3.4 Bentuk Normal Bifurkasi Hopf
Misalkan diberikan sistem dari dua persamaan diferensial yang bergantung pada satu parameter :
{
(
2 2 x& 1 =α x1 − x2 − x1 x1 + x2
)
(
x&2 = x1 +α x2 − x2 x12 + x 2 2
)
(3.6)
sistem ini mempunyi titik ekuilibrium x1 = x 2 = 0 untuk setiap α dengan matriks Jacobian
α −1 ÷ 1 α
A =
= α ± i . De memp me mpun uny yai ni nila laii ei eige gen n λ1,2 Deng ngan an me mengg ngguna unaka kan n a ari riab abel el ko komp mple leks ks z = x1 + ix2 ! 1,2 z = x1 − ix 2 ! z
2
= zz = x + x 2 1
2
2
ariabel ini memenu"i persamaan diferensial:
(
) (
)(
) (
2
= x 1 + i x 2 = α x1 + ix2 + i x1 + ix2 − x1 + ix 2 x1 + x2 z
2
Dan sistem (3.6) ini dapat ditulis dalam bentuk kompleks men#adi:
(
)
z&= α + i z − z z Dengan Den gan mem memisa isalka lkan n x1 z = ρ e i
ϕ
!
z
2 =
ρ
2
= ρ cos α ! x 2 = ρ sin α
2
(3.$)
maka ma ka den denga gan n me mengg nggun unaka akan n
diperole"
e = ρ z
iϕ
+ ρ iϕ e
iϕ
Dengan mensubstitusi persamaan di atas ke persamaan (3.$) diperole":
e ρ
iϕ
e ρ
iϕ
i ei + ρ iϕ + ρ iϕ e
ϕ
=
ϕ
=
(α i ) ρ e +
(α
iϕ
+ i − ρ
2
− ρ e
) ρ e
iϕ
iϕ
ρ
2
repr re pres esent entas asii
%e"ingga sistem (3.6) dapat ditulis dalam bentuk polar yakni:
ρ = ρ (α − ρ ) ϕ =1 2
%istem tersebut memiliki titik ekuilibrium di titik
(3.&)
ρ
=
'
untuk setiap nilai
α dan ρ
=
α
untu un tuk k α > ' . ersaman pertama dan persamaan kedua dari (3.&) merupakan persamaan yang terpisa". ersamaan kedua menggambarkan rotasi dengan kecepatan konstan! sedangkan dari persamaan pertama dapat dili"at perilaku parameter α yang berbeda! yaitu: (1) *ntuk
α
'
=
titik ekuilibrium ekuilibrium
ρ
=
'
dikatakan stabil tapi tidak linear (nonlinear (nonlinear stable)
karena solusi konergensi ke nol nya tidak lagi eksponensial yang berarti stabil tapi sangat lampat konergen ke titik ekuilibriumnya. ada nilai parameter kritis α = ' ini! ekuilibrium ekuialen secara topologi ke focus! se"ingga sering #uga disebut sebagai a weakly attracting focus. focus. (2) *ntuk
α
<
'
titik ekuilibrium stabil linear. %elain itu! ekuilibriumnya #uga dikatakan stabil
α
>
'
titik ekuilibrium tidak stabil linear. %elain itu! titik ekuilibrium ini #uga tidak
focus. *ntuk
stabil focus. +itik ekuilibrium ini yang dikelilingi
α
>
'
terisolasi pada suatu orbit tertutup
(limit cycle) cycle) yang tunggal dan stabil. Cycle Cycle ini ini merupakan suatu lingkaran yang ber#ari#ari ρ ' (α )
=
α
. %emua orbit dimulai dari dalam atau luar cycle cycle dan dan mengikuti ara" rotasi cycle
untuk t → ∞. ,ifurkasi ini disebut sebagai Andronof-Hopf sebagai Andronof-Hopf Bifurcation Bifurcation.. Di ba-a" ini! diagram bifurkasi untuk sistem dua dimensi (3.6) digambarkan dalam igure 3./ berikut.
,ifurkasi ini #uga dapat direpresentasikan dalam ruang ( x! y! α ) yang munculnya keluarga
α dari limit cycle berupa permukaan parabola seperti pada igure 3.6 berikut.
