TEMA: Vectores fuerza.
CURSO: Estática.
PROFESOR: Ing. Luis Alberto Ballena Rentería
FECHA DE ENTREGA: 01/12/2011
INTEGRANTES:
HUAYAMIS ZUÑIGA JOEL EDUARDO
SANCHEZ SERRANO EDGAR JUNIOR
VILLALOBOS MONTENEGRO CARLOS
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INTRODUCCIÓN La presente investigación sobre “Vectores Fuerza”. Está dirigido a dar conocer métodos y propiedades y ejemplos de aplicación. Muchos estudiantes tienen una idea remota de lo que conforma un vector de sus componentes y propiedades. Por eso es muy importante, entender mejor y más acerca de lo que es un vector fuerza. Debido a la creciente necesidad de nuestro mundo actual, de obtener un mayor conocimiento y comprensión de las leyes físicas para una mayor facilidad en cuestiones construir y analizar estructuras ya sean edificaciones como estructuras metalicas. Por las razones expresadas en estas líneas, el equipo encargado de realizar este trabajo, enfocara el tema, identificar sus componentes, enfatizando sus funciones y conceptos generales. Finalmente, se presentaran la manera de cómo identificar cada componente y dar saber sus funciones y propiedades de los vectores. Por la realización de este trabajo, el equipo, además de analizar críticamente las distintas fuentes de información escritas sobre el tema y obteniendo la información más relevante. Finalmente, queremos significar que un trabajo de la magnitud como lo es el tema de la “Vectores Fuerza” difícilmente puede ser abordado exhaustivamente, sin embargo creemos tocar los aspectos más resaltantes que sirvan para la identificación de cada componente y función ya mencionada.
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OBJETIVOS
Conocer los fundamentos y propiedades de los vectores fuerza.
Aprender a representar los vectores en el plano y en el espacio.
Estudiar las operaciones que se pueden realizar con los vectores en el plano y en el espacio.
Aplicar lo aprendido en situaciones de la vida cotidiana, dando solución a nuestro problema.
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ÍNDICE Pag. Introducción
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Objetivos
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Índice
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1. Definición de vector
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2. Escalares y Vectores.
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3. Operaciones vectoriales.
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4. Suma vectorial de fuerzas.
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5. Suma de un sistema de fuerzas coplanares.
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6. Vectores cartesianos.
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6.1. Sistemas de coordenadas derecho
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6.2. Componentes rectangulares de un vector
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6.3. Vectores unitarios cartesianos
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6.4. Representación de un vector cartesiano
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6.5. Magnitud de un vector cartesiano
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6.6. Dirección de un vector cartesiano
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7. Suma y Resta de vectores cartesianos.
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8. Vectores de Posición.
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9. Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea.
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10. Producto Punto.
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11. Ejercicios de aplicación real.
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Conclusiones
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Bibliografía
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1. Definición de vector La definición clásica de vectores. un vector es cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de dirección para su descripción completa. Cumple con las siguientes características: a). Tiene magnitud
b). Dirección. Indicado el ángulo con respecto a un eje (por ejemplo, la horizontal)
c). Sentido. Indicado por la dirección de la flecha.
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2. Escalares y Vectores Magnitudes Escalares Denominamos Magnitud escalar aquella cantidad física positiva o negativa que se puede especificar por completo mediante su magnitud. La longitud, la masa y el volumen son ejemplos de cantidades escalares.
Masa
Temperatura
Presión
Densidad
Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Una magnitud vectorial se suele representar mediante un vector. Desde el punto de vista geométrico un vector es un segmento orientado cuya longitud es igual o proporcional al valor de la magnitud, y su dirección y sentido coincide con la de la misma. Así una fuerza de 4 N en la dirección EO, sentido hacia el O se representa por una flecha cuya longitud (módulo) es de 4 orientada en la dirección y sentido indicado.
