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��������� �� ������ ������ �� ������� �� �. ������ ����������� �������� 0� � ���. � ���������� ������ �� � ������������ ������� �� ��� ������ ����������
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Capítulo - 8
Verifique se a estimativa de Joule para a variação de temperatura da água entre o sopé e o topo das cataratas de Niágara era correta, calculando a máxima diferença de temperatura possível devida à queda da água. A altura de queda é de 50 m. 1-
Associando a variação de energia potencial gravitacional à variação da quantidade de calor, tem-se: m.g.∆h = m.c.∆T ⇒ g.∆h / 1000 (passando a massa para gramas) = c. ∆T.(4,186) (transformando calorias em joules) ∆T = (9,8 . 50 )/ (1 . 4,186) ∆T = 0,117 ≈ 0,12 °C A capacidade térmica molar (a volume constante ) de um sólido a baixas temperaturas, T << TD, onde TD é a temperatura de Debye , é dada por: C V ≈ 464 (T/Td)³ cal/mol.K. Para o NaCl, TD ≈ 281K. a) Calcule a capacidade térmica molar média C V do NaCl entre Ti = 10K e T f = 20K. b) Calcule a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 kg de NaCl de 10 K para 20 K. 2 –
464 / 1 ` 1 ` ∆ 464 .` 10 464 281 .` 464 20 1 0 10.281 4 4 7,84.10 / . . ∆ 158,0005 .7,84.10 . 10 13,40 Para o NaCl: Td=281K; mm=58,5g/mol a)
b)
Um bloco de gelo de 1 tonelada, destacado de uma geleira, desliza por um a encosta de 10° de inclinação com velocidade constante de 0,1 m/s. O calor latente de fusão do gelo (quantidade de calor necessária para liquefação por unidade de massa) é de 80 cal/g. Calcule a quantidade de gelo que se derrete por minuto em conseqüência do atrito. 3-
10� . 10� . ∆. 10�
Fazendo uma análise trigonométrica, temos:
2
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Capítulo - 8
2 2 2 2
Pelo princípio da conservação da energia:
.10� 30,5 1000. 9,81. 0,1. �0 334880 0,21 A constante solar , quantidade de energia solar que chega à Terra por unidade de tempo e área, acima da atmosfera e para um elemento de área perpendicular à direção dos raios solares, é de 1.36 kW/m². Para um elemento de área cuja normal faz um ângulo θ com a direção dos raios solares, o fluxo de energia varia com cos θ. a) Calcule a quantidade total de energia solar que chega à Terra por dia. Sugestão: Para um elemento de superfície dS, leve em conta a interpretação de dS cos θ como projeção sobre um plano (Capítulo 1, problema8). b) Sabe-se que ≈ 23% da energia solar incidente sobre a água vão produzir evaporação. O calor latente de vaporização da água à temperatura ambiente (quantidade de calor necessária para vaporizá-la por unidade de massa) é ≈ 590 cal/g. Sabendo que ≈ 71% da superfície da Terra são cobertos por oceanos, calcule a profundidade da camada de água dos oceanos que seria evaporada por dia pela energia solar que chega à Terra. 4 –
a) C=1,36.103W/m2 Sincidente=S.cos θ
.∆.. ∆.
Em uma porção infinitesimal:
.∆.. .∆.. .∆.
Como S representa a área de secção plana da terra de raio r=6378,1 km, temos que:
.∆. 1,3�.10.24.3�00.. �378,1.10 1,50.10 /
b) Pelo texto: - 23% da energia solar incidente em um dia (Q) é utilizada para evaporar água; - 71% da superfície da terra é coberta por água; Logo:
23 . 71 . . 23 . 71 . .. 23 . 71 . ... 100 100 100 100 23 71 100 100 100 . 100 . .. Portanto: 1, 5 0. 1 0 0,23.0,71 1,03.10.4.. �378,1.10.590.4,18�.10 20 3
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Capítulo - 8
Um calorímetro de alumínio de 250 g contém 0,5 l de água a 20°C, inicialmente em equilíbrio. Coloca-se dentro do calorímetro um bloco de gelo de 100 g. Calcule a temperatura final do sistema. O calor específico do alumínio é 0,21 cal/gºC e o calor latente de fusão do gelo é de 80 cal/g (durante o processo de fusão, o gelo permanece a 0°C). 5–
� � 500. 1 . 0 20 10000 � � 8000 ` 100. ` 1. 0 500.1. 20 250.0,21. 20 3050 652,5 4,7
I) Cálculo da quantidade de calor necessária para derretimento total do gelo:
100.80 �� 8000
II) Cálculo da energia necessária para levar 0,5L (500g) d`água de 20ºC para 0°C: Portanto, como
todo o gelo se derreterá. Assim:
**Gabatito do Moysés errado.
Um calorímetro de latão de 200 g contém 250 g de água a 30°C, inicialmente em equilíbrio. Quando 150 g de álcool etílico a 15°C são despejadas dentro do calorímetro, a temperatura de equilíbrio atingida é de 26,3°C. O calor específico do latão é 0,09 cal/g. Calcule o calor específico do álcool etílico. 6–
0 . . � . . � . . � 0 26,3�30200.0,09 250150. . 2 6, 3 �15 0 991, 6 1965. 0 0,59 /.�
Substituindo valores:
Um calorímetro de capacidade térmica igual a 50 cal/g contém uma mistura de 100 g de água e 100 g de gelo, em equilíbrio térmico. Mergulha-se nele um aquecedor elétrico de capacidade térmica desprezível, pelo qual se faz passar uma corrente, com potência P constante. Após 5 minutos, o calorímetro contém água a 39,7°C. O calor latente de fusão é 80 cal/g. Qual é a potência (em W) do aquecedor? 7–
A mistura inicial de água e gelo está a uma temperatura Ti = 0°C. Tf = 39,7°C. ∆t = 5 min. = 300 s. Qe = calor fornecido pelo aquecedor; Qc = calor fornecido ao calorímetro; Qa = calor fornecido à água do calorímetro mais à água resultante do gelo fundido; Qg = calor fornecido para a fusão do gelo; Qc = C.∆t = 50. (39,7 – 0) = 1985 cal Qg = mg.L = 100 . 80 = 8000 cal Qa = (ma + mg) . c . ∆T = (100 + 100) . 1 . (39,7 – 0) Aplicando a primeira lei no sistema considerado: Qe + Qc + Qg + Qa = 0 Qe = -17925 cal = - 7,50 . 10 4 J
4
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Capítulo - 8
P = |Qe| / ∆t = 7,50 . 104 / 300
⇒
P = 250 W
O calor específico de um fluido pode ser medido com o auxílio de um calorímetro de fluxo (fig.). O fluido atravessa o calorímetro num escoamento estacionário, com vazão de massa Vm (massa por unidade de tempo) constante. Penetrando à temperatura T i, o fluido passa por um aquecedor elétrico de potência P constante e emerge com temperatura T f , em regime estacionário. Numa experiência com benzeno, tem-se V m = 5 g/s, P = 200 W, T i = 15°C e T f = 38,3°C. Determine o calor específico do benzeno. 8–
Em 1 s: Q = m.c.∆T = 5.c(38,3 – 15) = 116,5.c cal Q = 487,67.c J
0,41 /�
P = W / ∆t = Q / ∆t = (487,67.c)/1 = 200
Num dos experimentos originais de Joule, o trabalho era produzido pela queda de uma massa de 26,3 kg de uma altura de 1,60 m, repetida 20 vezes. O equivalente em água da massa da água e do calorímetro que a continha era de 6,32 kg e a variação de temperatura medida foi de 0,313°C. Que valor para o equivalente mecânico da caloria resulta destes dados experimentais? 9–
2026,3.9 ,88256, 1.1,600 412,80 ..∆ 6,32.10. 1.0,313 1978,16 1978, 8256,106 4,17 /
A energia em joules (J) é dada pelas 20 quedas da massa. Assim:
O equivalente a energia da queda é dada por: Assim, temos que o equivalente mecânico é:
A uma temperatura ambiente de 27°C, uma bala de chumbo de 10g, com uma velocidade de 300 m/s, penetra num pêndulo balístico de massa igual a 200 g e fica retida nele. se a energia cinética dissipada pela bala fosse totalmente gasta em aquecêla, daria para derreter uma parte dela? Em caso afirmativo, quantas gramas? O calor específico do chumbo é 0,031 cal/g°C, sua temperatura de fusão é de 327°C e o calor latente de fusão é 5,85cal/g. 10 –
. . 14,29 /
Analisando a colisão entre a bala e o pêndulo:
5
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Capítulo - 8
A energia cinética dissipada é igual ao módulo da variação da energia cinética da bala. Logo:
�� 2 . 2 . 0,221 . 14,29 0,201 . 300 �� 428,� 102,4 Para levar os 10g de chumbo até a temperatura de ebulição, necessita-se de: ..∆ 10. 0,031. 300 93
Portanto, SIM, uma certa quantia de chumbo será derretida pela dissipação da energia cinética. Como 93 cal já foram utilizados para levar o chumbo até a temperatura de ebulição, temos que:
. 102,4 93 .5,85 5,9,845 1,�
Uma barra de secção transversal constante de 1 cm² de área tem 15 cm de comprimento, dos quais 5 cm de alumínio e 10 cm de cobre. A extremidade de alumínio está em contato com um reservatório térmico a 100°C, e a de cobre com outro, a 0°C. A condutividade térmica do alumínio é 0,48 cal/s.cm.°C e a do cobre é 0,92 cal/s.cm.°C. a) Qual é a temperatura da barra na junção entre o alumínio e o cobre? b) Se o reservatório térmico a 0°C é uma mistura de água com gelo fundente, qual é a massa de gelo que se derrete por hora? O calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g. 11 –
Alumínio: Cobre:
l1 = 5 cm ; l2 = 10 cm
k1 = 0,48 cal/s.cm.°C k2 = 0,92 cal/s.cm.°C
Al
Cu
5 cm
10 cm
a)
.. I) Para o alumínio: 0,48. 100 5 II) Para o cobre: 0,92. 0 10 Como o fluxo é contínuo ao longo da barra, podemos igualar I e II. Assim, encontramos T: T = 51°C b) dQ (T − T1 ) = A. 2 l1 l 2 dt + k1 k 2
dQdt = A.
100 5 10 + 0,48 0,92
=
6
4,72 / 1,7 10 /
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Q = m.LF = 1,7 x 104 = m . 80 ⇒
Capítulo - 8
212,5
Uma barra metálica retilínea de secção homogênea é formada de três segmentos de materiais diferentes, de comprimentos l1, l2 e l3, e condutividades térmicas k1, k2 e k3, respectivamente. Qual é a condutividade térmica k da barra como um todo (ou seja, de uma barra equivalente de um único material e comprimento l1 + l2 + l3)? 12 –
.. .
Duas esferas metálicas concêntricas, de raios r 1 e r2 > r1, são mantidas respectivamente às temperaturas T1 e T2, e estão separadas por uma camada de material homogêneo de condutividade térmica k. Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de tempo através dessa camada. Sugestão: Considere uma superfície esférica concêntrica intermediária de raio r ( r1 < r < r 2) e escreva a lei de condução do calor através dessa superfície. Integre depois em relação a r, de r = r1 até r = r2. 13 –
.. .4.. .4.. . 4. .. � 4. .. 11
4. .. 11 11 4. .. .
Generalize o resultado do Problema 13 ao caso da condução do calor através de uma camada de material de condutividade térmica k entre dois cilindros concêntricos de raios ρ1 e ρ2 > ρ1 e de comprimento l >> ρ2, de modo que se possam desprezar efeitos das extremidades. a) Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de tempo através da camada. b) Aplique o resultado a uma garrafa térmica cilíndrica, com ρ1 = 5 cm, ρ2 = 5,5 cm e l = 20 cm, com uma camada de ar entre as paredes interna e externa. A condutividade térmica do ar é de 5,7 x 10 -5 cal/s.cm.°C. A garrafa contém café inicialmente a 100°C e a temperatura externa é de 25°C. Quanto tempo demora para que o café esfrie até a temperatura ambiente? 14 –
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Capítulo - 8
a)
.. .2... .2.. .2.. 1 . 1 . .2.. l� b) Substituindo os valores temos: .2.. 2.5,7.10.20. 75 5,�3� l� l�5,55 O volume de café que há dentro da garrafa é: . .5.20 1570,8
. .∆ 1570,8. 1. 1. 75 117809,7 7 117809, 5, 6 36 20903,075 5 48
Como café é basicamente água, temos que sua densidade e seu calor específico são aproximadamente 1. Logo, o calor (Q) dissipado pelo líquido é de: Por fim, temos que o tempo para o café esfriar é:
Uma chaleira de alumínio contendo água em ebulição, a 100°C, está sobre uma chama. O raio do fundo da chaleira é de 7,5 cm e sua espessura é de 2 mm. a condutividade térmica do alumínio é 0,49 cal/s.cm.°C. A chaleira vaporiza 1 l de água em 5 min. O calor de vaporização da água a 100°C é de 540 cal/g. A que temperatura está o fundo da chaleira? Despreze as perdas pelas superfícies laterais. 15 -
1l de água = 1000 g de água 5 min = 300 s Em 5 minutos: Q = m . L = 1000 . 540 = 5,4 x 10 5 cal Portanto, em 1 segundo: Q = 5,4 x 105 / 300 = 1800 cal /s 1800 = 0,49.[π.(7,5)²].
