de dos part´ıculas.Part´ıculas intercambiadas

Es decir, si las part´ıculas son idénticas sus masas son iguales (m1 = m2 = m) y el sistema posee un grado de libertad interno. De esta forma (5.18) se convierte en: 2 2 b = pb1 + pb2 + V (~r1 , ~r2 ), H 2m 2m

(5.22)

y ya que V (~r1 , ~r2 ) = V (~r2 , ~r1 ), entonces:

b 2) = H(2, b 1). H(1,

(5.23)

La ecuaci´ on de valores propios (5.19) ser´ a entonces: H(1, 2)ψE σ1 σ2 (1, 2) = EψE σ1 σ2 (1, 2).

(5.24)

Intercambiando “1” y “2”, y utilizando (5.23), se obtiene: H(1, 2)ψE σ2 σ1 (2, 1) = EψE σ2 σ1 (2, 1)

(5.25)

Ahora se introduce el operador intercambio P12 , definido como: P12 ψE σ1 σ2 (1, 2) = ψE σ2 σ1 (2, 1).

(5.26)

135

5.3. EL PRINCIPIO DE PAULI

Con lo cual, (5.25) puede escribirse como: H(1, 2) P12 ψE σ1 σ2 (1, 2) = EψE σ2 σ1 (2, 1) = P12 EψE σ1 σ2 (1, 2) = P12 H(1, 2)ψE σ1 σ2 (1, 2),

(5.27)

y por lo tanto [H(1, 2) P12 − P12 H(1, 2)]ψE σ1 σ2 (1, 2) = 0 → H, P12 = 0.

(5.28)

As´ı P12 , es una constante de movimiento, puesto que a partir de dos intercambios 1 → 2, 2 → 1, se tiene el estado original (P12 )2 = 1.

(5.29)

con valores propios P12 = +1 (funci´ on simétrica) y P12 = −1 (funci´ on antisimétrica).

5.3.

El principio de Pauli

El Principio de Pauli es una ley de la naturaleza que implica que la simetr´ıa o antisimetr´ıa, bajo el intercambio de 2 part´ıculas, es una caracter´ıstica de estas y no es algo que se pueda arreglar en la preparaci´ on del estado inicial. Esta ley, que fue descubierta por Pauli, establece: 1. Sistemas constituidos por part´ıculas idénticas de esp´ın semi-entero (esp´ın 1/2,3/2,. . . ) est´ an descritos por funciones de onda antisimétricas. Tales part´ıculas son llamadas fermiones y obedecen la estad´ıstica de Fermi-Dirac. 2. Sistemas constituidos por part´ıculas idénticas de esp´ın entero (esp´ın 0,1,2,. . . ) est´ an descritos por funciones de onda simétricas. Tales part´ıculas son llamadas bosones y obedecen la estad´ıstica de Bose-Einstein. Para dos part´ıculas la funci´ on de onda simétrica, se puede construir como: ψ (S) (1, 2) =

1 [ψ(1, 2) + ψ(2, 1)], N2S

(5.30)

donde N2S es una constante de normalizaci´ on. La funci´ on de onda antisimétrica se construye como:: ψ (A) (1, 2) =

1 [ψ(1, 2) − ψ(2, 1)]. N2A

(5.31)

Para el caso de un sistema con 3 part´ıculas se tiene que la funci´ on de onda simétrica es: ψ (S) (1, 2, 3) =

1 [ψ(1, 2, 3) + ψ(2, 1, 3) + ψ(2, 3, 1) N3S

136


+ ψ(3, 2, 1) + ψ(3, 1, 2) + ψ(1, 3, 2)],

(5.32)

y la antisimétrica: ψ (A) (1, 2, 3) =

1 [ψ(1, 2, 3) − ψ(2, 1, 3) + ψ(2, 3, 1) N3A

− ψ(3, 2, 1) + ψ(3, 1, 2) − ψ(1, 3, 2)].

5.3.1.

(5.33)

N fermiones en un pozo de potencial unidimensional.

El hamiltoniano de este sistema esta dado por: H=

N X

Hi ,

(5.34)

i=1

donde (suponiendo que no interact´ uan entre ellos): Hi =

p2i + V (xi ). 2m

(5.35)

La ecuaci´ on de valores propios de la part´ıcula k-ésima es: Hk ψnk σk (~rk , σk ) = Enk ψnk σk (~rk , σk ).

(5.36)

HψE,σ (1, 2, . . . , N ) = EψE,σ (1, 2, · · · , N ),

(5.37)

Una soluci´ on de

es: ψE,σ (1, 2, . . . , N ) = ψn1 σ1 (~r1 , σ1 )ψn2 σ2 (~r2 , σ2 ) · · · ψnN σN (~rN , σN ),

(5.38)

o, sin considerar el grado de libertad interno: ψE (1, 2, . . . , N ) = ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) · · · ψnN (~rN ),

(5.39)

con E = E1 + E2 + · · · + EN .

(5.40)

Para dos fermiones, la funci´ on de onda antisimétrica es: 1 ψ (A) (1, 2) = √ [ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) − ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )], 2

(5.41)

´ 5.4. ESPACIO DE HILBERT DEL SISTEMA DE N PARTÍCULAS IDENTICAS NO INTERACTUANTES (SIN GRADO DE LIBERTAD INTERNO)

137

y para 3 fermiones 1 h ψ (A) (1, 2, 3) = √ ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r3 ) − ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r3 ) 6 + ψn1 (~r2 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r1 ) − ψn1 (~r3 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r1 ) i + ψn1 (~r3 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r2 ) − ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 ) .

(5.42)

Esta ecuaci´ on tiene la forma de un determinante, llamado el determinante de Slater. Para un sistema de N fermiones el determinante de Slater, sin considerar grados de libertad internos para los fermiones, es: ψ (~r ) ψ (~r ) n1 1 n1 2 1 ψn2 (~r1 ) ψn2 (~r2 ) ψn(A) (~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ) = √ .. .. 1 ,n2 ,nN N ! . . ψn (~r1 ) ψnN (~r2 ) N

5.4.

· · · ψn1 (~rN ) · · · ψn2 (~rN ) . .. .. . . · · · ψnN (~rN )

(5.43)

Espacio de Hilbert del Sistema de N part´ıculas id´ enticas no interactuantes (sin grado de libertad interno)

El espacio de Hilbert de estados para un sistema de N part´ıculas idénticas, es el espacio HN de funciones integrables cuadradas complejas de norma finita, definidas en el espacio de configuraci´ on de las N part´ıculas. La funci´ on de onda ψN (~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ) que representa la amplitud de probabilidad de encontrar las N part´ıculas en las posiciones ~r1 , ~r2 , . . . , ~rN , satisface la condici´ on: Z

ψN ψN = d~r1 . . . d~rN |ψN (~r1 , ~r2 , . . . ~rN |2 < +∞. (5.44) y esta definida como:

ψN (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) = ~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ψN .

(5.45)

Por definici´ on el espacio de Hilbert HN es el producto tensorial de los N espacios de Hilbert H de part´ıcula simple HN = H {z ⊗ · · · ⊗ H} . | ⊗H⊗H N veces

(5.46)

138


La part´ıcula simple i-ésima tiene asociado un espacio de Hilbert H definido por una base completa ortonormal de estados propios de part´ıcula simple ni . La base ortonormal can´ onica de HN es construida a partir del producto tensorial: n1 . . . n (5.47) ≡ n1 ⊗ n2 ⊗ · · · ⊗ nN . N

Los estados definidos de N part´ıculas por el momento se escriben usando un corchete curvo para hacer notar que se trata de estados que no est´ an simetrizados ni antisimetrizados. Estos estados en la representaci´ on de coordenadas, son las funciones de onda de estados de N part´ıculas:

ψn1 n2 ...nN (~r1 , . . . , ~rN ) = ~r1 . . . ~rN n1 . . . nN (5.48) =

~r1 ⊗ · · · ⊗ ~rN n1 ⊗ · · · ⊗ nN

= ~r1 n1 ~r2 n2 · · · ~rN nN = ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) · · · ψnN (~rN ).

(5.49)

(5.50) (5.51)

La relaci´ on de ortonormalidad de dos estados de la base es:

n1 ⊗ · · · ⊗ nN n′1 ⊗ · · · ⊗ n′N n1 n2 . . . nN n′1 n′2 · · · n′N = (5.52)

= n1 n′1 n2 n′2 · · · nN n′N = δn1 n′1 δn2 n′2 . . . δnn n′ , N

y la relaci´ on de completez de los estados de N part´ıculas de la base es: X n1 n2 . . . nn )(n1 n2 . . . nn b 1=

(5.53)

(5.54)

(5.55)

n1 ,n2 ,...,nN

X

=

n1 ,n2 ,...,nN

=

n n n1 ⊗ n ⊗ · · · ⊗ n1 ⊗ n ⊗ · · · ⊗ N N −1 N N −1

X X X

n1 n1 n2 n2 · · · n 1 nN = 1 . . . 1 . . . ,1 = b N | {z } n1

n2

nN

(5.56)

N veces

Es decir, es claro f´ısicamente que el espacio HN es generado por combinaciones lineales del producto de funciones de onda de part´ıcula simple. Hasta el momento no se ha tenido en cuenta la propiedad de simetr´ıa de las funciones de onda. Como lo establece el principio de Pauli, un sistema de fermiones esta descrito por una funci´ on de onda antisimétrica bajo el intercambio de un par de fermiones y, un sistema de bosones esta descrito por una funci´ on de onda

´ 5.4. ESPACIO DE HILBERT DEL SISTEMA DE N PARTÍCULAS IDENTICAS NO INTERACTUANTES (SIN GRADO DE LIBERTAD INTERNO)

139

simétrica bajo el intercambio de un par de bosones. La funci´ on de onda de N bosones es totalmente simétrica y satisface: ψ(~rp1 , ~rp2 , . . . , ~rpN ) = 1p (~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ),

(5.57)

donde (p1 , p2 , . . . , pN ) representa alguna permutaci´ on p del conjunto (1,2,. . . ,N) de part´ıculas idénticas e indistinguibles. La funci´ on de onda de N fermiones es totalmente antisimétrica y satisface: ψ(~rp1 , ~rp2 , . . . , ~rpN ) = (−1)p (~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ),

(5.58)

donde (−1)p denota el signo o paridad de la permutaci´ on y esta definida como la paridad del n´ umero de transposiciones de 2 part´ıculas que pasa la permutaci´ on (p1 , p2 , . . . , pN ) a su forma original (1, 2, . . . , N ). A continuaci´ on veremos algunos ejemplos de permutaciones: Permutaci´ on de 2 part´ıculas en un sistema de dos part´ıculas id´ enticas e indistinguibles P12 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 ) = P12 ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) = ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )

(bosones),

P12 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 ) = P12 ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) = −ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )

(fermiones).

P21 (P12 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 )) = P21 (ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )) = 12 ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) = ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )

(bosones),

P21 (P12 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 )) = P21 (−ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )) = (−1)2 ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) = ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )

(fermiones).

Permutaci´ on de 2 part´ıculas en un sistema de tres part´ıculas P23 ψn1 n2 n3 (~r1 , ~r2 , ~r3 ) = P23 ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r3 ) = ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 )

(bosones),

P23 ψn1 n2 n3 (~r1 , ~r2 , ~r3 ) = P23 ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r3 ) = −ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 )

(fermiones).

Dos permutaciones de 2 part´ıculas en un sistema de tres part´ıculas P12 (P23 ψn1 n2 n3 (~r1 , ~r2 , ~r3 )) = P12 (ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 )) = ψn1 (~r3 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r2 )

(bosones),

140


P12 (P23 ψn1 n2 n3 (~r1 , ~r2 , ~r3 )) = P12 (−ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 )) = (−1)2 ψn1 (~r3 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r2 ) = ψn1 (~r3 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r2 )

(fermiones).

En general, adoptando una notaci´ on unificada para bosones y fermiones, se tiene: ψ(~rP1 , ~rP2 , ~rPN ) = ξ P ψ(~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ),

(5.59)

donde P es la paridad de la permutaci´ on y ξ es +1 para bosones y ξ es −1 para fermiones.

5.4.1.

Estados simetrizados o antisimetrizados de N part´ıculas (Indistinguibilidad de part´ıculas id´ enticas)

Los estados ortogonales de N part´ıculas simetrizadas o antisimetrizadas (o sea describiendo bosones o fermiones) son:1 1 X P n 1 . . . n ξ n 1 . . . nN , ≡√ N N! P

(5.60)

o en términos de funciones de onda:

1 X P ψn(S,A) (~r1 , ~r2 . . . ~rN ) ≡ √ ξ ψn1 n2 ...nN (~r1 , ~r2 . . . ~rN ). n ...n 1 2 N N! P

(5.61)

con ξ = 1 para bosones y ξ = −1 para fermiones. Por ejemplo: Para 1 part´ıcula, se tiene: 1 ψn1 = √ (1)0 ψn1 (~r1 ) = ψn1 (~r1 ) 1! 1 ψn1 = √ (−1)0 ψn1 (~r1 ) = ψn1 (~r1 ) 1!

(boson)

(5.62)

(fermion)

(5.63)

Para dos part´ıculas, se tiene: 1 ψn(S) (~r1 , ~r2 ) = √ (1)0 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 ) + (1)1 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 ) 1 n2 2! 1 = √ [ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) + ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )] 2!

(bosones).

1 ψn(A) (~r1 , ~r2 ) = √ (−1)0 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 ) + (−1)1 ψn1 n2 (~r1 , ~r2 ) 1 n2 2!

1

Se usa la notaci´ on | } para hacer notar que se trata de estados no normalizados.

(5.64)

141

´ DE PAULI 5.5. PRINCIPIO DE EXCLUSION

1 = √ [ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) − ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )] 2 ψ (~r ) ψ (~r ) n1 2 1 n1 1 = √ 2 ψn (~r1 ) ψn (~r2 ) 2 2

(fermiones)

(5.65)

Aplicando la permutaci´ on P12 , se obtiene: 1 (~r1 , ~r2 ), P12 ψn(S) (~r1 , ~r2 ) = √ [ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 ) + ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )] = ψn(S) 1 n2 1 n2 2 1 P12 ψn(A) (~r1 , ~r2 ) = √ [ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 ) − ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )] = −ψn(S) (~r1 , ~r2 ). 1 n2 1 n2 2

5.5.

Principio de Exclusi´ on de Pauli

Dos fermiones, uno localizado por el vector ~r1 y otro por ~r2 , en el mismo estado cu´ antico de part´ıcula simple e , est´ an descritos por la funci´ on de onda antisimétrica: ψ (~r ) ψ (~r ) e 2 1 e 1 ψee (~r1 , ~r2 ) = √ 2! ψe (~r1 ) ψe (~r2 ) 1 = √ [ψe (~r1 )ψe (~r2 ) − ψe (~r2 )ψe (~r1 )] = 0. 2

(5.66)

La funci´ on de onda es cero, luego la probabilidad de que esto ocurra es cero también. Esto quiere decir que este estado de dos part´ıculas esta completamente excluido. Este resultado se conoce como Principio de exclusi´ on de Pauli. Para 3 part´ıculas las funciones de onda, simétrica o antisimétrica, son: 1 X P (1) ψn1 n2 n3 (~r1 , ~r2 , ~r3 ) ψn(S) (~r1 , ~r2 , ~r3 ) ≡ √ 1 n2 n3 3! P 1 h = √ ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r3 ) + ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 ) 6 + ψn1 (~r3 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r2 ) + ψn1 (~r3 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r1 ) i + ψn1 (~r2 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r1 ) + ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r3 ) (bosones), (5.67)

1 X √ (−1)P ψn1 n2 n3 (~r1 , ~r2 , ~r3 ) ψn(A) (~ r , ~ r , ~ r ) ≡ 1 2 3 n n 1 2 3 3! P

142


1 h = √ ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r3 ) − ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 ) 6 + ψn1 (~r3 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r2 ) − ψn1 (~r3 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r1 ) i + ψn1 (~r2 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r1 ) − ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r3 )

ψn1 (~r1 ) ψn1 (~r2 ) ψn1 (~r3 ) 1 = √ ψn2 (~r1 ) ψn2 (~r2 ) ψn2 (~r3 ) (fermiones). 6 ψn3 (~r1 ) ψn3 (~r2 ) ψn3 (~r3 )

(5.68)

Se observa que si se hace una permutaci´ on de dos part´ıculas, por ejemplo la siguiente: 1 h √ ψn1 (~r3 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r1 ) − ψn1 (~r3 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r2 ) P13 ψn(A) (~ r , ~ r , ~ r ) = 1 2 3 1 n2 n3 6 + ψn1 (~r1 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r2 ) − ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 )ψn3 (~r3 ) i + ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )ψn3 (~r3 ) − ψn1 (~r2 )ψn2 (~r3 )ψn3 (~r1 )

(5.69)

= −ψn(A) (~r1 , ~r2 , ~r3 ), 1 n2 n3

(5.70)

entonces, si de los tres fermiones, por ejemplo en el mismo estado de part´ıcula simple e , o ψn1 (~r1 ) ψn1 (~r2 ) 1 (A) ψn1 ee (~r1 , ~r2 , ~r3 ) = √ ψe (~r1 ) ψe (~r2 ) 6 ψe (~r1 ) ψe (~r2 )

las part´ıculas 2 y 3 se encuentran sea ψe (~r2 ) y ψe (~r3 ) entonces: ψn1 (~r3 ) ψe (~r3 ) ψe (~r3 )

= ψn1 (~r1 )(0) − ψn1 (~r2 )(0) + ψn1 (~r3 )(0) = 0,

(5.71)

y por lo tanto este estado de 3 part´ıculas no est´ a permitido (Principio de exclusi´ on).

5.5.1.

Sistema de N part´ıculas id´ enticas e indistinguibles no interactuantes (con grado de libertad interno)

El hamiltoniano del sistema es: b 2, . . . , N ) = H(1,

N X i=1

b i (i), H

(5.72)


143

donde b i (i) = H b i (~ri , σi ) H

para i =1, 2, . . . , N.

(5.73)

El hamiltoniano de cada part´ıcula satisface la ecuaci´ on de valores propios: Hi (i)ψai (i) = Ei ψai (i),

(5.74)

o, utilizando (5.73): Hi (~ri , σi )ψni σi (~ri , σi ) = Ei ψni σi (~ri , σi )

(5.75)

El hamiltoniano del sistema satisface H(1, 2, . . . , N )ψa1 a2 ...aN (1, 2, . . . N ) = Eψa1 a2 ...aN (1, 2, . . . N ),

(5.76)

con E=

N X

Ei ,

(5.77)

i=1

y ψa1 a2 ...aN (1, 2, . . . , N ) = ψa1 (1)ψa2 (2) . . . ψaN (N ).

(5.78) (5.79)

Operador Permutaci´ on (Intercambio de dos part´ıculas) Como ya vimos en la secci´ on anterior, para part´ıculas idénticas e indistinguibles se introduce el operador permutaci´ on como: Pbjk → operador permutaci´ on,

(5.80)

Actuando sobre una funci´ on de onda:

Pbjk ψa1 a2 ...aN (1, 2, . . . , j, . . . , k, . . . , N ) = ψa1 a2 ...aN (1, 2, . . . , k, . . . , j, . . . , N ), (5.81)

este operador intercambia coordenadas de posici´ on y esp´ın de la part´ıcula j con las coordenadas de posici´ on y esp´ın de la part´ıcula k. Abreviadamente: Pbjk ψ(. . . , j, k, . . .) = ψ(. . . , k, j, . . .).

(5.82)

Propiedades del operador permutaci´ on (i) 2 = 1, Pbjk

es decir

2 ψ = ψ. Pbjk

(5.83)

144


(ii) Pbjk ψ = pψ ;

De esta forma:

2 Pbjk ψ = p Pbjk ψ,

2 Pbjk ψ = ppψ = p2 ψ.

(5.84)

2 Pbjk = 1 → p2 = 1,

(5.85)

entonces p = ± 1 son los valores propios del operador paridad. Para sistema de bosones (funci´ on de onda simétrica), se tiene una funci´ on de paridad par (p = 1): Pbjk ψ(. . . , j, k, . . .) = ψ(. . . , k, j, . . .)

,

(5.86)

y para sistema de fermiones (funci´ on antisimétrica), se tiene una funci´ on de paridad impar (p = −1): Pbjk ψ(. . . , j, k, . . .) = −ψ(. . . , k, j, . . .)

.

(5.87)

(iii) El operador Hamiltoniano, se puede escribir como:

b 2, . . . , j, k, . . . , N ) = H b 1 (1) + · · · + H b j (j) + H b k (k) + · · · + H b N (N ) H(1, (5.88) con el intercambio de j con k, se tiene:: b 2, . . . , k, j, . . . , N ) = H b 1 (1) + · · · + H b k (k) + H b j (j) + · · · + H b N (N ), H(1, (5.89)

es decir:

b 2, . . . , j, k, . . . , N ) =H(1, b 2, . . . , k, j, . . . , N ), H(1,

b . . , k, j, . . .)ψ(. . . , k, j, . . .) = Eψ(. . . , k, j, . . .). H(.

(5.90) (5.91)

Y utilizando el operador paridad Pbjk , se puede escribir:

b . . , j, k, . . .)Pbjk ψ(. . . , j, k, . . .) = Pbjk H(. b . . , j, k, . . .)ψ(. . . , j, k, . . .), H(. (5.92)

o b Pbjk − Pbjk H)ψ b = 0 → H, b Pbjk = 0. (H

(5.93)


145

De esta forma, el car´ acter simétrico o antisimétrico (paridad) de la funci´ on de onda se conserva en el tiempo. En general, se tiene: hx bi D b E ∂b x i~ = H, x b + . (5.94) dt ∂t Si

∂b x ∂t

b x = 0 y H, b =b 0, entonces

hx bi = 0, t

i~

y por lo tanto h x b i es constante en el tiempo. En nuestro caso, se tiene: * + d Pbjk b Pbjk = b = 0, H, 0, dt

(5.95)

(5.96)

luego

d i~

D

Pbjk

dt

E

= 0,

(5.97)

y entonces D

Pbjk

E

= Constante.

(5.98)

Y de esta forma la paridad de la funci´ on de onda se conserva en el transcurso del tiempo. Sistema de dos part´ıculas id´ enticas e indistinguibles, con grado de libertad interno (sin interacci´ on) Para este sistema, se tiene: b 2) = H b 1 (1) + H b 2 (2), H(1,

b 1 (1) ψa (1) = E1 ψa (1), H b 2 (2) ψb (2) = E2 ψb (2). H

(5.99) (5.100) (5.101)

En este caso el hamiltoniano del sistema satisface:

b 2) ψab (1, 2) = E ψab (1, 2), H(1, E = E1 + E2 ,

(5.102) (5.103)

146


ψab (1, 2) =ψa (1) ψb (2).

(5.104)

Por ejemplo, para dos electrones no interactuantes, el hamiltoniano es: 2 2 b =H b1 + H b 2 = pb1 + pb2 . H 2m 2m

(5.105)

Cuando los dos electrones interact´ uan, se tiene:

b 2) = H b 1 (1) + H b 2 (2) + H b 12 (1, 2), H(1,

(5.106)

H(1, 2)ψab (1, 2) = E ψab (1, 2),

(5.107)

E = E1 + E2 + E12 ,

(5.108)

b 12 (1, 2) es el término de interacci´ donde H on. La ecuaci´ on de valores propios es: con

y ψab (1, 2) =

X

Cab ψa (1) ψb (2).

(5.109)

a,b

Por ejemplo para el ´ atomo de helio: 2 2 2 2 e2 b =H b1 + H b2 + H b 12 = pb1 − 1 2e + pb2 − 1 2e + 1 . H 2m 4πε0 r1 2m 4πε0 r2 4πε0 |r~1 − r~2 | (5.110)

Cuando no hay interacci´ on, las funciones de onda simétricas o antisimétricas son: ψab (1, 2) = A [ψa (1) ψb (2) + ξ ψa (2) ψb (1)],

(5.111)

siendo ξ = 1 para bosones, y ξ = −1 para fermiones. A es el factor de normalizaci´ on. Los estados propios del sistema de dos part´ıculas son ortogonales y normalizados a 1. Por facilidad se considera el caso de part´ıculas no interactuantes.

1 = ψab ψab . (5.112) En representaci´ on de coordenadas: ZZZZ 1= A∗ [ψb∗ (2) ψa∗ (1) + ξ ψb∗ (1) ψa∗ (2)]

×A [ψa (1) ψb (2) + ξ ψa (2) ψb (1)] dr~1 dr~2 d~σ1 d~σ2

(5.113)

´ Y ESPÍN INDEPENDIENTES. 5.6. SISTEMAS CON COORDENADAS DE POSICION

= |A|

2

" ZZ |

ZZ ψb (2) 2 dr~2 d~σ2 ψa (1) 2 dr~1 d~σ1 {z }| {z } 1

+

147

ZZ

|

1

ZZ ψb (1) 2 dr~1 d~σ1 ψa (2) 2 dr~2 d~σ2 {z }| {z } 1

+ξ

+ξ

ZZ

ZZ

1

ψ ∗ (1) ψb (1) dr~1 dσ~1 |a {z } 0

ψb∗ (1) ψa (1) dr~1 dσ~1

|

{z 0

= | A |2 [1 + 1 + 0 + 0] = 2 | A |2 ,

}

ZZ

ZZ

ψ ∗ (2) ψa (2) dr~2 dσ~2 {z } |b 0

ψa∗ (2) ψb (2) dr~2 dσ~2

|

{z 0

}

#

y por lo tanto el factor de normalizaci´ on es: 1 |A| = √ 2

(5.114)

En el caso de interacci´ on, se tiene: ψab (1, 2) = A

X

Cab [ψa (1) ψb (2) + ξ ψa (2) ψb (1)].

(5.115)

a,b

El principio de exclusi´ on de Pauli se verifica tanto en el caso de interacci´ on como en el caso sin interacci´ on. Si el estado cu´ antico del fermi´ on 1 es igual al del fermi´ on 2 entonces: ψaa (1, 2) = 0,

(5.116)

y por lo tanto la probabilidad de tener el sistema en ese estado es:

5.6.

2 Paa = ψaa = 0.

(5.117)

Sistemas con coordenadas de posici´ on y esp´ın independientes.

En este caso, se considera la interacci´ on espin-´ orbita despreciable. Para un sistema de 2 part´ıculas, el hamiltoniano est´ a dado por: b 2) = H( b r~1 , r~2 ) + H(σ b 1 , σ2 ), H(1,

(5.118)

148


cuya ecuaci´ on de valores propios, en coordenadas, es: H(1, 2) ψ12 (1, 2) = E ψ12 (1, 2).

(5.119)

ψ12 (1, 2) = ψ(r~1 , r~2 , σ1 , σ2 ) = φ(r~1 , r~2 ) χ(σ1 , σ2 ),

(5.120)

con

donde φ(r~1 , r~2 ) es la funci´ on de onda de posici´ on y χ(σ1 , σ2 ) es la funci´ on de onda de esp´ın.

5.6.1.

Funci´ on de onda de espin para dos fermiones

Si las dos part´ıculas son fermiones (electrones en particular), sus espines son s1 = 21 ; s2 = 21 , entonces ms1 = ± 12 ; ms2 = ± 12 . El esp´ın del sistema de dos electrones se nota s, y sus valores est´ an dados por: | s1 − s2 | ≤ s ≤ s1 + s2 ,

(5.121)

o sea que en este caso 0 ≤ s ≤ 1. Como ms = ms1 + ms2 , se tiene entonces respecto al n´ umero ms :

s=

 0 → ms = 0,

1 → m = −1, 0, 1. s

(5.122)

Es decir hay cuatro estados de esp´ın. Adoptando la notaci´ on: 1 1 αi =Proyecci´ on del esp´ın sobre z hacia arriba = , , 2 2

1 1 βi =Proyecci´ on del esp´ın sobre z hacia abajo = , − , 2 2

(5.123) (5.124)

se tendr´ an las siguientes funciones χi :

1. Cuando los dos electrones tienen esp´ın hacia arriba: 1 1 1 1 χ = , , 1 2 2 2 2 = α1 α2 .

(5.125)

2. Cuando los dos electrones tienen esp´ın hacia abajo: 1 1 1 1 χ = ,− ,− 2 2 2 2 2 = β1 β2 .

(5.126)

En este caso s = 1 y ms = 1.

En este caso s = 1 y ms = −1.


149

3. Cuando el electr´ on 1 tiene esp´ın hacia arriba y el 2 tiene esp´ın hacia abajo: χ = √1 1 , 1 1 , − 1 + 1 , − 1 1 , 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = √ (α1 β2 + α2 β1 ) . 2

(5.127)

En este caso s = 1 y ms = 0. 4. Cuando el electr´ on 1 tiene esp´ın hacia abajo y el 2 tiene esp´ın hacia arriba: χ = √1 1 , 1 1 , − 1 − 1 , − 1 1 , 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = √ (α1 β2 − α2 β1 ) . 2

(5.128)

En este caso s = 0 y ms = 0. Para verificar que en efecto los n´ umeros s y ms son los que sehan dado, se comienza por averiguar cuales son los valores propios de χ1 , χ2 , χ3 , χ4 b como: bajo la acci´ on de los operadores Sb2 y Sbz . Definiendo primero el operador S

(5.129)

entonces

b=S b1 + S b2 S

(5.130)

de donde:

b 2 = Sb2 = (S b1 + S b 2 )(S b1 + S b 2 ) = Sb2 + Sb2 + 2 S b1 · S b2, S 1 2

b1 · S b 2 = 1 [Sb2 − Sb2 − Sb2 ] = Sb1x Sb2x + Sb1y Sb2y + Sb1z Sb2z . S 1 2 2

(5.131)

Esta expresi´ on se puede modificar con el uso de los operadores escalera que se definen a continuaci´ on: Sb1 ± = Sb1x ± i Sb1y , Entonces

Sb2 ± = Sb2x ± i Sb2y . Sb1 + + Sb1 − Sb1x = , 2 Sb2 + + Sb2 − Sb2x = , 2

(5.132) (5.133)

(5.134)

(5.135)

150


Sb1 + − Sb1 − , Sb1y = 2i

(5.136)

Sb2 + − Sb2 − Sb2y = . 2i

(5.137)

Reemplazando estas ultimas expresiones en (5.131), se tiene: b1 · S b 2 = 1 (Sb1 + Sb2 − + Sb1 − Sb2 + ) + Sb1z Sb2z , S 2

(5.138)

y por lo tanto, (5.130) es:

Sb2 = Sb12 + Sb22 + Sb1 + Sb2 − + Sb1 − Sb2 + + 2 Sb1z Sb2z . Aplicando en primer lugar Sb2 a χ1 = α1 α2 : Sb2 χ1 = Sb12 + Sb22 + Sb1 + Sb2 − + Sb1 − Sb2 + + 2 Sb1z Sb2z χ1 , y teniendo en cuenta la ecuaci´ on de valores propios de Sb2 : Sb2 χ1 = ~2 s(s + 1) χ1 ,

(5.139)

(5.140)

(5.141)

se desarrollan por separado cada uno de los términos de (5.140): (5.142) Sb12 χ1 = Sb12 α1 α2 = ~2 21 21 + 1 α1 α2 = 34 ~2 α1 α2 = 43 ~2 χ1 Sb22 χ1 = Sb22 α1 α2 = 43 ~2 α1 α2 = 43 ~2 χ1 (5.143) (5.144) Sb1 + Sb2 − χ1 = Sb1 + Sb2 − α1 α2 = Sb1 + α1 Sb2 − α2 = 0. | {z } 0

De manera similar: Sb1 − Sb2 + χ1 = Sb1 − Sb2 + α1 α2 = Sb1 − α1 Sb2 + α2 = 0 | {z }

(5.145)

0

2 Sb1z Sb2z χ1 = 2 Sb1z Sb2z α1 α2 = 2 Sb1z α1 Sb2z α2 = 2 12 ~ 12 ~ α1 α2 =

1 2

~2 α1 α2 =

1 2

~2 χ1

Reemplazando los anteriores términos en (5.140) se tiene: Sb2 χ1 = 43 ~2 + 34 ~2 + 21 ~2 χ1 = 2 ~2 χ1 .

(5.146) (5.147)

(5.148)

Comparando (5.148) con (5.141), se tiene que s(s + 1) = 2, y por lo tanto: s = 1.

(5.149)


Para aplicar ahora el operador Sbz al estado χ1 , se tiene en cuenta que Sbz = Sb1z + Sb2z .

con esto:

Sbz χ1 = Sb1z + Sb2z α1 α2 = Sb1z α1 α2 + α1 Sb2z α2 = 12 ~ α1 α2 + α1 12 ~ α2 = ~ α1 α2 = ~ χ1 .

Teniendo en cuenta la ecuaci´ on de valores propios de Sbz : Sbz χ1 = ~ ms χ1 ,

151

(5.150)

(5.151)

(5.152)

entonces, comparando (5.151) con (5.152) se tiene que: ms = 1.

(5.153) Procediendo de manera an´ aloga con el estado χ2 , se aplica primero el operador Sb2 : (5.154) Sb2 χ2 = Sb12 + Sb22 + Sb1 + Sb2 − + Sb1 − Sb2 + + 2 Sb1z Sb2z χ2 .

Desarrollando por separado cada uno de los términos: + 1 β1 β2 = Sb22 β1 β2 = 34 ~2 χ2 , Sb12 β1 β2 = ~2

1 1 2 2

3 4

~2 β1 β2 =

3 4

~2 χ2 ,

Sb1 + Sb2 − β1 β2 = 0.

(5.155) (5.156) (5.157)

De manera similar:

Sb2 + Sb1 − β1 β2 = 0,

(5.158)

2 Sb1z Sb2z β1 β2 = 2 Sb1z β1 Sb2z β2 = 2 −

~ 2

β1

−

Reemplazando los anteriores términos en (5.154): Sb2 χ2 =

3 4

~ 2

β2

= 12 ~2 χ2 .

~2 + 34 ~2 + 12 ~2 χ2 = 2 ~2 χ2 .

(5.159)

(5.160)

Y al comparar con la ecuaci´ on de valores propios (5.141), se tiene: s = 1. Aplicando ahora el operador Sbz : (5.161) Sbz χ2 = Sb1z + Sb2z β1 β2 = Sb1z β1 β2 + β1 Sb2z β2 , (5.162) = − 21 ~ χ2 − 12 ~ χ2 = −~ χ1 ,

152


y comparando con (5.152), se tiene ms = −1.

De la misma manera, aplicando Sb2 a χ3 =

√1 2

(α1 β2 + α2 β1 ):

Sb2 χ3 = Sb12 + Sb22 + Sb1 + Sb2 − + Sb2 + Sb1 − + 2 Sb1z Sb2z χ3 ,

y desarrollando los términos de esta ecuaci´ on por separado, se tiene: h i Sb12 χ3 = Sb12 √12 (α1 β2 + α2 β1 ) = √12 Sb12 α1 β2 + Sb12 β1 α2 = Sb22 χ3 = Sb22

√1 2

(α1 β2 + α2 β1 ) =

√1 2

h i α1 Sb22 β2 + β1 Sb22 α2 =

Recordando que p Sb± s, ms = ~ (s ∓ ms )(s ± ms + 1) s, ms ± 1 ,

(5.163)

3 4

~2 χ3

(5.164)

3 4

~2 χ3 .

(5.165)

(5.166)

se obtiene que:

√ Sb1 + β1 = Sb1 + 21 , − 12 = ~ 1 · 1 12 ,

Sb1 + α1 = 0 Sb1 − β1 = 0

y por lo tanto: Sb1+ Sb2− χ3 = Sb1+ Sb2− √1 2

=

√1 2

= ~ α1

(5.167) (5.168) (5.169)

Sb1 − α1 = Sb1 − 12 ,

=

1 2

1 2

√1 2

=~

√

1 · 1 12 , − 12 = ~ β1 ,

(5.170)

(α1 β2 + β1 α2 )

(Sb1+ α1 )(Sb2− β2 ) + (Sb1+ β1 )(Sb2− α2 ) ~ α1 ~ β2 =

~2 √ α β. 2 1 2

(5.171)

De manera an´ aloga:

y de esta forma:

Sb2+ Sb1− χ3 =

~2 √ α β, 2 2 1

~2 ~2 (Sb1+ Sb2− + Sb2+ Sb1− ) χ3 = √ α1 β2 + √ α2 β1 2 2

(5.172)


~2 = √ (α1 β2 + β1 α2 ) = ~2 χ3 . 2

153

(5.173)

El u ´ltimo término de (5.163) est´ a dado por: 2 Sb1z Sb2z χ3 = 2 Sb1z Sb2z =

√2 2

=

√2 2

=−

√1 2

(α1 β2 + α2 β1 )

(5.174)

(Sb1z α1 Sb2z β2 + Sb1z β1 Sb2z α2 )

~ 2

α1

−

~2 χ3 . 2

~ 2

β2 + −

~ 2

β1

(5.175) ~ 2

α2

(5.176) (5.177)

Reemplazando (5.164), (5.165), (5.173) y (5.177) en (5.163), se tiene: Sb2 χ3 = 43 ~2 + 43 ~2 + ~2 − 21 ~2 χ3 = 2 ~2 χ3 ,

(5.178)

y comparando con la ecuaci´ on de valores propios (5.141), se tiene: s = 1. b Aplicando ahora Sz : Sbz χ3 = Sb1z + Sb2z √12 (α1 β2 + β1 α2 ) =

√1 2

=

√1 2

h i (Sb1z α1 )β2 + (Sb1z β1 )α2 + α1 (Sb2z β2 ) + β1 (Sb2z α2 ) h

~ 2

α1 β2 −

~ 2

β1 α2 −

~ 2

α1 β2 +

~ 2

Y comparando con (5.152), entonces ms = 0.

i β1 α2 = 0.

Efectuando un procedimiento similar para χ4 , se llega a: Sb2 χ4 = Sb2 √12 (α1 β2 − β1 α2 ) = 0

(5.179)

(5.180)

luego s = 0. Finalmente, procediendo de manera an´ aloga a (5.179): Sbz χ4 = 0,

(5.181)

Por otro lado, puesto que α y β satisfacen:

α α = β β = 1,

(5.182)

y entonces ms = 0. Con esto se comprueban, cada uno de los n´ umeros cu´ anticos dados, para cada estado χi , al principio de esta secci´ on.

α β = β α = 0,

(5.183)

154


entonces se cumple:

χi χj = δij .

(5.184)

Los estados de esp´ın, escritos como funciones de onda son: χ1 (σ1 , σ2 ) =α(σ1 )α(σ2 ),

(5.185)

χ2 (σ1 , σ2 ) =β(σ1 )β(σ2 ),

(5.186)

1 χ3 (σ1 , σ2 ) = √ [α(σ1 )β(σ2 ) + α(σ2 )β(σ1 )], 2

(5.187)

1 χ4 (σ1 , σ2 ) = √ [α(σ1 )β(σ2 ) − α(σ2 )β(σ1 )]. 2

(5.188)

Respecto al intercambio, los estados se comportan: P12 χ1 (σ1 , σ2 ) =χ1 (σ2 , σ1 ) = α(σ2 )α(σ1 ) = χ1 (σ1 , σ2 ),

(5.189)

P12 χ2 (σ1 , σ2 ) =χ2 (σ2 , σ1 ) = β(σ2 )β(σ1 ) = χ2 (σ1 , σ2 ),

(5.190)

P12 χ3 (σ1 , σ2 ) =χ3 (σ2 , σ1 ) = χ3 (σ1 , σ2 ),

(5.191)

P12 χ4 (σ1 , σ2 ) =χ4 (σ2 , σ1 ) = −χ4 (σ1 , σ2 ).

(5.192)

Donde se puede ver que χ1 (σ1 , σ2 ), χ2 (σ1 , σ2 ), y χ3 (σ1 , σ2 ), son funciones simétricas, bajo el intercambio, y se notan: χS1 (σ1 , σ2 ), χS2 (σ1 , σ2 ), χS3 (σ1 , σ2 ), respectivamente. La funci´ on χ4 (σ1 , σ2 ) es antisimétrica, y se nota χA 4 (σ1 , σ2 ). Finalmente, si se tienen dos electrones, la funci´ on de onda total, debe ser completamente antisimétrica y por lo tanto puede ser: (A)

(S)

(5.193)

(A)

(S)

(5.194)

(A)

(S)

(5.195)

(A)

(A)

(5.196)

Φ1 (1, 2) =ψn(A) (r~1 , r~2 )χ1 (σ1 , σ2 ), 1 n2 Φ2 (1, 2) =ψn(A) (r~1 , r~2 )χ2 (σ1 , σ2 ), 1 n2 Φ3 (1, 2) =ψn(A) (r~1 , r~2 )χ3 (σ1 , σ2 ), 1 n2 Φ4 (1, 2) =ψn(S) (r~1 , r~2 )χ4 (σ1 , σ2 ), 1 n2 (S)

(A)

donde ψn1 n2 (r~1 , r~2 ) y ψn1 n2 (r~1 , r~2 ) est´ an dadas por (5.64) y (5.65) respectivamente. En el caso de n1 = a = n2 , es decir los dos fermiones se encuentran en el mismo estado de part´ıcula simple: 1 (A) ψaa (~r1 , ~r2 ) = √ [ψa (~r1 )ψa (~r2 ) − ψa (~r2 )ψa (~r1 )] = 0, 2

(5.197)


1 χ(A) (σ, σ) = √ [α(σ)β(σ) − α(σ)β(σ)] = 0, 2

155

(5.198)

y por lo tanto, la funci´ on de onda total es: (A)

Φ1,2,3,4 (1, 2) = 0.

