My Cmbranltk

www.mustafayagci.com, 2005

Geometri Notları Mustafa YAĞCI, [email protected]

Çemberin Analitik İncelenmesi Doğrunun Analitik İncelenmesi dersinde belki 10 kere ‘’Bakın, bu dersi anlayamazsanız, Çemberin Analitiği veya Konikler dersinden bir şey anlamazsınız!’’ demiştim. Şimdi yalan söylemediğimi kanıtlama vakti geldi. Konuya doğru analitiğinden bir örnekle başlıyoruz. Hem lafı bir yere bağlayacağız, hem de birkaç olmazsa olmaz formülü de bu sayede hatırlamış olacağız. Soru. A(1, 3) ve B(5, 9) noktalarını uç kabul eden AB doğru parçasının orta dikmesinin denklemini yazınız. Çözüm: ‘’Orta dikme’’ O B(5, 9) adından da anlaşılacağı üzere, AB doğru parçasını tam A(1, 3) d ortasından dik kesen doğrudur. Yan şekilde d ile isimlendirilen doğrudan bahsediyoruz. d’nin denklemini yazabilmek için ya üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekiyor ya da herhangi bir noktanın koordinatları ile eğimini. İki doğrunun kesiştiği noktaya O diyelim. O noktasının koordinatları |AO| = |OB| olduğundan orta nokta formülü gereği (3, 6)’dır. Diğer yandan, dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı −1 olması 9−3 3 olduğundan md = gerekiyordu ya, mAB = 5 −1 2 2 = − ’tür. Artık d doğrusunu bulmak için yeterli 3 veri elimizde mevcut. Eğimi m olup, (x1, y1) noktasından geçtiği bilinen doğru denkleminin y − y1 = m⋅(x − x1) olduğunu hatırlayarak, bulduklarımızı yerlerine yazarsak 2 y − 6 = − ⋅(x − 3) yani 3y − 18 = −2x + 6 3 buluruz. Düzenlersek doğru denklemi 2x + 3y − 24 = 0

halini alır. Soruyu çözdük ama diyeceklerimiz bitmedi, bizde laf bitmez! Orta dikmenin, [AB]’yi hem dik kestiğini hem de iki eşit parçaya böldüğünü gördünüz. A Hafızanızı yoklayın bakalım, bunu başka kim yapardı? d Söyleyeyim, ikizkenar üçgenlerde tepeye ait yükseklik. Anlayacağınız, orta dikme üzerinde keyfi alınan bir noktanın A ve B noktalarına birleştirilmesiyle oluşturulacak bir üçgen ikizkenar olur. Yani, alınan keyfi noktaya P dersek, daima |PA| = |PB|’dir. Bu yüzden bazen soruyu ‘’orta dikmenin denklemini yazınız’’ diye değil de, sırtını bu özelliğe dayayarak ‘’A ve B’ye eşit uzaklıkta olan noktaların üzerinde bulundukları doğrunun denklemini yazınız’’ şeklinde sorarlar. Cevabın aynı olduğunu söylememe gerek yok sanırım. Soruyu bu şekilde soran yine de insaflıymış. Çünkü en azından o noktaların bir doğru üzerinde bulunduğu ipucunu vermiş. Şöyle de sorabilirdi: ‘’A ve B’ye eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu eğrinin denklemini yazınız’’. Yani bu noktalar bir doğru üzerindelerse o doğrunun, bir parabol üzerindelerse o parabolün, bir başka tip eğri üzerindelerse o eğrinin denklemini yazınız demek istiyor. Bu noktaların bir doğru üzerinde olduklarını bulmak da bize kaldı yani. İşte, bazı özellikleri verilen noktaların üzerinde bulundukları (belirttikleri) eğriye, o noktaların geometrik yeri, o noktaların üzerinde bulundukları eğrinin denklemine de o noktaların geometrik yer(inin) denklemi denir. Yani ‘’şu şu özellikleri sağlayan noktaların geometrik yer denklemini yazınız’’ demek, ‘’ o noktaların önce ne belirttiklerini bulun, sonra da ne belirtiyorlarsa onun denklemini yazınız’’ demektir. Bazen ne belirttiklerini önceden bulmak mümkün olmaz, mümkün olmaz derken bunu bulmak kolay olmaz, buna hayal gücümüz ya da zekamız yetmez. Böyle durumlarda

B

Mustafa YAĞCI

Çemberin Analitik İncelenmesi

da birazdan göstereceğimiz teknikle önce denklemi buluruz, sonra denklemin tipinden eğrinin tipine karar veririz. Şimdi, problemi bir de böyle sorup, çözelim:

Soru. O(u, v) noktasına r birim uzaklıkta bulunan P noktalarının geometrik yer denklemini yazınız. (r > 0) Çözüm: Önce bu noktaların P(x, y) nasıl bir şey oluşturacağını hayal edelim. Çünkü bulacar ğımız denklem onun denkleO(u, v) mi olacak. Evinin yolunu bulabilen herkes bu noktaların (u, v) merkezli, r yarıçaplı bir çember oluşturacağını bulabilir.

Soru. A(1, 3) ve B(5, 9) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan P noktalarının geometrik yer denklemini yazınız. Çözüm: Bu özelliği sağlayan bir P noktasının koordinatları (x, y) olsun. P(x, y) noktasının A(1, 3) ve B(5, 9) noktalarına olan uzaklıklarını bulup, bulduklarımızı eşitleyeceğiz: |PA| =

Bu özelliği sağlayan bir P noktasının koordinatları (x, y) olsun. P(x, y) noktasının O(u, v) noktasına olan uzaklığına r eşitleyeceğiz, olup bitecek:

( x − 1) 2 + ( y − 3) 2

|PB| = ( x − 5) 2 + ( y − 9) 2 olduğundan,

( x − u ) 2 + ( y − v) 2 = r olduğundan, her iki tarafın karesi alınırsa, (x – u)2 + (y – v)2 = r2 olur. Bu da daha önce dediğimiz gibi dik koordinat sisteminde merkezi (u, v) ve yarıçapı r olan çemberin denklemidir.

( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = ( x − 5) 2 + ( y − 9) 2 olmalıdır. Her iki tarafın karesi alınırsa, (x – 1)2 + (y – 3)2 = (x – 5)2 + (y – 9)2 2 x – 2x+1 + y2–6y+9 = x2–10x+25 + y2–18y+81 −2x − 6y + 10 = −10x – 18y + 106 8x + 12y − 96 = 0 2x + 3y – 24 = 0

Çember denklemi. Yan şekilde gördüğünüz üzere, merkezi (u, v) olup yarıçapı r > 0 olan bir çemberin denklemini bundan böyle (x – u)2 + (y – v)2 = r2 şeklinde yazacağız.

Fark ettiniz mi aynı sonucu bulduk! Eşitliğin birinci dereceden olması bize geometrik yerin bir ‘’doğru’’ olduğunu da söylüyor. Bu anlattıklarımızın çember analitiğiyle ne alakası var demeyin, eğer demişseniz de sözünüzü geri alın. Çembere geldik. Önce çemberin daha önce verdiğimiz tanımını hatırlayalım: Çember, sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan ve hepsi aynı düzlemde olan noktalar kümesiydi. ‘’Aynı düzlem’’ şartını koymazsak, ‘’küre’’yi anlatmış oluruz, buna dikkat edin.

y r

v O

u

x

Örnek. Merkezi M(2, −1), yarıçapı 3 birim olan çemberin denklemini yazınız. Çözüm: u = 2, v = −1 ve r = 3 olarak verildiğinden, çemberin denklemi: (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9. Örnek. x = −4 ve x = 2 doğrularına teğet ve merkezi y = x + 3 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemini yazınız. Çözüm: x = −4 ve x = 2 doğy ruları arasındaki uzaklık 6 birim olup, bu uzaklık çemberin 2 çapı olduğundan yarıçap 3 biO 2 -4 rimdir. Çemberin merkezi de -1 x -3 bu teğet doğrularının tam ortasından bunlara paralel geçen x = −1 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatı M(−1, p) şeklindedir. Merkez aynı zamanda y = x + 3 üzerinde olduğundan p = −1 + 3 yani p = 2 bulunur. O halde çember denklemi: (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9.

