KARLA JUDITH ANDREW MÉNDEZ AL12509552
Matemáticas Topología Sexto Semestre Ejercicio final de la Unidad: Topologías en el plano Unidad 1
Clave 05143528/06143528
Universidad Abierta y a Distancia de México
Topología Unidad 1. Actividades
Lista de Ejercicios Evaluación final de la unidad Debes considerar el siguiente conjunto X={(x,y)| 0≤x≤10, 0≤y≤10}, considera la familia de subconjuntos de X de la forma A={(x,y)| a≤x
http://matematicas.unex.es/~montalvo/Analisis_Varias_Variables/apunt es/cap06.pdf file:///C:/Users/karla/Downloads/file%20(7).pdf http://www.ugr.es/~alarcon/docencia/tema1-top1.pdf pag 8 2 ¿Esta topología cumple la propiedad de Hausdorf? Sean: y1, y2 Dos puntos distintos de Y, como F es sobreyectiva, entonces existen dos puntos: x1 , x2 En X tales que: f ( x 1 )= y 1 y f ( x 2 )= y 2 Luego: x c (¿ ¿ 1 , x 2 )∈ Ω ¿ UNADM | DCEIT | MAT |MAMT1
2
Topología Unidad 1. Actividades
Pues: f ( x 1 ) ≠ f ( x 2) Y como
Ω
es cerrado en XxX, tenemos que existe un básico: U∗V ⊂ X∗X
Tal que: x (¿ ¿ 1 , x 2 )∈U∗V ⊂Ω c ¿ Luego: x 1 ∈U y x 2 ∈V Con U y V abiertos en X, además siendo f una función abierta, entonces f(U) y f(V) son conjuntos abiertos en Y, y como: U∗V ∈ Ω c Entonces: f ( a ) ≠ f ( b ) para tdo a∈ U y para toda B ∈V Luego: f ( U ) ∩ f ( V ) =Φ Y como: x 1 ∈U Entonces: f ( x 1 ) ∈ f (U ) Esto es: y 1 ∈ f ( U ) siendo f ( U ) un conjunto abierto en Y Igualmente: x 2 ∈V siendo f (U ) un conjunto abierto en Y Entonces: f ( x 2 ) ∈ f (V ) Esto es: y 2 ∈ f ( V ) con f ( V ) un conjunto abierto en Y Por lo tanto se tiene que para: y 1 , y 2 dos puntosdi stintos deexisten vecindades f ( U ) y F ( V ) de y 1 y y 2 Respectivamente, tales que: F ( U ) ∩f ( V )=Φ
O cual prueba que X es de Haussford. 3 ¿Las bolas abiertas usuales de R2 son conjuntos abiertos? Claramente: UNADM | DCEIT | MAT |MAMT1
3
Topología Unidad 1. Actividades Bε (x )∈ N (x) . Sean ahora:
y ∈ Bε (x ) Con:
y ≠ x , δ=mín{d ( x , y ), ε−d( x , y)} y z ∈ Bδ ( y) . Entonces, en todo caso:
d ( y , z)<ε −d (x . y ) y en consecuencia:
d ( x , z )≤ d (x , y )+d ( x , z )< ε con lo que:
z ∈ Bε (x ), con lo que Bε ( x )∈ N ( y ) El espacio total X es un conjunto abierto, dado que contiene todas las bolas posibles, y además el conjunto vacío ∅ ⊂ X es también abierto, en este caso, por vacuidad
4 ¿Las bolas cerradas usuales de R2 son conjuntos cerrados? Sea:
´x 0 ∈ R n y r ≥ 0. Probaremos que la bola cerrada que su complemento:
B´ ( x 0 , r )
es un conjunto cerrado, es decir,
´ 0 , r) Rn− B(x es un conjunto abierto. Sea pues:
´ 0 ,r ) ´x 0 ∈ R n− B(x Mostraremos que existe una bola abierta:
´ x 0 ,r ) . B ( ´x , R)contenida en R n− B( ´ ( x 0 , r ) , se tiene entonces que: Como x´ no está en la bola cerrada B ‖´x −´x 0‖>r Entonces:
R=‖´x −´x 0‖−r >0 Que equivale a: r=‖´x −´x 0‖−R UNADM | DCEIT | MAT |MAMT1
4
Topología Unidad 1. Actividades
Veamos que: B ( ´x , R ) ⊂ R −B´ (x0 , r ) n
Luego sea:
y ∈ B ( x , R) Se tiene entonces que:
‖ ´y − x´ ‖< R Por lo tanto:
‖´x −´x 0‖=‖´x − ´y + ´y −´x 0‖ ≤‖ ´x − ´y‖+‖ ´y −´x 0‖< R+‖ ´y −´x 0‖ Luego:
‖´x −´x 0‖< R+‖ ´y − x´ 0‖∴‖´x −´x 0‖−R<‖ ´y −´x 0‖ Es decir:
r <‖ ´y −´x 0‖ Esto significa que:
´y ∉ B´ ( x 0 , r ) Es decir:
´ 0 , R) ´y ∈ Rn− B(x 5 ¿Cuál es la cerradura y el interior de los siguientes conjuntos? {(x,y)| a≤x b tal que Bϵ(x) = (b − ϵ, b + ϵ) ⊆ [a, b) (A, B)
{(x,y)| a b tal que Bϵ(x) = (b − ϵ, b + ϵ) ⊆ (a, b)
UNADM | DCEIT | MAT |MAMT1
5
Topología Unidad 1. Actividades [A, B]
{(x,y)| a≤x≤b, a≤y≤b} Cerradura e interior de un intervalo cerrado = {a ≤ x ≤ b, a≤y≤b} intervalo cerrado cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B) El interior del intervalo cerrado [a, b] es el intervalo abierto (a, b). Nota que b ∈ int([a, b]) pues no existe ningún ϵ > b tal que Bϵ(x) = (b − ϵ, b + ϵ) ⊆ [a, b]
{(x,y)| a b tal que Bϵ(x) = (b − ϵ, b + ϵ) ⊆ (a, b] 6 ¿Esta topología es equivalente a la usual de R2? Si A es abierto de la topología cofinita, A es complementario de un subconjunto finito de R 2 y, como los conjuntos finitos son cerrados para la topología usual, A también es abierto en R2 para la topología usual
UNADM | DCEIT | MAT |MAMT1
6
