PREGRADO
COORDINADORA :
Magna Guerrero C.
TÍTULO
: Material de Enseñanza
FECHA
: AGOSTO 2015
CURSO
: Nivelación de Matemática para Adm-Eco
CODIGO
: MA240
ÁREA
: Administración, Contabilidad, Economía y Turismo.
CICLO
: 2015-2
1
CÓDIGO CURSO
: MA 240 : NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD, ECONOMÍA Y HOTELERÍA TEORÍA : 3 HORAS PRÁCTICA : 3HORAS CICLO : 2015-02
PROMEDIO FINAL:
PF = 8% (PC1) + 12% (PC2) + 15% (PC3) + 18% (PC4) + 10%(TA) + 25% (EB) + 12% (CD)
donde: EB: evaluación final CD: promedio aritmético de las evaluaciones virtuales TA: promedio aritmético de las tareas académicas . PC1 hasta PC4: prácticas calificadas
2
ÍNDICE 1.- NÚMEROS REALES. OPERACIONES BÁSICAS 1.1 Números reales 1.2 Operaciones básicas 1.3 Resolución de problemas 1.4 Resolución de problemas con números racionales
6 6 7 19 23
2.- RAZONES Y PROPORCIONES 2.1 Razones y Proporciones 2.2 Regla de tres. 2.3 Conversión de unidades.
34 34 40 47
3.- PORCENTAJES 3.1Porcentajes 3.2 Aplicaciones Económicas de porcentaje
50 50 64
4.- FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA 80 4.1 Expresiones algebraicas 80 4.2 Polinomios. Operaciones con polinomios. Valor numérico 87 4.3 Productos notables. Reducción de polinomios 94 4.4 División de polinomios. Método clásico y regla de Ruffini. 102
5.- ECUACIONES DE 1RE GRADO Y GRAFICAS 5.1 Teoría de Ecuaciones 5.2 Ecuaciones de primer grado 5.3 Modelación con Ec. De 1er grado 5.4 Plano Cartesiano. 5.5 Gráfica de una ecuación. 5.6 Gráficas de Ingreso, Costo y utilidad
110 110 115 119 129 131 139
6.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL) 6.1. Sistema de Ecuaciones Lineales 6.2. Gráfica de Sistema de Ecuaciones Lineales 6.3. Modelación con Sistema de Ecuaciones lineales
149 149 155 161
7.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 7.1 Factor Común. 7.2 Agrupación de Términos 7.3 Aspa Simple 7.4 Identidades 7.5 Divisores Binómicos
3
175 177 178 179 183 184
8.-
ECUACIONES 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
NO LINEALES Ecuaciones de 2do Grado Modelación con Ecuaciones de 2do Grado. Ecuaciones Racionales Ecuaciones Polinómicas. Ecuaciones Irracionales
189 189 196 203 217 223
9.- INECUACIONES 9.1 Intervalos de números Reales 9.2 Inecuaciones de primer grado. 9.3 Sistema de Inec. de primer grado con una incógnita 9.4 Modelación con Inecuaciones
228 228 233 239 244
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
253
4
PLAN CALENDARIO 2015 - 2
17-Ago. 22-Ago. 24-Ago. 29-Ago.
SEM
Sesión 1
Sesión 2
Sesión 3
E. VIRTUAL
1
Presentación Curso Conjuntos Numéricos
Números reales. Operaciones Básicas y Jerarquías.
Estrategias para la resolución de problemas con números enteros.
E. Virtual Prueba
Resolución de problemas con números racionales.
Razones y Proporciones
Conversión de Unidades
E. Virtual N° 1
2
(Sesión 1.1 – 1.3)
(Sesión 1.1 – 2.2)
31-Ago. 05-Set.
3
Porcentaje. Aumentos y descuentos sucesivos.
Clase Integral N° 1
07-Set. 12-Set.
4
Aplicaciones Económicas de %, Variación Porcentual, Merma.
Aplicaciones Económicas de % Ingreso, Costo, IGV, llenado de factura.
Expresiones algebraicas. Polinomios y grado de un polinomio.
E. Virtual N° 2
14-Set. 19-Set
5
Productos Notables. Simplificación de Polinomios.
Ecuaciones de 1er grado. Despeje.
E. Virtual N° 3
Valor Numérico Operaciones con Polinomios. Modelación de ecuaciones de primer grado. Aplicaciones económicas de Ingreso, Costo y Utilidad Plano Cartesiano. Ubicación de puntos. Gráfica de ecuaciones lineales por tabulación.
PC N° 1
6
28-Set. 03-Oct.
7
05-Oct. 10-Oct
8
12-Oct. 17-Oct.
9
Sistema de Ecuaciones lineales.
Sistema de Ecuaciones lineales. Interpretación geométrica
10
Modelación de los sistemas de ecuaciones lineales: Oferta y Demanda.
Clase Integral N° 3
11
Factorización: Factor Común, agrupación y aspa Simple.
Factorización: Identidades y Divisores binómicos.
Ecuaciones Cuadráticas. Solución por factorización y fórmula general
12
Estrategia de resolución de problemas de segundo grado.
Expresiones racionales. CVA – MCM-Operaciones
TA N° 2
13
Ecuaciones Racionales reducibles a 1er y 2do grado. .
Clase Integral N° 4
14
Ecuaciones Especiales: Irracionales. Polinómicas. Bicuadradas.
Intervalos. Operaciones. Inecuación de primer grado.
23-Nov. 28-Nov.
15
Sistemas de inecuaciones lineales.
30-Nov. 05-Dic.
16
26-Oct. 31-Oct.
02-Nov. 07-Nov.
09-Nov. 14-Nov.
16-Nov 0 21-Nov.
(Sesión 4.3 – 5.2)
PC N° 2
21-Set. 26-Set.
19-Oct. 24-Oct.
(Sesión 2.3 – 4.2)
Clase Integral N° 2
Aplicación gráfica de ecuaciones lineales: Ingreso, Costo, Utilidad y Otros
TA N° 1
E. Virtual N° 4 (Sesión 5.3 – 7.2)
SEMANA DE EXÁMENES PARCIALES Modelación de Sistema de ecuaciones lineales
E. Virtual N° 5 (Sesión 9.1 – 9.3)
PC N° 3
E. Virtual N° 6 (Sesión 10.1 –11.2)
E. Virtual N° 7 (Sesión 11.3 – 12.2)
PC N° 4
Modelación de inecuaciones de primer grado
TA N° 3
Clase Integral N° 5
SEMANA DE EXAMENES FINALES
5
E. Virtual N° 8 (Sesión 13.1 – 14.2)
E. Virtual (Repaso)
UNIDAD N° 1. NÚMEROS REALES. OPERACIONES BÁSICAS 1.1 NÚMEROS REALES Repasemos los tipos de números que constituyen el sistema de números reales. Números naturales Los números naturales son los números que usamos para contar, es decir 1, 2, 3… se denota N y se expresa como: N 1; 2; 3;. Números enteros El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, el cero y los números negativos, se denota por Z y se expresa como:
Z
– 3; – 2; –1; 0; 1; 2; 3
Números racionales Son los números que pueden representarse como el cociente de dos enteros a y b, donde b tiene que ser diferente de cero. Veamos algunos ejemplos de números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Veamos otros
Número
Se puede expresar así:
ejemplos
10 5 2 6 3 2 25 1 0, 25 100 4 0 0 0 ó 0 etc. 4 5 1 0,333... 3
5 –3 0,25 0 0,3333…
3 11 8 ; ; 0; 2; 3, 25; ; 0, 4 5 4 43 Entonces, los números naturales, los enteros, las fracciones, los decimales exactos, periódicos puros y mixtos se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Así tenemos:
3;
3 ; – 0,111 ; 0; 0,15; 2; 7; 31; son números racionales 5 6
Números irracionales Son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Ejemplos: 2 1, 41421356...
3 1,73205080...
3,14159265...
e 2,71828182...
Números reales El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo R. Cuando usamos la palabra número sin calificativo, queremos decir “número real”. En la figura se ilustra un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajaremos: Números racionales (Q)
Números irracionales (I)
3 11 8 ; ; 0; 2; 3, 25; ; 0, 4 5 4 43
2; 3; 5 4; ;e
Números enteros (Z)
Números naturales (N) – 3; – 2; –1; 0; 1; 2; 3;
Números reales (R)
EJERCICIO 1 Marque con un check todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los siguientes números:
–4
0
1,333
1,333...
3,14159
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
7
3 12
3 7
3
64
9
2 3
LA RECTA NUMÉRICA En la recta de números reales, cada número tiene una posición según su orden.
3
2
1
0
1
2
3
Ejemplo 1 Ubicar en la recta numérica los siguientes números: 3 ; 12 ; 12 ; 3,14; ; 1,58. 7
5
5
Los pasamos a números decimales y los ubicamos en la recta real. 3 12 12 0, 4285... ; 2, 4 ; 2, 4 ; 3,14; 3,14159... ; 1,58. 7 5 5 3,14
-
3
-1 7 0
-3 12 -2 5
1
1,58
12
2 5
3
4
Ejemplo 2 Ubicar en la recta numérica los siguientes números: 5 ; 12 ; 2 ; 2; 0,58; 1,333… 7
7
Ejemplo 3 Ubicar en la recta numérica los siguientes números: –22; –9,8; 111 ; 17,4; 7,3.
7 (En este caso al ser número más grandes tendríamos que dividir la recta proporcionalmente de diez en diez por ejemplo)
–22 –∞
–25
–20
111 7
–15
–9,8 –10
7,3
–5
0
5
17,4
10
15
20
25 + ∞
Ejemplo 4 Ubicar en la recta numérica los siguientes números: -54,2; -92,8; 40,55; 75,4; 27 (En este caso al ser número más grandes tendríamos que dividir la recta proporcionalmente de diez en diez por ejemplo)
8
1.2 OPERACIONES BÁSICAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS La adición, sustracción, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas. Adicionalmente se definen las operaciones de potenciación y radicación. Recordando la regla de signos: Adición y Sustracción
Multiplicación
División
–6–3 =
(–3)(9) =
– 14 7 =
–9+5 =
(5)(–11) =
16 (– 8) =
7 – 12 =
(–3)(–10) =
–24 (–3) =
OPERACIONES CON FRACCIONES Adición y Sustracción
MCM
1 7 110 7 3 31 6 20 60 60
MCM(6;20) = 60 6 3 3 1
20 2 10 2 5 3 5 5
1
1
3 7 14 21
MCM(…..…;…..…) = …..…..
1 5 7 10 2 15
MCM(10;2;15) = ………..…
9
Multiplicación
División
1era forma 24 3 40 5 3 8 3 8 2da forma: 4 10 4 10 1 2 3 8 3 1 3 410 1 5 5 1 5
1era forma: se invierte 62 3 4 5 5 6 5 da 2 forma: extremos y medios 4 2 6 4 6 2 3 5 45 5 2
2 9 3 4
10 5 8 6
3 8 2 4 12 6
10 4 8
5 3 5 15 3 3 10 1 10 10 2
15 30 8 14
12 5 10
6 3 4 14
5 4 3 2 6
14 1 6 4
Número Mixto Los números racionales mayores que 1 o menores que –1 se pueden escribir como números mixtos, los cuales tienen una parte entera y otra parte fraccionaria, por ejemplo: 32 6 2 ya que al dividir 32 entre 5 se obtiene un cociente de 6 y resto de 2. 5
5
Asimismo, los números mixtos también se puedes convertir en fracción. Veamos los siguientes ejemplos: 2 3
2 3
a. 7 7 b. 7
3 7 2 23 3 3
Importante!!
5 5 5 4 4 4
2 73 2 23 3 3 3
10
EJERCICIO 2 Complete la siguiente tabla: Número mixto → Fracción
2
Fracción → Número mixto
5 7
2
15 4
3 4
36 8
Ejemplo 5 Calcule:
3 1 11 a. 7 4 3 4 5 20
1 3 2 79 b. 7 6 2 11 4 5 7 140
Nota importante: Todos los resultados finales deben estar expresados como una fracción simplificada.
Potenciación y radicación Potencia de un número real a de exponente natural Una potencia de base real a y exponente natural n es el producto de n factores iguales a a.
a n = a.a.a..........a n veces En potenciación:
¡Tenga cuidado!
3 9 2
32 9
3 es la base. 2 es el exponente. 9 es la potencia.
el exponente 2 no afecta al signo
En potenciación:
3
¡Tenga cuidado! 2
9
32 9
–3 es la base. 2 es el exponente. 9 es la potencia.
el exponente 2 no afecta al signo
11
Radicación de un número real a Si n es un entero positivo impar, entonces se define: n
a = b, si y sólo si bn = a.
Ejemplo 3
8 2 ; 3 8 2
Si n es un entero positivo par y a 0; b 0, entonces se Ejemplo define: n
9 3;
a = b, si y sólo si bn = a.
4
16 2
¡Cuidado!
16 4 , aunque (–4)(–4) = 16. Como n es par, 16 es positivo.
16 no es un número real.
EJERCICIO 3 Calcule: a. 52
b. 62
c. (5)2
d. (4)3
e. 32 (4 5)
f. 32 (2)2
g. (3)2 (13 )
h. (1)2 (23 )
i. 22 (4)2
j.
m.
2(2)3 40
2 3
3
n. 5 3 64
2 k. 5
o.
12
3
24 5 (3 1) 2
3 l. 2
p.
2
25 1 19
JERARQUÍA DE OPERACIONES Para calcular expresiones numéricas, en las cuales no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden: a. Potencias y raíces. b. Multiplicaciones y divisiones. c. Adiciones y sustracciones. NOTA. Si hay dos operaciones de la misma jerarquía, se opera de izquierda a derecha. Ejemplo: 10 + 12 3 × 2 = 10 + 4× 2
12 4 – 32 × 2
Ejemplo 6 Solución:
12 4 – 9 × 2 3 – 18 – 15
Primero realizamos las potencias: Luego las divisiones y multiplicaciones:
10 + 12 3 × 2
Ejemplo 7 Solución:
Primero realizamos las operaciones de izquierda a derecha, es decir 12 3 10 + 4 × 2 = 10 + 8 = 18 5 – 2 (5 × 2 2)
Ejemplo 8 Solución:
Primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis: 5 – 2 (10 2) Luego 5 – 2 (5) Ojo, que en esta última línea primero se realiza el producto de 2 y 5, entonces: 5 – 2 (5)= 5 – 10 = – 5 Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y llaves, se efectúan, primero, las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación, empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.
1 2 3
13
Ejemplo 9 Calcule: T (4 (3)) 3 24 42 [ 2 (3) ] Solución: Primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis: T (4 (3)) 3 24 42 [ 6 ] T (4 (3)) 3 24 7 T (4 (3)) 3 24 7 T 7 3 17 T 7 51 T 44 EJERCICIO 4 1. Calcule indicando paso a paso su procedimiento.
a. 36 6 3 12 2 3 – 23
b. 14 3 24 8 3 2 3 8
c. 9 – 2 12 3 5 – 6 4 2
d. 4 [2 (14 7) 3] 1 3 2
14
e.
2 3 1 5 5 4 3
3 2 5 15 3 g. 4 3 4 2 2
f. 4
h.
1 2 2 5 i. 1 1 5 3
15
3
1 3 3 2 5
54 1 1 (1 ) 2 16 2 3
2. Realice los siguientes ejercicios con ayuda de su calculadora a. T 2,5 3 2,8 1,5 0,8 1, 2
b. R 13,5 3 0, 4 8,7 [ 2 0,5( 0,04 2) ]
c. S (1, 2)2 3 2, 4 4, 2 2 4
3
0, 027 2
16
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 – 1.2 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas a. ¿Puede existir un número entero y racional a la vez? b. ¿Cuál es el valor de
3
8 ?
c. ¿Puede existir un número racional e irracional a la vez? d. ¿Es cierto que, 32 es igual a (3)2 ? e. ¿Puede existir un número irracional y a la vez real? 2. Marque con un aspa todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los siguientes números: 9 5
3 7
3,141
0,12 3,44....
2
3 5
1 5
3
27
4
Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales
3. Ordene en forma ascendente los números presentados en la pregunta anterior. Dibuje una recta numérica y ubíquelos en ella 4. Ubique los siguientes números en la recta real usando una escala apropiada.
20 9 ; ; 0,125 7 4 240 b. 4; 20; 63; 50; 5
c. 2,31 ; 0,25 ; ; 4,9 ; 2
a. 3; 5;
d. 9600 ; 12 000 ; 6400 ; 8000 ; 2400
5. Calcule el valor de cada una de las expresiones mostrando el proceso. a.
5 3 4 5
b.
57 ) 4
3 3 f. 2 2
e. 32 (
2 (2)3 i. 40
2 1 c. 3 5 2
62 1 2 4
2
j. 3 27 3
2
g.
3 (2) 4 30
3 5 d. 2 4 4
9 k. 2 3 4
17
h.
(4)3 1 2
l.
3
3
27 1 23 8 2
6. Realice los siguientes ejercicios. Primero paso a paso, sin calculadora y luego utilícela como instrumento de control, esto es, verificando que todas las líneas del proceso den el mismo resultado al realizarlas con la calculadora.
a.
(3)2 3 60 [ 2 (32 ) ( 3 27) ]
b.
2 6 9 2 4(6 8 (2)2 )
c. 14 3 24 8 3 22 3 8
2
2
d.
5 3 24 6 3 22 3 27
e.
2 1 7 1 1 2 2 5 3 6 3 10
f.
1 1 5 3 2 1 2 3 2 5
g.
1 6 25 4 15 6 1 1 7 2 3 3 15
h.
1 2 25 4 5 6 2 1 4 2 3 5
i.
1 3 1 2 6 3 1 1 2 4 4 3 5 2
7. Realice las siguientes operaciones en la calculadora. Trate de escribirlas casi por completo y use los signos de colección con cuidado. Luego compare sus resultados con sus compañeros. a. 36 6 22 12 2 3 – 23 b. (0, 4) 4 [2(0,1) 0, 25] 0,1
c. 13 5 (2)3 (3 1) (7) 3 6 1 3 d.
–2
3
– –3 –1 –3 –10 5 42 2
2
3
18
1.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En la Resolución de Problemas existen diferentes estrategias que nos permiten encontrar la vía de solución. Entre las estrategias que podemos encontrar están:
Leer el problema y parafrasearlo Confeccionar figuras de análisis: Dibujos, diagramas, esquemas, tablas, mapas, etc. Determine un plan de acción Lleve a cabo el plan Retroalimentación y verificación
Compra y venta Raúl compró cinco pantalones y dos camisas por 120 dólares. Elena compró una camisa y dos pantalones por 50 dólares. ¿Cuánto cuesta un pantalón? Resuelva el problema a través de un dibujo de la situación y operaciones básicas.
19
Resolución de problemas Sería bueno que organice el desarrollo de la solución usando las siguientes pautas para que no olvide ningún detalle. Comprensión del problema e identificación de la pregunta a responder
Lea todo el enunciado atentamente.
Cuando sea posible utilice esquemas o diagramas que ilustren el enunciado y las relaciones entre los datos dados.
Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema.
Preste atención a la pregunta del texto, suele indicar lo que se pide del problema. Escriba en sus palabras lo que se esta buscando y trate de describir sus unidades o alguna otra característica importante.
Planteamiento matemático del problema Establezca relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. Resolución La parte operativa por lo general es sencilla. Trabaje cuidadosamente. Análisis de resultados y respuesta completa Es muy importante que reflexione sobre el sentido de los números obtenidos con respecto al contexto del problema y escribir una respuesta completa como solución a la pregunta propuesta. No olvide colocar las unidades.
Comprender el problema
Examinar la solución obtenida
Concebir un plan
Ejecución del plan
20
PROBLEMA 1 Apliquemos la estructura anterior a los siguientes problemas: a. A un cierto número de personas se les iba a dar S/. 35 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 42. ¿Cuántas personas iban a recibir S/. 35? Solución
Respuesta con verbo y unidades:
b. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/. 10 más por día que el segundo, si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 420 y el segundo S/. 300. ¿Cuánto gana diariamente el segundo? Solución
Respuesta con verbo y unidades:
21
c. En el año 2008 una empresa de servicios que tiene 80 trabajadores, subió el sueldo de sus trabajadores de 2400 a 2800 soles. En el año 2010 debido a la crisis se despidieron a 35 trabajadores, logrando ahorrarse durante un año el pago de estos salarios. Con la mitad de lo ahorrado paga sus deudas, y guarda el resto para nuevas contrataciones. A inicios del 2011, superada la crisis, decide contratar por un año, a un grupo de ingenieros pagándoles 3500 soles mensuales. a. ¿Cuánto pago la empresa de servicios para cubrir sus deudas? b. ¿Cuántos ingenieros podrá contratar con el dinero ahorrado? Solución
Respuesta con verbo y unidades: d. Juan ha decidido renovar la cerámica de sus pisos de sus dos baños y su cocina. Las mayólicas cuadradas de 0,25 m de lado, para pisos de baño o cocina, están a S/. 25,40 el metro cuadrado. Juan toma las dimensiones de sus baños y cocina y decide comprar las mayólicas antes de que se gaste el dinero. Las regiones que va a cubrir son la cocina que tiene un área de 6 m2 y de dos baños, que tienen un área de 4,5 m2 cada uno. ¿Cuál es la cantidad mínima de mayólicas que se necesita? ¿Cuál es el gasto total, considerando que el albañil le cobra por mano de obra $ 7,0 por metro cuadrado? (Nota: No tiene que comprar pegamento porque ya está incluido en cada caja). Solución
Respuesta con verbo y unidades:
22
PROBLEMA 2 Resuelve los siguientes problemas, relacionados al tipo de cambio. SITUACIÓN I. Vivo en un cuarto cerca a la UPC, por el cual pago mensualmente un
alquiler de $100. A mi casera le encanta recibir dólares, porque está juntando dinero para comprarse un auto. Eso significa que cada mes tengo que comprar dólares para pagarle. Supongamos que el tipo de cambio del banco y de la calle son los que están en la siguiente tabla: TIPO DE CAMBIO PARALELO
TIPO DE CAMBIO BANCARIO
Operación que hace el cambista
Operación que hace el cajero
Tipo de cambio compra
2,71
Compra (me compra $)
Me pagan
2,68
Tipo de cambio venta
2,75
Venta (me vende $)
Yo pago
2,78
¿Me conviene comprarle al banco o al cambista?
Compra (me compra $) Venta (me vende $)
……………………………….
Supongamos que he decidido comprarle al banco porque la vez pasada me tocó un billete falso en el cambista y ya no lo he podido localizar. ¿Cuál es el tipo de cambio que me da el banco?
……………………………….
¿Cuánto es lo que pierdo en esa operación?
……………………………….
¿Y si fueran 1 000 dólares?
……………………………….
SITUACIÓN II. Paco y Pedro deciden aceptar la propuesta de su amigo Luis, de
emprender un tour juntos hacia la Reserva nacional de Paracas. Ellos piensan partir el sábado en la mañana para regresar el mismo día a las 21:00 horas; para estimar cuánto gastarán en total, Paco averiguó en la agencia de viajes “El Milagro” que el paquete Full Day Paracas por persona es de USD$115,00 (incluye desayuno continental y almuerzo buffet) y la cena buffet que tiene un costo aparte, cuesta S/. 28,00 por persona. Si Luis se hará cargo de todos los gastos del viaje. ¿Cuánto pagará en total Luis si debe comprar los dólares? (tipo de cambio: Compra = S/. 2,65; Venta = S/. 2,70).
23
SITUACIÓN III. Sergio acaba de comprar una casa con un préstamo del banco y le
tiene que pagar US$ 770,59 cada mes. La primera vez que fue al banco a pagar llevó soles y tuvo que comprar los dólares en la ventanilla. (Utilice el cuadro de la pág. 18 para el tipo de cambio paralelo o bancario) ¿Cuántos soles tuvo que desembolsar? ………………………………………………….. Si los hubiera comprado en la calle, ¿cuánto hubiera desembolsado? ………………………………………………….. En la tarde su esposa lo llamó para decirle que por favor se acercara a cierta dirección, para pagar una junta, que era de 175 dólares. Sonrió con astucia y pensó “Ahora no me agarran”. Fue donde un cambista en el Óvalo de Higuereta y compró los $175 dólares. Cuando llegó a donde debía pagar la junta, la señora le dijo que la junta era de 470 soles y que no deseaba recibir dólares. Y la verdad es que había un banco justo al frente. Si realiza la transacción en el banco, ¿le sobra o le falta? ¿Cuánto?
24
1.5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON NÚMEROS RACIONALES CONCEPTO DE FRACCIÓN En una fracción, el denominador señala el número de partes en que se ha dividido la unidad y el numerador indica el número de partes que se han tomado. Por ejemplo: Al referirnos a 3 se entiende que la unidad 4
se ha dividido en 4 partes iguales llamados “cuartos” y se han tomado 3 de dichos cuartos. Ejemplo 1 Escribe la fracción que representa la parte pintada de cada figura:
EJERCICIO Complete la siguiente tabla: Frase
Representación en fracciones
a. Si gaste tres quintos de mi dinero. ¿Qué parte me queda? Gaste 3 5 de mi dinero
b. Invertí en la compra de un departamento los dos quintos de mi jubilación. ¿Qué parte me queda?
c. En una colecta, Juan aporta 300 soles y Pedro aporta 200 soles. Si se llegó a recolectar 1200 soles, ¿Qué parte aportó cada uno?
25
Me Queda 2 5 de mi dinero
Frase
Representación en fracciones
d. Me aumentan un cuarto de mi sueldo. ¿Cuánto tengo después del aumento?
e. Me prestan tres quintos de lo que tengo. ¿Cuánto tengo después del préstamo?
f. Si una persona puede hacer una maqueta en cuatro horas. ¿Qué parte del trabajo hace en una hora?
g. Un albañil puede tarrajear una pared en 6 horas. ¿Qué parte hace en dos horas?
COMPARACIÓN DE FRACCIONES Comparar dos o varias fracciones consiste en determinar cuál de las fracciones es mayor o menor. 1er Caso. De dos o más fracciones que tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador. Ejemplo 2 Escribe > o < según corresponda a.
1 3
1 8
b.
Solución
2 5
Solución
1 3
2 5
1 8
2 7
Por lo tanto,
2 7
1 1 3 8
Por lo tanto,
26
2 2 5 7
2do Caso. Si dos fracciones tienen el mismo denominador comparamos los numeradores, será mayor aquella que tenga mayor numerador. Ejemplo 3 Escribe > o < según corresponda a.
2 6
5 6
b.
Solución
3 7
Solución
2 6
3 7
5 6
2 7
Por lo tanto,
2 7
2 5 6 6
Por lo tanto,
3 2 7 7
Observación: Si dos fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común denominador. Una vez reducidas a común denominador será mayor aquella que tenga mayor numerador.
Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. Ejemplo 4 ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor 4/7 o 2/3? Solución: Debemos calcular el MCM de 7 y 3, para determinar las fracciones equivalentes a 4/7 y 2/3, con igual denominador. Como el MCM(7;3) = 21, tenemos
4 12 2 14 y 7 21 3 21 Representación gráfica de las fracciones
2 14 3 21
4 12 7 21
Por lo tanto, podemos concluir que.
4 2 es menor que . 7 3
27
Ejemplo 5 Antonio se demora 3/5 de hora en hacer una tarea y Rodrigo 1/4 de hora en hacer la misma actividad; ¿Quién se demora menos? Solución: Debemos calcular el MCM de 5 y 4, para determinar las fracciones equivalentes a 3/5 y 1/4, con igual denominador. Como el MCM(5;4) = 20, tenemos
3 12 1 5 y 5 20 4 20 Representación gráfica de las fracciones
1 5 4 20
3 12 5 20
Por lo tanto, podemos concluir que Rodrigo se demora menos.
PROBLEMAS 1. Sebastián apostó 100 soles en un casino y salió con 120 soles, Julio apostó 60 soles y salió con 80 soles. Utilizando fracciones determine a quién le fue mejor en el casino.
Respuesta con verbo y unidades: 2. Tres hermanos se reparten una torta: El mayor come los dos quintos; el segundo un cuarto y el menor tres décimos. ¿Qué parte de la torta queda?
Respuesta con verbo y unidades:
28
3. Don Javier tiene $ 5000.Gasta 3/10 de lo que tiene en movilizarse; 2/5 en comprar revistas y 1/5 en golosinas para sus nietos. ¿Cuánto dinero le sobra?
Respuesta con verbo y unidades: 4. Don Javier tiene $ 5000. Gasta 3/10 de lo que tiene en movilizarse, 2/5 del resto en comprar revistas y 1/5 de lo que queda en golosinas para sus nietos. ¿Cuánto dinero le sobra?
Respuesta con verbo y unidades: 5. En una conferencia de microeconomía, los ocho novenos de los participantes son mujeres y de ellas, un cuarto usan lentes. Si en la conferencia hay 2160 personas. ¿Cuántas mujeres usan lentes?
Respuesta con verbo y unidades: 29
6. Mónica confecciona una torta para el cumpleaños de su hijo mayor. Si el hijo mayor come un cuarto de la torta, el hijo menor los dos tercios de lo que queda y sólo sobran 168g de torta para los padres. ¿Cuál era la masa de la torta?
Respuesta con verbo y unidades: 7. Una máquina puede efectuar cierta labor en dos horas. Otra máquina puede hacer el mismo trabajo en tres horas. Si ambas máquinas realizan el trabajo en forma conjunta. ¿Qué parte del trabajo hacen en una hora?
Respuesta con verbo y unidades:
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8. Para recibir el Año Nuevo 2016, Juana y Paola se comprometen a elaborar una cierta cantidad de antifaces para todos los invitados a la fiesta. Juana puede hacer todo el trabajo en 10 horas y Paola lo puede hacer en 14 horas. Paola comienza a trabajar a las 5 a.m. Luego a las 8 a.m., Juana llega para ayudar a Paola. ¿Qué fracción del trabajo han avanzado hasta el medio día? ¿Qué parte les queda por hacer?
Respuesta con verbo y unidades:
31
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.3 – 1.4 1. Para el cumpleaños de su hijo menor, Raúl ha invitado a 33 niños, y ha comprado 90 canapés a un precio de 6 canapés por S/. 1,80; además compró 25 alfajores, a 90 céntimos el alfajor y finalmente 4 docenas de waffles a S/. 13 la docena. Si Raúl tenía S/. 200, ¿cuánto dinero le queda después de su compra? 2. A un cierto número de personas se les iba a dar S/. 64 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 72. ¿Cuántas personas iban a recibir S/. 64? 3. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/. 10 más por día que el segundo, si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 270 y el segundo S/. 180. ¿Cuánto gana diariamente el segundo? 4. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 300 soles. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 360 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? 5. Una vendedora compra en el mercado mayorista 240 kilogramos de fresas, de buena calidad, a S/. 4,00 el kilogramo. En el transporte se aplasta un sexto del total y decide vender las aplastadas a diez kilogramos por S/.9,00 y el resto a cinco kilogramos por S/. 30,00. Si vende las fresas no malogradas en cajas de cinco kilogramos cuyo costo es S/. 4,50 cada una, ¿gano o perdió?¿Cuánto? 6. Juan tiene una tarjeta de crédito en soles con un saldo a favor de S/. 229,20. Salió a hacer compras y pagó con tarjeta los siguientes montos: S/. 296,10; S/. 103,00 y S/. 76,20. Como había gastado mucho, antes de la fecha de cierre de la tarjeta, depositó, en dicha cuenta, $ 130,00. Si, a fin de mes, el banco le carga por aportaciones y otros S/. 7,58, ¿cuál es el saldo de la tarjeta a fin de mes? (tipo de cambio: venta = S/. 2,80; compra = S/. 2,72). 7. Alfredo y su esposa tomaron un tour de tres días y dos noches a la cuidad de Huamanga por Semana Santa. En este paquete no estaban considerados los alimentos, que ascendieron a S/. 60 diarios para la pareja. Alfredo admirador del arte del lugar, compró una pintura de los más renombrados artistas de la región por $ 350. Su esposa compró seis retablos a $ 15 cada uno; cuatro a $ 25 dólares cada uno; y finalmente gastó S/. 350 en artesanía ayacuchana y S/. 120 en algunos dulces lugareños para llevar a sus familiares de regreso a Lima. Si la pareja de esposos llevó como bolsa de viaje $ 500 dólares y S/. 930. ¿Con cuánto dinero regresó a Lima? (Tipo de cambio: venta = S/. 2,80; compra = S/. 2,72). 8. Luchín decide irse el fin de semana hasta Asia con un grupo de amigos. Él piensa viajar en su propio auto y para estimar cuanto gastará en gasolina, sabe que de Lima a Bujama hay 90 km (deberá considerarse viaje de ida y vuelta); que su auto rinde 45km por galón y que la gasolina que usa le cuesta S/. 14,00 por galón. a. ¿Cuánto dinero gastará en gasolina? b. Luchín decide sacar del cajero la mínima cantidad de dinero necesaria para pagar la gasolina considerando además que debe pedir cantidades factibles (el cajero solo entrega billetes de S/.20, S/. 50 o S/. 100). Tiene una cuenta en dólares pero él puede retirar soles ya que el cajero hace la conversión automática (TC: compra S/. 2,75; venta: S/.2,80). Si antes de sacar el dinero, tenía en su cuenta $ 664,20, ¿cuántos dólares quedan en su cuenta después de la operación?
