UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA Programa Nacional De Formación Y Capacitación Permanente 2008
MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA MATEMÁTICA
MODULO Nº 6
Diagrama de Carroll, Venn
2008
DIAGRAMAS DE CARROLL Y VENN
LOGRO DE APRENDIZAJE
RESUELVE RESUELVE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS APLICANDO CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS Y COMUNICA LOS RESULTADOS A TRAVÉS DE DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN
Situación Problemática
Cuatro acusados de haber ocasionado los apagones en el IDEPUNP son entrevistado por el director, dire ctor, ellos afirman. Samuel:”Benito participo”. Benito: “Domingo participo”. Luisa: “Yo no fui”. Domingo: “Benito miente”. Se sabe que tres de ellos mienten y el otro dice la verdad. ¿Quién es el único inocente? Samuel b) Benito c) Luisa d) Domingo e) Faltan Datos INTRODUCCIÓN
INTRODUCCION Estimados docentes participantes: Les present presentamo amoss a contin continuaci uación ón el módulo módulo denomin denominado ado DIAGRAM DIAGRAMAS AS MATEMA MATEMATICOS: TICOS: Diagramas de Venn, Lewis Carroll y Cuadros Lógicos. Teniendo en cuenta que una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos explica explica el funcio funcionami namient ento o de una colecció colección n de elemen elementos tos cuando cuando realiza realizamos mos alguna operación con ellos. Una primera primera dificu dificulta ltad d que se nos presenta presenta al estudi estudiar ar esta teoría, teoría, pues se empi empiez eza a sin sin una una defi defini nici ción ón valid valida. a. El conce concept pto o de conj conjunt unto o se acept acepta a sin sin definición. La segunda dificultad es la de las operaciones con conjuntos. Una parte que sin lugar a dudas es muy importante puesto que influirá en otras teorías matemáticas. matemáticas. Es por ello que en el presente modulo trabajaremos los diferentes diagramas matemáticos que nos permitirán corregir, de alguna manera, dichas dificultades
Diagramas de Venn Consiste en representar gráficamente los conjuntos matemáticos mediante círculos, elipses, rectángulos u otras figuras de regiones planas; lo cual nos permite realizar una serie de operaciones como unión, intersección, etc. Así tenemos:
Donde R es un conjunto referencial; A, B son conjuntos arbitrarios. Estas operaciones se pueden aplicar a más de dos conjuntos.
Complemento: '
A ∪ A = U '
A ∩ A = φ
PROPIEDADES
( A )
Sean Sean los los conj conjun unto toss arbi arbitr trar ario ioss A, B y C. Además el conjunto universal U. Unión :
φ '
' '
A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa)
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( Asociativa) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ( Distributiva con respecto a la int er sec ción ) A ∪ A = A ( Idempotencia ) A ∪ φ = φ A ∪ U U
= A
= U '
U = φ
Diferencia Simétrica: A∆ B = B∆ A
Conmutativ a
( A∆ B ) ∆C = A∆( B∆C ) Asociativa A ∩ ( B∆C ) = ( A ∩ B ) ∆ ( A ∩ C ) A∆ A = φ A∆φ = A
Donde R es un conjunto referencial; A, B son conjuntos arbitrarios. Estas operaciones se pueden aplicar a más de dos conjuntos.
Complemento: '
A ∪ A = U '
A ∩ A = φ
PROPIEDADES
( A )
Sean Sean los los conj conjun unto toss arbi arbitr trar ario ioss A, B y C. Además el conjunto universal U. Unión :
φ '
' '
A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa)
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( Asociativa) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ( Distributiva con respecto a la int er sec ción ) A ∪ A = A ( Idempotencia )
Intersección:
Diferencia Simétrica: A∆ B = B∆ A
Conmutativ a
( A∆ B ) ∆C = A∆( B∆C ) Asociativa A ∩ ( B∆C ) = ( A ∩ B ) ∆ ( A ∩ C )
Leyes de Morgan
B ∩ A (Conmutativa )
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) ( Asociativa) A ∩ A = A ( Idempotencia )
'
U = φ
A∆φ = A
A ∪ U = U =
= U
A∆ A = φ
A ∪ φ = φ
A ∩ B
= A
( A ∪ B ) '
= A ∩ B
( A ∩ B ) '
= A ∪ B
'
'
'
'
A ∩ φ = φ A ∩ U = A
Problemas Resueltos 1. Si A = {mu {muje jere res} s} B = {gente que fuma} ¿Cómo se expresa el enunciado hombres que no fuman? a) A ∩ B b) A' ∩ B' c) A' ∩ B d) (A ∩ B)' e) A ∩ B'
Solución: A' = {hombres} B' = {gente que no fuma} A' ∩ B' (sector común o gente gente con ambas características) → A' ∩ B' = {hombres que no fuman} Rpta b. 2.
