Notas Cimentaciones

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

APUNTES PARA LA CLASE DE DI SE SEÑ Ñ O EST ESTRUC RUCTURAL TURAL DE DE CI MENTAC MENTACII ONES NES

Dr. HUGO HERNÁNDEZ BARRIOS

DICIEMBRE DE 2008

Hugo Hernández Barrios

DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES

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1.1 INTRODUCCIÓN El objetivo de una cimentación es transmitir las cargas de la superestructura y el peso propio de ellas al terreno. Pero además tiene las siguientes funciones: proporcionar apoyo a la estructura distribuyendo las descargas considerando un factor de seguridad adecuado entre la estructura de cimentación y el suelo, limitar los asentamientos totales y diferenciales, con la finalidad de controlar los daños en la construcción y construcciones adjuntas, y además mantener la posición vertical de la estructura ente las acciones. Se emplean diversas formas o tipos de cimentación, dependiendo de la magnitud de las cargas que soporta, del tipo y dimensiones de la superestructura, y del espesor, resistencia, deformabilidad y permeabilidad de los suelos o rocas sobre los que se apoya la cimentación. Se acostumbra clasificar las cimentaciones en dos grupos: las someras y las profundas, según se apoyen directamente en los estratos cercanos a la superficie o transmitan las cargas a capas profundas del subsuelo. No existe un límite definido de profundidad que distinga a cada uno de estos grupos, grupo s, pero se acostumbra clasificarlas como (Fig. 1.1): Superficiales:

Zapatas aisladas Zapatas corridas Losas de cimentación

Intermedias:

Cajones de cimentación

Profundas:

Pilotes de punta Pilotes de fricción Pilotes mixtos con mecanismos de control Pilas y cilindros Cajones profundos

De acuerdo a su nivel de desplante: 1. Superficiales 2. Profundas Según su distribución superficial: 1. Continuas 2. Aisladas Según su proceso de construcción: 1. Construidas in situ 2. Prefabricadas 3. Mixtas 3



Fig. 1.1 Diferentes tipos de cimentaciones.

1.1.1 ZAPATAS AISLADAS Las zapatas son losas de cimentación, normalmente de concreto reforzado con dimensiones: largo L y ancho B , con relación L / B que no excede a 1. 5 . La cimentación debe soportar la carga de las columnas. En este caso cada zapata puede ser independiente una de otra, por lo que, se requiere que los asentamientos diferenciales entre ellas no excedan los asentamiento totales o diferenciales permitidos. Los asentamientos diferenciales pueden reducirse seleccionando el área apropiada de contacto de la zapata, y en ocasiones usando la rigidez de la superestructura. Generalmente las zapatas aisladas se usan sólo en suelos de baja compresibilidad y en estructuras donde los asentamientos diferenciales entre columnas pueden ser controlados por la flexibilidad de la superestructura, o incluyéndolos en el diseño de los nodos de la base del la estructura o articulando los nodos de manera que puedan tomar los asentamientos diferenciales y/o rotaciones, sin dañar la estructura.

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Fig. 2.1 Zapatas aisladas

1.1.2 ZAPATAS CORRIDAS Las zapatas corridas se recomiendan cuando es necesario controlar con cierto límite la magnitud de los asentamientos diferenciales entre columnas que soportan las zapatas o cuando el suelo tiene baja compresibilidad. Se pueden definir como elementos formados por losas y vigas de cimentación, que resisten los elementos mecánicos de los nodos de las columnas. Normalmente unen dos o más columnas por medio de vigas. Los asentamientos diferenciales verticales se controlan por medio de la rigidez de la viga. Las vigas pueden colocarse en una o en dos direcciones, dependiendo de las cargas en las columnas y de la longitud del claro entre columnas. Cuando las carga en las columnas son muy grandes o cuando es necesario proporcionar rigidez a la estructura en ambas direcciones, se puede formar una retícula de trabes en ambas direcciones. En este caso, podría ocurrir que las losas de las zapatas cubran casi toda el área de la cimentación. Este tipo de cimentación es ventajosa en suelos de mediana compresibilidad, donde es necesario controlar los asentamientos diferenciales entre columnas. Las vigas de cimentación se diseñan con la suficiente rigidez como para cumplir con asentamientos diferenciales permitidos. 5



Fig. 1.3 Zapatas corridas

1.1.3 CIMENTACIONES CORRIDAS Cundo las cargas sobre las columnas son muy grades y las zapatas corridas ocupan casi el 50% del área proyectada de la cimentación, es recomendable utilizar losas continuas que cubran toda el área. La carga total se puede suponer uniformemente distribuida sobre toda el área. Los asentamientos diferenciales son controlados por la rigidez de la losa de cimentación, por lo que la flexibilidad de la misma es importante para obtener diseños económicos, sin embargo, en ocasiones será necesario colocar vigas o contratrabes sobre las losa para aumentar su rigidez o muros con pequeño espesor. Las vigas se diseñan de forma que resistan los asentamientos diferenciales. Este tipo de cimentaciones se recomienda en suelos de mediana compresibilidad, sin embargo, los cajones de cimentación pueden usarse en suelos de alta compresibilidad.

1.1.4 CIMENTACIONES COMPENSADAS Las cimentaciones compensadas normalmente dan lugar a cajones de cimentación formados por muros perimetrales en la losa. Se utilizan en suelos de baja, mediana y muy alta compresibilidad. En su diseño se puede contemplar que el suelo se comporte en sus fases sólida y líquida. Por tanto, en una cimentación compensada el diseño se hace tomando en cuenta dos efectos: (1) sustitución del peso del sólido que emerge y (2) efectos del peso del líquido desplazado. Ambos efectos son usados para igualar el peso total del edificio, el volumen del cajón podría desplazar el peso del líquido que según el principio de Arquímedes, puede contribuir en la flotación de la cimentación, reduciendo la carga aplicada en la fase sólida del suelo.

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Fig. 1.4 Losa de cimentación.

Fig. 1.5 Cimentaciones compensadas.

1.1.5 CIMENTACIONES COMPENSADAS SOBRE PILOTES DE FRICCIÓN Cuando los cajones de cimentación no son suficientes para soportar la carga cumpliendo con los asentamientos verticales permitidos, la cimentación debe ser lo suficientemente rígida para lo cual se pueden colocar pilotes de fricción. La aplicación de este tipo de cimentación se puede realizar en suelos con alta compresibilidad en sus estratos superiores, y media o baja compresibilidad en los estratos inferiores. Los asentamientos totales en este tipo de cimentación dependen de la forma en que se coloquen los pilotes de fricción, su espaciamiento y longitud, el procedimiento para realizar la excavación y el control de las condiciones hidráulicas del suelo. 7



Se obtienen un mejor comportamiento en los pilotes cuando se construyen antes de realizar la excavación, haciéndolos que trabajen en tensión durante la excavación, así se conserva el estado original de esfuerzos del subsuelo.

Fig. 1.6 Cimentación compensada sobre pilotes de fricción.

1.1.6 CIMENTACIÓN SOBRE PILOTES DE PUNTA Cundo las cargas sobre una cimentación compensada apoyada sobre pilotes de fricción son muy grandes para ser resistidas por ella, se podría recurrir a apoyar el cajón de cimentación en un estrato duro con muy baja compresibilidad y con alta resistencia al esfuerzo cortante, por medio de pilotes de punta.

Fig. 1.7 Cimentación apoyada sobre pilotes de punta. 8



Otro tipo de cimentación apoyada sobre pilotes de punta se presenta cuando los pilotes se apoyan sobre un estrato firme y profundo con baja compresibilidad. Se pueden colocar los pilotes de punta debajo de zapatas aisladas, desarrollando fricción lateral y contribuyendo a tomar la capacidad de carga total sobre la cimentación. En el diseño de los pilotes se debe tomar en cuenta el efecto de la fricción negativa sobre el fuste del pilote y el efecto que este produce en el confinamiento de los depósitos de suelo sobre los cuales se apoyan.

Fig. 1.8 Zapata aisladas apoyadas sobre pilotes de punta.

1.1.7 CIMENTACIONES APOYADAS SOBRE PILAS Las cimentaciones apoyadas sobre pilas se utilizan para soportar cargas muy grandes y apoyadas sobre estratos profundos de muy alta compresibilidad. La capacidad de carga de las pilas se determina como si fueran zapatas aisladas, las pilas normalmente soportan cargas de 500 t ó más. Las pilas pueden tener una campana en su parte inferior con el fin de aumentar el área de contacto, dicha campana puede ser de un metro o mayor.

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Fig. 1.9 Cimentación apoyada sobre pilas.

1.1.8 CIMENTACIÓN APOYADA SOBRE PILAS DE ARENA O GRAVA Este tipo de cimentación se usa para incrementar la capacidad de carga de suelos reduciendo se compresibilidad e incrementando su resistencia al esfuerzo cortante.

Fig. 1.10 Pilas formadas por arena Las NTC-2004 -cimentaciones clasifica las construcciones ligeras o medianas de poca extensión y con excavaciones someras, aquellas que cumplan los siguientes tres requisitos: 10



1. Peso unitario medio de la estructura w ≤ 40 kPa (4 t/m2) 2. Perímetro de la construcción P ≤ 80 m en las zonas I y II. P ≤ 120 m en la zona III. 3. Profundidad de desplante Df ≤ 2.5 m Las construcciones pesadas, extensas o con excavaciones profundas son aquellas que tienen al menos una de las siguientes características: 1. Peso unitario medio de la estructura w > 40 kPa (4 t/m2) 2. Perímetro de la construcción P > 80 m en las zonas I y II. P > 120 m en la zona III. 3. Profundidad de desplante Df > 2.5 m La elección del tipo más adecuado a cada caso particular debe hacerse teniendo en cuenta varios factores: • La magnitud y distribución de las cargas de la estructura, así como sus dimensiones y rigidez. • El perfil estratigráfico del terreno de apoyo y la resistencia, compresibilidad y permeabilidad de los materiales que forman cada uno de los estratos del perfil del subsuelo del sitio. La elección de la cimentación debe estar basada en los conocimientos técnicos y en el criterio del ingeniero. En algunas referencias sugieren que cuando las zapatas aisladas sobre suelo compresible ocupan más del 30% del área de la planta del edificio, o cuando los asentamientos diferenciales permisibles no son satisfechos, resulta más económico usar zapatas continuas. En el caso de tener zapatas continuas muy anchas debido a la descarga y la baja capacidad de carga del suelo resulta conveniente usar losas con o sin contratrabes. Deberá tomarse esta decisión cuando el área de la zapata continua ocupe arriba del 50% del área de la planta del edificio. En suelos de alta resistencia y baja compresibilidad, o en rocas inalteradas (sanas), la cimentación sobre zapatas aisladas o continuas es adecuada, aun para cargas de gran magnitud; mientras que en suelos muy blandos y muy compresibles se requieren cajones y/o pilotes aun para estructuras ligeras, con el fin de evitar su agrietamiento por asentamientos diferenciales excesivos. Cualquiera que sea el tipo de cimentación seleccionada, el diseñador debe dimensionar los elementos estructurales que componen a la cimentación, de manera que se satisfaga los siguientes requisitos básicos: • Los esfuerzos que transmita la cimentación al terreno de apoyo deben de ser compatibles con la resistencia al corte, dentro de un factor de seguridad. Esto implica determinar la capacidad de carga admisible del terreno de apoyo, para la cimentación elegida. • Las deformaciones que sufran el terreno y la estructura por la aplicación de estos esfuerzos deben ser tolerables para la estructura misma y para las estructuras o instalaciones municipales colindantes. Esto requiere determinar los asentamientos que sufrirá el suelo, o la roca, en la que se apoye la cimentación. Con frecuencia el ingeniero debe considerar varias alternativas de cimentación antes de elegir la más adecuada y económica de entre las que satisfagan los requisitos de seguridad y deformaciones tolerables, necesita para ello determinar, en cada alternativa propuesta: 11



1. La capacidad de carga del cimiento. 2. La magnitud de los asentamientos totales y diferenciales que se producirán en la estructura a corto y largo plazo.

1.2 ACCIONES DE DISEÑO Según el NTC-DF-2004 las combinaciones de acciones a considerar en el diseño de cimentaciones serán las siguientes: 1.

Primer tipo de combinación:

Acciones permanentes más acciones variables incluyendo la carga viva. Con este tipo de combinación se revisarán tanto los estados límite de servicio como los de falla. Las acciones variables se considerarán con su intensidad media para fines de cálculo de asentamientos u otros movimientos a largo plazo. Para la revisión de los estados límite de falla, se considerará la acción variable más desfavorable con su intensidad máxima y las acciones restantes con intensidad instantáneas. 2.

Segundo tipo de combinación:

Acciones permanentes más acciones variables con intensidad instantánea y acciones accidentales (viento o sismo). Con esta combinación se revisarán los estados límite de falla y los estados límite de servicio asociados a las deformaciones transitorias y permanentes de suelo bajo carga accidental. Acciones de diseño Permanentes

Variables

Carga muerta.

Carga viva W maxima Wa instantánea Wm media Empuje estático de tierras. Efectos de temperatura Empuje estático de líquidos. Deformaciones con intensidad variable con el tiempo, debidas a movimientos diferenciales. Empuje estático de material granular en Efectos debidos al funcionamiento depósitos. de maquinaria y equipo. Deformaciones permanentes, o que varían Toda aquella acción que obra muy poco con el tiempo.

Accidentales Sismo Viento Explosiones Incendios

Todas aquellas que no se

sobre la estructura con intensidad deben

al

funcionamiento

que varía significativamente con el normal de la construcción y tiempo.

que

pueden

intensidades

alcanzar significativas

solo durante lapsos breves. Deformaciones permanentes debidas a presfuerzo. Toda acción que obre en forma continua sobre la estructura. 12



Para el caso de cimentaciones profundas en las zonas II y III se incluirá entre las acciones la fricción negativa que puede desarrollarse en el fuste de los pilotes o pilas por consolidación del terreno circundante.

1.3 DISEÑO ESTRUCTURAL DE LA CIMENTACIÓN Los elementos mecánicos (presiones de contacto, empujes laterales, etc) requeridos para el diseño estructural de la cimentación deberán determinarse para cada combinación de acciones señaladas. En la siguiente figura se observan los resultados de bajadas de cargas para el diseño de una cimentación. El ejemplo corresponde a un edificio de concreto de siete niveles de 6.5m de altura de entrepiso, su altura incluyendo la planta baja es de 45 m. Puede observarse lo siguiente: cuando se aplica la carga estática la mayor concentración se tiene en el centro del área con 399.5 t en esa columna. Con fuerza sísmica actuando al 100% en el eje Y más el 30 en dirección X, se tiene una carga de +729.3 t en K-9 y -220.0 t en K-1. Con la fuerza sísmica 100% en X más 30% en Y, se tiene +734.0 t en K-9 y -192.0 t en K-1. Y

Descargas a la cimentación por carga vertical 298.88

K-7

354.67

K-8

Y

299.78

K-9

K-7

C

Carga vertical+sismo Y+30%sismo X +628.15

K-8 +446.42

K-9

+729.29

C Área total=145.60 m2 Descarga total=2687.33 t 399.50

K-4

K-5

6.48 m

B

Cg

CT=10 538.6 t

331.00

K-6

399.50 Cg

7.24 m

+328.85

K-4

K-5

+398.33

K-6

+341.65

B 6.20 m K-1

212.30

K-2

245.90

K-3

206.30

A

K-1 -220.03

X

2

3

+ compresión - tensión

9.37 m

K-2

+166.43

-23.65

K-3

X

A

4

2

13

3

4


DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES Y

K-7

Carga vertical+sismo X+30%sismo Y +359.97

K-8 +427.97

K-9

+735.94

C

+303.99

K-4

CT=10 538.6 t

Cg

8.78m K-5

+399.15

K-6

+366.51

B + compresión - tensión

7.53 m

K-1 -192.31

K-2

+207.56

+130.05

K-3

X

A 2

3

4

Fig. 1.11 Cargas para el diseño de la cimentación WTCM WORLD TRADE CENTER CD. DE MÉXICO CUERPO 1 TORRE CARGAS EN CIMENTACIÓN PROYECTO DEFINITIVO (CON ESPECTRO DE SITIO) SEPTIEMBRE DE 1992 Objetivo: La finalidad de este trabajo es proporcionar al especialista en mecánica de suelos los parámetros necesarios para que proceda a la revisión de la cimentación del edificio de a cuerdo a los requerimientos del nuevo proyecto arquitectónico. Antecedentes: El edificio cuenta con: 1. Apéndice con planta circular con seis niveles y azotea. 2. Cuerpo principal con 39 niveles incluyendo azotea. 3. Cimentación constituida por cinco niveles. 4. Cajón de cimentación. Su estructura es a base de marcos ortogonales con muros cabeceros y un cubo de elevadores excéntrico. El sistema de piso es de concreto reforzado hasta el nivel N+44.50 (piso 9), los niveles superiores se construyeron con tridilosa (armadura metálica espacial con doble capa de concreto). La cimentación se resolvió con un cajón a base de cascarones invertidos y apoyado sobre pilas a una profundidad aproximada de 20 m. Las consideraciones básicas para el análisis estructural son las siguientes. a) Por su importancia se ha clasificado a la estructura como del grupo A. b) De acuerdo con el plano de zonificación geotécnica y el informe de mecánica de suelos el edificio se localiza en zona II. c) Por las características de la estructura se adopta un factor de comportamiento sísmico Q=2.4 para ambas direcciones de análisis. d) El espectro de diseño empleado en el análisis dinámico se presenta la figura 1.12 (espectro de sitio). 14



e) Se adiciona un nuevo eje de columnas (K) que cuenta con cuatro niveles así como muros de concreto en los ejes 3 y 25.

Fig. 1.12 Espectro de Sitio zona II

1.3.1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL Se efectúa el análisis estructural gravitacional y sísmico dinámico del edificio considerando las cuatro posiciones del centro de masa de acuerdo con las excentricidades que especifica el Reglamento de Construcciones para el DF (figura 1.13).

Fig. 1.13 Posición del centro de masa para el análisis dinámico. Además para cada caso en general se elaboraron las combinaciones de efectos bidireccionales que son los siguientes: Combinación 1 CM+CV+SX+30% SY Combinación 2 CM+CV+SX-30% SY Combinación 3 CM+CV-SX+30% SY Combinación 4 CM+CV-SX-30% SY 15



Combinación 5 CM+CV+30% SX+SY Combinación 6 CM+CV-30% SX+SY Combinación 7 CM+CV+30% SX-SY Combinación 8 CM+CV-30% SX-SY Donde: CM es la carga muerta CV es la carga viva accidental SX fuerzas sísmicas dinámicas actuando en la dirección X. SY fuerzas sísmicas dinámicas actuando en la dirección Y. De modo que al final se tendrán 4x8=32 combinaciones de acciones gravitacionales y accidentales y un caso de efectos gravitacionales que corresponde a la carga muerta más la carga viva. Se presentan únicamente cuatro envolventes para cada posición de carga y una envolvente general. En las siguientes figuras de presentan las combinaciones para el primer análisis, es decir cuando el centro de masa se localiza en la posición 1 (figura 1.13). Cabe aclara que los valores obtenidos son hasta el nivel -8.10 (tapa del cajón de cimentación) y las unidades están en toneladas.

16



Fig. 1.15 Cargas sobre la cimentación, combinaciones E-3 y E-4

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1.4 PROCEDIMIENTO En el diseño de una cimentación puede seguirse el siguiente procedimiento (Manual de diseño de Obras Civiles, Estructuras CC2): 1) Calcúlense las fuerzas y momentos trasmitidos a la cimentación por la superestructura. 2) Supónganse unas dimensiones para la cimentación (el área de cimentación debe ser tal que bajo las cargas y momentos que la estructura trasmite a la subestructura, afectados por el factor de carga correspondiente, no se exceda la resistencia del terreno calculada. 18



3) Bajo las cargas sin afectar por factores de carga, supóngase una distribución de presiones de contacto entre la subestructura y el suelo o, en su caso, el sistema formado por el suelo y los pilotes, que cumpla con las condiciones siguientes: i. ii. iii.

Existe equilibrio local y general entre las presiones de contacto, las fuerzas internas en la subestructura y las fuerzas y momentos trasmitidos a ésta por la superestructura. Los hundimientos diferenciales, inmediatos más diferidos, calculados con la presión de contacto supuesta actuando sobre el terreno y pilotes, son menores o iguales a los definidos en la tabla II. Las deformaciones diferenciales, inmediatas más diferidas, calculadas con la presión de contacto supuesta actuando sobre la combinación de superestructura y subestructura, son menores o iguales que las permisibles definidas en la tabla II. 4) Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, debe suponerse otra distribución de presiones de contacto y repetirse el proceso. La distribución supuesta que satisfaga los tres requisitos mencionados puede usarse para el diseño estructural de la cimentación.

Este procedimiento es aplicable a cimentaciones a base de zapatas, losas, cajones, pilas o pilotes. Como opción, el diseño puede basarse en esfuerzos admisibles en el terreno bajo cargas de trabajo. Una vez que se ha determinado el esfuerzo admisible en el terreno, sea por falla en el terreno o sea por control de hundimientos, puede valuarse el área de cimentación y las rigideces de la subestructura de modo que no se exceda ese valor admisible. Para lo anterior, será aceptable suponer que el suelo es elástico y continuo, o que está formado por resortes elásticos independientes.

1.5 INTERRELACIÓN PROFESIONAL ENTRE LA GEOTÉCNIA Y LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL Esta comunicación técnica es un problema complejo que fácilmente se dificulta cuando surge la incomprensión, desinterés o desconfianza; encontrar los caminos de la

comunicación franca y cooperativa es la meta de un comportamiento maduro. Las siguientes etapas facilitan esta comunicación (TGC, Perfil del Director Responsable de Obra, 1992): 1. Identificación de los problemas geotécnicos. 2. Realización del estudio geotécnico. 3. Supervisión de los trabajos de campo. 19



4. Proyecto estructural, anteproyecto de la cimentación y análisis de los procedimientos constructivos. 5. Diseño de la cimentación (interacción suelo-estructura) 6. Construcción de la cimentación, construcción de la superestructura, comportamiento de la cimentación y de la superestructura.

1. 6 PROYECTO ESTRUCTURAL Y ANTEPROYECTO DE LA CIMENTACIÓN Esta es la etapa más crítica de la interacción entre estructurista y geotécnico. El estructurista definirá el sistema estructural de acuerdo con los problemas del suelo y conocerá su comportamiento probable ante las acciones estáticas y dinámicas producidas por el viento y el sismo. El geotécnico, conociendo el e l suelo y sus características, orienta al primero a seleccionar el tipo de estructura. Entonces, ambos discuten las diferentes posibilidades de la cimentación a emplear y sus respectivos procedimientos constructivos, seleccionando el más adecuado. El geotécnico estima la magnitud de los hundimientos y el estructurista estudia el efecto de los mismos en la estructura. Se plantean los ajustes correspondientes y la necesidad de realizar interacción suelo-estructura de común acuerdo. Se concluye esta etapa con un anteproyecto de la cimentación realizada por el geotécnico y una definición de los métodos constructivos discutidos por ambos.

1.7 VERIFICACIÓN DE SEGURIDAD DE LAS CIMENTACIONES La revisión de la cimentación ante estados límite de servicio se hará tomando en cuenta los límites indicados en la Tabla II. Los asentamientos instantáneos de las cimentaciones bajo solicitaciones estáticas se calcularán calcular án en primera aproximación usando los resultados de la teoría de la elasticidad, previa estimación de los parámetros elásticos del terreno, a partir de la experiencia local o de pruebas directas o indirectas. Cuando el subsuelo esté constituido por estratos horizontales de características elásticas diferentes, se podrá despreciar la influencia de las distintas rigideces de los estratos en la distribución de los esfuerzos. Los asentamientos son el resultado de varias o una de las causas siguientes: deformaciones elásticas (asentamientos inmediatos), consolidación del terreno, desplome minero y otras. Los asentamientos diferenciales son más importantes que los asentamientos totales, por ejemplo, se producirá un efecto de mayor trascendencia en la estructura si cede 5 cm más que las próximas a ellas, que si toda la estructura se hundiera 15 cm uniformemente. Cuando una estructura se ve sujeta a hundimientos diferenciales, se generan acciones en ella acciones internas o elementos mecánicos que pueden tener gran importancia. Generalmente los hundimientos diferenciales se efectúan con relativa lentitud, de manera que para evaluar su efecto deben considerase módulos de elasticidad bajos, bajos, que tomen en cuenta los efectos de flujo plástico del concreto. La revisión de seguridad de una cimentación ante estados límite de falla consistirá en comparar la capacidad de carga del suelo con las acciones de diseño, afectando la 20



capacidad de carga neta de la cimentación con un factor de resistencia y las acciones de diseño con sus respectivos factores de carga. Se llama capacidad de carga a la máxima intensidad de presión que una estructura transmite al suelo que lo soporta, sin llegar a causar asentamientos que pongan en peligro la estabilidad de la construcción o se presente falla del suelo por cortante. Se ha observado que la falla por capacidad en las construcciones suceden como producto de una rotura por corte del suelo de desplante de la cimentación. Los tres tipos de fallas principales bajo las cimentaciones son: 1. Falla por cortante general. 2. Falla por punzonamiento. 3. Falla por corte local. Tabla II Límites máximos para movimientos y deformaciones originados en la cimentación a)

Movimientos

verticales

(hundimiento o emersión)

Límite

Concepto Valor medio en el predio

Construcciones aisladas

30 cm**

Construcciones colindantes

15 cm 30 cm**

Velocidad del componente diferido b)

1 cm/semana

Inclinación media

Límite

Tipo de daño Inclinación visible

100/(100+3H) por ciento

Mal funcionamiento de grúas viajeras

0.3 por ciento

Observaciones H altura de la construcción, en m En dirección longitudinal.

c) Deformaciones diferenciales en la propia estructura y sus vecinas Tipo de estructura Marcos de acero

Variables que se limita

Límite

Relación entre el asentamiento diferencial

0.006

y el claro Marcos de concreto

Relación entre el asentamiento diferencial

0.004

y el claro Muros de carga de ladrillo recocido o Relación entre el asentamiento diferencial bloque de cemento

0.002

y el claro

Muros con acabados muy sensibles Relación entre el asentamiento diferencial como yeso, piedra ornamental, etc

y el claro

0.001 Se tolerarán valores mayores en la medida en que la deformación ocurra entes de colocar los acabados.

Paneles

móviles

o

muros

con Relación entre el asentamiento diferencial

acabados poco sensibles

y el claro

Tuberías de concreto con juntas

Cambios de pendiente en las juntas 21

0.004 0.015



Falla por cortante general: La falla por corte general se caracteriza por la existencia, dentro del terreno, de una superficie de deslizamiento continuo, que se inicia desde el borde de la cimentación hasta la superficie del terreno. Falla por punzonamiento: La falla por punzonamiento se identifica por un movimiento vertical de la cimentación, debido a la compresión del suelo, inmediatamente debajo de dicha cimentación. El terreno que queda fuera del área de carga presenta pequeñas alteraciones, quedando el equilibrio de la cimentación tanto vertical como horizontal. Falla por corte local: La falla por corte local presenta una marcada tendencia al bufamiento del suelo a los lados de la cimentación, presentándose compresiones verticales fuertes debajo de ella, las superficies de deslizamiento terminan en algún punto dentro de la misma masa de suelo. Este tipo de falla es una transición entre las dos anteriores.