32
9. Antonio se demora 13/20 de hora en hacer una tarea y Rodrigo 3/15 de hora en realizar la misma actividad. ¿Quién se demora menos? 10. Andrea hace un trabajo en 4 horas, Julio lo puede hacer en 6 horas. Si empiezan a trabajar juntos. ¿Qué parte les queda por hacer luego de 2 horas? 11. En una colecta de socios de una cooperativa, Juan aporta la sexta parte y Pedro aporta tres quintos. Si solo se llegó a recolectar cinco sextos del total, ¿Qué parte aportaron los demás socios? 12. Vicente juega cartas; en la primera partida pierde 2/5 de lo que tenía y en la segunda partida gana 3/7 de lo que aún le quedaba. ¿Qué parte de lo que tenía al principio le quedó? ¿Ganó o perdió? 13. Don Paulo desea repartir su herencia de la siguiente manera: 3/10 a sus hijos y 5/7 del resto a sus nietos. Lo que queda, que asciende a $9000 lo destina para sus sobrinos. Calcule el monto de la herencia. 14. Jenniel va al casino “Te encántala” y en la primera jugada pierde un tercio de lo que tenía. En la segunda jugada gana tres cuartos de lo que le quedaba, retirándose con S/. 56 en su bolsillo. ¿Con cuánto ingresó al casino? 15. Pedro etiqueta 500 polos en seis horas, Marcos lo puede hacer en cinco horas. Pedro comienza a trabajar a las 9 a.m. Luego a las 10 a.m., Marcos llega para ayudar a Pedro. ¿Qué fracción del trabajo han avanzado hasta el mediodía?¿Qué parte les queda por hacer? 16. Para recibir el Año Nuevo 2013, Magna y Lucero se comprometen a elaborar una cierta cantidad de antifaces para todos los invitados a la fiesta. Magna puede hacer todo el trabajo en 8 horas y Lucero lo puede hacer en 12 horas. Lucero comienza a trabajar a las 6 a.m. Luego a las 9 a.m., Magna llega para ayudar a Lucero. ¿Qué fracción del trabajo han avanzado hasta el medio día? ¿Qué parte les queda por hacer?
33
UNIDAD N° 2. RAZONES Y PROPORCIONES. 2.1 RAZONES Y PROPORCIONES Definición: Una razón es una comparación de dos cantidades comparables. Dicha comparación se puede hacer de dos maneras: a Por cociente de dos reales: r ; b 0 (razón geométrica) b Por diferencia de dos reales: r = b - a (razón aritmética) Ejemplo 1 Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10 años, podemos decir que el padre le lleva 30 años a su hijo (razón aritmética con r = 40 – 10 = 30) o también que tiene 4 veces su 40 4 ). edad (razón geométrica con r 10 Notas: La razón aritmética, es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Nos permite saber el número de unidades que una cantidad excede a otra. La razón geométrica, es la comparación de dos cantidades mediante la división. Nos permite conocer el número de veces que una cantidad contiene a la otra. En adelante usaremos sólo las razones geométricas. a En una razón geométrica r ; b 0 , a se denomina antecedente y b se denomina b consecuente. Ejemplo 2 Expresemos los siguientes enunciados en forma equivalente usando el concepto de razón. a. En una reunión familiar se observa que, por cada 4 adultos hay 6 niños.
Número de adultos Número de niños
A 4 2 N 6 3
Esto es, la razón entre el número de adultos y niños es de 2 a 3 ó el número de adultos y el número de niños son entre sí como 2 es a 3. Supongamos que asistieron a la reunión familiar 10 adultos, como 10 es el quíntuple de 2, entonces el número niños asistentes a la reunión sería es el quíntuple de 3, es decir 15 niños.
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b. La relación entre la cantidad de habitantes en Japón y el espacio que ocupan en kilómetros cuadrados es:
Número de habitantes Área
P 339 hab A 1km2
Se lee: la razón entre el número de habitantes y kilómetros cuadrados es de 339 a 1 ó por cada kilómetro cuadrado hay 339 habitantes. c. En el Perú 25 de cada 1000 personas cursan estudios universitarios.
P. universitarias Hab. del Perú
U 25 1 P 1000 40
Se lee: la razón entre el número de estudiantes universitarios y personas es de 1 a 40 ó el número de estudiantes universitarios y el número de personas son entre sí como 1 es a 40. EJERCICIO 1 Resuelva las siguientes situaciones. a. Densidad de la población: La extensión territorial del Perú es de 1285 215 km2 aprox. y su población aproximada en el 2011 era de 30 000 000 de habitantes. ¿Cuál fue su densidad poblacional en el año 2011?
Respuesta completa: b. Las razones permiten comparar el precio de dos productos de características similares: Se desea comprar un terreno y por medio del periódico se obtiene la siguiente información: hay un terreno de 180 m 2 a $360 000 en Surco y otro de 210 m2 a $410 000 en Miraflores. ¿Cuál de los dos terrenos tiene el metro cuadrado más caro?
Respuesta completa:
35
c. ¿Qué empresa debo elegir? Por el día de la madre, la empresa de telefonía móvil “Rin Rin” ofrece la siguiente promoción: Por cada S/. 180 de consumo en tarjetas prepago se regala un vale por 30 minutos adicionales. En “Aló Mex” se ofrece la siguiente promoción: por cada 120 soles de consumo en tarjetas prepago, se regala un vale de 24 minutos adicionales. ¿Qué empresa ofrece la promoción más ventajosa?
Respuesta completa: d. ¿Cuál empleo debo aceptar? Un egresado universitario tiene dos ofertas de trabajo. La compañía “Clarinete” le ofrece un sueldo semanal de S/. 5200 por 40 horas de trabajo a la semana y la compañía “Moviestati” le ofrece un sueldo semanal de S/. 6400 por 50 horas de trabajo a la semana. ¿Qué compañía le ofrece un mejor pagó por hora?
Respuesta completa: Ejemplo 3 Definición: Una proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción geométrica es de la forma a c (con b 0 y d 0 ) b d y se lee “ a ” es a “ b ” como “ c ” es a “ d ”. Además, a y d son los extremos de la proporción y b y c son los medios de la proporción. Interprete y simbolice el siguiente enunciado: a. La razón entre el número de b. La razón entre el número de hombres y profesionales y el número de el número de mujeres de una fábrica, es trabajadores de una empresa, es la la misma que entre el número de misma que entre el número de técnicos profesionales y el número de obreros. y el número de obreros.
36
Propiedad fundamental Para todo a, b, c y d no nulos, a c es equivalente a ad bc b d
Consecuencia importante: Existe un número real k tal que a kc, b kd . Dada la siguiente proporción:
a 4 b 7
a. Supongamos que a es 40, entonces 410 a 4 40 b 7
b. Supongamos que a es 20, entonces 45 a 4 20 b 7 5
10
7
7
entonces b = 70
entonces b = 35
En conclusión a 4k y b 7k Ejemplo 4 Si me dicen que
a 2 ¿Qué puedo concluir de a y b? b 5
Solución: Nada, solo que a 2k y b 5k Ejemplo 5 Si
a 2 y a b 56 ¿Cuánto valen a y b? b 5
Solución: Del ejemplo 3 se sabe que a 2k y b 5k .
Si a b 56 2k 5k 56 7k 56 k 8 Luego, a 2(8) 16 y b 5(8) 40 .
37
EJERCICIO 2 1. Si
a 4 b 7
2. Si
c 3 y d c 40 ¿Cuánto valen c y d? d 5
y a b 44 ¿Cuánto valen a y b?
3. En la fiesta de fin de ciclo 2013-1 de la UPC asistieron 1800 alumnos, donde asistieron 5 hombres por cada 4 mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres asistieron a la fiesta?
4. Al inicio de un partido de futsal interuniversitario: UPC-ULima, hay 200 asistentes, de los cuales 80 son alumnos de la UPC y los restantes alumnos de la U. de Lima. ¿Cuántos asistentes adicionales de la UPC deben llegar para que, en el segundo tiempo, por cada 7 de la UPC haya 5 de la U. de Lima, si la cantidad de alumnos de la U. de Lima no varía?
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 2.1 – 2.2 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Si la razón entre dos números a y b es como 9 a 5, ¿significa que a es 9 y b es 5? b. Si
a 3 y a b 21, ¿es cierto que a 6 y b 15 necesariamente? b 4
c. Las edades de Mariel y Karen son entre sí como 25 es a 15, ¿es posible determinar la diferencia de sus edades? d. Beatriz y Oscar discuten sobre quien tiene mejor puntería. Oscar ha dado al blanco 28 de 32 veces; Beatriz 30 de 36 veces. ¿Quién tiene mejor porcentaje de tiros al blanco? e. El 0,001% del precio de un terreno es S/. 720. ¿Cuál es el precio del terreno? f. Si aumento el precio un 15% y luego se disminuye en un 10%. ¿Qué porcentaje se obtiene del precio? 2. Una prueba de matemáticas tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 6 de estas preguntas y omite una. Escriba la razón entre: a. El número de preguntas correctas y el número total de preguntas. b. El número de preguntas incorrectas y el número de preguntas correctas. c. El número de preguntas omitidas y el número total de preguntas. 3. Un país tiene una población de 7 634 000 habitantes en una extensión de 18 704 millas cuadradas. La relación del número de habitantes a millas cuadradas se llama densidad y mide la cantidad de habitantes por milla cuadrada. Aproximadamente, ¿cuál es la densidad poblacional de este país? 4. Un Ing. de sistemas tiene dos ofertas de trabajo. La compañía “RockTeam” le ofrece un sueldo mensual de S/. 4800 por 30 horas de trabajo a la semana y la compañía “ClassTeam” le ofrece un sueldo mensual de S/. 6240 por 40 horas de trabajo a la semana. ¿Qué compañía le ofrece un mejor pagó por hora? 5. Simone desea adquirir un paquete de viaje para sus 48 alumnos de promoción. En la agencia, le ofrecen dos paquetes: el primero de $ 482,00 para 16 personas y el segundo de $ 355,00 para 12 personas. ¿Cuál de la propuesta le convendría tomar a Simone? 6. El supermercado La Unión, ofrece a sus clientes una promoción insuperable: Por la compra de 30 six pack de yogurt “La Mamis” regalan cinco cereales “El Clavel”. a. Expresa el enunciado anterior, mediante una proporción. b. Si Pablo compró 180 six pack de yogurt “La Mamis”, ¿Cuántos cereales “El clavel” le obsequiaron? 7. Las edades de Juan y Pablo son entre sí como 5 es a 6. Si el menor tiene 20 años, ¿cuántos años tiene el mayor? 8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Halle el número menor. 39
9. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? 10. Adolfo ganó las elecciones para la presidencia de la Asociación de Estudiantes de Contabilidad por una razón de 5 a 2. ¿Cuántos votos recibió si votaron 168 estudiantes? 11. El perímetro de un terreno rectangular es 80 metros. Si el largo y el ancho se encuentran en la relación de 3 a 2. Calcular sus dimensiones. 12. Faltando pocas horas para finalizar un día sábado, el número de clientes hombres y mujeres de una conocida pizzería está en la relación de 8 a 6, siendo el total de clientes igual a 350. ¿Cuántas mujeres asistieron a la pizzería?
2.2 REGLA DE TRES -En una hectárea de bosque hay en promedio 2000 árboles. ¿Cuántos habrá en 5000 hectáreas? -Si de una tonelada de mineral se obtienen 785 kg de mineral procesado ¿Cuánto mineral procesado se obtendrá en 500 toneladas? -Una hectárea de terreno rinde cada 4 meses diez toneladas de fruta. ¿Cuántas toneladas rinden 2000 hectáreas en 1 año? Problemas como éstos en el cual debemos prever recursos para lograr un determinado objetivo se nos presentan a cada momento en la vida cotidiana y en este capítulo, que se vuelve una extensión del anterior, los resolveremos de forma organizada. 1. Regla de tres simple: Definición: La regla de tres simple es un procedimiento que permite hallar un término desconocido de una proporción geométrica en la cuál interviene solamente dos magnitudes que tienen una relación de proporcionalidad. Regla de tres simple directa: Se dice cuando las magnitudes son directamente proporcionales.
Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales tales que la magnitud B corresponde al valor desconocido. 40
Se establece la siguiente tabla: A a1 a2
B b1 x
Como las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple B = k A. a b a b Se establece la proporción: 1 1 , y, por la propiedad fundamental, x = 2 1 . a2 x a1 La regla de tres directa la aplicamos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones : -
A más A menos
más menos
Ejemplo: En un restaurante, si se cobra 48 soles por un total de 12 menús, ¿cuánto cuestan 5 menús?
Respuesta completa:
Regla de tres simple inversa: Se dice cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales tales que la magnitud B corresponde al valor desconocido. Se establece la siguiente tabla: A B a1 b1 a2 x Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple AB = k y se deduce: a1 ab x . Por la propiedad fundamental se tiene a1 b1 = a2 x. De donde: x = 1 1 . a 2 b1 a2 La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones : - A más - A menos
menos más
41
Ejemplo: Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra, ¿ cuantos días demorarían 8 obreros a hacer la misma obra en las mismas condiciones?
Respuesta completa:
Ejemplo: Si se necesita dos horas para pintar una pared cuadrada de cinco metros de lado, ¿ cuánto tiempo se necesita para pintar una pared cuadrada de diez metros de lado? Solución: ¡Cuidado! En este caso, la proporcionalidad no es con el lado del cuadrado Si no con su área.
Respuesta completa:
2. Regla de tres compuesta: Definición.- La regla de tres compuesta es un procedimiento que permite hallar un término desconocido de una serie de razones en la cual intervienen más de dos magnitudes que tienen entre sí relaciones de proporcionalidad. Procedimiento.- Para resolver el problema se estudia la relación de proporcionalidad que tiene la magnitud que corresponde al valor desconocido con las otras magnitudes considerando en cada caso que las demás magnitudes presentan un comportamiento constante.
42
Sean A, B y C magnitudes tales que la magnitud A corresponde al valor desconocido.
A
B
C
a1
b1
c1
x
b2
c2
Si, por ejemplo, A y B son directamente proporcionales, A y C son inversamente proporcionales entonces, se tiene: A = k
De donde
B . C
a1 b1 c 2 ab c y x= 1 2 1. x b2 c1 b1c 2
Nota importante.- Como A y B son directamente proporcionales entonces la razón mantiene el mismo orden. En cambio, como A y C son inversamente proporcionales la respectiva razón se invierte. Ejemplo: Para una obra cinematográfica se encarga la confección del vestuario a 10 sastres que pueden hacer 1000 trajes en 40 horas. ¿Cuántos sastres más que trabajan de la misma forma se necesita para hacer 600 trajes en 20 horas?
Respuesta completa:
43
Observe Error frecuente:
Es muy importante que se dé cuenta en primer lugar el tipo de proporcionalidad que guardan las dos magnitudes que intervienen en una regla de tres simple.
Para cosechar un campo cuadrado de 18 metros de lado se necesitan 12 días, ¿cuántos días se necesitan para cosechar un campo cuadrado de 36 metros de lado?
Ejercicios en clase: 1. Un grifo vierte 26,2 litros de agua en 3,5 minutos. La respuesta no es 24 días. a. ¿La proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa? b. ¿Cuántos litros vierte el grifo en una hora? c. ¿Cuánto tarda en llenarse un bidón de 150 litros?
2. Tres máquinas cortacéspedes con la misma potencia siegan las praderas de un complejo deportivo en 48 horas. Dentro de 30 horas se celebran en él los campeonatos mundiales de atletismo. ¿Cuántas máquinas, como mínimo necesitamos para que todo esté a punto en el momento de la inauguración?
3. Un artesano teje alfombras a mano. Durante 9 días, trabajando 9 horas al día, teje 8 metros. ¿Cuántos metros tejerá durante 25 días, trabajando 8 horas diarias?
44
Ejercicios y Problemas : BLOQUE I 1. Si h hombres hacen un trabajo en d días, ¿en cuántos días harán el trabajo h + r hombres? 2. Si 3,6kg de harina cuestan 7 soles, ¿cuánto costará 7,2 kg? 3. Un auto consume 5,7 litros de combustible en 80km. A la misma velocidad, ¿cuánto consumirá aproximadamente en 560km? 4. Al desecar 60 litros de agua de mar obtenemos 1,5kg de sal. ¿Qué cantidad de agua tenemos que desecar para obtener una tonelada de sal? 5. 30 conejos consumen al día 12 kg de alfalfa. ¿Cuánto consumirán 50 conejos en una semana? 6. Un tren que marcha a 120 km/h tarda 3 horas en conectar dos ciudades. ¿Cuánto tardaría si marchara a 80 km/h? 7. Un libro tiene 90 páginas y cada página tiene 20 líneas. ¿Cuántas páginas tendría el mismo libro si en cada página hubiese 30 líneas? 8. Un ciclista tarda 2h 18min horas en ir de A a B a 18 km/h, ¿cuánto tardará a 20 km/h? 9. Una excavadora pequeña que extrae 6 m3 por hora necesita 18 horas para completar una excavación. Otra mediana que extrae 9 m3 por hora ¿cuántas horas necesitará para completar la misma excavación? 10. Un grifo que vierte 16 litros por minuto llena un depósito en 20 horas. ¿Qué tiempo emplearía si su caudal fuese de 24 litros por minuto? BLOQUE II 1.
La confección de vestuario para una obra cinematográfica es encargada a 10 sastres que trabajan 8 horas diarias, si durante 10 días confeccionan 800 trajes. ¿Cuántos sastres más lograrán confeccionar 600 trajes trabajando 2 horas diarias durante 12 días?
2.
Tres molinos durante cinco horas muelen 60 kg de café. ¿Cuánto molerán 5 molinos durante 3 horas?
3.
Si 12 obreros comienzan hacer un trabajo a los 15 días han hecho la tercera parte de la obra. ¿Cuántos obreros más es necesario contratar para que la obra se termine a los 21 días de iniciada?
4.
Por pasar 12 días en un campamento 36 jóvenes abonan $4 320. ¿Cuánto le costará a 58 jóvenes pasar 26 días en el mismo campamento?
5.
Una guarnición tiene víveres para 121 días. Si se aumenta en 1/3 el número de individuos, ¿en cuánto se debe disminuir la ración para que dure el mismo tiempo?
6.
Cuatro personas pagan por 7 días de hotel 2 100 soles, ¿cuánto pagarán tres personas por 15 días?
45
7.
Para pintar un cubo de 10 metros de lado se gastó $240, ¿cuánto se gastará para pintar un cubo de 15 metros de lado?
8.
Ocho albañiles en 6 días, con una jornada de 6 horas por día han concluido una obra. ¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 5 albañiles para hacer el trabajo en 12 días?
9.
Se estima que 30 personas construyan una cerca en 60 días. Transcurridos 24 días se incorporan 12 personas más. ¿En cuántos días menos se acabará la obra?
10. Un buey atado a una cuerda de 7,5 metros de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15 metros? Respuestas : Bloque I : 1.- dr/(h+r) 2.- S/14 3.-39,9 lt 4.- 40 000 lt 5.- 140Kg 6.- 4h 30 m 7.- 60 páginas 8.- 24h 4m 12 s 9.- 12 h 10.- 13h 20m Bloque II 1.- 15 Sastres. 2.- 60 Kg 3.- 48 Obreros 4.- $ 15 080 5.- En ¼ 6.- S/ 3 375 7.- $ 540 8.- 4h 48m 9.- 10 días 10.- 8 días
46
2.3 CONVERSIÓN DE UNIDADES Una conversión de unidades es una transformación de una magnitud física, expresada en una cierta unidad de medida, en otra equivalente, que puede ser del mismo sistema de unidades o no. Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de conversión en la física. Ejemplo 1 a. ¿Cuánto es 24 mi/h en km/h? 24
mi mi 1,609 km km 24 38, 62 h h 1mi h
b. ¿Cuánto es 350 cm/s en ft/s? 350
cm cm 1m 1ft ft 350 11, 48 s s 100cm 0,3048m s
c. ¿Cuánto es 15 cm2 en in2? 15 cm2 15 cm2
1 in 1 in 2,32 in 2 2,54cm 2,54cm
Observación:
1000 mm = 100 cm = 1 m = 0,001 km
1 km = 1000 m = 100 000 cm = 1000 000 mm
Tabla de equivalencias 1 pulgada (in) 1 pie (ft) 1 yarda (yd) 1 milla (mi) 1 acre 1 kilogramo 1 litro (l)
1 in = 25,4 mm = 2,54 cm = 0,025 4 m 1 ft = 12 in 1 ft = 0,304 8 m 1 yd = 3 ft = 36 in 1 yd = 0,914 4 m 1 mi = 5 280 ft = 1 760 yd 1 mi = 1,609 km = 1 609 m 1 acre = 4046,856 m2 1 kg = 1000 g = 35,2739 oz 1 m3 = 1000 l
47
EJERCICIO 1 1. Convierte las siguientes cantidades (Considere el valor de la respuesta como un número decimal redondeando a las centésimas) a. 67,5 ft
=………….. m
b. 32 m =………….. in
c. 3,92 mi
=…………..km
d. 650 ft =………….. yd
e. 9 700 000 m2 =………….. mi2
f.
1,49 m2 =………….. cm2
2. Realiza las conversiones que se indican en la tabla que se muestra a continuación. No te olvides que debes colocar el factor de conversión de forma adecuada. (Considere el valor de la respuesta como un número decimal redondeando a las centésimas) Factores
58
Resultado
cm s
km h
48
35
7, 24
mi s
km h
g cm3
kg m3
Observación Para verificar cada una de tus respuestas, usa la calculadora CASIO: fx-991 ES PLUS o CASIO: fx-570 ES PLUS
49
UNIDAD N° 3. PORCENTAJES 3.1 PORCENTAJES Los porcentajes constituyen uno de los lenguajes matemáticos de uso más extendido en la vida real. Es muy frecuente que los utilicemos para indicar qué representa una cantidad respecto a otra, siendo esta otra cantidad 100. Su potencialidad radica en que es un método homogéneo que permite comparar fácilmente dos cantidades. Ejemplo 1 12%(300)
12 300; 100
0, 25%(40)
0, 25 40; 100
a%(54)
a 54 100
Es decir: a se denota por a % y se lee: " a por ciento" 100
Cálculo del porcentaje de una cantidad El a % de una cantidad N se calcula de la siguiente forma: a % de N
a N 100
Ejemplo 2 Responda las siguientes preguntas. a. ¿Cuánto es el 30% de 200?
b. ¿Cuánto es el 12,5% de 400?
Solución: 30% de 200 =
Solución: 30 (200) 60 100
Rpta.
Rpta. El 30% de 200 es 60 c. ¿Cuánto es el 45,5% de 240?
d. ¿Cuánto es el 2,6% de 350?
Solución:
Solución:
Rpta.
Rpta. 50
¿Qué porcentaje es un número de otro? Ejemplo 3 Responda las siguientes preguntas. a. ¿Qué porcentaje es 24 de 40?
b. ¿220 qué porcentaje es de 200?
Solución:
Solución: a % de 200 220 a (200) 220 100 a 110
a % de 40 24 a (40) 24 100 a 60 Rpta. 24 es el 60% de 40. c. ¿Qué porcentaje es 78 de 120?
Rpta. 220 es el 110% de 200. d. ¿90 qué porcentaje es de 48?
Solución:
Solución:
Rpta.
Rpta.
Hallar un número conociendo un porcentaje de él
Ejemplo 4 Responda las siguientes preguntas. a. ¿El 12% de qué número es 36?
b. ¿120% de qué número es 450?
Solución:
Solución:
12 % de N 36 12 N 36 100 N 300
120 % de N 450 120 N 450 100 N 375
Rpta. El 12% de 300 es 36.
Rpta. El 120% de 375 es 450. 51
c. 84 es el 120%, ¿de qué número?
d. ¿De qué número 200 es el 80%?
Solución:
Solución:
Rpta.
Rpta.
EJERCICIO 1 Responda las siguientes preguntas. a. ¿Cuánto es el 12,5% de 450?
b. ¿Qué porcentaje es 200 de 40?
c. ¿El 250% de qué número es 600?
d. ¿Cuánto es el 0,5% de 200?
e. ¿18 qué porcentaje es de 72?
f. ¿El 5% de qué número es 60?
52
Observación: Después de haber resuelto los ejercicios anteriores te habrás dado cuenta que cuando se trabajan con porcentajes se distinguen, por lo general, tres casos: a. Determinar cuánto es el a% de un número. b. Determinar qué porcentaje es un número de otro. c. Determinar un número conociendo un porcentaje de él. EJERCICIO 2 Revisemos ahora ejercicios similares de porcentajes, que contienen enunciados. a. Si el precio de un televisor LCD Full HD de 42" Toshiba es de S/. 1650 si se sabe que se aplica el 18% de impuesto. ¿Cuál es el importe por concepto de impuesto?
b. Juan decide retirar los 25000 dólares de su cuenta a plazo fijo para abrir una pequeña empresa. Si antes de hacer el retiro del dinero, realizo el pagó del ITF (0,005%) por dicho monto. ¿Cuál es el importe por concepto de ITF?
c. En la PC1 obtuve 10 de nota y en la PC2 obtuve 14 de nota. ¿Cuántos puntos aumentó mi nota? ¿En qué porcentaje aumentó mi nota respecto a la nota inicial?
d. Me vendieron un IPod valorizado en $320 a solo $280 por aniversario de la tienda. ¿Cuál fue el descuento en dólares? ¿Cuál fue el porcentaje de descuento?
53
e. Por cierra puertas, Kari Falabella hace una rebaja de 75 dólares sobre el precio de un Blu-ray que cuesta 540 dólares. Mientras que Riplay hace una rebaja de 60 dólares sobre el precio del mismo producto que cuesta 520 dólares. ¿Qué porcentaje de descuento me da cada tienda?
f. Alexander recibió en la quincena de este mes el 40% de su sueldo mensual. Si al cobrar su quincena recibió 3400 dólares, ¿cuál es el sueldo mensual de Alexander?
g. El sueldo de un empleado subió en 5,75%, lo que equivale a un aumento de 298 soles. ¿Cuál es el sueldo de este empleado?
h. Si el precio de un televisor LCD Full HD de 42" Toshiba es de S/. 1650. ¿Cuál es el porcentaje de descuento, si por fiestas patrias se vende a S/. 1590?
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i. Mi profesor me va aumentar el 15% de mi promedio. Si mi promedio fue 12. ¿Cuál será mi nuevo promedio?
j. Soledad y Claudia reciben sueldos mensuales de S/. 9200 y S/. 6800 respectivamente. Entre las dos compran una refrigeradora aportando el 20% y 10% de sus sueldos respectivamente. ¿Cuál es el precio de la refrigeradora?
k. Un juego de comedor de $ 1200 se rebaja en febrero en un 20%. ¿Cuál es el nuevo precio? Al mes siguiente se realiza un descuento del 25%. ¿Cuánto cuesta al final el juego de comedor?
AUMENTO Y DISMINUCIÓN PORCENTUAL Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad. Observa:
Es muy importante saber qué cantidad es el 100%, ya que todos los porcentajes lo serán respecto a ella.
Cuando un número cambia a otro en un determinado porcentaje, el 100% es siempre del número inicial. Si es un aumento, el nuevo representará un porcentaje mayor que 100% del número inicial. Si es una disminución, representará un porcentaje menor que 100%.
55
Ejemplo 5 1. Responde a las siguientes preguntas: a. Si una cantidad disminuye en 23%, ¿qué porcentaje queda de dicha cantidad?
Queda el 77% de dicha cantidad
0,77 de la cantidad
b. Si una cantidad disminuye en 25%, ¿qué porcentaje queda de dicha cantidad? c. Si una cantidad aumenta en 28%, ¿qué porcentaje se obtiene? d. Si una cantidad aumenta en 18%, ¿qué porcentaje se obtiene? e. Si una cantidad disminuye en 36%, ¿qué porcentaje se obtiene? 2. En la columna correspondiente al Precio Final, coloque el factor correspondiente que multiplica al Precio inicial, según se trate de un aumento o un descuento. Precio inicial
Aumento (%)
Precio final
Precio final
(Factor)P
Descuento (%)
120
18
1,18(120)
18
0,82(120)
348
20
20
720
25
25
3200
30
30
50
100
100
Descuentos sucesivos Supongamos que Mafalda desea comprar una falda en una tienda de Kari Falabella y al llegar a dicha tienda encuentra la siguiente oferta: ¿Es posible afirmar, que un descuento del 70% más el 10% equivalen a un descuento único del 80%?, la respuesta es no. Lo que ocurre es que al precio de la falda se le aplicara descuentos sucesivos del 70% y 10%. Es decir, primero descontamos el 70% al precio inicial (Pi); con lo que nos queda el 30% de Pi (30%×Pi), luego en forma sucesiva, se aplica el segundo descuento del 10%, pero este descuento se aplica a lo que ha quedado del primer descuento, con lo que nos queda 90% del 30% de Pi (90%×30%×Pi = 27%×Pi).
56
(Factor)P
Para aclarar mejor el problema, veamos a cuanto equivalen dos descuentos sucesivos del 70% y 10% en un cuadro: Sea N el precio inicial de la falda (sin descuentos) –70%
–10% 30%N
N 100%
90% 30%N
100%
Queda
0,90×0,30N
0,27N
= 27%N
Descuento único 73%N
100% N 27% N
En conclusión, dos descuentos sucesivos del 70% y 10%, equivalen a un descuento único del 73%. Ejemplo 6 Si una cantidad disminuye en 30% y luego en 10%. ¿Qué porcentaje queda de dicha cantidad? ¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos anteriores? Solución: Sea N la cantidad inicial. –30%
N 100%
–10% 70%N
90% 30%N
100%
Queda
0,90×0,70N
0,63N
= 63%N
Descuento único 37%N
100% N 63% N
En conclusión, después de dos descuentos sucesivos del 70% y 10%, queda el 63% de la cantidad inicial, por lo tanto los dos descuentos sucesivos equivalen a un descuento único del 37%. Observación. Cuando tengamos que hacer descuentos sucesivos, recordemos que el primer descuento se aplicará a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, éste se aplicara a la cantidad que ha quedado del descuento anterior. De manera análoga también se hará cuando se trata de aumentos sucesivos.
57
Aumentos sucesivos Ejemplo 7 Si una cantidad aumenta en 30% y luego en 10%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores? Solución: Sea N la cantidad inicial. +30%
+10% 130%N
N 100%
110% 30%N
100%
Se obtiene
1,1×1,3N
1,43N
= 143%N
Aumento único 43%N
143% N 100% N
En conclusión, después de dos aumentos sucesivos del 30% y 10%, alcanza el 143% de la cantidad inicial, por lo tanto los dos aumentos sucesivos equivalen a un aumento único del 43%.
Ejemplo 8 Si una cantidad aumenta en 25% y luego en 15%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores? Solución: Sea N la cantidad inicial. +25%
N 100%
+15% 125%N
115% 125%N
100%
Se obtiene
1,15×1,25N
1,4375N = 143,75%N
Aumento único 43,75%N
143, 75% N 100% N
En conclusión, después de dos aumentos sucesivos del 25% y 15%, alcanza el 143,75% de la cantidad inicial, por lo tanto los dos aumentos sucesivos equivalen a un aumento único del 43,75%.
