mozaik-fgy_10-14_eveseknekmo.pdf

PALÁNKAINÉ – SZEDERKÉNYINÉ – VINCZE

MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 – 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (I. KÖTET)

Palánkainé Jakab Ágnes Dr. Szederkényi Antalné - Vincze István

MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK

MEGOLDÁSOK

*

Mozaik Oktatási Stúdió - Szeged, 1996

SZERZÕK: Palánkainé Jakab Ágnes gyakorlóiskolai vezetô tanár

Dr. Szederkényi Antalné gyakorlóiskolai vezetô tanár

Vincze István középiskolai tanár

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bôvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része semmiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható. ISBN 963 697 101 3 ” Copyright MOZAIK Oktatási Stúdió – Szeged, 1996

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL Számok írása, olvasása a tízes számrendszerben Tízezres

1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) a) 4.

2 2 Százezres 7

Tízezres 0

9

9 0

Ezres Százas Tízes 2 0 2 0

5 3 0 3

4 8 5 0


2 0 9 9

0 9 0 9

Egyes

A szám

1 0 0 8

02 541 20 380 02 050 20 308

Egyes

A szám

7 2 2 2

702 207 009 092 099 902 900 992

Ezer- Száz- TízSzáz- TízMilliós Ezres Százas Tízes Egyes milliós milliós milliós ezres ezres 2 2 5 7 1 1 5 6 6 0 0 6 0 6 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 257 115 b) 6 600 606 c) 10 301 030 d) 1 001 000 000

TízSzázMilliós milliós ezres a) 6 2 0 b) 1 9 9 c) 7 7 0 d) 6 1

Tízezres 6 2 7 0


0 9 0 8

6 9 7 2

Egyes

A szám

2 2 7 4

62 062 062 19 921 992 77 070 077 06 101 824

5. a) ezerszáztizenegy, háromezer-harminc, kétezer-ötszáztizennyolc, nyolcszázkettô, kilencezer-kilencszázhét. b) ötvenkétezer-harmincnyolc, ötvenezer-öt, ötezer-ötvennyolc, hatvanegyezer-egy, hetvenháromezer-hetvenhárom. c) kétszáztizenkétezer-kétszáztizenkettô, hárommillió-harmincezer-háromszázhárom, tizrnegymillió-tizenegyezer-tizenegy, hétmillió-hétszázegy, húszmillió.

5

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 6. a) A felbontási lehetôségek például: 1111 = 1000 + 100 + 10 + 1 = 103 + 102 + 10 + 1 3030 = 1000 ◊ 3 + 10 ◊ 3 = 3 ◊ 103 + 3 ◊ 10 2518 = 1000 ◊ 2 + 100 ◊ 5 + 10 ◊ 1 + 1 ◊ 8 = 2 ◊ 103 + 5 ◊ 102 + 1 ◊ 101 + 8 ◊ 100 0802 = 100 ◊ 8 + 1 ◊ 2 = 8 ◊ 102 + 0 ◊ 101 + 2 ◊ 100 9907 = 1000 ◊ 9 + 100 ◊ 9 + 10 ◊ 0 + 1 ◊ 7 = 9 ◊ 103 + 9 ◊ 102 + 7 ◊ 100 b) 52 038 = 5 ◊ 104 + 2 ◊ 103 + 3 ◊ 10 + 8 ◊ 100 50 005 = 5 ◊ 104 + 5 ◊ 100 05 058 = 5 ◊ 103 + 5 ◊ 10 + 8 ◊ 100 61 001 = 6 ◊ 104 + 1 ◊ 103 + 1 ◊ 100 73 073 = 7 ◊ 104 + 3 ◊ 103 + 7 ◊ 101 + 3 ◊ 100 c) 00 212 212 = 2 ◊ 105 + 1 ◊ 104 + 2 ◊ 103 + 2 ◊ 102 + 1 ◊ 101 + 2 ◊ 100 03 030 303 = 3 ◊ 106 + 3 ◊ 104 + 3 ◊ 102 + 3 ◊ 100 11 011 011 = 1 ◊ 107 + 1 ◊ 106 + 1 ◊ 104 + 1 ◊ 103 + 1 ◊ 101 + 1 ◊ 100 07 000 701 = 7 ◊ 106 + 7 ◊ 102 + 1 ◊ 100 20 000 000 = 2 ◊ 107 7. a) b) c) d)

százas, ezres, tízes, egyes, tízezres 0; 5; 0; 0; 3 Az 53 310-ben a 3 az ezresek helyén áll. 10 503-ban a nullát 15 300-ban a nullát 10 153-ban az egyet 10 035-ben a nullát 53 310-ben a hármat e) ötszáz, ötezer, ötven, öt, ötvenezer

8. a) b) c) d)

százas; ezres, százas, tízes; százas; ezres, százas; ezres 2; 0; 5; 0; 0 Az 50 005-ben a legkisebb a nulla helyiértéke. 50 005-ben a nullát és az ötöt 5058-ban az ötöt 60 011-ben a nullát és az egyet 70 373-ban a hármat és a hetet

9. a) 7 < 74 < 507 < 947 < 974 < 5007 < 9047 b) 1071 < 1171 < 1701 < 1710 < 7017 < 7071 < 7701 10. a) 9 < 69 < 609 < 1069 < 1960 < 1992 < 6019 < 6910 b) 40 < 43 < 304 < 403 < 1043 < 3004 < 4003 11. a) 20 020 > 20 002 > 19 092 > 19 029 > 12 909 > 2002 > 2000 > 1992 b) 42 042 > 6030 > 4202 > 3066 > 987 > 798 > 663 > 360 12. a) 39 333 > 30 093 > 6000 > 3333 > 3033 > 767 > 677 b) 43 001 > 40 000 > 30 014 > 3401 > 3041 > 1034 > 431

6

SZÁMOK ÍRÁSA, OLVASÁSA A TÍZES SZÁMRENDSZERBEN 13. a) b) 14. a) b) 15. a) b) 16. a)

7 Szomszédok egyes tízes százas

6 0 0

32 8 10 100

31 30 0

193 33 40 100

886 Szomszédok egyes tízes százas

885 880 800

Szomszédok egyes tízes százas

1358 1350 1300

194 200 200

989 887 890 900

1003

988 980 900

1359

b)

192 190 100

990 990 1000

1002 1000 1000

5001 1360 1360 1400

5000 5000 5000

5999 5002 5010 5100

5998 5990 5900

tízesre

százasra

0007 ª 1000 0032 ª 3000 0193 ª 1900 0886 ª 8900 0989 ª 9900 1003 ª 1000

0007 ª 0000 0032 ª 0000 0193 ª 2000 0886 ª 9000 0989 ª 1000 1003 ª 1000

0007 ª 0000 0 0032 ª 0000 0 0193 ª 0000 0 0886 ª 1000 0 0989 ª 1000 0 1003 ª 1000 0

b) 1359 ª 1360 5001 ª 5000 5999 ª 6000 9810 ª 9810

1359 ª 1400 5001 ª 5000 5999 ª 6000 9810 ª 9800

1359 ª 1000 0 5001 ª 5000 0 5999 ª 6000 0 9810 ª 10 000

17. a)

1004 1010 1100 9810 6000 6000 6000

9809 9800 9800

9811 9820 9900

ezresre kerekítve

18. legkisebb: 55 016 (tízezresekre kerekítve 60 000) legnagyobb: 64 889, illetve ha lehet „két” legnagyobb, akkor 64 989. 19. Pl.:

22 323 4334 Æ jegyeinek összge: (5 + 4) ◊ 2 + 3 = 18 + 3 = 21 54345 654456 Æ jegyeinek összge: (6 + 5 + 4) ◊ 2 = 15 ◊ 2 = 30 7654567 87655678

7

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 20. Legfeljebb 18 lehet a számjegyek összege. 21. 86 a szám, mert 86 + 8 + 6 = 86 + 14 = 100. 22. A legnagyobb háromjegyû szám, a 999 számjegyeinek összege 27. Így nem tudunk ilyen számot mondani. 23. A 6321. A megadott feltételeket csak ez a négyjegyû szám elégíti ki. 24. Az ötödikeseknek (1851 - 1789) : 2 = 32 szám, a hatodikosoknak (1848 - 1790) : 2 = = 30 szám jutott. Hatvanketten játszottak számháborút. 25. 5 < összeg < 10. A legkisebb ilyen négyjegyû szám az 1005, a legnagyobb a 9000. Ha ismétlôdés nincs megengedve: 1023 ill. 6210. A számjegyek azonossága esetén: 2222. 26. 8442, (42 ◊ 2 = 84); 8040, (40 ◊ 2 = 80); 4020; 4824. 27. 3069, (3 + 0 + 6 + 9 = 18). 28. 00 010 000 - 9999 = 0 000 001 00 100 000 - 9999 = 0 090 001 01 000 000 - 9999 = 0 990 001 10 000 000 - 9999 = 9 990 001 29. a) 27 < a < 50; 22 db

b) 51 < b £ 71; 20 db

c) 13 £ c £ 113; 101 db

30. a) 154 £ a < 451; 297 db

b) 151 £ b £ 275; 63 db

c) 48 £ c < 124; 38 db

31. Pl.: 42: 40-nél nagyobb, de 44-nél kisebb páros szám. 32. a) 150 < a £ 160; {151, 160} c) 300 < c < 320; {302; 311}

b) 310 £ b £ 340; {316; 325; 334}

33. 900 db. A legnagyobb a 999, a legkisebb a 100. 999 - 100 = 899. 34. a) 123; 132; 213; 231; 312; 321. Hat db ilyen szám van. 123 + 321 = 444. b) 111 121 131 … Mindhárom helyre három számjegybôl választhatunk, így 112 122 132 (3 ◊ 3 ◊ 3 = 33) 27 db szám van. 113 123 133 111 + 333 = 444

Természetes számok összeadása, kivonása 35. a) 8521; 8541; 8561; 8581 Az összeg 20-szal nôtt, mert az egyik tag is 20-szal nôtt, míg a másik állandó. b) 6298; 7398; 8498; 9598 Az összeg 1100-zal nôtt, mert az elsô tag változatlan ugyan, de a második tag 1100zal nôtt.

8

TERMÉSZETES SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA c) 6434; 6634; 6834; 7034 Az elsô tag 101-gyel nô, a második tag 99-cel nô, így az összeg 200-zal növekszik. 36. a) 5361 b) 13 070 c) 5361 d) 5361 Az a, c, d összegek egyenlôek, mert amennyivel nô az egyik tag, ugyanannyival csökken a másik. 37. a)

3412 608 12 + 10166 14198

Az elsô tag 6-tal csökkent, a második 6-tal nôtt, a harmadik 100-zal nôtt, a negyedik 100-zal csökkent, így az összeg változatlan.

3406 614 112 + 10066 14198

b) 4436 az összeg, mert a tagok változásának összege nulla. 38.

9241 + 8726 17967

a)

9551 9241 + 8726 vagy + 9036 18277 18277

c) pl.:

39.

b)

9291 + 8746 18037

8641 + 8726 17367

d) pl.:

vagy

9241 + 8126 17367

9041 + 8926 17967

3754 + 3748 7502

a)

3928 3754 + 3748 vagy + 3922 7676 7676

c) pl.:

b)

3774 + 3548 7322

3440 + 3748 7188

d) pl.:

vagy

3754 + 3434 7188

3704 + 3798 7502

40. a = 7; b = 41; c = 127; d 121-nél nem nagyobb természetes szám; e = 19; f 73-nál nem nagyobb természetes szám. 41. a = 5; b = 94; c = 9; d = 4; e 121-nél nem nagyobb természetes szám; f = 6. 42. a) b) c)

a 0 1 2 3 4 5 6 7 8

a+b=8

b 8 7 6 5 4 3 2 1 0

c d

6 7 8 9 10 11 12 13 ...

e

0 1 2 3 4

f

5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3

4

5 5

6 6

7 7

...

c-d=6 f-e=5

9

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL d) g = 2 h 0 1 2 3 4 e) i 4 3 2 1 0

h+i=4

f)

j 8 9 10 11 12 13 14 15 ... k 0 1 2 3 4 5 6 7

j-k=8

g)

l 0 1 2 3 4 5 6 7 m 7 6 5 4 3 2 1 0

l+m=7

43. a) x = 12

b) x = 3

c) x = 13

44.

45. a) ª = 16 b) ª - « = 10 10 11 12 13 ... 0 1 2 3

c) « = 0 d) a ª-be - jel kerül, « = 100 46. a) (72 + 27) + (50 - 27) = 122 (72 - 27) + (50 + 27) = 122 47. a) 499 48.

b) 4000

b) (48 + 72) + (50 - 48) = 122

c) 948

d) 2200

e) 2520

f) 2323

a 516 500 520 519 900 616 1516 b 1081 1081 1085 1081 1092 981 81 c 1597 1581 1605 1600 1992 1597 1597

a+b=c 49. a) b)

c-b=a

c-a=b

226 + 20 < 259 + 1 < 246 + 28 < 279 + 9 < 93 + 209 233 + 13 < 232 + 28 < 246 + 28 < 274 + 14

50. a) 1667

b) 7475

c) 2639

d) 5697

51. a) 2735

b) 2935

c) 2735

d) 2735

< 246 + 56

52. a) 7875 b) 7875 c) 9875 d) 5875 Ha a kisebbítendô és a kivonandó ugyanannyival változik, akkor a különbség változatlan. A kisebbítendô növelése, valamint a kivonandó csökkentése a különbség

10

TERMÉSZETES SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA növekedését jelenti. A kisebbítendô csökkenésével vagy a kivonandó növelésével a különbség csökkentését érhetjük el. 53. a) 4088 b) 4208 c) 4328 d) 4448 Változatlan kisebbítendô esetén a különbség ugyanannyival nô, amennyivel a kivonandó csökken, illetve a különbség ugyanannyival csökken, amennyivel a kivonandó nô. 54.

Ell.:

55.

Ell.:

5421¸ - 2916Ô 2505Ô Ô ˝ 5421Ô - 2505Ô Ô 2916˛

a)

5557 - 2916 2641

b)

5421 - 2844 2577

c) pl.:

5441 - 2926 2515

d ) pl.:

5289 - 2784 2505

4312¸ - 2458Ô 1854Ô Ô ˝ 4312Ô - 1854Ô Ô 2458˛

a)

4237 - 2458 1779

b)

4312 - 2328 1984

c) pl.:

4302 - 2468 1834

d ) pl.:

4732 - 2878 1854

56. a) 78 b) 900 c) 931 Az összeadásban a tagok felcserélhetôk.

d) 411

57. a) 1591

d) 2819

b) 9120

c) 1623

58. a) 998 mindhárom összeg b) 1954 mindegyik összeg Az összeg tagjai tetszôlegesen csoportosíthatók. 59. a) 7682

b) 12 082

60. a) 1992 b) 2501 c) 5413 d) 5357 Egy számhoz egy különbséget úgy is hozzáadhatunk, hogy a kisebbítendôt hozzáadjuk a számhoz, majd az összegbôl elvesszük a kivonandót. 61. a) c) e) g)

3600 + 649 = 4249 3976 + 200 = 4176 693 + 4000 = 4693 1000 + 34 415 = 35 415

b) d) f) h)

8397 8416 2766 2222

62. a) 461; 461; 883 b) 53; 1747; 53 Összeget úgy is kivonhatunk egy számból, hogy minden tagját kivonjuk. 63. a) 3264

b) 1312

11

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 64. a) 6000 - 3726 = 2274 b) 3486 - 2000 = 1486 6542 - 4000 = 2542 2000 - 755 = 1245 Különbséget úgy is kivonhatunk, hogy a kisebbítendôt kivonjuk, a kivonandót hozzáadjuk. 65. a) 439; 139; 439 b) 1106; 1106; (-644) c) 10 721; 10 721; 7687 d) 14 514; 9420; 14 514 66. a) 6100 + 350 = 6450

b) 6976 - 500 = 6476

c) 3000 + 559 = 3559

d) 4368 - 1000 = 3368

e) 7100 + 321 = 7421

f) 8417 - 4000 = 4417

g) 6000 + 846 = 6846

h) 9265 - 3000 = 6265

67. a) 9891 g) 42 860

b) 8832 h) 9988

c) 5799

d) 22 000

e) 10 956

f) 9144

68. a = 295; b = 400; c = 53; d bármely természetes szám; e = 305; f bármely 1043-nál nem nagyobb természetes szám. 69. a = 43; b = 157; c = 1000; d = 1; e bármely 2662-nél nem nagyobb természetes szám; f bármely 1043-nál nem nagyobb természetes szám lehet. 70. a) a + b = 6

a 0 1 2 3 4 5 6 b 6 5 4 3 2 1 0

b) c - d = 6

c d

6 7 8 9 ... 0 1 2 3

c) f - e = 5

e f

0 1 2 3 ... 1038 5 6 7 8 1043

d) g = 2 e) h - i = 4

h 4 5 6 7 ... 1047 i 0 1 2 3 1043

f) j + k = 8

j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k 8 7 6 5 4 3 2 1 0

g) l - m = 7

l 7 8 9 10 ... 1050 m 0 1 2 3 1043

71. a) x = 100

b) nincs ilyen természetes szám (x = -600)

72.

73. a) ª = 16 b) (« = -20) nincs ilyen természetes szám

12

c) x = 100

TERMÉSZETES SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA c) ª - « = 10 10 11 12 13 ... 0 1 2 3 d) z ª « = z - 100 74. a) (627 + 58) - (342 + 58) = 285 (627 - 58) - (342 - 58) = 285

b) (627 + 42) - (342 + 42) = 285 (627 - 42) - (342 - 42) = 285

75. a) 1508 b) 88 c) 598 d) 4556 e) 363 pl.: 2080 - 1992 = 2080 - (2000 - 8) = 2080 - 2000 + 8 = 88

f) 1690

76. a)

357 -191 < 357 -167 < 357 - 143 < 381 - 143 < 379 - 117

b)

333 - 167 < 357 - 167 < 357 - 143 < 357 -119 < 362 -100

77.

a 1992 1900 2000 2992 2392 2092 1792 8712 b 1029 1029 1037 1029 1329 1129 829 7749 c 963 871 963 1963 1063 963 963 963

a-b=c

c+b=a

a-c=b

78. (2472 + 985) + (2472 - 985) = 4944 (= 2472 ◊ 2) 79. (6848 + 1674) - (6848 - 1674) = 3348 (= 1674 ◊ 2) 80. a) 346 + 951 < 646 + 657 c) 1474 + 1526 > 8493 - 5593

b) 7951 - 3675 > 6840 - 2570 d) 2166 - 887 = 1163 + 116

81. 500 - (35 + 42 + 47 + 243) = 133. 133 Ft-ot kaptunk vissza. 82. 15 000 - (9650 + 2860 + 2320) = 15 000 - 14 830 = 170 170 Ft-om maradt.

14 830 Ft-ot fizettem, így

83. Még 181 oldalt kell elolvasni. 84. 216 + (216 + 48) = 480. 480 Ft-ot költöttek ajándékra. 85. A léc eredetileg 4116 mm volt. A nagyobb darab 156 mm-rel hosszabb. 86. 230 cm hosszú szalagot vásároltak. 87. 31 + 28 + 26 = 85. 85 ötödikes jár az iskolába. 88. 973 + 974 + 975 = 2922. 3000-nél 78-cal kisebb. 89. 685 + 632 + 642 + 726 = 2685. 2685 tanuló jár összesen a négy iskolába. 90. 16 + 37 + 53 = 106. A versenyen 106-an vettek részt. 91. 824 + 770 + 716 = 2310. 2310 virág virított a három üvegházban összesen.

13

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 92. A város a kiindulási helytôl 93 km-re van. 108 km-t utaztak autóbusszal. 69 km-rel többet utaztak buszon. 93. a) 157 < 175 < 517 < 571 < 715 < 751 b) 2037 - 849 = 1188 c) 157 + 751 = 908 517 + 571 = 1088 1088 - 890 = 180 d) (751 + 715) - (175 + 157) = 1466 - 332 = 1134 e) (751 - 157) + (715 - 175) = 594 + 540 = 1134 94. 466 km-re volt a cél a kiindulási helytôl. 95. 160 oldalt kell még elolvasni. 96. 92 db könyv van a könyvszekrény polcain. 97. 2040 m-t tesz meg a sétáló. 98. 4922 + 5054 + 4993 = 14 969 99. a) 15

2 7 6 9 5 1 4 3 8

b) nincs megoldás, mert 36 + 29 π 30 + 4. Ha 36 helyett 65 - 60 = 5-öt írunk, akkor van megoldás. 31 36 29 30 4

c) 130

1 60 46 23 47 38 36 9 40 29 27 34 42 3 21 64

d) 315

44 75 76 107 13 100 101 7 38 69 1 32 63 94 125 57 88 119 25 26 113 19 50 51 82

Természetes számok szorzása 100. a) 324 ◊ 5 = 1620 d) 7783 ◊ 4 = 31 132

14

b) 941 ◊ 4 = 3764

c) 2527 ◊ 5 = 12 635

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA 101. a) 4396 b) 0 6822 c) 4210 d) 2856 8792 13 644 8420 5712 4396 0 6822 4210 2856 Ha az egyik tényezôt kétszeresére változtatjuk (a másik állandó), a szorzat is kétszeresére változik. Ha az egyik tényezôt a felére, a másikat a kétszeresére változtatjuk, akkor a szorzat nem változik. 102. a) 5904 1968 1968 5904

b) 9396 3132 9396 3132

c) 60 775 12 155 12 155 60 775

103. a) 34 ◊ 72 = 72 ◊ 34 34 ◊ 72 < 68 ◊ 72 34 ◊ 72 = 68 ◊ 36 34 ◊ 72 < 34 ◊ 73

d) 0 7476 22 428 44 856 67 284

b) 46 ◊ 56 = 56 ◊ 46 46 ◊ 56 = 92 ◊ 28 46 ◊ 56 = 184 ◊ 14 46 ◊ 56 < 46 ◊ 57

c) 72 ◊ 26 > 13 ◊ 72 72 ◊ 26 = 52 ◊ 36 72 ◊ 26 < 36 ◊ 78 72 ◊ 26 > 78 ◊ 12

104. a) 0 1350 21 700 69 000

b) 069 200 00 3240 472 000

c) 00 3150 031 500 315 000

105. a) 098 838 197 676 098 838

b) 280 500 280 500 561 000

c) 188 568 188 568 094 284

106. a) 314 ◊ 63 942 ◊ 21

b) 143 ◊ 36 429 ◊ 12

c) 276 ◊ 42 828 ◊ 14

107. a) pl.: (942 : 6) ◊ (63 ◊ 3)

b) pl.: (429 ◊ 3) ◊ (36 : 6)

c) pl.: (828 : 18) ◊ (42 ◊ 9) 108. 856 ◊ 48 214 ◊ 48 856 ◊ 12 428 ◊ 24

d) 332 ◊ 84 996 ◊ 28

d) pl.: (996 ◊ 2) ◊ (84 : 4)

0856 ◊ 48 3424 ◊ 48 856 ◊ 192 1712 ◊ 96

109. 62 ◊ 52 ◊ 16 62 ◊ 52 ◊ 32 62 ◊ 104 ◊ 16 134 ◊ 52 ◊ 16 110. a) 90 ◊ 9 = 810 702 + 108 = 810 78 + 108 = 186

62 ◊ 52 ◊ 16 pl.: 31 ◊ 104 ◊ 16 31 ◊ 52 ◊ 32 62 ◊ 26 ◊ 32

62 ◊ 52 ◊ 16 pl.: 31 ◊ 26 ◊ 64 31 ◊ 208 ◊ 8 124 ◊ 104 ◊ 4

b) 150 ◊ 12 = 1800 123 + 324 = 447 1476 + 324 = 1800

c) 72 ◊ 5 = 360 755 - 395 = 360 nincs megoldása a természetes számok halmazán Összeget, különbséget egy számmal úgy is szorozhatunk, hogy a tagokat külön-külön megszorozzuk a számmal, majd a szorzatokat összeadjuk, illetve kivonjuk.

15

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 111. a) 392 158 392

b) 3396 3981 3396

c) 3760 3760 1331

112. a) 3240 3240 3746

b) 1072 1072 0217

c) 7150 7150 1942

113. a) 7500

b) 12 600

c) 35 000

d) 13 750

e) 33 110

f) 25 650

114. a) 30 880

b) 27 600

c) 160 890

d) 419 916

e) 46 092

f) 8 099 919

115. a) (1000 - 4) ◊ 25 = 24 900 e) 16 016 f) 1 199 940 116. a) 32 + 72 ◊ 3 = 248

b) 25 100 g) 29 940

c) 12 499 000 h) 11 022

b) 16 + 21 ◊ 9 = 205

c) 700 - 350 = 350

d) 44 ◊ 9 - 44 ◊ 8 = 44

e) 32 ◊ 0 = 0

f) 31 ◊ 26 = 806

g) 99 ◊ 72 = 7128

h) 100 ◊ 36 = 3600

117. a) 12 ◊ 48 = 576 f) 6867 g) 3644

b) 12 h) 2023

c) 15 000

118. a), b), c) 720; 7200; 72 000 d) 00 65 050 e) 605 000 6 505 000 065 000 0 650 500 650 000

f) 0 600 500 6 050 000 00 65 000

119. a) 54 000

c) 91 000

120. a) b) c) d)

b) 570 000

d) 15 000

1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm 1 km = 100 000 cm; 1 m = 100 cm; 1 dm = 100 mm 6 km = 6000 m; 10 km = 10 000 m; 100 km = 100 000 m 602 km = 602 000 m; 105 km = 105 000 m; 150 km = 150 000 m

121. a) és b)

2 m = 20 dm = 200 cm = 2000 mm 12 m = 120 dm = 1200 cm = 12 000 mm 73 m = 730 dm = 7300 cm = 73 000 mm 81 m = 810 dm = 8100 cm = 81 000 mm 8 és fél m = 85 dm = 850 cm = 8500 mm c) 3 m = 3000 mm; 10 m = 10 000 mm; 15 m = 15 000 mm d) 15 m = 1500 cm; 105 m = 10 500 cm; 150 m = 15 000 cm

122. a) b) c) d) e) f)

16

d) 239 880 i) 37 499 625

15 m = 150 dm = 1500 cm = 15 000 mm 30 m = 300 dm = 3000 cm = 30 000 mm 105 m = 1050 dm = 10 500 cm = 105 000 mm 2 és fél m = 25 dm = 250 cm = 2500 mm 1 km = 10 000 dm = 100 000 cm = 1 000 000 mm 3 és fél km = 35 000 dm = 350 000 cm = 3 500 000 mm

e) 5136

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA g) 35 km = 350 000 dm = 3 500 000 cm = 35 000 000 mm h) 305 km = 3 050 000 dm = 30 500 000 cm = 305 000 000 mm 123. a) 75 m = 7500 cm b) 800 dm = 80 000 mm c) 12 km = 120 000 dm d) 300 m = 30 000 cm e) 22 dm = 2200 mm f) 22 m = 2200 cm g) 107 km = 1 070 000 dm h) 1070 km = 1 070 000 m i) 17 km = 1 700 000 cm 124. a) 700 f) 7000 k) 7 000 000

b) 700 g) 70 000 l) 70 000 000

c) 7000 h) 70 000

d) 700 i) 700 000

e) 7000 j) 700 000

125. a) 6216 f) 72 582

b) 3025 g) 42 043

c) 16 032 h) 6003

d) 21 008 i) 67 117

e) 3476 j) 112 343

126. a) 123 f) 2024

b) 271 g) 1010

c) 312 h) 3030

d) 417 i) 12 017

e) 1076 j) 24 331

127. a) 70 550 f) 7777

b) 71 000 g) 2308

c) 4100 h) 2400

d) 3650 i) 18 717

e) 777 j) 35 265

128. a) 18 007 f) 40 516

b) 1005 g) 7076

c) 80 000 h) 70 076

d) 75 500

e) 4516

129. a) 652 f) 701

b) 1043 g) 11 100

c) 1607 h) 32 500

d) 8506

e) 462

130. a) c) e) g)

6 m = 60 dm = 600 cm 30 dm = 3000 mm = 300 cm 250 m = 2500 dm = 25 000 cm 4300 dm = 430 m = 43 000 cm

b) d) f) h)

131. 4 cm; 39 mm 3 cm; 25 mm 3 cm; 32 mm

2 cm; 19 mm 4 cm; 39 mm 5 cm; 45 mm

132.

mérés 19 cm 191 mm 15 cm 147 mm 12 cm 124 mm 9 cm 87 mm

a) b) c) d)

becslés 20 cm 15 cm 12 cm 8 cm

12 m = 1200 cm = 120 dm 750 cm = 7500 mm = 75 dm 20 m = 2000 cm = 200 dm 3400 cm = 340 dm = 34 000 mm

6 cm; 58 mm 7 cm; 65 mm 8 cm; 83 mm

3 cm; 25 mm 9 cm; 90 mm 10 cm; 96 mm

5 cm; 51 mm 8 cm; 77 mm

133. A legkisebb kerületû az a) síkidom. a) 94 mm b) 105 mm c) 100 mm Kb - Ka = 11 mm ª 1 cm

17

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 134. a) km

b) m

135. a) cm

b) mm

c) mm

d) m

e) cm

136. 11 dm és 6 dm vagy 13 dm és 5 dm. 137. Mérési lehetôség például:

az átmérô leolvasható 138. a) 60; 60; 24 d) 7200; 9000; 28 800 139. a) b) c) d)

b) 300; 330; 600

c) 600; 300; 3600

4 óra = 240 perc; 4 perc = 240 mp; 4 nap = 96 óra 3 óra = 180 perc; 3 és fél óra = 210 perc; 7 óra = 420 perc 7 perc = 420 mp; 10 perc = 600 mp; 70 perc = 4200 mp 5 óra = 18 000 mp; 5 és fél óra = 19 800 mp; 6 óra = 21 600 mp

140. a) 60; 3600 24; 1440 7; 168

b) 540; 32 400 600; 36 000 1140; 68 400

141. a) 5400; 324 000 6000; 360 000 11 400; 684 000

b) 120; 7200 1200; 72 000 3720; 223 200

142. a) 4200; 252 000 6000; 360 000 10 200; 612 000

b) 600; 36 000 3000; 180 000 3600; 216 000

143. a) 33 350 g) 125

c) 2860 i) 60 000

b) 20 874 h) 0

d) 4400

e) 600

f) 10 000

144. Hatféle sorrendben. 25 ◊ 40 ◊ 20 = 1000 ◊ 20 = 20 000 145. Kétjegyû: 4 ◊ 3 = 12 Háromjegyû: 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24 Négyjegyû: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 146. 2 ◊ 3 ◊ 4 = 24 úton juthatunk el A-ból D-be. 30 rajz készíthetô ily módon, mert Pl.:

18

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA 24 = 1 ◊ 1 ◊ 24 3 féle 24 = 1 ◊ 2 ◊ 12 6 féle 24 = 1 ◊ 3 ◊ 80 6 féle 24 = 1 ◊ 4 ◊ 60 6 féle 24 = 2 ◊ 2 ◊ 60 3 féle 24 = 2 ◊ 3 ◊ 40 6 féle 147. a) 432 ◊ 304 = 131 328

148. a)

192 0 ◊ 25 + 192 1 ◊ 25 + 167 2 ◊ 25 + 142 3 ◊ 25 + 117 4 ◊ 25 + 92 5 ◊ 25 + 67 6 ◊ 25 + 42 7 ◊ 25 + 17

Pl.: a)

b) 597 ◊ 314 = 187 458

192 7 ◊ 25 + 17 4 ◊ 46 + 8 2 ◊ 73 + 46 2 ◊ 89 + 14

b)

245 6 ◊ 37 + 23 4 ◊ 51 + 41 2 ◊ 82 + 81 5 ◊ 49 + 0

c)

c)

531 6 ◊ 83 + 33 7 ◊ 72 + 27 9 ◊ 58 + 9 8 ◊ 65 + 11

Olyan megoldásokat célszerû keresni, amelyekben a hozzáadandó kisebb a megadott szorzónál. 149. 32 m ◊ 21 m - 15 m ◊ 14 m = 462 m2 a beépítetlen terület. 150. 72 ◊ 60 ◊ 24 ◊ 365 = 37 843 200-at ver a szív 1 év alatt. 151. 9 kg ◊ 28 = 252 kg zabot rendel. 152. Pl.: Hány km-t tettek meg összesen? 15 km ◊ (4 + 6 + 5) = 225 km 153. 4 ◊ 12 ◊ 12 = 576 szótagos az elsô rész. 432; 576; 672; 768; 1200; 672; 384; 144; 384; 480; 1200; 1008; 1104; 336; 384; 1248; 528; 1008; 1056; 1008; 480; 528; 228; 480; 336; 528. A teljes vers 17 808 szótagos. (12 + 9 + 12 + 14 + 16 + 25 + 14 + 8 + 3 + 8 + 10 + 25 + 21 + 23 + 7 + 8 + 26 + 11 + + 21 + 22 + 21 + 10 + 11 + 6 + 10 + 7 + 11) ◊ 48 = 371 ◊ 48 = 17 808 154. 1 doboz cigaretta ára ◊ 3 ◊ a hetek számával. 155. 600 cm2 ◊ 256 = 153 600 cm2 = 1536 dm2 156. 325 Ft ◊ 600 = 195 000 Ft

19

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 157. 5755 l ◊ 12 ◊ 258 = 17 817 480 l ª 178 175 hl 158.

478 m ¸ 1 óra alatt 7648 m Ô 16 óra alatt (2 mûszakban) az automata gépsor termelése. 38 240 m ˝ 80 óra alatt (5 munkanapon) Ô 1 988 480 m ˛ 52 hét alatt (egy év alatt)

159.

a b c a◊b◊c (a ◊ c ) ◊ b (b ◊ a) ◊ c (a ◊ b) ◊ c ( a ◊ c ) ◊ (b ◊ c ) (a + b) ◊ c a◊c + b◊c (a - b) ◊ c

5 4 9 180 180 180 180 1620 81 81 9

25 5 4 500 500 500 500 2000 120 120 80

15 5 7 525 525 525 525 3675 140 140 70

20 10 300 60 000 60 000 60 000 60 000 18 000 000 9000 9000 3000

8 0 125 0 0 0 0 0 1000 1000 1000

a - b◊c

- 31

5

- 20

- 2980

8

a - (b ◊ c )

- 31

5

- 2980

8

(a - b) ◊ (a - c )

-4

420

- 20 80

- 2800

- 936

160. a)

b)

c)

d)

e)

161. a) ª ◊ « = 72 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72 72 36 24 18 12 9 8 6 4 3 2 1

b) ª = 5

20

TERMÉSZETES SZÁMOK SZORZÁSA 162. (552 km + 402 km) ◊ 7 = 6678 km 163. 779 452 ◊ 3 = 2 338 356 Közelítôen 2 millió ember lakik Ankarában. 164. (13 994 - 1992) ◊ 46 = 549 792 165. (3712 + 1287) ◊ (3712 - 1287) = 12 122 575 166. 16 m2 ◊ 8 ◊ 3 = 384 m2

Természetes számok osztása 167. a) 005 b) 009 c) 050 090 500 900 Ha változatlan osztó mellett, tízszseresére növekszik. Ha az hányados változatlan marad.

006 d) 9 060 9 600 9 az osztandót tízszeresére növeljük, a hányados is osztandó és az osztó ugyanannyiszorosára változik, a

168. a) 008 080 800

b) 009 090 900

c) 007 070 700

d) 7 7 7

169. a) 08 16 04

b) 08 16 04

c) 09 18 03

d) 8 8 8

170. a) 036 b) 062 c) 078 d) 38 009 031 156 38 072 124 390 38 235 204 468 - (47,5) Ha az osztandót valahányszorosára növeljük (csökkentjük), a hányados ugyanannyiszorosára nô (csökken) - változatlan osztó mellett. Ha az osztandó és az osztó ugyanannyiszorosára nô (csökken), a hányados nem változik. 171. a) 40 b) 36 c) 074 d) 56 20 18 074 56 09 074 56 10 05 03 222 - ( 62 ,2 ) Ha változatlan osztandó esetén az osztó valahányszorosára nô (csökken), akkor a hányados ugyanannyiad részére csökken (nô). 172. a) 36 12 36

b) 18 09 18

c) 56 56 56

d) 32 32 32

21

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL 173.

174.

2262 : 29 = 78 a) 1131 : 29 = 39 d) 6786 : 29 = 234

b) 0754 : 29 = 26

c) 0377 : 29 = 13

4056 : 78 = 52 a) 4056 : 39 = 104 d) 4056 : 156 = 26

b) 04056 : 13 = 312

c) 4056 : 26 = 156

175. becslés: 20 000 Ell.: 18855 ◊3 56565

a) 00 406 0 3841 18 855 50 480 176. a) b) c) d)

b) 00 105 00 905 0 2450 40 730

c) 679 257 501 027

3248 : 8; 15 364 : 4; 353 360 : 7; 93 100 : 38; 2 362 340 : 58 353 360 : 7 = 50 480; 353 360 : 28 = 12 620 353 360 : 7 = 50 480; 176 680 : 14 = 12 620 93 100 : 38 = 2450; 3724 : 38 = 98; 93 100 : 950 = 98; 18 620 : 190 = 98 osztandó változása kétszeresére háromszorosára osztó változása harmadára felére

pl.: 3248 : 8 = 406; 9744 : 4 = 2436; 177. a) 0210 0630 1050

b) 312 312 312

2205 : 21 = 105; 4410 : 7 = 630 c) 133 266 532

d) 31 31 31

e) 14 28 56

f) 16 32 64

178. a) 360 : 5 = 72 720 : 10 = 72 d) 140 : 20 = 7 70 : 10 = 7

b) 480 : 40 = 12 120 : 10 = 12 e) 515 : 5 = 103 1030 : 10 = 103

179. a) 1700; 710; 71

b) 91; 91; 91;

180. a) 5620; 5620; 5620

b) 56 000; 5600; 560

181. a) 270; 27; 2700

b) 270; 270; 2700

182. a) 10 mm = 1 cm c) 10 cm = 1 dm e) 10 dm = 1 m

b) 1000 m = 1 km d) 100 mm = 10 cm = 1 dm f) 1000 mm = 100 cm = 10 dm = 1 m

183. a) 90; 9

22

b) 500; 50; 5

c) 620; 62

c) 690 : 30 = 23 230 : 10 = 23 f) 304 : 2 = 152 1520 : 10 = 152

d) 7800; 780; 78

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTÁSA e) 35

f) 70

g) 60

h) 12

184. a) 1030 mm = 103 cm = 10 dm 3 cm = 1 m 0 dm 3 cm b) 125 050 cm = 1250 m 50 cm = 1 km 250 m 5 dm 185. a) 900; 90; 9

b) 7200; 720; 72

186. a) 4000 = 4 ◊ 103; 4

c) 16 000; 16

d) 32 000; 32

b) 200 000 = 2 ◊ 105; 20 000 = 2 ◊ 104; 20

c) 80 000 = 8 ◊ 104; 80 = 8 ◊ 10 187. a) 35; 70; 5; 140; 175 b) 700 cm = 7 m; 500 mm = 50 cm; 14 000 mm = 1400 cm = 14 m; 17 500 mm = 1750 cm 188. a) 1 g) 25

b) 10 h) 25

c) 1 i) 7

d) 10

e) 5

f) 5

189. a) 6 c) 150 óra = 6 nap 6 óra

b) 80 óra = 3 nap 8 óra d) 336 óra = 14 nap = 2 hét

190. a) 84 nap = 12 hét c) 182 nap = 26 hét (= fél év)

b) 91 nap = 13 hét (= 1 negyed év) d) 4368 óra = 182 nap = 26 hét

191. a) 7 h b) 84 h = 3 és fél nap d) 168 h = 7 nap

c) 96 h = 4 nap

192. a) 60 min = 1 h

c) 30 min = fél h

b) 240 min = 4 h

193. a) 48 h = 2 nap c) 180 min = 3 h

b) 16 h = két harmad nap d) 5 h = 300 min

194. a) 60 h = 2 és fél nap c) 5 nap = 120 h

b) 180 h = 7 és fél nap d) 90 min = 1 és fél h

195. a) 135 g) 192

c) 22 i) 57

b) 27 h) 24

d) 4

e) 6

d) 120 min = 2 h

f) 5

196. a) (75 ◊ 86) : 43 = 150 b) (3 ◊ 19) ◊ 36 : 12 = 171 c) (2500 : 25) ◊ 4 = 400; 2500 : (25 ◊ 4) = 25 d) (8 ◊ 165) : (15 ◊ 4) = 22; 8 ◊ (165 : 15) ◊ 4 = 352 e) (5370 : 537) ◊ 10 = 100; 5370 : (537 ◊ 10) = 1 f) (1500 ◊ 60) : 30 = 3000; 1500 ◊ (60 : 30) = 3000 197.

becslés hányados maradék a) 10 10 20 10 9 81 8 8 40 130 133 19

23

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL b)

c)

d)

198.

5 10 60 300 9 10 300 80 20 10 150 81

5 10 64 300 9 10 303 83 23 11 145 81

becslés hányados maradék a) 5000 5005 0 b) 1500 1615 175 c) 300 336 272 d) 4000 4246 134 e) 350 347 5444 f) 50 51 1514 g) 300 347 2016 h) 6 6 54 786 i) 400 436 2

199. 3698 200. 53 utas 201. 3600 kannát 202.

203. mert 1000 = 27 ◊ 37 + 1 204.

24

5 5 28 7 95 19 99 490 9 213 525 81

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTÁSA 205. a) hányados: 6 maradék: 65; 59; 53; 47; …; 11 6-tal csökken hányados 16 12 9 8 7 6 5 4 b) maradék 11 11 41 11 1 11 41 91 A kerek tízessel való osztások miatt a maradék mindig 1-re végzôdik. hányados 138 13 1 c) maradék 16 280 1270 d)

hányados 68 6 0 68 0 maradék 6 78 618 60 6180

e)

hányados 137 112 94 82 maradék 43 23 55 3

206. a) 30 - 15 + 33 + 6 = 54

b) (30 - 30) : 2 + (33 + 66) : 11 = 9

c) (20 540 - 603) ◊ 25 - 40 = 498 385

d) 20 540 - 15 075 - 40 = 5425

207. a) 104 192 - 111 = 104 081

b) 55 040 + 675 - 91 + 6795 = 62 419

c) 222 - 189 + 275 730 = 275 763

d) 160 638 : 1306 = 123

208. a) 1 600 731 : 4807 = 333 b) 157 464 : 648 = 243

c) 165 968 : 1012 = 164

209. a) 534 = 534

b) 534 < 2745

c) 4197 > 534

210. a) 132 < 3795

b) -2079 < 132

c) 132 = 132

211. a) a : b = 48 a 144 b 3

48 ◊ b = a 0

a : 48 = b

480 2304 336 b ◊ 48 10 48 7 a : 48

b)

a 71 000 0 3600 30 000 44 600 (b - 1) ◊100 711 b a : 100 + 1 1 37 301 447

c)

a 1320 151 299 5711 2100 8802 b 1380 549 1501 289 100 78 100 80 c 9 7 60 12 g 300 100 30 500 22 111

(a + b) : c = g

g◊c-a=b

g◊c-b=a

(a + b) : g = c

212. 60 kosár; 540 kosárba. 213. osztandó osztó hányados maradék

115 3 38 1

230 3 76 2

345 3 115 0

690 3 230 0

805 3 268 1

115 6 19 1

115 9 12 7

115 18 6 7

115 21 5 10

osztandó osztó hányados

568 35 16

1136 35 32

1704 35 48

3408 35 97

3976 35 113

568 70 8

568 105 5

568 210 2

568 245 2

25

MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL maradék 214. a)

8

16

24

13

21

8

43

148

78

a 72 40 108 56 136 b 17 9 26 13 33

a = 4 ◊ b + 4 (a - 4) : 4 = b a 55 107 63 63 20 88 42 42 b) pl.: b 52 52 15 10 17 17 13 39 a-t b-vel osztva a maradék 3. b az a - 3-nak 3-nál nagyobb osztója. a 111 39 71 134 15 159 54 215 c) b 11 7 9 12 5 13 8 15 a = b ◊ b - 10 215. a) 308

b) 767

c) 311

d) 724

e) 1992

f) 2000

216. a) 1990

b) 1513

c) 5775

d) 300

e) 3099

f) 349

217. Átlagosan 49 km-t tett meg 1 óra alatt az autóbusz. 218. A másik szám 110. 219. A két szám: 23 és 69. 220. Az egy napra esô átlag 2862 db, ezt az elsô napon közelítette meg a legjobban. 221. A keverék 1 kg-jában átlag 57 db cukor lesz. 222. A keverék hômérséklete 24 ºC. 223. A forró víznek 103 ºC-osnak kellene lennie; ilyen nem lehet, mert már 100 ºC-on gôzzé alakul! 224. A szám: 270. 225. A két rész: 428; 2140. 226. A három rész: 234; 468; 1170. 227. A két szám: 12 880; 368. 228. A lány 12 éves, az anya 36 éves, az apa 48 éves. 229. Az egyik fiú 58 db, a másik 145 db diót kapott. 230. A két szám: 360; 50. Mert: 360 + 50 = 410 és 50 ◊ 7 + 10 = 360. 231. A két szám: 9412 és 29 158. 232. Nincs ilyen természetes számpár. (A feltételeknek megfelel a 32,5 és 107,5.) 233. A két szám: 9612 és 356. 234. A maradék 13. (Bármely 26-nál nagyobb természetes számot a nála 13-mal kisebbel elosztva ezt tapasztaljuk.)

26

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTÁSA 235. 19 ágyás és 75 bokor van. 236. 11 kosár volt és 490 db dinnyét kellett elszállítani. 237. 12 év múlva édesanyám 42 éves lesz, én 21 éves leszek. 238. Ha a két város közti távolságot azonos átlagsebességgel tették meg, akkor azonos ideig voltak úton. A második vonat két perccel tovább volt úton, ezt várakozási idô (az állomás elôtti tilos jelzés) okozhatta. (190 perc, 192 perc). 239. A szorzat 32 768 = 215.

64 2 256 128 32 8 4 512 16

vagy

26 27 22

2 25 29

28 23 24

240. a) [5 ◊ (1000 - 105) - 4325] : 6 ◊ 40 000 - 999 999 = 1 b) 400 c) 2 d) 80 241. a) 112 200

b) 720 és maradék 100

c) 49 920

d) 3 119 300

242. a) {31 440 + 1040 : [150 - 2400 : 120] ◊ 20} : 395 + 1001 = = {31 440 + 1040 : 130 ◊ 20} : 395 + 1001 = {31 440 + 8 ◊ 20} : 395 + 1001 = = 31 600 : 395 + 1001 = 80 + 1001 = 1081 b) 12 c) hibás, nincs megoldás d) 1

27

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL Egész számok értelmezése 243. a) (1) - 20 Ft

(2) + 50 Ft

adósság - készpénz

b) (1) - 8 ∞C

(2) + 12 ∞C

hideg - meleg

c) (1) + 1015 m

(2) - 7450 m

magasság - mélység

d) (1) + 5 e) 0

(2) - 6

pl.: növekedés - csökkenés

244. a) b) végtelen sok megoldás; pl.: -6; 6 0; 12 -1; 11 c) pl.: 6 megoldás (-4; +3), (-5; +2), (-6; +1), (-7; 0), (-8; -1), (-9; -2)

245. a) pl.: végtelen sok megoldás 1 megoldás

b)

c) pl.: végtelen sok megoldás

d) pl.: végtelen sok megoldás e) pl.: 246. a) 5; -1; +8; 0; +3; +7; +1 b) -3; -7; -1; 0; +3; +1; -10; -5

28

6 megoldás

EGÉSZ SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE c) d) e) f) g) 247. a) b) c) d) e) f)

-1; 0; +3; +1 (-3; +3); (5; -5); (-7; +7); (-1; +1); (0; 0) pl.: (-3; -7); (-3; -1); (5; 8); … pl.: (-3; -7); (0; +3); (5; 8); … (-3; +3); (5; -5); (-7; +7); (-1; +1) (-3; +3); (5; -5); (-7; +7); (-1; +1); (0; 0) (5; 0); (+3; +8); (0; -5); (-10; -5) (-7; +1); (-5; -1) 5; +8; 0; +3; +7; +1 5; +8; 0; +3; +7; +1 -3; -7; -1; -10; -5; 0; (a Ω0Ω = 0 önmaga és ellentettje is)

248. a) 0+9 > +3 0+3 = 3 0+7 < +31 +11 = 11 0+7 < +8 0+2 > 0 +32 < 43

b) 0-3 < 0 0-3 < +9 +14 > -2 0+3 > -3 003 > -3 0-7 < +2 017 > -6

c) 0-7 < -4 0-1 > -3 -11 > -30 0-2 > -7 0-9 > -13 -13 < -9 -43 < -34

249. a) Két pozitív szám közül a nagyobb abszolút értékû a nagyobb. Pozitív és negatív számok közül a pozitív a nagyobb. Pozitív szám és a 0 közül a pozitív a nagyobb. A nulla nagyobb minden negatív számnál. Két negatív szám közül a nagyobb abszolút értékû a kisebb. b) Pozitív számok ellentettjei esetén a nagyobb abszolút értékû a kisebb. Negatív számok ellentettjei esetén a nagyobb abszolút értékû a nagyobb. A nulla nagyobb a pozitív számok ellentettjeinél. A nulla kisebb a negatív számok ellentettjeinél. Pozitív számok ellentettjei kisebbek a negatív számok ellentettjeinél. 250. a) -14 < -3 < -1 < 0 < +3 < 7 < +11 < +12 b) -(+7) < 0 < -(-1) < Ω-3Ω < 9 < 12 c) -(+9) < -4 < -3 < Ω0Ω < Ω-4Ω = -(-4) < -(-5) < 9 251. a) +10 > 7 > +6 > 0 > -2 > -3 > -9 > -11 b) -(-9) = Ω-9Ω = 9 > +4 > 0 > -(+7) = -7 c) Ω-7Ω > 6 > Ω+5Ω = +5 > -(-3) > 0 > -(+3) > -16 252. a) b) c) d)

29

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 253. b) nô: +10 ∞C; +11 ∞C; +8 ∞C; +6 ∞C;

csökken: -2 ∞C; -3 ∞C; 0 ∞C; +2 ∞C

254. a) 5 ∞C-kal növekedni; 0 ∞C-kal növekedni vagy csökkenni; 2 ∞C-kal növekedni; 5 ∞C-kal csökkenni; 11 ∞C-kal növekedni; 1 ∞C-kal növekedni; 3 ∞C-kal csökkenni. b) -5 ∞C-ot; +2 ∞C-ot; +5 ∞C-ot; +20 ∞C-ot; 10 ∞C-ot 255. a) -5 < ª < +3 ª = {-4; -3; -2; -1;0; 1; 2} b) -5 < ª < « < +3 -4 -4 -4 -4 -4 -4 - 3 - 2 -1 0 1 2 -3 -3 -3 -3 -3 - 2 -1 0 1 2 -2 -2 -2 -2 -1 0 1 2 -1 -1 -1 0 1 2 0 0 1 2 ª=1 «=2 c) -5 > ª

+3 > « ª < -5 és ª < « < +3 d) -5 > ª > « > +3

pl.:

-6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2

pl.:

-7 -7 -7 ... -6 -5 -4 nincs megoldás, mert -5 < +3

256. a) -3 ∞C £ T < +5 ∞C b) -6 ∞C < T < -2 ∞C c) -6 ∞C £ T £ -1 ∞C d) -5 ∞C < T £ +5 ∞C e) 0 ∞C < T < +10 ∞C 257. a)

30

b)

-7 2

EGÉSZ SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE C = {0-nál nem nagyobbak} D = {nem negatívok}

C = {0-nál nagyobbak} D = { negatívok} d)

c)

C = {nem nagyobb, mint -4} D = {nem kisebb, mint +6}

C = {nagyobb, mint 0} D = {-5-nél kisebb}

e)

C = {az ellentettje nem pozitív} D = {abszolút értéke nem önmaga} 258. a) b) c) d) e) f) g)

pl.: {-7}; {-7; -6; -1}; …; {-7; -6; -5; -4; -3; -2; -1} pl.: {-7; -6; -5; -4; -3; -2; -1}, {-7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0}, … {0} pl.: {-7; 0}; {-2; -1; 1}; {3}; … pl.: {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}; … {+3}; {-3}; {+3; -3} pl.: {1}, {0; -1}, {-1; 0; 1}; ...; {-7; -6; -3; 0; 1}; ...

259. a) igaz d) hamis (+3 < +4)

b) igaz (0) e) hamis (-4 < -3)

c) igaz f) igaz

260. a) hamis (-4 < 3)

b) igaz

d) igaz

261. a) igaz

b) hamis (0 < Ω-1Ω)

c) igaz

c) hamis (0 = -(0))

262. a)

a = +7

b)

b > -3

c)

c < +2

d)

d > +5

e)

e = -7

f)

f = {-2, -1, 0, 1}

31

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 263. a)

a < -7 vagy a > 1

b)

-8 < b < +4

c)

c £ -4 vagy c ¤ +2

d)

-3 £ d £ 1

e)

-4 < e < 4

264. a) b) c) d) e) 265. a)

-4-nél nagyobb, de +4-nél kisebb számok -4-nél nagyobb, de +5-nél nem nagyobb számok -15-nél kisebb vagy +10-nél nagyobb számok legfeljebb -5, vagy 0-nál nagyobb számok -10-nél nem kisebb és -6-nál kisebb, vagy +2-nél nem kisebb számok. b)

A(3; 4); B(2; 7); C(5; 7); A(5; 0); B(7; 0); C(3; 0); D(1; 0); E(11; 0) D(5; 9); E(2; 3) Az x tengely pozitív felére illeszkedô pontok. Az elsô síknegyedben található pontok. c)

32

d)

EGÉSZ SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE A(0; 5); B(0; 7) ; C(0; 3); D(0; 1); E(0; 11) Az y tengelyre illeszkedô pontok.

A(-2; 2); B(-3; 4); C(-5; 1); D(-3; 9); E(-2; 6) A második síknegyedben lévô pontok.

266. a)

A(-1; 0); B(-3; 0); C(-11; 0); D(-5; 0); E(-7; 0) Az A, B, C, D, E pontok az x tengelynek pontjai. c)

b)

A(-2; -3); B(-7; -1); C(-4; -6); D(-2; -5); E(-6; -6) A harmadik síknegyed pontjai.

A(0; -1); B(0; -3); C(0; -11); D(0; -5); E(0; -7) Az y tengely pontjai.

33

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL d)

A(2; -3); B(7; -1); C(6; -6); D(2; -9); E(5; -4) A negyedik síknegyed pontjai. 267. a)

b)

A(+2; +3); B(+2; 0); A(0; -3); B(-2; -3); C(-5; -3); D(+4; -3); E(+7; -3) C(+2; -3); D(+2; -8); Az x tengelytôl a csökkenés irányában vannak E(+2; +6) 3 egységre. Az y tengellyel párhuzamos +2 egységre futó egyenesen vannak.

34

EGÉSZ SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE c)

A(-6; -6); B(+3; +3); C(-4; -4); D(0; 0); E(+6; +6) Mindkét tengelytôl egyenlô távol lévô pontok, ahol a koordináták azonos elôjelûek. d)

A(-3; +3); B(-8; +8); C(-2; +2); D(+2; -2); E(+5; -5) Mindkét tengelytôl egyenlô távolságra lévô, különbözô elôjelû koordinátákkal rendelkezô pontok.

35


A(+6; +3); B(+10; +5); C(+2; +1); D(-2; -1); E(-10; -5) Az y tengelytôl való távolságuk kétszerese az x tengelytôl való távolságuknak, a koordináták egyezõ elõjelûek. b)

36

c)

EGÉSZ SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE A(+1; +3); B(0; 0); C(+4; +12); D(-4; -12); E(-1; -3) Az x tengelytôl való távolságuk háromszorosa az y tengelytôl való távolságuknak, a koordináták egyezõ elõjelûek.

A(+2; -3); B(-3; +3); C(0; 0); D(-5; 5); E(+6; -6) A pontok koordinátái egyenlô abszolút értékûek és ellenkezô elôjelûek.

e)

d)

A(+2; -3); B(+2; +5); C(0; 4); D(+6; -4); E(+3; -2) Olyan pontok, melyek x koordinátája nem nagatív.

A(+2; +3); B(+2; +5); C(0; 4); D(-6; 4); E(-3; +2) Olyan pontok, melyek y koordinátája pozitív.

269. a) igaz

b) igaz

c) igaz

d) igaz

270. a) igaz

b) hamis

c) igaz

d) hamis

271. a) igaz

b) igaz

c) hamis

d) igaz

272. a) x és y ellentett párok x 0 -1 +4 -6 +6 -5 +2 -8 -9 y 0 +1 - 4 + 6 -6 + 5 -2 +8 +9

e) igaz

f) hamis

e) hamis

f) igaz

¥

b) x abszolút értéke az y x -2 2 +4; - 4 -7 +3 -6 -9 y +2 +2 +4 +7 +3 -4 +6 -8 +9

37

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL

a) a második és negyedik síknegyedben lévô pontok b) az elsô és a második síknegyedben lévô pontok

Egész számok összeadása, kivonása 273. a) 0-ba

b) 0-ba

c) -2-be. Összeadásnak felel meg.

274. a) +5; +23; +23; +85; +100; +30; +30 Két pozitív szám összege pozitív, az összeg abszolút értéke a tagok abszolút értékének összege. b) -5; -23; -23; -85; -100; -30; -30 Két negatív szám összege negatív, az összeg abszolút értéke a tagok abszolút értékének összege. c) +1; +9; -9; -23; +50; -4; 0 Egy pozitív és egy negatív szám összegének elôjele a nagyobb abszolút értékû tag elôjelével egyezik meg, abszolút értéke pedig a tagok abszolút értékének különbsége. 275. a) a + b = 24 a = 24 - b b = 24 - a a 13 30 9 -5 -7 18 34 -2 37 b 11 - 6 15 29 31 6 - 10 26 - 13 b) a - b = 12 b + 12 = a b = a - 12 a -3 10 8 0 -5 7 2 10 22 b - 15 - 2 - 4 - 12 - 17 - 5 - 10 - 2 10

38

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 276. a) 13 + 9 = 22 71 + 3 = 74 5+4=9 15 + 15 = 30

b) 43 + 90 = 133 105 + 1501 = 1606 0 + 200 = 200 91 + 109 = 200

277. a) -13 - 9 = -22 -11 - 13 = -24 -15 - 2 = -17 -15 - 15 = -30

b) -52 - 178 = -230 -75 - 75 = -150 -106 - 548 = -654 0 - 73 = -73

278. a) 13 - 9 = 4 71 - 3 = 68 11 - 13 = -2 17 - 17 = 0

b) 78 - 87 = -9 78 - 78 = 0 0 - 13 = -13 171 - 519 = -348

279. a) -13 + 9 = -4 -7 + 6 = -1 -71 + 3 = -68 -17 + 17 = 0

b) -27 + 48 = 21 -56 + 23 = -33 0 + 91 = 91 -310 + 210 = -100

280. a) -2500 + 1992 = -508 -2500 - 1992 = -4492 2500 - 1992 = 508

b) 1992 - 2500 = -508 -1992 - 2500 = -4492 -1992 + 2500 = 508

281.

282. 7 + (-13) < 7 + (-4) < 7 + (-1) < 7 + 0 < 7 + (+12) 283. (-12) + (-3) < (-10) + (-3) < 0 + (-3) < (+8) + (-3) < (+11) + (-3) 284. (+4) + (-4) > (+2) + (-6) = (+4) + (-8) = (-2) + (-2) > (-2) + (-6) 285. a) -3 b) 0-1 c) +15 d) -12 -1 0-4 +10 0-8 +1 0-7 0+5 0-4 +3 -10 0+0 0+0 +5 -13 0-5 0+4 +7 -16 -10 0+8 Ha az összeg egyik tagja állandó, a másik tagját valymennyivel csökkentjük (növeljük), az összeg ugyanannyival csökken (növekszik).

39


-4 b) +2 c) +4 d) +43 0 +2 +4 +43 +4 +2 +4 +43 +8 +2 +4 +43 +12 +2 +4 +43 +16 +2 +4 +43 Ha az összeg mindkét tagját változtatjuk, akkor az összeg a tagok változásának összegével változik. Ha az egyik tagot ugyanannyival növelem (csökkentem), mint amennyivel a másikat csökkentem (növelem), akkor az összeg változatlan.

287. a) [(-4) + (+4)] + (+3) + (+2) = (+5) b) [(+12) + (-12)] + [(+20) + (-14) + (-6)] = 0 c) [(-7) + (-42) + (+49)] + (+10) + (+15) = (+25) 288. a) [(365 + 335) + (-405 - 295)] + 500 = 500 b) (-47 - 13 - 70) + 100 = -130 + 100 = -30 c) (826 - 26) + (72 - 32) = 800 + 40 = 840 d) 1 (Az ellentett párok összege 0.) 289. a) (-200 - 50 + 150) + (75 - 125) = -100 - 50 = -150 b) (1992 - 92 - 900) + 1000 = 2000 c) (-1 - 9 + 10) + (2 + 8 - 3 - 7) + (4 + 6 - 5) = 5 290. a) 9; 4; -1; -6; -11; -16; -21; -26; -31; -36 A tíz elem összege: -135 b) -27; -22; -17; -12; -7; -2; 3; 8; 13; 18 A tíz elem összege: -45 291. a) pl.: 2; -1; 1; 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8 -1; -1; 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3

összegük: 22 összegük: 10

b) pl.: -19; -13; -8; -4; -1; 1; 2; 2; 1; -1

összegük: -40

c) pl.: -1; +1; +5; +13; +29; +61; +125; +253; +509; +1021 292. a) pl.: -512; -256; -128; ... b) pl.: -5; -10; -20; ... c) pl.: -17; -34; -51; ...

összegük: 2016

10. elem: -1

Az elsô öt elem összege: -992

12. elem: -10 240


8. elem: -136


293. Mindkét esetben 680 Ft lesz a vagyonuk. 527 - (-153) = 527 + (+153) = 680 294. a) -4

b) +1

c) +13

d) -11

e) +7

f) 0

295. a) +37

b) +94

c) +46

d) +105

e) +84

f) +7

40

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 296. a) -18

b) -25

c) -13

d) -61

e) -87

f) -62

297. a) -9 b) +48 c) 0 d) +77 e) -62 f) -7 Elôjeles számok kivonását úgy is elvégezhetjük, hogy a változatlan kisebbítendôhöz hozzáadjuk a kivonandó ellentett párját. 298. a) (+17) + (-8) = +9

b) (+23) + (-17) = +6

c) (-8) + (-11) = -19

d) 0 + (-13) = -13

e) nincs megoldás ... kivonandó ellentettjét.

f) (+854) + (-1001) = -147

299. a) (+18) + (+7) = +25

b) (-9) + (+36) = +27

c) (-8) + (+17) = +9

d) 0 + (+56) = +56

e) (+98) + (+52) = +150

f) (+277) + (+111) = +388

g) (-397) - (-515) = (-397) + (+515) = +118 ... a változatlan kisebbítendôhöz hozzáadjuk a kivonandó ellentettjét. 300. a) (+a) - (+b) = (+a) + (-b) (+a) - (-b) = (+a) + (+b)

b) (-a) - (+b) = (-a) + (-b) (-a) - (-b) = (-a) + (+b)

c) (+a) - (-b) = (+a) + (+b) (-a) - (-b) = (-a) + (+b) 301. a) (-12) + (-15) = -27 c) (+4) - (-16) = (+4) + (+16) = +20

b) (-7) + (+2) = -5 d) (-14) - (+4) = (-14) + (-4) = -18

302. a) (-31) + (-13) = -44 b) (+15) + (+19) = (+15) + (+19) = +34 vagy (+15) - (+19) = (+15) + (-19) = -4 c) (+7) - (+7) = (+7) + (-7) = 0 vagy (-7) - (-7) = (-7) + (+7) = 0 303. a) x = 14 b) x < 10 c) x > -3 d) x = 17 e) x £ 5 f) x £ 3 304. a) y > -1

41

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL b) y > 4 c) y < -5 d) y £ 21 e) y > -3 f) y ¤ 2 305. a) x £ 5 b) x ¤ 5 c) bármely egész szám d) x = -7 e) x ¤ 7 f) x £ -6 306. a) (+5) + (-7) + (+4) = +2

b) (+5) - (-7) - (+4) = +8

c) (+5) - (-7) + (+4) = +16 307. a) 11 11

b) 23 7

308. a) -17; 17

b) 460; 1016

309. a) 0 310. a) -25 g) 0

d) (+5) + (-7) - (+4) = -6 c) 4 4

d) 5 5

b) -81

c) -58

d) -14

b) -1 h) 44

c) -14

d) -71

e) 8 8

f) -7 -5

e) 0

f) -14

311. a) [-3 - (-3)] + (+2) = 2 b) [243 + (-200) - (+43)] + [(+28) - (+28)] = 0 c) [602 + (+398)] - (-826) + (-26) = 1000 + 800 = 1800 d) [-57 + (-3) + 60] + (+191) + (-91) = 100 312.Sorok, oszlopok, átlók öszege: a) 4 A kilenc szám összege: a) -

42

b) 0 b) 0

c) -3 c) -9

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA a)

b)

c)

b) 0; több megoldás

c) 4

nincs megoldás

313. a) -39

x + y = -5 u + z = 10 x+z =3 u+y =3 Nincs megoldás.

d) 9

314. a) A'(5; -1) B'(7; -3) C'(5; -7) D'(3; -3)

e) 15

b) A''(-2; -1) B''(0; -3) B''(-2; -7) D''(-4; -3)

f) -3

c) A'''(3; 7) B'''(5; 5) C'''(3; 1) D'''(1; 5)

d) A*(3; -3) B*(5; -5) C*(3; -9) D*(1; -5)

43


315. a) A'(6; 2) B'(8; 0) C'(6; -4) D'(4; 0)

b) A''(-1; -5) B''(1; -7) B''(-1; -11) D''(-3; -7)

c) A'''(6; -3) B'''(8; -5) C'''(6; -9) D'''(4; -5)

316. a) A'(-3; -2) B'(-1; -4) C'(-3; -8) D'(-5; -4)

b) A''(9; 0) B''(11; -2) B''(9; -6) D''(7; -2)

c) A'''(3; 1) B'''(5; 3) C'''(3; 7) D'''(1; 3)

44

d) A*(3; 1) B*(5; 3) C*(3; 7) D*(1; 3)

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

317. a) 6 < 10 f) 5 < 17

b) 3 < 9

c) 13 = 13

d) -15 = -15

e) 6 < 14

318. a) 19 = 19

b) 15 = 15

c) 12 < 26

d) 3 < 7

e) -15 < 3

319.

a b a - 7 13 7 12 - 18 12 -6 -7 6 -9 0 0

320.

a b a - 6 14 6 54 - 60 54 - 12 6 12 -7 7 7

b 13 18 7 9

a +b a+ b 20 6 -6 30 -1 1 -9 9

b 14 60 6 7

a -b a- b -8 - 20 -6 114 - 18 6 - 14 0

a + b 20 30 13 9

a+b 6 6 13 9

a - b -8 -6 6 0

a-b 20 114 18 14

321. a) a = -22 f)

b) b < -13

c) c = 14

d) d < 0

e) e = 35

f) f £ -8

322. a) a = -9 f)

b) b ¤ 21

c) c = -8

d) d < 0

e) e = -27

f) f ¤ -3

45


b)

c)

d)

324. a)

Hely 1. 2. 3. 4. 5. Szám ötféle négyféle háromféle kétféle egyféle

5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120 120 lehetséges sorrendben írhatjuk be a számokat, de ezek a mûveletsorok nem adnak mind különbözô eredményt. b) Táblázatba foglaltuk a számokat és a hozzájuk kapcsolódó mûveleti jeleket: Számok 0 -7 -5 +4 +6 A mûveletsor eredménye

+ + + -

+ + +

+ + + -

+ + +

-22

-0-

-4

-4-

Mûveleti jelek + + + + + + -

+ + +

+ + +

-0- -22- -12- -8-

+ + +

+ + + -

-10 -10-

(A 0 akár összeadandó, akár kivonandó, nem befolyásolja az eredményt.) Három helyen szerepel összeadandó, ezekre a helyekre hatféle sorrendben írhatók be a számok. Két kivonandó van, ezek lehetséges sorrendje kettô. Ezért minden oszlop végén szereplô szám tizenkétszer fordul elô eredményként. A nulla két oszlop végén is megtalálható, ezért ezt az eredményt huszonnégyszer kapjuk. c) Legkisebb az eredmény, ha a két kivonandó a két pozitív szám; legnagyobb, ha a két kivonandó a két negytív szám. d) Összesen kilenc különbözô eredmény fordul elô. 325. a) 25 = 32 lehetôségünk van az elôjelek beírására. b) (1) (+18) - (+17) + (+16) - (+15) + (+14) = +16 (1) (+18) - (+17) + (+16) - (+15) + (-14) = -12 (1) (+18) - (+17) + (+16) - (-15) + (+14) = +46 (1) (+18) - (+17) + (+16) - (-15) + (-14) = +18

46

EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA (2) (+18) - (+17) + (-16) - (+15) + (+14) = -16 (1) (+18) - (+17) + (-16) - (+15) + (-14) = -44 (1) (+18) - (+17) + (-16) - (-15) + (+14) = +14 (1) (+18) - (+17) + (-16) - (-15) + (-14) = -14 (3) (+18) - (-17) + (+16) - (+15) + (+14) = +50 (1) (+18) - (-17) + (+16) - (+15) + (-14) = +22 (1) (+18) - (-17) + (+16) - (-15) + (+14) = +80 (1) (+18) - (-17) + (+16) - (-15) + (-14) = +52 (4) (+18) - (-17) + (-16) - (+15) + (+14) = +18 (1) (+18) - (-17) + (-16) - (+15) + (-14) = -10 (1) (+18) - (-17) + (-16) - (-15) + (+14) = +48 (1) (+18) - (-17) + (-16) - (-15) + (-14) = +20 (5) (-18) - (+17) + (+16) - (+15) + (+14) = -20 (1) (-18) - (+17) + (+16) - (+15) + (-14) = -48 (1) (-18) - (+17) + (+16) - (-15) + (+14) = +10 (1) (-18) - (+17) + (+16) - (-15) + (-14) = -18 (6) (-18) - (+17) + (-16) - (+15) + (+14) = -52 (1) (-18) - (+17) + (-16) - (+15) + (-14) = -80 (1) (-18) - (+17) + (-16) - (-15) + (+14) = -22 (1) (-18) - (+17) + (-16) - (-15) + (-14) = -50 (7) (-18) - (-17) + (+16) - (+15) + (+14) = +14 (1) (-18) - (-17) + (+16) - (+15) + (-14) = -14 (1) (-18) - (-17) + (+16) - (-15) + (+14) = +44 (1) (-18) - (-17) + (+16) - (-15) + (-14) = +16 (8) (-18) - (-17) + (-16) - (+15) + (+14) = -18 (1) (-18) - (-17) + (-16) - (+15) + (-14) = -46 (1) (-18) - (-17) + (-16) - (-15) + (+14) = +12 (1) (-18) - (-17) + (-16) - (-15) + (-14) = -16 c) Akkor lesz az eredmény a lehetô legkisebb, ha pozitív számokat vonunk ki és negatív számokat adunk hozzá. Az eredmény a lehetô legnagyobb akkor lesz, ha minden kivonandó negatív és minden hozzáadandó pozitív szám. 326. a) b) c) d) e)

-28 (-26) - (+28) = -54 [-9 - (+2)] - (-13) = (-11) - (-13) = +2 [(-26) - (+15)] - (-13) = (-41) - (-13) = -28 -9 - [+2 - (-13)] = -24

327. a) [(-1) + (+2) + (-3) = -2 b) (+1) + [(-2)+(+3)] = +2 c) [(-1) + (+2)] - (-3) = +4 d) (+1) + [(-2) - (+3)] = -4 Az a, b, c, d esetekben a különbözô zárójelezés nem változtatja meg az eredményt, mert összeghez egy számot úgy is hozzáadhatunk, hogy az egyik tagjához adjuk hozzá. Összegbôl úgy is kivonhatunk egy számot, hogy az összeg egyik tagjából vonjuk ki a számot. e) [(-1) - (+2)] + (-3) = -6 f) [(+1) - (-2)] + (+3) = 6 (-1) - [(+2) + (-3)] = 0 (+1) - [(-2) + (+3)] = 0 g) [(-1) - (+2)] - (+3) = 0 h) [(+1) - (-2)] - (+3) = 0 (-1) - [(+2) - (+3)] = -6 (+1) - [(-2) - (+3)] = 6

47

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 328. a) [1992 - (+555) - (+445)] - (+92) = 900 [1992 - (+555)] - [(+445)] - (+92)] = 1084 1992 - [(+555) - (+445)] - (+92) = 1790 1992 - [(+555) - (+445) - (+92)] = 1974 b) [(+92) - (+445) - (+555)] - (+1992) = -2900 (+92) - [(+445) - (+555)] - (+1992) = -1790 [(+92) - (+445)] - [(+555) - (+1992)] = 1084 (+92) - [(+445) - (+555) - (+1992)] = 2194 329.

x + x =y

(

x ◊2 = y

)

x 10 -2 0 7 18; -18 -11 -19 996; - 996 y 20 4 0 14 36 1992 22 38

Egész számok szorzása, osztása 330. a) (+2) ◊ 5 = (+10)

b) (+5) ◊ 3 = (+15)

c) (+27) ◊ 4 = (+108)

b) (-7) ◊ 4 = (-28)

c) (-52) ◊ 5 = (-260)

d) (+1992) ◊ 3 = (+5976) 331. a) (-8) ◊ 6 = (-48) d) (-1992) ◊ 3 = (-5976) 332. a) Az elsô tényezô változatlan, a második tényezô 1-gyel csökken; a szorzat 7-tel csökken. b) Az elsô tényezô változatlan, a másik tényezô 1-gyel csökken; a szorzat 7-tel nô. 333. a) -252

b) -513

c) 10 000

d) 30 000

334. a) -63

b) -2842

c) 148 400

d) -108 669 e) -505 505 f) 151 572

c) 0

d) -24 576

335. a) -400 392 b) -30 525

e) -2500

e) -4800

336.

a b 4 5 -4 5 -5 4 -4 -5 - 11 0 -7 7 - 5 - 20 - 16 25

337.

x - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y - 23 - 19 - 15 - 11 - 7 - 3 1 5 9 13 17 21

x◊4=y+3

48

5◊ a - 4 ◊ b a ◊ b - a ◊ b + 20 - 20 + 20 - 20 - 20 - 20 - 20 + 20 + 20 + 20 - 20 + 20 - 20 + 20 + 20 - 20 0 0 0 + 44 + 35 + 28 - 49 + 49 - 25 + 80 + 100 - 100 - 80 - 100 - 400 + 400

x◊4-y-3=0

y=x◊4-3

a ◊ b 20 20 20 20 0 49 100 400

( -a) ◊ ( -b) + 20 - 20 - 20 + 20 0 - 49 + 100 - 400

x = (y + 3) : 4

f) -2000

f) 976 000

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 338.

x - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 y 21 17 13 9 5 1 - 3 - 7 - 11 - 15 - 19 - 23

(-4) ◊ x = y + 3 339.

(-4) ◊ x - y - 3 = 0

y = (-4) ◊ x - 3

x = (y + 3) : (-4)

x - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 y 23 20 17 14 11 8 5 2 - 1 - 4 - 7 - 10

(-3) ◊ x = y - 5 (-3) ◊ x - y + 5 = 0 340. a) -632 811

y = (-3) ◊ x + 5

x = (y - 5) : (-3)

b) +1 717 439 724

c) -874 437 000

d) + 3 968 064

f) +49 844 322

g) -4 080 028 724

h) -410 040

e) -2 151 136 988 341. (-12) ◊ (+25) = (-300)

a) (-48) ◊ (+25) = -1200 (-12) ◊ (+100) = -1200

A szorzat négyszeresére változik.

b) (-4) ◊ (+25) = -100

A szorzat harmadára változik.

342. (-12) ◊ (+25) = (-300) a) A szorzat tizenhatszorosára változik. b) (-60) ◊ (+50) = (-3000)

A szorzat tízszeresére változik.

c) (-6) ◊ (+5) = (-30)

A szorzat tizedére változik.

d) (-3) ◊ (+50) = (-150)

A szorzat a felére változik.

343. (-12) ◊ (+25) = (-300) a) ( −6) ⋅ ( +50) = ( −300) ⎫ ⎪ b) ( −4) ⋅ ( +75) = ( −300) ⎬ a szorzat változatlan c) ( −3) ⋅ ( +100) = ( −300) ⎪⎭

344. (+60) ◊ (-24) = (-1440) a) (+120) ◊ (-24) = (-2880) (+60) ◊ (-48) = (-2880)

b) (+30) ◊ (-24) = (-720) (+60) ◊ (-12) = (-720)

c) pl.: (+60) ◊ (-6) = (-360) pl.: (+30) ◊ (-12) = (-360) pl.: (+15) ◊ (-24) = (-360)

d) pl.: (+60) ◊ (-144) = (-8640) pl.: (+120) ◊ (-72) = (-8640) pl.: (+180) ◊ (-48) = (-8640) pl.: (+360) ◊ (-24) = (-8640) pl.: (+720) ◊ (-12) = (-8640) pl.: (+1440) ◊ (-6) = (-8640)

49

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 345. (+60) ◊ (-24) = (-1440) a) (+120) ◊ (-1) = (-120) (+30) ◊ (-4) = (-120) (+20) ◊ (-6) = (-120) (+10) ◊ (-12) = (-120) c) pl.: (-60) ◊ (+24) = (-1440) pl.: (-120) ◊ (+12) = (-1440) pl.: (-5) ◊ (+288) = (-1440)

b) pl.: (+240) ◊ (-6) = (-1440) pl.: (+120) ◊ (-12) = (-1440) pl.: (+12) ◊ (-120) = (-1440) pl.: (+20) ◊ (-72) = (-1440)

346. I.

A(0; 2); B(4; -2); C(6; 2); D(2; 8) I. a) A'(0; 2) b) A''(0; 4) B'(12; -2) B''(4; -4) C'(18; 2) C''(6; 4) D'(6; 8) D''(2; 16) torzult torzult II. d) A'(0; 2) e) A''(0; 1) B'(2; -2) B''(4; -1) C'(3; 2) C''(6; 1) D'(1; 8) D''(2; 4) torzult torzult

50

c) A'''(0; 4) B'''(8; -4) C'''(12; 4) D'''(4; 16) nagyított kép f) A'''(0; 1) B'''(2; -1) C'''(3; 1) D'''(1; 4) kicsinyített kép

g) A*(0; 1) B*(8; -1) C*(12; 1) D*(4; 4) torzult

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA II.

A(0; 2); B(4; -2); C(6; 2); D(2; 8) 347.

51

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL a) A'(0; 2) B'(-8; -2) C'(-12; 2) D'(-4; 8) torzult

b) A''(0; -4) B''(4; 4) C''(6; -4) D''(2; -16) torzult

c) A'''(0; -4) B'''(-8; 4) C'''(-12; -4) D'''(-4; -16) nagyított kép

348. a) +240 -240 ellentettek

b) -240 -240 azonosak

c) +240 +240 azonosak

349. a) +120 +240 kétszeresére változott

b) -120 -240 kétszeresére változott

c) -240 -240 változatlan a szorzat

d) A*(0; -2) B*(-4; 2) C*(-6; -2) D*(-2; -8) Az eredetivel egybevágó négyszöget kapunk (középpontosan tükröztük).

350.

351.

352.

353. y = (-5) ◊ x x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y 30 25 20 15 10 5 0 - 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - 30

52

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA a) x = 1 x = -1

y = -5 y=5

b) x £ 1 x > -1 c) x = 0 x<0

y ¤ -5 y < +5 y=0 y>0

x£0

y£0

x£0

y¤0

x¤0

y£0

354. y = -3x + 4 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 22 19 16 13 10 7 4 1 - 2 - 5 - 8 - 11 - 14 - 17

53

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL a) ha x = 0, akkor y = 4 b) ha x < 2, akkor y > 0 c) ha x > 1, akkor y legfeljebb 0 (de nincs olyan egész szám, amelyre y = 0) d) ha -2 < x < 4, akkor -8 < y < 8 e) ha -5 £ x £ 5, akkor -11 £ y £ 19

355. a) 5; -5 b) 0 megoldása d) 3 e) ª < 3 356. a) b) c) d)

f) ª ¤ 3

c) nincs g) {0; 1}

h) ª £ 4

i) ª £ -5

-2; +4; -8; +16; -32; +64; -128; +256 +50; -50; +50; -50; +50; -50; +50; -50; -11; -33; -99; -297; -891; -2673; -8019; -24 057 +7; -14; +28; -56; +112; -224; +448; -896

357. a) 210 ◊ (-4) = -840 c) 98 ◊ (-12) = -1176 e) (-42) ◊ 234 = -9828

b) -251 ◊ (+8) = -2008 d) (-84) - (-63) = -21 f) 8 ◊ (-24) ◊ (-11) = 2112

358. a) 160

b) -98 915

c) 96

d) 413

e) 52 000

f) 2200

359. a) 10

b) 1000

c) -100

d) -2000

e) 0

f) -100 000

c) 9600

d) -84 132

e) 20 592

f) 580 000

g) -3200 360. a) -96

h) 0 b) -540

g) -234 090 h) 6 354 110 i) 710 142

54

j) 396 806 400

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 361.

+7 -7 -7 a +9 -9 +9 b +5 -5 -5 c (a + b) ◊ c 80 80 - 10 98 - 28 a ◊ (b + c ) 98 80 - 10 a ◊ c + b ◊ c 80 (a - b) ◊ c - 10 - 10 80 28 - 98 a ◊ (b - c ) 28 28 - 98 a ◊ b - a ◊ c 28 68 58 - 68 a◊b + c a + b◊c 52 38 - 52

362. a) (+2)5 = +32 363. a) -1 g) +1

+7 -7 -7 -9 -9 +9 0 +5 +5 0 - 10 - 80 - 28 28 - 63 0 - 10 - 80 80 10 0 - 98 98 - 63 - 98 98 - 63 - 58 68 - 63 - 38 - 52 - 7

b) (+5)2 = +25

b) +9 h) +25

364. a) 54 = (-5)4 mert 625 = 625 d) 16 = 16 g) 625 > -625

c) -1 i) +1

c) (-1)6 = +1 d) -8 j) +1

d) (-25)3 = -15 625 e) +1 k) +1

f) -32 l) +1

b) (-7)2 > (-5)3 mert 49 > -125 e) 9 > -8 h) 64 > -64

c) 32 > 23 mert 9 > 8 f) 64 > -32 i) 10 000 = 10 000

b) (-8) ◊ 9 = -72

c) 16 ◊ 27 = 432

d) (-64) ◊ (-8) = 512

e) -4 ◊ 9 = -36

f) 1 ◊ (-1) = -1

g) -9 ◊ 125 = -1125

h) 1 ◊ (-32) = -32

i) 4 ◊ (-8) = -32

365.

366.

367. a) 4 ◊ 81 = 324

368. a) -4 ◊ 4 ◊ 25 = -400

b) 4 ◊ (-10) ◊ 4 = -160

c) -27 ◊ 15 ◊ 16 = -6480

d) -4 ◊ 4 ◊ 25 = -400

e) -4 ◊ 9 ◊ 16 = -576

f) 32 ◊ 81 ◊ 1024 = 2 654 208

369. a)

1 2 3 4 5 x - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 x 2 + 2 27 18 11 6 3 2 3 6 11 18 27 x 2 - 5 20 11 4 - 1 - 4 - 5 - 4 - 1 4 11 20

55


b)

D:

x - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 ( x + 2 )2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 ( x - 5)2 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1

A grafikon két egységgel negatív irányba eltolódott az x tengely mentén.

¥: A grafikon az x tengely mentén pozitív irányba öt egységgel eltolódott.

56

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 370. a)

x x2 - x2 - ( - x )2

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 - 25 - 16 - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 25 - 16 - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 16 - 25

A grafikont az x tengelyre tengelyesen tükröztük. A második és harmadik grafikon egybeesik. b)

x x2 - 2 - x2 5 - x2

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 - 27 - 18 - 11 - 6 - 3 - 2 - 3 - 6 - 11 - 18 - 27 - 20 - 11 - 4 1 4 5 4 1 - 4 - 11 - 20

57


D:

A grafikon az x tengelyre való tükrözés után két egységgel eltolódott negatív irányba az y tengely mentén.

¥: A grafikon az x tengelyre való tükrözés után öt egységgel eltolódott az y tengely pozitív irányába.

c)

58

x ( x - 3)2 (3 - x )2

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA

A grafikonok egybeesnek.

d)

1 2 3 4 5 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 x 13 6 1 -2 -3 -2 1 6 13 22 x 2 - 3 22 3 - x 2 - 22 - 13 - 6 - 1 2 3 2 - 1 - 6 - 13 - 22

A pontpárok egymásnak - az x tengelyre való tükrözéssel nyert - tükörképei. e)

x - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 ( x - 5)2 121 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 ( 5 + x )2 1

59


A grafikonok egymás tíz egységre eltolt képei az x tengely mentén. f)

x - ( x + 2 )2 ( x + 2 )2

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

A grafikonok egymás x tengelyre tükrözött képei. 371. a) x = 0, vagy x-5=0Æx=5

60

b) x = 0, vagy x + 3 = 0 Æ x = -3

c) x = 0, vagy x-3=0Æx=3

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 372. a) x1 = 0; x - 3 = 0 Æ x2 = 3; x + 3 = 0 Æ x3 = -3 b) x1 = 0; x - 2 = 0 Æ x2 = 2; x - 3 = 0 Æ x3 = 3; x + 4 = 0 Æ x4 = -4 c) x + 2 = 0 Æ x1 = -2; 3x = 0 Æ x2 = 0; x3 = 3; x4 = -7 d) x1 = 0; x2 = 1; x3 = -2; x4 = 3 373.

6 - 15 0 5 - 15 1 4 12 x 3 13 - 12 - 24 - 5 - 10 9 y x ◊ y 45 - 45 13 - 72 - 96 75 17 - 120

374.

pl.: x 105 0 2 - 16 - 4 0 -6 - 12 y 75 - 4 12 - 52 + 6 - 19 - 12 -2 x ◊ y - 210 150 64 - 48 0 144 0 - 36

375. (-18) : (-6) = (+18) : (+6) = (-42) : (-14) = +3 (-18) : (+6) = (+18) : (-6) = (-42) : (+14) = -3 376. a)

b)

377. a) b) c) d)

100 ◊ - 20 - 32 -4 400 640 - 2000 80 - 20 1000 1600 - 5000 200 - 50 0 0 0 0 0 80 - 2 és fél 50 - 250 10 4 9 ◊ -7 - 12 300 - 25 - 225 - 100 175 144 84 - 12 - 108 - 48 125 1125 500 - 875 - 1500 42 72 - 6 - 54 - 24

+16 +84 -65 -84

378. a) -126

(+16) : (+2) = (+8) (+84) : (+7) = (+12) (-65) : (+13) = (-5) (-84) : (+21) = (-4) b) -330

379. a) pl.: (+45) : (+3) = (+15) (-45) : (-3) = (+15) 380. a) 0+2 0+4 0+8

c) +35

(+16) : (+8) = (+2) (+84) : (+12) = (+7) (-65) : (-5) = (+13) (-84) : (-4) = (+21) d) +72

b) pl.: (-63) : (+7) = (-9) (+63) : (-7) = (-9)

(+12) ◊ (+2)0 = +24 0(+6) ◊ (+4)0 = +24 0(+3) ◊ (+8)0 = +24

b) 0-2 0-4 0-8

c) pl.: 0 : (+8) = 0 0 : (-9) = 0 (+12) ◊ (-2)0 = -24 0(+6) ◊ (-4)0 = -24 0(+3) ◊ (-8)0 = -24

61

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL +24 0(+1) ◊ (+24) = +24 -24 0(+1) ◊ (-24) = -24 -24 0(-1) ◊ (-24) = +24 +24 0(-1) ◊ (+24) = -24 0-6 0(-4) ◊ (-6)0 = +24 0+6 0(-4) ◊ (+6)0 = -24 0-3 0(-8) ◊ (-3)0 = +24 0+3 0(-8) ◊ (+3)0 = -24 Pl.: Soronként az eredmények egymás ellentettjei. Két egyezô elôjelû egész szám hányadosa pozitív. Két különbözô elôjelû egész szám hányadosa negatív. 381. a) (-21)-szerese e) (+3)-szorosa i) (+210)-szerese

b) (+21)-szerese

c) (-10)-szerese

g) (+1)-szerese f) (-3)-szorosa j) nem értelmezhetô

d) (+10)-szerese h) (-1)-szerese

382. a) (-48) : x = -8 b) (-48) : x = +6 x = (-48) : (-8) x = -8 x = +6 ell.: (-48) : (+6) = -8

c) (+48) : x = -8 x = -6

d) (+48) : x = -6 x = -8

383. a) y : (-9) = +4 b) y : (-9) = -6 y = (-9) ◊ (+4) y = +54 y = (-36) ell.: (-36) : (-9) = +4

c) y : (+9) = +4 y = +36

d) y : (-9) = -4 y = +36

384. a) (-72) : (-36) = a a = +2 c) (+72) : (+36) = c c = +2 385.

b) (-72) : (-24) = b b = +3 d) (+72) : (+24) = d d = +3

pl.: x 216 - 216 216 - 216 216 - 216 216 216 4 - 36 - 27 - 6 6 54 8 -9 y 6 -8 36 36 -4 27 - 24 x : y 54

386. a)

6 18 - 12 : -8 72 12 4 - 6 -9 0 0 0 0 0 180 - 22 és fél 30 10 - 15 pl.: 144 24 8 - 12 - 18

b) pl.:

- 3 - 4 18 : 9 216 24 - 72 - 54 12 - 36 - 4 12 +9 -2 18 - 4 * - 72 - 8 24 36 2 4 - 12 - 9

pl.: * A 3. sorból indítsunk! 387. a) (a - 3) : (-4) = 0, ha a = +3

62

b) (a - 3) : (-4) > 0, ha a < +3

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA c) (a - 3) : (-4) < 0, ha a > +3

d) (a - 3) : (-4) £ 0, ha a ¤ +3

e) (a - 3) : (-4) ¤ 0, ha a £ +3 388. x ◊ (-5) = y

y : (-5) = x

x 12 - 6 0 21 5 - 30 0 - 60 y - 60 30 0 - 105 - 25 150 0 300

389. x : (+4) = y

y ◊ (+4) = x

x - 48 96 - 28 60 0 - 96 0 - 120 y - 12 24 - 7 15 0 - 24 0 - 30

390. x : (-23) = y

y ◊ (-23) = x

x - 322 276 529 23 - 529 0 0 - 483 14 - 12 - 23 - 1 23 0 0 21 y

391. a) (-4) : (x - 3) > 0, ha x - 3 < 0; x < 3 b) (-4) : (x - 3) ¤ 0, ha x - 3 < 0; x < 3 c) (-4) : (x - 3) = 0 nincs ilyen x d) (-4) : (x - 3) > 0 értelmetlen, ha x - 3 = 0, azaz x = 3 392. a) (x - 3) : (x - 6) < 0, ha x - 3 > 0 és x - 6 < 0 3 < x < 6, azaz x = 4; x = 5 b) (x - 3) : (x - 6) ¤ 0, ha x - 3 ¤ 0 és x - 6 > 0, azaz x > 6, illetve x - 3 £ 0 és x - 6 < 0, azaz x £ 3 c) (x - 3) : (x - 6) = 0, ha x - 3 = 0. azaz x = 3 d) (x - 3) : (x - 6) értelmetlen, ha x - 6 = 0, azaz x = 6 393. a) 72 ◊ (-2) = -144-szerese

b) 72 ◊ (-1) = -72-szerese

c) -1 ◊ 36 = -36-szorosa

d) 72 ◊ 4 = 288-szorosa

e) -72 ◊ 36 = -2592-szerese

f) nem értelmezhetô, mert 0-t szorozva mindig 0 a szorzat.

394. a) -2-szerese d) -1-szerese 395. a) -6 < -5 1-gyel

396. a) -6 < +3

( -2 )-szeres

b) -4-szerese

c) -2-szerese

3

e) (-2) ◊ 3 = -24-szerese

f) 22 ◊ 7 = 28-szorosa

b) +5 > -5

d) -12 > -11

c) +6 > -9

10-zel

b) +6 > +3

( +2 )-szeres

397. Ellenôrzés a) (-125) ◊ (-32) = 4000 c) (-664) ◊ (+3) = -1992

1-gyel

15-tel

c) -12 < +12 ( -1)-szeres

d)

+10 < +25

(két és félszeres)

b) 589 ◊ (-15) = -8835 d) (-50) ◊ (+80) = -40 000

63

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 398. a) 123

b) -5005

c) -400

d) 1992

e) -27 350

f) -4587

Ï144 : ( -2) = -72 399. a) Ì Ó - 24 - 48 = -72

b) -48 : (-6) = +8

c) 80 : (-8) = -10

Ï - 42 : ( +6) = -7 d) Ì Ó - 16 + 9 = -7

Ï - 6 : ( -3) = +2 e) Ì Ó + 4 - 2 = +2

Ï99 : ( -11) = -9 f) Ì Ó - 11 + 2 = -9

Ï10 : ( +5) = +2 g) Ì Ó - 3 + 5 = +2

Ï105 : ( -15) = -7 h) Ì Ó - 12 + 5 = -7

i) 0 : (+9) = 0

Ï0 : ( -7) = 0 k) Ì l) -15 : (+5) = -3 Ó 7-7 = 0 Ha az összeg tagjai oszthatók a számmal, akkor a tagok hányadosainak összegeként is kiszámíthatjuk az eredményt.

j) 20 : (-5) = -4

400. A(-16; -8); B(6; 0); C(+2; +12) a) A'(+8; -8); B'(-3; 0); C'(-1; +12)

b) A''(-16; 4); B''(6; 0); C''(+2; -6)

c) A'''(-8; -4); B'''(3; 0); C'''(+1; +6) d) A*(-8; +2); B*(3; 0); C*(+1; -3) Az eredeti és a c) feladatrészben szereplô háromszögek hasonlóak. A hasonlóság aránya 2 : 1.

64

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 401. (-432) : (+24) = (-18) a) (-864) : (+24) = (-36)

1 megoldás

b) (-432) : (+8) = (-54)

1 megoldás

c) pl.

(-864) : ( +8) = (-108)¸ ( +864) : (-8) = (-108)Ô végtelen sok megoldás Ô (-1296) : ( +12 ) = (-108)˝ Az osztandót 6n - szeresre, ( +1296) : (-12 ) = (-108)Ô az osztót n - szeresre változtatjuk. (-10 368) : ( +96) = -108 Ô˛

402. (-432) : (+24) = (-18) a) (-216) : (+24) = (-9)

1 megoldás

b) (-432) : (+72) = (-6)

1 megoldás

c) pl.

( -144) : ( +48) = ( -3)¸ ( +144) : ( -48) = ( -3)Ô végtelen sok megoldás Ô ( -216) : ( +72) = ( -3)˝ Az osztandót n - szeresre, ( +216) : ( -72) = ( -3)Ô az osztót 6 n - szeresre változtatjuk. ( -864) : ( +288) = ( -3)Ô˛

403. (-432) : (+24) = (-18) a) pl.: (-432) : (-24) = (+18) pl.: (+432) : (+24) = (+18) c) pl.: (+864) : (+24) = (+36) pl.: (-432) : (-12) = (+36)

e) pl.: (-864) : (-48) = 18 pl.: (-864) : (+48) = -18

b) pl.: (+432) : (-24) = (-18) d) pl.: (+144) : (+24) = (+6) pl.: (-144) : (-24) = (+6) pl.: (+432) : (+72) = (+6) pl.: (-432) : (-72) = (+6) pl.: (+864) : (+144) = (+6) Végtelen sok megoldás van minden esetben.

404.

405. a)

b)

406. a) x = -7

175 : (-7) = -25 x = 128 ( -1024) : ( +128) = -8 > -16 b) x > 64 vagy x < 0 pl.: · x = -2 ( -1024) : ( -2) = 512 > -16

65

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL c) x = +7

(+7) ◊ (-200) = -1400

d) x £ -14 pl. x = -20 e) x = -16

(-20) ◊ (-5) = +100 > +70

(-16 + 6) ◊ (-4) = (-10) ◊ (-4) = 40

f) x > 16 pl. x = 20 (20 - 6) ◊ (-4) = 14 ◊ (-4) = -56 < -40 Negatív számok közül az a kisebb, amelyiknek az abszolút értéke nagyobb. 407. a) Ω-7Ω = 7

b) Ω-9Ω = 9

c) Ω+17Ω = 17

408. a) Ω-60Ω-Ω-40Ω= 20

b) (-50) :Ω-50Ω= -1

c) Ω+66Ω: (-66) = -1 409.

x - 12 - 9 - 6 y

+3

4

6

d) a hányados nem egész szám 18

0

x +3 -3 +9 -4 +6 y - 12 12 - 4 + 9 - 6

x ◊ y = -36

x = (-36) : y

a) y > 0, ha -36 £ x < 0

66

+4

-2 -9

0

12

- 1 - 36

- 3 36

1

1

36

- 36 - 1

- 18

2

-2

2

- 18

18

18 értékpár y = (-36) : x b) 0 < y < 9, ha -36 £ x < -4

y < -2, ha 0 < x < 18

-4 £ y £ +6, ha

y = 0 ilyen x érték nincs

-36 £ x £ -6 és 9 £ x £ 36

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA

410. a) x ◊ y = 21 x 1 3 7 21 -1 -3 -7 -21 y 21 7 3 1 - 21 - 7 - 3 - 1 (1) (1) (1) (2)

8 értékpár

y > 0, ha x > 0 y < -2, ha x eleme a {-1; -3; -7}-nak y = 0, ilyen x nincs 0 < y < 9, ha x eleme a {3; 7; 21}-nak

(1) -4 £ y £ 6, ha x eleme a {-7; -21}-nak, vagy x eleme a {7; 21}-nak b) x ◊ y = -37 x 1 37 -1 -37 4 értékpár y 37 1 - 37 - 1 c) x ◊ y = -72; 24 értékpár 411. a) x = -1 412.

413.

( x + y) : ( x - y)

b) x = 0

d) x ◊ y = 120; 32 értékpár c) x = 1 vagy x = -1

d) x = 1 vagy x = -1

32 : 8 0 : ( -40 ) ( -4) : ( -4) 16 : 0 ( -16) : 0 5 : ( -5) 30 : 2 30 : ( -2) 4 0 1 -1 15 - 15

x - 6 - 4 - 2 0 8; - 8 12 12; - 12 y 18 8 32 - 32 72 2 0 72

67


414.

52 : ( -2 ) 40 : ( -8)

( 415.

)

x 2 + y 2 : ( x + y)

(x

2

)

- y 2 : ( x - y)

- 26

-5

100 : 14

8:0

52 : ( -10)

58 : 4

9 : ( -3) 25 : 1

nem egész nincs ért. nem egész 14 és fél

-3

25

0 : 16 ( -32) : 4 ( -28) : ( -2) 0 : ( -4) ( -20) : 2 ( -40) : ( -10) ( -9) : 3 0 : 0 0 -8 14 0 - 10 4 -3

416. x : 4 = -12; x = -48 417. x : (-3) = +27; x = -81 418. x 2 =

x ; x=0 2

5ˆ Ê 419. x ◊ (-4) > +5 Á x < - ˜ . A (-1)-nél kisebb egész számok. Ë 4¯

420. x ◊ (-5) £ +15 x ¤ -3 421.

x 1 2 3 6 7 14 21 42 - 1 - 2 - 3 - 6 - 7 - 14 - 21 - 42 y - 42 - 21 - 14 - 7 - 6 - 3 - 2 - 1 42 21 14 7 6 3 2 1

422. A két tényezô megegyezô elôjelû. 423. A négyzetszám mindig nem negatív, így ellentettje 0 vagy negatív. A kéttényezôs szorzat akkor negatív, ha a tényezôk ellentétes elôjelüek. 424. Hétfô: -10 ºC, kedd: -5 ºC, szerda: 2 ºC. 425. a) -4

b) 0

c) 0

d) 4

c) (-3)4 = 81

d) -1

g) 1

h) (-43) = -64

i) -1

b) -5 > -25

c) 16 > -16

d) 1 = 1

426. a) (-3)3 = -27 b) -5 f) (-5)2 = 25 427. a) 1 = 1

e) (-3)6 = 729

e) -5 > -25

f) -27 < 9 428. a) 25 : 5 = 5

b) (-7)3 : 72 = -7c) 9 : 1 = 9

d) 9 : (-1) = -9

429. 72 : (-1) = -49 < [7 : (-1)]2 = 49 430. (-35)2 : (-7)2 = 25 = [(-35) : (-7)]2 = 25 431. a) 5 - 12 = -7

b) 16 - 27 = -11

c) 9 - 8 = 1

d) 4 - 18 = -14

432. a) 5 ◊ (-8) = -40

b) 8 + 4 = 12

c) 6 ◊ 4 = 24

d) 12 + 32 = 44

433. a) 16 - (-14) = 30

b) 5 - 5 = 0

c) 8 : (-4) = -2

d) 8 : (-8) = -1

68

EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA, OSZTÁSA 434. Az egyik szám: x + 4¸ ˝ összegük: 66 A másik szám: x ˛ (x + 4) + x = 66; x = 31; x + 4 = 35 31 + 35 = 66 A két szám: 35; 31. 435. A két szám: 32; 29. 436. A két szám: 16; 24. 437. Elsô szám: x ¸ Ô Második szám: 2 x ˝ összegük: 81 Harmadik szám: 4 x - 3Ô˛ x + 2x + (4x - 3) = 81; x = 12; 2x = 24; 4x - 3 = 45 Ell.: 12 + 24 + 45 = 81 A három szám: 12; 24; 45. 438. Kisebb szám: Nagyobb szám:

x 20 - x

3x - 4 > 2 ◊ (20 - x )

3x - 5 = 2(20 - x )

1-gyel

A kisebb szám: 9, a nagyobb: 11. Ell.: 3 ◊ 9 - 4 = 23 > 2 ◊ 11 = 22 1-gyel

439. A számok: 3; 5. 440. a) (112 - 32) : 10 > (-2) ◊ x b) -4

-4 < x

A (-4)-nél nagyobb egész számokra igaz.

c) A (-4)-nél nem nagyobb egész számokra igaz.

441. pl.: (-5 + 5) : (-3) = 0 Minden egész számra igaz, mert a szám és ellentettjének összege mindig 0, így 0 : (-3) = 0. 442. A 441. feladatban leírtak miatt nincs ilyen egész, mert 0 : (-3) π -3. 443. pl.: [-5 - (+5)] : 2 = (-10) : 2 = -5 Minden egész számra igaz. 444. [x - (-x)] : (-4) > 0; 2x < 0; x < 0 A negatív számok mind ilyenek. 445. x + 2x + (2x - 3) = 42; x = 9. A számok: 9; 18; 15. 446. A számok: 21; 44; 58. 447. Az egymást követô egész számok: x - 1; x; x + 1. Így 3x = 78; x = 26; x - 1 = 25; x + 1 = 27. A három egész szám: 25; 26; 27. 448. A három egész szám: -28; -29; -30.

69

MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL 449. A három egymást követô páros szám: x - 2; x; x + 2. 5 ◊ ( x - 2) > 4 ◊ ( x + 2) 5-tel

5 ◊ ( x - 2) - 5 = 4 ◊ ( x + 2)

x = 23 nem páros. Nincs megoldása a feladatnak páros számokra. 450. A három szám: 19; 21; 23. Nem párosak. 451. A három szám: 10; 12; 14. Nem páratlanok. 452. A három szám:6; 8; 10. Nem páratlanok. 453. A három páros szám: 10; 12; 14. 454. A három páratlan szám: 3; 5; 7.

70

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL Törtek összehasonlítása. Bôvítés, egyszerûsítés 455. a) c) e) g) i)

8 megoldás: 0; 1; 2; ...; 7 16 megoldás: 0; 1; 2; ...; 15 4 megoldás: 0; 1; 2; 3 végtelen sok: 4; 5; ... végtelen sok: 22; 23; ...

b) d) f) h) j)

3 megoldás: 0; 1; 2 21 megoldás: 0; 1; 2; ...; 20 végtelen sok: 9; 10; ... végtelen sok: 17; 18; ... végtelen sok: 5; 6; ...

456. a) c) e) g) i)

végtelen sok: 8; 9; ... végtelen sok: 21; 22; ... végtelen sok: 33; 34; ... 10 megoldás: 10; 9; ...; 1 15 megoldás: 15; 14; ...; 1

b) d) f) h) j)

végtelen sok: 12; 13; ... végtelen sok: 17; 18; ... 6 megoldás: 6; 5; 4; 3; 2; 1 19 megoldás: 19; 18; ...; 1 31 megoldás: 31; 30; ...; 1

457. a) ª =

1 4

b) ª =

3 5

c) ª =

3 7

d) ª =

4 9

458. a) ª =

7 10

b) ª =

1 7

c) ª =

5 3

d) ª =

2 7

459. a) ª =

4 11

b) ª =

3 4

c) ª =

7 40

d) ª =

3 25

460. a) ª =

4 15

b) ª =

5 9

c) ª =

2 5

d) ª =

3 8

1 2 3 4 5 10 = = = = = = ... 2 4 6 8 10 20 1 2 4 8 10 40 = = = = = = ... pl.: l) 25 50 100 200 250 1000 Ugyanazzal a pozitív egész számmal szorozzuk a számlálót és a nevezôt.

461. pl.: a)

462. pl.: d)

7 14 28 35 70 210 = = = = = = ... 6 12 24 30 60 180

463. A törteket bôvítjük, ha a tört számlálóját és nevezôjét ugyanazzal az egész számmal (nem nullával) szorozzuk. a) 20 b) 36 c) 12 d) 33 e) 6 f) 15

68

TÖRTEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. BÔVÍTÉS, EGYSZERÛSÍTÉS g) 18 m) 27 s) 4 464. a) g) m) s)

24 12 33 49

h) 24 n) 42 t) 14

i) 20 o) 24

j) 12 p) 40

k) 25 q) 27

l) 40 r) 36

16 21 28 35

c) 36 i) 24 o) 54

d) 81 j) 12 p) 18

e) 40 k) 25 q) 35

f) 90 l) 16 r) 12

d) 300 j) 192 p) 396

e) 84 k) 264 q) 231

f) 45 l) 315 r) 308

b) h) n) t)

465. a) 24 g) 96 m) 182

b) 144 h) 715 n) 169

c) 180 i) 240 o) 225 66 99 = = ... t) pl.: 56 84

s) 224

466. A páratlan számlálót 4 többszöröseivel szorozva, a páros számlálót 2 többszöröseivel szorozva végtelen sok megoldást találunk. 12 12 4 12 4 12 4 20 44 28 ; ; ; ; ; ; ; ; b) pl.: a) 28 28 8 24 10 30 18 30 128 34 467. a)

6 10 3 9 8 2 14 16 20 22 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

b) 1 1

1

2 3 5

7

4

5

11

6 4

2

3 4 6

6

3

3

6

1 1 1 2 3 5 7 4 5 11 < < < < < < < < < c) 6 4 2 3 4 6 6 3 3 6

468. a)

6 15 4 21 10 12 8 20 3 14 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

b) 1 2

1

4

5

2

7 5

10 7

6 9

3

9

9

3

9 6

9 6

7 10 5 7 2 5 4 1 2 1 > > > > > > > > > c) 6 9 6 9 3 9 9 3 9 6

469. a)

1 1 1 1 2 ; ; ; ; 2 3 3 4 5

b)

3 3 2 3 2 ; ; ; ; 7 4 3 5 3

c)

4 2 2 3 5 ; ; ; ; 5 3 5 8 8

d)

3 2 6 3 11 ; ; ; ; 7 3 7 5 5

2 2 1 1 14 91 13 11 21 11 7 ; ; ; ; = ; ; ; ; b) 3 3 4 4 15 133 19 15 23 21 30 A számláló és a nevezô relatív prímek.

470. a)

471. a)

1 2 4 5 10 20 20 10 5 4 2 1

b)

1 2 4 8 16 32 64 64 32 16 8 4 2 1

69

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 1 5 10 20 25 50 100 100 20 10 5 4 2 1

c) d) pl.:

5 10 20 70 140 28 14 7 2 1

(10 értékpár)

e) pl.:

1 5 10 15 25 30 50 150 30 15 10 6 5 3

(12 értékpár)

f) pl.:

1 2 3 4 6 12 36 60 180 90 60 45 30 15 5 3

(16 értékpár)

2 3 < 7 7 4 2 6 < = e) 9 3 9 4 6 3 > = i) 5 10 5

472. a)

1 1 < 5 3 13 26 = e) 25 50 3 21 21 = > i) 7 49 50

473. a)

474. a)

4 2 > 3 3 6 3 7 = < f) 10 5 10 18 6 19 = < j) 27 9 27

3 3 < 3 3 6 3 5 = > g) 8 4 8 18 6 19 = < k) 15 5 15

3 3 > 4 5 17 1 21 = = f) 34 2 42 8 24 24 = < j) 9 27 26

2 2 > 7 9 12 13 <1< g) 23 12 12 24 24 = < k) 14 28 26

b)

b)

1 3

1 4 = 2 8

5 8 < 7 7 9 3 = h) 6 2 14 7 21 = < l) 6 3 6

c)

d)

c)

2 3 3 4

6 4

5 3

9 5

6 3

3 3 < 5 2 35 72 <1< h) 48 55 118 119 < l) 19 18

d)

1 1 4 2 3 6 5 < = < < < < 3 2 8 3 4 4 3

b)

1 2 = 2 4

3 4 4 5

3 2

1 2 3 4 3 9 6 = < < < < < 2 4 4 5 2 5 3

c) -

5 5

-

5 1 3 7 7 4 <- < < < < 5 3 15 21 6 3

-

1 3

3 15

7 21

7 6

d) -

-

70

3 2

3 1 3 5 3 5 6 <- < < < < < 2 4 8 8 4 4 3

-

1 4

3 8

5 3 8 4

5 4

TÖRTEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA. BÔVÍTÉS, EGYSZERÛSÍTÉS 475. a) -

1 4

2 3

2 6 3 8

4 3

4 6 2 1 2 4 3 > > > >- >- >3 8 3 4 3 3 2

b) -

3 2

-

2 3

-

1 3

1 3

5 6

8 6

5 3

5 8 5 1 1 2 3 > > > >- >- >3 6 6 3 3 3 2

c)

5 4

-

-

1 2

6 8

2 3 5 3 4 6

5 3 2 1 6 5 4 > > > >- >- >6 4 3 2 8 4 2

d) -

6 12 3 = = 14 28 7

3 5 7 14

8 14

5 7

5 8 3 6 12 5 3 > > = = >- >7 14 7 14 28 14 7

476. a) -

b)

5 3

3 4

9 5

3 8

3 7

-

9 2

9 5

7 10

-

4 3

3 3 7 5 9 < < < < 4 8 10 3 5

477. a)

2 5

-

-

3 2

3 4 5 2 4 > > > >2 3 8 5 3

9 3 5 4 9 < < < < 5 7 6 3 2

b)

4 3

-

4 3 5 8

5 6

-

4 3

1 2

1 2

1 3 4 5

4 4 1 1 1 > > >- >3 5 2 3 2

71

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 478. a) -

b)

5 4

5 2

3 5

9 2

9 4

5 3

5 6

-

4 10

-

9 5 3 4 5 > > > >2 4 5 10 2

3 4

4 3

9 5 5 3 4 > > >- >4 3 6 4 3

479. a)

2 1 >3 2

b) -

3 1 < 4 2

c) -

5 1 <3 2

d)

4 > -1 3

e)

3 4 >2 2

f) -

4 7 >5 2

g) -

3 5 >5 3

h)

1 3 >4 2

i)

3 15 2 14 = > = 7 35 5 35

Törtek összeadása, kivonása 2 3 2 1 = f) 6 3

480. a)

3 4 4 1 = g) 8 2

b)

2 5 2 1 = h) 4 2

c)

2 7 3 1 = i) 9 3

d)

e)

2 =1 2

481. Az összeg számlálója a számlálók összege lesz, az összeg nevezôje megegyezik a tagok nevezôjével. 7 12 1 18 4 10 6 1 =1 =1 =1 =2 =1 b) c) d) e) a) 2 5 2 7 8 10 5 4 16 1 =1 f) 12 3 482. Különbözô nevezôjû törteket az összeadás elôtt azonos nevezôjûvé alakítjuk (egyszerûsítéssel vagy bôvítéssel), majd az egyenlô nevezôjû törtekkel elvégezzük az összeadást. 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 + = + = = + = b) c) a) 4 4 4 6 6 6 2 8 8 8 1 3 4 2 5 9 14 7 1 7 15 22 1 + = = + = = =1 + = =1 d) e) f) 6 6 6 3 12 12 12 6 6 20 20 20 10

72

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 4 3 7 2 + = =1 5 5 5 5 15 4 19 + = j) 20 20 20

g)

20 + 9 29 = 48 48 8 + 15 23 = d) 50 50 21 + 20 41 = g) 96 96

483. a)

3 55 58 7 + = =2 22 22 22 11 9 10 19 7 + = =1 k) 12 12 12 12

h)

12 + 10 22 = 45 45 28 + 15 43 = e) 48 48 12 + 10 22 = h) 45 45

b)

484. Az összeadásban a tagok felcserélhetôk. 3 6 1 =1 =1 b) a) 3 5 5 11 9 20 2 3 + 20 23 + = =1 = d) e) 12 12 12 3 35 35 210 + 288 498 23 39 + 34 73 = =1 = g) h) 360 360 60 84 84 485. a) d) g) j) m) p)

7 15 1 =1 b) 8 10 2 17 1 10 1 =1 =1 e) 16 16 9 9 10 2 48 2 =1 =2 h) 6 3 20 5 9 1 16 1 =1 =1 k) 2 15 6 15 16 1 35 9 254 1 =1 + = = 18 n) 3 7 12 2 14 14 1 2 60 + 120 180 + = 1 vagy = =1 3 3 180 180

16 1 =1 15 15 17 3 =1 d) 14 14 10 2 = g) 15 3 21 1 =1 j) 18 6

486. a)

11 15 27 7 =1 e) 20 20 3 1 = h) 6 2 36 6 = k) 42 7

b)

12 10 22 7 + = =1 15 15 15 15 7 50 57 + = l) 70 70 70

i)

9 + 8 17 = 60 60 27 + 20 47 = f) 72 72

c)

4 5 9 1 + = =1 6 6 6 2 21 + 44 65 = f) 144 144

c)

c) f) i) l) o)

14 2 = 21 3 13 1 =1 12 12 21 1 =1 14 2 15 1 =1 4 12 2 2 14 + 2 16 + = = 5 35 35 35

17 5 =1 12 12 7 1 = f) 14 2 4 3 25 1 + = =2 i) 3 4 12 12 10 2 = l) 15 3

c)

73

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 487. a)

a b

b)

a b

488. a)

a b

b)

a b

3 4 7 4

2 3 5 3

3 5 8 5

7 8 15 8

4 3 1 3

7 4 3 4

7 5 2 5

23 15 8 15

3 2

1 4 3 4

3 10 4 5

−

2 4 5 3 10

6 7 5 14

5 4 3 4

7 10 17 10

2 9 7 9

3 11 14 11

1 2 1 − 2

3 5 2 − 5

−

1 8 3 8

2 7 11 14

1 6 4 6

17 18 4 9

1 2

1 3 1 − 6

0

11 5 5 7 6 12 − 7 5

−

15 8 7 8 4 6 7 6

10 7 3 7

6 5 1 5

b=a-1

5 6 4 3

5 8 9 8

17 14 5 7

b=a+1

7 9 5 18

5 6 1 3

489. Az összeadásban a tagok csoportosíthatók. 7 2 9 4 12 8 20 + = =1 b) + = =2 a) 5 5 5 5 10 10 10 4 3 17 20 4 +1 =1 + = =2 5 10 10 10 5 11 7 29 55 11 253 13 d) + = =1 e) + = 8 16 16 96 36 288 16 5 19 29 7 169 253 13 + = =1 + = 8 16 16 24 288 288 16 g)

14 20 34 17 + = = 48 48 48 24 5 29 34 17 + = = 48 48 48 24

b=a+

1 2

b = a-

1 2

7 2 37 13 + = =1 8 3 24 24 18 19 37 13 + = =1 24 24 24 24 31 13 119 f) + = 40 60 120 18 101 119 + = 120 120 120

c)

1 Ê 2 5 ˆ 1 19 2 21 h) Á + ˜ + = + = =3 Ë 3 2¯ 3 6 6 6 2 2 Ê 5 1ˆ 2 1 1 1 +Á + ˜ = +2 + =3 3 Ë 2 3¯ 3 2 3 2

Ê 385 513 ˆ 13 898 13 1796 + 1365 3161 i) Á + = + = = ˜+ Ë 945 945 ¯ 18 945 18 1890 1890 11 Ê 342 455 ˆ 11 797 770 + 2391 3161 1271 +Á + + = = =1 ˜= 27 Ë 630 630 ¯ 27 630 1890 1890 1890

490. a)

74

5 1 =1 4 4

b)

6 1 =1 5 5

c)

7 =1 7

d)

15 1 =1 10 2

e)

9 =3 3

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 6 1 =1 4 2 23 8 k) =1 15 15

f)

10 =2 5 18 1 l) =1 12 2

g)

Ê 2 1ˆ Ê 1 491. a) Á + ˜ + Á + Ë 3 3¯ Ë 5

4ˆ ˜ =2 5¯

Ê 4 1ˆ Ê 2 c) Á + ˜ + Á + Ë 6 3 ¯ Ë 10

g)

1 1 +1 =1 2 2

4ˆ ˜ =2 5¯

h) 2

9 10 18 1 m) =1 12 2

h)

11 5 =1 6 6 14 2 n) =1 10 5

i)

12 =2 6 16 3 o) =1 10 5

j)

Ê 4 5ˆ Ê 1 6 ˆ b) Á + ˜ + Á + ˜ = 2 Ë 9 9¯ Ë 7 7¯

d) 2

e) 2

f) 2

i) 2

j) 2

k) 2

8 8 Ê 3 4ˆ Ê 1 4ˆ l) Á + ˜ + Á + ˜ = 1 + 1 = 2 Ë 7 5¯ Ë 5 5¯ 35 35 3 Ê 13 3 ˆ Ê 12 23 ˆ 34 492. a) Á + ˜ + Á + ˜ = +1 = 2 Ë 28 4 ¯ Ë 35 35 ¯ 28 14 1 Ê 9 10 13 ˆ 1 b) Á + + ˜+ =2 Ë 16 16 16 ¯ 4 4 2 2 14 + 6 20 Ê 2 13 ˆ c) Á + ˜ + 2 + = 3 + =3 Ë 15 15 ¯ 3 7 21 21 4 ˆ Ê 7 15 ˆ 1 22 28 1 Ê 3 d) Á + ˜ + Á + ˜ = + = =2 Ë 14 14 ¯ Ë 12 12 ¯ 2 12 12 3 6 ˆ 34 17 Ê 7 27 ˆ Ê 4 e) Á + ˜ + Á + ˜ = +1 = 1 Ë 48 48 ¯ Ë 10 10 ¯ 48 24

21 1 Ê 7 11 ˆ Ê 3 18 ˆ f) Á + ˜ + Á =1 + ˜ = 1+ Ë 18 18 ¯ Ë 42 42 ¯ 2 42 3 Ê 5 21 ˆ Ê 13 4 ˆ 13 1 20 g) Á + ˜ + Á + ˜ = + = =1 Ë 28 28 ¯ Ë 34 34 ¯ 14 2 14 7 1 Ê 2 3 1 ˆ 1 4 + 15 + 1 1 20 1 h) Á + + ˜ + = + = + =2 Ë 5 2 10 ¯ 5 10 5 10 5 5 Ê 19 17 ˆ Ê 1 13 ˆ i) Á + ˜ + Á + ˜ = 2 Ë 36 36 ¯ Ë 14 14 ¯ 63 ˆ 24 102 168 + 102 270 4 Ê 8 16 ˆ Ê 39 j) Á + ˜ + Á + + = = =2 ˜= Ë 15 15 ¯ Ë 105 105 ¯ 15 105 105 105 7 2 Ê 106 13 25 ˆ 2 144 2 k) Á + + ˜+ = + =4 Ë 36 36 36 ¯ 9 36 9 9

l)

2 3 15 2 2 12 + 15 + 8 2 5 8 + 75 83 23 + + + = + = + = = =1 15 7 28 7 15 28 15 4 60 60 60

75

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL Ê 1 1ˆ Ê 1 3ˆ 493. a) (1 + 2) + Á + ˜ + Á + ˜ = 5 Ë 2 2¯ Ë 4 4¯ 2ˆ 1 1 1 Ê 1 b) Á 3 + 1 ˜ + 2 = 5 + 2 = 7 Ë 3 ¯ 3 2 2 2 1ˆ Ê 3 3ˆ 1 1 Ê 4 c) Á1 + 1 ˜ + Á 2 + 1 ˜ = 3 + 4 = 7 Ë 5 5¯ Ë 4 4¯ 2 2

d) 10

1 2 3 1+ 2 + 3 + 2 + 7 = 19 + = 20 6 6 6 6

3 3 2ˆ Ê 2 3ˆ Ê 1 494. a) Á1 + 3 ˜ + Á 2 + 1 ˜ = 4 + 4 = 8 Ë 4 4 4¯ Ë 5 5¯ 4

b) 10

1 4

h) 30 n) 3

c) 9

1 7

i) 16

d) 5

18 35

j) 17

17 20

e) 7

9 10

k) 100

f) 6

1 4

l) 10

g) 8

m) 10

31 42

495. a)

4 6 7 8 9 11 ; 1; ; ; ; ; 2; 5 5 5 5 5 5

b)

3 5 9 11 13 15 17 ; ; 1; ; ; ; ; 7 7 7 7 7 7 7

c)

1 5 7 11 13 ; 1; ; ; 3; ; ; 5 3 3 3 3 3

d)

2 5 8 11 14 17 20 23 ; ; ; ; ; ; ; 9 9 9 9 9 9 9 9

e)

2 5 8 11 14 17 20 23 ; ; ; ; ; ; ; 10 10 10 10 10 10 10 10

f)

11 15 23 27 31 35 39 ; ; 1; ; ; ; ; 19 19 19 19 19 19 19

1 1 4 3 1 2 7 ; ; ; 1 ; 1 ; 1 ; 2; 2 10 5 2 5 10 5 10

496. a) b)

1 2 3 4 5 6 8 9 10 ; ; ; ; ; ; 1; ; ; 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

c) -

1 3 7 11 3 19 23 27 31 35 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 10 10 10 10 2 10 10 10 10 10

1 2 5 14 20 35 44 d) - ; 0; ; ; 3; ; ; 9; ; 3 3 3 3 3 3 3

76

13 56 22 45

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 497. a)

2 4

b)

5 4

11 4

7 2

3

3 1 = 9 3 2 1 f) = 4 2

2 15 1 f) 6 7 k) 15

6 8

9 2

9 4

3 2

5 4

1 2

2 1 = 4 2 7 f) x = 24

498. a) x =

500. a)

d)

1 2

3

7 4

13 4

1 4

3 4

499. a)

5 2

17 4

c)

2

2 8

b) x =

5 =1 5

15 4

c) x =

4 7

2 1 = 8 4 6 g) =2 3

5 7 7 h) =1 7

1 8 1 g) 2 19 l) 36

5 1 = 10 2 2 h) 15

b)

b)

c)

c)

d) x =

d)

5 8

4 2 = 6 3

15 3 = 10 4 5 i) 14

d)

e) x =

e)

1 9

6 3 = 8 4

1 6 11 1 j) =1 10 10

e)

77


7 15

Ell.:

1 18 17 i) 45

d) -

7 1 7 5 12 + = + = = 15 3 15 15 15 14 e) f) 45 1 j) k) 36

4 5 1 36 11 24

31 10 =1 21 21 13 g) 75 11 l) 24

17 40 17 5 h) =1 12 12

b)

c)

502. A különbség nem változik, ha a kisebbítendô és a kivonandó ugyanannyival változik. 1 1 1 1 1 b) c) d) e) 1 a) 10 2 2 4 3 5 1 13 f) g) h) 8 6 32 503. Amennyivel változik a kisebbítendô, ugyanannyival változik a különbség (változatlan kivonandó esetén). 271 275 7 3 11 16 5 1 7 b) c) d) ;; ; = ; a) 240 240 40 40 15 15 20 4 20 504. a)

3 3 3 3 Ê 3 3 ˆ Ê 12 3 ˆ 9 9 + - - =Á - ˜ +Á - ˜ = 0+ = 8 4 16 8 Ë 8 8 ¯ Ë 16 16 ¯ 16 16

1 1 5 - =9 4 36 g) 2 - 1 = 1

1 1 +1 =1 2 2 h) 0

c)

505. a)

6 7

1 2 1 g) 5

b)

f) 8

506. a) 3

1 2

f) 0

507. a) 0 f)

508. a)

78

2 15

g) 1

22 11 = 24 12

509. a) -

25 42 5 g) 2 6

b) 1

b)

1 2

7 1 =28 4

e) 2 - 1 = 1

d)

c) 1

d)

1 9

b)

2 2 +1 =1 5 5

f)

4 2 - =0 16 8

e) 4

h) 1 31 1 =1 30 30 1 h) 14

c)

d) 1

c) 0

d) 0

h)

89 170

i)

1 3

5 26

b) -

88 18 = -2 35 35

c)

52 4 =1 36 9

b) -

15 1 =30 2

c)

61 13 =3 16 16

e) 0

e) 0 j) 1

8 15

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 1 36 29 e) - 2 56

37 7 = -1 30 30 14 f) 15

510. a) -

511. a) -

5 6

b) -

b) -1

1 4

h)

11 24

512. a) 1

b)

5 8

g)

22 45

5 12 14 i) 15

c) -

c) 1

1 2

c) g)

91 19 = -3 24 24

d) -

451 91 = -3 120 120

3 14

d) -1 j)

13 24

d)

9 10

7 24

13 36 5 l) 9

1 56 3 k) 8

f) -

e)

e) 4

7 54

f) 6

11 24

Tört szorzása természetes számmal 5 20 10 1 ◊4 = = =3 6 6 3 3 1 e) 8 f) 2 2 1 1 k) 4 l) 10 2 2

513. a)

2 =1 2 15 g) =3 5

514. a)

4 =1 4 28 h) =4 7

b)

b)

45 6 =3 13 13

g) 12 m) 15

h) 4 3 4

7 =1 7 42 i) =7 6

c)

77 1 d) 14 =5 14 2 2 1 i) 10 j) 6 3 8 2 o) 2 p) 8 3

c)

n) 24

d)

3 =1 3

j) 2

e) 1

f) 1

k) 3

l) 9

3 2 10 10 5 5 5 b) ; ; c) 2; 1; 1 d) ; 3; 3 ; ; 2 3 3 3 2 2 2 Ha az egyik tényezô kétszeresére nô, a másik változatlan, akkor a szorzat kétszeresére nô. Ha az egyik tényezô felére csökken, a másik változatlan, a szorzat is felére csökken. Ha az egyik tényezô kétszeresére nô, a másik felére csökken, a szorzat változatlan.

515. a)

516. a)

8 8 24 ; = 3 3 9

517. a)

4 2 4 4 ◊ 5 = ◊ 10 = ◊ 15 = ◊ 15 9 3 3 9

b)

30 30 15 ; = 7 14 7

c) 8; 4 = 4

d)

18 18 9 ; = 8 8 4

3 3 1 3 ◊3 = ◊ x = ◊9 = ◊6 x nem természetes szám 16 8 4 8 c) nevezô: 14; szorzó: 1; számláló: 12.

b)

79

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 518. Minden változtatásra csak példát adunk: 3 15 6 30 3 15 3 30 10 5 5 30 3 b) ◊ 5 = ; ◊ 5 = ; ◊ 5 = ; ◊ 10 = ◊3 = ◊3 = ◊6 = =3 a) 4 4 4 4 2 2 4 4 8 4 8 8 4 14 7 7 42 1 10 5 5 30 c) d) ◊3 = ◊3 = ◊ 6 = =4 ◊3 = ◊3 = ◊ 6 = =5 10 5 10 10 5 6 3 6 6 14 28 7 70 1 18 9 9 126 1 e) f) ◊5 = ◊ 5 = ◊ 10 = = 23 ◊ 7 = ◊ 7 = ◊ 14 = = 31 3 6 3 3 3 4 2 4 4 2 10 5 5 110 3 1 g) h) 1 ◊ 6 = ◊12 = 6 ◊ 11 = ◊ 11 = ◊ 22 = = 13 8 4 8 8 4 2 519. Minden változtatásra csak példát adunk: 3 6 12 2 4 8 b) ◊4 = ◊2 = =2 ◊6 = ◊3 = 8 a) 5 5 5 5 3 3 4 8 24 4 5 5 20 2 d) e) ◊6 = ◊3 = =4 ◊8 = ◊ 4 = =2 5 5 5 5 18 9 9 9 6 12 36 2 1 2 14 3 g) ◊ 6 = ◊3 = = 2 h) ◊ 14 = ◊ 7 = =1 15 15 15 5 8 8 8 4 520. Minden változtatásra csak példát adunk: 3 1 5 1 b) ◊3 = 4 ◊3 = 7 a) 2 2 2 2 9 3 1 3 e) f) ◊3 = 6 ◊6 = 4 4 10 5 6 3 9 4 kisebb -del a = 1 -nél 5 5 5 5 15 6 21 c) kisebb -del a = 3 -nál 7 7 7 5 5 5 e) kisebb -dal az -nél 6 3 2 1 1 3 g) 1 kisebb -del a 2 -nél 2 4 4

521. a)

522. a) c) e) g) i)

80

2 2 4 8 2 vagy 2 + = 2 ◊2 = = 2 3 3 3 3 3 18 11 = 33 ◊ 9 = 33 vagy 27 + 3 3 10 2 62 2 vagy 20 + = 20 ◊ 5 = 20 15 3 15 3 12 1 23 1 =9 ◊ 4 = 9 vagy 8 + 10 5 10 5 4 1 31 1 ◊ 3 = 10 vagy 9 + = 10 3 3 9 3

8 1 ◊ 5 = 13 3 3 7 3 g) ◊1 = 1 4 4

c)

5 10 ◊ 14 = ◊ 7 = 10 7 7 3 3 6 1 f) ◊ 4 = ◊ 2 = = 1 8 4 4 2

c)

8 2 ◊4 = 6 5 5 5 2 h) ◊4 = 6 3 3

d)

16 4 12 2 nagyobb -del a = 2 -nél 5 5 5 5 27 3 21 3 d) nagyobb -del a = -nél 14 7 14 2 4 8 4 f) kisebb -del a -nál 5 15 3 1 4 h) 6 nagyobb 1 -del a 4 -nél 5 5

b)

12 ◊ 5 = 12 vagy 10 + 2 = 12 5 5 1 11 1 d) vagy 3 + = 5 ◊3 = 5 2 2 6 2 5 f) ◊ 8 = 10 vagy 8 + 2 = 10 4 3 1 61 1 = 15 h) vagy 15 + ◊ 3 = 15 12 4 12 4

b)

TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 3 1 1 b) 8 c) 11 5 4 3 1 3 g) 3 h) 12 7 4 Könnyebb a tagonkénti szorzás!

523. a) 5

d) 16

1 2

e) 12

f) 31

1 2

14 14 2 8 2 10 2 Ê 24 10 ˆ vagy ◊ 5 - ◊ 5 = 8 =4 524. a) Á - ˜ ◊ 5 = ◊ 5 = =4 Ë 15 15 ¯ 15 3 3 5 3 3 3 1 2 1 h) 3 72

b) 2

525. a) 30

i)

2 3

g) 5

2 3

526. a) 2

1 4

2 3

c) 16

d) 2

1 3 2 h) 5 5

b) 19

c) 30

x

3 4

5 8

y

6 3 = 4 2

10 1 =1 8 4

x

3 10

4 3

1 5

y

15 1 =1 10 2

20 2 =6 3 3

1

x

6 12

1 8

5 4

y

6

12 1 =1 8 2

15

529.

530. a)

4 5

b) 3

f) 3

2 3

g) 1

1 14

1 2

d) 28

2 3

e) 12

f) 8

3 5

d) 1

1 2

e) 1

1 2

f) 2

7 18

i) 0

1 8 1 − 4 −

2 3

1 2

c) 3

b) 2

528.

14 15

i) 13

4 5

527.

e)

14 15

1 10 1 h) 1 4

g) - 9

3 7

1 4 1 2

1 5 2 − 5

5 3 1 3 3

1 6 1 − 3

2 7 4 7

−

−

3 4 3 −3 4

2 5

−

4 5

3 5

2

−4

3

1 24 1 − 2

1 48 1 4

15 72 15 6

−

−

1 24 1 2

−

c)

1 2

d) 1

11 5 2 4 5

1 25 1 5

3 7 15 7

1 12

5 6

−1

10

1 3

y=x◊2

y=x◊5

y = x ◊ 12

e)

62 63

f) 1

1 2

81

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 531. a) 500 g) 125

b) 1500 h) 625

532. a) 20 cm = 200 mm d) 750 mm = 75 cm g) 625 mm = 6 533. a) c) e) g)

1 dm 4

1 8 1 g) 5

1 4 2 h) 5

535. a)

536. a) 3 537. a) 4

b)

1 4

c) 135

d) 1

18 4 c) 6 =2 7 7

11 700 mp > 11 000 mp 3 hét = 3 nap 7 5 hét = 5 nap : 2 14

3 nap > 2 nap

d)

f) 750

c) 25 cm = 250 mm 1 f) 375 mm = 37 cm 2

c) 15 min = 900 s f) 25 min = 1500 s

1 3 2 j) 3

d)

b)

11 700 mp < 18 500 mp

82

1 2 3 i) 5

e) 250

6 óra = 360 perc = 21 600 mp 8 óra = 480 perc = 28 800 mp 20 óra = 1200 perc = 72 000 mp 9 óra = 540 perc = 32 400 mp

c)

3 5

c) 195 perc > 185 perc

b) d) f) h)

b) 40 min = 2400 s e) 5 min = 300 s h) 55 min = 3300 s

b)

538. a) minden pár egyenlô 195 perc

d) 800

b) 60 cm = 600 mm 1 e) 125 mm = 12 cm 2 3 h) 875 mm = 8 dm 4

12 óra = 720 perc = 43 200 mp 18 óra = 1080 perc = 64 800 mp 4 óra = 240 perc = 14 400 mp 3 óra = 180 perc = 10 800 mp

534. a) 30 min = 1800 s d) 45 min = 2700 s g) 2100 s = 35 min

e)

c) 200 i) 1125

1 10

23 2 =3 7 7

1 6 1 k) 6

1 12 1 l) 12

e)

f)

e) 245

f) 1

e) 5

f)

b) 210 perc > 200 perc 200 perc = 200 perc 195 perc < 200 perc 1 d) 13 óra > 12 óra 2 1 8 óra = nap 3 1 3 óra 15 perc < 1 nap 3 f) 25 perc > 20 perc 5 óra = 25 perc 12 5 óra > 15 perc 12

3 5

71 1 = 10 7 7

TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

Tört osztása természetes számmal 3 8 2 g) 15 3 m) 10

539. a)

4 15 3 h) 14 3 n) 16

b)

7 40 3 i) 16 2 o) 15

c)

1 8 4 j) 21 4 p) 25

d)

3 4 7 k) 40

e)

4 27 1 l) 8

f)

540. Ha az osztót valahányszorosára növeljük (változatlan osztandó esetén), a hányados ugyanannyiad részére csökken. 2 4 1 6 3 12 3 1 2 2 2 1 b) c) ; ; d) ; ; ; ; ; ; a) 15 15 15 65 65 65 7 7 7 21 7 21 541. Ha az osztandót valahányszorosára változtatjuk és az osztót is ugyanannyiszorosára, akkor a hányados változatlan. 2 1 5 3 1 2 b) c) d) e) f) a) 5 12 21 8 12 5 3 35 g) h) 7 216 7 7 21 7 7 :5= ; :5 = :5 = 9 45 9 3 15 23 23 69 23 23 c) :2 = ; :2 = :2 = 8 16 24 48 24

542. a)

8 2 24 8 2 :4 = ; :4 = :4 = 27 27 27 9 9 32 1 96 32 1 d) : 16 = ; : 16 = : 16 = 30 15 30 10 5

b)

4 4 4 17 17 b) :7 = ; 4:7 = :2 = ; 5 35 7 15 30 32 32 16 32 32 16 17 17 c) d) :6 = = ; :6 = = :3 = ; 45 270 135 9 54 27 20 60

17 17 5 :2 = =2 3 6 6 17 17 5 :3 = =1 4 12 12

12 3 24 6 b) :4 = ; :4 = 13 13 13 13 15 3 30 15 6 c) :5= ; :5= :5= = 14 14 14 7 14 3 3 6 3 3 e) :4 = ; :4 = :4 = 14 56 14 7 28 8 8 16 16 g) :3 = ; :3 = 11 33 11 33

26 13 13 vagy :4 = 48 6 24 28 28 :5= 15 75 14 7 7 :4 = :4 = 24 12 48 22 11 11 :3 = :3 = 8 4 12

543. a)

544. a)

13 :4 = 12 3 d) 7

13 26 ; :4 = 48 12 14 14 :5= ; 15 75 7 7 f) :4 = ; 24 96 11 11 h) :3 = ; 8 24

83

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 545. Mindegyik esetben csak példát adunk a változtatásra: 2 1 3 1 1 1 b) c) :2 = :3 = :2 = a) 3 3 7 7 7 14 2 2 1 3 1 3 3 e) f) g) :4 = = :3 = :5 = 5 20 10 16 16 13 65 3 1 5 1 5 5 i) j) k) :3 = :5= :4 = 7 7 12 12 21 84 5 5 :3 = 3 9 3 3 e) :2 = 5 10

3 3 :2 = 5 10 7 7 f) :1 = 8 8

546. a)

b)

547. Mindegyik esetben csak példát adunk: 6 3 5 5 b) :8 = :9 = a) 5 20 2 18 6 3 2 2 e) f) :8 = :3 = 7 28 9 27 3 1 1 1 i) j) : 12 = :3 = 4 16 4 12

10 2 1 :5= = 12 12 6 7 7 h) :3 = 8 24 3 3 l) :4 = 8 32

d)

60 20 :3 = 61 61 3 3 g) :4 = 4 16

5 5 :1 = 12 12 7 7 h) :3 = 5 15

c)

d)

4 1 :8 = 3 6 3 3 g) :4 = 7 28 1 1 k) :2 = 5 10

7 7 : 10 = 4 40 2 2 h) :5 = 5 25 5 5 l) :8 = 3 24

c)

d)

9 3 3 3 1 1 3 Ê 6 3ˆ 548. a) Á + ˜ : 3 = : 3 = vagy :3+ :3 = + = Ë 4 4¯ 4 4 2 4 2 4 4

b) 1 h) 1

1 5

8 15 3 g) 5

549. a)

550. a)

11 15

g) 0

551. a) 7

84

2 5 1 i) 2

d) 2

c)

19 24

31 24 3 h) 1 8

b)

3 28 3 h) 4

b)

b) -

3 10

23 35 2 i) 9

c)

1 40 1 i) 12

c)

c)

1 10

e)

4 15

f)

8 35

g) 1

d)

1 6

e)

7 45

f)

5 12 11 j) 45

d)

d) 5

9 10

5 168 1 k) 36

e)

1 3

8 35

9 28 1 l) 24

f)

TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL 1 2 2 g) 18 3

552. a) 13

b)

4 7

h) -

c) 1

7 12

d)

71 140

e) 13

1 2

f)

4 7

139 140

Szorzás törttel (a törtrész kiszámítása) 553. a) 60

b) 40

c) 80

d) 24

e) 48

f) 72

554. a) 8

b) 6

c) 12

d) 40

e) 42

f) 36

555. a) 5 min g) 48 min

b) 25 min h) 6 min

c) 35 min i) 30 min

d) 12 min j) 42 min

e) 24 min k) 54 min

f) 36 min l) 15 min

556. a) 90∞

b) 60∞

c) 120∞

d) 45∞

e) 135∞

f) 36∞

g) 72∞

h) 108∞

i) 30∞

j) 150∞

k) 20∞

l) 40∞

m) 100∞

n) 18∞

o) 126∞

p) 162∞

q) 180∞

r) 198∞

s) 10∞

t) 30∞

u) 50∞

v) 70∞

w) 100∞

z) 180∞

b) 6 h) 28

c) 6 i) 9

d) 4 j) 14

e) 45 k) 16

f) 30 l) 4

557. a) 15 g) 18 1 2 2 g) 6 3

558. a) 1

2 3 1 h) 1 5

b)

1 2 4 i) 2 5

c) 2

559. a) 2 = 2 1 1 nagyobb 10 -del a 2-nél 2 2 66 1 e) =5 12 2 20 20 g) kisebb 5-tel a -nál 8 8 i) 15 = 15

c) 12

k)

2 4 4 nagyobb 2 -dal a - -nál 3 3 3

1 2 1 j) 3 5

d) 1

1 5 1 k) 2 4

e) 1

1 5 4 l) 4 5

f) 1

12 3 9 nagyobb -del a -nél 5 5 5 1 1 d) 3 kisebb 2 -dal az 5 -nál 3 3

b)

f) 14 kisebb 2-vel a 16-nál h) 3 nagyobb 9-cel a -6-nál j) -2 kisebb 4-gyel a 2-nél l) 3

3 3 1 kisebb 3 -del a 7 -nél 4 4 2

85

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 26 78 1 3 39 1 ◊3 = = 19 egyenlô 26 ◊ = = 19 4 4 2 4 2 2 5 2 2 4 b) (32 : 6) ◊ 5 = 32 ◊ = 26 c) (12 : 5) ◊ 2 = 12 ◊ = 4 6 3 5 5 7 4 d) (24 : 10) ◊ 7 = 24 ◊ = 16 10 5

560. a) (26 : 4) ◊ 3 =

3 kg = 75 dkg 4 3 d) kg = 750 g 4 3 g) m = 6 dm 5 96 j) m = 96 cm 100

1 b) 3 kg = 350 dkg 2 3 e) kg = 75 dkg 4 1 5 h) m = 312 mm 2 16 21 k) m = 21 cm 100

1 óra = 15 perc 4 1 d) óra = 6 perc 10 3 g) hl = 30 l 10

3 óra = 18 perc 10 1 e) óra = 20 perc 3 7 h) hl = 28 l 25

561. a)

562. a)

6 l = 6 dl 10 36 2 d) m = 144 dm2 25 8 2 g) m = 32 dm2 25

563. a)

b)

1 l = 2 dl 5 6 2 e) m = 12 dm2 50 39 2 h) m = 1950 cm2 200

b)

2 kg = 240 dkg 5 3 f) 2 kg = 260 dkg 5 57 i) m = 57 cm 100 7 l) m = 875 mm 8

c) 2

1 óra = 10 perc 6 1 f) óra = 12 perc 5 9 i) hl = 45 l 20

c)

3 l = 12 cl 25 1 21 2 f) m = 10 dm2 2 200 66 2 i) m = 66 dm2 100

c)

2 Ê2 ˆ Ê3 ˆ 564. a) Á kg : 5˜ ◊ 3 = Á kg : 3˜ ◊ 2 = kg Ë3 ¯ Ë5 ¯ 5 9 Ê3 ˆ Ê3 ˆ b) Á kg : 4˜ ◊ 3 = Á kg : 8˜ ◊ 3 = kg Ë8 ¯ Ë4 ¯ 32 3 Ê 7 ˆ Ê3 ˆ c) Á kg : 7˜ ◊ 3 = Á kg : 20˜ ◊ 7 = kg Ë 20 ¯ Ë7 ¯ 20 3 Ê 16 ˆ Ê3 ˆ d) Á kg : 8˜ ◊ 3 = Á kg : 34˜ ◊ 16 = kg Ë 34 ¯ Ë8 ¯ 17

565. a)

2 2 1 2 :3 = ◊ = 5 5 3 15

7 4 7 1 Ê7 ˆ c) Á : 3˜ ◊ 4 = ◊ = = 1 Ë8 ¯ 8 3 6 6

86

5 2 1 Ê5 ˆ b) Á : 5˜ ◊ 2 = ◊ = Ë6 ¯ 6 5 3 11 4 11 Ê 11 ˆ d) Á : 5˜ ◊ 4 = ◊ = Ë 12 ¯ 12 5 15

SZORZÁS TÖRTTEL (A TÖRTRÉSZ KISZÁMÍTÁSA ) 1 8 1 g) 6

566. a)

5 24 2 g) 7

567. a) -

4 5 9 h) 20

b)

b) h)

2 7

3 56

c)

4 5

d)

2 9

c)

1 28

d) -

e)

3 16

3 8

e) -

f)

1 6

3 56

f) -

1 15

i) 1

568. Ha a szorzat egyik tényezôje valahányszorosára változik (közben a másik tényezô változatlan), akkor a szorzat is ugyanannyiszorosára változik. 12 24 6 3 9 9 28 14 b) c) d) ; ; ; ; a) 35 35 5 5 14 7 15 15 Ha az egyik tényezô valahányszorosára nô, a másik ugyanannyiad részére csökken, a szorzat nem változik. 5 10 1 1 f) 1 g) h) = e) 4 8 3 4 3 27 ; 7 7 3 8 e) - 1 = 5 5

569. a)

570.

571.

572.

6 24 b) - ; 7 7 8 8 f) = 15 15

c)

12 3 ; 25 25

21 7 = 30 10 1 h) ;1 6

d)

g) -3 = -3

18 35 A változtatásokra csak példákat adunk: ◊ 25 12 18 70 18 35 36 35 18 35 a) b) ◊ ; ◊ ; ◊ ◊ 25 12 25 6 25 12 25 4 9 35 18 7 6 35 e) f) g) ◊ ◊ ◊ 25 12 25 12 25 12

18 35 18 35 d) ◊ ◊ 25 3 5 12 3 35 6 35 h) ◊ = ◊ = ... 25 12 25 24

c)

27 28 A változtatásokra csak példákat adunk: ◊ 8 3 9 28 27 28 27 4 3 28 a) b) c) d) ◊ ◊ ◊ ◊ 8 3 2 3 4 3 2 3 27 g) ◊ 14 8

e)

27 ◊7 8

f)

9 28 ◊ 4 3

56 27 ◊ = 63 A változtatásokra csak példákat adunk: 3 8 Ê 56 ˆ Ê 27 ˆ 56 27 a) Á : 9˜ ◊ Á ◊ 4˜ = ◊ = 28 végtelen sok megoldás Ë 3 ¯ Ë 8 ¯ 27 2

b)

7 9 ◊ 27 = 56 ◊ = 7 ◊ 9 = 63 ... 3 8

87


12 49

574. a) 21

4 9

c) -

2 15

d)

b) 2

c) 5

1 5

d) 12

b) 2 3

g) 4

9 25

e) 4 7

5 7

f)

3 4

3 4

f) 4

8 15

h) 4

e) 2

h) 8

4 34 ◊ 20 = 136 vagy 6 ◊ 20 + ◊ 20 = 120 + 16 = 136 5 5 1 c) 51 d) 42 e) 1 f) 7 2

575. a)

b) 6 g)

4 15

576. Minden szorzat értéke: 1. A tényezôk egymás reciprokai. 577. Minden szorzat értéke: 1. A tényezôk egymás reciprokai. 578. Minden szorzat értéke: 1. A tényezôk egymás reciprokai. 579. a) a2 = a1 ◊

1 2

b) an +1 = an ◊ d) a2 = a1 ◊

2 3

4 4 4 1 1 1 ; ; vagy ; ; 40 80 160 10 20 40 32 64 128 2 c) an = an -1 ◊ ; ; 135 405 1215 5

2 3

16 32 64 ; ; 189 567 1701 80 160 320 ; ; 81 243 729

2 3

f) an = an -1 ◊

e) an +1 = an ◊

2 5

24 48 96 ; ; 875 4375 21 875 6 12 24 ; ; 125 625 3125

580. Ha a szorzat egyik tényezôje (-1)-szeresre változik, akkor a szorzat és az ellentettjére változik. a) -1; 1 b) 1; -1 c) 1; -1 581. Ha mindkét tényezô az ellentettjére változik, akkor a szorzat változatlan. Itt a szorzat értéke: 1. 582. a) e) i) m) q) u)

88

7 3 =1 4 4 9 1 - = -4 2 2 28 1 =9 3 3 15 7 = -1 8 8 2 7 7 12

b) f) j) n) r)

8 2 =2 3 3 5 2 - = -1 3 3 35 11 =2 12 12 7 2 - = -1 5 5 3 4

c) g) k) o) s)

3 1 =1 2 2 15 3 = -3 4 4 1 5 4 9 8 21

12 13 1 h) 2 1 l) 4

d)

p) -3 t)

10 31

SZORZÁS TÖRTTEL (A TÖRTRÉSZ KISZÁMÍTÁSA ) 583. x

2 3

3 10

−4

y

3 1 =1 2 2

10 1 =3 3 3

1 − 4

584. x

2 7

y

7 1 − = −3 2 2

585. a)

1 4

1 10

g) 1

−4

1 4

1 7

9

7

1 9

−1

3 5

4 17

25 24 24 − 25

41 33 33 41

−

−

2 5

4 3 3 4

−

5 1 =2 2 2

5 8

3

x◊y=1 1 3

5

4

2 11

2 − 10

3 − 12

11 1 − = −5 2 2

x ◊ y = -1

1 3

c)

2 55

d)

16 1 4 e) =1 15 15 9

f)

b) 1

c)

4 9

d)

2 3

1 9

f) 1

e) 0

f) 1

b)

586. a) 0

587. a)

3 14 14 − 3

2 5 5 2

1 80 3 h) 14

b)

2 9 2 i) 17

c)

588. a) -

1 8

b) -

1 24

c) -

589. a) -

1 4

b) -

7 25

c) -4

3 2 m = 30 dm2 10 24 2 d) m = 96 dm2 25

590. a)

b)

2 175

d) 1

d)

14 75

d)

5 1 =2 2 2

1 2 m = 25 dm2 4

e)

4 9

e)

15 22

c)

19 2 m = 19 dm2 100

f)

1 2

7 1 1 1 7 1 591. a) 24 óra ◊ ◊ = 28 óra b) 7 nap ◊ ◊ = nap = 1 nap 2 3 2 3 6 6 1 1 7 1 c) 7 nap ◊ ◊ = nap = 1 nap 2 3 6 6 9 1 592. a) 60 min ◊ ◊ = 30 min 2 9

b)

9 1 1 óra ◊ = óra 2 9 2

c)

1 9 1 1 nap ◊ ◊ = nap 24 2 9 48

2 1 5 hét < 60 h = 2 nap = hét 7 2 14 1 b) 3 h 5 min < 3 h < 200 min = 12 000 s 4

593. a) 45 h <

89

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 1 5 2 594. a hét fele = 84 óra = 3 nap; hét = két és fél nap; 2 nap = hét = 48 óra; 2 14 7 4 6 nap = 32 óra; 30 óra; nap 3 5

595. x

21 14 3

y

1

596. a)

2

3 kg 8

1 5 1 35

b)

2 3 2 21

3 10 3 70

4 m 11

3 2 3 14

c)

1 3 1 21 4 l 5

35 2 =5 − 7 9 35 2 − 49 63

d)

x :7 = y 1 x⋅ = y 7 y ⋅7 = x

3 hl = 30 l 10

4 20 100 t= t= t 5 25 125 4 2 8 40 Elôször: t ◊ = t = t 5 5 25 125 12 3 36 Másodszor: t◊ = t 25 5 125

597. Összesen:

Maradt:

100 Ê 40 36 ˆ 24 t -Á t+ t˜ = t = 192 kg 125 Ë 125 125 ¯ 125

A maradék:

598.

599.

3 2 6 része az eredetinek, ez 192 kg. ◊ = 5 5 25

4 1 4 4 hl ◊ ◊ = hl = 16 l víz maradt a hordóban. 5 4 5 25

=

8 5ˆ 8 1 8 640 4 Ê 8 m ◊Á m◊ ˜ = m◊ m = m2 = m 2 = 640 cm 2 = 6 dm 2 Ë 25 25 8 ¯ 25 5 125 10 000 10

8 208 20 800 56 Ê 8 ˆ 13 600. V = Á m◊ m˜ ◊ m= m3 = dm 3 = 66 dm 3 Ë 25 25 ¯ 20 3125 3125 100

A tartályba 66 l 56 cl olaj fér. 208 000 5 104 000 832 7 l◊ = l= l = 55 l 3125 6 1875 15 15 A tartályban körülbelül 55 és fél l olaj van. 601.

8 3 Ê 8 3 1 8 3 5 ˆ 8 3 Ê 2 1ˆ 3 7 m -Á m ◊ + m ◊ ˜ = m -Á + ˜ m = m3 Ë5 Ë 5 2¯ 5 4 5 16 ¯ 5 10 7 m 3 homok fellazítása maradt a lányokra. 10

90

SZORZÁS TÖRTTEL (A TÖRTRÉSZ KISZÁMÍTÁSA ) 7 2 kg = 1 kg = 1400 g összesen. 5 5 7 1 7 Két rakodónak: kg ◊ = kg = 56 g jutott külön - külön. 5 25 125 7 23 161 A többieknek: kg ◊ = kg = 1288 g jutott együtt. 5 25 125

602. Jutalom:

9 9 81 2 324 2 m◊ m = m = m . 2 2 4 16 19 17 323 2 = m◊ m= m 4 4 16 1 A négyzet alakú szoba területe m 2 -rel nagyobb. 16

603. Tª =

51 1887 15 Ê 37 ˆ 604. T« = Á cm ◊ cm˜ : 2 = cm 2 = 117 cm 2 Ë 2 ¯ 4 16 16

605. Négyzet K=3m K a= 4 3 a= m 4 2

9 Ê 3ˆ Tn = Á ˜ m 2 = m2 Ë 4¯ 16 36 2 Tn = m 64 9 Tn - Tt = m2 64

A négyzet alakú asztallap területe

Téglalap K=3m K = 2(a + 3a) K K = 8a a = 8 3 9 a= m b= m 8 8 3 9 2 27 2 Tt = ◊ m = m 8 8 64

9 m 2 -rel nagyobb a téglalap alakú asztallap 64

területénél. 1 4 m ◊ 4 = 16 m 5 5 21 21 441 2 16 2 m◊ m= m = 17 m Parketta 5 5 25 25

606. Szegôléc 4

607. Felszántatlan terület

21 1 21 ha ◊ = ha = 10 500 m 2 . 4 5 20

91

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 1 608. Eddig: 312 ◊ = 104 (oldal) 3 1 Vasárnap: 312 ◊ = 52 (oldal) 6 1 nap alatt: [312 - (104 + 52)] : 6 = 156 : 6 = 26 (oldal) 1 A napi adag a könyv felének -a. 6 1 A napi adag az egész könyv része. 12 13 43 13 ;1 ;1 36 90 36 9 41 9 d) 1 ; 1 ;1 40 120 40

9 9 12 ;3 ;3 10 10 25 9 11 9 ; ; e) 20 12 20

609. a) 1

1 1 1 c) 2 ; 2 ; 2 3 15 3 7 7 31 ; ;f) 12 12 84

b) 3

4 92 4 ; ;135 135 135 1 41 1 ; ; d) 2 52 2

13 41 13 ;1 ;1 20 160 20 11 f) 6; 6; 5 14

11 26 5 ; -1 ; -1 6 27 6 2 1 2 e) 4 ; 3 ; 4 3 3 3

610. a) -

c) 1

b) -

39 4 19 ; ; 80 5 20 5 3 3 d) - 4 ; 1 ; - 2 16 8 8

611. a)

b) -

1 353 19 ;;240 480 40

c) -1

249 79 11 ;1 ;1 400 100 20

11 Ê 3 1ˆ 3 3 Ê 1 3ˆ 2 5 - del a Á - ˜ ◊ = - nál. 612. a) Á + ˜ ◊ = nagyobb Ë 4 2¯ 2 8 Ë 2 4¯ 3 6 24 23 3 Ê 5 1ˆ 2 kisebb - dal az b) Á - ˜ ◊ = Ë 8 4 ¯ 5 20 80

613. a)

7 58 47 nagyobb -del a -nél. 25 375 375

614. x 1⎞ 3 ⎛ y = ⎜x + ⎟ ⋅ ⎝ 2⎠ 4 1⎞ 3 ⎛ y = ⎜x − ⎟ ⋅ ⎝ 2⎠ 4

92

Ê5 Á + Ë8

1 5 21 40 9 − 40

2 3 7 8 1 8

4 5 39 40 9 40

5 6 1 1 4

1ˆ 1 7 - nál. ˜◊ = ¯ 4 2 16

b)

3 4 15 16 3 16

57 251 91 nagyobb -dal a -nál. 200 1200 1200

4 1 1 7 2 45 1 1 56 2 3 3 56 4

2 15 8 9 8

3 4 39 16 27 16

2

SZORZÁS TÖRTTEL (A TÖRTRÉSZ KISZÁMÍTÁSA ) 615.

2 5 10 ◊ = 7 9 63 6 5 10 ◊ = a) A szorzat háromszorosára változik. 7 9 21 2 5 10 b) ◊ = A szorzat háromszorosára változik. 7 3 21 3 5 5 2 5 5 3 c) ◊ = ; ◊ = A szorzat -szeresére változik. 7 9 21 7 6 21 2 10 Ê 2 3ˆ Ê 5 5ˆ Ê 2 5ˆ d) Á ◊ ˜ ◊ Á ◊ ˜ = Á ◊ ˜ ◊ 1 = A szorzat változatlan, ha a tényezôk szorzói egyË 7 5¯ Ë 9 3¯ Ë 7 9 ¯ 63 más reciprokai.

3ˆ 45 13 Ê3 dm = 2 dm csipkét horgol Jutka. 616. Á dm ◊ ˜ ◊ 5 = Ë4 4¯ 16 16 45 6 27 3 dm ◊ = dm = 3 dm csipkét horgolna gyorsabb tempóval. 16 5 8 8 45 4 45 9 81 1 dm ◊ 1 = dm ◊ = dm = 5 dm 16 5 16 5 16 16 1 Jutka édesanyja ugyanannyi idô alatt 5 dm csipkét készít. 16 35 108 m◊ = 180 m hosszú. 3 7 2 4 b) A gazdaság melletti út 1 ◊ 2 = 2 -szer olyan hosszú, mint az állomás melletti. 9 9 22 c) A gazdaság melletti út: 180 m ◊ = 440 m hosszú. 9

617. a) Állomás:

691 5 kg 343 5 Ê 7 7 7ˆ = ◊ kg = 1 kg m = Á ◊ ◊ ˜ dm 3 ◊ Ë 8 8 8¯ 2 dm 3 512 2 1024 Az üvegkocka tömege körülbelül másfél kg.

618. m = V ◊ r

5 ˆ 5 1 Ê 619. Á1 h + h˜ ◊ 2 = 2 h + h = 4 h alatt horgolja körül a téglalap alakú terítôt. Ë 4 ¯ 2 2 33 4 km ◊ = 22 km -t kerékpározott Pali. 2 3 33 3 99 3 km ◊ = km = 12 km Tegnap 2 4 8 8 5 Ma 9 km-rel többet kerékpározott Pali, mint tegnap. 8

620. Ma

93

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 3 45 1 m ◊ 15 = m = 11 m . 4 4 4 3ˆ 3 8 Ê3 Kabátok: Á m ◊ 1 ˜ ◊ 10 = m ◊ ◊ 10 = 12 m . Ë4 5¯ 4 5 1 A varroda 23 m szövetet használt fel. 4

621. Szoknyák:

622. T =

5 3 ˆ 5 15 2 75 76 Ê5 m ◊Á m ◊ ˜ = ◊ m = m 2 = 29 dm 2 Ë8 8 4 ¯ 8 32 256 256

70 3 1 15 ˆ Ê5 K =Á m+ m˜ ◊ 2 = m=2 m = 2187 mm Ë8 ¯ 32 32 16 2

Osztás törttel (az egész mennyiség kiszámítása) 623. a)

4 3

g) +

b) 3 4

1 4 5 g) 8

624. a) 1

625. a)

2 rész 5 1 rész 5 5 rész 5

6 5

1 4

d) 1

2 3 2 h) 3

b)

c)

5 8

i) 2

d)

3 4

vagy (4 : 2) ◊ 5 =

3 5

f) - 1

1 4

e) -2

f) -

f) 12

g) 24

3 4

4:2=2

vagy 4 :

4 ◊ 5 = 10 2

2 5 = 4 ◊ = 10 5 2

2 ◊ 5 = 10

h) 24

i) 60 5 6 21 h) 20

1 2

d) 20

1 2 10 i) 7

e) 24

3 2

626. a)

b)

c)

d)

627. a) 20

b) 18

c) 15

d) 4

94

e) - 1

1 2

4

c) 12

g) 15

3 5

i) 3

h) -2

b) 8

3 4 20 g) 21

c) - 1

h) 9

e)

3 5

e) 18

f) 8

f) 14

2 5

OSZTÁS TÖRTTEL (AZ EGÉSZ MENNYISÉG KISZÁMÍTÁSA ) 9 10 55 19 =1 e) 36 36 2 i) 3

20 21 9 f) 32 7 j) 9

628. a)

3 10 g) 81

629. a)

1 9 1 g) 1 11

630. a) 1

35 11 =1 24 24 25 1 =1 g) 24 24 11 k) 14

b)

b) 1

1 5

63 23 =1 40 40 25 9 =1 h) 16 16 3 l) 2

c)

c)

3 8

d)

1 2

d)

e) 25

f) 81

h) 9 1 17 1 h) 1 14

b) 1

c) 1

1 8

d) 1

3 5

e)

6 7

f) 1

13 27

8 3 4 16 1 8 3 =1 ; ; = 3 ; =1 5 5 5 5 5 5 5 Ha az osztandó valahányad részére csökken (változatlan osztó esetén), a hányados is ugyanannyiad részére csökken. Ha az osztó valahányszorosára nô (változatlan osztandó esetén), a hányados ugyanannyiad részére csökken. Ha az osztandó és az osztó ugyanannyiszorosára változik, a hányados nem változik. 8 8 24 8 15 3 3 3 3 21 3 3 ; ; ; ; ; ; ; c) d) ; b) ; 9 27 9 9 4 4 4 4 5 5 35 5

631. a)

632. a)

6 1 =1 5 5

b)

7 1 =2 3 3

3 2 15 6 2 3 2 15 : = ; : = : = 8 5 16 8 5 4 5 8 7 1 7 14 1 7 1 c) : = ; : = : =7 6 3 2 6 3 3 3 5 3 5 10 3 5 3 5 e) : = ; : = : = 16 4 12 16 4 8 4 6 3 4 3 6 4 3 4 3 g) : = ; : = : = 10 5 8 10 5 5 5 4

633. a)

4 2 6 2 2 4 2 3 : = ; : = : = 5 3 5 5 3 10 3 5 8 3 16 4 3 8 3 8 c) : = ; : = : = 9 2 27 9 2 18 2 27 3 1 9 3 1 9 e) : = ; : = 4 3 4 8 3 8

634. a)

c)

28 13 =1 15 15

d)

10 1 =1 9 9

5 4 25 10 4 5 4 50 : = ; : = : = 12 15 16 12 15 6 15 16 3 6 6 6 3 6 d) : = 1; : = : =2 4 8 4 8 2 8 9 1 9 18 1 9 1 f) : = ; : = : =9 8 4 2 8 4 4 4 5 2 5 10 2 5 2 5 h) : = ; : = : = 6 3 4 6 3 3 3 2

b)

6 2 15 3 2 3 2 15 : = ; : = : = 7 5 7 7 5 14 5 14 4 4 5 2 4 4 4 5 d) : = ; : = : = 3 5 3 3 5 6 5 6 5 2 25 5 2 25 f) : = ; : = 7 5 14 14 5 28

b)

95

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL g)

3 4 9 3 4 9 : = ; : = 2 3 8 4 3 16

4 3 16 : = ; 5 4 15 7 3 35 c) : = ; 3 5 9

635. a)

3 4 5 g) 2

e)

h)

4 6 4 3 8 : = : = 5 4 5 2 15 7 6 35 : = 3 5 18

1 15 3 2 15 = ; : = 5 4 4 5 8 3 25 5 6 25 : = ; : = 5 6 2 5 12

4 2 6 : = ; 5 3 5 1 6 7 c) : = ; 5 7 30 12 3 4 e) : = ; 35 7 5 56 7 8 g) : = ; 27 9 3

f)

4 1 4 2 12 : = : = 5 3 5 6 5 1 3 1 6 7 : = : = 5 7 5 14 15 12 3 8 : = 35 14 5 56 7 16 : = 27 18 3

6 2 3 1 6 2 9 : = : = : = 7 3 7 3 14 6 7 42 7 21 7 12 : = : = 55 22 55 44 5 36 8 18 4 : = : =3 39 26 39 26 54 16 27 8 9 : = : = 63 21 63 21 8 11 6 22 12 253 : = : = 42 23 42 23 252 63 30 21 10 189 : = : = 61 9 61 9 610

637. pl.: a) c) e) g) i) k)

638. a) 1

1 6

b) 1

1 2

c) 1

96

3 4 15 3 2 3 4 15 : = ; : = : = 8 5 32 8 5 8 10 16 3 2 9 3 1 3 2 9 d) : = ; : = : = 4 3 8 4 3 4 6 4 63 7 9 63 7 18 f) : = ; : = 55 11 5 55 22 5 42 7 12 42 7 24 h) : = ; : = 55 22 5 55 44 5

b)

b) d) f) h) j) l) 3 5

8 7 2 3 7 8 2 ◊ = = = vagy 35 4 5 4 20 20 5 1 1 e) f) 2 4

639. a)

3 5 3 3 10 3 5 3 : = ; : = : = 8 4 10 8 4 8 2 20 5 1 10 5 1 5 2 5 d) : = ; : = : = 6 4 3 6 2 6 4 3

b)

5 2 15 5 4 15 : = ; : = 8 3 16 8 3 32 3 4 9 3 8 9 h) : = ; : = 5 3 20 5 3 40

:

636. a)

5 3 5 5 3 5 : = ; : = 8 4 6 16 4 12

4 2 2 1 6 : = : = 5 3 5 3 5 12 3 4 1 8 : = : = 35 14 35 14 5 52 12 13 3 65 : = : = 49 35 49 35 21 48 32 3 2 15 : = : = 49 35 49 35 14 12 7 24 14 4 : = : = 9 3 9 3 7 8 37 4 37 8 : = : = 55 11 55 22 185

d) 1

1 2

e) 1

1 16

b) -

1 12

c) -

4 9

f)

3 5

d) -

1 2

OSZTÁS TÖRTTEL (AZ EGÉSZ MENNYISÉG KISZÁMÍTÁSA ) 640. a)

5 2

b) 6

g) 2

641. a) -

h)

643. a)

b) -

1 11

b)

1 4

644. a) -

3 4

7 90

g) 0 21 1000 20 g) 4 21

645. a)

4 3

1 4

b) 32

g) -1

d) 1

1 2

h) -

f) 2

c)

2 3

d)

1 2

e)

3 4

f)

c)

2 15

d)

109 150

e)

1 4

f) 5

c) - 4

1 18

i)

1 110 6 h) 7

1 6

d) 25

1 2

1 3 1 3

f)

41 5 =3 12 12

e) 0

f)

3 20

e) 2

f) 1

e) -

1 2

4 9

b) -1

c) -

55 96

d) -1

b) 16

c) 4

44 103

d) 1

h)

e) 2

1 2

1 2

642. a) 16

c) 6

7 25

3 20

30 1751

Vegyes feladatok 1 3 +x= 4 2 6 1 x= 4 4 5 x= 4 1 5 6 Ell.: + = = 4 4 4 3 3 b) c) 10 14 4 3 g) x - = 5 5 7 x= 5

646. a)

Az összeg ismeretlen tagját megkapjuk, ha az összegbôl kivonjuk az ismert tagot.

3 2

d)

1 6

e)

1 3

f)

6 1 =1 5 5

A különbség és a kivonandó összege adja meg a kisebbítendôt. 7 4 3 Ell.: - = 5 5 5

97

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 5 6 2 5 3 = i) 1 j) k) l) 6 9 3 14 8 j) - l) A kivonandót megkapjuk, ha a kisebbítendôbôl kivonjuk a különbséget.

h)

647. Az ismeretlen szorzótényezôt úgy kapjuk meg, hogy a szorzatot elosztjuk az ismert tényezôvel. a) 3 b) 5 c) 7 d) 3 e) 7 f) 2 648. a) 9 g) 4

b) 27 h) 8

1 10 4 g) 5

649. a)

b)

1 12

h) 0

c) 0 i) 16 c)

2 25

i) 1

d) 1 j) 0

e) 2 k) 5

1 10 5 2 =1 j) 3 3

d)

2 3 1 k) 4

e)

f) 5 l) 10 1 3 5 l) 24

f)

650. Az ismeretlen osztandót megkapjuk, ha a hányadost és az osztót összeszorozzuk. 4 3 1 7 2 2 18 3 =1 =1 =3 b) c) d) e) f) 16 a) 5 2 2 5 5 3 5 5 5 1 2 7 1 2 =2 =2 g) h) i) j) 5 k) l) 14 2 2 3 3 3 5 651. Az ismeretlen osztót úgy kapjuk meg, hogy az osztandót elosztjuk a hányadossal. a) 4 b) 7 c) 14 d) 4 e) 5 f) 9 3 5 4 b) 5 2 5 2 3

1 4 1 m, m negyede m . A két mennyiség egyenlô. 5 5 5 2 8 2 óra fele óra , óra negyede óra 5 3 3 2 2 2 4 óra < óra, - = 3 3 5 15 4 2 óra órával több a óránál . 15 5 1 c) egyenlôk: 200 m d) egyenlôk: óra 3 3 1 1 3 1 7 l < l, l - rel e) f) kg > kg, kg - mal 16 4 16 5 4 20

652. a)

653. a) d)

98

m harmada

3 3 = 8 8

b)

8 8 16 > , - del 9 15 45

3 4 79 >- , - dal 16 5 80

c) e)

15 1 1 Ê 15 ˆ 23 2 < , - Á - ˜ = ; 7 - dal Ë ¯ 2 6 6 2 3 3

7 1 > 3, - del 2 2

f)

3 3 = 50 50

VEGYES FELADATOK 3 3 3 3 3 12 15 :2 + ◊2 = + = + = 4 4 8 2 8 8 8 4 4 4 12 4 36 40 8 : 3 + ◊3 = + = + = = 5 5 15 5 15 15 15 3 15 7 8 2 8 15 64 45 19 =1 < = 2 , = = - del nagyobb 8 8 3 3 3 8 24 24 24 9 1 32 2 1 2 2 =1 < =2 , 1 - dal = b) c) 8 8 15 15 120 7 7 3 3 20 29 13 17 15 1 = > , - del > , - dal 655. a) b) c) 32 32 21 35 105 72 72 36 175 7 59 9 89 17 33 3 =7 =5 =3 =3 656. a) b) c) d) 24 24 10 10 24 24 10 10 3 657. 3 kg 10

654. a)

ÈÊ 3 ˆ 1 ˘ Ê3 658. ÍÁ : 2˜ + ˙ ◊ 5 = Á + Ë ¯ Ë8 2˚ Î 4

4ˆ 35 3 =4 ˜ ◊5 = ¯ 8 8 8

3 ˆ Ê3 3 ˆ 3 Ê3 659. Á ◊ 2 + : 2˜ - Á ◊ 2 - : 2˜ = Ë4 4 ¯ 4 4 ¯ Ë4 3 ˆ Ê3 3 ˆ 3 3 Ê3 660. Á ◊ 2 + : 2˜ + Á ◊ 2 - : 2˜ = ◊ 2 + ◊ 2 = 3 Ë4 4 ¯ 4 4 4 ¯ Ë4 Ê 1 2 5 ˆ 11 661. 1 - Á + + ˜ = Ë 5 7 14 ¯ 70 Az egész 840 m2. 1 rész 840 m2 : 70 = 12 m2 70 11 rész 12 m2 ◊ 11 = 132 m2 70 11 Lacinak részt kell felásni, ami 132 m2. 70 1 1 3 662. K = 5 dm T = dm 2 = 1 dm 2 2 2 2 3 Ê ˆ a) pl. T1 = Á ◊ 4˜ ◊ 2 dm 2 = 6 dm 2 Ë4 ¯

K1 = 10 dm

3 3 1 ◊ (2 ◊ 4) dm 2 = 6 dm 2 K 2 = 8 ◊ 2 dm = 17 dm 4 4 2 Ê3 ˆ Ê3 ˆ pl. T3 = Á ◊ 2˜ ◊ (2 ◊ 2) dm 2 = 6 dm 2 K 3 = Á ◊ 2 + 4 ◊ 2˜ dm = 11 dm Ë4 ¯ Ë2 ¯ Végtelen sok megoldás van, mert ha az egyik oldalt pl. felére csökkentjük, akkor a másikat 8-szorosára kell növelnünk stb.

pl. T2 =

99

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 3 Ê3 ˆ b) pl. T1 = Á ◊ 4˜ ◊ (2 : 4) dm 2 = dm 2 Ë4 ¯ 2 3 Ê3 ˆ pl. T2 = Á : 2˜ ◊ (2 ◊ 2) dm 2 = dm 2 Ë4 ¯ 2

1 ˆ Ê K1 = Á 3 ◊ 2 + ◊ 2˜ dm = 7 dm Ë 2 ¯ 3 Ê3 ˆ K 2 = Á ◊ 2 + 4 ◊ 2˜ dm = 8 dm Ë8 ¯ 4

Végtelen sok megoldás van. 663.

1 1 65 1 m+ m= m = 65 mm = 6 cm 40 25 1000 2

664.

3 km = 600 m 5

665. 1

666.

1 kg 10

1 rész 20

667. 23

668.

1 perc 3

4 6 4 6 1 m = 3 m 13 cm m+ m+ m+ m +1 5 25 20 5 25

669. x + 15

1 3 1 = 37 ; x = 22 2 4 4

4ˆ 83 Ê 3 670. x - Á10 - 3 ˜ = 103 Ë 8 ¯ 5 120

x = 110

4 15

671. 10

13 kg 20

672. 31

9 kg 20

673. 10

2 Ê 3 4ˆ Ê 3 3ˆ 7 3 + 12 + Á10 + 5 ˜ + Á10 - 2 ˜ = 47 (km) Ë ¯ Ë ¯ 4 5 4 5 4 4 10

674. 3

7 t 20

5 Ê 3 5ˆ 5 675. 2 - Á + ˜ = A harmadik oldal dm. Ë 4 8¯ 8 8

100

VEGYES FELADATOK 18 180 Ê 3 3ˆ 676. K = Á + ˜ ◊ 2 m = m= m = 180 cm Ë 20 4 ¯ 10 100

3 m 20 3 3 m◊5 = m 4 20

677. 351 kg kenyeret fogyasztanak egy év alatt, ha 52 hét van az évben. 678. 18

3 l 4

679. 103

680. 4

3 kg 4

4 dm 5

681. A doboz legalább 36 cm széles, 46 cm hosszú és 4

3 5 ◊8 4

4 cm 5

magas. 1 4 ◊8 2

682.

1 kg = 10 dkg 10

683. 25

1 kg 6

Ê1 3 684. Á + + Ë2 5

1ˆ 189 ˜ ◊7 = ¯ 4 20

45 l tejet isznak meg. Ha egyenlôen 100 9 1 osztoznának, naponta 4 dl-t fogyasztanának külön-külön, ami l. 20 2

3 24 685. Katiéknál: 3 : 15 = 5 100

1 hét alatt 9

24 dkg-ot fogyasztottak átlagosan.

1ˆ 12 4 16 Ê 3 Jutkáéknál: Á 3 - 1 ˜ : 15 = = = Ë 5 5¯ 75 25 100 fogyasztottak.

686. 161 ◊ 26

1 = 55 ◊ x 4

x = 76

Átlagosan

4 kg = 16 dkg cseresznyét 25

37 (m) 44

101

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 2165 Ê 4 35 ˆ 687. Á 60 - ˜ : 2 = 21 db 2 kg-os csomag készíthetô. Ë 5 2¯ 100

688. x ◊ 9 = 33 689.

1 4 = 8 15

x=

32 2 =2 15 15

175 7 = 21 8 8

692. Pisti 287

693.

41 8 =3 11 11

x=

3 m 1 öltöny 1 38 m x öltöny 4 1 153 3 x = 38 : 3 = = 12 12 4 4 1 38 m szövetbôl 12 öltöny szabható ki. 4

690. x ◊

691.

6 11

1 kg szôlôt szedett. 2

3 4 2 ◊ 25 + 3 ◊ 18 = 83 5 5 5

1 4 1 694. 2 ◊ 4 - 3 = 5 4 5 5

A zsákmány 83

Édesanya 5

4ˆ 2 Ê 5 695. x - Á10 - 3 ˜ = 33 ◊ 3 Ë 8 7¯ 27 3ˆ Ê 696. 2 x + Á x + 2 ˜ = 26 Ë 4¯

x=7

A háromszög alapja 10

697. 9

699. 2

102

1 dm = 25 cm 2

1 kg-mal többet vitt haza. 5

x = 106

139 504

3 4

1 3 cm, szárai 7 cm hosszúak. 2 4

13 20

698. A harmadik oldal 12

2 kg. 5

1 cm. 20

VEGYES FELADATOK 700. 2

3 m = 2375 mm 8

701. 1

2 dm = 140 mm 5

702. A feladat megoldható egyenlôtlenséggel (a)) vagy anélkül (b)). a) Menetidô (perc) Vásárlási idô (perc) Összes idô (perc) 560 =8 A x ¤ 15 8+ x 70 560 =7 B y ¤ 15 7+y 80 7 + y £ 30 8 + x £ 33 y £ 23 x £ 22 15 £ y £ 23 15 £ x £ 22 b) Teljes idô (perc) Menetidô (perc) Vásárlási idô (perc) A 30 8 22 B 30 7 23 Mindkettôjüknek 15 percnél több idejük maradt a vásárlásra, tehát végezhettek zárás elôtt a bevásárlással. 703.

I. a) 5 óra = 300 perc 1 b) 20 perc = óra 3 c) 20 perc = 1200 mp d) 3 óra = 180 perc 5 e) 90 perc = 1 óra 10 1 f) 1 óra = 90 perc 2 1 g) 66 mp = 1 perc 10 1 h) 72 mp = 1 perc 5 1 i) 1 óra = 75 perc 4

II. 5 óra < 500 perc 1 20 perc > óra 5 20 perc > 120 mp 3 óra < 200 perc

1 óra < 120 perc 2 1 66 mp < 1 perc = 70 mp 6 7 72 mp > perc = 70 mp 6 1 1 óra < 125 perc 4 1

704. ª 5 év 5 hónap 2 hét (+ 3 nap) 705. Ugyanolyan gyorsan haladtunk, mert 1 óra 40 perc = 100 perc. 706.

3 7 3 2 1 3 5 h> h> h> h> h> h> h 2 6 6 5 3 12 24

103

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 707.

1 5 4 2 3 4 9 h< h< h= h< h< h< h 8 4 5 3 6 3 12

708.

idôpont (h, min)

835

6 49 14 07 1515 18 42

827 19 36

idô az indulásig (min)

25

11

33

709. a) ª = 60 710. a)

« < 12

b) ª = 35 b)

53

c) ª = 120

« > 12

c)

« > 120

45

18

d) ª = 45 d)

« < 16

24

e) ª = 30 e)

« < 33

f) ª = 3 f)

« > 60

711. A tört értéke 9-szeresére változik. 712. A tört értéke negyedére változik. 713.

714.

3 rész 273 oldal 4 3 4 Az egész 273 : = 273 ◊ 4 3 A könyv 364 oldalas.

vagy

3 rész 273 oldal 4 1 rész 91 oldal 4 4 rész 91 oldal ◊ 4 = 364 oldal. 4

3 5 25 6 5 25 ◊100 dkg ª 139 dkg. kg ◊ = kg = rész kg, az egész 5 6 18 5 3 18 139 dkg narancsot vettünk és közelítôleg 83 dkg-ot ettünk meg.

715. x kg méz fér az üvegbe,

3 részig töltöttük. 5

1 kg az üres üveg 4 3 1 8 x+ = 5 4 5 27 3 27 5 9 x= : ; x= ◊ ; x= 20 5 20 3 4 2

716. 2

1 kg mézet vettünk volna. 4 1 óra alatt ketten 2

1 óra alatt ketten 1 óra alatt egyedül

104

1 2 m 4 1 1 29 2 1 m = 14 m 2 36 m 2 : 2 = 4 2 2 2 29 2 29 2 1 2 m :2 = m =7 m 2 4 4 36

VEGYES FELADATOK 717. 1 tégla tömege x kg 1 3 1 3 tégla tömege 10 kg - 1 kg = 8 kg 2 4 4 1 3 3 ◊x =8 2 4 35 7 : x= 4 2 5 x= 2 1 tégla tömege 2

1 kg. 2

1 ˆ 3 Ê 1 718. Á 2 + 3 ◊ 2˜ : = 12 Ë 2 4 ¯ 4

719. a)

A család 12 tagú.

3 1 m tömege 5 g 4 4 1 12 m tömege x g 2 1 Ê 1 3ˆ x = Á 5 : ˜ ◊12 Ë 4 4¯ 2 1 x = 87 (g) 2 1 1 12 m huzal tömege 87 g. 2 2

1 Ê 1 3 ˆ 25 1 1 b) 12 ◊ 3 ◊ Á 5 : ˜ = ◊ 3 ◊ 7 = 262 (g) A felhasznált huzal tömege 262 g. 2 Ë 4 4¯ 2 2 2

c)

3 m 4

1 21 g g= 4 4 21 3 1m g: =7 g 4 4 7g 1m 280 g = 7 g ◊ 40 1 m ◊ 40 = 40 m 5

40 m huzalt vásároltunk. 5 1 720. a) rész 82 l 8 2 1 33 rész l 8 2 264 l = 132 l. 2 A tartály 132 literes.

Az egész

5 r 8

85 l - 2

1 l 2

105

MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL 3 dm 5 3 b = 8 dm 4 c= V = 132 dm 3

b) a = 5

V = a◊b◊c 28 35 132 = ◊ ◊c 5 4 132 34 =2 c= 49 49

A tartály mélysége 2 c) Az egész 7 rész 15

132 l 132 l ◊

A tartályban 61

721.

3 dm3 tömege 5 7 dm3 15

34 dm ª 27 cm. 49 7 6 = 61 l = 61 l 6 dl 10 15

6 l víz van. 10

17 kg 25 Ê 17 3 ˆ 7 117 5 7 91 364 ◊ ◊ = = (kg) Á4 : ˜ ◊ = Ë 25 5 ¯ 15 25 3 15 25 100 468 364 104 = A kocka tömege több. (kg) 100 100 100 117 3 117 5 39 8 : = ◊ = =7 Sûrûség = 25 5 25 3 5 10 A testek anyaga vas.

1 722. 3 h alatt 3

1h 3 km 4 1 349 km 5 72

4

1 km 2 485 10 485 3 3 : = ◊ = 72 (km) 2 3 2 10 4

242

1h

1746 291 4 : =4 (h) 5 4 5 3 1 4 1 óra alatt átlagosan 72 km-t tesz meg az autó. A 349 km-es utat 4 óra alatt teszi 4 5 5 meg, ami 288 perc.

106

HATVÁNYOZÁS 723. a) 54

b) 26

c) 35

724. a) 22 = 2 ◊ 2 = 4 e) 256

f) 1024

4

i) 3 = 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81 725. a) 25 726. a) b) c)

b) 125 2 2

2

f) 105

b) 23 = 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8

c) 32

d) 64

2

2

g) 3 = 3 ◊ 3 = 9

h) 3 = 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27

j) 243

k) 6561

l) 59 049

c) 625

d) 3125

e) 15 625

f) 390 625

2 3

2

2 2

4

e) 1024

f) 625

2

2

2

6

2 3

d) 36 = 93

j)

e) 74

(2 ) = 2 ◊ 2 = 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16 (2 ) = 2 ◊ 2 ◊ 2 = 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 2 = 64 d) (3 ) = 3 = 729 (3 ) = 3 = 81

727. a) 23 = 8 < 32 = 9

g)

d) 63

5 2

2 5

2 5

2

(2 ) = (2 ) (3 ) > 5 ◊ 3

6

( )

2

b) 2 5 > 2 4

c) 4 2 = 2 2

e) 28 > 82 = 2 6

f) 28 = 4 4

h) 3 ◊ 23 > 2 ◊ 32

i) 5 ◊ 2 5 > 2 ◊ 52

3

( )

k) 3 ◊ 23 < 23

= 24

l) 6 2 = (2 ◊ 3)2 = 2 2 ◊ 32 = 32 ◊ 4

728. a) 100 d) 1 000 000

b) 1000 e) 100 000 000

c) 10 000 f) 10 000 000 000

729. a) 104 = 10 000 d) 1 000 000 g) 10

b) 105 = 100 000 e) 10 000 h) 108 = 100 000 000

c) 10 000 000 f) 1000

730. a) 24 = 16

b) (2 ◊ 5)2 = 100

c) 216

3

d) (2 ◊ 5) = 1000 8

g) 2 = 256 j) 81 1 1 1 ◊ = 3 3 9 1 1 1 1 1 d) ◊ ◊ ◊ = 2 2 2 2 16

731. a)

4

e) (2 ◊ 5) = 10 000 6

f) 1

h) 3 = 729 k) 128

i) 625 l) 8

b) 1

c)

e)

1 1 1 1 ◊ ◊ = 2 2 2 8

1 3 1 1 1 f) ◊ = 2 2 4

107

HATVÁNYOZÁS 732. a) 3-1

b) 3-2

c) 5-2

d) 2-5

e) 2-4

f) 3-3

-1

-2

-3

-4

-5

l) 2-6

g) 2

h) 2

i) 2

j) 2

k) 2

733. a) a-1

b) b-1

c) c-3

d) d -1

e) e-4

f) f -2

734. a) 20

b) 24

c) 25

d) 26

e) 2-2

f) 2-4

735. a) 32

b) 33

c) 34

d) 30

e) 3-2

f) 3-3

736. a) 3x = 81 3x = 3 4 x=4 g) x = 3

b) 2x = 128 2x = 2 7 x=7 h) x = 4

c) 2x = 1024 d) x = 2 2x = 210 x = 10 i) x = 6 j) x = 5

e) x = 6

f) x = 3

k) x = 0

l) x = 0

1 16 2 x = 2 -4 x = -4 e) -1

b) 2 x =

1 4 x 2 = 2 -2 x = -2 f) -5

j) 0

k) nincs megoldás

737. a) 2 x =

738. a) 2 x = 4 2

b) 2 2 x = 8 4

( )

2 x = 22

1 8 x 2 = 2 -3 x = -3 g) -1

c) 2 x =

2

d) 2 x = 0 nincs megoldás

h) -2

i) -4

l) -3

c) 23 x = 8 4

( )

2 2 x = 23

4

23 x = 212 x=4

2x = 24 2 2 x = 212 x=4 x=6 Írjuk fe az egyenlet jobb oldalát is 2 hatványaként! d) 8 e) 4 f) 6

739. Írjuk fel a számok hatványát a változó kitevôjével azonos kitevôjû hatvány alakjában!

( )

a) x 2 = 33

2

x = 27

128 6561 78 125 486 000

741. a) 23 = 8 f) 26 = 64 k) -36 = -729 4

p) 3 = 81

108

x=4 e) 7 = 2401 j) 8 4

d) 9 i) 4 740. a) f) k) p)

3

( )

b) x 3 = 2 2

b) g) l) q)

2048 512 9 765 625 405 000

b) 25 = 32 g) 22 = 4

( )

c) x 4 = 2 2

4

x=4 f) 9 k) 27 c) h) m) r)

1024 32 768 2 000 000 72 000

c) 27 = 128 h) 26 = 64

l) -36 = -729 m) 35 = 243

g) 8 l) 16

h) 27

d) 729 e) 177 147 i) 1024 j) 390 625 n) 160 000 000 o) 2 430 000 d) 24 = 16 i) (-3)4 = 81

e) 25 = 32 j) (-3)3 = -27

n) 30 = 1

o) 35 = 243

HATVÁNYOZÁS 742. a) 32 ◊ 22 = (3 ◊ 2)2 = 62 = 36

b) (2 ◊ 3)3 = 216

c) -(2 ◊ 3)4 = -1296

d) 7776

3

e) -(5 ◊ 2) = -1000 g) 100 000

f) 1000 h) 10 000

743. a) 26 ◊ 56 = (2 ◊ 5)6 = 1 000 000

b) 34 ◊ 25 = 64 ◊ 2 = 1296 ◊ 2 = 2592 d) 55 ◊ 25 = 105 = 100 000

c) 7776 e) 23 ◊ 23 ◊ 53 = 8000 5

f) 10 000

3

h) 23 ◊ 53 ◊ 33 = 27 000 j) 72 000 l) 270 000

g) 3 ◊ (2 ◊ 5) = 243 000 i) 675 000 k) 81 000 744. a) 72 = 49 g) 81

745. a) 105 g) 8 j)

746. a)

b) 53 = 125

c) 112 = 121 d) 70 = 1 1 i) 19 j) 9

e) 31 = 3 1 k) 5

b) 150

c) 12

e) 10

h) 2

i)

h) 1

53 ◊ 7 4 ◊113

l) 16

f)

25 4

( -2)2 ◊ 3 ◊ ( -2)2 ◊ 52 - 2 ◊ 5 10 = =3 2 3 3 ( -2 ) ◊ 3 ◊ 5

( -3)3 ◊ 23 ◊ ( -5)3 - 3 ◊ 2 6 = = -5 5 ( -3)2 ◊ 2 2 ◊ ( -5)4 54 ◊ 7 4 ◊114

d) 42

f) 23 = 8

= 55

k) 270

l)

2 6 ◊ 34 ◊ 52 9 = 2 6 ◊ 32 ◊ 53 5

b)

( -5)7 ◊ 34 ◊ 23 ( -5)2 ◊ 2 2 100 = = 9 ( -5)5 ◊ 36 ◊ 2 32

c)

33 ◊ 54 ◊ 75 = 3 ◊ 5 ◊ 72 = 735 32 ◊ 53 ◊ 73

d)

2 5 ◊ 33 ◊ 55 ◊ 72 = 2 2 ◊ 3 ◊ 52 = 300 53 ◊ 72 ◊ 32 ◊ 23

e)

2 5 ◊ 34 ◊ 55 1 = 7 6 5 36 2 ◊3 ◊ 5

f)

2 4 ◊ 35 ◊ 55 =1 2 4 ◊ 35 ◊ 55

747. a) a1 = -8; a2 = 8

b) b1 = -6; b2 = 6

c) c1 = -3; c2 = 3

d) d1 = -4; d2 = 4

e) e1 = -5; e2 = 5

f) f1 = -9; f2 = 9

g) g1 = -7; g2 = 7

h) h1 = -10; h2 = 10

i) i1 = -11; i2 = 11

j) j1 = -12; j2 = 12

k) k1 = -1; k2 = 1

l) l1 = -13; a2 = 13

3 3 748. a) - ; 4 4 5 5 e) - ; 10 10

2 2 b) - ; 9 9 8 8 f) - ; 10 10

7 7 c) - ; 9 9 15 15 g) ; 100 100

6 6 d) - ; 5 5 2 2 h) ; 100 100

109

HATVÁNYOZÁS i) -

7 7 ; 11 11

j) -

749. a) -4; 4

1 1 ; 12 12

k) -

2 2 ; 13 13

l) -

3 3 ; 14 14

b) -2; 2

c) -0,4; 0,4

d) -0,2; 0,2

e) -0,04; 0,04

f) -0,02; 0,02

g) -0,004; 0,004

h) -0,002; 0,002

i) -0,09; 0,09

j) -0,001; 0,001

k) -0,006; 0,006

l) -0,011; 0,011

750. a) a = 5 g) 0,005

b) b = 3 h) 0,003

751. a) 8 g) 6,93

b) 9 c) 0,5 d) 0,3 h) 126 = 1,26 ◊ 102 = (1,12 ◊ 10)2; 11,2

c) c = 0,5

d) d = 0,3

k) 128 = 1,28 ◊ 102 = (1,13 ◊ 10)2 = 11,32; 11,3 m) 564 = 5,64 ◊ 102; 2,37 ◊ 10 = 23,7

e) e = 0,05

f) 0,03

e) 2,5 i) 7,94

f) 7,28 j) 9,95

l) 625 = 252; 25

n) 256 = 2,56 ◊ 102; 1,6 ◊ 10 = 16

o) 279 = 2,79 ◊ 102 = (1,67 ◊ 10)2; 16,7 752. a) 8 cm f) 23,4 dm l) 37,1 m

b) 9 cm g) 19,9 dm

753. a) 2,5 dm f) 1,1 dm l) 330 dm

b) 60 mm = 0,6 dm g) 1,3 dm h) 140 dm

110

c) 9,64 cm ª 9,6 cm h) 60 dm i) 15 m c) 90 dm i) 30 dm

d) 12,8 cm j) 17,8 m

e) 80 dm k) 27 m

d) 60 dm j) 270 dm

e) 0,8 dm k) 290 dm

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása 754. a) Két egész hét tized; kilenc tized; három egész huszonnégy század; hetvenkét század; öt egész száztizenkét ezred; ötszázhetvenegy ezred b) négy egész hét század; kilenc század; tíz egész egy század; tizenkettô egész tizenkettô ezred; három egész száztinezöt tízezred; kilenc ezred c) százkettô egész százkettô ezred; tíz egész kétezer-egy tízezred; két egész kilenc ezred; negyvenegy egész hetvennégy tízezred; százegy tízezred d) három egész százhuszonháromezer-négyszázötvenhat milliomod; háromszáztizennégy százezred; kétszáz egész kétezer-kettô tízezred; ezerkilencszázkilencvenkettô százmilliomod 755. a) 13

5 = 13,05 100

b) 12,0032 = 12

32 10 000

c)

7 = 0,007 1000

5 7 59 + e) 2 = 2,059 10 1000 1000 72 5 f) 74,7205 = 74 + + 100 10 000

d) 3,507 = 3 +

756. a) 3,47

b) 0,195

c) 4,506

d) 71,0214

757. a) 21,5 g) 0,4172

b) 3,2 h) 7,09

c) 3,07 i) 17,12

d) 4,24

758.

Tízes

Százas

e) 0,412

Egyes

,

Tized

Század

0

,

2

5

0

,

6

1

,

8

0

,

6

2

0

,

2

4

f) 17,9

Ezred 1 4 3 0,6 = 5 9 1,8 = 5 5 0,625 = 8 6 0,24 = 25 0,25 =

5

111

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL Százas

759.

Tízes

Egyes

,

Tized

Század

1

,

4

8

7

,

5

9

,

3

7

2

,

7

5

0

,

1

5

3 7 1 = 0,75 ; = 0,875 ; = 0,5 ; 4 8 2 72 37 9 = 2,88 ; = 0,74 ; = 2,25 25 50 4 Növekvô sorrendben:

4 = 0,8 ; 5

Ezred

13 = 0,65 ; 20

5

340 = 13,6 ; 25

1 13 37 3 4 7 6 9 72 340 < < < < < < < < < 2 20 50 4 5 8 5 4 25 25 2 4 9 3 7 = 0 ,4 ; = 0,032 ; = 0,45 ; = 0,375 ; = 0,14 5 125 20 8 50 9 2 3 7 4 > > > > 20 5 8 50 125 17 21 7 51 36 b) = 2,125 ; = 4,2 ; = 1,75 ; = 1,275 ; = 1,44 8 5 4 40 25 21 17 7 36 51 > > > > 5 8 4 25 40

760. a)

1 5 11 3 3 = -0,5 ; = -0,55 = 0,6 ; - = -0,625 ; = 0,75 ; 2 8 20 5 4 5 11 1 3 3 - <<- < < 8 20 2 5 4 b) Tizedes tört alak: 8,16; 8,25; -1,7; 0; -1,35

761. a) -

34 14 204 1 < -1 <0< <8 20 40 25 4 5 1 1 3 19 c) - 7 < -4 < -2 = - < -1 5 2 8 8 20 -

112

37 25 15 7,5 = 2 75 9,375 = 8 11 2,75 = 4 3 0,15 = 20

1,48 =

6 = 1,2 ; 5

TIZEDES TÖRTEK ÍRÁSA, OLVASÁSA, ÖSSZEHASONLÍTÁSA 762.

5101 110 100 5101 100 10 7 202 7 10 100 100 4 11 1000 100

763. a) 3,7000 = 3,7; 3,700 = 3,7; 3,70 = 3,7 b) 0,012400 = 0,0124; 0,01240 = 0,0124; 0,0124000 = 0,0124; 0,01240000 = 0,0124 c) 3,70400 = 3,704; 3,7040 = 3,704; 3,704 764. a) 1,200 = 1,2 d) 75,750 = 75,75

b) 0,70 = 0,7 e) 8,120 = 8,12

c) 12,100 = 12,1 f) 0,420 = 0,42

765. a) 0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000; 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000; 0,2 = 0,20 = 0,200 = 0,2000 b) 10,5 = 10,50 = 10,500 = 10,5000; 101,4 = 101,40 = 101,400 = 101,4000; c) 6,7 = 6,70 = 6,700 = 6,7000; A többi hasonlóan bôvíthetô.

0,9 = 0,90 = 0,900 = 0,9000; 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000; 100,5 = 100,50 = 100,500 = 100,5000; 103,3 = 103,30 = 103,300 = 103,3000 1,6 = 1,60 = 1,600 = 1,6000

766. Hasonlóan az elôzôekhez. 767. a) 3,5 = 3,50 d) 72,4 < 724,0

b) 6,100 > 6,01 e) 0,100 = 0,1

c) 10,10 = 10,1 f) 0,7 > 0,070

768.

Legnagyobb: 7,120 = 7,12 (vagy nincs legnagyobb). 769.

a) 31,4 = 31,40 b) 0,314

113

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL c) d) e) f)

A legkisebb szám a 0,314, a legnagyobb a 31,4 = 31,40. 31,4 = 31,40 > 3,14 > 3,1 > 3,014 > 3,01 > 0,314 0,314 < 3,01 < 3,014 < 3,1 < 3,14 < 31,4 = 31,40 31,4 = 31,40

770. a) 0,005 < 1,005 < 1,050 < 1,5 < 10,005 < 10,05 < 10,5 b) 0,003 < 0,3 = 0,30 < 3,003 < 3,03 < 3,3 < 30,03 < 30,3 771. a) 66,6 > 66,06 > 60,6 > 60,06 > 6,6 > 6,06 > 6,006 b) 0,21 = 0,210 > 0,201 > 0,021 > 0,0021 > 0,0012 772. 6 5 13 10

700 3 600 ; ; = 0,6 = 1000 5 1000 12 480 9 3 300 ; = = = 25 1000 30 10 1000

773. a) 0,7 =

0,16 <

6 2 400 ; = = 15 5 1000

0,16 =

160 ; 1000

1,423 =

9 6 12 3 < < < < 0,7 < 1,423 30 15 25 5

Vagy a (közönséges) törteket tizedes törtté alakítjuk. b)

3 4 12 4 = 0,75 ; = 0,8 ; == = 0,8 4 5 15 5 3 4 12 0,25 < 0,5 < < = = 0,8 < 1,75 4 5 15

c) Alakítsuk a törteket tizedes törtté! 7 1 3 0,12 < < < < 0,82 < 1,033 < 1,33 50 4 6 d) 0,16 < 0,6 < 0,606 < 0,66 <

774. a) 250 m < 0,5 km = b) 350 m;

114

3 12 < < 1,4 4 10

1 1 3 km < 600 m < km < 1 km < 1320 m < 1750 m 4 2 4

1 3 4 km; 700 m; 750m = km; km; 1,2 km; 1250 m 2 4 5

1423 ; 1000

TIZEDES TÖRTEK ÍRÁSA, OLVASÁSA, ÖSSZEHASONLÍTÁSA 1 1 3 5 kg = 25 dkg; kg = 5 dkg; kg = 75 dkg; kg = 25 dkg 4 20 4 20 A csökkenô sorrend 3 5 1 1 kg = kg > 16 dkg > 15 dkg > 6 dkg > kg 0,8 kg > kg > 4 20 4 20 4 3 1 3 b) 875 g > kg = 0,8 kg > 75 dkg = kg > kg > 0,4 kg > kg 5 4 2 25

775. a)

776. a) 3 m 2 dm 8 cm = 3,28 m b) 4,34 m f) 7,97 m g) 5,022 m h) 11,46 m 777. a) 2,709 kg ª 2,71 kg

c) 12,571 m d) 0,783 m i) 6,19 m

b) 9,01 kg

e) 10,08 m

c) 1,515 kg ª 1,52 kg

d) 0,070 kg = 0,07 kg e) 1,037 kg ª 1,04 kg g) 10,20 kg = 10,2 kg h) 1,010 kg = 1,01 kg i) 5,200 kg = 5,20 kg = 5,2 kg

f) 5,040 kg = 5,04 kg

778. 779. a) 1 cm-es beosztást célszerû készíteni b) 780. a) 0,72 ª 0,7; -0,58 ª -0,6; 1,21 ª 1,2; 0,793 ª 0,8; -1,03 ª -1 Ábrázoljuk a kerekített értékeket és így olvassuk le a növekvô sorrendet! b) 0,317 ª 0,3; -0,31 ª -0,3; 2,02 ª 2; -1,92 ª -1,9; -0,87 ª -0,9 781. Mérôszalagon jelölhetjük 10 centiméterenként az egészeket. Így a 0,125 helye a 0-tól 1 3 jobbra 1 cm távolságra van, a -0,375 helye pedig a 0-tól balra 3 cm-re található. Ha 4 4 a füzetünkben pl. 8 négyzetoldal egy egység, akkor 0,21; -0,9; 2,85 helyét csak közelítôleg jelölhetjük, a többi számét pontosan.

Tizedes törtek összeadása, kivonása 782. a) 5,948

b) 19,36

783. a) 781,77 g) 85,0687

b) 4005,126 c) 25,003 d) 3,7084 h) 153,269 i) 321,4567

e) 27,748

784. a) 28,96

b) 231,269

c) 183,758

e) 201,3912 f) 216,3659

785. a)

b) 14,023 6 ,4 0,09 20,513

c)

3,12 0,032 21,03 24,182

c) 58,79

d) 539,39

d) 169,119

f) 1101,111

25,003 103,043 5,07 133,116

115

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 786. a) 73,337

b) 117,839

c) 69,992

787. a)

b)

c) 20,46 0,5 1,707 0,172 22,839

4,9 30,25 0,045 70,070 105,265

0,12 12,6 7,051 1,8 21,571

d) 42,999

e) 8,937

f) 100

788. a) 3,3 g) 11,12

b) 0,32 c) 13,22 h) 1331,317

d) 1271,22

e) 0,32

f) 2,951

789. a) 4,64 g) 18,813

b) 0,149 h) 179,28

c) 558,82

d) 3,21

e) 0,675

f) 3,216

790. a) 11,18

b) 35,18

c) 4,07

d) 0,444

791. a) 0,487 g) 0,111

b) 8,63 h) 0,171

c) 2,04 i) 5,275

d) 17,86 j) 11,941

e) 3,532 k) 19,7109

f) 50,641 l) 1991,007

792. a) 566,44

b) 88,74

c) 34,09

d) 62,03

e) 0,95

f) 8,86

793. a) 33,351

b) 18,387

c) 11,58

d) 32,15

e) 38,988

f) 62,627

794. 3,728 kg ª 373 dkg; 3728 g 795. a) 0,32 ª 0,3; 31,47 ª 31,5; 3,82 ª 3,8; 9,51 ª 9,5; 0,07 ª 0,1 b) 3,19 ª 3,2; 2,03 ª 2,0; 0,04 ª 0,0; 9,69 ª 9,7; 9,99 ª 10,0 796. a) 2,117 ª 2,12 2,117 ª 2,1 2,117 ª 2

3,071 ª 3,07 3,071 ª 3,1 3,071 ª 3

14,1047 ª 14,10 14,1047 ª 14,1 14,1047 ª 14

171,999 ª 172,00 171,999 ª 172,0 171,999 ª 172

b) 17,069 ª 17,07 17,069 ª 17,1 17,069 ª 17

1,0009 ª 1,00 1,0009 ª 1,0 1,0009 ª 1

0,978 ª 0,98 0,978 ª 1,0 0,978 ª 1

10,908 ª 10,91 10,908 ª 10,9 10,908 ª 11

c) 3,033 ª 3,03 3,033 ª 3,0 3,033 ª 3

3,719 ª 3,72 3,719 ª 3,7 3,719 ª 4

19,921 ª 19,92 19,921 ª 19,9 19,921 ª 20

99,999 ª 100,00 99,999 ª 100,0 99,999 ª 100

797. a) becslés: 12 m; számítás: 12,32 m = 123,2dm b) becslés: 5 dm + 6 dm = 11 dm; számítás: 10,38 dm = 103,8 cm c) becslés: 17 cm; számítás: 16,59 cm = 165,9 mm 798. a) b) c) d) e)

116

b: 3,0 hl b: 1,4 hl b: 54 l b: 48 l b: 4 l

sz: 3,014 hl = 301,4 l sz: 1,395 hl = 139,5 l sz: 54,23 l sz: 47,74 l = 477,4 dl sz: 4,25 l = 425 cl

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA 799. a) pl.: -2,9; -2,1; -1,3; -0,5; 0,3; 1,1; 1,9; 2,7; 3,5 0,8-et adunk az elôzô elemhez, így kaphatjuk a sorozat egy újabb elemét. b) pl.: -1,5; -1; -0,4; 0,3; 11 , ; 2; 3; 4,1; 5,3 c) pl.: 10,23; 10,16; 10,1; 10,05; 10,01; 9,98; 9,96; 9,95; 9,95 Szabály: Mindig 0,01-dal kevesebbet vonunk ki. 800. a) 11,34 b) Az elsô oszlop második száma. 11,34 - (3,78 + 3,82) = 3,74 c) 34,02 801. a)

3,84 3,7 3,8 3,74 3,78 3,82 3,76 3,86 3,72

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 z 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6

b)

802. a) ª < 2,3

b) ª < 2,78

c) ª = 1,1

d) ª = 1,99

803. 3830,163 804. (92,6 + 28,3 + 0,035) ◊ 100 = 120,935 ◊ 100 = 12 093,5 805. A huzaldarabok hosszának összege 68,19 dm = 6,819 m. Legalább 7 m kell, ha egész métereket vásárolhatunk. 806. A Margit-híd 637,5 m, a Szabadság-híd 331 m, az Erzsébet-híd 380 m. Az Erzsébet híd 49 m-rel hosszabb a Szabadság-hídnál. 807. A Szabadság-híd 20,1 m széles, az Erzsébet-híd 27,5 m széles. 808. 14,5 m hosszú a cölöp. 809. 15,32 m + (15,32 + 17,25) m + (15,32 + 17,25 - 0,9) m = 79,56 m Együttes hossz 79,56 m. Az elsô darab a harmadiktól 16,35 m-rel rövidebb. 810. A második útvonal hosszabb 20,7 km-rel. 811. 200,1 - (84,5 + 30,3) = 85,3 Kecskemét-Szeged távolsága 85,3 km. 812. 1948-ban Németh Imre 56,07 m-es dobással lett a kalapácsvetés olimpiai bajnoka. 1952-ben Csermák József dobása: 60,34 m. 1992. évi barcelonai olimpián az

117

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL aranyérmes dobás: 82,54 m. A 40 évvel elôbbi olimpiai aranyérmet jelentô dobás hossza 22,2 m-rel kevesebb. 813. 4,9 + (4,9 + 9,8) + [(4,9 + 9,8) + 9,8] + {[(4,9 + 9,8) + 9,8] + 9,8} = 78,4 (m) 814. Az egyik szám: 9x. A másik: x. 9 x + x = 0,593 + 2 ,507 10 x = 3,1 x = 0,31 A kisebbik szám 0,31. 815. 100x = 8,1 100x = 0,081

A kisebbik összeadandó 0,081.

816. 29,33 cm - (10,6 cm + 7,23 cm) = 11,5 cm = 115 mm 817. 71,61 m 818. a) 0,6 m ◊ 3 = 1,8 m

b) 1,3 dm ◊ 3 = 3,9 dm

819. a) 4,7 + 4,7 + 4,7 = 4,7 ◊ 3 = 14,1 b) 3,2 ◊ 5 = 16,0 820. a) 9,08

c) 17,55

b) 6,35

c) 1,76

d) 24,72 d) 62,83

821. Használjuk a különbség kivonásáról tanultakat! a) 6,45 b) 2,45 c) 2,28 d) 11,91 822. a) 34 - 15 - 18,08 + 7,072 = 19 + 7,072 - 18,07 = 8,002 b) 0,416 c) 1,085 d) 8,201 823. a) 712 cm - 98 cm = 614 cm

b) 475 cm - 9,8 cm = 465,2 cm

c) 531,6 cm - 423 cm = 108,6 cm 824. a) 2567,5 g b) 387,8 g 825. Volt: x l benzin ( x + 4,5) - 0,7 + 32,7 = 40 x + 36,5 = 40 x = 3,5 Elakadáskor 3,5 l benzin volt a tartályban. 826. a) b) c) d)

7,61 kg (3,27 kg + 0,25 kg) + 4,34 kg = 7,61 kg + 0,25 kg = 7,86 kg 3,27 kg + (4,34 kg + 0,25 kg) = 7,86 kg (3,27 kg + 0,25 kg) + (4,34 kg + 0,25 kg) = 7,61 kg + 0,5 kg = 8,11 kg

827. 25,09 kg + 10,97 kg = 36,06 kg a) (25,09 kg - 4,5 kg) + 10,97 kg = 36,06 kg - 4,5 kg = 31,56 kg

118

TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA b) 25,09 kg + (10,97 kg - 4,5 kg) = 31,56 kg c) (25,09 kg - 4,5 kg) + (10,97 kg + 4,5 kg) = 36,06 kg 828. 14,18 kg dió maradt kint, ez 8,58 kg-mal több, mint amit hazavittünk. a) (14,18 kg + 1,3 kg) - 5,6 kg = 8,58 kg + 1,3 kg = 9,88 kg Most 9,88 kg-mal több dió van kint, mint otthon. b) (14,18 kg + 1,3 kg) - (5,6 kg - 1,1 kg) = 9,88 kg + 1,1 kg 10,98 kg-mal van kint több dió, mint otthon. A különbség nô, ha a kivonandót csökkentjük (változatlan kisebbítendô esetén). c) (14,18 kg + 1,3 kg - 2,3 kg) - (5,6 kg - 1,1 kg) = 10,98 kg - 2,3 kg Most 8,68 kg-mal van kint több dió. A különbség csökken, ha a kisebbítendôt csökkentjük (változatlan kivonandó esetén). d) (15,48 kg - 2,3 kg) - (5,6 kg - 2,3 kg) = 9,88 kg A különbség nem változik, ha a kisebbítendôt és a kivonandót ugyanannyival csökkentjük. 829. Elôször 0,21 m-rel ugrott nagyobbat, másodszor 0,31 m-rel, harmadszor 0,06 m-rel ugrott nagyobbat Józsi mint Gábor. Negyedik eset: (4,96 m + 0,05 m) - (4,48 m + 0,05 m) = 0,21 m. Józsi mindig nagyobbat ugrott, ô gyôzött. 830. 13,52 + 48,78 = 62,3 a) (13,52 + 3,4) + 48,78 = 13,52 + (48,78 + 3,4) = 62,3 + 3,4 b) (13,52 - 4,15) + 48,78 = 13,52 + (48,78 - 4,15) = 62,3 - 4,15 c) pl.: (13,52 + 2,7) + (48,78 + 1,22) = 16,22 + 50 = 66,22 d) pl.: (13,52 - 0,22) + (48,78 + 0,22) = 13,3 + 49 = 62,3 831. 38,43 + 21,85 = 60,28 a) 38,43 + (21,85 - 11,85) = 38,43 - 10 = 28,43 b) (38,43 + 11,57) + 21,85 = 50,00 + 21,85 = 71,85 c) pl.: (38,43 - 0,4) + (21,85 - 1,1) = 38,03 + 21,75 = 58,78 d) pl.: (38,43 + 5,57) + (21,85 - 5,57) = 60,28 832. 26,42 - 19,54 = 6,88 a) (26,42 - 7,5) - 19,54 = 18,92 - 19,54 = -0,62 b) 26,42 - (19,54 + 7,5) = -0,62 c) (26,42 + 3,58) - 19,54 = 10,46 d) 26,42 - (19,54 - 3,58) = 10,46 e) pl.: (26,42 - 1,31) - (19,54 - 1,31) = 6,88 833. 31,47 - 16,5 = 14,97 a) (31,47 + 6,5) - 16,5 = 31,47 - (16,5 - 6,5) = 21,47 b) (31,47 - 10,47) - 16,5 = 4,5

119

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL c) pl.: (31,47 + 2) - (16,5 - 2) = 18,97 d) (31,47 + 2) - (16,5 + 2) = 14,97 834. a) 25,6 + (-25,6) + 7 = 7 b) (-13,13) + (-6,87) + 9,05 + 42,95 + 76,5 = -20 + 52 + 76,5 = 108,5 c) 9,52 + (-4,52) + 18,3 + (-3,3) + 3,792 + (-0,792) = 5 + 15 + 3 = 23 d) 74,5 + 5,5 + (-9,6) + (-0,4) + 4,89 + (-3,51) = 80 + (-10) + 4,89 + (-3,51) = = 84,89 + (-13,51) = 71,38 835. A 834-es feladat megoldásában használt felcseréléseket, csoportosításokat, valamint az összeg, különbség kivonásáról tanultakat alkalmazzuk! a) -509,82 b) 12,7 + 8,6 - 5,7 + 2,9 = 18,5 c) -3,071

d) 49 - 28,07 - 13 + 6,07 = 14

836. Az összeg, különbség hozzáadásáról, kivonásáról tanultakat használjuk. a) 59,99 b) 79,13 c) -16,62 d) 3,31 837. a) 42,683 b) 42,683 c) 42,299 d) 43,683 e) 42,701 a = b, mert összeget tagonként is kivonhatunk. c < b, mert a kivonandót növeltük. d > b, mert a kivonandót csökkentettük. Az a) és b) feladatban a 0,009 kivonandó, az e) feladatban hozzáadandó, a többi számmal ugyanazt a mûveletet végezzük, ezért a + 0,018 = e. 838. a) 12,188

c) 22,172

c) 4,672

839. a) (27,6 + 14,76) + (27,6 - 14,76) = 27,76 ◊ 2 = 55,2 b) (27,6 + 14,76) - (27,6 - 14,76) = 14,76 ◊ 2 = 29,52 c) (35,43 + 18,6) + (35,43 - 18,6) = 35,43 ◊ 2 = 70,86 d) (35,43 + 18,6) - (35,43 - 18,6) = 18,6 ◊ 2 = 37,2

Tizedes törtek szorzása, osztása 840. a) 5 = 50 tized = 500 század = 5000 ezred = 50 000 tízezred 21 = 210 tized = 2100 század = 21000 ezred = 210 000 tízezred 4,3 = 43 tized = 430 század = 4300 ezred = 43 000 tízezred 19,07 = 190,7 tized = 1907 század = 19 070 ezred = 190 700 tízezred b) 7,31 = 73,1 tized = 731 század = 7310 ezred = 73 100 tízezred 4,03 = 40,3 tized = 403 század = 4030 ezred = 40 300 tízezred 4,076 = 40,76 tized = 407,6 század = 4076 ezred = 40 760 tízezred 52,0007 = 520,007 tized = 5200,07 század = 52 000,7 ezred = 520 007 tízezred c) 5,063 = 50,63 tized = 506,3 század = 5063 ezred = 50 630 tízezred 1000,1 = 10 001 tized = 100 010 század = 1 000 100 ezred = 10 001 000 tízezred 0,0048 = 0,048 tized = 0,48 század = 4,8 ezred = 48 tízezred 3,00717 = 30,0717 tized = 300,717 század = 3007,17 ezred = 30 071,7 tízezred

120

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 841. a) 0,7 ◊ 10 = 7 3,5 ◊ 10 = 35 13,9 ◊ 10 = 139 1,47 ◊ 10 = 14,7 29,8 ◊ 10 = 298 0,16 ◊ 10 = 1,6

0,7 ◊ 100 = 70 3,5 ◊ 100 = 350 13,9 ◊ 100 = 1390 1,47 ◊ 100 = 147 29,8 ◊ 100 = 2980 0,16 ◊ 100 = 16

0,7 ◊ 1000 = 700 3,5 ◊ 1000 = 3500 13,9 ◊ 1000 = 13 900 1,47 ◊ 1000 = 1470 29,8 ◊ 1000 = 29 800 0,16 ◊ 100 = 160

b) 13,07 ◊ 10 = 130,7 13,07 ◊ 100 = 1307 13,07 ◊ 1000 = 13 070 A többi szám esetében is hasonlóan járunk el. 0,1992 ◊ 10 = 1,992 0,1992 ◊ 100 = 19,92 0,1992 ◊ 1000 = 199,2 842. a) 98,7 > 9,87 > 0,987 > 0,0987 54,36 > 5,436 > 0,5436 > 0,05436 70 > 7 > 0,7 > 0,07 15,6 > 1,56 > 0,156 > 0,0156 358,26 > 35,826 > 3,5826 > 0,35826 800,18 > 80,018 > 8,0018 > 0,80018 b) 13,07 > 1,307 > 0,1307 > 0,01307 0,07 > 0,007 > 0,0007 > 0,00007... A többi hasonlóan írandó. c) 5 > 0,5 > 0,05 > 0,005 3,05 > 0,305 > 0,0305 > 0,00305... A többi szám tizede, százada, ezrede hasonlóan írható fel. 843. 1,472 m = 14,72 dm = 147,2 cm = 1472 mm 844. Százszor kisebb. 845. Tízezerszerese. 846. Tízszer nagyobb. 847. a) 000375,12 003751,2 037512 375120 d) 00005,31 00053,1 00531 05310 53100

b) 00,07 00,7 07 70 e) 002900 000700 003050 543000 000090

848. a) 7,186 0,0347 0,01259 0,00394 d) 0,692 0,6743 6,7321 0,9738 0,00107 0,05055

b) 0,756 c) 0,03159 0,00807 0,00066 e) 0,431 : 10 = 0,0431 f) 5,768 : 10 = 0,5768 0,967 : 10 = 0,0967 3,88 : 100 = 0,0388 50,505 : 1000 = 0,050505 3,0303 : 1 = 3,0303

849. a) 15,4 m b) 1,15 m

0,937 m 73,773 m

19,92 m 5,555 m

c) 000411,782 004117,82 041178,2 411782 f) 000111700 000080000 885600000 000213200 000011110 1,33372 0,340024 0,0111111 0,00123456 0,002465 0,0001278 0,02351 0,001289 0,000006666 0,001232

20,6 m 0,5757 m

1,025 m 0,01992 m

121

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL c) 7,9 m d) 52 000 m

70,9 m 9000 m

77,77 m 430 m

0,082 m 10 010 m

0,05 m 7m

850. pl.: hm dkm m dm cm mm (100 m) (10 m) 1 7 = 1 m + 7 dm 4 2 = 4 cm + 2 mm 5 8 = 5 dm + 8 cm 3 0 9 = 3 hm + 9 m 309 = 309 m 2 0 0 5 = 2 km + 5 m 5 0 0 5 2 = 5 km + 5 m + 2 dm

km a)

17 dm 42 mm 58 cm 309 m 309 m 2005 m 50 052 dm

b)

3,8 dm 0,42 dm 3,072 m 502,12 dm 6,8 cm 73,07 m 9,6 km 9,6 km 5,009 km 5,009 km 5,009 m 5,009 m

9 9 5

3 0

7

3

0

8 2 7 1 6 7

2 2 8

6 50

851. a) 10 dm; 2 dm; 6 dm 100 cm c) ◊ 2 = 40 cm 5 1000 mm e) ◊ 3 = 375 mm 8 10 000 dm g) ◊ 2 = 2500 dm 8 852. a) b) c) d)

5

3 4 0 2

600 9 9 5 50

9 9

= 3 dm + 8 cm = 4 dm + 2 cm = 3 m + 7 cm + 2 mm = 5 dkm + 2 dm + 12 mm = 6 cm + 8 mm = 7 dkm + 3 m + 7 cm = 9 km + 6 hm = 9km + 600 m = 5 km + 9 m = 50 hm + 9 m = 5 m + 9 mm = 50 dm + 9 mm

b) 1000 m; 125 m; 875 m 1000 mm d) ◊ 3 = 600 mm 5 1000 m f) = 250 m 4 10 000 dm ◊ 6 = 7500 dm h) 8

760 cm = 76 dm = 7 m 6 dm (= 7,6 m) 3480 cm = 348 dm = 34 m 8 dm (= 34,8 m) 110 000 cm = 11 000 dm = 1100 m = 1 km 100 m (= 1,1 km) 101 000 cm = 10 100 dm = 1010 m = 1 km 10 m (= 1,010 km)

853. a) 7500 m = 7,5 km; 10 500 m = 10,5 km (= 1,05 ◊ 101 km); 15 000 dm = 1,5 km; 30 000 dm = 3 km b) 13 800 m = 13,8 km (= 1,38 ◊ 10 km); 27 600 m = 27,6 km (= 2,76 ◊ 10 km); 13 800 dm = 1,38 km; 27 600 cm = 0,276 km (= 2,76 ◊ 10-1 km) 854. a) 82 500 cm = 8250 dm = 825 m (= 8,25 ◊ 102 m) 82 500 mm = 825 dm = 82,5 m (= 8,25 ◊ 10 m)

122

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA b) 399 500 cm = 3995 m = 3,995 km 399 500 dm = 39 950 m = 39,95 km (= 3,995 ◊ 10 km) c) 7500 mm = 7,5 m; 750 cm = 7,5 m; 75 dm = 7,5 m d) 15 000 mm = 15 m; 1500 cm = 15 m; 150 dm = 15 m 855. a) 65 000 dm = 6500 m = 6,5 km 65 000 cm = 650 m = 0,65 km 65 000 mm = 65 m = 0,065 km b) 4900 mm = 4,9 m 490 cm = 4,9 m 49 dm = 4,9 m c) 1 000 000 cm = 100 000 dm = 10 000 m = 10 km vagy 106 cm = 105 dm = 104 m = 101 km d) 72 000 000 cm = 7 200 000 dm = 720 000 m = 720 km vagy 7,2 ◊ 107 cm = 7,2 ◊ 106 dm = 7,2 ◊ 105 m = 7,2 ◊ 102 km 856. a) 7 m; 11 m; 15 m; 19 m; 23 m; ...; 47 m; 51 m; 55 m; 59 m; 63 m b) 2,82 m; 3,32 m; 3,82 m; 4,32 m; 4,82 m; ...; 6,82 m; 7,32 m; 7,82 m; 8,32 m; 8,82 m c) 22 dm; 19 dm; 17 dm; 16 dm; 16 dm; ...; 37 dm; 44 dm; 52 dm; 61 dm; 71 dm; Balról jobbra haladva mindig 1-gyel nagyobb számot adunk hozzá. Az elsô hosszáadandó -3. d) 0,5 cm; 1 cm; 2 cm; 4 cm; 8 cm; ...; 512 cm; 1024 cm; 2048 cm; 4096 cm; 8192 cm; 1 1 1 km; e) 19 638 km; 6561 km; 2187 km; 729 km; 243 km; ...; km; km; 3 9 27 1 1 km; km 81 243 857. a) Ugyanazt a mennyiséget fejeztük ki m ill. dm mértékegységekkel. A dm-ben kifejezett mennyiség mérôszáma 10-szer akkora, mint a m-ben kifejezetté. b) A lehetô legnagyobb és az eredeti mértékegység segítségével fejezzük ki a mennyiségeket úgy, hogy a mérôszámok egész számok legyenek. b) a) be ki m dm 75 dm 7 m 5 dm 4 40 1300 cm 13 m 0,5 5 105 mm 1 dm 5 mm 1 = 0,25 2,5 200 cm 2 m 4 62 dm 6 m 2 dm 2 602 cm 6 m 2 cm 1 = 1,4 14 5 55 dm 5 m 5 dm 19 1,9 1707 cm 17 m 7 cm 2 0,2 3003 mm 3 m 3 mm 7,5 0,75 5,05 50,5

123

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 858. a) 5 km2 = 5 ◊ 1000 m ◊ 1000 m = 5 ◊ 106 m2 0,5 km2 = 5 ◊ 105 m2 0,05 km2 = 5 ◊ 104 m2 0,005 km2 = 5 ◊ 103 m2 859. a) 3 m2 = 3 ◊ 104 cm2 0,3 m2 = 3 ◊ 103 cm2 0,03 m2 = 3 ◊ 102 cm2 0,003 m2 = 3 ◊ 10 cm2

b) 2,5 km2 = 2,5 ◊ 106 m2 0,25 km2 = 2,5 ◊ 105 m2 0,025 km2 = 2,5 ◊ 104 m2 0,0025 km2 = 2,5 ◊ 103 m2

b) 1,5 m2 = 1,5 ◊ 104 cm2 0,15 m2 = 1,5 ◊ 103 cm2 0,015 m2 = 1,5 ◊ 102 cm2 0,0015 m2 = 1,5 ◊ 10 cm2

860. a) 1,842 m = 1,842 ◊ 103 mm; 18,42 m = 1,842 ◊ 104 mm b) 0,6 m = 6 ◊ 102 mm; 0,06 m = 60 mm = 6 ◊ 10 mm c) 1,2 dm = 120 mm = 1,2 ◊ 102 mm; 12 dm = 1200 mm = 1,2 ◊ 103 mm d) 0,07 dm = 7 mm; 0,7 dm = 70 mm = 7 ◊ 10 mm 861. a) 106 m

b) 107 m 7

e) 9,88 ◊ 10 m

c) 3,2 ◊ 106 m 7

f) 2,76 ◊ 10 m

6

d) 2,1 ◊ 107 m

g) 7,62 ◊ 10 m

h) 9,75 ◊ 106 m

862. a) 16,2 m = 16 200 mm = 1,62 ◊ 104 mm b) 8,16 m = 8160 mm = 8,16 ◊ 103 mm c) 25,06 m = 250,6 dm = 2,506 ◊ 102 dm d) e) f) g)

134,5 m = 13 450 cm = 1,345 ◊ 104 cm 0,012 m = 1,2 cm 0,605 m = 6,05 dm 0,319 m = 319 mm = 3,19 ◊ 102 mm

h) 0,96 m = 960 mm = 9,6 ◊ 102 mm 863. a) c) e) g)

63,5 m = 6350 cm = 635 dm 0,45 km = 450 m = 4500 dm 1,96 m = 19,6 dm = 196 cm 0,107 km = 1070 dm = 10 700 cm

b) d) f) h)

17,32 km = 173 200 dm = 17 320 m 0,03 km = 3000 cm = 30 m 3,05 m = 3050 mm = 305 cm 0,301 m = 30,1 cm = 301 mm

850 = 8,5 A két szorzat egyenlô, csak a szorzandó más alakú. 100 96 22 470 1248 9600 b) = 9,6 c) = 224,7 d) = 1,248 e) = 9,6 10 100 1000 1000 41 040 f) = 410,4 100

864. a)

865. a) 15,04 ª 15,0

124

b) 87,24 ª 87,2

c) 2999,15 ª 2999,2

d) 459,34 ª 459,3

e) 126,48 ª 126,5

f) 2673,56 ª 2673,6

g) 31,5

h) 6816,126 ª 6816,1

i) 228,228 ª 228,2

j) 15,768 ª 15,8

k) 19,72 ª 19,7

l) 673,596 ª 673,6

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 866. a) 54,7 g) 74

b) 8000 h) 0

c) 480

d) 10

e) 314

f) 6240

867. a = 16,5 m; K = 16,5 m ◊ 4 = 66,0 m = 660 dm 868. a) 26,15 m = 0,02615 km c) 2342,75 m = 2,34275 km e) 177,6 m = 0,1776 km

b) 513,76 m = 0,51376 km d) 3922,1 m = 3,9221 km f) 21 169,26 m = 21,16926 km

869. 1 kísérlethez 4,5 g 28 + 1 kísérlethez 4,5 g ◊ 29 130,5 g = 13,05 dkg rézgálicot használtak el. 870. 1 játékhoz 4,5 dm 25 játékhoz 4,5 dm ◊ 25 112,5 dm huzal szükséges, ez 11,25 m. 871. (62,75 - 4,8) ◊ 15 = 57,95 ◊ 15 = 869,25 62,75 ◊ 15 - 4,8 ◊ 15 = 941,25 - 72 = 869,25 A két eredmény egyenlô. Különbséget úgy is szorozhatunk egy számmal, hogy a kisebbítendôt is és a kivonandót is megszorozzuk a számmal, majd elvégezzük a kivonást. 872. 32,38 ◊ 21 + 18,173 ◊ 21 = 679,98 + 381,633 = 1061,613 (32,38 + 18,173) ◊ 21 = 50,553 ◊ 21 = 1061,613 873. 1 kocka tömege 7,8 kg 12 kocka tömege 7,8 kg ◊ 12 = 93,6 kg 12 ilyen kocka tömege 93,6 kg. 874. 36 kocka tömege 266,4 g = 26,64 dkg. 875. a) 1575 0015,75 0001,575 e) 9315 0931,5 0009,315 876. a) c) e) g) i)

b) 1326 0013,26 0001,326 f) 34368 03436,8 00343,68

22 680 g = 22,68 kg 266,73 dkg = 2,6673 kg 278,76 kg 0,1664 t = 166,4 kg 0,0279 t = 27,9 kg

877. a) 585,25 dl = 58,525 l d) 60 600 ml = 60,6 l 878. a) 3,6 ◊ 18 = 36 ◊ 1,8

c) 984 098,4 009,84 g) 1903,2 0190,32 0019,032 b) d) f) h)

d) 7062 0070,62 0007,062 h) 116,48 011,648 116,48

1206 g = 1,206 kg 348,788 dkg = 3,48788 kg 1,566 kg 0,1605 t = 160,5 kg

b) 286,596 l e) 919,89 cl = 9,1989 l

c) 6,3375 hl = 633,75 l f) 0,7272 hl = 72,72 l

b) 4,2 ◊ 1,2 < 42 ◊ 1,2 tized része

125

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL c) 26,5 ◊ 2,5 > 2,65 ◊ 2,5 tized része

d) 32,8 ◊ 3,8 = 3,28 ◊ 38

e) 0,415 ◊ 6,7 < 41,5 ◊ 0,67 tized része f) 792, 5 ◊ 4,81 > 7,925 ◊ 4,81 század része g) 12,98 ◊ 11,5 = 129,8 ◊ 1,15 h) 397,6 ◊ 0,442 < 39,76 ◊ 44,2 az elsô szorzat a másodiknak tized része i) 217,5 ◊ 33,7 > 217,5 ◊ 3,37 tized része j) 667,7 ◊ 11,9 > 66,77 ◊ 1,19 század része 879. a) 31,25 ◊ 752 < 312,5 ◊ 752 23 500 < 235 000

tízszer nagyobb 211 500-zal nagyobb

b) 0,517 ◊ 41 < 517 ◊ 0,41 21197 , < 211,97

tízszer nagyobb 190,773-del nagyobb

c) 2,02 ◊ 38 = 4,04 ◊ 19 76,76 = 76,76

Az egyik tényezôt kétszeresére, a másikat felére változtattuk.

d) 5,03 ◊ 52 > 10,06 ◊ 5,2 261,56 > 52,312

ötszörös 209,248-del nagyobb

e) 5,1 ◊ 314 = 510 ◊ 3,14 1601,4 = 1601,4

Az egyik tényezôt 100-szorosára, a másikat századára változtattuk.

f) 57,3 ◊ 573 > 5,73 ◊ 53,7 32 832,9 > 307,701

több mint százszorosa 32 525,199-del nagyobb

880. h = 7,25 m; sz = 2,6 m; m = 0,4 m V = h ◊ sz ◊ m V = 7,25 ◊ 2,6 ◊ 0,4 m3 = 7,54 m3 7,54 m3 homok szükséges. 881. 197,05 ◊ 15,2 + 201,5 ◊ 10,07 = 2995,16 + 2029,105 = 5024,265 12,1 t 882. 1 m3 tömege 0,27 m3 tömege 12,1 t ◊ 0,27 0,27 m3 oltott mész tömege 3,267 t. 883. 1 gyerek adott 72,6 Ft - ot 72,6 Ft ◊ 3 3 gyerek 72,6 Ft ◊ 3 ◊1,8 Ajándék ára x Ft Hiányzik 72 ,6 ◊ 3 ◊1,8 - 72 ,6 ◊ 3 = x x = 174,24 Apukától 174 Ft 30 fillért kell kérniük. 884. Sz.: 1 m tömege 1,85 m

126

0,62 kg 0,62 kg ◊ 1,85

V.: 1m tömege 1,3 m

0,4 kg 0,4 kg ◊ 1,3

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA B.: 1 m tömege 0,31 kg 1,6 m 0,31 kg ◊ 1,6 0,62 kg ◊1,85 + 0,4 kg ◊1,3 + 0,31 kg ◊1,6 = 2 ,163 kg A kész kabát tömege 2,163 kg. 885. 237 dkg = 2,37 kg 886. (2,5 dl ◊ 4) ◊ 31 = 310 dl = 31 l 887. K = (12,3 + 12,3 ◊ 1,12) ◊ 2 cm K = 52,152 cm ª 52 cm T = 12,3 ◊ (12,3 ◊ 1,12) cm2 T = 169,4448 cm2 ª 170 cm2

12,3 cm ◊ 1,12

888. 1 db hossza 1,25 m 12 db 1,25 m ◊ 12 = 15 m 1 m ára 22,5 Ft 15 m 22,5 Ft ◊ 15 = 337,5 Ft 15 m szalagot vásároltak, 337,5 Ft-ot fizettek. 889. 119,4 kg 890. (18,5 - 14,7) ◊ 0,6 = 2,28 2,28 km-rel elôzi meg a bátyja Gábort. 891. [14,2 + (14,2 + 2,1)] ◊ 0,25 = 7,625 0,25 óra múlva 7,625 km távol lesznek egymástól. 892. 5 - (4,7 + 16,2) ◊ 0,2 = 0,82 0,82 km-re lesznek egymástól 0,2 óra múlva. 893. 2,04 m az összes hulladék. (Az 1,83 m felesleges adat.) 894. 4,38 kg; 6,57 kg; 11,388 kg; 42,048 kg

összeg: 64,386 kg

895. a) 222,984; 1,21; 222,984 b) 223,329; 92,354; 223,329 c) 1,9728; 7,5608; 1,9728 d) 14,6601; 26,7591; 14,6601 Összeget, különbséget tagonként is szorozhatunk. 896. a) 6,18

b) 4,962

897. a) 3,5 ◊ 19 = 66,5 d) 3,6 ◊ (6 - 13) = -25,2 898. a) 0,0704

b) 0,298

899. a) 0,1 + 11,62 = 11,72 d) 1242,0576

c) 3663,569 d) 149,4396 b) 7,8 ◊ 10 = 78

c) 9,8 ◊ 8,3 = 81,34

e) 7,8 ◊ 8,3 = 64,74

f) 2,7 ◊ 8,3 = 22,41

c) 15,464

e) 30,308

d) 12,74

b) 22,25 + 13,69 = 35,94

c) 5,150061

127

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 900. a) (131,5 + 18,9) ◊ (131,5 - 18,9) = 150,4 ◊ 112,6 = 16 935,04 b) 131,52 - 18,92 = 17 292,25 - 357,21 = 16 935,04 A két szám összegének és különbségének a szorzata egyenlô a két szám négyzetének a különbségével. 901. (23,5 ◊ 0,2 + 138,4) ◊ (23,5 ◊ 0,2 - 138,4) = (4,7 + 138,4) ◊ (4,7 - 138,4) = = 143,1 ◊ (-133,7) = -19 132,47 902. a) (7,306 + 8,9) ◊ ( 7,306 - 8,9) ◊ 5 = 16,206 ◊ (-1,594) ◊ 5 = -129,16182 b) (7,306 + 8,9) ◊ (7,306 ◊ 5 - 8,9 ◊ 5) = 16,206 ◊ (36,53 - 44,5) =16,206 ◊ (-7,97) = = -129,16182 903. a) (0,75 - 0,85) ◊ (0,75 + 0,85) = -0,1 ◊ 1,6 = -0,16 0,752 - 0,852 = 0,5625 - 0,7225 = -0,16 27 Ê 3 6 ˆ Ê 3 6 ˆ 9 Ê 3ˆ b) Á + ˜ ◊ Á - ˜ = ◊ Á - ˜ = Ë 5 5¯ Ë 5 5¯ 5 Ë 5¯ 25 (0,6)2 - 1,2 2 = 0,36 - 1,44 = -1,08 = -

108 27 =100 25

c) 0,175 ◊ 1,075 = 0,188125 0,390625 - 0,2025 = 0,188125 d) 0,8 ◊ 0 = 0 0,16 - 0,16 = 0 904. a) (0,8 - 0,35) ◊ (0,8 + 0,35) = 0,45 + 1,15 = 0,5175 0,64 - 0,1225 = 0,5175 35 ˆ Ê 80 35 ˆ 45 115 5175 Ê 80 + ◊ = Á ˜ ◊Á ˜= Ë 100 100 ¯ Ë 100 100 ¯ 100 100 10 000 16 1225 6400 1225 5175 = = 25 10 000 10 000 10 000 10 000 b) 1,075 ◊ (-0,325) = -0,349375;

349 375 1 000 000

0,140625 - 0,49 = -0,349375 301 Ê 18 25 ˆ Ê 18 25 ˆ c) 2,15 ◊ (-0,35) = -0,7525; Á + ˜ ◊ Á - ˜ = = -0,7525 Ë 20 20 ¯ Ë 20 20 ¯ 400 2

2

324 625 301 Ê 18 ˆ Ê 25 ˆ == -0,7525 0,81 - 1,5625 = -0,7525; Á ˜ - Á ˜ = Ë 20 ¯ Ë 20 ¯ 400 400 400

d) (-0,32) ◊ 0,56 = -0,1792 0,0144 - 0,1936 = -0,1792 905. a) 0,7 ◊

128

3 = 0,7 ◊ 0,75 4

b) 0,92 < 0,9 ◊ 1,2;

0,27-dal

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA

c) 0,8 ◊

Ê 4ˆ d) 0,82 = Á ˜ Ë 5¯

2 > 0,8 2 ◊ 0,4 ; 0,064-del 5

2

906.

a) b) c) a 2 ,5 3,1 4,9 1,8 0,8 1,3 b (a + b)(a − b) 3,01 8,97 22 ,32 3,01 8,97 22 ,32 a2 − b2

d) 0,6 0,2 0,32 0,32

907.

x 0,8 1,9 0,7 - 0,2 1,2 - 6,7 y 11 , 0,2 1 - 1,6 -4 1,3 ( x + y )( x - y ) - 0,57 3,57 - 0,51 - 2,52 - 14,56 43,2 x 2 - y2 - 0,57 3,57 - 0,51 - 2,52 - 14,56 43,2

908. y1 = (3,6 ◊ 0,03 + 1,2) ◊ 12,3 = 16,0884 y2 = [3,6 ◊ (-0,12) + 1,2] ◊ 12,3 = 9,4464 y3 = 14,80428 909. a) 3,6 + 3,6 ◊ 10,5 + (3,6 ◊ 10,5 - 1,8) = 77,4

b) 77,4 ◊ 0,75 = 58,05

910. (3,16 + 2,1) ◊ 100 = 5,26 ◊ 100 = 526 Az 5,26 a szorzatnak a század része. 911. I. 27,4 m ¸ Ô 12,6 ◊ 2¸ II. 25,8 m ˝ folyosók hossza szônyegek hossza 14,6 ◊ 2˝˛ III. 13,7 m Ô˛ 27,4 + 25,8 + 13,7 > 12,6 ◊ 2 + 14,6 ◊ 2 66,9 > 54,4 Még 12,5 m hosszú szônyeget kell vásárolni. 912. 52,28 + 32,47 + 22,45 ◊ 29 = 735,8 A szerelvény 735,8 tonna. 913. (9,76 - 9,76 ◊ 0,35) ◊ 30,2 kg = 191,5888 kg ª 191,6 kg. 914. A két állomás távolsága 97,2 km.

915. r = 7,6 dm K = 2rp

55,4 ◊ 0,9 + 52,6 ◊ 0,9

K ª 2 ◊ 7,6 ◊ 3,14 K ª 47,728 dm

916. d = 0,8 m K = dp K ª 2,512 m 2,612 m hosszú pántot kell venni az abroncs elkészítéséhez.

129

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 917. d = 0,63 m K ª 0,63 ◊ 3,14 fordult: 3500-at K ª 1,9782 m út = K ◊ 3500 út ª 6923,7 m 6923,7 m ª 7 km hosszú utat tettünk meg. 918. I.I 2,45 vödör/perc V = (2,45 + 0,6 ◊ 2,45) ◊ 500 II. 2,45 ◊ 0,6 vödör/perc V = 1960 8 óra 20 perc = 500 perc A medencébe 1960 vödör víz fér. 919. 10 m-es szakaszra 4 cölöp kell. A hosszabb oldalon 17 ◊ 4 + 1 cölöpöt helyezünk el. A két hosszabb oldalra tehát 69 ◊ 2 = 138 cölöp kell. A rövidebb oldal két végén akkor már van cölöp, ezért 37,5 : 2,5 - 1 db szükséges egy-egy oldalra. A két rövidebb oldalra 14 ◊ 2 = 28 cölöp kell. Összesen 166 cölöp szükséges. Ha az oldalak mérôszáma 2,5-nek egész számú többszöröse, mint jelen esetben is, akkor egy egyszerûbb megoldás is van: K = (170 + 37,5) ◊ 2. A cölöpök száma 415 : 2,5 = 166. 920. x = 8 m a = 12,5 m b = 33,5 m K= K = (a + 2 ◊ 8 + b + 2 ◊ 8) ◊ 2 K = (12,5 + 33,5 + 32) ◊ 2 K = 156 m 156 m hosszú a kerítés. z 921. T1 = 5,75 m ◊ 12,6 m = 72,45 m2 T2 = 5,75 m ◊ (12,6 ◊ 0,8) m = 57,96 m2 T1 - T2 = 14,49 m2. T1 Az elsô terem 14,49 m2-rel nagyobb területû. T1 + T2 = 130,41 m2. Az iskolai ünnepélyeket 130,41 m2 területen lehet megtartani. 922. a)

130

1 része = 0,1 része 10 1 része = 0,2 része 5

b)

1 része = 0,01 része 100 1 része = 0,05 része 20

12,6 m ◊ 0,8

T2

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 2 része = 0,4 része 5 4 része = 0,8 része 5 16 8 része = része = 1,6 része 10 5

923. a) 100 m = 0,1 km 200 m = 0,2 km 500 m = 0,5 km 600 m = 0,6 km 1400 m = 1,4 km

1 része = 0,25 része 4 1 része = 0,5 része 2 125 része = 1,25 része 100

b) 5 dm = 0,5 m 7 dm = 0,7 m 12 dm = 1,2 m 21 dm = 2,1 m 25 dm = 2,5 m

c) 10 cm = 0,1 m 12 cm = 0,12 m 75 cm = 0,75 m 60 cm = 0,6 m 150 cm = 1,5 m

924. a) 2000 m = 2 km 800 cm = 8 m = 0,008 km 30 dm = 3 m = 0,003 km 5 m = 50 dm = 0,005 km c) 500 mm = 5 dm 250 cm = 2,5 m 7 dm = 70 cm 12 km = 12 000 m

b) 2000 mm = 2 m 300 dm = 30 m 5000 m = 5 km 250 mm = 25 cm = 2,5 dm

925. a) 98 cm = 0,98 m ª 1 m 511 mm = 51,1 cm ª 0,5 m 498 cm = 49,8 dm ª 5 m 19 dm = 1,9 m ª 2 m

b) 979 mm = 97,9 cm ª 1 m 760 m ª 0,8 km 51 cm = 5,1 dm ª 0,5 m 9 cm ª 1 dm

c) 48 mm ª 5 cm 760 mm ª 0,8 m 5001m ª 5 km 1 257 m ª km 4

d) 9,8 cm = 0,98 dm ª 1 dm 51,1 mm = 5,11 cm ª 5 cm 4,97 cm ª 5 cm

e) 9,79 mm ª 1 cm

f) 0,48 mm ª

1,9 dm ª 2 dm

3 m 4 5,1 cm ª 0,5 dm 0,9 cm ª 1 cm

7,6 dm ª

1 mm 2

9,06 mm ª 1 cm 5,009 m ª 5 m 2,57 m ª 26 dm

926. a) 12 g) 432

b) 60 h) 504

c) 180 i) 864

d) 900 j) 360

e) 72 k) 720

f) 144 l) 1080

927. a) 60 g) 780

b) 840 h) 1560

c) 740 i) 320

d) 160 j) 640

e) 2000 k) 1280

f) 2400 l) 2560

131

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 928.

5 100 Százalék (%) 5

1 25 = 4 100 25

33 100 Százalék (%) 33

5 1 = 20 100 5

71 100 Százalék (%) 71

3 30 = 10 100 30

Törtrész

Törtrész

Törtrész

929. a) 30 g) 900 930. a)

b) 750 h) 4500

4 80 = 5 100 80

15 3 = 20 100 15

11 44 = 25 100 44

d) 375 Ft

931. a) 170 km ◊ 0,4 = 85 km ◊ 0,8

36 9 = 25 100 36

d) 300 j) 5250

c) 3520 Ft ◊ 0,7 < 4200 Ft ◊ 0,65 e) 36 kg ◊ 0,82 29,52

266-tal

2730

>

18 kg ◊ 0,98

11,88 -dal

35 % 1% 100 %

933. a = 72,4 kg p = 100 (%) - 85 (%) = 15 (%) sz.é. = 10,86 kg I. II. 72 km 72 km ◊ 1,125 = 81 km 72 ◊ 3,5 menetidô 3,5 h ª 3,11 (h) 72 ◊ 1,125 1 órai út

Ekkor közelítôleg 3,11 óra alatt ért célba. 935. 50 dkg.

132

f) 2400

87,5 87,5 : 35 = 2,5 2,5 ◊ 100 = 250

e) 41,6 kg

f) 675 m

g) 9,6 l

b) 850 Ft ◊ 0,33 < 800 Ft ◊ 0,42 d) 610 m ◊ 0,54 329,4

55,5-del

336

< 800 m ◊ 0,43

14 ,6-del

344

f) 72 kg ◊ 0,66 = 108 kg ◊ 0,44

17,64

932. K = (18 + 18 ◊ 0,25) ◊ 2 = 45 K = 45 cm T = 18 ◊ (18 ◊ 0,25) = 81 T = 81 cm2

934.

37 74 = 50 100 74

e) 2250

280,5

2464

6 120 = 5 100 120

annyi százalék

Ellenôrzés

c) 270 m

70 7 = 10 100 70

Ahány századrész

c) 600 i) 4800

a = 250 Ft p = 35 (%) sz.é.= a⋅p sz.é.= 100 sz.é.= 87,5 Ft

b) 54 kg h) 42 perc

3 75 = 4 100 75

18 cm ◊ 0,25

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 936. T = 9 ◊ 30 dm2, ennek 85 %-át tartalmazza a ruha, azaz 270 dm2 ◊ 0,85 = 229,5 dm2. 937. alvás: 9,6 óra, étkezés: 2,16 óra, utazás: 1,56 óra, iskolában töltött idô: 6 óra, otthoni tanulás: 2,4 óra. A nap 9,5 %-át töltheti egyéb elfoglaltsággal. Ez 2,28 óra. 938. 0,988 t = 988 kg; (226,72 kg; 65 kg; 0,052 t = 52 kg) 939. ª 6,24 kg 940. 3,745 kg = 374,5 dkg 941. Szén: 35 kg (21 kg; 10,5 kg; 18,48 kg) mangán: 10 kg (6 kg; 3 kg; 5,28 kg) kén: 0,1 kg (0,06 kg; 0,03 kg; 0,0528 kg)

kova: 15 kg (9 kg; 4,5 kg; 7,92 kg) foszfor: 4 kg (2,4 kg; 1,2 kg; 2,112 kg)

942. d = 0,5 dm = 5 cm 100 % 360∞ K = dp K = 15,7 cm ª 16 cm i1 ª 6,4 cm 40,5 % 145,8∞¸ Ô 34,5 % 124,2∞˝ 360∞ i2 ª 5,4 cm i3 ª 4 cm 25 % 90∞ Ô˛ T = r2p T ª 2,52 ◊ 3,14 cm2 = 19,625 cm2 T1 ª 7,95 cm2 T2 ª 6,77 cm2 T3 ª 4,9 cm2 943. a) 9,12

b) 91,2

c) 15,2

d) 7,6

944. a) 85,6

b) 32,7

c) 54,9

d) 54,9

945. a) b) c) d)

0,3; 0,4; 0,3; 9,6;

e) 151,7

f) 21,7

0,6; 1,2; ...; 19,2; 38,4; 76,8 0,8; 1,6; ...; 25,6; 51,2; 102,4 0,9; 2,7; ...; 218,7; 656,1; 1968,3 28,8; 86,4; ...; 6998,4; 20 995,2; 62 985,6

946. a) y = x ◊ 8; x = y : 8 x 1,8 0,3 2 ,2 1,6 5,9 6,1 3,6 y 14,4 2 ,4 17,6 12 ,8 47,2 48,8 28,8

b) y = x ◊ 10; x = y : 10 x 3,8 1,25 1,65 2,21 0,3 0,7 6,03 y 38 12 ,5 16,5 22 ,1 3 7 60,3

947. a) y = x : 5; x = y ◊ 5 x 1,5 16 2 ,5 5,55 3 3,5 6,75 y 0,3 3,2 0,5 1,11 0,6 0,7 1,35

b) y = x : 10; x = y ◊ 10

133

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL x 27 23 41,2 33,6 18,2 3,5 47,5 y 2,7 2 ,3 4,12 3,36 1,82 0,35 4,75

948. a) 42,6

b) 21,4

949. a) 6,34 ª 6,3

c) 1,86

b) 1,58 ª 1,6

e) 32,59 ª 32,6 950. a) 32,717 ª 32,7 e) 16,589 ª 16,6

d) 53,16

e) 3,24

f) 31,8

c) 54,38 ª 54,4

d) 21,36 ª 21,4

c) 3,632 ª 3,6

d) 65,247 ª 65,2

f) 35,25 ª 35,3 b) 52,149 ª 52,1 f) 6,986 ª 7

951. a) 33,461 ª 33

b) 9,375 ª 9,4

c) 1,968 ª 2

d) 0,087 ª 0,09

952. a) 0,003

b) 7,816 ª 7,82

c) 0,101 ª 0,10

d) 28,441 ª 28,44

953. a) 31,97; 3,197; 0,3197; 0,03197 c) 0,0372; 5,121; 0,0101; 0,01232 954. a) 0,076 0,8726 3,207 3,7017

b) 0,037; 0,0037; 0,00037; 0,000037 d) 0,00372; 0,2132; 5,72; 0,023676

b) 0,0391 3,91 0,000391 0,391

955. a) (34,5 + 8,16) : 15 = 42,66 : 15 = 2,844 b) 34,5 : 15 + 8,16 : 15 = 23 + 0,544 = 2,844 956. a) (49,3 - 15,6) : 25 = 33,7 : 25 = 1,348 b) 49,3 : 25 - 15,6 : 25 = 1,972 - 0,624 = 1,348 957. a) (31,5 - 4,2) : 3 = 27,3 : 3 = 9,1 31,5 - 4,2 : 3 = 31,5 - 1,4 = 30,1 31,5 : 3 - 4,2 : 3 = 10,5 - 1,4 = 9,1 Különbséget úgy is oszthatunk, hogy a kisebbítendôt és a kivonandót külön-külön elosztjuk az osztóval és a hányadosok különbségét képezzük. b) 0,1 c) 12,35 d) 4,35 6,1 47,4 4,35 0,1 12,35 40,32 Összeget tagonként is oszthatunk. 958. a) 3,6 : 12 > 0,36 : 12 d) 32,34 : 30 = 3,234 : 3 959. a) 0014,69 1469 0001,469 0014,69 0014,69

134

b) 63,36 06,336 06,336 63,36 63,36

b) 12,18 : 6 < 121,8 : 6 c) 3,6 7,2 7,2 0,36 3,6

c) 7,56 : 18 < 75,6 : 18

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 960. a) a : b = 4,8 (a ◊ 3) : b = 14,4 a : (b ◊ 3) = 1,6 (a ◊ 3) : (b ◊ 3) = 4,8 c) a : b = 6,3 (a ◊ 10) : b = 63 a : (b ◊ 10) = 0,63 (a ◊ 10) : (b ◊ 10) = 6,3

b) a : b = 4,5 (a : 3) : b = 1,5 a : (b : 3) = 13,5 (a : 3) : (b : 3) = 4,5 d) a : b = 12,52 (a : 100) : b = 0,1252 a : (b ◊ 100) = 0,1252 (a ◊ 100) : (b ◊ 100) = 12,52

961. Mindkettôt ugyanannyiszorosára kell változtatni, vagy mindkettôt ugyanazzal a nullától különbözô számmal kell osztani. 962. a) b) c) g)

72 : 3 = 24 vagy 360 : 15 = 24 vagy ... 84 : 5 = 16,8 vagy 420 : 25 = 16,8 vagy 168 : 10 = 16,8 ... 16 : 5 = 3,2 d) 720 : 9 = 80 e) 720 : 45 = 16 f) 91 : 14 = 6,5 38 : 25 = 1,52 h) 45 : 9 = 5 i) 850 : 85 = 10

963. 2,36 964. A sûrûsége 8,9

kg . Az anyag lehet réz. dm 3

965. 18 ing készíthetô. 966. 31 kiránduló volt. 967. 85 napközis kapott cseresznyét és 15 dkg megmaradt. 968. 33 kiránduló volt. 969. 12,6 dkg 1 m huzal tömege. 970. a = 6,3 cm T = 54,81 cm2 T=a◊b 54,81 = 6,3 ◊ b b = 8,7 cm K = (a + b) ◊ 2 K = (6,3 + 8,7) ◊ 2 = 30 (cm) 971. 3,5 óra alatt 972. 11 szobor készülhetett és maradt 0,45 kg agyag. 973. 7,8

kg dm 3

974. h = 1,44 : (1,2 ◊ 0.8) = 1,44 : 0,96 = 1,5 1,5 m magasan áll az 1,44 m 3 = 14,4 hl víz a tartályban.

135

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 975. a) 3,8 3,15 0,2 0,3 0,3

b) 20 20 30 20 80

c) 02 07 20 60 01,07

d) 110 040,3 900 046 040

976. a) 3000

b) 0,5

c) 0,05

d) 0,0005

977. a) 0,05 ª 0,1 d) 713,8 ª 714

e) 0,008

f) 0,2

b) 0,036 ª 0,04

c) 10,018 ª 10,02

e) 556,9230 ª 556,923

f) 0,003 ª 0,00

g) 49,650 ª 49,65 978. a) 2,8 : 0,32 = 280 : 32 = 8,75 b) (1,41 + 1,23) : 0,16 = 16,5 c) [40 + 3,2] ◊ 0,04 = 43,2 ◊ 0,04 = 1,728 d) [4,1 ◊ 5,5 + 3,75] ◊ 1,6 = [22,55 + 3,75] ◊ 1,6 = 26,3 ◊ 1,6 = 42,08 979. 28,8558 980. 39,63 ◊ 0,5 ◊ 1,2 + (0,82 : 2) ◊ 2 = 19,815 ◊ 1,2 + 0,82 = 23,778 + 0,82 = 24,598 981. ( x ◊ 2 - 0,2) : 0,35 = 25,5 x = 4,5625 982.

a b (2 a + b) ⋅ 3,2 a − 2b

8,16 3,5

3,71 1,8

2 ,5 1,7

0,12 1

6,4 3,2

≈ 54,68 ≈ 268,22 ≈ −23,82 ≈ −2 ,11

983. a) 0,93

b) 4,6775

c) 2,9312

984. a) 0,5

b) 61,5

c) 43,5

985. a) [11,46 : 12,5] : 0,2292 = 0,9168 : 0,2292 = 4 801 267 320 = (ª 115 , ) c) 0,32 : 8,169 = b) 0,801 : 0,699 = (ª 0,039) 699 233 8169 986. a)

136

5,3 3,75 3,75 2 ,2 6,1899 61 899 + 5,3 = 5,3 = = ª 3,91 1,583 1,583 1,583 1,583 1,583 15 830

b)

5,3 5,3 ◊ (1 + 1,583) 13,6899 136 899 + 5,3 = = = ª 8,648 1,583 1,583 1,583 15 830

c)

5,3 ◊ (1 - 1,583) 5,3 ◊ (-0,583) -3,0899 -30 899 = = = ª -1,95 1,583 1,583 1,583 15 830

d)

5,3 ◊ (1 - 1,583) 30 899 =ª -1,95 1,583 15 830

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 987. x ◊ 0,32 = 14,56 x = 45,5 988. 36,8 km 989. 147,6 m 990. a) b)

x 1,6 3,2 4,1 2,4 6,7 5,8 y 1,2 2,4 3,075 1,8 5,025 4,35 x 10,81 10,58 8,74 9,43 0,46 14,26 y 4,7 3,8 4,1 0,2 6,2 4,6

991. 326,5 m 992. 072 % 001 % 100 %

134,28 1,865 186,5

993. 028 % 100 %

123,2 m2 (123,2 : 28) ◊ 100 = 4,4 ◊ 100 = 440 (m2)

vagy 134,28 : 0,72 = 186,5

994. 1050 tanuló jár az iskolába. 995. 25 óra ª 3 munkanap (napi 8 óra esetén) 996. 100 % - 30 % = 70 % - 30 % = 70 %100 %

357,70 Ft 511 Ft

997. 12 kg 998. 54 250 Ft volt a teljes költség. Egyéb költségre 28 210 Ft jutott. 999. T = a ⋅ b

T = (1,25a) ⋅ ( x ⋅ b) a ⋅ b = 1,25 x ⋅ (a ⋅ b) 1,25 x = 1 x = 0,8

20 %-kal kell csökkenteni a másik oldalt. 1000. [( x ◊ 0,7) ◊ 0,95] ◊ 1,4 = 5213,60 x = 5600 Az eredeti ár 5600 Ft volt. 1001. Nôdolgozók száma: 0,35x ¸ összlétszám: x A férfiak száma: 0,35x + 420˝˛ 0,35x + (0,35x + 420) = x 0,7 x + 420 = x 420 = 0,3x 1400 = x Az üzemben 1400 dolgozó van.

137

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 1002. (1) 15 % 1% 100 %

72 kg 72 kg 15 Ê 72 ˆ Á ◊ 100˜ kg = 480 kg Ë 15 ¯

(2)

x ◊ 0,15 = 72 x = 72 : 0,15 x = 480

480 kg 15 %-os ötvözetet kapunk 72 kg ón felhasználásával. 1003. p1 = 28 (%) szé1 = 52,5 (kg) a= a = 52,5 : 0,28 = 187,5 (kg) p2 = 72 % szé2 = szé2 = 187,5 ◊ 0,72 = 135 (kg) A levágott darab 135 kg. 1004. Folyóméterenként a rögzítô alkatrész 2,4 kg, ez 7,5 %. 1 m sín tömege 2,4 : 0,075 = = 32 (kg). Együtt 34,4 kg. 35,4 km = 35 400 m, a kétvágányú szakaszon 141 600 m sínt fektettek le, így a sín és a rögzítôanyag tömege 34,4 kg ◊ 141 600 = 4 871 040 kg. A 35,4 km hosszú kétvágányú szakaszhoz 4871,04 t fémet használtak fel. 1005. A könyvtárban 73 600 anyanyelvû kötet van. A könyvtár 84 640 kötetes. 1006. A kötetre 180 Ft-os árat nyomtattak. A kereskedô darabonként 162 Ft-ért adta el a könyvet. A haszon 172 kötet eladásakor 172 ◊ [162 - (180 - 27)] Ft = 1548 Ft. 1007. Az egyiknek 28, a másiknak 50 diója volt. 78 diót osztottak szét. 1008.

1. szám 2. szám 285,75 - x x 285,75 - x = 0,143x , x 285,75 = 1143 250 = x A második szám 250.

1009. (x ◊ 0,25) ◊ 0,212 = 530; x = 10 000 1010. Legyen a szám x. x - 0,4 x - ( x - 0,4 x ) ◊ 0,25 = 21,42 0,75x - 0,3x = 21,42 x = 47,6 1011. [(x ◊ 0,9) ◊ 0,8] ◊ 0,8 = 27; x = 46,875 1012. a) 1 %; 9 %; 12 %; 57 %; 78 %; 91 % b) 10 %; 30 %; 40 %; 60 %; 70 %; 80 %

138

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA c) 110 %; 130 %; 172 %; 324 %; 260 %; 531 % d) 19,2 %; 24,8 %; 205,3 %; 500 %; 300,3 %; 199,2 % 1013. a) 1 %; 10 %; 50 %; 20 %; 5 %; 25 %; 4 %; 2 % b) 3 %; 30 %; 150 %; 60 %; 15 %; 75 %; 12 %; 6 % c) 570 %; 300 %; 300 %; 200 %; 170 %; 500 %; 175 % 1014. a) 100 % b) 200 %; 500 %; 1000 % d) 2500 %; 4 %

c) 2500 %; 4 %

1015. a) 0,01; 0,07; 0,14; 0,59; 1,43; 2,11 rész 1 3 b) 0,1; = 0,25 ; 0,4; = 0,75 ; 1,2; 2,25 rész 4 4 1 1 c) 1; 2; 0,001; = 0,5 ; 0,45; rész 2 3 1016. a) 0,666...r ª 66,7 %; ª 0,5714r ª 57,1 %; 0,388...r ª 38,9 %; 0,024r = 2,4 %; 0,075r = 7,5 %; 0,8r = 80 % b) 70,1 %; 303 %; 3030 %; 66,7 %; 523 %; 1,4 %

0,096r = 9,6 %;

1017. 0,005 rész; 0,17 rész; 1,0575 rész; 0,014 rész; 4,1225 rész 1018. Az elsô 60 %-ot, a második 40 %-ot kap. 1019. 30 %; 70 % 1020. Kedden 20 %-kal több keddinek ª 83,3 %-a. 1021. a) b) c) d) e) f)

idôt

töltünk

az

iskolában.

A

hétfôi

óraszám

a

100 %-a; 25 %-a; 10 %-a; 5 %-a; 4 %-a 25 %-a; ª 16,7 %-a; 20 %-a; 200 %-a 50 %-a; 200 %-a; 20 %-a; 10 %-a 10 %-a; 1 %-a; 0,1 %-a; 100 000 %-a 10 %-a; 5 %-a; 20 000 %-a; 2 %-a 10 000 %-a; 1 %-a; 50 %-a; 7,5 %-a

1022. a) 40 %-a f) 12,5 %-a

b) 250 %-a

c) 60 %-a

d) 25 %-a

g) 0,1 %-a

h) 12 %-a

i) ª 166,7 %-a

e) ª 40,2 %-a

1023. 4 %; ª 1,2 %; 900 %; 1600 %; 156,25 %; 256 %; 400 %; 64 % 1024. a) 100 %; 50 %; 75 % c) 12,5 %; 87,5 %; 62,5 %

b) 25 %; 12,5 %; 37,5 % d) 25 %; 75 %; 150 %

1025. a) 50 %; 25 %; 75 % c) 10 %; 20 %; 30 %

b) 150 %; 15 %; 45 % d) 5 %; 35 %; 45 %

1026. a) 50 %; 20 %; 200 %

b) 25 %; 70 %; 60 %

139

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL 1027. a) 20 %; 25 %; 40 % c) 100 %; 200 %; 700 % e) 320 %; 80 %; 1 %

b) 60 %; 100 %; 120 % d) 50 %; 80 %; 75 % f) 0,1 %; 0,1 %; 0,1 %

1028. a) jeles 12,5 %, jó 25 %, közepes 50 %, elégséges 12,5 % b) jeles ª 11,1 %, jó 25 %, közepes ª 31,9 %, elégséges ª 20,9 %, elégtelen ª 11,1 % 1029. Minden feladatrészben kiszámítjuk, hogy a létszám hány százaléka kapta a kérdéses érdemjegyet, majd a 360∞ megfelelô részeivel rajzoljuk egymás mellé a középponti szögeket. jeles jó közepes elégséges elégtelen

a) 25 % 90∞ 16,7 % 60∞ 33,3 % 120∞ 16,7 % 60∞ 8,3 % 30∞

b) 16,7 % 60∞ 12 ,5 % 45∞ 50 % 180∞ 16,7 % 60∞ 4,2 % 15∞

c) 25 % 90∞ 33,3 % 120∞ 25 % 90∞ 16,7 % 60∞

1030. 90 % 1031. 15,2 % 1032. alap = 12,75 kg százalékláb (p) = százalékérték = 0,75 kg százalékláb 100 p 0,75 = 12 ,75 ◊ 100 75 = 12 ,75 ◊ p 5,9 ª p

százalékérték = alap ◊

A sóoldat ª 5,9 %-os. 1033. a) 300 Ft

b)

5 része 4

c) 125 %

d)

f) 540 Ft

g)

4 része 9

h) 225 %

i) 500 %

1034. a) 480 Ft d) ª 133,3 %

1035. 95,2 %-os a csíraképesség. 1036. 37,5 %

140

3 -szerese 4 f) ª 233,3 %; 175 %

b) 360 : 480 = 3 : 4 c) e) 25 %

4 része 5

e) 80 % j) ª 55,6 %

TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA 1037. x - 0,2 x ;

1038. y +

8x 4 80 x x ; x ; x - ; x ◊ 0,8 ; 10 5 100 5

5y 100 y + 5y ; 100 100

1039. 5,8 % 1040. 11,1 % cement, 22,2 % homok, 66,7 % kavics. 1041. 0,01 % 1042. 38,9 % 1043. 10 %-a, 90 %-kal kisebb az eredeti számnál. 1044. 0,357 ª 0,36 a kerekítésnél adódó hiba: 0,003 0,003 ◊ 100 = 0,84 0,357 A hiba az eredeti számnak a 0,84 %-a. 1045. A két hegyesszög külön-külön 50 %-a a derékszögnek. 45∞ 90∞ ◊ 100 = 25 ◊ 100 = 50 180∞ 180∞ 25 %; 25 %; 50 % a belsô szögek százalékos megoszlása. 1046. 200 % 1047. 40∞; 50∞; 90∞ ª 22,2 %; ª 27,8 %; 50 %

141

NAGY ÉS KICSI SZÁMOK ÍRÁSA, NORMÁLALAK 1048. a) 35 d) 42,6

b) 125 e) 7050

c) 7305 f) 300,9

1049. a) 1020 d) 31 650

b) 1 110 000 e) 290 500

c) 326 000 f) 99 900

1050. a) 0,312 d) 0,705

b) 0,0506 e) 0,0099

c) 0,037 f) 0,00084

1051. a) 0,0009012 d) 0,63

b) 0,0031 e) 0,026

c) 0,00299 f) 0,333

1052. a) 6,5 ◊ 10 t

b) 3,6 ◊ 10 g

2

e) 1,3 ◊ 10 t

f) 7,1 ◊ 102 dkg

g) 9,8 ◊ 102 hl

h) 5,7 ◊ 103 l

i) 7,784 ◊ 103 dl

6

b) 42,5 dkg = 4,25 ◊ 102 g

c) 1 t = 10 g

d) 75 dkg = 7,5 ◊ 102 g

e) 61 kg = 6,1 ◊ 104 g

f) 2,1 t = 2,1 ◊ 106 g

1054. a) 3 ◊ 1018

142

c) 7,5 ◊ 103 dkg

d) 6,4 ◊ 10 g

1053. a) 3,6 kg = 3,6 ◊ 103 g

2

b) 5,91 ◊ 108 km

c) 7 ◊ 104 km

d) 9,109 ◊ 10-28 g

e) 2,818 ◊ 10-15 m

f) 1,67343 ◊ 10-27 kg

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL 1 x; - x; 1000 x 2 1 c) pl.: 2 z; 0,1z; - 3z; 50 z; z 5 y e) pl.: y; 8 y; - 5y; - 10 y; 8

a ; 11a; 100a; - 5a 3 ab d) pl.: ab; ; 9ab; - 2ab; 70ab 4

1055. a) pl.: 5x; x;

b) pl.: a;

x2 ; - 72 x 2 5 1 d) pl.: ab 2 ; - 0,03ab 2 ; ab 2 ; 3ab 2 3

3 2 a 4

1056. a) pl.: 3a 2 ; - a 2 ; 100,7a 2 ;

b) pl.: 9 x 2 ; 0,01x 2 ;

1 2 a b; - a 2 b; 16a 2 b 2 e) pl.: 0,01ab; ab; 7ab; - 0,5ab

c) pl.: a 2 b;

1057. a) x; 3 x b) 3a; a; 7a c) 11; 3 d)

1058. a) b)

c) 7ab 2 ; 2 ab 2 ;

1059. a) 10 c) 3 ◊

- 2 x2 ;

3x 2 ;

2 xy; 3 xy

1 x 3 x x; ; x ; 5 4 2 6

d) a; 7a

4 x 2 y; x 2 y

- 3 x; x

ab 2 3

x2 ;

2

;

x2 x2 ; 3 2

x2 3

x3 2

4 xy x3;

7

a b a2 b ab 6 3ab; 5ab; 3 a

ab 2

xy 2 ; 2 xy 2

x2 ; 10 x 2 2 1

5

ab 2 ; 2 ab 2

2 ab; - 2 ab

x ; 3 x ; - 5 x; x 3

3 3 x 4

5 x 2 y; x 2 y

xy; 4 xy; 3 xy

x4 4

1

x2 y

x2 x3 6

ab; 5ba 6 b

3 xyz

2b

3 x 2 a2 b

2a

3a 2

a2 b2

b) 3 ◊ (-1) - 2 ◊ 5 + 5 = -3 - 10 + 5 = -8 2 Ê 1ˆ - 2◊Á - ˜ + 5 = 2 +1 + 5 = 8 Ë 2¯ 3

143

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL 1060. a) -1

b) -6

1 7 Ê 1ˆ c) 2 ◊ - 3 ◊ Á - ˜ - 1 = Ë 2¯ 6 3

1061. a) 4a

b) 0

c) -3c

d) 10d

1062. a) 5

b) 2 - 5y

c) 10z + 9

d) 40 - 8v

1063. a) -3x + y - 11 Ellenôrzés: 3 ◊ 2 - [4 + 2 ◊ (-2) + 6 ◊ 2] + 3 ◊ (-2) - 7 = 6 - [4 - 4 + 12] - 6 - 7 = = -19 ¸ - 19 = -19 - 3 ◊ 2 + (-2 ) - 11 = -6 - 2 - 11 = -19˝˛ b) 2a - 4b + 18 Mindkét kifejezés helyettesítési értéke 4. c) 3v - 21 Az eredeti és a kapott kifejezés helyettesítési értéke -22. d) 3a + 10b + 4c - 5 A helyettesítési érték -2. 1064. a) a - 7ab - 7 Ellenôrzés: [2 ◊ 3 ◊ (-2) + 3 ◊ 3] - [4 ◊ 3 ◊ (-2) + 5 ◊ 3 ◊ (-2)] - (2 ◊ 3 + 7) = = (-12 + 9) - (-24 - 30) - 13 = -3 + 54 - 13 = 41 - 3 = 38¸ ˝38 = 38 3 - 7 ◊ 3 ◊ (-2 ) - 7 = 3 + 42 - 7 = 45 - 7 = 38 ˛ 2 2 b) 2a + ab Helyettesítési érték: -10 c) -ab Helyettesítési érték: -0,02 d) -a2b + 2ab2 + a2b2 Helyettesítési érték: 64 1065. a) 15a g) 36a2b

b) 14b h) 6ab

c) 20c i) 5x2

d) 6d j) 4xy

e) 30ab k) 7xy

f) 10ab2 l) 2y2

1066. a) 6x3 g) 10 a2b2

b) 5y2 h) 12 a2b

c) 8x3

d) 4x2y

e) 6a2b2

f) 30 a2b2

1067. a) a3 g) y3 m) a5

b) b5 h) b6 n) b3

c) c8 i) c8 o) c5

d) a4 j) d0 p) d4

e) d5 k) x4

f) x6 l) y6

1068. a) x5 e) x3y3 = (xy)3

b) y6 f) x3y3 = (xy)3

c) (xy)2 g) y4x4 = (xy)4

d) (xy)3 h) x4y4 = (xy)4

1069. a) a6b6 = (ab)6 e) a6b3 i) a3b3c5

b) a4b5 f) a4b4 = (ab)4 j) a2b6c3

c) a4b5 g) a5b3c3 k) a4b3c3

d) a5b5 = (ab)5 h) a3b3 c3 = (abc)3 l) a3b4c3

1070. a) 4ab g) 4a2b

b) 3ab2 h) 4ab

c) 7a2b

d) ab

1071. a) 4xy

b) 3x2y

c) 3x

d) 3y

144

e) 8ab

f) 4b2

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL 1072. a) 7xy

b) 4x

c) 4x

d) 9

1073. A nevezôben szereplô ismeretlenek értéke nem lehet 0. b) b3 c) c3 d) 1 e) x a) a2 1 g) x4 h) 1 i) x j) 2 = x -2 k) x-1 x

f) y3 l) x4

1074. A nevezôben szereplô egyik változó értéke sem lehet 0. b) xy2z

a) xyz

c) x2y

d)

x 2 y2 = x 2 y 2 z -1 z

e)

xy = xyz -1 z

f)

z2 = z 2 x -2 x2

g) y3

h) z

i)

xz = xy -1z y

j)

x = xz -1 z

k) x3yz

l)

y2 = y 2 z -1 z

x 4 y4z4 x = = xz -1 3 4 5 z x y z

b)

x 7 y 4 z3 x 2 z 2 = 2 = x 2 y -2 z 2 5 6 x y z y

c)

x 2 y 4 z 5 yz 2 = = x -1 yz 2 x x 3 y3z 3

d)

x 5 y 2 z 5v 3 x 2 z 2 v = = x 2 y -3vz 2 x 3 y 5v 2 z 3 y3

e)

x 5y 4z5 1 = 2 2 = y -2 z -2 5 6 7 x y z y z

f)

x 4 y 5z 5 =1 x 4 y 5z 5

1075. a)

1076. a)

a 2

1077. a) 3a + 6 g) 8 - 12x 1078. a) 2a - 1 g) 8a + 2,4

b)

a 3

b) 5b - 5

c)

2a 3

d) 4a

c) 3 - 3c

d) 10 - 2d

e) 4x + 6

f) 6x - 12

b) 2b + 5

c) 2 - c

d) 4 - 2d

e) 0,1a - 0,2 f) 1,5a - 3

h) 6a - 3

i) 4,8 - 2a

h) 24 - 18x

1079. a) 5x - 15 + 4 - 2x = 3x - 11 c) 4x + 2 + 3x + 6 = 7x + 8

b) 9 - 3x + 4x - 4 = x + 5 d) 4x - 4 + 5x - 15 = 9x - 19

1080. a) 3a - 6 - 2a - 2 = a - 8

b) 8 - 4a - 3a - 15 = -7a - 7

c) 18 - 2a - 12 - 3a = 6 - 5a

d) 7a + 35 - 12 - 4a = 3a + 23

e) 10a - 20 - 5a + 10 = 5a - 10

f) 8a - 24 - 2a + 10 = 6a - 14

g) 4a + 12 - 6 + 2a = 6a + 6

h) 12 + 6a - 3a - 12 = 3a

1081. a) 3 - 4x g) x2 - 11x

b) x + 8

c) 26 - 23x d) 7x + 6

e) 2x2 + 9x

f) 6x2 - 7x

h) 14x2

145

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL 1082. a) 6a2 + 2a - 3a + 3a2 = 9a2 - a b) 14b2 + 4b = 2b(7b + 2) c) 0,3a2 - 0,6a - 0,05a + 0,2a2 = 0,5a2 - 0,65a = a(0,5a - 0,65) d) 6b - 2b2 - 1,5 + b = -2b2 + 7b - 1,5 1083. a) 15x2 + 5x f) 12z2 - 8z 1084. a) 6x - 8x2

b) 12y2 + 9y

c) 8z + 12z2

d) 10x + 4x2

e) 8y2 - 6y

g) 35z - 15xz

h) 6y - 12y2

i) -14z - 4z2

b) 20x + 15x2

c) 4xy - 2y2

d) 4xy - 2x2

e) 12x2 - 6x

f) 6xy - 12x2 1085. a) 2(x - 2) helyettesítési érték: 2

b) 3(x + 2) helyettesítési érték: 15

c) 5(x - 2) helyettesítési érték: 5

d) 2(2x - 1) helyettesítési érték: 10.

1086. a) 2(x - y); 4

b) 3(x - 2y); 0

1087. a) 2y(2x + 1); -18 b) 3x(2y + 1); -42 1088. a) a(b + 1) = ab + a d) x(1 + y) = x + xy

d) 3y(4x - 1); 90

c) 4x(2 - y); 8

d) 3y(4 - x); 54

b) (x + 1)y = xy + y

1089. a) (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd c) (a + 1)(b + 1) = ab + b + a + 1 1090. a) xy + y + x + 1; 18 d) 6 + 3x + 2y + xy; 32 g) x2 + 2x + 1; 9 1091. a) a2 + ab + a + b e) 2a2 + 3a + 1 i) 4 + 12a + 9a2

c) x(4 - y); 8

b) (a + b)(c + a) = ac + bc + a2 + ab d) (a + 1)(a + 1) = a2 + 2a + 1

b) 3 + 3x + y + xy; 24 e) xy + 5y + x2 + 5x; 49 h) y2 + 2y + 1; 36

b) a2 + 2a + 1 f) 2a2 + 5a + 2

1092. a) (a - d)(b - c) = ab - ac - bd + cd

c) (1 + x)y = y + xy

c) xy + 2y + x + 2; 24 f) x2 + 2xy + y2; 49 i) x2 + 2xy + y2; 49

c) a2 + 2ab + b2 g) 4a2 + 4a + 1

d) 4 + 4a + a2 h) 9a2 + 12a + 4

b) (a - c)(b - c) = ab - bc - ac + c2

c) (y - 2)(x - 2) = xy - 2x - 2y + 4 1093. a) (a - 1)(a - 1) = a2 - 2a + 1

b) (x - 2)(x - 2) = x2 - 4x + 4

c) (a - 3)(a - 3) = a2 - 6a + 9 1094. a) xy - 2y - 3x + 6 b) xy - y - x + 1 e) 6a2 - 7a + 2

f) b2 - 6b + 9

c) x2 - 10x + 25

d) y2 - 4y + 4

g) 9c2 - 6c + 1

h) 4d2 - 12d + 9

i) 4a2 - 12ab + 9b2 1095. a) (3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 6x + 6x - 4x2 = 9 - 4x2 c) 1 - 4x + 4x2

d) 49 - 9x2

g) 0,09x2 - 0,06x + 0,01

146

1 - x2 4 h) 0,01x2 - 1

e)

b) 25 - 10x + x2 f)

1 2 x - x +1 4

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL i)

1 1 1 1 - 2 ◊ ◊ 0,3x + 0,09 x 2 = - x + 0,09 x 2 9 3 9 5

1096. a) 2a2 + 5a + 3

b) 2a2 - 3a - 9

c) 25a2 - 4

d) 9a2 - 49

f) 4a2 - 1

g) 36 - 4x2

h) 121x2 - y2

1097. a) 3(a + 2)

b) 2(a + 4)

c) a(a + 2)

d) 2a(a + 3)

1098. a) (x + 2)(3 + x)

b) (3 - x)(4 + x)

c) (2 - x)(2x - 3)

d) (x + 1)(2x - 5)

e) x2 - y2 i) x2 - y2

e) x(11 + x)

f) x(x - 12) + 3(x - 12) = (x - 12)(x + 3)

g) 5(x - 3) + x(x - 3) = (x - 3)(5 + x) h) 6y + 9xy + 4 + 6x = 3y(2 + 3x) + 2(2 + 3x) = (2 + 3x)(3y + 2) 1099. a)

x y xy yˆ ˆÊ ˆ Ê1 ˆ y Ê1 Ê1 + x2 + + = xÁ + x˜ + Á + x˜ = Á + x˜ Á x + ˜ ¯Ë ¯ Ë3 ¯ 2Ë3 Ë3 3 6 2 2¯

b)

1Ê cˆ Ê c ˆ Ê 1 ˆÊ cˆ Á a + ˜ + 3Á a + ˜ = Á + 3˜ Á a + ˜ bË 2¯ Ë 2¯ Ë b ¯Ë 2¯

c)

1Ê yˆ yˆ Ê yˆÊ 1 ˆ Ê Á x + ˜ + xÁ x + ˜ = Á x + ˜ Á + x˜ ¯ Ë 5Ë 2¯ 2¯ Ë 2¯Ë 5

1100. a) a π -b;

(a + b)2 (a + b)(a + b ) = =a+b a+b a+b

b ; 2a - b 2 (a - b)(a + b) e) a π -b; = a-b a+b ( x - y )( x + y ) g) x π y; =x+y x-y

c) a π

(a - 2b)(a + 2b) = a + 2b a - 2b ( x - 3y )( x + 3y ) c) x π -3y; = x - 3y x + 3y

1101. a) a π 2b;

e) x π

1102. a) x π

3 (2 x - 3y )(2 x + 3y ) y; = 2 x + 3y 2 2 x - 3y

b) a π b; a - b

d) a π -2b; a + 2b (a - b)(a + b) =a+b a-b ( x - y )( x + y ) h) x π - y; = x-y x+y

f) a π b;

b) a π -2b; a - 2b d) x π 3y; x + 3y 3 f) x π - y; 2 x - 3y 2

5 ( 4 x - 5 y )( 4 x + 5y ) 5 y; = 4 x + 5y b) x π - y; 4 x - 5y 4 4 x - 5y 4

c) a π 0,1b; 10a + b

d) a π -30; 30 - a

e) x π 12; 12 + x

7 f) x π - y; 6 x - 7 y 6

147

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL (3a - b)2 = 3a - b 3a - b

1103. a) b π 3a;

b) y π 4 x;

6 ◊ ( x - 1)2 = 2( x - 1) 3 ◊ ( x - 1)

c) x π 1;

d) y π 1;

( a + b )2 =a+b a+b g) x π -1; x + 1

4 ◊ ( y - 1)2 1 = ( y - 1) 8 ◊ ( y - 1) 2

(a + 1)2 = a +1 a +1 h) x π -2; x + 2

e) a π -b;

i) b π -5a;

( 4 x - y )2 = 4x - y 4x - y

f) a π -1;

(5a + b)2 = 5a + b 5a + b

1 4(9 x 2 + 6 x + 1) 4(3x + 1)2 j) x π - ; = = 2(3x + 1) 3 2(3x + 1) 2(3x + 1)

k) b π -10a; 10a + b 1 4( 4 x 2 + 4 x + 1) 4(2 x + 1)2 l) x π - ; = = 2(2 x + 1) 2 2(2 x + 1) 2(2 x + 1)

1104. a) a =

k 3

b) a =

d) a = k - 2b - c; b =

1105. a) a = d) a =

1106. a) a = c) b =

1107. a) a =

t t ; b= b a

k 4

k k - b; b = - a 2 2

c) a =

2t 2t - c; m = m a+c

k -a-c ; c = k - a - 2b 2

b) a =

2t 2t ; ma = ma a

2t t t = ; ma = 6ma 3ma 3a A 6 A - 2a 2 4a V V ; m= 2 m a

ÊA ˆ b) A = 2[a(b + c ) + bc ]; a = Á - bc˜ : (b + c ) Ë2 ¯

d) a =

A -r rp

b) c =

V ab

d) c =

2V 2V 2V − a; m = ; ma = m ⋅ ma (a + c)ma ( a + c) m

1108. a) 1 -

1 3 1 1 3 3 1-1 = ; -1 = - ; = 0 ; 1- = 4 4 4 4 4 4 4

b) 2(-6) - 3 = -12 - 3 = -15; 2(-6 - 3) = -18; -

148

c) a =

c) r =

9 ; 0 2

V V ; m= 2 mp r p

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL c) 9; -9; 9; 0 d) (-3)3 = -27; -(-3)3 = 27; [-(-3)]3 = 27; (-3)3 - [-(-3)]3 = -27 - 27 = -54 1 1 1 = 2 + 1 = 3 ; 5; 2 ◊ 2 + 2 ◊ = 5 ; 4 2 2 2 b) (-0,5) - 0,5 + 2 = 1; -(-0,5) + 0,5 - 2 = -1; -2; 3

1109. a) 2 + 2 ◊

c) 12 - (-1) = 1 + 1 = 2; 1 - (-1)2 = 1 - 1 = 0; 0; 0 d)

1 1 5 1 1 4 1 3 5 3 ; - =; ; = = 4 16 16 16 4 16 16 16 16 16

1110. a) 2 ◊ 62 = 72; (2 ◊ 6)2 = 144; -72; 144 b) 3 ◊ (-3)2 = 27; -3 ◊ (-3)2 = -27; [-3 ◊ (-3)]3 = 243; -3 ◊ (-3)3 = -3 ◊ (-27) = 81 ( -1)2 1 1 1 2 2 1111. a) ; = ; +1 = 1 ; 3 3 3 3 3 3

3

1 1 1 1 1 Ê 1ˆ b) - Á ˜ = - ; ; 0; ◊ = Ë 2¯ 8 4 4 16 16

1 1 = 3, ha x = 5 5 3 9 1 3 b) 21y + 4 = 21 ◊ + 4 = + 4 = 8 , ha y = 14 2 2 14 2 2 2 2 c) x + 2xy + y = (-5) + 2 ◊ (-5) ◊ 3 + 3 = 4, ha x = -5; y = 3

1112. a) 15x = 15 ◊

2

d) 4 x 2 - 2 x +

2 1 Ê 2ˆ Ê 2 ˆ 1 64 + 48 + 9 121 = 4 ◊Á- ˜ - 2 ◊Á- ˜ + = = , ha x = Ë 3¯ Ë 3¯ 4 3 4 36 36 2

2

1ˆ 121 Ê 11ˆ Ê È 4 1˘ =Á ˜ vagy Á 2 x - ˜ = Í- - ˙ = Ë 2¯ 36 Ë 6 ¯ Î 3 2˚

1113. a) x 2 + 10 xy + 25y 2 = ( x + 5y )2 x = 2 y =

2

1 5

2

1 Ê 1ˆ 2 2 + 10 ◊ 2 ◊ + 25 ◊ Á ˜ = 4 + 4 + 1 = 9 Ë 5¯ 5 2

1ˆ Ê 2 Á 2 + 5 ◊ ˜ = (2 + 1) = 9 Ë 5¯ 1 Ê 1ˆ Ê 1ˆ b) 8 xy - 4 x + y 2 = 8 ◊ Á - ˜ ◊ (-8) - 4 ◊ Á - ˜ + (-8)2 = 81 , ha x = - ; y = -8 Ë 4¯ Ë 4¯ 4

c) 21y - 6xy + 12 = 21 ◊ 3 - 6 ◊ (-0,5) ◊ 3 + 12 = 84, ha x = -0,5; y = 3 1 Ê 5ˆ 1 1 1 5 Ê 5ˆ d) 3y + 2 xy - 6 x = 3 ◊ Á - ˜ + 2 ◊ ◊ Á - ˜ - 6 ◊ = -6 , ha x = ; y = Ë 6¯ 2 Ë 6¯ 2 3 2 6

149

MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL 1114. a) a π 0; b π 0; c π 0; d π 0; e π 0 és f π 0; g π 0; b) a π b; c π 2d; 3e π -f; g π 0; h π

3 i 2

1115. x π 0; y π 0 x 4 2x 2◊4 x + y 4 + ( -2) 1 x 2 - y 4 2 - (-2 ) 9 =2; = = -1 ; 2 = = = ; = = ; 2 2 y 2( -2) x 4 2 2 ( -2) y y2 (-2 )2 x x

2

=

15 1 1 - x2 ; =x 4 4

1116. y π 0 2

2

Ê xˆ 1 3 Ê 2 ˆ Á ˜ -1 = Á ˜ -1 = -1 = - ; Ë - 4¯ Ë y¯ 4 4

( x - 1)2 1 =- ; y 4

x -1 1 = ; 16 y2

x2 -1 3 =- ; y 4

x2 -1 3 = 16 y2

1117.

x + y -5 + 3 1 = = ; xπy x - y -5-3 4

x-y = 4; x π - y x+y

( x + y )2 1 =- ; xπy x-y 2 2

x+y ( x - y)

2

=-

1 ; xπy 32

2

x -y = -8; x π - y x+y

1118. a) 1; -7, 11; 3; 3

b) 2; 8; 3 ◊ (-1) - (-3) = -3 + 3 = 0; 6; 6

3 1 9 9 5 19 c) =3 ; ; ; 2 ; 6 2 2 2 6 6

1119. a) 4xy = 80; -5x(x + 1) = -30; -(5x - y) = 0; 3y(x + 2y) = 660 b)

8 4 2Ê2 ˆ 14 1Ê2 1 ˆ 21 Ê 2 1ˆ = ; - 5 ◊ Á + 1˜ = - ; - Á 5 ◊ - ˜ = -1,5 ; 3 ◊ Á + 2 ◊ ˜ = Ë ¯ Ë ¯ Ë 10 5 5 5 5 5 2 2 ¯ 10 2 5

c) -1,2; 0,8; -[5 ◊ (-0,2) - 1,5] = 2,5; 3 ◊ 1,5 ◊ (-0,2 + 2 ◊ 1,5) = 12,6 1120. a) -4; 4; 16; 4

b) 0; 0; 0; 0 2

c) 0,25; 4 ◊ (-0,5) ◊ (0,25) = -0,125; 0,25; 0,0625

150

EGYENLETEK 1121. a) 7

b) 503

1122. a) 23

b) nincs megoldás

1123. a) 28 e) nincs megoldás i) nincs megoldás 1124. a) 28

c) 530

b) nincs megoldás f) nincs megoldás j) 5

b) -100

c) -28

d) 68 c) 57

d) 165

c) 34 g) 53 k) nincs megoldás d) 239

d) 290 h) 1001 l) 35

e) -10

f) -7

g) -13 h) -8 i) -1 j) 0 k) -99 l) 292 Az a) d) j) l) egyenleteknek van megoldása a természetes számok halmazán. 1125. a) 52 f) 52 1126. a) 0 g) -30 1127. a) -2

b) 60

c) 54

d) 32

e) nincs megoldás

b) -21

c) -15

d) 61

e) -15

f) -30

h) 5

i) -4

j) -23

k) 9

l) 12

b) 6

c) 16

d) 0

e) -100

f) 973

1128. a) 85 b) 120 c) a természetes számok halmazán nincs megoldása, az egész számok halmazán: -1 d) természetes szám nincs, egész szám: -40 e) nincs megoldása a természetes számok körében, egész szám: -1 f) nincs megoldása, illetve -13. 1129. a) x = 43 - 0 = 43

b) x = 242 - 216 = 26

c) x = 111 - 211 = -100

d) x = -101 e) x = 0 f) x = 5536 A c) és d) feladatnak nincs megoldása a természetes számok halmazán. 1130. a) 0 b) 103 c) 369 d) 86 e) 119 g) 43 h) 372 i) 78 Az f) feladatnak nincs megoldása a természetes számok halmazán.

f) -44

1131. a) 645 g) 0 k) 220

b) 607 h) 185 l) 89

c) 222 i) 37

d) 1010 e) 8 f) 14 j) nincs ilyen tetmészetes szám

1132. a) 4

b) -8

c) 400

d) -519

h) -81

i) -27

g) -13

e) 70

f) 38

151

EGYENLETEK 1133. a) -0,89

b) 10,52

c) 0,49

d) -9,45

1134. a) -3,73

b) -5,97

c) 7,89

d) -7,89

1135. a) ( x + 12) + 83 = 150 x + 12 + 83 = 150 x + 95 = 150 x = 55 b) 49 c) 14

Ellenôrzés: (55 + 12) + 83 = 67 + 83 = 150 150 = 150

d) 11

1136. a) 88 b) 241 c) 221 d) nincs megoldás, mert a -12 nem természetes szám. 1137. a) 141 + ( x + 36) = 200 141 + 36 + x = 200 177 + x = 200 x = 23 b) 19 c) 91

Ellenôrzés: 141 + (23 + 36) = 141 + 59 = 200 200 = 200

d) nincs megoldás, mert a -22 nem természetes szám

Ellenôrzés 1138. a) ( x - 31) + 253 = 400 x - 31 + 253 = 400 (178 - 31) + 253 = 147 + 253 = 400 x + 222 = 400 400 = 400 x = 178 b) ( x - 141) + 200 = 56 Ellenôrzés: x - 141 + 200 = 56 ( -3 - 141) + 200 = -144 + 200 = 56 x + 59 = 56 56 = 56 x = -3 c) -164 d) -42 A természetes számok halmazán nincs megoldása a b), c), d) feladatoknak. 1139. a) ( x - 705) + 611 = 42 x - 705 + 611 = 42 x - 94 = 42 x = 136 b) 300 c) 97

d) -6 (nem természetes szám)

b) 245 - ( x - 48) = 108 1140. a) (37 - x ) + 216 = 174 37 - x = -42 x - 48 = 245 - 108 x = 37 - ( -42) x = 137 + 48 x = 79 x = 185 c) -82 d) -64 A c) és d) feladatoknak nincs megoldása a természetes számok halmazán. 1141. a) 36 g) 20 k) 0

152

b) 16 h) 20 l) 6

c) 20 i) 13

d) 12 e) 18 f) 24 j) nincs ilyen természetes szám

EGYENLETEK 1142. a) -2 g) -3 1143. a) 8

b) -18

f) 0

g) -4

k) 0

l) -22

g) -

1 4

e) 4

f) -2

c) -15

d) -8

e) -4

f) -4

b) 4

c) -9

d) 8

e) 14

h) -9

i) 0

j) nincs megoldás

h) 13

1144. a) nincs megoldás

1145. a) 0,5

d) 0

h) 12 b) 3

g) -12

c) 25

b)

1 3

c) 1 2

h) -

1 3

i) -

c) -2

h) 1

i) -2

1147. a)

2 x=5 3

vagy

2 3 3 x = 5◊ 2 1 x=7 2 x = 5:

b) 20

c) -40

h) 0

i) -

1148. a) -4

2 3

1 4

j) -

e) 7 5

1 3

1 5 3 l) 7

f) 3 4

k) -

Ellenôrzés:

1146. a) 3x + 5x = 12 8 x = 12 12 3 x= = 8 2 b) -3

d)

3◊

d) -

2 x=5 3 2 x = 15 15 x= 2

32 25

11 2

f)

4 5

g)

4 5

Ellenôrzés: 2 15 15 ◊ = =5 3 2 3 5=5

d) -49 j) -

e) 0

3 3 9 15 24 + 5◊ = + = = 12 2 2 2 2 2 12 = 12

3 2

k)

15 16

d) 0,67

f) -2 l) -

g) 1

16 21

e) -1,44

f) 1,3

1149. Az osztandót megkapjuk, ha az osztót és a hányadot összeszorozzuk. a) 35 b) 72 c) 100 d) 63 e) 100 g) 45 h) 25

f) 100

b) -15,5

c) 1,34

e) -3

1150. a) 42 b) 16 c) 0 d) 296 Az osztót megkapjuk, ha az osztandót elosztjuk a hányadossal. e) 7 f) 8 g) nincs megoldás h) 30

153

EGYENLETEK 1151. a) 5 f) 4

b) nincs megoldás

c) 25

d) -7

e) -4

g) -3

i) -346

j) -12

k) 16

g) 30

h) 10

h) -55

l) 42 1152. a) 3x + 2 = 8 3x = 6 x=2 c) 7 d) 6 i) 15

b) 2 x - 3 = 11 2 x = 14 x=7 e) 2 f) 3

1153. a) 5

c) -9

d) nincs megoldás

e) -3

g) -1

h) nincs megoldás

i) 12

b) -1

f) nincs megoldás 1154. a)

x 6 13

2 x + 3 = 13 2 x = 10 x=5

M(5; 13)

x 6 2x + 3

b)

2 x + 3 = 13 x=5

x 6 25

6 x + 1 = 25 6 x = 24 x=4

M( 4; 25)

x 6 6x + 1

154

6 x + 1 = 25 x=4

EGYENLETEK c)

x 6 17

7 x + 3 = 17 7 x = 14 x=2

M(2; 17)

7 x + 3 = 17 x=2 x 6 7x + 3

1155. a) 11x - 8 = -41 - 811x = -41 + 8 - 811x = -33 - 811x = -3 d) -36

b) 16x + 7 = 391 + 716x = 391 - 7 + 716x = 384 + 716x = 24 e) 5

c) 73 + 5x = 168 73 + 5x = 95 73 + 5x = 19

1156. a) f) l) 1157. a) 1158. a)

c) nincs megoldás h) 4 i) 11

d) 24 j) 14

e) 13 k) 11

e) -3 e) 11

f) 2 f) 12

3 b) 10 8 g) 27 nincs megoldás -1 b) -3 -2 b) -7

c) -4 c) -4

d) 2 d) -13

f) 9

Az 5-nél kisebb egész számok halmazán nincs megoldása 1159. a) 2 x - 4 = 12 az egyenletnek. A természetes számok halmazán x = 8 a 2 x = 16 megoldás. x =8 Ellenôrzés: 2 ◊ 8 - 4 = 16 - 4 = 12 b) 5x + 9 = 6 Egyik megadott alaphalmazon sincs megoldása az egyenletnek. 5x = -3 c) 2 x - 9 = -9 Mindkét megadott halmazon az x = 0 a megoldása az egyenletnek. 2x = 0 x=0 Ellenôrzés: 2 ◊ 0 - 9 = 0 - 9 = -9 A természetes számok halmazán nincs megoldása az egyend) x = -4 letnek. Mindkét alaphalmazon megoldás. e) x = 1 Csak az 5-nél kisebb egész számok halmazán van megolf) x = -5 dása az egyenletnek. 1160. (1) (2 ) (3) ( 4)

a b c d e f - -3 4 -3 4 - +5 +7 +5 4 -3 +5 +7 +5 -5

155

EGYENLETEK 1161. a) 4x - 6 = 3x - 64x = 3x + 6 - 64x = 6

b) 7x + 12 = 9x 7x + 12 = 9x - 7x 7x + 12 = 2x 712 + x = 6 e) nincs megoldás

d) 6

c) 6 - 3x = 3x - 3x6 = 6x - 36x = 1 f) nincs megoldás

Vegyünk el mindkét oldalból x-et! 1162. a) 6 x - 8 = x + 12 Adjunk mendkét oldalhoz 8-at! 5x - 8 = 12 Osszuk el mindkét oldalt 5-tel! 5x = 20 x=4 Ellenôrzés Bal oldal: 6 ◊ 4 - 8 = 24 - 8 = 16¸ ˝ 16 = 16 Jobb oldal: 4 + 12 = 16 ˛ b) 2 x + 1 = x + 11 Vegyünk el mindkét oldalból 1-et! Vegyünk el mindkét oldalból x-et! 2 x = x + 10 x = 10 c) 9 d) 1 e) 10 f) 22 g) 7 i) 9 1163. a) nincs megoldás b) 15 c) 11 e) 6 x + 8 + 4 x = 8 x + 2 10 x + 8 = 8 x + 2 2x + 8 = 2 2 x = -6 x = -3 Nincs megoldása a természetes számok halmazán. f) 7,5 nem természetes szám, nincs megoldás.

d) 1

1164. a) -10 d)

e) 5

c) 9

b) -9

x 6 2x + 2

x 6 2x + 8 M(5; 18)

M(7; 16)

x 6 3x - 5

2 x + 2 = 3x - 5 x=7

156

d) 7 e)

x 6 4x - 2

4x - 2 = 2x + 8 x=5

h) 1

f) -1

EGYENLETEK f)

x 6 13 + 7 x

M( -1; 6)

x 6 1 - 5x

1 - 5x = 13 + 7 x x = -1

1165. a) 3 e) -2

b) -1

c) nincs megoldás

f) 3

g) -4

16 7 b) 7 4 2 f) - = -0,4 5

1166. a)

c)

4 3

d) nincs megoldás

h) nincs megoldás d)

11 12

e)

i) -7

12 11

1167. a) 3x - 2 x + 7 - 12 + 42 x = 0 43x - 5 = 0 nincs megoldás b) 2 x - 5 + 7 x + 3x - 4 x = 11 8 x - 5 = 11 8 x = 16 x=2 E.: 2 ◊ 2 - 5 + 7 ◊ 2 + 3 ◊ 2 - 4 ◊ 2 = 4 - 5 + 14 + 6 - 8 = 11 c) 0 d) azonosság (bármely természetes szám igazzá teszi) 1168. a) 1

b) 0

1169. a) 2

b) nincs megoldás

1170. a) -

1171. a)

4 9

3 2

b)

c) 2

23 15

b) -

c) -8

11 = -5,5 2

1172. a) 2 x + 2( x + 1) = 10 2 x + 2 x + 2 = 10 4x = 8 x=2

d) nincs megoldás, mert -5 π -8 c) -3

d) -1

d) 6,6

c) -

2 14 = -4 3 3

b) 2 x + 3( x - 5) = 15 2 x + 3x - 15 = 15 5x = 30 x=6

c) 5

d) 2

9 50

d) 4

157

EGYENLETEK 1173. a) 2( x + 2) = 3( x - 2) 2 x + 4 = 3x - 6 4 = x -6 10 = x e) 2

b) 4( x - 1) = 2( x + 8) c) 0 4 x - 4 = 2 x + 16 2 x - 4 = 16 2 x = 20 x = 10 f) A természetes számok halmazán nincs megoldás.

d) 6

1174. a) 5(x - 2) = 3(x - 2) Ez az egyenlôség csak akkor állhat fenn, ha 5 és 3 szorzója 0. x - 2 = 0, így x = 2. b) c) d) e)

x = -9, nincs megoldás a természetes számok halmazán 9 azonosság, az igazsághalmaz a természetes számok halmaza 3 f) 11

1175. a) -4

b) -12

c) -23

d) 6

1176. a) 10 x - 15 = 3x + 105 7 x - 15 = 105 7 x = 120 120 x= 7 120 nem egész szám. Nincs megoldás. 7 b) -9 c) 30 d) nincs megoldás f) nincs megoldás

d) 4

b) 6 x + ( x + 1) = 5( x + 1) 6 x + x + 1 = 5x + 5 7 x + 1 = 5x + 5 2x + 1 = 5 2x = 4 x=2 e) 2 f) 14

b) -8

c) -15

1177. a) 7( x - 1) + 3 = 3 x 7 x - 7 + 3 = 3x 4x - 7 + 3 = 0 4x = 4 x =1 c) 1 1178. a) 7

d) -1

1179. a) 4 b) 4(3x - 1) + 11 = 2(3x - 1) - 9 Vegyünk el mind a két oldalból 2(3x - 1)-et! 2(3x - 1) + 11 = -9 2(3x - 1) = -20 3 x - 1 = -10 3 x = -9 x = -3

158

e) -63

f) 11

e) nincs megoldás

e) 1

f) 8

EGYENLETEK c) 8(2 - 3x) - 11 = 7(3x - 2) + 10 Megj.: 7(3x - 2) = 7[-(2 - 3x)] = -7(2 - 3x) 8(2 - 3x) - 11 = -7(2 - 3x) + 10 Adjunk mindkét oldalhoz 7(2 - 3x)-et! 15(2 - 3 x ) - 11 = 10 9 =x 45 9 1 = nem egész szám. Nincs megoldás. 45 5 d) 6(2x + 1) - 8 = 5(1 + 2x) - 9 Az összeg tagjai felcserélhetôk. 6(2x + 1) - 8 = 5(2x + 1) - 9 Vegyünk el mindkét oldalból 5(2x + 1)-et! 2 x + 1 - 8 = -9 x = -1 e) 10 - 3( x + 2 ) = 2 ( x + 1) - 3 f) 5(2 x - 3) + 7 = 12 - 5( x + 1) 10 - 3 x - 6 = 2 x + 2 - 3 10 x - 15 + 7 = 12 - 5 x - 5 x =1 x =1 1180. a) -29

b) 2

c) 0,2

d) 22,5

e) -1,6

f)

1 3

1181. a) 0

b)

3 4

c) 2,2

d) 0,25

e)

8 3

f)

7 3

d) 1

e)

7 4

f) -

1 2

e) -

3 7

1182. a)

5 6

1183. a) -3,5

4 3

b) -1

c) -

b) 1

c) -1,6

d) nincs megoldás

f) azonosság 1184. a) 2 b) 3 c) Vegyünk el elôször mind a két oldalból 5(x - 2)-t, így -3(2 - x) = 1 egyenlethez jutunk, ennek pedig a természetes számok halmazán nincs megoldása. d) A kijelölt mûveletek elvégzése és az összevonások után a 3x - 4 = 3x + 1 egyenletet kapjuk, amelynek nincs megoldása. 1185. a) 1 b) 3 c) 15 d) A természetes számok halmazán nincs megoldása. 1186. a) 4,75 1187. a) -

5 7

b) -7 b) -

1 3

c) 5

d) 7

c) 5

d) -2,5

1188. a) Vonjuk össze az x + 1-et tartalmazó tagokat. Így 6 - 4(x + 1) = -4(x + 1) + 6 egyenlôséghez jutunk, ez az egyenlôség pedig azonosság. b) 3,5 c) -10 d) -14 d)-ben összevonás után a következô egyenletet kapjuk: 2(3x + 1) + 16 = 2(2x - 5).

159

EGYENLETEK b)

1189. a) 3[2 - 3( x - 2 )] = 12 2 - 3( x - 2 ) = 4 - 3x + 6 = 2 - 3 x = -4 4 x= 3 c) 4[3 + 5(3 - x ) + 2 x ] = 6 - 2 x 4[3 + 15 - 5x + 2 x ] = 6 - 2 x 4[18 - 3x ] = 6 - 2 x 72 - 12 x = 6 - 2 x 66 = 10 x x = 6,6 1190. a) -3 1191. a)

b) -22

5 a - 3 = 12 8 5 a = 15 8 5a = 120 a = 24

b) 18

i)

160

1 10 1 1+ a = 2 5 1 a =1 5 a=5

c) 10

d)

e) 1 - 2a = 3 3 8 - 2a = 3

f)

d) 2[ 4 - 2(5 - x ) - 2 x ] = 4 x - 7 2[ 4 - 10 + 2 x - 2 x ] = 4 x - 7 2 ◊ ( -6) = 4 x - 7 - 12 = 4 x - 7 - 5 = 4x x = -1,25 d) 6

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 8-cal!

c) 12

a=-

3x = 2[5 - 3(2 - x )] 3x = 10 - 6(2 - x ) 3x = 10 - 12 + 6 x 3x = 6 x - 2 - 3x = -2 2 x= 3

75 5 = 10 7 7

1 -ot! 3 Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát -2-vel!.

Vegyünk el az egyenlet mindkét oldalából

4 3

g) -

4 9

h) -

1 9

j)

2 2 a+a = 3 3 2 3 2 a+ a = 3 3 3 2a + 3a = 2 5a = 2 2 a= 5

Szorozzuk mindkét oldalt 3-mal!

EGYENLETEK k)

3 21 a= 4 8 8 6 21 a+ a = 8 8 8 14 21 a= 8 8 14a = 21 3 a= 2

l)

3 16 a+a = 5 5 3 5 16 a+ a = 5 5 15 8 16 a= 5 15 16 8 a= : 15 5 2 a= 3

m)

2 5 1 a- = a 9 6 12 8 30 3 a= a 36 36 36 5 30 a=0 36 36 a=6

n)

3 7 a- a =1 4 12 9 7 a- a =1 12 12 2 a =1 12 a=6

a+

o) 2 4 a- a =1 3 9 6 4 a- a =1 9 9 2 a =1 9 9 a= 2 1192. a) 3,4 g) -1,2

1193. a) 3

b) -1,25

b)

25 14

x +1 =1 4 x+1=4 + 1x = 3 d) 7 e) 3 j) 8 k) 2 p) 15 q) 2

1194. a)

1195. a) 7

c) 2,2

d) -5

c) 30

d) 2

e) -1,07

f) 0,433

h) 3,1

b) 6

x -1 =1 5 x-1=5 - 1x = 6 f) 16 g) 3 l) 13 m) 20 r) 3

b)

x +3 =2 6 x + 3 = 12 + 3x = 9 h) 9 i) 3 n) 13 o) 36

c)

c) 12,5

161

EGYENLETEK d)

e)

3x - 3 - 3x = 12 4 3x - 3 - 12 x = 48 - 9 x - 3 = 48 - 9 x = 51 51 x=9 17 x=3 3 4

f) -4

x -1 x +1 3 + = 2 3 2 3( x - 1) + 2( x + 1) = 9 3x - 3 + 2 x + 2 = 9 5x - 1 = 9 5x = 10 x=2 x + 2 x -1 + =2 b) 5 2 2 ( x + 2 ) + 5( x - 1) = 20 2 x + 4 + 5 x - 5 = 20 x=3 d) 1 e) 1

1196. a)

1197. a) 20

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 4-gyel!

b) 3

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát a nevezôk legkisebb közös többszörösével, 6-tal! Végezzük el a kijelölt szorzásokat! Vonjunk össze a bal oldalon!

c)

f) 1 c) 10

1 1 b) c) 1 3 4 3x - 1 2 x + 1 = x -1 e) 2 3 9x - 3 - 4 x - 2 = 6 x - 6 5x - 5 = 6 x - 6 1= x x-2 + 1 = 3( x - 1) f) 3 x - 2 + 3 = 9( x - 1) 5 x= 4 2 x + 3 3x - 2 x g) = +1 5 3 5 3(2 x + 3) - 5(3 x - 2 ) = 3 x + 15 6 x + 9 - 15 x + 10 = 3 x + 15 1 x= 3

1198. a)

162

2x - 5 x +1 =1 3 4 4(2 x - 5) - 3( x + 1) = 12 8 x - 20 - 3 x - 3 = 12 x=7

d) nincs megoldás d) 5,5 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 6-tal!

Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 15-tel!

EGYENLETEK h)

8x - 3 2x + 4 = x +1 5 2 8x - 3 - ( x + 2) = x + 1 5 8 x - 3 - 5( x + 2 ) = 5 x + 5 8 x - 3 - 5 x - 10 = 5 x + 5 x = -9

Egyszerûsítsünk a kivonandóban! Szorozzuk mindkét oldalt 5-tel!

1199. a) Elôször szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 3-mal! 9 x - 6 + x = 6( x - 2 ) 3 x=2 c) 40

b) -1

1200. a) -

40 17

g) 0,64 =

b) -

d) 4 29

1 32

c) 37

d)

25 12

e) -4

f) 0,64

16 25

1201. a) 1,6(2 ,8 - x ) = 5,2 (2 x - 0,4) + 6,12 0,44 = 12 x 44 x= : 12 100 11 x= 300 .

( x = 0,036)

b)

3159 = 3,94875 800

c)

9951 (ª 1,444267 ª 1,4) 6890

1202. Mindegyik feladatban vizsgáljuk meg, hogy x milyen értéke esetén lesz a szorzat 0! a) x - 2 = 0 b) x - 3 = 0 c) x + 1 = 0 - 2x = 2 - 3x = 3 + 1x = -1 d) x + 5 = 0 + 2x = -5

e) x - 5 = 0 - 3x = 5

f) x + 2 = 0 + 1x = -2

g) x ◊ (x + 4) = 0 ha x1 = 0, akkor a szorzat 0. Akkor is 0 a szorzat, ha x + 4 = 0, azaz x2 = -4. h) 0; -1

i) 0; 8

n) 0; -2

o) 0; 3

1203. a) 0; 5

d) -1; 2

j) 0; -3

k) 0; 5

b) (x - 1)(x + 2) = 0 x -1 = 0 x + 2 = 0 x1 = 1 x 2 = -2 e) 4; -3

l) 0; -5

m) 0; 8

c) (x + 2)(x - 5) = 0 x+2 =0 x -5= 0 x1 = -2 x2 = 5

f) -1; -3

163

EGYENLETEK 1204. a) x1 = 0 x - 1 = 0 x - 5 = 0 x + 2 = 0 x2 = 1 x3 = 5 x 4 = -2 x - 2 = 0 x +1 = 0 b) x1 = 0 x + 3 = 0 x 2 = -3 x3 = 2 x 4 = -1

c) 0; 3; 6; -3 1205. a) 0

d) 0; 4; -2; 2 b) -2; 2

c) -3; 3

d) -5; 5

Ha x = 0, akkor teljesül az egyenlôség. Ha x π 0, akkor oszthatjuk e) x2 = 9x 2 x=9 az egyenlet mindkét oldalát x-szel. A megoldások: x1 = 0 x2 = 9. f) x 2 + 2 x = 0 x 2 = -2 x x1 = 0 x2 = -2

Vegyünk el mindkét oldalból 2x-et!

A természetes számok halmazán egy, az egész számok halmazán két megoldása van. g) x1 = 0; x 2 = 3

h) x1 = 0; x 2 = 2

i) x1 = 0; x 2 = 4

k) Az adott alaphalmazok egyikén sincs megoldása.

j) x1 = 0; x 2 =

1 4

l) x1 = 5; x 2 = -5

1206. a)

x 6 ( x -1) 2

( x - 1)2 = 0 x -1 = 0 x =1

x60

b) (x + 3)2 = 0 )2(x + 3 = 0 ) + 32(x = -3

c) (x + 10)2 = 0 )2(x + 10 = 0 ) + 102(x = -10

d) (x - 5)2 = 0 )2(x - 5 = 0 ) - 52(x = 5

b) c) A természetes számok halmazán nincs, az egész számok halmazán egy megoldás van.

164

EGYENLETEK e) M1 ( -5; 9)

M 2 (1; 9)

x69

x 6 ( x + 2 )2

( x + 2 )2 = 9 x + 2 = 3 vagy x2 = 1

x1 = -5 x2 = 1

x + 2 = -3 x1 = -5

A természetes számok halmazán x = 1 a megoldás, az egész számok halmazán x1 = -5 és x2 = 1 a megoldás. f) (x - 3)2 = 1 x - 3 = 1 vagy x - 3 = -1 x1 = 4 x2 = 2 Mindkét alaphalmazon két megoldás van. g) x1 = -3 x 2 = 1

h) x1 = -2 x 2 = 6

1207. a) x 2 + 2 x + 1 = 0 ( x + 1)2 = 0 x +1 = 0 x = -1

i) x1 = 0 x 2 = -6

b) x 2 - 6 x + 9 = 0 ( x - 3)2 = 0 x -3 = 0 x =3

c) x 2 - 4 x + 4 = 0 ( x - 2 )2 = 0 x -2 = 0 x=2

d) ( x - 3)2 + 2 = 6 ( x - 3)2 = 4 x - 3 = 2 vagy x - 3 = -2 x1 = 5 x2 = 1

e) ( x + 1)2 - 3 = 6 ( x + 1)2 = 9 x + 1 = 3 vagy x + 1 = -3 x1 = 2 x 2 = -4

f) ( x - 2)2 + 5 = 9 ( x - 2 )2 = 4 x - 2 = 2 vagy x - 2 = -2 x1 = 4 x2 = 0

165

EGYENLETEK 1208. Hajtsuk végre a kijelölt négyzetreemeléseket! a)

( x + 2 )2 = 4 x x2 + 4x + 4 = 4x x2 + 4 = 0 nincs megoldás

x 6 ( x + 2 )2 x 6 4x

A két függvényképnek nincs közös pontja, tehát nincs megoldás.

b)

( x - 1)2 = x 2 x2 - 2x + 1 = x2 - 2 x = -1 1 x= 2

x 6 ( x -1) 2

x 6 x2

Ê 1 1ˆ A két függvénykép az Á ; ˜ pontban metszi egymást. Ë 2 4¯ x=

1 2

c) x 2 + 2 = ( x - 3)2 x2 + 2 = x2 - 6x + 9 7 x= 6 e) -1

166

f) -2

d)

( x - 5)2 = 25 + x 2 x - 10 x + 25 = 25 + x 2 x=0 2

EGYENLETEK 1209. a) d)

4 3

b) Azonosság, az alaphalmaz minden eleme igazzá teszi. c)

3( x - 3)2 = ( x - 9)2 3( x 2 - 6 x + 9) = x 2 - 18 x + 81 3x 2 - 18 x + 27 = x 2 - 18 x + 81 3x 2 + 27 = x 2 + 81 2 x 2 = 54 x 2 = 27 x = ± 3◊ 9 x1 = 3 3

1210. a)

c)

7 4

2x +1 =3 x 2 x + 1 = 3x 1= x

5− x =4 x −1 9 x= 5

x 2 = -3 3 xπ0

b)

x -1 π 0 x π1

d)

e) 0; 1

f)

3 − 2x =2 x +1 3 − 2 x = 2 ( x + 1) 3 − 2x = 2x + 2 1 = 4x 1 x= 4

x +1 π 0 x π -1

3x − 6 =3 x−2

x-2 π 0 xπ2 A 2 kivételével minden racionális szám igazzá teszi. x2 − 4 =0 x+2 ( x − 2 )( x + 2 ) = 0

x π -2 x1 = 2 x 2 = -2

Az x2 = -2 nem megoldás g)

x2 + 3 =1 x+3 x2 + 3 = x + 3 x1 = 0 x2 = 1

x π -3

h)

x 2 − 25 =0 x−5 ( x − 5)( x + 5) =0 x−5 x+5= 0 x = −5

x - 5 π -0 xπ5

167

EGYENLÔTLENSÉGEK 1211. a) 0 £ x < 5

b) 0 £ x < 13

c) 0 £ x < 27

d) 0 £ x < 1000

e) f) g) h) Az adott számnál nagyobb, minden természetes szám helyét kell megjelölni. pl. e) 1212. a) b) A 0-t, a 10-et és minden közbeesô természetes számot is jelölni kell. c) 0-t, 25-öt és a közbeesô természetes számokat kell jelölni. d) e) f) g) h) e) f) g) h) Végtelen sok természetes szám teszi igazzá, ezért a megrajzolt számegyenesdarab végéig jelöljük a természetes számok helyét! 1213. a) x < 11

0-t, 10-et és a közbeesô természetes számokat jelöljük.

b) x £ 15 0-t, 15-öt és a közbeesô természetes számokat jelöljük. c) x < 18 d) x ¤ 14 e) x > 12 f) x ¤ 18 g) x > 13 h) x £ 4 Az ábrázolásnál az elôzô feladatban bemutatott megoldások szerint járunk el. 1214. a) {3; 4; 5} b) d) {3; 4; 5; 6} e) f) (3; 4; 5; 6; 7} az egyenlôtlenség. g) {3; 4} h)

{}; üres halmaz a megoldáshalmaz, c) {3; 4} {3; 4; 5; 6; 7}, azonos egyenlôtlenség igazsághalmaz megegyezik az alaphalmazzal, {3}

1215. a) {3; 4; 5; 6; 7} b) {4; 5; 6; 7} c) {6; 7} e) {6; 7} f) {6; 7} g) {7} h) {}, az adott halmazon nincs megoldása. 1216. a) b)

168

d) {3; 4}

azonos

EGYENLÔTLENSÉGEK c) d) e) f) g) h) 1217. a) 1 < x < 8 vagy 2 £ x < 8 vagy 2 £ x £ 7; vagy 1 < x £ 7 b) 9 < x < 17; 10 £ x < 17; 10 £ x £ 16; 9 < x £ 16 1218. Mivel az alaphalmazt nem adtuk meg, így az ismert számok halmazát tekintjük alaphalmaznak. A számegyenes-darabok végpontjaikkal vannak megadva. a) 0 < x £ 8

b) 100 £ x £ 180

1219. a) 2 < x < 6

c) 70 £ x < 78

d) 13 < x < 21

b) 3 < x £ 6

c) 7 £ x < 14

d) 7 £ x £ 16

1220. a) {4} d) {4; 5; 6} g) {8; 9; 10}

b) {4; 5; 6; 7; 8; 9} e) {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} h) {8; 9; 10}

1221. a) x < 4; {0; 1; 2; 3} c) x > 5; {6; 7; 8; ...}

b) x < 10; {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} d) x < 4; {0; 1; 2; 3}

e) x £ 5; {0; 1; 2; 3; 4; 5}

f) x £ 6; {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

g) x ¤ 9; {9; 10; 11; ...}

h) x ¤ 8; {8; 9; 10; ...}

1222. a) x < 15; {0; 1; 2; ...; 14; 15}

c) {4; 5; 6; 7} f) {7; 8; 9; 10}

b) x > 36; {37; 38; 39; ...}

c) x £ 48; {0; 1; 2; ...; 47; 48}

d) x ¤ 100; {100; 101; 102; ...}

e) x £ 30; {0; 1; 2; ...; 29; 30}

f) x > 60; {61; 62; 63; ...}

g) x ¤ 28; {28; 29; 30; ...}

h) x < 21; {0; 1; 2; ...; 19; 20}

1223. a) x < 3

d) x > 3

b) x £ 2

e) x >

c) x > 2

7 3

f) x ¤ 7 3

7 5 7 5

169

EGYENLÔTLENSÉGEK g) x £ 3,5

h) x < 2

j) x < 3

k) x < 3

3 4

i) x > 2

l) x ¤ 1

1224. Az ábrázolást az 1223. feladathoz hasonlóan oldjuk meg. 2 1 2 2 b) x £ − c) x > d) x < a) x £ − 3 2 3 5 1 1 1 f) x £ g) x > h) x ¤ 2 i) x < 2 4 2 1225. a) x < 1; {1-nél kisebb egész számok} b) x ¤ 1; {1-nél nem kisebb egész számok} 1226. a) x > 1

1227. a)

b) x £ 1

x67 M(3; 7)

x 6 13 M( 4; 13)

x 6 2x + 5 x 6 3x - 2

3x - 2 £ 7 x£3

170

2 x + 5 ¤ 13 x¤4

e) x < -

1 5

EGYENLÔTLENSÉGEK x67 M(1; 7)

x65 M(2; 5)

x 6 5x + 2

x 6 4x - 3

4x - 3 > 5 x>2

5x + 2 < 7 x <1

b) x 68 Ê 5 ˆ M Á - ; 8˜ Ë 2 ¯

x 6 -3 x + 6 x 6 -2 x + 3

x60

-2 x + 3 < 8 5 x>2 -

M(2; 0)

-3 x + 6 ¤ 0 x£2

5 2

171

EGYENLÔTLENSÉGEK

x67 M( -1; 7)

x 6 5- 2x x 6 3 - 4x

M(2,5; 0)

x60

3 - 4x £ 7 x ¤ -1

5 - 2x > 0 x < 2,5

c) x6

M( -8; 0)

x +2 4

x6

x 61

M(6; 1)

x60

x -1 ¤ 1 3 x¤6

x +2<0 4 x < -8

x63 x6

x60

M(6; 0)

M( 4; 3)

x -3 2

x x 6 +1 2

x -3£ 0 2 x£6

x +2 2 x£2

1228. 2 x - 1 £

172

M(2; 3)

x +1> 3 2 x>4

x +2 2 x>2

2x -1 >

x -1 3

EGYENLÔTLENSÉGEK

1229.

-2 x + 1 £ x - 2 x ¤1

-2 x + 1 ¤ x - 2 x £1

M(1; -1)

b)

1230. a) M(2; 12)

x 6 3x - 2

x 6 6x

x 6 3x

x 6 3x + 6

3x - 2 ¤ 3x

Nincs megoldás. A két függvénykép párhuzamos, ezért egyenlôség nem állhat fenn. Az x ® 3x függvény képe az 3x - 6 £ 6 x x¤2

c)

x ® 3x - 2 függvény képe fölött halad, ezért a 3x > 3x - 2 egyenlôtlenség teljesül minden esetben.

x 6 2x + 5

d) x < -1 e) x £ 2

x6 x+2

f) Azonos egyenlôtlenség, az x ® x + 9 f) függvény képe halad fölül.

M( -3; - 1)

x + 2 < 2x + 5 x > -3

173

EGYENLÔTLENSÉGEK b)

1231. a) 2 x - 3x < 7 - 5x - x < 7 - 5x 4x < 7 7 x< 4

x £ 3x - 7 0 £ 2x - 7 7 £ 2x 7 £x 2

7 4

I = {0 ;1} a természetes számok halmazán.

7 2

I = {4; 5; 6; ...} a természetes számok halmazán.

c) x < -3, a természetes számok halmazán nincs megoldás. d) 3 x - 5 x ¤ x + 7 - 2x ¤ x + 7 - 3x ¤ 7 7 x£3

Osszuk el az egyenlôtlenség mindkét oldalát (-3)-mal. Az egyenlôtlenség iránya megváltozik.

A természetes számok halmazán nincs megoldás. e) x > 50

f) x £ 20

I = {51; 52; 53; ...} a természetes számok halmazán. 1232. a)

b)

174

2x - 5 x - 4 + <3 5 10 2 (2 x - 5) + ( x - 4) < 30 4 - 10 x + x - 4 < 30 - 9 x < 30 10 x>3 x - 3 5 - 2 x 11 £ 6 12 12 2 ( x - 3) - ( 5 - 2 x ) £ 11 2 x - 6 - 5 + 2 x £ 11 4 x - 11 £ 11 4 x £ 22 x £ 5, 5

I = {0; 1; 2; ...; 19; 20} a természetes számok halmazán.

Szorozzuk az egyenlôtlenség mindkét oldalát 10-zel.

I = {0; 1; 2; 3; ...} Bármely természetes szám igazzá teszi.

Szorozzuk mindkét oldalt 12-vel.

I = {0; 1; 2; 3; 4; 5} a természetes számok halmazán.

EGYENLÔTLENSÉGEK c)

3x + 2 1 - 2 x 9 - 3x ¤ A jobb oldalon álló törtet egyszerûsítsük! 8 4 12 3 x + 2 1 - 2 x 3 - x Az egyenlôtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 8¤ 8 4 4 cal. 3 x + 2 - 2 (1 - 2 x ) ¤ 2 ( 3 - x ) Beszorzás, összevonás után 2 x¤ 3 2 3

I = {1; 2; 3; ...} a természetes számok halmazán. d) Az egyenlôtlenség mindkét oldalát 6-tal szorozzuk. 3( x - 15) + 4( x + 11) > 6( x + 1) x>7 I = {8; 9; 10; ...}

1233. a) A parabola a -2 £ x £ 1 esetén fut az egyenes alatt. Az egész számok halmazán I = {-2; -1; 0; 1}. b) A parabola-ág az egyenes fölött fut, ha x < -2 vagy x > 1. I = {...; -5; -4; -3; 2; 3; 4; ...} az egész számok halmazán.

1234. a) -4 < x < -1

b) x £ -4 vagy x ¤ -1

I = {-3; -2} 1235. a)

I = {...; -6; -5; -4; -1; 0; 1; 2; ...}

x 6 ( x + 1)2

M1 (-3; 4)

( x + 1)2 < 4 -3< x <1

( x + 1)2 ¤ 4 x £ - 3 vagy x ¤ 1

x64

M 2 (1; 4)

175

EGYENLÔTLENSÉGEK b) x 6 x2 -1

x2 - 1 £ 3

x2 -1 > 3 x < -2 vagy x > 2

-2 £ x £ 5

x63

M 2 (2; 3)

M1 (-2; 3)

c)

x 6 ( x + 1)2

(x + 1)2 £ x + 3 -2 £ x £ 1

( x + 1)2 > x + 3 x < -2 vagy x > 1

M 2 (1; 4) M1 (-2; 1) x6 x+3

1236. A grafikonokat az 1235. feladat megoldásához hasonlóan készítjük el!

176

a) ( x - 3)2 > -2 x + 6 x < 1 vagy x > 3

( x - 3)2 £ - 2 x + 6 1£ x £3

b) ( x + 3)2 < - x - 1 - 5 < x < -2

( x + 3)2 ¤ - x - 1 x £ - 5 vagy x ¤ - 2

c) ( x + 2)2 - 2 < 2 x + 5 -3< x <1

( x + 2 )2 - 2 ¤ 2 x + 5 x £ - 3 vagy x ¤ 1

EGYENLÔTLENSÉGEK

d) x 6 2x - 6

- ( x - 3)2 < 2 x - 6 x < 1 vagy x > 3

- ( x - 3) 2 ¤ 2 x - 6 1£ x £3

M 2 (3; 0)

M1 (1; - 4)

x 6 - ( x - 3)2

177

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK 1237. a) y = -2x + 4 y=x+1 A két függvénykép közös pontjának koordinátái teszik igazzá mindkét egyenletet. x = 1 y = 2. Algebrai megoldás: A két egyenlet bal oldala egyenlô, ezért a jobb oldalon álló kifejezések is egyenlôk! -2 x + 4 = x + 1 4 = 3x + 1 3 = 3x 1= x A kapott x értéket a második egyenletbe behelyettesítve: y = 2. Az (1; 2) számpár teszi igazzá egyszerre a két egyenletet. b) x = 1; y = 1 c) x + y = 2 4x - y = 3 A grafikonról x = 1; y = 1, azaz az (1; 1) számpár a megoldás. Algebrai megoldás: Az elsô egyenletbôl: y = 2 - x. Ezt helyettesítjük be a második egyenletbe! 4 x - (2 - x ) = 3 4x - 2 + x = 3 x =1 Az y értékét az elsô egyenletbôl x = 1 helyettesítésével kapjuk: y = 2 - 1, azaz y = 1. A megoldás az (1; 1) számpár. d) (0; 2) 1238. a) x + y = 2 x-y =2 Æ x =2+y Helyettesítsük be az x-re kapott kifejezést az elsô egyenletbe! (2 + y ) + y = 2 x =2+0 y=0 x=2 A megoldás a (2; 0) számpár. b) 2 x + y = 3 x - y = 0 Æ x = y Írjuk be az elsô egyenletbe! 2x + x = 3 3x = 3 x =1 y = 1 Az (1; 1) számpár a megoldás.

177

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK c) (2; 1)

Ê 2 9ˆ d) Á ; ˜ Ë 7 7¯

e) (3; 0,5)

f) (0,5; 2)

1239. a) (4,5; 2)

b) (0,2; 0,3) c) (2; -2) d) (-4; 4) x y e) + =3 3 2 x + y = 8 → y = 8 − x , írjuk ezt az elsô egyenletbe! x 8−x + = 3 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 6 - tal! 3 2 2 x + 3(8 − x ) = 18 2 x + 24 − 3 x = 18 24 − x = 18 x=6 A kapott x értéket helyettesítsük az y = 8 - x egyenletbe! y = 8 - 6 y = 2. A megoldás a (6; 2) számpár. f) (15; 4)

1240. a)

Ê 1 1ˆ g) Á ; ˜ Ë 2 3¯

h) (1; -3)

Ê 3 1ˆ i) Á ; ˜ Ë 4 3¯

Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és a 3 x − 3y = 12 jobb oldaliakat is! 2 x + 3y = 3 5 x = 15 x=3 Helyettesítsük pl. az elsô egyenletbe! 3 ⋅ 3 − 3y = 12 y = −1 A megoldás: (3; -1). A többi feladatot is az a)-ban leírtak szerint oldjuk meg!

b) (-1; 1)

Ê3 ˆ c) Á ; - 2˜ Ë2 ¯

Ê 1 1ˆ Ê 15 69 ˆ d) Á - ; - ˜ e) Á ; ˜ Ë 2 3¯ Ë 8 32 ¯

f) (-3; 6)

1241. a) (0,2; 1,8) b) (6,5; 1,5) c) 4 x + 3y = 4 Vonjuk ki az elsô egyenletbôl a másodikat! 1 2 x + 3y = 2 2 1 2x = 1 2 3 Helyettesítsük pl. az elsô egyenletbe! x= 4 3 4 ◊ + 3y = 4 4 3y = 1 1 y= 3 3 Ê 1ˆ A megoldás a Á ; ˜ számpár. A többi feladatban is hasonlóan járunk el. Ë 4 3¯

178

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK 1ˆ Ê d) Á - 2; - ˜ Ë 2¯

Ê2 ˆ e) Á ; - 2˜ Ë3 ¯

f) nincs megoldás

Szorozzuk a második egyenlet mindkét oldalát 2-vel! 1242. a) 3x - 4 y = 5 2x + 2y = 8 3x - 4 y = 5 Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és a jobb oldalon állókat is! 4 x + 4 y = 16 7 x = 21 Helyettesítsük pl. az elsô egyenletbe! x =3 3◊ 3 - 4y = 5 - 4 y = -4 y =1 A megoldás a (3; 1) számpár. Ellenôrzés: 3 ◊ 3 - 4 ◊ 1 = 5 illetve 2 ◊ 3 + 2 ◊ 1 = 8. b)

c)

10 x + 3y = -11 2 x - 4 y = -28 10 x + 3y = -11 - 10 x + 20 y = 140 8 x + 3y = 17,5 3x - 8 y = 2 64 x + 24 y = 140 9 x - 24 y = 6 73x = 146 x=2

Szorozzuk a második egyenlet mindkét oldalát (-5)-tel! Ê 64 129 ˆ Az elôzô feladatban leírtak szerint eljárva Á - ; ˜ Ë 23 23 ¯ számpárt kapjuk.

Szorozzuk az elsô egyenlet mindkét oldalát 8-cal, a másodikat 3-mal! Adjuk össze az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket és a jobb oldaliakat is. y = 0,5 A megoldás a (2; 0,5) számpár.

d) Az elsô egyenletet 5-tel, a másodikat 7-tel szorozva az elôzôhöz hasonlóan kapjuk: (2; 3). e) nincs megoldás f) Az elsô egyenletet 3-mal, a másodikat (-2)-vel szorozzuk és az így kapott egyenleteket összeadjuk. (3,8; 0,8) 1243. a) Végtelen sok számpár igazzá teszi. (x; 4 - 3x) számpárok. 5ˆ Ê 28 b) Á ; - ˜ Ë 65 52 ¯

c) (-1,5; -0,2)

Ê 1 1ˆ e) Á ; - ˜ Ë 5 2¯

f) (-0,01; 0,01)

Ê 2 x - 10 ˆ d) végtelen sok megoldás Á x; ˜ Ë 5 ¯

1244. a) Rajzoljunk nagyobb ábrát a füzetbe! (-2; -6); (-3; -8); (-3; -9); (-1; -3,5); ... b) (-2; 4); (-2; 3); (-2; 2); (-3; 5); (-3; 4); (-3; 0); ... c) (1; -3); (1; -4); (1; -5); (0; -6); (-1; -7); ... d) (0; 1); (1; 1); (1; 3); (-1; 2); (-2; 3); ...

179

ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK 1245. A bevonalkázott síkrész pontjainak jellemzése: a) y > 3x + 3 b) y > x + 1 c) y > -2x - 1 1 1 1 y< x -2 y< x +2 y> x +3 2 3 2 A rácsozott síkrész pontjainak jellemzése: a) y < 3x + 3 b) y < x + 1 c) y > -2x - 1 1 1 1 y< x -2 y< x +2 y< x +3 2 3 2

180

d) y < -3x + 2 3 y< x -4 2 d) y < -3x + 2 3 y> x -4 2

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1246. Jelöljük a kisebb számot x-szel! I. szám II. szám Összegük 3x x 144 3x + x = 144 4 x = 144 x = 36 3x = 108 Az elsô szám 108, a második 36. Ellenôrzés: 108 : 36 = 3; 108 + 36 = 144.

1247. Ha egy természetes szám végére 0-t írunk, az azt jelenti, hogy megszorozzuk 10-zel. A kisebb szám legyen x, akkor I. szám II. szám Összegük x 10 x 847 x + 10 x = 847 11x = 847 x = 77 A két szám 77 és 770. Ellenôrzés: 77 végére 0-t írunk 770 és 77 + 770 = 847.

1248. A természetes szám végérôl ha elhagyunk egy 0-t, az 10-zel való osztást jelent. A két szám 4790 és 479. 1249. A szöveg alapján a következô egyenlete írható fel: (5x + 6) : 7 = 8; x = 10. 1250. A felírható egyenlet:

x+5 ◊ 3 - 1 = 14 . A szám: x = 5. 2

1251. 13 870; 1387 a két szám. 1252. A kétjegyû szám: 10x + y A jegyek felcserélésével kapott szám: 10y + x Hozzáadunk 14-et: 10y + x + 14 10 y + x + 14 Felezzük: 2

181

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK A hányados jegyeit felcserélve 64-et kapunk, tehát a hányados 46. Így a következô egyenlet írható fel: 10 y + x + 14 = 46 2 10 y + x + 14 = 92 10 y + x = 78 Az eredeti szám: 87. Ellenôrzés: A jegyeket felcseréljük: 78, ehhez 14-et adunk 92, megfelezzük 46, a jegyeket felcseréljük 64. 1253. A gondolt szám: x. I. (x + 3) ◊ 4 ( x + 3) ◊ 4 > 5x

II. A szám ötszöröse: 5x

2-vel

( x + 3) ◊ 4 = 5x + 2 4 x + 12 = 5x + 2 10 = x

Ellenôrzés: (10 + 3) ◊ 4 = 52 5 ◊ 10 = 50 52 > 50 2-vel

1254. Az utolsó lépésbôl visszafelé indulva, vagy a következô egyenlet megoldásával: [(x - 60) ◊ 2 - 60] ◊ 2 - 60 = 0 A gondolt szám 105. 1255. A felírható egyenlet: 4x + 2 = (x + 3) ◊ 3. A szám: 7. 1256. A gondolt szám x. 2 x - 16 + 60 - 3x = 6; x = 20 4 1257. Az egyik szám x, a másik 2250 - x. 12 x 18(2250 - x ) = 100 100 12 x = 40500 - 18 x 30 x = 40500 x = 1350 Az egyik szám 1350, a másik 900. Ellenôrzés: 1350-nek a 12 %-a 1350 ◊ 0,12 = 162 900-nak a 18 %-a 900 ◊ 0,18 = 162.

1258. A felírható egyenlet:

3 x x - 5 = ; A keresett szám 12. 4 3

1259. Ha egy szám páros, akkor az 2-nek többszöröse. Az egyik páros szám legyen 2k, akkor a rákövetkezô páros szám 2k + 2. 2 k + (2 k + 2) = 74 4 k = 72 2 k = 36 Az egyik páros szám a 36, a másik a 38.

182

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

1260.

3+ x 3 = 7+ x 5 15 + 5x = 21 + 3x 2x = 6 x =3

x π -7 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 5(7 + x)-szel. Ê 6 3ˆ A számlálóhoz és a nevezôhöz is 3-at kell adni. Á = ˜ Ë 10 5 ¯

1261. A szám x. ÈÊ x ˆ ˘ Ô¸ ÔÏ x Ì + 3 - ÍÁ + 3˜ : 5˙ ◊ 2˝ ◊ 3 = 18 ÎË 2 ¯ ˚ ˛Ô ÓÔ 2 x Ê x 3ˆ + 3-Á + ˜ ◊2 = 6 Ë 10 5 ¯ 2 x x 6 + 3 - - = 6 Szorozzuk 10 - zel! 2 5 5 5 x + 30 - 2 x - 12 = 60 3x = 42 x = 14 Ellenôrzés: A szám 14, a fele meg három az 10, ebbôl vegyük el ötödének a kétszeresét, ami 4. A különbség 6. 6-nak a 3-szorosa 18.

1262. I. szám 12 12 + 3 ◊ x

<

2-szer

II. szám 12 + 21 33 + 3 ◊ x

2(12 + 3 ◊ x ) = 33 + 3x x =3 3-szor kell 3-at hozzáadni mindkettôhöz.

1263. 145 + 5x = 4(10 + 5x ) x=7 Hétszer kell az 5-öt hozzáadni. A kapott számok: 180 és 45. xˆ Ê xˆ x Ê 1264. Á x - ˜ - Á x - ˜ : 2 - = 0 Ë 3¯ Ë 3¯ 3 Az eredmény 0 lesz.

1265. 0,6x = 7,72 - x Az egyik szám 4,825, a másik 2,895. 1266. I. szám II. szám Különbségük x 0,65x 0,07 x - 0,65x = 0,07 0,35x = 0,07 x = 0,2 0,2 ◊ 0,65 = 0,13 Az egyik szám 0,2, a másik 0,13. Ellenôrzés: 0,2 - 0,13 = 0,07

183

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1267. Jelöljük x-szel azt a számot, amit a számok változtatásával kapunk, így I. II. III. x ◊ 2 x ◊3 x ◊ 4

Még tudjuk, hogy III. szám > I. szám . 6,4-del

4 x = 2 x + 6 ,4 x = 3,2

Ekkor az elsô szám 6,4, a második 9,6, a harmadik pedig 12,8. 1268. A három szám: x; y; z. Összegük 99. Tudjuk még, hogy 10 x = a 15y = a 5z = a a a a x= y= z= 10 15 5 A felírható egyenlet: a a a + + = 99, a = 270 10 15 5 x = 27; y = 18; z = 54.

1269. Az elzô két feladatben leírtakat alkalmazhatjuk, de most bemutatunk egy másfajta módszert is! Legyen a három szám: x; y; z. A következô három egyenletet írhatjuk fel a szöveg alapján (1) x + y + z = 22 1 1 (2) x + = y Æ x = y -1 2 2 1 5 2Ê 1ˆ (3) y - = z Æ z = Áy - ˜ 2 2 5Ë 2¯ Az x-re, z-re kapott kifejezéseket helyettesítsük az (1) egyenletbe! 2Ê 1ˆ ( y - 1) + y + Á y - ˜ = 22 Ë 5 2¯ 2 y=9 3 2 2 2 Ê 2 1ˆ 2 (2)-bôl x = 9 - 1 = 8 (3)-ból z = Á 9 - ˜ = 3 3 3 5 Ë 3 2¯ 3 Ellenôrzésként adjuk össze a kapott számokat.

1270. Ha a négy szám változtatása után kapott azonos számot jelöljük x-szel, akkor a következô egyenlet írható fel: 1ˆ Ê 1ˆ 1 1 1 Ê Á x - 5 ˜ + Á x + 5 ˜ + x : 5 + x ◊ 5 = 190 Ë 2¯ Ë 2¯ 2 2 8 99 3 = 24 x= 4 4

184

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1 1 1 1 Ebbôl a négy szám 19 ; 30 ; 4 ; 136 . 4 4 2 8

1271. A gondolt számot x-szel jelölve a következô egyenlet írható fel: 2x + 4 = x+2 x = -2 3 1272. A felírható egyenlet: 2 5x - 3 + (5x - 3) = 85 3

x = 10

4 5

1273. Jelöljük a harmadik rész x-szel. I. II. III. Összegük 0,4( x ◊ 0,3) x ◊ 0,3 x 284

0,12x + 0,3x + x = 284

x = 200

A harmadik rész 200, a második 60, az elsô 24. 1274. Legyen a három szám sorrendben x; y; z. Összegük 770. További összefüggések: 4 4 7 , innen y = x : 53 = x ◊ 7 7 375 2 44 2 34 17 , innen z = x ◊100 : 44 = x ◊ x = z◊ 100 17 15 A felírható egyenlet:

x = y ◊ 53

7 34 + x◊ = 770 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 375- tel! 375 15 375 x + 7 x + 850 x = 770 ◊ 375 1232 x = 770 ◊ 375 Oszthatjuk mindkét oldalt 11 ◊ 2 ◊ 7 - tel. 1875 3 x= = 234 8 8

x + x◊

1875 7 35 34 1875 3 1 ◊ = =4 z= ◊ = 531 8 375 8 15 8 8 4 Ellenôrzésként adjuk össze a három számot.

y=

1275. Jelölje x az elsô rész kétszeresét, a második háromszorosát, illetve a harmadik négyszex x x resét. Így az elsô rész , a második , a harmadik . Ezek összege 130. Tehát: 2 3 4 x x x + + = 130, x = 120 . 2 3 4 A részek: 60; 40; 30.

185

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1276. Legyen a három rész x, y, z. Összegük 472. x ◊ 0,5 = y ◊ 0,6 = z ◊ 0,8, innen y =

5 x 6

5 5 5 x , a három rész összegét felírva x + x + x = 472 egyenletet kapjuk. x = 192. 8 6 8 5 5 y = ◊ 192 = 160 , z = ◊ 192 = 120 . A három szám: 192; 160; 120. 6 8

z=

1277. A felírható egyenlet x + 3x + 9 x =

5 5 5 65 5 , innen x = . A számok: ; ; . 99 33 11 99 99

1278. Felcserélés után az eredeti számnál nagyobbat kapunk, ezért az egyesek helyén áll a nagyobb számjegy. Eredeti szám: Felcserélés után:

Tízes Egyes A szám x 2x 10 x + 2 x x 2x 10 ◊ 2 x + x

20 x + 4 x > 20 x + x 12-vel

3x = 12;

x=4

A keresett kétjegyû szám 48. Ellenôrzés: 48 ◊ 2 = 96, a jegyek felcserélésével kapott szám 84. 96 - 84 = 12. 1279. Jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel. Eredeti szám: Felcserélés után:

Tízes Egyes A szám x+3 x 10( x + 3) + x x x + 3 10 x + x + 3

A két szám összege 143. [10(x + 3) + x] + (10x + x + 3) = 143, innen x = 5. A szám 85. 1280. Eredeti szám: 1- et hozzáadva: Felcserélés után:

Tízes Egyes A szám 10( x - 3) + x x -3 x x -3 x +1 x + 1 x - 3 10( x + 1) + x - 3

Az eredeti és az utoljára kapott szám összege 153. 10( x - 3) + x + 10( x + 1) + x - 3 = 153 x =8 Az eredeti szám: 58, 1-et hozzáadva 59, felcserélve 95.

1281. (1) Az eredeti szám: 10x + y (2) Felcserélés után: 10y + x (3) (2)-höz 12-t adva: 10y + x + 12 10 y + x + 12 (4) (3)-at felezve: 2

186

58 + 95 = 153.

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK (5) A (4)-ben kapott szám jegyeit felcserélve: 42, tehát 10 y + x + 12 = 24 2 10 y + x = 36 Az eredti szám 63. 1282. Mivel a felcserélés után az eredetinél kisebb számot kapunk, az eredeti számban a tizesek helyén áll a nagyobb számjegy: x. 10 x + ( x - 3) - 1 = 10( x - 3) + x 2 x=5 A keresett szám: 52. 1283.

Tízes Egyes A szám Eredeti szám: x x+2 10 x + x + 2 Felcserélés után: x+2 x Változtatva: x + 2 + 3 x - 2 10( x + 5) + x - 2

Az egyenlet: 10( x + 5) + x - 2 = 2(10 x + x + 2) x=4 Az eredeti szám 46. 1284. Jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel! Mivel a számjegyek összege 13, a tízesek helyén 13 - x áll. Ekkor a kétjegyû szám: 10(13 - x) + x. Az osztó 12, a maradék x - 2, a hányados x. A maradékos osztás ellenôrzése segít a következô egyenlet felírásához: 10(13 - x ) + x = 12 x + ( x - 2) x=6

A keresett szám 76. Ellenôrzés: 76 : 12 = 6 Ellenôrzés: 74 A hányados megegyezik a szám utolsó jegyével, a maradék pedig ennél 2-vel kevesebb. 1285.

Tízes Egyes A szám Eredeti szám: x 10 - x 10 x + (10 - x ) Felcserélés után: 10 - x x 10(10 - x ) + x 10(10 - x ) + x < 2(10 x + 10 - x ) 1-gyel

100 - 10 x + x + 1 = 18 x + 20 81 = 27 x x =3

A keresett szám: 37.

187

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1286. Készítsünk az elôzô feladatnál használt táblázatot! A tízesek helyén álló számjegyet jelöljük x-szel. A következô egyenletet írhatjuk fel: 10 x + (10 - x ) - [10(10 - x ) + x ] = 36 x=7 A keresett kétjegyû szám 73.

1287. Készítsünk táblázatot! Most jelöljük az egyesek helyén álló számjegyet x-szel. A felírható egyenlet: 10(9 - x ) + x 10 x + (9 - x ) - [10(9 - x ) + x ] = 5 x=5 A keresett kétjegyû szám 45. 1288. Mivel felcseréléssel az eredetinél nagyobb számot kapunk, ezért az eredeti számban a tizesek helyén álló számjegy a kisebb. Táblázatkészítés és az összefüggések felhasználása után a következô egyenletet kapjuk: 10( x + 5) + x = 3(10 x + x + 5) - 9 x=2 A keresett szám 27.

1289. A számjegyek felcserélése után az eredeti számnál kisebb számot kapunk, ezért az eredeti számban a tizesek helyén áll a nagyobb számjegy. Ha x-szel jelöljük a tizesek helyén álló számjegyet, a szöveg szerint a következô egyenlet írható fel: xˆ x Ê Á10 x + ˜ : 2 + 3 = 10 ◊ + x Ë 2¯ 2 x=4

A keresett szám 42. 1290. Készítsünk táblázatot! Eredeti szám: Felcserélés után:

Százas Tízes Egyes A szám x 1 2x 100 x + 10 + 2 x 2x 1 x 100 ◊ 2 x + 10 + x

100 ◊ 2 x + 10 + x < 2(100 x + 10 + 2 x ) 19-cel

201x + 10 = 2 ◊ (102 x + 10) - 19 x =3 A keresett hásomjegyû szám 316.

1291. Jelöljük rendre az életkorukat b, o, r-rel! Írjuk fel az állításokat egyenlettel! b + o + r = 60 o =b+4 r + 20 = o + b r = o + b - 20 r = 2b - 16

Helyettesítsük az o-ra felírt összefüggést a harmadik egyenletbe.

188

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK b + (b + 4) + (2b - 16) = 60 4b - 12 = 60 b = 18 o = b + 4 = 22 r = 2b - 16 = 20 Bori 18 éves, Orsi 22 éves és Ricsi 20 éves.

1292. Az apa és fia közötti korkülönbség nem változik, ezért ha Peti elôbbi életkorát x-szel jelöljük, az apa akkori életkora 9x (hónapokban). 9 x - x = 26 ◊ 12 + 8 8 x = 8(13 ◊ 3 + 1) x = 40

Apa most 40 éves. 1293. Készítsünk táblázatot! x évvel ezelôtt volt 3-szor annyi idôs az anya. Most x évvel elôbb

Anya életkora 40 40 - x

Lánya életkora 16 16 - x

40 - x = 3(16 - x ) x=4 Négy évvel ezelôtt az anya életkora háromszorosa volt a lányáénak.

1294. Az 1293-as feladathoz hasonlóan oldjuk meg. 12 évvel ezelôtt volt az apa 11-szer annyi idôs mint a fia. 1295. Az anya jelenlegi életkorát jelöljük x-szel. Az adatokat a következô táblázatban rögzíthetjük: Anya 4 év múlva

x+4

6 évvel ezelôtt

x -6

Lánya x+4 2 x -6 3

Kétféle egyenletet írhatunk fel: a) Ha figyelembe veszük, hogy a köztük lévô korkülönbség állandó, akkor: x+4 x -6 x+4= x -6; x = 36 2 3 b) Figyelembe véve, hogy a két jelzett idôpont között 10 év telt el: x -6 x + 4 = - 10; x = 36 3 2 Az anya most 36 éves, 4 év múlva 40 éves, a lánya 20 éves lesz. A lánya most 16 éves. 1296. Hasonlóan oldjuk meg, mint az 1293-as feladatot. 7 év múlva lesz az apa háromszor olyan idôs, mint a fia.

189

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1297. Most x éves, 10 év múlva x + 10 éves, 20 évvel ezelôtt x - 20 éves. A felírható egyenlet: x + 10 = 4( x - 20) x = 30 1298. Az 1293-as feladathoz hasonlóan oldjuk meg. Az apa 9 év múlva lesz háromszor olyan idôs, mint a fia. 1299. Jelöljük András mostani életkotár x-szel!

6 évvel ezelôtt Most 3 év múlva

Ha Péter most

Péter András x x−6 3 x +6 x 3 x−6 x+3 2

A nyilak a kitöltés sorrendjét mutatják.

x Êx ˆ + 6 éves, akkor 3 év múlva Á + 6˜ + 3 éves lesz, a szöveg szerint Ë3 ¯ 3

x -6 éves, ebbôl 2 x x -6 +9 = ; x = 72 2 3 72 András most 72 éves, Péter + 6 éves, azaz 30 éves. 3

pedig

1300. x év múlva teljesül a feltétel, ezért a felírható egyenlet: (25 + x ) + (20 + x ) = 3(10 + x ); x = 15 1301. A 1300-as feladatban szereplô egyenlethez hasonlót írhatunk fel. 13 év múlva lesz a két gyerek életkorának összege egyenlô az apa életkorával. 1302. A fiatalabb 5 éves, az öregebb 20 éves. x év múlva a fiatalabb 5 + x, az öregebb 20 + x éves. 20 + x = 3(5 + x ) x = 2,5 2,5 év múlva a kicsi 7,5 éves, a nagy 22,5 éves. (Ellenôrzés: 7,5 ◊ 3 = 22,5) 1303. A gyerekek 3 évenként születtek, így életkoruk x; x + 3, x + 6. Életkoruk összege 15. Így x + (x + 3) + (x + 6) = 15; x = 2 A testvérek életkora: 2 év; 5 év; 8 év.

190

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1304.

Laci Most 2x 4 évvel ezelôtt 2 x - 4

Feri x x-4

ekkor 2x - 4 = 3(x - 4); x = 8 Laci 16 éves, Feri 8 éves. 1305. Apa és anya életkorának összege 90 év. A szülôk életkorának számtani közepe 45 év. Anya 10 évvel fiatalabb apánál, tehát apa 50 éves, anya 40 éves. A gyerekek életkorának számtani közepe legyen x, akkor életkoruk összege 3x, ezért a következô egyenlet írható fel: 3x = 45; x = 15 A középsô gyerek, Józsi életkora 15 év. András életkorának kétszerese anya életkora, tehát András 20 éves, ebbôl következik, hogy Peti pedig 10 éves. 1306. Kati x, Éva x + 3, Judit x + 4 éves. A következô egyenlet írható fel: (x + 3) + (x + 4) = 3x - 1; x = 8 Kati 8 éves, Éva 11 éves és Judit 12 éves. 1307.

Van x x Kicsi 2

Nagy

Lenne x - 32

x + 8 + 32 2 x x - 32 = + 8 + 32; x = 144 2 A nagy tornateremben 144, a kicsiben 72 tanuló van.

1308.

Egységnyi idô alatt x idô alatt fogott egerek száma Szerénke 3 3x Lukrécia 2 2x Együtt 5 5 x; ill. 60 5x = 60; x = 12 Szerénke 36, Lukrécia 24 egeret fogott.

1309. Célszerû Béni jelvényeinek számát x-szel jelölni! Frédi Béni I. x + 45 x II. ( x + 45) - 15 x + 15 3 4 ( x + 30) = ( x + 15); 4 5 Béninek 210 jelvénye van.

x = 210

1310. Jelöljük az ismeretlen jegyét x-szel, akkor

191

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 2+3+ 4+ 5+ x = 3,4; 5 Mórickának két hármasa volt.

x =3

1311. Eredeti ár 1250 Ft. 18 %-kal növelt ár az eredetinek 118 %-a. 1250 Ft ◊ 118 = 1475 Ft . Új ár: 100 18 %-kal csökkentik az új árat, akkor annak 82 %-a lesz a legújabb ár: 1475 Ft ◊ 82 = 1209,5 Ft 100 A legújabb ár 40,5 Ft-tal kevesebb az eredetinél. 1312. A görögdinnye kilogramja x Ft-ba kerül. Anita: 3x + 22 Éva: 4x + 5 Anita y Ft-tal indult vásárolni! 3x + 22 = 4 x + 5 + 7 ; x = 10 y 3 ◊ 10 + 22 = ; y = 208 ◊ 25 100 A görögdinnyébôl 1 kg 10 Ft-ba kerül. Anita 208 Ft-tal indult vásárolni. 1313. Mivel a lányok száma 6-tal kevesebb, így az ô sátruk a kisebb. Ebben két sor ágy van, a fiúkéban 3 sor, ezért 1 sorban 6 ágynak kell lennie. A kisebb sátorban 2 ◊ 6 = 12, a nagyobb sátorban 3 ◊ 6 = 18 tanuló aludt. 30 tanuló vett részt a táborozáson. 1314. 1 napi bér x arany. I. II. x + 6 3x x + 6 < 3x 2-vel

x + 6 = 3x - 2; Egy napra 4 aranyat kaptak.

x=4

1315. Az ötödikes tanulók számát jelöljük x-szel! 5. 6. 7. 8. Összesen x 2x - 5 2x x 43

x + (2x - 5) + 2x + x = 43; x = 8 8 ötödikes, 11 hatodikos, 16 hetedikes és 8 nyolcadikos jelentkezett a sítáborba. 1316. I. II. x 2x

192

III. Összesen 2x 150 6

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 2x = 150; x = 45 6 Az egyes dobozokban 45; 90 és 15 teniszlabda van. x + 2x +

1317. 3 kifli ára 66 Ft

110 %

1 kifli ára 22 Ft

1% 100 %

22 Ft 22 Ft 110 Ê 22 ˆ ◊100˜ Ft = 20 Ft Á Ë 110 ¯

A kifli ára 20 Ft volt az áremelés elôtt. 1318. T = 72 m2 72 2 m = 24 m 2 3 2. nap 48 m2 ◊ 0,75 = 36 m2 3. nap 72 m2 - 60 m2 = 12 m2 A 3. napon a kert területének x %-át ásták fel. 72 ◊ x ; x ª 16,7 12 = 100 A 3. napra ª 16,7 %-nyi terület felásása maradt.

1. nap

1319. Az óra 45 percenként 3 másodpercet késik. 12 óra = 16 ◊ 45 perc, összesen tehát 16 ◊ 3 másodpercet fog késni éjfélig, azaz éjfélkor 11 h 59 min 12 s-ot fog mutatni! 1320. A kötél eredeti hossza x méter. Ê2 ˆ x x - Á x + 7˜ = - 4; Ë3 ¯ 4

x = 36

1321. Az öt tanuló zongorázik is, furulyázik is, ezért ha a zongorázók és a furulyázók számát összeadjuk, az öt tanuló kétszer számoljuk. A felírható egyenlet 2x + x - 5 = 22; x = 9 18-an zongoráznak, 9-en furulyáznak. 1322. A könyv x oldalas. Êx ˆ Ê2 ˆ Á + 20˜ + Á x - 8˜ = x; Ë4 ¯ Ë3 ¯

x = 144

1323. f : k = 1 : 2 ez azt jelenti, hogy a polcon kétszer annyi könyv van, mint füzet. I. f = x, k = 2x II. ( x + 2) : (2 x - 3) = 2 : 3 3( x + 2) = 2 ◊ (2 x - 3); x = 12 Eredetileg a polcon 12 füzet és 24 könyv volt. 1324. a = 5x b = 8x

T=a◊b T = 40x2

a = 10 cm b = 16 cm

193

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 160 = 40x2 x2 = 4 x=2

c = 5x ◊ 0,6 T = 160 cm2 A=

c = 6 cm A = 632 cm2

1325. Amíg mindenki vesz golyót a megadott rend szerint, egy-egy sorozat után 17-tel lesz kevesebb a dobozban, ezt ötször tudják így végrehajtani. 5 ◊ 17 + y = 100 A maradék 15 golyóból Ferinek jut még 6, Gézának is jut a feltétel szerinti 7, de Béla már csak 2 golyót vehet ki, így neki 5 ◊ 4 + 2 = 22 golyója lesz. 1326.

I. II. x+6 x x+6 x+6 x+ Másodszor 2 2 A felírható egyenlet: x+6 x+6 1,5 ◊ = x+ ; x=2 2 2 Az elsô dobozban 8, a másodikban két golyó volt. Elôször

1327. Eredetileg az egyes fiókokban 12-12 füzet volt. Most 6 és 18 füzet van. 1328. A labda árának százasokra kerekített értéke 800 Ft. x hét múlva lesz meg a 800 Ft. 416 + 24x = 800; x = 16 16 hét múlva megveheti a labdát. 1329. a) 23 éves 1330.

b)

23 ◊ 11 - x = 22 ; x = 33; 33 éves 10

1 1 1 13 + + = > 1 , ezért a feladatnak nincs megoldása. 2 4 3 12

1331. x szál virágot vettünk. Ê x 4 1ˆ x - Á + x ◊ ˜ = 15; Ë 5 5 4¯

x = 25

1332. TE = 93 036 km2 : 0,009 = 10 337 333 km2 TB ª 577 km2 ª 580 km2 = 580 000 000 m 2 = 5,8 ◊ 108 m2 1333. 9 férfi 21 nô dolgozik a munkahelyen. 1334. A feladat következtetéssel könnyen megoldható. 504 mogyorót gyûjtöttek összesen, a szülôk 336, a nagyobb mókusgyerek 126 mogyorót gyûjtött. 1335. A tört:

x 2x 7 ; a kétszerese ; x - 2 = 2x - 9. a tört. x -2 x -2 5

1336. A tört:

x x + 5 x + 14 = , a reciproka x+5 x x+4

194

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK ( x + 5)( x + 4) = x ( x + 14) x + 5x + 4 x + 20 = x 2 + 14 x 20 = 5x x=4 4 A tört: . 9 2

1337. A pókok száma A cserebogarak száma Összesen x 8- x 8 8x + 6(8 - x) = 54;

x=3

3 pókot és 5 cserebogarat gyûjtött. 1338. ötös négyes hármas x

2x

4( x + 1)

kettes egyes összes x +1

1

30

x + 2x + 4(x + 1) + (x + 1) + 1 = 30 + 2x + 4(x + 1) + (x + 1) + 1x = 30 3 ötös, 6 négyes, 16 hármas, 4 kettes és 1 egyes dolgozat van. 1339. Kati Juli

1 óra alatt 10 15

x óra alatt összesen 10 x 200 15 x

10x + 15x = 200;

x=8

8 órát dolgoztak. Juli 40 kg-mal szedett többet. 1340. Volt Lett

I. II. x 5 x - 7 5 + 7 + 2( x - 7)

12 + 2(x - 7) = 30; x = 16 Az elsõ kosárban 16 alma volt. 1341. T1

T1 = 240 m 2 T1 = 3x ◊10 m 2 240 = 30 x 8=x

T = x ⋅ 3x T = 8 ⋅ 24 T = 192 m 2

A rövidebb oldal 8 m, a kert területe 192 m2. 1342. Balázs nyert játszmáinak számát jelöljük x-szel!

195

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK A 2x B x K x+1 Összesen 21 játszma. 2 x + x + x + 1 = 21 x=5

Andi 10, Balázs 5, Kati 6 játszmát nyert. 1343. A csoportok létszáma számtani sorozatot alkot. a + (a1 + 9d ) S10 = 300 S10 = 1 ◊ 10 2 n = 10 2a - 18 300 = 1 d = -2 ◊ 10 2 a1 = a1 = 39 Az egyes csoportokban dolgozók száma: 39, 37, 35, 33, 31, 29, 27, 25, 23, 21. x , négyes x, így a feladat nem oldható meg, mert a 3 teljes osztály négyest kapott volna. A négyes és ötös osztályzatok száma már több lenne az osztály létszámánál. Ha az ötösök számáról nem tudunk semmit, akkor x db ötös van, négyes 3x, hármas 2x, kettes x, egyes 4. Az osztályzatok összege 104. 5 ◊ x + 4 ◊ 3x + 3 ◊ 2 x + 2 ◊ x + 4 = 104 x=4 Ötöst 4, négyest 12, hármast 8, kettest 4 és egyest is négy tanuló kapott. Az osztálylétszám 32.

1344. Az osztályba x tanuló jár, ötös

1345. Az osztály létszámát jelöljük x-szel. lány fiú 4 3 I. x x 7 7 4 3 II. x+4 x 7 7 3 4 x+4= x 7 7 x = 28 Az osztályba eredetileg 28 tanuló járt.

1346. Marikának x Ft-ja volt. x Elköltött: Ft-ot és kapott a maradékhoz 50 Ft-ot. 2 x Lett: + 50 Ft 2 1 4 Êx ˆ Ennek részét elköltötte, maradt ◊ Á + 50˜ Ft-ja. ¯ 5 5 Ë2

196

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK Kap hozzá 40 Ft-ot, így

4 Êx ˆ ◊ Á + 50˜ + 40 Ft -ja lesz. ¯ 5 Ë2

1 2 részét odaadta, így rész maradt, ebbôl még 50 Ft-ot költött, maradt 350 Ft-ja. 3 3

˘ 2 È4 Ê x ˆ ◊ ◊ Á + 50˜ + 40˙ - 50 = 350; ¯ 3 ÍÎ 5 Ë 2 ˚

x = 1300

Marikának 1300 Ft-ja volt. 1347.

J G V Összesen 43 x + 5 x ( x + 5) + 3 x + 5 + x + x + 5 + 3 = 43 3x = 30 x = 10

Jánosnak 15; Gábornak 10; Vilmosnak 18 almája van. 1348.

1349.

1+ 2 + 3+ 4 + x = 2,8; x = 4 5 A négyes sorszámú cédula szerepel kétszer. I. Volt 2x Lett 2 x - 10

>

3-mal

II. x x + 10

(2x - 10) - 3 = x + 10;

x = 23

Eredetileg az elsô kosárban 46, a másodikban 23 tojás volt. 1350. Apa 7 percig, Ildi 14 percig, anya 9 percig készülôdik. 1351. A nôk száma x, akkor a férfiaké 2050 - x. 3 x = (2050 - x ) ◊ 0,4; 5

x = 820

820 nô és 1230 férfi dolgozik a gyárban. 1352. 20 %-kal csökkentették, akkor az új ár az eredetinek a 80 %-a, majd az így kapott árnak a 90 %-át kell fizetnünk. (3000 ◊ 0,8) ◊ 0,9 = 2160 1353. A termék eredeti ára x Ft volt. A 30 %-kal csökkentett érték: 0,7x Ft. További 5 %-kal csökkentett ár: 0,95 ◊ 0,7 ◊ x Ft. Az ezutáni áremeléssel kapott ár: 1,4 ◊ 0,95 ◊ 0,7 ◊ x Ft. 1,4 ◊ 0,95 ◊ 0,7 ◊ x = 6275 Az eredti ár 6740 Ft volt.

197

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1354. 24 ◊ 1,05267 ª 10 908 225 1992. év végén 10 908 225 dollárjuk lett volna. 1355. 200 + 200 ◊ 1,1 + (200 ◊ 1,1) ◊ 1,1 + (200 ◊ 1,12) ◊ 1,1 + 200 ◊ 1,13 ◊ 1,1 = 1221 Egy mértani sorozat elsô öt tagjának az összege. Általánosan így számolhatunk: Sn = a ◊

qn - 1 , q -1

ahol Sn n tag összege, a a kezdô tag, q az egymást követô tagok hányadosa, n a tagok száma. 1 3 3 3 5 1 Ê1 ˆ rész rész; II. rész része = rész; III. Á rész + rész˜ : 2 = Ë4 ¯ 4 2 8 8 16 4 A maradék részt így határozzuk meg:

1356. I. 25 % =

4+6+5 1 Ê1 3 5 ˆ 1-Á + + ˜ = 1= Ë 4 8 16 ¯ 16 16 1 1 13 rész + rész : 3 = rész 4 16 48 3 1 19 II. rész + rész : 3 = rész 8 16 48 5 1 16 III. rész + rész : 3 = rész 16 16 48

I.

1357. Eredeti ár legyen x Ft. (x ◊ 0,8) ◊ 0,75 lett a végsô ár. (x ◊ 0,8) ◊ 0,75 ◊ y = x fi 0,8 ◊ 0,75 ◊ y = 1; y ª 1,67 A vásár végén 67 %-os áremelést hajtottak végre. 1358. A pénzünk x Ft, 3 év múlva az elsô bankban [( x ◊ 115 , ) ◊ 115 , ] ◊ 115 , Ft, a másodikban x ◊ 1,5 Ft ª x ◊ 1,52 > x ◊ 1,5

Az elsô bankot kell választani! 1359. Adrien induló tôkéje x Ft. Az egy évi kamat: I. II. III. Összes (0,7 x ) ◊ 0,33 (0,25x ) ◊ 0,26 ( x ◊ 0,05) ◊ 0,17 9135 Ft 0,231x + 0,065x + 0,0085x = 9135 0,3045x = 9135 x = 30 000

Az induló tôke 30 000 Ft volt.

198

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1360. A 4 m2 30 %-a 1,2 m2. Azt kell meghatároznunk, hogy ez hány százaléka a 6 m2-nek. 1,2 ◊ 100 = 20 6

A tulipános terület 20 %-kal csökken. 1361. Jelöljük a középsô testvérre jutó részt x-szel. (x + 600) + x + (x - 600) = 12 000;

x = 4000

A legidôsebb 4600 Ft-ot, a középsô 4000 Ft-ot, a legkisebb 3600 Ft-ot kap. 1362. Jelöljük az elsô könyvszekrényben lévô könyvek számát x-szel, akkor a másodikban 100 - x van. x x x - - 6 = 100 - x + + 6; x = 84 3 3 Az elsô szekrényben 84 könyv volt, a másodikban 16. 1363. I.

2 Ft - os 5 Ft - os Értéke (db) (db) (Ft) x 18 − x 2 x + 5 ⋅ (18 − x )

II.

18 − x

x

2 ⋅ (18 − x ) + 5 x

2 ◊ [2 x + (18 - x ) ◊ 5] = (18 - x ) ◊ 2 + 5x 2(2 x + 90 - 5x ) = 36 - 2 x + 5x 180 + 4 x - 10 x = 36 + 3x 144 = 9 x x = 16 16 db 2 Ft-osa és 2 db 5 Ft-osa, azaz 42 Ft-ja van. Ha fordítva lenne, akkor 2 db 2 Ft-os és 16 db 5 Ft-os, 4 Ft + 80 Ft = 84 Ft-ja lenne.

1364. A létrafokok közötti különbséget jelöljük x-szel, akkor 250 = 80 + (80 - x ) + (80 - 2 x ) + (80 - 3x ) + (80 - 4 x ) x = 15 A létrafokok közötti különbség legfeljebb 15 cm lehet. A létra fokai 80 cm, 65 cm, 50 cm, 35 cm, 20 cm hosszúságúak lehetnek. 1365. x-szer kell 2-2 diót adni. Így: 16 + 2x = 2(5 + 2x); x = 3 Háromszor kell 2-2 diót adnunk, hogy az elsônek kétszerannyi diója legyen, mint a másodiknak.

199


Hány nap alatt Hányadrészét x nap alatt eszi meg az egészet? eszi meg 1 nap alatt? hányadrészét eszi meg? A ló

30

A kecske

90

A juh

120

1 30 1 90 1 120

x 30 x 90 x 120

Együtt megeszik x nap alatt az egészet. x x x + + = 1; 30 90 120

Ê 360 ˆ x ª 19 nap Á = nap˜ Ë 19 ¯

1367. x nap alatt kövezik ki együtt az utat. 11x + 13x = 120; x = 5 5 nap alatt kövezik ki a 120 m-es utat. 1368. 100 = 10x + 15x; x = 4 4 perc alatt telik meg a kád. 1369. 10 = 2,5x - 0,5x; x = 5 Az 1000 l = 10 hl-es tartály így 5 óra alatt telik meg. 1370.

Hány óra alatt 1 óra alatt hányad tölti meg külön? részét tölti meg? 1. csap

6

2. csap

4

3. csap

3

x óra alatt hányad részét tölti meg?

1 6 1 4 1 3

x 6 x 4 x 3

Együtt x óra alatt töltik meg az egész tartályt! x x x + + =1 6 4 3 2 x + 3x + 4 x = 12 12 4 x= = 9 3 1 óra 20 perc alatt telik meg a tartály a 3 csövön keresztül. 1371. A kiürülés a töltés ellentettje! a) 950 = 500x + 300x - 200x - 500x; x = 9,5 9,5 óra alatt telne meg a kád. b) A második lefolyó csak fél órán át engedi ki a vizet.

200

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 950 = 500 x + 300 x - 200 x - 500 ◊

1 2

1200 = 600 x x=2 Így 2 óra alatt telik meg a kád.

1372.

Hány óra alatt tölti meg?

1 óra alatt hányad részét tölti meg?

x óra alatt hányad részt tölt meg?

1 x 10 10 x 1 2. csap 5 5 5 Hány óra alatt 1 óra alatt hányad - x óra alatt hányad üríti ki? rész folyik ki? rész folyik ki?

1. csap

10

lefolyó

15

1 15

x 15

x óra alatt az egész medence tele lesz. x x x 30 + = 1; x = (ª 4,3) 10 5 15 7 30 Így óra alatt telik meg a medence. 7 1373. Az elôzô táblázatot egyszerûsíthetjük, ha figyelembe vesszük, hogy a kiürítés negatív töltés! Hány óra alatt tölti meg? 1. csap

10

2. csap

15

lefolyó

5

1 óra alatt x óra alatt hányad részét? hányadrészt? 1 10 1 15 1 − 5

x 15 x 10 x − 5

x óra alatt telne meg teljesen a medence. x x x + - = 1; x = -30 15 10 5 Soha nem telne meg a medence, illetve a teli medence 30 óra alatt ürülne ki, ha lefolyó és a két csap egyidejûleg nyitva van.

201

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1374. Az egyik percenként illetve

1 1 x részét, a másik a pálya részét futja be. x perc alatt részt 3 5 3

x részt futnak, de ekkor éppen egy teljes pályahosszat tesznek meg együtt. 5 x x 15 15 + = 1; x = ; perc = 1,875 perc 3 5 8 8

15 percenként találkoznak. 8

1375. Ha az elsô brigád fele létszámmal dolgozik, az a brigád számára kétszeres munkaidôt jelent. Ennyi nap 1 nap alatt ennyi x nap alatt ennyi szükséges részt ásnak résszel végeznek x 1 I. 10 10 10 1 x II. 4,5 4,5 4,5 1 x III. 4 4 4 x nap alatt készen lesznek az egész gyümölcsös felásásával. x x x 180 + + = 1; x = ª 1,75 10 4,5 4 103 1376.

Ennyi óra alatt 1 óra alatt ennyied telik meg rész telik meg 1 12 1. 12 1 8 2. 8 3 3. 8 1 lefolyó 9 9

x óra alatt ennyied rész telik meg x 12 x 8 3x 8 x 9

A kifolyás negatív töltôdés. x x 3x x + + - = 1; 12 8 8 9

x=

72 ª 2,1 34

A medence közelítôleg 2,1 óra alatt telik meg. 1377. Tomi munkaideje: (3 + x) nap Karcsi munkaideje: (3 + 5) nap (3 + x) ◊ 30 + (3 + 5) ◊ 45 = 600;

x=5

Pontosan be tudja fejezni, ha szombaton és vasárnap is dolgoznak. (3 + 5 + 5 = 13)

202


1 óra alatt Munkaidô ennyied rész órákban 1 16 1 12

Árpád Géza

A felásott rész

5 5+ x

5 16 5+ x 12

Együtt felásáták az egészet. 5 5+ x 13 + = 1; x = 16 12 4 1 Gézának még 3 órát kellett dolgoznia. 4

1379.

v (km / h) t (h) s (km) I. II.

3,5 4,5

x x

3,5 x 4,5 x

Találkozásukig ketten együtt megteszik a teljes utat. 3,5x + 4,5x = 24;

x=3

3 óra múlva talákoznak, azaz 11 órakor. 1380.

4,5x + 2 + 3,5x = 18 x=2

4,5x + 3,5x - 2 = 18 x = 2,5

14 órakor és 14 óra 30 perckor lesznek egymástól 2 km távolságra. 1381. Ugyanannyi ideig kerékpároztak, a gyorsabb 1 körrel többet tett meg, ezért 8 x = 6 x + 240 x = 120

120 s alatt a gyorsabb 960 m-t kerékpározik, a lassúb 720 m-t, így 4 kört tesz meg a gyorsabb. Más megoldás: k ◊ 240 = 8 x ¸ k ◊ 30 = x fi l ◊ 240 = 6 x ˝˛ l ◊ 40 = x

30 és 40 legkisebb közös többszörösét keressük, az 120. k = 4, l = 3. 1382. A gyorsabb óránként 10 km-rel tesz meg többet, tehát pontosan 1 óra múlva körözi le a lassúbb autót.

203

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK

1383. 4 x + 2 x = 12 x=2 Délután 4 órakor találkoznak. Az egyik 8 km, a másik 4 km utat tesz meg. 1 1 óra = 12 perc alatt ér az iskolához, Gábor óra = 30 perc alatt. Így Gábornak 5 2 18 perccel kell hamarabb indulnia.

1384. Pista

1385. Bea s méterre lakik az iskolától, menetideje 10 min. Anna 2s méterre lakik, ha ugyanolyan gyorsan halad, mint Bea, akkor kétszer annyi idôre van szüksége, így Anna 7 óra 10 perckor indul. 1386.

v (km / h) I. II.

16 18

t (h)

s (km)

16 x x x − 1 18( x − 1)

A gyorsabb kerékpáros menetideje 1 órával kevesebb, vagy a lassúbbé 1 órával több. A megtett út ugyanakkora. 16x = 18(x - 1);

x=9

A lassabban haladó 9 óra alatt, a gyorsabb 8 óra alatt ért a városba. A falu és a város távolsága 144 km volt. 1387. A B

v (km / h)

t (h)

s (km)

3 4

x x−2

3x 4( x − 2 )

3x + 4(x - 2) = 27; 13 órakor talákoznak.

x=5

1388. Gondolkozzunk hasonlóan, mint az 1386. feladatban! Bea menetideje 3

1 óra, a falu 3

40 km-re volt. 1 1 órát tölt úton, oda óra az út busszal. Vissza gyalog 2 4 1 1 1 1 1 1 h - h = 1 h . Oda-vissza gyalog 2 ◊ 1 h = 2 h . 4 2 4 4 2

1389. Ha csak busszal utazik

15 km 1 10 km 1 s ; t1 = = h ; t2 = = h km 5 km 6 v 75 60 h h A második úton 2 perccel hamarabb érünk oda.

1390. t =

204

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1391. Az 1381-es feladat megoldásában leírt gondolatmenetet követjük. 750 s múlva lesznek újra együtt. 1392. Jelöljük a pálya hosszát x-szel. Árpi sebessége

x x x x x ; Bandié . Árpi = 18 24 18 24 72

egységgel hosszabb utat tesz meg percenként. Êx x ˆ =˜ 36 perc szükséges. A félpálya hátrány ledolgozásához Á : Ë 2 72 ¯ 1393. 1,5 ◊ 50 + (1,5 - x ) ◊ 70 = 120 6 x= 7 6 A gyorsabb motoros órával, közelítôleg 51 perccel indult késôbb. 7 5 km h = 18 6 h km A gyalogos sebessége: 15 km : 3 = 5 h Ha a gyalogos x óráig volt úton, akkor a kerékpáros x - 1 óráig kerékpározott. 5x + 18( x - 1) = 15 33 x= 23 33 A gyalogos indulási helyétôl 5 ◊ km -re, azaz közelítôleg 7,2 km-re találkoznak. 23

1394. A kerékpáros sebessége: 15 km :

1395. Az 1380-as feladatban leírtak szerint gondolkodhatunk. Indulásuktól számítva 15 másodperc, illetve 35 másodperc múlva lesznek egymástól 120 m távolságra. 1396. 2 x = 40 ◊ 6 + 40 ◊ 8 + 50 ◊ 6 + 50 ◊ 8 x = 630 Induláskor 630 m-re voltak egymástól.

1ˆ Ê 1397. 4 + 6Á x - ˜ = 3 + 4 x; Ë 2¯

x =1

1 óra múlva éri utol, 2 az indulási helytôl 7 km-re.

4

km km Ê 1ˆ ◊1 h + 6 ◊Á x - ˜ h h h Ë 2¯

Elindulásuk után 1

6

km 1 km ◊ h+4 ◊x h h 2 h

1398. Mivel a két csónak 1 óra múlva találkozik, a dongó repülési ideje is 1 óra, sebesség km , így éppen 10 km-t repül a találkozásig. pedig 10 h

205


6( x + y ) = 21( y - x ) 27 x y= 15 27 x ˆ m Ê 6◊Á x + ˜ = 2500 x = 148,8 Ë ¯ 15 perc m y = 267,86 perc

6 ◊ ( x + y ) = 2500¸ 21 ◊ ( y - x ) = 2500˝˛

m m , a gyorsabb 4,46 s s sebességgel halad.

A lassúbb 2,48

1400.

( x + 20) ◊ 8 > 720 x > 70¸ 70 < x < 84 ( x - 12) ◊ 10 < 720 x < 84 ˝˛

A tényleges napi út 70 km-nél több 84 km-nél kevesebb. 1401. Mivel a személyszállító vonat késôbb indul, a menetideje kevesebb. v (km / h) T Sz

35 60

t (h)

s (km)

x 35 x x − 2 ,5 60( x − 2 ,5)

35x = 60( x - 2,5) x=6

12 órakor éri utol, ekkor Szegedtôl 210 km-re lesznek. 1402. 10(x + 9) = 12x;

x = 45

Az egyik átlagsebessége 45

km km , a másiké 54 . A két végállomás távolsága h h

540 km. 1403. 6(x + v) = 8(x - v); x = 7v Így az út hossza 6 ◊ (7v + v) = 48v, ahol v a folyóvíz sebességét jelöli. A tutaj tehát 48 h alatt teszi meg az utat. 1404. Jelöljük az A-ból induló vonat sebességét vA-val, a találkozás utáni menetidejét tA-val, a B-bôl induló sebességét vB-vel, a találkozás utáni menetidejét tB-vel. Két lehetséges eset: a) t A = 3,6 h 216 km vA = 3,6 h Mivel a találkozásig ugyanannyi a menetidô

206

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK vB : v A = 216 : 270 216 vB = v A ◊ 270 km 270 h = 5,625 h vB = 48 ; tB = h 48 A másik vonat A-ba ª 14 óra 38 perckor érkezik.

b) t A = 3,6 h 270 km vA = 3,6 h 270 km 270 km ◊ = 93,75 3,6 h 216 h 216 tB = h = 2,304 h 93,75

vB =

A B-bôl induló vonat ª 11 óra 18 perckor érkezik A-ba. 1405. Készítsünk táblázatot! V (cm 3 ) r (g / cm 3 ) Anyagmennyiség (g) I.

100

0,8

0,8 ⋅ 100

II.

x

1,2

1,2 ⋅ x

1

80 + 1,2 x

Ö. 100 + x

1 ◊ (100 + x) = 80 + 1,2x; 1406. 300 ◊ 0,4 + 300 ◊ 0,5 = 600 ◊ x;

x = 100 x = 45

1407. Az ecet mennyisége az x l 10 %-os oldatban ugyanannyi lesz, mint az 1 l 2 %-osban 0,1x = 0,02;

x = 0,2

2 dl 10 %-os ecet és 8 dl víz szükséges. 1408. Az 1407-es feladat gondolatmenetét követve x = 0,6, azaz 6 dl szesz és 4 dl víz. 1409. 24 = (x + 16 + 24) ◊ 0,5; x = 8 Még 8 g víz kell, hogy az oldat 50 %-os legyen. 1410. 25 ◊ 0,9 = (25 + x) ◊ 0,75;

x = 5 (g)

1411. Készítsünk táblázatot! Az oldat Százalékos A benne lévô sav tömege (g) összetétele (%) mennyisége (g) 5 80 5 ⋅ 0,8 x x ⋅1 100

I. II. Együtt

5+ x

95

5 ◊ 0,8 + x = (5 + x) ◊ 0,95;

(5 + x ) ⋅ 0,95

x = 15 (g)

207

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1412. I. II.

Az oldat Erôssége fokban Az oldatban lévô alko mennyisége (l) (százalékos összetétel) hol mennyisége (l) x 40 0,4 x 0,5 70 0,7 ⋅ 0,5

Összeöntve

0,5 + x

48

0,48( 0,5 + x )

Az alkoholtartalom összegzôdik. 0,4x + 0,7 ◊ 0,5 = 0,48(0,5 + x);

x = 1,375

1,375 liter 40 fokos alkoholt kell hozzáönteni, hogy 48 fokos legyen az oldat. 1413. A maradék 8 liter 70 fokos (%-os) kénsavban a kénsav-tartalom (8 ◊ 0,7) l = 5,6 l. Ha vizet öntünk hozzá, a folyadékban továbbra is 5,6 l marad a kénsav-tartalom. Az oldat mennyisége 10 l. A benne lévô kénsav 5,6 l. x fokos az oldat. 10 ◊ x = 5,6; 100

x = 56

A kénsav 56 %-os lesz a víz hozzáöntése után. 1414. a) Legyen a felhasznált 90 %-os sav tömege x kg, akkor a 70 %-osból (1 - x) kg szükséges. x ◊ 0,9 + (1 - x) ◊ 0,7 = 0,8;

x = 0,5

0,5 kg 70 %-os és 0,5 kg 90 %-os kénsav összeöntésekor kapunk 1 kg 80 %-os kénsavat. b) Az elôzôhöz hasonlóan okoskodva: 0,9x + 0,7 ◊ (1 - x) = 0,75;

x = 0,25

0,25 kg 90 %-os, 0,75 kg 70 %-os sav összeöntésekor 1 kg 75 %-os savat kapunk. c) 0,9x + 0,7(1 - x) = 0,82; x = 0,6 0,6 kg 90 %-os, 0,4 kg 70 %-os sav összeöntésekor 1 kg 82 %-os savat kapunk. 1415. A 12 %-os 220 g cukoroldat cukortartalma ugyanannyi, mint a (220 + 80) g cukoroldaté, amely x %-os. x 220 ◊ 0,12 = (220 + 80) ◊ ; x = 8,8 100 A víz hozzáöntésével kapott, hígított oldat 8,8 %-os lesz. Az 1416., 1417., 1418. feladatok megoldásakor használjuk a fizikában tanult összefügéseket.

208

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1416. m1 = 140 g = 0,14 kg m2 = 60 g = 0,06 kg T1 = 64∞ C T2 = 32∞ C T=

c ◊ m1 ◊ (T1 - T ) = cm2 (T - T2 ) m1 ◊ T1 - m1T = m2T - m2T2 m1T1 + m2T2 = m1T + m2T m T + m2T2 T= 1 1 m1 + m2 0,14 ◊ 64 + 0,06 ◊ 32 T= 0,2

A keverék hômérséklete 54,4 ∞C. 1417. m1 = 12,5 kg T1 = 60 ∞ C m2 = 7,5 kg T2 = T = 45 ∞ C Az 1416. feladatban szereplô képletet használjuk, beszorzás után T2-t fejezzük ki. m1T + m2T - m1T1 m2 20 ◊ 45 - 12,5 ◊ 60 T2 = 7,5 T2 =

A hideg víz hômérséklete 20 ∞C. 1418. Az 1416. feladat képletének megfelelô átalakítása után m2 (T - T2 ) T1 - T m1 = 33 m1 =

33 kg, azaz ª 33 liter 76 ∞C-os víz szükséges. 1419.

Oldat tömege (kg) Töménysége (%) Az oldott só tömege (kg) I. 10 30 10 ⋅ 0,3 (10 − x ) ⋅ 0,5 II. 10 − x 50

Az oldott só tömege közben sem változott. 10 ◊ 0,3 = (10 - x) ◊ 0,5;

x=4

4 kg vizet kell elpárologtatni.

209

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1420. a = 15,2 m b = 15,2 m ◊ 1,2 = 18,24 m T=a◊b Ha 25 %-kal növeljük az egyik oldalt, akkor az 125 % lesz. Így

a ◊1,25

x ˆ Ê (a ◊ 1,25) ◊ Á b ◊ ˜ = a◊b Ë 100 ¯ x 1,25 ◊ x b◊ =1 100 100 x = 80 A másik oldalt 80 %-ára kell változtatni, azaz 20 %-kal kell csökkenteni.

1421. Legyen az egymást követô három természetes szám n - 1; n; n + 1. A két háromjegyû szám különbsége: 100(n + 1) + 10n + (n - 1) - [100(n - 1) + 10n + (n + 1)] = 198 100n + 100 + 10n + n - 1 - 100n + 100 - 10n - n - 1 = 198 200 - 2 = 198 Azonosságot kaptunk, ennek alapján nem találhat oda.

1422. A: x A: x

B: x - 2 B: x - 2

E: 2x E: 2x - 4

2x - 4 = x - 2; azonosság 2 Attól függ, hogy ki mennyi almát vett, hogy Ancsa mennyit vásárolt.

1423. L: x

T:

x +2 2

Êx ˆ F: 2 ◊ Á + 2˜ ¯ Ë2

Êx ˆ x + 4 = 2 ◊ Á + 2˜ ; Ë2 ¯

azonosság

Nem tudjuk kinek hány bélyege van, csak a kötzük lévô kapcsolatot ismerjük. 1424. A gondolt szám: x 1ˆ Ê Á x - ˜ ◊ 3 + 1,5 = 3x ; Ë 2¯

azonosság

A gondolt szám bármely valós szám lehet. 1425. K: x

T: 3x - 4

M: 4x + 7

x + (3x - 4) + 11 = 4x + 7;

azonosság

Legkevesebbet Kata sütött. Ha x = 1, akkor Kata 1, Tündi -1 palacsintát sütött volna, de mindenkinek legalább egy sikerült, ezért Kata legalább kettôt, Tündi is kettôt, Mesi pedig 15 palacsintát sütött.

210

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1426. Rövidláb Róbert mindig 1427. B.a.: x

J.a.: 2x + 3

4 -szor annyit lép, mint Hosszúláb Hugó. 3

F: 3x + 3

x + 2x + 3 = 3x + 3;

azonosság

Attól függ, hogy hol mennyi pénz van, hogy a bal alsó zsebbe mennyi kerül. 1428. A kétszeri növelés után az ifjabb testvér parcellájának oldalai x + 1 hosszúak.

x2

( x + 1)2

x 2 + x + ( x + 1) = ( x + 1)( x + 1) x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)2 azonosság

Ennyi adat ismeretében nem dönthetô el, mekkora volt a parcella eredetileg. 1429. A gondolt szám: x. (2x + 5) ◊ 4 - 8x a kijelölt mûveletek elvégzése után 20-at kapunk, azaz a mûveletsor eredménye független a gondolt számtól. 1430. A keresett szám x. 3 - (x + 1) ◊ 3 = 3x;

x=0

1431. Ernô órabére: (x + 5) Ft Ferenc órabére x Ft. (x + 5) ◊ 40 - 40x = 200;

azonosság

Ernô órabérét csak Ferenc órabérének ismeretében tudjuk meghatározni. 1432. A tôke x millió Ft. ( x - 4) ◊ 3 + 12 - 2 x = x 3x - 12 + 12 - 2 x = x azonosság

4 millió Ft-nál több volt a tôke, de hogy mennyi azt nem tudjuk. 1433. x Ft-om volt. x Êx ˆ Á - 2˜ : 2 - + 5 = 4 ; Ë2 ¯ 4

azonosság

Ha x ¤ 4, akkor minden racionális szám igazzá teszi az egyenlôséget. Az eljárás miatt az 5 Ft-os hozzátételekor 1 Ft adósságunk volt. 1434. A szöveg szerint 4 ◊ 3 = 6 ◊ 2 azonossághoz jutunk. A rakomány mennyiségérôl, a raktári készletrôl semmit nem tudunk.

211


I. 2 x 3

II. 2 x + 20 3

III. 2 x ◊2 3

2 Ê2 ˆ 2 x + Á x + 20˜ = x ◊ 2 + 20 ; Ë3 ¯ 3 3

azonosság

Semmit nem tudunk a must mennyiségérôl. 1436.

piros kék x 189 - x x + 52 = 189 - x + 19 x = 78

78 piros és 111 kék golyó volt eredetileg. 1437. Jelölje az egyes gyümölcsök mennyiségét b, k, s. b + k = 43 k + s = 32 s + b = 39

2b + 2 k + 2s = 114 b + k + s = 57 s = 57 - (b + k ) s = 14; k = 32 - 14 = 18;

Ôszibarackhoz 11 kg-hoz 25 kg-hoz

0,25 kg 0,25 kg ◊ 25 = 6,25 kg

Körtéhez 11 kg-hoz 18 kg-hoz

0,21 kg 0,21 kg ◊ 18 = 3,78 kg

b = 25

Szilvához 11 kg-hoz 0,2 kg 14 kg-hoz 0,2 kg ◊ 14 = 2,8 kg Anyuka összesen 6,25 kg + 3,78 kg + 2,8 kg = 12,83 kg cukrot használt fel. 1438. Jelöljük a drágább folyóirat árát x-szel, az olcsóbbét y-nal.

H. d: o: K. d: o:

Eladott mennyiség Értéke (Ft) Összesítve az érték (Ft) 4 db 4x 764 + 332 12 db 12 y 2 db 2x 764 12 db 10 y

4 x + 12 y = 1096 2 x + 10 y = 764 4 x + 12 y = 1096 4 x + 20 y = 1528 8 y = 432 y = 54

212

Szorozzuk a második egyenletet 2 - vel és vonjuk ki ebbôl az elsô egyenletet!

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK Az y-ra kapott értéket helyettesítsük a második egyenletbe! 2 x + 10 ◊ 54 = 764 2 x = 224 x = 112

A drágább folyóirat 112 Ft-ba, az olcsóbb 54 Ft-ba került. 1439. Jelöljük D-vel Dezsô, P-vel Pista plakátjainak számát (a tanév végén)! D + P = 67 ( P + 4) - 2 = [( D + 2) + 7] ◊ 2 [(67 - D ) + 4 - 2] = [( D + 2) + 7 ◊ 2 69 - D = 2 D + 18 51 = 3D D = 17

Fejezzük ki az elsô egyenletbôl P - t! P = 67 - D Írjuk be a 2. egyenletbe!

P = 67 - 17;

P = 50

Dezsônek 17, Pistinek 50 plakátja volt a tanév végén. 1440. Legyen a két természetes szám k és n. fi n = 3k Ezt a 2. egyenletbe helyettesítve: k : n = 1:3 k : (n + 6) = 1 : 10 3 k 1 : (3k + 6) = 3 10 k 3k + 6 k = 18 ; n = 54 ; = 3 10

1441. Kati képeslapjainak számát jelöljük K-val, Zsuzsiét Z-vel! K + 5 = 2 ◊ ( Z - 5) Z +3 = K -3 fi K = Z + 6 Helyettesítsük az elsô egyenletbe! ( Z + 6) + 5 = 2 Z - 10 Z + 11 = 2 Z - 10 ; Z = 21 ; K = 27

1442. A gyerekek tömegét jelöljük A-val, B-vel, C-vel! A + B + C = 153 A + B = 105 A + C = 101 C = 48 A + 48 = 101 A = 53 53 + B = 105 B = 52

Vonjuk ki az elsô egyenletbôl a másodikat! Helyettesítsük a harmadikba! Helyettesítsük a második egyenletbe!

Albert 53 kg, Béla 52 kg, Csaba 48 kg tömegû.

213

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1443. A piros kartonok száma legyen p, a kék kartonok száma k (eredeti állapot)! p + k = 42235 fi k = 42235 - p ( p + 324) ◊ 4 = k + 2641 4 p + 1296 = 42235 - p + 2641 5 p = 43580 p = 8716 k = 33519

8716 piros és 33519 kék karton volt. 1444. Az egyik hajón x utas, a másikon y utas volt. x 5 5 Helyettesítsük ezt x= y = fi a második egyenletbe! y 4 4 x - 20 4 = y+2 5 5 4 y - 20 = ( y + 2 ) ; y = 48 ; x = 60 4 5

1445. Legyen az elsô és utolsó jegy x, a két középsô y. Akkor a választott szám: 1000x + 100y + 10y + x A következô két feltételbôl felírhatjuk az egyenletrendszert! 2 x + 2 y = 20 x : y = 1 : 4 fi y = 4 x 2 x + 2 ◊ 4 x = 20 10 x = 20 x=2 ; y=8

A választott szám 2882. 1446. Jelöljük a tizesek helyén álló számjegyet x-szel, a másikat y-nal. 10 x + y = 3 ◊ 5 ◊ n fi Utolsó számjegye 0, vagy 5, azaz y = 0 vagy y = 5. x+y=9

y π 0, mert akkor a számjegyek összege nem lehet 9, ha azt is figyelembe vesszük, hogy a számjegyek különbsége 1. Tehát y = 5 és x = 4. A 4 négyzetszám. A kétjegyû szám 45, ennek négyzete 2025. 1447. Jelöljük a keresett számot n-nel! 2n ¤ 3 ◊ (n - 5)1 2n ¤ 3n - 15 ◊ () 15 ¤ n3 - 15 ◊ ()

214

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1448. Legyen a szám x! 2 x - 2 > 6 x - 10 Szorozzuk az egyenlôtlenség mindkét oldalát 3- mal! 3 2 x - 6 > 18 x - 30 24 > 16 x 3 3 >x 2 2

1449. Az idén kapott tankönyvek száma legyen x! x 23 > ; 3 6

x > 11,5

Legalább 12 tankönyvet kaptunk az idén. 1450. Ha x-szel jelöljük az 1 kg gyümölcs árát, akkor a következô két egyenlôtlenséget írhatjuk fel, melyeknek egy idôben kell taljesülnie 4 x £ 160 fi

x £ 40

6 x > 180

x > 30 30 < x £ 40

1 kg gyümölcs ára 30 Ft-nál több, 40 Ft-nál nem több. 1451. 103 < 52 ◊ m 40 < m A hasáb magassága 40 cm-nél több kell, hogy legyen. 1452. Most x db cipôt készítenek. 6 x > 4( x + 2) x>4

Naponta 4-nél több cipôt készítenek. 1453. Dóra x kg diót szedett! A: 2 x ¤ 5; B: 3 x ¤ 5; C: x + 2 ¤ 5; D: 2 ¤ 5; 2 x + 3 x + ( x + 2 ) + x < 142 ; x < 20

UV W

A két egyenlôtlenség közös megoldása: 5 £ x < 20 Dóra legalább 5 kg diót szedett, de 20 kg-nál kevesebbet! 1454. A gôzhajó teljesítménye x LE; a gôzmozdonyé (x - 35) LE. x + (x - 35) < 200; 35 < x < 117,5

x < 117,5

215

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK A gõzmozdony teljesítménye kevesebb, mint 82,5 LE. 1455. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. x + 2 x > 18 x + 18 > 2 x x>6 18 > x 6 < x < 18

A legrövidebb oldal 6 cm-nél hosszabb, 18 cm-nél rövidebb. 1456. A gondolt szám x. (5x - 2) ◊ 6 < 13x; x < 3 2 A gondolt szám: 0; 1 vagy 2.

1457. A rövidebb sorban x ember állt. 2x - 4 < x + 3;

x<7

és 4 ember csak úgy távozhatott a hosszabb sorból, ha ott legalább négyen álltak, azaz x ¤ 2. 2 £ x < 7; 4 £ 2x < 14 A rövidebb sorban kettônél nem kevesebb, hétnél kevesebb, a hosszabb sorban 4-nél nem kevesebb, de 14-nél kevesebb várakozó volt. 1458. Külön-külön x Ft-ot kaptak. ⎛x ⎞ x − ⎜ + 12⎟ £ x - 24; ⎝2 ⎠

x ¤ 24

Legalább 24 Ft zsebpénzt kaptak. 1459. Ha minden pénzemet feltettem a játékra, akkor 3x - 1000 < x;

x < 500

Legfeljebb 490 Ft-ot költhettem. 1460. K < 2(x + 14) K = x + 2(x - 5) + (x + 14) x + 2 x - 10 + x + 14 < 2 x + 28 ; x < 12 ¸ 5 < x < 12 x - 5 > 0 ˝˛

1461. A Béka Géza által megevett legyek száma x. 1 légy = 2 szunyog.

216

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 2 ◊ 17 + 3 > 2 x + 20 8,5 > x

Béka Géza legfeljebb 8 legyet ehetett. 1462. A kétjegyû szám 10(x + 6) + x A jegyek felcserélésével kapott szám 10x + (x + 6) 10 ( x + 6 ) + x - [10 x + x + 6] ¤ 20 54 ¤ 20 mindig igaz

Ezért a feltételeknek eleget tevô számok: 60; 71; 82; 93. 1463. Az elsô könyv x lapos, ebbôl x - 50 csak írásos lap. A második könyv 2x lapos, ebbôl 2x - 200 ábra nélküli, az ábra nélküli lapok fele x - 100. x - 50 > x - 100

azonos egyenlôtlenség

Az ábrák miatt x ¤ 50. Az elsô könyv legalább 50 lapos. 1464. Petinek és Palinak x kutyája volt.

A kutyáik száma fialás elôtt A kutyáik száma fialás után

Peti

Pali

x 3x

x+2 3( x + 2 )

Peti még kapott 8 kiskutyát, így: 3x + 8 > 3(x + 2)


Eredetileg akárhány kutyájuk lehetett. 1465. A beszélgetés alapján a következô egyenlôtlenség írható fel: 2(x + 50) > x + x + 100 ellentmondás, mert a két kifejezés egyenlô egymással. 1466. A tavalyi üvegek száma x. 2x + 5 ¤ 2(x + 1)


Bármennyit tehetett el a nagymama. Tyúkok 1467. Libák x x 2x > ( x - 12 ) + ( x - 12 ) 2x > 2 x - 24 azonos egyenlôtlenség, ha x ¤ 12 .

1468. Ha minden kártya legalább ötöt ér, akkor a kártyákon az 5; 6; 7; 8; 9 számok szerepelnek. Legrosszabb esetben az 5; 6; 7; 8 számokat húzzuk. 5 + 6 + 7 = 18 már eleget tesz a feltételeknek, tehát biztosan nyerünk. A kihúzott lap: x.

217

ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 5 + 6 + 7 + x ¤ 18 x ¤ 0⎫ Mindig nyerünk. nincs azonos, ezért x > 7 ⎬⎭

218

FÜGGVÉNYEK Hozzárendelések 1469. A rendezett párok a következõk lehetnek: (2; 1) , (2; 2) (4; 1) , (4; 2) , (4; 4) (6; 1) , (6; 2) , (6; 3) , (6; 6) (8; 1) , (8; 2) , (8; 4) , (8; 8) a) A 2 az egyetlen olyan páros szám aminek pontosan két osztója van. Ezért a 2 az egyetlen páros prím. b) A felhasznált egyjegyû páros számok közül a 6 és a 8 is négy osztóval rendelkezik. c) A reláció nem függvény, hiszen egy számhoz több számot is rendelhetünk. 1470. A = {11; 13; 15; 17; 19} Alkossunk rendezett (a; b) elempárokat, ahol b az a pozitív osztóinak a számát jelentse: (11; 2) , (13; 2) , (15; 4) , (17; 2) , (19; 2) a) A halmazból egyedül a 15 lesz összetett szám, azaz az összes többi prím. A 15-nek 4 pozitív osztója van. b) A megadott hozzárendelés függvény. 1471. a) A verseny végeredménye 24 féleképpen alakulhatott, hiszen az elsõ helyre négy, a másodikra három, a harmadikra kettõ, az utolsó helyre már csak egy lehetõség adódhat. Ezek szorzata adja a végeredményt. b) Mivel Antal nem lett elsõ, és Béla második lett, ezért az elsõ helyen ketten végezhettek. A második Béla lett. A harmadik helyen szintén ketten végezhettek, az utolsó helyen így már csak egy lehetõség marad. A lehetséges sorrendek száma: 2 ◊ 2 = 4. 1472. a) A relációk megadására használhatunk rendezett számpárokat, nyíldiagrammot, táblázatot vagy koordináta-rendszerben is ábrázolhatjuk az egymáshoz tartozó értékeket. Néhány példa: 1. (-2; 1) , (0; 2) , (2; 3) 2.

3.

A −2

0

2

1

1

1

B

217

FÜGGVÉNYEK b) A lehetséges számpárok: (-2; 1) , (-2; 2) , (-2; 3), (0; 1) ,- (0; 2) , - (0; 3) (2; 3) 1473. Adjuk meg a hozzárendelés táblázatát: x

1

2

3

4

5

6

7

x−2

−1

0

1

2

3

4

5

Mivel a -1 œB, ezért az 1-hez nem tudunk hozzárendelni egy értéket sem. Ezért a megadott hozzárendelés nem függvény. 1474. a) A hozzárendelés függvény lesz. b) A hozzárendelések megadásánál arra kell ügyelnünk, hogy ha megadjuk a két alaphalmazt (A és B) és közöttük függvény kapcsolatot (A Æ B) szeretnénk létesíteni, akkor A minden egyes eleméhez B-bõl pontosan egy elemet rendelhetünk hozzá. Pl.: A = {1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3} Ha minden a ŒA-hoz hozzárendeljük b ŒB-t úgy, hogy b az a pozitív osztóinak száma legyen, akkor függvényt kapunk. Nem kapunk akkor függvényt, ha a ŒA-hoz a pozitív osztóit rendeljük hozzá. 1475. A keletkezõ párok függnek attól, hogy a számokat milyen elrendezésben helyezzük a kocka éleire. Mi csak egy lehetõséget mutatunk be. a) {1; 3; 9; 11} halmazból képezhetõ számpárok: 12 lehetõség. {5; 6; 7; 8} halmazból képezhetõ számpárok: 12 lehetõség. {2; 4: 10; 12} halmazból képezhetõ számpárok: 12 lehetõség. Így összesen 36 számpár írható fel. b) Minden csúcsban 3 él találkozik. Pl.: {1; 4; 5} halmazból 6 rendezett számpár írható fel: (1; 4) , (1; 5) , (4; 1) , (4; 5) , (5; 1) , (5; 4). Mivel 8 csúcs van így összesen 48 rendezett számpár írható fel. c) Minden élhez 4 másik kitérõ él tartozik. Pl. az 1-es élhez tartozó kitérõ élek: 7; 8; 10; 12. Ezek meghatározzák a következõ rendezett elempárokat: (1; 7) , (1; 8) , (1; 10) , (1; 12). 4 féle számpár. Ezt minden kiválasztott él esetén el tudjuk végezni, és mivel összesen 12 él van, ezért az össze rendezett szápár 48 féle lehet. d) Mivel a kocka minden éle egyenlõ hosszúságú, így az összes lehetséges módon felírhatjuk a számpárokat. Ezek száma: 122 = 144 lesz. (Itt azok a számpárok is létrejönnek, amelyeknek mindkét eleme ugyanaz. Pl.: (1; 1) , (2; 2) ...) 1476. a) (6; 1) , (7; 1) , (7; 2) , (8; 1) , (8; 2) , (8; 3) (9; 1) , (9; 2) , (9; 3) , (9; 4) .

218

HOZZÁRENDELÉSEK b) A lehetséges számpárok: (1; 1) , (1; 2) , ... (1; 9) (2; 1) , (2; 2) , ... (2; 9) (3; 1) , (3; 2) , ... (3; 9) (4; 1) , (4; 2) , ... (4; 9) (2; 1) , (5; 2) , ... (5; 9) (2; 1) , (6; 3) , ... (5; 9) # (2; 1) , (9; 6) , ... (5; 9)

9 db 9 db 9 db 9 db 8 db 7 db # 4 db

Összesen: 66 számpár. c) Nem igaz, hiszen egyikben sem soroltunk fel például olyan eseteket, amikor a - b = 4. 1477. a) Az A Æ B típusú hozzárendelések megadásához elõször meghatározzuk az (a; b) rendezett elempárok számát, ahol a ŒA és b ŒB. Legyen ezek halmaza H. H elemeinek száma: 3 ◊ 3 = 9. Minden hozzárendelés megfelel ezen H halmaz egy részhalmazának. Például:

hozzárendelés megfelel a {(10; 2), (10; 4), (30; 6)} részhalmaznak. Ezek szerint a lehetséges hozzárendelések száma annyi ahány részhalmaza egy 9 elemû halmaznak van, azaz 29 = 512. (Itt figyelembe vettük azt az esetet,a mikor A egy eleméhez sem rendelünk hozzá a B halmazból elemet.) x b) Például: f : A Æ B; x 6 . 5 1478. A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} a) (a; b) létezik, ha b osztható a-val. Ezek a párok: (1; 1) , (1; 2) , (1; 3) , (1; 4) , (1; 5) , (1; 6) , (1; 7) , (1; 8) , (1; 9) (2; 2) , (2; 4) , (2; 6) , (2; 8) (3; 3) , (3; 6) , (3; 9) (4; 4) , (4; 8) . 18 rendezett számpár létezik b) (a; b) létezik, ha a többszöröse b-nek. Az a) részben felsorolt 18 számpárt kell felsorolni, csak fordított sorrendben. Azok az elempárok teljesítik mindkét feltételt, amelyeknél a = b teljesül. Ezek (1; 1) , (2; 2) , (3; 3) , (4; 4) . Vannak olyan elempárok amelyek nem szerepelnek a felsorolásban. Pl.: (2; 5) , (3; 7) stb.

219

FÜGGVÉNYEK 1479. A megoldásokban csak egy lehetséges hozzárendelést adunk. Természetesen ettõl eltérõ helyes megoldások is léteznek. a) A Æ B; x ® 2x A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

b) A Æ B; x ® x2 + 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

c) A Æ B; x ® x prímosztói és az 1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 2 3 2 5 2 7 2 3 2 5 3

A megadott hozzárendelések közül a c) nem lesz függvény.

220

HOZZÁRENDELÉSEK

1480. a)

b) A legmagasabb hõmérsékletet 14 óra környékén 3 ∞C-nak mérték. A legalacsonyabb hõmérséklet -4 ∞C 22 és 24 óra idõpontok között volt mérhetõ. c) Az átlaghõmérséklet: 2 + 2, 5 + 3 + 2 + 0, 5 + 0 + ( -1) + ( -2 ) + ( -2, 5) + ( -3) + ( -3, 5) + ( -4 ) + ( -4 ) Tátlag = ª 13 ª - 0,77 ∞ C

1481. a)

A pontokat összekötve szemléltethetõ az évek során bekövetkezõ változások minõsége.

221

FÜGGVÉNYEK b) 1970-es év kezdetétõl az 1984-es év végéig 15 év telik el. Mivel a 70-es években nem ismerünk adatokat, ezért itt az évtizedre kell az 1980 és 1970-ben adódó termelés különbségét venni. Így az évenkénti átlagos növekedés: ( 499 - 242 ) + (504 - 499) + ( 412 - 504) + (377 - 412 ) + (387 - 377) = 15 . 387 - 242 29 = = ª 9, 6 15 3 Ez azt jelenti, hogy az évenkénti átlagos növekedés közel 10 ezer db hûtõszekrény volt.

1482. a)

b) Az évenkénti átlagos napfénytartalom: 54 + 79 + 137 + 182 + 230 + 253 + 272 + 261 + 200 + 154 + 59 + 45 = 160, 5. 12 1483. a) b) c) d)

A gép a t1 = 10 min, és t2 = 22 min idõpillanatban volt a legmagasabban (1000 m). A repülés 32 percig tartott. A legtovább az 500 m magasságon tartózkodott, 4 percen keresztül. 00 - 06 perc: folyamatosan emelkedett kb. 850 m magasságig. 06 - 08 perc: kb. 850 m magasságban marad. 08 - 10 perc: kb. 1000 m magasságba emelkedik. 10 - 12 perc: kb. 500 m magasságra süllyed. 12 - 16 perc: kb. 500 m magasságban marad. 16 - 22 perc: kb. 500 m-rõl 1000 m magasságra emelkedik. 22 - 32 perc: kb. 1000 m-rõl leszállásig süllyed.

1484. a) 300 m.

b) 4 perc alatt.

c) 2 percig. 300 m = 75 m. d) Menet közben a percenként megtett útja: 4 600 e) A percenként átlagosan megtett út: m = 60 m. 10 1485. Az egymáshoz tartozó értékeket foglaljuk táblázatba: a) Magasság (km) 2 km 6 km 8 km Hõmérséklet (∞C) -3 ∞C -23 ∞C -39 ∞C b) Hõmérséklet (∞C) 5 ∞C 0 ∞C -25 ∞C Magasság (km) 0,1 km 1,6 km 6,3 km (A leolvasott értékek természetesen csak jó közelítésnek vehetõk.)

222

felszínen 6 ∞C -40 ∞C 8,1 km

HOZZÁRENDELÉSEK 1486. Többféle kapcsolat is létezik. Mi mindegyik esetben mutatunk egy lehetõséget. a) Ha a ŒA b ŒB, akkor b) Ha a ŒA; b ŒB és c ŒC, c) Ha a ŒA és b ŒB, akkor észrevehetõ pl. hogy akkor a + b + c = 180∞. a ◊ 60 = b, ezért: a + b = 90∞. A megfeleltetés:

Ezt felhasználva kitölthetõ a táblázat. Az utolsó

a ® 90∞ - a.

oszlopba tetszõleges érték helyettesíthetõ. A B C 25° 90° 65° 84° 85° 11° 60° 60° 60° 30° 30° 120° a 54° 126°− a

A 38∞ 29∞ 45∞ 19∞

B 52∞ 61∞ 45∞ 71∞

a ® 60 ◊ a

A 3 7 2 2 1 2

B 180 420 120 120 30

1487. A gép szabályára egy lehetséges megoldás: a) 2 ◊ + 2 ◊ « = ª 4 6 7 5 10 x

«

b) 2 ◊ + « = ª

«

ª

5 2 3 5 6 32 - 2 x 2

18 16 20 20 32

ª

4 5 6 2 7 3 5 2 9 3 x 21 - 2 x

32

13 14 17 9 21 21

x helyére tetszõleges szám írható. 1488. Egy lehetséges megfeleltetés: y = x tizedestört alakja x

1 2

2 5

3 10

3 5

6 5

8 5

y

0,5

0,4

0,3

0,6

1,2

1,6

1 4

1 8

0,25 0,125

1489. Egy-egy lehetséges szabály lehet a következõ: a) 2(a + b) = c

b) 4a = b

c) 2(a + b) + c = d

223

FÜGGVÉNYEK a 6 5 3 8 5 x

b 8 12 9 12 10 60 - 2 x 2

c 28 34 24 40 30

a b c 5 4 3 7 8 2 1 4 3 7 19 5 12 4 6 9 10 1

b 20 12 32 56 56

60

d) 2x = y x 1,2 1,5 5,1 2 ,8 3,2 12 ,3 12,7

a 5 3 8 14 14

e) 10x + 1 = y y 2 ,4 3,0 10,2 5,6 6,4 24,6 25,4

x 11 , 1,5 3,44 4,0 9,02 1,2 0,8

y 12 16 35,4 41 91,2 13 9

f)

d 21 32 13 57 38 39

x =y 10 x y 3,6 0,36 7,2 0,72 , 11 11 15,4 1,54 0,5 5 1 0,1 1,03 10,3

1490. Néhány megfelelõ pont: P1(1; 3) ; P2(2; 4) ; P3(5; 7) x 1 2 3 4 5 6 y 3 4 5 6 7 8

A hozzárendelés szabálya: x ® x + 2. 1491. Minden olyan P(x; y) pont megfelelõ, ahol x = y. Pl.: P1(1; 1) ; P2(7; 7) ; P3(100; 100) ... x 1 2 3 4 y 1 2 3 4

A hozzárendelés szabálya: x ® x. 1492. Az ábráról leolvasható, hogy minden olyan pont megfelelõ, amelyre vagy x = y, vagy -x = y teljesül. Ezek a pontok a koordináta-rendszer tengelyei által bezárt szöget megfelezõ egyenesre illeszkednek.

y1

P1 ( x1; y1 ) x1 = y1 x1

P2 ( x2 ; y2 ) - x2 = y2

224

HOZZÁRENDELÉSEK 1 részét azaz 4 km-t. 10 4 km 1 t= = h alatt teszi meg. km 5 20 h B faluba 12 óra 30 perckor érkezik meg.

1493. Az

1494. Az elsõ táblázat hozzárendelési szabálya: y = x vagy x ® x. x

5

y

5

1 2 1 −2 − 2 −2 −

0

−3

2

1

0

−3

2

1

A második táblázat egy lehetséges hozzárendelési szabálya: x ® x + 3, ha x ¤ 0, és x ® x - 3, ha x < 0. x y

2 5

−1 −2

3 6

0 3

−2 −1 −22 − 5 − 4 − 25

1495. Néhány megfelelõ pont: P1(2; 4), P3(-2; -4), P4(-2; 4), P2(6; 12), P6(6; -12). Ezek a P5(3; -6), koordináta-rendszerben olyan egyenesen helyezkednek el amelyik illeszkedik az origóra. A hozzárendelési sza-

P'( x; 2 x )

P''( x; - 2 x )

bály: x ® 2x vagy x ® -2x.

1496. a)

x y1 y2

−2 ,3 −1,9 −1,5 0,7 0,1 0,5 −3 −2 −2

−1 − 0,2 0 0,8 −1 −1

0 0 0

0,8 0,8 0

1,6 0,6 1

2 0 2

2 ,7 0,7 2

225

FÜGGVÉNYEK

y2 = [ x ] y1 = {x}

b) A két függvény alapján az y1 + y2 grafikonja is megszerkeszthetõ! A függvények definíciója alapján is nyilvánvaló, hogy y = y1 + y2 = {x} + [x] = x. 1497. a) A táblázat a helységek és köztük felvehetõ utak összeszámlálása alapján kitölthetõ: x 1 y 0

2 1

3 3

b)

4 5 6 7 8 6 10 15 21 28

Minden helységbõl x - 1 út indul ki, és mivel minden útnak két vége van, ezért az összes út x ( x - 1) . száma: y = 2

1498.

Az origóra vonatkozó tükrözés szintén az A’’B’’ szakaszt határozná meg.

226

HOZZÁRENDELÉSEK 1499. A megfelelõ értékpárokat foglaljuk táblázatban! x 2x 2x x +1

−3 −6

1 2

3

1

4 8 8 5

1 3 7 ( x + 2) − 2 − − − 5 2 2 2 x +1 − x −1 − 2 2 2

−

1500. a)

1ˆ Ê1 A1 Á ; - ˜ Ë 5 10 ¯

1 f (x) = - x 2

A2 ( 0; 0) A3 (14; - 7)

b)

B1 (7; 11) g ( x ) = -2 x + 3

Ê5 ˆ B2 Á ; - 2˜ Ë2 ¯ Ê 299 1 ˆ B3 Á ; ˜ Ë 200 100 ¯

c)

C1 (-1; 0) h( x ) = 2 x 2 - 2

Ê 1 ˆ Ê ˆ 1 C2 ÁÁ ; - 1˜˜ vagy C2 ÁÁ ; - 1˜˜ 2 Ë 2 ¯ Ë ¯ C3

d)

(

)

(

51; 100 vagy C3 - 51; 100

)

13 ˆ Ê D1 Á10; ˜ Ë 12 ¯

227

FÜGGVÉNYEK Ê 7 ˆ D2 Á - ; - 2˜ Ë 3 ¯

D3 ( −2; − ) x = −2 estén a függvény nincs értelmezve!

1501. a) Az A(2; 3) pont a grafikon egy pontja, ezért: f(2) = 3, de f(2) = a ◊ 2 3 2a = 3 fi a = . 2 b) A két pont alapján felírható a következõ egyenletrendszer: 4 = a◊2 + b 40 = a ◊ ( -2 ) + b Ezt megoldva a = 1 és b = 2 adódik. c) A két pont alapján: 5 = a2 ◊ ( -1) + b 13 = a2 ◊ 3 + b Ez alapján a1 = 2 és b = 7; vagy a2 = - 2 és b = 7 adódik. 1502. a) A táblázat alapján bármely x1 π 0 és x2 π 0 értéket is választunk ki, teljesül a következõ: x1 : x2 = f ( x1 ) : f ( x2 ) b) f(x) = 2x

228

HOZZÁRENDELÉSEK c)

f (x) = 2x

1503. Az x tengelyre illeszkedõ pontok második koordinátája (ordinátája) 0: Pl. (1; 0). Az y tengelyre illeszkedõ pontok elsõ koordinátája (abszcisszája) 0: Pl. (0; 2). 1504.

Bármely megadott pont abszcisszája: 3. Pl.: R(3; 4). 1505.

Bármely megadott pont ordinátája: 7. Pl.: R(8; 7). Az egyenes az ordináta-tengelyt a Q(0; 7) pontban metszi.

229

FÜGGVÉNYEK 1506. a) Ebben az esetben a három pont egy egyenesre esik, azaz nem határoz meg háromszöget. Az egyenesre illeszkedõ minden pontra igaz, hogy y = -5.

b) A három pont nem határoz meg háromszöget, hanem mindhárom egy origón áthaladó egyenesre illeszkedik. Az egyenes minden egyes P(x; y) pontjára teljesül, hogy y = -2x.

c) A három pont ebben az esetben egy olyan egyenesre illeszkedik, amelynek P(x; y) pontjaira teljesül, hogy y = x + 2.

230

HOZZÁRENDELÉSEK 1507. a) Ha a tükrözés tengelye az ordinátatengely:

b) Ha a tükrözés tengelye az abszcisszatengely:

A( 2; 5) A'( -2; 5)

A(2; 5)

C ( 5; 1)

C'( -5; 1)

B'( -4; - 1)

B( 4; - 1)

B'( -4; 1)

C ( 5; 1)

B( 4; - 1)

C '( 5; - 1)

A'( 4; - 5)

Általában: P(x; y) ordinátatengelyre vonatkozó tükörképe: P’(-x; y).

Általában: P(x; y) abszcisszatatengelyre vonatkozó tükörképe: P’(x; -y).

Ha az origóra tükrözünk, akkor a P(x; y) pont tükörképe: P’(-x; -y). A feladat esetében: A(2; 5) Æ A’(-2; -5); B(-4; 1) Æ B’(4; -1) C(5; 1) Æ B’(-5; -1).

valamint

1508. a) A két pont ordinátája egyenlõ. Pl.: P1(3; 7), P2(10; 7). b) A két pont abszcisszája egyenlõ. Pl.: P1(3; 7), P2(3; 10). c) A két pont ordinátája egymásnak ellentettje. Pl.: P1(3; 7), P2(3; -7). d) A megfelelõ koordináták egymás ellentettjei. Pl.: P1(3; 7), P2(-3; -7). 1509. A megfelelõ pontok: a) az x tengelyre illeszkednek; b)

x = 2 az e egyenes minden pontjára teljesül.

231

FÜGGVÉNYEK c)

d)

A megfelelõ pontok az I. síknegyed

A megfelelõ pontok a II. síknegyed

pontjai a határoló egyeneseket kivéve.

pontjai a határoló egyeneseket kivéve.

e)

f)

x+y=6

y = x

1510. a) P(x; y) pontokat keressük, ahol x = 2y. Pl.: P1(-4; -2), Pl.: P2(-2; -1), Pl.: P3(0; 0), Pl.: P4(2; 1), Pl.: P5(4; 2)

P5 P4 P3 P2 P1

b) Pl.: P1(-5; -5), Pl.: P2(-3; 3), Pl.: P3(-2; 2), Pl.: P4(2; -2), Pl.: P5(3; -3)

P1

y = -x P2 P3

P4 P5

232

HOZZÁRENDELÉSEK

c) Pl.: P1(-3; -3), Pl.: P2(0; -2), Pl.: P3(3; -1), Pl.: P4(6; 0), Pl.: P5(9; 1)

y=

x -2 P 5 3

P4 P3 P2

P1

1511. a)

b)

c)

d)

233

FÜGGVÉNYEK e)

f)

1512. a)

b)

c)

d)

234

HOZZÁRENDELÉSEK e)

f) 3x - y = 2

P

FG 3 ; - 1 IJ H 5 5K

2x + y = 1

g)

h)

1513. Az ábrán látható ponthalmazok egy lehetséges megadása a következõ: a) x < 2 b) x < 2 és y £ 1 c) y + x < 0 ha x < 0 y + x > 0 ha x > 0 y = 0 ha x = 0 d) ΩyΩ + ΩxΩ = 2 e) y £ x + 1 és x < 0 és y > 0. f) y £ x + 2 és y < x és y ¤ 1.

235

Arányosságok 1514. a)

b) g( x ) = -2 x

P1 (0; 0 ) P2 (1; 2) P3 ( -1; - 2)

P1 ( 0; 0 ) P2 (1; - 2) P3 ( -2; 4 )

f (x) = 2x

c)

d)

F 1I P G1; J H 3K 1

P2 (3; 1) P3 ( -3; - 1)

h( x ) =

1 k( x ) = - x 3

P1 (0; 0 ) P2 ( -3; 1) P3 (3; - 1)

1 x 3

1515. Mivel f(x) egyenes arányosság, ezért felírható f(x) = ax alakban, ahol a az arányossági tényezõ. Ezt felhasználva az a értéke meghatározható. a) -1 = a ◊ (-2 ) 1 a= 2 1 Az egyenes arányosság szabálya így: f ( x ) = x . 2 b) 6 = a ◊ 3 a=2 fi f ( x ) = 2 x. c) 7 = a ◊ ( -2 ) 7 7 a=fi f ( x ) = - x. 2 2 1516. a) 3 = b) ª =

2 ◊ª 3 2 ◊ (-2) 3

ª=

⎛9 ⎞ A ⎜ ; 3⎟ ⎝2 ⎠

9 2

ª= -

4 3

4⎞ ⎛ B ⎜ − 2; − ⎟ ⎝ 3⎠

236

ARÁNYOSSÁGOK

d) -

FG IJ H K

2 2 ◊ 3 3

ª= -

4 9

4⎞ ⎛ 2 C⎜− ; − ⎟ ⎝ 3 9⎠

5 2 = ◊ª 7 3

ª= -

15 4

5⎞ ⎛ 15 D⎜− ; − ⎟ ⎝ 4 7⎠

c) ª =

1517. A megadott pontok közül a C(-2; 1) illeszkedik az egyenes arányosság grafikonjára, hiszen 1 1 = - ◊ ( -2 ). 2 3 1518. a) Az A és C pontok ugyanannak az f ( x ) = - x 2 egyenes arányosságnak a grafikonjára illeszkednek. b) A B által meghatározott egyenes arányosság: g( x ) =

1 x 4

A D pont által meghatározott egyenes arányosság: h(x) = 3x.

1519. Az egyik pontnak válasszuk az origót: O(0; 0), hiszen ez bármelyik egyenes arányosság grafikonjára illeszkedik, a másik pont ezek után bármelyik pont lehet, csak ne illeszkedjék egyik koordináta-tengelyre sem. 1520. Az a) és d) grafikon határoz meg egyenes arányosságot. Ezek hozzárendelési szabályai: 3 b) g(x) = -x a) f ( x ) = x 5 1521. Legyen a nagyobbik szám: x. 12 2 = x 3 x = 18 1522. Az arány alapján jelöljük a két számot 3x-szel és 5x-szel. 3x + 5x = 48 x=6

A keresett két szám: a 18 és a 30. 1523. Alakítsuk át a törtkifejezést az alábbi módon: 2x + y = 2y

2

x +1 2◊ 3 +1 5 y = 4 = . 2 2 4

237

FÜGGVÉNYEK 1524. Az elsõ hónapban összegyûjtött pénz legyen 2x, a másodikban 5x. 2 x + 5x = 280 x = 40

Az elsõ hónapban 80 forintot a másodikban 200 forintot spórolt. 1525. Legyen a téglalap két oldala a és b, a kerülete k. Mivel a = b=

5 k ezért a másik b oldal: 28

k 1 5 9 -a = k- k = k. 2 2 28 28

1 5 k 14 a 28 k 5 2 a) b) c) a = b - 16 = = = 5 9 b k 9 k 5 28 28 A b)-ben kapott eredmény alapján legyen a = 5x és b = 9x. 5 x = 9 x - 16 x=4

A téglalap két oldla: a = 20 m és b = 36 m. A téglalap területe: a ◊ b = 20 m ◊ 36 m = 720 m2. 1526. 200-at. 1527. A nyers kávé és a pörkölt kávé mennyisége egyenesen arányos mennyiségek, ezért ha a keresett nyers kávé mennyisége x: x 6 = 60 5 x = 72

72 kg nyers kávéból. 1528. A keresett idõ legyen x óra. A munkások száma és a munkaidó fordított arányosságban állnak. 6 ◊ 8 = 3x x = 16

16 óra alatt végez a 3 munkás. 1529. Mivel s = v ◊ t, ezért rögzített út esetén a sebesség és az út megtételéhez szükséges idõ fordítottan arányosak. A keresett idõ legyen t. 40 ◊ 2 = 60 ◊ t 4 t= 3 4 A menetidõ óra lesz. 3 1530. Jelölje a szükséges festék tömegét: x. A felhasznált festék tömege a kocka felszínével egyensen arányos.

238

ARÁNYOSSÁGOK Az eredeti kocka felszíne A1 = 6a2, ahol a a kocka élhossza. A megnövelt kocka felszíne A2 = 6(2a)2 = 24a2 = 4A1. x 1 = 4 A1 A1 x=4 4 kg festékre van szükségünk.

1531. A tömeg és a térfogat egyenesen arányosak. Ha a keresett térfogatot x-szel jelöljük, akkor 2 x = 26 5,2 x = 10 A darab térfogata: 10 cm3. 1532. A szükséges idõ: x, a munkások számával és a naponta végzett munkaórák számával fordítottan arányos. x ⋅ 2 ⋅8 = 2 ⋅ 4 ⋅ 4 x=2

2 nap alatt végeznek. 1533. A keresett idõ legyen x. Ez a csapok számával fordítottan, a szükséges vízmennyiséggel egyenesen arányos. x⋅6 2 ⋅4 = 1200 600 2 x=2 3 2

2 óra alatt gyûjthetünk össze 1200 liter vizet. 3

1534. Az elkészülõ anyag hossza x. Ez a gyapjú mennyiségével egyenesen, az anyag szélességével fordítottan arányos. x ⋅ 0,5 40 ⋅ 1 = 20 10 x = 160

160 méter hosszú anyag készül. 1535. A napok száma legyen x. Ez a gépkocsik és a napi fuvarok számával fordítottan, az áru tömegével egyenesen arányos. x ◊ 10 ◊ 10 4 ◊ 10 ◊ 8 = 15 000 1500 x = 32 32 nap alatt végzik el a szállítást.

1536. Jelöljük a három számot így: 2x; 3x; 4x.

239

FÜGGVÉNYEK 2 x + 3x + 4 x = 180 x = 20 A három szám: 40; 60; 80.

1537. A festék tizedrésze, azaz 5 g szükséges. 1538. Legyen két háromszög két magassága m1 és m2. Mivel a területek egyenlõk, ezért: 6 ◊ m1 = 4 ◊ m2 m1 2 = m2 3

1539. Egy gép egy nap alatt a munka

1 1 = részét végzi el. Ha a munkanapok száma x, 6 ◊ 12 72

akkor 1 1 4◊6◊ + ( x - 4) ◊ 8 ◊ =1 72 72

az elsõ 4 nap

x = 11

11 nap alatt végzik el a munkát. 1540. a) 12 nap alatt

b) 12 nap alatt

c) 48 nap alatt.

Lineáris függvények 1541.

240

LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK a) Az x tengelyre való tükrözés után a következô függvények adódnak. 3 x 4 1 b'( x ) = x 2 c'( x ) = −2 d '( x ) = −3 x a'( x ) =

b) Az y tengelyre való tükrözés után a következô függvények adódnak. 3 x 4 1 b''( x ) = x 2 c''( x ) = 2 d ''( x ) = −3 x a''( x ) =

c) Az origó körüli 90º-os forgatás után a következô függvényeket kapjuk: 4 x 3 b'''( x ) = 2 x c'''( x ) − nem lesz függvény 1 d '''( x ) = − x 3 a'''( x ) =

241

FÜGGVÉNYEK 1542.

1543.

2 a( x ) = - x + 1 3 2 d ( x ) = (1 - x ) + 1 3 x +1 e( x ) = 2 +1 3

FG H

IJ K

1544. Mindegyik grafikon az y tengelyt az y = 2 pontban metszi. Az egyes függvények a következô helyeken metszik az x tengelyt: a(x): 2x + 2 = 0 x = -1 b(x): -x + 2 = 0 x=2 1 (x + 4) = 0 x = -4 c(x): 2 2 d(x): 3(x + 1) - 1 = 0 x= 3 x+2 4 e(x): x = -6 + =0 3 3

242

2 x+3 3 1 x f ( x ) = ( x - 1) + 3 3

b( x ) =

LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 1545. A függvények grafikonjai a következô értékeknél metszik a tengelyeket: y tengely x tengely a(x): b(x): c(x):

y = -6 y=0 y=1

x=2 x=0 x=2

d(x):

y=-1

x=

e(x):

y = -7

1 2

1 100

x = -15

1546. Jelölje t az idôt V a tartályban levô víz mennyiségét. t ( s) 1 2 3 4 a) V (l) 1,5 3 4,5 6 A közöttük levô függvénykapcsolat: V = 1,5t. V = 1000 l térfogathoz szükséges idô: 1000 = 1, 5 ◊ t 2 t = 666 s 3 b) Ha a tartály kezdetben 4 l vizet tartalmaz: t ( s) 1 2 3 4 V (l) 5,5 7 8,5 10 V = 4 + 1,5t V = 1000 l esetén: 1000 = 4 + 1, 5 ◊ t t = 664 1547. Az egyes idôpontokhoz tartozó térfogatokat a következô táblázat határozza meg. t ( s) 1 10 50 a) 202 220 300 V (l) b) 203 230 350 c) 205 250 450

112 424 536 760

A térfogat és az eltelt idô közötti függvénykapcsolatok: a) V = 2t + 200 b) V = 3t + 200 c) V = 5t + 200 Ezen függvények grafikonjai az ábrán látható.

243

FÜGGVÉNYEK 1548. Jelölje a tartályban levõ víz mennyiségét V, a közben eltelt idõt t. A közöttük mérhetõ kapcsolatok: a) V = 3t + 6 Ha a tartály megtelik, akkor V = 24. 24 = 3t + 6 t =6

6 s alatt lesz tele a tartály. b) V = t + 12 24 = t + 12 t = 12

12 s alatt lesz tele a tartály. Az egyes esetekben a függvények grafikonjai az ábrán láthatók.

1549. A megadott függvényeket elõször egyszerûbb alakra hozzuk. a) a(x) = 3x - 5 Mivel 3x - 2 π 0, ezért a függvény 2 kivéteértelmezési tartománya a 3 lével minden racionális szám. 2 . ÉT: x ŒQ \ 3

RS UV TW

b) b( x ) =

1 2

ÉT: x ŒQ \

1 x+2 2 3 ÉT: x ŒQ \ . 2

c) c( x ) =

RS 1 UV . T2 W

RS UV TW

1 2

244

2 3

3 2

LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK d) d(x) = -10x + 5

e) d(x) = 2x + 1

ÉT: x ŒQ

ÉT: x ŒQ \ {0}

1550. A fügvényt f(x) = ax + b alakban keresve az a és b értékeit az alábbi egyenletrendszer megoldása adja: - a + b = -3 2a + b = 3 a=2 b = -1

A függvény: f(x) = 2x - 1 a) f(0) = -1 b) f(100) = 199

1551. A függvényt keresve:

f(x) = ax + b

alakban

a + b = -2 -2 a + b = 13

egyenletrendszert megoldva a = -5

b=3

A keresett függvény: f(x) = -5x + 3

245

FÜGGVÉNYEK 1552. A keresett függvény f(x) = ax + b alakú. A megadott értékpárok alapján: 100 a + b = 399 a+b=3

Az egyenletrendszert megoldva: a = 4 b = -1. A függvény szabálya: f(x) = 4x - 1.

1553. Elõször a függvényeket egyszerûbb alakra hozzuk. a( x ) =

2 8 2x - 3 +1 = - x + 5 5 -5

Az x tengelyt x = 4-nél, az y tengelyt y =

2 8 -nél metszi, a meredeksége - . 5 5

b( x ) = (3 x - 2 )(2 x + 1) - 6( x + 1)( x - 1) = - x + 4

A függvény meredeksége -1, az x tengelyt x = 4-nél, az y tengelyt y = 4-nél metszi. c( x ) =

6 x2 + 2 x - 2 = 2x - 2 3x + 1

A függvény meredeksége 2, az x tengelyt x = 1-nél, az y tengelyt y = -2-nél metszi. d(x) =

x - 2 2x - 7 1 11 =- x+ 3 5 15 15

A függvény meredeksége -

1554. a)

246

1 11 , az x tengelyt x = 11-nél, az y tengelyt -nél metszi. 15 15

b)

LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 1555. A grafikon három pontja: P1(0; -4) P2(1; -1) P3(2; 2)

P3

P2

P1

1556. Egy-egy lehetséges ponthármas a következõ: a) P1(-1; -2) P2(0; 2) P3(1; 6) b) Q1(-1; 0) Q2(0; 3) Q3(1; 7) c) R1(-1; -3) R2(0; 1) R3(1; 3) 1557. Mindegyik függvényt f(x) = mx + b alakban keressük. Mivel m ismert és az adott pont megfelelõ koordinátái az egymáshoz rendelt függvényértékeket meghatározzák, így a b értéke meghatározható. a) 2 = m ◊ 0 + b , ahol m = 1 b=2 Így f(x) = x + 2 1 1 1 2 c) f ( x ) = -2 x + 7 d) f ( x ) = - x + b) f ( x ) = x + 5 2 2 3 3 2 8 e) f ( x ) = -5 x + 10 f) f ( x ) = x g) f ( x ) = 3x - 197 5 5 h) f ( x ) = 2, 5 x 1558. A keresett függvények f(x) = ax + b alakúak. A megadott pontpárok alapján az a és b értékei meghatározhatók. b) 3 = a ⋅ 0 + b ⎫ a) 1 a = −2 a=− 3 = a⋅0 + b ⎫ 7 = a ⋅ ( −2 ) + b ⎬⎭ b=3 2 ⎬ 0 = a⋅6 + b ⎭ b=3 f ( x ) = −2 x + 3 1 f ( x) = − x + 3 2

247

FÜGGVÉNYEK c) 3 = a ⋅ 1 + b ⎫ 0 = a ⋅ ( −2 ) + b⎬⎭ f ( x) = x + 2

d) − 3 = a ⋅ ( −3) + b⎫ 5 = a ⋅ 5 + b ⎬⎭ f ( x) = x

a =1 b=2

1559. a)

b)

a( x ) =

RSx + 3, ha x £ 0 T x - 3, ha x > 0

b( x ) =

c)

RS x + 1, ha x £ 1 T3 - x, ha x > 1

d)

c( x ) =

R| S| T

RS2 x, ha x £ 0 T- x, ha x > 0

1 - 2 x , ha x £ 0 ha 0 < x < 3 c( x ) = 1, 2 x - 5, egyébként

1560. A megfelelõ értékpárokat táblázatba foglalva:

248

a =1 b=0

x

−2

f ( x)

4

1 2 − 2 5 1 2 2 2 2 5

−1 − 3

0

2 3

2

−1

2 1 3

0

LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 1561. Mindegyik függvényt f(x) = mx + b alakban keressük. a) A függvény meredeksége: m = 1 A megadott pont alapján: 2 = -1 + b b = 3 f(x) = x + 3 b) m = -1 2 =1+ b f (x) = -x + 1

c) m = 3 2 = -3 + b f ( x ) = 3x + 5

b =1

1 3 1 2= +b 3 1 2 f (x) = - x + 1 3 3

d) m = -

b=5

5 2 5 2= +b 2 5 1 f (x) = - x 2 2

e) m = b =1

1 2

b=-

1 2

1562. A függvényeket f(x) = ax + b alakban keressük. A pontpárok alapján a és b értékei meghatározhatók. a)

c)

0 = a ⋅ 0 + b⎫ − 1 = a ⋅ 2 + b ⎬⎭ 1 f ( x) = − x 2

a=−

4 = a⋅0 + b ⎫ − 1 = a ⋅ ( −2 ) + b⎬⎭ 5 f ( x) = x + 4 2

a=

b=0

1 2

5 2 b=4

b)

0 = a ⋅ 3 + b⎫ − 1 = a ⋅ 2 + b ⎬⎭ f ( x) = x − 3

a =1 b = −3

d)

4 = a ⋅ ( −2 ) + b ⎫ − 8 = a ⋅ 2 + b ⎬⎭ f ( x ) = −3 x − 2

a = −3 b = −2

1563. a) A grafikonra illeszkedõ pontok:

FG H

A 2; 3

IJ FG K H

IJ b K

g

1 1 , B 21 ; 18 , C -1992; - 1492 , 2 3

FG H

4 5 D - ; 9 3

b) A függvény grafikonja „fölött” levõ pontok például:

b g b

g b

g FGH

A 2; 4 , B 21; 18 , C -1992; - 1491 , D -1;

5 3

IJ K

c) A függvény grafikonja „alatt” levõ pontok például:

b g b

g b

g FGH

IJ K

3 5 A 2; 3 , B 22; 18 , C -1992; - 1493 , D - ; 9 3

IJ K 249

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

Másodfokú függvények 1564. a)

b)

c)

d)

250

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 1565. a)

b)

c)

d)

251

FÜGGVÉNYEK 1566. a)

b)

c)

d)

1567. a)

b)

1 f ( x ) = - ( x + 1)2 - 2 2

252

g( x ) = 2 x 2 + 4 x - 6 = 2( x + 1)2 - 8

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK c)

d)

k( x ) =

FG H

h( x ) = -2 x 2 - 6 x - 1 = -2 x +

1568. a)

3 2

IJ K

2

+

FG H

1 2 1 1 1 x + x +1 = x+ 2 4 2 4

IJ K

2

+

31 32

7 2 f ( x) = 2 x2 + 4 x + 2

ÉK: f(x) ¤ 0 A x tengelyt x = -1-nél érinti. Az y tengelyt y = 2-nél metszi.

b)

1 g( x ) = ( x - 1)2 - 3 3

ÉK: g(x) ¤ -3 A x tengelyt x = -2-nél és x = 4-nél metszi. Az y tengelyt y = -2

2 -nál metszi. 3

253

FÜGGVÉNYEK c) h( x ) = -( x + 1)2 + 4

ÉK: h(x) £ 4 A x tengelyt x = -3-nál és x = 1-nél metszi. Az y tengelyt y = 3-nál metszi.

d) k ( x ) = -2 x 2 + 8 x - 7

ÉK: k(x) £ 1 A x tengelyt x =

4- 2 -nél és 2

4+ 2 -nél metszi. 2 Az y tengelyt y = -7-nél metszi.

x=

1569. A függvényeket f(x) = ax2 + bx + c alakban keressük. A megadott értékpárok alapján felírt egyenletrendszerekbõl az a, b és c értéke meghatározható. a) a ◊ 0 + b ◊ 0 + c = 0 a ◊ 4 + b ◊ 2 + c = 12 a ◊ 1 + b ◊ ( -1) + c = 3 a=3 b=0 c=0 f ( x ) = 3x 2

b) a ◊ 1 + b ◊ ( -1) + c = -2 a ◊ 1 + b ◊ 1 + c = -2 a◊4 + b◊2 + c =1 a = 1 b = 0 c = -3 f ( x ) = x2 - 3

c) a ◊ 1 + b ◊ ( -1) + c = 1 a◊0 + b◊0 + c = 5 a ◊1 + b ◊1 + c = 3 a = -3 b = 1 c = 5 f ( x ) = -3 x 2 + x + 5

d) a ◊ 1 + b ◊ 1 + c = 0 a◊9 + b◊3 + c = 1 a ◊ 1 + b ◊ ( -1) + c = 1 1 1 1 a= b=c= 4 2 4 1 1 1 f ( x) = x2 - x + 4 2 4

1570. x = -2-nél az f(x) értéke 0. a) (-2)2 + 2(-2) + c = 0

c=0

c) (-2 - 1)(3 ◊ (-2) + c) = 0

254

c=6

b) (-2)2 - 3(-2) + 2c = 0

c=1

d) (-2 + 2)(c - (-2)) + 1 = 0 nincs megfelelõ c valós szám

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 1571. a)

RS x + 2 x, T- x - 2 x, 2

f (x) =

2

ha x £ 0 ha x > 0

b)

R| x + 2 x, f ( x ) = S3, |T- x - 2 x, 2

2

ha x < 1 ha 1 £ x £ 2 ha 2 < x

Tört, abszolútérték és négyzetgyökfüggvény 1572. Jelöljük a függvények értelmezési tartományát D-vel! a)

m

r

D f = Dg = Dh = Dk = x Œ R x π 0

255

FÜGGVÉNYEK b)

m

r

Df = x ŒR x π 0 Dg = Dh = Dk = x Œ R x π 2

m

r

1573. A megadott pontok alapján felírt egyenletrendszerbõl az a és b értékeit meghatározhatjuk. a a) +b=2 a =1 1 b =1 a +b=0 -1 1 f (x) = + 1 x

U| V| W

b)

256

U| V| W

a +b=0 a=6 2 b = -3 a +b=3 1 6 f (x) = - 3 x

TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY c)

d)

1574. a)

U| V| W

a +b=0 a = -1 1 b =1 a +b=2 -1 1 f (x) = - + 1 x

U| V| W

a +b=0 10 10 a + b = 99 10 f (x) = -1 x

a = 10 b = -1

b)

257

FÜGGVÉNYEK c)

d)

1575. a)

b)

c)

d)

258

TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY 1576. a)

b)

c)

d)

1577. Mindegyik esetben a h(x) függvény menetét írjuk le. a)

h( x ) = x + x + 2

Menete: -•-tõl x = -2-ig szigorúan monoton csökken. x = -2-tõl x = 0-ig konstans, értéke 2. x = 0-tól •-ig szigorúan monoton nõ.

259

FÜGGVÉNYEK b) h( x ) = x + 1 + x - 1

Menete: -•-tõl x = -1-ig szigorúan monoton csökken. x = -1-tõl x = 1-ig konstans, értéke 2. x = 1-tõl •-ig szigorúan monoton nõ.

c) h( x ) = x + 3 + x

Menete: -•-tõl x = -3-ig konstans, értéke 3. x = -3-tól x = 0-ig szigorúan monoton csökken. x = 0-tól •-ig konstans, értéke -3.

d) h( x ) = x + x + 1

Menete: -•-tõl x = 0-ig szigorúan monoton csökken. x = 0-tól •-ig szigorúan monoton nõ.

1578. a)

f (x) = 2 x - 1 - 1

Df = R

Menete: -•-tõl x = 1-ig szigorúan monoton csökken. x = 1-nél minimuma van: -1. x = 1-tõl •-ig szigorúan monoton nõ.

260

TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY b) 2

f (x) = 2 x - 1 - 1

Df = R

2- 2 -ig szigorúan 2 2- 2 monoton csökken. x = -tõl x = 12 ig szigorúan monoton nõ. x = 1-tõl 2+ 2 -ig szigorúan monoton csökx= 2 2+ 2 ken. x = -tõl •-ig szigorúan mo2 2- 2 noton nõ. Minimuma van x = -nél 2 2+ 2 és x = esetén ennek értéke 0. 2 Helyi maximuma van x = 1-nél, értéke: 1.

Menete: -•-tõl x =

c) f (x) =

2 +1 x -1

lq

Df = R \ 1

Menete: -•-tõl x = -1-ig szigorúan monoton csökken. x = -1-nél minimuma van: 0. x = -1-tõl x = 1-ig szigorúan monoton nõ. x = 1-nél szakadása van. x = 1-tõl •-ig szigorúan csökken. d)

f (x) = x - 1

monoton

Df = R

Menete: -•-tõl x = -1-ig szigorúan monoton csökken. x = -1-tõl x = 0-ig szigorúan monoton nõ. x = 0-tól x = 1-ig szigorúan monoton csökken. x = 1-tõl •-ig szigorúan monoton nõ. Minimuma van x = -1 és x = 1 értékeknél, ez 0. Helyi maximuma van x = 0-nál, ennek értéke: 1.

261

FÜGGVÉNYEK 1579. a)

{

}

{

}

D f = Dg = Dh = Dk = x Œ R x ¤ 0

b) D f = Dg = Dh = Dk = x Œ R x ¤ 0

c)

{

}

Df = x ŒR x ¤ 0

{

}

Dg = Dh = Dk = x Œ R x £ 0

262

TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY

m = mx Œ R

r

1580. a) D f = x Œ R x π 0 , Dk

m

r

{

}

m

Dg = x Œ R x π 3 ,

r

r

Dh = x Œ R x π 1 ,

x π -2

{

}

b) D f = x Œ R x £ 0 ,

⎧ Dh = ⎨ x ∈ R x £ ⎩

Dg = x Œ R x £ 6 ,

{

1⎫ ⎬, 2⎭

}

Dk = x Œ R x £ - 3 ⁄ x ¤ 3

m

r

{

}

{

c) D f = x Œ R x > 0 ,

}

m

r

m

r

Dg = x Œ R x ¤ 0 Ÿ x π 2 , Dh = x Œ R x > 0 ,

Dk = x Œ R x ¤ 0

m

r

{

}

d) D f = x Œ R x π 0 Ÿ x π 2 , Dg = x Œ R x ¤ 2 ,

Dh = x Œ R x > 2

b)

1581. a)

-

x=3 c)

1 3

x = -1 d)

x=1

x=1

263

FÜGGVÉNYEK 1582.

5 - 2 < 0, 5 , ha x < 0 vagy x > 2 x 5 5 5 b) 2 < - 2 < 10 , ha
a)

1 2

b)

1583. a)

8 3

8 3 8 f ( x ) < 0, ha x < 3 8 f ( x ) = 0, ha x = 3

f ( x ) > 0, ha x >

264

6

1 3

1 3 1 f ( x ) < 0, ha x < 4 vagy x > 6 3 1 f ( x ) = 0, ha x = 6 3

f ( x ) > 0, ha 4 < x < 6

TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY c)

d)

f ( x ) > 0, ha x < 0 vagy x > 4 f ( x ) < 0, ha 0 < x < 4 f ( x ) = 0, ha x = 0 vagy x = 4

f ( x ) > 0, ha x < 2 vagy x > 4 f ( x ) < 0, ha 2 < x < 4 f ( x ) = 0, ha x = 2 vagy x = 4

b)

1584. a) 2x + 3 x -1

2x + 7

-x + 1

x = -4 c)

x = -2 d)

2x +2 3 1

1 3

-

3x +2 2

x +1 3

-

24 7 x -2 3

x = -1

-

22 7

x=-

24 7

265

FÜGGVÉNYEK e)

f) 2x - 4

2x - 4

x£2

x£4

h)

g)

2x 2x -1 3

-

x -2 3

( 2 x - 4 ) - ( x + 1)

x £ -1

x ¤ -5

j)

i) x

2

x2 + 1

2x

0
266

xπ1

TÖRT, ABSZOLÚTÉRTÉK ÉS NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY k)

l) 4x

-1 - 2

( x + 1)2 - 2

-1 + 2

2 - 2 x2

2x + 3

-1 - 2 £ x £ - 1 + 2

-2 £ x £ 2

Grafikonok a koordináta-rendszerben 1585. a) A(4; 3) , B(-2; 2) , C(-2; -3) , D(4; -6) b) A(0; 7) , B(-2; 1) , C(-5; -3) , D(3; -2) c) A(-3; -2) , B(3; -2) , C(4; 3) , D(7; 3), E(0; 7) , F(-4; 3) , G(-7; 3) d) A(-3; 0) , B(3; 0) , C(3; 4) , D(0; 8), E(-3; 4) , F(-1; 1) , G(1; 1) , H(1; 3) , J(-1; 3) 8 x+6 5 3 b) f ( x ) = - x 2 1 c) f ( x ) = - x + 1 2 2 8 d) f ( x ) = x + 3 3

1586. a) f ( x ) =

1587. a) f ( x ) = -2 x b) f ( x ) =

3 x -3 4

P3(5; 14)

P4(10; 22)

P3(0; 0)

P4(-4; 6)

P3(2; 0)

P4(-2; 2)

P3 0;

P4(-1; 2)

P1(0; 0)

P2(1; -2)

P1(0; -3)

P2(4; 0)

FG 8 IJ H 3K

267

FÜGGVÉNYEK 1 x+2 2 d) f ( x ) = -3x

c) f ( x ) =

1588. a) f ( x ) = - x - 2 1 1 x2 2 3 c) f ( x ) = - x + 3 2 1 1 d) f ( x ) = x + 4 2

P1(0; 0)

P2(1; -3)

m = -1

Px(-2; 0)

Py(0; -2)

Px(1; 0)

Py 0; -

Px(2; 0)

Py(0; 3)

Px(-2; 0)

Py 0;

1 2

m= m=

1589. a) f ( x ) = x - 3 2 x+2 3 c) f ( x ) = - x - 2

b) f ( x ) =

5 17 d) f ( x ) = - x + 4 4

1590. a) f ( x ) = x - 5 1 b) f ( x ) = - x + 2 2 c) f ( x ) = -3

3 2

1 4

Px(3; 0)

Py(0; -3)

Px(-3; 0)

Py(0; 2)

Px(-2; 0)

Py(0; -2)

Px

Py 0;

FG 17 ; 0IJ H5 K

FG H

17 4

Px(5; 0)

Py(0; -5)

Px(4; 0)

Py(0; 2)

FG H

Px -

13 ;0 3

IJ K

FG H

1 2

IJ K

FG 1 IJ H 2K

IJ K

az x tengelyt nem metszi,

d) f ( x ) = -3x - 13

b) m = 2

P2(2; 3)

m=

b) f ( x ) =

1591. a) m = -1

P1(0; 2)

Py(0; -3)

Py(0; -13)

f (x) = -x + 1

Px(1; 0)

Py(0; 1)

f (x) = 2x - 3

Px

Py(0; -3)

FG 3 ; 0IJ H2 K

c) A megadott egyenesre merõleges egyenes nem lesz függvény! Olyan ponthalmazt kapunk, amely az x = 2 feltételnek tesz eleget. 1 1 1 1 f (x) = x + Px(-1; 0) Py 0; d) m = 3 3 3 3

FG IJ H K

3 1 1592. A feltételt átírhatjuk y = - x + alakra. Ez a d) ábrának megfelelõ grafikont 2 2 határozza meg.

1593. A grafikonok alapján egy-egy lehetséges szabályt adunk meg. b) f ( x ) = -2 x - 2 a) f ( x ) = x - 2 c) f ( x ) = x - 3 + 1

268

d) f ( x ) = 2 x + 3 - 3

GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN 1594. a) f ( x ) = x 2 - 1 5 c) f ( x ) = ( x - 3)2 + 1 9

b) f ( x ) = -( x + 2 )2 1 d) f ( x ) = - ( x + 2 )2 + 3 4

1595. A függvényeket f ( x ) = ax 2 + bx + c alakban keresve, a megadott pontok alapján felírt egyenletrendszerekbõl az a, b és c értékei meghatározhatók. a) A(-2; 1) , B(0; 1) , C(1; 4) 1 = 4a − 2 b + c 1= c 4=a+b+c a =1 b = 2 c =1

f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)2

b) A(2; 3) , B(3; 2) , C(4; -1) f ( x ) = -( x - 2 )2 + 3 = - x 2 + 4 x - 1

c) A(-4; -2) , B(-1; 1) , C(0; 6) f ( x ) = x 2 - 6 x + 6 = ( x - 3)2 - 3

d) A(-2; 4) , B(0; -2) , C(2; 0)

FG H

f ( x ) = x2 - x - 2 = x -

1596. a) f ( x ) =

2 x

1 2

b) f ( x ) =

IJ K

2

-2

1 4

2 +2 x

c) f ( x ) =

3 x-2

d) f ( x ) =

2 x

1597. Az ábrákon függvények transzformációs lépései láthatók. 1 1 a) f1 ( x ) = x 2 ; f2 ( x ) = ( x - 4 )2 ; f3 ( x ) = - ( x - 4 )2 ; f4 ( x ) = - ( x - 4 )2 - 4 2 2

b) f1 ( x ) = x ; f2 ( x ) = x + 4 ; f3 ( x ) = x + 4 - 3 ; f4 ( x ) = x + 4 - 3 c) f1 ( x ) = x 2 ; f2 ( x ) = ( x - 4 )2 ; f3 ( x ) =

1 1 ( x - 4 )2 + 3 ; f4 ( x ) = ( x - 4 )2 + 3 2 2

1 1 1598. a) f1 ( x ) = x 2 ; f2 ( x ) = ( x - 6 )2 ; f3 ( x ) = - ( x - 6 )2 ; f4 ( x ) = - ( x - 6 )2 - 2 2 2

b) f1 ( x ) = x ; f2 ( x ) = x + 6 ; f3 ( x ) = -2 x + 6 ; f4 ( x ) = -2 x + 6 + 2 c) f1 ( x ) =

1 1 1 1 +3 ; f2 ( x ) = ; f3 ( x ) = ; f4 ( x ) = x x-4 x-4 x-4

269

FÜGGVÉNYEK 1599. A gépek mûködésére egy-egy lehetséges szabály a következõ: a) x 6 2 x ; x 6 x + 3 ; x 6 x 2 - 3 b) x 6 x ; x 6 2 x - 8 ; x 6 x 2 - 8 x + 8 c) x 6

1 2 1 ; x 6 x+ 4 ; x 6 -5 5 x x

1600. A gépek kimenetén a kapott értékek a következõk: a) 4

b) 25

c) 4

d)

1 49

f) 2.

e) -2

1601. A bemeneti értékek az egyes gépeken a következõk: a) -14

1602. a) a ◊ 7 =

c) 3

b) -3 3 8

a=

3 1 c) - a + = 9 2 2

e) 1 + a + a = 1

3 56

d)

5 7 vagy - . 2 2

7 b) 3 ◊ - a = 12 3

a=-

17 3

a=0

a = -5

d)

1 ◊ 100 - 8 = 100 a

a=

25 27

f)

5 - 10 + 7 =1 5a

a=-

1 6

1603. A kimeneten adódó értékek: a) -1 1604. a) x 6 4 x - 3

270

b) 0. b) x 6 3( x 2 - 1) - 2 = 3 x 2 - 5

GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN c) x 6 ( x - 2 )2 - 1 + 1 =

d) x 6 (2 x - 2 )2 = 4 x 2 - 8 x + 4

= x2 - 4 x + 3 + 1

1605. a) f : x 6

RS T

1 2x +1

Df = x ŒR x π -

b) f : x 6 x - 3 1 2

UV W

{

}

D f = x ŒR x ¤ 3

271

FÜGGVÉNYEK c) f : x 6 (2 x - 1)2 - 1 = 4 x 2 - 4 x

d) f : x 6 x 2 + 2 = x 2 + 2

Df = R

Df = R

1606. A keresett szabélyokra egy-egy lehetõséget adunk meg. 1 1 b) x 6 x - 7 c) x 6 - x + 1 a) x 6 x 2 3 A d) esetet részletezve: x 6 -2 x +

hiszen -

FG H

20 7

y6-

1 3 y+ 2 7

d) x 6 -2 x +

20 7

Æ x -1

,

IJ K

1 20 3 10 3 -2 x + + =x+ = x -1. 2 7 7 7 7

1607. Mindegyik esetben hat lehetséges sorrend létezik. Ha a gépeket sorszámozzuk, akkor ezek a következõk: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Az eredményül kapott függvényeket ebben a sorrendben megadva: a) x 6 (2 x + 3)2 ;

x 6 ( 2 x )2 + 3 ;

x 6 (2 ( x + 3))2 ;

x 6 2 x2 + 3 ;

x 6 2 ( x 2 + 3) .

x 6 3(- x ) - 1 ;

x 6 3 - x +1 ;

x 6 -3 - x - 1 ;

x 6 - 3x - 1 ;

x 6 - 3x + 1 .

1 ; 2x 1ˆ Ê x 6 2Á 2 - ˜ ; Ë x¯

x6

1 ; 2 - 2x 1 x6 ; 2 (2 - x )

x 6 2-

x 6 2 ( x + 3)2 ;

(

)

b) x 6 3 - x - 1 ;

(

c) x 6 2 -

272

)

(

x6

)

2 ; x

2 . 2-x

GRAFIKONOK A KOORDINÁTA-RENDSZERBEN 1608. Egy-egy megoldás lehet a következõ: a) y 6 2 y - 3

b) x 6 2 x - 1

c) x 6

x +1 2

d) z 6 - z - 3

1609. Természetesen több megoldás is elképzelhetõ. Egy lehetséges esetet mutat az ábra: y 6 -y + 1

x 6 2x

1610. a)

b)

c)

1611. a)

Æ -2 x + 1

x 6 x -1

y 6 y2 + 1

Æ ( x - 1)2 + 1

x 6 ( x -1)2

y 6 y +1

Æ ( x - 1)2 + 1

x 6 x +1

y 6 ( y - 2 )2 + 1

Æ ( x - 1)2 + 1

x6x

y6 y

Æ x

A gépek felcserélésével nem változik a szabály. b)

x 6 x +1

y 6 y -1

Æ x

A gépeket felcserélve másik szabály adódik: x 6 x - 1 + 1 . c)

x 6 2x +1

y6

1 1 y2 2

Æ x

A gépeket felcserélve másik szabály adódik: x 6 2

1 1 y - +1. 2 2

1612. Egyiket sem. Mindegyik esetben különbözõ szabályok keletkeznek. Ezeket meg is adjuk. a) x 6 -4 x - 4 ; x 6 -4 x + 8

b) x 6 4 x 2 - 1 ; x 6 -2 x 2 + 2

c) x 6 - 2 x ; x 6 -2 x

d) x 6 -

1 1 ; x6- . 4x x

e j = ex j

1613. Bármelyik hatványfüggvény megfelelõ, hiszen x 2

n

n 2

= x 2n .

Tehát a keresett gép szabálya: x 6 x n .

273

GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK

Garfikusan és algebrai úton is megoldható feladatok 1614. Ha az elõször elinduló menetidejét x-szel jelöljük, akkor az általa megtett út 3x, a másik által pedig 4,5(x - 2) = 4,5x - 9. Ábrázoljuk az x ® 3x és x ® 4,5x - 9 függvényeket! Ezek metszéspontja az x = 6-nél lesz. Tehát a város távolsága legalább 18 km.

1615. Az egyik gyalogos x óra alatt megtesz 4x km-t, a másik 6x km-t. Az elsõ gyalogos indulási helyétõl mért távolságuk ezért 4x ill. 10 - 6x. Azt kell megvizsgálni, hogy az x ® 4x ill. x ® 10 - 6x függvények hol metszik egymást. A metszéspont x = 1-nél lesz. A gyalogosok 1 óra múlva az elsõ gyalogos indulási helyétõl 4 km-re találkoznak.

274

GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK 1616. Készítsük el a gyalogos út-idõ garfikonját! Errõl leolvashatók az adatok: a) A gyalogos 9 órakor 5 km, 10 óra 30 perckor 8 km, 11 órakor 10 km távolságra volt az indulási helyétõl. b) 8 km távolságra 10 órakor állt meg pihenni. c) 14 km hosszú utat járt be. d) 6 km-re 9 óra 20 perckor, 10 km-re 11 órakor, 14 km-re 12 órakor volt. 1617. Közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk András és Béla távolságát András indulási helyétõl mérve az idõ függvényében. Leolvasható, hogy 4 óra elteltével András 9 km-re, Béla 11 km-re lesz, azaz egymástól 2 km-re. Ettõl mérve x idõ alatt a találkozásig megtesznek 3x ill. 4x km-t. 3x + 4 x = 2 fi x =

Eszerint 4

2 7

2 óra múlva találkoznak. 7

1618. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a gyalogos éa a villamosok távolságát a gyalogos indulási helyétõl mérve az idõ függvényében. a) A gyalogossal egyirányú villamosok

6 belsõ pont

A gyalogossal szemben jövõ villamosok

10 belsõ pont

275

FÜGGVÉNYEK Azt kell összeszámolnunk, hogy a

3 óra idõtartamon belül hány metszéspont van. 4

A gyalogos út-idõ függvénye: x ® 4x. A vele egy irányban haladó villamosoké: x ® 18x - b, ahol b = 1,5; 3; ...; 9. A szembe jövõ villamosoké: x ® 18x + b, ahol b = 1,5; 3; ...; 15. Az ábrákról leolvasható, hogy 6 azonos irányban és 10 szembejövõ, azaz összesen 16 villamossal találkozik. b) Hasonló gondolatmenet alapján megállapítható, hogy 6 azonos irányban haladó és 10 szembejövõ villamossal találkozik ebben az esetben is. 1619. a)

I. tartályban levõ víz mennyiségét meghatározó függvény:

I. tartály x 6 20 - x

x ® 20 - 2x. II. tartály x62+x

II. tartály: x ® 2 + x. A grafikon alapján x = 6 percnél mindkét tartályban 8 l víz van.

b)

I. tartály kétszerese x 6 40 - 4 x

II. tartály x62+x x = 7, 6 perckor I. tartály: 4,8 l II. tartály: 9,6 l

II. tartály kétszerese x 6 4 + 2x x = 4 perckor I. tartály: 12 l II. tartály: 6 l I. tartály x 6 20 - 2 x

276

GARFIKUSAN ÉS ALGEBRAI ÚTON IS MEGOLDHATÓ FELADATOK

c) II. tartály háromszorosa x 6 6 + 3x I. tartály x 6 20 - 2 ( x - 2 ) x = 3, 6 perckor I. tartály: 16,8 l II. tartály: 5,6 l

1620. A folyadék hõmérsékletét leíró függvény: x ® -10 + 3x. A tartályét: x ® 100 - 2x. A két függvény metszéspontja alapján a közös hõmérséklet 56ºC lesz és 22 perc múlva alakul ki.

277

FÜGGVÉNYEK

1621. 1 1 áróig együtt haladt. óra 6 6 múlva az elsõ lovas célba ért, ekkor a 1 5 második a céltól 5 - 25 ◊ = km-re 6 6 volt. Ennyivel elõzte meg õt az elsõ lovas. 5 5 1 = óra idõküA két ló így 25 30 30 lönbséggel ért célba.

A két lovas

1 6

2 11 6 30

1622. A szükséges sóoldat mennyisége legyen x. A só mennyiségét figyelembe véve a következõ egyenlet írható fel: 1000 +

x ◊ 25 40 = (1000 + x ) ◊ 100 100 x = 4000

4000 g 25 %-os sóoldatra van szükség.

278

SOROZATOK A sorozat megadása 1623. a) 2; 3; 4; 31

b) 3; 5; 7; 61

c) 0; -2; -4; -58 d) 2; 5; 8; 89 1 2 3 30 e) 2; 4; 8; 230 f) 2; 5; 10; 901 g) ; ; ; 2 5 10 901 h) a1 nem létezik, hiszen n = 1 esetén a kifejezés nincs értelmezve. A további elemek: 2 3 30 ; ; 3 8 899 7 26 26 999 i) 0; ; ; j) 1; -2; 3; -30. 2 3 30

1624. A sorozatok egy lehetséges hozzárendelési szabályát adjuk meg, természetesen más megoldás is elképzelhetõ. a) an = 2 n - 4 a5 = 5 ; a6 = 8 ; a7 = 10 ; a30 = 56 b) an = 3n -1 a5 = 81 ; a6 = 243 ; a7 = 729 ; a30 = 329 100 c) an = n -1 4 25 25 25 100 a5 = ; a6 = ; a7 = ; a30 = 29 64 256 1024 4 n(n - 1) d) an = 17 + 2 a5 = 27 ; a6 = 32 ; a7 = 38 ; a30 = 452 e) an = ( -1)n +1 ◊ 3 a5 = 3 ; a6 = -3 ; a7 = 3 ; a30 = -3 f) an = ( -1)n +1 ◊ 2n -1 a5 = 16 ; a6 = -32 ; a7 = 64 ; a30 = -128 g) an = 70 - 20 n a5 = -30 ; a6 = -50 ; a7 = -70 ; a30 = -530 . 1625. Oldjuk meg a 2n + 3 = 113 egyenletet! n = 55, tehát a55 = 113, a100 = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme ak és ak+1. Azt kell megvizsgálni, hogy lehet-e ak+1 - ak = 3, azaz 2( k + 1) + 3 - ( 2 k + 3) = 3 2=3 feltétel ellentmondásra vezet. Azt kaptuk, hogy a sorozatban két szomszédos elem különbsége 2, és nem lehet 3.

277

SOROZATOK 1626. Keressük azt az n természetes számot, amelyre ( -1)n ◊ n + 1 = 100 ( -1)n ◊ n = 99

Ez nem teljesülhet, hiszen az egyenlõség bal oldala minden páratlan természetes számra negatív. a99 = -98

a100 = 101

1627. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a 2 n + 1 11 = 3n - 1 14

egyenletet! n = 5 adódik, azaz a5 = a1 =

3 2

11 . 14

a2 =

5 =1 5

a3 =

7 8

Keressük azt az n természetes számot, amelyre 2n + 1 <0 3n - 1

Mivel 3n - 1 minden pozitív természetes számra pozitív, ezért ez akkor teljesülhet, ha 2n + 1 < 0. Ilyen természetes szám nem létezik, tehát a sorozatnak nincs negatív eleme. b)

1564. a)

n6

278

1 n-2 2

n 6 2n + 1

A SOROZAT MEGADÁSA c)

d)

n 6 (n + 3)2

n 6 n2 + 3

e)

f)

n6

1 n

g)

n6

3 +1 n

h)

n 6 2n

n 6 2 -n

279

SOROZATOK i)

j)

n 6 n -1

k)

n 6 n2 - 1

l)

n6 n-2

n 6 n2 - 16

1629. Egy n oldalú sokszög egy csúcsából húzható átlók száma: n - 3. E szerint a 103 oldalú sokszög egy csúcsából húzható 100 átló. Az 50 oldalú sokszög egy csúcsából 47 átló húzható. 1630. Egy n oldalú sokszögnek

n(n - 3) átlója van. Egy 50 oldalú sokszögnek így 1175 átlója 2

van. 1631. Igen lehet. Az 5 oldalú sokszögnek 5 átlója van. Bebizonyítható, hogy másik sokszög ilyen tulajdonságokkal nem rendelkezik. 1632. Az egy csúcsból húzható átlók az n oldalú sokszöget n - 2 darab háromszögre osztják. Így a 102 oldalú sokszög esetén lesz a háromszögek száma 100. 1633. Az n oldalú sokszög belsõ szögeinek összege: (n - 2 ) ◊ 180∞ .

Így a háromszög belsõ szögeinek összege 180∞, a négyszögé pedig 360∞.

280

A SOROZAT MEGADÁSA 1634. Egy n oldalú szabályos sokszög egy oldalához tartozó középponti szög nagysága: 360∞ . A feladat szerint: n 360∞ < 10∞ n n > 36 Legalább 37 oldala van a szabályos sokszögnek. 1635. Egy n oldalú szabályos sokszög egy belsõ szögének nagysága:

n-2 ◊ 180∞ . A feladat n

szerint: n-2 ◊ 180∞£ 150∞ n n £ 12 Legfeljebb 12 oldala lehet a sokszögnek.

Számtani sorozatok 1636. A lehetséges számtani sorozatok: a) an = 3 + 2 n

c) an = 12 - 5n

e) an = b - 2 c + nc

f) an = 0, 98 + 0, 03n

1637. a) an = -1 + 3n 3 n d) an = 4 12

b) an = -4 + n 2 n e) an = + 3 12

d) an = 2 +

n 2

c) an = -6 + 3n 13 19 f) an = + n 36 72

1638. a) a10 = a1 + 9d egyenlõség alapján: a10 = 20 . 2 a + 19d ◊ 20 = 420 b) an = 2 + ( n - 1) ◊ 2 = 2 n c) S20 = 1 2 1639. a) a10 = -10 + 9 ◊ 4 = 26 b) S20 = 560 c) an = -10 + ( n - 1) ◊ 4 alapján -10 + (n - 1) ◊ 4 = 102 n = 29

A sorozat 29. eleme lesz 102. 1640. a) a10 = a1 + (10 - 1)d alapján 29 = a1 + 9 ◊ ( -3) a1 = 56

b) S20 = 550

281

SOROZATOK c) Keressük azt a természetes számot, amelyre: 56 + ( n - 1) ◊ ( -3) = -1992 2 n = 683 , 3 ez nem megoldás a természetes számok halmazán, tehát a sorozatnak nem eleme a -1992. 1641. a) A számtani sorozat esetén teljesül, hogy an =

an -1 + an +1 (n > 1 term. szám) 2

a1 + a3 = 4. 2 2 a + 19d ◊ 20 = 420 . b) S20 = 1 2 a2 =

2 2 a10 + a12 3 + 1 3 7 1642. a) a11 = = = . 2 2 6

b) Az a10 = a1 + 9d egyenlõség alapján, ahol d = c) an = 1643. a) a7 =

1 23 , a1 = adódik. 2 6

23 1 3n - 26 + (n - 1) ◊ = . 6 2 6

a6 + a8 k + l = 2 2

b) d =

a8 - a6 l - k = 2 2

c) Az a6 = a1 + 5d egyenlõség alapján a1 = a6 - 5d = k - 5 ◊

l-k 6 k - 5l = . 2 2

1644. Elõször célszerû a b) kérdésre válaszolni! a -a 10 20 10 b) d = 5 2 = a) a1 = a2 - d = 10 = 3 3 3 3 20 10 10( n + 1) c) an = + ( n - 1) ◊ = . 3 3 3 1645. Elõször a c) pont kérdésére válaszolva: a -a 8 d= 8 5 =3 3 8 16 a) a6 = a5 + d = 8 - = 3 3 8 c) d = 3 9 5 a11 - a7 10 + 7 113 1646. a) d = = = 4 4 200 5 9 13 a3 + a15 a7 + a11 - 7 + 10 c) = = = 2 2 2 140

282

16 8 8 - = 3 3 3 a +a = 5 8 =4 2

b) a7 = a6 + d = d)

a3 + a10 2

5 113 2873 b) a1 = a7 - 6 d = - - 6 ◊ =7 200 200

SZÁMTANI SOROZATOK 1647. A megoldás során az an = a1 + ( n - 1)d összefüggést kell alkalmaznunk. 56 27 a) a16 = 78 b) a23 = -6 c) a25 = d) a13 = 1 e) a7 = 3 35 f) a19 = k + 18l 1648. a1 = 2 ; a2 =

5 1 ; a3 = 3 . Mivel d = a2 - a1 = , ezért a15 = a1 + 14 d = 9 . 2 2

1649. Mivel d = a2 - a1 = 1650. Mivel d = 3 -

1 5 1 - 1 = , ezért a17 = 1 + 16 ◊ = 5 . 4 4 4

5 1 = , így keressük azt az n természetes számot, amelyre: 2 2

5 1 + ( n - 1) ◊ 2 2 n = 22

13 =

Tehát a22 = 13 . 1651. Mivel d =

13 7 - = 2 , így keressük azt az n természetes számot, amelyre: 3 3

79 7 = + ( n - 1) ◊ 2 3 3 n = 13

Tehát a13 =

79 . 3

1652. A sorozat differenciája d = a - (a - b ) = b , így keressük azt az n természets számot, amelyre a + 20 b = a - b + (n - 1) ◊ b n = 22

Tehát a22 = a + 20 b . 1653. Legyen a1 = 7 , a8 = 35 . Ezért d =

a8 - a1 = 4 . Így a megfelelõ számtani sorozat: 7

7; 11; 14; 15; 19; 23; 27; 31; 35. 1654. Legyen a1 = 1 , a7 = 25. Ezért d =

a7 - a1 = 4 . Így a megfelelõ számtani sorozat: 6

1; 5; 9; 13; 17; 21; 25. 1655. Legyen a1 = 1 , a19 = 10 . Ezért d =

a19 - a1 1 = . Így a megfelelõ számtani sorozat: 18 2

1 1 1 1 1; 1 ; 2; 2 ; 3; 3 ; ...; 9; 9 ; 10. 2 2 2 2

283

SOROZATOK 1656. A sorozat differenciája: d =

a5 - a1 =2 4

a7 = a1 + 6 d = 15 .

1657. A sorozat differenciája: d =

a7 - a3 = -6 4

a10 = a7 + 3d = -16 .

1658. A sorozat differenciája: d =

a10 - a7 = -1 3

a3 = a7 - 4 d = 6 .

1659. Ha a második egyenletbõl kivonjuk az elsõt: a3 - a1 + a9 - a7 = 11 2 d + 2 d = 11 11 d= 4 Az elsõ egyenlet alapján a1 + a1 + 6 ◊

11 = 16 4 1 a1 = 4

1 11 A sorozat elsõ eleme a1 = - , különbsége d = . 4 4

1660. Az elsõ egyenlet alapján a2 - a5 = 3 -3d = 3 d = -1 A násodik egyenletbõl: a1 + 2 d + a1 + 3d = 11 a1 = 8

A sorozat elsõ eleme: a1 = 8, különbsége d = -1. 1 1661. Mivel a7 - a2 = 1, azaz 5d = 1, ezért d = . 5 Másrészt a20 = 2 ◊ a10 1 1ˆ Ê a1 + 19 ◊ = 2 Á a1 + 9 ◊ ˜ Ë 5 5¯ 1 a1 = 5 1 2 3 A sorozat elsõ három eleme: ; ; . 5 5 5

284

SZÁMTANI SOROZATOK 1662. Mivel a10 - a5 = 5d = 80 , ezért d = 16. Azt kell megvizsgálni, hogy létezik-e olyan n természetes szám, amelyre 180 = 100 + (n - 10 ) ◊ 16 n = 15

A sorozat 15. eleme 180. 1663. Mivel

a1 + a17 3 + 27 a +a = = 15 és 1 17 = a9 , ezért a sorozat 9. eleme 15. 2 2 2

1664. Mivel a20 - a5 = 15d = 30 , azaz d = 2. Ezért a sorozatnak nem lehet páratlan szám az eleme. 1665. Az elsõ egyenlõség alapján: a8 - a3 = 5d = 3, 75 d = 0, 75

A második egyenlõséget osztva 2-vel: a2 + a4 13 = a3 = 2 6

Így a5 = a3 + 2 d =

11 . 3

1666. A feladatnak csak olyan számtani sorozatok felelhetnek meg, amelyek különbségére igaz, hogy d £2

Legyen a sorozat elsõ eleme a1. Így 2 a1 + 3d ◊ 4 = 18 2 2 a1 + 3d = 9 9 adódna. 2 Ha d = 1, akkor a1 = 3 és a keresett szám: 3456. Ha d = -1, akkor a1 = 6 és a keresett szám: 6543. Ha d = ±2, akkor sem kapunk a1 értékére egész számot. Így a feladatnak két négyjegyû szám tesz eleget:

Ha d = 0, akkor nincs megoldás, hiszen a1 =

3456

és

6543.

1667. a3 = 50 és a10 = a8 - 10 . Használjuk fel, hogy a10 = a3 + 7d és a8 = a3 + 5d , így a második feltétel: 50 + 7d = 50 + 5d - 10 d = -5

Mivel a3 = a1 + 2 d , ezért a1 = 50 - 2 ◊ ( -5) = 60 . A sorozat elsõ eleme a1 = 60 .

285

SOROZATOK 1668. Mivel a243 - a28 = 215d = 215 , így d = 1. a1 = a28 - 27d = 28 - 27 = 1 . Az elsõ száz elem összege: S100 =

2 a1 + 99d ◊ 100 = 5050 . 2

1669. Jelöljük az elsõ három elem összegét A-val, a következõ három elemét B-vel. A feladat feltételei szerint: A = B - 30 A + B = 60

Ezt az egyenletrendszert megoldva A = 15 és B = 45 adódik. Másrészt ha a sorozat elsõ eleme a1, különbsége d: 2 a1 + 2 d ◊ 3 = 15 2 2 a1 + 5d ◊ 6 = 60 2

Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai: a1 = 1670. Használjuk az Sn = a) S15 = 330 1265 e) S20 = 12

5 10 ,d= . 3 3

2 a1 + (n - 1)d ◊ n összegképletet! 2 b) S50 = 7550 c) S6 = -45 99 f) S11 = g) S25 = 295 . 2

d) S12 = 630

1671. Mindegyik esetben számtani sorozatokról van szó. 1 + 100 2 + 100 a) S100 = ◊ 100 = 5050 b) S50 = ◊ 50 = 2550 2 2 1 + 89 c) S45 = ◊ 45 = 2025 2 1672. Mindegyik esetben számtani sorozatok összegét kell meghatározni. 100 + 999 ◊ 900 = 494 550 a) a1 = 100 a900 = 999 S900 = 2 100 + 998 b) a1 = 100 a450 = 998 S450 = ◊ 450 = 247 050 2 101 + 999 c) a1 = 101 a450 = 999 S450 = ◊ 450 = 247 500 2 1673. Legyen a1 = 12 , a30 = 99 . Meghatározandó: S30 =

12 + 99 ◊ 30 = 1665 . 2

1674. Legyen a1 = 100 , a180 = 995 . Az 5-tel osztható háromjegyû számok összege így: 100 + 995 S180 = ◊ 180 = 98 550 . 2

286

SZÁMTANI SOROZATOK 1675. A megfelelõ számok számtani sorozatot alkotnak, ahol a1 = 105 , a150 = 999 . Ezek összege: 105 + 999 S150 = ◊ 150 = 82 800 . 2 1676. A páros számok összegébõl vonjuk ki a 3-mal osztható páros (6-tal osztható) számok 2 + 98 összegét! A páros kétjegyû számok összege: S1 = ◊ 49 = 2450 . A 6-tal osztható 2 6 + 96 ◊ 16 = 816 . A keresett összeg: S = S1 - S2 = 1634 . héthegyû számok összege: S2 = 2 1677. A számok számtani sorozatot alkotnak, ahol a1 = 102 , a180 = 997 . Ezek összege: S180 =

102 + 997 ◊ 180 = 98 910 . 2

1678. Legyen a keresett elemszám n. A sorozatban a1 = 5 és d = 4. Az összegképlet alapján: 2 ◊ 5 + ( n - 1) ◊ 4 ◊ n = 10 877 . 2

Az egyenletnek két gyöke n1 = 73 és n2 = -

149 . 2

A feladatnak az n1 = 73 tesz csak eleget. 1679. A sorozatban a1 =

1 2 , d = . A keresett elemszámot jelölje n. 2 3

1 2 2 ◊ (n - 1) ◊ 2 3 ◊ n > 100 . a) Sn > 100 azaz 2 1 + 4801 1 - 4801 Az egyenlõtlenség megoldása: n < vagy n > ª 17, 07 . Ezért 4 4 legalább 18 elemre van szükség. 1 2 2 ◊ (n - 1) ◊ 2 3 ◊ n < 300 . b) Sn < 300 azaz 2 1 + 14401 1 - 14401 Az egyenlõtlenség megoldása:
Az egyenletnek két megoldása van n1 = 22 és n2 = -

45 . Tehát 22 elemet kell 2

vennünk a sorozatból!

287

SOROZATOK 1680. Alkalmazzuk a következõ összefüggéseket! d=

an - a1 n -1

Sn =

a1 + an ◊n 2

89 ; S20 = 900 19 47 1377 c) d = ; S27 = 182 14

a) d =

28 ; 5 85 d) d = ; 21

b) d =

S11 = 231 S3 =

134 7

a1 + an ◊ n összefüggéseket! 2 b) a1 = 19; S45 = 10 755 1 d) a1 = -9 ; S20 = -95 . 2

1681. Alkalmazzuk az a1 = an - (n - 1)d és az Sn = a) a1 = -38; c) a1 = 4;

S15 = -360 1 S13 = 32 2

an - a1 a +a + 1 és az Sn = 1 n ◊ n összefüggéseket! d 2 = 250 000 b) n = 16; S16 = -200

1682. Alkalmazzuk az n = a) n = 500; c) n = 200;

S500

S200 = 10 050

d) n = 25;

S25 = 275 .

1683. A polcokon levõ könyvek száma számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 35 , d = 4 és n = 8. A könyvek száma: S8 =

2 ◊ 35 + 7 ◊ 4 ◊ 8 = 392 . 2

1684. Az egyes másodpercekben megtett utak hossza számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 16 , d = 32. A 6. másodpercben megtett út: a6 = 16 + 5 ◊ 32 = 176. A 6. másodperc alatt 16 + 176 megtett út: S6 = ◊ 6 = 576 . 2 1685. Az ütések száma: 1, 2, 3, ..., 12 sorozat kétszeri ismétlõdése. Így az ütések száma: 1 + 12 ◊ 12 ◊ 2 = 156 . 2

1686. Az elõzõ feladat megoldása szerint az egész órák ütése során 156 ütés hangzik el. Egy órán belül a negyed órák ütése során 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ütés hangzik el. Ez 24 óra alatt 240 ütést jelent. Így az óra egy nap alatt 240 + 156 = 396-szor üt. 1687. A hõmérsékletek olyan számtani sorozatot alkotnak, ahol d = -0,5. Ha an ennek a sorozatnak az n-dik eleme, akkor S12 = 12, 75 12 2 ◊ a1 + 11 ◊ ( -0, 5) ◊ 12 2 = 12, 75 12

Az egyenletet megoldva: a1 = 15, 5 , azaz október elsején 15,5 ºC volt.

288

SZÁMTANI SOROZATOK 1688. A naponta megkötött sál hossza olyan számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 18 és d = 4. A szükséges napok száma legyen n. Sn =

2 ◊ 18 + (n - 1) ◊ 4 ◊ n = 200 2

Ezt n-re megoldva n1 = 2 29 - 4 ª 6, 77 és n2 = -2 29 - 4 adódik. Tehát a sál 7 nap alatt készül el. 1689. Legyen a szükséges órák száma n. Az egyes órák alatt megtett km-ek száma olyan számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 15 és d = -1. Az összegképlet alapján: 2 ◊ 15 + (n - 1) ◊ ( -1) ◊ n = 54 2

Az egyenletet megoldva n1 = 4 és n2 = 27 adódik. Ez azt jelenti, hogy 4 óra illetve 27 óra múlva lenne a kerékpáros az indulási helyétõl 54 km-re. A 27 óra esetén ez azt jelenti, hogy a mozgása során visszafordul. (A 16. órában egy órát pihen, hiszen a16 = 0.) 1690. Az egy perc alatt mérhetõ sebességváltozás km h = 30 km ª 2, 73 km . 11 11 h h

30 Dv =

1691. Az egyes sorokban található székek száma olyan számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 73 és d = 6. Mivel 27 sora van, ezért a székek száma S27 =

2 ◊ 73 + 26 ◊ 6 ◊ 27 = 4077 . 2

1692. A sebességek olyan számtani sorozatot alkotnak, ahol a5 = 3, 2 hiszen az elsõ másodperc végén már a 0, 5

m és a1 = 0,5 + d, s

m kezdõsebességet a változás megnöveli. s

Ezek szerint: a5 = a1 + 4 d 3, 2 = 0, 5 + 5d d = 0, 54 A golyó sebessége másodpercenként 0,54

m -ot változott. s

1693. A sorokban található helyek száma olyan számtani sorozat, ahol: a1 = 68 és d = 12. Mivel 22 sor van, ezért a székek száma: S22 =

2 ◊ 68 + 21 ◊ 12 ◊ 22 = 4268 2

289

SOROZATOK 1694. Jelöljük a sorok számát n-nel. Az egyes sorokban található golyók száma olyan 2 a + (n - 1)d ◊ n öszefüggést számtani sorozat, amelyre a1 = 1 és d = 1. Az Sn = 1 2 alkalmazva: 2 + n -1 ◊ n = 15 a) 2 Az egyenletet megoldva n1 = 5 és n2 = -6. Tehát a 15 golyóhoz 5 sorra van szükség. b)

2 + n -1 ◊ n = 69 2 1 + 553 1 - 553 ª 11, 26 adódik. Ez azt és n2 = 2 2 jelenti, hogy 12 sorra van szükségünk 69 golyó esetén.

Az egyenletet megoldva n1 = -

1695. Az egyes sorokban található háromszögek száma olyan számtani sorozat, ahol a1 = 1 és d = 2. Az elsõ 10 sorban található háromszögek száma: 2 ◊1 + 9 ◊ 2 ◊10 = 100. S10 = 2 1696. A sorokban található gerendák száma számtani sorozatot alkot, ahol a1 = 15 és d = -1. Összesen 15 sor keletkezik. A gerendák száma: 2 ◊15 + 14 ◊ (-1) S15 = ◊15 = 120 . 2 1697. A kivett szemek száma számtani sorozatot alkot, a1 = 1 és d = 2. Összesen 20-szor vettek a kosárból, így az összes szemek száma: 2 + 19 ◊ 20 = 210. S20 = 2 Péter által kivett szemek száma olyan számtani sorozat, ahol a1 = 1 és d = 2. Összesen: 2 + 9 ◊2 ◊10 = 100. 2 Mivel Péter 100 szemet vett ki, ezért Pálnak 210 - 100 = 110 szem jutott. S10 =

Mértani sorozatok 1698. Jelölje an a számtani, bn a mértani sorozat általános tagját.

290

a) Számtani s.: 6; 18; 30; 42; 54; ... Mértani s.: 6; 18; 54; 162; 486; ...

a20 = 234 b20 = 6 ◊ 319

b) Számtani s.: 2; 1; 0; -1; -2; ... 1 1 1 Mértani s.: 2; 1; ; ; ; ... 2 4 8

a20 = -17 1 b20 = 18 2

MÉRTANI SOROZATOK 2 1 1 1 ; ; ; ; 0; ... 3 2 3 6 2 1 3 9 27 Mértani s.: ; ; ; ; ; ... 3 2 8 32 127

c) Számtani s.:

d) Számtani s.: Mértani s.:

1699. a) 3; 9; 27; 1 1 1 c) ; ; 2 4 8

a20 = b20 =

2 ; 1; 2 - 2 ; 3 - 2 2 ; 4 - 3 2 ; ... 2 ; 1;

2 1 2 ; ; ; ... 2 2 4

q=3 1 q= 2

5 2

318 237

a20 = 19 - 18 2 b20 =

1

e 2j

18

b) 6; 18; 54 3 3 3 d) ; ; 2 4 8

=

1 29

q=3 1 q= 2

b)

1700. a)

an = 2n

c)

an = 3 ◊ 2n

d)

an = ( -2 )n an = 3 ◊

FG 1 IJ H 2K

n

291

SOROZATOK

1701. a) an =

FG IJ HK

5 1 ◊ 2 2

n -1

b) an =

3 n -1 ◊3 2

c) an =

FG IJ HK

7 2 ◊ 6 3

b g

n -1

d) an = 5 ◊ -5

1702. Használjuk fel az an = a1 ◊ qn -1 összefüggést! 1 2

a) a1 = 2

q=

b) a1 = 4

q = -3

c) a1 = 6

q=

d) a1 = 5

q= -

1703. Mivel q =

a10 = 2 ◊

FG 1 IJ H 2K

9

=

1 28

a10 = 4 ◊ (-3)9 = -78 732

FG 2 IJ = 1024 H 3 K 6561 512 F 2I = 5 ◊ G- J = H 5 K 390 625 9

2 3

a10 = 6 ◊ 2 5

9

a10

a2 = 4. Ezért a kilencedik elem: a1

a9 = a1 ◊ q8 = 2 ◊ 48 = 217 = 131 072.

FG IJ H K

1704. q =

a2 3 3 = . Felhasználva, hogy an = a1 ◊ qn -1 , an = 4 ◊ 4 a1 4

1705. q =

a2 2 = - , így a hetedik elem: a1 3

FG 2 IJ = 128 . H 3 K 243 2 ; a = e 2j ; a = e 2j

FG 3 IJ . H 4K 7

n -1

és a8 = 4 ◊

6

a7 = 6 ◊ -

1706. q =

a2 = a1

8

n -1

9

n

= 16 .

1707. Az an = a1 ◊ qn -1 összefüggést felhasználva: 1 a) a10 = 7 b) a10 = (-5) ◊ (-3)9 = 98 415 2

FG 2 IJ = - 1024 H 3 K 6561 5 F 2I 320 = 5 ◊ G- J = H K 3 8 2187 9

c) a10 = 6 ◊ -

d) a10 = 1200 ◊ (0,1)9 = 1,2 ◊ 10-6

9

e) a10

1708. a) a7 = a1 ◊ q6 = 12 288 b) A két sorozat egyenlõ, hiszen a1 ◊ a7 = a1 ◊ a1 ◊ q6 = a12 ◊ q6 a2 ◊ a6 = a1 ◊ q ◊ a1 ◊ q5 = a12 ◊ q6

292

f) a10 = 2 ◊

e 2 j ª 45, 25 9

n -1

MÉRTANI SOROZATOK a3 =2 q2 b) A két sorozat egyenlõ, hiszen a1 ◊ a9 = a1 ◊ a1 ◊ q8 = a12 ◊ q8

1709. a) a1 =

a5 ◊ a5 = a1 ◊ q4 ◊ a1 ◊ q4 = a12 ◊ q8 1710. Haználjuk fel, hogy a mértani sorozatok esetében igaz, hogy an2 = an -1 ◊ an +1 . A feladatok esetében a2 = a1 ◊ a3 vagy a2 = - a1 ◊ a3 is megoldás lehet. a) a2 = ±6 f) a2 = ±

b) a2 = ±12

c) a2 = ±9

d) a2 = ±15

e) a2 = ± 3 2

5 . 4

1711. Haználjuk fel az a1 =

an összefüggést! qn -1 a b) a1 = 87 = 3 q

a8 1 = q7 64 a 8 d) a1 = 65 = ª 0, 296 27 q a 1712.Használjuk a qn -1 = n összefüggést! a1

a) a1 =

a) q 4 =

a5 fi q = ±2 a1

d) q3 =

a4 1 fi q = 3 a1 5

b) q2 =

c) a1 =

a3 3 fi q = ± a1 5

a9 = 2916 q8

c) q5 =

a6 1 fi q = a1 2

1713. a32 = a2 ◊ a4 alapján a3 = ±18. 1714. a82 = a7 ◊ a9 alapján a8 = ±9. 1715. a62 = a5 ◊ a7 alapján a6 = ± 3 2 . 1716. A mértani sorozat hányadosa q = 3. Az Sn = a1 ◊ S7 = 2 ◊

1717. Sn = a1 ◊

qn - 1 összegképlet alapján: q -1

36 - 1 = 728 . 3 -1

qn - 1 képletet alkalmazva: q -1

S10

FG 1 IJ H 2K = 1◊

10

-1

1 -1 2

=

1023 ª 1, 998 512

293

SOROZATOK 1 1718. Mivel q = - , ezért 3

S10

FG - 1 IJ 1 H 3K = ◊

10

-1 =

1 - -1 3

3

e 2 j - 1 = 14 = 2◊

14 762 ª 0, 25 59 049

7

1719. S7

1720. S10

2 + 30 ª 49, 799

2 -1

FG 2 IJ 7 H 3K = ◊

10

-1

2 -1 3

6

=

406 175 ª 3, 439 118 098

1721. Mivel a3 = a1 ◊ q2, ezért q2 = 4 fi q1 = 2 vagy q2 = -2 Az elsõ húsz elem összege: 1 220 - 1 1 048 575 =, vagy S20 = - ◊ 2 2 -1 2

1 (-2 )20 - 1 349 525 ' S20 =- ◊ =2 (-2 ) - 1 2

1722. Felhasználva, hogy a3 = a1 ◊ q2 3 3 vagy q2 = . 3 3 Az elsõ tíz elem összege:

q1 =

S10

F 3I G J 2 H 3 K = ◊

' S10

F- 3 I G J 2 H 3 K = ◊

3

3

10

-1 =

3 -1 3

-

242 3 242 + ª 1, 571, vagy 729 243

10

-1

3 -1 3

=-

1723. Felhasználva, hogy a6 = a1 ◊ q5 q=

294

1 2

242 3 242 + ª 0, 421 . 729 243

MÉRTANI SOROZATOK Az elsõ hat elem összege:

FG 1 IJ H 2K = 160 ◊

S6

6

-1

1724. Felhasználva az Sn = a1 ◊

a) S5

= 315 .

1 -1 2

FG 1 IJ H 2K = 8◊

qn - 1 összefüggést: q -1

5

-1

1 -1 2

=

31 = 15, 5 2

b) S7 = 2 ◊

( -3)7 - 1 c) S7 = ( -4 ) ◊ = -37 - 1 = -2188 -3 - 1

1725. A qn -1 =

d) S5

37 - 1 7 = 3 - 1 = 2186 3 -1

FG 3 IJ H 4K = 12 ◊

5

-1

3 -1 4

=

2343 64

an qn - 1 és az Sn = a1 ◊ összefüggések alapján: q -1 a1

37 - 1 ( -3)7 - 1 = 2186 , vagy q = -3 és S7 = 2 ◊ = 1094 . 3 -1 -3 - 1 1 44 - 1 1 ( -4 )4 - 1 b) q = 4 S4 = 1 ◊ = 127 c) q = -4 S4 = -1, 5 ◊ = 76, 5 . 2 4 -1 2 -4 - 1

a) q = 3 és S7 = 2 ◊

1 . Az a3 = a1 ◊ q2 2 2 vagy q2 = - 2 . Az elsõ 10 elem összege:

1726. A sorozat a1 elemére teljesül, hogy a1 ◊ a5 = a32 , ezért a1 = összefüggés alapján q1 =

e 2j

10

1 S10 = ◊ 2

-1

2 -1

e j

j ª 37, 420

2 +1 2

e

10

' S10

e

31 =

j

1 - 2 - 1 31 1 - 2 = ◊ = ª -6, 420 2 - 2 -1 2

1727. Az an = a1 ◊ qn -1 összefüggést felhasználva: a1(1 + q ) = 6 a1(1 + q ) ◊ q2 = 24

UV q W

2

=4

q = 2 vagy q' = -2 A sorozat elsõ eleme: a1 = 2 vagy a1’ = -1.

295

SOROZATOK 1728. Az an = a1 ◊ qn -1 összefüggés alapján:

UV W

a1(1 + q ) = 7 q2 = 9 a1(1 + q ) ◊ q2 = 63

q1 = 3 vagy q2 = -3 7 7 vagy a1’ = - . 4 2 7 310 - 1 7 ( -3)10 - 1 ' = 51 667 vagy S10 =- ◊ = -51 667 . S10 = ◊ 4 3 -1 2 -3 - 1

a1 =

1729. Az an = a1 ◊ qn -1 összefüggés alapján: a1(1 - q ) = 5 a1(1 - q ) ◊ q2 = 20

UV q W

2

=4

q1 = 2 vagy q2 = -2 a1 = -5 vagy a1’ =

5 . 3

1730. Mivel a1 + a2 + a3 = a1(1 + q + q2), ezért a1 = 6. S5 = 6 ◊

25 - 1 = 186 . 2 -1

1731. a1 ◊ a3 = a22 , ezért a2 = 4 vagy a2’ = -4. A sorozat elsõ eleme: a1 = 2 vagy a1’ = 10. A 2 sorozat hányadosa: q1 = 2 vagy q2 = - . 5 8 vagy 3 16 2 a3’ = . A sorozat elsõ eleme: a1 = -6 vagy a1’ = 3. A sorozat hányadosa: q1 = 3 3 4 vagy q2 = - . 3

1732. a1 ◊ a3 = a22 , ezért a2 = 4 vagy a2’ = -4. Ez alapján a harmadik elem a3 = -

1733. A két egyenletet összeadva a5 = 24 és a2 = 18 adódik. A sorozat hányadosa q=

3

a5 = a2

3

a 4 . AZ elsõ eleme: a1 = 2 = 18 ◊ q 3

3

3 . 4

1734. A feladat feltételei szerint: a1 + a2 + a3 = 168 és a4 + a5 + a6 = 21. A hányados és az elsõ elem segítségébel: a1(1 + q + q2) = 168 a1(1 + q + q2) ◊ q3 = 21 A két egyenletet egymással osztva q = 48; 24; 12; 6; 3.

296

1 adódik. a1 = 96. A sorozat elsõ hat eleme: 96; 2

MÉRTANI SOROZATOK 1735. Az an = a1 ◊ qn -1 összefüggést felhasználva: a1(1 + q + q2) = 2 a1(1 + q + q2) ◊ q = 6 Az egyenleteket egymással osztva q = 3 és a1 = S4 =

2 . Az elsõ négy elem összege: 13

2 34 - 1 80 ◊ = . 13 3 - 1 13

1736. A két egyenletet átalakítva: a1(1 + q + q2) = -2 a1(1 + q + q2) ◊ q = -6 Ezeket egymással osztva q = 3 és a1 = -

2 adódik. 13

1737. Az an = a1 ◊ qn -1 összefüggés alapján: a1(1 + q2 + q4) = -9 a1(1 + q2 + q4) ◊ q = 9 Az egyenleteket egymással osztva q = -1 és a1 = -3 adódik. A sorozat elsõ három eleme: -3; 3; -3. 1738. Mivel a1 ◊ a3 = a22 , ezért a2 = 1 vagy a2’ = -1. Ha a2 = 1, akkor a4 =

1 , ha a2’ = -1, 4

9 a . Ennek megfelelõen a sorozat hányadosa q2 = 4 egyenlõség alapján 4 a2 1 9 9 q = ± . Az a2’ = -1 a4’ = nem ad megoldást, hiszen a hányadosra q2 = - adódna. 2 4 4 A sorozat elsõ három eleme:

akkor a4’ =

2; 1;

1 1 vagy -2; 1; - . 2 2

1739. Mivel a1 = 1 és a2 = 4, ezért q = 4. 47 - 1 = 5461 . 4 -1 b) Az elsõ hét elemének szorzata:

a) S7 = 1 ◊

a1 ◊ a2 ◊ a3 ◊ a4 ◊ a5 ◊ a6 ◊ a7 =

a4 a4 a4 ◊ ◊ ◊ a4 ◊ a4 ◊ q ◊ a4 ◊ q2 ◊ a4 ◊ q3 = q3 q 2 q

= a47 = (a1 ◊ q3 )7 = a17 ◊ q21 = 421 .

297

SOROZATOK 1740. a1 = 1 és a2 = 3, ezért q = 3. 310 - 1 = 29 524 3 -1 b) a1 ◊ a2 ◊ ... ◊ a10 = a1 ◊ (a1 ◊ q ) ◊ ( a1 ◊ q2 ) ◊ ... ◊ ( a1 ◊ q9 ) = a110 ◊ q1+ 2 +...+9 = a110 ◊ q 45 = 345 .

a) S10 = 1 ◊

1741. A sorozat hányadosa q =

a) S10

FG 1 IJ H 2K = 1◊

1 . 2

10

-1 =

1 -1 2

210 - 1 1023 = 512 29

b) a1 ◊ a2 ◊ ... ◊ a10 = a1 ◊ (a1 ◊ q ) ◊ ( a1 ◊ q2 ) ◊ ... ◊ ( a1 ◊ q9 ) = a110 ◊ q1+ 2 +...+9 = a110 ◊ q 45 =

1 . 2 45

Vegyes feladatok 1742. A betét nagysága olyan mértani sorozatot alkot, ahol a1 = 25 000 és q =

22 61 +1= . 100 50

A tíz év múlva kapott összeg: a11 = a1 ◊ q10 ª 182 615,8 Ft. 1743. A betét összege legyen x. Mivel öt év múlva 5000 Ft kamatot kapunk, ez x-szel kifejezve:

FG H

x 1+

24 100

IJ K

5

- x = 5000

Ezt az egyenletet megoldva: x ª 2588,5 Ft betét szükséges. 1744. A 10 év múlva felvehetõ összeg:

FG H

x = 20 000 ◊ 1 +

22 100

IJ K

10

ª 146 092, 6

FG H

1745. A betét összege öt év múlva: 30 000 ◊ 1 +

FG H

30 000 ◊ 1 +

25 100

IJ ◊ FG1 - 29 IJ K H 100 K 5

25 100

IJ . Az infláció miatt a vásárlóértéke: K 5

5

= 16 518,2 Ft.

1746. Fél év, azaz hat hónap elteltével a bevétel:

FG H

x = 3,6 ◊ 106 ◊ 1 +

298

6 100

IJ K

6

ª 5,1 ◊ 106 = 5,1 milló Ft.

VEGYES FELADATOK 1747. A kiindulási összeg legyen x. 12 hónap elteltével:

FG H

x ◊ 1+

5 100

IJ K

12

= 106

Az egyenletet megoldva a kiindulási összeg nagysága x ª 556 837,4 Ft. 1748. A város lakosság 50 év múlva:

FG H

x = 600 000 ◊ 1 +

7 100

IJ K

50

ª 17 674 215.

1749. Az ország lakosság 25 év múlva:

FG H

x = 106 ◊ 1 -

2 100

IJ K

25

ª 603 465.

1750. A száz évvel ezelõtti lakosok száma legyen x.

FG H

x ◊ 1+

6 100

IJ K

100

= 2 ◊ 106

Az egyenletet megoldva a városban száz éve x ª 5894-en laktak. 1751. A teniszlabda a hatodik ütközés után x = 10 ◊ 0,756 = 1,78 m magasra emelkedik. 1752. Ha a kezdeti hõmérséklet nagysága x, akkor

FG H

x ◊ 1-

5 100

IJ K

5

= 18

Ismét x ª 23,26 ∞C adódik. 1753. A radioaktív anyag mennyisége olyan mértani sorozatot alkot, ahol q = elteltével x = 400 ◊

FG 1 IJ H 2K

1 . 8 óra 2

8

= 1,5625 mg radioaktív anyag marad.

1754. 16 méteres kút esetén. I. mester bére: 16 ◊ 500 = 8000 Ft. II. mester bére: 0,1 + 0,1 ◊ 2 + 0,1 ◊ 22 + ... + 0,1 ◊ 215 = 0,1 ◊

216 - 1 = 6553,5 Ft. 2 -1

Ebben az esetben a II. mester olcsóbban dolgozik. 20 méteres kút esetén: I. mester bére: 20 ◊ 500 = 10 000 Ft. 220 - 1 II. mester bére: 0,1 ◊ = 104 857 Ft. 2 -1 Ekkor már az I. mester sokkal olcsóbban dolgozik!

299

SOROZATOK 1755. Mivel a lónak négy lába van, a patkószögek száma: 6 ◊ 4 = 24. 224 - 1 Így a ló ára: 0,1 + 0,1 ◊ 2 + 0,1 ◊ 22 + ... + 0,1 ◊ 223 = 0,1 ◊ = 1 677 721,5 Ft. 2 -1 1 1756. A fénynyaláb erõssége olyan mértani sorozatot alkot, ahol q = . Öt üveglap után az 5 1 1 intenzitása 5 = részére csõkken. 3125 5 m 1757. A golyó sebesség az ötödik lemez után x = 800 ◊ 0,85 = 262,144 . s 1758. Legyen r1 = 10 cm az elsõ kör sugara és a1 az elsõ négyzet egy oldalának a hossza. a1 =

2 ◊ r1

r1

a1 2 = ◊ r1 2 2 A körök sugarai olyan mértani sorozatot alkotnak, ahol 2 . r1 = 10 és q1 = 2 A négyzet oldalaira

r2 =

r2

a1

a2

2 ◊ a1. 2 Ezek szintén mértani sorozatot határoznak meg, ahol

a2 =

2 ◊ r2 =

a1 =

2 ◊ 10 és q2 =

2 . 2

A negyedik négyzet egy oldala a4 = a1 ◊

F 2I GH 2 JK

3

= 5 cm, kerülete k4 = 20 cm, területe

t4 = 25 cm2. A kerületek szintén mértani sorozatot alkotnak: k1 = 40 ◊

2 és q =

2 . 2

Az elsõ négy kerület összege: 40 ◊

F 2I GH 2 JK 2 ◊

4

-1

2 -1 2

ª 144,85 cm.

A területek mértani sorozata: 1 t1 = 200 és q = . 2

FG 1 IJ H 2K Az elsõ négy terület összege: 200 ◊

4

-1

1 -1 2

300

= 375 cm2.

VEGYES FELADATOK 1759. A feltétel azt jelenti, hogy a baktériumok száma 6 óránként megkétszerezõdik. Egy hét 7 ◊ 24 = 28 ilyen periódus van, ezért a baktériumszám: alatt 6 1 ◊ 228 ª 2,684 ◊ 108. 1760. Az egyes nemzedékekben található legyek száma a következõ módon alakul: IV. I. II. III. 1500 1500 ◊ 750 1500 ◊ 7503 1500 ◊ 7502 Így a legyek száma a IV. nemzedék után S4 = 1500 ◊

750 4 - 1 ª 6,34 ◊ 1011 = 634 milliárd. 750 - 1

1761. A 20 év múlva mérhetõ faállomány térfogata:

FG H

V20 = 6800 ◊ 1 +

3 100

IJ K

20

ª 12 281,56 m3.

1762. A kiömlõ víz mennyisége 5 perc elteltével: 0, 995 - 1 ª 588,12 hl. 0, 99 - 1

S5 = 120 ◊

A tartályban maradó víz mennyisége: 9000 hl - 588,12 hl = 8411,88 hl. 1763. A gép értéke 20 év elteltével: 200 000 ◊ 0,9320 ª 46 847,8 Ft. 1764. A hírrõl értesülõk száma az idõ függvényében: 0h 1

1 h 2 2

1h 4

1

1 h 2 8

2h

...

16

12 h 224

Olyan mértani sorozat adódik, ahol a1 = 1, q = 2. 12 óra elteltével a hírt ismerõk száma: S = 1 + 2 + ... + 224 =

225 - 1 = 33 554 431. 2 -1

1765. A dugattyú egy mozdulata után az edényben maradt levegõ nyomása a szívás elõtti 7 nyomás része lesz. 12 mozdulat után a kialakuló nyomás nagysága: 8 p=

FG 7 IJ H 8K

12

◊ p0, ahol p0 = 105 Pa

p ª 21,15 Pa.

301

SOROZATOK 1766. A sakktáblán 64 mezõ van, így a szükséges búzaszemek száma: 264 - 1 ª 1,845 ◊ 1019. 2 -1

1 + 2 + 4 + ... + 263 =

A kért búzamennyiség tömege: 1,15 ◊ 1015 kg = 1,15 billió tonna! 1767. Jelölje az n-edik négyzet olalát an, területét tn. Mivel a1 = 1 és t1 = 1, elõször vizsgáljuk meg a2 értékét! Pitagorasz-tételét alkalmazva:

Fa I 2◊ G J H2K 2

a2 =

2

=

a2

a12

2 ◊ a1

Általában is igaz, hogy an =

a1

2 ◊ an-1

Az oldalak olyan mértani sorozatot alkotnak, ahol a1 = 1 és q = 2 . Eszerint:

e 2j

9

a10 =

◊ a1 = 16 2

2 t10 = a10 = 512.

1768. Az n-edik négyzet oldala legyen an, területe tn. Pitagorasz-tétele alapján:

FG a IJ + FG 2a IJ = a H3K H 3 K 3

n -1

2 n

n -1

5 an -1 3

an =

Az oldalak olyan mértani sorozatot alkotnak, ahol a1 = 1 és q =

5 . Az elsõ öt négyzet 3

kerületének összege:

4 ◊ (a1

F 5I GH 3 JK + ... + a ) = 4 ◊ 5

5

-1

5 -1 3

ª 12,09

A tizedik négyzet területe: t10 =

2 a10

F 5I =G H 3 JK

18

ª 0,005.

1769. Az n-edik szabályos háromszög oldala legyen an. Az egymást követõ háromszögekre igaz, hogy 1 an = ◊ an-1 2

302

VEGYES FELADATOK

A hetedik háromszögre: a7 = =

FG 1 IJ H 2K

6

◊ a1 =

1 3 . Kerülete: k = . Területe: t = 64 64

3a72 = 4

3 ª 1,06 ◊ 10-4. 16 384

1770. Az n-edik szabályos háromszög oldala legyen an, kerülete pedig kn. a1 = 1 és k1 = 3. A Pitagorasz-tétel alapján, az ábra szerint:

FG a IJ H3K n -1

2

+ an2 =

FG 2a IJ H 3 K

2

an-1 3

2 an-1 3 an

n -1

3 an -1 . 3 A hetedik háromszög esetén: an =

F 3I a = 1 GH 3 JK 27 6

a7 =

1

3 1 = . 27 9 A keresett százalék: k7 1 = ª 11,11 % . k1 9 k7 =

1771. Jelöljük az n-edik körgyûrû területét tn-nel. tn = (n + 1)2 ◊ p - n2 ◊ p = (2n + 1) ◊ p A körgyûrûk területei számtani sorozatot határoznak meg. t10 = 21 ◊ p ª 65,97. 1772. A fa ágainak száma a következõk szerint alakul

5 éves (8 ág)

6 éves (13 ág)

7 éves (21 ág)

Ha az ágak számát az n-edik évben an jelöli, akkor észrevehetõ, hogy an = an-1 + an-2. (Fibonacci-sorozat) Így a 8 = 13 + 21 = 34 ága lesz a fának 8 éves korában.

303

SOROZATOK 1773. Az egyes pontokba írva, hogy oda hányféle módon érkezhetünk, az adódik, hogy a csúcsra 8 féle úton juthatunk.

1774. Írjuk az egyes pontokba, hogy hányféle módon érkezhetünk oda!

1775. Az egyes mezõkre írjuk, hogy hányféle módon érhetjük el. a) A jobb felsõ sarokba 3432 úton 1 8 36 120 330 792 1716 3432 juthatunk el. 1 1 1 1 1 1

7 6 5 4 3 2 1

28 21 15 10 6 3 1

84 56 35 20 10 4 1

210 462 126 252 70 126 35 56 15 21 5 6 1 1

924 462 210 84 28 7 1

1716 792 330 120 36 8 1

b) Hasonlóan kitöltve a táblázatot adódik, hogy a lehetséges útvonalak száma: 48 639. 1776. Ha a sorozat differenciája d, akkor az elsõ egyenlõség: a2 - d + a2 + a2 + d = -12, azaz a2 = -4 A második egyenlõség alapján: (-4 - d) ◊ (-4) ◊ (-4 + d) = 80 Ezt megoldva d1 = 6 vagy d2 = -6. A sorozat elsõ három eleme: -10; -4; 2 vagy 2; -4; -10. 1777. Fejezzük ki az egyes elemeket a10 és a sorozat d differenciájának segítségével: a10 - 6d + a10 - 2d + a10 + 2d + a10 + 6d = 224 a10 = 56 Az elsõ tizenkilenc elem összege: S19 = a1 + a2 + ... + a10 + ... + a19 = a10 - 9d + a10 - 8d + ... + a10 + ... + + a10 + 9d = 19 ◊ a10 = 1064.

304

VEGYES FELADATOK 1778. Ha az áru eredeti ára x forint, akkor az egyes árcsökkenések hatására az ára: x ◊ 0,9 ◊ 0,95 = x ◊ 0,855 Ez azt jelenti, hogy az eredeti ár 14,5 %-kal csökkent. 1779. Minden kiöntés esetén a kiömlõ alkohol mennyisége arányos az edényben levõ alkohol 1 19 mennyiségével, ennek része, így az edényben minden esetben rész marad. 20 20 Mivel kezdetben 20 l alkohol volt, ezért a tizedik kiöntés után: 20 ◊

FG 19 IJ H 20 K

10

l ª 11,97 l alkohol marad.

1780. Legyen a pontok száma n. Ha ezeket úgy vesszük fel a körvonalon, hogy ezeket összekötve a kör belsejének bármelyik pontjában legfeljebb két összekötõ szakasz messe egymást, akkor az egyes esetekben a következõ részek száma az alábbi módon alakul: n a pontok száma 1 2 3 4 5

r a részek száma 1 2 4 8 16

Ezek után megfogalmazható egy sejtés, amely megadja a részek számát az n függvényében. Arra gondolhatunk, hogy r = 2n-1. Látható, hogy a képlet n £ 5 esetén helyesen adja meg a részek számát. Ha megvizsgáljuk az n = 6 esetet, akkor azt várjuk, hogy 25 = 32 rész keletkezik. Ez azonban nincs így! n = 6 esetben a kör részeinek száma csak 31. A feladat jó példát adhat arra, hogy soha nem szabad elhamarkodottan általánosítani. 10 pont felvétele esetén legfeljebb 256 síkidom keletkezhet. Ez egy megfelelõ ábra elkészítése esetén még összeszámlálható. 1781. Jelöljük az illeszthetõ egyenesek számát e-vel. A pontokat megfelelõ helyzetben a síkon felvéve, a következõ táblázat nyerhetõ: n 4 5 6

e 6 10 15

Mivel bármelyik pont n - 1 másik ponttal határoz meg egy egyenest, így ha pontonként összeszámoljuk és figyelembe vesszük, hogy egy egyenest két pont esetén számolunk, akkor n pont esetén az egyenesek száma: e=

n(n - 1) . 2

305

SOROZATOK 1782. Az egyenesek akkor adnak legtöbb metszéspontot, ha nincsenek közöttük párhuzamosak és bármely metszéspontot át csak két egyenes halad át. Ilyen feltételek esetén a következõ táblázatot kapjuk. (n az egyeneses, p a pontok száma.) n 2 3 4 5

p 1 3 6 10

Mivel bármelyik egyenes n - 1 egyenssel ad metszéspontot, és bármelyik metszéspont pontosan két egyenes metszéspontjaként jön létre, ezért az általános formula a következõ lesz: p=

n( n - 1) . 2

Ezért az egyenes legfeljebb

306

n( n -1) metszéspontot határoz meg a síkon. 2

OSZTHATÓSÁG Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 4: 4 8 12 16 20 24 5: 5 10 15 20 25 30 6: 6 12 18 24 30 36

21 28 35 42

24 32 40 48

27 36 45 54

30 40 50 60

1784. ¥: a 3 többszörösei {: a 6 többszörösei

1785. ¥: a 3 többszörösei {: a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

1786. ¥: a 2 többszörösei {: az 5 többszörösei ƒ: a 10 többszörösei

1787. ¥: a 2 többszörösei {: az 3 többszörösei ƒ: a 6 többszörösei

1788. ¥: a 12 többszörösei ƒ: a 12 azon többszörösei, amelyek 8-nak is többszörösei

1789. A többszörösöket gyûjtsük táblázatba: a) 2 többszörösei: 2 4 6 3 többszörösei: 3 6 9 2 és 3 közös többszörösei: 6 12 18 b) 2 többszörösei: 2 4 6 5 többszörösei: 5 10 15 2 és 5 közös többszörösei: 10 20 30 c) 3 többszörösei: 3 6 9 4 többszörösei: 4 8 12 3 és 4 közös többszörösei: 12 24 36

8 12

10 15

12 18

14 21

16 24

18 27

20 30

24 8 20

30 10 25

36 12 30

42 14 35

48 16 40

54 18 45

60 20 50

40 12 16

50 15 20

60 18 24

70 21 28

80 24 32

90 100 27 30 36 40

48

60

72

84

96 108 120

307

OSZTHATÓSÁG d) 3 többszörösei: 6 többszörösei: 3 és 6 közös többszörösei: e) 10 többszörösei: 12 többszörösei: 10 és 12 közös többszörösei: f) 12 többszörösei: 15 többszörösei: 12 és 15 közös többszörösei: g) 14 többszörösei: 21 többszörösei: 14 és 21 közös többszörösei: h) 28 többszörösei: 36 többszörösei: 28 és 36 közös többszörösei: 1790 a) c) e) g)

30 30 24 38

6 12

9 18

12 24

15 30

18 36

21 42

24 48

6 10 12

12 20 24

18 30 36

24 40 48

30 50 60

36 60 72

42 70 84

48 54 60 80 90 100 96 108 120

27 54

30 60

60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 21 42 63 84 105 126 147 168 189 210 42 28 36

84 126 168 210 252 294 336 378 420 56 84 112 140 168 196 224 252 280 72 108 144 180 216 252 288 324 360

252 504 756 1008 1260 1512 1764 2016 2268 2520

60 90 120 150 60 90 120 150 48 72 96 120 76 114 152 190

1791. a) 2 többszörösei: 3 többszörösei: 6 többszörösei: 2 és 3 közös többszörösei: 2 és 6 közös többszörösei: 3 és 6 közös többszörösei: 2, 3 és 6 közös többszörösei: b) 4 többszörösei: 6 többszörösei: 9 többszörösei: 4 és 6 közös többszörösei: 4 és 9 közös többszörösei: 6 és 9 közös többszörösei: 4, 6 és 9 közös többszörösei:

308

3 6

b) 18 36 54 72 90 d) 20 40 60 80 100 f) 7 14 21 28 35 h) 180 360 540 720 900

2 3 6

4 6 12

6 9 18

8 12 24

10 15 30

6

12

18

24

30

6

12

18

24

30

6

12

18

24

30

6 4 6 9

12 8 12 18

18 12 18 27

24 16 24 36

30 20 30 45

12

24

36

48

60

36

72 108 144 180

18

36

36

72 108 144 180

54

72

90

OSZTÓK ÉS TÖBBSZÖRÖSÖK c) 4 többszörösei: 7 többszörösei: 12 többszörösei: 4 és 7 közös többszörösei: 4 és 12 közös többszörösei: 7 és 12 közös többszörösei: 4, 7 és 12 közös többszörösei:

4 7 12

8 14 24

12 21 36

16 28 48

28

56

84 112 140

12

24

36

48

20 35 60

60

84 168 252 336 420 84 168 252 336 420

d) 10 többszörösei: 10 20 30 40 50 15 többszörösei: 15 30 45 60 75 20 többszörösei: 20 40 60 80 100 10 és 15 közös többszörösei: 30 60 90 120 150 10 és 20 közös többszörösei: 20 40 60 80 100 15 és 20 közös többszörösei: 60 120 180 240 300 10, 15 és 20 közös többszörösei: 60 120 180 240 300 e) 10 többszörösei: 10 20 30 40 12 többszörösei: 12 24 36 48 15 többszörösei: 15 30 45 60 10 és 12 közös többszörösei: 60 120 180 240 10 és 15 közös többszörösei: 30 60 90 120 12 és 15 közös többszörösei: 60 120 180 240 10, 12 és 15 közös többszörösei: 60 120 180 240 f) 2 többszörösei: 10 többszörösei: 12 többszörösei: 2 és 10 közös többszörösei: 2 és 12 közös többszörösei: 10 és 12 közös többszörösei: 2, 10 és 12 közös többszörösei:

50 60 75 300 150 300 300

2 10 12

4 20 24

6 30 36

8 40 48

10 50 60

10

20

30

40

50

12

24

36

48

60

60 120 180 240 300 60 120 180 240 300

309

OSZTHATÓSÁG g) 6 többszörösei: 6 8 többszörösei: 8 10 többszörösei: 10 6 és 8 közös többszörösei: 24 6 és10 közös többszörösei: 30 8 és 10 közös többszörösei: 40 6, 8 és 10 közös többszörösei: 120 h) 10 többszörösei: 10 15 többszörösei: 15 18 többszörösei: 18 10 és 15 közös többszörösei: 30 10 és 18 közös többszörösei: 90 15 és 18 közös többszörösei: 90 10, 15 és 18 közös többszörösei: 90

12 16 20

18 24 30

24 32 40

30 40 50

48

72

96 120

60

90 120 150

80 120 160 200 240 360 480 600 20 30 40 50 30 45 60 75 36 54 72 90 60

90 120 150

180 270 360 450 180 270 360 450 180 270 360 450

1792. A két egymást követõ többszörös különbségébõl következtethetünk a keresett számra. a) 3 b) 7 c) 13 d) 14 1793. Mindegyik esetben triviális megoldás az 1. Az ettõl eltérõ megoldásokat adjuk csak meg: a) 3 b) 5 c) 2, 3, 4 vagy 12 d) 13 e) 2, 3, 4 vagy 12 f) 3, 5 vagy 15. 1794. Az ábrán egy lehetséges megoldás látható. b) a)

c)

310

d)

OSZTÓK ÉS TÖBBSZÖRÖSÖK

1795.

1796. A megadott halmazokra teljesül, hogy C Ã B Ã A.

1797. Mivel D = A I B , ezért az ábra így is felvehetõ

1784. ¥: osztók {: valódi osztók a) b) c) d)

311

OSZTHATÓSÁG e) f) 1799.

1800. a) Nincs ilyen természetes szám. c) A prímszámok (2; 3; ...). e) Nincs ilyen természetes szám.

b) 1. d) Az 1 és a prímszámok (2; 3; ...).

1801. Azokat az 1-nél nagyobb természetes számokat, amelyeknek pontosan két pozitív osztójuk van prímszámoknak nevezzük. Azokat a természetes számokat, amelyeknek kettõnél több osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. Az 1 egyik halmaznak sem eleme. 1802. A halmazokra teljesül, hogy A Ã B.

1803. A halmazokra teljesül, hogy B Ã A.

312

OSZTÓK ÉS TÖBBSZÖRÖSÖK 1804. a)

c) B Ã A

b) B Ã A

d)

1805. a)

b)

c)

d)

1806. Mivel C Ã B Ã A, ezért:

1807. C Ã ( A ∩ B )

313

OSZTHATÓSÁG 1808. C Ã B Ã A

1809.

Maradékos osztás 1810. a) Nem igaz. Példa rá a 3. b) Igaz. c) Nem igaz. A 3 nem páros d) Igaz. e) Nem igaz. A 6 páros szám. 1811. a) Igaz. Például a 6. c) Nem igaz.

b) Igaz. A 6 is ilyen szám. d) Igaz. Például a 3.

1812. a) Igaz b) Igaz c) Igaz d) Nem igaz. Például a 12 10-es maradéka és 5-ös maradéka is 2.

e) Igaz.

1813. a) Igaz. b) Igaz. c) Akkor a 2-es maradéka is 0, hiszen osztható 2-vel. d) Akkor a 2-es maradéka is 1, hiszen biztosan páratlan számról van szó. 1814. a) Ekkor a szám 10-es maradéka vagy 0 vagy 5. Attól függ, hogy 0-ra vagy 5-re végzõdik. b) A 10-es maradéka lehet: 0; 2; 4; 6 vagy 8. 1815. a) Nem igaz. vel. b) Igaz. d) Igaz. f) Igaz.

Például a 12 2-vel osztható pedig nem mindegyik számjegye osztható 2c) Nem igaz. Például a 22 sem osztható 4-gyel. e) Nem igaz. Példa rá a 12. g) Nem igaz. Példa rá a 33.

1816. a) 68-nak a 7-es maradéka 5, mert 68 = 9 ◊ 7 + 5. b) 72-nek a 15-ös maradéka 12, mert 72 = 4 ◊ 15 + 12. c) 32-nek a 8-as maradéka 0, mert 32 = 4 ◊ 8.

314

MARADÉKOS OSZTÁS d) 135-nek a 10-es maradéka 5, mert 135 = 13 ◊ 10 + 5. e) 152-nek a 100-as maradéka 52, mert 152 = 1 ◊ 100 + 52. f) 2897-nek az 1000-es maradéka 897, mert 2897 = 2 ◊ 1000 + 897. 1817. Az eredményt táblázatba foglalva: 10-es maradék 2-es maradék 5-ös maradék

237 7 1 2

135 5 1 0

2000 0 0 0

132 2 0 2

43 3 1 3

1112 2 0 2

1960 0 0 0

6-os maradék 2-es maradék 3-as maradék

27 3 1 0

38 2 0 2

93 3 1 0

112 4 0 1

321 3 1 0

716 2 0 2

1920 0 0 0

100-as maradék 4-es maradék 25-ös maradék

91 91 3 16

125 25 1 0

137 37 1 12

600 0 0 0

111 11 3 11

2555 55 3 5

10 125 25 1 0

3-as maradék 9-es maradék

137 2 2

106 1 7

240 0 6

503 2 8

211 1 4

1992 0 3

2000 2 2

1818.

1819.

1820.

1821. 3-as maradék 9-es maradék

86 937 0 6

111 118 1 4

10 000 000 1 1

199 219 921 992 0 0

1822. 3-as maradéka 0: 1992; 997 122. 1: 13; 1111; 367; 100 00. 2: 812. 1823. a) 1000 ◊ 3 = 3000

b) 99 ◊ 3 + 1 = 298

c) 199 ◊ 3 + 2 = 599

1824. A sorozatot a következõ szabály adja meg. an = (n - 1) ◊ 5 + 2 Az elsõ három eleme a sorozatnak: 2; 7; 12. a) 99 ◊ 5 + 2 = 497 b) 322 a 65. helyen áll, mert 64 ◊ 5 + 2 = 322. 1825. A sorozat szabálya: an = (n - 1) ◊ 7 + 3. a) A kétszázadik eleme: 199 ◊ 7 + 3 = 1396. b) Az 1354 a 194. helyen áll, mert 193 ◊ 7 + 3 = 1354. 1826. A sorozatot két sorozat „összefésülése” adja meg: an = 3n; bn = 3 ◊ (n - 1) + 2. Az elsõ néhány elem: 2; 3; 5; 6; 8; 9; ...

315

OSZTHATÓSÁG a) A századik szám: 150.

b) Az 572 a 381. elem lesz.

1827. A sorozatot az an = 4 ◊ (n - 1) + 3 és a bn = 4n sorozatok „összefésülése” határozza meg. a) Az ezredik helyen a 2000 áll. b) Az 1000 a 250. eleme lesz a sorozatnak. 1828. a) Adhat maradékul: 1-et, 4-et vagy 7-et.

b) A maradék csak 1 lehet.

1829. a) A maradék lehet 2; 5; 8 vagy 11.

b) A maradék csak 2 lehet.

1830. a) A maradék szintén 1 lesz.

b) A maradék lehet 1 vagy 6.

1831. a) Mivel a 120 osztható 6-tal így több felbontás is elképzelhetõ. Például: 6 + 114 = 12 + 108 = 18 + 102 = 120 b) Ilyen felbontás nem létezik, ha az összeg egyik tagja 6-tal osztható, akkor a másik tag is az lesz. 1832. a) Ilyen felbontás nem létezik, mert a 333 nem osztható 6-tal. b) Több ilyen felbontás létezik. Például: 6 + 327 = 12 + 321 = 18 + 315 = 333. 1833. a) Mivel 520 nem osztható 12-vel, ezért ilyen felbontás nem létezik. b) Például: 12 + 508 = 24 + 496 = 36 + 484 = 520. 1834. Minden 13k + m és 13l - m alakú számpár megfelelõ. Például: 13 + 1 = 14 és 13 - 1 = 12. 1835. Minden 17k + m és 17l - m alakú számpár megfelelõ. 1836. A kérdés nyilván a lehetséges maradékokra vonatkozik. Ha a + b osztható 7-tel, akkor a lehetséges 7-es maradékok a következõk lehetnek a 7-es maradéka b 7-es maradéka

0 0

1 6

2 5

3 4

4 3

5 2

6 1

1837. Az 1836-os feladathoz hasonlóan a két szám lehetséges maradékai ha a + b osztható 8-cal: a 8-as maradéka 0 1 2 3 4 5 6 7 b 8-as maradéka 0 7 6 5 4 3 2 1 1838. A feladat szerint x = 5k + 2 y = 5l + 1. a) x + y = 5(k + l) + 3, a maradék 3. b) x ◊ y = 25kl + 5k + 10l + 2, a maradék 2. c) 2x + y = 5(2k + l + 1), a maradék 0. 1839. Legyen x = 7k + 1 és y = 7l + 2. a) x + y = 7(k + l) + 3, a maradék 3. b) x ◊ y = 7(7kl + 2k + l) + 2, a maradék 2.

316

MARADÉKOS OSZTÁS c) 2x + y = 7(k + 2l) + 5, a maradék 5. 1840. Legyen x = 9k + 2 és y = 9l + 5. a) x + y = 9(k + l) + 7, a maradék 7. b) x ◊ y = 9(9kl + 5k + 2l + 1) + 1, a maradék 1. c) 2x + 3y = 9(2k + 3l + 2) + 1, a maradék 1. 1841. Legyen x = 5k + 2 és y = 5l + 1. a) x + y = 5(k + l) + 3, a 10-es maradék 3, ha k + l páros és 8, ha k + l páratlan. b) x ◊ y = 5(5kl + k + 2l) + 2, a 10-es maradék 2, ha 5kl + k páros és 7, ha 5kl + k páratlan. c) 2x + y = 5(2k + l + 1), a 10-es maradék 0, ha l + 1 páros és 5, ha l + 1 páratlan. 1842. Mivel a 105 osztható 7-tel, ezért a lehetséges maradék az 1. Többféle felbontás is lehetséges. Például: 36 + 36 + 36 = 8 + 36 + 64 = 15 + 22 + 71 = 108. 1843. Mivel 196 = 17 ◊ 11 + 9, ezért az azonos maradék csak a 3 lehet. Néhány lehetséges felbontás: 14 + 25 + 157 = 25 + 36 + 135 = 36 + 47 + 113 = 196. 1844. Mivel 47 = 3 ◊ 13 + 8, ezért a maradékok értéke mindegyik számnál csak a 2 lehet. Néhány megoldás: 2 + 15 + 15 + 15 = 2 + 2 + 15 + 28 = 2 + 2 + 2 + 41 = 47. 1845. a) A két szám maradéka legyen azonos: x = 7k + m és y = 7l + m. x - y = 7(k - l), a különbség 7-tel osztható. Például: (14; 7) , (36; 8) b) Legyen x = 7k + m és y = 7l - m. x + y = 7(k + l) Például: (32; 10) c) Ez csak akkor lehetséges, ha mindkét szám 7-tel osztható. Például: (14; 7) 1846. a) Legyen x = 8k + m és y = 8l + m alakú. Ekkor x - y = 8(k - l). Például: (16; 8) , (35; 11) b) Legyen x = 8k + m és y = 8l - m. x + y = 8(k + l) Például: (9; 7) c) Ez két esetben teljesülhet. Ha mindkét szám 8-cal osztható, vagy mindkét szám 8-as maradéka 4. Például: (48; 8) , (52; 12) 1847. a) Legyen x = 12k + m és y = 12l + m alakú. x - y = 12(k - l). Például: (26; 14) b) Legyen x = 12k + m és y = 12l - m.

317

OSZTHATÓSÁG x + y = 12(k + l) Például: (26; 10) c) Ez két esetben teljesülhet. Ha mindkét szám osztható 12-vel, vagy mindkét szám 12es maradéka 6. Például: (72; 24) , (18; 6) 1848. a) Legyen x = 11k + m és y = 12l + m alakú. x - y = 11(k - l). Például: (12; 1) b) Legyen x = 11k + m és y = 12l - m. x + y = 11(k + l) Például: (23; 10) c) Mivel a 11 prím,ezért ez csak akkor teljesül, ha mindkét szám osztható 11-gyel. Például: (33; 23) 1849. a) Nem szerepelhet azonos maradékú szám, így legfeljebb három számot adhatunk meg. b) Végtelen sok szám megadható így. Például, ha mindegyik szám 3-as maradéka 1. c) Az a) válaszból következik, hogy legfeljebb három szám adható meg a különbség miatt. De ekkor lesz egy olyan, amelynek 3-as maradéka 1 és egy olyan, amelynek 3-as maradéka 2. Így legfeljebb két számot adhatunk meg. Például: 2; 3. 1850. Az 1849. feladat megoldása alapján: a) Kilenc számot adhatunk meg. b) Végtelen sok szám megadható. c) Öt számot tudunk megadni. Például: 5; 6; 7; 8; 9. 1851. Az 1849. feladat megoldása alapján: a) Legfeljebb hét szám adható meg. Például: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. b) Végtelen sok szám megadható. Mindegyik szám 7-es maradéka legyen 0-tól különbözõ azonos szám. c) Legfeljebb négy ilyen számot tudunk megadni. Például: 4; 5; 6; 7.

Oszthatósági szabályok 1852. a) 2; 5 vagy 8. c) Bármelyik számjegy beírható. e) Nincs ilyen számjegy.

b) 5. d) 1; 3; 5; 7 vagy 9. f) 2; 5 vagy 8.

1853. a) 0; 3; 6 vagy 9. d) 2 vagy 6.

b) 3. e) Nincs ilyen számjegy.

c) 0; 2; 4; 6 vagy 8. f) 0; 3; 6 vagy 9.

1854. a) 0; 3; 6 vagy 9. d) 3.

b) 3 vagy 9. e) 9.

c) 3 vagy 7. f) Nincs ilyen szám.

318

OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK 1855. a) 1 vagy 7. d) 4.

b) 1. e) 1; 5 vagy 9.

c) Nincs ilyen számjegy. f) Nincs ilyen számjegy.

1856. a) A « és a ª helyére bármilyen számjegy behelyettesíthetõ. Ez összesen 100 megoldáspárt eredményez. b) Nincs ilyen számpár, hiszen az utolsó két számjegy alkotta szám nem osztható 4gyel. c) A « helyére bármilyen számjegy írható, míg a ª-re nem található megoldás. d) és e) megoldásai megegyeznek, hiszen a vizsgált szám biztosan páros. A lehetséges számpárok: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 « ª 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f) « ª 1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 1857. a) Bármilyen számjegypár behelyettesíthetõ. b) Bármilyen számjegypár behelyettesíthetõ. c) 0; 4 vagy 8 a ª helyére. « bármilyen értéket felvehet. d) és e) megoldásai: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 « ª 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 f) « 0 4 8 ª 1858. a) b) c) d) e) f) 1859. a) b) c) d) e) f)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 « ª 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 0; 3; 6; 9 2; 5; 8 1; 4; 7 « 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ª 1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 Bármilyen számpár megoldás lesz. Ugyanaz a megoldás mint az a) esetben. « helyére bármi írható. A ª lehetséges értékei: 2 vagy 7. Ugyanaz a megoldás mint a b) esetben.

A 2-ek száma 3-mal osztható kell, hogy legyen. Például: 222; 222 222. Nincs ilyen szám, hiszen a 22 nem sztható 4-gyel. Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban. A 2-ek száma 9-cel osztható kell legyen. Például: 222 222 222. Ha jegyek száma páros, akkor a szám osztható lesz 11-gyel. Például: 22; 2222. Ugyanaz a megoldás mint a d) pontban.

1860. a) A számjegyek száma legyen 3-mal osztható. Például: 444; 444 444. b) Mivel a 44 4-gyel osztható, így minden 4-es számjegyekbõl felírt szám megfelelõ. Például: 4; 44; 444. c) Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban. d) Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban.

319

OSZTHATÓSÁG e) Legyen a számjegyek száma 9-cel osztható. Például: 444 444. f) Ugyanaz a megoldás mint az e) pontban. 1861. a) b) c) d) e) f)

A jegyek száma legyen 3-mal osztható. Például: 555; 555 555. A jegyek száma bármennyi lehet: Például: 5; 55. A jegyek száma legyen 9-cel osztható. Ugyanaz a megoldás mint az a) pontban. Ugyanaz a megoldás mint a c) pontban. Nincs ilyen szám, hiszen a 25-tel osztható számok nem végõdhetnek 55-re.

Közös többszörös, közös osztó 1862. a) 22 ◊ 7 ◊ 17 e) 23 ◊ 3 ◊ 7 ◊ 13

b) 32 ◊ 72

c) 24 ◊ 5 ◊ 23

d) 23 ◊ 3 ◊ 83

f) 23 ◊ 52 ◊ 17

g) 32 ◊ 53 ◊ 7

h) 25 ◊ 33 ◊ 52

1863. a) 1; 2; 3; 2 ◊ 3 b) 1; 2; 22; 23 c) 1; 2; 22; 3; 3 ◊ 2; 3 ◊ 22 d) 1; 2; 22; 3; 32; 2 ◊ 3; 2 ◊ 32; 22 ◊ 3; 22 ◊ 32 e) 1; 2; 22; 23; 2 ◊ 7; 22 ◊ 7; 23 ◊ 7; 7 f) 1; 2; 22; 23; 24; 5; 2 ◊ 5; 22 ◊ 5; 23 ◊ 5; 24 ◊ 5; 52; 2 ◊ 52; 22 ◊ 52; 23 ◊ 52; 24 ◊ 52 g) 1; 2; 22; 23; 3; 2 ◊ 3; 22 ◊ 3; 23 ◊ 3; 32; 2 ◊ 32; 22 ◊ 32; 23 ◊ 32; 33; 2 ◊ 33; 22 ◊ 33; 23 ◊ 33 h) 1; 2; 2 ◊ 3; 32; 2 ◊ 32; 5; 2 ◊ 5; 52; 2 ◊ 52; 3 ◊ 5; 2 ◊ 3 ◊ 5; 32 ◊ 5; 2 ◊ 32 ◊ 5; 32 ◊ 52; 2 ◊ 3 2 ◊ 5 2; 3 ◊ 5 2; 2 ◊ 3 ◊ 5 2 1864. a) 348 = 22 ◊ 3 ◊ 29 Osztói: 1; 2; 22; 3; 2 ◊ 3; 22 ◊ 3; 29; 2 ◊ 29; 22 ◊ 29; 3 ◊ 29; 2 ◊ 3 ◊ 29; 22 ◊ 3 ◊ 29. b) 3400 = 23 ◊ 52 ◊ 17. A fentiekhez hasonlóan összesen 24 osztó adható meg. c) 4550 = 2 ◊ 52 ◊ 7 ◊ 13. Az osztók száma 24. d) 392 = 23 ◊ 72. Az osztók száma 12 lesz. e) 2000 = 24 ◊ 53. Az osztók száma 20. f) 1568 = 25 ◊ 72. Az osztók száma 18. 1865. a) b) c) d) e) f)

(12; 18) = 6. A közös osztók: 1; 2; 3; 6. (25; 25) = 25. A közös osztók: 1; 5; 25. (9; 12) = 3. A közös osztók: 1; 3. (108; 90) = 18. A közös osztók: 1; 2; 3; 6; 9; 18. (600; 126) = 6. A közös osztók: 1; 2; 3; 6. (475; 570) = 95. A közös osztók: 1; 5; 19; 95.

1866. a) [9; 12] = 36 d) [348; 476] = 41 412

320

b) [8; 18] = 72 e) [475; 570] = 2850

c) [15; 25] = 75 f) [625; 1024] = 640 000

KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, KÖZÖS OSZTÓ 1867. (60; 84; 90) = 6. 1868. (210; 300; 165) = 15. 1869. A számláló és a nevezõ legnagyobb közös osztójával tudunk egyszerûsíteni. Így a következõ törtek adódnak: 36 3 128 1 101 101 567 7 629 37 = = = = = b) c) d) e) a) 96 8 512 4 211 211 1053 13 799 47 754 58 = f) . 221 17 1870. A nevezõk legkisebb közös többszöröse adja közös nevezõt. Az összeadás után a törtet ahol lehetett még egyszerûsíthetjük is. Az egyes esetekben kapott eredmények: 19 61 19 8 36 5 b) c) d) e) f) . a) 10 353 112 450 1260 539 209 1871. Megfigyelhetõ, hogy mindegyik a és b számpárra teljesül, hogy a ◊ b = (a; b) ◊ [a; b]. A kapott számokat a kérdésben megadott sorrendben adtuk meg. a) 2 ◊ 3 = 6; (2; 3) = 1; [2; 3] = 6; (2; 3) ◊ [2; 3] = 6. b) 448; 4; 112; 448 c) 48; 2; 24; 48 d) 48; 2; 60; 120 e) 300; 5; 60; 300 f) 6750; 15; 450; 6750. 1872. a) [840; 1800] = 12 600; (840; 1800) = 120 b) 9095; 107 c) 42 427; 551 d) 29 580; 2465 1873. (60; 72; 108; 396) = 12. 1874. [60; 72; 108; 396] = 11 880. 1875. a) x = 528 b) x = 720 c) Mivel 6 = 2 ◊ 3 és 60 = 22 ◊ 3 ◊ 5 ezért az x lehetséges értékei: 22 ◊ 5; 22 ◊ 3 ◊ 5. d) 16 = 24 és 48 = 24 ◊ 3, ezért a lehetséges megoldások: 3; 2 ◊ 3; 22 ◊ 3; 23 ◊ 3 és 24 ◊ 3. e) 4 = 22 és 36 = 22 ◊ 32, ezért a lehetséges megoldások: 32; 2 ◊ 32; 22 ◊ 32. f) Minden olyan természetes szám megoldás lesz, amelyik a 32-nek osztója: 1; 2; 4; 8; 16; 32. 1876. a) c) d) e) f)

x = 10 b) x = 15 x = 12k alakú szám, ahol a k nem osztható sem 2-vel sem 3-mal. x olyan természetes szám, amelyik sem 3-mal sem 5-tel nem osztható. x = 6k alakú szám, ahol a k sem 2-vel sem 3-mal nem osztható. x = 11k alakú szám, ahol a k nem osztható 11-gyel.

1877. AZ 1871. feladat alapján megfogalmazható, és igazolható, hogy a, b természetes számok esetén igaz, hogy a ◊ b = (a; b) ◊ [a; b]. Így a keresett értékek: a) 300 b) 144 c) 144 d) 1792 1878. A szorzat végén álló nullák száma attól függ, hogy szorzatban hányszor szerepel az 5-ös prímtényezõ. Ezek száma biztosan nem több mint az elõforduló 2-es prímtényezõk

321

OSZTHATÓSÁG száma. Így mindegyik 5-ös tényezõhöz kapcsolhatunk egy 2-es tényezõt, amelyek szorzata 10-et ad. a) 10! = 1 ◊ 2 ◊ ... ◊ 10 = 28 ◊ 34 ◊ 52 ◊ 7 = 3 628 800 Két nulla szerepel a szorzat végén. b) 25! = 1 ◊ 2 ◊ ... ◊ 25 = 222 ◊ 310 ◊ 56 ◊ 73 ◊ 112 ◊ 13 ◊ 17 ◊ 19 ◊ 23 Hat nulla szerepel a szorzat végén. c) A 100!-ban szereplõ 5-ös prímtényezõk száma 24. Ugyanis 20 5-tel osztható szám van, de ezek között szerepel 4 olyan, amelyik 52-tel is osztható. A szorzat végén álló nullák száma tehát 24. 1879. A szorzat biztosan osztható lesz 6-tal, hiszen lesz a számok között legalább egy páros, és legalább egy 3-mal osztható. 1880. Legyen a két természetes szám x és y. Mivel (x; y) = 24, ezért mindkét szám felírható x = 24k és y = 24l alakban, ahol (k; l) = 1. Mivel 24 k + 24l = 72 k +l =3 Így a megoldások k =1 l = 2 vagy k = 2 l =1 x1 = 24 y1 = 24 vagy x2 = 48 y2 = 24 1881. Az 1880. feladat gondolatmenetét alkalmazva: x1 = 36 y1 = 144 x2 = 72 y2 = 108 x3 = 108 y3 = 72 x4 = 144 y4 = 36 1882. Az 1880. feladat gondolatmenetét alkalmazva: x1 = 147 y1 = 1176 x2 = 294 y2 = 1029 x3 = 588 y3 = 735 x4 = 735 y4 = 588 x5 = 1029 y5 = 294 x6 = 1176 y6 = 147 1883. Legyen x = 5k és y = 5l, ahol (k; l) = 1. A feltételek szerint: xy = 75 25kl = 75 kl = 3 Így k1 = 1 l1 = 3 és k2 = 3 l2 = 1. A feladat megoldásai: x1 = 5 y1 = 15 és x2 = 15 y2 = 5. 1884. Mivel 180 = 22 ◊ 32 ◊ 5, ezért hogy a feltételek teljesülhessenek legalább az egyik szám tartalmazza a 22, 32 és az 5 tényezõket. Így a lehetséges x és y megoldások: x 1 5 y 22 ◊ 32 ◊ 5 22 ◊ 32

22 5 ◊ 32

32 22 ◊ 5 32 ◊ 5 22 ◊ 32 22 ◊ 5 32 22 5

1885. Legyen x = 5k és y = 5l, ahol (k; l) = 1. x 2 - y2 = 25k 2 - 25l 2 = 75 k 2 - l2 = 3 ( k - l )( k + l ) = 3

322

1 22 ◊ 32 ◊ 5

KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, KÖZÖS OSZTÓ Így adódik, hogy k - l = 1 és k + l = 3. k=2 l=1 A feladat megoldása x = 10 és y = 5. 1886. Az 1885. feladat alapján adódik, hogy x = 18 és y = 12. 1887. Meg kell hatátozni a visszatérésekhez szükséges idõk legkisebb közös többszörösét. [4; 8; 12; 16] = 48 Ez kisebb mint 52, ezért még ebben az évben 48 hét múlva találkoznak. 1888. Meg kell határozni a darabszámok legnagyobb közös osztóját. (48; 72; 100) = 4. Legfeljebb 4-en lehettek a csoportban. (Megoldás lenne még az 1 és a 2, de egyik létszám esetén sem beszélhetnénk csapatról.) 1889. Mivel [12; 15] = 60. Ezért pontosan egy óra múlva indul egyszerre a két busz. 1890. Mivel [35; 20] = 140, ezért a pedállal rendelkezõ fogaskereket négyszer kell körbeforgatni. 1891. Mivel [62; 64] = 1984, és a gyõztes ideje 2646 másodperc, ezért még egyszer találkoznak, azaz a gyorsabb lekörözi a másikat. 1892. A találkozások [15; 40] = 120 méterenként ismétlõdnek.

Vegyes feladatok 1893. Nyilván a legkisebb ilyen természetes szám az 1. A rá következõ a 7 ◊ 8 + 1 = 57 lesz. 1894. A megoldás a 2. A rá következõ természetes szám, amely megfelelõ: 2 ◊ 3 ◊ 7 + 1 = 44. Minden ilyen természetes szám felírható 2 ◊ 3 ◊ 7 ◊ k + 2 alakban, ahol k természetes szám. 1895. A legkisebb ilyen szám a 3. A megfelelõ számok felírhatók 2 ◊ 32 ◊ 5 ◊ 11 ◊ k + 3 alakban. Így a második sorban a 993 lesz. 1896. Olyan számot keresünk, amelyhez 1-et hozzáadva 6-tal és 7-tel is osztható lesz, azaz 6 ◊ 7 ◊ k alakú. Így a keresett szám 6 ◊ 7 ◊ k - 1 alakú lesz. Ezek közül a legkisebb a 41. 1897. Az 1896. feladat gondolatmenetét követve adódik, hogy a megoldás az 59. 1898. Az 1896. feladat alapján megoldva adódik, hogy: 1429. 1899. A feltétel azt jelenti, hogy a létszámból 3-at levonva olyan számot kapunk, amely osztható 6-tal, 7-tel, 8-cal és 10-zel. A prímtényezõket figyelembe véve 23 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7-tel. Ezek alapján a létszám: 840 + 3 = 843. 1900. a) Páros számot kapunk, hiszen van egy páros prímszám a tényezõk között, a 2.

323

OSZTHATÓSÁG b) Így 49 páratlan számot és egy páros (2) számot adunk össze. Az eredmény páratlan lesz. 1901. a) Mivel az elsõ tíz pozitív egész szám összege 55, ezért ezt két egyenlõ egész részre nem tudjuk felosztani. b) Ha egyenlõ lenne a két halmazban levõ számok szorzata, akkor a prímtényezõs felbontásuk is megegyezne. Ez viszont nem lehetséges, hiszen például a 7-es prímtényezõ csak az egyik halmaznak lehet eleme. 1902. a) Felírtunk néhány számot, amelynek 12 osztója van. Nyilván arra kell törekednünk, hogy a prímtényezõs felbontásban a lehetõ legkisebb prímek szerepeljenek! 211 = 2048; 23 ◊ 32 = 72; 25 ◊ 3 = 96; 22 ◊ 3 ◊ 5 = 60 Ezek között a legkisebb a 60. b) Csak a k10 alakú számoknak van 11 osztója. Ezek között a legkisebb a 210 = 1024. Megjegyzés: Általában igaz, hogy valamely n természetes szám pozitív osztóinak száma, ha n prímtényezõs alakja n = p1a1 ◊ p2a 2 ◊ ... ◊ prar , akkor (a1 + 1) (a2 + 1) ... (ar + 1). n+2 2 = 1 + , ezért a kifejezés csak akkor lesz egész, ha n osztója 2-nek, n n azaz n = 1 vagy 2. 2n + 2 2 = 2 + . Így a megoldás n = 1 vagy 2. b) n n 2 n + 6 2( n + 6 ) c) = = 2. Így minden pozitív egész szám megfelelõ. n+3 n+3 2 n + 6 2 n - 6 + 12 12 d) = =a+ . Ez akkor egész, ha n - 3 = 1; 2; 3; 4; 6; 12. Így n-3 n -3 n-3 n = 4; 5; 6; 7; 9 vagy 15.

1903. a) Mivel

1904. Ha a maradék ugyanaz, akkor a két szám különbsége a háromjegyû számmal osztható lesz. 11 863 - 10 839 = 1024. Így az osztó lehetséges értékei: 512; 256 vagy 128. Ezekhez tartozó lehetséges maradékok 87-et adnak mindegyik esetben. 1905. Az 1904. feladat megoldása alapján adódó osztók: 597 vagy 199. A maradék mindkét esetben 7. 1906. A feltétel azt jelenti, hogy a 2529 és a 2731 ugyanazt a maradékot adja az osztás során. Az 1904. feladat megoldása alapján az osztók. 202 vagy a 101. A maradékok értéke pedig rendre 105 vagy 4. 1907. a) A 3-mal osztható számok négyzetei nyilván 0 maradékot adnak. Mivel (3k + 1)2 = 9 k 2 + 6 k + 1 = 3(3k 2 + 2 k ) + 1 (3k + 2 )2 = 9 k 2 + 12 k + 4 = 3(3k 2 + 4 k + 1) + 1,

a másik két esetben mindig 1-et kapunk maradékul. A négyzetszámok hármas maradéka 0 vagy 1. b) Az a) ponthoz hasonlóan adódik, hogy a lehetséges maradékok: 0 vagy 1.

324

VEGYES FELADATOK c) Az a) ponthoz hasonlóan adódik, hogy a lehetséges maradékok: 0; 1 vagy 4. 1908. a) Nincs. Hiszen az összeg azt jelentené, hogy a szám osztható lenne 3-mal de 9-cel nem, ha pedig egy négyzetszám osztható 3-mal, akkor 9-cel is. b) Nincs. Hiszen ez a szám 3-mal osztva 2-t adna maradékul, ami az 1907. a) feladat eredménye alapján nem lehetséges. c) Igen van. Ilyen például 81 2 = 6561. 1909. A felosztás nem végezhetõ el. Ha elvégezhetõ lenne, akkor a két szorzat prímtényezõs felbontása is megegyezne, ami nem lehetséges, hiszen egy nagyobb prímszám (például a 97) csak az egyik szorzatban szerepelhetne prímtényezõként. 1910. Nincs, mivel legalább egy páros szám szerepelne a három között. Egy páros prím létezik csak a 2, ennek tehát középen kell állnia. Az 1; 2; 3 számok között viszont az 1 nem prím. 1911. Az elsõ kérdésre a válasz nem. Például az 1, 2, 3, 4 sorozatban csak egy összetett szám szerepel a 4. Az sem igaz, hogy legfeljebb három lehet közülük összetett. Példa rá a 24, 25, 26, 27 sorozat. 1912. Jelölje az elsõ számjegyet x. Mivel a jegyek összege 3-mal osztható így 2x + 1 3-mal osztható számot ad. Ez x = 1; 4 vagy 7 esetben teljesül. A feladatra három megoldás adódik: 102; 405; 708. 1913. A három szám között biztosan lesz legalább egy páros, azaz 2-vel osztható és legalább egy 3-mal osztható szám. Ezek szorzata biztosan osztható 6-tal. 1914. A négy szám között lesz két páros és ezek között az egyik 4-gyel is osztható. Lesz legalább egy 3-mal osztható. Így a szorzat biztosan osztható 2 ◊ 4 ◊ 3 = 24-gyel. 1915. A 120 minden ilyen szorzatnak osztója lesz. Az öt szám között van legalább két páros, melyek közül az egyik 4-gyel is osztható. Van legalább egy 3-mal és legalább egy 5-tel osztható. A szorzat tehát 2 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 5 = 120-szal is osztható. 1916. Az egyik szám biztosan osztható lesz 4-gyel is. 1917. 64. A számok között van egy 2-vel egy 4-gyel és egy 8-cal osztható. 1918. Legyen a két befogó a és b. (a; b) = 1. a◊b = 84 2 ab = 168 = 23 ◊ 3 ◊ 7

A harmadik oldal a Pitagorasz-tétel alapján adódik: a 2 + b 2 = c2 A lehetséges megoldások:

325

OSZTHATÓSÁG a

1

3

7

21

8

24

56

168

b

168

5

24

8

21

7

3

1

c

28 225

3145

25

505

505

25

3145

28 225

1919. Ez a szám a 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7 ◊ 11 ◊ 13 ◊ 17 ◊ 19 = 9 699 690. 1920. Jelölje a szám egy számjegyét a. A szám aaa = a ◊ 111 = a ◊ 3 ◊ 37. Tehát szám prímtényezõs felbontásában szerepel a 37. 1921. A szám alakja abc abc = abc ◊ 1001 = abc ◊ 7 ◊ 143. Mivel a tényezõk között szerepel a 143, ezért az állítás igaz. 1922. A két számot jelölje k illetve 2k. a) k + 2k = 3k osztható 3-mal és k-val 2

2

c) 2k ◊ k = 2k osztható 2-vel és k -tel

b) 2k - k = k osztható k-val d) k2 + (2k)2 = k2 + 4k2 = 5k2 osztható 5-tel és k2-tel

1923. Olyan páros számokat kell keresni, melyek oszthatók 9-cel, azaz a számjegyek összege is osztható 9-cel. Ezek a számok: 12 222; 21 222; 22 122 és a 22 212. 1924. A számjegyek összege 9-cel osztható kell hogy legyen, valamint az utolsó két számjegybõl alkotott szám 4-gyel legyen osztható. Végtelen sok ilyen szám létezik. Az utolsó két számjegyük azonban megegyezik: 32. Ilyen számok: 2232 vagy 22 322 232. 1925. Legyen a három prím a, b és c. abc = 5(a + b + c) Az egyenlõségbõl következik, hogy az egyik prím pl. a = 5. bc = 5 + b + c Az egyenletet átrendezve: bc - b - c + 1 = 6 ( b - 1)( c - 1) = 6 Ez meghatározza a b és c lehetséges értékeit. b 2 3 4 7 c 7 4 3 2

a=5

A megoldások permutációi is megoldást adnak. 1926. Az 1925. feladat megoldása alapján adódik, hogy a = 13 b 2 3 8 15 c 15 8 3 2

és ezek permutációi. 1927. Ha a kapott számot 4-gyel szorozzuk, akkor az eredeti számot kapjuk. Írjuk fel a szorzást és végezzük el a megszokott lépéseket:

326

VEGYES FELADATOK A szorzat bármelyik jegye a szorzandóban eggyel nagyobb helyiértéken szerepel. Ezt felhasználva addig kell folytatnunk a mûveleteket, amíg nem kapunk egy 4-gyel kezdõdõ szorzatot:

A legkisebb ilyen szám tehát a 410 256. 1928. Jelölje a 6-os számjegy törlése után kapott számot A. Ekkor igaz, hogy 25 ◊ A = 6 ◊ 10n + A 24 ◊ A = 6 ◊ 10n 4 ◊ A = 10n

Keressük a legkisebb n és A értéket. A = 25 és n = 2. A megoldás 625. 1929. Az eredeti szám felírható 10n + A alakban. Az átrendezett szám 10A + 1. A feltételek szerint: 3(10n + A ) = 10 A + 1 3 ◊ 10n - 1 = 7 ◊ A Vizsgáljuk az egyenlõség bal oldalát, ez 7-tel osztható számot kell hogy adjon. Ezek a számok: 29; 299; 2999; ... Ezek között a legkisebb megfelelõ: 299 999. A keresett szám: 142 857. 1930. Legyen a két szám a és b. ab = a + b Az egyenletet átrendezve: ab - a - b + 1 = 1 (a - 1)(b - 1) = 1

A megoldások a = 0 b = 0 és a = 2 b = 2. 1931. Legyen a három szám a, b és c. (a; b) = 4 (a; c) = 6 (b; c) = 10. Végtelen sok megoldás képzelhetõ el, ezek közül a legkisebb: a = 4 ◊ 3 = 12 b = 4 ◊ 5 = 20 c = 2 ◊ 3 ◊ 5 = 30. 1932. Mivel 11 877 = 3 ◊ 37 ◊ 107, ezért a legvalószínûbb válasz a kérdésre az, hogy a kapitány 37 éves.

327

SZÁMRENDSZEREK 1933. A megadott sorrendet követve írtuk át a számokat: a) 2-es számrendszerben: 11; 1001; 1100; 10001; 10111; 100110; 1011011. b) 3-as számrendszerben: 21;110;1011; 1020; 10100; 10102; 100000. c) 6-os számrendszerben: 12; 14; 20; 23; 100; 140; 224. d) 4-es számrendszerben: 13; 20; 21; 101; 111; 303; 30002. e) 12-es számrendszerben: 11; 50; 1(10); 101; 1011; 2022. f) 7-es számrendszerben: 26; 43; 60; 100; 202; 2021; 2626. 1934. a) 1; 10; 11; 100; 101; 110; 111; 1000; 10001; 1010; 1011; 1100; 1101; 1110; 1111; 1000; 10001; 10010; 10011; 10100. b) 1; 2; 10; 11; 12; 20; 21; 22; 100; 101; 102; 110; 111; 112; 120; 121; 122; 200; 201; 202. c) 1; 2; 3; 4; 10; 11; 12; 13; 14; 20; 21; 22; 23; 24; 30; 31; 32; 33; 34; 40. d) 1; 2; 3; 4; 5; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 30; 31; 32. e) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26. f) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20; 21; 22; 23; 24. 1935. a) 61; g) 2070;

b) 52; h) 289;

c) 11; i) 1912;

d) 228; j) 200;

e) 318; k) 482;

f) 2926; l) 3334.

1936. A táblázat alsó sorában egy 5-ös számrendszerbeli szám szerepel. Ha ezt átírjuk 10-es számrendszerbe, akkor megkapjuk a darabszámot, ha 7-es számrendszerbe, akkor megkapjuk az új csoportosítás szerinti értékeket. A válaszoknál elõször a darabszám, majd a 7-es számrendszerbeli szám szerepel. b) 386; 10617 c) 136; 2537 d) 651; 16207 a) 275; 5427 1937. A válaszokban az elsõ szám a darabszám, a másodikban ennek 8-as számrendszerben felírt alakja szerepel. b) 515; 10038 c) 3404; 65148 d) 1328; 24608 a) 208; 3208 1938. Mindegyik esetben a lehetõ legkisebb a lapot vettük csak figyelembe. Természetesen ezeknél nagyobb alapok is helyesek lehetnek. b) 120113 = 139 c) 312104 = 868 d) 40135 = 508 a) 110012 = 25 e) 1506 = 66

f) 80129 = 5843.

1939. A válaszokat táblázatban megadva: Számrendszer alapja Egyjegyûek száma Kétjegyûek száma Háromjegyûek száma

328

2 1 2 4

3 2 6 18

4 3 12 48

9 8 72 648

10 9 90 900

12 11 132 1584

SZÁMRENDSZEREK Megjegyzés: Igazolható, hogy egy n-es alapú számrendszerben a k-jegyû számok száma: nk - nk-1. 1940. a) 1

b) 0

c) 0

d) 0

e) 1

c) 0

d) 1

e) 0

100012 = 17 1941. a) 1

b) 0 100102 = 18

1942. A számokat azonos számrendszerbe (pl. 10-es alapúba) átírva összehasonlíthatjuk õket. b) 445 < 2223 < 1234 < 1110112 a) 115 < 213 = 134 < 10012 c) 378 < 657 < 4145 < 32134

d) 8889 < 32718 < 2114035 < 552306

e) 881019 < 3365127 < 12345126 < 76760128 1943. a) 3210234 = 3 ◊ 45 + 2 ◊ 44 + 1 ◊ 43 + 0 ◊ 42 + 2 ◊ 41 + 3 ◊ 40 b) 101110112 = 1 ◊ 27 + 0 ◊ 26 + 1 ◊ 25 + 1 ◊ 24 + 1 ◊ 23 + 0 ◊ 22 + 1 ◊ 21 + 1 ◊ 20 c) 54112406 = 5 ◊ 66 + 4 ◊ 65 + 1 ◊ 64 + 1 ◊ 63 + 2 ◊ 62 + 4 ◊ 61 + 0 ◊ 60 d) 8760129 = 8 ◊ 95 + 7 ◊ 94 + 6 ◊ 93 + 0 ◊ 92 + 1 ◊ 91 + 2 ◊ 90 e) 197819011 = 1 ◊ 116 + 9 ◊ 115 + 7 ◊ 114 + 8 ◊ 113 + 1 ◊ 112 + 9 ◊ 111 + 0 ◊ 110 f) 665401167 = 6 ◊ 78 + 6 ◊ 77 + 5 ◊ 76 + 4 ◊ 75 + 0 ◊ 74 + 1 ◊ 73 + 1 ◊ 72 + 1 ◊ 71 + 6 ◊ 70 1944. Az 1943. feladat felírásából adódik az eljárás helyessége. 1945. a) 8 = 10002 = 223 = 135 = 108 = 89 b) 17 = 100012 = 1223 = 325 = 218 = 189 c) 22 = 101102 = 2113 = 425 = 268 = 249 d) 324 = 1010001002 = 110003 = 22445 = 5048 = 4009 e) 1000 = 1111101000 2 = 11010013 = 130005 = 17508 = 13319 f) 23459 = 101101110100011 2 = 10120112123 = 12223145 = 556438 = 351559 1946. 56 x -et hatványalakban felírva: 5x + 6 = 41 egyenlet adódik. Ennek megoldása x = 7. 1947. A 3x + 2 = 23 egyenletbõl x = 7 adódik. 1948. A 3x + 4 = 22 egyenletbõl x = 6 adódik. 1949. A 6x + 7 = 61 egyenletbõl x = 9 adódik. 1950. A 7x + 4 = 88 egyenletbõl x = 12 adódik. 1951. A 4x + 5 = 185 egyenletbõl x = 45 adódik. 1952. Az x2 + 2x + 1 = 16 egyenletbõl x1 = 3 és x2 = -5 adódik. A feladatnak csak az x1 = 3 lesz megoldása.

329

SZÁMRENDSZEREK 1953. Az x2 + 2x + 1 = 25 egyenletbõl x1 = 4 és x2 = -6 adódik. A megoldás x1 = 4. 1954. A 2x2 + 4x + 2 = 72 egyenletbõl x1 = 5 és x2 = -7 adódik. A megoldás x1 = 5. 1955. A 3x2 + 6x + 3 = 243 egyenletbõl x1 = 8 és x2 = -10 adódik. A megoldás x1 = 8. 1956. A 4x2 + 4 = 200 egyenletbõl x = 7 és x = -7 adódik. A megoldás x = 7. 1957. Mivel 110100112 = 211, ezért a felírható egyenlet: 4x + 3 = 211. Ezt megoldva a számrendszer alapja x = 52. 1958. 20113 = 58, ezért felírható, hogy 7x + 2 = 58. Ebbõl a számrendszer alapjára x = 8 adódik. 1959. 1122113 = 400, ezért felírható, hogy 4x2 + 8x + 4 = 400. Ennek az egyenletnek a megoldásai x1 = 9 és x2 = -11. A számrendszer alapja x1 = 9. 1960. 10204 = 72, ezért felírható, hogy 2x2 + 4x + 2 = 72. Ennek megoldásai x1 = 5 és x2 = -7. A feladat megoldása x1 = 5. 1961. A kérdés megválaszolásához elegendõ a számrendszerekben az adott számokat hatványok összegeként felírni. Például: 12345 = 1 ◊ 53 + 2 ◊ 52 + 3 ◊ 5 + 4. A megfelelõ tagok paritását és ezek számát megvizsgálva adódik, hogy melyik szám lesz páros. Ezeket felsorolva kapjuk, hogy páros szám: b) 31124 c) 12567. a) 12345 34217 1962. A 3-as számrendszerben azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek 0-ra végzõdnek. A 9es számrendszerben azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek 3-mal osztható számra végzõdnek. Így a 3-mal osztható számok: 120 3; 12503; 61133. 1963. A 22104 és a 523108 oszthatók 4-gyel, mert 0-ra végzõdnek. A 23215 = 336, ezért ez is osztható 4-gyel. A 44312 5 = 3082, ez pedig nem osztható 4-gyel. Megjegyzés: Egy k-alapú számrendszerben felírt számról belátható, hogy akkor és csak akkor osztható k - 1-gyel, ha a számjegyek összege osztható k - 1-gyel. Így az 5-ös számrendszerben felírt számokról ez alapján is eldönthetõ, hogy oszthatók-e 4-gyel. 1964. Az 1963. feladat megoldását figyelembe véve a 6-tal osztható számok: 2020203; 543213. 1965. Az eredmények a következõk: b) 121223 a) 1101112

c) 112242

1966. a) 11002

c) 14508

b) 11224

1967. a) A kettes szorzótábla:

330

d) 35558

SZÁMRENDSZEREK 01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 10 = 10 10 ◊ 1 = 10 10 ◊ 10 = 100 b) A hármas szorzótábla: 01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 2 = 2 01 ◊ 10 = 10 02 ◊ 1 = 2 02 ◊ 2 = 11 02 ◊ 10 = 20 10 ◊ 1 = 10 10 ◊ 2 = 20 10 ◊ 10 = 100 c) A négyes szorzótábla: 01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 2 = 2 02 ◊ 1 = 2 02 ◊ 2 = 10 03 ◊ 1 = 3 03 ◊ 2 = 12 10 ◊ 1 = 10 10 ◊ 2 = 20

01 ◊ 3 = 3 02 ◊ 3 = 12 03 ◊ 3 = 21 10 ◊ 3 = 30

d) A hatos számrendszer szorzótáblája: 01 ◊ 1 = 1 01 ◊ 2 = 2 01 ◊ 3 = 3 02 ◊ 1 = 2 02 ◊ 2 = 4 02 ◊ 3 = 10 03 ◊ 1 = 3 03 ◊ 2 = 10 03 ◊ 3 = 13 04 ◊ 1 = 4 04 ◊ 2 = 12 04 ◊ 3 = 20 05 ◊ 1 = 5 05 ◊ 2 = 14 05 ◊ 3 = 23 10 ◊ 1 = 10 10 ◊ 2 = 20 10 ◊ 3 = 30 1968. A szorzat eredményei: b) 11003 a) 1102

01 ◊ 10 = 10 02 ◊ 10 = 20 03 ◊ 10 = 30 10 ◊ 10 = 100 01 ◊ 4 = 4 02 ◊ 4 = 12 03 ◊ 4 = 20 04 ◊ 4 = 24 05 ◊ 4 = 32 10 ◊ 4 = 40

01 ◊ 5 = 5 02 ◊ 5 = 14 03 ◊ 5 = 23 04 ◊ 5 = 32 05 ◊ 5 = 41 10 ◊ 5 = 50

01 ◊ 10 = 10 02 ◊ 10 = 20 03 ◊ 10 = 30 04 ◊ 10 = 40 05 ◊ 10 = 50 10 ◊ 10 = 100

c) 41005

1969. Írjuk fel a számokat az alap hatványainak segítségével. Az így kapott egyenletet megoldva adódnak az ismeretlen alapok. a) 3 + 4 = x + 1; x = 6. b) 3x + 4x = x2 + x; x1 = 0 vagy x2 = 6. A rendszer alapja csak a 6 lehet. c) 2x2 + 2x2 = 2x3; x = 0 vagy x = 2. A feladatnak nincs megoldása, hiszen 2-es számrendszerben nem szerepelhetnek 2-es számjegyek. d) x + x + 1 = x2 + 1; x = 0 vagy x = 2. Az ismeretlen számrendszer 2-es alapú. 1970. a) Bármilyen 8-nál kisebb számjegy megfelelõ. b) Csak az 1 lesz a megfelelõ. 10111 3 = 94. c) A megoldás 0; 2; 4; 6 vagy 8. d) A megoldás 0; 2 vagy 4. 1971. a) b) c) d)

Az utolsó számjegynek 3-mal oszthatónak kell lennie: 0 vagy 3. Csak 0 lehet a behelyettesíthetõ szám. Az utolsó számjegynek 4-gyel oszthatónak kell lennie: 0 vagy 4. Az 1963. feladatban tett megjegyzés alapján annak kell teljesülnie, hogy a számjegyek összege osztható legyen 4-gyel. Ez 2 esetén teljesül. A megfelelõ szám a 223415 = 1596.

331

SZÁMRENDSZEREK e) 0 vagy 5 a megoldás. f) 5 a helyettesíthetõ számjegy. 1972. Az összeadás szabályait figyelembe véve a következõ megoldást adhatjuk: 2257 + 5157 10437 1973. a) b) c) d)

Az utolsó számjegy páros lesz. Az utolsó számjegy 3-mal osztható, azaz 0 vagy 3. A szám 0-ra végzõdik. A szám jegyeinek összege 5-tel osztható lesz.

1974. a) b) c) d)

A szám 0-ra végzõdik. Az utolsó két számjegye 0. Az utolsó három számjegye 0. A szám jegyeit váltakozó elõjellel összeadva 3-mal osztható számot kapunk.

1975. A 4-gyel való oszthatóság szempontjából csak a 0 és a 4 helyettesíthetõ be. A 7-tel való oszthatósághoz a számjegyek összege 7-tel osztható kell, hogy legyen. Ez a 4-es számjegy esetén teljesül. A megfelelõ szám: 24564 8 = 10612. 1976. A 3-mal való oszthatóság miatt 0; 3 vagy 6 számjegy lehet megfelelõ. A 8-cal való oszthatóság miatt a számjegyek összege 8-cal osztható, így ezek közül a 6 lesz a megoldás: 182769 = 12624. 1977. A « helyére csak páros szám helyettesíthetõ és a számjegyek összege 5-tel osztható. A lehetséges megoldások: « 0 2 4 ª 1 4 2

1978. A feltétel azt jelenti, hogy 2-vel és 5-tel osztható számokat keressük. Az 1977. feladat megoldásához hasonlóan kapjuk, hogy: « 0 2 4 ª 0 3 1

1979. A számnak 3-mal és 5-tel kell oszthatónak lenni. Az utolsó számjegy csak 0 vagy 3 lehet és a számjegyek összege osztható kell, hogy legyen 5-tel. A megoldások: 4523106 vagy 454313 6. 1980. Egy lehetséges megoldást adunk meg. A számok nagyságrendjét illetve sorrendjét figyelembe véve adódik, hogy:

332

SZÁMRENDSZEREK a)

645 ◊ 721 4515 1290 645 465045

b) 271 ◊ 322 813 542 542 87262

1981. Elegendõ egyetlen láncszemet levágni. Ez legyen a sorban a harmadik. Így minden nap tud alkalmas mennyiségû láncszemmel fizetni a vándor.

333

TARTALOM MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL .................................................................... Számok írása, olvasása a tízes számrendszerben (1-34) ..................................................... Természetes számok összeadása, kivonása (35-99) ............................................................. Természetes számok szorzása (100-166) ............................................................................... Természetes számok osztása (167-242) ................................................................................. MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL ..................................................................................... Egész számok értelmezése (243-272) .................................................................................... Egész számok összeadása, kivonása (273-329) .................................................................... Egész számok szorzása, osztása (330-454) ........................................................................... MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL ........................................................................................ Törtek összehasonlítása. Bôvítés, egyszerûsítés (455-479) ................................................ Törtek összeadása, kivonása (480-512) ................................................................................. Tört szorzása természetes számmal (513-538) ...................................................................... Tört osztása természetes számmal (539-552) ........................................................................ Szorzás törttel (a törtrész kiszámítása) (553-622) ................................................................ Osztás törttel (az egész mennyiség kiszámítása) (623-645) ................................................ Vegyes feladatok (646-722) ..................................................................................................... HATVÁNYOZÁS (723-753) ......................................................................................................... MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL ................................................................................... Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása (754-781) ................................................. Tizedes törtek összeadása, kivonása (782-839) .................................................................... Tizedes törtek szorzása, osztása (840-1047) ......................................................................... NAGY ÉS KICSI SZÁMOK ÍRÁSA, NORMÁLALAK (1048-1054) .................................... MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL (1055-1120) ............................................... EGYENLETEK (1121-1210) .......................................................................................................... EGYENLÔTLENSÉGEK (1211-1236) ......................................................................................... ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK (1237-1245) .................................................................. ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK (1246-1468) ............................................................................ FÜGGVÉNYEK ............................................................................................................................. Hozzárendelések (1469-1513) ................................................................................................. Arányosságok (1514-1540) ...................................................................................................... Lineáris függvények (1541-1563) ........................................................................................... Másodfokú függvények (1564-1571) ..................................................................................... Tört, abszolútérték és négyzetgyökfüggvény (1572-1584) ................................................. Grafikonok a koordináta-rendszerben (1585-1598) ............................................................. Garfikusan és algebrai úton is megoldható feladatok (1599-1613) .................................... SOROZATOK ................................................................................................................................. A sorozat megadása (1623-1635) ............................................................................................ Számtani sorozatok (1636-1697) ............................................................................................. Mértani sorozatok (1698-1741) ............................................................................................... Vegyes feladatok (1742-1782) ................................................................................................. OSZTHATÓSÁG ........................................................................................................................... Osztók és többszörösök (1783-1809) ...................................................................................... Maradékos osztás (1810-1851) ................................................................................................ Oszthatósági szabályok (1852-1861) ...................................................................................... Közös többszörös, közös osztó (1862-1892) ......................................................................... Vegyes feladatok (1893-1932) .................................................................................................

5 5 8 14 21 28 28 38 47 68 68 72 79 83 85 94 97 107 111 111 115 120 142 143 151 168 177 181 217 217 235 239 249 254 266 273 277 277 281 290 298 307 307 314 318 320 323

SZÁMRENDSZEREK (1933-1981) .............................................................................................. 328

Könyvajánlat Csahóczi Erzsébet TÖPRENGÔ III - IV. Gondolkodtató matematikai feladatok 8-9, 9-10 éveseknek A Töprengô c. feladatgyûjtemény a matematika iránt érdeklôdô 8-9, illetve 9-10 éves gyerekek számára készült. Fô célja a tanulók gondolkodásának fejlesztése változatos feladatsorokon keresztül. A feladatok tartalma, témája, nehézségi foka, megfogalmazása igazodik a korosztály életkori sajátosságaihoz. A feladatok tematikus feldolgozása, a megoldások közlése módot ad a gyerekeknek az önálló feldolgozásra és önellenôrzésre. A tanítók is jól használhatják órákon és szakkörökön. Baginé - Bartók - Szebeniné - Péterné Matematikai gyakorló munkafüzet 1. - 2. - 3. - 4. osztály számára A kiadvány célja, hogy a kisiskolások minél hamarabb és minél könnyebben megszerezzék matematikai ismereteiket. Olyan munkáltató feladatlap, mely a nevelôk, szülôk segítségével és önállóan is jól használható. A sok érdekes feladat lehetôséget ad az eddigi tudás felelevenítésére, bôvítésére. A munkafüzet végén található felmérô lapok segítségével a tanulók tudásukat mérhetik le, és még játékos fejtörôk is várnak az érdeklôdôkre. Fôleg azoknak nyújt segítséget, akiknek több gyakorlásra van szükségük a tananyag elsajátításához. Kosztolányi - Mike - Vincze Érdekes matematikai feladatok 1. A feladatgyûjtemény elsôsorban a felsô tagozatos és a középiskola elsôs, illetve másodikos tanulói számára készült. A témakörök a hagyományos elemi matematika területei mellett (algebra, geo-

metria) számos olyan érdekes és gondolkodtató matematikai problémát is tartalmaznak, amelyek megoldásához a logikus gondolkodáson kívül szinte más nem is igen szükséges. A feladatgyûjtemény alapjául a szegedi Radnóti Miklós Gimnázium Matematika Iskola néven közismertté vált kísérleti munkája szolgált. Kosztolányi - Mike - Vincze Jól felkészültem-e ? Matematikai feladatsorozatok 5. - 6. - 7. - 8. osztály, valamint középiskolába készülôknek A kiadványok felölelik az általános iskolák felsô tagozatának teljes tananyagát. A sorozat ötödik kötete segítséget nyújt azoknak a tanulóknak, akik tanulmányaikat középiskolában szeretnék folytatni. A feladatsorozatok változatos feladatokkal, kérdésekkel segítik a felkészülést, s a megoldásokkal összevetve lemérhetô, hogy a diákoknak mennyire sikerült az adott tananyagot elsajátítaniuk. Csordás - Koleszár - Nagy (szerk.) Matematikai versenytesztek A Zrínyi Ilona Matematikaverseny feladatai és megoldásai 1991-93, 1994, 1995, 1996 Az évek óta népszerû Zrínyi Ilona matematikaverseny megyei és országos fordulóinak feladatsorait adjuk közre évröl évre. A kötetek tartalmazzák a feladatok megoldási menetét, és az egyes évek évfolyamonkénti tíz legjobb tanulójának eredményeit is. A versenyre az általános iskolák 3 - 8. osztályos tanulói közül bárki jelentkezhet, aki kedveli a kicsit furfangos, gondolkodtató

feladatokat, szeretné összemérni tudását a társaival.

Dr. Hajnal Imre Középiskolások kézikönyve Matematikai fogalmak, tételek

Végh Gyula SZÓMA

A tankönyvben összefoglalva és rendszerezve található a középiskolai matematika elméleti tananyaga. Ezzel segítséget nyújt az érettségi vizsgára, fôiskolai, egyetemi tanulmányokra készülôknek. A 3., bôvített kiadás Kombinatorika c. fejezetettel bôvült.

A könyv egy igen érdekes geometriai fejtörô játék leírását, valamint magát a játékot is tartalmazza. A játék egyszerû hét elembôl álló változata eléggé közismert, melyet a szerzô lépésenként, feladatokkal színesítve 38 elemûre bôvít. A játék kibôvített változatára nagyon sok ,, meglepô, és ,,szép feladatot tartalmaz a könyv, melyben külön fejezetben egyegy lehetséges megoldást is közöl a kitûzött több mint 120 feladatra. Ez az érdekes geometriai fejtörô játék közben észrevétlenül fejleszti nem csak a megfigyelô készséget és a kézügyességet, hanem a térbeli szemléletet és a kombinációs készséget is. Dr. Hajnal Imre Matematikai ismeretek 13-14 éveseknek A könyv a 13-14 éves tanulók tanításához, tanulásához úgy kíván segítséget nyújtani, hogy a matematikai fogalmak kialakulását, értelmezését és a közöttük lévô kapcsolatokat állítja elôtérbe. Rámutat, hogy az egyszerû, megszokott munkában is felismerhetünk érdekességeket, és ezekbôl hasznos új ismeretekhez juthatunk. A megfigyelések tudatos megfogalmazása, és a lényeg felismerése után következik az új ismeret tisztázása, értelmezése. Közben lehetôséget ad, példát mutat elvonatkoztatásra, absztrakcióra.

Dr. Bonifert Domonkos Néhány tipikus problémaszituáció matematikából Az olvasó olyan példatárat vehet a kezébe, amelyben a feladatok nem a megszokott témakörök, hanem megoldási eljárások szerinti csoportosításban találhatók. A fejezetcímek: I. Függvények, egyenletek, egyenlôtlenségek II. Bizonyítások III. Szélsôérték-feladatok IV. Van olyan? Számlálási technikák V. Egyéb érdekességek A kötet sajátossága, hogy ugyanazon probléma megoldását többféle módszerrel, más-más szintû megközelítésben, az ötletek sokaságának felhasználásával mutatja be. A feladatok tanulmányozása, feldolgozása tehetséges általános és középiskolai tanulók, valamint az ôket tanító tanárok számára is hasznos lehet. Katz Sándor Matematika feladatsorok A feladatgyûjtemény az algebrai, a trigonometrikus, az exponenciális valamint a logaritmikus egyenletek megoldásához nyújt szakmailag igényes válogatást, a tehetségesebb tanulók számára. A könyv 18 fejezetben, 80 mintapéldát és 300 kitûzött feladatot tartalmaz. A feladatok túlnyomó része meghaladja a középiskolai feladatgyûjtemények megszokott szintjét, de a mintapéldák és a

kitûzött feladatok megoldásának közlésével a könyv a középiskolások számára is jól követhetô. Végül álljon itt néhány gondolat a lektori véleménybôl: ,,A tankönyv szerkezete, tagolása, ábraanyaga, szemléltetése rendkívül jó benyomást kelt olvasójában, kedvet csinál a természet megismeréséhez. Ez nagyon fontos erénye a könyvnek. A tudnivalók leckékre tördelése helyett, nagyon helyesen, a jelenségek, gondolatkörök szerinti ,, csoportosítást alkalmazzák a szerzôk.

KOSZTOLÁNYI – MIKE

MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 – 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

Kosztolányi József - Mike János

MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK

MEGOLDÁSOK

**

Mozaik Oktatási Stúdió - Szeged, 1996

SZERZÕK: Kosztolányi József középiskolai tanár

Mike János középiskolai tanár

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bõvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része semmiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható. ISBN 963 697 102 1 ” Copyright MOZAIK Oktatási Stúdió – Szeged, 1996

GEOMETRIA Ponthalmazok 1982. a)

b)

c)

d)

e)

5

GEOMETRIA 1983. a) b) c) d) e) f)

A P ponttól 3 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. Azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek a P ponttól mért távolsága nem 3 cm. A P ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

1984. a) b) c) d) e)

A P ponttól 2 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. A P ponttól 2 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban.

1985. a)

b)

c)

d)

1986. a)

b)

6

PONTHALMAZOK c) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

d)

e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

f) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

1987. a)

c) A sík minden pontja megfelel a feltételnek.

b)

d)

1988. a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem kisebb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nem kisebb és 4 cm-nél kisebb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 2 cm-nél nagyobb és 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. 1989. a) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nem nagyobb vagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebb vagy 6 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél kisebb vagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott P pontjától 3 cm-nél nem nagyobb vagy 6 cm-nél nagyobb távolságra vannak.

7

GEOMETRIA 1990. a)

b)

c)

d)

e)

1991. a) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a síkban, amelyek a sík egy adott e egyenesétõl 1 cm-nél kisebb távolságra vannak. 1992. A feladat szövegezése a korábbi kiadásokban sajnos technikai okokból hiányos, ebbõl adódóan értelmetlen. Helyesen a feladat szövege: Szerkesszük meg azon pontok halmazát, melyek egy adott e egyenestõl a) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél kisebb;

8

PONTHALMAZOK b) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél kisebb; c) 1 cm-nél nagyobb és 2 cm-nél nem nagyobb; d) 1 cm-nél nem kisebb és 2 cm-nél nem nagyobb; e) 1 cm-nél nem nagyobb és 2 cm-nél nem kisebb távolságra vannak! a)

b)

c)

d)

e) Nincs a feltételeknek megfelelõ pont.

1993. a)

b)

c)

d)

9

GEOMETRIA e)

f)

g)

1994. a) Az A ponttól 2 cm-nél kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 2 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. e) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. f) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. g) Az A ponttól 2 cm-nél nagyobb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. h) Az A ponttól 2 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. 1995. a)

10

b)

PONTHALMAZOK c)

d)

e)

f)

1996. a) Az A ponttól 3 cm vagy a B ponttól 4 cm távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 3 cm-nél kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. e) Az A ponttól 3 cm-nél nem nagyobb vagy a B ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. f) Az A ponttól 3 cm-nél nem kisebb vagy a B ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. 1997. a) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a C ponttól 3 cm-nél nem nagyobb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. b) Az A ponttól 4 cm-nél nem nagyobb és a B ponttól 5 cm-nél nem nagyobb és a C ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. c) Az A ponttól 4 cm-nél kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól 3 cm-nél kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. d) Az A ponttól 4 cm-nél nem kisebb és a B ponttól 5 cm-nél nem kisebb és a C ponttól 3 cm-nél nem kisebb távolságra levõ pontok halmaza a síkban. 1998. a)

b)

c)

d)

e) 1999. a)

b)

11

GEOMETRIA c)

d)

e)

2000. a) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm távolságra vannak. b) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél kisebb távolságra vannak. c) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem nagyobb távolságra vannak. d) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nagyobb távolságra vannak. e) Az e egyenes azon pontjai, amelyek a P ponttól 4 cm-nél nem kisebb távolságra vannak. 2001. a)

b)

c)

d)

12

PONTHALMAZOK e)

f)

2002. a)

b)

c)

d)

2003. a) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cm és az e egyenestõl 2 cm távolságra vannak. b) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. c) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm és az e egyenestõl 2 cm-nél nagyobb távolságra vannak. d) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól 4 cmnél nagyobb és az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. e) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legalább 4 cm és az e egyenestõl legalább 2 cm távolságra vannak. f) Azon pontok halmaza a P pont és az e egyenes síkjában, amelyek a P ponttól legfeljebb 4 cm vagy az e egyenestõl legfeljebb 2 cm távolságra vannak. 2004. A vastagon húzott CD és EF szakaszok bármely pontjába tûzhetjük Bobi cölöpjét.

13

GEOMETRIA 2005. a)

b)

c)

d)

e)

2006. a)

b)

c)

d)

e)

14

PONTHALMAZOK 2007. a)

b)

c)

d)

e)

2008. Az e egyenes és a kör O középpontjának távolságát tekintve 7 esetet különböztetünk meg. 1. Ha e és O távolsága kisebb 1 cm-nél, akkor 4 megfelelõ pont van.

15

GEOMETRIA 2. Ha e és O távolsága 1 cm, akkor 5 megfelelõ pont van.

3. Ha e és O távolsága 1 cm-nél nagyobb, de 3 cm-nél kisebb, akkor 6 megfelelõ pont van.

4. Ha e és O távolsága 3 cm, akkor 2 megfelelõ pont van.

5. Ha e és O távolsága 3 cm-nél nagyobb, de 7 cm-nél kisebb, akkor is 2 megfelelõ pont van.

16

PONTHALMAZOK 6. Ha e és O távolsága 7 cm, akkor 1 megfelelõ pont van.

7. Ha e és O távolsága nagyobb 7 cm-nél, akkor nincs megfelelõ pont. 2009. a)

b)

d)

e)

2010. a)

c)

b)

17

GEOMETRIA c)

d)

e)

2011. a)

18

b)

PONTHALMAZOK c)

d)

e)

2012. a)

b)

19

GEOMETRIA 2013.

2014.

2015.

2016. a)

20

b)

PONTHALMAZOK c)

2017. a)

b)

A keresett ponthalmaz egy, az eredeti egyenesekkel párhuzamos egyenes, amely felezi az eredeti egyenesek közötti távolságot.

A keresett ponthalmaz két egymásra merõleges egyenes, amelyek a két adott egyenes által meghatározott szögek felezõ egyenesei.

2018. Az elõzõ feladat alapján két olyan pont van az egyenesek síkjában, amelyek kielégítik a feltételt. Ezek a pontok a középpontjai a mindhárom egyenest érintõ két körnek.

2019. A kívánt tulajdonsággal csak az egyenesek M metszéspontja rendelkezik.

21

GEOMETRIA 2020. 4 olyan pont van (O; O1; O2; O3), amelyek mindhárom egyenestõl egyenlõ távolságra vannak. Ezek a pontok a középpontjai annak a 4 körnek, amelyek mindhárom adott egyenest érintik.

2021. A keresett kör középpontja A-tól és Btõl egyenlõ távolságra van, ezért illeszkedik az AB szakasz felezõmerõlegesére. Másrészt ez a kör A-ban érinti az e egyenest, ezért középpontjának rajta kell lennie az e egyenesre A-ban emelt merõlegesen is. Így a szerkesztés menete: 1. AB felezõmerõlegesének szerkesztése. 2. A-ban e-re merõleges szerkesztése. 3. A két egyenes metszéspontja, O a kör középpontja, OA = OB a kör sugara. 2022. A szerkesztendõ kör középpontja illeszkedik a szögfelezõre, és a szögszáraktól 2 cm távolságra levõ, a szögszárakkal párhuzamos egyenesekre. A szerkesztés menete: 1. Az adott szög szögfelezõjének szerkesztése. 2. Az egyik szögszártól 2 cm-re a szögszárral párhuzamos szerkesztése. 3. A kapott O metszéspont körül 2 cm sugarú kör rajzolása.

22

PONTHALMAZOK 2023. A feladatnak két megoldása van, mindkét kör sugara 2 cm, középpontjaikat pedig a P középpontú 2 cm sugarú kör metszi ki a két egyenes sávfelezõ egyenesébõl. 2024. A szerkesztendõ kör(ök) középpontja illeszkedik a P körüli 3 cm sugarú körre és az e egyenessel párhuzamos, tõle 3 cm távolságban a P-t tartalmazó félsíkben fekvõ egyenesre. Ha a P pont és az e egyenes távolsága kisebb, mint 6 cm, akkor két megoldása van a feladatnak, ha a távolság 6 cm, akkor 1 megoldása van, ha pedig 6 cm-nél nagyobb, akkor nincs megoldása. 2025. a)

b)

Az AB szakasz felezõmerõlegese.

c)

AB felezõmerõlegese által meghatározott, B-t tartalmazó nyílt félsík.

AB felezõmerõlegese által meghatározott, A-t tartalmazó nyílt félsík.

2026. A keresett pontot az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki e-bõl. Nem kapunk megoldást, ha az AB egyenes merõleges az e egyenesre.

2027. A keresett pont a 2026. feladat módszerével kapható meg. Ha az AB egyenes merõleges e-re és e nem felezõmerõlegese az AB szakasznak, akkor nincs megoldás, ha e felezõmerõlegese AB-nek, akkor e minden pontja megoldás. 2028. A keresett háromszögek alapokkal szemközti csúcsát az AB és CD szakaszok felezõmerõlegeseinek metszéspontja szolgáltatja. Nincs megoldás, ha az AB és a CD egyenesek párhuzamosak (egybe is eshetnek) és felezõmerõlegeseik nem esnek egybe. Ha a két szakasz felezõmerõlegese egybeesik, akkor a közös felezõmerõleges minden pontja megfelelõ, kivéve a szakaszok felezõpontjait. Más esetben egyértelmû megoldása van a feladatnak.

23

GEOMETRIA 2029. A keresett pontokat az adott átmérõre merõleges átmérõ metszi ki a körbõl. 2030. A keresett pontokat a húr felezõmerõlegese metszi ki a körbõl. 2031. A keresett pontokat az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki a körbõl. Ha az AB egyenes illeszkedik a kör középpontjára, akkor két megoldás van, ha az AB szakasz felezõpontja a kör belsejében van; egy megoldás, ha a felezõpont a kör pontja; nincs megoldás, ha a felezõpont a körön kívül van. Ha az AB egyenes nem illeszkedik a kör középpontjára, akkor is a fent leírt esetek valósulhatnak meg attól függõen, hogy AB felezõmerõlegese metszi a kört, érinti a kört vagy nincs közös pontja a körrel. 2032. A keresett pontokat a 2031. feladat módszerével kaphatjuk meg. Attól függõen, hogy az AB szakasz felezõmerõlegesének hány közös pontja van a körrel, lehet 0, 1, 2 megoldás. Például, ha az AB egyenes illeszkedik a kör középpontjára, akkor nincs megoldás.

2033. Az AB és az AC oldalegyenesektõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a 2017. feladat b) pontjában leírt egymásra merõleges egyenespár. a) Az AB oldal felezõmerõlegesének az elõbb említett szögfelezõ egyenesekkel alkotott metszéspontjai adják a megoldást. A feltételeknek 2 pont tesz eleget. b) Most a keresett pontok a BC oldal felezõmerõlegesének és a szögfelezõ egyeneseknek a közös pontjai lesznek. A BC felezõmerõlegese akkor és csak akkor illeszkedik az A csúcsra, ha az ABC háromszög egyenlõ szárú (AB = AC). Ekkor BC felezõmerõlegesének pontjai alkotják a keresett ponthalmazt. Ha AB π AC, akkor ebben az esetben is 2 pont lesz a

24

PONTHALMAZOK megoldás. 2034. A keresett háromszögek alappal szemközti csúcsait az AC átló felezõmerõlegese metszi ki a téglalap kerületébõl. Két egybevágó háromszöget kapunk. 2035. A keresett kör középpontja a pontok által meghatározott szakaszok felezõmerõlegeseinek közös pontja. A kapott kör a három pont által meghatározott háromszög köréírt köre. 2036. Az elõzõ feladatban kapott kör bármely, az adott három ponttól különbözõ pontja megfelel. 2037. Kiválasztva egy kör hét pontját, azok a kör középpontjától egyenlõ távolságra vannak. 2038. A feladat megoldása két kör lesz, melyek középpontja a háromszög köré írható kör középpontja (az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontja), a sugarak pedik (r + 2) cm, illetve (r - 2) cm, ahol r a köré írható kör sugara centiméterben kifejezve.

2039. Az elõzõ feladat megoldásához hasonlóan kapható meg a két kör. 2040. a)

b)

25

GEOMETRIA c) Elõbb szerkesszünk egy P-re illeszkedõ, e-vel 60∞-os szöget bezáró egyenest, majd szerkesszünk ezzel az egyenessel párhuzamos egyeneseket P-tõl 4 cm távolságban! Ebben az esetben is két egyenes a megoldás. Megjegyzés: P-re illeszkedõ, e-vel 60∞-os szöget bezáró egyenes például a következõ módon szerkeszthetõ: 1. P-bõl merõlegest állítunk e-re. 2. P-ben a merõlegesre 30∞-os szöget szerkesztünk. 2041. A keresett körök középpontjait az adott kör középpontja körüli 2 cm, illetve 6 cm sugarú körök és az adott egyenessel párhuzamos, tõle 2 cm távolságban levõ egyenesek metszéspontjai adják. A megoldásoknak az adott kör és az adott egyenes kölcsönös helyzetétõl függõ vizsgálata lényegében megegyezik a 2008. feladat kapcsán leírtakkal. 2042. A keresett körök középpontjai az átmérõ egyenesétõl n cm (n = 1; 2; 3; 4) távolságra levõ párhuzamos egyenesek és az eredeti körrel koncentrikus (n + 3) cm és (3 - n) cm sugarú körök metszéspontjaiként, illetve érintési pontjaiként adódnak. (n = 3 és n = 4 esetben csak egy, az eredetivel koncentrikus kört tudunk felvenni.) a) 8 megfelelõ kört kapunk.

b-d) 4 megfelelõ kört kapunk, az eredeti kör belsejében nem jönnek létre metszéspontok. 2043. A megoldás az elõzõ feladathoz hasonlóan történik. Az a) esetben 7, a b) esetben 5, a c) és d) esetben 4 megfelelõ kör van.

26

PONTHALMAZOK 2044. A keresett pontokat az adott szög szögfelezõ egyenese metszi ki a P középpontú, 3 cm sugarú körbõl. 2, 1 illetve 0 megfelelõ pontot kapunk attól függõen, hogy P távolsága a szögfelezõtõl kisebb, mint 3 cm; 3 cm; illetve nagyobb, mint 3 cm. (Ha a távolság 3 cm, akkor az érintési pont a megoldás.) Megjegyzés: Elõállhat olyan eset is, hogy az egyik keresett pont a szög csúcsában, vagy a szögtartományon kívül van. 2045. A keresett pontot az AB szakasz felezõmerõlegese metszi ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl. Nem kapunk megoldást, ha az AB egyenes merõleges a szögfelezõre és az AB szakasz felezõpontja nincs rajta a szögfelezõn. Ha AB felezõmerõlegese és a szögfelezõ egyenese egybeesik, akkor ennek az egyenesnek minden pontja eleget tesz a feladat feltételeinek. 2046. A keresett pontokat az adott körrel koncentrikus (1 + x) cm, illetve az a) esetben az (1 - x) cm (x = 0,5; 1; 2) sugarú körök metszik ki az adott szög szögfelezõ egyenesébõl. Attól függõen, hogy hány metszéspont jön létre, az a) esetben a megoldások száma lehet 0, 1, 2, 3, 4, a b) és a c) esetben 0, 1, 2. (Ha páratlan számú pontot kapunk, akkor az egyik pont érintési pont.) 2047. Az adott feltétellel egy olyan négyzet kerületének pontjai rendelkeznek, amelynek 6 cm hosszú átlói illeszkednek az adott egyenesekre. Az ábráról leolvasható, hogy a négyzet oldalának bármely P pontja rendelkezik a feladatban megkövetelt tulajdonsággal.

2048. A feladat feltételének megfelelõ ponthalmaz egy ellipszis. (Ellipszis: A sík azon pontjainak halmaza, amelyeknek két adott ponttól mért távolságösszege állandó, és ez az állandó nagyobb a két adott pont távolságánál. A két adott pont az ellipszis fókuszpontja.) Körzõvel és vonalzóval az ellipszisnek csak véges sok pontja szerkeszthetõ meg.

27

GEOMETRIA 2049. A feladat feltételének az ábrán látható ponthalmaz felel meg, amely 8 félegyenesbõl áll, amelyek kezdõpontjai az adott egyeneseken vannak, metszéspontjuktól 1 cm távolságra. Az ábráról leolvasható az is, hogy a tekintett félegyenesek minden pontja rendelkezik a kívánt tulajdonsággal. (Lásd még a 2107. feladat j) pontját!)

2050. A feladat feltételének megfelelõ ponthalmaz egy hiperbola. (Hiperbola: A sík azon pontjainak halmaza, amelyek két adott ponttól mért távolságkülönbségének abszolútértéke állandó, és ez az állandó olyan pozitív szám, amely kisebb a két adott pont távolságánál. A két adott pont a hiperbola fókuszpontja.) Körzõvel és vonalzóval a hiperbolának csak véges sok pontja szerkeszthetõ meg.

2051. A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adott félegyenessel közös kezdõpontú, vele 45∞-os szöget bezáró félegyenes.

2052. A feltételt kielégítõ ponthalmaz az adott szög szögfelezõje.

a 2

a 2

28

PONTHALMAZOK

2053. Thalész tételének megfordításából adódóan a merõlegesek talppontjai által meghatározott ponthalmaz az AB átmérõjû körvonal.

2054. Az ABC háromszögek C csúcsai az AB egyenessel párhuzamos, tõle az adott magasság hosszával megegyezõ távolságban található egyeneseken helyezkednek el. Ezen egyenesek bármely pontja megfelel a feltételnek.

2055. Az ABC háromszögek C csúcsai két, az AB egyenesére szimmetrikus, adott sugarú körön helyezkednek el, amely körök közös húrja AB. Az A és a B pontok kivételével a két kör minden egyes pontja kielégíti a feladat feltételét. A körök középpontjai az A (vagy B) középpontú, az adott sugárral megegyezõ sugarú kör metszi ki az AB szakasz felezõmerõlegesébõl. A tekintett körök szerkeszthetõségének feltétele, hogy az AB adott r sugárra teljesüljön az r > 2 egyenlõtlenség.

29

GEOMETRIA 2056. Jelölje az adott két csúcsot A és B, az adott magasságot mc, az adott egyenest e. A C csúcsok az AB egyenessel párhuzamos, tõle mc távolságban levõ egyenesek e-vel vett metszéspontjaiban lesznek. Ha e nem párhuzamos az AB egyenessel, akkor két megfelelõ háromszöget kapunk. Ha e párhuzamos az AB egyenessel és attól vett távolsága mc-tõl különbözik, akkor nincs megoldás, ha a távolság éppen mc, akkor e minden pontja megfelel C csúcsnak. 2057. Jelölje c az adott oldalegyenest, mc az adott magasságot, a és b pedig az adott oldalakat. A C csúcs szerkesztése az elõzõ feladat módszerével történik, szerkeszthetõségének feltételei is azonosak. Az A és a B csúcsot a c egyenesbõl a C középpontú, b, illetve a sugarú körívek metszik ki. A szerkeszthetõséghez szükséges még, hogy a ¤ mc és b ¤ mc teljesüljön, és legalább az egyik egyenlõtlenség éles legyen. 2058. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 45∞-os szög szerkesztése. 3. a-tól ma távolságban a-val párhuzamos szerkesztése a 45∞-os szöget tartalmazó félsíkban. 4. A párhuzamos egyenes és a szögszár metszéspontjaként adódik a háromszög harmadik csúcsa. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2059. A szerkesztés menete: 1. A b oldal felvétele. 2. b egyenesével, tõle mb távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. b egyik végpontjából egy a sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A feladatnak az egybevágó esetektõl eltekintve két megoldása van.

30

PONTHALMAZOK 2060. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. a egyik végpontjába 30∞-os szög szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a szerkesztett szögszárból. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2061. A szerkesztés menete: 1. Az a oldal felvétele. 2. Az a oldal egyenesével, tõle ma távolságban párhuzamos szerkesztése. 3. Az a oldal felezõpontjából sa sugarú körívvel a harmadik csúcs kimetszése a párhuzamos egyenesbõl. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. 2062. Jelölje az adott magasságot ma, az adott szögfelezõt fa. A szerkeszthetõséghez szükséges, hogy fa ¤ ma legyen. Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú, és ekkor akár a (0∞ < a < 180∞), akár b (0∞ < b < 90∞) adott, a megoldás egyértelmû. (2062/1. ábra) Tegyük fel a továbbiakban, hogy fa > ma, és bontsuk három részre a feladatot aszerint, hogy melyik szög adott (2062/2. ábra).

ma

fa

ma = fa

2062/1. ábra

2062/2. ábra

I. a adott (0∞ < a < 180∞) Ekkor az ATF derékszögû háromszög Thalész tételének felhasználásával szerkeszthetõ, amelynek TF oldala kijelöli az a oldal egyenesét. A szerkesztés menete: 1. fa mint átmérõ fölé Thalész-kör szerkesztése. 2. A-ból ma sugárral a T pont kimetszése a Thalész-körbõl. a nagyságú szög szerkesztése. 2 4. A TF egyenesbõl a szerkesztett szögszárak kimetszik a B és a C csúcsot. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

3. fa mindkét oldalára A-ból

31

GEOMETRIA II. b adott (0∞ < b < 90∞) Itt is az ATF derékszögû háromszögbõl kiindulva, b ismeretében az ABF háromszög szerkeszthetõ. A szerkesztés menete: 1. Az ATF derékszögû háromszög szerkesztése (hasonlóan az I. esethez). 2. ma fa -val átellenes oldalára A-ból 90∞ - b nagyságú szög szerkesztése. 3. A szerkesztett szögszár a TF egyenesbõl kimetszi a B' csúcsot. 4. B tükrözése fa egyenesére, a kapott pont B! 5. Az AB' egyenes és a TF egyenes metszéspontja C. A megoldás itt is egyértelmû. Megjegyzés: b lehet tompaszög is, viszont ebben az esetben csak akkor kapunk megoldást, ha az ma fa-val azonos oldalára A-ból szerkesztett b - 90∞ nagyságú szög szára ma és fa közé esik. III. g adott (0∞ < b < 90∞) Az ATF háromszög megszerkesztése után a TF egyenes valamely pontjába szerkesztett g szög másik szárát úgy kell eltolni, hogy a TF egyenessel párhuzamos, A-ra illeszkedõ egyenest A-ban messe. A szerkesztés menete: 1. Az ATF háromszög szerkesztése. 2. A g szög szerkesztése a TF egyenesre, annak valamely pontjában az A pontot tartalmazó félsíkban. 3. A-n keresztül párhuzamos szerkesztése a TF egyenessel. 4. A g szög szárának és a szerkesztett párhuzamosnak a metszéspontja A'. Æ 5. A g szög eltolása az A' A -ral, így kapjuk a C csúcsot. 6. C tükrözése fa egyenesére, így kapjuk a C' csúcsot. 7. Az AC' és a TF egyenes metszéspontja a B csúcs. A megoldás egyértelmû. Megjegyzés: Ha az adatok a 2062/2. ábrának megfelelõek, akkor g < b, és így g biztosan hegyesszög. 2063. A szögtartományban a magasságpont a szögszáraktól adott távolságban levõ, a szögszárakkal párhuzamos egyenesek metszéspontjaként áll elõ. A magasságpontból a szögszárakra szerkesztett merõleges egyenesek a másik szögszárból kimetszik a háromszög hiányzó két csúcsát. A feladat megoldása egybevágóság erejéig egyértelmû.

32

PONTHALMAZOK

2064. A feladat szövege alapján a P pont a szögtartományon kívül van. Ekkor viszont a PA = PB feltételnek csak a szög csúcsa felel meg (A = B). Megjegyzés: Ha a feladat szövegébõl kivesszük a „közelebbi” szót, akkor P a szögtartományba is eshet, és ekkor van olyan megfelelõ A és B pont, hogy P felezi az AB szakaszt. (Lásd a 2634. feladatot!) 2065. Ha M jelöli a háromszög belsõ szögfelezõinek metszéspontját, akkor az ABM háromszög szerkeszthetõ. Ezután az MAB és MBA szögek megkétszerezésével kapjuk az AC és BC oldalakat.

2066. Ha M jelöli az A és a D csúcsból induló belsõ szögfelezõk metszéspontját, akkor az ABM háromszög szerkeszthetõ. Az AMD szög derékszög, mivel a trapéz szárakon fekvõ szögeinek öszszege 180∞, ezért a D csúcs az AM-re M-ben állított merõleges és az MAB szög megkétszerezésével kapott félegyenes metszéspontjaként adódik. C megszerkesztéséhez használjuk ki, hogy a trapéz derékszögû. 2067. A magasság egyik végpontjába merõlegest, a másik végpontjába 30∞-os szöget kell szerkesztenünk. 2068. Az adott csúcsból állítsunk merõlegest az adott egyenesre. Ezzel megkaptuk a háromszög magasságát, ahonnan az elõzõ feladat alapján szerkeszthetõ a háromszög.

33

GEOMETRIA

2069. Mivel az adott pont a háromszög súlypontja is egyben, ezért az adott pontból az adott egyenesre szerkesztett merõlegesen a pont és az egyenes távolságát a ponton túl kétszer felmérve megkapjuk a háromszög magasságát. Innen a háromszög a 2067. feladat módszerével szerkeszthetõ. 2070. I. Ha mindkét adott pont az egyenesen van, akkor a háromszög szára adott, így a feladatnak végtelen sok megoldása van. II. Ha az egyik pont az egyenesen van, a másik rajta kívül, akkor két eset lehetséges. 1. Az egyenesen levõ pont a szárak metszéspontja. Ekkor a két adott pont távolságát az egyenesen levõ pontból mindkét irányba felmérve az egyenesre, két megfelelõ háromszöget kapunk. Ezek pontosan akkor egybevágók, ha a két adott pontra illeszkedõ egyenes merõleges az adott száregyenesre. 2. Ha az egyenesen levõ pont az alap egyik végpontja, akkor a két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõlegese metszi ki az adott egyenesbõl a harmadik csúcsot. Ha ez a felezõmerõleges párhuzamos az adott egyenessel, akkor nincs megoldás. 2071. Az alap mindkét végpontjába 75∞-os szöget szerkesztve a kapott szögszárak metszéspontja adja a harmadik csúcsot. 2072. Az alap felezõmerõlegesén a felezõpontból 2 cm-t felmérve adódik a harmadik csúcs. 2073. Az adott magasság talppontja az alap mint átmérõ fölé szerkesztett Thalészkörön van. A kapott tompaszögû háromszög az ábrán látható. Egybevágóság erejéig egyértelmû megoldást kapunk.

T1

T2

2074. A derékszögû csúcs az átfogó fölé szerkesztett Thalész-körön van, az átfogó egyik végpontjától 4 cm-re. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. Pitagorasz tétele alapján a másik befogó 3 cm hosszú. 2075. Mivel a szárakhoz tartozó magasságok egyenlõ hosszúak, ezért az egyik szár mint átmérõ fölé írt Thalész-körön az átmérõ egyik végpontjától 2 cm távolságra megkapjuk a másik szár egyenesének egy pontját. Ezt az átmérõ másik végpontjával összekötve a másik szár egyenese adódik. Erre felmérve 6 cm-t az átmérõ másik végpontjából, kapjuk a háromszög harmadik csúcsát. A feltételnek két, nem egybevágó háromszög tesz eleget, az egyik tompaszögû, a másik hegyesszögû.

34

PONTHALMAZOK

B1

B2

2076. A másik szárhoz tartozó súlyvonal is 5 cm, így az AF1C háromszög mindhárom oldala ismert, tehát szerkeszthetõ. (Lásd az ábrát!) A CF1 egyenesre F1-bõl felmérve 3 cm-t adódik a B csúcs. A megoldás egyértelmû.

F1

2077. Az átfogó mint átmérõ fölé szerkesztett Thalész-körbõl az átfogó felezõmerõlegese metszi ki a derékszögû csúcsot. 2078. a) Jelölje C a derékszögû csúcsot, és legyen T a C-bõl az átfogó egyenesére szerkesztett merõleges talppontja. A CT távolságot T-bõl mindkét irányban felmérve az átfogó egyenesére, adódnak az átfogó végpontjai. b) Jelölje A az átfogó egyik végpontját. A derékszögû csúcs az A-ból a befogó egyenesére bocsátott merõleges talppontja, jelölje C. Az AC távolságot C-bõl felmérve a befogó egyenesére, adódik a harmadik csúcs. 2079. Az alaphoz tartozó magasság felezi az alappal szemközti szöget, így annak végpontjában mindkét oldalra 60∞-os szög, a másik végpontba pedig merõleges szerkesztésével adódik a kívánt háromszög. 2080. A 2548. feladat állítása szerint az egyenlõ szárú háromszög alapján felvett bármely pontnak a száraktól vett együttes távolsága egy állandó érték (a bizonyítást lásd ott), amely éppen a szárhoz tartozó magasság hossza. Ezt a tényt felhasználva a keresett ponthalmaz egy szakasz lesz, egy olyan szabályos háromszög egyik oldala, amelynek magassága 4 cm. A szakasz végpontjait az egyes szögszárakkal párhuzamos, tõlük 4 cm távolságra levõ egyenesek metszik ki a másik szögszárakból.

35

GEOMETRIA 2081. Az elõzõ feladat eredményét alkalmazva a négy szögtartományra, kapjuk, hogy a keresett ponthalmaz egy téglalap lesz, amelynek átlói az adott egyenesekre illeszkednek.

2082. A kérdésnek természetesen csak akkor van értelme, ha a T-vel jelölt talppontra teljesül, hogy AT merõleges a BT-re. A C csúcs rajta van a BT egyenesen, és annak minden B-tõl különbözõ pontja megfelel.

C1

C2

2083. Mivel O1AP és O2BP egyenlõ szárú derékszögû háromszögek, ezért AT1 = T1O1 = T1P és PT2 = T2O2 = T2B. Az O1T1T2O2 derékszögû trapéz O1O2 szárának felezõpontja F, T1O1 + T2 O2 = 1,5 cm . Kaptuk te2 hát, hogy F távolsága az AB egyenestõl 1,5 cm, függetlenül a P helyzetétõl. Másrészt viszont a 2083/1. ábrán látható, hogy F mindig az ABO egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogóval párhuzamos A'B' középvonalának belsõ pontja. Ezek után azt kell még belátnunk, hogy az A'B' szakasz minden belsõ pontja benne van a feladatban definiált ponthalmazban, azaz létezik hozzá az AB szakasznak egy megfelelõ P belsõ pontja. Ez viszont teljesül, ugyanis F az OO1PO2 téglalap átlóinak metszéspontja, így felezi az OP szakaszt. Így ha adott az ABO egyenlõ szárú derékszögû háromszög A'B' középvonalának egy F pontja, akkor az OF félegyenes kimetszi az AB szakaszból a megfelelõ P pontot (2083/2. ábra).

így FC a trapéz középvonala, amibõl adódóan FC =

O1 O2

T1 2083/1. ábra

36

T2

2083/2. ábra

PONTHALMAZOK 2084. Lásd az elõzõ feladatot!

2085. Azon pontok halmaza, amelyekbõl a háromszög derékszögben látszik, az oldalakra mint átmérõkre kifelé szerkesztett félkörívek, kivéve a háromszög csúcsait.

2086. Az elõzõ feladathoz hasonlóan itt is az oldalak fölé szerkesztett félkörívek pontjai felelnek meg a feltételnek, csak itt a négyzet csúcsai is elemei a ponthalmaznak.

2087. A kör azon pontokból látszik derékszögben, amelyekbõl a körhöz húzott érintõk derékszöget zárnak be. Ezek a pontok egy, az adott körrel koncentrikus, 3 2 sugarú kör pontjai, amint az az ábrán látható.

3 2 cm

37

GEOMETRIA 2088. A létra felezõpontja, lévén az AOB háromszög derékszögû (lásd az ábrát) minden helyzetben 2 m távolságra van az O ponttól. Így a felezõpont pályája egy O középpontú 2 m sugarú negyedkörív.

2089. Mivel a kör középpontját a húr felezõpontjával összekötõ szakasz merõleges a húrra, ezért Thalész tételének megfordítása értelmében a P pontot az adott kör középpontjával összekötõ szakasz mint átmérõ fölé írt körnek az eredeti körbe esõ íve lesz a keresett ponthalmaz. (Az ív végpontjai a P-bõl húzott érintõk érintési pontjai lesznek.)

2090. A téglalap köré írható kör középpontja az átlók metszéspontja. Jelölje A' a BC oldal, M pedig az AT magasság felezõpontját. Ha F és F' a téglalap két, BCvel párhuzamos oldalának felezõpontja, akkor a téglalap K középpontja felezi az FF' szakaszt. Ebbõl adódóan K illeszkedik az A'TA háromszög A'M súlyvonalára. Másrészt, ha K az A'TA háromszög A'M súlyvonalának tetszõleges belsõ pontja, akkor a K-ra illeszkedõ AT-vel párhuzamos egyenes és az ABC háromszög AA' súlyvonalának F metszéspontja kijelöli a téglalap BC-vel párhuzamos oldalát. Kaptuk tehát, hogy a keresett ponthalmaz az A'M nyílt szakasz. 2091. A feladat szövege túl általános, ezért a következõ egyszerûsítésekkel élünk: 1. A, B és C az e egyenes ugyanazon oldalán legyenek. 2. A négyszög csúcsai pozitív irányításban A, B, C, D sorrendben legyenek. 3. Tekintsük négyszögnek azt is, amikor három csúcs (D és az adottakból valamelyik kettõ) egy egyenesbe esik, vagy a négyszög hurkolt helyzetû (lásd 2091/1. ábrát). Ezek a feltevések a megoldás lényegén nem változtatnak, viszont áttekinthetõbbé teszik azt.

38

PONTHALMAZOK a) (A korábbi kiadásokban a feladat szövegében „oldal” szerepel, természetesen „átló” kellene.) A BD átlók felezõpontjainak halmaza egy az e-vel párhuzamos egyenes, amelyik felezi a B-bõl az e-re állított merõleges szakaszt. b) A válasz hasonló az a) pont válaszához. c) Bármely síknégyszög oldalfelezõ pontjai paralelogrammát határoznak meg (vagy esetünkben egy egyenesre is eshetnek). (Lásd a 2374. feladatot!). A paralelogramma átlói felezik egymást, így egy az e-vel párhuzamos, az AB felezõpontjából a b) pontban kapott egyenesre állított merõleges szakaszt felezõ egyenest kapunk. F4

F1

2091/1. ábra

2091/2. ábra

F3

F2

2091/3. ábra

2092. Az A pont az elsõ forgatásnál egy B középpontú, AB sugarú 120∞-os középponti szöghöz tartozó körívet ír le, a második forgatásnál egy C középpontú, szintén AB sugarú és 120∞-os középponti szöghöz tartozó körívet, a harmadik forgatásnál pedig fixen marad. Ha a jelöli a háromszög oldalának hosszát, akkor az A pont az a sugarú kör kerületének 2 részét tette meg. Így 3 2 8p = ◊ 2 ap , 3 amibõl a = 6. 2093. Ha a jelöli a négyzet oldalának hosszát, akkor az A pont útja: 1. forgatás: B körüli a sugarú negyedkörív; 2. forgatás: C körüli a 2 (a négyzet átlója) sugarú negyedkörív; 3. forgatás: D körüli a sugarú negyedkörív; 4. forgatás: A fixen marad.

A pálya hossza összesen: 4p = ap +

a 2p , 2

39

GEOMETRIA ahonnan a=

8 2+ 2

(

)

= 4 2 - 2 ª 2 ,34 .

2094. A C csúcsot megkapjuk, ha a B csúcsot A körül 60∞-kal elforgatjuk. Így a C csúcsok halmaza az adott négyzet A körüli 60∞-os elforgatottja. Mivel a feladat a csúcsok betûzésének irányítását nem rögzítette, ezért a négyzet A körüli mindkét irányú elforgatottja megfelel.

2095. Mivel a feladat nem rögzítette a csúcsok betûzésének irányát, ezért két, az eredetihez hasonló, egymással egybevágó szabályos háromszög (a belsejével együtt) alkotja a lehetséges C csúcsok halmazát. Ezen háromszögek csúcsait megkapjuk, ha az A-t az eredeti háromszög csúcsaival összekötõ szakaszok felezõmerõlegeseire a felezõpontokból felmérjük a felezõpont és A távolságát. Megjegyzés: Az eredeti és a kapott háromszögek hasonlóságának aránya 1 ª 0,707 , lévén a derékszögû há2 romszög befogója gónak.

40

2 -ed része az átfo-

PONTHALMAZOK 2096. Legyen a kiválasztott két szemközti csúcs A és C. A feladat feltétele alapján P illeszkedik a BD átlóra. A feladat szövege alapján P egyidejûleg nem lehet összekötve a B és a D csúccsal, ugyanis ellenkezõ esetben nem teljesülhetne a három egyenlõ területû részre osztás. Ha P az A, B és C pontokkal van összekötve, és a kapott három rész területe egyenlõ, akkor P D-hez van közelebb. Legyen a P pont és az AD oldal távolsága x. Ekkor P az AB oldaltól a - x távolságra van, ahol a a négyzet oldalát jelöli. (Lásd az ábrát!) A feladat feltétele alapján TAPD + TCDP = TABP = TBCP . Felírva a megfelelõ területeket és kihasználva az ábra szimmetriáját a( a - x ) ax = , 2 a ahonnan x = . 3 Ez azt jelenti, hogy P a BD átló D-hez közelebbi harmadolópontja. 2097. 1. A BD átló P felezõpontja megfelel, ugyanis TABCP = TABP + TPBC , valamint TADCP = TAPD + TPCD ,

m2 m1

teljesül továbbá, hogy TABP = TAPD és TPBC = TPCD . Ez utóbbi azért teljesül, mert a tekintett háromszögek egyik oldala és a hozzá tartozó magasság megegyezik. 2. Húzzunk P-n keresztül párhuzamost az AC átlóval! Az így kapott EF szakasz valamennyi P' belsõ pontja megfelel, ugyanis TACP = TACP' és TAP'CD = TACD + TACP' . Az EF szakasz belsõ pontjaitól különbözõ Q pontokra TAQC π TAPC . 2098. Ha lenne a négyszög belsejében olyan pont, amely mindegyik körön kívül van, akkor Thalész tételének következtében ebbõl a pontból mind a négy oldal 90∞-nál kisebb szög alatt látszana. Ez pedig azt jelentené, hogy ebbõl a pontból nézve az oldalak látószögeinek összege 360∞-nál kisebb, ami nyilvánvaló ellentmondás.

41

GEOMETRIA 2099. A 2017/b) feladat alapján a keresett ponthalmaz két egymásra merõleges egyenes, amelyek egyenletei: y = x, illetve y = -x. A két egyenes pontjainak koordinátái közötti kapcsolat összefoglalva így írható: ΩyΩ = ΩxΩ.

2100. a)

b) y =2 x

y =

c)

d) y =4 x

e) y =

42

3 x 2

2 x 5

y =

x 3

PONTHALMAZOK 2101.

y > x

2102. a) Lásd a 2047. feladatot!

x + y =6

b) Lásd a 2049. feladatot!

x - y =3

43

GEOMETRIA 2103. A keresett pontok az origó körüli 4 egyx ség sugarú kör és az y = , valamint 3 x az y = egyenesek metszéspontjai3 ként adódnak. Megjegyzés: Az origó körüli 4 egység sugarú kör pontjainak koordinátáira (és csak azokra!) Pitagorasz tételébõl adódóan x2 + y2 = 16.

y=

x 3

M1

y=-

x 3

M4

M2

M3

2104. A 2102. feladat alapján a feladat feltételének csak a P1(4; 0); P2(0; 4); P3(-4; 0); P4(0; -4) pontok tesznek eleget.

P2

P1

P3

P4

2105.

2106. a)

b) y=x

x = 2y

44

PONTHALMAZOK c)

d) y = 5x

y=

x 3

e)

f)

x+y =2

g)

x+y =2

h) y-x = 2

2107. a)

y - 2x = 1

b) y =x

x =y

45

GEOMETRIA c)

d) y = 2x x = y

e)

f) x+y =4

x- y =1

g)

h) x + y =3

i)

x - y =2

j)

x - y = -1

x - y =1

46

PONTHALMAZOK 2108. a)

b) y = x2 y2 = x

c)

d) 2

x =y

2

x2 + y2 = 1

x 2 = y 2 akkor és csak akkor, ha

Lásd a 2103. feladat megjegyzését!

x = y .

e) y2 = 4 - x2

47

GEOMETRIA 2109. a)

b) x>y x£y

c)

d) x ¤ 2y

x + y <1

e)

f)

x-y <3

x+y ¤2

g)

h) y- x >1 x − 3y £ 2

-

48

2 3

PONTHALMAZOK i)

x + y +1 £ 0

2110. a)

b) y
x ¤y

c)

d)

x £ y

x > y

e)

f) x+y <4

2 x £ 3y

49

GEOMETRIA g)

h) x−y ¤2

y-x < 3

i)

j) x − y ¤1

x - y < -2

k)

x − y £1

2111. a)

b) y¤x

50

2

x2 > y

PONTHALMAZOK c)

d) x2 > y2 x £ y2

x 2 > y 2 akkor és csak akkor, ha x > y .

e)

f) x +y £9 2

2

x2 + y2 > 4

2112. a)

b)

x < 0 és x < y

x ¤ 0 és x = y

c)

d)

x + y = 0 és x ¤ y

x = y és y < 0

51

GEOMETRIA e)

f)

y ¤ x 2 és y = 4

x = 2 és x + y < 4

Megjegyzés: Az e) és az f) pont a feladatgyûjteményben hibásan jelent meg. 2113. a)

b)

x < 0 vagy y ¤ 0

x + y = 3 vagy x - y = 2

c)

d) x = y vagy x − y £ 2

y £ x 2 vagy x 2 + y 2 = 4

e)

f)

y > x vagy y < - x

52

x 2 + y 2 £ 1 vagy x + y = 1

PONTHALMAZOK 2114. a) Egész koordinátájú pontok: P1(1; 0), P2(0; 1), P3(-1; 0), P4(0; -1). Ezek egyenlõ távol vannak az origótól.

b) Az egész koordinátájú pontok az ábrán láthatók. Az origóhoz legközelebbi négy pont: P1(2; 2), P2(-2; 2), P3(-2; -2), P4(2; -2).

P2

P1

P3

P4

c) Végtelen sok egész koordinátájú pont van, közülük kettõ van az origóhoz legközelebb: P1(3; 3), P2(-3; -3).

P1

P2

53

GEOMETRIA d) A megoldás ugyanaz, mint az a) pontban.

e) Végtelen sok megfelelõ pont van, az origóhoz legközelebbiek: P1(2; 0), P2(-2; 0).

f) A megfelelõ pontok az ábrán láthatók, az origóhoz legközelebbiek: P1(1; 0), P2(0; 1), P3(-1; 0), P4(0; -1).

g) A megfelelõ pontok az ábrán láthatók. Az origóhoz legközelebbiek ugyanazok, min az elõzõ pontban.

54

P2

P1

P3

P2 P4

P1

PONTHALMAZOK 2115. A közös rész egy zárt síkidom, az ábrán vonalkázással jelöltük.

2116. A közös részt az ábrán vonalkázással jelöltük. (Két közös pont nélküli síkidom, az egyik nagyon „pici”.)

2117. a) hamis

b) igaz

c) hamis

d) igaz

2118. a) hamis

b) igaz

c) igaz

d) hamis

e) igaz

2119. a) hamis

b) hamis

c) hamis

d) igaz

e) igaz

2120. a) hamis

b) hamis

c) igaz

d) igaz

2121. a) hamis

b) hamis

c) hamis

d) igaz

2122. a) hamis

b) igaz

c) igaz

d) hamis

2123. a) AB £ 4 cm

e) igaz

f) igaz

f) igaz

b) AB ¤ 10 cm

55

GEOMETRIA 2124. a)

b)

Ha PB < 4 cm, akkor PA < 1 cm. c) Nincs ilyen pont. e)

d)

Ha PA < 1 cm, akkor PB > 2 cm. f) Az AB szakasz A-hoz közelebbi harmadolópontja kivételével a sík minden pontja megfelel. 2125. a) Adott középpontú, adott sugarú gömbfelületen. b) Egy olyan végtelen hengerpaláston, amelynek tengelye az adott egyenes, keresztmetszetének sugara pedig az adott távolság. c) Az eredeti félsík által meghatározott mindkét féltérben egy-egy, az eredetivel párhuzamos sík, tõle adott távolságban. 2126. a) A két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõleges síkjában. Ezen sík minden pontja rendelkezik az adott tulajdonsággal, a tér más pontjai viszont nem. b) A két adott egyenes által meghatározott sáv felezõegyenesére illeszkedõ, a két egyenes által meghatározott síkra merõleges síkban. c) A két metszõ egyenes szögfelezõ egyeneseire illeszkedõ, az egyenesek által meghatározott síkra merõleges síkokban. Ez a két sík egymásra is merõleges. d) A két egyenest egymástól elválasztó, mindkettõvel párhuzamos és a távolságukat felezõ síkban. 2127. a) A két síkot egymástól elválasztó, velük párhuzamos és a távolságukat felezõ síkban. b) A két metszõ sík által meghatározott szögek szögfelezõ síkjaiban. Ezen két sík illeszkedik az eredeti síkok metszésvonalára és merõleges egymásra. 2128. Az eredetivel koncentrikus 1 cm, illetve 5 cm sugarú gömbfelületek. 2129. a) hamis g) igaz

b) igaz h) hamis

c) hamis i) hamis

d) igaz j) igaz

e) hamis

f) hamis

2130. a) hamis

b) hamis

c) igaz

d) hamis

e) igaz

f) igaz

2131. a) hamis

b) hamis

c) hamis

d) igaz

e) hamis

f) igaz

56

GEOMETRIA

Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 2132. Alapszerkesztések. 2133. Alapszerkesztések. 2134. Alapszerkesztések. 2135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így x = y=

a+b ; 2

a-b . Az e) és az f) pont adatainak megfelelõ szakaszok nem léteznek. 2

c+d c-d ; b= . Az a hosszúságú 6 6 szakasz szerkesztéséhez harmadolnunk is kell, ami az ábrán látható módon végezhetõ el. Az e) pont adatainak megfelelõ szakaszok nem léteznek.

2136. a =

x 3

x 3

x 3

2137. Alapszerkesztések. AB + BC 2 a) 2, 5 cm b) 2,25 cm

2138. F1 F2 =

c) 4,1 cm

d) 9,5 cm

2139. BC = AC + BD - AD a) 3 cm b) 6 cm c) 5 cm d) B = C f) Az adatok nem felelnek meg a feltételeknek. 2140.

e) 37,54 cm f) 7,65 cm

e) 4,19 cm

AB

BC

CD

AC

BD

AD

4 cm

5 cm

6 cm

9 cm

11 cm

15 cm

8 cm

3 cm

45 mm

11 cm

0,7 dm

15 cm

0,9 cm

73 mm

6,7 cm

0,82 dm

14 cm

14,9 cm

130 cm

1,8 m

1,2 m

3,1 m

3m

4,3 m

1,3 km

200 m

1,5 km

1500 m

1700 m

3 km

1 mm

3,9 cm

13 mm

4 cm

5,2 cm

53 mm

x dm

(7,2 - x) dm

6 dm

72 cm

(13,2 - x) dm 1320 mm

Az utolsó sor adatai alapján B a feltételnek megfelelõen szabadon választható.

56

SÍKBELI ALAKZATOK 2141. A feladatban egy adott hosszúságú szakaszt kell arányosan felosztani. (Lásd az ábrát.)

d1 + d2 = d d1

2142. a)

10 cm 3

g) 5,5 cm

b)

10 cm 7

c) 4 cm

d)

20 cm 7

x d1 = y d2

d2

e) 6 cm

f)

40 cm 11

e) 2,25 m

f)

27 m 11

10 p cm p+q

h) 6,5 cm

i)

2143. a) 3 m

b) 4,5 m

c) 6 m

g) 2 m

h) 2,5 m

i)

9-

d) 1,8 m

18 p 18q m = 9m p+q p+q

2144. a) - b) Egy szabályos háromszögnek megszerkesztem az egyik magasságát. 30∞ c) 15∞ = 2 30∞ d) 75∞ = 60∞+15∞ = 60∞+ 2 45∞ e) 22 ,5∞ = . 45º az egyenlõ szárú 2 derékszögû háromszög átfogóján fekvõ szög. 15∞ f) 37,5∞ = 30∞+7,5∞ = 30∞+ 2

a 2

45∞ 2 e) 82∞30' = 82,5∞ = 60∞ + 22,5∞

2145. c) 22 ,5∞ =

d) 67,5∞ = 60∞+7,5∞ = 60∞+ f) 135∞ = 90∞ + 45∞

g) 120∞ = 2 ◊ 60∞ i) 112 ∞30' = 112 ,5∞ = 90∞+22 ,5∞ = 90∞+

15∞ 30∞ = 60∞+ 2 4

h) 105∞ = 90∞+15∞ = 90∞+

30∞ 2

45∞ 2

j) 225∞ = 180∞ + 45∞ 2146. a) 270∞ = 180∞ + 90∞ = 360∞ - 90∞ b) 330∞ = 360∞ - 30∞

57

GEOMETRIA c) 210∞ = 180∞ + 30∞ 75∞ 30∞ = 180∞+30∞+ 2 4 45∞ 202 ∞30' = 202 ,5∞ = 180∞+22 ,5∞ = 180∞+ 2 30∞ 285∞ = 270∞+15∞ = 270∞+ 2 30∞ 262 ,5∞ = 270∞-7,5∞ = 270∞4 405∞ = 360∞ + 45∞

d) 217,5∞ = 180∞+37,5∞ = 180∞+ e) f) g) h)

i) 375∞ = 360∞+15∞ = 360∞+

30∞ 2

2147. Alapszerkesztések. 2148. Alapszerkesztések. (a + b ) + (a - b ) (a + b ) - (a - b ) ; b= 2 2 a) a = 45∞, b = 15∞ b) a = 60∞, b = 30∞

2149. a =

c) a = 30∞, b = 15∞

d) a = 100∞, b = 20∞

e) a = 180∞, b = 30∞

f) a = 134,5∞, b = 44,5∞

g) a = 88∞38', b = 50∞8'

h) a = 168,55∞, b = 39,25∞

i) a = 300∞, b = 30∞

j) a = 224∞30', b = 67∞17'

2150. Lásd a 2149. feladatot! 2151. Lásd a 2149. feladatot! 2152. Lásd a 2149. feladatot! 2153. Alapszerkesztések. g +d g -d ; b= 4 2 a = 22,5∞, b = 15∞ a = 26,25∞, b = 7,5∞ a = 43,125∞, b = 18,75∞ a = 105∞, b = 60∞ a = 183,75∞, b = 52,5∞

2154. a = a) c) e) g) i)

2155. a) 38∞, 38∞ 7 2 e) 33 ∞ , 42 ∞ 9 9

58

b) d) f) h)

a = 37,5∞, b = 15∞ a = 48,75∞, b = 22,5∞ a = 48,75∞, b = 15∞ a = 135∞, b = 45∞

1 2 b) 25 ∞ , 50 ∞ 3 3

c) 19∞, 57∞

d) 30,4∞, 45,6∞

f) 53,2∞, 22,8∞

2 1 g) 31 ∞ , 44 ∞ 3 3

h) 33,25∞, 42,75∞

SÍKBELI ALAKZATOK 2156. Ha a a kérdéses szög, akkor 3 2 a - a = 36∞ 5 5 a = 180∞. 5 12 12 2157. a + b = a + a = a = ◊105∞ = 180∞ 7 7 7

2158. a + b = 230∞ b a) 180∞+ = 230∞ Æ b = 100∞ , a = 130∞ 2 b) Két eset lehetséges. b 1. 180∞+ = 230∞ Æ b = 150∞ , a = 80∞ 3 2b 2. 180∞+ = 230∞ Æ b = 75∞ , a = 155∞ 3 c) Két eset lehetséges. b 1. 180∞+ = 230∞ Æ b = 200∞ , a = 30∞ 4 3b 2 1 2. 180∞+ = 230∞ Æ b = 66 ∞ , a = 163 ∞ 4 3 3 d) Két eset lehetséges. 2b = 230∞ Æ b = 125∞ , a = 105∞ 1. 180∞+ 5 3b 1 2 2. 180∞+ = 230∞ Æ b = 83 ∞ , a = 146 ∞ 5 3 3 2159. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ mindegyik esetben 60∞-os. a) 35∞; 60∞; 85∞ b) 30∞; 60∞; 90∞ c) 15∞; 60∞; 105∞ d) 10∞; 60∞; 110∞ e) 6∞46'; 60∞; 113∞14' 2160. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ legyen a. 5 3 6 a 3 a) + a + 2a = 180∞ Æ a = 51 ∞ª 51,43∞ . A szögek: 25 ∞ , 51 ∞ , 102 ∞ 7 7 7 2 7 16 17 16 5 2 3 a + a + a = 180∞ Æ a = 56 ∞ª 56,84∞ . A szögek: 37 ∞ , 56 ∞ , 85 ∞ b) 19 19 19 19 3 2 11 7 8 a 7 c) + a + 3a = 180∞ Æ a = 41 ∞ª 41,54∞ . A szögek: 13 ∞ , 41 ∞ , 124 ∞ 13 13 13 3 13 4 2 1 a 2 d) + a + 4a = 180∞ Æ a = 34 ∞ª 34,29∞ . A szögek: 8 ∞ , 34 ∞ , 137 ∞ 7 7 7 4 7 2161. Nagyság szerint rendezve a szögeket a középsõ mindegyik esetben 72∞-os. a) 12∞; 42∞; 72∞; 102∞; 132∞

b) 8∞; 40∞; 72∞; 104∞; 136∞

c) 52∞; 62∞; 72∞; 82∞; 92∞

d) 27∞; 49∞30'; 72∞; 94∞30'; 117∞

59

GEOMETRIA 2162. a) 72∞; 72∞; 72∞; 144∞

b) 40∞; 80∞; 120∞; 120∞ 3 1 6 4 d) 51 ∞ ; 77 ∞ ; 102 ∞ ; 128 ∞ 7 7 7 7

c) 30∞; 90∞; 90∞; 150∞ e) 69

3 1 12 10 ∞ ; 83 ∞ ; 96 ∞ ; 110 ∞ 13 13 13 13

2163. a) 90∞ e) 30∞-

f) 45∞; 75∞; 105∞; 135∞

b) 120∞

c) 150∞

30∞ 3 = ◊ 30∞ = 22 ,5∞ 4 4

d) 20∞

f) 60∞ - 5∞ = 55∞

2164. 0 óra 000∞ 5 óra 150∞ 09 óra 90∞ 1 óra 030∞ 6 óra 180∞ 10 óra 60∞ 2 óra 060∞ 7 óra 150∞ 11 óra 30∞ 3 óra 090∞ 8 óra 120∞ 12 óra 00∞ 4 óra 120∞ Megjegyzés: A mutatók által bezárt két szögbõl mindig a kisebbet tekintettük. 2165. a) 22,5∞

b) 49,2∞

c) 224,9∞

d) 106,406 ∞

e) 93,095∞

2166. a) 33∞30'

b) 42∞42'

c) 53∞36'

d) 134∞14'24”

e) 215∞3'

180∞ ◊ a ( rad ) p a) 180∞ b) 360∞

c) 90∞

d) 120∞

e) 30∞

f) 135∞

h) 15∞

i) 25∞

j) 75∞

f) 139∞0'36” 2167. a ∞ =

k)

180∞ ª 57,2958∞ª 57∞17'45'' p

2168. a ( rad ) = a) 2p g)

g) 67,5∞

3p 2

l)

288∞ ª 91,67∞ p

p ◊a ∞ 180∞

b) p h)

5p 3

p 3 p i) 12

c)

p 2 5p j) 12

d)

p 6 p k) 36

e)

f)

p 4

2169. b az a szög pótszöge, ha a + b = 90∞. Ha d jelöli a feladatban megadott különbséget, 90∞+d akkor a = b + d = 90∞ - a + d, amibõl a = . 2 a) 50∞ b) 51∞ c) 57,5∞ d) 65∞ e) 75∞ f) 82,5∞ g) 59,06∞ h) 60∞39'30” 2170. a) 30∞

60

b) 36∞

c) 27∞

d) 40∞

e) 45∞

f)

p ◊ 90∞ p+q

SÍKBELI ALAKZATOK 2171. Jelöljük a k számmal megjelölt szöget bk-val (k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7). Ekkor b2 = b4 = b6 = a, b1 = b3 = b5 = b7 = 180∞ - a. 2172. Két szög egymás mellékszögei, ha egyik szögszáruk közös, másik szögszáruk pedig ugyanazon egyenes két félegyenese. Ha d jelöli a feladatban megadott különbséget és a b szögre vagyunk kíváncsiak, akkor b = a - d = 180∞ - b - d, ahonnan 180∞-d b= . 2 a) 85∞ b) 79∞ c) 75∞ d) 67,5∞

e) 53,5∞

g) 30∞

h) 24∞21'

2173. a) 90∞

a + b = 180∞

f) 40∞

b) 120∞

c) 72∞

1 d) 77 ∞ 7

e) 75∞

f) 126∞

g) 81∞

h)

p ◊180∞ p+q

2174. a) a = 90∞, b = 90∞ b) a = 120∞, b = 60∞ c) a = 72∞, b = 108∞

a + b = 180∞

d) a = 67,5∞, b = 112,5∞ ∞ , b = 65,45 ∞ e) a = 114,54 f) a = 70∞, b = 110∞ g) a = 67,5∞, b = 112,5∞ h) a =

p q ◊180∞ , b = ◊180∞ p+q p+q

2175. a) a = 90∞, b = 90∞ b) a = 60∞, b = 120∞

a + b = 180∞

c) a = 72∞, b = 108∞ d) a = 80∞, b = 100∞ e) a = 54∞, b = 126∞ f) a = 63∞, b = 117∞ g) a = 82,5∞, b = 97,5∞

61

GEOMETRIA h) a =

p q ◊180∞ , b = ◊180∞ p+q p+q

2176. A derékszög. 2177. Jelölje a két szöget a és b. Mivel a szögfelezõk merõlegesek egymásra, a b ezért + = 90∞ , azaz a + b = 180∞. 2 2 Ez viszont azt jelenti, hogy mivel az egyik szögszár közös, ezért a szögek egymás mellékszögei, azaz a nem közös szögszárak valóban egy egyenesre illeszkednek. Az állítás megfordítása: Ha két szög egy-egy szára ugyanarra az egyenesre illeszkedik, akkor a másik száruk közös és szögfelezõik merõlegesek egymásra. A megfordítás nyilvánvalóan nem igaz. (lásd az ábrát.) Igaz viszont a következõ állítás: Ha két szög egyik szára közös, másik száruk pedig egy egyenesre illeszkedik, akkor szögfelezõik merõlegesek egymásra. A feltételbõl adódóan a b + = 90∞ . ugyanis a szögek egymás mellékszögei, így a + b = 180∞, amibõl 2 2 a b + = 60∞ . 3 3 A kérdéses szög lehet: a b a 1. 2 ◊ + = + 60∞ 3 3 3 a b b 2. + 2 ◊ = + 60∞ 3 3 3 a 0∞< a < 90∞ , így 0∞< < 30∞ . 3 b 90∞< b < 180∞ , így 30∞< < 60∞ . 3 A kérdéses szögösszegekre nézve: a 1. 60∞< + 60∞< 90∞ ; 3 b 2. 90∞< + 60∞< 120∞ . 3

2178. a + b = 180∞, így

62

SÍKBELI ALAKZATOK 2179. Rajzoljuk le a repülõgép útját. Az eredeti irányra merõlegesen, észak felé repül.

2180. Az ABC háromszög C-nél levõ szöge: 180∞ - 67,5∞ - 45∞ = 67,5∞. A hajó tehát az eredeti útirányhoz képest +67,5∞-kal elfordulva halad.

2181. Beesési szög az (1) helyzetben b1, a (2) helyzetben b1 + a. Mindkét helyzetben egyenlõ a beesési és a visszaverõdési szög az aktuális beesési merõlegeshez viszonyítva. A tükörrel együtt a beesési merõleges is a szöggel elfordul, így a beesési szög a-val változik. A beesési merõleges új, a-val elfordult helyzetéhez képest a visszaverõdési szög a-val változik, így az eredeti helyzethez képest valóban 2a-val fordul el.

b1

Kombinatorika a síkon 2182. n pont az egyenest n + 1 részre osztja, ezek között n - 1 szakasz és 2 félegyenes van. 2183. n részre az egyeneset n - 1 pont osztja. 2184. Az egyenesen n szakaszt n + 1 pont határoz meg.

63

GEOMETRIA 2185. Bármelyik pontból a többi ponthoz n - 1 egyenes húzható. Így összeszámlálva az egyeneseket mindegyiket kétszer számláljuk, ezért n olyan pont, amelyek közül semelyik n(n -1) egyenest határoz meg. három nincs egy egyenesen 2 a) 0 b) 1 c) 3 d) 6 e) 10 f) 15 2186. Bármely két egyenes meghatároz egy metszéspontot, és erre már más egyenes nem illeszkedik. Az elõzõ feladat gondolatmenetéhez teljesen hasonló módon adódik, hogy n n(n -1) metszéspontot határoz meg. egyenes 2 a) 0 b) 1 c) 3 d) 6 e) 10 f) 15 2187. n párhuzamos egyenes n + 1 részre osztja a síkot. 2188. a) 2

b) 4

c) 7

d) Eddig a rajzok alapján könnyû volt az egyes síkrészeket megszámolni, viszont ahogy az egyenesek száma nõ, ez egyre nehezebb lesz. Megfigyelhetjük, hogy a d) esetben a negyedik egyenes behuzása után ezen az egyenesen három metszéspont keletkezett, ami ezt az egyenest négy részre osztotta. Minden ilyen rész elvágott egy eddigi síkrészt, így a három egyenes helyzetéhez képest a síkrészek száma néggyel nõtt, azaz 11 lett. e) – f) Az ötödik egyenes behúzása után hasonló gondolatmenettel adódik, hogy a síkrészek száma 16, míg hat egyenes esetén 22. g) Jelölje an n db, a feladat feltételeit kielégítõ egyenes esetén a keletkezett síkrészek számát. A fenti gondolatmenetet alkalmazzuk. a0 = 1 a1 = 2 = a0 + 1 a2 = 2 + 2 = a1 + 2 = 4 a3 = 4 + 3 = a2 + 3 = 7 a4 = 7 + 4 = a3 + 4 = 11 # an = an-1 + n Összeadva ezeket, kapjuk, hogy a0 + a1 + a2 + ... + an = a0 + a1 + a2 + ... + an-1 + + 1 + 1 + 2 + ... + n, azaz an = 1 + 1 + 2 + ... + n = 1 +

n(n + 1) n 2 + n + 2 = 2 2

(Felhasználtuk, hogy az elsõ n pozitív egész szám összege

64

n(n + 1) .) 2

SÍKBELI ALAKZATOK 2189. Az elõzõ feladat alapján 5 egyenes a síkot legfeljebb 16 részre oszthatja, ugyanis ha vannak közöttük párhuzamosak, vagy van olyan pont, amire legalább 3 egyenes illeszkedik, akkor a síkrészek száma kevesebb lesz, mint 16. A válasz tehát: nem lehet. 2190. A három párhuzamos és a három egy pontra illeszkedõ egyenes összesen 10 metszéspontot határoz meg. (Lásd az ábrát.) Ezek után egyesével húzzuk be az egyeneseket. Egy új egyenes behúzása a metszéspontok számát annyival növeli, ahány egyenes a behúzás elõtt a rajzon volt. Így a tizedik egyenes behúzása után a metszéspontok száma: 10 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40. 2191. A legkevesebb részre akkor osztja, ha az egyenesek párhuzamosak, ekkor a keletkezõ részek száma 5. A legtöbb részre akkor osztja, ha az egyenesek páronként metszik egymást a kör belsejében és semelyik metszésponton sem megy át három egyenes. Ekkor a részek száma 11. (Lásd a 2188. feladat e) pontját!)

Sokszögek tulajdonságai 2192.

A 12. sorszámú síkidom deltoid, egyik helyre sem írható. 2193.

65

GEOMETRIA 2194. a)

b)

c)

d)

e)

2195. a) hamis g) igaz

b) igaz h) igaz

c) hamis i) igaz

d) igaz k) hamis

e) hamis l) igaz

f) igaz

2196. a) igaz g) igaz m) igaz

b) hamis h) igaz

c) igaz i) igaz

d) igaz j) hamis

e) hamis k) hamis

f) igaz l) hamis

2197. a) igaz g) igaz

b) igaz h) hamis

c) hamis

d) igaz

e) igaz

f) igaz


b) igaz h) igaz

c) hamis i) igaz

d) igaz j) igaz

e) hamis

f) igaz


b) igaz h) igaz

c) igaz i) igaz

d) igaz j) igaz

e) hamis

f) igaz

2200.

66

SÍKBELI ALAKZATOK

2201.

A szürkén satírozott tartományokba nem került rajz. 2202. a) igaz g) hamis m) igaz

b) hamis h) igaz

c) igaz i) hamis

d) hamis j) igaz

e) igaz k) hamis

f) igaz l) hamis

2203. a) hamis g) igaz

b) igaz h) hamis

c) hamis i) igaz

d) igaz j) igaz

e) igaz k) igaz

f) igaz


b) igaz h) igaz

c) igaz

d) hamis

e) igaz

f) igaz

2205. a) igaz g) igaz m) igaz

b) hamis h) hamis n) hamis

c) igaz i) igaz o) igaz

d) hamis j) igaz p) hamis

e) igaz k) igaz

f) igaz l) igaz

2206. a)

67

GEOMETRIA b)

c)

2207. a)

A szürkén satírozott részek üresen maradtak.

68

SÍKBELI ALAKZATOK b)

c)

A szürkén satírozott rész üresen maradt. 2208. a)

69

GEOMETRIA b)

c)

2209. a)

b)

70

SÍKBELI ALAKZATOK c)

2210. a) igaz g) igaz m) hamis

b) igaz h) igaz n) hamis

c) igaz i) igaz o) igaz

d) igaz j) hamis

e) hamis k) hamis

f) igaz l) igaz


b) igaz h) hamis

c) igaz i) hamis

d) hamis j) igaz

e) igaz

f) hamis

2212. a) igaz g) hamis

b) igaz h) igaz

c) hamis i) hamis

d) hamis j) hamis

e) igaz k) igaz

f) igaz l) igaz

b) hamis

c) igaz

d) igaz

e) igaz

f) igaz

2213.

2214. a) igaz 2215.

Háromszög

3 különbözõ oldala van

2 oldala egyenlõ

Minden oldala egyenlõ

Minden szöge hegyesszög Van derékszöge

–

Van tompaszöge

–

71

GEOMETRIA 2216.

2217. Konvexek: 1., 6. Nem konvexek: 2., 3., 4., 5., 7., 8. 2218. a) igaz g) hamis

b) hamis h) igaz

c) igaz i) hamis

d) hamis j) igaz

e) hamis

f) hamis

2219. Csak a páros oldalszámú szabályos sokszögeknek van szimmetria-középpontja. 2220. Szimmetria-átlója csak a páros oldalszámú szabályos sokszögeknek van, egy 2n oldalú szabályos sokszögnek n db. 2221. Az n oldalú konvex sokszög n - 2 megfelelõ háromszögre bontható. 2222. A válasz ugyanaz, mint az elõzõ feladatnál. 2223. Az n oldalú konvex sokszög egy csúcsából n - 3 átló húzható. 2224. Ha egy konvex sokszög egy csúcsából n átló húzható, akkor a sokszög oldalszáma n + 3. 2225. Ha egy konvex sokszöget az egy csúcsból húzható átlók n háromszögre bontanak, akkor a sokszög oldalszáma n + 2. 2226. Az n oldalú konvex sokszög belsõ szögeinek összege (n - 2) ◊ 180∞. a) 180∞

b) 360∞

c) 720∞

g) 1980∞

h) 3240∞

i) 5940∞

d) 900∞

e) 1080∞

f) 1260∞

2227. Bármely n oldalú sokszög belsõ szögeinek összege (n - 2) ◊ 180∞. a) 360∞ g) 3060∞

72

b) 540∞

c) 900∞

d) 1260∞

e) 1800∞

f) 2340∞

SÍKBELI ALAKZATOK 2228. Bármely konvex sokszög külsõ szögeinek összege 360∞. (n - 2 ) ◊180∞ . n d) 120∞ e) ª 128,57∞ f) 135∞

2229. Az n oldalú szabályos sokszög egy belsõ szöge a) 60∞

b) 90∞

c) 108∞

g) 144∞

h) 160∞

i) 162∞

2230. A középponti háromszögek szárszöge:

360∞ . n

(n - 2 ) ◊ 90∞ . n Jelölje a a középponti háromszögek szárszögét, b az alapon fekvõ szöget.

A középponti háromszögek alapon fekvõ szöge a belsõ szög fele, azaz

a) a = 120∞, b = 30∞

b) a = 90∞, b = 45∞

c) a = 72∞, b = 54∞

d) a = 60∞, b = 60∞

e) a = 36∞, b = 72∞

f) a ª 27,7∞, b ª 76,15∞

g) a = 20∞, b = 80∞

h) a ª 17,14∞, b ª 81,43∞

i) a = 12∞, b = 84∞

2231. Jelölje a a középponti szöget, ekkor a sokszög oldalszáma: n =

360∞ . a

Jelölje b a sokszög belsõ szögét. a) n = 3, b = 60∞, szögösszeg: 180∞

b) n = 4, b = 90∞, szögösszeg: 360∞

c) n = 5, b = 108∞, szögösszeg: 540∞

d) n = 6, b = 120∞, szögösszeg: 720∞

(2 n - 2 ) ◊180∞ (n - 1) ◊180∞ = , szögösszeg: (n - 1) ◊ 360∞ 2n n A külsõ szögek összege mindegyik esetben 360∞.

e) 2n, b =

2232. Ha b a külsõ szög és a a megfelelõ belsõ szög, akkor a = 180∞ - b. 360∞ Ha a sokszög n oldalú, akkor n = . b n(n - 3) A belsõ szögek összege (n - 2) ◊ 180∞, az átlók száma pedig N = . 2 a) a = 60∞, n = 3, N = 0, szögösszeg: 180∞ a = 90∞, n = 4, N = 2, szögösszeg: 360∞ a = 120∞, n = 6, N = 9, szögösszeg: 720∞ a = 150∞, n = 12, N = 54, szögösszeg: 1800∞ a = 156∞, n = 15, N = 90, szögösszeg: 2340∞ a = 168∞, n = 30, N = 405, szögösszeg: 5040∞ a = 174∞, n = 60, N = 1710, szögösszeg: 10440∞ (n - 1) ◊180∞ , 2n, N = n(2n - 3), szögösszeg: (n - 1) ◊ 360∞ h) a = n

b) c) d) e) f) g)

2233. Az n oldalú szabályos sokszögnek

n(n - 3) átlója van. 2

73

GEOMETRIA a) 0 g) 135

b) 2 h) 189

c) 5 i) 527

d) 9

2234. Az átlók száma ugyanaz, mint az elõzõ feladatban. a) 2 b) 5 c) 9 d) 14 g) 135 h) 230 i) 527 2235. Ha a belsõ szögek összege fokokban mérve S, akkor n = a) 3 g) 19

b) 4 h) 22

c) 5 i) 27

d) 8 j) 33

e) 27

f) 44

e) 35

f) 65

S ∞ + 360∞ . 180∞ e) 11

f) 15

2236. A szögösszeg n ◊ 180∞, ahol n a háromszögek száma. 2237. Ha a sokszög egy csúcsából n átló húzható, akkor a létrejövõ háromszögek száma n + 1, így a szögösszeg (n + 1) ◊ 180∞. 2238. Figyelembe véve a 2236. feladat eredményét, ha a háromszögek száma n, akkor egy n ◊180∞ belsõ szög: . n+2 a) 90∞ b) 108∞ c) 120∞ d) ª 128,57∞ e) 140∞ f) 150∞ g) ª 158,82∞ h) 163,63∞ i) 169,09∞ 2239. Figyelembe véve a 2237. feladat eredményét, ha az egy csúcsból húzható átlók száma (n + 1) ◊180∞ . n, akkor egy belsõ szög: n+3 a) 90∞ b) 108∞ c) 120∞ d) ª 128,57∞ e) 144∞ f) 150∞ g) ª 154,29∞ h) 162∞

i) 165,6∞

2240. Ha a szögösszeg a-nál nagyobb és b-nál kisebb, akkor a < (n - 2) ◊ 180∞ < b, amibõl a b +2
e) 9

f) 17

2241. Ha egy belsõ szög a-nál nagyobb és b-nál kisebb, akkor a sokszög n oldalszámára nézve: (n - 2 ) ◊180∞ a<
74

SÍKBELI ALAKZATOK 360∞ 360∞
a) Két lehetõség van, n lehet: 3; 4. c) Két lehetõség van, n lehet: 6; 7.

b) Két lehetõség van, n lehet: 4; 5. d) Egy lehetõség van, n = 8.

e) Kilenc lehetõségünk van, 9 £ n £ 17.

f) Nem lehetséges.

2242. Az n oldalú sokszög átlóinak a száma

n(n - 3) . Ha a sokszögnek k-szor annyi átlója 2

van, mint oldala, akkor n(n - 3) k ◊n = . 2 Ebbõl n = 2k + 3. a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 g) 33 Megjegyzés: n ilyen feltételek mellett mindig páratlan.

e) 17

f) 23

2243. Ha a jelöli a legkisebb szöget és a sokszög oldalszáma n, akkor a + (a + 5∞) + (a + 2 ◊ 5∞) + ... + (a + (n - 1) ◊ 5∞) = (n - 2) ◊ 180∞. Felhasználva, hogy az elsõ n - 1 pozitív egész összege n ◊a +

n(n -1) , kapjuk, hogy 2

n(n - 1) ◊ 5∞ = (n - 2 ) ◊180∞ . 2

Ebbõl n-2 n -1 ◊180∞◊ 5∞ 2 n a) A legkisebb szög: a = 82,5∞, a legnagyobb szög: 97,5∞. b) A legkisebb szög: a = 98∞, a legnagyobb szög: 118∞. c) A legkisebb szög: a ª 128,57∞, a legnagyobb szög: ª 158,57∞. d) A legkisebb szög: a = 120∞, a legnagyobb szög: 160∞. e) A legkisebb szög: a = 122,5∞, a legnagyobb szög: 177,5∞. f) A legkisebb szög: a = 114,5∞, a legnagyobb szög: 209,5∞. Az utóbbi esetben a sokszögnek 6 konkáv szöge van.

a=

Sokszögek szögei 2244. A külsõ szögek összege mindig 360∞, így ha n a sokszög oldalszáma, és a belsõ szögösszeg k-szor akkora, mint a külsõ, akkor (n - 2) ◊ 180∞ = k ◊ 360∞, amibõl n = 2(k + 1).

75

GEOMETRIA a) 6 b) 8 c) 12 d) 22 Megjegyzés: n ilyen feltételek mellett mindig páros.

e) 28

2245. Jelölje a', b ', g ' a megfelelõ külsõ szögeket, g a harmadik belsõ szöget. a) g = 67∞, a' = 127∞, b ' = 120∞, g ' = 113∞ b) g = 58∞, a' = 168∞, b ' = 70∞, g ' = 122∞ c) g = 90∞, a' = 150∞, b ' = 120∞, g ' = 90∞ d) g = 140∞, a' = b ' = 160∞, g ' = 40∞ e) Nem lehetséges. (96∞ + 85∞ > 180∞). f) g = 9∞, a' = 179∞, b ' = 10∞, g ' = 171∞ 2246. a) b = 30∞, a' = 120∞, b ' = 150∞, g ' = 90∞ b) a = 105∞, g = 35∞, b ' = 140∞, g ' = 145∞ c) b = 138∞22', g = 2∞22', a' = 140∞44', g ' = 177∞38' d) g = 70∞, b = 20∞, a' = 90∞, b ' = 160∞ e) a = 57∞29', b = 115∞44', g = 6∞47', g ' = 173∞13' f) Nem lehetséges. g) Mivel 73∞11' + 106∞49' = 180∞, ezért b szabadon választható és g = 106∞49' - b. h) g = 108∞28'43”, b = 6∞14'32”, a' = 114∞43'15”, b ' = 173∞45'28” 2247. a) g = 40∞, a' = 135∞, b ' = 85∞ b) a' = 143∞, b = 102∞, g = 41∞ c) a = 67∞, b = 48∞, g = 65∞ d) Nem lehetséges, ugyanis a + b + g = 179∞59'. e) Nem lehetséges, ugyanis a' π b + g. f) Nem lehetséges, ugyanis b = 45∞44' lenne, viszont ezzel a' π b + g. 2248. a) A háromszög szabályos. b) a = 30∞, g = 105∞. A b oldal egyik végpontjába az a, másik végpontjába a b szöget felvéve adódik a harmadik csúcs. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144. feladatot! c) Két oldal és a közbezárt szög adott, így a b oldalra egyik csúcsához felmérve a-t, majd a másik szögszárra felmérve c-t adódik a harmadik csúcs. d) g = 60∞. Lásd az elõzõ alpontot! e) A háromszög nem szerkeszthetõ, mivel a + b < c. f) A háromszög csak hasonlóság erejéig meghatározott, ezért egy tetszõleges szakaszra egyik végpontjába az a, másik végpontjába a b szöget felmérve adódik egy megfelelõ háromszög. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2145. feladatot! g) b = 75∞. Lásd az elõzõ alpontot! h) a = 45∞, b = 60∞. Lásd a b) alpontot!

76

SÍKBELI ALAKZATOK 2249. Legyenek a háromszög szögei rendre a, b, g. (1)

a p q = Æ b =a◊ b q p

(2) a + 10∞ = g

Felírva a háromszög belsõ szögeinek összegét: 180∞ = a + b + g = a + a

Ebbõl a =

Ê q + a + 10∞ = a ◊ Á 2 + p Ë

qˆ ˜ + 10∞ p¯

170∞ 170∞◊ p = . q 2p + q 2+ p

a) p = 2, q = 3 4 4 6 a = 48 ∞ ª 48,57∞, g = 58 ∞ ª 58,57∞, b = 72 ∞ ª 72,86∞ 7 7 7 a' ª 131,43∞, g ' ª 121,43∞, b ' ª 107,14∞ b) p = 4, q = 5 a ª 52,31∞, g ª 62,31∞, b ª 65,38∞ a' ª 127,69∞, g ' ª 117,69∞, b ' ª 114,62∞ c) p = 5, q = 7 a = 50∞, g = 60∞, b = 70∞ a' = 130∞, g ' = 120∞, b ' = 110∞ 2250. a = 50∞, így b + g = 130∞. Ha b : g = p : q, akkor b=

p q ◊130∞ és g = ◊130∞ . p+q p+q

a) b = 52∞, g = 78∞ b ' = 128∞, g ' = 102∞ ∞ , g = 70,90 ∞ c) b = 59,09 ∞ , g ' = 109,09 ∞ b ' = 120,90

b) b = 48,75∞, g = 81,25∞ b ' = 131,25∞, g ' = 98,75∞ d) b = 54,16 ∞ , g = 75,83 ∞ b ' = 125,83 ∞ , g ' = 104,16 ∞

2251. Csak a belsõ szögeket határozzuk meg. A külsõ szögek meghatározására nézve lásd pl. a 2245. feladatot! Ha a : b : g = p : q : r, akkor p q r ◊180∞ , b = ◊180∞ , g = ◊180∞ . p+q+r p+q+r p+q+r a) a = 30∞, b = 60∞, g = 90∞ b) a = 45∞, b = 60∞, g = 75∞ c) a ª 38,57∞, b ª 64,29∞, g ª 77,14∞ d) a = 45∞, b = 56,25∞, g = 78,75∞ e) a = 30∞, b = 70∞, g = 80∞

a=

2252. Legyenek a háromszög belsõ szögei a, b, g. Legyen a = 35∞17' és g = b + 18∞3'. Ekkor b + g = 2b + 18∞3' = 180∞ - a = 144∞43'. Ebbõl b = 63∞20', és így g = 81∞23'. A megfelelõ külsõ szögek: a' = 144∞43', b ' = 116∞40', g ' = 98∞37'.

77

GEOMETRIA 2253. Nincs ilyen háromszög, hiszen a + b = g ', a feladat feltételei alapján viszont a + b = 5g '. 2254. A feladat tulajdonképpen két feladat, ugyanis a külsõ szög lehet az alapon fekvõ szögek külsõ szöge, és lehet a szárak által bezárt szög külsõ szöge. 1. eset: b ' adott. 1. eset: Ekkor b = 180∞- b ', b' a= , 2 b' a ' = 180∞-a = 180∞- . 2 a) b = 144∞, a = 18∞, a' = 162∞ c) b = 117∞, a = 31,5∞, a' = 148,5∞ e) b = 88∞, a = 46∞, a' = 134∞ g) b = 60∞, a = 60∞, a' = 120∞

b) b = 136∞, a = 22∞, a' = 158∞ d) b = 100∞, a = 40∞, a' = 140∞ f) b = 70∞, a = 55∞, a' = 125∞

2. eset: a' adott. 1. eset: Ekkor a = 180∞-a ', b = 180∞-2a = a '-a , b ' = 180∞- b = 2a . Mivel a hegyesszög, ezért most csak az e), f), g) esetek lehetségesek. f) a = 70∞, b = 40∞, b ' = 140∞ e) a = 88∞, b = 4∞, b ' = 176∞ g) a = 60∞, b = 60∞, b ' = 120∞ 2255. a adott, d-t keressük. b g b + g 180∞-a d= + = = 2 2 2 2 a) 72∞ b) 67,5∞ c) 60∞ d) 40∞ f)

e) 30∞

5p = 75∞ 12

2256. a adott, b1-et és b2-õt keressük.

78

b 2

g 2

SÍKBELI ALAKZATOK 1. eset: A háromszög hegyesszögû (a < 90∞). a , b 2 = 90∞-a 2 a) b1 = 5∞, b2 = 80∞ b) b1 = 12,5∞, b2 = 65∞ b1 =

c) b1 = 15∞, b2 = 60∞

d) b1 = 22,5∞, b2 = 45∞

e) b1 = 30∞, b2 = 30∞

h) b1 =

b2 b1

5p p = 37,5∞, b2 = = 15∞ 24 12

2. eset: A háromszög tompaszögû. a b1 = , b 2 = a - 90∞ 2 f) b1 = 50∞, b2 = 10∞ g) b1 = 60∞, b2 = 30∞ 2257. d =

b2 b1

a b + = 45∞ 2 2

a 2

b 2

2258. Az a) és a b) eset hegyesszögû, a c) eset tompaszögû háromszöget eredményez. Mivel a magasságvonalak metszéspontja hegyesszögû esetben a háromszögön belül, míg tompaszögû esetben a háromszögön kívül van, ezért külön tárgyaljuk a két esetet. Célunk d1 és d2 meghatározása. A létrejövõ derékszögû háromszögek miatt (lásd a 2258/1. ábrát) d1 = a és d2 = b. a) d1 = 45∞, d2 = 80∞ b) d1 = 22,5∞, d2 = 82,5∞ 90∞-a

90∞-b

d1 d 2

2258/1. ábra

d1 d

90∞-g

2

90∞-b

2258/2. ábra

A létrejövõ derékszögû háromszögek és az A pontnál kialakuló csúcsszögek egyenlõsége alapján (lásd a 2258/2. ábrát) d1 = b és d2 = g. c) d1 = 60∞, d2 = 15∞

79

GEOMETRIA Megjegyzés: Természetesen indokolhattunk volna mindkét esetben a merõleges szárú szögek egyenlõségének figyelembevételével is. 2259. Tekintsük a 2255. feladat ábráját! Ott azt kaptuk, hogy d = 90∞180∞-d = 90∞+

a . Nyilván 2

a . 2

2260. A 2256. feladatban kaptuk, hogy az a szárszögû egyenlõ szárú háromszögben az egyik szárral alkotott magasság a másik szárral hegyesszögû háromszög esetén 90∞ - a, míg tompaszögû háromszög esetén a - 90∞ nagyságú szöget zár be. Jelölje d a feladatban megadott különbség(ek)et. Hegyesszögû eset: A 2260/1. ábrán jól látható, hogy b = 90∞ - d, és így a = 2d (d < 45∞). a) b = 80∞, a = 20∞

b) b = 76∞, a = 28∞

c) b = 70∞, a = 40∞

d) b = 67∞29', a = 45∞2'

90∞-a

e) b = 62∞, a = 56∞ 2260/1. ábra Tompaszögû eset: A feltétel alapján b - d = a - 90∞. Felhasználva, hogy a = 180∞ - 2b, kapjuk b - d = 180∞ - 2b - 90∞ = 90∞ - 2b. Ebbõl 90∞+d b= . 3

a - 90∞

2260/2. ábra

Teljesülnie kell a 90∞ < a feltételnek, amibõl b < 45∞, azaz d < 45∞. a) b = 33,3 ∞ , a = 113,3 ∞ c) b = 36,6 ∞ , a = 106,6 ∞ e) b = 39,3 ∞ , a = 101,3 ∞ 2261. Az ábrán látható, hogy az átfogóhoz tartozó magasság a derékszöget a két hegyesszöggel egyenlõ szögekre bontja. a) 15∞, 75∞ b) 22∞, 68∞

80

c) 36∞, 54∞

d) 45∞, 45∞

e) 60∞, 30∞

f) 79∞, 11∞

90∞+d < 45∞ , ahonnan 3

b) b = 34,6 ∞ , a = 110,6 ∞ d) b ª 37∞30' , a ª 105∞

SÍKBELI ALAKZATOK a b + . (Lásd még a 2255. feladatot!) 2 2 d) 39∞44'30” e) 65∞

2262. A két szögfelezõ által bezárt d szögre nézve d = a) 39∞ b) 45∞ c) 62∞15' A magasságvonalak szögét az egyes esetekben külön kell vizsgálni, attól függõen, hogy a konkrét szögek mekkorák. Az a) és a d) esetben a g szög tompaszög. Ekkor a 2258. feladat alapján a megfelelõ magasságvonalak szöge a + b. a) 78∞; d) 79∞29'. A b) esetben a magasságvonalak a befogók egyenesei, így szögük 90∞. (Itt is a + b = 90∞.) A c) és az e) esetben az egyik adott szög a tompaszög. A magasságvonalak meghúzásával létrejövõ derékszögû háromszögek, és a csúcsszögek egyenlõsége alapján a keresett szög 180∞ - (a + b). c) 55,5∞; e) 50∞. 2263. a) A 2255. és a 2262. feladat alapján d =

a + b - 90∞ 90∞-b

a + b - 90∞ 90∞-b

180∞- (a + b )

a b + . 2 2

b) Mivel az egy csúcsból kiinduló belsõ és külsõ szögfelezõ derékszöget zár be egymással, ezért a külsõ szöga b felezõk szöge is d = + . 2 2 c) A 2258. és a 2262. feladat alapján: – Ha a + b < 90∞, akkor d = a + b. – Ha a + b = 90∞, akkor d = 90∞. – Ha a + b > 90∞, akkor d = 180∞ - (a + b). Megjegyzés: Itt is és a korábbi feladatoknál is két egyenes hajlásszögén a kisebbik szöget értettük. 2264. Legyen a az adott szög és d (< 90∞) a két belsõ szögfelezõ által bezárt szög. (A másik belsõ szögfelezõ induljon a b szög csúcsából.) Csak az ismeretlen belsõ szögeket határozzuk meg. a) d = 80∞, b = 2d - a = 104∞, g = 40∞ b) Nem lehetséges. c) d = 74∞, b = 92∞, g = 32∞

d) d = 55∞, b = 54∞, g = 70∞

e) d = 50∞, b = 44∞, g = 80∞

f) d = 40∞, b = 24∞, g = 100∞

81

GEOMETRIA 2265. Jelölje a', b ', g ' a külsõ szögfelezõk által meghatározott háromszög belsõ szögeit az ábrának megfelelõen. A g szöget határozzuk meg, a többi teljesen hasonlóan adódik. a b ) = 180∞ - ÊÁ + ˆ˜ AOB < Ë 2 2¯

) = OBC' <) = 90∞, ezért Mivel OAC' < ) = 180∞, ahonnan g ' + AOB < g '=

a 2

b 2

a b + 2 2

Hasonlóan adódik, hogy a '=

b g + és 2 2

a g + . 2 2 a) a' = 70∞, b ' = 40∞, g ' = 70∞

b) a' = b ' = g ' = 60∞

c) a' = 75∞, b ' = 60∞, g ' = 45∞

d) a' = 77∞, b ' = 68∞, g ' = 35∞

b '=

e) a' = 73,5∞, b ' = 46,5∞, g ' = 60∞ 2266. Több esetet kell vizsgálnunk. 1. a < 90∞, b < 90∞. Ekkor a g-hoz tartozó magasság is a háromszög belsejében van, így a 2266/1. ábra alapján g g d = - (90∞- b ) = (90∞-a ) - . 2 2 Itt b > a, de a kétféle kifejezés egyesíthetõ: d = a+

g g - 90∞ = b + - 90∞ 2 2

. g a+b , ezért Mivel = 90∞2 2 d=

a-b a-b . = 2 2

Ennek az esetnek felelnek meg az a), b), c) alpontok. a) d = 11∞ b) d = 15∞ c) d = 0∞

82

g 2

90∞-b

2266/1. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK 2. a és b közül valamelyik tompaszög. Legyen a > 90∞. Ekkor a 2266/2. ábra alapán g d = a - 90∞+ . 2 g Fejezzük ki -t a-val és b-val, írjuk be 2 az elõzõ kifejezésbe, majd vonjunk öszsze. Kapjuk a-b d= . 2 Eredményünk ugyanaz, mint az 1. esetnél. Ennek az esetnek felelnek meg a d) és e) alpontok. d) d = 42∞ e) d = 57∞

a - 90∞

g 2

180∞-a

2266/2. ábra

2267. Három esetet különböztetünk meg. 1. eset: A háromszög hegyesszögû. Jelölje Ta az a-hoz tartozó, Tb a b-hez tartozó magasság talppontját. Az ATaC és a BTbC háromszögek olyan derékszögû háromszögek, amelyeknek egyik hegyesszögük g. Ebbõl adódóan ) = TaAC <) = 90∞ - g. TbBC <

ma

Tb

mb

Ta

2267/1. ábra 2. eset: A háromszög tompaszögû és a a leghosszabb oldal. ) = TaAC <) = 90∞ - g. (Az Itt is TbBC < indoklás ugyanaz, mint az elõzõ esetnél.)

Tb mb ma

Ta

2267/2. ábra 3. eset: A háromszög tompaszögû, valamint a és b a két rövidebbik oldal. ) = TbCB <) = 180∞ - g TaCA < ) = TbBC <) = (csúcsszögek), így TaAC < = g - 90∞.

Ta

Tb mb

ma

180∞-g

2267/3. ábra

83

GEOMETRIA 2268. Az ábrán látható, hogy d = 45∞ - b = a - 45∞.

2269. Jelölje d a kisebbik szöget. Ekkor g d = 180∞-a - = 180∞-a 2 a bˆ a-b Ê . - Á 90∞- - ˜ = 90∞Ë 2 2¯ 2

g 2

Itt most az ábrán a > b teljesül. Az öszszefüggés ettõl függetleníthetõ: d = 90∞-

a-b 2

.

a) d = 77∞

b) d = 65∞18'30”

c) d = 45,5∞

d) d = 60∞

e) d = 90∞

f) d = 45∞

2270. Az elõzõ feladat alapján a két szög különbsége: Ê a-b ˆ Ê a-b ˆ ˜ = a-b . ˜ - Á 90∞Á 90∞+ 2 ¯ Ë 2 ¯ Ë

2271. A feltételek alapján a két részháromszög derékszögû, így az eredeti háromszög egyenlõ szárú derékszögû háromszög. 2272. Jelölje a az alapon fekvõ szög felét. )= Ekkor mivel AD = AB, ezért ABD < ) = 2a. Így a + 2a + 2a = 180∞, = BOA < amibõl a = 36∞. A háromszög szögei 72∞, 72∞, 36∞.

) = a = 36∞. 2273. Az elõzõ feladat esetében AD = DC is teljesül, ugyanis ACB <

84

SÍKBELI ALAKZATOK 2274. a)

b)

c)

d)

2275. a) A 2263. feladat a) pontja alapján, ha

g = 2

és

b = , akkor 2

b g + = 58∞ , 2 2 b + g = 116∞ ,

így a = 180∞ - (b + g) = 64∞. a b = és = , akkor 2 2 a + b = 180∞-72 ∞ = 108∞

b) Ha

a b + = 54∞ , 2 2 így d = 54∞.

c) b = 90∞ - 35∞ = 55∞, d = 35∞. A két magasság által létrehozott derékszögû háromszögek hegyesszögei közötti kapcsolat, a háromszög külsõ szögére vonatkozó tétel és a csúcsszögek egyenlõsége miatt a háromszög belsõ szögeinek összege: 35∞ + (b + g) + (b + (d - g)) = 180∞. Rendezve g kiesik, ami azt jelenti, hogy g -t bizonyos határok között szabadon választhatom, b és d értéke viszont meghatározott. 180∞-100∞ = 40∞ . 2 d + 100∞ + (180∞ - 2 ◊ 20∞) = 360∞,

d) g =

ahonnan d = 120∞, és így a = 30∞.

85

GEOMETRIA 2276. A kijelölt O pont a háromszög oldalfelezõ merõlegeseinek metszéspontja, a háromszög köré írható kör középpontja. Ennélfogva az ABO, BCO és CAO háromszögek egyenlõ szárúak. Jelölje most a szokásostól eltérõen ezen háromszögek alapon fekvõ szögeit rendre a, b és g. Ezzel a jelöléssel a + b + g = 90∞. ) = 180∞ - 2a = 180∞ - 2(90∞ AOB < - b - g) = 2(b + g). A BOC és az AOC szögekre hasonlóan adódik, hogy az állítás igaz. 2277. a) 2g + d = 180∞ fi g = 50∞ g = 2a fi a = 25∞ a + b + g + (180∞ - 2b) = 180∞ fi b = a + g = 75∞ e = 180∞ - (a + b) = 80∞ = d b) g = 45∞, a = 22,5∞, b = 67,5∞, e = 90∞ c) g = 35∞, a = 17,5∞, b = 52,5∞, e = 110∞ 2278. A feladat feltételének megfelelõ összeg képzésére 4 lehetõségünk van: (1) a' + a + b (2) a' + 2b (3) b' + a + b (4) b' + 2b a) (1) b = 30∞, a = 120∞ (3) a = 30∞, b = 75∞

(2) 210∞ + 2a = 360∞ fi a = 75∞, b = 52,5∞ (4) b = 30∞, a = 120∞

b) (1) b = 56∞, a = 68∞ (3) a = 56∞, b = 62∞

(2) a = 62∞, b = 59∞ (4) b = 56∞, a = 68∞

c) (1) b = 80∞, a = 20∞ (3) a = 80∞, b = 50∞

(2) a = 50∞, b = 65∞ (4) b = 80∞, a = 20∞

d) (1) Nem lehetséges. (2) a = 30∞, b = 75∞ (3) a = 120∞, b = 30∞ (4) Nem lehetséges. Megjegyzés: (1) és (4) ugyanazokat a szögeket szolgáltatja, ezért három lényegesen különbözõ eset van. 2279. a = g + w fi w = 30∞ b = d + w fi d = 30∞ g = e + d fi e = 50∞ Kihasználtuk a csúcsszögek egyenlõségét és a háromszög külsõ szögére vonatkozó tételt.

86

SÍKBELI ALAKZATOK 2280. Igaz. Mivel 2 (< + < + <) = 180∞ , ezért < + < + < = 90∞ . CP-t P-n túl az AB szakaszig meghosszabbítva kapjuk a D pontot. A szögekre megállapított fenti összefüggés miatt ADC <) = 90∞, így CD magasság. Hasonlóan adódik, hogy CEB <) = 90∞ (lásd az ábrát), így BE is magasság. Mivel P illeszkedik a háromszög két magasságvonalára (ebbõl következik, hogy a harmadikra is), ezért P valóban a magasságpont. 2281. A feltételekbõl CFE <) = 90∞ a) 39∞

b) 42∞

b a a b és FEC <) = 90∞ - . Így ECF <) = + . 2 2 2 2 c) 55∞ d) 38∞20' e) 59∞

2282. Kihasználva, hogy a megfelelõ háromszögek külsõ szöge egyenlõ a nem mellette fekvõ két belsõ szög összegével, a következõk adódnak:

1. CAB <) = ABC <) = a 2. DCB <) = BDC <) = 2a 3. Az elõzõ miatt BDE <) = BED <) = 180∞ - a - (180∞ - 4a) = 3a. 4. Hasonlóan FDE <) = EFD <) = 180∞ - 2a - (180∞ - 6a) = 4a. 5. b = EGF <) = FEG <) = 180∞ - 3a - (180∞ - 8a) = 5a. Kaptuk b = 5a. a) b = 25∞ b) b = 50∞ c) b = 75∞ d) Ez az adat nem felel meg az ábrának. 2283. Az n-edik szakasz behúzása után akkor nem tudjuk folytatni, ha az derékszöget zár be az egyik szögszárral. (Ekkor már nem képezhetõ új egyenlõ szárú háromszög.) Az elõzõ feladat alapján, ha a a kezdõ szög, akkor n ◊ a = 90∞. 90∞ a) a = 30∞ b) a = 18∞ c) a = 15∞ d) a = 10∞ e) a = 9∞ f) a = n 2284. Legyen a a szárak által bezárt szög. Ekkor a 2282. feladat és az ábra alapján 3a + 3a + a = 180∞, ahonnan 180∞ a= ª 25,72 ∞ , 7 540∞ 3a = ª 77,14∞ . 7

87

GEOMETRIA 2285. Jelölje d a negyedik szöget, a', b', g ', d' pedig a megfelelõ külsõ szögeket. a) d = a' = b' = g ' = d' = 90∞ b) d = 146∞, a' = 67∞, b' = 142∞, g ' = 117∞, d' = 34∞ c) A négyszög konkáv, d = 205∞59'. d) d = 108∞, a' = 135∞, b' = 101∞, g ' = 52∞, d' = 72∞ e) d = 69∞, a' = 83,7∞, b' = 88∞49', g ' = 76∞29', d' = 111∞ f) d = 15∞, a' = 113∞, b' = 8∞, g ' = 74∞, d' = 165∞ 2286. a) b) c) d) e)

b = 88∞, d = 87∞, a' = 70∞, g ' = 105∞, d' = 93∞ b = 57∞, d = 99∞, g = 139∞, a' = 115∞, g ' = 41∞ a = 39∞, g = 74∞, d = 83∞, b = 164∞, b' = 16∞ g = 78∞27', a = 47∞8', a' = 132∞52', b' = 115∞44', d' = 9∞51' d' = 74∞. b + g = 170∞, b szabadon választható a feltételnek megfelelõen, g b választásával már meghatározott. f) Mivel b + b' = 179∞, ezért nincs megfelelõ négyszög.

2287. Mivel a + b + g + d = 360∞ és a + b + a' + b' = 360∞, ezért d + g = a' + b'. a) 214∞ b) 206∞52' c) 193∞59' d) 200∞36' 2288. Lásd az elõzõ feladatot! 2289. Jelölje a szögfelezõk által bezárt szöget w. (Lásd az ábrát!) Az ABCM négyszögre felírva a belsõ szögek összegét: a g + + b + (180∞+w ) = 360∞ . 2 2 Ebbõl Êa g ˆ w = 180∞-Á + + b ˜ Ë2 2 ¯ Mivel az AMC <) lehet konvex és konkáv is, ezért Êa g ˆ w = 180∞-Á + + b ˜ Ë2 2 ¯

a) w = 5,5∞ c) w = 26,5∞

88

b) w = 2,5∞ d) w = 47∞27'30”

g 2

a 2

SÍKBELI ALAKZATOK 2290. Ha w a megfelelõ szögfelezõk által bezárt szög (lásd az ábrát), akkor a b w= + . 2 2 a) w = 95∞ b) w = 85∞

a 2

c) w = 132,5∞

b 2

d) w = 58∞53'30” 2291. a + b = 180∞ és az átlók oldalakkal bea b illetve . A feladatban zárt szöge 2 2 a adott. a) b = 150∞

b) b = 138∞

c) b = 129∞

d) b = 111∞44'

e) b = 56∞

f) b = 16∞41'

a 2 b 2

g) b = 180∞ - a 2292. Lásd az elõzõ feladatot! a) a = 32∞, b = 148∞

b) a = 62∞, b = 118∞

c) a = 86∞32', b = 93∞28' d) a = 137∞, b = 43∞ e) a = 140∞, b = 40∞

f) a = 2d, b = 180∞ - 2d

2293. a + b = 180∞ és a adott. a) b = 15∞

b) b = 127∞

c) b = 100∞44' d) b = 29∞ e) b = 18∞41' f) b = 180∞ - a A paralelogramma mindegyik esetben lehet rombusz is. 2294. Legyen a a kisebb szög. Ekkor 2a + d = 180∞, ahonnan d d a = 90∞- , b = 90∞+ . 2 2 a) a = 74,5∞, b = 105,5∞ b) a = 68,5∞, b = 111,5∞

c) a = 60∞, b = 120∞

d) a = 50∞52', b = 129∞8' e) a = 44,18∞, b = 135,82∞

89

GEOMETRIA 2295. A feltételek alapján az ATD derékszögû háromszög egybevágó a DTB derékszögû háromszöggel, ezért AD = BD = a, ami azt jelenti, hogy az ABD háromszög szabályos, így a = 60∞. a 2

a 2

2296. A 2291. és a 2295. feladat alapján a rombusz oldala és a rövidebb átló egyenlõ hosszúak. 2297. A 2293. feladat alapján, ha a : b = p : q, akkor a=

p q ◊180∞ és b = ◊180∞ . p+q p+q

a) a = 60∞, b = 120∞

b) a = 72∞, b = 108∞

c) a = 67,5∞, b = 112,5∞

d) a = 80∞, b = 100∞

e) a = 75∞, b = 105∞

f) a = 54∞, b = 126∞

2298. Mivel az AB és CD oldalak párhuzamoa sak, valamint FAE <) = ECF <) = , 2 ezért AF párhuzamos EC-vel. Ha AF és EC egybeesik, akkor a paralelogramma rombusz. Megjegyzés: Indokolhattunk volna így is: A paralelogramma átlóinak metszéspontjára vonatkozó tükrözésnél AF képe CE.

a 2

a 2

2299. Az elõzõ feladat alapján adódik, hogy a paralelogramma belsõ szögfelezõi parab a lelogrammát határolnak, vagy egy pon2 ton mennek át. Tegyük fel, hogy a para2 lelogramma két szomszédos oldala különbözõ hosszúságú. Mivel a b + = 90∞ , amibõl adódóan a paralelogramma két szomszédos a + b = 180∞, ezért 2 2 belsõ szögének felezõje derékszöget zár be. Így, ha a paralelogramma nem rombusz, akkor belsõ szögfelezõi olyan paralelogrammát határolnak, amelynek a szögei 90∞osak, azaz téglalapot. A belsõ szögfelezõk akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha a paralelogramma rombusz. (Lásd az elõzõ feladatot!)

90

SÍKBELI ALAKZATOK 2300. Mivel az egy csúcshoz tartozó belsõ és külsõ szögfelezõ derékszöget zár be, ezért a külsõ szögfelezõk olyan négyszöget határolnak, amelynek mindegyik szöge derékszög, azaz téglalapot. (Lásd az ábrát!)

2301. Az elõzõ feladat alapján nyilvánvaló. (Lásd az elõzõ feladat ábráját!) 2302. a adott, d-t kell meghatározni. Az ABM háromszög M-nél levõ külsõ szöge d, így d = 2a. a) d = 24∞

b) d = 43∞

c) d = 65∞46'

d) d = 90∞

e) d = 180∞ - 2 ◊ 62∞ = 56∞ (Az a most nem a rajznak megfelelõ) 2303. Az elõzõ feladat ábrája és a kapott összefüggés alapján, ha d adott és a-t keressük, akd kor a = . 2 a) a = 16∞ b) a = 30∞ c) a = 35∞38' d) a = 41,3∞ e) a = 66∞ 2304. Lásd a 2302. feladatot! 2305. Ha a megadott két szög (a és g) különa +g bözõk, akkor b = d = 180∞. 2 a) b = d = 108,5∞ b) b = d = 112,5∞ c) Itt b és d adott, a és g nem egyértelmû, a + g = 224∞ d) b = d = 84∞31' e) b = d = 48∞ f) b = d = 67∞6'30” a g és szöget zár be. 2 2 (AC, a szimmetriatengely, felezi az a és g szöget.) A BD átló és az oldalak szöge, lévén a g a deltoid átlói merõlegesek egymásra, 90∞és 90∞- . 2 2 a g a g = 16,5∞ , = 55∞ , 90∞- = 73,5∞ , 90∞- = 35∞ a) 2 2 2 2

2306. (Az elõzõ feladat ábráját használjuk.) Az AC átló az oldalakkal

91

GEOMETRIA b) c) d) e)

f)

a g a g = 22 ,5∞ , = 45∞ , 90∞- = 67,5∞ , 90∞- = 45∞ 2 2 2 2 Nem határozható meg egyértelmûen. a g a g = 60∞49'30'' , = 34∞39'30'' , 90∞- = 29∞10'30'' , 90∞- = 55∞20'30'' 2 2 2 2 Itt és az f) alpontban a deltoid konkáv, így ha g a konkáv a szög, akkor a BD átló az olda2 g a g - 90∞ és 90∞lakkal szöget a 90∞2 2 2 2 a zár be. (Lásd az ábrát!) = 20,5∞ , 360∞-g 2 g g g - 90∞ = 111,5∞ , - 90∞ = 21,5∞ , 2 2 2 a 90∞- = 69,5∞ . 2 a g g a = 9∞32'30'' , = 103∞5'30'' , - 90∞ = 13∞5'30'' , 90∞- = 80∞27'30'' . 2 2 2 2

2307. Általában két lehetõségünk van. a) 1. 131∞, 78∞, 131∞, 20∞ 2. 131∞, 78∞, 78∞, 73∞ b) 1. 89∞16', 89∞16', 107∞59', 73∞29' 2. 89∞16', 107∞59', 107∞59', 54∞46' c) 1. 73∞51', 73∞51', 67∞24', 144∞54' 2. 73∞51', 67∞24', 67∞24', 151∞11' d) Csak egy lehetõség van: 191∞, 34∞, 34∞, 101∞ e) Csak egy lehetõség van: 153∞, 101∞, 101∞, 5∞ f) Nem lehetséges. 2308. A 2305. és 2306. feladat alapján számolunk. a) 1. AC: 39∞, 10∞ b) 1. BD: 51∞, 80∞ 2. AC: 65,5∞, 36,5∞ 1. BD: 24,5∞, 53,5∞ c) 1. AC: 72∞27', 33∞42' d) 1. BD: 17∞33', 56∞18' 2. AC: 75∞35'30”, 36∞55'30” 1. BD: 14∞24'30”, 53∞4'30” e) 1. AC: 76,5∞, 2,5∞ 1. BD: 13,5∞, 87,5∞

92

1. AC: 53∞59'30”, 10∞44'30” 1. BD: 36∞30”, 53∞15'30” 2. AC: 44∞38', 27∞23' 1. BD: 45∞22', 62∞37' Az egyik szög konkáv. 1. AC: 95,5∞, 50,5∞ 1. BD: 5,5∞, 39,5∞ 1. (lásd a 2306. feladat ábráját)

SÍKBELI ALAKZATOK a g és 2 2 a g Ê ˆ adott, akkor b = d = 180∞ - Á + ˜ , Ë 2 2¯ és a BD átlónak az oldalakkal bezárt a és szögei konvex esetben 90∞2 g 90∞- , konkáv esetben (g > 180∞) 2 g a 90∞és - 90∞ . 2 2 a) a = 32∞, g = 148∞, b = d = 90∞, BD: 74∞, 16∞ b) a = 78∞32', g = 175∞2', b = d = 53∞13', BD: 50∞44', 2∞29' c) a = 87∞4', g = 188∞26', b = d = 42∞15', BD: 46∞28', 4∞13' d) Nem lehetséges. (a + b > 360∞) e) a = 69,4∞, g = 185∞14', b = d = 52∞41', BD: 55,3∞, 2∞37' f) Nem lehetséges. (a + b = 360∞)

2309. A 2306. feladat alapján, ha

2310. Adott 90∞-

g a g aˆ Ê gˆ Ê és 90∞- (vagy - 90∞ ). b = d = Á 90∞- ˜ + Á 90∞- ˜ , az AC átlóË 2¯ Ë 2¯ 2 2 2

a g és . (Lásd az elõzõ feladat ábráját!) 2 2 a) b = d = 90∞, a = 120∞, g = 60∞, AC: 60∞, 30∞

nak az oldalakkal bezárt szögei

b) b = d = 157∞, a = 34∞, g = 12∞, AC: 17∞, 6∞ c) b = d = 108∞, a = g = 72∞, AC: 36∞, 36∞ (rombusz) d) b = d = 112∞1', a = 102∞36', g = 33∞22', AC: 51∞18', 16∞41' e) b = d = 127∞5', a = 84,4∞, g = 21∞26', AC: 42,2∞, 10∞43' f) Nem lehetséges.

2311. Adott a és g. Ebbõl d = 180∞ - a és b = 180∞ - g, valamint a' = d, b' = g, g' = b, d' = a. a) b = 79∞, d = 146∞ b) b = 60∞, d = 120∞ (szimmetrikus trapéz) c) b = 68∞9', d = 106∞41' d) b = 71∞5', d = 83∞29' e) b = 3,3∞, d = 126∞11' f) Nem lehetséges.

93

GEOMETRIA

2312. A szögek az elõzõ feladat ábrájának megfelelõek, tehát a + d = b + g = 180∞. a) a = 36∞, b = 72∞, g = 108∞, d = 144∞ b) – d) Ezekkel az arányokkal a szögek nem lehetnek trapéz szögei, ugyanis nem teljesül a fenti feltétel. ∞ , b = 40,90 ∞ , g = 49,09 ∞ , d = 57,27 ∞ e) a = 32 ,72 f) Nem lehetséges. A megfelelõ külsõ szögek az elõzõ feladat alapján számolhatók.

2313. a) 150∞

b) 120∞

c) 90∞

d) 125∞21'

e) 69∞42'

f) 10,16∞

g) b = 180∞ - a

2314. g adott. Az ábra alapján a = 90∞-

g , 2

g . 2 a) a = 75∞, b = 105∞ b = 90∞+

b) a = 60∞, b = 120∞ c) a = 45∞, b = 135∞ d) a = 62∞40'30”, b = 117∞19'30” e) a = 34∞51', b = 145∞9' f) a = 5,08∞, b = 174,92∞ g) 90∞-

a a , 90∞+ 2 2

2315. Ha d a két szög közti különbség, akkor b = a + d és a + b = 180∞, amibõl a = 90∞d . 2 a) a = 85∞, b = 95∞

b) a = 81∞, b = 99∞

c) a = 70∞3'30”, b = 109∞56'30”

d) a = 41,645∞, b = 138,355∞

e) a = 34∞39'30”, b = 145∞20'30”

f) a = 13,65∞, b = 166,35∞

b = 90∞+

94

d , 2

SÍKBELI ALAKZATOK 2316. Legyen a a kisebbik, b a nagyobbik szög és d a feladatban megadott különbség. Ekkor 360∞-2d Ê3 ˆ a + Á a + d ˜ = 180∞ , ahonnan a = . Ë2 ¯ 5 a) a = 64,8∞, b = 115,2∞

b) a = 48∞55'36”, b = 131∞4'24”

c) a = 42,712∞, b = 137,288∞

d) a = 31∞20'24”, b = 148∞39'36”

e) a = 6,6∞, b = 173,4∞

f) Nem lehetséges.

2317. Jelölje w a szárak meghosszabbításai által alkotott szöget, és legyen a trapéz adott szöge a vagy d, attól függõen, hogy 90∞-nál kisebb, vagy nagyobb az adott szög. Ekkor a + d = 180∞, b = 180∞ - (w + a), b + g = 180∞. a) a = 30∞, g = 60∞

d = 150∞,

b = 120∞,

b) a = 60∞, d = 120∞, b = 90∞, g = 90∞ c) a = 73∞16', d = 106∞44', b = 76∞44', g = 103∞16' d) a = 86,73∞, d = 93,27∞, b = 63,27∞, g = 116,73∞ e) d = 116∞39', a = 63∞21', b = 86∞39', g = 93∞21' f) d = 124,6∞, a = 55,4∞, b = 94,6∞, g = 85,4∞ g) a, b = 180∞ - (w + a), g = w + a, d = 180∞ - a 2318. Az állítás igaz. Mivel AD = CD, ezért az ACD háromszög egyenlõ szárú, így DAC <) = ACD <) . Ugyanakkor AB párhuzamos CD-vel, ezért ACD <) = CAB <) . Kaptuk, hogy DAC <) = CAB <) , és ez volt az állítás.

2319. Jelölje a a DAB szöget. Ekkor CDB <) = = DBC <) = ABD <) = 90∞ - a. Húrtrapézról lévén szó a = 2(90∞ - a), ahonnan a = 60∞. Tehát DAB <) = ABC <) = 60∞ és BCD <) = CDA <) = 120∞.

90∞-a

90∞-a

95

GEOMETRIA 2320. Mivel AD = 2 ◊ DT, ezért az ATD derékszögû háromszöget az AB egyenesére tükrözve az eredeti és a képháromszög egyesítése szabályos háromszög, ami alapján a = 30∞, d = 150∞. g = 180∞ - b, így a feladat feltételébõl adódó egyen3 let: 30∞+ b = (180∞- b + 150∞ ) . Meg11 330∞ oldva kapjuk, hogy b = ª 47,14∞ , 7 és így g ª 132,86∞. 2321. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

96

SÍKBELI ALAKZATOK 2322. Az A'B'C'D'E' szabályos ötszögben E'A'B' <) = 108∞, így C'A'E' <) = 72∞. A CA'E' háromszög egyenlõ szárú (A'C = CE'), ezért A'E'C <) = 72∞. Ezek alapján ACE <) = 36∞.

2323. A paralelogramma szemközti szögei egyenlõek, szomszédos szögei pedig 180∞-ra egészítik ki egymást. Ha az A csúcsnál levõ szög a, akkor, felhasználva még a háromszög külsõ szögei és belsõ szögei közötti kapcsolatot, az AB oldalon fekvõ szögekre 5a = 180∞, amibõl a = 36∞. A paralelogramma szögei tehát 36 és 144 fokosak.

180∞-2a

180∞-2a

2324. Adott e = 76∞ és a. A tengelyes szimmetriából adódóan a = d és b = g. Adódik továbbá, hogy az ABFE négyszög belsõ szögeinek összege: a + b + 90∞ + 38∞ = 360∞. Így b = 232∞ - a. a) b = 172∞ b) b = 122∞ c) b = 119∞26' d) b = 99,33∞ e) b = 112∞ 2325. Jelölje a hatszög belsõ szögeit a, b, g, d, e, j. Ha a : b : g : d : e : j = p : q : r : s : t : v, akkor p q a= ◊ 720∞ , b= ◊ 720∞ , p+q+r + s+t + v p+q+r + s+t+ v g =

r ◊ 720∞ , p+q+r + s+t + v

d =

s ◊ 720∞ , p+q+r + s+t + v

e=

t ◊ 720∞ , p+q+r + s+t + v

j=

v ◊ 720∞ . p+q+r + s+t+ v

97

GEOMETRIA a) a ª 34,29∞, b ª 68,57∞, g ª 102,86∞, d ª 137,14∞, e ª 171,43∞, j ª 205,71∞; b) a ª 41,14∞, b ª 61,71∞, g ª 102,86∞, d = 144∞, e ª 164,57∞, j ª 205,72∞; c) a = 28,8∞, b = 72∞, g = 100,8∞, d = 129,6∞, e = 172,8∞, j = 216∞; d) a ª 61,71∞, b ª 82,29∞, g ª 102,86∞, d ª 123,43∞, e ª 164,57∞, j ª 185,14∞.

Háromszögek, négyszögek 2326. A háromszög létezéséhez teljesülnie kell, hogy bármely két oldal hosszának összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. Mind a négy esetben létezik a háromszög. 2327. Jelölje c a harmadik oldal hosszát. a) c + 2,7 > 5,1 és 2,7 + 5,1 > c; c lehet: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm. b) c + 0,7 > 1,8 és 1,8 + 0,7 > c; c = 2 cm. c) c + 1,16 > 2,32 és 1,16 + 2,32 > c; c lehet: 2 cm, 3 cm. d) c + 39,3 > 41,5 és 39,3 + 41,5 > c;

3 cm £ c £ 80 cm.