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Para ello tenemos previamente que definir la unidad de vector (vector unitario) en ese sentido: En la figura se representa una fuerza de módulo 4 unidades de dirección Este Oeste y sentido hacia el oeste. 3. Operaciones vectoriales. Dos vectores son iguales si lo son sus módulos sus direcciones y sus sentidos.
En física hay muchas circunstancias en las que hay que sumar magnitudes vectoriales. Por ejemplo cuando dos fuerzas
El sistema de dos fuerzas
y
y
actúan sobre un cuerpo en el mismo punto O.
es equivalente a una única fuerza
actuando sobre el
mismo punto. Para conocer el módulo dirección y sentido de dicha fuerza tenemos que construir un paralelogramo a partir de los vectores que se suman. =
y
Más adelante veremos que el módulo del vector suma se puede obtener analíticamente mediante la expresión
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Siendo
el ángulo que forma el ángulo que forman los vectores
y
Un caso particular interesante es cuando los dos vectores son paralelos. En ese caso la expresión anterior se convierte en el conocido Teorema de Pitágoras.
Vector nulo: Es aquel cuyo modulo es cero ( El origen y el extremo coinciden) Vector opuesto: El vector opuesto a un vector
es otro vector (- ) de igual módulo y dirección y sentido
opuesto
Se verifica que
+(- )=
Diferencia de vectores: El la suma con el opuesto. -
=
+(-
)
Propiedades de la suma de vectores: Propiedad asociativa: ( + )+ = +( + ) Propiedad conmutativa:
+ = +
Elemento neutro:
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Elemento opuesto: Producto de un vector por un número Dado un vector
el resultado de multiplicarlo por un escalar es otro vector
dirección es la misma que la de
= cuya
, su módulo es b=a y su sentido es el mismo si >0 y
contrario si <0.
4.Suma vectorial de fuerzas Dos fuerzas concurrente cualesquiera F1 y F2 que actúen sobre un cuerpo se pueden sustituir por una sola fuerza F, llamada resultante, que producirá sobre el cuerpo el mismo efecto que las dos fuerzas originales. La resultante de las dos fuerzas se puede determinar sumándolas vectorialmente mediante la regla del paralelogramo. Matemáticamente, la suma de las dos fuerzas viene dada por la ecuación vectorial F1 + F2 = R En la figura, puede verse el proceso mediante el cual se suman gráficamente dos fuerzas empleando la regla del paralelogramo.
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La resultante R de dos fuerzas también puede determinarse gráficamente utilizando la mitad del paralelogramo. Como dicha mitad es un triángulo, a este método se le llama regla del triángulo para la adición de vectores. Cuando se use la regla del triángulo para determinar la resultante R de dos fuerzas F1 y F2, se dibuja primeramente a escala la fuerza F1; después, se dibuja a escala la fuerza F2 con su dirección y sentido y colocando su origen en el extremo de la fuerza F1. El lado de cierre del triángulo, trazado desde el origen O de F1 hasta el extremo de la fuerza F2, determina la resultante R. En la figura siguiente se ilustra el proceso mediante el cual se suman dos fuerzas utilizando la regla del triángulo. Al triángulo así construido se le da el nombre del triángulo de fuerzas.
Alternativamente, se puede dibujar primero la fuerza F2; luego se dibuja la fuerza F1, con su dirección y sentido y colocando su origen en el extremo de la fuerza F2. De nuevo, la resultante R de las dos fuerzas está determinada por el lado de cierre del triángulo. Según se ve en la figura F1 + F2 = F2 + F1 = R Los resultados indicados en la figura demuestran que la resultante R no depende del orden en que se tomen las fuerzas F1 y F2. La figura es una ilustración gráfica de la ley conmutativa para la adición vectorial. Los métodos gráficos para la determinación de la resultante de dos fuerzas exigen un dibujo a escala preciso si se quieren obtener resultados precisos. En la práctica, se obtienen resultados numéricos utilizando métodos trigonométricos basados en el teorema del seno y el teorema del coseno junto con esquemas del sistema de fuerzas. Por ejemplo,
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consideremos el triángulo de la figura última, que es análogo al triángulo de fuerzas que se ilustra en las figuras anteriores. Para este triángulo genérico, el teorema del seno dice =
=
y el del coseno dice
El procedimiento para la determinación de la resultante R de un sistema de fuerzas utilizando los teoremas del seno y del coseno se pone de manifiesto en el ejemplo siguiente.