58
Aumentos y descuentos sucesivos Ejemplo 9 Si una cantidad aumenta en 20% y luego disminuye en 10%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿A cuánto equivale un aumento en 20% y luego un descuento en 10%? Solución: Sea N la cantidad inicial. +20%
–10% 120%N
N 100%
90% 120%N
100%
Se obtiene
0,90×1,2N
1,08N
= 108%N
Aumento 8% N
108% N 100% N Rpta. Se obtiene 108% de la cantidad inicial. Es decir, la cantidad inicial aumenta un 8%
Ejemplo 10 Si una cantidad disminuye en 20% y luego aumenta en 10%. ¿Qué porcentaje queda de dicha cantidad? ¿A cuánto equivale un descuento del 20% y luego un aumento en 10%? Solución: Sea N la cantidad inicial. –20%
N 100%
+10% 80%N
110% 80%N
100%
Queda
1,1×0,8N
0,88N
= 88%N
Disminuye 12% N
100% N 88% N
Rpta. Queda el 88% de la cantidad inicial. Es decir, la cantidad inicial disminuye un 12% EJERCICIO 3 a.
Si una cantidad disminuye en 40% y luego en 50%, ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos anteriores?
59
b.
Por la compra de 6 libros se realizan dos descuentos sucesivos del 10% y 20%. ¿Este descuento a que descuento único equivale?
c.
Si una cantidad disminuye en 15% y luego en 36%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos anteriores?
d.
Si una cantidad aumenta en 20% y luego en 30%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores?
e.
Por el buen trabajo realizado, Jorge va a recibir dos aumentos sucesivos del 30% y 25% en su sueldo. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores?
f.
Durante enero la producción de hierro aumento un 6%, y disminuyo un 3% durante febrero. ¿Cuánto se elevó la producción en ese bimestre?
60
g.
Un vendedor de electrodomésticos decide aumentar los precios de sus artículos en 8%, pero para obtener una ganancia aún mayor decide aplicarle a continuación otro aumento del 12%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores?
h.
Por promoción, en una tienda se le aplica al precio de una prenda de vestir un descuento del 10%, seguido posteriormente de un descuento del 20%. Si inicialmente la prenda costaba S/. 90. ¿Cuánto cuesta finalmente la prenda de vestir?
i.
Un juego de comedor de $ 1000 se rebaja en febrero en un 20%. Al mes siguiente baja el precio en un 25%. ¿Cuánto cuesta al final el juego de comedor?
61
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 3.1 1. Tres agricultores, cuyas fincas colindan, han suprimido los linderos y unido sus tierras para formar una cooperativa de 240 000 m2. Complete la tabla adjunta: Agricultores
m2
Mateo
86 400
%
Fracción
Decimal
Santiago 44
Eliseo Total
240 000
2. La leche da un 12,5% de su volumen en crema. Si se ha obtenido 30 litros de crema, ¿cuántos litros de leche se ha procesado? 3. ¿Qué porcentaje de descuento se aplica a un reloj de mano que cuesta $ 150 y está rebajado a $ 67,50? 4. De los 500 alumnos del curso de Nivelación, 110 usan lentes de contacto, ¿qué porcentaje de los alumnos no usan lentes de contacto? 5. Salieron de paseo el 84% de los alumnos de un colegio. Si 20 alumnos permanecieron en el colegio, ¿cuántos alumnos hay en el colegio? 6. Un agente recibe $ 3640,00 de comisión por la venta de cuatro automóviles idénticas. Si su comisión es del 7% por cada automóvil, ¿cuál era el precio de cada automóvil?
7. En un colegio de 800 alumnos el 60% son hombres. Si el 20% de los hombres y el 10% de las mujeres usan lentes, ¿qué porcentaje del total de alumnos usan lentes?
8. Una compañía adquiere una propiedad de 1 800 m2. Del siguiente modo: El 22% de la finca lo paga a $2 200,00 el metro cuadrado; el 56% a $ 800,00 el metro cuadrado y el resto a $500,00 el metro cuadrado. ¿A cuánto asciende la compra? 9. En una canasta hay 75 frutas del cual el 40% es naranjas y el resto es manzanas. Si se aumenta 12 naranjas y se retira 12 manzanas, ¿qué porcentaje representa ahora el nuevo número de manzanas del total de frutas?
62
10. El dueño de una empresa le plantea a sus trabajadores que ganan un sueldo de $600,00 al mes que, por la mala situación que atraviesa la empresa, se les debe hacer un descuento en su sueldo del 20%, con la condición que dentro de tres meses recibirán un aumento del 30%. ¿Cuál es el sueldo final de los trabajadores después de los tres meses? ¿En qué porcentaje se incrementa su sueldo final respecto a los $600,00? 11. Un vendedor de electrodomésticos decide aumentar los precios de sus artículos en 12%, pero para obtener una ganancia aún mayor decide aplicarle a continuación otro aumento del 15%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores? 12. Por promoción, en una tienda se le aplica al precio de una prenda de vestir un descuento del 18%, seguido posteriormente de un descuento del 5%. Si inicialmente la prenda costaba S/. 90. ¿Cuánto cuesta finalmente la prenda de vestir?
63
3.2 APLICACIONES ECONÓMICAS DE PORCENTAJES Los porcentajes se utilizan en las operaciones comerciales, como por ejemplo: variación porcentual, merma, comisiones sobre las ventas, descuento de precios, margen de ganancia, monto del impuesto general a las ventas, gastos de envío, interés simple, compuesto o continuo, etc. 1. VARIACIÓN PORCENTUAL (VP) El cálculo de variaciones es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimiento porcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior. Ejemplo 1 Variación de peso. En el mes de enero, Juan pesaba 80 kg y, luego de dos meses, su peso es de 88 kg. Calcule la variación porcentual del peso de Juan. Solución: Peso inicial : 80 kg. Peso final : 88 kg. Luego, en los dos meses el peso final menos el peso inicial es igual a 8 kg. 8 ¿Qué porcentaje representa 8 kg del peso inicial? 100% 10% 80 Respuesta: Juan tuvo una variación del 10% de su peso. Observación: Para determinar cuánto varió una cantidad Vf respecto a otra cantidad Vi , se debe realizar la siguiente operación: Variación porcentual
V f Vi Vi
100%
EJERCICIO 1 a. Una empresa Textil vendió en el año 2011 $125 000 y en el año 2012 vendió $183000 i. ¿Cuál será la variación de ventas? ii. ¿Cuál será la variación porcentual de ventas del año 2011 al 2012?
64
b. Rebeca quiere comprar dólares hoy siendo el tipo de cambio (venta) de S/. 2.80, al día siguiente vuelve a comprar dólares y se da con la sorpresa que el tipo de cambio (venta) ha bajado a S/. 2.74 ¿Cuál fue la variación porcentual en el tipo de cambio?
2. APLICACIONES DE MERMA Una merma es una pérdida o disminución en el número o en el tamaño de una cosa. Por ejemplo, al secar cierta cantidad de arroz, ésta se ve disminuida en su peso debido a la humedad que presentaba. Ejemplo 2 Un agricultor acaba de cosechar 50 000 kg de arroz, pero por efectos de la humedad se obtuvo al final 48 500 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de la humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma? Solución: Si inicialmente se tiene 50 000 kg de arroz, luego – 1500 kg
50 000 kg
48 500 kg
100%
Tenemos que calcular el porcentaje de merma:
a % de 50000 1500 a (50000) 1500 100 a3 Rpta: La merma por efectos de la humedad fue de 1500 kg, que representa un 3% de merma de la cosecha.
65
Ejemplo 3 Merma en la fabricación de una mesa de madera. ¿Cuánto de madera se necesita para fabricar una mesa que pesa 60 kg, sabiendo que en el proceso productivo se produce una merma del 15%? Solución: Sea N la cantidad inicial de madera prima que había al inicio. – 15% 85%N
N
Peso de la mesa = 60 kg
100%
Por lo tanto 85% N 60 0,85 N 60 N 70,588
Rpta: Se necesita aproximadamente 70,588 kg de madera. EJERCICIO 2 a. Un agricultor acaba de cosechar 64 000 kg de trigo, pero por efectos de la humedad se obtuvo al final 63 150 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de la humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma?
b. Merma de instalación. Se tiene que tapizar una sala de 68 m2. Si se sabe que en el proceso de instalación hay una merma del 15%, ¿cuántos m2 de tapizón se debe comprar?
66
c.
Merma en la fabricación de tela. Si se tiene que fabricar 1500 kg de tela de algodón, ¿cuántos kg de hilo se tienen que comprar para fabricar esta tela, si se sabe que al finalizar el proceso hay una merma del 7,8%?
3. IMPUESTO GENERAL A LAS VENTAS (IGV) En el Perú la tasa del impuesto general a las ventas es del 18%; esto significa que para determinar el precio final al público hay que aumentar el 18% al precio del artículo. Luego,
PRECIO SIN IGV + IGV = PRECIO CON IGV donde, IGV = 18 % PRECIO SIN IGV
Ejemplo Si el precio de una calculadora científica sin IGV es de S/. 234, calcule el IGV y su precio con IGV. Solución: Por fórmula, tenemos que: IGV
: 18% de 234 = 0,18(234) = S/. 42,12
Precio con IGV
: 234 + 42,12
Precio con IGV
: S/. 276,12
Rpta: El IGV es de S/. 42,12 y el Precio con IGV de S/. 276,12
67
EJERCICIO 3 1. Si el precio de una computadora portátil sin IGV es de S/. 3199, calcule el IGV y su precio con IGV.
2. Si el precio de una casaca con IGV es de S/. 590, calcule el IGV y su precio sin IGV.
3. Toño sale a comer con toda su familia a un restaurante de comida criolla, saliendo una cuenta a pagar de S/. 780 en total, pero le pide al mozo que le presente la factura con la cantidad que corresponde de IGV y lo que corresponde al consumo. ¿Cómo tendría que hacer el mozo para presentar la factura correctamente?
4. Jorge desea comprar una camioneta Ford Explorer de cuarta generación cuyo precio es de $ 47 500 incluido IGV. En AUTO MOTORS le ofrecen dos descuentos sucesivos del 15 % y 5% sobre el precio sin IGV, para posteriormente aplicarle el IGV en la factura. RIA AUTOS le ofrece un descuento del 18% sobre el precio con IGV. ¿En dónde le conviene comprar? ¿Cuál fue el precio que pagó finalmente?
68
5. Anita acaba de ingresar a trabajar en Hipermercados Montecarlo. Usted está comprando 15 pijamas para caballeros. El precio de venta de cada pijama es de S/. 70,80 y en este precio está incluido el IGV del 18%. Anita, dada su falta de experiencia, le solicita que le ayude a llenar la factura.
a. b. c. d.
Calcule el precio unitario Calcule el valor de venta Calcule el subtotal. Calcule el IGV y verifique el total
69
6. Lucas decide comprar 4 planchas de melamine de 15 mm a S/. 130,00 cada una y 25 metros de tapacanto a S/. 0,50 el metro y en estos precios está incluido el IGV. Lucas, dada su experiencia sabe cuál es el monto que debe pagar, para ello se anticipó al llenado de la factura. Ferretería Maestro S.A
R.U.C.: 20100584568
Comercializadora Mayorista de Productos para Construcción Av. Marcelino Champagnat Nº 1747 – Urb. Los esforzados Telefono: 1452155- 9989898
Señor(es):
Heiner Calderón
Dirección:
Av. Los valientes N º 8135
R.U.C:
10053847684
CANTIDAD
4 25
FACTURA 012 - Nº 0006150
GUIA: _______
DESCRIPCIÓN
Melamine 15 mm Tapacanto
CANCELADO
Lima, 02 / 09 / 2011 PRECIO UNITARIO
VALOR DE VENTA
?
?
?
?
SUBTOTAL I.G.V (18%) TOTAL
IMPRENTA ABC S.A.C. GRÁFICA SANTA MARÍA R.U.C. Nº 20432102005
ADQUIRIENTE O USUARIO
Serie 024 Del 5000-15000 F.I. 20-08-2008 Nº Aut. 1333566780
a. Calcule el precio unitario de una plancha de melamine y de un metro de tapacanto. b. Calcule el valor de venta en cada caso. c. Calcule el subtotal. d. Calcule el IGV. e. Calcule el total.
70
4. COSTOS Y PRECIOS La venta es el proceso por el cual se transfieren bienes de una persona a otra, a cambio de una compensación económica. En este proceso intervienen 2 partes, que tienen 2 puntos de vista distintos:
El productor/ vendedor (también puede ser distribuidor). El comprador/cliente.
Estos 2 puntos de vista son diametralmente opuestos:
Productor/vendedor Costo, precio, ganancia El productor/vendedor quiere maximizar su ganancia. Para lograrlo debe fijar un precio, denominado precio de lista (PL) que cubra lo que le costó fabricar o comprar el producto, cantidad que se denomina costo (C), y que además le permita obtener una ganancia (G).
Ejemplo 1 Un comerciante de libros usados compró un lote de enciclopedias a S/. 2300. Al venderlos desea obtener una ganancia de S/. 1350. a. ¿Cuál fue su costo? …………………………………………………………………………………………. b. ¿Cuál es el precio que debe fijar para obtener la ganancia deseada? …………………………………………………………………………………………. c. ¿Cuál será su porcentaje de ganancia (respecto al costo)? ………………………………………………………………………………………….
71
De aquí se concluye que: Precio de venta = Costo + ganancia Ejemplo 2 Verónica compró un jeep en $3300, y desea venderlo ganando el 20%. a. ¿Cuál fue su costo? …………………………………………………………………………………………. b. ¿Cuánto quiere ganar en dólares? …………………………………………………………………………………………. c. ¿A cuánto debe venderlo? …………………………………………………………………………………………. Ejemplo 3 Un criador de caballos de carrera compró un caballo por $5400. Como necesitaba dinero, al final tuvo que venderlo ganando un 35%. ¿A cuánto lo vendió?
Ejemplo 4 Un vendedor de autos usados vendió un Passat del año 2008 en $9800. Cuando se le preguntó a cuánto lo había comprado, no quiso revelarlo, pero llegó a declarar que su ganancia había sido del 25%. ¿ A Cuánto lo compró?
72
Ejemplo 5 Un distribuidor compra 2 toneladas métricas de un cierto insumo a US$0.80 por kilo. Para comercializarlo fija un precio de US$0,95 por kilo. Cuando vio que se acercaba la fecha de vencimiento y no había podido venderlo, tuvo que hacer un descuento del 35% al precio que había fijado para lograr la venta de éste insumo . a. Indique el costo y el precio b. Halle el precio de venta final c. Determine si el distribuidor ganó o perdió y qué cantidad de dinero. d. Determine el porcentaje de ganancia o pérdida.
Nota: La ganancia o utilidad es un porcentaje sobre el costo, a menos que se indique lo contrario. Las pérdidas son ganancias negativas. Ejemplo 6 Se vende una cocina eléctrica en S/. 4 200,00 ganando el 14% ¿cuánto costó la cocina? Solución: Sea C el costo de la cocina, luego
C
+14% 114%C
Precio de venta = 4200
100%
Otra forma Precio de venta = Costo + Ganancia 4200 = C + 14% C 4200 1,14 C 3684,21 C
Rpta: La cocina costó S/. 3684,21
73
EJERCICIO 4 1. Compra – venta: Oscar Flores y Rubén Diaz. a. Oscar Flores, produce chompas de lana de alpaca; el costo de fabricación de cada chompa es de $35,00. Al vender cada prenda, él obtiene una utilidad del 20%. ¿Cuál es el precio de venta de cada chompa?
b. Si Rubén Díaz compra las chompas a Oscar Flores, para venderlas en su almacén con una ganancia del 35%. Determine el precio de venta al cual Rubén Díaz debe ofrecer cada chompa.
c. Si por cambio de estación, Rubén Díaz decide ofrecer sus chompas con un descuento del 15%. ¿A qué precio los clientes de Rubén podrán adquirir estas prendas?
74
2. Una empresa ganadera exportará ganado bovino a Europa a un precio de $900 por cada animal. Si estima que ganará 28% por cabeza. ¿Cuál fue el costo por cada animal?
3. Un promotor de espectáculos invierte una gran suma por la presentación de un conjunto musical. Una falla en la gestión del Departamento de Promoción provoca pérdidas por valor de $ 15 000 que corresponden a un 20% de lo invertido. ¿Cuánto invirtió el empresario en este negocio?
4. Raúl vendió un juego de comedor a $1800 ganando el 20%. Si hubiera aceptado la rebaja que le proponía el cliente, habría ganado solamente el 16%. ¿Cuál es el precio que le sugirió el cliente?
75
5. César compró dos lotes en Carabayllo a $ 7200,00 cada uno. Al cabo de dos meses decide venderlos por motivos familiares. Si se sabe que en uno perdió el 25% del costo y en el otro ganó el 25%. ¿En total, gano o perdió? ¿Cuánto?
6. En una importación de 6000 televisores de LCD de 43 pulgadas, la compañía “Electrón S.A.”, fija su precio con un 25% de ganancia, sin considerar el IGV. Si el ingreso que obtuvo la compañía por la venta de todos los aparatos ascendió a $ 6 300 000. ¿Cuánto le costó cada televisor?
76
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.2 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Marlenny obtuvo 15 de nota en la PC1 y 18 en la PC2. ¿Cuál fue la variación porcentual de la nota? b. Si la cuenta a pagar por consumo en un restaurante fue de S/. 340. ¿Cuál es el costo sin IGV? c. El precio de cierta máquina es de $ 454,3 incluido el IGV. ¿A cuánto asciende el el IGV? 2. El gráfico muestra la producción anual de cobre (en toneladas) de una mina durante 4 años consecutivos.
producción / año 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1
2
3
4
a. ¿Qué porcentaje de variación en la producción se obtuvo entre los años 1 y 2, del 2 al 4? b. ¿Qué porcentaje de variación en la producción se obtuvo del año 1 al año 4? c. ¿Se obtiene lo mismo en b. si sumando los resultados parciales en a.? 3. Hace tres años pesaba 54 kg. y ahora peso 48 kg. ¿Qué ha sucedido? ¿En qué porcentaje ha variado mi peso? 4. Un agricultor acaba de cosechar 86 000 kg de trigo, pero por efectos de la humedad se obtuvo al final 76 500 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de la humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma? 5. La panadería “Silvana” especialista en preparar tortas de tres leches, elabora las tortas mediante dos procesos el de mezclado de ingredientes y el de horneado. Si al finalizar los dos procesos hay una merma del 40% de la masa inicial, ¿Cuántos kg de masa se pierden, si al finalizar los dos procesos se obtiene una masa de 6kg? 6. Se tiene que tapizar una sala de 72 m2. Si se sabe que en el proceso de instalación hay una merma del 20%, ¿cuántos m2 de tapiz se debe comprar?
7. Complete la siguiente factura si se sabe que el precio del plato de Cerdo con Chap Suey es de S/. 29,50 incluido el IGV. 77
´ ´
´
S/. 95,13
8. A continuación se muestra una factura con información incompleta. Sabiendo que el precio del desinfectante “Pinesal” de 500 ml es de S/. 5,31 incluido el IGV , determine: a. El subtotal y el monto por IGV. b. La cantidad de cera auto brillante “Texno” vendida y el precio unitario de cada perfumador “Ricotín” en spray. Distribuidora Comercial Mayorista Limitada Comercializadora Mayorista de Productos para Almacén Distribuidora de Abarrotes – Lácteos – Frutos Secos – Artículos de Aseo – Detergente y sus Derivados Av. Perú Campeon Nº 1234 – Urb. Los esforzados Telefono: 1452155- 9989898
Señor(es):
Miguel Baltasar López
Dirección: R.U.C:
Av. Si se puede N º 8135 10084537684 GUIA: _______
CANTIDAD
R.U.C.: 20100084568
FACTURA 028 - Nº 0005160
DESCRIPCIÓN
Cera auto brillante “Texno” 40
Perfumador “Ricotín” en spray
35
Desinfectante “Pinesal” de 500 ml CANCELADO
Lima, 10 de mayo del 2011 PRECIO UNITARIO
VALOR DE VENTA
S/. 3,40 S/. 268
SUBTOTAL I.G.V (18%) TOTAL
IMPRENTA ABC S.A.C. GRÁFICA SANTA MARÍA R.U.C. Nº 20432102005
S/. 702,69
ADQUIRIENTE O USUARIO
Serie 024 Del 5000-15000 F.I. 20-08-2008 Nº Aut. 1333566780
78
9. Annel desea comprar un reloj Emporio Armani modelo AR5915 para obsequiarle a su padre por el día de su cumpleaño, cuyo precio es de 1600 dólares incluido IGV. La tienda “Skippertime” le ofrece dos descuentos sucesivos del 12% y 8% sobre el precio sin IGV, para posteriormente aplicarle el IGV en la factura. “Reloj Internacional” le ofrece un descuento del 20% sobre el precio incluido el IGV. ¿En dónde le conviene comprar? ¿Cuál fue el precio que pagó finalmente? 10. El precio de venta de un artículo se obtiene aumentando el 30% sobre el costo. En una liquidación se hace un descuento del 60%. Sin embargo, los clientes que pagan con tarjeta de crédito tienen un descuento adicional del 10% sobre el precio de remate. Si todos los clientes pagan con tarjeta de crédito, ¿la empresa gana o pierde?, ¿en qué porcentaje? 11. Una reconocida cadena de farmacia tiene todos sus productos con 15% de descuento. Si por la compra de un tubo de Dencorub Forte, un cliente ahorra S/. 4,29. ¿Cuál fue el precio de venta inicial? Y ¿Cuánto pagó finalmente? 12. Un inversionista compra 8000 acciones de una empresa generadora de energía eléctrica, a $4,5 la acción. Después de seis meses han subido un 20%. a. ¿Cuánto dinero se ha ganado? b. Si el inversionista decide comprar más acciones con lo que ha ganado. ¿Cuántas podrá comprar al precio actual? 13. Un distribuidor de artículos electrodomésticos importa televisores LCD de 25" a $800. ¿Cuál debe ser el precio de venta, de tal manera que al hacer un descuento del 20%, aún se obtenga una ganancia del 25%? 14. Abelardo ensambla una computadora y se la vende a Andrés ganando un 20% sobre el costo, pero Andrés decide venderle esta computadora a Delia, ganando un 10%. Si Delia paga por la computadora $1254,00. ¿Cuánto le costó a Abelardo ensamblar la computadora?
79
UNIDAD N° 4. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 4.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS (EA) Es toda combinación finita de números y letras, sometidas un número finito de veces a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y/o radicación. Las variables siempre se encuentran como base, nunca como exponente. El exponente de la variable es siempre un número racional. Ejemplo 1 Identifique cuáles son expresiones algebraicas. a. E ( x; y) 3x2 y
1
4 x 3
2
No es una E.A, porque la variable “x” aparece como exponente.
b. F ( x; y) 2 x yx c. G( x; y) x 2 xy
Si es una E.A.
No es una E.A, porque la variable “y” tiene como exponente un número irracional.
3
EJERCICIO 1 Responde verdadero (V) si la expresión es una EA, y falso (F) si no lo es. Justifique. a. R( x) x 1
( ) b. P(w) 3 w2,5 5 ( ) c. B( x) x2 3x 2x
( )
d. D( x) x 2 2 x 3
( ) e. F ( x) 5xy 2 e y
( )
2 g. S (a) 1 a a 2 ... ( ) h. U ( x; w) 6 xw
1 a
( )
f. I ( z ) z 2 z 4 3
( ) i. R( x; y) 0,5x3 xy3 ( )
Notación: Las expresiones algebraicas se denotan por las letras mayúsculas indicando entre paréntesis las variables que lo conforman. E ( x; y) : es una expresión algebraica de variables x e y .
Ejemplo 2 Complete el siguiente cuadro: Expresiones algebraicas
Variables
Constantes
E ( x; y) 2ax 4by 2
x e y
a y b
G( x) 5ax3 3b
Q( x; z ) ax 2 czb3 N (a; b) ax3 yb3 80
Valor numérico de una expresión algebraica Es el número real que se obtiene al sustituir cada letra o variable por un número real. Ejemplo 3 Si E ( x) 5x 2 3x 1, calcule E (2).
E (2) 5(2)2 3(2) 1 27 EJERCICIO 2 1. Calcule el valor numérico.
a. Si M ( x) 2 x3 x 2 x, calcule M (1).
b. Si R(m; n) 3m4 5mn 1, calcule R(1; 2).
c. Si B( x; y )
2 xy 1 , calcule B(4; 3). yx
d. ¿Se puede hallar el valor numérico para x 3 en E ( x)
4 ? 3 x
P( x ) 2 x 3 3 x 4 ;
Q( x) x 2 3x y R( x) 3x 5. Determine P(2) Q(1) mostrando su proceso, el valor de: E R(1)
2. Dados
Recomendación Halle: P(–2) = Q(1) = R(–1) =
Reemplazando en la expresión:
81
P( x) 5 2 x x 3 ;
y Q( x) 2 x 2 5x R( x) 4 x 3. Determine Q(2) 2 R(3) mostrando su proceso, el valor de: E P(1) 3
3. Dados
P(–1) = Q(–2) = R(–3) =
Término Algebraico Es una expresión algebraica que sólo contiene productos, cocientes y potencias de variables y constantes numéricas. Ejemplo 4
3x ; D( x) ax1/2 ; E ( x; y) 7 x3 y 2 . 2 y
Términos algebraicos: A( x) 2 x3 ; B( x; y ) Nomenclatura:
Exponente E(x; y) = – 7 x3 y1/2
Coeficiente
Parte literal
Observación: Si un término algebraico contiene solo la parte literal, entenderemos que tiene como coeficiente el número 1 .
Si contiene solo la parte literal precedida de un signo menos, entenderemos que tiene coeficiente el número 1 .
Ejemplo: xy 2 1xy 2 ; z 3 y 4 1z 3 y 4 tienen por coeficiente el número uno.
Ejemplo: xy 2 1xy 2 tiene por coeficiente el número –1.
Observe las expresiones horizontalmente. ¿Qué tienen en común?
E ( x; y) 8x 2 y
F ( x; y) 3x 2 y
G( x; y) 7 x 2 y
P( x; y) 9 x 4 y 6
R( x; y) 3 y 6 x 4
M ( x; y) x 4 y 6
B( x; y) 2,5 yx3
C ( x; y) 3 yx3
A( x; y )
7 3 x y 5
¿Cuál es el nombre que se le da a dichas expresiones? ………………………………………………….……………………………… 82
Términos semejantes Dos o más términos son semejantes, si presentan la misma parte literal, es decir, si las variables tienen, respectivamente, iguales exponentes. Ejemplo 5 Diga si las siguientes EA son semejantes o no
E ( x; y) 8x 2 y
F ( x; y) 7 x 2 y
Son semejantes
A(a; b) ab2
B(a; b) 2,5a 2b
No son semejantes
P( x; y) 7 x3 y
Q( x; y) yx3
M ( x; z ) 8xz 1
N ( x; y) 5xy 1
Ejemplo 6 Relacione cada expresión algebraica de la columna 1 con una expresión algebraica semejante en la columna 2: Columna 1 M ( x; y; z )
Columna 2
5 5 3 x y z 2
M (t; s) 0,11s 4t 7
M ( x; z) zy
M ( x; z) 5 yz
M ( x; y; z ) x yz 7
M ( x; y; z) 3 yx2 z
M (t; s) 3 5 t 7 s 4
M ( x; y; z) 3zy 3 x5
Reducción de términos semejantes Para simplificar expresiones algébricas, debemos tener en cuenta, si tienen o no términos semejantes. Ejemplo 7 Simplifique las siguientes expresiones algebraicas, reduciendo términos semejantes: a. A( x) 3x2 4 x2 12 x 2 (3 4 12) x2 11x2 dado
que todos los términos son semejantes, sumamos los coeficientes.
b. B( x; y ) 5 x 2 y 4 x 2 12 yx 2 6 8 x 2
B( x; y) 5x 2 y 12 yx 2 4 x 2 8x 2 6
agrupamos los términos semejantes sumamos los coeficientes de los términos semejantes
B( x; y) 17 x2 y 4 x 2 6
83
c. B( x; y) 6 x3 y 2 4( x3 3 y 2 x3 ) 5 6 x3
B( x; y ) 6 x3 y 2 4 x3 12 y 2 x3 5 6 x3
B( x; y) 6 x3 y 2 2 x3 12 y 2 x3 5
agrupamos los términos semejantes
sumamos los coeficientes de los términos semejantes
B( x; y) 18x3 y 2 2 x3 5
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGÉBRAICAS Símbolos de agrupación Los símbolos de agrupación más usados son los paréntesis ( ) , los corchetes [ ] y las llaves ; y se emplean para indicar que los términos encerrados por ellos se consideran como una sola expresión algebraica. Supresión de símbolos de agrupación. Si un signo positivo (+) precede al símbolo de agrupación, dicho símbolo se puede suprimir sin modificar los términos que contiene. Ejemplo 8
P( x; y) 6 x 5 y (2 x 2 3 y 2 ) 6 x 5 y 2 x 2 3 y 2 Si un signo negativo (–) precede al símbolo de agrupación, dicho símbolo se puede suprimir cambiando el signo de cada uno de los términos que contiene. Ejemplo 9
R( x; y) 3x [2 x3 (5x 2 1)] 3x [2 x3 5x2 1] 3x 2 x3 5x 2 1 Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupación, para suprimirlos se comienza por los interiores. EJERCICIO 3 Simplifique las siguientes expresiones algebraicas, reduciendo términos semejantes: a. A( x; y) 3x 2 y 4 yx 2 12 yx 2
b. B(w; z ) 20w2 z wz 2 45wz 2 w2 z
84
c. C ( x; y) x (2 x y) (4 x 7 y)
d. D( x; y) 6 xy 3(2 3xy) 5
e. E ( x; y) 4 xy 2( xy 3x) 3(9 x 2 xy) 25 x 2 6 x
f. F ( x, y, z) 5(2 x 3 y) 3x (2 y z) ( x 2 y) (3z 2 x y)
g. G( x; y) 5(4 x 5) 5x (7 y z ) (2 x y) (3z 5x 2 y)
85
Monomio Un monomio es aquel término algebraico cuyas variables se encuentran en el numerador y con exponente natural o cero. Nota: La parte literal puede tener dos o más variables. Un monomio es un caso particular de un término algebraico. Ejemplo 10 Responde verdadero (V) si la expresión es un monomio, y falso (F) si no lo es. M ( y) 34 y 7
( )
P( z ) 23,5
R(w) 3w2,3
( )
C ( x; y )
3 1 xy 2
( )
Q( x) 5x 4
( )
N (a)
1 a 5
( ) ( )
Grados relativos y absolutos de un monomio Relativo a una variable Está dado por el exponente de la variable en referencia. Absoluto Está dado por la suma de todos los exponentes de sus variables. Se le suele llamar simplemente grado del monomio. Ejemplo 11 2 Si E ( x) 5x , entonces, su grado es 2. 3 4 Si Q( x; y) 3 x y , entonces, su grado relativo a x es 3, su grado relativo a y es 4, el grado del monomio es 3 + 4 = 7.
Ejemplo 12 Determine el grado de los siguientes monomios: Monomio
M ( x; y) 34 xy3
Coeficiente
Grado respecto a x
Grado respecto a y
Grado respecto a z
Grado absoluto
34
1
3
----
4
B( x; z ) 23,5x 2 z 3 T ( x; y; z ) 4 x 2 y 3 z
P( y) 3xy 2 1 R( y; z ) ay 3 z 5 86
4.2 POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS. VALOR NÚMERICO La suma y/o resta algebraica de un número finito de monomios es un polinomio. Nota: Decimos binomios a aquellos polinomios formados por dos monomios no semejantes. Decimos trinomios a aquellos polinomios formados por tres monomios no semejantes. Ejemplo 1 De las expresiones siguientes, indique justificando su respuesta cuáles son polinomios y cuáles no. a.
P( x ) 5 x 4 6 x 2
b.
S ( x) 15, 4 x3
c.
Q( x) 5x4 6 x 1 4
d.
R( x; y )
3,5 y x4
Grados relativos y absolutos de un Polinomio Relativo a una variable Está dado por el mayor exponente, respecto a la variable mencionada, de todos los monomios cuyo coeficiente sea distinto de cero. Absoluto Es el grado correspondiente al término de mayor grado, cuyo coeficiente sea distinto de cero. Se le suele llamar simplemente grado del polinomio. Ejemplo 2 Determine el grado de los siguientes polinomios: Polinomio
Grado respecto a x
a. Q( x) 5x 3
Grado respecto a y ----
b. R( x) 4 x2 6 x 12 c. C ( x) 5x3 3x5 x d. U ( x) x 2 3 5x3 3x 4 e. R( x; y) 3x3 y xy 2 y 5
87
Grado Coeficiente principal
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Es el valor que adquiere el polinomio al reemplazar cada variable por el valor asignado a ellas. Ejemplo 3 Dado E ( x; y) 5x 2 15xy 3 y 2 , determine el valor de E(–2;1).
