Movimiento Osc i La to Rio

APUNTES DEL CURSO OSCILACIONES Y ONDAS Luis Joaquin Mendoza Herrera 21 de marzo de 2011

ÍNDICE GENERAL 1 Movimiento Oscilatorio 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuación del movimiento de una part´ıcula oscilante . . . . . 1.3 Analog´ıa con el movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Cinemática del movimiento armónico simple . . . . . . . . . 1.5 Ejemplos de movimientos armónicos simples . . . . . . . . . 1.5.1 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1.1 Expresión general del periodo de un péndulo 1.5.2 Péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Péndulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Combinación de movimientos armónicos . . . . . . . . . . . 1.6.1 Combinación de dos movimientos perpendiculares . . 1.7 Movimiento Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie . . 1.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Movimiento Ondulatorio 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Descripción matemática de la propagación 2.3 Ondas de presión en una columna de gas . 2.4 Ondas longitudinales en una barra . . . . 2.5 Ondas transversales en una barra . . . . . 2.6 Ondas longitudinales en un resorte . . . . 2.7 Ondas transversales en una cuerda . . . . 2.8 Ondas Superficiales en un liquido . . . . . 2.9 Potencia de una onda . . . . . . . . . . . . 2.10 Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . 2.11 Ondas en una membrana tensa . . . . . . 2.12 Ondas esféricas en un fluido . . . . . . . . 2.13 velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 2 4 7 7 11 13 15 16 18 21 24 27 32 34

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37 37 38 39 42 45 48 49 50 59 61 62 63 64

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL

3 Ondas Electromagn´ eticas 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Condiciones de frontera para el campo eléctrico . 3.3.2 Condiciones de frontera para el campo magnético 3.4 Ecuaciones de Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . 3.5 Energ´ıa y momentum de una onda electromagnética . . . 3.6 Presión de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Ecuación de onda con fuentes . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Radiación de un dipolo eléctrico oscilante . . . . . . . . . 3.9 Radiación de un dipolo magnético oscilante . . . . . . . .

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66 66 66 67 67 68 69 71 72 73 76 78

´ 4 Optica Geom´ etrica 4.1 Formación de imágenes por reflexión en una superficie plana (espejo plano) 4.2 Formación de imágenes por transmisión en una superficie plana . . . . 4.3 Formación de imágenes por reflexión en una superfice esférica (espejo esférico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Formación de imágenes por transmisión en una superfice esférica . . . . 4.5 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Aumento o´ Amplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Distancia focal y trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Distancia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2.1 Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2.2 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 80

5 Espectro visible, ondas de Sonido y efecto 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espectro electromagnético . . . . . . . . . 5.2.1 Ondas de radio . . . . . . . . . . . 5.2.2 Microondas . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Infrarrojo . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Espectro visible . . . . . . . . . . . 5.2.5 Rayos ultravioleta . . . . . . . . . . 5.2.6 Rayos X . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.7 Rayos Gamma . . . . . . . . . . . . 5.3 Ondas de Sonido . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Cualidades del sonido . . . . . . . . 5.4 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Aplicaciones del ultrasonido . . . . 5.5.1.1 Guiado y sondeo . . . . . 5.5.1.2 Medicina y biolog´ıa . . . .

88 88 88 88 89 89 90 90 91 91 92 92 94 95 95 96 96

ii

Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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81 83 84 85 86 86 86 86 87

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL

5.5.1.3 Aplicaciones f´ısicas . . . . . . Infrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas de Choque y n´ umero de Mach . . . . . La audición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . Instrumentos ópticos . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 Microscopio simple o lupa . . . . . . . 5.11.2 Microscopio compuesto . . . . . . . . . 5.11.3 Telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.3.1 Telescopios de reflexión . . . 5.11.4 El proyector . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.5 El prisma . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 Efecto Doppler de las ondas electromagnéticas 5.13.1 Transformación de Lorentz . . . . . . . 5.13.2 Transformación de las frecuencias . . . 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

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6 Interferencia 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . 6.3 Experimento de la doble rendija de Young . . . . . 6.4 Biprisma de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Interferencia por reflexión en laminas delgadas . . . 6.6 Anillos de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Interferencia de ondas producidas por varias fuentes 6.8 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Ondas estacionarias en una cuerda . . . . . 6.8.2 Ondas estacionarias en una columna de aire 6.8.3 Ondas estacionarias electromagnéticas . . . 6.9 Ondas estacionarias en dos dimensiones . . . . . . . 6.10 Ondas estacionarias en tres dimensiones . . . . . . 6.11 Gu´ıas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.1 Ondas electromagnéticas en gu´ıas de ondas .

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7 Difracci´ on y Polarizaci´ on 7.1 Difracción de Fraunhofer por una abertura rectangular 7.2 Doble rendija de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Redes de difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Difracción en una abertura circular . . . . . . . . . . . 7.5 Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 La elipse de polarización . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2.1 Polarización por reflexión . . . . . . . iii

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96 96 97 97 98 98 101 101 102 104 104 106 107 109 110 111 114

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115 115 115 117 119 120 122 123 126 128 130 131 133 135 136 138

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140 140 143 144 145 146 146 146 147

ÍNDICE GENERAL

7.5.3

ÍNDICE GENERAL

7.5.2.2 Polarización por transmisión . . . . 7.5.2.3 Polarización por doble transmisión 7.5.2.4 Polarización por absorción selectiva 7.5.2.5 Actividad óptica . . . . . . . . . . Grado de polarización . . . . . . . . . . . .

iv

. . o . .

. . . . . . . . . . . . dicro´ısmo . . . . . . . . . . . .

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147 148 148 149 149

ÍNDICE DE FIGURAS 1.1 1.2

Part´ıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios Analog´ıa entre el movimiento de una part´ıcula en un resorte y el movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación geométrica del ángulo φ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.18 1.19 1.20 1.21 1.22

3 5 Movimiento arm´ onico producido por una part´ıcula que se mueve en un plano inclinado 6 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes . . . . . . . . . . . . . . . 12 Esquema de un pendulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Esquema de un péndulo de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Esquema del péndulo de torsión con un bloque rectangular . . . . . . . 16 Construcción de una curva cicloide positiva . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Esquema de un péndulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Diagrama de fasores para la combinación de movimientos armónicos de igual dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Combinación de movimientos armónicos de frecuencias diferentes cuando: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2 , (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2 . . . . . . . . . . 20 Diagrama de fasores para la combinación de dos movimientos armónicos de igual frecuancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos movimientos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Construcción de una figura de Lissajous cuando ω1 = 34 ω2 , φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α . . . . . . 24 Amplitud de una oscilación subamortiguada en función del tiempo . . . 25 Representación geométrica del ańgulo α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Movimiento de una pesa por un ni˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Circuito RLC en serie con fuente de tensión de alterna . . . . . . . . . 32

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Ondas de presión en una columna de gas . . . Ondas longitudinales en una barra . . . . . . Ondas Transversales en una barra . . . . . . . Ondas de torsión en una barra . . . . . . . . . Diagrama de cuerpo libre de la sección cortada

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

v

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40 43 45 46 48

ÍNDICE DE FIGURAS

ÍNDICE DE FIGURAS

2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

Momentos polares de inercia para una sección circular . . . . . . . . . . Ondas Transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas superficiales en un liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento diferencial de volumen entre dos superficies . . . . . . . . . . Interface entre los dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas que act´ uan sobre el elemento diferencial de superficie . . . . . . En la figura (a) se muestra una onda propagándose en la dirección X y en la figura (b) se muestra una onda propagándose en una dirección arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 50 51 54 55 57

4.1 4.2

79

4.3 4.4 4.5

Imegenes formadas por reflexión en un espejo plano . . . . . . . . . . . Configuración para la formación de una imagen por transmisión en una superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica por transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Configuración para la formación de una imagen en una lente formada por dos superficies esfericas S1 y S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . ´ Angulo m´ınimo que en un prisma el rayo emerja del otro lado . Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . .

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83 84

Espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura general del o´ıdo humano . . . . . . . Corte lateral de la retina y sus componentes. . . Estructura general del ojo humano . . . . . . . Esquema general de una lupa. . . . . . . . . . . Esquema general de un microscopio compuesto. Esquema general de un telescopio astronomico. . Esquema general de un telescopio terrestre. . . . Esquema general de un telescopio Galileo. . . . Esquema general de un telescopio de Newton. . Esquema general de un telescopio de Cassegrain. Esquema general de un proyector. . . . . . . . . Configuración de un prisma . . . . . . . . . . .

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89 94 98 99 99 101 103 104 105 105 106 106 107 107 108 111

6.1 6.2

Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . Gráficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young . . . . . . . . Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel . . . . Esquema de interferencia producida por una lámina delgada . . . . . . Esquema de interferencia para producir anillos de Newton . . . . . . . Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas . . . . .

116

vi

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80 81

5.1 5.2 5.3 5.5 5.4 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

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62 63

116 118 120 121 122 124

ÍNDICE DE FIGURAS 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19

ÍNDICE DE FIGURAS

Fasores correspondientes a cada una de las fuentes . . . . . . . . . . . . Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema para la interferencia de dos ondas . . . . . . . . . . . . . . . . Modos de vibración para las ondas estacionarias en una cuerda de longitud L y fija a ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modos de vibración para las ondas estacionarias en una columna de aire de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto . . . . . Ondas estacionarias electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y n2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y n2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de una gu´ıa de ondas rectangular, en la cual las ondas se propagan en la dirección z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular . Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular . Gráfica de la intensidad producida por una abertura rectangular . . . . Esquema para la difracción en dos aberturas rectangulares . . . . . . . Gráfica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Esquema para el estudio de la difracción en una red de difracción . . . 7.7 Polarización por reflexión en una superficie (ángulo de Brewster) . . . . 7.8 Polarización por transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Polarización por doble transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Dicro´ısmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Esquema para el estudio de la actividad óptica . . . . . . . . . . . . . .

vii

124 125 125 126 127 129 131 131 132 134 135 137 141 141 142 143 144 144 147 147 148 148 149

Cap´ıtulo 1 Movimiento Oscilatorio 1.1.

Introducci´ on

Cuando un objeto se desplaza a uno y otro lado de una posición fija siguiendo una ley cualquiera, se dice que está en movimiento vibratorio u oscilatorio. Por ejemplo el émbolo de una locomotora. Entre todos los movimientos oscilatorios que existen en la naturaleza el más importante es el movimiento armónico simple(M.A.S), en el cual es un movimiento periódico porque se reproduce exactamente cada vez que transcurre un tiempo determinado, llamado per´ıodo. Per´ıodo es el tiempo que tarda el objeto en dar una oscilación completa. El M.A.S describe con una buena aproximación la mayor parte de las oscilaciones de la naturaleza. Los sistemas oscilatorios, como el péndulo de reloj, una lancha subiendo y bajando sobre las olas, o una part´ıcula en el extremo de un resorte, tienen una propiedad en com´ un: cada sistema tiene un estado de equilibrio estable. En el equilibrio la fuerza y el torque netos que act´ uan sobre cada parte del sistema son iguales a cero. El equilibrio es estable si un peque˜ no desplazamiento origina una fuerza neta que tiende a regresar al sistema hacia el estado de equilibrio. Estás fuerzas de restauración constituyen una segunda caracter´ıstica de los sistemas oscilatorios.

1.2.

Ecuaci´ on del movimiento de una part´ıcula oscilante

Para describir el movimiento de una part´ıcula oscilante, se expresa la posición de la part´ıcula como una función del tiempo. Iniciando con la segunda ley de Newton que relaciona la fuerza de restauración con la aceleración de la part´ıcula. como primer ejemplo consideremos el caso de una part´ıcula en el extremo de un resorte, en este caso la fuerza de restauración y el desplazamiento se ubican en una sola dirección que podemos definir como x. si tomamos el origen coincidente con la posición de equilibrio de la part´ıcula (Fig 1.2), la posición de la part´ıcula x(t) coincide con el estiramiento

1

Oscilaciones y Ondas del resorte, donde la fuerza de restauración es −kx(t). En el caso del movimiento sin fricción, de acuerdo con la segunda ley de Newton: max = Fx = −kx(t)

(1.1)

La aceleración es la segunda derivada de la posición en función del tiempo, de este modo: d2 x k d2 x (1.2) = −kx o ´ + x=0 2 2 dt dt m En este caso lo que se desea es la posición de la part´ıcula como una función del tiempo, este es un problema matemático que puede ser resuelto utilizando la analog´ıa del M.A.S con el movimiento circular. m

Figura 1.1: Part´ıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios

1.3.

Analog´ıa con el movimiento circular

Las oscilaciones se relacionan de una manera muy estrecha con el movimiento circular, cuando una part´ıcula se mueve en un movimiento circular con una velocidad lineal constante v, la cual se relaciona con la velocidad angular ω = v/r, donde r es el radio del circulo, el cambio de dirección es originado por una aceleración hacia el centro del circulo: a = −ω 2 r

(1.3)

Donde las componentes en x de está ecuación son: d2 x + ω 2 x = 0, (1.4) 2 dt ecuación que es similar a la ecuación 1.2 para las oscilaciones cuando se define la frecuencia angular ax = −ω 2 x o´

2

Oscilaciones y Ondas

s

k , m donde el periodo de las oscilaciones se obtiene como: ω=

r

P = 2π

m , k

(1.5)

(1.6)

Figura 1.2: Analog´ıa entre el movimiento de una part´ıcula en un resorte y el movimiento circular

La posición de la part´ıcula es definida por el ańgulo θ, donde A es la máxima amplitud de la part´ıcula, la amplitud de la part´ıcula en función del tiempo está determinada por la componente en x = A cos θ. La distancia angular φ0 define la posición inicial de la part´ıcula y es conocida como fase inicial, es decir la posición inicial de la part´ıcula es A cos φ0 , en este caso ωt es la distancia angular recorrida por la part´ıcula, luego entonces la distancia angular θ es igual a la distancia angular recorrida más la distancia angular inicial: θ = ωt + φ0

(1.7)

Obteniendose la posición de la part´ıcula en función del tiempo como x(t) = A cos (ωt + φ0 )

3

(1.8)

Oscilaciones y Ondas Es importante aclarar que la posición de la part´ıcula en función del tiempo también puede ser expresada en función del sen en este caso solo cambiaria la fase inicial, por ejemplo cos (ωt + π/3) = sen (ωt + 5π/6), las funciones seno y cose se diferencian en π/2, en este documento utilizaremos la función seno para referirnos a la posición de la part´ıcula esto es: x(t) = Asen (ωt + φ0 )

1.4.

(1.9)

Cinem´ atica del movimiento arm´ onico simple

La velocidad y la aceleración de un movimiento armónico simple pueden ser expresadas a partir de la ecuación 1.9, como: √ v(t) = Aω cos (ωt + φ0 ) = ω A2 − x2

(1.10)

a(t) = −Aω 2 sen (ωt + φ0 ) = −ω 2 x

(1.11)

La fuerza que debe actuar sobre un cuerpo de masa m, para que oscile con movimiento armónico simple es: F = ma = −mω 2 x = −kx

(1.12)

es decir, que para producir un M.A.S se requiere una fuerza proporcional a la elongación y dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, como lo indica el signo menos. La energ´ıa cinética está definida por: 1 1 1 Ec = mv 2 = mA2 cos2 (ωt + φ0 ) = mω 2 A2 − x2 (1.13) 2 2 2 Para la energ´ıa potencial se utiliza la definición de la fuerza en términos de la energ´ıa p potencial F = − ∂E : ∂x Z Ep

Z x

1 −kxdx ⇒ Ep = kx2 (1.14) 2 0 0 Con las definiciones de energ´ıa cinética y potencial se puede obtener la energ´ıa total del sistema, en la forma dEp = −

1 1 1 1 1 E = Ec + Ep = mω 2 A2 − x2 + kx2 = k A2 − x2 + kx2 = kA2 2 2 2 2 2

(1.15)

Ejemplo 1 Una part´ıcula cuya mas es de 1 Kg se mueve con movimiento armónico simple. Su periodo es de 0.1s y la amplitud de su movimiento es de 10cm. Calcular la aceleración, la fuerza, la energ´ıa potencial y la energ´ıa cinética, cuando se encuentra a 4cm de la posición de equilibrio. Soluci´ on: Con la ayuda de la ecuación (1.4) a = −ω 2 x y ω = 2π/T = 2π/0,1 = 20π, tenemos que la aceleraci´ on es a = −400π 2 0,04 = −157,9m/s2 .

4

Oscilaciones y Ondas La fuerza se puede obtener de F = ma = −157,9N, la energ´ıa potencial es Ep = 21 kx2 , que con la ecuaci´ on (1.5) se convierte en Ep = 21 mω 2 x2 = 0,5 · 1 · 400π 2 0,042 = 3,16J, para el calculo de la energ´ıa cinetica se debe calcular la energ´ıa total E = 12 mω 2 A2 = 0,5 · 1 · 400π 2 0,12 = 19,74J, luego la energ´ıa cinética es Ec = (19,74 − 3,16) J = 16,58J.

Ejemplo 2 Una part´ıcula que se mueve con movimiento armónico simple, con una frecuencia f , fue lanzada con una velocidad inicial v0 , desde una posición que se encuentra a x0 de la posici´ on de equilibrio, determinar la posici´ on de la part´ıcula como una función del tiempo. Soluci´ on: En este caso la posici´ on debe presentarse en términos de la información suministrada por el proble las cuales son la frecuencia f , que no debe confundirse con la frecuencia angular ω, la posici´ on inicial x0 y la velocidad inicial v0 . La ecuación que determina la posición de la part´ıcula como una funci´ on del tiempo es x = Asen (ωt + φ), donde ω = 2πf . A continuación se deben determinar A y φ, de las condiciones iniciales. x0 = Asenφ

v0 = Aωcosφ

Al dividir estas ecuaci´ on se obtiene la fase del movimiento como tanφ = representaci´ on gr´ afica de φ, se puede obtener la amplitud:

(1.16) ωx0 v0

y con la ayuda de la

Figura 1.3: Representación geométrica del ańgulo φ √ 2 2 2 √ 2 2 2 2 x0 ω +v0 x0 4π f +v0 luego entonces remplazando senφ o cosφ, se obtiene la amplitud A = = , ω 2πf con estos resultados la posici´ on como una función del tiempo se convierte en: p x20 4π 2 f 2 + v02 x0 2πf sen 2πf t + tan−1 (1.17) x (t) = 2πf v0

Ejemplo 3 Un tronco cil´ındrico de longitud L y radio R, tiene un contrapeso de plomo, con la finalidad de mantenerlo en forma vertical. La masa del tronco y el plomo juntos es M . Si el tronco se empuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento armónico simple y determine su frecuencia. Calcule su frecuencia para M = 60Kg y R = 10cm Soluci´ on: El tronco flota a causa de la fuerza que el agua ejerce hacia arriba por el principio de arqu´ımedes. Primero debe determinarse la posición de equilibrio, para esta posición el peso del tronco y el empuje del agua deben ser iguales. M g = ρagua πR2 Dg

(1.18)

donde D es la longitud de la porci´ on sumergida del tronco, de esta ecuación D = πR2M ρagua . Cuando el tronco se empuja hacia abajo una peque˜ na distancia z, la fuerza del empuje es mayor que el peso del tronco y lo impulsa hacia arriba, cuando el peso del tronco y el plomo superan la fuerza del empuje, el

5

Oscilaciones y Ondas tronco es impulsado hacia abajo, resultando con esto un movimiento armónico simple. para determinar la frecuencia de este movimiento, cuando se desplaza una peque˜ na distancia z hacia abajo la fuerza resultante es M g − πR2 (D + z)ρagua g = −πR2 ρagua gz, y la ecuación del movimiento para el tronco es: d2 z + πR2 ρagua g = 0 (1.19) dt2 q pg πR2 ρagua g de donde la frecuencia de oscilaci´ on esta dada por ω = = D . En el caso M = 60Kg M y R = 10cm, D = 1,91m y ω = 2,27rad/s. Ejemplo 4 Una part´ıcula se desliza hacia adelante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin fricci´ on. Encontrar el periodo de oscilación del movimiento si h es la altura inicial. M

Figura 1.4: Movimiento armónico producido por una part´ıcula que se mueve en un plano inclinado Soluci´ on: Para calcular el periodo de oscilación en primera medida calculamos la aceleración del sistema, esta aceleraci´ on se obtiene de la segunda ley de newton F = mgsenα = ma, luego la aceleraci´ on es a = gsenα. La distancia que debe bajar la part´ıcula es

h senα ,

1 h = gsenαt2 senα 2

el tiempo que tarda en bajar se puede calcular como: s 2h 1 o´ t= , g senα

de donde el periodo de oscilaci´ on es cuatro veces el tiempo calculado s 2h 1 P =4 g senα

(1.20)

EjemploTomemos el caso en el cual una part´ıcula de masa m se encuentra sobre una mesa, unida a un punto fijo de ésta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un resorte de constante k. En el instante t = 0 se encuentra en la posición ~r0 = x0 a ˆ x + y0 a ˆy y se le proporcio0na una velocidad ~v0 = v0x a ˆx + v0y a ˆy . La ecuaci´ on que define un oscilador armónico, en general, es la ecuación de movimiento vectorial d2~r = −k~r (1.21) dt2 En este problema tenemos una part´ıcula situada en un plano. Su posición inicial está a una cierta distancia del punto fijo. Por tanto, necesariamente su movimiento será bidimensional. Para la part´ıcula situada sobre la mesa, su movimiento será bidimensional y podrá describirse un sistema de coordenadas cartesiano m

~r = xˆ ax + yˆ ay En este mismo sistema, la velocidad y la aceleración se escribirán

6


d~r d~v d2 y dx ˆ dy ˆ d2 x i+ j, ~a = = = 2 î + 2 ˆj dt dt dt dt dt dt Sustituyendo en la ecuaci´ on de movimiento y recordando que dos vectores son iguales si lo son cada una de sus componentes, la ecuación vectorial se convierte en dos ecuaciones escalares ~v =

d2 y = −ky dt2

d2 x = −kx, dt2 Cuyas soluciones son de la forma:: x = Ax sen (ωt + φx ) ,

y = Ay sen (ωt + φy )

que utilizando las condiciones iniciales llegamos a x0 = Ax sen (φx ) ,

y0 = Ay sen (φy )

v0x = Ax ω cos (φx ) ,

v0y = Ay ω cos (φy )

de donde tanφx =

x0 ω , v0x

tanφy =

y0 ω v0y

y r Ax =

s

v2 x20 + 0x , ω2

Ay =

y02 +

2 v0y ω2

Con estos resultados las expresiones para las elongaciones en x y y son respectivamente v0y v0x senωt + x0 cos ωt, y= senωt + y0 cos ωt ω ω Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la trayectoria seguida por el cuerpo x=

2 v~0 x2 + y 2 = senωt + r~0 cos ωt ω

1.5. 1.5.1.

(1.22)

Ejemplos de movimientos arm´ onicos simples P´ endulo simple

Un péndulo simple consiste en una part´ıcula de masa m, colgada de un hilo de longitud l y masa despreciable. La part´ıcula oscila sin ficción entre un punto de suspensión. Cuando el hilo forma un ańgulo θ, con la vertical la fuerza restauradora está determinada por: FR = −mgsenθ = m

d2 s d2 θ = ml , dt2 dt2

(1.23)

o sea d2 θ g = − senθ dt2 l 7

(1.24)


Figura 1.5: Esquema de un pendulo simple

Esta ecuación no tiene la forma normal 1.2 y no tiene soluciones sencillas. sin embargo cuando la amplitud es peque˜ na es decir θ es peque˜ no, podemos aplicar la aproximación senθ ≈ θ. En este caso: d2 θ g + θ=0 (1.25) dt2 l que es la ecuación para el movimiento armónico simple, donde θ es el desplazamiento q q y la frecuencia angular es ω = g/l, es decir el periodo de oscilación es P = 2π l/g. Asi: θ (t) = θmax cos

q

g/lt + φ0 .

(1.26)

Las expresiones para la velocidad y la aceleración angular están dadas por: q

Ω (t) = θmax g/lsen

q

g/lt + φ0 .

q g α (t) = −θmax cos g/lt + φ0 . l La energ´ıa potencial en el péndulo simple está determinada por:

Ep = mgh = mg(l − l cos θ) = mgl (1 − cos θ) 8

(1.27) (1.28)

(1.29)

Oscilaciones y Ondas Utilizando la identidad trigonometrica sen2 A = 21 (1 − cos 2A), con 2A = θ θ 2

(1.30)

θ0 2

(1.31)

Ep = 2mglsen2 Utilizando está definición la energ´ıa total e: E = 2mglsen2

pg l t . Encuentre la tensi´ on en la cuerda de este péndulo para θ peque˜ no. La masa de la part´ıcula suspendida m, en que tiempo la tensi´ on es m´ axima y cual es el valor de la tensión máxima.

Ejemplo 5 El movimiento de un péndulo simple está dado por θ = Acos

Soluci´ on: La energ´ıa en el punto de máxima amplitud es solo potencial y es mgH = mg (l − lcosA) y la energ´ıa en cualquier otro punto es la suma de la energ´ıa potencial mgh = mg (l − lcosθ) y la energ´ıa cinética 12 mv 2 , de acuerdo con el principio de conservación de energ´ıa estás dos energias son iguales es decir

Figura 1.6: Esquema de un pendulo simple

1 mgl (1 − cosA) = mgl (1 − cosθ) + mv 2 2 La suma de las fuerzas normales es igual a T = mgcosθ + m

v 2 = 2gl (cosθ − cosA)

v2 = mgcosθ + 2mg (cosθ − cosA) = 3mgcosθ − 2mgcosA l

La serie para el cosB = 1 − 21 B 2 + · · ·, r 1 2 1 2 3 2 g 2 2 T = 3mg 1 − θ − 2mg 1 − A = mg 1 + A − A sen t 2 2 2 l

(1.32)

(1.33)

(1.34)

Para obtener el valor m´ aximo de la tensión se debe derivar la tensión esto es r r r r 3 g g g g g 2sen t cos t = −mg A2 sen 2 t =0 l l l 2 l l q p de donde 2 gl t = π o t = π2 gl , de donde el valor máximo de la tensión es: dT 3 = −mg A2 dt 2

r

9

(1.35)


1 2 T = mg 1 − A 2

(1.36)

Ejemplo 6 Un péndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g = 9,8m/s2 , si la longitud aumenta en 1mm ¿Cuanto se habr´ a atrasado el reloj en 24 horas?. Soluci´ on: Utilizando el periodo del péndulo cuando la gravedad es g = 9,8m/s2 , se puede calcular la longitud normal del péndulo. s l T = 2s = 2π l = 0,9929m (1.37) 9,8 La nueva longitud es ln = 0,9929m+1mm=0,9939m p Con esta nueva longitud el periodo para la nueva longitud es Tn = 2π 0,9939/9,8 = 2,001s, luego el péndulo se retrasa 1,0068 × 10−3 s, cada 2 segundos, debido a que en 24 horas existen 86400 segundos el reloj se retrasa 86400 · 1,0068 × 10−3 = 87s.

Ejemplo 7 Un péndulo cuya longitud es 2m se encuentra en un lugar donde g = 9,8m/s2 . El péndulo oscila con una amplitud de 2o . Expresar en función del tiempo, su desplazamiento angular, su velocidad angular, su aceleraci´ on angular, su velocidad lineal, su aceleración centr´ıpeta y la tensi´ on en la cuerda si la masa en su extremo es de 1Kg. pg Soluci´ on: El desplazamiento angular del péndulo esta definido como θ = θ0 sen l t + φ , la pg pg velocidad angular Ω = θ0 l cos on angular α = − gl θ, la velocidad lineal l t + φ , la aceleraci´ 2 v = Ω · l, la aceleraci´ on centripeta ac = mvl y la tensión como T = mg (3cosθ − 2cosθ0 ), donde se deben determinar los valores de θ0 y φ, para esto se remplazan las condiciones iniciales para el ángulo y la velocidad r 9,8m/s2 o 2 = θ0 senφ 0 = θ0 cosφ (1.38) 2m de donde φ = (π/2)rad, θ0 = 2o , lo que produce θ = 2sen (2,21t + π/2) o

(1.39)

Ω = 4,42cos (2,21t + π/2) o /s

(1.40)

α = −9,8sen (2,21t + π/2) o /s2

(1.41)

v = 0,3cos (2,21t + π/2) m/s

(1.42)

No debe olvidar cambiar los grados a radianes para que las unidades de la velocidad se conviertan en m/s ac = 0,047cos2 (2,21t + π/2) m/s2

(1.43)

T = 9,8 (3cos (2o sen (2,21t + π/2)) − 2cos2o ) N

(1.44)

10

Oscilaciones y Ondas 1.5.1.1.

Expresi´ on general del periodo de un p´ endulo simple

La energ´ıa total es en este caso la suma de la energ´ıa cinética y la energ´ıa potencial, esto es: 1 1 E = mv 2 + Ep = 2 2

dx dt

!2

+ Ep ,

(1.45)

despejando la velocidad obtenemos 1/2 2 dx = (E − Ep ) dt m integrando sobre una oscilación completa obtenemos

Z P

dt = 4

Z x

0

x0

(1.46)

ldθ n

(1.47)

o1/2

2 m

(E − Ep )

en términos del ángulo θ se tiene: P =4

Z θ0 0

ldθ n

2 m

q

θ0 2

sen2

2mglsen2

P = 2 l/g

Z π/2

(1.48)

o1/2 θ 2

dθ r

Si tomamos el cambio de variables sen periodo del péndulo se convierte en: P = 4 l/g

− 2mglsen2

Z θ0 0

q

1 θ 2

1 − sen

2

0

θ0 2

−

sen2

= sen

1 θ 2 0

senΨ, la ecuación para el

−1/2

1 θ0 sen2 Ψ 2

Utilizando la serie (1 + x)n = 1 + nx + n(n−1) x2 + 2! −sen2 21 θ0 sen2 Ψ y n = − 12 e integrando llegamos a:

(1.49)

θ 2

dΨ

n(n−1)(n−2) 3 x 3!

(1.50) + · · ·, donde x =

1 1 9 1 P = 2π l/g 1 + sen2 θ0 + sen4 θ0 + · · · (1.51) 4 2 64 2 Donde puede observarse que para θ peque˜ no se obtiene nuevamente el periq 1 odo como P = 2π l/g, en el caso de 2 θ peque˜ no, se obtiene el periodo como q

q

P = 2π l/g 1 +

1 2 θ 16 0

.

Ejemplo 8 Una part´ıcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa está sostenida por dos resortes de constante el´ astica k y longitud normal l0 , cuyos extremos están fijos en P1 y P2 . Si la part´ıcula se desplaza lateralmente una cantidad x0 peque˜ na comparada con la longitud normal de los resortes, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia de oscilaci´ on y escribir la ecuaci´ on de su movimiento.

11


Figura 1.7: Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes

Soluci´ on: Para calcular el periodo de oscilación utilizamos la p ecuación (1.46), para lo cual necesitamos la energ´ ıa potencial E , la longitud del resorte estirado es x2 + l02 , la longitud que se estiro p p 2 2 el resorte es x + l0 − l0 , la energ´ıa potencial es q

1 Ep = k 2

l02

x2 +

2

1 = kl02 2

− l0

x2 1+ 2 l0

!2

1/2

−1

luego la energ´ıa total se presenta cuando está totalmente estirado es decir x = x0 es decir 1 E= k 2

q

x20

+

l02

2 − l0

1 = kl02 2

x2 1 + 20 l0

!2

1/2 −1

Debido a que l0 >> x, x0 /l0 y x/l0 son peque˜ nos y valores peque˜ nos utilizando el desarrollo n binomial, se puede realizar la aproximación (1 + y) ∼ = 1 + ny convirtiendo estas energ´ıas en: 1 2 kl0 1 + 2 1 Ep = kl02 1 + 2 Ep =

2 x2 1 x4 x4 − 1 = kl02 4 = k 2 2 2l0 2 4l0 8l0 2 x20 1 2 x40 x40 kl − 1 = = k 2l02 2 0 4l04 8l02

(1.52)

(1.53)

El periodo se calcula entonces como:

P ∼ =4

Z 0

x0

Z

dx n

2 m

x4 k 8l02 0

−k

x4 8l02

o1/2 = 4

0

x0

dx n

k 4ml02

(x40 − x4 )

r o1/2 = 8l0

m k

Z 0

x0

dx p 4 x0 − x4

Si tomamos u = x/x0 , tenemos r r Z r 8l0 m 1 dx 8l0 m π 4πl m √ √ =√ 0 P ∼ = = 4 x0 k 0 x0 k 2 3 3x0 k 1−u Luego debido a que ω =

2π P

tenemos √

3x0 ω= 2l0

12

r

k m

(1.54)

Oscilaciones y Ondas p x2 + l02 − l0 , la √ 2 2 2k x +l −l0 x √ 2 02 componente de esta fuerza que produce el movimiento oscilatorio es FR = 2F senφ = − , Para la ecuaci´ on del movimiento la fuerza de cada uno de los resortes es F = −k

x +l0

si factorizamos l0 en el numerador y en el denominador obtenemos. FR = −2k

x2 1+ 2 l0

2 1/2 ! −1/2 x x2 x2 kx3 kx5 ∼ 1+ 2 1− 2 x=− 2 + 4 = −2k 2 l0 2l0 2l0 l0 2l0

Finalmente la ecuaci´ on del movimiento es m

1.5.2.

kx3 kx5 d2 x =− 2 + 4 2 dt l0 2l0

o´

d2 x kx3 kx5 + − =0 2 2 dt ml0 2ml04

(1.55)

P´ endulo compuesto

Cuando un cuerpo r´ıgido(como una barra) se balancea, en torno de un punto por lo general el borde, se obtiene un péndulo conocido como péndulo f´ısico o compuesto; donde el periodo del mismo se relaciona con su tama˜ no y forma.

