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Cours 3-a Méthode des éléments finis 1D

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Version 09/2006 (E.L.)

Notion d’affaiblissement : formes forte et faible Approximation par éléments finis Traitement des conditions aux limites Résolution

NF04 - Automne - UTC

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Étude comparative : différences finies et éléments finis Différences finies (rappels) •Équation d’équilibre + C. aux L.

Éléments finis = Forme FORTE

•Obtention forme faible intégrale •Générer le maillage du domaine •Nœuds équidistants

•Maillage •Nœuds •Éléments (connectivité)

•Obtention de l’équation discrète •Formules « toutes faites » •Idem pour les C. aux L.

•Discrétisation de la forme intégrale sur chaque élément (matrice et vecteur élémentaires)

•Construction du système

= Assemblage

•Résolution du système •Post-traitement Version 09/2006 (E.L.)


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Formes forte et faible Particularité de la méthode des éléments finis (MEF) :

Discrétiser, non pas la relation d’équilibre, mais une forme « affaiblie » de cette équation. Vocabulaire : cette forme est appelée sous des noms divers:   

Forme faible Forme intégrale Forme variationnelle …

Motivation : affaiblir pour réduire certaines contraintes mathématiques (discontinuités …) empêchant l'utilisation d'outils classiques pour sa résolution. Conséquence : la solution d’une forme faible correspond à une solution approchée ou « faible » en termes de continuité.



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Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par : k

d 2T  x  2

 f  0,  x   0, L 

dx cstt T ( x  0)  30 dT q  L   k ( L)  h T  L   Text  dx

Définition : nous appelons résidu (noté Res), l’expression mathématique de la forme forte du problème étudié. Soit, dans notre cas :

Re s T   k

d 2T  x  dx

2

f

Ce résidu s’annule quand T(x) est solution.



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Méthode des résidus pondérés Méthode générale :

1. Pondération du résidu par une fonction-test 2. Intégration sur le domaine

3. Intégration par parties 4. Introduction des conditions aux limites



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Application : équation de la chaleur en 1D 1. Pondération du résidu par une fonction-test :  d 2T  x     x   k  f   0,  x   0, L  ,    x  fonction - test 2 dx   résidu

2. Intégration sur le domaine  d 2T  x   W    x    k  f  dx  0,  x   0, L  ,    x  2 dx 0   L



7

3. Intégration par parties : L

W  

d  x 

0

Avantages :

dx

 x k

dT  x  dx

L  dT  x   dx    x  k     x  f dx  0 dx  0 0   x   0, L  ,    x  L

1. Réduction de l’ordre maximum des dérivées présentes 2. Introduction « naturelle » des conditions aux limites

Rappels : intégrations par parties en 1D L

  x  0

L

  x  0


dT  x  dx

dx   

d  x  dx

0

d 2T  x  dx

L

2

L

dx    0

T  x  dx    x  T  x   0

L

d  x  dT  x  dx

dx


 dT  x   dx    x   dx  0

L

8

Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés 4. Introduction des conditions aux limites : L

W   0

d  x  dx

 x k

dT  x  dx

dT dx    L  k dx   h T 

Traitement de :    0  k

dT dx

L

L

dT   0 k    x  f dx  0 dx 0 0

 L Text 

 x   0, L  ,    x 

0

Deux possibilités : 1. Introduction du flux inconnu en x=0 : 2. Élimination en choisissant :



  0  k

dT dx

   0 q  0 0

  0  0

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Discrétisation par éléments finis •Maillage avec un seul élément fini à deux noeuds :

•Forme faible (ou intégrale) : L

W   0

d  x  dx

 x k

dT  x  dx

L

dx    x  f dx   L  h T  L   Text     0  q  0   0 0

Wint

W

CL

L’intégration requiert une approximation des variables :   x  , T  x  et de leurs dérivées : d , dT dx dx



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Approximation par éléments finis (Galerkin) 

Définition : une approximation au sens des éléments finis d’une variable T(x) sur un élément à deux nœuds, s’écrit : T  x   N1  x T1  N 2  x T2



Vocabulaire : N1  x  , N 2  x  sont appelées fonctions d’approximation ou fonctions de forme (fonctions polynomiales) Propriétés : les fonctions de formes vérifient la relation générale :

1 si i  j Ni  x j    0 si i  j

Utile pour les calculer

 N1  0   1  N 2  0   0 Application : pour un élément fini à deux noeuds  et   N1  L   0  N 2  L   1 Version 09/2006 (E.L.)


