Procesos Estocásticos Unidad 2 Actividad 4
DETE DE TERM RMIN INAC ACII N DE DIS DISTR TRIBU IBUCIO CIONE NESS L MI MITE TE 6 de septiembre de 2015 Autor: Laura Pontón
Unidad 2 Actividad 4
1. A Joe le encanta salir a comer a los restaurantes del área. Sus comidas favoritas son la mexicana, la italiana, la china y la tailandesa. En promedio Joe paga $10 por una comida mexicana, $15 por una comida italiana, $9 por una comida china y $11 por una comida tailandesa. Los hábitos alimenticios de Joe son predecibles: hay 70% de probabilidad de que la comida de hoy sea una repetición de la de ayer y probabilidades iguales de que cambie a una de las tres restantes.
a) Define Xt, S y T S={0,1,2,3} T = (0,1,2,…n)
Hoy es igual que la de ayer = 70% Hoy es diferente a la de ayer = 10% Si es mexicana = 70% Si no lo es entonces 10% para c/u de las tres restantes Si es italiana = 70% Si no lo es entonces 10% para c/u de las tres restantes Si es china = 70% Si no lo es entonces 10% para c/u de las tres restantes Si es tailandesa = 70% Si no lo es entonces 10% para c/u c/u de las tres restantes
b) Trazar el grafo
0.7
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
1
c) Establecer la matriz de transición
M I Ch T 0 1 2 3
Inicial:
M
I
Ch
T
10 15 9 11
0.7 0.1 0.1 0.1
0.1 0.7 0.1 0.1
0.1 0.1 0.7 0.1
0.1 0.1 0.1 0.7
0 1 2 3
M= mexicana I= italiana Ch = China T = Tailandesa
0
1
2
3
0.7 0.1 0.1 0.1
0.1 0.7 0.1 0.1
0.1 0.1 0.7 0.1
0.1 0.1 0.1 0.7
d) ¿A la larga qué comida le gusta más? La matriz tiende a estabilizarse a partir n= 13 con tres cifras significativas, es decir,
0
1
2
=
3
0 0.250 0.250 0.250 0.250 1 0.250 0.250 0.250 0.250 2 0.250 0.250 0.250 0.250 3 0.250 0.250 0.250 0.250 A la larga le gustan todas e) ¿Cuánto paga Joe en promedio por su comida diaria?
0.25 0.25 10 15 9 11 0.25 0.25
0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
11.25 11.25 11.25 11.25
0,25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
$11.25
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
2
2. Un proceso de producción incluye una máquina que se deteriora con rapidez tanto en la calidad como en la cantidad de producción con el trabajo pesado, por lo que se inspecciona al final de cada día. Después de la inspección, se clasifica la condición de la máquina en uno de los cuatro posibles estados:
Estado
Condición
0
Tan buena como una nueva
1
Operable: deterioro mínimo
2
Operable: deterioro mayor
3
Inoperable y reemplazada por una tan buena como nueva
0
7/8
1/16
1/16
0
3/4
1/8
1/8
0
0
1/2
½
1
0
0
0
a) Elabora el grafo correspondiente
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
3
b) Determina la proporción de tiempo que el proceso de producción pasará en cada estado a la larga. “Consideramos que una distribución de probabilidad es invariante respecto a una cadena, si al multiplicarla por la matriz de transición de la cadena se obtiene de nuevo la misma distribución” (2.3.1 (Distribuciones invar iantes.Programa Desarrollado)
0 0 1 2 3
0 0 0 1.00
1 0.88 0.75 0 0
2 0.06 0.125 0.50 0
3 0.06 0.125 0.50 0
= =0.88 +0.75 =0.06 +0.125 +0.5 =0.06 +0.125 +0.5 + + + = 1 Luego desarrollando:
= = = 0.1534 1534 =0.5398 ,
16 56 14 15 = 101 101 101 101 = 0.1534, 1534,0.5 0.539 398,8,0.1 0.153 534,4,0.1 0.1534 534 Que nos dice el tiempo del proceso en cada estado
c) ¿Qué puedes decir acerca de las veces que la maquinaría estará en buenas condiciones (Tan buena como nueva y con deterioro mínimo)? Solo el 15.34 % del tiempo de producción se tiene maquinaria en buenas condiciones y como el estado 2 = 53.98, entonces tenemos el 69.32% en buenas condiciones
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
4