Figura 1.8: Esquema de un pendulo compuesto

En la figura 1.5.2 se muestra el diagrama de un péndulo compuesto. este péndulo compuesto posee un momento de inercia I, con respecto al punto de giro O, y su centro de masa se encuentra a una distancia d del punto de balanceo O. El peso act´ ua en el centro de masa y ejerce un torque con respecto al punto de giro dado por: τ = −mgdsenθ

(1.56)

donde utilizando la ecuación del movimiento de rotación tenemos: Iα = −mgdsenθ

13

(1.57)

Oscilaciones y Ondas 2

donde α = d2 θ es la aceleración angular del movimiento de rotación. Con la aproximación de un ángulo peque˜ no senθθ, la ecuación del movimiento se convierte en: d2 θ

mgd θ=0 (1.58) I Ecuación que muestra el comportamiento de un movimiento armónico simple con frecuencia angular: 2

+

s

mgd (1.59) I Es importante notar que un péndulo simple es un caso particular de un péndulo compuesto en el cual el momento de inercia es el de la masa colgando I = ml2 y el centro de masa se encuentra sobre la masa esto es d = l ω=

Ejemplo 9 Un disco solido de radio R puede colgarse de un extremo horizontal a una distancia h de su centro. Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente y la posición del eje para la cual el periodo es un m´ınimo. Soluci´ on: Para determinar la longitud del péndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del péndulo e igualarlo al periodo de un péndulo simple para determinar la longitud de este péndulo simple que tiene el mismo periodo que el compuesto Para determinar el period del péndulo compuesto primero el momento de inercia del disco con 2 respecto al centro de masa el cual es Ic = m R2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que el disco no gira en su centro de masa si no a una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es R2 + mh2 (1.60) 2 Luego se debe determinar d que es la distancia del centro de masa al punto de giro, la cual en este caso es h, de donde el periodo del péndulo compuesto es: s 2 m R2 + h2 T = 2π (1.61) mgh I=m

periodo que se debe igualar al periodo de un péndulo simple s s R2 2 l 2 +h 2π = 2π gh g de donde l =

R2 2h

(1.62)

+ h, para determinar el valor máximo del periodo, lo derivamos con respecto a h

dT 2π 2gh2 − gR2 /2 − gh2 = r =0 R2 dh g 2 h2 2 2 +h 2 gh √ El valor de h para le cual el periodo es un m´ınimo es h = R/ 2

14

(1.63)


1.5.3.

P´ endulo de torsi´ on

Otro ejemplo de movimiento oscilatorio es el péndulo de torsión, el cual consiste en un objeto de momento de inercia I, con respecto a su centro de masa, este objeto esta colgado por su centro de masa por un alambre, al girar este cuerpo un ańgulo θ, el sistema ejerce un torque que tiende a regresar el sistema a su estado de equilibrio, este torque es proporcional al ángulo θ τ = −ktor θ, donde ktor es la constante de torsión del alambre que soporta el cuerpo. La ecuación del movimiento del cuerpo es entonces:

Figura 1.9: Esquema de un péndulo de torsión

d2 θ d2 θ ktor = −k θ o ´ + θ (1.64) tor dt2 dt2 I que on de un qmovimiento armónico simple con frecuencia angular q es la ecuaci´ ω = ktor /I y periodo P = 2π I/ktor I

Ejemplo 10 Un péndulo de torsión consiste en bloque rectangular de madera de 8cm×12cm×3cm con una masa de 0,3Kg suspendido por medio de un alambre que pasa a través de su centro y de modo que el lado más corto es vertical. El periodo de oscilación es 2,4s . ¿Cual es la constante de torsi´ on ktor del alambre?. 2

2

+0,12 Soluci´ on: El momento de inercial del bloque rectangular es I = 0,3Kg 0,08 12 m2 = 5,2 × −4 2 10 Kg m , por tanto el periodo de oscilación del péndulo es s 5,2 × 10−4 Kgm2 2,4s = 2π ktor = 3,56 × 10−3 N m/rad (1.65) ktor

15


Figura 1.10: Esquema del péndulo de torsión con un bloque rectangular

1.5.4.

P´ endulo cicloidal

Dentro de los modelos de péndulo existe un péndulo en el cual su periodo no depende de la amplitud, el cual es conocido como péndulo cicloidal, uno de los modelos de péndulo cicloidal consiste de dos curvas cicloides entre las cuales se coloca un péndulo simple, para construir una curva cicloidal se toma un punto en un borde de un circulo 4 y se rueda la curva 3.5 resultante es una cicloide figura 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 Figura 1.11: Construcci´ cicloide -2 -1 0 1 2 on de 3 una 4 curva 5 6 7 positiva

las ecuaciones de está curva son x = a (φ − senφ), y = a (1 − cosφ), en el caso del péndulo cicloidal como el de la figura 1.5.4 está curva es hacia abajo por lo tanto estás ecuaciones se modifican en: x = a (φ − senφ) y = a (cosφ − 1)

(1.66)

Para obtener el periodo de oscilación de este pendulo utilizaremos el enfoque de las energ´ıas el cual parte del hecho de que la energ´ıa total es constante. La energ´ıa total de la part´ıcula es la suma de su energ´ıa potencial y su energ´ıa cinética, esto es: 16


Figura 1.12: Esquema de un péndulo cicloidal



1 dx E = Ec + Ep = m  2 dt

!2

dy + dt

!2   + mgy

(1.67)

donde utilizando la definición de la curva cicloide 1.67, obtenemos la energ´ıa total como: 

dφ E = ma (1 − cosφ)  dt

!2



a − g

(1.68)

pero en este caso la oscilación es armónica simple pero en la longitud, por lo r tanto debemos expresar está ecuación en términos de la longitud s (φ) = Rφ 0

dx dφ0

2

+

dy 2 dφ0 , 0 dφ

llegando a:

dφ (1.69) dt al remplazar este valor en la energ´ıa obtenemos la energ´ıa como una función de la longitud de la curva: s (φ) = 2asen (φ/2)

!2

ds mgs2 1 + E= m (1.70) 2 dt 8a Recordando que la energ´ıa es una constante, su derivada es igual a cero llegando a: dE ds d2 s mg ds d2 s g =m + s = 0 o ´ + s=0 (1.71) 2 2 dt dt dt 4a dt dt 4a La cual esquna ecuación que describe un movimiento onico simple de frecuencia q arm´ angular ω = g/4a, o periodo de oscilación P = 2π 4a/g 17


1.6.

Combinaci´ on de movimientos arm´ onicos

A menudo se combinan movimientos armónicos simples en igual dirección como en dirección perpendicular. El movimiento resultante es la suma de las oscilaciones independientes, en primera medida consideremos el caso en el cual los dos movimientos tienen igual dirección, y denotaremos esta dirección como x, la ecuación 1.9 describe una oscilación armónica luego las ecuaciones

x1 (t) = A1 sen (w1 t + φ1 ) x2 (t) = A2 sen (w2 t + φ2 ) ,

(1.72)

describen dos movimientos armónicos simples en la misma dirección en este caso x, por lo tanto el movimiento resultante de la combinación de estos dos movimientos es la suma x (t) = x1 (t) + x2 (t) = A1 sen (w1 t + φ1 ) + A2 sen (w2 t + φ2 )

(1.73)

para obtener la suma de estos dos movimientos, se pueden utilizar dos métodos el anal´ıtico y el gráfico, el anal´ıtico está basado en las identidades trigonométricas y el método gráfico está basado en la analog´ıa entre el movimiento oscilatorio y el movimiento circular, lo cual es conocido como técnica de fasores, en nuestro desarrollo utilizaremos el método gráfico De la figura 1.6 y utilizando el teorema del coseno se obtienen la amplitud del movimiento resultante de los dos movimientos. A=

q

A21 + A22 + 2A1 A2 cos [(w2 − w1 ) t + (φ2 − φ1 )]

(1.74)

Existe un caso especial en el cual φ1 = φ2 , la amplitud se reduce a: A=

q

A21 + A22 + 2A1 A2 cos [(w2 − w1 ) t]

(1.75)

En este caso la amplitud cambia entre los valores A1 +A2 y A2 −A1 , dependiendo de los valores de las frecuencias, para el caso en el cual (w2 − w1 ) t = 2nπ, las amplitudes se suman, y en el caso en el cual (w2 − w1 ) t = (2n + 1) π se restan, como la amplitud cambia con la frecuencia se dice que la amplitud se encuentra modulada, estos cambios en la amplitud producen como consecuencia fluctuaciones en la intensidad de un sonido llamadas pulsaciones. La frecuencia con la cual cambia la amplitud esta dada por: fp = (w2 − w1 ) /2π

(1.76)

y es la frecuencia es la frecuencia de pulsación, para el caso especial en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales esto es A1 = A2 , llegamos a

18


Figura 1.13: Diagrama de fasores para la combinación de movimientos armónicos de igual dirección

1 + cos [(w2 − w1 ) t] = A1 2 (1 + cos [(w2 − w1 ) t)] = 2A1 cos (w2 − w1 ) t A= 2 (1.77) Sumando los movimientos armónicos de las ecuaciones 1.73, cuando tienen la misma frecuencia y utilizando la identidad trigonométrica sen(A) + sen(B) = 2 cos 12 (A − B)sen 12 (A + B), llegamos a: q

2A21

q

2A21

1 1 (w2 − w1 ) t sen (w2 + w1 ) t (1.78) 2 2 La gráfica de x en función del tiempo para los casos en los cuales las amplitudes son diferentes siendo mayor la amplitud de la de x1 , amplitudes iguales y amplitudes diferentes siendo mayor la amplitud de x2 , se muestran en la figura 1.6 , en la cual se puede observar que cuando la amplitud de x2 es mayor que la amplitud de x1 , se produce un solapamiento. Es importante aclarar que se ha supuesto que la frecuencia de x2 es mayor que la frecuencia de x1 Cuando las frecuencias de los dos movimientos son iguales la amplitud del movimiento resultante descrita por la ecuación 1.75, se puede escribir como:

x = 2A1 cos

A=

q

A21 + A22 + 2A1 A2 cos (φ2 − φ1 )

(1.79)

para obtener la fase del movimiento resultante se debe recordar que este es la suma de los movimientos x1 y x2 , pòr lo tanto la suma de las componentes en x0 y y 0 de estos 19


Figura 1.14: Combinación de movimientos armónicos de frecuencias diferentes cuando: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2 , (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2 .

dos movimientos debe ser igual a las componentes en x0 y y 0 de movimiento resultante donde x0 y y 0 , se ilustran en la figura 1.6,de acuerdo con esto se tiene:

Asenφ = A1 senφ1 + A2 senφ2 A cos φ = A1 cos φ1 + A2 cos φ2 ,

(1.80)

resultando con esto que: tan φ =

A1 senφ1 + A2 senφ2 A1 cos φ1 + A2 cos φ2

(1.81)

La ecuación que describe el comportamiento del movimiento resultante esta dada por: x = Asen (ωt + φ) , donde A y φ están descritos por las ecuaciones 1.79 y 1.81.

20

(1.82)


Figura 1.15: Diagrama de fasores para la combinación de dos movimientos armónicos de igual frecuancia

1.6.1.

Combinaci´ on de dos movimientos perpendiculares

Analizaremos a continuación el caso en el cual los dos movimientos implicados son perpendiculares entre, que un movimiento se encuentra en la dirección x y el otro se encuentra en la dirección y, en este caso lo interesante es determinar la trayectoria del movimiento resultante, en primera instancia analizaremos cuando los dos movimientos tienen la misma frecuencia, las ecuaciones que describen cada uno de los movimientos son: x = Asen (ωt + φ1 )

y = Bsen (ωt + φ2 )

(1.83)

Si despejamos ωt de la primera ecuación y la remplazamos en la segunda ecuación obtenemos: x + (φ2 − φ1 ) (1.84) y = Bsen sen A Desarrollando es con ayuda de la identidad trigonométrica sen(A + B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A), se obtiene:

−1

y x x = cos(δ) + cos sen−1 B A A

21

sen (δ)

(1.85)

Oscilaciones y Ondas donde δ = φ2 − φ1 , pero cos(M ) =

q

1 − sen2 (M ), llegando finalmente a:

y 2 2xy cos δ x 2 + − = sen2 δ (1.86) A B AB lo cual corresponde a una elipse que hace un ángulo con los ejes como la ilustrada en la figura 1.6.1

x 2/9+y 2/1-2 cos( /6) x y/3-(sin( /6))2 = 0

Figura 1.16: Trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos movimientos perpendiculares

En el caso en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales A = B, la trayectoria de los movimientos es un circulo, cuando las fases iniciales de los dos movimientos x, en el caso en el cual la son iguales φ1 = φ2 , se obtiene una l´ınea recta dada por y = B A diferencia entre las fases iniciales es π, la trayectoria resultante es una recta y = − B x, A los dos casos correspondientes a l´√ ıneas rectas son movimientos armónicos simples, con frecuencia angular ω y amplitud A2 + B 2 . para obtener la dirección del movimiento se deben derivar las posiciones en x y y para obtener la componentes de la velocidad, con estas componentes de la velocidad se eval´ ua en cualquier punto de la trayectoria para as´ı determinar la dirección del movimiento. En el caso de tener frecuencias diferentes se obtienen unas figuras conocidas como figuras del Lissajous, para ilustrar la construcción de las mismas utilizaremos la técnica de fasores, las ecuaciones para dos movimientos armónicos simples perpendiculares de diferentes frecuencias son: x = Asen (ω1 t + φ1 )

y = Bsen (ω2 t + φ2 )

(1.87)

Tomemos como ejemplo el caso en el cual ω1 = 43 ω2 , φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2 la relación entre las fases describe por ejemplo que cuando x recorre 3o , y recorre 4o , donde la construcción se muestra en la figura 1.6.1 Ejemplo 11 Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos arm´ onicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senωt y y = 3sen (ωt + α), cuando 22


Figura 1.17: Construcción de una figura de Lissajous cuando ω1 = φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2

3 ω, 4 2

α = 0, π/2 y π. Hacer un gr´ afico de la trayectoria de la part´ıcula en cada caso y se˜ nalar el sentido en el cual viaja la part´ıcula. Soluci´ on: despejando de la primera de estas ecuaciones tenemos senωt = x/4, que al remplazarlo en la segunda de las ecuaciones tenemos r y x x2 = cosα + 1 − senα (1.88) 3 4 16 para α = 0 y = 2

x 16

2

3 4 x,

lo cual corresponde a una l´ınea recta de pendiente positiva, para α = π/2

y 9

+ = 1, que representa una elipse, y para α = π y = − 34 x, que corresponde a una l´ınea de pendiente negativa. Para la direcci´ on de la trayectoria de la combinación de los movimientos, se deben obtener las componentes de las velocidades, es decir vx = 4ωcosωt y vy = 3ωcos (ωt + φ), para x = 0 se tiene que ωt = 0, en este caso: vx = 4ω   α = 0 vy = 3ω α = π/2 vy = 0 (1.90) vy = 3ωcosα  α = π vy = −3ω

23

(1.89)


Figura 1.18: Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α

1.7.

Movimiento Amortiguado

Todos los sistemas oscilantes descritos, poseen perdida de energ´ıa a causa de la fricción; por ejemplo un péndulo simple después de algunas oscilaciones disminuye la amplitud de sus oscilaciones, este tipo de movimiento en el cual se considera la disminución de la amplitud Fig. es el movimiento oscilatorio amortiguado. En los fluidos como el aire, la fuerza de amortiguamiento a bajas velocidades se considera proporcional a la velocidad del objeto −λv, donde λ es una constante que depende de la viscosidad del medio y de la forma del objeto, por ejemplo para un objeto esferico de radio R, esta dada por λ = 6πηR, donde η es la viscosidad del medio. Para el caso de medias y altas velocidades, esta fuerza en el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para ilustrar el movimiento oscilatorio amortiguado, consideremos un cuerpo unido a un resorte que se mueve en un fluido, en este caso las fuerzas que actuan sobre el cuerpo son la de restauraci´ on del resorte y la de amortiguamiento; la ecuación del movimiento del cuerpo es: m

d2 x = −λv − kx, dt2

(1.91)

que puede ser escrita como: d2 x k λ dx + + x=0 (1.92) 2 dt m dt m La energ´ıa que se disipa debido a la fuerza de amortiguamiento se puede calcular multiplicando 2 la fuerza por la velocidad esto es dE a energ´ıa es dt = −λvv = −λv , lo cual quiere decir que est´ m´ axima cuando la velocidad es m´ axima. La solución de esta ecuación resultante puede ser obtenida de dos formas una es notando la forma de exponencial decreciente en la amplitud de las oscilaciones amortiguadas, tomando en este caso la solución en la forma: x (t) = Ae−γt sen (ωA t + φ)

(1.93)

Donde se deben determinara la constante de amortiguamiento γ y la frecuencia de oscilación con amortiguamiento, calculando la primera y segunda derivadas de (1.93) y remplazando en (1.92), se obtiene: dx dt

= −Aγe−γt sen (ωA t + φ) + ωA Ae−γt cos (ωA t + φ)

24

(1.94)


Figura 1.19: Amplitud de una oscilación subamortiguada en función del tiempo d2 x dt2

= Aγ 2 e−γt sen (ωA t + φ) − 2AγωA e−γt cos (ωA t + φ) 2 −ωA Ae−γt sen (ωA t + φ)

2 γ 2 − ωA −

k λγ + m m

λ Ae−γt sen (ωA t + φ) + −2γωA + ωA Ae−γt cos (ωA t + φ) = 0 m

(1.95)

Donde surgen las condiciones: k λγ + m m λ −2γωA + ωA m

2 γ 2 − ωA −

=

0

=

0

(1.96)

De donde se obtienen los valores de γ y ωA :

γ ωA

λ 2m r q k λ2 = − = ω02 − γ 2 m 4m2

=

(1.97)

Otro método para la soluci´ on de la ecuación diferencial (1.92) es el método para la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, el cual consiste en tomar una soluci´ on de la forma est y remplazarla en la ecuación con sus respectivas derivadas, lo que convierte la ecuaci´ on (1.92) en: s2 +

λ k s+ =0 m m

(1.98)

cuya soluci´ on para s es: s=−

λ ± 2m

q

25

γ 2 − ω02

(1.99)

Oscilaciones y Ondas Con estos valores de s se pueden obtener tres solución, las cuales tienen significados f´ısicos diferentes, para el caso en el cual ω0 > γ, el p movimiento oscilatorio de denomina subamortiguado y en este caso los valores de s son s = −γ ± i ω02 − γ 2 , donde las soluciones complejas producen funciones sinusoidales de la forma (1.95). Cuando γ = ω0 , las oscilaciones se llaman cr´ıticamente amortiguadas y en este caso las soluciones para s son s = −γ y la solución de la amplitud de las oscilaciones es: x (t) = (At + B) e−γt

(1.100)

Para el caso en el cual γ > ω0 , las soluciones son reales y no se producen oscilaciones, en este caso cuando se pone a oscilar la amplitud decaerá rápidamente sin producir oscilaciones, los valores de s, est´ an dados por (1.99) y x (t) como: √ √ −γ− γ 2 −ω02 t −γ+ γ 2 −ω02 t + Be (1.101) x (t) = Ae

Ejemplo 12 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación sub amortiguada cuyas posici´ on y velocidad inicial son x0 y v0 . Soluci´ on: Las ecuaciones de la posición y velocidad en este caso son: x = Ae−γt sen (ωt + φ) v = −A−γt sen (ωt + φ) + A−γt cos (ωt + φ) Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones: x0 = Asenφ v0 = −Aγsenφ + Aωcosφ, remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuación obtenemos ωx0 cosφ senφ x0 ω tanφ = , v0 + γx0

v0 = −γx0 +

lo angulo con lados opuesto y adyacente x0 ω y v0 + γx0 e hipotenusa q cual corresponde a un ´ 2 2 2 x0 ω + (v0 + γx0 ) , de esta forma la amplitud se convierte en q 2 x20 ω 2 + (v0 + γx0 ) x0 A= = senφ ω Obteniendose finalmente la ecuaci´ on del movimiento como: q 2 x20 ω 2 + (v0 + γx0 ) −γt x0 ω x (t) = e sen ωt + tan−1 ω v0 + γx0

(1.102)

Ejemplo 13 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación criticamente amortiguado cuyas posici´ on y velocidad inicial son x0 y v0 . Soluci´ on: Las ecuaciones de la posición y velocidad en este caso son: x = (At + B) e−γt v = Ae−γt − γ (At + B) e−γt = (A − γB − γAt) e−γt Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

26


x0 = B v0 = (A − γB) , remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuación obtenemos A = γx0 + v0 Obteniendose finalmente la ecuaci´ on del movimiento como: x (t) = ((γx0 + v0 ) t + x0 ) e−γt

Ejemplo 14 Encontrar la ecuación del movimiento para una oscilación sobre amortiguado cuyas posici´ on y velocidad inicial son x0 y v0 . Soluci´ on: Las ecuaciones de la posición y velocidad en este caso son: √ √ −γ− γ 2 +ω02 t −γ+ γ 2 +ω02 t + Be x = Ae q q √ −γ+ γ 2 +ω02 t 2 2 2 2 v = A −γ + γ + ω0 e + B −γ − γ + ω0 e

√

−γ−

γ 2 +ω02 t

Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones: x0 = A + B q q v0 = A −γ + γ 2 + ω02 + B −γ − γ 2 + ω02 , remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuación obtenemos p v0 − x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p A= 2 γ 2 + ω02 y p = v0 + x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p B= 2 γ 2 + ω02 Obteniendose finalmente la ecuaci´ on del movimiento como: p v0 − x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p e x (t) = 2 γ 2 + ω02

1.8.

√

−γ+

γ 2 +ω02 t

p v0 + x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p e + 2 γ 2 + ω02

−γ−

√

γ 2 +ω02 t

Oscilaciones Forzadas

Las oscilaciones forzadas son otro tipo de oscilaciones, en las cuales una fuerza externa, que genera las oscilaciones, supongamos nuevamente el caso de un resorte al cual se le aplica una fuerza externa Fe = F0 cosωf t, en este caso la ecuación 1.92 se modifica en: d2 x λ dx k F0 + + x= cosωf t 2 dt m dt m m 27

(1.107)

Oscilaciones y Ondas En este caso las oscilaciones son producidas por la acción de la fuerza externa por tal motivo el movimiento armónico simple con frecuencia ωf , es decir: x (t) = Asen (ωf t + α) ,

(1.108)

donde en este caso se deben determinar la amplitud A y la fase α del movimiento, con esta solución la ecuación (1.108), se convierte en: − Aωf2 sen (ωf t + α) +

kA F0 Aωf λ cos (ωf t + α) + sen (ωf t + α) = cos (ωf t) (1.109) m m m

Con la ayuda de las identidades trigonométricas sen (ωf t + α) = sen (ωf t) cos (α) + cos (ωf t) sen (α) y cos (ωf t + α) = cos (ωf t) cos (α) + sen (ωf t) sen (α), esta ecuación puede ser escrita como: Aωf λ senα + − m Aωf λ −Aωf2 senα + cosα + m −Aωf2 cosα

!

kA cosα senωf t + m ! kA F0 senα − cosωf t = 0, m m

(1.110)

de donde se obtienen las dos condiciones: Aωf λ kA senα + cosα = 0 m m kA F0 Aωf λ cosα + senα − = 0 −Aωf2 senα + m m m − Aωf2 cosα −

(1.111)

De la primera de las ecuaciones (1.112), se tiene: m tanα = λωf

k − ωf2 m

!

=

ω02 − ωf2 2γωf

(1.112)

Esta expresión para la tanα, puede ser representada mediante un triángulo como el de la figura1.20, a partir de la cual se pueden obtener las expresiones para el senα y el cosα La segunda expresión de (1.112), se convierte en: ω02 − ωf2 r

ω02

−

ωf2

2

+

4γ 2 ωf2

2γωf

ω02 − ωf2 A + r

ω02

−

ωf2

2

A2γωf = +

4γ 2 ωf2

F0 m

(1.113)

de donde A = r

F0 /m ω02 − ωf2 28

2

+ 4γ 2 ωf2

(1.114)


Figura 1.20: Representación geométrica del ańgulo α De esta expresión, se puede observar que la amplitud tiene una dependencia de ωf , además esta amplitud es máxima cuando el denominador de (1.114) es m´ınimo, lo cual ocurre cuando ω0 = ωf , es decir que la frecuencia forzada es igual a la frecuencia propia del sistema, en este caso se dice que el sistema se encuentra en resonancia y la frecuencia a la cual s presenta este fenómeno de denomina frecuencia de resonancia, un ejemplo simple de resonancia se presenta cuando se columpia un ni˜ no, el sistema puede ser considerado como un péndulo el cual posee una frecuencia propia del sistema, en este caso la fuerza externa es la proporcionada por la persona que impulsa el ni˜ no, cuando la frecuencia de la fuerza impulsadora coincide con la frecuencia propia del sistema la amplitud del ni˜ no es mayor. La velocidad con la cual se mueve el objeto al cual se le aplica la fuerza externa es: v = Aωf cos (ωf t + α)

(1.115)

La velocidad máxima es: v = Aωf = r

F0 ωf /m ω02 − ωf2

2

=q

+ 4γ 2 ωf2

F0 λ2 + (mωf − k/ωf )2

(1.116)

El valor más alto de esta velocidad máxima, ocurre cuando ω0 = ωf , es decir cuando el sistema se encuentra en resonancia, en este caso la energ´ıa cinética presenta su máximo valor, lo que demuestra que en resonancia la transferencia de energ´ıa es máxima. El cociente de la velocidad máxima es la impedancia Z, es decir; Z=

q

λ2 + (mωf − k/ωf )2 ,

(1.117)

impedancia que a su vez esta compuesta de la resistencia R = λ y la reactancia X = mωf − k/ωf , por tanto tanα = X/R. En el caso en el cual se encuentra en resonancia X = 0, lo que implica que α = 0, en este caso el factor Q = cos2 α = 1, el cual se denomina factor de calidad y su valor es máximo cuando se encuentra en resonancia es decir se produce la mayor transferencia de energ´ıa. La velocidad puede ser escrita como: v=

F0 cos (ωf t + α) Z 29

(1.118)

Oscilaciones y Ondas La potencia que es la energ´ıa transferida por unidad de tiempo, que también es máxima en resonancia está dada por: F02 2 F02 cos (ωf t + α) cosωf t = cos ωf tcosα − senωf tcosωf tsenα (1.119) P = Fv = Z Z

La potencia promedio es entonces F2 P¯ = 0 cosα Z

(1.120)

Ejemplo 15 Un niño juega con un resorte de constante k = 20 N/m, longitud natural l0 = 5 cm y fricci´ on despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorte entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El ni˜ no agita la mano arriba y abajo, con una amplitud A = 2 cm y una frecuencia ω. Determine la posición de la pesa, si esta oscila con la misma frecuencia que la mano. ¿En qué condiciones la pesa llegará a golpearle la mano? El movimiento de la pesa es vertical, de forma que podemos usar una sola dimensión. Sea Y la dirección vertical y hacia abajo, medida desde la posición central de la mano, de forma que ésta ocupa la posición y1 = c cos(ωt), Obsérvese que ω es una frecuencia arbitraria (la que quiera darle el ni˜ no al mover su mano) y no tiene por qué coincidir con la que tendr´ıa el resorte si oscilara libremente (frecuencia natural) r ω 6= ω0 =

rad k = 10 m s

La pesa está sometida a la acción de dos fuerzas: su propio peso y la fuerza elástica ejercida por el resorte.

Figura 1.21: Movimiento de una pesa por un niño

F = mg − k(y − y1 − l0 ),

siendo l0 la longitud natural del resorte (que aqu´ı debemos tener en cuenta porque queremos ver en qué caso el resorte se encoge del todo). La cantidad y1 aparece porque la ley de Hooke es dependiente del estiramiento total del resorte, y éste depende tanto de la posición inicial como de la final.La ecuaci´ on de movimiento para la pesa es entonces d2 y = mg − k(y − y1 − l0 ) dt2 Sustituyendo y1 nos queda la ecuación de movimiento m

m

d2 y + ky = mg + kl0 + kc cos(ωt) dt2

30

Oscilaciones y Ondas Sabemos que la pesa oscila con la misma frecuencia que la mano del ni˜ no. Estas oscilaciones las har´ a en torno a una cierta posici´ on de equilibrio, as´ı que la solución la podemos escribir en la forma y = y0 + Asen(ωt + φ), donde y0 (la posici´ on central de las oscilaciones), A es la amplitud que hay que determinar.Sustituyendo en la ecuaci´ on de movimiento y nos queda −Amω 2 senωt cos φ − Amω 2 cos ωtsenφ + ky0 + kAsenωt cos φ + kA cos ωtsenφ − mg − kl0 = kc cos(ωt) Si est´ a ecuaci´ on debe cumplirse en todo instante, el coeficiente del coseno, el del seno, y el del término independiente deben ser iguales a un lado y a otro de la igualdad. Esto nos da tres ecuaciones: mg + l0 , k r k 2 −Amω cos φ + kA cos φ = 0 ⇒ ω = , m ky0 − mg − kl0 = 0 ⇒ y0 =

−Amω 2 senφ + kAsenφ = kc ⇒ A =

cω02 ω02 − ω 2

El desfase φ, depende de si la frecuencia es menor o mayor que la frecuencia natura. Si ω < ω0 implica que φ = π/2, y la pesa oscila en fase con la mano, cuando la mano sube, la pesa sube, y si baja, la pesa baja. Si ω > ω0 implica que φ = −π/2, y la pesa oscila en contrafase con la mano: cuando la mano sube, la pesa baja, y viceversa. Con lo que la soluci´ on para la posición de la pesa es mg cω 2 π y0 = + l0 + 2 0 2 sen(ωt ± ) k ω0 − ω 2 Resulta que la posici´ on central es la misma que si no hubiera oscilaciones de la mano mg + l0 = 14,8cm k Esta amplitud tiene un m´ aximo (te´ oricamente infinito), justo a la frecuencia natural.A muy bajas frecuencias la amplitud coincide con al de oscialción de la mano (ya que ésta se mueve tan despacio que la pesa simplemente la sigue arriba y abajo). A altas frecuencias, la vibración de la mano es tan r´ apida que la pesa no es capaz de seguirla y su amplitud de oscilación tiende a 0. La pesa chocar´ a con la mano cuando la posición de la pesa y la posición de la mano coincidan, esto es cω02 sen(ωt ± π ) = c cos(ωt) y = y1 ⇒ y0 + 2 2 ω0 − ω 2 y0 =

Para que este choque se produzca, la amplitud de oscilación debe ser lo suficientemente grande, lo cual solo ocurre cerca de la frecuencia propia (o frecuencia de resonancia). Habrá entonces una frecuencia m´ınima a la cual se producirá este choque, y también una frecuencia máxima. Si la frecuencia es menor que la frecuencia propia, la pesa oscila en fase con la mano, esto es, que si la mano sube la pesa también, y lo mismo si baja. Pero, dependiendo de la frecuencia, la amplitud de estas oscilaciones ir´ a aumentando, y la frecuencia m´ınima se alcanzará cuando la pesa toque una sola vez a la mano. Esta colisi´ on, de producirse, ocurrirá cuando la mano esté en su punto más alto, momento en que la pesa también estar´ a en su punto superior. Esto ocurre para t = nT + T /2. y0 −

kc = −c k − mω 2

31

Oscilaciones y Ondas y obtenemos la frecuencia l´ımite s r kc k y0 ωmin = − = ω0 = 9,39rad/s m m(y0 + c) y0 + c Seg´ un hemos dicho cuando la frecuencia es mayor que la frecuencia natural, la pesa oscila al revés que la mano, si una sube, la otra baja. A frecuencias altas , la pesa nunca llega a la altura de la mano. La posici´ on extrema en que se produce la colisión es aquella en que la mano está en su punto m´ as bajo, y la pesa en su punto m´ as alto. Esto ocurre en t = nT y0 +

kc =c k − mω 2

lo que nos da la frecuencia s ωmax =

1.8.1.

k kc + = ω0 m m(y0 − c)

r

y0 = 10,75rad/s y0 − c

Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie

Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una inductancia L, conectadas en serie y alimentados por una fuente de tensión de corriente alterna V0 cosωt, como el de la figura , la diferencia de potencial para la resistencia, el condensador y el inductor en función de la carga Q y la corriente I son:

Figura 1.22: Circuito RLC en serie con fuente de tensión de alterna

VL = L dI , dt

VC =

Q , C

VR = IR

De acuerdo con la ley de Ohm la suma de los potenciales en un lazo cerrado debe ser cero, esto es: L

dI Q + RI + = V0 cos(ωf t) dt C

donde la relación entre la carga y la corriente es I = (1.121) se convierte en: L

(1.121) dQ , dt

d2 Q dQ Q +R + = V0 cos(ωf t) 2 dt dt C 32

con lo que la ecuación

(1.122)

Oscilaciones y Ondas esta ecuación es similar a la ecuación (), realizando una analog´ıa tenemos que m es análogo a L, R es análogo a λ, k es análogo a 1/C y V0 es análogo a F0 . La solución en este caso es de la forma: Q (t) = Asen (ωf t + α)

(1.123)

donde tanα =

ω02 − ωf2 2Rωf

(1.124)

donde s

ω0 =

1 LC

(1.125)

de igual forma: A = r

V0 /L ω02

−

ωf2

2

+

(1.126) 4R2 ωf2

Para el caso de no existir fuente de potencial el sistema se comporta como un q R 2 oscilador amortiguado, donde γ = 2L y ωA = ω0 − γ 2 . Cuando R = 0, el sistema se un oscilador de frecuencia ω0 . Para buscar la expresión de la energ´ıa que se conserva en el caso del circuito, comparamos las ecuaciones del oscilador mecánico y del circuito. Si recordamos que en el oscilador mecánico la energ´ıa potencial elástica es 1 Ep = kx2 2 la analog´ıa nos lleva a identificar la energ´ıa

(1.127)

Q2 (1.128) 2C Esta es la energ´ıa potencial electrostática. Está asociada a la carga eléctrica almacenada en las placas del condensador. Para buscar el análogo a la energ´ıa cinética, establecemos la analog´ıa entre la velocidad y la intensidad de corriente. As´ı pues, por analog´ıa con la energ´ıa cinética llegamos a la energ´ıa Ee =

1 Em = LI 2 (1.129) 2 Esta es la energ´ıa magnética. Está asociada al campo magnético producido por la corriente eléctrica. En el oscilador mecánico, la energ´ıa mecánica es la suma de la potencial elástica y la cinética. En el circuito, definimos una energ´ıa total como la suma de la energ´ıa potencial electrostática y la magnética

33


Q2 1 2 + LI (1.130) 2C 2 Al igual que en el caso mecánico, esta energ´ıa se conserva. El comportamiento del circuito puede entenderse como un intercambio entre la energ´ıa eléctrica y la magnética. E = Ee + Em =

1.9.