(5.199)

Si los dos electrones se encuentran en el estado base de part´ıcula simple n1 = n2 = a = 0, entonces: (A)

(5.200)

ψ00 (r~1 , r~2 ) =[ψ0 (r~1 )ψ0 (r~2 ), ]

(S)

(5.201)

1 χ(A) (σ1 , σ2 ) = √ [α(σ1 )β(σ2 ) − α(σ2 )β(σ1 )], 2

(5.202)

ψ00 (r~1 , r~2 ) =0,

y entonces se tiene que: (A)

(A)

Φ1 (1, 2) =ψ00 (r~1 , r~2 )χ(A) (σ1 , σ2 )

5.6.2.

α(σ ) α(σ ) 1 2 1 =ψ0 (r~1 )ψ0 (r~2 ) √ . 2 β(σ1 ) β(σ2 )

(5.203)

Sistema de dos part´ıculas id´ enticas interactuantes de esp´ın nulo, sometidas a la acci´ on de un potencial arm´ onico lineal

Como un ejemplo de la aplicaci´ on de las funciones de onda simétricas o antisimétricas, considérese para este sistema, el potencial arm´ onico dado por: V (x1 , x2 ) =

1 2

k (x21 + x22 ).

(5.204)

Las part´ıculas interact´ uan por medio del potencial: V ′ (x1 , x2 ) =

1 2

k (x1 − x2 )2 .

(5.205)

Tomando este potencial como perturbaci´ on se calculan las energ´ıas de los dos primeros niveles del sistema en teor´ıa de perturbaciones a primer orden. El hamiltoniano del sistema esta dado por: 2 pb2 1 1 b = pb1 + 1 k x b21 + 2 + k x b22 + k (b x1 − x b2 )2 . H 2m 2 2m 2 2 | {z } | {z } b0 H

b′ H

(5.206)

156


Estas part´ıculas son bosones (o de esp´ın cero), es decir s1 = 0, y s2 = 0, entonces ms1 = 0, ms2 = 0. Por lo tanto los estados del sistema est´ an descritos por funciones de onda completamente simétricas. A orden cero (sistema no perturbado) se tiene para la energ´ıa: En(0)1 n2 = En(0)1 + En(0)2 Para el estado base, con n1 + n2 = 0 + 0 = 0 y con ω = E0(0) = E0(0) + E0(0) = (1) (2)

1 2

(5.207) q

k m,

se tiene:

~ ω + 12 ~ ω = ~ ω.

Por otro lado, la funci´ on de onda ya simetrizada es: r mω − mω (0) (0) (0) ψ0 (x1 , x2 ) = ψ0 (x1 ) ψ0 (x2 ) = e ~ π~

x21 +x22

(5.208)

.

(5.209)

E1(0) = E0(0) + E1(0) = ~ ω(0 + 21 ) + ~ ω(1 + 12 ) = 2 ~ ω, (1) (2)

(5.210)

Para el primer estado excitado se tiene para la energ´ıa:

y para la funci´ on de onda completamente simétrica bajo el intercambio de dos bosones escalares:

con

1 ψ1(0) (x1 , x2 ) = √ ψ0(0) (x1 ) ψ1(0) (x2 ) + ψ1(0) (x1 ) ψ0(0) (x2 ) , 2 ψ0(0) (xi ) = ψ1(0) (xi ) =

mω 1/4 π~

√

2π

mω

2

e− 2~ xi ,

mω 3/4 π~

xi e−

(5.211)

(5.212) mω 2 2~ xi .

(5.213)

Recordemos que la correcci´ on a primer orden para la energ´ıa est´ a dada por:

donde

En(0) = ψn(0) V ′ ψn(0) , V ′ (x1 , x2 ) =

1 1 k x21 + k x22 − kx1 x2 . 2 2

(5.214)

(5.215)

A partir de las expresiones para x byx b2 en términos de b ayb a† , (Apéndice B), se puede demostrar que:

0 x b 0 = 1 x b 1 = 0,

(5.216)


0 x b 1 = 1 x b 0 =

2 0 x b 0 =

r

~ , 2mω

157

(5.217)

~ , 2mω

(5.218)

2 3~ 1 x b 1 = , 2mω

2 2 0 x b 1 = 1 x b 0 = 0.

(5.219) (5.220)

As´ı, para este sistema, la correcci´ on a primer orden para el nivel fundamental es:

b1 x b2 ψ0(0) (x1 , x2 ) b21 + 21 k x b22 − k x E0(1) = ψ0(0) (x1 , x2 ) 21 k x

= ψ0(0) (x1 ) ψ0(0) (x2 ) 21 k x b21 + 21 k x b22 − k x b1 x b2 ψ0(0) (x1 )ψ0(0) (x2 ) 2 (0)

= 21 k ψ0(0) (x1 ) x b1 ψ0 (x1 ) ψ0(0) (x2 ) ψ0(0) (x2 ) 2 (0)

b2 ψ0 (x2 ) ψ0(0) (x1 ) ψ0(0) (x1 ) + 12 k ψ0(0) (x2 ) x (0) (0)

b2 ψ0 (x2 ) b1 ψ0 (x1 ) ψ0(0) (x2 ) x − k ψ0(0) (x1 ) x =

1 2

=

k~ . 2mω

k

~ 2mω

+ 12 k

~ 2mω

(5.221)

Y, para el siguiente nivel de energ´ıa:

b21 + 21 k x b22 − k x b1 x b2 ψ1(0) (x1 , x2 ) E1(1) = ψ1(0) (x1 , x2 ) 21 k x

= √12 ψ0(0) (x1 ) ψ1(0) (x2 ) + ψ1(0) (x1 ) ψ0(0) (x2 ) 21 k x b21 + 21 k x b22 − k x b1 x b2 · √1 ψ (0) (x1 ) ψ (0) (x2 ) + ψ (0) (x1 ) ψ (0) (x2 ) 0 1 1 0 2 h ~ 3~ ~ 3~ + 12 k 2mω + 12 k 2mω + 12 k 2mω = 12 12 k 2mω −k =

q

1 k~ . 2 mω

~ 2mω

q

~ 2mω

+

q

~ 2mω

q

~ 2mω

i

(5.222)

Por lo tanto: E0 = E0(0) + E0(1) = ~ ω +

~k , 2mω

E1 = E1(0) + E1(1) = 2~ ω +

~k . 2mω

(5.223) (5.224)

son las energ´ıas de los dos primeros niveles con correcci´ on a primer orden.

158


5.7.

El Isoesp´ın y los nucleones

5.7.1.

Independencia de la carga el´ ectrica de las fuerzas hadr´ onicas

En 1932 cuando el neutr´ on fue descubierto, la naturaleza de las fuerzas que manten´ıan ligado al n´ ucleo era a´ un misteriosa. En 1936, hechos cruciales acerca de la fuerza nuclear surgieron. A partir del an´ alisis de los datos obtenidos por dispersi´ on pp y pn a bajas energ´ıas (del orden de 1 M eV ) (figura 5.2).

p Prot´ on proyectil

p Prot´ on blanco

E ∼ M eV

p Prot´ on

n Neutr´ on blanco

E ∼ M eV Figura 5.2: Dispersión pp y pn.

Si se substrae el efecto de la interacci´ on de Coulomb en la dispersi´ on pp, se encuentra que las fuerzas hadr´ onicas presentes en las dos dispersiones pp y pn tienen igual intensidad e igual rango (G. Breit, E.U. Condon and R.D. Presek, Phys. Rev. 50 (1936) 825). Este resultado ha sido probado por el estudio de las masas de 3 H y 3 He, lo cual ha conducido a iguales valores para las interacciones pp, pn y nn. Evidencia fundamental para determinar la independencia de la carga eléctrica de las fuerzas nucleares se conoce desde 1937 (E. Feenberg and E.P. Wigner, Phys. Rev. 51 (1937) 95). Hoy en d´ıa se tiene certeza de lo anterior y no solo es v´ alida esta independencia para los nucleones sino para los bariones.

5.7.2.

El isoesp´ın del nucle´ on

La independencia de la carga eléctrica de las fuerzas nucleares conduce a la introducci´ on de un nuevo n´ umero cu´ antico conservado, el isoesp´ın (I). En 1932, Heisenberg propuso que el neutr´ on y el prot´ on, los constituyentes del n´ ucleo at´ omico, se pod´ıan considerar como 2 estados de una misma part´ıcula que se denomin´ o nucle´ on N (W. Heisenberg, Z. Physik 77 (1932) 1). Con la evidencia experimental de la independencia de la carga eléctrica de las fuerzas hadr´ onicas, se propuso que sin la interacci´ on electromagnética los dos estados presumiblemente tendr´ıan la misma masa, pero su presencia hace que sus masa sean ligeramente diferentes: Sin interacci´ on electromagnética, con interacci´ on hadr´ onica, mp = mn . Con interacci´ on electromagnética, con interacci´ on hadr´ onica, mp 6= mn .

5.7. EL ISOESPÍN Y LOS NUCLEONES

159

Experimentalmente se encuentra: ∆ m = mn − mp ≈ 1,2933318 ± 0,0000005 MceV 2 , mn = 939,56533 ± 0,00004 MceV 2 mp = 938,27200 ± 0,00004

M eV c2

(5.225)

, qn = 0, , qp = 1.

El nucle´ on tiene asociado un n´ umero cu´ antico de isoesp´ın I = 1/2. Este grado de libertad interno introduce una degeneraci´ on g = 2I + 1 = 2.

(5.226)

Por lo tanto existen 2 estados con el mismo valor de energ´ıa (masa) en ausencia de la interacci´ on electromagnética. El isoesp´ın posee las mismas propiedades que el momento angular orbital o de esp´ın. Significa que los 2 estados quedan caracterizados por la proyecci´ on del isoesp´ın en una direcci´ on espec´ıfica del espacio de isoesp´ın. La tercera componente del vector isoesp´ın se denota con I3 . Los valores posibles son: −I 6 I3 6 I

(5.227)

Esto es, 2I + 1 valores posibles. As´ı, para el caso I = 1/2 se tiene: I3 = 1/2 → p,

(5.228)

I3 = −1/2 → n.

(5.229)

Por lo tanto, se asocia el prot´ on, como un estado del nucle´ on con I3 = 1/2 y al neutr´ on con I3 = −1/2. La carga de la part´ıcula es q = e(I3 + 1/2), lo cual se para los dos estados del nucle´ on. As´ı, los estados se representan por verifica I, I3 y para este caso I = 1/2 prot´ on 21 , 12 qp = 1 (5.230) 1 1 qn = 0 (5.231) neutr´ on 2 , − 2

5.7.3.

Invarianza del Isoesp´ın

Con la introducci´ on del isoesp´ın y sin considerar la interacci´ on electromagnética, el prot´ on y el neutr´ on corresponden a dos estados de una misma part´ıcula. Este hecho puede ser generalizado al resto de los hadrones, permitiendo que se tenga una clasificaci´ on de la gran variedad de bariones y mesones conocidos. − → Si solamente est´ a presente la interacci´ on hadr´ onica, el vector isoesp´ın I puede colocarse en cualquier direcci´ on. En otras palabras, existe una invariancia rotacional en el espacio de isoesp´ın. El sistema es invariante bajo rotaciones del vector isoesp´ın en cualquier direcci´ on. Esto es: b h , bI = b H 0, (5.232)

160


b h significa que en el sistema est´ donde H a presente solamente la interacci´ on hadr´ onica y que en este caso los g = 2I + 1 estados con diferentes valores de I3 son degenerados, es decir estos g estados tienen la misma energ´ıa (masa), E = mc2 . Se puede decir que con solamente la interacci´ on hadr´ onica presente, los 2I + 1 estados podr´ıan tener la misma masa. Pero si la interacci´ on electromagnética est´ a presente, se destruye la isotrop´ıa del espacio de isoesp´ın y de esta forma la interacci´ on electromagnética rompe la simetr´ıa. bh + H b em , bI 6= b H 0. (5.233) Por ejemplo sin la interacci´ on electromagnética presente el nucle´ on est´ a descrito por el hamiltoniano

y existen dos estados degenerados

b =H bh, H

b h 1 , 1 = mN 1 , 1 , H 2 2 2 2 b h 1 , − 1 = mN 1 , − 1 , H 2 2 2 2

(5.234)

(5.235) (5.236)

es decir los dos estados del nucle´ on, prot´ on y neutr´ on, tienen la misma masa. Cuando se introduce la interacci´ on electromagnética (o sea se perturba el sistema), la degeneraci´ on se levanta b =H bh + H b em , H

y entonces

b em 1 , 1 = mN 1 , 1 , bh + H H 2 2 2 2

bh + H b em 1 , − 1 = mN 1 , − 1 . H 2 2 2 2

(5.237)

(5.238) (5.239)

Esto nos indica que la teor´ıa de perturbaciones puede ser usada para un problema de este tipo. Si se tiene en cuenta que en general, en todos los eventos f´ısicos en los que intervienen part´ıculas elementales o part´ıculas compuestas (hadrones) siempre la carga eléctrica se conserva, entonces: bh + H b em , Q b =b H 0, (5.240) b representa el operador carga eléctrica q y est´ donde Q a conectado a I3 por: 1 Q = e I3 + . (5.241) 2


161

Si se introduce (5.240) en (5.241) se tiene:

bh + H b em , Ib3 = b H 0,

de donde se concluye que la tercera componente del isoesp´ın se conserva a´ un en presencia de la interacci´ on electromagnética. En general, se asume la existencia de un espacio de isoesp´ın con su tercera componente conectada a la carga de la part´ıcula por una relaci´ on lineal de la forma: q = aI3 + b,

(5.242)

lo que indica que conservaci´ on de la carga eléctrica q implica conservaci´ on de la tercera componente del isoesp´ın I3 . Se dice entonces que I3 es un buen n´ umero cu´ antico, a´ un en presencia de la interacci´ on electromagnética. − → En el caso del momento angular ordinario, las relaciones de conmutaci´ on de J se pueden obtener del operador unitario → −

Unˆ (δ) = e−iδ nˆ · J /~,

(5.243)

Mediante cierto procedimiento algebraico. El mismo argumento se sigue en el caso del isoesp´ın, a través de un operador unitario cuya acci´ on implica una rotaci´ on en el espacio de isoesp´ın en un ´ angulo ω alrededor de la direcci´ on α b, as´ı → −

U2 (ω) = e−iω αb· I ,

(5.244)

donde se satisface que:

y por lo cual:

bh, U bαˆ (ω) = b H 0,

b h , bI = b H 0.

(5.245)

(5.246)

− → Por lo anterior, se puede demostrar que las 3 componentes del vector isoesp´ın I satisfacen:

Ib1 , Ib2 = i Ib3 ,

Ib2 , Ib3 = i Ib1 ,

Ib3 , Ib1 = i Ib2 ,

(5.247) (5.248) (5.249)

162


en completa analog´ıa con los operadores de esp´ın. Definiendo ahora el operador

se satisface

Ib2 = Ib12 + Ib22 + Ib32 , Ib2 I, I3 = I(I + 1) I, I3 .

Y para el operador Ib3 se satisface

Ib3 I, I3 = I3 I, I3 ,

(5.250)

(5.251)

(5.252)

donde los valores de I son I = 0, 12 , 1, 23 , 2, . . . y los de I3 son −I 6 I3 6 I, es decir 2I + 1 valores posibles para cada I. Las componentes I1 e I2 no son directamente observables, pero sus combinaciones si lo son:

puesto que:

5.7.4.

Ib± = Ib1 ± i Ib2 , p Ib± I, I3 = (I ∓ I3 )(I ± I3 + 1) I, I3 + 1 .

(5.253)

(5.254)

Isoesp´ın de part´ıculas

Teniendo en cuenta que los mesones est´ an constituidos por quark-antiquark, es decir, dos fermiones, desde la perspectiva de los estados de espin, para el sistema de dos fermiones s1 = 12 ~, s2 = 21 ~ y: n s = 0 ms = 0 Estado singlete,   ms = 1 s = 1 ms = −1 Estado triplete.   ms = 0

la constante a se determina como e

a=e . Para encontrar la constante b se nota que el rango de I3 va de −I a +I. La carga promedio de un multiplete de isoesp´ın es igual a b: h Nq i = b.

(5.255)

163


b em apagada H I=0 I=0

Λ0 Ω−

b em prendida H I3 = 0 I3 = 0

B

E

Y

h Nq i

Λ0 = uds

1 −1

0

0

Ω− = sss

1 −3 −2

−1

Figura 5.3: Bariones para I = 0.

b em apagada H I = 1/2

b em prendida H N

I3 = 1/2

I3 = −1/2

p = uud n = udd

}

Figura 5.4: Bariones para I =

b em apagada H I = 1/2

b em prendida H Ξ

I3 = 1/2

I3 = −1/2

I=1

b em prendida H I3 = 1

Σ

I3 = 0

Ξ0 = uss Ξ− = dss

Y h Nq i

1

0

1

E

Y

Σ+ = uus Σ0 = uds Σ = dds

1 2

1 . 2

}

h Nq i

1 −2 −1 −

1 2

1 . 2

B

−

I3 = −1

E

B

Figura 5.5: Bariones para I =

b em apagada H

B

}

Figura 5.6: Bariones para I = 1.

E

Y

1 −1 0

h Nq i

0

164


b em apagada H

b em prendida H I3 = 1/2

K

I = 1/2

K + = us

K− = u ¯s I3 = −1/2 K 0 = d¯s ¯ 0 = ds ¯ K

}

Figura 5.7: Mesones para I =

b em apagada H

b em prendida H I3 = 1

Π

I=1

I3 = 0 I3 = −1

¯ Π+ = ud Π0 =

√1 2

¯ (u¯ u − dd)

Π− = d¯ u

B

E

Y h Nq i

0

0

0

B

E

Y

0

0

0

0

1 . 2

}

h Nq i

0

Figura 5.8: Mesones para I = 1.

La carga promedio de un multiplete es determinada a través de:

Y = 2 h Nq i = 2 qe ,

o sea h q i =

1 2

(5.256)

eY , con Y la hipercarga, la cual se define como: Y = B + E,

(5.257)

donde B n´ umero bari´ onico y E n´ umero de extra˜ neza (presencia de quark extra˜ no s en el hadr´ on correspondiente). De esta forma, en general 1 1 1 q = e I3 + Y = e I3 + B + E . (5.258) 2 2 2

5.8.

Ejercicios

1. Los estados de esp´ın de un sistema de tres fermiones de esp´ın s = 1/2, se representan por: h i S12 χS,MS = χ 1 ⊗ χ 1 , ⊗ χ1 2

2

S12

2

S,MS

165

5.8. EJERCICIOS

Y 2

1

∆− = ddd

Π− −2

∆+ = uud ∆++ = uuu

Π0

−1

Π+ 1

Ξ−

−1 Ξ0

Ω−

−2

2

q/e

Figura 5.9: Relaci´ on entre n´ umero de hipercarga Y y carga eléctrica q para varios hadrones (bariones).

con S12 = 0, 1 (Representando el esp´ın, de los estados de esp´ın de 2 de los electrones) S = 12 , 32 y −S ≤ MS ≤ S. Se puede verificar que los estados de esp´ın posibles, de este sistema son: 1 χ01 , 1 = √ (↑↓↑ − ↓↑↑); 2 2 2

1 χ01 ,− 1 = √ (↑↓↓ − ↓↑↓) 2 2 2

1 χ11 , 1 = − √ (↑↓↑ + ↓↑↑ −2 ↑↑↓); 2 2 6 1 χ13 , 1 = √ (↑↑↓ + ↑↓↑ + ↓↑↑); 2 2 3 χ13 , 3 = ↑↑↑; 2 2

1 χ11 ,− 1 = √ (↑↓↓ + ↓↑↓ −2 ↓↓↑) 2 2 6

1 χ13 ,− 1 = √ (↑↓↓ + ↓↑↓ + ↓↓↑) 2 2 3

χ13 ,− 3 =↓↓↓ 2

2

a) Determine cu´ ales de estos estados son completamente simétricos, completamente antisimétricos, semi-simétricos o semi-antisimétricos. b) Si se tiene un sistema de tres fermiones idénticos, no interactuantes,

166


de esp´ın s = 12 , masa m, sometidos a un potencial: 1 V (x) = kx2 2 Determine los estados cu´ anticos de posici´ on asociados a los tres primeros niveles de energ´ıa. c) Escriba las funciones de onda de posici´ on y de esp´ın de cada uno de los estados asociados a los tres primeros niveles de energ´ıa.¿Cu´ al es la degeneraci´ on de cada nivel? d ) C´ omo se ve reflejado el principio de exclusi´ on de Pauli en cada uno de los estados del punto anterior? Para cada nivel de energ´ıa, muestre este hecho en un estado asociado espec´ıfico.

Cap´ıtulo 6

Atomos multielectr´ onicos 6.1.

´ Atomo de dos electrones

En esta secci´ on se encontrar´ an las energ´ıas del estado fundamental y del primer nivel excitado del ´ atomo de dos electrones, resolviendo el problema con el empleo del método de teor´ıa de perturbaciones y comparando los resultados con los obtenidos usando el método variacional. En la figura 6.1 se muestra el sistéma del a´tomo de dos electrones, cuyo hamiltoniano est´ a dado por: 2 2 2 2 e2 b = pb1 + pb2 − Z e − Z e + 1 . H 2m 2m 4πε0 r1 4πε0 r2 4πε0 | ~r1 − ~r2 |

6.1.1.

(6.1)

Tratamiento perturbativo. Correcci´ on de primer orden a la energ´ıa del nivel fundamental

El hamiltoniano anterior se puede escribir como:

donde

b =H b0 + H b ′, H 2 2 2 2 b0 = H b 10 + H b 20 = − ~ ∇21 − 1 Ze − ~ ∇22 − 1 Ze , H 2m 4πε0 r1 2m 4πε0 r2

b′ = H

1 e2 . 4πε0 | ~r1 − ~r2 |

(6.2)

(6.3)

(6.4)

b 0 , se ha definido como la suma de El hamiltoniano del sistema sin perturbar, H dos hamiltonianos tipo ´ atomo hidrogenoide, de la forma: 2 2 b i0 = ~ ∇2i − 1 Ze , H 2m 4πε0 r

167

(6.5)

168

´ CAPÍTULO 6. ATOMOS MULTIELECTRONICOS

e b 1 | ~r1 − ~r2 |

~r1

b

~r2

e2

P P N N

´ Figura 6.1: Atomo de dos electrones

con i=1,2. Para usar la teor´ıa de perturbaciones se parte de la soluci´ on de la ecuaci´ on de valores propios: b 0 ψ (0) = E (0) ψ (0) . H

(6.6)

ψn(0)1 l1 m1 n2 l2 m2 ( ~r1 , ~r2 ) = ψn(0)1 l1 m1 ( ~r1 )ψn(0)2 l2 m2 ( ~r2 ),

(6.7)

Sin considerar inicialmente los grados de libertad internos, las funciones propias toman la forma:

y los valores propios de energia son: E (0) = En(0)1 n2 = En(0)1 + En(0)2 .

(6.8)

Siendo ψn(0)1 l1 m1 ( ~r1 ), ψn(0)2 l2 m2 ( ~r2 ), En(0)1 y En(0)2 los estados propios y los valores propios de (6.6), se tiene: (0)

Hi ψn(0)i li mi ( ~ri ) = En(0)i ψn(0)i li mi ( ~ri ),

(6.9)

con i=1,2 y donde: E

(0) ni

=−

1 4πε0

2

Z 2 e4 m 1 , 2~2 n2i

(6.10)

con ni = 1, 2, . . . El estado fundamental del ´ atomo de dos electrones corresponde al estado de menor energ´ıa, es decir para n1 = n2 = 1: 2 2 4 1 Z e m (0) (0) (0) (0) E0 = E11 = E1 + E1 = − = −2Z 2 (13,6 eV ). (6.11) 4πε0 ~2

169

´ 6.1. ATOMO DE DOS ELECTRONES

Para el átomo de Helio se tiene Z = 2, y entonces de la anterior ecuaci´ on (0) = 2(2)2 (−13,6 eV ) = −108,8 eV. E0(0) = E11

(6.12)

La funci´ on de onda que describe este estado es: (0) (0) ψ0(0) ( ~r1 , ~r2 ) = ψ100 ( ~r1 ) ψ100 ( ~r2 ),

(6.13)

siendo −Zri 3/2 Z 2e a √ ψ100 ( ~ri ) = , a 4π (0)

a=

4πε0 ~2 . me2

(6.14)

.

(6.15)

Reemplazando (6.14) en (6.13) se obtiene: 3 Z ψ0 ( ~r1 , ~r2 ) = a (0)

e−

Zr1 a

e−

π

Zr2 a

Puesto que los dos electrones son idénticos, la funci´ on de onda que describa los dos electrones debe ser una funci´ on de onda antisimétrica bajo el intercambio de coordenadas espaciales y de esp´ın de los electrones. Luego una descripci´ on adecuada del estado fundamental es: ψ0(0) ( ~r1 , σ1 ; ~r2 , σ2 ) = ψ0(0) ( ~r1 , ~r2 )χ(σ1 , σ2 ),

(6.16)

(0) (0) donde ψ0(0) ( ~r1 , ~r2 ) = ψ100 ( ~r1 ) ψ100 ( ~r2 ) es funci´ on par y simétrica bajo el intercambio de los dos electrones y χ(σ1 , σ2 ) = χ4 (σ1 , σ2 ) = √12 (α1 β2 − β2 α1 ) es impar y antisimétrica bajo el intercambio de los dos electrones. Como consecuencia la funci´ on ψ0(0) ( ~r1 , σ1 ; ~r2 , σ2 ) es impar y antisimétrica. Ahora, se procede a calcular la correcci´ on de primer orden a la energ´ıa del nivel fundamental; de esta manera: ZZ

(0) ′ (0) (1) b χ∗4 (σ1 , σ2 )χ4 (σ1 , σ2 )dσ1 dσ2 E11 = ψ11 H ψ11 =

ZZ e2 1 ∗ ∗ × d~r1 d~r2 ψ100 ( ~r1 )ψ100 ( ~r2 ) ψ100 ( ~r1 )ψ100 ( ~r2 ) 4πε0 | ~r1 − ~r2 | Z Z 6 − 2Zr1 − 2Zr2 e a e a 1 Z e2 ~r1 ~r2 d~r1 d~r2 dΩ1 dΩ2 , = 2 4πε0 a π | ~r1 − ~r2 | (6.17)

donde dΩi = sen θi dθi dφi para i = 1, 2. Para resolver la integral anterior se usa el teorema de adici´ on de los arm´ onicos 1 esféricos, dado por ∞ X l X rl+1 lm l=0 m=−l 1

en el apéndice F se explica otro método para el calculo de la integral (6.17).

(6.18)

170


Teniendo en cuenta la normalizaci´ on de los arm´ onicos esféricos: Z Z Ylm (θ, φ)Yl′ m′ (θ, φ)dΩ = δll′ δmm′ =⇒ Ylm (θ, φ)Y00 (θ, φ)dΩ = δl0 δm0 ,

(6.19)

1 se tiene: con Y00 = √ 4π Z

Ylm (θ, φ)dΩ =

√

4πδl0 δm0 ,

(6.20)

y con esto Z

∗ ∗ Ylm (θ1 , φ1 )Ylm (θ2 , φ2 )dΩ1 dΩ2

= =

Z

∗ Ylm (θ1 , φ1 )dΩ1

√

Z

∗ Ylm (θ2 , φ2 )dΩ2 ,

√ 4πδl0 δm0 4πδl0 δm0 ,

= 4πδl0 δm0 .

(6.21)

Usando todo lo anterior en (6.17), se obtiene: E

(1) 11

1 = 4πε0

6 2 ZZ e Z 2 (4π) a π2

1 = 4πε0

6 Z∞ "Zr1 2Zr2 2Zr1 Z 1 42 e2 dr1 r22 dr2 r12 e− a e− a a r1

+

0

Z∞

r22 dr2

r1

1 = 4πε0

+

2Zr1 a r12

e−

2Zr2 a r22

r<0 dr1 dr2 , r>1

0

# 1 2 − 2Zr1 − 2Zr2 r e a e a , r2 1

(6.22)

"Z∞ 6 Zr1 2Zr2 2Zr Z − a1 2 2 dr2 r22 e− a dr1 r1 e 4 e a

Z∞ 0

e−

0

0

dr1 r12

e

−

2Zr1 a

Z∞

r1

dr2 r2 e

−

2Zr2 a

#

.

(6.23)

En esta u ´ltima expresi´ on se requiere hacer la evaluaci´ on de las siguintes integrales: 2 Z a 2 a 3 2Zr 2Zr r a 2 − a r e dr = − − 2r −2 e− a 2Z 2Z 2Z

171


" # a 3 2Zr 2 4rZ 2Zr + + 2 e− a , =− 2Z a a Z

re

2Zr − a

(6.24)

a 2 2rZ 2Zr ra a 2 − 2Zr dr = − − + 1 e− a . (6.25) e a =− 2Z 2Z 2Z a

Evaluando estos resultados, entre los l´ımites dados en (6.23),se tiene: Zr1

r

2

2Zr − a

e

0

a 3 dr = − 2z

"

r12

2Z a

2

! 2Z +2 + 2r1 a

e

−

2Zr1 a

a 2 a 3 2Zr1 a 2 − 2Zr1 r1 e a − 2r1 e− a + 2 , 2Z 2Z 2Z a 2 2Zr1 2Z dr = − − 1 e− a 0 + −r1 2Z a =−

Z∞

r e−

2Zr a

r1

−2

=

a 2 2Zr1 2Zr1 a r1 e− a + e− a . 2Z 2Z

# (6.26)

(6.27)

Reemplazando (6.26) y (6.27) en (6.23): (1) E11

1 = 4πε0

" 6 Z∞ a 2 Z∞ 4Zr 4Zr1 Z a 3 − a1 2 2 dr1 − 2 r1 e 4 e − r12 e− a dr1 a 2Z 2Z 0

0

a 3 Z∞ a 3 Z∞ 4Zr 2Zr1 − a1 dr1 + 2 −2 r1 e r1 e− a dr1 2Z 2Z 0

a + 2Z

Z∞ 0

0

4Zr − a1 dr1

r13 e

# a 2 Z∞ 4Zr1 + r12 e− a dr1 , 2Z 0

6 a 5 1 a 5 1 1 a 5 Z 2 2 , 4 e +2 = − 4πε0 a 2Z 4 2 2Z 2Z 6 Z a 5 1 2 Z 5 2 2 5 e , 4 e = a 4 2Z 4πε0 a 8 2 4 5 2 1 e Zm 5 1 me2 5 = e Z = = 4(13, 6 eV ), 2 2 8 4πε0 4πε0 ~ 4πε0 ~ 8 8

1 = 4πε0

(1) E11 = 34 eV.

(6.28)

172


Entonces la energ´ıa del estado fundamental corregida a primer orden es: (0) (1) E11 = E11 + E11 = −108,8 eV + 34 eV = −74,8 eV.

(6.29)

Experimentalmente el valor de la energ´ıa del estado fundamental es: (exp) E11 = −78,975 eV.

(6.30)

Se observa entonces una discrepancia entre los dos valores. F´ısicamente se puede atribuir esta diferencia al hecho que la perturbaci´ on no es peque˜ na. Como se observa E0(0) ≈ E0(1) , lo cual indica que la teor´ıa de perturbaciones no trabaja muy bien a primer orden. Un concepto importante para tener en cuenta es el de energ´ıa de ionizaci´ on. Esta es la energ´ıa requerida para remover un electr´ on del estado base al infinito. La energ´ıa del estado base, a orden cero para el a´tomo de Helio (Z = 2) es: (0) E11 = E1(0) + E1(0) = −54,4 eV − 54,4 eV

= −108,8 eV.

(6.31)

Experimentalmente se encuentra que la energ´ıa del estado base est´ a dada por (6.30); esta energ´ıa se puede escribir como: E11 = −54,4 eV − 24,6 eV = −79,0 eV

(6.32)

donde el primer electr´ on tiene una energ´ıa de −54,4 eV y el segundo, menos ligado al n´ ucleo, requiere para desprenderse del a´tomo una energ´ıa: (exp) Eion = −24,6 eV,

(6.33)

que es la energ´ıa de ionizaci´ on.(figura 6.2) b b

e2 ; −24,6 eV

e1 ; −54,4 eV b

Z=2

Figura 6.2: Primer estado excitado del átomo de Helio.

173


6.1.2.

Tratamiento variacional (para el estado fundamental)

Para utilizar el método variacional en el caso del a´tomo de dos electrones, se parte tomando como funci´ on de prueba: ψ( ~r1 , ~r2 ) = ψ100 (~r1 )ψ100 (~r2 ).

(6.34)

El sistema est´ a descrito de modo que la ecuaci´ on de valores propios que describe a cada electr´ on est´ a dada por: 2 pb 1 Z ∗ e2 − ψ100 (~r) = ǫ1 ψ100 (~r), (6.35) 2m 4πε0 r

donde se considera qué hay un Z ∗ efectivo debido al apantallamiento ocasionado por la repulsi´ on entre los electrones. Este apantallamiento surge debido a la densidad de probabilidad del otro electr´ on. Z ∗ ser´ a el par´ ametro variacional. El ´ atomo de dos electrones (figura 6.3a), se reemplaza por un n´ ucleo de carga be1 be2 e b 1 Zp

Zp∗

a)

b)

´ Figura 6.3: a) Atomo de dos electrones. b) N´ ucleo de carga efectiva Z ∗

efectiva Z ∗ con un electr´ on alrededor de él.(figura 6.3b). En la ecuaci´ on (6.35), ǫ1 corresponde a la energ´ıa fundamental de un a´tomo hidrogenoide cuyo n´ ucleo tiene carga Z ∗ : ǫ1 = −

1 Z ∗2 e2 , 4πε0 2a

(6.36)

donde a es el radio de Bohr. Con esto ψ100 (~r) estar´ a dada por: ψ100 (~r) =

Z ∗3 πa3

1/2

e−

Z∗r a .

(6.37)

ψ100 (~r) est´ a normalizada a 1 y por lo tanto la funci´ on de prueba también: ZZ

ψ ∗ ( ~r1 , ~r2 )ψ( ~r1 , ~r2 )d~r1 d~r2 = 1.

(6.38)

174


El valor esperado de la energ´ıa ser´ a:

b ψ = ψ100 ψ100 H b ψ100 ψ100 h H i = ψ H =

Z

∗

∗

"

ψ100 ( ~r1 )ψ100 ( ~r2 )

b 21 b2 p 1 Ze2 p + 2 − 2m 2m 4πε0 rl

# 1 e2 1 Ze2 − ψ100 (~r1 )ψ100 (~r2 )d~r1 d~r2 − 4πε0 r2 4πε0 | ~r1 − ~r2 | = I1 + I2 + I3 .

(6.39)

Donde: 2 Z Z b1 1 Ze2 p ∗ ∗ ( ~r2 )ψ100 (~r2 )d~r2 ψ100 (~r1 )d~r1 ψ100 − I1 = ψ100 (~r1 ) 2m 4πε0 r1 =

Z

=

Z

b 21 1 Ze2 1 1 p ∗ 2 ∗ 2 − − Z e + Z e ψ100 (~r1 )d~r1 ψ100 ( ~r1 ) 2m 4πε0 r1 4πε0 r1 4πε0 r1

∗

∗ ψ100 (~r1 )ǫ1 ψ100 (~r1 )d~r1 +

(Z ∗ − Z)e2 4πε0

Z

∗ ψ100 (d~r1 )

1 ψ100 (~r1 )d~r1 r1

(Z ∗ − Z)e2 1 = ǫ1 + . 4πε0 r1 1 Z∗ , se tiene: Con = ~r1 a I1 = ǫ1 +

(Z ∗ − Z)2 Z ∗ . 4πε0 a

I2 est´ a dado por: 2 Z Z b2 p 1 Ze2 ∗ I2 = ψ100 (~r2 ) − ψ100 (~r2 )d~r2 ψ ∗ (1)ψ(1)d~r1 2m 4πε0 r2 =

Z

(6.40)

(6.41)

(6.42)

Z b 22 1 Z ∗ e2 (Z ∗ − Z)e2 p ∗ 1 − ψ100 (~r2 )d~r2 ψ100 (~r2 )d~r2 + ψ100 ψ100 ( ~r2 ) 2m 4πε0 r2 4πε0 r2

I2 = ǫ1 +

∗

(Z ∗ − Z)2 Z ∗ . 4πε0 a

Y finalmente I3 : ZZ e2 1 ∗ ∗ ψ100 (~r1 )ψ100 (~r2 )d~r1 d~r2 I3 = ψ100 ( ~r1 )ψ100 ( ~r2 ) 4πε0 | ~r1 − ~r2 |

(6.43)

175


=

5 1 e2 Z ∗ . 8 4πε0 a

(6.44)

Reemplazando (6.41),(6.43) y (6.44) en (6.39), se obtiene: h H i = ǫ1 + =−

(Z ∗ − Z)e2 Z ∗ (Z ∗ − Z)e2 Z ∗ 5 1 e2 Z ∗ + ǫ1 + + 4πε0 a 4πε0 a 8 4πε0 a

2e2 5 1 e2 Z ∗ 2 (Z ∗ )2 e2 + (Z ∗2 − ZZ ∗ ) + 4πε0 2a 4πε0 a 8 4πε0 a

1 e2 = 4πε0 a 1 e2 hH i = 4πε0 a

5 ∗ ∗2 ∗2 ∗ −Z + 2Z − 2ZZ + Z 8 5 ∗ ∗2 ∗ Z − 2ZZ + Z 8

(6.45)

Esta es la expresi´ on a minimizar, por lo tanto: 5 1 e2 dhH i ∗ 2Z − 2Z + = 0, = dZ ∗ 4πε0 a 8

(6.46)

de donde: 2Z ∗ − 2Z +

5 =0 8

=⇒

Z∗ = Z −

5 . 16

(6.47)

Reemplazando (6.47) en (6.45) finalmente se obtiene: " # 5 2 5 5 5 1 e2 Z− + Z− − 2Z Z − h H imin = E0 = 4πε0 a 16 16 8 16 1 e2 = 4πε0 a

"

1 e2 E0 = − 4πε0 a

5 Z− 16

2

# 5 2 −2 Z − 16

5 2 Z− . 16

(6.48)

Para el átomo de Helio, se tiene Z = 2 por lo tanto de la ecuaci´ on anterior: 5 2 1 e2 2− E0 = E0variac = − 4πε0 a 16 = −77,38 eV. (6.49) Las energias del nivel base, experimental y calculada por teoria de perturbaciones son: E0exp = −78,975 eV

(6.50)

176


E0pert = −74,8 eV

(6.51)

Por lo tanto la energ´ıa obtenida con el método variacional resulta mejor aproximaci´ on a los resultados experimentales, respecto al valor obtenido por perturbaciones.

6.1.3. 6.1.3.1.

Estados excitados Notaci´ on espectrosc´ opica

En los diagramas de energ´ıa se hace uso de la notaci´ on espectrosc´ opica. Esta notaci´ on depende de la base que se use: a) Base no acoplada. o acoplamiento L−S (momento angular-esp´ın, por ejemplo esp´ın-´ orbita)

Se nota el estado con

Valor de L

Letra

0

S

1

P

2

D

3

F

2s+1 L j

de acuerdo a:

|L − S| 6 J 6 L + S.

(6.52)

L − S 6 J 6 L + S,

(6.53)

Si L > S entonces

luego la multiplicidad de J es L + S − (L − S) + 1 = 2S + 1

(6.54)

S − L 6 J 6 L + S,

(6.55)

Y si L 6 S entonces

luego la multiplicidad de J es L + S − (S − L) + 1 = 2L + 1.