O sabit noktaya çemberin merkezi, eşit uzaklığa da çemberin yarıçapı derdik. Yani çember üzerinde bulunan noktaların ortak özelliği, merkez denen noktaya eşit uzaklıklarda bulunmalarıydı. O halde çember tanımını şöyle de yapabiliriz: Bir düzlemde alınan herhangi bir noktaya, eşit uzaklıkta ve yine o düzlemde olan noktaların geometrik yeridir. Tanımı bu yönde değiştirmemizin sebebi, biraz önce öğrendiğimiz geometrik yer denklemi bulma tekniğiyle, analitik düzlemde çemberin denklemini bulabilmekti. O zaman bulalım:

2

Mustafa YAĞCI


Örnek. Merkezi II. bölgede olup, A(1, 0) ve B(−5, 0) noktalarından geçen ve yarıçapı 3 2 birim olan çemberin denklemini yazınız. Çözüm: Yarıçap zaten verildiğinden merkezin koordinatlarını bulmak bize yetecek. Merkezin apsisi çemberin x y eksenini kestiği noktaları uç ka3 bul eden kirişin orta noktası yani 3 2 O (−2, 0)’dır. Taralı dik üçgenin -2 1x -5 ikizkenar dik üçgen çıkması dolayısıyla merkezin ordinatını da 3 olarak buluruz. O halde, çemberin denklemi, (x + 2)2 + (y – 3)2 = 18.

Konikler İkinci dereceden bir eğri ya da bir konik, x ve y koordinatları, ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + ƒ = 0 biçiminde, iki bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklemi sağlayan (x, y) noktalarından oluşur, yani {(x, y) kümesidir.

2

: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + ƒ = 0}

Buradaki a, b, c, d, e, ƒ katsayıları gerçel sayılardır. Bu katsayıların değerlerine göre eğrinin şekli değişir elbet...

Örnek. Çapının bir ucu (−1, 0), diğer ucu (1, 0) noktası olan çemberin denklemi nedir? Çözüm: Bahsettiğimiz çemberin birim çember olduğunu anlamışsınızdır. Yarıçapı 1 birimdir. Çapın ortası merkez olacağından merkez orijindir. O halde çemberin denklemi, (x – 0)2 + (y – 0)2 = 12, yani x2 + y2 = 1.

Eğer a, b ve c katsayılarının hepsi birden 0’sa denklemimiz dx + ey + ƒ = 0 denklemine dönüştüğünden, bu durumda “ikinci dereceden” hak edilmiş bir tamlama olmaz. Dolayısıyla bundan böyle a, b ve c katsayılarından en az birinin 0 olmadığını varsayacağız.

Merkezil çember. Bir önceki soruda olduğu gibi, merkezi orijin olan çemberlere merkezil çember denir. Yarıçapı r olan bir merkezil çemberin denklemi x2 + y2 = r2 şeklindedir.

Eğriye (koniğe) C adını verelim. Aslında C eğrisi a, b, c, d, e, ƒ katsayılarına göre değiştiğinden, C’den değil Ca,b,c,d,e,ƒ eğrisinden sözetmemiz gerekirdi ama yazılımı fazla ağırlaştırmak istemiyoruz. Örneğin, x2 + y2 + 1 = 0 denklemini sağlayan noktalar kümesi bir koniktir. Ama bu küme boştur, hiç elemanı yoktur! x2 + y2 = 0 denklemiyle verilen konik ise sadece (0, 0) noktasından oluşur. Öte yandan x2 − y2 = 0 denklemiyle verilen konik x = y ve x = −y doğrularının bileşimidir.

Örnek. A(−5, 12) noktasından geçen merkezil çemberin denklemini yazınız. Çözüm: Çember üzerindeki bir noktanın merkeze olan uzaklığı yarıçapı vereceğinden, bu çemberin yarıçapı, A(−5, 12) noktasının orijine uzaklığı olan 13 birimdir. O halde çember denklemi x2 + y2 = 169’dur. Şu çözüm de uygun olur: Madem A noktası çember üzerinde, A’nın koordinatları çember denklemini sağlıyor olmalıdır. Çember merkezil olduğundan denklemi x2 + y2 = r2 şeklindedir. (−5)2 + 122 = r2 = 169 olduğundan çember denklemi x2 + y2 = 169’dur.

Konikler, yukardaki örneklerdeki gibi birkaç istisna dışında, parabol, hiperbol ve elips denen eğrilerdir. İleriki derslerimizde a, b, c, d, e, ƒ katsayılarına göre bir koniğin ne zaman parabol, hiperbol ya da elips olduğunu göreceğiz, yani ikinci dereceden eğrileri sınıflandıracağız. Elbette parabol, hiperbol ve elipsi o zaman yeri geldiğinde tanımlayacağız. Çemberler elipslerin özel bir halidir. Örneğin x2 + y2 − 1 = 0 denklemi birim çemberi verir. Genel olarak (u, v) merkezli ve r yarıçaplı çemberin denklemi (x − u)2 + (y − v)2 − r2 = 0 dir ve bu da, kolayca görüleceği üzere, ikinci dereceden bir eğrinin denklemidir.

Çemberin genel denklemi. Çember dediğimiz geometrik şekil, aslında konikler denilen bir ailenin üyesidir. (Yandaki gri kutuya bakınız). O ailenin diğer tüm bireyleri gibi ikinci dereceden bir denkleme sahiptir. Peki nedir bu denklem? Yazının başında gizli kapaklı verdik aslında, şimdi onu açacağız: 3

Mustafa YAĞCI


Örnek. x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 çemberinin yarıçapını bulunuz. Çözüm: Bir önceki örnekte r = 5 olduğunu bulmuştuk ama formülün çalışıp çalışmadığını kontrol edelim. A = 4, B = −6 ve C = −12 olduğundan 1 r = ⋅ A 2 + B 2 − 4C 2 1 = ⋅ 4 2 + (−6) 2 − 4 ⋅ (−12) = 5. 2 Güzel, formül çalışıyor, ama dikkat ederseniz, r formülü kareköklü bir ifadeye eşit olduğundan canımızın her istediği A, B, C değerleri için bir yarıçapla karşılaşmayız. A2 + B2 − 4C > 0 olması gerekiyor ki denklem bir çember belirtsin. Aksi halde denklem ya hiçbir şey belirtmez ya da yarıçapı 0 olan bir çember, yani nokta belirtir.

Merkezi (u, v) ve yarıçapı r olan bir çemberin denklemi (x – u)2 + (y – v)2 = r2 idi. (x – u)2 + (y – v)2 = r2 x2 − 2ux + u2 + y2 − 2vy + v2 – r2 = 0 Düzenlersek, x2 + y2 − 2ux − 2vy + u2 + v2 − r2 = 0 olur ki −2u = A, −2v = B ve u2 + v2 − r2 = C olsun dersek, denklem x2 + y2 + Ax + By + C = 0 haline dönüşür ki, buna da çemberin genel denklemi veya kapalı denklemi denir

Çemberin kapalı denkleminden merkesinin koordinatlarının bulunması. Biz çemberin kapalı denklemine nerden ulaşmıştık? Merkezi (u, v) ve yarıçapı r olan bir çember denkleminin (x – u)2 + (y – v)2 = r2 olmasından… O halde x2 + y2 + Ax + By + C = 0 çemberinin de merkezi (u, v)’dir. A −2u = A olduğundan u = − , 2 B −2v = B olduğundan v = − ’dir. 2

Toparlayalım: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 denklemi A2 + B2 − 4C > 0 ise bir çember, A2 + B2 − 4C = 0 ise bir nokta, A2 + B2 − 4C < 0 ise boşküme belirtir.

Örnek. x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 çemberinin merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: Burada A = 4 ve B = −6 olarak verilmiş. 4 −6 ) = (−2, 3) olO halde merkez (u, v) = (− ,− 2 2 malıdır. İsteyen kapalı denklemi açık hale yani tamkarelerin bulunduğu hale getirerek de soruyu çözebilir, −12 yerine 4 + 9 − 25 yazıp düzenleyeceğiz: x2 + 4x + 4 + y2 − 6y + 9 − 25 = 0, (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 olduğundan merkez (−2, 3) hatta yarıçap da 5’dir.

Uyarı. O halde A2 + B2 − 4C ifadesini çember denkleminin diskriminantı olarak tanımlayabiliriz. Bu diskriminantın incelenebilmesi için x2 ve y2’li terimlerin katsayılarının 1 olması gerekir, değilse bile 1 yapılmalıdır. Yapılamıyorsa zaten çember denklemi değildir o! Ayrıca xy’li terimin de bulunmadığında dikkat ediniz. İçinde xy’li terim içeren bir denkleme illa çember denklemi denmişse anlayın ki xy’li terimin katsayısı sıfırdır. Örnek. (a + 2)x2 + (2a – 1)y2 + (a + b)xy = 20 eşitliği r yarıçaplı bir çember belirttiğine göre b + r toplamı kaçtır? Çözüm: a + 2 = 2a – 1 olmalı bir kere, yoksa olmaz. Yani a = 3’tür. Diğer yandan a + b = 0 olmalı, o halde b = −3. Şimdi denklemi tekrar yazalım: 5x2 + 5y2 = 20. Hemen x2 ve y2’li terimlerin katsayılarını 1 yapma amacıyla eşitliğin her iki tarafını 5’e bölelim: x2 + y2 = 4 olur ki bu da 2 birim yarıçaplı bir çember belirttiğinden sorulan b + r = −3 + 2 = −1’dir.

