CPII2NUM-OPE1
NÚMEROS Y OPERACIONES – TEMA 1
RAZONES – REGL REGLA A DE TRES DESARROLLO DEL TEMA RAZONES 2. Razón Razón geom geomét étric ricaa
RAZONES En nuestra vida cotidiana solemos escuchar, decir o leer frases como: • Vícto Víctorr tien tiene e 10 10 años años más más que que Juan Juan Carlos Carlos.. • El día día de de hoy es más más calu caluros roso o que que el de de ayer ayer..
• •
Es la comparación que se hace entre dos cantidades mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia.
Por Por cada cada 5 perso personas nas que que entr entran an a la la discot discotec eca, a, una una no paga. El sueld sueldo o de de Alonso Alonso es el el triple triple del sueldo sueldo de Davi David. d.
Ejemplo: Beto y Víctor se van de viaje a dos ciudades diferentes, recorriendo cada uno 60 y 48 km, respectivamente.
Estas frases tienen en común la comparación, y de eso es lo que trata el tema que hoy abordaremos. A. Concepto Concepto
Se denomina razón a la comparación que se hace entre dos cantidades mediante las operaciones de sustracción o división.
Interpretación:
B. Tipos ipos de razón razón
•
1. Razón Razón aritm aritmét ética ica
•
Es la comparación que se hace entre dos cantidades mediante la sustracción, y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.
•
Los espaci espacios os recor recorrido ridoss por Beto Beto y Víctor Víctor son son entre sí como 5 es a 4. Los espaci espacios os recor recorrido ridoss por Beto Beto y Víctor Víctor son son proporcionales a 5 y 4. Por cada cada 5 km km que recorr recorre e Beto, Beto, Víctor Víctor recorr recorre e 4 km.
Ejemplo:
En general:
Las edades de Luis y Ana son 24 y 18 años respectivamente.
Sean a y b dos cantidades.
RAZÓN
Razón Aritmética
2 4 añ os
1 8 año s
Antecedente
Consec uente
6 añ años
Valor de de la razó razón n
Interpretación: • •
Geométrica
a–b=r
a = k b
Donde: a: antecedente b: consecuente r y k: valores de las razones
La edad edad de Luis Luis es mayo mayorr que la de de Ana Ana en 6 años. La edad edad de Luis Luis exce excede de a la la de Ana Ana en 6 años años..
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Aritmética
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TEMA 1
RAZONES – REGLA DE TRES
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a. Serie de razones geométricas equivalentes
Es aquella serie de razones geométricas equivalentes en la que se cumple que el valor de la razón geométrica formada por el primer antecedente y el último consecuente tiene como valor a la constante de proporcionalidad elevado al número de razones que tiene la serie. Es de la forma:
Se llama así al conjunto de razones geométricas, que en común van a tener un mismo valor. a1 b1
a2 b2
a3 b3
...
an bn
k
En donde se cumplen las siguientes relaciones: a1 1. b1
2.
a2 b2
a3 b3
a1.a2.a3....an b1.b2.b3.....bn
... a n ... b n
a1 a2
k
a2 b 2 a2 – b2
a3 a4
a1 an 1 a3 b3 a3 – b3
......
an an 1
k
en la que se cumple que:
k n
Además: a1 b1 a1 – b1
a2 a3
....
an b n an – b n
k 1 k –1
k n
Nota: La razón geométrica es la más usada en los ejercicios, por eso si en un ejercicio no se menciona el tipo de razón se sobreentiende que es la razón geométrica.
b. Serie de razones geométricas continuas equivalentes
REGLA DE TRES CONCEPTO DE REGLA DE TRES Es un método aritmético, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de magnitudes proporcionales. Es de suma importancia aprender a identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales (D.P.), o inversamente proporcionales (l.P.)
2. Regla de tres simple inversa Ejemplo: La maquinaria de la fábrica "A" tiene una eficiencia del 80% y así cumple con su nivel de producción en 45 días. Si su eficiencia fuera del 90%. ¿En cuántos días cumplirían con su nivel de producción?
Analiza las siguientes parejas de magnitudes y deduce si son directamente proporcionales (D.P.) o inversamente proporcionales (I.P.): Trabajo .......... Tiempo Número de trabajadores .......... Tiempo Velocidad ... ... ... . Tiem po Espacio .......... Tiempo Eficiencia .......... Tiempo Tiempo .......... Obra Obra .......... Número de obreros Precio de un artículo ... ... ... . Númerodeartículos a comprar
B. Regla de tres compuesta Se le reconoce porque intervienen más de dos magnitudes.
Ejemplo: Doce costureras han confeccionado 480 polos durante 25 días trabajando 8 horas al día. ¿Cuántos días utilizarán 10 costureras para confeccionar 360 polos trabajando 6 horas diarias?