OJO
Un escalar es un número positivo o negativo.
Un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.
La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar cambiará la magnitud del vector. El sentido del vector cambiará si el escalar es negativo.
Como un caso especial, si los vectores son colineales, la resultante se forma mediante una suma algebraica o escalar.
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EJERCICIO
SOLUCIÓN
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5. Suma de un sistema de fuerzas coplanares. Se ha estudiado la aplicación de las reglas del paralelogramo y del triángulo a la determinación de la resultante R de dos fuerzas concurrente F1 y F2 o de tres o más fuerzas concurrente F1, F2,…, Fn. De igual manera, una fuerza F se puede sustituir por un sistema de dos o más fuerzas Fa, Fb,…, Fn. Estás últimas reciben el nombre de componente de la fuerza original. En el caso más general, las componentes de una fuerza pueden constituir un sistema cualquiera de fuerzas que se puedan combinar mediante la regla del paralelogramo para dar la fuerza original. Tales componentes no tienen por qué ser concurrentes o coplanarias. Sin embargo, el término componente se utiliza normalmente para designa una de dos fuerzas coplanarias concurrentes o una de tres fuerzas concurrente no coplanarias que se pueden combinar vectorialmente para reproducir la fuerza original. El punto de concurrencia debe hallarse en la recta soporte de la fuerza original. El proceso de sustituir una fuerza por dos o más fuerzas recibe el nombre de descomposición o resolución El proceso de descomposición no da un conjunto único de componentes vectoriales. Por ejemplo, consideremos los cuatro esquemas coplanarios representados en la figura. En ello resulta evidente que:
A+B=R C+D=R
E+F=R G+H+I=R
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Donde R es el mismo vector en todas las expresiones. Así pues, para todo vector existirá una infinidad de sistema de componentes. OJO
La resultante de varias fuerzas coplanares puede determinarse fácilmente si se establece un sistema coordenado x, y y las fuerzas se descomponen a lo largo de los ejes.
La dirección de cada fuerza está especificada por el ángulo que forma su línea de acción con uno de los ejes, o por medio de un triángulo de pendiente.
La orientación de los ejes x y y es arbitraria, y sus direcciones positivas pueden especificarse mediante los vectores unitarios cartesianos i y j.
Las componentes x y y de la fuerza resultante son simplemente la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas coplanares.
La magnitud de la fuerza resultante se determina mediante el teorema de Pitágoras, y cuando las componentes se bosquejan sobre los ejes x y y, la dirección puede determinarse por trigonometría.
EJERCICIO
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SOLUCIÓN
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6. VECTORES CARTESIANOS Las operaciones de algebra vectorial. Cuando se aplican a la resolución de problemas en tres dimensiones. Se simplifican considerablemente si primero se representa los vectores en forma vectorial cartesiana. 6.1. SISTEMAS DE CORDENADAS DERECHO El sistema de coordenada derecho para desarrollar la teoría del algebra vectorial , se dice que es un sistema de coordenado rectangular es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en la dirección del eje z positivo . Cuando los dedos de la mano derecha se curvan alrededor de este eje y están dirigidos del eje x positivos hacia el eje y positivos
6.2. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Un vector cualquiera puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes de coordenadas x ,y ,z dependiendo de cómo este orientado con respecto a los ejes .se representa mediante la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares.
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6.3. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS En tres dimensiones , el conjunto de vectores unitarios cartesianos i,j,k se usa para designar las direcciones de los ejes x,y,z respectivamente . en la figura se muestran los vectores unitarios cartesianos positivos .
