Notación Científica Introducción Cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños, los científicos, matemáticos e ingenieros usan notación científica para expresa expresarr esas cantidad cantidades. es. La notación notación científic científica a es una abreiaci abreiación ón matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un exponente exponente que que contar muc!os ceros en un número. "úmeros muy grandes o muy pequeños necesitan menos espacio cuando son escritos en notación científica porque los alores de posición están expresados como potencias de #$. Cálculos con números largos son más fáciles de !acer cuando se usa notación científica. Aprendiendo a Usar Notación Científica La c%lula roja !umana es muy pequeña y se estima que tiene un diámetro de $.$$&' milímetros. (or otro tro lad lado, un año lu) es una unida idad de dist istancia cia muy muy gran rande que mide ide alred rededor de #$,$$$,$$$,$$$, #$,$$$,$$$,$$$,$$$,$$$ $$$,$$$ metros. *mbas *mbas cantidades cantidades son difíciles de escribir, y sería muy fácil ponerles o quitarles un cero o dos de más. (ero en notación científica, científica, el diámetro de una c%lula roja se escribe + como &.' x #$ milímetros, y un año lu) es más o menos # x #$ #& metros. -sas cantidades son más fáciles de usar que sus ersiones largas. "ota que es el exponente el que nos dice si el t%rmino es un número muy grande o muy pequeño. i el número es ≥ # en la notación decimal estándar, el exponente será ≥ $ en notación científica. científica. -n otras palabras, números grandes requieren potencias positias de #$. i un número está entre $ y # en notación estándar, el exponente será / $ en notación científica. "úmeros pequeños son descritos por potencias negatias de #$. Como es tan útil, eamos más de cerca los detalles del formato de la notación científica. Formato de la Notación Científica La forma general de un número en notación científica es a x #$n donde
y n es un entero.
0ebemos 0ebemos poner poner muc!a muc!a atención atención a esas esas conenc conencione iones s para escribir escribir correctam correctamente ente en notació notación n científica. 1eamos algunos ejemplos2
Número
¿Notación Científica?
#.3' x #$ +4
sí
Explicación
+4 es un entero no
no es un entero
$.34 x #$ #5
no
$.34 no es
#$ x #$
no
#$ no es / #$
≥ #
ólo los números que siguen las conenciones apropiadas para todas las partes de la expresión se consideran notación científica.
6Cuál de los siguientes números está escrito en el formato de notación científica7 *8 5.4' x #$$.$3 98 $.54' x #$ : C8 54.' x #$ ' 08 5.4' x #$ &
Respuesta *8 ;ncorrecto. 5.4' x #$ &.
-l exponente debe ser un entero y $.$3 no es un entero. La respuesta correcta es
98 ;ncorrecto. -sta no es la forma apropiada porque $.54' es menor que #. La respuesta correcta es 5.4' x #$ &. C8 ;ncorrecto. -sta no es la forma apropiada porque 54.' es mayor que #$. La respuesta correcta es 5.4' x #$ &. 08 Correcto. -ste número refleja el formato apropiado porque 5.4' es mayor que # y menor que #$ y & es un entero.
Cambiando de Forma ecimal a Notación Científica *!ora que entendemos el formato de notación científica, comparemos algunos números expresados en notación decimal estándar y notación científica para entender cómo conertir de una forma a la otra.
