Notas grupos

Álgebra Abstracta I Semestre Enero - Mayo, 2016 Notas del curso – Borrador inicial

José Alejandro Lara Rodríguez Facultad de Matemáticas Universidad Autónoma de Yucatán 11 de marzo de 2016

ii

Índice general

Índice gener general al

iii

1. Gru Grupos, pos, subgrupos subgrupos y gru grupos pos cíclicos cíclicos

1

1.1. Operacione Operacioness binarias binarias . . . . . . . . . . 1.1.1. 1.1. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . 1.2.. Gru 1.2 Grupos pos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. 1.2. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . 1.3. Homo Homomorfi morfismos smos e isomorfis isomorfismos mos . . . . 1.3.1. 1.3. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . 1.4. Acc Acciones iones de grupos grupos . . . . . . . . . . . 1.4.1. 1.4. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . 1.5.. Sub 1.5 Subgru grupos pos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. 1.5. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . 1.6. Grupos y subgr subgrupos upos cíclico cíclicoss . . . . . . 1.6.1. 1.6. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . 1.7. Subgr Subgrupos upos generados generados por conjun conjuntos tos . . 1.7.1. 1.7. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . .

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2. Clases laterales laterales y el Teorema Teorema de Lagrange 2.1. Clases Clases latera laterales les . . . . . 2.1.1. 2.1. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . 2.2. Product Productos os de subgr subgrupos upos 2.2.1. 2.2. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . .

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31 . . . .

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. 31 . 34 . 34 . 36

3. Grupos cociente cociente y los teoremas de isomorfismo isomorfismo 3.1. Homomorfi Homomorfismos, smos, fibras fibras y grupos cociente cociente . 3.1.1. 3.1. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Los teorema teoremass de isomorfism isomorfismo o . . . . . . . 3.2.1. 3.2. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . . . 3.3. El Teore Teorema ma de Cayley Cayley . . . . . . . . . . . 3.3.1. 3.3. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . . . . . . . . . . . iii

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1 4 5 15 19 20 21 22 22 24 26 29 30 30

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39 . . . . . .

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39 43 46 50 52 55

ÍNDICE GENERAL

iv

4. Los teorem teoremas as de Sylow Sylow 4.1. La ecuació ecuación n de clase clase . . 4.1.1. 4.1. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . 4.2. El Teore Teorema ma de Cauchy Cauchy . 4.2.1. 4.2. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . . 4.3. Los teorema teoremass de Sylow Sylow . 4.3.1. 4.3. 1. Ejerc Ejercicio icioss . . . .

57 . . . . . .

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57 61 61 63 63 67

5. Los grupos simétricos y alternante alternante.. Grupos simples

69

6. Grupos abelianos finitament finitamentee generados generados

71

7. Gru Grupos pos libres libres

73

Bibliografía

75

Índice alfabéti alfabético co

76

CAPÍTULO 1

Grupos, subgrupos y grupos cíclicos

En este capítulo se hace una breve incursión a las estructuras algebraicas. Una estructura algebraica es un conjunto no vacío junto con una o más operaciones binarias o leyes de composición que satisfacen determinadas propiedades. Los grupos, anillos y campos son ejemplos de estructuras algebraicas. Aquí se presentarán ejemplos de estas estructuras y se demostrarán algunas propiedades elementales.

1.1.

Operaciones binarias

Antes de introducir el concepto de grupo se introduce la noción de operación binaria (interna) también llamada ley de composición interna.

Definición 1.1.1. Una operación binaria  en un conjunto A, es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de A, algún elemento de A. En otras palabras, una operación binaria en un conjunto A es una función  : A A A. En vez de escribir (a, b) escribiremos a  b.

× →

Si  es una operación binaria en un conjunto A, también se dice que A es cerrado con respecto a la operación .

Observaciones 1.1.2. 1) A una operación binaria interna en un conjunto A también se le conoce como ley de composición interna. La palabra binaria se refiere a que cada vez se operan dos elementos. La palabra interna se refiere a que la operación se da dentro de A, es decir, se operan dos elementos de A para producir un elemento que sigue perteneciendo a A. 2) La palabra ordenado es muy importante en la definición, pues no necesariamente el elemento que le corresponde a la pareja ordenada (a, b) es el mismo que le corresponde a la pareja ordenada (b, a). En otras palabras, no necesariamente a  b = b  a. 3) Sean A, B y C conjuntos. En general, una operación binaria es una función A B C . La operación binaria es interna si A = B = C y es externa en cualquier otro caso. Un ejemplo de una operación binaria externa es el producto punto entre vectores de R n (n > 1):

× →

n

(x1 , . . . , xn ) (y1 , . . . , yn ) =

·

 i=1

1

xi yi .

1. Grupos, subgrupos y grupos cíclicos

2

El resultado de operar dos vectores es un número. En este caso, A = B = Rn y C = R. Otro ejemplo de operación binaria externa es la multiplicación de un vector de R n por un escalar (un número real) que da por resultado un vector. c (x1 , . . . , xn ) = (cx1 , . . . , c xn ).

·

En este caso A = R, B = C = Rn .

Ejemplo 1.1.3. La operación suma es una operación binaria interna en el conjunto de los números naturales pues la suma de cualesquiera dos números naturales es nuevamente un número natural. También se dice que N es cerrado bajo la suma.

Ejemplo 1.1.4. La operación resta o sustracción no es una operación binaria interna en el conjunto de los números naturales ya que esta operación no siempre da como resultado un número natural. De esta manera, la resta no es una función de N N a N. También se dice N no es cerrado bajo la operación denominada resta.

×

Ejemplo 1.1.5. La asignación (a, b)

→ a·b es una función de N×N → N ya que la multiplicación

de cualesquiera dos números naturales da por resultado un número natural. Así, la multiplicación es una operación binaria interna en N. También se dice que N es cerrado bajo la multiplicación.

De las operaciones binarias nos interesan las propiedades que satisfacen. Supongamos que  es una operación binaria en un conjunto A. Para cualesquiera a, b A, ¿se obtiene el mismo resultado al operar a  b y b  a? Por otro lado, suponga que se desea evaluar a  b  c. Una operación binaria solo permite combinar los elementos de dos en dos. Las formas obvias para operar estos elementos son (ab)c y a  (b  c). La pregunta natural es ¿se tiene el mismo resultado? Es decir, ¿se da la igualdad (a  b)  c = a  (b  c)?

∈

Ejemplo 1.1.6. Defina en N la operación binaria a  b = a. Se tiene que 3  5 = 3 y 5  3 = 5.



Así 3  5 = 5  3. Este ejemplo ilustra que las operaciones binarias no necesariamente deben ser conmutativas. Con Sage podemos definir operaciones binarias y realizar operaciones. sage : de f opb(a,b): # S e d e fi n e l a o p er a ci ó n b i na r ia ....: return a ....: sage : o pb ( 5 , 9) # Se ca lc ul a 5 * 9 5 sage : o pb ( 9, 5 ) # Se c alc ul a 9 * 5 9

Por otro lado, siempre se tiene que a  (b  c) = (a  b)  c: a  (b  c) = a

(a  b)  c = a  b = a.

Ejemplo 1.1.7. Considere en N la operación binaria ab = máx a, b +1. Observe que ab = ba

{ } { }

para cualesquiera valores de a y b, ya que máx a, b = máx b, a :

{ }

{ }

{ }

a  b = máx a, b + 1 = máx b, a + 1 = b  a. Por otro lado, se tiene

{ } { }

{ } { }

(3  5)  8 = (máx 3, 5 + 1)  8 = 6  8 = máx 6, 8 + 1 = 9, 3  (5  8) = 3  (m´ ax 5, 8 + 1) = 3  9 = máx 3, 9 + 1 = 10. Esto muestra que las operaciones binarias no necesariamente tienen que ser asociativas. Podemos realizar los mismos cálculos con la ayuda de Sage.

1.1. Operaciones binarias

sage : ....: ....: sage : 6 sage : 9 sage : 10

3

de f opb(a,b): # D ef in im os l a r e gl a d e l a o pe ra ci ó n r e t u rn m a x(a,b)+1 o pb ( 3 , 5) # C al cu la mo s 3 * 5 o pb ( o pb ( 3 , 5) , 8 ) # C al cu la mo s (3 * 5) * 8 o pb ( 3 , o pb ( 5 , 8 )) # C al cu la mo s 3 * ( 5 * 8)

Definición 1.1.8. Sea  una operación binaria en un conjunto A. 1) La operación  es conmutativa si a  b = b  a para cualesquiera a, b

∈ A.

2) La operación  es asociativa si a  (b  c) = (a  b)  c para cualesquiera a, b, c

∈ A.

La operación binaria del Ejemplo 1.1.6 no es conmutativa pero sí es asociativa. La operación binaria del Ejemplo 1.1.7 sí es conmutativa pero no es asociativa. A continuación tenemos un ejemplo de una operación que es conmutativa y también es asociativa.

Ejemplo 1.1.9. Defina en Q + , la operación binaria dada por a  b = ab/3. ¿Es esta operación conmutativa? Podemos usar sage para explorar un poco. sage : de f opb(a,b): # D ef in im os a * b = ab /3 ....: return a*b/3 ....: sage : # H a c em o s a l g u no s c á l c u l o s sage : o pb ( 1 , 7) , o pb ( 7 , 1) ( 7 /3 , 7 / 3 ) sage : o p b ( 1 /4 , 2 / 3 ) , o p b ( 2 /3 , 1 / 4 ) ( 1 /1 8 , 1 / 1 8) sage : o pb ( 6 , 15 ) , o pb ( 1 5 ,6 ) ( 30 , 3 0)

Hay indicios de que la operación puede ser conmutativa, y de hecho, sí lo es: a  b =

ab ba = = b  a. 3 3

Después de realizar algunos cálculos con Sage, se sospecha que la operación es asociativa: sage : o pb ( o pb ( 3 , 6 ) , 8 ) , o pb ( 3 , o pb ( 6 , 8 )) ( 16 , 1 6) sage : o pb ( o pb ( 7 /3 , 2 /9 ) , 4 /5 ) , o pb ( 7 /3 , o pb ( 2 /9 , 4 /5 ) ) ( 5 6 /1 2 1 5 , 5 6 / 1 2 15 ) sage : o pb ( o pb ( 8 , 6 ) , 1 5 ) , o pb ( 8 , o pb ( 6 , 15 ) ) ( 80 , 8 0)

Un cálculo sencillo muestra que efectivamente, la operación es asociativa: a  (b  c) = a 

a bc bc abc = 3 = , 3 3 9

(a  b)  c =

ab ab abc  c = 3 = . 3 3 9

Observación 1.1.10. 1) Si una operación  es asociativa, entonces podemos suprimir los paréntesis: (a  b)  c = a  (b  c) = a  b  c.


4

2) Si  es asociativa, entonces por inducción se extiende la propiedad a cualquier número finito de elementos.

Ejemplo 1.1.11. Continuando con el Ejemplo 1.1.9, se observa que el número 3 tiene una propiedad especial: 3  1/2 =

3(1/2) = 1/2, 3

38=

3 8 = 8, 3

·

3  27/2

=

3(27/2) = 27/2. 3

De hecho, en general se tiene: 3  a =

3a = a, 3

y

a3=

·

a 3 = a. 3

El número 3 funciona como un elemento neutro o elemento identidad en el sentido de que, independientemente del valor de a, la operación de a con 3 o de 3 con a siempre da por resultado a.

Definición 1.1.12. Sea  una operación binaria en un conjunto A. Se dice que un elemento e A es un elemento neutro o un elemento identidad para la operación si a  e = e  a = a para todo a A.

∈

∈

1.1.1.

Ejercicios

1) Determine cuál o cuáles de las siguientes definiciones de  a continuación dan origen a operaciones binarias en el conjunto indicado. En caso de que  no sea una operación binaria explique la razón. a) En N, defina a  b = a b . b) En R, defina a  b = a

− b.

c) En Q, defina a  b = a/b.

d) En Q + , defina a  b = a/b.

{ } − 1. f) En N, defina a  b = m´ ax{a, b} + 1.

e) En N, defina a  b = m´ın a, b

2) Sea X un conjunto y sea G el conjunto potencia de G. Determine cuál de las siguientes definiciones de define una operación binaria en G:

∗

∪ B = A∆B = (A − B) ∪ (B − A). b) A ∗ B = A ∪ B. c) A ∗ B = A ∩ B. a) A

3) Para cada operación binaria dada a continuación determine cuál es es conmutativa y cuál es asociativa. a) En Z, defina a  b = a

− b.

b) En Q, defina a  b = ab + 1. c) En N, defina a  b = 2ab . d) En R, defina a  b = a + b + ab. e) En Q + , defina a  b = ab/5.

{

}

4) Sea G = 1, 2, 3 . ¿Es la multiplicación de enteros módulo 4 una operación binaria en G? Justifique su respuesta.

1.2. Grupos

1.2.

5

Grupos

Definición 1.2.1. Una estructura algebraica es un conjunto no vacío junto con una o más operaciones binarias las cuales satisfacen ciertos axiomas. Los grupos, anillos, campos, espacios vectoriales y módulos son algunos ejemplos de estructuras algebraicas. Un grupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria interna que cumple ciertas propiedades. Los anillos y campos son conjuntos no vacíos junto con dos operaciones binarias internas. Los espacios vectoriales y los módulos son conjuntos no vacíos junto con dos operaciones binarias, una interna y otra externa.

Definición 1.2.2. Sea G un conjunto no vacío junto con una operación binaria . La pareja (G, ) es un grupo si se satisfacen las siguientes propiedades: 1) Asociativa : Para todo a, b, c

∈ G, (a  b)  c = a  (b  c).

2) Existencia del elemento identidad : Existe un elemento e tiene a  e = e  a = a.

∈ G tal que para todo a ∈ G, se

3) Existencia de inversos : Para todo a G, existe un elemento b (El elemento b es un inverso de a respecto de ).

∈

∈ G tal que a  b = b  a = e

Observación 1.2.3. Si  es una operación binaria en un conjunto A y e es un elemento identidad para la operación binaria, se dice que un elemento a A tiene un inverso si existe un elemento b A tal que a  b = b  a = e. Cuando un elemento tiene un inverso se dice que es invertible . Así, en un grupo todos los elementos son invertibles.

∈

∈

Ejemplo 1.2.4. Sea G = N el conjunto de los números naturales y consideremos en G la suma de números naturales. Ciertamente la suma es una operación binaria, pues a cada pareja (a, b) de números naturales le corresponde el único número natural a + b. Resulta que esta operación es asociativa, pero no existe un elemento identidad para la suma. Así que la pareja (N, +) no es grupo.

Ejemplo 1.2.5. Sea G = N junto con la multiplicación. La multiplicación de números enteros

×

satisface la propiedad asociativa. El 1 es el elemento identidad para el producto pues a 1 = 1 a = a para cualquier número natural a. Sin embargo, la pareja (N, ) no es un grupo, pues en general no existe los inversos con respecto al producto. De hecho, el único número natural que tiene un inverso respecto del producto es el 1.

×

×

Ejemplo 1.2.6. El par (Z, +) formado por el conjunto de los números enteros junto con la suma de números enteros es un grupo.

Ejemplo 1.2.7. (Z, ) no es un grupo, pues aunque

es asociativa y el 1 es un elemento identidad para el producto, la mayoría de los elementos de Z no tiene un inverso respecto al producto.

×

×

Ejemplo 1.2.8. El par (Q, +) es un grupo. También el par (Q

×

− {0}, ×) es un grupo. Observe

que (Q, ) no es grupo, pues aunque la operación es asociativa y existe un elemento identidad para el producto, existe un elemento de Q que no tiene un inverso respecto al producto, a saber, el cero.

Ejemplo 1.2.9. Defínase  en Q + por a  b = ab/3. Entonces (a  b)  c =

ab abc  c = , 3 9

a  (b  c) = a 

bc abc = . 3 9


6 Por lo tanto  es asociativa. Por otro lado, 3  a =

3a = a, 3

a3=

·

a 3 = a. 3

El elemento 3 es el elemento identidad para esta operación. Finalmente, a

a a9 9 = = 3, a 3

·

9  a = a

9 a

· a = 3. 3

Luego el inverso multiplicativo de a es 9/a. Esto prueba que (Q+ , ) es un grupo.

Ejemplo 1.2.10. Sea K un campo y sea K n el conjunto de todos los vectores con entradas en el campo K . El conjunto K n junto con la suma usual de vectores es un grupo. En efecto, la suma es conmutativa: (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + bn , . . . , an + bn ) = (b1 + a1 , . . . , bn + an ) = (b1 , . . . , bn ) + (a1 , . . . , an ). De manera similar se verifica que la suma es asociativa. El vector (0, . . . , 0) es el elemento identidad y el inverso de (a1 , . . . , an ) es ( a1 , . . . , an ). Sea K el campo de los números racionales. Algunas instrucciones en Sage para trabajar con vectores en K 3 son los siguientes.

−

−

sage : v 1 = v e ct o r ( ( -1 , 2 , 4) ); v 1 ( -1 , 2 , 4 ) sage : v 2 = v e ct o r ( (1 , 3 , - 8 )) ; v 2 ( 1, 3 , - 8) sage : v1 + v2 ( 0, 5 , - 4) sage : - v2 # E l i nv er so a di ti vo d e v 2 ( -1 , -3 , 8 ) sage : v2 + ( -v2 ) (0 , 0 , 0)

Otra forma de definir vectores es la siguiente. sage : R = QQ ^3; R # S e c re a Q ^3 V e ct o r s p ac e o f d i me n si o n 3 o ve r R a ti o na l F i el d sage : v 1 = R ( ( -1 , 2 ,4 )) ; v 1 ( -1 , 2 , 4 ) sage : v 2 = R ( (1 , 3 , -8 )) ; v 2 ( 1, 3 , - 8) sage : v1 + v2 ( 0, 5 , - 4) sage : - v2 # E l i nv er so a di ti vo d e v 2 ( -1 , -3 , 8 ) sage : v2 + ( - v2 ) (0 , 0 , 0)

Ejemplo 1.2.11. Más general, el conjunto K m×n de todas las matrices de m

× n junto con la

suma de matrices es un grupo abeliano. Usemos Sage para hacer algunas operaciones. sage : # S e c o ns t ru y en t r es m a tr i ce s

1.2. Grupos

7

sage : # S e i l us t ra n a l gu n os m é t od o s d e c o ns t ru c ci ó n sage : A = m at ri x ([ [ - 1, 3] , [ 4 ,8 ] ] ); A # m é to do 1 [ -1 3] [ 4 8] sage : B = m at ri x (2 , [ 8 ,4 , 1 ,3 ]) ; B # m é to do 2 [8 4] [1 3] sage : # v ar ia nt e m é to do 2 sage : C = m at ri x( QQ , 2 , 2 , [1 /2 , 1/ 3, 1 , - 1]) ; C [ 1 /2 1 / 3] [ 1 -1]

En Sage QQ se refiere al conjunto de los números racionales. También es posible declarar el espacio de todas las matrices de 2 2 con entradas racionales como sigue:

×

sage : R = M a tr i xS p ac e ( QQ , 2 , 2 ); R F ul l M a tr i xS p ac e o f 2 b y 2 d en s e m a tr i ce s o ve r R a ti o na l F i el d sage : D = R ( [1 , - 1 ,3 , 4] ); D [ 1 -1] [ 3 4]

Una vez definidas las matrices A,B, C , podemos realizar algunas operaciones con ellas. sage : A + B # Se re al iz a la sum a d e A y B [ 7 7] [ 5 11] sage : B + A # L a suma de B y A [ 7 7] [ 5 11] sage : A + C # La suma de A y C : [ - 1 / 2 1 0 / 3] [ 5 7] sage : ( A + B ) + C # Se c al cu la ( A+ B) + C [ 1 5 /2 2 2 / 3] [ 6 10] sage : A + ( B + C ) # Ahora A + ( B + C ) [ 1 5 /2 2 2 / 3] [ 6 10]

Se observa que para este ejemplo particular, se cumple la ley asociativa. La matriz cuyas entradas son todas cero se conoce la matriz matriz cero y se denota por 0. sage : Z = m at ri x (2 ); Z # La m at ri z 0 [0 0] [0 0] sage : A + Z [ -1 3] [ 4 8] sage : B + Z [8 4] [1 3] sage : C + Z [ 1 /2 1 / 3] [ 1 -1]


8

Se deja al lector probar que el conjunto K m×n junto con la suma de matrices es un grupo.

Definición 1.2.12. Sea n un entero positivo. Se define la suma módulo n de los enteros a y b como el número r, donde r es el único residuo no negativo menor que n que se obtiene al dividir a + b entre n: a+b

≡ r mód n, donde a + b = nq + r

y 0

≤ r < n.

Al proceso de encontrar el resto no negativo que se obtiene al dividir por n se le conoce como

reducción módulo n. Así por ejemplo, la reducción módulo 23 de 339 es 17, ya que 339 = 23·14+17 y la reducción módulo 23 de

−245 es 8 puesto que −245 = 23(−11) + 8.

Ejemplo 1.2.13. Por ejemplo, si n = 4, la suma módulo 4 de 11 y 23 es 2, ya que a+b = 4(8)+2

≡

−

≡

−

−

−

y escribimos 11+23 2 mód 4. Por otro lado, 8+ 5 1 mód 4 ya que 8+5 = 3 = 4( 1)+1. En Sage, se tienen las instrucciones a % n y a.mod(n) para efectuar la reducción del entero a módulo n. Si Si a = nq + r con 0 r < n, entonces q = (a r)/n.

≤

−

sage : a = 1 1; b = 2 3; n = 4 sage : r = ( a + b ) % n; r # La suma m ódul o 4 de 11 y 23 2 sage : q = (( a+b ) - r ) / n; q 8 sage : r = ( a +b ). m od ( n ); q = ( (a + b) - r) /n ; q , r ( 8, 2 ) sage : a = -8; b = 5; r = ( a + b) %n ; q = (( a+b ) - r )/ n; q , r (-1, 1) sage : a = -8; b = 5; r = ( a+ b ). mo d( n); q = ( (a +b )- r) /n ; q , r (-1, 1) sage : ( - 14 - 3 8) . mo d (4 ) # La suma de -14 y -38 m ódul o 4 es 0 0

Exploremos un poco. Realicemos la suma de los enteros 13, 9 y 15 módulo 4. sage : ( 13 + 9 ). m od ( 4) 2 sage : ( 2 + 1 5) . mo d (4 ) # (13 + 9) + 15 m ód ulo 4 1 sage : ( 9 + 1 5) . m o d ( 4 ) 0 sage : ( 13 + 0 ). m od ( 4) # ( 13 + ( 9+ 15 )) m ódu lo 4 1 sage : # E n f or ma m á s c om pa ct a sage : ( ( 1 3+ 9 ). m o d ( 4) + 1 5) . m od ( 4 ) 1 sage : ( 13 + ( 9 +1 5 ). m o d ( 4) ) . m od ( 4 ) 1

Resulta que módulo 4, se tiene (13 + 9) + 15 = 13 + (9 + 15). Más adelante se verá que la suma módulo n es asociativa para cualquier entero positivo n.

−

Usaremos el símbolo Zn para denotar al conjunto formado por los enteros 0, 1, . . . , n 1. Así,

{ }

Z2 = 0, 1 ,

{

}

Z3 = 0, 1, 2 ,

Teorema 1.2.14. El conjunto de los enteros módulo

suma módulo n es un grupo abeliano.

{

} n, Zn = { 0, 1, . . . , n − 1}, junto con la Z4 = 0, 1, 2, , 3 .

1.2. Grupos

9

Demostración. Es obvio que la suma de enteros módulo n es conmutativa. Ahora sean b + c ≡

≡

r1 mód n, a + r 1 r2 mód n, a + b a + r1 = r 3 + c módulo n.

