MÓDULO DE LÓGICA PROPOSICIONAL 4° SECUNDARIA – Doc. Alfredo Vásquez
RAZONAMIENTO LÓGICO Desarrollo Temático (PARTE I)
LÓGICA PROPOSICIONAL INTRODUCCIÓN Existen en la realidad un número considerable de problemas con los que una persona se enfrenta y de los cuales cuales se deben deben deducir cierto ciertos s datos datos para para poder poder resolverlos. Generalmente la forma en que las personas aplican el poder deductivo es muy personal, sin embargo éste podría ser encausado o guiado a través del uso de reglas de deducción. A su vez, será necesario que dichas reglas sean establecidas y usadas con una cierta precisión de modo que puedan ser reutilizadas toda vez que un mismo problema o problemas de características similares sean planteados. La manera cotidiana de expresar los problemas es por medio de nuestro lenguaje natural. Sin embargo éste es en esen esenci cia a ambi ambigu guo o por por lo cual cual es nece necesa sari rio o transf transform ormarl arlo, o, acotar acotarlo lo o restri restringi ngirlo rlo de modo modo que se convierta en un lenguaje inequívoco. Particularmente los lenguajes simbólicos proveen esa clase de precisión. Y, si además esos símbolos son símbolos matemáticos, lo que tendremos es una precisión matemática en la acción de deducir. Esta Esta es prec precis isam amen ente te la fina finalid lidad ad de la lógica matemática: expr expres esar ar prob proble lema mas s por por medi medio o de un lengua lenguaje je inequí inequívoc voco o que habili habilite te el uso de reglas reglas de deducción para la solución de los mismos.
¿QUÉ ES LA LÓGICA? Se define define al términ término o lógica lógica,, como como la cienci ciencia a que estudi estudia a el pensam pensamien iento, to, de tal maner manera a que con este este estudio se puede producir razonamientos correctos, es decir, válido.
¿A QUÉ NOS REFERIMOS CON PENSAMIENTO? El Pensamiento está conformado por tres elementos, es decir, son tres las formas mediante las cuales el ser huma humano no pued puede e expr expres esar ar lo que que pien piensa sa.. Esta Estas s son: son: Conceptos, Juicios y Razonamientos o Raciocinios.
ENUNCIADOS Y CONECTIVAS Nuestro lenguaje cotidiano se conforma de frases o expresiones. Si se desea deducir información a partir de una frase es necesario poder evaluarla como verdadera o falsa. No obstante no toda frase puede ser evaluada, existen frases las cuales no se pueden categorizar.
Frases que se pueden categorizar El líder ha muerto Juan compró dulces con dinero El barómetro ayuda a determinar el clima Si Juan no tiene dinero entonces no compra dulces Si el barómetro desciende, entonces lloverá o nevará
Frases NO categorizables Qué frío!! ¿Cuánto pesas? Alcánzame el libro
1
Generalizando, diremos que toda frase que tiene una una func funció ión n de tipo tipo info inform rmat ativ iva, a, son son fras frases es que que se pueden pueden catego categoriz rizar, ar, quedan quedando do entonc entonces es fuera fuera todas todas aquellas frases que cumplen una función de transmitir una orden o directriz y las que se utili zan con una función expresiva. Si se analiza gramaticalmente una frase o expresión del del leng lengua uaje je coti cotidi dian ano, o, vere veremo mos s que que ésta éstas s pued pueden en clasificarse como frases simples o compuestas. frases simples simples cons Las frases consta tan n de un suje sujeto to y un frases compuestas compuestas se confor predicado. Las frases conforman man a part partir ir de las las fras frases es simp simple les s unid unidas as por por elem elemen ento tos s gramaticales especiales que las asocian (conjunciones).
Toda frase simple puede evaluarse como verdadera o falsa. Como primera medida tendiente a lograr un lenguaje aún aún más más prec precis iso, o, se acue acuerd rda a adop adopta tarr una una nuev nueva a terminología y representación o simbología asociada. Esto es, llamar:
• •
A las frases: enunciados o proposiciones (ya sea simples o compuestos según corresponda) A los elementos gramaticales que unen a las frases simples: conectivos
Y establecer como símbolos:
• •
Para representar los enunciados (frases simples o compuestas): las letras mayúsculas Para representar los conectivos: símbolos tales como( ⇒, ⇔ ,∧ ,∨ ,¬ )
Cuan Cuando do un enun enunci ciad ado o del del leng lengua uaje je natu natura rall se representa por medio de la simbología asociada, lo que queda bosquejado es la estructura o esqueleto lógico del mismo; es decir, la “forma” que tiene dicho enunciado o conjunto de enunciados. Dicha forma es la que nos va a permit permitir ir realiz realizar ar nuestr nuestras as deducc deduccion iones es sin tener tener en cuenta el significado asociado.
EVALUACIÓN DE LOS ENUNCIADOS En la Lógica Lógica Formal Formal se estudi estudian an los principi principios os y métodos a través de los cuales podemos determinar la vali valide dez z de argu argume ment ntos os,, desd desde e el punt punto o de vist vista a solame solamente nte de su estruc estructur tura, a, sin tomar en cuenta cuenta el cont conten enid ido o semá semánt ntic ico o de las las expr expres esio ione nes s de los los argumentos. De esta manera si se argumenta que: • Todos los majadíes son de Majadistán • Rudistein es Majadí • En consecuencia, Rudistein es de Majadistán. En este argumento, no se toma en cuenta si los majadíes son humanos, perros, pericos o un concepto abstracto de cualquier área. Tampoco importa si Rudinstein es un ciudadano de alguna ciudad del mundo o si es el nombre de un perro. De esta manera desde el punto de vista de su estructura este argumento es válido.
Se hac hace hinc hincap apié ié que que la Lógi Lógic ca no se hac hace responsable de su aplicación a nivel semántico. Se puede decir que la Lógica es una herramienta para el análisis de la veracidad de argumentos en base sólo a la estructura de éstos, donde el significado de los elementos que intervienen no es tomado en cuenta.
LA PROPOSICIÓN PROPOSICIONES
SIMPLES
NO
SI
c) “El bu b uen pr p rofesor es es aq a quel qu q ue sa sabe enseñar” d) “Arist istóteles les creó la lógica formal” e) “Los millonarios tienen dinero” 5. Proposición en donde no se sabe con exactitud dicho valor: a) “El ho hombre llllegará a otra ga galaxia en en el el 2 020” Las proposiciones se clasifican, teniendo en cuenta ciertos criterios, como: A) Según su cantidad:
COMPUESTAS
TIENE CONECTORES LÓGICOS
NOMBRE DE ACUERDO AL CONECTOR
Propos Proposici ición ón es el significado de toda toda orac oració ión n declarativa con sentido a la que puede atribuirse un (verda dade dero ro o fals falso o para para la lógi lógica ca valor veritativo veritativo (ver Bivalente). Es la explicitación del juicio. Las Las cara caract cter erís ísti tica cas s a toma tomarr en cuen cuenta ta cuan cuando do trabajemos con proposiciones son las siguientes:
Es el sign signif ific icad ado o o cont conten enid ido o de una una oració oración n declar declarati ativa va porque porque distin distintas tas oracio oraciones nes pueden contener una misma proposición. La orac oració ión n que que la expr expres esa a debe debe tene tener r sent sentid ido, o, comp compre rend ndid ida a por por una una comu comuni nida dad d de hablantes. Al ser una oración declarativa, la propos proposici ición, ón, su estruc estructur tura a grama gramatic tical al debe debe tener tener Sujeto (S) y Predicado (P). Algunas Algunas oraciones oraciones aseverativ aseverativas as llevan llevan el suje sujeto to impl implíc ícit ito, o, sin sin por por ello ello deja dejarr de cont conten ener er efectivas proposiciones. Al afirmar o negar algo de algo, a toda la proposición puede atribuirse un sólo valor veritativo: V ó F. No es cond condic ició ión n nece necesa sari ria a sabe saberr con con exacti exactitud tud el valor valor de verdad verdad de una propos proposici ición ón cuando es anunciada, lo importante es que se le asuma con un valor de verdad cuando se le anuncia.
Ejemplos: siguientes contienen contienen la misma misma 1. Las oraciones siguientes proposición: a) “Julian es amigo de Alfredo” b) “Alfredo es amigo de Julian” c) “Julian y Alfredo son amigos” 2. La siguiente siguiente proposició proposición n presenta presenta estructur estructura a gramatical: a) “Ricardo trabaja duramente” 3. Oración con sujeto implícito: En el enunci enunciado ado:: “Si llueve llueve entonc entonces es no iré a la playa” contiene dos proposiciones a saber: a) “llueve”, donde e l su sujeto i mp mplícito e s “hoy” b) “iré a la pl playa”, do donde “y “yo” es es el el su sujeto implícito. 4. Atribuir un solo valor veritativo: V ó F en: a) “La materia no se crea ni se destruye” b) “Dios no creó el universo”
2
B)
-
Universales. Particulares Según
Singulares. su calidad
(o
cualidad)
C)
-
Afirmativas. Negativas. Según su modalidad:
-
Asertóricas (Empíricas; Sintéticas; Contingentes).
-
Apodícticas
(Necesarias; Forzosas)
-
Problemáticas
(Plausibles o Probables)
PROPOSICIONES POR SU COMPLEJIDAD La Lógica Proposicional clasifica a las proposiciones según tengan o no operador lógico.
Operadores Lógicos: Llamados también
“constantes lógicas”, “conectivas”, “funcktores”, “términos de enlace”; etc. Son todos aquellos términos que sirven de enlace
Según Según nuestr nuestro o criter criterio io adopta adoptarem remos os el estudi estudio o de 9 operadores, que denotamos a continuación: negador: r: “…no “…no …” (opera (operador dor monádi monádico) co) 1) El negado
( ¬) 2) El conjuntor: “…y …” ( ∧ ) 3) El disyuntor incluyente: “ … o …” (en sentido incluyente)
( ∨)
( ⊕) 5) El implicador: “Si … entonces …” ( → ; ⇒ ) 4) El disyuntor excluyente: “ o …o ….”
6) El replicador: “ …. si ….” ; “…. porque ….”
( ←) 7) El biimplicador: “… si y sólo si ….” 8) El inalternador: “ni … ni ….”
( ↔; ⇔ ) ( ↓)
9) El incompatibilizador: “no … o no ….” ( / ) Las proposiciones simples o atómicas, son aquellas que no tienen operador alguno. Ejemplo: (1) “Cada “Cada gober gobernan nante te es polít político ico””
(2) “La lógic lógica a en el RNC RNC es intere interesan sante” te” Las proposiciones compuestas o moleculares, tienen uno o más operadores. De acuerdo al operador principal se clasifican en:
-
(2)
científico es epistemológica”
Negativas (Simple:
cuando la negación va en el verbo; Compleja: la negación va al inicio y por Prefijo: Si al término del predicado es antecedido por un prefijo) Ejemplos: (1) “Los quelonios no son batracios” (2) “Es falso que CEPUNT sea un colegio” (3) “Montesinos es considerado un amoral”
-
Conjuntivas. Si tienen el operador diádico: “…. y ….” (conjuntor). Se presentan los siguientes casos:
-
“Los “Los
e
“Los felinos felinos
-
“Che Guevara fue escritor, político y revolucionario”
carrera”
Biimplicativas.
(2)
….” (alternador o disyuntor)
(1)
poeta es suficiente sensibilidad social”
y
-
(2)
tiene el operador diádico: “ni …. ni…..”
“La filosofía filosofía
(3)
“Los “Los vir virus son causantes de enfermedades o ayudan al organismo” Los (4) peruan peruanos os o los ecuato ecuatoria rianos nos son belici belicista stas s o son patriotas” “Montesquie (5) u fue escritor, revolucionario o periodista”
Disyuntivas Excluyentes. Si tienen el operador diádico: “…. o
….” (exclusor) en sentido excluyente, es decir que ambas proposiciones que la componen no pueden ser verdaderas al mismo tiempo.
(1)
la
(2)
“Alf “Alfre redo do es
(3)
“Franc “Francia ia se
magíster o sólo licenciado” ubica en América o Europa”
Si Implicativas. tienen tienen el operad operador or diádic diádico: o: “si …. entonc entonces… es……” …” (con (condi dici cion onal al). ). Se cara caract cter eriz iza a por por tene tenerr dos dos proposiciones. A la primera se le llama antecedente y a la segunda consecuente. Al antecedente también se le cono conoce ce como como cond condic ició ión n sufi sufici cien ente te.. Al consecuente también se le conoce como condición necesaria.
Inalternativas.
(1) “En “En ni hay democracia ni hay justicia”
o la biología son ciencias exactas”
-
la
“Para ser necesario tener
“Las ciencias formales son abstractas salvo que la lógica sea una ciencia ”
“o astrología es una ciencia o es una farsa”
ser
(1) “Exist iste injusticia si y sólo si hay abuso social”
Disyuntivas
Incluyentes. Si tienen el operador diádico: “ …. o
3
“Democraci
Si tien tiene e el oper operad ador or diád diádic ico: o: “ …. si y sólo sólo si …..” (Equivalorativas)
(5)
-
(3) “Es suficiente abogado para ser juez” “Condición (4) necesaria para ser juez es ser abogado” Replicativas. Si
“Es (3) necesario ser candidato para ser ciudadano” (4) “Condición suficiente para ser profesional es estudiar una
tigr tigres es
y los carnívoros son mamíferos”
-
“Para ser formac formación ión
(2) “Para candidato es suficiente ser ciudadano”
son carnívoros y mamíferos”
(4)
tener tener
a es libertad porque hay libre pensamiento”
incluso Boole fueron lógicos”
(3)
nece necesa sari rio o
(1)
“EEUU invadió Irak e Israel atacó Palestina” “Boecio
hay
tienen el operador diádico: “… si ….” (condicional indirecta). indirecta). Presenta Presenta las siguientes siguientes caracterí característic sticas: as: Tiene dos proposiciones. A la primera se le llama consec consecuen uente te y a la segund segunda a antece anteceden dente. te. Es lo contrario de las implicativas.
(1) (2)
“Si
(1)
inflación entonces hay desempleo”
Si Chin China a
Incompatibles.
Si
tiene el operador diádico: “no …. o no …..”
(1) “Los pulpos no respiran por branquias o no son terrestres”
TRADUCCIONES VERBALES DE LOS OPERADORES. Son los términos sinónimos de los operadores lógicos.
NEGADOR
: ;¬
CONJUNTOR
∧; . ; I
“es falso que A” “es absurdo que A” “es mentira que A” “es inconcebible que A” “
“A pero B” “A sin embargo B” “A tanto como B” “A también B” “A al igual que B” “no solo A también B”
DISYUNTOR INCLUYENTE
IIMPLICADOR → ; ⇒
∨;U
“A o también B” “A a no ser que B” “A y/o B” “A o bien B” “A ya bien B” “A excepto que B” “A a menos que B”
“A implica a B” “A por lo tanto B” “A luego B” “A consecuentemente B” “ya que A entonces B” “A es condición suficiente para B”
El Negador : Si es V , luego
:
V
= F
El Conjuntor : Sólo V ∧ V = V , en los demás casos es F El Disyuntor Incluyente: Sólo F ∨ F = F , en los demás REPLICADOR DISYUNTOR EXCLUYENTE
∨; ⊗
“A o sólo B” “A o solamente B” “A o únicamente B” “A excepto que
←;⇐
“A es implicado por B” “A si B” “A ya que B” “A puesto que B” “A dado que B” “A con tal de que B” “A cada vez que B” “A con la condición de que B” “A es condición
BIIMPLICADOR ⇔ ; ↔
↓
F El Incompatibilizador : Sólo V / V = F , en los demás casos es
V
El Implicador : Sólo V → F = F , en los demás casos es
V El Biimplicador : Sólo F ↔ F = V ó V ↔ V = V en los demás casos es
F
⊗ F = V ó
JERA JERARQ RQUÍ UÍA A DE CONE CONECT CTOR ORES ES Y SIGN SIGNOS OS DE AGRUPACIÓN
INCOMPATIBILIZAD OR /
Ejemplos:
1.