E (2;1) 5(2)2 15(2)(1) 3(1)2 53 Ejemplo 4 Dados P( x) x 4 x3 2, Q( x) 3x 5 y R( x) 5x 2 x , determine mostrando su proceso, el valor de: F
P(1) R(1) 2Q(1) 3 R(1)
P(–1) = R(1) = Q(–1) =
OPERACIONES CON POLINOMIOS Adición y sustracción Para sumar o restar polinomios se suma o resta los coeficientes de los respectivos términos semejantes. Ejemplo 5 Sean P( x) 6 x 2 5x 3 y Q( x) 9 2 x 2 6 x . Efectúe: P( x) 3Q( x)
Efectúe: P( x) 2Q( x)
Solución:
Solución:
6 x 2 5 x 3 3 9 2 x 2 6 x
6 x 2 5 x 3 2 9 2 x 2 6 x
6 x 2 5 x 3 27 6 x 2 18 x
6 x 2 5 x 3 18 4 x 2 12 x
6 6 x 2 5 18 x 3 27
6 4 x 2 5 12 x 3 18
0 x 2 13x 24, 13x 24
10 x 2 17 x 21
como 0 x 2 0
88
EJERCICIO 1 a.
Sean P( x) 4 x 2 2 x 9 y Q( x) 9 x2 6 x. Determine mostrando su proceso: Q( x) 3P( x).
b.
Sean P( x) 2 x 2 5x 3, Q( x) 4 x 2 2 x y mostrando su proceso: 2Q( x) 5P( x) 3M ( x).
c.
Sean P( x) 6 x 2 4 x 3, Q( x) 9 2 x 2 6 x y M ( x) x3 x 2 5. Determine mostrando su proceso: 5M ( x) 2P( x) Q( x).
M ( x) 9 x 2 .
Determine
Multiplicación Ejemplo 6 b. Efectúe: 10m3n2 ( 1 mn3 )( 1 m2 n4 )
a. Efectúe: (2 x 2 y)(3xy)
2
3
Solución:
Solución:
1 1 10 m3n 2 mn3m 2 n 4 2 3 5 m31 2 n 23 4 3 5 m 6 n9 3
(2)(3) x 2 x y y 6 x 21 y 11 6 x3 y 2
89
d. Efectúe: (2 x y)(3x y xy )
c. Efectúe: 2 xy (3x y xy ) 2
2
2
Solución:
2
Solución:
2 xy (3 x 2 xy 2 )
(2 x y )(3x 2 y xy 2 )
(2 3) xx 2 y 2 xxyy 2
6 x3 y 2 x 2 y 2 3x 2 y 2 xy 3
6 x1 2 y 2 x11 y1 2
6 x3 y 5 x 2 y 2 xy 3
6 x3 y 2 x 2 y 3 EJERCICIO 2 Reduzca las siguientes expresiones, mostrando su proceso. a. P( x) 3 x2 (5 y x) 6 x(2 xy x 2 )
b. R( y) 3 y 4 (4 y 2 )(4 y 2 )
c. R( x; y) 6 4 y 2 (3x2 2)(3 y 2 x)
d. C (m; n) (3m2 n3 )(n2 2m) 2(3m n)(mn2 4m2 )
90
e. P( x, y) (2 x 3 y)(2 x 3 y) 5x( x 3 y) (3x y)(3x y)
División de polinomios entre monomios Ejemplo 7 a. Efectúe:
b. Efectúe:
135 x y 64 x y 3 2 27 x y 8x 5 y 3 Solución: 5
6
7
7
(25a 6 y 4 15a 4 y 6 5a 2 y 8 ) (5a 2 y 4 ) Solución:
5 x53 y 62 8 x 7 5 y 7 3 5 x 2 y 4 8 x 2 y 4
25a 6 y 4 15a 4 y 6 5a 2 y 8 2 4 2 4 5a 2 y 4 5a y 5a y
3x 2 y 4
5a 4 3a 2 y 2 y 4
EJERCICIO 3 Reduzca las siguientes expresiones, mostrando su proceso. a. P(m; n)
12m5 n4 9m4 n5 6m9 n3 3m2 n3 3mn4 3m7 n3
c. G( x; y ) 2 y
b. Q(m; n)
6 x 2 y 4 2 xy 4 xy 2 2 xy
91
24m5 n3 18m4 n2 48m2 n5 3m2 n2
d. R( x; y) 3x3 y 3 27
18 x3 y 2 9 x5 y 4 81x 2 y 3x 2 y
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON VARIABLES Es la expresión que adquiere el nuevo polinomio al reemplazar cada variable por el expresión asignada. EJERCICIO 4 1. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por P( x) 5 4 x 2 , Q( x) 3 2 x, evalúa y reduce las siguientes expresiones: b. P(2b3 )
a. P(3a) Solución:
Solución:
P(3a) 5 4(3a) 2 5 4(9a 2 ) 5 36a 2
c. P( 3a) Q(a 1)
d. P( 3a ) Q(a 1)
Solución: 5 4( 3a) 2 3 2(a 1) 5 4(3a 2 ) 3 2a 2 5 12a 2 1 2a 12a 2 2a 4
92
e. P(a 5) Q(a 1)
f.
Solución:
P(3 a ) Q(a 1) Solución:
2. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por P( x) 5 4 x, Q( x) 3 5x, determine:
a.
P(3 h) P(3) 5 4(3 h) 5 4(3) 5 12 4h 7 4h 4 h h h h
b.
Q(6 h) Q(6) h
c.
P ( x h) P ( x ) h
93
4.3 PRODUCTOS NOTABLES. REDUCCIÓN DE POLINOMIOS Definición. Los Productos notables son un grupo de multiplicaciones algebraicas muy frecuentes, que se han identificado como fórmulas, y que nos permiten escribir directamente el resultado abreviando así los cálculos.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Elevar al cuadrado Para aprender a elevar al cuadrado una suma, primero debemos entender que elevar al cuadrado cualquier número equivale a multiplicarlo por sí mismo. Ejemplo 1 Escriba cada potencia como un producto de 2 factores iguales y a continuación halle el resultado:
b. (3)2
a. 82 8 8
d.
3x
c.
2
2
4 e. x5 3
2
7 g. x 2
h.
5x
4 2
13
2
=
2
4 f. x 3
i.
x 3
2
Ejemplo 2 Escriba cada potencia como un producto de 2 binomios iguales y efectúe la multiplicación, no use ninguna fórmula. a. x 2 2 x 2x 2 x 2 2 x 2 x 4 x 2 4 x 4 b. 2 x 3 2 (
c.
4 x 1
2
(
)(
) ………………………….
)(
) ……………………………………………..
94
1. EL CUADRADO DE UNA SUMA Para hallar el cuadrado de una suma de 2 términos, sin tener que multiplicarlos, podemos escribir lo siguiente: 2
2
Primer Segundo Primer Primer Segundo Segundo 2 término término término término término término
2
Ejemplo 3 Efectúe
3x 5
2
Se recomienda al principio trabajarlo en dos pasos, usando paréntesis para cada factor.
3x 5
2
=
3x
2
2 3x 5 5
2
= ……………………………
Ejemplo 4 Efectúe
5x 4 y 3
2
Ejemplo 5 Complete los espacios que faltan en los binomios al cuadrado: b. ..... x3 2 ....... 6 x3 .........
a. x ..... 2 ....... 10 x .........
2. EL CUADRADO DE UNA DIFERENCIA Lo único que varía respecto al caso anterior es que el término central del resultado tiene signo negativo. 2
2
Primer Segundo Primer Primer Segundo Segundo 2 término término término término término término
2
Ejemplo 6 Efectúe
4 x 3 2
Solución:
4 x 3 2
=
4 x2 2 4 x3 32
=
16 x 2 24 x 9 .
Observe que se escribe 2 4 x 3 y no 2 4 x 3 , el signo del 3 ya no se considera.
95
Ejemplo 7 Efectúe
3x 5 y 2
Ejemplo 8 Efectúe
2x 3 y 2x 3 y 3
5 2
3
5 2
=
2x
3 2
2 2 x3 3 y 5 3 y 5
2
= ………………………………………
Nota: Observe que los coeficientes 2 y el 3 también se elevan al cuadrado. Ejemplo 9 3 Efectúe x 2 5
2
Aquí hay que elevar el numerador y el denominador de la fracción al cuadrado:
Ejemplo 10 Complete los espacios que faltan en los binomios al cuadrado: a. x ..... 2 ....... 6 x .........
b.
x
2
..... 2 ....... 14 x2 .........
Ejemplo 11 Efectúe
x 3
2
( x) (3)
2
¿Es cierto que al desarrollar las expresiones obtiene es el mismo? ¿por qué?
96
x 3
2
y x 3 , el resultado que se 2
3. EL PRODUCTO DE UNA SUMA POR LA DIFERENCIA (O VICEVERSA)
a b a b a 2 b2 En ocasiones podemos abreviar el trabajo usando esta sencilla propiedad. Ejemplo 12 Multiplique: x 2 x 2
x 2 x 2
= x 2 2x 2x 4 =
x2 4
Nota: Observemos que los dos términos intermedios se cancelan. Ejemplo 13
3x 4 3x 4
Multiplique:
Ejemplo 14 Simplifique las siguientes expresiones, usando productos notables. a.
3x 5 y 3x 5 y (3x) 3
3
2
(5 y 3 ) 2
b.
2x 3 2 x 3 ( 2 x )2 (
4 x 5 4 x 5
9 x 2 25 y 6
c.
2 x y 2 x y
d.
e.
x
f. x 2 ( x y) x 2 ( x y)
3
2 y x3 2 y
97
)2
4. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES USANDO PRODUCTOS NOTABLES Procedimiento Efectúe las multiplicaciones (aplique productos notables donde sea posible para abreviar el trabajo). Elimine los signos de agrupación. Reduzca términos semejantes. EJERCICIO 1 Efectúe y simplifique las siguientes expresiones, mostrando su proceso: a.
P( x) 2 3x 2 4 x 1 2
b.
A( x) 5x 4 2 3 4 x 2 2
c.
Q( x) 24 x (5x 2)(5x 2) (4 x 3) 2
98
d.
R( x) 5x3 4 5 x3 4 7 x 4 2 x 1
e.
E x; y (3x y 2 )2 ( y 2 2 x 2 )2 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 )
f.
2
T ( x; y) 6 x3 (5x3 2 y) 3(2 y 7 x3 )2
99
EJERCICIO 2 3. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por Q( x) 3 2 x, evalúa y reduce las siguientes expresiones:
P( x) 5 4 x 2 ,
a. P(b 2) 8Q(b)
b. P(1 a) Q(3a 2 )
4. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por P( x) 5 x2 , Q( x) 3 5x 2 , determine: a.
P(3 h) P(3) h
b.
Q ( x h) Q ( x ) h
100
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1- 4.2 -4.3 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. ¿Al efectuar ( x 2 3 y)2 se obtiene x4 6 yx2 9 y 2 ? b. ¿Al efectuar (3x2 y)(3x2 y) se obtiene 3x 2 y 2 ? c. Si A B 25x2 – 36 y B 5x 6, ¿cuál es la expresión para A? 2. Complete los espacios que faltan en los binomios al cuadrado: a. x ..... 2 ....... 14 x .........
b.
c. ....... 5x 2 ....... 40 x ........
d. 6 .......
e. ....... .......
2
.......
.....
2
2
9 x 2 ........ 16
....... 12 x ........
x 4 16 x 2 ........
3. Efectúe y simplifique las siguientes expresiones, mostrando su proceso: a. 3m 1 3m 1
1 1 b. x 3 x 3 2 2
d. 1 2x5
e. m 2 1 m 2 1
2
c. 3x 4 2
f.
2
3m n
2
4. Simplifique las siguientes expresiones: a. 3x 2 5 2 x 3 2
b. 4 x 1 2 6 x
2
2
c. x 5 2 3x 4
d. 3 x 7 4 5 x 2
2
2
x x e. 4 1 3 5 3 2 g.
6x 2
2
2
2
f. 3 2 x 3 2 x 3 2 x 2
5 3 x 2 3 x 2 x x 3
2 h. 6 x (4 x 1)(4 x 1) 3(5 3x)
5. Para cada uno de los polinomios P, Q, R y S definidos por P( x) 5 3x 2 , Q( x) x 4 x2 , R( x) 3 5x2 , S ( x) 3x 2 7 x, determine: a.
P(4 h) P(4) h
b.
Q ( x h) Q ( x ) h
c.
R(2 h) R(2) h
d.
S ( x h) S ( x ) h
101
4.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO CLÁSICO Y REGLA DE RUFFINI 1. CONOCIMIENTOS PREVIOS Para poder comprender el proceso de la división algebraica revisemos la división de dos números enteros:
Dividendo
Observamos que:
Divisor 23 21 2
Residuo
3 7 Cociente
23 = (3)(7) + 2
23 2 7 3 3
Análogamente, en la división de dos polinomios se tendrá: Polinomio Dividendo
D(x) d(x)
Polinomio divisor
R(x) q(x)
Polinomio residuo
Polinomio cociente
entonces: La DIVISIÓN DE POLINOMIOS es la operación por la cual, si se dan dos polinomios llamados Dividendo (D) y divisor (d ) , se obtienen otros dos polinomios llamados cociente (q) y residuo (r ) (también conocido como Resto), tal que se cumple la siguiente relación:
Dx d x qx r x
a. El grado del dividendo D(x) es mayor o igual que el grado del polinomio divisor d(x). b. El grado de r(x) es menor que el grado del divisor d(x). c. El grado del cociente q(x) se obtiene restando el grado del divisor al grado del dividendo. Nota: Para realizar la división es necesario que, tanto el dividendo como el divisor, estén completos y ordenados en forma descendente. 102
2. DIVISIÓN CLÁSICA Ejemplo 1 Divida 16x 4 12x 2 8x 14 entre 2 x2 1 3x Solución: a. Se ordena en forma descendente y se completan con ceros los coeficientes de los términos faltantes. 16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14
2 x 2 3x 1
b. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, dividiendo primero los signos, luego los coeficientes y después la parte literal. 16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14
2 x 2 3x 1
8x 2 c. Se multiplica el resultado por cada término del divisor y se coloca debajo de cada término del dividendo cambiándoles el signo, cuidando que el grado corresponda. 16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14
16 x 4 24 x 3 8x 2
2 x 2 3x 1
8x 2
d. Se suma verticalmente término a término y a continuación se baja un término más. El primer término siempre se cancela.
16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14 16 x 4 24 x 3 8x 2
2 x 2 3x 1 8x 2 12 x
24 x 3 4 x 2 8x
e. Se divide el primer término del polinomio resultante entre el primer término del divisor.
16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14 16 x 4 24 x 3 8x 2 24 x 3 4 x 2 8x
103
2 x 2 3x 1 8x 2 12 x
f. Se multiplica el resultado otra vez por cada término del divisor, se coloca debajo de cada término del dividendo cambiándoles el signo, y se suma.
16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14 16 x 4 24 x 3 8x 2
2 x 2 3x 1 8x 2 12 x
24 x 3 4 x 2 8x 24 x 3 36 x 2 12 x 32 x 2 4 x g. Se baja otro término y se repite el proceso.
16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14 16 x 4 24 x 3 8x 2
2 x 2 3x 1 8x 2 12 x 16
24 x 3 4 x 2 8x 24 x 3 36 x 2 12 x 32 x 2 4 x 14
h. Finalmente ya no se puede seguir dividiendo, porque el grado del residuo es menor que el del divisor.
16 x 4 0 x 3 12 x 2 8x 14
16 x 4 24 x 3 8x 2
2 x 2 3x 1
8x 2 12 x 16
24 x 3 4 x 2 8x 24 x 3 36 x 2 12 x 32 x 2 4 x 14 32 x 2 48x 16 52 x 30
i. Se escribe el cociente y el residuo:
q( x) 8x 2 12 x 16 ;
104
r ( x) 52 x 30
EJERCICIO 1 Efectúe las siguientes divisiones: a. 4 x 3 3 6 x 2 7 x entre 2 x 2 x 3
b. x4 11x2 2 x3 20 entre x2 2 3x
c.
x3 5x2 x 10 entre x 3.
105
3. DIVISIÓN SINTÉTICA O MÉTODO DE RUFFINI La división sintética es un procedimiento abreviado de división, que se puede aplicar cuando el divisor es de la forma x c , donde c es una constante. Ejemplo 5: Efectúe la división de P( x) 2 x 3 3 2 x entre x 2 a. Primero se ordenan y se completan los polinomios: P( x) 2 x 3 0 x 2 2 x 3 entre x 2 b. Igualamos a cero el divisor, obteniendo x 2 . c. Se disponen los coeficientes en una fila como se muestra. d. Colocamos el valor x 2 en la vertical.
2
0
2
–3
–2 2
e. Empezamos bajando el primer coeficiente y multiplicándolo por el número de la vertical (en este caso el –2). El resultado lo colocamos debajo del siguiente coeficiente. 2
–2
0
2
–3
–4 2
f. Sumamos en la vertical y colocamos el resultado al otro lado de la línea. Ese resultado lo volvemos a multiplicar por el – 2 de la vertical y colocamos el resultado debajo del penúltimo coeficiente.
2
–2 2
0
2
–4
8
–4
106
–3
g. Volvemos a sumar en la vertical y colocamos el resultado (10) al otro lado de la línea. Multiplicamos 10 por –2 y el resultado lo colocamos debajo del -3. Sumamos verticalmente. El resultado es el residuo (–23) y lo encerramos en un cajoncito. 0
2
–3
–4
8
– 20
–4
10
– 23
2
–2 2
h. Los números que quedan en la última línea son los coeficientes del cociente. i.
En este tipo de división el grado del cociente siempre es uno menos que el grado del dividendo, así:
q( x) 2 x 2 4 x 10
;
r ( x) 23
EJERCICIO 2 Efectúe las siguientes divisiones, usando el método de Ruffini y luego escriba el cociente y el residuo a.
x 4 5x 3 12 x 2 21x 18 entre x 2
¿Qué se puede concluir del resultado?
…….………………………………………….
b. x 5 9 x 3 x 2 3x 3 entre x 3
¿Qué se puede concluir del resultado?
…….………………………………………….
107
c. 2 x4 4 x3 15x 14 entre x 3
¿Qué se puede concluir del resultado?
…….………………………………………….
d. 3x4 10 x3 9 x2 4 entre x 4
¿Qué se puede concluir del resultado?
…….………………………………………….
108
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.4 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Al dividir 4 x2 5x b entre x 2, el valor del resto es 5. ¿Cuál es el valor de b? b. ¿Es cierto que la división de 6 x3 7 x2 2 x 1 entre x 1 es exacta? 2. Efectúe las siguientes divisiones y luego escriba el cociente y el residuo a. 6 x5 20 x4 13x3 4 x2 7 entre 3x 2 x 1 b. 8x 5 14 x 4 5x 3 16 x 2 3x 2 entre 4 x2 x 3 c. x4 4 x3 2 x2 19 x 2 entre x2 4 x 3 . d. 4 x 4 9 x 2 6 x 1 entre 2 x 2 3x 1 . e. 2 x5 x4 3x3 5x2 1 entre 2 x3 x 2 5. 3. Efectúe las siguientes divisiones, usando el método de Ruffini y luego escriba el cociente y el residuo. a. 5x3 6 x2 7 x 8 entre x 1 b. 2 x3 9 x2 3x 2 entre x 5 c. 2 x4 3x3 5x2 6 x 16 entre x 2 d. 2 x 4 7 x 3 28x 20 entre x 3 e. 3x 4 x 3 2 x 2 3x 70 entre x 2
109
UNIDAD N° 5. ECUACIONES 5.1 TEORÍA DE ECUACIONES La vida de Diofanto • ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. • Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. • ¿Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte?
3.1fgf
Plantea el problema:
El epitafio de Diofanto se resuelve a través de una ecuación lineal, pero ¿qué es una ecuación lineal? Para responder a esta pregunta, debemos saber primero, ¿qué es una ecuación? Definición: Una ecuación algebraica es una igualdad de dos expresiones algebraicas. Estas expresiones son llamadas miembros o lados de la ecuación. Ejemplos de ecuaciones en una variable: 3( x 2) 7 5
; 4t 2 3t 10 0
;
1
a2 1 a a 1
;
x 1 4 3x
Solución de una ecuación. Un número real es una solución de una ecuación, si al ser reemplazado por la variable en la ecuación hace verdadera la afirmación de igualdad. También se le suele llamar raíz de la ecuación. Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se le llama Conjunto Solución de la ecuación y se suele denotar como CS. 110
Ejemplo 1
El número 3 es solución de la ecuación x 2 5 , pues si reemplazamos 3 por la variable x se tiene una afirmación verdadera: (3) 2 5 . En base a la verificación anterior podemos decir que el número 3 pertenece al conjunto solución de la ecuación x 2 5 , en otras palabras 3 CS.
Ejemplo 2 Determine en cada caso si el valor propuesto de x es solución de las ecuaciones mostradas: Valor
Ecuación
x 2
8x 20 2 3x
x2
3x 2 x 4 4 0
Operaciones 8(2) 20 4;
2 3(2) 4
Respuesta 2 es solución de la ecuación.
n3
n2 n 6 0 n 2
a 6
y6
x7
a2 a 16 2 3
5
y 3 y 3
x 9 x 3 6
2x 1 , ¿qué sucede si reemplazamos el valor x 1 x 1 para verificar si es o no solución de la ecuación? Reto: En la siguiente ecuación
111
Observación:
En general, encontrar completamente el conjunto solución (aunque puede darse el caso que el CS no tenga elementos) de una ecuación no es tarea sencilla. Poco a poco iremos mostrando resultados, para algunos tipos especiales de ecuaciones.
Cuando tenemos una ecuación del tipo “Polinomio = 0” es posible afirmar que el número de soluciones de la ecuación no puede ser mayor al grado del polinomio dado.
EJERCICIO Determine en cada caso el conjunto solución de las siguientes ecuaciones a.
x6 0
b.
2 x 5 11
CS =
CS = c.
2 x 5 11
d.
2 x 5 11
CS = e.
5x 0
CS = f.
4x 2x
CS = g.
3x 0 4
CS = h. 1
x 2 3
CS = i.
2( x 2) 2( x 1) 6
CS = j.
CS =
2( x 2) 1 2( x 1)
CS =
112
k.
2
2x 4 3
l.
1
x 1 4 3
CS = m. 1
x 1 4 3
CS = n. 1
x 1 2 3
CS = o.
x
x 1 2 3
CS = p.
x x 1 2 2 3
CS =
CS =
Analicemos los errores típicos: a. Cuando un número pasa a dividir al otro lado pasa con su mismo …………………… Ejemplo:
b. Cuando al final obtenemos un cero al otro lado. El coeficiente de x pasa a ……………… al cero.
5x 20
Ejemplo:
CS =
5x 0
CS =
113
c. ¿Qué haría usted en este caso? Ejemplo:
d. ¿Qué haría usted en este caso?
2x 2x
Ejemplo:
7 x 3x
CS =
CS =
¿se puede eliminar la variable x?
¿se puede eliminar la variable x?
Clasificación de ecuaciones Tipo de ecuación Condicional
Característica Conjunto Solución no vacío.
Ejemplo: El CS de la ecuación: 2
2x 4, es…………………. 3
Nota: La palabra condicional se refiere a que la ecuación sólo es verdadera bajo la condición de que la variable x se reemplace por un valor de los valores del conjunto solución. Identidad
Conjunto Solución no vacío.
Ejemplo: El CS de la ecuación: 2( x 2) 2( x 1) 6, es………… Nota: Una ecuación identidad tendrá como solución todos los números reales porque para cualquier valor de x real los dos miembros de la ecuación son iguales. Imposible
Conjunto Solución vacío.
Ejemplo: El CS de la ecuación: 2( x 2) 1 2( x 1), es…………. Nota: El adjetivo imposible hace referencia a que ningún valor real reemplazado en lugar de x logra hacer verdadera la ecuación.
114
5.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO En esta sección nos concentraremos en el tipo más sencillo de ecuación Sean a y b números reales (con a 0). La igualdad ax b 0
b se denomina ecuación de primer grado en x y su CS . a Nota: Una ecuación de primer grado tiene una única solución. Ejemplo 1
5 La ecuación 3x 5 0 tiene la forma ax b 0 , con lo cual el C.S.= . 3 Ejemplo 2 Considere el siguiente procedimiento para resolver una ecuación con coeficientes racionales: Pasos
Resuelva:
1. Elimine los denominadores de ambos miembros multiplicando la ecuación por el MCM de los denominadores.
2x 1 4 x x 9 6 15 10
2x 1 4 x x 9 30 30 15 6 10
2. Efectúe operaciones con el fin de eliminar signos de agrupación.
2x 1 4 x x 9 30 30 30 6 15 10 5(2 x 1) 2(4 x) 3( x 9) 10 x 5 8 x 2 x 3x 27
3. Reduzca los términos semejantes.
9 x 24, entonces x
24 8 9 3
2 83 1 4 83 83 9 6 15 10
4. Verifique la solución
8 CS 3
5. Escriba el Conjunto Solución
115
EJERCICIO 1 Determine, mostrando el proceso, el Conjunto Solución de las siguientes ecuaciones. a. 3x 12 0
c.
b. 5x 0
6x 0 14
e. 1
d. 8x 12 x
x 3 4
g.
x x 5 2 3
i.
x 1 x x 1 4 2 5
f. 2( x 3) 2 x 7
h. 2 x
116
x 1 1 3
j.
x 2 3x x 1 1 2 3 4
k.
x6 x7 x4 4 6 12
l.
2 x 1 2(1 x) 2 x 10 5
117
m.
n.
x 4 x 5 1 2x 2 3 15 5
2x 3 x 5 x7 1 9 6 2
EJERCICIO 2 Despeje la variable indicada en cada caso: a. Despeje r en: p
r 5 9
b. Despeje n en: t 2
118
n 3
c. Despeje q en: p 4
q3 5
d. Despeje x en: n x
x 3 5
4.4 MODELACIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Damos algunas pautas que serán de utilidad para la resolución de problemas que involucran ecuaciones de primer grado. Comprensión del problema e identificación de la pregunta a responder
Lea todo el enunciado atentamente. Cuando sea posible utilice esquemas o diagramas que ilustren el enunciado y las relaciones entre los datos dados. Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema. Preste atención a las pregunta del texto, suelen indicar lo que se pide del problema. Escriba en sus palabras lo que se esta buscando y trate de describir sus unidades o alguna otra característica importante, finalmente asígnele un nombre, puede ser una letra, una variable que le recuerde su significado.
Planteamiento matemático del problema Establezca relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. Dichas relaciones provienen de traducir el enunciado a una o varias ecuaciones (interpretación de textos) Resolución La parte operativa por lo general es sencilla. No debería tener dificultad en resolver las ecuaciones planteadas. Trabaje cuidadosamente. Análisis de respuesta y respuesta completa Reflexione sobre el sentido de los números obtenidos con respecto al contexto del problema y escriba una respuesta a la pregunta del problema, colocando las unidades cuando corresponda.
119
PROBLEMAS DE APLICACIÓN I Resuelva los siguientes problemas. 1. Alberto ingresa a trabajar en una empresa en el mes de enero, el administrador le ha prometido que cada mes del presente año ganará 300 soles más que el mes anterior. Si su sueldo acumulado hasta el mes de abril fue de 6500 soles, ¿cuánto ganó en el mes de marzo? Variable Frase
Expresión algebraica Enero : Cada mes gana 300 soles más que Febrero : Planteamiento el mes anterior. Marzo : Abril : El sueldo acumulado hasta el mes de abril es 6500 soles Resolución
Análisis y respuesta completa 2.
El administrador de una farmacia le ha prometido a Juan Buendía, que cada mes del próximo año ganará 20 soles más que el mes anterior. Si en el cuarto mes (abril) gana siete veces lo que ganó en el primer mes, ¿cuánto ganó en el mes de febrero? Variable Frase Cada mes gana 20 soles más Planteamiento que el mes anterior. En abril gana siete veces lo que ganó en enero.
Resolución
Análisis y respuesta completa 120
Expresión algebraica Enero : Febrero: Marzo : Abril :
3. Un empresario repartió una cierta cantidad de dinero entre sus mejores empleados: Juan, Pedro, Pablo y Lucas. Si Juan recibió la mitad, Pablo la tercera parte, Pedro la novena parte y Lucas los $60 000 restantes. ¿Cuántos dólares recibió Pedro? Variable Juan:
Pablo:
Pedro:
Lucas:
Planteamiento Total:
Resolución
Análisis y respuesta completa 4. Tres personas deciden compartir por igual el costo de un velero; sin embargo, se encuentra que si se une otra persona, el costo del velero para cada uno de los tres socios iniciales se reduciría en $ 3000. ¿Cuál es el costo del velero? Variable
Planteamiento y Resolución
Análisis y respuesta completa
121
5. Entre 10 personas deciden pagar en partes iguales una deuda, pero resulta que 4 de ellas solo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, obligando, de esta manera, a que cada una de las demás tenga que pagar S/. 4 más. ¿A cuánto asciende la deuda total?
6. ¿Por cuánto me voy al final? Romina lleva “Nivelación de matemática” y está estudiando en la última semana de clases previa a los exámenes finales. Quiere saber cuál es la nota mínima que debe obtener en el examen final para pasar el curso. Ya conoce todas sus notas, las revisó por el Intranet de la universidad. Tipo PC PC PC PC EA CD TA EB
Evaluación PRÁCTICAS PC PRÁCTICAS PC PRÁCTICAS PC PRÁCTICAS PC EVALUACIÓN PARCIAL PROMEDIO DE EV. DE DESE TAREAS ACADÉMICAS EVALUACIÓN FINAL Avance al NOTA NO OFICIAL
N° 1 2 3 4 1 1 1 1
Peso 7% 8% 9% 11% 20% 10% 10% 25%
Nota 13.75 13.75 9.5 14 12.5 16.43 13.25 75% 13.23
a. Exprese una ecuación de primer grado que le permita hallar cuánto necesita en el examen final, para aprobar el curso con 12,5. b. ¿Cuál es la máxima nota que puede obtener como promedio final del curso este semestre?
122
PROBLEMAS DE APLICACIÓN II : COSTOS, INGRESOS Y UTILIDAD
C = CV + CF
CV = Cu. q
I = p. q
U = I – C = (p. q) – (Cu.q + CF) donde: I : Ingreso q : Cantidad p : Precio de venta
C : Costo total Cu : Costo Unitario
CF
: Los costos fijos de una empresa son aquellos que no dependen de la producción. Como por ejemplo: alquileres, pago a secretaria, etc.
CV
: Los costos variables son los que dependen directamente de la producción como por ejemplo: el costo de la materia prima, pago a obreros, etc.
Ejemplo : 1. Lucas incursiona en la producción y venta de bicicletas. Para ello determina que el costo de fabricación por cada bicicleta es de $ 180; mientras que el costo fijo es de $ 4200 mensuales. Si el precio de venta al mercado es de $ 300 por cada unidad. a. Determine las ecuaciones del ingreso, costo total y utilidad, en términos de la cantidad de bicicletas producidas y vendidas “q”. b. ¿Cuántas bicicletas vendió el mes pasado si obtuvo una utilidad de $ 1800? c. ¿Cuál debe ser el nivel de ventas el próximo mes para que Lucas logre una utilidad del 20% del costo total de producción? Resolución: a. Si q es la cantidad de bicicletas producidas, y vendidas.
I (q) 300q C (q) 180q 4200 luego Ingreso
Costo
U (q) 300q (180q 4200) Respuesta. U (q) 120q 4200
123
b. Por dato U (q) 1800, donde q representa la incógnita del problema. Reemplazando en la ecuación de la utilidad, tenemos
U (q) 120q 4200 1800 120q 4200 6000 120q q 50 Respuesta. Lucas vendió un total de 50 bicicletas. c. Por dato U (q) 20%C (q), donde q representa la incógnita del problema. Reemplazando en la ecuación de la utilidad, tenemos
U (q) 120q 4200 20%C (q) 120q 4200 20%C ( q) 120q 4200 0, 2(180q 4200) 84q 5040 Respuesta. El nivel de ventas el próximo mes debe ser de 60 bicicletas.