Bir çemberin kapalı denkleminden yarıçap uzunluğunun bulunması. u2 + v2 − r2 = C dediğimizi hatırlarsanız. r2 = u2 + v2 − C, A B = (− )2 + (− )2 − C, 2 2 2 2 A + B − 4C = 4 olur ki, her iki tarafın karekökü alınırsa, 1 r = ⋅ A 2 + B 2 − 4C 2 olarak bulunur.

Örnek. x2 + y2 − 8x + 4y + p = 0 denkleminin bir çember denklemi belirtmesi için m hangi aralıkta olmalıdır?

4

Mustafa YAĞCI


Çözüm: İki yoldan çözelim, birincisi formülü kullansın, ikincisi kafayı. Birinci yol. A2 + B2 – 4C > 0 yani (−8)2 + 42 − 4⋅p > 0 olmalı. Düzenlenirse 4⋅p < 80 yani p < 20 olmalıdır. İkinci yol. İfadeyi açık hale getirelim. Tamka-re haline getirmek için bir 16’ya bir de 4’e ihtiyacımız var. İfadeye 20 ekleyip 20 çıkaralım ki işimiz görülsün: x2 – 8x + 16 + y2 + 4y + 4 + p – 20 = 0 (x – 4)2 + (y + 2)2 = 20 – p olduğundan 20 – p > 0 olmalıdır, bundan dolayı p < 20 olursa denklem bir çember belirtir.

Çözüm: Yazacağımız çember diğeriyle aynı merkezli olduğundan denklemi x2 + y2 + 2x − 5y + C = 0 şeklindedir. Bu çember orijinden geçtiğinden (0, 0) noktası çember denklemini sağlamalıdır. x ve y yerlerine 0 yazarsak, C = 0 olduğunu buluruz ki, o halde cevap: x2 + y2 + 2x − 5y = 0.

Örnek. x2 + y2 − 3x + 4y + a = 0 denkleminin bir nokta belirtmesi için a kaç olmalıdır? Çözüm: Denklemin nokta belirtmesi için diskriminantının 0 olması gerekiyor. 25 (−3)3 + 42 − 4⋅a = 0 diye a = . 4

Örnek. x eksenini A(4, 0) ve B(9, 0) noktalarında kesen ve y eksenine teğet olan çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: Olası iki çember var. Bunlar da yanda resmedilen iki y çember. C ve D noktalarına göre M1 C kuvvet teoremi yazılırsa, 4 9 2 |OC| = |OA|⋅|OB| = 4⋅9 = 36 ol- O A B x duğundan |OC| = 6, benzer şe- D M2 kilde de |OD| = 6’dır. O halde merkezler arasındaki uzaklık |M1M2| = |CD| = 12.

Örnek. (m – 1)x2 + 2y2 + 6x − 8y − 4m = 0 denkleminin belirttiği çemberin yarıçapı kaç birimdir? Çözüm: Bir kere denklem çember belirtiyorsa x2 ve y2 terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. m − 1 = 2’den m = 3 bulunur. Bu değeri denklemde yerinde yazarsak 2x2 + 2y2 + 6x − 8y − 12 = 0 bulunur. Derhal eşitliğin her iki tarafını 2’ye bölelim: x2 + y2 + 3x − 4y − 6 = 0. Aslında denklem zaten çember belirttiğinden diskriminantı kontrol etmeye gerek yok ama yarıçap bulurken zaten ona da bakacağız: 1 r = ⋅ A 2 + B 2 − 4C 2 1 7 = ⋅ 3 2 + (−4) 2 − 4 ⋅ (−6) = . 2 2

Doğru ile çemberin kesim noktaları. Aslında burada anlatacağımız olay, sadece doğru ile çemberin değil, denklemleri verilen iki geometrik cismin kesim noktasını bulmak için genel yoldur. Elimizde bir x2 + y2 + Ax + By + C = 0 çemberiyle, bir dx + ey + f = 0 doğrusu olsun. Bu iki bilinmeyenli iki denklem sistemi çözülerek, (x, y) tiplerinde elemanları olan bir çözüm kümesi bulunur. İşte o elemanlar, aslında doğrunun çemberi kestiği noktaların koordinatlarıdır. Çözüm kümesi boşkümeyse, doğrunun çemberi kesmediğini, tek elemanlıysa sadece tek bir yerde kestiğini, yani teğet olduğunu, iki elemanlıysa da iki farklı yerde kestiğini anlarız. İkinci dereceden bir denklemin çözüm kümesi zaten daha çok elemanlı olmaz.

Örnek. x2 + y2 + 4x − 6y − 1 = 0 çemberiyle aynı merkezli ve y eksenine teğet olan çemberin denklemini yazınız. Çözüm: Verilen çemberin merkezi (−2, 3) olduğundan denklemini yazacağımız çemberin de merkezi (−2, 3) olmalıdır. Ayrıca bu çember y eksenine teğet olduğundan yarıçapı 2’dir. Hemen bir kenarda şekli çizerseniz görürsünüz. Merkez ve yarıçap bilindiğinden denklem, (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4.

Örnek. x2 + y2 − 3x + 5y − 5 = 0 çemberinin x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır? Çözüm: x ekseni aslında y = 0 doğrusundan başka bir şey değildir. Demek ki, denklemde y yerine 0 yazacağız ve x’leri hesaplayacağız. Ben yazdım, x2 − 3x − 5 = 0 çıktı. Burada x’leri ayrı ayrı bulmaya gerek yok, çünkü bu x’leri toplamı soruluyor. Kökler toplamı formülünden x1 + x2 = 3’tür. Örnek. x2 + y2 − x + 3y − 20 = 0 çemberini, y = 2x − 1 doğrusu birinci bölgede nerde keser? Çözüm: Hemen çember denkleminde y gördüğümüz yere 2x − 1 yazacağız.

Örnek. x2 + y2 + 2x − 5y + 4 = 0 çemberiyle aynı merkezli olup, orijinden geçen çemberin denklemini yazınız. 5

Mustafa YAĞCI


x2 + (2x – 1)2 − x + 3⋅(2x – 1) – 20 = 0 x2 + 4x2 − 4x + 1 − x + 6x – 3 – 20 = 0 5x2 + x – 22 = 0 çıkar ki, bu denklemin diskriminantı pozitif olduğundan iki farklı kökü vardır, demek ki kesişim noktası 2 taneymiş. O halde bu noktaları bulup, birinci bölgede olanı alalım.

İkinci yol. Çemberin merkezi olan M(0, 2) noktasının doğruya en uzaklığı tam yarıçap kadar olursa, doğrunun çembere teğet olduğunu anlarız. Çemberin yarıçapının 5 olduğu da sırıtıyor. M(0, 2) noktasının y + 2x − a = 0 doğrusuna uzaklığının 5 olması gerekir. 2+ 2⋅0 − a 5= 12 + 2 2 diye |2 − a| = 5 olmalıdır. Buradan 2 − a = 5 veya 2 − a = −5 diyerek a’nın −3 veya 7 olması gerektiğini anlarız ki a’nın alabileceği değerler toplamı −3 + 7 = 4’tür.

− 1 m 12 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−22) − 1 m 21 = 2⋅5 10 11 olduğundan x1 = 2 ve x2 = − ’dir. Birinci bölge5 deki nokta sorulduğundan x = 2’yi alacağız. x = 2 için y = 2⋅2 – 1 = 3 olacağından noktamız (2, 3)’tür.

x=

Örnek. y = 3 doğrusunun x2 + y2 − 2x − y + k = 0 çemberine teğet olması için k kaç olmalıdır? Çözüm: Hemen çember denkleminde y yerine 3 koyalım: x2 + 9 – 2x – 3 + k = 0 yani x2 – 2x + k + 6 = 0 olur. Doğrunun çembere teğet olması için bu denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı yani bu denklemin bir tamkare olması lazım. O halde k + 6 = 1 yani k = −5 olmalıdır.

Örnek. x2 + y2 − 3x + 4y – 10 = 0 çemberinin x ekseninde ayırdığı kirişin boyu kaç birimdir? Çözüm: Kısacası çemberin x eksenini kestiği noktaları bulup, aradaki uzaklığı hesaplamamız gerekiyor. Bunun için de y = 0 vermeliyiz. buradan x2 − 3x − 10 = 0 çıkar ki (x − 5)⋅(x + 2) = 0 olduğundan kesim noktalarının (−2, 0) ve (5, 0) olduğunu anlarız. O halde cevap 7’dir.

Örnek. y + 2x − a = 0 doğrusunun x2 + (y – 2)2 = 5 çemberine teğet olması için a’nın alabileceği değerler toplamı kaç olmalıdır? Çözüm: İki farklı yoldan çözeceğiz. Lütfen her ikisini de inceleyiniz. Tavsiyemiz ikincisi tabii ki. Ama herkesin de aklına gelmez!

