Modulo5

ESTRUTURAS DE BETÃO I FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 5 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO DESPREZÁVEL

Carla Marchão Júlio Appleton

Ano Lectivo 2009/2010

ÍNDICE

1. FLEXÃO COMPOSTA .................................................................................................... .......................................................................................................... ...... 150 1.1. ROTURA CONVENCIONAL ........................................................... ................................................................................................... ........................................ 150 1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA .................................................................. ........................................................................ ...... 150 1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES ............................................................. ................................................................... ...... 151 1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES .................................................................... .......................................................................... ...... 152 1.4.1. Armadura Armadur a longitudinal longitudin al ............................................................................................. ............................................................................................. 152 1.4.2. Armadura transversal .............................................................................................. .............................................................................................. 153

1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA RESISTÊNCIA À FLEXÃO .................................................................... ................................................................................................................................... ............................................................... 156 2. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DOS PILARES AOS ESTADOS EST ADOS LIMITE ÚLTIMOS ÚLT IMOS .... 157 2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS .............................................................. .................................................................... ...... 157 2.2. TIPOS DE ROTURA ..................................................................... ............................................................................................................. ........................................ 158 2.3. ESBELTEZA................................................................... ....................................................................................................................... .................................................... 158 2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES............................................. 159 2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS .............................................................. ........................................................................................... ............................. 159 2.5.1. Excentricidade inicial .................................................................. ............................................................................................... ............................. 160 2.5.2. Força horizontal equivalente ................................................................................... ................................................................................... 161 161

2.6. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM ................................................................. ....................................................................... ...... 161 2.6.1. Determinação da excentricidade de 2ª ordem ........................................................ ........................................................ 161

2.7. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA ........................ 164 3. ESTRUTURAS EM PÓRTICO ................................................................. .............................................................................................. ............................. 172 3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS .................................................................... ..................................................................................... ................. 172 3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA .................................................................... ..................................................................................... ................. 172 3.3. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS ................................................................ ...................................................................... ...... 175 3.3.1. Verificação da segurança de pórticos cujos efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados .................................................................................................. .................................................................................................. 175 3.3.2. Consideração dos efeitos de 2ª ordem ................................................................... ................................................................... 177

4. FLEXÃO DESVIADA ............................................................................................................ ............................................................................................................ 185 4.1. ROTURA CONVENCIONAL ........................................................... ................................................................................................... ........................................ 185 4.2. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES ............................................................. ................................................................... ...... 185

Estruturas de Betão I

1. Flexão Composta (Flexão com esforço normal de tracção ou compressão) 1.1. ROTURA CONVENCIONAL 

εs ≤ 10‰



εc(-) ≤ 3.5‰



Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰ Tensões uniformes σc

Tensões não uniformes σc

εc

2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰

(-)

(-)

σc

εc = 3.5‰

ou

2‰

(-)

0

0

1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5 zonas com diagramas associados à rotura: Tracção

Compressão 3.5‰ 2‰ 0

As2

M

10‰

2 1

N 3

As1

5

4

2‰ εyd

10‰

Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = 10‰, εs2 ≤ 10‰) Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = 10‰, εc(-) ≤ 3.5‰) Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd ≤ εs1 ≤ 10‰, εc(-) = 3.5‰) Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1 ≤ εyd, εc(-) = 3.5‰) Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤ εcmáx ≤ 3.5‰) Conclusão: 

Zonas 1, 2 e 3: εs > εyd ⇒ rotura dúctil



Zonas 4 e 5: εs < εyd ⇒ rotura frágil

MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

150


1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES

(i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão armado com dois níveis de armadura (A s1 e As2) εc

As2

εs2

M Rd N Rd

As1

F s2

(-)

Fc yc ys2 (+)

F s1

εs1

Nota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou em relação ao nível da armadura inferior. Equações de Equilíbrio •

Equilíbrio axial: F c + Fs2 − Fs1 = NRd

•

Equilíbrio de momentos: F c × yc + Fs2 × ys2 = MRd

⇒ Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço N Rd – MRd

(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama de interacção NRd – MRd (iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de dimensionamento N

(-)

N Rd

(-) Rd

M Rd

a) Diagrama de interacção N Rd - MRd

M Rd

a) Diagrama de dimensionamento


151


Grandezas adimensionais: − Esforço

normal reduzido:

− Momento

flector reduzido:

− Percentagem

ν =

NRd b h fcd

µ=

MRd b h2 fcd

A fyd mecânica de armadura: ωTOT = bsTOT h fcd

1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES 1.4.1. Armadura longitudinal

(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte expressão: 0.10 Nsd ≥ 0.002 Ac As, min = fyd A quantidade máxima de armadura é dada por: As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda) Nota: Nas secções de emenda, poderá adoptar-se uma armadura até 0.08 Ac .

