Índice Caderno de Autoavali Autoavaliação ação Teste de Autoavaliação 1
2
Teste de Autoavaliação 2
2
Teste de Autoavaliação 3
3
Teste de Autoavaliação 4
4
Teste de Autoavaliação 5
5
Teste de Autoavaliação 6
6
Teste de Autoavaliação 7
7
Teste de Autoavaliação 8
8
Teste de Autoavaliação 9
9
Teste de Autoavaliação 10
10
Teste de Autoavaliação 11
11
Teste de Autoavaliação 12
12
1
Propostas de Resolução
Caderno Prático – Novo Espaço A 12
Teste de Autoavaliação 1
Unidade 1 Cálculo combinatório
Teste de Autoavaliação 2
PÁG. 3
PÁG. 5
1. 1.1. Opção (C). A { 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2} ; B {1 , 2 , 3} e A B {(x , y ) : x A y B } .
=− − − − − = × = 1.2. Opção (A). B \ A = {3} Daqui resulta que: # (B \ A) = 1
∈ ∧ ∈
× 9A2 = 7 × 9 × 8 = 504
2.
Opção (C). 7
3.
Opção (D). 2C 1
4.
Opção (B).
× 18C 4 = 6120
= =
=
PÁG. 4
(x − √ x )
= = # × =# ×# = × =
5.2. a) 1 4 4 . Pode obter 4 produtos múltiplos de 5 .
× = b) 3 × 4 = 12 . Pode obter 12 produtos ímpares. 6. 6.1. 6.2. 7. 7.1. 7.2.
= 79 833 600 4! × 5C 4 × 4! × 4 = 11 520 12
A9
× 8A4 = 33 600 6 C 2 × 9A‘4 = 98 415 5
A2
× =
8.2. M H M H M H M
__ 7
7
=∑
k __
− (− 1)k x 2 =
7
7
C k x 7 k
k
k 7
14 − k _____
C k x 2
k
−
PÁG. 6
5. Seja n o número de participantes. Sabe-se que o número de subconjuntos com 4 elementos é igual ao número de subconjuntos com 6 elementos, ou seja, nC 4 nC 6 . Daqui resulta que 4 6 n , ou seja, n 10 . O número de comissões diferentes com 5 elementos é dado por 10C 5 , ou seja, 252 . Há 252 possibilidades para formar uma comissão com 5 elementos.
=
=
6.3.
× =
Opção (A).
Para este valor de k , o termo do desenvolvimento é 4 7 ( C 4 1) x 5 , ou seja, 35x 5 .
6.2.
4! 3! 144
+ =
∑ (− 1) =0 =0 k − 14 _____ = 5 , ou seja, k = 4 . Pretende-se que 2
6. 6.1.
8. 8.1. 6! 2! 1440
=
3. Opção (B). nC 3 nC 6 . Daqui resulta que 3 6 n , ou seja, n 9 . A soma dos elementos dessa linha é igual a 29 , ou seja, 512 . 4.
5. 5.1. A {2 , 3 , 5 , 7} e B {11 , 13 , 17 , 19} (A B ) A B 4 4 16
+ =
= × ⇔ − = ⇔ − ⇔ ⇔ ⇔ − = ⇔ = ∨ = =
A 5' × 5A2 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 5 × 4 = 2 000 000
10
= =
Opção (B). Sabe-se que: nC p nC n−p e a b 48 620 . 48 620 24 310 Daqui resulta que a b ________ 2 2. Opção (D). n (n 1) n n n! ________ ______ 2n C 2 2 C 1 2 2! (n 2)! 2 n 5n 0 n 0 n 5 2n Como n 5 , a soma de todos os elementos da linha é igual a 25 , ou seja, 32 . 1.
+ =
= 9 C 3 = 84 . É possível formar 84 conjuntos. 9 C 4 = 126 . É possível formar 126 conjuntos. 10 C 4 = 9C 3 + 9C 4 . 10
C 4 210 . É possível formar 210 conjuntos.
6.4. A propriedade do Triângulo de Pascal é: n C p + n C p + 1 = n + 1C p + 1. 7. 7.1.
10
10
n
n
10
10 ( − 1)10 − k ( 2)k 10 _1_ x 2 C k x x C k x − 10 + 3k x k=0 k=0 O valor de k para obter o termo de grau 8 é solução da equação 10 3k 8 k 6 . 10 8 Se k 6 , tem-se: C 8 x , ou seja, 210x 8 .
