Módulo Matemáticas-Grado Séptimo

Módulo Matemáticas-grado Séptimo

1 Docente: María Offir Marulanda Hoyos

MÓDULO DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS

ÁREA DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA AQUILINO BEDOYA DOCENTE: MARÍA OFFIR MARULANDA HOYOS

ESTUDIANTE PARA LEVANTAR EL TROFEO NECESITAMOS: DISCIPLINA + DEDICACIÓN + DESEO



€.

MÓDULO DE ENSEÑANZA DE MATEMÁTICAS

ENERO 09 DE 2008 Rev. Nº 4

1.

ESTÁNDARES.

1.1. ESTÁNDARES DE LA ASIGNATURA.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos • • • •

Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medidas. Justifico procedimientos aritméticos, utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o la radicación. Establezco el valor absoluto de un número.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos • • •

Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica. Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.



Pensamiento métrico y sistemas de medidas • • •

Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas. Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes.

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos estadísticos • • • •

Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. Uso representaciones gráficas adecuadas para representar diversos tipos de datos (diagramas de barras, diagramas circulares). Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos. Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.

1.2. ESTÁNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS.

1.2. ESTÁNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS. • Es atento y respetuoso ante la intervención de las demás personas. • Solicita con respeto atención y colaboración por parte de los demás miembros de la comunidad. • Se reconoce como una persona de bien, de comportamientos y decisiones racionales. • Es solidario y prestante con sus compañeros y demás miembros de la comunidad.



1.3. ESTANDARES LABORALES • • •

1.

Establece juicios argumentados y define acciones adecuadas para resolver una situación determinada. Cambia y transforma procesos con métodos y enfoques innovadores. Observa, descubre y analiza críticamente deficiencias en distintas situaciones para definir alternativas e implementar soluciones acertadas y oportunas. COMPETENCIAS.

2.1 COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA. 2.1.1. • • •

Interpretativa

Reconocer los diferentes métodos usados para solucionar situaciones algorítmicas. Comprender los conceptos estudiados en cada conjunto numérico y relacionarlos con situaciones reales. Determinar si las soluciones que resultan al resolver algoritmos y problemas tienen sentido en los contextos cotidianos que han sido planteados.

: 2.1.2.A rgum entativa • •

Justificar, utilizando modelos matemáticos, las soluciones planteadas a diferentes problemas. Escribir en forma coherente, clara y concreta las conclusiones de un hecho real en el cual se han usado algoritmos y conceptos matemáticos

2.1.3. • • •

Propositiva

Utilizar los conceptos matemáticos para plantear y resolver problemas en contextos cotidianos. Inventar situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos. Aplicar los conceptos, algoritmos y representaciones aprendidos en estadística y probabilidad en la solución de de situaciones de contexto real.



2.1.COMPETENCIAS CIUDADANAS. • • •

Participar de manera activa y racional frente a las decisiones de carácter grupal e individual. Resolver conflictos de manera pacifica y constructiva. Comunicar sus ideas de manera abierta al cambio y asertiva.

2.1.COMPETENCIAS LABORALES.

• • • • • • • • • •

Identificar las situaciones cercanas a su entorno (casa, barrio, colegio) que tienen diferentes modos de resolverse. Escuchar la información, opinión y argumentos de otros sobre una situación. Reconocer las posibles formas de enfrentar una situación. Seleccionar una de las formas de actuar posibles. Asumir las consecuencias de sus decisiones. Observar una situación cercana a mi entorno (casa, barrio, colegio) y registrar información para describirla. Analizar las situaciones desde distintos puntos de vista (padres, amigos, personas conocidas, entre otras). Identificar los elementos que pueden mejorar una situación dada. Inventar nuevas formas de hacer cosas cotidianas. Analizar los cambios que se producen al hacer las cosas de manera diferente.

2. LOGROS COGNITIVOS

PROCEDIMENTALES

ACTITUDINALES


*identifica características conjunto de números enteros


las *Resuelve situaciones del que involucren los operaciones básicas con números enteros

*Demuestra una adecuada actitud de escucha durante las explicaciones.

* Reconoce las *Resuelve situaciones características de los que involucren números racionales. operaciones básicas con números racionales *reconoce las características * Realiza problemas generales de los donde se involucren las polígonos unidades de medida con las figuras geométricas *Relaciona diferentes tipos de gráficos *Realiza estudios estadísticos a una determinada situación problema

*cumple a cabalidad con las actividades propuestas. *Trae los materiales necesarios para trabajar en clase *Participa activamente en el desarrollo de la clase

que puedo ser, como resultado de un creador perfecto, que todo lo que hace es a su ima

El camión de basura (reflexionemos) ¿Con qué frecuencia permites que la estupidez y la insensatez de otras personas cambien tu estado de ánimo? ¿Te enfadas cuando otro conductor comete un error de transito, un empleado te trata



irrespetuosamente, cuando alguien se burla de ti, o un jefe te exige injustificadamente más trabajo de lo que te corresponde hacer? Hace varios años, como de costumbre subí a un taxi para ir a mi trabajo, habíamos entablado una conversación con el conductor y de repente, sin saber por qué otro automóvil, se cruzó tan bruscamente, que para no causar una tragedia, el conductor del taxi tuvo que girar el auto y frenar súbitamente. Milagrosamente no ocurrió nada, pero el conductor del vehículo que había cometido la imprudencia, se bajo bruscamente de su auto y comenzó a gritar e insultar al taxista. El taxista, a pesar de lo injusto de la situación, sonrió, levantó su mano y lo saludo muy amablemente diciéndole lo siento, que Dios le bendiga y que tenga un buen día y luego sin decir nada más retomó la marcha. Sorprendido por esta actitud, le pregunte: -Porque le ha respondido así, esa persona por poco destruye su automóvil y además casi nos envía a los dos al hospital. Entonces el taxista me dio una lección que jamás olvidaré, me dijo: -Muchas personas son como el camión de la basura. Están cargados de enojo, odio, frustración, resentimiento... y ante cualquier situación aprovechan para descargarla. -Pero, porque lo hacen ante una situación como esta, si usted no le ofendió y solo fue su culpa. -Lo hacen ante la primera oportunidad, porque necesitan eliminar de su interior toda la basura acumulada, porque ya no hay lugar para más. Desde aquel día no he vuelto a permitir que los camiones de basura, tomen el control de mis sentimientos y mucho menos de mis reacciones. Aprendí, que sonreírles a los insatisfechos, malhumorados y frustrados es la mejor medicina que puede ayudarles a cambiar su perspectiva de la vida. “Sé amable con las personas alteradas y entiende que están librando su propia batalla. Pero asegúrate de no ser tú, el lugar en el que descargan toda su basura. Tú no eres un basurero”

4.

PRUEBA DIAGNÓSTICA



Fecha Propuesta De La Actividad Hora ____ Fecha De Entrega De La Actividad Hora ____

: Día ____ Mes ____ Año ____ : Día ____ Mes ____ Año ____














5.


UNIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION Nº 1

5.1. NÚMEROS ENTEROS Duración: Entre __________________ Y __________________ COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Resuelve operaciones Resuelve situaciones Cumple a cabalidad de adición y problemáticas con con las actividades sustracción entre números enteros. propuestas. números enteros. Comprende los pasos Aplica propiedades de las Manifiesta sentido del proceso de operaciones y relaciones de pertenencia por resolución de entre números enteros. la institución. problemas. 5.2 TABLA DE LOGROS

5.3CONTENIDOS: 5.3.1 Conceptos de número entero 5.3.2 El conjunto de los números enteros 5.3.3 Representación de los números enteros en la recta 5.3.4 Valor absoluto de un número 5.3.5 Orden en el conjunto de los números enteros 5.3.6 Adición y sustracción de números enteros 5.3.7 Multiplicación de números enteros 5.3.8 División de números enteros 5.3.9 Polinomios con números enteros



5.3.10Potenciación de números enteros; propiedades 5.3.11Radicación de números enteros; propiedades NÚMEROS ENTEROS Los números no positivos aparecieron por primera vez en la India; en el libro de Brahmagupta (matemático hindú), en el año 628 de nuestra era. En él, se distingue entre “bienes”, “deudas” y la “nada”. Es decir, los números positivos, los números negativos y el cero. Los hindúes representaban los números negativos poniendo un punto encima de las cifras. Más tarde; los chinos utilizaron los números negativos pero los diferenciaban de los positivos escribiéndolos de otra forma. Por ejemplo; escribían los números negativos de color rojo en contraposición a los positivos que aparecían de color rojo. De ahí viene la expresión “estar en números rojos”, es decir, tener deudas.. En cursos anteriores se hizo un estudio detallado del conjunto de los números naturales, sus elementos, las diferentes relaciones y las operaciones que se definen entre ellas. Esta unidad estará dedicada a trabajar en torno a otro de los conjuntos numéricos, el de los números enteros. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Los números positivos +1,+2,+3,+4,+5,…., se llaman enteros positivos y se representan con el símbolo Z+. Z+=+1,+2,+3,+4,+5,…. Los números negativos …,-5,-4,-3,-2,-1 son llamados enteros negativos y se representan con el símbolo Z-. Z-=…,-5,-4,-3,-2,-1 El número 0 pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se considera ni positivo ni negativo. El conjunto de los números enteros está formado por los enteros negativos, el cero y los enteros positivos. Así, se tiene que Z=…,-5,-4,-3,-2,-1,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5,…. …,-5,-4,-3,-2,-1 Z=Z-∪0∪ Z+



…,-5,-4,-3,-2,-1 Los números negativos se usan en muchas situaciones cotidianas. Usted seguramente habrá oído expresiones como 3 grados centígrados bajo cero cuando se habla de temperatura, 200 metros bajo el nivel del mar cuando se habla de la profundidad de una mina, o números rojos cuando se habla de contabilidad. Todas esas expresiones hacen referencia a números negativos. Un número natural y su correspondiente negativo son simétricos con respecto al cero: están a la misma distancia del cero. A esa distancia le llamamos valor absoluto del número y la representamos poniendo el número entre barras. Por ejemplo: |–384| = 384 y |384| = 384 Estas expresiones se leen: “el valor absoluto de menos 384 es 384” y “el valor absoluto de 384 es 384”. Observe que el valor absoluto siempre es positivo porque es una distancia. REP RESENT A CI ÓN D E LOS NÚME ROS ENT EROS •

E n una re c ta horiz onta l , se tom a c ua lquie ra que s e se ña la c om o c e ro.

•

A su de re c ha y a dis ta nc ia s igua le s se ña la ndo los núm e ros pos itiv os : 1, 2, 3,...

•

A la iz quie rda de l c e ro y a dis ta nc ia s igua les que las a nte riore s , se v a n s e ña la ndo los núm e ros ne ga tiv os : − 1, − 2, − 3,...

un

ORD EN EN LOS NÚMERO S ENT EROS

punto se

va n



L os núm e ros e nte ros es tá n orde na dos . De dos núm e ros re pre s e nta dos grá fic a m e nte , es m a y or a l que é l e stá s it ua do má s a la de re c ha , y m e nor e l s itua do m ás a la iz quie rda . C RI T ERI OS P A RA ORD ENA R LOS NÚMEROS ENT EROS 1. Todo núm e ro ne ga tiv o es m e nor que c e ro. −7 < 0 2. Todo núm e ro pos itiv o es m a y or que c e ro. 7 > 0 3. De dos e nte ros ne ga tiv os es m a y or e l que tie ne m e nor va lor a bs oluto. − 7 > − 10

|− 7| < |− 10|

4. De los e nte ros pos itiv os , es ma y or e l que tie ne ma y or v a lor a bs oluto. 10 > 7

|10| > |7|

Actividad de apropiación

1. Escribe mayor o menor según corresponda

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Docente: María Offir Marulanda Hoyos

➢ 7 ----- 5 ➢ 4 ----- 3 ➢ 8 ----- 5 ➢ 2001 ----- 1987 ➢ 2485 ----- 1254

1. Dibuje sobre la línea una recta numérica y represente el valor absoluto de –3 y el valor absoluto de 3:

Recuerde que: |–3|=3 y |3|=3 2. En cada inciso ordene los números de menor a mayor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda:

a) 2

1

b) 63

47

4

89,

–1

–8

–2

–83

–85

–64

c) 286

884

–572

–433

d) 7525 –3234

2996

6477

–6214

102

-45

–8357



3. En cada inciso ordene los números de mayor a menor y escriba entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda:

a) 40 b) 3 c) 3241 5,3

–32

28

–15

5

–9

–2

–5008

77

2116

0

7

18

999

–8, 76

4. Encuentre el valor absoluto de los siguientes números:

a) 186 e) –724

b) –30 f) 320

c) 60 g)–109

5. Encuentre todos los números enteros que son:

a) mayores o iguales que 23 y menores que 32

b) mayores que 0 y menores o iguales que 13

c) mayores que –2 y menores que 3

d) mayores que –7 y menores que –1

d)-289 i) 5



6. Ubique los siguientes valores en la recta numérica

a) los números 0, 10, –10, 20, –20, 30 y –30

b) los números –27, –28, –29, –30, –31

c) Los números 0, –1, –2, –3, –4, 1, 2, 3, 4

7. Resuelve las siguientes situaciones utilizando el concepto de número entero.

a) El lunes, Salomé debía en la tienda de la esquina $4500, El viernes siguiente debía $3450. ¿Mejoró o empeoró su situación?

b) En Bogotá, el día 19 de enero estaban a 5º bajo cero, y el 20 del mismo mes estaban a 7º bajo cero. ¿Qué día fue más alta la temperatura?

c) El buzo A baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca de la superficie?



d) El saldo de la empresa “LEYMA, S.A.” es de $12 807 en números rojos, y el de la empresa “Marulo, S.A.” es de 6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos está en mejor situación? (utilizando el concepto de ganancia y pérdida)

Valora ción

Firma Del(a) Estudiante ¡EXPRÉSATE! Pinta sobre la madera un grafiti



SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Si l os sum a nd os son d el m ism o sig no, se sum a n los va l ores a b soluto s y a l resulta d o se le p one el sig no c om ún. 3 + 5 = 8 (− 3) + ( − 5) = − 8 Si los sum a nd os son d e d istinto sig no, se resta n l os va lores a b solut os ( a l m a yor le resta m o s el m enor) y a l resul ta d o se le p one el sig no d el núm ero d e m a yor va lor a b soluto. − 3 + 5 = 2 3 + ( − 5) = −2

P ROP I ED A D ES DE LA SUMA D E NÚME ROS ENT EROS 1. I nterna : E l re s ulta do de sum a r dos núm e ros e nte ros e s otro núm e ro e n t e ro. a + b 3 + ( − 5) 2. A socia tiva : E l m odo de a grupa r los s uma ndos no v a ría e l re s ulta do. ( a + b ) + c = a + ( b + c)



( 2 + 3) + (− 5) = 2 + [ 3 + (− 5) ] 5 − 5 = 2 + (− 2) 0 = 0 3. C onm uta tiva : E l orde n de los sum a ndos no va ría la sum a . a + b = b + a 2 + ( − 5) = (− 5) + 2 −3 = −3 4. E l em ento neu tro : E l 0 es e l e le m e nto ne u tro de la s uma porque todo núme ro su m a do c on é l da e l m is m o núm e ro. a + 0 = a (− 5) + 0 = −5 5. E l em ento op ue sto Dos n úm e ros s on opue s tos s i a l s um a rlos obte ne m os c om o res u lt a do e l ce ro . a + ( - a) = 0 5 + ( − 5) = 0 E l op uest o d el op uest o d e un núm ero es ig ua l a l m i sm o núm ero. −( − 5) = 5



La resta d e núm er os enter os se ob tien e sum a nd o a l m i nuend o el op uest o d el sust ra end o. a − b = a + (− b ) 7 − 5 = 2 7 − ( − 5) = 7 + 5 = 12 P ROP I ED A D ES DE LA REST A DE NÚMEROS ENT EROS 1. I nterna : La resta d os núm ero s enter os e s otro núm er o enter o . a − b 10 − ( − 5) 2. No es Conm uta ti va : a − b ≠ b − a 5 − 2 ≠ 2 − 5

➢ Actividades de aplicación 1. Resuelva las siguientes operaciones

•

13 – 386 = =

103 – 505



•

265 – 1571 = =

•

1397 – 6998 = 661 =

•

287 – 740 = 6248 =

4481 –

•

561 – 870 = =

81 – 99

•

50 – 566 = 73637 =

168 – 925

635 –

4366 –



1. Utiliza la ley de signos para resolver los siguientes ejercicios

a) –32 + (–4) =

c) –906 + (–826) + (–672) + (–217) = 4101) + (–149) =

b) –60 + (–42) + (–71)

d) –784 + (–64) + (–

2. Haga las siguientes sumas de números enteros: RECUERDE QUE NÚMEROS CON IGUAL SIGNO SE SUMAN; Y AL RESULTADO SE LE COLOCA EL MISMO SIGNO

- 6291 - 6874 + +

+ - 8497

- 5412

- 15847

- 65841



6780

- 64587

- 32657 + +

+ 5845

25487

10201

-

587

-

698

- 695 +

+ -

658

-

658

- 987

g) +527 + (–261) =

h) –504 + (+480) =

i) +825 + (–67) =

j) –658 + (+861) =

3. Desarrolla las siguientes sumas de números enteros:

a) –27 + (–19) + (+31) + (12) (+5) + (–2) + (–13)

b) +82 + (–7) +



c) –608 + (+102) + (–327) + (+14) + (–1006) 624) + (–26) + (+879)

d) –248 + (–

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………



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Realiza un mapa conceptual de lo que has aprendido hasta el momento



EFECTOS DE LA AUSENCIA DE CARICIAS

El hambre de caricias no espera. El niño que somos durante toda la vida, necesita sentir y saber satisfecha, razonable y establemente, su insaciable HAMBRE DE CARICIAS. Entre los efectos más frecuentes de la privación de caricias encontramos: 1) Disminución de oxígeno en la sangre. 2) Disminución o aumento exagerados del apetito. 3) Debilitamiento del sistema inmunológico. 4) Lentitud del tono muscular. 5) Tendencia a sufrir accidentes. 6) Enfermedades de diversa índole. 7) Desnutrición general. 8) Abulia depresión e ideas de suicidio. 9) Anemia y falta de capacidad para rechazar infecciones orgánicas. 10) Juegos psicológicos mortales. 11) Depresión o psicosis agudas. 12) La muerte.

Escribe en el recuadro cuales han sido tus aportes al desarrollo de la clase

➢ PROFUNDIZACIÓN 1. Hacer las siguientes restas de números enteros:



556

12321

-

15487

-

9422

-

353

353

15487

-

9422

-

15321

-

956

g) +119 – (–749) = 54) =

h) –7702 – (+837) = (+608) =

-

-

2345

2945

i) +983 – (–

j) –714 –

➢ Actividad de aplicación 1. Santiago le debe $12 500 a Camila y $13 000 a Miguel. La próxima quincena recibirá $78 000 y piensa pagarles.



a) ¿Cuánto debe pagar por sus deudas?

b) ¿Con cuánto dinero se quedará Santiago la próxima quincena?