1. 8 MODELO ESTRUCTURAL DE LA CIMENTACIÓN Cuando se tiene una cimentación por medio de una zapata que recibe un muro que forma parte de una estructura continua a base de muros, que trabaja como marco en la dirección normal a la zapata, se recomienda que al analizar la estructura bajo carga muerta y viva se suponga el muro articulado en su base.

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Y

Marco en la dirección Y, articulado

En estructuras formadas por marcos en dos direcciones, cuando la cimentación está formada por contratrabes sobre zapatas en los ejes de columnas paralelas a una dirección, se recomienda que al analizar la estructura bajo carga muerta y viva los marcos transversales a las contratrabes se suponga que sus columnas están articuladas en sus extremos inferiores.

x Y

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Marco en la dirección x Marco en la dirección Y

Se sugiere suponer articulaciones en los casos anteriores por que lo más probable es que en una zapata bajo las condiciones descritas ocurran giros que anulen los momentos en los extremos inferiores, ya que el giro necesario para pasar a la condición de articulación en el extremo inferior de una columna de un marco es muy pequeño. Bajo cargas de corta duración, como el sismo o el viento, si el suelo es poco deformable, puede considerarse cierta restricción al giro en los extremos inferiores en cuestión (Manual de Diseño de Obras Civiles, Estructuras C22, CFE-IIE, 1981).

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2.1 MÓDULO DE ELASTICIDAD ESTÁTICO DE LOS SUELOS Los suelos no son elásticos, sin embargo, existen algunas situaciones en las que la relación esfuerzo deformación es prácticamente lineal como son los asentamientos de cimentaciones desplantadas sobre suelos gruesos limpios (arenas y/o gravas con menos de 15% de finos), o desplantadas sobre suelos finos preconsolidados con una presión de preconsolidadación superior al esfuerzo normal inducido por la propia cimentación. Los suelos también tienen un comportamiento casi elástico cuando se les sujeta a cargas de corta duración como son la excitación sísmica o la vibración de maquinaria. En estos casos resulta conveniente determinar el módulo de elasticidad del suelo elástico o dinámico, según sea el caso. El módulo de elasticidad estático se determina en pruebas triaxiales para niveles de esfuerzo semejantes a los que existirán en el sitio de la obra.

P

ko

σ z

= γ z + σ ( P, B, z ) σ x = k oσ z

k o

=

ν

1 −ν

suelo fino

= 1 − senφ suelo grueso

B z

σ z σ x

El módulo de elasticidad se obtiene aprovechando el comportamiento elástico del suelo.

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Pc

+

w A

= Pc + P1

Δ Pc

a

ε z

=

Δ a

y suponiendo un comportamiento elástico: 1⎡ ⎤ σ z −ν ⎡⎣σ x + σ y ⎤⎦ ⎦ E ⎣ como: σ x = σ y = Pc ε z

=

ε z

1 = [σ z − 2ν Pc ] E

despejando, E, σ z − 2ν Pc ( Pc + P1 ) − 2ν Pc

E =

ε z

=

Δ

=

P1 + (1 − 2ν ) Pc

Δ

a

a E

si ν = 0.50 , E =

a

a

= [ P1 + (1 − 2ν ) Pc ] Δ

P

Δ 1 En general, los suelos tienen distinto módulo de elasticidad para distintos niveles de esfuerzo ( P1 , Pc ) . El módulo de elasticidad dinámico es mayor que el estático y se determina con la prueba del péndulo de torsión (Zeevarert). El módulo de elasticidad estático de suelos gruesos ha sido estimado a partir de pruebas de penetración con conos estáticos (Meyerhof, 1956; Schmertman, 1970), se acepta que: E = 2qc donde qc es la resistencia a ala penetración de un cono estándar hincado estáticamente kg cm 2

.

Vesic (1968) sugiere emplear una relación: E = 2 (1 + Dr 2 ) qc

donde Dr es la densidad relativa del suelo grueso. El módulo de elasticidad de los suelos gruesos también puede obtenerse a partir de los resultados de pruebas triaxiales en muestras reconstruidas en el laboratorio. 26



Considerando que el módulo de elasticidad de suelos gruesos depende del nivel de esfuerzos y que la relación esfuerzo-deformación no es lineal, Chang y Duncan (1970) han establecido una relación entre el módulo de elasticidad tangente, E t , un módulo de elasticidad inicial, E i , y los esfuerzos efectivos principales, σ 1 y σ 3 . σ 3

σ 1

2

⎡ R f (1 − senφ )(σ 3 − σ 1 ) ⎤ Et = ⎢1 − ⎥ E i 2 σ φ sen 1 ⎣ ⎦ α ⎡σ 1 ⎤ Ei = ke Pa ⎢ ⎥ ⎣ Pa ⎦ donde: E t es el módulo de elasticidad tangente, cuando σ = σ 3 . E i es el módulo de elasticidad inicial (Janbu, 1963); φ es el ángulo de fricción interna; (σ 3 , σ 1 ) son los esfuerzos principales: σ 3 〉σ 1 . R f es la relación entre la resistencia a compresión determinada en el laboratorio y el valor de la diferencia asintótica de esfuerzos de la curva esfuerzo-deformación de tipo hiperbólico que mejor se acerca a los datos experimentales. Pa

es la presión atmosférica, expresada en las mismas unidades que σ ≈ 1.033

ke y α

kg cm2

.

son parámetros experimentales.

Algunos valores típicos de los parámetros son según Kulhawy (1964) son: Clasificación SUCS GW GP SW SP

φ σ 1

pequeño 47° 46° 50° 40°

σ 1

grande 35° 38° 35° 30°

k e

α

R f

500 1800 300 1200

0.30 0.30 0.50 0.50

0.70 0.80 0.70 0.80

Según Bjerrum (1964), el módulo de elasticidad no drenado de arcillas normalmente consolidado es del orden de: E = (250 a 500)c 27



c=

1 q 2 c

Ladd (1964) ha demostrado que la relación E = E (c ) de las arcillas preconsolidadas es dependiente de la historia de esfuerzos a que ha estado sometido el suelo, al método de prueba y que es muy sensitiva a pequeñas alteraciones de E a partir de pruebas rutinarias de laboratorio puede ser, muy engañosa. En las ocasiones que se han comparado los valores de E medidos en el campo con los estimados burdamente en el laboratorio, se ha observado que los valores de E de campo son consistentemente mayores. En el caso particular de cimentaciones someras, es posible estimar el módulo de elasticidad de los suelos gruesos aprovechando la relación aproximada propuesta por Skempton: E = (250

a 500)(σ 1 − σ 3 )

en donde: σ 3 es la presión de confinamiento media. σ 1 es el esfuerzo principal mayor correspondiente a la presión lateral σ 3 , en la condición de equilibrio plástico de Ranking. P D B

H

es el = 1 − senφ coeficiente de empuje en reposo. k0

B

2

σ

Zona activa

2 B 3

σ z σ x

τ

N φ

=

1 + senφ 1 − senφ

σ 1 = N φ σ 3 σ3

φ

σ 3

σ 1

σ

28

σ

= k oσ



Entonces: E = (250 a 500)(Nφ koσ − k oσ ) E = (250 a 500)(Nφ ko − k o )σ

⎡1- senφ ⎤ = (250 a 500) ⎢ (1- senφ ) - (1- senφ ) ⎥ σ ⎣1- senφ ⎦ E = (250 a 500) [1+ senφ − 1 + senφ ]σ E = (250 a 500)2 senφσ E = (500 a 1000) senφσ E

Para zapatas cuadradas: q=

σ

P B

2

P

= γ H +

2

= γ H +

4 P 9 B 2

⎛ 3 B ⎞ ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ 4 σ = γ H + q 9 sustituyendo, se tiene el módulo de elasticidad de un suelo grueso bajo una zapata cuadrada. 4 ⎤ ⎡ E = (500 a 1000)senφ ⎢γ H + q ⎥ 9 ⎦ ⎣ Para el caso de una zapata corrida el módulo de elasticidad de un suelo grueso bajo una zapata corrida es, q=

σ

P B

= γ H +

P

3 B 2

= γ H +

2P 3 B

⎡ ⎣

E = (500 a 1000)senφ ⎢γ H

29

+

2 ⎤ q 3 ⎥⎦



Valores típicos del módulo de elasticidad estático (Bowles) E kg / cm2 Suelo E psi Arcilla Muy suave 50-400 3.5-28 Suave 250-600 17-42 Media 600-1200 42-84 Dura 1000-2500 70-176 Arenosa 4000-6000 282-423 Limosa 1000-3000 70-211 20-200 Limo Arena Suelta 1500-3500 106-247 Densa 7000-12000 493-854 14000-28000 986-1973 Grava y arena densa 14000-18000 986-1268 Loess

Valores típicos del módulo de elasticidad (Barkan) Suelo E kg / cm 2 Arcilla limosa plástica con arena y limo 310 orgánico Arcilla café saturada, con arena 440 Arcilla limosa densa con algo de arena 2950 Arena media húmeda 540 Arena gris con grava 540 Arena fina saturada 850 Arena media 830

2.2 CONDICIONES DE APOYO DE MARCOS DESPLANTADOS SOBRE ZAPATAS CUADRADAS El análisis convencional de los marcos de edificios considera que las columnas pueden estar empotradas o articuladas en la base. La condición de apoyo de los marcos reales desplantados sobre zapatas cuadradas depende de las dimensiones de la zapata y de la rigidez del suelo. Para desarrollar un criterio simple que permita evaluar la condición de apoyo de marcos reales, se puede aprovechar uno de los resultados obtenidos por Dawson (1977), quién estudio algunos de los problemas de interacción suelo-estructura obteniendo una relación de momentos flexionantes en el apoyo de un marco sujeto a carga lateral y desplantado sobre resortes elásticos, como se muestra en la figura. 30



Δ

F =

k b

EI b A

k c

k θ

=

EI c

h

h

k θ

M

M

Considerando que M 0 , Δ 0 y T0 , son el momento de empotramiento en la base de la columna, el desplazamiento lateral y el periodo fundamental del marco, respectivamente, si el marco estuviera empotrado, se tiene: k = M M 0

=

k b k c

1 6k 1+ kθ 1 + 6k k c

≤ 1.0

−1

⎡ k 6k ⎤ 1− c ⎢ ⎥ kθ 2 + 3k 1 + 3k Δ ⎢ 3k ⎥ ≥ 1.0 = + Δ 0 ⎢1 + 6k 1 + 6k 6k c 1 + 2k ⎥ 1+ ⎢ kθ 2 + 3k ⎥⎦ ⎣ T T 0

1 2

⎡Δ⎤ = ⎢ ⎥ ≥ 1.0 ⎣ Δ0 ⎦

La mayoría de los marcos de los edificios son estrechamente acoplados por lo que se cumple la relación: EI c h EI b A

por tanto:

k 〉 8

31

〈8


por lo que el término: si k 〉8 entonces:


6k (6)(8) 48 = = = 0.979 , es decir: 1 + 6k 1 + (6)(8) 49

6k 〉 0.979 ; por lo que se puede escribir: 1 + 6k 1 M

=

M 0

1+

k c k θ

o en forma alternativa: M ⎛

k c ⎞ ⎜1 + ⎟ = 1 M 0 ⎝ k θ ⎠ kc

1+ kc kθ

kθ

M0

=

M

kθ

=

=

M 0

−1 =

M M0

−M

M

M 0 − M M

k c

La rigidez angular, k θ , de la zapata cuadrada desplantada sobre un medio elástico (Dowrick, 1977) es: kθ

Gs

=

B3

2(1 −ν ) donde el módulo de rigidez al corte (elástico) del suelo es: Gs

=

E S

2(1 +ν )

Sustituyendo, se tiene: kθ

=

E s 2

4(1 −ν )

32

B3



EJEMPLO 3.1 Determinar las condiciones de apoyo de una columna de 40 x 40cm, desplantada sobre un estrato de arcilla suave, como se muestra en la figura. Considerando que las propiedades de la arcilla son: c = 0.30 Es

cm

2

= (250 a 500) c (Skempton)

γ = 1.8 f c'

kg

t m3

= 250

kg cm 2

del concreto.

50

325

h=400

40x40

100

BxB

Descarga de la columna: Para estimar la descarga que por carga permanente podría tener esta columna, se utiliza la fórmula de predimensionamiento: Ac

P

=

0.35 f c' ' P = 0.35 Ac f c 2 P = (0.35)(40) (250) = 140,000kg P = 140 t 33



Dimensiones de la zapata: La capacidad de carga de una zapata cuadrada desplantada sobre arcilla es: qF = 1.3 ( 2π c ) + σ c donde σ c es la presión de confinamiento. Como se trata de una arcilla suave, es probable que falle por corte local o punzonamiento, entonces: 2 2 kg t c = clab = (0.3) = 0.20 2 = 3 3 cm 2 m2 qF = (1.3)(2π )(2) + (1)(1.8) = 18.14

t m2

y la capacidad de carga admisible es: qa

=

qF FS

=

qF

3

=6

t m2

y el ancho de la zapata es: B =

P qa

=

140 = 4.83m 6

B = 4.85m

Rigidez de la columna: E

f c'

= 14000

= 14000 250 = 221,360

kg cm

2

= 2.21x106

1 4 (0.40)4 I c = b = = 2.133x10−3 m4 12 12 h = 4.0m EI c 2.21x106 x 2.133x10−3 kc = = = 1,178 t − m h 4 Rigidez angular de la zapata: Es

= (250 a 500)c tomando un valor medio, de 350,

E s

= (375)(0.30) = 112.5

ν = 0.50

kg cm 2

= 1125

t m2

B = 4.85m kθ

=

1125 (4.85)3 = 42, 781 t − m 4(1 − 0.25)

Condición de apoyo:

34

t m2



1 = 0.973 1178 M 0 1+ 42781 Es decir, el momento en el apoyo elástico es el 97% del momento que ocurriría si el marco estuviera empotrado. Puede suponerse que la zapata se capaz de empotrar a la columna del marco. M

=

Debe notarse que conforme aumenta la altura del primer entrepiso o aumenta la profundidad de desplante, la columna se flexibiliza y aumenta el grado de sujeción que proporciona la zapata, es decir: Si

k c

→0,

M M 0

→ 1.0 .

EJEMPLO 3.2 Determinar la condición de apoyo de la misma columna del ejemplo 1.1, desplantada sobre un estrato de arcilla rígida, con cohesión c = 3.0

kg cm2

.

Descarga de la columna: P = 140 t

Dimensiones de la zapata: Siendo una arcilla rígida, es de esperarse una falla por corte general. La capacidad de carga es, qF

= 1.3 ( 2π c ) + σ c = 1.3(2π (30)) + (1)(1.8) = 246.8

la capacidad de carga admisible es,

=

qa

qF

3

= 82.3

t m2

El ancho mínimo de la zapata es: B =

140 = 1.30 m 82.3

Rigidez de la columna: Del ejemplo 1.1, kc

Rigidez angular de la zapata: Es

=

EI c h

= 1,178 t − m

= (250 a 500)c según Skempton, tomando un valor medio: 35

t m



E s

= (375)(3) = 1125

ν = 0.5 B = 1.30m k θ

=

kg cm2

= 11, 250

t m2

11250 3 (1.30 ) = 8, 239 t-m 4(1 − 0.25) k θ

= 8,239 t-m

Condición de apoyo: 1 = 0.875 1178 M 0 1+ 8239 Es decir, el momento que da proporciona el apoyo elástico es el 88% del momento que ocurriría si el marco estuviera empotrado. M

=

Si se considera, arbitrariamente, que el apoyo puede considerarse empotrado cuando: M M 0

≥ 0.90

la dimensión de la zapata capaz de empotrar a la columna debe ser: M M 0

1

=

1+

k c k θ

0.90 + 0.9 0.90

k c k θ

kθ

y como en este ejemplo, kc = k θ

EI c h

= 0.90 k c k θ

=1

= 0.10

= 9k c

= 1,178 t − m

= (9)(1178) = 10,602 t-m , es decir, kθ

=

11250 3 B = 10602 t-m 4(1 − 0.25) B = 1.41m ≈ 1.40

m

Si la zapata desplantada sobre arcilla rígida (que soporta la columna de 40x40) es de 1.4 x 1.4m, ó mayor; es capaz de empotrar a dicha columna. Esta dimensión es un poco mayor que el 1.20 m, necesario por capacidad de carga. 36



EJEMPLO 3.3 Calcular el tamaño de la zapata que permitiría considerar que las columnas de los ejemplos anteriores estuviesen articuladas. Si se considera que el apoyo puede aproximarse a una articulación cuando, M M 0

≤ 0.10

entonces, M M 0

1

=

1+

k c k θ

0.10 + 0.10 0.10

k c k θ

kθ

y como en este caso kc =

EI c h

=

= 0.10 k c k θ

=1

= 0.90 1 k 9 c

= 1,178 t − m , entonces: kθ

=

1178 = 130.8 t − m 9

a) arcilla suave: 1125 B3 = 375 B3 4(1 − .25) 375 B3 = 130.8 t-m B = 0.70m

kθ

=

kθ

=

b) arcilla rígida: 11250 3 B = 3750 B3 4(1 − .25)

3750 B3 = 130.8 t-m B = 0.32 m

〈 0.40 m de la columna.

En el caso de la columna desplantada sobre arcilla suave (B=0.70 m), sería necesario que la columna estuviera soportando una carga de (0.70)2 (6) = 2.94 t que es un valor muy pequeño. En el caso de la arcilla rígida, solo la columna sin zapata, funcionaría como articulación.

37



Los tres ejemplos anteriores permiten concluir que cuando las dimensiones de columnas y zapatas son congruentes con su resistencia, el apoyo brindado por las zapatas aisladas, desplantadas sobre arcilla, puede considerarse como un empotramiento, solamente en el caso de zapatas muy pequeñas en relación con la columna que soportan podría presentarse el caso de un apoyo articulado. Para situaciones intermedias 0.10〈

M

M 0

〈0.90 el análisis del marco debe hacerse tomando en

cuenta la flexibilidad del apoyo.

EJEMPLO 3.4 Se considera ahora que la columna de 40x40cm, de los ejemplos anteriores, se desplanta sobre arena suelta, con un ángulo de fricción interna de φ = 280 , y peso específico de 1.6

t m

3

.

Descarga de la columna: P = 140 t

Dimensiones de la columna:

1 La capacidad de carga es: qF = σ c N qϕ q + Bγ Nγ ϕ γ 2 Siendo una arena suelta, la falla podría ocurrir por corte local o punzonamiento y debe reducirse el valor nominal de φ , según la recomendación (conservadora) de Terzaghi. 2 tan φ = tan φ lab 3 2 en este ejemplo: tan φ = tan 280 = 19.51 ≈ 200 3 Los parámetros de capacidad de carga son, para φ = 200 , N c = 14.83 N q = 6.40 N γ = 5.39 Los factores de forma: 6.40 B N q = 1+ = 1.432 ϕ c = 1 + 14.83 L N c ϕq

=1+

B L

ϕ γ

tan φ = 1 + tan 200 = 1.364 B

= 1 − 0.4

L

La presión de confinamiento: 38

= 0.60



σ c

= (1)(1.6) = 1.6

t m

2

y la capacidad de carga: qF = (1.6)(6.40)(1.364) +

1 B (1.6)(5.39)(0.60) 2

qF = 13.97 + 2.59B

La capacidad de carga admisible es: qa =

qF

t m

2

= 4.66 + 0.86B

t

2 3 m El ancho mínimo necesario de la zapata cuadrada: P 140 = , B = qa 4.66 + 0.86 B despejando B, 4.66 B 2 + 0.86 B3 = 140 B 3 + 5.42 B 2 − 162.8 = 0 resolviendo la ecuación: B = 4.13 m


Rigidez angular de la zapata:

=

EI c h

= 1,178 t − m

Como se demostrará más adelante, el módulo de elasticidad de las arenas que soportan zapatas aisladas es del orden de: NTN

H

= D+

D

B

2

BxB Arena con ángulo de fricción f

4 = (500 a 1000)senφlab ⎛⎜ γ H + q ⎞⎟ 9 ⎠ ⎝ Para este ejemplo: 0 senφ = sen 28 = 0.4695 1 H = 1 + (3.77) = 2.89m 2 Es

γ H = (1.6)(2.89) = 4.62

t m

2

39


q=

P A

=


140 t = 9.85 2 2 (3.77) m

así: 4 t = (750)(0.4695) ⎡⎢ 4.62 + ( 9.85) ⎤⎥ = 3,168 2 9 m ⎣ ⎦ y tomando para la arena una relación de Poisson de ν = 0.30, se tiene: 3168 (4.13)3 = 74, 390 t − m kθ = 2 4(1 − 0.3 ) E s

Condición de apoyo: M M 0

=

1 = 0.984 1178 1+ 74390

El momento flexionante en el apoyo es el 98% del momento correspondiente a un empotramiento. Por lo anterior, se puede considerar que la columna está empotrada.

EJEMPLO 3.5 Considerar ahora que la zapata se desplanta sobre arena densa, con un ángulo de fricción interna de 35° y peso específico de 1.8

Descarga de la columna:

t m

3

.

P = 140 t

Dimensiones de la columna: 1 La capacidad de carga es: qF = σ c N qϕ q + Bγ Nγ ϕ γ 2 Si la arena es densa y la zapata superficial, puede considerase que la falla ocurriría por corte general. Por tanto, los parámetros de capacidad de carga son, para φ = 350 , N c = 46.12 N q = 33.30 N γ = 48.03 Los factores de forma: 33.30 B N q ϕ c = 1 + = 1+ = 1.722 46.12 L N c ϕq

= 1+

B L

tan φ = 1 + tan 350 = 1.70

40



B

ϕ γ

= 1 − 0.4

σ c

= (1)(1.8) = 1.8

L

= 0.60

La presión de confinamiento: t m

2

1 y la capacidad de carga, qF = σ c N qϕq + Bγ Nγ ϕ γ 2 1 qF = (1.8)(33.30)(1.70) + B (1.8)(48.03)(0.6) 2 qF = 101.9 + 25.94B

La capacidad de carga admisible es: qa =

qF

t m

2

= 33.97 + 8.65B

3 El ancho mínimo necesario de la zapata cuadrada: 140 = 33.97 + 8.65 B 2

t m

2

B

140 = 33.97 B2 + 8.65 B3 3 2 B + 3.9272 B − 16.18 = 0 B = 1.70m


Rigidez angular de la zapata: El módulo de elasticidad del suelo: 4 ⎤ ⎡ Es = 750 senφ ⎢γ H + q ⎥ 9 ⎦ ⎣ 0 senφ = sen35 = 0.5736 1 t γ H = 1.8(1 + 1.55) = 3.2 2 m 140 t 58.27 q= = 2 1.552 m

=

EI c h

= 1,178 t − m

4 t = 750(0.5736) ⎡⎢ 3.2 + (58.27)⎤⎥ = 12, 518 2 9 m ⎣ ⎦ Rigidez de la cimentación: 12518 (1.70)3 = 16, 896 t − m kθ = 2 4(1 − 0.3 ) E s

Condición de apoyo:

41



1 = 0.93 1178 M 0 1+ 16896 El momento en apoyo es el 93% del momento correspondiente al empotramiento y puede suponerse que el marco está empotrado en la cimentación. M

=

Las zapatas aisladas desplantadas sobre arenas y cuyas dimensiones son congruentes con la resistencia de la columna y el suelo, son capaces de empotrar a los marcos correspondientes.

EJEMPLO 3.6 ¿Cuál será el efecto en el desplazamiento y en el periodo de vibrar de la estructura, si se considera empotrada o articulada la cimentación? En términos generales, si se logra: M M o

= 0.90 =

1 1+

k c k θ

=

k c k θ

1 9

y para marcos estrechamente acoplados k ≥ 8 entonces: −1

1 48 ⎤ ⎡ − 1 Δ ⎢ 24 1 + 24 9 2 + 24 ⎥ = + Δ 0 ⎢⎢1 + 48 1 + 48 1 + 6 1 + 16 ⎥⎥ 9 2 + 24 ⎦ ⎣ Δ = 1.29 Δ0 Es decir, el desplazamiento lateral del marco más flexible (k = 8) es 29% mayor que el desplazamiento del mismo marco empotrado en la base. Si ahora consideramos el caso del marco rígido (k = ∞ ) , la relación de desplazamientos resulta: −1 1 ⎤ ⎡ Δ ⎢1 1 1− 9 2 ⎥ = + Δ 0 ⎢⎢ 2 2 1 + 6 2 ⎥⎥ 9 3⎦ ⎣

Δ = 1.30 Δ0 Puede decirse que, el desplazamiento real de los marcos estrechamente acoplados, apoyados sobre zapatas aisladas, es del orden del 30% mayor que el calculado suponiendo que el marco estuviera empotrado. 42



La variación en el periodo de vibrar es: 1

1 T ⎡ Δ ⎤ 2 = ⎢ ⎥ = (1.3) 2 = 1.14 T 0 ⎣ Δ 0 ⎦

T T 0

= 1.14

El periodo de vibrar de los marcos estrechamente acoplados, apoyados en zapatas aisladas, es del orden del 14% mayor que el calculado suponiendo que el marco está empotrado. En los resultados anteriores deben considerase que la hipótesis básica es que el suelo se comporta como un sólido elástico, sin embargo, los suelos reales son inelásticos.

43



4.1 RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Y DE LA CIMENTACIÓN La distribución de presiones bajo la cimentación depende de la rigidez de la estructura y la cimentación, y en general, son difíciles de calcular con precisión. En la práctica de la ingeniería de cimentaciones se suelen considerar los siguientes tres casos extremos: 1. La estructura y la cimentación son perfectamente rígidos.

En éste primer caso no hay hundimientos diferenciales entre columnas, y la distribución de presiones sobre el suelo es lineal. 2. La estructura es perfectamente flexible y la cimentación posee cierto grado de rigidez.