( + ) =∑ − + = ⇔ = = 7.2. (_1_ + x 2) = ∑ C x − + 3 x =
k 0
n
k
n
=∑
k
O termo independente de x resulta de fazermos n 3k 0 , ou seja, n 3k (neste caso, n é múltiplo de 3) . Se n não é múltiplo de 3 , então não há termo independente de x .
− + =
=
2
Propostas de Resolução Caderno Prático –
Novo Espaço A 12
Unidade 2 Probabilidades
Teste de Autoavaliação 3 PÁG. 7
1. 1.1. Opção (C). E {0 , 1 , 2 , 7} e E 4 . (E ) é igual a 24 , ou seja, 16 . Então,
=
#
#=
=
=
1.2. Opção (D). R {} ; S {{1 , 2 , 7}} e T {{0 , 1 , 2} , {0 , 2 , 7} , {0 , 1 , 7}}
=
∪ = ∪ = − = ∪ = + −
‾B ) 0,08 . 2. Opção (A). P (A Então, P (A B ) 1 0,08 0,92 . Como P (A B ) P (A) P (B ) P (A B ) , tem-se que P (B ) 0,38 . P (A B ) 0,08 4 Assim, P (A |B ) _______ _____ ___ 0,38 19 P (B )
=
∩ =
=
∩
=
3. Opção (B). Há 21 raparigas no total, sendo 6 da turma B . 6 _2_ . Assim, a probabilidade pedida é ___ 21 7
=
PÁG. 8
4. 4.1. a) Número de casos possíveis: 7C 2 21 Número de casos favoráveis: 3C 2 2C 2 2C 2 5 5 Probabilidade pedida: ___
=
+ + =
21
× 3C 1 = 12
b) 4C 1
4.2. a) Número de casos favoráveis: 1 . Número de casos possíveis: 7! 1 1 _____ Probabilidade: ___ 7! 5040 b) Número de casos favoráveis: 3! 2! 2! 3! . Número de casos possíveis: 7! 1 Probabilidade: ___
=
× × ×
35
4.3. Sair número par sabendo que o cartão não é
vermelho. A probabilidade é _3_ . 4
5. 5.1.
3
× =
C 1 4! 72
5.2. Sejam M , H e C os acontecimentos: M : ”É escolhida uma rapariga”; H : ”É escolhido um rapaz” e C : ”É escolhida a Catarina” 2 1 1 P (C ) P (M C ) P (M) P (C | M) __ __ __ . 6 2 6 Assim, tem-se: P (C ) _1_ .
=
∩ =
×
=6
= × =
3
Propostas de Resolução Caderno Prático –
Novo Espaço A 12
Unidade 3 Funções reais de variável real
5.3.
Teste de Autoavaliação 4
= +
y mx b PÁG. 9
→ + ∞ _____ √ x 2 + x − 3x m = lim ________ = →+∞ x =⋯=−2
1. 1.1. Opção (C). Podes concluir que lim (f (u n)) é: n 1 lim ____ lim 1 _1_ 1+ .
( +n ) = ( + n) =
x
− = − _1_ . 2 +
2 (u n) 3 Assim, lim (f (u n)) lim_______ (u n) 1
=
− = − ∞ . _ 3 (w ) _∞ ∞ 3 = 3 ______ = Assim, lim (f (w )) = lim lim _____ 1 (w ) − 1 1 − ___ w
=− + ⇔⋯⇔ = =− − =−
n
n
n
n
Opção (D). x D , f (x ) h (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x ) x →−∞ x →−∞ lim h (x ) 1
2.
=
x
As coordenadas do ponto A são as soluções do sistema de equações: ⎧ _3_ ⎪x 2 ⎧y 2x 0,5 ⎨ ⎨ ⎩y x 1 ⎪y _5_ ⎩ 2
=
∧
_____
x
1.2. Opção (A). lim w n lim (1 n 2)
∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ →−∞ = −
x
= →+∞ (√ x 2 + x − 3x + 2x ) = = ⋯ = _12_ b lim
→−∞ x 2 + 2 = m = lim _____ →−∞ x − x 2 = ⋯ = − 1 x 2 + 2 b = lim (_____ + x ) = →+∞ 1 − x = ⋯ = − 1 x
x
=−1
As coordenadas de A são _3_ , − _5_ .
