PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO #1 Un camión puede transportar como máximo 9 Tm. por viaje. En un viaje desea transportar al menos 4 Tm. de la mercancía A y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que cobra 30 pts./kilo de A y 20 pts./kilo de B, ¿cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima? EJERCICIO #2 Resolver, gráficamente, el siguiente sistema de
inecuaciones: EJERCICIO #3 Los 500 alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje dispone de 10 autobuses de 40 plazas y 8 de 50, pero sólo de 11 conductores en ese día. El alquiler de los autobuses pequeños es de 5000 pts. y el de los grandes de 6000 pts. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? EJERCICIO #4 Resolver gráficamente el sistema de
inecuaciones: EJERCICIO #5 Una fábrica produce dos modelos A y B de un producto. El beneficio que arroja el modelo A es de 4000 pts./unidad y el del B 6000 pts./unidad. La producción diaria no puede superar 400 unidades del modelo A ni 300 del B y en total no pueden superarse las 600 unidades. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica para obtener el máximo beneficio? EJERCICIO #6 Hallar el máximo y el mínimo de la función f(x,y) = x + y sometida a
las restricciones: EJERCICIO #7 En unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando están abiertos al público y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de
seguridad, debe haber más vigilantes cuando están abiertos. Si el salario nocturno es un 60% más alto que el diurno, ¿cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo más económico posible? EJERCICIO #8 Maximizar y minimizar la función f(x,y) = 2x + y - 1 sujeta a las
restricciones:
EJERCICIO #9: Resuelva el siguiente problema de maximización de la función Z:
Conteste: a) Si se añaden dos unidades del factor limitante A, ¿ en cuánto variará el producto de cada proceso para que la solución continúe siendo óptima ? b) ¿ Sería conveniente introducir la actividad X 3 si los requerimientos por unidad de producto de dicha actividad de los insumos A y B son respectivamente, 1.5 y 2.5; y el precio unitario del producto de dicho proceso es $9.
EJERCICIO #10 Resuelva el siguiente problema de maximización de la función Z:
Conteste: a) ¿ Qué variación mínima en el precio del bien 1 se requiere para que la solución encontrada deje de serlo, en consecuencia, deba modificarse la composición de bienes a ser incluídos en la nueva solución óptima ? b) Si fuera posible reducir en un 20% los coeficientes de insumo-producto del bien no incluído en la solución óptima original ¿ tendrá sentido producirlo ? EJERCICIO #11 a) Resuelva el siguiente problema de maximización de la función Z:
b) Determine los precios sombra de los factores limitantes. c) ¿ Cuál sería la variación en el nivel de cada actividad si se incorporase una unidad del primer factor limitante? 1.
EJERCICIO #12 La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan 5.100 K$ y las de tipo rancho 5.000 K$. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla:
Recurso por tipo de casa
Disponibilidad
Campo
Rancho
de horas
200
100
12000
Carpintero
50
120
13000
Albañil
a) Formule el problema de programación lineal. b) Encuentre la solución óptima graficamente. c) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Colonial” que da un margen de utilidad de 4900 K$/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hr-albañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas. EJERCICIO #13 Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características: CONTENIDO DE:
PRODUCTO 1
2
3
FIBRAS
20%
30%
5%
PROTEÍNAS
60%
50%
38%
MINERALES
9%
8%
8%
PRECIO POR KG.
$10
$15
$8
Conteste: a) ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ? b) ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: - Fibras ? - Proteínas ? -Minerales ? c) ¿ Cómo cambiaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exige que cada unidad de compuesto pese un kilo exactamente ?
EJERCICIO #14 En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios: CONTENIDO DE:
CARNE TIPO: A
B
C
GRASAS
16%
18%
25%
PROTEÍNAS
22%
20%
16%
PRECIO POR KG.
$70
$90
$100
Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras: a) Plantee el problema en términos de programación lineal. b) Haciendo uso del programa de factibilidad, establezca la primera solución básica. c) Plantear el programa dual al planteado por usted. d) Encontrar la combinación óptima de tipos de carne a adquirir que minimiza el costo de la dieta por kilogramo de ración. EJERCICIO #15 En la empresa PROLINEAL, el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3. En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes.