2. El señor Juan Protector es dueño de la distribuidora “Daihatso” que se dedica a la compra y venta de un tipo de minicomponente. Se sabe que el costo por la adquisición de cada minicomponente es de $ 750 y el precio de venta a sus clientes es de $ 900, y además que el costo fijo es de $ 6300. a. Determine la ecuación del ingreso, el costo total y la utilidad, en términos de la cantidad de minicomponentes vendidos. b. ¿Cuántos minicomponentes vendió la distribuidora “Daihatso” el mes pasado, si obtuvo un ingreso de $ 765 000? c. ¿Cuántos minicomponentes debe adquirir y vender la distribuidora “Daihatso” el próximo mes para obtener una utilidad de $ 7800?
124
3. La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, ofrece su producto a un precio de venta unitario de $ 240 y el costo de fabricación de cada reloj de aguja es de $50. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es de $ 6000. a. Determine las ecuaciones del ingreso, costo total y utilidad. b. Si el mes pasado la empresa solo pudo recuperar su inversión ¿Cuántos relojes de aguja vendió? c. ¿Cuántos relojes de aguja tendría que vender este mes para obtener una ganancia de $ 165 000?
4. La compañía Tich produce tablas de surf de muy buena calidad y durabilidad. Los costos fijos mensuales de la compañía ascienden a $ 8000 y el costo unitario de producción es de $ 150. Se sabe además que su ingreso por la venta de 34 tablas de surf es de $ 18 700. a. Halle el precio de venta de cada tabla de surf. b. Determine la ecuación de la utilidad. c. ¿Cuál debe ser el nivel de ventas para que la compañía logre una ganancia del 32% del costo total de producción?
125
5. La utilidad mensual de una empresa, dedicada a la compra y venta de laptops está dada por U (q) mq 3400 en dólares, donde q es la cantidad de laptops. a. Si la utilidad generada por la empresa el mes pasado, por la venta de 60 computadoras fue de $ 7400. ¿Cuál es el valor de m? además, escriba la ecuación de la utilidad b. ¿Cuál sería la utilidad de la empresa si vendiera 140 computadoras este mes? Resolución a. Por dato del problema, U (60) = 7400. Reemplazando en la utilidad
U (60) m(60) 3400 7400 60m 3400 , 10800 60m luego m 180. b. Por dato del problema, el valor de q = 140. Del ítem a. U (q) 180q 3400, luego U (140) 21800. Respuesta. La utilidad sería de $ 21 800. 6. Un fabricante de calzado encargó a una empresa consultora que determine una fórmula para calcular la utilidad semanal generada por la venta de sus productos. Suponga que la empresa determinó que la utilidad U en dólares generada por la producción de q pares de zapatos por semana se podía calcular usando U (q) mq 2000. a. Si la fábrica la semana pasada obtuvo una utilidad de $ 73 000 por la venta de 5000 pares de zapatos. ¿Cuál es el valor de m? b. ¿Cuál es el costo fijo de la fábrica? c. Debido a una falla en una máquina la fábrica solo podrá entregar 340 pares la próxima semana, ¿gana o pierde? ¿cuánto?
126
7. Suponga que el ingreso que obtiene la empresa “The Sky S.A” dedicada a la producción y exportación de televisores 3D está dado por I (q) 0,08q 50q 2 en cientos de dólares, donde q representa el pedido en miles de televisores. Si la empresa tiene proyectado cerrar un pedido por 6000 televisores 3D la próxima semana, ¿A cuánto ascendería el ingreso por dicha venta?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 5.1 – 5.2 – 5.3 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Dada la ecuación ax 9 0, donde a es una constante. ¿Qué valor puede tomar a para que la ecuación no tenga solución? b. Se sabe que una solución de la ecuación
2 x 1 3b 0, es 5 . ¿Cuál es el
valor de b?
x 5 3x 15 ? 4 12 2x 1 2x d. ¿Cuál es el CS de la ecuación ? 6 6 e. Dada la ecuación 2( x 2) ( x 3) 4 x 1, ¿es cierto que el CS es vacío? c. ¿Cuál es el CS de la ecuación
2. Determine, mostrando su proceso, el Conjunto Solución de las siguientes ecuaciones. a. 4 x 12 0 8x 0 c. 14 x e. 1 4 3 x x g. 5 3 4
b. 7 x 0 d. 8x 12 x f. 2( x 5) 2 x 7 h. 5 x
127
x 1 1 3
3. Determine, mostrando su proceso, el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
x 3 x 1 2x 1 x 2 5 4 3 1 2x x 1 2x 1 b. 1 5 2 4 x 3 7 x 1 3 2 x c. 2 5 10 4 3 2 2 x 7 9 8 x 3x 5 d. 3 14 21
1 x 1 2 x 3 6 2 2x 4 2x 6 7 2x f. 12 4 6 x 3 x 1 x 3 x g. 2 4 3 2 x 1 x 1 x h. 5 4 2
a.
e.
4. Jenniel y Arturo coleccionan estampitas. Actualmente Jenniel tiene 360 estampitas y Arturo tiene 80. Si cada año cada uno compra 6 estampitas, ¿dentro de cuántos años Jenniel tendrá el triple de estampitas de Arturo? 5. El gerente del restaurante “Brisas del Titiquiqui”, gastó un total de $ 7400,00 al adquirir 200 juegos de platos. Si el diseño básico cuesta $ 25,00 por juego y el diseño de lujo cuesta $ 45,00 por juego, ¿cuánto gastó en total por los juegos de platos del diseño de lujo? 6. Una empresa de jeans en liquidación, posee 2 500 unidades de pantalones en su almacén. La empresa decide vender cierta cantidad de unidades a $ 20 y el resto lo liquida a $15, con lo que completa el dinero para poder cumplir con todas sus obligaciones que son de $ 40 000, ¿cuántas unidades se liquidaron? 7. Un cine ha proyectado una determinada película solo tres días: lunes, martes y miércoles de la semana pasada. Se sabe que el número de espectadores se incrementó el martes en un 12% respecto al lunes; que el miércoles el número de espectadores disminuyó un 12% respecto al martes y que el lunes hubo 36 espectadores más que el miércoles. ¿Cuántos espectadores vieron la película el día miércoles? 8. Tres amigos deciden compartir un taxi. Cuando están a punto de subir al taxi, se unen al grupo dos amigos más, por lo que cada uno termina pagando 2 soles menos de lo que iba a pagar inicialmente. ¿Cuánto les cobró el taxista? 9. Entre 10 primos deciden pagar, en partes iguales, una deuda que se originó por un sobregiro de la tarjeta de crédito por parte de su abuelo, pero resulta que 4 de ellos solo pueden pagar la tercera parte de lo que les corresponde, obligando, de esta manera, a que cada uno de los demás añadiese a su cuota inicial $ 20,40. ¿Cuál es el monto total de la deuda? 10. Un fabricante de cuadernos empastados que se venden a pedido con el logo de la empresa que los requiera, planea vender cada unidad a S/. 20. El costo de cada cuaderno es de S/. 15 y el costo fijo mensual es de S/. 9000. a. Determine la ecuación del ingreso, costo total y utilidad, en términos de la cantidad de cuadernos producidos y vendidos.
128
b. Si se desea obtener una utilidad cuadernos se deben vender?
60 000 soles el próximo mes. ¿Cuántos
11. La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, oferta su producto a un precio de venta unitario de $ 115,00 y el costo de fabricación de cada reloj de aguja asciende a $ 25,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es de 2000 dólares. ¿Cuántos relojes de aguja debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia de $ 394 000 al mes? 12. El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo unitario por la fabricación de cada chompa es de $60,00. Si los costos fijos de la fábrica ascienden a $3500 al mes y el precio de venta unitario es de $110,00. ¿Cuántas chompas de lana de alpaca se deben vender al mes, para obtener una utilidad total de $ 1278 000 por año? 13. La empresa Maximus estima que la utilidad semanal U en miles de dólares, está dada por el polinomio U (q) bq 28 donde q es la cantidad en cientos de fotocopiadoras vendidas. a. Si se sabe que la empresa la semana pasado obtuvo una utilidad de $182 000 por la venta de 700 fotocopiadoras. ¿Cuál es el valor de b? b. Determine, según el modelo, la utilidad que obtendría la empresa si la próxima semana vendiera 400 fotocopiadoras.
PLANO CARTESIANO. GRÁFICAS EN EL PLANO El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se intersecan formando un ángulo recto (ver figura). Al punto común cero se le llama origen. La recta horizontal se llama eje x o eje de las abscisas. La recta vertical se llama eje y o eje de las ordenadas. Los ejes forman los cuatros cuadrantes, numerados como I, II; III y IV. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. A cada par ordenado (x; y), le corresponde un solo punto P en un plano que tiene un sistema de coordenadas rectangulares. La coordenada x del punto P se llama abscisa del punto P. La coordenada y del punto P se llama ordenada del punto P. Eje y (ordenada)
II
I
P(x;y)
Origen
III
Eje x (abscisa)
129
IV
Ejemplo 1 Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(2;3), B(–3;2), C(–4,–3), D(4;–2) y E(3;2) A (2; 3)
B (–3; 2)
C (–4; –3)
x y
E (3; 2)
E (3; 2)
D (4; –2)
EJERCICIO 1.
Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(3; 2) B(– 4 ; 2) C(–2 ; –3) D(2 ; –5) E(0 ; 4) F(5 ; 0) G(–3 ; 0) H(0 ; –2) y
2.
Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Si a 0 y b 0. ¿en qué cuadrante se encuentra A(b; a) ?
130
x
b. Si a 0 y b 0. ¿en qué cuadrante se encuentra B(a; b) ?
c. Si b; ab III cuadrante, ¿en qué cuadrante se encuentra (a b; b) ?
5.3 ECUACIONES Y SUS GRÁFICAS Una solución de una ecuación E ( x; y) 0 en dos variables x, y es un par ordenado (a; b) de números tal que la sustitución del primer número en x y el segundo número en y proporciona un enunciado verdadero. Por ejemplo, (4; 1) es una solución de la ecuación x 2 y 6, porque cuando sustituimos al x por 4 y al y por –1, se obtiene
4 2(1) 6 6=6
que es un enunciado verdadero. Definición: La gráfica de una ecuación es el conjunto de pares ordenados que son soluciones de la ecuación. Ejemplo 1 Dada la ecuación y = –2x + 4 a. Determine cuáles de los siguientes puntos son soluciones: A(1; 2)
B(3; 2)
D(1;6)
C (5; 6)
E(2;0)
131
y
b. Trace la gráfica de la ecuación ubicando los pares ordenados que satisfacen la ecuación
x
En el ejemplo, el punto de intersección de la gráfica con el eje x es ……. , y el punto de intersección de la gráfica con el eje y es …….. . Ejemplo 2 Dada la ecuación 2y = 3x – 6 a. Determine cuáles de los siguientes puntos son soluciones:
A(4;3)
B(2; 6)
C (2;6)
D(3;0)
y b.
Trace la gráfica de la ecuación ubicando los pares ordenados que satisfacen la ecuación
x
En el ejemplo, el punto de intersección de la gráfica con el ejex es ……. , y el punto de intersección de la gráfica con el eje y es …….. .
132
Ejemplo 3 Dada la ecuación 3y + 7x = 21
y
Trace la gráfica de la ecuación haciendo una tabulación.
x
y
x
En el ejemplo, el punto de intersección de la gráfica con el ejex es ……. , y el punto de intersección de la gráfica con el eje y es …….. . INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS y Ubique los puntos de intersección en las siguientes gráficas y
y
y
x
x
En general
La intersección con el eje y ocurre cuando ………………………………….. La intersección con el eje x ocurre cuando …………………………………..
133
x
x
EJERCICIO 1 Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones, señalando los interceptos con los ejes coordenados: y
a. 3x 4 y 12
x
y
x
x
y
b. 5 y 2 x 10
y
c. 4 x 10 y 20
134
x
y
d. y 2x 3
x
x
y
e. y x
y
g. 2x y
135
x
y
h. 2 x 3 y 600
x
y
i. 5x 10 y 1500
x
y j. 20 x y 1000
x
136
y k. y x 4 2
x
y
x
y l. y x 4 x
y
x
RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES Las ecuaciones de las rectas de la figura son:
L1 : y 2, para cualquier valor de x
L2 : y 3, para cualquier valor de x
(Recta horizontal) y
(Recta horizontal) y
y3
y 2
x
137
x
L3 : x 4, para cualquier valor de y (Recta vertical)
y
(Recta vertical) y x 2
x4
L4 : x 2, para cualquier valor de y
x
EJERCICIO 2
x
1. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones en un mismo plano.
a. y 5
y
b. x 3
x
x
2. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones en un
mismoplano.
y
a. y 1
b. x 3
138
3. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 2) y es paralela al eje y?
b. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 2), y es paralela al eje x?
COSTOS, INGRESOS Y UTILIDAD C = CV + CF
CV = Cu . q
I = p. q
U = I – C = (p. q) – (Cu.q + CF) donde: I : Ingreso q : Cantidad p : Precio de venta
C : Costo total Cu : Costo Unitario
CF
: Los costos fijos de una empresa son aquellos que no dependen de la producción. Como por ejemplo: alquileres, pago a secretaria, etc.
CV
: Los costos variables son los que dependen directamente de la producción como por ejemplo: el costo de la materia prima, pago a obreros, etc.
VMP : Volumen Mínimo de Producción, es la cantidad mínima a producir para no perder ni ganar. EJERCICIO 2 1. Al taller de carpintería “Komodoy” le cuesta hacer cada carpeta S/ 50,00, los gastos fijos son de S/ 3000,00 mensuales. Si cada carpeta se vende a S/. 125,00. a. Determine la ecuación del ingreso, costo total y de la utilidad, en términos de la
cantidad de carpetas producidos y vendidos.
139
b. ¿A cuánto asciende el V.M.P?
c. ¿Cuál es el costo total en el equilibrio?
d. Trace la gráfica del ingreso, costo total y la utilidad, en un mismo plano
empleando las escalas adecuadas.
I, C, U (en miles de S/.) 7 6
q
I 5
4
q
C
3
2
1
q
U 10 -1
20
30
40
Cantidad de carpetas
-2
-3
140
50
60
e. ¿Cuántas carpetas debe producir y vender el taller de carpintería “Komodoy”
para obtener una ganancia de S/. 1500,00?
2. El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo unitario por la fabricación de cada chompa es de $ 60,00. Si los costos fijos de la fábrica ascienden a $ 1500 al mes y el precio de venta unitario es de $ 80,00. a. Determine la ecuación del ingreso, costo total y de la utilidad, en términos de la cantidad de chompas producidos y vendidos. b. ¿A cuánto asciende el V.M.P? c. ¿Cuál es el ingreso en el equilibrio? d. Trace la gráfica del ingreso, costo total y la utilidad, en un mismo plano empleando las escalas adecuadas. e. ¿Cuántas chompas debe producir y vender la fábrica para obtener una ganancia de $ 5700,00?
141
3. Dadas las ecuaciones de Utilidad U (q) 100q 2500, en dólares y Costo total C (q) a 200q, en dólares. En ambos casos q es la cantidad de artículos producidos y vendidos. Determine: a. El costo fijo es ……………… y el costo unitario es………………… b. El precio de venta unitario es ……………. c. El volumen mínimo de producción, VMP es ………… d. El ingreso en el equilibrio es ………….. e. Las ecuaciones del costo y el ingreso en términos de la cantidad de artículos producidos y vendidos.
f. Las gráficas de la utilidad, costo total e ingreso en un mismo plano, empleando las escalas convenientes.
142
4. A partir de la gráfica mostrada, determine el precio de venta de cada MP3, el costo fijo, el volumen mínimo de producción y el punto de equilibrio. Interprete C, I, U (euros) I
C
I
U
– 2000
40
q (Cantidad de MP3)
5. En la siguiente gráfica se muestra las gráficas del ingreso, costo total y utilidad de cierto producto. I, C, U ($) I
C
I 3000
U
VMP: 80 u – 1200
q (unidades)
a. ¿Cuál es el valor del costo fijo?
143
b. ¿Cuál es el costo unitario?
c. ¿Cuál es el precio de venta de cada unidad?
d. ¿Cuál es la ecuación del ingreso, costo y la utilidad?
1. Otras Aplicaciones Valor de un auto (Depreciación): El valor V (en miles de $) de un auto después de t años transcurridos desde que se compró, está dado por: V (t ) 12 0,8 t
a. Si Pablo compró un auto hace tres años, ¿Cuánto le costó el auto a Pablo? ¿Cuál es el valor actual del auto? b. ¿Qué sucede con el valor del auto cuando aumenta el tiempo? c. ¿Después de cuánto tiempo el auto no tendrá valor? d. Trace la gráfica correspondiente.
144
Cuenta Telefónica La cuenta telefónica de una familia C (en soles) de acuerdo a los minutos consumidos t está dada por: C (t ) 60 0,10t a. Trace la gráfica correspondiente. b. ¿Qué sucede con el valor de la cuenta al aumentar el número de minutos consumidos? c. ¿Qué interpretación tiene el número 0,10?
145
Turismo interno Las divisas, en millones de dólares por el turismo interno en la ciudad Piedradura entre los años 2003 al 2010 se puede aproximar por la función D( x) 60 35x, donde D( x) representa las divisas, en millones de dólares y x representa los años de estudio. Considere x = 0 para el año 2003. a. Determine el valor de D(0). ¿Qué representa? b. Determine las divisas para el año 2010. c. ¿En qué año las divisas generadas serán de 200 millones de dólares? d. Trace la gráfica correspondiente.
146
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 5.4 – 5.5 – 5.6 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Si a 0 y b 0 ¿En qué cuadrante se encuentran ubicados los puntos A(b; a) y B(a; b) ? b. Si ab; b II cuadrante, ¿en qué cuadrante se encuentra (b; a) ? c. Si a 0 y b 0 entonces, ¿en qué cuadrante está el punto (ab; b 3) ? d. Si se cumple que a 0 b , ¿en qué cuadrante se encuentra ( b; a) ? e. Si b ; ab III , ¿en qué cuadrante se encuentra ( a; b) ? f. La gráfica de una recta vertical pasa por el punto (4; 5), ¿es posible determinar la ecuación de la recta vertical? 2. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones: a. 4 y 3x 12
b. y 8x 12
c. 9 y 4 x 12
d. x 2 y 3
e. x 3 y 0
f. y 3
g. 2 x 5 y 300
h. x 500 y 1000
i. x 450 y
3. Un taller de confecciones produce mochilas escolares. El costo de fabricación de cada mochila es de S/. 8,50. Para fabricar las mochilas, se incurren mensualmente en S/. 2000 de costos fijos. a. Determine la ecuación del Costo total. b. Si el mes pasado se fabricaron 110 mochilas escolares, ¿cuál fue el costo total? c. Trace la gráfica de la ecuación del costo total 4. Las ecuaciones de ingreso I (q) 200q y costo total C (q) 50q 3600 , están dadas en dólares. Si q es la cantidad de artículos producidos y vendidos. Determine: a. El volumen mínimo de producción (VMP). b. Trace las gráficas de las ecuaciones del ingreso, la del costo total y de la utilidad, en un mismo plano, empleando las escalas adecuadas. 5. Una compañía de refinamiento de maíz produce gluten para alimento de ganado, con un costo unitario de $ 15,00 la tonelada. Si el costo fijo es de $ 2000,00 al mes y el precio de venta es de $ 20,00 la tonelada. a. Determine la ecuación del Ingreso total. b. Determine la ecuación del Costo total. c. Determine la ecuación de la utilidad. ¿Cuál es la utilidad por la venta de 650 toneladas de gluten? d. Trace las gráficas de las ecuaciones del ingreso, la del costo total y de la utilidad, en un mismo plano, empleando las escalas adecuadas. 6. Una fábrica de frituras tiene costos fijos diarios de $1500, además, cuesta 70 centavos producir cada bolsa de fritura. Una bolsa de fritura se vende a $ 1,20
147
a. b. c. d.
Encuentre la ecuación del costo diario total de producir q bolsas de frituras. Encuentre la ecuación del ingreso diario por vender q bolsas de frituras. Encuentre la ecuación de la utilidad diaria por vender q bolsas de frituras. Trace las gráficas de las ecuaciones del ingreso, la del costo total y de la utilidad, en un mismo plano, empleando las escalas adecuadas
7. El gráfico mostrado representa la ecuación costo total de la producción de un determinado artículo, si dicho artículo se vende a $ 8,00 cada uno:
C(miles $)
a. Determine la ecuación del costo total. b. Determine y grafique la ecuación del ingreso. c. Determine y grafique la ecuación de la utilidad. d. Determine el Volumen mínimo de producción.
q(cientos unid.)
8. A partir de la gráfica mostrada, determine el precio de venta de cada MP3, el costo fijo, el volumen mínimo de producción y el punto de equilibrio.
C, I, U (soles) I
C
I
U
– 4000
50
q (Cantidad de MP3)
9. En una fábrica textil de chompas se ha determinado que la demanda de chompas para niños se comporta según la ecuación: p 3q 44 y la oferta según la ecuación: p 5q 12. a. Para un precio de S/. 17, ¿qué ocurre en el mercado, existe exceso de oferta o escasez? ¿De cuántas unidades es dicho exceso? b. Halle el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio. c. Determine el ingreso de la fábrica en el equilibrio. d. Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano) Depreciación lineal. Un médico posee libros de medicina que valen $1 500,00. Para efectos tributarios se suponen que se deprecian a una tasa constante hasta llegar a cero durante 10 años. Exprese el valor de los libros en términos del tiempo y elabore lagráfica.
148
6.1 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Los planes de pago mensuales para acceder a la conexión a Internet en dos compañías son los siguientes:
American Online (AOL) cobra un cargo fijo de S/.20 más S/. 1,50 por hora de uso
Computer Serve (CS) cobra un cargo fijo de S/. 30 más S/. 1,00 por hora de uso.
¿Cuántas horas se debe hacer uso de la conexión a Internet para que ambos planes tengan el mismo costo? Si mi consumo mensual es de 50 horas, ¿cuál de los planes me conviene tomar?
1.
DEFINICIÓN Se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas. Nota: En este curso trataremos sólo con sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Notación:
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
donde a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 son constantes
Se denomina el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, al conjunto formado por los pares ordenados que satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema. Si (a; b) es la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, su conjunto solución lo denotaremos por CS {(a ; b)}. Ejemplo 1
5 x 3 y 2 3x 2 y 14 ¿El par ordenado (2; –4) es solución?
¿El par ordenado ( –1;1) es solución?
Podemos verificar nuestra respuesta sustituyendo x = 2 y y = –4 en ambas ecuaciones originales.
Podemos verificar nuestra respuesta sustituyendo x = –1 y y = 1 en ambas ecuaciones originales.
5(2) 3(4) 2 si cumple 3(2) 2(4) 14 si cumple
5(1) 3(1) 2 si cumple 3(1) 2(1) 5 no cumple
Por lo tanto, (2; –4) es solución.
Por lo tanto, ( –1;1) no es solución.
149
2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución. De acuerdo a ello el sistema de ecuaciones se clasifica en compatible e incompatible. Compatible
Incompatible
Es cuando el sistema admite solución Determinado Si el sistema admite una única solución.
Indeterminado Si el sistema admite un número ilimitado de soluciones.
Ejemplo:
Ejemplo:
x y 5 x y 3
Ejemplo:
x y 5 3x 3 y 15
CS (4;1)
Es cuando el sistema no admite solución
C.S. (t ;5 t ) / t R
x y 5 3x 3 y 12 C.S.
Nota: Cuando un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado, se dice que tiene infinitas soluciones. En el caso del ejemplo anterior, t no es una variable es un parámetro, es decir para cualquier valor de t real (como x = t; y = 5 – t) es posible encontrar una solución para el sistema. 3. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS 3.1 Método de Igualación Este método consiste en despejar en ambas ecuaciones una de las incógnitas (por ejemplo x), y luego igualarlos y así obtener una ecuación con una incógnita (y). Ejemplo 2: Resuelva el siguiente sistema usando el método de igualación
3x 2 y 13 5 x 3 y 9
(1) (2)
De cada ecuación, despejamos x: de (1°): x
de (2°): x
Igualando:
Por lo tanto y
. Luego x
CS
150
3.2 Método de Sustitución Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra ecuación, con lo cual obtendremos una ecuación lineal con una incógnita. Ejemplo 3: Resuelva el sistema usando el método de sustitución.
3x 2 y 5 2 x 5 y 4
(1) (2)
De la primera ecuación, despejamos x Reemplazando en la segunda ecuación, obtenemos:
Por lo tanto y
. Luego x
CS
3.3 Método de eliminación El método consiste en buscar eliminar una incógnita sumando ambas ecuaciones. Esto se consigue multiplicando cada ecuación por un número real no nulo, de tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos. Finalmente se suman las dos ecuaciones para obtener una ecuación con una sola incógnita. Ejemplo 4: Resuelva el sistema usando el método de eliminación.
8 x 3 y 6 6 x 5 y 1
(1) (2)
Multiplicamos la primera ecuación por
y la segunda por
151
, con lo cual se obtiene.
EJERCICIO 1 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquier método:
x 2y 6 a. 4 x 3 y 20
x 3 y 5x 3 b. 1 2 x y 3
152
x 3y 2 5 c. 4 2 x y 1 2
10 x 3 y 1 d. 5x 2 y 9 2
153
3 x y x y 1 2 e. x 2 y y 1 3
2 y 3x 5m n 3 y 2 x n 5m
f.
154
GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución. De acuerdo a ello el sistema de ecuaciones se clasifica en compatible e incompatible. Compatible: es cuando el sistema admite solución. a. Determinado: si el sistema admite una única solución Ejemplo 4:
x y 5 x y 3 cuya única solución es el par formado por x = 4 e y = 1. En este caso el par ordenado (4 ; 1) y
(4; 1)
El punto de intersección es la única solución de la ecuación.
C.S. (4;1)
155
x
b. Indeterminado: si el sistema admite un número ilimitado de soluciones. Ejemplo 5:
x y 5 3x 3 y 15
y
x
Admite infinitas soluciones, ya que las rectas son coincidentes.
C.S. (t ;5 t ) / t R
Incompatible: es cuando el sistema no admite solución. Ejemplo 6:
x y 5 3x 3 y 12
y
x
156
No hay ninguna solución, puesto que no hay punto de intersección. Es decir que las rectas son paralelas.
C.S.
EJERCICIO 3 Resuelve y clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones según su CS y luego grafique los sistemas de ecuaciones. ¿Qué puede concluir? y
x 2y 6 a. 4 x 3 y 20
x
CS
Trace la gráfica de cada una de las ecuaciones haciendo una tabulación x 2y 6
x
4 x 3 y 20
x
y
y
¿Qué puede concluir?………………………..……………………… y
x 2y 6 2 x 4 y 12
b.
CS
x 2y 6
x
y
x
2 x 4 y 12 x y
¿Qué puede concluir?………………………..……………………… 157
y
x 2y 6 c. 2 x 4 y 8
x
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
3x 2 y 6 3x y 9
y
d.
¿Qué puede concluir?………………………..……………………… 158
x
y
2 x 3 y 6 e. 2 x 3 y
x
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
2 x 3 y 6 4 x 6 y 12
y
f.
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
159
x
5 x y 5 x 3 y
y
g.
x
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
160
6.3 MODELACIÓN DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Para resolver un problema de modelación no debes olvidar los cuatro pasos a seguir: a. Elección de la variable b. Planteamiento c. Resolución d. Análisis y Respuesta completa Ejemplo 5 El costo total de cinco libros y cuatro lapiceros es de $ 32,00; el costo total de otros seis libro s y tres lapiceros es de $ 33,00. Halle el costo de cada artículo. Elección de la variable Es preciso leer bien el problema y comprenderlo, identificar las cantidades conocidas y desconocidas que presentan el problema, y elegir las variables. Planteamiento Consiste en establecer relaciones entre las variables anteriormente seleccionadas.
Nos piden conocer cuál es el costo de cada artículo Definiremos: x = costo de cada libro en dólares y = costo de cada lapicero en dólares
Cinco libros y cuatro lapiceros cuestan $ 32,00 5x + 4y = 32 Seis libros y tres lapiceros cuestan $ 33,00. 6x + 3y = 33
Resolución
Resolviendo el sistema se obtiene:
Es la parte operativa del problema. Se verifica que el resultado obtenido se ajuste a las condiciones establecidas en el problema.
x=4 y=3
C.S = {(4; 3)
Por ejemplo: 5(4) + 4(3) = 20 + 12 = 32 6(4) + 3(3) = 24 + 9 = 33 Análisis y Respuesta Completa El problema termina con una respuesta clara y precisa a la pregunta propuesta. No se olvide de verificar la coherencia y consistencia de la misma.
El costo de cada libro es de $ 4,00 y el costo de cada lapicero es de $ 3,00.
161
PROBLEMAS DE MODELACIÓN 1. Un cliente de una tienda de abarrotes compró 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 soles. Al día siguiente, con los mismos precios compró 4 latas de refresco y 6 botellas de agua por 6,20 soles. a. ¿Cuál es el precio de una botella de agua? b. ¿Cuál es el precio por la compra de 3 latas de refresco?
2. Una ferretería, el lunes vendió 15 bolsas de imprimante y 10 bolsas de temple por un total de $63,25. El martes vendió 30 bolsas de imprimante y 5 bolsas de temple, por un total de $78,65. a. ¿A cuánto vendió cada tipo de pintura? b. ¿Cuál fue su ingreso el día lunes por la venta de 10 bolsas de temple?
162
3. En un supermercado de la cadena Plaza Boa, Pedro compra tres calculadoras y cinco audífonos, pagando $ 255,00. Si el supermercado hubiera hecho un descuento en las calculadoras del 10% y en los audífonos del 25%, Pedro hubiera pagado $ 200,25. ¿Cuál es el precio de cada calculadora?
4. Una pastelería compra pasteles a S/. 65 la unidad y bombones a S/.25 cada uno, por un total de S/. 980. Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombón a S/. 3 más y cada pastel a S/. 5 más de lo que le costaron perdería en total S/. 196. ¿Cuántos pasteles y bombones compró?
163
5. Una fábrica de muebles fabrica mesas y sillas. Cada mesa requiere de 2 horas de ensamble y 3 horas de acabado. Cada silla requiere 1 hora de ensamble y 2 horas de acabado. La información se puede organizar de la siguiente manera: Mesa
Silla
Ensamble (h)
2
1
Acabado (h)
3
2
Sabiendo que los trabajadores de la fábrica pueden proporcionar 420 horas de ensamble y 780 h de acabado por cada semana. ¿Cuántas mesas y sillas se deben producir de modo que todas las horas de mano de obra se utilicen?
6. Una fábrica de muebles manufactura 60 mesas y 300 sillas. Cada mesa requiere de 2 horas de ensamble y 3 horas de acabado. Cada silla requiere 1 hora de ensamble y 2 horas de acabado. La información se puede organizar de la siguiente manera: Mesa
Silla
Ensamble (h)
2
1
Acabado (h)
3
2
La fábrica dispone de $2400 y $7500 para cubrir el gasto de fabricación de mesas y sillas, respectivamente. ¿Cuál es el precio por hora de ensamble y acabado?
164
7. Los departamentos de logística de dos empresas (Hiraika y Radiosheck) planean comprar una cierta cantidad de televisores HD de 42 y 55 pulgadas, y en diferentes cantidades. La tabla siguiente enumera lo que piensan adquirir.
42"
55"
Hiraika
12
9
Radiosheck
5
8
Sabiendo que en total las empresas Hiraika y Radiosheck invirtieron $35 100 y $22 700 respectivamente, en la compra de estos equipos. a. ¿Cuál es el costo de un televisor HD de 55 pulgadas? b. ¿Cuánto pagó la empresa Radiosheck por la compra de los 5 televisores HD de 42 pulgadas?