(6.56)

En este acoplamiento se cumple: bT = L b1 + L b2 + L b3 + · · · L bT = S b1 + S b2 + S b3 + · · · S b=L bT + S bT . J

(6.57)

177


b) Acoplamiento J − J. En este acoplamiento se tiene: b1 = L b1 + S b1 J .. .

.. .

b2 = L b2 + S b2 J .. .

(6.58)

bT = J b1 + J b2 + · · · J

La notaci´ on espectrosc´ opica que se usar´ a en este ejemplo es la de acoplamiento L − S. Por ejemplo, para el estado fundamental: n1 = 1, n2 = 1, l1 = 0, ms1 = − 12 , ms2 = 12 , s1 = 12 , s2 = 12 , ms = ms1 + ms2 = 0. Como −s 6 ms 6 s y 1 1 − 6 s 6 1 + 1 , 2 2 2 2

l2 = 0,

(6.59)

entonces s = 0 y L = l1 + l2 = 0, por lo tanto:

|L − s| 6 j 6 |L + s|

(6.60)

0 6 j 6 0,

(6.61)

y entonces j = 0, luego 2s + 1 = 1,

L = 0, ≡ S

j = 0.

(6.62)

De esta manera el estado asociado al nivel fundamental se nota 1 S0 . En otras palabras para el primer nivel de energ´ıa corregido a primer orden se tiene el estado 1 S0 . nota: Cabe recordar que el estado de cada electr´ on se denota de la manera nl, donde el n´ umero cu´ antico pricipal n se reporta con n´ umeros enteros positivos y se asignan diferentes letras a cada n´ umero l, seg´ un la siguiente tabla:

6.1.3.2.

l

0

1

2

3

4

letra

s

p

d

f

g

Tratamiento perturbativo

Para construir la funci´ on de onda, previamente se deben hacer algunas consideraciones debido al intercambio, ya que los dos electrones son part´ıculas indistinguibles que pueden cambiar sus posiciones sin consecuencias medibles. Como el intercambio de dos electrones no debe afectar |Ψ12 |2 , la funci´ on de onda a lo m´ as puede cambiar de signo cuando los dos electrones son intercambiados.

178


De esta manera, a la soluci´ on que es simétrica (o antisimétrica) bajo el intercambio de electrones, le corresponde el signo m´ as (o menos). Debido al principio de exclusi´ on de Pauli, para part´ıculas de esp´ın 1/2 la funci´ on de onda ”total”, o sea, el producto de la funci´ on de onda espacial y la funci´ on de onda de esp´ın, debe ser antisimétrica. Es decir, la funci´ on de onda espacial simétrica Ψ+ 12 (r1 , r2 ) debe ser multiplicada por la funci´ on de esp´ın antisimétrica (singlete), y la funci´ on de onda espacial antisimétrica Ψ− (r , r ) por la funci´ o n de esp´ ın sim´ e trica (triplete). 12 1 2 De esta manera, 1 (0)± Ψ12 (r1 , r2 ) = √ (ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) ± ψ1 (r2 )ψ2 (r1 )), 2

(6.63)

siendo ψi , con i = (ni li mi ), funciones de onda hidrogenoides que tienen la forma: ψni li mi (r) = Rni li (r)Yli mi (Ω),

(6.64)

con Rni li (r) las funciones radiales y Yli mi (Ω) los arm´ onicos esféricos. A partir de esto, la energ´ıa del sistema, por teor´ıa de perturbaciones de primer orden, es: (1) + E12 , E12 = En(0) (6.65) 1 n2 (0)

on a orden cero) est´ a dada por donde En1 n2 (la correcci´ =− En(0) 1 n2

e2 Z 2 e2 Z 2 − , a0 2n21 a0 2n22

(6.66)

(1)

y E12 (la correcci´ on a primer orden) puede ser calculada de: 2 (1) (0)A ˆ ′ (0)A (0)± e (0)± E12 = Φ12 H Φ12 . = Ψ12 Ψ12 r12

(6.67)

Reemplazando (6.64) en (6.67), la correcci´ on a primer orden a los niveles de energ´ıa puede ser escrita como: (1)

E12 = J12 ± K12 ,

(6.68)

donde el signo m´ as (menos) corresponde a la funci´ on de onda espacial simétrica (antisimétrica) y J12 es llamada la integral de Coulomb (o integral directa) y K12 es llamada la integral de intercambio . Estas integrales son: e2 E D J12 = ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) , r12 e2 D E K12 = ψ1 (r2 )ψ2 (r1 ) ψ1 (r2 )ψ2 (r1 ) . r12

(6.69) (6.70)


179

A partir de la ecuaci´ on anterior vemos que a causa de la indistinguibilidad de los electrones, se presenta un corrimiento en la energ´ıa entre los estados singlete y triplete, teniendo el estado singlete la energ´ıa m´ as alta. El estado base es simétrico en el espacio, y por tanto, s´ olo puede ser un singlete. Para los estados excitados, asumimos que uno de los dos electrones est´ a en el estado base, de manera que estos estados se deber´ an a las transiciones de s´ olo uno de los dos electrones. Habr´ a entonces tanto estado singlete como triplete, cuyas energ´ıas estar´ an dadas por: ± E1snl

e2 E =E + ψ100 (r1 )ψnlm (r2 ) ψ100 (r1 )ψnlm (r2 ) r12 e2 E D ± ψ100 (r1 )ψnlm (r2 ) ψ100 (r2 )ψnlm (r1 ) . r12 D

(0)

(6.71)

Expandiendo 1/r12 en polinomios de Legendre y usando la ley de cosenos y el teorema de adici´ on de los arm´ onicos esféricos se obtiene que para la integral directa: 2

J1s,nl =e

λ Z ∞ X X

∞

dr1

Z

∞

dr2

0

λ=0 µ=−λ 0

4π 2λ + 1

Z

dΩ1 |Y00 (Ω1 )|

2

λ r< λ+1 r>

∗ Yλµ (Ω1 )

2 2 (r2 )r12 r22 R10 (r1 )Rnl

Z

dΩ2 |Ylm (Ω2 )|2 Yλµ (Ω2 ).

(6.72)

Las integrales angulares son producto de tres arm´ onicos esféricos. Sabemos que ∗ = √1 , de tal manera que en este caso las integrales angulares se Y00 = Y00 4π

1 reducen a 4π δλ0 δµ0 . Ya que s´ olo sobreviven los términos para los cuales λ = 0 y µ = 0, la expresi´ on para la integral directa queda: Z ∞ Z ∞ 1 2 2 2 (r1 )Rnl (r2 )r12 r22 . (6.73) Jn1 l1 ,n2 l2 = e dr1 dr2 R10 r> 0 0

Ahora, la integral de intercambio se eval´ ua de una manera similar, obteniendo: K1s,nl =e2 Z

λ ∞ X X

λ=0 µ=−λ

4π 2λ + 1

Z

0

∞

dr1

Z

∞

dr2

0

∗ ∗ dΩ1 Y00 (Ω1 )Yλµ (Ω1 )Ylm (Ω1 )

Z

λ r< λ+1 r>

∗ ∗ (r2 )R10 (r2 )r12 Rnl (r1 )r22 R10 (r1 )Rnl

∗ dΩ2 Ylm (Ω2 )Yλµ (Ω2 )Y00 (Ω2 ).

(6.74)

1 δλl δµm De esta manera, la En este caso, las integrales angulares se reducen a 4π integral de intercambio queda como: Z ∞ Z ∞ l r< 1 2 ∗ ∗ K1s,nl = e dr2 l+1 dr1 (r2 )R10 (r2 )r12 Rnl (r1 )r22 . (r1 )Rnl R10 2l + 1 0 r> 0 (6.75)

180


De una forma m´ as o menos anal´ıtica se puede hacer el c´ alculo de la energ´ıa de los primeros niveles excitados.2 . Para el primer estado excitado se tiene que n1 = 1 y n2 = 2 o´ n1 = 2 y n2 = 1. Suponiendo el caso del ´ atomo de Helio (Z = 2), se tiene que la correcci´ on a orden cero a la energ´ıa (expresi´ on (6.66)), es: (0) (0) E12 = E21 = E1(0) + E2(0) = E2(0) + E1(0) 2 2 −13,6 eV = Z (−13, 6 eV ) + Z = −68 eV. 4

(6.76)

Para el estado singlete, la funci´ on de onda se escribir´ a 1 ψ1singlete ( ~r1 , σ1 , ~r2 , σ2 ) = √ [ψ100 (~r1 )ψ2lm (~r2 ) + ψ2lm (~r1 )ψ100 (~r2 )] χsinglete (σ1 σ2 ) 2 (6.77) Est´ a funci´ on se llama parahelio. La funci´ on de onda triplete se escribe 1 ψ1triplete ( ~r1 , σ1 , ~r2 , σ2 ) = √ [ψ100 (~r1 )ψ2lm (~r2 ) − ψ2lm (~r1 )ψ100 (~r2 )] χtriplete (σ1 σ2 ), 2 (6.78) a la cual se le llama ortohelio.. La notaci´ on para los estados asociados a cada nivel, corregidos, es as´ı 2s+1 Lj , donde 2s + 1 es la multiplicidad del estado, L el momento angular orbital, j el momento angular total. Para el primer nivel excitado se tiene n1 = 1, n2 = 2 o´ n1 = 2, n2 = 1; para n = 2, se tienen l = 0, 1. Por lo tanto sin perturbaci´ on se nota este estado 1s 2s → l1 = 0,

1s 2p → l1 = 0,

l2 = 0,

(6.79)

l2 = 1.

(6.80)

Para el primer caso: n1 = 1, n2 = 2, l1 = 0, 1 1 ml2 = 0, s1 = , s2 = y por lo tanto: 2 2 |s1 − s2 | 6 s 6 s1 + s2

=⇒

l2 = 0,

ml1 = 0,

0 6 s 6 1.

(6.81)

s puede tomar los dos valores pues ms = ms1 + ms2 = 0, ± 1 y −s 6 ms 6 s. Si s = 0 entonces 2s + 1 = 1 y como L = l1 + l2 = 0, se obtiene que j = L + S = 0. 2 ”M.J. Weida, T.M. Schroeder, L.J. Waxer and B.L. Whitten, Transitions energies for excited states of helium: An evaluation of two simple approximation techniques, Am. J. Phys. 60, 467473(1992)”.

181


Luego la notaci´ on para el estado asociado es 1 S0 . Cuando s = 1, 2s + 1 = 3, j = L + s = 0 + 1 = 1 entonces la notaci´ on es 3 S1 . Para el segundo caso: l1 = 0 l2 = 1 L = 1. Si l1 = 0, entonces ml1 = 0 y si l2 = 1 entonces ml1 = −1, 0, 1; también hay dos posibilidades para s = 0, 1. Para s = 0 se tiene: 2s + 1 = 1,

L = 1 ≡ P,

j =L+s=1

|L − s| 6 j 6 l + s,

1 6 j 6 1.

(6.82) (6.83)

entonces la notaci´ on es 1 P1 . Para s = 1 2s + 1 = 3,

|L − s| 6 j 6 L + s,

luego j = 0, 1, 2. Por lo tanto la notaci´ on es

0 6 j 6 2,

(6.84)

3 P ,3 P ,3 P . 0 1 2

Teniendo en cuenta todo lo anterior, el diagrama de energ´ıa ser´ a entonces el mostrado en la figura 6.4. Para el segundo estado excitado se tiene n1 = 2 , n2 = 2. La energ´ıa de este estado a orden cero es: 13,6 eV 13,6 eV (0) (0) (0) 2 2 E2 = En1 + En2 = Z − +Z − , 4 4 = −Z 2 6,8 eV.

(6.85)

En particular para Z=2: E2(0) = −27,2 eV.

(6.86)

Volviendo ahora a la correcci´ on de la energ´ıa, en este caso se tiene: Z Z 2

′ e 1 (1) b . (6.87) E22 = ψ H ψ = d~r1 d~r2 |ψ2l0 (~r1 )|2 |ψ2l0 (~r2 )|2 4πε0 | ~r1 − ~r2 |

El diagrama de energ´ıas se muestra en la figura 6.5. Las expresiones obtenidas para la integral de Coulomb y de intercambio (expresiones (6.73) y (6.75)), se pueden abordar de forma numérica, obteniéndose los valores para los primeros estados excitados3 . De esta forma, para algunos estados excitados el resultado se puede ver en la Tabla 6.1. La comparaci´ on se hace respecto al valor experimental proporcionado por NIST Atomic Spectra Database. En la figura 6.6 se muestra el aspecto del respectivo diagrama de energ´ıas. 3

Se puede ver en ”Maria E. Gavil´ an, Angel H. Cruz, Carlos J. Quimbay, Perturbative and variational calculations of energy levels for two-electron atoms”

182


+K

3 P ,3 P , 3 P 0 1 2

(1 s) (2 p

)

−K

1P 1

+K

) (1s ) s (1

−K

3S 1 1S 0

-68 eV

1S 0

-74.4 eV

-108.8 eV

(1s)(2s)

Figura 6.4: Diagrama de energ´ıa para el átomo de dos electrones, seg´ un el método de perturbaciones.

(2 p) (2 p)

1D

(0) E22 = −27,7 eV

p) )(2 s (2 s) (2s)(2

2

1P 1

1S 0

(2s)(2s) (2s)(2p) (2p)(2p)

Figura 6.5: Diagrama de energ´ıa para el átomo de dos electrones, en el segundo estado excitado.

183


Estados

E (0)

J1s,n2 l2

1s2 1s2s 3 S 1s2s 1 S 1s2p 3 P 1s2p 1 P 1s3s 3 S 1s3s 1 S

-108.8 -68.0 -68.0 -68.0 -68.0 -60.444 -60.444

34.0 11.417 11.417 13.208 13.208 5.412 5.412

K1s,n2 l2

Etotal

∆Eteo

∆Eexp (NIST )

%

-1.194 +1.194 -0.929 +0.929 -0.314 +0.314

-74.8 -57.777 -55.389 -55.721 -53.863 -55.346 -54.718

17.02339 19.41128 19.07971 20.93692 19.45398 20.08148

19.81963 20.61579 20.96410 21.21804 22.71848 22.92033

14.1 5.8 9 1.3 14.4 12.4

Tabla 6.1: Niveles de Energ´ıa del átomo de He, en eV, con el método perturbativo. La comparaci´ on experimental se hace con las medidas de los niveles de energ´ıa con respecto al nivel base. ∆Eteo = En,l − E1s2

6.1.3.3.

Tratamiento variacional

Para los estados excitados, es necesario construir las funciones de prueba. Para dar un ejemplo de la forma en la que se usa una funci´ on de onda de prueba para un estado excitado, se usar´ a el método introducido por Weida et. al para el a´tomo de Helio. El estado excitado 1s2p se supone, como en el estado base, un apantallamiento en el cual el electron 1s experimenta la acci´ on de la carga nuclear completa, y el electr´ on 2p experimenta la acci´ on de una carga efectiva q, de manera que la funci´ on de onda de prueba estar´ a dada por el producto de las funciones hidrogenoides: Ψ1s2p = ψ100 (r1 , Z)ψ2lm (r2 , q),

(6.88)

donde

3/2 q 1 qr ψ2lm (r2 , q) = √ e−(qr/2a0 ) Ylm (Ω), (6.89) a a 24 0 0 que es simplemente la funci´ on hidrogeniode 2p usual, con q como el par´ ametro variacional que representa la carga apantallada. Se construye ahora el funcional E[Ψ] para el estado excitado 1s2p: ˆ 1s2p i E[Ψ1s,2p ] =hΨ1s2p |H|Ψ =hψ100 |Hˆ1 |ψ100 i + hψ21m |Hˆ2 |ψ21m i + hΨ1s2p |e2 /r12 |Ψ1s2p i

(6.90)

ˆ i = p2 −Ze2 /ri es el operador hamiltoniano para el a´tomo de un electr´ donde H on. i Hasta ahora no se ha tenido en cuenta el intercambio entre los dos electrones en la funci´ on de onda de prueba. Para considerar este hecho, la funci´ on onda de prueba para el estado 1s2p tiene ahora la forma: 1 Ψ± 1s2p = √ (Ψ100 (r1)Ψ21m (r2) ± Ψ100 (r2)Ψ21m (r1)). 2

(6.91)

184


E1(0) = −68 eV

E11 = −74,4 eV

E0(0) = −108,8 eV

)

           J 20     n

(1s)(2s) n1 = 1 n (1s)(2p) n1 = 1

(1 s) (2 p

J21 E1pert = −54 eV

K21 {

            

K20 {

( s = s1 + s2 = 0 → J = 1, j = 1 l = l1 + l2 = 1 1 ( P1 s = s1 + s2 = 0 → J = 2, j = 2, 1, 0 l = l1 + l2 = 1 3P 2,1,0 ( s = s1 + s2 = 1 → J = 0, j = 0 l = l1 + l2 = 0 1S 0

( s = s1 + s2 = 1 l = l1 + l2 = 0

s) )(2 s 1 ( l1 = 0

n2 = 2

l2 = 0

l1 = 0

n2 = 2

l2 = 0 ( s = s1 + s2 = 0 l = l1 + l2 = 0

3S 1 → J = 1, j = 1

1S 0 → J = 0, j = 0

∆E = E01 = 34 eV (

(1s)(1s)

n1 = 1 l1 = 0 n2 = 1 l2 = 0

Figura 6.6: Diagrama de energ´ıa para el átomo de dos electrones, seg´ un el método perturbativo.

Reemplazando (6.91) en (6.90), podemos escribir el funcional de energ´ıa total como: ˆ 1s2p i E[Ψ1s2p ] =hΨ1s2p |H|Ψ =hψ100 (r1 )|Hˆ1 |ψ100 (r1 )i + hψ21m (r2 )|Hˆ2 |ψ21m (r2 )i +hψ100 (r1 )ψ21m (r2 )|e2 /r12 |ψ100 (r1 )ψ21m (r2 )i

±hψ100 (r1 )ψ21m (r2 )|e2 /r12 |ψ100 (r2 )ψ21m (r1 )i.

(6.92)

Donde se puede ver que los tres primeros términos, conforman el funcional que saldr´ıa considerando que los electrones son distinguibles. Debido a que el fen´ omeno de intercambio no afecta el apantallamiento, éste es el funcional que se minimiza, el cual no tiene en cuenta el u ´ltimo término de la ecuaci´ on anterior, es decir el término de intercambio. Para los siguientes estados excitados se utiliza el mismo procedimiento para calcular éste funcional, simplemente,haciendo uso de otras funciones de prueba. Para varios estados excitados, considerando el a´tomo de Helio, los resultados se encuentran en la Tabla 6.2.

185

´ ´ 6.2. ATOMOS MULTIELECTRONICOS

Estados 1s2 1s2s 3 S 1s2s 1 S 1s2p 3 P 1s2p 1 P

q

1.231 1.231 1.018 1.018

E0

-65.492 -65.492 -64.719 -64.719

J1s,n2 l2

6.898 6.898 6.890 6.890

K1s,n2 l2

Etotal

∆Eteo

∆Eexp (NIST)

%

-0.435 +0.435 -1.108 +1.108

-77.52 -59.029 -58.159 -58.937 -56.721

18.491 19.361 18.583 20.799

19.8196 20.6158 20.9641 21.2180

6.7 6.1 11.4 2

Tabla 6.2: Niveles de Energ´ıa del átomo de He, en eV, por el método variacional. La comparaci´ on experimental se hace con las medidas de los niveles de energ´ıa con respecto al nivel base. q es la carga apantallada en cada caso. ∆Eteo = E1s2 − En,l

6.2.

´ Atomos multielectr´ onicos

Existen métodos basados en el principio o método variacional que permiten estudiar ´ atomos multielectr´ onicos. Con ellos se reduce el problema al de un electr´ on orbitando alrededor de un n´ ucleo apantallado. La materia es eléctricamente neutra, es decir que los a´tomos son electr´ onicamente neutros, y por lo tanto tienen igual n´ umero de electrones y de protones. Entonces, para un ´ atomo de Z electrones hay Z términos idénticos (1 para cada electr´ on), del potencial coulombiano de interacci´ on de cada electr´ on con el n´ ucleo. Adem´ as, aparecen los términos de interacci´ on de cada electr´ on con los dem´ as. Por lo tanto el hamiltoniano del sistema es: b = H

Z Z Z X e2 1 X Ze2 1 X pb2i − + . 2m 4πε0 ri 4πε0 | ~rj − ~ri | i=1

i=1

(6.93)

j
En la u ´ltima sumatoria se escribe j < i y no j 6= i simplemente, para evitar términos repetidos. Por ejemplo para el a´tomo de Litio Z = 3 2 2 2 2 3e2 3e2 1 1 3e 1 e2 b = pb1 + pb2 + pb3 − 1 H + + + + + . 2m 2m 2m 4πε0 r1 r2 r3 4πε0 r12 r13 r23 (6.94) M´ as adelante ser´ a conveniente tener presente la configuraci´ on electr´ onica de algunos ´ atomos en el estado base: Hidr´ ogeno: Z = 1, el estado base n = 1 , l = 0. Se nota ( n = 1, 1s −→ l = 0, por lo tanto ms = ± 21 .

(6.95)

186


Helio: Z = 2 se nota

( n1 = 1, 1s1s = (1s)2 −→ n2 = 1,

l1 = 0, l1 = 0,

ms = 12 , ms = − 21 .

(6.96)

Estado base: dos electrones con n1 , l = 0. Por el principio de exclusi´ on de Pauli 1 1 uno de ellos debe tener ms = 2 y otro ms = − 2 . Litio: Z = 3; dos electrones con n1 = n2 = 1 y l1 = l2 = 0 se diferencian entre ellos por el n´ umero ms . Se nota 1s y ya que hay dos electrones la notaci´ on ser´ a (1s)2 . El tercer electr´ on debe tener n3 = 2 , l3 = 0 lo cual se nota 2s por lo tanto para Li se nota (1s)2 2s = He 2s  electr´ on 1 →  n1 = 1, l1 = 0, ms1 = 21 ,    (6.97) n2 = 1, l2 = 0, ms2 = − 21 , electr´ on 2 →     n3 = 2, l3 = 0, ms3 = ± 12 . electr´ on 3 →

Berilio: Z = 4. El cuarto electr´ on tendr´ a n 4 = 2 , l4 = 0 y tercero por ms  n1 = 1, l1 = 0, ms1       n2 = 1, l2 = 0, ms2 2 2 2 (1s) (2s) = (He)(2s) −→   l3 = 0, ms3 n3 = 2,     n4 = 2, l4 = 0, ms1

se diferenciar´ a del = 12 , = − 21 , = 12 ,

(6.98)

= − 21 .

Ahora se tendr´ an en cuenta algunas definiciones:

1. Dos electrones pertenecen a la misma capa si tienen igual n´ umero n. 2. Dos electrones pertenecen a la misma subcapa si tienen igual n´ umero n e igual n´ umero l. 3. En una subcapa cerrada (o llena) est´ a contenido el m´ aximo n´ umero de electrones que se pueden acomodar de acuerdo al principio de exclusi´ on de Pauli. 4. Para una misma subcapa cerrada, −l 6 ml 6 l, la suma de ml es cero ML =

l X

ml = 0.

(6.99)

ml =−l

5. Para una misma subcapa cerrada ms = ± 21 Ms =

X ms

ms = 0.

(6.100)


187

6. Ms = 0 y ML = 0 indican que hay simetr´ıa esférica, L = 0, s = 0. Esta simetr´ıa permite reducir el problema de un a´tomo polielectr´ onico a un electr´ on orbitando un n´ ucleo. (El problema es de fuerza central). Usando la aproximaci´ on de dipolo eléctrico para estos a´tomos también se deducen reglas de selecci´ on para las transiciones. Considerando la radiaci´ on electromagnética como una perturbaci´ on dependiente del tiempo, esta tiene la forma b ′ (t) = H b ′ (1, t) + H b ′ (2, t) + H b ′ (3, t) + · · · H

(6.101)

Cada uno de los términos da cuenta de la interacci´ on de la radiaci´ on (perturbaci´ on) con cada uno de los electrones. Sin considerar por ahora la interacci´ on entre electrones, el sistema est´ a descrito por el hamiltoniano b = H

Z Z X pb2i 1 X Ze2 X b − = Hi . 2m 4πε0 ri i=1

(6.102)

i=1

La ecuaci´ on de valores propios de este hamiltoniano es b ψ = E ψ , H

(6.103)

cuyas funciones de onda ser´ an

ψ(1, 2, . . . , Z) = φa1 (1)φa2 (2) . . . φaZ (Z),

(6.104)

E = Ea1 + Ea2 + · · · + EaZ .

(6.105)

y la energ´ıa

Cada hamiltoniano 2 2 b i = pbi − 1 Ze , H 2m 4πε0 ri

(6.106)

satisface la ecuaci´ on de valores propios de la forma

b i φa (i) = Ei φa (i) . H i i

(6.107)

De manera que primero se soluciona la ecuaci´ on anterior, y después se aplica teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo para calcular las amplitudes de transici´ on. La matriz (o los elementos matriciales) de perturbaci´ on se puede escribir como: ZZ Z

′ b ψ H (t) ψ = · · · φ∗a′ (1) . . . (H ′ (1, t) + H ′ (2, t) + · · · )φa1 (1) . . . d~r1 d~r2 . . . , 1

(6.108)

188


Las reglas de selecci´ on ser´ an v´ alidas a nivel de cada configuraci´ on electr´ onica sin considerar la interacci´ on entre los electrones. Para cada uno de ellos se tienen integrales de la forma ZZ Z (6.109) · · · φ∗a′ (1)φ∗a′ (2) . . . H ′ (1, t)φa1 (1)φa2 (2) . . . d~r1 d~r2 . . . , 1

2

las cuales a su vez contiene integrales de la forma Z φ∗a′ (1)H ′ (1, t)φa1 (1)d~r, 1

(6.110)

o en forma general Z

φ∗a′ (i)H ′ (i, t)φai (i)d~ri = δa′i ai . i

(6.111)

Con esto se pueden deducir algunas conclusiones:: 1. A nivel de configuraciones, solamente un electr´ on puede sufrir transici´ on, y esta debe satisfacer: ∆l = ±1. (6.112) Por ejemplo para el ´ atomo de Helio, el estado fundamental es (1s)2 = (1s)(1s), y el primer estado excitado es (1s)(2s). En este caso ∆l = 0, luego una transici´ on entre estos dos estados no es permitida. El segundo estado excitado es (1s)(2p). Al comparar con el estado fundamental ∆l = 1, por lo tanto la transici´ on entre estos dos estados es permitida. b − S) b los estados se representan 2. En el acoplamiento de Russell-Sander (L como: n1 , n2 , l1 , l2 , L, s1 , s2 , S, J, mj . (6.113)

Los elementos de la matriz de transici´ on, entonces, tienen la forma

′ ′ ′ ′ ′ b (t) n L S J , (6.114) n L S J H

b ′ (t) la perturbaci´ con H on dependiente del tiempo, debido a la interacci´ on de la onda electromagnética plana incidente con los electrones. En la aproxb ′ (t) no interviene el esp´ın. El elemento de imaci´ on de dipolo eléctrico en H la matriz de transici´ on se puede entonces escribir como: ′

′ ′ ′ ′

b (t) n L J S ′ S = n′ L′ J ′ H b (t) n L J δSS′ , (6.115) n L J H por lo tanto para que la probabilidad de transici´ on no sea nula, el electr´ on en el estado final debe tener el mismo esp´ın que en el estado inicial. O sea la transici´ on es posible si: ∆S = 0. (6.116)

189


L=0

L=1

L=2

-0 1D

- −24,5 eV

1P 1

- Eionización = −24,6 eV

1S 0

- E2(0) = −27,2 eV 1P 1 3P 2,1,0 1S 0 3S 1

- E1(per) = −34 eV - E1(0) = −68 eV - E0(pert) = −74,8 eV - E0(var) = −77,38 eV - E0(exp) = −78,975 eV

1S 0

- E0(0) = −108,8 eV

Figura 6.7: Transiciones permitidas para el átomo de Helio.

3. Se debe conservar el momento angular total J: ∆mJ = 0, ±1,

∆J = 0, ±1.

(6.117) (6.118)

4. Se debe cumplir la ley de la paridad: la paridad del estado inicial debe ser diferente de la paridad del estado final Z Z ∗ (6.119) r ψa∗′ ψa dr, ψa′ |{z} r ψa dr = |{z} | {z } impar

impar impar

de manera que para que la transici´ on sea posible ∆mL = 0, ±1, ∆L = ±1.

(6.120) (6.121)

2

190


Con estas reglas algunas transiciones permitidas para el a´tomo de Helio se ilustran en la figura 6.7.

6.3.

Aproximaci´ on de campo central

El Hamiltoniano que describe el a´tomo multielectr´ onico (expresi´ on (6.93)) satisface la ecuaci´ on de valores propios: b HΦ(1, 2, · · · , N ) = EΦ(1, 2, · · · , N ),

(6.122)

siendo Φ(1, 2, · · · , N ), funciones de onda antisimétricas de los N electrones. Sin considerar grados de libertad internos, la ecuaci´ on de Schr¨ odinger no se puede resolver exactamente. Por esta raz´ on, se usa la aproximaci´ on de campo central, la cual est´ a basada en el modelo de part´ıcula independiente, en el que cada electr´ on se mueve en un potencial efectivo que representa la atracción del n´ ucleo y el efecto promedio repulsivo de los dem´ as electrones N − 1. De esta manera, escribimos ahora el hamiltoniano (6.93) como: b = H

N N N Z X X X p2i 1 Ze2 X 1 e2 X Vc (ri ) − Vc (ri ). + + − 2m 4πǫ0 ri 4πǫ0 rij i=1

i=1

i=1

(6.123)

i=1

i
Una buena aproximaci´ on es tomar como potencial efectivo sobre cada electr´ on: Vc (ri ) = −

1 Ze2 + Sc (ri ), 4πǫ0 ri

(6.124)

donde Sc (ri ) es un potencial esféricamente simétrico. Con la aproximaci´ on rij ≈ ri y (rij )−1 ≈ (ri )−1 , el electr´ on i-ésimo se mueve en un potencial aproximado por N −1 1 Ze2 X 1 e2 −Z + N − 1 e2 Vc (ri ) = − . + = 4πǫ0 ri 4πǫ0 ri 4πǫ0 ri

(6.125)

i=1

A medida que ri es m´ as peque˜ no, el apantallamiento de los N − 1 electrones sobre la carga +Ze es menos pronunciado. De hecho, si electr´ on i-ésimo se encuentra cerca del n´ ucleo (rij ≈ rj ), el potencial sentido por el electr´ on est´ a dado por + *N −1 X 1 e2 1 Ze2 1 Ze2 =− + + Ci . (6.126) Vc (ri ) = − 4πǫ0 ri 4πǫ0 ri 4πǫ0 ri i=1

Por lo tanto, el potencial efectivo central debe ser tal que 1 Ze2 , ri → 0, 4πǫ0 ri e2 −Z + N − 1 Vc (ri ) −→ , 4πǫ0 ri

Vc (ri ) −→ −

(6.127) ri → ∞.

(6.128)

191

´ DE CAMPO CENTRAL 6.3. APROXIMACION

Para un átomo neutro, es decir N = Z, se cumple que Vc (ri ) −→ − Sumando y restado el término

N P

1 e2 , 4πǫ0 ri

ri → ∞.

(6.129)

Sc (ri ) en (6.123), el operador hamiltoniano del

i=1

b =H b c0 + H b I con: sistema se puede escribir como H b c0 = H

N N N X X p2i 1 Ze2 X Sc (ri ), − + 2m 4πǫ0 ri

(6.130)

N N X 1 e2 X Sc (ri ). − 4πǫ0 rij

(6.131)

i=1

bI = H

i=1

i=1

i=1

i
El potencial Sc (ri ) es un potencial central esfericamente simétrico. El término N P Sc (ri ) se escoge con los siguientes criterios:

i=1

a) Se escoge de tal manera que se pueda resolver el problema de valores propios b 0. para H

b I debe resultar lo m´ b) El término de perturbaci´ on H as peque˜ no posible para poder aplicar la teor´ıa de perturbaciones.

b I es peque˜ Se observa que en este caso H no pues los dos términos que lo forman representan la misma cosa (el primero es la interacci´ on exacta entre los electrones y el segundo es una aproximaci´ on a esta interacci´ on). Luego se puede aplicar el método de perturbaciones. Cuando se tiene un electr´ on externo en un a´tomo neutro (con N = Z), fuera −

be

+Ze+b ; −(Z − 1)e− Figura 6.8: Electrón externo fuera de un conjunto de subcapas cerradas.

de un conjunto de subcapas cerradas, tal como se muestra en la figura 6.8, Vc

192


est´ a dado por: 1 Ze2 1 (Z − 1)e2 1 e2 Vc (r) = − + =− , 4πǫ0 r 4πǫ r 4πǫ0 r {z } } | | 0 {z Int. con el n´ ucleo

(6.132)

Nube electr´ onica

por lo tanto, el potencial se reduce al de un a´tomo de Hidr´ ogeno Vc′ (r) = −

1 e2 , 4πǫ0 r

(6.133)

y el hamiltoniano del sistema sin perturbar es 2 2 b c0 = pb − 1 e . H 2m 4πǫ0 r

(6.134)

El anterior ejemplo sirve para entender la tabla peri´ odica (Tabla 6.3).

6.4.

Otros m´ etodos de aproximaci´ on

6.4.1.

Aproximaci´ on de Hartree

Recordando que para un ´ atomo de Z electrones el hamiltoniano es b = H

Z 2 Z X X pbi Ze2 e2 −K +K 2m ri | ~ri − ~rj | i=1

(6.135)

i>j

1 , la ecuaci´ on de valores propios est´ a dada por: 4πε0   Z Z 2 2 2 X X e Ze p b i  ψ( ~r1 , ~r2 , . . . , ~rZ ) = Eψ( ~r1 , ~r2 , . . . , ~rZ ),  +K −K 2m ri | ~ri − ~rj | con K =

i=1

i>j

(6.136)

la cual es una ecuaci´ on diferencial de 3z dimensiones. Esta ecuaci´ on se puede resolver en el computador para a´tomos livianos. Sin antisimetrizar ψ, se aplica el método variacional seg´ un el cual el problema es el de un n´ ucleo con carga Z ∗ e y un electr´ on de carga −e. La interacci´ on es entonces una fuerza central. El apantallamiento se introduce a través de una funci´ on de onda de prueba: ψ( ~r1 , ~r2 , . . . , ~rZ ) = φ1 ( ~r1 )φ2 ( ~r2 ) . . . φZ ( ~rZ ),

(6.137)

con

ψ ψ = 1.

(6.138)

193

´ ´ 6.4. OTROS METODOS DE APROXIMACION

Z

Elemento

Configuraci´ on

1

H

(1s)

2

He

(1s)2

3

Li

(He)(2s)

4

Be

(He)(2s)2

5

B

(He)(2s)2 (2p)

6

C

(He)(2s)2 (2p)2

7

N

(He)(2s)2 (2p)3

8

O

(He)(2s)2 (2p)4

9

F

(He)(2s)2 (2p)5

Ne

(He)(2s)2 (2p)6

10

Potencial de

espectral

ionizaci´ on(eV)

2S 1/2 1S 0

13.6

0.53

24.6

0.29

2S 1/2 1S 0

5.4

1.59

9.3

1.04

2P 1/2 3P 0

8.3

0.78

11.3

0.62

4S 3/2 3P 2

14.5

0.52

13.6

0.45

2P 3/2 1S 0

17.4

0.40

21.6

0.35

5.1

1.71

7.6

1.28

.. .

6.0 .. .

1.31 .. .

1S 0

15.8

0.66

2S 1/2

4.3 .. .

2.16 .. .

14.0 .. .

0.80 .. .

11

Na

(N e)(3s)

12

Mg

(N e)(3s)2

2S 1/2 1S 0

13 .. .

Al .. .

(N e)(3s)2 (3p)

2P 1/2

18

Ar

(N e)(3s)2 (3p)6

.. .

19 .. .

K .. .

(Ar)(4s) .. .

36 .. .

Kr .. .

(Ar)(4s)2 (3d)10 (4p)6 .. .

Radio (˚ A)

Término

.. . 1S 0

.. .

Tabla 6.3: Tabla periódica. El dato de la u ´ltima columna se obtiene con el pico de la densidad de carga del orbital exterior.

Cada funci´ on de onda de part´ıcula simple estar´ a entonces normalizada

φi φj = δij .

(6.139)

Se calcula luego el valor esperado de la energ´ıa en ese estado, obteniéndose:

b ψ , h H i = ψ H

  Z Z 2 2 2 X X e Ze p b i  φ1 , . . . , φZ +K −K = φ1 , . . . , φZ  2m ri | ~ri − ~rj |

i=1

i>j

194


=

Z Z X i=1

2

+e

~ 2 Ze2 φi (~ri ) ∇ − d ri φi (~ri ) − 2m i ri 3

∗

Z ZZ XX

d 3 ri d 3 rj

i>j j=1

|φi (~ri )|2 |φj (~rj )|2 | ~ri − ~rj |

(6.140)

Si los φi ( ~ri ) son funciones de part´ıcula simple que minimizan h H i, entonces una alteraci´ on de estas funciones por una cantidad infinitesimal φi ( ~ri ) → φi ( ~ri ) + λFi ( ~ri ),

(6.141)

deber´ıa cambiar h H i en un término de orden λ2 , es decir: h H i → h H i′ = h H i + O(λ2 ). La alteraci´ on debe ser tal que se cumpla (6.139), de donde: Z d3 ri |φi ( ~ri ) + λFi ( ~ri )|2 = 1. esto es, a primer orden en λ Z λ d3 ri [φ∗i ( ~ri ) Fi ( ~ri ) + φi ( ~ri ) Fi∗ ( ~ri )] = 0.

(6.142)

(6.143)

(6.144)

Reemplazando (6.141) en (6.140) y calculando los términos lineales en λ, término a término, se tiene: Primer término: Z Z X ~2 2 ~2 2 ∗ 3 ∗ d ri φi ( ~ri ) − ∇ λFi ( ~ri ) + λFi ( ~ri ) − ∇ φi ( ~ri ) 2m i 2m i i=1

=λ

Z Z X i=1

3

d ri

) ~2 2 ~2 2 ∗ ∗ . (6.145) ∇ φ + Fi ( ~ri ) − ∇ φi ( ~ri ) Fi ( ~ri ) − 2m i i 2m i

(

Para obtener esto se integra primero por partes dos veces y se usa el hecho que Fi ( ~ri ) debe desaparecer en el infinito para tener una variaci´ on aceptable de las funciones integrables cuadradas. Para el segundo término: XZ Ze2 Ze2 ∗ 3 ∗ −λ d ri Fi ( ~ri ) φi ( ~ri ) + φi ( ~ri ) Fi ( ~ri ) , (6.146) ri ri i

y para el tercer término: Z XXZ λe2 d 3 ri d 3 rj i>j

j

h 1 Fi∗ ( ~ri )φi ( ~ri ) + Fi ( ~ri )φ∗i ( ~ri ) |φj ( ~rj )|2 | ~ri − ~rj |

´ ´ 6.4. OTROS METODOS DE APROXIMACION

i + Fj∗ ( ~rj )φj ( ~rj ) + Fj ( ~rj )φ∗j ( ~rj ) |φi ( ~ri )|2 .

195 (6.147)

No se puede igualar a cero al conjunto de la suma ya que, Fi ( ~ri ) esta restringida a (6.144). Pero introduciendo los multiplicadores de Lagrange, es decir, multiplicamos cada una de las relaciones de ligadura (6.144) por una constante (el multiplicador) y adicionamos la suma a los tres términos (6.145), (6.146) y (6.147). El total puede ser igual a cero. ya que las ligaduras de Fi ( ~ri ) dadas, se tienen en cuenta. Notando los multiplicadores con −ǫi se tiene: ) ( 2 2 XZ Ze ~ ∇2 φi ( ~ri ) − Fi∗ ( ~ri ) φi ( ~ri ) d3 ri Fi∗ ( ~ri ) − 2m i ri i

+e2

X X ZZ i6=j

−ǫi

Z

d3 ri d3 rj Fi∗ ( ~ri )

j

|φj ( ~rj )|2 φi ( ~ri ) | ~ri − ~rj |

d3 ri Fi∗ ( ~ri )φi ( ~ri ) + (términos conjugados complejos) = 0.