d) Si se sabe que se tiene un costo de $1000 para una maquina buena como nueva, $300 para una maquina operable con deterioro mínimo, $600 para una maquina operable con deterioro mayor y $1200 para una inoperable. ¿Cuánto pagará en promedio a la larga? Costo = 1,000
300
0
600
1 476.9
1,200
2 1669.2
3 476.9
476.9
= 10 0.154 4 0.15 0.15 0.154 4 1200 1000, 300, 600, 12 0.15 0.154 4 0.154
0.5 0.538 0.15 0.154 4 0.15 0.154 4 0.5 0.538 0.15 0.154 4 0.15 0.154 4
476.9, 16 1669.2, 476.9, 476.9 0.5 0.538 0.15 0.154 4 0.15 0.154 4 0.53 .538 0.154 0.154 154
3. Una particular se mueve sobre un circulo por los puntos 0,1,2,3,4 (en el sentido de las manecillas del reloj). La partícula comienza en el punto 0. En cada paso tiene una probabilidad de 0.5 de moverse un punto en el sentido de las manecillas del reloj (0 sigue al 4) y una probabilidad de 0.5 de moverse un punto en el sentido opuesto a la manecillas del reloj. Sea Xn (n≥0) la localización en el círculo después del paso n: A) Establece S y T, así como el grafo S= {p, q}; T = (0, 1, 2,3…n)
p = 0.5; q = 1-p 1-p = 0.5
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
5
B) Determina la matriz de transición.
0 0.5 0 0.0 0.5
0.5 0 0
0.5
0
0
0.5 0
0.5 0 0
0.5 0
0.5 0
0.5
0.0 0.5 0
0
C) Encuentra la matriz P n n=5, 10
P
0.06 0.31 5 P 0.16 0.16 0.31
2
0.003 0 0 0 0
0.02 .025
0.09 .098
0.19 .195
0.003
0. 0.025
0.098
0
0.003
0.025
0
0
0.003
0
0
0
0.31 0. 0.16 0. 0.16 0.31 0. 0.06 0.31 0. 0.16 0.31 0. 0.06 0.31 0. 0.16 0. 0.31 0.06 0.16 0.16 0.31
0. 0.16 0. 0.16 0. 0.31 0.06
0.25 0.16 10 P 0.21 0.21 0.16 .16
0.23 .238
0.098 0.025 0.003 0.195
0. 0.16 0.21 0. 0.21 0. 0.16
0. 0.25 0. 0.16 0.21 0. 0.21
0. 0.16 0. 0.25 0. 0.16 0.21 0. 0.21 0.16 0.25 .25 0.1 0.16 0.21 0.21 .21 0.16 .16 0.25
D) A largo plazo, determina la proporción de tiempo que la cadena pasa en cada punto.
π0 π1 π2 π3 π4
0
1
2
3
4
0
0.5
0
0
0.5
0.5
0
0.5
0
0
0
0.5
0
0.5
0
0.0
0
0.5
0
0.5
0.5
0
0.0
0.5
0
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
6
Resolviendo el siguiente sistema tenemos
=0.5 +0.5 =0.5 +0.5 =0.5 +0.5 =0.5 +0.5 =0.5 +0.5 + + + + = (, ,,, , ) = .,.,.,.,. .,.,.,.,. =1
Esa es la proporción que pasa en cada punto:
0.198 0.202 25 P 0.1 0.199 0.199 0.1 0.20 .202
0. 0.202 0. 0.199 0. 0.199 0.2 0.202 0.198 0. 0.202 0.1 0.199 0.1 0.199
0.2 0.202 0.19 0.198 8 0.20 0.202 2 0.1 0.199 0.1 0.199 0.202 .202 0.198 .198 0.2 0.202 0.19 .199 0.19 .199 0.20 .202 0.198 .198
0.200 0.200 30 P 0.2 0.200 0.200 0.2 0.2 0.200
0. 0.200 0. 0.200 0. 0.200 0. 0.200
0. 0.200 0. 0.200 0. 0.200 0. 0. 200 200
0.200 .200 0.20 0.200 0 0.2 0.200 0.200 .200 0.200 .200 0.20 0.200 0 0.2 0.200 0.200 .200 0.200 .200 0.20 0.200 0 0.2 0.200 0.200 .200
Para n = 30 tenemos la estabilidad total en la matriz
E) Compara los resultados obtenidos en C y D. .06 0.06 0.31 .31 5 P (0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2) 0.16 .16 .16 0.16 0.31 .31
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
7
0.31 .31 0.16 .16 0.16 .16 0.31 .31
0.06 .06 0.31 .31 0.16 .16 0.16 .16
0.31 .31 0.06 .06 0.31 .31 0.16 .16 =(0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)
0.16 .16 0.31 .31 0.06 .06
0.31
0.16 .16 0.16 .16 0.31 .31 0.06 .06
0.25 0.2 0.16 .16 10 P (0.2,0.2,0.2,0.2,0.2 ) 0.21 .21 0.21 0.16 .16
0.16 0.21 .21 0.21 0.16 .16 0.25 .25 0.16 .16 0.21 .21 0.21 .21
0.16 .16 0.25 .25 0.16 .16 0.21 .21 =(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2)
0.21 0.16 0 .25 .25 0.1 0.16 0.21 .21 0.21 .21 0.16 .16 0.25 .25
Nos damos cuenta que se llega al mismo resultado, es decir: el resultado es el mismo, con lo que demostramos que es lo mismo el cálculo de tiempo en cada estado a la distribución de probabilidad para la matriz.