44



Es posible que se presenten asentamientos diferenciales entre columnas, sin que la estructura contribuya con su rigidez a reducirlos. La distribución de presiones depende de la rigidez relativa de la cimentación al suelo. 3. La estructura es perfectamente rígida y la cimentación posee cierto grado de flexibilidad.

Tampoco ocurren asentamientos diferenciales, pero la flexibilidad de la cimentación impide que la distribución de presiones sea uniforme. Los edificios reales no son ni perfectamente rígidos, ni perfectamente flexibles, por lo que su análisis exacto es muy complejo. Debe tenerse en cuenta que conforme aumenta la rigidez de la estructura y la cimentación, disminuyen los asentamientos diferenciales de las columnas pero aumentan los elementos mecánicos en la cimentación. La estructura y cimiento rígidos generan los momentos flexionantes máximos en la cimentación. Por lo tanto, conviene flexibilizar el cimiento tanto como sea compatible con los hundimientos diferenciales permitidos por la estructura. En numerosas ocasiones se analizan trabes de cimentación suponiendo una distribución lineal de presiones, es decir, suponiendo que la estructura y el cimiento son rígidos, sin verificar si la hipótesis es válida. Estos análisis son sistemáticamente antieconómicos y tal vez peligrosos, ya que se pueden presentar asentamientos diferenciales no previstos.

45



4.2 ECUACIÓN DE UNA VIGA DE EJE RECTO SOBRE RESORTES ELÁSTICOS Sea una viga sobre un medio elástico de sección constante, sujeta a cargas verticales que actúan en el plano principal de la sección transversal. Las hipótesis de Winkler son: 1. Al actuar las cargas sobre la viga, se produce una distribución continua de presiones del medio sobre la viga. 2. La intensidad de carga "q" en cualquier punto es proporcional al desplazamiento de la viga "y" en esos puntos. q = ky 3. Se supone que el terreno no es capaz de soportar fuerzas o esfuerzos de tensión. Si B es el ancho de la viga,

k = Bk s (kg/cm2) q = Bk s y

Consideremos un elemento de viga, "dx" w dx

M

V+dV

V

M+dM

dx

Donde: V, es la fuerzas cortante, M, el momento flexionante, dV, la diferencial de cortante y dM la diferencial de momento, entonces: q dx=k Por equilibrio, V-(V+dV) + ky dx - w dx =0 - dV + ky dx - w dx =0 ó bien: dV = ky − w dx dM =V Como, dx d 2M = ky − w dx 2 De la ecuación: 46



EI EI

d2 y

dx d4 y

dx

4

= −M

2

= w − ky

Que es la ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden de coeficientes constantes de la elástica de una viga sobre un medio elástico.

Si w =0,

d4 y dx 4

+

ky =0 EI

La solución es: y = e mx derivándola cuatro veces, y iv = m 4 e mx sustituyendo en la ecuación diferencial, k m 4 e mx + e mx = 0 EI k⎤ ⎡ e mx ⎢m 4 + ⎥ = 0 EI ⎦ ⎣ cuya ecuación característica es: k m4 + = 0 EI Usando la siguiente fórmula, θ + 2πk ⎞ ⎛ θ + 2πk + m = r 1/ n ⎜ cos isen ⎟ n n ⎠ ⎝ para k=0,1,,,,; n=1,2,3, ... k Tomando n=4, k=0,1,2,3; r = ; EI 1/ 4 π + 2π(0) ⎞ 4 k ⎡ 1 k ⎤ ⎛ π + 2π(0) 1⎤ ⎡ + isen +i ⎥ m1 = ⎢ ⎥ ⎜ cos ⎟= ⎢ 4 4 ⎠ EI ⎣ 2 2⎦ ⎣ EI ⎦ ⎝ k⎡ 1 1⎤ m 2 = 4 ⎢− +i ⎥ EI ⎣ 2 2⎦ k⎡ 1 1⎤ −i ⎥ m 3 = 4 ⎢− EI ⎣ 2 2⎦ k⎡ 1 1⎤ −i ⎥ m4 = 4 ⎢ EI ⎣ 2 2⎦ Las raíces se pueden expresar como: m1 = λ(1 + i) m 2 = λ( −1 + i) 47



m 3 = −λ(1 + i) m 4 = −λ( −1 + i) donde: λ =

4

k

4 EI

=4

ks B

4 EI

en unidades (1/Longitud).

Sustituyendo en la solución: y = A 1e m1x + A 2 e m2x + A 3 e m3 x + A 4 e m4 x

Tomando términos comunes y del teorema de Moivre, e λxi = cos(λx ) + isen(λx ) e −λxi = cos(λx ) − isen(λx) La solución de la ecuación es: y = e λx [C1 cos λx + C 2 senλx ] + e −λx [C 3 cos λx + C 4 senλx ] donde Cn son constantes de integración definidas por condiciones de frontera de la viga. Para el caso en que, w ≠ 0 = W= constante, la solución de la ecuación es, W + e λx [C1 cos λx + C 2 senλx] + e −λx [C 3 cos λx + C 4 senλx ] y= k De las expresiones de Mecánica de Materiales,

θ= M = −EI

d2 y dx

V = −EI

2

dy pendiente dx momento flexionante

d3 y

fuerza cortante. dx 3 q = Bk s y reacción del suelo. Entonces, dy = λe λx [(C1 − C 2 )senλx + (C1 + C 2 ) cos λx ] + λe −λx [− (C 3 + C 4 )senλx + (C 3 − C 4 ) cos λx ] dx d2 y dx 2 d3 y dx 3

= 2λ2 e λx [− C 2 senλx + C1 cos λx ] + 2λ2 e −λx [C 4 senλx − C 3 cos λx ] = 2λ3 e λx [− (C1 + C 2 )senλx + (C1 − C 2 ) cos λx ] + 2λ3 e −λx [(C 3 − C 4 )senλx + (C 3 + C 4 ) cos λx ]

48



4.3 VIGA CON LONGITUD FINITA Un caso de mayor interés es el de una viga con una carga concentrada, P, a una distancia "a" medida a partir del origen de la viga, P a

-x

b

x L

La solución es: y =

Pλ ks B

V

M

Μ ⎡⎣( 2 cosh λ x cos λ x ) Σ + ( cosh λ xsenλ x + senhλ x cos λ x ) Ψ ⎤⎦

= PΜ ⎡⎣( cosh λ xsenλ x + senhλ x cos λ x ) Σ + ( senhλ xsenλ x) Ψ ⎤⎦ =

P

2λ

⎤⎦ Μ ⎡⎣( 2senλ xsenλ x ) Σ + ( cosh λ xsenλ x − senhλ x cos λ x) Ψ

1 ⎤ Μ = ⎢⎡ 2 2 ⎣ senh λ L − sen λ L ⎥⎦ Σ = (senhλL cos λa cosh λb − senλL cosh λa cos λb) Ψ = ⎡⎣ senhλ L ( senλ a cosh λ b − cos λ asenhλ b) + senλ L ( senhλ a cos λ b − cosh λ asenλ b) ]

El método analítico es mucho más difícil de aplicar que los métodos numéricos, especialmente si el número de cargas es mayor a dos. Si las columnas tienen momento en su base, la solución se complica. No es posible incluir el peso propio de la cimentación o modelar separación de la viga del suelo, esto es importante ya que cuando la cimentación tiende a separarse del suelo, su peso propio tiende a evitar tal separación.

49



k s BL4 Definiendo el parámetro adimensional: λL = es posible determinar la 4EI solución correcta de una viga sobre suelo compresible, tal que, 4

λ L〈 0.8

solución convencional (rígido)

0.8〈 λ L 〈 π

viga finita sobre una cimentación elástica

λ L〉 π

viga infinita sobre una cimentación elástica. La anterior clasificación se debe a M. Helényi, quién propone también: λ L〈 0.8

vigas cortas.

0.8〈 λ L〈 π

vigas intermedias

λ L〉 π

vigas largas La deflexión de las vigas cortas es muy pequeña y puede despreciarse en comparación con la deformación del suelo, es decir, pueden considerarse como rígidas. La carga aplicada en un extremo de una viga intermedia tiene efecto importante en el extremo opuesto y debe analizarse como una viga flexible con longitud finita. La carga aplicada en un extremo de una viga larga, tiene muy poca influencia en el extremo opuesto y la viga puede considerarse como flexible de longitud infinita, simplificándose el cálculo. La separación entre columnas es un factor importante en la distribución de presiones sobre el suelo. Apoyándose en la clasificación de M. Helényi, el Comité ACI-436 propone que se consideren cimientos rígidos a los que satisfacen simultáneamente los siguientes requisitos: 1. Dos claros adyacentes soportan columnas cuyas descargas no difieren más del 20%. 2. La longitud de dichos claros vecinos tampoco tampoco difieren más del 20%. 3. El mayor de los claros cumple con: L ≤

1.75 λ

Si alguna de estas condiciones no se cumple, el cimiento debe considerase como flexible. Schultze propone estimar la rigidez relativa de una cimentación como:

⎡ H ⎤ k r = 12 Es ⎢⎣ L ⎥⎦ E c

50

3



donde H es el peralte del cimiento. Cuando k r ≥ 0.25 , el cimiento debe considerarse rígido. Las condiciones de definición de cimiento como rígido se agrupan en dos tipos: rigidez estructural empírica y rigidez relativa. La definición de criterios de rigidez depende de la longitud elástica, Le , Le

=4

4 EI Bk s

en unidades de longitud

4.4 CRITERIOS DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL EMPÍRICA La rigidez estructural empírica de una zapata aislada se define por los criterios de tipo geométrico de la figura. Esta definición fue planteada por J. Antonio Jiménez S (Geotecnia y Cimientos,). Teniendo en cuenta que para la determinación de la rigidez se toma el peralte total de la zapata, en el caso de zapatas armadas es necesario incluir en los cálculos el término 0.05 m , que es la distancia mínima de recubrimiento. En el caso de zapatas no reforzadas, la limitación corresponde a la formación de una biela cuya inclinación no debe ser menor de 450 . Resultan así las siguientes expresiones para una zapata armada: ( B − b ) H ≥ + 0.05m 4 Para una zapata sin armar: ( B − b ) H ≥ 2 Donde B es el ancho de la zapata (m), b en el ancho de soporte que carga sobre la zapata (m), y H es el peralte total de la zapata (m), H = d + 0.05 Para las definiciones basadas en la rigidez relativa, para el caso de una zapata aislada debe verificarse: B − b ≤

π

2

Le

51



4.5 MÓDULO DE REACCIÓN DEL SUELO Cuando un suelo se modela por medio de resortes elásticos, se conoce como cimentación Winkler. La constante elástica de esos resortes supuestos se denomina módulo de reacción del suelo o coeficiente de balasto. q1

q2

Si una cimentación de ancho B está sometida a una carga por área unitaria, q, ésta sufrirá un asentamiento, Δ, por lo que el coeficiente de reacción del suelo se define como: q ks = Δ El valor del coeficiente de reacción del suelo no es una constante para un suelo dado. Éste depende de varios factores como la longitud, L; el ancho de la cimentación, B y de la profundidad de empotramiento de ésta. Terzaghi (1955) realizó un amplio estudio de los parámetros que influyen en el coeficiente de reacción del suelo. El modelo de Winkler es similar a considerar que la cimentación flota sobre un líquido cuyo peso volumétrico es similar al módulo de reacción, por lo que este modelo se le conoce como "viga flotante". Una debilidad de este modelo es que supone que el hundimiento es proporcional a la presión ejercida e independiente del área cargada. El módulo de reacción tiene unidades (kg/cm 3) y se determina mediante una prueba de placa en la que se somete a carga una placa cuadrada de 30 cm de lado, la cual se apoya sobre el estrato de suelo en cuestión y se determina la relación esfuerzo-deformación del suelo que normalmente es no lineal.

52



q

B

∆

Δ Xmáx

Para pequeños tramos de placas 450, 600 y 750 mm de diámetro, es difícil obtener Δ , ya que la placa tiende a ser menos rígida tal que la deformación es constante, por lo que k s es difícil de definir. Por lo anterior, se define la deflexión media (P/A). Normalmente k s se toma en función de la deflexión máxima de la placa, Xmáx. El valor de la presión del suelo se tiene como un valor constante: qconstante=ks (Xmáx) Al nivel medio de presiones a la cual estará sujeta la cimentación se determina el módulo de rigidez tangente, la cual se toma como módulo de reacción unitario. Terzaghi (1955) propone las siguientes expresiones para poder aplicar el módulo de reacción a una cimentación de un área cualquiera. Para arcillas: k k s = s1 B Para arenas: 2 ⎡ B + 1⎤ 〉0.25 k s = k s1 ⎢ ⎥ 2 B ⎣ ⎦ Para una zapata rectangular sobre arena y de dimensiones b x “m”b: m + 0.5 k s = k s1 1.5m En donde Ks1 es el módulo de reacción para una placa de un pie de lado, y B (pies) es el ancho del cimiento. La ecuación propuesta por Vésic (1961) para calcular el módulo de reacción en forma simplificada y en función del módulo de elasticidad del suelo, es: Es ks = B 1− μ2 que también se puede escribir, Es ks = B 1 − μ 2 Iw

(

(

53

)

)



Donde Iw es el factor de influencia que depende de la forma de la zapata y de su rigidez (Bowles). Existen tablas con valores nominales del módulo de reacción del suelo, los cuales deben de tomarse como una aproximación, ya que las propiedades elásticas de los suelos tienen grandes variaciones. La rigidez del suelo varía en forma importante según el tiempo en que permanecen actuando las cargas sobre él.

Tipo de suelo **Suelo fangoso *Arena seca o húmeda, suelta (Ns 3 a 9) *Arena seca o húmeda, media (Ns 9 a 30) *Arena seca o húmeda, densa (Ns 30 a 50) *Grava fina con arena fina *Grava media con arena fina *Grava media con arena gruesa *Grava gruesa con arena gruesa *Grava gruesa firmemente estratificada ** Arcilla blanda (qu 0.25 a 0.50 kg/cm2) ** Arcilla media (qu 0.50 a 2.0 kg/cm 2) ** Arcilla compacta (qu 2.0 a 4.0 kg/cm 2) Arcilla dura (qu 4.0 a 10.0 kg/cm 2) Marga arenosa rígida Marga Caliza alterada Caliza sana Granito sano

Es (kg/cm2)

Ks1 (kg/cm3)

11.0 a 33.0 0.16H a 0.48 H 0.48 H a 1.60 H 1.60 H a 3.20 H 1.07 H a 1.33 H 1.33 H a 1.60 H 1.60 H a 2.00 H 2.00 H a 2.66 H 2.66 H a 5.32 H 15 a 30 30 a 90 90 a 180 180 a 480 480 a 1000 500 a 50 000 3 500 a 5 000 20 000 a 800 000 40 000 a 800 000

0.50 a 1.5 1.20 a 3.60 3.60 a 12.0 12.0 a 24.0 8.00 a 10.00 10.0 a 12.00 12.0 a 15.00 15.0 a 20.00 20.0 a 40.00 0.65 a 1.30 1.30 a 4.00 4.00 a 8.00 8.00 a 21.0 21.00 a 44.00 22.00 a 2 200 150.0 a 220.0 885.0 a 36 000 1 700 a 3 600

Ns número de golpes de la prueba de penetración estándar. H profundidad de desplante de la cimentación en cm. * En terrenos granulares si están sumergidos, los valores de la tabla se multiplican por 0.60. ** Los valores recomendados son para cargas de corta duración. Si se consideran cargas que produzcan consolidación, los valores de la tabla se multiplican por 0.25. qu resistencia del suelo.

Geotecnia y Cimientos III, Cimentaciones, excavaciones y Apli caciones de la Geotecnia, J. A. Jiménez Salas (editor), Ed. Rueda, Madrid.

Alternativamente las ecuaciones anteriores se pueden escribir, Para cimentaciones sobre arcillas:

⎡ 0.30 ⎤ k s = k o3 ⎢ ⎣ B ⎥⎦ Para arenas: 54



⎡ B + 0.3 ⎤ k s = k o3 ⎢ ⎣ 2B ⎥⎦

2

Para cimentaciones rectangulares de BxL: B k (bxb) ⎡⎢1 + 0.5 ⎤⎥ L⎦ ⎣ ks = 1.5 lo que indica que para una cimentación muy larga con ancho B, k s  0.67k (bxb) En las anteriores ecuaciones, k o3 se obtiene de una prueba de placa (KN/m3); B está en metros y k (bxb) es el coeficiente de una cimentación cuadrada de lados BXB en metros. Tipo de suelo Arena suelta Arena con densidad media Arena densa Arena-arcilla con densidad media Suelo arcilloso: qu ≤ 200 KPa (kN/m2) 200〈 qu ≤ 400 KPa qu 〉 800 KPa

k o3 kN/m3 4800-16000 9600-80000 64000-128000 32000-80000 12000-24000 24000-48000 〉 48000

Vésic (1961) propuso calcular el módulo de reacción, por medio de: EsB4 Es k′s = 0.6512 EfIf 1 − μ donde Es , Ef son el módulo del suelo y de la zapata, respectivamente; B es el ancho de la zapata, If es el momento de inercia en la dirección transversal de la zapata (no en planta), el valor de, ks, se obtiene de: k′ ks = s B Para casos prácticos, la ecuación de Vésic se reduce a: Es ks = B (1 − μ2 ) El módulo de elasticidad de los suelos granulares crece con la profundidad. Como el asentamiento de una cimentación depende del módulo de elasticidad, el valor de k, crece conforme aumenta la profundidad de la cimentación.

55



4.6 ESTRUCTURA Y CIMIENTO RÍGIDOS En este caso no hay asentamientos diferenciales entre las columnas ni deformación por flexión. Si se considera que el suelo responde como una cimentación elástica de Winkler, entonces se concluye que la distribución de presiones es lineal, puesto que el cimiento permanece recto. Si la resultante de las cargas sobre el cimiento cae dentro del núcleo central del área de la zapata, como es lo recomendable, la distribución de presiones se calcula con la formula de la escuadría. Si la resultante de las descargas sobre el cimiento, pasa por el centro de gravedad del cimiento, la presión del suelo será uniforme. Una vez conocida las descargas y las presiones del suelo sobre el cimiento, los elementos mecánicos, de la trabe de cimentación se evaluarán a partir de su definición matemática. Este cálculo de los elementos mecánicos puede hacerse por el método de integración numérica de Newmark, que es útil cuando la distribución de presiones no es uniforme.

4.7 ESTRUCTURA FLEXIBLE En este caso, si hay hundimientos diferenciales entre las columnas y la deflexión del cimiento debe calcularse considerándola como viga Winkler, cualquiera que sea su rigidez. Es posible analizar la cimentación superponiendo los efectos de varias cargas y pares concentrados, correspondientes a cada una de las columnas de la estructura: El procedimiento de solución resulta muy laborioso, por lo que es necesario programarlo, o usar algún programa comercial de Elemento Finito (SAP-2000, ETABS, etc). Otra forma alternativa es por medio del Método de Diferencias Finitas o del Método del Elemento Finito Compuesto, que consideran que el suelo es un sólido elástico y la trabe de cimentación es una barra plana.

4.8 ESTRUCTURA RÍGIDA Y CIMIENTO FLEXIBLE La rigidez de la estructura impide los hundimientos diferenciales de las columnas, aunque el cimiento sea flexible. Por tanto, no se puede aplicar directamente el método de Winkler que supone que las cargas pueden acompañar en sus desplazamientos a la viga.

56



Una única solución práctica que se dispone para este tipo de cimientos es muy simplificada y consiste en descomponer la descarga de cada columna [ Pi , M i ] en dos componentes: 1. La primera [ β Pi , β M i ] se le aplica a un cimiento que se considera rígido y tiene una distribución de presiones lineal. 2. La segunda [ (1 − β ) Pi , (1 − β )M i ] se le aplica al cimiento considerándolo como una viga de Winkler. Los elementos mecánicos de diseño son la suma de los producidos por cada componente. Se recomiendan los siguientes valores de β , según sea el parámetro k 15 del suelo, correspondiente a una prueba de placa de 15 cm de diámetro.

β

〈1.80 1.00

1.8 a 4.0 0.75

4.5 a 8.0 0.50

〉8.0 0

Tipo de Suelo

Arcilla blanda

Arcilla compacta; arena suelta

Arena suelta

Roca, grava densa

k 15 ( kg / cm

3

)

4.9 CIMENTACIONES SOBRE MEDIOS ELÁSTICOS Los efectos de los asentamientos diferenciales pueden despreciarse cuando se cumplan las condiciones siguientes: a) Los hundimientos del suelo son suficientemente pequeños bajo las cargas impuestas por la estructura. b) La cimentación tiene una rigidez muy superior a la del suelo sobre la que se apoya, de manera que los asentamientos diferenciales son pequeños. 1) Normalmente la primera condición se cumple si los asentamientos calculados bajo las cargas transmitidas por la estructura y despreciando la interacción con la cimentación no exceden de los límites permitidos en el código de diseño (Tabla II, Verificación de la seguridad de las cimentaciones). Como una aproximación, se sugiere que se cumpla la primera condición en edificios comunes, cuando el suelo de apoyo es uniforme con un número de golpes de 20 ó más (por cada 30 cm) en una prueba de penetración estándar, desde la superficie de apoyo hasta 1.5 veces el ancho de la cimentación. Además, debe cumplirse que el esfuerzo transmitido al suelo sea aproximadamente constante en toda el área de contacto y su valor promedio no exceda de 10 t/m 2. Cuando no se cumplan estas condiciones es necesario proporcionar a la cimentación una rigidez adicional, tal que se hunda como cuerpo rígido, evitando que se introduzcan fuerzas internas elevadas en la cimentación o en la estructura. Para lo cual se tiene que lograr que la cimentación tenga rigidez superior a la del suelo en que se apoya.

57



2) Cuando una cimentación continua tiene claros uniformes y descargas de columnas aproximadamente iguales, para diseñarla ignorando los asentamientos de los apoyos en todos los claros, se debe cumplir de la teoría de vigas sobre medios elásticos: k sBL4 π 4 λL ≤ en donde: λL = 4EI 2 L puede tomarse como el promedio de los claros adyacentes a cada columna, en la dirección aproximada, E es el módulo de elasticidad e I el momento de inercia de la cimentación. 3) Otro criterio se basa en la obtención de la medida de la rigidez relativa de la cimentación con respecto a la del suelo, a partir de un modelo simple de ambos. Si la distribución de cargas y rigideces es aproximadamente simétrica, la cimentación se deformara también simétricamente y se puede modelar como una viga sujeta a una carga uniforme, igual a la presión del suelo, q, y empotrada en el centro de la cimentación. L

b

x

y

∑ EI

∑ EI

x

y

La flecha de la viga en el centro y en el extremo son: B(L / 2)4 BL4 δ cimentación = q =q 8EI 128 EI en donde B es el ancho de la zona cargada y L la longitud total de la cimentación. Por otra parte, el hundimiento diferencial entre el centro y el extremo de una franja de suelo de longitud L y sujeta a una presión q, considerando al suelo como un medio semiinfinito con un módulo de elasticidad, Es, es: q L qL δ suelo = 0.5 = E s 2 4E s

L/2 58



La rigidez relativa entre la cimentación y el suelo, es el reciproco de las flecha, entre ambos bajo la carga, P. δ qL 128EI 32EI = R= s = δ c 4E s qBL4 E sBL3 Si R ≥ 15 los hundimientos diferenciales son menores que el 10% de los totales, por lo tanto se recomienda despreciarlos (Comité ACI 436). La desigualdad anterior puede expresarse como: EI ≥ 0.5 3 E s BL En una cimentación corrida, la viga equivalente cuyo producto EI se va a determinar puede considerase como la suma de todas las contratrabes en la dirección en estudio, además la anterior desigualdad debe revisarse en ambos sentidos. La cimentación y la superestructura están unidas a través de los elementos verticales de apoyo, por lo que la rigidez a la flexión de la superestructura contribuirá a evitar hundimientos diferenciales de la cimentación. Los peraltes de los sistemas de piso, normalmente, son menores que los de la cimentación, por lo que la contribución de los sistemas de piso a la rigidez no es muy importante. Lo que resulta siempre importante es la contribución de los muros que haya en la superestructura a la rigidez del conjunto.

El ACI recomienda calcular: EI = ∑ E CIC + ∑ E V I V en donde ∑ E CIC se refiere al módulo de elasticidad y momento de inercia de la cimentación (zapata o losa y contratrabes) y la suma se refiere a todos los elementos alineados en la dirección considerada. ∑ E V I V se refiere a las propiedades de las vigas del sistema de piso y la suma se refiere a todos los pisos, y cuando corresponda a todos los ejes en la dirección considerada.

59



EJEMPLO 4.1 La cimentación de un equipo industrial está formada por zapatas corridas longitudinales, apoyadas en un estrato superior de arcillas blandas con q u = 0.30 kg/cm2 Determinar si la cimentación es rígida. 60 60

100 110

y

60

30 30

350

Zapatas 6.0

6.0

4.0

4.0

Daos:t fć = 250 kg/cm 2 Centroide de la zapata : yAT = (350)(60)(30) + (100)(60)(110) = 1, 290,000cm AT = (360)(60) + (100)(60) =

3

27,000cm2

y (27000) = 1, 290,000 y = 47.78cm

Momento de inercia centroidal (350)(60)3 (60)(100)3 + (350)(60)(17.78) + + (60)(100)(62.22)2 I = 12 12 4 I = 41,166,666cm Módulo de elasticidad del concreto, para cargas de corta duración, se puede colocar la mitad de su E c ,

60


Ec

=

1 4 0 00 2

f Ć


250 = 110, 680 kg / cm2

= 7 000

Rigidez de la cimentación: Ec I

= (110, 680

kg 3

)( 41,166, 666cm4 )

cm Ec I = 4.55 4.5563 6322 x1012 kg − cm2

Módulo de reacción del suelo: El ancho de la cimentación debe ser corregido: 350 cm = 11.48 pies B = 30.48 cm / pie pie ks =

k s1 B

De la tabla, los valores indicativos: k s1 = 0.65 a 1.30, que deben ser reducidos por 0.25 ya que se trata de cargas permanentes: Para k s1 = 0.65 (0.65)(0.25) kg k s = = 0.014 3 11.48 cm

Para k s1 = 1.30 (1.30)(0.25) kg k s = = 0.028 3 11.48 cm

Factor adimensional: λL =

Para

k s

= 0.014

4

B k S L4

4 EI

kg cm

k s

3

= 0.028

kg cm

3

(350)(0.014)(1400)4 λ L = 4( 4.5563 x 1012 )

(350)(0.028)(1400)4 λ L = 4(4.5563 x 1012 )

λ L = 1.008

λ L = 1.20

4

Ambos valores son menores de:

4

π

= 1.57 por lo que la cimentación puede 2 considerarse como rígida, al diseñarse se puede ignorar el cálculo de los asentamientos diferenciales y se puede suponer una distribución de presiones uniformes en el terreno.