(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento 1. Mínimo número de varões na secção transversal 



1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou 4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável adoptar pelo menos 6 varões)

2. Diâmetro mínimo dos varões: 8 mm (Recomendável: 10 mm)


152


1.4.2. Armadura transversal

(i) Espaçamento das cintas smáx = min (15 × φL,menor; bmin; 30 cm) - NP EN1992 (Anexo Nacional) O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 s máx nos seguintes casos: nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar; nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do comprimento de emenda.

-

(ii) Diâmetro φcinta = max (6 mm; 0.25 φL,maior)

(iii) Forma da armadura / cintagem mínima Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por armadura transversal.



Em zonas comprimidas, não é necessário cintar varões longitudinais que se encontrem a menos de 15 cm de varões cintados.



Função da armadura transversal 

Cintar o betão;



Impedir a encurvadura dos varões longitudinais;



Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e betonagem;



Resistir ao esforço transverso.

Nota : As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas.


153


EXERCÍCIO 5.1 Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme indicado. Dimensione e pormenorize a secção. As /2 0.50

M sd N sd

Nsd = -1200 kN Msd = 150 kNm Materiais: A400NR C20/25

As /2 0.30

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.1

Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)

d1 ≅ 0.05m  d  ⇒ h1 = 0.10 ; A400 h = 0.50m  N -1200 Esforço normal reduzido: ν = b hsdf = 0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60 cd M 150 Momento flector reduzido: µ = b h2sdf = 0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15 cd ωTOT = 0.20 ⇒ AsTOT

f 13.3 = ωTOT b h fcd = 0.20 × 0.30 × 0.50 × 348 × 104 = 11.47cm2 yd

ε -3.5 Na rotura εc2 = 0 a 1 s1

pelo betão rotura ⇒armaduras não atingem a cedência Zona 


154


EXERCÍCIO 5.2 Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: N sd = -1400kN; Msd =250 kNm Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


d d1 = 0.05 ⇒ h1 = 0.10 Nsd -1400 = = -0.427 2 π r fcd π × 0.252 × 16.7×103 MSd 250 µ= = 3 2π r fcd 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152

ν =

 ⇒ ωTOT = 0.30 

f 16.7 AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd = 0.30 × π × 0.252 × 348 × 104 = 28.3cm2 yd


155


1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA RESISTÊNCIA À FLEXÃO

Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de tensão na rotura para as situações A e B ilustradas. ν As2 h As1 b

0.4

B A

A

Fs2,A

µ

B

Fc,A As1 fyd

Fs2,B Fc,B

MRd,A

As1 f yd

NRd MRd,B

MRd,A < MRd,B

∴ A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (F c e Fs2) e,

consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de F c.


156


2. Verificação da segurança dos pilares aos estados limite últimos últi mos 2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS

Nos elementos de betão armado solicitados apenas à flexão, os esforços são, em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p. ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não devem ser aplicadas. Exemplos:

N

N

Teoria de 1ª ordem :

M=N×e Teoria de 2ª ordem :

M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v v

L

L

N × e – momento de 1ª ordem N × v – momento de 2ª ordem

v Nota: na

teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada.

L Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = i0 N  - λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis Ne Ne

(Teoria de 1ª ordem)

1 Nv 2



- λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes (Teoria de 2ª ordem)

Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis M

se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e)


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2.2. TIPOS DE ROTURA

N

N

1 e1

N

2 e2

N

3

e1 e2 e1

N 1

Ne 1 Ne 1 Ne1

1

2

Nu, Mu Ne 2

N

2

N CR, M CR 2

N

2

Nu , Mu 3

Ne 2

3

Nu , Mu 3

3

N CR, M CR

M 

Relação N - M para e 2 = 0 (análise de 1ª ordem) M u /N /Nu = e1



Relação N - M para e 2 ≠ 0 (elemento pouco esbelto) ⇒ rotura da secção



Relação N - M para e 2 ≠ 0 (elemento muito esbelto) ⇒ rotura por instabilidade

2.3. ESBELTEZA

A esbelteza de um pilar é dada por: λ=

L0 i

onde, L0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada) I   i = i representa o raio de giração da secção  A  Nota : Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo perpendicular ao plano de encurvadura. Maior λ ⇒ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem.


