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Maîtrise Statistique des Procédés - I.U.T. de Mulhouse _______________________________________________________________________________________________________________

LA MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES Sommaire Détaillé

1. GENERALITES SUR LA MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES

2

1.1. Définition d'un processus

2

1.2. Causes des défauts du produit

3

1.3. La Maitrise Statistique des Processus ( MSP )

3

1.4. Efficacité de la MSP

3

1.5. Le contrôle du Procédé 1.5.1. Le Procédé 1.5.2. Renseignements sur la performance 1.5.3. Variabilité du procédé 1.5.4. L'Auto-Contrôle

4 4 4 4 5

1.6. Intérêt de l'outil statistique

5

2. BUT DU CONTROLE EN COURS DE FABRICATION

5

3. PRINCIPE DU CONTROLE EN COURS DE FABRICATION

7

3.1. Différents types de contrôle en cours de fabrication 3.1.1. Contrôle par Attributs 3.1.2. Contrôle par Mesures

7 7 7

4. COMPARAISON DE L'I.T. A LA DISPERSION DU PROCESSUS

9

4.1. L'IT est inférieur à la dispersion du Processus

9

4.2. L'IT est égal à la dispersion du Processus

9

4.3. L'IT est supérieur à la dispersion du Processus

10

4.4. Conclusion

11

5. CARTES DE CONTROLE

11

5.1. Risques liés à l'emploi de la carte de Contrôle

11

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5.2. Courbe d'efficacité

11

5.3. Action sur l'efficacité du contrôle

12

5.4. Carte de Contrôle de la Moyenne 5.4.1. Observations 5.4.2. Cartes de Contrôle Provisoires 5.4.3. Elaboration de la carte de contrôle aux limites élargies 5.4.4. Utilisation de la carte de contrôle de la moyenne 5.4.5. Application à un système de surveillance (KOMEG)

12 12 14 14 15 16

5.5. Carte de Contrôle de l'écart-type 5.5.1. Cas des Petits Echantillons

19 19

6. EXERCICE D'APPLICATION

20

1. Généralités sur la Maîtrise Statistique des Procédés 1.1. Définition d'un processus C'est la combinaison des éléments suivants : - Equipements de production et de tests - Hommes et organisations - Matière première à transformer - Méthodes et instructions - Procédures - le tout dans un environnement social et économique donné Il est également caractérisé par : - une entrée mesurable - une valeur ajoutée - une sortie mesurable - et une répétabilité

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1.2. Causes des défauts du produit Les causes des défauts d'un produit sont à rechercher à l'aide de la méthode des 5M définis par Ishikawa.( Milieu, Méthode, Machines, Main d'oeuvre, Matières ) Main d’Oeuvre Personnel

Méthodes Organisation

Machines

Milieu Environnement de travail

CAUSES DES DEFAUTS D’UN PRODUIT

Matières Premières

IL FAUT COMPRENDRE ET CONTROLER, c’est-à-dire MAITRISER LE PROCESSUS

REDUCTION DES COUTS 1.3.

La Maitrise Statistique des Processus ( MSP ) a) L'idée Le processus est la cause des défauts du produit . C'est le processus qu'il faut maitriser puisqu'il est instable et a naturellement tendance à se dérégler. b) La démarche L'objectif est de contrôler les paramètres influant du processus. Les différentes étapes vont de la sensibilisation du personnel à la mise en place des cartes de contrôle. c) L'outil C'est la carte de contrôle , outil simple et efficace , qui est à la base de la MSP. d) Le concept Il faut rechercher sans cesse l'amélioration des performances. e) Ce qu'est la MSP - Un élément de l'Assurance Qualité et un outil d'amélioration continue - Il faut impérativement maîtriser le Processus afin de diminuer les coûts de non-qualité qui sont générés par le processus lui-même. - La responsabilité de la maîtrise des processus incombe d'abord et avant tout au Management. - Les procédés sont conduits par des opérateurs. Le seul outil proposé par la MSP est la carte de contrôle, qui est simple d'utilisation et à la portée de tout le personnel d'une entreprise. f) Ce que n'est pas la MSP - Les différentes théories des Statistiques. - Ce n'est pas la Qualité Totale et ne garantit pas le ZERO DEFAUT. 1.4.