Si una lista de 5 entrenadores de Vóley se debe formar un comando técnico integrado por lo menos por 2 personas. ¿Cuántas posibilidades se tienen? a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30
Solución
Sea el conjunto de entrenadores dado por E = {A, B, C, D, E} Se puede formar en total: Comand ndos os técn técnic icos os dife difere rent ntes es pero pero como como debe debe habe haberr como como míni mínimo mo 2 25 = 35 Coma entrenadores se anulará: los conjuntos unitarios (5) y el conjunto vacío. Luego el total será: 32 - 6 = 26 Rpta a
Problemas Propuestos 1.
En un estante hay 80 libros, de los cuales 20 sólo son de aritmética, 34 son de geometría y 13 son de aritmética y geometría. ¿Cuántos libros son de otros cursos? a) 24 b) 25 c) 26 d) 28
2.
De 80 integrantes del Colegio profesional de Maestros, 43 practican fútbol; 34 básquet; 21 natación; 18 fútbol y básquet; 14 básquet y natación; 10 fútbol y natación y 9 practican los tres deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de los tres deportes? ¿Cuántos juegan por lo menos un deporte? a) 20;60 b) 25;55 c) 30;50 d) 15;65
3.
En la empresa de fumigación AVIASA, trabaj trabajan an 125 persona personass entre entre obreros obreros,, empleados y funcionarios. Si 45 son hombres, 68 son obreros, 11 mujeres son funcionarios y 26 son empleados, de los cuales 14 son hombres, ¿Cuál es el número de obreras? ¿Cuál es el número de empleadas? a) 57;12 b) 14;12 c) 57;14 d) 11;14
4.
Obrero, 48 son mujeres, 81 De un grupo de 120 estudiantes de la I.E. San José Obrero estudian inglés y 19 son mujeres que no estudian inglés. ¿Cuántos hombres no estudian inglés? a) 40 b) 20 c) 30 d) 80
5.
De 100 docentes de la I.E. Nuestra señora de Perpetuo Socorro, que leen por lo menos dos tres diarios A, B y C, 40 leen B y C 60 leen A y C. ¿Cuántas docentes leen los tres diarios? a) 15 b) 25 c) 35 d) 55
6.
De 120 alumnos de la I.E. Enrique López Albujar , a 92 les gusta manejar bicicleta y a 32 les gusta montar a caballo. caballo. ¿Cuántos son los alumnos a los que les gustan ambas cosas, si todos gustan por lo menos de alguno de estos juegos? a) 4 b) 5 c) 3 d) 8
7.
En la sección del primer año A de la I.E. Almirante Miguel Grau , hay 36 Alumnos, de los cuales 16 gustan del curso de comunicación y 28 gustan del curso de
matemática. Si todos gustan de, al menos, uno de los dos cursos, ¿Cuántos alumnos gustan a la vez de los dos cursos? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 8.