Problemas

1. Una part´ıcula de masa m, se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de la fuerza F = −kx. Cuando t = 2s, la part´ıcula pasa a través del origen, y cuando t = 4s, su velocidad es de 4m/s. Encontrar la ecuación de la elongación y demostrar que √ la amplitud del movimiento es 32 2/π, cuando el periodo de oscilación es de 16s. 2. Una part´ıcula de masa m, unida a un resorte, se mueve con movimiento armónico simple, cuando t = 2s, la aceleración de la part´ıcula es 3m/s2 , y cuando t = 4s, la velocidad de la part´ıcula es 6m/s, si la longitud de onda de las oscilaciones es 0.5m, calcular la amplitud y la fase inicial del movimiento, si la longitud del resorte es 2m, y su masa es 200g, el resorte se estira una distancia de 2cm cuando se aplica una fuerza de 30N 3. Una part´ıcula con una masa de 0.5kg esta unida a un resorte de constante de fuerza 50 N/m. En el tiempo t = 0, la part´ıcula tiene su máxima rapidez de 20m/s y se mueve a la izquierda. (a) Determine la ecuación del movimiento de la part´ıcula, especificando su posición del tiempo. (b) 34

¿En qué parte del movimiento es la energ´ıa potencial tres veces la energ´ıa cinética?. (c) Encuentre la longitud de un péndulo simple que tenga el mismo periodo de oscilación. 4. Una masa m = 2,5 kg cuelga del techo mediante un resorte con k = 90 N/m. Inicialmente, el resorte está en su configuración no estirada y la masa se mantiene en reposo con su mano. Si en el tiempo t = 0, usted libera la masa, ¿Cual será su posición como función del tiempo?. 5. Una part´ıcula de masa 4kg está unida a un resorte de constante de fuerza 100N/m. Está oscilando sobre una superficie horizontal sin fricción con una amplitud de 2m. Un objeto de 6kg se deja caer verticalmente en la parte superior del objeto de 4kg, cuando pasa por la posición de equilibrio. Los dos objetos se quedan pegados. (a) cuanto cambia la amplitud, el periodo y la energ´ıa, del sistema vibratorio. 6. Una plancha horizontal oscila con movimiento armónico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia

Oscilaciones y Ondas de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor m´ınimo del coeficiente de fricción a fin de que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve. 7. Un bloque de madera cuya densidad con respecto al agua es ρ, tiene dimensiones a, b y c. Mientras esta flotando en el agua con el lado a en forma vertical, se empuja hacia bajo y se suelta. Encontrar el periodo de la oscilación resultante. 8. ¿Cuál deb´ıa ser el porcentaje de cambio en la longitud de un péndulo a fin de que tenga el mismo periodo cuando se le traslada de un lugar donde g = 9, 8m/s2 a una lugar en el cual g = 9, 81m/s2 ? 9. Una varilla de longitud L, un disco de igual masa que la varilla y de radio R, se coloca en el centro de la varilla, el sistema se pone a oscilar respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo de la varilla, calcular el periodo de oscilación del sistema. 10. Un cubo sólido de lado a puede oscilar con respecto a una eje horizontal coincidente con un borde. Encontrar su per´ıodo de oscilación. 11. Demostrar que para un oscilador amortiguado γ > ω0 , la solución (γ+β)t de la elongación es x = Ae q − +Be−(γ−β)t , donde β = γ 2 − ω02 . Encontrar los valores de A y B si se sabe que cuando t = 0 x = x0 y v = v0 . 12. Un carro consiste en un cuerpo de masa m y cuatro ruedas de masa M y radio R. El carro rueda, sin deslizarse, de ida y vuelta, sobre un 35

plano horizontal sin fricción bajo la influencia de un resorte unido a un extremo del carro. La constante del resorte es k. Teniendo en cuenta el momento de inercia de las ruedas calcular el periodo de oscilación de ida y vuelta del carro. 13. El volante en un reloj es un oscilador de torsión con un periodo de 0,5s. Si el volante es esencialmente un aro de R = 1cm y su masa es m = 8g. ¿Cual es el valor de la constante de torsión?. 14. Un péndulo f´ısico consiste en de un largo cono delgado suspendido por su a´pice. La altura del cono es L y el radio de su base es R.¿Cual es el periodo del péndulo?. 15. Una varilla de longitud L oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por un extremo. Un cuerpo de igual masa que la varilla se ubica a una distancia h del eje. Obtener el periodo del péndulo. 16. El movimiento de un péndulo simpleqestá descrito por θ = A cos (g/l)t . Encontrar la tensión del péndulo como una función del tiempo y calcular el valor máximo de esta tensión. 17. Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 3sen (ωt) y y = 4sen (ωt + π/3). Hacer un gráfico de la trayectoria y se˜ nalar el sentido en el que viaja la part´ıcula 18. Representar la trayectoria y se˜ nalar el sentido en el que viaja una part´ıcula sometida a la combinación

Oscilaciones y Ondas de los movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones x = 3sen ((π/3)t + π/2) y y = 4sen ((π/6)t + π/3).

amortiguado se puede escribir como E = 12 mω02 A2 e−2γt (b) la potencia = Eτ . promedio disipada por P = dE dt

19. Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples cuyas ecuaciones son x1 = 2sen (ωt + π/6) y x2 = 2 cos (ωt + π/3).

24. Un péndulo de 1m de largo y cuya masa es de 0,6kg se coloca de modo que forma un ańgulo de 15◦ con la vertical y luego se suelta. Calcular a) La velocidad, b) la aceleración y c) la tensión en la cuerda cuando su desplazamiento angular es 5◦ .

20. Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples cuyas ecuaciones son x1 = 2sen (ωt + π/6) y x2 = 2 cos (3ωt + π/3). 21. Un péndulo simple cuando oscila en el vac´ıo tiene un periodo de oscilación de 2s, cuando se introduce en un fluido y se suelta desde un ańgulo inicial de 7o , después de 10s la amplitud se reduce a 4,5o , cual es la nueva frecuencia de oscilación y cual es la ecuación de la elongación como una función del tiempo.

25. Un péndulo simple tiene un periodo de 2s y una amplitud máxima de 2◦ ; después de 10 oscilaciones completas la amplitud se ha reducido a 5◦ encontrar la ecuación correspondiente para el desplazamiento ?. 26. Un oscilador amortiguado se lanza con una velocidad inicial v0 desde una posición inicial x0 , calcular la posición ? en función del tiempo, si el periodo es T

22. Un oscilador tiene un periodo de oscilación sin amortiguamiento de 3s y al introducirlo en un fluido su periodo se reduce en un 25 %, cual es la constante de amortiguamiento si la masa del objeto es 500g. Obtener la ecuación de la velocidad en el fluido si se deja oscilar con una velocidad inicial cero y una amplitud maxima de 2cm.

27. Demostrar que para un oscilador 1 ¯ ¯ , cuando la reforzado P = 2 P res actancia es igual la resistencia X = ±R. la diferencia (∆ω)1/2 , entre los dos valores de ωf para está situación se denomina ancho de banda del oscilador y la relación Q = ω/ (∆ω)1/2 se le conoce como factor de calidad. Demostrar que para un peque˜ no amortiguamiento (∆ω)1/2 = 2γ y por lo tanto Q = ω2γ0 .

23. En el caso de oscilador amortigua1 , se denomido, la cantidad τ = 2γ na tiempo de relajación, suponer que para un oscilador amortiguado τ es mucho menor que ω0 , de modo que la amplitud permanece escencialmente constante durante una oscilación. (a) Verificar que la energ´ıa del oscilador

28. Una varilla de masa m = 1kg y longitud L = 0,5m se hace oscilar alrededor de un eje horizontal que se encuentra a una distancia h = 0,2m del borde, a esta varilla se le aplica una fuerza oscilante de amplitud máxima F0 = 10N y una frecuencia ωf = 2rad/s, si la constante λ = 0,5kg·m

36

Cap´ıtulo 2 Movimiento Ondulatorio 2.1.

Introducci´ on

Si en un punto de un medio material cualquiera (sólido, l´ıquido o gas), se produce una perturbación, que desplaza de su posición de equilibrio la part´ıcula situada en el mismo, como por ejemplo cuando se deja caer un objeto en el agua, la perturbación no permanece localizada en el lugar que se produjo la perturbación, sino que después de cierto tiempo este se transmite a las part´ıculas circundantes. El proceso descrito anteriormente recibe el nombre de propagación de una perturbación. El lugar en el cual se produce la perturbación se conoce como foco de la perturbación, en el caso de la perturbación sobre la superficie del agua, esta perturbación produce ondas circulares con centro en el foco de la perturbación. Cuando una perturbación se propaga en una superficie o en el espacio, como por ejemplo el sonido, la intensidad disminuye rápidamente al aumentar la distancia entre el punto del espacio y el foco de la perturbación, es decir con amortiguamiento, este no es el caso de una pulsación sobre una cuerda tensa, sobre la cual la perturbación avanza una gran distancia sin experimentar una disminución sensible en su intensidad. Cuando la part´ıcula sobre la que se produce la perturbación, se desplaza de su posición de equilibrio, comienza a vibrar, produciéndose nuevas perturbaciones, las cuales en la mayor´ıa de los casos se amortiguan rápidamente, de modo que al cabo de cierto tiempo el movimiento de la part´ıcula sobre la que se produjo la perturbación cesa prácticamente, cabe aclarar que en la propagación de una perturbación no son las part´ıculas del medio las que se propagan desplazándose de un lugar a otro. En este caso lo que se propaga es la energ´ıa del foco de vibración, conservándose en este caso las posiciones medias de las part´ıculas. Esta situación pude ser observada, cuando se tiene un corcho flotando en el agua, en este caso las ondas pasan haciendo subir y bajar el corcho pero sin arrastrarlo con ellas, confirmando que las moléculas de agua no avanzan con las ondas.

37


En el caso en el cual el foco y las part´ıculas circundantes vibran con movimiento armónico simple, el movimiento se conoce como ondulatorio y es el caso mas simple.

2.2.

Descripci´ on matem´ atica de la propagaci´ on

Consideremos una función ψ (x), la cual describe una perturbación inicial, en caso de cambiar la posición x, por la posición x − x0 , se obtienen la función ψ (x − x0 ), función que representa la misma función de perturbación, pero en este caso la función ha sido desplazada hacia la derecha en caso de ser x0 positivo, de forma similar en el caso ψ (x + x0 ), se obtiene un desplazamiento hacia la izquierda. Si la posición x0 = vt, donde t es el tiempo y v es la velocidad de las ondas, la cual es conocida como velocidad de fase, se tiene dos ondas una onda que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda, de donde se concluye que una función de la forma ψ (x ± vt)

(2.1)

describe una onda que ”viaja.o ”se propaga”sin deformación en la dirección X, la función ψ, puede representar diferentes cantidades f´ısicas, como por ejemplo, la deformación de un solido, la deformación de un resorte, la presión de un gas, un campo eléctrico, un campo magnético, etc. Un caso muy com´ un y especialmente interesante es aquel en el cual la función ψ (x, t), es una función sinusoidal o armónica tal como: ψ (x, t) = ψ0 sen (kx − ωt)

(2.2)

donde k es el n´ umero de onda, que es el numero de longitudes de ondas que están contenidas en una distancia de 2π, λ, es la longitud de onda, es decir el periodo espacial, esto es la distancia a la cual la onda se repite a si misma, por lo tanto k = 2π/λ, ω es la frecuencia angular o c´ıclica de la onda, la cual se define como ω = 2πf , donde f es la frecuencia de la onda, que define cuantas veces se repite la onda en un segundo, un término similar es el periodo T , el cual es el inverso de la frecuencia, T = 1/f , el cual es el tiempo en el cual se repite a si misma la onda, no se debe confundir el periodo espacial λ y el periodo temporal T los cuales son diferentes f´ısicamente. Debido a que los campos asociados a un proceso f´ısico están gobernados por leyes dinámicas, las cuales pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, estamos en la necesidad de encontrar una ecuación diferencial que sea aplicable a todo tipo de movimiento ondulatorio, por ende al investigar las derivadas, de la función de onda, se obtendrá esta ecuación denominada ecuación de onda, si en la ecuación (2.1) realizamos el cambio de variables u = x ± vt, y utilizando la regla de la cadena obtenemos. ∂ψ ∂ψ ∂u ∂ψ = = (2.3) ∂x ∂u ∂x ∂u de forma similar la segunda derivada espacial pude ser obtenida en la forma 38


2

∂

∂ψ ∂x

∂

∂ψ ∂x

∂ ψ ∂u ∂ 2ψ = = = (2.4) ∂x2 ∂x ∂u ∂x ∂u2 donde la derivada parcial ∂u = 1, de forma similar se obtiene la derivada temporal ∂x = ±v, con esto (±v)2 = v 2 , se con una peque˜ na diferencia en la derivada parcial ∂u ∂t obtiene la segunda derivada parcial temporal en la forma ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2 = v (2.5) ∂t2 ∂u2 remplazando (2.4), en (2.5) se obtiene la ecuación diferencial de ondas como 2 ∂ 2ψ 2∂ ψ = v ∂t2 ∂x2

2.3.

(2.6)

Ondas de presi´ on en una columna de gas

Consideremos una onda que se propaga a través de un gas, por ejemplo una onda sonora, en este caso existen regiones en las cuales la presión del gas es ligeramente menor que la presión media del gas y regiones donde la presión del gas el ligeramente mayor que la presión media del gas, supongamos que P0 y ρ0 , la presión y densidad del gas en condiciones de equilibrio, las cuales en esta condición se mantienen en en todo el volumen del gas, para simplificar el análisis del problema, consideremos que el gas se encuentra encerrado en un tubo cil´ındrico figura1.5, en el caso de la propagación de una onda la diferencia de presiones un peque˜ no volumen de espesor dx, se pone en movimiento figura1.5, de modo que el nuevo espesor del peque˜ no volumen es dx + dψ, debido al cambio que ocurre en el volumen la densidad del gas es modificada, pero por el principio de conservación de la masa la masa antes ρ0 Adx y después ρA (dx + dψ)de la deformación deben ser iguales, de esta igualdad y despejando ρ, se obtiene: ρ=

ρ0 1 + ∂ψ/∂x

(2.7)

Realizando la división (desarrollo binomial) obtenemos: h

ρ = ρ0 1 − ∂ψ/∂x − (∂ψ/∂x)2 + (∂ψ/∂x)3 − · · ·

i

(2.8)

en caso de la deformación ser peque˜ na, se pueden despreciar los términos de orden superior quedando la expresión para la densidad finalmente como: ρ = ρ0 [1 − ∂ψ/∂x]

(2.9)

Debido a que la presión P en un gas está determinada por la ecuación de estado, la cual para un gas ideal es de la forma P V = N RT , lo cual indica que la presión es una función del volumen y por ende de la densidad ρ, lo cual se puede escribir en general de la forma P = f (ρ). Utilizando el desarrollo de Taylor para está función de la presión se tiene 39


Figura 2.1: Ondas de presión en una columna de gas

dP P = P0 + (ρ − ρ0 ) dρ

!

1 d2 P + (ρ − ρ0 )2 2 dρ2 0

!

+ ···

(2.10)

0

Para peque˜ nas variaciones de la densidad, se pueden despreciar los términos de orden superior y escribir dP P = P0 + (ρ − ρ0 ) dρ

!

(2.11) 0

, se conoce como modulo de elasticidad de volumen, el cual El término G = ρ0 dP dρ 0 al ser remplazado, en la ecuación anterior se obtiene la ley de Hooke para los fluidos ρ − ρ0 P = P0 + G ρ0

!

(2.12)

Remplazando la ecuación (1.45) en (1.47), tenemos ∂ψ (2.13) ∂x Debido a que existe movimiento de un peque˜ no volumen, se debe obtener la ecuación del movimiento del mismo esto es: P = P0 − G

∂ 2ψ (P − P ) A = −AdP = dm 2 (2.14) ∂t pero el diferencial de masa es dm = ρ0 Adx, la cual al ser remplazada se tiene 0

− AdP = ρ0 Adx

∂ 2ψ ∂t2 40

o´

∂P ∂ 2ψ = −ρ0 2 ∂x ∂t

(2.15)

Oscilaciones y Ondas Remplazando la ecuación (1.49) en la ecuación (1.51) ∂ ∂ψ P0 − G ∂x ∂x

!

= −ρ0

∂ 2ψ ∂t2

o´

∂ 2ψ G ∂ 2ψ = ∂t2 ρ0 ∂x2

(2.16)

Donde hemos llegado a una ecuación similar a la ecuación de ondas (1.6), concluyendo que la expresión para la velocidad de las ondas en una columna de gas es v=

q

G/ρ0

(2.17)

De la ecuación (1.49), se puede notar que ∂ 2P ∂ 3ψ = −G ∂t2 ∂x∂t2

(2.18)

1 ∂ 2P ∂ 3ψ = − ∂x∂t2 ρ0 ∂x2

(2.19)

y de (1.51)

Combinando (1.54) con (1.55), se obtiene la ecuación de ondas para la presión ∂ 2P G ∂ 2P = (2.20) ∂t2 ρ0 ∂x2 Lo cual explica porque a este tipo de ondas se les llama ondas de presión, de forma similar se llega a una ecuación de ondas para la densidad, en la forma G ∂ 2ρ ∂ 2ρ = (2.21) ∂t2 ρ0 ∂x2 Cuando se tiene el movimiento ondulatorio en un gas este proceso es adiabático, en un proceso adiabático se cumple P = Cργ , donde γ, es una cantidad conocida como coeficiente politropico del gas, si remplazamos está expresión en la ecuación para γ−1 G = ρ0 dP = ρ , pero C = P ρ−γ , obteniéndose 0 γCρ dρ G = γP0

(2.22)

Encontrando que la velocidad del sonido en un gas es v=

q

γP/ρ

(2.23)

para un gas ideal P V = N RT , lo cual es similar a P m/ρ = N RT , con esto la velocidad del sonido en un gas en función de la temperatura toma la forma v=

q

γN RT /m =

q

γRT /M

(2.24)

donde M = m/N , es la masa de un mol del gas Ejemplo:Calcular la velocidad de propagación del sonido en el hidrógeno(H), nitrógeno(N) y ox´ıgeno(O) a 0o C, Tomar γ = 1,4, compararlos con los valores experimentales vH = 1269,5m/s, vN = 339,3m/s, vO = 317,2m/s 41


La masa molecular de los elementos se puede extraer de la tabla periódica como MH = 1g/mol, MN = 14g/mol y MO = 16g/mol, la temperatura es T = 273,15o K y la constante de los gases es R = 8,3143J o /o Kmol, con esto los valores para las velocidades teóricas son vH = 1260,8m/s, vN = 337m/s, vO = 315,2m/s, valores muy cercanos a los valores experimentales, se debe tener en cuenta que estas moléculas son diátomicas Ejemplo: La temperatura de la atmósfera en sus capas bajas decrece con la altura como T = T0 − kz T0 = 20o C, k = 6o C/km. Un avión rompe la barrera del sonido cuando se encuentra a 8 km de altura. ¿Cuánto tarda el sonido en llegar al suelo? Se puede hacer una estimación del resultado, para ver si el efecto de la variación térmica es apreciable. La temperatura en el camino del sonido var´ıa desde 20 o C al nivel del suelo hasta (20 - 6·8) o C=-28 o C a la altura del avión h = 8 km. La velocidad del sonido a estas dos alturas es: m m = 343 s s m m = 314,2 v(−28 o C) = (331 − 0,6 · 28) s s El tiempo que tarda el sonido en llegar al suelo estará entre los correspondientes a estas dos velocidades v(20 o C) = (331 + 0,6 · 20)

t(20 o C) = (−28 o C) =

h = 23,3 s v(20 o C) h = 25,5 s v(−28 o C)

Para obtener el valor exacto se tiene que: v=

dz dz o´ v0 + 0,6 · T = 331 + 0,6 (20 − 0,006z) = 343 − 0,0036z = dt dt

de donde t=−

2.4.

ln (343 − 0,0036z) 8000 = 24,36s 0,0036 0

Ondas longitudinales en una barra

Cuando se produce una perturbación, está perturbación se propaga a través de la barra y se siente en otros lugares de la barra, en esté caso se dice que se ha propagado una onda elástica a lo largo de la barra, a medida que se propaga la perturbación, los elementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan.

42


Figura 2.2: Ondas longitudinales en una barra Para analizar la propagación de estas ondas en la barra, consideremos una barra cil´ındrica de sección transversal A, de esta barra cil´ındrica tomamos un elemento diferencial de volumen de ancho dx, a causa de la perturbación este elemento diferencial se deforma una cantidad dψ, de tal forma que el nuevo ancho del elemento diferencial es dx + dψ, la deformación unitaria o deformación por unidad de longitud esta definida como la razón entre la deformación y el elemento de longitud deformado ∂ψ (2.25) ∂x Una relación entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria se establece por la ley de Hooeke, la cual define que el esfuerzo normal es proporcional a la deformación unitaria =

∂ψ (2.26) ∂x donde la constante Y , es el modulo de elasticidad de Young del material de la barra, las unidades del modulo de Young son N/m2 , pero el esfuerzo normal se define como la fuerza por unidad de area es decir σn = Y = Y

σn = F/A

(2.27)

con la utilización de estas ultimas ecuaciones se puede escribir la fuerza como ∂ψ (2.28) ∂x El movimiento del elemento de barra está determinado por las fuerzas que act´ uan sobre él, y que ”tratan”de llevarlo a la posición de equilibrio. Las fuerzas que act´ uan son la fuerza F que ejerce la parte de la barra que se encuentra a la izquierda del F = σn A = Y A = Y A

43

Oscilaciones y Ondas elemento y la fuerza F 0 que ejerce la parte de la derecha de la barra, como se muestra en la figura 1.6. De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, tenemos: ∂F ∂x

0

F − F = dF =

!

dx = dm

∂ 2ψ ∂t2

(2.29)

el elemento diferencial de masa puede ser escrito en la forma dm = ρdV , donde dV = Adx, de donde dm = ρAdx, que al ser remplazado en la ecuación anterior se convierte en ∂F ∂x

!

= ρA

∂ 2ψ ∂t2

(2.30)

Introduciendo F , de la ecuación (1.64) en la ecuación (1.66) se llega a ∂ 2ψ YA ∂x2

!

∂ 2ψ = ρA 2 ∂t

o´

∂ 2ψ ∂t2

!

=

Y ∂ 2ψ ρ ∂x2

(2.31)

Esta ecuación, la cual es la ecuación de ondas para la deformación en una barra, de la cual se puede concluir que estas ondas se propagan a lo largo de la barra con una velocidad q

v=

Y /ρ

(2.32)

Si ahora se toma la ecuación (1.66) y se deriva respecto de x ∂ 2F ∂x2

!

∂2 = ρA 2 ∂t

∂ψ ∂x

!

(2.33)

y de (1.64) ∂ψ/∂x = F/Y A, remplazando en la ecuación anterior ∂ 2F ∂t2

!

=

Y ∂ 2F ρ ∂x2

(2.34)

ecuación a partir de la cual se puede notar que el campo de fuerzas se propaga a lo largo de la barra con la misma velocidad que el campo de desplazamientos EjemploUn alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de 0,5mmcuelga del techo. Si un cuerpo de 100kg de masa se suspende del extremo libre hallar la elongación del alambre y la velocidad de las ondas longitudinales que se propagan a lo largo del alambre. La fuerza que act´ ua sobre el alambre es el peso el cual es F = mg = 100kg ∗ 9,8m/s2 = 980N , el modulo de Young para el acero es Y = 2,0 × 1011 N/m2 , con esto F = Y A ⇒ 980N = 2,0 × 1011 N/m2 ∗ π ∗ (0,5×−3 )2 , de donde = 6,238×−3 , de lo cual, la deformación es 1,24cm La velocidad de las ondas longitudinales es q q v = Y /ρ = 2,0 × 1011 N/m2 /7,8 × 103 N/m3 = 5063,7m/s 44


2.5.

Ondas transversales en una barra

El análisis de este tipo de ondas es similar al realizado en las ondas longitudinales en una barra, consideremos una barra, la cual en estado sin deformar esta dada por la linea punteada de la figura1.7

Figura 2.3: Ondas Transversales en una barra Si en alg´ un momento se hace vibrar la barra golpeándola transversalmente, en este caso se deforma la barra tomando la forma de la linea curva continua, donde se puede suponer que las deformaciones de la misma son en forma vertical mas no en forma horizontal. Si tomamos ψ, como el desplazamiento transversal de una peque˜ na sección dx en un instante de tiempo, este desplazamiento es una función de la posición por cuanto cada uno de los puntos de la barra sufre un desplazamiento diferente, en este caso la deformación unitaria es transversal y por tal motivo recibe el nombre de deformación unitaria , y la ley de Hooke en este caso es transversal, δ = ∂ψ ∂x ∂ψ (2.35) ∂x donde σc , es el esfuerzo cortante y M es el modulo de torsión del material, la fuerza es entonces σc = M δ = M

∂ψ (2.36) ∂x donde A es el area de transversal de la barra, la ecuación del movimiento de la barra, de acuerdo con la segunda ley de Newton es F = AM δ = AM

F 0 − F = dF =

∂ 2ψ ∂F dx = dm 2 ∂x ∂t

(2.37)

donde dm = ρdV = ρAdx, con esto ∂F ∂ 2ψ dx = ρAdx 2 ∂x ∂t 45

(2.38)

Oscilaciones y Ondas remplazando la expresión para la fuerza ecuación(1.72), en esta ultima ecuación se llega a AM

∂ 2ψ ∂ 2ψ dx = ρAdx ∂x2 ∂t2

o´

∂ 2ψ M ∂ 2ψ = ∂t2 ρ ∂x2

(2.39)

De forma similar se puede obtener la ecuación de ondas para el campo de fuerzas, derivando (1.74), con respecto a x y remplazando la ecuación (1.72), llegando a M ∂ 2F ∂ 2F = ∂t2 ρ ∂x2

(2.40)

de donde, la velocidad con la que se propagan tanto el campo de desplazamientos como el campo de fuerzas s

v=

M ρ

(2.41)

Figura 2.4: Ondas de torsión en una barra Otro ejemplo de este tipo de ondas son las ondas de torsión, en las cuales se supone una barra a la que se le aplica un momento torsionante τ a los extremos de la barra, la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ańgulo θ respecto de la sección en A. Consideremos una fibra cualquiera a una distancia r del eje de la barra, el eje de esta fibra gira el mismo ańgulo θ, produciéndose una deformación tangencial δs igual a DE. La longitud de esta deformación es el arco de circulo de radio r y el ángulo viene dada por:

46


δs = DE = rθ

(2.42)

La deformación angular media o distorsión γ, se obtiene dividiendo la deformación tangencial, entre la longitud total de la barra rθ L y el esfuerzo cortante seg´ un la ley de Hooke de la forma: γ=

(2.43)

rθ (2.44) L Si dividimos en dos la barra de la figura1.8, se traza el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una de las partes figura1.9. Un elemento diferencial de área de esta sección estará sometido a una fuerza resistente dP = τ dA, debido a que por ser diferencial se puede asumir que el esfuerzo es constante dentro del elemento. Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, apliquemos la condición P M = 0, es decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torcionante aplicado. El par resistente Tr es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP : σc = M γ = M

Z

T = Tr =

rdP =

Z

rσc dA

(2.45)

Sustituyendo σc , por su valor, ecuación(1.80) Mθ Z 2 r dA L R Ahora bien, J = r2 dA, es el momento polar de inercia de la sección T =

T =

(2.46)

Mθ J L

(2.47)

Tr J

(2.48)

Combinando (1.80) y (1.83) se obtiene σc = de donde el esfuerzo máximo cortante es TR (2.49) J Para secciones circulares el momento dipolar de inercia se muestra en la ficura1.10. En el caso de un eje circular macizo el momento polar de inercia es σc =

J=

πR4 2

y en el caso de un eje circular hueco 47

(2.50)


Figura 2.5: Diagrama de cuerpo libre de la sección cortada

Figura 2.6: Momentos polares de inercia para una sección circular

J=

2.6.

π (R4 − R04 ) 2

(2.51)

Ondas longitudinales en un resorte

Cuando se produce una perturbación en un resorte estirado y el desplazamiento esperimentado por la sección del mismo es ψ, la fuerza de esta sección es ∂ψ (2.52) ∂x donde K, es el modulo de elasticidad del resorte, el cual es diferente de la constante de elasticidad del resorte, para obtener la relación entre el modulo de elasticidad del resorte y la constante de elaticidad del mismo, supongamos que l longitud del resorte sin estirar es L y que cuando se le aplica una fuerza F , se estira una distancia l, quedando con esto la deformación unitaria como ∂ψ/∂x = l/L, de donde F =K

F =K

48

l L

(2.53)

Oscilaciones y Ondas utilizando la ley de Hooke se tiene que F = kl, de lu cual K = kL, utilizando la segunda ley de Newton: ∂F ∂ 2ψ dx = dm 2 ∂x ∂t Remplazando la fuerza de la ecuación (1.88) en (1.90), obteniéndose dF =

K ∂ 2ψ ∂ 2F = ∂t2 µ ∂x2

(2.54)

(2.55)

donde la velocidad de las ondas longitudinales en un resorte dada por s

v=

K = µ

s

kl µ

(2.56)

donde µ = dm/dx = m/L es la densidad de masa lineal

2.7.

Ondas transversales en una cuerda

Consideremos una cuerda sujeto por sus dos extremos de tal forma que se produzca una tensión T sobre la cuerda, en estado de equilibrio la cuerda permanece tensa a lo largo del eje de las x, consideremos un elemento diferencial desplazado del equilibrio debido a la presencia de una onda es decir una perturbación. Sus elementos vecinos ejercen fuerzas F~1 y F~2 en los extremos del elemento considerado, se puede suponer que el efecto de la onda es tan peque˜ no como para que la tensión de la cuerda sea casi ~ uniforme, lo que significa que F1 = F~2 = T . Por otra parte se puede suponer que la tensión de la cuerda es tan grande como para despreciar el efecto del peso, en este caso la sumatoria de las fuerzas en y es: X

Fy = Fy1 = Fy2 = T senθ2 − T senθ1 = T (senθ2 − senθ1 )

(2.57)

Se supone que los ańgulos θ1 y θ2 , son peque˜ nos, de modo que se puede realizar la aproximación senθ1 ≈ senθ2 , debido a que la pendiente de una curva en un punto es igual a la tangente del ańgulo entre la curva y el eje x en dicho punto, tan θ = ∂ψ/∂x. Por lo tanto senθ ≈ tan θ = ∂ψ/∂x

(2.58)

de donde se obtiene

X

∂ ∆ (∂ψ/∂x) ∆x = T Fy = T [(∂ψ/∂x)2 − (∂ψ/∂x)1 ] = T ∆ (∂ψ/∂x) = T ∆x ∂x Utilizando la segunda ley de Newton

49

!

∂ψ ∆x ∂x (2.59)


Figura 2.7: Ondas Transversales en una cuerda

X

∂ ∂ 2ψ Fy = dm 2 = T ∂t ∂x

!

∂ψ ∆x ∂x

(2.60)

ecuación que se puede escribir como: ∂ 2ψ T ∂ 2ψ = ∂t2 µ ∂x2 de donde la velocidad de las ondas transversales en una cuerda s

v=

2.8.