Efficacité de la MSP Les chiffres avancés ci-dessous ont été obtenus chez MICHELIN après application de la MSP. - La vérification passe du tri à 100% au sondage - Les tolérances passent de 0.2 à 0.05 mm - Les non-conformes passent de 9 à 1% Les incidences indirectes sont les suivantes : - Productivité en hausse de 50% - Maintenance allégée

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1.5.

Le contrôle du Procédé

1.5.1. Le Procédé C'est un système qui combine plusieurs éléments agissant en même temps pour l'obtention d'une production de biens ou de services en particulier les 5 M définis par Ishikawa (Main d'Oeuvre , Matière, Milieu, Méthodes et Machines ). 1.5.2. Renseignements sur la performance L'étude des paramètres décrivant l'état du fonctionnement du procédé et l'interprétation des résultats permettent d'intervenir pour corriger le procédé ou la production, ce qui entraine deux types d'interventions : - Sur le procédé ( à long terme ou à court terme ) - Sur la production passée par tris , rebuts et retouches. Il est à noter que ce type d'intervention doit devenir exceptionnel voire être supprimé si le procédé est Mis sous Contrôle. 1.5.3. Variabilité du procédé De multiples phénomènes viennent influencer la qualité du produit, résultant de la combinaison des facteurs des 5 M . La Norme NF X50-020 regroupe en 2 catégories ces causes de variabilité. Causes Communes ou aléatoires : Ce sont des causes inhérentes au processus lui-même. Ex : - Jeux dans les différents éléments de la machine - Elasticité des organes - Hétérogénéité de la matière travaillée - Température de l'atelier - Erreurs dans le processus de mesure Les causes aléatoires se caractérisent par : - leur nombre très important - leurs variations faibles en règle générale - leur indépendance les unes des autres - par le fait qu'elles sont toujours présentes - elles se retrouvent dans toutes les pièces fabriquées; c'est d'ailleurs pour ces raisons que la distribution est le plus souvent normale. Les causes communes ne sont pas identifiables et sont incontrôlables. Elles sont responsables des variations aléatoires. Lorsque le PROCESSUS EST STABLE on dit qu'il est SOUS CONTROLE ou qu'il est MAITRISE . Il n'y a que des causes communes et pas de causes spéciales . Causes Spéciales ou assignables : Elles ne sont pas inhérentes au processus et il en résulte une dispersion variable dans le temps . Ex : - Cassure d'un outil - Coupure du courant dans un cycle de chauffe - Défaillance humaine - Fuite dans un tuyau sous pression - Grippage d'un palier - Dégel, chaleur ou froid exceptionnel - Changement d'opérateur - Lot de matière première défectueux Ce sont des causes que l'on peut souvent identifier et que l'on peut contrôler. Les causes spéciales ne concernent que certaines pièces; elles sont peu nombreuses, mais avec des effets importants. En principe, les causes spéciales ne durent pas longtemps puisqu'on les élimine au fur et à mesure qu'elles se présentent. Quand un outil casse, on le remplacera.

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Les causes spéciales se traduisent par des variations non aléatoires qui correspondent à des valeurs situées en dehors de l'intervalle x − 3σ ; x + 3σ . Il faut donc empêcher le processus de faire des fautes pour que les variations non-aléatoires ne se produisent pas. 1.5.4. L'Auto-Contrôle Il consiste à responsabiliser l'opérateur en lui donnant les moyens d'obtenir un niveau de qualité souhaité. La démarche Qualité s'appuie largement sur la mise en oeuvre du S.P.C. ( Statistical Process Control = Surveillance des Procédés en Continu ). Dans ce cadre on estime que l'opérateur n'est responsable que de 15 % de la non-qualité , les 85 % restant ayant pour origine le reste du procédé. 1.6.