(6.148)

Los coeficientes de Fi ( ~ri ) y Fi∗ ( ~ri ) pueden desaparecer separadamente en cada punto ~ri , ya que se han realizado variaciones locales en las funciones a través de las Fi ( ~ri ) y Fi∗ ( ~ri ). As´ı de (6.148)   Z 2 2 2 X |φj ( ~rj )|  − ~ ∇2i − Ze + e2 φi ( ~ri ) = ǫi φi ( ~ri ), (6.149) d 3 rj 2m ri | ~ri − ~rj | j6=i

y una expresi´ on similar para los términos complejo conjugados 

−

~2 2m

∇2i −

Ze2 ri

+ e2

XZ j6=i

d 3 rj

)|2



|φj ( ~rj  ∗ φi ( ~ri ) = ǫi φi ( ~ri ). | ~ri − ~rj |

(6.150)

La relaci´ on (6.149) corresponde a una ecuaci´ on de valores propios de energ´ıa para un electr´ on “i′′ localizado en ri , moviéndose en un potencial: XZ |φj ( ~rj )|2 Ze2 2 Vi ( ~ri ) = − d 3 rj +e , (6.151) ri | ~ri − ~rj | j6=i

donde el primer término es el potencial atractivo de Coulomb y el segundo es un potencial repulsivo debido a la densidad de carga de los otros electrones. Como la densidad de carga de los otros electrones: ρj ( ~rj ) = −e |φj ( ~rj )|2 ,

(6.152)

196


no se conoce, se debe buscar un conjunto auto-consistente de φi ( ~ri ), en el sentido en que su inserci´ on en el potencial que aparece en (6.149) conduce a funciones propias que se reproducen asi mismas. La ecuaci´ on (6.149) es una ecuaci´ on integral complicada, pero es al menos una ecuaci´ on en 3 dimensiones, que hace el trabajo n´ umerico m´ as sencillo. Una simplificaci´ on may´ uscula del problema ocurre cuando Vi ( ~ri ) se reemplaza por su promedio angular: Z dΩ Vi (ri ) = Vi ( ~ri ) (6.153) 4π y entonces el potencial auto-consistente se convierte en central: X Ze2 Vi ( ~ri ) = − + e2 ri j6=i

Z

d 3 rj

|φj ( ~rj )|2 = Vc (ri ), | ~ri − ~rj |

(6.154)

y as´ı las soluciones auto-consistentes obtenidas de (6.149) se pueden descomponer en funciones radial y angular, esto es, estas ser´ an funciones que pueden ser rotuladas por ni , li , mi , σi , donde σi se refiere al estado de esp´ın (siz = ± 21 ). ~2 2 ∇ + Vc ( ~ri ) φi ( ~ri ) = ǫi φi ( ~ri ), (6.155) − 2m i | {z } problema con simetr´ıa central

con

φi ( ~ri ) = φi (r, θ, ϕ) = Ri (r)Yi (θ, ϕ),

(6.156)

donde Ri es la funci´ on radial y Yi los arm´ onicos esféricos.

6.4.2.

M´ etodo de aproximaci´ on de Hartree-Fock

Cuando se considera el grado de libertad interno en las funciones de onda, el problema de valores propios para la energ´ıa de un a´tomo con Z electrones tiene la forma:   Z Z 2 2 2 X X Ze e pbi  ψ(1, 2, . . . , Z) = E ψ(1, 2, . . . , Z), (6.157)  +k −k 2m ri | ~ri − ~rj | i=1

i>j

con

ψ(1, 2, . . . , Z) = ψ( ~r1 , σ1 ; ~r2 , σ2 ; . . . ; ~rZ , σZ ). la funci´ on de prueba tendr´ a la forma ψ(1, 2, . . . , Z) = φ1 (1) φ2 (2) · · · . φZ (Z)

(6.158)

197

6.5. EJERCICIOS

La ecuaci´ on (6.158) tiene en cuenta el principio de exclusi´ on de Pauli si se antisimetriza (esto quiere decir que todos los electrones deben estar en diferente estado cu´ antico): ! X S 1 ψa(A) (1, 2, . . . , Z) ≡ √ ξ P ψn1 ,n2 ,...,nN ( ~r1 , ~r2 , . . . , ~rN ) χA (σ1 ,σ2 ,...,σZ ) . 1 ,a2 ,...,aZ Z! P (6.159) Si ξ = 1 se tiene χA y si ξ = −1 se tiene χS . Por ejemplo para un ´ atomo de dos electrones se tiene: S 1 ψaA1 ,a2 (1, 2) ≡ √ ψn1 ,n2 ( ~r1 , ~r2 ) + ξψn1 ,n2 ( ~r2 , ~r1 ) χA (σ1 , σ2 ) 2! S 1 ≡ √ φn1 ( ~r1 ) φn2 ( ~r2 ) + ξφn1 ( ~r2 ) φn2 ( ~r1 ) χA (σ1 , σ2 ). 2!

Realizando un procedimiento similar al seguido en la aproximaci´ on de Hartree, se encuentra una ecuaci´ on de valores propios como (6.149) pero modificada por un término adicional:   2 2 2 XZ |φ ( ~ r )| ~ Ze j j −  φi ( ~ri ) = (ǫi + ∆ǫi ) φi ( ~ri ), (6.160) ∇2 − + e2 d3~rj 2m i ri | ~ri − ~rj | j6=i

En donde ∆ǫi ≈ 0. Por lo tanto se observa que el resultado final no difiere mucho del obtenido con el método de Hartree.

6.5.

Ejercicios

1. Teniendo en cuenta los efectos de intercambio, encuentre por medio del método variacional la energ´ıa del estado base del a´tomo de Litio. Use como funciones de onda de los electrones individuales las funciones de onda hidrogenoides, de la siguiente manera: para un electr´ on en el estado 1s la funci´ on es 3/2 −Z1 r

ψ100 = 2Z1

e

.

y para un electr´ on en el estado 2s 3/2 − Z2 r 2 (1

ψ200 = c Z2

e

− γ Z2 r),

donde Z1 y Z2 son par´ ametros variacionales, c es determinada de las condiciones de normalizaci´ on de la funci´ on de onda ψ200 y γ de la condici´ on de ortogonalidad de las funciones ψ100 y ψ200 . Compare el resultado obtenido con el valor experimental.

198


2. Usando los resultados obtenidos en la secci´ on anterior para los iones de H − + y Li (cada uno de dos electrones, tipo Helio, pero cargas nucleares Z = 1 y Z = 3 respectivamente). Encuentre la carga nuclear efectiva (parcialmente apantallada) y determine la mejor cota superior para la energ´ıa del estado base en cada caso. 3. Considere el estado m´ as bajo del orto-helio. ¿Cu´ al es su momento magnético? De esta forma, calcule la interacci´ on con un campo magnético externo. 4. Liste los estados espectrosc´ opicos (en la forma la combinaci´ on:

2s+1

Lj )que pueden surgir de

a) s = 1/2 , l = 3. b) s = 2 , l = 1. c) s1 = 1/2 , s2 = 1 , l = 4. d ) s1 = 1 , s2 = 1 , l = 3. e) s = 1/2 , s2 = 1/2 , l = 2. ¿Qué estados est´ an excluidos para los numerales c), d) y e) si las part´ıculas son idénticas? 5. Considere los siguientes estados: 1

D, 2 P, 4 F, 3 G, 2 D, 3 H

¿Cu´ ales son los posibles valores de J asociados en cada caso? 6. Considere los estados 1 D, 3 P, 3 S, 5 G, 5 P, 5 H. Dado que en cada caso los estados consisten de 2 part´ıculas idénticas en sus estados de esp´ın posibles m´ as grande. ¿Cu´ ales de los estados est´ an prohibidos por el principio de exclusi´ on de Pauli?

Cap´ıtulo 7

Mol´ eculas Diat´ omicas De igual forma a como los ´ atomos son agregados de electrones y un n´ ucleo simple, las moléculas son agregados de electrones y varios n´ ucleos. En su estado de m´ as baja energ´ıa, las moléculas son estables, lo cual significa que se requiere cierta cantidad de energ´ıa para disociarlas en sus atomos componentes. Esto sucede con frecuencia cuando suficiente energ´ıa es transferida al sistema. Las moléculas m´ as simples son aquellas que involucran dos n´ ucleos, es decir las moléculas diat´ omicas. Las moléculas son sistemas m´ as complejos que los a´tomos puesto que después que la energ´ıa del centro de masa se fija en el espacio, los n´ ucleos son a´ un libres de moverse; lo cual conduce a un incremento del n´ umero de grados de libertad del problema. As´ı, para la molécula m´ as simple de todas (figura (7.1)), hay 6 grados de libertad, 3 para el electr´ on y 3 para el movimiento relativo a los dos protones. De la e− b r2

r1

b

e+

b

R

e+

Figura 7.1: Molécula de H2

forma como sucede en ´ atomos multielectr´ onicos, una soluci´ on de la ecuaci´ on de Schr¨ odinger en muchas dimensiones es posible solo numéricamente o a través de otros métodos de aproximaci´ on, lo cual nos da informaci´ on sobre la din´ amica del sistema molecular. Se puede abordar la din´ amica de las moléculas usando el hecho de que los n´ ucleos 3 ) y as´ N son mucho m´ as masivos que los electrones ( M ≫ 10 ı su movimiento es Me 199

200

´ ´ CAPÍTULO 7. MOLECULAS DIATOMICAS

mucho m´ as bajo. De esta forma el movimiento de los electrones se toma como si los n´ ucleos estuvieran fijos en el espacio. El movimiento de los n´ ucleos, de otro lado, est´ a en un campo promedio debido a los electrones. Para un conjunto dado de coordenadas nucleares, habr´ a un hamiltoniano para los electrones; el valor propio m´ as bajo de este depender´ a de esas coordenadas y su valor m´ınimo determinar´ a las posiciones de los n´ ucleos. Dados K electrones y N n´ ucleos, entonces se tendr´ an transiciones: Rotacionales de los n´ ucleos. Vibracionales de los n´ ucleos. Electr´ onicas. con h νrot ≃ 10−2 h νvib , h νvib ≃ 10−2 h νelec , donde νelec son las frecuencias electr´ onicas en la zona visible y ultravioleta, νvib son las frecuencias vibracionales en el infrarrojo cercano y νrot son las frecuencias rotacionales en el infrarrojo lejano.

7.1.

M´ etodo de Born-Oppenheimer

Considere una molécula de K electrones y N n´ ucleos. El hamiltoniano del sistema est´ a dao por: N K X X ~2 ~2 2 ~ j , ~ri ), ∇i + ∇2j + V ( R − H= − 2m 2Mj

(7.1)

j=1

i=1

~ j , ~ri ) representa el potencial de interacci´ donde V ( R on coulombiana entre los electrones y los n´ ucleos, entre los electrones entre si y entre los n´ ucleos entre si. En forma genérica este potencial es: ~ j , ~ri ) = V (R

K X

V ( ~ri ) +

i=1

K X i
V ( ~ri − ~rk ) +

N X j
~j − R ~ l ) = V ( ~ri ) + V (R ~ j ). V (R (7.2)

La ecuaci´ on de valores propios para el operador hamiltoniano es   N K 2 2 X X ~ ~ ~ j , ~ri ) = Eφ( R ~ j , ~ri ), ~ j , ~ri ) φ( R  − ∇2i + ∇2j + V ( R − 2m 2Mj i=1

j=1

(7.3)

201

´ 7.1. METODO DE BORN-OPPENHEIMER

El método de Born-Oppenheimer se propone obtener una soluci´ on de (7.3) considerando, a primera aproximaci´ on, los n´ ucleos fijos en el espacio. Se supone entonces, que la soluci´ on de (7.3) tiene la forma: ~ j , ~ri ) = φ( R

X

~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ). Wn ( R

(7.4)

n

Si nos olvid´ aramos de la energ´ıa potencial de interacci´ on entre los n´ ucleos, la funci´ on de onda de cada uno de los electrones satisfacer´ıa: 2 pb + V ( ~r ) ψn ( ~r ) = En ψn ( ~r ). (7.5) 2m Si la energ´ıa potencial se incrementara en un valor constante C, o sea V ( ~r ) → V ( ~r ) + C, se tendr´ıa

pb2 + V ( ~r ) + C ψn ( ~r ) = (En + C) ψn ( ~r ), 2m

(7.6)

es decir, el efecto de haber corrido el origen de la energ´ıa potencial implica un incremento constante de los valores propios. Luego, si se plantea la ecuaci´ on de valores propios para los electrones, es posible entender a la energ´ıa potencial de interacci´ on entre los n´ ucleos, como un valor de energ´ıa en el que se incrementa los valores propios de energ´ıa. Esto es: # "K X ~2 ~ j , ~ri ) ψn ( R ~ j , ~ri ) = Un ( R ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ). ∇2i + V ( R (7.7) − 2m i=1

Esta expresi´ on representa la ecuaci´ on de movimiento electr´ onica, donde las variables son las posiciones de los electrones y los par´ ametros las posiciones de los n´ ucleos. En esta ecuaci´ on de valores propios para las energ´ıas de los electrones, las energ´ıas se han incrementado en un valor constante igual a la energ´ıa potencial de interacci´ on entre los n´ ucleos. Reemplazando (7.4) en (7.3) se obtiene: Xn n

K

N

i=1

j=1

X ~2 X ~2 ~ j , ~ri ) − ~j ) ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri )] − ∇2i ψn ( R Wn ( R ∇2 [Wn ( R 2m 2Mj j o X ~ j , ~ri )Wn ( R ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ) = E ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ). +V ( R Wn ( R n

Multiplicando (7.7) por Wn y sumando sobre n , se tiene: # " K X X ~2 ~ j , ~ri ) + Wn ( R ~ j )V ( R ~ j , ~ri )ψn ( R ~ j , ~ri ) ~j ) ∇2i ψn ( R − Wn ( R 2m n i=1

(7.8)

202


=

X

~ j )Un ( R ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ). Wn ( R

(7.9)

n

Reemplazando (7.9) en (7.8) N o X Xn ~2 2 ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri )] ~ ~ ~ ∇j [Wn ( R Un ( Rj )Wn ( Rj )ψn ( Rj , ~ri ) − 2Mj n j=1

=E

X

~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ). Wn ( R

(7.10)

n

Teniendo en cuenta que ~ j , ~ri ) ~ j ) + Wn ( R ~ j )∇2j ψn ( R ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri )] = ψn ( R ~ j , ~ri )∇2j Wn ( R ∇2j [Wn ( R ~ j ψn ( R ~ j , ~ri ) · ∇ ~ j Wn ( R ~ j ), +2∇

(7.11)

los términos subrayados son peque˜ nos, pues la variaci´ on de los n´ ucleos es peque˜ na (se mueven lentamente en relaci´ on a los electrones) y son despreciables respecto al primer término, con esto se tiene: ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri )] ≃ ψn ( R ~ j , ~ri )∇2j Wn ( R ~ j ). ∇2j [Wn ( R

(7.12)

Reemplazando ahora (7.12) en (7.10) se obtiene: ) ( N X X ~2 2 ~ j , ~ri )∇j Wn ( R ~ j ) + Un ( R ~ j )Wn ( R ~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ) ψn ( R − 2Mj n j=1

=E

X

~ j )ψn ( R ~ j , ~ri ), Wn ( R

(7.13)

n

de donde se obtiene: ( ) N X X ~2 2 ~ j ) + Un ( R ~ j )Wn ( R ~ j ) − EWn ( R ~ j ) ψn ( R ~ j , ~ri ) = 0, − ∇j W n ( R 2M j n j=1

(7.14)

y por lo tanto N X ~2 ~ j ) + Un ( R ~ j )Wn ( R ~ j ) − EWn ( R ~ j ) = 0. ∇2j Wn ( R − 2Mj

(7.15)

j=1

De esta forma se obtiene la ecuaci´ on de movimiento nuclear: N X ~2 ~ j ) + Un ( R ~ j )Wn ( R ~ j ) = EWn ( R ~ j ). − ∇2 W n ( R 2Mj j=1

(7.16)

203

´ ´ 7.2. MOLECULAS DIATOMICAS

7.2.

Mol´ eculas diat´ omicas

La molécula m´ as sencilla que se puede considerar, es la molecula diat´ omica, la cual est´ a constituida por dos n´ ucleos (N = 2). Para este sistema se tienen dos casos (figura 7.2): La molécula H2+ (N = 2, K = 1); y la molécula de H2 (N = 2, K = 2). Para estudiar el espectro rotacional y vibracional de las moléculas diat´ omicas e−b e+

~r1

e−b e+

e+

~1 R

e−b

~r1

~r2 e+

~1 R ~2 R

~2 R

R

R

Molécula de H2+

Molécula de H2

Figura 7.2: Molécula diatómica.

hay que considerar el potencial de interacci´ on entre los n´ ucleos, el cual se describe por medio del potencial de Morse (potencial fenomenol´ ogico.) " # Un ( R ) = Uno

e−

2(R−Rno ) an

− 2e

−

R−Rno an

,

(7.17)

donde Uno es el valor m´ınimo que toma este potencial, Rno es la posici´ on de equilibrio y an es un par´ ametro fenomenol´ ogico. El potencial de morse (7.17) satisface:  0, R → ∞,      R = Rno , (7.18) Un ( R ) = −Uno , 2R   Rno no   Uno , e− an − 2 e an 6= 0 R = 0. ~ j ) tiene el aspecto de la figura 7.3. Por lo tanto la gr´ afica de Un ( R Para ver que −Uno es el valor m´ınimo del potencial, se deriva con respecto a R y luego se iguala a cero: " # R−Rno no ) 2 − 2(R−R d Un 2 − an = 0 = Uno − e e an , + (7.19) dR an an

204


Un ( R )

R

Rno

−Uno

Figura 7.3: Potencial de Morse

entonces: −

−e

2(R−Rno ) an

+e

−

R−Rno an

=0→e

−

R−Rno an

= 1,

(7.20)

condici´ on que se cumple para R = Rno . Por lo tanto el potencial tiene un valor cr´ıtico en Rno , y Un (Rno ) = −Uno .

(7.21)

Para ver que este valor corresponde a un m´ınimo, se deriva nuevamente: " d2 Un 4 = Uno 2 dR R=Rno an = Uno

−

e

2(R−Rno ) an

2 − an

−

e

(R−Rno ) an

2 2 4 = Uno − > 0. an an an

#

R=Rno

(7.22)

En resumen, se tiene un valor m´ınimo del potencial (Un )m´ın = −Uno , y una posici´ on de equilibrio en R = Rno . Uno corresponde a la energ´ıa de disociai´ on de la molécula.


7.2.1.

205

Espectro rotacional y vibracional

El problema de los dos n´ ucleos se puede reducir a un problema de fuerza central a la cual est´ a sometida una part´ıcula de masa reducida µ tal que: 1 1 1 = + . µ M1 M2

(7.23)

Si M1 = M2 , entonces µ=

M1 M2 M = . M1 + M 2 2

(7.24)

En el apéndice G.1 se describe la manera de hacer esto, de modo que para la part´ıcula de masa reducida, como en la molécula de H2+ o H2 sometida al potencial ~ = Un ( R ), la ecuaci´ de Morse V (R) on (G.32) se convierte en la ecuaci´ on nuclear −

~2 2 ~ ) + Un ( R ) Wn ( R ~ ) = E Wn ( R ~ ). ∇ Wn ( R 2µ R

A partir de (7.16) para dos n´ ucleos, se tiene: ~2 2 ~2 2 ~ ~ ~ 1, R ~ 2 ) = EWn (R ~ 1, R ~ 2 ), ∇ − ∇ + Un (R1 , R2 ) Wn (R − 2M1 1 2M2 2 y utilizando la aproximaci´ on de masa reducida, se obtiene: ~2 ~2 2 2 ~ Wn (R ~ cm , R) ~ = EWn (R ~ cm , R), ~ − ∇ − ∇ + Un (R) 2MT cm 2µ R

(7.25)

(7.26)

(7.27)

con ~ ~

~ ). ~ cm , R) ~ = eK·Rcm Wn ( R Wn (R De esta forma, (7.27) es: 2 2 ~2 2 ~ K ~ R ~ cm ~ ~ ~ ), ~ ) = EeK· Wn ( R − ∇R + Un eK·Rcm Wn ( R 2MT 2µ

2K 2 ~2 2 ~ ~)= E− ~ ). ∇ + Un Wn ( R − Wn ( R 2µ R 2MT

(7.28)

(7.29)

(7.30)

En la figura 7.4 se ilustra la transformaci´ on del problema de los dos n´ ucleos al de uno de masa µ. La ecuaci´ on (7.25) es equivalente a la ecuaci´ on (7.16) para el caso de un n´ ucleo de masa µ, luego (7.25) representa un problema de fuerza central debido a que el potencial de Morse s´ olo depende de la posici´ on. Por consiguiente, se tiene simetr´ıa esférica y la soluci´ on se podr´ a escribir como: ~ ) = Fn (R) ~ Ykm (θ, φ), Wn ( R k

(7.31)

206

´ ´ CAPÍTULO 7. MOLECULAS DIATOMICAS bµ

M1

M2 ~ CM R

~1 R

bCM

~2 R

Figura 7.4: El problema de dos n´ ucleos se ha convertido en el problema de una part´ıcula de masa reducida µ sometida a un potencial central.

con ~ = Xn (R) . Fn (R) R

(7.32)

Cl´ asicamente, para la part´ıcula de masa µ en presencia de un potencial central, se tiene que la energ´ıa es: E=

1 µ (r˙ 2 + r2 θ˙2 ) + V (r), 2

(7.33)

con 1 µ r˙ 2 = energ´ıa cinética del movimiento lineal, 2 1 µ r2 θ˙2 = energ´ıa cinética de rotaci´ on, 2 V (R) = energ´ıa potencial. El momento angular orbital es l = µ r2 θ˙2 y por lo tanto la energ´ıa se puede expresar como: E=

1 1 l2 µ r˙ 2 + + V (r) = constante.. 2 2 µ r2

(7.34)

Para el caso cu´ antico, se tiene: − con

b2 K pb2 ~2 2 ∇R = R + , 2µ 2 µ 2 µ R2

(7.35)

b ≡ momento angular orbital. K

Por lo tanto el hamiltoniano del sistema es:

2 b2 b = pbR + K + Un ( R ), H 2 µ 2 µ R2

(7.36)


207

donde se ha tomado V (r) = Un ( R ) (el potencial de morse). Reemplazando (7.31), (7.36) en (7.25) se obtiene: " # b2 pb2R Xn (R) Xn (R) K + + Un ( R ) Ykmk (θ, φ) = E Ykmk (θ, φ). (7.37) 2 µ 2 µ R2 R R ˆ 2: Utilizando la ecuaci´ on de valores propios de K

b 2 Ykm (θ, φ) = ~2 k(k + 1) Ykm (θ, φ), K k k

(7.38)

se tiene que la correspondiente ecuaci´ on unidimensional equivalente es: −

~2 k(k + 1) ~2 d 2 X n + Un ( R ) Xn + X n = En X n . 2 2 µ dR 2 µ R2

(7.39)

La energ´ıa potencial equivalente se define entonces como: Uequiv = Un ( R ) + n

~2 k(k + 1) 2 µ R2

(7.40)

donde Un ( R ) es la energ´ıa de interacci´ on entre los n´ ucleos, ~2 k(k + 1) 2 µ R2

es la energ´ıa potencial rotacional.

(7.41) (7.42)

De esta forma, la ecuaci´ on (7.39) se puede escribir como: ~2 d 2 equiv Xn (R) = En Xn . + Un − 2 µ dR2

(7.43)

Para estudiar el espectro vibracional, se considera el caso particular k = 0 con lo cual la ecuaci´ on nuclear (7.43) es: −

~2 d 2 X n + Un ( R ) Xn = En Xn . 2 µ dR2

(7.44)

Esta expresi´ on s´ olo depende de la distancia entre los n´ ucleos (figura 7.5). Si se consideran peque˜ nas oscilaciones alrededor de la posici´ on de equilibrio Rno , se puede aproximar el potencial Un ( R ) alrededor de este punto, haciendo una expansi´ on en serie de Taylor: Un ( R ) = −Uno + A(R − Rno ) + B(R − Rno )2 + C(R − Rno )3 + · · ·

(7.45)

donde Un (Ro ) = −Uno .

(7.46)

208


Un ( R )

R R

Ro

−Uo

Figura 7.5: Potencial de Morse alrededor de la posici´ on de equilibrio.

Adem´ as, en la posici´ on de equilibrio estable, se cumple:

y por lo tanto d Un ( R ) dR

R=Ro

d Un ( R ) dR

= 0,

(7.47)

R=Ro

= A + 2B(R − Ro ) + 3C(R − Ro )2 R=Ro = A = 0.

(7.48)

Llevando el origen de coordenadas a Ro por medio del cambio de variable x = R − Ro , se obtiene: Un (x) + Uno = Bx2 + Cx3 + Dx4 + · · ·

(7.49)

Con este potencial, que tiene la forma de un potencial anarm´ onico, la ecuaci´ on nuclear (7.44) (con k = 0) se reduce a: ~2 d 2 2 3 4 + Bx + Cx + Dx + · · · Xν (x) = E Xν(x) − 2 µ dx2

(7.50)

209


donde se ha notado con Xν (x) a la parte de la funci´ on Xn correspondiente al movimiento vibracional. b =H b0 + H b ′ con El hamiltoniano en este caso es H 2 2 b 0 = − ~ d + Bx2 , H 2 µ dx2

(7.51)

b ′ = Cx3 + Dx4 . H

(7.52)

Entonces, suponiendo B = 21 µ ω 2 , y tratando el problema con teor´ıa de perturb ′ la perturbaci´ baciones, siendo H on, se tiene el caso ya estudiado en la secci´ on 1.2.5, en la cual se encontr´ o que la energ´ıa (en este caso, la vibracional) del estado fundamental, corregida a segundo orden es: Eν = ~ ω ν +

1 2

+ 43 D

~ µω

2

−

11 8

C2

~ µω

2

1 µ ω2

−

21 8

D2

~ µω

3

1 µ ω2

+ ···

(7.53)

con ν = 0, 1, 2, . . . ≡ n´ umero cu´ antico vibracional. Si las oscilaciones son muy peque˜ nas, se puede aproximar de manera aceptable el valor de energ´ıa a: Eν ≈ ~ ω ν +

1 2

.

(7.54)

Por otro lado, para obtener el espectro rotacional, se tiene en cuenta que el término angular en la expresi´ on (7.37), es decir b2 K F (R) Ykmk (θ, φ), 2 µ R2

(7.55)

para R = Ro es: F (Ro ) 2 F (Ro ) b 2 ~ k(k + 1) Ykmk (θ,φ) K Ykmk (θ,φ) = 2 2 µ Ro 2 µ Ro2 =

~2 k(k + 1) F (Ro ) Ykmk (θ,φ) . 2 µ Ro2

(7.56)

~2 k(k + 1) , 2 µ Ro2

(7.57)

Entonces la energ´ıa rotacional es: Ek =

con k = 0, 1, 2, . . . ≡ n´ umero cu´ antico rotacional Esta energ´ıa corresponde a la energ´ıa del rotador r´ıgido con separaci´ on: R − R0 = cte.

210

7.2.2.


Reglas de selecci´ on

Para el espectro vibracional y rotacional hay un valor base de energ´ıa Ek = 0 y Eν = ~2ω . Existir´ an transiciones entre diferentes niveles de energ´ıa si la molécula interact´ ua con radiaci´ on electromagnética, pero como en casos estudiados anteriormente, existen reglas de selecci´ on para estas transiciones, es decir para que la probabilidad de transici´ on sea diferente de cero. Para establecer estas reglas se usa la aproximaci´ on de dipolo eléctrico a la radiaci´ on electromagnética (secci´ on 3.8) con la molécula diat´ omica. Utilizando la teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo, los elementos matriciales para la amplitud de probabilidad de transici´ on del estado base a otro estado son: ∗

∗ b ·p b · eR ~ 0 b 0 ≈ k cA k A (7.58) o ~ = D, ~ el momento de dipolo eléctrico (figura 7.6). con e R El momento de dipolo eleéctrico est´ a variando con la distancia entre los n´ ucleos, z

bN

2

θ N1

b

p~ y

φ x Figura 7.6: Momento de dipolo eléctrico.

~ se puede desarrollar en serie alrededor de la posici´ por lo tanto, D on de equilibrio estable entre los dos n´ ucleos: ~ ~0 +D ~ 1 (R − R0 ) + D ~ 2 (R − R0 )2 + · · · D(R) =D

(7.59)

Considerar s´ olo vibraciones peque˜ nas alrededor de esa posici´ on de equilibrio (con ~ 0 = eR ~ 0 ), se toman solo los dos primeros términos: D ~ ~0 +D ~ 1 (R − R0 ). D(R) ≅D De esta forma, los elementos matriciales de transici´ on son:

∗ b · (D ~o +D ~ 1 (R − R0 )) 0 , k cA o

(7.60)

(7.61)

211


siendo los ket k

Xν (R) k = Ykmk (θ, φ). R

(7.62)

Considerando s´ olo las componentes z, se tiene: Z

∗ Xν∗′ ∗ b ~ k c Aoz Dz 0 = Y ′ ′ (θ, φ) A∗oz c [Doz + D1z (R − Ro )] R k mk Xν Ykmk (θ, φ) R2 dR sen θdθ dφ R Z ∗ = Aoz c Xν∗′ [Doz + D1z (R − Ro )] Xν dR · cos θ

Z

Yk∗′ m′ (θ, φ) Ykmk (θ, φ) cos θ sen θ dθ dφ. k

(7.63)

Entonces, la probabilidad de transici´ on depende de la ortogonalidad de los arm´ onicos esféricos Ykmk . El caso es igual a uno estudiado anteriormente, de modo que se tienen las reglas de selecci´ on para las transiciones entre niveles del espectro rotacional: ∆ k = ± 1,

(7.64)

∆ mk = 0, ± 1.

(7.65)

La probabilidad de transici´ on, para la parte vibracional, depende de la componente radial. Para este caso se tiene: Z

si ν 6= ν ′ . (7.66) Xν∗′ Doz Xν dR = Doz Xν′ Xν 6= 0

Considerando el segundo término en la primera integral de (7.63), se tiene: Z

Xν∗′ D1z R Xν dR −

Z

Xν∗′ D1z Ro Xν dR =

Z

Xν∗′ D1z R Xν dR − D1z Ro Xν′ Xν (7.67)

El primer término de esta expresi´ on, contiene a R que es impar, de manera que para probabilidad diferente de cero Xν∗′ Xν debe ser impar y esto sucede si ∆ ν = ± 1. El segundo término es 6= 0 si ν ′ = ν. En resumen, la regla de selecci´ on para las transiciones entre niveles del espectro vibracional se expresa como : ∆ν = 0, ± 1.

(7.68)

212


k=3

k=2 k=1 k=0

ν=2

k=3

k=2 k=1 k=0

ν=1 |

{z

}

|

{z

Espectro rotacional

Espectro rotacional y vibracional

}

Figura 7.7: Diagrama de energ´ıas y transiciones en los espectros rotacional y vibracional.

En la figura 7.7 se muestra el aspecto del diagrama de energ´ıas para estos espectros, de acuerdo a estas reglas. La energ´ıa rotacional es menor que la energ´ıa vibracional Erot = h νrot ≈ 10−2 h νvib . N´ otese adem´ as que si ∆ν = 0 el espectro es puramente rotacional, y si ∆ν = ± 1 hay cambios tanto en ν como en k, y el espectro es vibracionalrotacional.

7.2.3.

Espectro electr´ onico

Para estudiar el espectro electr´ onico, considérese primero la molécula de H2+ (figura 7.8). ~2 2 ∇ . Entonces, la ecuaci´ on de La energ´ıa cinética nuclear est´ a descrita por − 2µ R valores propios de la energ´ıa de la molécula diat´ omica es: "

~2 2 e2 ~2 2 e2 e2 ∇R − ∇r − − − + ~ ~ 2µ 2m R |~r − R2 | |~r + R2 |

#

~ ~r ) = E φ( R, ~ ~r ). φ( R,

(7.69)

213


b

~r −

~ R 2

~r +

~

− R2

M

~ R 2

~ R 2

b

CM

+

e

M +

e

R Figura 7.8: Molécula de H2+ .

La ecuaci´ on electr´ onica o ecuaci´ on de valores propios para la energ´ıa del electr´ on ~ (7.7), se puede escribir en las coordenadas ~r y R, como: "

~2 2 e2 e2 e2 − − + ∇r − ~ ~ 2m R |~r − R2 | |~r + R2 |

#

~ ~r ) = Un ( R ) ψn ( R, ~ ~r ). ψn ( R,

(7.70)

Utilizando el método de Born-Oppenheimer, se tiene: ~ ~r ) = φ( R,

X

~ ~r ), ~ ψn′ ( R, Wn′ (R)

(7.71)

n′

~ ) satisface la ecuaci´ donde Wn ( R on −

~2 2 ∇ Wn (R) + Un ( R ) Wn (R) = E Wn (R). 2µ R

(7.72)

La ecuaci´ on de valores propios (7.72) ya fue estudiada para obtener el espectro vibracional y rotacional de la molécula. Antes de estudiar la ecuaci´ on de valores (7.70), se estudiar´ a el comportamiento del potencial que aparece en esta ecuaci´ on, el cual se representa gr´ aficamente en la figura 7.9. Para R muy grande, el electr´ on estar´ a ligado a uno de los protones y la energ´ıa del sistema es −13,6 eV , la energ´ıa de un a´tomo de hidr´ ogeno simple. Cuando R → 0 y se deja por fuera la repulsi´ on prot´ on-prot´ on, el electr´ on estar´ a ligado a 2 un n´ ucleo Z = 2 y la energ´ıa de ligadura ser´ a −13,6 Z eV = −54,4 eV . La energ´ıa electr´ onica como funci´ on de R interpola suavemente entre estos dos 2 valores. Cuando la energ´ıa de repulsi´ on eR se adiciona a esta, aparece la curva para U(R). Se observa que tiene la forma del potencial de Morse y existe un

214


eV e2 R

Ro

Repulsi´ on coulombiana entre protones R

−13,6

U(R) energ´ıa electr´ onica −54,4 Figura 7.9: Comportamiento del potencial de la ecuaci´ on (7.70).

valor de energ´ıa m´ınimo en el que un prot´ on y un a´tomo de hidr´ ogeno existen ligadamente. Esta es la energ´ıa de disociaci´ on de la molécula. La ecuaci´ on (7.70) podr´ıa resolverse usando coordenadas el´ıpticas, pero se emplear´ a el principio variacional, con una funci´ on de onda de prueba que refleje algo de la situaci´ on f´ısica del problema. Lo importante del an´ alisis anterior sobre el potencial es que existe una base f´ısica para usar el método variacional tomando como funci´ on de prueba una funci´ on de a´tomo hidrogenoide. Con esto se representa el valor esperado de la energ´ıa que se aproxima a la energ´ıa electr´ onica.

7.3.

Orbitales Moleculares

~)y Una funci´ on de prueba razonable es una combinaci´ on lineal de ψ100 (r1 , R ~ ψ100 (r2 , R ),( las funciones de onda del estado base del electr´ on ligado a cada uno ~ ~ R R de los protones), donde r1 = |~r − 2 | y r2 = |~r + 2 |. Ya que los dos n´ ucleos son idénticos, el hamiltoniano es simétrico bajo reflexiones en el plano que bisecta la l´ınea que los une, esto es, el hamiltoniano es invariante bajo cambios ~r → −~r y ~ → −R. ~ Por lo tanto se pueden tomar combinaciones lineales que sean también R

7.3. ORBITALES MOLECULARES

215

funciones propias del operador paridad. Estas son combinaciones par e impar de: s ~ 1 − |~r−aR/2| ~ ~ o ψ100 (r1 , R ) ≡ ψ1 ( ~r, R ) = e , (7.73) π a3o y ~ ) ≡ ψ2 ( ~r, R ~)= ψ100 (r2 , R

s

1 π a3o

e−

~ |~ r+R/2| ao .

(7.74)

Estas son las funciones de onda de prueba del electr´ on con cada uno de los protones, y se denominan orbitales moleculares (OM). El método que se utilizar´ a con estas funciones de prueba se llama método de combinaci´ on lineal de orbitales at´ omicos (LCOA). Para aplicarlo se toman ~ = C+ (R) ψ1 ( ~r, R) ~ + ψ2 ( ~r, R) ~ , ψg ( ~r, R) (7.75) ~ = C− (R) ψ1 ( ~r, R) ~ − ψ2 ( ~r, R) ~ , ψu ( ~r, R)

(7.76)

donde los sub´ındices g y u denotan a la funci´ on par e impar respectivamente. Los factores de normalizaci´ on est´ an dados por:

1

1 = ψ1 ± ψ2 ψ1 ± ψ2 2 C±

= ψ1 ψ1 + ψ2 ψ2 ± 2 ψ1 ψ2 =2± 2

Z

~ ) ψ2 ( ~r, R ~ ). d3 rψ1 ( ~r, R | {z }

(7.77)

integral traslapada=S(R)

La integral que aparece en esta expresi´ on se llama integral traslapada, y puede ser calculada como : Z ~ ) ψ2 ( ~r, R ~) S(R) = d3 r ψ1 ( ~r, R 1 = π a3o

Z

3

−

d re

~ |~ r −R/2| ao

Haciendo el cambio de variable ~r = ~r ′ − S(R) = 1

1 π a3o

Z

d3 r ′

e−

~ R 2,

e

−

~ |~ r+R/2| ao .

entonces:

~ |~ r ′ −R| ao

′

e−r /ao

Esto proviene de las palabras alemanas gerade (par) y ungerade (impar).

(7.78)

216


R2 R + = 1+ ao 3a2o

e−R/ao .

(7.79)

b 0 en los dos estados es: El valor esperado de H D

b H

E

g,u

=

= ± =

1 b 0 ψ1 ± ψ2 = U(R) ψ1 ± ψ2 H 2(1 ± S(R))

h

1 b 0 ψ2 b 0 ψ2 ± ψ1 H b 0 ψ1 + ψ2 H ψ1 H 2(1 ± S(R))

i b 0 ψ1 ψ2 H

b 0 ψ1 ± ψ1 H b 0 ψ2 ψ1 H , 1 ± S(R)

(7.80)

~ → −R. ~ donde se ha usado el hecho de que existe simetr´ıa bajo R Evaluando los elementos matriciales que aparecen en la anterior ecuaci´ on: " # Z 2 2 2 2

p e e e e ~) ~) b 0 ψ1 = d3 r ψ1∗ ( ~r, R ψ1 ( ~r, R − ψ1 H − + ~ | | ~r + R/2 ~ | 2m | ~r − R/2 R e2 − e2 R

= E1 +

Z

d3 r

~ )|2 | ψ1 ( ~r, R . ~ | | ~r + R/2

(7.81)

El primer término es la energ´ıa del estado base, −13,6 eV , el segundo, la repulsi´ on prot´ on-prot´ on y el u ´ltimo es la energ´ıa potencial electrost´ atica debida a la distribuci´ on de carga electr´ onica alrededor de un prot´ on siendo atra´ıdo por el otro prot´ on. La integral que aparece en el tercer término es: Z

d3 r

1 πa3o

e

−2

~ | |~ r −R/2 ao

~ | | ~r + R/2

=−

1 R

R 1+ ao

e−2R/ao +

1 , R

(7.82)

luego (7.81)

2 b 0 ψ 1 = E1 + e ψ1 H R

R 1+ ao

e−2R/ao .