De un grupo de 40 personas de la Ejidos de Huan , 15 no estudian ni trabajan, 10 estu estudi dian an,, y 3 estu estudi dian an y trab trabaj ajan an.. ¿Cua ¿Cuant ntos os real realiz izan an solo solo una una de las las dos dos actividades? a) 20 b) 23 c) 21 d) 22
Problemas de Autoevaluación 1.- En una reunión, 46 docentes de la I.E. José Olaya Balandra, usaban relojes, relojes, 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿Cuántas docentes asistieron a la reunión, si todas llevaban al menos una de las dos prendas? a) 50 b) 58 c) 52 d) 46 2.- De 100 estudiantes de la I.E. Nuestra Señora de Pilar , son encuestados, sobre si practican fútbol y básquet, 20 no practican estos dos deportes, 30 no practican fútbol y 60 no practican básquet. ¿Cuántos practican fútbol y básquet? a) 20 b) 23 c) 30 d) 22
PNP. Bacilio Ramírez Peña , los que hablan sólo inglés 3.- De 106 alumnos de la I.E. PNP. son tantos como los que hablan inglés y francés; además, los que hablan sólo francés francés son la quinta quinta parte de los que hablan hablan inglés. inglés. Si 10 alumnos alumnos no hablan hablan ninguno de estos idiomas, ¿Cuántos hablan sólo francés? a) 40 b) 32 c) 4 d) 16 e) 8 4.- Se reciben 80 alumnos alumnos de la I.E: Ignacio Sánchez, para hacer deporte. 25 juegan fútbol fútbol,, 45 juegan juegan básquet, básquet, y ninguno ninguno de los que juegan juegan fútbol fútbol o básquet básquet juega juega voley. voley. Si los que juegan voley son 20, ¿Cuántos juegan fútbol y básquet? a) 9 b) 10 c) 20 d) 12 e) 13
ESTRATEGIAS ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Diagrama de Lewis Carroll Cuando trabajamos con conjuntos disjuntos, utilizamos diagramas de Carroll, que son cuadros de doble entrada usados para organizar datos en la solución de problemas en los que se establecen relaciones dobles. Problemas Resueltos
1.
En un aula de 75 alumnos de la I.E. Complejo La Alborada, el 32% son mujeres. Al 64% del salón la biblioteca les presta su libro de aritmética y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. ¿Cuántos hombres prestaron el libro de aritmética, si todos los alumnos tienen libros? a) 25
b) 28
c) 32
d)38
e)40
Solución Completamos la tabla según los datos dados. Sea # de hombres que prestaron el libro: “x” Hombres x? 27-8=19
Mujeres
total Luego: x = 51-19 Prestaron 64%(75)=48 Rpta: Compraro 8 75-48=27 = 32 . c n Total 75-24=51 32%(75)=24 75 2. De un grupo de 70 mujeres de la I.E. Víctor Francisco Rosales Ortega: • 24 tienen ojos azules pero no tienen 15 años. • 8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 años. • De los que no son mayores de 18 años, 14 no tienen ojos azules ni negros. ¿Cuántas quinceañeras tienen ojos azules, si ellas son la tercera parte de todas las que tienen ojos negros?. a) 4 b) 5 c) 6 d)7 e)8
Solución Completando la tabla: Edad Azules Mayores de 18 a 15 años b? Menores de 18 c Total • • • •
Negros p q z p+q+z
Otros colores 8 x y
De la 1º premisa y la tabla: a+c=24 (1) De la 3º premisa y la tabla: x+y=14 (2) De la condición y la tabla : 3b = p+q+z (3) El total de mujeres es 70 (dato) y de la tabla : Total = (a+p+8)+(b+q+x)+(c+z+y) (a+p+8)+(b+q+x)+(c+z+ y) = 70 (a+c)+(p+q+z)+(x+y)+b+8 = 70 (4) Reemplazando (1), (2) y (3) en (4) se tiene: b=6
Problemas Propuestos
Total a+p+8 b+q+x c+z+y 70
Rpta: c
1.
En un salón de clase de la I.E. San Miguel, se hace una encuesta para saber quien es el mejor jugador de fútbol de todos los tiempos, entre el argentino Maradona, el brasileño Pelé y el francés Zidane. Se sabe que 18 mujeres votaron en total; 5 hombres eligieron a Zidane; 18 en total votaron por Pelé; 5 hombres votaron por Maradona; 7 en total votaron por Zidane y 10 mujeres eligieron a Pelé. ¿Cuá ¿Cuánt ntos os alum alumno noss tien tiene e la clas clase e y cuan cuanto toss voto votoss obtu obtuvo vo el gana ganado dorr de la encuesta? a) 36; 18
b) 32;16
c) 38;18
d) 35;150
2. El Congres Congreso o de la Repú Repúbl blic ica a de un país país está está compues compuesto to por 120 120 cong congres resis ista tass (entre oficialistas y de oposición), de los cuales 53 son oficialistas. Se hizo una votación para aprobar al aumento de sueldo de los maestros. Si sabemos que 40 congr congres esis ista tass de la oposi oposici ción ón votaro votaron n a favor favor del del aumen aumento to,, 28 congre congresi sist stas as oficialistas votaron en contra, ninguno se abstuvo y todos asintieron, ¿se aprobó el aumento de sueldo de los maestros? ¿Con cuántos votos? a) Sí 65 3.
b) Sí 55
c) No 65
d) No 55
En una encuesta entre 149 alumnos de la Universidad Nacional de Piura y de la Universidad Universidad Nacional Pedro Ruz Gallo se averiguo averiguo que 79 alumnos estudian en la UNPRG; 43 estudian Ciencias; 18 estudian Educación en la UNPRG; 23 alumnos estudian Ciencias en la UNP y 32 estudian Letras en la UNP. ¿Cuántos alumnos estudian Ciencias en la UNPRG? ¿Y cuántos Educación en la UNP? a) 20; 18
b) 18; 20
c) 20;15
d) 23;15
4.