2328. Ha egy háromszögben a £ b, akkor és csak akkor az a-val szemközti a és a b-vel szemközti b szögre a £ b. a) A harmadik szög 52∞, vele szemben a b oldal fekszik. b) A harmadik szög 30∞, vele szemben az a oldal fekszik. c) A harmadik szög 72∞, vele szemben a b vagy a c oldal fekszik, ugyanis b = c. d) A harmadik szög 49∞, vele szemben a b oldal fekszik. e) A harmadik szög 6∞13', vele szemben az a oldal fekszik. f) A harmadik szög 80,25∞, vele szemben a b oldal fekszik. 2329. a) A harmadik oldal 6 cm és az alapon fekvõ szög a nagyobb. b) Két eset van. 1. A harmadik oldal 5 m és a szárak szöge a nagyobb. 2. A harmadik oldal 9 m és az alapon fekvõ szög a nagyobb. c) A harmadik oldal 10 dm és az alapon fekvõ szög a nagyobb. d) A harmadik oldalra nézve (jelölje c): 0 mm < c < 12 mm. – 0 mm < c < 6 mm esetén az alapon fekvõ szögek a nagyobbak. – c = 6 mm esetén a szögek egyenlõk. – 6 mm < c < 12 mm esetén a szárak szöge a nagyobb. 2330. A 2326. feladat kapcsán leírt feltételnek kell teljesülnie. Elõbb meghatározzuk az összes lehetséges kiválasztás számát, amelyek nem teljesítik a feltételt. 1. 3 különbözõ adatot választunk ki. Ha különbözõnek tekintjük azokat a hármasokat is, amelyek csak az adatok sorrendjében különböznek, akkor 7 ◊ 6 ◊ 5 = 210 esetünk van. Most azonban a csak sorrendben különbözõk azonos esetet jelentenek, így a kapott eredményünket osztani kell 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-tal, azaz 3 adat lehetséges sorrendjeinek a számával. Így kapjuk, hogy 35 különbözõ hármast tudunk kiválasztani. Ezek közül a feltételnek nem felelnek meg a következõ hármasok:

98

SÍKBELI ALAKZATOK 2 cm; 3 cm; 5 cm 2 cm; 3 cm; 5,3 cm 2 cm; 3 cm; 5,8 cm 2 cm; 3,6 cm; 5,8 cm. Tehát 31 különbözõ oldalhosszúságú háromszöget tudunk szerkeszteni az adott oldalakból. 2. Egyenlõ szárú, de nem egyenlõ oldalú háromszögek. 7 ◊6 = 21 -féleképpen tehetjük meg. Ebbõl a Most két adatot kell kiválasztani, ezt 2 feltételnek nem felel meg az alábbi négy eset: 2 cm; 2 cm; 4,2 cm 2 cm; 2 cm; 5 cm 2 cm; 2 cm; 5,3 cm 2 cm; 2 cm; 5,8 cm. Az adott szakaszokból tehát 17 egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. 3. 7 szabályos háromszög szerkeszthetõ az adott szakaszokból. Összegezve tehát az adott szakaszokból 31 + 17 + 7 = 55 különbözõ háromszög szerkeszthetõ. 2331. Legyen a ¤ b ¤ c. Mivel a ¤ b és a ¤ c, ezért 2a ¤ b + c, ami az állítást igazolja. 2332. Legyen a ¤ b ¤ c. Mivel a < b + c, ezért 2a < a + b + c = K, amibõl a+b+c K = . 2 2 Mivel a volt a legnagyobb oldal, ezért b-re és c-re is teljesül az állítás. a<

2333. Jelölje az egyenlõ szárú háromszög alapjának hosszát a, szárának hosszát b. Ekkor a kerület 2b + a. 2b + a a = b+ < b+a, 2 2 ami az állítás elsõ részét igazolja. Másrészt 3 b 3 a 3 3 3 ( 2 b + a) = b + a = b + + a > b + + a = a + b , 4 2 4 2 4 4 4 b a ugyanis 2b > a alapján > . 2 4 Ezzel az állítás második részét is beláttuk. 2334. A szerkesztés: Az a oldal egyik végpontjából a b, másik végpontjából a c oldallal körívezek, a kapott metszéspont lesz a harmadik csúcs. e) b = 10 cm, c = 7,5 cm; f) b = 42 mm, c = 42 mm. A háromszög mindegyik esetben egyértelmû. 2335. A szerkesztés: Az a oldalra egyik végpontjában felveszem a g szöget, majd annak másik szárára felmérem a b oldalt. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. felada-

99

GEOMETRIA tokat!) A háromszög mindegyik esetben egyértelmû. 2336. A szerkesztés: A b oldalra egyik végpontjában mérjük fel az adott a szöget, majd a másik végpontból az a oldallal körívezve az a szög szárából messük ki a harmadik csúcsot. a > b mindegyik esetben teljesül, a háromszög mindegyik esetben egyértelmû. 2337. A szerkesztés: Szerkesszük meg az a oldal egyik végpontjába a b, másik végpontjába a g szöget. Az adott szögek a-t nem tartalmazó szögszárainak metszéspontja a harmadik csúcs. A d) esetben b + g = 180∞, így nincs ilyen háromszög, a többi esetben a háromszög egyértelmû. 2338. Három eset lehetséges. 1. 75∞-os szöget az adott oldalak zárnak be. Ekkor a háromszög egyértelmû. (Lásd a 2335. feladatot!) 2. A 75∞-os szög a 6,5 cm-es oldallal szemben van. Ebben az esetben is egyértelmû a háromszög. (Lásd a 2336. feladatot!) 3. A 75∞-os szög az 5 cm-es oldallal szemközti szög. Ilyen háromszög nincs. Ha a szerkesztést a 2336. feladatban leírtak alapján végezzük, akkor az 5 cm-es oldallal körívezve a 75∞-os szög másik szárán metszéspont nem jön létre. (Lásd az ábrát!) 2339. A harmadik szög 75∞-os. Attól függõen, hogy a 45 mm-es oldal melyik szöggel van szemben, 3 különbözõ háromszöget kapunk, amelyek szerkesztésére nézve lásd a 2337. feladatot. 2340. A d) és az f) esetben a + b + g = 181∞, tehát nem létezik ilyen háromszög. A többi esetben végtelen sok megoldás van, ugyanis ezekkel az adatokkal a háromszög csak hasonlóság erejéig meghatározott. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!) 2341. a) Az alap két végpontjából a szárakkal körívezve adódik a harmadik csúcs. A megoldás egyértelmû. b) Az a oldal felezõmerõlegesére a felezõpontból felmérve ma-t adódik a harmadik csúcs. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2072. feladatot!) 180∞-75∞ = 52 ,5∞ . Az alapra mindkét végpontjában felmérjük a b szöget, ezek 2 szárainak metszéspontja lesz a harmadik csúcs. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2071. feladatot!)

c) b =

100

SÍKBELI ALAKZATOK d) Lásd a c) pontot! e) Felveszünk egy 105∞-os szöget, majd ennek mindkét szárára a szög csúcsából felmérjük a b oldalt. A megoldás egyértelmû. f) A b oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört szerkesztünk, majd ezt az egyik végpontból elmetsszük ma-val. A kapott metszéspont az a oldal felezõpontja. ma egyenesére tükrözve a b oldalt adódik a háromszög. A megoldás egyértelmû. g) Az a oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört szerkesztünk, majd az átmérõ egyik végpontjából mb-vel körívezünk. A körrel kapott metszéspontot az átmérõ másik végpontjával összekötve adódik az egyik szár egyenese. Ennek az a oldal felezõmerõlegesével vett metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa. (Lásd még a 2073. feladatot!) A megoldás egyértelmû. a nagyságú szöget, másik 2 végpontjában pedig szerkesszünk merõleges egyenest. A kapott félegyenesek metszéspontjai lesznek az alap végpontjai. A megoldás egyértelmû. (Lásd még a 2079. feladatot!)

h) ma egyik végpontjában mindkét irányban szerkesszünk

i) Szerkesszünk mb-re egyik végpontjában 90∞ - a nagyságú szöget, másik végpontjában pedig merõlegest. A kapott szögszárak metszéspontja lesz az alappal szemközti csúcs. Az így kapott szárra (b) a-t felmérve, majd a kapott szög másik szárára a már ismert b-t felmérve adódik a háromszög. A megoldás egyértelmû. j) Lásd a 2340. feladatot! A háromszög csak hasonlóság erejéig meghatározott. k) Mivel a + 2b = 177∞, ezért nincs ilyen egyenlõ szárú háromszög. l) Lásd az i) pontot! b = 90∞ , ezért b = 180∞ 2 - 2d, tehát b d ismeretében szerkeszthetõ. Hasonlóan szerkeszthetõ a is, ugyanis a = 180∞ - 2b = 4d - 180∞. a) Lásd a 2341/d) feladatot! b) Lásd a 2341/e) feladatot! c) Lásd a 2341/h) feladatot! d) Lásd a b) pontot! (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!)

2342. Mivel d +

ma

fb

b 2

101

GEOMETRIA 2343. Jelölje F az AC oldal felezõpontját. a) – b) Az ABF háromszög szerkesztÊ bˆ hetõ, ugyanis két oldala Á b, ˜ és a Ë 2¯ nagyobbikkal szemközti szöge (180∞ - d) adott. (Lásd a 2336. feladatot.) Ezek után az AF oldal F-en túli meghosszabbítására felmérve b -t adódik a C csúcs. 2

b 2

sb

180∞-d b 2

bˆ Ê c) Az ABF háromszög három oldala Á b, sb , ˜ adott, így most is szerkeszthetõ. (Lásd Ë 2¯ a 2334. feladatot!) A befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontokban.

2344. a) – a < 90∞. Lásd a 2341/i) feladatot! – a = 90∞. Ekkor mb = b, a háromszög egyenlõ szárú derékszögû. – 90∞ < a < 180∞. Az ATB háromszög szerkeszthetõ.

180∞-a

mb

mb

a - 90∞

2344/1. ábra

2344/2. ábra

b) Lásd a 2341/g) feladatot! a > mb esetén van megoldás. b b és AC'C <) = CAC' <) = , így az 2 2 AB'C' egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ (alapja és szögei adottak). Ezek után az AB' és az AC' oldalak felezõmerõlegesei kimetszik a B'C' szakaszból a B és C csúcsokat. A szerkeszthetõség feltétele, hogy b < 90∞ legyen.

c) A 2344/3. ábra alapján AB'B <) = BAB' <) =

102

SÍKBELI ALAKZATOK b 2

b 2

b 2

b 2

2344/3. ábra d) b = 90∞-

a , így ez az eset visszavezethetõ az elõzõre. (a < 180∞) 2

bˆ Ê e) – f) Tegyük fel, hogy b < 90∞ adott. Á a = 90∞- ˜ A 2344/4. ábra alapján (hasonË 2¯ lóan a c) ponthoz) az AB'C háromszög szerkeszthetõ (egy oldal és a rajta fekvõ két szög adott – lásd a 2337. feladatot), és B a B'C szakasz azon pontja, amelyik egyenlõ távol van A-tól és B'-tõl. b 2

b 2

2344/4. ábra g) Vegyünk fel az R sugarú körben egy a hosszúságú húrt. Ennek a húrnak a felezõmerõlegese kimetszi a körbõl az alappal szemközti csúcsot. – 2R = a. Egyértelmû megoldás, egyenlõ szárú derékszögû háromszög. – 2R > a. Két nem egybevágó háromszög a megoldás. – 2R < a. Nincs megoldás. h) Vegyünk fel az R sugarú körben egy b hosszúságú húrt, majd ennek egyik végpontjából húzzuk meg a kör átmérõjét. A húrt a tekintett átmérõ egyenesére tükrözve megkapjuk a háromszög hiányzó csúcsát. A megoldhatósághoz szükséges, hogy b < 2R teljesüljön. Ekkor a megoldás egyértelmû. i) Az R sugarú kör egyik átmérõjére annak egyik végpontjából mérjük fel az ma szakaszt, majd a kapott végpontban állítsunk rá merõlegest. Ez a merõleges kimetszi a körbõl az alap végpontjait. Ha ma < 2R, akkor egyértelmû megoldás van, más esetben nincs megoldás.

103

GEOMETRIA j) Mivel d + b = 90∞, ezért b szerkeszthetõ. Innen lásd a 2341/d) feladatot! d < 90∞ esetén egyértelmû megoldás van. 2345. Jelölje b az alapon fekvõ, a a szárak által bezárt szöget. Ekkor a + 2b = 180∞. a , így a = 2b, azaz a = 90∞, b = 45∞; 2 a b) b = , így 5b = 180∞, ahonnan b = 36∞, a = 108∞; 3 c) b = 2a, így 5a = 180∞, ahonnan a = 36∞, b = 72∞;

a) b =

d) b = 7a, így 15a = 180∞, ahonnan a = 12∞, b = 84∞. A szerkesztésre nézve lásd a 2341/d) feladatot! 2346. Ha K a kerületet, a az alap hosszát b a szár hosszát jelöli, akkor a + 2b = K. a) b = 2a, így 5a = 2 dm, ahonnan a = 0,4 dm, b = 0,8 dm; 2 8 b) b = 4a, így 9a = 2 dm, ahonnan a = dm , b = dm . 9 9 A szerkesztésre nézve lásd a 2341/a) feladatot! 2347. a) Lásd pl. a 2341/a) feladatot! b) A magasság egyik végpontjába merõlegest, másik végpontjába 30∞-os szögeket szerkesztünk mindkét oldalra. 2 c) A szabályos háromszög köré írható kör sugara a magasság része. (A köré írható 3 kör középpontja súlypont is egyben.) Így belõle felezéssel, majd háromszorozással a magasságot kapjuk. (Lásd a b) pontot!) d) A beírható kör sugara a magasság harmada. (A beírható kör középpontja is a súlypontban van.) 2348. a) Egy derékszög egyik szárára a-t, másik szárára b-t mérjük fel a csúcsból kiindulva. b) A c átfogó mint átmérõ fölé szerkesztett Thalész-körbõl, a-val körívezve c egyik végpontjából, kimetszük a derékszögû csúcsot. c) A c mint átmérõ feletti Thalész-körbõl a c-vel párhuzamos, tõle mc távolságra levõ egyenes metszi ki a derékszögû csúcsot. d) Egy derékszög egyik szárára mérjük fel a csúcsból kiindulva a-t, majd szerkesszünk a mint átmérõ fölé Thalész-kört. A derékszög csúcsából mc-vel körívezve kimetszük a Thalész-körbõl az átfogóhoz tartozó magasság talppontját. Ezt a másik végpontjával összekötve, majd a talpponton túl meghosszabbítva kapjuk az átfogót és a háromszög harmadik csúcsát. e) b = 90∞ - a, így szerkeszthetõ. Adott az a befogón fekvõ két szög (b, 90∞), így a háromszög a 2337. feladat alapján szerkeszthetõ. f) Lásd az elõzõ pontot! g) a = 90∞ - b. (Lásd az e) pontot vagy a 2337. feladatot!)

104

SÍKBELI ALAKZATOK h) Mivel TCA <) = 90∞ - a = b, ezért az ATC« szerkeszthetõ. (Lásd az e) pontot!) CA-ra C-ben merõlegest állítunk, majd AT-t T-n túl meghosszabbítjuk. Ezek metszéspontja lesz a B csúcs. A megoldás mindegyik esetben egybevágóság erejéig egyértelmû.

mc

2349. a) Lásd a 2348/d) feladatot! A megoldhatósághoz szükséges, hogy a > mc teljesüljön. A megoldás a > mc esetén egyértelmû. b) b = 90∞ - a szerkeszthetõ, így lásd a 2348/g) feladatot! A megoldhatósághoz szükséges, hogy a < 90∞ legyen. A megoldás a < 90∞ esetén egyértelmû. c) Lásd a 2348/e) feladatot! Szükséges, hogy b < 90∞ teljesüljön. A megoldás b < 90∞ esetén egyértelmû. d) c = 2R, b = 90∞ - a adottak, így lásd a b) pontot. Szükséges, hogy a < 90∞ teljesüljön. Ekkor egyértelmû a megoldás. e) c = 2R, így lásd a 2348/c) feladatot! A megoldhatóság feltétele, hogy mc £ R teljesüljön. Ebben az esetben a megoldás egyértelmû. f) c = 2R, így lásd a 2348/b) feladatot! A megoldhatósághoz szükséges, hogy b < 2R teljesüljön. Ekkor a megoldás egyértelmû. 2350. a) Az AOT háromszög szögei és egyik befogója adott, így szerkeszthetõ. (Lásd a 2348/a) feladatot!) Ezek után AT T-n túli meghosszabbítására mérjük fel T-bõl r-t, kapjuk a C csúcsot. Az AC egyenest tükrözzük az AO egyenesre, adódik az átfogó egyenese, aminek az AC-re C-ben állított merõlegessel vett metszéspontja a B csúcs. A megoldhatósághoz szükséges, hogy a < 90∞ legyen, ekkor a megoldás egyértelmû. b) – c) Az AOT háromszög most is szerkeszthetõ, hiszen két befogója (r, b - r) adott. Innen lásd az elõzõ pontot! A megoldáshoz szükséges, hogy b > 2r teljesüljön. Ebben az esetben a megoldás egyértelmû.

90∞-

a 2

a 2

2350/1. ábra

105

GEOMETRIA d) Mivel c + 2r és r adott, ezért c szerkeszthetõ. Másrészt a körhöz külsõ pontból húzott érintõszakaszok egyenlõsége következtében c = (a - r) + (b - r) = a + b - 2r, ahonnan a + b = c + 2r. (Lásd a 2350/1. ábrát!) A 2350/2. ábrán lát2350/2. ábra ható ABB' háromszög két oldala (a + b, c) adott és a BB'A <) = 45∞, lévén a BB'C derékszögû háromszög egyenlõ szárú (BC = B'C). Mivel a < 90∞, ezért az ABB' háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ. Az ABB' háromszög szerkesztése: Az AB' szakaszra a B' pontban szerkesszünk 45∞os szöget, majd A-ból c-vel messük el a kapott szögszárat. Mivel a < 90∞, ezért a létrejövõ metszéspontok közül a B'-höz közelebbi az a < b, távolabbi az a > b esetnek felel meg. (Ha az adataink olyanok, hogy csak egy közös pont – érintési pont – jön létre, akkor a = b és a = 45∞.) Ha az ABB' háromszög megszerkesztett, akkor a B-bõl AB'-re bocsátott merõleges talppontja lesz a C csúcs. Ahhoz, hogy adatainkból a háromszög szerkeszthetõ legyen szükséges, hogy az ABB' háromszög B csúcsa létrejöjjön. Szélsõ helyzetben (érintési pont) AB = BB' és így az ABB' háromszög egyenlõ szárú derékszögû. a + b c + 2r = . Ha c enPitagorasz tétele alapján ekkor 2c2 = (a + b)2, ahonnan c = 2 2 nél kisebb, nincs megoldás, ha nagyobb, vagy egyenlõ, akkor egybevágóság erejéig c + 2r , amibõl figyelembe véve, hogy c + 2r egyértelmû megoldás van. Tehát c ¤ 2 és r adott ( c + 2r ) - 2r ¤

c + 2r

,

2

vagy ( c + 2r )

2 -1 2 2

¤r.

e) Mivel c + 2r = a + b, ezért az ABB' háromszög a < 90∞ esetén egyértelmûen szerkeszthetõ (lásd a 2350/2. ábrát), ahonnan a befejezés az elõzõ pontban leírtak alapján történik. 2351. a) Lásd az elõzõ feladat d) pontját! A megoldáshoz szükséges, hogy c ¤ süljön. Ekkor egybevágóság erejéig egyértelmû megoldást kapunk.

106

a+b

2

telje-

SÍKBELI ALAKZATOK b) Az adatokból adódóan a > b. A 2351/1. ábra alapján az ABB' háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala (a - b, c) és a nagyobbikkal szemközti szög, amely, lévén az AB'C egyenlõ szárú derékszögû háromszög, 135∞. (Az ABB' háromszög szerkesztésére nézve lásd a 2336. feladatot!) Ezek után a BB' egyenesére A-ból bocsátott merõleges talppontja lesz a C csúcs. A megoldhatósághoz szükséges, hogy c > a - b teljesüljön, és ekkor egyértelmû megoldást kapunk.

2351/1. ábra

c) Mivel a > b, ezért 45∞ < a < 90∞ kell, hogy legyen. A 2351/1. ábrán látható, hogy az ABB' háromszögben B'AB <) = a - 45∞ és ABB' <) = = b = 90∞ - a. Ismert tehát egy oldal (a - b) és a rajta fekvõ két szög (90∞ - a, 135∞), így az ABB' háromszög szerkeszthetõ. (Lásd a 2337. feladatot!) Innen lásd az elõzõ pontot! A megoldás egyértelmû. d) Lásd az a) pontot! e) a adott, így a 2351/2. ábra alapján ABC <) = 90∞ - a, a BCC' <) = BC'C <) = 45∞ + , ami2 a bõl AC'C <) = 135∞ . Így az 2 AC'C háromszögben adott egy oldal (c - a) és a rajta fekvõ két szög a ˆ Ê Á135∞- , a ˜ , tehát a háromszög Ë 2 ¯ szerkeszthetõ. (Lásd a 2337. feladatot!) A hiányzó B csúcsot az AC-re C-ben állított merõleges és az AC' C'-n túli meghosszabbításának metszéspontja adja. a < 90∞ esetén egyértelmû megoldást kapunk.

90∞-a 135∞-

a 2

2351/2. ábra

107

GEOMETRIA f) A 2351/3. ábrán látható, hogy az adatokból a BC'B' háromszög szerkeszthetõ. (Lásd a 2337. feladatot!) A C és az A csúcsot a C'B' szakaszból a BC' és a BB' szakaszok felezõmerõlegesei metszik ki. Ha a < 90∞, a megoldás létezik és egyértelmû.

a 2

2351/3. ábra 2352. a) Az ábrán látható, hogy az adatokból az A'BC derékszögû háromszög szerkeszthetõ. (Egy oldal és a rajta fekvõ két szög adott: a + b, 90∞, 22,5∞. A szerkesztésre nézve lásd a 2337. feladatot!) Ezek után BC = a-t CA'-re C-bõl felmérve kapjuk az A csúcsot. A megoldás egyértelmû. b) Mivel az egyenlõ szárú derékszögû háromszög hegyesszöge 45∞, ezért lásd a 2351/e) feladatot! 2353. Elegendõ megszerkesztenünk a BCF derékszögû háromszöget (lásd az ábrát), ugyanis ennek a CF egyenesre való tükrözésével adódik a kívánt szabályos háromszög. A BCF háromszögre nézve adott a + m és a szögek, így az elõzõ feladat a) pontjában alkalmazott módszerrel szerkeszthetõ. A megoldás egyértelmû. a 2

2354. Azonos a 2347. feladat c) és d) pontjával. 2355. Ha a és b a két hegyesszög, akkor a + b = 90∞, és ha a : b = p : q, akkor a=

p q ◊ 90∞ és b = ◊ 90∞ . p+q p+q

A szerkesztésekre nézve lásd a 2337. feladatot! a) a = 30∞, b = 60∞; b) a = 36∞, b = 54∞;

c) a = 20∞, b = 70∞;

d) a = 18∞, b = 72∞;

f) a = 40∞, b = 50∞;

g) a = 35∞, b = 55∞.

108

e) a = 15∞, b = 75∞;

SÍKBELI ALAKZATOK 2356. Ha b > a és b - a = d, akkor a = 45∞-

d d és b = 45∞+ . 2 2

A hegyesszögek ismeretében a szerkesztés a 2337. feladat alapján történhet. a) a = 37,5∞, b = 52,5∞;

b) a = 33,75∞, b = 56,25∞; c) a = 30∞, b = 60∞;

d) a = 26,25∞, b = 63,75∞; e) a = 22,5∞, b = 67,5∞;

f) a = 15∞, b = 75∞;

g) a = 7,5∞, b = 82,5∞. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat.) 2357. a) a és b adott, ezért g = 180∞ - (a + b) is adott. Így két oldal és a rajta fekvõ két szög ismeretében a 2337. feladat alapján a háromszög szerkeszthetõ. A szerkeszthetõség feltétele: a + b < 180∞. b) Lásd a 2059. feladatot! A szerkeszthetõség feltétele: c ¤ ma. Ha c > ma, akkor két megoldás lehetséges attól függõen, hogy a-t az ma felöli, vagy a másik oldalra mérjük fel. c) Lásd a 2058. feladatot! A szerkeszthetõség feltétele: b < 180∞. d) Lásd a b) pontot! e) Az AB'C háromszögnek adott két oldala (a + c, b) és az egyikhez tartozó magassága, így a b) pont alapján szerkeszthetõ. (2357/1. ábra) A B'A szakasz felezõmerõlegesének a B'C szakasszal vett metszéspontja a B csúcs. A szerkeszthetõség feltétele: ma £ b és ma < a + c. A b) ponthoz hasonlóan itt is két megoldás lehetséges, ha ma < b.

ma b 2

2357/1. ábra f) Az AB'C háromszög most is szerkeszthetõ, hiszen egy oldal (a + c) és a rajta fekvõ Êb ˆ két szög Á , g ˜ adott. (Lásd a 2357/1. ábrát és a 2337. feladatot!) A B csúcsot az Ë2 ¯ elõzõ pontban leírt módszerrel kapjuk. A szerkeszthetõség feltétele: b + g < 180∞.

109

GEOMETRIA g) Az A'BC háromszögben adott két oldal (b + c, a) és a kisebbikkel a Êaˆ szemközti szög Á ˜ . A szerkesz2 Ë 2¯ téshez szükséges, hogy b + c > a teljesüljön. A szerkesztés: Az adott a A'C oldalra A-ban felvesszük az 2 szöget, majd a kapott szögszárat Ca bõl a sugarú körívvel elmetszve kap2 juk a B csúcsot. Ha az adatok olyanok, hogy B nem jön létre, akkor nincs megoldás. Ha a C középpontú, 2357/2. ábra a a sugarú körnek érintõje az 2 nagyságú szög szára, akkor a megoldás egyértelmû (A'BC <) = 90∞). Ekkor b = c, azaz a szerkesztett háromszög egyenlõ szárú. Ha a B csúcsra két lehetõségünk van (A'B szelõje a C középpontú, a sugarú körnek), akkor két megoldást kapunk. Az A csúcsot az A'B szakasz felezõmerõlegese metszi ki az A'C szakaszból. h) Az A'BC háromszög (2357/2. ábra) szerkeszthetõ, ugyanis adott két oldala (a, b + c) és a közbezárt szög (g). (Lásd a 2335. feladatot!) Az A csúcs az elõzõ pontban leírtak alapján kapható. A szerkeszthetõség feltétele: b + c > a, g < 180∞. A megoldás egyértelmû. i) A 2357/1. ábrán látható AB'C háromszög szerkeszthetõ. (Lásd a c) pontot!) A B csúcs az elõzõ pontokban leírt módon kapható. A szerkeszthetõség feltétele: a + c > ma, g < 180∞. j) A 2357/3. ábrán látható AB'C háb 90∞romszög szerkeszthetõ, ugyanis két 2 oldala (a - c, b) és a nagyobbikkal bˆ Ê szemközti szög Á 90∞+ ˜ adott. Ë 2¯ (Lásd a 2336. feladatot!) A B csúcsot az AB' szakasz felezõmerõlegese metszi ki a B'C egyenesbõl. A b b 90∞90∞+ szerkeszthetõség feltétele: b < 180∞, 2 2 a - c > 0, b > a - c. A megoldás 2357/3. ábra egyértelmû. k) A 2357/4. ábrán látható AB'C' háromszögnek ismert egy oldala (a + b + c), a hozzá tartozó magasság (ma) és az adott oldallal szemközti szög b +g aˆ 180∞-a Ê =a + = 90∞+ ˜ . Ez a háromszög szerkeszthetõ, bár a szerÁa + Ë 2 2 2¯ kesztéshez egy olyan tételt és ahhoz kapcsolódóan egy olyan szerkesztési eljárást fogunk alkalmazni, ami középiskolás tananyag. Ez a tétel Thalész tételének az általánosítása: Azon pontok halmaza a síkon, amelyekbõl a sík egy adott AB szakasza

110

SÍKBELI ALAKZATOK adott a (0∞ < a < 180∞) szög alatt látszik, két szimmetrikus körív, a látószögkörív, amelyek közös húrja az AB szakasz. Az AB szakasz végpontjai nem tartoznak a látószögkörívhez. (a = 90∞ esetén Thalesz tétele adódik.) (2375/5. ábra) g 2

b 2

ma

b 2

g 2

2357/4. ábra A látószögkörív szerkesztéséhez az ún. kerületi szögek tételét használjuk, amely azt mondja ki, hogy egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlõek. (Kerületi szög: Csúcsa a kör kerületén van, szárai pedig a kör két húrja, vagy egy húr és egy érintõ.) (2357/6. ábra)

O1

O2

2357/5. ábra

2357/6. ábra

A látószögkörív szerkesztése (lásd a 2357/5. ábrát): Legyen adott egy szakasz és egy konvex szög. 1. Szerkesszük meg a szakasz felezõmerõlegesét 2. Vegyük fel a szakaszra, annak egyik végpontjában az adott szöget. 3. A szög csúcsában szerkesszünk azon szögszárra merõlegest, amelyre nem illesz3. kedik az adott szakasz. 4. Az adott szakasz felezõmerõlegesének és a fenti merõlegesnek a metszéspontja 4. adja az egyik körív középpontját. 5. A másik középpont az adott szakasz egyenesére vonatkozó tükrözéssel adódik.

111

GEOMETRIA Ennyi bevezetõ után térjünk vissza az eredeti feladathoz. A szerkesztés (2357/4. ábra): a szögû látószögkörív 1. A B'C' (a + b + c) szakasz fölé szerkesszük meg a 90∞+ 2 1. egyik felét. 2. A körív felöli oldalra B'C'-tõl ma távolságra szerkesszünk B'C'-vel párhuzamost. 3. A körív és a párhuzamos metszéspontja az A csúcs. 4. AB' és AC' felezõmerõlegese metszi ki B'C'-bõl a B és a C csúcsot. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû, ha a körívnek és a párhuzamosnak van közös pontja, egyébként nincs megoldás. 2358. a) Vegyünk fel egy R sugarú kört, majd abban egy a hosszúságú húrt. Ezek után a húr egyenesétõl ma távolságra, a húrral párhuzamosan vegyünk fel két egyenest. Ezen egyenesek és a kör metszéspontjai szolgáltatják az a oldallal szemközti csúcsokat. A szerkeszthetõség szükséges feltételei: a £ 2R, ma < 2R. Ha csak az egyik párhuzamos egyenesnek van közös pontja a körrel, akkor egybevágóság erejéig egyértelmû a megoldás. Ha mindkét párhuzamosnak van közös pontja a körrel, akkor két nem egybevágó megoldást kapunk. Ha egyik párhuzamosnak sincs pontja a körön, akkor nincs megoldás. b) Az R sugarú kör a hosszúságú húrjára egyik végpontjában felvett b szög szára metszi ki a körbõl az a oldallal szemközti csúcsot. A szerkeszthetõség feltételei: a £ 2R, b < 180∞. A megoldás egyértelmû. c) Az R sugarú kör a hosszúságú húrjának felezõpontjából sa-val körívezve metszük ki a körbõl az a oldallal szemközti csúcsot. A szerkeszthetõség feltételei: a £ 2R. Ha nem jön létre metszéspont, akkor nincs megoldás. Ha van metszéspont, akkor a megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. d) Az R sugarú kör b hosszúságú húrja mint átmérõ fölé szerkesszünk Thalesz-kört. Ezt a Thalesz-kört messük el a húr valamelyik végpontjából ma-val körívezve. A kapott pont és a húr másik végpontja adja az a oldal egyenesét. Ennek az egyenesnek az R sugarú körrel vett másik metszéspontja a B csúcs. A szerkeszthetõség feltételei: b £ 2R, ma < b. A megoldás egyértelmû. e) Az sa mint átmérõ fölé szerkesszünk Thalesz-kört. Ezt sa egyik végpontjából ma-val körívezve (legyen ma < sa) messük el. A kapott metszéspont és sa másik végpontja meghatározza az a oldal egyenesét. Erre sa végpontjából mindkét irányban

a -t fel2

mérve adódik a B és a C csúcs. A szerkeszthetõség feltétele: ma £ sa. Ha ma = sa, akkor a háromszög egyenlõszárú. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. f) Szerkesszünk a b oldal mint átmérõ fölé Thalesz-kört. Ezt b egyik végpontjából messük el ma-val. Ez a pont és b másik végpontja meghatározza az a oldal egyenesét. Ezt az egyenest b azon végpontjából, amelybõl ma-val köríveztünk messük el saval. A kapott pont lesz az a oldal felezõpontja. Innen az a oldal és így a háromszög már szerkeszthetõ. A szerkeszthetõség szükséges feltételei: ma £ sa, ma £ b. Ha

112

SÍKBELI ALAKZATOK ma = sa, akkor a háromszög egyenlõszárú. Ha ma = b, akkor a háromszög derékszögû. Ha ma < sa, akkor két nem egybevágó háromszög a megoldás. 2359. a) Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú. (Lásd a 2341/b) feladatot!) Tegyük fel, hogy fa > ma. Ekkor A'AA0 <) =

a b +g b -g - (90∞- b ) = 90∞- (90∞- b ) = . 2 2 2

Mivel az A'AA0 háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot), ezért adott számunkra az a oldalon fekvõ két szög különbsége, b - g. (Most feltesszük, hogy b > g.)

ma

2359/1. ábra

fa

2359/2. ábra

A 2359/2. ábrán látható, hogy a háromszög A csúcsát a BC' szakasz fölé szerkesztett 180∞ - (b - g) szögû látószögkörív (lásd a 2357. feladat k) pontját) metszi ki a BCvel párhuzamos, tõle ma távolságra levõ e egyenesbõl. (C' a C pont e egyenesre vonatkozó tükörképe.) Mivel feltételeztük, hogy b > g, ezért a feladat megoldása egyértelmû.

113

GEOMETRIA b) Ha ma = fa, akkor a háromszög egyenlõ szárú, ennek szerkesztésére nézve lásd a 2341/h) feladatot. Tegyük fel, hogy fa > ma. Az A'AA0 háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot). A-ban fa-ra a 2359/3. ábrának megfelelõen minda nagyságú két oldalra felmérve az 2 szöget, a szögszárak kimetszik az A0A' egyenesbõl a B és a C csúcsot.

a 2

ma

fa

2359/3. ábra

Ha a < 180∞ és fa ¤ ma, akkor a feladat megoldása egyértelmû. c) A szerkesztés itt is az A'AA0 derékszögû háromszög megszerkesztésével kezdõdik, ha fa > ma. (ma = fa esetre lásd a 2341/f) feladatot!) Ha b > fa, akkor A-ból ma-val átellenes oldalra körívezve kapjuk a C csúcsot, ha b £ fa, akkor a másik irányba kell köríveznünk. (Ez az ábrán annak felel meg, hogy a c oldal adott.) A B csúcsot a b oldal fa egyenesére vonatkozó tükörképe metszi ki az A0A' egyenesbõl. A megoldás egyértelmû. d) Ha ma = fa, akkor az AA0C háromszög (lásd a 2348/e) feladatot) ma egyenesére vonatkozó tükörképének és az AA0C háromszögnek az egyesítése a szerkesztendõ háromszög. Ha ma < fa, akkor az AA0C háromszög (2359/3. ábra) most is szerkeszthetõ. A-ból fa-val körívezve adódik az A0C szakaszon az A' pont. A B csúcs ugyanúgy kapható meg, mint az elõzõ pontban. Ha az adatok az ábrának megfelelõek, akkor b > fa > ma. Ekkor a megoldás egyértelmû. e) Tegyük fel, hogy b > g. Az AA'C háromszög szerkeszthetõ, hiszen egy oldala és a rajta fekvõ két szög adott. A B csúcs szerkesztése az elõzõ pontokban leírtakhoz hasonlóan történik. Ha b + g < 180∞, akkor a megoldás egyértelmû. (2359/4. ábra)

a 2

Êa ˆ 180∞-Á + g ˜ Ë2 ¯

2359/4. ábra

114

SÍKBELI ALAKZATOK

2360. a) Az ábrán látható AB'D egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, ugyanis adott szárainak és alaphoz tartozó magasságának a hossza. (Lásd a 2341/f) feladatot!) Mivel B'BCD paralelogramma, ezért B és C könnyen szerkeszthetõ. b) Az ábra AB'D háromszögének adottak az oldalai, így szerkeszthetõ. c) Az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenest a végpontjaiból elmetszszük b-vel és d-vel. A kapott metszéspontok lesznek a trapéz hiányzó csúcsai. A feladatnak négy megoldása van. d) Az ábra AB'D háromszöge szerkeszthetõ, hiszen oldalai (a - c; b; d) adottak. 2361. a) A 2361/1. ábrán látható AB'D háromszög az adatok alapján szabályos és adott a magassága, így szerkeszthetõ. (Lásd a 2347/b) feladatot!) A B'BCD négyszög paralelogramma, és az a oldal hossza adott, így a B és a C csúcs szerkeszthetõ. 2361/1. ábra b) Az a oldalra, annak jobb végpontjában vegyük fel a b szöget. A kapott szögszárra felmérve a b oldalt, adódik a C csúcs. Húzzunk C-n keresztül a-val párhuzamost, majd ezt messük el az a oldal bal végpontjából d-vel. A D csúcsra két lehetõségünk van, így a feladatnak két megoldása van. c) A 2361/1. ábrán látható AB'D háromszögnek adott egyik oldala (a - c), a hozzá tartozó magasság és az adott oldalra illeszkedõ egyik szög, így szerkeszthetõ. (Lásd a 2357/c) feladatot!) A B és a C csúcs az a) pontban leírtak alapján adódik. d) A c oldalon fekvõ szögek: g = 75∞; d = 97,5∞. Ezeket a szögeket vegyük fel c-re a végpontokban, majd a szögszárakat messük el a c-tõl m távolságra haladó párhuzamos egyenessel. (2362/2. ábra) e) Vegyük fel az a oldalt, majd vele párhuzamosan, tõle m távolságban 2361/2. ábra egy egyenest. Vegyük fel az a szöget az a bal végpontjában. A szögszár és a párhuzamos metszéspontja lesz a D csúcs. Ebbõl c-t felmérve adódik a C csúcs.

115

GEOMETRIA f) Mivel a = c, ezért a trapéz paralelogramma lesz. Szerkesztése az e) pontban leírtakhoz hasonlóan történik. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2362. a) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala. C-n keresztül AB-vel párhuzamost húzva és arra C-bõl a c oldalt felmérve adódik a D csúcs. b) Az ABC háromszög most is szerkeszthetõ. A-ban az AB oldalra felmérve a-t, a kapott szögszár és a Cre illeszkedõ, AB-vel párhuzamos egyenes metszéspontja lesz a D csúcs. c) Most az ACD háromszög szerkeszthetõ három oldalából. Ezek után CD-re C-ben vegyük fel a 180∞ - b = 105∞ nagyságú szöget. A kapott szögszár és az A-ra illeszkedõ, CD-vel párhuzamos egyenes metszéspontja lesz a B csúcs. d) Az ABC háromszögnek adott két oldala és az egyikhez tartozó magasság, így a háromszög szerkeszthetõ. (Lásd a 2357/d) feladatot!) AB-re A-ban vegyük fel a-t, majd messük el a kapott szögszárat az AB-vel párhuzamos, C-re illeszkedõ egyenessel. A metszéspont lesz a D csúcs. e) Az ABC háromszög megszerkesztése után messük el A-ból d távolsággal az AB-vel párhuzamos, C-re illeszkedõ egyenest, kapjuk a D csúcsot. Két megoldást kapunk. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2363. a) – c) Messük el az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra levõ egyenest az A csúcsból e-vel, a B csúcsból f-fel az ábrának megfelelõen. Így adódik a C és a D csúcs. A c) esetben a trapéz szimmetrikus. d) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala (a, b, e). A D csúcsot az a-val párhuzamos, C-re illeszkedõ egyenesbõl a B végpontú, f hosszúságú szakasszal metszhetjük ki az ábrának megfelelõen. e) A D csúcsot az a-ra A-ban felvett a szög szárából az a-val párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenes metszi ki. A C csúcs A-ból e-vel körívezve adódik az ábrának megfelelõen. f) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és az általuk közbezárt szög (a, d, a). A C csúcsot az elõzõ e) ponthoz hasonlóan kapjuk. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

116

SÍKBELI ALAKZATOK 2364. a) Lásd a 2360/d) feladatot! Ha b + d > > a - c (a ¤ c), és a - c + b > d, akkor a feladat megoldása egyértelmû b) Lásd a 2361/a) feladatot! ha a < 180∞ és b < 180∞, akkor a megoldás egyértelmû. 2364/1. ábra c) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és az általuk közbezárt szög (a, b, b). Az a oldalra az A csúcsba a 2364/1. ábrának megfelelõen felvett a szög szára kimetszi a C-re illeszkedõ, a-val párhuzamos egyenesbõl a D csúcsot. Ha a < 180∞ és b < 180∞, akkor a megoldás egyértelmû. d) Az ABC háromszög szerkeszthetõ (a, e, b adott), viszont, ha e £ a, akkor két különbözõ megfelelõ háromszög adódhat. (Lásd még a 2338. feladatot!) A D csúcs az elõzõ c) pontban leírtak alapján adódik. Attól függõen, hogy az ABC háromszög szerkesztésekor 0, 1 ill. 2 megoldás adódik, az eredeti feladat megoldásainak a száma is 0, 1, 2 lehet. e) Az ACD háromszög szerkeszthetõ, hiszen CDA <) = 180∞ - a. (Ha c ¤ e, akkor elõfordulhat, hogy nem kapunk megoldást, vagy két háromszög is megfelelõ.) A c-vel párhuzamos, A-ra illeszkedõ egyenesen A-ból a 2364/1. ábrának megfelelõen felmérve a-t adódik a B csúcs. a < 180∞ esetén, attól függõen, hogy az A csúcsra hány megoldás adódik, az eredeti feladat megoldásainak a száma 0,1 ill. 2 lehet. f) Az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra levõ egyenest B-bõl b-vel elmetszve adódik a C csúcs. C-bõl c-t a 2364/1. ábrának megfelelõen felmérve adódik D. Ha b > m, akkor két megoldást kapunk. Ha b = m, akkor a trapéz egyértelmû és derékszögû. b < m esetén nincs megoldás. g) Tegyük fel, hogy a > c. (Ellenkezõ esetben a szerkesztés hasonlóan történik.) Az AB'D háromszög szerkeszthetõ, hiszen két oldala (a - c, d) és egy szöge (b) adott. (Ha d £ a - c, akkor elõfordulhat, hogy nem kapunk megoldást, vagy két háromszög is megfelelõ.) Az AB' sza2364/2 ábra kasz B-n túli meghosszabbítására B'bõl felmérve c-t, a B csúcsot kapjuk. Az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenesre D-bõl felmérve c-t, a C csúcsot kapjuk. Feltéve, hogy b < 180∞, attól függõen, hogy a D csúcsra hány megoldás adódik, az eredeti feladat megoldásainak a száma lehet 0, 1 ill. 2. h) Tegyük fel, hogy a > c. Ekkor a 2364/2. ábra AB'D háromszöge egyértelmûen szerkeszthetõ, feltéve, hogy a + b < 180∞. A B és a C csúcs szerkesztése az elõzõ g) pontban leírtak alapján történik. A fenti feltételek mellett a megoldás egyértelmû. i) Lásd a 2361/e) feladatot! A feladat megoldása egyértelmû.

117

GEOMETRIA j) A 2364/1. ábra ABC háromszöge szerkeszthetõ. (Ha e £ a, elõfordulhat, hogy a háromszög nem szerkeszthetõ, de az is, hogy a C csúcsra két megoldást kapunk.) A Cre illeszkedõ a-val párhuzamos egyenesre az ábrának megfelelõen felmérve c-t adódik a D csúcs. A C csúcsra kapott lehetséges megoldásoktól függõen az eredeti feladat megoldásainak száma lehet 0, 1 ill. 2. k) Lásd az e) pontot! l) Az a-val párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenest A-ból e-vel a 2364/1. ábrának megfelelõen elmetszve adódik a C csúcs. Ebbõl az ábrának megfelelõen c-t felmérve kapjuk D-t. Egyértelmû megoldást kapunk, ha e > m, ellenkezõ esetben nem kapunk megoldást. a-c és a = 60∞, ezért 2 d = b = a - c. (Az AED háromszög egy szabályos háromszög „fele”.) Az AED háromszög szerkeszthetõ. Az ábrának megfelelõen A-ból a-t felmérve az AE egyenesen, a B csúcsot kapjuk. Az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenesen az ábrának megfelelõen c-t felmérve, a C csúcs adódik. b) A szerkesztés az elõzõ a) pontban leírtak alapján történik. c) Vegyük fel az a oldallal párhuzamos, tõle m távolságra lévõ egyenest, majd messük el ezt b-vel az a oldal mindkét végpontjából körívezve. A feladatnak két megoldása van. d) Vegyük fel a-ra mindkét végpontjában az a szöget az ábrának megfelelõen, majd mindkét szögszárra a szög csúcsából mérjük fel b-t. e) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala. A C csúcsot tükrözve az a oldal felezõmerõlegesére, adódik a D csúcs. f) Az ABC háromszög szerkeszthetõ. (Az adatok alapján C-re két megoldás adódik.) A D csúcs szerkesztése az elõzõ e) pont alapján történhet. A feladatnak két megoldása van. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2365. a) Mivel AE =

2366. a) Lásd a 2360/d) és a 2364/a) feladatokat. (Most b = d.) Ha 2b > a - c, akkor a megoldás egyértelmû. b) Tegyük fel, hogy a < 90∞. Ekkor lásd a 2365/d) feladatot. a-c (feltesszük, hogy 2 a > c), ezért az AED derékszögû háromszög szerkeszthetõ. A befejezés a 2365/a) feladat alapján történhet. A megoldás egyértelmû, a = c esetén téglalapot kapunk.

c) Mivel AE =

118

SÍKBELI ALAKZATOK d) Lásd a 2365/e) feladatot! Ha e + b > a és a + b > e, akkor a megoldás egyértelmû. e) Mivel a szimmetrikus trapéz átlói egyenlõ hosszúak, ezért BD = e és a-c a+c = (feltesszük, hogy a > c). Így az EBD derékszögû háromBE = a 2 2 szög szerkeszthetõ. (Lásd a 2348/b) feladatot!) E-bõl EB egyenesén az ábrának a-c -t felmérve kapjuk az A csúcsot. A C csúcs D-nek az AB felezõmegfelelõen 2 a+c merõlegesére történõ tükrözésével adódik. A megoldás egyértelmû, ha e > , 2 ellenkezõ esetben nem kapunk megoldást. Ha a = c, akkor a trapéz téglalap. f) Lásd a d) pontot! 2367. a) Szerkesszünk az a oldal A végpontjába merõlegest és erre mérjük fel Aból d-t. A d oldalra D-ben szerkesszünk merõlegest az ábrának megfelelõen, és mérjük fel erre Dbõl c-t. Egyértelmû megoldást kapunk. b) Az AED derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot), ha a - c < b. Az AE oldal E-n túli meghosszabbítására E-bõl c-t felmérve adódik a B csúcs. Az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenesre D-bõl az ábrának megfelelõen c-t felmérve adódik a C csúcs. Ha a - c < b, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nem kapunk megoldást. c) Az FBC derékszögû háromszög szerkeszthetõ. (Feltesszük, hogy a < 90∞ és a - c < b.) Az FB oldal F-en túli meghosszabbítására B-bõl a-t felmérve kapjuk az A csúcsot. Az AB-vel párhuzamos, C-re illeszkedõ egyenesre C-bõl c-t az ábrának megfelelõen felmérve adódik a D csúcs. Feltételeink mellett a megoldás egyértelmû. d) Az ABC háromszögnek adott három oldala, így szerkeszthetõ, ha e + b > a és a + b > e. A D csúcsot az AB-re A-ban állított merõleges metszi ki a C-re illeszkedõ, AB-vel párhuzamos egyenesbõl. A feltételek mellett a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. e) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban. f) Az ABD derékszögû háromszögnek adott két befogója, így szerkeszthetõ. A C csúcsot az AB-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenes és az A középpontú, e sugarú kör megfelelõ metszéspontja adja. Ha e > d, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. g) Az ACD derékszögû háromszög szerkeszthetõ. A B csúcs a c-vel párhuzamos, A-ra illeszkedõ egyenes és a C középpontú, b sugarú kör metszéspontjaként adódik. Ha b < d, nincs megoldás. b = d esetén téglalapot kapunk. Ha d < b <

c 2 + d 2 , akkor

két megoldást kapunk, ha b > c 2 + d 2 , akkor egy megoldás van. h) Az ACD derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot). Innen a B csúcs az elõzõ ponthoz hasonlóan adódik. Ha e £ c, akkor nincs megoldás. Ha c < e

119

GEOMETRIA és e > b > e 2 - c 2 , akkor két megoldás van. Ha b > e, akkor a megoldás egyértelmû. i) Mivel BCD <) = 180∞ - a, ezért a BCD háromszög szerkeszthetõ. Az A csúcsot a Dben c-re állított merõleges metszi ki a B-re illeszkedõ, c-vel párhuzamos egyenesbõl. Ha a D-ben c-re állított merõlegesnek nincs közös pontja a BC szakasszal, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. 2368. a) – b) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen két oldala és a közbezárt szög adott. Az A csúcs BD felezõpontjára vonatkozó tükörképe a C csúcs.

ma

c) – d) Az a-val párhuzamos, tõle ma távolságra levõ egyenesbõl az a-ra A-ban felvett a szög szára metszi ki a D csúcsot. Innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ két pont esetében. e) – f) Az a-val párhuzamos, tõle ma távolságra levõ egyenesbõl az A ill. B középpontú, b sugarú körök metszik ki a D ill. a C csúcsot az ábrának megfelelõen. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2369. a) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala. A B csúcs AC felezõpontjára vonatkozó tükörképe a D csúcs. b) Az ABC háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a nagyobbikkal szemközti szög. Innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban.

ma

a1

Ê e fˆ c) Az ABM háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott három oldala Á a, , ˜ . A-t és B-t Ë 2 2¯ M-re tükrözve adódik a B és a C csúcs. Ê fˆ d) Az ABM háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala Á a, ˜ és a nagyobbikË 2¯

kal szemközti szög (180∞ - d). Innen a befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban. e) Az a-val párhuzamos, tõle ma távolságra levõ egyenesbõl az A középpontú, e sugarú kör az ábrának megfelelõen kimetszi a C csúcsot. A D csúcs B-nek az AC felezõpontjára vonatkozó tükörképe. f) Az ABC háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a közbezárt szög. Innen a befejezés az elõzõ ponthoz hasonlóan történhet. g) Lásd a d) pontot! Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

120

SÍKBELI ALAKZATOK 2370. a) Lásd a 2368/a) feladatot! Ha a < 180∞, akkor a megoldás egyértelmû. ma

mb

b) Lásd a 2368/e) feladatot! ma £ e esetén egyértelmû megoldást kapunk. a1 c) Lásd a 2369/a) feladatot! a + b > e és a + e > b esetén a megoldás egyértelmû. d) Lásd a 2368/d) feladatot! a < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû. e) a és mb egyértelmûen meghatározza a CDT derékszögû háromszöget. (Lásd pl. a 2348/b) feladatot!) Ha mb < a és az mb-vel szemközti hegyesszög éppen a, akkor végtelen sok megoldás van, ellenkezõ esetben nincs megoldás. f) Lásd a 2369/f) feladatot! Ha a1 < 180∞, akkor a megoldás egyértelmû. g) Lásd a 2369/e) feladatot! ma £ e esetén egyértelmû megoldást kapunk. 2371. a) Lásd a 2369/c) feladatot! Egyértelmû megoldást kapunk, ha e + f > 2a mb e f ma és a + > . 2 2 T2 b) A BCM háromszög szerkeszthetõ, hiszen két oldala és a közbezárt szög T1 Êe f ˆ adott Á , , d ˜ . B-t és C-t M-re Ë2 2 ¯ tükrözve kapjuk D-t és A-t. c) Vegyünk fel egymástól ma távolságra két párhuzamos egyenest. Ezek sávfelezõ e f és sugarú köröknek 2 2 és a párhuzamos egyeneseknek az ábrának megfelelõen vett metszéspontjai lesznek a paralelogramma csúcsai. e > ma és f > ma esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. d) Mivel DT1B <) = BT2D <) = 90∞, ezért ABC <) = 180∞ - w, ahonnan DAB <) = w. Így az w szög száraival párhuzamos, azoktól ma ill. mb távolságra levõ egyenesek a felvett szög száraival meghatározzák a paralelogrammát. w < 180∞ esetén egyértelmû megoldást kapunk. e) Vegyünk fel egymástól ma távolságra két egyenest és közöttük egy e hosszúságú szakaszt. (Ez lesz az AC átló, A az egyik, C a másik egyenesre illeszkedik.) AC M felezõpontjában vegyük fel e-re a d szöget az ábrának megfelelõen. A kapott szög-

egyenesén jelöljünk ki egy M pontot. Az M középpontú

szár egyenese kimetszi a párhuzamosokból a B és a D csúcsot. e ¤ ma és d < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû.

121

GEOMETRIA 2372. a) A 2372/1. ábrán látható AC'C háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala (a + b, e) és egy szöge aˆ Ê Á 90∞- ˜ . Ha ez kész, akkor az Ë 2¯

90∞ma

a 2

AC' oldalra A-ban vegyük fel az a szöget. A C-re illeszkedõ, AC'-vel 2372/1. ábra párhuzamos egyenesbõl a kapott szögszár kimetszi a D csúcsot. Ennek e (AC) felezõpontjára vonatkozó tükörképe B. Az AC'C háromszögre kaphatunk 0, 1 ill. 2 megoldást. Ennek megfelelõ az eredeti feladat megoldásainak száma is. b) A 2372/2. ábrán látható AC'C háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala (a - b, e) és a nagyobbikkal szemközti szög aˆ Ê Á AC 'C <) = 180∞- ˜ . Innen a befeË 2¯ jezés ugyanaz, mint az elõzõ pont2372/2. ábra ban. 0 < a - b < e esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. c) A 2372/1. ábra AC'C háromszöge szerkeszthetõ. (Lásd a 2357/c) feladatot!) A befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontokban. d) A 2372/2. ábra AC'C háromszöge szerkeszthetõ. (Lásd az elõzõ pontot!) 2373. Tulajdonképpen adott a paralelogramma két szomszédos oldala és azok szöge. (Lásd pl. a 2368/a) feladatot!) 2374. A megfelelõ felezõpontok meghatározzák a paralelogramma középvonalait. (Lásd az elõzõ feladatot!) Olyan pontok esetén van csak megoldás, amelyek közül kettõt-kettõt össze tudunk kötni úgy, hogy a kapott szakaszok kölcsönösen felezzék egymást. 2375. a) – b) Lásd a 2368/e) feladatot! Most a = b. c) Az ABC háromszög három oldala adott, így szerkeszthetõ. B-nek az AC egyenesére vonatkozó tükörképe a D csúcs. d) A szerkesztés az elõzõ ponthoz hasonlóan történik. e) Az ABD háromszög szerkeszthetõ. A-nak a BD egyenesére vonatkozó tükörképe C. f) Lásd az elõzõ pontot!

122

SÍKBELI ALAKZATOK g) Lásd az e) pontot! Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2376. a) – b) DAB <) = 2a. Lásd a 2376/e) feladatot! c) Az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. A B csúcs a D pont AC egyenesre vonatkozó tükörképe. d) Az ABD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, ugyanis ABD <) = = BDA <) = 90∞ - a. A C csúcs az A pont BD egyenesre vonatkozó tükörképe. e) Vegyünk fel egymástól m távolságra két párhuzamos egyenest. Az egyikre az ábrának megfelelõen vegyük fel az a szöget, ennek csúcsa legyen A. A szögszár a másik egyenest a C csúcsban metszi. A párhuzamos egyenesekbõl az AC felezõmerõlegese kimetszi a B és a D csúcsot. f) Vegyünk fel egymástól m távolságra két párhuzamos egyenest. Jelöljünk ki egyiken egy pontot, ez lesz a D csúcs. Ebbõl f-fel körívezve a másik egyenesen megkapjuk a B pontot. BD felezõmerõlegesének a két egyenessel vett metszéspontjai lesznek az A és C csúcsok. A megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû. g) Lásd az elõzõ pontot! Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2377. a) Lásd pl. a 2375/a) feladatot! Ha a ¤ m, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. b) Lásd pl. a 2375/e) feladatot! a < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû. c) Lásd pl. a 2376/e) feladatot! (Most 2a adott.) a < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû. d) Úgy kell felvennünk a két adott szakaszt, hogy azok merõlegesen felezzék egymást. e) Lásd pl. a 2376/c) feladatot! (Most 2a adott.) a < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû. f) Lásd pl. a 2376/d) feladatot! (Most 2a adott.) a < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû. g) Lásd pl. a 2376/g) feladatot! A megoldás e > m esetén egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. h) Lásd az elõzõ pontot!

123

GEOMETRIA 2378. a) – b) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen három oldala adott. Az A pont BD egyenesére vonatkozó tükörképe a C csúcs. c) Az f egyik oldalára az ACD, másik oldalára az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. d) Az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Az AC oldal felezõmerõlegesére D-bõl mérjük fel e-t, a kapott végpont lesz a B csúcs. Egy konvex és egy konkáv megoldás van, attól függõen, hogy e-t D-bõl melyik irányba mérjük fel. e) Lásd az elõzõ pontot! 2379. a) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a közbezárt szög. A-nak BD egyenesére vod1 b1 natkozó tükörképe a C csúcs. b2 d2 b) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Az AC oldalra az ACD egyenlõ szárú háromszög is szerkeszthetõ. A feladatnak egy konvex és egy konkáv megoldása van. c) Az ABD háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a nagyobbikkal szemközti szög. Az A csúcs BD egyenesére vonatkozó tükörképe a C csúcs. d) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Az AC felezõmerõlegesére B-bõl e-t felmérve adódik a D csúcs. e) A és a az ACD egyenlõ szárú háromszöget egyértelmûen meghatározza. Ehhez a háromszögben f > 9 cm kell, hogy teljesüljön, ezért nincs megoldás. f) Az elõzõ pontban leírtak alapján nincs megoldás. a = 48,75∞. g) Mivel b = d, és a két átló merõleges egymásra, ezért b1 = d1 = 90∞2 (Lásd az ábrát!) Így az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. AC felezõmerõlegesére D-bõl e-t az ábrának megfelelõen felmérve adódik a B csúcs. h) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott egy oldala (e) és a rajta fekvõ két a Êa ˆ szög Á , 180∞- - b ˜ . A-nak a BD egyenesére vonatkozó tükörképe lesz a C Ë2 ¯ 2 csúcs.

124

SÍKBELI ALAKZATOK i) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott az alapja (f) és az alag – lásd az ábrát!). Hasonlóan szerkeszthetõ az pon fekvõ szöge (b2 = d2 = 90∞2 ACD egyenlõ szárú háromszög is. Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2380. a) Lásd a 2378/a) feladatot! Ha a + b > e és a + e > b, akkor a = b esetén egyértelmû a megoldás (rombusz), a π b esetén egy konvex és egy konkáv megoldás van. b) Lásd a 2378/c) feladatot! Ha 2a > f és 2b > f, akkor a = b esetén egyértelmû a megoldás, a π b esetén egy konvex és egy konkáv megoldás van. f esetén a megoldás egyértelmû. 2 f d) Lásd a 2378/e) feladatot! b > esetén a megoldás egyértelmû. 2

c) Lásd a 2378/c) feladatot! a >

2381. a) c) Lásd a 2379/b) feladatot! Ha a π b, akkor egy konvex és egy kond1 b1 káv megoldás van. b) Lásd a 2379/a) feladatot! d) Lásd a 2379/c) feladatot! Ha e > a, akkor a megoldás egyértelmû. Ellenkezõ esetben lehetséges, hogy nem kapunk megoldást, és kaphatunk két megoldást is. e) Lásd a 2379/d) feladatot! A megoldás egyértelmû. f) Ha 2a > f, akkor az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. CD-re C-ben a d szöget az ábrának megfelelõen felmérve, a kapott szögszár és AC felezõmerõlegesének metszéspontja B. g) b és f az ABC egyenlõ szárú háromszöget egyértelmûen meghatározza, így az 2b > f esetén szerkeszthetõ. Az ACD egyenlõ szárú háromszögben (feltételezzük, hogy a a deltoid konvex) b1 = d1 = 90∞- , így az is szerkeszthetõ. (Lásd az ábrát!) 2 h) Lásd a 2379/g) feladatot! A megoldás egyértelmû. i) Az e fölé szerkesztett d szögû látószögkörívekbõl (lásd a 2357/k) feladatot) az e-vel f párhuzamos, tõle távolságra levõ egyenesek metszik ki az A és a C csúcsot. 2 A megoldás egyértelmû, ha a látószögköríveknek és a párhuzamos egyeneseknek van közös pontja, ellenkezõ esetben nincs megoldás. j) Lásd a 2379/h) feladatot! 360∞ - a - 2d > 0∞ esetén a feladat megoldása egyértelmû. k) Lásd a 2379/i) feladatot! 360∞ - a - 2b > 0∞ esetén a feladat megoldása egyértelmû.

125

GEOMETRIA

2382. a) Az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen szára és szögei adottak. Az ABC egyenlõ szárú háromszög is szerkeszthetõ, hiszen az ACD háromszög szerkesztése után adott az alapja (f) és alapon fekvõ szögei (b2 = 90∞ - g1). Ha b1 < 90∞ és g1 < 90∞, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

b1

d1

b2 g1

b) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott egy oldala (e) és a rajta fekvõ két szöge (g1, d1 = 90∞ - b1). Ezt a háromszöget a BD egyenesre tükrözve kapjuk a deltoidot. b1 < 90∞ és g1 < 90∞ esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. c) Az ACD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen adottak az oldalai. Az ABC háromszög is szerkeszthetõ, ugyanis alapja és alapon fekvõ szögei (b2 = 90∞ - g1) adottak. Ha 2a > f és g1 < 90∞, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. d) Az ABC egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, hiszen adottak szárai és a szárak szöge (2g1). AC-re mint alapra az ACD egyenlõ szárú háromszög is szerkeszthetõ, ugyanis adottak alapon fekvõ szögei (b1). Ha b1 < 90∞ és g1 < 90∞, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. e) Az elõzõ pontokhoz hasonlóan az ACD és ABC egyenlõ szárú háromszögek különkülön szerkeszthetõk. f) Az ABD háromszögnek adott két oldala (b, e) és a b oldallal szemközti szög (d1 = 90∞ - b1). Ha az ABD háromszög szerkeszthetõ, akkor a b) pontban leírtak alapján kapjuk a deltoidot. Lehet 0, 1 és 2 megoldása a feladatnak attól függõen, hogy az ABD háromszögre hány megoldás adódik. 2383. Akkor kapunk konkáv deltoidot, ha az adatok az ábrának megfelelõek, azaz a > b, a > e, b > 180∞ és az a olyan kicsi, hogy az ABD háromszögben az AD oldallal szemben tompaszög van. a) Lásd a 2379/a) feladatot! b) Lásd a 2379/b) feladatot! c) Az ABD háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a nagyobbikkal szemközti

126

SÍKBELI ALAKZATOK

d) e) f)

g)

h) i)

Ê bˆ szög Á ˜ . A-nak a BD egyenesre vonatkozó tükörképe a C csúcs. Ë 2¯ Lásd a 2379/c) feladatot! Lásd a 2379/d) feladatot! Mivel b > 180∞, ezért az ABD háromszög abban az esetben egyértelmûen szerkeszthetõ, ha az a szög szárának és a B középpontú, e sugarú körnek két közös pontja van. Az ABD háromszög egyértelmûen szerkeszthetõ (adott egy oldala és szögei), ha b a + < 180∞ . A C csúcs a c) pontban leírt módon adódik. 2 Lásd az elõzõ pontot! Lásd a g) pontot!

2384. a) Az ABC derékszögû háromszög befogói adottak, így szerkeszthetõ. Ezt a háromszöget tükrözve az átfogó felezõpontjára kapjuk a téglalapot. b) Az ABC derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/b) feladatot). A befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban. c) Az ABC derékszögû háromszög szerkeszthetõ (lásd a 2348/f) feladatot). d) Lásd a 2348/e) feladatot és az a) pontot! Ê eˆ e) Az AMD egyenlõ szárú háromszög szárai Á ˜ és a közbezárt szög (d) adottak, így Ë 2¯ szerkeszthetõ. M-re tükrözve a háromszöget adódik a B és a C csúcs. dˆ Ê f) Az ABM egyenlõ szárú háromszög alapja (a) és a rajta fekvõ szög Á a = ˜ adott, Ë 2¯ így szerkeszthetõ. Ezt a háromszöget M-re tükrözve adódik a C és a D csúcs. d g) a = , ezért lásd a d) pontot! 2 h) Lásd a b) pontot! Megjegyzés: A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

2385. a) Lásd a 2384/a) feladatot! A megoldás egyértelmû. b) Lásd a 2384/b) feladatot! A megoldás e > a esetén egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. c) Lásd a 2384/c) feladatot! a < 90∞ esetén a megoldás egyértelmû. d) Lásd a 2384/d) feladatot! a < 90∞ esetén a megoldás egyértelmû. e) Lásd a 2384/f) feladatot! d < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû. f) Lásd a 2384/g) feladatot! d < 180∞ esetén a megoldás egyértelmû. g) Lásd a b) pontot! b < e esetén a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

127

GEOMETRIA 2386. a) b) c) d)

Lásd a 2384/a) feladatot! Most a = b. Lásd a 2384/e) feladatot! Most d = 90∞. Lásd a 2352/a) feladatot! Az átló felezõpontjára tükrözve kapjuk a négyzetet. Lásd a 2352/b) feladatot! A befejezés ugyanaz, mint az elõzõ pontban.

2387. a) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a közbezárt szög. Ezek után az a szögtartományba egy az AB és AD oldalakat belsõ pontban érintõ kört kell szer180∞-g kesztenünk. (Erre nézve lásd a 2022. feladatot!) Ehhez a körhöz a B és a D pontból húzott érintõk metszés180∞-a pontja lesz a C csúcs. (Az érintési pontokat az OB ill. OD szakaszok fölé szerkesztett Thalesz-körök metszik ki a körbõl.) Ha az r sugarú körnek az a szög száraival vett érintési pontjai az AB ill. az AD szakasz belsejében vannak, akkor a feladat megoldása egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. b) Vegyük fel a b szöget és szerkesszük meg a szögtartományba a szárakat érintõ r sugarú kört. (Lásd a 2022. feladatot!) Ezek után húzzuk be az érintési pontokba a megfelelõ sugarakat, és forgassuk el õket az ábrának megfelelõen 180∞ - a ill. 180∞ - g szöggel. Az érintési pontok elforgatottjai lesznek az AD ill. CD oldalakon vett érintési pontok. Ezekben a pontokban merõlegest állítva az elforgatott sugarakra megkapjuk az AD és CD oldalakat. a < 180∞, b < 180∞, g < 180∞ és 180∞ < a + b + + g < 360∞ esetén egyértelmû megoldást kapunk. 2388. a) Vegyünk fel egy R sugarú kört, és annak egy pontjából kiindulva vegyük fel rendre az a, b, c hosszúságú húrokat az ábrának megfelelõen. Ha a-nak és c-nek nincs közös pontja, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

b) Az ABD háromszög szerkeszthetõ, ugyanis adott két oldala és a közbezárt szög. Ez a háromszög egyértelmûen meghatározza a négyszög köré írt kört, szerkeszzük ezt meg. (Lásd a 2035. feladatot!) Az AB oldalra B-ben, az ábrának megfelelõen felvett b szög szára kimetszi a C csúcsot a körbõl. c) Mivel BCD <) = 180∞ - a, ezért a szerkesztés az elõzõ pontban leírtakkal azonos módon történik. d) Az ABD háromszög és annak körülírt köre a b) pont alapján szerkeszthetõ. A C csúcsot B-bõl c-vel körívezve kapjuk. Ha C az A-t nem tartalmazó BD íven van, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás.

128

SÍKBELI ALAKZATOK e) Az R sugarú körben az ACD háromszög szerkeszthetõ. a-t az ábrának megfelelõen felvéve adódik a B csúcs. Ha a körbe írt ACD háromszög létrejön, és B a D-t nem tartalmazó AC ívre esik, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. 2389. a) Ha a < 2R és b < 2R, akkor az ABO és BCO egyenlõ szárú háromszögek az ábrának megfelelõen szerkeszthetõk. A C pontot tükrözve AB felezõmerõlegesére adódik a D csúcs. Ebben az esetben olyan megoldást is kaphatunk, ahol O a trapézon kívül van. Ha a = 2R és b < 2R, akkor AB a kör átmérõje, így az ABC háromszög BCA szöge derékszög. b) Tegyük fel, hogy a < 90∞. Ha a < 2R, akkor az ABO háromszög szerkeszthetõ, a C csúcsot pedig az AB-re B-ben felvett a szög szára metszi ki az O középpontú, R sugarú körbõl. A D csúcs az elõzõ pontban leírtak alapján kapható. Ebben az esetben két megoldása van a feladatnak. Ha a = 2R, akkor az ABC derékszögû háromszög szerkeszthetõ, és ekkor egyértelmû megoldást kapunk. c) Tegyük fel, hogy a < 90∞ és b < 2R. Ekkor a BCO egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ, az A csúcsot pedig a BC-re B-ben az ábrának megfelelõen felvett a szög szára metszi ki az O középpontú R sugarú körbõl. A D csúcs a C pont tükörképe AB felezõmerõlegesére. Ha a feltételek teljesülnek, egyértelmû megoldást kapunk. d) Tegyük fel, hogy a < 90∞. Az ABC háromszög szerkeszthetõ. A C pont tükörképe AB felezõmerõlegesére a D csúcs. A megoldás egyértelmû. e) Az R sugarú, O középpontú körben vegyünk fel az ábrának megfelelõen egy a és egy e hosszúságú húrt. A D csúcs az elõzõ pontokban leírtak alapján adódik. Ha 2R ¤ e és 2R ¤ a, valamint legalább az egyik egyenlõtlenség éles, akkor a megoldás egyértelmû, ha a = e. Két megoldást kapunk, ha a π e. Ha a fenti feltételek nem teljesülnek, akkor nem kapunk megoldást. f) Ha a = c < 2R, akkor a trapéz téglalap, szerkesztésére nézve lásd a 2384/h) feladatot! Tegyük fel, hogy c < a £ 2R. Ekkor az R sugarú körben vegyünk fel egy a hoszc szúságú húrt és felezõpontjából mindkét irányba mérjünk fel rá -t. A kapott pon2 tokban állítsunk a húrra merõlegeseket. A merõlegeseknek a körrel alkotott metszéspontjai lesznek a C és D csúcsok. Ha a < 2R, két megoldást kapunk, ha a = 2R, akkor a megoldás egybevágóság erejéig egyértelmû.

129

GEOMETRIA 2390. a) Az ABD egyenlõ szárú háromszög szerkeszthetõ. Ezek után az a szögtartományba szerkesszünk a szárakat érintõ r sugarú kört. (Lásd a 2022. feladatot!) Ha a kapott érintési pontok az AB és AD oldalak belsõ pontjai, akkor a B-bõl és D-bõl a körhöz szerkesztett érintõk metszéspontja lesz a C csúcs. (Az érintõk szerkesztésére nézve lásd a 2387/a) feladatot!) Ha a fenti feltétel teljesül, akkor a megoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. b) A d szög tartományába a 2022. feladat alapján szerkesszünk r sugarú, a szögszárakat érintõ kört, és az egyik szárra mérjük fel a szög csúcsából b-t. Ha az érintési pont az AD szakasznak belsõ pontja, akkor az AD egyenes metszi ki a második szögszárból C-t. A B csúcs D-nek az AC egyenesre vonatkozó tükörképe. Ha az érintési pontra vonatkozó feltétel nem teljesül, akkor nincs megoldás, ellenkezõ esetben a megoldás egyértelmû. c) Lásd a b) pontot! d) Vegyük fel az a szöget és a szögtartományba szerkesszünk a szögszárakat érintõ, r sugarú kört. (Lásd a 2022. feladatot!) Az AO félegyenesre (lásd az ábrát) A-ból mérjük fel e-t. Ha az így kapott C pont az ábrának megfelelõen a körön kívül van, akkor C-bõl a körhöz szerkesztett érintõk (lásd a 2387/a) feladatot) és az a szög szárainak metszéspontjai lesznek a B illetve a D csúcs. A megoldás a fenti feltétel mellett egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. 2391. a) Vegyük fel az r sugarú kört és egyik átmérõ egyenesére O-ból mindkét e irányban mérjünk fel -t. Ha az így 2 kapott A és C pontok a körön kívül vannak, akkor az ezekbõl szerkesztett érintõk (lásd a 2387/a) feladatot) és az AC-re O-ban állított merõleges egyenes metszéspontjai lesznek a B és D csúcsok. Ha a fenti feltétel teljesül, akkor a feladat megoldása egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. b) Lásd az a) pontot! c) A DOC derékszögû háromszög, szerkeszthetõ, ha a ¤ 2r. (Lásd a 2348/c) feladatot!) Ezt O-ra tükrözve adódik az A és a B csúcs. A megoldás így egybevágóság erejéig egyértelmû, a < 2r esetén nincs megoldás. d) Az a szög tartományában vegyük fel a szárakat érintõ r sugarú kört. (Lásd a 2022. feladatot!) A szöget O-ra tükrözve kapjuk az egyértelmûen meghatározott rombuszt.

130

SÍKBELI ALAKZATOK Megjegyzés: A beírható kört nem is kell megszerkesztenünk, elegendõ O-t meghatározni. 2392. A trapéz magassága 2r, így az ábrán látható EBC derékszögû háromszög szerkeszthetõ. (Lásd a 2348/b) feladatot!) A kapott EBC <) = b szögtartományban szerkesszük meg a szárakat érintõ r sugarú kört (lásd a 2022. feladatot), majd C-n keresztül szerkesszük meg a kör EB-vel párhuzamos érintõjét. Ezután a BE félegyenes valamely, az ábrának megfelelõen választott A' pontjából messük el d-vel a C-re illeszkedõ érintõ egyenesét. A kapott A'D' szakaszra Oból állítsunk merõlegest. Ez kimetszi a körbõl az AD oldal F érintési pontját. Fben állítsunk merõlegest OG-re, kapjuk az AD oldalt. Megoldás akkor és csak akkor van, ha b ¤ 2r és d ¤ 2r. b = d = = 2r esetén négyzetet, d = 2r és b > 2r esetén derékszögû trapézt kapunk. Ha b > 2r és d > 2r, akkor a feladatnak két megoldása van.

2393. Thalesz tételének megfordításából adódóan C rajta van az AB átmérõjû körön, ezért AF = FC = FB. Az AFC és a CFB háromszögek így egyenlõ szárúak.

2394. Lásd az elõzõ feladatot! 2395. A tekintett oldal felezõpontja egyenlõ távolságra van a háromszög csúcsaitól, ezért ez a pont a köréírt kör középpontja. Thalesz tétele értelmében a háromszög derékszögû. 2396. Lásd az elõzõ feladatot! Megjegyzés: A 2393. feladat állításának megfordítása a 2395. feladat állítása, és ugyanez a kapcsolat a 2394. és 2396. feladatok között is. 2397. Tekintsük a kör két tetszõleges húrját. Ezen húrok felezõmerõlegeseinek metszéspontja lesz a kör középpontja. Ha csak derékszögû vonalzónk van, akkor egy tetszõleges húr egyik végpontjába állítsunk merõlegest a húrra. A két egymásra merõleges húr végpontjai meghatározzák a

131

GEOMETRIA kör egyik átmérõjét. Hasonló módon „megszerkesztve” egy másik átmérõt, a két átmérõ metszéspontja lesz a kör középpontja. C1 2398. A magasságok talppontjai rajta vannak a harmadik oldal fölé írt Thalesz-körön, így annak középpontját a két adott pont által meghatározott szakasz felezõmerõTb legese metszi ki az adott egyenesbõl. Ta A kör sugara a kapott metszéspont és az egyik adott pont távolsága lesz, és ez a C2 kör metszi ki az adott egyenesbõl az A és a B csúcsot. Ha a két adott pont az egyenesnek ugyanazon az oldalán van és az általuk meghatározott egyenes nem merõleges az adott egyenesre, akkor a harmadik csúcsra két lehetõségünk van (az ábrán C1 és C2), így egy hegyesszögû és egy tompaszögû megoldást kapunk. Ha az egyik pont az egyenesen van, akkor egy derékszögû háromszöget kapunk, amelynek egyik befogója az adott egyenesre illeszkedik és derékszögû csúcsa az egyenesen adott pont. Ha az adott pontok az egyenes különbözõ oldalára esnek és az általuk meghatározott egyenes nem merõleges az adott egyenesre, akkor két tompaszögû háromszöget kapunk. Abban az esetben, ha a két pont által meghatározott egyenes merõleges az adott egyenesre, pontosan akkor van megoldás (akkor viszont végtelen sok), ha az adott egyenes a két pont által meghatározott szakasz felezõmerõlegese.

2399. Thalesz tételének megfordítása értelmében a magasságtalppontok illeszkednek a harmadik oldal mint átmérõ fölé írt körre. 2400. A derékszögû csúcsot a két adott pont által meghatározott szakasz mint átmérõ fölé írt Thalesz-kör metszi ki az adott egyenesbõl. A feladatnak legfeljebb két nem egybevágó megoldása lehet az adott pontok elhelyezkedésétõl és a létrejövõ metszéspontok számától függõen. 2401. Legyen a két adott pont A és B, az adott távolság pedig d. Megoldás akkor és csak akkor van, ha d £ AB. Ha d = AB, akkor a két egyenes merõleges AB-re. Ha d < AB, akkor szerkesszük meg azt az ABC derékszögû háromszöget (lásd a 2348/b) feladatot), amelynek egyik befogója d és a derékszögû csúcsa C. (Legyen pl. d = BC.) Az egyik egyenes AC, a másik az ezzel párhuzamos, B-re illeszkedõ egyenes.

132

SÍKBELI ALAKZATOK 2402. Legyen M a körnek az alappal vett metszéspontja. Thalesz tétele értelmében MC merõleges az alapra, így M az alap felezõpontja.

2403. Thalesz tétele értelmében CMF <) = 90∞ (lásd az ábrát), így az AFM háromszög olyan derékszögû háromszög, amelynek hegyesszögei 30 illetve 60 fokosak. Ez a háromszög egy szabályos háromszög AF AC = . „fele”, ezért AM = 2 4

2404. Thalesz tételébõl adódóan bármelyik két kör közös húregyenese a harmadik oldalhoz tartozó magasságvonal. A háromszög magasságvonalai pedig egy pontban, a háromszög magasságpontjában metszik egymást.

2405. Az AB szakasz mint átmérõ fölé szerkesztett Thalesz-körbõl az AP ill. a BP egyenes metszi ki a derékszögû csúcsot. Ha P a körön kívül van, nincs megoldás, ha P a körre illeszkedik, akkor õ a derékszögû csúcs, ha pedig a körön belül van, akkor két megoldás van. (Lásd az ábrát!)

C2

C1

2406. Vegyük fel az adott egyenessel párhuzamos, tõle m távolságra levõ egyenest az adott pontok által meghatározott félsíkban. Az adott pontok által meghatározott szakasz mint átmérõ fölé szerkesztett Thalesz-kör és a párhuzamos egyenes metszéspontja(i) lesz(nek) a derékszögû csúcs(ok). A szerkeszthetõséghez szükséges, hogy az adott pontok a két egyenes által meghatározott sávban legyenek és a Thalesz-körnek legyen közös pontja a párhuzamos egyenessel. Legfeljebb két nem egybevágó megoldás lehetséges.

133

GEOMETRIA C2

A1

A2

C1

B1

B2

2407. Lásd az elõzõ feladatot! 2408. A kör átmérõje lesz a téglalap egyik átlója. Ennek egyik végpontjából az adott szakaszszal körívezve megkapjuk a körön a téglalap harmadik csúcsát. Ennek a csúcsnak a kör középpontjára vonatkozó tükörképe lesz a negyedik csúcs. Mind a négy esetben egyértelmû megoldást kapunk. 2409. PCR <) = 90∞, így az állítás Thalesz tételének megfordításából adódik. 2410. Legyen a három adott pont P, Q és R. A PQ és QR szakaszok fölé szerkesszünk Thalesz-kört, és tekintsük ezeknek az egyik Q-ra illeszkedõ közös szelõjét. Ez a szelõ a köröket olyan A és B pontokban metszi, amelyekre nézve Thalesz tételébõl adódóan PAQ <) = QBR <) = 90∞. Ezek után a négyzet már egyszerûen adódik. A feladatnak végtelen sok megoldása van. 2411. A PQ szakasz mint átmérõ fölé szerkesztett Thalesz-körbõl az AP egyenes kimetszi a D csúcsot. Innen a négyzet könnyen adódik. A megoldás egyértelmû.

Sokszögek kerülete, területe 2412. Ha a jelöli a négyzet oldalának hosszát, akkor K = 4a, T = a2. a) K = 4 cm, T = 1 cm2 b) K = 12 mm, T = 9 mm2 c) K = 2 dm, T = 0,25 dm2 d) K = 6 m, T = 2,25 m2 e) K = 144 cm, T = 1296 cm2 f) K = 0,68 m, T = 0,0289 m2 = 289 cm2 g) K = 20 km, T = 25 km2 h) K = 0,64 dm, T = 0,0256 dm2 = 2,56 cm2

134

SÍKBELI ALAKZATOK 9 cm 2 = 0,5625 cm 2 16 25 2 20 j) K = m, T = m = 2 ,7 m 2 3 9

i) K = 3 cm, T =

2413. K = 2(a + b), T = ab. a) K = 18 cm, T = 20 cm2 b) K = 21 m, T = 27 m2 c) K = 78 mm, T = 360 mm2 7 5 d) K = dm = 3,5 dm, T = dm2 = 0,625 dm2 2 8 e) K = 109,2 cm, T = 84,8 cm2 f) K = 10,6 m, T = 6,72 m2 52 119 g) K = dm = 3,46 dm, T = dm2 = 0,661 dm2 15 180 h) K = 15,5 cm, T = 14,5866 cm2 166 i) K = 8,1 dm, T = dm2 = 3,68 dm2 45 j) K = 8,02 km, T = 1,476 km2 k) K = 1080,44 m, T = 118,8 m2 K 4 a) 4 cm;

2414. a =

b) 5 dm; c) 11 m; 43 g) 1,81 cm; h) m = 3,583 m ; 12 35 km ª 0,92 km. k) 38

d) 16 km; e) 0,9 dm; 43 i) cm ª 0,63 cm; 68

2415. a = T a) 1 m; b) 2 cm; c) 3 dm; d) 4 mm; 3 5 m = 1,5 m; dm = 1,25 dm; h) g) 2 4 14 m; k) l) 2 cm ª 1,414 cm. 9 2416. a =

e) 5 km; 25 mm; i) 13

f) 0,04 mm; j) 1,315 mm;

f) 6 cm; j) 1,5 cm;

K - 2b T K - 2a T = , b= = . b a 2 2

135

GEOMETRIA

a

4 cm

10 cm

6m

5 mm

b

3 cm

8 cm

5m

0,04 dm

K

14 cm

3,6 dm

22 m

18 mm

T

12 cm 2

80 cm 2

3000 dm 2

20 mm 2

3 22 15 22 18 11 45 484

cm

cm cm

cm 2

89 mm 44 3 2 mm 4 105 mm 11 89 mm 2 16

11 m 3 23 m 52 15 8 m 26 575 2 m 338 3

2417. a) 1,91 dm2 > 0,019 m2 > 4210 mm2 > 22 cm2 b) 380 ár < 423 000 m2 < 500 ha < 5,1 km2 2418. T6 < T1 < T3 = T4 < T5 < T2

2419. Legyen L a kerítés hossza, T a telek területe, a a hosszabbik, b a rövidebbik oldal. Ekkor L = a + 2b - 3 m, T = ab. a) L = 33 m, T = 162 m2; c) L = 83 m, T = 920 m2;

b) L = 49 m, T = 330 m2; b) L = 29,54 m, T = 132,288 m2.

2420. 1 cm 4 m-nek felel meg. a) T = 300 m2. b) kapu: 1m ház: 14 m összesen: 15 m A kerítés hossza: K - 15 m = 70 m - 15 m = 55 m. c) Tház = 6 m ◊ 8 m = 48 m2.

d) Tvirág = 10 m ◊ 6 m = 60 m2.

e) Tzöldség = 12 m ◊ 8 m = 96 m2.

f) Tgyümölcs = 8 m ◊ 8 m = 64 m2.

g) Tút = 20 m ◊ 1 m + 6 m ◊ 2 m = 32 m2. 2421. Jelölje T a kert területét m2-ben. A feltételek alapján ˆ 3 ÊT ˆ ÊT Á + 60˜ + Á + 25˜ + ◊ T = T . ¯ 8 Ë4 ¯ Ë3

Rendezés után 23 T + 85 = T , 24

136

SÍKBELI ALAKZATOK ahonnan T = 2040 m2. 2422. T = 14 400 m2. Ha L a kerítés hossza, akkor L = 4 ◊ 120 m - 2 m = 478 m. A gyümölcsöskert egyik oldalával párhuzamosan legfeljebb 19 fa ültethetõ, ugyanis 116 = 8 + 18 ◊ 6 < 120 < < 8 + 19 ◊ 6 = 122. Így a kert gyümölcsfáinak száma legfeljebb 19 ◊ 19 = 361. 2423. Jelölje a és b a téglalap szomszédos oldalai mentén elhelyezkedõ rácspontok számát. Ha k db rácsnégyzet nincs még bevonalkázva, akkor 2a + 2(b - 2) + k = ab, ahonnan ab = 2(a + b) - 4 + k a téglalap rácsnégyzeteinek száma. A nem vonalkázott négyzetek számára nézve k = (a - 2) ◊ (b - 2). Jelölje a a hosszabbik oldalt (a ¤ b). a) a = 4, b = 3, ab = 12; c) Két lehetõség: 1. a = 8, b = 3, ab = 24; 2. a = 5, b = 4, ab = 20; e) Három lehetõség: 1. a = 14, b = 3, ab = 42; 2. a = 8, b = 4, ab = 32; 3. a = 6, b = 5, ab = 30.

b) a = 5, b = 3, ab = 15; d) Két lehetõség: 1. a = 10, b = 3, ab = 30; 2. a = 6, b = 4, ab = 24;

2424. Legyen x méter a telek rövidebbik oldala. A feltétel alapján 1 ◊ 6 x ◊ x = 1568 m 2 . 3 Ebbõl x = 28 m, 6x = 168 m. Így K = 392 m, T = 4704 m2. 2425. Legyen x méter a ház oldalának hossza. Ekkor a feltétel alapján ( x + 6) 2 = 4, x2 azaz x + 6 = 2x. Ebbõl x = 6 m, tehát a ház területe 36 m2.

2426. A kivágható téglalapok száma legfeljebb

36 ◊ 33 = 22 . Az ábra mutatja, hogy 22 db 9 ◊6

téglalap ki is vágható a lemezbõl.

137

GEOMETRIA

2427. Legyen a téglalap hosszabbik oldala a centiméter. Ekkor a feltétel alapján a2 = a(a - 6) + 66. Rendezve az egyenletet és a-t kifejezve kapjuk, hogy a = 11 cm. Így T = 11 cm ◊ 5 cm = 55 cm2, K = 32 cm. 2428. Jelölje a a négyzet oldalának hosszát. Ekkor a négyzet területe: Tª = a2, a téglalap területe: (3a) ◊ (4a) = 12a2, tehát T = 12 T

A kerületekre nézve: Kª = 4a,

14a, így

K 14 7 = = . K 4 2

2429. Legyenek az eredeti téglalap oldalai 3x méter és 4x méter. A feladat feltétele szerint (3x - 3) ◊ (4x + 6) = 3x ◊ 4x. Alakítva a kapott egyenletet: 12x2 - 12x + 18x - 18 = 12x2, ahonnan x = 3. Az eredeti téglalap oldalai: 9 m, 12 m. Így T = 108 m2, K = 42 m. 2430. Legyen x méter a telek oldalának hossza. A feltétel szerint x2 - 600 = (x - 10)2. Alakítva az egyenletet: x2 - 600 = x2 - 20x + 100, ahonnan x = 35. A telek oldala tehát 35 m, T = 1225 m2, K = 140 m.

138

SÍKBELI ALAKZATOK 2431. A téglalap oldalai méterben kifejezve x és 2x. A járda területe: 2x ◊ x - (2x - 2) ◊ (x - 2) = 6x - 4. Másrészt a felhasznált betonlapok összterülete: 640 ◊ 0,25 m2 = 160 m2. Ez a két terület egyenlõ, azaz 6x - 4 = 160 1 2 m , így 2 x = 54 m . 3 3 Megjegyzés: Az elõbbi megoldásban a járdát is a játszótérhez számítottuk. Ha nem számítjuk hozzá, akkor a járda területe (2x + 2) ◊ (x + 2) - 2x2 = 6x + 4, és így x = 26 m, 2x = 52 m.

ahonnan x = 27

2432. Mivel a négyzet eredeti kerülete 4a, ezért az említett oldalakat meg. Így a téglalap területe

a -tel hosszabbítottuk 5

6 6 a ◊ a = a 2 . Ez 1,2-szerese a négyzet területének. 5 5

2433. A feltétel szerint a > b > 0 egészek és 0 < a2 - b2 < 10. a értéke legfeljebb 5 lehet, ugyanis 62 - 52 = 11 > 10. Ha a = 5 m, akkor b = 4 m. Ha a = 4 m, akkor b = 3 m. Ha a = 3 m, akkor b lehet 1 m és 2 m. Ha a = 2 m, akkor b = 1 m. 2434. A téglalap oldalai a2 =

2 a és b. A feltétel szerint 3

2 ab , 3

ahonnan b=

3 a. 2

A négyzet kerülete 4a, a téglalapé

13 a a , vagyis a téglalap kerülete nagyobb -mal. 3 3

2435. Mivel a négyszög átlói egyenlõek és felezik egymást, ezért a négyszög téglalap. Legyenek a téglalap oldalai centiméterben mérve a és b. A feladat szerint a + b = 9 cm és ab = 18 cm2. Ezt a két egyenletet egyidejûleg csak az a = 3 cm, b = 6 cm (vagy fordítva) értékek elégítik ki. 2436. Jelölje K és T az eredeti, K' és T' az új kerületet illetve területet. a) K' = 2K, T' = 4T; b) K' = 1,5K, T' = 2,25T; c) K' = 3K, T' = 9T;

139

GEOMETRIA d) K ' =

5 25 K , T '= T ; 3 9

2437. a) kétszeresére; e)

e) K ' =

25 625 K , T '= T; 9 81

f) K' = k ◊ K, T' = k2 ◊ T.

b) háromszorosára; c) ötszörösére;

3 -szeresére; 2

f)

d)

2 -szeresére;

3 -szorosára.

2438. Legyen T = ab és T' az új terület. a) T' = 2T;

b) T' = 6T;

c) T' = 21T;

d) T' = 2,25T;

e) T ' =

217 T; 22

f) T' = k ◊ l ◊ T. 2439. a) 1 : 2; g)

b) 1 : 3;

2 : 2 =1: 2;

c) 2 : 3; h)

d) 3 : 4;

e) 3 : 5;

f) 1 : 2 ;

3 : 3 = 1 : 3.

2440. Pitagorasz tétele alapján b = e 2 - a 2 , így K = 2 ÊÁ a + e 2 - a 2 ˆ˜ és T = a ◊ e 2 - a 2 . Ë ¯ a) b) c) d)

K = 14 cm, T = 12 cm2; K = 34 m, T = 60 m2; K = 34 mm, T = 60 mm2; K = 28 dm, T = 48 dm2.

2441. Jelölje az oldalakat a és b. A feltétel szerint 2(a + b) = ab. I. megoldás: Redukáljuk az egyenletet 0-ra, majd próbáljunk a bal oldalon szorzatot kialakítani. ab - 2a - 2b = 0 (a - 2)(b - 2) - 4 = 0 (a - 2)(b - 2) = 4 Lehetõségeink: a = 4 cm, b = 4 cm; Lehetõségeink: a = 3 cm, b = 6 cm; Lehetõségeink: a = 6 cm, b = 3 cm. II. megoldás: Fejezzük ki az egyik oldalt a másikkal, majd alakítsuk a kifejezést. ab - 2a = 2b a(b - 2) = 2b b π 2, így (b - 2)-vel oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát. 2b 2b - 4 4 4 = + =2+ b-2 b-2 b-2 b-2 a és b pozitív egészek, ezért 4 osztható (b - 2)-vel. b = 1 nem lehet, mert a < 0. b = 3, a = 6.

a=

140

SÍKBELI ALAKZATOK b = 4, a = 4. b = 6, a = 3. Kaptuk a már ismert megoldásokat. ab c ◊ mc = . 2 2 a) 6 cm2; b) 341,25 mm2; c) 8,4 dm2; f) 552 cm2; g) 1,82 dm2; h) 24,52 m2; k) 13,26 m2; l) 21,9 mm2.

2442. T =

a ◊ ma c ◊ mc = ; b = c és mc = mb. 2 2 a) 12 cm2; b) 9 cm2; c) 7,86 m2; f) 16 m2; g) 25,228 dm2.

d) 8,1 m2; i) 683,2 dm2;

e) 27,805 cm2; j) 801 cm2;

d) 10,25 dm2;

e) 3,2 cm2;

2443. T =

2

Ê aˆ h) Pitagorasz tételébõl adódóan ma = b - Á ˜ . Így ma = 4 cm és T = 12 cm2. Ë 2¯ 2

i) Az elõzõ ponthoz hasonlóan adódik, hogy ma = 12 m és T = 60 m2. 2444. a =

2T 2T ; b = K - (a + c); c = K - (a + b); ma = . ma a

a b c ma K T 3 cm 4 cm 5 cm 4 cm 12 cm 6 cm 2 5m 12 m 13 m 12 m 30 m 30 m 2 5 dm 5,5 dm 41 cm ª 4,097 dm 13,1 dm 716,9 cm 2 6 dm 5,1 dm 7,5 dm 35 cm 186 cm 10,5 dm 2 2 4,413 m 6m 6 m 50 dm 1708 cm 11,03 m 2 3

Megjegyzés: Az elsõ két sor háromszögei derékszögûek. a ◊ c2 - a2 . 2 b) b = 12 mm, K = 30 mm, T = 30 mm2; d) Nem lehetséges. f) b = 15 mm, K = 90 mm, T = 270 mm2.

2445. Pitagorasz tétele alapján b = c 2 - a 2 , így K = a + c 2 - a 2 + c , T = a) b = 4 dm, K = 12 dm, T = 6 dm2; c) b = 24 m, K = 56 m, T = 84 m2; e) b = 8 dm, K = 40 dm, T = 60 dm2;

141

GEOMETRIA 2446. Ha a szabályos háromszög oldala a, akkor Pitagorasz tétele értelmében 2

Ê aˆ a 2 = m 2 + Á ˜ , ahonnan Ë 2¯ m = a2 -

a2 = 4

3 2 3 a =a . 4 2

a 2

Így a terület:

a 2

3 2 2 =a 3 . 2 4

a ◊a T=

a) K = 6 m, T = 3 m 2 ª 1,732 m 2 ; b) K = 12 cm, T = 4 3 cm 2 ª 6,928 cm 2 ; c) K = 21 cm, T = 12 ,25 ◊ 3 m 2 ª 21,218 m 2 ; d) K = 25,5 dm, T = 18,0625 ◊ 3 dm 2 ª 31,285 dm 2 ; e) K = 18 km, T = 9 ◊ 3 km 2 ª 15,588 km 2 ; f) K = 14

1 cm, T ª 9,623 cm 2 . 7

2447. Az elõzõ feladat ábrája és eredményei alapján, ha a jelöli a derékszögû háromszög átfogóját, akkor a terület egy a oldalú szabályos háromszög területének a fele, a kerület pea a 3 . dig: K = a + + 2 2 a) K = 6 + 2 3 cm ª 9,464 cm, T = 2 3 cm 2 ª 3,464 cm 2 ; b) K = 9 + 3 3 dm ª 14,196 dm, T = c) K = 15 + 5 3 m ª 23,66 m, T =

9 ◊ 3 dm 2 ª 7,794 dm 2 ; 2

25 ◊ 3 m 2 ª 21,65 m 2 ; 2

d) K = 24 + 8 3 mm ª 37,856 mm, T = 32 ◊ 3 mm 2 ª 55,426 mm 2 ; e) K = 30 + 10 3 cm ª 47,32 cm, T = 50 ◊ 3 cm 2 ª 86,6 cm 2 . 2448. Pitagorasz tétele alapján c2 = 2a2, ahonnan a=

Így

142

c

2

=

c 2 . 2

K = c 2 + c = c◊

(

)

2 +1

és

SÍKBELI ALAKZATOK 2

Ê c ˆ 1 c2 T =Á . ˜ ◊ = Ë 2¯ 2 4

( K = 4 ◊(

) 2 + 1) dm ª 9,657 dm, T = 4 dm ; K = 0,8 ◊ ( 2 + 1) m ª 1,931 m, T = 0,16 m ; K = 12 ◊ ( 2 + 1) mm ª 28,97 mm, T = 36 mm ; 7 49 K = ◊ ( 2 + 1) m ª 5,633 m, T = m ; 3 36 1024 64 dm K= ◊ ( 2 + 1) dm ª 11,885 dm, T = 169 13 2 + 1 cm ª 14,485 cm, T = 9 cm 2 ;

a) K = 6 ◊ b) c) d) e) f)

2

2

2

2

2

ª 6,059 dm 2 .

2449. Az egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogójához tartozó magassága fele az átfogónak, így, ha m jelöli a magasságot, akkor az elõzõ feladat megoldása során kapott összefüggések alapján K =2

a) K = 8 ◊

(

b) K = 10 ◊

(

)

2 + 1 ◊ m és T = m2.

)

2 + 1 cm ª 19,314 cm, T = 16 cm 2 ;

(

)

2 + 1 m ª 24,142 m, T = 25 m 2 ;

( 2 + 1) dm ª 11,588 dm, T = 5,76 dm ; K = 136 ◊ ( 2 + 1) mm ª 328,333 mm, T = 4624 mm ; 20 100 K= ◊ ( 2 + 1) mm ª 16,094 mm, T = mm = 111 , mm ; 3 9 6889 166 cm ª 19,083 cm . K= ◊ ( 2 + 1) cm ª 21,093 cm, T = 361 19

c) K = 4,8 ◊ d) e) f)

2

2

2

2

2

2

2450. Az egyenlõ szárú háromszög derékszögû. Az elõzõ feladat alapján T = m2 < 90 cm2. Így m lehetséges értékei: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm. 2451. T1 = 10, T2 = 18, T3 = 14,5, T4 = 14, T5 = 14. Így a sorrend: T1 < T4 = T5 < T3 < T2. 2452. Az ABF derékszögû háromszög a 2447. feladatnak megfelelõ, így a = b 3 és b = 2ma. Ezek alapján:

ma

K = 2 b + b 3 = 4 ma + 2 3 ◊ ma és

143

GEOMETRIA

T=

b2 3 = ma2 3 . 4

a) K = 12 + 6 3 cm ª 22 ,392 cm, T = 9 3 cm 2 ª 15,588 cm 2 ; b) K = 8 + 4 3 m ª 14,928 m, T = 4 3 m 2 ª 6,928 m 2 ; c) K = 24 + 12 3 mm ª 44,785 mm, T = 36 3 mm 2 ª 62 ,354 mm 2 ; d) Lásd az a) pontot! e) K = 6 + 3 3 dm ª 11,196 dm, T = 2 ,25 ◊ 3 dm 2 ª 3,897 dm 2 ; f) K = 90 + 45 3 mm ª 167,942 mm, T ª 876,85 mm 2 . 2453. Jelölje O a beírható kör középpontját, és bontsuk fel a háromszöget az AOB, BOC és COA háromszögekre. Ezek tec ◊r a ◊r TAOB = ; TBOC = ; rülete: 2 2 b ◊r TCOA = . Az ABC háromszög terüle2 te ezek összege, azaz a ◊r b ◊r c ◊r + + = 2 2 2 r K ◊r = ◊ ( a + b + c) = 2 2

TABC =

ahol K = a + b + c a háromszög kerülete. 2454. Lásd az elõzõ feladatot! r

5 cm

10 dm

10 mm

0,7 m

K T

30 cm 75 cm 2

4m 200 dm 2

5 cm 2 ,5 cm 2

28 dm 98 dm 2

2455. A feltétel szerint 13 cm < a + b + c < 18 cm. Mivel a = 7 cm és b = 2c, ezért 6 cm < 3c < 11 cm, azaz 2 cm < c < A b oldalra nézve

144

11 cm. 3

SÍKBELI ALAKZATOK 4 cm < b <

22 cm. 3

Mivel b + c > a, ezért c >

7 14 cm és b > cm . 3 3

Összefoglalva 7 11 cm < c < cm , 3 3 14 22 cm < b < cm . 3 3 2456. Legyen a telek szára b méter, alapja a méter. A feltételek alapján 3 1. b = 24 m Æ b = 16 m. 2 b 2. a + = 25 m Æ a = 17 m. 2 Az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz tételébõl számolható. 2

Ê aˆ ma2 = b 2 - Á ˜ = 183,75 m 2 Ë 2¯

ma ª 13,56 m. Így T =

a ◊ ma = 115,26 m 2 . 2

FC ◊ m AF ◊ m , TBCF = . Mivel 2 2 AF = FC, ezért valóban TABF = TBCF.

2457. TABF =

2458. Lásd az elõzõ feladatot! 2459. TCFb M = TCFb B - TCMB

(1)

TBMFc = TBCFc - TCMB

(2)

A 2457. feladat alapján TCFb B = TBCFc . Ezt az (1) és (2) összefüggésekkel öszszevetve:

Fb Fc

TCFb M = TBMFc .

145

GEOMETRIA 2460. A 2457. feladat állítását többször alkalmazva kapjuk, hogy a nagy háromszög területe 7-szerese az eredetinek. (Lásd az ábrát!)

e◊ f = a ◊ ma + b ◊ mb 2 a) T = 30 cm2; b) T = 12 cm2; d) T = 50 cm2; e) T = 16,5 cm2, K = 18 cm; g) T = 30 cm2, K = 24 cm.

2461. T =

2

2462. T = a) c) e) g)

c) T = 7,84 cm2; f) T = 96 cm2, K = 32 cm;

2

e◊ f Ê eˆ Ê fˆ = 2 ◊ a ◊ ma , K = 4a = 4 Á ˜ + Á ˜ = 2 ◊ e 2 + f 2 . Ë 2¯ Ë 2¯ 2

T = 24 cm2, K = 20 cm; T = 0,96 dm2, K = 4 dm; T = 30 m2, K = 20 m; T = 5119,2 dm2, K = 324 dm.

b) T = 1,2 m2, K = 5,2 m; d) T = 2,16 cm2, K = 6 cm; f) T = 77,76 cm2, K = 28,8 cm;

2463. T = a ◊ ma a) 32 cm2; b) 2,76 dm2; f) 34,182 dm2.

c) 12,642 dm2; d) 31,356 m2;

e) 23,4 cm2;

2464. K = 2(a + b), T = a ◊ ma + b ◊ mb a) K = 16 cm, T = 19 cm2; b) K = 18 dm, T = 29,5 dm2; 2

2

e◊ f Ê eˆ Ê fˆ = 26,24 cm 2 ; c) K = 4 Á ˜ + Á ˜ = 2 ◊ e 2 + f 2 ª 20,8 cm, T = Ë 2¯ Ë 2¯ 2 e f e = , a=b 3 = ◊ 3, K = e 1 + 3 = 8 ◊ 1 + 3 m ª 21,86 m , 2 2 2 e2 T = a◊b = ◊ 3 = 16 ◊ 3 m 2 ª 13,856 m 2 . 4 (Az átlók egyenlõségébõl adódik, hogy a paralelogramma téglalap. Lásd még a 2446. feladatot!) e) K = 20 cm, T = 40 cm2; f) K = 160 cm, T = 9,6 dm2.

d) b =

(

) (

)

2465. A középpontos tükrözéssel kapott síkidom mindhárom esetben paralelogramma lesz. a) K = 14 cm; b) K = 12 cm; c) K = 10 cm.

146

SÍKBELI ALAKZATOK 2

a+c Ê a - cˆ 2 2466. K = a + 2b + c, T = ◊m, b = d = Á ˜ +m . Ë 2 ¯ 2

a) K = 26 cm + 2 ◊ 32 + 4 2 cm = 36 cm, T = 52 cm2; b) K = 56 m, T = 180 m2; c) A trapéz három szabályos háromszögbõl tevõdik össze. (Lásd a 2466/1. ábrát!) Így c2 3 T = 3◊ = K = 5c = 40 dm, 4 = 48 3 dm 2 ª 81138 , dm 2 . (Lásd még a 2446. feladatot!)

2466/1. ábra d) A

2466/2.

ábra

alapján

a-c = 2

= b 2 - m 2 = 8 mm. Így a = 21 mm. K = 46 mm, T = 78 mm2. e) A trapéz téglalap, így K = 18 m, T = 20 m2.

a-c 2

2466/2. ábra f) A 2466/3. ábra alapján m = és b = d =

m◊ 2

=

a-c = 4 dm 2 4 ◊ 2 dm ª

ª 5,657 dm. Így K = 32 + 8 2 dm ª ª 43,314 dm, T = 64 dm2. g) A 2466/4. ábra és a 2447. feladat alapd a-c d 3 és , ahonnan ján m = = 2 2 2 c = a - d 3 . Az adatokból c-re negatív érték adódik, így nincs ilyen trapéz.

2467. e = e1 + e2, f = f1 + f2. Mivel a trapéz szimmetrikus, ezért e1 = f1 és e2 = f2. (Lásd az ábrát!) A merõlegességbõl adódóan e ◊f e ◊f e ◊f e ◊f T= 1 1 + 2 1 + 2 2 + 1 2 = 2 2 2 2 f1 + f2 f1 + f2 e1 ◊ + e2 ◊ = 2 2 (e1 + e2 ) ◊ ( f1 + f2 ) e ◊ f e 2 = = . 2 2 2

2466/3. ábra

a-c 2

2466/4. ábra

e1

f1

f2

e2

147

GEOMETRIA a) 2 cm2; 2468. T =

b) 8 m2;

c) 12,5 dm2; d) 578 mm2.

( a + c) ◊ m 2T 2T 2T , m= , a= -c, c = -a. a+c m m 2 a

c

m

T

20 m

12 m

8m

128 m 2

13 dm 85 cm

60 cm

6450 cm 2

-

3 cm

4,5 cm

500 mm 2

32 cm

8 cm

2,4 dm

4,8 dm 2

2469. K = a + b + c + d , T = a 8 cm

( a + c) ◊ m 2T , a= - c , b = K - (a + c + d ) . 2 m

b 10 cm

c 6 cm

4,12 cm 22 mm 1,5 cm 13 m

5,3 m

8m

d 8 cm

m 7,6 cm

K 32 cm

T 53,2 cm 2

0,12 dm

1 cm

9,02 cm

2,81 cm 2

600 cm

50 dm

3230 cm

52,5 m 2

2470. T1 = 25, T2 = 32, T3 = 24, T4 = 15, T5 = 27, T6 = 22,5. T2 > T5 > T1 > T3 > T6 > T4 2471. A 2467. feladat kapcsán leírtakkal analóg módon bizonyítható, hogy ebben az esetben e◊ f T= . (Lásd még a 2472. feladatot!) 2 a) 5 cm2; b) 242,2 m2; c) 3,9 dm2. 2472. e1 + e2 = e ,

f1 + f2 = f . T =

e1 ◊ f1 + 2

e1 ◊ f2 e2 ◊ f1 e2 ◊ f2 + + = 2 2 2 e e e = 1 ( f1 + f2 ) + 2 ( f1 + f2 ) = 1 f + 2 2 2 e2 e1 + e2 e◊ f + . f= ◊f= 2 2 2

+

148

f1

e1 f2 e2

SÍKBELI ALAKZATOK 2473. Ha c jelöli a rövidebb alapot, akkor a hosszabb alap 3c. Az ABM és DMC háromszögek hasonlóak, ezért az M pont 3 : 1 arányban osztja az átlókat. DMC egyenlõ szárú derékszögû háromszög, c DM = MC = . Így ezért 2 c DB = AC = 4 ◊ . A 2467. feladat 2 2

alapján T =

DB ◊ AC 1 Ê c ˆ = ◊Á 4 ◊ ˜ = 2 2 Ë 2¯

= 4c2. Mivel

c=

168 mm = 42 mm , 4

ezért T = 7056 mm2. 2474. Az adatok alapján a trapéz a 2466. feladat c) pontjának megfelelõ, így 3,6 2 ◊ 3 T = 3◊ dm 2 ª 16,84 dm 2 . 4 2475. TAMD = TACD - TMCD és TCMB = TBCD DC ◊ m = 2 = TBCD. Ezeket összevetve adódik a feladat állítása.

- TMCD.

Másrészt

TACD =

2476. A paralelogramma átlói felezik egymást, így TMCD = TMBC. (Egy-egy oldal és a hozzátartozó magasság egyenlõ.) A középpontos szimmetriából adódóan TMCD = TMAB és TMBC = TMDA. Ezzel az állítást beláttuk. 2477. A szögekre tett feltételek alapján: 1. BCD <) = 120∞. 2. Az ABD háromszög szabályos, így AB = BD = DA. 3. A BCM háromszög olyan derékszögû háromszög, amelynek egyik hegyesszöge 30∞, így DB = BC ◊ 3 , MC =

BC BC ◊ 3 és MB = . (Lásd 2 2

149

GEOMETRIA a 2446. és a 2447. feladatot!) Ezek alapján: AC = AM + MC = Tehát

(

AC = 4 m,

)

= 4◊ 3 + 4 m = 4◊

DB = 2 ◊ 3 m. K = 2 ◊ AB + 2 ◊ BC = AC ◊ DB 3 + 1 m ª 10,93 m, T = = 4 ◊ 3 m 2 ª 6,93 m2. 2

MC = 1 m,

(

AB ◊ 3 BC DB ◊ 3 BC 3 BC + = + = BC ◊ + =2 ◊ BC. 2 2 2 2 2 2

AM = 3 m,

)

2478. Legyen a hosszabbik alap hossza dm-ben a, a rövidebbiké c, a magassága pedig legyen m. a = 2c + 0,3 és a + c = 6. Innen a = 4,1 dm, c = 1,9 dm, m = 0,4 ◊ a = 1,64 dm. Így a+c T= ◊ m = 4,92 dm 2 . 2 2479. Az ábrán látható négy derékszögû háromszög egybevágó, ugyanis két-két oldaluk (a; 2a) és a közbezárt szög (90∞) megegyezik. (Lásd az ábrát!) A kapott négyszög oldalai ezért egyenlõk, és mivel a + b = 90∞, a négyszög valóban négyzet. Egy derékszögû háromszög te2a ◊ a rülete = a 2 , így a nagy négyzet 2 területe ötszöröse az eredeti négyzet területének. 2480. Ha m jelöli a trapéz magasságát, a nem szürkén satírozott terület m m AB ◊ CD ◊ 2 + 2 = AB + CD ◊ m . T '= 2 2 4 (Lásd az ábrát!) Ez fele a trapéz területének, így a vonalkázott terület is fele a trapéz területének.

150

m 2 m 2

SÍKBELI ALAKZATOK 2481. A szögfelezõk metszéspontjai által meghatározott négyszög szögei derékszögek, ugyanis a szomszédos szögek szögfelezõi derékszögben metszik egymást. Az ábrán látható, hogy mivel a szemközti szögek szögfelezõi párhuzamosak és az oldalakkal 45∞-os szöget zárnak be, ezért az EFC és GHB háromszögek egybevágó egyenlõ szárú derékszögû háromszögek, amelyek átfogója 2 cm hosszú. A szögfelezõk által bezárt négyszög tehát négyzet, amelynek oldala 2 d= cm = 2 cm . Így területe 2 2 cm2.

2482. TABC = TACD, TAME = TAFM, valamint TMCM = TMGC. Mivel TEMHD = TACD és TFBGM = TABC - TAME - TMCH - TAFM - TMGC, ezért a vonalkázott területek valóban egyenlõek.

2483. A töröttvonal helyettesíthetõ a párhuzamosokra merõleges szakasszal. A helyettesítést két lépésben végezzük el. A1 A2

A1 F1 F2 B1

2483/1. ábra

B2 B1

2483/2. ábra

1. Ha F1 az AM, F2 pedig a BM szakasz felezõpontja, akkor az F1F2 egyenes A1B1 szakasza jó helyettesítõ, ugyanis TAF1 A1 = TF1CM és TCF2 M = TBB1F2 . (Lásd a 2483/1. ábrát!) 2. Ha F az A1B1 szakasz felezõpontja, akkor a rá illeszkedõ A2B2 szakasz megfelel, ugyanis TA1 FA2 = TB2 B1F . (Lásd a 2483/2. ábrát!)

151

GEOMETRIA 2484. Jelölje T a négyzet területét. a)

T 4

T 4

b)

T 4

T 4

T 4

T 8

3 T 8

T 4

c)

d)

AC ◊ BD , F negyedeli a BD át2 1 3 AC ◊ BD 3 2 4 lót, így TEFGD = = T. 2 8

S súlypont az ABD háromszögben, így

T=

TABD , tehát a vonalkázott rész 3 T területe . 3 TSBD =

2485. Jelölje T mindegyik esetben az eredeti síkidom területét. a)

T 9

T 9

2T 3

152

b)

T 9

T 2

SÍKBELI ALAKZATOK c)

d)

m 2 A vonalkázott rész területe: c◊m a- c m + ◊ = 2 2 2 m Ê a - cˆ = ◊Ác + ˜= 2 Ë 2 ¯

T = TABCD = (a + c) ◊

=

T 6

m a+c T ◊ = . 2 2 2

2486. Az ABFD húrtrapéz felbontható három egybevágó szabályos háromszögre, amelyek oldalának hossza 4 cm. A paralelogramma négy ilyen szabályos háromszög egyesítése, így a 2446. feladat alapján 16 ◊ 3 cm 2 = 16 ◊ 3 cm 2 ª T = 4◊ 4 ª 27,71 cm2, és K = 24 cm.

2487. Ha a szabályos háromszög oldala a, akkor a hatszög oldala

a . A háromszög területe 2

(lásd a 2446. feladatot): a2 3 . 4 A hatszög területe: t1 =

2

Ê aˆ Á ˜ ◊ 3 Ë 2¯ 3 ◊ 6 = a2 ◊ 3 ◊ . t2 = 8 4

Így 3 a2 ◊ 3 ◊ t2 8 =3. = t1 a 2 ◊ 3 ◊ 1 2 4

2488. a) T = 69,5 cm2. b) T = 180 cm2.

153

GEOMETRIA c) A 2488/1. ábra jelöléseit használva: ( 4 - x ) + 2 + x 3 + 5 = 13 2 x= ª 2 ,73 cm 3 -1 A területre nézve: ( 4 - x )2 x2 3 T= + ( 4 - x )(9 + x ) + + 5 x ª 35,81 cm 2 . 2 2

x 3

2 3

2488/1. ábra

2488/2. ábra

d) A 2488/2. ábrán látható átdarabolásokat elvégezve, és az ott látható adatokkal

((

T= 4

)

)

(

)

3 + 1 + 8 3 cm 2 = 12 3 + 4 cm 2 ª 24,78 cm 2 .

2489. T = 772 800 m2. 2490. T = 35,84 m2. 2491. TABFE = AB ◊ AG és TEFCD = AB ◊ GD. Összegük: TABFE + TEFCD = = AB ◊ (AG + GD) = AB ◊ AD = = TABCD.

2492. a) A szabályos háromszög beírt és köréírt körének középpontja a háromszög súlypontja, amely 2 : 1 arányban osztja a súlyvonalakat. Ezt és a 2446. feladat kapcsán leírtakat felhasználva adódik, hogy a beírt há3 romszög magassága m = R , olda2 2 m 3R la pedig a = = . A beírt há3 3

154

2492/1. ábra

SÍKBELI ALAKZATOK romszög területe így t=

a 2 3 3R 2 3 = = 4 4

= 12 3 cm 2 ª 20,78 cm 2 .

Hasonló okoskodással adódik, hogy a köréírt háromszögre nézve 2 ◊ ( 3R ) 6 R b= = = 2 a , ami alapján T : t = 4 : 1. (T a köréírt háromszög területe.) 3 3 b) A beírt négyzet átlójára nézve a 2 = 2R ,

így a beírt négyzet területe t = 2R2. A köréírt négyzet oldala

2492/2. ábra

b = 2R, így területe T = 4R2. Kaptuk, hogy T : t = 2 : 1. c) A beírt szabályos hatszög oldala egyenlõ a kör sugarával, így területe: R2 ◊ 3 3 3 ◊ R2 = ª 4 2 ª 41,57 cm 2 . t = 6◊

A köréírt hatszög középponti háromszögének m magasságára nézve: 2R , és a terület: m = R. Így b = 3

2492/3. ábra

2

Ê 2R ˆ Á ˜ ◊ 3 Ë 3¯ T = 6◊ = 2 R2 3 . 4

Ezek alapján a területek aránya: T 2R2 3 4 = = . t 3 3R 2 3 2

Megjegyzés: Megfigyelhetõ, hogy a sokszögek oldalszámának növekedésével a kérdéses arány csökken.

155

GEOMETRIA 2493. Ha a jelöli a négyzet oldalának hosszát, akkor a levágott háromszögek területének összege: 8 2 a = 98 cm 2 . 49

Ebbõl a = 24,5 cm, és így a nyolcszög területe

2 a 7 3 a 7 2 a 7

T = a2 - 98 cm2 = 502,25 cm2.

A kör és részeinek kerülete, területe 2494. a) K = 8p cm ª 25,12 cm, T = 16p cm2 ª 50,24 cm2; b) K = 10p m ª 31,42 m, T = 25p m2 ª 78,55 m2; c) K = 56p mm ª 175,84 mm, T = 784p mm2 ª 2461,76 mm2; d) K = 4,6p dm ª 14,44 dm, T = 5,29p dm2 ª 16,61 dm2; e) K =

4 4 p m ª 4,19 m, T = p m 2 ª 1,4 m 2 ; 3 9

18 81 p cm ª 11,3 cm, T = p cm 2 ª 10,17 cm 2 ; 5 25 50 625 g) K = p dm ª 17,44 dm, T = p dm 2 ª 24,23 dm 2 ; 9 81

f) K =

h) K = 10 mm, T =

25 mm 2 ª 7,96 mm 2 . p

2495. a) K = 10p m ª 31,42 m, T = 25p m2 ª 78,55 m2; b) K = 24p cm ª 75,36 cm, T = 144p cm2 ª 452,16 cm2; c) K = 1,6p dm ª 5,024 dm, T = 0,64p dm2 ª 2,01 dm2; d) K = 3,64p mm ª 11,43 mm, T ª 10,4 mm2; e) K = 1,16p m ª 3,64 m, T ª 1,06 m2; f) K =

4 p cm ª 1,4 cm, T ª 0,16 cm 2 ; 9

39 p cm ª 11,13 cm, T ª 9,87 cm 2 ; 11 9 h) K = 6 dm, T = dm 2 ª 2 ,87 dm 2 . p

g) K =

156

SÍKBELI ALAKZATOK 2496.

r

2,26 m

3 cm

9 dm

3 cm

ª 8,6 m

4 mm

d

4,52 m

6 cm

18 dm

6 cm

ª 17,2 m

8 mm

K T

ª 14,2 m ª 16,04 m 2

ª 18,84 cm ª 28,26 cm 2

18p dm ª 254,34 dm 2

ª 18,84 cm 54 m 9p cm 2 ª 232,23 m 2

ª 25,12 mm 50,24 mm 2

R = r = 0,5 m ; p ª 3,14. 2 6,28 m, 3,14 m; b) 12,56 m, 6,28 m; c) 3,14 m, 1,57 m; 1,57 m, 0,785 m; e) 5,024 m, 2,512 m; f) 753,6 m, 376,8 m; 1055,04 m, 527,52 m; h) 3692,64 m, 1846,32 m; i) 55012,8 m, 27506,4 m; 275064 m, 137532 m.

2497. R = 1 m; a) d) g) j)

2498. A kerék kerülete: d=

3,4 km 3400 m 17 = = m ª 1,89 m . Így 1800 1800 9

1,89 m ª 0,602 m = 60,2 cm , r = 30,1 cm. p

2499. Egy menet hossza: 2rp ª 25,12 cm. Így a szükséges rézhuzal hossza: 502,4 m.

2500. Az r sugarú félkörív hossza rp. Az sonlóan adódik, hogy az 2n ◊

r r sugarú félkörívek összhossza: 2 ◊ ◊ p = rp . Ha2 2

r (n természetes szám) sugarú félkörívek összhossza: 2n

r ◊ p = rp . 2n

2501. A kerületek aránya megegyezik az átmérõk arányával, a területek aránya pedig az átmérõk arányának négyzete, nevezetesen a) 1 : 4; b) 4 : 9; c) 9 : 25; d) 1 : 12,25; e) 49 : 81; f) p2 : q2. 2502. a) A legnagyobb kivágható kör sugara a háromszög beírható körének sugara, ami a szabályos háromszög magasságának harmada. (Lásd a 2347., 2446. és 2492. felada3 2 p m 1 3 3 m m2 ª m= m . A hulladék területe: tokat!) Így r = = ◊ 3 3 2 6 4 12 ª 0,17 m2. b) A legnagyobb kivágható kör sugara a négyzet oldalának fele, azaz 0,5 m. A hullap dék területe: 1 m 2 - m 2 ª 0,21 m 2 . 4

157

GEOMETRIA c) A legnagyobb kivágható kör sugara az 1 m oldalú szabályos háromszög magassága (lásd az ábrát), azaz 3 r= m . A hulladék területe (lásd 2 3 2 a 2492. feladatot): 6 ◊ m 4 3p 2 m = 0,24 m2. 4 A kivágott körlap és a sokszöglap területének aránya az egyes esetekben: p T p T p 12 = = ª 0,6; = ª 0,79; T T 4 3 3 3 4

T T

3p p = 4 = ª 0,91. 3 3 2 3 2

2503. Mindhárom esetben az adott körbe írható szabályos sokszöglemezt vágjuk ki. a) A szabályos háromszög köré írható kör sugara a magasság kétharmada. (Lásd a 2 a 3 a 3 , ahonnan a = 3 m . 2347., 2446. és 2492. feladatokat!) Így 1 m = ◊ = 3 3 2 3 3 2 A hulladék területe: p m 2 m ª 1,84 m 2 . 4 b) A négyzet köré írható kör sugara az átló fele, így 1 m =

a 2 , ahonnan a = 2 m . 2

A hulladék területe: p m2 - 2 m2 ª 1,14 m2. c) A szabályos hatszög köré írható kör sugara a hatszög oldalával egyenlõ, így a hulla3 3 2 m ª 0,54 m 2 . dék területe: p m 2 2 A kivágott sokszöglap és a kör területének aránya az egyes esetekben: 3 3 = 4 ª 0,41; p

T T

T T

2 = ª 0,64; p

T T

3 3 = 2 ª 0,82. p

2504. Ha a kör átmérõje d és a középponti szög fokokban a, akkor a körcikk területe: d 2 ◊p a ◊ , 4 360∞ kerülete pedig: a K = d + dp ◊ . 360∞ T=

a) T =

158

5p ˆ 25p Ê cm 2 ª 13,08 cm 2 , K = Á10 + ˜ cm ª 15,23 cm; Ë 3¯ 6

SÍKBELI ALAKZATOK b) T =

5p ˆ 25p Ê cm 2 ª 19,63 cm 2 , K = Á10 + ˜ cm ª 17,85 cm; Ë 2 ¯ 4

c) T =


d) T =


e) T =

25p cm 2 ª 39,26 cm 2 , K = (10 + 5p ) cm ª 25,7 cm; 2

f) T =

3 3 Ê ˆ ◊ 25p cm 2 ª 58,88 cm 2 , K = Á10 + ◊ 5p ˜ cm ª 33,55 cm; Ë ¯ 4 2

g) T =

25p 5p ˆ Ê cm 2 ª 2 ,18 cm 2 , K = Á10 + ˜ cm ª 10,87 cm; Ë 36 18 ¯

h) T =


i) T =


j) T =


k) T =

11 11 Ê ˆ ◊ 25p cm 2 ª 18 cm 2 , K = Á10 + ◊ 5p ˜ cm ª 17,2 cm. Ë ¯ 48 24

2505. a) 180∞;

b) 90∞;

c) 60∞;

d) 240∞;

e) ª 257,14∞; f) 216∞;

g) 270∞. 2506. Ha R jelöli a körcikk sugarát és a a körcikk középponti szöge fokokban, akkor r a . = R 360∞ Így a körcikk területe a r T = R 2p ◊ = R 2 p ◊ = rRp , 360∞ R kerülete pedig K = 2R + 2rp = 2(R + rp).

a) T = 1,5p cm2 ª 4,71 cm2, K ª 9,14 cm; b) T = 3p cm2 ª 9,42 cm2, K ª 12,28 cm; c) T = 4,5p cm2 ª 14,13 cm2, K ª 15,42 cm; d) T = 6p cm2 ª 18,84 cm2, K ª 18,56 cm.

159

GEOMETRIA 2507. Az a középponti szöghöz tartozó körszelet az ábrán vonalkázással jelölt síkidom. a) a = 90∞, T=

R 2p R 2 R 2 Ê p ˆ 2 = Á - 1˜ ª 28,5 cm , 4 2 2 Ë2 ¯

K=

2 Rp Êp ˆ + R ◊ 2 = R Á + 2 ˜ ª 29,84 cm. Ë2 ¯ 4

b) a = 180∞. A körszelet most maga a félkörlap, így

T=

R 2p ª 157 cm 2 , 2

K = Rp + 2R ª 51,4 cm. c) a = 270∞. A megfelelõ körszelet a körlapnak az a) pontbeli körszelet elhagyása után kapott része. Ê R 2 p R 2 ˆ R 2 Ê 3p ˆ 2 T = R 2p - Á ˜= Á1 + ˜ ª 285,5 cm , 2 ¯ 2 ¯ 2 Ë Ë 4 K=

3 Ê 3p ˆ ◊ 2 Rp + R ◊ 2 = RÁ + 2 ˜ ª 61,24 cm. Ë 2 ¯ 4

d) a = 360∞. A körszelet most a teljes körlap. T = R2p ª 314 cm2, K = 2Rp ª 62,8 cm. e) a = 60∞. Ekkor a körszeletet határoló húr hossza R, és a középponti háromszög teR2 3 . (Lásd a 2446. feladatot!) 4 R 2p R 2 3 R 2 Ê p 3ˆ ÁÁ ˜ ª 9,03 cm 2 , T= = 6 4 2 Ë 3 2 ˜¯

rülete

K =R+

2 Rp Ê pˆ = R Á1 + ˜ ª 20,47 cm. Ë 6 3¯

f) a = 120∞. A körszeletet határoló húr hossza R 3 és a megfelelõ középponti háromR2 3 . (Lásd a 2446. és 2452. feladatokat!) 4 Êp R 2p R 2 3 3ˆ ˜ ª 61,37 cm 2 , T= = R 2 ÁÁ 3 4 4 ˜¯ Ë3

szög területe

K=

160

2 Rp Ê 2p ˆ + R 3 = RÁ + 3 ˜ ª 38,25 cm. Ë 3 ¯ 3

SÍKBELI ALAKZATOK 2508. A körgyûrû területe: T = (R2 - r2)p = (R + r)(R - r)p = (R + r) ◊ d ◊ p. r 3 cm 25 mm 5 cm 5,6 m 2,8 dm

R 5 cm 0,04 m 7 cm 6m 10 mm 4,16 m

7,5 cm 12,5 cm 6,75 cm 7,25 cm

d T 2 cm 50,24 cm 2 1,5 cm 30,62 cm 2 0,2 dm 75,36 cm 2 40 cm 14,57 m 2 30 cm 2 54 m 2 3,88 m 314 cm 2 7p cm 2

5 cm 5 mm

2509. T = (R + r)(R - r)p. a) T ª 62,8 cm2;

b) T ª 33 dm2;

c) T ª 45,75 m2;

d) T ª 47,1 mm2.

2510. Jelölje R a külsõ, r a belsõ kör sugarát. A kérdezett arány:

(R

2

)

- r2 p

R 2p

a)

3 ; 4

b)

2

r2 Êrˆ = 1- 2 =1- Á ˜ . Ë R¯ R 8 ; 9

c)

7 ; 16

d)

9 ; 25

e)

24 ; 49

f)

n2 - m2 . n2

2511. A kérdezett arány számértékileg a vonalkázott területtel egyezik meg. p ª 0,785. 4 b) A vonalkázott terület most a négyzet területébõl az elõzõ pontban kimaradt terület Ê pˆ p kétszeresét kivonva adódik. 1 - 2 Á1 - ˜ = - 1 ª 0,57. Ë 4¯ 2

a) A vonalkázott síkidom egy 1 sugarú körlap negyede, így az arány

c) Összességében egy 1-

1 sugarú kör területét kell levonni a négyzet területébõl. 2

p ª 0,215. 4

1 oldalú négyzetre lehet bontani, amelyekben a 2 vonalkázott terület a b) pont négyzetébõl kimaradt területnek felel meg. Így a vonalp Ê1 p ˆ kázott terület: 4 ◊ 2 Á - ˜ = 2 - ª 0,43. Ë 4 16 ¯ 2

d) Az eredeti négyzetet négy olyan

2512. Az alapkör területe p. Legyen A a kérdezett arány. p 4 = 3; 4 p

p-

a) A =

p p + 5 b) A = 4 16 = ; 16 p

1Ê pˆ Áp - ˜ 2Ë 4¯ 3 c) A = = ; 8 p

161

GEOMETRIA d) Az ábráról leolvasható, hogy az alap körlapból kimaradó síkidomok: 1. 2 darab 60∞-os középponti szöghöz tartozó háromszög, összterü3 . (Lásd a 2446. feladaletük 2 tot!) 2. 2 darab 120∞-os középponti szöghöz tartozó háromszög, ezek 3 összterülete is . (Lásd a 2 2452. feladatot!) 3. 4 darab 60∞-os középponti szöghöz tartozó körszelet, ezek összterülete Êp 3 ˆ 2p ˜= - 3 . (Lásd a 2507/e) feladatot!) 4ÁÁ 4 ˜¯ 3 Ë6 Így a megmaradó (vonalkázott) terület: p - 2 ◊

3 Ê 2p 1 ˆ p -Á - 3 ˜ = , tehát A = . ¯ 3 2 Ë 3 3

2513. Az ábráról leolvasható, hogy a feladatban pontozással jelölt területrész valóban a négyzet területének negyede. A másik állításra is gyorsan adódik a bizonyítás, ha figyelembe vesszük, hogy az oldalakra írt félkörök területének összege egyenlõ annak a negyedkörnek a területével, amelynek sugara a négyzet oldala. 2514. Jelölje A a kérdezett arányt. a) A rombusz két szabályos háromszögbõl tevõdik össze, így területe 2446. feladatot!) A vonalkázott rész két tozó körcikk, amelyek összterülete

3 . (Lásd a 2

1 sugarú, 60∞-os középponti szöghöz tar2 p . (Lásd a 2504. feladatot.) Így 12

p p A = 12 = ª 0,31. 3 6◊ 3 2 b) A trapéz három darab 2 oldalhosszúságú szabályos háromszögbõl tevõdik össze, így 22 ◊ 3 = 3 3 . (Lásd a 2446. és 2466/c) feladatokat!) A kimaradó rész területe 3 ◊ 4 1 összességében két sugarú körlap és két 1 sugarú, 60∞-os középponti szöghöz 2

162

SÍKBELI ALAKZATOK p p 5p + = . (Lásd a 2504. feladatot!) A vo4 3 6 5p 3 35p 6 = 1 - 5p ª 0,49. nalkázott terület így 3 3 , az arány pedig A = 6 3 3 18 3 c) Az egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogóhoz tartozó magassága 4, így a vop 16 - 4p = 1 - ª 0,22. nalkázott terület 16 - 4p, az arány pedig A = 16 4 d) A hatszög 6 darab 2 oldalhosszúságú szabályos háromszögbõl tevõdik össze, így te-

tartozó körcikk. Ezek összterülete 2 ◊

rülete 6 3 . (Lásd a 2446. feladatot!) A kimaradó rész összességében 3 darab 1 sugarú kör, amelyek összterülete 3p. A vonalkázott terület 6 3 - 3p , az arány pedig 6 3 - 3p

A=

6 3

=1-

p

2 3

ª 0,09.

2515. Legyen 1 a befogók hossza. Ekkor a háromszög területe

1 . A holdacska területe a 2

2 sugarú félkörlap és az 1 sugarú, 90∞-os középponti szöghöz tartozó körszelet terü2 p 1 Êp ˆ 1 letének különbsége, azaz T = - Á - 1˜ = . (Lásd a 2507/a) feladatot!) 4 2Ë2 ¯ 2

2516. Jelölje a háromszög befogóit a és b, átfogóját c. Pitagorasz tétele értelmében a2 + b2 = c2. A holdacskák területének összege: ab 1 Ê a 2 p b 2 p ˆ 1 c 2 p ab p 2 ab + Á + ˜= + a + b2 - c2 = . 2 2Ë 4 4 ¯ 2 4 2 8 2

(

)

Pitagorasz tételének alkalmazása 2517. a) 5 m; g) 34 m; j)

h)

c) 10 dm;

2 cm ª 1,41 cm;

3 cm ª 1,73 cm;

2518. a) 4 cm; g) 18 mm; l)

b) 13 cm;

b) 3 dm; h) 3,5 cm;

k)

d) 25 mm; i)

f) 17 cm;

5 m ª 2,24 m;

8 dm ª 2,83 dm;

c) 12 mm; i) 16 cm;

e) 26 cm;

d) 8 m; j) 2 m;

l) 4 mm. e) 15 dm; k) 1 cm

f) 11 mm;

6 dm ª 2,45 dm.

163

GEOMETRIA 2519.

ª 7,16 cm

3,5 cm

a

b 0,43 dm c ª 5,54 cm

42 mm 8,3 cm

610 mm

ª 6,7 dm

4,82 m

5,2 m ª 87,88 cm 88 cm ª 5,24 m

66,4 cm 9,43 dm

5240 mm ª 7,12 m

4,6 cm

2520. Ha c jelöli a háromszög legnagyobb oldalát, akkor a háromszög hegyesszögû, ha a2 + b2 > c2; derékszögû, ha a2 + b2 = c2; tompaszögû, ha a2 + b2 < c2. a) derékszögû (itt b a legnagyobb oldal); b) hegyesszögû; c) tompaszögû; d) tompaszögû; e) derékszögû; f) tompaszögû. 2521. Ha a háromszöget tükrözzük a hosszabbik befogó egyenesére ,akkor az eredeti és a képháromszög egyesítése szabályos háromszög. Ebbõl adódóan, ha az átfogó hossza c, c c◊ 3 , illetve hosszúak Pitagorasz tétele alapján. (Lásd még a akkor a befogók 2 2 2447. feladatot!) 3 cm ª 1,732 cm;

a) 1 cm,

b) 2 m, 2 3 m ª 3,464 m; c) 1,6 dm ª 2,77 dm;

c◊ 3 2

d) 42 mm ª 72,746 mm; e) 3,9 m ª 6,755 m; f) 2

8 cm ª 5,004 cm. 9

c 2

c

2522. Ha az átfogó hossza c, akkor a befogó a) 2 m;

2

b) ª 15,56 mm;

e) ª 24,04 mm;

=

c 2 hosszúságú. 2

c) ª 4,53 cm;

d) 3,5 mm;

f) ª 212,13 mm.

2523. Lásd az elõzõ feladatot! a) 2 cm;

b) 6 m;

c) 400 2 mm ª 565,68 mm;

e) ª 67,88 cm;

f) ª 7,49 mm;

g) a 2 .

2524. Alkalmazva

Pitagorasz

2

2

d) ª 7,92 dm;

tételét 2

AC - AF = 1000,25 m ª

h=

ª 31,6 m. A kicsit talán meglepõ eredmény azt mutatja, hogy bõven átsétálhat egy ember a kötél alatt. 2525. Ha

l

a

huzal

l ª 20,036 m.

164

hossza,

akkor

l = (10 m)2 + ( 0,6 m)2 ª 10,018 m, 2

ahonnan

SÍKBELI ALAKZATOK 2526. Az ábrán látható ABC háromszögben AB = 2r, AC = r, így d = BC = = (2r )2 - r 2 = r 3 ª 24,25 mm. 2527. A csúszda emelkedése 4 m, így hossza l = (10 m)2 + ( 4 m)2 = 116 m ª 10,77 m.

2528. Az ábrán látható ABC derékszögû háa 3 (lásd pl. a romszögben AC = 2 3a 2521. feladatot) és BC = . Így 2

a 2

2

2 Ê a 3ˆ 3a 2 9a 2 Ê 3a ˆ ˜˜ + Á ˜ = AB = ÁÁ + = 3a 2 = a 3 ª 6,93 m. Ë ¯ 4 4 2 2 Ë ¯

2529. Jelölje az inga centiméterekben kifejezett hosszát l. Ekkor az ábrán látható ABC derékszögû háromszögben BC = = (l - 2) cm. Így l2 = (l - 2)2 + 202. Ebbõl l = 101 cm. 2530. l = (1,2 m)2 + (2 m)2 = 5,44 m ª 2,33 m. 2531. Az ábrán látható ABC derékszögû háromszögben BC = 145 m, AC = 178 m - 7,5 m = 170,5 m, így l = (145 m)2 + (170,5 m) 2 = = 50095,25 m ª 223,82 m.

2532. h = (3,8 m)2 - (1,7 m)2 = 11,55 m ª 3,4 m. 2533. A gyalogos által megtett út: km km s=5 ◊ 3,5 h + 5,5 ◊ 2 h = 28,5 km. h h Jelölje d a gyalogos elmozdulását kilométerben mérve. Ekkor d 2 = s12 + s22 , ahol s1 = 17,5 km és s2 = 11 km. Így

165

GEOMETRIA d = 17,52 + 112 km ª 20,67 km.

2534. A P(x; y) pont origótól vett távolsága d = x 2 + y 2 . a) 1; f)

26 ª 5,1;

c) 5;

b)

5 ª 2 ,24;

g)

109 ª 10,44;

d) 13; h)

e) 5;

27,25 ª 5,22.

2535. A P1(x1; y1) és P2(x2; y2) pontok távolsága d = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 . a) 5;

b)

136 ª 11,66;

e)

f)

250 ª 15,81.

117 ª 10,82;

2536. a) AB = 5; AC = 6; BC = 13 K = 11 + 13 ª 14,6 6◊3 T= =9 2

b) AB = 5; AC = 65 ; BC = 50 K = 5 + 65 + 5 2 ª 20,13 5◊7 T= = 17,5 2

c) AB = 26 ; AC = 74 ; BC = 6 K = 6 + 26 + 74 ª 19,7 6 ◊5 T= = 15 2

166

c)

41 ª 6,4;

d)

76,25 ª 8,73;

SÍKBELI ALAKZATOK

d) AB = 82 ; AC = 37 ; BC = 3 K = 3 + 82 + 37 ª 18,14 3 ◊1 T= = 1,5 2

e) AB = 4; AC = 74 ; BC = 146 K = 4 + 74 + 146 ª 24,68 4 ◊5 T= = 10 2

f) AB = 8; AC = 8 ; BC = 40 K = 8 + 2 2 + 2 10 ª 17,15 8 ◊2 T= =8 2

g) AB = 202 ; AC = 11; BC = 125 K = 11 + 202 + 5 5 ª 36,4 11 ◊11 T= = 60,5 2

167

GEOMETRIA h) AB = 2b; AC = a 2 + 4b 2 ; BC = a a ◊ 2b K = a + 2 b + a 2 + 4b 2 ; T = = ab 2 Ez a háromszög a π 0 és b π 0 esetén derékszögû. 2537. Az ABCD négyszög mind a négy esetben téglalap. a) AB = CD = 4; BC = AD = 5 K = 18; T = 20 Az A és a B pont második koordinátájának a feladatban leírt változtatásával a téglalap egy szakasszá zsugorodik össze.

b) AB = CD = 4; BC = AD = 9 K = 26; T = 36 A változtatással kapott A'B'CD négyzetre A'B' = CD = 4; B'C = A'D = 4 K' = 16; T' = 16

c) AB = CD = 10; BC = AD = 13 K = 46; T = 130 A változtatással kapott A'B'CD téglalapra A'B' = CD = 10; B'C = A'D = 8 K' = 36; T' = 80

168

SÍKBELI ALAKZATOK

d) A négyszög négyzet. AB = BC = CD = DA = 32 + 6 2 = = 45 = 3 5 .

( )

K = 12 5 ª 26,83; T = 3 5

2

= 45

A változtatással kapott négyszög paralelogramma, amelyre nézve A'B' = CD = 3 5 és B'C = A'D = 6 2 + 2 2 = 40 = 2 10 .

