Módulo7

Eng. M.Sc. Julio Cezar Ribeiro 57

Amostragem

Módulo 7 Estatística indutiva O conhecimento do Cálculo de probabilidades, Estatística descritiva, e Amostragem, são fundamentais para o aprendizado da Estatística Estatística indutiva indutiva, que é a parte da Estatística que tira conclusões a respeito dos parâmetros de uma população, através da análise dos resultados obtidos nas amostr amostras, as, extraí extraídas das da popul populaçã açãoo que contém contém a variá variáve vell em estudo estudo.. As grande grandeza zass estat estatíst ística icass calculadas nas populações são chamadas de “parâmetros” enquanto que as calculadas nas amostras são chamadas de “estatísticas”. É claro que pelo fato de fazermos uma indução (raciocínio em que de fatos particulares se tira uma conclusão genérica) a respeito dos parâmetros populacionais, a partir de uma amostra, estamos sujeitos a cometer erros de avaliação. avaliação. É justamente nesta parte que entram os conhecimentos de probabilidades, para que possamos calcular o quanto estamos errando em nossas avaliações. É intuitivo que, quanto maior for o tamanho da amostra, mais precisos e confiáveis serão os resultados obtidos, propiciando, dessa forma, melhor avaliação do parâmetro que desejamos estimar, sendo este processo denominado de amostragem. Se examinarmos toda a população, o resultado, então, será o verdadeiro e, neste caso, fizemos um censo. Na prática, porém, costuma-se fazer amostragem, que consiste em retirar uma amostra da população e, através dela, chegarmos às conclusões desejadas a respeito dos parâmetros populacionais.

Amostragem A teoria e as técnicas empregadas para se obterem amostras, que sejam as mais representativas representativas possíveis da população, são muito complexas para serem expostas nesse curso. Vamos apenas dar uma idéia concisa a esse respeito, o suficiente para entendermos o prosseguimento do curso. As amostras podem ser obtidas de duas maneiras: as probabilísticas e as não probabilísticas. mais comuns são: casual, sistemática, conglomerado e estratificada, que possuem como características a utilização de métodos aleatórios para sua obtenção. As probabilísticas

são as amostr amostras as formad formadas as por eleme element ntos os que perte pertence ncem m à popula população ção,, que são numerados e obtidos por simples sorteio ou pelo uso dos dígitos aleatórios. Casual:

Sistemática:

os elementos são numerados na população e retirados através de intervalos numéricos constantes, em função do tamanho da amostra que se deseja. ao invé invéss de sort sortea earm rmos os os elem elemen ento toss da popu popula laçã ção, o, sort sortea eamo moss os conglomerados (grupos) que formam a população, ou seja, os grupos funcionam como se fossem os elementos da população. Conglomerado:

são obtidas em faixas que denominamos estratos. Essa técnica é empregada para a retirada dos elementos em populações que possuem uma divisão natural, e queremos que eles apareçam convenientemente convenientemente representados na amostra. A amostragem amostragem estratificada pode ser uniforme ou proporcional aos elementos pertencentes a cada estrato. Estratificada:

probabilísticas são aquelas, cujos elementos não são obtidos por métodos de As amostras não probabilísticas sortei sorteios os como como os que foram foram citado citadoss anteri anteriorm ormen ente. te. As formas formas mais mais comuns comuns de amost amostras ras não probabilísticas são: a esmo e intencional, meios contínuos, etc.

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Amostragem

é a maneira mais comum de se obter uma amostra, principalmente quando a população é muito grande, e é obtida, simplesmente, simplesmente, escolhendo os elementos da forma mais aleatória possível. A esmo:

são aquelas retiradas de uma população, sendo os seus elementos, escolhidos pelo pesquisador, que devido à sua grande experiência, os escolhe de tal forma que a amostra assim obtida produz resultados equivalentes ao de uma amostra obtida por métodos probabilísticos. Intencionais:

Meios contínuos: são aqueles cuja amostragem é feita em meios fluidos de qualquer natureza.