8. Humberto y Nila deciden entrar en el negocio de fabricar cunas para mascotas, ellos fabricarán cunas de dos tamaños, el tiempo que demoran en fabricar una cuna de cada tamaño está especificado en la tabla adjunta. Cunas
Tiempo para el cortado y pegado
Tiempo para el pintado y sellado
Tamaño 1
½ hora
¼ hora
Tamaño 2
2
hora
1 hora
3
Humberto y Nila desean saber cuántas cunas pueden armar si solo cuentan con 24 horas de disponibilidad para el cortado y pegado y 30 horas para el sellado y pintado. a. ¿Cuántas cunas de cada tamaño se fabricaron? b. ¿Cuál será su ingreso si la cunas de tamaño 1 la venden a S/. 30 y la de tamaño 2 a S/. 40? 165
9. Un fabricante confecciona pantalones, casacas y polos, cada uno de los cuales precisa para su elaboración de tres materias primas (hilo, tela y botones). En la siguiente tabla se representa el número de unidades de cada materia prima que se requiere para elaborar una unidad de cada producto; dispone de 50 conos de hilo, 70 metros de tela y 40 botones. Pantalón
Casaca
Polo
Hilo
2
3
1
Tela
3
2
2
Botón
1
4
2
Defina las variables y luego plantee un sistema de ecuaciones a partir de la información relacionado al problema. (no resuelva)
166
10. La empresa “LALYS” quiere producir tres tipos de recuerdos: lapiceros, polos y llaveros, y tiene a su disposición tres máquinas: A, B y C. Para producir un lapicero se necesita 1 minuto en A, 3 minutos en B y 1 minuto en C. Un polo requiere 1 minuto A, 2 minutos en B y 2 minutos C. Un llavero requiere 2 minutos en A, 1 minuto en B y 3 minutos en C. Para procesar el pedido la máquina A está disponible por tres horas, la máquina B por cinco horas y la máquina C por cuatro horas. a. Traduzca la información relacionada al problema en una tabla. b. Plantee un sistema de ecuaciones a partir de la información contenida en el cuadro. (no resuelva)
11. Una empresa dispone de 38 800 soles para actividades de formación de sus 120 empleados. Después de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos: Marketing, Finanzas y Contabilidad. La subvención por persona para el curso de Marketing es de 400 soles, para el curso de Finanzas es de 160 soles, y de 200 soles para el curso de Contabilidad. Si la cantidad de empleados que toman el curso de Marketing es el doble de los que llevan los cursos de Finanzas y Contabilidad juntos. a. Traduzca la información relacionada al problema en una tabla. b. Plantee un sistema de ecuaciones a partir de la información contenida en el cuadro. (no resuelva)
167
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 6.1- 6.2 – 6.3 1.
Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
x 3 ay g. Dado el siguiente sistema de ecuaciones , donde a y b son by 4 x constantes. Si se sabe que 1; 3 es solución del sistema, ¿cuál es el valor de b? h. El par ordenado (3; 2) es parte del conjunto solución del sistema de 2 x 3by a . ¿Cuál es el valor de a? ecuaciones: y 1 bx i. El sistema de ecuaciones: 5x y 0; x y ¿es incompatible? j. Si m = 2, ¿es cierto que el sistema de ecuaciones: mx 4 2( y x) es determinado?
mx 3 y 8 x;
10. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
6 x 3 y 4 2 x y 1
2 x 3 y 7 5 x 7 y 3
a.
b.
x 2y 2 3 1 c. x 2y 2 4 9 3
3y x 4 d. 3 4 4 x 9 y
0, 2 x 0,5 y 1, 6 0,3x 0, 4 y 0,1
e.
10 x 5 y 20 f. 3 2 x 3 y 12
3x 5 y 3 4 6 3 g. 2 x 5 4( y 2) x 3 5
3x 2 3 y 11 h. x 3y 7 2
11. Un fabricante produce dos modelos de ollas, Mediana y Grande. Durante la producción de las ollas requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de horas necesarias en ambas está indicado en la tabla siguiente: Máquina A
Máquina B
Mediana
4 horas
2 horas
Grande
2 horas
4 horas
Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día, ¿cuántas ollas de cada modelo se producen? 168
12. La granja “Huevo de oro” tiene 500 hectáreas de terreno destinados al cultivo de maíz y trigo. El costo respectivo de los cultivos son de $42 y $30 por hectárea. El dueño de la granja dispone de $18 600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente, ¿cuántas hectáreas debe plantar de cada cultivo? 13. Una fábrica Trujillana produce carteras y casacas de cuero. Cada cartera requiere 5 horas de trabajo y S/. 90 de material, mientras que una casaca requiere S/. 300 de material y 6 horas de trabajo. La fábrica dispone de 365 horas de mano de obra cada semana, y puede adquirir S/. 14 250 en materiales. ¿Cuántas carteras y casacas se pueden fabricar si se debe emplear la totalidad de los materiales y la mano de obra disponible? 14. Un piscicultor compra 5 000 peces, entre truchas y robalos a fin de poder alimentarlos con una dieta especial, antes de su venta. El costo unitario de la alimentación es de $0,50 para las truchas y de $0,75 para los robalos, y el costo total de la alimentación de todos los peces asciende a $3 000 ¿Cuántas truchas y robalos compró el piscicultor? 15. Una agencia especializada en alquilar vehículos cobra una tarifa diaria y una por la distancia en kilómetros. El señor José pagó $ 85 por dos días y 100 kilómetros recorridos y al señor Carlos le cobraron $ 165 por tres días y 400 kilómetros recorridos. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetro? 16. Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de estos muebles, se necesitó unidades de madera, plástico y aluminio, tal como se indica en la siguiente tabla: Madera (Unidades)
Plástico (Unidades)
Aluminio (Unidades)
Silla Mecedora
1 1
1 1
2 3
Sofá
1
2
5
La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias. Plantee un sistema de ecuaciones a partir de la información relacionado al problema. (no resuelva) 17. Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. Plantee un sistema de ecuaciones a partir de la información relacionado al problema. (no resuelva)
169
MODELACIÓN MEDIANTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APLICADAS AL CAMPO ECONÓMICO Y ADMINISTRATIVO La recta tiene muchas aplicaciones en el campo económico, entre ellas la ley de Oferta y Demanda, casos de depreciación, los costos de una empresa, así como sus ingresos y ganancia, todos estos casos podemos graficarlos mediante una recta como veremos a continuación. 2. OFERTA Y DEMANDA: - Oferta: Es la cantidad de bien o servicio que el vendedor pone a la venta. Este bien o servicio pueden ser bicicletas, horas de clases de conducir, artefactos, etc. - Demanda: Es la cantidad de un bien o servicio que la gente desea adquirir. Casi todos los seres humanos del planeta demandan un bien o un servicio, oro, arroz, zumo de naranja, educación superior… No obstante lo más interesante de la oferta y la demanda es cómo interactúan la una con la otra. - El equilibrio de mercado se produce cuando la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada para un determinado precio. En la representación gráfica coincide con el punto de corte entre las curvas de oferta y demanda. Cuando el mercado está en equilibrio se vende todo lo que se produce.
I
EJERCICIO 1 1. La empresa “Golden” tiene como ecuación de Oferta de sus artículos de joyería la ecuación: p 12 q 75 y su demanda está dada por la ecuación p 8q 175 ; donde p está en soles y q en cantidad de artículos demandados. a. b. c. d.
Para un precio de S/. 87, ¿qué ocurre en el mercado?, ¿y para S/. 159? Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio ¿Cuánto gastará el consumidor de este bien en el punto de equilibrio? Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano)
Oferta q
p
p
Demanda q
p
q
171
2. Las ecuaciones de oferta y demanda de un bien están dadas por: Oferta: p
3 q 1 2
Demanda: p 11 q
donde p esta en soles y q en unidades. a. b. c. d.
Para un precio de S/. 10, ¿qué ocurre en el mercado?, ¿y para S/. 4? Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio ¿Cuánto gastará el consumidor de este bien en el punto de equilibrio? Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano)
Oferta q
p
p
Demanda q
p
q
172
3. La familia Gonzales se dedica a la fabricación de toallas hechas de 100% algodón. Para ingresar a un nuevo mercado y así competir con la empresa administrada por la familia Maldini, plantean las siguientes ecuaciones de oferta y demanda de su producto: Oferta: p 10q 20 Demanda: p 20q 140 donde p está en soles y q en decenas de unidades. a. Para un precio de S/. 80, ¿qué ocurre en el mercado, existe exceso de oferta o escasez? ¿De cuántas unidades es dicho exceso? b. Halle el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio. c. Determine el ingreso de la familia Gonzales en el equilibrio. d. Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano)
p Oferta q
p
Demanda q
p
q
173
4. La empresa “Born to win”, realizó un estudio de mercado que se modelo usando una ecuación lineal, como se muestra en la gráfica, donde la cantidad de la lapiceros artesanales se expresa en cientos de unidades. p (euros) 40 35 30 25 20 15 10 Demanda
5
q (cientos de 1
2
3
4
5
6
7
8
9
unidades)
a. Si la ecuación de la oferta es p 3,75 q 5, trace la gráfica de la ecuación de la oferta (en el mismo plano que la demanda). b. Halle el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio. c. Determine el ingreso de la empresa “Born to win” en el equilibrio.
174
7.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS El ingreso de una empresa depende de muchos factores pero sobre todo de dos: del precio de venta y de la cantidad de artículos que vende. Por tal motivo, el ingreso puede expresarse mediante la igualdad: I = pq Donde p representa el precio de venta de cada artículo y q la cantidad de artículos vendidos. Ejemplo 1 Si sabemos que el Ingreso de una compañía es I = 24, ¿Puede usted determinar los posibles valores enteros que podrían tomar p y q? MONTO DEL INGRESO
24 24 24 24
= = = =
Posible valor de p S/. 3
Posible valor de q 8u
Entonces cada uno de esos posibles valores de p y q serán los FACTORES del producto que representa al Ingreso. Es decir, hemos expresado el Ingreso, como producto de dos cantidades. Ahora pensemos y respondamos: El ingreso mensual I ( p), de cierta compañía está dado por: a. I ( p) p 2 3 p donde p es el precio unitario de cada artículo. ¿Puede Ud. expresar I ( p) como una multiplicación indicada? I ( p) ¿Qué expresión representaría a la cantidad de artículos vendidos q? …..…………… b. I ( p) p 2 5 p donde p es el precio unitario de cada artículo. ¿Puede Ud. expresar I ( p) como una multiplicación indicada?
I ( p) ¿Qué expresión representaría a la cantidad de artículos vendidos q? …..………… En el anterior caso, usted ha factorizado al polinomio Ingreso. Entonces ¿Qué significará para usted la palabra “factorizar”? ………………………………………………………………………………… 175
En términos prácticos, factorizar significa expresar un polinomio P(x) como producto de otros polinomios, pero estos últimos deben ser primos. Es decir:
P(x)
ALGO
×
ALGO
× …×
ALGO
En este caso, esos “ALGO” representan a otros polinomios, pero primos. Ahora, vayamos a lo formal: Polinomio Primo Es aquel polinomio, que no se puede expresar como una multiplicación indicada de polinomios de grados menores que el suyo. Ejemplo 2 Son polinomios primos: P( x) x 3, Q( x) 2 x 1 y R( x) x 2 1. Notemos que: todo polinomio de primer grado es polinomio primo. Factorización Es aquel procedimiento que permite expresar un polinomio como una multiplicación de polinomios primos, a los que se denomina factores primos. Ejemplo 3
La expresión: (2 x 3)( x 5)( x 4) se encuentra factorizada. ¿Por qué?
El polinomio: ( x 7)(4 x 1) 5 no está factorizado. ¿Por qué?
EJERCICIO 1 Determine si los siguientes polinomios están factorizados (escriba SI ó NO dentro del paréntesis según sea el caso). En caso NO lo estén, indique el motivo, sobre la línea punteada. a. P( x) ( x 2)( x 7)
………………………………………………….. ( )
b. P( x) x( x 4) 5
………………………………………………….. ( )
c. P( x) (2 x 3)( x 1) 2
………………………………………………….. ( )
d. P( x) ( x 2) 2
………………………………………………….. ( )
176
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Son diferentes estrategias que se aplican para factorizar un polinomio. Lo importante es saber qué estrategia aplicar, según las características del polinomio. En un mismo ejercicio puede ser necesario usar más de un método. 1. Método del Factor Común Consiste en identificar un monomio o polinomio común a todos los términos del polinomio que se desea factorizar. Este será el “factor común”. Ejemplo 4 Factorizar: a. P( x; y) 15x 2 z 25xyz El factor común es 5xz. Luego: P( x; y) 15x 2 z 25xyz 5xz (3x 5 y)
¡Expresión factorizada!
Observación: Es posible factorizar el signo en una expresión ● x 5 ( x 5)
● x 3 ( x 3)
b. P( x, y) (3x y)(x y 1) ( x y)(x y 1) (2z 3 y)(x y 1) El factor común es (x – y – 1). Luego: P( x, y) ( x y 1) 3x y x y (2 z 3 y) ( x y 1)(3x y x y 2z 3 y) ¡Expresión factorizada! x y 14 x 3 y 2 z c. P( x, y) 2 xx 1 y1 x 2x 1 . Cambiando de signo al segundo término, obtenemos P( x, y) 2 x( x 1) y( x 1) 2( x 1) .
El factor común es (x – 1). Luego: P( x, y) ( x 1)(2 x y 2).
¡Expresión factorizada!
Note que en el ejemplo (a) se trata de un factor común monomio. Mientras que en los ejemplos (b) y (c) se trata de un factor común polinomio. EJERCICIO 2 a. Factorice: (5a 2b)( x 2 y) (a b)( x 2 y) 2a( x 2 y)
177
b. Factorice: 3a x – y – (2a b) y – x
2. Método de Agrupación de términos Es un método muy similar al anterior. La diferencia es que los factores comunes no aparecen en todos los términos del polinomio. Hay que agrupar ciertos términos y aplicar factor común monomio. Posteriormente se aplica factor común polinomio y ¡eso es todo! Así por ejemplo, si se desea factorizar el siguiente polinomio: P( x, y) ax bx ay by
1era Forma: Podemos agrupar los dos 2da Forma: Podemos agrupar el primer primeros términos y los dos últimos, y término con el tercero y el segundo con el aplicamos factor común monomio: cuarto, y aplicamos factor común monomio: P( x, y) a( x y) b( x y) P( x, y) x(a b) y(a b) Luego aplicamos factor común polinomio:
Luego aplicamos factor común polinomio:
P( x, y) (a b)( x y)
P( x, y) ( x y)(a b)
Ejemplo 5 Factorice: a. P( x) 12ax 2 3bx 2 20ay 5by Agruparemos los dos primeros términos y los dos últimos:
P( x, y) 3x 2 (4a b) 5 y(4a b) Luego se obtiene:
Tenga cuidado con los signos
P( x, y) (4a b)(3x 2 5 y)
¿Se pudo factorizar agrupando de otra manera? ¡Inténtelo! ……………………………………………………………………………………………. b. P( x) 4 x 2 8x ax 2a Agrupemos el 1ro con el 3ro y el 2do con el 4to P( x) x(4 x a) 2(4 x a)
Finalmente: P( x) (4 x a)( x 2) ¿Se pudo factorizar agrupando de otra manera? ¡Inténtelo! ……………………………………………………………………………………………. 178
EJERCICIO 3 a. Factorice: 4b 8 ab 2a
b. Factorice: 5b 10 ab 2a
c. Factorice: ( x y)( z a) ( x w)(a z) 2 xz 2ax
3. Método del Aspa Simple Este método permite factorizar trinomios de la forma: ax2n bxn c donde n pertenece al conjunto de los números naturales. Procedimiento: Paso 1. Una vez que el trinomio se encuentra ordenado, se descompone cada uno de los términos extremos en dos factores. Paso 2. La suma de los productos en aspa debe dar como resultado el término central. Paso 3. Los factores se forman sumando algebraicamente los términos ubicados en las líneas horizontales respectivas. Ejemplo 6 a. Factorice: P( x) x 2 5x 14 Paso 1. Descomponemos en factores el término cuadrático y el independiente: Ter. Cuadrático: x 2 x x
Ter. Independiente: 14 7 2
Paso 2. Hacemos uso del diagrama del Aspa: P( x) x 2 5x 14 x x
–7 72
= – 7x = 2x = – 5x
Paso 3. Por tanto, la factorización es:
P( x) ( x 7)( x 2) 179
Esto comprueba que hemos factorizado correctamente
Note que en el Paso 1, pudimos haber descompuesto de otra manera. Si esta nueva descomposición cumple el Paso 2, también será una respuesta correcta. En caso una descomposición no cumpla las condiciones del Paso 2, descomponga de otra forma.
b. Factorice:
Q( x) 2 x 2 5x 3 Paso 1. Descomponemos en factores el término cuadrático y el independiente: Ter. Cuadrático: x 2 2 x x
Ter. Independiente: 3 3 1
Paso 2. Hacemos uso del diagrama del Aspa:
Q( x) 2 x 2 5x 3 x 2x
1 3
= 3x = 2x = 5x
Esto comprueba que hemos factorizado correctamente
Paso 3. Por tanto, la factorización es: Q( x) (2 x 1)( x 2)
EJERCICIO 4 a. Factorice: x2 5x 6
b. Factorice: 3x2 13x 10
180
EJERCICIO 5 1.
Aplique el método del factor común (monomio o polinomio) para factorizar los siguientes polinomios. Tenga cuidado con los signos: a. 12 x3 32 x 2 y 8x 2
b. 2mn3 p 10n3 p 2 6mn2 p
c. a( x y) b( x y)
d. m( x 1) n( x 1) x 1
e. ( x 1)( x 2) 3x(2 x)
f. 2a( x y) 3b( x y) (a 2b)( y x)
g. (2a b)( x 5) (a 2b)(5 x) b( x 5)
h. 7 5q 2 n 4 5q 2 2n 2 5q
2. Aplique el método de agrupación de términos para factorizar los siguientes polinomios. Tenga cuidado con los signos: a. 4ab x a 4bx
b. am bm an bn
181
c. 2 xy 2 xz 2 x y z 1
d.
3ax2 2 y 2 6 x ay 2 x
3. Aplique el método del Aspa Simple para factorizar los siguientes polinomios: a. x 2 3x 10
b. x 2 10 x 24
c. 6 x2 13x 5
d. 2 x2 x 3
e. a 4 12a3 36a 2
f. 3x5 10 x4 8x3
182
g.
a 3 10 x2 13x 4 a 3
h. (a 2)(5a 2 13a 5) a 2
4. Método de identidades – Diferencia de cuadrados Aplicado sólo a binomios con ambos términos de grado par, siendo uno de ellos negativo. Se puede escribir:
a 2 b2 (a b)(a b) Nuestro objetivo es factorizar polinomios del tipo: a2 – b2. Ejemplo 7 Factorice: 25 x 2 Solución: Le damos la forma: 52 x 2 (5 x)(5 x) Binomio suma
Binomio diferencia
Finalmente el polinomio está factorizado: 25 x 2 ( 5 x ) ( 5 x) Ejemplo 8 Factorice: 16x 4 y 2 Solución: Le damos la forma: (4 x2 )2 y 2 (4 x 2 y)(4 x 2 y) Binomio suma
Binomio diferencia
Finalmente el polinomio está factorizado: 16 x4 y 2 ( 4 x2 y ) (4 x 2 y)
183
Ejemplo 9 Factorice: 81x6 y 4 Solución: Le damos la forma: (9 x3 )2 ( y 2 )2 (9 x3 y 2 )(9 x3 y 2 ) Binomio suma
Binomio diferencia
Finalmente el polinomio está factorizado: 81x6 y 4 (9 x3 y 2 )(9 x3 y 2 ) Ejemplo 10 Factorice: q3 – 36qp2. Solución: Siempre debemos iniciar buscando si existe un factor común entre todos los términos. Para este caso existe un factor común que es q, luego
q3 36qp 2 q(q 2 36 p 2 ) Lo que está en paréntesis cumple las condiciones necesarias para ser factorizado usando diferencia de cuadrados
q3 36qp 2 q (q)2 (6 p) 2 q (q 6 p)(q 6 p) Finalmente se tiene: q 3 36qp 2 q(q 6 p)(q 6 p) .
5. Método de los divisores binómicos Se usa cuando hay que factorizar polinomios de grado mayor que 2. El método utiliza la división por el método de Ruffini. Cuando se factoriza completamente un polinomio, se han encontrado sus divisores. Por ejemplo, el polinomio: x 2 2 x 15 se puede factorizar por Aspa Simple y tendríamos:
x 2 2 x 15 ( x 5)( x 3) Observe que en el miembro derecho hay un producto, por tanto puede pasar a dividir al lado izquierdo cualquiera de los dos factores. Es decir, se puede tener esto:
x 2 2 x 15 ( x 3) ( x 5)
ó
x 2 2 x 15 ( x 5) ( x 3)
En ambos casos se trata de una división exacta, y los divisores del polinomio son justamente sus factores.
184
El problema es cómo hallar un divisor d (x) de cualquier polinomio, pues si los hallamos habríamos factorizado al polinomio dado. Como los divisores más sencillos son los lineales, se empezará por buscar divisores de esta forma. TEOREMA DEL FACTOR Si P(x) es un polinomio y a es un número tal que P(a) 0 , entonces decimos que a es un cero de P . A continuación presentamos formas equivalentes de decir lo mismo: a. a es un cero de P . b. x a es un factor de P(x) Dado un polinomio. P( x) an x n an1 x n1
a1 x a0 , an 0
Si x a es un factor de P(x) , y a es un número racional. Los posibles valores racionales que hacen cero el polinomio P, son de la forma:
a
divisor del termino independiente divisores del coeficiente principal
Ejemplo 11 Factorice P( x) x3 x 2 14 x 24 Solución: Cuando el coeficiente principal del polinomio es 1, los posibles valores que hacen cero el polinomio son los divisores del término independiente que es 24. Los posibles divisores binómicos son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Recuerda que un factor del polinomio P es aquel que hace cero el residuo, por lo tanto debemos probar cuales de lo divisores binómicos hacen el residuo cero. (Podemos aplicar la regla de Ruffini) Probemos con 2:
1 x2
1
–1
– 14
+ 24
2
+2
– 24
1
– 12
0
Esto significa que 2 anula al polinomio P , luego x 2 es un factor, y como (x – 2) es un factor también será un divisor de P(x) es decir P( x) ( x 2)( x 2 x 12). Por último para factorizar x 2 x 12 , podemos aplicar aspa simple
P( x) ( x 2)( x 3)( x 4)
185
EJERCICIO 6 Factorice los siguientes binomios: a. x 2 25y 2
b. 36a 2 49b 2
c. 12nm 2 75n3
d.
4b2 (a 2 9) a 2b2 9b2
f.
4b 8 a 2b 2a 2
e. a b 9b 2a 18 2 2
2
2
EJERCICIO 7 Aplique el método de los divisores binómicos para factorizar los siguientes polinomios: a. Q( x) x3 4 x 2 x 6
186
b. P( x) x3 x 2 17 x 15
c. R( x) x 4 3x3 10 x 2 24 x
d. Q x 2 x5 6 x 4 8x3 24 x 2
187
EJERCICIOS PROPUESTOS 7 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. ¿Es cierto que la expresión x( x 5) 6 está completamente factorizada? b. ¿Al factorizar la expresión 2 x2 5x 3 se obtiene (2 x 3)( x 1) ? c. ¿Al factorizar la expresión ( x2 9) x ( x 2 9) se obtiene ( x 3)( x 3) x ? d. ¿Al factorizar la expresión ( x 3)( x 5) ( x 3) se obtiene ( x 3)( x 4) ? e. ¿ x 2 5 x es un polinomio primo? 2. Factorice los siguientes polinomios, haciendo uso de cualquiera de los tres primeros casos. (Recuerde que el proceso de factorización culmina cuando cada factor es primo) a. 5b 3 y 15by 2
b. 15a 2b 3 5a 3b 2 10a 4b
c. 16 x 2 4 x 6
d. n3 n 2 m2 nm2 2mn 2mn2
e.
x 3 x 2 n bx bn
g. 3ax 2by 2bx 6a 3ay 4b i.
6q 4 2q 3 48q 2
q 2 4q 320
f.
h. ax 2 bx 2 5ax 5bx 6a 6b
20ax – 5bx – 2by 8ay
j.
3. Factorice los siguientes polinomios, haciendo uso de cualquiera de los casos estudiados en 4 y 5. (Recuerda que el proceso de factorización culmina cuando cada factor es primo) a. 5b 3 y 20by 3
b. 16 x 4 72 x 2 81
c. anx 2 9bn nbx 2 9an
d. x 3 3x 2
e.
x3 x 2 x 1
g. 3q 3 48q i.
x 3 3x 2 9 x 27
k.
y3 y 2 14 y 24
f.
q 3 6q 2 32
h. 8amq 2 12anq 2 8amp 2 12anp 2 j.
188
am 2 bn 2 bm 2 an 2
8.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Fábrica de zapatos Una fábrica de zapatos vende calzados deportivos a $ 40 el par. Si se piden 50 pares o más, hay oferta por mayoreo: el precio de cada par se reduce en $ 0,04 por el número total de pares pedidos. Si el pedido máximo puede ser de 600 pares, ¿Cuántos pares se pueden comprar con $ 8400? ¿Cuál es el ahorro por descuento al mayoreo?
Definición: Ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática, es toda ecuación que tiene como forma general (canónica):
ax 2 bx c 0 donde: a , b y c son coeficientes reales y a 0 . x es la incógnita (variable). Al término ax 2 se le conoce como término cuadrático; al término bx se le conoce como término lineal; al término c se le conoce como término independiente o término constante. 1.
RESOLUCIÓN POR FÓRMULA CUADRÁTICA (O FÓRMULA GENERAL).
Recordemos la forma general (canónica) de la ecuación cuadrática: ax 2 bx c 0 , a 0 .
El símbolo es conocido como ‘discriminante’ y está definido por: b 2 4ac 1° Caso: Si 0 , las raíces (soluciones) de la ecuación ax 2 bx c 0 , son:
x1
b 2a
x2
b 2a
2° Caso: Si 0 las raíces son iguales (se dice que hay una raíz doble). 3° Caso: Si 0 no hay raíces reales: CS
189
Ejemplo 1 Resuelva la ecuación siguiente con la fórmula general: 4 x 2 7 x 2 0 Solución: En este caso: a 4, b 7 y c 2. Ahora hallamos el valor del discriminante : b 2 4ac 7 44 2 81 2
El discriminante , es mayor que 0 ( 0 ), por lo tanto hay dos raíces reales y distintas. b Reemplazando en x , tenemos: 2a
79 x1 8 2 7 81 7 9 x1,2 2 4 8 x 7 9 1 2 8 4 Finalmente: 1 CS 2; 4
NOTA: Para aplicar la fórmula general (fórmula cuadrática), primero se debe expresar la ecuación en la forma canónica: ax 2 bx c 0
Ejemplo 2 Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 2 x 2 2 x 2 5x 3 Solución: Primero expresamos la ecuación cuadrática en su forma canónica: x2 5x 1 0
Una vez expresada la ecuación en su forma canónica, podemos identificar los coeficientes a, b y c: a = 1, b = 5 y c = 1. El coeficiente a es el que multiplica a x2; en este caso su valor es 1. Ahora hallamos el valor del discriminante : b 2 4ac 5 411 21 2
El discriminante , es mayor que 0 ( 0 ), por lo tanto hay dos raíces reales y distintas. 190
Reemplazando en x
b , tenemos: 2a
5 21 x1 5 21 5 21 2 x1,2 x 2 1 2 x 5 21 2 2 Finalmente: 5 21 5 21 CS ; 2 2
Ejemplo 3 Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 2 x2 5x 7 0 Solución: En este caso: a 2, b 5 y c 7. Ahora hallamos el valor del discriminante :
b2 4ac 5 4 2 7 2
31 El discriminante , es menor que 0 ( 0 ), por lo tanto no hay dos raíces reales.
CS
Ejemplo 4 Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 9 x2 12 x 4 0 Solución: En este caso: a 9, b 12 y c 4. Ahora hallamos el valor del discriminante :
b2 4ac 12 4 9 4 2
0 El discriminante , es igual a 0 ( 0 ), por lo tanto no hay una raíz real.
2 CS 3
191
EJERCICIO 1 1. Resuelva las siguientes ecuaciones mostrando su proceso e indicando el conjunto solución. Ecuación
Forma canónica
a
b
c
3x 2 4 x 7
3x 2 4 x 7 0
3
–4
–7
Discriminante b 2 4ac
x( x 6) 9
x2 5 4 x 2 x2 7 x 3
4 x 2 5x
x( x 1) 25 x
4 x x 3 1
192
Solución:
x1, 2
b 2a
CS
¿Cuál es su conclusión sobre el valor del discriminante y el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática?
2. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.(sin usar la fórmula general) a. 3x2 4 x 7
b. 3x2 8x 4 0
c. 4 x 2 5x
d. 3x 2 5x
e. 4 x2 9 0
f.
193
x2 49 0
EJERCICIO 2 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Dada la ecuación x2 bx 1 0 , donde b es constante, ¿qué valores puede tomar b para que la ecuación tenga solución única?
b. Si el discriminante de la ecuación cuadrática kx 2 3x 2, donde k es una constante, es 17. ¿Cuál es el valor de k?
c. Dada la ecuación x2 bx 0 , donde b es constante, ¿qué valores puede tomar b para que la ecuación tenga dos soluciones diferentes?
2. Resuelva las siguientes ecuaciones mostrando su proceso e indicando el conjunto solución.
a.
1 x 2 x( x 2) 3 6 4
194
b. ( x 2)2
2x 5 3 3
c. 2 x( x 3) 7 3(4 x)
d.
x2 2 x 5 4 15 3 5
195
8.2 MODELACIÓN DE PROBLEMAS Al modelar un problema, se recomienda seguir los siguientes pasos:
Comprensión del problema: es preciso leer bien el problema y elegir la variable.
Planteamiento: establecer relaciones entre la variable y los datos.
Resolución: es la parte operativa del problema. Es bueno verificar los resultados obtenidos.
Análisis de respuesta y respuesta completa: se debe reflexionar sobre el sentido de los números obtenidos y escribir la respuesta completa. No olvidarse de indicar las unidades.
PROBLEMAS 1. Suponga que el ingreso que obtiene mensualmente la empresa “The sky S.A” dedicada a la producción y exportación de café está dado por I (q) 800q 50q 2 , donde I está en dólares y q representa la cantidad de toneladas vendidas de café. Si el mes pasado el ingreso que obtuvo la empresa fue de $ 16 800. ¿Cuántas toneladas de café vendió el mes pasado?
196
2. La empresa Maximus estima que la utilidad semanal U en miles de dólares está dada por el polinomio U 5q 2 12q 780 , donde q es la cantidad en cientos de fotocopiadoras vendidas. a. Determine, según el modelo, la utilidad que obtuvo la empresa si la semana pasada vendió 6000 fotocopiadoras. b. ¿Cuántas fotocopiadoras debe vender la empresa la próxima semana, si desea obtener una utilidad de 28 245 000 dólares?
3. La empresa “Listen Now SAC” especialista en la fabricación de audífonos estima que al inicio de sus operaciones, la utilidad diaria U en dólares, después de t días de comercializar su producto, estará dada por el polinomio U at 2 2t 8 , donde a es una constante positiva. a. Si la fábrica después de 5 días obtuvo una utilidad de $127 ¿Cuál es el valor de a? b. ¿Cuántos días después del inicio de sus operaciones la empresa “Listen Now SAC” obtendrá una utilidad de 512 dólares?
197
4. Un fabricante de mochilas puede producir y vender q unidades de un producto cada semana a un precio de p dólares por unidad, p 300 2q. Determine a. La ecuación de ingreso en términos de q. b. La ecuación del ingreso en términos de p. c. ¿Cuántas mochilas debe vender como mínimo la fábrica para obtener un ingreso de $ 11 200?¿a qué precio?
5. RMA Constructores ha terminado un nuevo edificio de 60 departamentos. Se ha estimado que si cobran un alquiler mensual de $ 450 por departamento, todas las 60 viviendas se ocuparían. Pero si aumentan el precio del alquiler en $ 10, solo se ocuparían 59 viviendas. a. ¿Cuál sería el ingreso si se cobra un alquiler mensual de $ 450? b. ¿Cuál sería el ingreso si se cobra un alquiler mensual de $ 460?
198
En general, por cada $ 10 que aumente el precio de alquiler de los departamentos, habría una vivienda menos que se ocupe. Cant. de incrementos
Precio del alquiler mensual ($)
N° de viviendas ocupadas
Ingreso ($)
0
450
60
450 60 = $27000
1
450 + 1 10
60 – 1
460 59 = $27140
2 5 X c. Si el precio de alquiler se fija en $ 500, ¿cuántas viviendas se ocuparían? d. Encuentre una expresión que represente el precio de alquiler, si se hicieron x incrementos de $ 10 en el precio. e. Encuentre una expresión que represente la cantidad de viviendas ocupadas en términos de x. f. Encuentre una expresión que represente el ingreso en términos de x. g. ¿Cuánto se debe cobrar como alquiler para generar $ 27 000 de ingreso y a la vez mantener algunas viviendas desocupadas?
