MODELOS_PROBABILISTICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

CICLO 2014-1

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M ODELOS PRO PROBABI BABI LI STI CO COS S

Son modelos matemáticos apropiados para situaciones reales en condiciones específicas, son importantes porque nos ayudan a predecir la conducta de futuras repeticiones de un experimento aleatorio. Los modelos pueden ser discretos o continuos. Los modelos o distribuciones discretas más comunes son: La Uniforme, Binomial, Poisson y la Hipergeometrica. Hipergeometrica. Vamos a presentar los modelos más usados en investigación, investigación, y más específicamente en áreas sociales y humanísticas, acá se abordarán los temas de la Binomial, la cual es base para definir los tamaños muéstrales y la Poisson, de gran utilidad en teoría de colas o fenómenos de espera. En cuanto a las continuas, se utilizan fundamentalmente las siguientes: Z de la Normal, T de Student, las cuales serán objeto de estudio. DI STRIB UCI ONES DI SCRETAS CRETAS ENSAYO ENSAYO DE BERNOUL BERNOUL L I

Consiste en realizar un sólo experimento (ensayo) en el cual existen únicamente dos posibles resultados: S = {éxito, fracaso} Por ejemplo: observar un artículo y ver si es defectuoso. DI STRIB UCI ÓN DE BERNOUL BERNOUL LI

Definimos a la variable aleatoria de Bernoulli de la siguiente forma:

                   {          su distribución de probabilidad queda:

  {    Esta es la forma más usual de representar a la distribución de Bernoulli Media o Valor esperado 

     

Varianza 

  

ESTADISTICA Y RPOBABILIDADES____________________________________________________________________F.N.Q.C.


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MODELO BINOMI AL

Es un modelo discreto, es decir, la variable toma valores conocidos y finitos. Es utilizado en gráficos de control para análisis de número o porcentaje defectuoso, adicionalmente se utiliza para calcular probabilidades de aceptación o rechazo de lotes en muestreo de aceptación, de ahí su importancia. Un modelo Binomial cumple las siguientes propiedades: 1) El experimento tiene un número fijo de ensayos. 2) De cada prueba solo puede presentarse uno de dos resultados. Un éxito o un fracaso. 3) La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son constante para cada prueba. 4) Cada una de las pruebas es independiente de todas las demás, es decir, lo que ocurre en una prueba cualquiera, no afecta los resultados de las otros ensayos.

FUNCION DE PROBABIL I DAD DE LA BINOMI AL

Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli y la probabilidad de éxito es p, la distribución de X para n =2, 3 ó 4 es:

Se observa que el término genérico es ¿Cuántas?

 repetido un determinado número de veces.



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

Supongamos que se obtienen consecutivamente primero los éxitos y luego los fracasos:

   







Para encontrar el número de formas en que se pueden obtener los éxitos y luego los fracasos, recordemos la expresión para el cálculo de permutaciones con grupos de objetos iguales:

Hagamos

   y  

Es decir que el número de formas en que se pueden ordenar los éxitos y los fracasos es .



Finalmente, tenemos que el término

 se repite un número de veces igual a  :

En forma resumida, la función de probabilidad de la variable aleatoria binomial es:



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Media o Valor esperado 

     

Varianza 

 

DISTRIBUCION BINOM IAL ACUMUL ADA

La distribución de probabilidad acumulativa de la variable aleatoria binomial es:



            Ejemplo La probabilidad de que un jugador de basket-ball anote un tiro libre es de ¾. sus tiros son independientes, si en un juego puede hacer 5 tiros libres, determinar: a) la probabilidad de que acierte en todos sus tiros. b) la probabilidad de que falle todos sus tiros. c) la probabilidad de que acierte por lo menos la mitad de sus tiros. Solución: Éxito: acierta un tiro libre.

  

n=5

Sea X: Número de aciertos en tiro libre.

            b)                c)               a)



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Ejemplo2:

Según el último estudio sobre favorabilidad del actual gobernante, éste tiene a su favor el 52% de todos los habitantes mayores de edad. Si de esta población se selecciona al azar 5 personas, a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de personas estén a favor del mandatario?, b) máximo 3, c) entre 2 y 4 inclusive estén a favor. SOLUCIÓN EXCEL.