(2
2
)
x
3. Opção (B). Como b a 0 e aplicando o Teorema de Bolzano, conclui-se que há pelo menos um zero no
− >
] +[
]+ [
a b a b intervalo a , ____ e outro no intervalo ____ , b . 2 2
4. 4.1. Sabe-se que
− 1 ≤ − sin (2x ) ≤ 1 . 4 − sin (2x ) _____ 3 ≤ _________ 5 . ≤ Então, 3 ≤ 4 − sin (2x ) ≤ 5 e _____ 2 2 2 x + 1 x + 1 x + 1 3 e h (x ) = _____ 5 . Por exemplo, g (x ) = _____ x 2 + 1 x 2 + 1 3 = 0 , lim _____ 5 = 0 e 4.2. lim _____ 2 2 →+∞ x + 1 →+∞ x + 1 3 ≤ f (x ) ≤ _____ 5 , tem-se lim f (x ) = 0 . _____ 2 2 →+∞ x + 1 x + 1 x
x
x
PÁG. 10
5. __ 5.1. f (− 1) = _3_ e f (1) = √ 2 − 3 . 2
Não é possível aplicar o Teorema de Bolzano ao intervalo [ 1 , 1] , pois f é descontínua em [ 1 , 1] . _____ x 2 2 Com efeito, lim (√ x 2 x 3x ) 0 e lim _____ 2 . x x →0 1 x →0
−
−
+
+ −
=
−
+ = −
5.2. A função f é contínua em [1 , 2] por ser a diferença e a composta de funções contínuas em [1 , 2] . 1,6 e f (2) 3,6 f (1)
≈−
≈−
Como f é contínua em [1 , 2] e f (2) clui-se que c ] 1 , 2[ : f (c) .
∃ ∈
=−π
< − π < f (1) , con4
Propostas de Resolução
Caderno Caderno Prático Prático – – Novo Espaço A 12
Unidade 3 Funções reais de variável real
Teste de Autoavaliação 5 PÁG. 11
Opção (C). 2 __ 1 __ 1__ . f (x ) 1 ___ √ x 2√ x Resolvendo a equação f (x ) _3_ , tem-se x 4 . 2 Então, A(4 , f (4)) , ou seja, A (4 , 8) . 1.
' = +
= +
' =
2.
=
Opção (D).
3. Opção (A). Por observação da representação gráfica, conclui-se que a afirmação x ] 1 , 5[ , f (x ) 0 f (x ) 0 é verdadeira.
> ∧ " <
∀ ∈
Opção (B). f (x ) 3x 2 6 . No intervalo rivada muda de sinal. 4.
" =
−
[− 2 , − 1] , a segunda de-
PÁG. 12
5. (6x a ) (x 2 1) 2x (3 x 2 ax b) 5.1. f (x ) _________________________ (x 2 1)2 ⎧f (0) ⎧b = − 5 5 ⎨ ⎨ ⎩a = 2 ⎩f (0) 2
+ + ' = + + − + =− ⇔ ' = 3 x 2 + 2x − 5 = 3 . 5.2. lim _________ →±∞ x 2 + 1 A reta y = 3 é assíntota horizontal. Assim, o valor de k é 3 . 3 x 2 + 2x − 5 = 3 ⇔ 2x − 8 = 0 ⇔ x = 4 f (x ) = 3 ⇔ _________ x 2 + 1 x
O ponto de interseção do gráfico com a assíntota tem coordenadas (4 , 3) . 6 2x ′ = ⋯ = ______ ' = (____ e 3 − x ) (3 − x )2 ′ 6 12 f " (x ) = ______2 = ⋯ = - ______3 ((x − 3) ) (x − 3) Se x ∈ ] − ∞ , 3[ , f " (x ) > 0 e se x ∈ ] 3 , + ∞ [ , f " (x ) < 0 . Como 3 ∉ D , conclui-se que f não tem pontos de in6.
f (x )
flexão.
f
_____
x 2 2_____ ______ + − ′ = ___________ 2√ x 2 + 1 = x _____ 7. f " (x ) = _____ x 2 + 1 (√ x 2 + 1) 1 _____ = ___________ (x 2 + 1)√ x 2 + 1 Atendendo a que f ' (0) = 0 ∧ f " (0) > 0 , conclui-se que
√ x 2 1
f (0) é mínimo.