A. Regla de tres simple Es el procedimiento de cálculo que permite hallar un cuarto valor, cuando se conocen tres valores correspondientes a dos magnitudes.
1. Regla de tres simple directa Ejemplo: Con 36 trabajadores se pueden sembrar
(# cos tureras).(tiempo) obra 12.258 10.x.6 ; x 30 480 360
600 m2 de terreno. ¿Cuántos trabajadores serán necesarios para sembrar 800 m2?
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TEMA 1
K
RAZONES – REGLA DE TRES
problemas
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RESUELTOS
Problema 1
H = 3M – 48
En una reunión hay damas y caballeros, se van 16 damas, quedando 3 caballeros por cada dama. Si se retiran 120 caballeros las cantidades serian iguales. Hallar la cantidad inicial de personas.
3M – H = 48 ... (1)
Nivel fácil
A . 450 B. 300
Cálculo de T2: 1.24 1
H – 120 = M – 16
Tiempo Total: 18 min. 40 seg. De (1) y (2)
C. 400 D. 256
3M H
H = 48 M = 104
2M = 152 M = 76
Otra forma: H = 180
Cantidad inicial de personas = 180 + 76 = 256
Método 1
•
N o m en ci on an la ca nt id ad de hombres ni de mujeres, entonces les llamaremos H y M, respectivamente. Mediante los datos llegaremos a dos relaciones entre H y M.
Errores más comunes: Al aplicar el sistema de ecuaciones tener cuidado con los signos de las variables. Respuesta: D. 256
H M – 16
H – 120 M – 16
3k 1k
1k 1k
H = 3k pero H – 120 = k Reemplazando:
Problema 2 Un atleta puede recorrer una vuelta completa de un circuito en 1 minuto con una velocidad de 24 km/h. Si este atleta debe recorrer 5 vueltas a 10 km/h y 5 vueltas a 18 km/h, ¿cuánto tiempo emplearía? Nivel intermedio
Reemplazando: Hombres: 3k = 3(60) = 180
20 min 3
H – M = 104 ... (2)
Resolución
•
T2 .18 T2 5 6min40seg
A . B. C. D.
18'2 4' ' 1 8' 40 '' 18' 1 6' 20 ''
Tambien se puede resolver el problema utilizando las relaciones de cinemática.
Errores más comunes: 1 . E q ui v oc ar s e al r ea l iz a r l a s comparaciones de las magnitudes. 2. Equivocarse en la conversión de unidades. Respuesta: B. 18'40''
Problema 3 Se mezclan 1/4 de litro de jugo de naranja con 1 3/4 de litro de agua, obteniéndose juguina para 4 personas. ¿Cuántos cuartos de litro de jugo de naranja se necesitarán para preparar juguina para 14 personas? Nivel fácil
A . 3 B. 3,5 C. 4 D. 4,5 Resolución
Resolución
Mujeres: k + 16 = 60 + 16 = 76 Cantidad inicial de personas = 180 + 76 = 256
1 4
x 14
x = 3,5
Método 2 H M – 16
H – 120 M – 16
3 1
1 1
Errores más comunes:
Cálculo de T1: 1.24 1
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T1 .10 5
Complicar la solución, tomando en cuenta al agua. T1
3
12 min
Respuesta: B. 3,5
TEMA 1
RAZONES – REGLA DE TRES
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problemas de clase NIVEL I
1. En una reunión, hay hombres y mujeres, siendo el número de mujeres al total de personas como 7 es a 11 y la diferencia entre mujeres y hombres es 21. ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres si se retiran 14 mujeres? 5 A . 3
B.