158


2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES 

Estruturas contraventadas contraventadas

L0 = 0.7L L0 = L



L 0 = L/2

Estruturas não contraventadas contraventadas

L 0 = 2L

L0 = L

L 0 = 2L

2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS

O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento.


159


Para elementos isolados, os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser considerados através de uma excentricidade inicial e i ou através de uma força horizontal Hi. ei

N

ei

N Hi

Hi

L

L

b) Elementos contraventados

a) Elementos não contraventados

2.5.1. Excentricidade inicial

A excentricidade inicial poderá ser calculada através da seguinte expressão ei = θi l0 / 2

onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura. A inclinação θi pode ser calculada através da seguinte expressão: θi = θ0 ⋅ αh ⋅ αm

onde,

θ0 representa o valor de inclinação base que pode ser αh

representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do

elemento (αh = 2 / αm

tomado igual a 1/200;

l e 2/3 ≤ αh ≤ 1);

representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos

verticais existente na estrutura ( αm = de elementos verticais).

0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número

Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerarse simplificadamente que e i i = L0 / 400 .


160


2.5.2. Força horizontal equivalente

A força horizontal deverá actuar na posição em que provoque o máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões: (i) Elementos não contraventados: H i = θi N (ii) Elementos contraventados: H i = 2 θi N

2.6. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM 

Estruturas correntes (edifícios, em geral)

Métodos de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2ª ordem. (Método das excentricidades adicionais - REBAP, EC2) e v e N N

e+ead N

Msd = Nsd (e + ead) 

Outras (esbelteza grande)

Métodos de análise não linear de estruturas, tendo em conta as não linearidades geométricas e as não linearidades físicas dos materiais.

2.6.1. Determinação da excentricidade de 2ª ordem

A excentricidade de 2ª ordem destina-se a ter em conta a deformação do elemento e, consequentemente, a existência de efeitos de 2ª ordem. MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

161


Considere-se a seguinte coluna biarticulada “perfeita” x

N

N v

πx Para N = NE, tem-se v ≈ A sen L

(Deformada do tipo sinusoidal)

L

A curvatura é dada por: π2 πx πx 1 d2 V 1 L2 − ⇔ × 2 = A sen = 2 = A 2 sen r dx L L r L π

1 L2 1 L2 Pelo que, v = r = π2 ≈ r 10 Deste modo, a flecha na secção crítica é dada por: 1 L2 vsc = r 10 sc A curvatura na secção crítica pode ser obtida de forma aproximada através do seguinte modelo: syd

εsyd

(+) (-)

εsyd 1 εsyd + εsyd = = r 0.9d 0.45d

0.9d

De acordo com o EC2 , a excentricidade excentricidade de segunda ordem pode ser calculada através da seguinte expressão: 1 L02 e2 = r c onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8. A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão 1 1 = K r ⋅ Kϕ ⋅ r r0 onde, Kr representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço axial; Kϕ

representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;

1 εyd  ≅ 1 / r0 representa a curvatura base   r0 0.45d  .


162


O coeficiente K r destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a armadura não atingir a extensão de cedência, o que conduz a uma curvatura inferior à curvatura base. Este factor de redução pode ser determinado através de: n -n Kr = n u- n ≤ 1.0 u bal onde, n nbal

representa o valor do esforço normal reduzido; representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo momento resistente (em geral, n bal ≈ 0.4);

nu

= 1 + ω, com ω = As fyd / (Ac fcd).

O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente K ϕ, que pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. Kϕ = 1 + β ϕef ≥ 1 onde, ϕef β

M0cqp  ϕef = ϕ(t∞, t0) representa o coeficiente de fluência efectivo  M0sd  ;  = 0.35 + f ck / 200 - λ / 150;

M0cqp representa o momento de primeira ordem para a combinação quase-permanente de acções; M0sd

representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.