4. Una tienda inicia una semana con al menos 3 PC. La demanda por semana se estima: Demanda 0 1 2 3 4 Probabilidad de Demanda
0.15
0.2
0.35
0.25
0.05
La demanda insatisfecha se deja pendiente. La política de la tienda es colocar un pedido para entregarse al inicio de la siguiente s iguiente semana siempre que el nivel del inventario se reduzca por debajo a 3 PC. El nuevo pedido siempre regresa las existencias a 5 PC. La demanda insatisfecha se deja pendiente. La política de la tienda es colocar un pedido para entregarse al inicio de la siguiente semana siempre que el nivel del inventario se reduzca por debajo a 3 PC. El nuevo pedido siempre regresa las existencias a 5 PC.
1. Definir Xt, S y T (la variable aleatoria al eatoria puede ser el inventario)
{} Sería el número de PC´s al momento momento de iniciar el proceso, proceso, es decir, Los estados posibles del proceso son los enteros {3, 4, 5 } que representan el número posible de PCs en inventario al final de c/ semana. en el tiempo t = 0,1,2,3.., 0,1,2,3.., S= {0, 1, 2, } ó S ={3,4,5} mejor dicho Donde
= 3 = 1 = 2 °
°
°
´
´
´
…
Entonces tenemos
{ } = 0,1,,1, … un proceso estocástico
2. Plantear el grafo
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
8
3. Plantear la matriz estocástica
0.15
0
0.85
0.25
0.15
0.6
0.8
0.05
0.15
0.15 0 0.85 .25 0.15 0.6 P 0.25 0.8 0.05 .0 5 0 .15 .1 5
4. ¿Cómo se da la distribución a la larga?
0.15 0 0.85 .25 0.15 0.6 P 0.25 0.8 0.05 .0 5 0 .15 .1 5
=.15 +0.25 +0.8 =0+0.15 + 0. 05 =0.85 +0.6 + 0. 15 + + =1 Resolviendo el sistema de ecuaciones ecuaciones 1 0.475 5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
9
0.029
0.496
= = (, ,,) =0.475,0.029,0.496 Y vemos lo siguiente: = =0.475,0.029,0.496 =
Además a partir de n = 16 comienza a estabilizarse estabili zarse pero con n = 24, tenemos la estabilidad estabili dad de esta matriz de transición 1
Todos los sistemas de ecuaciones de la actividad, fueron resueltos por el programa Matrix Calculator Y Wolfram, en este caso: http://matrixcalc.org/es/slu.html#solve-using-Cramer%27s-rule%28{{1%2F5,17%2F20,1%2F5,7%2F20,1%2F4,0},{1%2F4,0,-17%2F20,1%2F5,7%2F20,0},{7%2F20,0,0,17%2F20,1%2F5,0},{1%2F20,0,0,0,-19%2F20,0},{1,1,1,1,1,1}}%29
0.475 5 0.02 0.029 9 0.49 0.496 6 0.47 0.475 24 5 0.02 0.029 9 0.49 0.496 6 P 0.47 0.47 5 0.02 0.029 9 0.49 0.496 6 0.475 Hasta aquí llegue, ya no corregí las anotaciones de los primeros ejercicios, y en este hasta ahí llegué, me doy por hoy, muchas gracias por todo Maestra, espero nos veamos en Modelación. Un abrazo.