Exercícios de aplicação 1) Uma indústria especializada em montagem de grandes equipamentos industriais recebeu 70 dispositivos de controle do fornecedor A e outros 30 dispositivos do mesmo tipo do fornecedor B. O aspecto relevante, que se deseja controlar, relativo a esses dispositivos, é a resistência elétrica de certos componentes críticos. Vamos admitir que os cem dispositivos recebidos fossem numerados de um a cem, ao darem entrada no almoxarifado, e que os 70 primeiros foram recebidos do fornecedor A. Vamos admitir, também, que os valores reais da variável de interesse que é a resistência elétrica do componente crítico dos cem elementos recebidos sejam os valores abaixo, respectivamente, na ordem de entrada no almoxarifado. Sabemos que a média real destes valores é igual a 36,23 e o desvio padrão 3,59.

A

B

33 38 34 34 31 36 35 32 37 32 35 34 30 36 36 33 43 43 39 36 33 33 33 34 31 32 36 32 33 34 34 35 34 33 35 35 35 37 35 38 43 43 35 34 33 32 38 34 33 36 31 33 34 30 37 37 30 30 35 34 36 33 33 34 33 37 34 32 35 39 40 40 42 39 38 40 40 40 40 39 37 32 40 41 45 41 40 39 41 41 40 42 38 39 40 41 40 40 42 39

a) Tire uma amostra simples, ao acaso, de dez dispositivos dessa população com o auxílio dos números aleatórios. O dígito escolhido para início do processo deve ser escolhido aleatoriamente por sorteio. Dígitos aleatórios Valores da amostra Calcule a média e o desvio padrão destes valores e escreva aqui, para você lembrar quando preciso o roteiro de teclas para calcular a média e o desvio padrão na sua máquina de calcular e, não a esqueça em casa nem de trazê-la na prova.








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b) Suponha agora que você decida fazer uma amostragem estratificada. Em sua opinião, isso seria razoável? Caso afirmativo, indique como você procederia, usando os números aleatórios. O tamanho da amostra ainda continua sendo dez. Monte aqui a amostra Dígitos aleatórios Valores da amostra Calcule a média e o desvio padrão usando a maquina.

Distribuições amostrais Em nosso estudo, suporemos sempre que as amostras que conseguimos da população foram obtidas por métodos que nos garantam a sua representatividade. Neste caso, o que nos interessa estudar é como se distribuem as estatísticas calculadas nas amostras, tais como a média, variança, proporção, etc. As estatísticas são variáveis aleatórias e, portanto, possuem uma distribuição de probabilidade. Vamos estudar algumas distribuições amostrais de interesse:

Distribuição amostral das médias Vamos supor uma população de "N" elementos, de média " µ" e desvio padrão " σ". O cálculo da média da população é feita por: μ



x1  x 2



....  xn

N

O cálculo do desvio padrão da população é feita pela expressão: 2

σ

 (x i  μ ) N

Vamos supor que, dessa população, extraímos uma amostra de "n" elementos, de média " x ", desvio padrão "S", e que seja representativa da população. Vamos supor que as amostras retiradas sejam feitas com reposição ou que a população seja muito grande, de forma que a retirada de cada elemento para pertencer à amostra não seja perceptível à população. Demonstra-se que a distribuição








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x

 σ2 N − n   ≡ N µ; ⋅  n N 1 −  

Exercício de aplicação 1) Para a população constituída dos elementos {1,2,3,4}, verifique se a distribuição amostral das médias obedece às expressões deduzidas anteriormente para as duas situações: a) com reposição

b) sem reposição

Estimação de parâmetros populacionais








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populações. Assim, o processo matemático que utilizamos para calcular a média populacional, é aquele em que utilizamos a distribuição de probabilidades das médias nas amostras. A estimação de um parâmetro populacional é feito estabelecendo um intervalo de valores que é a prática mais consistente com os métodos da estatística. Vamos aprender a construir um intervalo de valores com certa confiança que queremos, de modo que este intervalo possivelmente possivelmente poderá conter o real valor do parâmetro populacional que estamos interessados em calcular. O intervalo de confiança deverá ser construído, com probabilidade definida a priori por quem está estudando a população. Esta proba probabil bilida idade de é chama chamada da de nível nível de confia confiança nça e é designada por (1− α), onde (α) é uma probabilidade chamada de nível de significância.