Örnek. x2 + y2 − 2x − 4y – 4 = 0 çemberiyle 4x + 3y − 5 = 0 doğrusunun arasındaki en büyük uzaklık kaç birimdir? Çözüm: Merkezin M(1, 2) ve B yarıçapın r = 3 olduğunu denklemden hemen çıkarttık. Çember M(1,2) C 1 üzerinde bu doğruya en uzak A 3 nokta, şekildeki P noktasıdır. P P’nin doğruya uzaklığı ise r + |MC| kadardır. Demek |MC|’yi bulmak soruyu çözdürecek bize. Noktanın doğruya uzaklığı formülünden 4+6−5 |MC| = =1 4 2 + 32 olduğundan |PC| = 3 + 1 = 4’tür.

Birinci yol. İki denklemin birleşiminden ortaya çıkan denklemin tek kökü olmalı ki doğru çembere teğet olsun. Doğru denkleminden y = −2x + a olduğu için bu y değerini çember denkleminde yerine yazacağız. x2 + (−2x + a − 2)2 = 5, x2 + 4x2 − 4(a − 2)x + (a − 2)2 = 5, 5x2 − (4a − 8)x + a2 − 4a + 4 = 5, 5x2 − (4a − 8)x + a2 − 4a − 1 = 0 denkleminin diskriminatının 0 olması lazım ki tek kökü olsun. (4a − 8)2 − 4⋅5⋅(a2 − 4a − 1) = 0, 16a2 − 64a + 64 − 20a2 + 80a + 20 = 0, −4a2 + 16a + 84 = 0, a2 − 4a − 21 = 0 olduğundan a’nın alabileceği değerler toplamı, kökler toplamı formülünden, a1 + a2 = 4 olur.

İki çemberin kesim noktası. Tüm çember denklemlerinin, bize öyle verilmeseler bile, x2 + y2 ile başlar duruma getirilebileceğini biliyoruz. Şimdi elimizde öyle iki çember olduğunu düşünün. Örneğin, x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

6

Mustafa YAĞCI


Çözüm: İlk çemberin merkezinin (2, −3) ve yarıçapının 2 olduğunu, ikinci çemberin de merkezinin (−1, 1) ve yarıçapının 4 olduğunu hemen kaydedelim. Merkezler arasındaki uzaklık, iki nokta arasındaki uzaklık formülünden, küçücük bir hesapla hemen 5 olarak bulunur. O halde verilen çemberler arasındaki en uzun 5 2 4 A B aralık yanda gösM1 M2 terildiği üzere |AB| olur. 2 + 5 + 4 = 11.

çemberleri verilmiş olsun. Bu iki denklem ortak çözülürse, örneğin ilkinden ikincisini çıkartırsak, geriye (A – D)x + (B – E)y + (C – F) = 0 gibi bir doğru denklemi kalır ki, bu doğru iki çemberin kuvvet ekseninin denklemi1 olur. (Neden?) Şimdi bu kuvvet ekseni denklemiyle, çemberlerden canınızın istediği bir tanesinin denklemini ortak çözün. Eğer ortaya çıkan denklemin iki farklı kökü varsa, anlarız ki kuvvet ekseni o çemberi iki farklı noktada kesiyor, o halde bu çemberler iki farklı noktada kesişiyor. Zaten iki farklı noktada kesişen çemberlerin kuvvet ekseni, bu kesim noktalarından geçen doğru değil miydi? Eğer ortaya çıkan denklemin tek kökü varsa da, benzer şekilde çemberlerin birbirlerine teğet olduklarını anlarız. Eğer denklemin çözüm kümesi boşküme ise kuvvet ekseninin çemberi kesmediğini anlayarak, bu çemberlerin de aslında birbirlerini kesmediğini anlamış oluruz.

Örnek. (x – 5)2 + (y – 4)2 = 36 çemberiyle, merkezinin koordinatları M(−3, −2) olan çember birbirine dıştan teğettir. M merkezli çemberin yarıçapı kaç birimdir? Çözüm: Denklemi verilen çemberin merkezinin (5, 4) ve yarıçapının 6 olduğu sırıtıyor. Birbirine dıştan teğet çemberlerde, merkezler arasındaki uzaklığın yarıçaplar toplamına eşit olduğunu da biliyoruz. Hayal edemeyen hemen şekil çizerek görsün. O halde merkezler arasında uzaklığı hesaplayalım hemen: İki nokta arasındaki uzaklık formülünden 10 buluruz. 10 = 6 + r olduğundan r = 4’tür.

Örneklerle daha iyi anlayacaksınız.

Örnek. x2 + y2 + 2x – 3y – 4 = 0 çemberiyle x2 + y2 – x + 1 = 0 çemberinin varsa kesim noktalarını bulunuz. Çözüm: İki denklemi ortak çözeceğiz. Hemen birini diğerinden çıkaralım da şu x2 ve y2’den kurtulalım: x2 + y2 + 2x – 3y – 4 −(x2 + y2 – x + 1) = 0, 3x – 3y – 5 = 0. Bu bulduğumuz birinci dereceden denklem yani doğru denklemi, çemberler kesişseler de kesişmeseler de çemberlerin kuvvet ekseninin denklemidir. Bu doğruyla herhangi bir çemberi birlikte düşününce, eğer çözüm bulabilirsek kesim noktası veya noktalarını da buluruz, eğer çözümü yoksa anlarız ki çemberler kesişmiyor. 5 3x – 3y – 5 = 0 yani y = x − olduğundan çember 3 denklemlerinin birinde bu değeri yerine yazacağız, ben ikincisinde yazdım, 18x2 – 39x + 34 = 0 çıktı. Bu denklemin diskriminantı negatif olduğundan çemberler birbirini kesmezler.

Örnek. (x − a)2 + y2 = 16 çemberiyle (x + 4)2 + y2 = 9 çemberi dik kesiştiklerine göre a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? Çözüm: Önce iki çemberin dik kesişmesinin ne demek olduğunu hatırlayalım. M1 ve M2 merkezli iki çember A ve B noktalarında kesişiyor olsunlar. M1AM2 ve M1BM2 açıları dik ise çemberler dik kesişiyor denir. Hemen buna göre şeklimizi çizelim: İlk çemberin merkezi A M1(a, 0) ve yarıçapı 4 4 3 olur. İkinci çemberin merkezi M1 M2 ise M2(−4, 0) ve yarıçapı 3 olur. |M1M2| = 5 olması gerektiğinden iki nokta arasındaki uzaklık formülü gereğince a’nın 1 veya −9 olabileceğini buluruz. O halde cevabımız 1 + (−9) = −8.

Örnek. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 çemberiyle (x + 1)2 + (y – 1)2 = 16 çemberinin arasındaki en uzun aralık kaç birimdir?

Çemberde teğet denklemleri. Bir çember denklemimiz var diyelim. Bu denklemi sağlayan bir de noktamız. Nokta denklemi sağladığı için, noktanın aslında çember üstünde olduğunu biliyoruz. Peki

1

Kuvvet ekseninin ne olduğunu hatırlamıyorsanız, ya çember notlarına tekrar bakın ya da gelin bana sorun.

7

Mustafa YAĞCI


çember üzerindeki bir noktadan çembere kaç farklı teğet çizilebilir? Bilirsiniz, sadece 1 tane. İşte sadece 1 tane olduğundan dolayı bu teğetin denklemi sorulabilir bize. Şimdi teğet denklemini nasıl yazacağımıza gelelim: Teğetin, değme noktasıyla t merkezi birleştiren yarıçapa A(x1, y1) dik olduğunu biliyoruz. Analitik geometride diklik deyince M(u, v) de aklımıza eğimler çarpımının −1 olması gelmeli. Değme noktası ve merkez belli olduğundan yarıçapın eğimi bulunur, buradan teğetin eğimi bulunur. Teğetin hem eğimi hem de üzerinde bir nokta bilindiğinden (değme noktası), denklemi rahatlıkla yazılabilir. Yazalım: Çemberin merkezi M(u, v) ve değme noktası da A(x1, y1) olsun. v − y1 u − x1 mMA = olduğundan mt = − olur. Şu u − x1 v − y1 durumda teğetin hem eğimi biliniyor hem de üzerinde bir nokta. Daha ne duruyoruz? u − x1 y – y1 = − (x – x1) v − y1