≡

r3 mód n y r3 + c

≡

r4 mód n. Se debe probar que

a + (b + c) = (a + b) +c

      r1

r3

a + r1 = r3 + c

Para esto se escribe, b + c = nq 1 + r1 , a + r1 = nq 2 + r2 , a + b = nq 3 + r3 , r3 + c = nq 4 + r4 ,

0 0 0 0

≤ r1 < n, ≤ r2 < n, ≤ r3 < n, ≤ r4 < n.

Despejando r1 y r3 de la primera y tercera igualdades, respectivamente, y sustituyendo en la segunda y cuarta igualdad, respectivamente, se obtiene a + (b + c) = n(q 1 + q 2 ) + r2 (a + b) + c = n(q 4 + q 3 ) + r4 Como a + (b + c) = (a + b) + c, los restos al dividir entre n tienen que ser iguales, es decir, r2 = r 4 . Esto prueba que la suma de enteros módulo n es asociativa. Sea 0 m n 1. Se tiene m+0 = m = n 0+ m y 0 m < n, y por tanto m+0 m mód n. Si m = 0 su inverso aditivo módulo n es el mismo. Si 1 m n 1, entonces 1 n m n 1 y además m + (n m) 0 mód n. Luego todos los elementos del conjunto tienen un inverso con respecto a la suma de enteros módulo n. Esto completa la prueba.

≤ ≤ − − ≡

·

≤ ≤ ≤ −

≡ ≤ − ≤ −

Ejemplo SAGE 1.2.15. Las instrucciones Integers(n) e IntegerModRing(n) de Sage son sinónimos y ambos regresan el anillo de los enteros módulo n. La tabla de la suma módulo 6 se obtiene como se muestra a continuación. sage : R = I nt eg er s (6 ); R R in g o f i n te g er s m o du l o 6 sage : R 1 = I n t eg e rM o d Ri n g ( 6 ); R 1 R in g o f i n te g er s m o du l o 6 sage : R is R1 True sage : a = R ( 13 69 ); b = R ( -2 79 0) ; a , b ( 1, 0 ) sage : R . a d d i t i o n _ ta b l e ( n a m e s = ’ d i g i t s ’) + 0 1 2 3 4 5 +-----------0| 0 1 2 3 4 5 1| 1 2 3 4 5 0 2| 2 3 4 5 0 1 3| 3 4 5 0 1 2 4| 4 5 0 1 2 3 5| 5 0 1 2 3 4

De la tabla vemos que el inverso aditivo de 2 es 4 ya que 2 + 4 (m´ od 6).

≡ 0 (mód 6). Escribimos −2 ≡ 4


10

Ejemplo 1.2.16. Sea n

≥ 0 un entero. Recuerde que el entero a es congruente con el entero b

módulo n si n | a − b. En símbolos se escribe a

≡ b mód n ⇔

n a

| − b.

Con frecuencia, en vez de decir “ a es congruente con b módulo n” se dice “ a es igual a b módulo n”. Por ejemplo, si n = 4, se tienen las siguientes congruencias 7

≡ 3 mód 4,

21

≡ 1 mód 4

−9 ≡ −1 mód 4.

y

Se puede decir que 7 es igual a 3 módulo 4 y 21 es igual a 1 módulo 4, etc. Si n = 0, y a b mód n, entonces a = b. Si n = 8, los enteros 107 y 21 son congruentes con 3 módulo 8. El entero 10 es congruente con 14 módulo 8. Se escribe

≡

−

−

107

≡ 3 mód 8,

−21 ≡ 3 mód 8

y

−10 ≡ 14 mód 8.

La congruencia módulo n define una relación de equivalencia en el anillo de los enteros. Es decir a) a

≡ a mód n para toda a ∈ Z; b) si a ≡ b mód n, entonces b ≡ a mód n; c) si a ≡ b mód n y b ≡ c mód n, entonces a ≡ c mód n. Esto una consecuencia directa de las propiedades de la divisibilidad. La clase de equivalencia de a Z se denota por a + nZ, a mód n o a. Se tiene

∈

a = a mód n = a + nZ = b Z : b a mód n = a + kn : k Z = a, a n, a 2n, a 3n , . . . .

{ ∈ ≡ } { ∈ } { ± ± ±

}

El conjunto de todas las clases de equivalencia de la relación congruencia módulo n será denotado por Z/nZ. Para a, b Z se define la suma de clases de equivalencia por a + b = a + b. Se deja de ejercicio probar que esta suma está bien definida y que Z/nZ con esta suma es un grupo.

∈

Definición 1.2.17. Sea n un entero positivo. Se define el producto módulo n de los enteros a y b como el número r, donde r es el único residuo no negativo menor que n que se obtiene al dividir ab entre n:

≡ r mód n, donde ab = nq + r y 0 ≤ r < n. × Sea Z× n = { a ∈ Zn | (a, n) = 1}. Por ejemplo, Z18 = { 1, 5, 7, 11, 13, 17}. × ab

Ejemplo 1.2.18.

Observe que la multiplicación módulo n define una operacion binaria en Z n . De hecho su tabla de multiplicación es

1 1 5 7 11 13 17

1 1 5 7 11 13 17

5 5 7 17 1 11 13

7 11 13 17 7 11 13 17 17 1 11 13 13 5 1 11 5 13 17 7 1 17 7 5 11 7 5 1

1.2. Grupos

11

Observe que el 1 es el neutro, y que cada elemento tiene un inverso multiplicativo.

Teorema 1.2.19. Sea n un entero positivo. Entonces Z × n es un grupo abeliano con la multipli-

cación módulo n .

Demostración. Se deja de ejercicio. Ejemplo 1.2.20. Si (A, 1 ) y (B, 2 son grupos, entonces el producto cartesiano A B también

×

es un grupo con respecto a la operación (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1  1 a 2 , a2  2 b 2 ). A

× B es el producto directo de los grupos A y B .

Hasta ahora todos los grupos que se han presentado tienen la propiedad de que la operación binaria es conmutativa, es decir, a  b = b  a para cualesquiera a, b G. Los grupos que tienen esta propiedad reciben un nombre especial.

∈

Definición 1.2.21. Un grupo (G, ) es abeliano si la operación  es conmutativa: Para cualesquiera a, b

∈ G, a  b = b  a.

El siguiente es un ejemplo de un grupo no abeliano.

Ejemplo 1.2.22 (Grupos simétricos) . Sea A un conjunto no vacío y sea S A el conjunto de todas las permutaciones de A, es decir, el conjunto de todas las funciones biyectivas de A en A. El par (S A , ) es un grupo, donde representa la composición de funciones. Este grupo no es abeliano, pues en general la composición de funciones no es conmutativa. El grupo S A se conoce como el grupo simétrico en A. Si A = 1, 2, 3, . . . , n , el grupo simétrico en A se denota por S n y nos referimos a él como el grupo simétrico de orden n. Si A = 1, 2, 3 , los elementos de S 3 son

◦

◦

{

ρ0 = µ1 =

}

 

{

 

}

1 2 3 , 1 2 3

ρ1 =

1 2 3 , 1 3 2

µ2 =

 

 

1 2 3 , 2 3 1

ρ2 =

1 2 3 , 2 1 3

µ3 =

 

 

1 2 3 , 3 1 2 1 2 3 . 3 2 1

Por ejemplo, ρ1 µ2 =

◦





1 2 3 2 3 1

1 2 3 2 1 3

 



1 2 3 = 3 2 1

= µ 3 .

La tabla de multiplicar del grupo (S A , ) es

◦

ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ3 µ1 µ2

ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ2 µ3 µ1

µ1 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ1 ρ2

µ2 µ2 µ3 µ1 ρ2 ρ0 ρ1

µ3 µ3 µ1 µ2 ρ1 ρ2 ρ0

Ejemplo 1.2.23 (Grupos de simetrías) . Consideremos ahora grupos cuyos elementos son simetrías de polígonos regulares de n-lados. Sin ser precisos, por simetría se entiende una transformación biyectiva del plano en el plano que mueve el polígono de tal manera que la imagen del polígono coincide exactamente con la figura original. ¿Cuántas simetrías diferentes tiene un polígono regular de n lados? Hay n simetrías, una por cada rotación, y n simetrías que corresponden a reflexiones sobre los diferentes ejes de simetría.


12 El grupo de las simetrías de un triángulo equilátero

D6 = 1, r , r2 ,s,sr,sr2

{

}

Analicemos las simetrías de un cuadrado. Sea G el conjunto formado por las matrices (transformaciones lineales) R0 = M 1 =

   −  1 0 0 1

1 0 0 1

,

R1 = ,

M 2 =

  −  0 1 1 0

1 0

0 1

−

,

R2 =

,

D1 =

 −   − 1 0

0 1

0 1 1 0

,

R3 =

,

D2 =

 

−1  ,

0 1

0

0 1

−

−1  . 0

Una verificación exhaustiva (con la ayuda de algún software), se muestra que G es cerrado con respecto al producto y el inverso de cada elemento de G es un elemento de G. Luego G es un grupo. Considere el cuadrado determinado por los puntos v1 = ( 1, 1), v2 = (1, 1), v3 = (1, 1) y v 4 = ( 1, 1). Cada elemento de G es una simetría de este cuadrado. Este grupo es el grupo de la simetrías del cuadrado. Sea 1 la matriz identidad de 2 2; sea R la rotación de 90 grados en la dirección de las manecillas del reloj, es decir, R = R1 ; sea S la reflexión sobre la diagonal que une los vértices 1 y 3, i.e., S = D 2 . Observe que RS = S R−1 . Note que G = 1, R , R2 , R3 ,S,SR,SR2 , SR 3 . Otra forma de describir el grupo de las simetrías del cuadrado es mediante permutaciones, identificando cada simetría s con la correspondiente permutación σ de 1, 2, 3, 4 . Si la simetría s pone el vértice i en la posición que correspondía al vértice j , entonces σ es la permutación que manda i a j .

−

−

− −

×

{

}

{

}

Rotación 90 ◦ 1

2

4

1

r =

4

3

3

 

1 2 3 4 2 3 4 1

 

2

Sea s la reflexión sobre la diagonal que une los puntos 1 y 3, Es decir s =





1 2 3 4 , 1 4 3 2

entonces rs = sr −1 y D 8 = 1, r , r2 , r3 ,s,sr,sr2 , sr3 . En general, veremos el grupo de las simetría de un polígono regular de n lados como un grupo abstracto. El concepto de presentación de un grupo es formar un grupo a partir de un conjunto de generadores para el grupo que satisfagan ciertas relaciones. Se usará la siguiente presentación del grupo diédrico:

{

}



D2n = r, s rn = s 2 = 1, rs = sr −1

|

La tabla de multiplicar para D 8 se muestra a continuación

·

1 r r2 r3 s sr sr2 sr3



1 r r2 r3 s sr sr 2 sr3 1 r r2 r3 s sr sr 2 sr3 2 3 r r r 1 sr 3 s sr sr 2 r2 r3 1 r sr 2 sr3 s sr 3 2 2 r 1 r r sr sr sr3 s 2 3 s sr sr sr 1 r r2 r3 sr sr 2 sr3 s r3 1 r r2 sr2 sr3 s sr r 2 r3 1 r 3 2 2 3 sr s sr sr r r r 1

1.2. Grupos

13

Ejemplo 1.2.24. Considere el siguiente grupo presentado en términos de generadores y rela-





ciones G = x, y x2 = y 2 = (xy)2 = 1 . Determine si este grupo es finito o infinito. Observe que la relación x2 = 1 y y 2 = 1 significa que x = x−1 y y = y −1 . De la relación (xy)2 = 1 se deduce que xy = yx:

|

(xy)2 = xyxy = 1

⇒ xy = y −1x−1 = yx. Cualquier elemento del grupo es de la forma xm y n , con 0 ≤ m, n ≤ 1. Así los elementos de G son {1,x,y,xy}. Ejemplo 1.2.25. Considere los siguientes grupos.

  

 |  x, y | y2 x = y,yx2 y = x  x, y | x4 = y 3 = 1, xy = y 4 x2

G = x, y x3 = y 3 = (xy)3 = 1 H = K =

Pruebe que G es infinito y que H y K son grupos triviales.

Teorema 1.2.26. Sea (G, ) un grupo.

1) En un grupo se cumplen las leyes de cancelación izquierda y derecha, es decir,

⇒ b = c.

a  b = a  c =

⇒ a = c.

a  b = c  b =

2) Para cualesquiera a, b ∈ G, las ecuaciones lineales a  x = b y y  a = b tienen soluciones únicas en G. 3) El elemento neutro es único. 4) Para cada a

∈ G, el inverso de a es único.

Demostración. 1) Suponga que a  b = a  c. Sea a  un inverso de a: a  a = a   a = e. Entonces a  (a  b) = a   (a  c) (a  a)  b = (a  a)  c e  b = e  c b = c

propiedad asociativa a  definición de a  definición de e.

La ley de cancelación derecha se prueba de manera similar. 2) Consideremos primero la ecuación a  x = b. Sea a  a  (a  b) = (a  a )  b = e  b = b

∈ G tal que a ∗ a = e = a ∗ a. Entonces propiedad asociativa definición de a  definición de e.

Entonces x = a  b es una solución de la ecuación. Supongamos ahora que x1 y x2 son soluciones. Entonces b = a  x1 = a  x2 . La ley de cancelación izquierda implica que x 1 = x2 . De manera análoga se prueba que y = ba −1 es la única solución de la ecuación y  a = b. 3) Supongamos que existen dos elementos identidad, digamos e y e . Como e, es un elemento identidad, se cumple que a  e = e  a = a para cualquier a G; en particular cuando a = e  : e  e = e  e = e  . Como e  también es un elemento identidad, e  e = e   e = e. De aquí se sigue que e = e  .

∈


14

4) Sea a G y supongamos que a  y a  son dos inversos para a. Entonces e = a  a = a   a y e = a  a = a   a. Por tanto a  a = a  a .

∈

La ley de cancelación izquierda implica que a  = a  .

Observación 1.2.27. Se denota con a −1 al único elemento tal que a a−1 = e = a −1 a.

∗

∗

Corolario 1.2.28. Sea (G, ) un grupo. Se tiene

∗

1) Para cada a ∈ G se tiene (a−1 )−1 = a. 2) Para a, b ∈ G se tiene (a ∗ b)−1 = b −1 a−1 . Observación 1.2.29. Si el grupo es abeliano, se acostumbra denotar al elemento identidad con

−

el 0 y al inverso de a por a. Cuando el grupo no es abeliano, se acostumbra usar la notación multiplicativa, y denotar al elemento identidad por 1 y al inverso de a respecto de la operación por a −1 .

Definición 1.2.30. Sean (G, ) un grupo, a

∗

an =

∈ G y n ∈ Z. Se define

   ∗

e a an−1 a −n a−1

si n = 0, si n = 1, si n > 1, si n < 0.

Proposición 1.2.31. Para cualesquiera enteros m, n se tiene a m an = a m+n y (am )n = amn .

∗

Demostración. Se deja de ejercicio. Definición 1.2.32. El orden de un grupo G es la cardinalidad de G y se denota por G o o(G).

| | n El orden de un elemento g ∈ G, denotado por |g | es el menor entero positivo n tal que g = e. Si ninguna potencia de g es la identidad se dice que g es de orden infinito y se escribe |g | = ∞. Ejemplo 1.2.33. Los grupos (Z, +), (Q, +) y (Q − {0}, ·) son grupos de orden infinito. Sea K m×n un campo y G el grupo de las matrices K . Si K es finito, entonces G es de orden finito. Por ejemplo, si K es el campo finito con dos elementos, K 2×3 = 2 6 = 64.

 

Ejemplo 1.2.34. Si A es un conjunto infinito, entonces el grupo simétrico S A es de orden infinito. Si A es finito, entonces S A = (#A)!. El elemento ρ 0

| |

∈ S 3 tiene orden 3 y |µ1| = 2.

Ejemplo 1.2.35. Construya grupos de orden 1, 2 y 3. La construcción de un grupo de orden

{}

∗

uno es trivial. Sea G = e . Como la operación debe ser binaria, la única posibilidad es e e = e. verifica fácilmente que G con esta operación satisface los axiomas para ser un grupo. Para construir un grupo de orden dos, sea G = e, a , donde e será el elemento identidad. Por lo tanto solo falta decidir el valor de a a. Como la operación debe ser binaria, a a = e o a a = a. Ahora bien, si G es un grupo y x 2 = x, entonces x = e por las leyes de cancelación. Como se supone que a = e, entonces a a = a queda descartado y a a = e. Construyamos ahora un grupo con tres elementos. Supongamos que G = e,a,b , y designemos a e como el elemento identidad. El único valor aceptable para a a es b, pues si a a = e, esto implicaría que a b = b y como b = e b, cancelando se tendría que a = e. De manera similar, el único valor aceptable para a b es e y como uno debe ser el inverso del otro, se debe cumplir que b a = e. Finalmente, el único valor admisible para b b = a.

{ }

∗

∗



∗

∗

∗

∗

∗

∗ ∗

∗

∗

{

}

∗

1.2. Grupos

15

e

e e

e a e a e e

e a

e a b e a b a b e b e a

e a b

Ejercicio 1.2.36 (El 4-grupo de Klein y Z4 ). Sea G = e,a,b,c . Defina en G todas las posibles

{

}

operaciones binarias de tal manera que G sea un grupo.

e a b b

e e a b c

a b a b b c c e e a

c c e a b

e a b b

e a b e a b a e c b c e c b a

c c b a e

e a b b

e a b e a b a c e b e c c b a

c c b b e

e a b b

e a b c e a b c a e c b b c a e c b e a

Observe que las tablas 2, 3 y 4 son esencialmente las mismas. En efecto, considere la función ϕ =



e e

a a

b b



c , c

donde e  = e, a  = a, b  = c y c  = b. Escribiendo la tabla 2 en términos de las primas, e a b b

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

∈ G.

Observe que la función ϕ además de ser biyectiva satisface ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) para todo x, y

1.2.1.

Ejercicios

· a) · es asociativa.

1. Sea una operación binaria definida en un conjunto no vacío G tal que:

∈ G tal que 1 · x = x para todo x ∈ G. c) Dado un x ∈ G, existe un y ∈ G tal que y · x = 1.

b) Existe un elemento 1

Pruebe que G es un grupo. 2. Sea G un conjunto finito no vacío con una operación binaria asociativa. Suponga que las dos leyes de cancelación se verifican en G. Pruebe que G es un grupo.


16

 

3. Sea G un grupo y a G. Pruebe que a = a−1 . Pruebe que si a < gag −1 para todo g G.

∈ ∈

 

| |

4. Sea G un grupo y suponga que a que ax = xa para todo x G.

∈

| | ∞, entonces |a| =

∈ G es el único elemento de G que tiene orden dos. Pruebe

5. ¿Cuál es el orden del elemento (2, 2, 2) en el grupo Z 3

× Z4 × Z4? 6. Sean G un grupo, a, b ∈ G tales que ab = ba. Si |a| = 3 y |b| = 4, determine el orden de ab. 7. Sea a ∈ G un elemento de orden finito e igual a n. Pruebe que si a m = 1, entonces n | m. 8. Pruebe que todo grupo de orden 5 debe ser abeliano. 9. Sea G un grupo abeliano y sean a, b G elementos de orden finito. Si el orden de a y el orden de b son primos relativos, pruebe que ab = a b .

∈ | | | | | | 10. Sea G un grupo y a, b ∈ G. Pruebe que |ab| = |ba|. 11. Sea (G, ·) un grupo y X un conjunto no vacío. Sea G X el conjunto de todas las funciones de X en G. Dados f , g ∈ GX , sea f g : X → G dada por (f g)(x) = f (x)g(x). Pruebe que G X es una grupo con respecto a esta operación. 3

5

12. Sea G un grupo en el cual (ab) = a 3 b3 y (ab) = a 5 b5 para toda a, b abeliano.

{

∈ G. Pruebe que G es

}

− {0} en Q − {0} definidas por e(x) = x f (x) = −x g(x) = 1/x h(x) = −1/x. Defina en G la operación binaria dada por ab = a ◦ b, donde ◦ es la composición de funciones. Escriba la tabla de multiplicación de ◦. Concluya que ◦ es una operación binaria en G y que (G, ◦) es un grupo. ¿Es abeliano este grupo? 14. Si a, b ∈ R con a  = 0, defina la función T a,b : R → R dada por T a,b (x) = ax + b. Pruebe que el conjunto G = {T a,b | a, b ∈ R, a =  0 } es un grupo con la composición de funciones. 15. Sea G el grupo cuyos elementos son {e, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 }, donde e es el elemento iden13. Sea G = e,f,g,h , donde e , f , g , h son las funciones de Q

tidad y su tabla de multiplicar es

∗

e x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

e e x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

x1 x1 e x6 x7 x5 x4 x2 x3

x2 x2 x3 e x1 x6 x7 x4 x5

x3 x3 x2 x4 x5 x7 x6 e x1

x4 x4 x5 x3 x2 e x1 x7 x6

x5 x5 x4 x7 x6 x1 e x3 x2

x6 x6 x7 x1 e x2 x3 x5 x4

x7 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 e

a) ¿Es G un grupo abeliano? Justifique su respuesta. b) Exprese los elementos x 36 x7 y x −1 3 en términos de los elementos de G.

∗

16. Sean G un grupo y a y (am )n = a mn .

∈ G. Pruebe que para cualesquiera enteros m, n se tiene am ∗ an = am+n

17. De acuerdo con el Teorema ?? la multiplicación módulo n es asociativa. Considere el conjunto Zn = 0, 1, . . . , n 1 .

{

− }

1.2. Grupos

17

a) Escriba las tablas de multiplicar del producto módulo n para n = 3, 4, 5, 6. b) ¿Es el conjunto Z 3

− {0} junto con el producto módulo 3 un grupo? c) ¿Es el conjunto Z 4 − {0} junto con el producto módulo 4 un grupo? d) ¿Es el conjunto Z 5 − {0} junto con el producto módulo 5 un grupo? e) ¿Es el conjunto Z 6 − {0} junto con el producto módulo 6 un grupo? f) ¿Para qué valores de n el conjunto Z n − {0} junto la multiplicación de enteros módulo n resulta un grupo?

18. Sea n un entero positivo. Sea Z× n la colección de todos enteros positivos menores o iguales que n primos relativos con n. Pruebe que Z× n es un grupo con respecto a la multiplicación módulo n. 19. Pruebe que el conjunto G = 2n usual de números racionales.

{ ∈ Q | n ∈ Z } es un grupo con respecto a la multiplicación

20. Considere el grupo (Q+ , ) del Ejemplo 1.2.9. Encuentre la solución de la ecuación 21. Sea G = R

7 1 5 x = 2 .

− {1}. Defina en G la operación a  b = a + b − ab.

a) Pruebe que  define una operación binaria en G. b) Pruebe que (G, ) es un grupo. c) Resuelva la ecuación 4  x = 22. 22. Sea G = R

− {1}. Defina en G la operación a ∗ b = a + b − ab. a) Pruebe que ∗ define una operación binaria en G. b) Pruebe que (G, ∗) es un grupo. c) Resuelva la ecuación 4 ∗ x = 22. 23. Sea (G, ∗) un grupo. Pruebe que si a ∗ a = a, entonces a es el elemento identidad del grupo. 24. Sea (G, ∗) un grupo. Exprese el inverso de a ∗ b en términos de a−1 y b−1 , es decir, calcule (a ∗ b)−1 . 25. Sea (G, ∗) un grupo con elemento identidad e. Suponga que x ∗ x = e para todo x ∈ G. Pruebe que G es abeliano [Sugerencia: considere (a ∗ b)2 ]. 26. Verifique que el conjunto G =



2πk 2πk cos n + i sen n 3 3



∈ C | n ∈ N0, k ∈ Z

junto con la multiplicación usual de números complejos es un grupo. Para cada z encuentre un entero no negativo s tal que z s = 1.