6.4. REPRESENTACION DE UN VECTOR CARTESIANO Si las tres componentes de A actúan en las direcciones positivas i, j,k podemos escribir A en forma de vector cartesiano como:
6.5. MAGNITUD DE UN VECTOR CARTESIANO La magnitud de A es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados
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6.6. DIRECCION DE UN VECTOR CARTESIANO
Para una manera fácil de obtener los cosenos directores en A es formar un vector unitario en la dirección de A
Se observa que las componentes i,j,k de uA representan los cosenos directores de A , esto es,
Como la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadra positiva de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes y uA tiene una magnitud de uno , a partir de la ecuación anterior puede formularse una importante relación entre los cosenos directores como:
si la magnitud y los ángulos directores de A son dados , entonces A se puede expresar en forma vectorial cartesiana como: 18
7. SUMA DE VECTORES CARTESIANOS La suma o resta de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores se expresan en términos se sus componentes cartesianas. Por ejemplo:
Entonces el vector resultante S , tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i,j,k de A,B,C ,es decir ,
Si generalizamos la ecuación y se aplica a un sistema de varias fuerzas concurrentes, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes en el sistema y puede escribirse de la siguiente manera:
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PROPIEDADES
1. Conmutativa a+b=b+a 2. Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) 3. Elemento neutro o vector 0 a+0=0+a=a 4. Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 a' = -a OJO
El análisis vectorial cartesiano se usa a menudo para resolver problemas en tres dimensiones.
Las direcciones positivas de los ejes x, y, z se definen mediante los vectores unitarios cartesianos i, j, k, respectivamente.
La magnitud de un vector cartesiano es :
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La dirección de un vector cartesiano se especifica usando ángulos directores coordenados α, β, γ que la cola del vector forma con los ejes positivos x, y, z, respectivamente. Las componentes del vector unitario UA = A/A representan los cosenos directores de α, β, γ. Sólo dos de los ángulos α, β, γ tienen que ser especificados. El tercer ángulo se determina a partir de la relación:
En ocasiones la dirección de un vector se define usando otros dos ángulos<, en este caso las componentes vectoriales se obtienen mediante descomposición vectorial por medio de trigonometría.
Para encontrar la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y sume las componentes i, j, k de todas las fuerzas del sistema.
8 . Ve c tor de posi c i ón de un punt o e n e l pl an o de c oor de na das
E l ve c t or
que une e l ori ge n de c oorde na da s O c on un punt o P se
l l a ma ve c t or de posic i ón del punto P
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Coor de na das o c ompone nte s de un ve c tor e n e l pl an o
Si l a s c oorde na da s de A y B son :
La s c oorde na da s o c om pone nt e s de l ve c t or
son l a s c oorde na da s del
e xt re m o m e nos l a s c oorde na da s de l ori ge n
Eje mpl o Ha l l a r l a s c om pone nt e s de un ve c tor c u yos e xt re m os son :
Un ve c t or
t i e ne de c om pone nt e s (5,2). Ha l l a r l a s c oorde na da s de A
si se c onoc e el e xt re m o B (12, -3) .
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9. VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LINEA En problemas tridimensionales de estática , la dirección de una fuerza se especifica por dos punto a través de los cuales pasa una línea de acción . Como se muestra en la figura:
La fuerza F esta dirigida a lo largo de la cuerda AB . también podemos formular F como un vector cartesiano al observar que esta fuerza tiene la misma dirección y sentido que el vector que el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda .
Aunque hemos representado la fuerza F simbólicamente en la figura mostrada observe que tiene unidades de fuerza, a diferencia de r , que tiene unidades de longitud
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La fuerza F que actua a lo largo de la cadena puede ser representado como un vector carteciano si se establesen primero los ejes x,y,z se forma un vector de posicion r a lo largo de la longitud de la cadena . despues se puede determinar el vector unitario correspondiente u=r/r , esto se define la direccion tanto de la cadena como de la fuerza . finalmente la magnitud de la fuerza se combina con su direccion F=FU
Notas inportantes :
Un vector de posicion localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto
La formulacion mas sencilla de la componentes de un vector de posicion consiste en determinar la distancia y la direccion x,y,z, desde la cola hasta la cabeza del vetor
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La fuerza F que actua en la direccion de un vector de posicion r puede ser representado en forma cartesiana si de determina el vector unitario u del vector de posicion yeste se multiplica por la magnitud de la fuerza , es decir QUE F=Fu=F(r/r)
10. Producto punto.
El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto punto
Ejemplo Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1). (1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas
= (−3, 2, 5) en una base
ortonormal.
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Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Determinar el ángulo que forman los vectores
= (1, 2, −3) y
= (−2, 4, 1).
Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Ejemplo Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).
Propiedades del producto punto 1.Conmutativa
2. Asociativa
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3. Distributiva
4 .El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Interpretación geométrica del producto punto El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
OA' es la proyección escalar de OA sobre el vector OB. El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario, de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.
Ejercicio Dados los vectores
y
hallar: 27
1. Los módulos de
y
2. El producto escalar de
·
y
·
3. El ángulo que forman.
4. El valor de m para que los vectores
y
sean ortogonales.
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11. Ejemplos de aplicación real.
Problemas de Estática: vectores fuerza 1. Ciertos aficionados a la pesca submarina han tenido la suerte de descubrir los restos de una embarcación que se hundió a 30 m de profundidad, durante una terrible tempestad, mientras navegaba desde Puerto Salaverry al Callao. Por ser unos sujetos descuidados e incoscientes, para extraer un cofre pesado (8T), que parece tener interés, tiran de él mediante tres cables lanzados desde balsas, tal como indica la figura Los módulos de las tensiones de los cables son respectivamente:
Calcular la tensión, dirección y punto del cofre en el que tendría que estar anclado un solo cable para obtener el mismo efecto. Deben despreciarse los efectos debidos a la presión hidrostática. En la figura no están proporcionadas las dimensiones.
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Solución
Se trata de sustituir el efecto que producen tres cables por un único cable. El conjunto de los tres cables tirando del cofre equivale mecánicamente a un sistema de tres fuerzas aplicadas sobre aquél. Este sistema tendrá como sistema equivalente, en cualquier punto del cofre, una fuerza RESULTANTE y un MOMENTO, pudiendo sustituirse, a efectos externos, las fuerzas ejercidas por los cables por ambos vectores (sistema equivalente) en el citado punto. Si existe al menos un punto del cofre en el que el momento producido por las fuerzas que ejercen los cables es nulo, en ese caso y sólo en ése, el sistema equivalente en ese punto se compondrá únicamente de fuerza RESULTANTE, por lo que la acción de una única fuerza, igual a la resultante aplicada en el punto, producirá el mismo efecto que los tres cables juntos. Esta fuerza, si es de tracción, puede ejercerse mediante un solo cable, pudiendo resolverse, en este caso, el problema planteado. Para que un sistema de fuerzas dado (de RG distinto de O) produzca momento nulo en un punto es necesario que su Invariante Escalar sea nulo; por ello, ésta será la primera comprobación a efectuar.
Debe notarse que se trata de sustituir tres cables por uno solo; debido a ello, el peso del cofre no interviene a ningún efecto. Tomando el sistema de referencia de la figura, las coordenadas de los puntos son:
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De donde:
Tomando momentos respecto del origen O de coordenadas.
Calculando el invariante escalar del sistema:
El momento mínimo del sistema no es nulo, luego pon pueden sustituirse las fuerza que componen el sistema únicamente por la resultante general; por tanto, no se pueden sustituir los tres cables dados por un cable único.