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Calcul des fonctions Ni : élément à deux noeuds 1.

Choisir l’ordre d’approximation : deux nœuds

N1  x   a1x  b1 , 2.

N 2  x   a2 x  b2

Construction des deux systèmes d’équations

 N1  0   a1  0  b1  1 ,   N1  L   a1  L  b1  0 3.

ordre 1

Résolution :


 N 2  0   a2  0  b2  0   N 2  L   a2  L  b2  1

x x N1  x   1  , N 2  x   L L


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Approximation de la fonction-test Plusieurs formulations sont possibles :

1.

Collocation par points ou par sous domaines

2.

Moindres carrés

3.

Galerkin

Hors programme NF04

Méthode des éléments finis La fonction-test est approximée avec les mêmes Ni que T(x)



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Discrétisation de la forme intégrale 

Réécriture des approximations sous la forme :

T  x   N1  x  T1  N 2  x  T2  N1  x  Vecteur ligne 

T1  N2  x    T2 

Vecteur colonne

La fonction-test est approximée de la même manière :  1    x   N1  x  1  N 2  x  2  N1  x  N 2  x     2 

Vocabulaire : si la variable inconnue et la fonction-test utilisent les mêmes fonctions Ni, l’approximation est alors dite de type GALERKIN. 

Les dérivées se calculent selon :

dN1  x  dT  dx dx Version 09/2006 (E.L.)

dN 2  x  dx

 dN1  x  T1   d ,    dx  T2   dx


dN 2  x  dx

  1       2   14

Discrétisation de la forme intégrale 

Rappel :



Introduction des approximations dans la forme intégrale :

W  Wint  WCL

L

Wint    1 0

soit

L

Wint    1 0

L

Wint    1 0


 N '  2  1  k N1 ' N 2 '  N 2 '

0 T1   N1  dx       f dx 1 2   T N  2  2 0

0   N1 '2 N1 ' N 2 ' T   N1  1  2 k   dx    1  2   f dx 2  T  N1 ' N 2 '  N 2 '   2   N2  0

   L   T  dx     T    1    L  

 1 2  L 2 k  2 1  L 

2

 1

0

1

2


2

0

1

1  x   L  f dx 2   x  L 

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Obtention du système Soit :

Wint   1  2

k  1 1 T1  L 1       f 1 2   L  1 1  T2  2 1

Pour le terme des conditions aux limites :

 0 0  T1   0  q1   WCL   2 h T2  Text    1. q1   1  2           0 h  T2  hText   0   flux inconnu

En regroupant les deux expressions :

  T  W  Wint  WCL   1  2   K   1   F   R   0,   1  2 T2   



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Obtention du système D’où :

avec :

T1  K   T   F   R  2

 k  L K     k   L

Vocabulaire :

k  L  ,  k  h  L 

 L    2 F   ,  L  hT  ext   2 

q1  R    0 

[K] = matrice de « rigidité » {F} = vecteur des sollicitations externes {R} = vecteur des réactions (ou flux) externes inconnus

Prise en compte de la condition à la limite : T(x=0)=T1=30

 1   k   L Version 09/2006 (E.L.)

0   30  T     1    k   L T  h   2    hText   2  L NF04 - Automne - UTC

{R} disparaît avec cette méthode ! 17

Affichage et post-traitement de la solution 

Résolution : outil informatique Matlab (séances TP de NF04)



Post-traitement : Affichage de la température  Calcul des réactions ou flux externes (ie inconnus) 

T1    F  T  2

R   K  

avant C . L . solution





Calcul du flux à l’intérieur du domaine

Premier élément de validation : 

Respect ou non des conditions aux limites ?



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Pour résumer … 

Mailler le domaine



Obtention de la forme faible :

En pondérant par une fonction-test quelconque  En intégrant par parties avec les conditions aux limites 



Approximation des variables et des dérivées au sens éléments finis 

Calcul des fonctions d’approximations



Discrétisation de la forme intégrale et calcul des matrices et vecteurs



Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab)



Post-traiter :

Tracer la solution  Calculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) … 



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