T µ

(2.61)

(2.62)

Ondas Superficiales en un liquido

Lejos de las paredes del recipiente que lo contiene, la superficie libre de un l´ıquido en equilibrio sometido a la gravedad y a las fuerzas de tensión superficial es plana y horizontal. Si por efecto de una perturbación la superficie se aparta de esa posición en alg´ un punto, ocurre un movimiento en el l´ıquido tendiente a restituir el equilibrio. Este movimiento se propaga sobre la superficie en forma de ondas, llamadas ondas superficiales. Esas ondas afectan también el interior del fluido, pero con menos intensidad a mayores profundidades. Los efectos de la tensión superficial son importantes cuando la longitud de las ondas es muy corta, pues entonces la principal fuerza de restitución es la capilaridad. Estas ondas se denominan entonces ondas capilares. Pero cuando las longitudes de onda son grandes, la fuerza de restitución se debe sólo a la gravedad y tenemos entonces ondas de gravedad. Las ondas de superficie en el agua son sin duda el fenómeno ondulatorio más fácil de observar, y no han cesado de fascinar al observador curioso. Se trata, además de un 50

Oscilaciones y Ondas fenómeno de enorme importancia práctica y de gran relevancia para las ciencias del ambiente terrestre. Presentan una fenomenolog´ıa asombrosamente variada y han dado lugar, y siguen dando hoy, a numerosas investigaciones sea teóricas que experimentales. Ondas superficiales de gravedad Consideraremos ahora ondas de gravedad de peque˜ na amplitud, en las cuales la velocidad del fluido es peque˜ na. La ecuación que gobierna el movimiento de un fluido es la ecuación de Navier-Stokes 1 d~u = ~g − ∇P + η∇2~u dt ρ

(2.63)

donde η es la viscosidad cinemática, en caso de tener un fluido ideal η = 0 y se obtienen las ecuaciones de Euler, debido a que el flujo es incompresible e irrotacional, se puede suponer ~u = ∇φ, donde φ, es el potencial de velocidades, si suponemos que el eje z es vertical y hacia arriba y que la superficie libre en equilibrio del liquido es el plano z = 0

Figura 2.8: Ondas superficiales en un liquido En este caso la ecuación de Navier Stokes toma la forma ∂ 2φ 1 ∂P = −gz − ∂z∂t ρ ∂z

(2.64)

Lo cual pude ser escrito como ∂φ 1 = −gz − P ∂t ρ

(2.65)

Tomando con ψ (x, y, t) la coordenada z de un punto de la superficie perturbada. En el equilibrio ψ = 0, de modo que ψ representa el desplazamiento vertical de la superficie debido a las oscilaciones. Supongamos que sobre la superficie libre se ejerce

51

Oscilaciones y Ondas una presión constante P0 (la presión atmosférica). Entonces por la (2.65) se debe cumplir la condición de contorno ∂φ P0 = −ρgψ − ∂t

!

(2.66) z=ψ

donde se puede emplear la nueva variable ψ 0 = ψ + Pρ0 t, la ecuación (2.66), se puede escribir en la forma ∂φ0 0 = ρgψ + ∂t

!

(2.67) z=ψ

donde se nota claramente que ∇ψ = ∇ψ 0 , de esta forma se obtiene ~u = ∇ψ 0 , lo cual puede ser prescrito en la forma uz (x, y, ψ, t) =

∂φ0 ∂z

!

(2.68) z=ψ

Pero por otro lado ∂ψ ∂t Combinando las ecuaciones (2.68) y (2.69), se obtiene uz (x, y, ψ, t) =

∂φ0 ∂z

!

= z=ψ

∂ψ ∂t

(2.69)

(2.70)

Remplazando este resultado en la ecuación (2.67), se obtiene ∂φ0 1 ∂ 2 φ0 + ∂z g ∂t2

!

(2.71) z=ψ

Debido a que las oscilaciones son peque˜ nas, podemos evaluar la cantidad entre paréntesis en z = 0 en lugar de z = ψ , con lo que finalmente el problema se reduce a las siguientes ecuaciones ∇2 φ0 = 0,

∂φ0 1 ∂ 2 φ0 + ∂z g ∂t2

!

(2.72) z=0

Gracias a la aproximación de suponer perturbaciones de peque˜ na amplitud, se ha llegado a un problema lineal que se expresa en las (1.16). En virtud de la linealidad, tiene sentido buscar soluciones en la forma de perturbaciones sinusoidales de la superficie libre, de longitud de onda λ y periodo T , dado que mediante oportunas superposiciones de perturbaciones de este tipo podemos encontrar la solución de cualquier problema de condiciones iniciales. Vamos a suponer que la superficie del liquido es ilimitada y su profundidad h es muy grande, de modo que h >> λ , donde λ es la longitud de onda de la perturbación, cuyo periodo es T . Por lo tanto tendremos lo que se denomina una onda de gravedad en aguas extensas y profundas. En este problema, entonces, no 52

Oscilaciones y Ondas hay condiciones de contorno en los bordes ni en el fondo. Supongamos que la onda se propaga a lo largo del eje x, de modo que todas las magnitudes que la describen son independientes de y. Tendremos entonces φ0 = f (z) sen (kx − ωt)

(2.73)

Sustituyendo phi0 , en la ecuación de Laplace se llega a la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes f 00 − k 2 f = 0

(2.74)

f (z) = Aekz + Be−kz

(2.75)

cuya solución es de la forma

donde tenemos la condición f (h → ∞) = 0, lo que produce A = 0, quedando con esto φ0 = Be−kz sen (kx − ωt)

(2.76)

Este comportamiento exponencialmente decreciente en la dirección normal a la superficie es caracter´ıstico de las ondas superficiales, que se suelen también denominar evanescentes dado que no se propagan en esa dirección. Si remplazamos (1.20) en (1.16) se puede obtiene φ0 = −kBe−kz sen (kx − ωt) + Obteniéndose la relación ω =

√

ω 2 −kz Be sen (kx − ωt) g

(2.77)

gk, pero utilizando la ecuación v = ω/k, de donde

v=

q

g/k =

q

gλ/2π

(2.78)

La ecuación (1.22) nos muestra que v depende de la longitud de onda. En este caso la velocidad de fase es proporcional a la ra´ız cuadrada de la longitud de onda. Debido a esto, una superposición de ondas elementales de diferente longitud de onda cambia de forma mientras se propaga, y un paquete de ondas localizado se dispersa. Por este motivo, las ondas que tienen esta propiedad se dicen dispersivas. Hasta ahora, en nuestro estudio de las ondas superficiales no hemos tenido en cuenta las fuerzas de tension superficial. Veremos que la capilaridad tiene un efecto importante sobre las ondas de gravedad de longitud de onda peque˜ na. Como antes vamos a suponer que la amplitud de las oscilaciones es peque˜ na en comparación con la longitud de onda (a << λ). El planteo del problema se puede hacer del mismo modo que antes y se obtiene que el potencial de velocidad satisface como antes la ecuación de Laplace (la primera de las ecuaciones(1.16). La diferencia con el caso anterior aparece en la condición de contorno sobre la superficie, pues ahora debido a la curvatura de la superficie cuando esta es perturbada, hay una diferencia de presión entre ambos lados de la misma, para empezar explicaremos el concepto de tensión superficial.

53

Oscilaciones y Ondas Todo el mundo ha observado alguna vez gotas l´ıquidas en un medio gaseoso y ha visto la forma curva que asume la superficie libre de un l´ıquido en reposo cerca de las paredes del recipiente que lo contiene. Tales observaciones no se pueden explicar mediante la condición de equilibrio hidrostático, pues es evidente que las superficies de igual presión y densidad (que deben ser paralelas a la interfaz en su entorno) son siempre perpendiculares a la dirección de la gravedad. Es fácil mostrar que si la presión fuese la u ńica fuerza de superficie presente, no sólo toda interfase deber´ıa ser plana, sino que tampoco podr´ıan ocurrir saltos de presión a través de una interfase, contrariamente a lo que muestra el conocido fenómeno de la capilaridad. Para ello, consideremos un elemento de volumen atravesado por la interfaz entre dos fluidos en reposo (Fig. 1.2). El espesor del elemento es δh y sus caras 1 y 2 tienen un area δl2 . Supongamos que exista una salto de presión P2 − P1 a través de la interfaz. Debido a esa diferencia de presión habrá una fuerza neta debida a los esfuerzos sobre las caras 1 y 2, cuya magnitud es (P2 − P1 ) δl2

(2.79)

Figura 2.9: Elemento diferencial de volumen entre dos superficies y por lo tanto es proporcional a δl2 y no a δh. Por otra parte, la fuerza neta sobre la superficie lateral debida a la presión debe ser proporcional a la superficie lateral, que escala como δhδl. Por consiguiente, prescindiendo de toda consideración acerca de la dirección de estas fuerzas, esta claro que son de orden distinto y no se pueden compensar entre si. Es evidente que tampoco ninguna fuerza de volumen (que es proporcional a δV = δhδl2 ) puede compensar la fuerza dada por la ecuación (1.22). Luego, si no existieran otras fuerzas de superficie que las debidas a la presión, deber´ıamos tener P2 = P1 , de modo que la presión seria continua a través de la interfaz. Por otra parte, en la union de los dos fluidos (recordemos que están en reposo) no pueden aparecer otras fuerzas que no sean las debidas a la presión. Luego una diferencia de presión, si es que existe, tiene que se compensada por otras fuerzas, que hasta ahora no hab´ıamos considerado. El asiento de esas nuevas fuerzas no puede ser otro que la 54

Oscilaciones y Ondas interfaz misma, o sea la abrupta transición entre dos fluidos de distintas propiedades. Por lo tanto se deben ejercer sobre la superficie lateral, que es la u ńica atravesada por la interfaz, mas precisamente sobre la curva C que resulta de la intersección de la superficie lateral con la interfaz. La fuerza que se ejerce sobre un elemento de linea dl de C debe ser normal a la superficie lateral, es decir debe estar en el plano tangente a la interfaz, y ser ortogonal a dl (esto ultimo es necesario por la condición de reposo). Deben cumplir, además, las siguientes condiciones:

Su resultante sobre un elemento extremadamente chato atravesado por la interfaz debe ser proporcional al area frontal δl2 del elemento, es decir, no debe tender a cero con δh. Su resultante sobre el mismo elemento debe tener dirección opuesta a la resultante (1.23). Esta segunda exigencia, junto con la condición que las fuerzas deben ser paralelas a la interfaz, implica que solo puede darse P21 si hay curvatura de la superficie. Todo esto equivale a suponer que la interfaz entre dos medios se comporta como una membrana de espesor infinitesimal, sede de fuerzas finitas, tangentes a su superficie. Por lo tanto la interfaz posee un tension superficial cuya magnitud esta determinada por un coeficiente =, de modo que la fuerza dt es tangente a la interfaz y normal a dl, y se expresa como dt = =dln

(2.80)

donde n es normal a dl y paralela a la interfaz, y su sentido va desde la porción sobre la cual es ejercida la fuerza hacia la porción que la ejerce. El factor = que aparece en la ecuación (1.24) se denomina coeficiente de tension superficial.

Figura 2.10: Interface entre los dos fluidos Vamos a suponer que = es uniforme sobre la interfaz. En primer termino, mostraremos que una superficie curva en estado de tension ejerce un esfuerzo normal. Para ello consideramos el entorno de un punto O de la interfaz (Fig. 1.3). Elegimos

55

Oscilaciones y Ondas O como origen de un sistema de coordenadas cuyo eje z es normal a la interfaz. Sea z = ψ(x, y) la ecuación de la interfaz; entonces ψ(0, 0) = 0 y ∂ψ ∂x

!

= x=0

∂ψ ∂y

!

=0

(2.81)

y=0

puesto que la interfaz es tangente al plano z = 0. Supondremos que en el entorno de O, la interfaz se puede aproximar por una superficie de segundo orden; geométricamente, esto significa que en O, la superficie está caracterizada por dos radios de curvatura, Rx , Ry , correspondientes cada uno a las curvas que resultan de intersecar la superficie con dos planos ortogonales que contienen al eje z, y que podemos considerar como los planos (x, z) e (y, z). Es un resultado bien conocido del análisis matemático que el radio de curvatura de una curva plana y = y(x), está dado por 1 = R

y 00 1 + (y 0 )2

(2.82)

3 2

donde las primas indican derivación respecto de x. Como en nuestro caso las primeras derivadas son nulas, los radios de curvatura en los planos ((x, z) e (y, z) son, respectivamente ∂ 2ψ 1 = Rx ∂x2

∂ 2ψ 1 = Ry ∂y 2

(2.83)

Evaluemos ahora la resultante dF’ de las fuerzas ejercidas por la tension superficial sobre dos elementos de linea dy paralelos al eje y, colocados a una distancia dx/2 de O (Fig. 1.4). Las componentes x se compensan entre si, pero quedan las componentes seg´ un z que se suman dando ∂ 2ψ (2.84) ∂x2 donde se ha utilizado, sen(θ) ≈ θ ≈ dx/2Rx , análogamente se encuentra el valor de las fuerzas resultantes dF” ejercidas por la tension sobre dos elementos de linea dx, paralelos al eje x, y colocados a dy/2 de O. Por lo tanto, la resultante de las fuerzas de tensión superficial que se ejercen sobre el elemento de superficie dxdy de la interfaz, equivale a un esfuerzo normal a la interfaz (o lo que es lo mismo, a una presión) dado por: dFz0 = 2dy=sen(θ) = =dxdy/Rx = =dxdy

dF 0 + dF 00 ∂ 2ψ ∂ 2ψ Ps = == + 2 dxdy ∂x2 ∂y

!

1 1 == + Rx Ry

!

(2.85)

En el caso de nuestro estudio de las ondas esta ecuación es recomendable escribirla en la forma ∂ 2ψ ∂ 2ψ δP = = + 2 ∂x2 ∂y

56

!

(2.86)


Figura 2.11: Fuerzas que act´ uan sobre el elemento diferencial de superficie Luego la presión cerca de la superficie es ∂ 2ψ ∂ 2ψ P = P0 + = + 2 ∂x2 ∂y

!

(2.87)

donde P0 es la presión externa. Por lo tanto la condición de contorno sobre la superficie se escribe ahora ∂φ ρgψ + ρ ∂t

∂ 2ψ ∂ 2ψ −= + 2 ∂x2 ∂y z=ψ

!

!

=0

(2.88)

Remplazando nuevamente (1.14), se obtiene finalmente la condición ∂φ 1 ∂ 2 φ = ∂ + − 2 ∂z g ∂t ρg ∂z

∂ 2φ ∂ 2φ + ∂x2 ∂y 2

!!

=0

(2.89)

z=0

Sustituyendo la solución (1.20) en la ecuación (1.33), se obtiene ω2 = −k + − k k 2 Be−kz sen (kx − ωt)z=0 = 0 g ρg !

(2.90)

de donde se obtiene s

ω=

gk +

=k 3 ρ

de donde se obtiene la velocidad de propagación en este caso como 57

(2.91)


s

ω=

gλ 2π= + 2π ρλ

(2.92)

El cociente entre el término de gravedad y el término de tensión superficial del radicando de la (1.35) está determinado por el n´ umero puro ρg (2.93) =k 2 que se denomina n´ umero de Bond (o también n´ umero de Eötvös). Cuando B >> 1 los efectos de la tensión superficial son despreciables y estamos en el caso de las ondas de gravedad puras que acabamos de estudiar. Si, viceversa, B << 1, la dinámica de las oscilaciones está determinada por la tensión superficial y tenemos ondas capilares puras. En los casos intermedios ambos efectos se deben tener en cuenta y tenemos las ondas de gravedad capilares. Veamos como se modifican los presentes resultados cuando la profundidad h de la capa l´ıquida es finita. Lo u ńico que cambia respecto del tratamiento anterior es que debemos agregar la condición de contorno en el fondo B=

(uz )x=−h =

∂φ ∂z

!

=0

(2.94)

x=−h

Con esta ecuación aplicada a la ecuación (1.19), se llega a la ecuación auxiliar Akekh − Bke−kh = 0

(2.95)

Remplazando este resultado en la ecuación (1.19)

φ0 = Ae−kh Aekz−kh + Ae−(kz−kh) cos (kx − ωt) = A0 cosh k(z − h) cos (kx − ωt) (2.96) donde A0 = 2Ae−kh , a partir de la (1.40) es sencillo verificar que las trayectorias de las parcelas del fluido son ahora elipses achatadas. El achatamiento es tanto mayor cuanto menor es h/λ , y además crece con la profundidad, hasta que el semieje vertical se hace nulo en z = −h (es decir uz = 0), de modo que en el fondo el movimiento del fluido es puramente horizontal. Introduciendo la (1.40) en la condición de contorno en la superficie (1.33) resulta la siguiente relación de dispersion general: ω=

v u u t

!

=k 3 gk + tanh (kh) ρ

(2.97)

de donde la velocidad de propagación de las ondas es en general v=

v u u t

!

gλ 2π= 2πh + tanh 2π ρλ λ

58

!

(2.98)


2.9.

Potencia de una onda

Cuando una onda se propaga transporta energ´ıa en la dirección en que viaja. Para determinar la rapidez con la que se propaga está energ´ıa, es decir, la potencia de la onda, en primer lugar se debe encontrar la densidad de energ´ıa de la onda, por ejemplo en el caso de una onda propagándose en una barra la potencia se puede calcular como: ∂ψ (2.99) ∂t donde se puede considerar ψ = ψ0 sen (kx − ωt), y de acuerdo con la ley de Hooke P = −F

F =YA Tomando la derivada

pero v =

q

∂ψ ∂t

∂ψ = Y Akψ0 cos (kx − ωt) ∂x

(2.100)

= −kψ0 ω cos (kx − ωt) P = Y Aωkψ02 cos2 (kx − ωt)

(2.101)

P = Y Aωkψ02 cos2 (kx − ωt) = vAρω 2 ψ02 cos2 (kx − ωt)

(2.102)

Y /ρ

La potencia media de la onda es 1 1 P¯ = vAρω 2 ψ02 = vA ρω 2 ψ02 2 2

(2.103)

¯ − ωt) = 1 donde se tomo cos2 (kx 2 El término 12 ρω 2 ψ02 , es conocido como energ´ıa por unidad de volumen o densidad de energ´ıa en la barra 1 E = ρω 2 ψ02 2

(2.104)

P = vAE

(2.105)

de donde

El promedio del flujo de energ´ıa por unidad de a´rea y de tiempo, o intensidad de la onda, expresado en W/m2 , es P = vE (2.106) A La sensibilidad del o´ıdo humano es tal que para cada frecuencia hay una intensidad m´ınima o umbral de audición, por debajo de la cual el sonido no es audible y una intensidad máxima o umbral de dolor, la intensidad también puede ser expresada en otra unidad llamada decibel, seg´ un la definición I=

59


I (2.107) I0 Donde I0 es una intensidad de referencia. Para el caso del sonido en ele aire el nivel de referencia tomado arbitrariamente es I0 = 10−12 W/m2 Tambien se puede obtener la potencia de una onda en una cuerda, la energ´ıa cinética del elemento diferencial figura1.11 es: B = 10 log

∂ψ 1 ∆K = (µ∆x) 2 ∂t la distancia ∆l = ∆l − ∆x =

q

!2

(2.108)

q

(∆x)2 + (∆y)2 , y la distancia que se deforma la cuerda es

(∆x)2 + (∆y)2 − ∆x, que puede ser escrito en la forma

∆l − ∆x =

v u u t  1+

∆ψ ∆x



!2

− 1  ∆x =

v u u t  1+

∂ψ ∂x



!2

− 1  ∆x

(2.109)

Que con la utilización del teorema del binomio: (1 + x)n = 1 + nx + Para el caso anterior x =

n (n − 1) 2 n (n − 1) (n − 2) 3 x + x + ··· 2! 3! ∂ψ 2 ∂x



(2.110)

y n = 1/2, de lo que nos queda

1 ∂ψ ∆l − ∆x = 1 + 2 ∂x

!2

1 − 4

∂ψ ∂x

!4

+ · · · − 1 ]∆x(2.111)

si la variación de ∂ψ es peque˜ na, se pueden eliminar los términos de orden superior, ∂x llegando a: 2 ∆x. La energ´ıa potencial ∆U del elemento, debida a la onda es ∆l − ∆x = 12 ∂ψ ∂x el trabajo que realiza T al deformar dicho elemento: ∆U = T

1 ∂ψ ∆x 2 ∂x

(2.112)

La suma de estas energ´ıas es 1 ∂ψ ∆K + ∆U = (µ∆x) 2 ∂t

!2

1 +T 2

∂ψ ∂x

!2

∆x

(2.113)

Luego la potencia de la onda está definida como 

∆K + ∆U 1 ∂ψ P = = v µ ∆t 2 ∂t Y recordando que ψ = ψ0 sen (kx − ωt)

60

!2

+T

∂ψ ∂x

!2  

(2.114)


1 h P = v µω 2 + T k 2 ]ψ02 cos2 (kx − ωt) (2.115) 2 2 Tambien, v = T /µ = ω 2 /k 2 , llegando a P = vµω 2 ψ02 cos2 (kx − ωt)

(2.116)

1 P = vµω 2 ψ02 2

(2.117)

La potencia promedio es

2.10.

Ondas en dos y tres dimensiones

En tres dimensiones la onda ψ = ψ0 senkx − ωt, describe una onda como la mostrada en la figura1.1, la cual se está propagando en la dirección x, en general ψ = f (x − vt), describe una onda plana que se propaga en la dirección x, como se muestra en la figura1.12. Lo que caracteriza una onda plana propagándose es la dirección de propagación, la cual está definida por un vector u, perpendicular al plano de la onda, en general la dirección de propagación puede ser cualquiera no solo la dirección x, en general la posición en tres dimensiones puede ser expresada en la forma r = u · r, con lo cual la función se puede escribir ψ = f (r · u − vt), para el caso de una onda plana armónica o sinusoidal propagándose en la dirección u ψ = ψ0 sen (ku · r − ωt) = ψ0 sen (k · r − ωt)

(2.118)

ˆ este vector donde se ha definido el vector de propagación k = ku = kxî + ky ˆj + kz k, posee una magnitud k = 2π/λ = ω/v y apunta en la dirección de propagación. Cuando la propagación ocurre en un lugar en el espacio tridimensional, lo cual es la situación más com´ un, la ecuación de ondas se convierte en 2 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2 ∂ ψ = v + + 2 ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z

!

= v 2 ∇2 ψ

(2.119)

donde en operador ∇ nabbla, es un operador vectorial dado por ∇=

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(2.120)

La ecuación(1.112), a pesar de de estar en tres dimensiones es monodimensional, es decir su propagación es una dirección especifica y la situación f´ısica es la misma en todos los planos perpendiculares a la dirección de propagación, pero en la naturaleza existen otras formas de propagación, en las cuales las ondas se propagan en varias direcciones, entre las cuales las más comunes son las cil´ındricas y las esféricas. En la figura1.13 se muestra el comportamiento de los frentes de onda de las ondas 61

Oscilaciones y Ondas planas cil´ındricas y esféricas, las ondas cil´ındricas se producen cuando se colocan un conjunto de fuentes uniformemente distribuidas a lo largo de un eje por ejemplo el eje z.

Figura 2.12: En la figura (a) se muestra una onda propagándose en la dirección X y en la figura (b) se muestra una onda propagándose en una dirección arbitraria Las ondas esféricas se producen por ejemplo cuando se origina una perturbación en un gas y está se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad, en este caso se dice que el medio es isotropico, en el caso de la velocidad de las ondas no ser la misma en todas las direcciones el medio se denomina anisotropico, y en este caso las ondas resultantes no son esféricas.

2.11.

Ondas en una membrana tensa

Consideremos una membrana delgada y tensa, la membrana está sobre un marco el cual ejerce una tensión por unidad de longitud T , si tomamos un peque˜ no diferencial de area sobre la membrana, este diferencial experimentara una deformación ψ, la cual depende de x y de y, para obtener la ecuación diferencial, se calcula la fuerza sobre cada una de las caras del diferencial de area. De los cuatro lados que posee el diferencial de area dos de ellos son paralelos al eje x y los otros dos son paralelos al eje y, para los que son paralelos al eje x, la fuerza neta que act´ ua en la dirección z es ∂ tan θ ∂ 2ψ (tan θ0 − tan θ) T dy (tan θ − tan θ) = T dy dx = T dy dx = T 2 dxdy dx ∂x ∂x 0

(2.121)

de manera similar para los lados paralelos al eje y, obtenemos ∂ 2ψ dxdy ∂y 2 Luego la fuerza neta en la dirección z T

62

(2.122)


Figura 2.13: Membrana tensa

∂ 2ψ ∂ 2ψ dxdy + T dxdy (2.123) ∂x2 ∂y 2 Definimos la densidad de masa superficial o masa por unidad de area como σ = m/A = dm/dxdy, de donde dm = σdxdy, luego la ecuación del movimiento de esta porción de la membrana es Fz = T

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ σdxdy 2 = T 2 dxdy + T 2 dxdy ∂t ∂x ∂y

o´

∂ 2ψ T = 2 ∂t σ

∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 ∂x2 ∂y

!

(2.124)

Con esto la velocidad de las ondas sobre una membrana tensa están dadas por v=

2.12.

q

T /σ

(2.125)

Ondas esf´ ericas en un fluido

Un ejemplo de ondas esféricas son las ondas en un fluido, para tal fin consideremos una onda de presión en un fluido homogéneo e isotropico, en este caso la ecuación de ondas debe escribirse en función de las variables r, θ, φ, pero si la onda tiene la misma amplitud en todas las direcciones, la u ńica variable sobre la que queda dependencia es r, ene este caso el laplaciano en coordenadas esféricas manteniendo solo la dependencia de r es 1 ∂ ∂ψ ∇ψ= 2 r2 r ∂r ∂r 2

63

!

(2.126)

Oscilaciones y Ondas Lo cual convierte la ecuación de onda(1.119) en ∂ 2ψ ∂ψ 1 ∂ r2 = v2 2 2 ∂t r ∂r ∂r

!

(2.127)

La solución de está ecuación se puede obtener realizando la sustitución ψ = φ/r ∂ 2 (φ/r) ∂ (φ/r) v2 ∂ r2 = 2 2 ∂t r ∂r ∂r

!

∂φ v2 ∂ 2 r ∂r − φ = 2 r r ∂r r2

!

v2 ∂ ∂φ = 2 r −ψ r ∂r ∂r

1 ∂ 2φ ∂ 2 φ ∂φ ∂φ v2 r − = + r ∂t2 r2 ∂r2 ∂r ∂r

!

(2.128)

!

(2.129)

Llegando a una ecuación similar a la ecuación(1.6) 2 ∂ 2φ 2∂ φ =v (2.130) ∂t2 ∂r2 cuya solución es de la forma φ = φ0 sen (kr − ωt), luego la solución de(1.127) es

ψ=

2.13.

ψ0 sen (kr − ωt) r

(2.131)

velocidad de grupo

la velocidad v = ω/k, para una onda armónica se llama velocidad de fase, sin embargo está velocidad no es necesariamente la que se observa cuando se analiza el movimiento ondulatorio, debido a que cuando se tiene una se˜ nal esta contiene en realidad varias frecuencias y varias longitudes de onda lo que implica que existirán diferentes velocidades, donde la onda o pulso resultante es una suma de las ondas de diferentes componentes, esto es conocido como análisis de Fourier, para simplificar el análisis consideremos que la onda esta compuesta por dos frecuencias ω y ω 0 muy similares, de tal forma que ω 0 − ω sea muy peque˜ na, se supondrá que las amplitudes de estas son iguales, luego tenemos ψ = ψ0 sen (kx − ωt) + ψ0 sen (k 0 x − ω 0 t)

(2.132)

donde utilizando la identidad senA + senB = 2 cos 21 (B − A) sen 12 (B + A) ψ = ψ0 cos

1 0 1 [(k − k) x − (ω 0 − ω) t] sen [(k 0 + k) x − (ω 0 + ω) t] 2 2

(2.133)

debido a que k y k 0 son lo mismo, y además ω y ω 0 también se obtiene ψ = ψ0 cos

1 0 [(k − k) x − (ω 0 − ω) t] sen (kx − ωt) 2 64

(2.134)

Oscilaciones y Ondas La ecuación anterior representa un movimiento ondulatorio de amplitud modulada donde la amplitud modulada es 1 0 [(k − k) x − (ω 0 − ω) t] (2.135) 2 donde está amplitud corresponde en s´ı a un movimiento que se propaga con velocidad ψ0 cos

ω0 − ω dω = (2.136) 0 k −k dk velocidad que es llamada velocidad de grupo, y recordando que ω = vk, se tiene vg =

d (vk) dv =v+k (2.137) dk dk donde se puede observar que si la velocidad de fase es independiente de la longitud de onda la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase. vg =

Ejemplo: Calcular la velocidad de grupo para una onda en un liquido La velocidad de fase de las ondas en un liquido están dadas por la ecuación (1.41) si derivamos está ecuación con respecto a k llegamos a

vg = v + k

− kg2 +

= ρ

tanh (kh) + r

2

g k

+

=k ρ

g k

+

=k ρ

sech2 (kh) h

(2.138)

tanh (kh)

o´

vg = v +

− kg +

=k ρ

tanh (kh) + g + 2v

65

=k2 ρ

sech2 (kh) h

(2.139)

Cap´ıtulo 3 Ondas Electromagn´ eticas 3.1.

Introducci´ on

Las ecuaciones de Maxwell en su forma integral o diferencial nos resumen en una forma matemática simple los fenómenos electromagnéticos. A partir de estas ecuaciones se obtiene la ecuación de onda, obteniéndose como resultado que los campos eléctricos y magnéticos transportan energ´ıa electromagnética en forma ondulatoria.

3.2.

Ecuaciones de Maxwell

Fue James Clerk Maxwell, quien resumió en un conjunto de ecuaciones la generalización de los experimentos electromagnéticos observados y que son: Ley de Gauss de la electricidad (de la cual se deriva la Ley de Coulomb), Ley de Gauss del magnetismo, Ley de Ampere (modificada posteriormente por Maxwell) y la Ley de Faraday, las cuales se representan matemáticamente en forma integral por: 1 Z ρdV 0

I

~ = ~ · dS E

I

~ = 0 ~ · dS B

~ = µ0 i + µ0 0 ∂φE ~ · dl B ∂t I ∂φ B ~ = − ~ · dl E ∂t

I

(3.1) (3.2) (3.3) (3.4)

~ es el campo eléctrico, B ~ es el campo magnético, i es la corriente, φE es donde E el flujo eléctrico, φB es el flujo magnético, 0 es la constante de permitividad, µ0 es la ~ y dS, ~ son los constante de permeabilidad, ρ es la densidad de carga volumetrica, dl diferenciales de longitud y superficie respectivamente. Los flujos eléctrico y magnético están definidos respectivamente como: 66


φE = φB =

I

~ ~ · dS E

(3.5)

I

~ ~ · dS B

(3.6)

Las ecuaciones de Maxwell se pueden representar en forma diferencial aplicando el teorema de la divergencia o el teorema de Stokes, el teorema de la divergencia establece que: I

Z

~ = F~ · dS

∇ · F~ dV

(3.7)

~ ∇ × F~ · dS

(3.8)

V

y el teorema de Stokes: I

~ = F~ · dl

Z V

Con la utilización de estos teoremas las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son: ~ = ρ/0 ∇·E

(3.9)

~ =0 ∇·B

(3.10)

~ ~ = µ0 J~ + 0 µ0 ∂ E (3.11) ∇×B ∂t ~ ~ = − ∂B ∇×E (3.12) ∂t ~ ecuación conocida como donde J~ es la densidad de corriente definida como J~ = σ E, H ~ la Ley de Ohm, esta densidad se relaciona con la corriente como i = J~ · dS

3.3.

Condiciones de Frontera

Al pasar una onda electromagnética de un medio a otro medio, en la frontera existente entre dos medios se produce un cambio en los campos eléctrico y magnético, los campos en en ambos lados de la frontera deben satisfacer ciertas condiciones de frontera.

3.3.1.

Condiciones de frontera para el campo el´ ectrico

~1 y E ~ 2 los campos eléctricos en las dos regiones, además sean 1 y 2 las Sean E permitividades de los medios. Los campos eléctricos poseen componentes que son perpendiculares y paralelas a la superficie que separa los dos medios estas componentes son llamadas componente normal y tangencial del campo eléctrico respectivamente, esto quiere decir que el campo eléctrico puede ser escrito como la suma de sus componentes normal y tangencial. 67


~1 = E ~ 1t + E ~ 1n E

~2 = E ~ 2t + E ~ 2n E

(3.13)

Las condiciones que deben satisfacer estas condiciones en la frontera de los dos medios son: ~ 1t = E ~ 2t E

~ 1n = 2 E ~ 2n 1 E

(3.14)

Ejemplo Para E~ 1 = 10âx − 6ây + 12âz V /m en la figura. Calcular E~ 2 y el ángulo que E~ 2 forma con el eje de las y Soluci´ on La componente normal de E~ 1 esta definida como E~ 1n = −6ây V /m y la componente ~ tangencial E1t = 10ˆ ax + 12ˆ az V /m, de esta forma y con las condiciones representadas en la ecuaci´ on (3.14) ~ 2t = E ~ 1t = 10ˆ E ax + 12ˆ az V /m y ~ 2n , 30 (−6ˆ ay V /m) = 4,50 E de donde ~ 2n = −4ˆ E ay V /m, con esto el campo en el medio 2 es finalmente ~ 2 = 10ˆ E ax − 4ˆ ay + 12ˆ az V /m ~ ~ 2 , tenemos que ˆ ~ 2 = |ˆ Para calcular el ´ angulo del campo E ay · E a y | E 2 cosθ2y , obteniendose 4=

3.3.2.

√

260 · 1cosθ2y

θ2y = 75,63o

Condiciones de frontera para el campo magn´ etico

De igual forma que para los campos eléctricos para los campos magnéticos existen ciertas condiciones de frontera que se deben satisfacer: ~ 1t ~ 2t B B = µ1 µ2

~ 1n = B ~ 2n B

(3.15)

~ 1 = 25ˆ Ejemplo La interface 4x − 5z = 0, es la interface entre dos medios magnéticos. Si H ax − ~ 2 en la región 4x − 5z ≥ 0, donde 30ˆ ay + 45ˆ az A/m en la regi´ on 4x − 5z ≤ 0, donde µ1 = 4µ0 , calcule H µ2 = 10µ0 . Soluci´ on La recta que delimita la frontera entre los dos medios es 4x − 5z = 0, luego el vector ∇f normal se puede calcular tomando f = 5z − 4x, de donde a ˆn = |∇f | , obteniendose: a ˆn =

−4ˆ ax + 5ˆ az √ , 41

para el medio 1 tenemos ~ 1 = µ1 H ~ 1 = 5µ0 H ~ 1 = 94,2ˆ B ax − 188,5ˆ ay − 282,7ˆ az µW b/m2 , ~ 1 es entonces la magnitud de la componente normal de B

68


2

B1n = 94,2ˆ ax − 188,5ˆ ay − 282,7ˆ az µW b/m

·

−4ˆ ax + 5ˆ az √ 41

= 161,9µW b/m2 ,

~ 1 es: el vector que corresponde a la componente normal de B ax + 5ˆ az ~ 1n = 161,9µW b/m2 −4ˆ √ B = −101,1ˆ ax + 126,4ˆ az µW b/m2 41 La componente tangencial es ~ 1t = B ~1 − B ~ 1n = 195,3ˆ B ax − 188,5ˆ ay − 409,1ˆ az µW b/m2 De acuerdo con las condiciones de frontera ~ 2n = B ~ 1n = −101,1ˆ B ax + 126,4ˆ az µW b/m2 y ~ 2t B 195,3ˆ ax − 188,5ˆ ay − 409,1ˆ az µW b/m2 = , 10µ0 5µ0 de donde ~ 2t = 97,7ˆ B ax − 94,3ˆ ay − 204,5ˆ az µW b/m2 , la expresi´ on para el campo en el medio 2 es entonces. ~ 2 = −3,4ˆ B ax − 94,3ˆ ay − 78,1ˆ az µW b/m2 .

3.4.

Ecuaciones de Ondas Electromagn´ eticas

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones de Maxwell es la derivación de las ecuaciones de las ondas electromagnéticas, en las cuales se demuestra que los campos eléctrico y magnético pueden propagarse en el espacio, en forma de ondas electromagnéticas. Las ecuaciones de onda electromagnéticas se pueden obtener de la siguiente forma: Tomando el rotacional de la ecuación (3.12) ~ ~ =−∂ ∇×B ∇×∇×E ∂t

(3.16)

~ por su equivalente de la ecuación(3.11) Sustituyendo ∇ × B, ~ ∂ J~ ∂ 2E − µ0 0 2 (3.17) ∂t ∂t La ecuación anterior se puede simplificar utilizando la identidad vectorial ∇ × ∇ × 2~ ~ ~ E = −∇ E + ∇ ∇ · E , llegando a ~ = −µ0 ∇×∇×E

2~ ~ ~ +∇ ∇·E ~ = −µ0 σ ∂ E − µ0 0 ∂ E − ∇2 E ∂t ∂t2 De forma similar si tomamos el rotacional de (3.11)

69

(3.18)


~ = µ0 σ∇ × E ~ + µ0 0 ∂ ∇ × E ~ ∇×∇×B ∂t Remplazando (3.12), se llega a ∂ 2B ∂B + 0 2 ∂t ∂t Tomando (3.9 y 3.10) y considerando el espacio de carga libre se tiene

~ +∇ ∇·B ~ = −µ0 σ − ∇2 B

~ ~ ∂ 2B ∂B =0 − µ σ 0 ∂t2 ∂t 2~ ~ ~ − 0 µ0 ∂ E − µ0 σ ∂ E = 0 ∇2 E ∂t2 ∂t

~ − 0 µ0 ∇2 B

(3.19)

(3.20)

(3.21) (3.22)

Las ecuaciones de onda deducidas antes rigen el campo electromagnético en un medio lineal homogéneo en el que la densidad de carga es cero, si este medio es conductor o no conductor. Sin embargo, no es suficiente que estas ecuaciones se satisfagan; las ecuaciones de Maxwell también deben ser satisfechas. En caso del medio ser no conductor, las ecuaciones anteriores se reducen a: ~ ∂ 2B ∂t2 2~ ~ = 0 µ0 ∂ E ∇2 E ∂t2

~ = 0 µ0 ∇2 B

(3.23) (3.24)

donde comparando con la ecuación de ondas previamente vista la velocidad de propagación de está onda electromagnética es 1 v=√ µ0 0

(3.25)

En el caso particular de tener ondas armónicas, viajando en la dirección X, de frecuencia f = ω/2π y longitud de onda λ = 2π/k, las soluciones para los campos eléctrico y magnético son: E = E0 sen (kx − ωt) B = B0 sen (kx − ωt)

(3.26) (3.27)

Para obtener una relación entre las amplitudes de los campos supongamos que el campo eléctrico se encuentra paralelo al eje Y , entonces utilizando (3.12), se tiene ~ ∂B = ∂t

a ˆx ∂ − ∂x 0

a ˆz

a ˆy ∂ ∂y

∂ ∂z

E0 sen (kx − ωt) 70

0

= kE0 cos (kx − ωt)

Oscilaciones y Ondas Integrando con respecto al tiempo obtenemos el campo magnético como ~ = k/ωE0 sen (kx − ωt) a B ˆz = B0 sen (kx − ωt) a ˆz

(3.28)

de donde B0 = E0 /c, la dirección del campo magnético es es en Z y la dirección del campo eléctrico es en Y , es decir tanto el campo magnético como el campo eléctrico son perpendiculares a la dirección de propagación as´ı como entre ellos, es decir que para calcular la dirección de propagación de una onda electromagnética se debe realizar el producto cruz entre las direcciones del campo eléctrico y el campo magnético. Para el caso del campo eléctrico y magnético descritos anteriormente corresponde a una onda plana polarizada linealmente. Otra solución en forma de onda es aquella en la cual los campos eléctrico y magnético tienen una magnitud constante pero rotan alrededor de la dirección de polarización, dando como resultado una onda polarizada circularmente, por ejemplo supongamos que el campo eléctrico esta dado por: ~ = E0 sen (kx − ωt) a E ˆy + E0 sen (kx − ωt) a ˆz

(3.29)

con esto utilizando nuevamente la ecuación (1.13), se obtiene el campo magnético como: ~ = −B0 cos (kx − ωt) a B ˆy + B0 sen (kx − ωt) a ˆz

(3.30)

En el caso en el que las componentes ortogonales posean amplitudes diferentes se obtiene una polarización el´ıptica

3.5.

Energ´ıa y momentum de una onda electromagn´ etica

La energ´ıa asociada al campo eléctrico de una onda electromagnética es 1 (3.31) EnE = 0 E 2 2 De forma similar la densidad de energ´ıa magnética asociada a una onda electromagnética es 1 2 B (3.32) 2µ0 La densidad total asociada a una onda electromagnética es la suma de las densidades de energ´ıa eléctrica y magnética, esto es EnB =

1 1 2 En = 0 E 2 + B = 0 E 2 (3.33) 2 2µ0 Utilizando la definición de intensidad, se puede obtener la intensidad de una onda electromagnética en la forma 71


I = vEn = cEn = c0 E 2

(3.34)

La intensidad media de una onda electromagnética, se obtiene de la forma 1 (3.35) I¯ = c0 E02 2 Si calculamos el modulo del producto cruz entre el campo eléctrico y el campo magnético llegamos a 2 ~ = EB = E ×B (3.36) c Si comparamos está ecuación con la ecuación (3.35) para la intensidad de una onda electromagnética se puede concluir que

~ E

~ ~ I = c2 0 E ×B

(3.37)

El vector asociado a está cantidad se conoce como vector de Poynting, definido en la forma ~ = c2 0 E ~ ×B ~ S

(3.38)

Existe una relación entre la energ´ıa y el momentum (mirar presentación sobre la relatividad y el electromagnétismo), on esto el momentum lineal por unidad de volumen es: vEn En 0 E 2 ~ ~ = = = E × B (3.39) 0 c2 c c La forma vectorial del momentum lineal por unidad de volumen se escribe en la forma

p=

~ ×B ~ p~ = 0 E

(3.40)

Debido a que la onda electromagnética tiene momentum lineal también tendrá momentum angular, el momentum angular por unidad de volumen e:

~ = ~r × p~ = 0~r × E ~ ×B ~ L

3.6.

(3.41)

Presi´ on de Radiaci´ on

Las ondas electromagnéticas se propagan en el espacio libre, pero tambien pueden chocar con un objeto material. Por ejemplo se puede investigar qué sucede cuando la radiación electromagnética se absorbe en la superficie de un objeto, de donde se introduce el concepto de presión de radiación, en primera medida supongamos que una onda electromagnética incide perpendicularmente sobre la superficie perfectamente absorbente, el momentum por unidad de volumen es p, luego el momentum total se 72

Oscilaciones y Ondas obtiene al multiplicar el momentum por unidad de volumen por el volumen, el cual es δxA, luego el momentum total es p∆xA y el momentum por unidad de tiempo es p∆xA/∆t = pcA, este momentum por unidad de tiempo, es también el momentum absorbido por la superficie A debido a que es perfectamente absorbente,lo cual es la fuerza que act´ ua sobre la superficie, de donde se obtiene la presión debida a la radiación como: Prad = cp = En = 0 E 2

(3.42)

En caso de tener una superficie perfectamente reflectora, la radiación reflejada posee un momentum igual al momentum incidente pero en dirección opuesta, por tanto la variación del momentum es 2p, con esto la presión de radiación en este caso es Prad = c2p = 2En = 20 E 2

(3.43)

Cuando la radiación no es perpendicular sino oblicua, las presiones de radiación para el caso de un absorbente perfecto y un reflector perfecto son respectivamente cp cos θ y y 2En 2cp cos θ, ecuaciones que se pueden convertir en En 3 3

3.7.

Ecuaci´ on de onda con fuentes

Hasta el momento hemos considerado ondas sin considerar como se producen. El problema ahora es considerar las distribuciones de carga y corriente prescritas, ρ (r, t) y J (r, t), y hallar los campos producidas por ellas. Existen diferentes formas de enfocar el problema pero, utilizaremos el enfoque del potencial. Debido a que la divergencia de ~ = 0, de la ecuación (3.10), se puede escribir: un rotacional es cero ∇ · ∇ × A ~ =∇×A ~ B

(3.44)

~ es conocido como potencial vectorial, remplazando está definición en la donde A, ecuación(3.12), se llega a ~=0 ~ + ∂ ∇×A ∇×E ∂t Si existe continuidad de los campos se puede escribir

(3.45)

!

~+ ∂A ~ =0 ∇× E ∂t

(3.46)

Recurriendo al calculo vectorial el rotacional de un gradiente es cero, ∇ × (∇ϕ) = 0, luego de la ecuación(3.46), se tiene ~+ ∂A ~ = −∇ϕ o´ E ~ =−∂A ~ − ∇ϕ E (3.47) ∂t ∂t donde ϕ, se llama potencial escalar, las ecuaciones (1.42) y (1.45), permiten obtener los campos eléctrico y magnético en función de los potenciales escalar y vectorial. Estos 73

Oscilaciones y Ondas potenciales satisfacen ecuaciones de onda similares a las satisfechas por los campos. Para obtener la ecuación de ondas satisfecha por el potencial vectorial vecA, se sustituyen las ecuaciones (3.44) y (3.47) en la ecuación(3.11) obteniendo 



~ ~ + 0 µ0 ∂ ∇ϕ + ∂ A  = µ0 J~ ∇×∇×A ∂t ∂t

(3.48)

~ = −∇2 A ~ + ∇ · ∇A, ~ llegando a: Sustituyendo la identidad vectorial ∇ × ∇ × A 



~ ~ + ∇ · ∇A ~ + 0 µ0 ∂ ∇ϕ + ∂ A  = µ0 J~ −∇ A ∂t ∂t 2

(3.49)

~ conocida como Existe una condición sobre la divergencia del campo vectorial A, condición de Lorentz, la cual es ~ + 0 µ0 ∂ϕ = 0 ∇·A (3.50) ∂t Si se satisface está condición, la ecuación de onda para el potencial vectorial es ~ ∂ 2A = −µ0 J~ ∂t2 Sustituyendo(3.47) en la ecuación (3.9), se llega a ~− ∇2 A



(3.51)



~ ∂A ρ =− ∇ · ∇ϕ + ∂t 0

(3.52)

Utilizando(3.50) se obtiene la ecuación de onda para el potencial escalar ρ ∂ 2ϕ =− (3.53) 2 ∂t 0 La solución de la ecuación de ondas inhomogéneas, consiste en una solución particular de la solución inhomogénea y una solución de la ecuación homogénea, la ecuación escalar inhomogénea (3.53), puede resolverse más fácilmente hallando la solución para una carga puntual y luego sumando sobre todos los elementos de carga ρ∆v en la distribución de la carga adecuada. La situación más conveniente para la carga puntual es en el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación ∇2 ϕ −

∂ 2ϕ ∇ ϕ− 2 =0 (3.54) ∂t debe satisfacerse en todo punto menos en el origen, mientras que en un peque˜ no volumen, ∆v, que rodea al origen, 2

Z ∆v

"

∂ 2ϕ q(t) ∇ ϕ − 2 dv = − ∂t 0 #

2

74

(3.55)

Oscilaciones y Ondas debe satisfacerse. Debido a la simetr´ıa de la distribución de carga, la dependencia espacial de ϕ es solo de r, en este caso la ecuación(3.54) tiene la forma ∂ 2ϕ 1 ∂ 2 ∂ϕ r − =0 r2 ∂r ∂r ∂t2 !

(3.56)

La solución de está ecuación se analizo cuando se estudiaron las ondas esféricas en un fluido, y es de la forma f (r − vt) (3.57) r √ donde la velocidad de las ondas electromagnéticas es v = 1/ µ0 0 , es decir la solución anterior se puede escribir en la forma ϕ=

ϕ=

√ f r − t/ µ0 0

(3.58) r está solución contiene una función arbitraria que puede elegirse de modo que la ecuación(3.55) tambien se satisfaga. La elección adecuada se obtiene observando que para una carga estática el potencial compatible con las ecuaciones (3.54) y (3.55) es ϕ=

q 4π0 r

(3.59)

Las funciones (3.58) y (3.59) pueden coincidir eligiendo √ q r − t µ0 0 √ f (r − t/ µ0 0 ) = 4π0

(3.60)

La solución de las ecuaciones (3.54) y (3.55) es entonces ϕ (r, t) =

√ q r − t 0 µ0

4π0 r

(3.61)

Luego la solución de la ecuación (3.53) está dada por h i √ 1 Z ρ r’, t − 0 µ0 |r − r’| ϕ (r, t) = dv 0 4π0 V |r − r’|

(3.62)

que es conocida como el potencial escalar retardado. La solución de la ecuación (3.51) puede construirse en la misma forma. Los vectores ~ ~ pueden primero descomponerse en sus componentes rectangulares, obteniéndose A y J, tres ecuaciones análogas a la ecuación (1.51), siendo la ecuación en x, por ejemplo ∂ 2 Ax = −µ0 Jx ∂t2 Cada una de estas ecuaciones puede resolverse, dando, por ejemplo ∇2 Ax −

75

(3.63)


Ax (r, t) =

µ0 4π

i √ 0 µ0 |r − r’|

h

Z

Jx r’, t −

|r − r’|

V

dv 0

(3.64)

Estas componentes se combinan entonces para dar ~ (r, t) = µ0 A 4π

√ J~ r’, t − 0 µ0 |r − r’| h

Z

i

|r − r’|

V

dv 0

(3.65)

que es el potencial vectorial retardado.

3.8.

Radiaci´ on de un dipolo el´ ectrico oscilante

Este es un ejemplo de radiación es una distribución de carga-corriente prescrita dependiente del tiempo. el dipolo se supondrá, que consiste de dos esferas situadas en z = ±l/2 conectadas por un alambre de capacidad despreciable. La carga de la esfera superior es q y la de la esfera inferior es −q. El potencial vectorial debido a la distribución de corriente especificada es Az (r, t) =

µ0 Z l/2 4π

I (z 0 , t) −

√ µ0 0 |r − z 0 k| dz 0

|r − z 0 k|

−l/2

(3.66)

La cantidad |r − z 0 k|, puede ser escrita como

|r − z 0 k| = r2 − 2z 0 k · r + z 02

1/2

(3.67)

Si l es peque˜ na comparada con r, esto es, si consideramos el campo sólo a grandes distancias del dipolo, este termino puede desarrollarse en la forma |r − z 0 k| = r − z 0 cos θ

(3.68)

donde θ es el ańgulo que forma r con el eje z. La cantidad |r − z 0 k| está contenida tanto en el denominador como en el termino de retardación en el denominador puede simplemente despreciarse si r es suficientemente grande. Sin embargo en el termino de √ retardación, z 0 cos θ puede despreciarse sólo si z 0 cos θ µ0 0 es despreciable comparada con el tiempo durante el cual la corriente cambia significativamente, es decir, comparada con el per´ıodo de las corrientes que var´ıan armónicamente. Como v = l << vT = λ (3.69) 2 Por tanto, si el dipolo es peque˜ no comparado con una longitud de onda, y el punto ~ está dado por de observación está alejado, comparado con l, del dipolo, entonces A µ0 1 r Az (r, t) = lI t − 4π r v

76

(3.70)

Oscilaciones y Ondas El potencial vectorial ϕ puede hallarse con la condición de Lorentz(3.50), la diver~ es definida en la forma gencia de A, ~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ∇·A ∂x ∂y ∂z

(3.71)

de donde ~ = µl ∂ ∇·A 4π ∂z

1 r I t− r v

=−

r µl z r z I t− + 2 I0 t − 3 4π r v r v v

(3.72)

donde I 0 representa la derivada de I con respecto a su argumento. Está ecuación se integra observando que I = q 0 y, por lo tanto 

l z q t − ϕ= 4π0 r2 r

r v

+

I t−

r v



(3.73)



v

La distribución armónica de la carga-corriente es de la forma: r r q t− = q0 cos ω t − v v r r r I t− = −ωq0 sen ω t − = I0 sen ω t − v v v

(3.74) (3.75)

~ en coordenadas esféricas es: El vector A, ~ = µ0 lI0 senω t − r kˆ = µ0 lI0 senω t − r (cos θˆ A ar − senθˆ aθ ) 4πr v 4πr v

(3.76)

~ se obtiene el campo magnético Calculando el rotacional de A, "

~ =∇×A ~= B

#

"

#

1 ∂ ∂Aθ 1 1 ∂Ar ∂ (rAφ ) (Aφ senθ) − a ˆr + − a ˆ(3.77) θ rsenθ ∂θ ∂φ r senθ ∂φ ∂r " # 1 ∂ (rAθ ) ∂Ar + − a ˆφ r ∂r ∂θ

~ = µ0 lI0 senθ ω cos ω t − r + 1 sen ω t − r B 4πr v v r v El calculo del campo eléctrico se puede realizar con la ayuda de (3.47)



sen ω t − ~ = 2lI0 cos θ  E 4π0 r2 v lI0 sen θ 4π0

r v

−

cos ω t − ωr3

r v

 a ˆr

−

(3.79)

1 ω r 1 r − 2 cos ω t − − 2 sen ω t − 3 ωr rv v r v v

77

(3.78)

a ˆθ

Oscilaciones y Ondas El valor del vector de Poynting dado por (3.34) ~= 1E ~ ×B ~ = 1 Eθ Bφ S µ0 µ0

(3.80)

Para grandes distancias de la fuente se pueden conservar solo los términos que dependen de 1/r, lo que produce, 2 2 ~ = (ωI0 l) sen θ cos2 ω t − r S v (4π)2 0 r2 v 3

2

=

r (ω 2 q0 l) sen2 θ 2 cos ω t − 2 v (4π) 0 r2 v 3

(3.81)

La energ´ıa total radiada por unidad de tiempo es q 2 l2 ω 4 dEn Z I (θ) dA = 0 3 cos2 (ωt − kr) = dt 6π0 c esf era La potencia media radiada se calcula como: q 2 l2 ω 4 2π P¯ = I (θ) dA = 0 = 12π0 c3 3 esf era Z

s

µ0 0

l λ

!2

(3.82)

I02 2

(3.83)

Una resistencia R por la que pasa una corriente I0 cos ωt disipa energ´ıa a una velocidad promedio de P¯ = RI02 /2, comparando con la ecuación(3.83), se puede definir la resistencia de radiación de un dipolo por 2π Rr = 3

3.9.

s

µ0 0

l λ

!2

(3.84)

Radiaci´ on de un dipolo magn´ etico oscilante

Otra fuente de las ondas electromagnéticas es el dipolo magnético oscilante, este estudio es un poco más complicado que el de un dipolo eléctrico, por este motivo no se realizara la deducción de los campos pero el análisis se puede realizar con la ayuda del análisis de la radiación de un dipolo eléctrico, intercambiando los papeles de los campos eléctricos y magnéticos, teniendo en cuenta que el momento inicial del dipolo eléctrico es Π0 = q0 l, donde q0 = −I0 /ω, este se puede intercambiar por el momento inicial del dipolo magnético M0 y la constante de proporcionalidad eléctrica 1/4π0 , por la constante de proporcionalidad magnética µ0 /4π, obteniéndose los campos magnéticos 

~ = 2M0 µ0 cos θ − B 4π M0 µ0 sen θ 4π

"

ω sen ω t −

r v

r2 v

+

cos ω t − r3

r v

 a ˆr

−

1 r ω r ω2 − 3 cos ω t − + 2 sen ω t − 2 rv r v r v v !

78

(3.85) #

a ˆθ

Cap´ıtulo 4 ´ Optica Geom´ etrica Cuando se observa un cuarto o un paisaje, la luz que llega a nuestros ojos proviene de diferentes fuentes como objetos luminosos (bombillas, televisores, estrellas, etc) o la luz reflejada por diferentes superficies (mesas, árboles, sillas y otros objetos). Nuestros ojos pueden enfocar un haz de estos rayos y luego el cerebro interpretarlos como una fuente puntual de luz (imagen). As´ı como la luz puede llegar directamente del objeto a nuestros ojos puede efectuarlo a través de los anteojos en este caso los anteojos modifican los rayos de luz y los hacen parecer que provienen de un punto distinto.

4.1.

Formaci´ on de im´ agenes por reflexi´ on en una superficie plana (espejo plano)

La imagen que se observa al maquillarse o al afeitarse, se observa como si fuesemos nosotros realmente y se encuentra a la misma distancia atrás del espejo que se encuentra usted delante de el. Todos los rayos que salen del punto O, correspondiente al objeto se reflejan en el espejo con el mismo ángulo con el que inciden sobre el espejo, de esta forma todos estos rayos reflejado parecen salir del punto I, es decir divergen del punto I, correspondiente a la imagen. En o´ptica geométrica siempre necesitamos las relaciones entre los objetos y las imágenes; por tal motivo debemos conocer las posiciones so y si del objeto y la imagen con respecto a un punto de referencia (El espejo). Para el rayo que incide en el punto A, se tiene la relación Figura 4.1: Imegenes formadas por reflexión en un espejo plano

tanθi = 79

AB AB = so −si

o´

so = −si

(4.1)

Oscilaciones y Ondas Donde se ha considerado positivo a la izquierda del espejo es decir del lado del objeto, el signo negativo indica que la imagen se forma detrás del espejo, debido a que los rayos reales regresan al medio en el cual se encuentra el objeto la imagen es vitual debido a que en realidad los rayos no se cortan solo parecen cortarse.

4.2.

Formaci´ on de im´ agenes por transmisi´ on en una superficie plana

Cuando los rayos provenientes de un objeto pasan de un medio a otro, las imágenes formadas son el resultado de la transmisión, un ejemplo sencillo se ilustra cuando se observa una moneda en el fondo de un tanque lleno de agua, en este caso los rayos provenientes de la moneda pasan del agua al aire

Figura 4.2: Configuración para la formación de una imagen por transmisión en una superficie plana El rayo proveniente del objeto que incide en forma perpendicular de transmite en forma perpendicular, pero el que incide con un ángulo peque˜ no θi , se transmite formando un ańgulo θt , estos rayos que se transmiten al aire parecen salir de un punto que se encuentra a una distancia menor Si , la cual corresponde a la ubicación de la imagen. Utilizando la ley de Snell n2 senθi = n1 senθt (4.2) Para ángulos peque˜ nos senθi ∼ = tanθi = m/so y senθt ∼ = tanθt = m/si , con lo cual 80

Oscilaciones y Ondas m m n2 n1 = n1 o´ = (4.3) so si so si En este caso la imagen se forma del mismo lado que el objeto, debido que los rayos pasan al aire, cuando la imagen se forma por transmisión una imagen virtual es aquella que se forma en el mismo medio que el objeto, es decir la imagen positiva corresponde a una imagen virtual. n2

4.3.

Formaci´ on de im´ agenes por reflexi´ on en una superfice esf´ erica (espejo esf´ erico)

Los espejos esféricos poseen muchas aplicaciones en telescopios, espejos retrovisores, luces de automoviles. Para estudiar la formación de imágenes en espejos esféricos, se utiliza la ley de refracción de Snell, para este efecto consideremos un rayo de los muchos que produce un objeto O.

Figura 4.3: Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica Debemos obtener la relación entre las posiciones del objeto y la imagen, para tal fin, aplicamos el teorema del seno a los triángulos OAC y CAI, para obtener OA OC = sen(π − β) senθi

y

IA IC = senβ senθi

(4.4)

Como sen(π − β) = senπcosβ − cosπsenβ; OC = so − R; IC = R − si llegamos a: so − R senθi = senβ OA

y

Combinando las ecuaciones (4.5), se llega a: 81

senθi R − si = senβ IA

(4.5)


so − R R − si = (4.6) OA IA Para valores peque˜ nos de h tenemos que OA = so y IA = si , lo que convierte (4.6) en so − R R − si 1 1 2 = o´ + = (4.7) so si so si R Para obtener una expresión para valores de h, mayores, por ejemplo que en lugar de ser h peque˜ no sea peque˜ no h/2 (mayor abertura), aplicamos el teorema del coseno a los triángulos OAC y CAI, para obtener OA2 = R2 + (so − R)2 + 2R (so − R) cosβ OA2 = s2o − 2R (so − R) + 2R (so − R) cosβ OA2 = s2o − 2R (so − R) (1 − cosβ) 1 1 1 2 2 2 sen2 β OA = so − 4R so − R so 2 Para valores de h/2 peque˜ nos sen2 21 β ∼ = " 2

OA =

s2o

1 β 2

h2 1− so

2

=

h 2R

1 1 − R so

2

=

h2 , 4R2

lo que implica que

#

de donde se puede escribir h2 so = 1− OA so "

1 1 − R so

#−1/2

Utilizando la aproximación binomial (1 − x)−1/2 ∼ = 1 + 21 x tenemos so h2 =1+ OA 2so

1 1 − R so

(4.8)

De igual forma se obtiene: si h2 1 1 =1+ − IA 2si R si Remplazando (4.8) y (4.9) en (4.6) obtenemos

1 1 2 h2 1 + = + so si R 2 so "

1 1 − R so

2

(4.9)

1 + si

1 1 − R si

2 #

(4.10)

Debido a que el segundo término del lado derecho de la ecuación (4.10) es un termino correctivo, se puede utilizar la ecuación (4.7) para escribir 1 1 2 h2 + = + so si R R 82

1 1 − R so

2

(4.11)

Oscilaciones y Ondas Un espejo plano se puede considerar como un espejo esférico de radio infinito, esto es R → ∞, lo cual convierte la ecuación (4.7) en la ecuación (4.1)

4.4.

Formaci´ on de im´ agenes por transmisi´ on en una superfice esf´ erica

Cuando la luz entra al ojo se transmite en una serie de superficies curvas que lo conforman para formar una imagen real en la retina, otros dispositivos o´pticos como las camaras también utilizan este principio. Para analizar este principio se debe primero analizar la formación de una imagen por transmisión.

Figura 4.4: Configuración para la formación de una imagen en una superficie esferica por transmisión Aplicando el teorema del seno a los triángulos ABC y ADC podemos escribir. senθi sen (π − β) = y AB so − R Pero además n1 senθi = n2 senθt llegando a

sen (π − β) senθt = AD si − R

(4.12)

so 1 1 si 1 1 − = n2 − (4.13) AB R so AD R si Para ángulos peque˜ nos AB ∼ = so y AD ∼ = si entonces (4.13) se convierte en

n1

n1 n2 n2 − n1 (4.14) − = so si R Para obtener una expresión para ańgulos más grandes aplicamos el teorema del coseno a los triángulos, obteniendose

so ∼ h2 =1+ AB 2so 83

1 1 − R so

(4.15)


si ∼ h2 1 1 1 + − = AD 2si R si Remplazando (4.15) y (4.16) en (4.13) y utilizando (4.14) obtenemos

n1 n2 n1 − n2 h2 n1 − n2 n21 n1 (n1 + n2 ) − = + − so si R 2 n22 R so "

#

1 1 − R so

(4.16)

2

(4.17)

Recordando que para el radio infinito la superficie esférica se convierte en una superficie plana se obtiene la ecuación (4.3) a partir de la ecuación (4.14).

4.5.

Lentes

Hasta el momento realizamos una descripción de las imágenes formadas por superficies simples, pero en general un sistema óptico está formado por una combinación de dos o más superficies un ejemplo es la lente qué se compone de dos superficies refractoras, sin embargo por muy complicado que sea, el sistema o´ptico, se descompone en sistemas simples y calcular susecivamente el efecto de cada elemento. En la figura se ilustra una lente formada por dos superficies curvas S1 y S2 , hechos de un material de ´ındice de refracción n.

c

Figura 4.5: Configuración para la formación de una imagen en una lente formada por dos superficies esfericas S1 y S2 Los rayos que salen del objeto O inciden primero en la superficie S1 , formando la imagen I10 en la posoción si1 , posición que se puede calcular en la forma nA n nA − n R1 nso − = o´ si1 = (4.18) so si1 R1 nso − (so − R1 ) nA donde nA es el ´ındice de refracción del ambiente en el cual se encuentra la lente en el caso en el cual nso > (so − R1 ) nA , si1 > 0, lo que implica que la imagen es virtual por encontrarse del mismo lado del objeto, por otra parte la imagen es real si nso < (so − R1 ) nA . la imagen I10 representa un objeto virtual para la segunda superficie. La posición del objeto virtual con respecto a la superficie S2 es: 84


so2 = (si1 − l)

(4.19)

Para la transmisión en la segunda superficie obtenemos nA n − nA n − = si1 − l si R2

o´

si1 =

R2 nsi +l nsi + (R2 − si ) nA

(4.20)

Igualando las ecuaciones (4.18) y (4.20), llegamos a R1 nso R2 nsi = +l nso − (so − R1 ) nA nsi + (R2 − si ) nA Que puede ser escrito en la forma: 1 1 n − nA − = so si nA

1 nA n − nA 1 1 1 − l − + R2 R1 n nA R2 si

n − nA 1 1 + nA R1 so

(4.21)

(4.22)

En el caso de lentes delgadas l <<, se obtiene 1 n − nA 1 − = so si nA

4.6.

1 1 − R2 R1

(4.23)

Aumento o ´ Amplificaci´ on

La imagen de un objeto puede ser producida por reflexión, transmisión, por varias reflexiones, por varias transmisiones o por una combinación entre reflexiones y transmisiones, en general la imagen obtenida no posee el mismo tama˜ no del objeto, es decir esta imagen puede ser más grande o más peque˜ na que el objeto. la relación entre los tama˜ nos de la imagen y el objeto s denomina aumento o amplificación de la imagen, cuando el aumento es mayor que 1 la imagen es más grande que el objeto, si por el contrario el aumento es menor que 1 la imagen es más peque˜ na que el objeto. La amplificación para una imagen formada por reflexión es: si (4.24) so Cuando la imagen formada es en un espejo plano si = −so , el valor de Ar = 1, lo que quiere decir que la imagen tiene el mismo tama˜ no que el objeto y el signo positivo del aumento indica que la imagen es derecha. La amplificación para una imagen formada por transmisión es: Ar = −

n1 si (4.25) n2 so Cuando el sistema o´ptico considerado es una lente delgada el aumento esta determinado por: At = −

Al = 85

si so

(4.26)


4.7. 4.7.1.

Distancia focal y trazado de rayos Distancia focal

Al observar la ecuación para una imagen por reflexión, se puede notar que para rayos que inciden paralelos, los cuales son equivalentes a colocar el objeto muy lejos (el infinito), la imagen se forma en R/2, es decir que todo rayo paralelo se refleja pasando por R/2, que es llamado foco fr = R/2. Para las imágenes formadas por transmisión existen dos focos un foco objeto fto y foco imagen fti . El foco objeto corresponde a la posición del objeto tal que los rayos refractados son paralelos si = ∞. n1 R (4.27) n1 − n2 El foco imagen corresponde a la posición de la imagen cuando los rayos provenientes del objeto son paralelos so = ∞. fto =

n2 R n1 − n2 Para el caso de una lente tambien existen dos focos fti = −

n − nA 1 = flo nA

1 n − nA =− fli nA

1 1 − R2 R1

(4.28)

(4.29)

y 1 1 , − R2 R1

(4.30)

lo que quiere decir que en una lente los focos son simétricos a ambos lados de la lente.

4.7.2.

Trazado de rayos

Los dibujos de rayos de un sistema óptico proporciona información acerca del tama˜ no y la ubicación de la imagen producida; para tal fin existen reglas para realizar este trazado de rayos. 4.7.2.1.

Espejos

1. Un rayo que pasa por el centro de curvatura se refleja y regresa a lo largo de la misma trayectoria. 2. Un rayo paralelo al eje o´ptico se refleja a través del foco. 3. Un rayo que pasa por el foco se refleja paralelo al eje óptico.

86


Lentes

1. Un rayo que pasa por el centro de una lente delgada continua en l´ınea recta. 2. Un rayo paralelo al eje o´ptico se transmite hacia el foco imagen. 3. Un rayo que pasa por el foco objeto se transmite paralelo al eje o´ptico.

87

Cap´ıtulo 5 Espectro visible, ondas de Sonido y efecto Doppler 5.1.