Notación Científica
Números "e#ue$os Notación ecimal
Notación Científica
'$$.$
' x #$ 4
$.$'
' x #$ +4
3$,$$$.$
3 x #$ 5
$.$$$3
3 x #$ +5
5,$$$,$$$.$
5. x #$ :
$.$$$$$$5
5. x #$ +:
&4,'$$,$$$,$$$.$
&.4' x #$ #$
$.$$$$$$$$$&4'
&.4' x #$ +#$
-mpecemos con los números grandes. (ara escribir un número grande en notación científica, primero debemos moer el punto decimal a un número entre # y #$. Como moer el punto decimal cambia el alor, tenemos que aplicar una multiplicación por la potencia de #$ que nos resulte en un alor equialente al original. (ara encontrar el exponente, sólo contamos el número de lugares que recorrimos el punto decimal. -se número es el exponente de la potencia de #$. *nalicemos un ejemplo. (ara escribir #3$,$$$ en notación científica, primero moemos el punto decimal !acia la i)quierda !asta que tengamos un número mayor o igual que # y menor que #$. -l punto decimal no está escrito en #3$,$$$, pero si lo estuiera sería despu%s del último cero. i empe)amos a recorrer el punto decimal un lugar cada e), llegaremos a #.3 despu%s de ' lugares2
#3$$$$ . #3$$$ .$ #3$$.$$ #3$.$$$ #3.$$$$ #.3$$$$ *!ora conocemos el número =#.38 y el exponente de la potencia de #$ que presera el alor original ='8. -n notación científica #3$,$$$ se escribe #.3 x #$ '. La población del mundo se estima en &,3$$,$$$,$$$ personas. 6Cuál de las siguientes respuestas expresa correctamente este número en notación científica7 *8 : x #$> 98 $.&3 x #$ #$ C8 &.3 x #$ > 08 &3 x #$ 3
Respuesta *8 ;ncorrecto. La notación científica reescribe números, no los redondea. La respuesta correcta es C8 &.3 x #$ >. 98 ;ncorrecto. i bien $.&3 x #$ #$ es equialente a &,3$$,$$$,$$$, $.&3 no es el formato apropiado. "o es mayor o igual que #, o menor que #$, un requerimiento para la notación científica. La respuesta correcta es C8 &.3 x #$ >. C8 Correcto. -ste número es equialente a &,3$$,$$$,$$$ y usa el formato apropiado para cada factor. 08 ;ncorrecto. i bien &3 x #$ 3 es equialente a &,3$$,$$$,$$$, no es un formato apropiado porque &3 no es mayor o igual a #, o menor que #$. La respuesta correcta es C8 &.3 x #$ >.
-l proceso de cambiar entre notación decimal y científica es el mismo para números pequeños =entre $ y #8, pero en este caso el punto decimal se muee !acia la derec!a, y el exponente será negatio. Considera el número pequeño $.$$$52 $.$$$5 $$.$$5 $$$.$5 $$$$.5 $$$$5.
?oimos el punto decimal !acia la derec!a !asta que obtuimos el número 5, que está entre # y #$ como es requerido. Lo moimos 5 lugares, pero fueron moimientos que !icieron el número más grande que el original. -ntonces tendremos que multiplicar por una potencia negatia de #$ para traer de regreso el nueo número al equialente de su alor original. -n notación científica $.$$$5 se escribe 5.$ x #$ +5. Cambiando de Notación Científica a Forma ecimal @ambi%n podemos ir al re%s A números escritos en notación científica pueden ser trasladados a notación decimal. (or ejemplo, un átomo de !idrógeno tiene un diámetro de ' x #$ +3 mm. (ara escribir este número en notación decimal, conertimos la potencia de #$ en una serie de ceros entre el número y el punto decimal. Como el exponente es negatio, todos esos ceros an a la i)quierda del número '2 ' x #$+3 '. $.' $.$' $.$$' $.$$$' $.$$$$' $.$$$$$' $.$$$$$$' $.$$$$$$$' (or cada potencia de #$, moemos el punto decimal un lugar !acia la derec!a, @en cuidado aquí y no te dejes llear por los ceros A el número de ceros despu%s del punto decimal siempre será # menos que el exponente. e necesita una potencia de #$ para moer el punto decimal a la i)quierda del primer número.