(T − 100) 0,2
104,16�
Num país frio, a temperatura sobre a superfície de um lago caiu a110°C e começa a formar-se uma camada de gelo sobre o lago. A água sob o gelo permanece a 0°C: o gelo flutua sobre ela e a camada de espessura crescente em formação serve como isolante térmico, levando ao crescimento gradual de novas camadas de cima para baixo. a) Exprima a espessura l da camada de gelo formada, decorrido um tempo t do início do processo de congelamento, como função da condutividade térmica k do gelo, da sua densidade ρ e calor latente de fusão L, bem como da diferença de temperatura 16 -
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Capítulo - 8
∆T
entre a água e a atmosfera acima do lago. Sugestão: Considere a agregação de uma camada de espessura dx à camada já existente, de espessura x, e integre em relação a x. b) No exemplo acima, calcule a espessura da camada de gelo 1 h após iniciar-se o congelamento, sabendo que k = 4 x 10 -3 cal/s.cm.°C, ρ = 0,92 g/cm³ e L = 80 cal/g. dQ dm.L ρ.dV.L ρ.A.dx.L k.A.∆T = = = = dt dt dt dt x k.∆T ρ.A.dx.L k.A.∆T ⇒ x.dx = dt = ρ.L dt x 2 2.k .( ∆T ) k.∆T l k.∆T .t l= = t ⇒ x.dx = dt ⇒ ρ . L ρ.L 2 ρ.L b) l (t = 1 h = 3600 s) 2.(4 .10 −3 ).(10) l = 1,98 cm .3600 ⇒ l (t) = 0,92.80
a)
À pressão atmosférica, a vaporização completa de 1 l de água a 100°C gera 1,671 m³ de vapor de água. O calor latente de vaporização da água a esta temperatura é 539,6 cal/g. a) Quanto trabalho é realizado pela expansão do vapor no processo de vaporização de 1 l de água? b) Qual é a variação de energia interna do sistema nesse processo? 17 –
� 1,034.101,671 0,001 1,64.10 ∆ ∆ 2,09.10 0,001.10 .2,26.10 1,64.10 a)
�
b) Pela primeira lei, temos:
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Capítulo - 8
18 – Um
fluido homogêneo pode passar de um estado inicial i a um estado final f no plano (P, V) através de dois caminhos diferentes, representados por iaf e ibf no diagrama indicador (fig.). A diferença de energia interna entre os estados inicial e final é Uf – Ui = 50 J. O trabalho realizado pelo sistema na passagem de i para b é de 100 J. O trabalho realizado pelo sistema quando descreve o ciclo ( iafbi) é de 200 J. A partir desses dados, determine, em magnitude e sinal: a) A quantidade de calor Q (ibf), associada ao caminho ibf ; b) O trabalho W i→f ; c) A quantidade de calor Q (iaf) associada ao caminho iaf ; d) Se o sistema regressa do estado final ao estado inicial seguindo a diagonal fci do retângulo (fig.), o trabalho W(fci) e a quantidade de calor Q (fci) associados a esse caminho. Analisando o gráfico, temos:
150 ∆ 50 300 3500 200 0 100 300 200 ∆ 50 200 250
Portanto: a) b) c) d) Pela figura:
∆ 50 100
Substituindo:
O diagrama indicador da Fig., onde a pressão é medida em bar e o volume em l, está associado com um ciclo descrito por um fluido homogêneo. Sejam W, Q e ∆U, respectivamente o trabalho, quantidade de calor e variação de energia interna do sistema 19 -
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Capítulo - 8
associados com cada etapa do ciclo e com o ciclo completo, cujos valores (em J) devem ser preenchidos na tabela abaixo. ETAPA ab bc ca Ciclo (abca)
W(J) 500 -750 0 -250
Q (J) 800 -950 -100 -250
∆U (J)
300 -200 -100 0
Complete a tabela, preenchendo todas as lacunas. I) ab: W=Área ab: Wab =5.10-3.105 Wab=500J Pela Primeira lei:
∆ 800 500 ∆ 300
II) ca: W=0 Pela Primeira lei:
∆ 100 0 100
III) bc: W= -Área bc:
5. 1 0 2 1.10 . 2 750 ∆ 0 ∆ 300 ∆ 100 0 ∆ 200 ∆ 200 750 950
IV) Ciclo:
500 750 0 250 800 950 100 250
11