EJERCICIO #16 Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9 meses/hombre. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno. El empresario maximizador de beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin limitación. a) Formule el problema en términos de programación lineal. b) Determine cuál será la solución óptima del empresario y el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades. c) Formule el programa dual correspondiente y luego, haciendo uso del programa de factibilidad, establezca la primera solución básica. EJERCICIO #17 En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesitan, en cambio, por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres. (denominamos este enunciado como el de producción). Una vez cosechada la producción, ésta debe almacenarse en silos del tipo A, B y/o C, cuyas capacidades son de 100 toneladas de cereales cada uno ( alternativamente, debe venderse a un precio de $100 la tonelada de cereal sea cual fuere el producto). Los silos del tipo A sólo almacenan trigo; los del tipo B sólo cebada, mientras que los del tipo C pueden almacenar ambos productos simultánea o indistintamente. (denominamos este enunciado como el de almacenamiento). Los valores pertinentes a los enunciados anteriores son: - Costo por bolsa de semilla de trigo $5 - Costo por bolsa de semilla de cebada $10 - Costo por bolsa de semilla de fertilizantes $10 - Precio por tonelada de trigo $190 - Precio por tonelada de cebada $160 - Cantidad de silos: uno de cada tipo. - Cantidad de hombres: 320 - Cantidad de Hectáreas: 120 (Los precios rigen para la venta después del período de almacenamiento).
a) Plantee el problema global (de producción y de almacenamiento) en términos de programación lineal, si el objetivo es maximizar los beneficios. b) Plantee y resuelva únicamente el problema de producción. c) Plantee el dual de a) y la primera tabla de simplex. EJERCICIO #18 En una fábrica de guardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas. - La primera de ellas requiere dos horas hombre del taller de cortado y cuatro horas hombre del taller de cosido. - El segundo artículo se fabrica utilizando una hora hombre del taller de cortado y cinco del de cosido. - La confección de la última especie de prenda requiere tres horas hombre de cada uno de los talleres señalados. Cada una de las prendas que es factible producir consume respectivamente, por unidad; dos, tres y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de $3. Si la empresa dispone en cada taller respectivamente de 100 cortadores y de 350 cosedores, operarios que deben cumplir con 200 horas de trabajo mensual cada uno, y se verifican las condiciones necesarias para la aplicación de la programación lineal: a) Determine cuál será la asignación óptima de la mano de obra entre las distintas actividades si el precio de los tres tipos de guardapolvos -al que pueden venderse cantidades ilimitadas de los mismos- es de $20, $26 y $40 cada uno, respectivamente. b) Conteste: ¿produciría una nueva prenda cuyo precio es de $52 y que requiere 4 horas hombre de cortado y 5 de cosido, consumiendo 6 metros cuadrados de tela? c) Plantee el problema en términos de programación lineal si cada operario del plantel de cortadores pudiera trabajar 20 horas extras mensuales a un costo de $4 la hora adicional. EJERCICIO #19 Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Conteste: a) ¿ Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado?
b) ¿ Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué porcentaje ? EJERCICIO #20 Si la siguiente tabla tarifaría establece los costos unitarios de transporte de contenedores de los centros de producción A, B y C, a los centros de consumo a, b, c y d:
DESTINOS a
ORÍGENES
b
c
d
A
10
5
6
7
B
8
2
7
6
C
9
3
4
8
y en cada origen se dispone respectivamente de 50, 50 y 100 unidades; mientras se requieren en los puntos de destino respectivamente de 30, 40, 60 y 70 contenedores; encuentre el programa óptimo de transporte de los contenedores. EJERCICIO #21 En una economía lineal, para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra, $8 en semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de tierra, $10 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de trigo y centeno es $15 y $20,5 respectivamente, siendo las cantidades disponibles de tierra y de trabajo de 100 y 130 unidades respectivamente. Si el empresario desea optimizar el resultado de su explotación, interprete la solución del dual. EJERCICIO #22 Usted, como vendedor de FERRETERIA C.A. tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. Usted debe visitar comerciantesmayoristas y clientes que compran al detal. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce $20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio 10Km. En una visita a un comprador al detal, le vende $50 requiere de unas 3 horas y 20 Km manejando su carro aproximadamente. Usted planifica viajar como máximo 600 Km por semana en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias
EJERCICIO #23 El grupo ANTAR, S.A. está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se ha fijado en $100,000,000. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la INDUSTRIA PETROLERA, LA INDUSTRIA SIDERÚRGICA
Y EN CETES. Específicamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasas de rendimiento esperadas de las mismas. Dicha información se da a continuación.
OPCIONES DE INVERSIÓN
TASA DE RENDIMIENTO (%)
Petróleo y Derivados, S.A.
50
Industria Petrolera, S.A.
75
Petróleos del Norte, S.A.