2. Camilo registra cada noche los ingresos y egresos que tuvo ese día en su tiendita. En la tabla que se muestra a continuación aparecen los datos que anotó la última semana.

3. Resuelve los siguientes ítems:

a) Complete la tabla anotando el saldo correspondiente a cada día y el que se va acumulando al agregárselo al del día anterior.

b) ¿Con qué saldo quedó Camilo el martes por la noche?



c) ¿Qué día doña Camilo comenzó a tener un saldo positivo?

d) ¿Cuánto pagó Camilo esa semana?

e) Según Camilo, la semana anterior a la que se muestra obtuvo $150 más de saldo, aunque tuvo que pagar 85 pesos más. ¿Cuáles fueron en total la entrada y la salida de esa semana?

4. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas observadas en algunas ciudades a las 7, 15 y 22 horas del 11 día de enero de este año. Considere la información de la tabla para responder las preguntas que se hacen a continuación.

Ciudad Bogotá Pasto Pereira Manizales Cali

7 horas -3o -4o 6o 2o 18o

15 horas 7o 0o 20o 13o 29o

22 horas -2o -1o 9o 4o 21o

a) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 7 de la mañana?

b) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a las 10 de la noche?



c) ¿Cuánto aumentó la temperatura en cada ciudad entre las 7 de la mañana y las 3 de la tarde?

d) ¿Cuánto disminuyó la temperatura en cada ciudad entre las 3 de la tarde y las 10 de la noche?

5. Realice las siguientes sumas

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………… 7. Realice las siguientes operaciones



……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………



Actividades de apropiación 8. Para cada una de las siguientes situaciones, resuelva el problema y represente la solución en una recta numérica. a) El submarino amarillo llegó a -134 metros en su primera inmersión y después se desplazó -75 metros más. ¿Cuántos metros debe subir para volver a la superficie?

b) Raúl le pagó al tendero $34 500 y éste le dijo que ahora su cuenta quedaba en $78 800 ¿Cuál era el saldo de Raúl antes de hacer el pago?

c) El lunes, la temperatura en Bogotá era de 15º C, el martes descendió seis grados, el miércoles descendió otros seis grados y el jueves otros seis. Si el viernes aumentó un grado, ¿qué temperatura registraba el termómetro en Bogotá ese día? d) Un caracol asciende por una pared de 10 metros de altura, durante el día sube tres metros y en las noches se duerme se resbala y desciende 2 metros, ¿al cabo de cuantos días logra llegar a la cima.


Valora ción


Firma Del(a) Estudiante

➢ La siguiente frase tiene poco sentido pero si reordenan las letras de las palabras subrayadas aparecen las capitales de cuatro países. “SOLO SE LIBREN DE PISAR LA MORA” MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Multiplicación de enteros Como los números naturales, los números enteros también se pueden multiplicar. Esta operación se realiza como si se tratara de una multiplicación de naturales y el signo del resultado o producto se pone de acuerdo a la siguiente regla: Esta regla nos dice que: • El producto de dos números de igual signo siempre es positivo; • El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo.

• Si se multiplican dos enteros positivos, el resultado es positivo. • Si se multiplican dos enteros negativos, el resultado también es positivo. • Si se multiplican un entero positivo y uno negativo, el resultado es negativo.

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Esta regla es llamada MULTIPLICACION


LA

LEY

DE

SIGNOS

PARA

LA

REALIZA CON LOS SIGNOS RESPECTIVOS EL ENUNCIADO DE LA LEY DE LOS SIGNOS

ESCRIBE UNA REFLEXION PARA TU FAMILIA.

Veamos unos ejemplos:

8 x 20 = +360

12 x (-8) = -96

Nota: En los ejemplos anteriores hemos utilizado el signo + para denotar a los enteros positivos pero en general no se escribe el signo +. Cuando un número no tiene escrito ningún signo, se entiende que se trata de un número positivo. Así, por ejemplo, podemos escribir también (-11) x (-15) = 165.

Escribe una anécdota que te haga sonreír cuando la recuerdas

41



JUEGO PUEDES ADIVINAR EL DÍA EN QUE NACIÓ TU MEJOR AMIGO!! VOY ADIVINAR EL DIA DE TU NACIMENTO TIENES QUE CONCENTRARTE Y REALIZAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES PRIMERO MULTLIPICA POR DOS (2) EL DIA EN QUE NACISTE AHORA SUMALE CINCO (5) AL RESULTADO ANTERIOR LO QUE TE DÉ MULTIPLICALO POR 50 RESTALE 250 AL RESULTADO SUMALE EL NUMERO QUE INDICA EL MES EN TUS CUMPLEAÑOS PREGUNTALE CUANTO LE DIO? AHORA MIRA BIEN LO QUE DICE TU COMPAÑERO EJEMPLO SI EL TE CONTESTA 2007 PUES EL DIA DE TU CUMPLEAÑOS ES EL 20 DE JULIO, ES DECIR DIA 20 DEL MES 7 PRACTICALO ES DIVERTIDO EL PRÍNCIPE DE LAS MATEMÁTICAS Carl Friederich Gauss, llamado “Príncipe de las Matemáticas”, domino en el siglo XIX en matemáticas, física y astronomía. Desde niño mostró una prodigiosa habilidad con los números. A los tres años de edad, corrigió



un error que su padre había cometido en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él. A los diez años, su maestro de escuela, que quería paz en clase, ordeno a los niños que sumaran todos los números del 1 al 100. El pequeño Gauss, casi inmediatamente, escribió el resultado en el tablero 5050 Luego explico con mucha sabiduría como lo hizo.

División de enteros A partir de relaciones:

los

ejemplos

anteriores

encontramos

las

siguientes

Como 18 x 20 = 360, sabemos que 360 ÷ 20 = 18 y 360 ÷ 18 = 20 Como (-11) x (-15) = 165, sabemos que 165 ÷ (-15) = -11 y 11) = -15

165 ÷ (-

Como 12 x (-8) = -96, sabemos que -96 ÷ (-8) = 12 y -96 ÷ 12 = -8 Como (-5) x 14 = -70, sabemos que -70 ÷ 14 = -5 y -70 ÷ (-5) = 14 Observa en estos ejemplos de divisiones, cómo son los signos del dividendo, el divisor y el cociente (o resultado de la división). La relación entre estos signos se puede expresar como sigue: • Si el dividendo tiene el mismo signo que el divisor, el cociente es positivo; Ahora veamos otros ejemplos de división de enteros:



-105 ÷ 7 = -15

144 ÷ (-12) = -12

-256 ÷ -8 = + 32

(+320) ÷ (+32) = +10

➢ Actividades de apropiación 1. Resuelva las siguientes operaciones: a) i) -160 ÷ 10

10

b) j) -56 ÷ (-8)

(-5)

x

(-8)

c) k) 420 ÷ (-7)

+12

x

(+3)

d) l) -99 ÷ (+11)

(-11)

x

(+7)

e) m) -2800 ÷ 14

-360

x

(-12)

f) n) 4032 ÷ (+56)

1278

g) o) -2992 ÷ (-88)

-1356

h) p) 624 ÷ (-13)

-521

x

(-14)

x

(-556)

x

x

(-12)

(+15)

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………… 2. En cada uno de los siguientes incisos, indique si la operación se puede efectuar o no. Cuando se pueda efectuar, resuélvala. a) g) 0 ÷ 18

16

x

b) h) 0 ÷ (-76)

-1587

c) i) 1 ÷ 0

0

x

(-51)

d) j) -567 ÷ 0

0

x

1642

e) k) 0 ÷ 0

1

x

0

x

0

0


f) l) 1 ÷ 1

1


x

1

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 3. María se quedó sin dinero el día 22 y cobraba su próxima quincena el día 30. Cuatro amigos le prestaron $12500 cada uno, y María se terminó de gastar ese dinero el día 29. a) ¿Cuál era el saldo de María el día 30, antes de cobrar la quincena?



b) Si el día 30 cobró $143000, ¿cuál fue su saldo después de pagar la deuda

Valora ción

Firma Del(a) Estudiante ORDEN EN LAS OPERACIONES

1º . E fe c tua r las ope ra c ione s e ntre p a réntes is, corch ete s y l l a ves. 2º . Ca lc ula r las p otenc ia s y ra íces . 3º . E fe c tua r los p rod uct os y cocient es . 4º . Re a liz a r la s sum a s y resta s .

Op era cion es com b ina d a s 1. Sin pa ré nte s is 1. 1 Sum a s y d iferen ci a s. 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = C om e nza ndo

por

la

iz quie rda ,

ope ra c ione s s e gún a pa re c e n. = 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7 1. 2 Sum a s, resta s y p rod uct os . 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

v a m os

e fe c tua ndo

la s


Re a liz a m os

p rim ero

los


p rod uct os

por

te ne r

m a y or

p ri orid a d . = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = E fe c t ua m os la s sum a s y resta s . = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1. 3 Sum a s, resta s , p rod uctos y d ivisione s. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = Re a liz a m os los p rod uctos y cocient es e n e l orde n e n e l qu e los e nc ontra m os porque las dos ope ra c ione s tie ne n la m ism a p riorid a d . = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = E fe c t ua m os la s sum a s y resta s . = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1. 4 Sum a s, resta s , p rod uctos , d ivision es y p oten cia s. 2 3 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 = Re a liz a m os e n prim e r luga r la s p otenc ia s por te ne r ma y or p ri orid a d . = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =



Se gu im os c on los p rod uct os y cocien te s . = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 = E fe c t ua m os la s sum a s y resta s . = 26 2 . Con p a rénte sis ( 15 − 4) + 3 − ( 12 − 5 · 2) + ( 5 + 16 : 4) − 5 + ( 10 − 2 3 )= Re a liz a m os e n prim e r luga r la s op era cio ne s conte nid a s en el los . = ( 15 − 4) + 3 − ( 12 − 10) + ( 5 + 4) − 5 + ( 10 − 8 )= Quita m os p a rénte sis re a liz a ndo la s ope ra c ione s . = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3. Con p a rénte sis y corch ete s [ 15 − ( 2 3 − 10 : 2 )] · [ 5 + ( 3 ·2 − 4 ) ] − 3 + ( 8 − 2 · 3 ) = P ri m ero

ope ra m os

c on

la s

p otencia s,

p rod uct os

c oc i ent es d e los p a rénte sis . = [ 15 − ( 8 − 5 )] · [ 5 + ( 6 − 4 ) ] − 3 + ( 8 − 6 ) = Re a liz a m os las sum a s y resta s d e los p a réntesi s .

y



= [ 15 − 3] · [ 5 + 2 ] − 3 + 2= En

vez

de

pone r

c orc he te s

pondre m os

pa ré nte s is

dire c t a m e nte : = ( 15 − 3) · ( 5 + 2) − 3 + 2= Ope ra m os e n los p a réntes is . = 12 · 7 − 3 + 2 Mul ti p lica m os . = 84 − 3 + 2= Resta m o s y sum a m os . = 83

➢ Actividades de apropiación Resuelva las siguientes operaciones: a) (6 - 18) ÷ 3 - (-20) x (-5) + 2

b) 6 - 18 ÷ 3 - (-20)] x [(-5) + 2]

g) 15

h) [15



c) 2 + 3 x 4 ÷ [(-11) -(-3)]

i) -264

d) (2 + 3) x 4 (-11) - (-3)

j) -264 ÷

e) (12 + 8) ÷ (4 - 9) (-301) x 49 - (-17)

k) 301 +

f) 12 + 8 ÷ 4 – 9 (-301)] x [49 - (-17)]

l) [301 +

Valora ción


POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS U na

p otenc ia

es

una

form a

a bre v ia da

de

e sc ribir

p rod ucto form a do por v a rios fa ctore s ig ua les .

un



6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 65 Ba se d e una p otencia La

b a se

de

una

p otencia

es

el

núm ero

que

m ul ti p lica m o s por sí m is m o, e n e ste c as o e l 6. E xp onen te d e una p otencia E l exp on en te de una p otenc ia indic a e l núm er o de ve c e s qu e m ultip lica m os la b a se , e n e l e jem plo es e l 5. La p otencia d e exp o nen te na tura l d e un núm er o entero es otro núm ero ente ro , c uy o va lor a b soluto es el va lor a b soluto d e l a p otenc ia y c uy o sig no e s e l que se de duc e de la aplic a c ión de las s iguie nte s reg la s : 1. L as pote nc ia s de e x pone nte pa r s on sie m pre pos itiv as .

2. L as pote nc ia s de e x pone nte im pa r tie ne n e l m is m o signo de la bas e .

P rop ied a d es 1. a 0 = 1 2. a 1 = a 3. P rod ucto d e p otencia s con la m ism a b a se : Es ot ra pote nc ia c on la m ism a ba se y c uy o exp on en te e s la sum a d e los exp on ent es .

52


am · a

n


= am+n

(− 2 ) 5 · (− 2) 2 = ( −2 ) 5 + 2 = ( −2 ) 7 = − 12 8 4. Di visió n d e p otencia s con la m ism a b a se : Es ot ra pote nc ia c on la m ism a b a se y c uy o exp one nte e s la d i ferencia d e los exp on en tes . am : a

n

= am

— n

(− 2 ) 5 : ( −2 ) 2 = (− 2) 5

— 2

= ( −2 ) 3 = − 8

5. P otencia d e una p otencia : Es ot ra pote nc ia c on la m ism a ba se y c uy o exp on en te e s e l p rod uct o d e los exp one nte s . (am)n = am

· n

[( − 2) 3 ] 2 = ( −2 ) 6 = 64 6. P rod ucto d e p otencia s con el m ism o exp one nt e : Es ot ra pote nc ia c on e l m ism o exp on ent e y c uya b a se es e l p rod uct o d e la s b a ses an · b

n

= (a · b)

n

(− 2) 3 · ( 3) 3 = (− 6) 3 = − 216 7. C ociente d e p otencia s con el m ism o exp one nte : Es ot ra pote nc ia c on e l m is m o ex pone nte y c uy a bas e e s e l c oc ie nte de las bas e s . an : b

n

= (a : b )

n

(− 6) 3 : 3 3 = ( − 2) 3 = − 8



U n núm e ro e le va do a − 1, e s e l inv e rs o de dic ho n ú m e ro.

Ejercici os d e p oten cia s Es c ribe e n form a de una s ola pote nc ia : 1 33 · 34 · 3 = 2 57 : 53 = 3 (53)4 = 4 ( 5 · 2 · 3) 4 =



5 (34)4 = 6 [(53)4 ]2 = 7 (82)3 8 (93)2 9 25 · 24 · 2 = 10 2 7 : 2 6 = 11 ( 2 2 ) 4 = 12 ( 4 · 2 · 3) 4 = 13 ( 2 5 ) 4 = 14 [ ( 2 3 ) 4 ] 0 = 15 ( 27 2 ) 5 = 16 ( 4 3 ) 2 = 

Re a liz a r la s s iguie ntes ope ra c ione s c on pote nc ia s : 1 ( − 2) 2 · ( − 2) 3 · (− 2) 4 = 2 ( − 8) · (− 2) 2 · ( − 2) 0 ( − 2) = 3 ( − 2) − 2 · ( − 2) 3 · (− 2) 4 = 4 2−2 · 2−3 · 24 = 5 22 : 23 = 6 2−2 : 23 = 7 22 : 2−3 = 8 2−2 : 2−3 = 2

55


9 [ ( − 2) − 2 ]

3


· ( − 2) 3 · (− 2) 4 =

10 [ (− 2) 6 : ( − 2) 3 ] 3 · ( − 2) · ( − 2) − 4 =



Re a liz a r la s s iguie ntes ope ra c ione s c on pote nc ia s : 1( − 3) 1 · (− 3) 3 · ( − 3) 4 = 2 ( − 27) · (− 3) · (− 3) 2 · (− 3) 0 = 3 ( − 3) 2 · ( − 3) 3 · (− 3) − 4 = 4 3−2 · 3−4 · 34 = 5 52 : 53 = 6 5−2 : 53 = 7 5

2

: 5

−3

=

8 5−2 : 5−3 = 9 ( − 3) 1 · [ ( − 3) 3 ] 2 · ( − 3) − 4 = 10 [ (− 3) 6 : (− 3) 3 ]

Valora ción

3

· (− 3) 0 · ( − 3) − 4 =


RA DI CA CI ÓN D E NÚME ROS ENT EROS



Recordemos que la radicación es la operación inversa de la potenciación y se representa con el símbolo de la figura siguiente. Es la operación mediante la cual se busca un número que multiplicado por sí mismo 2, 3, 4 o más veces nos da el número propuesto. El signo de la radicación se llama radical. Raíz de un Numero La raíz de un número es otro número que multiplicado por sí mismo dos o más veces es igual al número dado. Si el número se multiplica por sí mismo 2 veces se llama raíz cuadrada, si se multiplica 3 veces, raíz cúbica; 4 veces, raíz cuarta, etc.

Los términos que intervienen en la radicación son: el índice, la cantidad subradical, el radical(símbolo de la radicación y la raíz (el resultado buscado). La potenciación y la radicación son operaciones respectivamente opuestas. En el cuadro de la parte inferior encontrarás la relación entre la potenciación y la radicación


E je rc ic ios




RECAPITULACION Realice un mapa mental acerca del tema: OPERACIONES CON ENTEROS Socialícelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer ante el grupo.