(7.83)

De manera similar se encuentra que:

b 0 ψ2 = ψ1 H

Z

"

2 e2 ~ ) E1 + e − d3 r1 ψ1∗ ( ~r, R ~ | R | ~r + R/2

#

~) ψ2 ( ~r, R

217

7.3. ORBITALES MOLECULARES

Z ~ ) ψ2 ( ~r, R ~) e2 ψ ∗ ( ~r, R 2 = E1 + S(R) − e d3 r 1 . ~ | R | ~r + R/2 La integral del tercer término es: Z ∗ r, R ~ ) ψ2 ( ~r, R ~) R 1 3 ψ1 ( ~ 1+ = d r ~ | ao ao | ~r + R/2

(7.84)

e−R/ao ,

(7.85)

luego:

b 0 ψ2 = ψ1 H

e2 e2 R E1 + S(R) − 1+ R ao ao

e2 R R2 = E1 + 1+ + R ao 3a2o

= E1 e−R/ao + E1

+

e2 ao

e−R/ao +

R ao

e−R/ao

−R/ao

e

e−R/ao + E1

e2 R −R/ao e2 − e 3a2o ao

R2 3a2o

e2 − ao

R 1+ ao

e−R/ao +

e−R/ao −

e2 R

e−R/ao

e−R/ao

e2 R −R/ao . (7.86) e a2o

Llamando R/ao = y y e2 /ao = −2E1 , se tiene:

b 0 ψ2 = −E1 2 e−y + E1 e−y + 7 E1 ye−y + E1 y 2 e−y . ψ1 H y 3 3

(7.87)

De esta forma, se obtiene:

b 0 ψ1 = E1 − 2 E1 (1 + y) e−2y , ψ1 H y

b 0 ψ2 = ψ1 H

(7.88)

2 y2 −y −y 1− 1+y+ e + 2(1 − y)e E1 , y 3

y2 e−y , S(R) = 1 + y + 3

(7.89)

(7.90)

y por lo tanto (7.80) es: D

b H

E

g,u

=E1

1−

2 y

=Ug,u (R).

h (1 + y)e−2y ± (1 − y2 )(1 + y + 1 ± (1 + y +

y2 3 )

y2 3 )

e−y

e−y − 2(1 + y) e−y

i

(7.91)

218 Minimizando


D

b H

E

g,u

respecto a R, se encuentran R0 y U0 . La figura 7.10 mues-

tra la energ´ıa como funci´ on de R/ao y. La soluci´ on exacta, seg´ un el principio variacional, debe bajar la curva obteniE

b

b b

b

b

b b b

b

b

b b

b

b

b b

b

b

b b

b

b

b b

b

b b b b

b

b

b

b b b b

b b b

Uu (R)

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b b

b

b b

b

b

b

b

b b b b

b

b

b

primera b

b b b

b

b b

b

b

b b

b b

b b

b b

b

b b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b

b b b b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b b b

b b b b

b

b

b

b b

b

b

segunda

b b

b

b

Ug (R)

b

b b b

b

b b

b b b

b b

b

b b b

b

valor experimental

 −13,6 eV                           1,76 eV  2,8 eV         valor     experimental        −15,36 eV     −16,4 eV

1,06 ˚ A R

1,3 ˚ A

Soluci´ on exacta de Eg (R)

Figura 7.10: Energ´ıa en funci´ on de R/ao y.

da, difiriendo un poco del m´ınimo. En nuestra aproximaci´ on, se observa que la soluci´ on par (g) conduce a ligadura, mientras la impar (u) no. La diferencia entre las soluciones par (g) e impar (u) es que en la primera el electr´ on tiene m´ as alta probabilidad de ser localizado entre los dos protones, donde la contribuci´ on atractiva est´ a maximizada. En la segunda el electr´ on tiende a ser excluido de la regi´ on entre los dos protones y no hay nada entre ellos. Entonces la funci´ on de onda de prueba no es tan compacta como deber´ıa ser. La raz´ on es que cuando R es peque˜ no, la funci´ on de onda deber´ıa aproximarse a la de un i´ on He+ , cosa que no sucede. Se podr´ıa perfeccionar alculo introducienD E el c´ b0 con respecto a aquel do una carga efectiva para el prot´ on y minimizar H par´ ametro en adici´ on a R.

g

219

´ 7.4. MOLECULA DE H2

1 b

r1A

A

r12

r2A

b2 r1B

RAB

r2B

B

Figura 7.11: Molécula de H2 .

7.4.

Mol´ ecula de H2

Consiste de dos protones y dos electrones, como se ilustra en la figura 7.11. Ya que hay dos electrones (en contraste a la molécula de H2+ donde hay solo uno), el principio de exclusi´ on de Pauli y el esp´ın electr´ onico hacen la diferencia respecto al caso anterior. Rotulando los protones con A, B, y los electrones con 1 y 2, el hamiltoniano tiene la forma: e2 e2 + , (7.92) H = H1 + H2 + r12 RAB donde p2i e2 e2 − − . (7.93) 2m rAi rBi Entonces el Hamiltoniano depende u ńicamente de las coordenadas del electr´ on i relativas al n´ ucleo. Se calcular´ a la cota m´ as alta de U(RAB ) a través de la construcci´ on del valor de expectaci´ on de H con una funci´ on de onda de prueba. Ya que Hi =

2 e i = Hi + e , (7.94) H RAB no es más que la expresi´ on de los hamiltonianos para la molécula de H2+ , intuitivamente se toma como funci´ on de onda de prueba un producto de dos funciones 1s σg para la molécula de H2+ , es decir: 1 [ψA ( ~r1 ) + ψB ( ~r1 )] [ψA ( ~r2 ) + ψB ( ~r2 )] χsinglete ψg ( ~r1 , ~r2 ) = {z }| {z } | {z } 2 [1 + S(RAB )] | orbitales moleculares orbitales moleculares antisim´ etrica {z } | funci´ on sim´ etrica

(7.95)

220


ψg ( ~r1 , ~r2 ) =

1 2 [1 + S(RAB )]





· (ψA ( ~r1 ) ψA ( ~r2 ) + ψB ( ~r1 ) ψB ( ~r2 )) + (ψA ( ~r1 ) ψB ( ~r2 ) + ψB ( ~r1 ) ψA ( ~r2 )) χsinglete | {z } | {z } t´ ermino i´ onico t´ ermino covalente | {z } producto de orbitales moleculares

(7.96)

e es entonces: El valor esperado de H D

e H

E

e ψg = ψg H,

h e1 − = ψg H

e2 RAB

e2 − + H

e2 RAB

+

e2 r12

+

e2 RAB

i ψg

e 1 ψg + ψg H e 2 ψg + ψg e2 ψg − = ψg H r12

D

e H

E

2 = U(RAB ) + U(RAB ) + ψg re12 ψg − = 2 U(RAB ) −

D e2 e2 + ψg RAB r12

E ψg .

e2 RAB

e2 RAB

ψg ψg

(7.97)

e2 E ψg on RAB , se ψg y se minimiza con respecto a la separaci´ r12 encuentra que la energ´ıa de ligadura y separaci´ on internuclear est´ an dadas por

Si se eval´ ua

D

Uvar o = −2,68 eV,

(7.98)

Rovar = 0,85 ˚ A.

(7.99)

Los valores experimentales son: Uexp o = −4,75 eV,

(7.100)

Roexp = 0,74 ˚ A.

(7.101)

Luego, la aproximaci´ on no es buena y hace falta incluir de nuevo la carga apantallada para mejorar el c´ alculo variacional.

221

´ 7.5. METODO DE HEITLER-LONDON (VALENCE BOUND)

7.5.

M´ etodo de Heitler-London (Valence Bound)

En este método se usa como funci´ on de prueba, para el principio variacional: s h i 1 ψ( ~r1 , ~r2 ) = ψ ( ~ r ) ψ ( ~ r ) + ψ ( ~ r ) ψ ( ~ r ) χsing A 1 B 2 A 2 B 1 2 [1 + S 2 (RAB )] (7.102) Definiendo ψA ( ~ri ) ≡ ψAi , y ψB ( ~ri ) ≡ ψBi , para simplificar escritura, se tiene que ˆ es: el valor esperado de H

b ψ = ψ H =

1 b ψA1 ψB2 + ψA2 ψB1 ψA1 ψB2 + ψA2 ψB1 H 2 2(1 + S ) h 1

T1 + T 2 − ψ ψ + ψ ψ A1 B2 A2 B1 1 + S2

−

e2 rB1

−

donde:

e2 rB2

+

e2 r12

2E1 +

i ψA1 ψB2 + ψA2 ψB1 ,

(7.103)

e2 T2 − ψA2 = E1 ψA2 , rA2

(7.105)

e2 ψB1 = E1 , ψB1 , T1 − rB1

(7.106)

e2 T2 − ψB2 = E2 ψB2 . rB2

(7.107)

e2 RAB

e2 rB2

−

e2 rB1

e2 rA1

−

+

e2 rA2

e2 r12

+

+

e2 r12

e2 RAB

+

e2 RAB

i ψA1 ψB2

i ψA2 ψB1

1

ψA1 1 + S 2 − 2e2 ψA1 rB1

1 ψB1 + e2 − 2e S ψA1 rA1 2

e2 rA2

(7.104)

h + ψA1 ψB2 2E1 −

1 = 1 + S2

−

e2 ψA1 = E1 ψA1 , T1 − rA1

Por lo tanto (7.103) es: D E h

1 b 2E1 − H = ψ ψ A1 B2 1 + S2

e2 rAB

+

e2 rA1

ZZ

| ψA1 |2 | ψB2 |2 + e2 r12

ZZ

∗ ∗ ψA1 ψB1 ψB2 ψA2 r12 (7.108)

222


Evaluando cada uno de los términos anteriores y minimizando se encuentra que: E0(HL) = −3,14 eV,

(7.109)

R0HL = 0,87 ˚ A.

(7.110)

Estos dos valores mejoran un poco respecto al resultado experimental. Finalmente en la figura 7.12 se muestra el aspecto del espectro de energ´ıa de la molécula teniendo en cuenta la parte electr´ onica, vibracional y rotacional.

7.6.

Ejercicios

1. En la molécula de HCl se ha observado algunas l´ıneas de absorci´ on con n´ umeros de onda (en cm −1 ) 83. 03, 103. 73, 124. 30, 145. 03, 165. 51, 185. 86 a) ¿Son estas l´ıneas transiciones vibracionales o rotacionales? b) ¿Cu´ ales son sus frecuencias caracter´ısticas? c) ¿Qué valores de J corresponden a estas y cual es el momento de inercia del HCl? d ) Estime la separaci´ on entre los n´ ucleos. 2. ¿Cu´ al es la raz´ on del n´ umero de moléculas de HCl en un estado con J = 10 al n´ umero en un estado con J = 0, si el gas de moléculas se encuentra a una temperatura de 300 K? 3. La frecuencia de vibraci´ on de la molécula de CO en su estado m´ as bajo es: ν0 = 2 × 1013 Hz. a) ¿Cu´ al es la longitud de onda de la radiaci´ on emitida en la excitaci´ on vibracional m´ as baja? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el primer estado vibracional, esté excitado, relativa a la probabilidad de que la molécula se encuentre en su estado base vibracional a temperatura T = 300 K ? 4. Considere la energ´ıa vibracional y rotacional de una molécula en la aproximaci´ on 1 J(J + 1)~2 Ej (R) = mω 2 (R − R0 )2 + 2 2mR2 Encuentre la posici´ on donde la energ´ıa es un m´ınimo. Si el momento de inercia de la molécula se calcula usando la nueva separaci´ on internuclear, muestre que la energ´ıa rotacional puede escribirse como: Ej = A J(J + 1) + B [J(J + 1)]2 + · · · Determine los coeficientes A y B (el u ´ltimo es el efecto de distorsi´ on centrifuga).

223

7.6. EJERCICIOS

E

R

n=2

ν=6 ν=5 ν=4 ν=3 n=1 ν=2 k=3 k=2 k=1 ν=1 ν=0

Figura 7.12: Espectro de la molécula diatómica.

224


Cap´ıtulo 8

Introducci´ on a la teor´ıa de colisiones Las estructuras at´ omicas, moleculares y nucleares, han sido ampliamente exploradas a través de la espectroscop´ıa, la cual ha sido posible debido a la existencia de los estados base. En cierto sentido se puede entender a la espectroscop´ıa como un proceso de dispersi´ on. Por ejemplo, el a´tomo en el estado base es excitado por proyectiles (estos pueden ser electrones de un tubo de descarga o también fotones) y entonces se observan los fotones emitidos cuando el a´tomo regresa del estado excitado al estado base o a otro estado de menor energ´ıa. T´ıpicamente este proceso de excitaci´ on no se describe como una colisi´ on ya que el a´tomo tiene niveles de energ´ıa muy bien definidos, en los cuales éste permanece durante tiempos enormemente grandes comparados con los tiempos de colisi´ on y por lo tanto es posible separar el decaimiento del proceso de excitaci´ on.1 En particular, las caracter´ısticas del decaimiento no dependen del modo particular de excitaci´ on. Cuando se intenta tener informaci´ on sobre la naturaleza de los constituyentes de la materia y de sus interacciones sobre escalas at´ omicas y subat´ omicas, la u ńica técnica experimental conocida es la de dispersi´ on de diversas part´ıculas cuando chocan con blancos espec´ıficos. En n´ ucleos y también en part´ıculas elementales existen niveles de energ´ıa, pero frecuentemente la vida media de éstos no es lo suficientemente larga como para permitir una separaci´ on entre la excitaci´ on y el decaimiento, puesto que t´ıpicamente la dispersi´ on resonante est´ a acompa˜ nada de un fondo de dispersi´ on no resonante, y la separaci´ on de las dos es normalmente complicada. La espectroscop´ıa molecular se realiza gracias a procesos de dispersi´ on en los cuales un haz (por ejemplo de electrones) incide sobre una molécula, figura 8.1, y como resultado del proceso se obtiene el espectro molecular, dividido en tres partes: (a) el espectro rotacional, de origen nuclear, cuyo rango de energ´ıas es del orden de ∼ 10−4 eV (infrarrojo lejano), (b) el espectro vibracional, de origen 1

La vida media del estado 2p del ´ atomo de hidr´ ogeno es de 1,6 × 10−9 s la cual es muy grande comparada con el tiempo caracter´ıstico de excitaci´ on de 2 × 10−17 s.

225

226

´ A LA TEORÍA DE COLISIONES CAPÍTULO 8. INTRODUCCION

d ∼ 10−10 m

radiaci´ on

electr´ on, e−

b

E0 ∼ 1 eV

Molécula

e−b

∆E ∼ 1 eV

EF 6= E0

Figura 8.1: Espectroscop´ıa molecular.

nuclear, con energ´ıas del orden de ∼ 10−2 eV (infrarrojo cercano), (c) Espectro electr´ onico, de origen electr´ onico, con rango de energ´ıas del orden de ∼ 1 eV (visible y ultravioleta cercano). En la espectroscop´ıa at´ omica, el haz incide sobre un a´tomo, figura 8.2, emitiéndose radiaci´ on en el rango del visible o ultravioleta cercano (espectro at´ omico de origen electr´ onico), del orden de ∼ 1 eV .

a0 ∼ 0,5 × 10−10 m

eb− E0 ∼ 1 eV

atomo ´ ∆E ∼ 1 eV

radiaci´ on

e−b

EF 6= E0

Figura 8.2: Espectroscop´ıa atómica.

En otro proceso llamado dispersi´ on Rutherford, un n´ ucleo de helio (He++ ) incide sobre un n´ ucleo pesado siendo desviado como se ilustra en la figura 8.3. La energ´ıa asociada a este proceso es del orden de ∼ 1 M eV . En la figura 8.4 se ilustra de manera general un proceso de dispersi´ on. Tanto la part´ıcula incidente como el blanco se toman como si fueran part´ıculas sin

227 d ∼ 10−15 m

He++

b

E0 ∼ 1 M eV

b

He++

N´ ucleo ∆E ∼ 1 M eV

EF 6= E0

Figura 8.3: Dispersión Rutherford.

p~ ′

~r Trayectoria cl´ asica

Z1 e

θ

b

p~

Ze (a) Trayectoria cl´ asica.

~q = p~ − p~ ′

(a) Representaci´ on en momento.

Figura 8.4: Proceso de dispersión.

estructura. El potencial de interacci´ on electrost´ atica es: V (r) = k

Z1 Ze2 . r

En 8.4a se muestra la situaci´ on cl´ asica, y en la figura 8.4b se ilustra la representaci´ on de la colisi´ on en el espacio de momentos. El ańgulo de dispersi´ on es θ, p~ es el momento del electr´ on incidente y ~q es el momento transferido al blanco. La dispersi´ on de electrones por n´ ucleos se representa en la figura 8.5. En este caso incide una part´ıcula sin estructura sobre una part´ıcula blanco con estructura. El rango de energ´ıas es del orden de ∼ 102 M eV . Otro caso de part´ıcula incidente sin estructura sobre part´ıcula blanco con estructura, es la dispersi´ on de electrones por nucleones (figura 8.6). En estos procesos el rango de energ´ıas es del orden de ∼ 1 GeV . En este caso se presentan dos tipos de colisi´ on: el´ astica o inel´ astica. Las dos situaciones se representan a través de los diagramas de Feynmann en las figuras 8.7a y 8.7b respectivamente. En este cap´ıtulo se desarrollan los conceptos elementales relacionados a los problemas de colisiones. Los resultados de los experimentos de colisiones son expresados por medio de cantidades conocidas como secciones eficaces de dispersi´ on,

228


d ∼ 10−15 m

eb− E0 ∼ 250 M eV − 1 GeV

eb−

N´ ucleo

∆E ∼ 102 M eV

EF 6= E0

Figura 8.5: Dispersión de electr´ on por n´ ucleos.

d ∼ 10−17 m

eb− E0 ∼ 4,5 − 25 GeV

Nucle´ on

eb−

∆E ∼ 10 GeV

EF 6= E0

Figura 8.6: Dispersión de electr´ on por nucleones. JET Hadrones

E ′ , p~ ′ e− e− E, p~

Prot´ on

Eh′ , p~h ′ , m

Prot´ on

Eh , p~h , m

(a) Colisi´ on el´ astica.

E ′ , p~ ′ e− e− E, p~

Eh′ , p~h ′ , m Eh , p~h , m

(b) Colisi´ on inel´ astica.

Figura 8.7: Diagramas de Feynmann para representar la colisión de electrones con nucleones.

las cuales est´ an directamente relacionadas con el comportamiento asint´ otico de las soluciones estacionarias de la ecuaci´ on de Schr¨ odinger. Primero se dar´ a una definici´ on de secci´ on eficaz v´ alida tanto en la formulaci´ on cl´ asica como en la cu´ antica. A continuaci´ on se desarrollar´ a la técnica de separaci´ on del movimiento del centro de masa, que permite que el problema de colisi´ on de dos part´ıculas que

229

´ EFICAZ Y LUMINOSIDAD 8.1. SECCION

interact´ uan entre si a través de un potencial que depende de la distancia, V (r), se reduzca al de una part´ıcula de masa reducida sometida a un potencial central. En seguida, se estudiar´ a la dispersi´ on de una part´ıcula debido a un potencial central y se introduce el método de corrimiento de fase en el contexto de la aproximaci´ on de ondas parciales. Posteriormente se introduce la llamada aproximaci´ on de Born, y por u ´ltimo se considera la dispersi´ on de Rutherford originada por un potencial de Coulomb Vc (r) ∼ 1r .

8.1.

Secci´ on eficaz y luminosidad

Como se se˜ nal´ o previamente, las colisiones son los procesos m´ as importantes usados para estudiar la estructura en f´ısica subat´ omica. El comportamiento de una colisi´ on es expresado normalmente en términos de una secci´ on eficaz. Para definir la secci´ on eficaz, se asume un haz de part´ıculas incidentes sobre un blanco, el cual se comporta como un centro dispersor (o un conjunto de estos). Considérese inicialmente una part´ıcula con energ´ıa E incidiendo sobre un blanco, como se muestra en la figura 8.8. La part´ıcula es desviada por un centro dispersor, de modo que emerge con un ´ angulo θ respecto a la direcci´ on inicial. El par´ ametro de impacto es b. De manera m´ as general, se tienen part´ıculas incidiendo dentro de un parche

θ

Part´ıcula incidente

b

b

b Centro dispersor Figura 8.8: Part´ıcula incidiendo sobre un centro dispersor.

infinitesimal de ´ area dσ, llamada secci´ on eficaz de dispersi´ on, dentro de un correspondiente ´ angulo s´ olido dΩ (figura 8.9). dσ se llama secci´ on eficaz diferencial de El factor de proporcionalidad D(θ) ≡ dΩ dispersi´ on. En términos del par´ ametro de impacto y el ańgulo azimutal φ ( figura 8.9), se puede expresar dσ = b db dφ y dΩ = sen θ dθ dφ, de modo que: b db dφ b db D(θ) = = . (8.1) sen θ dθ dφ sen θ dθ

230


Ya que θ es t´ıpicamente una funci´ on decreciente de b, la derivada es normalmente negativa y por eso se toma el valor absoluto. La secci´ on eficaz total, es la integral de D(θ) sobre todo el ańgulo s´ olido: Z σtot = D(θ) dΩ. (8.2) En otras palabras, esta es el ´ area total del haz incidente que es dispersado por el blanco. Por ejemplo, en el caso de una esfera dura de radio R que dispersa R2 part´ıculas ligeras, la secci´ on eficaz diferencial de dispersi´ on es D(θ) = y as´ı la 4 secci´ on eficaz total es: Z R2 dΩ = π R2 . (8.3) σtot = 4 La secci´ on eficaz tiene unidades de a´rea y estas se relacionan con las dimensiones subat´ omicas en barns (b) o fracciones decimales de barns, donde 1 b = 10−28 m2 = 100 f m2 , siendo 1 f m = 1 F ermi = 10−15 m. Finalmente, se supone que se tiene un haz de part´ıculas incidente, con intensidad uniforme (o luminosidad como se le conoce en f´ısica de part´ıculas), la cual se define como: dσ φ

dΩ = (sen θ dθ)dφ

b b

b dφ

θ db dθ

dσ = (b dφ) db = b db dφ

Figura 8.9: Part´ıcula incidiendo sobre un área.

´ DE ONDAS PARCIALES 8.2. APROXIMACION

231

L ≡ n´ umero de part´ıculas incidentes por unidad de a´rea por unidad de tiempo. El n´ umero de part´ıculas contenidas en el a´rea dσ (y que son dispersadas en el a ńgulo dΩ), por unidad de tiempo es: dN = L dσ = L D(θ) dΩ,

(8.4)

as´ı: D(θ) =

1 dN . L dΩ

(8.5)

Esta es la definici´ on de secci´ on eficaz diferencial, ya que hace alusi´ on a cantidades que se obtienen f´ acilmente en el laboratorio. Si el detector acepta part´ıculas dispersadas dentro de un ´ angulo s´ olido dΩ, simplemente censa el n´ umero de part´ıculas por unidad de tiempo N , lo divide por dΩ, y normaliza a la luminosidad del haz incidente.

8.2. 8.2.1.

Aproximaci´ on de ondas parciales Sistema de dos part´ıculas con interacci´ on V(r)

Considérese el caso tridimensional de dos part´ıculas de masas m1 y m2 , interactuando a través de un potencial p V (r) que depende exclusivamente de la separaci´ on entre las part´ıculas, r = x2 + y 2 + z 2 . Considerando inicialmente que las dos part´ıculas no interact´ uan entre s´ı, el hamiltoniano del sistema est´ a dao por: b 21 b2 p b = p H + 2 , 2m1 2m2

(8.6)

cuya ecuaci´ on de valores propios es:

~2 ~2 2 2 ∇ − ∇ ψ(~r1 , ~r2 ) = E ψ(~r1 , ~r2 ), − 2 m1 1 2 m2 2

(8.7)

donde ~

~

ψ(~r1 , ~r2 ) = φ(~r1 ) φ(~r2 ) = C ei k1 ·~r1 +i k2 ·~r2 ,

(8.8)

E = E1 + E2 ,

(8.9)

y

siendo k12 =

2m1 E1 , ~2

k22 =

2m2 E2 . ~2

(8.10)

232


Con el cambio de coordenadas ~r = ~r1 − ~r2 ,

(8.11)

y utilizando las expresiones para el centro de masa: ~ = m1~r1 + m2~r2 , R m1 + m2 MT = m1 + m2 , 1 1 1 = + , µ m1 m2

(8.12) (8.13) (8.14)

se encuentra que la energ´ıa es: E=

~2 K 2 ~2 k 2 P2 p2 + = + , 2MT 2µ 2MT 2µ

(8.15)

donde se han usado las definiciones P = ~ K, y p = ~ k. La funci´ on de onda escrita en las nuevas coordenadas es: ~ R+i ~ ~k·~ r ~ = C eiK· ψ(~r, R) ,

(8.16)

donde la primera parte de la exponencial, es la correspondiente a la funci´ on de onda del centro de masa y el segundo término a la funci´ on de onda de la part´ıcula de masa reducida µ. Cuando hay interacci´ on, el potencial entre las part´ıculas depende de la distancia | ~r1 − ~r2 | = r. En coordenadas ~r1 , ~r2 , el hamiltoniano del sistema es: b2 b 21 p b = p + 2 + Vb (| ~r1 − ~r2 |), H 2m1 2m2

(8.17)

~ y ~r: y en coordenadas R

b2 b2 b = P +p + Vb (r). H 2MT 2µ

(8.18)

La ecuaci´ on de valores propios de este hamiltoniano es: ~2 ~2 2 2 ~ = E ψ(~r, R). ~ − ∇ − ∇ + V (r) ψ(~r, R) 2MT R 2 µ r

(8.19)

Teniendo en cuenta que el potencial V (r) solo depende de la coordenada ~r, la ~ se puede escribir como: soluci´ on ψ(~r, R) ~ R ~ ~ = C eiK· ψ(~r, R) φ( ~r ).

(8.20)


233

Reemplazando (8.20) en (8.19) se obtiene que: ~2 2 − ∇ + V (r) φ( ~r ) = E1 φ( ~r ), 2µ r

(8.21)

donde E1 = E −

~2 K 2 . 2MT

(8.22)

As´ı, el problema de los dos cuerpos interactuando se ha reducido al de una part´ıcula de masa µ sometida a un potencial central V(r).

8.2.2.

Part´ıcula en potencial central

Sea una part´ıcula de masa µ moviéndose en un campo de fuerza central, y sea ~r él vector que indica su posici´ on con respecto a un sistema de coordenadas, el hamiltoniano del sistema es: b2 b = p + Vb (r), H 2µ

(8.23)

cuya ecuaci´ on de valores propios esta dada por::

H ψ( ~r ) = E ψ( ~r ).

(8.24)

b conmuta con el operador momento angular Teniendo en cuenta que el operador H b orbital L:

b =b b b b L b = H, H, r×p 0,

entonces el momento angular es una constante de movimiento para la part´ıcula moviéndose en un potencial central. b L bz y L b 2 también conmutan entre s´ı: Los operadores H, bz , L b2 = b b L b2 = L b L b z = H, 0, H, por lo tanto, las funciones propias de energ´ıa también son funciones propias de bz y L b 2 . De esta forma, en coordenadas esféricas, estas funciones deben ser de la L forma ψ( ~r ) = RE (r) Ylm (θ, φ).

En el apéndice G.2 se demuestra que pb2 se puede escribir como: b 2 ~2 ∂ ∂ L pb = 2 − 2 r2 , r r ∂r ∂r 2

(8.25)

234


de donde se obtiene que Tb es:

pb2 ~2 ∂ Tb = =− 2µ 2µ r2 ∂r

b2 L 2 ∂ . r + ∂r 2µ r2

(8.26)

Teniendo en cuenta que la ecuaci´ on (8.24) se puede escribir como:

Tb + Vb (r) ψ( ~r ) = E ψ( ~r ),

(8.27)

entonces, reemplazando (8.26) en la anterior expresi´ on, se obtiene: "

~2 ∂ − 2µ r2 ∂r

# b2 ∂ L + V (r) ψ( ~r ) = E ψ( ~r ). r2 + ∂r 2µ r2

(8.28)

Reemplazando ahora (8.25) en (8.28): "

~2 ∂ − 2µ r2 ∂r

∂ r2 ∂r

# b2 L + V (r) RE (r) Ylm (θ, φ) = E RE (r) Ylm (θ, φ), + 2µ r2

b2 : y teniendo en cuenta la ecuaci´ on de valores propios de L b 2 Ylm (θ, φ) = ~2 l (l + 1) Ylm (θ, φ), L

se obtiene:

l(l + 1)~2 ~2 ∂ 2 ∂ + V (r) RE (r) = E RE (r), r + − 2µ r2 ∂r ∂r 2µ r2

(8.29)

la cual se puede escribir como: ~2 1 d l(l + 1) d 1 d − − r + Rnlm (r) + V (r) Rnlm (r) = E Rnlm (r). 2µ r dr dr r dr r2 (8.30) Se observa entonces que no hay dependencia sobre m. As´ı, para un l dado siempre habr´ a degeneramiento de orden (2l + 1), ya que todos los valores de m tendr´ an la misma energ´ıa. Luego, omitiendo el ´ındice m en la funci´ on radial, (8.29) se puede escribir como

2 d d2 + 2 dr r dr

2µ l(l + 1) ~2 2µ E Rnl (r) − 2 V (r) + Rnl (r) + 2 Rnl (r) = 0. 2 ~ 2µ r ~ (8.31)


235

Asumiendo que los potenciales que se considerar´ an estar´ an restringidos a aquellos que vayan a cero en r → ∞ m´ as r´ apido que 1r (sin considerar el potencial de Coulomb que se estudiar´ a mas adelante), entonces estos potenciales de interés deber´ an satisfacer la condici´ on: l´ım r V (r) = 0

(8.32)

Unl (r) = r Rnl (r),

(8.33)

1 Unl (r). r

(8.34)

r→∞

Introduciendo la notaci´ on

se sigue que Rnl (r) =

Teniendo en cuenta que 2 d 2 d Unl (r) d2 Unl (r) 2 d Unl (r) + = 2 + dr2 r dr r dr r r dr r d = dr =

1 2 1 d Unl (r) 1 1 d Unl (r) − 2 Unl (r) + − 2 Unl (r) r dr r r r dr r

1 d2 Unl (r) 1 dUnl (r) 1 dUnl (r) − 2 − 2 r dr2 r dr r dr +

=

2 2 dUnl (r) 2 Unl (r) + 2 − 3 Unl (r) 3 r r dr r

1 d2 Unl (r) , r dr2

(8.35)

entonces reemplazando este resultado en la ecuaci´ on (8.31) se obtiene: l(l + 1) ~2 Unl (r) 1 d2 Unl (r) 2µ + 2 E − V (r) − = 0, r dr2 ~ 2µ r2 r o equivalentemente ´ d2 Unl (r) 2µ l(l + 1) ~2 + 2 E − V (r) − Unl (r) = 0. dr2 ~ 2µ r2

(8.36)

Esta es una ecuaci´ on unidimensional con las siguientes condiciones: 1. El potencial V (r) se altera por la adici´ on de un potencial centr´ıfugo de repulsi´ on V (r) → V (r) +

l(l + 1)~2 . 2µ r2

236


2. Se requiere que Unl (0) = 0, para que la funci´ on de onda sea finita en el origen. Las anteriores condiciones significan que la part´ıcula se encuentra sometida a un potencial efectivo, y que la probabilidad de encontrar la part´ıcula en el centro de fuerza es cero. V (r) l(l + 1)~2 2µ r2 r Veff (r) V0 (r)

Figura 8.10: Potencial efectivo debido a la adición de un potencial centr´ıfugo.

Por ejemplo, para un potencial V (r) cuadrado (figura 8.10), en el l´ımite r → 0 (cerca al origen), los términos dominantes de (8.36) son: d2 Ul l(l + 1) − Ul ≈ 0. dr2 r2

(8.37)

Debido a que la funci´ on de onda se anula en r → 0, se propone como Ansatz: Ul (r) ∼ rs . Reemplazando (8.38) en (8.37): s(s − 1)rs−2 −

l(l + 1) s r ≈ 0, r2

luego s(s − 1) − l(l + 1) = 0, y por lo tanto s=

 l + 1, −l.

(8.38)


237

La soluci´ on que satisface la condici´ on U(0) = 0, o sea la soluci´ on que se comporta l+1 como r , se llama soluci´ on regular. La soluci´ on que se comporta como r−l se llama irregular. En términos de R(r), teniendo en cuenta (8.34), las soluciones son de la forma:

Rl (r) ∼

 r l 

Soluci´ on regular, (8.39)

r−l−1

Soluci´ on irregular.

Para r → ∞, en la ecuaci´ on (8.36) se pueden despreciar los dos u ´ltimos términos: d2 Ul 2µ E + 2 Ul ⋍ 0. dr2 ~

(8.40)

La condici´ on de normalizaci´ on de la funci´ on de onda implica que Z 1 = d3 r | ψ( ~r ) |2 =

Z∞

2

r dr

0

=

d Ω | Rnl (r) Ylm (θ, φ) |2

Z∞

r dr | Rnl (r) |

Z∞

| Unl (r) |2 dr,

0

=

Z

0

2

2

Z

dΩ| Ylm (θ, φ) |2

(8.41)

luego, la funci´ on de onda debe desaparecer en el infinito. As´ı que para E < 0 se puede escribir: 2µ E = −α2 , ~2

(8.42)

d2 Ul − α2 Ul = 0, dr2

(8.43)

Ul (r) ∼ e−α r .

(8.44)

y la ecuaci´ on (8.40) ser´ a

siendo su soluci´ on asint´ otica:

238


Si E > 0 se tiene: 2µ E = k2 , ~2

(8.45)

d2 Ul + k 2 Ul = 0, dr2

(8.46)

Ul (r) ∼ eik r .

(8.47)

y la ecuaci´ on (8.40) ser´ a

cuya soluci´ on asint´ otica es:

De esta forma se obtiene finalmente que: Rl (r) ≈

eikr r

,

(8.48)

es decir, la soluci´ on para r grandes, se comporta como una onda esférica con origen en el centro de fuerza.

8.2.3.

Part´ıcula libre: Ondas planas y expansi´ on en arm´ onicos esf´ ericos

Considérese el caso particular V (r) = 0, es decir el de una part´ıcula libre. Como a´ un est´ a presente la barrera de potencial centr´ıfugo, la ecuaci´ on radial (8.31) es: 2 2 d l(l + 1) d + − Rl (r) + k 2 Rl (r) = 0, (8.49) dr2 r dr r2 con k2 =

2µ E . ~2

(8.50)

Con el cambio de variable ρ = k r, (8.49) se escribe como: d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + − Rl + Rl = 0. d ρ2 ρ dρ ρ2 Definiendo U(ρ) = ρ R(ρ), a partir de (8.35), f´ acilmente se demuestra que:

d2 2 d + dρ2 ρ d ρ

Ul 1 d2 = Ul . ρ ρ d ρ2

(8.51)

239


Este resultado permite escribir (8.51) como: d2 Ul l(l + 1) − Ul + Ul = 0. dρ2 ρ2 Para l = 0, (8.52) es

(8.52)

d2 U0 +U0 = 0, y las soluciones son U0 = sen ρ y U0 = − cos ρ: d ρ2  sen ρ  Soluci´ on regular,  ρ R0 (ρ) =  − cos ρ Soluci´ on irregular. ρ

Para un l arbitrario, las soluciones pueden expresarse en términos de las funciones de Bessel esféricas. La soluci´ on regular es: l 1 d l sen ρ , jl (ρ) = − ρ ρ dρ ρ y la soluci´ on irregular, también llamada funci´ on esférica de Neumann, es: l 1 d l cos ρ nl (ρ) = − − ρ . ρ dρ ρ

Las primeras de estas funciones son: sen ρ , jo (ρ) = ρ j1 (ρ) =

sen ρ cos ρ − , ρ2 ρ

j2 (ρ) =

1 3 − 3 ρ ρ

3 sen ρ − 2 cos ρ, ρ

no = −

cos ρ , ρ

n1 = −

cos ρ sen ρ − , ρ2 ρ

n2 (ρ) = −

3 1 − 3 ρ ρ

cos ρ −

3 sen ρ. ρ2

Para valores grandes de ρ, las combinaciones de estas funciones son las funciones esféricas de Hankel: h(1) l (ρ) = jl (ρ) + inl (ρ),

(8.53)

(1) ∗ h(2) l (ρ) = jl (ρ) − inl (ρ) = [hl (ρ)]

(8.54)

Las primeras de estas funciones son: h(1) 0 (ρ) =

ei ρ iρ

,

i h (ρ) = − 1+ , ρ ρ (1) 1

ei ρ

Se pueden considerar ahora dos casos especiales:

h(2) 0 (ρ) = −

e−i ρ iρ

i ei ρ h (ρ) = ρ (1) 2

,

3 3i − 2 . 1+ ρ ρ

240


1. Cerca al origen, ρ ≪ l, y por lo tanto: jl (ρ) ≈

ρl → Regular, 1 · 3 · 5 · · · (2l + 1)

nl (ρ) ≈ −

1 · 3 · 5 · · · (2l − 1) → Irregular. ρl+1

(8.55)

(8.56)

2. Para ρ ≫ l, las expresiones asint´ oticas son: jl (ρ) ≈

1 sen(ρ − ρ

nl (ρ) ≈ −

lπ 2 ),

1 cos(ρ − ρ

(8.57)

lπ 2 ),

(8.58)

y de esta forma se tiene: h(1) l (ρ) ≈ −

i i(ρ−lπ/2) e . ρ

(8.59)

La soluci´ on regular en el origen es: Rl (r) = jl (ρ).

(8.60)

Usando (8.57), la forma asint´ otica de la expresi´ on anterior, para ρ grande, es: Rl (r) ≈

1 sen(kr − kr

Rl (r) ≈ − Rl (r) ≈

i 2

lπ 2)

i 1 h −i(kr−lπ/2) e − ei(kr−lπ/2) 2ikr " #

e−i(kr−lπ/2) kr

−

ei(kr−lπ/2) kr

.

(8.61)

Esto es v´ alido para kr ≫ 1 que corresponde a la zona de radiaci´ on en o´ptica. La ecuaci´ on de valores propios para el hamiltoniano de part´ıcula libre de masa µ est´ a dado por: p~2 ψ( ~r ) = E ψ( ~r ), 2µ o también ~ 2 + 2µ E ψ( ~r ) = 0. ∇ ~2

(8.62)


Con k 2 =

2µ E , ~2

241

la expresi´ on anterior es:

cuya soluci´ on es de la forma:

h

i ~ 2 + k 2 ψ( ~r ) = 0, ∇ ~

ψ( ~r ) ≈ eik · ~r .

(8.63)

(8.64)

Si se escoge ~k a lo largo del eje z, se puede demostrar (Apéndice G.3) que la onda plana puede escribirse como una expansi´ on de arm´ onicos esféricos de la forma: ikz

e

=e

ikr cos θ

=

∞ X

(2l + 1) il Rl (r)Pl (cos θ).

(8.65)

l=0

Luego, con la funci´ on de onda plana dada por (8.64), el flujo asociado es:2 ~ ψ−ψ∇ ~ ψ∗ ~j = ~ ψ ∗ ∇ 2iµ =

i ~ h −i~k · ~r ~ i~k · ~r ~ ~ e (ik) e − eik · ~r (−i~k) e−ik · ~r 2iµ

=

i ~ ~k ~ h~ ik + i~k = . 2iµ µ

(8.66)

En el l´ımite asint´ otico (ρ → ∞), se tiene en cuenta que jl (ρ) est´ a dada por (8.61) y por lo tanto la onda plana propag´ andose en la direcci´ on del eje z se escribe como: " # ∞ −i(kr−lπ/2) i(kr−lπ/2) X e e i (2l + 1) il Pl (cos θ). (8.67) ei kz = − 2 kr kr l=0

Es decir, la soluci´ on de onda plana en el l´ımite asint´ otico queda descrita en términos de dos funciones de onda esféricas: una entrante (signo negativo en el exponencial) y una saliente (signo positivo en el exponencial). Si se tiene en cuenta que il = eilπ/2 , entonces claramente se observa que (8.67) se puede expresar como: " # ∞ −i (kr−lπ) ikr X e e ~ eik·~r = (2l + 1) − + Pl (cos θ). (8.68) 2 ikr 2 ikr l=0

8.2.4.

Dispersi´ on de onda plana por centro dispersor

En la figura 8.11 se representa esquem´ aticamente un haz de part´ıculas libres moviéndose en la direcci´ on del eje z y representadas por un paquete de ondas 2

Véase el Apéndice G.4.

242


Ondas esféricas salientes (part´ıculas dispersadas)

Ondas planas incidentes r=0 z Part´ıculas incidentes

Ondas planas salientes (part´ıculas no dispersadas)

centro dispersor V (r)

Figura 8.11: Representación esquem´ atica de la dispersión de un haz de part´ıculas.

incidiendo sobre un centro dispersor (caracterizado por un potencial de dispersi´ on V (r)). Como consecuencia de la interacci´ on de las part´ıculas con el centro dispersor se tiene un haz de part´ıculas dispersadas representadas por un paquete de ondas esféricas, las cuales tienen su origen en el centro dispersor (r = 0). La conservaci´ on de las part´ıculas obliga a concluir que la presencia de un potencial radial dispersor V (r), u ńicamente puede alterar la onda plana incidente (8.68) de la siguiente forma: # " ∞ X ei kr e−i(kr−lπ) Pl (cos θ), (8.69) + Sl (k) (2l + 1) − ψ( ~r ) ≈ 2 ikr 2 ikr l=0

es decir, el efecto del potencial dispersor solamente puede verse reflejado en la parte de la funci´ on de onda saliente, a través de un coeficiente Sl (k), que por conservaci´ on del flujo de part´ıculas debe estar sujeto a la condici´ on: | Sl (k) |2 = 1.