Introducci´ on

Existen diferentes tipos de ondas que se diferencian entre si por sus respectivas freceuencias, dentro de los tipos de ondas existentes dos tipo de special interés las ondas visibles y las ondas de sonido. Las ondas mecánicas con frecuencias comprendidas entre 20Hz y 20kHz, son importantes de una manera especial, debido a que estás son las causantes del fenómeno de audición, es por este motivo que se denominan ondas sonoras. La mayor parte de los sonidos que escuchamos se propagan en el aire, pero el sonido puede propagarse también en l´ıquidos y solidos Las ondas que se encuentran en el rango de longitudes de onda de 400 a 700nm es el espectro de ondas que percibe el ojo humano aunque algunas personas pueden ser capaces de percibir longitudes de onda desde 380 a 780 nm.

5.2.

Espectro electromagn´ etico

Las ondas electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz en el medio en el cual viajan, se caracterizan por su frecuencia y su longitud de onda, y se clasifican en diferentes tipos seg´ un los valores de las mismas . toda la gama de frecuencias conocidas constituye el espectro electromagn´ etico y este espectro se divide en diferentes zonas, tal como se ilustra en la Figura 5.1, considerando las caracter´ısticas comunes en las radiaciones emitidas por las mismas. por orden de longitud de onda decreciente estas o frecuencia creciente, estás zonas son:

5.2.1.

Ondas de radio

Las ondas de radio son aquellas cuyas frecuencias van desde unos pocos Hz hasta 109 Hz, o cuyas longitudes de onda van desde los kilometros hasta 30 cm; y comprenden 88


Figura 5.1: Espectro electromagnético el llamado espectro radioel´ ectrico. La energ´ıa de los fotones en está región es muy peque˜ na, alcanzando el l´ımite alto de las frecuencias de este rango 4×10−6 eV. La forma más comun de producir estás ondas es mediante la utilización de circuitos oscilantes, de hecho las corrientes de alterna de las l´ınes aléctricas las producen. Heinrich Herzt consiguió generar y detectar ondas de radio con longitudes de onda cercanas al metro por primera vez en 1887, confirmando con esto la teor´ıa de la radiación electromagnética desarrollada por Maxwell a˜ nos antes, estás ondas son utilizadas en transmisiones de radio y televisión.

5.2.2.

Microondas

El intervalo de frecuencias de esta radiación va desde 109 Hz hasta 3 × 1011 Hz, y las correspondientes longitudes de onda desde 30 cm hasta 1 mm. Un amplio rango de estas ondas atraviesan la atmósfera sin problemas, por lo que las microondas se utilizan en sistemas de comunicación como el radar y en la radioastronom´ıa. Los a´tomos de hidrógeno emiten microondas de 21 cm (1420 MHz), y la emisión proveniente del espacio permite cartografiar la distribución de hidrogeno en el Universo. Los hornos de microondas también utilizan la radiación de este tipo, con la cual calientan los alimentos, en este caso la longitud de onda es de 12.2 cm y la frecuencia es (2450 MHz). La energ´ıa de los fotones de microondas va desde 4 × 10−5 eV hasta 10−3 eV.

5.2.3.

Infrarrojo

La sección correspondiente al infrarrojo, o IR va desde aproximadamente 3 × 1011 Hz hasta alrededor de 4 × 1014 Hz o en longitudes que van desde 1mm hasta 0.78 µm. Esta region se subdivide a su vez en tres regiones, el infrarrojo cercano(0.78-2.5 µm), el infrarrojo medio(2.5-50 µm) y el infrarrojo lejano(50-1000 µm), donde el infrarrojo cercano es el que se encuentra mas cercano al espectro visible. La radiación infrarroja fue descubierta por por William Herschel en 1800 al estudiar el poder calor´ıfico de las diferentes componentes de la luz visible y comprobar, que más allá del rojo exist´ıa una radiación no apreciable al ojo humano que produc´ıa también aumento de temperatura, por esto la radiación infrarroja es aquella que producen los cuerpos cuando 89

Oscilaciones y Ondas no poseen suficiente temperatura como para irradiar en el visible. El cuerpo humano es un claro ejemplo el cual irradia con una longitud de onda alrededor de 10µm. Las cámaras de infrarrojo se utilizan para captar las diferencias de temperatura de los objetos fotografiados. Lo mismo ocurre con los satélites de infrarrojo, que proporcionan información valiosa para estudiar el clima terrestre. el control remoto del televisor y los lectores de códigos de barras funcionan también en el infrarrojo. Los rangos de energ´ıa del infrarrojo van desde 10−3 eV hasta 1.7 eV .

5.2.4.

Espectro visible

Esta compuesto por la radiación que detectan nuestros ojos y está comprendida por el espectro electromagnético que va desde 3,84×1014 Hz hasta 7,69×1014 Hz de frecuencia o desde 780 nm hasta 390 nm de longitud de onda, está franja se subdivide en rangos que corresponden a los colores que percibimos, estos rangos se ilustran en la Tabla. la luz blanca es la mezcla de todos los colores que aparecen en la tabla. Los ejemplos más comunes de objetos que producen este tipo de ondas son el sol, las estrellas y los bombillos, está luz producida se refleja y se refracta en los objetos lo que percibimos en nuestros ojos es la luz que se refleja, por tal motivo un objeto negro absorbe toda la luz y un objeto blanco refleja toda la luz. La enrg´ıa de los fotones en este rango del espectro van desde 1.7 eV hasta 3.2 eV. Color f(10−12 Hz) λ(nm) Rojo 384-482 780-622 Naranja 482-503 622-597 Amarillo 503-520 597-577 Verde 520-610 577-492 Azul 610-659 492-455 Violeta 659-769 455-390 Cuadro 5.1: Intervalos de frecuencia y longitud de onda para los colores del espectro visible

5.2.5.

Rayos ultravioleta

Cubren el intervalo que va desde 7,65 × 1014 Hz hasta 3 × 1016 Hz, que equivale al intervalo de longitudes de onda comprendido entre 390 nm y 10 nm. La zona ultravioleta o UV, se subdivide a su vez en tres regiones ultravioleta cercano(390-200 nm), ultravioleta lejano (200-100nm) y ultravioleta extremo o vació(100-10nm), o basado en su infuencia sobre la salud humana, rayos UV-A(390-315 nm), rayos UV-B(315-280 nm) y ratos UV-C(280-10 nm). Está radiación f´ ue descubierta por Johann W. Ritter en el a˜ no 1801 al observar el ennegrecimiento del cloruro de plata bajo el efecto de una componente no visible de la luz de frecuencia superior a la del violeta. la energ´ıa de los rayos ultravioleta va aproximadamente desde 3.2 eV hasta 120 eV, y es lo suficientemente elevada como para producir reacciones qu´ımicas. Los rayos UV-A los menos 90

Oscilaciones y Ondas energéticos son los culpables del bronceado de la piel y activan la s´ıntesis de la vitamina D en el interior de la misma. Los rayos más energéticos UV-A y UV-C son da˜ ninos ya que pueden romper enlaces de ADN en la piel y producir as´ı mutaciones cancer´ıgenas. Afortunadamente el ozono absorben la mayor parte de las radiaciones provenientes del Sol. Los rayos ultravioleta ionizan los a´tomos presentes en la alta atmósfera generando una capa repleta de iones existente por encima de los 80 km denominada ionosfera. Esta capa act´ ua como una una pared conductora sobre la que se reflejan las ondas electromagnéticas, lo cual es utilizado por ejemplo, para transmitir ondas a larga distancia sobre la tierra

5.2.6.

Rayos X

Se encuentra entre 3 × 1016 Hz hasta 5 × 1019 Hz o longitudes de onda desde 10 nm hasta 0.006 nm, rango que a su vez se divide en rayos X blandos (10-0.1 nm) y rayos X duros (0.1-0.006nm). los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm K roentgen en 1895 a ra´ız de sus experimentos con tubos de rayos catódicos, los llamo rayos X porque no pudo identificarlos. De hecho hasta Max Von Laue en 1982 no se confirmo que eran ondas electromagnéticas, el cual produjo patrones d interferencia al hacerlos coincidir sobre estructuras cristalinas, lo que dio lugar al nacimiento de la cristalograf´ıa de rayos X. estos rayos se producen por radiación de frenado en choques de electrones muy energéticos en superficies metálicas. La diferente capacidad de absorción de rayos X que tienen los tejidos del cuerpo humano, especialmente los huesos, que son los que más absorben estos rayos, permiten realizar las muy conocidas radiograf´ıas. La energ´ıa de estos rayos va desde 0.12 keV hasta 240 keV, que son energ´ıa lo bastante altas como para provocar da˜ nos en los seres humanos, por esto la sobreexposición a este tipo de rayos puede ser peligrosa , de igual forma con las debidas precauciones se utiliza para destruir tejidos cancer´ıgenos.

5.2.7.

Rayos Gamma

Estás ondas electromagnéticas son las que poseen mayor frecuencia por tal motivo son las que poseen mayor energ´ıa. su intervalo de frecuencias va desde 3 × 1018 Hz hasta 3 × 1022 Hz, con lo cual las longitudes de onda van desde 10−10 hasta 10−14 m, este intervalo se superpone con el de los rayos X. Los rayos X y los rayos gamma se distinguen por su forma de generación mas no por su frecuencia. los rayos gamma son producidos por sustancias radiactivas y as´ı fueron descubiertos. Fueron detectados por primera vez por Paul Villard en 1900, debido a su elevada energ´ıa causan graves da˜ nos, por tal motivo tambien se utilizan en radioterapia.

91


5.3. 5.3.1.

Ondas de Sonido Cualidades del sonido

El o´ıdo es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes propiedades de las ondas sonoras. Intensidad La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad ac´ ustica. La intensidad ac´ ustica es una magnitud que da idea de la cantidad de energ´ıa que está fluyendo por el medio como consecuencia de la propagación de la onda. Se define como la energ´ıa que atraviesa por segundo una superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a una potencia por unidad de superficie y se expresa en W/m2 . La intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitud y disminuye con la distancia al foco. La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad ac´ ustica, pero también depende de la sensibilidad del o´ıdo. El intervalo de intensidades ac´ usticas que va desde el umbral de audibilidad, o valor m´ınimo perceptible, hasta el umbral del dolor. La intensidad fisiológica o sensación sonora de un sonido se mide en decibelios (dB). Por ejemplo, el umbral de la audición está en 0 dB, la intensidad fisiológica de un susurro corresponde a unos 10 dB y el ruido de las olas en la costa a unos 40 dB. La escala de sensación sonora es logar´ıtmica, lo que significa que un aumento de 10 dB corresponde a una intensidad 10 veces mayor por ejemplo, el ruido de las olas en la costa es 1.000 veces más intenso que un susurro, lo que equivale a un aumento de 30 dB. Debido a la extensión de este intervalo de audibilidad, para expresar intensidades sonoras se emplea una escala cuyas divisiones son potencias de diez y cuya unidad de medida es el decibelio (dB). La conversión entre intensidad y decibelios sigue esta ecuación: β = 10 log10

I I0

(5.1)

donde I0 = 10 ×−12 W/m2 y corresponde a un nivel de 0 decibelios por tanto, 92

Oscilaciones y Ondas ademas de ser el umbral de audición a 1kHz. El umbral del dolor corresponde a una intensidad de 1W/m2 o 120 dB. Ello significa que una intensidad ac´ ustica de 10 decibelios corresponde a una energ´ıa diez veces mayor que una intensidad de cero decibelios; una intensidad de 20 dB representa una energ´ıa 100 veces mayor que la que corresponde a 0 decibelios y as´ı sucesivamente. La intensidad debida a un n´ umero de fuentes de sonido independientes es la suma de las intensidades individuales Tono El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el o´ıdo le asigna un lugar en la escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud f´ısica que está asociada al tono es la frecuencia. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias altas. As´ı el sonido más grave de una guitarra corresponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 Hz. No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el o´ıdo humano, el cual es sensible u ńicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20Hz y los 20kHz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda que van desde 16 metros hasta 1,6 cent´ımetros respectivamente.En general se trata de ondas de peque˜ na amplitud. Timbre El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta caracter´ıstica de cada individuo. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se considerara separadamente, dar´ıa lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es caracter´ıstica de cada instrumento y define su timbre.

93


5.4.

Efecto Doppler

Cuando una fuente de ondas y el observador de estas ondas, se encuentran en movimiento con respecto a un medio, las frecuencias de las ondas de la fuente y las ondas observadas son diferentes a este fenómeno se le llama efecto doppler, supongamos que existe una fuente de ondas en el punto A y un observador de estas ondas en el punto B, estos puntos se encuentran inicialmente a una distancia d, el problema consiste en obtener la relación entre las frecuencias emitida por la fuente y percibida por el observador. En el tiempo t = 0, cuando la distancia entre la fuente y el observador es d, la fuente emite una onda la cual le llega al observador en un tiempo t, luego de un tiempo τ la fuente emite otra onda la cual le llega al observador en un tiempo t0 , donde los tiempos t y t0 , son medidos con respecto al mismo origen de tiempos, en palabras mas simples, son medidos desde la misma hora de inicio, con esto el tiempo, que tardan en emitirse las ondas es τ − 0 = τ , mientras que el tiempo que tardan es percibirse las ondas es t0 − t = τ 0 , la primera onda emitida tarda un tiempo t viajando, mientras que la segunda onda emitida tarda un tiempo t0 − t viajando.

Figura 5.2: Efecto Doppler la distancia que recorre la primera onda antes de llegar al observador es d más lo que recorrió es observador, si tomamos v0 , como la velocidad del observador, está distancia es d + v0 t

(5.2)

distancia que es igual a la distancia recorrida por la onda vt, donde v es la velocidad de la onda, obteniéndose d + v0 t = vt

o´

94

t=

d v − v0

(5.3)

Oscilaciones y Ondas la distancia que recorre la segunda onda es d − vs t + v0 t0 , distancia que es igual v (t − t), legándose a 0

d + vt − vs t (5.4) v − v0 con lo anterior el tiempo entre las dos ondas percibidas por el observador es d − vs t + v0 t0 = v (t0 − t)

o´

t0 =

d + vt − vs t d vt − vs t − = (5.5) v − v0 v − v0 v − v0 Debido a que la frecuencia es el inverso del periodo y t = τ está expresión se puede escribir en la forma: τ 0 = t0 − t =

v − v0 (5.6) v − vs El efecto Doppler posee muchas aplicaciones. Este fenómeno se emplea en los radarares que se utilizan para medir la velocidad de los automóviles y de las pelotas en varios deportes. Tambien en la astronom´ıa utilizan el efecto Doppler de la luz de galaxias distantes para medir su velocidad y deducir su distancia. Los médicos usan fuentes de ultrasonido para detectar las palpitaciones del corazón de un feto; los murciélagos lo emplean para detectar y cazar a un insecto en pleno vuelo. Cuando el insecto se mueve más rápidamente que el murciélago, la frecuencia reflejada es menor, pero si el murciélago se está acercando al insecto, la frecuencia reflejada es mayor. f0 = f

5.5.

Ultrasonido

El ultrasonido es un tipo de onda ac´ ustica que tiene una frecuencia de onda mucho mayor a la que podemos percibir (aproximadamente 20.000 Hz). Algunos animales como los delfines lo utilizan para comunicarse y en el caso de los murciélagos, lo emplean para orientarse a través del efecto Doppler. A este fenómeno se le denomina ecolocalización. Esto funciona gracias a que las ondas tienen una frecuencia tan alta que rebotan” en los objetos y regresan a ellos prácticamente sin perder calidad, de forma que son capaces de calcular la distancia de los obstáculos por medio del tiempo que tarda la onda en regresar.

5.5.1.

Aplicaciones del ultrasonido

Los ultrasonidos se aprovechan para varios propositos dentro de los distintos campos de la ciencia:

95


Guiado y sondeo

Una de las principales aplicaciones de los ultrasonidos es la que tiene que ver con los sensores para guiado y sondeo. Aqu´ı es donde entra en juego el tema de ac´ ustica submarina, aplicado en el sondeo del fondo del mar, navegación de submarinos, detección de bancos de pescado, etc. Tambien es utilizado en los sensores de aparcamiento que traen muchos de los coches recientes para evitar golpes contra otro coche o contra una farola, por ejemplo. El funcionamiento genérico es bastante simple: se trata de emitir pulsos ultrasónicos y contar el tiempo que tardan en regresar. De este modo, conociendo la velocidad de propagación, se puede estimar la distancia recorrida por la onda (ida y vuelta al obstáculo). 5.5.1.2.

Medicina y biolog´ıa

La técnica más conocida, sin ninguna duda, es la ecograf´ıa. La idea, una vez más, es inyectar ultrasonidos a través de la piel en el organismo del paciente (baja intensidad, en torno a unos pocos miliwatios). Estos se reflejan a medida que vayan pasando de unos medios a otros y los ecos son procesados para mostrarlos finalmente por pantalla. Todos hemos visto cómo los médicos aplican un gel sobre la piel antes de producir los ultrasonidos, pues bien, este gel no es más que un material que sirve a modo de acoplo de impedancias para evitar la reflexión excesiva del ultrasonido en la propia superficie de la piel. 5.5.1.3.

Aplicaciones f´ısicas

Las aplicaciones f´ısicas de los ultrasonidos se centran, esencialmente en la medida de las propiedades elásticas y las condiciones de propagación en los sólidos. La idea aqu´ı es, simplemente, el estudio de la propagación de un ultrasonido en el material. Otras aplicaciones se centran en el estudio de explosiones, determinación de las propiedades f´ısicas de l´ıquidos y gases, localización de baches de aire (fundamental para la navegación aérea), etc.

5.6.

Infrasonido

El infrasonido es justo lo contrario al ultrasonido, es otro tipo de onda ac´ ustica que posee una frecuencia menor a la que el oido humano es incapaz de percibir (inferor a los 20 Hz). El infrasonido es utilizado por animales grandes como el elefante para comunicarse en amplias distancias sin problema alguno. Los desastres naturales como erupciones volcánicas, terremotos y tornados producen sonidos de una intensidad comparable con el sonido que hace una bomba atómica en su explosión, con la diferencia de que al estar por debajo de los 20 Hz son inaudibles al o´ıdo humano; lo que ha permitido iniciar investigaciones vulcanológicas y meteorológicas, para evitar futuros desastres.

96

Oscilaciones y Ondas La principal aplicación de los infrasonidos es la detección de objetos. Esto se hace debido a la escasa absorción de estas ondas en el medio, a diferencia de los ultrasonidos. El inconveniente es que los objetos a detectar deben ser bastante grandes ya que, a tales frecuencias, la longitud de la onda es muy grande lo cual limita el m´ınimo diámetro del objeto. Como ejemplo diremos que un infrasonido de 10 Hz tiene una longitud de onda de 34 m en el aire, luego los objetos a detectar deben tener un tama˜ no del orden de 20 m en el aire y 100 m en el agua.

5.7.

Ondas de Choque y n´ umero de Mach

Una onda de choque es una onda producida por un objeto que viaja más rápido que la velocidad del sonido en dicho medio, que a través de diversos fenómenos produce diferencias de presión extremas y aumento de la temperatura (si bien la temperatura de remanso permanece constante de acuerdo con los modelos más simplificados). La onda de presión se desplaza como una onda de frente por el medio. Una de sus caracter´ısticas es que el aumento de presión en el medio se percibe como explosiones. También se aplica el término para designar a cualquier tipo de propagación ondulatoria, y que transporta, por tanto energ´ıa a través de un medio continuo o el vac´ıo, de tal manera que su frente de onda comportamiento un cambio abrupto de las propiedades del medio. Un caso de este efecto lo podemos ver cuando un avión supera la barrera del sonido. Estos provocan ondas de choque al volar por encima de régimen transónico (M ach > 0, 8) pues aparecen zonas donde el aire supera la velocidad del sonido localmente, por ejemplo sobre el perfil del ala, aunque el propio avión no viaje a M ach > 1. Para medir la velocidad relacionada con las ondas de choque se emplea el N´ umero de M ach. Es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Dicha relación puede expresarse seg´ un la ecuación V , Vs donde V es la velocidad del objeto y Vs es la velocidad del sonido en el medio, es un n´ umero adimensional t´ıpicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Normalmente, las velocidades de vuelo se clasifican seg´ un su n´ umero de Mach en: Subsónico M < 0,7, Transónico 0,7 < M < 1,2, Supersónico 1,2 < M < 5 y Hipersónico M > 5. M=

5.8.

La audici´ on

En la sección anterior estudiamos como se produce el sonido, en está sección analizaremos como se percibe este sonido en el oido. El o´ıdo es un órgano conformado de tres partes: El o´ıdo externo, el o´ıdo medio y el o´ıdo interno 97

Oscilaciones y Ondas Las dos primeras partes el o´ıdo externo y el o´ıdo medio; son las encargadas de recoger las ondas sonoras para conducirlas al o´ıdo interno y excitar una vez aqu´ı a los receptores de origen del nervio auditivo. El o´ıdo externo comprende dos partes: el pabellón y el conducto auditivo externo. Por su parte, el o´ıdo medio está formado por un conjunto de cavidades llenas de aire, en las que se considera tres importantes porciones: la Figura 5.3: Estructura general del o´ıdo caja del t´ımpano conformada por tres huesecillos; el martillo, el yunque y el estribo y la humano trompa de Eustaquio ´ıntimamente relacionada con las v´ıas aéreas superiores (rinofaringe). El o´ıdo interno también tiene su complejidad y está comprendido por el laberinto o´seo y membranoso. De este u ´ltimo nacen las v´ıas nerviosas ac´ usticas y vestibulares. El laberinto, cuya función principal es la de mantener la orientación espacial y el equilibrio estático y dinámico del individuo, consta de tres partes: el vest´ıbulo, los conductos semicirculares y el caracol. Una imagen general del o´ıdo se ilustra en la figura 5.3 El proceso de audición demora segundos desde que se genera el sonido hasta llegar al cerebro de la siguiente manera: En primer lugar, las ondas sonoras son recogidas por el pabellón auricular. Luego esas ondas son transmitidas a través del conducto auditivo externo hasta la membrana timpánica, la cual separa al o´ıdo externo del o´ıdo medio. La membrana timpánica vibra en respuesta a los cambios de presión del aire. Esta vibración la pone en contacto con los huesecillos martillo, yunque y estribo. Los huesecillos trasladan esta se˜ nal hasta la cóclea o caracol en el o´ıdo interno y en la cóclea, las células auditivas las convierten en impulsos nerviosos que van al cerebro por el nervio auditivo. Finalmente, los impulsos nerviosos son interpretados en el centro auditivo del cerebro.

5.9.

Ondas de luz

las ondas electromagnéticas, que pueden ser detectadas por el ojo humano constituyen el espectro visible, este espectro va desde el rojo (λ ≈ 780nm) hasta el violeta (λ ≈ 384nm)

5.10.

El ojo humano

El ojo humano está constituido por varios componentes básicos que se ilustran en la figura 5.4

98


Figura 5.5: Corte lateral de la retina y sus componentes. La luz entra al ojo a través de la c´ ornea, que es la estructura transparente del ojo, por detras de la cual existe un l´ıquido acuoso llamado humor acuoso. La cantidad de luz que entra al ojo se controla con la pupila, cuyo tama˜ no se puede variar por contracción o expansión de una membrana denominada iris, el tama˜ no de la pupila puede variar entre 2 mm (para iluminación intensa) y 8 mm (para situaciones de poca usculos ciliares conFigura 5.4: Estructura general del ojo hu- iluminación).Los m´ trolan la curvatura del cristalino. La retimano na(fotosensible) está constituida por receptores, denominados conos y bastones. La retina que está formada por tres capas de células nerviosas, traduce la se˜ nal luminosa en se˜ nales nerviosas, las células fotosensibles (conocidas como conos y bastones) forman la parte trasera de la retina (es decir: La más alejada de la apertura del ojo). Por eso, la luz debe atravesar antes las otras dos capas de células para estimular los conos y los bastones. La capa media de la retina contiene tres tipos de células nerviosas: Bipolares, horizontales y amacrinas. La conexión de los conos y bastones con estos tres conjuntos de células es complejo, pero las se˜ nales terminan por llegar a la zona frontal de la retina, para abandonar el ojo a través del nervio óptico. Este dise˜ no inverso de la retina hace que el nervio o´ptico tenga que atravesarla, lo que da como resultado el llamado punto ciego o disco o´ptico. En la retina solo se encuentran tres tipos de conos sensibles al colo, los azules, 99

Oscilaciones y Ondas los verdes y los rojos, los cuales se estimulan por la luz, los televisores utilizan este principio, para colocar solo puntos rojos verdes y azules, por ejemplo el color amarillo es realmente una combinación entre rojo y verde Una caracter´ıstica fundamental de este sistema es que la potencia de la lente es variable, cosa que el ojo lleva a cabo cambiando la curvatura del cristalino, mediante los m´ usculos ciliares. Cuando el ojo está en reposo (es decir, cuando el cristalino no está acomodando, está en posición de reposo), la potencia de la lente es la adecuada para que sobre la retina se forme una imagen enfocada de los objetos situados en el infinito. La potencia del ojo en esta situación de reposo es de aproximadamente, 58 dioptr´ıas. Cuando el cristalino acomoda al máximo, es decir, cuando su potencia es máxima, se forma una imagen enfocada de la retina de objetos situados a, aproximadamente, 25 cm (esta distancia depende de la edad). Es decir, el ojo puede incrementar su potencia hasta llegar a 62 dioptr´ıas (amplitud de acomodación). As´ı pues, el ojo humano puede ver enfocadas imágenes de objetos situados entre un punto alejado (punto remoto) y un punto cercano (punto próximo). Un ojo es emétrope cuando el punto remoto está en el infinito y el punto cercano está a 25 cm. Un ojo am´ etrope, que es aquel en el que se presentan defectos en la visión, defectos que pueden ser causados por diferentes causas, dentro de los defectos más comunes del ojo se encuentran la miop´ıa, la hipermetrop´ıa, la presbicia y el astigmatismo. La distancia a la que se encuentra el punto próximo depende fuertemente de la edad: en los ni˜ nos es menor y con la edad va aumentando debido a la pérdida de flexibilidad del cristalino. A partir de los 35 o 40 a˜ nos el punto próximo se aleja de forma sensible (es decir, la amplitud de acomodación disminuye. A este fenómeno se le conoce como presbicia (popularmente vista cansada”). Nótese que la presbicia afecta u ńicamente a la localización del punto próximo (o a la amplitud de acomodación) pero no a la localización del punto remoto). Un ojo miope es aquél en el que el punto remoto no se encuentra en el infinito, sino a una distancia finita. Como la amplitud de acomodación no var´ıa respecto al ojo emétrope (salvo que también haya presbicia), el punto próximo se encuentra, para un miope, más cercano al ojo que en el caso de un emétrope. En resumen, lo que ocurre en un ojo miope es que hay un exceso de potencia. El miope tiene una visión muy defectuosa de lejos pero su visión es buena de cerca. La forma de corregir este defecto es a˜ nadiendo lentes divergentes (de potencia negativa) que disminuyan la potencia del sistema. De esta forma, se alejan del ojo tanto el punto remoto (hasta el infinito) como el punto próximo. La hipermetrop´ıa es justamente lo contrario que la miop´ıa: el ojo hipermétrope no tiene suficiente potencia. Esto se traduce en un alejamiento de los puntos remoto y próximo. As´ı, el punto próximo pasa a estar más alejado que en el emétrope y el punto remoto pasa a ser virtual (situado detrás del ojo. As´ı, el ojo hipermétrope tiene buena visión de lejos pero mala visión de cerca. Nótese que los s´ıntomas son parecido a los de la presbicia pero no es lo mismo ya que la amplitud de acomodación de un hipermétrope es normal, algo que no ocurre en el ojo présbita. La forma de corregir un ojo hipermétrope es a˜ nadiendo lentes convergentes (de potencia positiva) de manera que se acercan tanto el punto remoto como el próximo. 100

Oscilaciones y Ondas Un ojo astigmático es aquél que no tiene simetr´ıa de revolución, es decir, es un ojo que no tiene la misma potencia para la dirección horizontal que para la vertical. El astigmatismo puede ser miópico (exceso de potencia en una dirección) o hipermetrópico (lo contrario). Se corrige a˜ nadiendo lentes cil´ındricas que devuelvan la simetr´ıa de revolución.

5.11.

Instrumentos o ´pticos

Existen instrumentos que ayudan a ver objetos peque˜ nos (de visión cercana) e instrumentos que ayudan a ver objetos grandes pero lejanos (de visión lejana), dentro de los instrumentos de visión cercana más comunes se encuentran el microscopio simple o lupa y el microscopio compuesto y dentro de los objetos lejanos más comunes se encuentran los telescopios, que pueden ser de reflexión y de refracción o anteojos.

5.11.1.

Microscopio simple o lupa

Es una lente convergente.(figura 5.6). Se usa de forma que la imagen esté sin invertir y para ello es necesario que la imagen sea virtual, lo que se consigue situando el objeto entre el foco objeto de la lente y la lente misma (en caso contrario, esto es si el objeto está más alejado de la lente que su foco objeto, la imagen es real e invertida).

Figura 5.6: Esquema general de una lupa. Para calcular el aumento angular de la lupa, hay que definir claramente las condiciones de observación. Para ello, supondremos inicialmente el objeto situado en el punto 101

Oscilaciones y Ondas próximo del ojo desnudo (a 25 cm, distancia que representaremos por a0 ). En este caso, el ángulo subtendido por el objeto (supongamos que de altura h) es h h = 0 (5.7) 25cm a Ahora se sit´ ua la lupa de forma que la imagen virtual proporcionada por ésta este justamente sobre el punto próximo, para lo que hay que modificar la distancia objeto, que ahora tomará el valor de a (ver figura 10.5) y supongamos que el ojo está pegado a la lupa. Ahora, el ańgulo subtendido por la imagen es: tanϕ =

h h0 (5.8) = 0 a a Por tanto, el aumento angular (se debe comparar el ańgulo subtendido por el objeto cuando está situado en el punto próximo con el subtendido por la imagen cuando está situada también en ese punto): tanϕ0 =

tanϕ0 a0 = tanϕ a donde a se puede calcular de la ecuación para una lente como A=

1 1 a0 f 1 − 0 = ⇒a= 0 a a f a +f donde finalmente el aumento es a0 + f a0 =1+ f f para valores peque˜ nos de f este aumento se convierte en A=

a0 A= f

5.11.2.

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Microscopio compuesto

Es un instrumento que produce una imagen virtual y amplificada de un objeto peque˜ no y consta de dos lentes convergentes, el objetivo y el ocular. El objetivo es de corta distancia focal, el ocular posee una distancia focal mayor que la del objetivo. La distancia entre ambos es mucho mayor que los centros ópticos y por lo general es fija. El objeto se coloca a una distancia mayor a la distancia focal, para producir una imagen real e invertida I1 , el ocular que act´ ua como una lupa simple, produce la imagen I2 , que es una imagen virtual y amplificada de I1 . El valor de so1 es muy cercano al valor de fob y el valor de si1 es muy cercano a L, por lo tanto el aumento del objetivo es: Aob = De igual forma el aumento del ocular es: 102

L fob

(5.13)


Figura 5.7: Esquema general de un microscopio compuesto.

Aoc =

25cm , foc

(5.14)

de está forma el aumento total del sistema es A = Aob Aoc =

25cmL fob foc

(5.15)

Existe una distancia m´ınima entre los puntos del objetivo que se pueden distinguir, esto constituye el poder resolvente que el máximo aumento u ´til pues para un mayor aumento no se puede distinguir la imagen, este poder de resolución es: λ , (5.16) 2nsenθ donde λ es la longitud de onda y n es el ´ındice de refracción del medio en el cual se encuentra el objeto y θ es el ángulo qué un rayo marginal forma con el eje del microscopio para el caso del ojo el poder resolvente es de alrededor de 10−2 cm. Los objetivos de un microscopio nunca constan de un solo lente, como se supuso en el análisis anterior, por el contrario está formado por un sistema de lentes de vidrios dise˜ nados para eliminar laa aberraciones y obtener una imagen lo más semejante posible al objeto. Con la finalidad de lograr un mayor aumento se deja un peque˜ no espacio entre la primera lente del objetivo y el objeto en el cual se dispone un liquido que por lo general es aceite de cedro y algunas veces agua. cuando no se utiliza ning´ un liquido se dice seco a este tipo de objetivo se le llama de inmersión. los oculares de un microscopio tampoco constan de una sola lente por lo general constan de dos lentes que pueden ser R=

103

Oscilaciones y Ondas de varios tipos la mas com´ un es la de tipo ocular negativo de Huygens constituido por dos lentes plano-convexas con sus caras planas hacia el ojo del observador.

5.11.3.

Telescopio

Los telescopios se emplean para formar imágenes cercanas de objetos que se encuentra lejos 5.11.3.1.