AUTOEVALUACION - Debes tener en cuenta los conocimientos previos. - Valora el grado de participación que tuviste en las actividades. - Será objeto de evaluación la presentación ordenada y limpia del PORTAFOLIOS, así como la búsqueda de información y el aporte de materiales. - Valora el grado de adquisición de nuevos conocimientos. ITEM A EVALUAR CONOCIMIENTOS PREVIOS ACTITUD EN CLASE PREPARACION DE LAS EVALUACIONES ESTUDIO EN CASA DESARROLLO DEL MODULO PORTAFOLIO ASISTENCIA Y PARTICIPACION COMPETENCIAS DESARROLLADAS

VALORACION



TRASCENDAMOS EL CONOCIMIENTO Este un espacio para reflexionar sobre la importancia que tiene el cuidado del agua en nosotros como seres humanos, nuestra familia, nuestra comunidad, nuestra ciudad, nuestro país y nuestro planeta, …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………………. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… PREPARATE PARA PRUEBAS TIPO ICFES

Selecciona entre las opciones dadas solo una, la que consideres relaciona de manera más estructurada los conceptos matemáticos con las condiciones particulares de la situación problema. Núcleo común Los puntajes de un juego de vídeo aparecen en la pantalla como números positivos para los aciertos y números negativos para los errores. 1. En una serie de cuatro juegos los puntajes de Luís fueron, en su orden: -18, -15, -7, 2. Al mirarlos, podemos decir:



A. Luís fue mejorando, porque los puntajes están ordenados de menor a mayor. B. El primer puntaje fue el mejor, porque ese es el mayor de los cuatro números. C. Cada vez que Luís jugo, tuvo un puntaje mejor que el anterior, porque 2 es el mayor de los cuatro números. D. Se ve que el puntaje solo depende de la suerte, porque los cuatro números no están en ningún orden. 2. En su primer juego Andrés y José tuvieron, respectivamente, -7 y -8 puntos. Decidieron entonces apostar un helado; ganaría el que, en cualquiera de los tres juegos siguientes, elevara mas su puntaje inicial. Sus puntajes fueron:

Para saber quién ganó el helado: A. Miramos quién tuvo el puntaje mayor. Andrés ganó el helado porque en su mejor juego tuvo 9. B. Miramos en cuantos puntos mejoró cada uno. Como José mejoró hasta 7 y Andrés mejoró hasta 9, Andrés ganó el helado. C. Comparamos, para cada uno, el puntaje mayor con el de su primer juego. Como José elevo su puntaje en 15 puntos y Andrés en 16, Andrés ganó el helado. D. Revisamos cuál de ellos comenzó con un puntaje menor. Andrés ganó porque comenzó con un puntaje menor que el de José. 3. El valor absoluto de un número puede interpretarse como la distancia que separa a cero en la recta numérica del punto que representa dicho número. Según lo anterior, el valor absoluto de un número negativo es: A. Negativo, porque este es el signo del número y el valor absoluto indica la posición respecto a cero. b. Positivo, porque el valor absoluto indica una distancia y las distancias siempre son positivas. C. Positivo, porque el valor absoluto siempre es positivo. D. No se puede saber; depende de cuál sea el número entero negativo.

62



Núcleo de profundización El sábado 3 de febrero del año 2001, el diario El Tiempo publico la siguiente tabla, con algunas cifras referidas al número de muertes por accidentes de tránsito en Bogotá. Muertes por accidentes de tránsito en Bogotá Enero a diciembre 1999 – 2000 1999

2000

Diferencia 1999 y 2000

Condición Caso de la % s víctima

Caso % s

Casos

% variación

Peatón

603

69

569

69

-34

-6%

Pasajero

76

9

64

8

-12

- 1 6%

Conductor 36

4

33

4

-3

-8%

Motociclist 90 a

10

57

7

-33

-37%

Ciclista

59

7

95

11

+ 36

+ 61%

Otros

8

1

10

1

+2

+ 25%

Total

872

100 828

100 -44

entre

de

-5%

4. Los signos de las cifras de la penúltima columna indican que: A. Aunque en la mayoría de los casos el número de muertos disminuyó, en el año 2000 se presentaren más víctimas entre los ciclistas que en el año 1999. B. En el año 2000 murieron menos conductores y pasajeros que en el año anterior, pero murieron más peatones y motociclistas. C. La diferencia entre los valores de 1999 y los del año 2000 es negativa si murió menos gente en el 2000 y positiva si murió más gente por causa de los accidentes de tránsito.

63



D. La diferencia entre los valores de 1999 y los del año 2000 es negativa si murió menos gente en 1999 y positiva si murió más gente por causa de los accidentes de tránsito. 5. Los valores correspondientes al porcentaje de variación son útiles para concluir que: A. Las campañas para controlar el exceso de velocidad en motocicleta han surtido efecto, pero el estimulo al uso de la bicicleta debe ir unido a mas controles de seguridad. B. Pese a las campañas educativas de la alcaldía, durante los dos años han muerto más ciclistas y motociclistas que peatones y conductores. C. Los ciclistas y conductores de motos son los más imprudentes y por eso se ha incrementado el porcentaje de víctimas en los dos casos. D. El menor porcentaje de variación se obtuvo entre los peatones y conductores. 6. En los siguientes frascos de salsa se ha indicado, con un número entero negativo, cuántos meses faltan para la fecha de vencimiento y, con un número entero positivo, cuántos meses hace que el producto venció. Según las etiquetas: A

B

C

D

E

+4

-3

+2

0

-7

A. Conviene comprar el frasco E porque su fecha de vencimiento es la mas lejana. B. Conviene comprar el frasco B porque como - 3 es mayor que - 7 su fecha de vencimiento es la más lejana. C. Conviene comprar el frasco E porque - 7 es el que tiene mayor valor absoluto. D. Conviene comprar el frasco D porque su fecha de vencimiento coincide con la de compra. Selecciona entre las opciones dadas solo una, la que consideres relaciona de manera mas estructurada los conceptos matemáticos con las condiciones particulares de la situación problema. Núcleo común



El nivel de una represa ha descendido 12 cm diarios durante 5 días y luego descendió 8 cm diarios durante 4 días. 1. Para encontrar la modificación total: A. Adicionamos los dos descensos: (-12) • 5 + (-8) • 4 = (-92). El nivel descendió 92 cm. B. Buscamos la diferencia entre el primer descenso y el segundo: (- 60) - (- 32) = (- 28). El nivel descendió 28 cm. C. Como el descenso duro 9 días, multiplicamos cada valor por 9: (- 12) • 9 + (- 8) • 9 = (- 180). El nivel descendió 180 cm. D. Adicionamos lo que bajó los primeros 5 días con lo que bajó los últimos 4 días: (-12) • 5 + (-8) • 4 = 60-32 = 28. El nivel ascendió 28 cm. 2. A partir del décimo día el nivel de la represa comenzó a subir 2 cm diarios. ¿En cuántos días habrá recuperado el nivel inicial? A. Como había bajado 12 cm diarios durante 5 días, subiendo 2 cm diarios recupera el nivel en 30 días. B. Como el descenso duro 9 días, se necesitan otros 9 días para recuperar el nivel. C. Como el nivel bajó primero 60 cm y luego 32, cuento de 2 en 2 , hasta 92: 2+ 2+ 2+ 2+ ….. + 2 = 92. El ascenso dura 46 días. D. Como el descenso total fue 60 cm + 32 cm = 92 cm, divido 92 por 2: 92-5-2 = 46. El ascenso dura 46 días. 2. Un jugador de tiro al blanco recibe $ 500 por cada acierto y paga $ 450 cada vez que no acierta. Si de 30 tiros acierta 13, ¿en qué situación queda después del juego? A. No gana ni pierde porque el dinero perdido es exactamente igual al dinero ganado. B. Le quedan $ 14 150 porque: 13- 500+ (-17) • (-450) = 14 150 C. Gana $ 650 porque el número de aciertos es mayor que el número de pérdidas. D. Queda debiendo $ 1150 porque: 13 • 500 + 17 • (-450) = -11 50 Núcleo de profundización 4. Juan Pablo observa detenidamente las siguientes series de operaciones:

65



3x2 = 6 3x1 = 3 3x0 = 0 3 x (- 1) =-3 3 x (-2) = (-6) 3 x (- 3) = (- 9)

(- 3) x 2 = (- 6) (- 3) x 1 = (- 3) (- 3) x o = o (- 3) x (- 1) = 3 (-3) x (-2) =6 (- 3) x (- 3) = 9

Al identificar un patrón de variación, concluye: A. Para conservar la regularidad que se observa en las tablas, el producto de dos números negativos debe ser positivo. B. Al multiplicar respectivamente 3 y (- 3) por la misma serie de números, se obtienen series ordenadas en forma descendente. C. El producto de números enteros cumple la propiedad conmutativa. D. Cada vez que se multiplican dos números enteros, el producto será mayor que cualquiera de los factores. 5. La ciudad de Campo verde está situada a orillas del río Iguanas. Durante varios años se ha medido la temperatura del agua del río a lo largo de los meses, y se ha construido esta gráfica que muestra los promedios:

Se conoce también que la temperatura máxima de supervivencia para distintas especies de peces es: Trucha 15 °C Lucio

24 °C

Carpa

32 °C

Bagre

34 °C



6. ¿Cómo puede encontrarse la temperatura media del río en el mes de diciembre? A. Calculando la diferencia 15 - 7 = 8. La temperatura es 8 °C. B. Resolviendo el polinomio 15 + 12 + (-17)+ 7 = 17. La temperatura es 17 °C. C. Restando 17-7 = 10. La temperatura es 10 °C. D. Calculando la diferencia entre los ascensos y los descensos: (1 5 + 1 7) - (12 + 7) = 13. La temperatura es 13 °C. 7. En el mes de junio se celebra en Campo verde el torneo de pesca. ¿Qué especies de peces encontrarán los pescadores? A. Encontrarán solamente truchas porque en junio la temperatura del agua es 12 °C y las truchas sobreviven a temperaturas menores de 15 °C. B. Encontrarán solo carpas y bagres porque la temperatura del agua en junio no sobrepasa los 32°C. C Encontrarán truchas y lucios, ya que las temperaturas máximas que estás especies soportan son menores que la temperatura del río en el mes de junio. D. Encontrarán carpas y bagres, porque son los peces que soportan temperaturas altas y junio es el mes en que el agua está más caliente. 8. Por un comportamiento anormal del clima, en el año 1994 hubo una variación de la temperatura del agua del río, así: En marzo fue 3 grados más alta que el promedio para ese mes. En junio fue 5 grados más baja que el promedio para ese mes. En octubre fue 2 grados más baja que el promedio para ese mes. En diciembre fue 1 grado más alto que el promedio para ese mes. ¿Cuál fue la temperatura del río en diciembre de 1994? La expresión correcta para la pregunta es: A. 1 5 + 12 + 1 7 + 7 + (- 5) + (- 2) + 1 B. 15 + 12 + (-17) + 7 + 3 + (-5) + (-2) + 1 C. 15+(-12)+ 17+ (-7)+ 3 + 5 + 2 + 1 D. 15 + 12 + (-17) + 7 + (-3) + 5 + 2 + (-1) Valora ción




Donde hubo fuego cenizas quedaron.

Es difícil olvidar los hechos cuando la persona se involucró profundament

REFLEXIONEMOS………………………

¿Existe el mal?

Ocurrió en Alemania al inicio del siglo 20. Durante una conferencia con varios universitarios, un profesor de la Universidad de Berlín, propuso un desafío a sus alumnos con la siguiente pregunta: -¿Creó Dios todo lo que existe? Un alumno respondió valientemente: -Sí, Él creó todo lo que existe… Preguntó nuevamente el maestro: -¿Dios realmente creó todo lo que existe? -Sí señor, respondió el joven. El profesor, dijo: -Si Dios creó todo lo que existe, ¡entonces Dios hizo el mal, ya que el mal existe! Y si decimos que nuestras obras son un reflejo de nosotros mismos, entonces Dios es malo, porque el creo el mal. El joven se calló frente a la respuesta del maestro, que se regocijaba de haber probado, una vez más, que la fe era un mito. Otro estudiante levantó la mano y dijo: -¿Puedo hacerle una pregunta, profesor? -Claro que sí, fue la respuesta del profesor. El joven se puso en pie y preguntó: -Profesor, ¿el frío existe? -¿Pero que pregunta es esa?… Lógico que existe, ¿o acaso nunca sentiste frío? El muchacho respondió: -En realidad, señor, el frío no existe. Según las leyes de la Física, lo que consideramos frío, en verdad es la ausencia de calor. Todo cuerpo u objeto es factible de estudio cuando posee o transmite energía; el calor es lo que hace que este cuerpo tenga o transmita energía. El cero absoluto es la ausencia total de calor; todos los cuerpos quedan inertes, incapaces de reaccionar, pero el frío no existe. Nosotros creamos



esa definición para describir de qué manera nos sentimos cuando no tenemos calor. -Y, ¿existe la oscuridad? Continuó el estudiante. -Por supuesto que existe: Dijo el profesor. -La oscuridad tampoco existe. La oscuridad, en realidad, es la ausencia de luz. Respondió el estudiante respondió. La luz la podemos estudiar, pero la oscuridad, no. A través del prisma de Nichols, se puede descomponer la luz blanca en sus varios colores, con sus diferentes longitudes de ondas, pero eso es imposible con la oscuridad. ¿Cómo podemos saber cuán oscuro está un espacio determinado? Solo con base a la cantidad de luz presente en ese espacio. Porque la oscuridad es una definición utilizada por el hombre para describir qué ocurre cuando hay ausencia de luz. Finalmente, el joven pregunto nuevamente al profesor: -Señor ¿El mal existe? El profesor respondió: -Por supuesto, como afirmé al inicio, vemos robos, crímenes, violencia en todo el mundo. Esas cosas son del mal. El estudiante, dijo: “-No Señor, el mal no existe o por lo menos no existe por sí mismo. El mal es simplemente la ausencia del bien… De conformidad con los anteriores casos, el mal es una definición que el hombre inventó para describir la ausencia de Dios” Dios no creó el mal. El mal es el resultado de la ausencia de Dios en el corazón de los seres humanos. Es igual a lo que ocurre con el frío cuando no hay calor, o con la oscuridad cuando no hay luz. El joven fue aplaudido de pie por los demás alumnos y el maestro, moviendo la cabeza, permaneció en silencio. El director de la Universidad, se dirigió al joven estudiante y le preguntó: -¿Cuál es tu nombre? -Me llamo, ALBERT EINSTEIN

4.


6.1. FRACCIONES DECIMALES Duración: Entre __________________ Y __________________ 4.2 TABLA DE LOGROS


COGNITIVOS Reconoce los números decimales.


PROCEDIMENTALES Utiliza la representación decimal de un número.

Realiza conversiones Plantea y resuelve de fracción a decimal. situaciones aditivas y multiplicativas con números decimales

ACTITUDINALES Termina a tiempo la actividad en clase, optimizando su tiempo en el colegio. Es responsable con sus compromisos académicos

4.3CONTENIDOS: 4.3.1 Sistema de numeración 4.3.2 Clasificación de números decimales 4.3.3 Orden en los números decimales 4.3.4 Adición y sustracción de números decimales 4.3.5 Multiplicación de números decimales 4.3.6 División de números decimales 4.3.7 Ecuaciones que involucran números decimales

PRECONCEPTUALIZACION Sistema de numeración No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo. En esta lección veremos una manera de expresar partes de una unidad a través del sistema de numeración decimal, que ya hemos empezado a estudiar. Recuerde que nuestro sistema de numeración es decimal porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice de qué tamaño son los grupos que estamos contando. Para contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema utiliza diez símbolos, que son los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.



Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de esas partes se llama décima. Si con una primera partición no podemos todavía expresar la cantidad que tenemos, partimos los pedacitos en diez partes, etc. Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de área que tenemos sombreada en la anterior figura, utilizando como unidad el cuadrado R. El área sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qué parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el rectángulo en diez partes. Cada una de esas “rebanadas” es un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo. Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir, partimos los décimos en diez partes cada uno. El rectángulo nos queda partido en 10 x 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos pedacitos es un centésimo. Con siete de ellos, ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada. Sabemos entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y 7 centésimos. Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de cada tamaño empezando con los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos.



En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres décimos y siete centésimos: entonces escribimos 1.37. Este número lo podemos leer también como un entero treinta y siete centésimos. Observe en el último dibujo que los tres décimos que contamos inicialmente quedaron partidos en 30 centésimos. Por ejemplo, trescientas cuarenta y dos unidades, 4 décimos, 6 centésimos y 9 milésimos se escriben 342.469 y se lee trescientas cuarenta y dos unidades cuatrocientos sesenta y nueve milésimos. Se puede seguir partiendo tanto como se necesite; el nombre del orden dice en cuántas partes se divide el entero. Observe que cada vez que partimos en diez, obtenemos la cantidad de pedacitos multiplicando por diez. Aquí vamos a multiplicar muchas veces por diez; conviene entonces detenernos un momento para hacer un acuerdo de notación.

Aunque no sepamos cómo se llaman las partes en que se divide el entero, podemos dividir todas las veces que queramos en diez partecitas. Se pueden escribir decimales con cualquier cantidad de cifras.



Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto decimal de un número se llama la expansión decimal del número. Hay números que tienen una expansión decimal que no termina; se dice que tienen expansión decimal infinita. Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este número significan que sigue 3 un número infinito de veces. Cuando la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene expansión decimal finita. Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 29888.9393939222929399932221929292475751. Esto último no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de la última cifra; por ejemplo, 6.7705000000… es un número con expansión decimal finita, porque es igual a 6.7705. ➢ Actividades de apropiación 1. Escriba con notación decimal los números según la escritura: a) doce unidades doce centésimos b) cuarenta y siete décimos c) doscientos treinta y cinco milésimos d) dos unidades quince milésimos e) ciento seis milésimos f) diecinueve milésimo g) cinco centésimos h) cinco décimos



i) dos diezmilésimos j) ciento treinta centésimos k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonésimos

l) seis millones setecientas unidades, un millón veintisiete mil once diezmillonésimos 2. Escriba la lectura correcta de los siguientes números: a) 354.7 e) 123.321 I) .00315 b) 32.007 f) 4702.0934 j) .772 c) 302.07 g) 2791.579 k) .039 d) 9.777 h) 0.550 l) .630038 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



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Desde el avenimiento de la civilización las pirámides han cautivado la imaginación de los arquitectos y de los sacerdotes. Sin embargo, unos y otros pudieron erigir estos monumentos religiosos y/o fúnebres gracias al concurso de los calculistas, es decir, de los matemáticos. ¿En qué consiste? Hay que estudiar el "ejemplo", pues allí se encuentra la clave. El 136 de la cúspide es la suma de 50 y 86; a su vez, 50 es la suma de sus dos números inmediatos inferiores: 18 y 32; y 32 es también la suma de sus dos números inmediatos inferiores: 7 y 25.



Esa es la fórmula, y ahora llene usted todos los vacíos, pero no tarde más de 15 minutos en cada pirámide. EJEMPLO

Orden en los números decimales Para saber si un número decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte entera es mayor, el número es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque 56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos decimales son iguales, nos fijamos en los décimos, que son las fracciones decimales más grandes. El número que tiene más décimos es más grande. Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69. 12.8 es mayor que 12.299; escribimos 12.8 > 12.299.



52.103 es menor que 52.4; escribimos 52.103 < 52.4. Si tanto la parte entera como los décimos de dos números son iguales, nos fijamos en los centésimos. El número que tiene más centésimos es más grande. Por ejemplo: 3.12 es mayor que 3.11; escribimos 3.12 > 3.11. 98.567 es mayor que 98.5589; escribimos 98.567 > 98.5589. 47.547 es menor que 47.06; escribimos 47.0547 < 47.06. 16.28 es mayor que 16.2, porque 16.2 = 16.20; escribimos 16.28 > 16.2. Este proceso de comparación se puede seguir siempre. A continuación lo planteamos para todos los números decimales: Para saber si un decimal es mayor que otro, cuando sus partes enteras son iguales, nos fijamos en la primera cifra de izquierda a derecha en la que son distintos y el número que tiene esa cifra más grande es el mayor de los dos. Recuerde que si faltan cifras decimales para poder hacer esta comparación, siempre se pueden agregar ceros a la derecha sin alterar el número, como en el último ejemplo. También los números decimales se representan en la recta numérica, partiendo cada unidad del dibujo en diez, cada décimo en diez, etc. Por ejemplo: para representar en la recta el número 3.7, dividimos la unidad que va de 3 a 4 en diez partes iguales y en la séptima división estará 3.7.

