UnADM UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO
Asignatura:
Probabilidad
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Unidad 1 Evidencia de Aprendizaje.
ALUMNO
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Linares Ojeda Arturo David.
Matricula: ES1611312069
Evidencia de Aprendizaje. Modelos determinísticos vs aleatorios 1. Clasifique los siguientes experimentos en deterministas o aleatorios: a) Registrar el número de accidentes que ocurren en una determinada calle de una ciudad. --- Aleatorio b) Observar la temperatura a la que hierve el agua a una altitud dada. --- Determinista c) Registrar el consumo de electricidad de una casa-habitación en un día determinado. ---Determinista d) Registrar la hora a la que desaparece el sol en el horizonte en un día dado visto desde una posición geográfica determinada. ---Derminista e) Observar el precio que tendró el petróleo en un año. ---Aleatorio f ) Registrar la altura máxima que alcanza un proyectil lanzado verticalmente. ---Determinista g) Observar el número de años que vivirú un bebé que nace en este momento. ---Aleatorio h) Observar el ´angulo de reflexión de un haz de luz incidente en un espejo. ---Determinista
i) Registrar la precipitación pluvial anual en una zona geográfica determinada. ---Aleatorio j) Observar el tiempo que tarda un objeto en caer al suelo cuando se le deja caer desde una altura dada. ---Determinista k) Registrar el ganador de una elección en un proceso de votación libre y secreto. ---Aleatorio l) Observar la posición de una molócula de oxígeno en una habitación después de dejarla en libre movimiento durante un minuto ---Aleatorio
Espacio Muestral y Eventos simples. 3. Determine un espacio muestral para el experimento aleatorio consistente en: a) Observar la posición de un partícula en un instante dado, la cual se mueve sin restricciones en un espacio tridimensional.
S={(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), (𝑥1 , 𝑦2 , 𝑧2 ), (𝑥1 , 𝑦3 , 𝑧3 ), . . , (𝑥1 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ), (𝑥2 , 𝑦1 , 𝑧1 ), (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), (𝑥2 , 𝑦3 , 𝑧3 ), . . , (𝑥2 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) ,
(𝑥𝑚 , 𝑦1 , 𝑧1 ), (𝑥𝑚 , 𝑦2 , 𝑧2 ), (𝑥𝑚 , 𝑦3 , 𝑧3 ), . . , (𝑥𝑚 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) , }
b) Registrar el número de personas que requieren hospitalización en el siguiente accidente automovilístico atendido por los servicios de emergencia en una localidad dada. S={𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , … . , 𝑥𝑛 }
c) Lanzar un dado hasta que se obtiene un “6”. S={𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 }
d) Registrar la fecha de cumpleaños de n personas escogidas al azar. S={𝑥(1,365) , 𝑥(2,365) , 𝑥(3,365) , 𝑥(4,365) , 𝑥(5,365) , … . , 𝑥(𝑛,365) }
e) Observar la forma en la que r personas que abordan un elevador en la planta baja de un edificio descienden en los pisos 1, 2, . . . , n.