El programa permite calcular tanto la probabilidad en un punto como la acumulada. A continuación se muestra la sintaxis para resolver el problema anterior. a)

=DISTR.BINOM(3; 5;

,52; falso ). Indica que se quiere determinar la

probabilidad de que 3 personas estén a favor de 5 encuestados, donde la probabilidad de éxito es de 0.52 y el falso, quiere decir que no es acumulada. P(x = 3) = 0.3239. b) =DISTR.BINOM(3; 5; ,52; v erdadero). Indica que se quiere determinar la probabilidad de que máximo 3 personas estén a favor de 5 encuestados, donde la probabilidad de éxito es de 0.52 y el verdadero, quiere decir que la probabilidad es acumulada. P) = 0.7865. c) P(2 X 4)= F(4) - F(1)=( =DISTR.BINOM(4;5;,52;1)=DISTR.BINOM(1;5;,52;1). 0.9619- 0.1634 = 0.7985





M ODEL O DE POISSON

Es una distribución discreta, tiene su principal aplicación en teoría de colas o fenómenos de espera y en control estadístico de calidad., así, como para calcular probabilidades en eventos escasos y en intervalos de tiempo y espacio. Es decir los experimentos que resulten en valores numéricos de una variable aleatoria X, misma que representa el número de resultados durante un intervalo de tiempo dado, o región específica, frecuentemente se llaman experimentos de poisson. Ejemplo. Llamadas por minuto, clientes por hora, toneladas por hectárea, baches por kilómetro, etc. De un experimento de Poisson, surge el proceso de Poisson que tiene las siguientes propiedades: 1. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región. 2. La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al



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tamaño de la región y no depende del número de resultados del número de resultados que ocurren fuera de éste intervalo o región. 3. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable. FU NCIÓN DE PROBABIL I DAD D E POISSON

Definamos una variable aleatoria X como el número de eventos independientes que ocurren a una rapidez constante.

    

para



donde:

 es el número promedio de ocurrencias del evento por unidad de tiempo o espacio = 2.72782 base de los logaritmos neperianos. La media y varianza de la variable aleatoria de Poisson son:

     ;    L A F UNCI ÓN D E DI STRIB UCIÓN ACUM UL ADA DE POISSON

           



Ejemplo:

El número promedio de individuos que llegan a solicitar información sobre un nuevo producto es de 5 por hora. Determine la probabilidad de que, en una hora determinada, lleguen: a) exactamente 2 usuarios, b) a lo más 4, c) más de 4, d) 2 en media hora. Solución Sea X= número de personas que solicitan información sobre el producto. Lo primero a determinar es si cumple los requerimientos del modelo Poisson. Las personas llegan de manera aleatoria y sus llegadas son independientes.  Los sucesos ocurren en un intervalo determinado. Al cumplir los requerimientos, entonces, donde = 5 personas/hora 







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Reemplacemos los valores en la fórmula.

                                         

a) b) c) d) Dado que se cambió la unidad de medida, el promedio se altera. = 2.5 personas/30 minutos.



        

SOLU CIÓN CON EXCEL

El programa permite calcular tanto la probabilidad en un punto como la acumulada. A continuación se muestra la sintaxis para resolver el problema anterior. a) =POISSON(2;5;0). Indica que se quiere determinar la probabilidad de que 2

personas soliciten información sobre el producto, donde el promedio es de 5 y 0, quiere decir que no es acumulada. El resultado es 0.08422. b) = POISSON(4;5;1). Indica que se quiere determinar la probabilidad de que máximo 4 personas pidan información en un intervalo de una hora, el promedio es 5 y 1, quiere decir que la probabilidad es acumulada. El resultado es 0.4404 c) 1 - =POISSON(4;5;1). Indica la probabilidad de que más de 4 personas pregunten por el producto en un intervalo de una hora, el promedio es de 5. El resultado es 1 - 0.4404= 0.5596. d) =POISSON(2;2.5;0). Calcula la probabilidad de que 2 personas soliciten información en un intervalo de media hora , el promedio cambia a 2.5 personas/30 minutos. El resultado es 0.2651.