5
Propostas de Resolução
Caderno Caderno Prático Prático – – Novo Espaço A 12
Unidade 4 Funções exponenciais e logarítmicas
3 − e−1 + − (3 − e− 1) ' (− 1) = lim _____________ = h →0 − e− 1(e − 1) = − _1_ − e− 1 + + e− 1 = lim _________ = lim _________ h
8.2. f
Teste de Autoavaliação 6
h
h
h
PÁG. 13
h
Opção (A).
1.
30 000
2 1 + _______
×(
×
4
) ≈ 30 604,515 02
9. 9.1. f (x )
4 100
Opção (C). − _12_ k−1 1 3 k − 1 __ k __ (3 ) (3 ) 27 √ 3k 6 k __ 7
⇔
=
⇔ 3k − 3 = − 2 ⇔
'
f (x ) f (x )
9.3.
Opção (B). 6ex (x 1) f (x ) (6x ex ) f (x ) (6ex (x 1)) 6ex (x 2) f (x ) 0 x 2 e a segunda derivada muda de sinal em x 2 .
+
_0_
Opção (B). ex − a 1 lim _________ ex − a 1 lim ________ ey 1 lim _____ x →a x 2 a 2 x →a (x a ) (x a ) y →0 y (y 2a ) ey 1 lim _______ 1 1 ___ 1 lim ____ 1 ___ y 2a 2a y →0 y →0 (y 2a ) 5.
PÁG. 14
6. 2 −
1 x
x ∈
]
__
0 1
−
− = +
+ = = × =
= {x ∈ D : f (x ) ∈ D } = {x ∈ ℝ : e − x ≥ 0} = ℝ ____ 0 √ ( ) ( ) h x h − 0 0 x − − e 1 lim ________ = lim ______ = f
x
g
__
x
→0____x
x
=
− −
x
x →0 ____
− + = − + (e ____ − 1) − x = − x − 1 = lim _________ e ____ _________ = lim →0 x (√ e − x + 1) →0 x (√ e − x + 1) e − 1 1 _________ ________ ____ ____ = lim − =⋯= →0 [ x (√ e − x + 1) (√ e − x + 1) ] = 1 × _12_ − _12_ = 0 0
√ ex x 1)(√ ex x 1) ( _______________ ____ lim x →0 √ x ( ex x 1) x
x
x
x
x
x
x
x
+
+∞ + ↗
0
9.2. D h
4.
=
x
'
= − ⇔ + = − ⇔ = − 3 ‘ = ] − 3 , + ∞[ e = − ‘ = − + + ∞ = + ∞
−
e
h
→0
Após o estudo do sinal da função f , conclui-se que 1 é mínimo absoluto de f , sendo 0 o minimizante.
3. Opção (D). f (0) k 1 2e0 k 1 Assim, f (x ) 2ex 3 , sendo D f D g ] 3 5 , [ ]2 , [ .
− = − − ×
x
−∞ – ↘
x
k __
⇔ =
′ = ⋯ = ' = + " = + ′ = ⋯ = " = ⇔⋯⇔ =− =−
h
' = (e − x )′ = e − 1 .
2.
=
h
→0
x
x
_1_
> √ 2 ⇔ 2 − > 22 ⇔ 1 − x > _1_ ⇔ x < _1_ ⇔
_1_ − ∞ , 2
1 x
2
[
2
7. 7.1. f (x ) (ex e−x ) ex e−x e f (x ) (ex e−x ) ex e−x f (x )
' = − ′ = + " = + ′ = − = 1 = 0 ⇔ 7.2. f " (x ) = 0 ⇔ e − e− = 0 ⇔ e − __ e ⇔ e2 − 1 = 0 ⇔ x = 0 Ponto de inflexão: (0 , f (0)) = (0 , 0) . Declive da reta tangente: f ' (0) = 1 + 1 = 2 x
x
x
x
x
Equação da reta tangente: y = 2x 8. 8.1.
2 − − = = ⋯ = 2 ; lim (3 − e ) = 3 − 1 = 2 e f (0) = 2 . →0− Portanto, f é contínua em x = 0 . 2x
e 1 2 lim _____ e 1 lim + _____ + x 2x x →0 x →0 x
x
x
6
Propostas de Resolução
Caderno Caderno Prático Prático – – Novo Espaço A 12
Unidade 4 Funções exponenciais e logarítmicas
6.2.