Çözüm: Merkez (−3, 2) olduğundan, normal de bu iki noktadan geçtiğinden, hemen normal denklemini yazabiliriz: −1− 2 mn = = 3 olduğundan normal denklemi − 4 − (−3) y + 1 = 3⋅(x + 4) yani y = 3x + 11’dir. Normal ile teğer her daim dik kesişeceklerinden 1 mn = 3 ise mt = − olup, teğet denklemi y + 1 = 3 1 − ⋅(x + 4) yani x + 3y + 7 = 0’dır. 3 Örnek. (x + 6)2 + (y – 1)2 = 10 (x – 1)2 + (y – 2)2 = r2 çemberleri veriliyor. Bu çemberlerin ortak bir dış teğeti çiziliyor. Teğet değme noktaları sırasıyla A ve B olup, A(−3, 2) ise r kaçtır? Çözüm: M1(−6, 1) ve A(−3, 2) M2(1, 2) olduğunu hemen not edelim. Şimdi teğetin B eğimini bularak denklemi M1 yazalım. r1’in eğimi M2 2 −1 1 = olduğun− 3 − ( − 6) 3 dan AB doğrusunun eğimi −3’tür. O halde AB’nin denklemi y – 2 = −3⋅(x + 3) yani 3x + y + 7 = 0’dır. Şimdi M2 noktasının AB doğrusuna uzaklığı bize r2 = r’yi verecek. 3 ⋅1 + 2 + 7 12 6 r= = = 10 . 2 2 10 5 3 +1

Çemberde normal denklemleri. Teğet doğrusu, adı üstünde, bir doğrudur. Bir doğruya kaç farklı dik doğru vardır? Bir sürü… Peki, üzerindeki belli bir noktadan kaç farklı dik çizilebilir? Sadece 1 tane değil mi? İşte, teğete, tam çembere teğet olduğu noktadan çizilen dik doğruya normal doğrusu den t nir. Anlayacağınız, değme A(x1, y1) noktasıyla merkezi birleştiren M(u, v) doğrudur normal doğrusu. Değme noktası ve merkez bilindiğinden derhal eğimini bulalım: v − y1 mn = olduğundan A(x1, y1) noktasından çiu − x1 zilen normalin denklemi şudur: v − y1 y – y1 = ⋅(x – x1) u − x1

Teğet parçasının uzunluğu. Bir çember ve dışında bir nokta verilir. Bu noktadan çembere iki farklı teğet çizilir ama ikisinde de teğet parçası eşit boyda olur. İşte bu teğet parçasının boyunu hesaplamayı öğreneceğiz. Çember denklemi verildiğinden merkez olan M noktasının koordinatlarını buluruz. Noktamız da P olsun. P’den çembere bir teğet çizip, merkezle değme noktasını birleştiren yarıçapı da çizdiğimizde bir dik üçgen oluşur ki, hipotenüs M ile P noktaları arasındaki uzaklıktır. Bir dik kenar da yarıçap olduğundan çember denkleminden bulunur, geriye sadece Pisagor Teoremi’nden diğer dik kenarın yani teğet parçasının boyunun bulunması kalır, bu kadar kolay!

Örnek. x2 + y2 + 6x − 4y + 3 = 0 çemberinin üzerindeki (−4, −1) noktasından çizilen teğetin ve normalin denklemlerini yazınız.

Örnek. x2 + y2 − 4x − 2y + 1 = 0 çemberine, dışındaki bir A(5, 3) noktasından çizilen teğet parçasının uzunluğu kaçtır? 8

Mustafa YAĞCI

T


x

2

P(5, 3)

M(2, 1)

2

13

Çözüm: Merkezin M(2, 1) ve yarıçapın r = 2 olduğunu hemen bulup, şekle yazın. |PM| = 13 ve r = 2 diye |PT| = x = 3.

31 1 26 x − y+ =0 5 5 5 Eşitliğin her iki tarafı da 5’le çarpalım: 5x2 + 5y2 − 31x − y + 26 = 0.

x2 + y2 −

Çemberin düzlemde ayırdığı bölgeler. Anlayacağınız eşitsizliklere geldik. Nasıl ki bir doğru denkleminin eşitliğini eşitsizlik halinde yazdığımızda ifade doğruyu değil bir bölgeyi işaret ediyordu, çemberlerde de öyle.

2

Örnek. x + y – 2x + 3y – 5 = 0 çemberine, dışındaki P(4, 5) noktasından çizilen teğet parçasının uzunluğu kaçtır? T x Çözüm: Merkezin P(4, 5) 3 M(1, − ) ve yarıçapın M(1, 3 ) 2 2 1 r = 33 olduğunu he2 1 205 ve r men bulup, şekle yazın. |PM| = 2 1 = 33 olduğundan |PT| = x = 43 . 2

Bunun manası şudur: Örneğin, x2 + y2 = 4 çemberi, aslında bu kuralı sağlayan (x, y) noktalarının düzlemdeki görüntüleridir. x2 + y2 < 4 eşitsizliği de bu kuralı sağlayan noktaların görüntüsü olmalı. Yani, bir anlamda x2 + y2 = 3.999, x2 + y2 = 2.71, x2 + y2 = 1.673, … gibi eşitlikleri sağlayan tüm noktalar x2 + y2 < 4 görüntüsünü oluşturacak. Anlayacağınız cevap, çemberin iç bölgesindeki tüm noktalardır.

Üç noktası bilinen çember denkleminin yazılması. Bir konik üzerindeki bir noktanın, koniğin denklemini sağladığı için orada olduğunu öğrenmiştik. O halde çember üstünde olduğu söylenen (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) noktaları x2 + y2 + Ax + By + C = 0 denklemini sağlamalıdır. x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0, x22 + y22 + Ax2 + By2 + C = 0, x32 + y32 + Ax3 + By3 + C = 0 dedikten sonra, bu üç bilinmeyenli üç denklem sistemi çözülür ve A, B, C değerleri bulunarak çember denkleminde yerlerine yazılır.

y

y r

v O

u

x

(x − u)2 + (y − v)2 < r 2

y

u

x

(x − u)2 + (y − v)2 < r 2

u

r

v x

(x − u)2 + (y − v)2 > r 2

Örnek. A(1, 0), B(4, 2) ve C(5, 1) noktalarından geçen çemberin denklemini yazınız. Çözüm: Denklem x2 + y2 + Ax + By + C = 0 olsun. Noktalarıyla sırasıyla yerlerine koyacağız: A + C = −1 4A + 2B + C = −20 5A + B + C = −26 İlk iki denklemi ortak çözersek, 3A + 2B = −19 ve son iki denklemi ortak çözersek de A − B = −6 olur. Sistemi, iki bilinmeyenli iki denkleme dönüştürdüğümüzü fark ettiniz değil mi? Hemen bu31 1 nu da çözelim. A = − , B = − olur. Yerlerine 5 5 26 yazarsak C = bulunur. Böylelikle soru çözül5 müş oldu. Üşenmeden yerlerine yazalım:

O

y r

v O

r

v

O

u

x

(x − u)2 + (y − v)2 > r 2

Şimdi bunu genelleyeceğiz: (x – u)2 + (y – v)2 < r2 ise çemberin içini, (x – u)2 + (y – v)2 > r2 ise çemberin dışını tarayacağız. Eğer eşitlik de varsa, bölgeye çemberin kendisini dahil edeceğiz, yoksa çemberi kırık çizgilerle çizerek, çemberin dahil olmadığını söylemek isteyeceğiz. Üst şekilleri inceleyiniz.

Örnek. (x – 3)2 + (y – 3)2 < 9 ve y – x > 0 eşitsizliklerini sağlayan kümeyi düzlemde gösteriniz. Çözüm: Her iki eşitsizliğin de görüntülerini çizip kesiştikleri yeri cevap olarak vereceğiz. 9

Mustafa YAĞCI


(x – 3)2 + (y – 3)2 < 9 eşitsizliğinin görüntüsü (3, 3) merkezli 3 birim yarıçaplı çemberin iç bölgesidir. y – x > 0 eşitsizliğinin x O görüntüsü de y = x doğrusunun üst bölgesidir. Her ikisinin kesişimi, yanda en koyu renkle taranmış, çemberin iç kısmının doğrunun üstünde kalan bölgesidir. Her iki ifadede eşitlik olmadığından doğruyu da çemberi de kesik çizgilerle çizdiğimize dikkat ediniz. y

Örnek. x2 + (y – 3)2 ≤ 9 ve y + 2x > 4 eşitsizliklerini sağlayan kümeyi düzlemde gösteriniz. Çözüm: Her iki eşitsizliğin de görüntülerini çizip kesiştikleri yeri cevap olarak vereceğiz. x2 + (y – 3)2 ≤ 9 eşitsizliğinin y görüntüsü (0, 3) merkezli 3 bi6 rim yarıçaplı çemberin iç bölge4 3 sidir. y + 2x > 4 eşitsizliğinin görüntüsü de y = 4 − 2x doğrux O 2 sunun üst bölgesidir. Her ikisinin kesişimi, yanda en koyu renkle taranmış, çemberin iç kısmının doğrunun üstünde kalan bölgesidir. İlk ifadede eşitlik olduğundan çemberi normal çizgiyle ama ikinci ifadede eşitlik olmadığından doğruyu kesik çizgilerle çizdiğimize dikkat ediniz.

10

5.