(

)

Így K = 6 5 + 4 10 = 2 5 3 + 2 2 ª ª 26,07. Az ábrán vonalkázással jelölt háromszögek egybevágók, így

(

)(

)

TA'B'CD = TPQCD = 3 ◊ 5 ◊ 2 ◊ 5 = = 30. (Felhasználtuk, hogy QC = PD = = 2 ◊ 5 .) 2538. A feladatnak a koordináták változtatására vonatkozó utasítása minden esetben a v(-3; 4) vektorral történõ eltolást jelent, így a kapott alakzat egybevágó az eredetivel. a) AB = 6; BC = 5; AC = 61 . K = 11 + 61 ª 18,81

169

GEOMETRIA T=

6 ◊5 = 15 2

b) A kapott derékszögû háromszög oldalai AB = 73 ; BC = 8; AC = 3. K = 11 + 73 ª 19,54 8 ◊3 T= = 12 2

c) A kapott háromszög oldalai AB = 9 2 + 32 = 90 ; BC = 6 2 + 2 2 = 40 ; AC = 9 2 + 7 2 = 130 . A kapott adatokból látható, hogy AB 2 + BC 2 = AC 2 , amibõl Pitagorasz tételének megfordítását alkalmazva adódik, hogy a háromszög derékszögû (ABC <) = 90∞). K = 3 10 + 2 10 + 130 ª 27,21

170

SÍKBELI ALAKZATOK

T=

3 10 ◊ 2 10 = 30 2

d) A háromszög oldalainak hossza (lásd a 2535. feladatot): AB = 17 , BC = 629 , AC = 612 . Az adatokból látható, hogy BC 2 = AC 2 + AB 2 , azaz a háromszög

derékszögû (BAC <) = 90∞). K ª 53,94; T =

17 ◊ 612 = 51 2

2539. Alkalmazva a két pont távolságát megadó összefüggést és Pitagorasz tételének megfordítását kapjuk, hogy mind a 4 háromszög derékszögû. Ekkor viszont Thalesz tételének megfordításából adódóan a köréírt kör sugara az átfogó (a leghosszabb oldal) fele. 13p AB 13 , K = 13 ◊ p ª 11,32 , T = = ª 10,21; a) r = 4 2 2 AC b) r = = 5, K = 10p ª 31,42 , T = 25p ª 78,53; 2 65 AB 130 , K = 130 ◊ p ª 35,81, T = p ª 102 ,1; c) r = = 2 2 2 AB 85 85 d) r = = , K = 85 ◊ p ª 28,96, T = p ª 66,76. 2 2 4 2540. Legyen a paralelogramma negyedik csúcsa S, és a betûzés valamelyik körüljárási irányban PQRS. (Ezzel egyértelmûvé tettük a megoldást, a feltevés nélkül három megoldást kapnánk.) a) S(5; -4); PQ = RS = 7; QR = PS = 41; K = 14 + 2 41 ª 26,81. A PQ oldalhoz tartozó magasság m = 5, így T = 35.

b) S(2; 4); PQ = RS = 5; QR = PS = 8 = 2 2 ; K = 10 + 4 2 ª 15,66; T = 5 ◊ 2 = 10.

171

GEOMETRIA c) S(3; 15); PQ = RS = 8; QR = PS = 136 = = 2 34; K = 16 + 4 34 ª 39,32; T = 8 ◊ 6 = 48.

d) S(-6; -4); PQ = RS = 170; QR = PS = 4; K = 8 + 2 170 ª 34,08; T = 4 ◊ 11 = 44.

2541. Az ABC háromszög mind a négy esetben egyenlõ szárú. a) AB = 4, BC = AC = 53 ; K = 4 + 2 53 ª 18,56 ; 4◊7 T= = 14 . 2

172

SÍKBELI ALAKZATOK

b) AB = 8, BC = AC = 41 ; K = 8 + 2 41 ª 20,81 ; 8 ◊5 T= = 20 . 2

c) AB = 32 = 4 2 , BC = AC = 10 ; K = 4 2 + 2 10 ª 9,15 ; T=

4 2◊ 2 = 4. 2

d) AB = BC = 20 = 2 5, AC = 72 = 6 2 ; K = 4 5 + 6 2 ª 17,43 ; T=

6 2◊ 2 =6. 2

2542. a) D(6; 1) AB = 5, BC = AD = 37 , CD = 3; K = 8 + 2 37 ª 20,17 ; 5+3 T= ◊ 6 = 24 . 2

173

GEOMETRIA b) D(4; -5) AB = 8, BC = AD = 50 = 5 2 , CD = 6; K = 14 + 10 2 ª 28,14 ; 8+6 T= ◊ 7 = 49 . 2

c) D(7; 10) AB = 80 , BC = AD = 50 , t4

CD = 20 ; K = 4 5 + 2 5 + 10 2 =

t2

t3

t5

= 6 5 + 10 2 ª 27,56 . A terület könnyen számolható például az ábrán látható felbontás segítségével. T = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 = = 16 + 3,5 + 9 + 4 + 12,5 = 45

t1

d) D(-9; 7) AB = 40 , BC = AD = 10, CD = 160 ; K = 2 10 + 4 10 + 20 =

= 6 10 + 20 ª 38,97 . Az ábrán látható felbontás alapján T = t1 + t2 + t3 + t4 = = 18 + 6 + 7,5 + 58,5 = 90.

t4

t1

174

t3

t2

SÍKBELI ALAKZATOK

Vegyes feladatok 2543. Lásd a 2521. feladatot! 2544. A hegyesszögek: 15∞, 75∞. Thalesz tételének megfordításából adódóan AF = c = FB = FC = . A háromszög külsõ 2 szögére vonatkozó tétel miatt CFB <) = = 30∞. (Lásd az ábrát!) Az AFC háromszögre teljesül az elõzõ feladat feltétele, így FC c m = TC = = . 2 4 2545. A körhöz külsõ pontból húzott érintõszakaszok egyenlõ hosszúak, így E1C = CE2 = r ; E2A = AE3; E3B = BE1. Ezeket felhasználva

c 2

c 2

c 2

E3

E1 E2

a + b = BE1 + 2r + E2A = = 2r + E3B + AE3 = 2r + c. 2546. Az O pont a háromszög belsõ szögfelezõinek metszéspontja, így DAO <) + 1 + ODA <) = (DAB <) + CDA <) ) = 2 1 = ◊ 180∞ = 90∞. Ebbõl pedig 2 AOD <) = 90∞. Hasonlóan látható be az állítás második fele is. 2547. Legyen B = 4r. A 2545. feladat alapján a + b = c + 2r, ahonnan c = a + 2r. Felírva a háromszögre a Pitagorasz tételét: (a + 2r)2 = a2 + 16r2. Ebbõl adódik, hogy a = 3r.

E3 E1 E2

175

GEOMETRIA 2548. Írjuk fel a háromszög területét kétféleb ◊ mb , másrészt képpen: egyrészt T = 2 b ◊ d1 b ◊ d2 b T= + = (d1 + d2 ). (Lásd az 2 2 2 ábrát!) Ezen kifejezések egyenlõségébõl adódik, hogy d1 + d2 = mb, ami adott háromszögre valóban állandó. 2549. Az elõzõ feladathoz hasonlóan most is a terület kétféle felírásából kapjuk az állítást. (Lásd az ábrát!) a ◊ m a ◊ d1 a ◊ d 2 a ◊ d 3 = + + = 2 2 2 2 a = (d1 + d2 + d3 ) 2 Ebbõl d1 + d2 + d3 = m. 2550. Az AH3H2, BH1H3 és CH2H1 háromszögek egybevágóak, ugyanis két-két oldaluk és a közbezárt szög megegyezik, tehát a H1H2H3 háromszög szabályos. Az AH3H2 háromszögben AH2 = 2 ◊ AH3 és H2AH3 <) = 60∞, így a háromszög derékszögû. (Lásd a 2447. és 2521. feladatokat!) Ugyanez igaz a BH1H3 és CH2H1 háromszögekre is. 2551. F1F2 a háromszög egyik középvonala, ezért F1F2 párhuzamos F3TC-vel, tehát az F1F2F3TC négyszög trapéz. (Lásd az ábrát!) F2F3 is középvonal, ezért BC . A BCTC háromszög derék2 szögû, ezért Thalesz tételének megfordíBC = F1TC . Eddigi tásából adódóan 2 megállapításainkat összevetve F2F3 = F1TC, azaz a trapéz valóban egyenlõ szárú. F2 F3 =

176

mb

d2

d1

d2

d3 d1

H2

H1

H3

F2

F1

F3

TC

SÍKBELI ALAKZATOK 2552. A szabályos kilencszög egy belsõ szöge (9 - 2 ) ◊180∞ = 140∞ . Azábrán látható 9 A1A2A3A4A5 tengelyesen szimmetrikus ötszögben így A5A1A2 <) = A4A5A1 <) = = 60∞. Jelölje a a kilencszög oldalát, b a legrövidebb, c a leghosszabb átlóját, és legyen B az A1A5 átlónak az a pontja, amelyre A5B = b. Az A1A2A4A5 négyszög szimmetrikus trapéz, így a A2A4A5B négyszög olyan paralelogramma, amelynek egyik szöge 60∞-os. Ebbõl adódóan az A1A2B háromszög szabályos, tehát valóban a = c - b.

A5

A4

A3

A2 A1

2553. A kapott A'B'C'D' négyszög átlói a származtatásból adódóan egyenlõ hoszszúak és merõlegesen felezik egymást, tehát a négyszög négyzet. Jelölje a az eredeti, a' a kapott négyzet oldalának hosszát. Az ábrán látható A'B'BA szimmetrikus trapézban a' = a + 2m, ahol m a trapéz magassága, és Pitagorasz tételéa . Így bõl adódóan m = 2 a' = a + 2 ◊

a

= a + a 2. 2 Mivel az eredeti négyzet átlója, ugyan-

csak Pitagorasz tételébõl adódóan a 2 , ezért az állítást beláttuk.

177

GEOMETRIA 2554. Jelölje g a kérdéses szöget. A feltételbõl adódóan az ábrán látható FBC háromszög egyenlõ szárú és AB c FT = TB = = . Jelölje az AB oldal 4 4 F felezõpontjából az AC oldalra állított merõleges talppontját T'. A feltételbõl adódik, hogy az FTC derékszögû háromszög egybevágó az FT'C derékszöc gû háromszöggel, így FT = FT ' = . 4 Az AFT' derékszögû háromszögben az átfogó kétszerese az egyik befogónak, így a = 30∞. (Lásd a 2447. és 2521. feladatot!) Az ATC derékszögû háromg szögben 30∞ + 2 ◊ = 90∞ , ahonnan 3 g = 90∞.

2555. A feltétel nyilván csak úgy teljesülhet, ha FM = MC. (Lásd az ábrát!) Mivel a háromszög derékszögû, ezért AF = FC, így a = CAF <) = FCA <) . A háromszög külsõ szögére vonatkozó tétel alapján 2a = 45∞ - a, ahonnan a = 15∞, és így ABC <) = b = 75∞.

2556. A háromszög külsõ szögére vonatkozó tétel alapján az állítás nyilvánvaló. (Lásd az ábrát!)

2557. A feltételekbõl adódóan CAD <) = 14∞, így az ADC háromszög D-nél levõ külsõ szögére nézve TDA <) = 31∞ + 14∞ = 45∞. Kaptuk, hogy az ATD derékszögû háromszög egyenlõ szárú, tehát valóban AT = TD.

178

c 4

c 2

c 4

c 4

SÍKBELI ALAKZATOK 2558. Mivel P, Q, R és S a megfelelõ oldalak felezõpontjai, ezért az ábrán azonosan jelölt területek megegyeznek, amibõl adódik a feladat állítása.

t3

t3

t2

t4 t4

2559. Tegyük fel, hogy a t1 = TABM, t2 = TBCM és t3 = TCDM területek adottak. (Lásd az ábrát!) Felírva a megfelelõ területeket: BM ◊ m A BM ◊ mC , t2 = , t1 = 2 2 DM ◊ mC DM ◊ m A , t4 = . t3 = 2 2 Vegyük észre, hogy t1 ◊ t3 = t2 ◊ t4, így t4 =

t2

t1

t1

t3

t4

mC t2

mA t1

t1 ◊ t2 . t3

2560. Az elõzõ feladat ábráját és jelöléseit használva a feltétel: t1 + t2 = t3 + t4 és t1 + t4 = t2 + t3. Ezeket az egyenleteket kivonva egymásból kapjuk, hogy t2 - t4 = t4 - t2 és t1 - t3 = = t3 - t1, amibõl adódik, hogy t2 = t4 és t1 = t3. Az elõzõ feladat kapcsán kaptuk, hogy t1 ◊ t3 = t2 ◊ t4, így mindent összevetve t1 = t2 = t3 = t4. Ez viszont azt jelenti, hogy az átlók felezik egymást, tehát a négyszög paralelogramma. 2561. Húzzunk az adott ponton keresztül a háromszög oldalaival párhuzamosokat. Ezek három szabályos háromszögre és három paralelogrammára bontják a háromszöget. A pontból a csúcsokba húzott szakaszok és az oldalakra állított merõlegesek mindegyike „megfelez” egy paralelogrammát, illetve egy szabályos háromszöget. Az ábrán azonosan jelölt területek tehát egyenlõek, ebbõl pedig adódik a feladat állítása.

t4 t3 t5

t4

t3

t6

t6 t1 t1

t2

t2

2562. A téglalap elhelyezkedésére nézve két eset lehetséges. 1. eset: Ekkor a téglalap kerülete (lásd a 2562/1. ábrát) 2(1 - a + a) = 2, azaz állandó, függetlenül a P pont választásától. 2. eset: Ebben az esetben a téglalap kerülete Pitagorasz tétele alapján (lásd a 2562/2. ábrát): 1- a 2a 2 + 2 ◊ = 2 a 2 + 2 ◊ (1 - a) = 2 (a + 1). 2

179

GEOMETRIA 3 esetén ez a kifejezés 2-nél nagyobb értéket vesz fel, viszont a 4 maximumát nem veszi fel, hiszen a = 1 esetén nem kapunk téglalapot.

Látható, hogy pl. a =

a 2

1- a 2

a 2

1- a 2

2562/1. ábra

2562/2. ábra

2563. Legyen a háromszög alapjának hossza 1. Ekkor a téglalap kerülete (lásd az ábrát): 4a + 2(1 - 2a) = 2. Kaptuk, hogy a téglalap kerülete állandó. 1 -a 2

2564. Minden háromszögnek van legalább egy olyan szöge, amelynek nagysága 60∞-nál nem kisebb, ugyanis ellenkezõ esetben a háromszög belsõ szögeinek összege kisebb lenne 180∞-nál. Legyen a ¤ 60∞. Ekkor a másik két szög számtani közepére nézve 180∞-a a 60∞ = 90∞- £ 90∞= 60∞ . 2 2 2 Kaptuk, hogy 180∞-a £ 60∞ £ a , 2 és ezzel az állítást bebizonyítottuk.

2565. Ha a, b és c jelöli a háromszög oldalainak hosszát, ma és mb pedig a megfelelõ magasságok, akkor a feltétel értelmében a £ ma és b £ mb. Ugyanakkor viszont ma £ b és mb £ a bármely háromszögben. Összevetve az egyenlõtlenségeket kapjuk, hogy a = b = ma = mb, azaz a háromszög egyenlõ szárú derékszögû háromszög. 2566. Lásd a 2097. feladatot! Az ottani ábra AF egyenese (és csak az) megfelel a feltételnek. A módszer konkáv négyszögre is alkalmazható.

180

SÍKBELI ALAKZATOK 2567. Az ABFE téglalap területének negyede a BME háromszög területe és az EFCD téglalap területének is negyede a DMF háromszög területe. Ebbõl adódóan a vonalkázott terület negyede az ABCD téglalap területének.

2568. Az ábráról CDE <) = 15∞.

leolvasható,

hogy

2569. Ha a és b a két befogó hossza, c az átfogó hossza, mc pedig az átfogóhoz tartozó magasság hossza, akkor a feladat feltétele az a) esetben c = 2mc, a b) esetben c = 4mc. a) A háromszög egyenlõ szárú derékszögû háromszög. b) Lásd a 2544. feladatot! A két hegyesszög nagysága: 15∞; 75∞. 2570. Ha a háromszög szabályos, akkor beírt körének sugara harmada a magasságnak (lásd pl. a 2347. feladatot), így 3m = 3 ◊ (3r) = 9r, tehát fennáll a feladatbeli összefüggés. Az állítás megfordításának bizonyításához tegyük fel, hogy ma + mb + mc = 9r. Elõbb belátjuk, hogy bármely pozitív x és y esetén

x y + ¤ 2, és egyenlõség pontosan y x

akkor áll, ha x = y. Valóban x y x 2 + y 2 - 2 xy ( x - y ) 2 + -2 = = ¤ 0. y x xy xy

Jelölje T a háromszög területét. Felhasználva a 2453. feladat területképletét a feltételi egyenlet 2T 2T 2T 2T + + = 9◊ a b c a+b+c alakban írható. Ebbõl ekvivalens átalakításokkal kapjuk, hogy Ê 1 1 1ˆ (a + b + c)Á + + ˜ = 9, Ë a b c¯

majd a bal oldalon elvégezve a szorzást adódik, hogy Ê a bˆ Ê b cˆ Ê c aˆ Á + ˜ + Á + ˜ + Á + ˜ = 6. Ë b a¯ Ë c b¯ Ë a c ¯

A bizonyított egyenlõség alapján ez csak a = b = c esetén teljesülhet.

181

GEOMETRIA 2571. Ha a jelöli a négyzet oldalát, akkor 8 ◊ 18 = a2, ahonnan a = 12. Egy lehetséges átdarabolás az ábrán látható.

2572. A paralelogramma szerkesztésére nézve lásd a 2368/e) feladatot! Az átdarabolást két lépésben hajtjuk végre. 1. A paralelogrammát átdaraboljuk egy olyan téglalapba, amelynek oldalai 5 cm és 6 cm hosszúak. (2572/1. ábra) 2. A kapott téglalapot a kívánt háromszöggé daraboljuk át a 2572/2. ábrán látható módon.

2572/1. ábra

2572/2. ábra

2573. a)

b)

c)

d)

182

SÍKBELI ALAKZATOK 2574. a)

b)

c)

5a 2

5a 2 3a 2 3a 2

a 2

a 2

2575.

2576. Azt kell csupán megmutatnunk, hogy 6, 7 illetve 8 négyzetre felbontható az eredeti négyzet, ugyanis ha k db négyzetre felbontható, akkor k + 3 darabra is a 2576/1. ábrán látható helyettesítéssel. A kívánt felbontások a 2576/2. ábrán láthatók.

2576/1. ábra

2576/2. ábra

183

GEOMETRIA 2577. A feltételekbõl adódóan a négyzet területe 100-nál kisebb négyzetszám, és mivel a téglalap oldalainak aránya 1 : 4, ezért a négyzet területének 4-gyel oszthatónak kell lennie. Így a négyzet oldala lehet: 2; 4; 6; 8. A kerületekre vonatkozó feltételt figyelembe véve a megfelelõ téglalapok oldalai rendre: 1 és 4; 2 és 8; 3 és 12; 4 és 16.

2578. Egy lehetséges megoldás az ábrán látható.

2579. Az állítás abból a ténybõl adódik, hogy a paralelogramma középpontosan szimmetrikus az átlók metszéspontjára.

2580. A feladat lényegében megegyezik a 2096. feladattal, a megoldást lásd ott.

2581. Foglaljuk bele a háromszöget az ábrán látható módon egy olyan téglalapba, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel és csúcsai egész koordinátájú pontok. A téglalapba az eredeti háromszögön kívül olyan derékszögû háromszögek vannak, amelyek befogói egész szám hosszúak. (Ha az eredeti háromszög tompaszögû, akkor elõfordulhat, hogy a derékszögû háromszögeken kívül még egy egész oldalhosszú kisebb téglalap is fellép a felbontásban.) Az eredeti háromszög területét úgy kapjuk meg, hogy a téglalap területébõl levonjuk a kimaradó derékszögû háromszögek területének összegét. Mivel a téglalap területe egész szám és a derékszögû háromszögek területe is vagy egész szám, vagy egy egész szám fele, ezért az eredeti háromszög területe is egész szám, vagy egy egész szám fele.

184

Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 2582. a) Eltolás az y tengely mentén 2-vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -2) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90∞-os elforgatás. d) A feladatban A' koordinátái helyesen A'(-2; -2). Így a transzformáció origóra vonatkozó tükrözés. e) Az x tengelyre vonatkozó tükrözés. f) Az y tengelyre vonatkozó tükrözés. 2583. a) A'(-2; -4), B'(4; 2), C'(5; -7)

b) A'(2; 4), B'(-4; -2), C'(-5; 7)

c) A'(2; -4), B'(-4; 2), C'(-5; -7)

d) A'(-2; 4), B'(4; 10), C'(-5; 11)

e) A'(2; 14), B'(-4; 8), C'(5; 7)

f) A'(-4; -2), B'(2; 4), C'(-7; 5)

g) A'(-2; 4), B'(4; -2), C'(-5; -3)

h) A'(10; -8), B'(4; -2), C'(3; -11)

i) A'(0; 4), B'(6; -2), C'(7; 7)

j) A'(-2; -1), B'(4; -7), C'(5; 2)

k) A'(4; -2), B'(10; -8), C'(11; 1) Tengelyes tükrözés 2584. A tükörképeket az ábrán azonos számmal jelöltük.

2585. Alapszerkesztések. 2586. Jelöljünk ki az adott egyenesen két olyan pontot, amelyek egyenlõ távolságra vannak az adott kör középpontjától. Ezzel a távolsággal a kapott pontokból körívezve a metszéspont a képkör középpontja lesz. 2587. A metszetként kapott síkidom paralelogramma és deltoid, tehát rombusz.

180

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2588. Ha a jelöli az eredeti háromszög oldaláa olnak hosszát, akkor a metszet egy 2 dalú, 60∞-os szöget tartalmazó rombusz, míg az egyesítés egy konkáv hatszög. (Lásd az ábrát!) A 2446. feladat alapján a metszet kerülete a k = 4 ◊ = 2 a, 2 területe

a 2

a 2

a 2

2

Ê aˆ Á ˜ 3 Ë 2¯ a2 3 t = 2◊ = . 4 8 Az egyesítésként kapott konkáv hatszög kerülete

K = 4a = 2k területe 3 a 2 3 3a 2 3 ◊ = = 3t. 2 4 8 9◊ 3 27 ◊ 3 a) k = 6 cm, t = cm 2 ª 1,95 cm 2 , K = 12 cm, T = cm 2 ª 5,85 cm 2 ; 8 8 25 ◊ 3 75 ◊ 3 b) k = 10 cm, t = cm 2 ª 5,41 cm 2 , K = 20 cm, T = cm 2 ª 16,24 cm 2 ; 8 8 T=

c) k = 120 mm, t = 450 ◊ 3 mm 2 ª 779,42 mm 2 , K = 240 mm, T = 1350 ◊ 3 mm 2 ª 2338,27 mm 2 ;

d) k = 1,5 dm, t = T=

0,5625 ◊ 3 dm 2 ª 0,122 dm 2 , K = 3 dm, 8

1,6875 ◊ 3 dm 2 ª 0,366 dm 2 . 8

2589. Az egyesítésként kapott síkidom egy rombusz, amelynek belsõ szögei 60∞ és 120∞, oldalának hossza pedig megegyezik az eredeti háromszög oldalának hosszával. Ha a jelöli a szabályos háromszög oldalának hosszát, akkor a2 3 . (Lásd a 2446. feladatot!) 2 9◊ 3 a) K = 12 cm, T = cm 2 ª 7,8 cm 2 ; 2

K = 4a, T =

b) K = 16 cm, T = 8 ◊ 3 cm 2 ª 13,86 cm 2 ; c) K = 200 mm, T = 1250 ◊ 3 mm 2 ª 216,5 mm 2 ; d) K = 2 ,6 dm, T = 0,21125 ◊ 3 dm 2 ª 0,366 dm 2 .

181

GEOMETRIA 2590. Az egyesítésként kapott síkidom egy tompaszögû egyenlõ szárú háromszög, amelynek szárai 5 cm hosszúak, alapja pedig 8 cm. 8 ◊3 K = 18 cm, T = cm 2 = 12 cm 2 . 2 2591. Az eredeti háromszög hegyesszögû, így az egyesítésként kapott síkidom mindkét esetben konvex deltoid lesz. a) K = 26 cm; b) K = 22 cm. 2592. Az egyesítésként kapott síkidom szimmetrikus trapéz, amelynek alapjai 8 cm és 12 cm hosszúak, magassága 5 cm, szárának hossza pedig Pitagorasz tétele alapján 52 + 2 2 cm = 29 cm ª 5,385 cm.

K ª 30,77 cm, T = 50 cm2. 2593. A két kör középpontját összekötõ szakasz felezõmerõlegese lesz a tükrözés tengelye. 2594. Az egyesített terület mindhárom esetben a trapéz területének kétszerese, így a 2474. fel3 ◊16 ◊ 3 cm 2 ª 41,57 cm 2 . adat alapján T = 2 ◊ 4 a) Az egyesítésként kapott síkidom szabályos hatszög, amelynek oldala 4 cm hosszú. A szabályos hatszögnek 6 szimmetriatengelye van. K = 24 cm. b) Az egyesítésként kapott síkidom egy konkáv hatszög (lásd a 2588. feladatot). Ennek a hatszögnek 2 szimmetriatengelye van. K = 32 cm. c) Az egyesítésként kapott síkidom az ábrán látható konkáv hatszög, amelynek 1 szimmetriatengelye van. K = 32 cm. 2595. Az a egyenes t-re vonatkozó a' tükörképének és a b egyenesnek a közös pontja lesz az alap egyik végpontja. A kapott pont t-re vonatkozó tükörképe az alap másik végpontja. Ha a' és b párhuzamosak, akkor nincs megoldás, ha egy közös pontjuk van akkor a megoldás egyértelmû, ha egybeesnek, akkor végtelen sok megfelelõ háromszöget kapunk. 2596. f a háromszögnek szimmetriatengelye, így az A és a B csúcs az elõzõ feladat kapcsán leírt módon szerkeszthetõ. A C csúcs a tengelynek az a pontja, amelyre AC = CB = AB.

182

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

2597. A szabályos háromszögben a magasságvonal szimmetriatengely, ezért a háromszög egyik csúcsa a k1 m-re vonatkozó k1' tükörképének és k2-nek a közös pontjaként adódik. (Lásd az ábrát!) A kapott pont m-re vonatkozó tükörképe is csúcsa a háromszögnek, a harmadik csúcs pedig m pontja úgy, hogy a három pont páronkénti távolságai megegyeznek. A nem egybevágó megoldások száma attól függ, hogy k1'-nek és k2-nek hány közös pontja van. (Ha az O1O2 egyenes merõleges m-re, akkor különbözõ közös pontokból kiindulva is egybevágó megoldásokat kapunk.)

C2

C1 k1

k1 ' O1

A2

A1

O1 ' B1

B2 O2 k 2

2598. A képpont a másik szögszáron lesz a tengelyes tükrözés tulajdonságaiból adódóan.

2599. Ha P az AB oldalon van és az A-ból kiinduló belsõ szögfelezõ egyenesére tükrözünk elõször, akkor P' az AC egyenesre illeszkedik. (Lásd az ábrát!) A három tükrözés végrehajtása után kapott P''' pont az AB egyenesre illeszkedik. Megjegyzés: Ábránkon mindhárom képpont a háromszög valamelyik oldalának belsõ pontja, viszont az nem szükségszerû. Felvehetõ úgy a kiinduló P pont, hogy a képpontok ne illeszkedjenek mind a háromszög oldalaira.

2600. Az elõzõ két feladat alapján A-nak az f egyenesre vonatkozó A' tükörképe illeszkedik a BC oldal egyenesére. Ebbõl adódóan az A'B egyenes metszi ki a C csúcsot az f egyenesbõl. Ha A'B párhuzamos f-fel, akkor nincs megoldás, ellenkezõ esetben a megoldás egyértelmû.

183

GEOMETRIA 2601. Az ABCC' szimmetrikus trapézban ABC <) = C'AB <) = b és CAB <) = = ACC' <) = a. (Lásd az ábrát!) Ebbõl C'AC <) = C'AB <) - CAB <) = = b - a. Az ACC' háromszögben tehát AC = b, AC' = a és C'AC <) = b - a. 2602. Az elõzõ feladat alapján az ACC' háromszög (lásd az elõzõ feladat ábráját) szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala és a közbezárt szög. Az A pontnak a CC' szakasz felezõmerõlegesére vonatkozó tükörképe lesz a szerkesztendõ háromszög B csúcsa. 2603. Az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése szabályos háromszög, így az eredeti derékszögû háromszög rövidebb befogója fele olyan hosszú, mint az átfogó. (Lásd még a 2447. és 2543. feladatokat!) 2604. A k1 kör t-re vonatkozó k1' tükörképének és a k2 körnek a metszéspontjai lesznek a trapéz egyik szárának végpontjai. (Lásd az ábrát!) Ezeknek a metszéspontoknak a t-re vonatkozó tükörképei a másik szár végpontjai. Ha k1'-nek és k2-nek legfeljebb egy közös pontja van, akkor nincs megoldás. Nem kapunk trapézt akkor sem, ha a metszéspontok által meghatározott egyenes merõleges t-re. Ha k1 és k2 egymás t-re vonatkozó tükörképei, akkor végtelen sok megoldást kapunk. Ha az eddig felsoroltak egyike sem teljesül, akkor a megoldás egyértelmû. 2605. Az a egyenes BD egyenesére vonatkozó a' tükörképének és c-nek a metszéspontja a deltoid harmadik csúcsa. A metszéspontnak a BD egyenesre vonatkozó tükörképe a negyedik csúcs. A megoldások száma attól függ, hogy a'nek és c-nek hány közös pontja van.

184

k2 k1

O2 O1

O1 '

k1 '

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2606. A k1 kör BD egyenesére vonatkozó k1' tükörképének és k2-nek a közös pontja(i) a deltoid harmadik csúcsa(i). A metszéspontként kapott csúcsnak a BD egyenesre vonatkozó tükörképe a deltoid negyedik csúcsa. A szerkeszthetõség feltételeinek és a megoldások számának vizsgálatára nézve lásd a 2597. feladatot.

k2 k1

O2

O1 '

O1

A2

k1 '

C2

C1

A1

2607. Az a egyenes t-re vonatkozó a' tükörképének és b-nek közös pontja a rombusz C csúcsa. (Lásd az ábrát!) C-nek t-re vonatkozó tükörképe az A csúcs. D a tengelynek az a pontja, amelyre nézve AB = AD. A megoldások száma attól függ, hogy a'-nek és b-nek hány közös pontja van.

2608. A k1 kör t-re vonatkozó k1' tükörképének és a k2 körnek közös pontja lesz a rombusz C csúcsa. (Lásd az ábrát!) Az A csúcs C-nek t-re vonatkozó tükörképe. A B csúcs a t tengely azon pontja, amelyre CD = CB = AB = AD. A szerkeszthetõség feltételeinek és a megoldások számának vizsgálatára nézve lásd a 2597. feladatot. 2609. A négyzet A csúcsa (lásd az ábrát) az a egyenes t-re vonatkozó a' tükörképének és a k körnek közös pontja. A-nak t-re vonatkozó tükörképe a C csúcs. A B és a D csúcsot az AC szakasz mint átmérõ fölé szerkesztett Thalesz kör metszi ki tbõl. A feladatnak attól függõen van 0, 1 vagy 2 megoldása, hogy a'-nek és k-nak hány közös pontja van. (Két egybevágó megoldást kapunk, ha a párhuzamos tvel és a'-nek két közös pontja van kval.)

k2

C1

C2

A2

A1

O2

B2

O1 '

B1

O1

k1 '

k1

D2

C2 A2

D1

A1

C1

B2 B1

185

GEOMETRIA 2610. a) A rombusz egyik oldala adott, így azt tükrözve a két szimmetriatengelyre és a tengelyek metszéspontjára kapjuk a többi oldalt. b) A szimmetriatengelyek felezik a rombusz szögeit, így a 2598. feladat alapján az egyik pontnak a megfelelõ tengelyre vonatkozó tükörképével megkapjuk az egyik oldalt, innen pedig az a) pont alapján dolgozhatunk. 2611. Az adott pontot tükrözzük az adott egyenesekre. A kapott képpontok lesznek a háromszög hiányzó csúcsai. 2612. A szerkesztés az ábráról leolvasható. A tengelyes tükrözés megõrzi a szögek nagyságát, így a jelzett szögek egyenlõek. Ez pedig azt jelenti, hogy teljesül a visszaverõdés törvénye.

2613. A b) pontban nyilván az AB szakasz és e metszéspontja lesz a keresett T pont. a) A szerkesztés az ábráról leolvasható. AT + TB valóban minimális, hiszen a háromszög-egyenlõtlenség alapján AT + TB = AT + TB' = AB' < AP + + PB' = AP + PB az e egyenes bármely T-tõl különbözõ P pontjára. 2614. A szerkesztés az ábráról leolvasható. Az elõzõ feladat alapján könnyen igazolható, hogy AT1 + T1T2 + T2A valóban minimális.

T1

T2

2615. A szerkesztés az ábráról leolvasható. AT1 + T1T2 + T2B minimalitása a 2613. feladat alapján könnyen igazolható.

T1 T2

2616. a) A'(-2; -5), B'(6; 2), C'(4; -3), D'(6; -8) b) A'(2; 5), B'(-6; -2), C'(-4; 3), D'(-6; 8) c) A csúcspontok koordinátái felcserélõdnek. A'(5; -2), B'(-2; 6), C'(3; 4), D'(8; 6)

186

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK d) A koordináták felcserélõdnek és elõjelet váltanak. A'(-5; 2), B'(2; -6), C'(-3; -4), D'(-8; -6) e) A'(-2; 3), B'(6; 10), C'(4; 5), D'(6; 0) f) A'(-4; 5), B'(-12; -2), C'(-10; 3), D'(-12; 8) 2617. a) hamis g) igaz m) hamis

b) igaz h) igaz n) igaz

c) hamis i) igaz o) igaz

d) igaz j) hamis p) igaz

e) igaz k) hamis q) hamis

f) hamis l) igaz r) igaz

2618. Ha a háromszögnek van két szimmetriatengelye, akkor oldalai egyenlõ hosszúak. A szabályos háromszögnek viszont három szimmetriatengelye van. 2619. Ha egy négyszögnek van két szimmetriatengelye, akkor téglalap vagy rombusz. A téglalap harmadik szimmetriatengelyének illeszkednie kell két szemközti csúcsra, viszont ez csak úgy lehetséges, ha a szomszédos oldalak egyenlõ hosszúak, azaz a téglalap négyzet. A rombusz harmaik szimmetriatengelyének merõlegesen feleznie kell két szemközti oldalt, ami csak úgy lehetséges, ha a rombusz minden szöge derékszög, azaz a rombusz négyzet. A négyzetnek négy szimmetriatengelye van. 2620. Igen van. Például kör, egyenes, félsík. 2621. Ha a sokszögnek van két szimmetriat3 tengelye, akkor azok metszik egymást a sokszög belsejében. Ez következik abból a ténybõl, hogy mindkét szimmetriatengely két egyenlõ területû részre t2 osztja a sokszöget. Tegyük fel, hogy a sokszögnek van hát1 rom szimmetriatengelye, és ezek az állítással ellentétben páronként különbözõ pontokban metszik egymást. Ekkor a három metszéspont a sokszög belsejében egy háromszöget határoz meg. Jelöle t1, t2 és t3 a három tengelyt (lásd az ábrát), és legyen P az általuk meghatározott háromszög egy belsõ pontja. Legyen A a sokszög P-tõl legtávolabbi (vagy egyik legtávolabbi) csúcsa. P és A valamelyik tengelynek ugyanazon az oldalán van (az ábrán ez pl. a t2 tengely), így az A csúcsnak erre a tengelyre vonatkozó A' tükörképére (ami szintén csúcsa a sokszögnek) nézve A'P = A'T + TP = AT + TP > AP, ami azt jelenti, hogy A' távolabb van P-tõl, mint A. Ez viszont ellentmond az A választásának, és ez az ellentmondás csak úgy oldható fel, ha igaz a feladat állítása.

187

GEOMETRIA 2622. A tükrözések következtében az eredeti háromszög csúcsaiban három egybevágó szögtartomány találkozik az ábrán látható módon. A feltétel szerint ezek összege mindhárom csúcsnál 180∞, ami csak úgy lehetséges, ha az eredeti háromszög minden szöge 60∞-os, tehát a háromszög szabályos. 2623. a) Lásd a 2612. feladatot! b) A szerkesztés a 2623/1. ábráról leolvasható. A1

B1

2623/1. ábra R1

B1 Q1

P3 B3

S3

B2

R2

S2

2623/2. ábra c) A szerkesztés a 2623/2. ábrán látható. Itt is az volt a célunk, hogy a golyó útját „kiegyenesítsük”. Ennek érdekében, figyelembe véve az elõírt ütközések sorrendjét, tükrözésekkel elõállítottunk három „látszólagos” biliárdasztalt és mindegyikben jelöltük a B golyó megfelelõ tükörképét. Az ábra jelöléseit használva a tükrözések sorrendje: 1. PS egyenesre Æ PSR1Q1; B1 2. PQ1 egyenesre Æ PQ1R2S2; B2 3. R2Q1 egyenesre Æ P3S3R2Q1; B3. Az AB3 szakasz a golyó útjának „kiegyenesített” megfelelõje. Ezen szakasz és PS K metszéspontja az elsõ ütközési pont. Az AB3 és a PQ1 szakasz metszéspontjának õsképe a PQ oldalon a második ütközési pont, míg az AB3 és a Q1R2 szakasz metszés-

188

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK pontjának õsképe a QR oldalon a harmadik ütközési pont, M. A tengelyes tükrözés megõrzi a szögek nagyságát, így az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlõek, amibõl adódóan a szerkesztett út megfelel a visszaverõdés törvényének. Ha az AB3 szakasz illeszkedik a P1 vagy a Q1 pontra, akkor nincs megfelelõ út. d) A szerkesztés az elõzõ pontban leírtakhoz hasonlóan történik, csak itt még egy „látszólagos” biliárdasztalt fel kell venni, nevezetesen a 2623/2. ábra P3S3R2Q1 téglalapját kell tükrözni az S3R2 egyenesre. 2624. A harmadik oldalra mindkét esetben merõlegesen érkezik a golyó. 3a + a = 90∞, ahonnan a = 36∞. a) A 2624/1. ábra alapján 2 b) A 2624/2. ábra alapján a = 45∞. 90∞-a

3a 2 90∞-

a 2 a 2

2624/1. ábra

2624/2. ábra Középpontos tükrözés

2625. Alapszerkesztések. 2626. Alapszerkesztések. 2627. A kapott síkidom paralelogramma. 2628. A tükrözés középpontja a szakaszok végpontjai által meghatározott paralelogramma átlóinak metszéspontja. 2629. a) A közös rész egy szabályos hatszög, 4 cm hosszú. amelynek oldala 3 2

Ê 4ˆ Á ˜ ◊ 3 Ë 3¯ k = 8 cm, t = 6 ◊ cm 2 = 4 8◊ 3 = cm 2 ª 4,62 cm 2 . 3

(Lásd a 2487. feladatot!)

189

GEOMETRIA b) Az egyesítés egy konkáv tizenkétszög (hatágú csillag), amelynek oldala szintén 4 cm hosszú. K = 16 cm, és az ábráról leolvasható, hogy a terület a metszet terü3 letének kétszerese, azaz T = 2t ª 9,24 cm2. 2630. Az egyesítésként kapott síkidom egy olyan 4 cm oldalhosszúságú rombusz, amelynek 42 ◊ 3 van 60∞-os szöge. K = 16 cm és a 2446. feladat alapján T = 2 ◊ cm 2 = 4 = 8 ◊ 3 cm2 ª 13,85 cm2. 2631. Pitagorasz tételének megfordításából adódóan a háromszög derékszögû, így az egyesítésként kapott négyszög téglalap. K = 14 cm, T = 12 cm2. 2632. Az egyesítésként kapott síkidom paralelogramma. 2633. Az a egyenes P-re vonatkozó tükörképe metszi ki az egyik (B) pontot a b egyenesbõl. Az a egyenes megfelelõ pontja (A) a B P-re vonatkozó tükörképe. Ha a'-nek és b-nek nincs közös pontja, akkor nincs megfelelõ pontpár.

2634. Az egyik szögszár egyenesének P-re vonatkozó tükörképe metszi ki a másik szögszárból a szerkesztendõ egyenes egy P-tõl különbözõ pontját. Az FP egyenes valóban megfelel, ugyanis a középpontos tükrözésbõl adódóan FP = PE. (Lásd az ábrát!) Mindig van megoldás, és az egyértelmû.

2635. Az elõzõ feladatban kapott EF szakasz fölé szerkesztett Thalesz-körbõl EF felezõmerõlegese metszi ki a négyzet hiányzó csúcsait. (Lásd a 2386/b) feladatot!)

190

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2636. A két kör középpontosan szimmetrikus az O1O2 szakasz F felezõpontjára, és tengelyesen szimmetrikus az M1M2 egyenesre, így O1O2 és M1M2 merõlegesen felezik egymást. Az ábra jelöléseit használva, mivel M1 és M2 F-re nézve egymás tükörképei, ezért az A1B2 és a B1A2 párhuzamos egyenesek is egymás tükörképei. A két kör és a két szelõ szimmetrikus elhelyezkedésébõl adódóan A1 F-re vonatkozó tükörképe A2 és B1 F-re vonatkozó tükörképe B2. Ezek alapján az A1M2A2M1 és B1M2B2M1 négyszögek paralelogrammák, hiszen átlóik felezik egymást, tehát az azonosan jelölt szakaszok valóban egyenlõ hosszúak.

A1

M1

B2 O2

O1 B1

A2

M2

2637. Az A pont M-re vonatkozó tükörképe B, így valóban AM = MB.

k1 O1

k2 O2

O1 ' k1 '

2638. Lásd az elõzõ feladatot! 2639. A k1 kör P-re vonatkozó k1' tükörképének és k2-nek a P-hez közelebbi közös pontja legyen A'. (Lásd az ábrát!) A'nek a P-re vonatkozó tükörképe a k1 kör A pontja. A középpontos tükrözés tulajdonságaiból adódóan az AA' egyenes megfelel a feltételnek, ugyanis AP = PA'. A feltételnek megfelelõ közös szelõ létezéséhez szükséges, hogy k1'-nek és k2nek legyen közös pontja.

k2

k1

O2

O1

O1 ' k1 '

191

GEOMETRIA 2640. Jelöljük ki a belsõ kör egy tetszõleges P pontját és tükrözzük a kört erre a pontjára. (Lásd az ábrát!) Ha A' jelöli a külsõ kör és a képkör egyik közös pontját, akkor az A'P egyenes megfelel, ugyanis a tükrözésbõl adódóan AP = PA', ahol A az A' pont õse. P-t tetszõlegesen választottuk, így a feladatnak végtelen sok megoldása van.

k1

k1 ' k2

2641. Alkalmazzuk a 2633. feladat módszerét a négyszög szemközti oldalegyeneseire. Az így kapott négy pont által meghatározott négyszög átlói P-ben felezik egymást. 2642. Az ábrán látható CC'B háromszög szerkeszthetõ, hiszen adottak oldalai (a, b, 2sc). A CC' oldal F felezõpontjára tükrözve B-t, kapjuk a háromszög A csúcsát. Az adatokra fenn kell állnia az a + b > 2sc egyenlõtlenségnek, így az a) és a d) esetben nincs megoldás. 2643. A CC'B háromszög szerkeszthetõ (lásd az ábrát), ugyanis adott két oldala (a, 2sc) és a nagyobbikkal szemközti szög (180∞ - g). Az A csúcs B-nek a CC' oldal felezõpontjára vonatkozó tükörképe. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144. és 2145. feladatokat!

2644. Az ábrán látható BCB' háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala (a, 2sb) és az egyikhez tartozó magasság (ma). (Lásd a 2357/d) feladatot!) C-nek a BB' oldal F felezõpontjára vonatkozó tükörképe az A csúcs.

192

sc

sc

sc

sc

sb

sb ma

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2645. a) A 2645/1. ábrán látható BCB' háromszög szerkeszthetõ két oldalából (a, 2sb) és a harmadik oldalhoz tartozó magasságból (mc). 1. Ha mc = a < 2sb, akkor az ABC háromszög derékszögû (b az átb fogó), és így sb = . (Lásd a 2 2348/b) feladatot!)

mc sb

sb

mc

2645/1. ábra

2. Tegyük fel, hogy mc < a és mc < 2sb (mc > a és mc ¤ 2sb esetén nincs megoldás.) A 2sb hosszúságú BB' szakasz fölé szerkesztett Thalesz-körbõl a B középpontú, mc sugarú kör kimetszi a T pontot. (Lásd a 2645/1. ábrát!) A B'T egyenesbõl a B középpontú, a sugarú kör kimetszi a C csúcsot. (C-re most két lehetõségünk van, az ábra csak az egyiket tünteti fel.) C-nek a BB' szakasz F felezõpontjára vonatkozó tükörképe az A csúcs. Az 1. esetben kapott megoldás egyértelmû, a 2. esetben két nem egybevágó megoldást kapunk. b) Lásd a 2642. feladatot! Egyértelmû megoldást kapunk, ha a + c > 2sb. c) Lásd a 2643. feladatot! 2sb ¤ a esetén a megoldás egyértelmû. Ha 2sb < a, akkor két nem egybevágó megoldást kapunk. d) Lásd a 2644. feladatot! Ha 2sb ¤ mc, akkor amegoldás egyértelmû, ellenkezõ esetben nincs megoldás. e) A háromszög súlypontja 2 : 1 arány2 sa ban osztja a súlyvonalakat, így 3 b 2645/2. ábrán látható SCS' három2 sc 2 sb 2 2 2 Fa 3 sb , sc . (S' szög oldalai sa , 3 Fb sb 3 3 3 3 az S súlypontnak az AC oldal Fb fesa sb lezõpontjára vonatkozó tükörképe.) Az SCS' háromszög tehát szerkesztFc hetõ, és így szerkeszthetõk ezen há2645/2. ábra romszög súlyvonalai is, amelyek a b c hossza éppen , , . 2 2 2 A feladatnak egyértelmû megoldása van, ha sa + sb > sc és sa + sc > sb. Az adott súlyvonalak harmadolására nézve lásd a 2760/a) feladatot!

193

GEOMETRIA 2646. a) Ha a trapézt egyesítjük a BC oldal F felezõpontjára vonatkozó tükörképével, akkor egy olyan paralelogrammát kapunk, amelynek oldalai a + c és d, az a + c hosszúságú oldalhoz tartozó magassága pedig m (lásd az ábrát). Ezekbõl az adatokból a paralelogramma d ¤ m esetén egyértelmûen szerkeszthetõ a 2368/f) feladat alapján. A kapott paralelogramma átlóinak metszéspontja F, ahonnan b -vel körívezve megkapjuk a tra2 péz B és C csúcsát. (b ¤ m esetén van csak megoldás és az egyértelmû.) b) Az ábrán látható AD'A'D paralelogramma szerkeszthetõ egyik oldalából (a + c), a hozzá tartozó magasságból (m) és egyik szögébõl (a). (Lásd a 2368/c) feladatot!) Az AD' oldalra, az ábrának megfelelõen felvett b szög szárát toljuk el úgy, hogy illeszkedjen a paralelogramma átlóinak F metszéspontjára. A megoldás egyértelmû. c) Az ábrán látható AD'C háromszögnek adott három oldala, így szerkeszthetõ, ha e + f > a + c. C-bõl b-vel körívezve az AD' szakaszon kijelölhetõ a B pont. D'-t a BC szakasz felezõpontjára tükrözve kapjuk a D csúcsot. A megoldás egyértelmû. d) Az ábrán látható AD'C háromszög szerkeszthetõ, hiszen adott két oldala (e, f) és a közbezárt szög (180∞ - d). A-ból az ábrának megfelelõen a-t felmérve kapjuk az AD' szakaszon a B csúcsot. Az AD'-vel párhzamos, C-re illeszkedõ egyenesre az ábrának megfelelõen C-bõl felmérve az AD' - a = c hosszúságú szakaszt adódik a D csúcs. Ha B az AD' szakasz belsõ pontja, akkor a megoldás egyértelmû. e) Az ábra AD'C háromszöge szerkeszthetõ, így szerkeszthetõ az AD' = a + c szakasz is. a + c és a - c tehát adott, amibõl a 2135. feladat alapján a szerkeszthetõ. Innen lásd az elõzõ pontot! 2647. A háromszög oldalainak felezõpontjai átal meghatározott egyenesek (és csak ezek) megfelelnek. Három ilyen egyenes van. 2648. Mivel F1 és F2 felezõpontok, ezért az ABF1F2 négyszögben az AF2 és BF1 oldalak párhuzamosak és egyenlõ hoszszúak. Ebbõl viszont adódik, hogy az ABF1F2 négyszög paralelogramma, így AB párhuzamos és egyenlõ hosszú F1F2-vel.

194

F2

F1

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2649. Az állítást az FaFb középvonalra látjuk be, a többire hasonlóan megy. Tükrözzük a háromszöget a BC oldal Fa felezõpontjára. A kapott ABA'C négyszög paralelogramma, amelyben az A'B oldal Fb' felezõpontja az Fb képe. Az elõzõ feladat alapján FbFb' = AB és párhuzamosak, tehát valóban Fa Fb =

Fa

Fb

Fb '

AB és 2

párhuzamosak. 2650. Az ábrán látható ACD háromszögben F3F4 középvonal, így az elõzõ feladat alapján F3F4 párhuzamos az AC átlóval

F3

AC . Ugyanez mondható el 2 az ABC háromszög F1F2 középvonaláról is, ezért F1F2 párhuzamos és egyenlõ hosszú F3F4-gyel, amibõl adódóan az F1F2F3F4 négyszög paralelogramma.

és F3 F4 =

F2 F4

F1

2651. Lásd az elõzõ feladatot! a) A négyszög átlói egyenlõ hosszúak. b) A négyszög átlói merõlegesek egymásra. c) A négyszög átlói egyenlõ hosszúak és merõlegesek egymásra. 2652. A négy középpontos tükrözés végrehajtása után visszajutunk az eredeti pontba. (P4 = P, lásd az ábrát!) Ez a 2649. és a 2650. feladat alapján abból adódik, hogy a PP2 és P2P4 szakaszok párhuzamosak és egyenlõ hosszúak, és mivel egyik végpontjuk közös, ezért egybeesnek.

P3

P = P4

P2

P1

195

GEOMETRIA 2653. Az ábra ABC és A2B2C2 háromszögei egymás középpontos tükörképei a merõleges egyenesek M metszéspontjára nézve. Két egymásra merõleges tengelyre vonatkozó tükrözés egymásutánja a metszéspontjukra vonatkozó középpontos tükrözés.

t1

B2

A2

C2

t2

C1

B1

2654. A tengelyek merõlegességébõl adódóan az ábrán látható PP1P2 háromszög derékszögû, és mivel PM = P1M = P2M, ezért Thalesz tételének megfordításából adódóan M a PP2 szakasz felezõpontja. 2655. a) hamis g) igaz m) igaz

b) igaz h) igaz n) igaz

c) hamis i) hamis o) igaz

2656. a) A'(-2; -7), B'(4; -5), C'(1; 4)

t1

A1 P2

t2

P1

d) igaz j) igaz p) igaz

e) igaz k) hamis q) igaz

f) hamis l) hamis

b) A'(-2; -5), B'(4; -3), C'(1; 6)

c) A'(0; 1), B'(6; 3), C'(3; 12)

d) A'(-4; -13), B'(2; -11), C'(-1; -2)

e) A'(-10; 3), B'(-4; 5), C'(-7; 14)

f) A'(-4; 5), B'(2; 7), C'(-1; 16)

5ˆ 28 ˆ Ê Ê 1ˆ Ê g) A'Á - 4; - ˜ , B'Á 2; ˜ , C' Á - 1; ˜ Ë Ë 3¯ Ë 3¯ 3¯

Ha a P(x; y) pontnak az O(a; b) pontra vonatkozó tükörképe P1(x1; y1), akkor O felezi a PP1 szakaszt, amibõl adódóan x + x1 y + y1 és b = . 2 2 A fenti két kifejezésbõl a P1 pont koordinátái: a=

x1 = 2a - x és y1 = 2b - y. 2657. A(-2; 5), B(2; 2), C(5; 7), D(2; 9), E(0; 9) A'(-2; -5), B'(2; -2), C'(5; -7), D'(2; -9), E'(0; -9) A''(2; -5), B''(-2; -2), C''(-5; -7), D''(-2; -9), E''(0; -9) A két tengelyes tükrözés egymásutánja az origóra vonatkozó középpontos tükrözés. (Mindkét koordináta elõjelet vált.) Lásd még a 2653. és 2654. feladatokat!

196

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2658. Mindegyik esetben két megfelelõ négyzet teljesíti a feltételt. Ha a csúcspontok koordinátái abszolútértékének összege S, akkor a megfelelõ négyzetek csúcsainak koordinátái: Sˆ Ê S ˆ Ê Sˆ Ê S ˆ Ê 1. Á ; 0˜ , Á 0; ˜ , Á - ; 0˜ , Á 0; - ˜ Ë 4 ¯ Ë 4¯ Ë 4 ¯ Ë 4¯ Sˆ Ê S Sˆ Ê S Sˆ Ê S Sˆ Ê S 2. Á ; ˜ , Á - ; ˜ , Á - ; - ˜ , Á ; - ˜ Ë 8 8¯ Ë 8 8¯ Ë 8 8¯ Ë 8 8¯

a) (2; 0), (0; 2), (-2; 0), (0; -2) (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1)

b) (4; 0), (0; 4), (-4; 0), (0; -4) (2; 2), (-2; 2), (-2; -2), (2; -2)

c) (6; 0), (0; 6), (-6; 0), (0; -6) (3; 3), (-3; 3), (-3; -3), (3; -3)

d) (12; 0), (0; 12), (-12; 0), (0; -12) (6; 6), (-6; 6), (-6; -6), (6; -6)

e) (16; 0), (0; 16), (-16; 0), (0; -16) (8; 8), (-8; 8), (-8; -8), (8; -8) 2659. Aladár Berci lépéseitõl függetlenül mindkét esetben megnyerheti a játékot. A nyerõ stratégia a következõ: 1. lépés: Aladár az asztal szimmetriaközéppontjába teszi az elsõ zsetont. További lépések: Aladár Berci utoljára letett zsetonjának a középpontra vonatkozó tükörképét lépi, azaz úgy teszi le a zsetonját, hogy a Berci és az õ zsetonja által meghatározott szakasz felezõpontja az asztal szimmetriaközéppontja legyen. 2660. A középpontosan szimmetrikusan elhelyezkedõ párok: b - c; c - e; c - f. 2661. Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, ezért a 2633. és a 2639. feladat eljárását kell kétszer alkalmazni. Megoldást akkor kapunk, ha az átlók metszéspontjára vonatkozó tükrözések után létrejönnek a megfelelõ metszéspontok. Az a) esetben a megoldás (ha van) egyértelmû, a b) esetben legfeljebb négy nem egybevágó megoldást kaphatunk. 2662. Vegyük fel az F pontot az AB szakaszon úgy, hogy DF párhuzamos legyen BCvel. (Lásd az ábrát!) Mivel AC = BC, ezért AD = DF. Az EBDF négyszög két szemközti oldala (BE és DF) párhuzamos és egyenlõ, így a négyszög paralelogramma. A paralelogramma átlói felezik egymást, tehát DM = ME.

Pont körüli elforgatás 2663. Alapszerkesztések. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat!

197

GEOMETRIA 2664. Alapszerkesztések. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2665. Alapszerkesztések. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2666. Alapszerkesztések. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2667. a) Az egyesített síkidom egy olyan rombusz, amelynek van 60∞ nagyságú belsõ szöge. Lásd a 2589. feladatot!

b) Az egyesített síkidom egy konkáv tizenkétszög (hatágú csillag), amely4 cm hosznek mindegyik oldala 3 szú. Lásd a 2629/b) feladatot!

2668. Az erdeti háromszög Pitagorasz tételének megfordítása értelmében derékszögû. a) Az egyesített síkidom az ábrán látható konkáv négyszög. K = 18 cm, T = 12 cm2. b) Lásd az elõzõ pontot!

198

4 cm 3

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2669. a) A közös rész egy deltoid (a 2669/1. ábrán A'BCM), amelynek szögei: 45∞, 90∞, 90∞, 135∞; oldalainak hoszsza pedig: A'B = BC = 4 cm, A'M = MC =

(

)

= 4 2 - 4 cm ª 1,65 cm. k ª 11,31 cm,

(

)

t = 4 ◊ 4 2 - 4 cm 2 ª 6,63 cm2. Az egyesítés egy tengelyesen szimmetrikus konkáv hatszög (a 2669/1. ábrán ABC'D'MD), amelynek négy oldala 4 cm, két oldala pedig

(4 - (4

))

(

(4

)

2 - 4 cm

)

2 - 4 cm = 8 - 4 2 cm

hosszú. A belsõ szögek között négy derékszög van, egy szög 135∞-os, egy pedig 225∞-os.

(

2669/1. ábra

)

K = 4 ◊ 4 cm + 2 ◊ 8 - 4 2 cm =

(32 - 8 2 ) cm ª 20,7 cm. Az egyesített terület megkapható, ha a két négyzet területének összegébõl levonjuk az ily módon kétszer számolt közös rész területét, tehát T = 32 cm2 - t ª ª 25,37 cm2. b) A közös rész egy szabályos nyolcszög, az egyesítés pedig egy egyenlõ oldalú konkáv tizenhatszög (nyolcágú csillag). Határozzuk meg mindkét síkidom oldalának hosszát. Jelölje a 2669/2. ábrán látható AP szakasz hosszát a. Ekkor 2 a + a 2 = 4 cm,

ahonnan

a 2

4

cm ª 1,17 cm. 2+ 2 Tehát az egyesített síkidom oldalának

a=

2669/2. ábra

hossza a ª 1,17 cm, a közös rész oldalának hossza pedig a 2 = 1,65 cm. Így a közös rész kerülete: k ª 8 ◊ 1,65 cm = 13,2 cm, az egyesítés kerülete pedig K ª 16 ◊ 1,17 cm = 18,72 cm. A közös rész területét megkapjuk, ha a négyzet területébõl kivonjuk négy darab a befogójú egyenlõszárú derékszögû háromszög terüa2 ª 16 cm2 - 2,74 cm2 = = 13,26 cm2. Az egyesített síkletét. Így t = 16 cm2 - 4 ◊ 2

199

GEOMETRIA idom esetén a négyzet területéhez hozzá kell adnunk a közös résznél levont területet, így T ª 16 cm2 + 2,74 cm2 = 18,74 cm2. 2670. A 2504. feladat alapján a fokokban mérve a nagyságú középponti szöghöz tartozó r sugarú körcikk kerülete: a ˆ Ê K = 2 r Á1 + p ◊ ˜, Ë 360∞ ¯ területe pedig T = r 2p ◊

a . 360∞

a) A metszet középponti szöge 90∞, így p Ê pˆ k = 2r Á1 + ˜ ª 10,71 cm, t = r 2 ª 7,06 cm 2 . Ë 4¯ 4 Az egyesítés középponti szöge 150∞, így Ê 5p ˆ 2 5p K = 2 r Á1 + ª 11,78 cm 2 . ˜ ª 13,85 cm, T = r Ë 12 ¯ 12 b) A metszet középponti szöge 75∞, így Ê 5p ˆ 2 5p k = 2 r Á1 + ª 5,89 cm 2 . ˜ ª 9,92 cm, t = r Ë 24 ¯ 24 Az egyesítés középponti szöge 165∞, így Ê 11p ˆ 2 11p K = 2 r Á1 + ª 12 ,95 cm 2 . ˜ ª 14,63 cm, T = r Ë 24 ¯ 24 c) A metszet középponti szöge 30∞, így pˆ p Ê k = 2r Á1 + ˜ ª 7,57 cm, t = r 2 ª 2 ,35 cm 2 . Ë 12 ¯ 12 Az egyesítés középponti szöge 210∞, így Ê 7p ˆ 2 7p K = 2 r Á1 + ª 16,49 cm 2 . ˜ ª 17 cm, T = r Ë 12 ¯ 12 d) A két körcikknek nincs metszete. Az egyesítés középponti szöge 240∞, így Ê 2p ˆ 2 2p K = 2 r Á1 + ª 18,84 cm 2 . ˜ ª 18,56 cm, T = r Ë 3 ¯ 3 2671. Lásd az ábrát! a2 a 1 Q2 ' Q1 '

200

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2672. Lásd az ábrát!

2673. Lásd az ábrákat! a)

b)

2674. A kérdéses ponthalmaz az AB szakasz felezõmerõlegese. 2675. Legyen a két szakasz AB és CD. Ha AB-t szeretnénk CD-re forgatni, akkor két lehetõségünk van: A Æ C és B Æ D, illetve A Æ D és B Æ C. Az elõzõ feladat alapján az egymásnak megfelelõ végpontok által meghatározott szakaszok felezõmerõlegeseinek közös pontja lesz a forgatás középpontja. (Lásd az alábbi két ábrát!) O2A = O2D, O2B = O2C O1B = O1D, O1A = O1C O2

O1

2676. Az elõzõ feladat alapján az egymásnak megfelelõ pontok által meghatározott szakaszok felezõmerõlegeseinek közös pontja lesz a forgatás centruma. A két háromszög körüljárásának meg kell egyeznie, ezért három megoldása van a feladatnak. Egyik lehetséges megoldás az ábrán látható. (A következõ feladat kapcsán bizonyítjuk általánosabban, hogy a három szakaszfelezõ merõlegesnek van közös pontja.)

201

GEOMETRIA 2677. A forgási középpont meghatározása az elõzõ két feladat módszerével történik. Belátjuk, hogy a három szakaszfelezõ merõlegesnek valóban van közös pontja. Legyen O az AA' és CC' szakaszok felezõmerõlegeseinek közös pontja. (O létrejön, ugyanis a feltétel értelmében AC és A'C' nem párhuzamosak.) Az ACO és A'C'O háromszögek megfelelõ oldalai rendre megegyeznek, a két háromszög tehát egybevágó. Ebbõl adódóan OAC <) = OA'C' <) . A feltételbõl kapjuk, hogy CAB <) = C'A'B' <) , így OAB és OA'B' háromszögek egybevágóak, ugyanis AB = A'B', OA = OA' és OAB <) = OAC <) + + CAB <) = OA'C' <) + C'A'B' <) = OA'B' <) . Ez viszont azt jelenti, hogy OB = OB', azaz a BB' szakasz felezõmerõlegese illeszkedik az O pontra. 2678. a) Az AB szakasz fölé írt Thalesz-körbõl az AB felezõmerõlegese metszi ki az elõjel miatt egyértelmûen meghatározott pontot. b) AB felezõpontja a megfelelõ pont. c) A pozitív körüljárási irányú ABC szabályos háromszög C csúcsa a megfelelõ pont. d) Lásd az elõzõ pontot! e) Azon pozitív körüljárási irányú ABC egyenlõ szárú háromszög C csúcsa a megfelelõ pont, amely háromszögben az alapon fekvõ szög nagysága 75∞. f) Azon negatív körüljárási irányú ABC egyenlõ szárú háromszög C csúcsa a megfelelõ pont, amely háromszögben az alapon fekvõ szög nagysága 67,5∞. A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2146. feladatokat! 2679. Az a egyenes P körüli +60∞-os a' elforgatottjának és b-nek a közös pontja a háromszög második csúcsa (B). Ezt P körül -60∞-kal „visszaforgatva” kapjuk az a egyenesen az A csúcsot. (Lásd az ábrát.)

2680. Az elõzõ feladat módszerével szerkeszthetõ olyan PAB egyenlõ szárú derékszögû háromszög, amelynek A és B csúcsa az adott egyeneseken van. (A forgatás szögének nagysága most 90∞.) P-t az AB egyenesre tükrözve kapjuk a négyzet negyedik csúcsát. 2681. Jelöljünk ki a középsõ egyenesen egy pontot. Innen lásd a 2679. feladatot! 2682. A szabályos háromszög a 2679. feladat módszerével szerkeszthetõ. Ha az adott szög kisebb 60∞-nál, akkor két nem egybevágó megoldás van, ellenkezõ esetben a megoldás egyértelmû.

202

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2683. A szabályos háromszög középpontjából a csúcsokhoz húzott szakaszok 120∞-os szöget zárnak be, ezért az egyik szögszár adott pont körüli 120∞-os elforgatottjának és a másik szögszárnak a közös pontja lesz a szerkesztendõ háromszög egyik csúcsa. Ezt a csúcsot mindkét irányban 120∞-kal elforgatva kapjuk a másik két csúcsot. (Lásd az ábrát!) 2684. Jelölje a a szerkesztendõ háromszög szárainak szögét. Az e egyenes P körüli a szögû elforgatottjának és az adott körnek közös pontja lesz az alap egyik végpontja. Az alap másik végpontja az e egyenes azon pontja, amelynek képe a tekintett közös pont. (Lásd az ábrát!) A forgatás mindkét irányban elvégezhetõ, a megoldások száma attól függ, hogy a kapott két képegyenesnek és az adott körnek hány közös pontja van. (A szögek szerkesztésére nézve lásd a 2144-2145. feladatokat!)

A1

B1

B2

A2

2685. a) A k2 kör tetszõleges P pontja körül a k1 kört 60∞-kal elforgatva (mindegy milyen irányban) egy olyan k1' kört kapunk, amely a Q pontban belülrõl érinti a k3 kört. (Lásd a 2685/1. ábrát!) Ha R jelöli azt a k1-re illeszkedõ pontot, amelynek a tekintett forgással kapott képe Q, akkor a PQR háromszög megfelel a feladat feltételeinek. Ezt a háromszöget O körül tetszõlegesen elforgatva az eredetivel egybevágó megoldásokat kapunk. b) A feladat megoldása az a) esethez hasonlóan történik, csak most k2 tetszõleges P pontja körül 90∞-kal kell k1-et elforgatnunk. Két nem egybevágó megoldást kapunk. (Lásd a 2685/2. ábrát!) S2

k1'

k3

k3

Q2 k2

k2

k1

2685/1. ábra

R2

k1

R1

S1

k1' Q1

2685/2. ábra

203

GEOMETRIA 2686. A szerkesztés az elõzõ feladat kapcsán leírt módszerrel hajtható végre a körök tetszõleges elhelyezkedése esetén is. Az elõzõ feladat jelöléseit használva a megoldások száma attól függ, hogy a k2 kiszemelt pontja körüli (mindkét irányban végrehajtott) forgatások után k1'-nek és k3-nak hány közös pontja van. 2687. A két tengelyes tükrözés egymásutánja forgatás, amely szögének nagysága a tengelyek által bezárt szög kétszerese, iránya pedig a tengelyes tükrözések sorrendjétõl függ. A c) esetben a két tengelyes tükrözés egymásutánja középpontos tükrözés. 2688. Mindkét tengely illeszkedik a forgatás centrumára, az általuk bezárt szög nagysága a forgásszög nagyságának fele. (A tengelyeket ezen feltételek teljesülése mellett tetszõlegesen vehetjük fel.) A tükrözések sorrendje a forgatás irányától függ. 2689. Az eredõ forgatás középpontja mindegyik esetben az O pont, szöge pedig a) +15∞; b) +60∞; c) +60∞; d) -30∞. 2690. a) A'(-5; -2), B'(3; 1), C'(-2; 8) c) A'(5; 2), B'(-3; -1), C'(2; -8)

b) A'(2; -5), B'(-1; 3), C'(-8; -2) d) A'(5; 2), B'(-3; -1), C'(2; -8)

2691. a) Origó körüli +90∞-os forgatás. b) Origó körüli -90∞-os forgatás. 2692. Mindegyik esetben két lehetõségünk van. A megfelelõ pontok koordinátái az elõzõ két feladat alapján könnyen adódnak. a) (-4; 2) vagy (4; -2) b) (6; 5) vagy (-6; -5) c) (1; 0) vagy (-1; 0) d) (5; -4) vagy (-5; 4) 2693. A forgatás centruma mindegyik esetben a sokszög középpontja, a megfelelõ pozitív forgásszögek pedig a) 0∞, 120∞, 240∞; b) 0∞, 90∞, 180∞, 270∞; c) 0∞, 72∞, 144∞, 216∞, 288∞; e) k ◊

360∞ , ahol k = 0; 1; 2; ...; n - 1. n


204

d) 0∞, 60∞, 120∞, 180∞, 240∞, 300∞;

b) hamis h) hamis

c) hamis i) igaz

d) igaz j) hamis

e) hamis k) igaz

f) igaz l) hamis

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2695.

2696. Legyen két, a feltételeknek megfelelõ szakasz AB és CD. Az AB szakasznak a négyzet középpontja körüli 90∞-os elforgatottja, A'B' merõleges AB-re, és így párhuzamos CD-vel. Viszont ekkor az A'CDB' négyszög paralelogramma, így AB = A'B' = CD. (Nyilván akkor is igaz az állítás, ha A'B' egybeesik CD-vel.)

2697. Legyenek a szemközti oldalegyeneseken adott pontok A és B, illetve C és D. C-bõl állítsunk merõlegest AB-re, majd mérjük fel erre C-bõl az AB távolságot. Az így kapott CD' szakasz merõleges AB-re és vele egyenlõ hosszú, így az elõzõ feladat állítása alapján a DD' egyenes a négyzet egyik oldalegyenese. Erre az egyenesre A-ból és B-bõl merõlegest állítva kapjuk a négyzet másik két oldalegyenesét, a negyedik oldal pedig Cre illeszkedik és DD'-vel párhuzamos. Ha D egybeesik D'-vel, akkor a feladatnak végtelen sok megoldása van. 2698. Forgassuk el C körül a BPC háromszöget -60∞-kal. (Lásd az ábrát!) Ennél a forgatásnál a B képe A, és mivel APC <) = APB <) = 60∞, ezért P képe az AP szakasz azon P' pontja, amelyre PP' = PC. A BPC háromszög képe tehát az AP'C háromszög és így PA = PP' + P'A = PC + PB. 2699. Jelölje A' az A csúcsnak a BC oldal F felezõpontjára vonatkozó tükörképét. Forgassuk el az AA'C háromszöget az A pont körül 90∞-kal az ábrán látható módon. Mivel AG = A'C = A”E és a forgatás miatt AG párhuzamos A”E-vel, ezért az AA”EG négyszög paralelogramma. Így d = EG = AA” = AA' = 2 ◊ AF.

205

GEOMETRIA 2700. Elõbb belátjuk, hogy egy szabályos háromszögbe beírt szabályos háromszög középpontja egybeesik az eredeti háromszög középpontjával. Forgassuk el az eredeti háromszöget a középpontja körül 120∞-kal. Ennél a forgatásnál az eredeti háromszög képe önmaga, a beírt háromszög pedig egy olyan szintén az eredeti háromszögbe írt szabályos háromszögbe transzformálódik, amelynek oldalai párhuzamosak az elõször beírt háromszög oldalaival. Ez viszont csak akkor teljesülhet, ha a beírt háromszög is önmagára transzformálódik a forgatás során, azaz õ is a középpontja körül fordult el. A szerkesztés az elõzõ állítás alapján könnyen adódik. Vegyük fel a 4 cm oldalú szabá3 lyos háromszöget és kicsinyítsük a középpontjából -ére. A kapott kis háromszöget a 4 középpont körül forgassuk el úgy, hogy csúcsai a nagy háromszög oldalaira essenek. (Lásd az ábrát!) 2701. A feladatbeli állítás felhasználásával könnyen adódik a szerkesztés. Forgassuk el az átlók metszéspontja körül a paralelogramma egyik oldalegyenesét 90∞-kal. A képegyenesnek a szomszédos oldalegyenesekkel alkotott metszéspontjai a négyzet két szemközti csúcsát adják. Innen a feltételnek megfelelõ négyzet már egyszerûen adódik. 2702. A rombuszra tett feltételbõl és a rombusz szimmetriájából adódóan a metszet szabályos nyolcszög.

2703. Az adott csúcsnak a középpont körüli +120∞-os illetve -120∞-os elforgatottjai lesznek a háromszög hiányzó csúcsai. 2704. Az egyes forgatások utáni helyzet és a megoldás az ábrán látható.

206

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2705. A P-ben egymást metszõ két húr csak akkor lehet egyenlõ hosszú, ha a kör Pre illeszkedõ átmérõjére nézve szimmetrikusan helyezkednek el. A tekintett átmérõre P-ben mindkét irányban az ábrának megfelelõen 45∞-os szöget felmérve adódik a két húr.

Párhuzamos eltolás 2706. Egyenlõek: 2. és 4.; 3. és 6. Ellentettek: 1. és 3.; 1. és 6.; 2. és 5.; 4. és 5.

2707.

2708.

A végpontok koordinátái: a) (-5; 2) b) (-4; 3) c) (-6; 3) d) (-8; 6) e) (-7; -3) f) (2; -2)

207

GEOMETRIA

2709.

A végpontok koordinátái: a) (4; 5) b) (2; 5) c) (5; 8) d) (0; 9) e) (10; 3) f) (-3; -4)

Általánosan, ha egy origó kezdõpontú vektor végpontja (x0; y0), akkor a vele egyenlõ, (a; b) kezdõpontú vektor végpontja (x0 + a; y0 + b).

208

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2710.

A végpontok koordinátái: a) (-5; 7) b) (-6; 7) c) (-7; 6) d) (3; 10) e) (-15; 4) f) (-2; 3) Æ Az AB -ral egyenlõ, origó kezdõpontú vektor végpontja az elõzõ feladat alapján Æ (6; -6). Az AB ellentettjével egyenlõ, origó kezdõpontú vektor végpontja így (-6; 6). Innen az elõzõ feladat alapján adódnak a fenti értékek. 2711. 1 a 2

a) b) c)

7 a 2

d) -

e) f)

1 a 4

3 - a 8

209

GEOMETRIA 2712. a)

b)

c)

d)

2713. Alapszerkesztések. 2714. Alapszerkesztések. 2715. Alapszerkesztések. 2716. a) A közös rész egy az eredetihez hasonló rombusz, amelynek oldala fele olyan hoszszú, mint az eredeti rombuszé. (Pl. AM1 középvonal az ACD háromszögben. Lásd még a 2649. feladatot!) Az egyesítés egy konkáv nyolcszög (ABM2B'C'D'M1D), amelynek oldalai 4 cm és 2 cm hosszúak. Jelölje rendre k és t a közös rész, K és T az egyesítés kerületét és területét. Mivel a tekintett rombuszt rövidebb átlója két egybevágó szabályos háromszögre vágja szét, 22 3 cm 2 = ezért a területek a 2446. feladat alapján számolhatók. t = 2 ◊ 4 42 3 = 2 3 cm 2 ª 3,46 cm2; T = 2◊ cm 2 - 2 3 cm 2 = 6 3 cm 2 ª 10,39 cm2; 4 k = 8 cm; K = 24 cm. b) A közös rész egybevágó az a) pontban kapottal. Az egyesítés most is egy konkáv nyolcszög, amelynek kerülete és területe megegyezik az a) pontbeli egyesítés kerületével és területével.

M1

M1

M2

2716/1. ábra

210

2716/2. ábra

M2

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2717. A közös rész egy olyan rombusz, amelynek szögei 60∞ és 120∞-osak, oldala pedig 4 cm hosszú. Az egyesítés egy hatszög (AB'C'D'EF). Az elõzõ feladat alapján 42 3 cm 2 = 8 3 cm 2 ª 4 ª 13,85 cm 2 .

t =2◊

A kerületek: k = 16 cm, K = 32 cm. Az ábráról leolvasható, hogy az egyesített terület ötszöröse a közös rész területének, így T = 40 3 cm 2 ª 69,25 cm 2 .

2718. Mivel a szabályos háromszög magasságpontja harmadolja a magasságot, ezért a képháromszög egyik csúcsa a magasságpont lesz. A közös rész szabályos háromszög, amelynek oldala harmad olyan hosszú, mint az eredeti háromszögé, az egyesítés pedig az ábrán látható konkáv hétszög. A 2446. feladat alapján a területek

M1 M 2

2

Ê 4ˆ Á ˜ ◊ 3 Ë 3¯ 4◊ 3 t= cm 2 = cm 2 ª 2 ,31 cm 2 , 4 3 42 ◊ 3 4 20 cm 2 - t = 8 3 cm 2 3 cm 2 = 3 cm 2 ª 11,54 cm 2 . 4 3 3 4 8 A harmadolásból adódóan AM1 = M1 M 2 = M 2 B = cm és A' M1 = M 2 B' = cm . 3 3 (Lásd az ábrát!) Így k = 4 cm, K = 5 ◊ 4 cm = 20 cm.

T = 2◊

211

GEOMETRIA 2719. Az adott szög szögfelezõjére, annak tetszõleges pontjában állítsunk merõlegest, majd erre a metszéspontból mindkét irányba mérjük fel az adott szakasz hosszának felét. A kapott végpontokra illeszkedõ, a szögfelezõvel párhuzamos egyenesek metszik ki a szögszárakból a szerkesztendõ szakasz végpontjait. Ez utóbbi úgy is fogalmazható, hogy a megfelelõen felvett AB szakaszt az Æ Æ AA' = BB' -ral eltolva kapjuk a kívánt szakaszt. (Lásd az ábrát!) 2720. Szerkesszünk a háromszög kiszemelt pontján át párhuzamost az eltolás irányát megadó egyenessel. Ha a háromszög kiszemelt pontja P, és a párhuzamos egyenesnek a másik adott egyenessel vett metszéspontja Æ Q, akkor az eltolás vektora PQ . (Ha Q nem jön létre, akkor a feladatnak nincs megoldása.) 2721. Szerkesszünk az adott szakasz végpontjain keresztül párhuzamost a szögszárakkal. Ha a párhuzamosok metszésÆ pontja Q, akkor AB-t a QP -ral eltolva kapjuk a megfelelõ A'B' szakaszt. Æ Æ Æ ( QP = AA' = BB' ) 2722. Szerkesszünk az adott szakaszhoz olyan, az adott körrel egybevágó köröket, amelyeknek az adott szakasz húrja. (Az adott szakasz felezõmerõlegesének a végpontoktól 4 cm-re levõ pontjai lesznek a tekintett körök középpontjai.) Ha a kapott körök középÆ Æ pontjai O1 és O2, akkor az AB szakasznak az O1O -ral, illetve az O2 O -ral eltolt képe lesz a két megfelelõ húr. (Lásd az ábrát!) B2

B1

A2

A1

O1

O2

2723. Az elõzõ feladat szerkesztési módszerének felhasználásával toljuk el az adott szakaszt úgy, hogy az adott körnek húrja legyen. Az eredeti és az eltolással kapott szakasz végpontjai által meghatározott paralelogramma átlóinak metszéspontja a megfelelõ pont. Két megoldást kapunk.

212

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2724. A körcikk OP határoló sugarára O-ból mérjünk fel 3 cm-t. (Lásd az ábrát!) Az így kapott A ponton keresztül húzzunk párhuzamost az OQ sugárral. Ennek a körívvel vett A' metszéspontja lesz a megfelelõ szakasz egyik végpontja. O-t Æ az AA' -ral eltolva kapjuk az OQ sugáron a szakasz másik végpontját (O').

2725. Vegyünk fel a párhuzamosok között egy 4 cm hosszú szakaszt, majd ennek egyenesét toljuk el úgy, hogy illeszkedjen az adott pontra. (Lásd az ábrát!) A feladatnak mindkét esetben két megoldása van.

B1

B2

M1 A1

A2

M2

Æ 2726. Toljuk el a c egyenest a BA -ral. (Ez történhet például úgy, hogy B-bõl c-re merõlegest állítunk, az így kapott T talpÆ pontot eltoljuk a BA -ral, majd a T' képponton keresztül párhuzamost szerkesztünk c-vel.) c' és d közös pontja lesz a Æ D csúcs, ennek AB -ral való eltoltja a C csúcs. (Lásd az ábrát!) Nem kapunk megoldást, ha c'-nek és d-nek nincs közös pontja, illetve ha a D közös pont illeszkedik az AB egyenesre. Ha c' és d egybeesik, akkor végtelen sok megoldás van. Az elõzõ speciális esetek kivételével a megoldás egyértelmû.

2727. Az ábrán látható AED háromszög oldalai adottak, tehát szerkeszthetõ. A DE oldalt az AE-vel párhuzamos, c hosszúÆ Æ ságú DC = EB vektorral eltolva adódik a B és a C csúcs. Egyértelmû megoldást kapunk, ha az AED háromszög szerkeszthetõ. (Lásd még a 2360/d) és a 2364/a) feladatot!) 2728. Két párhuzamos egyenesre történõ tükrözés egymásutánja párhuzamos eltolás, amelynek vektora merõleges az egyenesekre és hossza az egyenesek távolságának kétszerese. Az eltolás irányát a tükrözések sorrendje határozza meg.

213

GEOMETRIA 2729. A feladatbeli eltolás elõáll bármely két olyan tengelyre vonatkozó tükrözés egymásutánjaként, amely tengelyek merõlegesek a tekintett szögfelezõre és távolságuk a szögfelezõ hosszának fele. Az eltolás irányát a tengelyes tükrözések sorrendje határozza meg. 2730. A két középpontos tükrözés egymásutánja párhuzamos eltolás, amelynek vektora Æ Æ 2 ◊ AB vagy 2 ◊ BA attól függõen, hogy melyik pontra tükrözünk elõször. 2731. Például az A és a B pont megfelel, de megfelel bármely két olyan pont, amelyek által meghatározott egyenes párhuzamos az eltolás vektorával és távolságuk fele akkora, mint az eltolás vektorának hossza. A tükrözések sorrendjét az eltolás iránya egyértelmûen meghatározza. 2732. Két párhuzamos eltolás egymásutánja párhuzamos eltolás, amelynek vektora a két eltolás vektorának összege (lásd az ábrát!). Az eltolások sorrendjének felcserélésével is ugyanazt az eredõ eltolást kapjuk.

v2

v1

2733. Végtelen sok megfelelõ felbontás létezik, és ezen felbontások az eltolások sorrendjétõl függetlenül ugyanazt az adott eredõ eltolást határozzák meg. Az adott eltolás vektorának egy-egy megfelelõ felbontása az ábrákon látható. b) a) v2 v2

v1

v3 v1

c)

v3 v2 v1

v4

v5

Æ Æ Æ 2734. Ha v a tekintett eltolás vektora, akkor v = AA' = BB' = CC ' . Ha v kezdõpontja az origó, akkor a 2709. feladat alapján v végpontja (a1' - 0; a2' - 2) = (b1' + 4; b2' + 3) = = (c1' - 9; c2' - 2), ahol A'(a1'; a2'), B'(b1'; b2'), C'(c1'; c2'). a) (5; 0) b) (0; -2) c) (2; 2) d) (9; 4) e) (-2; -2) f) (2; -5)

2735. Ha A(a1; a2), B(b1; b2), C(c1; c2), C'(c1 - 3; c2 + 2). a) A'(-3; 2), B'(-1; 6), C'(-8; 1) c) A'(0; -2), B'(-2; 5), C'(-8; 3)

akkor

A'(a1 - 3; a2 + 2),

b) A'(1; 3), B'(-3; 7), C'(-5; 2) d) A'(-7; 1), B'(-1; -2), C'(0; 9)

2736. Egymás párhuzamos eltoltjai: 1. és 3.; 2. és 7.; 4. és 6.

214

B'(b1 - 3; b2 + 2),

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2737. a) igaz g) igaz

b) hamis h) igaz

c) igaz i) igaz

d) igaz

e) hamis

f) hamis

Æ 2738. Az egyik kört az O1O2 -ral eltolva a másik kört kapjuk. Ha a tekintett szakaszok párhuzamosak O1O2-vel, akkor az eltolás egymásnak megfelelõ pontjait kötik össze, így szükségképpen ugyanolyan hosszúak, mint az O1O2 szakasz.

2739. Az úttesten merõlegesen kell áthaladnunk, így arra kell törekednünk, hogy az M2 ' úttesten kívüli út minimális legyen. Ennek a minimális útnak a szerkesztése M2 végett toljuk el az A pontot az ábrán látÆ Æ Æ ható EF -ral ( EF = AA' ). Az A'B szaM1 ' kasz kimetszi f-bõl azt az M1 pontot, M1 ahol az úttestet el kell hagyni, és így a minimális út az AM2M1B töröttvonal. (Az úttesten kívüli út hossza AM2 + M1B = A'B.) A megszerkesztett út minimalitása könnyen adódik a háromszög-egyenlõtlenségbõl, ugyanis ha M1' és M2' tetszõleges M1tõl és M2-tõl különbözõ átkelési pontok, akkor AM2' + M1'B = A'M1' + M1'B > A'B = A'M1 + M1B = AM2 + M1B. 2740. Lásd a 2645/e) feladatot!

Alakzatok egybevágósága. Vegyes feladatok 2741. Síkmozgások: b) c) d) f) h) i) l) Irányításfordító transzformációk: a) e) g) j) k) 2742. Térmozgások: b) c) d) e) g) 2743. Mind a négy eset következik abból a tételbõl, hogy két háromszög egybevágó, ha megfelelõ oldalaik hossza egyenlõ. Ha a az oldal hossza, m a magasság hossza, r pedig a beírható kör sugarának a hossza, akkor Pitagorasz tétele alapján a 3 m a 3 ; r= = , 2 3 6 és a szabályos háromszög súlyvonala egybeesik a magassággal. (Lásd még a 2347. és 2528. feladatokat!) m=

2744. a) A feltételbõl következik, hogy a két háromszög alapon fekvõ szögei is megegyeznek. b) A 2744/1. ábrán látható BCTb és B'C'Tb' háromszögek egybevágóak, ugyanis megegyeznek két oldalban és a nagyobbikkal szemközti szögben. Viszont ekkor g = g', így az elõzõ pont alapján teljesül az állítás.

215

GEOMETRIA

Tb

Tb '

Ta

2744/1. ábra

Ta '

2744/2. ábra

c) Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így a 2744/2. ábrán látható ABTa és A'B'Ta' háromszögek egybevágók, ugyanis megegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben. Viszont így AB = A'B', tehát a két egyenlõ szárú háromszög oldalai rendre megegyeznek, amibõl adódik az állítás. d) Egybevágósági alapeset. e) A 2744/2. ábrán látható ABTa és A'B'Ta' háromszögek most is egybevágóak, ugyanis megfelelõ szögeik megegyeznek és ATa = A'Ta'. Innen lásd a c) pontot! 2745. a) Egybevágósági alapeset. b) A két derékszögû háromszög megfelelõ szögei megegyeznek és egy-egy befogójuk is egyenlõ. c) Egybevágósági alapeset. (A két háromszög megegyezik két oldalban és a nagyobbikkal szemközti derékszögben.) d) Átfogójából és átfogóhoz tartozó magasságából a derékszögû háromszög egybevágóság erejéig egyértelmûen szerkeszthetõ (lásd a 2348/c) feladatot), ugyanis a létrejövõ négy háromszög közül bármelyik átvihetõ bármelyik másikba vagy tengelyes, vagy középpontos tükrözéssel. 2746. a) Két-két oldal és a közbezárt szögek megegyeznek. b) Az átfogóhoz tartozó magasság hossza az átfogó fele, így lásd az elõzõ feladat d) pontját! c) Lásd az elõzõ pontot! d) A köré írható kör sugara ugyanolyan hosszú, mint az átfogóhoz tartozó magasság, így lásd az elõzõ két pontot! 2747. a) Igaz, ugyanis a feltételbõl adódik, hogy a két háromszög megegyezik egy oldalban és a rajta fekvõ két szögben, ez pedig egybevágósági alapeset. b) Nem igaz. A két háromszög hasonló, de nem feltétlenül egybevágó. c) Nem igaz. Lásd az ábrát, ahol AB = A'B' és AC = A'C'!

216

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2748. A két háromszög hasonló, hiszen a feltétel alapján szögeik rendre megegyeznek. Viszont, ha az adott hosszúságú oldal az egyik háromszögben alap, a másikban szár, és a háromszögek nem szabályosak, akkor nem egybevágók.

2749. Az OM1T és OM2T háromszögek egybevágóak, ugyanis megegyeznek egy oldalban (OT) és a rajta fekvõ két szögben aˆ Ê Á 90∞ , ˜ . Ë 2¯

a 2

M2

M1

2750. Bocsássunk merõlegest C-bõl az AB szakaszra az ábrának megfelelõen, a merõleges talppontja legyen T. Az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlõek, valamint GA = AC és CB = BF, így az AGD és a CAT, valamint a BCT és az FBE háromszögek páronként egybevágóak. Ebbõl adódik, hogy AD = CT = BE.

2751. A b) állításból nyilvánvalóan következik a), így a második állítást látjuk be elõször. AB = AG, AC = AE és EAB <) = = CAG <) = 90∞ + a. (Lásd az ábrát!) Mivel az ABE és AGC háromszögek megegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben, ezért egybevágóak. AE ◊ AC . Mivel az ABE hác) TABE = 2 romszög egybevágó az AGC háromszöggel, ezért TABE + TAGC = AE ◊ AC = TACDE.

2752. Az egyenesnek illeszkednie kell a háromszög egyik csúcsára. Erre az egyenesre nézve a feltétel értelmében a háromszög tengelyesen szimmetrikus, tehát egyenlõ szárú.

217

GEOMETRIA 2753. Az alakzatok egy lehetséges felbontása az ábrán látható.

2754. A felbontás az ábrán látható.

2755. Mivel ABCD húrtrapéz, ezért AD = BC és ADD' <) = CBB' <) . Az eltolásból adódóan DD' = BB'. Az eddigiek alapján az ADD' és CBB' háromszögek megyegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben, tehát egybevágóak. Ekkor viszont harmadik oldalaik is egyenlõ hosszúak, azaz AD' = B'C.

218

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2756. Az AED, BFE és CDF háromszögek egybevágóak, ugyanis megegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben. Ebbõl adódóan DE = EF = FD, azaz a DFE háromszög valóban szabályos.

II. Hasonlósági transzformációk Középpontos hasonlóság 2757. Alapszerkesztések. Az a) pontbeli transzformáció helyben hagyja a háromszöget, a b) pontbeli pedig középpontos tükrözés. Nagyítások: c) f) g) h) Kicsinyítések: d) e) 2758. Alapszerkesztések. Nagyítások: a) b) e) f) Kicsinyítés: d) A c) pontbeli transzformáció középpontos tükrözés. 2759. A kerületek kétszeresére, a területek négyszeresére nõnek. 2760. Lásd a 2142. feladatot! 2761. Alapszerkesztések. Az eredeti hatszög oldala 3 cm hosszú. 2762. Abból a ténybõl, hogy mindegyik csúcsból felére kicsinyítettünk adódik, hogy a képek levágásával kapott háromszög oldalai az eredeti háromszög középvonalai. Ezek a 2649. feladat alapján négy egybevágó háromszögre osztják az eredeti háromszöget, és ezen négy háromszög mindegyike az erdeti háromszög felére kicsinyített képe.

Fb

Fa

Fc

2763. Elõször tegyük fel, hogy a PQ szakasz az AB oldal képe, és PQ π AB. (Lásd az ábrát!) Ekkor két megfelelõ középpontos hasonlóság van, az egyik középpontja az AP és a BQ, a másik középpontja az AQ és a BP egyenesek metszéspontja (O1, O2). Teljesen hasonló a helyzet, ha PQ π AB és a PQ szakasz a CD oldal képe. Ha PQ = AB, akkor két középpontos tükrözés felel meg a feladat feltételeinek, az egyiknél PQ az AB képe, a másiknál PQ a CD képe.

219

GEOMETRIA

C1

C2

O1

O2 D1

D2

2764. A megoldást az AB oldal esetére adjuk meg.

Kössük össze az O középpontot az A és B csúcsokkal. Az adott szakaszt AB-vel párhuzamosan úgy kell elhelyezni az AOB szögtartományban, hogy végpontjai a szögszárakra essenek. Ehhez A-ból mérjük fel d-t az AB félegyenesre, a másik végpont legyen D. (Lásd az ábrát!) Az AO-val párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenes kimetszi BO-ból a B' pontot, az A' pont pedig a B-re illeszkedõ, AB-vel párhuzamos egyenes és AO metszéspontjaként adódik. Ezután C' az ábráról leolvasható módon szerkeszthetõ. Az A'B'C' háromszög O-ra vonatkozó A”B”C” tükörképe is megoldása a feladatnak, tehát két megoldást kapunk. 2765. A feladat tulajdonképpen azt kéri, hogy egy, az adott szög szárait érintõ kört a szög csúcsából nagyítsunk vagy kicsinyítsünk úgy, hogy a kép illeszkedjék az adott pontra. A szerkesztés az ábráról leolvasható. A feltételeknek két kör felel meg (k1, k2). k1 k2

P1

O2 P2

2766. A feladatot csak az a) esetre oldjuk meg, a többire hasonlóan történik a szerkesztés. Vegyük fel a BCA szögtartományba egy, a szerkesztendõhöz hasonló téglalapot az ábrának megfelelõen úgy, hogy

220

O1

OP1 O1 P és OP2 O2 P

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK hosszabbik oldalának végpontjai a háromszög két rövidebb oldalára illeszkedjenek, és ez az oldal párhuzamos legyen a háromszög harmadik oldalával. Nagyítsuk ezt a téglalapot C-bõl úgy, hogy a kép megfelelõ oldala a háromszög AB oldalára illeszkedjen. 2767. Lásd az elõzõ feladatot! Három különbözõ négyzet tesz eleget a feladat feltételének. 2768. A szerkesztés a 2766. feladat módszerével végezhetõ el. Két különbözõ elrendezés lehetséges, ezek az ábrán láthatók. A 2. elrendezés szerkesztéséhez elõbb egy 90∞-os körcikkbe helyeztünk be az ábrán látható módon egy olyan téglalapot, amelyben a szomszédos oldalak aránya 1 : 2, majd a kapott ábrát „megfeleztük”. 2769. a) – c) A szerkesztendõ háromszögnek adottak a szögei, így tudunk szerkeszteni egy, az eredetihez hasonló A'B'C' háromszöget. Ezek után az adott kerületet az A'B'C' háromszög oldalainak arányában felosztva megkapjuk a szerkesztendõ háromszög oldalait. A szerkesztés a 2769/1. ábráról leolvasható. (Lásd még a 2141-2143. és 2344/c) feladatokat!) d) A szerkesztés az elõzõ pontok módszerével történhet, most a szerkesztendõ háromszög a és b oldalát tudjuk megszerkeszteni. (Lásd még a 2357/f) feladatot!) e) A módszer hasonló az elõzõ pontokban alkalmazott módszerhez. Az a és a b oldal szerkesztése a 2769/2. ábrán látható. ( 2 a + b) - b . f) Lásd az e) pontot! a = 2

2770. a) Lásd pl. a 2769/a) feladatot! c) Lásd a 2769/d) feladatot!

2769/1. ábra

a=

(2 a - b) + b 2

2769/2. ábra b) Lásd a 2769/d) feladatot! d) Lásd a 2769/e) feladatot!

2771. Lásd a 2769/a) - c) feladatokat!

221

GEOMETRIA 2772. Egy-egy lehetséges szerkesztési módszer az ábrákon látható. b) a)

1 a

c)

d)

1 a 1 a

a

1 a2

Az azonosan jelölt szögek egyenlõségébõl adódóan ATC« ~ CTB«, ezért

AT CT = , CT TB

azaz

CT-2 =

= AT ◊ TB = a ◊ 1 = a. Így CT = a . (Lásd még a 2778. feladatot!) 2773. Egy-egy lehetséges szerkesztési módszer az ábrákról leolvasható. b) a) a b

c)

d) ab

b a

e)

a2 b

2774. a) r' = 6 cm, a középpont szerkesztésére nézve pedig lásd az ábrát! PO' = 2 ◊ PO = 10 cm

222

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK b) r' = 2 cm. PO'= 10 cm 3

2 10 ◊ PO = cm 3 3

c) r' =Ω-1,5Ω◊ r = 4,5 cm. PO' =Ω-1,5Ω◊ PO = 7,5 cm d) r' = -

1 ◊ r = 1 cm 3

5 cm 3

PO'= -

1 5 ◊ PO = cm 3 3

2775. a) Kicsinyítsük a kört a P pontból felére az ábrának megfelelõ módon. A szelõ B pontja az eredeti és a képkör közös pontja. Ha A a PB szelõnek az eredeti körrel alkotott másik közös pontja, akkor AB : PB = = OO' : O'P = 1 : 1, ugyanis a tekintett középpontos hasonlóságnál az A pont képe B. b) A szerkesztés az elõzõ pont módszerével hajtható végre, a középpontos hasonlósági transzformáció aránya 1 . 3 2 c) Lásd az a) pontot, az arány . 5 4 d) Lásd az a) pontot, az arány . 9 Megjegyzés: Mindegyik esetben két szelõ felel meg a feltételnek, ezek az OP egyenesre szimmetrikusan helyezkednek el. 2776. Két hasonlósági középpontot kapunk, az egyik a két kör közös külsõ, a másik a két kör közös belsõ érintõinek metszéspontja. A közös külsõ érintõk Thalesz tételének alkalmazásával a 2776/1. ábrán látható módon szerkeszthetõk. Az O1O2T derékszögû háromszög szerkeszthetõ, hiszen O1O2 és O1T = 2 cm adott. (Lásd pl. a 2348/b) feladatot!) O1T T-n túli meghosszabbítására illeszkedik az E1 érintési pont, E2-re nézve pedig O1E1 ¥ ¥ O2E2. A másik közös külsõ érintõ E1E2-nek az O1O2 egyenesre vonatkozó tükörképe.

223

GEOMETRIA E1 r2 = 3 cm

E2

r1 - r2 = 2 cm

r2

O1

O2

P1

2776/1. ábra A közös belsõ érintõk szerkesztésére nézve lásd a 2776/2. ábrát! Az O1O2T derékszögû háromszög O1T oldalára merõleges az egyik közös belsõ érintõ, és ennek O1O2-re vonatkozó tükörképe a másik.

E2 r2 O1

P2

r1 r1 + r2 = 8 cm E1

O2

r2

2776/2. ábra Alakzatok hasonlósága. Vegyes feladatok 2777. Az ábra jelöléseit használva: ahonnan x = b és x. a) x = 1 cm; 4 c) x = cm; 3

b x = , a b

b2 . A kis téglalap oldalai a

b) x = 1,5 cm; d) x = 0,5 cm.

2778. Az ábrán azonosan jelölt szögek nagysága megegyezik, ezért ATC« ~ CTB« ~ ACB«. Ezekbõl a hasonlóságokból szép összefüggések vezethetõk le.

224

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 1. ATC« ~ CTB«, amibõl a megfelelõ oldalak arányára nézve q m = , ahonnan m2 = pq. m p

3. CTB« ~ ACB«, ezért a p = , ahonnan a2 = c ◊ p. c a Hasonlóan látható, hogy b2 = c ◊ q.

2779. Lásd az elõzõ feladatot! 2780. A táblázat üres sorait az alábbi összefüggések segítségével határozzuk meg: a 2 + b 2 = c2 ; m 2 + q 2 = b 2 ; m2 + p 2 = a 2 ab = cm (= 2 ◊ T); c = p + q a2 = cp (Lásd a 2778. feladatot!) b2 = cq (Lásd a 2778. feladatot!) m2 = pq (Lásd a 2778. feladatot!) a

b

c

p

q

m

5

12

13

25 13 9 5 25 13

144 13 16 5 144 13

60 13 12 5 60 13

3

4

5

5

12

13

6

8

10

3,6

6,4

4,8

ª 10,83

26

ª 28,17

25 6

24

10

20

80 3

100 3

12

64 3

16

2781. A számításokhoz felhasznált összefüggések: a c = ; b d a+b c+d f = = a c e

225

GEOMETRIA A táblázat harmadik sorában csak az

a arány határozható meg. b

a

b

c

d

e

7

4

9

36 7

6

11

6

8

28 3

4

7

10

11

3

99 14

9

10

x 10

60 11 3 x 7 30 11

f

66 7 136 11

2782. a)

Origó középpontú tükrözés.

b)

Origó centrumú, 2 arányú középpontos hasonlóság.

226

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK c) Ê 1 3ˆ B' Á - ; ˜ Ë 2 2¯

Origó centrumú, -

1 arányú középpontos hasonlóság. 2

d) Ê 3 3ˆ A' Á ; ˜ Ë 2 2¯

3ˆ Ê9 C'Á ; - ˜ Ë 2 2¯

Ê 3 9ˆ B'Á ; - ˜ Ë 4 4¯

3 arányú középpontos hasonlóság. 4 e) Origó centrumú, k arányú középpontos hasonlóság.

Origó centrumú,

Ê5 ˆ Ê7 ˆ Ê 3 5ˆ 2783. a) AÁ ; 1˜ , B Á ; 2˜ , C Á - ; - ˜ Ë2 ¯ Ë2 ¯ Ë 2 2¯

b) A(10; 4), B(14; 8), C ( - 6; - 10) 4ˆ Ê 5 2ˆ Ê 7 Ê 5ˆ c) AÁ - ; - ˜ , B Á - ; - ˜ , C Á1; ˜ Ë 3 3¯ Ë 3 3¯ Ë 3¯ Ê 20 8 ˆ Ê 28 16 ˆ Ê 20 ˆ d) AÁ - ; - ˜ , B Á - ; - ˜ , C Á 4; ˜ Ë 3 ¯ Ë ¯ Ë 3¯ 3 3 3 14 ˆ Ê Ê 49 28 ˆ Ê 21 ˆ e) AÁ - 7; - ˜ , BÁ - ; - ˜ , C Á ; 7˜ Ë Ë 5 Ë 5 ¯ 5¯ 5¯ Ê 25 10 ˆ Ê 35 20 ˆ Ê 5 25 ˆ f) AÁ ; ˜ , B Á ; ˜ , C Á - ; - ˜ Ë 9 9¯ Ë 9 9¯ Ë 3 9¯

227

GEOMETRIA 2784. a) igaz g) igaz m) hamis

b) igaz h) igaz n) hamis

c) hamis i) hamis o) igaz

d) hamis j) igaz p) igaz

e) igaz k) hamis

f) hamis l) igaz

2785. a) hamis g) hamis

b) hamis

c) igaz

d) igaz

e) igaz

f) hamis

2786. Ha a és a' a két megfelelõ oldal, a hasonlóság aránya pedig 0 < r < 1, akkor a' = r ◊ a és a - a' = a - r ◊ a = a(1 - r) = 1 m. Ebbõl a=

1 r m és a' = m. 1-r 1- r

a) a = 3 m, a' = 2 m;

b) a = 5 m, a' = 4 m;

c) a =

7 3 m, a' = m; 4 4

d) a = 6,5 m, a' = 5,5 m. 2787. ABC« ~ A'B'C'«, így a megfelelõ oldalak aránya egyenlõ. A' B' B'C ' A'C '

AB

BC

AC

10 1

14 1,5

8 2

25 10

35 15

20 20

30

20

40

12

8

16

100 20 3 8

210

125

4

8,4

5

10

5

4

6

3

9

4

28

31,5

14

2788. A megfelelõ oldalak aránya egyenlõ, így ha k az adott kerület, akkor 25 x x 2 x + + x + 2x = = k, 2 3 6 az oldalak pedig x 2 x; ; x ; 2 x . 2 3 a) 2,4 m; 1,2 m; 1,6 m; 4,8 m b) 18 cm; 9 cm; 12 cm; 36 cm c) 67,2 mm; 33,6 mm; 44,8 mm; 134,4 mm d) 28,8 dm; 14,4 dm; 19,2 dm; 57,6 dm 2789. a) 0,4 m; 0,6 m; 0,8 m; 1 m

b)

2 3 4 5 m; m; m m; 9 9 9 9

2 3 4 5 m; m; m; m 7 7 7 7

d)

2 3 4 5 m; m; m; m 7 7 7 7

c)

228

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 2790. Ha az ötszög oldalainak hossza

x 2 x 3x 4 x ; ; ; ; x, és a tekintett különbség d, akkor 2 3 4 5

x = 2d. 4 3 8 m; m; m; 2 m 3 2 5 100 1 b) 25 cm; cm = 33 cm; 37,5 cm; 40 cm; 50 cm 3 3 176 2 c) 44 dm; dm = 58 dm; 66 dm; 70,4 dm; 88 dm 3 3 520 1 d) 130 mm; mm = 173 mm; 195 mm; 208 mm; 260 mm 3 3

a) 1 m;

2791. Ha az oldalak aránya r, akkor a területek aránya r2. 10 20 cm és cm; b) 2,5 cm és 7,5 cm; a) 3 3 40 50 cm és cm. d) 9 9

c) 4 cm és 6 cm;

2792. A kerületek aránya megegyezik az oldalak arányával, a területek aránya pedig az oldalak arányának négyzetével. a) 1 : 4; b) 9 : 16; c) 25 : 49; d) 81 : 121; e) 196 : 324; f) 529 : 676. 2793. A felszínek aránya az oldalak arányának négyzete, a térfogatok aránya az oldalak arányának köbe. A felszínek aránya: a) 1 : 4; b) 4 : 25; c) 9 : 49; d) 25 : 81; e) 121 : 81; f) 225 : 676. A térfogatok aránya: a) 1 : 8; b) 8 : 125; c) 27 : 343; d) 125 : 729; e) 1331 : 729; f) 3375 : 17576. 2794. ABC« ~ D1E1C« ~ D2E2C« ~ D3E3C«, ugyanis megegyeznek két-két oldal arányában és az oldalak által közbezárt szögben. Ebbõl adódik, hogy az AB, D1E1, D2E2 és D3E3 szakaszok páronként párhuzamosak. A vonalkázott terület meghatározása végett tükrözzük a D2E2C háromszöget az E2 pontra (Lásd az ábrát!) Ekkor és TABD2 'D2 = TABC TD2 E2 E3D3 =

D3 D2 D1

E3 E2

D2 ' E1

D3 '

= TE1D3 'D2 'E2 , és mivel TD1D3 'D2 'D2 = = TABD3 'D1 ezért TD1 E1E3 D3 =

TABC . 2

229

GEOMETRIA 2795. Legyen az AD és EB szakaszok met2 széspontja M. Mivel AB = AC , ezért 3 2 2 BM = CD = BE . Messe a CG sza3 3 kasz a BE szakaszt az M' pontban. MiAC AG BF , ezért BM ' = = . vel BC = 3 3 3 BF , így Másrészrõl viszont BE = 2 2 BM ' = BE. 3 2 Kaptuk, hogy BM = BM ' = BE , ami 3 csak úgy lehetséges, ha M = M'. A két négyzet M-re nézve középpontosan szimmetrikus helyzetû, az ABFG 1 négyzet - arányú kicsinyített képe a 2 DEBC négyzet. 2796. Az

ábra

jelöléseit használva: x b = , ahonABD« ~ AB1D1«, így a a+b ab nan x = . Hasonlóan EBC« ~ a+b y a ~ E2B2C«, így = , ahonnan b a+b ab y= . A kapott eredményeket ösza+b szevetve adódik az állítás.

2797. Legyen BB' = x. ACA'« ~ BCB'«, ezért x BC = . 2 AC ACC'« ~ ABB'«, ezért x AB = . 3 AC A kapott arányokat összeadva kapjuk, hogy x x AB BC AB + BC AC + = + = = = 1, 3 2 AC AC AC AC

230

E2

B2

B1

D1

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK ahonnan x=

6 = 1,2. 5

Általánosan: ha AA' = a, CC' = b, akkor x =

ab . a+b

2798. Legyen a fa magassága méterben mérve h = AB. Az ábra jelöléseit használva az adatok: AC = 18 m, CE = 2 m, CD = 3,5 m, EF = 3 m. Legyen B' az AB szakasz azon pontja, amelyre a B'EFB négyszög paralelogramma. Ekkor AEB'« ~ CED'«, amibõl AB' CD' . = Mivel AE CE AB' = h - EF és CD' = CD - EF = = 0,5 m, ezért felírható a következõ egyenlet

adódóan

h - 3 0,5 = , 20 2 ahonnan h = 8 m.

2799. Legyen F a BC oldal és az AE-vel párhuzamos, D-re illeszkedõ egyenes metígy széspontja. AEC« ~ DFC«, CE AC = = 2. CF DC Másrészt BFD« ~ BEP«, ezért BF BD = = 2. BE BP Mivel F a CE, E pedig a BF szakasz felezõpontja, ezért BE = EF = FC, amibõl adódóan BC = 3 ◊ BE.

2800. Elõbb szerkesszünk a kívánt háromszöghöz hasonló háromszöget, majd nagyítsuk (vagy kicsinyítsük) a megfelelõ sugarak arányában. (Lásd még a 2769. és 2770. feladatokat!) 2801. Jelölje a, b, c és a', b', c' a feladat feltételeinek megfelelõ két háromszög oldalainak hosszát. Ekkor a : b : c = a' : b' : c' és b = a' illetve c = b'. Végtelen sok megfelelõ háromszög-pár konstruálható, egy ilyen például: a = 17, b = 18, c = 12, illetve a' = 18,

231

GEOMETRIA b' = 12, c' = 8. (A konstrukciónál figyelni kell arra, hogy a háromszög-egyenlõtlenség teljesüljön.)

232

Térgeometria, térfogatszámítás 2802. a) A téglatest térfogata: 5 cm ◊ 6 cm ◊ 8 cm = 240 cm3, így 240 db kocka keletkezett a vágásokkal. b) Távolítsuk el a téglatestrõl azokat a kockákat, amelyeknek valamelyik lapja a téglatest felületén van! (Ezeknek van befestett lapja.) Mivel a kockák éle 1 cm, ezért egy olyan téglatest marad, amelynek élei 3 cm, 4 cm ill. 6 cm hosszúak. Ebben összesen: 3 ◊ 4 ◊ 6 = 72 db kocka található, tehát 72 db kockának nincs egyetlen befestett lapja sem. c) Azoknak a kockáknak van pontosan két befestett lapja, amelyek a téglatest élei mentén helyezkednek el, kivéve a csúcsokban állókat. (A 8 csúcsban álló kockának három-három befestett lapja van.) Az ilyen kockákból minden él mentén kettõvel kevesebb van, mint az él mérõszáma centiméterben. Így ezek száma: 4 ◊ (3 + 4 + 6) = 52 db. Tehát olyan kocka, amelynek legalább két befestett lapja van összesen: 52 + 8 = 60 db található. d) Az elõzõ eredményekbõl következik, hogy olyan kocka, amelynek pontosan egy befestett lapja van 240 - 72 - 60 = 108 db található. Ezek felhasználásával egy 12 cm magasságú hasábot építhetünk, hiszen ennek térfogata: 3 cm ◊ 3 cm ◊ 12 cm = = 108 cm3. 2803. A kockában legfeljebb akkora pálca helyezhetõ el, mint a testátlójának hossza. A testátló kiszámításához használjuk az ábra jelöléseit: a testátló hossza x cm, a lapátló hossza d cm. Pitagorasz tételének felhasználásával: d2 = 102 + 102 = 200 x2 = 102 + d2 = 100 + 200 = 300 Innen: x ª 17,32 Tehát a testátló 17,32 cm hosszú, így a 18 cm-es pálca nem fér el a kockában. 2804. Az ábra jelöléseit felhasználva alkalmazzuk Pitagorasz tételét! d2 = a2 + b2 Ezzel: x 2 = d 2 + c2 = a 2 + b 2 + c2 Tehát a testátló négyzete megegyezik a három egy csúcsba futó él négyzetének összegével. Ezzel a feladatok eredményei: a) x2 = 22 + 32 + 62 = 49; x = 7 cm

230

b) x2 = 32 + 42 + 122 = 169; x = 13 cm

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS c) x2 = 42 + 52 + 202 = 441; x = 21 cm A három eredmény alapján a következõ szabály fogalmazható meg: Ha egy téglatest éleinek hossza k; k + 1; k(k + 1) egység, akkor a testátlója k(k + 1) + 1 egység hosszú. (ahol: k tetszöleges pozitív szám) Az állítás bizonyításához meg kell mutatni, hogy a három él négyzetösszege megegyezik a testátló négyzetével. Ez pedig igaz, hiszen: k2 + (k + 1)2 + [k(k + 1)]2 = k2 + k2 + 2k + 1 + [k(k + 1)]2 = = [k(k + 1)]2 + 2k(k + 1) + 1 = [k(k + 1) + 1]2 (A bizonyításban felhasználtuk azt az algebrai azonosságot, hogy: (u + v)2 = u2 + 2uv + + v2.) 2805.

A hasáb alapja Lapok száma Csúcsok száma Élek száma

háromszög négyszög ötszög hatszög 5 6 7 8 6 8 10 12 9 12 15 18

Jelöljük a lapok, csúcsok ill. élek számát rendre l; c; é betûkkel! a) Több összefüggést is megfogalmazhatunk a táblázat alapján (ezek könnyen bizonyíthatóak is): (1) c = 2l - 4 (2) é = 3l - 6 (3) 3c = 2l (4) l + c = é + 2 b) Az (1) összefüggés alapján: l + 15 = 2l - 4, innen l = 19 Mivel a lapok száma kettõvel több, mint az alapot alkotó sokszög oldalszáma, ezért 17-szög alapú hasáb esetén teljesül a feltétel. c) Használjuk a (2) összefüggést: l + 15 = 3l - 6, innen 2l = 21 Mivel a lapok száma egész, ezért nincs olyan hasáb, amelyben a feltétel teljesül. (Hasáboknál az élek és a lapok számának különbsége páros szám!) 2806. a) A hasáb alapjait alkotó négyzeteket rakjuk egymás mellé, majd az ábra szerint helyezzük melléjük az oldallapokat alkotó téglalapokat.

b) Elõször a téglalapot a rövidebb oldalakra merõlegesen két egybevágó részre vágjuk. (Ha négyzetbõl indultunk, akkor egyszerûen középvonal mentén kettévágjuk.)

231

GEOMETRIA A keletkezett téglalapok egyik végébõl levágunk egy-egy négyzetet - ezek a hasáb alapjai -, a maradékot pedig két egybevágó részre vágjuk az ábra szerint:

Így valóban egy négyzet alapú hasáb határoló lapjait kaptuk meg. 2807. A kockának 12 éle van, így egy él hossza: 160 cm. A kocka felszíne: 6 ◊ (160 cm)2 = = 153 600 cm2 = 1536 dm2. A kocka térfogata: (160 cm)3 = 4 096 000 cm3 = 4096 dm3. 2808. Jelöljük a kocka éleinek hosszát a-val, felszínét A-val, térfogatát V-vel. Ekkor: A A = 6 ◊ a 2 , innen a = ; V = a3 . 6 a) A = 24 cm2; a = 2 cm; V = 8 cm3 b) A = 7,26 dm2 = 726 cm2; a = 11 cm; V = 1331 cm3 c) A = 1,5 m2 = 15 000 cm2; a = 50 cm; V = 125 000 cm3 2809. Jelöljük a kocka éleinek hosszát a-val, felszínét A-val, térfogatát V-vel. Ekkor: V = a3, innen a = 3 V ; A = 6 ◊ a2. a) V = 8 cm3; a = 2 cm; A = 24 cm2 b) V = 0,001 dm3 = 1 cm3; a = 1 cm; A = 6 cm2 c) V = 0,125 m3 = 125 000 cm3; a = 50 cm; A = 15 000 cm2 2810. a = 8 cm = 0,8 dm kg r = 0,85 dm 3 m = ? kg 2811. m = 9,6 kg kg r = 1,2 dm 3 a=?

V = a3 = 0,512 dm3 m = V ◊ r = 0,4352 kg A kocka tömege kb. 0,44 kg.

V=

m = 8 dm3 r

a = 3 V = 2 dm A kocka éle 2 dm hosszú.

2812. Jelöljük a téglatest egy csúcsba futó éleinek hosszát a; b; c-vel, felszínét A-val, térfogatát V-vel. Ekkor A = 2(ab + ac + bc); V = abc. b) A = 136 cm2; V = 0,08 dm3 a) A = 484 cm2; V = 0,72 dm3 2 3 c) A = 632 cm ; V = 1,056 dm

232

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2813. Használjuk az elõzõ megoldás jelöléseit! Ekkor: A = 2ab + 2ac + 2bc, innen A - 2ab c= ; V = abc. a = 8 cm; b = 11 cm. 2a + 2b a) A = 556 cm2; c = 10 cm; V = 0,88 dm3 b) A = 9,36 dm2 = 936 cm2; c = 20 cm; V = 1,76 dm3 c) A = 7,46 dm2 = 746 cm2; c = 15 cm; V = 1,32 dm3 A - 2bc V ; V = abc, innen c = . A táblázat kitöltéseab 2b + 2c kor figyeljünk a mértékegységek egyeztetésére!

2814. A = 2ab + 2ac + 2bc, innen a =

a 12 cm 2 dm 8 cm 9 cm 0,3 m

b 2,1 cm 7 dm 0,04 m 13 cm 5 dm

c 0,11 cm 8 dm 1,2 dm 11 cm 6 dm

A ª 53,5 cm2 172 dm2 352 cm2 718 cm2 126 dm2

V 2,772 cm3 112 dm3 384 cm3 1,287 dm3 90 dm3

2815. Az élek hossza: a = 3x cm; b = 4x cm; c = 5x cm. Ekkor 3x + 4x + 5x = 240, innen: x = 20. Tehát a három egy csúcsból induló és 60 cm; 80 cm; 100 cm. Ezzel a téglatest felszíne: 376 dm2; térfogata: 480 dm3. 2 3 2 b és a = 1,5c. Innen b = a és c = a . 3 2 3 Írjuk fel a téglatest térfogatát! 2 3 216 cm 3 = abc = a ◊ a ◊ a = a3 3 2 Vagyis a = 6 cm, így b = 9 cm, c = 4 cm. b) A téglatest felszíne: At = 2ab + 2bc + 2ca = 228 cm2. A kocka élének hosszát a térfogat ismeretében tudjuk meghatározni: 216 cm3 = a3, innen a = 6 cm. Így a kocka felszíne: Ak = 6 ◊ a2 = 216 cm2. Ezzel megadhatjuk a téglatest és a kocka felszínének arányát:

2816. a) A feltételek szerint: a =

At 228 cm 2 19 = = Ak 216 cm 2 18

2817. A metszet egyik oldala a téglatest alaplapjának átlója, ennek hosszát Pitagorasz tétele alapján kiszámíthatjuk: d2 = (4 cm)2 + (3 cm)2 Innen: d = 5 cm Mivel a metszet a feltételek szerint négyzet, ezért a téglatest harmadik éle (magassága) is 5 cm. A téglatest felszíne: A = 94 cm2.

233

GEOMETRIA 2818. Legyen a kocka egy lapjának területe T. Ekkor a kocka felszíne 6T, a keletlkezett testek felszínének összege 18T. Észrevehetjük, hogy egy síkkal elvágva a kockát a felszín 2Tvel növekszik meg. Mivel 18T = 6T + 6 ◊ 2T, ezért a kockát 6 síkkal vágtuk el. 2819. Mivel az edényt a harmadrészéig töltöttük fel, ezért az edényben lévõ víz térfogata: V = 6 cm ◊ 9 cm ◊ 4 cm = 216 cm3. Éppen ekkora a kocka térfogata is a feltétel szerint, így a kocka a élének hosszára: a3 = 216 cm3 adódik. Innen a kocka éle: a = 6 cm. 2820. Jelöljük az 1 másodperc alatt kifolyó V = 16 liter víz által beborított út hosszát x dm-rel! Ekkor: 16 liter = 4 m ◊ 1 mm ◊ x dm Megfelelõ mértékegységeket kialakítva: 16 dm3 = 40 dm ◊ 0,01 dm ◊ x dm Innen: x = 40 Tehát az 1 másodperc alatt kifolyó víz 40 dm = 4 m hosszú utat borít be, így a gépkocsi m km = 14,4 . sebessége v = 4 s h 2821. Jelöljük a hasáb alapélének hosszát x-szel! Ekkor a feltétel szerint magassága 2x, így a felszíne: 490 cm2 = 2x2 + 4 ◊ x ◊ 2x. Innen 490 cm2 = 10x2, tehát x = 7 cm. Vagyis a hasáb alapélei 7 cm hosszúak, magassága 14 cm, így térfogata: V = (7 cm)2 ◊ 14 cm = = 686 cm3. 2822. Jelöljük a hasáb alapélének hosszát a-val! Ekkor magassága m =

2 a ; térfogata 3

2 V = 144 cm3. V = a2m, ezért: 144 cm 3 = a 2 ◊ a . Innen: a3 = 216 cm3, azaz: a = 6 cm; 3 m = 4 cm. A hasáb felszíne: A = 2a2 + 4am = 168 cm2.

2823. A téglatest alapélei a; b, magassága c. A feltételek szerint: a = 3x; b = 4x és 2a + 2b = 98 cm. Innen: 14x = 98 cm, x = 7 cm. Tehát az alapélek a = 21 cm; b = 28 cm. V = abc, ezért: 7056 cm3 = 21 cm ◊ 28 cm ◊ c, azaz: c = 12 cm. A téglatest felszíne: A = 2ab + 2bc + 2ca = 2352 cm2. 2824. A rombusz megrajzolt ma magassága egy olyan háromszöget vág le a rombuszból, amely egy szabályos hároma szög fele, így ma = = 6 cm . Ezzel a 2 hasáb térfogata: V = Tm = a ◊ ma ◊ m = = 12 cm ◊ 6 cm ◊ 10 cm = = 720 cm3

234

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2825. b = 0,8 dm = 8 cm c = 10 cm V = 264 cm3 A=? Pitagorasz tétele alapján: a 2 = c2 - b 2 Így: a = 6 cm V = Tm =

ab ◊ m , innen: 2

m=

2V = 11 cm ab

A hasáb felszíne: A = 2T + (a + b + c)m = = ab + (a + b + c)m = 312 cm2

2826. a = 10 cm b = 13 cm A = 300 cm2 m=? V=? Az alaplapot alkotó háromszög ma magasságára Pitagorasz tétele alapján felír2

Ê aˆ = b - Á ˜ , innen: hatjuk, hogy: Ë 2¯ ma = 12 cm. Így az alapterület: a ◊ ma T= = 60 cm 2 . A = 2Ta + 2 A - 2Ta + (a + 2b)m, így: m = = 5 cm . a + 2b A hasáb térfogata: V = T ◊ m = 300 cm3. ma2

2

2827. V = 43,2 dm3 = 43 200 cm3 T = 720 cm2 K = 164 cm A=? V V = T ◊ m, innen: m = = 60 cm . A = 2T + K ◊ m = 11 280 cm2 = 112,8 dm2. T

235

GEOMETRIA 2828. a = 3,5 dm b = 1,3 dm c = 2,5 dm m = 32 cm = 3,2 dm A=? V=? Az alaplapot alkotó trapéz magassága Pitagorasz tétele alapján számítható: 2

Ê a - cˆ ma2 = b 2 - Á innen: ma = ˜ , Ë 2 ¯ = 1,2 dm. Az alapterület: a+c 2 T= ◊ ma = 3,6 dm . V = Tm = 2 = 11,52 dm3. A = 2T + (a + 2b + c)m = = 17,52 dm2.

2829. a = 12 cm m = 12 cm A=? V=? Az alaplapot alkotó háromszög magassága Pitagorasz tétele alapján számítha2

tó:

Ê aˆ ma2 = a 2 - Á ˜ , Ë 2¯

Az ma ª 10,39 cm. a ◊ ma T= ª 62,35 cm 2 . 2 + 3a ◊ m ª 556,7 cm2, ª 748,2 cm3.

innen: alapterület: A = 2T + V=T◊mª

2830. a = 8 cm m = 11 cm A=? V=? A szabályos hatszöget 6 db szabályos háromszögre darabolhatjuk fel. Egy ilyen szabályos háromszög ma magasságát Pitagorasz tételével számíthatjuk ki: 2

Ê aˆ ma2 = a 2 - Á ˜ , innen: ma ª 6,93 cm. Ë 2¯

Az

alapterület:

= 3a ◊ ma ª 166,3 cm 2 .

+ 6a ◊ m ª 860,5 cm2,

236

T = 6◊

a ◊ ma = 2 A = 2T +

V=T◊mª

a -c 2

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS = 1829 cm3. 2831. a = 16 cm b = 5 cm c = 8 cm V = 468 cm3 A=? A trapéz magassága Pitagorasz tétele alap2

Ê a - cˆ ján számítható ki: ma2 = b 2 - Á ˜ , inË 2 ¯ nen: ma = 3 cm. Így az alapterület:

a -c 2

a+c ma = 36 cm 2 . V = T ◊ m, így 2 V m = = 13 cm . A = 2T + (a + 2b + c)m = T = 514 cm2. T=

m ◊ 60 s = 48 m hosszú utat tesz s meg. Így az árok keresztmetszetén 1 perc alatt annyi víz folyik át, amennyi egy 48 m hosszú részben található, azaz: 1 m ◊ 0,5 m ◊ 48 m = 24 m3.

2832. Az árokban folyó víz 1 perc = 60 másodperc alatt 0,8

2833. a) Határozzuk meg elõször az árok keresztmetszetének területét! Ha megrajzoljuk a trapéz magasságát, akkor az egy olyan háromszöget vág le a trapézból, amely egy szabályos háromszög a fele, így x = = 0,5 m , és c = 2 m. 2 A trapéz magassága Pitagorasz tétele ma2 = a 2 - x 2 , innen alapján: ma ª 0,866 m.

A

trapéz

területe:

a+c ◊ ma ª 1,3 m 2 . Így az árokban 2 található víz térfogata: V = T ◊ 100 m ª = 130 m3. T=

237

GEOMETRIA b) Az

hasonlóan gondola x = = 0,25 m , kodhatunk. Itt: 4 ma ª 0,433 m, c = 1,5 m. Az alapterület: a+c T= ◊ ma ª 0,541 m 2 . Így az árok2 ban található víz térfogata: V = T ◊ 100 m ª 54,1 m3. c) Az árokban található víz térfogata: V ª 77 m3. a)

részhez

a 2

a 2

2834. a = 5 cm e = 8 cm m = a = 5 cm V=? A=? A rombusz átlói merûlegesek, ezért Pitagorasz tétele alapján: 2

2

Ê fˆ 2 Ê eˆ Á ˜ = a - Á ˜ , innen: f = 6 cm. Így Ë 2¯ Ë 2¯

a rombusz területe: T =

e◊ f = 24 cm 2 . 2

V = T ◊ m = 120 cm3. A = 2T + 4a ◊ m = 148 cm2. 2835. a = 20 cm c = 12 cm m = 12 cm A=? V=? A trapéz magasságvonala az ábra szerint egy egyenlõ szárú derékszögû háromszöget vág le a trapézból, így a-c ma = = 4 cm . Pitagorasz tétele 2 2

alapján:

Ê a - cˆ b 2 = ma2 + Á ˜ , Ë 2 ¯

innen:

b ª 5,66 cm. A trapéz területe: a+c T= ◊ m = 64 cm 2 . V=T◊m= 2 = 768 cm3. A = 2T + (a + 2b + c)m ª = 648 cm2.

238

a-c 2

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2836. A legnagyobb térfogató háromszög alapú hasábot akkor kapjuk, ha a hatszögbõl a legnagyobb területû szabályos háromszöget vágjuk ki. Ez akkor keletkezik, ha a hatszög három, páronként nem szomszédos csúcsát kötjük össze. Ennek területe (az ábráról könnyen leolvashatóan) fele a hatszög területének. A szabályos háromszög oldala kétszer akkora, mint a hatszöget alkotó 6 db szabályos háromszög magassága.

a 2 2

Ê aˆ a) Pitagorasz tétele alapján: ma2 = a 2 - Á ˜ , innen: ma ª 10,4 cm. A hatszög területe: Ë 2¯ a ◊ ma 1 = 3 ◊ a ◊ ma ª 374 cm 2 . A háromszög területe: T = Th ª 187 cm 2 . A 2 2 2 hatszög alapú hasáb felszíne: Ah = 2Th + 6a ◊ m ª 3340 cm . A háromszög alapú hasáb felszíne: A = 2T + 3 ◊ 2ma ◊ m ª 2619 cm2. Th = 6 ◊

b) A hatszög alapú hasáb térfogata: Vh = Th ◊ m ª 13 468 cm3. A háromszög alapú hasáb térfogata: V = T ◊ m ª 6734 cm3. 2837. A feltételbõl következik, hogy: c = 15 cm m = 15 cm A=? V=? Pitagorasz tétele alapján: a2 = c2 - b2, innen: a = 9 cm. Az alaplap területe: ab T= = 54 cm 2 . 2 A = 2T + (a + b + c)m = 648 cm2. V = T ◊ m = 810 cm3. 2838. a = 36 cm b = 28 cm x = 6 cm A keletkezett téglatest élei: a - 2x = = 24 cm; b - 2x = 16 cm; x = 6 cm, így térfogata: 24 cm ◊ 16 cm ◊ 6 cm = = 2304 cm3. Így az edénybe kb. 2,3 l folyadék fér. 5 a 8 m = 12 cm

2839. b =

239

GEOMETRIA A feltétel szerint: (a + 2b) ◊ m = 648 cm2. Innen a + 2b = 54 cm, így: a = 24 cm; 2

Ê aˆ b = 15 cm. Pitagorasz tétele alapján: ma2 = b 2 - Á ˜ , innen: ma = 9 cm. Az alapterület: Ë 2¯ T=

a ◊ ma = 108 cm 2 . A térfogata: V = T ◊ m = 1296 cm3. 2

2840. 8 db egybevágó hasábra. 2841. Van ilyen gúla, elegendõ, ha az egyik oldalél merõleges az alapra. 2842.

Oldallapok száma Lapok száma Élek száma Csúcsok száma

3 4 6 4

4 5 6 9 5 6 7 10 8 10 12 18 5 6 7 10

18 19 36 19

Jelöljük a lapok, élek, csúcsok számát rendre l; é; c betûkkel. Ekkor több összefüggés is megfogalmazható: (1) l = c (2) é = 2(l - 1) Az (1) és (2) összefüggésbõl következik, hogy: l + c = é + 2. 2

2843. Pitagorasz tétele alapján: e =

m02

Ê aˆ +Á ˜ Ë 2¯

2

2

m02

ill.

Ê aˆ = m + Á ˜ . Ezeket felhasználva a Ë 2¯ 2

feladatok eredményei: a) e = 10 cm b) m0 = 120 cm

c) a = 2 dm

e) m0 = 39 cm

g) m = 12 dm

f) a = 16,8 dm

am0 = a 2 + 2am0 . Ezt felhasználva: 2 a) A = 297 cm2 b) A = 33,12 cm2

d) m = 40 cm

2844. A = a 2 + 4 ◊

c) A = 892,84 cm2 2

2

Ê aˆ Ê aˆ A további feladatokban használjuk fel, hogy: e 2 = m02 + Á ˜ ill. m02 = m 2 + Á ˜ . Így Ë 2¯ Ë 2¯ a feladatok eredményei: d) A = 340 cm2 e) A = 1344 dm2 f) A = 41,16 cm2 2 2 g) A = 2400 cm h) A = 1200 dm a2m . Ezt felhasználva: 3 a) V = 240 cm3 b) V = 2,376 dm3

2845. V =

c) V ª 277,3 cm3 2

A további feladatokban használjuk fel, hogy: dása: d) V = 512 dm3

240

e) V = 10,8 dm3

m02

Ê aˆ = m + Á ˜ . Így a feladatok megolË 2¯ 2

f) V = 131,712 dm3

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS g) V = 1728 dm3

h) V = 105,456 cm3

i) V = 699,84 dm3

2846. a = 2,4 m m0 = 2,2 m A=? am A = 4 ◊ 0 = 2am0 = 10,56 m 2 2 2847. a = 11 m m0 = 10 m A=? am A = 4 ◊ 0 = 2am0 = 220 m 2 2 Mivel 1 m2-re 16 cserép kell, ezért a tetõre 16 ◊ 220 = 3520 db cserép kell. Mivel a törésekre 5 %-ot számítunk, ezért a befedéshez szükséges x db cserépre teljesül, hogy: 0,95 ◊ x = 3520. Innen: x ª 3705,2. Tehát 3706 db cserép kell a befedéshez. 3V a2m , innen: m = 2 . Ezt felhasználva a feladatok eredményei: 3 a a) m = 27 cm b) m = 1,5 dm c) m = 17 cm d) m = 15 cm e) m = 5 dm

2848. V =

2849. A = a2 + 2am0, innen: m0 = a) m0 = 8 cm d) m0 = 11 cm

A - a2 . Ezt felhasználva a feladatok eredményei: 2a b) m0 = 4,4 dm c) m0 = 16 cm

e) m0 = 0,89 dm 2

2850. Használjuk fel, hogy

m02

a2m Ê aˆ = m + Á ˜ ill. V = . Ë 2¯ 3

a) V = 64 cm3 d) V = 109,85 dm3

2

b) V = 10 800 cm3 8 e) V = dm 3 27

c) V = 16,464 cm3

2

2851. Használjuk fel, hogy: V =

3V a2m Ê aˆ , innen: m = 2 ; m02 = m 2 + Á ˜ ill. A = a2 + 2am0. Ë 2¯ 3 a

a) m = 4 dm; m0 = 5 dm; A = 96 dm2 b) m = 5 cm; m0 = 13 cm; A = 1200 cm2 c) m = 12 cm; m0 = 13 cm; A = 360 cm2 d) m = 2,1 dm; m0 = 3,5 dm; A = 70,56 dm2 e) m = 0,55 dm; m0 = 1,43 dm; A = 14,52 dm2

241

GEOMETRIA

2

2852. Használjuk fel, hogy: A = a2 + 2am0, innen: m0 =

A - a2 Ê aˆ ; illetve: m 2 = m02 - Á ˜ . Ë 2¯ 2a

a) m0 = 5 dm; m = 3 dm

b) m0 = 13 cm; m = 5 cm

c) m0 = 15 dm; m = 12 dm

d) m0 = 9,1 dm; m = 8,4 dm

e) m0 = 8,5 cm; m = 6,8 cm 2853. a = 20 cm e = 26 cm A=? Pitagorasz

tétele

alapján:

2

Ê aˆ m02 = e 2 - Á ˜ , Ë 2¯

innen:

m0 = 24 cm;

A = a2 + 2am0 = 1360 cm2.

am0 . Innen 2 adódik, hogy: m0 = 1,3a. A = a2 + 2am0 = 3,6a2, így a = 10 cm; m0 = 13 cm. Ekkor a

2854. Használjuk a 2843. feladat jelöléseit! Ekkor a feltétel alapján: 0,65a 2 =

2

Ê aˆ test magassága Pitagorasz tétele alapján: m 2 = m02 - Á ˜ , innen: m = 12 cm. Így a test Ë 2¯

térfogata: V =

a2m = 400 cm 3 . 3

2855. a = 16 cm m = 6 cm A két gúla felszínének összege az ábrán besatírozott háromszög területének kétszeresével lesz nagyobb az erdeti gúla felszínénél. A háromszög alapja egyenlõ a gúla alapélével, magassága a gúla magasságával, így területe: am T= = 48 cm 2 . Tehát a felszín nö2 vekedése 96 cm2. 2856. Folytassuk az elõzõ feladat megoldásának gondolatmenetét! Ekkor a felületnövekedés am , az egyik sík által kivágott háromszög területe. Határozzuk meg tehát 4T, ahol: T = 2 a test magasságát!

242

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS a = 24 cm A = 1200 cm2 m=? A = a2 + 2am0, innen: m0 =

A - a2 . Adatokkal: m0 = 13 cm. Pitagorasz tétele szerint: 2a

2

am Ê aˆ m 2 = m02 - Á ˜ , így m = 5 cm. Tehát a felszín növekedése: 4T = 4 ◊ = 2 am = Ë 2¯ 2 = 240 cm 2 .

2857. a = 228 m m = 145 m kg t r = 2 ,4 = 2 ,4 3 3 dm m A piramis térfogata: V =

a2m = 2 512 560 m 3 . Így a felhasznált kõ tömege: 3

Vr = 6 030 144 tonna.

2858. a = 40 cm m = 20 cm V=? A=? e=? 2

a2m Ê aˆ ª 10 667 cm 3 . Pitagorasz tétele alapján: m02 = m 2 + Á ˜ , így m0 ª 28,28 cm. Ë 2¯ 3 A felszíne: A = a2 + 2am0 ª 3863 cm2. Az oldaléle Pitagorasz tétele alapján: V=

2

2

Ê aˆ Ê aˆ e 2 = m02 + Á ˜ = m 2 + 2 ◊ Á ˜ , innen: e ª 34,64 cm. Ë 2¯ Ë 2¯

243

GEOMETRIA 2859. a) a = 10 cm b = 18 cm m = 12 cm A=? V=? Pitagorasz Ê bˆ m12 = m 2 + Á ˜ Ë 2¯

tétele

alapján:

ill.

m22 = m 2 +

2

2

Ê aˆ +Á ˜ . Adatokkal: m1 = 15 cm; Ë 2¯ m2 = 13 cm. A gúla felszíne és térfoga-

ta:

A = ab + 2 ◊

am1 + 2

bm2 = ab + am1 + bm2 = 564 cm2; 2 abm V= = 720 cm 3 . Ugyanígy járha3 tunk el a b) ill. c) feladat megoldásánál is. b) A = 16,2996 dm2; V = 3,53736 dm3 c) A ª 250,4 cm2; V = 192 cm3 +2◊

2860. a) A keletkezett gúla alapéleinek hoszsza megegyezik a kocka élének hosszával, oldaléleinek hossza pedig fele a kocka testátlójának. Határozzuk meg tehát a kocka testátlójának hosszát! Jelölje a a kocka élének hosszát, f az egyik lap átlójának hosszát, e a testátló hosszát! Ekkor az ábrán megjelölt háromszögre alkalmazva a Pitagorasz tételét: f 2 + a 2 = e2

(1)

Ugyanakkor az f átló hosszát szintén Pitagorasz tétele alapján számíthatjuk: (2) f 2 = a2 + a2 A két összefüggésbõl: e2 = 3a2 , így e = 3a . Adatainkkal: e ª 34,64 cm. Vagyis a gúla oldaléleinek hossza: ª 17,32 cm.

244

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS b) A felszín meghatározásához szükségünk van a gúla oldallapjainak magasságára. Ezt ismét Pitagorasz tétele alapján számíthatjuk ki: 2

e 2

2

e 2 - a 2 3a 2 - a 2 a 2 Ê eˆ Ê aˆ m02 = Á ˜ - Á ˜ = = = Ë 2¯ Ë 2¯ 4 4 2

Tehát m0 ª 14,14 cm. Ezzel a gúla felszíne: am0 = a 2 + 2am0 ª 965,7 cm 2 2 c) A gúla térfogata a kocka térfogatának hatodrésze, hiszen ha minden lap csúcsait összekötjük a kocka középpontjával, akkor hat egybevágó gúlát kapunk, amelyek a3 ª 1333 cm 3 . térfogatának összege egyenlõ a kocka térfogatával. Tehát: V = 6 A = a2 + 4 ◊

2861. Elõször határozzuk meg az alaplap területét! a = 10 cm 2

Ê aˆ ma2 = a 2 - Á ˜ , innen: ma ª 8,66 cm Ë 2¯ ama ª 43,3 cm 2 2 Az oldallapok területe: a = 10 cm b = 13 cm Ta =

2

Ê aˆ m02 = b 2 - Á ˜ , innen: m0 = 12 cm Ë 2¯ am0 = 60 cm 2 2 Így a gúla felszíne: A = Ta + 3T0 ª 223,3 cm2. T0 =

2862. A gúla alaplapja 6 db a = 8 cm oldalú szabályos háromszögre bontható. Egy háromszög 2

ama Ê aˆ , ahol: ma2 = a 2 - Á ˜ . Így T = 6 ◊ TD = 3ama ª 166,28 cm2. A gúla Ë 2¯ 2 Tm térfogata: V = ª 332,55 cm 3 . 3

területe: TD =

2863. A gúla alaplapjának területét a 2862. Feladat megoldása szerint számíthatjuk. A gúla felszíne: A = Ta + 6T0 = Ta + 3am0 ª 1022 cm2.

245

GEOMETRIA 2864. Mivel az oldallapok az alaplappal 45ºos szöget zárnak be, ezért az a háromszög, amelyet valamely oldallap magassága a test magasságvonalával meghatároz (ábra) egyenlõ szárú derékszögû háromszög. Ezért ma = m = 10 cm. Ebbõl következik, hogy az alaplap 6 db olyan szabályos háromszögbõl áll, amelyek magassága ma = 10 cm. Ekkor

Pitagorasz

tétele

2

szerint:

2

3a Ê aˆ a 2 = Á ˜ + ma2 . Innen: = ma2 , azË 2¯ 4 4 az a 2 = ma2 . Adatokkal: 3 a ª 11,55 cm. Így a gúla alapterülete: am Ta = 6 ◊ a = = 3ama ª 346,4 cm 2 . 2 Az oldallappok magassága Pitagorasz tétele alapján: m02 = ma2 + m 2 , innen

m0 ª 14,14 cm. Így a gúla felszíne: A = Ta + 6 ◊ T0 = = Ta + 3am0 ª 836,3 cm2. 2865. A kocka felszíne: Ak = 6a2, innen a = 7 cm. a) A gúla magassága egyenlõ a kocka élének hosszával, így térfogata: V = ª 114,3 cm 3 . b) Az oldallapok magassága Pitagorasz 2

Ê aˆ tétele szerint: m02 = a 2 + Á ˜ , inË 2¯

nen:

m0 ª 7,83 cm.

gúla felszíne:

Ezzel

A = a2 + 4 ◊

a

am0 ª 2

ª 158,57 cm 2 . c) Az oldalélek hosszát Pitagorasz tétele alapján számolhatjuk: 2

Ê aˆ b 2 = Á ˜ + m02 , innen b ª 8,57 cm. Ë 2¯

246

a2 ◊ a ª 3

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2866. Határozzuk meg elõször a gúla felszínét! a = 10 cm m = 12 cm Pitagorasz tétele alapján: 2

Ê aˆ m02 = m 2 + Á ˜ , Ë 2¯

innen

m0 = 13 cm.

am0 = a 2 + 2am0 = 360 cm 2 . A feltétel szerint ekkora 2 a hasáb felszíne is. Jelöljük a hasáb magasságát x-szel. Ekkor a hasáb felszíne: Ah = 2a2 + 4ax, innen: x = 4 cm. Ezzel a hasáb térfogata: V = a2 ◊ x = 400 cm3.

