ARITMETICA
CEPRE-UNI
MAGNITUDES PROPORCIONALES Magnitud: Es todo aquello que se puede medir o cuantificar. Ejemplo: El tiempo, la masa, masa, la velocidad. También se puede considerar como magnitud: • La obra realizada, • El número de obreros para hacer la obra.
Principio de comparación de magnitudes: Cuando se tiene un fenómeno natural en la cual intervienen 2 ó más magnitudes y se quiere establecer una relación proporcional entre ellas, primero se elige una magnitud llamada patrón la cual se compara con cada cada una de las otras y cada cada vez que se hace esta operación operación las demás magnitudes deben permanecer con un valor constante.
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP): Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales y se representa A DP B, B , cuando dado un conjunto de valores no negativos de A: a1, a2,……..,an y los correspondientes valores no negativos de B: b1, b2, …….bn, existe existe una constante k > 0 tal que que . ai = k bi,
i = 1, 2, 3,………….n
Propiedad para valores positivos de a i y bi: a1 b1
=
a2 b2
=
a3 b3
= ......... =
an = k bn
Donde k es la la constante constante de proporcionalida proporcion alidad d Ejemplo: El problema donde intervienen: : cantidad de de obra (generalmente en volumen) volumen) n : número de obreros para hacer la obra t : número de días para hacer la obra Para relacionar la obra con el número de obreros mantenemos el tiempo constante.
Obra Numero de Obreros ∴
6 2
=
9 3
=
6 2
12 4
=
9 3
18 6
=
3 1
12 4
18 6
3 1
= k = 3
Formas de recon ocer si 2 magnitudes son directamente proporcionales 1. Para que 2 magnitudes A y B sean directamente proporcionales deben ser tales que al multiplicar o dividir los valores de la magnitud A por una cantidad, entonces los valores correspondientes de la magnitud B quedaran multiplicados o divididos por la misma cantidad respectivamente. respectivamente. ING. EDGAR NORABUENA
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ARITMETICA
CEPRE-UNI x 3
: 6
x 2
Ejemplo: 2
n
Cantidad de obra (m )
6
9
12
18
3
Número de días
2
3
4
6
1
x 2
:6
x 3
2. Si graficamos los valores que toman las magnitudes A y B, encontraremos que se originaran puntos que se ubican sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas. Cantidad de obra 12
9
6
(# obreros)
4
3
Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP): Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales y, se representa A IP B, cuando la razón de los valores valores que toma A y las inversas de los valores correspondientes correspondientes que toma la otra magnitud B, es igual a una constante. Si:
A : a1 ; a2 ; a3 ; ....................a ....................an B : b1 ; b2 ; b3 ; ................... b n y si : A IP B, entonces entonces a1
=
1 b1
a2
1 b2
∴
=
a3
1 b3
= ........ =
an
1
= k
bn
a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = ......an bn = k
Lo que quiere decir que el producto de los valores correspondientes que toman las dos magnitudes inversamente proporcionales debe permanecer constante. Si tomamos como referencia las magnitudes del ejemplo anterior donde intervinieron: la cantidad de la obra θ, el número de obreros obreros y el tiempo para hacer la obra obra tendremos: Si mantenemos constante la cantidad de la obra:
Días
2
3
4
6
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CEPRE-UNI
Formas para reconocer si 2 magnitudes son Inversamente Proporcionales . 1. Para que 2 magnitudes A y B sean inversamente proporcionales proporcionales deben ser tales que al multiplicar o dividir los valores de la magnitud A por una cantidad, entonces los valores correspondientes correspondientes de la magnitud B quedaran divididos o multiplicados por la misma cantidad respectivamente. respectivamente. x 3 x 2
Ejemplo:
Número de obreros
2
3
4
6
Número de días
6
4
3
2
:2
: 3
2. Si graficamos los valores que toman las magnitudes A y B, encontraremos que se originaran puntos que se ubican en la parte positiva de una hipérbola equilátera. (# días) 6 5
3 2
(# obreros) 2
3
4
5
6
Propiedades: 1. Si 2. Si
A IP B A DP B
A DP 1/B n n A DP B
3. Para magnitudes que intervienen en un mismo aspecto de cierto fenómeno, por ejemplo las magnitudes A, B y C: Si: y:
A DP B A DP C A DP (B x C)
(Cuando C es constante) (Cuando B es constante) (Cuando B y C varían)
∴
A B × C
= k
4. Transitividad: Si A DP B (En un determinado fenómeno natural) y en forma independiente: independiente: B DP C Entonces : A DP C