O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ϕef = 0, caso sejam verificadas as três condições seguintes: ϕ(∞, t0) ≤ 2; λ ≤ 75; M0sd / Nsd ≥ h


163


2.7. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA

1. Verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção mais esforçada), para os esforços Nsd e Msd = M0sd + Nsd e2 2. Secção crítica (i) Estruturas contraventadas contraventadas

A localização da secção crítica depende do diagrama de M sd (conforme se pode observar na figura seguinte, em geral a secção crítica localiza-se numa zona intermédia, e não junto das extremidades). Nsd M02

0.6 M02 + 0.4 M01 M0e = máx  0.4 M02

M2

M0sd

(secção crítica)

com |M02| ≥ |M01|

e2

+

Msd =

e Msd ≥ máx M0sd (nós) = M02 M01 (ii) Estruturas não contraventadas contraventadas e2 N M0sd

M2

A secção crítica situa-se no nó em que Msd é máximo


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3. Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição λ ≤ λlim =

20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C n

onde, λ

= l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza ( i representa o raio de giração da secção transversal não fendilhada); fendilhada);

A

= 1 / (1 + 0.2 ϕef ) (se ϕef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7);

B

= 1 + 2 ω (se ω for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);

C

= 1.7 – rm (se rm for desconhecido pode adoptar-se C = 0.7);

ϕef

representa o coeficiente de fluência efectivo;

ω

= Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura;

rm

= M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas extremidades de um elemento, sendo |M 02| ≥ |M01|;

n

= Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido


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EXERCÍCIO 5.3 Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços: N

Secção transversal

H

0.40 0.30

3.00

Esforços característicos: Ng = 550 kN; N q = 250 kN Hq = 20kN (ψ 1 = 0.6; ψ 2 = 0.4) Materiais: C25/30; A400NR


1. Cálculo da esbelteza λ=

L0 2 × 3.0 i = 0.0866 = 69.3

i=

I A =

9 × 10-4 bh3 0.4 × 0.33 = 9 × 10-4 m4 12 0.30 × 0.40 = 0.0866 m; I = 12 =

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas l0 6.0 ei = θi l0 / 2 = 400 = 400 = 0.015 m θi = θ0 ⋅ αh ⋅ αm = αh = 2 / αm =

l =2/

1 200 3.0 = 1.15 < 1.0 ⇒ αh = 1.0

0.5 (1 + 1/m) = 1.0


166


3. Determinação dos esforços de dimensionamento Nsd = 1.5 × (550 + 250) = 1200 kN; M 0sd = 20 × 3 × 1.5 + 0.015 × 1200 = 108.0 kN 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar condição seguinte: λ = 69.3 / ≤ λlim =

20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 = = 33.8 n 0.599

C = 1.7 – rm = 1.7 rm = M01 / M02 = 0 N 1200 n = A sdf = 0.30 × 0.40 × 16.7×103 = 0.599 c cd ⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo Nsd = 1200 kN Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200 × 0.047 = 164.4 kNm (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

1 L02 62 e2 = r c = 0.013 × 10 = 0.047 m 1 1 × 1.01 × 1.55×10-2 = 0.013 m -1 = K = 0.8 r ⋅ Kϕ ⋅ r r0 εyd 1 1.74×10-3 -2 -1 r0 = 0.45d = 0.45 × 0.25 = 1.55×10 m

n -n 1.42 - 0.6 Kr = n u- n = 1.42 - 0.4 = 0.80 ≤ 1.0 u bal N 1200 n = A sdf = 0.30 × 0.40 × 16.7×103 = 0.60 c cd nu = 1 + ω ≈ 1 + 0.42 = 1.42 MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

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- Estimativa da percentagem mecânica de armadura ( ω ω )

Msd,estim’ = M0sd + Nsd e2 ≈ 108 + 1200 × 0.015 = 126 kNm Nsd -1200 = b h fcd 0.3 × 0.4 × 16.7×103 = -0.60 Msd 126 µ= = 2 b h fcd 0.4 × 0.32 × 16.7×103 = 0.21

ν =

 ⇒ ω = 0.42 

Kϕ = 1 + β ϕef = 1 + 0.0013 × 0.78 = 1.01 ≥ 1 ϕef = ϕ(t∞, t0)

M0cqp 33.8 × = 2.5 M0sd 108 = 0.78

M0cqp = 20 × 3 × 0.4 + 0.015 × (550 + 0.4 × 250) = 33.8 kNm β = 0.35 +

λ fck 25 69.3 = 0.35 + 200 150 200 150 = 0.013

4. Cálculo da armadura (flexão composta) Nsd -1200 = b h fcd 0.3 × 0.4 × 16.7×103 = -0.60 Msd 164.4 µ= = 2 b h fcd 0.4 × 0.32 × 16.7×103 = 0.273

ν =

 ⇒ ωTOT = 0.62 

d1 0.05 h = 0.3 = 0.167≅ 0.15 ; A400 f 16.7 ASTOT = ωTOT × bh × f cd = 0.62 × 0.30 × 0.40 × 348 × 104 = 35.7cm2 syd