El Inalternador : Sólo F ↓ F = V , en los demás casos es
F⊗ V = V
“No A excepto que no
“No A y no B”
V
El Disyuntor Excluyente: Sólo V
“A siempre y cuando B” “A es condición suficiente y necesaria para B” “A porque y solamente si B” “A es suficiente y B también” “ ” INALTERNADOR
casos es
Se utiliza para determinar el tipo de esquema molecular además para determinar el orden en que se desarrollará el cálculo matricial.
Jerarquía de Conectores:
De los siguientes proposiciones: Menor Mayor ; ∧ ; ∨ ; ( → ó ←) ; ⊗ ; ↔ 1) Martha irá a la fiesta jerarquía Jerarquía de promoción pero en diciembre. 2) El Perú es democrático o de lo contrario oprimido. Jerarquía de los signos de Agrupación: 3) Es mentira que nunca los militares abusaron del pueblo. 4) Si es cierto que Menor jerarquía Mayor Jerarquía ; ; Manuel resultó campeón del torneo de karate. 5) Si Nota: los demás operadores se formalizan de acuerdo a su significado, en los casos tal y como se presentó en temas el anteriores.
:
( ) [ ] { }
viento sopla, me abrigaré para no contraer enfermedades. Son simples: (a) 1; 3 y 5 (b) 2; 3 y 4 (c) Sólo 1 (d) Sólo 1 y 4 (e) Sólo 4
LA TABLA DE VERDAD
VERDAD FORMAL Esta Esta referi referido do a la determ determina inació ción n de la funció función n de verdad de un esquema molecular cualquiera. Para ello es necesario conocer:
-
Las
reglas
de
operación
-
La jera jerarq rquí uía a de los los conectores y de los signos de agrupación.
REGLAS DE OPERACIÓN Menci Menciona onarem remos os lo más resalt resaltant ante e de las reglas reglas de operación. Veamos:
4
Para determinar la función de verdad de un esquema molecular, debemos usar la Tabla de verdad:
Variables }
p q
V V Combinacione s F F
Esquema 6 4Molecular 7 48
( : p → q)
V
F V V
F
F V F Cálculo de verdad V V V
V F
V F F
(d) VFV
(e) VVF
•
Son aque aquell llas as letr letras as que que está están n Variables: Son presentes en el esquema molecular.
•
Esquema Esquema molecular: molecular: Es la fórmula que representa a una proposición molecular cualquiera. Debe ser una fórmula bien formada (fbf). Cálculo de verdad: Se efectúa el cálculo de verdad del esquema molecular siguiendo las reglas de oper operac ació ión n para para cada cada cone conect ctor or pres presen ente te y respetando la jerarquía de conectores y de signos de agrupación. El cálculo de la función de verdad se hace en el cuadrante inferior derecho. •
• Combinaciones: Para determinar el número de combinaci combinaciones, ones, contamos el número número de variables variables pres presen ente tes s (n) (n) segu seguid idam amen ente te efec efectu tuam amos os la n
operación: 2 , el resultado de esta operación será la cantidad de combinaciones que debemos realizar. Las Las comb combin inac acio ione nes s se escr escrib iben en de dere derech cha a a izquierda. Primero de uno en uno, luego de 2 en 2, seguidamente de 4 en 4 y así sucesivamente.
TIPOS DE ESQUEMAS MOLECULARES
Cuando todos los valores de las combinaciones presentes son verdaderos en la matriz final.
-
Contingente.
Cuando hay por lo menos un valor verdadero y por lo menos un valor falso en las combinaciones presentes de la matriz final.