199
6. Un editor fijó el precio de un libro en S/. 20, con lo que vende 20 000 unidades al mes. Decide hacer un aumento en el precio de los libros y estima que por cada S/. 1 de incremento, la cantidad de libros vendidos al mes se reduciría en 500 ejemplares. a. Encuentre una expresión para el ingreso en términos de x. (Nota: Ingreso = precio * cantidad) b. ¿En cuánto se debe fijar el precio de los libros para que el ingreso sea de S/. 450 000 mensuales?
200
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 8.1- 8.2 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Dada la ecuación x2 bx 4 0 , donde b es constante, ¿qué valores puede tomar b para que la ecuación tenga solución única? b. Si el discriminante de la ecuación cuadrática x 2 kx 2, donde k es una constante, es 17. ¿Qué valores puede tomar k? c. Se sabe que una de las soluciones de la ecuación z 2 12 z c 0 es z 9 , ¿cuál es entonces el valor de c ?¿Cuál es la otra raíz de la ecuación? d. Si la ecuación cuadrática x2 6 x c 0 , donde c es constante, tiene solución única, ¿Cuál es el valor de c? e. Dada la ecuación x 2 4 x, ¿el conjunto solución de la ecuación es 4? f. La ecuación x 2 16 0, ¿tiene una sola solución? 2. Determine el C.S. de las siguientes ecuaciones, mostrando su proceso. a. x 2 5 x
b. 5x 2 9 46
c. ( x 3)2 (2 x 5)2 16
d. 8x 65 x 2
e. 3x 4 5x 6
f. 6 x2 11x 35
g. 2 x 2 7 x 4 0 i. 4 x( x 5) 8 4(3 2 x)
h. 12 x2 40 17 x j. xx 1 5x 2 2
k. 2 x 1 8 4
l. 2 x 2 24 x 72 0
2
2
x( x 2) 1 x 2 4 3 6 ñ. x( x 12) 5 6 x 4
9 x( x 3) 0 2 3 o. 4 x( x 2) x 2
m.
n.
3. Luego de un análisis de mercado se concluyó que la regla de correspondencia que modela la demanda de polos M&M es p q 2 8q 20 , donde el precio p está expresado en dólares y la cantidad q la demanda en cientos de unidades. Para un precio de $ 10,25, ¿Cuántas unidades se demandan en el mercado? 4. La fábrica TecLisen estima que la utilidad semanal U en miles de dólares, está dada por el polinomio U (q) 1, 2q 2 4q 12, donde q es la cantidad en cientos de refrigeradoras vendidas. a. Determine, según el modelo, la utilidad que obtuvo la empresa si la semana pasada vendió 1500 refrigeradoras. b. ¿Cuántas refrigeradoras debe vender la empresa la próxima semana, si desea obtener una ganancia de 548 000 dólares?
201
5. La empresa Olimpo estima que al inicio de sus operaciones, la utilidad mensual U en miles de euros, después de t meses de comercializar su producto, estará dada por el polinomio U (t ) 3t 2 18t 2 . Determine, según el modelo, cuántos meses transcurrirán para que la empresa Olimpo obtenga una utilidad de 646 000 euros. 6. Un padre cuenta con cierta cantidad de dinero para comprarles ropa a sus dos hijos mellizos. Antes de salir, sus hijos le preguntan qué cantidad de dinero puede gastar en cada uno de ellos, a lo que su padre les contesta: “En realidad tengo dos cantidades destinadas para ello, cuya diferencia es 82 soles y su producto es 10 640”. Si ambas cantidades se repartirán por igual entre los dos hijos, ¿cuánto podrán gastar cada uno en sus compras? 7. Cuando una empresa de juguetes vende los carritos del Rayo McQueen a S/. 30 cada uno, tiene una venta diaria de 15 carritos. Sin embargo, por cada S/. 1 que se reduzca el precio, las ventas aumentan en 2 carritos por día. a. Encuentre una expresión que represente el precio unitario de los carritos luego de una reducción de x soles en el mismo. b. Encuentre una expresión que represente la cantidad diaria de carritos que se venden cuando el precio ha sido reducido en x soles. c. Encuentre una expresión para el ingreso diario cuando el precio ha sido reducido en x soles. d. ¿Qué precio de venta hará que el ingreso diario sea de S/. 700? 8. LM Building ha terminado un nuevo edificio de 70 departamentos. Se ha estimado que si se cobra un alquiler mensual de $ 420 por departamento, todas las 70 viviendas se ocuparían. Pero por cada $ 4 de aumento en el precio de alquiler, se ocuparía 1 vivienda menos. ¿Cuánto se debe cobrar de alquiler para generar $ 25 000 de ingreso? 9. Suponga que el ingreso que obtiene la empresa “The sky S.A” dedicada a la producción y exportación de televisores 3D está dado por I (q) 80q aq 2 en cientos de dólares, donde q representa el pedido en miles de televisores por parte de un cliente. a. Si por la venta de 3000 televisores 3D obtiene un ingreso de $ 69 000, ¿Cuál es
el valor de a? b. Si la empresa tiene proyectado cerrar un pedido por 6000 televisores 3D la
próxima semana, ¿A cuánto ascendería el ingreso por dicha venta?
202
8.3 ECUACIONES RACIONALES 1. EXPRESIONES RACIONALES Definición: Una Expresión Racional, es el cociente de dos polinomios.
P( x) es una expresión racional, Q(x) 0. Q( x) Los polinomios P(x) y Q(x) son los términos de la expresión racional. El polinomio P(x) es el numerador y el polinomio Q(x) es el denominador. Ejemplo 1 Expresiones racionales:
2 , x 1
2x2 3 x 5
y
x 1 x 2x 3 2
EJERCICIO 1 Indique cuáles de las siguientes expresiones son racionales. Expresión (en la variable x) x a. 2 x 3
¿Es o no es?
¿Por qué?
x 4 x2 x3 4 x3 2
b. c. d.
x 5 2
2. CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA) Es el conjunto de valores que puede tomar la variable de tal forma que la expresión exista. En las expresiones racionales consta de todos lo números reales EXCEPTO los valores de la variable que hacen que el denominador se haga cero. Ejemplo 2 Determine el CVA de:
4 x5
Solución El CVA son todos los valores que puede tomar la variable x, en este caso serán los reales EXCEPTO, el valor de x que hace cero el denominador. Tenemos que ese valor es: x 5 0, entonces x 5. Entonces: CVA = R – {5}
203
Ejemplo 3 Determine el CVA de:
x6 x x6 2
Solución El CVA son todos los valores que puede tomar la variable x, en este caso serán los reales EXCEPTO, el valor de x que hace cero el denominador. Para ello factorizamos el denominador e igualamos a cero: x 3 x 2 0, entonces x 3 y x 2 son los valores prohibidos, entonces CVA = R – {–2; 3} Ejemplo 4 Determine el CVA de:
x2 4 ( x 1) x 2 3
Solución Observando el denominador vemos que tenemos dos factores: x 1 y x 2 3 , al igualar a cero cada uno para hallar los valores prohibidos tenemos: x 1 0 y x2 3 0 En el primer caso x 1 , en el segundo caso no hay valor de x donde x 2 3. Por lo tanto: CVA = R – {1}
EJERCICIO 2 Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones racionales. Expresión(en la variable x) a.
x x7
b.
4 2x 1
c.
x 2 25 x5
d.
4 x 3x
e.
x5 x 2 100
f.
x 1 2x 9x 4
g.
x x 16
2
2
2
204
CVA
3. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES Se dice que una expresión racional está totalmente simplificada cuando al factorizar numerador y denominador, éstos no admiten ningún factor común. Entonces primero se factoriza numerador y denominador, se determina el CVA y finalmente se simplifica. Ejemplo 5 Determina el CVA y simplifica la siguiente expresión racional:
x2 x 6 x2 4 Solución: Al factorizar el numerador y denominador tenemos:
x 3x 2 x 2x 2
C.V.A = R – { – 2; 2}. Luego al simplificar obtenemos:
x3 x2
EJERCICIO 3 Halle el CVA y simplifique las siguientes expresiones racionales:
a.
x2 2 x x 2 3x 10
b.
c.
x2 4x 5 x3 5 x 2
d.
205
x2 x 6 x2 4
2 x2 7 x 6 x 2 11x 35
4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) El MCM de dos o más polinomios es el producto de sus factores comunes elevados a su mayor exponente por los factores no comunes. Ejemplo 6 Determine el MCM de 6 x2 ; 3xy 2 ; 12 x3 y Solución: El M.C.M de los coeficientes es 12. En el caso de las variables la variable común es x, tomamos la que esta elevada al mayor exponente x3 por el factor no común elevado al mayor exponente: y2. Entonces, MCM = 12 x3 y2. Ejemplo 7 Determine el MCM de: x2 4; x 2 x 6. Solución: Primero factorizamos cada uno de los polinomios ( x 2) x – 2 ; x 2 x 3 . Luego el MCM = ( x 2) x – 2 x 3 . EJERCICIO 4 Halle el M.C.M de los siguientes polinomios: a. A( x) 9 x3 x 2
B( x ) 3 x 2 C ( x) x 2 4 x 4
b. A( x) x 2 5x 4 B( x) x 2 8x 16
c. A( x) x 2 5x
B( x) x3 25x
206
5. OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES Suma y resta de expresiones racionales. Si las expresiones racionales tienen el mismo denominador, entonces, su suma o diferencia se obtiene sumando o restando los numeradores y como denominador el denominador común. Ejemplo 8 Determinar el CVA y efectuar
5 x 2 2x x 1 x 1 x 1
CVA = R – {1}. Como tienen el mismo denominador tenemos:
5 x 2 2x 5 x 2 2x 3 x . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ejemplo 9 Determinar el CVA y efectuar
x 1 2 x 4 x 4x 4 2
Primero factorizamos los denominadores: x
1
x 2 x 2 x 2 2
;
Luego el CVA = R – {–2,2}. x x 2 x 2
x 2 x 2 2
x 2 3x 2
x 2 x 2 2
EJERCICIO 5 Efectúe la suma de las siguientes expresiones y simplifique, además determine el CVA. a. x 1
3x 1 x2
b.
207
2 3 x5 2 x 1 x 1 x 1
c.
e.
x 2 2 x 1 4 x2 x
d.
1 x 5 2 x 2 x 4x 4
f.
208
x 3 x 2 1 x 2 x2 4
1 1 x 1 2 x 1 x 3 x 4x 3
6. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES RACIONALES REDUCIBLES A LINEALES O CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE. Una empresa exportadora de productos alimenticios paga la suma de $ 48 000 por el transporte de cierto número de contenedores, pero lamentablemente en el momento del envío detectan que 8 de ellos contienen productos que no cumplen con los estándares de calidad para ser enviados. El pago sigue siendo el mismo lo que hace que el costo sea 300 dólares más por cada unidad de contenedor. ¿Cuántos contenedores envió finalmente la empresa exportadora? Planteamiento del problema:
Definición: Las ecuaciones racionales, son aquellas en las cuales uno de sus miembros contiene una expresión racional. Ecuaciones racionales reducibles a primer grado Son ecuaciones racionales que al momento de resolverse conducen a resolver una ecuación de primer grado. Ejemplo 10 Resuelva:
3 2 8 2 x 4 x 3 x 7 x 12
Estrategia de solución
1. CVA (Conjunto de valores admisibles de la ecuación)
Los valores que no puede asumir la incógnita se llaman restricciones y se obtienen igualando el denominador a cero. En este caso: 3 y 4. El conjunto de valores admisibles son todos los reales distintos de 3 y de 4. Es decir: x 3 y x 4. Es decir x R - {3; 4}
209
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el M.C.M= x 3x 4 2. Operaciones
3x 3 2x 4 8 3x 9 2 x 8 8 x9
3. Verificación de la respuesta
9 pertenece () al conjunto de valores admisibles
4. Expresión del Conjunto solución
C.S. = {9}
EJERCICIO 6 Resuelve las siguientes ecuaciones, muestre su proceso e indique su CVA. a.
2 4 3 x x
b.
3x 3 2 x 1 x 1
c.
x 2 x 1 x 1 x 3
210
d.
1 1 2 x6 x 3
e.
x 1 x 2 1 2 x x 5 x 5x
Ecuaciones racionales reducibles a segundo grado Son ecuaciones racionales que al momento de resolverse conduce a resolver una ecuación de segundo grado Ejemplo 11 Resuelva:
3 6 11 7 x 2 x 1 x 4x 3 x 3
Estrategia de solución: 1. C.V.A.
x 1, x 3 CVA R 1: 3 Multiplicar a la expresión por el MCM x 1 x 3 y simplificar 3 x 3 6 11 7 x x 1 3x 3 18 x 11 7 x 2
2. Operaciones
7 x 2 15 x 8 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado
7 x 8 x 1 0
211
x
8 x 1 7
3. Verificación de la respuesta
8 7
4. Conjunto solución
8 CS 7
es un valor admisible.
EJERCICIO 7 1. Resuelve la siguiente ecuación, muestre su proceso e indique su CVA. a.
1 6 1 x x4
b.
2 x2 1 x x x x 1
c.
x 3 x2 1 2 x2 x 4
2
212
d.
x 2 2x 2 2 x 2 x 5x 6 x 3
e.
4 2 7 x 4x 3 x 3 x 4
f.
4 4 x 3 2 x2 x 2x 8
2
213
2. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas a. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación
b. Dada la expresión
2x 6 4? x3
x2 1 , ¿podemos afirmar que el CS es R ? x2
c. El CS de la ecuación x a 0 es 0 , ¿Cuál es el valor de a? x4
214
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 8.3 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Dada la expresión
4x , ¿Qué valores admite la variable x? x 4 2
b. Si el CVA de la expresión
x4 es R 2;3 , ¿Cuál es el valor de a? x ax 6 2
c. Dada la siguiente expresión racional
3 x , ¿cuáles son los valores x( x 3x 10) 2
que no puede tomar la variable x?
3x 2 2 d. ¿Al simplificar la expresión se obtiene 3x 2 ? x e. ¿Al sumar la expresión racional f. ¿Al simplificar la expresión g. Dada la expresión
5 2 3 se obtiene 2 ? x 1 x 1 x 1
3 2x se obtiene 2 x2 x 6 ? x2 x2
x 3 1 , ¿podemos afirmar que el C.S. es R ? x 3
h. El CS de la ecuación x b 0 es 4 , ¿Cuál es el valor de b? x7
x2 9 , ¿podemos afirmar que el C.S. es 3; 3 ? i. Dada la expresión x3 x3 2. Determine el CVA de las siguientes expresiones: a.
2( x 1) ( x 4)( x 1) 2
b.
x2 x(9 x 2 )
c.
x ( x 4)(2 x 2 3x)
3. Determine el CVA, halle la suma y simplifique: a.
4 4 x2 x2
b.
x 1 x 2 x 1 x 1
c.
1 3 x 10 2 x2 x2 x 4
d.
7 x x 52 2 x 4 x 4 x 16
e.
7 x x 21 2 x 3 x 3 x 9
f.
4 2 x 5 2 x 1 x 1 x 1
215
4. Resuelva las siguientes ecuaciones, muestre su proceso e indique su CVA y su conjunto solución.
g.
a.
x x 1 5x 5 2 x2 x3 x x6
b.
x3 x 6x 1 x x2 3x
c.
14 2 7x x x 12 x 4 x 3
d.
2 x 1 10 x 6 x 2 x2 x 4 x2
e.
2 1 x2 x x x x 1
f.
x 1 x 2 1 2 x x 5 x 5x
h.
2x 1 x 2 3x 2 2 x 3 x 2 x 5x 6
2
2
2x 1 2 3x 5 2 3x 2 x 3 3x 11x 6
216
8.4 ECUACIONES POLINÓMICAS Muchas situaciones se modelan utilizando expresiones polinómicas. Por ejemplo, el ingreso mensual de una compañía se puede expresar como una función polinómica del precio unitario de los artículos que vende. Por otro lado, la utilidad de una empresa tambien se puede expresar como una función polinómica de la cantidad de articulos producidos y vendidos. Veamos el siguiente ejemplo: La utilidad “U” mensual de cierta compañía está dad por: U (q) q 3 q 2 25q 25 , donde U está expresado en miles de dólares y q es la cantidad de artículos producidos y vendidos expresada en cientos de unidades. Determine el valor (o valores) de q para los cuales la utilidad es cero. Hay ocaciones en las que nos enfrentamos a situaciones como la que acabamos de describir. A continuación definimos los polinomios con los que trabajaremos. Un polinomio en la variable x es un polinomio de la forma: P( x) an x n an1 x n1
a1 x a0 ; con a n 0 y n 3 ,
donde an , an1 ,, a0 son los coeficientes y x la variable. Definición: La igualdad P( x) 0 ; donde P(x) es un polinomio de grado mayor o igual a tres, se denomina ecuación polinómica de grado superior.
Ejemplo 1 a. x3 2 x2 3x 5 0
b. 5x4 3x2 8x 12 0
Recordar: Para todo a; b R : ab 0 si y solo si a 0 ó b 0
Estrategia de solución para ecuaciones polinómicas Una ecuación de la forma P(x) = 0, donde P es un polinomio de grado n, tiene a lo más n soluciones distintas, denominadas “Raíces del Polinomio”. Para resolver estas ecuaciones se debe proceder de la siguiente manera:
217
Ejemplo 2 Resuelva la ecuación 2 x2 2 x3 x 0 Solución: Procedimiento Ordene el polinomio
x 3 + 2x 2 – x – 2 = 0
Factorice el polinomio por alguno de los métodos estudiados en clase.
x 3 + 2x 2 – x – 2 = ( x – 1)(x + 1)( x + 2)
Luego, iguale cada factor a cero.
( x – 1)(x + 1)( x + 2) = 0 si y sólo si x–1=0
Resuelva las ecuaciones de primer grado: Finalmente, escriba el conjunto solución:
x=1
ó x+1=0 ó x+2=0 ó
x = –1
ó
x = –2
CS 2; 1;1
Ejemplo 3 Resuelva la ecuación x4 5x2 36 0 Solución: Procedimiento Factorice el polinomio por alguno de los métodos estudiados en clase. Luego, iguale cada factor a cero.
x4 5x2 36 0
( x 2 4)( x 2 9) 0 ( x 2 4)( x 3)( x 3) 0
Resuelva las ecuaciones de primer grado:
x2 4 0 x 3 0
Finalmente, escriba el conjunto solución:
CS 3;3
x3 0
Recordemos: Si P(x) es un polinomio y a es un número tal que P(a) 0 , entonces decimos que a es un cero de P . A continuación presentamos formas equivalentes de decir lo mismo: c. a es un cero de P d. x a es una raíz de la ecuación P( x) 0 e. x a es un factor de P(x)
218
Ejemplo 4 Resuelva la ecuación x 4 6 x3 9 x 2 4 x 12 0 Solución: Cuando el coeficiente principal del polinomio es 1, las posibles raíces racionales de la ecuación son los divisores del término independiente Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, y 12. Podemos aplicar la regla de Ruffini (factorización empleando el método de los divisores binomios): Probemos por ejemplo con
x 1
Continuamos
1
+6 +1
+9 +7
–4
1
+7
+ 16
+ 12
–3
– 12
– 12
x 3
1
+4
+4
– 12 + 16 + 12 0
0
Ahora que quedan tres términos tenemos: x2 4 x 4 Se tiene entonces que la ecuación dada es equivalente a:
( x 1)( x 3)( x 2 4 x 4) 0 ( x 1)( x 3)( x 2) 2 0 Por lo tanto x 1 0 x 1
x3 0 x 3
( x 2)2 0 x 2
Igualando cada factor a cero se concluye que el C.S. 1; 3; 2. EJERCICIO 1 a. Resuelva la ecuación: ( x 2)( x 3) 0.
b. Resuelva la ecuación: x 2 3x 10 0.
NOTA: Ahora determine las raíces o soluciones de las ecuaciones polinómicas de grado superior a 2 que se dan a continuación:
219
c. Resuelva la ecuación: x3 5x2 2 x 24 0
d. Resuelva la ecuación: x4 5x3 8x2 4 x 0
e. Resuelva la ecuación: x3 3x2 2 x 8 0
220
f. Resuelva la ecuación: 2 x3 6 x2 8x 4 0.
Ecuaciones bicuadradas Son aquellas ecuaciones en las que, al hacer un cambio de variable apropiado, se convierte en una ecuación de segundo grado. Ejemplo 3 Resuelva la ecuación 4 x4 37 x2 9 0 Solución: Haciendo un cambio de variable x 2 b, se tiene
4 b2 37b 9 0 Al aplicar aspa simple, se tiene
(4b 1)(b 9) 0 1 b ; b9 4
Regresamos a la variable original
1 1 1 Si x 2 b, entonces x 2 , por lo tanto x x 4 2 2 Si x 2 b, entonces x 2 9, por lo tanto x 3 x 3
1 1 CS 3; ; ;3 2 2
221
EJERCICIO 2 1. Resuelva la ecuación 4 x4 15x2 4 0
2. Resuelva la ecuación x4 13x2 36 0
222
8.5 ECUACIONES IRRACIONALES Definición: Son aquellas ecuaciones en las que alguna de sus incógnitas está afectada por un símbolo radical. Ejemplo 1 a. Resuelva la ecuación irracional:
3x 4 x 0
b. En el ejercicio anterior verifique las soluciones
c. Conclusión
Ejemplo 2 Resuelva la ecuación irracional:
3x 4 x 2
223
Ejemplo 2 Resuelva:
5x 1 -
x 1 2
Estrategia de solución: Aislamos una de las raíces cuadradas:
5x 1 2 x 1
Elevamos al cuadrado miembro a miembro:
( 5x 1) 2 (2 x 1) 2
Desarrollamos las potencias indicadas:
5x 1 (2) 2 2(2)( x 1) ( x 1) 2
Aislamos la raíz que queda:
4 x 1 4x 4
Simplificamos coeficientes (esto no siempre es posible):
x 1 x 1
Volvemos a elevar al cuadrado miembro a miembro:
( x 1) 2 ( x 1) 2
Desarrollamos las potencias indicadas:
( x 1) 2 ( x) 2 2( x)(1) (1) 2
Efectuamos operaciones indicadas obtenemos la ecuación:
x 2 3x 2 0
Resolvemos la ecuación:
( x 1) ( x 2) 0 , de donde x 1 x 2
Para x 1 Verificamos nuestras respuestas en la ecuación propuesta: en este caso cumplen ambas.
5(1) 1 2 1 1 …(cumple) 22
Para x 2
5(2) 1 2 2 1 …(cumple) 33
Damos el conjunto solución:
C.S. 1; 2
OBSERVACIÓN: A diferencia del ejemplo anterior en este caso ambas raíces satisfacen la ecuación propuesta, por lo que se aconseja que siempre verifiquen sus resultados. ¿Por qué hay que verificar los valores obtenidos para x en una ecuación irracional? ……………………………………………………………………………………………
224
EJERCICIOS 1 Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales a.
x 1 3 0
b. x 2 x 7 4
c. x 5x 4 2
225
d.
5x 1 x 1 4
e.
3x 1 x 7 6
226
EJERCICIOS PROPUESTOS 8.4 – 8.5 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas
a. Dada la ecuación x 4 2 x3 8x 2 0, ¿es cierto que el C.S. es 4; 2 ? 3 2 b. Si el C.S. de la x ax bx c 0, es 0;1; 2 , ¿Cuál es el valor de c?
c. Dada la ecuación
x 2 3x x, ¿es cierto que el C.S. es vacío?
d. ¿Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación 3 2 x 1 x se obtiene 3 2 x 1 x 2 ? e. Dada la ecuación a x 3 0. Si se sabe que ecuación, ¿Cuál es el valor de a?
4 es
solución de la
2. Resuelva las ecuaciones polinómicas, mostrando su proceso: 3 2 a. x 4 x x 6 0
b. 2 x3 6 x2 20 x 48 0 c. x4 7 x2 6 x 0. d. x5 8x4 17 x3 10 x2 0. e. x3 4 x2 11x 30 0 f. x3 7 x2 13x 7 0 g. x3 8x2 16 x 8 0 3. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones, mostrado su proceso.
a.
3x 6 x 2 0
b. x 2 x 9 3 c.
1 3x x 3
d.
4 x 5 + x 1 =7
e.
x 7 2x 3
f.
x7 2 x2
g.
3x 1 x 3 4
h. 2 x 5x 4 10
227
UNIDAD N° 9 INECUACIONES 9.1 INTERVALOS DE NÚMEROS REALES. NOTACIÓN 1. RELACIÓN DE ORDEN Dos números reales a y b , donde (a b) , pueden compararse mediante la relación de orden menor que, representada por el símbolo <. Se escribe a b y se dice a es menor que b ó b a según el caso. Similarmente se puede comparar dos números reales distintos por la relación de orden mayor que, por ejemplo b es mayor que a y se denota b a . Observaciones: a. a b significa que el punto que le corresponde al número a en la recta real se halla a la izquierda del punto que corresponde a b . 3
b.
2
1 a 0
1 b 2
3
a b equivale a: b a
c. Para dos números reales cualesquiera a b ó a b ó a b (ley tricotomía) d. a b es equivalente a : a b ó
ab
Algunas lecturas de la relación de orden Relación de orden
Significado
ab
a es mayor que b (o b es menor que a)
ab
a es menor que b (o b es mayor que a)
ab
a es mayor o igual que b (o b es menor o igual que a)
ab
a es menor o igual que b (o b es mayor o igual que a)
0ab
a x b
a es mayor que cero, pero menor que b x es mayor o igual que – a, pero menor que b
228
2. INTERVALOS Definición: Son subconjuntos de los números reales (R) que sirven para expresar la solución de las inecuaciones. Estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.
TIPOS
NOTACIÓN
Intervalos acotados
a; b
o
a; b
a; b
a; b
a; b
o a; b
o a; b
a;
DESIGUALDAD
GRÀFICA
a xb a
b
a
b
a
b
a
b
a xb
a xb
a xb
xa
Intervalos no acotados
a
[a;
xa
; b
xb
a
b
;b]
xb b
;
x -
229
+
EJERCICIO 1 Complete el siguiente cuadro DESIGUALDAD
GRÁFICO
INTERVALO
x9
–2
;5
x4
–1
–7
3 x 5
4 ;10
–4
3
2;6
230
3. OPERACIONES CON INTERVALOS Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las propiedades operativas de los conjuntos, como son la unión e intersección. Ejemplo 1
Si
A 6; 4 ,
B 1; Determine: a. A B
b. A B
Resolución Graficando en la recta numérica los intervalos dados:
◦
◦
●.
–6
–1
4
a. La intersección está formado exclusivamente por los elementos comunes. En el ejemplo mostrado A B 1; 4 b. La unión es un conjunto formados por los elementos comunes y no comunes, luego: A B 6;
EJERCICIO 2 Dados los intervalos: a.
A 9;10 y B 9; , determine A B y represente geométricamente.
b. A 4; 8 y B 8; , determine A B y represente geométricamente.
231
c. A 9; 7 y B 7; , determine A B y represente geométricamente.
d.
A ; 3 y B 3; , determine A B y represente geométricamente.
e. A 9; 6 y B 3; , determine A B y represente geométricamente.
RETO 1. Sí A 1; 8 ; B 6;14 y C 7;12 , determine ( A B) C y represente geométricamente.
RETO 2. Sí A 4;7 ; B 10;15 y C 5;12 , determine ( A B) C y represente geométricamente.
232
9.2 INECUACIONES DE PRIMER GRADO Una inecuación de primer grado con una incógnita (inecuaciones lineales), es aquella inecuación que puede reducirse a cualquiera de las siguientes formas generales: ax b 0; ax b 0; ax b 0 o ax b 0 .
donde, en todos los casos, a y b son constantes reales, a 0 y x es la incógnita. Resolución de la inecuación de primer grado Resolver alguna inecuación de las formas indicadas consiste en hallar su conjunto solución CS, es decir, encontrar aquel intervalo que contenga todos los valores que puede tomar la incógnita para que se verifique la desigualdad. Solución de una inecuación de primer grado Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita, debemos dejar la incógnita en un solo miembro de la inecuación y las constantes en el otro, para lo cual usamos las propiedades anteriormente dadas. RECUERDE: Sean a , b y c números reales
Ejemplo:
Si a b y c R , entonces a c b c
3 5, entonces 3 4 5 4
Si a b y c 0 , entonces: a.c b.c
3 5, entonces 3 4 5 4
Si a b y c 0 , entonces: a.c b.c
3 5, entonces 3 (4) 5 (4)
Ejemplo 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a. x 4 6
b. 3x 12
Solución
Solución
Debemos despejar la variable x,
Si multiplicamos por –1 a cada término de la inecuación, se invierte la desigualdad, luego 3x 12 Dividimos a cada termino entre tres, por lo tanto x 4 Represente gráficamente la solución
x 6 4 x 2
Represente gráficamente la solución
–2
CS ; 2
–4
233
CS 4;
Ejemplo 2 Resolver:
2 x 1 2 x 1 2 3x 2 5 2 3 6
Estrategia de solución: PRIMER PASO:
MCM.(5; 2; 3; 6) = 30
Multiplique ambos lados del símbolo de la desigualdad por el MCM
Por ser positivo (30 > 0), el sentido de la desigualdad no cambia 6(2 x 1) 15(2 x 1) 10(2) 5(3x 2)
12x 6 30x 15 20 15x 10 18x 21 15x 30 12x 6 30x 15 20 15x 10 – 18x 21 15x 30 18x 15x 30 21 3x 51 SEGUNDO PASO: 18x 15x 30 21 3x 51
3x 51
Despeje la incógnita aplicando propiedades
x 17
Al dividir ambos lados de la desigualdad por un número negativo, (1) el sentido de la desigualdad se invierte. TERCER PASO: Represente gráficamente la solución
17
CUARTO PASO:
CS ; 17
Señale el conjunto solución de la inecuación: EJERCICIO 1 1. Resuelva las siguientes inecuaciones. a. 4 x 28
b. 6 x 5 13
234
c. 3 2 x 8 12 x
d. 2 x 8
e. 2( x 3) 3x 14 ( x 2)
f. 2( x 5) 4 x ( x 3)
g. 1
x 2 3
h. 7
235
35 6 x 2
x 1 2 3
j.
6 2x 1 x 5 10
x x 1 2 2 8
l.
x 2 4x 1 1 3 3 6
i. x
k.
236
m.
4x 3 3 2x 4x 1 2x 8 3 24
n.
3x 5 4 x 5 2 3x 3 6 4 8
2. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. ¿Los conjuntos A 2; 3 y B 1; 0; 1; 2; 3 son iguales?
b. Dada la inecuación x 3, ¿se puede afirmar que el CS ; 3 ?
c. Dada la inecuación 3x 24, ¿se puede afirmar que el CS 8; ?
d. Dada la inecuación ax a, si a 0, ¿se puede afirmar que el CS ; 1 ?
237
EJERCICIOS PROPUESTOS 9.1 1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. ¿Los conjuntos A 4;1 y B 3; 2;1;0;1 son iguales?
b. Dados A 3; 0 y B 1; 2 , ¿el conjunto A B tiene solamente cinco elementos? c. Si A ; 3 y B 5; 2 , ¿es cierto que la intersección de A y B tiene solamente dos elementos entero? d. Dada la inecuación 3x 24, ¿se puede afirmar que el CS 8; ? e. Dada la inecuación 1 CS ; ? 2 2. Dados los intervalos:
2ax a,
si
a 0, ¿se puede afirmar que el
a. A 9; 6 y B 6; , determine A B
7 b. A ] 5;2] y B ; , hallar A B 2 c. A 6; 9 y B 9; , determine A B 3. Si A 2;10 15; y B 8; 20 , determine A B 4. Si A 4; , B 7; y C ; 10 , determine ( A B) C 5. Si A 4; 2 , B 5; y C 2;7 , determine ( A B) C 6. Resuelva las siguientes inecuaciones: a. 4(3x 5) 3(2 5x) 1
e. 3 2(3x 2) 11 8x
b. 4 x 3(2 x 1) x 9
f. 4( x 3) 3( x 1) 5( x 3) 2
c.
3x 4 2 x 3 0 8 6
g.
d.
3x 5 4 x 5 2 3x 3 6 4 8
h.