61



4.10 CIMENTACIONES SOBRE MEDIOS ELÁSTICOS LOSAS DE CIMENTACIÓN El comité 336 del ACI sugiere el siguiente método para calcular asentamientos diferenciales en losas de cimentación: 1) Se calcula el factor de rigidez,

k r , como:

E′Ib EsB3 donde: E′ es el módulo de elasticidad del material usado en la estructura; Es , es el módulo de elasticidad del suelo; B es el ancho de la cimentación, Ib , es el momento de inercia de la estructura por unidad de longitud en ángulo recto con B. kr =

El término E′Ib se puede expresar como: ⎡ ah3 ⎤ ′ E′Ib = E′ ⎢IF + ∑ Ib + ∑ 12 ⎥⎦ ⎣ donde: E′Ib es la rigidez por flexión de la superestructura y cimentación por longitud unitaria en ángulo recto con B; ∑ E′Ib′ es la rigidez por flexión de los ah3 miembros enmarcados en ángulo recto con B; ∑ E′ es la rigidez por flexión de 12 los muros de cortante con un espesor “a” y altura “h”; E′IF es la flexibilidad de la cimentación. 2) Conocido, k r , la relación:

δ= se calcula con:

asentamiento diferencial asentamiento total

a) Si k r 〉 0.50 , ésta puede calcularse como una losa rígida y δ = 0 . b) Si k r = 0.50 entonces, δ = 0.10 ⎛B ⎞ c) Si k r = 0 , entonces: δ = 0.35 para losas cuadradas ⎜ = 1⎟ y ⎝L ⎠ B δ = 0.50 para cimentaciones largas ⎛⎜ = 0 ⎞⎟ ⎝L ⎠

62



EJEMPLO 4.2 Para la siguiente losa de cimentación, determine las dimensiones de las contratrabes que garanticen una distribución uniforme de las cargas hacia el terreno de desplante y obtener la presión de diseño de la losa. 3.0

3.0

3.0

4 3.0

3 3.0

2 3.0

A

B

Bajada de cargas: ∑PU = 350 000 kg = 350 t Presión de diseño: qu = 7 500 kg/m 2 Terreno: arcilla media qu de 0.50 a 2 kg/cm 2 Concreto clase 1: E c

'

f c

Se toma 0.5 E c = 121, 244 Área de la la cimentación: cimentación:

D

∴ ES = 30 kg/cm2

kg

= 300

= 14000 300 = 242, 48 487

C

1

cm 2

kg cm

kg cm 2

2

, para cargas de corta duración A = (900) (900) = 8 100 m 2

Área necesaria necesaria de cimentac cimentación: ión: Anec =

350 000 kg = 46.66 m 2 < 81 m2 2 7 500 kg / m

Relación del área

46.66 = 0.58 > 50 se requiere losa de cimentación. 81

Factor de rigidez: 63



kr , que nos permite ignorar los asentamientos diferenciales kr =

E ´ I b E S B

3

> 0.50

Donde Ib es el momento de inercia por unidad de longitud (900 cm) de la trabe. Según las NTCC-RCDF

para una trabe peraltada:

L h

< 3 ó 2.5

Se propone una contratrabe de un peralte total de 1.5 m, L h

300 =2 150

=

Viga peraltada

150

50

Se propone un ancho de la viga de 50 cm, (50)(150)3 I b = = = 14,062,500cm4 12 12 bh

Sustituyendo en

k r =

E´ I b ES B

3

3

considerando que existen 4 contratrabes en la

dirección de análisis con una longitud de 900 cm cada una, k r =

(121,240)(14,062,500) (300)(900)3 k r = 0.35

⎡ 4 ⎤ ⎢⎣ 900 ⎥⎦

〈 0.50 La cimentación no se considera como rígida y hay que calcular asentamientos diferenciales. En este ejemplo, tal vez, sea necesario aumentar el número de contratrabes (6) o el peralte de ellas para no calcular asentamientos. NOTA: Sí se hubiera tomado E c = 242,487

64

kg cm

2



k r =

(242 487)(14 062 500) ⎡ 4 ⎤ ⎢⎣ 900 ⎥⎦ (30)(900)3 k r = 0.69

〉 0.50

Se trataría de una cimentación rígida

4.11 MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS El método de Diferencias Finitas consiste en expresar las derivadas de una función continua por expresiones en funciones de intervalos discretos: El continuo se divide en intervalos o mallas, cuyos vértices son los nodos, estos intervalos pueden ser iguales o diferentes: y

Δ y

x Δ x y

y0

y2

y1

x

h

h

h

La derivada de una función es:

δy dy y(x + Δx) − y(x) = lim = lim δx dx δx→0 δx δx→0 y la segunda derivada es:

65



y(x + Δx) − y(x) y(x) − y(x + Δ x) − dy d ⎡ dy ⎤ x Δ Δx = lim ⎢ ⎥ = 2 dx δx→0 dx ⎣ dx ⎦ Δx 2

Cuando Δx no tiende a cero, sino que tiene un valor finito h, las derivadas en un punto x = xn , son representadas en diferencias finitas: y −y y −y Δy Δy = n+1 n ó = n n+1 Δx n Δx n h h yn+1 − yn yn − yn −1 − Δy 1 h h = = [ y − 2yn + yn+1 ] h h2 n−1 Δx 2 2

La deducción de los esquemas es más completo por medio de expansiones de series de Taylor. Existen tres formas de expresar las diferencias finitas: a) hacia atrás b) hacia adelante c) centradas Nota: Hablar sobre convergencia, error de redondeo, etc... y hacer las moléculas.

4.12 APLICACIÓN A VIGAS SOBRE APOYOS ELÁSTICOS Una forma sencilla de calcular vigas sobre cimentaciones elásticas con cargas concentradas, consiste en concentrar la reacción distribuida de la cimentación a cada uno de los puntos nodales, de tal forma que se transforma en una viga sujeta a cargas concentradas actuando hacia abajo y hacia arriba; al aplicar la ecuación: d2 y M = − dx 2 EI Existen tres formas de concentrar las reacciones de la cimentación en los puntos nodales: a) Concentración por medio de rectángulos. b) Concentración lineal (triangular) c) Concentración parabólica o de 2do. Grado.

4.12 .1 Concentración por medio de Rectángulos Las reacciones de la cimentación se consideran constantes e igual a: q = ky n 66



donde k es el módulo de reacción del suelo, el efecto de la reacción se transmite en una longitud h que es simétrica al punto nodal. Por tanto, todo punto particular “n” posee una reacción concentrada: Rn = kynh 0

ky0

R0

h

1

h

2

h

3

4

h

ky1

ky2

ky3

ky4

R1

R2

R3

R4

h

4.12.2 Concentración lineal triangular Las reacciones concentradas en los nodos se obtienen considerando a los segmentos de viga, entre estos puntos, como vigas simplemente apoyadas. Procediendo a calcular las reacciones en cada punto consecuencia de las reacciones trapezoidales de la cimentación. El problema consiste en determinar los valores de las reacciones Ri−1 , Ri , Ri+1 , etc.

67



⎛ b−a ⎞h ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

P0 ( −h, a )

y

h

3

p1

p2

1

2

p0

P1 (0, b) P2 ( h, c)

0 ah

x = 0

x = −h

x = +h

x

h

2 h

Ra

h

Rba

Rb

Rbc

Rc

Los puntos tienen localización: Pi−1( −h,ky i−1) P(0,ky i i) Pi+1(h,ky i+1) Y la reacción en el punto central es: Ri = Rii + Rid donde: Rii es la reacción de i a la izquierda Rid es la reacción de i a la derecha. Para encontrar Ri−1

∑ Mi izq = 0

68

(1)



⎡h ⎤ ⎡h ⎤ Ri−1 [h] − P1 ⎢ ⎥ − P2 ⎢ ⎥ = 0 ⎣2⎦ ⎣3 ⎦

(2)

P1 = [hkyi−1 ] = khyi−1

(3)

⎡h ⎤ hk P2 = ⎢ (kyi − kyi−1 )⎥ = [ y i − yi−1 ] ⎣2 ⎦ 2

(4)

como:

entonces:

⎡h ⎤ ⎡ hk ⎤ ⎡ h ⎤ Ri−1 [h] − hk ⎢ ⎥ y i−1 − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ( yi − yi−1 ) = 0 ⎣2⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣3 ⎦ Ri−1 =

kh kh yi−1 + ( yi − yi−1 ) 2 6

Ri−1 =

kh kh kh yi−1 + yi − yi−1 2 6 6

Ri−1 = 2

kh kh yi−1 + yi 6 6 Ri−1 =

kh [2yi−1 + yi ] 6

(5)

Ri+1 =

kh [2yi+1 + yi ] 6

(6)

igualmente:

Por otro lado:

∑ Mi−1 = 0 h 2h −Rii [h] + P1 ⎡⎢ ⎤⎥ + P2 ⎡⎢ ⎤⎥ = 0 ⎣2⎦ ⎣3⎦ de (3) y (4) h hk 2h −Rii [h] + hk ⎡⎢ ⎤⎥ y i −1 + ⎡⎢ ⎤⎥ ( yi − yi−1 ) = 0 2 ⎣3⎦ ⎣2⎦ entonces despejando, Rii , Rii =

hk hk ( yi − yi−1 ) + yi−1 3 2

Rii =

hk hk hk yi − yi−1 + yi−1 3 3 2

69



Rii =

hk [2yi + yi−1 ] 6

(7)

Rid =

hk [2yi + yi+1 ] 6

(8)

igualmente:

De (1), Ri =

hk [2yi + y i−1 + 2yi + y i+1 ] 6

Para los puntos centrales: Ri =

hk [ y + 4yi + yi +1 ] 6 i−1

(9)

para los puntos extremos: Ri−1 =

hk [− yi + 2yi−1 ] 6

(10)

donde Δx = h .

4.12.3 Concentración parabólica o de 2do. Grado Para determinar los valores de las reacciones se calcula un polinomio de interpolación de 2do. Grado y sus funciones de forma. Tomando la función de aproximación: y = Ax 2 + Bx + C

70

(11)



P0 ( −h, a )

y dx p0

0

p1

p2

1

2

P1 (0, b) P2 ( h, c )

y

da = ydx x = 0

x = −h

x = +h

x

h

2 h

h

Ra

Rba

Rb

Rbc

Rc

Los puntos tienen localización: Pi−1( −h,ky i−1) P(0,ky i i) Pi+1(h,ky i+1) 1) En x=-h, y = ky i−1 , en (11): kyi−1 = Ah2 − Bh + C

(12)

ky i = C

(13)

kyi+1 = Ah2 + Bh + C

(14)

2) En x=0, y = ky i , en (11),

3) En x=h, y = ky i−1 , en (11),

Sustituyendo (13) en (12) y en (14), y sumando término a término: kyi−1 = Ah2 − Bh + kyi kyi+1 = Ah2 + Bh + kyi k(yi+1 + yi−1 ) = 2Ah2 + 2kyi de donde: A =

k

2h 2

[ yi −1 − 2 yi + yi −1 ] 71

(15)



Restando término a término: kyi−1 = Ah2 − Bh + kyi −kyi+1 = − Ah2 − Bh − kyi − 2Bh k(yi−1 − yi+1 ) = despejando, B=

k [y − y ] 2h i+1 i−1

(16)

Para encontrar el valor de la reacción Ri−1

∑ Mi izq = 0 −h

Ri−1h − ∫ xda = 0

(17)

0

como: da = y dx da = [ Ax 2 + Bx + C ] dx en (17), −h

Ri−1h − ∫ ⎡⎣ Ax 3 + Bx 2 + Cx ⎤⎦dx = 0 0 −h

Ri−1h = ∫ ⎡⎣ Ax 3 + Bx 2 + Cx ⎤⎦dx 0 Ax 4 Bx 3 Cx 2 + + Ri−1h = 4 3 2

−h

0

Ah4 Bh3 Ch2 − + Ri−1h = 4 3 2 Ah3 Bh2 Ch − + Ri−1 = 4 3 2

(18)

Sustituyendo en (18), A =

k [ y − 2y i + yi+1 ] 2h2 i−1

(15)

B=

k [y − y ] 2h i+1 i−1

(16)

C = ky i

(13) 72



kh kh kh [ yi−1 − 2yi + yi +1 ] − [ yi +1 − yi−1 ] + [ yi ] 8 6 2

Ri−1 =

ordenando: Ri-1 = Ri+1 =

Similarmente:

kh

[7 y i −1 + 6y i − y i +1 ]

24

kh [− y + 6yi + 7yi+1 ] 24 i−1

(19) (20)

Para encontrar la reacción: Rid ,

∑ Mi+1 izq = 0 h

Rid h - ∫ da(h − x) = 0

(21)

0

como da = y dx = [ Ax 2 + Bx + C ] dx h

Ridh = ∫ ⎡⎣ Ax 2 + Bx + C⎤⎦ ( h − x ) dx 0 h

Ridh = ∫ ⎡⎣ Ax 2h + Bxh + Ch − Ax3 − Bx2 − Cx ⎤⎦ dx 0

Rid h =

Ahx 3

3

+

Bhx 2

2

+ Chx −

Ax 4

4

−

Bx 3

3

−

Ch 2

2

h

0

Ah4 Bh3 Ah4 Bh3 Ch2 2 Ridh = + + Ch − − − 3 2 4 3 2 Ridh =

1 1 1 Ah4 + Bh3 + Ch2 12 6 2

Ah3 Bh2 Ch + + Rid = 12 6 2 Sustituyendo A = B=

k

2h 2

[ yi −1 − 2 yi + yi +1 ]

k [y − y ] 2h i+1 i−1

C = ky i Rid =

(15) (16) (13)

kh kh kh [ yi−1 − 2yi + yi+1 ] + [ yi+1 − yi −1 ] + yi 24 12 2

ó bien: 73



Rid =

kh [− y + 10yi + 3yi+1 ] 24 i−1

(21)

Rii =

kh [3y + 10yi − yi+1 ] 24 i−1

(22)

Ri =

kh [2y + 20yi + 2yi+1 ] 24 i−1

(23)

de la misma manera:

Sumando (21) y (22), Ri = Rii + Rid

EJEMPLO 4.3 Calcular los elementos mecánicos de la cimentación de la figura. P1

= 100t

0

P2

1

R0

2

R1

1.50m

R2

1.50m

1.50m

B = 90cm

Datos: fć = 250 kg/cm2 L=6m 4

R4

R3

50cm

L

4

3

L = 6m

h=

= 75t

= 1.50 m 74

1.50m



m = 4 tramos EI = constante

(90)(50)3 = = 937,500cm4 I = 12 12 Bh

3

E = 14000

250 = 221, 359

kg cm2

Módulo de reacción del suelo: k s

= 7000

kg 3

cm

arena con grava

1. Ecuación de la viga d 2 y dx

2

=

− M EI

Discretizando la segunda derivada central (tabla) segundo orden, d 2 y dx

2

=

1 h2

[ yi −1 − 2 yi + yi +1 ] =

1 +1

− M EI

1

h2

h2

-2

+1

2. Condiciones de frontera M 0

=0

(1)

M 4

=0

(2)

3. Condiciones de equilibrio. ↑ ∑ Fy = 0

R 0 + R1+R2+R4 = P1+P2

(3)

∑M=0

M1 = R0 h

(4)

M D2 = 2 R0 h + R1 h - P1 h 75

a la derecha

(5)



M I 2 = 2 R4 h + R3 h - P2 h

a la izquierda

M3 = R4 h

(6) (7)

4. Sustituyendo en la ecuación discretizada 1 h

[ y0 − 2 y1 + y2 ] = −

2

1 h

1 h

2

1 h2

(4)

EI

− M 2D

[ y1 − 2 y 2 + y3 ] =

2

M 1

EI

− M 2I

[ y1 − 2 y 2 + y 3 ] =

EI

a la derecha a la izquierda

− M 3

[ y 2 − 2 y3 + y 4 ] =

EI

(5) (6) (7)

5. Sustituyendo el valor de M1 , M2 ... M3 1 h2

1 h

2

1 h2

1 h

2

1⎤

[ y0 − 2 y1 + y 2 ] = − ⎡⎢

[ R0h ] ⎣ EI ⎥⎦

1 [ y1 − 2 y 2 + y3 ] = − ⎡⎢ ⎤⎥ [ 2 R0h + R1h − Ph 1 ]

⎣ EI ⎦

[ y1 − 2 y 2 + y3 ] = − ⎡⎢

1⎤ ⎥ [ 2 R4h + R3 h − P2 h]

⎣ EI ⎦

1 [ y 2 − 2 y3 + y 4 ] = − ⎡⎢ ⎤⎥ [ R4h ]

⎣ EI ⎦

(4) (5) (6) (7)

6. Tomando términos comunes. ⎡ h3 ⎤ ⎥ [ R0 ] ⎣ EI ⎦

[ y 0 − 2 y1 + y2 ] = − ⎢

⎡ h3 ⎤ [ y1 − 2 y 2 + y3 ] = − ⎢ ⎥ [ 2 R0 + R1 − P1 ] ⎣ EI ⎦ ⎡ h3 ⎤ [ y1 − 2 y 2 + y3 ] = − ⎢ ⎥ [ 2 R4 + R3 − P2 ] ⎣ EI ⎦

76

(4)

(5) (6)



⎡ h3 ⎤ [ y 2 − 2 y3 + y 4 ] = − ⎢ ⎥ [ R4 ] ⎣ EI ⎦ R0 + R1 + R2 + R3 + R4 = P1 + P2

(7) (3)

Sustituyendo los valores de Rn del esquema “ concentración parabólica” ó de 2 do grado R0

R1

= =

hk

[7 y0 + 6 y1 − y2 ]

24

7

6

-1

i

i +1

i+2

hk

24

[ 2 y0 + 20 y1 + 2 y2 ]

R2

=

hk

R3

=

hk

R4

=

hk

24

2

i +1

i

i +1

-1

6

7

i−2

i −1

[ 2 y1 + 20 y2 + 2 y3 ]

24 24

20

2

[ 2 y2 + 20 y3 + 2 y4 ] [ − y2 + 6 y3 + 7 y4 ]

i

7. Las ecuaciones 4, 5, 6, 7 y 3 se pueden escribir :

⎡ h 4 k ⎤ [ y 0 − 2 y1 + y 2 ] = − ⎢ ⎥ [7 y0 + 6 y1 − y2 ] 24 EI ⎣ ⎦ ⎡ h4k ⎤ ⎡ h3 ⎤ [ y1 − 2 y 2 + y3 ] = − ⎢ ⎥ {[14 y0 + 12 y1 − 2 y2 ] + [ 2 y0 + 20 y1 + 2 y2 ]} + ⎢ EI ⎥ P1 24 EI ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ h4k ⎤ ⎡ h3 ⎤ [ y1 − 2 y 2 + y3 ] = − ⎢ ⎥ { [ −2 y2 + 12 y3 + 14 y4 ] + [ 2 y2 + 20 y3 + 2 y4 ] } + ⎢ EI ⎥ P2 ⎣ 24 EI ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ h 4 k ⎤ [ y 2 − 2 y3 + y 4 ] = − ⎢ ⎥ [ − y2 + 6 y3 + 7 y4 ] 24 EI ⎣ ⎦

⎡ hk ⎤ 7 y + 6 y − y + 2 y + 20 y + 2 y + 2 y + 20 y + 2 y + 2 y + 20 y + 2 y + − y + 6 y + 7 y = 1 2] [ 0 1 2] [ 1 2 3] [ 2 3 4] [ 2 3 4 ]} ⎢⎣ 24 ⎥⎦ {[ 0 P1 + P2

8. Renombrando a : 77



4

(150)4 (7000) = = 0.7115 C 1 = 24 EI 24(221, 359)(937, 500) h k

h3

(150)3 C2 = = = 1.6263x10−5 EI (221,359)(937,500) C 3

=

hk

24

9.

=

(150)(7000) = 43,750 24

Sustituyendo

y0 – 2 y1 + y2 = - 0.7115 [7 y 0 + 6 y1 − y 2 ] y1 – 2 y2 + y3 = - 0.7115 [16 y 0 + 32 y1 ] + (1.6263 x 10-5 ) (100, 000) y1 – 2 y2 + y3 = - 0.7115 [32 y 3 + 16 y 4 ] + (1.6263 x 10-5 ) (75 000) y2 – 2y3 + y4 = - 0.7115 [− y 2 + 6 y 3 + 7 y 4 ] 43 750 [9 y 0 + 28 y1 + 22 y 2 + 28 y3 + 9 y 4 ] = (100 000) (75 000) Multiplicando: y0 – 2 y1 + y2 = - 4.9805 y0 - 4.269 y1 + 0.7115 y2 y1 – 2 y2 + y3 = - 11.384 y0 - 22.768 y1 + 1.6263 y1 – 2 y2 + y3 = - 22.768 y3 - 11.384 y4 + 1.2197 y2 – 2y3 + y4 = + 0.7115 y2 - 4.269 y3 - 4.9805 y4 9 y0 + 28 y1 +22 y2 + 28 y3 + 9 y4 = 4

10. Ordenando.

5.9805 y0 + 2.269 y1 + 0.2885 y2

= 0

11.384 y0 + 23.768 y1 - 2.0 y2 + y3

= 1.6263

y1 -

2 y2 + 23.768 y3 + 11.384 y4

0.2885 y2 9 y0

+ 28 y1

+ 2.269 y3 + 5.9805 y4

+22 y2 +

28 y3 + 78

9 y4

= 1.2197 = 0 = 4



ó bien : 9 28 22 28 9 −2 +1 11.384 23.768 0 5.9805 2.269 0.2885 0 0 +1 − 2 23.768 11.384 0 0 0 0.2885 2.269 5.985

4 y1 1.6263 0 y 2 = y 3 1.2197 y 4 0 y 0

cuya solución es: y0 = - 0.03261 cm y1 = + 0.083253 cm y2 = + 0.021216 cm y3 = + 0.061203 cm y4 = - 0.024225 cm

11. Calculo de reacciones:

hk

24

= 43 750

R0 = 43 750 [7(−0.03261) + 6(0.083253) − 0.021216] = 10,938.9 kg R1 = 43 750 [2(−0.03261) + 20(0.083253) + 2(0.021216)] = 71,849.4 kg R2 = 43 750 [2(0.083253) + 20(0.021216) + 2(0.061203)] = 31,203.9 kg R3 = 43 750 [2(0.021216) + 20(0.061203) + 2(−0.024225)] = 53,289.3 kg R4 = 43 750 [− (0.021216) + 6(0.061203) + 7(−0.024225)] = 7,718.68 kg

79



12. Momentos flexionantes: M0 = 0

(10,9389)(150) = 1640.84 t.cm

M D2 = 2(10,9389)(150) + (71.8494)(150) – (100)(150) = - 940.92 t.m M I 2 = 2(7.718)(150) + (53.289)(150) – (75)(150) = - 941.25 t.m M3 = (7.718)(150) = 1 157.7 t.cm M4 = 0 Por lo tanto. M1 = -1640.84 t.cm M D2 = + 940.92 t.m M I 2 = + 941.25 t.m M3 = - 1 157.7 t.cm M4 = 0

13. Cortantes. V0 = R0 = +10.938 t V1 = R0+R1 –P1= - 17.213 t V2 = R0+R1 –P1+R2= + 13.991 t V3 = R0+R1 –P1+R2+R3 – P2= - 7.72 t V4 = R4 = + 7.718 t

14. Calculo de giros. dy dx

=

1 [ y − y ] = θ x 2h n+1 n−1

i=1

1 [ y2 − y0 ] = θ 1 = 1.7942 x10−4 2h

i=2

1 [ y3 − y1 ] = θ 2 = 3.1271x10−4 2h 80

M1 =


i=3


1 [ y4 − y2 ] = θ 3 = −1.5147 x10−4 2h

P1

0

= 100t

P2

2

1

3

−3.2

x10

= 75t 4 −2.42

2 +

+2.12

desplazamientos

+6.12

+8.3

+

+

10.939

71.849

+10.938

31.204

53.289

+13.991

Reacciones t

7.718

+7.718

−7.72 −17.21 +940 +

0

0

+

0

0

-

−1157

−1640

81

M(t − cm)

V(t)

cmx10 2



En este procedimiento se consideran por separado la viga y el suelo: la viga se flexiona debido a las cargas verticales ( Qi ) y la presión de contacto del suelo ( q ) ; el suelo se deforma debido a la presión ejercida por la viga ( q ) . La solución del problema consiste en calcular la distribución de presiones, q, que produce deformaciones iguales en la viga y el suelo. El problema puede resolverse si se supone que la viga es una barra plana y que el suelo es un sólido elástico homogéneo. En este caso, es posible plantear fórmulas generales para la flexión de la viga y la deformación del suelo, que incluyen como incógnita a la presión de contacto, q. Introduciendo la condición de que los desplazamientos verticales de la viga y el suelo deben ser iguales a lo largo de toda la superficie de contacto, el problema se reduce a la solución de un sistema de ecuaciones integro-diferenciales. Para simplificar la solución, se considera que la presión de contacto, q, es uniforme en tramos de viga y sólo se busca la igualdad de desplazamientos en algunos puntos seleccionados. El método se puede emplear en vigas de cualquier geometría, aún con sección variable, y con cargas aplicadas en cualquier punto. 1. Se subdivide la viga en tramos, no necesariamente iguales, en los que la presión del suelo es constate. A mayor número de tramos le corresponde una mayor aproximación. 2. Se seleccionan los puntos de contacto de la viga y el suelo donde se igualarán los desplazamientos de ambos. El número de puntos seleccionados es igual al número de ecuaciones simultáneas que habrán que resolverse. 3. En general, es recomendable seleccionar puntos en el centro de los tramos previamente considerados. 4. A continuación se calculan los hundimientos del suelo con la fórmula elástica: Bq (1 − vs2 ) y= c Es El coeficiente, c, depende de la relación de aspecto ( A / B ) del rectángulo cargado, como se muestra en la figura siguiente. El hundimiento total de cada uno de los puntos seleccionados se calcula superponiendo los efectos de varios rectángulos, de manera semejante a como se calculan los incrementos de presión efectiva al valuar el hundimiento por consolidación.

82



q B

a

BxA

a

A

Es ν s Bq (1 −ν s 2 ) ya = c Es

c ≈ 0.3234 logn ( A / B) + 0.7215

( A / B) 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0 100.0 1000.0 10000.0

c 0.64 0.89 0.98 1.11 1.27 1.49 2.20 2.94 3.70

Hundimientos de un sólido elástico (Shleicher, 1927)

EJEMPLO 5.1 Determinar las condiciones de rigidez de la siguiente viga, con sección constante que soporta una carga vertical concéntrica.

83



Q

EI

E s ν s

L = 8B

B

Q

B

L = 8B En este ejemplo se seleccionan cuatro tramos de la misma longitud y puntos en el centro de los tramos seleccionados. Q

1 2B

2 2B

3

4

2B

2B

Q

q2

q1

q2 2B

2B

2B

Hundimientos en el punto 1:

84

2B



2B B

B

q1

4B

2B

q2

1

B

7B

q1

q1

1

q1

A / B = 1; c = 0.64 A / B = 7; c = 1.35

5B B

( q 2 − q1 )

1

A / B = 5; c = 1.27

B B

1

A / B = 1; c = 0.64

( q 2 − q1 )

Superposición de rectángulos cargados: B(1 −ν s2 ) y1 = ⎡0.64q1 + 1.35q1 + 1.27 ( q2 − q1 ) − 0.64 ( q2 − q1 ) ⎤⎦ Es ⎣ B (1 −ν s2 ) y1 = [1.36q1 + 0.63q2 ] Es

(a)

Hundimientos en el punto 2:

4B

2B B

q2

2

2B q2

3B B

5B

2

q1

B B

q1

q 2 − q1

q1

A / B = 3; c=1.11 A / B = 5; c=1.27

3B

2 q 2 − q1 85

A / B = 1; c=0.64 A / B = 3; c=1.11



Superposición de rectángulos cargados: B (1 −ν s2 ) y2 = ⎡⎣1.11q1 + 1.27q1 + 0.64 ( q2 − q1 ) + 1.11( q2 − q1 ) ⎤⎦ Es B (1 −ν s2 ) y2 = [ 0.63q1 + 1.75q2 ] Es

(b)

Si el terreno de cimentación puede sufrir asentamientos importantes por consolidación, los hundimientos y1 y y 2 ; también pueden expresarse en términos q1 y q 2 ; a partir de las curvas de compresibilidad del suelo. Como siguiente paso se calculan los desplazamientos de la viga. En este caso, la simetría de la viga permite calcularlos aprovechando que la pendiente de la elástica en el centro del claro es horizontal, así, se pueden usar las fórmulas: w EI A L

wL3 θ A = 6EI wL4 yA = 8EI y=

w 3L4 − 4L3 x + x4 ) ( 24EI

Se hace el siguiente artificio:

86



Q

1

2

q1

q1

q2

q1

( q 2 − q1 )

u1

u2 Desplazamientos de la viga

Para el punto 1: 4 q1B ⎡ ( q 2 − q1 ) B ( 2B) ( q2 − q1 ) B(2B)3 B 4 3 4⎤ u1 = 3 ( 4B ) − 4 ( 4B ) B + B ⎦ + + 24EI ⎣ 8EI 6EI 24EIu1 = q1B ⎡⎣ 768B4 − 256B4 + B4 ⎤⎦ + 48( q2 − q1 ) B5 + 32 ( q2 − q1 ) B5 24EIu1 = 513q1B5 + 80q2 B5 − 80q1 B5 u1 =

1 433q1B5 + 80q2 B5 ) ( 24EI B5 u1 = (18.042q1 + 3.33q2 ) EI

Para el punto 2: u2 =

q1B ⎡ ( q 2 − q1 ) ⎡ 4 3 4⎤ − + + 3 4B 4 4B 3B (3B) 3(2B)4 − 4(2B)3 B + B4 ⎤⎦ ( ) ( ) ⎣ ⎣ ⎦ 24EI 24EI 87

(c)



24EIu 2 = q1B5 [ 768 − 768 + 81] + ( q2 − q1 ) B5 [ 48 − 32 + 1] 24EIu 2 = 81q1 B5 + 17q2B5 − 17q1 B5 = 64q1 B5 + 17q2 B5 B5 u 2 = [ 2.67q1 + 0.71q2 ] EI

(d)

La primer condición que se debe cumplir es la equilibrio, entonces: Q = 2Bq1 B + 4Bq2 B + 2Bq1 B Q = 4B2q1 + 4B2 q 2

(e)

Las siguientes ecuaciones se obtiene por compatibilidad de desplazamientos. Es y2 del suelo son los importante notar que los desplazamientos y1 y desplazamientos reales, y los desplazamientos u1 y u 2 son movimientos de la viga relativos al centro de la zapata. Por lo tanto, sabemos que los desplazamientos relativos entre los puntos 1 y 2 deben ser iguales para el suelo y la viga.

( y1 − y2 ) = ( u1 − u 2 ) B(1 −ν s2 ) B(1 −ν s2 ) [1.36q1 + 0.63q2 ] − [ 0.63q1 + 1.75q2 ] = Es Es B5 B5 [ 2.67q1 + 0.71q2 ] + [18.04q1 + 3.33q2 ] EI EI 2 B(1 −ν s ) B5 [0.73q1 − 1.12q2 ] = [ 20.71q1 + 4.04q2 ] Es EI EI(1 −ν s2 ) [0.73q1 − 1.12q2 ] = 20.71q1 + 4.04q2 E s B4

(f)

Llamando a: EI (1 −ν s2 ) s= E s B4 0.73sq1 − 1.12sq2 = 20.71q1 + 4.04q2

( 20.71 − 0.73s ) q1 + ( 4.04 + 1.12s) q2 = 0 88

(g)



( 0.73s − 20.71) q1 = ( 4.04 + 1.12s) q2 q1 =

4.04 + 1.12s q 0.73s − 20.71 2 A=

Llamando a:

4.04 + 1.12s 0.73s − 20.71

q1 = Aq2

(h) (i)

Si la zapata es muy rígida y/o el suelo muy deformable: Lim EI→∞ A = Lims→∞ Es → 0

4.04 + 1.12s 1.12 = = 1.53 0.73s − 20.71 0.73 q1 = 1.53q2

Si la zapata es muy flexible y/o el suelo muy rígido: Lim EI→0 A = Lims→0 E s →∞

4.04 + 1.12s 4.04 =− = −0.195 0.73s − 20.71 20.71 q1 = −0.195q2

Sustituyendo (i) en la ecuación de equilibrio (e), Q = 4B2 ( q1 + q 2 ) Q = 4B2 (Aq 2 + q 2 ) = 4B2 (1 + A ) q2

Despejando q 2 , multiplicando y dividiendo por 2: 1 Q 2 Q q2 = = 1 + A 4B2 1 + A 8B2 Como el área de contacto de la zapata es: 8B2 = a q2 = q1 =

2 Q 1+ A a

2A Q 1+ A a

Si la zapata es rígida y/o el suelo deformable, A=1.53, 89

(j) (k)



Q a Q q 2 = 0.79 a q1 = 1.21

Si la zapata es flexible y/o el suelo rígido, A=-0.195, Q a Q q 2 = 2.48 a q1 = −0.48

Q

0.79 1.21

Q a

0.48

Q a

Q a

Q

2.48

Q a Zapata rígida y/o suelo deformable 1.21

0.48

Q a

Q a

Zapata flexible y/o suelo rígido

Si la zapata es muy rígida o el suelo muy deformable, la distribución de presiones no es uniforme sino que aumenta cerca de los bordes y disminuye hacia el centro del claro. Si la zapata es muy flexible o el suelo muy rígido, la presión se concentra en el centro del claro y disminuye hacia los borde.

Zapata rígida y/o suelo deformable

Zapata flexible y/o suelo rígido

El momento flexionante máximo ocurre en el centro de la zapata: 90



Q

q1 =

q2 =

2 Q 1+ A a

2A Q 1+ A a

2B

2B

M max = q1 B(2B) [ 2B + B] + q2 B(2B)B M max = 6q1B3 + 2q2 B3 M max = 6Aq 2 B3 + 2q2 B3 = q2 B3 ( 6A + 2) M max =

2 Q ( 6A + 2 ) 1+ A a M max =

12A + 4 Q 3 B A +1 a

Si la zapata es muy rígida, A=1.53 y, 12 (1.53) + 4 Q 3 M max = B 1.53 + 1 a M max = 8.84

Q 3 B a

Si la zapata es muy flexible, A=-0.195, M max =

12 ( −0.195) + 4 Q ´3 B −0.195 + 1 a

Q 3 B a El momento flexionante en la zapata rígida es de 4 veces más grande que en la zapata flexible. Si se compara con el momento que se obtendría con la hipótesis habitual de distribuir uniformemente las presiones: M max = 2.06

q0 =

Q a

Q 3 B a Es decir, la distribución uniforme de presiones produce un momento máximo similar al de una cimentación rígida. M max = q 0 B(4B)2B = 8q0 B3 = 8

91



Si la cimentación es flexible o el suelo es duro, la hipótesis habitual de suponer una distribución de presiones uniforme es muy conservadora y antieconómica, puesto que se diseña para momentos flexionantes muy grandes.

92



6.1 ZAPATAS AISLADAS Las zapatas aisladas son estructuras constituidas principalmente por una losa que puede tener formas diversas como cuadradas, rectangulares, circulares o cualquier otra de acuerdo a la construcción. Las fuerzas que pueden actuar sobre una zapata son la carga axial, momentos flexionantes y fuerzas cortantes. Es común que este tipo de cimentaciones se use en: casas habitación, edificios de mediana altura, naves industriales, postes de alumbrado y puentes. Se recomienda su empleo de preferencia en suelos de baja compresibilidad (índice de compresión menor de 0.20) y cuando se tengan asentamientos diferenciales entre columnas que se puedan controlar por medio de la flexibilidad de la estructura o por el uso del procedimiento de asentamientos iguales en el cálculo de las áreas de las zapatas. En suelos de compresibilidad media se recomienda el uso de zapatas corridas, ligadas por medio de trabes de liga, según sea la intensidad de la carga a soportar. Por medio de análisis teóricos elásticos y observaciones se ha demostrado que la distribución de esfuerzos debajo de las zapatas cargadas simétricamente, no es uniforme. La distribución de esfuerzos depende del tipo de material debajo de la zapata y de la rigidez de la zapata misma. Para zapatas sobre material suelto y poco cohesivo, las partículas del suelo tienden a desplazarse hacia los extremos, quedando relativamente confinadas en el centro. En el caso general de zapatas rígidas sobre suelos cohesivos la distribución de presiones es máxima en los extremos y mínima en el centro.

Suelo cohesivo (arcilla)

Material suelto y poco cohesivo

93



Suposición de distribución de esfuerzos En el diseño (práctica profesional) se hacen las siguientes hipótesis: 1) la distribución de presiones es lineal, 2) la losa de la zapata se considera rígida y 3) no se admiten tensiones en el terreno.

Distribución lineal de esfuerzos en el suelo

6.2 GENERALIDADES La columna puede apoyarse sobre un dado o pedestal y éste a su vez sobre la losa de la zapata, si se utiliza un dado, se recomienda que su sección sea, como mínimo, igual a la de la columna y su altura no mayor de tres veces el lado menor del dado. El pedestal en ocasiones es necesario cuando la columna de la estructura es de acero estructural y la profundidad del desplante de la zapata es relativamente profunda. El propósito del pedestal es evitar la corrosión del acero de la columna debido al terreno. Si el pedestal es muy alto se presentan algunos problemas para proveer suficiente apoyo lateral contra el pandeo lateral. Se recomienda diseñar los pedestales como columnas cortas, con un porcentaje de acero mínimo del 0.01 Acol (ACI-318-89 art. 10.9-8).

94



Cc ancho de columna

cp

h ≤ 3Cp

ancho del dado o pedestal Cp >Cc

Consideraciones geométricas Se propone usar zapatas rectangulares cuando las zapatas cuadradas no pueden ser usadas debido a las limitaciones de espacio. También pueden usarse cuando se presenta un momento de volteo y se quiere un diseño más económico. El peralte total de la zapata puede estar controlado por el cortante, excepto cuando la acción como viga ancha lo controla, es decir para relaciones longitud a ancho, L/B, mucho mayor que uno, o cuando existe momento de volteo.

6.3 COMENTARIOS A LAS NTC-CONCRETO-2004 CONSTANTES DE CÁLCULO CONCRETO fć ≥ 250 kg/cm2

Clase 1

( 25 MPa )

200 kg/cm2 ≤ fć < 250 kg/cm2 (20 MPa ) (25 MPa )

Clase 2

VALOR NOMINAL f *c = 0.80 fć

MÓDULO DE ELASTICIDAD Clase 1

Ec = 14000 f ' c

[ Ec = 4 400 Clase 2

[ Ec = 2 500

f ' c

] MPa

Ec = 8000 f ' c f ' c

] MPa

ESFUERZOS DE COMPRESIÓN

95



fc″

c = fc″ ab

a = β1 c

c

E.N.

d

h

( d − a /2 )

T = Asfy b

Donde:

sí f *c ≤ 280 kg/cm2 ( 28 MPa ) fc * β1 = 1.05 sí f *c > 280 kg/cm2 1400 f c´´= 0.85 f *c

β1 = 0.85

fc″

a = β1 c

c = fc″ ab C

E.N.

b

MR = FR b d2 f c´´q ( 1- 0.5 q )

(2.4)

ó MR = FR AS f y d ( 1- 0.5 q )

(2.5)

Con FR = 0.90 para flexión q=

Pfy fc´´

índice de refuerzo

P=

As bd

96

( 2.6 )

cuantía del acero de refuerzo a tensión



ÁREA DE ACERO MÍNIMO AS min =

[AS min =

0.70 fc´

0.22 fc´ fy

fy

bd

(2.2)

bd ]

ÁREA DE ACERO BALANCEADO 6000 β 1 bd fy fy + 6000 fc´´ 600 β 1 bd ] [ASb = fy fy + 600 ASb =

fc´´

ÁREA DE ACERO MÁXIMA

Como p =

ASmax = 0.75 ASb ASmax = 0.90 ASb

As bd

pmin =

0.70 fc´ fy

6000 β 1 fy fy + 6000 pmax = { 0.75 p b { 0.90 p b

p b =

fc´´

;

97

zona sísmica zona no sísmica

(2.3)



6.4 DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS Revisión 1)

Por cortante:

• como viga ancha • por penetración

2)

Por flexión

3)

Por aplastamiento

P

Por cortante P

P

Como viga ancha

Por penetración

REVISIÓN POR FLEXIÓN Las secciones críticas para diseñar por flexión se localizan en la forma siguiente: a) En zapatas que soportan columnas, pedestales o muros de concreto; al paño de la columna, pedestal o muro.

Zona Critica

b) En zapatas que soporten muros de piedra o tabique, la sección media entre el paño y el eje del muro. 98



b Muro de piedra o tabique

b/2 b/4 /

Zona Critica CL

c) Zapatas que soportan columnas de acero a través de placas de base; la sección crítica será el perímetro de la columna, a menos que la rigidez y resistencia de la placa permitan considerar una sección más alejada.

Muro de iedra o tabi ue Placa base

X

x/2

Zona Critica

La capacidad de carga admisible es: qa = la reacción neta es:

qd t / m2 ( ) Fs

qu =

Pu BL

considerando que: x=

L−c 2

el momento máximo de diseño por flexión: wx 2 q u x 2 t M max = con unidades por metro de profundidad ⎛⎜ 2 m 2 ⎞⎟ = t / m = 2 2 ⎝m ⎠ ó bien: ( q B) t M max = u x 2 en unidades ⎛⎜ 2 ( m ) m 2 ⎞⎟ = t − m 2 ⎝m ⎠

99



P

qu reacción neta, t/m2

B c L

x

Mmáx

⎛ t ⎞ w = qu B ⎜ 2 m ⎟ ⎝m ⎠

M max

wx 2 = 2

DISEÑO POR CORTANTE La resistencia de una zapata a fuerza cortante en la proximidad de una columna o pedestal será la menor de la correspondiente a las dos condiciones siguientes: a) La zapata actúa como una viga ancha, tal que las grietas diagonales potenciales se extienden en un plano que abarca todo el ancho.

100



d

d

Pu

c

d L

⎡L−c⎤ −d ⎢⎣ 2 ⎥⎦

La sección crítica está definida por un plano vertical que se extiende en todo el ancho de la zapata y está situado a un peralte efectivo, d, del paño de la columna o pedestal. Sí la columna se apoya a través de una placa de acero y sí la rigidez y resistencia de ésta lo justifican, se puede considerar una sección crítica más alejada. La resistencia a fuerza cortante, VCR , de una zapata de no más de 600 mm de espesor, trabajando como viga ancha con relación ancho a peralte efectivo no menor que cuatro: B ≥ 4d y la relación

M Vd

≤ 2 , la fuerza cortante que toma el concreto es:

VCR = 0.5 FR b d fc * Independientemente de la cuantía de refuerzo. El refuerzo a flexión debe estar completamente anclado a ambos lados de los puntos en que cruce a toda posible grieta inclinada causada por la fuerza cortante; en zapatas de sección constante. Para lograr este anclaje basta, entre otras formas, suministrar en los extremos de las barras dobleces de 90° seguidos de tramos rectos de longitud no menor de 12 diámetros de la barra. Sí el espesor es mayor de 600 mm, o la relación

M Vd

> 2; la resistencia a la fuerza cortante

se calculará con: a) sí P < 0.015 VCR = FR bd ( 0.2 +20p ) fc *

[VCR = 0.16 FR bd 101

fc * ]

(2.19)



As bd b = ancho de la sección d = peralte efectivo de la zapata (cm) As = área de acero a tensión FR = 0.80 donde: p =

b) Existe una acción en dos direcciones de manera que el agrietamiento diagonal potencial se presentaría sobre la superficie de un cono o pirámide truncada en torno a la carga o reacción concentrada (por penetración).

La zona crítica se supondrá perpendicular al plano de la zapata y se localizará según:

• Sí el área donde actúa la reacción o la carga concentrada no tiene entrantes, la sección crítica formará una figura semejante a la definida por la periferia del área cargada, a una distancia de ésta igual a

d

2

, donde “d” es el peralte efectivo de la

losa. d 2

d 2

d 2

d 2

• sí el área cargada tiene entrantes, en ellas se hará pasar de modo que su perímetro sea mínimo y que en ningún punto su distancia a la periferia del área cargada sea menor que

d

2

.

102



columna

d 2

d 2

• Cuando en una zapata haya aberturas que disten de una carga o reacción concentradas menos de diez (10) veces el espesor del elemento, o cuando la abertura se localice a una franja de la columna, no se considerará efectiva la parte de la sección crítica comprendida entre las rectas tangentes a la abertura y concurrentes en el centroide del área cargada. • La franja de la columna es (6.3.3.2) La losa de la zapata se considerará dividida en cada dirección, en dos franjas extremas y una central: c.corto 1) Para ≥ 0.5 las franjas centrales tendrán un ancho igual a la mitad del claro c.l arg a perpendicular a ellas, y cada franja extrema, igual a la cuarta parte del mismo. Franja extrema Franja central

Cam

B

L B L

≥ 0.50

B ≥ 0.5 L Por ejemplo, sí B =3.5m L = 6 m que es: 3.5 > 3

103

Franja extrema


DISEÑO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES L/4

L/2

L/4

0.875

B/4

1.75

B/2

B=3.5m

0.875

B/4 1.5

3.0

1.5

L=6m

2) Para relaciones

B L

< 0.5 la franja central perpendicular al lado largo tendrá un

ancho igual a (L – B) y cada franja extrema igual B=2m L = 5m 2 < 2.5 m

B

2

.

B < 0.5 L 2 < ( 0.5)(5)

(L-

B/2

)

B/2

0.5

B/4

B=2m 1.0

B/2

0.5

B/4 1.0

3.0

1.0

L=5m

Interacción supuesta entre la fuerza cortante y el momento flexionarte a) Si no hay transmisión de momento entre la losa o zapata y la columna, o si el momento flexionante por transmitir, Mu, no excede de 0.20 V u d; el esfuerzo cortante de diseño, va , se calcula con: V va = u (2.27) b0 d Donde b0 es el perímetro de la sección critica, y V u la fuerza cortante de diseño en dicha sección.

104



b) Cuando haya transferencia de un momento flexionante, se supondrá que una fracción del momento dado por: 1 (2.28) α = 1 − c1 + d 1 + 0.67 c2 + d Se transmiten por excentricidad de la fuerza cortante total, con respecto al centroide de la sección critica. En columnas rectangulares c1 es la dimensión paralela al momento flexionante transmitido y c 2 es la dimensión perpendicular a c 1 . En columnas circulares c 1 = c 2 =0.90D El esfuerzo cortante máximo de diseño, vu , se obtendrá tomando en cuenta el efecto de la carga axial y el momento, suponiendo que los esfuerzos cortantes varían linealmente. El resto del momento, es decir, la fricción 1-α, debe transmitirse por flexión en un ancho igual a c 2 +3h, centrado con el eje de la columna, para este fin puede concentrarse en dicho ancho parte del esfuerzo por flexión, respetando siempre la cuantía máxima de esfuerzo. El esfuerzo cortante máximo de diseño no debe exceder de: FR ( 0.5+ γ ) f c * Ni de FR f c *

〔0.30 FR (0.05+ γ )

* ni de 0.30 FR f c * 〕 A menos que se suministre esfuerzo por cortante. Donde: dim. menor de la columna γ = dim. mayor de la columna FR = 0.70 f c

a) columna interior

105

(2.29)



C1 + d C1

A

C

C2 + d C2

B

D CAB

Seccion Critica

CCD

Vu Mu

VuAB

VUab = VUcd =

Vu Acr Vu Acr

+ -

VuCD

α MuC AB J C

α MuC CD J C

Acr = 2d (c1+c2 + 2d) (c1 + d)d 3 d (c2 + d )(c1 + d ) 2 d (c1 + d ) 3 JC = + + 6 2 6 b) columna de borde VuAB =

Vu Acr

+

α ( M u

− V u g )c AB J C

106


VuC = VuD =

Vu Acr

-

α ( M u


− V u g )c AB J C

Acr = d (2c1+c2 + 2d) (c1 + d / 2) 2 d c AB = ; g = (c 1 +d)/2-c AB Acr

JC =

d (c1

+ d / 2) 3 (c1 + d / 2)d 3 ⎡ c + d / 2 ⎤ + + (c 2 +d)d c AB 2 +2(c 1 +d/2)d ⎢ 1 − c AB ⎥ 6 6 ⎣ 2 ⎦

c) columna de esquina

C1 + d C1

Seccion Critica g

A

C

C2 + d C2

B

D CAB

CCD

Vu Mu − Vu g

VuAB

VuCD

107

2


VuA = VuB = VuD =

V u Acr V u Acr V u Acr

+ + -

α x ( M u


− V u g x )c AB J cx

α x ( M u

− V u g x )c AB J cx

α x ( M u

− V u g x )cCD J cx

+ +

− V u g y )c AC

α y ( M uy

J cy

− V u g y )c BD

α Y ( M uy

J cy

α Y ( M uy

− V u g y )c BD J cy

Acr = d (c x +c y +d) (c y + d / 2) 2 d (c x d / 2) 2 d c AB = ; c 2 Acr 2 Acr g x = (c x +d)/2 -c AB ; g y = (c y +d)/2 - c BD 2

+ d / 2) 3 (c x + d / 2)d 3 ⎛ c + d / 2 ⎞ J cx = + + (c y +d/2)d c AB2 + (c x +d/2)d ⎜ x − c AB ⎟ 12 12 ⎝ 2 ⎠ 2 d (c y + d / 2) 3 (c y + d / 2)d 3 ⎛ c y + d / 2 ⎞ J cy = + +(c x +d/2)d c BD2 + (c y +d/2)d ⎜⎜ − cbd ⎟⎟ 12 12 ⎝ 2 ⎠ d (c x

Cx + d/2 Cx

Seccion Critica A

Cy + d/2

gx

C gy CAC

gy

CBD B

CAB

108

CCD

D



Vu

Muy − Vu gy Mux − Vu gx

VuAB

VuCD

APLASTAMIENTO El esfuerzo de diseño no será mayor de: f a= FR f c* donde FR = 0.70 Cuando la superficie que recibe la carga tiene un área mayor que el área de contacto, el esfuerzo de diseño puede incrementarse en la relación: R=

A2 A1

≤2

Donde A1 es el área de contacto, y A2 es el área de la figura de mayor tamaño, semejante el área de contacto y concéntrica con ella que puede inscribirse en la superficie que recibe la carga. C1

2d

Ac

C2

C2

2d

2d

2d

C1 + 4d

Ac = área de la columna. 109

+ 4d



A2 = Ac = (c1)(c2) A1 = (c1 +4d) (c2 + 4d) Área de contacto CARGA DE LA COLUMNA POR APLASTAMIENTO P max = R f a Ac Cuando la carga máxima obtenida sea mayor que la carga ultima de diseño, será necesario utilizar varillas de anclaje que tomen la diferencia de cargas existentes. Se recomienda que el diámetro de las varillas no debe ser mayor en 4cm que el diámetro de las varillas de la columna y no poner menos de 4 varillas. ANCLAJE Se supondrá que las secciones criticas por anclaje son las mismas que por flexión, también deben revisarse todas las secciones donde ocurran cambios de sección o donde se interrumpan parte del refuerzo. ZAPATAS SOBRE PILOTES Si la zapata se apoya sobre pilotes, al calcular la fuerza cortante en una sección se supondrá que ella produce cortante la reacción de los pilotes cuyos centros queden a 0.5D p o mas hacia fuera de dicha sección (DP es el diámetro de un pilote en la base de la zapata). Se supondrá que no produce cortante las reacciones de los pilotes cuyos centros queden a 0.5D p o mas hacia adentro de la sección considerada. Para posiciones intermedias del centro de un pilote se interpolará linealmente. PERALTE MÍNIMO DE ZAPATAS En el borde de una zapata el espesor mínimo será de 15 cm. Cuando la zapata se apoye sobre pilotes, el espesor mínimo será de 30cm. Se recomienda un recubrimiento libre del acero de 5cm en suelos secos y de 7cm en suelos sulfatados o agresivos. DISTRIBUCIÓN DEL REFUERZO Las zapatas con refuerzo en una dirección y las zapatas cuadradas reforzadas en dos direcciones llevarán su refuerzo espaciado uniformemente. En zapatas aisladas rectangulares con flexión en dos direcciones, el refuerzo paralelo al lado mayor se distribuirá uniformemente; el paralelo al lado menor se distribuirá en tres franjas en la forma siguiente: Con la franja central, de ancho a1, una cantidad de refuerzo igual a la totalidad que debe 2a colocarse en esa dirección, multiplicada por 1 ; donde a1 es el lado corto y a2 es el lado a1 + a 2 largo de la zapata. 110



El resto del refuerzo se distribuirá uniformemente en las dos franjas extremas. Franjas externa

Franjas central

Fran as externa acero paralelo al lado mayor distribuido uniformemente en todo el lado a1=B Totalidad que debe colocarse en ese sentido multiplicado por

a1 = B

Ast =

2a1 a1 + a 2

y uniformemente repartido en esa franja

a2 = L acero distribuido uniformemente en franja externa

6.5 DIMENSIONAMIENTO DE ZAPATAS AISLADAS Las acciones que recibe un cimiento y que a su vez debe transmitir al terreno son: (a) Las debidas a la estructura: la carga axial, P , y/o momentos en uno o dos direcciones, M x y M y . (b) Esfuerzos cortantes en una o dos direcciones, V x y/o V y . (c) Peso propio de la zapata. (d) Peso del terreno situado sobre la zapata. En el proceso de dimensionamiento de un cimiento se pueden diferencial tres fases: 1. Cálculo de las dimensiones de la zapata en planta, es decir, del área de contacto. 2. Cálculo de estabilidad de la zapata contra volteo y deslizamiento. 3. Cálculo del peralte efectivo de la zapata, el cual debe satisfacer el diseño por flexión, cortante (como viga ancha y por penetración), por aplastamiento y por anclaje y adherencia.