Si queremos representar en la recta el número 12.43, dividimos en diez partes el segmento que Va de 12 a 13, localizamos 12.4 y la siguiente División, 12.5; dividimos en diez partes el segmento



Que va de 12.4 a 12.5 y en la tercera división estará 12.43.

Como antes, en la recta numérica los números son más grandes mientras más se alejan del cero en la dirección del uno. Con el dibujo en esta posición, los números son más grandes si están más a la derecha. En algunas ocasiones la recta numérica no se coloca en posición horizontal sino en posición vertical, y la dirección del cero hacia el uno es de abajo hacia arriba. En estos casos los números son más grandes si están más arriba del cero y meros si están abajo del cero. Actividad 1. Realiza una recta en forma vertical y enumérala según lo que acabas de leer


2.


En cada par de números indique cuál es el mayor:

a) 14.27 126.44

y y

12.98 126.4491

g)

b) 364.846 y 8.656

y

325.787

h) 8.66

c) 90.13 y 7.002

y

90.95

i) 7.02

d) 6.328 0.00637

y

6.32

j)

y

0.0063

e) 51.1 y 4.5

y

51.01

k) 4.49

f) 0.014 y 87.03

y

0.14

l) 87.3

3. En cada par de números indique cuál es el menor:

a) 50.4 y y 71.900

30.43

g) 71.9



b) 46.793 y y 0.001

46.79326

h) 0.0016

c) 518.628 y y 55.555

192.475

i) 55.55

d) 6.57 y y 6.104

4.75

j) 6.14

e) 59 y y 3.087

59.9

k) 3.87

f) 28.2 y y 9.3040

28.02

l) 9.34

4. Entre cada par de números coloque el símbolo =, el símbolo > o el símbolo < según corresponda:



5. Escriba un número:

a) Mayor que 2.1

b) mayor que 17.53

c) menor que 12.33

d) menor que 0.01

e) mayor que 0.2194 y menor que 1 mayor que 2.5

f) dos décimos

g) un centésimo menor que 0.068 un décimo mayor que 1.42

h) tres unidades y

i) dos décimos y un centésimo mayor que 9.73 milésimo menor que 9.614

j) un décimo y un



6. Dibuje en rectas numéricas los números:

a) 1.5, 1.7, 1 y 2 1.195 y 1.2

c) 100, 50, 70 y 60 8.882 y 8.885

e) 22.43, 22.44 y 22.435 0.05

b) 1.190,

d) 8.88,

f 0.1, 0.01 y

7. Resuelve las situaciones problema

a) En una tienda de Estados Unidos cuesta US 2.50 un carrete de hilo y en otra cuesta US 2.05. ¿En cuál tienda es más barato el hilo?

b) En una casa de cambio venden el dólar en US 10.49 y lo compran seis centavos más bajo. ¿En cuánto compran el dólar?



c) Para ir a trabajar, Don Luis puede usar dos rutas distintas. En la primera ruta el recorrido es de 17.7 Km. y la segunda es dos kilómetros y cinco décimos más corta.

d) ¿De cuánto es el recorrido en la segunda ruta?

e) Don Pedro repartió un terreno entre sus dos hijos. El terreno que le tocó a Lupercio mide de frente 18 m. y 8 décimos, y el que le tocó a Gumesindo tiene un frente de 18 m. y 55 centésimos.

Exprese con números decimales las medidas de los frentes de los dos terrenos

¿A quién le tocó el terreno de mayor frente? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… Valora Firma Del(a) ción Estudiante

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Las operaciones con números decimales son casi idénticas a las operaciones con números naturales. En esta lección veremos cómo se hacen. Suma y resta con decimales Para sumar o restar números decimales debemos fijarnos en sumar o restar las cifras con el mismo valor posicional, es decir los números del mismo orden. Para hacer esto, alineamos los números por el punto decimal, sumamos o restamos como si fueran enteros y ponemos el punto en el mismo lugar que está en los sumandos o en el mismo lugar que está en el sustraendo y en el minuendo. Por ejemplo, si queremos sumar 111.1, 123.45 y 87.76, los alineamos por el punto decimal y los sumamos como si fueran enteros. El punto decimal queda abajo de los puntos decimales de los sumandos en el resultado. Restemos ahora estos mismos números, es decir, restemos 123.45 menos 87.76. Alineamos los números por el punto decimal, los restamos como si fueran enteros y ponemos el punto decimal en el resultado abajo del punto decimal del minuendo y del sustraendo. Actividades de apropiación Resuelva las siguientes operaciones con números decimales.



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Para multiplicar números decimales multiplicamos como si fueran números naturales pero, para colocar el punto decimal en el resultado, contamos las cifras decimales de cada factor y en el producto ponemos tantos decimales como la suma de los que tienen los factores. Por ejemplo, si multiplicamos 32.5 por 2.14 vamos a multiplicar como si tuviéramos 325 por 214 y al resultado le ponemos el punto para que queden tres cifras decimales porque en el primer factor tenemos una cifra decimal y en el segundo factor tenemos dos cifras decimales:

En realidad lo que estamos haciendo en esta multiplicación, cuando la hacemos como si fueran enteros, es multiplicar por múltiplos de 10. Para considerar a 32.5 como 325 estamos multiplicando por 10, para considerar a 2.14 como 214 estamos multiplicando por 100, en total hemos multiplicado por 1000. Para que el resultado no nos quede multiplicado por 1000, tenemos que dividirlo entre 1000. Ésa es la razón por la que pusimos las 3 cifras decimales en el producto. ➢ Actividades de apropiación Haga las siguientes multiplicaciones con números decimales.



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……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… División con decimales En esta operación sí vamos a encontrar una diferencia con lo que hemos hecho hasta ahora porque aquí sí veremos las situaciones en las que tenemos que partir la unidad. Veremos sucesivamente diferentes casos. Para dividir un número decimal entre un número natural, trabajamos como si los dos fueran enteros y en la “casita” de la división ponemos el punto decimal arriba del punto del dividendo. Por ejemplo, si queremos dividir 54.72 entre 3, empezamos, como siempre, por el mayor orden, que aquí son las decenas, seguimos con las unidades, colocamos el punto decimal en el cociente y seguimos con los décimos y los centésimos: Observe que al hacer esta división repartimos las 5 decenas que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobraron 2 decenas. Éstas las agregamos a las cuatro unidades que ya teníamos. Dividimos las 24 unidades entre 3y no nos sobró nada. Repartimos los 7 décimos que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobró un décimo. Éste se lo agregamos a los 2 centésimos que teníamos. Dividimos los 12 centésimos entre 3 y no nos sobró nada. Veamos otro ejemplo un poco distinto. Si queremos dividir 13.5 entre 4, repartimos 13 entre 4 y nos sobra una unidad que le agregamos a los décimos que tenemos. Dividimos los 15 décimos entre 4 y nos sobran 3 décimos. Como queremos seguir con el reparto, partimos los 3 décimos que sobraron en centésimos (frecuentemente decimos que bajamos el cero) y dividimos esos 30 centésimos entre 4; nos sobran 2 centésimos que partimos en milésimos. Quedan 20 milésimos que repartimos entre 4 y ya no sobra nada.

Al dividir 4 entre 3 obtuvimos un número en el que



se repite una cifra decimal hasta el infinito; en ese caso se repite el tres. En 1.333..., tenemos 3 décimos, 3 centésimos, 3 milésimos, etc. Este número que se repite se llama período y para indicar su repetición hasta el infinito podemos escribirlo tres veces y poner puntos suspensivos o bien poner una pequeña línea sobre él que indica lo mismo:

1.333... = 1. 3 No siempre tenemos períodos con una sola cifra decimal. Por ejemplo, si dividimos dos entre siete, tenemos que partir los dos enteros en décimos; nos que -dan 20 décimos. Al repartir van a tocar dos décimos a cada uno de los 7 y sobran 6 décimos. En el cociente tenemos que poner un punto decimal para indicar que el resultado empieza en décimos y, si queremos podemos poner cero enteros. Para repartir los 6 décimos que sobran, los tenemos que partir en centésimos, tenemos así 60 centésimos entre 7, toca a 8 y sobran 4 centésimos, que son 40 milésimos. Seguimos el proceso como se ve enseguida. Observe que a partir de un cierto lugar empiezan a repetirse los residuos y también empiezan a repetirse las cifras del cociente. Por más que sigamos haciendo la división, se seguirán repitiendo los residuos y en el cociente se repetirán las cifras 285714, este es ahora el período. Podemos escribir el resultado de esta división repitiendo 3 veces el período y poniendo puntos suspensivos o podemos poner sobre el período una línea para indicar esta repetición hasta el infinito:



2 ÷ 7 = 0.285714285714285714... = 0.285714 Si queremos dividir por un número con más de una cifra se procede como con los números naturales. Por ejemplo, si queremos dividir 435.98 por 12 tomamos las dos cifras del mayor orden del dividendo, que aquí forman 43 decenas, y vemos que sí se puede dividir ese número entre 12. Como 12 x 3 = 36, nos toca a 3 y sobran 43 - 36 = 7 decenas. Escribimos el 3 sobre el 3 de 43 y el residuo abajo de este mismo número. Las 7 decenas que sobran se las agregamos a las 5 unidades del dividendo y dividimos las 75 unidades entre 12. Nos toca a 6 unidades y sobran 3 porque 12 x 6 = 72 y 75 - 72 = 3. Ponemos en el resultado las 6 unidades y el punto decimal y el residuo bajo el 5 del 75. Las 3 unidades que sobraron, convertidas a 30 décimos, se las agregamos a los 9 décimos del dividendo y dividimos los 39 décimos entre 12, nos toca a 3 y sobran 3 décimos. Agregamos los 3 décimos sobrantes a los 8 centésimos que tenemos y dividimos los 38 centésimos entre 12. Nos toca a 3 centésimos y sobran 2 centésimos. Si queremos seguir la división partimos esos 2centésimos sobrantes en 20 milésimos y los dividimos entre 12. Nos toca a 1 y sobran 8 milésimo. Se puede seguir la división hasta donde queramos; aquí vamos a parar en el milésimo.



El mismo procedimiento se sigue si queremos dividir un número decimal entre cualquier número natural. Para dividir un número decimal entre otro número decimal el procedimiento es un poco distinto y lo presentaremos después de hacer una pequeña observación. Observe que si dividimos un número entre otro obtenemos lo mismo que si dividimos el primer número multiplicado por una potencia de diez entre el segundo número multiplicado por la misma potencia de diez. Por ejemplo, obtenemos el mismo resultado si dividimos 2.5 entre 3 que si dividimos 25 = 2.5 x 10 entre 30, o que si dividimos 250 entre 300, etc. Veamos ahora cómo se divide un número decimal entre otro, por ejemplo 67.46 entre 2.3. Antes que nada observamos que el divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos tanto el divisor como el dividendo por diez para tener un número natural como divisor y dividimos como antes. En este ejemplo tenemos que 2.3 x 10 = 23 y que 67.46 x 10 = 674.6, así que la división será 674.6 entre 23:

Realiza la división 674.6÷23 El cociente de estas dos divisiones es el mismo porque en la segunda división el divisor y el dividendo son los de la primera división multiplicada por diez. Si queremos dividir entre un número con más cifras decimales, multiplicamos el divisor y el dividendo por un uno y tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor para obtener en el divisor un número natural.



Por ejemplo, para dividir 46.75 entre 5.517 multiplicamos por 1000 los dos números, 5.517 x 1000 = 5517 y 46.75 x 1000 = 46750, y dividimos 46750 entre 5517. Podemos hacer la división con la cantidad de cifras decimales que queramos; aquí la hacemos hasta décimos. Realiza la división: 46750÷5517 Actividades de apropiación 1. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones con números decimales.

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……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… 2. Re a liz a r d ec i m a les :

las

s iguie ntes

ope ra c ione s

c on

núm er os

3.6669 · 1000 = 3.6669 : 1000 = 0.036 · 10 = 0.036 : 10 = 0.00001 2 · 10 000 = 123.005 : 10 000 = 26.36 · 10 000 = 2.36 : 1000 = 0.261 · 100 = 5.036 : 10 = 3.

Re s ue lv e

la s

de c im a les : 324 : 0.018 12.96 : 6

s iguie nte s

div is ione s

de

núm e ros


Valora ción



RECAPITULACIÓN Realice un mapa conceptual acerca del tema: números decimales, Socialícelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer.

¡Una píldora de entretenimiento!



Verde como el campo, campo no es, habla como hombre, hombre no es.

REFLEXIONEMOS…………………..

Aborto

El padre es asmático, la madre tuberculosa. Tienen cuatro hijos, el primero es ciego, el segundo es sordo, el tercero murió y el cuarto tiene tuberculosis. La madre está embarazada de nuevo. ¿Recomendarías el aborto en esta situación? Si tu decisión es afirmativa, hubieras evitado que el mundo conociera a Ludwig Van Beethoven. Un hombre blanco viola a una niña negra de 13 años y ésta queda embarazada. Si fueras el padre de esta joven. ¿Le recomendarías el aborto? Si tu decisión es afirmativa, jamás hubiera nacido Ethel Walters, una de las cantantes negras más famosas de toda la historia. Un predicador y su esposa con graves problemas económicos (son realmente pobres) ya tienen 14 hijos. Considerando su extrema pobreza. ¿Recomendarías que la esposa abortara su decimoquinto hijo? Si tu decisión es afirmativa, el mundo no hubiera podido escuchar a John Wesley, uno de los predicadores más grandes de todos los tiempos. Una joven está embarazada; no está casada y su prometido no es el papá del niño que está esperando. ¿Le recomendarías que abortara?



Si tu decisión es afirmativa, hubieras impedido que María trajera al mundo el regalo más precioso de toda la humanidad: “JESÚS” “Las leyes de los hombres te amparan, puedes ir a un hospital a practicarte un aborto, es muy simple y además nadie te va a preguntar nada, quizás ni tu nombre. Pero considera: Dios sabe perfectamente que llevas vida dentro de tu vientre. No mates a quien puede ser un regalo para toda la humanidad” 4.


7.1. NÚMEROS RACIONALES Duración: Entre __________________ Y __________________ COGNITIVOS PROCEDIMENTALES Resuelve operaciones Resuelve situaciones de adición y problemáticas con sustracción entre números racionales. números racionales. Utiliza las propiedades de Comprende los pasos las operaciones y del proceso de relaciones entre números resolución de racionales. problemas.

ACTITUDINALES Demuestra una actitud de respeto a compañeros y docentes Su disposición en el aula permite apreciar interés y voluntad de trabajo.

4.2 TABLA DE LOGROS

4.3CONTENIDOS: 4.3.1 Concepto de número racional 4.3.2 Representación fraccionaria de un número racional 4.3.3 Fracciones equivalentes 4.3.4 Representación de los números racionales en la recta numérica 4.3.5 Expresión racional de un número racional 4.3.6 Adición y sustracción de números racionales 4.3.7 Multiplicación de números racionales 4.3.8 División de racionales en forma de fracción 4.3.9 Potenciación de números racionales 4.3.10Radicación de números racionales



4.3.11 Polinomios aritméticos con números racionales

Fracciones equivalentes No siempre podemos trabajar con números decimales; con frecuencia nos conviene partir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces necesitamos saber cuánto tenemos en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos conceptos. Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo expresamos como . 2 1= 2 Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3 tercios. Eso se expresa como 3 1= 3 En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes.



En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en cuántas partes iguales se fraccionaron la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado. En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad. Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notación. Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I dos sextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cada dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada. Observe que en las figuras G, J y K se marcó la misma cantidad de área aunque la manera de partir es distinta. En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad. Lo mismo sucede con las figuras H e I. En las figuras G y J tenemos dos maneras de partir la unidad en dos partes iguales y en cada figura marcamos un medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro partes iguales pero hemos tomado dos de ellas y juntas también son la mitad del rectángulo; esto se expresa como 1 2 = 2 4

99



En las figuras H e I tenemos

pero hay muchas otras maneras de 1 2 = 3 6

tener esa misma cantidad. Observe las siguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchas maneras:



10 0

En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del área del rectángulo U con diversas fracciones. Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma cantidad, un tercio:

Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un tercio multiplicando numerador y denominador por el mismo número:



10 1

1 1x 2 2 = = 3 3x 2 6 1 1x 4 4 = = 3 3x 4 12 1 1x8 8 = = 3 3x8 24 Estas operaciones corresponden a obtener una partición más fina, de partes más pequeñas.

De esta manera es posible obtener todas las fracciones equivalentes que se quiera. Tomamos una fracción y multiplicamos numerador y denominador por el mismo número natural. Por ejemplo, dos diecisieteavos es equivalente a dieciséis ciento-treintay-seis-avos porque 2 x 8 = 16 y 17 x 8 = 136 Observe también que si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, entonces al realizar estas divisiones obtenemos una fracción equivalente.



10 2

Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en una mayor. Por ejemplo:

4 4÷2 2 = = 12 12 ÷ 2 6

Si se obtienen fracciones equivalentes con este proceso se dice que se simplifica o que se reduce una fracción. Cuando el numerador y el denominador de una fracción no tienen divisores en común se dice que la fracción es irreducible, es decir que no se puede reducir. Por ejemplo, podemos simplificar la fracción cuarenta y ocho sesenta-avos dividiendo entre dos, dos veces, y luego entre tres, una vez. Obtenemos una fracción que ya no se puede simplificar más:

48 48 ÷ 2 24 24 ÷ 2 12 12 ÷ 3 4 = = = = = = 60 60 ÷ 2 30 30 ÷ 2 15 15 ÷ 3 5 Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil, sobre todo para comparar fracciones y para hacer operaciones con ellas. Por ejemplo, si queremos saber qué es más grande, tres quintos o cuatro séptimos, buscamos una manera de dividir la unidad que permita expresar tanto séptimos como quintos y vemos cuál es mayor directamente. Veamos cómo hacer esto. Si queremos tener quintos debemos partir en 5 o en un múltiplo de 5, y si queremos tener séptimos debemos partir en 7 o en un múltiplo de 7. Necesitamos entonces un múltiplo común de 7 y 5; puede ser cualquiera de sus múltiplos en común pero, si no queremos acabar trabajando con números muy grandes, conviene que sea el mínimo común múltiplo de estos números, m.c.m {5, 7}. Como 5 y 7 son números primos, no tienen divisores en común, y entonces m.c.m {5, 7} = 5 x 7 = 35. Debemos entonces escribir los dos quebrados con denominador 35:


4 4 x5 20 = = 7 7 x5 35


10 3

3 3 x7 21 = = 5 5 x 7 35

Cuando tenemos un quebrado con el numerador más chico que el denominador, tenemos menos que una unidad y decimos que es una fracción propia. Por ejemplo, , y son fracciones propias. Sin 4 11 32 , , 7 20 360 embargo podemos tener un quebrado con el numerador mayor que el denominador; en ese caso tenemos más que una unidad y decimos que es una fracción impropia. Por ejemplo, y son fracciones impropias. También 4 23 132 , , 3 10 25 podemos escribir las fracciones impropias como los enteros que forman y una fracción propia. Por ejemplo, en siete quintos tenemos un entero y dos quintos; esto se acostumbra escribir como y se lee un entero 7 2 =1 5 5 dos quintos. Cuando tenemos enteros y fracciones en esta forma decimos que es una fracción mixta. Por ejemplo, son 7 3 5 y 14 25 8 fracciones mixtas. ➢ Actividades de apropiación 1. En las siguientes figuras el rectángulo R es la unidad. Diga qué parte de la unidad es la parte sombreada de cada uno de los otros


rectángulos. Encuentre siguientes figuras.

todas

10 4


las

fracciones

equivalentes

en

las

2. En las siguientes figuras cada rectángulo es la unidad de referencia. Escriba qué parte del entero es la parte sombreada en cada caso y encuentre tres fracciones equivalentes a la que dio.

3. Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreducible:



10 5

4. De las siguientes parejas de fracciones diga cuál es más grande:

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



10 6

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… Valora ción


Para expresar partes de una unidad hemos trabajado con números fraccionarios en el sistema de numeración decimal posicional y también con quebrados con cualquier denominador. Es conveniente ver la relación entre estas dos maneras de escritura. Observe que podemos escribir las fracciones decimales como quebrados o como números decimales, por ejemplo:

En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlo basta para saber cómo se puede escribir como un quebrado. Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos. Sabemos entonces que se puede escribir como 23 partes de un entero partido en



cien pedazos iguales. Es decir:

10 7

Observe que el denominador 0.23 =

23 100

de la fracción que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifras decimales. Este procedimiento para escribir un número decimal como quebrado se puede usar siempre que el número tenga expansión decimal finita. Se pone como numerador la parte decimal del número y como denominador un uno con tantos ceros como decimales tenga nuestro número. Veamos un par de ejemplos:

Veamos ahora el procedimiento inverso: escribir un quebrado como un número decimal. Si tenemos un quebrado con denominador distinto de una potencia de diez, por ejemplo cuatro quintos, quiere decir que partimos la unidad en cinco partes iguales y de ellas tomamos cuatro. Si queremos expresar esta misma cantidad con una fracción decimal podemos buscar una fracción equivalente con denominador 10, que es la potencia de 10 inmediatamente más grande que 5. En este ejemplo, si multiplicamos el numerador y el denominador por dos, obtenemos ocho décimos que es una fracción con denominador 10, y la podemos expresar como quebrado o como decimal.

4 4 x2 8 = = = 0.8 5 5 x 2 10 Observe que, para encontrar la fracción decimal que necesitábamos, usamos el 10 que divide a 8. Cuando tenemos un quebrado con denominador a una potencia de 10, podemos usar el procedimiento anterior. Por ejemplo, si queremos expresar siete veinticincoavos como un decimal, multiplicamos numerador y denominador por 4 y obtenemos



10 8

veintiocho centésimos. Este número se puede escribir directamente como quebrado o como decimal:

7 7 x4 28 = = = 0.28 25 25x 4 100 El procedimiento anterior se puede usar si tenemos un quebrado con denominador que divide a una potencia de diez pero puede ser complicado. Observe que si en los ejemplos anteriores dividimos 4 entre 5, obtenemos 0.8 y si dividimos 7 entre 25, obtenemos 0.28. Esta es otra manera de encontrar un número decimal equivalente al quebrado que tenemos y se puede usar aunque el denominador no divida a una potencia de diez. Por ejemplo, si queremos expresar tres octavos como un número decimal no podemos encontrar una fracción equivalente con denominador que sea una potencia de diez. Pero podemos dividir tres entre ocho sin problema para encontrar su equivalente en notación decimal que es 0.375. Con este procedimiento es posible encontrar el número decimal equivalente a cualquier quebrado. Desde luego encontraremos distintas expansiones decimales, algunas de ellas finitas y algunas de ellas periódicas. ➢ Actividades de apropiación 1. Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de los siguientes números decimales:


2.


10 9

José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismo tamaño y decidieron que cada uno pintara una pared. En 3 horas José pintó 3 5 de la pared que le correspondía y Fermín

. 2 3

3.

a)

Represente gráficamente las paredes y la parte de cada una que ya está pintada.

b)

Exprese las porciones de pared pintadas por cada uno con fracciones de igual denominador.

c)

¿Quién pintó más, José o Fermín?

d)

¿Terminarán de pintar en 2 horas más de trabajo al mismo ritmo? ¿Por qué?

De un depósito de agua que estaba lleno se sacaron 25 a) Represente gráficamente el depósito y la parte de agua que se extrajo. b)

Exprese con un quebrado la parte del contenido que quedó en el depósito.

c)

¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa más o menos de la mitad de su capacidad?


Valora ción



11 0



11 1

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Suma y resta de fracciones con el mismo denominador Para sumar o restar quebrados con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y, si podemos, simplificamos el resultado. Por ejemplo:



11 2

Suma y resta de fracciones con distinto denominador Si los quebrados que queremos sumar o restar tienen distinto denominador, entonces tenemos distintas particiones de la unidad y para hacer las operaciones necesitamos una partición en común. Por ejemplo, si queremos sumar un medio y un tercio tenemos la unidad partida en mitades y en tercios. Para tener medios necesitamos que la unidad esté partida en 2 o en un múltiplo de 2. Para tener tercios necesitamos que la unidad esté partida en 3 o en un múltiplo de 3. Para tener una partición común tomamos un múltiplo común de 2 y 3, por ejemplo 6 que es el más chico: 6 = mcm {2, 3}. Luego encontramos fracciones equivalentes a un medio y a un tercio con denominador 6; decimos que 6 es el denominador común o el común denominador. Y después sumamos. Es decir

1 1x3 3 = = 2 2 x3 6

1 1x 2 2 y = = 3 3x2 6

Entonces la suma queda como sigue:

Si ahora queremos sumar dos quintos y dos tercios, como 3 y 5 son números primos, mcm {3, 5} = 3 x 5 = 15. Debemos ahora expresar dos quintos y dos tercios con fracciones equivalentes a ellas que tengan 15 como común denominador.



11 3

Es decir:

2 2 x3 6 = = 5 5 x3 15

y

2 2 x5 10 = = 3 3x5 15

Entonces la suma queda como sigue:

Veamos otro ejemplo. Si queremos sumar tres cuartos y dos sextos, como 4 = 2 x 2 y 6 = 2 x 3, m c m {4, 6} = 2 x 2 x 3 = 1 2 , entonces el denominador común es 12 y la suma queda:

3 2 3 x3 2 x 2 9 4 13 1 + = + = + = =1 4 6 4 x3 6 x 2 12 12 12 12 Si queremos restarle un octavo a cuatro novenos, encontramos un común denominador de las dos fracciones que es m.c.m {8, 9} = 72. Encontramos las fracciones equivalentes a las que tenemos con denominador 72 y restamos:

4 1 4 x8 1x9 32 9 23 − = − = − = 9 8 9 x8 8 x9 72 72 72 Si queremos sumar más de dos fracciones, buscamos el mínimo común múltiplo de todos los denominadores; encontramos las fracciones equivalentes a las que tenemos con ese denominador; sumamos y simplificamos el resultado. Por ejemplo, si queremos sumar cinco octavos, dos tercios y un cuarto, buscamos el mínimo común múltiplo de 3, 4 = 2 x´ 2 y 8 = 2 x 2 x 2, que es m.c.m {3, 4, 8} = 3 x 2 x 2 x 2 = 24. Encontramos las fracciones equivalentes a cinco octavos, dos tercios y un cuarto con denominador 24:


5 5 x3 15 = = 8 8 x3 24


2 2 x8 16 = = 3 3x8 24

11 4

1 1x6 6 = = 4 4 x6 24

y sumamos:

15 16 6 15 + 16 + 6 37 13 + + = = =1 24 24 24 24 24 24 Suma y resta de fracciones mixtas Si sumamos fracciones mixtas podemos sumar primero los enteros y luego las fracciones o convertir los enteros en fracciones, sumar y simplificar el resultado. Por ejemplo, si queremos sumar tres enteros un medio y cinco enteros un tercio, se puede hacer de las dos maneras siguientes: a) Sumamos primero los enteros:

b) O bien, primero convertimos los enteros a fracciones impropias

1 3x 2 1 6 1 7 3 = + = + = 2 2 2 2 2 2

1 5 x3 1 15 1 16 5 = + = + = 3 3 3 3 3 3

Y luego sumamos:

7 16 21 + 32 53 5 + = = =8 2 3 6 6 6 Si restamos fracciones mixtas hay que ver si se pueden restar por separado los enteros y las fracciones.



11 5

Si la fracción del sustraendo es menor que la del minuendo, restamos enteros de enteros y fracciones de fracciones. Por ejemplo, si queremos restar tres enteros un medio menos un entero un tercio, como 1 es menor que 3 y un tercio, es menor que un medio, primero restamos enteros de enteros y luego las fracciones. Al final sumamos los resultados. La resta queda:

Si la fracción del sustraendo es mayor que la del minuendo, tenemos que convertir una unidad del minuendo en fracciones y después usar el procedimiento anterior. Por ejemplo, si queremos restar dos enteros un tercio menos un entero un medio, tenemos que un tercio es menor que un medio. Convertimos uno de los dos enteros del minuendo en tercios para tener una fracción mayor que la del sustraendo:

Y ahora restamos:



11 6

➢ Actividades de apropiación 1. Sume las siguientes Fracciones:

2. Haga las siguientes restas de fracciones:

3. Según el diseño elegido para embaldosar un patio se requieren 28 de losetas negras, 14 de losetas blancas y el resto de losetas verdes.

a) ¿Qué parte de la superficie del patio quedará cubierta con losetas verdes?



11 7

b) ¿De qué color habrá más losetas en el patio cuando quede terminado?



11 8

1. Calcula qué fracción de la unidad representa:

1L a m ita d de la m ita d. 2L a m ita d de la te rc e ra pa rte . 3L a te rc e ra pa rte de la m ita d. 4L a m ita d de la c ua rta pa rte . 2. E l e n a v a d e c o m p r a s c o n 1 8 0 € . S e g a s t a 3 / 5 d e e s a cantidad. ¿Cuánto le queda?

3. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto c u a n d o e l B h a r e c o r r i d o l o s 8 / 1 3 d e l mi s m o . ¿ C u á l d e l o s d o s v a p ri m e r o ? ¿ C u á n t o s k i l ó m e t r o s l l e v a r e c o r r i d o s c a d a uno? 4 . H a c e u n o s a ñ o s P e d r o te n í a 2 4 a ñ o s , q u e r e p r e s e n t a n l o s 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?



11 9

5. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 5/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:



El número de votos obtenidos por cada partido.



El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.

1. Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

Valora ción


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES En esta lección se verá cómo multiplicar y dividir números racionales. Usted ya sabe realizar estas operaciones con números enteros y decimales.



12 0

Multiplicación de fracciones En esta lección se están estudiando los algoritmos para multiplicar y dividir racionales. Ya vimos que los racionales se pueden representar con fracciones o con decimales. En los apartados anteriores tratamos los casos en que los números se representan con decimales. Ahora vamos a presentar la manera en que se multiplican dos fracciones. Al multiplicar dos fracciones se obtiene una fracción. Entonces, para efectuar la multiplicación necesitamos saber cuál es el numerador y cuál el denominador del resultado. La regla es la siguiente: • El numerador del producto de dos fracciones es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores, de las fracciones que se están multiplicando. Veamos un ejemplo: multipliquemos las fracciones y 2 5

Obtenemos el resultado

y

7 4

. Pero como 14 y 20 tienen divisores 14 20

comunes, podemos simplificar el resultado, encontrando una fracción equivalente que tenga un denominador más pequeño: dividiendo arriba y abajo entre 2 se obtiene 7 10 Ya se ha dicho que los enteros son racionales que se pueden expresar como fracciones poniéndoles como denominador el 1. Así podemos realizar multiplicaciones como la que se muestra a continuación.

2 2 7 14 x7 = x = 5 5 1 5 ACTIVIDADES 1. Resuelva las siguientes multiplicaciones y si es posible simplifique el resultado:


A)


B) 8 35 x = 15 18

C) 2 9 x = 3 16

D)

E) 4 15 x = 6 25

12 1

8 5 x = 9 7

F) 8 x3 = 5

1 5 7 x x = 2 4 3

División de fracciones Para dividir dos fracciones es conveniente hablar de algunas propiedades de la multiplicación de números racionales, que son importantes para la división de fracciones. La primera de ellas es la propiedad del neutro multiplicativo, propiedad que ya conocíamos para los naturales y para los enteros: • Al multiplicar por 1 cualquier número racional, el resultado es ese mismo número. Por ejemplo: 3 3 x1 = 8 8

La segunda propiedad es la del inverso multiplicativo: • Para todo número racional distinto de cero, se puede encontrar otro número racional que multiplicado por el primero dé como resultado 1. El número encontrado es el inverso multiplicativo del primero. Por ejemplo,



12 2

En general, para fracciones podemos decir que el inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera, y por denominador el numerador de la primera. Si estos números son a y b, el inverso multiplicativo de la fracción es la fracción , ya que al multiplicar las dos, siempre se a b b a obtiene una fracción que tiene como numerador y denominador el mismo número, por lo que es una fracción equivalente al entero 1.

Otra propiedad que debemos recordar es que la división y la multiplicación son operaciones inversas, esto es, que el efecto de una queda anulado por el de la otra. Por ejemplo: 328 x 271 ÷ 271 = 328

1672 ÷ 19 x 19 = 1672

El efecto de multiplicar por 271 se “deshace” al dividir entre 271. El efecto de dividir entre 19 se “deshace” al multiplicar por 19. Usted puede convencerse de este hecho, usando una calculadora. Pruebe con varios ejemplos y varios números, sólo asegúrese de que multiplica y divide siempre por el mismo número. Al relacionar estos hechos con el inverso multiplicativo podemos notar que: 49 x 28 ÷ 28 = 49 = 49 x 1 = 49 x (28 x 1 / 28) También


12 3


1672 ÷ 19 x 19 = 1672 = 1672 x 1 = 1672 x ( 1 / 19 x 19 ) Con esto lo que se quiere decir es que es lo mismo dividir entre 28 que multiplicar por. Y que es lo mismo dividir entre 19 que multiplicar por. En general: • Es lo mismo dividir un número entre una fracción que multiplicarlo por el inverso multiplicativo del divisor. Estas ideas nos permiten efectuar una división de fracciones, una vez que se sabe cómo multiplicarlas. Porque se puede transformar una división en multiplicación, usando el inverso multiplicativo. Por ejemplo, si queremos hacer la división

, en lugar de dividir 5 7 ÷ 3 4

entre

5 3

se multiplica por su inverso multiplicativo, o sea, por 7 4

: 4 7

5 7 5 4 20 ÷ = ⋅ = 3 4 3 7 21 Podemos simplificar todo esto con el siguiente procedimiento para dividir fracciones: 1. Se multiplica el numerador de la primera, por el denominador de la segunda. El resultado es el numerador del cociente. 2. Se multiplica el denominador del primero por el numerador del segundo. El resultado es el denominador del cociente. Ejemplos:

Con este mismo procedimiento podemos dividir una fracción entre un entero, o un entero entre una fracción, ya que podemos expresar el entero como una fracción con denominador igual a 1. Por ejemplo:



12 4

➢ Actividades de apropiación 1. Encuentre el inverso multiplicativo de los siguientes números:

Valora ción


Multiplicación y división con números racionales negativos En esta lección se vieron todos los casos para multiplicar y dividir racionales pero no se ha hablado de racionales negativos. Para estos números los algoritmos se realizan considerando los valores positivos de los racionales con los que se está operando, el único cuidado extra que



12 5

hay que tener es colocar el signo al resultado de acuerdo a la regla de los signos que es la misma que para los números enteros: • Al multiplicar o dividir dos números con el mismo signo, el resultado es positivo; • Al multiplicar o dividir dos números con signos distintos, el resultado es negativo. Veamos unos ejemplos:

Simplificación de fracciones Frecuentemente tenemos fracciones que se pueden simplificar para obtener otras con un denominador más chico. Estas fracciones pueden presentarse o bien solas o bien como resultado de operaciones realizadas con otras fracciones.


Por ejemplo, la fracción


12 6

puede expresar que una unidad se parte en 30 36

36 porciones de las que se toman 30, o puede ser el resultado de una operación, como alguna de las siguientes:

Hemos mencionado que en esos casos conviene encontrar una fracción equivalente más sencilla. ¿Cómo hacer eso? Ahora veremos cómo: Lo primero que se hace es descomponer el numerador y el denominador de la fracción en factores primos, tenemos:

Después expresamos la fracción poniendo en el numerador y denominador esta descomposición en factores primos:

en el

Esto significa, en nuestro ejemplo, que si dividimos tanto el numerador como el denominador entre 2 ó entre 3, seguiremos encontrando números enteros en cada parte:


12 7


Esto lo podemos hacer porque el 2 y 3 son factores comunes a 30 y a 36. No podríamos dividir entre 5, porque aunque es factor de 30 no lo es de 36, ni podríamos dividir entre 3 x 3, o sea entre 9, porque 9 no es factor de 30 aunque sí lo sea de 36. Una manera usual de hacer estas divisiones de los factores comunes es tachando, en la descomposición en factores primos del numerador y del numerador, los factores comunes a los dos, y luego multiplicando los números restantes, así:

La fracción resultante, que en este caso es

, es una fracción 5 6

equivalente a la primera, y lo más simplificada que es posible, ya no se puede dividir el numerador y el denominador entre otro número. Veamos

otro

ejemplo:

simplifiquemos

la

fracción

.

Primero

15 90

descomponemos en factores primos el 15 y el 90:

Después expresamos la fracción utilizando estas descomposiciones:



12 8

Después tachamos arriba y abajo los factores comunes:

Y finalmente multiplicamos los factores que quedan:

Observe que en este caso quedaron tachados todos los factores del numerador, y que lo que queda es 1: esto es porque la expresión tachada es equivalente a 1 ➢ Actividades de apropiación y aplicación 1. Simplifique las siguientes fracciones:



12 9

2. Resuelva los problemas a) Por cada peso que se queda a deber en una tarjeta de crédito, el banco cobra $0.0625 de intereses. Si Olivia quedó a deber $158400.50 en su tarjeta de crédito; ¿cuánto debe pagar de intereses?

b) ¿Cuántos metros cuadrados mide el área de un terreno rectangular que tiene 14.5 m de ancho y 72.7 m de largo?