%elan#utnya! diberikan sistem ersamaan differensial yang berla-anan ara" dengan sistem (3.6) yaitu:
x = α x − x + x ( x + x ) x = x + α x + x ( x + x ) 2
1
1
2
1 1
2
2
2
1
2
2 1
2
(3.0)
2
2
sistem ini #uga mempunyi titik ekuilibrium x1 = x 2 = 0 untuk setiap α dengan matriks Jacobian
α −1 ÷ 1 α
A =
mempunyai nilai eigen λ1,2 = α ± i . Dengan menggunakan ariabel kompleks z = x1 + ix 2 !
z = −x1 − ix 2 ! z
2
= zz = x12 + x 22 . Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada sistem
(3.6)! maka sistem (3.0) ini memiliki bentuk kompleks :
(
)
= α + i z + z z z
%e"ingga dengan representasi
z = ρ e
iϕ
2
diperole" bentuk bentuk polar sistem (3.0) yaitu:
ρ = ρ (α + ρ ) ϕ =1 2
(3.&)
%istem ini #uga mengalami bifurkasi ndronoopf pada
α
=
' . ,ertentangan
dengan
sistem (3.6)! pada sistem (3.0) terdapat limit cycle yang tidak stabil yang meng"ilang ketika
α
mele-ati nol dari nilai negatie ke nilai positif. +itik ekuilibrium di titik asal mempunyai kestabilan yang sama untuk α
<
'
dan tak stabil untuk
α
≠
'
>
'
. 4estabilannya pada nilai parameter kritis berla-anan dengan
α
seperti pada sistem (3.6). +itik ekuilibrium ini stabil untuk
sistem (3.6)! yang berarti pada sistem ini tidak stabil pada
α
=
'
. er"atikan igure 3.$ berikut.
Dalam ruang ( x ! y ! α ) diperli"atkan pada igure 3.& berikut.
Keterangan:
(1) Dari dua sistem diatas! terdapat dua tipe bifurkasi ndronoopf. ,ifurkasi pada sistem (3.6) sering disebut supercritical Hopf Bifurcation karena limit cycle ada untuk nilai positif dari parameter
α
5setela"5 ter#adi bifurkasi. %istem (3.0)
disebut subcritical Hopf
Bifurcation karena limit cycle ada sebelum5 ter#adi bifurkasi. (2) Dalam kedua kasus ini "ilangnya kestabilan dari titik ekuilibrium pada α = ' ter#adi diba-a" peningkatan nilai parameter. *ntuk kasus pertama yakni sistem (3.6)! ekuilibrium stabil digantikan ole" limit cycle yang beramplitudo kecil. 7le" karena itu! sistem tersebut tetap berada di persekitaran ekuilibrium dan disebut sebagai a soft or noncatastrophic stability loss (ke"ilangan kestabilan secara perla"an). ada kasus kedua! daera" atraksi titik ekuilibrium terbatas pada cycle yang tidak stabil! yang menyusut5 ketika parameter mendekati nilai kritis dan kemudian "ilang. Maka! sistem ini didorong keluar5 dari persekitaran titik ekuilibrium! dan ini dikatakan sebagai sharp or catastrophic loss of stability (ke"ilangan kestabilan secara cepat). Jika sistem ke"ilangan kestabilan secara perla"an! itu dapat dikontrol5 dengan baik !dengan mengambil suatu parameter negatie lagi! maka sistem kembali stabil. %ebaliknya! #ika sistem ke"ilangan ke stabilan dengan sangat cepat! dengan kembali meriset nilai parameter negatie lagi! belum tentu sistem kembali
stabil ke titik ekuilibrium karena bisa #adi sistem tersebut tela" #au" meninggalkan daera" attraksinya. %elan#utnya! misalkan terdapat bagian 7rder yang lebi" tinggi untuk sistem (3.6) dan ditulis dalam bentuk ector
x1 α − 1 x1 2 2 x1 8 ( ) = − ( − ) + x x O x 1 2 1 α x x x 2 2 2
dimana x
= ( x
1
! x 2 ) ! x
2
= x + x dan 2 1
2 2
O
x
8
(3.1')
merupakan bagian smoothly .
Lemma 3.2 %istem (3.1') ekuialen secara topologi lokal disekitar titik asal ke sistem (3.6). Bukti
%istem (3.1') dapat ditulis dalam bentuk
z&= ( α + i ) z − z z
2
+ O(
4
)
z
(.1)
ekuialen secara topologi lokal disekitar titik asal ke sistem (3.6) yang ditulis dalam bentuk
z&= ( α + i ) z − z z 2
(.2)
!angkah " ( kan ditun#ukkan eksistensi dan ketunggalan cycle) . %istem (.1) ditulis dalam
(
)
bentuk kordinat polar ρ ,ϕ :
{
ρ&= ρ α − ρ 2 +φ ( ρ ,ϕ )
(
)
ϕ&=1+ψ ( ρ ,ϕ )
(.3)
( ) ,ψ = O( ρ ) dan α bergantung dari fungsifungsi yang tidak diindikasikan
dimana φ = O ρ
4
3
(
untuk menyer"anakan notasi. %uatu orbit dari (.3) dimulai dari ρ ,ϕ
) = ( ρ ,0) dengan ρ 0
memenu"i persamaan:
d ρ dϕ
= =
dρ dt × dt dϕ ρ ( α − ρ 2 ) + φ
(.8)
1 + ψ
= ρ ( α − ρ 2 ) + R( ρ ,ϕ )
( ) . er"atikan ba"-a transisi dari (.3) ke (.8) ekuialen ke parameter -aktu
dimana R = O ρ
4
yang baru yaitu ϕ = 1 yang mengakibatkan kembali ke setenga" sumbu ϕ = 0
(
sama untuk
) ≡ 0 ! dapat ditulis
semua orbit yang dimulai pada sumbu ini dengan ρ 0 > 0 . 4arena ρ ϕ ;0
(
)
ekspansi +aylor ρ ϕ ;ρ 0 !