S={𝑥(1,1) , 𝑥(1,2) , 𝑥(1,3) , 𝑥(1,4) , 𝑥(1,5) , … . , 𝑥(1,𝑛) 𝑥(2,1) , 𝑥(2,2) , 𝑥(2,3) , 𝑥(2,4) , 𝑥(2,5) , … . , 𝑥(2,𝑛)
𝑥(𝑟,1) , 𝑥(𝑟,2) , 𝑥(𝑟,3) , 𝑥(𝑟,4) , 𝑥(𝑟,5) , … . , 𝑥(𝑟,𝑛) }
r →
𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
𝑛 𝑝𝑖𝑠𝑜𝑠
f ) Registrar la duración de una llamada telefónica escogida al azar. S={𝑥(1,1) , 𝑥(1,2) , 𝑥(1,3) , 𝑥(1,4) , 𝑥(1,5) , … . , 𝑥(1,𝑡) 𝑥(2,1) , 𝑥(2,2) , 𝑥(2,3) , 𝑥(2,4) , 𝑥(2,5) , … . , 𝑥(2,𝑡)
𝑥(𝑛,1) , 𝑥(𝑛,2) , 𝑥(𝑛,3) , 𝑥(𝑛,4) , 𝑥(𝑛,5) , … . , 𝑥(𝑛,𝑡) }
x→
𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎
ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡
g) Observar el número de años que le restan de vida a una persona escogida al azar dentro del conjunto de asegurados de una compañía aseguradora. hasta los --------64 desde los---------18 S={𝑥(1,46) , 𝑥(1,45) , 𝑥(1,43) , 𝑥(1,42) , 𝑥(1,41) , … . , 𝑥(1,1) 𝑥(2,46) , 𝑥(2,45) , 𝑥(2,43) , 𝑥(2,42) , 𝑥(2,41) , … . , 𝑥(2,1)
𝑥(𝑟,46) , 𝑥(𝑟,45) , 𝑥(𝑟,43) , 𝑥(𝑟,42) , 𝑥(𝑟,41) , … . , 𝑥(𝑟,1) } r---------personas
4. Proponga un espacio muestral para el experimento aleatorio de lanzar tres monedas a un mismo tiempo, suponiendo que las monedas: a) son distinguibles, es decir, pueden por ejemplo ser de colores distintos.
S= {ccc, ccs, csc, ccs, scc,scs,ssc,sss} b) no son distinguibles, es decir, físicamente son idénticos.
S= {ccc}
o
S={sss}
Algebra de conjuntos (Operaciones con eventos)
Use las propiedades básicas de las operaciones entre conjuntos para demostrar rigurosamente las siguientes igualdades. En cada caso dibuje un diagrama de Venn para ilustrar la identidad
a)
A= (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 )
→ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝑐 ) 𝐵 ∪ 𝐵𝑐 = 𝑈 =𝐴∩𝑈 =𝐴
b)
𝐴𝑐 − 𝐵𝑐 = 𝐵 − 𝐴
→ 𝐵 − 𝐴 = 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 = 𝐴𝑐 − 𝐵𝑐
--------conmutativa
c)
𝐴 ∩ 𝐵𝑐 = 𝐴 − (𝐴 ∩ 𝐵)
→ 𝐴 − (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛 𝐴 ∩ (𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 ) = (𝐴 ∩ 𝐴𝑐 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ) 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ) ∪ ∅ = (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ) = 𝐴 ∩ 𝐵𝑐
d) d) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝑐 ) → 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝑐 ) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐴𝑐 ) 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑈 (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵)
e) (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 = 𝐴 − (𝐵 − 𝐶 Asociatividad
𝑓) 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶) → 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)𝑐 = 𝐴 ∩ (𝐵𝑐 ∪ 𝐶 𝑐 ) = (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶 𝑐 ) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶)
7. Demuestre o proporcione un contraejemplo para las siguientes proposiciones. En cada caso dibuje un diagrama de Venn para ilustrar la situación.
a)
Si x un elemento cualquiera de A ∩ B. Entonces, x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B {Definición de intersección} =⇒ x ∈ A {Simplificación} luego, ∀x [x ∈ (A ∩ B) =⇒ x ∈ A] de donde se sigue A ∩ B ⊆ A Si x es cualquiera de U , entonces x ∈ A =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Adición} ⇐⇒ x ∈ A ∪ B {Definición de unión} luego, ∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ (A ∪ B)] de aquí que A ⊆ (A ∪ B)
b)
Si x un elemento en A ∩ B=∅. Entonces, x ∈ A V x ∈ B Pero no puede pertenecer a los 2 elementos dado que no existe ningún elemento de A que pertenezca en B Por lo tanto A esta contenido en el complemento de B.
c)
Si x un elemento cualquiera de A ⊆ B. Entonces, x ∈ A ∧ x ∈ B Por lo tanto x ∉ 𝐴𝑐 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 𝑐 → 𝐵𝑐
⊆ 𝐴𝑐
d)
Si x un elemento en A ∩ B=∅. Entonces, x ∈ A → 𝑥 ∈ 𝐵𝑐 → 𝐴 ∪ 𝐵𝑐 = 𝐵𝑐
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑐
e)
𝐴⊆ 𝐵
→
x∈A ∧ x∈B
→ 𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝑐 ) = 𝐵
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝐴 ⊆ 𝐵
∧ 𝐵 ∩ 𝐴𝑐 ⊆ 𝐵
f)
(𝐴𝑐 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) = (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 → Notamos que 𝐴𝑐
(𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵 𝑐 ∪ 𝐵𝑐
𝑃𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛
≠ (𝐴𝑐 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 )
8. Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B se puede también definir como sigue:
Demuestre o proporcione un contraejemplo para las siguientes identidades.