B) De acuerdo al operador principal. Negativo. Cuando el operador principal es el negador.
-
Conjuntivo. Cuando
el operador principal es el conjuntor.
-
Implicativo. Cuando
el operador principal es el implicador. De acuerdo al operador principal, existen tantos ti os de es uem uemas com como o o erad erador ores es..
1)
= V ; v ( q ) = F ; v ( r ) = F ,
ento entonc nces es
los valores de verdad de:
III)
( : p∨ q) → ( r∧ : r) ( p → q) ↔ ( q∨ r) ( r ∨ : p ) ∆ : ( p ∧ q ) , son respectivamente
(a) FFF
5
falsa, ¿cuál es el valor ( p∧ : q) → ( p→ r) es de verda erdad d de respectivamente? (a) VFF (d) FFF
las las
prop propos osic icio ione nes s
(b) FFV (e) FVV
p, q , r ,
(c) VVV
3)
S ean las proposiciones: p: Moyabamba es la capital del departamento de San Martín q: Juliaca es una ciudad cuzqueña r: La pampilla se encuentra en el departamento de Piura. Y, dadas las siguientes fórmulas:
( p∧ : q) ∨ : ( r↓: p)
I. II.
p←:
( : q↔ r) ∧ : p : p⊗ q⊗ ( : r/ p)
¿Cuáles de ellas son verdaderas? (b) Sólo II (e) I; II y III
(a) Sólo I (d) I y II
(c) Sólo III
(b) VFF
(c) VVV
4)
S
i el siguiente esquema molecular es falso:
( p∨ : q) ← ( : r↓ s) ; La función de verdad de cada una de las variables, es respectivamente: (a) VFFV (b) FVVF (c) VVVF (d) FFFV (e) VFVF
5)
S
∨ i ( p ) = V y ∨ ( q ) = F; Hallar el valor de verdad de:
∼ [ q ∧( p ∨∼ q ) → ∼ ( p ∧q ) ]
(a) Verdadero (b) Falso (c) No se puede determinar
D
eterminar el valor de verdad de la proposición p y q Si: ∼ p ∨∼ q ≡ F; ( p ∧q ) ↔ ( p ∨q) ≡ V (a) Verdadero (b) Falso (c) No se puede determinar S que:
abiendo
II)
S compuesta
proposición
6)
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
I)
la
Contradictorio.
Cuando todos los valores de las combinaciones presentes son falsos en la matriz final.
v ( p)
i
III.
A) De acuerdo a la Matriz Final. Tautológico.
-
2)
7)
D emue emuest stre re que que la sigu siguie ient nte e impl implic icac ación ión es una una tautología: [ ( ∼ p ∨q ) ∧∼ q ] → ∼ p
8)
S i la proposición formal falsa lógicamente, luego la proposición siempre verdadera no es:
(a) (c)
p ∨ q es
:
:
p∨q
p→ q
(b) : p ∨ : q (d) : q ∨ p
: q →:
(e)
p
(a) 1001 (b) 0001 (c) 0110 (d) 1110 (e) 1010
9)
S
i: p: 1 es un número primo. q: 2 es un número primo. r: s:
9 + 16 16
= 9 + 16 ( 2 + 3 ) = 2 2 + 32 2
14) S ean las variables: p: La lógica no es una ciencia factual. lógica a form formal al estu estudi dia a la valid validez ez de los los q: La lógic razonamientos. r: La matemática es una ciencia factual. s: Capital de Beirut el Líbano. Luego los esquemas siguientes:
( p→ q) ⊗ : ( p↔ : r) II. q / : p ←: ( q ←: r ) III. ( p∧ : q) ∨ r ∨ ( s →: r) I.
Determinar el valor de verdad de:
( : p → s) ↔ ( q∨ r) ∧ ( : s) (a) Verdadero (b) Falso (c) No se puede determinar
Tienen como valores de verdad:
(a) VVV (b) FVF 10)
¿ Cuál Cuál de los los razo razona nami mien ento tos s no es una una fórm fórmul ula a proposicional tautológica?