Intérêt de l'outil statistique Critère économique: Le contrôle est une opération qui coûte cher et n'apporte pas de valeur ajoutée. On a donc intérêt à diminuer le nombre de pièces à contrôler sans trop diminuer la fiabilité. C'est ce que permettent les statistiques en donnant la possibilité d'estimer la population totale à partir d' échantillons. Critère technique: Les statistiques permettent de réduire le nombre de données à manipuler. Trois paramètres suffisent pour caractériser une population de plusieurs milliers d'individus ( Forme de la répartition, position, dispersion )

2. But du Contrôle en cours de Fabrication Le contrôle en cours de fabrication s'applique à des produits de toute nature : pièces, sousensembles, ensembles terminés. Ce contrôle a pour but de surveiller la fabrication, en détectant rapidement l'apparition de nonconformes et en s'assurant que les caractères contrôlés restent STABLES. Il indique le moment où un réglage deviendra nécessaire. Il s'effectue sur des échantillons de FAIBLE QUANTITE d'individus prélevés les uns à la suite des autres. Les résultats obtenus, sur un même prélèvement, donnent lieu au calcul d'une "statistique" telle que moyenne puis étendue ou écart-type Soit n la taille du prélèvement c'est-à-dire par exemple 5 pièces n

moyenne : x =

étendue

écart type

i =1

xi avec xi = valeur de chaque individu

n

W toujours ≥ 0

:W = x max - x min

:σ =

( xi − x ) 2 n

σ toujours ≥ 0

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Remarque sur le calcul de l'écart-type des calculatrices H.P. : ( Rappels 1ère Année )

( xi − x ) 2 n −1

σHP =

La calculatrice calcule directement l'estimation de l'écart-type de la population σ 0 . Donc pour calculer l'écart-type de l'échantillon σ , il faut appliquer la relation suivante :

σ = σ0

n −1 n

A l'inverse, on peut également estimer l'écart-type de la population σ 0 à partir d'un échantillon d'écart-type σ :

σ0 = σ

n n −1

Les valeurs obtenues xi , Wi , σ i sont reportées dans l'ordre chronologique, sur une carte dite "carte de contrôle" et interprétées d'après leur position par rapport à des limites tracées à l'avance. Numéro d'échantillon Moyenne Etendue Ecart-type

1

2

x1 W1 σ1

3

x2 W2 σ2

4

x3 W3 σ3

etc

x4 W4 σ4

x x1 x3

W W2 W1 σ σ2 σ1

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3. Principe du Contrôle en Cours de Fabrication 3.1. Différents types de contrôle en cours de fabrication 3.1.1. Contrôle par Attributs Les individus sont qualifiés de "bons" ou "défectueux" . La décision concernant le réglage est prise d'après le nombre de défectueux trouvés dans les individus contrôlés. Exemple : Soit un prélèvement de n=50 pièces ( échantillon ) Rejeter le lot s'il y a plus de 2 pièces défectueuses. Ceci correspond au plan de contrôle ou plan d'échantillonnage simple suivant : ( n=50 ; critère d'acceptation A=2 ; Critère de rejet R=3 ) 3.1.2. Contrôle par Mesures Se fait lorsque le caractère contrôlé, désigné par x dans l'expression ci-dessous est une grandeur mesurable ( Ex: diamètre d'un arbre mesuré au palmer ) . La décision de réglage se fait suivant la moyenne x et la dispersion W ou σ calculées sur les individus contrôlés . Pour mettre en oeuvre le contrôle par mesures il faut : - connaître la loi que suivent les caractères contrôlés (généralement la loi normale) Caractéristiques de la loi normale et de la loi normale réduite : Définition de la loi normale : ( Rappels 1ère Année ) Pour tout individu pris au hasard dans un lot, la probabilité pour que la grandeur x ait une valeur comprise dans l'intervalle [ x , x + dx ] est donnée par l'expression suivante .

1 y = f ( x) = σ0 2π

e

−

1 x − m0 2 σ0

2

En pratique , la probabilité y est la fréquence ou proportion des individus du lot pour lesquels le caractère a une valeur comprise dans l'intervalle dx . avec m0 = moyenne de la population σ 0 = écart-type de la population (grand nombre d'individus étudiés) Courbe de Gauss : y m0+σ0

m0-σ0

m0-1,96σ0

m0+1,96σ0

m0-3,09σ0

m0

m0+3,09σ0

x

68,3% 95% 99,8% _______________________________________________________________________________________________________________ 14/06/2005

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Définition de la loi normale réduite: ( Rappels 1ère Année ) Pour des raisons de simplification on utilise généralement les propriétés de la LOI NORMALE REDUITE . Cette loi est telle que son origine se situe sur la moyenne et que l'unité de la variable est égale à σ 0 . Cette unité s'appelle u .