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EXERCÍCIO 5.4 Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços: N

Secção transversal 0.25 0.25

Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN (ψ 1 = 0.4; ψ 2 = 0.2)

5.00

Materiais: C20/25; A400NR


1. Cálculo da esbelteza λ=

i=

L0 5 = i 0.0722 = 69.3 I A =

3.255 × 10-4 b h3 0.254 = 0.0722 m ; I = = = 3.255 ×10-4 m4 2 0.25 12 12

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas 5.0 ei = θi l0 / 2 = 0.0045 × 2 = 0.011 m θi = θ0 ⋅ αh ⋅ αm = αh = 2 /

l =2/

1 200 × 0.89 = 0.0045 5.0 = 0.89 ; αm =

0.5 (1 + 1/m) = 1.0


169


3. Esforços de dimensionamento Nsd = (380 + 220) × 1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011 × 900 = 9.9 kNm 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar condição seguinte: λ = 69.3 / ≤ λlim =

20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 = = 25.2 n 1.083

C = 1.7 – rm = 1.7 rm = M01 / M02 = 0 N 900 n = A sdf = 0.25 × 0.25 × 13.3×103 = 1.083 c cd ⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900 × 0.02 = 27.9 kNm (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

1 L02 52 e2 = r c = 0.008 × 10 = 0.020 m 1 1 -2 -1 = K r ⋅ Kϕ ⋅ r r0 = 0.41 × 1.0 × 1.93×10 = 0.008 m εyd 1 1.74×10-3 = = = 1.93 ×10-2 m-1 r0 0.45d 0.45 × 0.20

n -n 1.55 - 1.083 Kr = n u- n = 1.55 - 0.4 = 0.41 ≤ 1.0 u bal N 900 n = A sdf = 0.252 × 13.3×103 = 1.083 c cd nu = 1 + ω ≈ 1 + 0.55 = 1.55


170


- Estimativa da percentagem mecânica de armadura ( ω ω )

Msd,estim’ = Msd + Nsd (ei + e2) ≈ 900 × (0.011× 2) = 20 kNm Nsd -900 = 2 b h fcd 0.25 × 13.3×103 = -1.083 Msd 20 µ= = 2 3 b h fcd 0.25 × 13.3×103 = 0.10

ν =

 ⇒ ω = 0.55 

Kϕ = 1 + β ϕef = 1 - 0.012 × 1.2 = 0.99 ⇒ Kϕ = 1 ϕef = ϕ(t∞, t0)

M0cqp 4.7 × = 2.5 M0sd 9.9 = 1.2

M0cqp = 0.011 × (380 + 0.2 × 220) = 4.7 kNm β = 0.35 +

λ fck 20 69.3 = 0.35 + 200 150 200 150 = -0.012

3. Cálculo da armadura (flexão composta) d1 0.05 h = 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45 Nsd -900 = 2 b h fcd 0.25 × 13.3×103 = -1.083 Msd 27.9 µ= = 2 3 b h fcd 0.25 × 13.3×103 = 0.134

ν =

 ⇒ ωTOT = 0.65 

f 13.3 AsTOT = ωTOT × b h × f cd = 0.65 × 0.252 × 348 × 104 = 15.5cm2 syd


171


3. Estruturas em Pórtico 3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS



Estruturas contraventadas: estruturas

com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande parte das acções horizontais.

paredes ou núcleos



Estruturas não contraventadas: contraventadas: estruturas

sem elementos de contraventamento

3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA

O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado pela expressão, L0 = ηL onde L representa o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende das condições de ligação das extremidades do elemento Estruturas contraventadas

Estruturas não contraventadas

L

L0 ≤ L (η ≤ 1) MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

L

L0 ≥ L (η ≥ 1)

172




Estruturas contraventadas contraventadas

η = min



0.7 + 0.05 ( α1 + α2) 0.85 + 0.05 αmin 1.0

Estruturas não contraventadas contraventadas

1.0 + 0.15 ( α1 + α2) η = min  2.0 + 0.3 αmin

onde α1 e α 2 são parâmetros relativos às extremidades 1 e 2 do pilar, dadas por:

∑(EI / L) pilares αi = ∑(EI / L) vigas

nó i: viga pilar

Este parâmetro pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó: Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem.

Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundação: i) fundações que confiram encastramento parcial : α = 1 ii) fundações que confiram encastramento perfeito: α = 0 iii) fundações cuja ligação ao pilar não assegure transmissão de momentos (liberdade de rotação: α = 10


173


Exemplo:

Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.

3.00

0.6

2

0.5 0.3

0.3

0.3

3.00

0.3 1 0.5 0.3

0.4 0.3 4.00

6.00

5.00

Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada 0.34 1 0.34 1 ∑(EI / L) pilares ∑(I / L) pilares 12 × 4 + 12 × 3 α1 = = = 0.3 × 0.53 1 0.3 × 0.43 1 = 0.468 EI / L I / L ( ) ( ) ∑ ∑ vigas vigas × × 12 6 + 12 5 0.34 1 12 × 3 × 2 α2 = 0.3 × 0.63 1 0.3 × 0.53 1 = 0.295 × × 12 6 + 12 5

1 + 0.15 ( α1 + α2) = 1 + 0.5 (0.468 + 0.295) = 1.11 2.0 + 0.3 αmin = 2 + 0.3 × 0.295 = 2.09

η = min 

L0 = 3 × 1.11 = 3.33m


174


3.3. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS

Para o caso de estruturas em pórtico, os efeitos globais de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição

∑Ecd Ic n Fv,sd ≤ k1 n + s1.6 L2 s

onde,

Fv,sd representa a carga vertical total; ns

representa o número de pisos;

L

representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os deslocamentos horizontais estão restringidos;

Ecd

representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do betão (Ecd = Ecm / γ cE cE = Ecm / 1.2);

Ic

representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de contraventamento (em estado não fendilhado);

k1

é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em estado limite último.

Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes: -

Estrutura aproximadamente simétrica;

-

Deformações globais por corte desprezáveis;

-

Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;

-

Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;

-

Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.

3.3.1. Verificação da segurança de pórticos cujos efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados

Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados, os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem. Os pilares podem ser analisados como elementos isolados.


175


3.3.1.1. Verificação da segurança dos elementos verticais Pilares



Possíveis configurações deformadas e diagramas de momentos flectores correspondentes Msd

δ

δ

M'sd



Msd M'sd

Esforços de dimensionamento - Nós:

Nsd ; Msd

- Secção crítica: Nsd ; Msd' = M0sd + Nsd e2

onde: M0sd = M0e + Nei

0.6 M02 + 0.4 M01 M0e = máx  com |M02| ≥ |M01| 0.4 M02

Nota: A secção crítica (onde os efeitos de 2ª ordem são mais desfavoráveis)

ocorre entre nós. 3.3.2. Verificação da segurança de pórticos cujos efeitos globais de segunda ordem não possam ser desprezados

Caso os efeitos globais de segunda ordem não possam ser desprezados, os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª ordem. Os pilares podem ser analisados como elementos isolados.


176


Paredes Comprimento de encurvadura : L0

Na determinação dos esforços de dimensionamento, devem ser consideradas as imperfeições geométricas e os efeitos de segunda ordem. Nota:

Lparede

L0 2

3.3.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados

No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas : −

A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é

realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade de 2ª ordem em todos os pilares. −

Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por

equilíbrio, conduz a um aumento de esforços nas vigas adjacentes (a análise de pilares isolados não tem em conta este efeito).

Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de 2ª ordem

1. Análise da estrutura inclinada (deformada)

θ


177


2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços provocados pelos efeitos de 2ª ordem. ∆H 2

∆H 1 θ

Esta metodologia pode ser ilustrada através da análise de um pórtico simples a seguir indicada. Começando por definir as condições de equilíbrio definidas na posição deformada — estrutura com inclinação θ — N1

δ

N2

δ

P2 P1 L θ

θ

e2

θ=

e2 2 e2 1= 1 l 0

l 0

;

1 0

δ = Lθ = 2L

e

2 0

e2 l 10

2


178


Obtem-se um momento global de 2ª ordem: M TOTAL = (N1 + N2) δ → 2 MTOTAL = (N1 + N2) 2L 2

→

e2 l 10

e2 ;l 10 → parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência (pilar condicionante) condicionante) A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode ser calculada da seguinte forma: e2 ∆H ∆ → ∆ MTOTAL = HL HL = (N + N ) 2L 1 2 ∆H l 0

→ ∆H = 2 (N1 + N2)

L

l 0;

e2 l 0

e2 → parâmetros relativos ao pilar condicionante

Definição do Pilar Condicionante A excentricidade de 2ª ordem e 2 é função da curvatura de cedência do pilar: 2