a)
(𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 )
b) 𝐴 ∆ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐵) = 𝐵 ∆ 𝐴 c)
𝐴∆∅=𝐴
(𝐴 − ∅) ∪ (∅ − 𝐴) = (𝐴 ∩ Ω) ∪ (∅ ∩ 𝐴𝑐 ) = 𝐴
d) 𝐴 ∆ Ω = 𝐴𝑐 (𝐴 − Ω) ∪ (Ω − 𝐴) = (𝐴 ∩ ∅) ∪ (Ω ∩ 𝐴𝑐 ) = 𝐴𝑐
e)
𝐴∆𝐴 =∅
(𝐴 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐴𝑐 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐴𝑐 ) =∅∪∅=∅ f)
𝐴 ∆ 𝐴𝑐 = Ω
(𝐴 − 𝐴𝑐 ) ∪ (𝐴𝑐 − 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴𝑐 ∩ 𝐴𝑐 ) = 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = Ω
g)
𝐴 ∆ 𝐵 = 𝐴𝑐 ∆ 𝐵𝑐 (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝑐 ) = (𝐵𝑐 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴𝑐 ∩ 𝐵) = (𝐵𝑐 − 𝐴𝑐 ) ∪ (𝐴𝑐 − 𝐵𝑐 ) = 𝐴𝑐 ∆ 𝐵𝑐
h) (𝐴 ∆ 𝐵)𝑐 =𝐴𝑐 ∆ 𝐵𝑐 𝐴𝑐 ∆ 𝐵𝑐 =(𝐴𝑐 − 𝐵𝑐 ) ∪ (𝐵𝑐 − 𝐴𝑐 )=(𝐴𝑐 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵𝑐 ∩ 𝐴)
A) Resolver los siguientes problemas utilizando la regla de la suma y el producto. 1. En una escuela secundaria se pretende organizar la selección de fútbol que representará a la institución en los juegos de verano organizados por la zona escolar. ¿De cuántas formas se puede elegir al portero, si en las pruebas se presentaron 7 alumnos de primer grado, 10 de
segundo y 8 de tercero? P(A ó B ó...ó Z) = P(A U B U...U Z) P(A U B U...U Z)= P(A)+ P(B) +... P(Z) 7 + 10 + 8 = 25. 2. Supongamos que queremos elegir un representante para una escuela preparatoria y se puede escoger o bien un profesor o bien un estudiante. ¿De cuántas formas se puede escoger el representante, si hay 37 profesores y 283 estudiantes en dicha preparatoria? Son eventos
mutuamente excluyentes
P(A U B )= P(A)+ P(B) 283+37=320
3. En una oficina se pretende organizar una quiniela, cuya finalidad será elegir qué equipo quedará como campeón ya que pronto iniciará la copa mundial de fútbol. En ésta participan 3 equipos norteamericanos, 2 centroamericanos, 4 sudamericanos, 9 europeos, 8 asiáticos y 6 africanos. Si se desea participar en la quiniela, ¿cuántas posibilidades tienen los participantes de elegir al ganador?
P(A U B U...UZ)= P(A)+ P(B) +... P(Z) 3+2+4+9+8+6 = 32.