u=

x − m0

avec

σ0

m0 = 0

σ0 = 1

La fonction d'une loi normale réduite est :

y = f ( u) =

1 2π

e

−

u2 2

Par conséquent il n'y a plus qu'une seule courbe représentative quelque soit m0 et σ 0 . y

u -3

-2

-1

0

1

2

3

95,44% 99,73% - être assuré que la variabilité de la fabrication surveillée n'est due qu'à des causes aléatoires (soumises au hasard) Conditions d'obtention d'une distribution normale - La grandeur étudiée doit être sous l'influence de nombreux facteurs de variations ou de perturbations. Ex. : pour les dimensions d'une pièce mécanique - épaisseur de copeau variable sur des pièces brutes - variations de T° (atmosphère - lubrifiant) - défauts d'homogénéité de la matière - défauts de mise en place des pièces et outils - déformations machines, pièces, porte-pièces, etc... - Chaque cause de perturbation doit avoir un effet indépendant - Pas d'effet prépondérant d'une cause par rapport aux autres.

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4. Comparaison de l'I.T. à la Dispersion du Processus En ayant un risque de rebut de 0,2 % , la dispersion du processus sera de ± 3,09 σ0 soit 6,18 σ0 4.1. L'IT est inférieur à la dispersion du Processus

TI

TS

REBUT

REBUT

m0

6,18 σ0 Dans ce cas, le procédé de fabrication ne convient pas. Son utilisation conduit à un rebut systématique. Il faudra donc : - soit changer de processus de production (machine) - soit l'utiliser en sachant qu'il y aura un certain pourcentage de rebut. 4.2. L'IT est égal à la dispersion du Processus

TI

m0

TS

6,18 σ0

Il n'y a aucun rebut (0,2 %) tant qu'il n'y a pas déréglage de la moyenne. Tout déréglage entraine un rebut qui est fonction du décalage de la moyenne .

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4.3. L'IT est supérieur à la dispersion du Processus

( IT > 6, 18 σ 0 )

Des rebuts apparaitront lorsque:

TS − m0 < 3, 09 σ 0

vers la tolérance supérieure

m0 − TI < 3, 09 σ 0

vers la tolérance inférieure

On peut considérer que le processus est trop précis si la différence IT − 6, 18 σ 0 est trop élevée, d'où incidence non négligeable sur les coûts de fabrication.

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4.4. Conclusion On peut définir le coefficient d'adaptation du procédé appelé en général Cp.

Cp =

TS − TI I .T . = 6,18σ 0 6,18σ 0

si IT = 6, 18 σ 0 si IT > 6, 18 σ 0 si IT < 6, 18 σ 0

alors Cp = 1 alors Cp > 1 alors Cp < 1

Pour avoir un processus bien adapté à un usinage, on considère que 1,33 < Cp < 2 . Si 1 < Cp < 1,33 il est préférable de faire un contrôle à 100 %.

5. Cartes de Contrôle 5.1. Risques liés à l'emploi de la carte de Contrôle 5.1.1. Conclure à un déréglage alors qu'il n'en est rien C'est le risque α c'est-à-dire le "risque économique" puisqu'il conduit à déclencher une intervention inutile . On définit les limites de contrôle avec un risque α = 0,002 ( 2 chances sur 1000 ). 5.1.2. Poursuivre une fabrication alors qu'un déréglage s'est produit. C'est le risque ß , c'est-à-dire le "risque Qualité", de poursuivre la fabrication pendant un temps plus ou moins long ( jusqu'à ce qu'une prochaine statistique calculée vienne se situer en dehors des limites de contrôle ). 5.2. Courbe d'efficacité Elle donne la probabilité d’accepter la fabrication en cours en fonction du déréglage d α = 0,002

- La probabilité décroit si d augmente - Pour un déréglage nul d=0 on a P=0,998 puisque le risque α =0,002 (0,2%) - Pour un certain déréglage d1 le risque de poursuivre la fabrication vaut par exemple ß=0,1

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5.3. Action sur l'efficacité du contrôle L'efficacité du contrôle est fonction : - du choix du type de contrôle (par mesures ou par attributs) A efficacité égale le contrôle par mesures demande des échantillons d'effectif beaucoup plus faible ( 5
N=20 N=10