(a) si : p → q y : p , luego q (b) si p ↔ q y q , luego p (c) si : p ↔ : q y p, luego q (d) si : p∨ : q y : q, luego p (e) si : p⊗ : q y : q luego p 11) a func funció ión n de verd verdad ad prin princi cipa pall proposicional:
: ( :
p/ : q)
(c) FFF
(d) VFV (e) VVF
15)
D
e los siguientes esquemas formales:
( p→: q) ∨ : ( p↔ : q) II. : q / ( p ←: q ) ⊗ : p I.
III.
( p∧ : q) ∨ q⊗ ( p →: q)
¿Cuáles de ellos tienen matriz principal tautológica?
L de la fórm fórmul ula a
↓: p , es:
(a) Sólo 1 y 2 (d) Todos
(b) Sólo 1 y 3 (e) Ninguno
(c) Sólo 2 y 3
16)
S
i la proposición: 1) 1111 2) 0000 Son ciertas:
(a) Sólo 1 (d) Sólo 4
3) 1000
4) 1100
( m ∧ n ) → ( :
5) 1001
(b) Sólo 2 (e) Sólo 5
DEMOSTRACIONES 17)
( : q↔ r) ∧ : p : p⊗ q⊗ ( : r/ p)
D
emostrar que :
p → q]
→ ( p → q)
es una tautología.
p←:
18)
(a) Sólo 1 (d) I y II
( p→ q) ∧ : ( : p∧ q) II. : ( p∨ : q ) III. : ( : p ↔ q ) I.
(b) Sólo 2 (e) Todas.
(c) II y III
13)
S
i el siguiente esquema molecular
( p∨ : q) ← ( : r↓ s) verdad de cada respectivamente:
una
es fals falso; o; la func funció ión n de de
D
adas las proposiciones compuestas:
¿Cuál de ellas son verdaderas?
6
(a) Verdadero (b) Falso (c) No se puede determinar
: [:
( p∧ : q) ∨ : ( r↓: p)
III.
es falsa, falsa, el valor valor
( m → p ) → ( q → r ) ∧ n
(c) Sólo 3
S ean las proposiciones: p: Helsinki es la capital del país de Findalandia. q: El peso es la moneda de México. r: La Pampilla se encuentra encuentra en el departamento departamento de Piura. Y dadas las siguientes fórmulas:
II.
∧ q ) → r
de verdad de:
12)
I.
p
las
variables
es
¿Cuáles son equivalentes?
19) ean p, q proposiciones:
S
(1) Muestra que ( p∨ q) ∧ : p∧ : q, es una contradicción. (2)
A partir de la contradicción anterior construye construye una proposición tautológica.
(3)
Crea Crea otra otra contra contradic dicció ción n a partir partir del esquem esquema a del item item (1), (1), realiz realizand ando o sustituciones de las proposiciones p y q.
(4)
Muestra
que
: ( p→ q) ↔ ( p∧ : q) , es una tautología. 20)
S ean ean p, q prop propos osic icio ione nes. s. Just Justif ific ica a por por qué qué las las siguientes proposiciones son tautologías (sin tabla de verdad)
(1)
: p∨ : :
(2)
( p→ q) ∨ : ( p→ q)
p
(3)
El diario se edita todos los días o no se edita todos los días.
(4)
Juan estudia 4 horas diarias o no estudia 4 horas diarias.
21)
D
ado el siguiente esquema formal falso:
: ( p↔ q) ∧ : ( : q∨ r) . Los valores de p, q y r son respectivamente:
(a) 110
(b) 000
(c) 101
(d) 001
(e) 010
22)
C uál uál de los los sigu siguie ient ntes es esqu esquem emas as son son form formal ales es inconsistentes:
( A∧ B) → A II. : A→ ( B∨ A) III. : A⊗ ( B→: A) I.
Son ciertas:
(a) Sólo I (d) Sólo III
7
(b) Sólo II (e) I y III
(c) I, II y III