6.5.1 DIMENSIONES EN PLANTA El cálculo de las dimensiones de la superficie de contacto zapata-terreno depende de la distribución de presiones en dicha superficie. Como se ha visto anteriormente, la distribución real de las presiones y asentamiento es muy variable y depende de la rigidez de la zapata y del tipo de terreno. Esta variabilidad en la distribución de presiones y asentamientos puede simplificarse en zapatas aisladas, sin cometer un error excesivo, utilizando para su cálculo y estudio, un diagrama superficial plano de distribución de 111



presiones. Tal aproximación es válida en cualquier tipo de zapatas pero se ajusta más a la realidad en zapatas rígidas. Existen dos métodos para determinar las dimensiones del área de contacto de la losa de cimentación: 1. El criterio de la sección eficaz o zapata efectiva 2. El método elástico

6.5.1.1 CRITERIO DE LA SECCIÓN EFICAZ O ZAPATA EFECTIVA La distribución de presiones en el terreno cuando existe una carga axial excéntrica al centro de gravedad de la losa o cuando la carga axial está centrada y existe momento flexionante alrededor de un eje, se puede emplear el método de la zapata efectiva propuesto por Meyerhof en 1953. Este método es el propuesto en los ejemplos de los comentarios a las Normas Técnicas Complementarias del RCDF-99 de concreto reforzado y en el Manual de Cimentaciones de CFE ( ). Sea una zapata de dimensiones B x L sometida a momento flexionante, Meyerhof propuso sustituir el área efectiva de la zapata por un área ficticia de dimensiones B' x L' , en cuyo centro de gravedad se considera aplicado el esfuerzo, y sus dimensiones ficticias se utilizan para determinar el esfuerzo en el terreno, y la carga total es: ' ' P = B L qd Las dimensiones ficticias consisten en reducir el ancho efectivo de contacto una cantidad, ' L , en la dirección de la aplicación del momento flexionante, tal que: L' = L − 2e x 0.5L ex

0.5L − ex

P

L' = L − 2ex

L

Si existe momento flexionante en ambas direcciones, entonces las dimensiones ficticias son: B' = B − 2e y

= L − 2e x Para el caso en el exista solamente momento flexionante en la dirección del lado largo, L , la capacidad de carga admisible es: '

L

112



qd t / m2 ( ) Fs Donde qd es la capacidad de carga del terreno obtenida con cualquiera de las teorías de capacidad de carga (Skempton, etc) y la reacción neta del terreno o capacidad de carga última o actuante, si no se toma en cuenta el peso del relleno arriba de la zapata, es: P q u = 'u BL Se debe comprobar que: qa =

qu

≤ qa

Para el caso en que exista momento en ambas direcciones, la capacidad de carga neta del terreno, si no se toma en cuenta el peso del relleno arriba de la zapata, es: qu qu

= qa

= qa

área de zapata ficticia área total de la zapata

L' B' LB

= qa

( L − 2e x ) ( B − 2ey ) LB 4ex e y ⎤

⎡ 2e 2e = qa ⎢1 − x − y + ⎥ B LB ⎦ ⎣ L ⎛ 2e ⎞ ⎛ 2ey ⎞ qu = qa ⎜1 − x ⎟ ⎜ 1 − ⎟ B ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ En caso de que se tome en cuenta el peso del relleno arriba de la zapata, se suele restar de la resistencia admisible el valor de las tensiones originadas por el peso del relleno. Si se toma como peso del concreto γ concreto , 24 kN m3 ( 2400 kg f m3 ) y un peso volumétrico del qu

suelo que forma el relleno, γ relleno , tenemos: qu = qa − γ relleno ( H − h ) − γ concreto h

= qa − γ relleno H + h (γ relleno − γ concreto ) Donde H es la profundidad de desplante de la zapata y h el peralte total de la zapata. qu

CASO 1: CARGA AXIAL

Pu

Se considera una distribución de presiones uniforme bajo la zapata, con área de contacto, A z , A z

=

Pu qu

Para zapatas de sección cuadrada, el lado es la raíz cuadrada de la superficie de contacto. Con este tipo se consigue mínimo vuelo máximo, peralte mínimo, mínimo volumen de concreto y menor área de acero, así como igualdad de armados en ambas direcciones. Para zapatas con base circular el diámetro se puede elegir como: D = 1.13 Az Este tipo de zapatas tiene mayor vuelo que las cuadradas, lo cual supone otra desventaja añadida a la mayor complejidad de ejecución. 113


CASO 2: CARGA AXIAL


Pu

y MOMENTO FLEXIONANTE M X

El área ficticia de la zapata es:

= B ( L − 2ex ) Sobre esta superficie se considera una distribución uniforme de presiones de contacto con valor: A z

qc

=

Pu B ( L − 2e x )

Esta presión de contacto no toma en cuenta el peso de la zapata ni el peso del relleno. Se debe cumplir que: qc

Como: qu =

≤ qu ≤ qa

Pu A z Pu qu

= ( L − 2e x ) B

Despejando B =

1 qu ( L − 2ex ) Pu

Llamando a: B = λ L , se puede escribir: Pu qu

= ( L − 2e x ) B = ( L − 2ex ) λ L Pu qu λ

= L ( L − 2e x )

Esta última ecuación corresponde a una parábola que relaciona la carga axial máxima soportada y la reacción neta del terreno, con las dimensiones de la zapata y la excentricidad ficticia de la carga. Nota: Hacer grafica área contra

Pu qu λ

, para valores de λ =

B L

〈1 , para diferentes valores de

e x .

6.5.1.2 MÉTODO ELÁSTICO Se admite una distribución plana de tensiones por lo que la presión de contacto en un punto de coordenadas ( x, y ) se cálcula por medio de la ecuación de la escuadría. Sea: P la carga vertical sobre la columna W el peso de la cimentación (dado más zapata) R la carga total sobre el terreno, R=P+W V la fuerza cortante horizontal sobre la cimentación M el momento sobre la zapata q presión sobre el suelo Se pueden presentar los siguientes casos: 114



P

W

q=

R BL

R R

B

L

Carga axial P y cortante en la columna V, la excentricidad de la reacción es:

P

V

e=

W H

HV R

R e R

V

B

L

Carga axial, P, más fuerza cortante horizontal, V, y momento en la zapata, M. La excentricidad se calcula con:

P M V W

e=

H

HV + M R

R e R V En el lano de L

Cuando existe carga excéntrica con respecto a un eje, se pueden presentar los siguientes casos:

115



P

P

V

x

H

x R

R

W

W

e

e

B

B L

V

L Caso 2a

Caso 1a

Para el Caso 1a, la excentricidad se calcula con: Px e= R Px + HV Para el Caso 2a, e = y si la carga está a la izquierda del centro de línea: R −Px + HV e= R

116

H



P M

V

x

H R

W e V

B

Plano de M L Caso 3a Para el Caso 3a, la excentricidad se calcula con: Px + HV + M e= R En términos generales tenemos que: ±Px ± HV ± M e= R Para todos los casos anteriores, excepto el caso donde sólo existe carga axial, P; resulta una distribución de esfuerzos no uniforme sobre el terreno en la longitud “L”, la cual no debe exceder de L/6. Con lo cual los esfuerzos en los ejes de la base están dados por: R Re q= ± 2 BL BL 6 q=

R ⎡ 6e ⎤ 1± BL ⎢⎣ L ⎥⎦

Los valores límite se presentan para: e=

L 6

con: q1 = 0 y q 2 =

117

2R BL



por lo que nunca se debe exceder el valor de e =

L ya que la hipótesis se basa en la teoría 6

de flexión que no considera tensión. Como no puede existir tensión entre el suelo y el bloque de esfuerzos, si llamamos a “y” la distancia de la línea de acción R al eje más cercano de la base, i.e., L y = −e, 2 entonces la distribución de esfuerzos puede ser lineal y el centroide del diagrama debe de estar en la misma línea vertical de R, a una distancia: ⎡L ⎤ 3y = 3 ⎢ − e ⎥ . ⎣2 ⎦ P

P

M

H

H

R

R e

e CG

CG B

B L/2

L/2 L

L

q1 q2 3y Consecuentemente la máxima presión sobre el eje es: 2R q max = 3By

118

y



6.6 CARGA EXCENTRICA EN AMBOS EJES Análogamente, si e x y e y son las excentricidades de R con respecto a L y a B, respectivamente, entonces los esfuerzos en las cuatro esquinas de la base, usando la teoría de flexión (escuadría), se calculan con la expresión: q=

R Re x Re y R ⎡ 6e x 6e y ⎤ ± 2± 2 = 1± ± BL BL B L BL ⎢⎣ L B ⎥⎦ 6 6

para toda el área de la base bajo presión, es decir, para que no exista tensión, R, debe de actuar dentro del núcleo de presiones formado por un trapecio.

ex CG

ey

B

B

B/3

L/3

R

L

L

Los valores límite de los esfuerzos son: el mínimo cero y el máximo 2R/BL.

119



EJEMPLO 6.1 ZAPATA AISLADA PÉNDULO INVERTIDO Del artículo del Dr. Octavio Rascon CH, "Efectos sísmicos en estructuras en forma de péndulo invertido", Revista de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, se tomaron los siguientes datos para el diseño de la zapata aislada: Suelo rígido

Suelo flexible

Base rígida y masa concentrada

V= 1.31 t

V= 2.03 t

V= 1.93 t

Mo=344 t cm

Mo=361 t cm

Mo=0 t cm

Mb=893 t cm

Mb=1209 t cm

Mb=808 t cm

a) DISEÑO DE LA ZAPATA AISLADA CASO SUELO RÍGIDO ELEMENTOS MECÁNICOS EN EL EXTREMO SUPERIOR DE LA COLUMNA El RCDF establece que para péndulos invertidos se tome para diseño el resultado de los efectos obtenidos del análisis en una dirección más el 50% de los efectos obtenidos en la dirección perpendicular.

Dirección X: Fx = Vx + 0.5Vy = 1.31 + (0.5 × 1.31) = 1.955 t My = Moy + 0.5Mox = 3.44 + (0.5 × 3.44) = 5.160 t ⋅ m

Dirección Y: Por ser una estructura simétrica:

Fy = 1.965 t Mx = 5.160 t ⋅ m

Peso de la estructura (Pt) Superestructura (cubierta + columna)

= 21.710 t

Zapata

= 8.640 t

3.0 x 3.0 x 0.4 x 2.4

Relleno (3.0 x 3.0) - (0.55 x 0.55) x 0.30 x 1.6 Peso total (Pt)

= 4.175 t = 34.525 t

Revisión por volteo: 120



Se revisará en la dirección X: a) Momento de volteo respecto a la base de la zapata:

M vx = M y + Fx h = 5.16 + 1.965 × 4.30 = 13.610 t ⋅ m b) Momento de equilibrio:

Mex = Pt

L = 34.525 × 1.5 = 51.787 t ⋅ m 2

c) Factor de seguridad contra volteo:

FS v =

M ex 51.787 = = 3.8 〉 1.5 M vx 13.610

Esfuerzos de contacto sobre el suelo (presión de contacto): La capacidad de carga admisible del suelo, obtenido de los estudios de mecánica de Suelos es: q a = 10

t . Por estar sujeta la zapata a flexión en dos direcciones el m2

punto A estará sujeto a la mayor compresión (Fig. 2).

Y A 150

Mx

150 My 150

150

Fig. 2 Punto más esforzado en la zapata

ELEMENTOS MECÁNICOS EN LA BASE DE LA ZAPATA Pt = 34.525 t

M vx = M vy = 13.610 t ⋅ m Propiedades de la zapata: 121

X



A = 3.0 x 3.0 = 9.0 m2

Ix =

(3.0)4 12

= 6.75 m 4

Esfuerzo bajo el punto "A" (presión de contacto):

qc =

M vy Pt M vx C yA + C xA + A Ix Iy

qc =

34.525 13.61 13.61 + 1.5 + 1.5 = 9.885 t/m 2 〈 10 t/m 2 9.0 6.75 6.75

Análisis y diseño de la zapata: Por estar la zapata sujeta a flexión en dos direcciones tomaremos para su diseño los esfuerzos promedios, es decir, los que se presenten en los planos AB y CD de la Figura 3.

Y columna D q4 0.75 0.75

A q1

B q2

X

1.50 C q3 1.50

0.75 0.75

Fig. 3 Distribución de los esfuerzos en la zapata Se toma para diseño el plano AB y no el borde de la zapata, ya que daría un resultado muy conservador . Debido a la naturaleza del movimiento sísmico en algún momento puede ser que el cuadrante de la zapata más esforzado puede ser el menos esforzado. Las coordenadas de los puntos para el cálculo de las presiones de contacto son:

q1

C x = −1.50m

C y = +0.750m

q2

C x = +1.50m

C y = +0.750m

122



Para el plano de diseño AB (dirección X),el esfuerzo menor será el q1 y el mayor q2. El plano CD es igual al plano AB por ser una estructura simétrica, y por tanto, los esfuerzos q3 y q4 serán iguales a q1 y q2 respectivamente, de manera que el diseño en dirección Y será igual que en la dirección X.

Dirección X (plano AB): El valor del momento de volteo, Mvx= 13.61 t m, la excentricidad de la carga total (Pt) será:

e=

M vx 13.61 = = 0.394 m Pt 34.525

L 3.0 = = 0 .5 m 6 6 e〈

L No hay tensiones y la ecuación para calcular los esfuerzos será con: 6

q1 =

M vy Pt M vx + C y1 + C x1 A Ix Iy

Si e 〉

L se presentan tensiones en la base de la zapata y la formula de la escuadría 6

no sería aplicable debido a que no hay continuidad entre el suelo y la zapata, entonces se sobrecarga el suelo en la zona sujeta a compresión debido a que se reduce el área de contacto y en este caso se aplica la expresión:

q=

2Pt ⎛ L ⎞ 3B⎜ − e ⎟ ⎝ 2 ⎠

q1 =

34.525 13.61 13.61 0.75 + ( −1.50) = 2.324 t/m 2 + 9 .0 6.75 6.75

q2 =

M vy Pt M vx + C y2 + C x2 A Ix Iy

q2 =

34.525 13.61 13.61 + 0.75 + 1.50 = 8.373 t/m 2 9.0 6.75 6.75

123



0.30 0.40 q1

q2 1.225

0.55

1.225

Si consideramos para diseño un ancho unitario de 1.0 m: Peso del relleno

0.30 x 1.6 x 1.0 =

0.48 t/m

Peso de la zapata

0.40 x 2.4 x 1.0 =

0.96 t/m

Peso total

wt

1.44 t/m

w=1.44 t/

w=1.44 t/m qp q1=2.324t/m

q2=8.373 t/m 1.225

0.55

1.225

Interpolando el esfuerzo al paño de la columna, tenemos:

qp =

(1.225 + 0.55 )

Mp =

3.0

( 8.373 − 2.324 ) + 2.324 = 5.903 t/m 2

(5.903 − 1.44)(1.225)2 2

Vp = (5.903 − 1.44)(1.225) +

+

(8.373 − 5.903)(1.225) 2 3

(8.373 − 5.903)(1.225) 2

= 4.584 t ⋅ m

= 6.980 t

Factores de carga: Debido a que la estructura está constituida por una sola columna, que aporta el 100% de la capacidad total en fuerza cortante y momento de volteo (mayor que el 20% especificado en el RCDF) se adoptará un factor de carga 20% superior al correspondiente. Por tanto, para cargas accidentales el factor de carga será: 124



FC = 1.1 x 0.20(1.1)= 1.32

Elementos mecánicos últimos: M pu = 1.32 x 4.584 = 6.051 t m V pu = 1.32 x 6.981 = 9.214 t

Materiales: Concreto

f ′c = 200 kg/cm 2

Acero

f y = 4200 kg/cm 2

fC* = 0.8 × 200 = 160 kg/cm 2 f " c = 0.85 × 160 = 136 kg/cm 2

Revisión por Flexión: Se propone un peralte d= 35 cm, h= 40 cm,

2M pu ⎤ f c'' ⎡ Porcentaje de acero, p = ⎢1 − 1 − ⎥ ; donde FR=0.90 y b=100 cm. f y ⎢⎣ FR bd 2f c'' ⎥⎦ ⎤ 136 ⎡⎢ 2 × 6.051 × 10 5 ⎥ = 0.00133 p= 1− 1− 2 4200 ⎢ 0.9 × 100 × 35 × 136 ⎥⎦ ⎣ p min = 0.7

f ′c 200 = 0.7 = 0.002357 f y 4200

p mín 〉 0.00133 A s mín = p mín bd = 0.002357 × 100 × 35 = 8.25 cm 2 / m Considerando varillas del No. 6 (as= 2.87 cm2),

S=

2.87 × 100 = 34.8 cm 8.25

Acero: varillas No. 6 @ 30 cm El porcentaje de acero requerido por flexión es menor que el porcentaje mínimo, por tanto, la zapata podría tener un espesor menor que el propuesto.

Revisión por cortante (viga ancha): VCR = FR bd (0.2 + 20p) f *c

V pu = 9.214 t 125

FR=0.80



Si se coloca acero de refuerzo por flexión del No 6 a cada 30 cm, As = 9.5 cm2/m

p=

As 9 .5 = = 0.002714 bd 100 × 35

VCR = 0.8 × 100 × 35 ( 0.2 + 20 × 0.002714 ) 160 = 9.006 t VCR = 9.006 t 〉 Vpu = 9.214 t En este caso el cortante resistente del concreto es ligeramente menor que el cortante último, por lo que el peralte de la zapata es No es adecuado.

Cortante por penetración: La columna tiende a penetrar en el espesor medio de la zapata con una fuerza P igual al peso de la superestructura y con una fracción, α, del momento flexionante en ambas direcciones. Las expresiones para calcular el esfuerzo por penetración están especificadas por las normas del RCDF. C1=C2= 55 cm C1+d= C2+d = 55 + 35 = 90 cm

Elementos mecánicos en el espesor medio de la zapata: Superestructura (columna + cubierta)

= 21.710 t

Relleno

(0.9 x 0.9 - 0.55 x 0.55) x 0.30 x 1.6

= 0.244 t

Zapata

(0.9 x 0.9 x 0.40 x 2.4 )

= 0.778 t

Carga vertical

P

= 22.732 t

En las direcciones X y Y:

0.4 ⎞ ⎛ M x = M y = 5.160 + 1.965⎜ 3.9 + ⎟ = 13.217 t ⋅ m 2 ⎝ ⎠

Esfuerzo por penetración: v=

P α x M y (C1 + d) α y M x (C2 + d) + + Ac 2Jcy 2J cx

α x = αy = 1−

1

(C1 + d) 1 + 0.67 (C2 + d)

= 1−

1 90 1 + 0.67 90

= 0.40

Ac = 2d (C1 + C2 + 2d) = 2 × 35(55 + 55 + 2 × 35) = 12600 cm 2

126



d(C1 + d) 3 (C1 + d)d 3 d(C2 + d)(C1 + d) 2 + + Jcx = Jcy = 6 6 2 J CX = J CY

35(90)3 90(35)3 35(90)3 = + + = 17.635 × 10 6 m 4 6 6 2

22.732 × 10 3 ⎡ 0.4 × 13.217 × 10 5 × 90 ⎤ +⎢ v= ⎥ × 2 = 1.8 + 2.7 = 4.5 kg/cm 2 6 12600 ⎢⎣ 2 × 17.653 × 10 ⎥⎦ El esfuerzo último por penetración será:

vu = FC v = (1.32)(4.5

kg 2 ) 5.94 kg/cm = cm 2

Esfuerzo resistente del concreto:

vCR = FR f *c = 0.8 160 = 10.12 kg/cm 2 v CR

〉

vu

Por tanto, el espesor de la zapata propuesto es correcto por penetración.

No 3 @ 20

Por temperatura

No 6 @ 30 No 6 @ 30

10 30 5

40

Plantilla 1.225

0.55 300

1.225

Corrección del peralte Dirección X:

Fx = Vx + 0.5Vy = 1.31 + (0.5x1.31) = 1.965 t My = Moy + 0.5Mox = 3.44 + (0.5x3.44) = 5.160 t-m Dirección Y:

Por ser simétrica: Fy = 1.965 t Mx = 5.160 t-m Peso de la estructura (Pt)

Superestructura (cubierta + columna)

= 21.710 127

t



Zapata 3.0 x 3.0 x 0.451 x 2.4 Relleno [(3.0 x 3.0) – (0.55 x 0.55) ] x 0.25 x 1.6 Peso total (Pt)

= 9.720 = 3.479 = 34.909

t t t

Revisión por estabilidad:

Dirección X: a) Momento de volteo respecto a la base de la zapata: Mvx = My + Fxh = 5.16 + 1.965x 4.30 = 13.6095 b) Momento de equilibrio: L

Mex = Pt = 34.909x1.5=52.3635 t-m 2 c) Factor de seguridad contra volteo: M 52.3635 FS v = ex = = 3.847〉1.5 M vx 13.6095 La capacidad de suelo obtenida de los estudios de mecánica de suelos es qa = 10

qc

=

A

+

I x

C yA +

M vy I y

A

150

X

150

C xA 150

34.909 13.6095 13.6095 + qc = 1.5 + 1.5 = 9.927t / m 2 〈10t / m 2 9 6.75 I 6.75 Análisis y diseño de la zapata 75

Y

q4

150

A

q1

q2

75

X 150

q3 150

75

75

Las coordenadas de los puntos para el cálculo de las presiones de contacto son: q1 Cx = -1.50 m Cy = + 0.75 m q2 Cx = +1.50 m Cy = + 0.75 m

1

Desde aquí se cambió el peralte a 45 cm. 128

m2

Y

Elementos mecánicos en la base de la zapata Pt = 34.909 t Mvx = Mvy = 13.6095 t-m A = 3.0 x 3.0 = 9 m2 34 = 6.75m 4 I x = 12 Esfuerzo bajo el punto “A” (presión de contacto): Pt M vx

t



Por las condiciones de simetría los esfuerzos q3 y q4 serán iguales a q1 y q2 respectivamente, de manera que el diseño en X será igual que en Y Dirección X (plano AB): M 13.6095 = 0.389m e = vx = 34.909 Pt L 3 = = 0.5m

6

6

L e〈

6

no hay tensiones, y la ecuación para calcular esfuerzos será Pt M vx

=

q1

=

34.909 13.6095 13.6095 (− 1.5) = 2.367t / m 2 + 0.75 + 9 6.75 6.75

q2

=

Pt M vx

q2

=

A

A

+

+

I x

I x

C y1

C y 2

+

M vy

q1

+

I y

M vy I y

C x1

C x 2

34.909 13.6095 13.6095 (1.5) = 8.415t / m 2 + 0.75 + 9 6.75 6.75

Si consideramos para diseño un ancho unitario tenemos: Peso del relleno Peso de la zapata Peso total

0.25 x 1.60 x 1.0 = 0.40 x 2.4 x 1.0 = Wt =

0.40 t/m 1.08 t/m 1.48 t/m w = 1.48 t/m

q1 = 2.367 t/m q2 = 8.415 t/m 122.5

55

122.5

Calculo el esfuerzo al paño de la columna: q p

=

(1.225 + 0.55)

(8.415 − 2.367 ) + 2.367 = 5.945t / m 2

3 (5.945 − 1.48)(1.225)2 (8.415 − 5.945)(1.225)2 + = 4.586t − m M p = 2 3 (8.415 − 5.945)(1.225) = 6.983t V p = (5.945 − 1.48)(1.225) + 2 Factores de carga:

129



FC = 1.1 x 0.2(1.1) = 1.32 Elementos mecánicos últimos:

M pu = 1.32 x 4.586 = 6.053 t-m V pu = 1.32 x 6.983 = 9.127 t Materiales:

Concreto f’c = 200 kg/cm2 Acero fy = 4200 kg/cm2 F*c = 0.8 x 200 = 160 kg/cm2 F”c = 0.85 x 160 = 136 kg/cm2 Flexión:

d = 40 cm, h = 45 cm, FR = 0.90, b = 100 2 M pu ⎤ f " c ⎡ ρ = ⎢1 − 1 − ⎥ 2 f y ⎣⎢ FRbd f " c ⎦⎥ 136 ⎡ 2(6.053 x10 5 ) ⎤ ρ = ⎢1 − 1 − ⎥ = 0.00102 4200 ⎣⎢ 0.9(100)(40) 2 (136 ) ⎦⎥ f ' c

200 = 0.002357〉 0.00102 f y 4200 Asmin = ρmin bd = 0.002357 x 100x 40 = 9.43 cm2 /m Usando varillas del no. 6 (as = 2.87 cm2) 2.87 x100 = 30.44cm S = 9.43 Acero: varillas No.6 @ 30 cm ρ min

= 0.70

= 0.70

Revisión por cortante (viga ancha)

Si colocamos acero por flexión del No.6 @ 30 cm, As 9.5 cm2/m As 9.5 = = 0.002375 ρ = bd 100(40 ) V cr = 0.8 x100 x 40(0.2 + 20 x 0.002375) 160 = 10.018 Vcr = 10.018 > V pu = 9.217 t Cortante por penetración C1 = C2 = 55 cm C1 + d = C2 + d = 55 + 40 = 95 cm

Elementos mecánicos en el espesor medio de la zapata:

Superestructura Relleno (0.95 x 0.95-0.55 x 0.55) x 0.25 x 1.6 Zapata (0.95 x 0.95 x 0.45 x 2.4) Carga vertical P En las direcciones X y Y: 130

= 21.710 = 0.24 = 0.9747 = 22.9247

t t t t


M x = M y


0.45 ⎞ = 5.160 + 1.965⎛ ⎜ 3.85 + ⎟ = 13.167t − m 2 ⎠ ⎝

Esfuerzo por penetración: v=

P Ac

+

α x M y (C 1 + d ) α y M x (C 2 + d )

2 J cx

1

1

= 0.401 95 1 − 0.67 95 Ac = 2d(C1+C2+2d) = 2x40(55+55+40)=15200 cm2 3 (C 1 + d )d 3 d (C 2 + d )(C 1 + d )2 d (C 1 + d ) + + J cx = J cy = 6 6 2 40(95)3 (90 )353 (35)(90 )3 + + = 23.877 x10 6 m 4 J cx = J cy = 6 6 2 5 22.9247 ⎡ 0.401(13.167 x10 )(95)⎤ +⎢ (2) = 3.6kg / cm 2 v= ⎥ 6 15200 ⎣ 2(23.877 x10 ) ⎦ El esfuerzo último por penetración será: Vu = 1.32 x 3.6 = 4.74 kg/cm2 α x

= α y = 1 −

+

2 J cy

(C 1 + d ) 1 + 0.67 (C 2 + d )

= 1−

El esfuerzo resistente del concreto * 2 V cr = FR f c = 0.7 160 = 8.85kg / cm V cr 〉V u

Se acepta el espesor de la zapata de 45 cm

No.3 @ 20 por tempertura No.6 @ 30

No.6 @ 30

35 45 122.5

55

122.5

300

131

5



EJEMPLO 6.2 Resolver la zapata del ejemplo anterior por medio del procedimiento sugerido por el Manual de Obras Civiles Cimentaciones, CFE y/o en los ejemplos de las Normas Técnicas Complementarias del DF.