4. Un examen tiene 10 preguntas. Si solamente puedes contestar cada pregunta como verdadero o falso y debes contestar todas las preguntas, ¿de cuántas maneras puedes contestar el examen? La regla de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La regla especial se escribe: P(A y B) = P(A) * P(B). En este caso hay dos opciones ya sea verdadero o falso
→
2*2*2*2*2*2*2*2*2*2=1024 210 5. a) Si seis personas abordan un avión en el que hay diez asientos vacantes, ¿de cuántas maneras pueden ocupar los diez asientos? Tienen 10 posibilidades Comienzan
Sin repetición una vez que toma el asiento
10
→
9
8
7
6
5
= 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 = 151200
b) Si solamente hay seis asientos vacantes en el avión, ¿de cuántas maneras pueden las seis personas ocupar los seis asientos? 6
→
5
4
3
2
1
= 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 720
6. En una baraja ordinaria hay 52 cartas. a) ¿De cuántas maneras se puede sacar dos cartas de la baraja si se regresa la primera carta a la baraja? Hay 52 cartas Maneras: Con repetición dado que se regreso 52
52
=2704 b) ¿De cuántas maneras se pueden sacar dos cartas de la baraja si no se regresa la primera carta a la baraja? Maneras: Sin repetición dado que no se regreso
52
51
=2652
7. Las placas para automóvil en el país de Nunca Jamás tienen una, dos o tres letras seguidas de uno, dos o tres dígitos. ¿Cuántas placas son posibles? (El abecedario en Nunca Jamás tiene 26 letras.) variaciones
AAA-000 a ZZZ-999 20, 288,580.
B) Resolver los siguientes problemas utilizando Permutaciones (si es necesario utiliza la regla de la suma y el producto).
1. Si veinte pinturas participan en una exposición de arte, ¿de cuántas maneras distintas los jueces pueden otorgar un primer y un segundo lugar?
20! = 20 ∗ 19 = 380 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 (20 − 2)! 3. Supongamos que un viajero debe visitar ocho ciudades diferentes debe iniciar su viaje en una ciudad prefijada, pero puede visitar las otras siete en cualquier orden. ¿De cuántas maneras distintas puede organizar su viaje?
𝑃𝑛 = 𝑛!=7! = 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 5040 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
5. La mesa directiva (presidente, secretario y tesorero) de una asociación va a elegirse de entre cinco candidatos, identificados con las letras A, B, C, D y E. Suponga que cualquiera de ellos es apto para cualquier puesto y determine el número de formas diferentes en que puede quedar integrada la mesa directiva.
Presidente
Secretario
Tesorero
5! = 5 ∗ 4 = 20 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 (5 − 3)!
7. ¿Cuántos números telefónicos se pueden formar de cinco cifras de manera tal, que en cada número telefónico tomado por separado todas las cifras sean diferentes?
10 dígitos 0-9 𝑃𝑛 = 𝑛!=10!
5! = 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 = 3024 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
C) Resolver los siguientes problemas utilizando Combinaciones (si es necesario utiliza la regla de la suma y el producto).
2. ¿De cuántas maneras una persona puede seleccionar tres libros de una lista de ocho bestsellers?
8! 8∗7∗6 = = 56 3! (8 − 3)! 3!
𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
4. Un grupo de 30 personas han sido entrenadas como astronautas para participar en la primera misión tripulada a Marte. ¿De cuántas formas se puede seleccionar una tripulación de seis miembros para la misión (suponiendo que todos los miembros de la misión realizan la misma tarea)?
30! 30 ∗ 29 ∗ 28 ∗ 27 ∗ 26 ∗ 25 = = 593775 6! (30 − 6)! 6!
𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
6. En una compañía hay 30 obreros y 10 empleados administrativos. ¿De cuántas maneras se pueden elegir un comité formado de 3 obreros y 4 empleados administrativos?
30! = 4060 3! (30 − 3)! 10! = 210 4! (10 − 4)!
𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
Maneras en las que se puede elegir el comité 𝐶1 ∗ 𝐶2 = 852600
8. Un inversionista considera dos opciones: puede comprar tres de entre cinco instrumentos sin riesgo y que producen rendimientos normales o bien cinco de entre 10 instrumentos de alto riesgo que producen muy altos rendimientos. ¿Cuántas decisiones distintas son posibles?
5! = 10 3! (5 − 3)! 10! = 252 5! (10 − 5)! Decisiones distintas 𝐶1 + 𝐶2 = 262
𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠
Bibliografía Spiegel, Murray R; Teoría y problemas de probabilidad y estadística; McGraw-Hill, Serie Schaum; 3ª Ed; México 2010. http://www.vitutor.com/pro/2/a_g.html http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1711003/Apuntes/Leccion2.pdf