Valora ción


13 0


RECAPITULACIÓN Realice un mapa conceptual acerca del tema, Socialícelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer en el aula.



13 1

PENSANDO…………………. PENSANDO

Muchos me rechazan Había una iglesia en un barrio, a la que asistían personas muy cultas y refinadas. Existía una especie de derecho de admisión, es decir los líderes de la iglesia se fijaban en los asistentes, en como vestían, su status, su formación y de donde provenían. Un borracho arrepentido de su situación y con deseos de cambiar su vida, intentó entrar a una de sus reuniones pero no pudo, porque los encargados de recibir a las visitas, le impidieron la entrada al templo. El borracho se retiró con tristeza y sin entender lo que ocurría. Pasado unos minutos, se presentó la prostituta del barrio que, cansada de la clase de vida que llevaba, intentó entrar a la iglesia, buscando que alguien le aconsejara como podía dejar de usar su cuerpo de esa manera y cambiar su estilo de vida para poder estar más cerca de Dios. Lamentablemente fue reconocida por los recepcionistas del templo y no la dejaron entrar. Más tarde se acercó un hombre que había tenido muchos problemas; había perdido su empresa, sus bienes, su esposa se había ido con sus hijos y estaba solo, abandonado y viviendo en la calle. Ese día sintió la necesidad de ir a pedirle a Dios, que le quitara su amargura y le ayudara a resolver sus problemas. Su aspecto era deplorable, sus ropas gastadas y sucias. Nuevamente, los que estaban en la puerta del templo, entraron en acción y al verlo venir, ni lo dejaron acercar. Horas más tarde los tres personajes, se encontraron en la plaza que estaba junto al templo y sentados en un banco conversaban entre ellos y comentaban lo que les había sucedido. No podían entender como había personas que impedían a otras acercase al Señor, cuando el mismo Jesús, derramó amor, sanidad y salvación, entre los pobres, los enfermos y las prostitutas. De pronto y ante su asombro se incorporó a la conversación una nueva persona. Por alguna razón todos supieron que era Jesús que los miraba con ternura. Entonces les habló y les dijo: -No estén tristes, ni se angustien, a mí también me rechazaron. -¿Cómo es posible Señor? preguntó uno de ellos. -Ellos piensan que viniendo al templo con sus mejores ropas, cantar algunos himnos y escuchar historias de la Biblia, tendrán mi favor.



13 2

Todo lo hacen por costumbre, porque todos lo hacen, pero no se dan cuenta que no permiten mi presencia en sus vidas. Y peor aún, no se dan cuenta que rechazándoles a ustedes, también me rechazan a mí. El otro, preguntó: -Señor, ¿Cómo una persona puede venir a un templo y una vez dentro no dejar pasar a otra? -Es muy sencillo, contestó el Señor: ellos vienen porque son religiosos. No vienen porque me buscan a mí, sólo vienen para quedar bien y para que los demás los vean. En cambio ustedes quisieron entrar, porque me necesitan y tienen su corazón abierto para escuchar mi palabra. Porque quieren ser transformados a través de mi presencia en sus vidas. Piensa en esta historia y aprovéchala para examinar tu corazón y permitir que Dios te revele el motivo por el que vas a la iglesia. Si sólo vamos por costumbre, por el qué dirán, o por religiosidad, jamás podremos encontrar y conocer a único y verdadero Dios. Él desea tener un encuentro personal contigo, no quiere que vayas a la iglesia por costumbre, por el que dirán o por religiosidad. Hay mucho más que Dios quiere que entendamos y experimentemos. “Muchos por ver a los hombres jamás llegan a conocer al único y verdadero Dios” Jesús te dice: “No todos los que dicen que yo soy su Señor y dueño entrarán en el Reino de Dios. Eso no es suficiente; antes que nada deben obedecer los mandamientos de mi Padre, que está en el cielo…” Mateo 7: 21 - 22 - 23 4.


8.1. RAZONES Y PROPORCIONES



13 3

Duración: Entre __________________ Y __________________ COGNITIVOS Identifica razones proporciones.

PROCEDIMENTALES y Plantea reglas de tres a partir de una situación dada. Comprende el proceso de regla de Aplica la propiedad tres. fundamental de las proporciones en la solución de problemas.

ACTITUDINALES Cumple con los talleres y demás actividades propuestas para su aprendizaje. Participa en el desarrollo de la clase realizando aportes significativos

4.2 TABLA DE LOGROS

4.3CONTENIDOS: 4.3.1 Razones 4.3.2 Proporciones 4.3.3 Proporcionalidad directa 4.3.4 Proporcionalidad inversa 4.3.5 Regla de tres simple 4.3.6 Porcentaje PROPORCIONALIDAD Y ALGUNOS PORCENTAJES U na m a gnitud es c ua lquie r propie da d que se pue de m e dir n u m é ric a m e nte . La longitud de l la do un c ua dra do. La c a pa c ida d de una bote lla de agua . E l núm e ro de gole s ma rc a dos e n un pa rtido. E l núm e ro de gole s ma rc a dos por e l e quipo A. Ra z ón Ra z ón es e l c oc ie nte e ntre dos núme ros o dos c a ntida des c om pa ra bles e ntre s í, e x pre sa do c om o fra c c ión.



13 4

L os t é rm inos de una ra z ón se lla m a n: a ntec ed en te y c onsec ue nte . E l a nteced e nt e es el d ivid end o y el c onsec ue nte es el d ivisor. Dife re nc ia e ntre ra z ón y fra c c ión La ra z ón e n los la dos de un re c tá ngulo de 5 cm de a ltura y 10 c m de bas e e s : No ha y q ue confu nd ir ra z ón con fra cción.

Si

es una fra cción , e ntonc e s a y b s on núm ero s

entero s c on b≠ 0, m ie ntra s que e n n ú m e ros a y b pue de n se r d ecim a les

la

ra z ón

los

D efi nición d e p rop orción Proporc ión es una igua lda d entre dos ra z one s .

C onsta n te d e p rop orci ona lid a d

P rop ied a d es d e la s p rop orcio ne s E n u n a proporc i ón de l produc to de los m e dios es igua l a l produ c to de los e x tre m os .


13 5


E n u n a proporc i ón o e n una s e rie de ra z one s igua les , la su m a de los ante c e de ntes div idida e ntre la s uma de los c on s e c ue ntes e s igua l a una c ua lquie ra de la s ra z ones .

Si e n una propo rc ió n c a m bia n e x t re m os la proporc ión no v a ría .

e ntre

sí

los

me dios

o

D os m a g nitud es son d irecta m en te p rop orcio na le s c ua n do, a l m ultip lica r o d ivid ir una d e ella s por un n ú m e ro c ua lquie ra , l a otra q ued a m ultip lica d a o d i vi d id a por e l m is m o núm e ro. Se es ta ble c e una re la c ión de e n t re dos m a gnitude s c ua ndo:

propo rc iona l ida d

dire c ta

A m á s c orre s ponde m á s . A m enos c orre s ponde m enos . Son ma gnitude s d irecta m en te p rop orci ona l es , e l pes o de u n produc to y s u pre c io. Si 1 k g de tom a tes c ue s ta 1 €, 2 k g c os ta rá n 2 € y ½ k g c os ta rá 50 c é ntim os . Es de c ir: A m á s k ilógra m os de tom a te m á s e uros . A m enos k ilógra m os de tom a te m enos e uros .



13 6

Ta m bié n s on d irecta m e nt e p rop orciona les : E l es pa c io e m plea do.

re c orrid o

por

un

m óv il

y

el

tie m po

E l v olum e n de un c ue rpo y su pe s o. La longitud de los la dos de un políg ono y s u á re a . C on s is te e n que da das dos ca ntida de s c orre s pondie nte s a ma gn itude s d irecta m e nt e p rop orci ona l es , c a lc ula r la ca n t ida d de una de es tas ma gnitude s c orre s pondie nte a u na ca ntida d da da de la otra ma gnitud.

REG LA DE T RES La reg la d e tres d irecta la a plic a re m os c ua ndo e ntre la s ma gn itude s se e s ta ble c e n la s re la c ione s : A más A m enos

m á s. m enos .

E j em p los 

U n a utom óv il re c orre 240 km e n 3 hora s . ¿C uá ntos k ilóm e tros ha brá re c orri do e n 2 hora s ?

Son ma gnitude s d irecta m en te p rop orci ona l es , ya que a m enos hora s re c orre rá m enos k ilóm e tros . 240 km

3 h

x

2 h

km





13 7

Ana c om pra 5 k g de pa ta tas , s i 2 kg c ue s ta n 0.80 €, ¿c uá nto pa ga rá Ana?

Son m a gnitude s d irecta m e nt e p rop orci ona l es , y a que a m á s k ilos , m á s e uros . 2 kg 5

kg

0.80 € x €

Un p orcen ta je es un tip o d e reg la d e tres d irecta en el q ue una d e la s ca ntid a d es es 10 0. E je m plos de porc e nta je s ………………………………………… 

U na m oto c uy o pre c io e ra de 5.000 €, c ues ta e n la ac tua lida d 250 € má s . ¿C uá l es e l porc e nta je de aum e nto? 5000 € 100 €

E l 5 %.

250 € x €





13 8

Al a dquirir un ve híc ulo c uy o pre c io e s de 8800 €, nos ha c e n un des c ue nto de l 7.5%. ¿C uá nto ha y que pa ga r por e l v e híc ulo? 100 €

7.5 €

8800 €

x €

8800 € − 660 € = 81 40 € Ta m bié n m odo:

se

pue de

ca lc ula r

dire c ta m e nte

100 €

de l

s iguie nte

92.5 €

8800 €

x €

E l pre c io de un orde na dor es de 1200 € s in IVA. ¿ C uá nto ha y que pa ga r por é l s i e l IVA e s de l 16%?

100 € 1200 €

116 € x €



13 9

MA G NIT UD ES I NV ERSA MENT E P ROP OCI ONA LES Dos ma gnitude s s on inv e rsa m e nte proporc i ona le s c ua ndo, a l m ultiplic a r o div idi r una de e llas por un núm e ro c ua lquie ra , la otra que da div idida o m ultipl ic a da por e l m ism o núm e ro . Se e s ta ble c e una re la c ión de p rop orci ona lid a d inversa e n t re dos m a gnitude s c ua ndo: A m á s c orre s ponde m enos . A m enos c orre s ponde m á s.

Son m a g nitud es inversa m e nte v e loc ida d y e l tie m po:

p rop orciona les ,

la

A m á s v e loc ida d c orre s ponde m enos tie m po. A m enos v e loc ida d c orre s ponde m á s tie m po .

U n v e híc ulo ta rda e n re a liz a r un tra ye c to 6 horas s i su v e loc ida d es de 60 k m /h, pe ro s i dobla m os la v e loc ida d e l t ie m po dis m inuirá a la m ita d. Es de c ir, s i la v e loc ida d es de 120 k m /h e l tie m po de l tra y e c to s e rá de 3 hora s . REG LA DE T RES I NV ERSA C on s is te e n que da das dos ca ntida de s c orre s pondie nte s a ma gn itude s inv e rsa m e nte proporc iona le s , c a lc ula r la ca n t ida d de una de es tas ma gnitude s c orre s pondie nte a u na ca ntida d da da de la otra ma gnitud.



14 0

La reg la d e tres inversa la a plic a re m os c ua ndo e ntre la s ma gn itude s se e s ta ble c e n la s re la c ione s : A más A m enos

m enos . m á s.

E je m plo 

U n grifo que ma na 18 l de a gua por m inuto ta rda 14 hora s e n lle na r un de pós ito. ¿C uá nto ta rda ría s i su ca uda l fue ra de 7 l por m inuto?

Son m a gnitude s inversa m ent e p rop orci ona l es , ya que a m enos litros por m inuto ta rda rá m á s e n lle na r e l de pós ito . 18 l/m in 7 l/m in



14 h x h

3 obre ros c ons truy e n un m uro e n 12 hora s , ¿ c uá nto ta rda rá n e n c ons truirlo 6 obre ros ?

Son m a gnitude s inver sa m en te p rop orcio na le s , y a que a m á s obre ros ta rda rá n m enos hora s . 3 obre ros 6 obre ros

EJ E RCI CI OS

12 h x h


Ca lc u la r el té rm ino proporc i one s :


de s c onoc ido

de

las

14 1

s iguie nte s

1

2

3

4

5 2Dos rue da s e s tá n unida s por una c orre a tra ns m is ora . La prim e ra tie ne un ra dio de 25 c m y la s e gunda de 75 c m . C ua ndo la prim e ra ha da do 300 v ue ltas , ¿ c uá ntas v u e ltas ha brá da do la s e gunda? 3Se is pe rs ona s pue de n v iv ir e n un hote l dura nte 12 días por 792 €. ¿ C uá nto c os ta rá e l hote l de 15 pe rs onas du ra nte oc ho día s? 4C on 12 bote s c onte nie ndo c a da uno ½ kg de pintura se ha n pinta do 90 m de ve rja de 80 c m de a ltura . C a lc ula r c uá ntos bote s de 2 k g de pintura s e rá n ne ce sa rios pa ra pin ta r una v e rja s im ila r de 120 c m de a ltura y 200 m e t ros de longitud . 511 obre ros la bra n un ca m po re c ta ngula r de 220 m de la rgo y 48 de anc ho e n 6 días . ¿C uá ntos obre ros se rá n n e c es a rios pa ra la bra r otro ca m po a ná logo de 300 m de la rgo por 56 m de anc ho e n c inc o día s? 6 Se is grifos , ta rda n 10 hora s e n lle na r un de pós ito de 400 m ³ de c a pa c ida d. ¿C uá ntas hora s ta rda rá n c ua tro grifos e n lle na r 2 de pós itos de 500 m ³ c a da uno?



14 2

7De los 800 a lum nos de un c ole gio, ha n ido de v ia je 600. ¿ Qué porc e nta je de a lum nos ha ido de v ia je ? 8U n a m oto c uy o pre c io e ra de 5.000 €, c ue s ta e n la ac t ua lida d 250 € má s . ¿C uá l es e l porc e nta je de au m e nto? 9Al a dquirir un ve híc ulo c uy o pre c io es de 8800 €, nos ha c e n un des c ue nto de l 7.5%. ¿ C uá nto ha y que pa ga r por e l v e híc ulo? 10 Al c om pra r un m on itor que c ues ta 450 € nos ha ce n un des c ue nto de l 8%. ¿ C uá nto te ne m os que pa ga r? 11 Se v e nde un artíc ulo c on una ga na nc ia de l 15% s obre e l pre c io de c os to. Si se ha c om pra do e n 80 €. Ha lla e l pre c io de v e nta . 12 C uá l se rá e l pre c io que he m os de m a rca r e n un a rt íc ulo c uya c om pra ha a sc e ndido a 180 € pa ra ga na r a l v e n de rlo e l 10%. 13 ¿ Qué pre c io de ve nta he m os de pone r a un a rtíc ulo c om pa ra do a 280 €, pa ra pe rde r e l 12% sobre e l pre c io de v e nta ? 14 Se v e nde un obje to pe rdie ndo e l 20% s obre e l pre c io de c om pra . Ha lla r e l pre c io de v e nta de l c ita do a rtíc ulo c u y o v a lor de c om pra fue de 150 €.

1. ¿Cuánto es ... a) el 75? b) el 750? c) el 2354? d) el 100?

10%

de l) el 25% de 9876.40?

10%

de m) el 25% de 1000?

10%

de n) el 25% de 100?

10%

de o) el 50% de 40?


e) el 20% de 45? f) el 20% de 2897? g) el 20% de 5.6? h) el 20% de 543.80? i) el 20% de 100? j) el 25% de 12? k) el 25% de 786?


14 3

p) el 50% de 125? q) el 50% de 896? r) el 50% de 4536? s) el 50% de 543.80? t) el 50% de 100? u) el 50% de 1000? v) el 100% de 300

3. ¿Qué porcentaje es a) 100 de 200? b) 100 de 1000? c) 50 de 200? d) 25 de 250? i) 3 de 15?

e) 30 de 150? f) 175 de 350? g) 3 de 6? h) 3 de 12?

4.Para realizar cierto trabajo, Tomás pasó el siguiente presupuesto: $95 400 de materiales y $12 000 más IVA (16%) de mano de obra. Pidió el 40% del total como anticipo. a) ¿A cuánto asciende el importe total del presupuesto? b) ¿Cuánto deberá cobrar Tomás al terminar el trabajo? 5. Josefa aprovecha el 20% de descuento para comprar una plancha cuyo precio con IVA incluido es de $23800 y una licuadora en cuya etiqueta dice $32500 más IVA. a) ¿Cuánto deberá pagar Josefa por los dos artículos? b) ¿Cuánto dinero le descontaron?



14 4


Valora ción


14 5


El mago y el ratón Era un extraordinario y famoso mago. Un día, mientras paseaba vio a un ratoncito y se le ocurrió hacer algo realmente importante con él. Se dirigió entonces al frágil ratoncito y le dijo: -Has pasado por mi camino y me ha cautivado tu fragilidad, así que ya no serás más un ratón, te voy a convertir en la más bella de las mujeres, la más habilidosa y la más llena de todas las virtudes. Y al instante se convirtió, en una bella doncella.



14 6

-Ahora ¿qué deseas?, pídeme lo que quieras. Le dijo el mago. La doncella, le respondió: -Quiero casarme con el ser más poderoso del mundo. Muy bien, dijo el mago: -Te casarás con el Sol, él es quién da luz y calor a todo el planeta. Pero entonces intervino el Sol y dijo: -No soy tan poderoso, piensa que unas cuantas nubes pueden cubrirme y ocultar mi luz y mi calor. EL mago reflexionó y dijo: -Es cierto, entonces, te casaras con las Nubes que son capaces de dejar sin luz y calor al Sol y que nos dan la lluvia tan indispensable para la vida. Pero las Nubes respondieron: -No es tanta nuestra fuerza o importancia, ya que el viento nos lleva de un lado al otro, a su antojo. Nuevamente el mago, dijo: -Es cierto, te casaremos con el Viento. Pero el Viento que estaba oyendo la conversación, dijo: -Yo no tengo tanto poder como pensáis. Una montaña puede detenerme e impedirme que pase al otro lado y solo puedo quedarme donde ella decida. El mago se quedó razonando nuevamente: -Entonces te casarás con la Montaña, nadie la podrá mover. Pero la montaña, respondió: -Yo no soy la más poderosa de la tierra. Date cuenta que un simple ratoncito puede excavar y roer donde más le gusta y hacer su madriguera dentro de mí. Después de escuchar al Sol, las Nubes, el Viento y la Montaña el mago sin decir ni una sola palabra convirtió a la bella mujer nuevamente en un ratoncito. El ratoncito viendo el mago alejarse comprendió que: "Nadie es más fuerte y nadie es mejor, Dios creó todo lo que existe de acuerdo a un plan divino desde la eternidad y ordenó todas las cosas en su lugar. Cada uno de nosotros somos parte de un plan estratégicamente diseñado, tanto el ratoncito, como tu y yo somos sumamente importantes para que todo se cumpla según su propósito” 4.