Datos: CM+CV

P=21.71 t (cubierta + columna) M= 0

CA

P=0 M=13.61 t m

M vx = 5.160 + 1.965 × 4.30 = 13.61 t ⋅ m Columna

55 x 55 cm

Resistencia última del suelo 10 t/m2 Peso Volumétrico del suelo

1.6 t/m3

Concreto

f c′ = 200

Acero

fy = 4200

kg cm 2 kg cm 2

Constantes de Cálculo: f c* = 0.8 × 200 = 160

kg cm 2

f c" = 0.85 × 160 = 136 p mín =

kg cm 2

0.7 200 = 0.00236 4200

Dimensionamiento: Área de la zapata Suponemos h= 40 cm con un FC= 1.1 x 1.2 = 1.32 Igualando la acción con la resistencia del suelo, con el área reducida A’ de ancho B’,

(P + pp. Zapata + peso relleno) FC = (10 t/m 2) (A’) Pu+FC(pp. Zapata + peso relleno)=10 A’ Pu=10 A’- FC(pp. Zapata + peso relleno) 132



de donde A ' =

Pu pp. zapata + p.relleno 10 − FC A '

peso zapata

0.40 x 2.4

= 0.96 t/m2

peso relleno

0.30 x 1.6

= 0.48 t/m2 ------------1.44 t/m2

FC

pp.zapata + p.relleno t = 1.4(1.44) = 2.016 2 A ' m

sustituyendo: A ' =

28.66 = 3.589m 2 10 − 2.061

se supondrá una zapata de 2 x 2 m y se revisarán estas dimensiones. El ancho reducido resulta ser:

B' =

A ' 3.589 = = 1.795 m B 2

y el peso de la zapata y del relleno, pp zapata

2 x 2 x 0.40 x 2.4 =

p. relleno

2 x 2 x 0.30 x 1.6 =

3.84 t 1.92 t

La fuerza de diseño por resistencia en el nivel de desplante es: Pu=1.32 ( P + pp. Zapata + p. Relleno) Pu=1.32 ( 21.71 + 3.84 + 1.92) Pu=36.26 t Y el momento: Mu= 1.32 (13.61) Mu= 17.965 t m Excentricidad

e=

Mu 17.965 = = 0.495 m Pu 36.26

Ancho reducido: B' = B - 2e B = B' + 2e B = 1.795 + 2(0.495) 133



B= 2.785 m Se modifica el área de la zapata a una de 3.0 x 3.0 m pp. zapata

3.0 x 3.0 x 0.40 x 2.4 = 8.64 t

p. relleno

3.0 x 3.0 x 0.30 x 1.6 = 4.32 t

Pu=1.32 ( 21.71 + 8.64 + 4.32) Pu= 45.764 t

e=

Excentricidad: Ancho reducido:

17.965 = 0.393 m 45.764

B' = B - 2e = 3.0 - 2(0.393)= B' = 2.214 m

Presión actuante,

Pu 45.764 t t = = 6.89 2 〈 10 2 A ' (2.214)(3.0) m m

γ =1.6 t/m3

0.30 0.40

6.89 t/m2 2.14 m 1.225

0.55

1.225

Reacción neta, qn = 6.89 - 1.4(0.40 x 2.4 + 0.30 x 1.6)= 4.874 t/m2 Momento en la sección crítica por metro de ancho:

4.874 × 1.225 2 = 3.657 t ⋅ m Mu = 2 Si se considera un recubrimiento libre de 5 cm y barras No 6,

φ 2 d=40 - 5 -1.9/2 = 34.05cm d=h−5−

d= 34 cm Sustituyendo en la expresión: 134



Mu = F R bd 2 fc" q ( 1 − 0.5q )

3.657x10 5 = (0.9)(100)(34 2 )(136)q(1 − 0.5q) q

2

− 2q + 0.051691 = 0

q = 0.02618 f c" 136 Porcentaje de acero, p = q = (0.02618) fy 4200 P =0.00085 〈 p mín, Rige p mín= 0.00236.

Revisión por cortante Se revisará el peralte como viga ancha, la sección crítica está a un peralte, d, del paño de la columna. Resistencia del concreto a cortante

VCR = (0.2 + 20 p)FR bd fc* = [0.2 + 20(0.00236)] (0.80)(100)(34) 160 VCR = 8505.06 kg = 8.506 t Fuerza Cortante en la sección crítica

Vu = (1.225 − 0.34)x 4.874 = 4.313 t 〈 VCR se acepta h=0.40 cm por este concepto. Revisión por penetración Perímetro de la sección crítica

bo= 4( 55 + 34)= 356 cm

Área de la sección crítica

Ac = d bo = 34 (356) = 12 104 cm2

Revisión para decidir si se puede despreciar el momento que se trasmite entre columna y zapata: Mu = 13.610 t m x 1.32 = 17.9652 t m Con q = 6.89 t/m2 Vu = 1.32 (21.71) - (0.89 x 0.89 x 6.89) = 23.20 t 0.20 Vu d = 0.20(23.20)(0.34) = 1.57 t m 〈 〈 13.61 t m No puede despreciarse el momento. Fracción del momento que debe trasmitirse por esfuerzos cortantes y torsión: 135


α =1−

1 0.89 1 + 0.67 0.89


= 0.40

d=0.34 cm, C1+d = 89 cm, C2+d = 89 cm, CAB = 44.5 cm.

αMu = 0.40 x 17.9652 = 7.19 t m Máximo esfuerzo cortante, por existir efectos bidireccionales,

v AB =

α y Mx V α x My + C AB + C Ac Jcy Jcx AB

Ac = 4(89)(34) = 12 104 cm2

Jcx = Jcy Jcx

d(C1 + d) 3 (C1 + d)d 3 d(C2 + d)(C1 + d) 2 = + + 6 6 2

34(89) 3 (89)(34) 3 34(89)(89) 2 = + + 6 6 2

Jcx = 16562307 cm 4 sustituyendo,

v AB

23.20 x10 3 7.19x10 5 = + ( 44.5)x2 12104 16562307

v AB = 1.92 + 3.86 = 5.78

kg cm 2

Esfuerzo resistente del concreto:

v CR = 0.70 160 = 8.85 así v AB = 5.78

kg cm2

kg kg 〈 v CR = 8.85 2 2 cm cm

Se acepta h=40 cm. Refuerzo por Flexión Pmín = 0.00236 As =pbd As= (0.00236)(300)(34) = 24.072 cm2 Considerando barras No 6

s=

300 × 2.87 = 35.76cm 24.072 136



usamos φ No 6 @ 30 cm Una fracción 1-α debe trasmitirse por flexión en un ancho igual a C2 + 3h, centrado con el eje de la columna, (1-α)Mu = (1 - 0.4)(17.9652)= 10.78 t m. C2 + 3h = 55+3(40) = 175 cm. Para la cuantía mínima, P mín = 0.00236

q=p

f y f c"

= 0.00236

4200 = 0.07288 136

q= 0.07288

Mu = (0.9)(100)(34 2 )(136)(0.07288 )[1 − 0.5(0.07288 )] Mu = 993633 .85 kg ⋅ cm = 9.93 t ⋅ m ≅ 10.78 t ⋅ m El momento debe trasmitirse en un ancho menor de C2 +3h = 175 cm.

6.3 PROCEDIMIENTO PROGRAMABLE (BOWLES) Se sugiere el siguiente procedimiento: 1.- Se obtienen las cargas y momentos últimos mediante el uso de factores de carga (RCDF- NTC- 2004). Pu =1.4(CM +CV) Pu = 1.1(CM+ CVA) ó bien : Combinación 1 Combinación 2 Combinación 3 Combinación 4

CM + CV + Sx + 30% Sy CM + CV + Sx - 30% Sy CM + CV - Sx + 30% Sy CM + CV - Sx - 30% Sy

Es común revisar el cortante como losa y como viga ancha para lo cual se proponen valores para el peralte tomado al azar. (por experiencia) y luego se hacen revisiones. En este curso se propone un peralte efectivo, d, que satisfaga ambos criterios simultáneamente. En la practica se acostumbra aumentar Pa en un 10% para tomar el peso propio de la zapata. Otro criterio es disminuir q a en un 6%. 137



Cuando la zapata esta sujeta a carga axial y momento, se debe calcular B’= B-2e. Los valores de B o L obtenidos se proponen con un valor mayor de dimensiones constructivas. Se obtienen las presiones de contacto, tomando en cuenta que la losa de la zapata se ha considerado rígida, la presión del suelo o esfuerzos sobre el suelo, se calculan con la formula de la escuadria: M y Mx qc= P ± c y ± c x I x

A z

I y

qc= presión de contacto La P es sin factorizar. Se checa que qc ≤ qa ó de cómo se vio al inicio: qc=

R BL

⎡ 6e L 6e B ⎤ ± ⎢1 ± ⎥ L B ⎥⎦ ⎢⎣ R= P+W

donde: e L = excentricidad en L e B = excentricidad en B P = carga W= peso de la cimentación El dimensionamiento del área de la zapata, Az, se hará de tal forma que las presiones de contacto sean menores o iguales que las admisibles del suelo. qa=

q d

= qu

F s

Se divide la carga de diseño entre la resistencia del suelo, lo que nos dará el área requerida para distribuir las cargas uniformemente sin rebasar el valor de resistencia del suelo. Az = B2= Az= BL=

P qa

P qa

zapata cuadrada zapata rectangular

Las NTC y MDOC/1981 proponen usar Pu en lugar de P sin factorizar (ver ejemplo propuesto). REVISIÓN DE LA LOSA POR CORTANTE

peralte para satisfacer el cortante por penetración

138



c+d

Zona Critica

c+d

d/2

qu

=

c

d/2

P' 2

[c + d ]

Despejando: '

P

= qu [c + d ] 2

Donde P' es la fuerza de reacción en la parte de debajo de la zona crítica, debido a la carga uniformemente distribuida del suelo, qu . Se calcula el perímetro de la zona crítica b0 b0 = 4(c + d) La fuerza que resiste la fuerza de penetración es igual al esfuerzo resistente del concreto, vc , desarrollado en toda la cara de la zona crítica, dbo . Del equilibrio: ∑ Fv = 0 Pu

− P' − vc dbo = 0

Pu = q u (c + d)2 + 4vc d(c + d) donde

qu =

(1) (2)

Pu presión neta AZ

Pu = A z q u 139

(3)



sustituyendo en (2) A z q u = q u ⎡⎣c2 + 2cd + d2 ⎤⎦ + 4vc cd + 4vc d2 Términos comunes: d 2 [ q u + 4v c ] + d [ 2cqu + 4vc c] = Az qu − qu c2 Con A z = BL área de la zapata, y multiplicando por ¼, se tiene: para columnas cuadradas

⎡ BL − c 2 ⎤ qu ⎤ ⎡ d ⎢ν c + ⎥ + d ⎢ν c + ⎥ c = ⎢ ⎥ qu 4⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ ⎣ 4 ⎦ para columnas circulares con diámetro D: 2⎡

qu ⎤

⎡ ⎣

qu ⎤

d2 ⎢ν c +

⎡

q

⎤

⎡ BL − Ac ⎤ qu π ⎥⎦

+ d ⎢ν c + u ⎥ D = ⎢ ⎥ 4⎦ 2⎦ ⎣ ⎣

para columnas rectangulares:

⎡− q ⎤ d2 ⎢ u − 4 ⎥ - d ⎣ ν c ⎦

⎡ qu ⎤ qu + Per + As* = 0 1 ⎢ 2ν ⎥ ν c ⎣ c ⎦

donde : Per = perímetro de la columna rectangular As* = área de la Zapata – área de la columna Ac = área de la columna Per = 2 [ c1 + c2 ] As* = [ BL ] – [ c1 c2 ] Multiplicando la última ecuación por − vc d2 [ 4 vc + qu ] + d [2 vc + qu] [c1 + c2] = [BL - c1 c2] qu El esfuerzo que toma el concreto es : vc = FR f c* vc = 0.80 fc*

140



Peralte para satisfacer el cortante como viga ancha Supondremos que: P ≥ 0.015, entonces la fuerza cortante que toma el concreto (kg) es: VCR = 0.50 FR bd f c * El esfuerzo cortante es VCR = 0.50 FR f c * = vc bd

( kg/cm2 )

con FR = 0.80 El esfuerzo cortante como viga que toma el concreto es kg / cm 2 :

= 0.40 f c* De la zona crítica la fuerza cortante actuante, ⎡ L − c − d ⎤ Vact = qu B ⎢ ⎥⎦ ⎣ 2 que tiene que ser tomada por el concreto: Vact = V CR El esfuerzo cortante que resiste el concreto es: V ⎛ kg ⎞ vc = CR ⎜ ⎟ Bd ⎝ cm2 ⎠ vc

sustituyendo el cortante actuante, que es igual al resistente, es: vc

=

vc

=

vc

=

qu B ⎡ L − c

⎤ d − ⎥⎦ Bd ⎢⎣ 2 qu ⎡ L − c

⎤ − d ⎥⎦ d ⎢⎣ 2

qu ( L − c )

2d

( vc + qu ) =

− qu

qu ( L − c )

2d

despejando d , tenemos el peralte que satisface el cortante como viga ancha: d =

qu ( L − c )

2 ( vc + qu )

donde: vc = 0.40 f c* 141



Como se supuso que P ≥ 0.015 si resulta que no se cumple entonces: P < 0.015

VCR = FR Bd ( 0.20 + 20p ) f c *

Y el esfuerzo cortante

vc

=

( kg )

V CR Bd

con FR = 0.80

Se calcula el peralte efectivo, d , que satisfaga el cortante como losa y como viga ancha, se revisa el porcentaje de acero, P =

As Bd

; sí P < 0.015 entonces se obtiene otro peralte con

esta ecuación y se toma el mayor de los peraltes efectivos.

AYUDAS DE DISEÑO POR FLEXIÓN

fc″ a = β1 c

c

E.N.

d

h

c = fc″ ab ( d − a /2 )

T = Asfy b

El momento resistente de la sección es: M R

a = FR As f y ⎛⎜ d − ⎞⎟ ⎝ 2⎠

con F R = 0.90 Despejando la profundidad del bloque de esfuerzos: 142



= C

T As f y

= abf c''

Donde b es ancho de la zapata, a=

As f y ''

b f c

sustituyendo en la ecuación del momento resistente: M R F R f y M R F R f y M R F R f y

ordenando :

As 2

f y

a = As ⎛⎜ d − ⎞⎟ ⎝ 2⎠

⎛ A = As ⎜ d − s ⎝ 2b

= As d − As 2

− As d + ''

2b f c

M R

⎞ '' ⎟ f c ⎠ f y

f y

2b f c''

=0

FR f y

llamando a: F =

M R F R f y

y G=

f y

2bf c''

La ecuación es cuadrática en As : As 2G − As d + F = 0

⎡ q × B ⎤ x2 Donde: MR = Mactuante en el cantiliver = ⎢ u ⎣ 2 ⎥⎦

(ver sección critica por flexión)

Se resuelve para As que es el área de acero requerida para flexión. Se calcula el porcentaje de acero y se compara con el máximo y mínimo permitido: pmin = 0.70

f c ´ f y

pmáx = 0.75 p b ó 0.90 p b 143



p b =

f c ´´ f y

6000 β 1 f y + 6000

Finalmente se revisa por aplastamiento.

EJEMPLO 6.4 Diseñar la zapata cuadrada con los siguientes datos. P = 45500 kg c = 45 cm lado de la columna f y = 4200 kg/cm2 f c´= 250 kg/cm2 qu = 7 t/m2 ; qu =

q d F s

Constantes de cálculo Concreto clase 1 f c´= 250 kg/cm2 f c* = 0.80 ( 250 )= 200 kg/cm2 β1 = 0.85 ya que f c* ≤ 280 kg/cm2 f c´´ = 0.85 f c*= 0.85 (200) = 170 kg/cm2

Dimensión de la Zapata P = 45.5 t + 10% p.zapata P = 50.05 t Pu = (1.4) (50.05) Pu = 70.07 t B2 = Az =

Pu qu

=

70.07 t = 10.01 m2 2 7 t / m

Az = 10.01 m2 B = 3.20 m Area = (3.20) (3.20) = 10.24 m2

Presión de contacto 144



50.50 qc= P = = 4.93 t/ m2 < 7 t/ m2 10.24 A z Presión neta, qu qu =

Pu A z

70.07 = 6.84 7 t/ m2 10.24

=

Calculo de peralte que satisface la penetración Esfuerzo cortante que toma el concreto: vc = FR f c* v c = 0.80 f c* = 0.80 200 = 11.31

kg t = 113.1 2 2 cm m

qu ⎤ 6.84 ⎤ ⎡ ⎡ + ν ⎢⎣ c 4 ⎥⎦ = ⎢⎣113.1 + 4 ⎥⎦ = 114.85 qu ⎤ ⎡ + ν c= c ⎢⎣ 2 ⎥⎦

⎡113.1 + 6.84 ⎤ (0.45) = 52.45 ⎢⎣ 2 ⎥⎦

⎡ BL − c 2 ⎤ ⎡ (3.20 × 3.20) − (0.45) 2 ⎤ ⎢ 4 ⎥ qu = ⎢ ⎥ ( 6.84) = 17.16 4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ En la ecuación de segundo grado: 114.85 d2 + 52.45 d - 17.16 = 0 d= 0.22 m

por penetración

d = 22 cm

Cálculo de peralte como viga ancha Esfuerzo cortante que toma el concreto: * vc = 0.40 f c t vc = 0.40 fc* = 0.40 200 = 56.6 2 m d=

q u ( L − c )

2(ν c + qu )

d = 0.15 m

=

6.84(3.20 − 0.45) 2(56.6 + 6.84) viga ancha

d = 15 cm

145



se toma el mayor de d = 22 cm y 15 cm, por lo tanto tomamos d = 22 cm

Revisión por flexión ⎡ x ⎤ Mact = [qu x ] ⎢ ⎥ ⎣2⎦ qu x 2

Mact =

2

Donde : x =

B − c

2

3.20 − 0.45 = 1.375 m 2 (6.84t / m 2 )(1.375m )2 Mact = = 6.47 t . m 2 x=

Mact = 647,000 kg . cm

Cálculo de constantes: M R

F=

F R f y

=

f y

G=

2 B f c ´´

647000 = 171.16 (0.90)(4200) =

4200 = 0.0386 2(320)(170)

As2 G – As d + F = 0 As2 (0.0386) - 22 As + 171.16 = 0

As = 7.89 cm2/m

Cálculo del porcentaje de acero p =

As

p =

bd

con b = 100 cm

7.89 = 0.0036 (100)(22)

Porcentaje balanceado

p b =

f c ´´ f y

6000 β 1 f y + 6000

170 6000(0.85) = 0.0202 4200 4200 + 6000 Porcentaje máximo

p b =

Porcentaje mínimo: pmin = 0.70

f c ´ f y

0.90 p b = 0.01818 0.70 250 4200 pmin = 0.0026 =

146



pmax = 0.01818 p= 0.0036 pmin = 0.0026 Pero p= 0.0036 es menor que 0.015, entonces:

cortante que toma el concreto vc = FR (0.20 + 20P ) f c * ; FR = 0.80 vc = 0.80 [0.20 + 20 (0.0036)] 200 vc = 3.08kg/cm2= 30.80 t/ m2 *************************************************************************

Nota : cuando se hace la revisión por flexión se puede usar: Mact =

qu x

2

2 qu = (6.84 t/ m2 ) (3.20 m ) = 21.888 t/m 21.888 t / m Mact = (1.375)2 m2 = 20.691 t.m 2 Mact = 2,069,100 kg.cm Constantes 2069100 kg.cm F= = 547.38 (0.90)(4200) kg / cm f y 4200 G= = = 0.0386 2 B f c ´´ 2(320)(170) As2 G - As d + F = 0 As2 0.0386 – 22 As + 547.38 = 0 As = 24.99 cm2 acero total en la zapata 2 As 24.99cm p = = = 0.0035 = 0.0035 bd (320)(22)

que es el mismo que el anterior

************************************************************************* ************************* Peralte efectivo

147


d=


qu ( L − c )

2(ν c + qu ) 6.84(3.20 − 0.45) = 0.25m d= 2(30.80 + 6.84) d = 25cm

Para el nuevo peralte: As2 (0.0386)-25 As+ 171.16 = 0 As = 6.92 cm2/m p =

As bd

=

6.92 = 0.00276 (100)(25)

Como: pmáx = 0.01818 p= 0.00276 pmin = 0.0026

Acero total As total = As B As total = 6.92

cm

2

m

x 3.20 = 22.14 cm2

Usando varillas del N° 4 22.14 cm2 N° varillas = = = 18 varillas 1.27 cm2 As var illa B 320 = 17.78 @ 18 cm Separación s= = # var illas 18 18 ∮ N°4 @ 18 cm As total

Longitud de desarrollo Ld = 0.06

a s f y f c ´

≥

0.006 d b f y

0.06 a s f y 0.06(1.27)(4200) = = 20.24 250 f c ´ 0.006 d b f y = 0.006 (1.27)(4200) = 32.00 20.24

≥

32.00

Ld = 32 cm

Revisión por aplastamiento 148



f a = 0.70 f c* = 0.70 (200) = 140 kg/cm2 A1 = Ac = 45 x 45 = 2025 cm2 A2 = ( c + 4d )2 = [ 45 + 4 (26) ]2 A2 = 22 201 cm2 R=

A2 A1

=

Por lo tanto:

22201 = 3.31 2025

≤

2

R= 2

Pmáx = R f a Ac Pmáx = (2) (140) (2025) = 567 000 kg = 567 t > 70.07 t

Acero para la transmisión de continuidad entre losa y columna As min = 0.01 Acd As min = 0.01 (2025 ) = 20.25 cm2 Usando varillas del N° 6 ( 2.85 cm2 ) A 20.25 N° varillas = s min = =7 2.85 as Usando varillas del N° 8 (5.07 cm2) A 20.25 N° varillas = s min = =4 as 5.07

Φ

= 1.90 cm

7∮ N° 6 Φ

4∮ N° 8 60 % para ld

⎡

L d = 0.60 ⎢0.06

a s f y ⎤

⎥ ≥ (0.006) (0.6) d b f y f c ´ ⎥⎦ ⎢⎣ (5.07)(4200) ⎤ ⎡ L d = 0.60 ⎢0.06 ≥ (0.006) (0.6) (2.54) (4200) 250 ⎥⎦ ⎣ 48.48 ≥ 38.40 Por lo tanto: Ld = 48 cm

149

= 2.54 cm



Las losas de cimentación son un tipo de cimentación somera que cubre toda el área bajo la estructura; se emplea cuando la resistencia del suelo es baja o cuando es necesario limitar en forma estricta los asentamientos diferenciales. También se consideran como una opción cuando las cargas son grandes, tal que, más del 50% del área sería cubierta si se consideraran zapatas aisladas. Existen dos tipos de losas de cimentación: a) Losas planas, en el que las columnas se apoyan sobre la losa de cimentación directamente o por medio de capiteles, pero sin que existan vigas de unión en los ejes de las columnas. Tienen la ventaja de una sencillez constructiva pero se incrementa el volumen de concreto. b) Losas con contratrabes (vigas de cimentación) se emplean cuando los claros y las cargas son elevadas y se convierten frecuentemente en una estructura en cajón con losas en la parte superior e inferior a la contratrabe. El diseño estructural de losas de cimentación se efectúa por dos métodos convencionales: 1) El método rígido. 2) El método flexible aproximado. En el método rígido la losa se supone infinitamente rígida, además la presión del suelo se distribuye uniformemente y el centroide de la presión del suelo coincide con la línea de acción de las cargas resultantes de las columnas. En el método flexible, el suelo se supone equivalente a un número infinito de resortes elásticos (cimentación tipo Winkler), la constante elástica de esos resortes es el coeficiente de reacción del suelo, k s. La estructura se resuelve como una retícula de cimentación (parrilla) bidimensional. En su análisis se puede despreciar la rigidez torsional de las contratrabes y la rigidez a flexión de las columnas. Esta forma de análisis sólo es conveniente cuando el comportamiento del suelo es aproximadamente lineal. En suelos de alta compresibilidad en la que la mayor parte del hundimiento se presenta a largo plazo por fenómenos de consolidación, es preferible recurrir a métodos menos refinados pero en los que el comportamiento del suelo esté mejor representado. 150



El método rígido es más sencillo de aplicar, supone que las columnas son apoyos fijos y la losa está cargada con una presión uniforme igual a la carga total por unidad de área transmitida por la estructura. En estas condiciones el análisis se realiza como el un sistema de piso invertido. Cuando se tiene una losa plana las cargas sobre la losa se obtienen por medio de franjas imaginarias en la dirección larga de la planta. Cuando se tiene una retícula de cimentación el análisis se puede realizar como: 1) Por medio de dos franjas ortogonales equivalentes. 2) Por medio de una retícula de contratrabes. En ambos casos se consideran todas las contratabes que forman la retícula o la franja equivalente, como una viga “rígida” flotando sobre el suelo y sujeta a un estado de equilibrio entre las cargas de las columnas y las reacciones del suelo. Cuando se analiza la cimentación por medio de dos franjas ortogonales equivalentes los elementos mecánicos deben repartirse proporcionalmente a la rigidez de cada contratrabe real. Cuando se tiene una retícula de contratrabes las cargas sobre cada contratrabe se puede realizar por medio de áreas tributarias que se forman a 45°. Al analizar cada contratrabe en forma independiente no se está respetando la compatibilidad de asentamientos bajo una columna que pertenece a dos franjas ortogonales. Si los movimientos resultan significativamente distintos en dos direcciones conviene hacer correcciones en la distribución de presiones en las franjas. Se ignoran, por otra parte, las fuerzas cortantes que existen en los extremos de las contratrabes por la interacción de las contratrabes adyacentes y que pueden alterar las fuerzas internas (distribuidas) y los hundimientos. Normalmente en el método rígido no se obtiene un equilibrio en la fuerza cortante producida por las reacciones y las cargas en las columnas, por lo que hay que equilibrar el cortante de desequilibrio. Este método ignora los hundimientos relativos de los apoyos y considera una distribución uniforme de presiones, por lo cual los errores que se comenten al realizar estás hipótesis no son grandes cuando la cimentación es muy rígida y cuando la estructuración y las cargas son regulares. El método flexible resulta bastante más preciso que el de las franjas, ya que considera el carácter bidimensional de la cimentación, pero presenta mayor complicación numérica. Para losas con contratrabes se puede realizar un modelo claro, pero para losas planas se 151



presentan dificultades en la determinación de las rigideces de las vigas ficticias que unen las columnas. Un mejor procedimiento, es el propuesto por Flores y Esteva (Análisis y diseño de cimentaciones sobre terreno compresible, II UNAM, N° 258).