∈

G,

27. Si (G, ) es un grupo, pruebe que (a−1 )−1 = a.

∗

28. Sea (G, ) un grupo con 2 elementos. Pruebe que existe un elemento a = e tal que a = a −1 . Suponga ahora que (G, ) es un grupo con 4 elementos. Pruebe que existe un elemento a = e tal que a = a−1 . Generalice el resultado a cualquier grupo que tenga un número par de elementos.

∗

∗






18

29. Sea K el campo finito con 3 elementos, i.e., K = Z3 . Sean i, j Mat2×2 (K ) las matrices 0 1 1 1 i = , j = y sea k = ij . Sea G el conjunto 1, 1, i, i,j, j, k, k , 1 0 1 1 donde 1 representa a la matriz identidad de 2 2. Considere la multiplicación usual de matrices.



−

 

−

∈ { − − −



−}

×

a) Escriba la tabla de multiplicación y concluya que la multiplicación es cerrada en G. b) Observe la tabla y verifique que cada g g G, escriba g −1 .

∈

∈ G tiene un inverso multiplicativo. Para cada

c) Verifique que G junto con la multiplicación usual de matrices es un grupo no abeliano. (Se sugiere usar Sage para realizar las operaciones rutinarias). 30. Considere la siguientes matrices con entradas complejas: 1=



1 0 0 1



,

I =



i 0

0 i

−



,

J =



0 1 1 0

−



,

K = I J.

Verifique que I 2 = J 2 = K 2 = I JK =

−1, IJ = −JI, JK = −KJ = I, KI = −IK = J. Pruebe que G = {±1, ±I, ±J, ±K } junto con la multiplicación usual de matrices es un grupo no abeliano.

∈

√

√ ∈ |

{

31. Sea D Z un entero que no es un cuadrado perfecto. Sea Q( D) = a+b D C a, b Pruebe que G = Q( D) 0 es un grupo con respecto a la multiplicación usual.

√ − { }











junto con la



junto con la

a b 32. Pruebe que el conjunto GL2 (Q) = Mat2×2 (Q) ad c d multiplicación usual de matrices es un grupo no abeliano.

∈

| − bc = 0

a b 33. Pruebe que el conjunto SL 2 (Q) = Mat2×2 (Q) ad c d multiplicación usual de matrices es un grupo no abeliano.

∈

∈ Q}.

| − bc = 1

34. (Producto directo externo). Sean G1 , G2 grupos. Pruebe que G1 G2 es un grupo con respecto a la operación binaria (a1 , a2 )(b1 , b2 ) = (a1 b1 , a2 b2 ). Pruebe que G1 G2 es abeliano si y solamente si G 1 y G 2 lo son.

×

×

35. Pruebe que cada uno de los siguientes conjuntos de matrices es un grupo con respecto a la multiplicación.

{ ∈ K n×n | det(A) = 0}, K un campo. SL(n, K ) = {A ∈ K n×n | det(A) = 1} U (n, R) = {A ∈ Rn×n | A es unitaria real } U (n, C) = {A ∈ Rn×n | A es unitaria compleja }

GL(n, K ) = A

36. Pruebe que el conjunto de las matrices invertibles, triangulares superiores con entradas en un campo es un grupo con respecto a la multiplicación usual de matrices.

1.3. Homomorfismos e isomorfismos

1.3.

19

Homomorfismos e isomorfismos

En esta sección se estudia el concepto de isomorfismo de grupos. Decir que dos grupos son isomorfos es de que estructuralmente son iguales, salvo posiblemente por el nombre de los elementos y las operaciones.

Definición 1.3.1. Una función ϕ : G

grupos si

→ H del grupo G en el grupo H es un homomorfismo de ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

para cualesquiera a, b G. Un isomorfismo entre G y H es un homomorfismo biyectivo. Se dice que G y H son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos y se escribe G = H .

∈

∼

Ejemplo 1.3.2. Sea G = Z 4 el grupo de los enteros módulo 4 y H = e,a,b,c el grupo cuyo

{

operación binaria esta dada por la tabla de la derecha. 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

ϕ =



}

e a b c e e a b c a a b c e b b c e a b c e a b

→ H dada por

La función ϕ : Z 4

0 1 2 3 e a b c



es un isomorfismo pues es biyectiva y ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) para toda x, y

∈ G.

e = ϕ(0) a = ϕ(1) b = ϕ(2) c = ϕ(3)

e ϕ(0) ϕ(0) ϕ(1 ϕ(2) ϕ(3)

a ϕ(1) ϕ(1) ϕ(2) ϕ(3) ϕ(0

b ϕ(2) ϕ(2) ϕ(3) ϕ(0) ϕ(1)

c ϕ(3) ϕ(3) ϕ(0) ϕ(1) ϕ(2)

Ejemplo 1.3.3. La función ϕ : Zn

→ Z/nZ dada por ϕ(a) = a + nZ es un isomorfismo de ∼ grupos y por tanto Zn = Z/nZ. En efecto, sean a, b ∈ Z n y n, r ∈ Z tales que a + b = nq + r, 0 ≤ r < n. Entonces a + b = r en Z n . Por un lado se tiene ϕ(a + b) = ϕ(r) = r + nZ. Por otro lado ϕ(a) + ϕ(b) = (a + nZ) + (b + nZ) = (a + b) + nZ. Los números a + b y r están relacionados, i.e., a + b ≡ r mód n, así que (a + b) + nZ = r + nZ y por tanto ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b). Ejemplos 1.3.4. 1) Para cualquier grupo G, G ∼ = G, por ejemplo, la función identidad es un homomorfismo biyectivo.

2) Los grupos (R, +) y (R+ , ) son isomorfos. La función ϕ : R la tarea.

·

→ R+ dada por ϕ(x) = ex hace

3) Los grupos Z y 3Z son isomorfos. En efecto, la función ϕ : Z un una biyección y preserva la operación de grupo:

→ 3Z dada por ϕ(n) = 3n es

ϕ(m + n) = 3(m + n) = 3m + 3n = ϕ(m) + ϕ(n).

Teorema 1.3.5. Si ϕ : G ϕ(a)−1 .

→ H es un homomorfismo de grupos, entonces ϕ(e) = e y ϕ(a−1) =


20

Demostración. Se tiene ϕ(e) = ϕ(ee) = ϕ(e)ϕ(e). Cancelando, se obtiene el primer resultado. También se tiene ϕ(a)ϕ(a−1 ) = ϕ(aa−1 ) = ϕ(e) = e  = ϕ(e) = ϕ(a−1 a) = ϕ(a−1 )ϕ(a).

Teorema 1.3.6. Sea ϕ : G

→ H un isomorfismo de grupos. Entonces

a) | G| = |H |. b) G es abeliano si y solamente si H lo es. c) Para toda x

∈ G, |x| = |ϕ(x)|.

Demostración. Se deja de ejercicio. Ejemplo 1.3.7. El 4-grupo de Klein V y Z 4 no son isomorfos, pues todos los elementos de V tienen orden 2, pero en Z 4 tanto el 1 como el 3 tiene orden 4.

Ejemplo 1.3.8. Los grupos S 3 y Z 6 no son isomorfos, pues uno es abeliano y el otro no. Ejemplo 1.3.9. Los grupos (Z, +) y (Q, +) no son isomorfos, pues Z es cíclico, pero Q no lo es.

1.3.1.

Ejercicios

1) Pruebe que si ϕ : G H es un isomorfismo de grupos, entonces ϕ −1 : H isomorfismo de grupos.

→

→ G también es un

→

→

2) Pruebe que si f : G H y g : H K son isomorfismos de grupos, entonces la composición de g f : G K es un isomorfismo de grupos.

◦

→

∼

∼

3) Suponga que G 1 = H 1 y G 2 = H 2 . Pruebe que G 1

× G2 ∼= H 1 × H 2.

4) Sea H un subgrupo de G. Pruebe que cada conjugado de H es isomorfo a H ; en otras palabras, pruebe que si g G, entonces H = gHg−1 .

∼ 5) Pruebe que los grupos multiplicativos (Q − {0}, ·) y (R − {0}, ·) no son isomorfos. 6) Sea (G, ·) un grupo. Defina en G la operación binaria a  b = b · a. Pruebe que los grupos (G, ) y (G, ·) son isomorfos. 7) Sea G un grupo. Para cada g ∈ G, defina ϕ : G → G por ϕ g (x) = gxg −1 . Pruebe que ϕ g es ∈

un isomorfismo de grupos.

8) Suponga que en el grupo G la ecuación cuadrática x2 = a tiene solución para toda a G. Pruebe si G y H son isomorfos, entonces la ecuación cuadrática x2 = b tiene solución para toda b H .

∈

∈

9) Pruebe que los grupos multiplicativos (R

− {0}, ·) y (C − {0}, ·) no son isomorfos.

10) Pruebe que los grupos (R

− {0}, ·) y (R, +) son son isomorfos. 11) Sea G un grupo y sea G S G = { σ : G → G | σ es una función biyectiva } el grupo de la permutaciones de G. Para cada a ∈ G, sea σa : G → G la función dada por σa (x) = ax. Pruebe las siguientes afirmaciones.

a) σa es una permutación de G, es decir, pruebe que σ a

∈ S G.

1.4. Acciones de grupos

21

b) Para cada a, b

∈ G se tiene σ a σb = σab. c) El conjunto G = { σa ∈ S G | a ∈ G} es un grupo con respecto a la composición de funciones.

d) Los grupos G y

1.4.

G son isomorfos.

Acciones de grupos

En esta sección se introduce el concepto de acción de un grupo en un conjunto y se presentan ejemplos. Esta es una herramienta importante en el estudio de los grupos.

Definición 1.4.1. Una acción de un grupo G en un conjunto A es una función G (normalmente denotador por (g, x)

·

1) 1 a = a para todo a

·

·

→ gx) tal que

× A → A

∈ A.

·

2) (g1 g2 ) a = g 1 (g2 a) para todo g 1 , g2

∈ G y todo a ∈ A.

Cuando se tiene una acción de G en un conjunto A se dice que G actúa en el conjunto A y que A es un G-conjunto.

Observación 1.4.2. Una acción de un grupo G en un conjunto A induce un homomorfismo del grupo G en el grupo de la permutaciones de A. En efecto, para cada g G, considere la función σg : A A dada por σg (a) = g a. La función ϕ : G S A dada por ϕ(g) = σ g es un homomorfismo de grupos. Recíprocamente, si ϕ : G S A es un homomorfismo de grupos, entonces G actúa en A

→

·

∈

→

→

G

× A → A,

g a = ϕ(g)(a).

·

Se tiene pues una correspondencia biyectiva entre las acciones de un grupo G en un conjunto A con el conjunto de homomorfismos de G en el grupo simétrico S A .

Ejemplos 1.4.3. 1) Cualquier grupo G actuá de manera trivial en cualquier conjunto no vacío

·

A vía g a = a para todo a

∈ A.

2) El grupo simétrico S A actúa en el conjunto A de manera natural σ a = σ(a).

·

3) Un grupo G puede actuar sobre sí mismo en diferentes maneras. Sea G un grupo y sea A = G. Se tiene la acción de multiplicar por la izquierda G

× G → G,

·

g a = ga.

También se tiene la multiplicación por la derecha. Otra acción de G sobre sí mismo es la acción por conjugación: G

× G → G,

g a = gag −1 .

·

4) Sean G un grupo y X el conjunto de todos los subconjuntos de G. Entonces G actúa en X por conjugación: G

× X → X,

g A = gAq −1 , donde gAg −1 = gag −1 a

·

{

| ∈ A}.


22 1

s1 d1

P 1

2

m1

s2

C P 4

P 2

m2

s3

d2

4

P 3

s3

3

Figura 1.1: En el cuadrado se indican los puntos y segmentos importantes.

Ejemplo 1.4.4. Considere un cuadrado y enumere los vértices en el orden de las manecillas del reloj. Sean si el lado que une el vértice i con el i + 1. Sea P i el punto medio del lado si . Sean d1 la diagonal que une los vértices 1 y 3 y d2 la diagonal que une los vértices 2 y 4. Sea m i el segmento que une los puntos medios P i y P i+2 . Vea la Figura 1.1. Sea A el siguiente conjunto.

{

}

A = 1, 2, 3, 4, s1 , s2 , s3 , s4 , m1 , m2 , d1 , d2 , C , P1 , P 2 , P 3 , P 4 . Entonces el grupo diédrico D 8 actúa de manera natural en A.

1 r r2 r3 s sr sr2 sr3

1.4.1.

1 1 2 3 4 1 4 3 2

2 2 3 4 1 4 3 2 1

3 3 4 1 2 3 2 1 4

4 4 1 2 3 2 1 4 3

s1 s1 s2 s3 s4 s4 s3 s2 s

s2 s2 s3 s4 s1 s3 s2 s1 s

s3 s3 s4 s1 s2 s2 s1 s4 s

s4 s4 s1 s2 s3 s1 s4 s3 s

m1 m1 m2 m1 m2 m2 m1 m2 m

m2 m2 m1 m2 m1 m1 m2 m1 m

d1 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d

d2 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d

C C C C C C C C C

P 1 P 1 P 2 P 3 P 4 P 4 P 4 P 2 P

P 2 P 2 P 3 P 4 P 1 P 3 P 2 P 1 P

P 3 P 3 P 4 P 1 P 2 P 2 P 1 P 4 P

P 4 P 4 P 1 P 2 P 3 P 1 P 4 P 3 P

Ejercicios

1) Pruebe que si X es un G-conjunto, y H es un subgrupo de G, entonces X es un H -conjunto.

∼

2) Sea G un grupo que actúa en conjunto X . Defina en X la relación x y si y solo si existe g G tal que g x = y. Pruebe que es una relación de equivalencia en X . La clase de equivalencia de x X es la órbita de G que contiene a x. Pruebe que la órbita de x X es g x g G .

∈ · ∈ { · | ∈ }

∼

∈

∈

∈

3) Un grupo G actúa transitivamente en X si para cada x, y X , existe un g G tal que g x = y. Pruebe que G actúa transitivamente en X si y solo si X consta de una sola órbita.

·

4) Sea X un G-conjunto. Para g

1.5.

−1

∈ G, sea X g = {x ∈ X | g ·x = x}. Pruebe que |X g | = |X gxg |.

Subgrupos

Definición 1.5.1. Sea G un grupo. Un subconjunto H de G es un subgrupo de G si H es no vacío y es cerrado bajo productos e inversos, es decir, si a, b

∈ H entonces ab ∈ H y a −1 ∈ H .

1.5. Subgrupos

23

Se escribe H G para indicar que H es un subgrupo de G. H < G significa que H es un subgrupo propio de G, i.e, H = G. Se dice que el grupo G es no trivial si G = e . Un subgrupo propio no trivial es un subgrupo H tal que e < H < G. Si H es un subgrupo de G, entonces H es un cerrado bajo la operación de grupo, es decir, la operación binaria en G, cuando se restringe a H , induce una operación binaria en H . Con respecto a esta operación binaria H se convierte en grupo. En efecto, la operación es claramente asociativa; como H no es vacío contiene al menos a un elemento x y por lo tanto contiene a e = xx−1 . Por hipótesis, el inverso de x H está en H .

≤



{}

{ }

∈

Ejemplos 1.5.2. 1) Con respecto a la multiplicación se tiene Q+ < R+ . Con respecto a la suma se tiene Z < Q < R < C.

{

} { } 3) El conjunto N = {1, r , r2 , r3 } es un subgrupo del grupo diédrico D8 . También el conjunto H = {1, s} es un subgrupo de D 8 . 4) El único subgrupo propio no trivial de Z 4 es {0, 2}. 5) Los subgrupos propios no triviales del 4-grupo de Klein son {e, a}, {e, b} y {e, c}.

2) Los subconjuntos H = ρ0 , µ1 y N = ρ0 , ρ1 , ρ2 son subgrupos del grupo de simétrico S 3 .

6) El conjunto de los enteros pares 2Z es un subgrupo del grupo de los enteros con la suma.

Teorema 1.5.3. Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo si y solamente si = ∅, y 1) H 

2) Para todo x, y ∈ H , xy−1 ∈ H . Más aún, si H es finito, entonces es suficiente verificar que H sea no vacío y cerrado con respecto a la multiplicación. Demostración. Suponga que H es finito y cerrado con respecto a la multiplicación. Sea x

H . El conjunto xn n N0 es finito y está contenido en H . Existen i > j tales que x i = x j ; luego j i > 0 y x j−i = 1. El elemento x j−i−1 es el inverso de x y está en H y H es un subgrupo de G.

−

{ | ∈ }

∈

A continuación se aplica este criterio para probar que determinados subconjuntos son subgrupos.

Teorema 1.5.4. Sea ϕ : G núcleo y la imagen ϕ

→ H un homomorfismo del grupo

G en el grupo H . Entonces el

ker ϕ = x Im ϕ = y

{ ∈ G | ϕ(x) = 1} { ∈ H | y = ϕ(x) para algún x ∈ G}

son subgrupos de G y H , respectivamente. Teorema 1.5.5. Sean G un grupo y A un subconjunto no vacío de G.

1) El centralizador de A en G, C G (A) = {g ∈ G | gag −1 = a para todo a ∈ A}, es un subgrupo de G. En particular, el centro Z (G) de G,

{ ∈ G | gag −1 = a para todo a ∈ G}

Z (G) = C G (G) = g

es un subgrupo de G. 2) Para g ∈ G , sea gAg −1 = {gag −1 | a ∈ A }. El normalizador de A en G, N G (A) = {g ∈ G | gAg −1 = A} es un subgrupo de G .


24

¿Hay alguna relación entre estos tres conjuntos? Sí. Se tiene Z (G)

⊆ C G(A) ⊆ N A(G).

Ejemplos 1.5.6. 1) Sea G un grupo abeliano. Entonces C G (A) = G, Z (G) = G y N A (G) = G. 2) Sea G el grupo diédrico D 8 . El centralizador de A = 1, r , r2 , r3 es A.

{

}

3) El normalizador de A = 1, r , r2 , r3 en D 8 es D 8 .

{ 4) El centro de D 8 es {1, r2 }.

}

5) Sea G el grupo simétrico en 3 elementos, i.e., G = S 3 . Entonces C S (A) = N S (A) = A 3

{

3

}

donde A = 1, (2, 3) (note que µ 1 = (2, 3)).

Teorema 1.5.7. Suponga que el grupo G actúa en un conjunto A . Entonces el estabilizador de a

∈A { ∈ G | g · a = a}

Ga = g

es un subgrupo de G. El núcleo de la acción

{g ∈ G | g · a = a para toda a ∈ A} es un subgrupo de G. Observación 1.5.8. Sean A un G-conjunto y ϕ : G ejercicio sencillo verificar que 1) ker ϕ =

→ S A el homomorfismo inducido. Es un

∩a∈AGa .

2) el núcleo de ϕ y el núcleo de la acción son iguales.

Ejemplo 1.5.9. 1) Sea G un grupo y sea X = 2G . Haga actuar G en X por medio de la conjugación. Entonces

{ ∈ G | gAg −1 = A} = N G(A).

GA = g

2) Sean G un grupo y A un subconjunto de G. A se convierte en un G-conjunto haciendo actuar N G (A) en A por conjugación. El núcleo de esta acción es precisamente

{g ∈ N G(A) | gag −1 para todo a ∈ A} = C G(A). 3) Haga actuar a G sobre si mismo por conjugación. Entonces el núcleo de esta acción es Z (G).

1.5.1.

Ejercicios

∩ K es un subgrupo de G. 2) Sea A una familia de subconjuntos de un grupo G. Pruebe que H = ∩A∈A A es un subgrupo 1) Sean H y K subgrupos de un grupo G. Pruebe que H de G.

1.5. Subgrupos

25

3) Sea A un subconjunto no vacío de un grupo G. Pruebe que el conjunto

A = {aki aki · · · aki | n = 0, 1, . . . , ai ∈ A, kj ∈ Z} 1

1

2

n

j

n

2

es un subgrupo de G. Pruebe también que

A =



H.

H ≤G, A⊆H

4) Muestre que en general, la unión de dos subgrupos no es un subgrupo. 5) Sean H y K subgrupos de un grupo G. Pruebe que H K es un subgrupo de G si y solamente si H K o K H .

⊆

∪

⊆

6) Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que para todo g G, el conjunto gH g −1 = −1 −1 ghg h H es un subgrupo de G. Cada subgrupo gHg es un conjugado de H .

∈ | ∈ } 7) Sea {H k | k ∈ N} una familia de subgrupos de un grupo G. Si H 1 ⊆ H 2 ⊆ H 3 · · · , pruebe que H = ∪n≥1 H n es un subgrupo de G. {

8) Sean G un grupo y H un subgrupo de G. Pruebe que cada una las relaciones

≡r b mód H ⇔ ab−1 ∈ H a ≡l b mód H ⇔ a−1 b ∈ H

a

define una relación de equivalencia en G. En cada caso, describa la clase de equivalencia de a G. Pruebe que cualesquiera dos clases de equivalencia tienen la misma cardinalidad.

∈

9) Sea X un G-conjunto. Suponga que x, x X y a G son tales que a x = x  . Pruebe que los estabilizadores de x y x  son conjugados; más precisamente pruebe que G x = aG x a−1 .

∈

∈

·



10) Sea A un G-conjunto. Para cada g G defina Ag = a A g a = a , el conjunto de los puntos fijos de A bajo g . Si A y G son finitos pruebe que a∈A Ga = g∈G Ag .

∈

11) Sean A un G-conjunto y ϕ : G

{ ∈ | · } | |

| |

→ S A el homomorfismo inducido por la acción. Pruebe que a) ker ϕ = ∩a∈A Ga , donde G a es el estabilizador de a ∈ A.

b) el núcleo de ϕ y el núcleo de la acción son iguales.

12) Sea G un grupo abeliano y sean H, K subgrupos de G. Pruebe que el conjunto HK = hk : h H, k K es un subgrupo de G.

{

∈

∈ }

∈ G. Pruebe que H = {an ∈ n ∈ Z} es un subgrupo de G. 14) Sea G grupo cuyo únicos subgrupos son {1} y G. Pruebe que G es un grupo finito. 15) Pruebe que si los únicos subgrupos de un grupo G son { 1} y G, entonces G es cíclico, es decir, existe un a ∈ G tal que G = {an | n ∈ Z}. 16) Sean H, N subgrupos de un grupo G tales que gng −1 ∈ G para todo g ∈ G y todo n ∈ N . Pruebe que H N = {hn | h ∈ N, n ∈ N } es un subgrupo de G. 17) Sean G y H grupos. Pruebe que los conjuntos G × 1 = {(a, 1) ∈ a ∈ G} y 1 × H = {(1, b) ∈ b ∈ H } son subgrupos de G × H . 18) Sean G y H grupos; sean A ≤ G y B ≤ H . Pruebe que A × B es un subgrupo de G × H . 13) Sea G un grupo y sea a


26 19) Sea H = (2a + b, 4a + 3b) Z G = Z Z. ¿Es H de la forma A

∈ × Z | a, b ∈ Z}. Pruebe que H es un subgrupo del grupo × × B, donde A y B son subgrupos de Z? 20) Sea G un grupo abeliano y n ≥ 1. Pruebe que el conjunto H = {a ∈ G | an = 1} es un {

subgrupo de G.

21) Sea G un grupo abeliano. Pruebe que el subgrupo de torsión H = a subgrupo de G.

{ ∈ G | |a| < ∞} es un

22) Sea G un grupo. Para cada g G sea σg : G G dada por σg (x) = gx. Pruebe que = σg g G es un subgrupo de S G , donde S G es el grupo de las permutaciones de G.