En un congreso sobre educación organizado por la UNP. participaron 90 personas entr entre e esco escola lare res, s, univ univers ersititari arios os y profe profesi siona onale les: s: 8 varon varones es son son escol escolare ares, s, 23 varones no son universitarios, 27 varones no son escolares y 10 damas son profesionales. ¿Cuántas damas son escolares o universitarias? a) 35 b) 45 c) 55 d) 40
5.
Una examen aplicado a 90 docentes participantes participantes de PRONAFCAP - PIURA, nos ofrece la siguiente información: 32 son varones y no fuman; 31 son mujeres y no se dedican a la política; 11 son varones, se dedican a la política y fuman; 3 son mujeres, se dedican a la política y fuman, y 8 son mujeres, se dedican a la política y no fuman. ¿Cuántos varones no se dedican a la política y fuman? a) 5
b) 10
c) 15
d) 8
En una aula de 40 alumnos de la I.E. Jorge Basadre: hay 4 mujeres mujeres que que tienen tienen 17 años,12 mujeres no tienen 18 años,16 mujeres no tienen 17 años, 8 varones no tienen 17 ni 18 años, además hay tantos estudiantes de 17 años como de 18 años. Hallar la cantidad de varones de 18 años. a) 4 b) 5 c) 3 d) 8
6.
CiudadeV soley oley Tenis enis CNata Na arataci cción tCont Co eón ríntab stabil icailid sidad ad Blanco Admi Admini nist strac ració Rojo ió Publicidad Azul Arnulfo Lima Cusco Iquitos Tímido Agresivo Lniberal André Justo no Sí no Julio Gerardo no no no no sí sí Dante Sí no no 5.5.Margarita, Silvia y Janet radican en 3 países distintos: Perú, Chile y España. Ellas estudian Medicina, Administración y Arte. Se sabe que: Margarita no radica en Chile. I. Silvia no radica radica en en España. España. II. III. III. La que que radi radica ca en en Chil Chile e no estu estudi dia a Admi Admini nist stra raci ción ón.. IV. IV. Silvia no estudia Medicina. V. La est estudi udiant ante de Arte Arte radi radica ca en Espa España ña.. ¿Dónde radica Janet y qué estudia? Perú
Chile España
Margarit a Silvia Janet
Medicina Admin .
Arte
Problemas de Autoevaluación 1.
Tres profesoras de la I.E. Los Algarrobos: Catherine, Verónica , Mariela tienen X, Y, Z libros aunque no necesariamente en ese orden. Identificar ¿Cuántos libros tienen cada una respectivamente? Si: I.- Verónica Verónica le dice a la que tiene tiene Y que la otra tiene Z libros. II.- Mariela le dice a la que tiene tiene Z que tiene sed. a) X, Y, Z b) Z, Y, X, c) Z, X, Y, d) Y, Z , X, e) No se puede puede dete determi rminar nar..
2. Manuel Manuel,, Percy Percy,, Cesar Cesar y Miguel Miguel,, tienen tienen diferent diferentes es ocupaci ocupaciones ones y domici domicilio lios. s. Sabemos que: I.- Manuel reside en Piura. II.- Miguel vive en Morropón III.- Uno de ellos es profesor. IV.IV.- El dibujante vive v ive en Catacaos. V.- César no vive en Piura ni en Catacaos. VI.- El vendedor trabaja en Tumbes. VII.- Miguel es agricultor. ¿Cuál es la ocupación y el domicilio correcto corr ecto de cada uno de ellos? a)
Percy- Catacaos - Agricultor. Agricultor.
b) c) d) e)
César – Catacaos - Vendedor. Vendedor. Miguel- Piura – Profesor. César- Tumbes- Vendedor. Vendedor. Miguel-Morropón- Vendedor. Vendedor.