COMPARACIÓN DE RESULTADOS ZAPATA1 Y ZAPATA 2

NODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

NODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ZAPATA NÚMERO 1 Distancia (cm) Fuerza Área T. (cm2) Resistente (t) 0.00 -16.458 8740.0 46.00 -21.392 17480.0 92.00 -11.541 17480.0 138.0 -4.357 17480.0 184.0 -0.333 17480.0 230.0 0.241 17480.0 276.00 -2.887 17480.0 322.00 -9.952 17480.0 368.00 -21.042 17480.0 414.00 -35.801 17480.0 460.00 -26.483 8740.0

ZAPATA NÚMERO 2 Distancia (cm) Fuerza Área T. (cm2) Resistente (t) 0.00 -3.173 8740.0 46.00 -8.023 17480.0 92.00 -9.706 17480.0 138.0 -11.406 17480.0 184.0 -13.126 17480.0 230.0 -14.871 17480.0 276.00 -16.644 17480.0 322.00 -18.442 17480.0 368.00 -20.267 17480.0 414.00 -22.110 17480.0 460.00 -11.982 8740.0

152

P (kg/cm2) -1.883 -1.224 -0.660 -0.249 -0.019 0.014 -0.165 -0.569 -1.204 -2.048 -3.030

P (kg/cm2) -0.363 -0.459 -0.555 -0.653 -0.751 -0.851 -0.952 -1.055 -1.159 -1.265 -1.371

Mz (t-cm) 0.0 2002.96 3021.91 3509.96 3797.61 4069.94 4354.36 4503.99 4196.85 2921.79 0.00

Mz (t-cm) 0.00 2613.58 4856.08 6654.13 7927.35 8594.92 8576.54 7789.51 6158.78 3591.78 0.00


0.5 0 2 -0.5 0 m c / -1 g k -1.5 n ó i -2 s e r -2.5 P -3 -3.5


1

2

3

4

5

zapata2 zapata1 Distancia (m)

10000 ) m c t ( o t n e m o M

8000

zapata2

6000 4000

zapata1

2000 0 0

1

2

3

4

5

Distancia (m)

Ejemplo 7.1 El ejemplo numérico es una losa plana con zonas macizas que tienen tres claros de 731.52 cm (24’) en cada dirección, como se muestra en la Figura 3. La losa tiene un volado que sale más allá de la cara de la columna de 15.24cm (6”) a lo largo de cada lateral de la estructura. Las columnas son de 30.48 x 40.64 cm (12” x 36”) con el lado largo paralelo al eje de Y. La losa tiene de 25.4 cm (10”) de espesor. En las zonas macizas hay un espesor adicional de 12.7 cm (5”) de la losa, así el espesor total de la losa en la zona maciza es de 38.10 cm (15”). Las dimensiones en planta de los tableros, las zonas 153



macizas interiores son 243.84 cm x 243.84 cm (8’ x 8’), las zonas macizas de borde dónde el borde es paralelo al eje X son 243.84 x 182.88 cm (8’ x 6’), las zonas macizas de borde dónde el borde es paralelo al eje Y son 12.70 x 20.32 cm (5’ x 8’), y en las esquinas los tableros son 12.70' x 15.24 cm (5’ x 6’). El concreto tiene un peso por unidad de volumen de 2.405E-6 Ton/cm 3 (150 pcf ) y un f’c de 281.48 kg/cm 2 (4000 psi). La carga muerta consiste en el mismo peso de la estructura más una adicional de 9.774E-6 ton/cm 2 (20 psf). La carga viva es 3.909 Ton/cm 2 (80 psf). Se usan las propiedades del plato espesas para la losa. Cada columna en Figura 3 es referenciada con un número. Por ejemplo, la columna en la intersección de líneas de la malla A y 1 es la número 5. Estos números se refieren al objeto del punto ID en el modelo asociado al SAFE.

154



Manual de calculo para una viga interior usando el método SAFE.

d = [(38.1 − 2.54) + (38.1 − 5.08)]/ 2 = 34.29cm

En referencia a la figura 5.

bo

= 125.73 + 64.77 + 125.93 + 64.77 = 381.20cm

γ vx

= 1−

γ vx

= 1−

1

⎛ 2 ⎞ 125.73 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 64.77 1

⎛ 2 ⎞ 64.77 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 125.73

= 0.482

= 0.325

155



Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0). La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por punzonamiento. Lado1, lado 2, lado 3 y lado 4 de la sección critica por punzonamiento mostrado en la figura 5. DATOS X2

LADO 1 -32.39

LADO 2 0

LADO 3 32.39

LADO 4 0

SUMA N.A

Y2

0 125.73 34.29 4311.28 -139642.36 0

62.87 64.77 34.29 2220.96 0 76156.72

0 125.73 34.29 4311.28 139642.36 0

-62.87 64.77 34.29 2220.96 0 -76156.72

N.A

L D Ld Ldx2 Ldy2

x3 =

∑ Ldx2 =

0 =0 13064.48

y 3 =

∑ Ldy 2 =

0 =0 13064.48

Ld

Ld

DATO L d X2 - X3 Y2 - Y3 PARALELO A ECUACIONES Ixx Iyy Ixy

LADO 1 125.73 34.29 -32.39 0 eje Y 5b, 6b, 7 0 4523016.01 0

LADO 2 64.77 34.29 0 62.87 eje X 5a, 6a, 7 8778648.45 0 0

LADO 3 125.73 34.29 32.39 0 eje Y 5b, 6b, 7 0 4523016.01 0

Vu = -102.47 Ton Mux = 535.72 Ton-cm Muy = -483.99 Ton-cm

En el punto A de la Figura 5, X4 = -32.39 cm y Y4 = 62.87

156

LADO 4 64.77 34.29 0 62.87 eje X 5a,6a,7 8778648.45 0 0

bo =381.20 N.A 13064.48 0 0

SUMA N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 7557296.90 9046032.02 0



− 102.47 0.482[535.72 − (−102.47)(0 − 0)][9046032.02(62.87 − 0) − (0)(−32.39 − 0)] + − 381.20 * 34.29 (17557296.9)(9046032.02) − (0) 2 0.324[− 483.99 − (−102.47)(0 − 0)][17557296.9(−32.39 − 0) − (0)(62.87 − 0)] − (17557296.9)(9046032.02) − (0) 2

vu

=

Vu=-0.007839+0.000925 – 0.000561= - 0.007475 t/cm 2 en el punto A

En el punto B de la figura 5, X4= 32.39 y Y4= 62.87, asi: − 102.47 0.482[535.72 − ( −102 .47 )(0 − 0)][9046032.02 (62.87 − 0) − (0)(32 .39 − 0)] + − 381.20 * 34.29 (17557296 .9)(9046032 .02) − (0) 2 0.324[− 483 .99 − ( −102.47 )(0 − 0)][17557296 .9(32.39 − 0) − (0)(62.87 − 0)] − (17557296 .9)(9046032 .02) − (0) 2

vu

=

Vu=-0.007839+0.000925 + 0.000561= - 0.006353 t/cm 2 en el punto B

En el punto C de la figura 5, X4= 32.39 y Y4= - 62.87, asi: − 102 .47 0.482 [535 .72 − ( − 102 .47 )( 0 − 0 ) ][9046032.02 ( −62 .87 − 0) − ( 0)( 32 .39 − 0 )] + − 381 .20 * 34 .29 (17557296 .9 )(9046032 .02 ) − ( 0) 2 0.324 [− 483 .99 − ( −102 .47 )( 0 − 0 ) ][17557296 .9(32 .39 − 0 ) − ( 0 )( − 62 .87 − 0 )] − (17557296 .9)( 9046032 .02 ) − (0 ) 2

vu

=

Vu=-0.007839-0.000925 + 0.000561= - 0.008203 t/cm 2 en el punto C

En el punto D de la figura 5, X4= -32.39 y Y4= - 62.87, asi: − 102 .47 0.482 [535 .72 − ( −102 .47 )( 0 − 0 ) ][9046032.02 ( − 62 .87 − 0 ) − ( 0)( − 32 .39 − 0 )] + − 381 .20 * 34 .29 (17557296 .9)( 9046032 .02 ) − ( 0 ) 2 0.324 [− 483 .99 − ( −102 .47 )( 0 − 0 ) ][17557296 .9( − 32 .39 − 0) − ( 0 )( −62 .87 − 0) ] − (17557296 .9 )(9046032 .02 ) − ( 0 ) 2

vu

=

Vu=-0.007839+0.000925 - 0.000561= - 0.009325 t/cm 2 en el punto D. 157



El punto D tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.009325 t/cm2 Manual de calculo para una columna de borde usando el método SAFE. d = [(38.1 − 2.54) + (38.1 − 5.08)]/ 2 =34.29

cm

En referencia a la figura 6

bo

= 123.83 + 64.77 + 123.83 = 312.43cm

γ vx

= 1−

γ vx

= 1−

1

⎛ 2 ⎞ 123.83 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 64.77 1

⎛ 2 ⎞ 64.77 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 123.83

= 0.480

= 0.325

Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0) La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por punzonamiento. Lado1, lado 2 y lado 3

de la sección critica por punzonamiento

mostrado en la figura 6.

158


DATOS X2


LADO 1 -32.39 0.95 123.83 34.29 4245.96 -137505.39 4044.28

Y2 L d Ld Ldx2 Ldy2

LADO 2 0.00 62.87 64.77 34.29 2220.96 0.00 139620.86

x3 =

∑ Ldx2 =

y 3 =

∑ Ldy 2 = 143665.13 = 13.41cm

Ld

Ld

LADO 3 32.39 0.00 123.83 34.29 4245.96 137505.39 0.00

SUMA N.A N.A bo =312.42 N.A 10712.88 0.00 143665.13

0 =0 10712.88 10712.88

La siguiente tabla se usa para calcular Ixx, Iyy y Ixy. Los valores de éstos sa muestran en la columna SUMA. DATOS L d X2 - X3 Y2 - Y3 PARALELO A ECUACIONES Ixx Iyy Ixy

LADO 1 123.83 34.29 -32.39 -12.83 eje Y 5b, 6b, 7 6539774.29 4453112.07 1763781.64

LADO 2 LADO 3 SUMA 64.77 123.83 N.A. 34.29 34.29 N.A. 0.00 32.39 N.A. 49.07 -12.83 N.A. eje X eje Y N.A. 5a, 6a, 7 5b, 6b, 7 N.A. 5348389.89 6539774.29 18427938.48 994058.20 4453112.07 9900282.33 0.00 -1763781.64 0.00

De los datos de salida del SAFE en la columna del punto 6, tenemos: Vu = -54.36 Ton Mux = 4356.64 Ton-cm Muy = 401.98 Ton-cm

En el punto A de la Figura 6, X4 = -32.39 cm y Y4 = 62.87 159



− 54.36 0.480[4356.64 − (−54.36)(13.41 − 0)][9900282.33(62.87 − 13.41) − (0)(−32.39 − 0)] + − 312.43 * 34.29 (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2 0.325[104.98 − (−54.36)(0 − 0)]18427938.48[(−32.39 − 0) − (0)(62.87 − 13.41)] − (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2

vu

=

Vu=-0.005074-0.006552 – 0.000427= -0.012054 t/cm 2 en el punto A

En el punto B de la Figura 6, X4 = 32.39 cm y Y4 = 62.87 − 54.36 0.480[4356.64 − (−54.36)(13.41 − 0)][9900282.33(62.87 − 13.41) − (0)(32.39 − 0)] + − 312.43 * 34.29 (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2 0.325[104.98 − (−54.36)(0 − 0)]18427938.48[(32.39 − 0) − (0)(62.87 − 13.41)] − (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2

vu

=

Vu=-0.005074-0.006552 + 0.000427= -0.011199 t/cm 2 en el punto B

En el punto C de la Figura 6, X4 = 32.39 cm y Y4 = -60.96 − 54.36 0.480[4356.64 − (−54.36)(13.41 − 0)][9900282.33(−60.96 − 13.41) − (0)(32.39 − 0)] + − 312.43 * 34.29 (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2 0.325[104.98 − (−54.36)(0 − 0)]18427938.48[(32.39 − 0) − (0)(−60.96 − 13.41)] − (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2

vu

=

Vu=-0.005074+ 0.009852 + 0.000427= 0.005205 t/cm 2 en el punto C

En el punto D de la Figura 6, X4 = -32.39 cm y Y4 = -60.96 − 54.36 0.480[4356.64 − (−54.36)(13.41 − 0)][9900282.33(−60.96 − 13.41) − (0)(−32.39 − 0)] + − 312.43 * 34.29 (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2 0.325[104.98 − (−54.36)(0 − 0)]18427938.48[(−32.39 − 0) − (0)(−60.96 − 13.41)] − (18427938.48)(9900282.33) − (0) 2

vu

=

Vu=-0.005074+ 0.009852 - 0.000427= 0.004350 t/cm 2 en el punto D 160



El punto A tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.012050 t/cm2

Relación de cortante =

vu

ϕ vc

=

0.00435 = 0.345 0.0126

Procedimiento de cálculo para una columna de borde paralelo al eje Y usando el método SAFE. d = [(38.1 − 2.54) + (38.1 − 5.08)]/ 2 =34.29

cm


bo

γ vx

= 62.87 + 125.73 + 62.87 = 251.47cm = 1−

1

⎛ 2 ⎞ 125.43 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 62.87

= 0.485

161


γ vx

= 1−

1

⎛ 2 ⎞ 62.87 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 125.43


= 0.320

Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0) La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por punzonamiento. Lado1, lado 2 y lado 3

de la sección critica por punzonamiento

mostrado en la figura 7. DATOS X2

LADO 1 0.95 62.87 62.87 34.29 2155.64 2053.25 135514.36

Y2 L d Ld Ldx2 Ldy2

LADO 2 LADO 3 32.39 0.95 0.00 -62.87 125.73 62.87 34.29 34.29 4311.28 2155.64 139620.86 2053.25 0. 0.00 -135514.36

x3 =

∑ Ldx2 = 143727.35 = 16.67cm

y3 =

∑ Ldy2 =

bo =251.47 N.A 8622.56 143727.35 0.00

8622.56

Ld

Ld

SUMA N.A N.A

0 =0 8622.56

La siguiente tabla se usa para calcular Ixx, Iyy y Ixy. Los valores de éstos se muestran en la columna SUMA. DATOS L d X2 - X3 Y2 - Y3 PARALELO A ECUACIONES Ixx Iyy Ixy

LADO 1 62.87 34.29 -15.72 62.87 eje X 5a, 6a, 7 8519110.37 1454018.22 -2130638.11

LADO 2 125.73 34.29 15.72 0.00 eje Y 5b, 6b, 7 6101842.14 1065749.49 0.00

LADO 3 62.87 34.29 -15.72 -62.87 eje X 5a, 6a, 7 8519110.37 1454018.22 2130638.11

SUMA N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 23140062.88 3973785.93 0.00

De los datos de salida del SAFE en la columna del punto 6, tenemos: Vu = -43.07 Ton 162



Mux = 201.75 Ton-cm Muy = 1688.00 Ton-cm

En el punto A de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = 62.87

− 43 . 07 0 .485 [201 .75 − ( − 43 .07 )( 0 − 0 ) ] 3973785 .93 ( 62 .87 − 0 ) − ( 0 )( − 30 .48 − 16 . 67 ) ] + − 251 .47 * 34 .29 ( 23140062 .88 )( 3973785 .93 ) − ( 0 ) 2 0 .320 [1688 .00 − ( − 43 .07 )(16 .67 − 0 ) ][23140062 .88 ( − 30 .48 − 16 . 67 ) − ( 0 )( 62 .87 − 0 ) ] − ( 23140062 .88 )( 3973785 .93 ) − ( 0 ) 2

vu

=

Vu=-0.004994-0.000266 Vu=-0.004994-0.000 266 + 0.009135 = -0.003875 t/cm 2 en el punto A

En el punto B de la Figura 7, X4 = 32.37 cm y Y4 = 62.87 − 43 .07 0 .485 [201 .75 − ( − 43 .07 )( 0 − 0 ) ][3973785 .93 ( 62 .87 − 0 ) − ( 0 )( 32 . 37 − 16 . 67 ) ] + − 251 .47 * 34 .29 ( 23140062 .88 )( 3973785 .93 ) − ( 0 ) 2 0 .320 [1688 .00 − ( − 43 .07 )(16 . 67 − 0 ) ][23140062 .88 ( 32 .37 − 16 . 67 ) − ( 0 )( 62 .87 − 0 ) ] − ( 23140062 .88 )( 3973785 .93 ) − ( 0 ) 2

vu

=

Vu=-0.004994-0.000266 Vu=-0.004994-0.00 0266 - 0.003042 = -0.008302 t/cm 2 en el punto B

En el punto C de la Figura 7, X4 = 32.37 cm y Y4 = -62.87 − 43 . 07 0 .485 [201 .75 − ( − 43 .07 )( 0 − 0 ) ][3973785 .93 ( − 62 .87 − 0 ) − ( 0 )( 32 . 37 − 16 .67 ) ] + − 251 .47 * 34 .29 ( 23140062 .88 )( 3973785 .93 ) − ( 0 ) 2 0 .320 [1688 .00 − ( − 43 . 07 )(16 . 67 − 0 ) ][23140062 .88 ( 32 .37 − 16 .67 ) − ( 0 )( − 62 .87 − 0 ) ] − ( 23140062 .88 )( 3973785 .93 ) − ( 0 ) 2

vu

=

Vu=-0.004994+0.000266 Vu=-0.004994+ 0.000266 - 0.003042 = -0.007770 t/cm 2 en el punto C

En el punto D de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = -62.87 163



0 .485 [201 .75 − ( − 43 .07 )( 0 − 0 ) ][3973785 .93 ( − 62 .87 − 0 ) − ( 0 )( − 30 .48 − 16 .67 ) ] − 43 .07 + − 251 . 47 * 34 .29 ( 23140062 . 88 )( 3973785 .93 ) − ( 0 ) 2 0 .320 [1688 .00 − ( − 43 .07 )(16 . 67 − 0 ) ][23140062 .88 ( − 30 .48 − 16 .67 ) − ( 0 )( − 62 .87 − 0 ) ] − ( 23140062 .88 )( 3973785 . 93 ) − ( 0 ) 2

vu

=

Vu=-0.004994+0.000266 + 0.009135= 0.004406 t/cm 2 en el punto D

El punto B tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.008302 Ton/cm2

Relación de cortante =

vu

ϕ vc

=

0.008302 = 0.659 0.0126

Procedimiento de cálculo para una columna de borde paralelo al eje Y usando el método SAFE. d = [(38.1 − 2.54) + (38.1 − 5.08)]/ 2 =34.29

cm


164


bo


= 62.87 + 123.83 = 186.70cm

γ vx

= 1−

γ vx

= 1−

1

⎛ 2 ⎞ 123.83 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 62.87 1

⎛ 2 ⎞ 62.87 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 123.85

= 0.483

= 0.322

Las coordenadas del centro de la columna (x1, y1) son tomadas como (0,0) La siguiente tabla se usa para calcular el centroide de la sección crítica por punzonamiento. Lado1 y lado 2 de la sección critica por punzonamiento mostrado en la figura 8. DATOS X2

Y2 L d Ld Ldx2 Ldy2

LADO 1 0.95 62.87 62.87 34.29 2155.64 2053.25 135514.36

LADO 2 32.39 0.95 123.83 34.29 4245.96 137505.39 4044.28

x3 =

∑ Ldx2 = 139558.64 = 21.80cm

y 3 =

∑ Ldy 2 = 139558.64 = 21.80cm

Ld

Ld

SUMA N.A N.A bo =186.69 N.A 6401.60 139558.64 139558.64

6401.60

6401.60

La siguiente tabla se usa para calcular Ixx, Iyy y Ixy. Los valores de éstos sa muestran en la columna SUMA. DATOS L d X2 - X3 Y2 - Y3 PARALELO A ECUACIONES Ixx Iyy Ixy

LADO 1 62.87 34.29 -20.85 41.07 eje Y 5b, 6b, 7 3636334.93 1858554.71 -1846277.66

LADO 2 123.83 34.29 10.59 -20.85 eje X 5a, 6a, 7 7687594.49 476338.15 -937826.43

165

SUMA N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 11323929.42 2334892.86 -2784104.09



De los datos de salida del SAFE en la columna del punto 6, tenemos: Vu = -24.83 Ton Mux = 2262.50 Ton-cm Muy = 1321.15Ton-cm

En el punto A de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = 62.87 − 24.83 0.483[2262.50 − (−24.83)(21.80 − 0)] 2334892.86(62.87 − 21.80) − (−2784104.09)(−30.48 − 21.80) ] + − 186.69 * 34.29 (11323929.42)(2334892.86) − (−2784104.09) 2 0.322[1321.15 − (−24.83)(121.80 − 0)][11323929.42(−30.48 − 21.80) − (−2784104.09)(62.87 − 21.80) ] − (11323929.42)(2334892.86) − ( −2784104.09) 2

vu

=

Vu=-0.003879 - 0.002209 + 0.015328 = 0.009240 t/cm 2 en el punto A

En el punto B de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = 62.87 − 24.83 0.483[2262.50 − (−24.83)(21.80 − 0)][2334892.86(62.87 − 21.80) − (−2784104.09)(32.39 − 21.80)] + − 186.69 * 34.29 (11323929.42)(2334892.86) − ( −2784104.09) 2 0.322[1321.15 − ( −24.83)(121.80 − 0)][11323929.42(32.39 − 21.80) − ( −2784104.09)(62.87 − 21.80)] − (11323929.42)(2334892.86) − (−2784104.09) 2

vu

=

Vu=-0.003879 + 0.005577 - 0.007517 = -0.005819 t/cm 2 en el punto B

En el punto C de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = -60.96 − 24.83 0.483[2262.50 − (−24.83)( 21.80 − 0)][2334892.86(−60.96 − 21.80) − (−2784104.09)(32.39 − 21.80)] + − 186.69 * 34.29 (11323929.42)(2334892.86) − (−2784104.09) 2 0.322[1321.15 − (−24.83)(121.80 − 0)][11323929.42(32.39 − 21.80) − ( −2784104.09)(−60.96 − 21.80)] − (11323929.42)(2334892.86) − ( −2784104.09) 2

vu

=

Vu=-0.003879 - 007482 + 0.003546 = -0.007617 t/cm 2 en el punto C

El punto A tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = 0.009240 t/cm2 Procedimiento de calculo para una columna de borde paralelo al eje Y usando el método SAFE considerando Ixy = 0. En el punto A de la Figura 7, X4 = -30.48 cm y Y4 = 62.87 166



− 24.83 0.483[2262.50 − (−24.83)(21.80 − 0)][2334892.86(62.87 − 21.80) − (0)(−30.48 − 21.80) ] + − 186.69 * 34.29 (11323929.42)(2334892.86) − (0) 2 0.322[1321.15 − (−24.83)(121.80 − 0)][11323929.42(−30.48 − 21.80) − (0)(62.87 − 21.80) ] − (11323929.42)(2334892.86) − (0) 2

vu =

Vu=-0.003879 + 0.003015 + 0.013428 = 0.012564 t/cm 2 en el punto A

En el punto B de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = 62.87 0.483[2262.50 − ( −24.83)(21.80 − 0)][2334892.86(62.87 − 21.80) − (0)(32.39 − 21.80)] − 24.83 + − 186.69 * 34.29 (11323929.42)(2334892.86) − (0) 2 0.322[1321.15 − (−24.83)(121.80 − 0)][11323929.42(32.39 − 21.80) − (0)(62.87 − 21.80) ] − (11323929.42)(2334892.86) − (0) 2

vu =

Vu=-0.003879 + 0.003015 - 0.002720 = -0.003584 t/cm 2 en el punto B

En el punto C de la Figura 8, X4 = 32.39 cm y Y4 = -60.96 − 24.83 0.483[2262.50 − (−24.83)(21.80 − 0)][2334892.86(−62.87 − 21.80) − (0)(32.39 − 21.80) ] + − 186.69 * 34.29 (11323929.42)(2334892.86) − (0) 2 0.322[1321.15 − (−24.83)(121.80 − 0)][11323929.42(32.39 − 21.80) − (0)(−62.87 − 21.80)] − (11323929.42)(2334892.86) − (0) 2

vu =

Vu=-0.003879 - 006216 - 0.002720 = -0.012815 Ton/cm 2 en el punto C

El punto C tiene el valor absoluto más alto, así Vmax = -0.0128 t/cm2

167

Notas Cimentaciones

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