Telescopios de reflexi´ on

Dentro de los telescopios de este tipo se encuentran el telescopio astronómico, el telescopio terrestre y el telescopio de Galileo, los cuales se ilustran en la figura . El telescopio astronómico consta de un objetivo formado por una lente convergente(plano convexa ) de gran distancia focal fob , y de un objetivo que es un sistema convergente de distancia focal foc ; debido a que el objeto AB se encuentra a una distancia muy grande, comparada con la distancia focal, la imagen A0 B 0 se ubica casi sobre el foco de este. esta imagen es real, invertida y muy peque˜ na, y funciona como objeto para el ocular que 00 00 produce la imagen A B , que es virtual y mayor. La posición ocular es variable para que el observador pueda situarlo de tal forma que la imagen definitiva se encuentre a la m´ınima distancia de visión a, lo que se conoce como enfocado del instrumento

Figura 5.8: Esquema general de un telescopio astronomico. El aumento de un telescopio se define como la relación entre el diámetro aparente β del objeto visto a través del instrumento y su diámetro aparente α cuando se le observa a simple vista y puede calcularse por la expresión A=

fob foc

104

(5.17)

Oscilaciones y Ondas El telescopio utilizado para observaciones terrestres, por tal motivo es conveniente que la imagen sea derecha, por tal motivo a estos se les coloca un sistema de lentes entre el objetivo y el ocular para enderezar la imagen, este sistema es llamado inversor. el tipo más usual de sistema inversor está constituido por dos lentes L1 y L2 ambas convergentes de la misma distancia focal, ubicadas de tal forma que el centro óptico O2 de L2 se ubique en el foco de la imagen de L1

Figura 5.9: Esquema general de un telescopio terrestre. Otro tipo de telescopio de refracción es el de Galileo es cual está conformado por una lente convergente de distancia focal grande como objetivo y el ocular es una lente divergente de distancia focal peque˜ na comparada con la del objetivo.

v

v

Figura 5.10: Esquema general de un telescopio Galileo. En este caso la imagen A0 B 0 producida por el objetivo es real peque˜ na e invertida 105

Oscilaciones y Ondas y situada en el foco del mismo, está imagen funciona como objeto virtual para el ocular que produce la imagen final A00 B 00 , que resulta ser virtual derecha y cercana, este telescopio es muy u ´til por cuanto no es muy largo, estos se construyen formando una combinación de dos llamada binocular. Los telescopios de reflexión se construyen utilizando un espejo parabólico el cual concentra todos los rayos en el punto focal, antes de que los rayos lleguen al foco se les coloca un espejo que refleja los rayos para su posterior observación, las dos variantes que se ilustran en la Figura 5.11 y 5.12 corresponden a telescopios de reflexión. En el telescopio de Newton es espejo que refleja los rayos que viajan al foco es plano, que forma un ańgulo de 45o y el ocular se encuentra en un lado del telescopio.

Figura 5.11: Esquema general de un telescopio de Newton. En el telescopio de Cassegrain el espejo reflector corresponde a un espejo esferico convexo y el ocular se encuentra en el extremo final del telescopio.

Figura 5.12: Esquema general de un telescopio de Cassegrain.

5.11.4.

El proyector

Un proyector es un instrumento que se utiliza para producir una imagen aumentada y real de un objeto peque˜ no, transparente u opaco. Un proyector está compuesto por un sistema de iluminación, por un espejo curvo que se encarga de reflejar la luz emitida, de un condensador formado por dos lentes convergentes, lo que ocasiona una luz intensa sobre el objeto AB, el cual se coloca invertido para producir una imagen real y amplificada A0 B 0 , por la lente objetivo. Cuando la pantalla se encuentra a una distancia fija se debe mover el objetivo, a esta operación se le llama enfocado. 106


Figura 5.13: Esquema general de un proyector.

5.11.5.

El prisma

Un prisma es un medio transparente limitado por dos caras planas que se cortan en una arista formando un ángulo 2A, como el que se ilustra en la figura 5.14 En la figura 5.14 se muestra la trayectoria seguida por dos rayos a través del prisma, entre los cuales se encuentra el rayo OCDE, en este caso se ha considerado el ´ındice de refracción del prisma mayor al medio que lo rodea, el cual en el caso de ser el aire es 1, esto es (n > 1). El rayo en consideración sufre dos refracciones sucesivas en C y D, resultando el rayo emergente DE desviado hacia la base.

Figura 5.14: Configuración de un prisma Si el ´ındice de refracción del prisma es menor que el del medio que lo rodea, el rayo emergente se desv´ıa hacia el vértice. Se llama desviación d al ańgulo HGE, que forma 107

Oscilaciones y Ondas el rayo incidente OC y el emergente DE. Cuando la luz proveniente del objeto O, el haz emergente parece provenir de un punto I, que es la imagen virtual de O. Aplicando la ley de refracción a la cara de entrada, con θi el ángulo de incidencia y θt el ángulo de transmisión. senθi = nsenθt

(5.18)

Sumando los ańgulos del triángulo CDF , obtenemos 2A = θt + θi0

(5.19)

Aplicando la ley de refracción a la cara de salida, con θi0 como el ángulo de incidencia y θt0 como el ańgulo de transmisión nsenθi0 = senθt0

(5.20)

Sumando los ańgulos referentes al triángulo CDG, obtenemos d = θi + θt0 − 2A

(5.21)

Para cada ańgulo de incidencia existe una desviación d del mismo, para calcular la m´ınima desviación se toma la derivada dd/dθi = 0. en este caso se debe cumplir que θi = θt0 y θi0 = θt , con lo cual el valor minimo de la desviación es dmin +A (5.22) 2 de lo cual utilizando la ecuación (5.18), donde θt = A, se puede calcular el indice de refracción del prisma midiendo la desviación minima. dmin = 2θi − 2A

o´

θi =

!

dmin + A = nsenA sen 2

o´

n=

sen

dmin 2

+A

(5.23)

senA

Ejemplo 6 Un prisma triangular de vidrio con ángulo en el vértice 2A = 60o tiene un ´ındice de refracci´ on de n = 1,5 ¿Cual es el m´ınimo ángulo de incidencia θ1 en el que un rayo de luz puede emerger desde el otro lado?. Para que no exista rayo de luz al otro lado, el rayo que va del prisma al aire debe sufrir una reflexión total, luego entonces utilizando la ley de Snell senθ1 −1 senθ1 = nsenθ2 ⇒ θ2 = sen n Además de la construcción geométrica θ3 = 2A − θ2 = 2A − sen−1

´ Figura 5.15: Angulo m´ınimo que en un prisma el rayo emerja del otro lado

senθ1 n

Para la reflexión interna total senθ1 −1 nsenθ3 = 1 ⇒ nsen 2A − sen =1 n

108


o

−1

60 − sen

5.12.

senθ1 1,5

−1

= sen

1 1,5

⇒ θ1 = 27,9o

Dispersi´ on

La dispersión es un fenómeno en el cual la luz blanca se descompone en varios colores al refractarse, este fenómeno fue descubierto por Newton, por ejemplo al hacer incidir un rayo de luz blanca sobre un prisma, por el otro lado se obtiene el espectro visible, este fenómeno es causado porque el ´ındice de refracción de un material depende de la longitud de onda de la luz que se propaga, es decir que cada color que compone(longitud de onda) la luz blanca tiene su propio ´ındice de refracción. Para conocer la dependencia del ´ındice de refracción con la longitud de onda o la frecuencia se debe recordar que: √

r µr

(5.24)

r = 1 + χe ,

(5.25)

n=

Para medios no magnéticos µr = 1, pero

donde χe es la susceptibilidad eléctrica que describe la respuesta de un medio a la acción de un campo eléctrico externo, la cual está relacionada con las propiedades de los átomos y moléculas en el medio y además dependen de si las moléculas de una sustancia tienen o no momento dipolar magnético permanente, si no lo poseen χe =

N e 2 X Fi 0 me i ωi2

(5.26)

donde ωi , representa cualquier frecuencia del espectro electromagnético y la suma se extiende a todas las frecuencias,N es el numero de átomos por unidad de volumen, e es la constante del electrón, me es la masa del electrón y las cantidades Fi son las intensidades de oscilación del átomo, cuando se toma en cuenta el amortiguamiento está susceptibilidad se convierte en: χe =

N e 2 X Fi 0 me i ωi2 − ω

(5.27)

donde ω es la frecuencia con la cual oscila el campo oscilatorio, de donde n=

v u u t1 +

N e2 X Fi 0 me i ωi2 − ω

(5.28)

Suponiendo que solo existe una frecuencia atómica ωo se tiene n=1+

N e2 1 2 20 me ωi − ω 109

(5.29)

Oscilaciones y Ondas Si ω << ωo llegamos a N e2 ω2 1 + n=1+ 20 me ωo2 ωo2

!

(5.30)

que puede ser escrito como: n=A+ donde

B λ2

(5.31)

N e2 2π 2 c2 N e2 A=1+ y B= 20 me ωo2 0 me ωo4

La dispersión se define como la variación del ángulo d que se desv´ıa el rayo con respecto a su longitud de onda, esto es D=

dd dn dd = dλ dn dλ

(5.32)

Para el caso del prisma D=

2senA cos

1 d 2 mmin

(5.33)

+A

La luz blanca se debe a la superposición en la retina de las radiaciones de diversos colores (o longitudes de onda), de modo que el ojo humano tiene el poder de s´ıntesis de colores, este poder permite reconocer los colores intermedios, esta sensación de cualquier color se puede producirse por la superposición de tres colores primarios Rojo(R), Verde(V) y Azul(A), de modo que cualquier color puede simbolizarse por la expresión C = xR + yV + zA donde x, y y z simbolizan las intensidades de cada color.

5.13.

Efecto Doppler magn´ eticas

de

las

ondas

electro-

El efecto Doppler de ondas electromagnéticas es diferente debido a que las ondas electromagnéticas no implican movimiento de materia, además, su velocidad de propagación es c para todos los observadores, independientemente de sus movimiento relativos. Para estudiar el efecto Doppler de las ondas electromagnéticas se debe realizar un peque˜ no estudio de las transformaciones de Lorentz por tal motivo, estudiaremos las transformaciones de Lorentz

110


5.13.1.

Transformaci´ on de Lorentz

Figura 5.16: Transformaciones de Lorentz Considere que para t = 0, ocurre un destello de luz en un lugar del espacio, las distancias que recorre este destello de luz para los dos observadores es, donde se considera que la velocidad de la luz para ambos observadores es la misma, esto se conoce como invarianza de la velocidad de la luz, además r = ct y r0 = ct0 , donde t y t0 , son los tiempos que tarda la luz en llegar a los dos observadores r2 = x2 + y 2 + z 2 = c2 t2

(5.34)

r02 = x02 + y 02 + z 02 = c2 t02

(5.35)

donde c, es la velocidad de la luz, en el caso de ser x0 = 0, entonces x = vt, lo que implica que x0 es proporcional a x − vt, lo cual se puede escribir como x0 = k (x − vt), comparando con está ecuación, se puede tomar la transformación de los tiempos como t0 = a (t − bx), para las otras coordenadas permanecen invariables, el conjunto de transformaciones, conocidas como transformaciones de Lorentz es: y0 = y z0 = z x0 = k (x − vt) t0 = a (t − bx)

(5.36)

Remplazando (1.9) en (1.8) y agrupando los términos semejantes tenemos

k 2 − b2 a2 c2 x2 − 2 k 2 v − ba2 c2 xt + y 2 + z 2 = a2 − k 2 v 2 /c2 c2 t2 111

(5.37)

Oscilaciones y Ondas Comparando la ecuación (1.10) con (1.7) se obtiene el sistema de ecuaciones k 2 − b 2 a2 c 2 = 1 k 2 v − ba2 c2 = 0 a2 − k 2 v 2 /c2 = 1

(5.38) (5.39)

La solución de este sistema de ecuaciones es k=a= q

1 1−

v 2 /c2

y

b = v/c2

(5.40)

Remplazando estas soluciones en el conjunto de transformaciones (1.9), la transformación de Lorentz, compatible con la invarianza a la velocidad de la luz es x − vt x0 = q 1 − v 2 /c2 y0 = y z0 = z t − vx/c2 t0 = q 1 − v 2 /c2

(5.41)

Para obtener las transformaciones de las velocidades se derivan estas ultimas obteniéndose la transformación de velocidades como

Vx00 =

Vx − v 1 − vVx /c2 q

Vy00 =

Vy 1 − v 2 /c2 1 − vVx /c2

(5.42)

q

Vz00 =

Vz 1 − v 2 /c2 1 − vVx /c2

Otro parámetro de gran importancia es el momentum de una part´ıcula, el cual se define como: p~ = m~v

(5.43)

donde m, es la masa la cual depende de la velocidad con la cual se mueva la part´ıcula, en la forma m0 m= q (5.44) 1 − v 2 /c2 112

Oscilaciones y Ondas La fuerza, es la variación del momentum con respecto al tiempo esto es d (m~v ) d~p = F~ = dt dt De donde la energ´ıa cinética se puede definir como Ek

Z v

Z v d (m~v ) = F ds = ds = vd (m~v ) dt 0 0 0 Z v Z v m0 v 2 m0 vdv q mv 2 − mvdv = q − 0 0 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2

Z v

m0 v 2 q

(5.45)

(5.46)

q

1 − v 2 /c2

+ m0 c2 1 − v 2 /c2 − m0 c2 = mc2 − m20

La energ´ıa total es la suma de la energ´ıa cinética y la energ´ıa en reposo E = Ek + m0 c2 = mc2

(5.47)

Con esto y la definición de p = mv, se tiene ~v = de donde

c2 p~ E

q

E = c m20 c2 + p2

(5.48) (5.49)

De la definición anterior de energ´ıa p2 − E 2 /c2 = −m20 c2

(5.50)

planteando las ecuaciones para los dos observadores tenemos: p2x + p2y + p2z − E 2 /c2 = −m20 c2 02 02 02 2 p02 = −m20 c2 x0 + py 0 + pz 0 − E /c

(5.51)

Igualando estas ecuaciones, se tiene 02 2 02 02 p2x + p2y + p2z − E 2 /c2 = p02 x0 + py 0 + pz 0 − E /c

(5.52)

Las ecuaciones anteriores son similares a las ecuaciones (1.7) y (1.8), realizando las comparaciones adecuadas se llega a las transformaciones para el momentum px − vE/c2 p0x0 = q 1 − v 2 /c2 p0y = py p0z = pz E − vpx E0 = q 1 − v 2 /c2 113

(5.53)

Oscilaciones y Ondas de las transformaciones para el momentum se pueden obtener las transformaciones para la fuerza como: Fx0 0 =

dp0x0 dp0x0 dt dpx = Fx = = dt0 dt dt0 dt

(5.54)

Realizando los mismos cálculos para las otras fuerzas se tiene Fx0 0 = Fx Fy0 0 = q Fz00 = q

5.13.2.

1 1 − v 2 /c2 1

1 − v 2 /c2

Fy

(5.55)

Fz

Transformaci´ on de las frecuencias

Para un observador en un sistema inercial de referencia, una onda electromagnética plana y armónica puede describirse por la función ψ0 sen (kx − ωt). Para otro observador las coordenadas x y t, deben cambiarse por x0 y t0 dadas por la ecuación (1.3), en este caso la onda plana armónica es ψ00 sen (k 0 x0 − ω 0 t0 ). El principio de relatividad exige que kx−ωt sea invariante cuando pase de un observador inercial a otro, con lo que se tiene la igualdad kx − ωt = k 0 x0 − ω 0 t0

(5.56)

Remplazando (1.3) se llega a

kx − ωt = k 0 q

t − vx/c2 k 0 − ω 0 v/c2 k0v + ω0 − ω0 q =q x− q t 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 x − vt

(5.57)

comparando y recordando que k = ω/cse obtiene 1 − v/c ω0 = ω q 1 − v 2 /c2

(5.58)

Expresión que relación la frecuencia medida por el observador y la frecuencia emitida por la fuente.

114

Cap´ıtulo 6 Interferencia 6.1.

Introducci´ on

Cuando tenemos dos movimientos ondulatorios que coinciden en el tiempo y el espacio, estos movimientos ondulatorios se suman(superponen), produciendo el fenómeno de la interferencia; que puede ser constructiva o destructiva. Es importante mencionar que las fuentes que los producen deben ser coherentes, es decir mantienen una fase constante, una con respecto a la otra y además ser monocromáticas, es decir poseer una sola frecuencia. Un ejemplo de fuentes coherentes son los altavoces de un equipo de sonido puesto que son alimentados por el mismo amplificador, un ejemplo de fuentes coherentes son dos bombillas.

6.2.

Interferencia producida por dos fuentes sincronicas

Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 , como las ilustradas en la figura 6.1, que oscilan con la misma frecuencia ψ1 = ψ01 sen (ωt − kr1 + φ1 )

(6.1)

ψ2 = ψ02 sen (ωt − kr2 + φ2 )

(6.2)

donde r1 y r2 son las distancias desde cualquier punto P hasta las fuentes S1 y S2 . La amplitud producida por las fuentes depende de r1 y r2 . En el punto P la amplitud resultante es la suma de los dos movimientos ondulatorios los cuales consideraremos escalares. ψ = ψ1 + ψ2 = ψ01 sen (ωt − kr1 + φ1 ) + ψ02 sen (ω = t − kr2 + φ2 ) = ψ0 sen (ω = t + φ) (6.3) 115


Figura 6.1: Interferencia producida por dos fuentes sincronicas Cuyas gráficas fasoriales se ilustran en la figura 6.2 En este caso la amplitud resultante se puede calcular aplicando el teorema del coseno como: ψ0 =

q

2 2 ψ01 + ψ02 + 2ψ01 ψ02 cos δ

(6.4)

Figura 6.2: Gráficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sincronicas donde δ = k (r1 − r2 ) + (φ1 − φ2 ) tanφ =

ψ01 sen (−kr1 + φ1 ) + ψ02 sen (−kr2 + φ2 ) ψ01 cos (−kr1 + φ1 ) + ψ02 cos (−kr2 + φ2 )

(6.5)

Observando la ecuación (6.3), se puede notar que cuando δ = 2nπ el cos 2nπ = 1, lo que convierte la amplitud del movimiento resultante en: 116


ψ0 = ψ01 + ψ02

(6.6)

es decir que en este caso las amplitudes se suman, por lo tanto la interferencia es constructiva, por otra parte cuando δ = (2n + 1)π, el cos(2n + 1)π = −1 y la amplitud del movimiento resultante se convierte en ψ0 = φ01 − ψ02

(6.7)

es decir que en este caso las amplitudes se restan, generando una interferencia destructiva, para cada uno de los casos anteriores n = 0, ±1, , ±2, ±3, · · ·, recordando que 2π , δ se convierte en: k= λ 2π (r1 − r2 ) + (φ1 − φ2 ) = λ

(

2πn Interferencia Constructiva , (6.8) (2n + 1) π Interferencia Destructiva

que puede ser escrito en la forma (

r1 − r2 =

λ nλ − 2π (φ2 − φ1 ) Interferencia Constructiva (6.9) λ (φ2 − φ1 ) Interferencia Destructiva (2n + 1) λ2 − 2π

Cuando las fuentes se encuentran en fase, es decir φ1 = φ2 , esta condición para la interferencia constructiva y destructiva se convierte en: (

r1 − r2 =

6.3.

nλ Interferencia Constructiva , (6.10) λ (2n + 1) 2 Interferencia Destructiva

Experimento de la doble rendija de Young

Una forma de producir dos fuentes, las cuales producen interferencia entre ellas es el experimento de la doble rendija de Young. este experimento realizado por Thomas Young y consiste en dos peque˜ nos agujeros separados una distancia d, y una pantalla colocada a una distancia L de los agujeros. Los agujeros son iluminados por por una fuente puntual S, donde los agujeros S1 y S2 se comportan como fuentes puntuales secundarias, las cuales interfieren en el espacio para producir interferencia constructiva en algunos puntos y destructiva en otros. Para estudiar lo que sucede con la interferencia de estas fuentes en un punto P , del espacio debemos calcular r1 − r2 y utilizar los criterios descritos por la ecuación (6.9). Consideremos un punto P , que se encuentra sobre la pantalla de observación y además la l´ınea que une el centro de los dos agujeros forma con el punto P forma un ańgulo θ con la horizontal. Luego entonces de la simetr´ıa descrita en la figura tenemos r1 − r2 = d senθ

o´

δ= 117

2π d senθ + (φ1 − φ2 ) λ

(6.11)


Figura 6.3: Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young En este caso las fuentes se encuentran en fase (φ1 = φ2 ), obtenemos las condiciones para la interferencia constructiva (puntos brillantes) y para la interferencia destructiva (puntos oscuros) (

d senθ =

nλ Puntos Brillantes (6.12) (2n + 1) λ2 Puntos Oscuros,

de la ecuación (6.12), se pueden obtener los ángulos para los cuales se obtinen puntos brillantes y puntos oscuros en la pantalla como:

θ=

     

sen

    

sen−1

!

nλ Puntos Brillantes d ! (6.13) (2n + 1) λ Puntos Oscuros, 2d

−1

para calcular la distancia desde el centro para la cual se forman los puntos brillantes y oscuros tenemos que y = Ltanθ, que se convierte en:      

y=    

!!

−1

Ltan sen

Ltan sen−1

nλ Puntos Brillantes d !! (6.14) (2n + 1) λ Puntos Oscuros, 2d

para ángulos peque˜ nos senθ ∼ = tanθ, lo que conyeva a

118


nλ Puntos Brillantes d y= (6.15) (2n + 1) λ    L Puntos Oscuros. 2d La amplitud de los puntos en la pantalla se puede calcular utilizando la ecuación (6.4), tomando ψ01 = ψ02 tenemos:    

L

q 1 2 2 2ψ01 + 2ψ01 cos δ = ψ01 2 (1 + cos δ) = 2ψ01 cos δ, 2 2πd senθ donde δ = λ , con lo cual la amplitud es:

ψ0 =

q

(6.16)

!

πd senθ ψ0 = 2ψ01 cos , λ

(6.17)

La intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de la amplitud, es decir !

I α

2 4ψ01

πd senθ , λ

2

cos

(6.18)

o´ !

2

I = I0 cos

6.4.

πd senθ , λ

(6.19)

Biprisma de Fresnel

Otra forma de producir dos fuentes coherentes en este caso virtuales es utilizando el biprisma de Fresnel ilustrado en la figura 6.4, el cual esta compuesto por dos prismas P1 y P2 . la luz proveniente de la fuente S, se refracta en cada prisma lo que genera dos haces coherentes, S1 y S2 , separados una distancia a. la distancia de estas fuentes hasta la pantalla de observación es D, de donde las distancias r1 y r2 son:

r12 = D2 + y −

a 2

2

,

(6.20)

y a 2 =D + y+ . 2 Combinando las ecuaciones (6.20 y 6.21) tenemos que: r22

2

r12 − r22 = (r1 + r2 ) (r1 − r2 ) = 2ya

(6.21)

(6.22)

En general la distancia y es mucho más peque˜ na que r1 , r2 y D, por lo tanto ∼ ∼ r1 + r2 = 2r1 = 2D, luego entonces:

119


Figura 6.4: Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel

2ya (6.23) D Remplazando este resultado en la ecuación (6.10), obtenemos la condición par la interferencia tanto constructiva como destructiva en un biprisma de fresnel r1 − r2 =

nDλ Interferencia Constructiva 2ya 2a , (6.24) = (2n + 1) Dλ  D   Interferencia Destructiva 4a    

6.5.

Interferencia por reflexi´ on en laminas delgadas

Otro ejemplo del fenómeno de interferencia es el observado en láminas delgadas, un ejemplo de este es cuando observamos colores sobre una mancha de aceite sobre un charco de agua, para estudiar este tipo de interferencia consideremos la lámina delgada ilustrada en la figura 6.5. El rayo AB se refleja y se transmite en B el rayo transmitido es el rayo BC, el cual a su vez se refleja en el punto C produciendo el rayo CD, este rayo disminuye su amplitud y se encuentra en el punto D, con el rayo F D e interfieren debido a la diferencia entre los tiempos de los rayos, estos rayos se encuentran inicialmente en B y F 0 respectivamente, el segundo rayo recorre la distancia F 0 D, que de acuerdo con el esquema es F 0 D = BDsenθi ,

y

tanθt =

BD/2 d

(6.25)

llegando a F 0 D = 2dsenθi tanθt 120

(6.26)


Figura 6.5: Esquema de interferencia producida por una lámina delgada Utilizando la ley de Snell senθi = nsenθt , la distancia recorrida por el rayo F 0 D se convierte en: F 0 D = 2dnsenθt tanθt

(6.27)

El tiempo que tarda en ir el rayo F 0 D, desde el punto F 0 , hasta el punto D, se obtiene dividiendo la distancia entre la velocidad, que en este caso es igual a la velocidad de la luz en el vació c: 2dnsen2 θt F 0D = (6.28) c cos θt La distancia recorrida por el otro rayo es el doble de la distancia BC, ya que el ańgulo con el cual se refleja un rayo es igual al incidente generando con esto que la distancia BC sea igual a la distancia CD t1 =

s

d BD 2 q 2 + BC = = d + d2 tan2 θ = , 2 cos θ con este resultado el tiempo para ir desde el punto B al punto D es: d2

(6.29)

d

t2 = 2 cos θ (6.30) v donde v es la velocidad en el medio, que puede ser expresada en términos del ´ındice de refracción como: v = c/n, que danto con esto el tiempo del rayo 2dn c cos θ La diferencia de tiempos entre los rayos al llegar al punto D es: t2 =

t2 − t1 =

2dn 2dnsen2 θt 2dn − = cos θ c cos θ cos θt c

121

(6.31)

(6.32)

Oscilaciones y Ondas Para obtener las condiciones de interferencia debemos tener la diferencia de fase δ = ω∆t entre los dos rayos 2dn 4πdn cos θt cos θ = (6.33) c λ Se le debe a˜ nadir un desface de π causado por la reflexión en la superficie, para el caso de n > 1 existe un cambio de fase en π para el rayo F D al reflejarse en el punto D, mientras que para n < 1 existe un desface de π para el rayo BC cuando se refleja en C; por lo tanto δ=ω

4πdn cos θt +π (6.34) λ Los puntos de interferencia constructiva ó máximos ocurren cuando δ = 2N π y los puntos de interferencia destructiva o´ m´ınimos ocurren cuando δ = (2N + 1) π, obteniendose δ=

(

2dn cos θt =

6.6.

1 2

(2N − 1) λ Reflexión máxima, Transmisión m´ınima (6.35) Nλ Reflexión máxima, Transmisión m´ınima

Anillos de Newton

El fenómeno de interferencia en láminas delgadas es de frecuente observación en la vida cotidiana; los brillantes colores de una burbuja son otro ejemplo, pero realizar mediciones en la mayor parte de los casos presenta dificultades que se pueden solucionar con un experimento de anillos de Newton en el cual el espesor de la lámina puede determinarse matemáticamente, este experimento consiste en colocar una lente plano convexa sobre una lámina plana, en este caso la lámina a estudiar es de aire o de cualquier otro medio que se coloque entre la superficie esférica y la superficie plana de la lámina.

Figura 6.6: Esquema de interferencia para producir anillos de Newton

122

Oscilaciones y Ondas En este caso el espesor de la lámina aumenta al aumentar el radio r, para calcular el espesor notemos que: √

R2 − r 2 = R − e

o´

e2 − 2Re + r2 = 0

(6.36)

Para valores peque˜ nos de e, que es la mayor parte de los casos tenemos que e2 <<, obteniendose r2 (6.37) 2R Los valores que poseen el mismo valor de r también poseen el mismo valor de e, estos valores generan c´ırculos. Por lo tanto las franjas de interferencia son c´ırculos ya que la interferencia depende del espesor de la lámina. Las ondas 1 y 2 reflejadas en A y en B interfieren. Las condiciones de interferencia dependen del espesor de la lámina donde se reflejan las ondas. Estás ondas experimentan un desface de π por causas explicadas en la sección anterior y las condiciones de interferencia dadas por la ecuación (6.85), que nos produce e=

(

2en cos θt =

1 2

(2N − 1) λ Interferencia constructiva (6.38) Nλ Interferencia destructiva

Para este caso la incidencia es prácticamente normal obteniendose λ (2N − 1) Interferencia constructiva (6.39) e =  4n λ   N Interferencia destructiva 2n Con estas condiciones para la interferencia constructiva y destructiva, las condiciones para los c´ırculos brillantes y los c´ırculos oscuros son:    

r=

 s   2 λ   (2N  s R 4n   2 λ   N 

R 2n

6.7.

− 1) C´ırculos brillantes (6.40) C´ırculos oscuros

Interferencia de ondas producidas por varias fuentes sincronicas

Consideremos ahora el caso de N fuentes sincronicas separadas entre si una distancia d, las cuales producen interferencia y para simplificar el análisis supongamos que los puntos en los cuales se produce la interferencia se encuentran a distancias grandes de las fuentes; las amplitudes para cada una de las ondas son:

123


Figura 6.7: Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas

ψ1 = ψ01 sen (ωt − kr1 + φ1 ) ψ2 = ψ02 sen (ωt − kr2 + φ2 ) .. .

(6.41)

ψN = ψ0N sen (ωt − krN + φN ) La diferencia de fase entre dos ondas consecutivas suponiendo que se encuentren en fase es decir φ1 = φ2 = · · · = φN es: 2πd senθ (6.42) λ Para obtener la amplitud en un punto determinado debemos sumar las ondas, está suma se puede interpretar como una suma de N fasores, los cuales se ilustran en la figura 6.8. δ=

Figura 6.8: Fasores correspondientes a cada una de las fuentes Primero estudiemos la suma gráfica de los dos primeros fasores, obteniendose la figura 6.9 Uniendo estos fasores con el tercer fasor tenemos la figura 6.10 En resumen para la suma de los N fasores obtenemos la figura 6.11, donde se ha tomado β = ωt − kr1 + φ1 . La suma de las N ondas, considerando que las amplitudes de las ondas son iguales, se puede expresar como

124


Figura 6.9: Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas

Figura 6.10: Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas

ψ = ψ01 senβ + ψ01 sen (β + δ) + ψ01 sen (β + (N − 1) δ) = ψ01

N −1 X

sen (β + iδ) (6.43)

i=0

Utilizando la identidad trigonométrica sen (β + iδ) = senβ cos iδ + cos βseniδ, esta suma se puede escribir como: "

ψ = ψ01 senβ

N −1 X

cos iδ + cos β

i=0

N −1 X

#

seniδ

(6.44)

i=0

Se puede demostrar que: N −1 X

N −1 X

sen 21 N δ 1 cos (N − 1) δ cos iδ = 1 2 sen 2 δ

sen 21 N δ 1 y seniδ = sen (N − 1) δ 1 2 sen 2 δ i=0 i=0 (6.45) Remplazando este resultado en la ecuación (6.94) obtenemos la ecuación resultante de suma de las N ondas sen 21 N δ 1 1 ψ = ψ01 senβ cos (N − 1) δ + cos βsen (N − 1) δ 1 2 2 sen 2 δ

Obteniendose finalmente 125

(6.46)


Figura 6.11: Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas

sen 21 N δ 1 ψ = ψ01 sen β + (N − 1) δ 1 2 sen 2 δ

(6.47)

La amplitud en este caso es: sen 12 N δ ψ0 = ψ01 sen 21 δ

(6.48)

y la fase es: 1 (N − 1) δ (6.49) 2 Recordando que la intensidad es proporcional es proporcional al cuadrado de la amplitud, la intensidad se convierte en φ = φ0 +



I = I0

! 2

N πdsenθ !2  sen 1  sen 2 N δ λ ! = I0   1 sen 2 δ πdsenθ  sen λ

    

(6.50)

‘

6.8.

Ondas estacionarias

La ecuación de ondas describe los movimientos ondulatorios de las ondas en una cuerda, una barra, etc. esta ecuación es: 2 ∂ 2ψ 2∂ ψ = v (6.51) ∂t2 ∂x2 Cuando se soluciona está ecuación se obtienen dos soluciones f1 (x + vt) y f2 (x − vt), que representan dos ondas una que se propaga en la dirección positiva de

126

Oscilaciones y Ondas las x y otra que se propaga en la dirección negativa de las x. La solución de la ecuación de ondas es la suma de estás soluciones

Figura 6.12: Esquema para la interferencia de dos ondas

ψ = f1 (x + vt) + f2 (x − vt)

(6.52)

Hasta el momento hemos considerado una de las dos en la solución de la ecuación de ondas; pero en el caso en el cual la onda se refleja en un punto se encuentran las dos una correspondiente a la onda incidente y otra correspondiente a la onda reflejada, en cuyo caso se deben considerar las dos ondas. Cuando estas dos ondas se encuentran se superponen produciendo una interferencia que produce ondas conocidas como ondas estacionarias. La solución de la ecuación de ondas posee dependencia del tiempo y del espacio; por tal motivo se puede estudiar la solución de la ecuación de ondas como el producto de dos funciones una que depende del espacio y otra que depende del tiempo; pero la parte que depende del tiempo es armónica es decir tiene la forma senωt. Por lo tanto la solución de la ecuación de ondas es: ψ = f (x)sen(ωt)

(6.53)

donde se debe calcular la función f (x). Si calculamos las derivadas de (6.3) y las remplazamos en (6.2) obtenemos ∂ 2ψ d2 f (x) = senωt ∂t2 dx2

∂ 2ψ = −ω 2 f (x)senωt; ∂t2

v2

d2 f (x) senωt + ω 2 f (x)senωt = 0 dx2

d2 f (x) ω 2 + 2 f (x) = 0 dx2 v

(6.54)

(6.55)

Recordando que k = ω/v, esta ecuación se puede escribir como: d2 f (x) + k 2 f (x) = 0 dx2

127

(6.56)

Oscilaciones y Ondas Esta ecuación es similar a la ecuación de un movimiento oscilatorio pero en lugar de ω tenemos k y en lugar del tiempo tenemos x, la solución para el movimiento oscilatorio es ψ = Asen (ωt + φ), luego entonces por analog´ıa la solución en este caso debe ser: f (x) = Asen (kx + φ)

(6.57)

Luego entonces la solución general para la ecuación de ondas (6.51) descrita por la ecuación (6.53) se convierte en: ψ = Asen (kx + φ) sen (ωt)

(6.58)

En este caso A y φ dependen de las condiciones del problema

6.8.1.