Teste de Autoavaliação 7 PÁG. 15
1. Opção (A). Se loga 4 b , então loga 2 _b_ . 2
=
=
__
3b . ( ) = _23_ log 2 = _23_ × _2b_ = ___ 4 _3_
=
Repara que loga (2 √ 2) loga 22
a
2. Opção (C). f (0) 2 e P (x , f (x ))
=
x A ≈ 1,73
x B ≈ 0,54
__________________
2 2 ‾ AO = √ (x − 0) + (ln (x + 1) − 0) ________________ 2 2 ‾ B O = √ (x − 0) + (e2x − 1 − 0)
7. 7.1. P (3) 5 e0,05 × 3 5,8092 . A previsão para 2020 é de 5809 kg .
A área do triângulo é 7 .
= ×
‾ OA x Então, tem-se: ______ 7 2 P (7 , f (7)) (7 , 5)
× = ⇔ x = 7 .
=
≈
×
= × = ln(1,3) P (t ) = 5 + 1,5 ⇔ 5 e0,05 = 6,5 ⇔ ⋯ ⇔ t = _______ 0,05 ⇔ t ≈ 5,2 7.2. 0,3 P (0) 0,3 5 1,5 ; t
Opção (D). 1 2 ____ ln x _______ f (x ) 2 2x √ ln x __ Resolvendo a equação f (x ) 0 , tem-se x √ e . 3.
' =⋯= −
' =
Prevê-se que em 2023 a produção tenha, pela primeira vez, um acréscimo de pelo menos 30% .
=
Opção (D). f (x ) 0 x (x 2) (x 2) log2 (x 1) 0 (x 0 x 2 x 2 log2 (x 1) 0) x 2 4.
= ⇔ − + = ∨ = ∨ =− ∨ ⇔ =
− = ⇔ − = ∧ x > 1 ⇔
PÁG. 16
5. x __ x x ln x 5.1. f (x ) x ln x __ 2 2
' =
x
'
f (x ) f
+ − =
0
+∞ + ↗
1
– ↘
0
− _14_
∈ ] 0 , 1] , f é decrescente. Se x ∈ [ 1 , + ∞ [ , f é crescente. − _14_ é mínimo absoluto. 5.2. f " (x ) = (x ln x )′ = lnx + 1 1 f " (x ) = 0 ⇔ ln x + 1 = 0 ⇔ x = __ e Se x
O declive da reta tangente no ponto de inflexão é 1 − _1_ . f __ e e
'( ) =
6.
+ = − =⋯= × × =
+ ×
ln (x 1) ln (x 1) 2x lim ________ ________ 6.1. lim ________ 2 x x 1 x →0 x →0 e 2 (e2x 1) 1 _1_ 1 _1_ 2 2
(
−
)= 7
Propostas de Resolução Caderno Prático –
Novo Espaço A 12
Unidade 5 Funções trigonométricas
6.
Teste de Autoavaliação 8
6.1. cos (2x ) 1 sin x cos2 x sin2 x 1 sin x 1 2 sin2 x 1 sin x
PÁG. 17
Opção (C).
1.
= 2 sin (_3π_ + x ) + cos (_2π_ + x ) = __ = 2 sin _π_ cos x + cos_π_ sin x − sin x = √ 3 cos x f (x )
(
2.
3
)
3
π
Opção (A).
__ sin __ √ 3. sin α sin α __ 3 ____ Pela lei dos senos, tem-se _____ 6 4 3 Então, pela fórmula fundamental da trigonometria, __ √ 6 obtém-se cos α __ . 3 __ __ __ √ √ √ 3 6 2 2. Assim, sin (2α ) 2 __ __ ___ 3 3 3
= = ×
×
=
⇔
=
=
Opção (C). 6 f (θ) __ cos _θ_ 5 2 3.