G { | ∈ }

∈

→

∈ | | | | | |

23) Sea G un grupo abeliano. Suponga que a, b G son elementos de orden finito y que sus órdenes son primos relativos. Pruebe que ab = a b .

1.6.

Grupos y subgrupos cíclicos

Los grupos cíclicos son aguellos grupos que pueden ser generados por un solo elemento. Básicamente solo hay dos tipos de grupos cíclicos: Z y Z n .

Teorema 1.6.1. Sea G un grupo y sea a

∈ G. Entonces a = {an | n ∈ Z}

es un subgrupo de G. Más aún, es el menor subgrupo de G que contiene a a. Demostración. 1 = a 0

∈ a; Si x, y ∈ a, entonces x = a r , y = a s y xy−1 = a r a−s = a r−s ∈ a.−1Por tanto a ≤ G. Sea H cualquier subgrupo de G que contenga a a; entonces H contiene n a a y por lo tanto contiene a a para todo n ∈ Z, i.e., a ⊆ H . Definición 1.6.2. El subgrupo cíclico de G generado por a es el grupo  a. Un grupo G es cíclico si G = a para algún a ∈ G. Ejemplos 1.6.3. 1) El grupo diédrico D 8 no es cíclico. El subgrupo de G formado por todas las rotaciones es un grupo cíclico, i.e., H = 1, r , r2 , r3 = r .

{

}  2) El grupo de los enteros es un grupo cíclico, Z = 1 = −1.

 4) Z8 , el grupo de los enteros módulo 6, es un grupo cíclico. Se tiene Z8 = 1 = 3 = 5 = 7. 3) El subgrupo de 3Z de Z es un subgrupo cíclico infinito, de hecho 3Z = 3 .

5) En general, el grupo aditivo de los enteros módulo n, Z/nZ es un grupo cíclico. 6) El grupo (Q, +) no es cíclico. Suponga a/b

∈ Q es un generador.

Teorema 1.6.4. Todo grupo cíclico es abeliano.

Demostración. Teorema 1.6.5. Sea G un grupo cíclico con generador a. Si G es infinito, entonces todas las

potencias de a son distintas. Si G es finito, entonces G = {1, a , . . . , an−1 }, donde n es el orden a.

1.6. Grupos y subgrupos cíclicos

27

= s tales que Demostración. Suponga que G es infinito pero que existen enteros r > s con r 

ar = as . Entonces ar−s = 1 y r s > 0. Sea n el menor entero positivo tal que an = 1. Si am G, escriba m = nq + r con 0 r < n. Entonces

− ≤

∈

am = a nq+r = (an )q ar = a r . Por la minimalidad de n se sigue que r = 0 y a m infinito.

∈ {1, a , . . . , an−1}. Esto contradice que G sea

∈ G y m, n ∈ Z tales que g m = 1 = g n . Entonces m = 1, donde d = mcd(m, n). En particular, si m ∈ Z es tal que g = 1, entonces el orden de

Proposición 1.6.6. Sean G un grupo, g d

g g divide a m.

Demostración. Sean r, s tales que d = mr + ns. Entonces s

s

g d = g mr+ns = (gm ) (g n ) = 1 r 1s = 1. Si gm = 1, divida m entre n = g , es decir, m = nq + r, donde 0 q (gn ) g r = g r y como 0 r < n, entonces r = 0, es decir n m.

| |

≤

|

≤ r < n. Luego 1 = gm = ∼

Corolario 1.6.7. Sea G un grupo cíclico. Si G es infinito, entonces G = Z . Si G es finito de

orden n, entonces G ∼ = Z/nZ.

Demostración. Suponga que G = a es infinito. La función ϕ : Z

→ G,

ϕ(n) = a n

es un isomorfismo. Suponga ahora que G es finito. Considere la función ϕ : Z/nZ

→ G,

ϕ(m + nZ) = a m .

La función está bien definida. Suponga que r +nZ = s +nZ. Luego r s nZ, es decir r s = nk para algún entero k. Luego a r−s = a nk = (an )k = 1 k = 1. Por lo tanto ϕ(r + nZ) = ϕ(s + nZ). La función es inyectiva. En efecto, si ϕ(r + nZ) = ϕ(s + nZ), (con r > s) entonces a r = a s , y por tanto a r−s = 1, donde r s > 0. Luego n r s, es decir, r + nZ = s + nZ. Es claro que es sobre, pues si g G, entonces g = a m para algún m Z, así que ϕ(m + nZ) = a m . Finalmente,

− ∈

∈

−

| −

−

∈

ϕ((r + nZ) + (s + nZ)) = ϕ((r + s) + nZ) = a r+s = a r as = ϕ(r + nZ)ϕ(s + nZ).

∼

Como ϕ es un homomorfismo biyectivo, queda establecido que ϕ es un isomorfismo y Z/nZ = G.

Teorema 1.6.8. Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Teorema 1.6.9. Sean G un grupo, a

∈ G y m ∈ Z con m = 0.

1) Si |a| = ∞, entonces |am | = ∞. 2) Si |a| = n < ∞, entonces |am | =

n mcd(n,m) .

3) En particular, si |a| = n < ∞ y m | n, entonces |am| =

n m.

Demostración. 1) Si am es de orden finito, entonces existe un entero positivo s tal que (am )s = 1. Como también se cumple, a −ms = (ams )−1 = 1−1 = 1, vemos que existe un entero positivo r tal que a r = 1. Luego a es orden finito.


28

Ejemplo 1.6.10. Sea G = a un grupo cíclico de orden 20. Entonces el elemento a3 tiene 5

 

orden 20 y el elemento a tiene orden 4.

Ejemplo 1.6.11. Consideremos Z12 con generador a = 1. El orden de 4a es por lo tanto 12/ mcd(12, 4) = 12/4 = 3. Luego el grupo cíclico generado por 4 tiene 3 elementos. De hecho,

4 = {4, 8, 0}. El subgrupo de Z 12 generado por 7 tiene 12/(12, 7) = 12 elementos, es decir 7 = Z12 .

 

Corolario 1.6.12. Si a es un generador de un grupo cíclico finito G de orden n, entonces lo

otros generadores de G son los elementos de la forma am, donde m y n son primos relativos. El número de generadores de G es ϕ(n), donde ϕ es la función ϕ de Euler. Teorema 1.6.13. Sean G un grupo cíclico y a un generador de G . = s ∈ Z son enteros no negativos, entonces ar  =  as . Más 1) Si G es infinito, entonces, y r  m |m| aún, para cada entero m , a  = a . Por lo tanto se tiene una correspondencia biyectiva entre los subgrupos no triviales de Z y el conjunto de los números naturales.

 

2) Si G es de orden n < ∞, entonces por cada entero positivo d que divide a n hay exactamente un subgrupo de G de orden d; de hecho este subgrupo es el grupo cíclico an/d . Más aún, por cada entero m, am  = a(m,n) , así que los subgrupos de G están en correspondencia biyectiva con los divisores positivos de n .

 

 

= s con r, s ≥ 0 y que ar  = as . Si r = 0, entonces s ≥ 1 Demostración. 1) Suponga que r 

y por as tiene al menos dos elementos, en tanto que 1 solo tiene uno. Luego ar = as . Supongamos ahora que ambos r y s son positivos. Entonces ar as y a s ar , es decir, r sq s rk existen enteros q y k tales que a = a y a = a . Como G es infinito, se sigue que r = sq y s = rk, de donde r = rkq y 1 = kq , es k = 1 = q . Pero como s y r son no negativos, k es positivo, es decir k = 1 y se obtiene la contradicción r = s. Si y am , entonces −m −s y = (a ) .

 

 

∈ 

±

     ∈ 

∈  

 

2) Si d n, entonces an/d es un subgrupo de orden d. Sea H otro subgrupo de G de orden d. Dado que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico, H = am . Como d n, n = dq para algún entero q . Luego Se tiene

|

 

|

n n = d = am = q mcd(m, n)

| |

De aquí q = mcd(m, n), así que q m, digamos m = qs. Luego am = a qs Como ambos subgrupos tienen d elementos se sigue que son iguales.

|

∈ aq , y am ⊆ aq .

Con respecto a la última afirmación observe que, sea d = mcd(m, n), luego m = dq para algún entero q . Luego am = (ad )q y am a(m,n) . Pero ambos grupos tiene el mismo orden así que son iguales.

  ⊆ 



Corolario 1.6.14. Los subgrupos de Z son precisamente los subgrupos de la forma nZ, donde n

≥ 0.

Demostración. Para n ∈ Z, n = nZ es un subgrupo de G. Recíprocamente, si H es un subgrupo



de Z, entonces H es cíclico y H = n = nZ para algún n

Ejemplo 1.6.15. Liste todos los subgrupos de Z/12Z.

∈ N .

1.6. Grupos y subgrupos cíclicos 1.6.1.

29

Ejercicios

1) Sea G un grupo abeliano de orden mn donde m y n primos relativos. Si G tiene un elemento de orden m y otro elemento de orden n, pruebe que G es cíclico. 2) Sea n un entero positivo. Pruebe que



ϕ(d) = n,

d|n

donde ϕ es la función fi de Euler. 3) Sea G un grupo y sea a G un elemento de orden infinito. Pruebe que am solamente si n m. Más aún, pruebe que am = an si y solamente si m = n.

  ⊆ an si y |     ±     4) Sea G un grupo cíclico de orden n. Sean d 1 y d 2 divisores de n. Pruebe que ad ⊆ ad si y solamente si d 2 | d1 . 5) Sea G un grupo cuyos únicos subgrupos son {1} y G. Pruebe que G es finito. ∈

1

2

6) Pruebe que los siguientes grupos no son cíclicos:

× Z2. b) Z2 × Z. c) Z × Z. a) Z2

7) Pruebe que los grupos (Z, +) y (Q, +) no son isomorfos.

 

8) Sea G = a un grupo cíclico infinito. Determine todos los generadores del grupo a12 .



9) Sea G un grupo. Suponga que a = m y b = n; suponga también a y b conmutan. Pruebe que ab divide al mínimo común múltiplo de m y n.

| |

| |

| |

10) Sea G un grupo y a G un elemento orden mn, donde m y n son enteros positivos primos relativos. Pruebe que existen elementos x, y G tales x = m y y = n y a = xy.

∈

∈

| |

| |

11) Sea G un grupo de orden mn donde m,n > 1. Pruebe que G contiene al menos un subgrupo propio no trivial. 12) Sea G un grupo y a

∈ G un elemento de orden 15.

a) Determine los órdenes de a 9 , a 12 y a 8 . b) ¿Cuáles son los posibles órdenes de los elementos en a ?

 



13) Sea G = a un grupo de orden n. Para cada entero m sea σm : G

→ G dada por σm(a) = am.

a) Pruebe que σ a es un isomorfismo si y solamente si m y n son primos relativos. b) σr = σs si y solamente si r c) Si ϕ : G

≡ s mód n.

→ G es un isomorfismo, entonces ϕ = σm para algún entero m.


30

1.7.

Subgrupos generados por conjuntos

Teorema 1.7.1. Si H α

{ }α∈J una familia no vacía de subgrupos de un grupo ∩α∈J H α es un subgrupo de G. Definición 1.7.2. Sea A ⊆ G. Sea H =



G, entonces

H

H ≤G,A⊆H

es el subgrupo generado por A. Es el subgrupo más pequeño que contiene a A. Sea A A = ae1

{ · · · aen ∈ G | n ∈ Z, n ≥ 0, ei = ±1 para tod i } 1

n

{}

donde A = 1 si A es vacío.

Teorema 1.7.3. A = A .

 

Corolario 1.7.4. Si G es abeliano, entonces

A = { a m1 am2 · ·· amn | para todo i, ai ∈ A, mi ∈ Z, ai = ai+1, n ∈ Z+} 1

1.7.1.

2

n

Ejercicios

1) Suponga que G es un grupo cíclico infinito generado por a. Pruebe si am es otro generador de G, entonces m = 1.

±

CAPÍTULO 2

Clases laterales y el Teorema de Lagrange

2.1.

Clases laterales

Sean G un grupo y H un subgrupo de G. Se definen en G las congruencias izquierdas y derecha módulo H como sigue.

≡r b mód H ⇐⇒ ab−1 ∈ H a ≡l b mód H ⇐⇒ a−1 b ∈ H.

a

Teorema 2.1.1. Sea H un subgrupo de G . Entonces

1) Las congruencias izquierda y derecha módulo H son relaciones de equivalencia en G. 2) La clase de equivalencia de a

∈ G con respecto a la congruencia izquierda es aH = {ah | h ∈ H }. La clase de equivalencia de a ∈ G con respecto a la congruencia derecha es Ha = {ha | h ∈ H } 3) Cualesquiera dos clases laterales tiene la misma cardinalidad. De hecho |aH | = |H | = |Ha|. Para a ∈ G, el conjunto aH es la clase lateral izquierda de H en G. Corolario 2.1.2. Sea H un subgrupo de G.

1) G es la unión de todas las clases laterales izquierdas (derechas) de H en G: G =



aH =

a∈G



Ha.

a∈G

2) Dos clases laterales izquierdas (derechas) de H en G o son iguales o son disjuntas. 3) Para cualesquiera a, b ∈ G se tiene

⇐⇒ a−1b ∈ H Ha = H b ⇐⇒ ab−1 ∈ H. aH = bH

31

2. Clases laterales y el Teorema de Lagrange

32

Para el siguiente ejemplo se necesita el concepto de multiplicación de subconjunto de un grupo G. Si A, B G, se define

⊆

{ | ∈ A, b ∈ B}.

AB = ab a

Ejemplo 2.1.3. Considere el grupo diédrico D 6 de las simetrías del triángulo equilátero. Sean H = s y N = r . Las clases laterales izquierdas y derechas de H son





{ } rH = {r,sr2 }, r2 H = {r 2 , sr},

{ } Hr = {r,sr } Hr2 = {r2 , sr2 }.

1H = 1, s ,

H 1 = 1, s

Observe que sH = H , srH = r2 H , sr 2 H = rH . También se tiene que H = Hs, Hsr = Hr, Hsr2 = Hr2 . Note que la clase lateral izquierda rH no es una clase lateral derecha. De esta manera se tiene,

≡l = {aH | a ∈ D6} = {H,rH,r2H } G/ ≡r = {Ha | a ∈ D6 } = {H,Hr,Hr2 }. Observe que si trataramos de convertir G/ ≡l en un grupo con la multiplicación de clases, esto G/

no sería posible pues la operación ni siquiera esta bien definida. Es decir, el producto de dos clases laterales izquierdas no necesariamente es una clase lateral izquierda. Por ejemplo, rH r2 H = r,sr 2

·

{

} · {r2, sr2} = {1,s,sr,r2}

que no es una clase lateral. Por otro lado, se tiene 1N = 1, r , r2 ,

N 1 = 1, r , r2

{ } sN = {s,sr,sr2 },

{ } N s = {s,sr,sr2 }.

Observe que el producto de dos clases laterales izquierdas es de nuevo una clase lateral izquierda. De hecho, N sN

N N sN

sN sN N

Ejemplo 2.1.4. Sea N el subgrupo de Z6 generado por 3, i.e.i N = 3 = 0, 3 . Las clases

  { }

laterales izquierdas de N en G son N = 0, 3 1 + N = 1, 4 2 + N = 2, 5

{ } { } { }

La tabla de multiplicación de Z 6 en el orden 0, 3, 1, 4, 2, 5 es La suma Z6 induce una suma de clases laterales que resulta ser una operación binaria. De hecho,

N 1 + N 2 + N N N 1 + N 2 + N 1 + N 1 + N 2 + N N 2 + N 2 + N N 1 + N

2.1. Clases laterales

33

Si uno desea que el producto de clases sea una operación binaria en aH a G , entonces necesariamente debería suceder que aH bH = (ab)H . En efecto, el producto aH bH contiene al elemento ab = (a 1)(b 1). Por otro lado, la única clase lateral izquierda que contiene a ab es (ab)H , así que se tendría aHbH = (ab)H .

·

{ | ∈ } ·

·

·

Ejercicio 2.1.5. 1) Sea N N en G dada por

≤ G. Pruebe que la multiplicacón de clases laterales izquierdas de ·

aN bN = (ab)N está bien definida si y solamente si gng −1

∈ N para todo g ∈ G y toda n ∈ N .

2) Pruebe que si la multiplicación de clases laterales izquierdas de N en G está bien definida, entonces cada clase lateral izquierda es una clase lateral derecha y viceversa. 3) Pruebe si la multiplicación de clases laterales izquierdas está bien definida, entonces G/N , el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de N en G forma un grupo.

Teorema 2.1.6. Sea H un subgrupo de G. El conjunto de las clases laterales izquierdas y

el conjunto de las clases laterales derechas tienen la misma cardinalidad. Es decir | G/ ≡l | = |G/ ≡r |. Demostración. La asignación aH → Ha−1 es una biyeccion. Definición 2.1.7. El índice de H en G, denotado por (G : H ) es la cardinalidad del conjunto de todas las clases laterales izquierdas.

Teorema 2.1.8 (Lagrange). Si G es un grupo finito y H

≤ G, entonces |H | | |G|. Corolario 2.1.9. Sean G un grupo finito, H un subgrupo de G y a ∈ G. Entonces 1) (G : H ) = |G| / |H |. 2) | a| | |G|. 3) a|G| = 1 . Teorema 2.1.10. Todo grupo de orden primo es cíclico. Teorema 2.1.11. Sean H, K subgrupos de un grup finito G tales que H

⊆ K ⊆ G. Entonces

(G : H ) = (G: K )(K : H ).

Teorema 2.1.12 (Euler). Sea n un entero positivo y sea a

Entonces

∈ Z un entero primo relativo con n .

aϕ(n) = 1 mód n.

Demostración. Considere el grupo G = {a + nZ | (a, n) = 1} con la multiplicación de clases. Entonces G = ϕ(n).

| |

Teorema 2.1.13 (Fermat). Si p es un número primo y a es un entero, entonces a p

≡ a mód p.


34

2.1.1.

Ejercicios

1) Encuentre el número de clases laterales izquierdas de cada uno de los siguientes subgrupos:

  b) El subgrupo 1 × 1 × 2 de Z 3 × Z2 × Z4 . a) el subgrupo 16 de Z/36Z.

2) Determine el número de subgrupos de orden 19 (salvo isomorfismo). 3) Pruebe que si H es un subgrupo de un grupo G cuyo índice es dos, entonces toda clase lateral izquierda es también una clase lateral derecha.

∩

∩ aK . 5) Escriba todas las clases laterales izquierdas del subgrupo cíclico (1, 2) de Z2 × Z4 . Determine 4) Sean G un grupo y H, K subgrupos de G. Pruebe que a(H K ) = aH

si la operación inducida está bien definida y si las clases laterales izquierdas forman grupo.

6) Sea G un grupo abeliano finito de orden 2n, donde n es un número impar. Pruebe que G tiene a lo más un elemento de orden dos. 7) Sea G un grupo abeliano finito y sea x = impar, ¿qué puede decir de x?



a∈G a.

Pruebe que x2 = 1. Si G es de orden

8) Pruebe el Teorema de Wilson: Si p es un primo impar, entonces ( p válido el teorema para p = 2?

− 1)! ≡ −1 mód p. ¿Es

2 9) Muestre que en el grupo Z × 29 la ecuación x =

−1 si tiene solución. 10) Si p es un primo de la forma 4n + 3, pruebe que la ecuación x2 ≡ −1 mód p no tiene solución. 11) Calcule el residuo de 8 103 al dividirlo entre 13. 12) Calcule el residuo de 3 47 al dividirlo entre 23.

2.2.

Productos de subgrupos

Definición 2.2.1. Sea (G, ) un grupo y sean A, B subconjuntos no vacíos de G. El producto de A y B es el conjunto

·

{ ∈ G | a ∈ A, b ∈ B}.

AB = ab

Si el grupo es abeliano y se usa la notación aditiva, entonces se habla de la suma de A y B y A + B = a + b

{

∈ G | a ∈ A, b ∈ B }.

Observaciones 2.2.2. Sea G un grupo. 1) Para cualesquiera A, B y C subconjuntos no vacíos de G se tiene A(BC ) = (AB)C. 2) Si A

⊆ B, entonces ⊆ BC,

AC

CA

⊆ CB .

2.2. Productos de subgrupos

35

3) Si B es conjunto de un solo elemento, digamos B = b , entonces

{} AB = {ab | a ∈ A}

{}

y en vez de escribir A b se escribe Ab. Note que está notación es consistente con la notación de clase lateral (izquierda o derecha) . 4) Si H es un subgrupo de G, entonces H H = H . Queremos analizar bajo que condiciones el producto de subgrupos es nuevamente un subgrupo.

Ejemplo 2.2.3. Sea G = D6 el grupo diédrico de las simetrías de un triángulo equilátero. Considere los subgrupos H = 1, s y K = 1, sr de D 6 . Entonces

{ }

{

}

HK = 1,sr,s,r

{

}

que no es subgrupo de D 6 (si lo fuera su orden que es 4, tendría que dividir al orden de D 6 que es 6). Por la misma razón, el conjunto K H = 1,s,sr,r2 no es un subgrupo de D 6 .

{

}

Ejemplo 2.2.4. Sea ahora G el grupo diédrico de las simetrías de un cuadrado, i.e., G = D 8 .



Sean H = r2 y K = s . Ahora bien,



HK = 1, s , r 2 , sr2 .

{

}

¿Es H K D8 ? Basta verificar que es cerrado para el producto. La siguiente tabla nos muestra que la multiplicación es cerrada en el conjunto H K y por lo tanto es un subgrupo de G.

≤

1 1 r2 s sr2

1 1 r2 s sr2

r2 r2 1 sr 2 s

s s sr 2 1 r2

sr 2 sr 2 s sr 2 1

Observe que K H = H K .

Teorema 2.2.5. Sean H, K subgrupos de un grupo G. Entonces HK es un subgrupo de un

grupo G si y solamente si H K = K H . Corolario 2.2.6. Si G es un grupo abeliano y H y K son subgrupos de G , entonces H K es un

subgrupo de G. Teorema 2.2.7. Sean H y K subgrupos finitos de un grupo G . Entonces H | |K | |HK | = ||H ∩ K | .

Demostración. Defina en el producto cartesiano H ×K la relación (h, k) ∼ (h1 , k1 ) si y solamente si hk = h 1 k1 . Se deja de ejercicio verificar que esta relación es una relación de equivalencia. Es claro que HK = H K/ . Si no lo es, aquí está la biyección entre ambos conjuntos. Defina

|

| | ×

∼|

→ H × K/ ∼,

F : H K

F (hk) = [(h, k)].

Observe que h1 k1 = h 2 k2

⇐⇒

(h1 , k1 )

∼ (h2, k2) ⇐⇒

[(h1 , k1 )] = [(h2 , k2 )],


36

lo que muestra que la función está bien definida y además es inyectiva. Claramente la función es suprayectiva. Veamos que cada clase de equivalencia tiene exactamente H K elementos. Observe que si hk = h 1 k1 , entonces kk1−1 = h −1 h1 H K , pues el lado izquierdo está en K y el lado derecho en H . Defina la función

| ∩ |

∈ ∩

f : [h, k]

→ H ∩ K,

f (h1 , k1 ) = h −1 h1 .

Sean (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) en la clase de equivalencia de (h, k) tales que f (h1 , k1 ) = f (h2 , k2 ). Por definición de f , h −1 h1 = h −1 h2 y por lo tanto h 1 = h 2 . Ahora bien, como (h1 , k1 ) (h2 , k2 ), se tiene h 1 k1 = h 2 k2 lo que implica que k 1 = k 2 . Esto prueba la inyectividad. Dado a H K , definamos h 1 = hu y k 1 = u −1 k y note h 1 k1 = hk así que (h1 , k1 ) (h, k); además f (h1 , k1 ) = h −1 h1 = h −1 hu = u. Juntando toda la información

∼

∈ ∩

∼

|H | |K | = |H × K | = |H ∩ K | |H × K/ ∼| = |H ∩ K | |HK | , de donde el resultado se sigue.