Alıştırmalar

1. Köşelerinin koordinatları A(−5, 0), B(11, 0) ve C(−5, 12) olan ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgenin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x − 4)2 + (y + 5)2 = 64 B) (x − 3)2 + (y – 6)2 = 100 C) (x − 8)2 + (y + 6)2 = 100 D) (x − 3)2 + (y + 6)2 = 81 E) (x − 6)2 + (y – 3)2 = 121

x = 2⋅sin t − 1 y = 2⋅cos t + 3 şeklinde anlatılan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x − 1)2 + (y + 3)2 = 5 B) (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4 C) (x + 1)2 + (y − 3)2 = 4 D) (x + 1)2 + (y − 3)2 = 5 E) x2 + y2 = 9

6.

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13 çemberinin A(5, 1) noktasındaki teğetine paralel olan teğetin değme noktası aşağıdakilerden hangisidir?

2.

(x + 7)2 + (y – a)2 = 25 çemberiyle 3y – 4x = 13 doğrusu arasındaki en kısa uzaklık 7 birim ise a kaçtır? A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

A) (−1, −3) D) (−2, 0)

B) (−1, 2) E) (3, 2)

C) (1, 3)

E) 17

7. Merkezi x ekseni üzerindeki M merkezli çembere, 4y – 3x = 24 doğrusu A noktasında teğettir. Buna göre dairenin alanı kaç br2.dir?

3. Şekildeki çember y + 3 x – n = 0 doğrusuna ve x eksenine x = −5 3 apsisli noktada teğettir. A( 3 , 0) noktası çembere en uzak kaç birim uzaklıktadır? A) 9

B) 12

C) 15

y

A) 5

M

D) 16

A -5 3

O

3

B) 6

C) 7

D) 8

y 4y−3x=24 A

O M

x

E) 9

x

8.

E) 17

x2 + (y – 3n)2 = 49 çemberiyle (x – 4n)2 + y2 = 9 çemberi birbirlerine dıştan teğettir. Buna göre n kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

4. Merkezi x ekseninin pozitif tarafında ve x ekseni üzerinde olan, ayrıca y = −3 doğrusu ile −3x + 4y − 12 = 0 doğrusuna teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 1)2 + y2 = 9 C) (x + 1)2 + y2 = 9 E) x2 + y2 = 9

B) x2 + (y − 1)2 = 9 D) x2 + |y + 1|2 = 9

9.

Köşelerinin koordinatları A(−2, 7), B(−2, −1) ve C(4, −1) olan ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

Mustafa YAĞCI


10.

15.

Merkezi M(−5, −12) olan çember y eksenine teğettir. Çemberin orijine olan en kısa uzaklığı kaç birimdir? A) 5

B) 6

C) 8

D) 10

E) 11

M merkezli çember x eksenine A noktasında, y = − 3 x doğrusuna B noktasında teğettir. A(−2 3 , 0) olduğuna göre merkezin ordinatı kaçtır?

A O x B M

A) −2

E) −6

B) −3

C) −4

y

D) −5

11.

x2 + y2 + 2x − 3y − 28 = 0 çemberinin y ekseninin kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

16.

x2 + y2 + 2x + 4y − 4 = 0 çemberinin noktalarından biri A(2, −2)’dir. Çemberin A’ya en uzak noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

E) 14

A) (−2, −4) D) (−4, −2)

B) (2, 4) E) (−4, 2)

C) (4, −2)

12.

x2 + (a – 2)y2 – 4x + 2y – 4a + 1 = 0 çemberinin yarıçapı kaç birimdir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

17.

E) 6

A(−4, 3) noktasının eksenlere göre simetrikleri B ve C’dir. ABC üçgeninin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

13.

A) x2 + y2 = 25 B) x2 + y2 + 2x = 4 C) x2 + y2 = 9 D) x2 + y2 + 2x + 3y = 9 E) x2 + y2 + 2x − 5 = 0

x2 + y2 – 10x – 8y + 32 = 0 çemberinin y = −2 doğrusuna en uzak noktası kaç birim uzaklıktadır? A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

18.

14.

x2 + y2 – 12x + 8y + 43 = 0 çemberinin A(7, −3) noktasından geçen kirişlerinden en büyüğünün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A(1, −1) ve B(8, 6) noktalarından geçen, merkezi 2y – 3x + 6 = 0 doğrusu üzerinde olan çemberin denklemi hangisidir?

A) 2y − x + 10 = 0 C) y − x + 10 = 0 E) y = x + 2

A) x2 + y2 − 8x + 6y + 1 = 0 B) x2 + y2 − 4x + 3y = 9 C) x2 + y2 + 4x − 3y = 25 D) x2 + y2 = 25 E) x2 + y2 − 8x + 6y = 0

B) y − x + 10 = 0 D) y = x

12

Mustafa YAĞCI


23.

19.

x + y − 2x + 3y − 18 = 0 çemberiyle 2x – y – 1 = 0 doğrusunun kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? 2

y = x + 6, y = 2 − x doğruları ve x ekseni arasında kalan üçgenin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

2

A) −3

B) −2

C) 0

D) 1

A) x2 + y2 − 12 = 0 B) x2 + y2 + 4x − 12 = 0 C) x2 + y2 − 2y + 12 = 0 D) x2 + y2 = 16 E) x2 + y2 + 2x − y − 12 = 0

E) 2

20.

x2 + y2 = 3 çemberine dışındaki A(2, 3) noktasından çizilen teğetlerin denklemleri aşağıdakilerden hangisidir? A) y = (6 + 30 )x − 30

24.

(x + a + 2b)2 + (y – a – b)2 = r2 çemberinin merkezinin koordinatları M(−2, 4) olduğuna göre a – b farkı kaçtır?

y = (6 − 30 )x + 30 B) y = (6 + 30 )x − 3

y = (6 + 30 )x + 3 A) −8

C) y = (6 + 30 )x − 3 − 30

B) −4

C) 4

D) 8

E) 9

y = (6 − 30 )x + 30 − 3 D) y = 30 x + 6 − 30

y = 30 x − 6 + 30

25.

4x2 + 4y2 – 8x + 20y – 7 = 0 çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

E) y = (3 − 30 )x + 6 + 30

y = (3 + 30 )x + 6 − 30

A) 1

21. Ordinat eksenine (0, 3) noktasında teğet olan ve merkezi y = −x üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

3 2

C) 2

D)

5 2

E) 3

26.

x2 + y2 + 2x − 2y = 2 çemberinin 4y + 3x + 24 = 0 doğrusuna en yakın noktası A’dır. A’nın doğruya uzaklığı kaç birimdir?

A) x + y + 3x − 3y + 9 = 0 B) x2 + y2 + 6x − 6y + 9 = 0 C) x2 + y2 + 6x − 6y + 9 = 0 D) x2 + y2 + 9 = 0 E) x2 + y2 − 3x + 3y + 6 = 0 2

B)

2

A) 2

B) 3

C) 4

27.

22.

D) 5

E) 6

x = −4 ve x = 8 doğrularına teğet olan çemberin merkezi 2y – x – 2 = 0 üzerindedir. Çemberin denklemi hangisidir?

3y − 2x = 12 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x + 2)2 + (y − 2)2 = 36 B) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 36 C) (x − 2)2 + (y − 2)2 = 36 D) (x − 2)2 + (y + 2)2 = 36 E) (x − 1)2 + (y – 1)2 = 25

A) x2 + y2 + 6x − 4y = 0 B) x2 + y2 + 3x − 2y + 13 = 0 C) x2 + y2 + 6x = 0 D) x2 + y2 − 6x + 4y − 1 = 0 E) x2 + y2 + 6x − 4y + 13 = 0 13

Mustafa YAĞCI


28.

33.

(x + 3)2 + (y – 1)2 = 1 (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 çemberlerinin en uzak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 8

B) 7

C) 6

D) 5

x2 + y2 + 3x − 2y + 4 = 0 ve x2 + y2 + x + 3y − 5 = 0 çemberlerinin kuvvet eksenlerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x − 5y + 9 = 0 C) 2x − y + 1 = 0 E) 2x + 5y − 1 = 0

E) 4

B) x + 3y + 8 = 0 D) 2x − 3y + 5 = 0

29. (x – 2)2 + (y + 3)2 – 169 = 0 çemberinin A(−1, 1) noktasından geçen en kısa kirişinin uzunluğu kaç birimdir? A) 14

B) 15

C) 18

D) 20

34.

x2 + y2 = 25 çemberiyle (x – 13)2 + y2 = r2 çemberi dik kesişmektedir. Buna göre r kaç birimdir?

E) 24 A) 7

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

30.