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2. El tramo horizontal de tubería doblemente acodad en ángu.o recto está suspendido mediante cales verticales de tensiones respectivas T1, T2, T3, T4, T5 y dos tirantes horizontales qu se representan por las fuerzas F1 y F2. Por tener que dejar espacio libre para el paso de las otras instalaciones, es necesario eliminar los cables que producen t1, t2, t3, t4, así como los tirantes F1 y F2; paa ello se intenta sustituir estos apoyos por un solo miembo ríguido que sea capaz de ejercer fuerzas y momenos únicamente en su dirección. Encontrar el punto de apoyo y la dirección de la señalada barra rígida, así como las fuerzas y momentos que ésta ejerce. Explicar brevemente las conclusiones que se obtengan.
Solución Se trata de sustituir las tensiones de los cables T1, T2, T3, T4 y de las fuerzas F1 y F2 por un sistema equivalente formado por una fuerza resultante y un momeno que tengan la misma dirección, que será la de la barra que va a soportarlos. Ya que la resultante y el momentos tienen que tener la misma dirección, el momento será mínimo y definirá, con su dirección, la del eje central. La barra rígida, que soporta las acciones de fuerza y momento, tendrá que estar situada sobre el eje central y con un punto de apoyo en la tubería. Tomando unos ejes, según lo mostrado; la forma analítica de las fuerzas será 32
Siendo la resultante:
Un procedimiento rápido para hallar la solución se puede obtener de la siguiente forma: T1 y T4 pueden sustituirse por su suma en el punto medio de la línea que une sus puntos de aplicación, como se muestra en la figura anterior. En ese punto P se pueden sustituir por T1 + T2 = 40k kg T2 y T3 pueden sustituirse por su suma en el punto medio de la línea que unen sus puntos de aplicación (punto P); T2 + T3 = 60K F1 y F2 es un par de módulo |Mp| = 2|F1| = 60 kg.m, de dirección perpendicular al plano del par y de sentido según la regla de la mano derecha; Mp = 60k kg.m. Puesto que un par es un vector libre, éste puede estar aplicado en el punto P. Luego el sistema equivalente en el punto P tiene una resultante 100k kg y un momento 60k kg.m, siendo ambos vectores colineales y verticales. Por ello la barra buscada será vertical y ligada al punto P de coordenadas (1, 0, 0) m.
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El método general utiliza el sistema equivalente y debe tomarse como la forma habitual para resolver estos problemas. Tomando el sistema de coordenadas de la siguiente figura.
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CONCLUSIONES
Los vectores son herramientas importantes en la física para poder representar diferentes tipos de fuerzas.
Analizar los vectores en el espacio nos acerca más a los problemas comunes que se presentan en la vida cotidiana.
Los nos sirven para poder analizar posición de un cuerpo en el espacio principalmente.
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BIBLIOGRAFÍA Hibbeler, Russel C. 2004. “Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática”. 10ma edición. Traducido por José de la Cera Alonso. D. F. México: Pearson Educación. Beer, Ferdinand P., E. Russel Johnston y Elliot R. Eisenberg. 2004. “Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática”. 7ma edición. Traducido por María de los Ángeles Izquierdo Castañeda. México D. F: McGraw-Hill Interamericana. Bedford, Anthony y Wallace Fowler. 2000. “Mecánica para Ingeniería: Estática”. Traducido por José E. de la Cera Alonso y Antonio Martín-Lunas. México D. F: Addison Wesley.
LINKOGRAFÍA http://books.google.com.pe/books?id=ZToL08fbE00C&pg=PA1&dq=est%C3%A1tica+apl icada&hl=es&ei=p7HXTsXpDMPegQfGzcznDg&sa=X&oi=book_result& ct=result&resnum=4&ved=0CDwQ6AEwAw#v=onepage&q=est%C3%A1t ica%20aplicada&f=false http://books.google.com.pe/books?id=z_hVpSse6MC&pg=PA105&dq=est%C3%A1tica+aplicada&hl=es&ei=H7LXTvK LBsrPgAeb_OX3Dg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0 CFUQ6AEwCA#v=onepage&q=est%C3%A1tica%20aplicada&f=false
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