= ⇔ ( ) = _35_ . Como − _π_ < _θ_ < 0 , sin_θ_ = − _4_ . 2 2 2 5 Ora, f θ + _π_ = 2 cos _θ_ + _π_ =
(
= 2 (_35_ ×
2
)
__ __ √ √ 2 2 __ __
2
+
2
= - ⇔ - = - ⇔ ⇔ = - ⇔ sin x − 2 sin2 x = 0 ⇔ sin x (1 − 2 sin x ) = 0 ⇔ 5π ⇔ x = k π ∨ x = _6π_ + 2k π ∨ x = ___ + 2k π , k ∈ ℤ 6 6.2. 8 cos (2x ) sin x cos x = − 1 ⇔ ⇔ 4 cos (2x ) sin (2x ) = − 1 ⇔ sin (4x ) = − _12_ ⇔ 7π + 2k π , k ∈ ℤ ⇔ ⇔ 4x = − _6π_ + 2k π ∨ 4x = __ 6 π 7π ___ k π ___ ___ ___ ⇔ x = − 24 + 2 ∨ x = 24 + k 2π , k ∈ ℤ = _31_ ⇔ 2 cos θ sin θ = _32_ ⇔ sin (2θ) = _23_ . Então, cos2 (2θ) = _5_ . 9 __ √ π _ _ __ Como < 2θ < π , cos (2θ) = − 5 . 2 __ __ 3 √ √ 4 5 5 = − _____ Assim, sin (4θ) = 2 × _2_ × (− __ . ) 9 3 3 7.
g (θ)
(2 4)__
7√ 2 . × _45_) = ___ 5
Opção (D). tan α tan β Sabe-se que ___________ tan (α β) . 1 tanα tan β 4.
+
= + − __ Como α + β = π − _π_ , tem-se tan (α + β) = −√ 3 . 3 PÁG. 18
5. 5.1. Os triângulos retângulos [ACP ] e [BCP ] são iguais.
̂
(2)
α α ‾ AC = ‾ BC = 6 e B C P = __ . ‾ BP = 6 tan __
Então:
2
( )− π = ( ) − 18α . π 2π = 36 tan _π_ − 18 × __ 2π = 5.2. A (__ ) ( ) 3 3 3 __ = 36 tan (_3π_) − 12π = 36√ 3 - 12π ⇔ A ≈ 24,65 cm α α _1_ 5.3. 12 tan (__ + = . 12 = 18 ⇔ tan (__ ) 2 2) 2 α 6 6 tan __ 2 α 36 α A (α ) 2 ___________ ____ 36 tan __ 2 2 2
= ×
×
2
α 2 tan __ 2 _1_ 2 2 _4_ . Tem-se tan α ________ _____ α 1 _1_ 3 1 tan2 __ 4 2
=
−
× = = −
8
Propostas de Resolução Caderno Prático –
Novo Espaço A 12
Unidade 5 Funções trigonométricas
' = (3 cos (2t + _4π_))′ = − 6 sin (2t + _4π_) e π ′ π x " (t ) = − 6 sin (2t + __) = − 12 cos (2t + __) ( 4 ) 4 Daqui resulta que x " (t ) = − 4 x (t ) . 6.
Teste de Autoavaliação 9 PÁG. 19
Opção (D). m f (a ) cos a . O declive da reta s é igual a 1.
= ' = π f ' (b) = cos b = cos (a + __) = − sin a . 2 _____ 2 2 cos a + sin a = 1 ⇔ sin2 a = 1 − m 2 ⇔ sin a = √ 1 − m 2 _____ Assim, f ' (b) = − sin a = − √ 1 − m 2 . Opção (D). sin (kx ) sin (kx ) lim ________ lim ________ 2 x →0 k x 2 2k x x →0 kx (x 2k )
x (t )
2.
=
−
−
1 = ⋯ = − ___ 2k
3. Opção (A). A (0 , 1) e B (cos θ , sin θ)
−
___________________
√ (cos θ − 0)2 + (sin θ + 1)2 = ⋯ = = ____________________ ________ = √ cos2 θ + sin2 θ + 2 sinθ + 1 = √ 2 + 2 sinθ AB Então, ‾
4.
