Forma espa espacio cio de esta estados. dos. Inv Invari arianc ancia ia de coo coorde rdenad nadas as
Sistem Sist emaa liline neal al,, forma forma espa espaci cioo de estados: : vector de entradas : vector de salidas : vec vecto torr de de vari variab able less de esta estado do que que depe depend ndee del del sistema
coorde coo rdenad nadoo ele elegid gidoo Las matric matrices es variab variables les y son afecta afectadas das por el sistem sistemaa coor coorde dena nado do eleg elegid idoo para para los los estad estados os,, La ma matriz no qu queda afectada ya que mapea entradas a sa salidas. •
•
2
Forma espa espacio cio de esta estados. dos. Inv Invari arianc ancia ia de coo coorde rdenad nadas as
Eligien Eligiendo do el conjunt conjuntoo de coordena coordenadas: das:
, con
invert invertibl ible: e:
Y definiendo:
RELACIÓN ENTRADA-SALIDA SE MANTIENE! Exis Existe tenn si sist stem emas as de coor coorde dena nada dass que perm permite itenn vi visu sual aliz izar ar pr propi opied edad ades es particulares particulares del sistema. sistema. 3
Sist stem emaa ac acop opla lado do ma masa sa-r -res esor orte te Invariancia Invari ancia de coorde coordenadas nadas.. Si
Sea el vector de estados:
Usando la transformación:
SISTEMA ACOPLADO
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SISTEMA DESACOPLADO
Form Fo rmaa canó canóni nica ca mo moda dall Sistem Sist emaa liline neal al,, forma forma espa espaci cioo de estados: Eligiendo
donde se cumple que: PROBLEMA DEL AUTOVECTOR : autovector
: autovalor
Dado que
5
, l uego :
representaci representación ón matricial matricial
Forma For ma canó canónic nicaa mod modal. al. Ejemp Ejemplo lo Sistem Sis temaa din dinámi ámico: co:
Calc Calcul uland andoo los los autova autovalo lore ress de :
resulta 6
Forma For ma canó canónic nicaa mod modal. al. Ejemp Ejemplo lo Buscando Buscando los autovectores autovectores asociados: asociados:
se obtiene:
7
Forma For ma canó canónic nicaa mod modal. al. Ejemp Ejemplo lo Con:
8
, se obtiene:
Forma For ma can canóni ónica ca con contro trolabl lablee Sist Si stem emaa liline neal al de un unaa en entr trad ada: a: Sea la matriz de de controlabilidad es controlable si: Definiendo:
Se cump cumple le que: que: 9
, el sistema
donde es la última fila de la inve invers rsaa de
Forma For ma can canóni ónica ca con contro trolabl lablee Sist Si stem emaa liline neal al de un unaa en entr trad ada: a: O equivalentemente:
,
Ecuac Ecuación ión caract caracterí erísti stica ca de
:
Luego: 10
Forma For ma canónic canónicaa con contro trolabl lable. e. Ejemplo Ejemplo Sistem Sis temaa din dinámi ámico: co:
Matriz Matriz de control controlabi abilid lidad: ad: el sistema es controlable dado qu que ,
11
, es no si singular. En Entonces:
Forma For ma can canóni ónica ca obs observ ervable able Sist Si stem emaa liline neal al de vari varias as sa salilida das: s:
Sea la matriz de observabilidad
sist sistem emaa es observable si:
12
, el
Form Fo rmaa canó canóni nica ca ob obse serv rvab able le.. Siste Sistema ma du dual al Consi Conside dera rando ndo el sistema dual (tra (trans nspue puest staa ): Controlabilidad Controlabili dad del sistema sistema dual → obse observa rvabil bilida idadd del sistema sistema ori origin ginal al Observabilid Observa bilidad ad del sistema sistema dual → con control trolabi abililidad dad del sis sistem temaa ori origin ginal al
Para una Para una sola sola sal salid ida, a, el el caso caso es anál análog ogoo al sis siste tema ma cont contro rola labl blee de una una sola sola entrada. Tomand omandoo la transp transpues uesta ta a la forma forma canóni canónica ca control controlabl ablee del sistem sistemaa dual: dual:
, Luego: 13
Form Fo rmas as ca canó nóni nica ca co cont ntro rola labl blee de una fun funció ciónn de tra transf nsfere erenci nciaa una entr entrad adaa-un unaa sali salida da defin Consid Considere ere un siste sistema ma una definid idoo por: por:
forma ma can canóni ónica ca con control trolabl ablee es: Su for
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Form Fo rmas as ca canó nóni nica ca co cont ntro rola labl blee de una fun funció ciónn de tra transf nsfere erenci nciaa una entr entrad adaa-un unaa sali salida da defin Consid Considere ere un siste sistema ma una definid idoo por: por:
canónica ca obser observable vable es: Su forma canóni
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Form Fo rmas as ca canó nóni nica ca co cont ntro rola labl blee de una fun funció ciónn una entr entrad adaaConsid Considere ere un siste sistema ma una una una sali salida da defin definid idoo como como:: forma ma canó canónic nicaa mod modal al es: Su for