Corolario 2.2.8. Sean H y K subgrupos del grupo finito G tales que H , K >

| | | |

H K = 1 .

∩  { }

 | |. Entonces G

Demostración. Si H ∩ K = {1}, de acuerdo con el Teorema 2.2.7, se tendría |HK | = |H | |K | >

|G| lo que es una contradicción, pues |HK | ≤ |G|.

Corolario 2.2.9. Sea G un grupo finito de orden pq , donde p y q son números primos con p > q . Entonces G tiene a lo más un subgrupo de orden p. = K son subgrupos de orden p. Se tiene que H ∩ K = {1}. En Demostración. Suponga que H 

∩ ⊆

∩ | | | |

∩ ∩ { }

efecto, H K H, K y el orden H K divide al orden de H , que es p; luego H K es de orden 1 o p; no puede ser p, si ese fuera el caso H = H K = K ; luego H K = 1 . Por otro lado, note que p > pq , así que H , K > G , por lo que de acuerdo con el corolario anterior H K = 1 que es una contradicción.

√

∩  { }

2.2.1.

∩

 | |

Ejercicios

1) Sean H y K subgrupos de un grupo G. Pruebe que la relación (h, k) de equivalencia en H K .

×

∼ (h1, k1) es una relación

2) Sea G un grupo finito. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes. a) G es primo.

| | b) G =  1 y los únicos subgrupos de G son G y 1. c) G es isomorfo a Z p para algún primo p.

3) Pruebe que si G es un grupo finito de orden 2n, entonces G tiene algún elemento de orden 2. Pruebe que si G es abeliano de orden 2n, donde n es impar, entonces G tiene exactamente un elemento de orden 2. 4) Pruebe que si G es un grupo abeliano no cíclico de orden 4, entonces G tiene exactamente tres elementos de orden 2. 5) Sean H y K subgrupos de un grupo G tales que K H . Si (G : H ) y (H : K ) son ambos finitos, pruebe que (G : K ) es finito y que (G: K ) = (G : H )(H : K ).

⊆

2.2. Productos de subgrupos

37

6) Sean H y K subgrupos de un grupo G, el cual no necesariamente es de orden finito. Suponga que el índice de K en G es finito. a) Pruebe que el índice de H

∩ K en H es finito y que (H : H ∩ K ) ≤ (G : K ).

∩ K ) = (G : K ) si y solamente si G = H K . c) Sí el índice de H en G es finito, pruebe que (G: H ∩ K ) ≤ (G : H )(G : K ).

b) Pruebe que (H : H

7) Sea G un grupo de orden pk m, donde p es primo y mcd( p, m) = 1. Suponga que H es un subgrupo de orden pk y K es un subgrupo de orden pd , donde 0 < d k y K no está contenido en H . Pruebe que H K no es un subgrupo de G.

≤

8) Si p es un número primo de la forma 4n + 3, pruebe la ecuación cuadrática x 2 no tiene solución. 9) Sea N un subgrupo de G con la propiedad de que gng −1 N para todo g Pruebe que si H es un subgrupo de G, entonces H N G.

≤

∈

≡ −1 mód p

∈ G y todo n ∈ N .

10) Sea G un grupo de orden 9. Pruebe que existen subgrupos H y K de G tales que G = H K .

38


CAPÍTULO 3

Grupos cociente y los teoremas de isomorfismo

Previamente se definió el concepto de homomorfismo y en particular concepto de isomorfismo de grupos con el fin de clasificar algunos grupos. En esta sección se hace un estudio más detallado del concepto de homomorfismo.

3.1.

Homomorfismos, fibras y grupos cociente

Recuerde que un homomorfismo es una función entre dos grupos que preserva la operación de grupo. Más precisamente

Definición 3.1.1. Una función ϕ : G

→ H del grupo G en el grupo H es un homomorfismo de

grupos si para cualesquiera a, b ∈ G se tiene

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Un monomorfismo de grupos es un homomorfismo inyectivo; un epimorfismo de grupos es un homomorfismo suprayectivo. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

Ejemplos 3.1.2. 1) Sean G y H grupos. La función ϕ : G

H dada por ϕ(x) = 1H es un homomorfismo de grupos, es el homomorfismo trivial. La función identidad 1 G : G G dada por 1 G (x) = x es un homomorfismo de grupos.

→

→ ≤ 3) La función ϕ : Z → Z/nZ dada por ϕ(a) = a + nZ es un epimorfismo de grupos.

→

2) La función ϕ : Z Zn dada por ϕ(m) = r, donde r es el único entero no negativo tal que m = nq + r, 0 r < n, es un epimorfismo.

4) Sean G y H grupos. Las proyecciones π1 : G π2 : G

× H → G, × H → H,

π1 (x, y) = x, π1 (x, y) = y

son epimorfismos de grupos. La inyecciones

→ G × H, → G × H,

ι1 : G ι2 : H

ι1 (x) = (x, 1H ), ι2 (y) = (1G , y)

son monomorfismos de grupos. 39

3. Grupos cociente y los teoremas de isomorfismo

40 5) La función signo ϕ : S n de grupos.

→ {1, −1} que asocia a cada permutación su signo, es una epimorfismo


→ H un homomorfismo del grupo G en el grupo H . Entonces

1) ϕ(1G ) = 1H . 2) ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 . 3) ϕ(an ) = ϕ(a)n para todo n

∈ Z.

4) ϕ es un monomorfismo si y solamente si ker ϕ = {1}. 5) El núcleo K de ϕ tiene la propiedad de que g Kg −1 = K para todo g ∈ G. En otras palabras, el normalizador de K en G es G . Sea ϕ : G H un homomorfismo de grupos. Para cada y a y es subconjunto ϕ −1 (y) = x G ϕ(x) = y de G.

→

∈ H , la fibra de ϕ correspondiente

{ ∈ | } Ejemplo 3.1.4. 1) Si π1 : G × H → G es la proyección canónica, la fibra de x ∈ G es el conjunto ϕ−1 (x) = {(x, y) ∈ G × H | y ∈ H } = x × H. 2) Sea ϕ : S n → {1, −1} la función signo. En este caso ϕ solo tiene dos fibras: ϕ−1 (1) = {σ | S n ∈ σ es par}, ϕ−1 (−1) = {σ ∈ S n | σ es impar}. 3) Sea Z n = a un grupo cíclico de orden n. Considere el homomorfismo ϕ : Z → Z n que asigna m a cada entero m el elemento a . Entonces

ϕ−1 (ar ) = r + nZ

Ejercicio 3.1.5. Pruebe que es una partición de G. Defina en un operación binaria:

G

G

K r K s = K rs

G

Pruebe que con esta operación es un grupo. Observe que K = K 1 es un subgrupo de G. Pruebe que cada K a es una clase lateral de K en G. Una forma de proceder sería la siguiente. Recuerde que una partición induce una clase de equivalencia. ¿Recuerda como se define la relación de equivalencia inducida por una partición?


→ H un homomorfismo de grupos de núcleo K . Sea G/K el conjunto

de todas las fibras de ϕ es un grupo con respecto a la operación binaria K r K s = K rs .

Además G/K es isomorfo a Im H . El grupo G/K de las fibras de ϕ se llama grupo factor o grupo cociente.

Ejemplo 3.1.7. Sea ϕ : G

→ H el homomorfismo definido por ϕ(x) = 1H . el núcleo es G. Ya que la imagen de ϕ es {1H }, ϕ solo tiene una fibra, así que G/G = {G}. Ejemplo 3.1.8. Si ϕ : G → G es el homomorfismo identidad, entonces el núcleo de ϕ es {1G } y G/{1G } = {{x} | x ∈ G} ∼ = G.

3.1. Homomorfismos, fibras y grupos cociente Ejemplo 3.1.9. Sea ϕ : Z

41

→ Zn el homomorfismo dado por ϕ(a) = a mód n. El núcleo de ϕ es

nZ. El conjunto cociente es

| ∈ Zn} ∼= Zn

Z/nZ = r + nZ r

{

La operación en el grupo cociente está dada por ϕ −1 (r) + ϕ−1 (s) = ϕ−1 (r + s), es decir (r + nZ) + (s + nZ) = (r + s) + nZ.

Ejemplo 3.1.10. Sea π 1 : G G

× H → H el epimorfismo canónico. El núcleo de π1 es K = K 1

H

=

× 1H . El conjunto de fibras es G × H/G × 1 = {G × y | y ∈ H } ∼ = H.

La multiplicacón está dada por (G

× r) · (G × s) = G × (rs).

Teorema 3.1.11. Sea ϕ : G → H un homomorfismo de núcleo K . Entonces las fibras de K forman una partición de G. Todavía más, cada fibra de ϕ es una clase lateral derecha K en G.

Demostración. Si x ∈ G, entonces y = ϕ(x) ∈ Im ϕ, así que x ∈ ϕ −1 (y) = K y , lo que prueba

∪

∩  ∅ ∼ ∼



∈ ∩

que G = y∈Im ϕ K y . Suponga que K r K s = pero que K r = K s . Si x K r K s , entonces ϕ(x) = r, ϕ(x) = s, es decir r = s, así K a = K b . Toda partición induce una relación de equivalencia. La relación de equivalencia es x y si y solamente si x, y pertenecen al mismo elemento de la partición. Pero decir a b es equivalente a que ϕ(a) = ϕ(b) y esto es equivalente a decir ϕ(ab−1 ) = 1, es decir xy −1 K 1 = K . O sea que x y si y solamente si x y mód K .

∈

∼

≡

Esto muestra que si un subgrupo de un grupo G aparece como el núcleo de un homomorfismo, entonces el conjunto de todas las clases laterales es un grupo.

Teorema 3.1.12. Sea G un grupo y N un subgrupo de G.

1) El producto de clases laterales izquierdas de N en G dada por aN bN = (ab)N

·

está bien definida si y solamente si g ng−1 ∈ N para todo g ∈ G y toda n ∈ N . 2) Si la multiplicación de clases laterales izquierdas está bien definida, entonces el conjunto de todas las clases laterales izquierdas G/N es un grupo, donde 1N = N es la identidad y (aN )−1 = a −1 N . Demostración. 1) Suponga que la multiplicación está bien definida. Dado g ∈ G y n ∈ N , se tiene que g n

∈ gN y g −11 ∈ g−1N , así que gng−1 ∈ (gg −1)N = N .

Recíprocamente, veamos que el producto de dos clases laterales izquierdas es de nuevo una clase lateral izquierda. En efecto, si a, b G y n1 , n2 N , tambíen b−1 n1 b N , así que (an1 )(bn2 ) = ab(b−1 n1 b)n2 N .

∈

∈

∈

∈

aN bN = (an1 )(bn2 ) n1 , n2

·

{

|

∈ N } = {abn | n ∈ N }

La operación además está bien definida. Si aN = a 1 N y bN = b 1 N , entonces abN = a 1 b1 N . Dado que a −1 a1 , b−1 b1 N , también

∈





(ab)−1 a1 b1 = b−1 (a−1 a1 )b (b−1 b1 ) es un elemento de N , es decir abN = a 1 b1 N .


42 2) Veamos ahora que aN a

{ | ∈ G} es grupo. La aociativa se cumple, pues aN · (bN · cN ) = aN · (bcN ) = (a(bc))N = ((ab)c)N = (ab)N · cN = (aN · bN ) · cN. La operación tiene un neutro, 1N · aN = (1a)N = aN y también aN · 1N = aN . El inverso de aN es a −1 N , pues aN · a−1 N = (aa−1 )N = 1N = N y tambińe a −1 N · aN = N .

Definición 3.1.13. Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal de G, denotado por

∈ G y cada n ∈ N , se tiene g ng−1 ∈ N . Ejemplos 3.1.14. 1) Considere el grupo G × H y el subgrupo N = G × 1. El grupo N es normal en G × H : (g, h)(x, 1H )(g, h)−1 = (g, h)(x, 1)(g −1 , h−1 ) = (gxg −1 , h1h−1 ) = (gxg −1 , 1) ∈ N. El grupo cociente consta de todas las clases laterales (a, b)N = { (a, b)(g, 1) ∈ g ∈ G} = {(ag,b) | g ∈ G} = G × b. N  G si para cada g

Teorema 3.1.15. Sea N un subgrupo de un grupo G. Las siguientes afirmaciones son equiva-

lentes. 1) N  G 2) Para todo g ∈ G, g N g−1 ⊆ N . 3) Para todo g ∈ G, g N g−1 = N . 4) Para todo g ∈ G, gN = N g . En particular, toda clase lateral izquierda de N en G es una clase lateral derecha de N en G . 5) N G (N ) = G. 6) La multiplicación de clases laterales aN · bN = (ab)N convierte el conjunto de clases laterales en un grupo. Ejemplo 3.1.16. Sea K el subgrupo de D 8 generado por r 2 , i.e., K = 1, r2 . Veamos que K es normal en D 8 , calculando las clases laterales izquierdas y derechas.

{

}

K = 1, r2 ,

{ } K = {1, r 2 } rK = {r, r3 }, Kr = {r, r3 } sK = {s,sr2 } Ks = {s, r2 s} = {s,sr2 } srK = {sr, sr3 } Ksr = {sr,r 2 sr} = {sr,sr3 }. Por otro lado, H = {1, s} no es normal, pues rH = {r,rs} = {1, sr3 } y Hr = {r,sr }, así que rH  = H r. Ejemplo 3.1.17. Sea Q = {±1, ±i, ± j, ±k} el grupo de los cuaternios de orden 8. Solo hay un elemento de orden 2, a saber − 1, así que Q tiene exactamente un subgrupo de orden 2, N = {1, −1}. Dado g ∈ Q, gN g−1 es también un subgrupo de orden 2, luego gN g−1 = N y N  Q. Si K es un subgrupo de orden 4, entonces su índice en Q es 2, por lo tanto K es normal en Q. Obviamente Q es normal en Q. Entonces todos los subgrupos de Q son normales. Se deja al lector el siguiente ejercicio. Sea G un grupo tal que todos sus subgrupos son normales en G. Si a, b G, pruebe que ba = a j b para algún entero j .

∈

Ejemplo 3.1.18. Sea G un grupo cíclico finito de orden primo. Los únicos subgrupos normales de G son 1 y G; de hecho, estos son los únicos subgrupos de G.

{ }

3.1. Homomorfismos, fibras y grupos cociente

43

Teorema 3.1.19. Sea N un subgrupo de un grupo G . Entonces N  G si y solamente si N es

el núcleo de algún homomorfismo. Demostración. Suponga que N es normal en G y considere la función ϕ : G → G/N dada por ϕ(a) = aN . Esta función es un homomorfismo

·

ϕ(ab) = (ab)N = aN bN = ϕ(a)ϕ(b), que claramente es suprayectivo. Ahora bien, a

∈ ker ϕ ⇐⇒ N = ϕ(a) ⇐⇒ N = aN ⇐⇒ a ∈ N.

Asi N = ker ϕ. Recíprocamente, si N es el núcleo de algún homomorfismo, entonces por un teorema previo N  G.


→ H un homomorfismo de grupos. Entonces 1) Si A ≤ G, entonces ϕ(A) ⊆ H . 2) Si A

G, entonces ϕ(A)  ϕ(G).



3) Si B ⊆ H , entonces ker ϕ ⊆ ϕ−1 (B) ≤ G. 4) Si B



H , entonces ϕ−1 (B)  G.

Demostración. 1) Como ϕ(1G ) = 1H y 1G ∈ A, entonces 1H ∈ ϕ(A). Además, si x, y ∈ ϕ(A), entonces x = ϕ(a) y y = ϕ(b), para algunos elementos a, b G, a −1 b A. Luego

∈ A. Como A es un subgrupo de

∈

x−1 y = ϕ(a)−1 ϕ(b) = ϕ(a−1 )ϕ(b) = ϕ(a−1 b)

∈ ϕ(A). 2) Sean y ∈ ϕ(G) y x ∈ ϕ(A). Entonces y = ϕ(g) y x = ϕ(a), donde g ∈ G y a ∈ A. Como A es normal en G, se tiene que gag −1 ∈ A. Entonces yxy −1 = ϕ(g)ϕ(x)ϕ(g)−1 = ϕ(gxg −1 ) ∈ ϕ(A). 3) Dado a ∈ ker ϕ, se tiene ϕ(a) = 1H ∈ B, pues B es un subgrupo de H . Así que a ∈ ϕ−1 (B). Esto prueba que el núcleo está contenido en la imagen inversa de B. Sean a, b ∈ ϕ−1 (B). Enotnces ϕ(a) y ϕ(b) son elementos de B y como B es un subgrupo, ϕ(a)−1 ϕ(b) ∈ B. Como ϕ(a−1 b) = ϕ(a−1 )ϕ(b) = ϕ(a)−1 ϕ(b) ∈ B se sigue que a −1 b ∈ ϕ−1 (B). 4) Sean g ∈ G y a ∈ ϕ−1 (B). Luego ϕ(b) ∈ G, ϕ(a) ∈ B y como B es normal, ϕ(g)ϕ(a)ϕ(g)−1 ∈ B, es decir ϕ(gag −1 ) ∈ B y por tanto gag−1 ∈ ϕ−1 (B). 3.1.1.

Ejercicios

1) Determine cuál o cuáles de las siguientes funciones son homomorfismos de grupos. Si la función es un homomorfismo identifique su núcleo, y determine si el homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo.

→ (R+, ·), ϕ(x) = 2x. b) ϕ : (R+ , ·) → (R, +), ϕ(x) = log 2 (x). a) ϕ : (R, +)


44 c) ϕ : (R

− {0}, ·) → (R − {0}, ·), ϕ(x) = |x|. d) Sea K un campo. det: K n×n → K −{0}, ϕ(A) = det(A). e) ϕ : Z → nZ, ϕ(k) = nk. 2) Pruebe que si ϕ : G → H es un epimorfismo, y G es abeliano, entonces H es abeliano. 3) Sea ϕ : G → G un homomorfismo y sea H un subgrupo de G. Pruebe que la función φ = ϕ|H : H → G es un homomorfismo cuyo núcleo es ker ϕ ∩ H y que ker ϕ ∩ H es un subgrupo normal de H .

4) Sea G un grupo. Pruebe que G es abeliano si y solamente si la función ϕ : G ϕ(x) = x−1 es un automorfismo de G, es decir, un isomorfismo de G en G.

→ G dada por

5) Sea ϕ : G H un homomorfismo de un grupo G en un grupo abeliano H . Sea N un subgrupo de G que contiene al núcleo de ϕ. Pruebe que N es normal en G.

→

6) Sea ϕ 1 : G G 1 y ϕ2 : G G 2 homomorfismos de grupos. Pruebe que existe exactamente un homomorfismo ϕ : G G1 G2 tal que ϕi = πϕ, donde πi : G 1 G2 Gi es la proyección canónica de G 1 G2 en G i , (1 i 2).

→

×

→ → × ≤ ≤

× →

7) Sean G 1 , G2 , G grupos abelianos y sean ϕ i : G i G homomorfismos de grupos. Pruebe hay exactamente un homomorfismo ϕ : G 1 G2 G tal que ϕ i = ϕι i , donde ι i : G i G1 G2 es la inyección canónica de G i en G 1 G2 .

× → ×

→

→ ×

8) Pruebe que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. 9) Sea G un grupo y ϕ un automorfismo de G. Pruebe que si a ϕ(a) es de orden finito y ϕ(a) = a .

|

| ||

∈ G es de orden finito, entonces

10) Sea G un grupo abeliano finito de orden n; sea r un entero positivo primo relativo con n. a) Pruebe que la función ϕ r : G

→ G dada por ϕ r (a) = ar es un automorfismo de G.

b) Deduzca que la ecuación xr = a tiene exactamente una solución en un grupo abeliano finito, si r es primo relativo con el orden de G. ¿Qué sucede si r y el orden de G no son primos relativos? 11) Pruebe que la composición de homomorfismos es un homomorfismo. 12) Pruebe que si ϕ : G

→ H es un isomorfismo, entonces ϕ −1 : H → G también lo es.

13) Sea G un grupo y sea Aut(G) el conjunto de todos los automorfismos de G. Pruebe que Aut(G) es un grupo con la composición de funciones. 14) Sea G un grupo. a) Pruebe que para cada g G, la función ι g : G G dada por ι g (x) = gxg −1 es un automorfismo de G. El automorfismo ι g es un automorfismo interno de G bajo la conjugación por g.

∈

→

b) Sea Int(G) el conjunto de todos los automorfismos internos de G. Pruebe que Int(G) Aut(G). c) Pruebe que la función ϕ : G grupos. ¿Cuál es su núcleo?



→ Aut(G) definida por ϕ(g) = ιg es un homomorfismo de

15) Sea G = a un grupo cíclico finito de orden n. Pruebe que el grupo de los automorfismos internos de G es isomorfo al grupo Z × n.

 

3.1. Homomorfismos, fibras y grupos cociente

45

16) Si N es normal en G y a G es un elemento de orden finito, pruebe que aN en G/N es de orde finito y que el orden de aN divide al orden de a.

∈

17) Un grupo G es un grupo de torsión si todo elemento de G es de orden finito. Pruebe que si G es un grupo de torsión y N  G, entonces G/N es un grupo de torsión. 18) Un grupo G es libre de torsión si ningún otro elemento aparte de la identidad es de orden finito. Sean G un grupo abeliano y T el subgrupo de torsión de G. Pruebe G/T es libre de torsión.

| |

19) Sea G un grupo finito y N es un subgrupo normal de G. Pruebe que si (G : N ) y N son primos relativos, entonces cualquier x G que satisfaga x |N | = 1 debe pertenecer a N .

∈

20) Sea G un grupo finito y sea N un subgrupo normal de G tal que (G : N ) y el orden de N son primos relativos. Pruebe que N es el único subgrupo de G de orden N .

| |

21) Sean G un grupo y N un subgrupo de G de índice 2. Pruebe que N es normal en G. 22) Pruebe que si H, K  G, entonces H

∩ K  G. 23) Pruebe que si N  G y H ≤ G, entonces H N ≤ G. 24) Pruebe que si H, N  G, entonces H N  G. 25) Sean H un subgrupo de un grupo G y N un subgrupo normal de G.

∩ N  H . b) Pruebe que la función ϕ : H → HN/N dada por ϕ(aH ) = aN está bien definida y que es un epimorfismo cuyo núcleo es H ∩ N . a) Pruebe que N  HN y H

c) Determine las fibras de ϕ.

d) Si H y N son finitos pruebe que órdenes de los grupos cociente H/(H N ) y HN/N son iguales.

∩

⊆ H .

26) Sean H y K subgrupos normales de un grupo G; suponga también que K a) Pruebe que H/K es un subgrupo normal de G/K .

→

b) Pruebe que la función ϕ : G/K G/H dada por ϕ(aK ) = aH está bien definida y es un epimorfismo cuyo núcleo es H/K . c) Si G es finito, pruebe que el orden de (G/K )/(H/K ) y el de G/K son iguales. 27) Pruebe que el centro Z (G) de un grupo G es normal en G. 28) Sea Z el centro de un grupo G. Pruebe que si G/Z es cíclico, entonces G es abeliano. 29) Sea N un subgrupo de un grupo G contenido en el centro de G. Pruebe que N  G. Pruebe también que si G/N es cíclico, entonces G es abeliano. 30) Si N es un subgrupo normal de un grupo G y G/N es abeliano, pruebe que aba −1 b−1 para todo a, b G.

∈

31) Sea G un grupo tal que todos sus subgrupos son normales en G. Pruebe que si a, b entonces ba = a j b para algún entero j . 32) Sea N un subgrupo normal de un grupo G tal que aba −1 b−1 que G/N es abeliano.