Opção (B). cos ( h) cos cos(h) 1 ) lim ______________ lim __________
'π =
f(
h
π+ − h
→0
π=
h
→0
−
h
+
PÁG. 20
5. 5.1. A função f é contínua em __ , __ . 8 6 Basta observar que f é a diferença entre funções contínuas em . __ __ √ √ 2 4 2 e f __ __ _1_ ___ 3 __ __ _____ f __ 8 8 2 8 6 6 2 6
[π π]
ℝ (π) = π −
=π−
(π) = π − = π − Assim, tem-se que f é contínua em [_π_ , _π_] e 8 6 π π _ _ _ _ f ( ) < 0 < f ( ) . 8 6 Pelo Teorema de Bolzano, conclui-se que
∃c ∈ ]_8π_ , _6π_[ : f (c) = 0 . 5.2. f ' (x ) = 1 + 2 sin (2x ) e f " (x ) = (1 + 2 sin (2x ))′ = 4 cos (2x ) π f "(x ) = 0 ⇔ cos (2x ) = 0 ⇔ 2x = __ + k π , k ∈ ℤ ⇔ 2 k π π _ _ __ , k ∈ ℤ x = + 4 2 B __ , f (__) = __ , __ (4π 4π ) (4π 4π) 1 + 2 sin (2x ) − 1 f ' (x ) − 1 5.3. lim ________ = lim _____________ = →0
x
x
→0
x
x
4 sin (2x ) ________ = lim =⋯=4 →0 2x x
9
Propostas de Resolução Caderno Prático –
Novo Espaço A 12
Unidade 6 Primitivas. Cálculo integral
Teste de Autoavaliação 10 PÁG. 21
Opção (D).
1.
π
__
2x = _2_ = f (x ) F ' (x ) = (5 + ln (x 2))′ = ___ 2 x
2
6
6
x 3 x 2 __ ∫ 02 x 2 dx + ∫ 2 (− x + 6) dx = [__ + − + 6x ] = 3 ]0 [ 2 2 32 8 ___ _ _ = 3 + 8 = 3
7.2.
8.
x
__
Opção (B). x 4 __ F (x ) x 2 2 4 2.
' = (− + + )′ = − x 3 + 2x = f (x ) e F (2) = 2
π
__
∫ 0 cos x dx − ∫ 0 sin x dx = [ 4
4
]
π
__
sin x 04
− [−
]
π
__
cos x 04
=
= √ 2 + 1
Opção (A).
3.
∫ (1 + cos x ) dx = x + sin x + c . Como G (_π_) = _π_ , tem-se _π_ + sin (_π_) + c = _π_ ⇔ c = − 1 . 2 2 2 2 2 Então, G (x ) = x + sin x − 1 e G (0) = − 1 . Opção (C). 1 1 1 m (f ) ____ e2x dx _1_ 2 e 2x dx 1 0 0 2 0 e2 1 _1_ [e2x ] 1 _1_ (e2 1) ____ 0 2 2 2 4.
= − ×∫ = ∫ = = − = −
=
PÁG. 22
= ' = +
5. f (x ) F (x ) 2x 2 sin (2x )
[ π]
A taxa média de variação de f no intervalo de 0 , __ é 2 f __ f (0) 2 0 2 . dada por: _________ ____ __ 0 __ 2 2
(π) −
= π −π =
π−
6. 6.1.
6.2. 6.3.
__
6.4.
_5_
x 2 x dx ___ _5_
∫ x √x dx = ∫
2
__
2 x 2√ x c _______ + c 5
= + =
2 x 4x dx _1_ ln (2x 2 + 1) + c ______ dx _1_ ______ 2 4 2x 2 1 4 2 x 1
∫ + = ∫ + = ∫ (x − 2e3 ) dx = ∫ (x − _23_ × 3e3 ) dx = x
x _2_ = __ − e 2 3 2
_3_
3x +
x
c
∫ sin (2x ) dx = − _12_ ∫ (− 2 sin (2x )) =
= − _12_ cos (2x ) + c 7.
= ⇔ =
x 6 7.1. g (x ) 0 O ponto A tem de coordenadas (6 , 0) . ⎧y x 2 ⎧x 2 ⎨ ⎨ ⎩y 4 x 6 ⎩y
= = ⇔ ⋯ ⇔ = =− +
Coordenadas do ponto P : (2 , 4)
10
Propostas de Resolução Caderno Prático –
Novo Espaço A 12
Teste de Autoavaliação 11
Unidade 7 Números complexos
7. 7.1.
PÁG. 23
Im( z )
1. Opção (B). O afixo de w pertence ao 3.° quadrante. w pertence ao 4.° quadrante. Então, z ‾
=−
O
Opção (D). → D A BC . Então, z D z A z C z B 2.
= +
= + − = − 1 − 2i + 7 + 4i − 5 = 1 + 2i .
Opção (C). 3 i z ____ 1 2i . 1 i Verifica-se que | 1 2i i| __ ___ √ 10 √ 8 . 3.