β(n=10)

β(n=20) < β(n=10)

β(n=20) d Déréglage d Pour un déréglage d donné le risque qualité β augmente si la taille de l'échantillon diminue Pour un échantillon d'effectif élevé avec de fréquents prélèvements : - Avantages : - Bonne efficacité - Déréglages rapidements signalés - Diminution des coûts dûs à la nécessité de trier la fabrication - Inconvénients : - Augmentation du coût direct du contrôle 5.4. Carte de Contrôle de la Moyenne 5.4.1. Observations A partir d'une population initiale de moyenne m0 et d'écart-type σ 0 , en prélevant des échantillons d'effectif n = 5, on obtient des moyennes x toutes différentes avec un écart-type égal à

σx =

σ0

n Puisque x ≈ m0 on peut écrire :

m0 − t

σ0

<

x < m0 + t

σ0

( lorsque la distribution suit une loi normale ) n n Cette relation est valable pour les grands échantillons quand n > 30

σ0

Si t = 1,96 on a dans l'intervalle

m0 − 1, 96

Si t = 3,09 on a dans l'intervalle

m0 − 3, 09

n

σ0 n

; m0 + 1, 96

σ0

; m0 + 3, 09

n

σ0 n

95 % des moyennes x

99,8 % des moyennes x

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Distribution de la population ( m 0 , σ0 )

Taille N TI

TS

m0 Distribution d’un petit échantillon extrait de la population

(x ,σ )

σx =

Distribution des moyennes d’échantillons extraits de la population

σ0 x

n

( x ,σx )

± 1,96 σ x ± 3,09 σ x

Pour k échantillons prélevés :

95% des x 99 ,8% des x

x 1 + x 2 + ..... + x k k x ≈ m0

x =

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5.4.2. Cartes de Contrôle Provisoires Leur but est de voir d'abord si le procédé à surveiller est STABLE . Le mode opératoire sera le suivant : Préléver k échantillons ( k=25 ) il faut 100 à 200 valeurs individuelles Déterminer les caractéristiques suivantes : - Etendue de chaque échantillon =Wi - Moyenne de chaque échantillon = xi - Moyenne des moyennes = x - Moyenne des étendues = W Déterminer les limites d'une carte de contrôle provisoire et représenter les k échantillons sur les cartes x et W . W où dn est fonction de n C'est grâce à W qu'on estime la valeur de σ 0 avec σ 0 = dn Le procédé sera stable si aucun échantillon ne dépasse les limites que l'on calculera cidessous. Carte Provisoire de la moyenne : LSC = x + A’c . W LIC = x - A’c . W Carte Provisoire de l'étendue : LSC = D’c2 . W

Ex : A’c = 0,594 pour n=5 ( voir Annexe A-3 )

Ex :

D’c2 = 2,36 D’c1 = 0,16 pour n = 5

LIC = D’c1 . W Si tous les points sont situés entre les limites ci dessus on peut passer aux limites élargies qui sont déterminées d'après les limites de tolérance . 5.4.3. Elaboration de la carte de contrôle aux limites élargies On a vu que la dispersion des moyennes a un écart type σ x = CALCUL DES LIMITES DE CONTROLE On calcule d’abord C c = 3,09σ 0 − 3,09

σ0 n

σ0

n

et l’on arrondi cette valeur

Limite Supérieure de Contrôle (LSC) avec risque de rebut de 0,1 % LSC = TS - Cc Limite Inférieure de Contrôle (LIC) avec risque de rebut de 0,1 % LIC = TI + Cc CALCUL DES LIMITES DE SURVEILLANCE On calcule d’abord C s = 3,09σ 0 − 1,96

σ0

n

et l’on arrondi cette valeur

Limite Supérieure de Surveillance (LSS) avec risque de 2,5 % d'avoir des valeurs supérieures à cette limite : LSS = TS – Cs Limite Inférieure de Surveillance (LIS) avec risque de 2,5 % d'avoir des valeurs inférieures à cette limite : LIS = TI + Cs

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Si σ 0 n'est pas connu, on peut l'estimer de différentes manières ; on devra cependant faire attention à ce que les 5M interviennent: a) à partir d'un prélèvement de taille n > 30. où σ sera l'écart type de l'échantillon.

