������������ �������� ( ������� � ������ )
������ ��� ��� �� ��������� ����� ��������� ����� �� ������������ �������� � � ������� �������. ��� ������ �������� �������� ���������� ���������� � ���������.
> 0 ������� ��� �� ����� ε >
δ
= δ (ε ) > 0 ����� �� �� �� ����� �, ���� ����������� ����� x − a < δ , ���������
����������� f ( x ) − f (a ) < ε , ���� �� �������� � ������ �� �� ���������� � ��č�� � � �� ��� �� ���������� �������������. ���� ��������� ���� �����ć� ����������� ����������� ��� �������� x → f ( x )
��� ������ �������� � ��� x = a � ��� �� ��� ������� f ( a ) , �� �������� f
������ �� �� ���������� � ��č�� x = a . �������� ��č���, ���������� ���������� lim f ( x ) = f ( a ) ����������� ������������ �������� f � ��č�� x → a
��� �� ��������
= a.
→ f ( x ) ���������� � ������ ��č�� ����� �, ������ �� �� ���������� �� ����� �.
�������� ������� ���� ������� ���� ������ � ����� ��� �� �������� f �
���������� � ���
= a , ���� �� � ��� ��č�� ���������� � �����ć� �������� �
f + g , f − g , f ⋅ g , f g
( naravno za g (a ) ≠ 0 )
������� ����������� �������� ( ����� ���� ��� ��� ) �� ���������� �� ����� ������. ��� �������� x → g ( x ) ��� � ��č��
y = b , ���� ������� ��������
= a ������ �������� � � ��� ��
→ f ( y ) ���������� � ��č��
→ f ( g ( x )) ��� �����č�� �������� � lim f ( g ( x)) ) ) = f (lim g ( x)) ) ) = f (b) x → a
x→ a
���.�������������.��.��
����� ������� � ���������� ����������
= a ������ �� �� ��� ������� ��������
�� ���
→ f ( x ) �
�
��� �������� � ���� ���������� � ���
�
��� �� �������� � ���������� � ��� x = a , ��� ���� ���������� � ��� ���
→ f ( x ) �������� � ��č��
������ �� �� ��������
= a.
����������� ��� ����� �������� �)
��� ������� lim f ( x ) = konačan broj ��� lim f ( x ) ≠ f (a ) ���� �� �� �������� ( ��������� ) ������
��)
��� ������� ���� � ����� ������ �������� �������� � � ��� � ���� ������� , ���� �� ���� ��
x → a
x → a
�������� ��� ���� ��� ������ ���� �����. ������� lim f ( x ) = b1 i
lim f ( x) = b2 tada je "skok":b2 − b1
x → a −
���)
x→ a+
��� ��� ����� �� ������� ���������
lim f ( x ) ili
x → a −
lim f ( x )
x→ a +
NE POSTOJI ,
onda je to prekid druge vrste.
���� ��������� ��� ���� �� ���� �� ��������� ������ �� �� �� ������ ���� ����� ��� ���� �� ���� � 0, �� ����
lim f ( x ) = lim f ( x ) = b tada je "skok":b2 − b1 = 0
x → a −
x→ a+
�� �� ���� ������� ����� ���� ��� ����� �������.( �� ������ ����� ���� ������� ��� ���������.) ������ 1.
Posmatrajmo funkciju f ( x) =
x 2 − 1 x − 1
Funkcija je definisana za ∀ x ∈ R / {1} ������� �������
lim
x →1−
lim
x →1+
x 2 − 1 x − 1 x 2 − 1 x − 1
= lim
x →1−
= lim
x →1+
( x − 1) ( x + 1) x − 1
( x − 1) ( x + 1) x − 1
= 1+1 = 2 = 1+1 = 2
���� �� ��� ������ �������, ���� �� � ��������� �������!
������ 2.
1, x > 0 Posmatrajmo funkciju f ( x) = 0, x = 0 −1, x < 0 ������� �������
lim f ( x ) = lim (− 1) = − 1
x → 0 −
x→ 0 −
lim f ( x ) = lim 1 = 1
x → 0 +
x→ 0 +
���� � ����� ������ �������� �������, ��� �� ������� ������� , �� ���������� �� �� ���� � ������� ���� �����! ������ 3. 2
Posmatrajmo funkciju f ( x) =
x − 1
Funkcija je definisana za ∀ x ∈ R / {1}
lim
x →1−ε ε → 0
lim
x →1+ε ε → 0
x 2 x − 1 x 2 x − 1
= lim
x →1−
= lim
x →1−
1 1 − ε −1 1 1 + ε −1
= =
1
−ε 1
+ε
= −∞ = +∞
��� ������ ��������� ��� �������� ( ���� ����� �������) �� � � ������ ����� �����. ������ 4.
Posmatrajmo funkciju f ( x) = e
1 x
Funkcija je definisana za ∀ x ∈ R / {0} 1 x
lim e = e
1 0 −ε
x →0 −ε ε → 0
1
lim e = e x
x →0 +ε ε → 0
1 0 +ε
= e −∞ = 0 = e +∞ = +∞
����� ������ �������� �� �������, �� �� ������ ����� �����.