(8.70)

Sumando y restando a (8.69) la cantidad: ∞ X l=0

(2l + 1)

eikr 2ikr

Pl (cos θ),

(8.71)

se obtiene que el haz de part´ıculas dispersadas est´ a descrito por la funci´ on de onda

243


ψ( ~r ) ≈

∞ X l=0

"

(2l + 1) −

e−i(kr−lπ) 2 ikr

+

+

ei kr 2 ikr

∞ X

#

Pl (cos θ)

(2l + 1)

l=0

Sl (k) − 1 eikr Pl (cos θ) . (8.72) 2ik r

Haciendo uso del hecho que una onda plana propag´ andose en la direcci´ on del eje z est´ a dada por (8.67), entonces (8.72) puede escribirse como: ψ( ~r ) ≈ eikz +

=A

∞ X l=0

ikz

e

(2l + 1) Fl (k) Pl (cos θ)

+ F (θ)

eikr r

,

eikr r

(8.73)

donde F (θ) es la amplitud de dispersi´ on dada por: F (θ) =

∞ X

(2l + 1) Fl (k) Pl (cos θ),

(8.74)

l=0

con Fl (k) =

Sl (k) − 1 . 2ik

(8.75)

La amplitud de dispersi´ on F (θ) describe la dependencia angular de la onda esférica saliente; su determinaci´ on es el objetivo de los experimentos de dispersi´ on. Para entender el significado f´ısico de la funci´ on de onda (8.73), es necesario tener en cuenta que en los procesos de colisi´ on en realidad lo que est´ a incidiendo sobre el blanco es un haz de part´ıculas. Una parte del haz incidente propag´ andose en la direcci´ on z no interactua con el blanco y por lo tanto no se dispersa. Este haz no dispersado quedar´ a descrito por la onda plana de la ecuaci´ on (8.73). La parte del haz que si interactua con el blanco queda representada por una onda esférica saliente. Este proceso se ilustra en la figura 8.12, en donde aparece un detector con el cual se barre una secci´ on eficaz y de esta forma es posible conocer el n´ umero de part´ıculas por unidad de tiempo que entran en el. Se debe cumplir por conservaci´ on del flujo que el n´ umero de part´ıculas incidente es igual al n´ umero de part´ıculas dispersadas m´ as el n´ umero de part´ıculas no dispersadas.

8.2.5.

M´ etodo de corrimiento de fase

Considérese un haz de part´ıculas de masa µ y de luminosidad conocida que incide sobre un centro dispersor e interactua con este a través del potencial paso

244


Haz de part´ıculas dispersadas

Detector θ lab

b

z

Haz de part´ıculas incidentes

Haz de part´ıculas no dispersadas

Figura 8.12: Representación esquem´ atica de un proceso de colisión en el laboratorio.

V (r), dado por: V (r) =

 −V0 0

r < a,

(8.76)

r > a.

La ecuaci´ on radial (8.31) para este problema se puede escribir como: 2µ d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + − Rl + 2 (V0 + E)Rl = 0 dr2 r dr r2 ~

r < a,

(8.77)

2µ E d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + Rl + 2 Rl = 0 − 2 2 dr r dr r ~

r > a.

(8.78)

Teniendo en cuenta que para r grandes, la soluci´ on radial est´ a dada por las funciones esféricas de Hankel (expresi´ on (8.53)), entonces para r > a la soluci´ on es: Rl (r) = hl (k r) = B jl (k r) + C nl (k r), con k =

(8.79)

2µ E . Mientras que para r < a se tiene la soluci´ on regular ~2 Rl′ (r) = A jl (k ′ r),

con k′ =

2µ(E + V0 ) . ~2

(8.80)

245


Teniendo en cuenta la continuidad en r = a, dada por la condici´ on: 1 dRl 1 dRl′ = ′ , Rl dr r=a Rl dr r=a

(8.81)

entonces se debe satisfacer: k

"

dnl l B dj dρ + C dρ

Bjl (ρ) + Cnl (ρ)

#

=k ρ=ka

′

d jl (ρ) 1 d ρ jl (ρ)

.

(8.82)

ρ=k′ a

La soluci´ on asint´ otica (8.79), teniendo en cuenta (8.57) y (8.58), es: Rl (r) =

B C sen(kr − lπ/2) − cos(kr − lπ/2) kr kr

i i C h −i(kr−lπ/2) B h i(kr−lπ/2) e − e−i(kr−lπ/2) − e + ei(kr−lπ/2) 2ikr 2kr −C + iB C + iB i(kr−lπ/2) = e , (8.83) e−i(kr−lπ/2) + 2kr C − iB

=

de donde se observa que si B/C es real, entonces se tiene:

Si definimos: z1 = C + iB =

C + iB 2 1 + iB/C 1 − iB/C C − iB = 1 − iB/C 1 + iB/C = 1. p C 2 + B 2 eiδ ,

z2 = C − iB =

entonces se obtiene que:

p

C + iB z1 eiδ = = −iδ = e2iδ . C − iB z2 e

C 2 + B 2 e−iδ ,

(8.84)

(8.85)

(8.86)

El factor que acompa˜ na a la onda esférica saliente convencionalmente se escribe como: C + iB ≡ −e2iδl (k) , C − iB

(8.87)

o equivalentemente C = − tan δl (k). B

(8.88)

De esta forma, la soluci´ on radial en el l´ımite asint´ otico describiendo la onda

246


δl (k) U(r) = rR(r)

r

Sol para V = 0

−V0

Figura 8.13: Solución radial para el caso de potencial atractivo. La linea punteada indica la soluci´ on con V = 0. La l´ınea a trazo continuo (soluci´ on para V 6= 0) está corrida una fase δl (k) respecto a la anterior. Se ha tomado l = 0.

V0

δl (k)

Sol para V = 0

r

U(r) = rR(r)

Figura 8.14: Solución para el caso de potencial repulsivo con l = 0.

esférica saliente, se puede escribir como: Rnl (r) ≈

constante sen(kr − lπ/2 + δl (k)), r

(8.89)

donde δl (k) indica un corrimiento de fase. En las figuras 8.13 y 8.14 se ha graficado las soluciones con l = 0 para los casos de potencial atractivo y repulsivo respectivamente.

247

´ ´ EFICAZ 8.3. CALCULO DE SECCION

La soluci´ on radial asint´ otica (8.83) se puede reescribir como: " Rl (r) = (B − iC) −

e−i(kr−lπ/2) 2ikr

+

e2 i δl (k) ei(kr−lπ/2) 2ikr

#

.

(8.90)

Por conservaci´ on del flujo de part´ıculas, la presencia del potencial paso solamente puede alterar la forma de la onda plana incidente a través de un factor multiplicativo nl (k) que acompa˜ na a la onda esférica saliente. As´ı, la funci´ on de onda que describe las part´ıculas dispersadas por este potencial tiene la forma: " # ∞ ikr X e−i(kr−lπ) e ψ( ~r ) ≈ (2l + 1) − + nl (k) e2 i δl (k) Pl (cos θ), (8.91) 2ikr 2ikr l=0

expresi´ on que ha sido obtenida reemplazando (8.90) en (8.65). Si a (8.91) se le suma y se le resta la cantidad (8.71), es posible obtener que el haz de part´ıculas saliente est´ a descrito por la funci´ on de onda (8.73), la amplitud de dispersi´ on F (θ) por (8.74), el factor multiplicativo Fl (k) por (8.75) y Sl (k) para este caso por: Sl (k) = nl (k) e2i δl (k) ,

(8.92)

sujeto a la condici´ on de conservaci´ on de flujo | Sl (k) |2 = 1. Por lo anterior, para este caso se debe cumplir que 0 6 nl (k) 6 1.

(8.93)

Reemplazando (8.92) en (8.75) es posible verificar que: Fl (k) =

8.3.

1 − nl (k) cos 2 δl nl (k) sen 2 δl +i . 2k 2k

(8.94)

C´ alculo de secci´ on eficaz

Como se mencion´ o en la secci´ on anterior, el problema de la dispersi´ on de un haz de part´ıculas incidentes interactuando con un centro dispersor, desde el punto de vista cu´ antico, puede entenderse como el de una onda plana incidente viajando en la direcci´ on del eje z hacia un centro dispersor con el que interact´ ua a través de un potencial V (r), produciendo una onda esférica saliente y una onda plana saliente que representan al haz de part´ıculas dispersadas y al haz no dispersado, respectivamente. La funci´ on de onda que representa a las part´ıculas salientes (dispersadas y no dispersadas) est´ a dada por (8.73) en el l´ımite asint´ otico (es decir para la zona de radiaci´ on kr ≫ 1). De esta forma el problema se reduce a determinar la amplitud de dispersi´ on F (θ), es decir, la probabilidad de dispersi´ on en una direcci´ on dada por el ´ angulo θ y relacionar esta con la secci´ on eficaz

248


v dt v dσ Figura 8.15: Elemento de volumen dV = (dσ)v dt.

rd φ

vdt (r sen

dφ r

θ) dθ

r dθ

ds = r sen θdθ r dφ = r2 sen θdθ dφ = r2 dΩ dV = ds(vdt) = (vdt)r2 dΩ r sen θ

θ

Figura 8.16: Elemento de ángulo sólido.

diferencial. La probabilidad que la part´ıcula incidente viajando a velocidad v en la direcci´ on del eje z pase a través del ´ area infinitesimal dσ (figura 8.15) en el tiempo dt, es: dP = | ψincidente |2 dV = | A |2 (vdt)dσ,

(8.95)

la cual es igual a la probabilidad de que la part´ıcula emerja después dentro del correspondiente ´ angulo s´ olido dΩ (figura 8.16), es decir dP = | ψdispersada |2 dV =

| A |2 | F |2 (v dt)r2 dΩ. r2

(8.96)

Igualando (8.95) con (8.96) se obtiene: dσ = | F (θ) |2 dΩ,

(8.97)

249


de donde se concluye que la norma de la amplitud de dispersi´ on F (θ) es igual a la secci´ on eficaz diferencial de dispersi´ on, as´ı: D(θ) =

dσ = | F (θ) |2 . dΩ

(8.98)

Teniendo en cuenta que la secci´ on eficaz total σtot es: σtot =

Z

dσ =

Z

dσ dΩ = dΩ

Z

| F (θ) |2 dΩ,

(8.99)

entonces para conocer la secci´ on eficaz total de un proceso dispersivo es necesario evaluar previamente la amplitud de dispersi´ on F (θ).

8.3.1.

Dispersi´ on el´ astica

El proceso de dispersi´ on de un haz de part´ıculas por un centro dispersor estudiado en la secci´ on 8.2.4 es un proceso dispersivo el´ astico, en el cual el flujo de part´ıculas se conserva (no hay pérdida de flujo). Para este tipo de proceso dispersivo, la amplitud de dispersi´ on est´ a dada por (8.74). La secci´ on eficaz total en procesos de dispersi´ on el´ astica se obtiene reemplazando (8.74) en (8.99), es decir #"∞ # Z "X ∞ X σelas = (2l + 1)Fl∗ (k)Pl∗ (cos θ) (2l′ + 1)Fl′ (k)Pl′ (cos θ) dΩ . l′ =0

l=0

(8.100)

Teniendo en cuenta que (ver apéndice G.5): Z

dΩ Pl∗ (cos θ) Pl′ (cos θ) =

4π δll′ , 2l + 1

entonces (8.100) puede escribirse como: σelas =

∞ X

(2l +

= 4π

l=0

X

′

(2l + 1)Fl′ (k)

l′

l=0

∞ X

1) Fl∗ (k)

4π δll′ 2l + 1

(2l + 1)| Fl (k) |2 .

(8.101)

Como ejemplo, consideremos nuevamente el problema de las part´ıculas dispersadas por el potencial paso, estudiado en la secci´ on 8.2.5. Para este problema es f´ acil verificar que con Fl (k) dado por (8.94), entonces 2

| Fl (k) | =

nl (k) sen 2δl 2k

2

+

1 − nl cos 2δl 2k

2

250


=

n2l (sen2 2δl + cos2 2δl ) + 1 − 2nl cos 2δl 4k 2

=

n2l + 1 − 2nl cos 2δl . 4k 2

(8.102)

Reemplazando (8.102) en (8.101) se obtiene que la secci´ on eficaz total de dispersi´ on es: σelas = 4π

∞ X 1 + n2l − 2nl cos 2δl (2l + 1) . 4k 2

(8.103)

l=0

8.3.2.

Dispersi´ on inel´ astica

El proceso de dispersi´ on inel´ astica es aquel en el que hay pérdida de flujo, es decir, el flujo de part´ıculas no se conserva. En este tipo de procesos, la secci´ on eficaz dar´ a cuenta de esta pérdida de flujo. Teniendo en cuenta que las part´ıculas incidentes est´ an descritas por ψinc ( ~r ) = Aeikz , entonces el flujo de part´ıculas incidentes es: → − → ∗ ∗ − ~jinc = ~ ψinc ∇ψinc − ψinc ∇ψinc 2iµ =

(8.104)

~ ~k ~k ˆz . = u µ µ

En el l´ımite asint´ otico, el haz de part´ıculas saliente ψsal ( ~r ) est´ a descrito (ecuaci´ on (8.69)) por: ψsal ( ~r ) = A

∞ X l=0

"

(2l + 1) −

e−i(kr−lπ) 2 ikr

+ Sl (k)

eikr 2 ikr

= ψno-dis ( ~r ) + ψdis ( ~r ),

#

Pl (cos θ)

(8.105)

donde los haces de part´ıculas salientes no dispersadas y dispersadas respectivamente, se describen por las funciones: ψno-dis ( ~r ) = A

(2l + 1) i

∞ X

(2l + 1) Sl (k)

l=0

ψdis ( ~r ) = A

"

∞ X

l=0

e−i(kr−lπ) 2kr

eikr 2kr

#

Pl (cos θ),

Pl (cos θ).

(8.106)

(8.107)

251


Debido a que el interés se centra en conocer el flujo radial del haz de part´ıculas salientes, se considerar´ a en (8.106) y (8.107) un término arbitrario l. Por ejemplo en (8.106), se toma: ψno-dis ( ~r ) ⋍

i 2k

e−ikr r

Pl (cos θ).

(8.108)

El flujo radial de part´ıculas salientes no dispersado es entonces: − → − → ∗ ∗ ~jno-dis = ~ ψno-dis ∇ψno-dis − ψno-dis ∇ψno-dis 2iµ ~ ˆr = u 2iµ

=

~k µ

"

i − 2k

eikr

i − 2k

e−ikr

1 (2k)2

r

r

i (−ik)e−ikr r − e−ikr 2k r2

i (ik)eikr r − eikr − 2k r2

ˆr u . r2

# (8.109)

Si se toma ahora un término particular de (8.107): i eikr Sl (k) Pl (cos θ), 2k r

ψdis ( ~r ) ≈ −

(8.110)

el flujo radial de part´ıculas dispersadas es: ~jdis =

~k µ

| Sl (k) |

2

1 (2k)2

ˆr u . r2

(8.111)

Ya que en el caso de colisiones inel´ asticas el flujo no se conserva, esto es, | ~jinc |2 > 2 | ~jdis + ~jno-dis | , entonces el flujo neto perdido para cada valor de l es: ~jno−dis − ~jinc =

~k µ

ur 1 2 b . 1 − | S (k) | l 4k 2 r2

(8.112)

Puesto que Sl (k) = nl (k)ei 2δl (k) entonces

| Sl (k) |2 = n2l (k), y as´ı (8.112) queda escrito como: ~jno−dis − ~jinc =

~k µ

b 1 ur 1 − n2l (k) 2 . 2 4k r

(8.113)

252


Teniendo en cuenta que la amplitud de dispersi´ on es la raz´ on entre el flujo perdido y el flujo incidente, entonces dividiendo (8.113) por el flujo incidente (8.104) se obtiene: | Fl (k) |2 =

1 1 − n2l (k) . 2 4k

(8.114)

Reemplazando (8.114) en (8.101), se obtiene que la secci´ on eficaz total de dispersi´ on inel´ astica es: σinelas =

π X (2l + 1)[1 − n2l (k)]. k2

(8.115)

l

8.3.3.

C´ alculo del corrimiento de fase

A partir de (8.36), podemos escribir: l(l + 1) 2µV (r) d2 Ul 2 + k − − Ul = 0, dr2 r2 ~2

(8.116)

con k = 2µE/~2 , y donde Ul (0) =0,

πl Ul = sen kr − + δl 2

(8.117) para r → ∞.

Si V ′ (r) difiere muy poco de V (r), entonces (8.116) es: l(l + 1) 2µV ′ (r) d2 Ul 2 + k − − Ul = 0. dr2 r2 ~2

(8.118)

(8.119)

Multiplicando (8.116) por U′l y (8.119) por Ul y rest´ andolas , se obtiene: U′l

d2 U′l 2µ d2 Ul − U = 2 (V (r) − V ′ (r))U′l Ul . l 2 2 dr dr ~

Integrando la anterior expresi´ on: Z ∞ Z Z ∞ 2 d2 U′l 2µ ∞ ′ d Ul Ul 2 dr − (V (r) − V ′ (r))U′l Ul dr Ul 2 dr = 2 dr dr ~ 0 0 0 k sen(δl′

2µ − δl ) = 2 ~

Z

0

∞

(V (r) − V ′ (r))U′l Ul dr.

Si ahora ∆V = V − V ′ ≈ 0, U′l ≈ Ul , entonces se tiene: Z 2µ ∞ ′ ∆V U2l dr, k(δl − δl ) = 2 ~ 0

(8.120)

(8.121)

(8.122)

(8.123)

´ PERTURBATIVA 8.4. APROXIMACION

253

y asi: 2µ k~2

δl′ = δl −

Z

0

∞

∆V U2l dr.

(8.124)

En particular, si el potencial dispersor es peque˜ no, entonces la teor´ıa de perturbaciones es aplicable, y por lo tanto del problema no perturbado se tiene: r πkr (8.125) Ul (r) = J 1 (kr). 2 l+ 2 Si V ′ (r) ≈ 0 → δl′ = 0, entonces (8.124) es: Z 2µk ∞ δl = − 2 V (r)U2l dr, ~ 0

(8.126)

de donde: δl = −

8.4.

πµ ~2

Z

∞

0

2 V (r)Jl+ 1 (kr)rdr.

(8.127)

2

Aproximaci´ on perturbativa

En la secci´ on anterior se enfatiz´ o sobre la importancia que tiene la secci´ on eficaz por ser el puente de contacto entre la teor´ıa y el experimento. Sin embargo, en general, es necesario realizar una correcci´ on a los resultados te´ oricos para que puedan ser comparados con el experimento. La raz´ on de esta correcci´ on se debe a que un proceso de dispersi´ on es fundamentalmente un proceso de dos cuerpos mas que un proceso de uno solo, y es necesario dar cuenta del retroceso de la part´ıcula blanco. El estudio de las interacciones de los dos cuerpos muestra que no existe ninguna dificultad de car´ acter matem´ atico para que este sistema no sea equivalente al sistema de un cuerpo en el que el centro de masa est´ a en reposo. La teor´ıa normalmente presenta los resultados en el sistema de centro de masa, (CM ), mientras que los experimentos son llevados con una de las part´ıculas inicialmente en reposo (excepto en los experimentos de aceleradores de part´ıculas donde dos haces colisionan). Los datos son obtenidos en el sistema de laboratorio y es conveniente ver como ellos se transforman de un sistema a otro.

8.4.1.

Sistema de coordenadas

Considérese inicialmente el problema cl´ asico de una part´ıcula de masa m1 aproxim´ andose a una part´ıcula blanco de masa m2 con una velocidad v1 tal como se muestra en la figura 8.17. El centro de masa del sistema se mueve hacia la derecha con velocidad v¯ =

m1 v1 . m1 + m2

(8.128)

254


m1

b

v1

m2

v¯b

b

CM

Figura 8.17: Centro de masa de m1 y m2 .

La energ´ıa cinética total 12 m1 v12 se divide en una parte relativa al movimiento del centro de masa y otra relativa al movimiento con respecto al centro de masa: 1 1 1 m1 v12 = (m1 + m2 )¯ v 2 + µ v12 , 2 2 2

(8.129)

con µ la masa reducida, dada por: µ=

m1 m2 . m1 + m2

(8.130)

En c´ alculos de dispersi´ on, la energ´ıa cinética representa la energ´ıa total del sistema, puesto que la energ´ıa potencial es efectivamente cero salvo en regiones muy peque˜ nas donde las interacciones se dan. De esta forma la energ´ıa cinética cambia de una forma tal que la energ´ıa total sea constante. En términos de la velocidad inicial v1 , se deben distinguir dos energ´ıas: EL =

1 mv12 , 2

EC =

1 µ v12 , 2

(8.131)

donde L significa laboratorio y C centro de masa. Las energ´ıas dadas en conexi´ on con los datos experimentales de dispersi´ on son energ´ıas de laboratorio, y as´ı, de entrada en las f´ ormulas te´ oricas se debe usar: EC =

m2 µ EL = EL . m1 m1 + m2

(8.132)

El proceso de colisi´ on que sigue de la figura 8.17, se muestra en la figura 8.18. Se observa que el proceso de dispersi´ on resulta m´ as simple de describir en el sistema centro de masa, ya que en todo instante las dos part´ıculas tienen igual y opuesto momento. Puesto que para colisiones el´ asticas la energ´ıa cinética no cambia, se sigue que todos los cuatro momentos, entrantes y salientes, son iguales en magnitud, as´ı que cada part´ıcula sale de la colisi´ on con la misma velocidad con que lleg´ o. Estas velocidades son: vC =

m2 m2 v1 = v¯, m1 + m2 m1

(8.133)

vC =

m1 v1 = ¯v. m1 + m2

(8.134)

255


vC′

v1′

b

m1 b

m1 θL

v1

θC

vC

bCM

b v¯

vC

CM

m2 b

b

vC′

m2 v2′ (a) En sistema de laboratorio

(b) Desde el sistema centro de masa

Figura 8.18: Colisión de dos part´ıculas vista a partir del sistema de laboratorio, (a), y del sistema centro de masa, (b). La conveniencia del sistema de centro de masa se debe al hecho que vC′ = vC y vC′ = vC .

Ya que los dos sistemas se encuentran en movimiento relativo con una velocidad − → v¯ , las velocidades de la figura 8.18 se encuentran relacionadas por − → ~vL = ~vC + v¯ ;

− → ~vL = ~vC + v¯ .

(8.135)

Al enfocar la atenci´ on en la trayectoria de la part´ıcula incidente, es conveniente representar el posible proceso de dispersi´ on a través de un diagrama vectorial de (8.135) como se muestra en la figura 8.19. Se observa que si m2 < m1 , el ´ angulo de dispersi´ on m´ as grande que puede ocurrir

~vc

~v L

~v L

θC

− → θL v¯

− → v¯

θL

~vc θC

m2 < m1 , vc < v¯

m2 > m1 , vc > v¯

Figura 8.19: Diagrama vectorial de velocidades para m2 < m1 y m2 > m1 .

est´ a dado por sen θLmáx =

m2 vc = , v¯ m1

(8.136)

256


mientras que para m2 > m1 , todos los ańgulos son posibles. La conexi´ on entre los ´ angulos de dispersi´ on de los dos sistemas, seg´ un la figura 8.19, es para los dos casos: tan θL =

vc sen θC , v¯ + vc cos θC

o lo que es lo mismo: tan θL =

sen θC . m1 /m2 + cos θC

(8.137)

Un caso particular se presenta si m1 ≈ m2 (por ejemplo en la dispersi´ on neutr´ onprot´ on). La expresi´ on (8.137) se reduce a: tan θL =

sen θC = tan 21 θC , 1 + cos θC

o equivalentemente θL =

1 θC . 2

Para m2 ≫ m1 , se observa que tan θL = tan θC , y las descripciones en el laboratorio y en el centro de masa son las mismas. Ahora se estudiar´ a como se transforma la secci´ on eficaz de dispersi´ on de un sistema de coordenadas a otro. Los resultados experimentales son normalmente publicados en coordenadas del centro de masa. Estas son las coordenadas en las que los c´ alculos son hechos. Para lo anterior es necesario trasladar los datos de laboratorio a coordenadas de centro de masa. La tasa de conteo que mide el detector no depende del sistema de coordenadas en que sea observada, as´ı: dσ dσ sen θC dθC dφ = sen θL dθL dφ, (8.138) dΩ C dΩ L en la que los a ńgulos φ son el mismo. De esta forma se puede escribir que: sen θL dθL d(cos θL ) dσ dσ dσ = . (8.139) = dΩ C dΩ L sen θC dθC d(cos θC ) dΩ L Para evaluar la derivada, se reescribe (8.137) como: cos θL =

γ + cos θC , sen θC / sen θL

γ=

m1 vc = . m2 v¯

De la figura (8.19) se encuentra que: vL2 = (¯ v + vC cos θC )2 + vC2 sen2 θC

(8.140)


257

= v¯2 + vC2 + 2¯ v vC cos θC ,

(8.141)

vL sen θL = vC sen θC ,

(8.142)

y también se encuentra que:

Reemplazando vL por (8.141), se obtiene que: p sen θC vL = = 1 + 2γ cos θC + γ 2 , sen θL vC

(8.143)

y reemplazando (8.143) en (8.140) se obtiene: γ + cos θC cos θL = p . 1 + 2γ cos θC + γ 2

(8.144)

Realizando la derivada respecto a cos θC y reemplazando en (8.139) se encuentra:

dσ dΩ

=R

C

dσ dΩ

,

(8.145)

L

donde R=

1 + 2γ cos θC . (1 + 2γ cos θC + γ 2 )3/2

(8.146)

Para el caso particular de masas iguales, se obtiene que (8.145) es

dσ dΩ

C

1 = 4

dσ dΩ

sec 21 θC .

(8.147)

L

Las anteriores relaciones no son relativistas y por tanto no se usan en f´ısica de part´ıculas. Cabe mencionar que para obtenerlas se han usado las leyes de conservaci´ on del momento y la energ´ıa, que hasta donde se sabe son v´ alidas en el tratamiento cu´ antico del problema.

8.4.2.

Tratamiento a primer orden

En esta secci´ on se considerar´ a la dispersi´ on de una part´ıcula como la transici´ on de un estado inicial de momento inicial a un estado final de momento diferente pero de igual energ´ıa, usando la teor´ıa de transiciones dependientes del tiempo desarrollada en el cap´ıtulo 3. El sistema se ilustra en la figura 8.20. La part´ıcula incidente se describe a través de una onda plana viajando hacia el centro dispersor de momento ~ ~k. Este centro dispersor est´ a descrito por un potencial débil de corto rango. Por efecto de la interacci´ on con el centro dispersor la part´ıcula se dispersa, cambiando su momento

258


Momento inicial

~ ~k

Centro dispersor b Mo me nto fi

~ k~

b

na

l

Detector

Figura 8.20: Estados de momento inicial y final en un proceso dispersivo

y ahora queda descrita por una onda plana de momento ~~kb . El interés se centra en calcular la probabilidad de que tal transici´ on se de por unidad de tiempo. Aplicado a un haz de muchas part´ıculas, esto conduce a la figura de tasa de conteo. b representa la energ´ıa cinética de la part´ıcula incidente y disEl hamiltoniano H b ′ causa persada libre. El potencial dispersor (presente en el centro dispersor) H las transiciones del estado inicial a un grupo de estados dispersados ψS , los cuales se expanden en términos de los estados de part´ıcula libre ψn(0) : ψS =

X n

Cn (t) ψn(0) (t) =

X

Cn (t) ψn(0) e−iEn t/~.

(8.148)

n

Lo anterior es posible ya que cuando las part´ıculas dejan el centro dispersor, en direcci´ on al detector, son libres. Sea la funci´ on de onda de part´ıcula libre dependiente del tiempo representando el estado inicial ψa(0) y sea ψb(0) el estado final contado por el detector luego de la interacci´ on con el centro dispersor, entonces la probabilidad de encontrar la part´ıcula en el estado ψb en un tiempo t es: Pb = | Cb (t) |2 ,

(8.149)

y por lo tanto la tasa de conteo que observa el detector dentro de un ancho de estados ¯b es (Regla de oro de Fermi): d Pb 2π = dt ~

(0) b ′ (0) 2 ψb H (t) ψa ρ¯b (Ea(0) ) = dN (θ).

(8.150)

Recordando que la secci´ on eficaz diferencial de dispersi´ on se puede escribir como 1 dN (θ) dσ = , dΩ L dΩ

(8.151)

259


dN es la fracci´ on de part´ıculas detectadas por el donde L es la luminosidad y dΩ contador correspondientes a un elemento de ańgulo s´ olido, entonces reemplazando (8.150) en (8.151), se obtiene:

8.4.3.

2πρ¯b (Ea(0) ) (0) b ′ (0) 2 dσ = ψb H (t) ψa . dΩ ~LdΩ

(8.152)

Densidad de estados

En la expresi´ on (8.152) hace falta calcular ρ¯b (Ea(0) ), lo cual se hace suponiendo la part´ıcula libre, en un volumen Q = L3 . La soluci´ on general de la ecuaci´ on de ~ Schr¨ odinger para este problema es una onda plana ψ( ~r ) = Aei k·~r con condiciones de periodicidad dadas por kx =

2πnx , L

ky =

2πny , L

kz =

2πnz , L

donde nx , ny y nz son enteros (positivos, negativos o cero). Una combinaci´ on espec´ıfica de nx , ny y nz representa un estado de movimiento de la part´ıcula. La situaci´ on en dos dimensiones, es representada gr´ aficamente en la figura 8.21, ρ

ny 5

b

b

b

b

b

4

b

b

b

b

b

3

b

b

b

b

b

2

b

b

b

b

b

1

b

b

b

b

b

dθ

ρ

nx

0 0

1

2

3

4

5

6

Figura 8.21: Densidad de estados en el caso bidimensional.

en donde se observa que hay un estado por unidad de a´rea en el diagrama, uno por unidad de volumen en tres dimensiones. De esta forma, un elemento de volumen dnx dny dnz , define un n´ umero de estados: dN = dnx dny dnz =

Q dkx dky dkz , (2π)3

260


o lo que es lo mismo: dN =

Q Q d~k = d~ p. (2π)3 (2π ~)3

(8.153)

Resulta conveniente reconsiderar esto en términos de un elemento de volumen en un espacio de fase de seis dimensiones cuyas coordenadas son x, y, z, px , py , pz . Si el elemento de volumen Q es peque˜ no, entonces dN , se puede escribir como: dN =

dx dy dz dpx dpy dpz d 6φ = , 3 (2π ~) (2π ~)3

(8.154)

de donde se puede concluir que el volumen en el espacio de fase ocupado por un estado cu´ antico es (2π ~)3 . En el espacio de fase, una part´ıcula de momento fijo p tiene asociado un volumen total (igual al n´ umero posible de estados de movimiento) dado por: Z Z Z Q Q d~ p= p2 dp dΩ N = dN = 2π ~ 2π ~ Q = (2π ~)3

Zp

2

p dp

0

=

Z

dΩ

4 Q Q π p3 = Ve , 3 (2π ~) 3 (2π ~)3

(8.155)

donde Ve es el volumen de la esfera de radio p, en el espacio de momentos. As´ı, el numero total de estados posibles para una part´ıcula de momento fijo p, es igual Q a veces el volumen de la esfera Ve . (2π ~)3 Para el cono direccional con momento l´ımite p (figura 8.22), el volumen en el Q veces el volumen del cono dVc . espacio de fase es (2π ~)3 De esta forma el n´ umero total de estados N¯b es: N¯b =

Q Q 1 3 dVc = p dΩ. 3 3 (2π ~) (2π ~) 3

(8.156)

Regresando a la definici´ on de la densidad de estados ρb (E), o sea al n´ umero de estados por unidad de rango de energ´ıa, se observa que la densidad de estados en el ancho de estados ¯b que el detector puede medir es: ρ¯b (Ea(0) ) =

N¯ dP dN¯b = b . dEa(0) dP dEa(0)

(8.157)

La part´ıcula libre no relativista de masa µ que incide sobre el centro dispersor tiene un momento fijo p~a . Esta part´ıcula es dispersada cambiando su estado de


261

dΩ θ

dVc =

1 3 p dΩ 3

Figura 8.22: Cono direccional en el espacio de momentos.

movimiento para tener un momento p~b . Ya que se est´ a considerando una dispersi´ on completamente el´ astica y por tanto la energ´ıa se conserva, (Ea(0) = Eb(0) o lo p~ 2 p~ 2 que es lo mismo a = b , de donde p2a = | p~a |2 = | p~b |2 = p2b ) entonces, aunque el 2µ 2µ momento de la part´ıcula incidente puede cambiar por efecto del centro dispersor su magnitud permanece igual, es decir |~ pa | = |~ pb | ≡ p. p2 , La energ´ıa de la part´ıcula incidente, con momento de magnitud p, es Ea(0) = 2µ de donde se obtiene que: µ dp = . (0) dEa p

(8.158)

De la expresi´ on (8.156) es posible obtener: dN¯b p2 dΩ =Q , dp (2π ~)3

(8.159)

y por lo tanto reemplazando (8.158) y (8.159) en (8.157), se concluye que la densidad de estados en el ancho ¯b que el detector puede medir es: ρ¯b =

8.4.4.

Qµ Qµ p dΩ = ~ k dΩ. (2π ~)3 (2π ~)3

(8.160)

Secci´ on eficaz de dispersi´ on

Ahora se puede evaluar la secci´ on eficaz diferencial dada por (8.152). Se ha considerado una part´ıcula simple dentro de un volumen Q, donde se ha asumido que inicialmente se encuentra en un estado de momento bien definido p~a . El estado de esta part´ıcula se representa por una funci´ on de onda plana de momento

262


p~a = ~ ~ka que uniformemente llena el volumen Q. De esta forma la funci´ on de onda normalizada est´ a dada por: ~

ψa(0) = Q−1/2 ei ka ·~r .

(8.161)

La part´ıcula incide sobre un centro dispersor y es dispersada cambiando su estado de movimiento a p~b = ~ ~kb (figura 8.23). En este estado la part´ıcula queda descrita por la funci´ on de onda plana: (0)

ψb

~

= Q−1/2 ei kb ·~r ,

(8.162)

que también llena completamente el volumen Q.

~k b

θ

b

~ka

Detector

Centro dispersor

Figura 8.23: Diagrama en el espacio de momentos de la dispersión de una part´ıcula de masa µ.

b ′ (t) sobre la El centro dispersor se caracteriza por producir una perturbaci´ on H part´ıcula. Debido a que la colisi´ on es el´ astica, la energ´ıa se conserva y entonces | ~ka | = | ~kb | ≡ k. La densidad de part´ıculas del haz incidente es Q−1 , puesto que ésta puede identificarse con la densidad de probabilidad. La part´ıcula incidente, al p ~k tener momento bien definido de magnitud p = ~ k, tiene velocidad v = = . µ µ Ya que la luminosidad (L) del haz incidente es el n´ umero de part´ıculas (N ) que atraviesan una secci´ on transversal de a´rea A en un tiempo ∆t, es decir: L=

N , A ∆t

(8.163)

entonces, durante el tiempo ∆t las N part´ıculas que han atravesado la secci´ on transversal de ´ area A, se encuentran ocupando un volumen V = Ad, donde d es la distancia m´ axima recorrida por algunas part´ıculas en el tiempo ∆t, o sea d = v∆t, (figura 8.24). De esta forma el volumen V es: V = Ad = A

~k ∆t. µ

(8.164)


263

d = v ∆t

− → N

N

A

Figura 8.24: Volumen V = Ad ocupado por las N part´ıculas que atraviesan la sección transversal A en el tiempo ∆t.

En el volumen V hay N part´ıculas, as´ı la densidad de part´ıculas es: Q−1 =

N N = ~k , V A µ ∆t

(8.165)

de donde: ~k N = . A∆t µQ

(8.166)

Reemplazando (8.166) en (8.163) se obtiene que la luminosidad se puede escribir como: L=

~k . µQ

(8.167)

Finalmente, reemplazando (8.160) y (8.167), en la expresi´ on de secci´ on eficaz diferencial (8.152), se obtiene dσ = dΩ

µQ 2π~2

2 (0) b ′ (0) 2 ψb H (t) ψa .

(8.168)

Teniendo en cuenta que la secci´ on eficaz diferencial de dispersi´ on corresponde a dσ la norma al cuadrado de la amplitud de dispersi´ on ( = | F (θ) |2 ), entonces la dΩ amplitud de dispersi´ on queda escrita como: F (θ) = −

µQ (0) b ′ (0) ψ H (t) ψa , 2π~ b

(8.169)

264


donde el signo menos se ha introducido por convenci´ on. As´ı, para conocer F (θ)

(0) ′ (0) b hace falta u ńicamente evaluar la integral ψb H (t) ψa , lo cual se hace una vez conocida la forma del potencial dispersor.

8.4.5.

La aproximaci´ on de Born

El resultado (8.169) fue obtenido por primera vez por Max Born en 1926. Aunque este resultado no es del todo satisfactorio, pues conduce a conclusiones algunas veces enga˜ nosas, contiene un excelente truco que permite entender los procesos de colisi´ on de una forma directa. El truco impl´ıcito en la expresi´ on (8.169) es suponer que la funci´ on de onda exacta en las vecindades del centro dispersor no es muy diferente de la que se tendr´ıa en ausencia del potencial dispersor. b ′ es una interacci´ Si la perturbaci´ on H on que se puede describir por una funci´ on (0) potencial V ( ~r ), entonces, introduciendo los estados no perturbados ψa y ψb(0) dados por (8.161) y (8.162) en (8.169), se obtiene: Z µ 1 1 F (θ) = − Q e−i~kb ·~r 1/2 ei~ka ·~r V ( ~r ) d~r 1/2 2π~2 Q Q µ =− 2π~2

Z

ei(~ka −~kb )·~r V ( ~r ) d~r.

(8.170)

~ka ~k = ~ka − ~kb

θ ~kb

Figura 8.25: Definición del vector ~k. En la gráfica θ es el ángulo de dispersión y | ~ka | = | ~kb | = ka .

N´ otese que Q se cancela, lo cual es natural si se tiene en cuenta que la secci´ on eficaz no depende del tama˜ no del laboratorio. Si V ( ~r ) es un potencial central, es decir con simetr´ıa esférica, la integraci´ on angular de (8.170) se puede realizar sin dificultad. Eligiendo como eje polar el vector ~k, dado por: (figura 8.25): ~k = ~ka − ~kb ,

(8.171)

(~ka − ~kb ) · ~r = ~k · ~r = kr cos η,

(8.172)

entonces


265

donde k, la longitud de ~k, es: k = 2ka sen 2θ

(8.173)

y η es el ´ angulo entre los vectores ~k y ~r. La integral en (8.170) dada por Z∞ 0

2

r dr

Zπ

sen η dη

0

Z2π

dφ eikr cos η V (r),

0

se puede realizar sobre las variables angulares φ y cos η, obteniéndose 4π

Z∞

sen kr V (r)r2 dr, kr

0

de donde, (8.170) se puede escribir como 2µ F (θ) = − 2 ~ k

Z∞

sen(kr)V (r) r dr.

(8.174)

0

Este resultado est´ andar de la aproximaci´ on, se conoce como primera aproximaci´ on de Born debido a que el reemplazo de las funciones de onda se hace con las funciones del sistema sin perturbar, obtenido con la teor´ıa de perturbaciones dependiente del tiempo en la aproximaci´ on de primer orden.

8.4.6.