40
Aceros Monclova, S.A. Siderúrgica Nacional, S.A.
70
Hierro y Acero, S.A.
55
CETES
60
45
El consejo de Administración ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia de inversión: 1. No se debe destinar más del 50% del total de la inversión a una industria en particular. 2. La inversión en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderurgia. 3. La inversión en Industria Petrolera S. A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque también la de más alto riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector petrolero. 4. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo.
1. Formular el modelo como uno de PL 2. Desarrollar el modelo Matemático L
EJERCICIO #24 Texas Instruments Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300,000. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50,000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1, 2 y 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y despachar como máximo 25,000 cajas de los minicomputadores 1, 2 y 3. El computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3son empacados, cada uno, 4
computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI. EJERCICIO #25 En un contexto que usted puede asumir como lineal, una fábrica de jeans produce varios modelos de pantalones: - El modelo "basic" (B), que requiere 2 m2 de tela denim, 3 minutos hombre del taller de cortado para cortar las distintas piezas y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón. - El modelo "basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 minuto de la utilización del taller de bordado. - El modelo "basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo basic plus pero esta confeccionado previo planchado de la tela -que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda de la concurrencia de Juanita, la planchadora-. - Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descriptos, pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo, una limitación dado que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total, limitación que no rige para las prendas comunes. Los parámetros relevantes son los siguientes: - Costo de la tela por m2 $10. - Capacidad máxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000; del taller de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70. Juanita sólo trabaja 100 horas efectivas mensuales. - Los jeans comunes B, BP y BPU se pueden colocar en cantidades ilimitadas a $30, $40 y $50 respectivamente y los modelos BL, BPL y BPUL de igual modo, a $34, $43 y $56 respectivamente. a) Formule el problema en términos de programación lineal. b) Si fuera posible obtener un 50% de horas adicionales del taller de cortado a un precio de $1 por minuto, ¿ cómo modificaría su planteo?
EJERCICIO #26 Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C.
Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía. Tabla 1: Datos referentes al problema: Tub Precio Deman Tiempo de Material Costo de Costo de compra o de da Máquina(min/me para Producci a Japón ($/me tipo Venta (metros soldar ón tro) tro) ($/metr (kg/metr ($/metro ) o) o) ) 10
2,000
0.50
1
3
6
B
12
4,000
0.45
1
4
6
C
9
5,000
0.60
1
4
7
A
A. Formule el modelo de PL B. Desarrollar el modelo Matemático y resuelvalo por medio del programa WINQSB C. Solución con el programa WINQSB
EJERCICIO #27 Un complejo industrial produce dos productos, A y B, los que comercializa en mercados perfectamente competitivos a $120 y $630 por unidad respectivamente. Para producir cada uno de estos bienes se requieren respectivamente por cada 100
unidades, 4 y 8 horas/operario y, 1 y 3 horas/supervisor. También se necesita de máquinas tipo X y e tipo Y para el procesamiento de estos productos. El parque de máquinas tipo X tiene una capacidad para procesar 40 y 60 unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y en forma simultánea. Mientras que el parque de máquinas de tipo Y utiliza igual tiempo de procesamiento por producto pero en forma secuencial, de modo que, por ejemplo, si se procesa A al máximo admisible por minuto no se puede procesar unidad de B alguna en igual lapso. El producto B requiere a su vez como insumo de 2 unidades de A por cada unidad de B. La materia prima indispensable para producir A es de 2 kg. por unidad cuyo costo por kg. es de $10, en la medida en que no se excedan las 10 toneladas de consumo por período y de $15 por el excedente de dicho