Koordinat eksenlerine teğet olan çember A(2, −1) noktasından geçiyor. Koordinat eksenleriyle çember arasında kalan bölgenin alanı, aşağıdakilerden hangisinin 4 − π katı kadar br2.dir? A)

7 4

B)

5 4

C)

3 4

D)

35.

x2 + y2 = 25 çemberi üzerindeki A(3, −4) noktasından çizilen normalin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? A)

1 4

E) 4

4 3

B) −

4 3

C)

3 4

D) −

3 4

E) −1

36.

x2 + y2 + 2x − ay + 9 = 0 çemberi ordinat eksenine teğettir. Buna göre a kaçtır?

31. Şekildeki çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x − 4)2 + (y − 3)2 = 5 B) (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 C) (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25 D) x2 + y2 + 4x − 3y = 0 E) (x + 4)2 + (y + 3)2 = 5

y 6

A) 6 O

C) 4

D) 3

E) 2

8 x

37. Koordinat eksenlerine üçüncü bölgede teğet olan ve merkezi 3x + 2y + 15 = 0 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

32.

(x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 çemberine üzerindeki A(1, 5) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x − 3y − 16 = 0 C) 4x + 3y − 9 = 0 E) 4x + 3y − 19 = 0

B) 5

A) (x − 3)2 + (y − 3)2 = 9 B) (x − 3)2 + (y + 3)2 = 9 C) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9 D) (x + 3)2 + (y − 3)2 = 9 E) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 5

B) 4x + 3y − 20 = 0 D) 4x − 3y + 14 = 0

14

Mustafa YAĞCI


38.

43.

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 çemberiyle aynı merkezli ve 3x − 4y + 9 = 0 doğrusuna teğet olan çember arasında kalan daire halkasının alanı kaç π br2.dir?

x2 + y2 = 9 çemberine A(−5, 0) noktasından çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir? A) 1

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

E) 8

44. 39.

y

Şekildeki çember eksenleri A, B ve C’de kesmektedir. A(−4, 0), B(0, 2) olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 4

B) 5

C) 6

x2 + y2 + 2ky = 0 çemberine dışındaki A(5, −4) noktasından çizilen teğet parçasının uzunluğu 9 birim ise k kaçtır?

C M

A) 3

B

B) 5

C) 7

D) −5

E) −6

A O x

D) 7

E) 8

45. y = x – 1 ve y = x + 7 doğrularına teğet olan ve merkezi y ekseni üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

40.

Şekilde (x – 6)2 + y2 = 36 olan çembere 4y − ax = 4a teğeti çizilmiştir. B’nin ordinatı kaç birimdir? A) 4

B)

16 5

C)

17 5

D)

A) x2 + y2 + 3y − 8 = 0 B) x2 + y2 − 4y + 1 = 0 C) x2 + y2 + 6y + 9 = 0 D) x2 + y2 − 2y + 3 = 0 E) x2 + y2 − 6y + 1 = 0

y B A O

19 5

C

E)

x

24 5

46. A(−3, 0) ve B(5, 0) noktalarından geçen ve merkezi y = −x doğrusu üzerinde olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

41. Dördüncü bölgede ve eksenlere teğet olan çemberin merkezi x − y − 6 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + y2 − 2x + 2y + 17 = 0 B) x2 + y2 − 2x + 2y − 15 = 0 C) x2 + y2 + 2x + 2y + 17 = 0 D) x2 + y2 − 2x − 2y − 15 = 0 E) x2 + y2 − 2x − 2y − 17 = 0

A) x2 + y2 − 6x + 6y + 9 = 0 B) x2 + y2 − 6x − 6y + 9 = 0 C) x2 + y2 + 6x + 6y + 9 = 0 D) x2 + y2 − 3x + 3y + 9 = 0 E) x2 + y2 − 3x − 3y + 9 = 0

47.

m(A) = 90o olan ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları A(−2, 4) ve B(−4, 0) ise ABC üçgeninin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

42.

x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0 çemberinin üzerindeki A(2, −5) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2y + x = 0 C) 2y − x + 4 = 0 E) 2y − x + 5 = 0

A) x2 + (y + 1)2 = 25 B) (x − 1)2 + y2 = 100 C) x2 + (y + 1)2 = 36 D) (x − 1)2 + y2 = 25 E) (x − 1)2 + y2 = 36

B) 2y − x + 2 = 0 D) 2y + x − 5 = 0

15

Mustafa YAĞCI


48.

53.

O(0, 0) noktasının x + y − 6x + 8y + 24 = 0 çemberine en büyük uzaklığı kaç birimdir? 2

A) 4

B) 5

2

C) 6

D) 7

x2 + y2 = 13 çemberinin üzerindeki A(−2, 3) noktasından çizilen teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

E) 8 A) 2x − 3y + 13 = 0 C) 2x − 4y + 11 = 0 E) 2x + 3y + 5 = 0

B) 2x + 3y − 12 = 0 D) 2x − 3y − 9 = 0

49.

x2 + y2 − 18x − 14y + 94 = 0 çemberiyle x2 + y2 − 2x − 2y − 7 = 0 çemberinin en uzak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

54. A) 11

B) 14

C) 17

D) 18

Şekildeki M çemberi C(4, 0) noktasında x eksenine teğettir. y eksenini A ve B noktalarında kesen çemberin [AB] kirişinin uzunluğu 6 birimdir. Bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

E) 19

50. A(−6, 1), B(0, 3) ise [AB] çaplı çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

B

55.

51.

x + y − 2(m − 3)x + 8y − 16 = 0 çemberi x eksenini A ve B noktalaında kesiyor. [AB]’nin orta noktasının apsisi 2 ise çemberin yarıçapı kaç birimdir?

Şekilde [OA çembere A noktasında teğettir. B(−2, 0) ve C(−8, 0) ise |OA| kaç birimdir?

A) 3

A) 3

2

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

52.

B) 4

C) 12

y A C

D) 6

E) 5

B) 11

C) 12

D) 14

(x – 2)2 + (y + 5)2 − 37 = 0 çemberinin A(1, 1) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

y A

M B

C

O

x

BO

56.

Şekildeki M çemberi A’da y eksenine teğet ve x eksenini B ve C’de kesiyor. M(10, 8) olduğuna göre |BC| kaçtır? A) 10

x

A) (x − 2)2 + (y + 8)2 = 16 B) (x − 4)2 + (y − 5)2 = 25 C) (x − 4)2 + (y − 5)2 = 25 D) (x − 6)2 + (y − 4)2 = 16 E) (x − 4)2 + (y + 5)2 = 25

A) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 10 B) (x − 3)2 + (y + 2)2 = 10 C) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 5 D) (x − 3)2 + (y − 2)2 = 4 E) (x − 3)2 + (y + 2)2 = 6

2

y O C A M

x

A) x − 6y + 5 = 0 C) 6x − y − 5 = 0 E) x + 6y − 5 = 0

E) 16

16

B) x − 6y − 5 = 0 D) x − 3y + 5 = 0

Mustafa YAĞCI

57. 2


Boşta kalan aşağıdaki satırları da güzel bir teorem ve kanıtıyla dolduralım☺

2

x + y + 3x – y + 5 = 0 x2 + y2 − x + 2y − 10 = 0 çemberlerinin kuvvet eksenleri O(0, 0) noktasına kaç birim uzaklıktadır? A) 7

B) 6

C) 4

D) 3

Teorem. Çapının bir ucu A(x1, y1), diğer ucu B(x2, y2) olan çemberin denklemi (x − x1)(x − x2) + (y − y1)(y − y2) = 0 şeklindedir. Kanıt: [AB]’nin orta noktası çemberin merkezini, |AB|’nin yarısı da yarıçapı vereceğinden,  x + x 2 y1 + y 2  M 1 ,  2   2 1 r= (x1 − x 2 )2 + ( y1 − y 2 )2 2 olur. Artık merkezin koordinatları ve yarıçap bilindiğinden denklemi yazabiliriz:

E) 2

58.

y = mx + 5 doğrusu, x2 + y2 = 16 çemberine teğettir. m’nin pozitif değeri kaçtır? A)

3 2

B)

4 3

C)

3 4

D)

2 3

E)

3 5

2

ve

59. 2

x + y + 2x + 8y + 2m = 0 çemberi x = 2 doğrusuna teğettir. Buna göre m kaçtır? B) 1

C) 2

D) 3

2

E) 4

x2 + y2 = 9 çemberinin [AB ve [AC teğetlerinin belirttiği açının ölçüsü 60o’dir. Bu koşulla değişen A noktasının geometrik yerinin bağıntısı aşağıdakilerden hangisidir?

B A B D C B C A A B D A

2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57

A D C C D E D B B E E E

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

2

Örnek. A(−3, 7) ve B(4, −6) noktaları veriliyor. [AB]’yi çap kabul eden çemberin denklemini bulalım. Çözüm: Üstteki kanıta sırtımızı dayayalım: (x + 3)⋅(x −4) + (y − 7)⋅(y + 6 ) = 0.