Intervalos de confiança para a média populacional Já vimos como as médias amostrais se distribuem, e sabemos que a média delas é igual à média da população. Podemos então dizer que a média populacional fica contida no intervalo que leva em consideração um erro de estimação (e). O valor do erro (e) é facilmente calculado, lembrando que a variável reduzida (z) é expressa na forma: zc =

(u ± e) − u σ

ou seja

e = zc

σ n

n

onde (zc ) é chamado de valor reduzido da confiança com que se deseja o intervalo. Portanto, para construirmos um intervalo de confiança para estimarmos o valor da média populacional através daquela expressão, podemos escrever: µ = x±e

ou então ou de outra forma:

µ

x

σ

zc

n

 σ σ   − zc ≤ u ≤ x + zc  = 1 − α n n  

P x

Observe que na expressão anterior, aparece o valor do desvio padrão populacional ( σ) que, na maioria das vezes, não conhecemos. A expressão para a construção de intervalos de confiança, quando não se conhece o ( σ), é feita através de sua estimativa obtida na amostra que chamamos de “S” e, neste caso, a variável a ser usada também não é mais a (z) da normal, e sim, a (t) de Student. Neste caso, a expressão para a construção do intervalo da média passa a ser: P x

tc

S n

u

x

tc

O valor de (S) irá servir como estimador de ( σ). o valor de (S) é calculado na forma:

S

Σ( xi  x )2 n 1

S n

1

α








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Atenção: Na leitura do valor tabelado (t), usamos os “graus de liberdade”. O desvio padrão da população ( σ ) é calculado por:

σ

Σ(x i  μ)2 N

A calculadora fornece o valor de "S" e de " σ", não se confunda.

Tamanho da amostra para uma dada precisão e certa confiança Vimos anteriormente que o tamanho do intervalo depende do valor que fixamos para ( z ), pois, quanto maior ele for maior será o valor de (e) e, portanto, teremos pior precisão para a avaliação do parâmetro populacional. Portanto, confiança e precisão são inversamente proporcionais. Assim, se quisermos obter uma estimativa de um parâmetro com certa precisão e confiança desejada a priori, devemos calcular o tamanho da nossa amostra para este fim. c

Lembrando que

e

=

zc

σ n

teremos para (n): 2

 z ⋅ σ  n= c   e 

expressão que fornece o tamanho da amostra, quando o valor do desvio padrão populacional é conhecido. No caso em que ele for desconhecido, usamos a expressão: n

=   

⋅  2  e 

tc s

Porém, nesta expressão, surge um problema. Como ainda não tiramos a amostra, como podemos saber o valor de (S)? Neste caso, o que fazemos é tirar uma amostra piloto de n’ elementos, calculando o valor de (S) e, depois calculamos o valor de n. Se este valor for menor do que o n’ escolhido, então, devemos completar a amostra com o número de elementos que está faltando, caso contrário, o tamanho da amostra satisfez o exigido e o problema já está resolvido.

Exercícios de aplicação









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2) A distribuição dos diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina é normal, de desvio padrão igual a 0,15mm. A amostra amostra dos parafusos abaixo, foi retirada da produção, e apresentou os seguintes diâmetros em mm: 25,4 25,2 25,5 25,3 25,1 25,4. a) Construa intervalos de 87% e 96% de confiança para o diâmetro médio. b) Que tamanho de amostra deveríamos tirar da população para que tenhamos uma precisão de 0,5mm e confiança de 96% na avaliação do diâmetro?