ρ = u1 ( ϕ ) ρ0 + u2 ( ϕ ) ρ02 + u3 ( ϕ ) ρ03 + O ρ 0
(
4
)
(./)
%ubttitusikan (./) ke (.8) dan penyelesaianya meng"asilkan persamaan diferinsial yang
( ) = 1,u ( 0) = u ( 0) = 0 diperole"
bergantung pada pangkat dari ρ 0 dengan kondisi a-al u1 0
u1 ( ϕ )
= e ,u2 ( ϕ ) ≡ 0,u3 ( ϕ ) = e αϕ
αϕ
(
2
3
1 − e2
αϕ
2α
)
er"atikan ba"-a persamaan diatas tidak memuat R ρ ,ϕ . 7le" karena itu! kembali dipetakan
ρ0 a ρ1 = ρ ( 2π , ρ 0 ) mempunyai bentuk ρ1 = e2πα ρ0 − e2πα 2π + O( α ) ρ03 + O( ρ 04 )
(.6)
4 untuk semua R = O( ρ ) . emetaan (.6) dapat dengan muda" dianalisis untuk ρ 0 dan α yang
cukup kecil. +erdapat persekitaran dari titik asal yang pemetaannya "anya mempunyai sebua" titik tetap triial untuk α < ' dan suatu titik tetap extra ρ '' = α + ! untuk α > ' yang cukup kecil (li"at igure 3.13). 4estabilan dari titik tetap #uga muda" diperole" dari (.6). Dengan mempertimbangkan titik tetap positif yang berkorespondensi dengan limit cycle dari sistem! disimpulkan ba"-a sistem (.3) (atau (.1) dengan suku lebi" tinggi
O z
8
yang memiliki
bifurkasi limit cycle dari titik asal da nada untuk α > ' seperti dalam sistem (.2). 7le" karena itu! dengan kata lain bagian order lebi" tinggi tidak mempengaru"i bifurkasi limit cycle dalam beberapa persekitaran z = ' untuk
α
yang cukup kecil.
Langkah 2 (Mengkontruksi Homoemorfisma)
Dengan ketetapan eksistensi dan ketunggalan limit cycle suda" cukup untuk semua aplikasi. 9amun demikian! ker#a ekstra "arus dilakukan untuk membuktikan topologi kesetaraan fase potret. er"atikan igure 3.18.
+etapkan
α sebagai bilangan kecil positif.. 4edua sistem (.1) dan (.2) memiliki limit
cycle di beberapa persekitaran dari titik asal. sumsikan ba"-a reparameterisasi -aktu se"ingga kembali saat 2 konstan dilakukan dalam sistem (.1). (;i"at langka" sebelumnya). Juga! menerapkan skala linier dari koordinat dalam sistem (.1) se"ingga titik dari perpotongan dan setenga" sumbu "ori
=
α .
= dengan kontruksi berikut. mbil titik z = x z → z 1 τ '
+ ix 2 dan
adala" -aktu minimal yang diperlukan untuk suatu orbit dari
sistem (.2) untuk mendekati titik < dimulai dari setenga" sumbu "orisontal dengan
= ρ ' .
ρ
%elan#utnya! ambil titik di sumbu ini dan kontruksi sebua" orbit dari sistem (.1) pada interal = = = x -aktu [ '!τ ' ] dimulai pada titik ini. 9otasikan titik yang di"asilkan dengan z 1
= igure 3.18). impunan z
=
+
= i x 2 (li"at
' untuk z = '.
emetaan yang dibentuk adala" "omeomorp"isme! untuk
α
>
'! orbitorbit
memetakan
sistem (.2) di beberapa persekitaran dari titik asal ke orbitorbit (.1) dengan ara" -aktu tertentu. 4asus
α
<
'! dapat
dipertimbangkan dalam sama cara tanpa rescaling koordinat.