238
1 2x 2x 3 2 4 6 4x 3 3 2x 4x 1 2x 8 3 24
9.2 SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Estos sistemas están formados por distintas inecuaciones y el objetivo es determinar las soluciones comunes a todas ellas. Ejemplo 1
2 x 6 5 x 8 a. 5 x 8 3x 10
o equivalentemente 2 x 6 5x 8
y
5x 8 3x 10
2 x 2 x 8 b. 2 x 2 x 8 2 x 6 o equivalentemente x 8 2x 6 Ejemplo 2 Resuelva el siguiente sistema: ...(1) 3(2 x 1) 2 16 x 2x 6 2 x 13 1 ...(2) 3
Solución: Estrategia de solución para un sistema de inecuaciones de primer grado PRIMER PASO:
Resuelva cada inecuación en forma independiente de las otras.
6 x 3 2 16 x
6 x 39 3 2 x 6,
x3
x6
SEGUNDO PASO:
Represente gráficamente las soluciones de cada inecuación en una recta numérica.
6
3
TERCER PASO:
C.S 3;6
Determine el intervalo común (intersección) si es que existe. Esto dará el CS del sistema.
RECUERDE Sean a , b y c números reales a b c equivale a: a b y b c
a b c equivale a: a b y b c
239
Ejemplo 3 Resuelva el sistema: 2x 6 5x 8 3x 10
Solución:
2 x 6 5 x 8 Este sistema equivale a: 5 x 8 3x 10 Resuelva este sistema siguiendo el mismo proceso del ejemplo 2
EJERCICIO 1 Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones: a. 2 x 2 x 8 2 x 6
240
b. 2
2 x 2x 4
c. 1
1 3x 4 4
d. 7 x 2 4 x 8 8x 6
241
e. 2 1
f.
2x 1 x 1 5
2 5 x 6 4 x x 2 2 x 10
242
EJERCICIOS PROPUESTOS 9.2 1. Responde a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. a. Al resolver un sistema de inecuaciones se obtuvo las desigualdades 3x 6 y 2 4 x . ¿Cuál es el conjunto solución del sistema? b. Al resolver el sistema de inecuación 3 x 3 4, ¿se puede afirmar que el
CS 1;0 ? 2. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: x 1 2 x 1 2 x 5 3 4
a. 12 5(2 x 3) 4 x 1 6
e.
b. 2( x 1) 2 6(2 x 1) 3(1 x)
f. 1 x 2
c. 2( x 4) x 2 2(3x 4)
g.
x2 1 4x 1 5 x 3 2 3 6
d. 3x 4(2 x 3) 2( x 1) (1 x)
h.
6 7x 5x 1 4 x 4 5 3
x x 5 1 3 4
3. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: x3 3 x 4 2 x a. 1 3x 7 x 1 6 4
x 1 x 3x 1 2 c. 2 3 6 3(2 x 1) 7 10 x
2 x 3 4( x 1) b. x 3 x 1 1 3 4
243
9.3 MODELACIÓN DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN INECUACIONES Análisis de enunciados En la descripción verbal de un problema, por lo general, existen palabras y frases que son claves para traducirlo a expresiones matemáticas que involucran las cuatro operaciones ya sea usando igualdades o desigualdades. Veamos:
Expresión verbal dentro del enunciado
Variable (letras escogidas)
a. El ingreso no sea menor que $ 2000. b. El costo total no exceda de 5000.
$
c. La utilidad mínima sea de S/. 9500. d. La cantidad de alumnos que asisten a un taller no supera los 35 alumnos. e. Las ganancias sean de por lo menos 27 000 dólares. f. El nuevo precio disminuido en $ 20 sea como máximo $ 45,50
g. Vendió la tercera parte de la cantidad inicial quedándole a lo más 38 por vender. h. Pablito gastó en total los dos quintos de su gratificación quedándole más de 480 dólares.
244
Expresión matemática
Modelación de problemas aplicados al campo económico y administrativo que involucran inecuaciones. En esta parte haremos uso de las expresiones mostradas en la tabla anterior y otras para expresar un enunciado verbal como un grupo de relaciones matemáticas. Para resolver problemas se sugiere los siguientes pasos: Paso 1. Comprensión del problema: es preciso leer bien el problema y elegir la variable. Paso 2. Planteamiento: establecer relaciones entre la variable y los datos. Paso 3. Resolución: es la parte operativa del problema. Es bueno verificar los resultados obtenidos. Paso 4. Análisis de respuestas y respuesta completa: se debe reflexionar sobre el sentido de los números obtenidos y escribir la respuesta completa. No olvidar de indicar las unidades. Ejemplo 1 En un taller de Carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que vendió 38 quedando más de la tercera parte. Si luego se fabrican 8 más y enseguida se venden 10 quedando menos de 19 sillas. ¿Cuántas sillas se fabricaron en total? Solución: Paso 1. Definir la variable. Sea x el número de sillas que se fabricó inicialmente: Paso 2. Plantear el problema. En un taller de Carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que vendió 38 quedando más de la tercera parte. Si luego se fabrican 8 más y enseguida se venden 10 quedando menos de 19 sillas. Se tiene:
1 x 38 x 3
x 38 8 10 19
Paso 3. Resolver:
2 x 114 x 57
x 40 19 x 59
de donde 57 x 59.
245
Paso 4.
Analizar el resultado.
Como son sillas, la(s) solución(es) debe(s) ser un entero positivo. Por tanto el valor de x es 58. Respuesta: Se fabricaron en total 66 sillas (hay que sumar las 8 sillas fabricadas posteriormente). Ejemplo 2 Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una máquina excavadora. Si fuese a rentar la máquina, el costo de la renta sería de $3000 mensuales (sobre la base de un año) y el costo diario (gas, aceite y operador) sería de $180 por cada día que la maquina se utilice. Si fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serían de $ 20 000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serian de $ 230 por cada día que la maquina se utilizara. ¿Cuál es el número mínimo de días del año que tendría que utilizar el constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra? Solución: Vamos a determinar expresiones para el costo anual de la renta y el costo anual de la compra, así encontraremos cuando el costo de la renta es menor que el de la compra. t : el número de días de cada año que la maquina será utilizada. Si la maquina se renta, el costo total anual consiste en los gastos de la renta, que son (12)(3000) y los costos diarios de 180t. Si la maquina se compra, el costo por año es 20000 + 230t. Queremos que:
cos torenta cos tocompra Luego
12(3000) 180t 20000 230t 36000 180t 20000 230t 16000 50t 320 t Respuesta: Por tanto, el constructor debe utilizar la maquina al menos 321 días para justificar rentarla.
246
Ejemplo 3 La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, oferta su producto a un precio de venta unitario de $ 150,00 y el costo de fabricación de cada reloj de aguja asciende a $ 10,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es de 2000 dólares. ¿Cuántos relojes de aguja debe producir y vender la empresa, para obtener una utilidad de por lo menos $ 349 000 al mes? Solución Sea q el número de relojes de aguja producidos y vendidos por la empresa “Rolix”. La empresa desea obtener una utilidad mensual de por lo menos $ 349 000 al mes. U 349000
Para determinar la ecuación de la utilidad, primeramente debemos plantear las ecuaciones del ingreso y el costo total, por lo tanto: I 150q C 10q 2000 U 140q 2000
Reemplazando U 349000 140q 2000 349000 q 2507,14...
Respuesta. Debe producir y vender 2508 relojes de aguja al mes, para obtener una utilidad de por lo menos $ 349 000 al mes.
247
PROBLEMAS DE MODELACIÓN. 1. Cierto número de postulantes rindieron un examen para cubrir las plazas de cajero del Banco del Viejo Mundo. Se conoce que el doble de la cantidad de postulantes disminuido en 23 no llega a 95. Además se sabe que al eliminarse 13, quedaron más de 40 postulantes. Si se sabe que la quinta parte de los postulantes son mujeres, determine el número inicial de postulantes que rindieron el examen.
2. En un taller de carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que se vendió la tercera parte quedando más de 38 por vender. Si luego se fabrican 8 más y enseguida se venden 10 quedando menos de 40 sillas por vender ¿cuántas sillas se fabricaron en total? Definiendo la variable: ¿Cuántas sillas se fabricaron inicialmente? x : ……………………………………………….. Planteamiento. Complete el siguiente cuadro: Datos del problema Vendió la tercera parte quedando más de 38 por vender.
Si luego se fabrican 8 más y enseguida se venden 10 quedando menos de 40 sillas por vender
248
Inecuaciones finales:
Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta): ………………………………………………………………………………………. 3. Paul tiene cierta cantidad de CD’s. Antes de irse de viaje, decide vender la quinta parte a sus amigos, a un precio módico de S/. 25 cada uno. De esta manera, le quedan más de 64 CD’s, pero si sólo hubiera vendido 10 CD’s, le quedarían a lo más 82 CD’s. ¿Cuántas CD’S tenía Paul inicialmente? Definiendo la variable: x : ………………………………………………..
Recuerda que antes de irse de viaje, vendió la quinta parte de sus CD’S. ¿Qué valores que puede tomar la variable x? ……………………………………………………………………………………. Si se sabe adicionalmente, que la sexta parte de todos sus CD’s que tenía inicialmente son de música rock: Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta): ……………………………………………………………………………………….
249
Del problema anterior: Si Paul compró cada uno de sus CD’s a un precio de 35 soles. ¿Cuánto perdió Paul en total por la venta de la quinta parte de sus CD’s?
Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta): ………………………………………………………………………………………. 4. El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo unitario por la fabricación de cada chompa es de $ 35,20. Si los costos fijos de la fábrica ascienden a $ 2700 al mes y el precio de venta unitario es de $ 105,20. ¿Cuántas chompas debe vender como mínimo la fábrica, para obtener una ganancia de por lo menos $ 3 500 en un mes? Definiendo la variable: ¿Cuántas chompas debe vender como mínimo la fábrica, para obtener una ganancia de por lo menos $ 3 500 en un mes? q : ……………………………………………….. Determina las ecuaciones del ingreso, costo total y la utilidad
Frase: Cantidad de chompas que debe vender como mínimo la fábrica, para obtener una ganancia de por lo menos $ 3 500 en un mes.
Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta): …..…………………………………………………………………………………..
250
5. La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, oferta su producto a un precio de venta unitario de $ 150,00 y el costo de fabricación de cada reloj de aguja asciende a $ 10,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es de 2000 dólares. ¿Cuántos relojes de aguja debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual de por lo menos $ 60 000?
6. Para producir su nuevo modelo de teléfono inalámbrico, una compañía determina que el costo del material es de $ 2,50 y el de mano de obra de $ 4,00, por cada unidad. Semanalmente se gastan $ 5000 que no dependen del nivel de producción. Si el precio para un mayorista es de $ 8,40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe venderse para que la compañía obtenga utilidades mayores a los $ 4000 semanales.
7. Una compañía telefónica ofrece dos planes de larga distancia. Plan Premium: A pagar un monto fijo de S/. 105 por mes, más 5 céntimos por minuto de consumo; Plan Estándar: Un monto fijo de S/. 35 por mes más 13 céntimos por minuto de consumo. ¿Para cuántos minutos de llamadas de larga distancia el plan Estándar es más económico que el plan Premium?
251
PROBLEMAS PROPUESTOS 9.3 1.-Pablo adquirió una cierta cantidad de bufandas para venderlas en esta temporada. Antes de fin de mes vende la sexta parte a un precio módico de S/. 25 cada una. De esta manera, le quedan más de noventa bufandas; sin embargo, si sólo hubiera vendido 35 bufandas, le quedarían menos de 80 bufandas. Si le costó a Pablo cada bufanda 8 soles. a. ¿Cuántas bufandas compró en total? b. ¿Cuál es su ganancia total si hubiera vendido todas las bufandas? 2.-Una compañía de informática produce computadoras personales para los colegios privados de Lima, con un costo de $180,00 la unidad. Si los costos fijos son $28 000 y vende cada computadora a $320,00. ¿Para qué nivel de producción la empresa obtiene una utilidad superior a los $ 42 000? 3.- Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 4,50 y el de mano de obra de $ 5,00. El gasto general, sin importar el volumen de ventas es de $ 4000. Si el precio para un mayorista es de $12,00 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe venderse para que la compañía tenga utilidades mayores a los $ 8199. 4.- Un egresado universitario tiene dos ofertas de trabajo. La compañía ABC le ofrece un sueldo mensual de S/. 5200 más S/. 40 por hora extra y la compañía DEF le ofrece un sueldo mensual de S/. 4800 más S/. 60 por hora extra. Analice las propuestas y determine en que caso le conviene aceptar la oferta de la compañía ABC, en que caso le conviene aceptar la oferta de la compañía DEF y en qué caso la decisión es indiferente. 5.- Carlos tiene cierta cantidad de DVD’s. Antes de irse de viaje, decide vender la tercera parte a sus amigos, de esta manera, le quedan más de 36 DVD’s, pero si sólo hubiera vendido 20 DVD’s, le quedarían menos de 43 DVD’s. Si se sabe que la quinta parte de los DVD’s. son de música clásica. a. ¿Cuántos DVD’s. tenía Carlos inicialmente? b. ¿Cuántos DVD’s le quedan? 6.-En un almacén de la FAO en cierto país de África, se dispone de cierto número de paquetes humanitarios, con alimentos suficientes para una familia durante 1 semana. La semana pasada se repartió la quinta parte de los paquetes, con lo que quedaban todavía más de 333, pero si se hubiera repartido la tercera parte les hubieran quedado menos de 284. Hallar cuántos paquetes se tenía originalmente en el almacén. 7.-En una tienda de artefactos, el dueño adquirió un cierto número de iPhones de los cuales vendió la tercera parte, de esta manera, le quedan más de 50 por vender. Al día siguiente vende solamente 19 iPhones, con lo cual le quedaron menos de 34. a. ¿Cuántos iPhones adquirió el comerciante? b. ¿Cuántos iPhones le quedan por vender?
252
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 – 1.2 d. No es cierto, 32 3 .
1. a. Sí, todo número entero es racional.
2
b. El valor de 3 8 2 pues 2 8. 3
e. Sí, todo número irracional es un número real.
c. No, Q y I no tienen elementos comunes. 2. Marque con un aspa todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los siguientes números: 9 5 Naturales Enteros Racionales
× × ×
3 7
×
0,12 3,44....
×
×
5. a. 0,65
× b.
× 71 4
× c.
× ×
× 29 10
×
d.
3 2
35 4
h. 33
i. 10
j. 6
6. a. 3
b. 56
c. 13
d. 70
3 4 3 b. 5
i.
g.
g.
5 4
7. a. 111
h.
3 5
×
Irracionales Reales
3,141
× ×
2
1 5
3
27
×
× ×
×
×
4
9 4
e. 4,5
f.
5 2 19 e. 5
l.
k.
17 2 22 f. 27
4 9
c. 21
d. 26
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.3 – 1.4 1. Le queda S/. 98,50 2. Iban a recibir S/. 64 un total de 9 personas. 3. El segundo trabajador gana diariamente S/. 20 4. Inicialmente había 6 trabajadores. 5. Gano S/. 96 6. El saldo de la tarjeta a fin de mes asciende a S/. 99,92 7. Regresó con $ 60 o S/. 168 8. a. Gastará S/ 56 b. Quedan $ 642,38 en su cuenta 9. Rodrigo se demoró menos.
10. Les queda por hacer la sexta parte. 11. Aportaron un quinceavo del total 12. Le quedo seis séptimos de su dinero. Perdió un séptimo de su dinero. 13. El monto de la herencia asciende a $ 45 000. 14. Jenniel ingreso al casino con S/. 48. 15. Han avanzado nueve decimos del trabajo hasta el mediodía. Les queda por hacer un décimo de la obra. 16. Han avanzado siete octavos del trabajo hasta el mediodía. Les queda por hacer un octavo de la obra. 253
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 2.1 – 2.2 1. a. No, significa que a = 9k y b = 5k, donde k es una constante. b. No, porque si a = 3(2) = 6, entonces b = 4(2) = 8. Edad Mariel 5 c. No es posible, porque es decir la diferencia de sus edades es de Edad Karen 3 2k donde k es la constante. d. Beatriz tiene un 87,5% de aciertos. e. El precio del terreno es S/. 72 000 000 f. Se obtiene el 103,5% del precio # preguntas correctas 3 2. a. # total de preguntas 5 b.
# preguntas incorrectas 1 # preguntas correctas 2
c.
# preguntas omitidas 1 # total de preguntas 10
3. 4. 5. 6.
La densidad poblacional es de 408 hab. por milla cuadrada aprox. La compañía RockTeam Le conviene tomar la segunda propuesta a. Por cada 30 sixpack me regalan cinco cereales b. Le obsequiaron 30 cereales. 7. El mayor tiene 24 años 8. El menor número es 30 9. El mayor es 119 10. Recibió 120 votos a favor. 11. El largo mide 24 m y el ancho 16 m 12. Asistieron 150 mujeres
254
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 3.1 1. Complete la tabla adjunta: Agricultores
m2
%
Fracción
Decimal
Mateo
86 400
36
36/100
0,36
Santiago
48000
20
20/100
0,2
Eliseo
105600
44
44/100
0,44
Total
240 000
100
100/100
1
2. Se ha procesado 240 litros de leche. 3. Se aplica un 55% de descuento 4. No usan lentes de contacto un 78% de los alumnos. 5. Hay 125 alumnos 6. El precio de cada automóvil era de $ 13 000. 7. El 16% del total de alumnos usan lentes 8. Asciende a $ 1 875 600
9. Representa ahora el número de manzanas el 44% del total de frutas 10. Su sueldo final es de $624. Se incrementa en un 4% del sueldo inicial. 11. Equivale a un aumento único del 28,8% del precio original del artículo. 12. La prenda de vestir cuesta finalmente S/. 70,11
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 3.2 1.
a. La variación porcentual de la nota fue del 20% b. El costo sin IGV es de S/. 288,14 aprox. c. Asciende a S/. 69,30 2. a. De 1 a 2 años su porcentaje de variación disminuyó en 20%, mientras que de 2 a 4 años, varió en 50%. b. De 1 a 4 años su porcentaje de variación fue del 20%.
3. 4. 5. 6.
255
c. No, porque los porcentajes se obtienen de diferentes cantidades. Disminuyó mi peso. Ha variado en un 11,11% aprox. Fue de 9500 kg. El porcentaje de merma fue de 11,05% aprox. Pierde 4kg de masa. Se debe comprar 90 m2.
8. Factura: Distribuidora Comercial Mayorista Limitada
R.U.C.: 20100084568
Comercializadora Mayorista de Productos para Almacén Distribuidora de Abarrotes – Lácteos – Frutos Secos – Artículos de Aseo – Detergente y sus Derivados Av. Perú Campeon Nº 1234 – Urb. Los esforzados Telefono: 1452155- 9989898
FACTURA
Señor(es):
Miguel Baltasar López
Dirección: R.U.C:
Av. Si se puede N º 8135 10084537684 GUIA: _______
CANTIDAD
028 - Nº 0005160 Lima, 10 de mayo del 2011
DESCRIPCIÓN
PRECIO UNITARIO
VALOR DE VENTA
50
Cera auto brillante “Texno”
S/. 3,40
170
40
Perfumador “Ricotín” en spray
S/. 6,70
S/. 268
35
Desinfectante “Pinesal” de 500 ml
S/. 4,50
S/. 157,50
SUBTOTAL
S/. 595,50
I.G.V (18%)
S/. 107,19
TOTAL
S/. 702,69
CANCELADO IMPRENTA ABC S.A.C. GRÁFICA SANTA MARÍA R.U.C. Nº 20432102005
ADQUIRIENTE O USUARIO
Serie 024 Del 5000-15000 F.I. 20-08-2008 Nº Aut. 1333566780
9. En Reloj Internacional pagó $1280. 10. Pierde 53,2% del precio de costo 11. El precio inicial del ungüento es de S/. 28,6. El precio de venta final del ungüento es de S/. 24,31.
12. a. Ha ganado $ 7200 b. Podrá comprar 1333 acciones 13. El precio debe ser de $1250 14. Le costó $950.
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 -4.2 -4.3 1.
2.
b.
b. No, se obtiene 9 x 4 y 2 .
c. 9 x8 12 x4 4
c. A 5x 6.
d. 4 x10 4 x5 1
a. ( x 7)2 x 2 14 x 49.
e. m4 1 f. 9m2 6mn n2
b. (3x 4)2 9 x2 24 x 16. 4.
c. (4 5x)2 16 40 x 25x2 . d. (6 x)2 36 12 x x2 . e. ( x2 8)2 x4 16 x2 64. 3.
x2 9
a. No, se obtiene x4 6 x2 y 9 y 2 .
a. 9m2 1
256
1 4
a. 11x2 72 x 41 b. 15x2 4 x 35 c. 8x2 14 x 9 d. x2 2 x 47
b. 1 8x 4h c. 20 5h d. 6 x 7 3h
2 2 x 14 x 71 3 f. 8x2 12 x g. 10 x2 21x 24 e.
5.
h. 43x2 96 x 74 a. 24 3h
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.4 1.
a. El valor de b es 1. b. Si, el residuo es cero.
2.
a. Cociente: 2 x3 6 x 2 7 x 1;
Residuo: 8x 6
b. Cociente: 2 x3 3x2 x 2;
Residuo: 4 x 4
c. Cociente: x 2 5;
Residuo: x 13
d. Cociente: 2 x 2 3x 1;
Residuo: 0
e. Cociente: x 2 x 2;
Residuo: 2 x2 5x 9
a. Cociente: 5x2 11x 4;
Residuo: 12
b. Cociente: 2 x 2 x 2;
Residuo: 8
c. Cociente: 2 x3 x 2 7 x 8;
Residuo: 0
d. Cociente: 2 x3 x 2 3x 19;
Residuo: 37
e. Cociente: 3x3 7 x 2 16 x 35;
Residuo: 0
3.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 5.1 – 5.2 – 5.3 f. CS
g. CS 60
1. a. El valor de 0. b. El valor de b es –1. c. CS R d. CS
1 h. CS 7 87 3. a. CS 8 11 b. CS 8 c. CS
e. No es cierto, CS 0 2. a. CS 3 b. CS 0 c. CS 0 d. CS 0 e. CS 9
5 d. CS 2
257
e. CS 1
4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. Sea q la cantidad de cuadernos producidos y vendidos. I (q) 20q a. C (q) 15q 9000 U (q) 5q 9000 b. Se deben vender 13 800 cuadernos. 11. Debe producir y vender 4400 relojes de aguja. 12. Se deben vender al mes 2200 chompas. 13. a. El valor de b es 30 U (q) 30q 28
f. CS R 27 g. CS 5 9 h. CS 11 Dentro de 10 años. Gastó $ 5400 Se liquidaron 2000 pantalones. Vieron la película 2464 espectadores. Les cobró S/. 15 el taxista. El monto total de la deuda es de $ 459.
b. Gana $92 000.
258
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 5.4 – 5.5 – 5.6 1. a. A(b; a) I y B(a; b) II c. En el III e. En el I
b. En el IV d. En el III f. Si es posible, la ecuación es x = 4
2. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones: a. 4 y 3x 12
b. y 8x 12
d. x 2 y 3
e.
x 3y 0
f.
y 3
g. 2 x 5 y 300
h. x 500 y 1000
i.
x 450 y
259
c. 9 y 4 x 12
3. a. Sea q la cantidad de mochilas escolares producidas. C (q) 8,5q 2000 b. El costo total fue de S/. 2935. c. Gráfica de la ecuación del costo total Costo (S/.)
C
q mochilas
4. a. El VMP es de 24 artículos. b. Graficas del ingreso, el costo total y la utilidad. I, C y U (dólares) I
Punto de equilibrio
C
U
VMP: 24 artículos
260
q artículos
5. a. Sea q la cantidad de toneladas de gluten de maíz producidas y vendidas. I (q) 20q b. C (q) 15q 2000 c. U (q) 5q 2000. La utilidad es de $ 1250. d. Graficas del ingreso, el costo total y la utilidad. y
I, C y U (dólares)
I C
Punto de equilibrio
U x
q Toneladas de gluten de maíz
VMP
6. a. C (q) 0,70q 1500 b. I (q) 1, 20q c. U (q) 0,50q 1500 d. Graficas del ingreso, el costo total y la utilidad. I, C y U (dólares) I Punto de equilibrio
C
U
VMP
261
q Cant. bolsas de frituras
7. Sea q la cantidad de artículos. a. C (q) 4q 4000 b. I (q) 8q d. El VMP es de 1000 artículos.
c. U (q) 4q 4000
8. El precio de venta de cada MP3 es de S/. 200, el costo fijo es S/. 8000, el VMP es 100 MP3 y el punto de equilibrio es (100 MP3; S/. 20 000). 9.
a. Para un precio de S/. 17, existe escasez de 8 chompas. b. Precio de equilibrio es de S/. 32 y la cantidad de equilibrio es de 4 chompas. c. El ingreso de la fábrica en el equilibrio es S/ 128. d. Graficas de la oferta y la demanda.
Precio ($)
Gráfica de la oferta
Punto de equilibrio
Gráfica de la demanda q Cant. de chompas 10. Sea t el tiempo transcurrido en años después de adquirir los libros. V(t) = –150t +1500 Precio ($)
Gráfica de la depreciación
262
t años transcurrido s
EJERCICIOS PROPUESTOS 6.1 -6.2 -6.3 1. a. El valor de b es –1. b. El valor de a es 12. c. No, es compatible determinado. d. Sí, es compatible determinado.
5. Se pueden fabricar 25 carteras y 40 casacas. 6. Compró 3000 truchas y 2000 robalos. 7. La tarifa diaria de la agencia es de $ 35 y por kilómetro recorrido es de $ 0,15. 8. Sea x: Cantidad de sillas y: Cantidad de mecedoras z: Cantidad de sofás
2. a. CS (2;1) b. CS
3 c. CS (4; ) 2 8 d. CS (6; ) 3
x y z 400 x y 2 z 600 2 x 3 y 5 z 1500
e. CS (3; 2) f. C.S. (t ; 23t 4) / t R
9. Sea x: Cantidad de sillas y: Cantidad de sillones z: Cantidad de butacas
g. CS (7;3)
2 h. CS (6; ) 3 3. Se producen 4 ollas de cada modelo. 4. Debe plantar 300 hectáreas de maíz y 200 hectáreas de trigo.
x y z 15 50 x 150 y 200 z 1600 4z x y
EJERCICIOS PROPUESTOS 7 1.
a. No, al factorizar x( x 5) 6 se obtiene ( x 3)( x 2).
c. 2(4 x 3)(2 x 1) d. (n 1)(n m)2
b. No, se obtiene (2 x 1)( x 3).
e. ( x n)( x 2 b)
c. No, se obtiene ( x 3)( x 3)( x 1).
f. (q 20)(q 16)
d. Si, se obtiene ( x 3)( x 4).
g. (3a 2b)( x y 2)
e. No, porque se puede factorizar en x( x 5) 2.
h. (a b)( x 3)( x 2)
a. 5by(b2 3 y)
i. 2q 2 (3q 8)(q 3)
b. 5a 2b(3b 2a)(b a)
j. (4a b)(5x 2 y)
263
3.
a. 5by(b 2 y)(b 2 y)
g. 3q(q 4)(q 4)
b. (4 x 9)
h. 4a(2m 3n)(q p)(q p)
2
2
c. n(a b)( x 3)( x 3)
i. ( x 3)( x 3)2
d. ( x 2)( x 1)2
j. (a b)(m n)(m n)
e. ( x 1)( x 1)2
k. ( x 2)( x 4)( x 3)
f. (q 2)(q 4)2
EJERCICIOS PROPUESTOS 8.1 -8.2 1.
a. Puede tomar el valor de 4 o –4. b. Puede tomar el valor de 5 o –5. c. El valor de c es 27; z = – 3. d. El valor de c es 9.
1 2 3 1 2 3 k. CS ; 2 2 l. CS 6
e. No, el C.S. es 0; 4 .
m. CS 3 5; 3 5
f. No, tiene dos soluciones 4 o –4. 2.
3 3 7 3 3 7 n. CS ; 2 2
a. CS 0;5 b. CS
11; 11
ñ. CS 9 6 2;9 6 2
26 c. CS 0; 3 d. CS 5; 13
3. 4.
e. CS 119 ; 2 f. CS 72 ; 53 1 g. CS ; 4 2 5 8 h. CS ; 4 3
5. 6. 7.
3 5 3 5 ; i. CS 2 2
j. CS 4; 2 8.
264
1 o. CS ; 2 4 Se demandan 150 unidades. a. Obtuvo una ganancia de 318 000 dólares. b. Debe vender 2000 refrigeradoras. Transcurrirán 12 meses. Podrán gastar S/. 111 cada uno en sus compras. a. Precio unitario = 30 – x. b. Cant. diaria de carritos = 15 + 2x. c. Ingreso diario = (30 – x)(15 + 2x) donde x es la reducción en soles. d. Al precio de S/. 20 cada carrito. Se debe cobrar de alquiler $ 500.
EJERCICIOS PROPUESTOS 8.3 1.
x6 ; CVA R 4; 4 x4 x e. ; CVA R 3; 3 x3 1 f. ; CVA R 1; 1 x 1
a. Todos los reales. b. El valor de a es 5. c. No puede tomar los valores de 0;–5 y 2. 2 d. No, se obtiene 3x . x 5x 1 e. No, se obtiene 2 . x 1
d.
4.
a. CVA R 2; 3 ; CS
b. CVA R 0;2 ; CS 5
2 x2 x 6 . f. No, se obtiene x2 4
c. CVA R 4; 3 ; CS 5
g. No, el CS R 3. d. CVA R 2; 2 ; CS 1; 4
h. El valor de b es 4. i. No, el CS 3 . 2.
e. CVA R 0;1 ; CS 2
a. CVA R 1;2; 2
f. CVA R 0; 5 ; CS 3
b. CVA R 0;3; 3
3.
2 g. CVA R 3; ; CS 1 3
3 c. CVA R 4;0; 2 8x ; CVA R 2; 2 a. 2 x 4
h. CVA R 2;3 ; CS
b. 1; CVA R 1; 1 c.
3 ; CVA R 2; 2 x2
EJERCICIOS PROPUESTOS 8.4 – 8.5 1.
a. No, el CS 2;0; 4.
e. CS 3; 2;5
b. El valor de c es 0.
f. CS 1;3 2;3 2
g. CS 2;3
c. No, el CS 0 . d. No, se obtiene 9(2 x 1) x 2 . 3.
e. El valor de a es 5. 2.
a. CS 2
a. CS 1; 2;3
b. CS 8
b. CS 3; 2; 4
c. CS 8
c. CS 2; 1;0;3
d. CS 5
d. CS 0;1; 2;5
e. CS
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5;3
5
31 f. CS 16
13 h. CS 4
g. CS 33 EJERCICIOS PROPUESTOS 9.1 5. ( A B) C 2;2 5;7
1. a. No, porque B A b. No, A B 1;0 tiene infinitos elementos. c. Si es cierto, 5; 4 A B .
6. a. CS ;1
b. CS 2; c. CS 0;
d. No, el CS 8; .
e. No, el CS ; 12 .
d. CS 83 ;
2. a. A B 9;
e. CS 2;
b. A B 5; 72 c. A B 3. A B 8;10 15;20
g. CS 32 ;
f. CS ; 2 h. CS ; 2
4. ( A B) C 4;10 EJERCICIOS PROPUESTOS 9.2 1. a. CS ; 12
b. Si, el CS 1;0
2. a. CS b.
CS 1
c. CS 76 ; 2 d. CS
e. CS 5; 2 f. CS 32 ; g. CS 3;
h. CS 7; 12
3. a. CS ; 1 b. CS 72 ;
c. CS 112 ; 2
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PROBLEMAS PROPUESTOS 9.3 1. a. Compró en total 114 bufandas. b. La ganancia total si hubiera vendido todas las bufandas sería de S/. 1938. 2. Para un nivel de ventas superior a las 500 computadoras. 3. Debe vender como mínimo 4880 unidades. 4. Le conviene aceptar la oferta de la compañía ABC si piensa trabajar menos de 20 horas extras, por el contrario si piensa trabajar más de 20 horas extras le conviene aceptar la oferta de la compañía DEF. Si piensa trabajar solamente 20 horas extras la decisión es indiferente. 5. a. Tenía 60 DVD´s inicialmente. b. Le quedan 40 DVD´s. 6. Se tenían originalmente 420 paquetes en el almacén. 7. a. El comerciante adquirió 78 iPhones. b. Le quedan por vender 33 iPhones
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