9.1. GEOMETRÍA Duración: Entre __________________ Y __________________



COGNITIVOS PROCEDIMENTALES Identifica las partes Determina la medida de de un polígono. los ángulos internos de un polígono. Clasifica polígonos según el número de Construye y clasifica lados cuadriláteros

14 7

ACTITUDINALES Participa activamente en el desarrollo de la clase. Mantiene el adecuado porte del uniforme dentro y fuera del salón

4.2 4.3

4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6

CONTENIDOS: Conceptos básicos Polígonos Clasificación de polígonos Clasificación de triángulos Propiedades de los triángulos Clasificación de cuadriláteros convexos

PRECONCEPTUALIZACION En esta lección revisaremos algunos conceptos que usted muy probablemente conoce bien. Líneas y ángulos Una línea puede ser curva, como la de la izquierda, o recta, como la de la derecha. En el segundo caso decimos que tenemos una línea recta, o, simplemente, una recta.

Las líneas se extienden por ambos lados indefinidamente. A veces se recuerda esto con flechas en ambos extremos, como se muestra enseguida con la recta m:

Un segmento es una porción de línea recta que está limitada por dos puntos que son sus extremos. Por ejemplo, los extremos del siguiente segmento son los puntos A y B:



14 8

Como las líneas se extienden indefinidamente, no se pueden medir. Los segmentos sí se pueden medir. Cuando dos segmentos tienen la misma medida se dice que son congruentes. Por ejemplo, los segmentos CD y EF son Congruentes:

También puede haber porciones de línea recta que sólo estén limitadas en un extremo. En este caso se habla de semirrectas. Por ejemplo, la siguiente semirrecta está limitada por el punto P y se extiende indefinidamente hacia el otro lado:

Dos rectas que están en el mismo plano y nunca se cruzan son paralelas, como las siguientes:

Dos rectas que no son paralelas se cruzan en un punto (también se dice que se cortan en ese punto), y entonces forman cuatro ángulos. Si O es el punto en el que se cortan las rectas, A y B son dos puntos en una de las rectas y C y D son dos puntos en la otra, los ángulos se pueden denotar así: AOC, COB, BOD y DOA.



14 9

Se puede entonces considerar a un ángulo como dos semirrectas que parten del mismo punto; a ese punto se le denomina vértice del ángulo. Los ángulos son más grandes o más pequeños, dependiendo de la apertura que guardan entre sí las dos semirrectas. Por ejemplo, en el dibujo de arriba los ángulos AOD y BOC (marcados con dos pequeños arcos) son más grandes que los ángulos COA y DOB (marcados con un solo arco). Cuando los cuatro ángulos que se forman entre dos rectas son iguales, se dice que las dos rectas son perpendiculares, como en el siguiente ejemplo:

Al ángulo que forman entre sí dos semirrectas perpendiculares se le llama ángulo recto; se suele denotar con un cuadrito junto al vértice:

Consideremos ahora una recta y un punto P en ella. El punto P se puede considerar como el vértice de un ángulo entre dos semirrectas, y al ángulo que se forma se le llama ángulo llano:



15 0

Un ángulo que es menor que un ángulo recto se denomina ángulo agudo, como el que tiene vértice en el punto A de la siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo recto pero menor que un ángulo llano se denomina ángulo obtuso, como el que tiene vértice en el punto B de la siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo llano se denomina ángulo entrante, como el que tiene vértice en el punto C de la siguiente figura.

¿COMO TE HA PARECIDO LO QUE LLEVAMOS DEL TEMA? ¿QUE PARTE ES LA QUE MÁS TE HA GUSTADO? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------➢ Actividades de apropiación 1. Indique cómo son los siguientes ángulos



15 1

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …



15 2

Medición de ángulos Las categorías de ángulos agudos, rectos, obtusos y entrantes permiten describir qué tan pequeños o grandes son los ángulos. Sin embargo, con mucha frecuencia es necesario hacer mediciones más finas. Para hacer esto, se acostumbra dividir el círculo en 360 ángulos iguales, que se denominan grados. Así, un ángulo recto tiene 90 grados, lo que se acostumbra escribir así: 90º. Análogamente, un ángulo llano mide 180º. Para medir ángulos se utiliza un transportador, que es un instrumento en forma de semicírculo con la graduación de grados de 0 a 180 y a veces también en sentido inverso. Algunos transportadores son circulares y tienen la graduación de 0 a 360. Observe que el transportador tiene en su parte inferior (o en la parte media, si es circular) una línea recta cuyos extremos van a dar a las graduaciones de 0º y 180º, a la mitad de la cual hay una pequeña marca, generalmente en forma de cruz. Para usar el transportador se hace coincidir el vértice del ángulo que se desea medir con esa marca, y se hace coincidir uno de los lados del ángulo con la línea recta. Por ejemplo, el ángulo de la derecha mide 120º. Usted puede Comprobarlo utilizando su transportador como se ha indicado. Cuando los lados del ángulo no están marcados suficientemente largos, usted puede alargarlos utilizando su regla: esto no modifica el tamaño del ángulo, puesto que no cambia su apertura. .



15 3

3. Exprese cuántos grados, o bien entre cuántos y cuántos grados, miden:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



15 4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------´--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Trace ángulos que midan: a) 45º d) 120º

b) 60º

e) 150º h) 360º

f) 270º

c) 30º g) 300º



15 5

D efi nición d e circunfer enc ia

E s una línea curva cerra d a c uy os p untos e s tá n la m ism a d ista ncia de un punto fijo lla m a do

t odos a c entro . Ce n t ro de la c irc unfe re nc ia P unto de l que c i rc unfe ren cia .

eq uid is ta n

todos

los

p untos

de

la

Ra dio de la c irc unfe re nc ia Seg m ent o que une e l centro de la circunfe ren cia c on un p unto c ua lquie ra de la m is ma .

P a rtes d e la circunfe ren cia C ue rda


Seg m en to c i rcunfe ren cia . Diá m e tro

15 6


que

une

d os

p unto s

de

C ue rda que pas a por e l c e ntro de la c irc unfe re nc ia . Arc o

Ca da una de las p a rtes e n que una cuerd a div ide a la c i rcunfe ren cia . Se sue le as oc ia r a ca da c ue rda e l m e nor arc o que de lim ita . Se m ic irc unfe re nc ia

Ca da uno de los a rcos ig ua les que a ba rc a un d iá m etro .

la



15 7

Lo ng itud d e una circ unf ere ncia

E je m plo Ca lc u la r la longitud d e una rued a d e 90 cm d e diá m e tro.

Á rea d e un círcul o

E j erci cio s d el círc ulo La l ong it ud de una circunf ere ncia es 43.96 c m . ¿ C uá l es e l á rea de l círculo ?



15 8

➢ Actividades de apropiación 1. a) Si el radio de una circunferencia mide 4 cm., ¿cuánto mide el diámetro?

b) En general, ¿cuál es la relación entre la longitud del radio y la del diámetro? Si r es la longitud del radio y d es la longitud del diámetro, exprese esta relación con una fórmula.

2. Trace con un compás una circunferencia y llame r a la longitud de su radio y da la longitud de su diámetro



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PROFUNDIZACIÓN 1. Calcule el perímetro de las circunferencias que tienen: • 12 cm. de diámetro. • 5 m. de diámetro. • 7 cm. de radio. • 4 m. de radio. 2. a) ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia cuyo perímetro mide 6.28 m.? b) ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia cuyo perímetro mide 9.42 cm.? 3. Doña Lupita hizo un mantel para una mesa redonda que mide 120 cm de diámetro. El mantel cuelga 20 cm. del borde de la mesa, todo alrededor. Ahora doña Lupita quiere ponerle tira bordada en la orilla. ¿Cuánto debe comprar de tira bordada? 4. Una llanta de automóvil tiene un diámetro de 56 cm. ¿Cuántas vueltas da la llanta en 1000 metros?

Valora ción


D efi nición d e p olíg ono U n p olíg ono e s la re gión de l pla no lim ita da por tres o m ás se gm e ntos . E le m e ntos de un políg ono



16 0

La dos : Son los seg m en to s que lo lim ita n. Vé rt ic e s : Son los p untos donde c onc urre n d os la d os . Án gu los inte riore s de un políg ono : Son los de te rm ina dos por dos l a d os consec uti vos . Su ma de ángulos inte riore s de un n ú m e ro de la d os d e un p olíg ono :

polígon o : Si

n es

el

Sum a d e á ng ulo s d e un p olíg ono = ( n − 2) · 18 0° Dia gona l : Son los se gm e ntos que de te rm ina n dos v é rtic e s n o c on s e c utiv os N ú me ro de dia gona le s de un polígon o Si n es e l núme ro de la dos de un polígo no: Núm ero d e d ia g ona le s = n · ( n − 3 ) : 2 4 · ( 4 − 3) : 2 = 2

5 · ( 5 − 3) : 2 = 5 6 · ( 6 − 3) : 2 = 9

P erím etro d e un p olíg on o Es la s uma de la s longit ude s de los la dos de un políg ono



16 1

Á rea d e un p olíg ono Es la m e dida de la re gión o s upe rfic ie e nc e rra da por de un polígon o . Cla se s d e p olíg ono s seg ún s us á ng ulo s C on v e x os

Todos sus á ngulos m e nore s que 180°. Toda s sus dia gona le s s on inte rio re s . C ón c a v os

C l a ses d e p olíg ono s seg ún sus la d os Triá ngulos

T ienen 3 la d os.

C ua drilá te ros


T ienen 4 la d os. Pe n tá gonos

T ienen 5 la d os.

He xá gonos

T ienen 6 la d os. He ptá gonos

T ienen 7 la d os.


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Oc t á gonos

T ienen 8 la d os. E n eá gono

T iene los 9 la d os.

De c á gono

T iene 10 la d os. E n de cá gono

T iene 11 la d os.

Dode c á gono


16 3



T iene 12 la d os. Tride c á gono

T ienen 1 3 la d os.

Te t ra de cá gono

T iene 14 la d os. Pe n t a de cá gono

C l a ses d e triá ng ul os seg ún sus la d os

16 4



Triá n gulo e quilá te ro

T res la d os ig ua les.

Triá n gulo is ós c e le s

D os la d os ig ua les.

Triá n gulo es ca le no

T res la d os d esig ua le s

C l a ses d e triá ng ul os seg ún sus á ng ulos Triá n gulo ac utá ngulo

16 5



T res á ng ulo s a g ud os

Triá n gulo re c tá ngulo

Un á ng ulo recto E l l a d o m a yor es la hip ote nusa . Los la d os m enores son los ca teto s.

Triá n gulo obtusá ngulo

Un á ng ulo ob tus o.

P erí m e tro d e un tria ng ul o T ri á ng ulo E q ui l á tero

T riá ng ulo I sóscel es

T riá ng ulo Esca leno

16 6



16 7

Á rea d e un triá ng ulo

E je m plo Ha lla r e l á rea de l s iguie nte triá ng ulo :

Áre a de un triá ngulo re c tá ngulo E l á rea de un triá ng ulo rectá ng ulo p rod ucto d e los ca teto s p a rtid o p or 2.

E je m plo

es

igua l

al


16 8


Ha lla r e l á rea d el triá ng ulo rectá ng u lo c uy os ca te tos m ide n 3 y 4 c m .

Teor em a d e P itá g ora s

E l t e ore m a de Pitá gora s es ta ble c e que e n un triá ngulo re c t á ngulo, e l c ua dra do de la hipote nus a e s igua l a la su m a de los c ua dra dos de los ca te tos .

E m ple o de l te ore m a de Pitá gora s C on oc ie ndo los la dos de un triá ngulo, re c t á ngulo

a ve rigua r

si

es

Pa ra que un triá ng ul o s ea rectá ng ulo e l c ua dra do de la do ma y or ha de se r igua l a la sum a de los c ua dra dos de los dos m e nore s . De t e rm ina r si e l triá ngulo e s re c tá ngulo.



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C on oc ie ndo los dos c a te tos ca lc ula r la hipote nus a

L os c a tetos de un triá ng ul o rectá ng u lo m ide n e n 3 m y 4 m re s pe c tiv a m e nte . ¿ C uá nto m ide la hip ote nu sa ?

C on oc ie ndo la hipote nus a y un c a te to, c a lc ula r e l otro c a te t o

La hi p oten usa de un triá ng ulo rectá ng u lo m ide 5 m y u n o de sus ca tetos 3 m . ¿C uá nto m ide otro ca teto ?

E je rc ic ios



17 0

U na e s ca le ra de 10 m de longitud e s tá apoy a da s obre la pa re d. E l pie de la es ca le ra dis ta 6 m de la pa re d. ¿ Qué a lt u ra a lca nz a la es c a le ra s obre la pa re d?

Ha lla r e l áre a de l triá ngulo e quilá te ro:

Ha lla r la dia gona l de l c ua dra do:



17 1

Ha lla r la dia gona l de l re c tá ngulo:

Ha lla r e l

pe rím e tro

y

e l á re a

de l tra pe c io

re c tá ngulo:

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Podríamos pensar también que es la longitud de un segmento que se formara con todos sus lados. Perímetro de algunos polígonos En un triángulo equilátero, si la longitud de cada lado es l, el perímetro es igual a tres veces el lado: P = 3 ℓ



En un cuadrado, si la longitud de cada lado es l, el del lado: P = 4 ℓ

17 2

igual al cuádruple

En un rombo, si la longitud de cada lado es l, el perímetro es igual al cuádruple del lado: P = 4 ℓ En un rectángulo, si la longitud del lado menor es a y la longitud del lado mayor es b, el perímetro es igual al doble de la suma de a más b: P = 2 (a + b) En general, en un paralelogramo, si la longitud del lado menor es a y la longitud del lado mayor es b, el perímetro es igual al doble de la suma de a más b: P = 2 (a + b) En general, en un polígono regular de n lados, si la longitud de cada lado es l, el perímetro es igual a n veces esa longitud: P = n* l ACTIVIDADES 1. Calcule los perímetros de cada uno de los polígonos, utilizando las fórmulas respectivas.



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1. Un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono regular tienen todos el mismo perímetro: 120 cm. ¿Cuánto mide el lado de cada uno de ellos? Has los dibujos y calcula el perímetro

3. Un terreno rectangular mide 24 m por 45 m., y se desea delimitarlo con cinco vueltas de alambre de púas. El alambre de púas se vende por rollo de 100 m.; y cada rollo cuesta $202. a) ¿Cuánto alambre se necesita comprar? b) ¿Cuántos rollos se necesita comprar? c) ¿Cuánto alambre sobra? d) ¿Cuánto se debe pagar?

b) El lado mayor de un rectángulo mide 8 cm. Sobre él se traza un triángulo isósceles, de tal forma que el lado mayor del rectángulo es el lado desigual del triángulo y los lados congruentes del triángulo isósceles miden 6 cm. El triángulo y el rectángulo tienen el mismo perímetro. ¿Cuánto mide el lado menor del rectángulo? ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



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La mariposa azul Había un hombre que vivía con sus dos hijas. Las niñas eran curiosas e inteligentes y siempre hacían muchas preguntas. A veces el hombre



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sabía responder pero, otras veces, no tenía ni idea de la respuesta. Como pretendía ofrecerles la mejor educación, mandó las niñas de vacaciones a casa de un sabio que vivía en lo alto de la colina. El sabio siempre respondía a todas las preguntas sin ningún tipo de duda. Impacientes con el sabio, las niñas decidieron inventar una pregunta que él no pudiera responder. Así que un día una de ellas capturó una linda mariposa azul con la que pensaba engañar al sabio. ¿Qué vas a hacer?” - le preguntó su hermana. -Voy a esconder la mariposa entre mis manos y preguntarle al sabio si está viva o muerta. Si él dice que está muerta, abriré mis manos y la dejaré volar. Si dice que está viva, la apretaré y la aplastaré. De esta manera, cualquiera que sea su respuesta, ¡será una respuesta equivocada! Las dos niñas fueron entonces al encuentro del sabio, que estaba meditando. -“Tengo aquí una mariposa azul. Dígame, sabio, ¿está viva o muerta?” Muy calmadamente el sabio sonrió y respondió: -“Depende de ti... Ella está en tus manos.” Así es nuestra vida, nuestro presente y nuestro futuro. No debemos culpar a nadie cuando algo falle: somos nosotros los únicos responsables por nuestros errores y malas decisiones. “Como ocurre con la mariposa azul, nosotros podemos elegir entre la Vida y la Muerte” Tú decides. . .


4.


17 6


10.1.

ESTADÍSTICA

Duración: Entre __________________ Y __________________ COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Identifica los Elabora tablas de Mantiene una actitud conceptos básicos de frecuencias en un positiva frente al estadística. conjunto de datos. trabajo en clase, terminando a tiempo la Realiza la Determina la población actividad. caracterización de y la muestra en una variables cualitativas situación planteada Demuestra con su y cuantitativas proceso académico, adecuados hábitos de estudio y acompañamiento familiar 4.2 4.3CONTENIDOS: 4.3.1 Población y muestra 4.3.2 Caracterización de variables cualitativas 4.3.3 Caracterización de variables cuantitativas 4.3.4 Probabilidad


4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.3.8 4.3.9


17 7

Permutaciones Combinaciones Experimentos aleatorios Espacios muéstrales Eventos

ESTADISTICA PRECONCEPTUALIZACION Utilidad de la estadística Siempre que hay interés por conocer cierta información, esa información necesariamente se refiere a personas, animales, instituciones, cosas, etc. Supongamos que alguien nos dice que le interesa tener información sobre la "edad", seguramente le preguntaríamos sobre la edad de quiénes o de qué cosas tiene interés en conocer; podría ser la edad de personas en cuyo caso interesaría saber de cuáles, o podría ser la edad de zonas arqueológicas, de edificios de alguna ciudad, o de los animales de un zoológico, etc. De hecho no tiene sentido referirse a una característica de interés sin decir en quiénes o en qué cosas nos interesa observar esa característica. De finic ión de E s ta dís tic a La Esta d íst ica tra ta de l re c ue nto, orde na c ión y c las ific a c ión de los da tos obte nidos por la s obs e rva c ione s , pa ra pode r ha c e r c om pa ra c ione s y sa ca r c onc lus ione s . U n estud io esta d ístic o c ons ta de la s s iguie nte s fas es : Re c ogida de da tos . Orga n iz a c ión y re pre s e nta c ión de da tos . Aná lis is de da tos . Obt e n c ión de c onc lus ione s .