B) x + y = 6 D) 3x + 2y = 16

CEVAP ANAHTARI D E 3 4 E B 8 9 C 13 A 14 A 18 E 19 A 23 B 24 C 28 A 29 E 33 A 34 C 38 D 39 C 43 D 44 D 48 C 49 C 53 A 54 D 58 B 59

2

 y1 + y 2   x − x1   y − y1    =  +   2   2   2  çıkar ki, bu eşitlikte gerekli sadeleştirmeler yapılırsa x2 − (x1 + x2)x + x1x2 + y2 − (y1 + y2)y + y1y2 = 0, (x − x1)(x − x2) + (y − y1)(y − y2) = 0.

60.

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56

]

 x + x2  2 x2 − (x1 + x2)x +  1  + y − (y1 + y2)y +  2  2

A) x2 + y2 = 27 C) x2 + y2 = 36 E) x2 + y2 = 2

[

1 ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 4 olduğundan, bu değerler eşitlenirse,

r2 =

2

A) 0

2

x + x2   y + y2   2 x− 1  + y − 1  =r 2   2  

C C E C E D B E E A B C

17

Çemberin Analitik İncelenmesi Çıkmış ÖYS Soruları

1.

x2 + y2 = 25 dairesinin A(5, 0) noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x – y = 5 D) x – 5 = 0

B) x + y = 5 E) x – y = 0

C) y – 5 = 0 1966 ÜSS

6.

M(−2, 1) merkezli ve 4x − 3y = 4 doğrusuna teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 + 4x − 2y – 4 = 0 B) x2 + y2 − 4y + 2y + 4 = 0 C) x2 + y2 + 4x − 2y − 2 = 0 D) x2 + y2 + 4x + 2y + 9 = 0 E) x2 + y2 + 4x − 2y + 2 = 0 1976 ÜSS

7.

2. Üzerindeki (4, 1) noktasından x2 + y2 − 4x + 2y – 3 = 0 çemberine çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

a > 0 koşulu ile (x – a)2 + y2 – 9 = 0 çemberinin x2 + (y – 4)2 – 4 = 0 çemberine teğet olabilmesi için a ne olmalıdır? A) 9

A) 2x + y – 5 = 0 C) x − 2y – 5 = 0 E) x + y – 5 = 0

B) x – y – 3 = 0 D) x + y – 6 = 0 1966 ÜSS

3.

Yarıçapı 4 olan ve merkezi y = −x doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemlerden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 B) (x + 4)2 + (y + 4)2 = 16 C) (x – 4)2 + (y − 4)2 = 4 D) (x + 4)2 + (y – 4)2 = 16 E) (x + 4)2 + (y – 4)2 = 4

B) 7

C) 4

D) 3

8.

y

Yandaki şekilde |OA| = |OB| = 4 birim ve m(AOB) = 45o’dir. M çemberin merkezi olduğuna göre P noktasının ordinatı kaçtır? A) 2

E) 2 1978 ÜSS

B) 1

C) 2 + 2

A

M

Q

B 45

O

D) 1 + 2

P x

E) 2 2 1980 ÜSS

9. y – 1 = 0 ve y + 5 = 0 doğrularına teğet olan ve merkezi y – x + 1 = 0 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? 1967 ÜSS

4.

x2 + y2 = 5 çemberinin y = 2x + n doğrusuna teğet olması için n aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 B) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 36 C) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 D) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 36 E) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 9 1981 ÖYS

A) ± 1

B) ± 2

C) ± 3

D) ± 4

E) ±5 1967 ÜSS

5.

Merkezi (2, −3) ve Ox eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 B) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4 C) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 9 D) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9 E) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 13

10.

x2 + y2 − 4x = 0 çemberi ve bu çember üzerindeki M(3, 3 ) noktası veriliyor. Bu noktadan geçen çapın öteki uç noktasının koordinatları nedir? A) (−3,

3)

D) ( 3 , 1) 1974 ÜSS

B) (1, 3 )  3 1 E)  ,  3 2 

C) (1, 0)

1981 ÖYS

Mustafa YAĞCI


11.

15.

x2 + (y – k)2 = 4 ve (x – 4)2 + y2 = k2 çemberinin dıştan teğet olmaları için k’nın değeri ne olmalıdır?

x y + = 1 doğrusuyla (x – 1)2 + (y – 3)2 = 16 12 16 çemberi arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 8 1983 ÖYS

E) 2 1985 ÖYS

16. A(2, 1) noktasının y = mx + 1 doğrusuna göre simetriklerinin geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

12. 1 5 x + , y = 4x – 4 ve y = 0 4 4 doğruların oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin merkezi aşağıdakilerden hangisidir? y= −

7 , 0) 2 D) (2, 0)

3 , 0) 2 E) (3, 0) B) (

A) (

C) (

A) x2 + (y – 2)2 = 1 C) (x – 1)2 + y2 = 1 E) x2 + (y – 1)2 = 4

5 , 0) 2

B) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 D) (x – 2)2 + y2 = 9 1985 ÖYS

1983 ÖYS

17.

K(7, 2) noktasının (x – 3)2 + (y – 5)2 = 4 çemberine en kısa uzaklığı kaç birimdir?

13. M(2, 3) merkezli ve R = 5 yarıçaplı çemberin x eksenini kestiği noktaların apsisleri nedir?

A) –2; 6

B) –1; 7

C) –4; 4

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

D) –3; 5 E) –5; 3 1984 ÖYS

E) 2 1986 ÖYS

18.

14.

Yandaki şekilde T(0, 3) noktasında teğet olan bir çemberin, OS teğetinin eğim açısı 30o veriliyor. Buna göre çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

y

T

M

O

x

Yukardaki şekilde verilen x2 + y2 = 4 çemberinin M(1, 3 ) noktasındaki teğeti, x2 + y2 + 12x + 36 = R2 çemberine de teğet olduğuna göre, R yarıçapı kaç birimdir?

y T 30

O

S x

A) x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 B) x2 + y2 + 2 3 x + 6y + 6 = 0 C) x2 + y2 − 2 3 x − 6y + 9 = 0 D) x2 + y2 + 2 3 x − 6y + 9 = 0 E) x2 + y2 + 2 3 x + 6y − 6 = 0

A) 8

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4 1984 ÖYS

1986 ÖYS

19

Mustafa YAĞCI


19.

23.

Denklemi x2 − 6x + y2 = 7 olan çemberin çapının uzunluğu kaç birimdir?

Aşağıdakilerden hangisi başlangıç noktasından uzaklığı 3 ile 4 birim arasında olan noktaların kümesini belirtir? A) 3 < x + y < 4 C) 9 < x2 + y2 < 16 E) x + y < 1

A) 3

B) 3 < x2 + y2 < 4 D) x2 + y2 < 7

Dik koordinat sisteminde, A(0, 0), B(4, 0) noktalarından geçen ve merkezi 2x – y – 2 = 0 doğrusu üzerinde bulunan çemberin yarıçapı kaç birimdir?

A)

B) 4

C) 5

D) 17

15 4

C)

O x

C

13 4

D) 4

Şekildeki çember d doğrusuna T noktasında, x eksenine ise A( 2 3 , 0) noktasında teğettir. m(TOA) = 60o olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir?

(x + 2)2 + (y – 3)2 = 4 çemberine A(−6, 0) noktasından çizilen teğet uzunluğu kaç birimdir?

21

B)

y

D(−6, 3)

E) 3

25.

21.

A)

17 4

E) 8 1991 ÖYS

1997 ÖYS

D) 2 2 E) 2 1988 ÖYS

C) 3

D) 7

Şekildeki [OC] çaplı çember D(−6, 3) noktasından geçtiğine göre, çemberin yarıçapı kaç birimdir?

20.

B) 2 3

D) 6

24.

1987 ÖYS

A) 4

B) 5

3

A)

E) 2 5 1989 ÖYS

B)

2

C) 2

d

y T 60

O

x

A

D) 3

E) 4 1999ÖSS1

26. Şekildeki M merkezli çemy ber, O merkezli ve 1 cm yarıçaplı çeyrek çembere T B noktasında, Ox ve Oy eksenlerine de sırasıyla A ve B 1 T noktalarında teğettir. O 1 Buna göre, M merkezli çemberin yarıçapı kaç cm dir?

22. A ve B kümeleri A = {(x, y)y − x2 < 0, x, y ∈

}

B = {(x, y)x2 + y2 − 4 < 0, x, y ∈ } olduğuna göre A∩B kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir?

A)

2

1 6 11 16 21 26

1991 ÖYS 20

B) 2 + 1

D A A E A B

C)

2+2

CEVAP ANAHTARI 2 E 3 D 4 E 7 D 8 A 9 E 12 E 13 A 14 D 17 D 18 C 19 C 22 E 23 E 24 B 27 28 29

M

x

A

D) 2 E) 4 2002 ÖSS

5 10 15 20 25 30

D B D D C

My Cmbranltk

Recommend Documents