∈ N

∈ G,

∈ N para todo a, b ∈ G. Pruebe


46 33) Sean G 1 y G 2 grupos, N 1  G1 y N 2 G1 G2 .



G2 . Pruebe que N 1

×

× N 2 es un subgrupo normal de × →

×

34) Sean G 1 y G 2 grupos, N 1  G1 y N 2  G2 . Pruebe que la función ϕ : G 1 G2 (G1 /N 1 ) (G2 /N 2 ) dada por ϕ(x, y) = (xN 1 , yN 2 ) es un epimorfismo de grupos cuyo núcleo es N 1 N 2 .

×

35) Pruebe que si H es un subgrupo cíclico de un grupo G y H es normal en G, entonces todos los subgrupos de H son normales en G. 36) Sea N un subgrupo finito de un grupo G. Pruebe que si N es el único subgrupo de G de orden N , entonces N es normal en G.

| |

37) Pruebe que si G es un grupo cíclico y N

≤ G, entonces G/N es un grupo cíclico.

38) Determine lo que se pide. a) El orden de Z 6 / 3 . b) El orden de Z 4 Z12 / 2 2. c) El orden de la clase lateral 5 + 4 en el grupo cociente Z 12 / 4 .

 ×  × 





39) Sea N un subgrupo normal de un grupo finito G y sea m el índice de N en G. Pruebe que am N para todo a G.

∈

∈

40) Sea G un grupo de orden pn m, donde p es un primo, n que P y H son subgrupos de G de órdenes pn y ps , con s normalizador de P , pruebe que H P .

≥ 1 y mcd( p, m) = 1. Suponga ≤ n. Si H está contenido en el

⊆

41) Un grupo no trivial G es simple si sus únicos subgrupos normales son 1 y G. Pruebe que si un grupo finito G, cuyo orden es 3, contiene un subgrupo propio de índice 2 en G, entonces G no es simple.

{ }

≥

42) Pruebe que si G es un grupo de orden 15 que tiene un subgrupo de orden 5, entonces G no es simple.

3.2.

Los teoremas de isomorfismo

Teorema 3.2.1 (El primer teorema de isomorfismos para grupos) . Sea ϕ : G

→ H un homomorfismo de grupos. Entonces existe exactamente un monomorfismo natural ϕ : G/ ker ϕ → H tal que hace conmutativo el siguiente diagrama G π

ϕ

H ϕ

G/ ker ϕ

Es decir, tal que ϕ = ϕπ, donde π : G → G/ ker ϕ es la proyección natural de G en G/ ker ϕ. Además Im ϕ = Im ϕ. En particular, G/ ker ϕ ∼ = Im ϕ. Demostración. Sea K = ker ϕ. Defina ϕ(aK ) = ϕ(a). Se tiene que

⇐⇒ a−1b ∈ K ⇐⇒ ϕ(a−1b) = 1H ⇐⇒ ϕ(a) = ϕ(b).

aK = bK

Las implicaciones de ida prueban que ϕ está bien definida y las de regreso que es inyectiva. También se tiene que ϕ(a) = ϕ(aN ) = ϕ(π(a)) con lo que queda probado que ϕ = ϕπ. Es claro que la imagen de ϕ es precisamente Im ϕ. Si ψ : G/K H es otro homomorfismo de grupos tal que ϕ = ψπ, entonces ϕ(a) = ψ(π(a)) = ψ(aN ), de tal manera que ψ(aN ) = ϕ(aN ) para todo elemento de G/K , es decir ϕ = ψ.

→

3.2. Los teoremas de isomorfismo

47

Ejemplos 3.2.2. 1) Se usa el primer teorema de isomorfismo para dar otra demostración de

→

que Z/nZ y Z n son isomorfos. La funcion ϕ : Z Zn dada por ϕ(m) = m mód n es un epimorfismo de grupos. Ademas m ker ϕ si y solamente m mód n = 0, es decir, si y solamente si n m. Luego el ker ϕ = nZ. De acuerdo con el teorema fundamental del isomorfismo, Z/nZ = Im ϕ = Zn .

|

∈

∼

2) Sean G y H grupos y sean A y B subgrupos normales de G y H , respectivamente. Como una aplicación estándar del primer teorema de isomorfismo se puede probar que G A

× H ∼= G × H . ×B A B

La función ϕ : G H : (G/A) (H/B) dada por ϕ(x, y) = (xA,yB) es un epimorfismo de grupos, cuyo núcleo es precisamente A B. En particular se tiene

×

→

×

×

Z mZ

× Z ∼= Zm × Zn. × nZ

→ Z6 el homomorfismo determinado por ϕ(1) = 2.

3) Sea ϕ : Z 12

a) Determine el núcleo K de ϕ. b) Liste todos los elementos del grupo cociente Z 12 /K . c) Determine la imagen de ϕ. d) Escriba de manera explícita la función ϕ.

Solución. La función ϕ es ϕ =



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 2 4

{

}

{



.

}

El núcleo de ϕ es K = 0, 3, 6, 9 . Su imagen es Im ϕ = 0, 2, 4 . Los elementos del grupo Z12 módulo K es K = 0, 3, 6, 9 ,

{

1 + K = 1, 4, 7, 10 ,

}

{

}

2 + K = 2, 5, 8, 11 .

{

}

→  0, 1 + K → 2 y 2 + K → 4.

La asignación es K

4) Se deja de ejercicio probar que 6Z Z = = Z5 . 30Z 5Z

∼

∼

En realidad, solo hay que probar el primer isomorfismo, pues el segundo es consecuencia del primer ejemplo. De acuerdo con esto, se puede cancelar el 6 en el numerador y el denominador. A continuación considere la siguiente situación. Sean H y N subgrupos de G con N  G. Como N es normal en G, entonces HN es un subgrupo de G. Como N es normal en G y N HN , entonces N es normal en H N . Por otro lado H N H y es fácil ver que H N es normal en H . También observe que H N no necesariamente es normal en N . Si los grupos H y N fueran finitos, entonces HN/N = HN / N = ( H N / H K )/ N = H / H N . ¿Hay alguna relación entre los grupos H/H N y HN/N ? La respuesta está en el siguiente teorema.

⊆

|

∩ | |

| | | ∩

∩ ⊆ ∩ | | | | | ∩ | | | | | | ∩ |

Teorema 3.2.3 (Segundo teorema de isomorfismo) . Sea G un grupo y sean H un subgrupo de

∼

G y N un subgrupo normal de G . Entonces H N es un normal en H y H/(H N ) = HN/N .

∩

∩


48

Demostración. Como H ≤ G y N  G, entonces H N ≤ G. Como N  G y N ⊆ HN , entonces

→ HN/N por ϕ(h) = hN . Se tiene que

N  HN . Defina la función ϕ : H

ϕ(h1 h2 ) = (h1 h2 )N = (h1 N )(h2 N ) = ϕ(h1 )ϕ(h2 ).

∈

∈

Sea yHN HN/N , entonces y HN , así que y = hn, donde h tienen la igualdad de clases laterales nN = N . Entonces

∈ H y n ∈ N . Como n ∈ N , se

yN = (hn)N = (hN )(nN ) = hN = ϕ(h) y ϕ es suprayectiva. Finalmente, h

∈ ker ϕ ⊆ H ⇐⇒ hN = N ⇐⇒ h ∈ N.

∩ N . El resultado se sigue aplicando el primer teorema de isomorfismo. Ejemplo 3.2.4. Considere el grupo D8 de las simetrías del cuadrado. Sean H = {1, r , r2 , r3 } y N = { 1, r 2 ,s,sr2 }. Ambos grupos son normales (su índice en D8 es 2). La intersección de H y K es {1, r2 }, así que HN es un subgrupo de D8 de orden |H | |N | / |H ∩ N | = 8, así que Luego ker ϕ = H

D8 = H N . Por un lado se tiene

H/(H N ) =

∩

{{1, r2}, {r, r3}} = {H ∩ N, r(H ∩ N )}.

Por otro lado, HN/N =

{{1, r2,s,sr2}, {r, r3, sr3,sr, }} = {N,rN }.

Los grupos son isomorfos y un isomorfismo, de acuerdo con el Teorema 3.2.3, está dado por ϕ: H N N , rH rN .

∩ →

→

Ejemplo 3.2.5. Sean ahora G = Z Teorema 3.2.3 se prueba que Z 0

× Z × Z, H = Z × Z × 0 y N = 0 × Z × Z. Usando el × Z × 0 ∼= Z × Z × Z . ×Z×0 0×Z×Z ∩ N = 0 × Z × 0.

En efecto, si (x,y,z) = (x,y, 0) + (0, 0, y) así que G = H + N ; además H

Considere ahora la situación en la que tanto H como K son subgrupos normales de un grupo G y además K H . Observe que

⊆

H/K = aK a

{ | ∈ H } ⊆ {aK | a ∈ G} = G/K.

Además es fácil verificar que H/K  G/K . Se tienen entonces cuatro grupo cocientes G/K , G/H H/K y en (G/K )/(H/K ) (esto último porque H/K es normal en G/K ). ¿Qué relación hay entre estos grupos cocientes? ¿Cuál es la relación esperada?

Teorema 3.2.6 (Tercer teorema de isomorfismo) . Sean H y K subgrupos normales de un grupo

⊆ H . Entonces (G/K )/(H/K ) ∼= G/H . Demostración. Defina ϕ : G/K → G/H por ϕ(aK ) = aH . La función está bien definida, pues si aK = bK , entonces a −1 b ∈ K ⊆ H , i.e., a −1 b ∈ H , así que aH = bH . ϕ es un homomorfismo G con K

pues

·

ϕ(aK bK ) = ϕ(abK ) = abH = (aH )(bH ) = ϕ(aK )ϕ(aK ).

∈

∈

∈

Obviamente es suprayectivo, pues si aH G/H , se tiene que a G, así que aK G/K y ϕ(aK ) = aH . Finalmente, observe que aK ker ϕ si y solamente si aH = H , es decir, si y solamente si a H . Luego ker ϕ = H/K .

∈

∈


49

Ejemplo 3.2.7. Considere los subgrupos normales K = 1, r2 y H = 1, r , r2 , r3 de D 8 . Los

{

elementos del grupo cociente G/K son K = 1, r2 ,

{

rK = r, r3 ,

}

{

}

{

sK = s,sr2 ,

}

{

}

srK = sr, sr3 .

}

{

}

Es decir G/K = K,rK,sK,sr2 K . Por otro lado, se tiene el grupo H/K = K,rK , es cual es un subgrupo normal de G/K . Los elementos del grupo cociente (G/K )/(H/K ) son

{

}

{

}

{ } {{K,rK }, {sK, sr2K }} = {{{1, r2 }, {r, r3 }}, {{s,sr2 }, {sr,sr3 }}}.

(G/K )/(H/K ) = H/K,rK (H/K ) =

Finalmente, se tiene el grupo G/H

} {{1, r , r2, r3}, {s,sr,sr2, sr3}}

G/H = H,sH =

{

Observe que los conjuntos G/H y (G/K )/(H/K ) no son iguales, pero de acuerdo con el Teorema 3.2.6 los grupos son isomorfos.

Teorema 3.2.8 (Teorema de la correspondencia) . Sea ϕ : G

→ H un epimorfismo de grupos de núcleo K . Entonces ϕ induce una correspondencia biyectiva, que preserva inclusiones, entre el conjunto S ϕ (G) de todos los subgrupos de G que contienen a K y el conjunto S (H ) de todos los subgrupos de H . Además, bajo esta correspondencia los subgrupos normales se corresponden con subgrupos normales. Demostración. De acuerdo con el Teorema 3.1.20, las funciones

F :

S ϕ (G) A

→ →

S (H ), ϕ(A)

G:

S (H ) B

→ →

S ϕ (G) ϕ−1 (B)

están bien definidas. Como ϕ es suprayectiva, se tiene la igualdad ϕ(ϕ−1 (B)) = B 1 . En general se tiene A ϕ−1 (ϕ(A)). Veamos la otra inclusión. Sea g ϕ−1 (ϕ(A)), así que ϕ(g) ϕ(A), de donde se tiene que ϕ(g) = ϕ(a), donde a A. Luego a −1 g ker ϕ A, es decir g = aa  para algún a  A. Como A es un subgrupo, g = aa  A. Con esto queda probado que las funciones y son una la inversa de la otra. Finalmente, el Teorema 3.1.20, garantiza que si A es normal en G, entonces (A) es normal en H , que si B es normal en H , entonces (B) es normal en G. Con esto se concluye la prueba.

⊆

F G

∈

∈

F

∈

∈

∈

∈

⊆

G

Ejemplo 3.2.9. Apliquemos el teorema de la correspondencia para determinar todos los sub-

→

grupos de Z que contienene a 36Z. Para esto consideremos la reducción módulo 36: ϕ : Z Z36 dada por ϕ(m) = m mód 36. Como Z36 es cíclico y finito con generador a = 1, de acuerdo con el Teorema 1.6.13, todos los subgrupos de Z36 están en correspondencia biyectiva con 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 , los divisores positivos de 36. Luego hay 9 subgrupos de Z que contienen

{

}

1

Si f : X → Y es una función y A ⊆ X , entonces A ⊆ f −1 (f (A)). En efecto, si a ∈ A, entonces f (a) ∈ f (A), así que f (a) ∈ f −1 (f (A)). Por otro lado, si B ⊆ Y , se cumple f (f −1 (B )) ⊆ B . Para ver esto, sea y ∈ f (f −1 (B )), luego y = f (x), para algún x ∈ f −1 (B ); pero entonces y = f (x) ∈ B . Si f es suprayectiva, se tiene la igualdad. Suponga entonces que f es suprayectiva y sea y ∈ B . Como f es suprayectiva, y = f (x) para algún x ∈ X ; entonces f (x) ∈ B y por tanto x ∈ f −1 (B ); entonces y = f (x) con x ∈ f −1 (B ), es decir y ∈ f (f −1 (B )).


50 a 36Z. La correspondencia precisa es Divisor de 36

Subgrupo de Z 36

Subgrupo de Z

1 2 3 4 6 9 12 18 36

36 18 12  9  6  4  3  2  1

36Z 18Z 12Z 9Z 6Z 4Z 3Z 2Z 1Z

A continuación se muestra el diagrama reticular de todos los subgrupos de Z que contienen al subgrupo 36Z.

1 2

3

 4

6

 9

12

18 36

Corolario 3.2.10. Si K es un subgrupo normal de un grupo G, entonces todos los subgrupos

de G/K son de la forma A/K , donde A es un subgrupo de G que contiene a K . Más aún, A/K  G/K si y solamente si A  G. Demostración. Considere la proyección natural π : G → G/K dada por π(g) = gK ; el núcleo de

π es K . De acuerdo con el Teorema 3.2.8, los subgrupos de G/K son todos de la forma π(A), donde A es un subgrupo de G que contiene a K :

{

| ∈ A} = {aK : a ∈ A} = A/K.

π(A) = π(a) a

3.2.1.

Ejercicios

→

1) Sean ϕ : G H un homomorfismo de grupos y N un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de ϕ. Pruebe que hay exactamente un homomorfismo ϕ : G/N H que hace conmutativo el siguiente diagrama:

→

G π

G/N

ϕ

H ϕ


51

es decir tal que ϕ π = ϕ. Además ker ϕ = ker ϕ/N y Im ϕ = ¯ Im ϕ.

◦

2) Sea G un grupo cíclico de orden n. Aplique el teorema fundamental del isomorfismo para probar que G = Z/nZ. Concluya que G = Zn .

∼

∼

3) Pruebe que dos grupos cíclicos son isomorfos si y solamente si son del mismo orden. 4) Sean N 1 , N 2 subgrupos normales de los grupos G 1 y G 2 , respectivamente. Pruebe que N 1 N 2  G1 G2 y que G 1 G2 /N 1 N 2 = (G1 /N 1 ) (G2 /N 2 ).

× × × ∼ × 5) Sean G y H grupos. Pruebe que G × 1  G × H , y que G × H/G × 1 ∼ = H .

×

6) Un subgrupo normal propio M de un grupo G es un sugrupo normal maximal de G si los únicos sugrupos normales de G que contienen a M son M y G. Un grupo no trivial G es simple si sus únicos subgrupos normales son 1 y G. Pruebe que M es un subgrupo normal maximal de un grupo G si y solamente si G/M es simple.

{ }

∼

∼

7) Pruebe que 6Z/30Z = Z/5Z. Más general, pruebe que kZ/kmZ = Z/mZ.

→ Z12 el homomorfismo determinado por ϕ(1) = 10.

8) Sea ϕ : Z 18

a) Encuentre el núcleo de K de ϕ. b) Liste los elementos de Z 18 /K , mostrando los elementos en cada clase lateral. c) Calcule la imagen de ϕ. d) De la correspondencia en Z18 /K y ϕ(Z18 ) establecida en el primer teorema de isomorfismo.





9) Considere los subgrupos H = 4 y N = 6 de Z 24 .

∩ N .

a) Liste todos los elementos en H + N y en H

b) Liste las clases laterales en (H + N )/N mostrando los elementos en cada clase lateral.

∩

c) Liste las clases laterales en H/(H N ) mostrando los elementos en cada clase lateral. d) De la correspondencia explicita entre (H + N )/N y H/(H teorema de isomorfismo.

∩ N ) descrita en el segundo

10) Sea N un subgrupo normal de G tal que G/N es abeliano. Si H es abeliano.

≤ G, pruebe que H/(H ∩ N )

11) Sea G un grupo y sean G 1 , G2 , H subgrupos de G tales que G 1  G2 . Pruebe que H 1  H 2 , donde H 1 = G 1 H , H 2 = G 2 H y que H 2 /H 1 es isomorfo a algún subgrupo de G 2 /G1 . Concluya que si G 2 /G1 es abeliano, entonces H 2 /H 1 también lo es.

∩

∩

12) Sea G un grupo y sean G 1 , G2 , N subgrupos de G tales que G 1  G2 y N  G. Pruebe que G1 N/N  G2 N/N y que (G2 N/N )/(G1 /N ) = (G2 /G1 )/(G2 (G1 N ))/G1 .

∼



∩



13) Considere los subgrupos H = 4 y N = 8 de Z 24 . a) Liste las clases laterales en G/H , exhibiendo los elementos en cada clase lateral. b) Lista las clases en G/K exhibiendo los elementos en cada clase lateral. c) Liste las clases en H/K . d) Liste los elementos de (G/K )/(H/K ). e) De la correspondencia entre G/H y (G/K )/(H/K ) descrita en el tercer teorema de isomorfismo.


52

14) Sea G un grupo. Pruebe que G/Z (G) es isomorfo al grupo Int(G), el grupo de los automorfismos internos de G (Recuerde que Int(G) = ιg : g G , donde ιg : G G está definida por ι g (x) = gxg−1 ).

{

∈ }

→

15) Sea H un subgrupo de un grupo G. Recuerde que el centralizador de H en G es el subgrupo C G (H ) = x G xh = hx h H y que el normalizador de H en G es el subgrupo −1 N G (H ) = g G : gH g = H . Pruebe que C G (H )  N G (H ) y que N G (H )/C G (H ) es isomorfo a algún subgrupo del grupo de los automorfismos de H .

{ ∈ | { ∈

3.3.

∀ ∈ } }

El Teorema de Cayley

Sea X un G-conjunto. Si g G, entonces g induce una función biyectiva de G en G. Defina σg : X X por σ g (x) = g x. Si σ g (x) = σg (x ), se tiene g x = g x . Luego

→

∈

·

·

·

x = 1 x = (g −1 g) x = g −1 (g x) = g −1 (g x ) = (g −1 g) x = 1 x = x  .

·

·

· · · · Esto muestra que σ g es inyectiva. Si y ∈ X , entonces g −1 y ∈ X y σg (g −1 · y) = g · (g −1 · y) = (gg −1 ) · y = 1 · y = y.

·

Entonces ϕ g también es suprayectiva. La acción de G en X induce así una función ϕ : G dada por ϕ(g) = σ g de G en el grupo simétrico en X .

→ S X

Teorema 3.3.1. Sea X un G -conjunto. Entonces la función ϕ : G

→ S X dada por ϕ(g) = σg es un homomorfismo. Además ker ϕ = ∩x∈X Gx , donde G x = {g ∈ G | g · x = x } es el estabilizador de x. Recíprocamente, si ϕ : G → S X es un homomorfismo, entonces X se convierte un Gconjunto mediante la acción g · x = ϕ(g)(x). Demostración. Suponga que X es un G-conjunto y sea ϕ : G → S X la función inducida. Sean g1 , g2 ∈ G. Se tiene σg g (x) = (g1 g2 ) · x = g 1 · (g2 · x) = σ g (σg (x)) = (σg σg )(x). 1

2

1

2

1

2

Como x es arbitraria, se concluye que σg g = σg σg . Luego ϕ(g1 g2 ) = σg g = σg σg = ϕ(g1 )ϕ(g2 ) y queda probado que ϕ es un homomorfismo de grupos. Ahora bien, 1

2

1

2

1

2

1

2

ker ϕ = g

{ ∈ G : ϕ(g) = 1X } = {g ∈ G : σ g (x) = 1X (x) ∀x ∈ X } = {g ∈ G : g · x = x ∀x ∈ X } = {g ∈ G : g ∈ Gx ∀x ∈ X } = ∩x∈X Gx Recíprocamente, suponga que ϕ : G → S X es un homomorfismo de grupos y sea g · x = ϕ(g)(x). Se tiene 1 · x = ϕ(1)(x) = 1X (x) = x, donde 1X : X → X es la función identidad de X en X . También se tiene

·

·

·

(g1 g2 ) x = ϕ(g1 g2 )(x) = (ϕ(g1 )ϕ(g2 ))(x) = ϕ(g1 )(ϕ(g2 )(x)) = g 1 (g2 x). Luego la función G

× X → X dada por (g, x) → ϕ(g)(x) es una acción de G en X .

Definición 3.3.2. Sea X un G-conjunto. Se dice que la acción de G en X es fiel si el homomorfismo inducido G

→ S X es inyectivo.

El teorema de Cayley se obtiene como una aplicación del teorema anterior. Se prueba que la acción de G sobre sí mismo por multiplicación izquierda es una acción fiel.

3.3. El Teorema de Cayley

53

Teorema 3.3.3 (Teorema de Cayley). Todo grupo es isomorfo a un grupo permutaciones.

Demostración. Sea G un grupo y sea X = G. Se hace actuar a G sobre sí mismo por la

·

·

multiplicación izquierda: g x = gx. Claramente se tiene 1 x = 1x = x; también se tiene (g1 g2 ) x = (g1 g2 )x = g1 (g2 x) = g1 (g2 x). De acuerdo con el teorema anterior, esta acción induce un homomorfismo ϕ : G S X , dada por ϕ(g) = σ g , donde σ g (x) = gx. Este homomorfismo es inyectivo, es decir, la acción de G en sí mismo por multiplicación izquierda es fiel. En efecto, si ϕ(g1 ) = ϕ(g2 ) se tiene que σg = σ g , así que en particular, g 1 = σ g (1) = σ g (1) = g 2 . Por lo tanto, G es isomorfo a = σg g G que es la imagen del homomorfismo ϕ.