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L A DI STRI BUCI ÓN DE POISSON COM O LÍM I TE DE L A DI STRI BU CIÓN BINOMIAL *

La distribución de Poisson se obtiene a partir de la distribución binomial, considerando que “n” tiende a ∞ ( el número de experimentos de Bernoulli) mientras que “p” tiende a cero

(probabilidad de éxito).Se le interpreta como la variable aleatoria que representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante en el tiempo o el espacio. Sea X una VA con distribución binomial con parámetros n y p

                        

 Es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región (velocidad o

rapidez de cambio).

La distribución de Poisson puede sustituir a la binomial para un “n” grande y una “p”

pequeña 

 

Vamos a demostrar: Considerando la expresión general para la probabilidad binomial:

                =     Sea  ; por tanto    y     sustituyendo:                   =                 =           ESTADISTICA Y RPOBABILIDADES____________________________________________________________________F.N.Q.C.


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 de tal forma que  permanezca constante. Esto significa que     (de igual forma que  y  de tal forma que  ).

Sea cuando

En la última expresión, los términos de la forma

( )( )   tienden a 1 si  , al igual que   Por otra parte la definición  es cuando    [ ]        Finalmente            Ejemplo 1: Si el 2% de los transistores producidos por una fábrica salen defectuosos encontrar la probabilidad de que en un lote de 200 transistores haya caundo más 5 transistores defectuosos. Por binomial n=200 p =0.2

                             =          Por Poisson:

             }=0.78 Ejemplo 2: Si la probabilidad de que una viga de concreto falle a la compresión es de 0.05.Obtener la probabilidad de que en 50 vigas: a) Ninguna falle



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b) Cuando máa 2 fallen c) 5 fallen Solución

    a)        entonces             b)       ∑          entonces      ∑           }=0.5437  c)       

P=0.05 n=50

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCION NORMAL Es el modelo continuo más utilizado en inferencia estadística, dado que muchos fenómenos socio demográfico y de otra índole tienen un comportamiento acampanado y por ende cumplen la teoría de la distribución normal, sin embargo, es importante aclarar que antes de proceder a aplicar los métodos sugeridos por la teoría estadística, es imprescindible identificar primero si en realidad los datos si se comportan como tal, es decir, se debe saber a ciencia cierta si los datos son aproximadamente acampanados, para ello se disponen de procedimientos descriptivos ya descritos, como son: el histograma, comparar las medidas de posición relevantes (media, mediana y moda), calcular los coeficientes de asimetría y curtosis. Además, de otras pruebas más avanzadas como la de Smirnov Kolmogorov y la de Shapiro Wilks. CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL 1. Forma    

Es una campana simétrica con respecto a su centro La curva tiene un solo pico; por tanto, es unimodal. La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal. Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución se encuentran también en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.



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 

Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal. Parámetros

2. Está caracterizada por dos parámetros

a) Parámetro de localización: La media

b)Parámetro de forma: La varianza

3. FUNCIÓN DE DENSIDAD Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula

      √    donde

 : Media  : Varianza  = 3.1415  ESTADISTICA Y RPOBABILIDADES____________________________________________________________________F.N.Q.C.


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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCION DE DENSIDAD

     Máximo:     √ Dominio:

Punto de inflexión: en

      

Asíntotas: el eje OX es una asíntota horizontal

 Monotonía: creciente  y decreciente  Simetría: respecto a la recta

Signo: es siempre positiva.

    Punto de corte: OY      √ La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su varianza. Lo representamos así

 ESTADISTICA Y RPOBABILIDADES____________________________________________________________________F.N.Q.C.


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F(x) es el área sombreada de esta gráfica

Característica de la función de distribución: 





Puede tomar cualquier valor (- , + ) Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica). Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro , que es la desviación estándar. 



  



TEOREMA DE TIPIFICACION O ESTANDARIZACION

  entonces la variable tipificada de  es    y sigue también una distribución normal pero de    y   , es decir  Si la variable

Por tanto su función de densidad es

y su función de distribución es



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Siendo la representación gráfica de esta función

Característica de la distribución normal tipificada (estándar)    

No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

USO DE LA TABLA ACUMULADA NORMAL





a) P(x>155) = 1- P(x 155) =1 – P (z (155-132)/15)= 1 - P(Z<1.53) 1 – 0.9370= 0.063.

Se busca el valor de 1.53 en la tabla, encontrando el valor de 0.9370 sombreado en la tabla.









b) P(x 100) = P(x1 00)=P(Z ( 100-132)/15)= P(Z-2 .13)= 0.0166 Al ser un valor para la probabilidad se calcula de manera directa, es decir, se ubica el valor de Z=-2.13 correspondiendo la probabilidad de 0.0166. c) P (105 < x < 143) = P(x<143) – P(x< 105). Luego de tipificar, se tiene: P(Z< 0.73) – P(Z<-1.8) = 0.7673 – 0.0359 = 0.7324 Siempre los valores de Z, se ubican en la tabla normal.



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TABLA ACUMULADA NORMAL



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USANDO EXCEL PARA EL CALCULO DE PROBABILIDAD EN UN DISTRIBUCIÓN NORMAL.

  =DISTR.NORM(100;140;50;VERDADERO) b P ( x > 200) = 1 P (x 200). ; X ~ N (140, (50)2)

a)

b)

–

=DISTR.NORM(200;140;50;VERDADERO) = 0.884930 c)

P (40 < x < 240)= P(z<240)-P(z<40)

d)

=DISTR.NORM(240;140;50;VERDADERO) =DISTR.NORM(40;140;50;VERDADERO) 0,97724994 - 0,02275006 = 0.9544 . En éste caso, se requiere entrar la probabilidad para que el procedimiento entregue el valor de x. Note que la sintaxis cambia, adicionando la palabra INV. =DISTR.NORM.INV(0,5;140;50) = 140

   



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TERCERA PRÁCTICA DIRIGIDA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD 1. Se afirma que 30% de la producción de ciertos instrumentos se realiza con material nacional y los demás con material importado. Si se toma una muestra aleatoria con reemplazo de 25 de estos instrumentos: a) ¿cuál es la probabilidad de que 3 de ellos sean de material nacional? b) ¿cuál es la probabilidad de que no más de 3 de ellos sean de material nacional? c) ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 sean de material nacional? d) ¿Cuántos instrumentos fabricados con material nacional se esperaría encontrar en la muestra? 2. Se sabe que 10 es el número promedio de camiones tanque que llegan por día a una cierta estación; las instalaciones sólo pueden atender cuando mucho 15 camiones por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar los camiones? 3. En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es 0,1. Vamos a jugar los cinco días de la semana y estamos interesados en saber cuál es la probabilidad de ganar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 días. a. Construir una tabla con las probabilidades. b. Calcula la media y la desviación típica. 4. Explica para cada una de estas situaciones si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, identifica los valores de n y p: a. El 2% de las naranjas que se empaquetan en un cierto lugar están estropeadas. Se empaquetan en bolsas de 10 naranjas cada una. Nos preguntamos por el número de naranjas estropeadas de una bolsa elegida al azar. b. En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Repetimos la experiencia 10 veces y estamos interesados en saber el número de bolas blancas que hemos extraído. 5. Una empresa constructora ha ganado una licitación para montar 10 puentes peatonales prefabricados (similares), en diferentes puntos de la ciudad. Se sabe que el 10% de las veces no puede ensamblar el puente dentro del plazo establecido. Si se demora más del plazo, la pérdida por puente es de $1,000.00 y si lo hace dentro del plazo la ganancia por puente es de $3,000.00. ¿Cuál es la utilidad esperada?



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6. Una fábrica produce cierto tipo de ladrillos, en tres hornos. El horno A produce 50 %; el horno B produce 30 % y el horno C produce 20 % de la producción total. Además se sabe que el 0.1%, 0.2% y 0.3% de lo que producen los hornos respectivamente son defectuosos. El control de calidad se realiza del siguiente modo: se elige aleatoriamente 100 ladrillos y se acepta el lote si hay 5 o menos defectuosos. ¿Qué probabilidad hay de rechazar el lote? 7. Aproximádamente el 5% de los clavos de acero de cierta marca son defectuosos. a. ¿Cuántos clavos, como máximo debe tener la muestra para que la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso, no sea mayor que 0.9? b. Hallar el menor valor de “n” para que sea mayor o igual que 0.99, la probabilidad de que al menos uno de los clavos sea defectuoso? 8. El número de defectos que tiene cierto tipo de locetas, sigue una distribución de Poisson con un promedio de 3 defectos/ loceta. El precio de cada loceta es S/. 3.00 si no tiene defectos, de S/.2.00 si tiene 1 o 2 defectos y S/. 1.00 si tiene más de 2 defectos. Si se compran 100 locetas, elegidas al azar. ¿Cuál es el precio esperado de las 100 locetas? 9. Se lanza un dado 7 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos 4 números iguales en los 7 lanzamientos 10. El artículo “Reliability-Based Service –Life Assesment of Aging Concrete Structures”.

(J. Structural Engr., 1993: 1600-1621) sugiere que un proceso de Poisson puede ser utilizado para representar la ocurrencia de cargas estructurales en el transcurso del tiempo. Suponga que λ=0.5/año

a. ¿Cuántas cargas se espera que ocurra durante um período de 2 años? b. ¿Qué tan largo debe ser um período de modo que la probabilidad de que no ocurran cargas durante ese período sea cuando mucho de 0.1? 11. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, a. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? b. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? c. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? 12. Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. a. Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.



CICLO 2014-1

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b. Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre. c. Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre 13. Cierto tipo de batería tiene una duración de 3 años con una desviación estándar típica de 0,5 años. Suponiendo que la duración de las baterías sigue una distribución normal. a. ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años? b. Si una batería lleva funcionando 3 años, cuál es la probabilidad de que dure menos de 4,5 años? 14. Si la distribución de los periodos de duración de los postes telefónicos es tal que 9.51% tiene un periodo de duración que excede los 35 años y que 62.55% tiene periodo de duración que excede los 20 años ¿Cuál es la media y desviación estándar de la duración de estos postes si se admite que la distribución es normal? 15. Un conjunto habitacional es abastecida de agua, llenando su tanque cada 2 días; el volumen que consumen sigue una distribución normal. Si se sabe que el volumen que consumen con mayor frecuencia es 20000 litros y además el 2.28% de las veces el consumo fue a lo más 18,000 litros. ¿Cuál es la capacidad del tanque para que sea de solo 0.01, la probabilidad de que en un periodo de 2 días el agua no sea suficiente para satisfacer toda la demanda? 16. El material empleado en las redes de desagüe es tal que el 9.512% de las tuberías de desagüe tienen periodo de duración que exceden a las 15 años y el 52.556% tienen periodos de duración que exceden a los 9 años. Suponiendo que los periodos de duración tienen una distribución normal. ¿Cuál es el tiempo máximo de duración que está por encima del 75% de los periodos de duración? 17. El caudal de cierto río sigue una distribución normal con media de 540 m3/seg y desviación 160 m3/seg. Determinar el caudal mínimo que se da el 2% de las veces. 18. El artículo “Monte Carlo Simulation-Tool for Better Understanding of LRFD”( J. Structural Engr., 1993: 1586-1599) sugiere que la resistencia a ceder (lb/pulg2) de un acero grado A36 esta normalmente distribuida con media de 43 lb/pulg2 y una desviación estándar de 4.5 lb/pulg2. a. ¿Qué valor de resistencia a ceder separa al 75% más resistente del resto? b. ¿Entre qué resistencias a ceder se encuentra el 50% de los valores centrales?

13/05/14

LA PROFESORA


MODELOS_PROBABILISTICOS

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