Secci´ on eficaz de Rutherford

Debido a su importancia, se considera como un ejemplo de aplicaci´ on de la primera aproximaci´ on de Born el caso de la dispersi´ on de una part´ıcula cargada debido a el potencial de Coulomb. El largo rango del potencial 1/r implica que muchas de la formulaciones de la teor´ıa de dispersi´ on no son directamente aplicables a este potencial y en particular la aproximaci´ on de ondas parciales introducida en la secci´ on 8.2 no se puede usar en este caso. Con el fin de calcular la amplitud de dispersi´ on para el potencial de Coulomb, es necesario introducir un factor de convergencia µ y escribir e2 e2 → Vc (r, µ) = A e−µ r . (8.175) r r para la interacci´ on de dos cargas de igual signo ± e. El potencial dado por (8.175) es el de Yukawa con un rango finito de aproximadamente R ∼ 1/µ. Al final de los c´ alculos se har´ a µ → 0 y as´ı se recuperar´ a el rango infinito del potencial. Reemplazando (8.175) en (8.174), se obtiene: Vc (r) = A

F (θ) = F (k) = −

2µ ~2

Ae2 k

Z∞ 0

dr e−µr sen(kr)

266


=−

2µ Ae2 ~2

µ2

1 . + k2

(8.176)

Tomando el l´ımite µ → 0, la amplitud de dispersi´ on para el haz de part´ıculas cargadas dispersadas v´ıa el potencial de Coulomb es: 2µ Ae2 1 F (k) = − , (8.177) 2 ~ k2 y por lo tanto la secci´ on eficaz diferencial puede escribirse como dσ = dΩ

2

2µ Ae2 ~2 k 2

=

Ae2 4Ea(0)

2

1 sen4 (θ/2)

,

(8.178)

p donde se ha usado el hecho que k = 2ka sen(θ/2) y ~ka = 2mEa(0) . El resultado (8.178) es la misma secci´ on eficaz de Rutherford obtenida usandσ (θCM ) mb/ster dΩ rs

108

F´ ormula de Rutherford rs

107

rs rs rs Iones

de O16 sobre Au

rs rs

106

rs

105

rs

104

rs rs

103 102

0

20

40

60

rs

rs

80

rs

100

rs rs rs

120

rs

θCM

Figura 8.26: Sección eficaz diferencial para la dispersión de Rutherford de ox´ıgeno ionizado sobre n´ ucleos de oro ilustrando la fórmula de Rutherford. Datos tomados por Bromley, Kuehner y Almqvist (1961). D.A. Bromley, J.A. Kuehner and E. Almqvist, Phys. Rev. 123 (1961) 878.

do técnicas puramente cl´ asicas y se observa que cuando la secci´ on eficaz queda (0) descrita en términos del observable energ´ıa Ea , esta no contiene expl´ıcitamente factores de ~, lo cual es un comportamiento u ńico de la dispersi´ on de Coulomb

267

8.5. EJERCICIOS

mostrando de manera sugestiva la u ńica correspondencia con el resultado cl´ asico. El resultado (8.178) puede f´ acilmente generalizarse a la dispersi´ on de cargas Z1 e por un potencial de carga Z2 e por el simple reemplazo de e2 → Z1 Z2 e2 . Esto ha sido verificado para muchos sistemas, y quien lo hizo por primera vez fue Ernest Rutherford en 1911 para la dispersi´ on de part´ıculas α (n´ ucleos de Helio, Z1 = 2) por n´ ucleos de oro (Z2 = 79). En la figura 8.26 se muestra los datos de dispersi´ on de n´ ucleos de ox´ıgeno (Z1 = 8) sobre n´ ucleos de oro, confirm´ andose experimentalmente la dependencia caracter´ıstica de la forma 1/ sen4 (θ/2). La expresi´ on exacta para la amplitud de dispersi´ on de Coulomb puede obtenerse al solucionar la ecuaci´ on de Schr¨ odinger en coordenadas parab´ olicas. (Véase Quantum Mechanics, Leonard I. Schiff, Mc Graw Hill International Editions, 1968.)

8.5.

Ejercicios

1. Considérese la dispersi´ on de part´ıculas de masa m por el potencial paso atractivo finito tridimensional  −V0 para r < a, V (r) = 0 para r > a. Calcule la secci´ on eficaz diferencial y la secci´ on eficaz total para los casos ~ de bajas energ´ıas (k · ~r → 0) y altas energ´ıas, en la aproximaci´ on de Born.

2. Considérese la dispersi´ on de part´ıculas cargadas con un a´tomo neutro. El campo de Coulomb del n´ ucleo es apantallado por los electrones orbitales −1 a una distancia µ del orden de un radio de Bohr. El potencial V (r) es A V (r) = − e−µr . Usando la aproximaci´ on de Born, calcule las secciones r eficaces diferencial y total. 3. Neutrones de masa m y energ´ıa E est´ an incidiendo sobre un potencial atractivo esféricamente simétrico dado por: ( −V0 V (r) = [2mm]0

r < a, r > a.

el cual representa una fuerza nuclear entre el neutr´ on y un n´ ucleo. Si la ~ muestre que: velocidad de los n´ ucleos satisface v ≪ ma a) La dispersi´ on es esféricamente simétrica.

268


b) El corrimiento de fase δ0 para la onda S se puede escribir como δ0 = arctan( kk′ tan k ′ a) − ka, con k2 =

2mE ~2

2

k′ =

y

2m(V0 + E) . ~2

c) La longitud de dispersi´ on es b ≡ − l´ım tan δ0 /k k→0

b = a(1 −

tan y y ),

con √ a 2mV0 . y= ~ d ) La secci´ on eficaz es  2 tan k0 a  2  −1  4π a k0 a σ0 =   16π a6 V 2 µ2   0 a ~4

para k0 ≈ 0, para k0 a ≪ 1.

4. Encuentre los niveles discretos para una part´ıcula en el potencial atractivo: V (r) = −V0 e−r/a

para l = 0.

Encuentre tambien el corrimiento de fase δ0 para este potencial y discuta la relaci´ on entre δ0 y el espectro discreto. 5. Considere la colisi´ on de part´ıculas idénticas con una energ´ıa de interacci´ on V (r). Encuentre la secci´ on eficaz efectiva para la dispersi´ on de part´ıculas idénticas en el caso de fuerzas de corto rango.

Ap´ endice A

Part´ıcula en pozo cuadrado infinito A.1.

Pozo unidimensional

A continuaci´ on se resuelve la ecuaci´ on de valores propios (1.2) del operador b 0 , para el caso de una part´ıcula libre, de masa m, restringida a moverse a lo largo H del eje x, en el intervalo (0, a). En los puntos 0 y a existen barreras infinitas de potencial que no permiten que la part´ıcula pueda moverse fuera de este intervalo. Por lo anterior, en el intervalo mencionado, el operador Hamiltoniano del sistema b 0 = pb2x /2m. Para este caso, la ecuaci´ es H on de valores propios en la representaci´ on de coordenadas es (0) ~2 d 2 ψ n x (0) (0) − = E ψ x . (A.1) n n 2m dx2 La anterior ecuaci´ on diferencial se puede escribir de forma equivalente como d2 ψn(0) x + kn2 ψn(0) x = 0, (A.2) 2 dx

en donde se ha definido:

kn2 =

2mEn(0) . ~2

La soluci´ on mas general de (A.2) esta dada por ψn(0) x = A sen kn x + B cos kn x.

(A.3)

(A.4)

Ya que el movimiento de la part´ıcula libre est´ a restringido al intervalo (0, a), en(0) tonces la soluci´ on planteada debe satisfacer las condiciones de frontera ψn (0) = (0) ψn (a) = 0. La condici´ on de frontera, para el caso x = 0, implica que ψn(0) (0) = A sen 0 + B cos 0 = B = 0, 269

270

´ APENDICE A. PARTÍCULA EN POZO CUADRADO INFINITO

y as´ı, la soluci´ on mas general de la ecuaci´ on (A.2) adquiere la forma ψn(0) x = A sen kn x.

(A.5)

La condici´ on de frontera, para el caso x = a, conduce a ψn(0) (a) = A sen kn a = 0,

por lo cual se concluye que para poder tener soluciones no nulas en el intervalo (0, a), con A 6= 0 en (A.5), es indispensable que sen kn a = 0, lo cual es posible si se satisface que kn a = 0, ± π, ± 2π, · · · , o equivalentemente, si se cumple que kn =

nπ , a

con n = 1, 2, 3, . . . ,

resultado que, teniendo en cuenta (A.3), permite encontrar los niveles de energ´ıa del sistema En(0) =

n 2 π 2 ~2 ~2 kn2 = ; 2m 2ma2

n = 1, 2, 3, . . .

(A.6)

Las funciones de onda, dadas por (A.5) con n = 1, 2, 3, . . ., para que tengan una adecuada interpretaci´ on probabil´ıstica deben satisfacer la condici´ on de normalizaci´ on Za 0

(0) 2 ψn x dx =

Za 0

|A|2 sen2 (kn x)dx = |A|2

a = 1, 2

con lo cual, se encuentra que las funciones de onda de probabilidad, que describen los estados mec´ anico-cu´ anticos de la part´ıcula en el pozo cuadrado infinito unidimensional, est´ an dadas por r 2 (0) sen nπx ψn x = ; n = 1, 2, 3, . . . (A.7) a a

Ap´ endice B

El oscilador arm´ onico cu´ antico libre B.1.

Oscilador unidimensional

b 0 para el oscilador arm´ La ecuaci´ on de valores propios del operador H onico unidimensional libre, en la representaci´ on de coordenadas, es (0) ~2 d 2 ψ n x 1 − (B.1) + mω 2 x2 ψn(0) x = En(0) ψn(0) x , 2 2m dx 2

ecuaci´ on diferencial que puede reescribirse como (0) mω 2 (0) 2En(0) (0) ~ d2 ψ n x (B.2) + x ψn x = ψ x . − mω dx2 ~ ~ω n r mω mω 2 Introduciendo el cambio de variable ξ = x; ξ 2 = x y llamando ~ ~ 2En(0) , la anterior ecuaci´ on toma la siguiente forma Kn = ~ω (0)

d2 ψn − + ξ 2 ψn(0) = Kn ψn(0) , dξ 2

(0)

(0) d2 ψn 2 ψn . = ξ − K n dξ 2

o,

(B.3)

Para ξ → ∞, el término ξ 2 domina sobre Kn y (B.3) se puede aproximar a (0)

d2 ψ n ≈ ξ 2 ψn(0) , dξ 2

(B.4)

cuya soluci´ on es de la forma ψn(0) (ξ)

≈ Ae

ξ2 −2

271

+ Be

ξ2 2 .

(B.5)

272

´ ´ ´ APENDICE B. EL OSCILADOR ARMONICO CUANTICO LIBRE

(0)

Teniendo en cuenta que para ξ → ∞, x → ∞, ψn (∞) → 0, es decir ψn(0) (∞) ≈

A

e∞

+ B e∞ = 0,

(B.6)

entonces en (B.5) se tiene que B = 0, y por lo tanto la soluci´ on f´ısicamente aceptable tiene la forma ξ2

ψn(0) (ξ) ∼ e− 2 .

(B.7)

La soluci´ on de (B.3) debe dar cuenta del comportamiento para ξ peque˜ nos, por lo cual se asume una soluci´ on general de la forma: ξ2

ψn(0) (ξ) = hn (ξ)e− 2 ,

(B.8)

donde la funci´ on hn (ξ) da cuenta del comportamiento para ξ peque˜ nos. Derivando (B.8), con respecto a ξ, se obtiene (0)

dψn = dξ

dhn − ξhn dξ

ξ2

e− 2 ,

(B.9)

resultado que al derivarse nuevamente conduce a (0)

d2 ψ n = dξ 2

d2 hn dhn − 2ξ + (ξ 2 − 1)hn dξ 2 dξ

ξ2

e− 2 .

(B.10)

Reemplazando (B.8) y (B.10) en (B.3), la ecuaci´ on diferencial se convierte en dhn d2 hn − 2ξ + (Kn − 1)hn = 0. dξ 2 dξ

(B.11)

Se propone una soluci´ on de (B.11) en términos de una serie de potencias en ξ, de la siguiente manera 2

hn (ξ) = a0 + a1 ξ + a2 ξ + · · · =

∞ X

aj ξ j .

(B.12)

j=0

Derivando (B.12) término a término, respecto a ξ se tiene ∞

X dhn j aj ξ j−1 , = a1 + 2a2 ξ + 3a3 ξ 2 + · · · = dξ

(B.13)

j=0

∞

X d2 hn 2 = 2a + 2 · 3a ξ + 3 · 4a ξ + · · · = (j + 1)(j + 2) aj+2 ξ j , 2 3 4 dξ 2 j=0

(B.14)

B.1. OSCILADOR UNIDIMENSIONAL

273

y reemplazando (B.12), (B.13) y (B.14) en (B.11) se encuentra que ∞ X j=0

[(j + 1)(j + 2)aj+2 − 2jaj + (Kn − 1)aj ] ξ j = 0.

(B.15)

De la unicidad de las expansiones en series de potencias, se puede concluir que en (B.15) los coeficientes de la serie deben ser cero, es decir: (j + 1)(j + 2)aj+2 − 2jaj + (Kn − 1)aj = 0,

(B.16)

y as´ı, se obtiene la formula de recurrencia: aj+2 =

2j + 1 − Kn aj , (j + 1)(j + 2)

(B.17)

la cual es completamente equivalente a la ecuaci´ on de valores propios (B.1). Desde el punto de vista operativo, la anterior formula permite que dado un a0 , se puedan generar los coeficientes a2 , a4 , a6 , . . . y dado un a1 se puedan generar los coeficientes a3 , a5 , a7 , . . . . Por conveniencia, los polinomios hn (ξ) se escriben de la siguiente manera hn (ξ) = hpar (ξ) + himpar (ξ),

(B.18)

donde hpar es la funci´ on par de ξ construida sobre a0 y himpar es la funci´ on impar de ξ construida sobre a1 , as´ı: hpar (ξ) ≡ a0 ξ + a2 ξ 2 + a4 ξ 4 + · · · 3

5

himpar (ξ) ≡ a1 ξ + a3 ξ + a5 ξ + · · · ,

(B.19) (B.20)

Por lo tanto, la ecuaci´ on (B.16) determina los hn (ξ) en términos de dos constantes arbitrarias (a0 y a1 ), como es de esperarse para una ecuaci´ on diferencial de segundo orden. Sin embargo, no todas las soluciones obtenidas pueden ser normalizadas. Para j muy grande, la f´ ormula de recurrencia (B.17) se convierte en aj+2 ≈

2 aj , j

(B.21)

donde se puede plantear como soluci´ on aproximada aj ≈

C , (j/2)!

(B.22)

siendo C una constante. Lo anterior conduce, para ξ grande (donde las potencias mayores dominan), a: hn (ξ) ≈ C

X

X 1 1 2 ξj ≈ C ξ 2k ≈ C eξ , (j/2)! k! k

(B.23)

274


(0)

y entonces ψn (ξ), a partir de (B.8), tendr´ıa la siguiente forma: ψn(0) (ξ) ≈ C eξ

2

ξ2

e− 2

ξ2

≈ Ce 2 ,

(B.24)

(0)

soluci´ on en la que para ξ → ∞, se tiene que ψn (ξ) → ∞. Este comportamiento para la soluci´ on anal´ıtica planteada no es f´ısicamente aceptable para una funci´ on de onda de probabilidad. Lo anterior implica que hay que modificar de alguna manera la soluci´ on hasta ahora obtenida. Para que las soluciones sean normalizables la serie de potencias se debe truncar en un valor j entero espec´ıfico (que se denominar´ a n), de tal forma que la f´ ormula de recurrencia conduzca a la restricción an+2 = 0. Para las soluciones f´ısicamente aceptables, se debe cumplir que Kn = 2n + 1 y con lo anterior la f´ ormula de recurrencia es aj+2 = −

2(n − j) aj , (j + 1)(j + 2)

(B.25)

y en consecuencia los valores propios de energ´ıa se relacionar´ an con los valores de n as´ı 2n + 1 =

2En(0) , ~ω

(B.26)

de donde se deduce que los valores propios de energ´ıa asociados a los estados cu´ anticos del oscilador arm´ onico unidimensional son 1 En(0) = n + ~ω para n = 0, 1, 2, . . . , (B.27) 2 Si n = 0, hay solamente un término en la serie (se toma a1 = 0 para eliminar himpar y j = 0 en (B.25)), esto implica que a2 = 0, por tanto h0 (ξ) = a0 ,

(B.28)

y as´ı, la funci´ on de onda del estado fundamental es (0)

ξ2

ψ0 (ξ) = a0 e− 2 .

(B.29)

Para n = 1 se escoge a0 = 0, y (B.25), con j = 1, conduce a a3 = 0, por lo tanto h1 (ξ) = a1 ξ,

(B.30)

siendo la funci´ on de onda para el primer estado excitado (0)

ξ2

ψ1 (ξ) = a1 ξ e− 2 .

(B.31)

´ Y DESTRUCCION ´ B.2. OPERADORES DE CREACION

275

Para n = 2, se escoge a1 = a3 = 0. Tomando j = 0, a2 = −2a0 , y con j = 2, a4 = 0. Por lo cual h2 (ξ) = (1 − 2 ξ 2 )

(B.32)

y de esta manera, la funci´ on de onda del segundo estado excitado es (0)

ψ2 (ξ) = a0 (1 − 2 ξ 2 )e −

ξ2 . 2

(B.33)

En general hn (ξ) son los polinomios de Hermite de grado n en ξ, denotados por Hn (ξ). Si n es entero par, la serie tiene solamente potencias pares. Si n es impar, la serie tiene potencias impares. El factor multiplicativo se escoge de tal forma que el coeficiente de la potencia m´ as alta de ξ sea 2n . Como consecuencia de todo lo anterior, la soluci´ on de la ecuaci´ on (B.1) para el oscilador arm´ onico unidimensional libre, conduce a que los niveles de energ´ıa est´ an dados por (B.27) y los estados cu´ anticos correspondientes est´ an representados por las funciones de onda (Figura B.1): ξ2 mω 1/4 1 √ ψn(0) x = Hn (ξ)e− 2 ; π~ 2n n!

con ξ =

q

mω ~ x,

(B.34)

donde Hn (ξ) son los polinomios de Hermite. Para los primeros valores de n, ellos son H0 = 1, H1 = 2ξ,

B.2.

H2 = 4ξ 2 − 2,

H3 = 8ξ 3 − 12ξ,

H4 = 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12.

Operadores de creaci´ on y destrucci´ on

Con el fin de estudiar las correcciones de segundo orden a la energ´ıa del estado fundamental y la correcci´ on de primer orden al estado fundamental, la b ′ = γ1 x perturbaci´ on anarm´ onica H b3 + γ2 x b4 puede reescribirse convenientemente 3 4 expresando los operadores x b yx b en términos de los operadores de creaci´ on y b b destrucci´ on. Para comenzar, se definen los operadores P y X como q q 1 b ≡ mω x pbx , X (B.35) Pb ≡ mω~ ~ b.

Los operadores de momento (b px ) y posici´ on (b x) del sistema, en términos de estos nuevos operadores, quedan expresados como q √ ~ b x b = mω X, (B.36) pbx = mω~Pb, b 0 del sistema libre, queda escrito como de manera que el operador H pb2x mω 2 2 ω~ b2 0 2 b b H = + x b = P +X . 2m 2 2

(B.37)

276


(0)

ψ1 (ξ)

(0) ψ0 (ξ)

r a r a

(0)

(0)

ψ2 (ξ)

ψ3 (ξ)

r a

r a

Figura B.1: Gráfica de algunas funciones propias del oscilador armónico.

Ahora se definen los operadores de creaci´ on (b a† ) y de destrucci´ on (b a) como: 1 b − iPb , (B.38) b a† ≡ √ X 2 1 b b a≡ √ X + iPb . 2

(B.39)

Sumando y restando (B.38) con (B.39), se obtiene respectivamente 2 b b a† + b a = √ X, 2

2 b a−b a† = i √ Pb, 2

(B.40)

b y Pb en términos de los operadores de donde es posible escribir los operadores X creaci´ on y destrucci´ on 1 b = √1 b X a† + b a , iPb = √ b a−b a† , (B.41) 2 2

´ Y DESTRUCCION ´ B.2. OPERADORES DE CREACION

277

y por lo tanto, se pueden expresar los operadores x b, x b2 , x b3 y x b4 , en términos † de b a yb a, as´ı q q ~ b ~ (B.42) x b = mω b a+b a† , X = 2mω x b2 = x bx b =

x b3 = x bx b2 = x b4 = x bx b3 =

~ 2mω

b ab a+b ab a† + b a† b a+b a† b a† ,

3/2 ~ b ab ab a+b ab ab a† 2mω +b a† b a† b a†

2 4 ~ (b a) 2mω

(B.43)

+b ab a† b a† + b a† b ab a†

+b ab a† b a+b a† b ab a+b a† b a† b a

(B.44)

,

+ (b a)3 b a† + (b a)2 (b a† )2 + b ab a† b ab a† + b a(b a† )3

+(b a)2 b a† b a+b ab a† (b a)2 + b a(b a† )2 b a+b a† (b a)3 + b a† (b a)2 b a†

+b a† b a(b a† )2 + (b a† )4 + (b a† )2 b ab a† + b a† b ab a† b a + (b a† )2 (b a)2 + (b a† )3 b a . (B.45) b 0 en términos de los operadores de creaci´ Para expresar H on y destrucci´ on, hay 2 2 b b que escribir X y P en funci´ on de estos operadores b2 = X bX b X

=

1 2

b ab a+b ab a† + b a† b a+b a† b a† ,

ab a+b ab a† + b a† b a+b a† b a† , Pb2 = (−iPb)(iPb) = − 12 b

sumando las dos anteriores expresiones se obtiene

b2 = b Pb2 + X ab a† + b a† b a,

y remplazando éste u ´ltimo resultado en (B.37), se tiene: † † b 0 = ω~ b a b a + b a b a . H 2

(B.46)

Las ecuaciones de valores propios de los operadores destrucci´ on y creaci´ on son √ (0) b a ψn(0) = n ψn−1 , (B.47) (0) √ b a† ψn(0) = n + 1 ψn+1 .

(B.48)

278


La aplicaci´ on sucesiva del operador creaci´ on sobre el estado fundamental, permite obtener todos los estados mec´ anico-cu´ anticos posibles del sistema, de la siguiente manera: n (0) (0) ψn = √1 b (B.49) a† ψ0 . n!

Se observa que el operador de destrucci´ on aplicado sobre el estado base, no puede (0) disminuir al estado, por lo tanto b a ψ0 = 0. Reemplazando las ecuaciones (B.47) y (B.48) en la ecuaci´ on (B.46), se obtiene: (0) b 0 ψn(0) = ω~ b H ab a† + b a† b a ψ n 2 (0) √ √ (0) √ ω~ √ n + 1 n + 1 ψn + n n − 1 + 1 ψn = 2 (0) = ω~ n + 12 ψn (0) = E n ψ n ,

lo cual est´ a en coherencia con los valores propios del oscilador arm´ onico unidimensional, previamente obtenidos. Por otro lado, la relaci´ on de conmutaci´ on entre los operadores b ayb a† es i h 1, o , b ab a† = b 1+b a† b a. (B.50) b a, b a† = b

b 0 , dado por (B.46), se obtiene Reemplazando este resultado en H b 0 = ω~ b 1+b a† b a+b a† b a = ω~ b a† b a + 12 , H 2

(B.51)

resultado con el cual es posible concluir que

(0) (0) b 0 ψn(0) = ω~ b a† b a + 21 ψn = ω~ n + 21 ψn , H

(B.52)

y as´ı es posible definir el operador n´ umero, como b =b N a† b a,

operador que satisface la siguiente ecuaci´ on de valores propios b ψn(0) = n ψn(0) , N

b. justificandose de ésta forma el nombre del operador N

(B.53)

(B.54)

Ap´ endice C

´ Atomo hidrogenoide C.1.

Paridad de las funciones de onda

b 0 de un a´tomo hidrogenoide libre, que tiene Z El operador hamiltoniano H protones en el n´ ucleo, est´ a dado por: 2 2 b 0 = pb − k Ze , H 2m r

(C.1)

b 0 es: donde k = 1/4πǫo . La ecuaci´ on de valores propios de H b 0 nlm = En(0) nlm . H

(C.2)

y los estados cu´ anticos quedan representados por las funciones de onda:

(0) ψnlm (r, θ, φ) = r nlm = Rnl (r)Ylm (θ, φ),

(C.4)

En el curso de Mec´ anica Cu´ antica I se resolvi´ o en detalle esta ecuaci´ on, obteniéndose que los niveles de energ´ıa de Bohr para este sistema son: 2 Ze2 m 1 (0) n = 1, 2, . . . (C.3) En = 2 2~ 4πε0 n2

donde los n´ umeros cu´ anticos principal (n), momento angular (l) y proyecci´ on del momento angular (m) en la direcci´ on del eje z, toman los valores: n = 1, 2, . . . l = 0, 1, 2, . . . , (n − 1) −l ≤ m ≤ l.

La funci´ on radial (Rnl (r)) en (C.4) tiene la forma: s l 2l+1 2r 2 3 (n − l − 1)! − r na Rnl (r) = L e n−l−1 na 2n[(n + l)!]3 na 279

2r na

,

(C.5)

280

´ ´ APENDICE C. ATOMO HIDROGENOIDE

4πε0 ~2 . En particular para Z = 1, se tiene que el radio de Bohr mZe2 p est´ a dado por aH = 0,529 × 10−10 m. La funci´ on Lq+p (x) representa a los polinomios asociados de Laguerre, dados por:

siendo a =

Lpq+p (x) = (−1)p

dp Lq (x) , dxp

(C.6)

donde Lq (x) denota a los polinomios de Laguerre, definidos como: Lq (x) = ex

dq dxq

e−x xq

.

(C.7)

Algunos de estos polinomios se muestran explicitamente en el Cuadro C.1. Polinomio de Laguerre

Polinomio asociado

L0 = 1

L00 = 1 ;

L1 = −x + 1

L01 = −x + 1 ; L11 = −2x + 4

L2 = x2 − 4x + 2

L10 = 1

L12 = 3x2 − 18x + 18

L3 − x3 + 9x2 − 18x + 6

L4 = x4 − 16x3 + 72x2 − 96x + 24 Tabla C.1: Algunos polinomios de Laguerre y asociados de Laguerre.

Las funciones angulares en (C.4) son los arm´ onicos esféricos (Ylm (θ, φ)) definidos como: Ylm (θ, φ) ≡ Θlm (θ)Φm (φ),

(C.8)

donde la funci´ on angular Θlm (θ) est´ a dada por: Θlm (θ) = Clm Plm (cos θ),

(C.9)

de tal forma que las funciones Plm (cos θ) representan a los polinomios asociados de Legendre, con las constantes de normalizaci´ on Clm tomando los valores: s (2l + 1) (l − |m|)! Clm = . (C.10) 4π (l + |m|)! La funci´ on angular Φm (φ) se define como: Φm (φ) = ǫ eimφ , donde la constante de normalizaci´ on ǫ toma los valores  (−1)m ; para m ≥ 0, ǫ= 1 ; para m < 0.

(C.11)

(C.12)

281

C.1. PARIDAD DE LAS FUNCIONES DE ONDA

Algunos polinomios asociados de Legendre son: P11 = sen θ,

P22 = 3 sen2 θ,

P10

P21

= cos θ,

P20 = 12 (3 cos2 θ − 1),

= 3 sen θ cos θ,

mientras que algunos arm´ onicos esféricos son: r r 1 3 0 0 Y0 = , Y1 = cos θ, 4π 4π

Y1±1

r

= ∓

3 sen θe±iφ . 8π

Como se puede observar, cuando se calculan correcciones de primer orden a los z P (r, θ, φ) θ

~r

y φ x

Figura C.1: Coordenadas esféricas (r, θ, φ).

niveles de energ´ıa de Bohr, resulta u ´til estudiar la paridad de las funciones de onda del ´ atomo hidrogenoide. Para hacer esto se usan coordenadas esféricas, tal como se representa en la Figura C.1. La paridad de estas funciones se determina considerando el cambio en las coordenadas r, θ, φ, al invertir el signo de x, y, z. Es decir, se hace la transformaci´ on inversi´ on de coordenadas cartesianas: P = (x, y, z) −→ P ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) = (−x, −y, −z),

(C.13)

o equivalentemente: x 7−→ x′ = −x,

y 7−→ y ′ = −y,

z 7−→ z ′ = −z.

El efecto de esta transformaci´ on sobre las coordenadas r, θ, φ se determina de la siguiente manera. Primero se tiene en cuenta que el punto P ′ = (−x, −y, −z) queda representado por las coordenadas r′ , θ′ , φ′ . Al hacer la inversi´ on de coorde′ nadas cartesianas, claramente se observa que r = r . El cambio en las coordenadas angulares θ′ y φ′ , se puede determinar con ayuda de la figura C.2, en donde se

282


z

y

P

φ

φ

φ′ =

θ′ =

π

π

−

+

θ

θ

P

y

x

π

P′

P′

Figura C.2: Cambio en las coordenadas θ y φ al invertir las coordenadas cartesianas.

han proyectado los puntos P y P ′ sobre el plano yz, para el ańgulo θ′ , y sobre xy para φ′ . Entonces, con la inversi´ on, las ecuaciones de transformaci´ on de las coordenadas esféricas est´ an dadas por: r 7−→ r′ = r,

(C.14)

′

(C.15)

′

(C.16)

θ 7−→ θ = π − θ,

φ 7−→ φ = π + φ.

El objetivo a continuaci´ on es establecer cual es el efecto de la transformaci´ on (0) de las coordenadas esféricas sobre la funci´ on de onda ψnlm (r, θ, φ). Para esto, inicialmente se determina el efecto sobre la funci´ on radial. Esta funci´ on tiene una forma especifica de acuerdo a los valores que tomen los n´ umeros cu´ anticos n y l, por ejemplo: r

R10 = 2a−3/2 e− a , R20

r 1 −3/2 1r = √ a 1− e− 2a , 2a 2 R30 R31 R32

r r 1 R21 = √ a−3/2 e− 2a , a 2a

r 2 −3/2 2r 2 r 2 = √ a 1− + e− 3a , 3 a 27 a 27 8 1 r r − r = √ a−3/2 1 − e 3a , 6a a 27 8 r 2 r 4 e− 3a . = √ a−3/2 a 84 30

Estas funciones radiales son graficadas en la Figura C.3. Como se observa, estas funciones solamente dependen de r y son funciones pares respecto a la transformaci´ on, al cumplirse que r = r′ .

283

C.1. PARIDAD DE LAS FUNCIONES DE ONDA

R20 R30

R10 R21

R32 r a R31

Figura C.3: Gráficas de la funci´ on Rnl (r).

A continuaci´ on se determina el efecto de la transformaci´ on sobre los arm´ onicos esféricos. Para esto primero se determina el efecto sobre la funci´ on Θlm (θ). Al realizar el cambio de variable r = cos θ, los polinomios asociados de Legendre se escriben como: Plm (cos θ) = Plm (r) = 1 − r2

|m|/2 d|m| Pl (r) , dr

(C.17)

donde Pl (r) = Pl (cos θ) son los polinomios de Legendre, dados por: Pl (r) =

l 1 dl r2 − 1 . l l 2 l! dx

(C.18)

Los polinomios de Legendre, para los primeros valores de l, son: P0 = 1,

P1 = r,

P2 =

1 3r2 − 1 , 2

Dada la transformaci´ on (C.15), se tiene que:

P3 =

1 5r2 − 3r . 2

r = cos θ 7−→ r′ = cos(π − θ) = − cos θ = −r,

(C.19)

de manera que la paridad de los polinomios de Legendre depende de l debido a que: l 1 dl r 2 − 1 . Pl (−r) = l 2 l! d(−r)

(C.20)

284


Teniendo en cuenta que: d d =− , d(−r) dr d d2 = 2 d(−r) d(−r)

(C.21)

d d(−r)

d = d(−r)

d d2 − = 2, d(r) dr

.. .

.. . n d d = (−1)m , n d(−r) dr

(C.22)

(C.23) (C.24)

entonces la expresi´ on (C.20) queda escrita como: l (−1)l dl r2 − 1 = (−1)l Pl (r). Pl (−r) = l 2 l! d(−r)

(C.25)

Por lo anterior los polinomios asociados de Legendre tienen la forma: |m|/2 d|m| Pl (−r) |m|/2 d|m| Pl (r) Plm (−r) = r2 − 1 = r2 − 1 . (−1)l d(−r) d(−r)

(C.26)

Si se reemplaza (C.24) en (C.26) se obtiene que:

|m|/2 d|m| Pl (r) Plm (−r) = r2 − 1 (−1)l (−1)|m| d(r) = r2 − 1 es decir:

|m|/2

(−1)l+|m|

d|m| Pl (r) , d(r)

Plm (−r) = (−1)l+|m| Plm (r),

(C.27)

con lo cual la inversi´ on de coordenadas se manifiesta sobre los polinomios asociados de Legendre Plm (cos θ) a través de un factor multiplicativo (−1)l+|m| y de esta forma el valor de l + |m| determina la paridad de estos polinomios. Ahora, se determina el efecto de la inversi´ on espacial sobre las funciones Φm (φ). Para esto se tiene en cuenta que: Φm (φ) = Φm (φ′ ) = Φ(π + φ) = ǫ [cos(m(π + φ)) + i sen(m(π + φ))] = cos mπ Φm (φ) = (−1)m Φm (φ),

´ b N LM Y NUMEROS C.2. ELEMENTOS DE MATRIZ N ′ L′ M ′ Z M YL

285

es decir: Φm (φ′ ) =

 Φm (φ)

−Φ (φ) m

si m es par,

(C.28)

si m es impar,

con lo cual la paridad de las funciones Φm (φ) depende del n´ umero cu´ antico m. El efecto de la inversi´ on espacial sobre los arm´ onicos esféricos, se manifiesta a través de la paridad de las funciones Θlm (θ) y Φm (φ). La paridad de los Ylm (θ, φ) est´ a dada por: Paridad de Ylm (θ, φ) = (Paridad de Θlm (θ)) · (Paridad de Φm (φ)) = (−1)l+|m| (−1)m = (−1)l (−1)|m| (−1)m .

(C.29)

Si se tiene en cuenta que: (−1)−m =

1 = (−1)m (−1)−m

−→

(−1)−m = (−1)|m| ,

entonces la paridad de los Ylm (θ, φ) queda determinada por: Paridad de Ylm (θ, φ) = (−1)l (−1)m (−1)−m = (−1)l ,

(C.30)

es decir la paridad de los arm´ onicos esféricos depende de si l es par o impar. Finalmente el efecto de la inversion espacial sobre las funciones de onda se manifiesta a través de su paridad, es decir: (0)

Paridad de ψnlm (r, θ, φ) = (Paridad de Rnl (r)) · (Paridad de Ylm (θ, φ)) = (1)(−1)l = (−1)l . (C.31) Como conclusi´ on, las funciones de onda del a ´tomo de hidr´ ogeno son pares si l es par e impares si l es impar.

C.2.

Elementos de matriz n′ l′ m′ zb nlm y n´ umeros m yl

Con el fin de facilitar la evaluaci´ on de la matriz de perturbaci´ on, para el caso del efecto Stark, inicialmente se establece una relaci´ o n entre los elementos

′ ′ ′ de matriz n l m zb nlm y el n´ umero cu´ antico m. Para realizar lo anterior es b = b b , tiene necesario tener en cuenta que el operador momento angular L r×p como componentes cartesianas a los operadores: b x = ybpbz − zbpby , L

b y = zbpbx − x L bpbz ,

bz = x L bpby − ybpbx ,

(C.32)

286


los cuales en representaci´ on de coordenadas se escriben como: ∂ ~ ∂ ~ ∂ ∂ b b y , Ly = z , Lx = −z −x i ∂z ∂y i ∂x ∂z ~ ∂ ∂ b Lz = −y x . i ∂y ∂x

(C.33) (C.34)

A partir de los anteriores operadores se puede escribir el cuadrado del operador momento angular como: Lb2 = Lb2x + Lb2y + Lb2z .

(C.35)

En particular el operador momento angular en la direcci´ on del eje z satisface una b ecuaci´ on de valores propios de la forma Lz nlm = i~m nlm , y una relaci´ on de conmutaci´ on de la forma:

b z , zb = b b z , zb nlm = 0, L 0 −→ n′ l′ m′ L (C.36) lo cual implica que:

′ ′ ′

b z nlm = 0, n l m b Lz zb nlm − n′ l′ m′ zbL

(C.37)

donde, al tener en cuenta la ecuaci´ on de valores propios de Lˆz , se obtiene:

m′ ~ n′ l′ m′ zb nlm − m~ n′ l′ m′ zb nlm = (m′ − m)~ n′ l′ m′ zb nlm = 0, (C.38)

Este u ´ltimo resultado implica que:

 ′ 6= 0 si m = m,

′ ′ ′ n l m zb nlm = 0 si m′ = 6 m.

(C.39)

A on se establece un criterio para evaluar los elementos matriciales

′continuaci´ n l′ m′ zb nlm con respecto a la paridad de las funciones de onda, las cuales quedan determinadas por la paridad de los n´ umeros cu´ anticos l y l′ . Para esto, primero hay que tener en cuenta que los elementos matriciales son integrales de la forma: Z

′ ′ ′ n l m zb nlm = ψnl′ m′ zψnlm dr. (C.40) Se observa que si los n´ umeros l y l′ son ambos pares o impares, se cumple que: Z

′ ′ ′ (C.41) n l m zb nlm = ψnl′ m′ ψnlm zdr, | {z } par

y en consecuencia, para este caso, el integrando es impar, y por consiguiente:

′ ′ ′ b nlm = 0. (C.42) nl m H

Ap´ endice D

Perturbaciones de la estructura fina D.1.

Perturbaci´ on debida a la interacci´ on esp´ın-orbita

Sup´ ongase una carga q, describiendo una trayectoria circular de radio r. Si esta carga tiene una masa m, entonces existe un momento angular orbital dado ~ = ~r × p~ = ~r × m~v . Debido a que ~v es perpendicular a p~ entonces L = por L mrv. También existe una densidad lineal de carga (λ) asociada con la carga q en movimiento dada por: q q . (D.1) λ= = ℓ 2πr La carga se puede ver como una corriente I que genera una campo magnético y a la cual se le puede asociar un momento de dipolo magnético µ ~ (ver Figura D.1). ~ de modo que µ = IA, Dada la simetr´ıa del sistema, este momento es µ ~ = I A, q v, donde A = πr2 . Dado que la corriente se puede escribir como I = λv = 2πr entonces el momento dipolar magnético se puede escribir como: µ=

q qvr qmrv qL vπr2 = = = , 2πr 2 2m 2m

o en forma vectorial, como: q ~ L. 2m Por lo anterior, el momento de dipolo magnético orbital del electr´ on es: µ ~=

µ ~ Le = gL

~e ~e −eL eL =− , 2me 2me

(D.2)

(D.3)

siendo para este caso gL = 1, el llamado Factor de Lande. A la cantidad µLe =

e~ , 2me

287

(D.4)

288

´ APENDICE D. PERTURBACIONES DE LA ESTRUCTURA FINA

µ ~

−e

b

Area= A I

´ Figura D.1: Orbita del electr´ on alrededor del n´ ucleo.

se le conoce como el magnet´ on de Bohr, y su valor es µLe = 5,7883811749(43) × M eV −11 on se tiene al n´ ucleo del a´tomo de hidr´ ogeno (el 10 T esla . Si en vez del electr´ prot´ on) describiendo la trayectoria circular, el magnet´ on nuclear, es: µLp =

e~ , 2mp

(D.5)

eV ∼ 10−3 µLe . Por otro lado, si tomando el valor µLp = 3,152451238(24)×10−14 TMesla ~ por el momento en la expresi´ on (D.2) se reemplaza al momento angular orbital L ~ angular de esp´ın Se , entonces el momento dipolar magnético de esp´ın del electr´ on est´ a dado por:

µ ~ Se = gs

−e ~ Se , 2me

(D.6)

siendo gs = 2 para este caso. De esta manera, el momento dipolar magnético anomalo del electr´ on es: µSe =

e~ . 2me

(D.7)

A continuaci´ on se calcula el campo magnético producido por el prot´ on visto desde el sistema en reposo del electr´ on. Desde este punto de vista, el n´ ucleo est´ a orbitando como se ilustra en la figura D.2. Esta carga orbitando es una espira de corriente I. El per´ıodo de la o´rbita es Ze T = (cl´ asicamente). Por la Ley de Biot-Savart el campo magnético producido I por esta espira es proporcional a I, es decir: B=

µ0 Ze µ0 I = . 2 r 2r T

(D.8)

289

´ DEBIDA A LA INTERACCION ´ ESPÍN-ORBITA D.1. PERTURBACION

~ L

q = +Ze r

b

−e

´ Figura D.2: Orbita del n´ ucleo, vista desde el sistema en reposo del electr´ on.

En el sistema de reposo del n´ ucleo, se tiene Le = mvr, pero la velocidad es 2πr , entonces: v= T Le = mr

2πr2 me 2πr = , T T

con lo cual 1 Le = . T 2πr2 me

(D.9)

Teniendo en cuenta que en el sistema internacional de unidades: µ0 =

1 , ε0 c2

(D.10)

entonces reemplazando (D.9) y (D.10) en (D.8), se obtiene B=

Ze 1 Le . 4πε0 me c2 r3

(D.11)

El electrón siente un campo magnético producido por el n´ ucleo debido a que para él, el n´ ucleo es una carga moviéndose.1 La energ´ıa potencial, VM , de orientaci´ on del dipolo magnético del electr´ on en el ~ campo magnético producido por el n´ ucleo, es en general VM = −~ µ · B. ~ est´ Como en este caso B a actuando sobre el esp´ın del electr´ on, entonces: Ze ~ ~ =− − e S ~e · 1 VM = −~ µSe · B Le , (D.12) me 4πε0 me c2 r3 1

Se est´ a haciendo un tratamiento cl´ asico pues en primera cuantizaci´ on, el campo electromagnético se trata cl´ asicamente.