1 l 0 e2 = r 10 h

N

n +

-

n e2

1/r 1 ≅ 1 r0 r

0.4 n

0

0.4

1 r0

m N

εyd εyd 1 ≅ = r0 0.45d 0.4h


179


A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada pela seguinte expressão: 1 εyd 0.4 εyd r = 0.4h n = n h l 0

mas: e2 = θ 2 θ

εyd

e2 = n h 10

→

⇒

l 20

θ l 0

εyd

l 20

2 = n h 10

com n ≥ 0.4 ⇒

l 0 1 θ = εyd 5 nh

é a inclinação do pórtico associada ao pilar que atinge primeiro a curvatura de

cedência. ⇒ θ = θi,mínimo l 0

Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação n h


(n ≥0.4)

180


EXERCÍCIO 5.5 G2

G1

g, q

E P2

P1

0.3

0.3 0.4

0 , 5

0.6

10,0 rto oipdofi C25/30

g = 20kN/m

ψ 2 = 0.4

A500 NR

q = 15kN/m

Rec: 3cm

G1 = 900kN

γ E = 1.5

G2 = 500kN E = ± 100kN Dimensionamento dos pilares —

Estrutura não contraventada l 0

Esbeltezas λ = i l 0

= 2l = 2 x 5 = 10m

P1: i =

0.6 = 0.115m 12

→

λ=

10 0.115 = 87

P2: i =

0.6 = 0.173m 12

→

λ=

10 0.173 = 58


181


—

Efeito das imperfeições geométricas θi = θ0 αh αm

αh =

2 l

=

;

2 = 0.894 5

θ0 =

1 200

; αm =

1  0.5  1 +  m  =

1 200 x 0.894 x 0.87 = 0.0039 ;

θi =

1  0.5  1 +  2  = 0.87

e i = 0.0039 x 5 = 0.0194m

0.0194

0.0039

0.0039

Força horizontal equivalente Hi = Nθi Combinação que envolve a acção sísmica Sd = Sg + ψ 2 Sq ± 1.5 SE N = N1 + N2 = (500 + 900) + 10 (20 + 0.4 x 15) = 1660kN Hi = 1660 x 0.0039 = 6.47kN H i = 6.47

EI1 L31 0.43 R1 = EI EI H1 = 0.43 + 0.63 6.47 = 1.49kN 1 + 32 3 0.23 L1 L2 14243

R2 = Hi – R1 = 4.98kN R1

R2

Esforços de 1ª ordem P1

→

E1 = 0.23 x 100 = 23kN 10 Nsd = 500 + 2 (20 + 0.4 x 15) = 630kN M0sd = 1.5 x 23 x 5 + 1.49 x 5 = 180kNm


182


P2

→

E2 = 100 – 23 = 77kN 10 Nsd = 900 + 2 (20 + 0.4 x 15) = 1030kN M0sd = 1.5 x 77 x 5 + 4.98 x 5 = 602,4kNm

Efeitos de 2ª ordem Pórtico não contraventado ⇒ necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem

Excentricidade de 2ª ordem e2 é condicionada pelo pilar mais rígido. Para um determinado deslocamento horizontal o pilar mais rígido atinge primeiro a cedência. δ1

P1

δ2

− 1 1 ⌠ 1 M ⇒ r1 = r2 ⌡ r

δ1 = δ2 = 

ε

1/r0

1 1 e2 → r = r k1 k2 0 ⇓ εyd

0.45d

P2 2

P2

1 l 0 → e2 = r 10 ;

1 1 = k k r φ r r0 ;

εyd 1 = r0 0.45d

1 2.175 x 10-3 -3 r0 = 0.45 x 0.55 = 8.79 x 10 /m kφ = 1 + βφef ≥ 1.0 β = 0.35 + φef = φ

λ fck 25 58 = 0.35 + 200 150 200 - 150 = - 0.088 ⇒ kφ = 1.0

M0cqp M0sd

M0cqp = 4.98 x 5 = 24.9kNm M0sd = 602.4kNm

→ φef = 2.5

24.9 602.4 = 0.1

kφ = 1 + 0.088 x 0.1 ≅ 1.0 n -n kr = n n- n ≤ 1.0 ; n

bal

N n = A sdf ; nn = 1 + w c cd

n = 0.343 ; nbal = 0.4 ; w ≈ 0.5 (estimativa) 1.5 - 0.343 kr = 1.5 - 0.4 = 1.05 ⇒ kr = 1.0 MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