3. !eneri" Hopf Bifur"ation
%ekarang akan dibuktikan ba"-a secara umum setiap sistem berdimensi dua yang mengalami bifurkasi "opf dapat ditransformasikan men#adi bentuk sistem (3.1') dengan kemungkinan perbedaan tanda dari bagian yang berpangkat tiga. andang sistem
x&= f ( x,a ) , x = ( x1 ,x 2 )
T
dengan f adala" fungsi smooth! dimana memiliki
∈ ¡ 2,
α ∈ ¡
1
titik ekuilibrium x = 0 pada saat α = 0
dengan nilai eigen λ1,2 = ±iω0 ,ω 0 > 0 . Dengan menngunakan +eorema ungsi >mplisit! maka
( )
sistem memiliki titik ekuilibrium tunggal yaitu x 0 α di beberapa persekitaran dari titik asal untuk setiap α yang cukup kecil! karena λ = 0 bukan merupakan nilai eigen dari matriks Jacobian. Dapat dilakukan pergeseran koordinat dengan menempatkan titik ekuilibrium ini ke titik asal. 7le" karena itu! tanpa mengurangi bentuk umum dapat diasumsikan ba"-a x = 0 adala" titik ekuilibrium dari sistem untuk α yang cukup kecil. Dengan demikian! sistem dapat ditulis sebagai berikut
( )
(
)
&= A α x + F x,a x
(3.11)
dimana F fungsi ektor smooth yang komponenkemponen F 1,2 mengalami ekspansi +aylor
(
dalam x ! dimulai setidaknya dari bagian yang berpangkat dua! F = O x
2
) . Matriks Jacobian
A( α ) dapat ditulis sebagai berikut
a( α ) A( α ) = c( α )
b( α )
÷
d( α )÷
dengan fungsi smooth dari α sebagai elemenelemennya. 9ilai eigennya adala" akarakar persamaan karakteristik
λ 2 − σλ + ∆ = 0 dimana σ
= σ ( α ) = a( α ) + d( α ) = tr A( α ) dan ∆ = ∆ ( α ) = a( α ) d ( α ) − b( α ) c ( α ) = det A( α )
Jadi!
( ) = 12( σ ( α ) ±
λ1,2 α
( ) − 4∆ ( α ) )
σ2 α
%yarat bifurkasi opf mengakibatkan
σ ( 0) = 0, *ntuk α yang kecil dapat ditulis
∆ ( 0) = ω 02 > 0
( ) = 12σ ( α ) , ω ( α ) = 12 4∆ ( α ) − σ ( α ) 2
µ α
dan karena itu diperole" representasi nilai eigen sebagai berikut
λ1 ( α )
= λ ( α ) , λ2 ( α ) = λ ( α )
dimana
λ ( α ) = µ ( α ) + iω ( α ) , µ ( 0) = 0, ω ( 0) = ω0 > 0 Lemma 3.3 Dengan memperkenalkan sebua" ariabel kompleks z ! maka untuk α yang cukup
kecil sistem (3.11) dapat ditulis sebagai persamaan tunggal :
z&= λ ( α ) z + g( z,z ,α )
(3.12)
( ) adala" fungsi smooth dari ( z,z ,α ) . 2
dimana g = O z Bukti:
( ) ∈£
Misalkan q α
2
( )
( )
adala" ektor eigen dari A α yang bersesuaian dengan nilai eigen λ α :
A( α ) q( α ) = λ ( α ) q( α )
( ) ∈£
dan misalkan p α
2
T
( ∗)
( )
adala" ektor eigen dari A α yang bersesuaian dengan nilai eigen
λ ( α ) : AT ( α ) p( α ) = λ ( α ) p( α )
( ∗∗)
Dalam "al ini! selalu mungkin dapat menormalisasikan p yang bersesuaian dengan q sedemikian se"ingga:
p( α ) ,q( α )
= 1!
dimana
×, × adala" "asil kali dalam di
2 £ : p,q
= p1q1 + p2q2 .
( ) ( ) = 0. Dari ( ∗)
%elan#utnya akan ditun#ukan p α ,q α
q( α )
=
p,q
=
1 λ
diperole"
( ∗∗∗)
A( α ) q( α )
%elan#utnya
= = dengan A∗
1
p, Aq λ 1
λ 1 λ
(dengan mengganti q pada
( ∗∗∗ ) )
p,Aq A∗ p,q
(menurut operator ermit)
= AT ! se"ingga dari ( ∗∗) diperole" A p( α ) = λ ( α ) p( α ) maka T
p,q
= =
1 λ λ λ
λ p,q
p,q
tau
1 − λ λ ÷
ω ( α )
> 0. Dengan demikian "anya ada satu kemungkinan yaitu p,q = 0 .
p,q
= 0!
tetapi λ ≠ λ karena untuk setiap α yang cukup kecil diperole"
%elan#utnya! untuk sebarang ektor x ∈ ¡ 2 dapat direpesentasikan secara tunggal untuk setiap α yang kecil sebagai
x = zp( α ) + z q ( α )
(3.13)
( )
Dari persamaan ini dapat diturunkan rumus untuk z dengan "asil kali dalam dari p α dan x ! yakni
p( α ) ,x
=
p( α ) ,zq( α ) + z q ( α )
untuk beberapa bilangan kompleks z ! asalkan ektor eigen ditentukan. tau dengan kata lain
z ∉ £ dan z ∈ £ ! se"ingga p( α ) ,x
p( α ) ,zq( α ) + z q ( α )
=
= p( α ,zq( a) ) + = z
p( α ) ,q( α )
p( α ) ,z q ( α )
+z
p( α ) ,q ( α )
= z ×1 +z ×0 = z tau
z = p( α ) ,x ?ariabel kompleks z #elas memenu"i persamaan
z&= λ ( α ) z + p( α ) ,F ( zq( α ) + z q ( α ) ,α ) memiliki bentuk 1 yang dibutu"kan (3.12) dengan
g( z,z ,α )
=
p( α ) ,F ( zq( α ) + z q ( α ) ,α ) .