Beescribe #.': x #$ +#$ en notación decimal. *8 #',:$$,$$$,$$$ 98 $.$$$$$$$$$#': C8 $.$$$$$$$$$$#': 08 #': x #$ +#4
Respuesta *8 ;ncorrecto. ?oiste el punto decimal en la dirección equiocada. -l exponente es negatio, por lo que para conertir a formato decimal debes moer el punto decimal !acia la i)quierda, no !acia la derec!a. La respuesta correcta es 98 $.$$$$$$$$$#':. 98 Correcto. -l número tenía un exponente negatio, por lo que moiste el punto decimal #$ lugares !acia la i)quierda para conertirlo a notación decimal.
C8 ;ncorrecto. ;nsertaste #$ ceros entre el número y el punto decimal. 0ebiste moer el punto decimal #$ lugares !acia la i)quierda. La respuesta correcta es 98 $.$$$$$$$$$#':. 08 ;ncorrecto. -ste número es equialente al número original, pero no está en notación científica. La respuesta correcta es 98 $.$$$$$$$$$#':.
%ultiplicando & i'idiendo Números Expresados en Notación Científica "úmeros que están escritos en notación científica pueden ser multiplicados y diididos fácilmente aproec!ando algunas propiedades y reglas. (ara multiplicar números en notación científica, primero multiplicamos los números que no son potencias de #$ =la a en a x #$n8. Luego multiplicamos las potencias de #$ al sumar los exponentes. -sto producirá un nueo número por una potencia de #$ diferente. @odo lo que tenemos que !acer es comprobar si este nueo alor está en notación científica. i no, lo conertimos. 1eamos un ejemplo2 E(emplo "roblema = x #$38=&.3 x #$+#8 = • &.38=#$ x #$ 8
Beagrupar usando las (ropiedades Conmutatias y *sociatias
=4$.58= #$3 x #$+#8
?ultiplicar los números
4$.5 x #$ +'
umar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes
4.$5 x #$ # x #$+'
Conertir 4$.5 a notación científica
4.$5 x #$ #=+'8
umar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes
3
Solución
+#
4.$5 x #$ +5
(ara diidir números en notación científica, tambi%n aplicamos las propiedades de los números y las reglas de los exponentes. -mpe)amos por diidir los números que no son potencias de #$ =la a en a x #$n8. Luego diidimos las potencias de #$ al restar los exponentes. -sto producirá un nueo número y una potencia de #$ diferente. i no está ya en notación científica, lo conertimos. )eamos un e(emplo*
E(emplo
"roblema
Beagrupar usando la (ropiedad *sociatia
0iidir los números =$.348 $.34 x #$ +> D =+8
Bestar los exponentes
$.34 x #$ +&
Solución
=3.4 x #$+#8 x #$+&
Conertir $.34 a notación científica
3.4 x #$+#=+&8
umar los exponentes
3.4 x #$+:
"ota que cuando diidimos los t%rminos exponenciales, restamos el exponente del denominador del exponente del numerador.
-aluar =5 x #$ +#$8= x #$'8 y expresar el resultado en notación científica. *8 #.4 x #$+5 98 #4 x #$ +' C8 : x #$+' 08 #.4 x #$ +'$
Respuesta *8 Correcto. -l cálculo es correcto y la notación científica apropiada. 98 ;ncorrecto. Casi, pero a!ora tienes que conertir este número a notación científica. #4 es mayor que #$ y la notación científica requiere que este número sea mayor o igual a # y menor que #$. La respuesta correcta es *8 #.4 x #$+5. C8 ;ncorrecto. 0ebiste multiplicar, no sumar, los números 5 y . La respuesta correcta es *8 #.4 x #$+5. 08 ;ncorrecto. umar, no multiplicar, exponentes. La respuesta correcta es *8 #.4 x #$+5.
+umario
La notación científica fue desarrollada para ayudar a matemáticos, científicos y otros cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños. La notación científica sigue un formato específico en el cual un número es expresado como el producto de un número mayor o igual que uno y menor que #$ y una potencia de #$. -l formato se escribe como a x #$n, donde y n es un entero. (ara multiplicar números en notación científica, sumamos los exponentes. (ara diidir, restamos los exponentes.
OTRO EJEMPLO:
