MUESTREO_ACEPTACION

MUESTREO DE ACEPTACIÓN

P. Reyes / Sept. 2007


Elaboró: Dr. Primitivo Reyes Aguilar Septiembre de 2007

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CONTENIDO 1. Muestreo de aceptación por atributos 1.0 Métodos estadísticos para la mejora de la calidad 1.1 Muestreo de aceptación por atributos 1.2 Muestreo simple por atributos 1.3 Muestreo doble, múltiple y secuencial 1.4 Tablas de muestreo MIL-STD-105E o Z1.4

2. Muestreo de aceptación por variables 2.1 Ventajas y desventajas 2.2 Método de control de la fracción defectiva 2.3 Tablas ASQC Z1.9 de muestreo por variables 2.4 Uso de las tablas 2.5 Otros procedimientos de muestreo por variables

Preguntas y ejercicios

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1. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS 1.0 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD Se utilizan tres métodos estadísticos principales para el monitoreo y mejora de procesos: las cartas de control, el diseño de experimentos y el muestreo estadístico, además de las herramientas estadísticas para la solución de problemas en planta por grupos de trabajo o Círculos de calidad. CARTAS DE CONTROL La carta de control es una técnica muy útil para el monitoreo de los procesos, cuando se presentan variaciones anormales donde las medias o los rangos salen de los límites de control, es señal de que se debe tomar acción para remover esa fuente de variabilidad anormal. Su uso sistemático proporciona un excelente medio para reducir la variabilidad.

Xbar-R Chart of Pulse1 90

Sample Mean

UC L=86.84 80 _ _ X=72.69

70

60

LCL=58.53 2

4

6

8

10 Sample

12

14

16

18

UC L=51.89

Sample Range

48 36

_ R=24.54

24 12 0

LCL=0 2

4

6

8

10 Sample

12

14

16

18

LSC (UCL) = Límite superior de control LC

= Línea central

LIC (LIC) = Límite inferior de control

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Fig.

1.1

Carta

de


control

de

Shewhart

y

sus

límites

de

control

M Ejemplo 1.1 Identificar E una situación donde se pueda monitorear un comportamiento o una característica de calidad (dimensión, tiempo, etc.), identificar como medir, cada cuando medir y que muestra se toma. D _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. I _________________________________________________________________. D con el grupo. Discutir sus hallazgos A DISEÑO DE EXPERIMENTOS S Fig. 1.2 Carta de control y patrones de anormalidad

Un experimento diseñado es muy útil para descubrir las variables clave que tienen influencia en las características de calidad de interés del proceso. Es un método para variar en forma sistemática los factores controlables del proceso y

C producto. Permite reducir la variabilidad en la característica de calidad y en A determinar los niveles más adecuados de los factores controlables que optimicen el desempeño del Lproceso. I Página 4 de 58 D determinar los efectos que tienen esos factores en los parámetros finales del

Causa Especia



ENTRADAS CONTROLABLES X1

X2

INSUMOS DEL PROCESO

XP

Y

CARACT.DE CALIDAD

PROCESO Materias primas, Componentes, etc.

Z1

Z2

ZQ

ENTRADAS NO CONTROLABLES

Fig. 1.3 Proceso de producción, entradas y salidas El principal método para diseñar experimentos es el diseño factorial, en el cual los factores son variados de tal forma de probar todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores. El diseño de experimentos es una herramienta fuera de línea es decir se utiliza durante el desarrollo de los productos o procesos, más que durante su fabricación. Una vez que se han identificado las variables que afectan el desempeño del proceso, normalmente es necesario modelar la relación entre estas variables y la característica de calidad de interés. Para lo cual se puede utilizar el análisis de regresión. El monitoreo en el proceso de las variables relevantes que afectan las características de calidad se hace por medio de cartas de control. Ejemplo 1.2 Identificar un proceso y describir como se pueda experimentar variando algunos factores en ciertos niveles y midiendo una característica del producto. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________.

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Discutir sus hallazgos con el grupo.

MUESTREO DE ACEPTACIÓN Está relacionado con la inspección y prueba del producto, donde se selecciona e inspecciona una muestra aleatoria de un lote mayor, resultando en una aceptación o rechazo de ese lote mayor, esto ocurre en la recepción de materias primas y componentes y en el producto terminado. Tiene las siguientes ventajas: -

El costo de evaluación es menor que con la inspección al 100%

-

Se puede aplicar más fácilmente cuando se trata de realizar pruebas destructivas.

- Se puede aplicar presión sobre la calidad de los lotes de proveedores ya que con una pequeña muestra puede ser rechazado el total de su lote. Entre sus desventajas se encuentran: -

Se pueden cometer errores al aceptar lotes defectivos, dada la probabilidad finita de encontrar productos defectivos en la muestra.

-

Si los lotes no son uniformes, el muestreo no es una técnica confiable.

-

No se garantiza que los lotes aceptados estén libres de defectivos.

A continuación se muestran diferentes esquemas de la aplicación del método. a) INSPECCIÓN EN LINEA FINAL o EN PROCESO

PROCESO

Productos

INSPECCION

ENVIO Productos

CLIENTE INTERNO O EXTERNO

b) INSPECCION EN RECIBO DE MATERIALES COMPRADOS ENVIO PROVEEDOR

INSPECCION Materias primas

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CLIENTE / PLANTA Materias primas



c) INSPECCION RECTIFICADORA PROVEEDOR

ACEPTAR ENVIO CLIENTE / PLANTA

INSPECCION Materias primas

RECHAZO Desperdicio

Retrabajo

Selección

DISPOSICIÓN DE LOTES Fig. 1.4 Variaciones del muestreo de aceptación El muestreo de aceptación tiende a reforzar el apego o conformancia a especificaciones pero no tiene un efecto de retroalimentación en el proceso de producción o diseño que mejoren la calidad. Ejemplo 1.3 Identificar un proceso o línea donde se aplique el muestreo de aceptación explicando como se realiza y por qué. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. Discutir sus hallazgos con el grupo. Ejemplo 1.4 Identificar un material comprado donde se aplique el muestreo de aceptación en recepción explicando como se realiza y por qué. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. Discutir sus hallazgos con el grupo.

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Ejemplo 1.5 Identificar un material crítico que se inspeccione en recibo y se seleccione si se encuentra defectivo, explicar este proceso y sus resultados e impacto en las líneas de producción. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. _________________________________________________________________. Discutir sus hallazgos con el grupo.

En el transcurso del tiempo, las tres técnicas estadísticas anteriores han tenido la evolución siguiente: Fig. 1.5 Evolución de la aplicación de métodos estadísticos 100% MUESTREO DE ACEPTACION CONTROL DE PROCESO

DISEÑO DE EXPERIMENTOS

0% Tiempo El muestreo se ha estado utilizando para calificar los lotes de proveedores, sin embargo ha estado siendo desplazado por métodos preventivos como el CEP y el diseño de experimentos, delegando toda la responsabilidad en el proveedor. 1.1 MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS Si se recibe un lote de un proveedor, se toma una muestra y se evalúan algunas de las características del producto, en base a los resultados se toma una decisión

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sobre la disposición del lote, ya sea aceptados para su uso en producción, o rechazados para que el proveedor tome acciones.

Muestreo alea

Fig. 1.6 Proceso de inspección por muestreo Hay 3 aspectos importantes del muestreo: 1. Su propósito es calificar los lotes, no estimar los parámetros del lote. 2. No proporcionan un mecanismo de control de calidad, simplemente aceptan o rechazan lotes.

3. Sirven como herramienta de auditoría para asegurar que la calidad de un lote esté de acuerdo a especificaciones. Existen 3 alternativas para calificar un lote: 1. Aceptar sin inspección.Con proveedores confiables. 2. Inspeccionar al 100%, separando los productos defectuosos. 3. Realizar un muestreo de aceptación. La aceptación por muestreo es más útil en las situaciones siguientes:

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1. Cuando las pruebas son destructivas. 2. Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto. 3. Cuando la inspección 100% es muy tardada. 4. Cuando las cantidades a inspeccionar 100% son muy altas y con tasa de defectos baja, que haga que se causen errores al inspeccionar, dejando pasar productos defectuosos. 5. Cuando el proveedor no es confiable al 100%, o su capacidad de proceso es baja. 6. Cuando hay riesgo de generar problemas legales por productos críticos. 1.1.1 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO Cuando se utiliza inspección por muestreo, se tienen las ventajas siguientes: 1. Es más barato, requiriendo menos inspección. 2. Existe un menor manejo de producto o menor daño. 3. Se aplica a pruebas destructivas. 4. El rechazar un lote completo en lugar de sólo las partes defectivas, motiva al proveedor a mejorar su calidad. El muestreo de aceptación también presenta varias desventajas: 1. Existe el riesgo de “aceptar” lotes malos y de “rechazar” lotes buenos. 2. La información que se genera respecto al producto o proceso es poca. 3. El muestreo de aceptación requiere documentación y planeación, no así la inspección 100%. 1.1.2 TIPOS DE PLANES DE MUESTREO Existen diversas clasificaciones de estos planes, una de ellas es la de variables y atributos. Una característica se expresa en variables si se puede medir, o en atributos si se califica como “pasa no pasa”.

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Un plan de muestreo simple es un procedimiento de calificación de lotes, donde se toma una muestra aleatoria de n partes y la disposición del lote es determinada dependiendo de los resultados de la muestra, aceptándose si se encuentran hasta c productos defectivos. Un plan de muestreo doble implica que después de tomar una muestra e inspeccionar, se toma una decisión de (1) rechazar, (2) aceptar o (3) tomar una segunda muestra, si esto sucede, se combina la información de la primera y de la segunda para tomar una decisión. Un plan de muestreo múltiple es una extensión del doble, en el cual más de dos muestras pueden ser necesarias antes de tomar una decisión. Los tamaños de estas muestras son más pequeños que en el muestreo doble. El muestreo secuencial implica la selección de unidades del lote, una por una, tomando decisiones de aceptar o rechazar el lote después de un cierto número de unidades. Se pueden desarrollar planes de muestreo que produzcan resultados similares con cualquiera de las modalidades anteriores. 1.1.3 FORMACIÓN DE LOTES Para inspección de lotes, estos deben cumplir las características siguientes:

1. Deben ser homogéneos, las unidades deben ser producidas por las mismas corridas de producción, en condiciones similares. Es difícil tomar acciones correctivas para lotes mezclados.

2. Lotes grandes son preferibles a lotes pequeños, dado que la inspección es más eficiente.

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3. Los lotes deben manejarse en forma similar con el proveedor y con el cliente, las partes deben estar empacadas adecuadamente para evitar riesgos de daño y permitir la selección de muestra en forma sencilla. MUESTREO ALEATORIO Las muestras deben ser representativas del lote, no deben tomarse sólo partes de las capas superiores, sino de preferencia numerar las partes con un número y seleccionar con tablas de números aleatorios o también se puede estratificar el lote. 1.1.4 GUIA DE APLICACIÓN DE PLANES DE MUESTREO Un plan de aceptación es el establecimiento del tamaño de muestra a ser usado y el criterio de aceptación o rechazo para calificar lotes individuales. Un esquema de aceptación es un conjunto de procedimientos de planes de aceptación en los cuales se relacionan los tamaños de lote, tamaño de muestra, criterio de aceptación o rechazo, la cantidad de inspección 100% y de muestreo. Un sistema de muestreo es un conjunto de esquemas de muestreo. Los procedimientos de muestreo de aceptación son:

Objetivos

Procedimiento por atributos

Procedimiento por Variables

1. Asegurar niveles de calidad Plan específico Para el consumidor y productor en base a curva OC

Plan específico en base a curva OC

2. Mantener la calidad en el objetivo

Sistema de AQL MIL-STD-414

Sistema de AQL MIL-STD-105E

Los clientes están enfocados a mejorar la calidad de sus proveedores, seleccionando a los mejores y trabajando en forma cercana para reducir su

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variabilidad, con técnicas de control estadístico del proceso. El muestreo de aceptación se utiliza mientras se mejora la calidad con el proveedor. 1.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS En este sistema se toma una muestra simple aleatoria del lote (n) cuyo tamaño es (N) y si se encuentra hasta un máximo de partes defectivas (c.) se acepta el lote, de otra forma se rechaza. Ejemplo 1.6 En la bolsa de fichas se encuentran algunas de otro color representando las defectuosas, tomar 10 muestras de 20 fichas cada una y anotar cuantas defectuosas se obtuvieron, indicando si se acepta o se rechaza el lote, si c = 2. Muestra 1 – 20 partes 2 – 20 partes 3 – 20 partes 4 – 20 partes 5 – 20 partes 6 – 20 partes 7 – 20 partes 8 – 20 partes 9 – 20 partes 10 - partes Totales

Defectuosas En la muestra

Lote aceptado (X)

Porcentaje de lotes aceptados

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Lote rechazado (X)

Porcentaje de lotes rechazados



Ejemplo 1.7 En la bolsa de fichas se encuentran algunas de otro color representando las defectuosas, tomar 10 muestras de 20 fichas cada una y anotar cuantas defectuosas se obtuvieron, indicando si se acepta o se rechaza el lote, si c = 4. Muestra


1 – 20 partes 2 – 20 partes 3 – 20 partes 4 – 20 partes 5 – 20 partes 6 – 20 partes 7 – 20 partes 8 – 20 partes 9 – 20 partes 10 - partes Totales

Lote aceptado (X)

Porcentaje de lotes aceptados

Lote rechazado (Y)

Porcentaje de lotes rechazados

Ejemplo 1.8 En la bolsa de fichas se encuentran algunas de otro color representando las defectuosas, tomar 10 muestras de 20 fichas cada una y anotar cuantas defectuosas se obtuvieron, indicando si se acepta o se rechaza el lote, si c = 0. Muestra


1 – 20 partes 2 – 20 partes 3 – 20 partes 4 – 20 partes 5 – 20 partes 6 – 20 partes 7 – 20 partes 8 – 20 partes 9 – 20 partes 10 - partes Totales

Lote aceptado (X)

Lote rechazado (X)

Porcentaje aceptado

Porcentaje rechazado

Un plan de muestreo simple se define por su tamaño de muestra n y el número de aceptación c. El tamaño del lote se especifica como N. Por ejemplo si se tiene el plan: N=10,000 n=89

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c=2 Significa que de cada lote de 10,000 partes se toman al azar n=89 para inspección, si el número de productos defectivos observados en la muestra d es menor o igual a c = 2, el lote se acepta, en caso contrario se rechaza. 1.2.1 LA CURVA OC La curva característica de operación (OC) muestra la probabilidad de aceptar el lote (Pa o β en el eje Y), versus la fracción defectiva media en el lote (p en el eje X), mostrando la potencia de discriminación del plan de muestreo.

Fig. 1.7 Curva característica de operación y plan de muestreo

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Ejemplo 1.9 El total de fichas de otro color entre las fichas del color principal representa la fracción defectiva en el lote o sea _______. Esto representa solo un punto en la curva característica de operación siguiente para n = 20. Para construir la curva OC completa variar la fracción defectiva como sigue y graficar la probabilidad de aceptación. En Excel Insertar función (Fx); Estadísticas; seleccionar la función =distr.binom(c, n, p, 1) Fracción defectiva en el lote 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 Etc.

Pa-Probabilidad de aceptación c = 4



La curva característica de operación se obtiene graficando p versus la probabilidad binomial de encontrar y aceptar a lo más c defectivos o sea:

c

n! d n− d P =a P{d < c) = ∑ = p (1 − p) d = 0 d !( n − d ) !

(1.1)

Esto mismo se puede aproximar por la distribución de Poisson para efectos prácticos. Se puede usar Excel para los cálculos, un ejemplo utilizando la distribución binomial acumulada (opción VERDADERA en Excel) se muestra a continuación: 1.2.2 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN OC p

Pa = β

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0.005

0.98968755

0.01

0.939689918

0.02

0.736577576

0.03

0.498482838

0.04

0.304158359

0.05

0.172076864

0.06

0.091869347

0.07

0.046819851

0.08

0.022955079

0.09

0.010886432


Pa

Curva OC

p

Fig. 1.8 Cálculo de la Curva característica de operación OC En este caso si los lotes tienen un 2% de defectivo, su probabilidad de aceptación es de 0.74. Significa que de cada 100 lotes recibidos, se aceptarán 74 y se rechazarán 26. A continuación se muestran algunas variaciones de la curva característica de operación variando tanto como el criterio de aceptación c manteniendo n constante y después manteniendo c como constante y variando n.

Manteniendo n constante y variando c se tiene: p 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

n = 89, c=0

n = 89 c=1

n = 89, c =2

0.640109373 0.408820174 0.165623034 0.06647898 0.026432591 0.010408805 0.004058625 0.001566688 0.000598572 0.0002263

0.926389444 0.776345382 0.466448545 0.249467514 0.124453451 0.059165839 0.027115072 0.01206181 0.005231002 0.002218234

0.98968755 0.939689918 0.736577576 0.498482838 0.304158359 0.172076864 0.091869347 0.046819851 0.022955079 0.010886432

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Pa

c=0, 1,

2

P (fracción defectiva en el lote) Para el caso en que lo que se varíe sea n se tiene: p

n = 50, c=2

n = 100, c = 2

n = 200, c = 2

0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.997944456 0.986182729 0.921572252 0.810798075 0.676714004 0.540533123 0.416246472 0.310788561 0.225974275 0.160540491

0.985897083 0.920626798 0.676685622 0.419775083 0.232142624 0.118262981 0.056612777 0.025788541 0.011272803 0.004756131

0.920160568 0.676678695 0.235148136 0.059290946 0.012489138 0.002336294 0.000400477 6.40456E-05 9.66278E-06 1.38543E-06

Pa n=50, 100,200 2

p (fracción defectiva en el lote) Fig. 1.9 Curvas características de operación diversas PUNTOS ESPECIFICOS EN LA CURVA OC Un consumidor frecuentemente fija de común acuerdo con su proveedor, un nivel de calidad aceptable (AQL), que representa el nivel más pobre de calidad que el consumidor considera aceptable como promedio, normalmente es la fracción defectiva que tiene un 95% de ser aceptada (β = 0.95).

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Por otra parte el consumidor quiere rechazar los lotes en la mayoría de los casos cuando tengan una fracción defectiva de a lo más un porcentaje defectivo tolerable en el lote (LTPD), normalmente esta fracción defectiva corresponde a una probabilidad de aceptación del 10% o rechazo del 90% de las veces. También se el denomina Nivel de Calidad Rechazable. Ejemplo 1.10 Identificar en las curvas del ejercicio 1.9 el AQL y el LTPD aproximados para cada plan de muestreo o curva OC.

_______________________________________________________________. _______________________________________________________________. _______________________________________________________________. CURVAS OC TIPO A y B. La curva OC tipo A utilizando la distribución hipergeométrica se construye cuando se tiene un lote aislado de tamaño finito, se utiliza cuando n/N >=0.10. En Excel se utiliza la función (Fx Estadísticas) =distr.hipergeom(c, n, fracción defectiva, N). La curva OC tipo B utiliza la distribución binomial o de Poisson cuando n/N < 0.1, sin embargo en los niveles donde n/N=0.1 ambas curvas A o B son muy parecidas. Para binomial usar en Excel = distr.binom(c, n, p, 1) y con Poisson =poisson(c, nxp,1) Ejemplo 1.11 Para n = 20, n = 2, N =100, construir una curva OC utilizando la distribución Hipergeométrica y la distribución Binomial y de Poisson. Fracción defectiva en el lote 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 Etc.

Pa-Distribución Hipergeométrica

Pa-Distribución binomial

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Pa-Distribución de Poisson



1.2.3 INSPECCIÓN RECTIFICADORA Los programas de aceptación por muestreo normalmente requieren acción correctiva cuando los lotes son rechazados, de tal forma que el proveedor los selecciona al 100% remplazando los artículos defectivos por buenos. Esta actividad se denomina inspección rectificadora por su impacto en la calidad de salida final hacia la planta.

Fig.

1.10

Inspección

rectificadora

(las

piezas

malas

son

reemplazadas y reintegradas al lote) Suponiendo que los lotes que llegan tienen una fracción defectiva p 0 , después de la actividad de inspección bajo un plan de muestreo, algunos lotes serán aceptados y otros serán rechazados.

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Los lotes rechazados serán seleccionados al 100% por el proveedor remplazando los artículos defectuosos por buenos después se integran a los lotes que ingresan a la planta obteniéndose una fracción defectiva p1 menor a la original, denominada calidad promedio de salida AOQ, en lotes de tamaño N se tiene: 1. n artículos de la muestra no contienen defectivos. 2. N-n artículos los cuales si el lote se rechazó no contenían defectivos. 3. N-n artículos los cuales si el lote se acepta contienen p(N-n) defectivos. Así los lotes después del proceso rectificador, contienen un número esperado de defectivos igual a Pap(N-n) con la cual se puede expresar una fracción defectiva media AOQ como sigue,

AOQ =

Pa p ( N − n) N

(1.2) Ejemplo 1.12 Suponiendo que N=10,000, c=2 y que la calidad de entrada p=0.01. Como en la curva característica de operación (para n=89, c=2) cuando p=0.01, Pa = 0.9397, entonces el AOQ es:

AOQ =

Pa p ( N − n) (0.9397 )( 0.01)(10000 − 89 ) = = 0.0093 N 10000

AOQ ≅ 0.93%

en lugar del 1% entrante.

Cuando N es grande respecto al tamaño de muestra n, se tiene,

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AOQ ≈ Pa p

(1.3)

La curva de AOQ versus p se muestra a continuación:

Fig. 1.11 Curva de calidad de salida promedio (AOQ)

CURVA AOQ Fracción defectiva p

Pa

Pa . P

0.005 0.98968755

0.004948438

0.01

0.939689918

0.009396899

0.02

0.736577576

0.014731552

0.03

0.498482838

0.014954485

0.04

0.304158359

0.012166334

0.05

0.172076864

0.008603843

0.06

0.091869347

0.005512161

0.07

0.046819851

0.00327739

0.08

0.022955079

0.001836406

0.09

0.010886432

0.000979779

AOQ

AOQL = 1.55%

p 0.03

Fig. 1.12 Cálculo de la Curva de calidad de salida promedio (AOQ) Página 22 de 58



De la gráfica anterior se observa que la curva AOQ tiene un valor máximo o la peor fracción defectiva de salida hacia la planta o proceso, que se denomina límite de calidad de salida promedio AOQL el cual es aproximadamente 0.0155 o 1.55% defectivo. Ejemplo 1.12 Para construir la curva AOQ variar la fracción defectiva como sigue y graficar la probabilidad de aceptación binomial multiplicada por la fracción defectiva. En Excel Insertar función (Fx); Estadísticas; seleccionar la función =distr.binom(c, n, p, 1) y multiplicar por p. Fracción defectiva en el lote (p) 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 Etc.

AOQ = Pa x p c=4

AOQ = Pa x p c=2

AOQ = Pa x p c=0

El número promedio de inspección total por lote es ATI, igual a: ATI = n + (1 − Pa )( N − n)

(1.4)

Ejemplo 1.13 Con N=10000, n=89, c=2 y p=0.01. Como Pa = 0.9397 se tiene: ATI = 89 + (1-0-9397)(10000 – 89) = 687 Siendo este el total de piezas que en promedio se inspeccionarán por lote, algunas por el cliente (n) y otras por el proveedor (N-n) en base al plan de muestreo. Página 23 de 58



Las curvas ATI para diferentes tamaños de lote se muestra a continuación, para n = 89 y c = 2: p

ATI-N=1000

ATI-N=5000

ATI-N=10000

0.005 0.98968755

92.39464177

139.644441

191.20669

0.01

0.939689918

143.9424844

385.1828112

686.7332196

0.02

0.736577576

322.9778285

1382.667526

2699.779647

0.03

0.498482838

545.8821346

2551.950783

5059.536593

0.04

0.304158359

722.9117347

3506.278297

6985.486501

0.05

0.172076864

843.2379767

4154.93052

8294.546199

0.06

0.091869347

916.3070247

4542.829636

9089.4829

0.07

0.046819851

951.3471157

4770.067712

9535.968456

0.08

0.022955079

979.0879231

4881.267607

9772.492212

0.09

0.010886432

990.0824602

4946.536731

9892.104569

Fig.

Pa

1.13

Curvas

de

número

de

muestras

inspeccionadas

promedio por el cliente y por el proveedor 1.3 MUESTREO DOBLE, MÚLTIPLE Y SECUENCIAL Estos tipos de muestreo son extensiones del muestreo simple, se pueden diseñar curvas OC equivalentes.

ATI Página 24 de 58

10,000



1.3.1 PLANES DE MUESTREO DOBLE Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el cual, bajo ciertas circunstancias, se requiere una segunda muestra para calificar el lote. El plan se define por los parámetros siguientes: n1 = tamaño de muestra en la primera muestra. c1 = criterio de aceptación en la primera muestra. n2 = tamaño de muestra en la segunda muestra. c2 = criterio de aceptación en la segunda muestra. Al aplicar el plan el número de defectivos observados en la primera muestra es d1 y los defectivos observados en la segunda muestra es d2. Ejemplo 1.14 En la bolsa de fichas se encuentran algunas de otro color representando las defectuosas, tomar 10 muestras de 20 fichas en una o dos muestras como sigue. Tomar una muestra y anotar los productos defectuosos d1, si d1 es menor o igual a c1 = 2 se acepta el lote. Si d1 es mayor o igual a c2 = 4 rechazar el lote. Continuar con otro lote. En caso de que los defectuosos d1 sean 2 o 3 todavía no aceptar ni rechazar el lote, tomar una segunda muestra y anotar los defectuosos encontrados como d2. Si d1 más d2 es menor o igual que c2 = 4 aceptar el lote. Si d1 más d2 exceden a c2 =4 rechazar el lote. Anotar los hallazgos en la tabla siguiente: Muestras de 20 partes, tomar una o dos según se requiera

d1 = Defectuosas En la primera muestra

d2 = Lote Defectuosas aceptado En la (X) segunda muestra

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Página 25 de 58

Lote rechazado (Y)



10 Totales

Porcentaje rechazado

Suponiendo que: n1 = 50 c1 = 1 n2 = 100 c2 = 3

Fig. 1.14 Operación del muestreo doble En la primera muestra de n=50 artículos, se acepta el lote si el total de defectivos d1 <= c1=1, rechazándose si d1 >c2=3. Si d1 es igual a 2 o a 3, se toma una segunda muestra de 100 artículos, se inspecciona y se determina el número de defectivos d2 . Se acepta el lote si [d1+d2 <= c2=3] y se rechaza en caso contrario. En ambas muestras la primera y segunda, la inspección se continua hasta inspeccionar todos los artículos, por eso se denomina inspección completa, el número promedio de artículos inspeccionados por muestra ASN es, Página 26 de 58



ASN = n1 + n2 (1 − P1 )

(1.5)

donde P1 es la probabilidad de tomar una decisión en la primera muestra o sea: P1=P{el lote se acepta en la primera muestra} + P{el lote es rechazado en la primera muestra} Si por el contrario la inspección de los artículos se suspende cuando se encuentra un número de defectivos mayor al criterio de aceptación c2 y no se inspeccionan todos los artículos, el método se denomina inspección recortada,

el

comportamiento de ambos esquemas se muestra a continuación,

Fig. 1.14 Diferencias en muestras inspeccionadas cliente promedio con inspección completa y recortada

por

el

Por tanto el muestreo doble es más económico que el simple sólo para ciertos valores de p, ya que si p tiene valores intermedios el ASN es mayor implicando mayores costos de inspección.

ASN

La inspección recortada si es más económica sin embargo proporciona menos información acerca del lote.

120

CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN

Página 27 de 58



Del ejemplo anterior, si Pa es la probabilidad de aceptación, esta se forma con la probabilidad de aceptación en la primera muestra más la probabilidad de aceptación en la segunda muestra ya sea usando la distribución binomial o la de Poisson. O sea: Pa = PaI + PaII

(1.6)

PaI = P (d 1 ≤ 1 n1 )

(1.7)

PaII = P ( d1 = 2 n1 ) xP ( d 2 ≤ 1 n2 ) + P (d1 = 3 n1 ) xP (d 2 = 0 n 2 )

(1.8)

p Pa (1º muestra) 0.005 0.973868476

Pa (2º muestra) 0.023086044

Pa total 0.99695452

Prob.de decidir en 1º muestra 0.975541743

0.01

0.910564687

0.060110197

0.970674884

0.928938723

0.02

0.735771394

0.082974214

0.818745608

0.876809831

0.03

0.555279873

0.055742128

0.611022002

0.908030663

0.04

0.400481197

0.027184125

0.427665321

0.971005627

0.05

0.279431752

0.01098373

0.290415482

1.021593093

0.06

0.190003258

0.003907151

0.193910409

1.04698017

0.07

0.126493499

0.001264661

0.12775816

1.052081017

0.08

0.082712023

0.00037995

0.083091973

1.046006124

0.09

0.053238461

0.000107325

0.053345786

1.035937851

Página 28 de 58



Fig. 1.15 Curva característica de operación bajo muestreo doble INSPECCIÓN RECTIFICADORA Cuando se usa el esquema de inspección rectificadora, la curva AOQ está dada por,

AOQ =

{PaI ( N − n1 ) + PaII ( N − n1 − n 2 )} p N

Pa

(1.9)

Asumiendo que todos los defectivos son remplazados por artículos buenos en los lotes rechazados, la curva de inspección total promedio es, ATI = nPaI + (n1 + n 2 ) PaII + N (1 − Pa ) I II donde Pa = Pa + Pa

1.3.2 PLANES DE MUESTREO MÚLTIPLE

Página 29 de 58

(1.10)



Un muestreo múltiple es una extensión del doble, donde pueden requerirse más de dos muestras para calificar el lote, por ejemplo un plan de 5 etapas es el siguiente: Muestra acumulada

Número de aceptación

No. Rechazo

20

0

3

40

1

4

60

3

5

80

5

7

100

8

9

Al terminar cada etapa de muestreo, si el número de defectivos es menor o igual al número de aceptación, se acepta el lote. Si en cualquier etapa el número de defectivos acumulado excede el número de rechazo, se rechaza el lote, de otra forma se sigue tomando una siguiente muestra. Una ventaja que tiene es que el tamaño de muestra es más pequeño que en el caso del simple o del doble, con una mejor eficiencia de inspección. Sin embargo es más complejo de administrar. 1.3.3 MUESTREO SECUENCIAL Es una extensión de los planes anteriores, aquí se toma una secuencia de muestras del lote, cuya magnitud será determinada por los resultados del proceso de muestreo. Si el tamaño del subgrupo inspeccionado en cada etapa es mayor que uno, se denomina muestreo secuencial de grupo, si es uno, como es nuestro caso, se denomina muestreo secuencial artículo por artículo. En este caso se tienen 2 líneas, una de aceptación y otra de rechazo, teniendo como dato las coordenadas de la curva OC (p1, 1-α ) y (p2, β ).

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En este caso no se puede tomar una decisión de aceptación hasta que hayan transcurrido las suficientes muestras, que hagan que la línea de aceptación tenga valores positivos en Xa, 44 en este caso, y no se puede rechazar hasta en la 2ª. Muestra.

Fig. 1.16 Operación del muestreo secuencial

1.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859) DESCRIPCIÓN DE LA NORMA Esta norma se desarrolló durante la segunda guerra mundial emitiéndose en 1950 con la versión A. La versión D se publicó en 1963 y en 1971 fue adoptada por la ANSI con pequeños cambios como la Z1.4 y en 1973 fue adoptada por la ISO como la norma ISO 2859. En 1989 se liberó la versión E. La norma proporciona tres tipos de muestreo (con curvas OC equivalentes): -

Muestreo simple.

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-

Muestreo doble.

-

Muestreo múltiple


En cada uno de los casos se prevén los siguientes tipos de inspecciones: -

Inspección normal.

-

Inspección estricta.

-

Inspección reducida.

Se inicia con la inspección normal, se pasa a estricta cuando se observa mala calidad del proveedor y se usa la reducida cuando la calidad del proveedor es buena, reduciendo los tamaños de muestra. El punto focal de la norma es el AQL (nivel de calidad aceptable entre 0.1% y 10%), negociado entre cliente y proveedor. Los valores típicos de AQL para defectos mayores es de 1%, 2.5% para defectos menores y 0.65% para defectos críticos. Cuando se utiliza para planes de defectos por unidad se tienen 10 rangos adicionales de AQLs hasta llegar a 1000 defectos por cada 100 unidades, los niveles pequeños de AQL se pueden utilizar tanto para controlar fracción defectiva como defectos por unidad. El tamaño de muestra en el estándar está determinado por el tamaño del lote y por la selección del nivel de inspección. Se proporcionan tres niveles de inspección, donde el nivel II se considera normal; el nivel I requiere alrededor de la mitad de la inspección del nivel II y se usa cuando se requiere menos discriminación; el nivel III requiere alrededor del doble de inspección del nivel II, y se usa cuando se requiere más discriminación. Hay también cuatro niveles especiales de inspección, S-1, S-2, S-3 y S-4, estos usan tamaños de muestra muy pequeños y sólo deben usarse cuando los riesgos

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grandes del muestreo sean aceptables, el nivel S4 se utiliza en pruebas destructivas. Para un AQL específico, un nivel de inspección y un tamaño de lote dado, el estándar MIL-STD-105E proporciona un plan de muestreo normal que se utilizará conforme el proveedor produzca productos con calidad AQL o mejor. También proporciona un mecanismo de cambio a inspección estricta o reducida como se ilustra en la figura y se describe a continuación.

1. Normal a estricta. Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta se instituye cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados.

2. Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal se instituye cuando cinco lotes consecutivos son aceptados.

3. Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección reducida se instituye cuando se cumple con todas las condiciones siguientes: a. Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal. b. El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes precedentes es menor o igual a el número límite aplicable del estándar. c. La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores. d.

La inspección reducida se considera adecuada por la función responsable de la inspección por muestreo.

4. Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección normal se instituye cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes: a. Un lote es rechazado. Página 33 de 58



b. Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación o rechazo, el lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el próximo lote. c. La producción es irregular o se retarda en entregas. d. Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal.

5. La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección estricta y el proveedor tome acciones para mejorar su calidad.

Inspección reducida

10 lotes OK

2 lotes rechazados de 5 recibidos

1 lote rechazado

Inspección estricta

10 lotes aceptados Inspección normal

Fig. 1.17 Reglas de cambio de planes de inspección PROCEDIMIENTO Los pasos a seguir para el uso de las normas es el siguiente:

1. Negociación del AQL – Nivel de calidad aceptable (cliente – proveedor). 2. Decisión del nivel de inspección. 3. Determinación del tamaño del lote. 4. Consultar la tabla 1 (ver apéndice) y localizar la letra código correspondiente al tamaño del lote y el nivel de inspección. 5. Decisión en cuanto al procedimiento de muestreo a utilizar (simple, doble, múltiple). 6. Uso de la tabla correcta para encontrar el tipo de plan a utilizar (las tablas se encuentran en el apéndice).

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7. Uso de la tablas para inspección reducida y estricta, cuando se requieran hacer cambios. Ejemplo 1.15

Si N= 2,000 y AQL= 0.65% usando el nivel II de

inspección: 1. La tabla I indica la letra código K. 2. La tabla II-A para inspección normal indica el plan de muestreo n=125 y c=2. 3. La tabla II-B para inspección estricta indica el plan de muestreo n= 125, c=1. 4. La tabla II—C para inspección reducida indica el plan de muestreo n = 50, Aceptar = 1, Rechazar = 3 La flecha descendente cambia el plan, la letra de código y el tamaño de muestra, lo mismo para la ascendente. Por ejemplo, un AQL de 1.5% y letra F será cambiado a letra G con tamaño de muestra 32 en lugar de 20. Para el caso de muestreo doble con los datos anteriores, la letra código es K y de las III-A, III-B y III-C se obtienen los planes siguientes: Inspección normal (n1= n2=80, c1a=0, cir=3, c2a=3), Estricta (mismas que n1 y n2, c1a=0, cir=2, , c2a=1, c2r=2) y Reducida (n1= n2=32, c1a= c2a=0, c2r=3, c2r=4). Comprobar lo anterior. DISCUSIÓN El estándar MIL-STD-105E está orientado al AQL, se enfoca al lado de riesgo del productor de la curva OC, la parte restante de la curva depende de la selección del nivel de inspección. Los tamaños de muestra seleccionados son 2, 3, 5, 8, 13, 20, 32, 50, 80, 125, 200, 315, 500, 800, 1250 y 2000.

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El estándar civil ANSI/ASQC Z1.4 o ISO 2859 es la contraparte del estándar MILSTD-105E, difiriendo en que: 1. Se usa el término “No conforme” o “no conformancia” o “porcentaje no conforme”. 2. Cambian ligeramente las reglas de cambio agregándose una opción para inspección reducida sin el uso de números límite. 3. Se agregan varias tablas que muestran el desempeño de los planes, como el AOQL, fracciones defectivas para Pa = 0.1 y Pa = 0.95, curvas de ASN y OC. 4. Hay una descripción detallada de los planes de muestreo simples. 5. Se proporciona un esquema ilustrando las reglas de cambio en inspección.

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2. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES 2.1 VENTAJAS Y DESVENTAJAS La principal ventaja del muestreo por variables es que se puede obtener la misma curva característica de operación con tamaño de muestra menor que el que requeriría un plan por atributos. Otra ventaja es que los datos por variables proporcionan más información del proceso que los atributos. Cuando los AQLs son muy pequeños (del orden de ppm), el tamaño de muestra requerido en el caso de muestreo por atributos es muy grande y por variables muy pequeño. Cuando la inspección es del tipo destructivo, los planes por variables si se aplican son más económicos. Como desventajas se tienen el probable alto costo de las mediciones versus juzgar por atributos, a pesar de que el tamaño de muestra sea menor y que es necesario un plan de muestreo para cada característica importante del producto. Otra desventaja es que se utiliza un plan de muestreo por cada característica inspeccionada. Se debe conocer la distribución de la característica de calidad, la cual debe ser normal ya que de otra forma se pueden cometer errores en la aplicación del plan de muestreo por variables. Esto es más crítico cuando las fracciones defectivas son muy pequeñas. Los planes especifican el número de artículos a muestrear en los cuales se hacen mediciones en la característica de calidad seleccionada, y el criterio de aceptación de esos lotes.

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Una comparación entre los diferentes tipos de muestreo se da a continuación, considerando una p1 = 0.01, p2 = 0.08, α = 0.05 y β = 0.10: Tipo de muestreo 1. Muestreo simple por atributos

n ó ASN n = 61.

2. Muestreo doble por atributos 3. Muestreo múltiple por atributos 6. Muestreo simple por variables, sigma desconocida, método de s 1. Muestreo simple por variables Sigma conocida

ASN en p1 = 45 ASN en p1 = 41 n=27 n=10

Como se observa, si la distribución es normal y la desviación estándar es conocida, el costo de muestreo por variables es menor. TIPOS DE PLANES DE MUESTREO Existen dos tipos de planes de muestreo por variables, los que controlan la fracción defectuosa del lote y los que controlan un parámetro del proceso tal como la media.

2.1 MÉTODO DE CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA Como la característica de calidad es una variable, siempre existirá ya sea un límite de especificación inferior (LIE), límite de especificación superior (LSE) o ambos, que definan los valores aceptables de esa característica.

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Considerando una característica de calidad X normalmente distribuida y un límite inferior de especificaciones LIE, la fracción defectiva p es función de la media del lote µ y su desviación estándar σ . Asumiendo que la desviación estándar σ del proceso es conocida, se desea tomar una muestra del lote para determinar si o no el valor de la media es tal que la fracción defectiva p es aceptable. Para esto se tienen dos métodos.

σ

p

LIE

__

X

x

Fig. 2.1 Bases del muestreo por variables Procedimiento 1. Tomando una muestra aleatoria de n artículos del lote y calculando el estadístico

Z LIE =

X − LIE

(2.1)

σ

ZLIE expresa justamente la distancia entre la media X de la muestra y el límite inferior de especificación LIE, entre mayor sea su valor, la media X de la muestra estará más alejada del LIE y en consecuencia menor será la fracción defectiva p. Si hay un valor crítico p que no deba ser excedido con una probabilidad establecida, se puede traducir el valor de p en una distancia crítica por decir k para ZLIE. De esta forma si ZLIE <= k, se aceptará el lote ya que automáticamente la fracción defectiva p es satisfactoria, en caso contrario la fracción defectiva p es mayor que la aceptable y se rechazará el lote.

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Fig. 2.2 Muestreo por variables – Procedimiento 1 (K)

Fig. 2.3 Curva característica de operación (OC) y plan de muestreo para el procedimiento 1 en base a K Ejemplo 2.1

Z LIE =

Si µ =100, σ =10 y LIE= 82:

X − LIE

σ

=

82 −100 = −1.8 10

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Donde Φ (-1.8) = 0.0359 o sea el 3.59% defectuoso. Se sigue el mismo procedimiento para el caso de tener un límite superior de especificación unilateral LSE.

Z LSE =

LSE − X

(2.2)

σ

Cuando se tiene un solo límite de especificación, la relación entre Z y la fracción defectiva (p) es: p 0.25

Zs ó Zi 0.6745

0.20

0.8416

0.15

1.0364

0.10

1.2816

0.05

1.6449

0.02

2.0537

0.01

2.3263

Procedimiento 2. A partir de una muestra sencilla de tamaño n del lote, se calcula ZLIE o Q LIE = Z LIE

n /( n −1) (más exacto) y se estima la fracción defectiva p como el

área bajo la curva normal debajo de ZLIE, si esta fracción estimada p, excede un valor máximo M, se rechaza el lote, de otra forma se acepta.

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Fig. 2.4 Muestreo por variables – Procedimiento 2 (M)

Fig. 2.5 Curva característica de operación (OC) y plan de muestreo para el procedimiento 2 en base a M

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Para el caso de límites bilaterales se calculan ambos QLIE y QLSE.

Q LIE = QLSE =

X − LIE

σ LSE − X

σ

n /( n −1)

(2.3)

n /( n −1)

Se estiman las fracciones defectivas P(QLIE) y P(QLSE) de la tabla mostrada en el apéndice para estimar las fracciones defectivas pI y pS, si la suma de ambas fracciones defectivas no excede al valor máximo permitido M se acepta el lote, en caso contrario se rechaza el lote. Cuando la desviación estándar σ

es desconocida, se puede estimar de la

desviación estándar de la muestra s, remplazando en las fórmulas anteriores a σ por s.

2.2 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993 DE MUESTREO POR VARIABLES Originalmente se emitieron las tablas MIL-STD-414 sin embargo posteriormente fueron homologadas con las tablas MIL-STD-105E (incluyendo inspección normal, reducida y estricta y concordancia en las letras código de los planes para cada AQL) para su uso en la industria dando lugar a las tablas Z1.9 de la ASQC. Se enfoca al AQL (entre 0.1% a 10%) con cinco niveles generales de inspección (el normal es el II), el nivel III tiene una curva más abrupta que el nivel II. Se pueden usar niveles más bajos (S3 S4) para reducir costos muestrales si se toleran riesgos mayores. Tiene la siguiente organización:

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Variabilidad Desconocida Método de S

Variabilidad Conocida

Especificación Unilateral

Especificaciones Bilaterales

Procedimiento 1 (Método de k)

Procedimiento 2 (Método de M)

Procedimiento 2 (Método de M)

Fig. 2.6 Organización de las tablas de muestreo por variables Tienen 4 secciones: A. Descripción general, con definición de términos, código de letras de tamaño de muestra, y curvas OC de los planes. B.

Planes basados en la desviación estándar de la muestra con sigma del

proceso desconocida. C. Planes basados en la amplitud de la muestra con sigma desconocida (ya descontinuado). D.

Planes basados en la media de la muestra cuando se conoce la sigma del proceso.

2.3 USO DE LAS TABLAS Las tablas se encuentran en el apéndice y su uso se ilustra con un ejemplo: Ejemplo 2.2

Para el caso del embotellador: Si el límite

inferior LIE = 225 psi, suponiendo que el nivel de calidad Página 44 de 58



aceptable en este límite es AQL = 1% y que las botellas se embarcan en lotes de N = 100,000, con sigma desconocida se tiene: Procedimiento 1. 1. En la tabla A-2 se identifica el código de letra, en este caso, la N: 2.

En la tabla B-1 se determina la n y k en este caso con la letra N y AQL= 1.00 negociado entre proveedor y cliente, se obtiene k = 2.03. Para el caso de inspección severa (escala inferior) k = 2.12. Para el caso de inspección reducida k = 1.8 de la tabla B-2.

3. En la tabla B-3 se determina M en el renglón de N y columna de AQL= 1% obteniéndose M= 2.05%. Para inspección severa M = 1.42%. Para inspección reducida, de la tabla B4 se obtiene k = 3.44%. 4.

La inspección estricta se usa cuando 2 de 5 lotes han

sido rechazados 5.

La

inspección

reducida

se

usa

cuando

los

10

lotes

anteriores se han aceptado y su fracción defectiva estimada es menor que un límite inferior especificado y la producción es estable. Nota: Es posible pasar de planes de muestreo con sigma desconocida a planes con sigma conocida con menor n si se demuestra estabilidad en una gráfica X -s para los lotes (al menos para 30). Los planes específicos para este tipo de planes se deben consultar en el estándar.

Página 45 de 58



EJEMPLOS TOMADOS DEL ESTANDAR Z1.9-1993

2.3.1 VARIABILIDAD DESCONOCIDA – MÉTODO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR B1. Plan de muestreo para límite especificación unilateral. Procedimiento 1 a)

De la tabla A2 seleccionar la letra código de función del tamaño del lote y el nivel de inspección.

b)

Usar tablas B1 (normal y estricta) y B2 (reducida) para obtener el plan.

n

- tamaño de muestra.

K

- constante de aceptabilidad

c)

Obtener mediciones de muestras , calcularX y s.

d) Criterio de aceptación. LSE

- Límite superior de especificación.

LIE

- Límite inferior de especificación.

Comparar (LSE – X) / s ó (X– LIE) / s con k. Si es mayor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza. Ejemplo 2.3

La máxima temperatura de operación es de 209ºF.

Un lote de 40 artículos se inspecciona, tomando AQL = 1%, nivel II. Solución. a)

De tabla A2, se selecciona la letra D.

b)

De la tabla B1, n = 5, k= 1.52

c) Suponiendo lecturas 197º, 188º, 184º, 205º y 201º. X= 195 , s = 2.8 d)

( LSE - X ) / s = (209 – 195) / 2.8 = 1.59

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e) 1.59 > k por tanto se acepta el lote. B5- Usando el procedimiento 2 a)

Usar tablas B3 ( normal y estricta) y B4 (reducida) y obtener el plan de inspección, n y M ≡ Porcentaje máximo de no conformes.

b)

Obtener mediciones de muestras, calculandoX y s.

c) Criterio de aceptación. Calcular el índice de calidad QS= (LSE - X ) / s QI= (X – LIE ) / s En tabla B5 entrar con QU o QL para encontrar porcentaje estimado no conforme PS o P I . Comparar PS o PI con M , si es igual o menor se acepta el lote, se rechaza en caso contrario. Ejemplo 2.4 De lo anterior; X = 195 ; s = 2.8 a)

De la tabla B3 se obtiene M = 3.33% para letra D, n = 5 y AQL = 1%.

b)

De la taba B5 con QS= 1.59 se obtiene PS = 2.19%

c)

Como PS ≤ M se acepta el lote.

B2. Plan de muestreo para doble límite de especificación. a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.

b) Obtener el plan n y M de tabla B3 y B4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite MI y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje no conforme por M. c) Obtener mediciones del muestreo.

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d) Calcular los índices de Calidad QS = (LSE - X ) / s y QL =( X – LIE ) /s e) De tabla B5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n. Pestimada= PI + PS

f) Comparar Pest. Con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza. Nota: Cuando hay diferente AQL para cada límite: Aceptar si PI ≤ MI y PS ≤ MS y P = PI + PS≤ mayor (MS, MI) Ejemplo 2.5 Se inspecciona un lote de 40 muestras con nivel de inspección II, inspección normal y en base a temperaturas de

los

ejemplos

anteriores,

n

=

_ X =

5,

195;

s=

2.8;

considerando LIE= 180°F; LSE= 209°F; AQL= 1% donde de tabla B-3 M = 3.32%

QS= QI=

209 −180 = 1.59 ; PS = 2.19% (de tabla B-5) 8. 8

195 −180 = 1.704; PI = 0.66% (de tabla B-5) 8.8

por tanto la

fracción defectiva total es de p = 2.85% Como P < M se acepta el lote. Ejemplo 2.6

Si el AQLS= 1% y AQLI= 2.55% de tabla B3, MS=

3.32% , MI=9.8%

a) PS= 2.19% ; PI= 0.66% P = 2.85% b) Comparando PS ≤ MS ;

PI ≤ MI y P ≤

Se acepta el lote.

Página 48 de 58

MI



2.3.2 VARIABILIDAD CONOCIDA D.1 Sólo un límite de especificación. Procedimiento 1. Usar tabla D1 y D2 para obtener n y k Ejemplo

2.7

Se

toma

un

lote

de

500

artículos

para

inspección. LIE= 58,000 psi. N= 500, nivel II, inspección Normal. AQL= 1.5%. La variabilidad σ

es conocida con valor

3,000 psi a) de tabla A2, se identifica la letra I y de tabla D1 obtenemos n = 10 Valores de muestra 62,500; 60,500; 68,000; 59,000; 65,500 62,000; 61,000; 96,000; 58,000; 64,500.

a) Cálculo de X= 63,000 ; ( X – LIE) / σ = 1.67 b) De tabla D1 ; k = 1.7 c) Comparando (

X – LIE)/ σ < k y el lote se rechaza.

D.5 Usando la el procedimiento 2. a) Usar tablas D3 y D4 obteniendo n, M y V

b) Calcular QS= (LSE - X) V / σ y QL=( X – LIE) V / σ c) Usando tabla D5 estimar PS y PI d) Comparar D= PS + PI ≤ M para aceptabilidad Ejemplo

2.8

Sea

LIE=

58,000

psi;

tamaño

del

lote

500

artículos;AQL = 1.5%; Inspección nivel II, normal. De los _ X = 63,000; n = 10 ; σ = 3,000. De tabla A-2 se obtiene la letra I.

datos anteriores se obtuvo

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a) Obtención en tabla D3 de n, M y V como 10, 3.63%, 1.054 respectivamente.

b) Cálculo de QL =(63,000 - 58,000) * 1.054 / 3,000 = 1.756 c) Determinar

PL de tabla D5 con QL= 1.756 es 3.92%

Como PL > M se rechaza el lote. D9. Plan de muestreo para doble límite de especificación a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.

b) Obtener el plan n, el factor v y el porcentaje máximo aceptable M de tabla D3 y D4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite M I y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje no conforme por M. c) Obtener mediciones del muestreo en n partes. d) Calcular la media de los datos.

e) Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - X ) v / σ y QL =( X – LIE ) v / σ f) De tabla D-5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n. Pestimada= PI + PS Ejemplo 2.9 La especificación para una colada de acero es de 67,000 y 58,000 psi respectivamente. Un lote de 500 artículos se somete a inspección. El nivel de inspección es II, inspección normal con AQL = 1.5%. La variabilidad σ

conocida

con valor 3,000 psi. a) De tabla D-3 se obtuvo n = 10, v = 1.054, M = 3.63% _

b)

De las mediciones de las 10 muestras se obtuvo X = 63,000

c)

Los índices QS con QL son respectivamente 2.459 y 3.162 con fracciones estimadas defectuosas 0.697% y 0.078% de la tabla D-5.

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d) Como la fracción defectiva total no excede el valor de M = 3.63%, se acepta el lote. NOTA: Comparar Pestimada con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

Una consideración muy importante en el uso de las normas es que la población de donde se obtienen las muestras debe ser normal. Es más crítico para pequeños valores de AQL. La ventaja de la norma Z1.4 es que se puede iniciar con un esquema de muestreo por atributos con la MIL-STD-105E, obtener información suficiente y después cambiar a un esquema por variables manteniendo la misma combinación de letra para el AQL. Es muy importante una prueba de normalidad a partir de los datos variables de cada lote.

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2.5 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES 2.4.1 ASEGURAMIENTO DE LA MEDIA DEL PROCESO Los planes de muestreo por variables también pueden utilizarse para asegurar la calidad media de un material en lugar de su fracción defectiva. El método general que aquí se emplea es el de prueba de hipótesis, lo cual se ilustra con un ejemplo. Ejemplo 2.10 Se considera aceptable un lote si tiene menos de 0.3 ppm de emisiones de formaldeído en maderas. Se diseña un plan de muestreo con una probabilidad de aceptación del 95% si las emisiones son en promedio de 0.3 ppm, y los lotes con un 0.4 ppm tengan una probabilidad de aceptación del 10%. Si por experiencia se sabe que la desviación estándar es 0.10 ppm, se tiene: Si X A es la media muestral debajo de la cual se aceptará el lote, está normalmente distribuida y tiene una probabilidad de 0.95 de aceptación, entonces,

X A − 0.3 X A − 0.3 = = +1.645 σ 0 .1 n n

(2.4)

En forma similar si los lotes que tienen un nivel de emisión de 0.40 ppm tienen una probabilidad de 0.10 de aceptación, entonces,

X A − 0.4 X A − 0.4 = = −1.282 σ 0.1 n n resolviendo para X X

A

A

= 0.355

(2.5)

y n se obtiene: n= 9

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Preguntas y Ejercicios de muestreo de aceptación MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS 1. Explique qué es el muestreo de aceptación. 2. El muestreo de aceptación es una decisión intermedia entre dos extremos: cero inspección o inspección al 100%. Explique bajo qué condiciones se recomienda aplicar el muestreo de aceptación. 3. ¿Cuáles son las ventajas del muestreo de aceptación sobre la inspección al 100%? 4. Comente de manera general en qué consisten los planes de muestreo por atributos y por variables. 5. ¿En qué consiste un muestreo doble? 6. Explique en forma general cómo se recomienda formar un lote que va a ser sometido a un plan de muestreo de aceptación. 7. Describe qué es y cuál es la utilidad de la curva característica de operación de un plan de muestreo por atributos. 8. Apoyándose en las propiedades de la curva CO, señale qué tanta influencia tiene el tamaño de lote en el tipo de calidad que acepta un plan de muestreo de aceptación. 9. Algunas personas tienen la costumbre de tomar un tamaño de muestra igual a cierto porcentaje del tamaño de lote (10%). ¿Con base en las propiedades de la curva CO, es adecuada esta costumbre? 10. Comente el significado de los índices NCA (AQL) y NCL (AOQ), su relación con el

riesgo del productor y riesgo del consumidor. 11. ¿Cuál es el propósito de los distintos niveles de inspección en las tablas de MIL

STD 105E? 12. ¿Cuál es la finalidad de que un esquema de muestreo obtenido mediante las MIL

STD 105E tenga planes normal, reducido y severo o estricto? 13. Un proveedor de sábanas y un hotel han decidido evaluar el producto en lotes de 100 usando un AQL de 1% con una probabilidad de rechazo del 0.10 . a) Use el MIL STD 105E y determine los planes de muestreo para c = 0, 1, 2. b) ¿Si usted fuera el comprador, cuál de los planes anteriores seleccionaría? ¿Por qué?