n n −1

Estimation de σ 0 = σ

type

b) Si l’on a déjà fait les cartes de contrôle provisoires, on connaît W c) Si l’on a k échantillons dont on connaît les écarts-type σi, on calcule la moyenne des écartsEstimation de σ 0 =

σi k

5.4.4. Utilisation de la carte de contrôle de la moyenne En cours de production, on prélève périodiquement (Ex. : toutes les heures ) un échantillon de taille n. On calcule x et on reporte cette valeur sur la carte. Différents cas peuvent se présenter : 1°) Point entre LIS et LSS Le processus est correctement réglé. 2°) Point entre LIS et LIC ou entre LSS et LSC. Cela veut dire qu'il y a 97,5% de chance de déréglage puisque les limites de surveillance ont été calculées à partir d'un risque de 2,5%. On prélève alors immédiatement un autre échantillon. Si celui-ci confirme le précédent, on procède à un règlage immédiat. Si le nouveau point se trouve entre LIS et LSS, on considère que le processus est bien réglé. En appelant respectivement a et b les deux événements conduisant au dépassement des limites de surveillance, la probabilité résultante de déréglage peut être exprimée par l'expression suivante :

P( a +b ) = Pa + Pb − P( a .b ) =

Il y a donc moins de 1 chance sur 1000 de procéder à un réglage par erreur. 3°) Point au-delà de LIC ou de LSC. Cela veut dire qu'il y a 99,9% de chance de déréglage puisque les limites de contrôle ont été calculées à partir d'un risque de 0,1%. On arrête la fabrication et on procède au réglage. Il y a donc 1 chance sur 1000 de procéder à un réglage par erreur. CARTE x

(3) LSC

LSS

(2a)

(2b)

(1) LIS LIC

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5.4.5. Application à un système de surveillance (KOMEG) Ce genre de système calcule automatiquement les statistiques x , σ et dresse les cartes de contrôle. Il calcule automatiquement la valeur Cp = IT / 6, 18 σ 0 et peut donner différents types d'alerte. 5.4.5.1. Alerte Middle Third ou Tiers Médian

L'avertissement "Middle Third" est déclenché lorsque moins de 40 % ou plus de 90 % des 25 dernières moyennes se situent dans le tiers médian de la plage de contrôle. Le dépassement vers le bas de la valeur 40 % reflète une distribution trop large. Le dépassement de 90 % pourrait indiquer un mauvais fonctionnement ou une mauvaise entrée des limites de contrôle. 5.4.5.2. Valeur Cpk La valeur Cpk définit la position du processus par rapport à la limite de tolérance.On l'appelle aussi indicateur de décentrage. Elle se calcule à partir des 25 dernières moyennes et doit être supérieure à 1. Le calcul s'effectue toujours par rapport à la limite de tolérance supérieure et inférieure. Le résultat le plus faible est affiché. Des tolérances limitées à un seul côté (par exemple des battements) sont prises en compte en conséquence.

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Cpk par rapport à la limite de tolérance supérieure :

Cpk =

TS − x si x > Cote moyenne 3, 09 σ 0

avec x = moyenne des 25 dernières moyennes.

Cpk par rapport à la limite de tolérance inférieure :

Cpk =

x − TI si x < Cote moyenne 3, 09 σ 0

Pour qu'un procédé soit centré il faut : x =

TS + TI = Cote moyenne 2

Calculons alors Cpk à partir de l’une ou l’autre des relations:

TS − x Cpk = = 3,09σ 0

TS + TI 2TS − TS − TI TS − TI IT 2 = = = 3,09σ 0 6,18σ 0 6,18σ 0 6,18σ 0

TS −

On constate que Cpk doit être égal à Cp pour que le processus soit centré 5.4.5.3. Alerte Trend ou Tendance

On parle d'une "tendance" lorsque 7 moyennes successives de la carte de contrôle de la qualité présentent une tendance ininterrompue vers le plus ou vers le moins. 5.4.5.4. Alerte Run ou Suite

On parle d'une "suite" lorsque 7 moyennes successives de la carte de la carte de contrôle de la qualité se situent toutes d'un côté de la plage de contrôle. _______________________________________________________________________________________________________________ 14/06/2005