¿Cuántas unidades se tendrá en el inventario con mayor cantidad a largo plazo? Si tenemos:
Entonces: El número de unidades sería:
3(0.475)+4(0.029)+5(0.496) ≈ 4 ¿Cuál es la probabilidad de no colocar un pedido a largo plazo?
0.15 0 0.85 .25 0.15 0.6 P 0.25 0.8 0.05 .05 0.15 .15 5. Si el costo de colocar un pedido pedido es de $200 por computadora, computadora, el costo de almacenamiento por PC es de $5, y el costo de penalización por computadora faltante es de $20, determina el costo esperado del inventario por semana. Para el inciso 5, debes obtener el valor esperado para cada estado si supones que empiezas en el estado 3, cómo te daría considerando que puedes pasar a 3, a 4 y a 5, el costo de 3 a 3 = 0 (no pones pedido)+ 5*3(que tienes para almacenar), ahora para 3 a 4 no tienes, para 3 a 5 (200 (colocas pedido)+5*5(cinco que te quedan en el i nventario). Ahora para calcular el costo multiplicas cada costo con el vector a la larga y lo sumas. Puedes hacer este mismo análisis pero si empiezas en el estado 4 y en el cinco.
Tenemos que a largo plazo hay 2.8 computadoras así que para llegar a 3 computadoras tenemos 1.2 x 5 x20 = 120 pesos de penalización Tenemos 5 x 1,8 = 0.9 pesos por almacenamiento y 200 x 1,8 unidades = 360
=
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
10
Entonces el costo = 120 + 0.9 + 360 = 480.9 pesos en promedio
Suponga que la semana inicia con 4PC. Determinar la probabilidad que se coloque a lo más dos pedidos en dos semanas.
6.
Hola Laura, espero te encuentres bien, te felicito por tu capacidad para Determinar en ejemplos concretos si se cumplen las hipótesis del Teorema fundamental de convergencia
para evaluar la distribución límite. Para complementar el tema puedes revisar los siguientes enlaces: http://www.dia.fi.upm.es/~ajimenez/Docu_IO/Transparencias/CMTD.pdf http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema4pe.pdf
Podrás encontrar algunos ejercicios del tema: https://grupo.us.es/gpb97/curri_sevilla/doc/meio2.pdf
Puedes utilizar las siguientes herramientas: · http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ · http://www.wolframalpha.com/ Te adjunto una presentación con algunos detalles adicionales de las distribuciones límites. http://www.slideshare.net/lupiuxlupiux/ejemplos-de-estacionalidad
Para la actividad mis comentarios son: · Para el primero te falto definir la variable aleatoria. * Para el ejercicio dos, en la matriz estocástica le faltan valores valor es al último renglón. Te falto indicar el costo esperado. *. *Para el 4 la variable es el inventario que tienes al final del día t. si el inventario nos 5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
11
dice que puede haber de 3 a 5 unidades, ya que nunca vas a lle gar a los estados 0,1,2, pues eso significaría tener menos de lo estipulado a 3 unidades. Puedes pasar de 3 a 3 con una probabilidad de no vender nada esa semana 0.15, no puedes pasar a 4, y a cinco sería si vendes 1, 2, 3, (sumas estas probabilidades), probabilidades), pues bajarías de la 3 unidades mínimas que debe tener tu inventario y regresas a las 5 unidades y así le haces para el estado 4 y 5. Una vez que tengas la matriz te t e vas a dar cuenta que no necesitas los estados 0,1,2, por tanto tu matriz te queda de 3 x3. Reconsidera tus resultados. Para el inciso 5, debes obtener el valor esperado para cada estado si supones que empiezas en el estado 3, cómo te daría considerando que puedes pasar a 3, a 4 y a 5, el costo de 3 a 3 = 0 (no pones pedido)+ 5*3(que tienes para almacenar), ahora para 3 a 4 no tienes, para 3 a 5 (200 (colocas pedido)+5*5(cinco que te quedan en el inventario). Ahora para calcular el costo multiplicas cada costo con el vector a la
larga y lo sumas. Puedes hacer este mismo análisis pero si empiezas en el estado 4 y en el cinco.
*para el último inciso es como una trayectoria de 4 pasas a 5 (pues ahí colocaste un pedido) y luego pasar a 5 otra vez (cada que pasas al cinco es por que pusiste un pedido), este sería para dos pedidos y para uno y cero ¿cómo sería? Saludos Lupita
5 1 0 2 / 9 0 / 6 0 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
12