Ondas estacionarias en una cuerda

Consideremos el caso de una onda que se propaga por una cuerda de longitud L y densidad lineal de masa µ, esta cuerda puede encontrarse fija a un extremo o a ambos extremos. En el caso en el cual se encuentra fija a un extremo por ejemplo el extremo x = 0 se tiene la condición φ(x = 0) = 0, ya que este punto se encuentra fijo es decir su amplitud siempre es cero. remplazando está condición en la ecuación (6.58) obtenemos: ψ = Asen (φ) sen (ωt) ,

(6.59)

de donde se obtiene que senφ = 0 ó φ = 0 llegando a ψ = Asen (kx) sen (ωt)

(6.60)

donde el termino Asen (kx), representa la amplitud de las ondas como una función de la posición x, está función posee puntos en los cuales la amplitud es máxima y puntos en los cuales la amplitud es cero. los puntos en los cuales la amplitud es máxima se llaman antinodos y los puntos en los cuales la amplitud es cero se llaman nodos. Los nodos se pueden calcular tomando Asen (kx) = 0

(6.61)

La u ńica forma para la cual se cumple la condición (6.61) es nλ 2πx = nπ o´ x= n = 0, 1, 2, · · · λ 2 y los antinodos corresponden a los puntos de máxima amplitud es decir kx = nπ

dAsen (kx) = 0 = kA cos kx dx La u ńica forma para la cual se cumple la condición (6.63) es

kx = (2n + 1)

π 2

2πx π = (2n + 1) λ 2

o´ x = 128

λ (2n + 1) 4

n = 0, 1, 2, · · ·

(6.62)

(6.63)

(6.64)

Oscilaciones y Ondas Para una cuerda fija por ambos extremos se tiene que el extremo que corresponde a x = L, debe tener amplitud cero siempre, debido a que se encuentra fijo, esto quiere decir que este punto es un nodo, por lo tanto debe cumplirse que φ(x = L) = 0, lo que implica seg´ un la ecuación (6.62), que: 2L nλ o´ λ= n = 0, 1, 2, · · · (6.65) 2 n La ecuación (6.65), representa que para una cuerda de longitud L se producen ciertas longitudes de onda, estas longitudes de onda son L=

2 L λ = 2L, L, L, , · · · (6.66) 3 2 Pero recordandoqque la velocidad con la cual se propagan las ondas en una cuerda esta dada por v = t/µ y además que en general v = λf se tiene que n√ Tµ n = 1, 2, 3, · · · (6.67) 2L Lo que muestra que en una cuerda fija √ por ambos extremos solo se tienen ciertas 1 frecuencias las cuales son multiplos de f1 2L T µ, la cual es llamada frecuencia fundamental y los m´ ultiplos de esta frecuencia se llaman armónicos. Por ejemplo para una cuerda de acero cuya densidad es ρ = 7,86×103 kg/m3 , el radio es r = 0,5mm, la tensión de la cuerda es T = 762N y la longitud de la cuerda es L = 40cm. f=

Figura 6.13: Modos de vibración para las ondas estacionarias en una cuerda de longitud L y fija a ambos extremos Si calculamos la frecuencia fundamental en este caso es decir para n = 1, produce f1 = 440Hz, pero además de está frecuencia fundamental produce los m´ ultiplos (armónicos) de la misma es decir 880Hz, 1320Hz, etc. La frecuencia 440Hz corresponde a la nota Do de la escala musical. si se varia la tensión, la longitud o la densidad de masa lineal varia la frecuencia fundamental emitida por la cuerda de esta forma funcionan los instrumentos de cuerda como la guitarra.

129


6.8.2.

Ondas estacionarias en una columna de aire

Otro ejemplo de ondas estacionarias en una dimensión corresponde a las ondas en una columna de aire, las cuales se obtienen cuando se tiene un tubo de longitud L, el cual puede estar abierto por ambos lados o por un solo lado. En el caso del tubo abierto por ambos lados, las condiciones son que ambos extremos tienen amplitud máxima, esto ∂ψ ∂ψ (x = 0) = 0 y (x = L) = 0, por lo tanto de acuerdo con la primera condición es ∂x ∂x y la ecuación (6.58), tenemos: kA cos (kx + φ) senωt = 0,

(6.68)

π , 2

(6.69)

esto solo se cumple si cos φ = 0

o´

φ=

por lo tanto π ψ = Asen kx + senωt = A cos kx senωt 2 Utilizando la segunda condición se tiene que

− kA cos kL senωt = 0,

(6.70)

(6.71)

esto solo se cumple si 2L (6.72) n √ Recordando que la velocidad del sonido en una columna de aire es v = 20,055 T , tenemos que las frecuencias producidas en una columna de aire son: senkL = 0

o´

kL = nπ

λ=

√ n (6.73) 20,055 T 2L Para el caso en el cual el tubo se encuentra cerrado por el extremo opuesto al lado de la boquilla es decir en x = L, el extremo cerrado corresponde a un nodo es decir ψ(x = L) = 0 y el punto x = 0, corresponde a un antinodo, con la condición para x = 0, se obtiene nuevamente la ecuación (6.70) y remplazando la condición para x = L tenemos f=

A cos kLsenωt = 0

(6.74)

Está condición solo se cumple si π kL = (2n + 1) , 2 de donde la frecuencia se puede escribir como: cos kL = 0

o´

f = (2n + 1) 130

v , 4L

(6.75)

(6.76)


Figura 6.14: Modos de vibración para las ondas estacionarias en una columna de aire de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto donde v es la velocidad del sonido, los instrumentos de viento como la flauta, la trompeta, etc. utilizan este principio, para producir las notas musicales, y al igual que en el caso de la cuerda existe una frecuencia fundamental y otras que son m´ ultiplos (armónicos) de estas.

6.8.3.

Ondas estacionarias electromagn´ eticas

Consideremos una onda electromagnética que se propaga en la dirección z, para este efecto consideraremos el campo eléctrico paralelo a la dirección x, por lo cual el campo magnético debe estar en la dirección y.

Figura 6.15: Ondas estacionarias electromagnéticas Supongamos que el plano xy,en z = 0 se encuentra una placa conductora, la onda electromagnética choca contra la placa conductora, en la cual se refleja y se transmite, las ondas incidente y reflejada interfieren, en cuyo caso la solución para el campo eléctrico tiene la forma descrita por la ecuación (6.58) 131


~ =E ~ 0 sen (kz + φ) sen (ωt) E

(6.77)

El campo eléctrico dentro de un conductor debe ser normal a la superficie del conductor, es decir no debe existir componente tangencial del campo eléctrico en el conductor, por tal motivo en z = 0, el campo eléctrico incidente y el reflejado deben ser iguales pero de direcciones opuestas, en conclusión el campo eléctrico en z = 0, debe ser cero. Remplazando está condición en la ecuación (6.77) tenemos que: ~ 0 sen (φ) sen (ωt) 0=E

(6.78)

de donde se tiene φ = 0, lo que convierte el campo eléctrico en: ~ =E ~ 0 sen (kz) sen (ωt) E

(6.79)

Este campo eléctrico posee puntos en los cuales es cero y puntos en los cuales es máximo lo cual corresponde a nodos y antinodos del campo eléctrico. Para kz = nπ se tienen los nodos del campo eléctrico y para kz = (2n + 1) π2 o´ z = (2n+1)λ se o´ z = nλ 2 4 tienen los antinodos del campo eléctrico. para estudiar el comportamiento del campo magnético se puede calcular a partir de la ley de Faraday.

Figura 6.16: Ondas estacionarias electromagnéticas

~ = ∇×E

a ˆx ∂ ∂x

E0 sen (kz) sen (ωt)

a ˆy a ˆz ∂ ∂y

∂ ∂z

0

0

= E0 k cos (kz) sen (ωt) a ˆy = −

~ ∂B ∂t

(6.80)

de donde ~ = E0 k cos (kz) cos (ωt) a ~ 0 cos (kz) cos (ωt) B ˆy = B ω

(6.81)

~ 0 = E0 k a donde B ˆ = Ec0 a ˆy . Luego entonces para el campo magnético z = (2n+1)λ ω y 4 y los antinodos corresponden a z = nλ , lo que implica que las variaciones del campo 2 eléctrico y el campo magnético se encuentran desfasadas en 132


(2n + 1)λ nλ ∆λ = 2 − 4 2

!

λ 2

=

(6.82)

Para el caso del tiempo , el campo eléctrico es cero cuando ωt = nπ o´ t = nP , 2 donde P es el periodo temporal; y el campo magnético es cero cuando ωt = (2n + 1) π2 o´ t = (2n+1)P , obteniendose un desfase de P2 entre las variaciones del campo eléctrico y 4 el campo magnético

6.9.

Ondas estacionarias en dos dimensiones

Cuando se tienen ondas en dos dimensiones como las que se producen en una membrana vibrante ejemplo la de un tambor, las ondas se producen en todas las direcciones, las cuales al llegar al borde se reflejan, las ondas reflejadas interfieren con las incidentes produciendo ondas estacionarias en dos dimensiones. La ecuación de onda en dos dimensiones está dada por: 1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 = 2 2 ∂x2 ∂y v ∂t donde la solución para las ondas estacionarias deben tener la forma: ψ = f (x, y)senωt

(6.83)

(6.84)

Ecuación que derivada y remplazada en la ecuación (6.83) se obtiene ∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) + + k 2 f (x, y) = 0 (6.85) 2 2 ∂x ∂y Comparando la ecuación (6.83), con la ecuación (6.56) y su respectiva solución (6.57), la solución de (6.83) es: f (x, y) = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy )

(6.86)

donde la solución para la ecuación de ondas, para producir ondas estacionarias es: ψ = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy ) sen (ωt)

(6.87)

Si remplazamos la ecuación (6.86), en la (6.85) se tiene − kx2 − ky2 + k 2 = 0

o´

k=

q

kx2 + ky2

(6.88)

Si consideramos una membrana rectangular como la que se muestra en la figura en la cual los bordes se encuentran fijos, las condiciones son: ψ(x, 0) = 0

ψ(0, y) = 0

ψ(x, b) = 0

ψ(a, y) = 0

remplazando las dos primeras condiciones en (6.86), obtenemos las fases iniciales de las ecuaciones como φx = φy = 0, con lo cual (6.86), se convierte en 133


ψ = Asen (kx x) sen (ky y) sen (ωt)

(6.89)

, donde m, es un entero m = 1, 2, 3, · · ·, de la tercera condición ky b = mπ, o´ ky = mπ b de igual forma de la cuarta condición kx a = nπ, o´ kx = nπ , donde n, es un entero a n = 1, 2, 3, · · ·, donde se puede notar que todos los valores de kx y ky , no son aceptados, solo se admiten los multiplos de π/a y π/b respectivamente, con estos valores de kx y ky , obtenemos los valores de k s

k=

nπ a

2

mπ + b

2

(6.90)

Recordando que ω = vk = 2πf y ademas para una membrana v = es la tensión de la membrana y σ es la densidad superficial de masa s

s

q

T /σ, donde T

n 2 m 2 1 T + (6.91) f= 2 σ a b Lo cual quiere decir que en una membrana tensa rectangular solo se admiten ciertos valores de frecuencia los cuales son m´ ultiplos de un frecuencia fundamental f0 , para la cual n = m = 1, en este caso 1 f0 = 2

s

T σ

s 2 1

a

2

+

1 b

(6.92)

Figura 6.17: Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y n2 = 1 en el caso en el cual la membrana es cuadrada es decir a = b, está frecuencia fundamental es: 1 f0 = a

s

134

T 2σ

(6.93)


Figura 6.18: Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y n2 = 2

6.10.

Ondas estacionarias en tres dimensiones

Cuando se tienen ondas en dos dimensiones como las que se producen en una cavidad resonante, por ejemplo cuando usted canta en el ba˜ no, las ondas se producen en todas las direcciones, las cuales al llegar al borde se reflejan, las ondas reflejadas interfieren con las incidentes produciendo ondas estacionarias en tres dimensiones. La ecuación de onda en tres dimensiones está dada por: 1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t2 donde la solución para las ondas estacionarias deben tener la forma: ψ = f (x, y, z)senωt

(6.94)

(6.95)

Ecuación que derivada y remplazada en la ecuación (6.94) se obtiene ∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) + + + k 2 f (x, y) = 0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(6.96)

Comparando la ecuación (6.94), con la ecuación (6.56) y su respectiva solución (6.57), la solución de (6.94) es: f (x, y, z) = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy ) sen (kz z + φz )

(6.97)

donde la solución para la ecuación de ondas, para producir ondas estacionarias es: ψ = Asen (kx x + φx ) sen (ky y + φy ) sen (kz z + φz ) sen (ωt)

(6.98)

Si remplazamos la ecuación (6.97), en la (6.96) se tiene − kx2 − ky2 − kz2 + k 2 = 0

o´

k=

q

kx2 + ky2 + kz2

(6.99)

Si consideramos una cavidad rectangular como la que se muestra en la figura en la cual los bordes se poseen amplitudes iguales a cero, las condiciones son: 135


ψ(x, y, 0) = 0 ψ(x, 0, z) = 0 ψ(0, 0, z) = 0 ψ(a, y, z) = 0 ψ(x, b, z) = 0 ψ(x, y, c) = 0 remplazando las tres primeras condiciones en (6.97), obtenemos las fases iniciales de las ecuaciones como φx = φy = φz = 0, con lo cual (6.97), se convierte en ψ = Asen (kx x) sen (ky y) sen (kz z) sen (ωt)

(6.100)

de la cuarta condición kx a = nπ, ó kx = nπ , donde n, es un entero n = 1, 2, 3, · · ·, a , donde m, es un entero de igual forma de la quinta condición ky b = mπ, ó ky = mπ b m = 1, 2, 3, · · ·, finalmente de la sexta condición kz c = lπ, ó kz = lπc , donde l, es un entero l = 1, 2, 3, · · ·, donde se puede notar que todos los valores de kx , ky y kz , no son aceptados, solo se admiten los m´ ultiplos de π/a, π/b y π/c respectivamente, con estos valores de kx , ky y kz , obtenemos los valores de k k=

v u u nπ 2 t

a

mπ + b

2

lπ + c

!2

(6.101)

Recordando que ω = vk = 2πf f=

v u 2 vu t n

2

a

m + b

2

l + c

!2

(6.102)

Lo cual quiere decir que en un cavidad rectangular solo se admiten ciertos valores de frecuencia los cuales son m´ ultiplos de un frecuencia fundamental f0 , para la cual n = m = 1, en este caso s

v 1 2 1 2 1 2 f0 = + + (6.103) 2 a b c en el caso en el cual la cavidad es cubica, es decir a = b = c, está frecuencia fundamental es:

f0 =

6.11.

v√ 3 2a

(6.104)

Gu´ıas de Onda

Las gu´ıas de onda son elementos que se utilizan para la transmisión de ondas, por lo general electromagnéticas desde un punto (el generador) hasta otro punto (la carga); las gu´ıas de onda más usuales son la rectangulares y las cil´ındricas. Las gu´ıas de onda están formadas por un medio dieléctrico sin perdidas (σ = 0) y las paredes son perfectamente conductoras σp = ∞. La onda resultante en este caso resulta de la superposición de las ondas que se reflejan en las paredes de la gu´ıa, la 136


Figura 6.19: Esquema de una gu´ıa de ondas rectangular, en la cual las ondas se propagan en la dirección z ecuación que describe la onda que se propaga a lo largo de la gu´ıa en la dirección z está dada por: ψ = 4ψ0 sen(kx x + φx )sen(ky y + φy )sen(ωt − kz z)

(6.105)

En las paredes de la gu´ıa de ondas las amplitudes deben ser cero, es decir se tienen las condiciones de fronteras

ψ (x = 0) = 0,

ψ (y = 0) = 0,

ψ (x = a) = 0,

ψ (y = b) = 0,

(6.106)

Si remplazamos las dos primeras condiciones obtenemos φx = φy = 0, remplazando las dos ultimas condiciones se tiene kx a = nπ y ky b = mπ, con lo cual la ecuación para las ondas que se propagan en la dirección z, se convierte en:

ψ = 4ψ0 sen

mπ nπ x sen y sen(ωt − kz z) a b

(6.107)

q

Para calcular kz , se puede observar que k = kx2 + ky2 + kz2 , de donde kx a = nπ y ky b = mπ, con lo cual la ecuación para las ondas que se propagan en la dirección z, se convierte en: s

kz =

k2

nπ − a

2

mπ − b

2

(6.108)

Recordando que k = ω/v y además de la ecuación (6.108), tenemos que s

ω 2 n2 π 2 m2 π 2 n2 π 2 m2 π 2 ≥ 2 + 2 o´ ω≥v + 2 , (6.109) v a b a2 b lo que significa que solo las ondas que poseen una frecuencia superior a este valor se propagan en la gu´ıa por este motivo se pueden utilizar las gu´ıas de onda como filtros, en este caso a las frecuencia l´ımite se le llama frecuencia de corte. La velocidad de grupo de las ondas que se propagan a lo largo de la gu´ıa de ondas está dada por

137


vg =

dω dkz

(6.110)

pero 2ω dkz k 2 = v = dω 2kz kz v

(6.111)

de donde vg =

kz v, k

donde vp =

ω k = v kz kz

(6.112)

llegando a vg vp = v 2

6.11.1.

(6.113)

Ondas electromagn´ eticas en gu´ıas de ondas

Cuando se propagan ondas electromagnéticas en una gu´ıa de ondas, estás viajan a la velocidad de la luz v = c, por lo cual vg vp = c2 , en este caso la onda que viaja esta compuesta por un campo magnético y un campo eléctrico; existen dos configuraciones para las ondas que se propagan estás configuraciones dependen de si el campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación (TE)o si el campo magnético es perpendicular a la dirección de propagación (TM), para el caso (TE), el campo eléctrico no posee componente en la dirección de propagación que en este caso es z, por lo tanto las componentes del campo eléctrico se pueden escribir de la forma mπ nπ x sen y sen (ωt − kz z) Ex = E0 cos a b

(6.114)

mπ nπ x cos y sen (ωt − kz z) Ey = E0 sen a b

(6.115)

Ez = 0

(6.116)

Utilizando la ley de Faraday podemos calcular el campo magnético como: kz nπ mπ Bx = −E0 sen x cos y sen (ωt − kz z) ω a b

(6.117)

kz nπ mπ cos x sen y sen (ωt − kz z) ω a b

(6.118)

By = −E0

E0 nπ mπ nπ mπ Bz = − cos x cos y cos (ωt − kz z) (6.119) ω a b a b Para el caso de (TM), es decir cuando el campo magnético es perpendicular a la dirección de propagación, en cuyo caso el campo magnético en la dirección z es cero.

138


nπ mπ Bx = B0 sen x cos y sen (ωt − kz z) a b

(6.120)

mπ nπ x sen y sen (ωt − kz z) By = B0 cos a b

(6.121)

Bz = 0

(6.122)

en este caso el campo magnético se puede obtener utilizando la ley de ampere Maxwell, utilizando σ = 0, obteniendose kz nπ mπ Ex = B0 cos x sen y sen (ωt − kz z) µω a b

By = −B0 B0 Bz = µω

nπ mπ kz sen x cos y sen (ωt − kz z) µω a b

mπ nπ mπ nπ − x sen y cos (ωt − kz z) sen a b a b

(6.123) (6.124)

(6.125)

Cuando se poseen altas frecuencias superiores a los 100 MHz, los circuitos RLC funcionan en condiciones indeseables, en cuyo caso se utilizan las gu´ıas de onda en forma de resonadores para almacenar energ´ıa.

139

Cap´ıtulo 7 Difracci´ on y Polarizaci´ on Cuando se coloca un cabello delgado en un rayo de luz, se produce una sombra, pero el centro de la sombra no se encuentra totalmente oscuro y además aparecen bandas oscuras en la zona iluminada a ambos lados de la sombra. Este patrón de difracci´ on es el resultado de la interferencia de las ondas interrumpidas por el cabello. En general la difracción describe el comportamiento de los frentes de onda cuando se encuentran con un obstáculo y se propagan rebasandolos, el obstáculo puede ser un objeto delgado, una abertura, o un conjunto de objetos peque˜ nos. La difracción de acuerdo con el principio de Huygens es una forma especial de interferencia. Otro ejemplo de difracción se produce cuando la luz atraviesa una abertura cuadrada, el observador del patrón de difracción puede encontrarse cerca o lejos de la abertura, cuando se encuentra cerca la figura observada es bastante complicada y se llama difracción de Fresnel , cuando el observador se encuentra lejos, las ondas poseen igual amplitud y se forma un conjunto ordenado de franjas brillantes y oscuras que corresponden a la difracción de Fraunhofer

7.1.

Difracci´ on de Fraunhofer por una abertura rectangular

En primera instancia analizaremos la difracción de Fraunhofer la cual corresponde a un observador que se encuentra a una distancia muy grande en comparación con el ancho de la abertura rectangular. Consideremos una abertura de ancho a, la cual se puede dividir en una gran cantidad de rendijas elementales de ancho dw. En este caso tenemos la interferencia de varias fuentes. Si dividimos la abertura en dos rendijas de ancho a/2, se produce interferencia destructiva entre las ondas provenientes de la parte inferior con las ondas provenientes de la parte superior cuando λ a senθ = ± 2 2

o´

140

senθ = ±

λ a

(7.1)


Figura 7.1: Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular Si ahora dividimos la abertura en cuatro partes se tienen las condiciones para interferencia destructiva como: λ 2λ a senθ = ± o´ senθ = ± (7.2) 4 2 a De igual forma podemos dividir la abertura en seis ocho, etc. partes obteniendo en general para la interferncia destructiva λ a senθ = ± 2m 2

o´

senθ = ±

mλ a

(7.3)

Figura 7.2: Esquema para el estudio de la difracción en una abertura rectangular Recordando que una onda está dada por E = E(x)sen (ωt + φ)

(7.4)

donde en este caso φ se debe a que cada una de las ondas que surge de una rendija llega a la pantalla con fase distinta, es decir que φ, es la diferencia de fase entre una onda que sale de y = 0 y otra onda que sale de y = y, la diferencia de distancias entre 141

Oscilaciones y Ondas las dos ondas es ysenθ, para obtener la diferencia de fase correspondiente a la diferencia de distancia tenemos que: 2π ysenθ λ Con esto el campo producido por cada una de las rendijas está dado por: φ → 2π

ysenθ → λ

φ=

(7.5)

dy sen (ωt + φ) (7.6) a Para obtener el campo producido por todas las rendijas se deben sumar cada una λ de las contribuciones, teniendo en cuenta que dy = 2πsenθ dφ; esto es: dE = E0

πasenθ

Z λ λ sen (ωt + φ) dφ πasenθ 2πasenθ − λ El resultado de está suma es:

E = E0

E = E0

πasenθ λ πasenθ λ

sen

(7.7)

sen (ωt)

(7.8)

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico I = I0

πasenθ λ 2 πasenθ λ

sen2

(7.9)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figura 7.3: Gráfica de la intensidad producida por una abertura rectangular De está ecuación se pueden obtener los puntosde máxima y m´ınima intensidad, se obtienen puntos de máxima intensidad cuando sen πasenθ = ±1 y los punto de m´ınima λ intensidad cuando sen

πasenθ λ

= 0, en resumen

nλ (2n + 1) Máximos 2a senθ = (7.10) nλ    M´ınimos, a    

142


7.2.

Doble rendija de Young

Cuando estudiamos la interferencia producida por dos rendijas obtuvimos la amplitud en la pantalla como:

Figura 7.4: Esquema para la difracción en dos aberturas rectangulares !

πd senθ ψ0 = 2ψ01 cos , λ

(7.11)

donde ψ01 es la amplitud de una de las dos rendijas consideradas, pero en este caso esa amplitud está dada por la ecuación (7.8), obteniendose la amplitud para la doble rendija de Young como πasenθ sen λ ψ0 = 2E0 πasenθ

!

λ

!

πd senθ cos , λ

(7.12)

En este caso se ha considerado la difracción por cada una de las aberturas, donde a es el ancho de la abertura y d es la distancia entre las dos aberturas consideradas. Recordando que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, está intensidad es: sen

2

I = I0

πasenθ λ

πasenθ

!

2

!

2

cos

πd senθ , λ

(7.13)

λ

En la figura 7.5, se muestra el patrón de intensidad, en l´ınea punteada se muestra el patrón de difracción y en l´ınea continua se muestra con el patrón de interferencia

143


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 7.5: Gráfica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la difracción

7.3.

Redes de difracci´ on

Cuando tenemos N aberturas de ancho a y separación entre las aberturas d, en este caso la amplitud de N aberturas sin considerar la difracción en cada una de las aberturas es: ψ0 =

N πd senθ λ ψ01 sen πd senθ λ

sen

(7.14)

Figura 7.6: Esquema para el estudio de la difracción en una red de difracción donde la amplitud está determinada por la ecuación (7.8); cuando se considera la difracción se obtiene una red de difracción en la cual la amplitud está determinanda por 144


ψ0 = E 0

πasenθ λ πasenθ λ

sen

N πd senθ λ senθ sen πd λ

sen

(7.15)

donde nuevamente la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud I = I0

πasenθ λ 2 πasenθ λ

sen2

N πd senθ λ senθ sen2 πd λ

sen2

(7.16)

Los puntos máximos se obtienen cuando πasenθ = nπ (7.17) λ donde dependiendo del valor de n se obtiene un máximo que se denomina orden de difracción as´ı para n = 1, se tiene el primer orden de difracción, para n se tiene el nes´ımo orden de difracción. Cuando se ilumina una red de difracción con luz blanca cada uno de los colores que componen está luz poseen un ańgulo de difracción excepto para el orden cero en el cual se obtiene nuevamente la luz blanca, en los demás ordenes se obtiene el espectro de visible, esto se puede notar en la ecuación (7.17); además cuando aumenta la longitud de onda aumenta la desviación, que es lo contrario a lo ocurrido a la dispersión en un prisma. la dispersión en la red se puede calcular como: dθ n = (7.18) dλ a cos θ de donde se puede notar que cuanto mayor es el orden de difracción, mayor es la dispersión D=

7.4.

Difracci´ on en una abertura circular

La difracción en una abertura circular es un poco más compleja que la abertura rectangular por cuanto en este caso la geometr´ıa se encuentra en coordenadas polares, generando soluciones un poco más complejas, en este caso se obtienen franjas en forma de c´ırculos unas brillantes y otras oscuras, donde el punto central es un máximo, la posición del primer m´ınimo en este caso se puede obtener de: senθ = 0,61λ/R

(7.19)

donde R es el radio de la abertura circular. La difracción establece un l´ımite a nuestra capacidad de distinguir dos fuentes distintas de ondas. cuando dos fuentes se encuentran cercanas se combinan y es dif´ıcil distinguirlas. La separación m´ınima que se puede distinguir depende de la tecnica utilizada, un programa de computador o nuestros ojos. Un criterio que se utiliza es el criterio de Rayleigh (1842-1919), que dice que se pueden diferenciar dos fuentes siempre que su separación ángular sea mayor o igual a la que tienen el máximo central y el primer m´ınimo es decir siempre que 145


∆θ ≥ 0,61λ/R

7.5. 7.5.1.

(7.20)

Polarizaci´ on La elipse de polarizaci´ on

Consideremos la curva que se genera en z = 0, a partir de la composición de dos campos eléctricos de la misma frecuencia y que vibran con un cierto desfase entre ellos, que viajan en la misma dirección en este caso z y cuyas direcciones de vibración son ortogonales, es decir: Ex = E0x cos(ωt + φ1 )

Ey = E0y cos(ωt + φ2 )

(7.21)

al eliminar el parámetro t de ecuaciones anteriores, obtenemos la ecuación cartesiana siguiente Ey2 Ex Ey Ex2 cos(δ) = sen2 (δ) + −2 2 2 E0x E0y E0x E0y

(7.22)

donde δ = φ1 − φ2 . La ecuación cartesiana corresponde a una elipse con centro en su origen de coordenadas, pero con el eje mayor formando un cierto ańgulo ϑ con el eje x. Este ańgulo se puede encontrar a partir de la expresión tan(2ϑ) =

2E0x E0y cos(δ) 2 2 E0x − E0y

(7.23)

En este caso se dice que la onda posee polarización eliptica, lo que quiere decir que el vector campo eléctrico cambia de dirección en función del tiempo y la figura que genera el extremo de este vector se describe por la ecuación (7.22). Considerando los diferentes valores que puede tomar δ, obtenemos los diferentes casos de polarización. Algunos casos de especial interés son : 1. Luz polarizada lineal: δ = 0 o bien δ = π. 2. Ejes de la elipse coincidentes con los ejes de coordenadas: δ = π/2 o bien δ = 3π/2. La luz será polarizada circular si además, E0x = E0y 3. El sentido de giro de la elipse será dextrógiro si 0 < δ < π, mientras que el sentido de giro será levógiro: si π < δ < 2π.

7.5.2.

Polarizadores

Para la luz natural (monocromática), todos los valores de δ, E0x y E0y son igualmente probables. Los polarizadores son dispositivos que permiten obtener luz polarizada linealmente a partir de luz natural. Los polarizadores se caracterizan por la presencia 146

Oscilaciones y Ondas de un eje de polarización, que indica la dirección en que la luz sale linealmente polarizada. Si enviamos luz polarizada linealmente tal que el vector campo eléctrico vibre en una dirección que forme un ángulo α con el eje de polarización, la intensidad que se detectará a la salida será I = I0 cos2 (α), resultado conocido como la ley de Malus. Existen otras formas de polarizar la luz no polarizada, dentro de los cuales se encuentran la polarización por reflexión, por refracción, por doble refracción y por absorción selectiva o dicro´ısmo 7.5.2.1.

Polarizaci´ on por reflexi´ on

Consideremos una lámina no metálica L, sobre la que incide un rayo de luz natural A, para cierto valor del ańgulo de incidencia la luz se encuentra totalmente polarizada, vibrando en una dirección perpendicular al plano de incidencia. El ángulo de incidencia para el cual la luz se encuentra totalmente polarizada es el ańgulo de Brewster . Se debe recordar que existen diferentes ańgulos de Brewster uno para cuando el camFigura 7.7: Polarización por reflexión po eléctrico se encuentra perpendicular y otro en una superficie (ángulo de Brewster) para cuando el campo eléctrico se encuentra paralelo al plano de incidencia. 7.5.2.2.

Polarizaci´ on por transmisi´ on

Figura 7.8: Polarización por transmisión do paralelamente al plano de incidencia.

147

Si el rayo reflejado está polarizado perpendicularmente al plano de incidencia, el rayo transmitido debe estar enriquecido en vibraciones paralelas al plano de incidencia. Por consiguiente si un rayo de luz natural A atraviesa varias láminas de vidrio experimentando una serie de transmisiones el rayo emergente B está prácticamente polarizado vibran-


Polarizaci´ on por doble transmisi´ on

La doble transmisión es la propiedad de algunas substancias, llamadas birrefringentes, a un rayo AB, corresponden dos rayos transmitidos BC y BD. La doble transmisión se debe a que en las substancias birefringentes hay dos velocidades de propagación de la luz para cada dirección. Si se observa un cuerpo a través de una substancia birrefringente se ven dos imágenes ligeramente desplazadas y debidas a los dos rayos de transmitidos. Entre las substancias birrefringentes se encuentran la calcita (CO3 Ca), el cuarzo, el hielo, etc.. El eje o´ptico de un cristal es la dirección a la cual corresponde una sola velocidad de propagación. Los cristales pueden ser uniáxicos o biáxicos seg´ un tenFigura 7.9: Polarización por doble gas uno o dos ejes o´pticos. En los cristales uniáxicos uno de los rayos llamado rayo ordinario, cumple con transmisión las leyes de la transmisión y le otro llamado rayo extraordinario, no las cumple. Cuando en un cristal birrefringente incide un rayo I de luz natural, el rayo ordinario O y rayo extraordinario E están polarizados en planos perpendiculares. 7.5.2.4.

Polarizaci´ on por absorci´ on selectiva o dicro´ısmo

Figura 7.10: Dicro´ısmo El dicro´ısmo es la propiedad que poseen algunas substancias birrefringentes absorben un rayo más que el otro; un ejemplo es la turmalina (borosilicato de aluminio) que absorbe prácticamente todo el rayo ordinario en solo unos mil´ımetros, de modo que solo emerge el rayo extraordinario que esta polarizado.

148


Figura 7.11: Esquema para el estudio de la actividad o´ptica 7.5.2.5.

Actividad ´ optica

La actividad o´ptica o poder rotatorio es la propiedad que tienen algunas substancias de hacer girar el plano de vibración cuando son atravesadas por la luz polarizada. Estas substancias se llaman o´pticamente activas. Por ejemplo si un tubo T , con sus extremos transparentes se dispone entre dos polaroides cruzados P y Q, el observados tendrá oscuridad porque P polariza la luz en forma horizontal EE, mientras que Q solo transmite la luz en la dirección vertical E 0 E 0 . Pero si llenamos el tubo con solución muy concentrada de az´ ucar en agua, O obtendrá iluminación siendo necesario girar el polaroide Q para obtener nuevamente oscuridad; lo cual indica que el agua azucarada ha hecho girar el plano de vibración un ańgulo θ que es igual al ángulo que se debe girar el polaroide Q para obtener oscuridad nuevamente. Las substancias que hacen girar el plano de vibración hacia la derecha se llaman dextrogiras y las que lo hacen girar a la izquierda se llaman levogiras. Entre las substancias dextrogiras está la sacarosa y el alcanfor, y entre las levogiras la levulosa y la trementina. La actividad óptica o poder de rotatorio α, se define como en ańgulo en grados θ dividido entre el espesor l en decimetros θ o α= l dm

7.5.3.

(7.24)

Grado de polarizaci´ on

Cuando un polarizador no es perfecto o ideal al otro lado no solo se obtiene la componente de polarización deseada sino tambien su perpendicular, suponiendo que el analizador si es ideal, este medirá una intensidad I|| cuando los ejes de transmisión son paralelos, y este medidor cuando los ejes son perpendiculares mide una intensidad I⊥ , el grado de polarización se define como:

149


P =

I|| − I⊥ I|| + I⊥

(7.25)

en el caso de tener un polarizador ideal, es decir que polariza por completo I⊥ = 0, obteniendose P = 1, en el caso de tener luz no polarizada I⊥ = I|| , en cuyo caso P = 0, por tal motivo el grado de polarización cambia entre 0 y 1

150

Movimiento Osc i La to Rio

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