= −+ = −
− − > | 1 − 2i + 1| , ou seja,
>
4.
Re( z )
= − + = − ++ = − ++ −
− = −
( 7 3i) (4 4i) 7 3i ______ 7 3i ____________ 7.2. z ______ 87 4 4i (4 4i) (4 4i) 4 4i _1_ _5_ i 2 4 Como 1 | z | 2 , conclui-se que z ∉ A .
=− +
< <
Opção (A). Im( z )
Q
P
R
T O
A
1 2
Re( z )
‾ PQ × ‾ QT ______ 16 × 5 = 40 = _______ = 2 2
PÁG. 24
5. 6i 6i ___ 5.1. z 2 _____ 2 2i (1 i)
=
= − = − 3 .
−
O ponto A é afixo de z 2 . 2
5i (1 + i) 5i × 2i ___________ = − 10(1 + 3i) = 5.2. z 1 = ________ = ______
− 1 − 3i (1 − 3i)(1 + 3i) − 10(1 + 3i) = − 1 − 3i iz 2 − 1 = − 3i − 1 = z 1 = _________ 10 1 3i
6.
+ − =
6.1. z 3 z 4 4z 2 1 4 1
- 4
1
- 4
4
0
4
0
1
0
⇔ z 3 − 4z 2 + z − 4 = 0
Sendo 4 uma solução da equação, tem-se: (z 4) 0 (z 2 1) 0 z 4 z i z
− = ∨ + = ⇔ = ∨ = ∨ =−i ‾ AB × ‾ OC 6.2. _______ = 4 . 2 A área do retângulo é 4 unidades de área.
11
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Novo Espaço A 12
Unidade 7 Números complexos
7. 7.1.
Teste de Autoavaliação 12 PÁG. 25
Opção (B).
1.
π
3 i __ 8
Im( z )
− _2π_) ( . w = − 5i = 5e
π
11 i ____ 8
= − 4e = 4e ; 11π − _π_ = __ 7π . Então, Arg (z × w ) = ____ 8 2 8 z
Opção (A).
2.
___
i
— 4 O
__
|w | = √ 18 = 3√ 2__. 3π ≤ Arg (z ) ≤ − _π_ . Tem-se | z | ≤ 3√ 2 ∧ − __ 4 2 3. Opção (D). Considerando a circunferência de centro na origem circunscrita ao polígono, sabe-se que a amplitude de um arco definido por dois vértices consecutivos é 10 7 __ . __ ___ ____ 21 7 21 3 A razão entre 2 e __ é 6 . 3 O polígono tem seis lados, logo, é um hexágono.
π−π= π=π π π
=
35
z i
-3
7.2. Im( z )
3
O
Opção (B).
4.
Re( z )
7π − _2π_) i (θ − _5π_) i (θ − _π_ − _π_) i (θ − ___ ( 5 2 10 ) w = e = 3e = 3e 3e i
4
Re( z )
-2
Sendo um número real negativo, tem-se 7 17 θ ___ θ ____ 2k , k 2k , k 10 10 17 Para k 0 , θ ____ . 10
− π = π + π ∈ ℤ ⇔ = π + π ∈ ℤ . = = π
PÁG. 26
5. 5.1. z 19
9
− _3π_) ( = (√ 3 − 3i) = (2√ 3 e ) __
9
__
__ i
__
=
= 29 34 √ 3 ei (− 3π) = − 29 34 √ 103 , que é um número real. 3π + 6π 3π 30π __ i __ i (__ i ____ 10 4 4 10 = 32e 2 ) = z 2 = (−1 + i) = (√ 2 e ) = 32e = − 32i . É um imaginário puro. − _3π_) ( 2√ 3 e __ i
13π 11π __ i (− ____ __ i (____ z 1 __________ 12 ) √ 12 ) __ √ = = = 6 e 6 e . 5.2. π 3 z 2 __ i __
√ 2 e
4
A representação geométrica encontra-se no 2.° Q . 6. 6.1. Como A e B são simétricos em relação ao eixo 3 __ . imaginário, AO B 2 __ __ 2 8 4
̂ = × (π − π) = π π ___
π+ 5 i ( ) z = 2e = 2e 8 3 __ i __ 8 4
π
B
π= _π_
2 8 . 6.2. __ 4 O polígono tem oito lados. É um octógono.
12