���� ������������ �������� �� ���� ����������� �� �� ��������� ���� �������� ��� �������� ������ � ��č�� x = a . �������� ���� ���������� � ���� ��č��, ��� �� lim f ( x ) = lim f ( x ) = b . x → a −
x→ a+
���� ���������
f ( x), za x ≠ a za x = a b,
g ( x) =
�� ��� �� �����, ���� ��������� �� ��������� ���� ���� �������� �(�) ��ć �����
data funkcija, za ≠ a b, za x = a
f ( x) =
��������� �� ����� ��������
Posmatrajmo funkciju f ( x ) =
x 2 − 1 x − 1
Funkcija je definisana za ∀ x ∈ R / {1} ������� �������
lim
x →1−
lim
x →1+
x 2 − 1 x − 1 x 2 − 1 x − 1
= lim
x →1−
= lim
x →1+
( x − 1) ( x + 1) x − 1
( x − 1) ( x + 1) x − 1
= 1+ 1 = 2 = 1+1 = 2
���� �� ��� ������ �������� ���� �� � ��������� ��������
���������� ���������� ��� �������� �� �����
x 2 − 1 , za ≠ 1 f ( x) = x − 1 2, za x = 1
���.�������������.��.��
��� �������� �������� ������� �� ��� �����
1. �������� ������������ ��������
1 − x, x < 0 �) f ( x) = 2, x = 0 � ��č�� � � 0 1 + x, x > 0
1 + x 1 + x3 , x ≠ − 1 �) f ( x) = � ��č�� � � � 1 1 , x = −1 3 1 + x 2 − 1 , x ≠ 0 2 x �) f ( x) = � ��č�� � � 0 1 = 2 , x 0 ��������
1 − x, x < 0 �) f ( x) = 2, x = 0 1 + x, x > 0
� ��� � � 0
������� ��� �������
lim f ( x ) = lim (1 − x ) = 1
x → 0 −
x→ 0 −
lim f ( x ) = lim (1 + x ) = 1
x → 0 +
x→0+
���������� ���� ������ ���������
1 − x, x < 0 f ( x) = 2, x = 0 1 + x, x > 0 ���� �� ������� �� ���� 1 ������ 2, ���č� ������č����� �� �� �������� �������� � ��č�� ��0
1 + x 1 + x3 , x ≠ − 1 �) f ( x) = � ��č�� � � � 1 1 , x = −1 3
���� �� ��� ����� �� ���������� ������! ������� ���� � ����� ����� � � ��� � � � 1
lim
x →−1−ε ε →0
lim
1 + x 1 + x 3
x →−1+ε ε →0
1 + x 1 + x 3
1+ x
= lim
x →−1−ε
ε →0
= lim
x →−1+ε
ε →0
= lim
(1 + x) (1 − x + x 2 )
x→− 1−ε
ε → 0
1+ x
= lim
(1 + x) (1 − x + x 2 )
1 (1 − x + x 2 )
x →− 1+ ε
ε → 0
=
1 (1 − x + x 2 )
1 1 − (−1) + ( −1) 2
=
1 1 − (−1) + 1
=
1
=
1
=
1
3
1
=
3
��������� ������ ���������
1 + x 1 + x3 , x ≠ − 1 f ( x) = 1 , x = −1 3 ������č��� �� �� ���������� � ��č�� � � � 1
1 + x 2 − 1 , x ≠ 0 2 x �) f ( x) = 1 , x = 0 2
lim
x →0 −ε ε →0
lim
x →0 + ε ε →0
1 + x 2 − 1 x
2
1 + x 2 − 1 x
2
⋅
⋅
1 + x2 + 1 1 + x2 + 1 1 + x2 + 1 1 + x2 + 1
� ��� � � 0
= lim
x → 0 −ε
ε →0
= lim
x →0 +ε
ε →0
1 + x2 − 1 x2
(
)
1 + x2 + 1
1+ x2 − 1 x2
�������� �� ���������� � ��� � � 0
(
)
1 + x2 + 1
= lim
x →0 −ε
ε →0
= lim
x →0 +ε
ε →0
x2 x 2
(
)
1 + x 2 + 1 x2
x 2
(
)
1 + x 2 + 1
2
2
2. �������� ��������� a i b ���� �� �������� ���� ���� ���������� �� �.
3 1 + 2 x 2 − 1 , x ≠ 0 2 �) f ( x) = x b, x=0
e2 x − 1 , x ≠ 0 �) f ( x) = x a, x=0
�������� �) ���� �� ��� ����� �� ������ ��������� ������.....
3
lim
1 + 2 x 2 − 1 x 2
x →0 ± ε ε →0
lim
( ⋅ (
3
1 + 2 x
2
3
1 + 2 x
2
2
) +( ) +( 2
1 + 2 x2 + 1
3
1+ 2x
2 x 2
x →0 ± ε ε → 0
x ⋅ 2
(
3
1 + 2 x
2
2
) ( +
3
) = lim )+ 1
3
)
1 + 2 x 2 + 1
2
x →0 ±ε ε → 0
=
1 + 2 x2 − 1
x ⋅ 2
(
3
1+ 2x
2
2
) +(
3
1+ 2x
2
)
+ 1
=
2 3
ovo daje 3
����� � b =
2 3
�)
lim
x →0 ±ε ε →0
e2 x − 1 x
=
0 0
= ( Lopital ) = lim
x → 0 ±ε ε →0
(e 2 x − 1)` x`
= lim
x →0 ± ε ε →0
e2 x ⋅ 2
1
=2
������ ���������� �� �� a = 2
���.�������������.��.��