5 4
2. Si:
a 3
7 C. 3
D. b 8
c 12
4 3
d 15
Además: a . b + c . d = 459 Calcule: a + d. A . 27 C. 35 B. 21 D. 8 3. Se sabe que "h" hombres tienen víveres para "d" días. Si estos víveres deben alcanzar para "4d" días. ¿Cuántos hombres deben retirarse? A . h 3
C. 2h 5
B. 3h 4
D. 3h 5
4. Para cosechar un campo cuadrado de 18 m de lado se necesitan 12 días. ¿Cuántos días se necesitan para cosechar otro campo cuadrado de 27 m de lado? A . 18 C. 22 B. 20 D. 27 NIVEL II
5. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2 partes de una obra. Se 3 retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra? A . 36 días C. 48 días B. 12 días D. 24 días
6. Cuando se instaló agua a una población, correspondió a cada habitante 60 litros de agua por día. Ahora que la población ha aumentado en 40 habitantes, corresponde a cada uno de ellos 58 litros de agua por día. Hallar la población actual. A . 100 0 C. 120 0 B. 1100 D. 900 7. 16 obreros pueden hacer una obra en 38 días, ¿en cuántos días harán la obra si 5 de los obreros aumentan su rendimiento en un 60%? A . 28 C. 30 B. 32 D. 28 8. Si el total de llamadas telefónicas que contestan durante 30 días las secretarias M, N y P se divide proporcionalmente a sus edades, resulta que P contesta 40 llamadas más que N. Si se sabe que la edad de M es a la de N como 3 es a 4 y la de N a la de P como 5 es a 6, ¿cuántas llamadas contesta M por día, sabiendo que el número de llamadas por día es el mismo? A . 2 C. 10 B. 5 D. 6 a c e k b d f Además: (a + b)(c + d)(e + f) = 8 16
9. Si:
Hallar:
3
3
a.c.e
A . 212 B. 16
b.d.f C. 216 D. 220
10. La relación de las edades de 2 personas es 3/5. Si hace "n" años, la relación de sus edades era como 1 es a 2 y dentro de "m" años será como 8 es a 13. Calcular en qué relación se encuentran: n y m. A . 2/3 C. 7/3 B. 5/1 D. 1/3 11. Ana comparte el agua de su balde con Rosa y ésta con Lucy. Si lo que le dio Ana a Rosa es a lo que no le dio como 4 es a 5 y lo que
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dio Rosa a Lucy es a lo que no le dio como 5 es a 4. ¿En qué relación se encuentra lo que no le dio Ana a Rosa y lo que recibió Lucy? A . 8 a 3 C. 7 a 2 B. 11 a 4 D. 9 a 4 12. Dos cirios de igual calidad y diámetro, difieren en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado, la longitud de uno es el cuádruplo de la del otro y media hora después, se termina el más pequeño. Si el mayor dura 4 horas, su longitud era: A . 24 cm C. 32 cm B. 28 cm D. 30 cm 13. Doce costureras pueden hacer un tejido en 23 días trabajando 3 horas diarias. Después de 5 días se retiran 2 costureras y 6 días después de esto se contratan x costureras adicionales, para terminar a tiempo. Hallar el valor de x. A . 2 C. 4 B. 3 D. 5 14. Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden hacer 90 mesas o 150 sillas. Hallar x, sabiendo que 20 de éstos carpinteros en 15 días han hecho 120 mesas y "x" sillas. A . 50 C. 48 B. 42 D. 36 15. Cuatro amigos: A, B, C y D han terminado de almorzar en un restaurante. "Como les dije", explica D, "Yo no tengo ni un centavo; pero repartiré estas 12 manzanas entre ustedes, proporcionalmente a lo que hayan aportado a mi almuerzo". La cuenta fue de 60 soles, y los aportes de A, B y C al pago de la cuenta fueron de 15; 20 y 25 soles, respectivamente. Entonces las cantidades de manzanas que les corresponden a A, B y C respectivamente son: A . 0; 4; 8 C. 2; 4; 6 B. 1; 4; 7 D. 3; 4; 5
TEMA 1
RAZONES – REGLA DE TRES
16. Si 9 hombres hacen una obra de 15 m de ancho por 16 pies de alto en 8 días trabajando 10 horas diarias. ¿En cuánto deberá variar el ancho de la obra para que 10 hombres, de 20% de rendimiento menos que los anteriores, hagan una obra que es de doble dificultad que la anterior y de 20 pies de alto, si demoran 5 días trabajando 6 horas diarias? A . Disminuye en 12 m. B. Disminuye en 10 m. C. Disminuye en 13 m. D. Aumenta en 10 m.
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NIVEL III
17. En una serie de cuatro razones geométricas las diferencias de los términos de cada razón son 6, 9, 15 y 21 respectivamente y la suma de los cuadrados de los antecedentes es 1 392. Hallar la suma de los dos primeros consecuentes si la constante de proporcionalidad es un número positivo menor que uno. A . 30 C. 35 B. 40 D. 70
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18. Un grupo de 15 hombres trabajando 8 días pueden hacer el 40% de una obra, otro segundo grupo de 20 hombres trabajando 6 días, pueden hacer el 50% de la misma obra. Si 3 hombres del 2do, pasan al 1er. grupo, determinar qué porcentaje de la obra harían en 4 días estos 18 hombres juntos. A . 20% B. 25% C. 23% D. 24%
TEMA 1