3) Uma firma está convertendo as máquinas que aluga a uma versão mais moderna. Até agora,








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4) Uma estrut estrutura ura esta esta sendo sendo plane planeja jada da para para ficar ficar sobre sobre 200 estac estacas as.. Foram Foram escolh escolhid idas as aleatoriamente algumas dessas estacas e nelas foram aplicadas as seguintes cargas em Kgf até elas se romperem: romperem: 82 85 95 92 88 84 85 80 88. a) Seria essa essa amostra amostra suficien suficiente te para se estimar estimar a capacidade média dessas estacas, com erro não superior a 2 toneladas e 92% de confiança? b) Se não, qual o tamanho da amostra necessária para tanto? c) Construa um intervalo de confiança de 97% para a média populacional das cargas até elas se romperem.

Tarefa mínima 1) Cons Consid ider eran ando do-s -see que que um umaa amos amostr traa de 100 100 elem elemen ento toss extr extraí aída da de um umaa popu popula laçã çãoo aproximadamente aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média 35,6. Construa um intervalo de confiança de 93% para a média dessa população. R: P( 35,23 ≤µ≤ 35,96) = 0,93 2) Qual o tamanho de uma mostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de confiança e precisão de 0,5? R: 348







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média real dessa população com 95% de confiança? R: 29,47 6) No cálculo de uma estrutura de concreto armado, foi admitida uma resistência média à compressão de 200 Kgf/cm. Uma amostra de 6 corpos de prova dessa obra apresentou os seguintes resultad resultados: os: 209 197 195 192 191 203. Com base nesse nesse resultado resultado,, pode o engenhei engenheiro ro fiscal fiscal considerar satisfatória a execução da estrutura, num nível de confiança 90%? R: P( 192,1 ≤µ≤ 203,5) = 0,90; Sim 7) Uma organização deseja estabelecer um seguro de vida para jovens de 20 anos. Sabemos que este jovem tem uma vida média de 65 anos, com desvio padrão de 10 anos. Qual é o número de associados que deve ser incluído no grupo, para que a vida média do mesmo difira dos 65 anos, pelo menos em 2 anos, com 97,5% de confiança? R: n = 125 pessoas 8) Deseja-se estimar a resistência média de certo tipo de peça com precisão de 2Kgf e 95% de confiança. Desconhecendo-se a variabilidade dessa resistência romperam-se 5 peças, obtendo-se para elas os os seguintes seguintes valores da sua resistência resistência em Kgf: 50 50 58 52 49 55. Com Com base no resultado resultado obtido, determinou-se que deveriam ser rompidas mais 15 peças, a fim de se conseguir o resultado desejado. Qual a sua opinião a respeito dessa conclusão? conclusão? R: Não; devem ser rompidas mais 22 peças. 9) Um gerente de restaurante deseja estimar o tempo médio que os fregueses levam para comer a salada. Sabe-se que o desvio padrão deste tempo é de 4 minutos. Qual o tamanho da amostra necessária, se ele deseja estimar a média deste tempo, com erro inferior a 1 minuto, num nível de confiança 95%? R: 62 10) Foram feitas medidas do tempo total gasto para a precipitação de um sal, em segundos, numa dada experiência, obtendo-se os valores: (13 15 12 14 17 15 16 15 14 16 17 14 16 15 15 14 15 15). Esses Esses dados são sufici suficiente entess para se estimar estimar o tempo médio médio gasto na precipit precipitação ação com precisão de 0,5 segundos e 95% de confiança? Caso negativo, qual o tamanho da amostra adicional necessária? R: Não; precisa de mais 7 peças. 11) Um pesquisador está estudando a resistência resistência de um determinado material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão de 2 unidades. Utilizando os seguintes valores: 4,9 7,0 8,1 4,5 6,2 5,7 7,2 6,8 5,6, a) determine o intervalo de confiança para a resistência resistência média num nível nível de confiança de 95%; b) qual o tamanho da amostra necessária, se quisermos que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média seja inferior a 0,1








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Distribuição amostral das proporções proporções Vamos considerar que numa população de tamanho “N”, existam “F” elementos que possuem a característica que desejamos estudar, e seja “p” a proporção destes elementos. Dela é retirada uma amostra de tamanho n e que nela apareçam “f” elementos que possuem a característica desejada, e “ p′ ” a proporção daqueles elementos na amostra. Portanto, a proporção da variável com a característica que estamos querendo estudar na amostra vale: f

p′ =

n

Como a variável estudada na população segue uma distribuição binominal, “esperamos” que, na amostra, tenhamos a média e a variância dos elementos desejados, dada por: E[ f ]

np e

=

2

σ

( f )

npq

=

Destas expressões, demonstra-se que a distribuição amostral das proporções na amostra segue uma distribuição normal dada por:  

p′ ≡ N p ;

pq  n

 

Portanto, a solução de problemas que envolvem a estimação das proporções populacionais segue a mesma técnica já mostrada para a estimação da média populacional.

Intervalo de confiança para a proporção populacional O intervalo das proporções é feito, de forma análoga, ao da média, ou seja:








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æ ç ç è

Pç p ¢- z c ç ç

p¢q ¢ n

£ p £ p ¢+ z c

p¢ q ¢ö ÷ ÷

=1 - a

÷ ÷ n ÷ ø

Tamanho da amostra usando proporções No caso de querermos estimar o tamanho da amostra para a determinação da proporção populacional, com uma determinada confiança e certa precisão, devemos utilizar a expressão do erro da proporção, ou seja:

e  zc

p(1  p) n

lembrando que

q  (1  p)

teremos:

2

æzc ö ÷ n =ç ÷ p¢q¢ ç ÷ ç ÷ èe ø

Esta expressão nos leva à mesma situação que tínhamos no caso das médias, ou seja, não temos uma amostra para podermos calcular a sua proporção p’. Portanto, devemos utilizar a mesma técnica de retirarmos uma amostra piloto de tamanho n′ para podermos calcular p’ nela. Uma outra forma de calcularmos n é analisar a expressão matemática que determina o tamanho da amostra, e observar que, se fizermos a substituição y = p′q′ , a expressão de n passaria a ser dada por: 2

 zc   y  e 

n=

Desenvolvendo Desenvolvendo y temos y = p − p 2 , ou seja, y é uma parábola que possui um máximo, portanto, ao calcularmos o máximo valor para y veremos que é 1/4, e a expressão de n fica: 2

n=

 zc     2e 

que determina o máximo tamanho para uma amostra, sem que precisemos saber o valor de p’. Nos casos em que o custo de obtenção da amostra é caro, esta formula não é a mais indicada, pois o valor que esta expressão fornece é bem maior do que é calculado através da amostra piloto. Existem problemas em que se empregam mais do que uma condição para a determinação do tamanho da amostra; nestes casos, deve-se utilizar como resposta o resultado que der o maior tamanho.









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2) Em uma sondagem de opinião pública para a previsão de uma eleição, foram ouvidos 500 eleitores escolhidos ao acaso, dos quais, 236 declararam que iriam votar no candidato A e os demais no candidato B. Num nível de confiança 95%, verificar verificar se, com base nesta previsão, podemos concluir que o candidato B já venceu as eleições?

3) Uma amostra de peças forneceu os seguintes valores do seu comprimento (em milímetros): 80,1 80,3 80,1 79,8 80,0 80,3 79,7 79,9 80,2 80,4. Deseja-se estimar o comprimento médio dessas peças com erro máximo de 5/100 mm e 98% de confiança, bem como a proporção de peças com dimensão acima de 80mm, com precisão de 5% e 90% de confiança. Qual o tamanho da amostra que se deverá tomar?