·

· ·

→

1

2

1

2

G { | ∈ }

Teorema 3.3.4. Si G es un grupo y H es un subgrupo de G y X el conjunto de todas las clases

laterales izquierdas de H en G, entonces existe un homomorfismo de ϕ : G → S X , cuyo núcleo es el máximo subgrupo normal de G que está contenido en H . Además ker ϕ =



xHx−1 .

x∈G

Demostración. La función G × X → X dada por g · xH = gxH define una acción de G en X . De acuerdo con el Teorema 3.3.1, la función ϕ : G es un homomorfismo de grupos cuyo núcleo es es

→ S X dada por ϕ(g) = σg , donde σg (xH ) = gxH ∪xH ∈X GxH . Observe que el estabilizador de xH

GxH = g

{ ∈ G | gxH = xH } = {g ∈ G | x−1 gx ∈ H } = {g ∈ G | x−1 gx = h para algún h ∈ H } = {g ∈ G | g = xhx −1 para algún h ∈ H } = xH x−1 ,

de donde se sigue que el núcleo de ϕ es como se afirma. Se tiene entonces ker ϕ xH x−1 para todo x G. En particular ker ϕ 1H 1−1 = H . Si N  G y N H , para todo x G se tiene −1 N = xN x−1 xHx−1 . Luego N = ker ϕ. x∈G xHx

∈

⊆ ⊆ ∩

⊆

⊆ ∈

⊆

{

}

Supongamos que X es un G-conjunto finito con n elementos, digamos X = x1 , x2 , . . . , xn . Si g G, la permutación σg del Teorema 3.3.1. está dada por σg (x) = g x. Si g xj = xji , entonces

∈

·

σg =



x1 xj

1

x2 xj

··· ···

2

xn xjn

·



Más aún, podemos identificar σg con la permutación de J n = 1, 2, . . . , n en J n definida por j ji :

{

→

σg =



1 i1

··· ···

2 i2

n in

}



Ejemplo 3.3.5. Sea G = 1,a,b,c el 4-grupo de Klein. Etiquetemos a los elementos de X =

{

}

·

1 a b c 1 a b c a 1 c b b c 1 a c b a 1

G como x1 , x2 , x3 , x4 . A continuación se muestran la tablas de multiplicar con los nombres originales y con el etiquetado.

1 a b c

·

x1 x2 x3 x4

x1 x1 x2 x3 x4

x2 x2 x1 x4 x3

x3 x3 x4 x1 x2

x4 x4 x3 x2 x1


54 Dado que σa (x1 ) = x 2 ,

σa (x2 ) = x 1 ,

σa (x3 ) = x4 ,

σa (x4 ) = x3 ,

la permutación que corresponde con la que se identifica σ a es σa =



x1 x2

x2 x1

x3 x4

x4 x3



o bien σa =



1 2 3 4 2 1 4 3



= (1, 2)(3, 4).

De manera similar se tiene σb =



1 2 3 4 3 4 1 2



= (1, 3)(2, 4),

σc =



1 2 3 4 4 3 2 1



= (1, 4)(2, 3).

Ejemplo SAGE 3.3.6. El grupo simétrico de las permutaciones de 3 elementos. sage : S 3 = S y m me t r ic G ro u p ( 3 ); S 3 S y mm e tr i c g r ou p o f o r de r 3 ! a s a p e rm u ta t io n g r ou p sage : S3 .list () [ () , ( 1 ,2 ) , ( 1 ,2 , 3) , ( 1 ,3 , 2) , ( 2 ,3 ) , ( 1 , 3) ]

El grupo alternante A n formado por el grupo de las permutaciones pares: sage : A 5 = A l te r n at i n gG r ou p ( 5 ); A 5 A l te r na t in g g r ou p o f o r de r 5 ! /2 a s a p e r mu t at i on g r ou p

El grupo de las simetrías del triángulo: sage : D 3 = D i h ed r al G r ou p ( 3 ); D 3 D i he d ra l g ro u p o f o r de r 6 a s a p e rm u ta t io n g ro u p sage : D3 .list () [ () , ( 1 ,3 ) , ( 1 ,2 , 3) , ( 2 ,3 ) , ( 1 ,3 , 2) , ( 1 , 2) ]

El 4-grupo de Klein sage : V = K le in F ou rG r ou p ( ); V ; V .list () T he K le in 4 g ro up o f o rd er 4 , a s a p er mu ta t io n g ro up [ () , ( 3 ,4 ) , ( 1 ,2 ) , ( 1 , 2) ( 3 ,4 ) ]

Un grupo cíclico con 6 elementos: sage : G = C y c li c P er m ut a t io n G ro u p ( 6 ); G ; G . list () C yc li c g ro up o f o rd er 6 a s a p e rm ut at io n g ro up [ () , ( 1 ,2 , 3 , 4 ,5 , 6) , ( 1 , 3 ,5 )( 2 , 4 ,6 ) , ( 1 , 4) (2 , 5 )( 3 , 6) , ( 1 ,5 , 3 )( 2 , 6 ,4 ) , (1,6,5,4,3,2)]

El grupo de los cuaternios sage : Q = Q ua t er ni o nG ro up ( ) ; Q Q u at e rn i on g r ou p o f o r de r 8 a s a p e rm u ta t io n g r ou p

El grupo dicíclico de orden 4n definido por G = a, x a2n = 1, x2 = a n , x−1 ax = a −1



|

Para n = 2, G es el grupo de los cuaternios Q:



3.3. El Teorema de Cayley

55

sage : G = D iC yc li c Gr ou p ( 2) ; G D iy cl ic g ro up o f o rd er 8 a s a p er mu ta ti on g ro up sage : G . i s _ i s o m o r ph i c ( Q ) True sage : G . i s _ i s o m o r ph i c ( D i h e d r a l G ro u p ( 4 ) ) False

Ejemplo 3.3.7. Sea G el grupo D 8 , el grupo diédrico de 8 elementos generado por r y s. Sea H = 1, s . La clases laterales de H en D 8 son

{ }

X 2 = rH = r,sr 3 ,

X 1 = H,

{

X 3 = r 2 H = r 2 , sr2 ,

}

{

}

X 4 = r 3 H = r3 , sr .

{

}

La permutación σ r : X

→ X inducida por r se determina como sigue. Se tiene ⇒ σr (H ) = rH σr (X 1 ) = X 2 ⇒ σr (rH ) = r 2 H σr (X 2 ) = X 3 σr (r2 H ) = r 3 H ⇒ σr (X 3 ) = X 4 σr (r3 H ) = r 4 H = H ⇒ σr (X 4 ) = X 1 .

Luego σr =



X 1 X 2

X 2 X 3

X 3 X 4

X 4 X 1



o bien σ r =



1 2 3 4 2 3 4 1



= (1, 2, 3, 4).

Teorema 3.3.8. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo propio de G tal que G  (G : H )!,

entonces H contiene a un subgrupo no trivial que es normal en G.

| |

Demostración. Sea X = {xH | x ∈ G } y ϕ : G → S X dada por ϕ(g) = σ g . El núcleo de ϕ ⊆ H es normal en G. Veamos que el núcleo no es trivial. Suponga que sí, que el ker ϕ es trivial; entonces ϕ es inyectiva y ϕ(G) = ϕ(G); pero entonces G S X , y esto es una contradicción pues ϕ(G) = G y S X = X ! = (G : H )!.

|

| | | | |

∼

| | | | |

Ejemplo 3.3.9. Si G es un grupo de orden 99 y H es un subgrupo de orden 11, pruebe que H es normal en G. El índice de H en G es (G : H ) = G / H = 99/11 = 9 y 99 no divide a 9! por que 11 no es un factor de 9!. De acuerdo con el Teorema 3.3.8, H contiene a un subgrupo K , no trivial, que es normal en G. De acuerdo con el teorema de Lagrange, K tiene que dividir a 11 = H , así que K es 1 u 11; como K no es trivial, K es orden 11 y K = H , de tal manera que H es normal en G.

| | | |

| |

| |

| |

Ejemplo 3.3.10. Sea G un grupo de orden 36 y H un subgrupo de orden 9. Pruebe que existe un subgrupo normal en G de orden 3 o 9.

Corolario 3.3.11. Sea G un grupo finito de orden n. Sea p el primo más pequeño que divide

al orden de G . Pruebe que si H es un subgrupo de G cuyo índice es p , entonces H es normal en G. Demostración. Se deja de ejercicio. 3.3.1.

Ejercicios

1) Sea G un grupo. Para cada g

∈ G, sea τ g : G → G dada por τ g (x) = xg. a) Pruebe que τ g ∈ S G para cada g ∈ G.


56 b) Pruebe que el conjunto

G = {τ g | g ∈ G} es un subgrupo de S G. c) Pruebe que la función ϕ : G → G dada por ϕ(g) = τ g es un isomorfismo de grupos. 2) Sea H un subgrupo propio de G (i.e., H  = G) cuyo índice en G es finito. Pruebe que existe −1

un subgrupo normal en G contenido en H cuyo índice en G es finito.

3) Pruebe que si G es un grupo de orden p2 , donde p es primo, entonces cualquier subgrupo normal de orden p está contenido en el centro de G.

∈

→

4) Sea G un grupo de orden mn. Sea g G un elemento de orden m. Si ϕ : G S G es el homomorfismo inducido por la acción de G sobre sí mismo por multiplicación izquierda, pruebe que la permutación ϕ(g) = σg se escribe como el producto de n ciclos de longitud m.

→

5) Sea G un grupo finito y ϕ : G S G el homomorfismo inducido por la acción de G sobre sí mismo por multiplicación izquierda. Pruebe que σ g es una permutación impar si y solo g es par y G / g es impar.

| | | |

| |

6) Pruebe que si G es un grupo de orden pn con p primo y H es un subgrupo de G de orden pn−1 , entonces H es normal en G. 7) Sea G un grupo finito de orden n. Sea p el primo más pequeño que divide al orden de G. Pruebe que si H es un subgrupo de G cuyo índice es p, entonces H es normal.

CAPÍTULO 4

Los teoremas de Sylow

4.1.

La ecuación de clase

Recuerde que un G-conjunto es un conjunto X junto con un acción del grupo G en el conjunto X (Vea la Definición 1.4.1).

Teorema 4.1.1. Sea X un G -conjunto. La relación en X definida por x

∼ x

si y solamente si existe g ∈ G tal que g · x = x

es una relación de equivalencia en X . La clase de equivalencia de x

∈ X , es

{ · | ∈ G}, y se conoce como la órbita de x. Para cada x ∈ X se tiene |OG(x)| = (G: G x), donde Gx = {g ∈ G | g · x = x } es el estabilizador de x . Demostración. Considere la función f : O G (x) → {gGx | g ∈ G } dada por f (gx) = g Gx . Esta OG (x) = g x g

función está bien definida y es inyectiva:

·

·

⇐⇒

g2−1 g1 x = x

·

⇐⇒

g2−1 g1

∈ Gx ⇐⇒ g2Gx = g1Gx. Además f es suprayectiva, pues dada la clase lateral gG x , el elemento gx ∈ OG (x) y f (gx) = gG x . g1 x = g 2 x

Esto completa la prueba.

Las órbitas de G en X son entonces clases de equivalencia de la relación definida anteriormente y por lo tanto constituyen una partición de X .

Definición 4.1.2. Sea X un G-conjunto. Se dice que la acción de G en X es transitiva si

∈ X , existe

solamente hay una órbita. Equivalentemente, si para cualesquiera dos elementos x, y un g G tal que g x = y.

∈

·

Observación 4.1.3. Es fácil ver que si X es un G-conjunto y H es un subgrupo de G, entonces X también es un H -conjunto. Si G actúa transitivamente en un conjunto X , H no necesariamente tiene que actuar transitivamente en X . 57

4. Los teoremas de Sylow

58

Ejemplo 4.1.4. El grupo simétrico S n actúa en X = 1, 2, . . . , n de la manera natural: σ x =

{

∈

}

·

σ(x). La acción es transitiva. En efecto, para cualesquiera x, y X existe una permutación, de hecho una transposición, tal que σ(x) = y. Sean H el subgrupo cíclico de S 7 generado por σ = (2, 5)(3, 6, 7). En la siguiente tabla se muestra la acción de H en X .

·

1 σ σ2 σ3 σ4 σ5

1 1 1 1 1 1 1

2 2 5 2 5 2 5

3 3 6 7 3 6 7

4 4 4 4 4 4 4

5 5 2 5 2 5 2

6 6 7 3 6 7 3

7 7 3 6 7 3 6

Las órbitas son

{}

{ }

OG (1) = 1 ,

OG (2) = 2, 5 ,

{

}

OG (3) = 3, 6, 7 ,

{}

OG (4) = 4 .

Como se tiene más de una órbita, la acción de H en X no es transitiva. Es estabilizador de x = 2 consiste de aquellos h H que dejan fijo a 2. De la tabla vemos que estos elementos son 1, σ2 y σ 4 . Luego G 2 tiene tres elementos así que su índice en H es 6/3 = 2 y se tiene O G (2) = (H : G 2 ) como afirma el teorema.

∈

Ejemplo 4.1.5. Si G actúa sobre sí mismo por conjugación, entonces la órbita de x

∈

G, es OG (x) = gxg −1 g G y recibe el nombre clase de conjugados de x in G. Cada elemento gxg −1 es un conjugado de x. Por ejemplo, si G = D8 , la clase de conjugados de x = r 2 es

{

| ∈ }

{gr 2g−1 : g ∈ D8} = {r2}. Note que C G (r2 ) = D8 así que (D8 : C G (r2 )) = 1. Por otro lado, la clase de conjugados de s es

{gsg −1 | g ∈ D8} = {s,sr2}. Note que C G (s) = 1, r 2 ,s,sr2 de tal manera que su índice en D 8 es 2.

{

}

Ejemplo 4.1.6. Si G actúa por conjugación en el conjunto de todos sus subgrupos y H G,

≤

entonces O G (H ) = gH g−1 : g G y recibe el nombre clase de subgrupos conjugados de H en G. Cada gHg −1 es un subgrupo conjugado de H . Note que para cualquier g G, los conjuntos H y g Hg −1 son isomorfos. Si G = D8 y H = 1, s

{

∈ }

∈

{ }

Recuerde que el centralizador de A G es el subgrupo C G (A) = g G gag −1 = a a A de G. En particular, el centralizador de a G es C G (a) = g G gag −1 = a . Si H es un subgrupo de G, el normalizador de H en G es el subgrupo N G (H ) = g G gH g−1 = H (Teorema 1.5.5). Claramente H  N G (H ).

⊆

∈

{ ∈ | { ∈ | } { ∈ |

∀ ∈ } }

Corolario 4.1.7. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces

a) El número de conjugados de x en G es (G : C G (x)) y además divide al orden de G. b) El número de subgrupos conjugados con H es (G : N G (H )) y además divide al orden de H . Demostración. 1) Si G actúa sobre sí mismo por conjugación, entonces la órbita de x es precisamente la colección de todos los conjugados de x y el estabilizador de x el centralizador de x.

∈ G, es precisamente

4.1. La ecuación de clase

59

2) Si G actúa por conjugación en la colección de todos sus subgrupos, entonces la órbita de H es precisamente la colección de todos sus subgrupos conjugados; el estabilizador de H es precisamente el normalizador de H .

Definición 4.1.8. Sea X un G-conjunto. Para A

⊆ G definimos X A = {x ∈ X | g · x = x ∀g ∈

A , el conjunto de todos los puntos fijos de X que quedan fijos bajo la acción de A.

}

Ejemplos 4.1.9. 1) Sea X es un G-conjunto y consideremos X G , el conjunto de los puntos fijos de X bajo G. Si x X G , entonces g x = x para todo g G, y por lo tanto la órbita de x solo tiene un elemento, i.e, O G (x) = g x g G = x . Recíprocamente, si x X es tal que su órbita consta de un solo elemento, entonces x X G . En otras palabras

∈

· ∈ { · | ∈ } { } ∈  X G = {x ∈ X | g · x = x para toda g ∈ G} =

∈

OG (x).

x∈X, |OG (x)|=1

2) Si G actúa sobre sí mismo por conjugación, entonces el conjunto de los puntos fijos de X = G que quedan fijos bajo la acción es G es el centro de G: X G = x

{ ∈ X | gxg −1 = x para todo x ∈ G} = Z (G). 3) Sea G un grupo finito y sea X = {(g1 , g2 ) ∈ G 2 | g 1 g2 = 1G }. Sea H el grupo simétrico de las permutaciones del conjunto de {1, 2}, es decir, H = S 2 . Si H actúa sobre sobre X via σ · x = (gσ(1) , gσ(2) ), entonces el conjunto de los puntos fijos de X bajo la acción de H es X H = {(g, g) ∈ G2 | g2 = 1 } Si G es el grupo diédrico con 8 elementos, entonces X H = (1, 1), (r2 , r2 ), (s, s), (sr,sr), (sr2 , sr2 ), (sr3 , sr3 ) .

{

}

Por otro lado si G es un grupo cíclico 5, entonces X H = (1, 1) .

{

}

4) Sea ahora G un grupo finito y sea X = (g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) G5 g1 g2 g3 g4 g5 = 1G y sea H el subgrupo cíclico de S 5 generado por la permutación r = (1, 2, 3, 4, 5). Hagamos actuar H sobre de la manera natural σ (g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) = (gσ(1) , gσ(2) , gσ(3) , gσ(4) , gσ(5) ). En este caso el conjunto fijo de X bajo H es el conjunto de todos los (g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) X tales que ri (g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) = (g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ). En particular,

{

∈

|

·

}

∈

·

·

(g2 , g3 , g4 , g5 , g1 ) = r (g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) = = (g1 , g2 , g3 , g4 , g5 ) Entonces X H = (g , g , g , g , g)

{

∈ G5 | g5 = 1 }.

La ecuación en el siguiente teorema se conoce como la Fórmula de clases o Ecuación de clase .

Teorema 4.1.10 (Ecuación de clase) . Sean X un G -conjunto finito y x 1 , . . . , xn representantes

de las distintas órbitas de X con más de un elemento. Entonces n

|X | =

   G

X

+

(G : G xi ).

i=1


60

Demostración. Es un simple proceso de conteo. Las órbitas forman una partición de X . Luego

|X | = Definición 4.1.11. Sea p un número primo. Un p -grupo es un grupo finito cuyo orden es una potencia de p (es decir, su orden es p n para algún n

≥ 0).

De acuerdo con el Teorema de Lagrange, todo subgrupo de un p-grupo un p-grupo; todo elemento elemento de un p-grupo tiene orden una potencia de p.

Teorema 4.1.12. Sea G un grupo finito de orden p n, donde p es primo, y sea X un G -conjunto

finito. Entonces

 

1) | X | ≡ X G mód p . 2) Si G tiene exactamente un punto fijo, entonces |X | ≡ 1 mód p . 3) Si p

| |X |, entonces X G ≡ 0 mód p.

Demostración. Si todas las órbitas tiene exactamente un elemento, entonces X = X G por

 

lo tanto X = X G . Si no es este el caso, sean x1 , . . . , xn representantes de las distintas órbitas de X con más de un elemento. Como G es de orden pn , si H es un subgrupo de G, entonces H es de orden p s para algún s 0 y (G : H ) = G / H es una potencia de p. Como (G : G xi ) = OG (xi ) > 1, se tiene que (G: G xi ) = p si donde n i 1. Luego

| | |

≥

|

| | | | ≥

n

|X | =

   G

X

+

p

n

si

   G

= X

i=1

psi −1 .

+ p

i=1

Reduciendo módulo p se sigue el resultado. Los incisos restantes son consecuencia inmediata del primero. A continuación algunas aplicaciones de los Teoremas 4.1.10 y 4.1.12

Teorema 4.1.13 (La ecuación de clase) . Sea G un grupo; sean x 1 , . . . , xn representantes de las

distintas clases de conjugados de G no contenidos en el centro Z (G) de G. Entonces n

|G| = |Z (G)| +



(G : G G (xi )).

(4.1)

i=1

Demostración. Se hace actuar a G sobre X = G por conjugación. Entonces X G = Z (G); Si G



es abeliano, entonces G = Z (G), la suma es vacía y la ecuación ( 4.1) de es válida. Si G = Z (G), existen elementos de G no contenidos en el centro de G.

Teorema 4.1.14. Si G es un grupo de orden pn con n Z (G)  = 1.

≥ 1, donde p es un primo, entonces

Demostración. La ecuación de clase implica que p n

≡ |Z n(G)| mód p. Si Z (G) =n {1} se tendría que p | p − 1 lo cual claramente no puede suceder (si p − 1 = pm, entonces p + p(−m) = 1 n n

lo que dice que p divide a 1 o bien que p y p son primos relativos).

Corolario 4.1.15. Los grupos de orden p 2 , con p primo, son abelianos. = Z (G); Demostración. Sea G de orden p2 . Supongamos que G no es abeliano, es decir, G 

∈ −

elijamos a G Z (G), luego Z (G)  C G (a), lo que implica que C G (a) es subgrupo de G con p2 elementos y por lo tanto C G (a) = G. Así cualquier g G, está en C G (a), es decir, cualquier g G conmuta con a; luego a Z (G) que es una contradicción. Luego Z (G) = G y G es abeliano.

∈

∈

∈

4.2. El Teorema de Cauchy

61

Proposición 4.1.16. Si H es un p -subgrupo de un grupo finito G, entonces

≡ (N G(H ) : H ) mód p  H . Si p | (G : H ), entonces p | (N G (H ) : H ) y N G (H ) = Demostración. Sea X = {Hg ∈ g ∈ G} el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de H (G : H )

en G. Convierta X en un H -conjunto mediante la acción (h,gH ) = hgH

{ ∈ G | gH g−1 = H }. Se tiene que ⇐⇒ hgH = gH ∀h ∈ H ⇐⇒ g−1hgH = H ∀h ∈ H ⇐⇒ g−1hg ∈ H ∀h ∈ H ⇐⇒ g−1Hg = H ⇐⇒ g ∈ N (H ).

| |

Claramente X = (G: H ). Recuerde que N G (H ) = g

∈ X H

gH

 

Luego X H = gH X : g N G (H ) y X H = (N G (H ) : H ). La primera afirmación queda probada aplicando el Teorema 4.1.12 (1). Si p (G : H ), de acuerdo con el inciso (3) del mismo teorema, se concluye que p X H = (N G (H ) : H ) y ciertamente, X H = 0 pues H X H , así que N G (H ) = H .

{ ∈



4.1.1.

∈ | 

}



|

  

∈

Ejercicios

1) Sea X un G-conjunto. Pruebe que la relación en X dada por x

∼ y ⇐⇒

existe g

∈ G tal que g · x = y

es una relación de equivalencia. 2) Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G y suponga que N abeliano. Pruebe que G/N actúa en N por conjugación y obtenga un homomorfismo G/N Aut(N ).

→

3) Suponga que a G tiene exactamente dos conjugados. Pruebe que G tiene un subgrupo propio normal no trivial.

∈

∈

∈

4) Un grupo G actúa transitivamente en un conjunto X si para cada x, y X , existe un g G tal que g x = y. Pruebe que G actúa transitivamente en X si y solo si X consta de una sola órbita.

·

5) Suponga que G actúa transitivamente en X . a) Pruebe que todos los estabilizadores G x son conjugados.

{ ∈ | · {}

∀ ∈ X } = {1}, N  G y N  G x para algún x ∈ X , pruebe que

b) Si g G g x = x x N = 1 .

4.2.

El Teorema de Cauchy

Teorema 4.2.1. Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide al orden de G . Entonces G

tiene un elemento de orden p.


62

Demostración. Sea X = {(g1 , . . . , g p ) ∈ G p | g 1 · ·· g p = 1}. El orden de X es |G| p−1 , pues una

− ···

vez que se fijan p 1 elementos, el elemento faltante se escoge de tal manera que el producto de todos ellos sea 1. De maneara más precisa, la función f : G p−1 X dada por f (g1 , . . . , g p−1 ) = −1 (g1 , . . . , g p−1 , (g1 g p−1 ) ) es biyectiva. De esta manera se tiene la congruencia

→

|X | ≡ 0 mód p. Sea H el subgrupo cíclico del grupo simétrico S p generado por la rotación r = (1, 2, . . . , p 1, p). Hagamos actuar al grupo H en el conjunto X de la manera natural. Dado σ H y x = (g1 , . . . , g p ) X , definamos σ x = (gσ(1) , . . . , gσ( p) ). Claramente se tiene 1 x = x, y

∈

·

·

−

∈

·

(στ ) x = (g(στ )(1) , . . . , g(στ )( p) ) = (gσ(τ (1)) , . . . , gσ(τ ( p)) ) = g (gτ (1) , . . . , gτ ( p) ) = g (τ (g1 , . . . , p)).

