FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
GRADO: 10 TALLER Nº: 12
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE 1
LEY DE SENOS Y COSENOS RESEÑA HISTÓRICA
Menelao de Alejandría La trigonometría fue desarrollada por astrónomos griegos que consideraban al cielo como el interior de una esfera, de modo que resultó natural estudiar primero los triángulos sobre una esfera. Menelao de Alejandría fue un matemático griego quien cultivó la astronomía y la geometría en Alejandría y en Roma. Autor del tratado Sphaerica, en el que realizó un sistemático estudio de las propiedades de los triángulos esféricos (teoremas de Menelao), que constituyen las bases de la trigonometría esférica.
OBJETIVO GENERAL Aplicar la trigonometría en la solución de problemas que involucran triángulos no rectángulos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. 2. 3. 4. 5.
Derivar la ley de los senos. Derivar la ley de cosenos. Comprender cuando se puede aplicar ley de senos y cósenos. Aplicar ley de senos y cósenos para hallar áreas de triángulos. Utilizar la formula de Heron para hallar áreas.
PALABRAS CLAVES
DESARROLLO TEÓRICO
Función trigonométrica, Ley de senos, Ley de cosenos, triángulo, problema.
En talleres anteriores se utilizaron las razones trigonométricas para resolver problemas que involucraban triángulos rectángulos; las funciones trigonométricas también pueden ser utilizadas para resolver triángulos no rectángulos (triángulos oblicuos), con este objetivos se desarrollaran dos propiedades fundamentales, a saber la ley de senos y la ley de cosenos. Antes de iniciar con el desarrollo desar rollo teórico del taller, se recordarán re cordarán algunos conceptos co nceptos que pueden ser de interés para este trabajo.
Ángulos de elevación Si una persona está mirando hacia arriba a un objeto, el ángulo agudo medido desde la horizontal a la línea de visión del objeto es llamado ángulo de elevación. Ángulos de depresión Si una persona está mirando hacia abajo un objeto, el ángulo agudo formado por la línea de observación del objeto y la horizontal es llamado ángulo de depresión Otro resultado para el desarrollo de la teórica es el siguiente teorema.
Teorema La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º. LEY DE SENOS Considérese un triángulo ∆ ABC y sea h la altura relativa al lado BC del triángulo. Ahora bien, como h es una altura, cae perpendicular a BC y determina dos triángulos rectángulos de hipotenusas AC que en adelante llamaremos b y B que en adelante llamaremos c . Por razones trigonométricas en el triángulo rectángulo de hipotenusa b se tiene que:
A c
B
b
h
b
b
h
= sen(µ ) , y en el triángulo de hipotenusa c se tiene
que
β
b
a
C
h c
= sen( β ) , por lo tanto, despejando h en ambas
ecuaciones e igualando se tiene: b sen( ) = h = c sen( β ) .
Ahora bien, despejando se llega a: b sen( β )
=
c sen( µ )
(1)
De manera análoga, trazando la altura relativa a la base AC, se tiene: a sen( µ ) = h1 = c sen(α ) .
que por transitividad y despejando se llega a:
α
a
h1
sen(α )
c sen( µ )
(2)
Luego, igualando (1) y (2) se tiene: b
b
=
a sen(α )
=
b sen( β )
=
c sen( µ )
.
Esto es, la razón entre un lado de un triángulo y el seno de su ángulos correspondiente (ángulo que se opone a lado).es igual a la razón entre otro de los lados del triángulo y el seno del ángulo correspondiente a dicho lado.
De la deducción anterior se tiene la siguiente ley.
Ley de Senos. En todo ∆ ABC , de lados a, b, y c, siempre se cumple que: a
=
b
sen(α ) sen( β ) α , β y son
=
A
c
α
α
b
sen( µ )
Donde los ángulos correspondientes a los lados a, b y c respectivamente, (como muestra la figura),
b
B
b
a
C
Ejemplo. Un niño se encuentra volando dos cometas simultáneamente, en un momento determinado, la distancia entre las dos cometas es de 210 metro, Cuanta pita se ha liberado para la primera cometa en ese momento, si el ángulo formado por las pitas es de 30° y el ángulo formado por la pita de la segunda cometa y la línea que une las dos cometas es de 45°? Solución Se empezará por realizar un bosquejo gráfico de la situación; note que el problema lleva a un modelo geométrico triangular donde, para nuestro gráfico, el punto C representa las manos del niño, el punto A la posición de la primera cometa y el punto B la posición de la segunda cometa. Se necesita encontrar la longitud de la pita de la primera cometa, observe que esta corresponde a la medida del segmento AC , quien a su vez se opone al ángulo de 45º , por lo tanto se disponen de la herramientas para aplicar la ley del seno. Se sigue entonces que: 210 sen(30)
=
m( AC ) sen( 45)
m( AC ) =
⇒
210 * sen( 45) sen(30)
que, según la tabla del valor de las funciones trigonométricas se tiene: m( AC ) =
210 * sen( 45) sen(30)
210 *
=
1
2 2 = 210 2 m
2
Por lo tanto, la cantidad de pita que se ha liberado para la primera comenta es de 210 2m . ¥
Actividad Utiliza la ley de senos para resolver los siguientes ejercicios. 1. Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m. 2. Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña? NOTA
Consulta en qué consiste el caso ambiguo en la solución de triángulos. Cuando la información que se nos suministra no es suficiente para utilizar la ley del seno se tiene un teorema adicional que puede conducir a su solución.