+idak ada alasan untuk meng"arapkan g men#adi fungsi analitik dari z (yakni! z ariabel bebas). +ulis g sebagai deret +aylor umum dalam 2 ariabel bilangan kompleks ( z dan z ):
g( z,z ,α ) =
∑ k1!l! g ( α ) z z k
k+ l
kl
l
dimana
∂ k+ l gkl ( α ) = k l p( α ) ,F ( zq( α ) + z q ( α ) ,α ) ∂ z ∂z untuk k + l ≥ 2, k,l = 0,1,K
z =0
Lemma 3.4 Diberikan persamaan
z&= λ z +
g20 2
z2 + g11zz +
g02 2
( ) 3
z 2 + O z
(3.18)
( ) = µ ( α ) + iω ( α ) ! µ ( 0) = 0 ! ω ( 0) = ω > 0 ! dan g = g ( α ) .
dengan λ = λ α
ij
0
ij
ersamaan (3.18) dapat ditransformasikan dengan peuba" koordinat kompleks in#ertible yang bergantung parameter
z = w +
h20 2
w2 + h11ww +
h02 2
w2
*ntuk setiap α yang cukup kecil! diperole" persamaan tanpa memper"atikan bentuk kuadratik
(
&= λ w + O w w
3
)
Bukti :
>ners ariabel diberikan diberikan ole" persamaan
w= z−
h20 2
z2 − h11zz −
h02 2
( ) 3
z2 + o z
7le" karena itu! &= z&− h20zz&− h11 ( zz & + zz&) − h02zz& + ... w
g = λ z + 20 − λh20÷ z2 + ( g11 − λ h11 − λ h11 ) zz + 2
g02 2
− λ h02÷ z 2 + ...
= λw + 1 ( g20 − λ h20 ) w2 + ( g11 − λ h11 ) ww + 1( g02 − ( 2λ − λ ) h02) w 2 + ... 2
Dengan menetapkan
g20 λ g h11 = 11 λ g02 h02 = 2λ − λ h20 =
2
maka! suku kuadratik pada persamaan (3.18) dapat dieliminasi. %ubstitusi ini berlaku karena
( ) = iω ( 0) dengan
penyebut tak nol untuk setiap α yang cukup kecil. al itu dikarenakan λ 0
ω 0 > 0 .
Dengan asumsi ba"-a suku kuadrat tela" dieliminasi! maka akan dibuktikan #uga untuk suku kubik. >ni akan mungkin ter#adi! #ika "anya ada satu bentuk resistant ! seperti pada lemma berikut.
Lemma 3. Diberikan persamaan
z&= λ z +
g30 6
z3 +
g21 2
z2z +
g12 2
zz2 +
g03 6
( ) 4
z3 + O z
( ) = µ ( α ) + iω ( α ) ! µ ( 0) = 0 ! ω ( 0) = ω > 0 ! dan g = g ( α ) .
dengan λ = λ α
ij
0
ij
ersamaan (3.18) dapat ditransformasikan dengan peuba" koordinat kompleks in#ertible yang bergantung parameter
z = w +
h30 6
w3 +
h21 2
w2w +
h12 2
ww2 +
h03 2
w3
*ntuk setiap α yang cukup kecil! diperole" persamaan tanpa memper"atikan bentuk kubik
(
&= λ w + c1w2w + O w w
4
)
( )
dengan c1 = c1 α
Bukti :
>ners ariabel diberikan diberikan ole" persamaan
w=z− 7le" karena itu!
h30 6
z3 −
h21 2
z2z −
h12 2
zz 2 −
h03 6
( ) 4
z3 + o z
&= z&− w
h30 2
z2z&−
h21
( 2zzz&+ z z&) − 2 2
h12
&) − h & + 2zzz zz ( 2 2 2
03
&+ ... z2 z
g λ h λh λ λ g = λ z + 30 − 30 ÷ z3 + g21 − λ h21 − h21÷ z2 z + g12 − h12 − λ h12 ÷ zz2 + 03 − 03÷ z 3 + ... 2 2 2 6 2 2 2 6 1 = λw + 1 ( g30 − 2λ h30 ) w3 + 1( g21 − ( λ + λ ) h21 ) w2w+ 1( g12 − 2λ h12 ) ww 2 + ( g03 + ( λ − 3λ ) h03 ) w3 + O( 6
2
2
6
w
4
)
Dengan menetapkan
g30 2λ g h12 = 12 2λ g03 h03 = 3λ − λ h30 =
semua bentuk kubik pada persamaan dapat dieliminasi kecuali pada bentuk w2w ! bentuk ini akan dieliminasi secara terpisa". %ubstitusi ini berlaku karena penyebut tak nol untuk setiap α yang cukup kecil. ,entuk w2w dapat dieliminasi dengan menetapkan
h21 =
g21 λ + λ
al ini mungkin untuk α ≠ 0 yang cukup kecil! tetapi penyebut akan sama dengan nol untuk
α = 0 ! karena
λ ( 0) + λ ( 0)
= iω0 − iω0 = 0
untuk mendapatkan tranformasi yang smooth dan bergantung pada α ! maka bentuk h21 = 0 ! yang meng"asilkan
c1 =
g21 2
.
