Matemáticas Octavo Semestre
Transformaciones y series
Actividad 1 Espacios vectoriales Unidad 1. Análisis de las series de Fourier. LIZETH VARGAS VERA AL10503732
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 1 Espacios vectoriales Instrucciones:
Con base a la teoría de espacios vectoriales, producto interno. Desarrolla cada uno de los
siguientes ejercicios y fundamenta el desarrollo. Recuerda cuidar tu ortografía, redacción. Argumenta y justifica el desarrollo de tu evidencia. Simplifica todos tus resultados.
1.- Sea V un espacio vectorial co n producto interno:
Sea
〈 ,〉 = ∫, á − = 1, ,…,,,…,
una base del espacio vectorial V. Con
intervalo cerrado de
,
a) Demostrar que
en el
.
es una base ortogonal para el espacio vectorial V
∫−1∙cos = − =
2
2 = 0 = 0 ∫−1 ∙sen = − = =
= 0
Se toma un
,
cualquiera, donde
, ∈ ℤ
Demostramos que el producto punto de
UNADM | MAT |MTS
:
y
es cero
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cos( ) cos( ) ∫−cos = 2 2 −
) cos( ) cos( ) cos( ) = cos( 2 2 2 2 →cos = cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) = 0 2 2 2 2 ∴
es ortogonal
b) Comenta un fenómeno físico que pueda ser descrito con el inciso a
Un fenómenos físico son las ondas, las cuales pueden ser descritas como ecuaciones diferenciales parciales, y pueden ser resultas por medios de las series de Fourier. Notamos que en el inciso a) se e ncontró la base que da la forma a las series de Fourier, una suma de componentes trigonométricos. La descomposición de señales suele hacerse en series de Fourier para su análisis.
= = = 〈,〉 = ∫, á
2.- Sean dos señales de la forma números complejos,
y
en el espacio vectorial V con
y es un parámetro, y producto interno:
Demostrar que
UNADM | MAT |MTS
3
,
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+
Con
〈,〉 = ∫ ∙ ∗ = {0 =≠
= 2/
+ ̅ + +̅ ∫ = ∫ = +̅ + 1 [+̅+ +̅] = ̅ = ̅
Tenemos que igual a
, es decir:
̅ = + +̅ + − ∫ = ∫
= → Para
son imaginarios puros, de esta manera obtendremos que el conjugado de será
+ + = ∫ = ∫ = =
≠
+ −+ − + ∫ = [ −+ −] = −
Suponemos que
,
UNADM | MAT |MTS
= 1 [−(− 1)] = 1 [−(− 1)]
y además son enteros, por lo que:
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− = 1 1 [−(− 1)] = 1 [−11] =0
3.- Sea V un espacio vectorial co n producto interno:
,
Con
〈 ,〉 = ∫, á − –, = 1 〈 ,〉 = ∫ = 0
dos funciones en el intervalo
. Sea
una función impar y
. Demostrar
−
Definición de aproximación: Sea un V un espacio vectorial con producto interno:
,
Con
〈 ,〉 = ∫, á , ,,…, = 〈〈,,〉〉 ⋯ 〈〈,,〉〉 1,1 1,1 1,
. Se dice que es la función más cercana a V o que es
funciones continuas en el intervalo
de V , entonces:
la mejor aproximación; si existe una base or togonal
4.- De acuerdo a la definición de arriba resolver el siguiente ejercicio. Suponga que los puntos de la gráfica de la función
= 1,
a) Sea
sobre el intervalo
generan el espacio V.
(base de V) el conjunto de las funciones lineales de los polinomios de grado uno.
Calcular la mejor aproximación con la función Iniciamos comprobando si
UNADM | MAT |MTS
en el intervalo cerrado
.
es ortogonal
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∴
1 1 〈1,〉 = ∫−1∙ = 2 − = 2 2 = 0
base es ortogonal
= 〈〈,,〉〉 〈〈,,〉〉 1 − 〈,〉 = ∫−1∙ = | |− = = 〈,〉 = ∫−1∙ 1 = ||− = 1 1 = 2 〈,〉 = ∫− = | |− = − − = 2 − = 2 1 1 2 〈,〉 = ∫− ∙ = 3 − = 3 3 = 3 − = 2 = b) Proponer una base ortogonal de V de los polinomios de grado dos en el intervalo [-1 ,1]; de tal
ℎ
manera que es la mejor aproximación a V de los polinomios de grado dos. Empezamos por hallar una base ortogonal de los polinomios de grado 2
1,, ∫−1 ∙ = 3 2 − = 3 2 3 2 = 23 2 = 0 ⟹ = 3 UNADM | MAT |MTS
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∫− ∙ = 4 3 2 − = 4 3 2 4 3 2 Se elige
=1
= 23 = 0 ⟹ = 0
, entonces una base ortogonal de los polinomios de grado dos es:
Se calcula la aproximación de
{1,, 13}
1 1 5 〈 3 , 〉 = ∫− 3 = 2 3 − = − 5 5 2 14 2 14 − − − − 2 3 2 3 = 3 3 = 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 〈 3 , 3〉 = ∫− 3 = 5 9 9 − = 5 9 9 5 9 9
2 4 2 = 8 5 9 9 45 − = 2 1 3 13 = 1 3 452 14− 1 2 24 3
c)
Grafica y compara las aproximaciones del inciso a y b. ¿Qué puedes concluir de lo observado?
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Dentro de la gráfica anterior tenemos en azul la aproximación de polinomios de grado 2, en azul polinomios de grado 2 y en rojo la función
.
Se determina que la mejor aproximación es la de polinomios de grado 2.
d) Qué podrías concluir sobre una aproximación de la función polinómica de grado n al espacio V.
Concluimos que a medida que aumenta, la aproximación será mejor cada ocasión, así que cuando
∞
, la suma de términos converge a la función.
UNADM | MAT |MTS
8
→