tonelaje, si lo hubiera. La empresa considerada dispone de 10 operarios y de 3 supervisores y, en cada período, de 7 horas-máquina tipo X y de 13 horas-máquina del otro tipo. Las horas efectivas de trabajo suman 9 horas por período y por trabajador. Es posible disponer horas/operario extra a un costo de $60 la hora. El equipo de ventas puede comercializar hasta un máximo de 3000 y 8000 unidades de A y B respectivamente por período. Cuando no se especifica la duración, el período se asume de una duración de 9 horas. Suponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la programación lineal: a) Plantee en términos de programación lineal el problema de optimización que enfrenta la Dirección del complejo industrial. b) Plantee e interprete el problema dual si no existieran horas extras ni precios diferenciales por insumos, ni restricciones a la comercialización. EJERCICIO #28 Si Q1, Q2; U1, U2, U3 denotan respectivamente a las variables funcionales y de holgura de un programa lineal y V 1, V2, V3; L1, L2 simbolizan respectivamente a las variables funcionales y de holgura del correspondiente programa dual, ¿ puede el siguiente conjunto de valores constituir un par de soluciones óptimas? Q1 = 12, Q2 = 0, U 1 = 3, U 2 = 4, U3 = 0, L1 = 0, L2 = 4, V1 = 6, V2 = 0, V3 = 4. Fundamente su respuesta. EJERCICIO #29 Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 100 horas operario y dos plantas ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resume en la siguiente tabla :
Tarifa por paquete desde planta hasta el comercio
Planta I
Planta II
Comerciante A
$4
$7
Comerciante B
$6
$5
Comerciante C
$5
$8
La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere de 1/2 hora operario, 4/3 % de utilización de la capacidad de la maquinaria para envasado y de $ 2 en concepto de insumos varios. La planta II-cuya tecnología es menos eficiente- requiere un 50% mas de todos los insumos por unidad de producto . El precio uniforme por paquete es de $ 13 y las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50 , 60 y 40 paquetes a) Plantee el problema de optimización que se le presenta al empresario en términos de PL. b) Si cada planta , en el planteo anterior , produjera 50 y 100 paquetes respectivamente, obtenga un plan de transporte óptimo , independientemente de los costos de producción. EJERCICIO #30 Asuma que debe programar la producción de una empresa agrícola en cada uno de los siguientes cuatro periodos en los que son elegibles tres cultivos posibles- el A, el B y el C -, existe una restricción de tierra (T), los coeficientes de insumo producto son conocidos e iguales para cada cultivo en los distintos periodos pero diferentes entre sí (a,b y c) y los precios netos (Pat,Pbt y Pct) son datos en todos los periodos. Existen además las siguientes restricciones de rotación: i) no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y ii) no se puede cultivar C en mas de dos periodos en la misma tierra. Formule el programa lineal a resolver. EJERCICIO #31 Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 150, 400 y 90 gramos. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:
CONTENIDO DE:
PRODUCTO 1
2
3
FIBRAS
20%
30%
5%
PROTEÍNAS
60%
50%
38%
MINERALES
9%
8%
8%
PRECIO POR KG
$10
$15
$8
Si el compuesto no puede pesar más de 500 gramos- o si lo hace se debe pagar una multa de 20 centavos por gramo excedente por los primeros 50 grs y de 30
centavos si excede de 50 grs- formule el problema de optimización que enfrenta el empresario en términos de PL si debe producir 10.000 unidades del compuesto. EJERCICIO #32 Una persona tiene suficiente arcilla para hacer 24 vasos pequeños o 6 vasos grandes. Tiene suficiente de un compuesto especial (materia prima del vidrio) que le permitiría hacer 16 de los vasos pequeños u 8 de los vasos grandes. Haciendo X1 = número de vasos pequeños y X2 = el número de vasos grandes. Los vasos más pequeños se venden a $3 cada uno, y los más grandes a 9$. (a) Formular el problema (b) Resolver gráficamente Solución: a) Función Objetivo: Maximizar 3X1 + 9X2 Sujeto a: Restricción de arcilla: 1X1 + 4X2 ? 24 Restricción de compuesto: 1X1 + 2X2 ? 16 (b) Solución Gráfica X1 X2 Ingreso A 0 0 0 B 0 6 $54 C 8 4 $60* D 16 0 $48 *El ingreso optimo de $60 ocurrirá cuando se hagan y vendan 8 vasos pequeños y 4 vasos grandes Dibujar una línea de iso-profit en el gráfico desde (20,0) a (0,6 2/3) como la línea de iso-profit de 60$.