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C onc ep to s d e Esta d ísti ca Pobla c ión U na p ob la ción es e l c onjunto de todos los e le m e ntos a los qu e s e som e te a un e s tudio es ta dís tic o. In div iduo U n i nd ivid uo o unid a d esta d íst ica e s ca da uno de los e le m e ntos que c om pone n la pobla c ión. Mu e s t ra U na m uestra e s un c onjunto re pre s e nta tiv o de la pobla c ión de re fe re nc ia , e l núme ro de indiv iduos de una m u es tra e s me nor que e l de la pobla c ión. Mu e s t re o E l m uestre o es la re unión de da tos que s e d e se a es tudia r, obt e n idos de una propo rc ión re duc ida y re pre s e nta tiv a de la pobla c ión. Va lor U n va lor es c a da uno de los dis tintos res ulta dos que se pu e de n obte ne r e n un e s tudio es ta dís tic o. Si la nz a m os una m on e da a l a ire 5 ve c e s obte ne m os dos v a lore s : c a ra y c ru z . Da t o U n d a to e s c a da uno de los v a lore s que s e ha obte nido a l rea liz a r un e s tudio e sta dís tic o. Si la nza m os una m one da a l a ire 5 v e c e s obte ne m os 5 da tos : ca ra , ca ra , c ruz , c a ra , c ruz . Algunas veces podemos conocer la información referente a todos los sujetos o cosas específicas que nos interesen, por ejemplo cada diez años, cuando se realiza el censo general de población, se conocen varias características de todos y cada uno de los habitantes del país. En este caso se dice que se tiene la información de toda la población.



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Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones es muy difícil o imposible conocer la información de todos y cada uno de los sujetos que nos interesan, en estos casos se observa la característica de interés sólo en una parte de la población; lo que se obtiene de este modo es una muestra. Por ejemplo, durante las elecciones se hacen los sondeos de salida de casilla, que permiten estimar con buenas aproximaciones los resultados de la elección aún mucho antes del conteo de todos los votos. Estos sondeos consisten en preguntarles a algunas personas que acaban de votar por cuál candidato votaron; la información que se registra en cada caso no es cómo votó cada individuo, sino cuántas personas votaron por cada candidato. Cuando se hace el sondeo se trabaja con una muestra, ya que sólo se conoce el voto de algunos de los votantes. Cuando se tiene el recuento de todos los votos se trabaja con toda la población. En ambos casos nos podemos referir a poblaciones y muestras distintas. Por ejemplo si hablamos de resultados a nivel nacional nos referimos al voto de todos los votantes del país, y esa es nuestra población; pero si nos interesan los resultados de una región, un estado, una ciudad o un municipio, entonces las poblaciones respectivas serán todos los votantes de esa región, de ese estado, ciudad o municipio; y las muestras consideradas para predecir resultados deberán tomarse en cada caso de una parte de esas poblaciones. Además de permitir la organización de la información, la estadística aporta técnicas que nos indican cómo seleccionar una parte de la población que nos interesa, para obtener una muestra a partir de la cual se puedan sacar ciertas conclusiones sobre la población. Hasta aquí nos hemos referido a dos aspectos importantes: a una (o varias) característica(s) de interés y a los sujetos o cosas sobre los que se quiere conocer esa característica. La forma de conocer aquello que nos interesa es variada, por ejemplo si nos interesara conocer la estatura de los niños que entran a séptimo grado en un colegio, usaríamos una cinta métrica o una regla; si nos interesara conocer la opinión de las personas sobre un cierto suceso, se lo preguntaríamos, si nos interesara saber qué tipos de árboles hay en un parque podríamos ir y observar cada uno de ellos. Aunque la forma de llevar a cabo la obtención de la información sea distinta, nos referimos a este proceso como "proceso de medición de la variable" y a los resultados obtenidos en ese proceso como a "los valores de la variable". Cada vez que midiéramos la estatura de un niño, obtendríamos un valor de la variable estatura; cada vez que una



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persona nos dijera lo que piensa sobre el suceso en cuestión, obtendríamos un valor de la variable opinión; cada vez que conociéramos a qué clase pertenece un árbol, obtendríamos un valor de la variable clase de árbol. Cuando hemos recolectado toda la información, tenemos colecciones de datos que pueden ser pequeñas o muy grandes. Registro y organización de datos Muchas veces interesa conocer ciertas características de personas, objetos, animales, plantas etc. Cada una de las características que nos interesa conocer recibe el nombre de variable. Por ejemplo, en un municipio del departamento de Risaralda querían conocer algunas características de los alumnos adultos de secundaria y para encontrar la información elaboraron una encuesta. A continuación se presentan las preguntas 4, 15, 17 y 18 de la encuesta:

Para contestar, los alumnos debían escribir las respuestas a las preguntas 4 y 17, y en las preguntas 15 y 18 debían señalar la opción que elegían. A continuación se presentan los datos que se obtuvieron con las respuestas a las preguntas 4 y 15:



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Para organizar la información y poderla describir más fácilmente, se puede construir una tabla de frecuencias. Frecuencia es la cantidad de veces que se repite un valor o dato; por ejemplo en la primera lista podemos ver que el valor 9 se repite 3 veces. Esto quiere decir que tres alumnos tienen 9 hermanos; decimos que 3 es la frecuencia de 9. Del mismo modo podemos obtener la frecuencia de cada uno de los valores y construir una tabla con dos columnas; en la primera anotamos los valores y en la segunda las frecuencias. ¿Cuántos alumnos contestaron las preguntas 4 y 15? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………



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……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… … En la tabla siguiente se han escrito algunas frecuencias. Obtenga las frecuencias que faltan y complete la tabla.

Una tabla como la anterior se llama tabla de frecuencias. Habrá observado que en el último renglón aparece la cantidad de alumnos que respondieron la encuesta. Si hemos construido bien la tabla, la suma de las frecuencias debe ser igual a la cantidad de datos que se tienen.



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Cuando tenemos una colección muy grande de datos nos perdemos fácilmente en la lectura y no podemos tener una idea de conjunto. Las tablas nos permiten conocer la información global fácilmente; por eso son tan útiles y se las utiliza mucho. Para el otro conjunto de datos se puede construir una tabla similar. Ahora no habrá números en la primera columna ya que debemos escribir las respuestas que se obtuvieron: nada, poco, regular, mucho; en la segunda columna se registran las frecuencias.

ACTIVIDAD: Construya la tabla de frecuencias del segundo conjunto de datos (gusto por la lectura) de la tabla del ejercicio anterior



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No todos los alumnos contestaron las preguntas 17: ¿Qué canal de televisión prefiere ver? y 18: ¿Le gusta ver televisión? Sin embargo, con los datos obtenidos se construyeron las tablas de frecuencias que se presenta a continuación:

ACTIVIDAD Con base en la tabla correspondiente al canal preferido de televisión, conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos alumnos contestaron la pregunta 17? b) ¿Cuántos alumnos prefieren ver el canal 4? c) ¿Cuál es el canal de televisión más popular entre los alumnos que contestaron la pregunta 17? d) ¿Qué canal fue elegido por 5 alumnos? e) ¿Cuál es la frecuencia correspondiente al canal 8? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………



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……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………… Con base en la tabla correspondiente al gusto por la televisión, conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos alumnos contestaron la pregunta 18? b) ¿A cuántos alumnos les gusta mucho ver la televisión? c) ¿Cuál fue la respuesta elegida sólo por uno de los alumnos que contestaron esa pregunta? d) ¿Cuál fue la respuesta elegida por más alumnos?

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……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………. ……………………………………………………………………………………………… ………… Valora Firma Del(a) ción Estudiante Gráficas de frecuencia En la lección anterior vimos cómo organizar en una tabla de frecuencias, un conjunto de datos que contiene la información sobre alguna variable. Esas tablas permiten una lectura más rápida que el listado completo. Ahora veremos cómo presentar esos conjuntos de datos gráficamente. Las gráficas nos permiten visualizar globalmente cómo se distribuyen las frecuencias entre los distintos datos. Hay gráficas de distinto tipo; nosotros podemos ver algunas de ellas en revistas y periódicos. En esta lección aprenderemos a construir y a leer gráficas de barras y circulares. Vamos a considerar nuevamente las tablas de frecuencias que construimos en la lección anterior. Veamos primero la tabla correspondiente al número de hermanos.



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Para construir una gráfica de barras con estos valores tomamos dos ejes perpendiculares; en el eje horizontal señalamos los valores de la variable (número de hermanos) y en el eje vertical señalamos los valores de la frecuencia. Como en ambos casos trabajamos con números, para ubicar los valores en cada eje tenemos que considerar una unidad, aunque las unidades del eje horizontal pueden ser distintas a las del eje vertical; por ejemplo, como se ilustra a continuación.

Sobre cada uno de los valores construimos una barra cuya altura coincida con la frecuencia de ese valor.



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Esta gráfica nos muestra cómo se distribuyen las 36 respuestas entre los distintos valores obtenidos; dicho de otra manera, nos muestra cómo se distribuyen las frecuencias. Por este motivo a estas gráficas se las conoce también como gráficas de barras de distribución de frecuencias. Veamos ahora cómo presentar gráficamente los datos correspondientes a la variable “gusto por la lectura”. Para ello consideraremos la tabla de frecuencias construida en la lección anterior.

Aunque ahora los valores de la variable no son números, vamos a representarlos de manera similar en el eje horizontal, empezando por el valor más bajo.



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Ahora veremos cómo presentar ese mismo conjunto de datos en una gráfica circular. Sabemos que todo el círculo mide 360 grados y consideramos que toda el área del círculo representa los 36 datos que tenemos. Entonces vamos a repartir el área en forma proporcional a la frecuencia de cada valor. Esto significa que si un valor tiene el doble de frecuencia que otro, le corresponde el doble de área; si un valor tiene el triple de frecuencia que otro, le corresponde el triple de área y si tiene la mitad de frecuencia le corresponderá la mitad de área. Para repartir de modo fácil el área calculamos primero cuántos grados deben medir el ángulo que representa una frecuencia igual a 1: 360º ÷ 36 = 10º Con esta información podemos obtener la medida de todos los ángulos que necesitamos y construir una nueva tabla, agregándole una columna a la tabla de frecuencias.

Trazamos un radio cualquiera que consideraremos lado inicial



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y con vértice en el centro del círculo construimos un ángulo de 60º. El área rayada representa la frecuencia del valor “nada”.

A partir del último radio trazado construimos un ángulo de 70º para representar la frecuencia correspondiente al valor “poco”.

A partir del último radio construimos un ángulo de 110º que es el que corresponde a la frecuencia del valor “regular”.

gráfica circular ACTIVIDADES 1. Construya una gráfica de barras y otra circular que representen los datos obtenidos para la variable “gusto por la televisión”. La tabla de frecuencias correspondiente está al final de la lección anterior. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



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2. Construya una gráfica de barras y otra circular que representen los datos obtenidos para la variable “canal de televisión preferido”. La tabla de frecuencias correspondiente está al final de la lección anterior. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….



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La gráfica siguiente representa las respuestas obtenidas a la pregunta:

Con base en ella conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos alumnos contestaron la pregunta? b) ¿Cuántos alumnos eran solteros al momento de contestar la encuesta? c) ¿Es cierto que entre los alumnos que contestaron la encuesta la cantidad de casados es la mitad de los solteros? d) ¿Cuál es el estado civil que no fue señalado por ningún alumno? e) ¿Cuál es el estado civil que fue señalado por 2 alumnos? ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………



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MODA Llamamos moda de un conjunto de datos al valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, el que se repite más veces. Hay conjuntos de datos que tienen más de una moda. Esta medida describe al conjunto de datos en la siguiente manera: al decir que la moda es "regular" estamos diciendo que la opinión que más personas atrajo, en la que más se concentraron las apreciaciones, en la que más personas están de acuerdo, es que el examen es de una dificultad

La Media Aritmética La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas. Ejemplo: Notas de 5 alumnos en una prueba: Alumno

Nota



1 las Notas: 2 60+54+31+70+62=277 3 la cantidad de alumnos: 4 5 ·LA MEDIA SERIA 55.4

ARITMÉTICA

6.0

19 7

entonces se suman 5.4

EN

3.1

el total se divide por

7.0 6.2

277/5=55.4

ESTE

PROBLEMA

. Mediana Dentro de la rama de medidas de tendencia central en estadística descriptiva, y considerando los datos de una muestra ordenada en orden creciente (de menor a mayor), definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será la observación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.

Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observaciones centrales. Observaciones: •

La mediana de un conjunto de datos es única.

•

El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.



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ANIMATE YA ESTAN CERCA LAS VACACIONES, DALE UN ABRAZO A TODOS LOS INTEGRANTES DE TU FAMILIA Y REGALALE UNA SONRISA A ESA PERSONA CON LA CUAL TUVISTE ALGUN DIA UN DISGUSTO



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No es lo mismo - ¡¡Feliz Navidad!! Santa Claus está muy lejos, en el Polo Norte… Jesús está muy cerca, en el corazón del hombre. Santa Claus viene una vez al año… Jesús siempre está ahí, dispuesto a ayudarnos. Santa Claus nos llena los calcetines colgados en la pared con dulces y regalitos… Jesús quiere llenar tu vida de propósito, paz y amor.



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Santa Claus siempre entra a escondidas por la chimenea y sin ser invitado... Jesús quiere entrar y ser parte de tu vida, pero nunca entrará a no ser que le abras la puerta de tu corazón. Para poder saludar y ver a Santa Claus tienes que esperar en una larga cola… Para saludar y ver a Jesús solo tienes que desearlo. Santa Claus permite que te sientes en su falda mientras te hacen una foto… Jesús desea que descanses en él, en todos los momentos de tu vida. Santa Claus siempre te pregunta ¿Cómo te llamas?... Jesús ya conoce tu nombre. Sabe perfectamente quien eres, donde vives y hasta cuantos cabellos tienes en la cabeza. La barriga de Santa Claus está llena de golosinas… El corazón de Jesús está lleno de amor. Santa Claus siempre dice lo mismo «Jo… Jo... Jo… » Jesús cada día tiene algo nuevo que decirte y enseñarte. Él tiene para tí palabras de vida. Santa Claus siempre dice que no debemos llorar… Jesús quiere que le entreguemos nuestras preocupaciones, nuestro dolor y heridas, para que no tengamos que llorar. Santa Claus te hace sonreír para la foto… Jesús te da los suficientes motivos para que vivas una vida de gozo. Sinceramente no sé que hace Santa Claus aquí, porque la Navidad, recuerda y celebra el nacimiento de Jesús. Y solamente Jesús le da sentido y razón de ser a la Navidad. Santa Claus supuestamente pone regalos debajo del árbol… Jesús es el regalo de Dios para la humanidad y fue crucificado sobre un tronco de árbol. Para qué tener imitaciones, falsificaciones... pudiendo tener el original. Para qué celebrar algo absolutamente falso y que no tiene ningún sentido, pudiendo celebrar el nacimiento de aquél que cambió el rumbo de la humanidad, de aquél que puede darle verdadero sentido a nuestra



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vidas y que aún hoy si le invitas, asistirá y presidirá gustosamente la celebración de su cumpleaños en tu casa, con tu familia y en tu corazón. ¡¡Feliz Navidad!!

LISTA DE CHEQUEO INSTITUCIÓN EDUCATIVA AQUILINO BEDOYA LISTA DE CHEQUEO MATEMÁTICAS GRADO SEPTIMO

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1. INSTRUCCIONES PARA EL DILIGENCIAMIENTO Estudiante: Diligencie la lista de chequeo con letra legible Llene los datos de identificación del estudiante La lista de chequeo está diseñada para recoger evidencias sobre sus conocimientos y desempeño al realizar el módulo Recuerde que este instrumento debe de tener como referencia el criterio de evaluación consignado en el módulo de aprendizaje. 2. DATOS GENERALES

Módulo: Matemáticas 7° Unidad de aprendizaje: Números enteros, decimales y racionales. Actividad E-A-E: resolver problemas de aplicación que involucren números enteros, decimales y racionales. Criterios de evaluación: Presentación del módulo y evaluaciones escritas Nombre del Estudiante: ____________________________________________ Grado: ____________ Lugar: _________________________ Fecha: ___________ Nombre del docente: MARÍA OFFIR MARULANDA HOYOS

No. 1 2

3. LISTA DE VERIFICACION CUMPLE VARIABLES E INDICADORES SI NO Realizo a conciencia las actividades propuestas en el módulo. Los temas estudiados le servirán

OBSERVACION ES


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para afrontar situaciones de la vida diaria. Presenta a tiempo las actividades del módulo Participa activamente ene desarrollo de la clase Su nivel de competencia matemático ha mejorado en cada uno de los procesos

______________________ Firma del estudiante

_______________________ Firma del docente

 Angulo Agudo: ……………………………………………………………………………………..  Angulo Cóncavo: ………………………………………………………………………………….  Angulo Obtuso: …………………………………………………………………………………….  Angulo Recto: ………………………………………………………………………………………  Angulo: ……………………………………………………………………………………………..  Área: ………………………………………………………………………………………………...  Aumentado: ………………………………………………………………………………………...  Base: ………………………………………………………………………………………………..  Cuadrado: …………………………………………………………………………………………..  Cuadrilátero: ……………………………………………..........................................................  Disminuido: …………………………………………………………………………………………  Exponente: ………………………………………………………………………………..............  Factor: ………………………………………………………………………………………………



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 Incógnita: …………………………………………………………………………………………...  Línea Curva: ………………………………………………………………………………………..  Perímetro: …………………………………………………………………………………………..  Polígono Irregular: …………………………………………………………………………………  Polígono Regular: …………………………………………………………………………………  Potencia: ……………………………………………………………………………………………  Potenciación: ………………………………………………………………………………………  Rectángulo: ………………………………………………………………………………………...  Triangulo Acutángulo: …………………………………………………………………………..  Triangulo Equilátero: ………………………………………………………………………………  Triangulo Escaleno: ……………………………………………………………………………….  Triangulo Isósceles: …………………………………………………………………………  Triangulo Obtusángulo: …………………………………………………………………………...  Triangulo Rectángulo: …………………………………………………………………………….  Triangulo: …………………………………………………………………………………………... OTROS:



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EN MANOS DE DIOS ESTA EL AMOR, POR ESO ESTE MODULO ES UN REFLEJO DE SU INFINITA MISERICORDIA, QUE HA SIDO REALIZADO PARA TI CON LA DIVINA GRACIA DE EL

GRACIAS POR CONFIAR EN TI Y EN NOSOTROS INSTITUCION EDUCATIVA AQUILINO BEDOYA

7. BIBLIOGRAFIA Y WEBGRAFIA:

 Nuevo Pensamiento Matemático 8; Ricardo Díaz D, Marco F. Robayo; Editorial Libros & Libros, 2004.  Matemática Constructiva 8; Gustavo Centeno R., Hollman Centeno R., Nelson Jiménez, Fernando González, Marco F. Robayo; Editorial Libros & Libres S.A.  Algebra De Baldor; Aurelio Baldor; Editorial Cultural Colombana; Final del formulario

Módulo Matemáticas-Grado Séptimo

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