290


asi que: VM =

Ze2 1 ~ · L. ~ S 4πε0 m2e c2 r3

(D.13)

Al hacer el an´ alisis en el sistema en reposo del electr´ on (ver Figura D.2), hay que tener en cuenta que este sistema no es inercial pues, desde el punto de vista cl´ asico, el electr´ on est´ a orbitando alrededor del n´ ucleo. Una correcci´ on cinem´ atica aproximada se da introduciendo el factor de precesi´ on de Thomas, cuyo valor es 1 2 on: 2 . Con esta correcci´ VM =

1 Ze2 ~ · L. ~ S 2 8πε0 me c2 r3

(D.14)

Con lo anterior aparece una perturbaci´ on para el a´tomo hidrogenoide que se ′ ) dada por: b puede llamar interacci´ on esp´ın-´ orbita, (Heo

Definiendo

Ze2 1 ′ b · L. b b eo H = S 2 8πε0 me c2 r3 G(ˆ r) =

(D.15)

Ze2 1 1 , 8πε0 m2e c2 r3

(D.16)

el Hamiltoniano del ´ atomo hidrogenoide se escribe como: b =H b0 + H b′ , H eo

con

(D.17)

2 2 b 0 = pb − 1 Ze , H 2m 4πε0 r

y

D.2.

(D.18)

′ b · L. b b eo H =G(ˆ r)S

(D.19)

Perturbaci´ on debida a la correcci´ on relativista a la energ´ıa cin´ etica del electr´ on

b 0 para el a´tomo hidrogenoide es El término de la energ´ıa cinética de H 2

1 1 pb2 Tbnr = me vb2 = , 2 2 2me

Véase Am. J. Phys. 57(1989)171.

con

pb = me vb.

(D.20)

´ DEBIDA A LA CORRECCION ´ RELATIVISTA A LA ENERGÍA D.2. PERTURBACION ´ ´ CINETICA DEL ELECTRON

291

En representaci´ on de coordenadas, este operador no relativista (Tbnr ), se escribe como: ~2 2 Tbnr =: ∇ . 2me

(D.21)

El término de energ´ıa cinética relativista (Tbr ), versi´ on relativista de (D.20), es Tr = Emec total − Ereposo ,

es decir: Tr =

m c2 p 0 v 1 − ( )2 | {z c }

−

m0 c2 | {z }

Energ´ıa en reposo

Energ´ıa total relativista

donde

= mc2 − m0 c2 ,

(D.22)

m0 m= p . 1 − ( vc )2

El momento relativista est´ a dado por:

de modo que

m0 v , p = mv = p 1 − ( vc )2 p2 c2 + m20 c4 = = p2 c2 + m20 c4 =

(D.23)

m20 v 2 2 c + m20 c4 1 − ( vc )2 m20 v 2 c2 + m20 c4 − m20 c2 v 2 1 − ( vc )2

(D.24)

m20 c4 . 1 − ( vc )2

De la ecuaci´ on (D.22) se tiene que:

entonces,

m c2 p 0 v = T + m0 c2 , 1 − ( c )2 m20 c4 2 2 . v 2 = T + m0 c 1 − (c)

(D.25)

(D.26)

292


Igualando (D.24) y (D.26), se tiene T + m0 c2

= p2 c2 + m20 c4 ,

(D.27)

q p2 c2 + m20 c4 − m0 c2 ,

(D.28)

de donde se obtiene que: T =

2

expresi´ on que corresponde al término de energ´ıa cinética relativista. N´ otese que si p ≪ m0 c entonces T → 0. La expresi´ on (D.28) se puede reescribir como:  s s ! 2 2 p p − 1 . (D.29) T = m0 c2 1 + 2 2 − 1 = m0 c2  1 + m m0 c 0c Como p es peque˜ no comparado con m0 c se puede hacer una expansi´ on del radical en la u ´ltima igualdad

1+

p m0 c

2 ! 21

= 1+

1 2

p m0 c

2

+

1 8

p m0 c

4

+ ··· ,

(D.30)

de tal forma que la energ´ıa cinética relativista es: T = m0 c

2

1 1+ 2

p m0 c

2

1 + 8

p m0 c

4

+ ··· − 1

!

(D.31)

o equivalentemente T =

1 p4 p2 + ··· − 2m0 8 m30 c2

(D.32)

El segundo término de (D.32) es la correcci´ on relativista a la energ´ıa cinética del electr´ on y desde el punto de vista perturbativo, este término puede tomarse como una perturbaci´ on, ya que para momentos peque˜ nos, se tiene: p2 1 p4 . ≫ 2m0 8 m30 c2

(D.33)

Ap´ endice E

Ecuaciones de Maxwell y ecuaciones de movimiento Las ecuaciones de Maxwell son: − → − → 1 ρ(r, t), ∇ · E (r, t) = ε0

(E.1)

− → − → ∂B ∇ × E (r, t) = − (r, t), ∂t

(E.2)

− → − → ∇ · B (r, t) = 0,

(E.3)

− → − → ∂E (r, t). ∇ × B (r, t) = µ0 j(r, t) + ε0 µ0 ∂t

(E.4)

1 . c2 Los campos E y B se pueden escribir en términos de los potenciales Φ(r, t) y A(r, t), como:

con ε0 µ0 =

E(r, t) = −∇ Φ(r, t) −

1 ∂A (r, t), c ∂t

− → − → B(r, t) = ∇ × A (r, t).

(E.5) (E.6)

Los campos E y B son invariantes bajo las siguientes transformaciones de los potenciales: 1 ∂F (r, t) , c ∂t

(E.7)

~ ( ~r, t ) + ∇ F (r, t). A −→ A′ (r, t) = A

(E.8)

Φ(r, t) −→ Φ′ (r, t) = Φ(r, t) −

293

294

´ APENDICE E. ECUACIONES DE MAXWELL Y ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Al reemplazar (E.5) y (E.6) en (E.1) y (E.4), se obtiene: ∇2 Φ(r, t) +

→ − → 1 ∂ − 1 ( ∇ · A (r, t)) = − ρ(r, t), c ∂t ε0

(E.9)

2A ~ ( ~r, t ) − → − → ∂ ∂ Φ(r, t) ~ ( ~r, t ) − ε0 µ0 ∇ A − ∇ ∇ · A (r, t) + ε0 µ0 = µ0 j(r, t). ∂t2 ∂t (E.10) 2

Se puede escoger entre el gauge de Lorentz o el de Coulomb para desacoplar estas ~ ( ~r, t ) de forma que ecuaciones. Si se escoge el de Coulomb, se eligen Φ(r, t) y A satisfagan: − → − → ∇ · A (r, t) = 0,

(E.11)

entonces, (E.9) y (E.10) se reduden a: ∇2 Φ(r, t) = −

1 ρ(r, t), ε0

2 ~ ~ ( ~r, t ) − ε0 µ0 ∂ A ( ~r, t ) − ∇ ε0 µ0 ∂ Φ(r, t) = µ0 j(r, t). ∇2 A ∂t2 ∂t

En el caso est´ atico estas ecuaciones son: 1 ρ(r), ε0

(E.12)

~ ( ~r ) = −µ0 j(r), ∇2 A

(E.13)

∇2 Φ(r) = −

y con la condici´ on de Lorentz − → − → ∂ Φ(r, t) ∇ · A (r, t) = − ε0 µ0 = 0, ∂t

(E.14)

en (E.9) y (E.10), se obtiene ∇2 Φ(r, t) − ε0 µ0 ~ ( ~r, t ) − ε0 µ0 ∇2 A

1 ∂ 2 Φ(r, t) = − ρ (r, t), 2 ∂t ε0

~ ( ~r, t ) ∂2 A = −µ0 j(r, t). ∂t2

(E.15)

(E.16)

Estas son ecuaciones de onda no homogéneas, o sea, para medios materiales donde existen densidades de carga ρ(r, t) y densidades de corriente j(r, t). Para el caso

295 particular de una regi´ on del espacio sin fuentes de carga ni densidades de corriente (ρ(r, t) = 0 y j(r, t) = 0), se tiene: ∂ 2 Φ(r, t) = 0, ∂t2

(E.17)

~ ( ~r, t ) ∂2 A = 0. ∂t2

(E.18)

∇2 Φ(r, t) − ε0 µ0 ~ ( ~r, t ) − ε0 µ0 ∇2 A

Estas son ecuaciones de onda homogénea con soluciones de la forma: Φ(r, t) = Φ′0 sen(k · r − ωt + γ) = Φ0 ei(k·r−ωt) + Φ0 e−i(k·r−ωt) ,

(E.19)

~ ( ~r, t ) = A′ sen(k · r − ωt + γ) = A0 ei(k·r−ωt) + A∗0 e−i(k·r−ωt) . A

(E.20)

Considérese ahora una part´ıcula de masa m y carga q en presencia de un campo electromagnético. La fuerza actuando sobre la part´ıcula es la fuerza de Lorentz, entonces la ecuaci´ on de movimiento es: m d2 r v = q E(r, t) + × B(r, t) . (E.21) dt2 c Para demostrar esta u ´ltima expresi´ on, se parte del estudio de la mec´ anica, en donde se sabe que el hamiltoniano del sistema est´ a dado por: 2 ~ ( ~r, t ) p − qc A H= + q Φ(r, t). (E.22) 2m De las ecuaciones de Hamilton, se obtiene: x˙ i =

q ∂H pi − c Ai xi = , t ∂pi m

(E.23)

p˙i =

pi ∂H q ∂xk ∂Ak ∂Φ =− = −q , t ∂xi c ∂t ∂xi ∂xi

(E.24)

con las cuales se puede obtener la ecuaci´ on de movimiento: q d2 xi d d pi − c Ai d m 2 = m (x˙ i ) = m = pi − qc Ai dt dt dt m dt q = p˙i − A˙ i . c

(E.25) (E.26)

Teniendo en cuenta que d ∂Ai ∂xk ∂Ai A˙ i = Ai = + , dt ∂xk ∂t ∂t

(E.27)

296


y reemplazando (E.24), entonces (E.26) es: m

d2 xi q ∂xk ∂Ak ∂Φ q ∂Ai ∂xk q ∂Ai = −q − − 2 dt c ∂t ∂xi ∂xi c ∂xk ∂t c ∂t = −q

q ∂Ai ∂xk ∂ Φ q ∂Ak ∂xk + − ∂xi c ∂xi ∂t c ∂xk ∂t

= q Ei (r, t) +

q v × B(r, t)i . c

(E.28)

Para el ´ atomo hidrogenoide en presencia de radiaci´ on electromagnética, la situaci´ on es la que se ilustra en la figura E.1 on (campo de radiaci´ on) B Perturbaci´

e− b

k E

Zp

´ Figura E.1: Atomo hidrogenoide en presencia de un campo electromagnético.

Respecto del campo de radiaci´ on electromagnética, se tiene: − → − → ∇ · A rad = 0,

Φrad = 0.

(E.29)

Mientras que respecto al campo de Coulomb, se tiene Acoul = 0,

Φcoul =

1 Ze . 4πε0 r

(E.30)

Entonces con q = −e el hamiltoniano del sistema ser´ a: 2 eb 1 Ze2 b = 1 p b + A(r, H t) − 2m c 4πε0 r =

1 2m

1 Ze2 e e2 b 2 b t) + e A(r, b t) · + b A b · A(r, b2 + p (r, t) − . p 2 c c c 4πε0 r

(E.31)

297 La ecuaci´ on de movimiento del sistema, en representaci´ on de coordenadas, es entonces: → − → ~2 2 ie~ − ie~ e2 b 2 ∂ ψ(r, t) − ∇ − ∇ · A (r, t) − A·∇+ . A (r, t) ψ(r, t) = i~ 2m 2mc 2mc 2mc2 ∂t (E.32)

− → − → Con ∇ · A = 0, se obtiene:

ie~ e2 b 2 ~2 2 ∂ ψ(r, t) ∇ − A·∇+ . − A (r, t) ψ(r, t) = i~ 2 2m 2mc 2mc ∂t

(E.33)

i

En general ψ(r, t) = e− ~ E t ψ(r) de modo que al reemplazar en (E.33), se obtiene: i i ~2 2 ie~ e2 b 2 − ∇ − A·∇+ A (r, t) e− ~ E t ψ(r) = Eψ(r)e− ~ E t , (E.34) 2 2m 2mc 2mc

con lo cual, finalmente la ecuaci´ on de movimiento de la part´ıcula es:

~2 2 ie~ e2 b 2 − ∇ − A·∇+ A (r, t) ψ(r) = Eψ(r). 2m 2mc 2mc2

(E.35)

298


Ap´ endice F

Soluci´ on de la integral A continuaci´ on se presenta otra forma de resolver la integral (6.17): Z Z 2z e2 z 6 1 (1) e− a0 (r1 −r2 ) E11 = 2 d ~r1 d ~r2 π a0 | ~r1 − ~r2 | 1 = | ~r |

Z

4π (2π)3

ei ~k · ~r k2

d3 k

(F.1)

(F.2)

De acuerdo a la figura F.1, la integral (F.2) se escribe: kz

~k θ ky φ kx Figura F.1: Sistema de coordenadas para la evaluación de la integral.

1 = | ~r |

Z∞ Z2π Zπ 0

1 = π

0

ei k r cos θ k2

dθd φdk

(F.3)

0

Z∞ Zπ 0

4π 2 k sen θ (2π)3

0

1 ei k r cos θ sen θ d θ d k = − π 299

Z∞ 0

π

ei k r cos θ ikr

dk 0

(F.4)

300

´ ´ DE LA INTEGRAL APENDICE F. SOLUCION

2i = πri

Z∞

2 sen k r dk = k π

0

Z∞

sen kr dk kr

(F.5)

0

Llamando x = kr: 1 2 = | ~r | π | ~r |

Z∞

1 sen x dx = x | ~r | |0 {z }

(F.6)

π/2

Reemplazando (F.2) en (F.6) E

(1) 0

e2 = 2 π

z a0

6 Z

e2 = 2 π

z a0

6 Z Z

d ~r1

Z

Z

d ~r2

4π (2π)3

r12 r22 sen θ1 sen θ2

ei ~k ·(~r1 −~r2 ) k2

Z

4π (2π)3

3

d k

!

2z

e− a0 (r1 +r2 )

ei ~k ·(~r1 −~r2 ) k2

3

d k

!

(F.7)

(F.8)

2z

· e2 = 2 π

e− a0 (r1 +r2 ) d r1 d r2 d θ1 d θ2 d φ1 d φ2

z a0

6

4π (2π)3 (2π)3

ZZZ

(F.9) ~

~

r12 r22 sen θ1 sen θ2 sen θei k · ~r1 −i k · ~r2

2z

2z

e− a0 r1 − a0 r2 d r1 d r2 d θ1 d θ2 d k d θ

E

(1) 0

4e2 = π

z a0

6 Z " Z Z

I1 =

0

=

Z∞ 0

r12 sen θ1

2zr i ~k ·~ r1 − a 1 0

|

0

− 2 e

r1

2zr1 a0

−ikr1

e

(F.11)

r12 sen θ1 e

2zr i ~k ·~ r1 − a 1 0

d r1 d θ1 }

{z I1

ZZ

2zr i ~k ·~ r2 − a 2 0 r12 sen θ1

e

|

Zπ Z∞

(F.10)

d r1 d θ1 = −

π ! ei k r1 cos θ1 d r1 0

{z I2

Zπ Z∞ 0

0

−r12 e

#

d r2 d θ2 sen θ d k d θ }

2zr i k r1 cos θ1 − a 1 0

sen θ1 d r1 d θ1

301

~z = b uz ~r θ1 y

x Figura F.2: Sistema de coordenadas para la evaluación de las integrales I1 , I2 .

=

Z∞

r12

e−

2zr1 a0 −ikr1

−ikr1

0

d r1 +

Z∞

r12

e−

2zr1 a0 +ikr1

ikr1

0

d r1

 ∞   2zr Z Z∞ ikr1 − a 1 2z 0 r e i − −ikr1 + a r1 1 0 d r1  = 2 Re  d r1  = 2 Re − r1 e ik k 0

con α =

2z a0

0

− ik



i I1 = 2 Re − k = 2 Re

Z∞ 0

i d k dα



 = 2 Re  

ik



i d r1 e−α r1 d r1  = 2 Re  k dα

−

1 2z a0



1 α

= 2 Re



1 1 ik α2

Z∞ 0

e−α r1 d r1 





−i    2  = 2 Re  2  2z − ik k a0 − ik 



−i −i  = 2 Re  2 = 2 Re  2 4z 4izk 2 − 2 k 4z k − − k − k 2 2 a0 a a 0



0

4zki a0





302

´ ´ DE LA INTEGRAL APENDICE F. SOLUCION



" 4z 2

k2

#

4zk a0



+ − i  a2  i = 2 Re − 0 2  2 k 4zk 4z 2 2 − k + 2 a0 a 0

I1 = a0

2z a0

8z 2

+

k2

2 = I2

Entonces: (1) E11

4e2 = π

4e2 = π

4e2 = π

con x = Z∞ 0

a0 2z

z a0

6 Zπ Z∞ "

z a0

6

64z 2 a20

0

0

z a0

6

64z 2 2 a20

Z∞

0

0

a0

8z 2 2z a0

Zπ Z∞

0

+

k2

2

#2

sen θ d k d θ

1 4 sen θ d k d θ 2 2z 2 +k a0

dk 8 2 4 k a0 2z 1 + 2z a0

k

dk 2z 8 2 4 = a0 2z 1 + k2za0 a0

Z∞ 0

dx 2z 1 = 2 4 (1 + x ) a0 2

Z∞

−∞

dx 5π 2z = 2 4 (1 + x ) 32 a0

Luego: E

(1) 0

8e2 = π

z a0

6

1 5 2ze2 5 × 210 ze2 5 ze2 64z 2 a0 8 5π 2z = = = 2z 32 a0 28 32 a0 28 × 32 a0 8 a0 a20

Ap´ endice G

Algunas herramientas matem´ aticas para teor´ıa de colisiones G.1.

Sistema de dos part´ıculas

Considérese el caso unidimensional de dos part´ıculas no interactuantes (figura G.1). ~r1

x1

~r2

b

M1

x2 b

M2

x

Figura G.1: Dos part´ıculas no interactuantes de masas M1 y M2 .

Su hamiltoniano est´ a dado por: 2 2 b = pb1 + pb2 H 2M1 2M2

(G.1)

Ya que las part´ıculas son completamente no correlacionadas, la probabilidad de encontrar a la part´ıcula 1 en x1 y a la part´ıcula 2 en x2 es el producto de las probabilidades independientes, de encontrar a la part´ıcula 1 en x1 y a la part´ıcula 2 en x2 : P (x1 , x2 ) = P (x1 ) P (x2 ) luego, se espera que la soluci´ on de la ecuaci´ on de valores propios ~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 − − U(x1 , x2 ) = E U(x1 , x2 ) 2M1 ∂x21 2M2 ∂x22 303

(G.2)

(G.3)

304

´ ´ APENDICE G. HERRAMIENTAS MATEMATICAS

sea separable, de modo que: U(x1 , x2 ) = φ1 (x1 ) φ2 (x2 )

(G.4)

Reemplazando (G.4) en (G.3) y dividiendo por U(x1 , x2 ) −

1 ~2 d2 φ1 (x1 ) 1 ~2 d2 φ2 (x2 ) − =E 2 φ1 (x1 ) 2M1 dx1 φ2 (x2 ) 2M1 dx22

(G.5)

luego E = E1 + E2 . Entonces: −

~2 d2 φ1 (x1 ) = E1 φ1 (x1 ) 2M1 dx21 φ1 (x1 ) = A ei k1 x1

entonces

con

(G.6) k12 =

2M1 E1 ~2

(G.7)

y − as´ı

~2 d2 φ2 (x2 ) = E2 φ2 (x2 ) 2M2 dx22

φ2 (x2 ) = B ei k2 x2

con

k22 =

(G.8) 2M2 E2 ~2

(G.9)

Reemplazando en (G.4) estas dos soluciones: U(x1 , x2 ) = A ei k1 x1 B ei k2 x2

(G.10)

Entonces, finalmente la soluci´ on de (G.3) es de la forma: U(x1 , x2 ) = C ei k1 x1 +i k2 x2

(G.11)

La soluci´ on (G.11) se puede reescribir usando otro tipo de coordenadas: x = x1 − x2

(G.12)

esta coordenada del movimiento relativo indica la separaci´ on entre las part´ıculas, X=

M1 x1 + M2 x2 M1 + M2

(G.13)

es la coordenada del centro de masa. Con ella se describir´ a el movimiento del centro de masa. Seg´ un lo anterior: M1 x1 + M2 x2 M1 + M 2 β M2 x2 β M1 x1 + = αx1 − αx2 + M1 + M 2 M1 + M 2

k1 x1 + k2 x2 = αx + βX = α(x1 − x2 ) + β

(G.14)

305

G.1. SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS

ordenando términos: k1 x1 + k2 x2 =

β M1 α+ M1 + M2

β M2 x1 + −α + M1 + M 2

x2

(G.15)

β M2 M1 + M 2

(G.16)

Comparando coeficientes: k1 =

α+

β M1 , M1 + M 2

k2 = −α +

sumando las dos ecuaciones: k1 + k2 = β

(G.17)

Rest´ andolas: k1 − k2 = 2α + β = 2α +

M1 − M2 M1 + M2

k1 M1 − k1 M2 + k2 M1 − k2 M2 M1 + M 2

(G.18)

Despejando α se tiene: α=

k1 M2 − k2 M1 M1 + M 2

(G.19)

Definiendo: k1 + k2 ≡ K

(G.20)

k1 M2 − k2 M1 ≡k M1 + M2

(G.21)

U(x1 , x2 ) = U(x, X) = C eiKX+ikx = C eiKX eikx

(G.22)

se puede escribir:

Con la definici´ on que se ha hecho de las coordenadas del centro de masa y la posici´ on relativa entre las part´ıculas, la figura G.1 toma ahora el aspecto de la figura G.2. En la ecuaci´ on (G.22) K es el n´ umero de onda correspondiente al movimiento total, y k es el n´ umero de onda correspondiente al movimiento relativo entre las dos part´ıculas. La energ´ıa del sistema se puede escribir como: E = E1 + E2 =

~2 2 ~2 2 k1 + k 2M1 2M2 2

(G.23)

306


~ CM R

X

x

~ R

~ | = R = x. Figura G.2: Coordenadas CM y posici´ on relativa entre las dos part´ıculas. | R

Pero seg´ un las definiciones (G.20) y (G.21): 2 2 β M1 β M2 ~2 ~2 α+ −α + + E= 2M1 M1 + M 2 2M2 M1 + M 2 " 2 # ~2 β M1 2 α β M1 2 = + α + 2M1 M1 + M 2 M1 + M 2 " 2 # 2 α β M2 β M2 ~2 2 α − + + 2M2 M1 + M2 M1 + M2 Con α ≡ k y β ≡ K ~2 E= 2M1

K 2 M12 2 k K, M1 + k + M1 + M2 (M1 + M2 )2

~2 + 2M2

2

(G.24)

2 k K, M2 K 2 M22 2 k − + M1 + M 2 (M1 + M2 )2

~2 k 2 = 2

1 1 + M1 M2

+ ~2

M1 K 2 kK ~2 + M1 + M 2 2 (M1 + M2 )2

~2 k 2 = 2

1 1 + M1 M2

~2 + 2

M1 + M2 (M1 + M2 )2

~2 K 2 ~2 k 2 E= + 2(M1 + M2 ) 2

K2

(G.25)

(G.26)

1 1 + M1 M2

Esto se puede escribir como: E=

~2 K 2 ~2 k 2 + 2MT 2µ

(G.27)

El primer término es la energ´ıa cinética de la masa total MT = M1 + M2 moviéndose libremente con momento total ~ K. El segundo término es la energ´ıa cinética de una part´ıcula de masa reducida µ y momento ~ k .

´ DE Pb 2 G.2. REPRESENTACION

307

Si se tiene en cuenta ahora la interacci´ on entre las dos part´ıculas V (x1 , x2 ) = V (x1 − x2 ) entonces en términos de coordenadas comunes el hamiltoniano es: H(x1 , p1 , x2 , p2 ) =

p21 p2 + 2 + V (x1 − x2 ) 2M1 2M2

(G.28)

y en las nuevas: H(X, P, x, p) =

P2 p2 + + V (x) 2MT 2µ

(G.29)

As´ı, la ecuaci´ on de valores propios es:

~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 − + V (x) U(x, X) = E U(x, X) − 2MT ∂X 2 2 µ ∂x2

(G.30)

Si se escribe U(x, X) = eiKX φ(x) se encuentra que la ecuaci´ on para φ(x) es −

~2 d2 φ(x) + V (x) φ(x) = ǫ φ(x) 2 µ dx2

(G.31)

con V (x) un potencial de tipo central respecto a una coordenada (la separaci´ on entre las part´ıculas). Generalizando, la ecuaci´ on de valores propios tridimensional es: −

~2 2 ~ ~ R) ~ = ǫ φ(R) ~ ∇ φ(R) + V (R)φ( 2µ

(G.32)

Esto es, la ecuaci´ on de valores propios de una part´ıcula de masa mu sometida a ~ cuya energ´ıa es: un potencial V (R), ǫ=E−

G.2.

~2 K 2 2M

(G.33)

Representaci´ on de pb2

b 2 y las coorEn este apéndice se representa el operador pb2 en términos de L 2 b : denadas esféricas. Se comienza con la definici´ on de L b 2 = (b b ) · (b b ) = −(b b ) · (b L r×p r×p r×p p×b r)

r] = −b r · [b p × (b p×b r)] = −b r · [b p(b p·b r) − pb2 b

ya que

bp b = b b p b+p b b b b = 2i~b r, p r, p r, pb2 = b r, p p

(G.34)

(G.35)

308


y b ·b b = pbx x p r−b r·p b + pby yb + pbz zb − x bpbx − ybpby − zbpbz = pbx , x b + pby , yb + pbz , zb Teniendo en cuenta que:

= −3i~ b 1

b2 = b b )(b r) − (b r·p p·b r) L r · (b p2 b y ya que el conmutador b r, pb 2 por (G.35) se puede escribir como: b rpb2 − pb2b r = 2i~b p, entonces

(G.36)

(G.37)

pb2b r=b rpb2 − 2i~b p

(G.38)

b2 = b b )(b L r · (b rpb2 − 2i~b p) − (b r·p p·b r)

(G.39)

b ·b b − 3i~ b p r=b r·p 1

(G.40)

De esta forma reemplazando (G.38) en (G.37) se obtiene:

De (G.36) se puede escribir

Reemplazando (G.40) en (G.39)

b 2 = rb2 pb2 − 2i~ b b − (b b )[b b − 3i~] L r·p r·p r·p

b − (b b )(b b ) + 3i~(b b) = rb2 pb2 − 2i~ b r·p r·p r·p r·p

Puesto que

b − (b b )(b b) = rb2 pb2 + i~ b r·p r·p r·p b b= r·p

~ ∂ r i ∂r

(G.41)

(G.42)

Entonces, reemplazando (G.42) en (G.41) b 2 = rb2 pb2 + i~ ~ r ∂ − L i ∂r = rb2 pb2 + ~2 r

∂ + ~2 r ∂r

∂ = rb pb + ~ ∂r 2 2

2

∂ r ∂r 2

~ ∂ r i ∂r

~ ∂ r i ∂r

∂ ∂2 +r 2 ∂r ∂r

(G.43)

´ DE Pb 2 G.2. REPRESENTACION

309

Entonces b 2 − ~2 ∂ rb pb = L ∂r 2 2

luego:

pb2 =

2 ∂ r ∂r

(G.44)

b 2 ~2 L 2 ∂ 2 ∂ − ~ r r2 r2 ∂r ∂r

(G.45)

Existe una manera alternativa de llegar al mismo resultado. Para esto considérese la definici´ on del s´ımbolo de Levi-Civita:   1 ijk = 123, 231, 312 Permutaci´ on par de 123     ǫijk = −1 ijk = 321, 213, 132 Permutaci´ on impar de 123     0 Cuando dos o m´ as ´ındices son iguales Usando la notaci´ on de suma, se puede demostrar que: ǫijk ǫnqk = δin δjq − δiq δjn

(G.46)

Las componentes del operador momento angular orbital se pueden reescribir como: b k = −i~ ǫijk xi ∂ L ∂xj

se sigue que:

(G.47)

b2 = L bk L b k = −~2 ǫijk ǫnqk xi ∂ xn ∂ L ∂xj ∂xq = −~2 (δin δjq − δiq δjn ) xi = −~2

xi

(G.48)

∂ ∂ xn ∂xj ∂xq

∂ ∂ ∂ ∂ xi − xi xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xi

∂xj ∂2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂xi + xi xi − xi − xi xj = −~ xi ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 2

∂ ∂2 ∂ ∂ ∂ = −~ xi δij + xi xi − xi − xi xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 2

310


~ 2 − 2 ~r · ∇ ~ − xi xj = −~ r2 ∇ 2

∂2 ∂xi ∂xj

2 ∂ 2 2 2 ∂ = −~ r ∇ − 2r −r ∂r ∂r2 2

∂ = −~ r ∇ + ~ ∂r 2 2

2

2

∂ r ∂r 2

(G.49)

Entonces b 2 = r2 pb2 + ~2 ∂ L ∂r

2 ∂ r ∂r

(G.50)

de donde se tiene finalmente:

b 2 ~2 ∂ ∂ L pb = 2 − 2 r2 r r ∂r ∂r 2

G.3.

(G.51)

Expansi´ on de onda plana en serie de polinomios de Legendre

La soluci´ on de (8.63) a partir de la soluci´ on general (8.25) debe tener la forma: ψ( ~r ) = RE (r)Ylm (θ, φ)

(G.52)

donde para el caso particular que se est´ a tratando, V (r) = 0. La funci´ on radial RE (r) tiene como soluci´ on las funciones esféricas de Bessel regulares: RE (r) = Rl (r) = jl (ρ)

(G.53)

cuyo comportamiento asint´ otico para ρ grande est´ a dado por (8.61). Cada valor propio de energ´ıa de la part´ıcula libre es infinitamente degenerado. Para un valor propio de energ´ıa existen infinitos estados propios de la forma: ψlm ( ~r ) = Rl (r)Ylm (θ, φ)

(G.54)

con l = 0, 1, 2, . . . y l 6 m 6 l. Este infinito conjunto de estados propios degenerados forma un conjunto completo y por tal motivo la soluci´ on m´ as general de (8.63) se puede escribir como una expansi´ on de la forma: ~

ψ( ~r ) ⋍ ei k·~r =

l ∞ X X

l=0 m=−l

alm ( ~k )jl (kr)Ylm (θ, φ)

(G.55)

´ DE ONDA PLANA EN SERIE DE POLINOMIOS DE LEGENDRE G.3. EXPANSION

311

Si se escoge ~k a lo largo del eje z, la onda puede escribirse de la forma

ei ~k·~r = eikr cos θ

(G.56)

observ´ andose que existe una independencia de la funci´ on de onda respecto al angulo φ, esto es: ´ b z eikr cos θ = ~ ∂ eikr cos θ = 0 L i ∂φ

(G.57)

Esta independencia de ψ( ~r ) respecto al ańgulo φ implica que en la expansi´ on (G.55) solamente se tendr´ a contribuci´ on de los términos m = 0. Llamando ρ = kr y u = cos θ, la expansi´ on de la onda plana se reduce a una expansi´ on en una serie de polinomios de Legendre:

ei ρu =

∞ X

Cl jl (ρ)Pl (u)

(G.58)

l=0

donde los coeficientes Cl toman unos valores muy particulares. Para determinar los coeficientes Cl , se procede de la siguiente forma: primero se diferencia (G.58) respecto a ρ obteniéndose: i uei ρu =

X l

Cl

djl Pl dρ

(G.59)

Multiplicando a ambos lados de (G.58) por i u y haciendo uso de la siguiente relaci´ on de recurrencia para los polinomios de Legendre: m m + (l + m)Pl−1 (2l + 1)uPlm = (l + 1 − m)Pl+1

(G.60)

se obtiene que: i uei ρu =

X

Cl jl (ρ)uPl (u) = i

l

X l + 1 l Cl+1 jl+1 + Cl−1 jl−1 Pl (u) 2l + 3 2l − 1 l

(G.61)

Igualando (G.59) y (G.61) y usando las relaciones de recurrencia que satisfacen las funciones de Bessel esféricas dadas por

jl−1 =

(2l + 1) jl = ρ [jl+1 + jl−1 ]

(G.62)

(G.63)

d l+1 1 d +1 + (ρ jl ) jl = l+1 dρ ρ j dρ

312


se obtiene que: l

1 i Cl − Cl−1 2l + 1 2l − 1

jl−1 (ρ) = l + 1

i 1 Cl + Cl+1 2l + 1 2l + 3

jl+1 (ρ) (G.64)

Esta u ´ltima expresi´ on debe satisfacerse para cualquier ρ. Para que esto sea cierto es necesario y suficiente que las expresiones entre paréntesis desaparezcan, es decir: 1 i Cl = Cl−1 2l + 1 2l + 1

(l = 1, 2, 3, . . . , ∞)

(G.65)

(l = 0, 1, 2, . . . , ∞)

(G.66)

o equivalentemente con l = l + 1 en (G.65): i 1 Cl+1 = Cl 2l + 3 2l + 1 y lo anterior sucede si: Cl = (2l + 1) il C0

(G.67)

El coeficiente C0 se obtiene al escribir la expansi´ on (G.58) para ρ = 0, o sea:

eiρu

ρ=0

=1=

∞ X

Cl jl (ρ = 0)Pl (u)

l=0

Pero se sabe de (8.55) que el comportamiento de jl (ρ) cerca del origen (ρ ≪ l) tiene la forma: jl (ρ) ⋍

ρl 1 · 3 · 5 · · · (2l + 1)

O sea: j0 (ρ = 0) =

00 =1 1

y con P0 (u) = 1, entonces C0 = 1. En conclusi´ on, la expansi´ on de una onda plana en términos de los polinomios de Legendre toma la forma:

eikz ≡ eikr cos θ =

∞ X (2l + 1) il jl (kr)Pl (cos θ) l=0

(G.68)

´ DE FLUJO: VECTOR CORRIENTE G.4. DEFINICION

G.4.

313

Definici´ on de flujo: Vector corriente

La condici´ on de normalizaci´ on de la funci´ on de onda ψ( ~r ): Z N ≡ |ψ( ~r )|2 d~r = 1

(G.69)

permite darle un significado de densidad de probabilidad a |ψ( ~r )|2 . Para sistemas f´ısicos en los que el hamiltoniano no depende expl´ıcitamente del tiempo, es claro que la probabilidad se conserva en el tiempo, y por ende N debe permanecer constante en el tiempo. Las funciones ψ y ψ ∗ deben satisfacer respectivamente la ecuaci´ on de Schr¨ odinger: ∂ ψ=Hψ ∂t

(G.70)

∂ ∗ ψ = −(H ψ)∗ ∂t

(G.71)

i~ i~

Derivando con respecto al tiempo |ψ( ~r )|2 se tiene: i ∂ ∂ ∂ ∗ 1 h ∗ 2 ∗ |ψ| = ψ ψ + ψ ψ= ψ (Hψ) − (Hψ)∗ ψ ∂t ∂t ∂t i~

(G.72)

donde se ha usado (G.70) y (G.71). Integrando en la ecuaci´ on (G.72) a ambos lados de la igualdad sobre todo el espacio de configuraci´ on: Z Z Z h i ∂ ∂ dN 1 ∂N 2 2 |ψ( ~r )| d~r = = = ψ ∗ (Hψ) − (Hψ)∗ ψ d~r |ψ( ~r )| d~r = ∂t ∂t ∂t dt i~ (G.73) Para que la norma permanezca constante en el tiempo, suficiente que Z Z ∗ ψ (Hψ) d~r = (Hψ)∗ ψ d~r

dN dt

= 0, es necesario y

(G.74)

La propiedad de conservaci´ on de la norma tiene una simple interpretaci´ on si se introduce la noci´ on de corriente. El lado izquierdo de (G.72) puede siempre colocarse en la forma de una divergencia del vector corriente. Para el caso de una − → part´ıcula en un potencial escalar, se define el vector corriente J ( ~r, t) en el punto ~r y en el tiempo t como: − → J ( ~r, t) = ψ ∗

→ ~ − ∇ψ 2im

(G.75)

F´ acilmente se verifica que: i − → − → ih ∗ ∗ ∇· J = ψ (Hψ) − (Hψ) ψ ~

(G.76)

314


y as´ı, (G.72) se puede escribir como − → − → ∂ ρ+ ∇ · J =0 ∂t

(G.77)

La relaci´ on (G.77) se satisface en hidrodin´ amica y representa la ley de conser− → vaci´ on para un fluido de densidad ρ y corriente J en un medio sin fuente. La masa de un fluido contenido en un volumen V dado es igual a la integral de la densidad ρ extendida sobre el volumen. De (G.77) se obtiene que: Z Z − → − → − → J · d~s (G.78) − ∇ · J d~r = − V

S

es decir, el fluido contenido en V es igual al flujo del vector corriente a través de la superficie S que encierra ese volumen. La masa total permanece constante (conservaci´ on de la norma) si el flujo de la superficie S va a cero en el l´ımite donde V se extiende sobre todo el espacio. Es decir, ya que la norma es independiente del tiempo, de (G.77) se tiene que: − → − → ∇· J =0 (G.79) Esta propiedad es de interés ya que no depende de la forma espec´ıfica del término del potencial en el hamiltoniano. Si se define el vector densidad de corriente de probabilidad o vector corriente − → J como: − → → − → i ~ h ∗− J ( ~r, t) = ψ ∇ ψ − ψ ∇ ψ∗ (G.80) 2im entonces

− → − → ∇ · J ( ~r, t) = 0 y por tanto el flujo se conserva, o sea el flujo est´ a dado por el vector densidad de corriente de probabilidad (G.80).

G.5.

Ortogonalidad de los arm´ onicos esf´ ericos

El movimiento de una part´ıcula de masa µ moviéndose en una regi´ on del espacio donde act´ ua una fuerza central est´ a descrito por la funci´ on de onda (8.25) ψ( ~r ) = RE (r) Ylm (θ, φ)

(G.81)

en donde RE (r) es la parte radial de la funci´ on de onda y Ylm (θ, φ) son los arm´ onicos esféricos, dados por: s (2l + 1)(l − |m|)! imφ m Ylm (θ, φ) = ǫ e Pl (cos θ) (G.82) 4π(l + |m|)!

´ ´ G.5. ORTOGONALIDAD DE LOS ARMONICOS ESFERICOS

315

con ǫ = (−1)m para m > 0 y ǫ = 1 para m 6 0. Puesto que el problema dispersivo no depende del ańgulo φ, entonces en (G.82) se toma m = 0, as´ı: r (2l + 1) 0 Yl0 (θ, φ) = (G.83) Pl (cos θ) 4π Los polinomios asociados de Legendre est´ an dados por: Plm (x)

2

|m|/2

= (1 − x )

d dx

|m|

Pl (x)

(G.84)

donde x = cos θ. Para m = 0, se tiene que los polinomios asociados de Legendre son los polinomios de Legendre: Pl0 (x) = Pl (x)

(G.85)

Por tal raz´ on (G.83) se escribe como: Yl0 (θ, 0) =

r

(2l + 1) 0 Pl (cos θ) 4π

(G.86)

La condici´ on de normalizaci´ on de la funci´ on de onda Z d3 r | ψ( ~r ) |2 = 1 implica que Z∞ 0

Z

r2 | Rnl (r) |2 dr = 1

(G.87)

| Ylm (θ, φ) |2 dΩ = 1

(G.88)

En particular de (G.88) para los arm´ onicos esféricos Yl0 (θ, 0) se satisface que: Z

sen θ d θ

Z

dφ Yl′0 ∗ (θ, 0)Yl0 (θ, 0) = δl l′

(G.89)

Reemplazar (G.86) en (G.89) conduce a: 2l + 1 4π

Z2π 0

dφ

Zπ

−π

sen θ dθ Pl∗′ (cos θ) Pl (cos θ) = δl l′

(G.90)

316


por lo cual Zπ

sen θ dθ Pl∗′ (cos θ) Pl (cos θ) =

−π

2 δ ′ 21 + 1 l l

(G.91)

En particular, la relaci´ on de ortogonalidad de los polinomios de Legendre es: Z

dΩ Pl∗′ (cos θ) Pl (cos θ) =

4π δ ′ 2l + 1 l l

(G.92)

NotasCuanticaII_Cap1_8

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