4eterangan : ,entuk kubik w2w yang tersisa disebut bentuk resonant . 4oefisien pada bentuk tersebut sama dengan koefisien bentuk kubik z2z pada persamaan a-al lemma (3./).
Lemma 3.# (Bentuk Normal $oin"are %ntuk Bifurkasi Hopf)
Diberikan persamaan
z&= λ z +
∑
2≤ k+ l ≤ 3
1
k!l !
( ) 4
gkl zk z l + O z
(3.1/)
( ) = µ ( α ) + iω ( α ) ! µ ( 0) = 0 ! ω ( 0) = ω > 0 ! dan g = g ( α ) .
dengan λ = λ α
ij
0
ij
ersamaan (3.1/) dapat ditransformasikan dengan peuba" koordinat kompleks in#ertible yang bergantung secara smooth pada parameter
z = w +
h20 2
w2 + h11ww +
h02 2
w2 +
h30 6
w3 +
h12 2
ww 2 +
h03 6
w3
*ntuk setiap α yang cukup kecil! diperole" persamaan tanpa memper"atikan bentuk kubik resonant
(
&= λ w + c1w2w + O w w
4
)
(3.16)
( )
dengan c1 = c1 α
Bukti :
%eperti pada lemma 3.8 dan lemma 3./! transformasi persamaan (3.1/) ke dalam bentuk
z = w +
h20 2
w2 + h11ww +
h02 2
w2
(3.1$)
dengan menetapkan
g20 λ g h11 = 11 λ g02 h02 = 2λ − λ h20 =
@ang didefinisikan pada lemma 3.8! "al ini digunakan untuk mengeliminasi koefisien bentuk kuadratik dan untuk menguba" koefisien bentuk kubik. 4oefisien dari w2w dikatakan
bukan
1 2
1 2
% ! g 21
g21 . Dengan transformasi pada lemma 3./! yaitu dengan mengeliminasi koefisien
bentuk kubik! maka koefisien dari w2w tetap
1 2
% g 21 .
%elan#utnya perlu untuk mendapatkan koefisien c1 dari bagian yang diberikan ole" persamaan
(3.1/) yang merupakan koefisien baru
1 2
2 % g 21 dari w w setela" transformasi kuadratik (3.1$).
er"itungan dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan ;emma 3.8 dan 3./ yaitu dengan membalikkan (3.1$). %elan#utnya "arus diketa"ui iners dari pemetaan termasuk bagian kubik. 4emudian terdapat kemungkinan untuk meng"indari membalikkan secara eksplisit dari (3.1$). ,erikutnya akan dapat ditun#ukkan z dalam bentuk w, w dalam dua #alan. Jalan yang pertama dengan mensubstitusi (3.1$) ke persamaan a-al (3.1/). %elain itu karena meng"asilkan (3.16) se"ingga (3.1/) dpat ditransformasikan!
z
dapat di"itung dengan menurunkan (3.1$)
&+ ww & &+ h20ww &+ h11 ( ww &) + h02ww z&= w
& dan kon#ungat kompleksnya menggunakan (3.16). Dengan dan dengan mensubstitusi w
membandingkan koefisien dari bagian kuadratik dalam menentukan ekspresi dari z yang diberikan ole" rumus diba-a" untuk h20 ! h11 ! dan h02 ! sementara dengan menyamakan 2
koefisien di depan w w memba-a pada
c1 =
g20 g21 ( 2λ + λ ) 2 λ
2
+
g11 λ
2
+
g02
2
2( 2λ − λ )
+
g21 2
Aumus tersebut memberikan c1 dalam α mengingat λ dan g11 merupakan fungsi smooth dari parameter. ada bifurkasi parameter untuk nilai α = 0 diperole"
c1 ( 0)
=
i 1 2 2 g20 g21 − g11 − g02 ÷ 2ω 0 3
Lemma 3.& er"atikan persamaan
+
g21 2
(3.1&)
di mana
Misalkan
! dan
.
dan Ae
. Maka persamaan di atas dapat ditransformasi dengan
transformasi koordinat linear bergantung parameter! rescaling -aktu! dan reparameterisasi -aktu non linear ke dalam persamaan berbentuk
di mana
adala" sebua" koordinat kompleks yang baru!
parameter yang baru! dan
sign Ae
berturutturut adala" -aktu dan
.