Pero resulta que no todos los triángulos se pueden solucionar con la ley de seno. Qué pasara si la información suministrada por el problema no es suficiente para resolverlo con la ley de senos?.
LEY DE LOS COSENOS Sea ∆ ABC un triángulo cualquiera, con lados a, b, c, y sean α , β y los ángulos correspondientes a cada uno de estos lados. Se tratará de expresar la medida del lado a en términos de los lados b, c y su ángulo correspondiente. Sea h la altura relativa al lado A del ∆ ABC y sean y las proyecciones de los lados b y c sobre a.
A θ c
b
h
Por teorema de Pitágoras se tiene: h 2 = c 2 − x 2 h = b − y 2
2
C
a
2
x
y
Ahora bien, sumando esta expresiones se tiene: 2h 2 = b 2 + c 2 − ( x 2 + y 2 )
(1)
tiene que a = + y , de donde a 2 = ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 entonces ( x + y ) 2 = a 2 − 2 xy y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene:
Como
se
2h 2 = b 2 + c 2 − ( a 2 − 2 xy )
de donde, a 2 = b 2 + c 2 − 2h 2 + 2 xy
(2)
Pero por razones trigonométricas, en cada uno de los triángulos rectángulos que se formaron, se puede observar que:
x = c sen( ) y también y = b sen(θ ) además h = c cos( ) , pero también h = b cos(θ ) , por lo
tanto, al sustituir en la ecuación (2) y teniendo presente que h 2 = h * h = c cos(ϕ ) b cos(θ ) se tiene:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 c cos(ϕ ) b cos(θ ) + 2 c sen(ϕ ) b sen(θ )
esto es:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ( sen(ϕ ) sen(θ ) − cos(ϕ ) cos(θ ) )
(3)
pero por identidades trigonométricas se tiene que cos( + θ ) = cos( ) cos(θ ) − sen( ) sen(θ )
y sustituyendo en (3) se tiene: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos(ϕ + θ ) pero α , el ángulo correspondiente al lado a es: α = + θ , por lo tanto: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos(α )
Actividad Con base en la deducción anterior, trace la altura relativa al lado b y encuentre una expresión para b 2 en términos de a, c y el ángulo correspondiente a b. Las deducciones anteriores constituyen el soporte teórico para la siguiente ley.
Ley de Cosenos. En todo ∆ ABC , de lados a, b, y c, siempre se cumple que:
A
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos(α )
α
b = a + c − 2ac cos( β ) 2
2
2
b
c
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos( µ )
Donde α , β y son los ángulos correspondientes a los lados a, b y c respectivamente, (como muestra la figura),
B
b
b
a
C
Ejemplo Dado el triángulo ABC en la figura de la derecha, encuentre la longitud del segmento AC. Solución Observe que en este caso no se puede utilizar la ley del seno puesto que no se conoce la longitud del lado del único ángulo dado, por lo tanto, es esta una buena oportunidad para aplicar la ley del coseno, en este caso, se trata de hallar la longitud de AC = b .
b 2 = 32 2 + 24 2 − 2 * 32 * 24 cos(120º ) 1
pero se sabe que cos(120º ) = − , luego: 2
1 2
b 2 = 32 2 + 24 2 − 2 * 32 * 24 −
por lo tanto
b2 =
2368
1 ⇒ b 2 = 1024 + 576 + 1536 ⇒ b 2 = 1024 + 576 + 768 = 2368 2
Luego se tiene: b = 8 37 .
Por lo tanto la medida del segmento AC = b está dada por: AC = 8 37 . ¥
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Utilice ley de senos y cósenos según sea el caso, para solucionar cada uno de los siguientes triángulos, posteriormente halle su área. (Recuerde que solucionar un triángulo consiste en hallar la medida de todos sus lados y todos sus ángulos).