183


(n ≤ 0.4 ⇒ kr = 1.0) -2 -3 10 e2 = 8.79 x 10 10 = 0.0879m Força horizontal equivalente: ∆H = ∆H = 1660 x

2N e2 l 0

;

l 0

= 2l ⇒ ∆H = N e 2 / / l l = (N1 + N2)

e2 l

0.0879 5 = 29.18kN

Momento de 2ª ordem P1

→

M2 = 0.23 x 29.18 x 5 = 33.56kNm

P2

→

M2 = 0.77 x 29.18 x 5 = 112.34kNm

Esforços de dimensionamento P1

→

Nsd = 630kN  Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm

213.56 n = 0.313 ; µ = 0.3 x 0.4 2 x 16700 = 0.266 → w = 0.48 AsTOT = 22.1cm2 Vsd =

Msd 213.56 = 5 = 42.7kN l

Asw Vsd 42.7 Asw 2 →   = = = 1.56cm /m s z cotg θ fyd 0.9 x 0.35 x 2 x 43.5  s min

8φ20

3 , 0

(ρ = 2.1%)

Cintas φ6//0.15

0,4 P2

→

n = 0.343 Nsd = 1030kN → → w = 0.76   Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm µ = 0.396 AsTOT = 52.5cm2

Vsd =

714.74 5 = 142.9kN

Asw 2 = 3.32cm /m s


184


5 0 2 2 φ φ 4 2

6 1 φ 2

0 5 2 2 φ φ 2 4

8φ25 + 4φ20 3 , 0

(ρ = 3.1%)

Cintas φ8//0.15

0,6

4. Flexão Desviada 4.1. ROTURA CONVENCIONAL 

εs ≤ 10‰



εc(-) ≤ 3.5‰



Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

Problema: o momento não está a actuar segundo as direcções principais de inércia.

4.2. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES

(i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão armado

ε

My ( + )

Mz

F s 1 1 F s 2 2

( - )

F c σ c

Através das equações de equilíbrio, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço MRd,y – MRd,z


185


(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama de interacção MRd,y – MRd,z (iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de dimensionamento Flexão composta desviada :

os processos anteriores são repetidos para vários níveis de esforço axial.

Grandezas adimensionais:

− Esforço

N normal reduzido: ν = b hRdf cd

− Momentos

M MRd,z µz = 2 flectores reduzidos: µy = b hRd,y ; 2 fcd b h fcd

− Percentagem

A fsyd mecânica de armadura ωTOT = bsTOT h fcd

Nota:

Simplificadamente, é possível dividir o problema nas duas direcções e resolver como se se tratasse de um problema de flexão composta em cada direcção. Neste caso, é necessário verificar no final a seguinte condição: α α  Msd,y  +  Msd,z  ≤ 1.0  MRd,y   MRd,z 

onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os seguintes valores: •

Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2

•

Secções transversais transversais rectangulares rectangulares Nsd / NRd

≤ 0.1

0.7

1.0

α

1.0

1.5

2.0


186



187


EXERCÍCIO 5.6 Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo indicados. Nsd = -1200 kN Msd,y = 150 kNm Msd,z = 100 kNm

z

y

0.50

Materiais: A400 C20/25

0.30


Flexão desviada com esforço axial (Tabelas)

M sdz ν =

Astot /4 /4

Nsd -1200 = b h fcd 0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60

µy =

Msdy 150 = 2 b h fcd 0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15

µz =

Msdz 150 = 2 b h fcd 0.30 × 0.50 × 13.3×103 = 0.167

M sdy

2

Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15 ν = -0.6 µ1 = 0.167 µ2 = 0.15

  ⇒ ωTOT = 0.60  f

13.3

⇒ AsTOT = ωTOT b h f cd = 0.60 × 0.30 × 0.50 × 348 × 104 = 34.4cm2 syd


188


EXERCÍCIO 5.7 Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: N sd = -1400kN; Msdz = 150 kNm; Msdy = 200 kNm Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


Msd = 1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta

d d1 = 0.05 ⇒ h1 = 0.10 Nsd -1400 = = 0.427 2 π r fcd π × 0.252 × 16.7×103 MSd 250 µ= = 3 2π r fcd 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152

ν =

 ⇒ ωTOT = 0.30 

f 16.7 AsTOT = ωTOT × πr2 × f cd = 0.30 × π × 0.252 × 348 × 104 = 28.3cm2 syd


189

Modulo5

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