Bukti:
!agkah " ( !inear time scaling ). Diperkenalkan -aktu yang baru maka ara" dari -aktu yang baru diperta"ankan untuk semua
di mana
4ita dapat memandang
sebagai sebua" parameter baru karena
. 4arena
yang cukup kecil. Maka!
Dan ole" karena itu +eorema ungsi >ners men#amin eksistensi local dan kemulusan dari sebagai fungsi . Diper"atikan ba"-a
merupakan bilangan kompleks.
!angkah $ ( %onlinear time reparametrization ). Menguba" parameterisasi -aktu sepan#ang orbitorbit dengan memperkenalkan sebua" -aktu baru
dengan
>m
! di mana
. euba" -aktu adala" sebua" transformasi near-identity pada
persekitaran dari titik asal. Menggunakan definisi baru dari -aktu! diperole"
di mana
Ae
adala" real dan
!angkah & ( !inear coordinate scaling ). Dengan memperkenalkan sebua" ariable kompleks baru :
endefinisian di atas dapat dilakukan karena Ae sini diperole" bentuk yang diinginkan:
yang mengakibatkan
. Dari
Dengan
.
( )
'efinisi 3.3 ungsi real l1 β disebut koefisien pertama ;yapuno.
,erdasarkan persamaan (3.10) maka koefisien pertama ;yapuno di β = 0 dapat di"itung dengan rumus
l1 ( 0)
1
)
(3.2')
dx = f ( x,α ) , x ∈ ¡ 2 , α ∈ ¡ 1 dt
(3.21)
=
2ω 02
(
Re ig20 g11 + ω 0 g21
eorema 3.3 Misalkan sistem dua dimensi
dengan f smooth! memiliki titik ekuilibrium x = 0 untuk α yang cukup kecil dengan nilai nilai eigennya
λ1,2 ( α )
= µ ( α ) ± iω ( α )
( ) = 0, ω ( 0) = ω > 0 .
dimana µ 0
0
Misalkan kondisi berikut dipenu"i:
( ) ≠ 0 dimana l koefisien pertama ;yapuno.
(,.1) ntuk l1 0
1
( ) ≠ 0 .
(,.2) µ ′ 0
Maka! terdapat koordinat in#ertible! peuba"peuba" parameter dan reparameterisasi -aktu yang mentransformasi (3.21) men#adi
d y1 ÷ dx y2
y β −1 y1 = ± ( y12 + y22) ÷1 + O( ÷ ÷ 1 β y2 y 2
y
4
)
eorema 3.4 ( bentuk normal opologi"al untuk bifurkasi Hopf)
%etiap dua generic dimensional! sistem satu parameter
x&= f ( x! α ) ada α = ' titik ekuilibriunya adala" x = ' dengan nilai eigen
λ1!2 ( ' )
= ±iω ! ω > ' '
'
Merupakan topologi ekuialen lokal yang dekat ke titik asal ke sala" satu dari bentuk normal:
y& y&÷ 1 2
y β −1 y = ± ( y + y ) ÷ ÷ ÷ 1 β y y 1
2 1
2
1
2
2
2
4eterangan: 4ondisi umum yang diasumsikan dalam +eorema 3.8 adala" kondisi (,.1) nongenerate dan kondisi transersal (,.2) dari +eorema 3.3. B
Contoh 3.1 (Hopf bifurkasi dalam model predator-mangsa)
er"atikan sistem dua persamaan diferensial berikut:
(
x& = rx1 1 − x1 1
) − α cx+x x
1 2 1
x&2 = −dx2 +
cx1x2
α + x1
(3.22)
%istem ini menggambarkan dinamika ekosistem predatormangsa seder"ana. x1 dan x2 merupakan (skala) #umla" populasi! dan r! c! d! dan C adala" parameter karakteristik yang menggambarkan perilaku dari populasi yang terisolasi dan interaksi mereka. Misalkan C sebagai parameter kontrol dan diasumsikan c d. *ntuk menyeder"anakan per"itungan lebi" lan#ut! dimisalkan sistem polionomial memiliki orbit yang sama seperti yang asli:
x&1 = rx1 ( α + x1 ) ( 1 − x1 ) − cx1x 2 x& = −α dx + c − d x x ( ) 1 2 2 2
(3.23)
(sistem ini diperole" dengan mengalikan kedua sisi dari sistem yang asli ole" fungsi α + x1 dan memperkenalkan ariabel -aktu yang baru E ole" dt
