1
Em
, conjunto dos números inteiros, considera o conjunto:
A x
x
:
2
5
Sabe-se que # A B 10 . Dos conjuntos representados a seguir, qual pode corresponder a
2
(A)
B
x
: x
2
(C)
B
x
: x
2
x
1
x
2
(B)
B
x
: x
2
(D)
B
x
: x
2
0
0
B ?
2x
1 0
2x
2
0
Numa escola há duas turmas do 12.º ano: A e B. Na turma A todos os alunos têm Física ou Geometria Descritiva. Na turma B há alunos que têm Física. Sabe-se que:
a turma A tem 25 alunos; na turma turma A, 5 alunos têm Física e Geometria Descritiva; na turma A, 12 alunos têm Geometria Descritiva;
o número total de alunos que têm Física nas duas turmas é 29 .
Quantos alunos na turma B têm Física? (A) 18 3
(B) 16
(C) 17 (C) 17
(D) 11
Na figura estão representados cinco bonés, cada um com a sua cor, e todas as cores são distintas. Pretende-se colocar os bonés em fila, lado a lado, de modo que o boné verde fique no meio como é sugerido na figura.
De quantas maneiras diferentes, atendendo às cores, é possível fazer esta distribuição? (A)
4
2!2!
(B)
4!
(C)
5! 4!
(D)
5
A4
O Lucas nasceu em 1985. Para definir um código com 5 algarismos, o Lucas utiliza todos os algarismos do ano em que nasceu, repetindo um deles. Qual é o número de códigos, distintos, nestas condições? (A) 480 480
5
(C) 240 240
(D) 120
Um polígono convexo tem 135 diagonais. Então o número de lados desse polígono é: (A) 15
6
(B) 96 96
(B) 21
(C) 18
A soma dos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é igual a
(D) 16 18
2
.
O maior número dessa linha é: (A) 48 620
(B) 43 758 758
(B) 92 378 378
(D) 75 582
7
O Pedro vai estar fora de casa 5 dias. Leva 8 T-shirts, uma de cada cor mas todas de cores diferentes. Tenciona utilizar 5 T-shirts, uma por dia, e 3 são de reserva. 7.1. Admitindo que vai usar 5 T-shirts, uma por dia, quantas sequências de cores diferentes pode fazer? 7.2. Qual é o número de subconjuntos de 3
8
T-shirts,
de reserva, que pode formar?
Na figura estão representados 8 copos iguais, diferindo apenas nas cores: 2 azuis, 2 verdes, 2 roxos e 2 cor de laranja. 8.1. Atendendo às cores, qual é o número de conjuntos de 3 copos qu e é possível formar, sendo dois da mesma cor? 8.2. Os copos foram numerados de 1 a 8 e empilhados, como é sugerido na figura ao lado. De quantas maneiras diferentes é possível empilhar os copos, de modo que: a) os copos da mesma cor fiquem juntos; b) os copos azuis não fiquem juntos?
9
Considera o conjunto:
A 1,2,3,4,5,6,7,8,9
9.1. Utilizando apenas elementos do conjunto A , determina quantos números de quatro algarismos diferentes é possível representar de modo que sejam múltiplos de 5 e menores que 5000 . 9.2. Na figura está representado um quadrado dividido em 16 quadrículas. Determina o número de diferentes maneiras que é possível distribuir os elementos do conjunto A pelas quadrículas de modo que os números pares fiquem na mesma diagonal do quadrado. 10 A seguir está representada parte de uma linha do Triângulo de Pascal. 15
C0
15
C1
15
C2
15
C15
O maior número desta linha do Triângulo de Pascal é 6435 . Calcula a soma de todos os números dessa linha que são inferiores a 6435 .
1 11 No desenvolvimento de 2 x independente de x ? Justifica.
9
x , pela fórmula do binómio de Newton, há algum termo
1
# A B A
10 ,
ou seja,
x : x
Então,
# A
5
# A # B
Daqui resulta que
10
5
2, 1, 0, 1, 2 .
2
5 #B
e
#B
2.
10 .
Como
B
x
: x
2
x
1,
20
2 .
Opção (C).
2
Sejam
A , B
e
C
os conjuntos:
A =
{alunos com Física da turma A} ;
B =
{alunos com Física da turma B} ;
C =
{alunos com Geometria Descritiva da turma A} .
# A # C # A C , ou seja,
# A C
# A
Daqui resulta que
# A B
25
# A 12 5 .
18 .
# A # B , ou seja,
29
18 # B
. Daqui resulta que
#B
11.
Opção (D).
3
O boné verde tem uma posição fixa. Restam 4 lugares para 4 bonés. A distribuição pode ser feita de 4! maneiras. Opção (B).
4
Pode repetir o 1 , ou 9 , ou 8 , ou 5 . Se repetir o 1, o número de códigos é dado por:
5
3! 10 6 C 2
O número total de códigos nas condições apresentadas é:
4
5
60
C 2
3!
4 60
240
Opção (C). 5
O número de diagonais de um polígono convexo com dado por Como
6
n
C2
lados (e também
n.
18
C 2 18
n
135
, conclui-se que a opção correta é a opção (C).
Parte dessa linha do Triângulo de Pascal é: 18
C0
18
C1
18
C 18
e tem 19 números. O maior número é o que ocupa a posição central, ou seja, Opção (A).
18
C 9 48620 .
n
vértices) é
7
7.1.
8
A5
7.2. 8C 3
8!
8
5 !
87 65 4
8!
3! 8
3 !
6720
56
8 8.1. Os dois copos da mesma cor podem ser: azuis, ou verdes, ou roxos, ou cor de laranja. A cor do outro copo tem três possibilidades. 4
3
C1 C 1
43
12
8.2. a) Os copos podem ser agrupados pelas respetivas cores. Temos assim 4 grupos. Em cada grupo 2 copos com números diferentes, mas com a mesma cor. Dentro de cada grupo os copos podem permutar. Assim, o número pedido é dado por:
4! 2! 2! 2! 2! 384
b) Número total de maneiras diferentes para empilhar os copos: Número de maneiras para os copos azuis ficarem juntos:
8!
40 320
7 ! 2! 10 080
Número de maneiras em que os copos azuis não ficam juntos: 40320
10080
30240
9 9.1. O algarismo das unidades tem uma possibilidade: é 5 . O algarismo das dezenas de milhar tem quatro possibilidades: 1 , ou 2 , ou 3 , ou 4 . Assim, o número de números nas condições indicadas é dado por: 7
4 A 2
1 4 7 6 1 168
9.2. Os algarismos 2 , 4 , 6 e 8 vão ocupar uma das duas diagonais do quadrado. Os restantes 5 algarismos vão ser distribuídos pelas 5 das 12 quadrículas “livres”. 12
2 4! A5
10
Na linha
15
C0
15
4 561 920
C1
15
15
C2
C15 há
16 números.
Os dois números centrais são iguais a 6435 , sendo todos os outros números menores que 6435 . Assim, a soma pedida é dada por: 215 11
1 x 2
0, 1,
Como
2
6435
19 898
k 9 1 k 9 9 18 2 k 9 9 2 9 k 2 2 x Ck x x Ck x k 0 k 0
Para que haja termo independente de k
36 5
k
x
é necessário que: k
36
, 9 :
18 2k
0, 1,
, 9 , conclui-se que não há termo independente de
2
0
18
2k
2
0
k
5 x
.