2. Dos barcos parten del mismo puerto a la misma hora. El primero navega n 15° O a 25 nudos (un nudo es una milla náutica por hora). El segundo navega N32°E a 20 nudos. Después de dos horas, ¿a qué distancia se encuentran los barcos entre sí? 3. Una colina tiene una inclinación de 15° respecto de la horizontal. En la cumbre se encuentra un poste con una altura de 40 pies. ¿De qué longitud deberá ser una cuerda para alcanzar desde la punta del poste un punto que se encuentra a 68 pies de la base del poste sobre la colina? 4. Un avión de reconocimiento sale de un aeropuerto sobre la costa este de Estados unidos y vuela en una dirección de 85°. A causa del mal tiempo regresa a otro aeropuerto situado a 230 km al norte de su base. Para regresar, vuela siguiendo una dirección de 283°. ¿Cuál es la distancia total recorrida durante el vuelo? 5. Un árbol de 96 pies proyecta una sombra de 120 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol? 6. Para alcanzar un muro de 2,10m de alto es necesario utilizar una escalera que forme un ángulo de 45% con la horizontal. ¿Cuál debe ser la longitud de la escalera?
7. La parte más alta de una torre se observa en un terreno horizontal desde un punto que dista 70m de su pie. El ángulo de elevación de dicho punto a la cúspide de la torre mide 30%. Calcule la altura de la torre. 8. Un piloto está volando sobre una carretera recta. Él encuentra que los ángulos de depresión a dos postes indicadores de millas, a 5 millas de distancia entre sí tienen los valores de 30° y 45°. a) Determine la distancia del aeroplano al poste con ángulo de depresión de 30°. b) Determine la altitud del aeroplano. 9. Para la figura que se muestra el triángulo ABC es isósceles, determine: a)
10. Utilice identidades de suma de ángulo y ángulos medios para hallar las funciones para 105°, 330, 405 sin utilizar calculadora. 11. A una altura de 23.000 pies, el piloto de un avión mide un ángulo de depresión de la luz en un aeropuerto y encuentra
que es de 30°. ¿A qué distancia de la luz está el avión? 12. Dos carreteras rectas divergen formando un ángulo de 60°. Dos automóviles salen de la intersección a las 14:00 horas, uno viaja a 50 millas/h y el otro a 30 millas/h. ¿Qué distancia les separa a las 14:30 horas?
13. Una pirámide construida en el desierto tenía una altura original 480 pies pero debido a la pérdida de las piedras de su punta ahora es más baja. Encuentre la altura actual de la pirámide usando la información dada en la ilustración. 14. El piloto de un barco en el mar divisa dos faros que sabe que están separados 3 millas en línea recta a lo largo de la costa, él determina que los ángulos formados entre dos líneas de observación a los faros y la línea del barco perpendicular a la costa son 15° y 35° a) ¿Qué tan lejos esta el barco de la costa? b) ¿Qué tan lejos esta el barco del faro A? c) ¿Qué tan lejos esta el barco del faro B?
15. Si un helicóptero que puede volar a 200 millas por hora sale desde la estación más cercana al barco, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a éste? 16. La estación Able de los guardacostas se encuentra a 150millas al sur de la estación Baker. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio la cual es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Able indica que la posición del barco es de 35° al norte del este; la llamada a la estación Baker indica que la posi9ción del barco es de 30° al sur del este. ¿A qué distancia del barco se encuentra cada estación? 17. En un memento dado un avión se encuentra a 5 km en la horizontal de un observador y el ángulo de elevación es de 15°. ¿A qué altura en metros vuela el avión en ese momento? 18. En la siguiente figura encuentre el valor de x en términos de los ángulos a y b y dé los lados m y d.
19. Desde un punto de observación, los ángulos de depresión de dos botes alineados son 30° y 45°. Encuentra la distancia entre los dos botes si el punto de observación está a una altura de 4000 pies.
20. Un edificio se levanta sobre un plano horizontal. El ángulo de elevación en cierto punto del plano es 30° y en un punto situado a 100 pies más cerca del edificio es 45°. ¿Cuál es la altura del edificio?
PEQUEÑOS RETOS 1. La base mayor de un trapecio isósceles mide 14 m. Los lados no paralelos miden 10m y los ángulos de la base miden 80º. a. Encuentre la longitud de una diagonal. b. Encuentre el área del trapecio 2. Un hombre de 5 pies 9 pulgadas de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre hasta la punta de su sobra es de 31° encuentre el ángulo α como se muestra en la figura formado por el andén y la horizontal.
35°
α
Sombra