· · · Luego X es un H -conjunto finito, donde |H | = p. El conjunto de los puntos fijos de X bajo H , es el conjunto de p-adas de elementos (g1 , . . . , g p ) tales que σ · (g1 , . . . , g p ) = (g1 , . . . , g p ) para todo σ ∈ H . En particular se tiene (g2 , g3 , . . . , g p , g1 ) = (g1 , g2 , g3 , . . . , g p). Es decir, g i = g r(i) , o sea que g 1 = g 2 = g 3 = ·· · = g p−1 = g p = g 1 . Por lo tanto X G = {(g , . . . , g) ∈ G p | g p = 1}.   0. De acuerdo con el Observamos que X H no es vacío pues (1, . . . , 1) ∈ X H , así pues X H  = Teorema 4.1.12 (1),

|H | ≡ X H  mód p      0, se sigue que X H tiene al menos p elementos. Por lo tanto X H  ≡ 0 mód p, y como X H  = Luego existe un g ∈ G con g  = 1 tal que g p = 1. Luego |g| | p y como p es primo, |g| = p. Ejemplos 4.2.2. 1) Sea G un grupo de orden par. De acuerdo con el Teorema de Cauchy, existe g

∈ G de orden 2.

2) Sea G un grupo de orden 99. De acuerdo con el Teorema de Cauchy, G tiene un subgrupo N de orden 11; como 99 no divide a (G : N )! = 9!, de acuerdo con el Teorema 3.3.8, N contiene un subgrupo no trivial que es normal en G. Como N tiene orden primo, sus únicos subgrupos son 1 y N . Luego N es normal en G.

{ }

3) El grupo D6 tiene exactamente un subgrupo de orden 3. De acuerdo con el Teorema de Cauchy, D 6 tiene al menos un subgrupo N de orden 3; de acuerdo con el Corolario 2.2.9, G tiene a lo más un subgrupo de orden 3. Así G tiene exactamente un subgrupo de orden 3. Este subgrupo tiene que ser normal en D6 pues su índice es 2. Esto también se deduce de que N es el único subgrupo de D 6 que tiene orden 3. 4) De manera similar, cada grupo de orden 15 tiene un único subgrupo de orden 5.

Ejemplo 4.2.3. Sea G un grupo de orden 750 = 5 4 6. Suponga que H es un subgrupo de G

·

de orden 25. Pruebe que H está contenido en un grupo de orden 125.

Demostración. Solución: El índice de H en G es 52 · 6, así que p = 5 divide a (G : H ); de



acuerdo con la Proposición 4.1.16, p también divide a (N G (H ) : H ), as í que N G (H ) = H . Se tiene entonces que el orden del grupo cociente N G (H )/H (recuerde que H  N G (H )) es divisible por p. De acuerdo con el Teorema de Cauchy, existe un subgrupo de H 1 /N de N G (H )/H de orden 5, donde H 1 es un subgrupo de G que contiene a H . El orden de H 1 es 5 H = 25.

| |

Sea p un número primo. Un p -grupo es un grupo finito cuyo orden es una potencia de p (es decir, su orden es p n para algún n 0). Sea G un grupo finito y H un subgrupo de G.

≥

4.3. Los teoremas de Sylow

63

Teorema 4.2.4. Sea G un grupo finito. Entonces G es un p-grupo si y solamente si el orden

de cada elemento es una potencia de p. Demostración. Si G es un p-grupo y a

∈ G, entonces |a| | |G| y como |G| es una potencia de p, entonces también |a| lo es. Recíprocamente, si q es un factor primo del orden de G, de acuerdo al T. de Cauchy, existe un elemento a ∈ G cuyo orden es q . Por hipótesis, a tiene orden una potencia de p, así que q = p s , para algún s ≥ 1. Luego p divide a q y como ambos son primos,

p = q .

4.2.1.

Ejercicios

1) Sea p un número primo. Sea G un p-grupo finito. Pruebe que subgrupos y cocientes de p-grupos son p-grupos. 2) Sea G un p-grupo y X un G-conjunto finito. Pruebe que cada órbita de G en X tiene orden una potencia de p. 3) Si N es un subgrupo normal de G y ambos N yG/N son p-grupos, pruebe que G es un p-grupo. 4) Si G es un p-grupo y N es un subgrupo normal y no trivial, pruebe que Z (G) trivial.

∈ N es no

5) Sea G un p-grupo no trivial. Pruebe que existe un subgrupo de G de índice p; pruebe que cualquier subgrupo de índice p es normal en G. 6) Pruebe que si G es un grupo tal que G/Z (G) es cíclico, entonces G es abeliano. Concluya que si G es un grupo de orden p 2 , donde p es primo, entonces G es abeliano.

4.3.

Los teoremas de Sylow

Diremos que H es un p-subgrupo de G si H es un p-grupo. Diremos que H es un p -subgrupo de Sylow si el orden de H es p n y pn es máxima potencia de p que divide al orden G. En esta sección se probará que los subgrupos de Sylow siempre existen.

Proposición 4.3.1. Sea G un grupo de orden p n m, donde p es primo, n

Entonces

≥ 1 y mcd( p, m) = 1.

1) Cada conjugado de un p -subgrupo de Sylow es un p -subgrupo de Sylow. 2) Si G tiene exactamente un p-subgrupo de Sylow, entonces éste es normal en G . Demostración. 1) Sea P un p-subgrupo de Sylow de G y sea P 1 un conjugado de P . Por defi-





nición de conjugado, existe x G tal que P 1 = xP x−1 . Luego P 1 = xP x−1 = P = p n y P 1 es un p-subgrupo de Sylow de G.

∈

| |

| |

2) Si P es el único P -subgrupo de Sylow de G, se tiene que xP x−1 = P para todo x que P es normal en G.

∈ G, así

El siguiente teorema garantiza la existencia de subgrupos de Sylow.

Teorema 4.3.2. Sea G un grupo de orden pn m, donde p es primo, n

Entonces G tiene al menos un p-subgrupo de Sylow.

≥ 1 y mcd( p, m) = 1.


64

Demostración. Por inducción sobre n el orden de G. Si G es de orden p, de acuerdo con el teorema de Cauchy, G tiene un elemento de orden p y por lo tanto un subgrupo de orden p. Supongamos ahora que el teorema es cierto para todos los grupos de orden más pequeño que el orden de G. Se presentan dos posibilidades. Supongamos primero que G tiene un subgrupo propio H cuyo índice no es divisible por p, es decir su orden es pn m , donde m < m (y por supuesto m  m). Entonces, de acuerdo con la hipótesis de inducción H tiene un p-subgrupo de Sylow, es decir, tiene un subgrupo de P de orden p n . Este subgrupo también es un p-subgrupo de Sylow de G. Consideremos ahora el otro caso; que el índice de todos los subgrupos propios de G es divisible por p. Aplicando la ecuación de clase para G, vemos que p Z (G) y por lo tanto el centro de G es no trivial. De acuerdo con el Teorema de Cauchy, existe a Z (G) de orden p. Sea K el subgrupo cíclico de G generado por a. Ahora bien, dado que K Z (G), se tiene que K  G. El grupo cociente G/K tiene orden más pequeño que el orden G, de hecho G/K = pn−1 m. Recuerde que estamos en el caso en el que el índice de cuaqluier subgrupo de G es divisible por p. Así que 1 < pn−1 divide al orden de G/K . Aplicando inducción, G/K tiene un p-subgrupo de Sylow, digamos P/K , donde P es un subgrupo de G que contiene a K . Como P /K es un p-subgrupo de Sylow, su orden es pn−1 . Se tiene entonces que P = K P/K = ppn−1 , es decir P tiene orden p n y por lo tanto es un P subgrupo de Sylow de G. Esto completa la inducción.

|

⊆

| ∈

|

| | | | |

|

|

El siguiente Teorema también garantiza la existencia de p-subgrupos de Sylow.

Teorema 4.3.3 (Primer teorema de Sylow) . Sea G un grupo de orden p n m, donde p es primo, n

≥ 1 y mcd( p, m) = 1. Entonces

1) G contiene un p -subgrupo de orden p i para cada i = 1, . . . , n. 2) Todo subgrupo de G de orden p i con i < n, es normal en algún subgrupo de G de orden p i+1 . Demostración. Por inducción sobre i. De acuerdo con el teorema de Cauchy, G tiene un elemento de orden p y por lo tanto un subgrupo de orden p. Sea H un p-subgrupo de orden pi con 1 i < n. El índice de H en G es p n−i m con n i > 0, así que p (G : H ). De acuerdo con la Proposición 4.1.16, N G (H ) = H , así que el grupo cociente N G (H )/H (recuerde que H  N G (H )) tiene más de un elemento y por la misma proposición p N G (H )/H = (N G (H ) : H ). De acuerdo con el Teorema de Cauchy, N G (H )/H tiene un subgrupo H 1 /H de orden p. Luego H 1 = H 1 /H H = pp i = p i+1 ; así H 1 es un subgrupo de orden pi+1 , y H está contenido en un subgrupo de orden pi+1 . Además, como H 1 N G (H ), y H es normal en N G (H ), entonces H  H 1 .

≤

| | |



|| |

−

|

||

|

⊆

A continuación veremos que G actúa transitivamente por conjugación sobre la colección de todos sus p-subgrupos de Sylow.

Teorema 4.3.4 (Segundo Teorema de Sylow). Sea G un grupo finito.

1) Si H es un p-subgrupo de G y P es un p-subgrupo de Sylow, entonces existe x ∈ G tal que H ⊆ xP x−1 . 2) Cualesquiera dos p -subgrupos de Sylow son conjugados. 3) El número de p -subgrupos de Sylow de G es congruente con 1 módulo p . Demostración. Sea X el conjunto de las clases laterales izquierdas de P en G. Convierta X en un H -conjunto haciendo actuar H en X mediante la multiplicación izquierda: h xP = hxP . De acuerdo con el Teorema 4.1.12 se tiene (G : P ) X H m´ od p. Como el orden P es la máxima

≡  

·


65

 

potencia de p que divide a G, se tiene que p  (G : P ); si X H = 0, p dividiría a (G : P ), así que X H = 0, y X H no es vacío. Sea xP X H , donde x G. Se tiene

  

∈ X H

xP

∈ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

∈

xP = hxP para todo h

∈ H x−1 hxP = P para todo h ∈ H x−1 Hx ≤ P H ≤ xP x−1 .

Con esto la primera afirmación queda probada. Si Q otro P -subgrupo de Sylow, tomando H = Q en (1), concluimos que existe y G tal que Q yP y−1 . Como Q = yP y−1 se tiene Q = yP y−1 . De la parte (2) se tiene que la acción por conjugación de G sobre sus p-subgrupos es transitiva. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces X = xP x−1 x G , la clase de conjugados de P , es la colección de todos los p-subgrupos de Sylow de G. De acuerdo con el Corolario 4.1.7, X = (G : N G (P )). Hagamos actuar P en X por conjugación. Entonces (G : N G (P )) X P m´ od p. Ahora bien, X P = Q X : xQx−1 = Q x P . Claramente P X P . Sea Q X P . Puesto que xQx−1 = Q para todo x P , P N (Q). Tanto P como Q son p-subgrupos de Sylow de N (Q), por lo tanto, P y Q son conjugados, es decir, existe x N (Q) tal que P = xQx −1 ; como Q es normal en N (Q), P = xQx −1 = Q. Luego X P = P y el teorema queda probado.

≤

∈ ∈

| |

≡  ∈



∈



|  |

{ ∈



{

| ∈ }

∈

∀ ∈ } ⊆

{ }

Ejemplo 4.3.5. Sea G = D6 el grupo diédrico de las simetrías del triángulo equilátero. Entonces

|G| = D6 = {1, r , r2,s,sr,sr2}. Sea n p el número de p-subgrupos de Sylow de D6. Entonces n p ∈ D, donde D = { 1, 2, 3, 6} y n p ≡ 1 mód p. Por lo tanto n2 ∈ D ∩ {1, 3, 5} = { 1, 3} y n3 ∈ D ∩ {1, 4} = {1}. Hay exactamente un 3-subgrupo de Sylow, el cual es normal en D 6 , de hecho ese subgrupo es {1, r , r2 }. Por otro lado hay uno o tres subgrupos de Sylow de orden 2. Estos son {1, s}, {1, sr} y {1, sr2 }. Ejemplo 4.3.6. Sea G = a el grupo cíclico de orden 6. Como |G| = 2 · 3, se tiene n 2 ∈ {1, 3} y n 3 = {1}. En este caso, como G es abeliano, todos los subgrupos son normales y n 2 = 1. Los únicos dos subgrupos de Sylow de G son {1, a3 } y {1, a2 , a4 }. Definición 4.3.7. Un grupo no trivial G es simple si sus únicos subgrupos normales son {1} y G.

Ejemplo 4.3.8. Veamos que ningún grupo G de orden 15 es simple. Pruebe también que G es cíclico. Hay cuando cuando menos tres maneras de verificar esta afirmación. Sea n p el números de p-subgrupos de Sylow de G. Se tiene que n p 30 y n p 1 mód p. Entonces n 3 1, 3, 5, 15 1, 4, 7, 10, 13 = 1 . Luego G tiene exactamente un subgrupo de orden 3, el cual entonces es normal en G. De manera similar, G tiene exactamente un subgrupo de orden 5. Veamos ahora que G es cíclico. Sean a G un elemento de orden 5 y b un elemento de orden 3; luego H K = 1 , donde H = a y K = b . Por lo tanto HK = H K = 15, G = H K y HK es un subgrupo de G. Veamos que ab = ba. Como H  G, ba −1 b−1 H y entonces también aba−1 b−1 H . Como K también es normal en G, aba−1 K y también aba −1 b−1 K ; luego aba−1 b−1 H K = 1 , vemos que ab = ba. Luego ab es un elemento de orden 15 y por lo tango G es cíclico.

∈ {

}∩{

∩ {} ∈ ∈ ∩ { }

|

} { }



∈



|

∈

| | || | ∈

≡

∈

En general, se tiene el siguiente teorema.

Teorema 4.3.9. Sean p, q primos distintos, con p > q y G un grupo de orden pq . Entonces G

no es simple. Si q  p − 1, entonces G es cíclico.


66

Demostración. Por el Teorema de Cauchy y el Corolario 2.2.9, sabemos que G tiene exactamente un p-subgrupo de orden p. De la Proposición 4.3.1, vemos que subgrupo tiene que ser normal. Luego G no es simple. Supongamos ahora que q no divide a p 1. Sea nq el número de q -subgrupos de Sylow. Entonces n q 1,q,p,pq qk + 1 k 0 . Si q = qk + 1, entonces q (1 k) = 1; Si p = qk + 1, entonces qk = p 1 y q dividiría a p 1, lo cual es contrario a la hipótesis. Finalmente, si si pq = qk + 1, entonces se tiene la contradicción q ( p k) = 1; así n q = 1 y G tiene exactamente un p-subgrupo de Sylow, y por lo tanto es normal. Sea a un elemento de orden p y b un elemento de orden q . Entonces luego H K = 1 , donde H = a y K = b . Por lo tanto HK = H K = pq , G = H K y H K es un subgrupo de G. Veamos que ab = ba. Como H  G, ba −1 b−1 H y entonces también aba −1 b−1 H . Como K también es normal en G, aba −1 K y también aba −1 b−1 K ; luego aba −1 b−1 H K = 1 , vemos que ab = ba. Luego ab es un elemento de orden pq y por lo tango G es cíclico.

∈ {

 

−

− | ≥ } −

}∈{

 

| ∈

| | | | | ∈

−

−

∩

{}

∈ ∈ ∩

∈

{}

Observaciones 4.3.10. Si q p

| −

1 en el teorema anterior, entonces el resultado no necesariamente es cierto. Considere por ejemplo los grupos no cíclicos D 6 o D 10 .

Ejemplo 4.3.11. Ningún grupo G de orden 30 es simple. Bastará probar que hay exactamente un p-subgrupo de Sylow para algún primo p que divida a 30 = 2 3 5. Sea n p el número de p-subgrupos de Sylow de G. Luego n p 30 y n p 1 m´ od p. Sea D = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 el conjunto de los divisores de 30. Así

· · {

|

}

≡

∈ D ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} = {1, 3, 5, 15} ∈ D ∩ {1, 4, } = {1, 10} ∈ D ∩ {1, 6, } = {1, 6}.

n2 n3 n5

Supongamos que n 3 = 10. La intersección de cualesquiera dos 3-subgrupos de Sylow es trivial. En efecto, si P = Q son dos grupos de orden tres, dado que P Q P, Q, el orden de la intersección solo puede ser uno o tres; si fuera tres, se tendría P = P Q = Q, lo cual no es cierto. Cada grupo de orden tres, tiene dos elementos de orden tres, de tal manera que G tiene al menos 20 elementos de orden 3. Si n 5 = 6, razonando de manera análoga al caso n 3 = 10, se concluye que G tiene al menos 4 6 = 24 elementos de orden 5. Si sucediera que n3 = 10 y n5 = 6, entonces G tendría al menos 20 + 24 = 44 elementos diferentes, lo cual evidentemente no puede se. Luego n3 = 1 o n5 = 6. Así G un subgrupo normal de orden 3 o uno de orden 5..



∩ ⊆ ∩

·

Ejemplo 4.3.12. Pruebe que ningún grupo de orden 48 es simple. Sea G un grupo de orden 48 = 24 3. Resolveremos de dos maneras el ejercicio para ilustrar técnicas diferentes. Primera solución. Sea P un 2-subgrupo de Sylow; entonces 48 no divide (G : P )! = 3!, así que de acuerdo al Teorema 3.3.8, P contiene a un subgrupo no trivial que es normal en G, y queda probado que G no es simple. 1, 3 y n 3 1, 4, 16 . Si n 2 = 1, G tiene exactaSegunda solución. Se tiene que n2 mente un subgrupo de orden 16 y por lo tanto es normal. Supongamos que n2 = 3, es decir, G tiene 3 grupos distintos, cada uno con 16 elementos. Sean P = Q dos subgrupos de Sylow de orden 16; por un lado se tiene que la intersección de P y Q es de orden 2i , con i < 4. Por otro lado, P Q = P Q / P Q = 28−i 2 4 3, tenemos que 24−i 3, así que i = 4, 3. Luego el único valor posible para el orden de la intersección es 23 . Ahora bien, P Q  P, Q pues la intersección tiene índice dos tanto en P como en Q. Recordando la definición de normalizador, vemos que ambos, P y Q, están contenidos en el normalizador de P Q. Si el orden del normalizador de P Q fuera 16 se tendía que P = Q,

·

∈ { }



≤

∈ {

}

| | | || | | ∩ |

∩ ∩

∩

≤ ·


67

así que el normalizador tiene más de 16 elementos; como el orden del N (P Q) divide a 48, se concluye que N (P Q) = G, así que P Q es normal en G. Tercera solución. Supongamos que n 2 = 3 y sea X = P 1 , P 2 , P 3 donde P 1 , P 2 y P 3 son todos los subgrupos de G de orden 24 . Hagamos actuar G en X por conjugación y sea ϕ : G S X el homomorfismo inducido. Como S X = 3! y G tiene G tiene 48 elementos, entonces ϕ no puede ser inyectivo. Luego K ker ϕ = 1 es un subgrupo normal de G que no es trivial ni es todo G. Así G es simple.

∩

∩

∩

{

}

→

| |  { }

Ejemplo 4.3.13. Ningún grupo de orden 36 es simple. Sea G un grupo de orden 36 = 22 32 . Sea P un 3-subgrupo de Sylow. Entonces (G: P ) = 4 y G  4!. De acuerdo con Teorema 3.3.8, P tiene un subgrupo no trivial que es normal en G.

·

| |

4.3.1.

Ejercicios

1) Sea P un p-subgrupo de Sylow de un grupo finito G y sea N  G. Pruebe que P p-subgrupo de Sylow de N y que PN/N es un p-subgrupo de Sylow de G/N .

∩ N es un

⊆ N (H ), entonces H K es un subgrupo de G. 3) Si P es un p-subgrupo de Sylow de G, el cual es normal en G y ϕ : G → G es un endomorfismo, entonces ϕ(P ) ⊆ P . 2) Sean H , K , subgrupos de G. Pruebe que si K

4) Pruebe que ningún grupo de orden p n con p primo y n > 1 es simple. 5) Sea G un grupo finito de orden p n . Pruebe que G tiene una sucesión creciente de subgrupos H 1

⊂ H 2 · · · ⊂ H n−1 ⊂ H n = G,

donde cada H i es normal en G y su orden es p i . 6) Sea p un primo y sea G un grupo de orden pn m, donde n no es simple.

≥ 1 y 1 < m < p. Pruebe que G

7) Pruebe que ningún grupo de orden 56 es simple. 8) Pruebe que un p-subgrupo normal de un grupo finito está contenido en todo p-subgrupo de Sylow. 9) Pruebe que si el orden G

| | ∈ {18, 20, 28, 40, 44, 45, 50, 52, 54}, entonces G no es simple. 10) Pruebe que si el orden |G| ∈ {12, 24, 48, 56}, entonces G no es simple. 11) Pruebe que todo grupo de orden 45 induce un grupo cociente cíclico de orden 5. 12) Pruebe que cualquier grupo de orden 50 contiene un subgrupo normal de orden 25. 13) Pruebe que un grupo de orden 33 es cíclico. 14) Pruebe que cada grupo de orden 255 es simple y cíclico. 15) Pruebe que un grupo de orden 108 contiene un subgrupo normal de orden 9 o 27. 16) Pruebe todo grupo de orden (35)3 tiene un subgrupo normal de orden 125. 17) Sea G un grupo simple de orden 168. Determine el número de elementos de orden 7. 18) Pruebe que cualquier grupo de orden no primo mayor que 60 y menor o igual a 100 no es simple. 19) Pruebe que ningún grupo de orden 200 es simple.

68

4. Los teoremas teoremas de Sylow Sylow

CAPÍTULO 5

Los grupos simétricos y alternante. Grupos simples

69

70

5. Los grupos simétricos y alternante. Grupos simples

CAPÍTULO 6

Grupos abelianos finitamente generados

71

72

6. Grupos abelianos finitamente generados

CAPÍTULO 7

Grupos libres

73

74

7. Grupos libres

Bibliografía

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75

Índice alfabético

A

biyectivo, 39 de grupos, 39 inyectivo, 39 suprayectivo, 39

acción de un grupo, 21 fiel, 52 transitiva, 57

I inverso, 5 invertible elemento, 5 isomorfismo, 39 isomorfismo de grupos, 19

C centralizador, 23 centro, 23 clase de conjugados, 58 congruencia módulo n, 10

L

E

ley de composición, 1

elemento identidad, 4 invertible, 5 neutro, 4 enteros módulo n grupo de los, 8 producto de, 10 suma de, 8 epimorfismo, 39 estructura algebraica, 5

M monomorfismo, 39

O operación binaria, 1 asociativa, 3 conmutativa, 3 externa, 1 interna, 1 órbita, 57 de un elemento, 22 orden de un grupo, 14

G grupo, 5 abeliano, 11 de permutaciones, 11 de torsión, 45 libre de torsión, 45 orden de un, 14 simétrico, 11 simple, 46, 51, 65

permutaciones grupo de, 11 p-grupo, 60 producto directo externo, 18 p-subgrupo de Sylow, 63

H

R

homomorfismo, 19

reducción módulo n, 8

P

76

Notas grupos

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