= ( α + x ) dτ ). 1
%istem (3.23) memiliki ekuilibrium yang nontriial
' '
α d rα α d ! 1− = ÷ − − c d c d c − d
Matriks Jacobian dari ekuilibrium adala"
α rd c− d − α c − d c + d ( ) A ( α ) = α r ( c − d ( 1 + α ) ) c − d 2
− α rd÷ c−d ÷ ÷ ' ÷ ÷
dan
µ ( α )
=
σ ( α ) 2
=
c − d − α 2 2 ( c − d ) c + d α rd
( ) = ' untuk
Diperole"n µ α '
α '
=
c − d c + d
%elan#utnya
2
ω ( α ' )
=
rc 2 d ( c − d )
( c − d )
3
>'
( ) = ±iω ( a )
7le" karena itu! pada α = a' ekuilibrium ' ' memiliki nilai eigen λ1!2 a'
'
'
dan bifurkasi opf ter#adi. Fkuilibriumnya stabil untuk α > a' dan tidak stabil untuk α < a' . er"atikan ba"-a nilai kritis ( berkorespondensi dengan garis didefinisikan ole" x&2 = ' melalui ' (li"at igure 3.1'). Jadi! #ika garis x& maksimum kura didefinisikan ole" x& 1 = 2 = ' adala"
dengan
kanan maksimal! titiknya stabil! sedangkan #ika baris ini ada di sebela" kiri! tidak tidak stabil. *ntuk menerapkan teorema bentuk normal untuk analisis ini opf bifurkasi! kita "arus memeriksa apaka" kondisi umum dari +eorema 3.3 terpenu"i. 4ondisi transersal dari (,.2):
µ G ( α ' )
=−
α ' rd ( c + d ) 2 ( c − d )
2
<'
*ntuk meng"itung koefisien ;yapuno pertama! perbaiki parameter α pada titik kritis
α ' . ada α
= α ' ! ekuilibrium nontriial ' ' pada α = α ' diberikan ole" koordinat
( ')
x1
=
d c + d
! x2
( ')
=
rc
( c + d )
2
Dengan menguba" koordinat asal untuk ekuilibrium ini dengan peruba"an ariable diperole"
x1 = x1( ') + ξ 1 ' x2 = x2( ) + ξ 2
%istem tersebut dapat ditransformasi kedalam
=− ξ& 1
cd c+d
ξ& 2 =
ξ2 −
rc
c+d
cr ( c − d )
( c + d )
ξ12 − cξ1ξ2 − rξ13
2
ξ 1 + ( c − d ) ξ1ξ 2
≡ ) ( ξ ! ξ ) 1
1
≡ ) 2 ( ξ1 ! ξ2 )
2
%istem tersebut dapat direpresentasikan sebagai
ξ&= Aξ +
1 2
(
B ξ !ξ
( )
) + 16 C ( ξ ! ξ ! ξ )
Dimana A = A α ' ! dan fungsi multilinear B
η
dan C pada ektor planar ξ
= ( η1 !η 2 ) ! dan ζ = ( ζ 1 ! ζ 2 ) nilainya − 2rd ξ η − c ξ η + ξ η ( 1 2 2 1 )÷ 1 1 B ( ξ !η ) = ( c + d ) ÷ − + ξ η ξ η c d ( ) ( 1 2 2 1 ) ÷
Dan
C ( ξ !η ! ζ )
−6r ξ η ζ = ÷ ' 1 1
1
= ( ξ1 ! ξ 2 )
!
( )
+ulis matriks A α ' dalam bentuk cd ' − c + d ÷ ÷ A ( α ) = 2 ω ( c + d ) ÷ ' ÷ cd
dimana ω 2 diberikan ole" rumus 3.28. Diperole" ektor kompleks
*:
cd ω ( c+ d ) p : ! iω ( c + d )÷ −icd ÷
@ang merupakan proper ektor eigen A* = iω * ! A * = −iω *
%elan#utnya agar dapat menormalisasikan p yang bersesuaian dengan q se"ingga p! * dipili"
cd ω ( c+ d ) 1 ! p = ÷ ÷ 2ω cd ( c + d ) −icd iω ( c + d )
*=
%elan#utnya dapat di"itung
g 2'
=
(
p! B *! *
) =
g11
=
p! B ( *! * )
g 21
=
p! C ( * ! * ! * )
cd ( c 2 − d 2 − rd )
+ iω c ( c + d )
2
( c + d )
=−
rcd 2
( c + d )
= −3rc 2d 2
Dan menentukan koefisien ;yapuno ole" rumus 3.2'
=1
l1 ( α ' ) Jelas ba"-a l 1 ( α ' )
<'
=
1 2ω 2
(
)
Ae ig 2' g11 + ω g 21 = −
rc 2 d 2
ω
<'
untuk semua kombinasi dari parameter. Dengan demikian kondisi
nondegenerasi (,.1) dari teorema 3.3 terpenu"i. er"atikan igure 3.11 terli"at untuk α stabil ke limit cycle sedangkan untuk α
< α '
> α ' tidak stabil. 7le" karena itu maka ketunggalan dan
kestabilan bifurkasi dari limit cycle melalui bifurkasi opf untuk α
< α '