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14. En una empresa se ha venido aplicando un muestreo de aceptación con base en

MIL STD 105E, usan un AQL de 1.5%. Conteste. a) Suponiendo lotes de 12 000 piezas, y usando nivel de inspección normal (ll) encuentre los planes normal, reducido y severo que se aplicarán. b) De acuerdo a lo anterior, ¿este plan garantiza que no se acepten lotes con un porcentaje de defectuosos mayor al 1.5%? Explique. c) Si el tamaño de lote en lugar de 12 000, fuera de 32 000, compruebe que de acuerdo al MIL STD 105D el tamaño de muestra y el número de aceptación serían los mismos. ¿ Por qué cree usted que ocurre esto? 15. Usando un MIL STD 105 D, un inspector general de servicios de administración necesita determinar los planes de muestreo simple para la siguiente información.

Caso Nivel de inspección

a) b) c) d)

ll l lll lll

Inspección

AQL

Tamaño del lote

Severa Normal Reducida Normal

1.5% 0.65% 0.40% 2.5%

1 400 115 160 000 27

16. En una empresa se usa un método de muestreo de aceptación que consiste en lo

siguiente: se toma una muestra de 10% del lote, y si en la muestra se encuentra 1% o menos de piezas defectuosas entonces el lote es aceptado, en caso contrario el lote es rechazado. Los tamaños de lote más frecuentes son de 1 000 y 2 000 piezas, por lo tanto ( n = 100, c = 1) ( n = 200, c = 2), respectivamente. De acuerdo a lo anterior conteste: a) ¿En general cuál es su opinión sobre este método de muestreo? b) Construya las curvas CO que correspondan. c) ¿Cuál es la protección que cada plan proporciona al nivel de calidad aceptable que es de 1.0%? Comente los resultados obtenidos. 17. Una manufacturera automovilista está usando un plan muestral de

n = 200 y c =

0 para todos los tamaños del lote. Construye las curvas CO y AOQ. Gráficamente determina el valor de AQL para α = .05 y el valor de AOQL. Página 54 de 58



n = 50 y c = 0 sin tomar en cuenta el tamaño del lote. Construye las curvas CO y AOQ . Gráficamente determina el valor de AQL para α = .05 y el valor de AOQL.

18. Una de las principales firmas de computadoras usan un plan muestral de

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MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES 19. ¿Qué ventajas tiene el muestreo de aceptación para variables respecto al de atributos? 20. Un lote de 480 artículos es sometido a inspección con un nivel ll, y un NCA =

1.5%. De acuerdo a las tablas MIL STD 414 o Z1.9. ¿Cuál es el plan de muestreo apropiado n, M? Explique. 21. Suponiendo inspección normal, MIL STD 414 o Z1.9, el método de la desviación

estándar y la variabilidad desconocida, además de letra código D y AQL = 2.5%, y una especificación de inferior de 200g. a) Con un tamaño de lote N= 40 encuentre el plan apropiado. b) Determinar si un lote es aceptado o rechazado utilizando el método 2, dado que los resultados de la inspección fueron los siguientes: 204, 211, 199, 209 y 208g. 22. Para aceptar embarques de 400 bultos que deben pesar 50kg cada uno, se establece como especificación inferior para el peso 49.5 y como superior 50.5. Si se establece un NCA = 1.0%, aplicando MIL STD 414 y nivel IV o nivel II de la Z1.4 de inspección encuentre el plan apropiado (n, M). b) De acuerdo al pan anterior, cuando se recibe un embarque, qué se hace y cómo se decide si se rechaza o acepta el embarque. c) Aplicando el plan se selecciona una muestra de bultos, se pesan y se muestra que Xmedia = 49.8, y S = 0.2, ¿se acepta o se rechaza el embarque? Argumente. a)

23. Si en el problema anterior se hubiera utilizado un NCA = 4.0%. a) Encuentre el plan de muestreo apropiado. b) Explique en qué y por qué son diferentes los planes para NCA = 1.0% y NCA = 4.0%. c) Utilizando x =49.8 y S =0.2, se rechaza o se acepta el lote con el plan NCA = 4.0%? 24. ¿Si usted es el vendedor, cuál de los dos planes anteriores preferiría? Argumente su respuesta. MUESTREO POR ATRIBUTOS 10.1. Usando Military Standars 105E, encuentre un proceso de muestreo con muestra sencilla, fracción defectuosa, para los lotes de aproximadamente 15 000 y un AQL de 2.5% . Use el nivel ll de inspección. b) Determine los procedimientos a los que cambiará bajo inspección más severa e inspección reducida. Trace las curvas CO para los tres procesos en la misma gráfica. a)

10.2

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Una agencia militar desea un proceso de inspección por muestreo con un AOL de 1.5%. Los lotes representan aproximadamente a 8 000 piezas. Determine el proceso que adoptaría al seguir a Military Standard 105E, usando muestreo sencillo. Use nivel de inspección ll. b) Encuentre los procesos a los que cambiará bajo inspección severa y bajo inspección abreviada. Trace las curvas CO para los tres procesos en la misma gráfica. a)

10.3 Repita el problema 10.1 para un producto que se juzga requiere el uso de un ... a) nivel de inspección lll. b) Nivel de inspección l. 10.4 Repita el problema 10.2 para un producto que se juzga requiere el uso de un... a) nivel de inspección lll. b) Nivel de inspección l. 10.5 Usando la Military Standard 105E, encuentre un proceso de muestreo con: Muestra sencilla, defectos-por-unidad, para lotes de aproximadamente 450 y un AQL de 4 defectos por cada 100 unidades. Use nivel ll de inspección. a)

b) Encuentre los procesos a los que cambiaria a inspección más severa e inspección abreviada. Trace las curvas CO para los tres procesos en una misma gráfica. 10.6 Usando la Military Standard 105E, encuentre un proceso de muestreo por: Muestra sencilla, defectos-por-unidad, para lotes de aproximadamente 1 000 y un AQL de 1.5 defectos por cada 100 unidades. Use nivel ll de inspección. a)

b) Encuentre los procesos a los que cambiaría a inspección más severa e

inspección reducida. Trace las curvas CO para los tres procesos en la misma gráfica. 10.7 a) Usando la Military Satndard 105D, encuentre un proceso de muestreo por : b) Muestra sencilla, defectos-por-unidad, para lotes de aproximadamente 35 y un AQL de 15 defectos por cada cien unidades. Use el nivel especial de inspección S-4. c) Encuentre los procesos a los que cambiaría a inspección más severa e inspección abreviada. Trace las curvas CO para los tres procesos en la misma gráfica.

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10.8 Repita el problema 10.1 para:1) un proceso de muestreo doble, y 2) un proceso de muestreo sencillo, omitiendo el dibujo de las curvas CO. 10.9 Repita el problema 10.2 para:1) un proceso de muestreo doble, y2) un proceso de muestreo múltiple, omitiendo el dibujo de las curvas CO. 10.10 Repita el problema 10.3 para 1) un proceso de muestreo doble, y2) un proceso de muestreo múltiple, omitiendo el dibujo de las curvas CO. 10.11 Repita el problema 10.4 para: 1) un proceso de muestreo doble, y2) un proceso de muestreo múltiple, omitiendo el dibujo de las curvas CO.

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MUESTREO_ACEPTACION

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