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4) Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação a um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 indivíduos, dos quais, 180 preferiam esse produto. a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em questão, num nível de confiança 95%; b) determine um intervalo de confiança para o número de pessoas na população que prefere tal produto, sabendo-se que a população é constituída de 6.000 elementos.

5) Numa população de 80.000 eleitores, pretende-se estimar o número de eleitores favoráveis a certo candidato, com erro absoluto máximo de 2.000 eleitores, num nível de confiança 96%. a) Com quantos eleitores escolhidos aleatoriamente, deveríamos fazer uma prévia eleitoral para atingir este objetivo? b) Se a prévia eleitoral foi realizada com 1.000 eleitores, qual o máximo erro na estimativa do número de eleitores favoráveis ao candidato em questão, poderíamos esperar, num nível de confiança 98%? c) Se dos 1.000 eleitores, 532 se manifestaram favoráveis ao candidato, estabeleça um







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Tarefa mínima mínima 1) Uma máquina apresenta no mínimo 90% de peças boas em sua produção. Deseja-se, através de uma única amostra, estimar o diâmetro médio das peças produzidas, com 99% de confiança de se ter um máximo de estimação igual a 0,1 do desvio padrão dos diâmetros, bem como estimar a verdadeira proporção de defeituosos da máquina com precisão de 2% e, no mínimo 95% de confiança. Qual o tamanho da amostra necessário para tanto? R: n = 661 e n = 864; Ficamos com a maior. 2) O fabricante de um determinado determinado remédio alega alega que o mesmo acusou 95% de de eficiência em aliviar a alergia por um período de 8 horas. Em uma amostra de 200 indivíduos que sofriam de alergia, o remédio deu resultado positivo em 160. Determine se a alegação do fabricante é legitima ou não. R: Não, o máximo é 0,855. 3) Qual o tamanho da amostra que o Departamento de Trânsito de uma grande cidade deve tomar para estimar a porcentagem de parquímetros defeituosos, se o objetivo é ter 95% de confiança de não errar por mais que 10%?







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1) Em um experimento sobre percepção extra-sensorial extra-sensorial (PES), pede-se a um indivíduo, em uma sala, que diga a cor (vermelha ou azul) de uma carta escolhida de um baralho de 50 cartas que possui 30 cartas azuis, por outro indivíduo em outra sala. O indivíduo interrogado desconhece quantas cartas vermelhas e quantas azuis estão no baralho. Se o indivíduo identifica 37 cartas azuis corretamente, determine se este resultado é significativo ao nível de confiança de 90%. R: É. 2) Qual o tamanho da amostra suficiente para estimar a proporção de defeituosos fornecidos por uma máquina, com precisão de 0,02 e 95% de confiança, sabendo que essa proporção seguramente não é superior a 20%? 3) Os valores abaixo representam as medidas dos diâmetros dos eixos de certa peça, em cm, 2,021 1,9 1,990 1,987 2, 2,002 1,990 2,009 2,001 2,005 1,983 1,998 Com o auxili auxilioo dessa dessa amostr amostra, a, desej deseja-s a-see determ determina inarr o número número de eixos eixos que devem devem ser ser inspecionados, inspecionados, a fim de se estimar o diâmetro médio com um erro de no máximo 0,004 e confiança de 92%, bem como estimar a proporção de eixos com medidas inferiores a 1,990, com uma confiança de 89%, e de modo que o erro não ultrapasse 5%. Qual o tamanho da amostra a ser retirada?

Tabela de "t" de Student








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27 28 29 30 50 80 120

1 314 1 313 1 311 1,310 1,299 1 292 1 289

1 70 1 70 1 69 1,69 1,67 1 66 1 65

2 05 2 04 2 04 2,04 2,00 1 99 1 98

2 473 2 771 2 467 2 763 2 462 2 756 2,457 2,75 2,750 0 2,403 403 2,67 2,678 8 2 374 2 639 2 351 2 618

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