EJERCICIO #33 La empresa LAVAELECTRO S.A. es fabricante de dos componentes mecánicos para una gran compañía de lavadoras de ropa. La compañía fabricante de lavadoras hace pedidos trimestrales a LAVAELECTRO S. A. Los requerimientos mensuales varían de un mes a otro, dedo que a venta de lavadoras se ve afectada por cierta estacionalidad, LAVAELECTRO S. A. acaba de recibir una orden para el siguiente trimestre, la cual se detalla a continuación. MES Componente
Enero
Febrero
Marzo
X-126 A
30,000
20,000
40,000
X-112 C
10,000
20,000
30,000
Después que se procesa la orden, se envía una requisición al departamento de control de producción, en donde elaboran una programación trimestral para ambos componentes. El gerente de producción opina que lo mejor es fabricar en promedio 30,000=(30,000 + 20,000 + 40,000)/3 unidades por mes del primer componente, y 20,000 = (10,000 + 20,000 + 30,000)/3 unidades por mes del segundo componente, con lo cual se tendría un nivel de producción constante. Por otra parte, el gerente de
finanzas no opina lo mismo que el de producción, dado que con una producción constante, el nivel de inventarios para los componentes sería alto, redundando en un alto costo financiero. Específicamente, el inventario que se generaría con una producción constante es:
Mes
Inventario Inicial
Producci Ventas ón
Inventario Final
X126A
0
30,000
30,000
0
1
0
30,000
20,000
10,000
2
10,000
30 ,000
40,000
0
1
0
20,000
10,000
10,000
2
10,000
20,000
20,000
10,000
3
10,000
20,000
30,000
0
Y-112C
Por tanto, el gerente de finanzas sugiere que se produzca únicamente lo que se va a vender en cada mes. A esta sugerencia, el gerente de producción ha contestado que sería muy costoso para la compañía tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al variar el nivel de producción; y además, que sería aún más costoso para la empresa, disponer de diferentes niveles de mano de obra de un mes a otro. El gerente de control del producción ha decidido conciliar los objetivos en conflicto de los gerentes de producción y de finanzas, para la cual ha obtenido la siguiente información:
Mes
Capacidad en maquinaria (horas)
Capacidad Capacidad en en mano de almacén obra (m2) (horas)
800
1,000
300
Febrer o
1,000
1,000
300
Marzo
1,500
1,000
300
Enero
Component e
Horas-máquina por unidad
Horashombre por unidad
Espacio unitario (m2)
0.10
0.05
0.30
0.15
0.05
0.25
X-126A Y-112C
Adicionalmente, se sabe que el costo de producción es $3,000 para el primer componente y $2,000 para el segundo; el costo de mantener una unidad en inventario se estima en 5% del costo de producción y actualmente se tienen en inventario 10,000 unidades del primer componente y 5,000 unidades del segundo; el costo por hora-hombre contratada adicionalmente es $1,000 y por hora-hombre no utilizada es $500. ¿Qué programa de producción debe establecer el gerente de control de producción?
EJERCICIO #34 Una hiladora ha recibido una orden para producir un hilo que debe contener al menos 45 onzas de algodón y 25 onzas de seda. La orden puede ser conformada para cualquier mezcla posible de dos tipos de Hilo (A y B). El Material A cuesta $3 por onza y el B cuesta $2 por onza. Contienen las proporciones de algodón y seda que se presentan en la siguiente tabla: Algodón Seda A 30% 50% B 60% 10% ¿Qué cantidades (onzas) de hilos A y B deberían ser usadas para minimizar el costo de esta orden? Solución: Función Objetivo: Min C = 3A + 2B Restricciones: .30A + .60B .50A + .10B
45 25
La solución simultanea de dos ecuaciones de restricciones da A = 39 onzas y B = 55 onzas. El costo mínimo, C, es entonces $3A + $2B = 3*39 + 2*55 = $227. Una EJERCICIO #35 Una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son
flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación. a) Formule el modelo de programación lineal para este problema. b) Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada? c) Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones? Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto? EJERCICIO #36 Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.
Tipo de máquina
Tiempo disponible (en horas-máquina por semana)
Fresadora Torno Rectificadora
500 350 150
El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora
Producto 1
Producto 2
Producto 3
9 5 3
3 4 0
5 0 2
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal para este problema.
EJERCICIO #37 Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos: Ingrediente nutri cional Carbohidratos Proteínas Vitamínas Costo (US$)
Kilogramo de maíz 90 30 10 42
Kilogramo de grasas 20 80 20 36
Kilogram o de alfalfa
Requerimientom ínimo diario
40 60 60
200 180 150
30
Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa SOLVER EJERCICIO #38 La compañía UNITECH tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa WINQSB EJERCICIO #39 Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la
familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6,00 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:
Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso neto anual ($)
Soya
Maíz
Avena
20 50 600
35 75 900
10 40 450
La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema. EJERCICIO #40 Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen enseguida:
Compartimiento
Delantero Central Trasero
Capacidad de peso (toneladas)
Capacidad de espacio (pies cúbicos)
12 18 10
7000 9000 5000
Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:
Carga
1 2
Peso(toneladas )
Volumen (pies cúbicos/tonelada)
20 16
500 700
Ganancia ($/tonelada ) 320 400
3 4
25 13
600 400
360 290
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa SOLVER. 1.
EJERCICIO #41 Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A, B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son: Elemento
1.