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5.4.5.5. Exemple de carte de contrôle

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5.5. Carte de Contrôle de l'écart-type 5.5.1. Cas des Petits Echantillons Dans un contrôle en cours de fabrication, on prélève généralement de petits échantillons. Par conséquent, on ne traitera pas le cas des grands échantillons. La distribution des écarts-types n'obéit plus à une loi normale mais à la loi du Khi deux ( χ 2 ) à ν = n−1 degrés de liberté.

p

χ²

σ 2 On forme le rapport χ 2 = σ2 n σ0

Pour un échantillon de taille n, la table du χ 2 donne les valeurs du χ 2 ayant la probabilité p d'être dépassées. On peut ainsi calculer la limite supérieure de contrôle avec p = 0,001 (seuil de 0,1 %) et la limite supérieure de surveillance avec p = 0,025 (seuil de 2,5 %) .

σσ = σ0

10.

χ2 n

Ex: Dans une population où σ 0 a été estimé à 0,02 mm, on prélève des échantillons de taille n = ν = n-1 =9 Détermination de LSS : Table

χ 2 s = 19,02

pour p = 0,025

d'où σ σ =

19,02 .σ 0 = 1,379σ 0 10

d'où σ σ =

27,88 .σ 0 = 1,67σ 0 10

d'où LSS = 1,379 x 0,02 = 0,028 mm Détermination de LSC : Table

χ 2 c = 27,88

pour p = 0,001

d'où LSC = 1,67 x 0,02 = 0,033 mm

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6. Exercice d'Application Soit 30 pièces qui ont été usinées sur un tour et qui ont les diamètres suivants : 19.985 19.993 19.993 19.994 19.995 20.004

19.990 19.990 19.994 19.991 19.997 20.006

19.990 19.990 19.996 19.993 20.000 20.006

19.991 19.992 19.995 19.992 20.002 20.005

19.992 19.994 19.995 19.993 20.002 20.005

pour N°1 à 5 pour N°6 à 10 pour N°11 à 15 pour N°16 à 20 pour N°21 à 25 pour N°26 à 30

a) On vous demande de déterminer la moyenne et l'écart-type de cet échantillon . Estimer l'écarttype de la population et calculer ensuite les limites de surveillance et de contrôle des cartes de contrôle de la moyenne et de l'écart-type en vue de fabriquer des arbres de diamètre 20 h7 ( 20− 00.021 ). On considèrera que la taille des prélèvements sera de 5 pièces . Calculer Cp et Cpk. Tracer la distribution puis placer TS et TI. Calculer le pourcentage de rebut théorique et le comparer au pourcentage réel. b) Tracer l'évolution de la dimension en fonction du numéro d'ordre d'usinage . En supposant une évolution linéaire de la dimension en fonction du numéro d'ordre d'usinage , on a déterminé la droite des moindres carrés : y = 5.65295 . 10 -4 x + 19.986737 avec le coefficient de corrélation r2 = 0.764 Représentez cette droite sur un graphe et calculer : la variation de dimension d'une pièce due à l'usure de l'outil . la variation totale de dimension des pièces due à l'usure de l'outil . c) Représentez l'écart entre la dimension et le modèle linéaire. Ceci montre l'évolution de la partie aléatoire de la dimension en fonction du numéro d'ordre d'usinage . L'écart ei sera calculé par : ei = yi - axi - b Donner l'étendue des écarts ei d) Répartir les écarts ei dans 6 classes différentes et tracer l'histogramme . Calculer les fréquences et fréquences cumulées et tracer la droite de Henry. e) En supposant que l'on puisse changer l'I.T. de la pièce qui serait amené à 20 +− 00..1021 , recalculez les limites supérieures ainsi que le coefficient d'adaptation machine . En considérant les 30 pièces de l'échantillon comme les premières d'une série , quel serait le nombre de pièces N réalisées , en considérant un risque de 0.1 % , avant que la limite supérieure de contrôle ne soit dépassée sans aucun réglage . f)

En supposant pour les N pièces une durée effective d'usinage de 5 mn , combien de pièces peut-on réaliser avec la même arête en supposant une durée de vie d'arête de 15 mn .

La solution de l’exercice se trouve dans le fichier MSP2.pdf _______________________________________________________________________________________________________________ 14/06/2005

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