Notas de entrenamiento Teor´ Teor´ ıa de n´ umeros umeros
Hola. El jueve Hola. juevess pasado pasado ya estuvi estuvimos mos resolvie resolviendo ndo algunos algunos proble problemas mas.. Quedar Quedaron on pendien pendientes tes algunos otros. Si bien ya platicamos algunos de estos en clase, aun queda la duda, ¿c´ omo se deben de escribir las soluciones? Escribir soluciones es algo diferente que simplemente contarlas. Lo que se entrega en papel est´a escrito ya, y no hay forma de que quien lo lea adivine todo en lo que estabas pensando. Por esta raz´on on es necesario plasmar ideas contundentes y argumentos convincentes. Por este medio les estar´e entregan entregando do estas hojas para complementar complementar lo que vemos en clase y para dar una idea de como se ve todo esto escrito en papel. Para sacar el m´aximo aximo provecho de las notas se recomienda que se lean cuidadosamente y activamente. Entre par´entesis entesis se incluyen algunas observaciones las cuales vale la pena detenerse a pensar. Demuestra que para cualquier entero n existe un m´ ultiplo ultiplo de n que contiene al menos a los l os diez d´ıgitos ıgito s (0 ( 0, 1, .. ..., ., 9) Problema:
Soluci´ on: on: Consideremos
la primer potencia de diez que sea mayor que n (¿siempre existe?). ´ Esta tiene k ceros. ceros. Consideremo Consideremoss los siguiente siguientess n´ umeros, umeros, el primero formado por los 10 1 0 d´ıgitos ıgitos y adem´ as as k ceros: 123456789000...00 123456789000...01 ...
123456789099...99 (¿cu´ antos antos son?) Como son m´ as as de n, entre ellos podemos elegir n n´ umeros umeros consecutivos. consecutivos. Y entre n n´ umeros umeros consecutivos siempre hay un m´ ultiplo ultiplo de n. Entonces uno de esos n n´ umeros cumple que es m´ umeros ultiplo ultiplo de n y que adem´as as contiene c ontiene a los l os 10 1 0 d´ıgitos. ıgito s. Problema: Demuestra
que para cualquier k es posible encontrar k enteros compuestos consec-
utivos. Soluci´ on: on: Consideremos
los k n´ n umeros u ´meros consecutivos (k +1)!+2, (k +1)!+3, .. ..., ., (k +1)!+(k + 1) (verifica que son k). Veam eamos os que son compuest compuestos os ya que como son de la forma (k + 1)! + m con 2 m k + 1 y (k + 1)! = (k + 1) · 1) · ( (k) · ...3 · 2 · 2 · · 1, 1, son divisibles entre m (¿por qu´e?) e?) y por p or tanto t anto compuestos.
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Problema: Demuestra
que para m y n impares y para todo k natural, 8|m2k − n2k
que m2k − n2k = (mk − nk )(mk + nk ) Como m y n son impares, mk − nk es par, entonces existe r tal que mk − nk = 2r. Veamos que que mk + nk = mk − nk + 2 nk = 2r + 2 nk . Entonces, m2k − n2k = (2r)(2r + 2 nk ) = 4r(r + nk ). As´ı, si r es par, m2k − n2k es m´ ultiplo ultipl o de 8 (¿por (¿po r qu´e?). e?). k 2k Y si r es impar, r + n es par (¿por (¿po r qu´e?) e?) y m − n2k es m´ ultiplo ultiplo de 8. Como lo unico u ´nico que puede pasar es que r sea par o impar, en cualquier caso m 2k − n2k es m´ ultiplo ultiplo de 8. Soluci´ on: on: Veamos
Una vez resuelto este problema, te ser´a m´ as as f´acil acil resolver uno que habiamos dejado pendiente, el Problema 17 del cuadernillo de problemas avanzados, el cual hablaba de encontrar el m´ aximo aximo com´ un un divisor de ciertos n´umeros. umeros. Problema: Demuestra
que si p es primo, entonces: p|n ⇐⇒ p|n2
El s´ımbolo ımb olo ” ⇐⇒ ” quiere quiere decir decir ”si y solo solo si”. si”. Como les com comen ent´ t´ e, e, cuando cuando nos encontramos encontramos con este s´ımbolo hay que resolver, resolver, generalmen generalmente te dos problemas problemas por separado separado1 . En nuestro caso, tenemos que demostrar que: Soluci´ on: on:
• si p es primo y p|n entonces p|n2 • si p es primo y p|n2 entonces p|n Para la primera afirmaci´ on observemos que ni siquiera es necesario pedir que p sea primo, ya on que siempre sabemos que n|n2 . As´ı, ı, tendr´ ten dr´ıamo ıa moss p|n y n|n2 , entonces por la transitividad de la divisibilidad, p|n2 (¿por qu´e este mismo argumento falla para la segunda?). Para la segunda afirmaci´ on, on, observemos que n2 = n · n , entonces p|n · n , y por el Lema de Euclides p |n o p |n (suena algo raro, pero hay que usar lo que nos dice el lema). Entonces, p |n (¿por qu´e falla el argumento si p no es primo?). Problema: Encuentra
todas las n para las cuales: 44 44||88...88
Donde el n´ umero de la derecha est´a formado por n ochos. umero Soluci´ on: on: Llamemos
umero umero formado por n ochos (ej. a5 = 88888). Demostrare Demostraremos mos que an al n´
44 44||an si y solo so lo s´ı n es par (¿por qu´ e basta para lo que se pide?). pide?). Esto equivale equivale a ver que: • 44 44||an si n es par • 44 no divide a an si n es impar 1
Generalmente, ya que a veces uno puede hacer la demostraci´ on de ambas implicaciones juntas on
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Para la primera afirmaci´ on, o n, si n es par entonces an = 44 44 · · 2020 2020...02, donde el n´ umero umero de la n derecha tiene 2 doses. Para la segunda, veamos que si 44| 44|m entonces 11| 11|m, esto es, un requisito para que 44 divida a un n´ umero es que 11 lo divida. Entonces basta con que veamos que 11 no divide a a n si n es impar. umero Veamos que la suma alternada de d´ıgitos de an es 8 − 8 − 8 + 8 − 8 − 8 8 + ... + 8 = 8 (¿por (¿po r qu´e termina termin a en ”+”?), y 11 no divide a 8. Por lo tanto, por el criterio de divisibilidad del 11, 11 no divide a an y por lo tanto 44 tampoco. Con esto concluimos que 44| 44|an ⇐⇒ n es par Problema: Encuentra
todas las soluciones en enteros m y n para: m + n = 1 − mn
Soluci´ on: on: Reescribiendo
la expresi´ on on al sumar mn+1 de ambos lados obtenemos mn+m+n+1 = 2 (verif´ (verif´ıcalo). Veamos que podemos p odemos factorizar el lado izquierdo y llegar a (m +1)(n + 1) = 2. 2. Como Como 2 es primo, las unicas u ´nicas factorizaciones que tiene son 1 · 2, 2 · 1, − 1, −11 · −2 y −2 − 2 · −1. Resolviendo para m y n, las unicas u ´nicas soluciones en parejas (m, n) son (0, 1), (1, 0), (− (−2, −3) y (− (−3, −2), respectivamente (veri (ve riff´ıcal ıc alo) o).. Hay que notar que el truco que resolvi´o el problema es manipular la expresi´on on y factorizar. Si bien es algo que se puede ocurrir de la nada, m´ as bien este tipo de cosas son las que unicamente as u ´nicamente se obtienen con la pr´actica. actica. Hay que exponerse a muchos problemas, y siempre que nos derroten y tengamos oportunidad de ver la soluci´ on hay que preguntarse, ”¿cu´ on al al es el truco que no vi?, ¿qu´e puedo aprender aprender de este problema?”. problema?”. Y una vez aprendido aprendido el truco, hay que familiarizarse familiarizarse con ´el, el, usarlo cuando sea posible y ver que tanto nos puede dar. En particular, el truco de este problema es precisamente tambi´en en la clave para otro problema que dejamos pendiente, el Problema 4 del cuadernillo de problemas avanzados. Claro, esto s´olo olo es parte de la soluci´on. on. Me parece que con esto atamos los cabos que hab´ hab´ıan quedado sueltos. En cada entrega entrega les dejar´ dejar´e un problema para que, si quieren, quieren, lo piensen. piensen. La soluci´ on se dar´a una semana semana despu´ despu´es, es, pero es importante importante que lo intente intenten n por ustedes ustedes mismos. mismos. A continu continuaci´ aci´ on el problema de esta semana: Problema: ¿Ent ¿ Entre re
qu´e n´umeros umeros del 1 al 12 es divisible
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601
10
9
−10
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