Ezzel a gúla felszíne: A = a 2 + 4 ◊

2867. Jelöljük az alapél hosszát a-val, az oldallapok magasságait m0-val. Ekkor a feltétel szeam rint: 2a 2 = 4 ◊ 0 . Innen: 2a2 = 2am0, azaz a = m0. 2 2868. a) A = 273 cm2 a = 7 cm A = a2 + 2am0, innen: m0 = 16 cm. Pitagorasz tétele alapján: 2

Ê aˆ m 2 = m02 - Á ˜ , Ë 2¯

innen:

m ª 15,61 cm. A gúla térfogata: V=

a2m ª 255 cm 3 . 3

b) Az alaplap területe: Ta = 6 ◊

ama = 2 2

Ê aˆ = 3ama , ahol ma2 = a 2 - Á ˜ , így Ë 2¯

ma ª 3,46 cm. Ezzel Ta ª 41,57 cm2. am0 = 2 = Ta + 3am0 , innen: m0 ª 19,29 cm. A test magassága Pitagorasz tétele m 2 = m02 - ma2 , innen alapján:

A gúla felszíne: A = Ta + 6 ◊

m ª 18,97 cm. Így a test térfogata: Tm V = a ª 262,9 cm 3 . 3

247

GEOMETRIA 2869. Pitagorasz

tétele

alapján:

2

Ê aˆ m02 = a 2 - Á ˜ , innen: m0 ª 13,86 cm. Ë 2¯ 2

Ê aˆ m 2 = m02 - Á ˜ , innen: m ª 11,31 cm. Ë 2¯ A = a2 + 4 ◊

Így: V=

am0 ª 699,4 cm 2 ; 2

a2m ª 965,4 cm 3 . 3

2870. Minden lap egy 20 cm oldalú szabályos háromszög. A test felszíne: A ª 692,8 cm2. 2871. A levágott gúla alapéle is és magassága is feleakkora, mint az eredeti gúláé. Így térfogata nyolcadrésze az eredeti gúlának. 2872. A = 2r2p + 2rpm; V = r2pm. Ezek alapján a feladatok megoldásai: (a p értékét 3,14-dal közelítettük.) a) A ª 471 cm2; V ª 785 cm3 b) A ª 2034,7 cm2; V ª 6782,4 cm3 c) A ª 26,38 cm2; V ª 15,83 cm3 2

e) A ª 3391 cm ; V ª 36 466 cm

d) A ª 654,1 cm2; V ª 3663 cm3

3

2873. r = 9,58 cm; m = 2,4 m = 240 cm. A = 2rpm ª 14 439 cm2 ª 1,44 m2. 2874. r = 16 cm; m = 32cm. A = 2r2p + 2rpm ª 4823 cm2; V = r2pm ª 25 723 cm3. 2875.

r (cm) m (cm)

8 12

A (cm 2 ) 320p

3,4 5,6

6 18

11 9

5 12

61,2p

288p

440p

170p

24p

648p 1089p

300p

14,976p

V (cm 3 )

768p

64,736p

r (cm) m (cm)

7 4,5

11,6 3,4

6,2 25

12 7,5

1 4

A (cm 2 )

161p

348p

386,88p

468p

10p

220,5p

457,504p

961p

1080p

4p

3

V (cm )

2876. m = 2,6 m = 260 cm r = 14 cm g kg r = 0,6 = 0,6 3 cm dm 3

248

2 ,4 2,6

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS V = r2pm ª 160 dm3. A farönk tömege tehát: Vr ª 96 kg. 2877. 2rp = 120 cm, innen r ª 19,1 cm m = 80 cm V=? V = r2pm ª 91 720 cm3 = 91,72 dm3. A hordóba tehát kb. 91,72 liter folyadék fér. 2878. kb. 2,15 liter. 2879. kb. 26,83 kg. 2880. T = 600 cm2 = 6 dm2 V = 4 dm3 m=? 2 V = T ◊ m , innen: m = 1 dm. 3 2881. Vk = 8 dm3, innen: a = 2 dm. A legnagyobb térfogatú henger alapkörének átmérõje a kocka éle, magassága a kocka élével egyenlõ. Így: r = 1 dm; m = 2 dm. b) kb. 21,5 % a hulladék c) kb. 63,7 %-a a) Vh = r2pm ª 6,28 dm3 2882. A kiszorított víz térfogata: V = (30 cm)2p ◊ 0,8 cm ª 2261 cm3. A téglatest térfogata megegyezik a kiszorított víz térfogatával, így a téglatest harmadik éle: 2261 cm 3 c= ª 5 cm . 25 cm ◊ 18 cm 2883. V = 952 cm3; A ª 646,5 cm2. 2884. m = 2r A = 597 cm2 V=? A = 2r2p + 2rpm = 6r2p, innen r ª 5,63 cm. Így: V = r2pm = 2r3p ª 1121 cm3. 2885. r = 6 cm A = 480 cm2 V=? A = r2p + 2rpm, innen: m ª 9,74 cm. Így: V = r2pm ª 1101 cm3. 2886. Használjuk fel, hogy: k = 2rp; P = k ◊ m; T = r2p; V = r2pm. a) V ª 129 cm3

b) P ª 15,7 cm2

d) P ª 2,26 cm2 = 0,0226 dm2

c) V ª 18 083 cm3 e) V ª 7,23 dm3

2887. r = 12 cm; m = 12 cm. V ª 5426 cm3; A ª 1809 cm2. 2888. a) r = 8 cm; m = 12 cm. Így: V ª 2412 cm3; A ª 1005 cm2 b) r = 12 cm; m = 8 cm. Így V ª 3617,3 cm3; A ª 1507 cm2. c) r = 6 cm; m = 8 cm. Így V ª 904,3 cm3; A ª 528 cm2. d) r = 4 cm; m = 12 cm. Így V ª 603 cm3; A ª 402 cm2.

249

GEOMETRIA

2889. a = 5 cm; b = 8 cm.

V1 b 2pa b 8 A1 2bp (b + a) b 8 = = = . = = = ; V2 a 2pb a 5 A2 2ap (a + b) a 5 2

aÊa ˆ Á + b˜ ¯ a(a + 2b) 40 a 4 A V 2Ë2 = = 2890. a = 16 cm; b = 12 cm. 1 = . = = ; 1 = bÊb ˆ b(b + 2a) 33 b 3 A2 V2 Ê b ˆ 2 2p Á + a˜ Á ˜ pa ¯ 2Ë2 Ë 2¯ Ê aˆ Á ˜ pb Ë 2¯

2p

2891. r = 5 cm = 0,5 dm V = 3 liter = 3 dm3 m=? V = r2pm. Innen: m =

V ª 38,22 cm . r 2p

2892. R = 32 cm r = 25 cm m = 2,4 m = 240 cm kg r = 1,8 dm 3 A csõ térfogata: V = R2pm - r2pm ª 300,7 dm3. Így a csõ tömege: rV ª 541 kg. 2893. R = 1,9 cm r = 1,5 cm m = 800 cm kg r = 7,8 dm 3 A csõ térfogata: V = R2pm - r2pm ª 3,42 dm3. Így a csõ tömege: rV ª 26,65 kg. 2894. A csõ térfogata: V =

8 kg ª 2,963 dm 3 . V = R2pm - r2pm = (R2 - r2)pm, innen: kg 2,7 dm 3

V . Itt: R = 2,7 cm; r = 2,3 cm; V ª 2963 cm3. Így a csõ hossza: ( R - r 2 )p m ª 472 cm. m=

2

2895. A feltétel szerint: r2p = 2rpm. Innen: r = 2m, tehát a sugár és a magasság aránya: 2 : 1. 2896. A 2889. feladat megoldása alapján a téglalap két oldalának aránya: 2 : 3. 2897. A 2889. feladat megoldása alapján a téglalap két oldalának aránya: 3 : 5. 2898. A 2890. feladat megoldása alapján a téglalap két oldalának aránya: 4 : 3. 2899. r = 3m. Így a palást területe: P = 2rpm = 6m2p. A henger felszíne: A = 2r2p + P = = 18m2p + 6m2p = 24m2p. Innen adódik, hogy: A = 4P, tehát a felszín négyszerese a palást területének.

250

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2900. m = 14 cm; r = 7 cm, így a térfogat és a felszín: V ª 2154 cm3; A ª 923,2 cm2. 2901. A feltételbõl következik, hogy m = 2r. A metszet területe: T = m2 = 4r2, a felszín: A = 2r2p + 2rpm = 6r2p. Tehát a felszín kb. 4,71-szorosa a metszet területének. 2902. Mindhárom esetben kb. 36,3 %-ot. 2903. a) A feltételek alapján: a = 20 cm. Pitagorasz tételébõl: (2r)2 = a2 + a2, ina2 . Innen: r ª 14,14 cm. nen: r 2 = 2 b) r = 14,14 cm; m = 20 cm, ezért A ª 2176,3 cm2; V ª 12 560 cm3. 2904. A feltételekbõl következik, hogy: m = 26 cm és 2rp = 26 cm, innen: r ª 4,14 cm. Így a henger térfogata: V ª 1399 cm3. 2905. r = 6 cm m = 10 cm A hatszög oldalainak hossza megegyezik a kör sugarával, a = r = 6 cm. A hatszög területe 6 db 6 cm oldalú szabályos háromszög területének összege: am Ta = 6 ◊ TD = 6 ◊ a = 3ama , ahol: 2 2

ma2

Ê aˆ = a - Á ˜ , így ma ª 5,2 cm. vagyË 2¯ 2

is a hatszög területe: Ta ª 93,5 cm2. Ezzel a hasáb felszíne és térfogata: A = Ta + 6am ª 453,5 cm2; V = Tam ª 935,3 cm3. A hasáb térfogata kb. 82,74 % a henger térfogatának. 2906. Jelöljük a henger alapkörének sugarát rrel, magasságát m-mel, a gúla alapélét aval! Ekkor: (2r)2 = a2 + a2, így: a2 = 2r2. A két térfogat aránya: 2 a m Vg 2r 2 2 a2 = 23 = = = ª 0,21 . 2 Vh r pm 3pr 3pr 2 3p 2907. Használjuk fel, hogy Pitagorasz tétele alapján: a2 = r2 + m2. r

12 cm

m 16 cm a 2 dm

13 cm

3,5 dm

2,4 dm 2,1 dm 8,4 dm 2 ,6 dm 29 cm 0,85 m

10 cm

12 cm 0,37 m

0,2 m

251

GEOMETRIA 2908. A = r2p + rpa = rp(r + a) a) A ª 201 cm2

b) A ª 637,55 cm2

c) A ª 989,1 dm2

d) A ª 2523 cm2

r 2pm 3 a) V ª 157 cm3

b) V ª 506,4 cm3

c) V ª 3538 cm3

d) V ª 45,34 cm3

2909. V =

2910. Használjuk fel, hogy: A = rp(r + a); V = a) c) e) g) i) k)

A ª 282,6 cm2; A ª 15,07 dm2; A ª 73,85 dm2; A ª 71,22 dm2; A ª 84,78 dm2; A ª 70,74 dm2;

V ª 314 cm3 V ª 1,884 dm3 V ª 42,2 dm3 V ª 36,93 dm3 V ª 20,35 dm3 V ª 22,83 dm3

2911.

r (cm) 4 m (cm) 3 a (cm) 5 A (cm 2 ) 36p V (cm 3 ) 16p

2912.

r (cm) 8 8 m (cm) 15 6 a (cm) 17 10 A (cm 2 ) 200p 144p V (cm 3 ) 320p 128p

28,8 12 31,2 1728p ª 3318p

1,6 3 3,4 8p 2,56p 1,2 0,5 1,3 3p 0,24p

r 2pm 3 b) d) f) h) j)

; a 2 = r2 + m 2 . A ª 628 cm2; V ª 1005 cm3 A ª 40,69 dm2; V ª 16,88 dm3 A ª 61,54 dm2; V ª 8,79 dm3 A ª 1413 cm2; V ª 3391 cm3 A ª 492,2 cm2; V ª 653,5 cm3

0,9 9,6 7,2 4 12 4,1 207,36p 4,5p 221,184p 1,08p 16 30 34 800p 2560p

20 21 29 980p 2800p

38,4 16 41,6 3072p ª 7864p

4 0,9 4,1 32,4p 4,8p

6 ª 5,29 8 84p ª 63,5p

ª 2,6 12 ª 4,33 18p 27p

2913. Vágjuk el a kúpot egy, a szimmetriatengelyét tartalmazó síkkal! Ha a = 60º, akkor ez a metszet egy szabályos háromszög, így ekkor az alkotó hossza: a = 2r. Ezt felhasználva: a) A ª 942 cm2

b) A ª 166,2 cm2

c) A ª 1846 cm2

d) A ª 10,58 dm2

Ha a = 45º, akkor a metszet egy egyenlõ szárú derékszögû háromszög, így: a2 + a2 = (2r)2, azaz: a2 = 2r2, és m = r. Ezt felhasználva: e) A ª 121,3 cm2

f) A ª 272,9 cm2

2914. Mivel az alkotók alaplappal bezárt szöge 45º, ezért r = m. Ezt felhasználva: a) V ª 1809 cm3 b) V ª 9,693 cm3 c) V ª 72,14 cm3 d) V ª 1470 cm3

252

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2915. Ha egy kúp palástját kiterítjük, akkor egy olyan körcikket kapunk, amelynek sugara megegyezik a kúp alkotójával, ívhossza pedig a kúp alapkörének kerületével.

a) A feltételbõl következik, hogy a = 12 cm és ap = 2rp, innen: r = 6 cm. A kúp magassága Pitagorasz tétele alapján kapható: m2 = a2 - r2, innen: m ª 10,39 cm. Így a kúp felszíne és térfogata: A = rp(r + a) ª 339,1 cm2; V ª 391,6 dm3. ap = 2rp , innen: r = 5 cm. 2 m2 = a2 - r2, innen: m ª 19,36 cm. Így a kúp felszíne és térfogata: A = rp(r + a) ª = 392,5 cm2; V ª 506,7 cm3.

b) A feltételekbõl következik, hogy: a = 20 cm és

c) A feltételekbõl következik, hogy: a = 12 cm és

3 ap = 2rp , innen: r = 9 cm. A kúp 2

felszíne: A = rp(r + a) ª 593,5 cm2. 2ap = 2rp , innen: r = 5 cm. 3 m2 = a2 - r2, innen: m ª 14,14 cm. A kúp felszíne és térfogata: A = rp(r + a) ª

d) A feltételekbõl következik, hogy: a = 15 cm és

ª 314 cm2; V =

r 2pm ª 370,1 cm 3 . 3

2916. a) A feltételek alapján: 2rp = 20 cm, innen r ª 3,18 cm, illetve ap = 20 cm, innen: a ª 6,37 cm; m2 = a2 - r2, innen: m ª 5,52 cm. Így a kúp felszíne és térfogata: r 2pm ª 58,43 cm 3 . 3 c) A ª 11,46 dm2

A = rp(r + a) ª 95,54 cm2; V = b) A ª 55,73 cm2

2917. a) a = 6 cm b = 8 cm c = 10 cm A rövidebb befogó körül forgatva olyan kúpot kapunk, amelyben: r = 8 cm; m = 6 cm; a = 10 cm. Így: A ª 452,2 cm2; V ª 402 cm3. A hosszabb befogó körül forgatva olyan kúpot kapunk, amelyben: r = 6 cm; m = 8 cm; a = 10 cm. Így:

253

GEOMETRIA A ª 301,5 cm2; V ª 301,5 cm3. b) A befogók hossza 3x ill. 4x, így Pitagorasz tétele alapján: (3x)2 + (4x)2 = 152, innen: 25x2 = 225, x = 3. Tehát a háromszög oldalai 9 cm; 12 cm; 15 cm. A rövidebb befogó körül forgatva olyan kúpot kapunk, amelyben r = 12 cm; m = 9 cm; a = 15 cm, így V ª 1356,5 cm3; A ª 1017,4 cm2. A hosszabb befogó körül forgatva olyan kúpot kapunk, amelyben: r = 9 cm; m = 12 cm; a = 15 cm, így V ª 1017,4 cm3; A ª 678,3 cm2. c) Legyenek a háromszög befogói a ill. b. Ekkor a két kúp térfogatának aránya: a 2pb V1 a = 23 = V2 b pa b 3 Tehát a háromszög befogóinak aránya 3 : 4.

2918. e = 12 cm f = 16 cm A forgatáskor két olyan kúp keletkezik, e amelyek sugara: r = , magassága: 2 f m = . A kúpok alkotóinak hossza: 2 a = m 2 + r 2 . Így a test térfogata és r 2pm ª 602,9 cm 3 ; 3 A = 2 ◊ arp ª 376,8 cm2.

felszíne:

V = 2◊

2919. Legyenek a rombusz átlói e; f, ahol: e : f = 5 : 12. A hosszabb átló körül forgatva olyan e f „kettõs kúp”-hoz jutunk, amelynek sugara , magassága , a rövidebb átló körül for2 2 f e gatva olyan „kettõs kúp”-hoz, amelynek sugara , magassága . A két test térfogatá2 2 nak aránya: 2

V1 = V2

1Ê eˆ f 2 ◊ Á ˜ ◊p 3 Ë 2¯ 2 2

=

5 e2 f e = = 2 f 12 ef

e 1Ê f ˆ 2 ◊ Á ˜ ◊p 3Ë 2¯ 2 Tehát a két test térfogatának aránya 5 : 12.

254

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2920. AB = 18 cm; BC = 13 cm; CD = 6 cm; DA = 5 cm. A forgatáskor olyan testet kapunk, amely egy hengerbõl és egy körkúpból van „összeragasztva”. A henger alapkörének sugara AD, magassága DC. A kúp alapkörének sugara AD, magassága AB - CD, alkotója BC. Így a keletkezett test térfogata: V = Vh + Vk = (5 cm)2 p ◊ 6 cm + (5 cm) 2 p ◊ 12 cm ª 785 cm 3 . A fel3 szín számításánál figyelembe kell venni, hogy a kúp és a henger egyik alapköre mentén van „összeragasztva”, így ez nem tartozik a felszínhez. A = (5 cm)2p + 2 ◊ 5 cm ◊ p ◊ 6 cm + + 5 cm ◊ 13 cm ◊ p ª 471 cm2.

+

2921. AD = r = (10 cm)2 − (8 cm)2 = 6 cm . Innen az elõzõ feladat megoldásának gondolatmenetét követve: V ª 979,7 cm3; A ª 527,5 cm2.

2922. Az ábra alapján: BP = (25 cm)2 - (7 cm)2 = 24 cm , így: DC = 28 cm - 24 cm = = 4 cm. Kövessük ezután a 2920. feladat megoldásának gondolatmenetét. Így: A ª 879,2 cm2; V ª 2051,5 cm3.

2923. BC = (12 cm)2 + (9 cm)2 = 15 cm . Innen a 2920. feladat megoldásának gondolatmenetét követve: A ª 1130,4 cm2; V ª 2486,9 cm3.

255

GEOMETRIA 2924. A keletkezett test az ABPD téglalap megforgatásával keletkezõ henger, amelybõl kihagytuk a BPC háromszög megforgatásával keletkezõ kúpot. A henger sugara R = AD, magassága M = AB, a kúp sugara r = AD; magassága m = AB - CD, alkotója a = BC. A keletkezett test térfogata a henger és a kúp térfogatának különbsége: r 2pm V = Vh - Vk = R 2pM . A keletkezett test felszíne a henger egyik alapkörébõl és 3 palástjából, valamint a kúp palástjából áll. Így: A = R2p + 2RpM + rpa. Ezeket felhasználva az egyes feladatokban keletkezett testek felszínét és térfogatát kiszámíthatjuk. a) A ª 452,2 cm2; V ª 1281 cm3 b) A ª 835,3 cm2; V ª 3077 cm3 c) A ª 960,8 cm2; V ª 4069,5 cm3

2925. A keletkezett test az ABD háromszög megforgatásával keletkezõ kúp, amelybõl kihagytuk az ACD háromszög megforgatásával keletkezett kúpot. A két kúp jellemzõi: Az ABD háromszög megforgatásával keletkezett kúp sugara: r= = AD = 8 cm; magassága: = 15 cm; alkotója: m1 = BD = a1 = AB = = AD 2 + BD 2 = 17 cm . Az ACD háromszög megforgatásával keletkezett kúp sugara r = AD = 8 cm; magassága m2 = CD = 6 cm; alkotója: a2 = AC = AD 2 + CD 2 = 10 cm .

a) A test felszíne a két kúp palástjának területösszegével egyenlõ, így: A = ra1p + + ra2p = rp(a1 + a2) ª 678,24 cm2. b) A

test térfogata a két kúp térfogatának különbségével r 2pm1 r 2pm2 r 2p (m1 - m2 ) V= = ª 602,9 cm 3 . 3 3 3

2926. AT = 4 cm BC = 16 cm A keletkezett test két kúpból áll össze, amelyek alapkörének sugara r = AT = 4 cm, magasságuk: m1 = BT illt. m2 = TC. Így a test térfogata a két kúp térfogatának összege.

256

egyenlõ,

így:

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS

V=

r 2pm1 r 2pm2 r 2p (m1 + m2 ) AT 2 ◊ p ◊ BC + = = ª 268 cm 3 3 3 3 3

Megjegyzés: Azt a feltételt, hogy BC a háromszög leghosszabb oldala ott használtuk ki, hogy a magasságvonal T talppontja a BC oldalon van. 2927. Mivel a vasnak 48 %-a hulladék lett, ezért a keletkezett kúpok tömege: 120 kg ◊ 0,52 = r 2pm = 25,12 cm 3 , így egy kúp 3 tömege: Vr ª 195,94 g. Így a 62,4 kg vasból 318 db kúp esztergálható.

= 62,4 kg. Egy kúp térfogata (r = 2 cm; m = 6 cm) V =

2928. A kúp alapkörének sugara r = 10 cm; magassága m = 20 cm. Így: Vkocka = 8000 cm3; Vkúp =

r 2pm ª 2093 cm3. Így a hulladék kb. 5907 cm3. 3

Vkúp = Vhenger

2929. 2

(4 dm) p ◊ m = ( 4 dm)2 p ◊ 1 dm 3

Így a kúp magassága: m = 3 dm. A kúp alkotója: a = ( 4 dm)2 + (3 dm)2 = 5 dm , ezzel a kúp felszíne: A = rp(r + a) ª 113 dm2. 2930. m = 16 cm t = 192 cm2 A metszet területe: t = r ◊ m, innen: r = 12 cm. A kúp alkotója: a = r 2 + m 2 = 20 cm . Így a kúp felszíne és térfogata: A ª 1206 cm2; V ª 2410 cm3.

2931. V1 : V2 : V3 = 12 : 16 : 24 = 3 : 4 : 6. 2932. V1 : V2 : V3 = 32 : 42 : 52 = 9 : 16 : 25.

257

GEOMETRIA 2933. a) Pitagorasz

tétele 2

alapján:

2

r = (10 cm) - (6 cm) = 8 cm . A forgástest egy r = 8 cm sugarú, m1 = 8 cm magasságú hengerbõl és két r = 8 cm sugarú, m2 = 6 cm magasságú, a = 10 cm alkotójú kúpból rakható össze. Így térfogata a három test térfogatának r 2 pm2 V = r 2 pm1 + 2 ◊ = összege: 3 2 ˆ Ê = r 2 p Á m1 + m2 ˜ ª 2412 cm 3 . A test felülete Ë 3 ¯ a két kúp palástjából és a henger palástjából áll, így felszíne: A = 2rpm1 + 2rpa = 2 = 2rp(m1 + a) ª 904,3 cm .

b) A keletkezett test egy r = 8 cm alapkör sugarú, m1 = 20 cm magasságú henger, amelybõl kihagytunk két r = 8 cm sugarú, m2 = 6 cm magasságú és a = 10 cm alkotójú kúpot. Így a test térfogata a henger és a két kúp térfogar 2 pm2 = tának különbsége: V = r 2 pm1 - 2 3 2 ˆ Ê = r 2 p Á m1 - m2 ˜ ª 3215,4 cm 3 . A test felË 3 ¯ színe megegyezik a két kúp palástjának, és a henger palástjának területösszegével. Így: A = 2rpm1 + 2rpa = 2rp(m1 + a) ª 1507 cm2. 4r 3p . 3 A = 36p cm2 ª 113 cm2; V = 36p cm3 ª 113 cm3 A = 144p cm2 ª 452 cm2; V = 288p cm3 ª 904,3 cm3 A = 900p cm2 ª 2826 cm2; V ª 4500p cm3 ª 14,13 dm3 A = 23,04p cm2 ª 72,35 cm2; V ª 57,88 cm3 9p 2 9p 3 A= m ª 7,065 m 2 ; V = m ª 1,77 m 3 4 16 16p 32p A= dm 2 ª 5,58 dm 2 ; V = dm 3 ª 1,24 dm 3 9 81

2934. A = 4r2p; V = a) b) c) d) e) f)

2935. A ª 706,5 m2; V ª 1766 m3. 2936.

258

r (cm) 9 A (cm 2 ) 324p

2,4 23,04p

V (cm 3 ) 972p

18,432p

4 64p 256 p 3

3 36p

3,2 40,96p

1,5 9p

12,5 625p

36p

ª 43,69p

4,5p

ª 2604p

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2937. a) rvas = 5 cm rvas = 7,8

g cm 3

4p 3 rvas ª 523,6 cm 3 ; mvas = Vvas ◊ rvas ª 4084 g. 3 ral = 10 cm g ral = 2,7 3 cm Vvas =

4p 3 ral ª 4189 cm 3 ; mal = Val ◊ ral ª 11310 g. 3 Tehát az alumínium golyó a nagyobb tömegû, kb 7226 g-mal több a vasgolyónál. 4p 3 g 4p ◊ rréz = 8,9 ◊ ◊ (3 cm)3 = 320,4 ◊ p gramm ª 1006,6 g b) mréz = r rézVréz = r réz 3 cm 3 3 4p 3 g 4p ◊ ral = 2,7 ◊ ◊ (5 cm)3 = 450 ◊ p gramm ª 1413,7 g mal = ralVal = ral 3 cm 3 3 Tehát az alumínium golyó tömege kb. 407 grammal nagyobb a rézgolyó tömegénél. 4p 3 g 4p ◊ rvas = 7,8 ◊ ◊ (6 cm)3 = 2246,4 ◊ p gramm ª 7057 g c) mvas = rvasVvas = rvas 3 3 3 cm 4p 3 4450 ◊ p g 4p ◊ rréz = 8,9 ◊ ◊ (5 cm)3 = gramm ª 4660 g mréz = r rézVréz = r réz 3 3 3 3 cm Tehát a vasgolyó tömege kb. 2397 grammal nagyobb a rézgolyó tömegénél. Val =

2938. Egy kockából kiesztergálható legnagyobb gömb átmérõje megegyezik a kocka élével. Így az egyes esetekben a gömb sugara: a) r = 9 cm b) r = 4,2 dm c) r = 3 dm Így a felszín és térfogat nagysága: 4p 3 r = 972p cm 3 ª 3053 cm 3 . a) A = 4r2p = 324p cm2 ª 1017 cm2; V = 3 4p 3 b) A = 4r2p = 70,56p dm2 ª 221,6 dm2; V = r = 98,784p dm 3 ª 310,3 dm 3 . 3 4p 3 c) A = 4r2p = 36p dm2 ª 113 dm2; V = r = 36p dm 3 ª 113 dm 3 . 3 2939. Jelöljük a 3 cm sugarú gömb felszínét A1-el, térfogatát V1-el, a 4 cm sugarú gömb felszínét A2-el, térfogatát V2-el! Ekkor: 4p ( 4 cm)3 64 A1 4p ( 4 cm)2 16 V1 3 ; = = = = 4p V2 27 A2 4p (3 cm)2 9 (3 cm)3 3

Tehát a gömb felszíne

16 64 -szeresére, térfogata -szeresére növekszik. 9 27

259

GEOMETRIA 2940. Jelöljük az eredeti léggömb sugarát r-rel. Ekkor a felszíne és térfogata: A = 4pr2; 4p 3 V= r . A keletkezett léggömb sugara 1,5r, így felszíne és térfogata: 3 A1 = 4p ◊ (1,5r)2 = 2,25 ◊ 4pr2 = 2,25 ◊ A 4p 4p 3 V= r = 3,375 ◊ V (1,5r )3 = 3,375 ◊ 3 3 Tehát a felszín 2,25-szorosára, a térfogat 3,375-szeresére növekedett. 2941. Az r sugarú fémgolyó lesüllyed a henger aljára, így a térfogatával egyenlõ mennyiségû vizet szorít ki (feltételezve, hogy a víz teljesen ellepi a golyót). Tehát a kiszorított víz térfogata 4p 3 V= r . Ugyanakkor a d átmérõjû 3 edényben h-val emelkedett a víz szintje, tehát a kiszorított víz mennyisége: 2

Êdˆ V = Á ˜ ph. Így következik, hogy: Ë 2¯ 2

4pr 3 Ê d ˆ = Á ˜ ph Ë 2¯ 3

Egyszerûsítve p-vel: 4r 3 d 2 = h 3 4

Innen: 16r 3 =h 3d 2

a) d = 12 cm; r = 1 cm; h =

16 ◊ (1 cm)3 1 cm ª 0,37 mm . Tehát a víz szintje kb. = 2 27 3 ◊ (12 cm)

0,37 mm-t emelkedik. b) d = 12 cm; r = 2 cm; h =

16 ◊ (2 cm)3 8 cm ª 3 mm . Tehát a víz szintje kb. = 3 ◊ (12 cm)2 27

3 mm-t emelkedik. c) d = 12 cm; r = 4 cm; h =

16 ◊ ( 4 cm)3 64 cm ª 2,37 cm . Tehát a víz szintje kb. = 3 ◊ (12 cm)2 27

2,4 cm-t emelkedik. 2942. Kövessük az elõzõ feladat megoldásának gondolatmenetét! Ha a d átmérõjû hengerbe egy r sugarú fémgömböt helyezünk, akkor a víz szintje h-val emelkedik. Így a kiszorított vízmennyiség: 2

V=

260

4p 3 Ê d ˆ r = Á ˜ ph Ë 2¯ 3

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS Innen: 16r 3 3d 2 Adatainkkal: d = 10 cm; r = 3 cm;, így: h=

h=

16 ◊ (3 cm)3 = 1,44 cm 3 ◊ (10 cm)2

Ha a hengerbe az a élû kockát helyezzük, akkor a vízszint x cm-rel emelkedik. Így a kiszorított víz mennyisége: 2

Êdˆ V = a 3 = Á ˜ px Ë 2¯

Innen: 4a3 pd 2 Adatainkkal: a = 5 cm; d = 10 cm, így: x=

x=

4 ◊ (5 cm)3 ª 1,59 cm p ◊ (10 cm)2

Tehát a víz szintje a kocka elhelyezése esetén emelkedik nagyobbat, az emelkedés kb. 1,5 mm-rel lesz több. Megjegyzés: Annak eldöntésére, hogy melyik esetben nagyobb a vízszint emelkedése, 4p 3 r ª 113 cm 3 ; elegendõ a gömb és a kocka térfogatát kiszámítani. Mivel: Vgömb = 3 Vkocka = a3 = 125 cm3, ezért a kocka esetén lesz nagyobb a vízszint emelkedése. 2943. R = 50 mm = 5 cm r = 47 mm = 4,7 cm g r = 8,8 cm 3 4p 3 4p 3 4p R r = ◊ ( R3 - r 3 ) ª 88,7 cm 3 ; m = Vr ª 781 g. Tehát a gömb tömege 3 3 3 kb. 781 g. V=

2944. a) Egy 1 cm sugarú gömb térfogata nyolcadrésze egy 2 cm sugarú gömb térfogatának. Így ez nyolcadannyi vizet szorít ki, mint a 2 cm sugarú gömb. Tehát a vízszint 2 mm = 0,25 mm . emelkedése 8 27 b) Egy 3 cm sugarú gömb térfogata -szor akkora, mint egy 2 cm sugarú gömb tér8 27 fogata, így a kiszorított víz mennyisége is -szor annyi. Ezért a vízszint emelke8 27 dése ◊ 2 mm = 6,75 mm . 8

261

GEOMETRIA c) Egy 4 cm sugarú vasgolyó térfogata nyolcszor akkora, mint egy 2 cm sugarú vasgolyó térfogata, így nyolcszor annyi vizet szorít ki, mint egy 2 cm sugarú golyó. Tehát a vízszint emelkedése 8 ◊ 2 mm = 16 mm. d) Az a) feladat alapján egy 1 cm sugarú golyó behelyezése esetén a vízszint emelkedése 0,25 mm, így 4 db ilyen golyó esetén 1 mm. 2945. a) Egy 4 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(4 cm)2 = 64p cm2. 4 db 1 cm sugarú gömb felszíne: A2 = 4 ◊ 4p(1 cm)2 = 16p cm2. Így a 4 cm sugarú gömb felszíne a nagyobb. b) Egy 3 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(3 cm)2 = 36p cm2. 3 db 2 cm sugarú gömb felszíne: A2 = 3 ◊ 4p(2 cm)2 = 48p cm2. Tehát 3 db 2 cm sugarú gömb felszíne a nagyobb. c) Egy 2 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(2 cm)2 = 16p cm2. 4 db 1 cm sugarú gömb felszíne: A2 = 4 ◊ 4p(1 cm)2 = 16p cm2. A két felszín egyenlõ. 2946. Egy 6 cm sugarú gömb térfogata: V1 =

4p (6 cm)3 = 288p cm 3 . Egy 1 cm sugarú gömb 3

4p 4 (1 cm)3 = p cm 3 . 3 3 V1 288p = = 216 4 V2 p 3 Tehát 216 db kis golyó önthetõ. A 6 cm sugarú gömb felszíne: A1 = 4p(6 cm)2 = 144p cm2. A 216 db 1 cm sugarú gömb felszíne: A2 = 216 ◊ 4p(1 cm)2 = 864p cm2. Így:

térfogata: V2 =

A1 864p = =6 A2 144p

Tehát a kis golyók felszínének összege hatszorosa az eredeti golyó felszínének. 2947. Legyen a henger alapkörének sugara r. Ekkor a henger magassága 2r, így térfogata: 4p 3 r . Ebbõl köV1 = r2p ◊ 2r = 2r3p. A kiesztergált gömb sugara r, így térfogata: V2 = 3 vetkezik, hogy: 4p 3 r 2 V2 = 3 3 = ª 67 % 3 V1 2r p Tehát a gömb térfogata kb. 67 %-a a henger térfogatának. A henger felszíne: A1 = 2rp(r + 2r) = 6r2p. A gömb felszíne: A2 = 4pr2. Így a henger és a gömb felszínének aránya: A1 : A2 = 3 : 2.

262

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2

Ê 12 cm ˆ 3 2948. A kiszorított víz térfogata: V = Á ˜ p ◊ 1 cm = 36p cm . Jelöljük a golyó sugarát Ë 2 ¯

r-rel. Ekkor:

4r 3p = 36p cm 3 , így: r3 = 27 cm3. Tehát a golyó sugara 3 cm. 3

2949. Jelölje a két gömb sugarát r1 és r2. Ekkor a feltétel szerint:

4 A1 4pr12 r12 , így = = = 9 A2 4pr22 r22

4p 3 r1 Ê r ˆ 3 8 V1 r1 2 3 = =Á 1˜ = = . A térfogatok aránya: . 27 V2 4p 3 Ë r2 ¯ r2 3 r2 3

2950. r = 2,2 m. A = 2r2p = 2 ◊ (2,2 m)2 ◊ p ª 30,4 m2. Mivel a veszteség az elkészítésnél 8 % volt, ezért 30,4 m2 a felhasznált anyag 92 %-a. Így: 92 % 30,4 m2 100 % ª 33,04 m2 Tehát az ejtõernyõ elkészítéséhez kb. 33,04 m2 anyagot használtak fel. 2951. 2

Vhenger : Vkúp : Vfélgömb = 12 ◊ p ◊ 1 :

12 ◊ p ◊ 1 2p ◊ 13 1 2 : = 1: : = 3 :1: 2 3 3 3 3

A kúp alkotója Pitagorasz tétele alapján

2 egység. Így a felszínek aránya:

(

)

Ahenger : Akúp : Afélgömb = 2p ◊ 1 ◊ (1 + 1) : 1 ◊ p 1 + 2 : (2p ◊ 12 + 12 p ) =

(

)

(

)

= 4p : 1 + 2 p : 3p = 4 : 1 + 2 : 3

2952. Az edényben lévõ víz térfogata a kocka térfogatának és a golyó térfogatának különbsé4p ◊ ( 4 cm)3 ª 732 cm 3 . Így a golyót kivéve a víz magassága: ge: Vvíz = (10 cm)3 3 732 cm 3 x= = 7,32 cm . Tehát a víz kb. 7,32 cm magasan áll az edényben. (10 cm)2 2953. A

kúp

térfogata:

Vkúp =

(5 cm)2 p ◊ 10 cm 250p = cm 3 . 3 3

A

gömb

térfogata:

4p 500p (5 cm)3 = cm 3 . Innen adódik, hogy Vgömb = 2 ◊ Vkúp, vagyis a kúp 3 3 g . anyagának sûrûsége kétszer akkora, mint a gömb anyagáé, azaz r kúp = 5 cm 3 Vgömb =

263

GEOMETRIA 2954. a) Egy golyó kettéfûrészelésekor 2 db r sugarú körlap területével nõ meg a felszín. Egy golyó felszíne 4pr2, így a kettéfûrészelés után 4pr2 + 2pr2 = 6pr2 lesz, vagyis a felszín másfélszeresére nõ, így a növekedés 50 %-os. b) Jelöljük a kettéfûrészelt golyók számát k-val. Ekkor az elõzõek alapján: k ◊ 2pr2 = 0,15 ◊ 10 ◊ 4pr2. Innen: k ◊ 2pr2 = 6pr2, így k = 3. Tehát 3 golyót fûrészeltünk ketté. 2955. Mivel a lefûrészelt 10 cm magasságú kúp hasonló az eredeti kúphoz, ezért a lefûrészelt kúp alapkörének sugara 5 cm. Az eredeti kúp térfogata: (10 cm)2 p ◊ 20 cm 2000p = cm 3 3 3 A lefûrészelt kúp térfogata: V1 =

(5 cm)2 p ◊ 10 cm 250p = cm 3 3 3 Így a csonkakúp térfogata: 1750p Vcsk = V1 - V2 = cm 3 3 Ezzel: 1750p Vcsk 7 3 = = = 87,5 % p 2000 V1 8 3 Tehát a csonkakúp térfogata 87,5 %-a a kúp térfogatának. V2 =

2956. Jelöljük a kockák éleinek hosszát x cm és (x + 2) cm-rel. a) A feltétel szerint: 6( x + 2)2 - 6 x 2 = 432 6( x + 4 x + 4) - 6 x 2 = 432 24 x + 24 = 432 x = 17 Tehát a két kocka élének hossza 17 cm ill. 19 cm. b) A feltétel szerint: 2

( x + 2)3 - x 3 = 488 x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 - x 3 = 488 6 x 2 + 12 x - 480 = 0 x 2 + 2 x - 80 = 0 ( x - 8)( x + 10) = 0 Egy szorzat nulla, ha valamelyik tényezõ nulla. Mivel x + 10 a feltételek alapján pozitív, ezért x - 8 = 0, így x = 8. Tehát a két kocka élének hossza 8 cm ill. 10 cm.

264

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2957. a) A feltételek alapján a kúp alapkörének sugara és a gömb sugara egyenlõ. Jelölje ezt a sugarat r. Ekkor a kúp alkotója a = 2r. Ezzel: Akúp rp (r + a) rp (r + 2r ) 3 = = = Agömb 4pr 4 4pr 2 b) A feltételek alapján a kúp alapkörének sugara és a gömb sugara egyenlõ. Jelölje ezt a sugarat r. A kúp magassága m = 2r. Ezzel: Vkúp Vgömb

r 2pm r 2p 2r 1 = 33 = = 2 4pr 4pr 3 3

2958. Jelölje a gömb sugarát R, a henger alapkörének sugarát r, magasságát m. A feltétel szerint: m = R. Készítsünk egy olyan metszetet a testekrõl, amelyben a metszõsík áthalad a henger szimmetriatengelyén! Pitagorasz tétele alapján: 3 (2R)2 = R2 + (2r)2. Innen: r 2 = R 2 . 4 Ezzel: Vhenger Vgömb

=

3r 2 m r 2 pm = = 4p 3 4R3 R 3

3 3 ◊ R2 ◊ R 9 4 = = 3 16 4R

Tehát a henger és a gömb térfogatának aránya 9 : 16. 2959. a) A kúp palástját kiterítve egy olyan körcikket kapunk, amelynek sugara a kúp alkotójával egyenlõ, ívhossza pedig megegyezik az alapkör kerületével. Így a körcikk 6 cm p = 6p cm . Mivel a 6 cm sugarú félkör kerüsugara 6 cm, ívhossza pedig 2 ◊ 2 lete éppen 6p cm, ezért a palást kiterítve egy félkör, így a középponti szög 180º-os. b) a = 6 cm r = 3 cm Pitagorasz tétele alapján: a2 = m2 + r2, így m2 = a2 - r2 = = 27 cm2. Tehát a kúp magassága 27 cm ª 5,2 cm .

265

GEOMETRIA 2960. a) Egy 16 cm oldalú szabályos há(16 cm) 2 ◊ 3 = romszög területe 4 = 64 3 cm 2 ª 111 cm 2 , így a tetraéder felszíne kb. 111 cm2.

b) A feltételbõl következik, hogy a tetraéder minden éle 8 cm, így az élhálózat elkészítéséhez 6 ◊ 8 cm = = 48 cm hosszú huzalra van szükség.

2961. a) A keletkezett test egy szabályos oktaéder (olyan nyolclapú test, amelynek minden lapja szabályos háromszög). b) A kocka éle a = 10 cm. Jelöljük az oktaéder éleinek hosszát x-el. Tekintsük azt a derékszögû háromszöget, amelyet két szomszédos lap középpontja és a közös él felezõpontja alkot! (Az ábrán satírozással jelöltük.) Ennek a a befogói ; hosszúságúak, átfogója x. Pitagorasz tétele alapján: 2 2 2

2

Ê aˆ Ê aˆ x = Á ˜ + Á ˜ , innen x = 5 2 cm . A test felszíne megegyezik 8 db x oldalú Ë 2¯ Ë 2¯ 2

szabályos háromszög területének összegével, így: A = 8 ◊

x2 3 50 cm 2 ◊ 3 = 8◊ = 4 4

= 100 3 cm 2 ª 173 cm 2 .

A test feldarabolható két négyzet alapú gúlára, amelyek alapéle x, magassága Így a test térfogata: a 2 2 2 = x ◊ a = 50 cm ◊ 10 cm = 500 cm 3 ª 167 cm 3 3 3 3 3

x2 ◊ V = 2◊

266

a . 2

TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 2962. Mivel egy gömb bármelyik síkmetszete kör, ezért a metszet egy körlap. Jelöljük a kör sugarát r-el! Ekkor Pitagorasz tétele alapján: (13 cm)2 = (5 cm)2 + r2. Innen r = 12 cm. Tehát a sík a gömböt egy 12 cm sugarú körben metszi.

2963. Mindhárom kérdésre igen a válasz, pl.: b) a)

c)

(A b) és c) ábrán a megfelelõ élek felezõpontjait kötöttük össze.)

267

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS Vegyes kombinatorikai feladatok 2964. a) Akármelyik golyót rakhatjuk az elsõ helyre, ez három lehetõség. Ha például a piros golyó került elõre, akkor a második helyre a másik két golyó közül bármelyik kerülhet. Ez két esetet jelent. Ugyanez igaz akkor is, ha másik golyó állt az elsõ helyen. Emiatt az elsõ két helyre 3 ◊ 2-féleképpen kerülhetnek a golyók. Ha eldõlt, hogy az elsõ két helyre melyik golyó került, akkor a harmadikra már csak egyféle módon helyezhetjük el a kimaradót. Emiatt összesen 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6 féle sorrend lehetséges. Táblázatba foglalva a lehetõségeket (a golyókat a színük kezdõbetûjével jelöltük): 1. hely 2. hely 3. hely

P K S

K S K

P S

S S P

P K

K P

Ugyanez a válasz a b) c) d) e) f) g) h) kérdésekre is, tehát a lehetõségek száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6. 2965. a) Akármelyik golyót rakhatjuk az elsõ helyre, ez négy lehetõség. Ha például a piros golyó került elõre, akkor a második helyre a maradék három golyó közül bármelyik kerülhet. Ez három esetet jelent. Ugyanez igaz akkor is, ha másik golyó áll elõl, tehát az elsõ két helyre 4 ◊ 3-féleképpen helyezhetünk golyókat. Ha az elsõ két helyre már tettünk golyót, akkor a harmadik helyre a megmaradt két golyó bármelyike kerülhet. Így az elsõ három helyre 4 ◊ 3 ◊ 2-féleképpen rakhatunk golyókat. Ha eldõlt, hogy melyik három golyó kerül az elsõ három helyre, akkor a negyedik helyre már csak egyféleképpen kerülhet golyó. Emiatt összesen 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 féle sorrend lehetséges. Megjegyzés: Az elõzõ feladat eredményét felhasználva gyorsabban is eredményre juthatunk: Az elsõ helyre bármelyik golyó kerülhet, ez négy lehetõség. Ha például a piros golyó került elsõ helyre, akkor a többi három helyre a maradék három golyót kell sorbarakni. Az elõzõ feladat szerint ezt 6-féleképpen tehetjük meg. Ugyanez igaz akkor is, ha másik golyó áll elöl. Így összesen 4 ◊ 6 = 24-féle sorrend lehetséges.

267

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS Ugyanez a válasz a b) c) d) e) f) g) h) kérdésekre is, tehát a lehetõségek száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24. 2966. a) 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 négyjegyû számot kaphatunk. b) Páros számot csak akkor kapunk, ha az utolsó számjegy a 4. Így az elsõ három helyiértékre az 1; 3; 5 számjegyek kerülnek valamilyen sorrendben. Annyi páros számot kapunk tehát, ahányféleképpen az 1; 3; 5 számjegyek sorbarendezhetõk. Ezen sorrendek száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6. Tehát 6 páros szám van közöttük. c) 4000-nél nagyobb számot akkor kapunk, ha az elsõ számjegy 4 vagy 5. Így az elsõ helyiértékre kétféle számjegy kerülhet. Ha ide valamelyik számjegyet leírtuk, akkor a további három helyiértékre kell a maradék három számjegyet leírni. Ezt 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-féleképpen tehetjük meg. Tehát a 4000-nél nagyobb számok száma: 2 ◊ 6 = 12. 2967.

Korongok

Példák az elrendezésekre

Sorrendek száma

P; K

PK; KP

2

P; K; S

PKS; PSK; KPS; KSP; SPK; SKP

6

P; K; S; F

PKSF; PKFS; PSKF; PSFK; …

24

2968. a) Az öt vendég 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120-féle sorrendben érkezhetett meg a születésnapra. b) Az elsõ három érkezõ a három fiú volt. Õk 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-féle sorrendben érkezhettek meg. Az ezután érkezõ két lány kétféle sorrendben érkezhetett. Vagyis a fiúk bármely érkezési sorrendjéhez kétféleképpen kapcsolódhatnak, így az ilyen sorrendek száma: 6 ◊ 2 = 12. 2969. Az elsõ helyen bármelyik futó végezhetett, ez 6 lehetõség. Ha az elsõ helyezett már befutott, a második helyre a maradék öt futó közül bármelyik kerülhet, így ez 5 lehetõség. Tehát az elsõ két helyre 6 ◊ 5-féleképpen kerülhetnek versenyzõk. Hasonlóan folytatva tovább a hat futó lehetséges befutási sorrendjeinek száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = = 720. 2970. Mivel a szám 15-tel kezdõdik, ezért az elsõ két helyiértéket már kitöltöttük, így a többi négy helyiértéken kell elhelyezni a maradék négy számjegyet. Ezt annyiféleképpen tehetjük meg, ahányféleképpen a négy számjegyet sorba lehet rendezni. Ezek száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24. Tehát 24 db ilyen hatjegyû szám képezhetõ. 2971. Annyi ötjegyû számot képezhetünk, ahányféleképpen az öt számjegyet sorba lehet rendezni. Ezek száma: 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120. Tehát 120 db ötjegyû számot képezhetünk. Ha a szám 7-re végzõdik, akkor az elsõ négy helyiértékre kell elhelyezni a maradék négy számjegyet minden lehetséges sorrendben. Az ilyen számok száma tehát: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24.

268

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK 2972. 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 5040-féle sorrendben. 2973. a) Annyi ötjegyû számot képezhetünk, ahányféle módon sorbarendezhetjük az öt számjegyet. Ezek száma: 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120. b) Azok a számok párosak ezek közül, amelyek 2-re vagy 4-re végzõdnek. Tehát az utolsó helyre kétféle számjegyet választhatunk. Ekkor valamelyiket leírva a maradék négy helyiértékre kell elhelyezni a kimaradó négy számjegyet. Ezt 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24féle módon tehetjük meg. Tehát a képezhetõ páros számok száma: 2 ◊ 24 = 48. c) Azok a számok lesznek néggyel oszthatóak, amelyek utolsó két jegyébõl álló kétjegyû szám osztható néggyel. Emiatt az utolsó két helyiértékre a következõ számok kerülhetnek: 32; 52; 72; 24. Ha ezek valamelyikét leírjuk az utolsó két helyiértékre, akkor a maradék három számjegyet kell az elsõ három helyiértékre elhelyezni. Ezen elrendezések száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6. Tehát összesen: 4 ◊ 6 = 24 néggyel osztható szám van közöttük. d) A legnagyobb szám a 75 432, a legkisebb a 23 457. e) A legnagyobb páratlan szám a 75 423. f) A legkisebb páros szám a 23 574. g) Nagyság szerint írva a négy legkisebb szám sorrendben: 23 457; 23 475; 23 547; 23 574. Tehát a 4. helyen a 23 574 állna. Mivel az a) rész szerint 120 db szám van összesen, ezért a nagyság szerinti növekvõ sorban ugyanaz a szám áll a 115. helyen, mint ami a csökkenõ sorrendben a 6. helyen. Írjuk le csökkenõ sorrendben az elsõ hat számot! 75 432; 75 423; 75 342; 75 324; 75 243; 75 234; ... Tehát a növekvõ sorrendben a 115. helyen a 75 234 állna. h) Mivel minden szám ötjegyû és 120 db van belõlük, ezért az egymás mellé íráskor 5 ◊ 120 = 600 jegyû számot kapnánk. 2974. Ábécé sorrendben írva a „szavakat”, elõször az A, majd a K, végül a P és U betûvel kezdõdõ szavak következnek. Nézzük elõször hány „szó” kezdõdik A betûvel! Ezek száma éppen 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6, hiszen a maradék három betût ennyiféle sorrendben írhatjuk az A betû után. Tehát a „szótárban” az elsõ hat „szó” A betûvel kezdõdik és ezután következnek a K betûvel kezdõdõ „szavak". Hasonlóan, mint az A betû esetén, a K betûvel kezdõdõ „szavak” is hatan vannak. Az is látható, hogy közülük az elsõ a KAPU és utolsó a KUPA (hiszen a KAPU-ban a K után ábécé sorrendben, míg a KUPÁ-ban éppen fordítva következnek a betûk). Ebbõl következik, hogy a „szótárban” a KAPU a 7., a KUPA a 12. helyen szerepel. 2975. a) Egy szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege is osztható 3mal. Az általunk képezett számokban ugyanazok a számjegyek szerepelnek, tehát ha a jegyek összege osztható 3-mal, akkor minden ilyen hatjegyû szám is osztható lesz

269

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS 3-mal. A jegyek összege 1 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 36 osztható 3-mal, tehát annyi 3mal osztható szám lesz, ahány ilyen hatjegyû számot képezni lehet. Ezek száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 720, hiszen ennyiféleképpen rendezhetjük sorba a hat számjegyet. b) Egy szám akkor osztható 6-tal, ha osztható 3-mal és páros. Mivel az általunk képezhetõ számok mind oszthatók 3-mal, ezért azt kell megszámolni, hogy közöttük hány páros van. Páros számot akkor kapunk, ha az utolsó helyiértékre 6-ot vagy 8-at írunk. Ezek bármelyikét leírva a többi öt helyiértékre 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120-féle módon rendezhetjük el a maradék öt számjegyet. Tehát a 6-tal osztható számok száma: 2 ◊ 120 = 240. c) Egy szám akkor osztható néggyel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám is osztható néggyel. Esetünkben lesz közöttük néggyel osztható, hiszen a 16-ra, 56ra, 76-ra, 96-ra és 68-ra végzõdõ számok mind ilyenek. Megjegyzés: Könnyen megszámolhatjuk, hogy hány néggyel osztható számot képeztünk! Az elõzõek szerint az utolsó két helyiértékre 5-féleképpen írhatunk számjegyeket. Bármelyiket is tekintjük, hozzá az elsõ négy helyiértékre 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24féleképpen rendezhetjük el a maradék négy számjegyet. Így a néggyel osztható számok száma: 5 ◊ 24 = 120. 2976. a) A nyolc ember 8 ◊ 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 40 320-féle módon ülhet le egymás mellé. b) Különböztessünk meg két esetet: 1. eset: a páratlan sorszámú helyeken fiúk ülnek, a páros sorszámú helyeken lányok. Ekkor a négy páratlan sorszámú helyre a négy fiút 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen ültethetjük le. A fiúk bármely sorrendjében a lányok a négy páros sorszámú helyre 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen ülhetnek. Így ezen sorrendek száma: 24 ◊ 24 = 576. 2. eset: a páratlan sorszámú helyeken lányok ülnek, a páros sorszámú helyeken fiúk. Ekkor az elõzõ részhez hasonlóan a lehetõségek száma 576. Így összesen 576 + 576 = 1152-féle módon ülhetnek le felváltva fiúk, lányok a padra. 2977. A leírt feltétel szerint nem tekinthetõ különbözõnek az a két elhelyezés, amelyek egyike úgy keletkezik a másikból, hogy mindenki pl. egy hellyel jobbra ül. Ebbõl következik, hogy az elhelyezkedésnél az elsõ ember tetszüleges helyre ülhet, a sorrendet a többiek hozzá képest való elhelyezkedése határozza meg. a) Az elõbb elmondottakból következik, hogy 3 ember csak egyféleképpen ülhet le az asztal mellé, hiszen bármilyen helyzetben is foglaltak helyet a két szomszéd ugyanaz marad. (Ha különbséget tennénk a bal- ill. jobboldali szomszéd személye között, akkor persze kétféle elhelyezkedés adódna, aszerint, hogy az elsõ ember balján a második, vagy a harmadik ember ül.)

270

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK b) Az a) részben leírtak szerint 3 ember csak egyféleképpen ülhet le az asztal köré. Ha a négybõl három már leült, a negyediket 3-féleképpen ültethetjük le annak megfeleleõen, hogy melyik kettõ közé ültetjük. Így a lehetõségek száma 3. (Ha különbséget teszünk a bal és jobboldali szomszéd között, akkor az elõzõ megjegyzésbõl adódóan 6-féle elhelyezés lehetséges.) c) A b) rész szerint négy ember háromféleképpen ülhet le az asztal köré. Válasszunk ki az öt emberbõl négyet és ültessük le õket! Ekkor az ötödik ember 4-féleképpen ülhet le közéjük, így az öt ember elhelyezkedésére: 3 ◊ 4 = 12 lehetõségünk van. (Ha különbséget teszünk a bal- és jobboldali szomszéd között, akkor a lehetõségek száma 24.) 2978. A megoldás alapgondolata megegyezik az elõzõ feladat megoldásában használtakkal. Három gyöngyöt csak egyféleképpen fûzhetünk fel a láncra. A negyediket bármely kettõ közé illeszthetjük, így a négy gyöngy felfûzésére 3 lehetõség van. Az ötödik gyöngyöt a már felfûzött négy gyöngy közé kell illeszteni, így erre 4 lehetõség van. Tehát az öt gyöngyöt összesen 3 ◊ 4 = 12-féleképpen fûzhetjük fel. Ha már öt gyöngyöt felfûztünk, a hatodikat ezek közé kell illeszteni. Erre 5 lehetõségünk van. Így a hat gyöngyöt összesen: 5 ◊ 12 = 60-féleképpen fûzhetjük fel a láncra. 2979. a) Osszuk fel a padot három részre, és osszuk el a részeket a három házaspár között. Ezt 6-féleképpen tehetjük meg. (Az elsõ részt bármelyik pár kaphatja, ez három eset. Ha az egyik már megkapta azt, a másik részre két lehetõség van. Végül, ha az elsõ két részt elosztottuk, akkor a harmadikat csak egyféleképpen adhatjuk oda. Így az esetek száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6) A megkapott részre mindegyik pár kétféleképpen ülhet le. Így az összes lehetõségek száma: 6 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 48. Megjegyzés: Másképpen is okoskodhatunk! A pad bal oldali szélére a hat ember közül bárki leülhet, ez 6 lehetõség. Melléje viszont már csak a házastársa ülhet, így az elsõ két helyre 6-féleképpen ülhetnek le. Ezután a következõ helyre a kimaradó 4 ember közül bárki leülhet, melléje viszont ismét csak a házastárs ülhet, így az elsõ négy helyre 6 ◊ 4-féleképpen ülhetnek le. A kimaradó két helyre a harmadik házaspár kétféleképpen ülhet le, így az összes lehetõségek száma: 6 ◊ 4 ◊ 2 = 48. b) Kövessük vagy az a) részben vagy a megjegyzésben látott gondolatmenetet! A lehetséges esetek száma: 24 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 384. (A megjegyzésbeli gondolatmenettel: 8 ◊ 6 ◊ 4 ◊ 2 = 384.) 2980. a) A 2977. feladat megoldásából kiderült, hogy három ember a feltételeknek megfelelõen csak egyféleképpen helyezkedhet el az asztal körül. Ültessük le elõször a három férfit az asztal köré, ezt csak egyféleképpen tehetjük meg. Ezután minden feleség választhat, hogy férje jobb vagy bal oldalán szeretne inkább ülni. Így a lehetõségek száma: 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8.

271

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS b) Az a) rész szerinti gondolatmenetet követve: A négy férjet háromféleképpen ültethetjük az asztal mellé. (2977. feladat b) része.) Ezután minden feleség két lehetõség közül választhat: férje jobbján vagy balján foglalhat helyet. Így a lehetõségek száma: 3 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 48. Megjegyzés: Ha leülésnél különbséget teszünk a jobb- és baloldali szomszéd között, akkor az elhelyezkedések száma az elõzõ megoldásból adódónak kétszerese lesz. 2981. a) 4

b) 18

c) 96

Gondolkodjunk úgy, hogy az elsõ helyiértékre a 0-n kívül bármely számjegy kerülhet. Ha ide már leírtunk egy számjegyet, akkor a maradék helyiértékekre a kimaradt számjegyeket tetszõleges sorrendben leírhatjuk. 2982. Az elsõ helyiértékre nulla nem kerülhet, így ide 9-féleképpen írhatunk számjegyet. A maradék kilenc helyiértékre a kimaradó 9 számjegy tetszõleges sorrendben írható, így a lehetõségek száma: 9 ◊ 9 ◊ 8 ◊ 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 3 265 920. 2983. Egy szám pontosan akkor osztható öttel, ha 0-ra vagy 5-re végzõdik. Ezért esetünkben a 0 az utolsó helyiértéken szerepelhet csak. Az elsõ négy helyiértékre a négy számjegyet 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen helyezhetjük el, így 24 ilyen ötjegyû szám képezhetõ. 2984. Egy szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végzõdik. Esetünkben a 0-ra végzõdõ négyjegyû számok száma 6, hiszen a többi három számjegyet hatféleképpen helyezhetjük el az elsõ három helyiértéken. Az 5-re végzõdõ számok száma 4, hiszen a 0 nem kerülhet az elsõ helyiértékre. Összesen tehát 10 ilyen négyjegyû szám képezhetõ. 2985. Az utolsó számjegy vagy a 0, vagy a 2. Ha a 0 az utolsó jegy, akkor az elsõ három helyiértékre 6-féleképpen rendezhetjük el a három számjegyet, így 6 ilyen négyjegyû szám van. Ha az utolsó számjegy a 2, akkor 4 ilyen négyjegyû szám képezhetõ, hiszen a 0 nem állhat az elsõ helyiértéken. Összesen tehát 10 ilyen négyjegyû szám képezhetõ. Néggyel osztható számot akkor kapunk, ha az utolsó két számjegybõl álló kétjegyû szám osztható néggyel. Így az utolsó két helyiértékre csak a 12; 32; 20 kerülhet. Így 4 db néggyel osztható számot kaphatunk, ezek a következõk: 3012; 1032; 1320; 3120. 2986. a) Az elsõ helyiértékre nem kerülhet 0, így 4 lehetõség adódik. Ha valamelyik számjegyet elsõnek leírtuk, akkor a többi négy helyiértékre a maradék négy számjegyet 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24-féleképpen írhatjuk le. Így 4 ◊ 24 = 96 ötjegyû számot képezhetünk. b) Az utolsó számjegy csak 1 vagy 3 lehet, ez két lehetõség. Valamelyiket leírva a maradék négy számjegybõl kell négyjegyû számot képezni. Mivel a nulla nem kerülhet az elsõ helyiértékre, ezért ilyen négyjegyû szám: 3 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 18 van. Tehát a páratlan ötjegyû számok száma: 36.

272

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK c) Egy szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha ötre vagy nullára végzõdik. Ezért esetünkben a nullának az utolsó helyiértéken kell állni. Ilyen szám összesen 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 képezhetõ, hiszen a maradék négy számjegyet tetszõleges sorrendben írhatjuk az elsõ négy helyiértékre. d) Egy szám pontosan akkor osztható néggyel, ha az utolsó két jegyébõl álló kétjegyû szám is osztható néggyel. Így esetünkben a számoknak a következõ kétjegyû szám valamelyikére kell végzõdni: 20; 40; 12; 32; 24; vagy 04. Ha a szám, végzõdése 20; 40 vagy 04, akkor az elsõ három helyiértékre tetszõleges sorrendben írhatjuk a kimaradó három számjegyet. Tehát ilyen szám összesen 3 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 18 képezhetõ. Ha a szám végzõdése 12; 32 vagy 24, akkor a kimaradó három számjegybõl a 0 nem kerülhet az elsõ helyiértékre, így ilyen szám összesen 3 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 1 = 12 képezhetõ. Összefoglalva: 30 db néggyel osztható számot képezhetünk. 2987. a) Egy szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege is osztható 3mal. Esetünkben a jegyek összege: 0 + 2 + 4 + 6 + 9 = 21 osztható 3-mal. Így az összes ötjegyû szám osztható lesz 3-mal. Ezek száma 4 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 96, hiszen a nulla nem állhat elsõ helyen. b) Egy szám akkor osztható 6-tal, ha osztható 3-mal és páros. Esetünkben minden szám osztható 3-mal, tehát csak azt kell megszámolni, hogy hány páros van közöttük. Mivel csak a 9-re végzõdõ számok nem párosak, ezért célszerû megszámolni, hogy hány 9-re végzõdõ szám található közöttük. Mivel a 0 nem kerülhet az elsõ helyiértékre, ezért a 9-re végzõdõ számok száma: 3 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 18. Tehát a számok között 96 - 18 = 78 hattal osztható van. c) Egy szám pontosan akkor osztható 30-cal, ha osztható 5-tel is, 3-mal is és 2-vel is. Esetünkben minden szám osztható 3-mal, így azokat kell megszámolni, amelyik 5tel is és 2-vel is oszthatók. Ez a feltétel akkor teljesül, ha a szám 0-ra végzõdik. Így ezek száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24. 2988. a) 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332. A számok leírása nélkül is kiszámíthatjuk az összeget! Észrevehetjük, hogy az összegben minden számjegy minden helyiértéken éppen kétszer szerepel, hiszen a másik két jegyet kétféleképpen írhatjuk le a megmaradó két helyiértékre. Így az összeg: 2 ◊ (1 + 2 + 3) ◊ 100 + + 2 ◊ (1 + 2 + 3) ◊ 10 + 2 ◊ (1 + 2 + 3) = 2 ◊ (1 + 2 + 3) ◊ 111 = 2 ◊ 6 ◊ 111 = 1332. b) Az a) részben látott gondolatmenetet követhetjük. Minden számjegy minden helyiértéken annyiszor szerepel az összegben, ahányféleképpen a többi három számjegyet a maradék három helyiértékre le lehet írni. Ez éppen 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6. Így az öszszeg: 6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 1000 + 6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 100 + 6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 10 + 6 ◊ (1 + + 2 + 3 + 4) = 6 ◊ (1 + 2 + 3 + 4) ◊ 1111 = 6 ◊ 10 ◊ 1111 = 66 660.

273

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS c) Hogy a b) részben látott gondolatmenetet alkalmazni tudjuk, írjuk hozzá gondolatban a négyjegyû számokhoz azokat is, amelyek 0-val kezdõdnek. Ekkor a b) rész alapján az összeg: 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) ◊ 1000 + 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) ◊ 100 + + 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3)10 + 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) = 6 ◊ (0 + 1 + 2 + 3) ◊ 1111 = = 6 ◊ 6 ◊ 1111 = 39 996. Ebbõl az összegból vonjuk ki azokat, amelyek 0-val kezdõdtek (0123; 0132; ...) Ezek összege éppen az a) részben számított összeg, tehát 1332. Így a 0; 1; 2; 3 számjegyek felhasználásával készített négyjegyû számok öszszege: 39 996 - 1332 = 38 664. 2989. a) 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120, hiszen ennyiféleképpen lehet sorbarendezni az 5 számjegyet. b) Minden számjegy minden helyiértéken annyiszor szerepel az összegben, ahányféleképpen a többi 4 számjegyet a 4 kimaradó helyiértéken el lehet helyezni. Ez a szám 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24. Így a keresett összeg (az 2988. feladat mintájára): 24 ◊ (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ◊ 11 111 = 24 ◊ 25 ◊ 11 111 = 6 666 600. 2990. a) ABB; BAB; BBA b) TOLL; TLOL; TLLO; OTLL; OLTL; OLLT; LOTL; LOLT; LLOT; LTOL; LTLO; LLTO 2991. AABB; ABAB; ABBA; BAAB; BABA; BBAA 2992.

Korongok

Példák az elrendezésekre

Sorrendek száma

F; P; K

FPK; FKP; PFK; PKF; …

6

F; F; P

FFP; FPF; PFF

3

F; P; K; S

FPKS; FPSK; FKPS; FKSP; …

24

F; F; P; K

FFPK; FPFK; FPKF; FFKP; …

12

F; F; F; P

FFFP; FFPF; FPFF; PFFF

4

F; F; P; P

FFPP; FPFP; FPPF; PFFP; …

6

2993. I. megoldás: Válasszunk ki a négy helyiérték közül kettõt, és ide írjuk le a két 2-es számjegyet! Ezt 6-féleképpen tehetjük meg, hiszen az elsõ helyiértéket 4 közül választjuk, a másodikat a maradék három közül. Ez 12 lehetõséget jelentene, azonban minden helyiérték-párt kétszer számoltunk meg annak megfelelõen, hogy melyiket választottuk ki elsõnek. Ezután a maradék két helyiértékre írjuk le a 3 és az 5 számjegyeket. Ezt kétféleképpen tehetjük meg. Így a képezhetõ négyjegyû számok száma 6 ◊ 2 = 12. II. megoldás: Írjunk az egyik kettes számjegy helyébe egy 1-est! Így a négy számjegybõl 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 24 négyjegyû számot képezhetünk. Rendezzük ezeket párba: két szám kerüljön párba, ha az 1 és 2 cseréjével egyikbõl a másikat kapjuk. (pl: 5132és

274

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK 5231) Látható, hogy ha most az 1 helyett visszaírjuk az eredetileg szereplõ 2-t, akkor a párok ugyanazt a négyjegyû számot jelentik. Ezért a képezhetõ négyjegyû számok száma: 12. 2994. I. megoldás: Válasszunk ki az öt helyiérték közül kettõt, és ide írjuk le a két 1-es számjegyet. A két helyiérték kiválasztását 10-féleképpen tehetjük meg. A maradék három helyiértékre írjuk le a 2; 3; 5 számjegyeket. Ezt 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6-féleképpen tehetjük meg. Így a képezhetõ ötjegyû számok száma: 10 ◊ 6 = 60. II. megoldás: Írjunk az egyik 1-es számjegy helyett 9-est! Az így kapott öt számjegybõl 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 120 ötjegyû számot képezhetünk. Rendezzük ezeket párba: két szám kerüljön párba, ha az 1 és a 9 cseréjével egyikbõl a másikat kapjuk. (Pl: 29 351 és 21 359) Látható, hogy ha most a 9-es helyett visszaírjuk az eredeti 1-est, akkor a párok ugyanazt a számot jelentik. Így a képezhetõ ötjegyû számok száma: 60. 2995. Válasszunk ki a négy helyiérték közül kettõt és írjuk ide a két 3-ast, a másik két helyiértékre a két 5-öst. Így annyi négyjegyû számot lehet képezni, ahányféleképpen a négy helyiérték közül kettõt ki lehet választani. Ezt 6-féleképpen tehetjük meg. (Az elsõ helyiérték kiválasztására 4, a másodikra 3 lehetõségünk van. Ez összesen 12 esetet jelentene, de minden helyiérték-párt kétszer számoltunk annak megfelelõen, hogy melyiket választottuk ki elõször.) Tehát 6 db négyjegyû számot képezhetünk. 2996. a) Válasszuk ki az öt helyiérték közül kettõt, és a maradék háromra írjuk le az egyes számjegyeket. Ezt 10-féleképpen tehetjük meg. A kiválasztott két helyiértékre a 2 és 3 kétféleképpen írható, így a képezhetõ ötjegyû számok száma: 2 ◊ 10 = 20. b) 3 db

c) 6 db

2997. Járjunk el a 2995. feladat szerint. a) 6 db

b) 3 db

2998. a) Az öt helyiérték közül válasszunk ki kettõt, ide írjuk le a két 2-est, a többi három helyiértékre pedig a három 1-est. Így annyi ötjegyû számot képezhetünk, ahányféleképpen az öt helyiérték közül kettõt ki lehet választani. (Az elsõ helyiérték kiválasztására 5, a másodikra 4 lehetõségünk van. Így azonban minden helyiérték-párt kétszer számoltunk meg. Tehát a kiválasztások száma: 10) Vagyis 10 ilyen ötjegyû szám képezhetõ. b) 3 db

c) 4 db

d) 6 db

2999. 3 db ilyen ötjegyû szám képezhetõ. 3000. Az elsõ négy helyiértékre kell elhelyezni minden lehetséges módon az 1; 1; 2; 2 számjegyeket. Az ilyen hatjegyû számok száma: 6. (Lásd a 2997. a) feladat megoldását.)

275

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS 3001. a) 12 szó képezhetõ. (Lásd a 2993. feladat megoldását. Írjunk az A betûk helyett 2-t, a K helyett 3-at, a T helyett pedig 5-öt!) b) Az AKTA szó a 4. helyen áll ebben a szótárban. 3002. Ahhoz, hogy a MATEK szót kiolvassuk kettõt jobbra és kettõt lefelé kell „lépnünk". Jelöljük a jobbra lépést az 1 számjeggyel, a lefelé lépést a 2 számjeggyel. Így minden egyes kiolvasáshoz tartozik egy négyjegyû szám, amely két 1-es és két 2-es számjegyet tartalmaz, és fordítva: minden ilyen négyjegyû számhoz tartozik egy elolvasása a MATEK szónak. Például: a 2112 számhoz a nyilak szerinti elolvasás tartozik: M A Ø A Æ T Æ T

E

T E Ø K

Ebbõl következik, hogy annyiféleképpen olvasható ki a MATEK szó a táblázatból, ahány négyjegyû szám képezhetõ az 1; 1; 2; 2 számjegyekbõl. Ezek száma 6. (Lásd 2997 a) feladat megoldását.) Tehát 6-féleképpen olvasható ki a MATEK szó a táblázatból. 3003. Kövessük az elõzõ feladat megoldásának gondolatmenetét! Ahhoz, hogy az ISKOLA szót kiolvassuk a táblázatból 3 „lépést” jobbra és 2 „lépést” lefelé kell megtenni. Jelölje a jobbra lépést 1-es számjegy, a lefelé lépést 2-es számjegy. Így a táblázatból annyiféleképpen olvasható ki az ISKOLA szó, ahány ötjegyû szám képezhetõ az 1; 1; 1; 2; 2 számjegyek felhasználásával. Ezek száma 10. (Lásd a 2998. feladat a) részének megoldását.) Tehát 10-féleképpen olvasható ki a táblázatból az ISKOLA szó. 3004. Az olvasáskor hét lépést kell tennünk jobbra és kettõt lefelé. Jelöljünk minden jobbra lépést egy 1-es számjeggyel és minden lefelé lépést egy 2-es számjeggyel. Így minden elolvasáshoz egyértelmûen hozzárendelhetõ egy kilencjegyû, 7 db 1-es és 2 db 2-es számjegyet tartalmazó szám, és fordítva: minden ilyen számhoz egyértelmûen tartozik a MATEMATIKA szónak egy elolvasása. Pl. az 111211211 számhoz a nyilakkal jelölt kiolvasás: M Æ A Æ T Æ E M A T I Ø A T E M Æ A Æ T I K Ø T E M A T I Æ K Æ A Így annyiféleképpen olvasható ki a táblázatból a MATEMATIKA szó, ahány kilencjegyû szám képezhetõ az 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2 számjegyekbõl. Ezeket könnyen összeszámolhatjuk: Válasszunk ki a kilenc helyiérték közül kettõt, ide írjuk a két 2-es szám-

276

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK jegyet, a többi helyiértékre pedig az 1-eseket. Tehát annyi ilyen szám képezhetõ, ahány9◊8 = 36 . féleképpen a kilenc helyiérték közül kettõt ki lehet választani. Ezek száma: 2 Ugyanis az elsõt kilencféleképpen, a másodikat ezután nyolcféleképpen választhatjuk. Ez 9 ◊ 8 lehetõséget jelent, de itt minden helyiérték-párt kétszer számoltunk, hiszen egyszer az egyiket, másodszor a másikat választottuk ki elsõként. Összefoglalva: a MATEMATIKA szó 36-féleképpen olvasható ki a táblázatból. 3005. (A feladat szövege „1-es és 2-es” számjegyeket ír. Ez azt jelenti, hogy mind a két számjegynek szerepelni kell a négyjegyû számban.) 1112; 1121; 1211; 2111; 1122; 1212; 1221; 2112; 2121; 2211; 1222; 2122; 2212; 2221 Ezek száma tehát 14. 3006. a) Az elsõ helyiértékre bármelyik számjegy írható, ez 3 lehetõség. Ha valamelyiket leírtuk, akkor a második helyiértékre is 3 lehetõségünk van, így az elsõ két helyiérték kitöltésére 3 ◊ 3 lehetõség adódik. Ha az elsõ két helyiértékre leírtunk egy-egy számjegyet, akkor a harmadikra háromféle számjegy kerülhet. Így a képezhetõ háromjegyû számok száma:3 ◊ 3 ◊ 3 = 27. b) 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6 ilyen szám van, hiszen ennyiféleképpen rendezhetjük sorba a három számjegyet. c) Összesen 27 ilyen számot képezhetünk. Ebbõl 6 olyan van, amely mind a három jegyet tartalmazza, és 3 olyan, amelynek minden számjegye ugyanaz. Így az olyan számokból, amelyeknek pontosan két számjegye egyenlõ: 27 - 6 - 3 = 18 db van. d) 3 ilyen szám van. 3007. a) 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24

b) 4 ◊ 4 ◊ 4 = 64

3008. a) 4 ◊ 3 = 12

b) 4 ◊ 4 = 16

3009. a) A páros számok száma: 2 ◊ 4 = 8, a páratlanoké: 3 ◊ 4 = 12 b) A páros számok száma: 2 ◊ 5 = 10, a páratlanoké: 3 ◊ 5 = 15. 3010. a) 5 páratlan számjegy van, közülük bármelyik kerülhet az elsõ helyiértékre, ez 5 lehetõség. Ha valamelyiket leírtuk, akkor a második helyiértékre szintén 5-féle számjegyet írhatunk. Így összesen 5 ◊ 5 = 25 ilyen kétjegyû számot képezhetünk. b) 5 ◊ 4 = 20 ilyen kétjegyû szám van, hiszen ha az elsõ helyiértéket már kitöltöttük, akkor az ide írt számjegy nem szerepelhet a második helyiértéken. 3011. a) 5 páros számjegy van. Az elsõ helyiértéken nem szerepelhet a 0, így 4 lehetõségünk van a választásra. Ha valamelyik jegyet ide leírtuk, akkor a második helyiértékre már bármelyik számjegy kerülhet. Így az ilyen kétjegyû számok száma: 4 ◊ 5 = 20.

277

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS b) 4 ◊ 4 = 16 ilyen kétjegyû szám található, hiszen az elsõ helyiértéken nem szerepelhet a 0, ill. a második helyiértékre nem kerülhet a már elsõre leírt számjegy. 3012. 8888; 8889; 8898; 8988; 9888; 8989; 9889; 9898 3013. a) Bármely dobásnak hat különbözõ kimenetele lehet, így minden esetben 6-féle számjegyet írhatunk le. Így a kísérletnek 6 ◊ 6 ◊ 6 = 216 kimenetele lehet. b) Számoljuk meg azokat a kimeneteleket, amelyekben nincs hatos dobás. Ekkor minden dobáskor ötféle eredmény születhet, így ezen kimenetelek száma: 5 ◊ 5 ◊ 5 = 125. Mivel összesen 216-féle eredmény születhet, ezért azon kísérletek száma, amelyekben legalább egy hatos van: 216 - 125 = 91. c) Ekkor minden dobásra három lehetõség adódik (4; 5; 6), így a kísérlet kimeneteleinek száma: 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27. d) A dobott számok között három prímszám adódhat: 2; 3; 5. Így azon kimenetelek száma, amelyekben minden dobás prímszám: 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27. 3014. a) A felsõ csíkot bármelyik színnel színezhetjük, ez négy lehetõség. Ezután a másik csík szinezésére csak három lehetõség marad, hiszen az nem lehet az elsõ csíkkal egyezõ szín. A lehetõségek száma tehát: 4 ◊ 3 = 12. b) Az a) rész alapján a felsõ két csík szinezését 12-féleképpen végezhetjük el. Ezután az alsó csík színét háromféleképpen választhatjuk meg, hiszen ennek színe nem egyezhet meg a középsõ színével. A készíthetõ zászlók száma tehát: 12 ◊ 3 = 36. c) A b) rész szerint a felsõ három csík színét 36-féleképpen választhatjuk ki. Ezután a negyedik csík színének kiválasztására 3 lehetõségünk van, hiszen az nem egyezhet meg a fölötte lévõ színével. Így a készíthetõ zászlók száma: 36 ◊ 3 = 108. 3015. a) 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6

b) 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24

c) 5 ◊ 4 ◊ 3 = 60

d) 10 ◊ 9 ◊ 8 = 720

3016. a) Az elsõ tárgyat bárkinek odaadhatjuk, ez 10 lehetõség. ha valaki megkapta az elsõ tárgyat, akkor a másodikat már csak kilenc tanulónak adhatjuk, ez 9 lehetõség. Tehát az elsõ két tárgy szétosztására 9 ◊ 10 lehetõség van. Ha az elsõ két tárgy gazdára talált, akkor a harmadikat már csak 8 tanuló valamelyikének adhatjuk. Így a kiosztások száma: 10 ◊ 9 ◊ 8 = 720. b) Az elõzõ esethez képest annyi a különbség, hogy minden tárgy kiosztásánál 10 lehetõségünk van. Így az esetek száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 = 1000. 3017. Bármely tárgy sorsolásánál annyi lehetõségünk van, mint ahány ember van a társaságban. Így a sorsolás kimeneteleinek száma: a) 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81

b) 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 256

c) 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 = 625

d) 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 10 000

3018. a) 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81

278

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK b) Ha minden tanuló kap legalább egy tárgyat, akkor egy tanuló 2 tárgyat, a többiek egy-egy tárgyat kapnak. Adjunk az egyik tanulónak két tárgyat. Ezt 3 ◊ 6 = 18féleképpen tehetjük meg, hiszen ez bármelyik tanuló lehet, ez 3 eset, illetve a 4 tárgy közül a neki adott 2 tárgyat 6-féleképpen választhatjuk ki. Ezután a maradék két tárgyat a két tanuló között kétféleképpen oszthatjuk el. Így a lehetõségek száma: 18 ◊ 2 = 36. 3019. 28 ◊ 27 ◊ 26 = 19 656 3020. a) 9 db ilyen szám van. (111; 222; ...; 999) c) Az elsõ helyiértékre nem kerülhet 0, így ide 9-féleképpen írhatunk számjegyet. Ezután a második helyiértékre nem kerülhet az elsõre írt jegy, így erre 9 lehetõség adódik. Ha az elsõ két helyiértékre már írtunk számjegyet, akkor a harmadikra csak 8 lehetõségünk van. Így a képezhetõ számok száma: 9 ◊ 9 ◊ 8 = 648. b) Összesen 9 ◊ 10 ◊ 10 = 900 db háromjegyû szám van. Így a két különbözõ számjegyet tartalmazók száma: 900 - 9 - 648 = 243. 3021. 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120 3022. 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 54 3023. a) 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 = 625 b) Számoljuk meg azokat a számokat, amelyekben nincs benne az 1-es számjegy! Ekkor minden helyiértékre négyféle számjegy közül választhatunk, így az ilyen számok száma: 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 256. Tehát az 1-es számjegy 625 - 256 = 369 számban fordul elõ. 3024. Az elsõ helyiértéken nem állhat nulla, az utolsó helyiértéken pedig nem állhat 1. Így a képezhetõ számok száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 2 = 108. 3025. a) 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 32 b) Azok a számok lesznek néggyel oszthatók közülük, amelyek 12-re végzõdnek. Ezek száma: 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8. (Hiszen az elsõ három helyiértékre bármelyik számjegy kerülhet.) c) Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a szám jegyeinek összege osztható 3-mal. Így csak az 1; 1; 1; 1; 2 és az 1; 2; 2; 2; 2 jegyekbõl képezett számok lesznek 3-mal oszthatóak. Ezek száma: 10. 3026. a) Az elsõ helyiértéken nem állhat 0, az utolsó helyiértéken nem állhat 1. Így az ilyen számok száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 2 = 324. b) Az elsõ helyiértéken nem állhat 0, az utolsó helyiértéken csak az 1 állhat. Így az ilyen számok száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 1 = 162.

279

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS c) A képezett számok csak akkor lesznek néggyel oszthatók, ha végzõdésük: 00; 20 vagy 12. Ezek száma: 2 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 162. 3027. Egy szám akkor osztható 6-tal, ha páros és a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Így az a) feladatban csak a 4; 4; 5; 5 jegyekbõl képezett páros számok felelnek meg. A képezhetõ számok száma 3. b) Ebben az esetben a 4; 5; 5; 5; 5 vagy a 4; 4; 4; 4; 5 számjegyekbõl képezett páros számok felelnek meg. Ezek száma: 1 + 4 = 5. 3028. 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 = 360 ilyen négyjegyû szám képezhetõ. Ezek közül: 4 ◊ 3 = 12 kezdõdik 65tel. 3029. A gondolt szám minden számjegye 2 vagy 3. Így a következõ számokra gondolhattunk: 222; 223; 232; 322; 233; 323; 332; 333 3030. A gondolt szám minden jegye 8 vagy 9. Így három kérdés feltételével biztosan kitalálható a gondolt szám. (Ezek a kérdések például: 1. Az elsõ jegy 9-es? 2. A második jegy 9-es? 3. A harmadik jegy 9-es?) 3031. Ilyen számok: 20; 31; 42; 53; 64; 75; 86; 97; 13; 24; 35; 46; 57; 68; 79. Ezek száma 15. Így négy kérdéssel biztosan kitalálható a gondolt szám. 3032. Minden olyan háromjegyû szám elõállhat, amit az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számjegyekbõl (egyegy jegyet csak egyszer használva) képezhetünk. Ezek száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120. 3033. a) Az utolsó dobás eredménye csak a 2; 4; 6 valamelyike lehet, az elsõ három dobás eredménye tetszõleges. Így a kimetelek száma: 6 ◊ 6 ◊ 6 ◊ 3 = 648. b) 4-gyel osztható szám akkor keletkezik, ha az utolsó két dobás eredményének egymás után történõ leírásával kapott kétjegyû szám osztható 4-gyel. Az ilyen kimenetelek: 12; 16; 24; 32; 36; 44; 52; 56; 64. Ezek száma 9. Az elsõ két dobás eredménye tetszõleges lehet. Így a 4-gyel osztható négyjegyû számok száma: 6 ◊ 6 ◊ 9 = 324. 3034. a) A 4 csak úgy adódhat összegként, ha kétszer 1-et, egyszer pedig 2-t dobunk. Mivel a kettes eredmény bármelyik dobás lehet, ezért a lehetõségek száma 3. b) Az 5 három eredmény összegeként 1 + 1 + 3 vagy 1 + 2 + 2 formájában állhat elõ. Itt mind a két lehetõség 3-3-féleképpen keletkezhet attól függõen, hogy a 3-at illetve a 1-et melyik dobásnál kaptuk. Így a lehetõségek száma 6. c) Ha a dobások sorrendjét nem vesszük figyelembe, akkor a 9-et hatféleképpen kaphatjuk meg összegként: 1 + 2 + 6; 1 + 3 + 5; 1 + 4 + 4; 2 + 2 + 5; 2 + 3 + 4;

280

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK 3 + 3 + 3. Ha a dobások sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor a három különbözõ számból álló összegek 6-féleképpen, a két különbözõ számból álló összegek 3féleképpen adódhattak, így a lehetõségek száma: 6 + 6 + 3 + 3 + + 6 + 1 = 25. d) A 16 összegként 6 + 6 + 4 vagy 6 + 5 + 5 formában kapható meg. Itt mindkét lehetõség 3-féleképpen keletkezhet, így összesen 6 esetben lehet a számok összege 16. 3035. Minden dobás eredménye vagy 1, vagy 3, vagy 5. Mivel egy szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha a számjegyek összege is osztható 3-mal, ezért a három eredmény összegének 3-mal oszthatónak kell lenni. Ez úgy adódhat, ha mindhárom dobás eredménye ugyanaz a szám, vagy ha mindhárom dobás különbözõ. Így az egyes dobások eredménye a következõ lehetett: (1; 1; 1); (3; 3; 3); (5; 5; 5); (1; 3; 5); (1; 5; 3); (3; 1; 5); (3; 5; 1); (5; 1; 3); (5; 3; 1) 3036. Egy egész szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege is osztható 9-cel. a) Az elõzõek alapján 9-cel osztható számot csak úgy kaphatunk, ha 4 db 4-es és 4 db 5-ös számjegyet használunk a nyolcjegyû szám képzésénél. Tehát annyi ilyen nyolcjegyû számot képezhetünk, ahányféleképpen a 8 helyiérték közül kiválasztható Ê 8ˆ az a 4, ahová a 4-est írjuk. Ezek száma Á ˜ = 70 db . Ë 4¯ b) Kilencjegyû 9-cel osztható számot csak akkor kapunk, ha minden számjegy 4-es vagy minden számjegy 5-ös. Így ezek száma 2 db. 3037. Egy jelbõl álló morzejel 2 db van: -; ◊ Két jelbõl álló morzejel 4 db van, hiszen mindkét jelet kétféleképpen választhatjuk meg. Hasonlóan: három jelbõl álló morzejel 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8 db van, négy jelbõl álló morzejel 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16 db van, öt jelbõl álló morzejel 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 32 db van. Így a morzejelek száma: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62. 3038. A feladat megoldásánál eltekintünk attól, hogy bizonyos telefonszámok (pl. a csupa 0 számjegyet tartalmazó) a valóságban nem léteznek. a) Bármely jegy 10-féleképpen alakulhat, így a vonalak száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 = 1000. b) A vonalak száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 10 000, hiszen bármely jegyet 10-féleképpen választhatunk ki. c) Ebben az esetben a lehetséges vonalak száma: 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 100 000, hiszen minden jegyet 10-féleképpen lehet kijelölni. Megjegyzés: Az elõzõek alapján következik, hogy n jegyû telefonszámok esetén a telefonvonalak száma legfeljebb 10n. 3039. a) Ha egy négyjegyû tükörszám elsõ két jegyét megadtam, akkor a számot egyértelmûen meghatároztam, hiszen az utolsó két számjegy az elsõ két jegy fordított sorrendben történõ leírásával adódik. Így annyi négyjegyû tükörszámot képezhetünk az 1;

281

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS 2; 3 számjegyek felhasználásával, mint ahány kétjegyû számot. Ezek száma: 3 ◊ 3 = 9, hiszen mindkét helyiértékre bármelyik számjegy kerülhet. b) Az a) rész alapján annyi négyjegyû tükörszám van, ahány kétjegyû szám. Így ezek száma 90 db. c) Egy ötjegyû tükörszámot egyértelmûen megadunk, ha megadjuk az elsõ három számjegyét. Így annyi ötjegyû tükörszám képezhetõ az 1; 2; 3 számjegyekbõl, ahány háromjegyû szám. Így ezek száma 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27, hiszen bármelyik helyiértékre bármely számjegyet írhatjuk. d) Annyi ötjegyû tükörszám képezhetõ, ahány háromjegyû szám. Így ezek száma: 900 db. 3040. Pistának igaza van, hiszen annyi hatjegyû tükörszám van, ahány háromjegyû szám, ill. annyi hétjegyû tükörszám van, hány négyjegyû szám. Ezek száma: 900 ill. 9000. 3041. a) 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16 b) Az összeg képzésekor minden számjegy minden helyiértéken annyiszor szerepel, ahányféleképpen a maradék három helyiértékre leírhatjuk a számjegyeket. Ez éppen 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8-féle eset. Így az összeg: 8 ◊ (1 + 2) ◊ 1000 + 8 ◊ (1 + 2) ◊ 100 + 8 ◊ (1 + 2) ◊ 10 + 8 ◊ (1 + 2) = = 8 ◊ (1 + 2) ◊ 1111 = 26 664. 3042. 3 ◊ 6 = 18-féle 3043. 3 ◊ 6 ◊ 6 = 108-féle 3044. a) 7 ◊ 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 = 2520 b) Számoljuk meg azokat az ötjegyû számokat, amelyekben nincs benne az 1-es számjegy! Ezek száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 = 1440. Így az a) rész alapján azok száma, amelyekben benne van az 1-es: 2520 - 1440 = 1080 db. 3045. a) Elsõre nem húzhatunk 0-t, így a lehetõségek száma: 4 ◊ 4 ◊ 3 = 48. b) Elsõre nem húzhatunk 0-t, és utolsóra páratlan számjegyet. Ha az utolsó jegy 0, akkor a számok száma: 4 ◊ 3 = 12. Ha az utolsó jegy 2 vagy 4, akkor a számok száma 3 ◊ 3 = 9. Így összesen 12 + 9 + 9 = 30-féleképpen kaphatunk háromjegyû páros számot. 3046. a) 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120-féleképpen. b) 2 ◊ 5 ◊ 4 = 40-féleképpen. c) Azoknak a sorrendeknek a száma, amikor Anna nincs a helyezettek között 5 ◊ 4 ◊ 3 = 60. Így azon esetek száma, amikor Anna a helyezettek között van (az a) rész alapján): 120 - 60 = 60.

282

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK 3047. a) Ha a kihúzott legkisebb szám nagyobb 5-nél, akkor minden húzásnál a 6; 7; 8; 9; 10 számok valamelyikét húzzuk. Így a lehetõségek száma: 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 ◊ 5 = 3125. b) Számoljuk meg, hogy hány esetben lesz a kihúzott legkisebb szám 6-nál nagyobb! Ekkor minden húzásnál a 7; 8; 9; 10 számok valamelyikét húzzuk, így az esetek száma: 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 1024. Ezután (az a) rész eredményét felhasználva) azon esetek száma, amikor a legkisebb kihúzott szám a 6: 3125 - 1024 = 2101. 3048. a) 20 ◊ 19 ◊ 18 = 6840-féleképpen. b) 20 ◊ 20 ◊ 20 = 8000-féleképpen. c) Azon esetek száma, amikor egy tanuló 3 tárgyat kap 20. Így, ha egy tanuló legfeljebb 2 tárgyat kaphat a lehetséges elosztások száma a b) rész alapján: 8000 - 20 = 7980. 3049. Írjuk le minden betû helyére, hogy hányféleképpen juthatunk el az elolvasás során az illetõ betûhöz! Észrevehetjük, hogy minden betûhöz annyiféleképpen juthatunk el, mint a fölötte és balra mellette található számok összege. (Ha valamelyik hiányzik, akkor csak a másik.) Az így kapott számtáblázat: 1 1 1 1 1

1 2 3 4 4

1 3 6 6 6

1 4 4 4 4

1 1 1 1 1

Így a TANUL szót összesen 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16-féleképpen olvashatjuk ki a táblázatból. II. megoldás: Az olvasásnál 4 lépést kell tennünk. Helyettesítsünk minden lépést a J ill. L betûkkel aszerint, hogy abban a lépésben jobbra vagy lefelé haladtunk. Így a J és L betûkbõl álló négybetûs „szavakhoz” jutottunk. Könnyen átgondolható, hogy minden egyes elolvasásnak megfelel egy ilyen „szó”, illetve minden ilyen „szó” egyértelmûen megad egy elolvasást. Például a JLJJ szó a következõ kiolvasást határozza meg: T Æ A N U Ø A N Æ U Æ L N

U

U

L

L

L

L

283

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS Így annyi elolvasási lehetõség van, ahány ilyen négybetûs szó képezhetõ. Ezek száma, mivel minden betût kétféleképpen választhatunk meg: 2 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 16. 3050. Kövessük a 3049. feladat megoldásának gondolatmenetét! A kiolvasások száma: 32. 3051. Kövessük a 3049. feladat megoldásának gondolatmenetét! A kiolvasások száma: 64. 3052. a) 900 000

b) 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 = 531 441

c) A nulla nem kerülhet az elsõ helyiértékre, így 5-féle lehetõségünk van a leírására. A többi helyiértékre a többi 9 számjegy bármelyike kerülhet. Így az esetek száma: 5 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 ◊ 9 = 295 245. 3053. 9 ◊ 10 ◊ 10 ◊ 10 = 9000 Ê 6ˆ 3054. a) Bármely két pont különbözõ egyenest határoz meg. Így az esetek száma: Á ˜ = 15 . Ë 2¯

b) Bármely három pont különbözõ háromszöget határoz meg, így a háromszögek száÊ 6ˆ ma: Á ˜ = 20 . Ë 3¯ 3055. Annyi kézfogás történt, ahányféle módon az öt ember közül kettõ kiválasztható. Ez Ê 5ˆ 5 ◊ 4 = 10 . Á ˜= Ë 2¯ 2 3056. a) Egyelemû 4 db, kételemû 6 db, háromelemû 4 db. b) 5; 10; 10; 5

c) 6; 15; 20; 15; 6

3057. {}; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3} 3058. A 3057. feladat megoldásában leírt halmazok, és még azok, amelyek az elõzõ halmazokból úgy keletkeznek, hogy mindegyikhez hozzávesszük a 4-et. Ê 8ˆ 8 ◊ 7 = 28 mérkõzésre került sor. 3059. Á ˜ = Ë 2¯ 2 Ê 4ˆ 4 ◊ 3 3060. a) Á ˜ = =6 Ë 2¯ 2 Ê17ˆ 17 ◊ 16 d) Á ˜ = = 136 Ë 2¯ 2 Ê12ˆ 12 ◊ 11 3061. Á ˜ = = 66 Ë 2¯ 2

284

Ê 5ˆ 5 ◊ 4 b) Á ˜ = = 10 Ë 2¯ 2

Ê 6ˆ 6 ◊ 5 c) Á ˜ = = 15 Ë 2¯ 2

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK Ê 8ˆ 8 ◊ 7 3062. Á ˜ = = 28 Ë 2¯ 2

3063. Bármely két egyenesnek legfeljebb 1 metszéspontja lehet, így a válaszok: Ê 3ˆ Ê 4ˆ 4 ◊ 3 Ê 5ˆ 5 ◊ 4 b) Á ˜ = c) Á ˜ = =6 = 10 a) Á ˜ = 3 Ë 2¯ Ë 2¯ Ë 2¯ 2 2 Ê10ˆ 10 ◊ 9 d) Á ˜ = = 45 Ë 2¯ 2 Ê 21ˆ 21 ◊ 20 3064. Az 1; 2; ...; 21 számok közül két különbözõt Á ˜ = = 210 -féleképpen lehet kiË 2¯ 2

választani. Így 210 db szelvény megfelelõ kitöltésével elérhetõ, hogy biztosan legyen „telitalálatos” szelvényünk. Ê 45ˆ 45 ◊ 44 = 990 -féleképpen lehet ki3065. Az 1; 2; ...; 45 számok közül két különbözõt Á ˜ = Ë 2¯ 2

választani. Ha tehát 990 db szelvényt különbözõ módon kitöltenek, akkor nem lehet olyan számpárt találni, amely ne szerepelne valamelyik szelvényen. Így PICURKA országnak legfeljebb 989 lakosa van. Ê 9ˆ 9 ◊ 8 = 36 3066. Á ˜ = Ë 2¯ 2

3067. Annyi tízjegyû szám képezhetõ, ahányféleképpen a tíz helyiérték közül kiválasztható Ê10ˆ 10 ◊ 9 = 45 számot jelent. kettõ, ahová a 2 db 2-es számjegy kerül. Ez Á ˜ = Ë 2¯ 2 n(n - 3) átlója van. Ugyanis minden csúcsból 2 (n - 3) db átló indul ki, hiszen nem indul átló a két szomszédhoz. Így n(n - 3) végpontja van a sokszög átlóinak. Mivel minden átló két csúcsot köt össze (két végpontja n(n - 3) db. Ez alapján a válaszok: van), ezért az átlók száma 2 a) 2 b) 5 c) 9 d) 170

3068. Egy n oldalú konvex sokszögnek (n ¤ 4)

3069. Legyen a társaság tagjainak száma x. Ekkor mindenki (x - 1) emberrel fog kezet, így x ( x − 1) összesen kézfogásra kerül sor. (Ugyanis egy kézfogáshoz két ember tartozik.) 2 x ( x - 1) Így feladatunk szerint: = 21 . Innen: x(x - 1) = 42, tehát x = 7. A társaságnak 2 tehát 7 tagja van.

285

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS 3070. Legyen a csapatok száma x. Minden csapat (x - 1) csapattal játszott, így az összes mérx ( x − 1) kõzések száma: . (Hiszen minden mérkõzéshez két csapat tartozik.) A feladat 2 x ( x − 1) szerint: = 28. Innen: x(x - 1) = 56, azaz: x = 8. Tehát a bajnokságban 8 csapat 2 szerepelt. 3071. Legyen az egyenesek száma x. Ekkor minden egyenesen (x - 1) metszéspont alakul ki, x ( x -1) így az összes metszéspontok száma: . (Hiszen egy metszéspont két egyenesen 2 x ( x − 1) = 15 , innen x(x - 1) = 30, azaz x = 6. Tehát 6 is rajta van.) A feladat szerint: 2 egyenest rajzoltunk a papírlapra. n(n - 3) átlója van. (Lásd a 3068. feladat megoldá2 n(n - 3) sát!) A feladat feltételei szerint: = 77 . Innen: n(n - 3) = 154, azaz: n = 14. Te2 hát a sokszög 14 oldalú.

3072. Egy n oldalú konvex sokszögnek

Ê 6ˆ 6 ◊ 5 = 15 -féleképpen. 3073. Á ˜ = Ë 2¯ 2 Ê nˆ n(n - 1) 3074. Egy n elemû halmaznak Á ˜ = kételemû részhalmaza van. A feladat feltételei Ë 2¯ 2 n(n - 1) szerint = 36 , így: n(n - 1) = 72. Innen kapjuk, hogy n = 9. Tehát a halmaznak 2 9 eleme van. Ê 6ˆ 6 ◊ 5 ◊ 4 = 20 3075. a) Á ˜ = Ë 3¯ 2◊3

Ê 5ˆ 5 ◊ 4 b) Á ˜ = = 10 Ë 2¯ 2

Ê 6ˆ 6 ◊ 5 ◊ 4 3076. Á ˜ = = 20 -féleképpen. Ë 3¯ 2◊3 Ê 4ˆ 3077. a) Á ˜ = 4 Ë 3¯

Ê 5ˆ b) Á ˜ = 10 Ë 3¯

Ê 6ˆ c) Á ˜ = 20 Ë 3¯

Ê 7ˆ 3078. Á ˜ = 35 Ë 3¯

3079. (Lásd a 3002., 3003., 3004. feladatok megoldását.) Ê 6ˆ a) Á ˜ = 6 Ë 1¯

286

Ê 6ˆ b) Á ˜ = 15 Ë 2¯

Ê 6ˆ c) Á ˜ = 20 Ë 3¯

Ê 7ˆ d) Á ˜ = 35 Ë 3¯

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK Ê10ˆ 3080. Á ˜ = 120 Ë 3¯ Ê 8ˆ Ê 8ˆ 3081. Á ˜ = Á ˜ = 56 Ë 3¯ Ë 5¯

3082. Annyi különbözõ sorrendben húzhatjuk ki a hét golyót, ahányféleképpen a hét húzás közül kiválaszthatjuk azt a hármat, amelyben piros golyót húzunk. Az ilyen húzások Ê 7ˆ száma: Á ˜ = 35 . Ë 3¯ 3083. Az elsõ számjegy csak 1-es lehet. A további hét helyiérték közül ki kell jelölni azt a Ê 7ˆ hármat, ahová a többi 1-es számjegyet írjuk. Ezt összesen Á ˜ = 35 -féleképpen tehetjük Ë 3¯ meg, tehát 35 ilyen nyolcjegyû számot képezhetünk. 3084. Rakjuk le az öt piros golyót egymás után! Ekkor a fehér golyók vagy az öt golyó elé, vagy a piros golyók közé, vagy a piros golyók után kerülhetnek. Ez 6 helyet jelent a fehér golyók elhelyezésére, úgy hogy egy helyre legfeljebb egy fehér golyó kerülhet. Így Ê 6ˆ a keresett sorrendek száma: Á ˜ = 15 . Ë 2¯ Ê 6ˆ 3085. A 3084. feladat megoldásának gondolatmenete alapján a sorrendek száma: Á ˜ = 20 . Ë 3¯ Ê 90ˆ 90 ◊ 89 ◊ 88 ◊ 87 ◊ 86 3086. a) Á ˜ = = 43 949 268 Ë 5¯ 2 ◊ 3◊ 4 ◊ 5 Ê 45ˆ 45 ◊ 44 ◊ 43 ◊ 42 ◊ 41 ◊ 40 b) Á ˜ = = 8 145 060 Ë 6¯ 2 ◊ 3◊ 4 ◊ 5◊ 6

3087. Egy n elemû halmaznak összesen 2n db részhalmaza van. Ezt igazolhatjuk a következõ módon: Írjuk le valamilyen sorrendben a halmaz elemeit. Ezek után egy tetszõleges részhalmazhoz hozzárendelhetünk egy n betûs „szót” a következõképpen:legyen a „szó” elsõ betûje I, ha a sorban elsõként leírt elem szerepel a részhalmazban, és legyen az elsõ betû N, ha nem szerepel a részhalmazban. Hasonlóan keletkezik a „szó” második betûje a másodikként leírt elemmel kapcsolatban, a harmadik betû a harmadikként leírt elemmel kapcsolatban, stb. Így minden részhalmazhoz különbözõ „szót” rendeltünk és fordítva, minden az I és N betûkbõl álló „szó” kijelöl egy részhalmazt. Így anynyi részhalmaz van, ahány ilyen n betûbõl álló „szó” képezhetõ. Ezek száma pedig éppen 2n db. Az elõzõek alapján a feladat kérdéseire a következõk a válaszok: a) 4

b) 8

c) 16

d) 32

3088. A 9 szám közül kell 2; 3; ill. 4 mezõt kilyukasztani, így a beállítások száma:

287

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS Ê 9ˆ a) Á ˜ = 36 Ë 2¯

Ê 9ˆ b) Á ˜ = 84 Ë 3¯

Ê 9ˆ c) Á ˜ = 126 Ë 4¯

3089. Az öt forduló után 4 pontot kétféle módon érhetett el a versenyzõ: a) az egyik fordulóban kikapott a többiben gyõzött, b) két fordulóban döntetlent ért el, a többiben gyõzött. Mivel az elért eredmények sorrendjére is tekintettel vagyunk, ezért a versenyzõ az Ê 5ˆ eredményét: 5 + Á ˜ = 5 + 10 = 15 -féle sorrendben érhette el. Ë 2¯ 3090. Ha az eredmények elérésének sorrendjét nem vesszük figyelembe, akkor a versenyzõ a 4 pontot háromféle módon szerezhette meg: a) 4 fordulóban gyõzött, kettõben kikapott, b) 2 fordulóban gyõzött, 4 fordulóban döntetlent ért el, c) 3 fordulóban gyõzött, 2 fordulóban döntetlent ért el, egy fordulóban kikapott. Ha az eredmények elérésének sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor az a) esetben Ê 5ˆ Ê 6ˆ Ê 6ˆ Á ˜ = 15 , a b) esetben Á ˜ = 15 , a c) esetben 6 ◊ Á ˜ = 60 -féle sorrendben érhette el az Ë 2¯ Ë 2¯ Ë 2¯ eredményeket, így összesen 15 + 15 + 60 = 90-féleképpen szerezhette meg a 4 pontot. 3091. Vizsgáljuk meg András szempontjából, hogy milyen módon érhette el a 2,5 pontos teljesítményt! Erre három lehetõség adódik: a) Kétszer gyõzött, kétszer vesztett és egy parti döntetlen lett. b) Egyszer gyõzött, egyszer vesztett és három parti döntetlen lett. c) Mind az öt parti döntetlen lett. Vegyük ezután figyelembe az eredmények elérésének sorrendjét is! Ê 4ˆ a) Az eredmény 5 ◊ Á ˜ = 30 -féleképpen következhetett be, hiszen bármelyik játszma Ë 2¯ Ê 4ˆ végzõdhetett döntetlenre, a maradék 4 játszma közül pedig Á ˜ -féleképpen választË 2¯

ható ki az a kettõ, amelyekben gyõzött. b) Az eredmény 5 ◊ 4 = 20-féleképpen következhetett be, hiszen bármelyik játszmát megnyerhette, ill. a maradék 4 játszma közül bármelyiket elveszíthette. c) Az eredmény csak egyféle módon adódhat. Összefoglalva: az eredmény 30 + 20 + 1 = 51-féle módon alakulhatott ki. 3092. Legyen a háromféle helyezés elsõ, második, harmadik. Vizsgáljuk elõször azt, hogy hányféleképpen lehet két elsõ helyezettje a versenynek! A négy versenyzõ közül bár-

288

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK Ê 4ˆ melyik kettõ lehetett elsõ, ez Á ˜ = 6 eset. Ezután a másik két versenyzõ kétféleképpen Ë 2¯

következhet, így a sorrendek száma: 6 ◊ 2 = 12. Könnyen végiggondolható, hogy ugyanennyi sorrend adódik akkor is, ha két második, vagy ha két harmadik helyezettje van a versenynek. Így a magasugró versenynek 36-féle eredménye lehet. 3093. Az elsõ sorban tetszõleges sorrendben helyezhetõk el a színek, ez 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6 esetet jelent. Ezután a második sort már csak kétféleképpen színezhetjük, végül a harmadik sor szinezése egyértelmû. Így összesen 12-féleképpen szinezhetõ ki a táblázat. 3094. Csak a pozitív osztók számát határozzuk meg! a) Az osztók: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; tehát 8 osztója van a számnak. b) Az osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12; tehát 6 osztója van a számnak. c) Az osztók: 1, 2, 4, 8; tehát 4 osztója van a számnak. d) Az osztók: 1, 2, 3, 5, 7, 6, 10, 14, 15, 21, 35, 30, 42, 70, 105, 210; tehát 16 osztója van a számnak. e) Az osztók: 1, 2, 3, 5, 4, 6, 10, 12, 20, 15, 30, 60; tehát 12 osztója van a számnak. f) Az osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; tehát 8 osztója van a számnak. g) Az osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; tehát 9 osztója van a számnak. 3095. a) Az osztók száma rendre: 2; 3; 4; 5; 6; 7. b) Az osztók száma rendre: 4; 6; 8; 10; 12; 14. c) Az osztók száma rendre: 6; 9; 12; 15; 18; 21. d) Az osztók száma rendre: 8; 12; 16; 20; 24; 28. Megjegyzés: Általában igaz, hogy ha egy pozitív egész szám prímtényezõs felbontása p1k1 ◊ p2k2 ◊ ... ◊ pnkn (ahol p1; p2; ...; pn prímszámok; k1; k2; ...; kn pozitív egészek), akkor a

pozitív osztók száma: (k1 + 1) ◊ (k2 + 1) ◊ ... ◊ (kn + 1). 3096. a) 540 = 22 ◊ 33 ◊ 51, így a pozitív osztók száma: (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 24. b) 2730 = 21 ◊ 31 ◊ 51 ◊ 131, így az osztók száma: (1 + 1)5 = 32. 3097. Egy páros számnak legalább annyi páros osztója van, mint ahány páratlan. Ugyanis bármely páratlan osztóját 2-vel szorozva a szám egy páros osztójához jutunk, hiszen a kettõ biztosan osztója a páros számnak. Ha a páros szám prímtényezõs felbontásában a 2 többször is elõfordul, akkor a páros osztók száma a nagyobb, hiszen ekkor van olyan páros osztója, amely nem egy páratlan osztó kétszeresével keletkezik (4). Ezek alapján elegendõ a számok prímtényezõs felbontásában a kettesek számát meghatározni. a) 30 = 2 ◊ 3 ◊ 5, ugyanannyi páros, mint amennyi páratlan osztója van. b) 180 = 22 ◊ 32 ◊ 5, a páros osztók száma több.

289

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS c) 210 = 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7, ugyanannyi páros, mint amennyi páratlan osztója van. d) 360 = 23 ◊ 32 ◊ 5, a páros osztók száma több. e) 324 = 22 ◊ 34, a páros osztók száma több. 3098. a) 48 = 3 ◊ 24. A 48 azon osztói nem oszthatók 4-gyel, amelyek osztói a 3 ◊ 2 = 6-nak. Ezek száma 4. b) 120 = 5 ◊ 3 ◊ 23. A 120 azon osztói nem oszthatók 4-gyel, amelyek osztói az 5 ◊ 3 ◊ 2nek. Ezek száma 8. c) Azok az osztók nem oszthatók 15-tel, amelyek osztói a 22 ◊ 32-nek vagy 22 ◊ 5-nek. ezek száma 9, ill. 6, de itt kétszer számoltuk a 22 osztóit. Így a 15-tel nem osztható osztók száma: 9 + 6 - 3 = 12. II. megoldás: Az összes osztók száma 3 ◊ 3 ◊ 2 = 18. Ezek közük azok oszthatók 15tel, amelyek a 22 ◊ 3 valamelyik osztójának 15-szörösei. Ezek száma 3 ◊ 2 = 6. Tehát a 15-tel nem osztható osztók száma 18 - 6 = 12. 3099. a) 1 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 4 ◊ 5 ◊ 6 ◊ 7 ◊ 8 = 1 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 5 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 7 ◊ 2 ◊ 2 ◊ 2 = 27 ◊ 32 ◊ 5 ◊ 7. Tehát 27-nel osztható a szorzat. Ha a pozitív egész számok szorzatát vizsgáljuk, akkor minden második számban van kettes prímtényezõ, minden negyedik számban két kettes prímtényezõ, minden nyolcadik számban 3 kettes prímtényezõ, ... stb. Ezek alapján a kettes prímtényezõk száma az egyes feladatokban: b) 7 + 3 + 1 = 11. Így a szorzat 211-nel osztható. c) 15 + 7 + 3 + 1 = 26. Így a szorzat 226-nal osztható. d) 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97. Így a szorzat 297-nel osztható. 3100. Ha az x; y; z számok sorrendjétõl eltekintünk, akkor három megoldás található: 1=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = + + 3 3 3 2 3 6 2 4 4

Ha a számok sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor a megoldások száma: 1 + 6 + 3 = 10. 3101. Az elsõ lépcsõfokra csak egyféleképpen juthatunk fel, a másodikra már kétféleképpen. Ezután minden egyes lépcsõfokra a megelõzõrõl vagy az azt megelõzõrõl léphetünk. Így a feljutások száma megegyezik a megelõzõ két lépcsõfokra való feljutások számának összegével. Ezek alapján a válaszok: a) 1 + 2 = 3

b) 2 + 3 = 5

c) 3 + 5 = 8

d) 5 + 8 = 13

e) Folytatva az elõzõ sort: n = 7 esetén 8 + 13 = 21; n = 8 esetén 13 + 21 = 34; n = 9 esetén 21 + 34 = 55; így n = 10 esetén 34 + 55 = 89.

290

VEGYES KOMBINATORIKAI FELADATOK Ê 6ˆ 3102. a) Az elhelyezkedések száma Á ˜ = 20 , hiszen ki kell választani három tanulót, akik Ë 3¯

az elsõ szobába kerülnek. b) Ha a szobán belüli elhelyezkedéseket is figyelembe vesszük, azaz megkülönböztetjük a hat ágyat, akkor az elhelyezkedések száma: 6 ◊ 5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊ 1 = 720, hiszen ennyiféle sorrendben helyezkedhetnek el a hat ágyon. 3103. A feltételeknek megfelelõ háromjegyû számok száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 = 24. A számok összegében minden számjegy minden helyiértéken annyiszor szerepel, ahányféle módon a másik két helyiértékre a többieket elhelyezhetjük. Ezek száma 3 ◊ 2 = 6. Tehát minden számjegy minden helyiértéken 6-szor szerepel. Így a számok összege: 6 ◊ (4 + 5 + 6 + + 7) ◊ (100 + 10 + 1) = 6 ◊ 22 ◊ 111 = 14 652. 3104. A képezett ötjegyû számok akkor oszthatók 4-gyel, ha 12-re vagy ha 24-re végzõdnek. Ezek a számok: 12412; 14212; 21412; 24112; 41212; 42112; 11224; 12124; 21124. Összesen tehát 9 ilyen szám képezhetõ. Ezek összege: 199 944.

Halmazokkal kapcsolatos megszámlálási feladatok 3105. Ha összeadjuk az angolul és németül tanulók számát, akkor a mindkét nyelvet tanulókat kétszer számoltuk meg. Így az összeg annyival lesz több az osztály létszámánál, mint ahányan mindkét nyelvet tanulják. Tehát az angolul is és németül is tanulók száma: 18 + 16 - 26 = 8. Megjegyzés: Általában igaz, hogy ha A és B két véges halmaz, akkor A ∪ B = A + B - A ∩ B . (Itt X az X halmaz elemeinek számát jelenti.) II. megoldás: A 26 fõs osztályban 18-an tanulnak angolul, így 26 - 18 = 8 tanuló van, aki csak németül tanul. Mivel a németet 16-an tanulják, ezért 16 - 8 = 8 tanuló angolul is tanul. Tehát mindkét nyelvet 8 tanuló tanulja. 3106. A feltételek szerint 20 tanuló jár valamelyik szakkörbe. Mivel 12-en matematika szakkörbe járnak, ezért: 20 - 12 = 8 tanuló van, aki csak rajzszakkörbe jár. Így mindkét szakkörbe 14 - 8 = 6 tanuló jár. 3107. 12 tanulónak volt ötöse matematikából, közülük 6 tanuló magyarból is ötöst kapott, így csak matematikából 12 - 6 = 6 tanuló kapott ötöst. Hasonlóan gondolkodva adódik, hogy csak magyarból 10 tanulónak volt ötöse. tehát azok a tanulók, akik vagy matematikából, vagy magyarból ötöst kaptak összesen 6 + 10 + 6 = 22-en voltak. Mivel 8 ta-

291

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS nulónak egyik tantárgyból sem sikerült ötöst szereznie, ezért az osztály létszáma: 22 + 8 = 30. 2 1 része tanul angolul, ezért része csak németül tanul. Így 3 3 3 1 5 mindkét nyelvet az osztály tanulóinak − = része tanulja. Így: 4 3 12 5 rész = 10 tanuló 12 1 rész = 2 tanuló 12

3108. Az osztály tanulóinak

Tehát az osztály létszáma 24 tanuló. 2 3 része tanul németül, így része csak franciául tanul. Ebbõl 5 5 2 3 1 következik, hogy mindkét nyelvet az osztály tanulóinak - = része tanulja. Ezért 3 5 15 1 az osztály tanulóinak része = 2 tanuló, tehát az osztály létszáma 30 tanuló. 15


3110. Az elsõ feladatot a résztvevõk 70 %-a oldotta meg, így a résztvevõk 30 %-a csak a második feladatot oldotta meg helyesen. Ebbõl következik, hogy mindkét feladatot a résztvevõk 80 % - 30 % = 50 % oldotta meg helyesen. Mivel ez a feltétel szerint 13 tanulót jelent, ezért a versenyen 26-an vettek részt. 1 része 6 tanuló, 30 %-a pedig 9 tanuló. Tehát 6 tanuló volt ötös matema5 tikából, 9 tanuló pedig történelembõl. Mivel 4 tanuló mindkét tantárgyból ötöst kapott, ezért csak matematikából 2, csak történelembõl 5 tanuló volt ötös. Összesen tehát: 2 + 5 + 4 = 11 tanuló volt, aki vagy matematikából, vagy történelembõl ötöst kapott. Vagyis 30 - 11 = 19 tanuló volt, aki egyik tárgyból sem szerzett ötöst.

3111. A 30 tanuló

3112. Mivel 17 tanulónak volt ötöse a két tárgy valamelyikébõl, és 11 tanulónak matematikából, ezért 6 olyan tanuló volt az osztályban, akiknek csak magyarból sikerült ötöst szerezni. Emellett 4 tanulónak mindkét tárgyból ötöse volt, így magyarból összesen 4 + 6 = 10 tanuló kapott ötöst. 3113. A feltételek szerint 25 - 14 = 11 tanulónak a két tantárgy valamelyikébõl sikerült ötöst szerezni. Mivel matematikából 7 tanuló kapott ötöst, ezért csak fizikából 11 - 7 = 4 tanulónak volt ötöse. Így összesen 9 tanuló volt, akik fizikából ötöst kaptak.

292

HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS MEGSZÁMLÁLÁSI FELADATOK 3114. Szemléltessük a táblára írt számokat Venn-diagrammal! a) 3 olyan szám van, amely páratlan és osztható 3-mal. b) 1 olyan szám van, amely páratlan és nem osztható 3-mal. c) 6 olyan szám van, amely páratlan vagy osztható 3-mal. d) 16 olyan szám van, amely páratlan vagy nem osztható 3-mal. 5 része 25 tanuló, 40 %-a 12 tanuló. Tehát 25 tanuló közepesnél 6 nem rosszabb, így 5 tanuló van, aki közepesnél rosszabb. Tehát a közepes tanulók száma: 12 - 5 = 7.


3116. Ha összeadjuk a hegedülni és zongorázni tanuló diákok számát, akkor az osztály létszámnál 5-tel kapunk többet, hiszen öten mindkét hangszeren tanulnak. Ez az összeg tehát 27. Másrészt kétszer annyian tanulnak hegedülni, mint zongorázni, így a 27 harmadrésze lesz azon tanulók száma, akik zongorázni tanulnak. Összefoglalva: 9 tanuló zongorázik és 18 tanuló hegedül ebben az osztályban. 3117. Legyen azon tanulók száma, akik mindhárom sportággal foglalkoznak x. Készítsünk Venn-diagrammot, és írjuk be az egyes helyekre a feltételeknek megfelelõ számokat! Mivel mindenki foglalkozik valamelyik sportággal, ezért a diagrammon szereplõ számok összege egyenlõ az osztály létszámával. Így: 6 + x + 6 - x + 12 + x + 7 - x + + x + 3 - x + 2 + x = 38 Innen: x=2 Tehát két tanuló ûzi mindhárom sportágat.

293

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS 3118. Szemléltessük az egyes kiránduláson résztvevõk számát Venn-diagrammon, és írjuk be az egyes helyekre a feltételeknek megfelelõ számértékeket! Összeadva az egyes helyeken szereplõ számokat: 4 + 3 + 7 + 4 + 4 + 1 + 6 = 29 Tehát az osztály tanulói közül 29-en vettek részt legalább egy kiránduláson.

3119. Szemléltessük az egyes feladatok megoldóinak számát Venn-diagrammon, és írjuk be a feltételben szereplõ adatokat! Összeadva az egyes helyeken szereplõ számokat: 6 + 4 + 1 + 3 + 6 + 7 + 2 = = 29. Tehát 29-en oldottak meg legalább egy feladatot, így 1 tanuló volt, akinek egyik feladatot sem sikerült megoldania.

3120. A feltételbõl következik, hogy pontosan két kiránduláson 130 - 60 = 70 tanuló vett részt. Ha összeadjuk azon tanulók számát, akik egy-egy kiránduláson rész vettek, akkor kétszer számoltuk azokat, akik pontosan két kiránduláson voltak és háromszor azokat, akik mindhárom kiránduláson részt vettek. Így legalább egy kiránduláson: 320 + 280 + 350 - 70 - 2 ◊ 60 = 760 tanuló vett részt.

294

HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS MEGSZÁMLÁLÁSI FELADATOK 3121. Jelöljük x-el azon tanulók számát, akik mindhárom versenyen részt vettek! Készítsünk Venn-diagrammot az egyes versenyen résztvevõ tanulókról, és írjuk be a feltételekbõl adódó számokat a megfelelõ helyekre! Mivel minden tanuló részt vett valamelyik versenyen, ezért a szereplõ számok összege 20. x - 5 + 12 - x + x - 4 + x + + 9 - x + 7 - x + x - 4 = 20 Innen: x=5 Így adódik, hogy nem volt olyan tanuló, aki csak matematikából indult, illetve 5 olyan tanuló volt, aki mindhárom versenyen részt vett. 3122. Ha összeadjuk az egy-egy nyelvet tanulók számát, akkor a pontosan két nyelvet tanulókat kétszer, a mindhárom nyelvet tanulókat háromszor számoltuk meg. Jelölje x azon tanulók számát, akik mindhárom nyelvet tanulják! Így: 16 + 18 + 14 = 30 + 16 + 2x Innen: x=1 Tehát 1 tanuló van az osztályban, aki mind a három nyelvet tanulja.

Valószínûségszámítás 3123. Határozzuk meg, hogy a kísérlet lehetséges kimenetelei közül melyekben következik be az A; B illetve C esemény! Az A esemény következik be, ha: 1. dobás 1 1 2 2 3 1 2. dobás 1 2 1 2 1 3

Ez 6 lehetõség. A B esemény következik be, ha: 1. dobás 2 6 5 3 4 3 6 5 4 6 4 5 6 5 6 2. dobás 6 2 3 5 4 6 3 4 5 4 6 5 5 6 6

Ez 15 lehetõség. A C esemény következik be, ha:

295

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS 1. dobás 1 4 2 3 1 5 2 4 3 1 6 2 5 3 4 2. dobás 4 1 3 2 5 1 4 2 3 6 1 5 2 4 3

Ez 15 lehetõség. Vagyis a B és a C eseményt a kísérletnek 15-15 kimenetele valósítja meg, míg az A eseményt csak 6. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a B és a C esemény egyforma valószínûséggel következik be, és ez a valószínûség nagyobb az A esemény bekövetkezésének valószínûségénél. Így fogadni a B vagy a C esemény bekövetkezésére érdemes. 3124. Jelöljük az a) b) c) d) e) pontban leírt eseményeket rendre A; B; C; D; E betûkkel. Használjuk a továbbiakban egy X esemény valószínûségének jelölésére a P(X) írásmódot! A feladatban leírt kísérletnek összesen 36 kimenetele van, hiszen 36-féle kétjegyû számot kaphatunk ha a kísérletet elvégezzük. Számoljuk össze, hogy hány kétjegyû szám tesz eleget ezek közül az egyes pontokban leírt feltételeknek! a) 6 ilyen kétjegyû szám van, hiszen másodikra hatféle eredményt kaphatunk és ezek mindegyike kerülhet a második helyiértékre. Így az esemény valószínûsége: 6 1 P( A) = = . 36 6 b) 6 ilyen kétjegyû számot kaphatunk, hiszen ha elsõre 6-ot dobunk, akkor a második dobás után mindig ilyen kétjegyû szám keletkezik. Így az esemény valószínûsége: 6 1 P( B) = = . 36 6 c) Páros számot akkor kapunk, ha a második dobás 2; 4 vagy 6, az elsõ pedig tetszõleges. Így ilyen kétjegyû szám 6 ◊ 3 = 18 alakulhat ki. Tehát az esemény valószínûsé18 1 = . ge: P(C ) = 36 2 d) A hárommal való oszthatóság feltétele, hogy a számjegyek összege legyen osztható 3-mal. Könnyen ellenõrízhetõ, hogy bármely elsõ dobás után kétféle második dobással kaphatunk 3-mal osztható kétjegyû számot. (Pl.: ha az elsõ dobás 1, akkor másodikra 2 vagy 5, ha az elsõ dobás 2, akkor másodikra 1 vagy 4, ... esetén adódik hárommal osztható kétjegyû szám). Így 6 ◊ 2 = 12 ilyen kétjegyû szám alakulhat ki, 12 1 = . tehát az esemény valószínûsége: P( D) = 36 3 e) Az elõálló kétjegyû számok között 6 olyan van, amelyek számjegyei egyformák, tehát 30 kétjegyû számban lesznek különbözõek a számjegyek. Így az esemény való30 5 = . színûsége: P ( E ) = 36 6 3125. A kísérletnek 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27 kimenetele van, hiszen minden húzásnál 3-féle színû golyó adódhat. Azok a kimenetelek felelnek meg, amelyben a három húzásnál különbözõ színû golyók adódnak. Ezek száma annyi, ahányféleképpen a három színt sorban ki lehet

296

VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS húzni. Ezek száma: 3 ◊ 2 ◊ 1 = 6, hiszen az elsõre húzott színt nem húzhatjuk másodikra, ill. harmadikra már csak a kimaradó színt húzhatjuk. Ezzel az esemény valószínûsége: 6 2 = . 27 9 3126. Ha a dobozban 5 fehér és x piros golyó van, akkor a fehér golyó kihúzásának valószínû5 sége: . Ezzel az egyes kérdésekre adott válaszok: x+5 1 5 1 5 a) 5 piros golyót, hiszen = b) 10 piros golyót, hiszen = 2 10 3 15 1 5 1 5 c) 15 piros golyót, hiszen = d) 95 piros golyót, hiszen = 4 20 20 100 3127. A kísérletnek 6 ◊ 6 ◊ 6 = 216 különbözõ kimenetele lehet. a) 5-tel osztható számot akkor kapunk, ha az utolsó dobás eredménye 5-ös, az elsõ kettõ tetszõleges. Ilyen háromjegyû szám 6 ◊ 6 = 36 adódhat. Így az esemény való36 1 = . színûsége: 216 6 b) Páratlan számot akkor kapunk, ha a harmadik dobás eredménye 1; 3 vagy 5, az elsõ kettõ tetszõleges. Ilyen háromjegyû szám 6 ◊ 6 ◊ 3 = 108 alakulhat ki, így az ese108 1 = . mény valószínûsége: 216 2 3128. A kísérletnek 6 ◊ 6 ◊ 6 = 216 különbözõ kimenetele lehet. a) A dobott számok összege kétféleképpen lehet páros: (1) minden dobás eredménye páros (2) egyik dobás eredménye páros, a másik kettõ páratlan. Az (1) eset 3 ◊ 3 ◊ 3 = 27-féleképpen valósulhat meg, hiszen minden dobásnál 3-féle páros számot dobhatunk. A (2) eset 3 ◊ 3 ◊ 3 ◊ 3 = 81-féleképpen valósulhat meg, hiszen bármelyik dobás lehet páros, illetve mind a páros, mind a páratlan dobás háromféleképpen következhet be. Így összesen 27 + 81 = 108 esetben lesz a dobott számok összege páros. Tehát az 108 1 = . esemény valószínûsége 216 2 Megjegyzés: Azt a tényt, hogy ugyanannyi páros, mint páratlan összegû kimenetele van a kísérletnek egyszerûbben is beláthatjuk. Ugyanis bármi is volt az elsõ két dobás eredménye, ezek összegét a harmadik dobás 3-féle eredményével párosra, 3-féle eredményével páratlanra alakíthatjuk. (Pl.: ha az elsõ két dobott szám összege páratlan, akkor 1-est, 3-ast vagy 5-öst dobva páros összeget, 2-est, 4-est vagy 6-ost

297

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS dobva páratlan összeget kapunk). Ebbõl pedig következik, hogy a kimenetelek fele 1 páros összeget ad, így a valószínûség . 2 b) Az a) rész megjegyzésében leírt gondolatmenet alapján könnyen beláthatjuk, hogy 1 az esemény valószínûsége . Legyen ugyanis az elsõ két dobás eredménye tetszõ3 leges! Ha ezek összege osztható 3-mal, akkor 3-ast vagy 6-ost dobva 3-mal osztható összeget kapunk. Ha ezek összege 3-mal osztva 1 maradékot ad, akkor 2-est vagy 5öst dobva 3-mal osztható összeget kapunk. Végül ha ezek összege 2 maradékot ad 3-mal osztva, akkor 1-est vagy 4-est dobva kapunk 3-mal osztható összeget. Vagyis az összes kimenetelnek a harmadrészében 3-mal osztható összeg adódik, így az 1 esemény valószínûsége . 3 c) A dobott számok összege legalább 3, legfeljebb 18, így a következõ prímszámok állhatnak elõ összegként: 3; 5; 7; 11; 13; 17. Vizsgáljuk meg elõször a dobások sorrendjétõl eltekintve, hogy milyen módon állhatnak elõ ezek az összegek a három dobás eredményébõl: 3=1+1+1 5=1+1+3=1+2+2 7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3 11 = 1 + 4 + 6 = 1 + 5 + 5 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4 13 = 1 + 6 + 6 = 2 + 5 + 6 = 3 + 4 + 6 = 3 + 5 + 5 = 4 + 4 + 5 17 = 5 + 6 + 6 Vegyük ezután figyelembe a dobások sorrendjét is! Ekkor a 3-as: egyféleképpen; az 5-ös: 3 + 3 = 6-féleképpen; a 7-es: 3 + 6 + 3 + 3 = 15-féleképpen; a 11-es: 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27-féleképpen; a 13-as: 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21-féleképpen; a 17-es: 3-féleképpen jöhet létre. Összefoglalva: a kimenetelek közül 1 + 6 + 15 + 27 + 21 + 3 = 73 ad prímszám73 összeget. Tehát az esemény valószínûsége: ª 0,338 . 216 3129. A c) pontban írt esemény valószínûsége a legnagyobb, az a) pontban írt esemény valószínûsége a legkisebb. 3130. A dobozban található 4 golyó közül 2 golyót hatféleképpen választhatunk ki. Ezen kiválasztások közül két esetben kapunk azonos színû golyót, így a b) pontban írt esemény

298

VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS a valószínûbb. (Az azonos színû golyók húzásának valószínûsége nû golyók választásának valószínûsége

1 , a különbözõ szí3

2 .) 3

3131. A 6 golyó közül 2 golyót 15-féleképpen választhatunk ki. Azonos színû golyókat akkor húzunk, ha vagy a 3 fehér, vagy a 3 piros golyó közül veszünk ki kettõt. Mindkét esetben 3-3-féleképpen választhatunk, így az azonos színû golyók húzásának valószínûsége 6 2 = . Tehát a különbözõ színû golyók húzásának valószínûsége a nagyobb. 15 5 3132. A kísérletnek 5 ◊ 4 ◊ 3 = 60 különbözõ kimenetele lehet, tehát ennyiféle háromjegyû számot kaphatunk. a) 5-tel osztható számot akkor kapunk, ha az utolsóként húzott szám az ötös. Az ilyen 12 1 = . húzássorozatok száma: 4 ◊ 3 = 12, így az esemény valószínûsége 60 5 b) Hárommal osztható szám akkor adódik, ha a kihúzott három számjegy összege osztható 3-mal. Ez csak akkor következik be, ha a kihúzott számok (sorrendtõl eltekintve) az 1; 2; 3 vagy a 3; 4; 5 vagy az 1; 3; 5 vagy a 2; 3; 4. Ha a húzás sorrendjét is figyelembe vesszük, akkor ez 4 ◊ 6 = 24-féle háromjegyû számot jelent, így az ese24 2 = . mény valószínûsége: 60 5 c) Ahhoz, hogy 4-gyel osztható számot kapjunk az utolsó két húzásnak az eredménye: vagy az 1; 2, vagy a 3; 2, vagy az 5; 2, vagy a 2; 4. Elõre a kimaradó 3 szám bármelyike adódhat, így a néggyel osztható háromjegyû kimenetelek száma: 3 ◊ 4 = 12. 12 1 = . Ekkor az esemény valószínûsége: 60 5 d) 25-tel osztható háromjegyû szám csak akkor adódhat, ha az utolsó két húzás eredménye 2; 5. Így ilyen háromjegyû szám 3 van, tehát az esemény valószínûsége: 3 1 = . 60 20 3133. A kísérletnek 10 ◊ 10 ◊ 10 = 1000 különbözõ kimenetele lehet. Hogy a kihúzott legkisebb szám legalább 7 legyen, ahhoz minden húzásra legalább 7-et kell húzni. Az ilyen 64 8 = . húzássorozatok száma: 4 ◊ 4 ◊ 4 = 64. Tehát az esemény valószínûsége: 1000 125 3134. A kísérletnek 6 ◊ 5 ◊ 4 = 120 kimenetele van. Ahhoz, hogy a kihúzott golyók piros-fehér-zöld színben kövessék egymást, elsõre a két piros közül, másodikra a két fehér kö-

299

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS zül, harmadikra a két zöld közül kell húzni. Az ilyen húzássorozatok száma: 2 ◊ 2 ◊ 2 = 8 1 = 8. Tehát az esemény valószínûsége: = . 120 15 3135. Minden dobásnál 36-féle kimenetel lehetséges, így a kísérlet különbözõ kimeneteleinek száma: 363 = 46 656. Számoljuk meg elõször azokat a kimeneteleket, amelyekben nem dobunk egyszer sem két hatost! Ekkor minden dobásnál 35-féle esemény adódhat, így az ilyen kimenetelek száma: 353 = 42 875. vagyis azon kimenetelek száma, amelyekben legalább egyszer két hatost dobtunk 46 656 - 42 875 = 3781. Így az esemény valószí3781 nûsége: ª 0,081 . 46 656 3136. Az összes lehetséges kimenetelek száma: 25 = 32, így az esemény valószínûsége: 2 1 = . 32 16 3137. A kísérletben 6 golyó közül választunk ki 2 golyót, ezért a különbözõ lehetséges kimenetelek száma 15. Azonos színû golyókat akkor kapunk, ha vagy a 4 fehér közül választunk ki kettõt, vagy kihúzzuk a két piros golyót. Az ilyen húzások száma 6 + 1 = 7, 7 . tehát annak valószínûsége, hogy két azonos színû golyót húzunk 15 3138. A kísérletben 8 golyó közül választunk ki 2 golyót, ezért a különbözõ lehetséges kimenetelek száma 28. Azonos színû golyókat akkor kapunk, ha vagy az 5 fehér közül választunk ki kettõt, vagy kihúzzuk a két piros golyót. Az ilyen húzások száma 11 . 10 + 1 = 11. Tehát annak a valószínûsége, hogy két azonos színû golyót húzunk 28 3139. A 9 golyó közül kihúzunk egymás után három golyót, így a különbözõ lehetséges kimenetelek száma 9 ◊ 8 ◊ 7 = 504. a) Azoknak a húzássorozatoknak a száma, amelyekben az elsõ kihúzott golyó piros, a második fehér, a harmadik zöld színû golyó: 3 ◊ 4 ◊ 2 = 24. Így az esemény valószí24 1 = ª 0,0476 . nûsége: 504 21 b) Három azonos színû golyó úgy adódhat, ha vagy a 4 fehér színû golyóból húzunk ki egymás után hármat, vagy a 3 piros golyót húzzuk ki egymás után. Az ilyen húzás-

300

VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS sorozatok száma: 4 ◊ 3 ◊ 2 + 3 ◊ 2 ◊ 1 = 30. Tehát az esemény valószínûsége 30 5 = ª 0,0595 . 504 84 3140. Mivel az egyik dobozban 8, a másikban 10 golyó található, ezért a kísérlet lehetséges kimeneteleinek száma 8 ◊ 10 = 80. a) Két piros golyót úgy kapunk, ha mindkét dobozból a piros golyók közül húzunk ki egyet-egyet. Az ilyen húzások száma 5 ◊ 3 = 15, ezért az esemény valószínûsége 15 3 = . 80 16 b) Hasonlóan gondolkodva adódik, hogy az esemény valószínûsége

21 . 80

3141. Tegyük fel, hogy András 17 óra x perckor, Béla 17 óra y perckor érkezik a fagyizó elé! Ábrázoljuk ezt az eseményt a sík (x; y) pontjával! Mivel 0 £ x £ 60 és 0 £ y £ 60, ezért az összes események halmaza a koordináta-rendszerben egy négyzet pontjai. Találkozás akkor jön létre, ha: Ωy - xΩ £ 15 azaz: -15 £ y - x £ 15 x - 15 £ y £ x + 15

301

KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS Ez azt jelenti, hogy a találkozáshoz tartozó pontok az elõbbi négyzet azon pontjai, amelyek az y = x - 15 és az y = x + 15 egyenletû egyenesek között helyezkednek el. Ezzel a találkozás valószínûségét értelmezhetjük úgy, mint az elõzõ ábrán besatírozott területnek és a négyzet területének hányadosa. A négyzet területe: 60 ◊ 60 = 3600 egység. A vonalkázott rész területét megkaphatjuk, ha a négyzet területébõl kivonjuk a kimaradó két háromszög területét. Így a vonalkázott rész területe: 3600 - 2 ◊

45 ◊ 45 = 3600 - 2025 = 1575 egység. 2

Tehát modellünk alapján annak valószínûsége, hogy a korábban érkezõnek nem kell 15 percnél tovább várakozni: P=

302

1575 = 0,4375 3600

TARTALOM GEOMETRIA .................................................................................................................................. Ponthalmazok (1982-2131) ...................................................................................................... Síkbeli alakzatok ...................................................................................................................... Szakaszok, szögek (2132-2181) ....................................................................................... Kombinatorika a síkon (2182-2191) ................................................................................ Sokszögek tulajdonságai (2192-2243) ............................................................................ Sokszögek szögei (2244-2325) ........................................................................................ Háromszögek, négyszögek (2326-2411) ........................................................................ Sokszögek kerülete, területe (2412-2493) ...................................................................... A kör és részeinek kerülete, területe (2494-2516) ......................................................... Pitagorasz tételének alkalmazása (2517-2542) .............................................................. Vegyes feladatok (2543-2581) ......................................................................................... Geometriai transzformációk ................................................................................................... I. Egybevágósági transzformációk (2582-2583) ............................................................ Tengelyes tükrözés (2584-2624) .............................................................................. Középpontos tükrözés (2625-2662) ......................................................................... Pont körüli elforgatás (2663-2705) .......................................................................... Párhuzamos eltolás (2706-2740) .............................................................................. Alakzatok egybevágósága. Vegyes feladatok (2741-2756) ................................. II. Hasonlósági transzformációk .................................................................................... Középpontos hasonlóság (2757-2776) .................................................................... Alakzatok hasonlósága. Vegyes feladatok (2777-2801) ....................................... Térgeometria, térfogatszámítás (2802-2963) ......................................................................... KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS ............................................................ Vegyes kombinatorikai feladatok (2964-3104) ..................................................................... Halmazokkal kapcsolatos megszámlálási feladatok (3105-3122) ...................................... Valószínûségszámítás (3123-3141) .........................................................................................

5 5 56 56 63 65 75 96 131 152 159 170 180 180 180 189 197 206 213 217 217 222 230 267 267 288 291

mozaik-fgy_10-14_eveseknekmo.pdf

Recommend Documents