MINA
MINA
Costos en U$/Ton de mineral
Básico
1
2
3
4
1
800
A
10
3
8
2
2
400
B
90
150
75
175
3
600
C
45
25
20
37
4
500
Utilizando el el programa SOLVER, la GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda. EJERCICIO #42 Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguientes Utilizando el programa WINQSB, indicar ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? Jugo de Naranja
Jugo de Toronja
Jugo de Arándano
Existencia[gal] Costo [$/gal]
Bebida A
40
40
0
200
1,50
Bebida B
5
10
20
400
0,75
Bebida C
100
0
0
100
2,00
Bebida D
0
100
0
50
1,75
Bebida E
0
0
0
800
0,25
Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida. 1.
1.
EJERCICIO #43 Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta y aplicando el programa SOLVER, indicar ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? EJERCICIO #44 Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del componente B1, o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del componente B2. En cualquiera de las dos opciones, usted puede suponer que la calidad del producto es la misma. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. Cada componente necesita 3 materiales P, Q y R. Sin embargo, se utilizan en diferentes proporciones. Las cantidades
usadas dependen del lugar y del tipo de componente a elaborar. Actualmente se dispone de 400 unidades de P, 300 de Q y 500 de R. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar, aplicando SOLVER, el número de corridas de producción en cada fábrica, tal que maximice la producción total del producto terminado, si se conoce la siguiente tabla: Fábrica
Unidades requeridas por corrida
Unidades producidas por corrida
Material
P
Q
R
A1
B1
A2
B2
UNO
7
3
10
5
6
0
0
DOS
5
6
5
0
0
7
8
1.
1.
1.
EJERCICIO #45 Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después.Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber, utilizando el programa WINQSB¿cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6? EJERCICIO #46 Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de C. El proceso 2 entrega 100 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de D por hora. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de US$500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$100. Suponga que una libra da cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 dólares, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal y aplicando el programa SOLVER, encuentre la solución óptima (todas en caso de existir óptimos alternativos). EJERCICIO #47 Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres
tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvamento). Vehículo
Costo [US$]
Ingresos primer año [US$]
Ingresos segundo año [US$]
Automóvil
7000
3000
5400
Camioneta
6500
2300
5300
Jeep
5800
2100
5000
Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$2000000 para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para efectos de financiamiento (es decir, US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). Todo excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en pagos futuros. Formule un modelo de programación lineal para el problema y resuelva aplicando el programa SOLVER. EJERCICIO #48 Un nuevo mall está considerando instalar una mesa de información gestionada por un empleado. Basados en información obtenida de mesas de información similares, se cree que la gente llegará a la mesa a una tasa de 20 por hora. Lleva un promedio de 2 minutos responder una pregunta. Se asume que las llegadas son Poisson y los tiempos de respuesta están exponencialmente distribuidos. (a) Encontrar la probabilidad de que el empleado esté desocupado. (b) Encontrar la proporción de tiempo que el empleado está ocupado. (c) Encontrar el número promedio de personas recibiendo y esperando para recibir alguna información. (d) Encontrar el número promedio de personas esperando en la cola para obtener alguna información. (e) Encontrar el tiempo promedio que una persona que busca información pierde en la mesa. (f) Encontrar el tiempo esperado que una persona pierde sólo esperando en la cola para que se le responda una pregunta. EJERCICIO #49 Asumir que el empleado de la mesa de información en el problema 1 gana $5 por hora. El costo del tiempo de espera, en términos del enojo
del cliente con el MALL es 12$ por hora de tiempo gastada esperando en la fila. Encontrar todos los costos esperados en un día de 8 horas. EJERCICIO #50 El MALL ha decidido estudiar la posibilidad de emplear dos empleados en la mesa de información. (a) Encontrar la proporción de tiempo que los empleados estarán desocupados. (b) Encontrar el número promedio de personas esperando en este sistema. (c) Encontrar el tiempo esperado que una persona gasta esperando en el sistema. (d) Asumiendo el mismo nivel de salario y costos de espera que en el problema 2, encontrar los costos totales esperados en un día de 8 horas. EJERCICIO #51 Tres estudiantes llegan por minuto a una máquina de café que entrega exactamente 4 tazas por minuto a una tasa constante. Describir los parámetros del sistema. EJERCICIO #52 Un mecánico sirve a 4 prensas. El tiempo de servicio promedia los 10 minutos, y es exponencial. Las máquinas se rompen después de un promedio de tiempo de 70 minutos siguiendo una distribución Poisson. Describir las características principales del sistema.
